Classi di grandezze

Misura e proporzionalità

Si dice classe di grandezze omogenee ogni insieme tale che due suoi qualsiasi elementi possano essere “confrontati” e “sommati”. 

La somma di due grandezze omogenee gode delle proprietà associativa e commutativa ed esiste l’elemento neutro

Esempi di classi di grandezze

Segmenti Angoli Archi di una stessa circonferenza Superfici piane

Multipli e sottomultipli

Una grandezza A si dice multipla della grandezza B secondo il numero naturale m>0 se:

A =B+B+….+B  (m addendi) e scriveremo A= m B  

ovvero diremo che B è sottomultiplo di A secondo m

e scriveremo B= (1/m) A.

Grandezze commensurabili

Due grandezze omogenee si dicono commensurabili quando ammettono una grandezza sottomultipla comune, cioè

(1/n) A= (1/m)B e scriveremo A=(n/m)B. Il numero n/m viene chiamato misura di A rispetto a B  Il rapporto tra le grandezze commensurabili A/B=A:B=n/m è un numero razionale

Grandezzeincommensurabili

Esistono grandezze incommensurabili, ad esempio il lato e la diagonale di un quadrato.

Il rapporto tra grandezze incommensurabili è un numero irrazionale

Il rapporto di due grandezze omogenee è un numero reale (positivo);

esso è un numero razionale nel caso di grandezze commensurabili,

irrazionale nel caso di grandezze incommensurabili.

MISURA

Date due grandezze omogenee A ed U, la misura di A rispetto ad U è il rapporto a=A/U (razionale o irrazionale a seconda che le grandezze siano commensurabili o meno).

Si scrive A=aU U è detta unità di misura

Si dimostrano le seguenti proprietà:

Siano A e B ed U tre grandezze omogenee, e siano a e b le misure di A e B rispetto ad U. In simboli: A=aU, B=bU

La misura della grandezza somma A+B di A e di B è uguale alla somma delle misure di A e B. In simboli: A+B=(a+b)U

Se A ≤ B allora a ≤ b e se A ≈ B allora a= b e viceversa

Il rapporto di due grandezze omogenee è uguale al rapporto delle rispettive misure. In simboli: A/B=a/b

Data una grandezza U ed un numero positivo a esiste una ed una sola grandezza A ,omogenea con U, tale che il rapporto di A rispetto ad U sia uguale ad a

Nomi delle misure di alcune grandezze:

Grandezza Misura Unità

Segmento Lunghezza m

Angolo Ampiezza Grado

Superficie Area m2

Estensione del solido

Volume m3

Grandezze proporzionali Quattro grandezze ordinate A,B,C,D, le prime

due omogenee tra loro e le ultime due omogenee fra loro (con B e D non nulle) formano una  proporzione se il rapporto fra A e B è uguale al rapporto fra C e D. A:B=C:D

B e C si definiscono medi, A e D sono gli estremi, A e C sono gli antecedenti, B e D sono i conseguenti. D è la quarta proporzionale dopo A, B, C. La proporzione si dice continua se i medi sono

uguali, A:B=B:C e C si dice terza proporzionale dopo A e B.

Teorema   fondamentale sulle

proporzioni fra grandezze. Quattro grandezze, a due a due

omogenee, formano una proporzione se e solo se sono in proporzione le rispettive misure.

Questo teorema permette di estendere alle proporzioni tra grandezze, le proprietà delle proporzioni numeriche: (invertire, comporre, scomporre, permutare)

Classi di grandezze direttamente proporzionali

Definizione. Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca si dicono direttamente proporzionali quando il rapporto di due  grandezze A e B qualunque della prima classe è uguale al rapporto delle due grandezze corrispondenti A’ e B’ della seconda classe.

A:B=A’:B’

Criterio generale di proporzionalità

Condizione necessaria e sufficiente affinché due insiemi di grandezze in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che:

1. a grandezze uguali del primo insieme corrispondano grandezze uguali del secondo

2. alla somma di due o più grandezze del primo insieme corrisponda la somma delle corrispondenti grandezze del secondo.

Esempio di classi di grandezze direttamente proporzionali

È data una classe  A di segmenti a,b,c…  costruiamo la classe A’ di rettangoli di stessa altezza h e di base  rispettivamente a,b,c…  

Tra le classi si stabilisce la corrispondenza che ad ogni segmento della classe A associa il rettangolo con base il segmento fissato e altezza h. Tale corrispondenza risulta biunivoca.  

Inoltre se due segmenti sono uguali, saranno uguali anche i rettangoli corrispondenti

Se il segmento b=a+c, anche il rettangolo corrispondente sarà somma dei rettangoli corrispondenti.

Per il criterio generale di proporzionalità i rettangoli di altezza fissata h sono proporzionali alle rispettive basi.

Esempio di classi di grandezze direttamente proporzionali

Archi e angoli al centro di una circonferenza sono insiemi di grandezze proporzionali, infatti:

1. ad angoli al centro congruenti corrispondono archi congruenti

2. alla somma di due angoli al centro corrisponde la somma dei rispettivi archi

TEOREMA DI TALETE

Un fascio di rette parallele determina su due trasversali classi di segmenti direttamente proporzionali.

AB:BC=A’B’:B’C’AC:BC=A’C’:B’C’Ecc…

Misura dell’area di un rettangolo

Si vuole calcolare l’area di un rettangolo R di base B=bU e altezza H =hU.

Si costruisce un rettangolo R’ di base U e altezza H Si costruisce un quadrato Q di lato U e lo si prende

come unità di misura delle superfici.

Misura dell’area di un rettangolo

I rettangoli R ed R’ di uguale altezza sono proporzionali alle rispettive basi:

R:R’=B:U e passando alle misure: A(R):A(R’)=b:1 Per la prop. delle proporzioni A(R)=A(R’)b

I rettangoli R’ e Q di uguale base sono proporzionali alle rispettive altezze:

R’:Q=H:U e passando alle misure: A(R’):1=h:1 Per la prop. delle proporzioni A(R’)=h

Sostituendo nella prima relazione: A(R)=bhChe è la formula per il calcolo dell’area del

rettangolo.

Ricordando i teoremi sull’equivalenzasi ricavano le formule delle aree:

Figura Area

parallelogramma b·h

quadrato l2

triangolo ½b·h

trapezio ½(B+b)·h

Rombo Quadrilatero con diagonali perpendicolari

½D·d

Poligono circoscrittoPoligono regolare

½·2p·a=p·a (p semiperimetro, a

apotema)