clave-114-5-V-2-00-2013

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERA

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA

CLAVE-114-5-V-2-00-2013

CURSO: Matemtica Intermedia III

SEMESTRE: Segundo

CDIGO DEL CURSO: 114

TIPO DE EXAMEN: Primera Retrasada

FECHA DE EXAMEN: 20 de noviembre de 2013

NOMBRE DE LA PERSONA QUE

RESOLVI EL EXAMEN: Elda Magally Caldern Motta

NOMBRE DE LA PERSONA QUE

REVIS EL EXAMEN: Inga. Helen Roco Ramrez Lucas

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA PRIMERA RETRASADA FACULTAD DE INGENIERA 20 DE NOVIEMBRE DE 2013 MATEMTICA INTERMEDIA 3 JORNADA VESPERTINA

TEMA No. 1 (20 puntos)

Un termmetro se lleva del interior de una habitacin, al exterior donde la

temperatura del aire es de 5F. Despus de un minuto, el termmetro indica 55F,

5 minutos despus marca 30F. Cul era la temperatura del interior?


Un tanque que tiene 500 galones de agua pura le entra salmuera con 2 libras de sal

por galn a razn de 5 gal / min. El tanque est bien mezclado y de l sale la solucin

con la misma rapidez. Determine la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el

tanque en cualquier instante t. Cul es la concentracin de la solucin en el

tanque a los 5 minutos?

TEMA No.3 (20 puntos)

Se fija un contrapeso de 24 lb al extremo de un resorte. Si la frecuencia del

movimiento armnico simple es 2/ oscilaciones por segundo. Cul es la

constante k del resorte? Cul es la frecuencia del movimiento armnico simple si

la masa original se reemplaza con una de 80 kg?


Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

a. ( + ) =

b. /

+ / =

c.

+ =

d.

= ( + )

SOLUCIN DEL EXAMEN

TEMA 1

Un termmetro se lleva del interior de una habitacin, al exterior donde la

temperatura del aire es de 5F. Despus de un minuto, el termmetro indica 55F,

5 minutos despus marca 30F. Cul era la temperatura del interior?

Solucin: Datos:

T (F) ? 55 30

t (min) 0 1 5

Temperatura ambiente = Ta = 5F Ecuacin diferencial que modela problema de temperaturas:

= ( )

= ( 5)

Resolviendo por variables separables:

( 5)=

ln| 5| = +

5 = +

() = +

Sustituyendo condiciones del problema:

t = 1 min T = 55F

55 = + 5

t = 5 min T = 30F

30 = 5 + 5

Igualando (1) y (2) para encontrar el valor de r:

50

=

25

5

4 =1

2

= (

)

= .

Sustituyendo r en (1):

=50

0.173287

= .

Ecuacin que modela la temperatura del termmetro en cualquier instante t:

() = . . + Encontrando temperatura del interior (instante t = 0):

(0) = 59.460.173287(0) + 5

(1) =50

(2) =

25

5

() = .

(2)

TEMA 2

Un tanque que tiene 500 galones de agua pura le entra salmuera con 2 libras de sal

por galn a razn de 5 gal / min. El tanque est bien mezclado y de l sale la solucin

con la misma rapidez. Determine la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el

tanque en cualquier instante t. Cul es la concentracin de la solucin en el

tanque a los 5 minutos?

Solucin: Datos: Vo = 500 gal b = 2 lb / gal e = f = 5 gal / min A (0) = 0 El tanque inicialmente contiene agua pura Ecuacin diferencial para el modelado de mezclas:

=

0 + ( )

Sustituyendo datos:

= (2)(5)

5

500 + (5 5)

= 10

100

+

100= 10

Resolviendo como ecuacin diferencial lineal:

() =

=

=

100 = 10

100

100 = 1000/100 +

() = 1000 + /100 Sustituyendo condicin inicial del problema:

t = 0 min A = 0 lb de sal

0 = 1000 + 0/100

= Ecuacin que modela la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante t:

Ecuacin que modela la concentracin de la solucin en el tanque:

() =()

=

1000 1000/100

500

() = 2 2/100

Concentracin de la solucin a los 5 minutos:

(5) = 2 25/100

() = /

() = . /

TEMA 3

Se fija un contrapeso de 24 lb al extremo de un resorte. Si la frecuencia del

movimiento armnico simple es 2/ oscilaciones por segundo. Cul es la

constante k del resorte? Cul es la frecuencia del movimiento armnico simple si

la masa original se reemplaza con una de 80 kg?

Solucin: Datos: Peso 1 = 24 lb f = 2/ oscilaciones por segundo Peso 2 = 80 kg Encontrando la masa 1 fijada al resorte: Contrapeso: W1 = 24 lb

M1 = W1 / g = 24 / 32 m = 3 / 4 slug Frecuencia movimiento armnico simple:

=

=

2=

2

Sustituyendo datos:

2

=

3/4

2

Constante del resorte:

Conversin de la masa de 80 kg a slugs:

m2 = 80 kg * 2.2 / 32 = 5.5 slug

Encontrando frecuencia del movimiento con la masa de 80 kg:

=12

5.52

= /

= . /

TEMA 4

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

a. ( + ) =

Solucin:

Sean:

= 10 6 + 3

= 2 Entonces:

= 6

= 0

Resolver como ecuacin diferencial reducible a exacta.

Encontrando el factor integrante:

() =

=

0 (6)

2= 3

= () = 3 = 3

Multiplicando la ecuacin por el factor integrante:

(103 63 + 1) 23 = 0

= 63

= 63

=

Integrando parcialmente a M:

(103 63 + 1) =10

33 23 +

Integrando parcialmente a N:

(23) = 23

Solucin de la ecuacin diferencial:

b. /

+ / =

Solucin:

Dividiendo ambos lados de la igualdad entre el trmino 1/2:

+ = 1/2

Resolver como ecuacin lineal de Bernoulli.

Haciendo la sustitucin:

= 1(12) = 3/2

= 2/3

=2

31/3

+ =

2

31/3

+ 2/3 = 1/3

Dividiendo ambos lados de la igualdad entre 2

31/3:

+

3

2 =

3

2

Encontrando el Factor Integrante:

() =3

2

= () = 32 = 3/2

Resolviendo la ecuacin diferencial lineal:

3/2 = 3

23/2

3/2 = 3/2 +

= 1 + 3/2

Regresando a la variable y:

3/2 = 1 + 3/2


= ( + /)

/

c.

+ =

Solucin:

Multiplicando ambos lados de la ecuacin por el diferencial dx:

2 + 2 =

Agrupando trminos semejantes:

+ (2 + 2 ) = 0

Sean:

(, ) =

(, ) = 2 + 2

Entonces:

(, ) = = (, )

(, ) = 22 + 22 = (2 + 2 ) = (, )

Por lo tanto f y g son funciones homogneas de grado uno.

Resolviendo como ecuacin diferencial homognea:

= = +

Sustituyendo:

( + ) + (2 + 22 ) = 0

2 + 2 + 22 = 0

2 = 2 + 22

2 = 1 + 2

Resolver con variables separables:

1 + 2=

Sustitucin trigonomtrica para la integral del lado izquierdo:

= tan = sec2

sec = 1 + 2

Resolviendo las integrales:

sec2

sec =

sec = ln|| + ln||

ln|sec + tan | = ln|| + ln||

ln|sec + tan | = ln||

sec + tan =

Regresando a la variable v:

1 + 2 + =

Regresando a las variables originales x e y:

1 + (

)

2

+

=


d.

= ( + )

Solucin:

Haciendo la sustitucin:

= +

= 1 +

=

1

Sustituyendo:

1 = sin()

+ +

=

Resolviendo por variables separables:

sin() + 1=

sin() + 1

sin() 1

sin() 1= +

sin() 1

sin2() 1 = +

sin() 1

cos2 = +

sin()

cos2 + sec2 = +

1

cos + tan = +

Regresando a las variables originales x e y:

1

cos( + )+ tan( + ) = +


( + ) ( + ) = +

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