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La maison
Ecoled'
Ce que nous savons déjà, depuis l’an dernierQuelques compléments
Nature des vecteurs du planclasse de seconde
J.-M. Boucart
La maison d’école
Année scolaire 2005-2006
J.-M. Boucart Vecteurs du plan
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Ce que nous savons déjà, depuis l’an dernierQuelques compléments
Plan du cours
1 Ce que nous savons déjà, depuis l’an dernierDéfinition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
2 Quelques complémentsSoustraction des vecteursPropriétés de l’addition
J.-M. Boucart Vecteurs du plan
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Ce que nous savons déjà, depuis l’an dernierQuelques compléments
Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Qu’est-ce qu’un vecteur ?
DéfinitionUn vecteur est un objet mathématique composé
d’une direction,d’un sens sur cette direction,d’un nombre réel positif, sa norme.
Un vecteur n’est donc pas un ensemble de points. Sur une feuille depapier, il est invisible !
Il y a une exception à cette définition. . . nous la verrons plus loin.
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Qu’est-ce qu’un vecteur ?
DéfinitionUn vecteur est un objet mathématique composé
d’une direction,d’un sens sur cette direction,d’un nombre réel positif, sa norme.
Un vecteur n’est donc pas un ensemble de points. Sur une feuille depapier, il est invisible !
Il y a une exception à cette définition. . . nous la verrons plus loin.
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Qu’est-ce qu’un vecteur ?
DéfinitionUn vecteur est un objet mathématique composé
d’une direction,d’un sens sur cette direction,d’un nombre réel positif, sa norme.
Un vecteur n’est donc pas un ensemble de points. Sur une feuille depapier, il est invisible !
Il y a une exception à cette définition. . . nous la verrons plus loin.
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Mais. . . qu’est-ce qu’une direction ?
DéfinitionOn appelle direction le caractère qu’ont en commun plusieursdroites parallèles.
Puisque des droites parallèles ont en commun leur direction, celle-cipeut être déterminée par une seule droite. On évoquera donc
la direction de la droite (AB),la direction de la droite D.
RemarqueEn mathématique, le mot direction n’a pas la signification courante.
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Mais. . . qu’est-ce qu’une direction ?
DéfinitionOn appelle direction le caractère qu’ont en commun plusieursdroites parallèles.
Puisque des droites parallèles ont en commun leur direction, celle-cipeut être déterminée par une seule droite. On évoquera donc
la direction de la droite (AB),la direction de la droite D.
RemarqueEn mathématique, le mot direction n’a pas la signification courante.
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Mais. . . qu’est-ce qu’une direction ?
DéfinitionOn appelle direction le caractère qu’ont en commun plusieursdroites parallèles.
Puisque des droites parallèles ont en commun leur direction, celle-cipeut être déterminée par une seule droite. On évoquera donc
la direction de la droite (AB),la direction de la droite D.
RemarqueEn mathématique, le mot direction n’a pas la signification courante.
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Et le sens ?
On se contente de la signification courante : une droite peut êtreparcourue dans deux sens opposés.
Définition
Étant donnés deux points A et B distincts appartenant à la droiteD, on peut parcourir D en se déplaçant de A vers B (premier sens)ou en se déplaçant de B vers A (deuxième sens).
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Et le sens ?
On se contente de la signification courante : une droite peut êtreparcourue dans deux sens opposés.
Définition
Étant donnés deux points A et B distincts appartenant à la droiteD, on peut parcourir D en se déplaçant de A vers B (premier sens)ou en se déplaçant de B vers A (deuxième sens).
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Et la norme ?
C’est l’expression de la « grandeur » du vecteur.En général elle exprime une distance ou une mesure avec une unitéconnue.
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Notations des vecteurs
Un vecteur peut être écrit de plusieurs façons, selon ce qu’on saitde lui :
1re notationUn vecteur qui a :
la direction de (AB),le sens de A vers B,pour norme, la distance AB,
peut être noté :−−→AB.
2e notationUn vecteur qui est
déjà connu et défini,ou quelconque,ou un simple alias,
peut être nommé par une lettreflêchée :
−→V .
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Notation de la norme d’un vecteur
Notation
La norme d’un vecteur noté−−→AB se note ∥ −−→AB ∥.
La norme d’un vecteur noté−→V se note ∥ −→V ∥.
Lorsque le vecteur s’exprime à l’aide de points, sa norme aussi :
∥ −−→AB ∥=AB
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Représentation des vecteurs
Comme un vecteur est invisible, il est commode, pour fixer lesidées, de le représenter par une flèche :
qui a la direction du vecteurqui le sens du vecteurdont la longueur est la norme du vecteur
RemarqueLa flèche n’est pas le vecteur. Elle le représente. Elle peut êtreplacée n’importe où dans le plan, et autant de fois qu’on lesouhaite.
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Représentation des vecteurs
Comme un vecteur est invisible, il est commode, pour fixer lesidées, de le représenter par une flèche :
qui a la direction du vecteurqui le sens du vecteurdont la longueur est la norme du vecteur
RemarqueLa flèche n’est pas le vecteur. Elle le représente. Elle peut êtreplacée n’importe où dans le plan, et autant de fois qu’on lesouhaite.
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Enoncé de la relation
La relation de Chasles est en fait la définition de la somme de deuxvecteurs.
Définition
Étant donnés trois points quelconques du plan, A, B, et C , on a :
−−→AB +−−→
BC =−−→AC
RemarqueCette relation semble ne pas pouvoir s’appliquer pour exprimer−−→CH +−→
FA. Et pourtant. . .
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Enoncé de la relation
La relation de Chasles est en fait la définition de la somme de deuxvecteurs.
Définition
Étant donnés trois points quelconques du plan, A, B, et C , on a :
−−→AB +−−→
BC =−−→AC
RemarqueCette relation semble ne pas pouvoir s’appliquer pour exprimer−−→CH +−→
FA. Et pourtant. . .
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Détermination de la somme de deux vecteurs
A
B
C
D
E
F
G
H
IJ
K
Considérons un ensemble depoints dans le plan etdéterminons la somme
−−→CH +−→
FA :
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Détermination de la somme de deux vecteurs
A
B
C
D
E
F
G
H
IJ
K
Considérons un ensemble depoints dans le plan etdéterminons la somme
−−→CH+−→
FA :Représentons
−−→CH (en bleu)
Représentons−→FA (en vert)
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Détermination de la somme de deux vecteurs
A
B
C
D
E
F
G
H
IJ
K
Considérons un ensemble depoints dans le plan etdéterminons la somme
−−→CH+−→
FA :Représentons
−−→CH (en bleu)
Représentons−→FA (en vert)
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Détermination de la somme de deux vecteurs
A
B
C
D
E
F
G
H
IJ
K
Considérons un ensemble depoints dans le plan etdéterminons la somme
−−→CH+−→
FA :Représentons
−−→CH (en bleu)
Représentons−→FA (en vert)
La relation de Chasles permet dereprésenter
−−→CH +−→
FA (en noir).
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Détermination de la somme de deux vecteurs
A
B
C
D
E
F
G
H
IJ
K
Considérons un ensemble depoints dans le plan etdéterminons la somme
−−→CH +−→
FA :
Il apparait alors que
−−→CH +−→
FA=−→HJ =−−→
KD
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Vecteur nul
L’application aveugle de la relation de Chasles peut donner desrésultats surprenants :
−−→MP +−−→
PM =−−→MM
Dans un souci de cohérence on ajoute à l’ensemble des vecteurs, unvecteur particulier, sans direction, sans sens, de norme 0, et dontl’écriture est
−−→MM ou
−→PP ou
−→FF . . .
Ce vecteur est neutre dans l’addition :
−−→MP +−→
PP =−−→MP
On l’appelle le vecteur nul et on le note aussi−→0
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Vecteur nul
L’application aveugle de la relation de Chasles peut donner desrésultats surprenants :
−−→MP +−−→
PM =−−→MM
Dans un souci de cohérence on ajoute à l’ensemble des vecteurs, unvecteur particulier, sans direction, sans sens, de norme 0, et dontl’écriture est
−−→MM ou
−→PP ou
−→FF . . .
Ce vecteur est neutre dans l’addition :
−−→MP +−→
PP =−−→MP
On l’appelle le vecteur nul et on le note aussi−→0
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Vecteur nul
L’application aveugle de la relation de Chasles peut donner desrésultats surprenants :
−−→MP +−−→
PM =−−→MM
Dans un souci de cohérence on ajoute à l’ensemble des vecteurs, unvecteur particulier, sans direction, sans sens, de norme 0, et dontl’écriture est
−−→MM ou
−→PP ou
−→FF . . .
Ce vecteur est neutre dans l’addition :
−−→MP +−→
PP =−−→MP
On l’appelle le vecteur nul et on le note aussi−→0
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Vecteur nul
L’application aveugle de la relation de Chasles peut donner desrésultats surprenants :
−−→MP +−−→
PM =−−→MM
Dans un souci de cohérence on ajoute à l’ensemble des vecteurs, unvecteur particulier, sans direction, sans sens, de norme 0, et dontl’écriture est
−−→MM ou
−→PP ou
−→FF . . .
Ce vecteur est neutre dans l’addition :
−−→MP +−→
PP =−−→MP
On l’appelle le vecteur nul et on le note aussi−→0
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Vecteurs opposés
L’application rigoureuse de la relation de Chasles donne parfois unrésultat nul : −−→
MR +−−→RM =−−→
MM =−→0
Comme pour des nombres, on dit alors que−−→MR et
−−→RM sont des
vecteurs opposés.
Comme pour les nombres, on adopte la notation :−−→RM =−−−→MR
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Vecteurs opposés
L’application rigoureuse de la relation de Chasles donne parfois unrésultat nul : −−→
MR +−−→RM =−−→
MM =−→0
Comme pour des nombres, on dit alors que−−→MR et
−−→RM sont des
vecteurs opposés.
Comme pour les nombres, on adopte la notation :−−→RM =−−−→MR
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Vecteurs opposés
L’application rigoureuse de la relation de Chasles donne parfois unrésultat nul : −−→
MR +−−→RM =−−→
MM =−→0
Comme pour des nombres, on dit alors que−−→MR et
−−→RM sont des
vecteurs opposés.
Comme pour les nombres, on adopte la notation :−−→RM =−−−→MR
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Vecteurs et parallélogrammes
Théorème
Si−−→AB =−−→
DC alors ABCD est un parallélogramme.Si ABCD est un parallélogramme, alors
−−→AB =−−→
DC
A B
CD
RemarqueLe première affirmation, pour être vraie, nécessite qu’on appelleencore parallélogramme, une figure aux points alignés. C’est l’usage.
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Vecteurs et parallélogrammes
Théorème
Si−−→AB =−−→
DC alors ABCD est un parallélogramme.Si ABCD est un parallélogramme, alors
−−→AB =−−→
DC
A B
CD
RemarqueLe première affirmation, pour être vraie, nécessite qu’on appelleencore parallélogramme, une figure aux points alignés. C’est l’usage.
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Vecteurs et parallélogrammes
Théorème
Si−−→AB =−−→
DC alors ABCD est un parallélogramme.Si ABCD est un parallélogramme, alors
−−→AB =−−→
DC
A B
CD
RemarqueLe première affirmation, pour être vraie, nécessite qu’on appelleencore parallélogramme, une figure aux points alignés. C’est l’usage.
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Vecteurs et parallélogrammes
Théorème
Si−−→AB =−−→
DC alors ABCD est un parallélogramme.Si ABCD est un parallélogramme, alors
−−→AB =−−→
DC
A BCD
RemarqueLe première affirmation, pour être vraie, nécessite qu’on appelleencore parallélogramme, une figure aux points alignés. C’est l’usage.
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Vecteurs et parallélogrammes
De la propriété précédente et des propriétés des parallélogrammeson déduit :
Théorème
Si−−→AB =−−→
DC alors [AC ] et [BD] ont même milieu.Si [AC ] et [BD] ont même milieu, alors
−−→AB =−−→
DC.
On peut aussi apporter la preuve de la propriété suivante :
Théorème
Si−−→AB +−−→
AC =−−→AK alors ABKC est un parallélogramme.
Si ABKC est un parallélogramme alors−−→AB +−−→
AC =−−→AK.
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Vecteurs et parallélogrammes
De la propriété précédente et des propriétés des parallélogrammeson déduit :
Théorème
Si−−→AB =−−→
DC alors [AC ] et [BD] ont même milieu.Si [AC ] et [BD] ont même milieu, alors
−−→AB =−−→
DC.
On peut aussi apporter la preuve de la propriété suivante :
Théorème
Si−−→AB +−−→
AC =−−→AK alors ABKC est un parallélogramme.
Si ABKC est un parallélogramme alors−−→AB +−−→
AC =−−→AK.
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Définition d’un vecteurRelation de ChaslesVecteur nul et opposésPropriétés
Vecteurs et milieu
ThéorèmeSi M est le milieu de [AB] alors :−−→
AM =−−→MB−−→
MA+−−→MB =−→
0
Réciproquement, on peut énoncer :
Théorème
Si−−→MA+−−→
MB =−→0 alors M est le milieu de [AB].
et
Théorème
Si−−→AM =−−→
MB alors M est le milieu de [AB].
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Soustraction des vecteursPropriétés de l’addition
Définition de la soustraction
Au collège, on a défini la soustraction par la formule : « soustraire,c’est ajouter l’opposé ». On garde le même principe pour lesvecteurs et l’on énonce :
Définition
La différence−−→AB −−−→
CD est la somme−−→AB +−−→
DC
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Soustraction des vecteursPropriétés de l’addition
Commutativité
Théorème
Pour tous vecteurs−→V et
−→W quelconques :
−→V +−→
W =−→W +−→
V
−→V
−→W
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Soustraction des vecteursPropriétés de l’addition
Commutativité
Théorème
Pour tous vecteurs−→V et
−→W quelconques :
−→V +−→
W =−→W +−→
V
−→V
−→W
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Soustraction des vecteursPropriétés de l’addition
Associativité
Théorème
Pour tous vecteurs−→U ,
−→V et
−→W quelconques :
(−→U +−→
V )+−→W =−→
U + (−→V +−→
W )
−→U
−→V
−→W
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Soustraction des vecteursPropriétés de l’addition
Associativité
Théorème
Pour tous vecteurs−→U ,
−→V et
−→W quelconques :
(−→U +−→
V )+−→W =−→
U + (−→V +−→
W )
−→U
−→V
−→W
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Associativité
Théorème
Pour tous vecteurs−→U ,
−→V et
−→W quelconques :
(−→U +−→
V )+−→W =−→
U + (−→V +−→
W )
−→U
−→V
−→W
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Soustraction des vecteursPropriétés de l’addition
Conclusion
Les propriétés de l’addition et de la soustraction des vecteurs sonttrès proches des propriétés de l’addition et de la soustraction desnombres.Le calcul des sommes de vecteurs ressemble donc à celui desnombres.Attention cependant : il n’y a pas de multiplication ni de division devecteurs.
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Annexe Références
Ouvrages à consulter I
Manuel pages 288 et 289Déclic maths - seconde.Hachette, 2000
Mathématiquespages 170 à 174Classe de secondeBréal, 2004
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