Càlcul de funcions de diverses variables - UAB Barcelonamat.uab.cat/~davidmp/docencia/calcul2.pdf · I. C alcul Diferencial 1 L’espai euclidi a Rn Producte escalar i producte vectorial

Calcul de funcions de diverses variables

David Marın

13 d’abril de 2009

David Marın Calcul de funcions de diverses variables

I. Calcul Diferencial

1 L’espai euclidia Rn

Producte escalar i producte vectorialRectes i plans

2 Continuitat i diferenciabilitatDominis i continuıtatDerivada direccional i gradient

3 Regla de la cadena

4 Maxims i mınimsPunts crıtics i extrems localsExtrems condicionatsExtrems absoluts


L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Operacions amb vectors Rectes i plans

Producte escalar i producte vectorial

Si x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) son vectors de Rn definim

producte escalar x · y = x1y1 + · · ·+ xnyn ∈ R

norma ‖x‖ =√

x · x =√

x21 + · · ·+ x2

n

distancia d(x , y) = ‖y − x‖ =√

(y1 − x1)2 + · · ·+ (yn − xn)2

cosinus de l’angle cos(x , y) = x ·y‖x‖‖y‖

perpendicularitat x ⊥ y ⇔ x · y = 0

Si v1 = (x1, y1, z1) i v2 = (x2, y2, z2) son vectors de R3 definim elseu producte vectorial mitjancant

v1 × v2 =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx1 y1 z1

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣ = (y1z2 − y2z1, x2z1 − x1z2, x1y2 − x2y1).

que te direccio perpendicular a v1 i v2, sentit donat per la regla del“tornavis” i ‖v1 × v2‖ es l’area del paral.lelogram que determinen.



Equacions de rectes i plans

Al pla R2: La recta passant pel punt (a, b) amb vectordirector (u, v) te equacio parametrica

(x , y) = (a, b) + t (u, v), t ∈ R

i equacio cartesiana (implıcita)

x − a

u=

y − b

v⇐⇒ Ax + By + C = 0.

A l’espai R3: La recta passant pel punt (a, b, c) amb vectordirector (u, v ,w) te equacio parametrica

(x , y , z) = (a, b, c) + t (u, v ,w), t ∈ R


x − a

u=

y − b

v=

z − c

w.

A l’espai R3: El pla passant pel punt (a, b, c) amb vectorsdirectors (u, v ,w) i (u′, v ′,w ′) te equacio parametrica

(x , y , z) = (a, b, c) + t (u, v ,w) + s (u′, v ′,w ′), t, s ∈ R

i equacio cartesiana (implıcita)∣∣∣∣∣∣x − a y − b z − c

u v wu′ v ′ w ′

∣∣∣∣∣∣ = Ax + By + Cz + D = 0.

Observem que (A,B,C ) = (u, v ,w)× (u′, v ′,w ′).



Equacions de rectes i plansA l’espai R3: La recta passant pel punt (a, b, c) amb vectordirector (u, v ,w) te equacio parametrica

(x , y , z) = (a, b, c) + t (u, v ,w), t ∈ R


x − a

u=

y − b

v=

z − c

w.

A l’espai R3: El pla passant pel punt (a, b, c) amb vectorsdirectors (u, v ,w) i (u′, v ′,w ′) te equacio parametrica

(x , y , z) = (a, b, c) + t (u, v ,w) + s (u′, v ′,w ′), t, s ∈ R

i equacio cartesiana (implıcita)∣∣∣∣∣∣x − a y − b z − c

u v wu′ v ′ w ′

∣∣∣∣∣∣ = Ax + By + Cz + D = 0.

Observem que (A,B,C ) = (u, v ,w)× (u′, v ′,w ′).


L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Dominis i continuıtat Derivada direccional i gradient

Continuıtat i diferenciabilitat

Donada una funcio f : D ⊂ Rn → R definim les nocions seguents:

El domini D de f com el subconjunt dels x ∈ Rn on laformula que defineix f (x) te sentit.El grafic de f com

(x , z) ∈ Rn+1 : x = (x1, . . . , xn) ∈ D ⊂ Rn, z = f (x) ⊂ Rn+1.

Per cada c ∈ R considerem el conjunt de nivell c de f :

f −1(c) = (x1, . . . , xn) ∈ D : f (x1, . . . , xn) = c ⊂ Rn.

La continuıtat de f en un punt a = (a1, . . . , an) ∈ D vecaracteritzada pel fet que lim

x→af (x) = f (a).

Les propietats basiques de les funcions contınues son:Suma, resta, producte, divisio (fora d’on s’anul.li eldenominador) i composicio de funcions contınues es contınua.Les funcions elementals d’una variable ex , log x , sin x , cos x , . . .son contınues en el seu domini.Les funcions coordenades xi : Rn → R son contınues.

Teorema: Tota funcio contınua definida en un conjuntcompacte (tancat i acotat )





El domini D de f com el subconjunt dels x ∈ Rn on laformula que defineix f (x) te sentit.

El grafic de f com



f −1(c) = (x1, . . . , xn) ∈ D : f (x1, . . . , xn) = c ⊂ Rn.


x→af (x) = f (a).

Teorema: Tota funcio contınua definida en un conjuntcompacte (tancat : que conte tota la seva vora i acotat )






El grafic de f com



f −1(c) = (x1, . . . , xn) ∈ D : f (x1, . . . , xn) = c ⊂ Rn.


x→af (x) = f (a).

Teorema: Tota funcio contınua definida en un conjuntcompacte (tancat i acotat : que esta contingut en una bolade radi prou gran)






El grafic de f com



f −1(c) = (x1, . . . , xn) ∈ D : f (x1, . . . , xn) = c ⊂ Rn.


x→af (x) = f (a).

Teorema: Tota funcio contınua definida en un conjuntcompacte (tancat i acotat ) te maxim i mınim absoluts.



Derivada direccional

Sigui f : D ⊂ Rn → R una funcio, a ∈ D un punt i ~w un vectorunitari (‖~w‖ = 1). Si la funcio d’una variable t 7→ f (a + t~w) esderivable respecte de t aleshores definim la derivada direccional def en el punt a segons la direccio ~w com

(D~w f )(a) =d

dt

∣∣∣t=0

f (a + t~w)

la pendent de la recta tangent de f en el punt a en la direccio ~w .

Definicio: Si ~wi = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) aleshores D ~wif = ∂f

∂xi

s’anomena derivada parcial de f respecte de xi i es calcula derivantf respecte de xi mantenint totes les altres variables constants.

Definicio: Una funcio f es diu diferenciable en el punt a quanexisteixen totes les rectes tangents de f en a en qualsevol direccio iformen un pla, anomenat el pla tangent de f en a, d’equacio:

z = f (a) +∂f

∂x1(a)(x1 − a1) + · · ·+ ∂f

∂xn(a)(xn − an).



Definicio del gradient

Definicio: Si f te derivades parcials en un punt a aleshores definimel seu vector gradient en a com

(∇f )(a) =

(∂f

∂x1(a), . . . ,

∂f

∂xn(a)

).

Teorema:

Existeixen totes lesderivades parcials ison funcions contınues

⇒ f es diferenciable⇒ Existeix ∇f

Regla de la cadena (1):Si α : I ⊂ R→ C es una parametritzacio diferenciable d’una corbaC ⊂ D ⊂ Rn i f : D → R es una funcio diferenciable aleshores

d

dtf (α(t)) =

∂f

∂x1(α(t)) x ′1(t) + · · ·+ ∂f

∂xn(α(t)) x ′n(t)

= (∇f )(α(t)) · α′(t).



Interpretacio del gradient

Proposicio: Si f : D ⊂ Rn → R es una funcio diferenciable,a ∈ D i ~w ∈ Rn es un vector unitari (‖~w‖ = 1) aleshores

(D~w f )(a) = (∇f )(a) · ~w = ‖(∇f )(a)‖ cos θ,

on θ es l’angle que forma ~w amb el vector gradient en a.

Proposicio: El vector gradient (∇f )(a) determina la direcciode maxima variacio de f en a (ja que cos θ maxim ⇔ θ = 0).

Proposicio: El vector gradient (∇f )(a) es perpendicular alconjunt de nivell (c = f (a)) de f que passa per a.

Proposicio: Les equacions del pla tangent i recta normal delconjunt de nivell de f en el punt a son:

pla tangent (∇f )(a) · (x − a) = 0:

∂f

∂x1(a) (x1 − a1) + · · ·+ ∂f

∂xn(a) (xn − an) = 0

recta normal x = a + λ∇f (a), variant λ ∈ R.


L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems

Aplicacions diferenciables i regla de la cadena

Definicio: Una aplicacio

f : D ⊂ Rn −→ Rm

(x1, . . . , xn) 7−→ (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))

es diferenciable si cada funcio fi : D ⊂ Rn → R ho es.

Regla de la cadena: derivada d’una composicioSi f : Rn → R i g : Rm → Rn aleshores F = f g : Rm → R escalcula substituint les variables xi de f (x1, . . . , xn) per les formulesxi = gi (u1, . . . , um) i la regla de la cadena afirma que

∂F

∂ui(u0) =

∂f

∂x1(x0)

∂g1

∂ui(u0) + · · ·+ ∂f

∂xn(x0)

∂gn

∂ui(u0),

on u0 = (u01 , . . . , u

0m) i x0 = g(u0) = (x0

1 , . . . , x0n ).



Exemple d’aplicacio de la regla de la cadena.

f (x , y) = x3y + sin(xy), g(u, v) = (x(u, v), y(u, v)),

x(u, v) = ueu2+v2, y(u, v) = cos(v2) sin(u + v2),

F (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) =

= u3e3(u2+v2) cos(v2) sin(u + v2) + sin(ueu2+v2cos(v2) sin(u + v2)).

∂F∂u (0,

√π

2 ) = ?

g(0,

√π

2) = (0 e(0+π/4), cos(π/4) sin(0 + π/4)) = (0,

1

2).






F (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) =


∂F∂u (0,

√π

2 ) = ∂f∂x (0, 1

2 ) ∂x∂u (0,

√π

2 ) + ∂f∂y (0, 1

2 ) ∂y∂u (0,

√π

2 ).

g(0,

√π

2) = (0 e(0+π/4), cos(π/4) sin(0 + π/4)) = (0,

1

2).

∂f∂x = 3x2y + cos(xy) y ∂f

∂x (0, 12 ) = 0 + cos(0) 1

2 = 12

∂f∂y = x3 + cos(xy) x ∂f

∂y (0, 12 ) = 0 + cos(0) 0 = 0

∂x∂u = eu2+v2

+ ueu2+v22u ∂x

∂u (0,√π

2 ) = eπ4 + 0 = e

π4

∂y∂u = cos(v2) cos(u + v2) ∂y

∂u (0,√π

2 ) = cos(π4 ) cos(π4 ) = 12






F (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) =


∂F∂u (0,

√π

2 ) = ∂f∂x (0, 1

2 ) ∂x∂u (0,

√π

2 ) + ∂f∂y (0, 1

2 ) ∂y∂u (0,

√π

2 ).

= 12 · e

π4 + 0 · 1

2 = eπ4

2 .

∂f∂x = 3x2y + cos(xy) y ∂f

∂x (0, 12 ) = 0 + cos(0) 1

2 = 12

∂f∂y = x3 + cos(xy) x ∂f

∂y (0, 12 ) = 0 + cos(0) 0 = 0

∂x∂u = eu2+v2

+ ueu2+v22u ∂x

∂u (0,√π

2 ) = eπ4 + 0 = e

π4

∂y∂u = cos(v2) cos(u + v2) ∂y

∂u (0,√π

2 ) = cos(π4 ) cos(π4 ) = 12



Regla de la cadena (formulacio matricial)

Definim la matriu diferencial d’una aplicacio diferenciablef : Rn → Rm en un punt a com

Df (a) =

(∇f1)(a)...

(∇fm)(a)

=

∂f1∂x1

(a) · · · ∂f1∂xn

(a)...

. . ....

∂fm∂x1

(a) · · · ∂fm∂xn

(a)

Regla de la cadena: Si g : Rp → Rn i f : Rn → Rm son aplicacionsdiferenciables aleshores la composicio

h := f g : (t1, . . . , tp) 7→ f (g1(t1, . . . , tp), . . . , gn(t1, . . . , tp))

tambe es diferenciable i la seva matriu diferencial s’obte fent elproducte de matrius diferencials Dh(a) = Df (g(a)) · Dg(a):

Dh(a) =

∂f1∂x1

(g(a)) · · · ∂f1∂xn

(g(a))...

. . ....

∂fm∂x1

(g(a)) · · · ∂fm∂xn

(g(a))

∂g1∂t1

(a) · · · ∂g1∂tp

(a)...

. . ....

∂gn

∂t1(a) · · · ∂gn

∂tp(a)



Interpretacio de la matriu diferencial

Recordem que si f : I ⊂ R→ R es una funcio diferenciablealeshores f (x + ∆x) ≈ f (x) + f ′(x)∆x si ∆x ≈ 0. Si dxdenota un increment infinitesimal de la variable x aleshores eshabitual reescriure l’aproximacio anterior com una igualtat

f (x + dx) = f (x) + df (x), on df (x) = f ′(x) dx .

Si f : D ⊂ Rn → R es una funcio diferenciable aleshores

f (x1 + dx1, . . . , xn + dxn) = f (x1, . . . , xn) + df (x),

on df (x) es un increment infinitesimal de f , quantitat escalarcalculada a partir del vector d’increments ~dx = (dx1, . . . , dxn)mitjancant df (x) = (∇f )(x) · d~x .

Si f : D ⊂ Rn → Rm es una aplicacio diferenciable llavorsf (x + ~dx) = f (x) + df (x), on df (x) es l’increment vectorialinfinitesimal de f calculat per df (x) = Df (x) · ~dx .


L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Extrems locals Extrems condicionats Extrems absoluts

Punts crıtics i extrems locals

Definicio: Un punt crıtic a ∈ D d’una funcio diferenciablef : D ⊂ Rn → R es aquell que satisfa el sistema d’equacions

(∇f )(a) = ~0 ⇐⇒

∂f∂x1

(a) = 0...

∂f∂xn

(a) = 0

Observacio: Si a no es un punt crıtic de f aleshores (∇f )(a) ensproporciona la direccio en la qual f augmenta (o disminueix) mesen el punt a. En particular, si a no es un punt crıtic de f llavors nopot ser un maxim o un mınim.

Consequencia: Els punts crıtics de f son els candidats a extremslocals (tambe anomenats relatius) de f .



Derivades parcials segones

Un punt crıtic a d’una funcio d’una variable f : R→ R es unmaxim (resp. mınim) quan f ′′(a) < 0 (resp. f ′′(a) > 0).

Definicio: La derivada parcial segona d’una funcio f : D ⊂ Rn → R∂2f∂xi∂xj

= ∂∂xi

∂f∂xj

es calcula fent la derivada parcial de f primer

respecte de xj i despres respecte xi .

Teorema:

Existeixen totes les derivades parcialssegones de f i son funcions contınues

=⇒ ∂2f

∂xi∂xj=

∂2f

∂xj∂xi

Definicio: La matriu hessiana de f en un punt a ve donada per

H(f )(a) =

∂2f∂x2

1(a) · · · ∂2f

∂xn∂x1(a)

.... . .

...∂2f

∂x1∂xn(a) · · · ∂2f

∂x2n

(a)

i es simetrica respecte de la diagonal principal.



Formula de Taylor d’ordre 2

El pla tangent d’una funcio diferenciable f : D ⊂ Rn → R enun punt a venia donat per l’equacio z = f (a) + Df (a)(x − a)que es l’aproximacio lineal (ordre 1) de f en el punt a.

Si a es un punt crıtic de f aleshores Df (a) = (∇f )(a) = 0 il’aproximacio d’ordre 1 de f en a es constant.

L’aproximacio d’ordre 2 ve donada per la formula de Taylor:

f (x) = f (a) + Df (a)(x − a) +1

2D2(f )(a)(x − a)2 + · · ·

on D2(f )(a)(x − a)2 es un valor escalar que es calcula fent

(x1−a1 · · · xn−an)

∂2f∂x2

1(a) · · · ∂2f

∂xn∂x1(a)

.... . .

...∂2f

∂x1∂xn(a) · · · ∂2f

∂x2n

(a)

︸︷︷︸

H(f )(a)

x1 − a1...

xn − an



Criteri del hessia

Definicio: Una matriu H quadrada n × n i simetrica es diu definidapositiva (respectivament definida negativa) si per tot vector no nul~v = (v1, . . . , vn) 6= ~0 es verifica la desigualtat

(v1 · · · vn) H

v1...vn

> 0 (respectivament < 0).

Teorema: Sigui a un punt crıtic d’una funcio diferenciable f .

Si H(f )(a) es definida positiva aleshores el punt a es unmınim relatiu de f .

Si H(f )(a) es definida negativa aleshores el punt a es unmaxim relatiu de f .

Si H(f )(a) no es definida (> 0 ni < 0) i det(H(f )(a)) 6= 0aleshores a es un punt de sella de f (hi ha direccions passantper a en les quals f augmenta i d’altres en que disminueix).



Teorema de Sylvester

Definicio: Donada una matriu quadrada simetrica

H =

h11 h12 · · · h1n

h21 h22 · · · h2n...

.... . .

...hn1 hn2 · · · hnn

definim els seus menors principals m1 = h11,m2 =

∣∣∣∣ h11 h12

h21 h22

∣∣∣∣ , . . .. . . ,mk =

∣∣∣∣∣∣∣h11 · · · hkk

.... . .

...hk1 · · · hkk

∣∣∣∣∣∣∣ , . . . ,mn = det(H).

Teorema: Sigui H una matriu quadrada simetrica.

H es definida positiva ⇔ m1 > 0,m2 > 0, . . . ,mn > 0.

H es definida negativa ⇔ m1 < 0,m2 > 0,m3 < 0, . . .



Extrems condicionats

Situacio: Volem optimitzar una funcio f : Rn → R subjecta a unacondicio g(x1, . . . , xn) = c .

Si a es un punt de la superfıcie S = g(x1, . . . , xn) = c podemconsiderar la projeccio ortogonal ~Va del vector (∇f )(a) sobre el platangent a S en a. Si ~Va 6= 0 podem moure’ns sobre S seguint ladireccio ~Va (resp. −~Va) i augmentar (resp. disminuir) el valor def . Per tant, el punt a nomes pot ser un candidat a maxim o mınimde f sobre S quan ~Va = ~0⇔ (∇f )(a) ⊥ S ⇔ (∇f )(a)||(∇g)(a).

Aixı els candidats a extrems condicionats satisfan el seguentsistema de n + 1 equacions amb n + 1 incognites a1, . . . , an, λ:

(∇f )(a) = λ(∇g)(a)

g(a) = 0

⇔

∂f∂x1

(a)− λ ∂g∂x1

(a) = 0

· · ·∂f∂xn

(a)− λ ∂g∂xn

(a) = 0

g(a1, . . . , an) = 0



Multiplicadors de Lagrange

El sistema anterior tambe s’obte a partir de la funcio lagrangiana

L(x1, . . . , xn, λ) = f (x1, . . . , xn)− λ(g(x1, . . . , xn)− c)

buscant els seus punts crıtics en la forma (a, λ): (∇L)(a, λ) = ~0.

Per resoldre aquest sistema d’equacions es sol aıllar i substituir λen funcio de a1, . . . , an obtenint un sistema de n equacions amb nincognites (a1, . . . , an), les solucions del qual constitueixen elspunts que s’han d’avaluar en f per trobar el valor mes gran i mespetit de entre totes les solucions possibles.

Interpretacio del multiplicador de Lagrange λ: Sigui ac el punt deSc = g = c on f pren el seu valor maxim Mc = f (ac). Sicanviem el valor c de la condicio incrementant-lo una quantitatdc ≈ 0, podem estimar el valor maxim Mc+dc = f (ac + da) de fsobre Sc+dc a partir de Mc i el multiplicador de Lagrange λc :

Mc+dc = f (ac) + (∇f )(ac)da = Mc +λc(∇g)(ac)da = Mc +λc dc .



Extrems absoluts

Teorema: Si f : D ⊂ Rn → R es una funcio contınua i D es unconjunt compacte (tancat i acotat) aleshores f te maxim i mınimsabsoluts sobre D.

Metode: Comparar els valors de f sobre els candidats seguents:

Els extrems relatius de f que estan a D(sistema d’equacions dels punts crıtics + criteri del hessia)

Els extrems condicionats sobre cada component de la vora∂D = g1(x) = c1 ∪ · · · ∪ gk(x) = ck(multiplicadors de Lagrange).

Els “punts” d’interseccio, si n’hi ha, entre les diferentscomponents de la vora de D.


Integrals simples Integrals multiples Aplicacions

II. Calcul Integral

5 Integracio a RDefinicio i interpretacioMetodes de calcul de primitivesAplicacions

6 Integracio a Rn

Definicio i interpretacioPrincipi de Cavalieri i teorema de FubiniIntegracio sobre dominis generalsTeorema de canvi de variables

7 AplicacionsArees i volumsCentres de mases i moments d’inercia


Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Definicio i interpretacio Calcul de primitives Aplicacions

Integracio a RSigui f : [a, b] ⊂ R→ R una funcio d’una variable i consideremuna particio a = x0 < x1 < · · · < xN = b de l’interval [a, b].

Definim la integral definida∫ ba f (x) dx com el lımit quan

N →∞ (respecte de totes les particions de [a, b]) de la sumaN∑

i=1f (xi )∆(xi ) de les arees dels rectangles d’alcada f (xi ) i

base ∆(xi ) = xi − xi−1.

Interpretem∫ ba f (x) dx com l’area (amb el signe de f )

compresa entre y = 0, y = f (x), x = a i x = b.

Calculem∫ ba f (x) dx mitjancant la regla de Barrow: si F (x) es

una primitiva de f (x) (i.e. F ′(x) = f (x)) aleshores∫ ba f (x) dx = F (b)− F (a).

Idea: Si definim F (x) :=R xa f (t) dt tenim que F (x + h)− F (x) ≈ f (x)h per

h ≈ 0. Per tant F ′(x) = f (x) = F ′(x) i F (x) = F (x) + C . Aixı doncs

F (b)− F (a) = F (b)− F (a) = F (b) =R ba f (x) dx .



Metodes de calcul de primitives

Llista de primitives immediates (inversa de la llista dederivades)

Canvi de variables x = f (t), dx = f ′(t) dt (inversa de la reglade la cadena)

Integracio per parts∫

u(x)dv(x) = u(x)v(x)−∫

v(x)du(x)(inversa de la derivada d’un producte)

Manipulacions algebraiques:∫

(f + g) =∫

f +∫

g ,∫c f = c

∫f , descomposicio de funcions racionals en

fraccions simples,...



Aplicacions

Calcul d’arees entre dues funcions f2(x) ≥ f1(x):

A =

∫ b

a(f2(x)− f1(x)) dx

Calcul de volums de revolucio:

V = π

∫ b

af (x)2 dx

Calcul de longituds de corbes y = f (x):

L =

∫ b

a

√1 + f ′(x)2 dx


Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables

Integracio a Rn

Sigui f : D ⊂ Rn → R una funcio definida en un “prisma”

D = [a1, b1]× · · · × [an, bn] i considerem particions x (ki )i Ni

ki =0 decada interval [ai , bi ].

Definim la integral∫D f (x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn com el lımit

quan Ni →∞ (respecte de totes les particions) de la suman∑

i=1

Ni∑ki =1

f (x(k1)1 , . . . , x

(kn)n )∆(x

(k1)1 ) · · ·∆(x

(kn)n ) dels volums

dels paral.lelepıpeds d’alcada f (x(k1)1 , . . . , x

(kn)n ) i bases

∆(x(ki )i ) = x

(ki )i − x

(ki−1)i per i = 1, . . . , n.

Interpretem la integral∫D f (x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn com el

volum (n + 1)-dimensional (amb el signe de f ) determinatpel prisma D i la grafica de la funcio f (x1, . . . , xn).



Principi de Cavalieri i teorema de Fubini

Principi de Cavalieri: El volum es una integral d’arees (l’areaes una integral de longituds,...)

Mes concretament, sigui R una regio compacta de R3 idenotem per A(z0) l’area de R ∩ z = z0. Llavors el volum

de R es igual a V (R) =∫ ba A(z) dz on z = a i z = b son els

plans horitzontals entre els quals es troba la regio R.

Mes generalment, aplicant el principi de Cavalieri als plansxn =constant resulta que∫

Dn

f (x) dx1 . . . dxn =

∫ bn

an

0B@ZDn−1

f (x1, . . . , xn−1,

fixadaz|xn ) dx1 . . . , dxn−1

1CA| z

funcio de la variable xn

dxn,

on Dn−1 = [a1, b1]× · · · × [an−1, bn−1] i Dn = Dn−1 × [an, bn].



Teorema de Fubini

Iterant aquest proces, podem calcular la integral multiple de fsobre el prisma Dn = [a1, b1]× · · · × [an, bn] mitjancant integralssimples iterades:∫

Dn

f (x) dx1 · · · dxn =

∫ bn

an

(∫ bn−1

an−1

· · ·(∫ b1

a1

f (x)dx1

)· · · dxn−1

)dxn.

Teorema de Fubini:Si la funcio f es prou regular per que tot hi estigui ben definit(per exemple, si f es contınua) aleshores la integral multiple∫Dn

f (x) dx1 · · · dxn es pot calcular com una integral iteradaamb una ordenacio qualsevol de las variables x1, . . . , xn.



Integracio sobre dominis generals

Questio: Que succeeix si el domini d’integracio D no es un prisma[a1, b1]× · · · × [an, bn]?

Resposta: La situacio es tecnicament mes complicada pero elprincipi de Cavalieri i el teorema de Fubini continuen sent valids.La unica diferencia es que els extrems d’integracio en les integralsiterades poden dependre de les variables que queden per integrar.

Exemple: Si D = (x , y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)aleshores ∫

Df (x , y) dx dy =

∫ b

a

(∫ g2(x)

g1(x)f (x , y) dy

)dx .

Si D = (x , y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d , h1(y) ≤ x ≤ h2(y) llavors∫D

f (x , y) dx dy =

∫ d

c

(∫ h2(y)

h1(y)f (x , y) dx

)dy .



Canvis de variables

Expressar un domini general D ⊂ Rn de la forma

a1 ≤ x1 ≤ b1,a2(x1) ≤ x2 ≤ b2(x1),

· · ·an(x1, . . . , xn−1) ≤ xn ≤ bn(x1, . . . , xn−1)

pot no ser facil (i ni tan sols possible). Per aixo ens interessaratrobar maneres de “simplificar” l’expressio de D. Un metode perportar a terme aixo es fer un canvi de variables, i.e. considerar unaaplicacio diferenciable

g : U ⊂ Rn −→ V ⊂ Rn

(t1, . . . , tn) 7−→ (g1(t1, . . . , tn), . . . , gn(t1, . . . , tn))

amb inversa h = g−1 diferenciable

h : V ⊂ Rn −→ U ⊂ Rn

(x1, . . . , xn) 7−→ (h1(x1, . . . , xn), . . . , hn(x1, . . . , xn))



Teorema del canvi de variables per a integrals

Teorema:Si g : U ⊂ Rn → V ⊂ Rn es un canvi de variables if : D ⊂ V ⊂ Rn → R es una funcio aleshores∫

Df (x) dx1 · · · dxn =

∫g−1(D)

f (g(t))| det(dg(t))| dt1 . . . dtn.

Exemples de canvis de variables:

polars de R2: g(r , θ) = (r cos θ, r sin θ),g−1(x , y) = (

px2 + y2, arctan(y/x)) i | det(dg(r , θ))| = r .

cilındriques de R3: g(r , θ, z) = (r cos θ, r sin θ, z),g−1(x , y , z) = (

px2 + y2, arctan(y/x), z) i | det(dg(r , θ, z))| = r .

esferiques: g(ρ, θ, ϕ) = (ρ cos θ cosϕ, ρ sin θ cosϕ, ρ sinϕ),g−1(x , y , z) = (

px2 + y2 + z2, arctan(y/x), arctan(z/

px2 + y2)) i

| det(dg(ρ, θ, ϕ))| = ρ2 cosϕ


Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Arees i volums Centres de mases i moments d’inercia

Arees i volums

Si D ⊂ R2 aleshores l’area de D es pot calcular mitjancant

A(D) =

∫D

dA =

∫D

dx dy .

Si D ⊂ R3 aleshores el volum de D es pot calcular mitjancant

V (D) =

∫D

dV =

∫D

dx dy dz .


Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Arees i volums Centres de mases i moments d’inercia

Centres de mases i moments d’inercia

Sigui ρ(x , y , z) la funcio de densitat d’un cos continu D ⊂ R3

aleshores podem calcular la massa total m de D i el centre demasses (xcm, ycm, zcm) mitjancant les integrals triples:

m =∫D dm =

∫D ρ(x , y , z) dx dy dz

xcm = 1m

∫D x dm = 1

m

∫D xρ(x , y , z) dx dy dz

ycm = 1m

∫D y dm = 1

m

∫D yρ(x , y , z) dx dy dz

zcm = 1m

∫D z dm = 1

m

∫D zρ(x , y , z) dx dy dz

El moment d’inercia I de D respecte de l’eix z (x = y = 0) vedonat per la integral triple:

I =

∫D

(x2 + y2) dm =

∫D

(x2 + y2)ρ(x , y , z) dx dy dz .


Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions

III. Calcul Vectorial8 Integrals sobre corbes

Parametritzacions de corbesIntegrals de trajectoriaIntegrals de lınia. Circulacio d’un camp

9 Integrals sobre superfıciesParametritzacions de superfıciesIntegrals de funcionsIntegrals de camps. Flux d’un camp

10 Gradient, divergencia i rotacional11 Teoremes integrals

Teorema de GreenTeoremes de Stokes i GaussCamps conservatius

12 Aplicacions a la fısicaLleis de conservacioEquacio de la calorElectromagnetisme: equacions de Maxwell


Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integrals de trajectoria Integrals de lınia

Parametritzacions de corbes de R2

Sigui C ⊂ R2 una corba donada per una equacio f (x , y) = 0.

Definicio: Una parametritzacio de C es una aplicacio diferenciableα : [a, b] ⊂ R→ R2, donada per dues funcions α : t 7→ (x(t), y(t))tals que f (x(t), y(t)) ≡ 0.

Exemple 0: C = x2 + y2 = 1 circumferencia de radi 1.Parametritzacio α : [0, 2π]→ C , t 7→ (cos t, sin t) ja quecos2 t + sin2 t = 1.

Exemple 1: C = x2 + y2 = R2 circumferencia de radi R. Podem

reescriure l’equacio com(

xR

)2+( y

R

)2= 1 i parametritzar C per

α(t) = (R cos t,R sin t).







Exemple 1 general: C = (

xa

)2+( y

b

)2= 1 el.lipse de semieixos

a, b > 0. Parametritzacio α : t ∈ [0, 2π]→ (a cos t, b sin t).








xa

)2+( y

b



Exemple 2: C = x2 − y2 = 1 hiperbola. Parametritzacio

α : R→ C , t 7→ (± cosh t, sinh t) := (± et+e−t

2 , et−e−t

2 ) ja que

cosh2 t − sinh2 t =e2t + e−2t + 2

4− e2t + e−2t − 2

4= 1.








xa

)2+( y

b




xa

)2 −( y

b

)2= 1 hiperbola.

Parametritzacio α : t ∈ R 7→ (±a cosh t, b sinh t).








xa

)2+( y

b




xa

)2 −( y

b

)2= 1 hiperbola.


Exemple 3: C = y = x2 parabola. Parametritzacio α : R→ C ,α(t) = (t, t2).








xa

)2+( y

b




xa

)2 −( y

b

)2= 1 hiperbola.


Exemple 3 general: C = y = f (x) grafica. Parametritzacioα : t ∈ R 7→ (t, f (t)).



Integrals de trajectoria

Si α : [a, b] ⊂ R→ C ⊂ R3, t 7→ α(t), es una parametritzaciod’una corba C ⊂ R3 aleshores interpretem

t com el temps i dt com a un increment infinitesimal de temps

α′(t) com el vector velocitat i ‖α′(t)‖ com la velocitat escalar

diferencial de longitud dL = ‖α′(t)‖ dt com a un incrementinfinitesimal de longitud (= velocitat per temps infinitesimal)

Si ρ : C → R es una funcio (de densitat lineal d’alguna magnitudfısica) aleshores definim la integral de trajectoria de ρ mitjancant∫ B

Aρ dL :=

∫ b

aρ(α(t)) ‖α′(t)‖ dt,

on A = α(a) i B = α(b).

Per exemple, si ρ = 1 aleshores∫ BA dL mesura la longitud de

l’arc de corba C entre els punts A i B.



Integrals de lınia

Si t ∈ [a, b] 7→ α(t) ∈ C es una parametritzacio d’una corbaC ⊂ R3 i ~F : R3 → R3 es un camp vectorial aleshores definim

diferencial (vectorial) de desplacament com d~L = α′(t) dt.

vector tangent unitari ~t = α′(t)‖α′(t)‖ .

la integral de lınia de ~F sobre C mitjancant∫ B

A

~F · ~dL :=

∫ b

a

~F (α(t)) · α′(t) dt =

∫ B

A(~F ·~t) dL

(“suma” de les parts tangents Ft := ~F ·~t de ~F al llarg de C ).

Es defineix el treball efectuat per una forca ~F sobre C com ladiferencia d’energia cinetica T = 1

2mv2 entre els extrems de C :

T (B)−T (A) =

∫ b

a

d

dtT (α(t)) dt =

∫ b

a

~F (α(t))·α′(t) dt =

∫ B

A

~F · ~dL,

d

dtT (α(t)) =

1

2m

d

dt

(α′(t) · α′(t)

)= mα′′(t) · α′(t) = ~F (α(t)) · α′(t).



Circulacio d’un camp

Si C es una corba tancada i orientada, l’integral de lınia∫C~F · ~dL s’anomena la circulacio de ~F al llarg de C .

Un camp de forces ~F es diu conservatiu o potencial quan eltreball realitzat sobre un camı qualsevol nomes depen delsseus extrems. Equivalentment, C tancada ⇒

∫C~F · ~dL = 0.

Si ~F = ∇f llavors ~F (α(t)) · α′(t) = ddt f (α(t)) i per tant

T (B)−T (A) =

∫ B

A

~F · ~dL =

∫ b

a

d

dtf (α(t)) dt = f (B)− f (A)

i el camp ~F es conservatiu.

Si ~F = ∇f llavors la quantitat E = T − f (l’energia total) esconstant al llarg de la trajectoria. Definim (l’energia)potencial de ~F com V = −f de manera que ~F = −∇V .

Teorema: ~F conservatiu ⇔ ~F = −∇V ⇔ rot ~F := ∇× ~F = 0


Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integral d’area Integrals de superfıcie

Parametritzacions de superfıcies de R3

Sigui S ⊂ R3 una superfıcie donada per una equacio f (x , y , z) = 0.

Definicio: Una parametritzacio de S es una aplicacio diferenciableσ : D ⊂ R2 → R3, donada per tres funcions de dues variablesx(u, v), y(u, v) i z(u, v) tals que f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ≡ 0.

Exemple 0: S = x2 + y2 + z2 = 1 esfera de de radi 1. Encoordenades cilındriques (r , θ, z), x = r cos θ, y = r sin θ, S teper equacio r2 + z2 = 1 que podem parametritzar peru 7→ (r(u), z(u)) = (cos u, sin u) mentre que θ = v es l’altrevariable que pot variar lliurement. Per tant, obtenim unaparametritzacio σ : [0, 2π]× [−π

2 ,π2 ]→ R3 de S donada per

σ(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v , sin u).






Exemple 0: S = x2 + y2 + z2 = 1 esfera de de radi 1.Parametritzacio σ(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v , sin u).







Exemple 1: S = (

xa

)2+( y

b

)2+(

zc

)2= 1 el.lipsoide de semieixos

a, b, c > 0. Paramet.: σ(u, v) = (a cos u cos v , b cos u sin v , c sin u).







Exemple 1: S = (

xa

)2+( y

b

)2+(

zc



Exemple 2: S = x2 + y2 − z2 = 1 hiperboloıde d’un full. Encoordenades cilındriques r2 − z2 = 1 podem parametritzaru 7→ (r(u), z(u)) = (cosh u, sinh u) i θ = v obtenint laparametritzacio σ(u, v) = (cosh u cos v , cosh u sin v , sinh u).







Exemple 1: S = (

xa

)2+( y

b

)2+(

zc



Exemple 2: S = (

xa

)2+( y

b

)2 −(

zc

)2= 1 hiperboloıde d’un full.

Parametritzacio: σ(u, v) = (a cosh u cos v , b cosh u sin v , c sinh u).







Exemple 1: S = (

xa

)2+( y

b

)2+(

zc



Exemple 2: S = (

xa

)2+( y

b

)2 −(

zc



Exemple 3: S = x2 + y2− z2 = −1 hiperboloıde de dos fulls. Encoordenades cilındriques podem parametritzar −r2 + z2 = 1 peru 7→ (r(u), z(u)) = (sinh u,± cosh u) i θ = v obtenint laparametritzacio σ(u, v) = (sinh u cos v , sinh u sin v ,± cosh u).







Exemple 1: S = (

xa

)2+( y

b

)2+(

zc



Exemple 2: S = (

xa

)2+( y

b

)2 −(

zc



Exemple 3: S = (

xa

)2+( y

b

)2−(

zc

)2= −1 hiperboloıde dos fulls.

Parametritzacio σ(u, v) = (a sinh u cos v , b sinh u sin v ,±c cosh u).



Parametritzacions de superfıcies de R3 (continuacio)

Exemple 4’: S = x2 + y2 − z2 = 0 con circular. En coordenadescilındriques r2 − z2 = 0, podem posar u 7→ (r(u), z(u)) = (u, u) iθ = v obtenint la parametritzacio σ(u, v) = (u cos v , u sin v , u).

Exemple 4: S = (

xa

)2+( y

b

)2 −(

zc

)2= 0 con el.lıptic.

Parametritzacio σ(u, v) = (a u cos v , b u sin v , cu).

Exemple 5: S = z =(

xa

)2+( y

b

)2 paraboloide el.lıptic.

Exemple 6: S = z =(

xa

)2 −( y

b

)2 paraboloide hiperbolic.

Els dos ultims exemples son casos particulars d’una situacio mesgeneral:

Exemple 7: S = z = f (x , y) grafic d’una funcio. Parametritzacioσ(u, v) = (u, v , f (u, v)).



Parametritzacions de superfıcies

Sigui σ : D ⊂ R2 → S ⊂ R3, σ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))una parametritzacio diferenciable d’una superfıcie S de R3.

2 famılies de corbes en S , u 7→ σ(u, v0) i v 7→ σ(u0, v), ambvectors tangents σu = ∂σ

∂u i σv = ∂σ∂v respectivament.

Diem que la parametritzacio σ es regular quan els vectorsσu i σv son linealment independents ⇔ σu × σv 6= 0.

Si σ es regular aleshores σu i σv generen el pla tangent a Sque es perpendicular a σu × σv i podem definir:

diferencial d’area dS = ‖σu × σv‖ du dv (escalar)

diferencial de superfıcie ~dS = (σu × σv ) du dv (vectorial)

vector normal unitari ~n = σu×σv‖σu×σv‖ (orientacio de S).

L’area d’una regio R = σ(D) ⊂ S es calcula fent la integral doble

A(R) =

∫R

dS :=

∫D‖σu × σv‖ du dv .



Exemple: calcul de l’area d’una esfera

Parametritzacio de l’esfera de radi R > 0:

D = [0, 2π]× [−π2,π

2]

σ−→ S2R ⊂ R3

(u, v) 7−→ (R cos v cos u,R cos v sin u,R sin v)

σu = (−R cos v sin u,R cos v cos u, 0)

σv = (−R sin v cos u,−R sin v sin u,R cos v)

σu × σv = R2 cos v (cos v cos u, cos v sin u, sin v)

dS = R2 cos v du dv

~n = (cos v cos u, cos v sin u, sin v)

A(S2R) =

∫S2

R

dS =

∫D

R2 cos v du dv = R2

∫ 2π

0du

∫ π2

−π2

cos v dv

= 4πR2.



Integrals d’area sobre superfıcies

Sigui σ : D ⊂ R2 → S ⊂ R3 una parametritzacio regular d’unasuperfıcie i ρ : S → R una funcio (de densitat superficial d’algunamagnitud fısica). Definim la integral d’area de f sobre S com∫

Sρ dS :=

∫Dρ(σ(u, v))‖σu × σv‖ du dv .

Exemple: Sigui S = S2R una esfera de radi R > 0 construıda d’un

material homogeni de densitat 1. Calculem el seu centre de masses:

m =RS2R

dm=RS2Rρ dS=

RS2R

dS=···=4πR2

mxcm =RS2R

x dm=RS2R

x dS=R

R cos u cos v‖σu×σv‖ du dv=···=0

mycm =RS2R

y dm=RS2R

y dS=R

R sin u cos v‖σu×σv‖ du dv=···=0

mzcm =RS2R

z dm=RS2R

z dS=R

R sin v‖σu×σv‖ du dv=···=0

Per tant el centre de masses d’una esfera homogenia es el centregeometric de l’esfera.



Integrals de superfıcie d’un camp. Flux

Si ~F un camp vectorial definit sobre una superfıcie orientada Sdefinim la integral de superfıcie∫

S

~F · ~dS :=

∫D

~F (σ(u, v)) · (σu × σv ) du dv =

∫S

(~F · ~n) dS

(“suma” de les parts normals Fn := ~F · ~n sobre la superfıcie S).

Interpretacio: Si ~F es el camp de velocitats d’un fluid aleshores Fn

es la quantitat de fluid travessa S per unitat d’area, “sortint” de S(respecte a l’orientacio donada per ~n) si Fn > 0 i “entrant” a S siFn < 0. Aquesta interpretacio te un sentit inequıvoc quan S es unasuperfıcie tancada orientada pel vector normal exterior ~n. Enaquest cas

∫S~F · ~dS s’anomena el flux del camp ~F a traves de S .

Exercici: Si ~F es constant i S = S2R aleshores

∫S2

R

~F · ~dS = 0

(“tot el que entra surt”).



Derivades de funcions i camps vectorials

Si f : R3 → R es una funcio podem pensar el seu gradient∇f = (∂f

∂x ,∂f∂y ,

∂f∂z ) com un camp vectorial que en cada punt

(x , y , z) li fa correspondre el vector ∇f (x , y , z).

Podem pensar ~∇ = ( ∂∂x ,

∂∂y ,

∂∂z ) com un operador vectorial

que actua sobre les funcions f (x , y , z) donant com a resultatel camp vectorial ∇f .

Quines altres operacions podem efectuar amb ∇?



Derivades de funcions i camps vectorials

Si ~F = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) es un camp vectorialllavors podem definir dues operacions mes:

El producte escalar de ~∇ i ~F :

div ~F := ~∇ · ~F =∂F1

∂x+∂F2

∂y+∂F3

∂z

que es la funcio anomenada divergencia de ~F .

El producte vectorial de ~∇ i ~F :

rot ~F := ~∇×~F =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂∂x

∂∂y

∂∂z

F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣ =“∂F3∂y− ∂F2∂z,∂F1∂z− ∂F3∂x,∂F2∂x− ∂F1∂y

”

que es el camp vectorial anomenat rotacional de ~F .



Derivades segones de funcions i camps vectorials

Si f es una funcio i ~F es un camp vectorial, totes les combinacionsque tenen sentit son les seguents:

∇· (∇f ) = ( ∂∂x ,

∂∂y ,

∂∂z ) · (∂f

∂x ,∂f∂y ,

∂f∂z ) = ∂2f

∂x2 + ∂2f∂y2 + ∂2f

∂z2 = ∇2f

que es una funcio anomenada Laplaciana de f .

∇×(∇f ) = ( ∂2f∂y∂z−

∂2f∂z∂y ,

∂2f∂z∂x−

∂2f∂x∂z ,

∂2f∂x∂y −

∂2f∂y∂x ) = (0, 0, 0),

es a dir rot grad f = 0.

∇ · (∇× ~F ) =

∣∣∣∣∣∣∣∂∂x

∂∂y

∂∂z

∂∂x

∂∂y

∂∂z

F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣∣ = 0, es a dir, div rot ~F = 0.

∇(∇ · ~F ) que es un camp vectorial.

∇× (∇× ~F ) = ∇(∇ · ~F )−∇2~F que es un camp vectorial.


Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Green Stokes i Gauss Camps conservatius

Teorema de Green

Aquest teorema relaciona una integral de lınia al llarg d’una corbatancada simple C del pla R2 amb una integral doble sobre la regioD que delimita C = ∂D.

Teorema de Green (formulacio classica):Si ~F = (P(x , y),Q(x , y)) es un camp vectorial diferenciable sobreuna regio D ⊂ R2 aleshores orientant C = ∂D positivament tenim∫

C

~F · ~dL =

∫C

P dx + Q dy =

∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dx dy .

Exemple: Si ~F = (−y , x) aleshores ∂Q∂x −

∂P∂y = 2 i per tant∫

∂D

~F · ~dL = 2 A(D).



Teorema de Green


C

~F · ~dL =

∫C

P dx + Q dy =

∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dx dy .

Reformulacio 1 (en forma vectorial):Sigui ~F = (P,Q, 0) camp vectorial al pla S = z = 0 ⊂ R3

orientat pel vector normal unitari ~n = (0, 0, 1). Recordem que~dS = ~n dS i en aquest cas dS = dx dy . Aleshores∫

∂D

~F · ~dL =

∫D

(∇× ~F ) · ~n dS =

∫D

(rot ~F ) · ~dS ,

ja que ∇× ~F =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q 0

∣∣∣∣∣∣ =(

0, 0, ∂Q∂x −

∂P∂y

).



Teorema de Green


C

~F · ~dL =

∫C

P dx + Q dy =

∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dx dy .

Reformulacio 2: Siguin ~t = (a, b) i ~n = (b,−a) els vectors tangenti normal exterior a la corba C = ∂D ⊂ R2. Aleshores∫

∂D(~F · ~n) dL =

∫D

div ~F dx dy ,

ja que si definim ~G = (−Q,P) llavors∫∂D

(~F ·~n) dL =

∫∂D

(~G ·~t) dL =

∫∂D

~G · ~dL =

∫D

(∂P

∂x− ∂(−Q)

∂y

)︸︷︷︸

div ~F

dx dy .



Teoremes de Stokes y GaussTeorema de Stokes:Sigui S ⊂ R3 una superfıcie orientada amb frontera ∂S orientadapositivament i ~F un camp vectorial diferenciable. Aleshores∫

S(rot ~F ) · ~dS =

∫∂S

~F · ~dL.

Teorema de Gauss (o de la divergencia):Sigui S ⊂ R3 una superfıcie tancada (sense vora) delimitant unaregio Ω ⊂ R3. Si denotem per dV = dx dy dz i orientem S = ∂Ωmitjancant el vector normal exterior aleshores∫

Ω(div ~F ) dV =

∫∂Ω

~F · ~dS .

Observacio: Si S1 i S2 son superfıcies amb la mateixa frontera∂S1 = ∂S2 aleshores S1 − S2 = ∂Ω es la vora d’una regio Ω ⊂ R3 iel teorema de Gauss (d’acord amb el teorema de Stokes) implica

0=R

Ω(div rot ~F ) dV =RS1−S2

(rot ~F )· ~dS=RS1

(rot ~F )· ~dS−RS2

(rot ~F )· ~dS .



Teoremes de Stokes y GaussTeorema de Stokes:Sigui S ⊂ R3 una superfıcie orientada amb frontera ∂S orientadapositivament i ~F un camp vectorial diferenciable. Aleshores∫

S(rot ~F ) · ~dS =

∫∂S

~F · ~dL.

Teorema de Gauss (o de la divergencia):Sigui S ⊂ R3 una superfıcie tancada (sense vora) delimitant unaregio Ω ⊂ R3. Si denotem per dV = dx dy dz i orientem S = ∂Ωmitjancant el vector normal exterior aleshores∫

Ω(div ~F ) dV =

∫∂Ω

~F · ~dS .

Observacio: Si S1 i S2 son superfıcies amb la mateixa frontera∂S1 = ∂S2 aleshores S1 − S2 = ∂Ω es la vora d’una regio Ω ⊂ R3 iel teorema de Gauss (d’acord amb el teorema de Stokes) implica

0=R

Ω(div rot ~F ) dV =RS1−S2

(rot ~F )· ~dS=RS1

(rot ~F )· ~dS−RS2

(rot ~F )· ~dS .



Camps vectorials conservatius

Donat un camp vectorial ~F estem interessats en saber si es de laforma ~F = grad f o ~F = rot ~G per alguna funcio f o algun campvectorial ~G .

Ja coneixem les relacions rot grad f = 0 i div rot ~G = 0. Per tant,obtenim condicions necessaries per cadascuna d’aquestessituacions: rot ~F = 0 i div ~F = 0 respectivament.

Teorema 1:Si ~F es un camp vectorial tal que rot ~F = 0 llavors ~F esconservatiu, es a dir, existeix una funcio f tal que ~F = ∇f .Idea: Pel teorema de Stokes la circulacio de ~F al llarg de tota corba tancada es zero i

per tant la funcio f (P) :=R PP0~F · ~dL no depen del camı per anar de P0 a P.

Teorema 2:Si ~F es un camp vectorial diferenciable a tot R3 tal que div ~F = 0aleshores existeix un camp vectorial ~G tal que ~F = rot ~G .


Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Lleis de conservacio Equacio de la calor Electromagnetisme

Lleis de conservacio

Sigui ~v(x , y , z , t) un camp vectorial (de velocitats) a R3 iρ(x , y , z , t) una funcio densitat d’alguna magnitud fısica quedepenen del temps t. La llei de conservacio d’aquesta magnitudsignifica que per a tota regio Ω ⊂ R3 es verifica:

d

dt

∫Ωρ dV = −

∫∂Ω

~J · ~n dS , on ~J = ρ~v .

Exemple: Llei de conservacio de la massa per a fluids:

Si prenem ρ =densitat de massa i ~v =camp de velocitats, l’equacioanterior ens diu que la variacio (derivada) de la quantitat de massaque hi ha dins de la regio Ω es igual a la quantitat de massa queflueix cap a l’interior (signe menys) de Ω a traves de la seva vora∂Ω. (

∫∂Ω~J · ~n dS es el flux de ~J = ρ~v =massa en moviment.)

L’equacio anterior te un significat fısic molt clar pero es difıcil demanipular matematicament ja que esta expressada com unaintegral sobre un domini Ω qualsevol.



Lleis de conservacio

Sigui ~v(x , y , z , t) un camp vectorial (de velocitats) a R3 iρ(x , y , z , t) una funcio densitat d’alguna magnitud fısica quedepenen del temps t. La llei de conservacio d’aquesta magnitudsignifica que per a tota regio Ω ⊂ R3 es verifica:

∂ρ

∂t+ div~J =

∂ρ

∂t+ ρ div~v + ~v · ∇ρ = 0

Exemple: Llei de conservacio de la massa per a fluids:

Si prenem ρ =densitat de massa i ~v =camp de velocitats, l’equacioanterior ens diu que la variacio (derivada) de la quantitat de massaque hi ha dins de la regio Ω es igual a la quantitat de massa queflueix cap a l’interior (signe menys) de Ω a traves de la seva vora∂Ω. (

∫∂Ω~J · ~n dS es el flux de ~J = ρ~v =massa en moviment.)

Per aixo, gracies al teorema de Gauss podem traduir-la a unaforma que es pot comprovar punt a punt anomenada equacio decontinuıtat.



Equacio de la calor

Una altra funcio fısica interessant es la temperatura T (x , y , z , t)en cada punt (x , y , z) de l’espai en cada instant de temps t.El flux de calor es el camp vectorial ~F = −∇T (el signe menysindica que la temperatura flueix de mes calent a mes fred). Sigui ρla densitat d’energia calorıfica per unitat de volum. Aleshoresρ = cρ0T , on ρ0 es la densitat de massa i c es una constant quedepen del cos anomenada calor especıfic. En aquest cas ~J = κ~F esl’energia calorıfica en moviment, on κ es una constant anomenadaconductivitat del cos.

La llei de conservacio ddt

∫Ω ρ dV = −

∫∂Ω~J · ~dS ens diu que la

variacio de l’energia calorıfica dins de Ω es igual a la quantitat deenergia calorıfica que entra dins Ω a traves de la frontera ∂Ω.



Equacio de la calor

Una altra funcio fısica interessant es la temperatura T (x , y , z , t)en cada punt (x , y , z) de l’espai en cada instant de temps t.El flux de calor es el camp vectorial ~F = −∇T (el signe menysindica que la temperatura flueix de mes calent a mes fred). Sigui ρla densitat d’energia calorıfica per unitat de volum. Aleshoresρ = cρ0T , on ρ0 es la densitat de massa i c es una constant quedepen del cos anomenada calor especıfic. En aquest cas ~J = κ~F esl’energia calorıfica en moviment, on κ es una constant anomenadaconductivitat del cos.

En aquest cas l’equacio de continuıtat ∂ρ∂t + div~J = 0, s’escriu

∂T

∂t= k∇2T ,

on k = κcρ0

es una funcio anomenada la difussibilitat del cos.

Observacio: En un estat estacionari (independent del temps) latemperatura T (x , y , z) verifica l’equacio de Laplace ∇2T = 0.



Electromagnetisme: equacions de Maxwell

Suposem donades la funcio de densitat de carregues electriquesρ(x , y , z , t) i la densitat (vectorial) de corrent ~j(x , y , z , t).Aquestes magnituds determinen els valors dels camps electric~E (x , y , z , t) i magnetic ~B(x , y , z , t) en cada punt de l’espai i cadainstant de temps mitjancant les equacions de Maxwell:

∇ · ~E = ρ (Llei de Gauss)El flux del camp electric a traves d’una superfıcie tancada Ses igual a la carrega electrica Q que n’hi ha a l’interior de Ω:∫

S

~E · ~dS =

∫Ω

(∇ · ~E ) dV =

∫Ωρ dV = Q.

∇ · ~B = 0 (absencia de carregues magnetiques)

∇× ~E = −∂B∂t (Llei de Faraday)

c2∇× ~B =~j + ∂~E∂t (Llei d’Ampere modificada per Maxwell)





∇ · ~E = ρ (Llei de Gauss)

∇ · ~B = 0 (absencia de carregues magnetiques) El flux delcamp magnetic sobre qualsevol superfıcie tancada es zero∫

S

~B · ~dS = 0.










El voltatge (la circulacio de ~E ) al llarg d’una trajectoriatancada simple C = ∂S es igual a la variacio del flux magnetica traves de S : ∫

∂S

~E · ~dL = − ∂

∂t

∫S

~B · ~dS .










La circulacio de ~B al llarg d’una corba tancada simple C = ∂Ses proporcional a la suma de l’intensitat de corrent quetravessa S mes la variacio en el temps del flux de ~E per S :∫

∂S

~B · ~dL =

∫S∇× ~B =

1

c2

(∫S

~j · ~dS +∂

∂t

∫S

~E · ~dS

).









La forca que experimenta una partıcula de carrega q i velocitat ~vve donada per la llei de Lorentz:

~F = q(~E + ~v × ~B)

(La llei de Coulomb F = K q1q2r2 nomes val per carregues estatiques.)









La forca que experimenta una partıcula de carrega q i velocitat ~vve donada per la llei de Lorentz:

~F = q(~E + ~v × ~B)

Gauss+Maxwell⇒ llei de conservacio de la carrega: ∂ρ∂t +∇·~j = 0.



Simplicacio de les equacions de Maxwell

Les dades del problema son la funcio de densitat de carregueselectriques ρ i el camp vectorial de densitat de corrent ~j subjectes al’equacio de continuıtat ∂ρ

∂t +∇ ·~j = 0 expressant la conservacio dela carrega electrica. Les incognites del problema son les 6 funcions(de 4 variables) components dels camps electric ~E i magnetic ~B.

A partir de l’equacio ∇ · ~B = 0 deduım que existeix un campvectorial ~A tal que ~B = ∇× ~A. Observem que si ~A funciona i ψ esuna funcio arbitraria aleshores ~A′ = ~A +∇ψ tambe conve.

De l’equacio ∇× ~E = −∂~B∂t deduım que ∇× (~E + ∂~A

∂t ) = 0 i per

tant existeix una funcio ϕ tal que ~E + ∂~A∂t = −∇ϕ, es a dir,

~E = −∂~A∂t −∇ϕ = −∂ ~A′

∂t −∇ϕ′ on ϕ′ = ϕ− ∂ψ

∂t .

De l’ultima equacio de Maxwell resulta que

c2∇(∇ · ~A)− c2∇2~A =~j − ∂2~A

∂t2−∇∂ϕ

∂t.




Existeix una funcio ψ tal que ∇ · ~A′ = − 1c2∂ϕ′

∂t . Canviant ~A per ~A′

i ϕ per ϕ′ arribem finalment a l’equacio d’ona per ~A:

∇2~A− 1

c2

∂2~A

∂t2= −

~j

c2

A partir de l’equacio ∇ · ~B = 0 deduım que existeix un campvectorial ~A tal que ~B = ∇× ~A. Observem que si ~A funciona i ψ esuna funcio arbitraria aleshores ~A′ = ~A +∇ψ tambe conve.

De l’equacio ∇× ~E = −∂~B∂t deduım que ∇× (~E + ∂~A

∂t ) = 0 i per

tant existeix una funcio ϕ tal que ~E + ∂~A∂t = −∇ϕ, es a dir,

~E = −∂~A∂t −∇ϕ = −∂ ~A′

∂t −∇ϕ′ on ϕ′ = ϕ− ∂ψ

∂t .

De l’ultima equacio de Maxwell resulta que

c2∇(∇ · ~A)− c2∇2~A =~j − ∂2~A

∂t2−∇∂ϕ

∂t.







∇2~A− 1

c2

∂2~A

∂t2= −

~j

c2

i per ϕ:

∇2ϕ− 1

c2

∂2ϕ

∂t2= −ρ,

a partir de les quals recuperem els camps electric i magnetic

~E = −∂~A

∂t−∇ϕ

~B = ∇× ~A.







∇2~A− 1

c2

∂2~A

∂t2= −

~j

c2

i per ϕ:

∇2ϕ− 1

c2

∂2ϕ

∂t2= −ρ,

a partir de les quals recuperem els camps electric i magnetic

~E = −∂~A

∂t−∇ϕ

~B = ∇× ~A.Observacio: En absencia de carregues (ρ = 0 i ~j = ~0) els camps~E i ~B es propaguem a la velocitat de la llum c com a oneselectromagnetiques (f (x − ct) es solucio de l’equacio d’ona).


Documents

Càlcul de funcions de diverses variables - UAB Barcelonamat.uab.cat/~davidmp/docencia/calcul2.pdf · I. C alcul Diferencial 1 L’espai euclidi a Rn Producte escalar i producte vectorial