FUNCIONES IIFunción constante. Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma: F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante.

Su dominio son los números reales y el rango es el término a

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTOLa función valor absoluto  asocia a cada número su valor absoluto, es decir su valor prescindiendo del signo, esta función se puede escribir descompuesta en dos tramos:                                                                           

En general cualquier función valor absoluto se puede escribir como una función a trozos.

Su dominio es R y el rango es

Función PotenciaLa función potencia es una función polinómica de la forma P(x) = xn, n >3, n entero positivo. Su dominio es R. Ejemplos:P(x) = x4, G(x) = x6, H(x) = x8, p(x) = x5, f(x) = x7,

Las funciones radicales las escribimos de la forma:

La función f x x( ) es la función raíz cuadrada. Su gráfica es como sigue: 

0

1

2

3

4

5

0 5 10 15 20 25

 Su dominio es [0, ¥) y el recorrido es [0, ¥).En el caso de una raíz cuadrada y para que la podamos trasladar tanto en horizontal como en vertical, estudiaremos la función:

FUNCION MAXIMO ENTEROLa función máximo entero, denotada por [ ], es la función con dominio R y con regla de correspondencia: [x] es el máximo entero no mayor que x.Ejemplo 6 [2] = 2, [2,5] = 2, [2,89] = 2, [−2] = −2, [−2,5] = −3.En general si k es un entero y k ≤ x < k+1, entonces [x] = k. La gráfica de la función se ilustra en la figura

FUNCION RECIPROCAA partir de la expresión:

Se define en el dominio , su grafica es

x

y

Función dominio partido Las funciones de dominio partido son funciones que están formadas por diferentes ecuaciones para diferentes partes del dominio. Por ejemplo: La gráfica de esta función es:

          

El dominio es el conjunto de los números reales excepto el cero, que expresado en forma de intervalo es (-¥, 0) È (0, ¥). El recorrido es el conjunto de los números reales excepto -1 y 1 y los números reales entre –1 y 1,esto es, (-¥, -1) È (1, ¥). Los puntos abiertos en (0,-1) y (0,1) indica que los puntos no pertenecen a la gráfica de f. Debido a la separación de la gráfica en x = 0, se dice que f es discontinua en x = 0.

COMPOSICION DE FUNCIONESSi f es una función de X en Y y g es una función de Y a Z, entonces la función compuesta g o f es la función de X a Z dada por (g o f)(x) = g(f(x)) para cada x en X. El dominio de g o f es Dgof = {x | x ε Df y f(x) ε Dg}

Es muy importante hacer notar que para formar la función composición es necesario que el rango de la función f sea igual o un subconjunto del dominio de la función g.Ejemplo: Sea . Encuentre y especificar el dominio.

FUNCION INVERSASi f es una función uno a uno con dominio X y contradominio Y, entonces una función g con dominio Y y contradominio X se llama función inversa de f si (f◦g)(x) = f(g(x)) = X para cada x en Y (g◦f)(x) = g(f(x)) = X para cada x en X

i) La notación f−1 se refiere a la inversa de la función f y no al exponente −1 usado para números reales. Únicamente se usa como notación de la función inversa.ii) La inversa de un función cuando existe, es única.iii) La inversa de una función cualquiera no siempre existe, pero la inversa de una función biyectiva siempre existe.iv) En general, las gráficas de f y f−1 son simétricas respecto a la función identidad y = x.

Método para Hallar la Inversa de una FunciónAunque existen varios métodos para hallar la inversa, los siguientes pasos ayudan a obtener la inversa de la función f(x).PROCEDIMIENTO1. Se sustituye f(x) por y es la función dada.2. Se intercambian x y y para obtener x = f(y).3. Se despeja la variable y.4. En la solución se escribe f−1(x) en vez de y.Ejemplo: Sea , hallar la inversaEJERCICIOS1. Sea una función definida por:

Hallar el dominio, rango y la grafica.2. Dada la función:

Hallar el dominio.3. Hallar el rango de la función:

4. Hallar el dominio, rango y grafica de la función:

5. Hallar el dominio de la función:

6) Para f(x) = 3x2 + 5x + 2 ; y g(x) = x - 1, obtener:a) (f + g) ( x ) =b) (f – g) ( x ) =c) (f * g) ( x ) =

d) =

e) (f g) =

7) Para ; y , encuentre:

a) ( f + g )(x) =

b) =

c) =

d) =

8. Hallar la inversa de la función:

9. Hallar la inversa de la función:

10. Encuentre la función inversa de f suponiendo que su dominio X es el intervalo [0, ∞) y f(x) = x2 + 2 para toda x en X.11. Halla la inversa de la función

12. Sean: Hallar la intersección del dominio de f con el rango de g.13. Si Hallar el valor de k, de modo que:

14. Hallar el rango de la función:

15. Sean:

Hallar la intersección del dominio de f con el rango de g.

FUNCIONES ESPECIALES

También llamadas trascendentes son:FUNCION SENOLa función seno es la función definida por: f(x)= sen x.Características de la función seno1. Dominio: IR, Recorrido: [-1, 1]2. El período de la función seno es 2 π.3. La función y=sen x es impar, ya que sen(-x)=-sen x, para todo x en IR.4. La gráfica de y=sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π. Para todo número entero n.5. El valor máximo de senx es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la función y=senx es 1.

FUNCION COSENOLa función coseno es la función definida por: f(x)= cos x.Características de la función coseno1. Dominio: IR, Recorrido: [-1, 1]2. Es una función periódica, y su período es 2 π.3. La función y=cosx es par, ya que cos(-x)=cos x, para todo x en IR.4. La gráfica de y=cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son:

para todo número entero n.5. El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud de la función y=cosx es 1.

F. Exponencial

Una función exponencial se define como:

Donde b es la base y la variable independiente aparece en el exponente. La forma de la gráfica de una función exponencial depende del valor de su base

La función es creciente La función es decreciente Su dominio son todos los números reales. Su alcance son todos los reales positivos. Todas pasan por los puntos y El eje de es la Asíntota Horizontal Si , entonces la gráfica de la función es

creciente. Si , entonces la gráfica de la función

es decreciente.

F. Logaritmo:La función logarítmica de x con base b está definida por:

El dominio de la función logarítmica es el conjunto de los números positivos, y su recorrido son los reales.

l En resumen, si b > 1– logb x es creciente – logb x es positiva si x >1, y negativa

si 0 < x < 1– logb x se va a infinito negativo segun

x se acerca a cero por la derecha

• Las funciones exponenciales también son inyectivas y tiene su inversa. Si y = bx ( a0 = 1) entonces la función inversa de ésta debería intercambiar la x y y de modo que x = by . Definiremos la inversa de la fórmula como:

y = logb x

Problemas

1. México tiene una población de 100 millones de personas aproximadamente, y se estima que la población será el doble en 21 años. Si la población continua creciendo a esa misma razón, ¿cuántos habitantes habrá en México dentro de 15 años, dentro de 3 años? (Respuestas: 164 millones, 110 millones)2. El isótopo radioactivo usado en el diagnostico de tumores malignos, tiene una vida media biológica de 46.5 horas. Si se comienza con 100 miligramos de este isótopo, ¿cuántos miligramos quedaran después de 24 horas, después de una semana? (Respuestas: 69 mg, 8 mg) 3. Si usted deposita $5,000 en una cuenta que paga 9% de interés diario, ¿cuánto dinero tendrá en su cuenta en 5 años? Redondee su respuesta a la centena más cercana. (Respuesta: $7,841) 4. Una colonia de hormigas se triplica cada semana. Si actualmente hay unas 8,000 hormigas, ¿cuántas semanas tomará para que hallan 100,000?5. El número de vatios v generado por las baterías de un satélite en órbita luego de d días está dado por la fórmula

¿En cuántos días tendremos una producción de 37 vatios?6. Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La dosis inicial es de 10 mg y la cantidad en el cuerpo t horas después está dada por

a) Calcule la cantidad del fármaco restante en el organismo 8 horas después de la ingestión inicial. b) ¿Qué porcentaje del medicamento que está aún en el organismo se elimina cada hora?

7. El trazador (o marcador) radiactivo 51Cr puede usarse para localizar la posición de la placenta de una mujer embarazada. A menudo se debe pedir esta sustancia a un laboratorio médico. Si se envían A0 unidades (en microcuries), entonces, debido al decrecimiento radiactivo, el número de unidades A(t) que quedan después de t días está dado por

a) Si se envían 35 unidades del trazador y este tarda 2 días en llegar, ¿de cuántas unidades se dispone para el análisis?

b) Si se necesitan 49 unidades para la prueba, ¿cuántas unidades se deben enviar?

8. Después que la televisión se introdujo en cierto país, la proporción de jefes de familia que poseían televisor t años después se encontró que estaba dado por la fórmula:

Encuentre el crecimiento T entre t=3 y t=6.