Upload
lenhu
View
222
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
GESTÃO DE EMPRESAS
CÁLCULO E INSTRUMENTOS FINANCEIROS I
(2º ANO)
INTRODUÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 1
1. INTRODUÇÃO
1.1. Aplicação do Rendimento
Os agentes económicos de uma economia auferem rendimentos da sua
actividade económica, que aplicam de acordo com as suas necessidades,
preferências, gostos e estilos de vida.
De acordo com a teoria económica, o rendimento das pessoas pode ser
aplicando de duas grandes formas: consumo ou poupança.
O consumo é entendido como o total da despesa em bens ou serviços que têm
um tempo de vida definido e são utilizados de uma forma específica. Esta
forma de aplicação do rendimento caracteriza-se por não gerar qualquer
retorno do capital investido.
A parcela de rendimento que não é afecta ao consumo designa-se por
poupança.
Ainda recorrendo à teoria económica podemos encontrar duas grandes formas
de aplicação da poupança: o entesouramento e o investimento.
O entesouramento consiste em manter, guardar o montante de rendimento
poupado sob a forma de moeda, o que não permitirá qualquer ganho ao longo
do tempo.
O investimento consiste em aplicar um determinado capital com o objectivo de
o multiplicar. Ao capital, montante de dinheiro poupado e aplicado em
investimento, chamaremos capital financeiro.
Este investimento pode ser concretizado essencialmente de duas formas
distintas:
Investimentos reais directos – construção de uma unidade fabril, aquisição
de um equipamento produtivo ou de um estabelecimento comercial, etc.)
Investimentos financeiros – depósito numa instituição financeira ou ainda
aquisição de títulos (acções, obrigações, opções, etc.) nos mercados
financeiros.
INTRODUÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 2
ConsumoEntesouramento
Rendimento Investimentos Reais DirectosPoupança
Investimento
⎧⎪
⎧⎪⎪⎪
⎧⎨ ⎪⎨ ⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩⎩ Investimentos Financeiros
O cálculo financeiro, enquanto disciplina, preocupa-se essencialmente com a
abordagem dos investimentos financeiros, ou seja, com o estudo das relações
matemáticas subjacentes ao processo de formação de juros.
1.2. Capital, juro e tempo
O capital objecto de um investimento financeiro é portanto, a quantidade de
moeda cedida pelo seu proprietário a outrém por um determinado período de
tempo acordado entre ambas as partes.
O tempo é o prazo durante o qual o capital é aplicado ou cedido. Na nossa
perspectiva de análise considerar-se-á que o tempo global da aplicação é o
somatório de n parcelas de tempo. A cada unidade de tempo chamaremos
período de capitalização.
O período de capitalização será mensal, trimestral ou anual consoante a
unidade de tempo considerada seja o mês, o trimestre ou o ano,
respectivamente.
O juro é o rendimento proveniente de um capital cedido (aplicado) por um
dado período de tempo. Nesta perspectiva o juro deve ser considerado como o
0 1 2 3 4 n-2 n-1 n
Período de capitalização
INTRODUÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 3
preço do dinheiro cedido e será função do montante (capital) e do prazo em que
o seu proprietário esteve privado da sua utilização (tempo).
1.3. Juro e taxa de juro
No ponto anterior definimos que o juro aparece como uma compensação pelo
“sacrifício” de deixar de dispor, no momento, de determinada importância
capaz de proporcionar consumo imediato e certo em troca dessa
disponibilidade em data futura. Embora se entenda que uma parte dessa
compensação é objectiva, porque será exigida por todos ou a maior parte, mais
ou menos da mesma forma, o seu valor total é claramente subjectivo.
Se o proprietário do capital C0 cede pelo período de tempo t o seu capital a
outrém, no fim do tempo t vai receber o seu capital C0 mais o juro produzido.
Teremos então que definir qual a função que traduz a relação entre juro, capital
e tempo.
Consideremos o princípio fundamental do juro de acordo com o qual “o juro é
directamente proporcional ao valor capital no início de cada período”. De
acordo com este princípio o juro obtém-se multiplicando o capital inicial por
uma dada constante de proporcionalidade.
k k 1J C i−= ∗ FÓRMULA GERAL DO JURO PERIÓDICO
em que:
Jk – juro do período k.
Ck-1 – capital no início do período k.
i – constante de proporcionalidade.
Esta constante de proporcionalidade tem a designação de taxa de juro, podendo
ser definida como o rendimento gerado por um capital unitário num tempo
unitário.
INTRODUÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 4
Podemos encontrar diversos factores determinantes na fixação da taxa de juro.
Entre esses factores encontramos certamente o perfil dos próprios credores,
nomeadamente a forma como lidam com situações de risco e consequentemente
a forma como o avaliam.
Entre os factores determinantes do valor da taxa de juro podemos destacar:
A desvalorização do dinheiro e a necessidade de repor o seu poder de
compra. A taxa de inflação poderá ser uma boa medida.
O risco de não reembolso – incumprimento.
A duração do negócio – tempo.
O nível de intervenção do Estado, encarecendo ou não o custo dos negócios,
através da criação de impostos sobre o crédito.
As condições dos mercados monetário e financeiro.
O tipo de negócio, nomeadamente o destino da aplicação e suas
especificidades.
A qualidade das partes envolvidas.
Vimos então que um determinado capital aplicado durante um certo período de
tempo sofre um acréscimo consequência do vencimento de juros. Assim,
teremos que o capital no final de um dado período k será:
k k 1 kC C J−= +
A este processo de acréscimo que o capital sofre ao longo do tempo iremos
chamar capitalização.
O processo de capitalização é portanto o processo que leva à formação do juro e
produz um capital acumulado (geralmente superior) no futuro:
0 1 2 n
C0 C1=C0+J1 C2=C1+J2 Cn=Cn-1+Jn
CAPITALIZAÇÃO
INTRODUÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 5
Exemplo 1
Qual o capital acumulado daqui a um ano, por um depósito, feito hoje, de
5.000 €, se este for remunerado à taxa anual de 5%?
Representemos o capital inicial por Co e por C1 o valor acumulado no final de 1
período de capitalização.
C1 = Co + J1 ⇔ C1 = 5.000 + 5.000 * 0,05 = 5.250 €
1.4. Desconto e taxa de desconto
O desconto ou actualização é o processo inverso da capitalização, pelo qual se
calcula o valor actual (hoje) de um capital futuro, conhecido.
Enquanto o processo de capitalização transforma o capital inicial num capital
superior, o desconto transforma o capital num valor inferior.
O conceito de actualização só tem interesse se pretendermos recuar no tempo. A
sua aplicabilidade tem alguma relevância quando um devedor pretende
liquidar a sua dívida ou o credor tem necessidade de receber os seus créditos
antes da data de vencimento previamente acordada entre as partes.
Sendo um conceito semelhante ao do juro também o desconto depende do
tempo, antecipação do vencimento e do capital em referência.
0 1 2 n
C0 C1=C0+J1 C2=C1+J2 Cn=Cn-1+Jn
ACTUALIZAÇÃO
INTRODUÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 6
Esta dependência pode também ser representada por uma constante de
proporcionalidade que se designa por taxa de desconto (d):
k kD C d= ∗ 1
Se o juro é o incremento sofrido por um capital aplicado durante um período de
tempo então o desconto é a redução que esse capital sofre quando descontado
durante esse período de tempo. Teremos então:
k 1 k kC C D− = −
em que:
Dk – desconto do período k.
Ck-1 – capital no início do período k.
Ck – capital no fim do período k.
Exemplo 2
Quanto deverá ser pago, hoje, por uma dívida de 1.000 €, que se vence dentro
de um ano e será descontada à taxa anual de 10%?
C0 = C1 - D1 ⇔ C1= 1.000 - 1.000 * 0,10 = 900 €
1.5. Valor de um capital
Valor Acumulado
Se um determinado capital C0 for aplicado durante um espaço de tempo t e
gerar um juro Jt, no fim do período teremos:
Ct = C0 + Jt
Valor Actual
Inversamente teremos que C0 é o valor actual do capital Ct:
C0 = Ct - Dt 1 Admite-se que o desconto é calculado sobre o capital final. Como veremos mais à frente o
desconto poderá também ser calculado sobre o capital inicial.
CAPITALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 7
2. CAPITALIZAÇÃO
2.1 Conceitos genéricos
Quando um capital é aplicado por um determinado período de tempo,
periodicamente há lugar à formação de juros. Assim, no final de cada período
de capitalização vence-se o chamado juro periódico. A questão que se coloca ao
investidor é: “O que fazer ao juro?”
O juro sai do processo de capitalização – neste caso estaremos perante uma
situação de capitalização em regime de juros simples;
O juro junta-se ao capital existente no início do período de capitalização
para dar lugar à formação de juros nos períodos subsequentes – nesta
situação estamos perante a capitalização em regime de juros compostos.
Por forma a estudar os dois regimes de capitalização indicados será conveniente
definir a seguinte terminologia:
Capital (C) – Quantidade de dinheiro (montante) com que vamos operar,
sem incluir a compensação para quem o disponibiliza.
Juro (J) – Compensação pelo investimento ou empréstimo.
Taxa de juro (i) – Juro por unidade de capital.
Período de capitalização – Unidade de tempo (dia, mês, trimestre, etc.), que
serve de base ao vencimento (cálculo) de juros.
Tempo – Define a duração do investimento, normalmente medido em “n”
períodos regulares.
2.2 Capitalização em regime de juro simples
Utilizado frequentemente em investimentos de curto prazo, caracteriza-se pelo
facto de não existirem juros sobre juros, mesmo que estes sejam pagos de uma
CAPITALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 8
só vez, no final do investimento. Neste regime podemos identificar duas
variantes:
Regime simples puro
Os juros que se vencem periodicamente no final de cada período são excluídos
do processo de capitalização. Este facto tem, basicamente, duas implicações:
O capital que vence juros é constante ao longo do processo:
C0 = C1 = C2 = C3 = ……….. = Cn
O juro periódico (Jk) também é constante ao longo do processo:
J1 = J2 = J3 = ……= Jk =….. = Jn = C0 * i
Em termos esquemáticos teremos:
O juro produzido periodicamente em regime simples é frequentemente
designado por juro simples (Jsimples).
Exemplo 3
Um capital de 5.000 € foi aplicado durante 3 anos, em regime de juro simples à
taxa anual de 10%.
a) Calcule o juro vencido em cada ano.
b) Calcule os juros totais vencidos.
c) Calcule a quantia a receber no final do 3º ano.
Resolução
0 1 2 3 4 n-2 n-1 n
J1 J2 J3 J4 Jn-2 Jn-1 C0+Jn
C0 C0 C0 C0 C0 C0 C0 C0
CAPITALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 9
a) J1 = J2 = J3 = C0 * i = 5.000 * 0,10 = 500 €
b) JT = n * C0 * i = 3 * 500 = 1.500 €
c) C3 = C0 + J3 = 5.000 + 500 = 5.500 €
Regime dito simples
Os juros que se vencem periodicamente no final de cada período não são
excluídos do processo de capitalização. Contudo nos períodos subsequentes
não vencem juros. No final do processo de capitalização o capital acumulado
resulta do somatório do capital inicial com a totalidade dos juros simples
vencidos.
Em termos esquemáticos teremos:
O capital acumulado ao longo do processo de capitalização evolui de forma
linear como se pode constatar:
( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
1 0 simples 0 0 0
2 1 simples 0 0 0
3 2 simples 0 0 0
k 0
C C J C C i C 1 i
C C J C 1 i C i C 1 2i
C C J C 1 2i C i C 1 3i
..................
C C 1 ki..................
= + = + ∗ = ∗ +
= + = + + ∗ = ∗ +
= + = + + ∗ = ∗ +
= ∗ +
∗n 0C = C 1+ ni
O juro periódico (Jk) será constante ao longo do processo:
J1 = J2 = J3 = ……= Jk =….. = Jn = C0 * i
Os juros totais (JT) do processo de capitalização serão:
n
T simples 0i 1
J J C i n=
= = ∗ ∗∑
0 1 2 n
C0 C1=C0+Jsimples C2=C1+Jsimples Cn=Cn-1+Jsimples
CAPITALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 10
Exemplo 4
Um capital de 10.000 € foi aplicado durante 3 anos, em regime de juro dito
simples à taxa anual de 5%.
a) Calcule o juro vencido em cada ano.
b) Calcule os juros totais vencidos.
c) Calcule a quantia a receber no final do 3º ano.
Resolução
a) J1 = J2 = J3 = C0 * i = 10.000 * 0,05 = 500 €.
b) JT = n * C0 * i = 3 * 500 = 1.500 €
c) C3 = C0 * ( 1 + n * i ) = 10.000 * ( 1 + 3 * 0,05 ) = 11.500 €
2.3 Capitalização em regime de juro composto
Os juros que se vencem periodicamente no final de cada período não são
excluídos do processo de capitalização. Estes juros são adicionados ao capital
vencendo juros nos períodos subsequentes, dando origem à formação daquilo
que na gíria se designa por juros de juros.
Em termos esquemáticos teremos:
O capital acumulado ao longo do processo de capitalização, devido à formação
de juros de juros, evolui de forma exponencial como se pode constatar:
0 1 2 n
C0 C1=C0+J1 C2=C1+J2 Cn=Cn-1+Jn
CAPITALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 11
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 0 1 0 0 0
22 1 2 1 1 1 0 0
2 33 2 3 2 2 2 0 0
kK 0
C C J C C i C 1 i
C C J C C i C 1 i C 1 i 1 i C 1 i
C C J C C i C 1 i C 1 i 1 i C 1 i..................
C C 1 i..................
= + = + ∗ = ∗ +
= + = + ∗ = ∗ + = ∗ + ∗ + = ∗ +
= + = + ∗ = ∗ + = ∗ + ∗ + = ∗ +
= ∗ +
nn 0C = C * 1+ i
O juro periódico(Jk), igualmente devido à formação de juros de juros,
aumentará também de forma exponencial ao longo do processo:
( )
( )
( )
( )
1 0
2 1 0
23 2 0
k 1K 0
n 1
J C iJ C i C 1 i i
J C i C 1 i i..................
J C 1 i i..................
i
−
−
= ∗
= ∗ = ∗ + ∗
= ∗ = ∗ + ∗
= ∗ + ∗
∗ ∗n 0J = C 1+ i
Os juros totais (JT)do processo de capitalização serão dados por:
nT n 0 0 0J C C C (1 i) C= − = ∗ + −
⎡ ⎤∗ ⎣ ⎦n
T 0J = C (1+i) - 1
O juro de juro periódico (JJk), ou seja, o juro produzido num dado período pela
totalidade dos juros vencidos anteriormente poderá ser determinado da
seguinte forma:
( )
( )
k 1K k simples 0 0JJ J J C 1 i i C i−= − = ∗ + ∗ − ∗
⎡ ⎤⎣ ⎦
k-1K 0JJ = C * 1+ i - 1 * i
Os juros de juros totais (JJT) produzidos durante todo o processo de
capitalização poderão ser determinados da seguinte forma:
CAPITALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 12
( )
T T simplesJJ J J= −
⎡ ⎤⎣ ⎦
∑
nT 0 0JJ = C * 1+ i - 1 - C * n * i
Exemplo 4
Um capital de 20.000 € foi aplicado durante 5 anos, em regime de juro composto
à taxa anual de 2%.
a) Calcule o capital acumulado no final do 5º ano.
b) Calcule os juros totais vencidos.
c) Calcule os juros de juros totais vencidos.
d) Calcule os juros de juros do 3º e 4º anos.
Resolução
a) C5 = C0 * ( 1 + i )n = 20.000 * ( 1 + 0,02 )5 = 22.081,62 €
b) JT = Cn - C0 = 22.081,62 – 20.000 = 2.081,62 €.
c) JJT = JT - n * Jsimples = 2.081,62 – 5 * 20.000 * 0,02 = 81,62 €
d) JJ3 + JJ4 = C0 * [( 1 + i )2 – 1 ] * i + C0 * [( 1 + i )3 – 1 ] * i
JJ3 + JJ4 = 20.000 * [( 1 + 0,02 )2 – 1 ] * 0,02 + 20.000 * [( 1 + 0,02 )3 – 1 ] * 0,02
JJ3 + JJ4 = 40.64 €
2.4 Comparação prática dos diferentes regimes de capitalização
Exemplo 5
Admitamos um empréstimo de 3.000 €, negociado à taxa anual de 6%, por um
período de 5 anos. Para cada um dos regimes típicos, qual seria o montante a
receber no final de cada um dos anos?
CAPITALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 13
Resolução
1. Regime simples puro
ANO Capital no início do período
Juros (6%)
Capital acumulado no fim do período Recebimento
1 3.000 180 3.180 180 2 3.000 180 3.180 180 3 3.000 180 3.180 180 4 3.000 180 3.180 180 5 3.000 180 3.180 3.180
2. Regime dito simples
ANO Capital no início do período
Juros (6%)
Capital acumulado no fim do período Recebimento
1 3.000 180 3.180 0 2 3.000 180 3.360 0 3 3.000 180 3.540 0 4 3.000 180 3.720 0 5 3.000 180 3.900 3.900
3. Regime composto
ANO Capital no início do período
Juros (6%)
Capital acumulado no fim do período Recebimento
1 3.000,00 180,00 3.180,00 0 2 3.180,00 190,80 3.370,80 0 3 3.370,80 202,25 3.573,05 0 4 3.573,05 214,38 3.787,43 0 5 3.787,43 227,25 4.014,68 4.014,68
CAPITALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 14
2.5 Relação entre taxas de juro
Sendo a taxa de juro a constante de proporcionalidade entre o juro produzido e
o capital acumulado por um capital inicial aplicado durante a unidade de
tempo, podem evidenciar-se algumas relações entre taxas de juro.
Vamos então definir e exemplificar os conceitos de taxas proporcionais, taxas
equivalentes, taxas nominais e taxas efectivas.
Analisaremos também a questão da fiscalidade e a sua influência nas taxas de
juro, abordando para tal os conceitos de taxas brutas e taxas líquidas.
2.5.1 Taxas proporcionais e taxas equivalentes
Taxas proporcionais
Duas taxas de juro, referidas a períodos diferentes, dizem-se proporcionais
quando a razão entre as taxas de juro é igual à razão entre os períodos de
capitalização.
Se considerarmos “m” o número períodos de capitalização que tem cada
período de referência da taxa de juro, então:
(m)
1/m
(m)1/m
iim
i i m
=
= ∗
RELAÇÃO DE PROPORCIONALIDADE
Sendo usual a taxa referir-se ao ano, a uma taxa de juro anual i (m),
corresponderá as seguintes taxas proporcionais:
Diária: (365)
1/365ii365
=
Mensal: (12)
1/12ii12
=
CAPITALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 15
Trimestral: (4)
1/4ii4
=
Quadrimestral: (3)
1/3ii3
=
Semestral: (2)
1/2ii2
=
Exemplo 5
Considere uma taxa de juro anual de 10% em que o período de capitalização é
semestral. Determine a respectiva taxa proporcional.
Resolução
(2)
1/2i 0,10i 5%2 2
= = =
Taxas equivalentes
Duas taxas de juro, referidas a períodos diferentes, dizem-se equivalentes
quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo prazo, geram o
mesmo capital acumulado, independentemente do período de referência das
taxas ou do período de capitalização.
Dada a taxa de juro anual i e uma taxa de juro sub-anual i1/m então:
m1/m
1m
1/m
(1 i) (1 i )
(1 i ) (1 i)
+ = +
+ = +
RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
Exemplo 6
Dada a taxa de juro anual de 10%, determine as respectivas taxas equivalentes
semestral, quadrimestral, trimestral, mensal e diária.
CAPITALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 16
Resolução
1 12 2
1/2 1/2 1/2
1 13 3
1/3 1/3 1/3
1 14 4
1/4 1/4 1/4
1 112 12
1/12 1/12 1/12
(1 i ) (1 i) (1 i ) (1 0,10) i 4,881%
(1 i ) (1 i) (1 i ) (1 0,10) i 3,228%
(1 i ) (1 i) (1 i ) (1 0,10) i 2, 411%
(1 i ) (1 i) (1 i ) (1 0,10) i 0,797%
(1
+ = + ⇔ + = + ⇔ =
+ = + ⇔ + = + ⇔ =
+ = + ⇔ + = + ⇔ =
+ = + ⇔ + = + ⇔ =
+1 1
365 3651/365 1/365 1/365i ) (1 i) (1 i ) (1 0,10) i 0,026%= + ⇔ + = + ⇔ =
2.5.2 Taxas nominais e taxas efectivas
Taxas nominais
Uma taxa nominal é uma taxa contratual (declarada), mas que não é a
efectivamente praticada. Na medida em que as taxas de juro normalmente
declaradas são anuais será utilizada a seguinte notação:
(2)
(3)
(4)
(6)
i Taxa anual nominal de capitalização semestral.
i Taxa anual nominal de capitalização quadrimestral.
i Taxa anual nominal de capitalização trimestral.
i Taxa anual nominal de capitalização b
=
=
=
=
(12)
(365)
imestral.
i Taxa anual nominal de capitalização mensal.
i Taxa anual nominal de capitalização diária.
=
=
CAPITALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 17
Taxas efectivas
Uma taxa efectiva é uma taxa referida ao período de capitalização e com a qual
se calcula o valor dos juros. Para nos referirmos a taxas efectivas considerar-se-
á a seguinte notação:
1/2
1/3
1/4
1/6
1/12
1/365
i Taxa anual efectiva.
i Taxa semestral efectiva.
i Taxa quadrimestral efectiva.
i Taxa trimestral efectiva.
i Taxa bimestral efectiva.
i Taxa mensal efectiva.
i Taxa diária efectiva.
=
=
=
=
=
=
=
Exemplo 6
Dada a taxa de juro anual nominal de capitalização semestral de 10%,
determine:
a) A taxa de juro anual efectiva.
b) A taxa de juro quadrimestral efectiva.
c) A taxa de juro anual nominal de capitalização mensal.
d) A taxa de juro anual nominal de capitalização trimestral.
Resolução
(2)
1/2
2 21/2
i 0,10a) i 5%2 2
(1 i) (1 i ) (1 i) (1 0,05) i 10, 25%
= = =
+ = + ⇔ + = + ⇔ =
CAPITALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 18
3 31/3 1/3 1/3
12 121/12 1/12 1/12
(12)1/12
4 41/4 1/4 1/4
(4)
b) (1 i ) (1 i) (1 i ) (1 0,1025) i 3, 306%
c) (1 i ) (1 i) (1 i ) (1 0,1025) i 0,816%
i i 12 0,00816 12 9,792%
d) (1 i ) (1 i) (1 i ) (1 0,1025) i 2, 47%
i
+ = + ⇔ + = + ⇔ =
+ = + ⇔ + = + ⇔ =
= ∗ = ∗ =
+ = + ⇔ + = + ⇔ =
1/4i 4 0,0247 4 9,88%= ∗ = ∗ =
2.5.3 Taxas brutas e taxas líquidas
De acordo com o sistema fiscal vigente em Portugal, os juros auferidos em
aplicações financeiras são normalmente sujeitos a imposto sobre o rendimento.
Devido a este facto, a taxa de juro efectivamente auferida por um investidor é
normalmente inferior à taxa de juro anunciada.
Considere-se o seguinte exemplo: Um banco oferece para uma aplicação a 1 ano
uma taxa de juro anual de 2%, vencendo-se os juros semestralmente. Se o valor
inicial da aplicação for 10.000 €, qual será o capital acumulado no final da
aplicação, sabendo que os juros estão sujeitos a imposto sobre o rendimento à
taxa de 20%?
(2)
1/2
1º sem.
1º sem.
2º sem.
2º sem.
i 0,02i 1%2 2
J 10.000 0,01 100 € IRS 100 0, 2 20 €
C 10.000 (100 20) 10.080 €
J 10.080 0,01 100,8 € IRS 100,8 0, 2 20,16 €
C 10.080 (100,8 20,16) 10.160,64 €
= = =
= ∗ = ⇒ = ∗ =
= + − =
= ∗ = ⇒ = ∗ =
= + − =
CAPITALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 19
A questão que se levanta é: Qual a taxa de juro semestral efectivamente
auferida naquela aplicação, isto é, a taxa de juro semestral líquida de impostos?
A resposta poderá ser obtida através da seguinte expressão:
21/2(líquida) 1/2(líquida)10.000 (1 i ) 10.160,64 € i 0,8%∗ + = ⇒ =
Repare-se que a taxa encontrada poderia ser mais facilmente determinada se a
taxa i1/2 = 1% fosse considerada líquida da taxa de imposto sobre o rendimento,
isto é:
1/2(líquida)i 0,01 * (1 0,2) 0,8%= − =
Assim, se considerarmos que:
B
L
i taxa de juro anunciada (bruta)t taxa de imposto sobre o rendimentoi taxa de juro líquida de imposto sobre o rendimento
=
=
=
poder-se generalizar a relação entre taxas brutas e líquidas:
L Bi i (1 t)= ∗ −
Do exemplo considerado, poder-se-ia ter determinado de forma mais expedita o
capital acumulado no final da aplicação se fosse utilizada a taxa de juro líquida
de impostos e não a bruta:
22º sem.C 10.000 (1 0,008) 10.160,64 €= ∗ + =
ACTUALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 20
3. ACTUALIZAÇÃO
3.1. Conceitos genéricos
Ao cálculo do valor actual de um capital que se vence no futuro chama-se, como
já se viu, actualização. Assim, do ponto de vista financeiro, deverá ser
indiferente para o credor receber o seu crédito na data de vencimento ou o seu
valor actual em data antecipada. Analogamente para o devedor terá de ser
indiferente pagar a sua dívida na data em que se vence ou o seu valor actual em
data antecipada.
Considerando um capital Cn, cujo vencimento será antecipado t períodos, então
o seu valor actual será dado por:
Cn-t = Cn – D
Em que D é o desconto.
O desconto é portanto o preço pago pela disponibilidade antecipada de um
dado capital por um certo lapso de tempo:
D = Cn – Cn-t
Tal como na capitalização, consoante o regime de juros, simples ou composto,
utilizado na determinação do valor actual, teremos diferentes modalidades de
desconto que passaremos de seguida a analisar.
0 n-t n
Cn-t Cn
t
ACTUALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 21
3.2. Desconto em regime de juros simples
Em regime de juros simples vamos abordar dois tipos de desconto: o desconto
por dentro, também conhecido por desconto racional e o desconto por fora
também designado por desconto comercial.
Desconto por dentro
De acordo com esta modalidade de desconto, o cálculo do valor actual de um
capital futuro é obtido por aplicação do regime de capitalização dito simples.
Considerando um capital Cn, cujo vencimento será antecipado t períodos à taxa
de juro i , então o seu valor actual Cn-t, de acordo com o regime de desconto por
dentro, será dado por:
( )( )n n-tC = C * 1+ t * i ⇒ n
n-tCC =
1+ t * i
Mas por definição de desconto:
( ) ( ) ( )
nn n-t n n n
C 1 t * iD = C - C = C - = C * 1 - = C *1+ t * i 1+ t * i 1+ t * i
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A este desconto chamar-se-á desconto por dentro (DD). Então:
( )⎡ ⎤∗
∗ ⎢ ⎥∗⎣ ⎦n
t iDD = C1+ t i
O exemplo seguinte permite-nos sistematizar o conceito de actualização de
acordo com o regime de desconto por dentro.
Exemplo 7
Considere que o Sr. António Costa detém crédito de 10.000 € que se vence daqui
a 4 meses. Por necessitar de liquidez imediata propôs ao credor a liquidação da
dívida antecipadamente, tendo este aceite. Sabendo que a referida dívida foi
ACTUALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 22
descontada segundo as regras do regime de desconto por dentro à taxa de juro
anual de 5%, determine:
a) O valor recebido pelo Sr. António Costa.
b) O valor do desconto por dentro.
Resolução
a) 010.000C = = 9.836,07 €
41+ * 0,0512
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
b)
4 0,0512DD = 10.000 - 9.836,07 = 10.000 = 163,93 €
41+ * 0,0512
∗∗⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
3.3. Desconto por fora
De acordo com esta modalidade de desconto, o cálculo do valor actual de um
capital futuro é obtido também por aplicação do regime de capitalização dito
simples. A diferença, face ao regime de desconto por dentro, reside no facto de
que agora os juros são determinados sobre o capital futuro e não sobre o valor
actual.
No desconto por fora a taxa de desconto1 é aplicada sucessiva e
cumulativamente em repetidos descontos. Primeiro desconta-se o valor
nominal (valor final) para o início do último período, depois desconta-se o valor
nominal para o início do penúltimo período e assim sucessivamente até se
chegar à data do momento actual.
1 Constante de proporcionalidade que reflecte o desconto “sofrido” por um capital unitário
num tempo unitário.
ACTUALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 23
Considerando um capital Cn, cujo vencimento será antecipado t períodos à taxa
de desconto d, então o seu valor actual Cn-t, de acordo com o regime de
desconto por fora, será dado por:
( )( )( )
( )
n-1 n n n
n-2 n-1 n n
n-3 n-2 n n
C = C - C * d = C 1 - d
C = C - C * d = C 1 - 2 d
C = C - C * d = C 1 - 3 d......................
∗
∗ ∗
∗ ∗
n-t nC = C * 1 - t * d
Por definição de desconto por fora teremos:
( )n n-t n nDF = C - C = C - C 1 - t d∗ ∗
nDF = C * t * d
Como facilmente se conclui da dedução do desconto por fora este regime é
puramente convencional, não havendo qualquer teoria capaz de o legitimar.
Este regime, sendo utilizado apenas para prazos muito curtos, tem grande
aplicabilidade na actividade comercial sendo mesmo o mais aplicado na
actividade bancária.
A sua concepção é teoricamente fraca, havendo situações em que a sua
aplicação conduz a um valor actual absurdo. Repare-se que se
n t1t então C 0d −≥ ≤ , o que não faz sentido. Por esta razão, a modalidade do
desconto por fora só é utilizada em operações de muito curto prazo.
Vejamos então um exemplo que permitirá sistematizar o conceito de
actualização de acordo com o desconto por fora.
Exemplo 8
A empresa CFIN, SA. possui um crédito no valor de 20.000 € que se vence daqui
a 2 anos. Necessidades de tesouraria levam-na a propor ao seu devedor o
desconto por fora imediato, com vista a tornar disponível o seu valor actual.
ACTUALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 24
Sabendo que a referida dívida foi descontada à taxa de desconto anual de 10%,
determine:
a) O valor do desconto por fora.
b) O valor recebido pela empresa CFIN.
Resolução
a) DF = 20.000 2 0,10 = 4.000 €∗ ∗
b) 0C = 20.000 - 4.000 = 20.000 (1 - 2 0,10) = 16.000 €∗ ∗
3.4. Desconto em regime de juros composto
De acordo com esta modalidade de desconto, o cálculo do valor actual de um
capital futuro é obtido por aplicação do regime de capitalização composta.
Considerando um capital Cn, cujo vencimento será antecipado t períodos à taxa
de juro i , então o seu valor actual Cn-t, de acordo com o regime de desconto
composto, será dado por:
( ) ( )tn n-tC = C * 1+i ⇒ -t
n-t nC = C * 1+ i
Tendo em linha de conta a definição de desconto:
( )( )
( )( )
tt
n n-t n n n nt t1+ i 11D = C - C = C - C 1+ i = C * 1 - = C *
1+ i 1+ i− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−
∗ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A este desconto chamar-se-á desconto composto (DC). Então:
( )( )
t
t1⎡ ⎤−
∗ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
n1+ iDC = C
1+ i
O exemplo seguinte permite-nos sistematizar o conceito de actualização de
acordo com o regime de desconto composto.
ACTUALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 25
Exemplo 9
Considere que o Sr. José Moreira detém crédito de 50.000 € que se vence daqui a
2 anos. Por necessitar de liquidez imediata propôs ao devedor a liquidação da
dívida antecipadamente, tendo este aceite. Sabendo que a referida dívida foi
descontada segundo as regras do regime de desconto composto à taxa de juro
semestral de 5%, determine:
a) O valor recebido pelo Sr. José Moreira.
b) O valor do desconto composto.
Resolução
a) -40C = 50.000 (1+0,05) 41.135,12 €∗ =
b) ( )( )
4
41+ 0,05 1
DC = 50.000 - 41.135,12 = 50.000 = 8864,88 €1+ 0,05
−∗
3.5. Comparação das diversas modalidades de desconto
A questão que se pode colocar é: qual dos três descontos estudados conduz a
um menor valor actual? Para responder à questão considere-se o seguinte
exemplo:
Exemplo 10
Considere-se um capital futuro (valor nominal) de 1.000 € e uma taxa de juro
(ou taxa de desconto) de 10% ao ano. Calcule o seu valor actual se faltarem 3
meses, 6 meses, 1 ano, 2 anos, 5 anos e 10 anos para o seu vencimento.
ACTUALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 26
Resolução
Tempo até ao vencimento
Desconto por Dentro
Desconto por Fora
Desconto Composto
3 meses 975,61 € 975,00 € 976,45 €6 meses 952,38 € 950,00 € 953,46 €
1 ano 909,09 € 900,00 € 909,09 €2 anos 833,33 € 800,00 € 826,45 €5 anos 666,67 € 500,00 € 620,92 €10 anos 500,00 € 0,00 € 385,54 €
A análise do quadro apresentado permite tirar as seguintes principais
conclusões:
As três modalidades de desconto proporcionam valores actuais
relativamente aproximados para fracções do ano;
Qualquer que seja o prazo de antecipação do vencimento de um capital, a
modalidade de desconto que produz um valor actual mais baixo é a do
desconto por fora;
Para prazos de antecipação do vencimento de um capital inferiores ao ano,
a modalidade de desconto que produz um valor actual mais alto é a do
desconto composto;
Para prazos de antecipação do vencimento de um capital superiores ao ano,
a modalidade de desconto que produz um valor actual mais alto é a do
desconto por dentro;
Para prazos de antecipação do vencimento de um capital longos, a
modalidade de desconto por fora produz, como já tínhamos visto, um valor
actual absurdo;
ACTUALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 27
3.6. Desconto bancário
Quando se definiu o desconto por fora disse-se que este tem grande
aplicabilidade na actividade comercial sendo mesmo muito aplicado na
actividade bancária.
Existe então um tipo de desconto, a que chamaremos de desconto bancário, de
letras e outros títulos de crédito, que se calcula com base no conceito de
desconto por fora.
Conceitos genéricos
O desconto bancário é, portanto, o preço pago a uma instituição bancária para
obter uma determinada quantia antecipadamente em relação ao seu
vencimento.
Nas modernas economias as entidades que fornecem bens e/ou serviços
proporcionam determinados prazos de pagamento. Isto é, o pagamento da
venda não acontece simultaneamente com a sua realização.
Mas, por vezes a entidade fornecedora tem necessidade de realizar o montante
da venda por questões de fundo de maneio, investimento, enfim para resolver
problemas de liquidez ou, ainda, por razões de segurança, na medida em que a
titulação do crédito por um título executivo facilita uma posterior cobrança
difícil.
Para tal emite um título de crédito.
Nesse título fica registado que o comprador deverá pagar uma certa quantia ao
fim de determinado prazo.
Mas a simples posse do título não dá liquidez ao credor. Para que ele possa
dispor imediatamente do capital terá de propor a uma instituição bancária a
negociação do título. Em caso de aprovação da operação, a instituição dará ao
fornecedor uma quantia pelo título e ao fim do prazo estipulado o devedor
liquidará o titulo junto do banco que adiantou o capital.
ACTUALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 28
Na actividade comercial o título mais usado é a letra.
Pode-se então definir a letra como um título de crédito pelo qual uma entidade
(pessoa ou organização) dá ordem a outra para pagar determinada quantia, no
fim de um certo período de tempo a quem possuir o título.
A entidade que ordena o pagamento denomina-se sacador, a entidade que tem
de proceder ao pagamento é o sacado e o legítimo possuidor do título (o
portador) é o tomador ou endossado. Ao prazo estipulado chama-se
vencimento da letra.
Sendo a letra um título emitido pelo sacador, não basta a sua emissão para que
o sacado seja obrigado a pagar o título. Para que tal obrigação exista de facto,
em termos legais, tem de o sacado declarar que realmente deve aquela quantia.
Esta declaração de dívida chama-se aceite da letra.
Os principais intervenientes numa letra são portanto: Sacador, Sacado
(Aceitante) e o Tomador.
No entanto pode suceder que o sacado não tenha grande aceitação junto do
tomador e/ou do sacador não oferecendo garantia de crédito suficientes para a
emissão, endosso ou desconto da letra.
Para tal o sacador exige que haja uma outra entidade (pessoa ou organização)
que preste o seu aval ao sacado.
Esta entidade, no caso de incumprimento por parte do sacado, terá de substitui-
lo nas obrigações que assumiu perante o sacador.
Assim os intervenientes duma letra podem ser além do sacador, do sacado e do
tomador, o avalista.
Uma letra pode ser transferida, tendo por isso a capacidade de poder ser usada
como meio de pagamento.
A esta transferência da letra chamaremos endosso.
Pode ser endossada sucessivamente e em qualquer ponto da cadeia de endossos
pode ser pedido pelo novo tomador a prestação de um aval adicional.
ACTUALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 29
Assim os intervenientes numa letra podem então ser:
No dia do vencimento o portador apresenta a letra ao sacado para liquidação.
No caso de o sacado não proceder ao pagamento do título, a letra deve ser
apresentada a protesto pelo sacador.
O protesto de uma letra, que deve ser feito em Cartório Notarial, é uma figura
jurídica prevista e legislada em articulação específica do Código Comercial.
Negociação do desconto bancário e produto líquido do desconto
A letra é, como já se viu, um título de crédito com capacidade para circular
entre diversas entidades.
Em qualquer ponto da circulação, a que chamamos cadeia de endossos, pode o
portador da letra tomar três atitudes.
1. Guardar a letra até ao seu vencimento, para que nessa data lhe seja pago
o valor nominal;
2. Transferir a letra, endossando-a a um credor, usando-a portanto como
meio de pagamento;
3. Endossar a letra a um banco, isto é, descontando o seu valor nominal,
realizando imediatamente o valor do crédito que a letra representava.
O que nos interessa agora analisar é o processo que conduz a realização
imediata do capital da letra, por desconto numa instituição bancária.
A operação de desconto traz vantagens para o portador e para o banco.
Avalista
Sacador
Sacado
1º Tomador 1º Endossante
1º Tomador 1º Endossante
Avalista
ACTUALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 30
Para o possuidor da letra a vantagem reside no facto de lhe permitir realizar
imediatamente um capital que só estaria disponível ao fim de algum tempo, isto
é, possibilita-lhe a antecipação de um vencimento.
O banco tem a possibilidade de ganhar a diferença entre o capital que cede ao
portador da letra e o que irá receber do sacado no seu vencimento.
Quando uma entidade necessita de descontar uma letra inicia-se um processo
negocial entre o banco e o portador da letra.
Assim o portador da letra deverá propor ao banco o desconto da letra
preenchendo para tal um impresso próprio e anexando o respectivo título de
crédito.
No caso do banco responder afirmativamente ao pedido de desconto solicitado
pelo portador da letra, ser-lhe-á creditado na sua conta o valor nominal da letra
deduzido dos encargos de desconto.
Isto é, o portador suportará os custos da negociação da letra, que representam
no fundo o preço que ele paga para ter o montante da letra disponível
antecipadamente, relação ao vencimento acordado.
Os encargos de desconto são constituídos basicamente por:
Juros (J) - montante de juros relativos ao período de antecipação, que vai
desde a data de desconto até a data de vencimento (como legalmente se
concedem dois dias úteis de tolerância no pagamento de uma letra, para
efeitos de cálculos de juros somam-se dois dias úteis ao prazo de
antecipação). A taxa de juro incide sobre o valor nominal da letra, pois em
desconto bancário utiliza-se o desconto por fora.
VN Valor nominal da letra.n 2J VN i i Taxa de juro anual nominal acordada.360
n Nº de dias de antecipação do vencimento.
−
+= ∗ ∗ −
−
Comissão (C) - remuneração dos serviços da instituição de crédito que
negoceia o desconto. Este valor é calculado com base numa taxa que incide
ACTUALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 31
sobre o valor nominal da letra e pode ser negociado com a instituição
bancária. A taxa negociada depende dos locais de desconto e pagamento do
título. Será superior se não forem coincidentes.
C VN c c Taxa da comissão bancária.= ∗ −
Imposto (I) - imposto com que o Estado tributa estas operações de desconto.
Incide sobre os juros e a comissão bancária.
s sI (J C) t t Taxa de imposto de selo.= + ∗ −
Diversos (D) - despesas diversas cobradas pelos serviços prestados pelo
banco. Estas despesas podem englobar rubricas tais como portes, telefones,
telegramas, ...
O valor do desconto bancário (DB) será então a soma de todos os encargos de
desconto:
( )
s
s
DB J C I D
n 2 n 2DB VN i VN c VN i VN c t D360 360
n 2DB VN i c 1 t D360
= + + +
+ +⎛ ⎞= ∗ ∗ + ∗ + ∗ ∗ + ∗ ∗ +⎜ ⎟⎝ ⎠
+⎡ ⎤⎛ ⎞= ∗ ∗ + ∗ + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Então o valor creditado na conta do portador da letra, a que chamaremos
produto líquido do desconto (PLD), será a diferença entre o valor nominal da
letra e o desconto bancário:
( )
( )
s
PLD VN DB
n 2PLD VN VN i c 1 t D360
= −
+⎡ ⎤⎛ ⎞= − ∗ ∗ + ∗ + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
sn + 2PLD = VN * 1 - i * + c * 1+ t - D360
ACTUALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 32
Taxa anual efectiva da operação de desconto bancário
Sendo o montante do desconto bancário o preço pago pelo portador de um
título de crédito pela antecipação de um vencimento, deve-se então calcular
qual é a taxa efectivamente suportada na operação de desconto bancário.
Esta taxa será calculada com base no valor realmente recebido, o produto
líquido do desconto, o valor nominal da letra e o tempo de antecipação da
realização de fundos:
n365
aVN PLD (1 i )= ∗ +
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
365n
aVNi = - 1PLD
Exemplo 11
Um comerciante, portador de uma letra de 2.000 €, por necessitar de liquidez,
propôs ao banco o seu desconto imediato quando faltavam 90 dias para o seu
vencimento. Sabendo que as condições negociadas com o banco foram:
Taxa de juro anual nominal: 8%
Comissão bancária: 0,4%
Taxa de imposto de selo: 4%
Portes: 5 €
determine:
a) O montante que o banco creditará na conta do comerciante.
b) A taxa anual efectiva da operação de desconto.
ACTUALIZAÇÃO
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 33
Resolução
a) ( )90 2PLD 2.000 1 0,08 0,004 1 0,04 5 1.944,74 €360+⎡ ⎤⎛ ⎞= ∗ − ∗ + ∗ + − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
b) 36590
a2.000i = - 1 = 12,03%
1.944,74⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
RENDAS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 34
4. RENDAS
4.1. Conceitos genéricos
Renda é uma sucessão de capitais (Tk) que se vencem periodicamente ao longo
do tempo, sendo que, o espaço que medeia o vencimento de capitais
consecutivos é constante.
Exemplo de uma renda: Um jovem casal, vai comprar uma casa com um
financiamento bancário de 50.000 Euros, contratado à taxa de 6%, a amortizar em 30
anos, mediante o pagamento de prestações mensais.
O negócio anterior configura uma situação de renda pois as entregas são em
datas conhecidas e com intervalos de tempos, entre elas todos iguais.
Ao intervalo de tempo entre cada vencimento, isto é, o tempo que vai de um
vencimento de capital até ao vencimento imediatamente a seguir, chamamos
período da renda.
Cada um dos capitais que vence periodicamente é o termo de renda.
4.2. Classificação das Rendas
De acordo com as diferentes situações em que se pode negociar uma renda,
poderemos classificar as rendas segundo quatro critérios:
Variabilidade dos seus termos:
Renda de termos constantes se todos os termos são iguais.
Renda de termos variáveis se ao longo do tempo os termos forem diferentes.
0 1 2 3 4 n-1 n
T1 T2 T3 T4 Tn-1 Tn
RENDAS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 35
Número de termos:
Renda Temporária se o número de termos for finito.
Renda Perpétua se o número de termos for ilimitado.
Período de referência da taxa de juro:
Renda Inteira Se o seu período coincide com o período de referência da taxa de juro.
Renda Fraccionada Se o seu período não coincide com o período de referência da taxa de juro.
Existência de período de diferimento:
Renda Imediata Quando não existe um período de diferimento.
Renda Diferida Quando existe um período de diferimento.
Vencimento dos termos:
Renda Postcipada Os termos de renda vencem-se no final de cada período de renda.
Renda Antecipada Os termos de renda vencem-se no início de cada período de renda.
Finalidade:
Renda de Acumulação Se o objectivo da constituição da renda for obter um valor acumulado no futuro.
Renda de Rendimento Se o objectivo da constituição da renda for obter um rendimento periódico no futuro.
Renda de Amortização Se o objectivo da constituição da renda for amortizar um valor actual no futuro.
RENDAS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 36
4.3. Rendas temporárias inteiras
4.3.1. Rendas imediatas de termos constantes e postcipados
Esquematicamente esta renda pode ser representada por:
Para determinar o valor actual da renda (C0) temos de actualizar todos os
termos da renda para o momento inicial (momento 0).
1 2 3 n0
1 2 3 n0
-1
0
Soma de n termos em progressão geométrica com razão (1 i)
C T (1 i) T (1 i) T (1 i) ......... T (1 i)
C T (1 i) (1 i) (1 i) ......... (1 i)
C T (1 i)
− − − −
− − − −
−
⎡ ⎤⎣ ⎦
= +
= ∗ + + ∗ + + ∗ + + + ∗ +
= ∗ + + + + + + + +
= ∗ +
n i
n1
1
n
0
n i0
1 (1 i)1 (1 i)
1 (1 i)C T i
C T
−
−
−
− +∗− +
− += ∗
= ∗
a
a
A expressão, a que atribuímos a designação n i a , permite calcular o valor
actual de uma renda com n termos iguais, postcipados e unitários à taxa de juro
i.
Exemplo 12
Qual o valor actual de uma renda de 20 termos anuais e postcipados de 350 €
cada sabendo que o 1º termo vence-se daqui a um ano? Considere uma taxa de
juro anual de 5%.
0 1 2 3 4 n-1 n
T T T T T T
RENDAS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 37
Resolução
20
n i 20 5%0 1 (1 0,05)C T 350 350 4.361,77 €0,05
−− += ∗ = ∗ = ∗ =a a
Para determinar o valor futuro da renda (Cn) temos de capitalizar todos os
termos da renda para o momento final (momento n).
n 1 n 2 n 3n
n 1 n 2 n 3n
-1
n 1n
Soma de n termos em progressão geométrica com razão (1 i)
C T (1 i) T (1 i) T (1 i) ......... T
C T (1 i) (1 i) (1 i) ......... 1
1 (1 i)C T (1 i)
− − −
− − −
−
⎡ ⎤⎣ ⎦
= +
= ∗ + + ∗ + + ∗ + + +
= ∗ + + + + + + +
− += ∗ + ∗
n i
n
1
n n
n 1
n
n
n in
1 (1 i)
(1 i) 1 (1 i)C T (1 i) 1 (1 i)
(1 i) 1C T i
C T
−
−
−
−
− +
+ − += ∗ ∗+ − +
+ −= ∗
= ∗
s
s
A expressão, a que atribuímos a designação n i s , permite calcular o valor
futuro de uma renda com n termos iguais, postcipados e unitários à taxa de juro
i.
Exemplo 13
Qual o valor futuro de uma renda de 10 termos anuais e postcipados de 250 €
cada sabendo que o 1º termo vence-se daqui a um ano? Considere uma taxa de
juro anual de 5%.
RENDAS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 38
Resolução
10
n i 10 5%10 (1 0,05) 1C T 250 250 3.144,47 €0,05+ −= ∗ = ∗ = ∗ =s s
4.3.2. Rendas imediatas de termos constantes e antecipados
Esquematicamente esta renda pode ser representada por:
Para determinar o valor actual da renda (C0) temos de actualizar todos os
termos da renda para o momento inicial (momento 0).
(n 1)1 2 30
(n 1)1 2 30
-1Soma de n termos em progressão geométrica com razão (1 i)
C T T (1 i) T (1 i) T (1 i) ......... T (1 i)
C T 1 (1 i) (1 i) (1 i) ......... (1 i)
− −− − −
− −− − −⎡ ⎤⎣ ⎦
= +
= + ∗ + + ∗ + + ∗ + + + ∗ +
= ∗ + + + + + + + + +
n i
n
0 1
n
0
n i0
1 (1 i)C T1 (1 i)
1 (1 i)C T (1 i)i
C T (1 i)
−
−
−∗
∗
− += ∗− +
− += ∗ +
= ∗ +
a
a
Exemplo 14
Qual o valor actual de uma renda de 20 termos anuais e antecipados de 350 €
cada sabendo que o 1º termo vence-se hoje? Considere uma taxa de juro anual
de 5%.
0 1 2 3 4 n-1 n
T T T T T T
RENDAS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 39
Resolução
20
n i 20 5%0 1 (1 0,05)C T (1 i) 350 (1 5%) 350 (1 0,05) 4.579,86 €0,05
−− += ∗ ∗ + = ∗ ∗ + = ∗ ∗ + =a a
Para determinar o valor futuro da renda (Cn) temos de capitalizar todos os
termos da renda para o momento final (momento n).
n n 1 n 2n
n n 1 n 2n
-1
nn
Soma de n termos em progressão geométrica com razão (1 i)
C T (1 i) T (1 i) T (1 i) ......... T (1 i)
C T (1 i) (1 i) (1 i) ......... (1 i)
1 (C T (1 i)
− −
− −⎡ ⎤⎣ ⎦
= +
= ∗ + + ∗ + + ∗ + + + ∗ +
= ∗ + + + + + + + +
−= ∗ + ∗
n i
n
1
n n
n 1
n
n
n in
1 i)1 (1 i)
(1 i) 1 (1 i)C T (1 i)(1 i) 1 (1 i)
(1 i) 1C T (1 i)i
C T (1 i)
−
−
−
−
+− +
+ − += ∗ ∗ ∗ ++ − +
+ −= ∗ ∗ +
= ∗ ∗ +
s
s
Exemplo 15
Qual o valor futuro de uma renda de 10 termos anuais e antecipados de 250 €
cada sabendo que o 1º termo vence-se hoje? Considere uma taxa de juro anual
de 5%.
Resolução
10
n i 10 5%10 (1 0,05) 1C T (1 i) 250 (1 5%) 250 (1 0,05) 3.301,70 €0,05+ −= ∗ ∗ + = ∗ ∗ + = ∗ ∗ + =s s
RENDAS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 40
4.3.3. Rendas diferidas de termos constantes e postcipados
Esquematicamente esta renda pode ser representada por:
Para determinar o valor actual da renda (C0) temos que capitalizar C0 para o
momento m e actualizar todos os termos da renda para o momento m.
m 1 2 3 n0
m 1 2 3 n0
-1Soma de n termos em progressão geométrica com razão (1 i)
C (1 i) T (1 i) T (1 i) T (1 i) ......... T (1 i)
C (1 i) T (1 i) (1 i) (1 i) ......... (1 i)
− − − −
− − − −⎡ ⎤⎣ ⎦
= +
∗ + = ∗ + + ∗ + + ∗ + + + ∗ +
∗ + = ∗ + + + + + + + +
n i
nm 1
0 1
nm
0
mn i0
1 (1 i)C (1 i) T (1 i)1 (1 i)
1 (1 i)C (1 i) T i
C T (1 i)
−−
−
−
−
− +∗ + = ∗ + ∗− +
− +∗ + = ∗
= ∗ ∗ +
a
a
Exemplo 16
Qual o valor actual de uma renda de 20 termos anuais e postcipados de 350 €
cada sabendo que o 1º termo vence-se daqui a 4 anos? Considere uma taxa de
juro anual de 5%.
Resolução
Prazo de diferimento ⇒ m = 3 anos
0 m m+1 m+2 m+n-1 m+n
T T T T
Período de diferimento
RENDAS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 41
m 3n i 20 5%0
203
0
C T (1 i) 350 (1 5%)
1 (1 0,05)C 350 (1 0,05) 3.767,86 €0,05
− −
−−
= ∗ ∗ + = ∗ ∗ +
− += ∗ ∗ + =
a a
Para determinar o valor futuro da renda (Cn) temos de capitalizar todos os
termos da renda para o momento final (momento n).
n 1 n 2 n 3n
n 1 n 2 n 3n
-1
n 1n
Soma de n termos em progressão geométrica com razão (1 i)
C T (1 i) T (1 i) T (1 i) ......... T
C T (1 i) (1 i) (1 i) ......... 1
1 (1 i)C T (1 i)
− − −
− − −
−
⎡ ⎤⎣ ⎦
= +
= ∗ + + ∗ + + ∗ + + +
= ∗ + + + + + + +
− += ∗ + ∗
n i
n
1
n n
n 1
n
n
n in
1 (1 i)
(1 i) 1 (1 i)C T (1 i) 1 (1 i)
(1 i) 1C T i
C T
−
−
−
−
− +
+ − += ∗ ∗+ − +
+ −= ∗
= ∗
s
s
Exemplo 17
Qual o valor futuro de uma renda de 10 termos anuais e postcipados de 250 €
cada sabendo que o 1º termo vence-se daqui a 4 anos? Considere uma taxa de
juro anual de 10%.
Resolução
Prazo de diferimento ⇒ m = 3 anos
RENDAS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 42
10n i 10 10%13
(1 0,10) 1C T 250 250 3.984,36 €0,10+ −= ∗ = ∗ = ∗ =s s
4.3.4. Rendas diferidas de termos constantes e antecipados
Esquematicamente esta renda pode ser representada por:
Para determinar o valor actual da renda (C0) temos que capitalizar C0 para o
momento m e actualizar todos os termos da renda para o momento m.
m 1 2 n0
m 1 2 n0
-1
m0
Soma de n termos em progressão geométrica com razão (1 i)
C (1 i) T T (1 i) T (1 i) ......... T (1 i)
C (1 i) T 1 (1 i) (1 i) ......... (1 i)
1 (C (1 i) T
− − −
− − −⎡ ⎤⎣ ⎦
= +
∗ + = + ∗ + + ∗ + + + ∗ +
∗ + = ∗ + + + + + + +
−∗ + = ∗
n i
n
1
nm
0
m 1n i0
1 i)1 (1 i)
1 (1 i)C (1 i) T (1 i)i
C T (1 i)
−
−
−
− +
∗
+− +
− +∗ + = ∗ +
= ∗ ∗ +
a
a
Exemplo 18
Qual o valor actual de uma renda de 20 termos anuais e antecipados de 500 €
cada sabendo que o 1º termo vence-se daqui a 5 anos? Considere uma taxa de
juro anual de 10%.
0 m m+1 m+2 m+n-1 m+n
T T T T
Período de diferimento
RENDAS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 43
Resolução
Prazo de diferimento ⇒ m = 5 anos
m 1 4n i 20 10%0
204
0
C T (1 i) 500 (1 10%)
1 (1 0,10)C 500 (1 0,10) 2.907,44 €0,10
− + −
−−
= ∗ ∗ + = ∗ ∗ +
− += ∗ ∗ + =
a a
Para determinar o valor futuro da renda (Cn) temos de capitalizar todos os
termos da renda para o momento final (momento n).
n n 1 n 2n
n n 1 n 2n
-1
nn
Soma de n termos em progressão geométrica com razão (1 i)
C T (1 i) T (1 i) T (1 i) ......... T (1 i)
C T (1 i) (1 i) (1 i) ......... (1 i)
1 (C T (1 i)
− −
− −⎡ ⎤⎣ ⎦
= +
= ∗ + + ∗ + + ∗ + + + ∗ +
= ∗ + + + + + + + +
−= ∗ + ∗
n i
n
1
n n
n 1
n
n
n in
1 i)1 (1 i)
(1 i) 1 (1 i)C T (1 i)(1 i) 1 (1 i)
(1 i) 1C T (1 i)i
C T (1 i)
−
−
−
−
+− +
+ − += ∗ ∗ ∗ ++ − +
+ −= ∗ ∗ +
= ∗ ∗ +
s
s
Exemplo 19
Qual o valor futuro de uma renda de 10 termos anuais e antecipados de 1.000 €
cada sabendo que o 1º termo vence-se daqui a 4 anos? Considere uma taxa de
juro anual de 7%.
RENDAS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 44
Resolução
Prazo de diferimento ⇒ m = 4 anos
10
n i 10 7%14 (1 0,07) 1C T (1 i) 1.000 (1 7%) 1.000 (1 0,07) 14.783,60 €0,07+ −= ∗ ∗ + = ∗ ∗ + = ∗ ∗ + =s s
4.4. Rendas temporárias fraccionadas
Uma das classificações de rendas desenvolvida no ponto 4.2. assentava na
relação entre o período da taxa de juro e o período da renda. No caso desses
dois períodos serem coincidentes tratava-se de uma renda inteira.
Por oposição podemos então definir uma renda temporária fraccionada como
uma sucessão de um número limitado de capitais que se vencem
periodicamente ao longo do tempo em que o período da taxa de juro é diferente
do período da renda.
O período da taxa será portanto igual a x períodos da renda. Para o caso
particular de x = 1 temos uma renda inteira.
Por exemplo se uma renda semestral for avaliada a uma taxa anual teremos
x = 2, isto é o período da taxa é igual a dois períodos da renda.
A solução que será utilizada para resolver o assincronismo entre o período da
taxa de juro e o período da renda consiste em utilizar a taxa de juro
equivalente referenciada ao período da renda. Vejamos o seguinte exemplo:
Exemplo 20
Determine o valor actual e futuro de uma renda de 10 termos trimestrais e
postcipados de 1.000 € cada sabendo que o 1º termo vence-se daqui a 1 ano?
Considere uma taxa de juro anual de 10%.
RENDAS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 45
Resolução
Período da renda: trimestre
Período da taxa de juro: ano
Como a renda é trimestral temos que calcular a taxa de juro trimestral
equivalente:
4 1/41/4 1/4(1 i) (1 i ) i (1 0,10) 1 2,411%+ = + ⇒ = + − =
Então, os valores actual e futuro da renda serão:
1/4
1/4
10n i 10 2, 411%0
10n i 10 2, 411%10
1 (1 0,02411)C T 1.000 1.000 8.792,45 €0,02411
(1 0,02411) 1C T 1.000 1.000 11.157,74 €0,02411
−− += ∗ = ∗ = ∗ =
+ −= ∗ = ∗ = ∗ =
a a
s s
Refira-se que a solução utilizada será válida para os vários tipos de rendas
estudados.
4.5. Rendas perpétuas
De acordo com a classificação das rendas desenvolvida no ponto 4.2. uma renda
perpétua é uma sucessão de capitais em número infinito.
Uma renda perpétua pode ser postcipada ou antecipada, imediata ou diferida,
constante ou variável e ainda inteira ou fraccionada.
Iremos somente estudar as rendas perpétuas de termos constantes, imediatas,
postcipadas ou antecipadas por serem aquelas que têm maior aplicabilidade na
actividade comercial e financeira.
RENDAS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 46
4.5.1. Rendas imediatas de termos constantes e postcipados
Esquematicamente esta renda pode ser representada por:
Para determinar o valor actual da renda (C0) temos de actualizar todos os
termos da renda para o momento inicial (momento 0).
n
n i
n
0
0
lim1 (1 i)C T i
TCi
→∞
−− += ∗
=
a
Exemplo 21
Determine o valor actual de uma renda perpétua de 10 termos anuais e
postcipados de 1.000 € cada sabendo que o 1º termo vence-se daqui a 1 ano?
Considere uma taxa de juro anual de 10%.
Resolução
01.000C 10.000 €0,10
= =
0 1 2 3 4
T T T T
RENDAS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 47
4.5.2. Rendas imediatas de termos constantes e antecipados
Esquematicamente esta renda pode ser representada por:
Para determinar o valor actual da renda (C0) temos de actualizar todos os
termos da renda para o momento inicial (momento 0).
n
n i
n
0
0
lim1 (1 i)C T (1 i)i
TC (1 i)i
→∞
−∗
∗
− += ∗ +
= +
a
Uma última nota para referir que o conceito de valor futuro não tem aplicação,
no caso das rendas perpétuas, pois não há um momento futuro em que seja
pago o último termo de renda.
0 1 2 3 4
T T T T T
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 48
5. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
5.1. Noção e características dos empréstimos financeiros
Um Empréstimo é uma operação financeira através da qual um dado indivíduo
(mutuante) cede a outro (mutuário) uma dada quantia C0, por um dado período
de tempo n, obrigando-se o segundo a devolver essa quantia, de uma só vez ou
em montantes fraccionados, acrescida de juros à taxa convencionada.
Diversos são os critérios de classificação dos empréstimos; o que mais interessa,
porém, no contexto do Cálculo Financeiro diz respeito ao processo de
amortização dos mesmos, ou seja, ao modo como esses empréstimos são
liquidados. São múltiplas as hipóteses neste domínio, sendo que, em qualquer
dos casos, deve observar-se o denominado princípio fundamental da
amortização de empréstimos, o qual estabelece que, à data do contrato, o valor
actual das obrigações do mutuante equivale ao valor actual das obrigações do mutuário.
Tal princípio decorre do próprio princípio da equivalência de capitais que
formalizámos anteriormente, pelo que podemos afirmar que o capital cedido
pelo mutuante é equivalente, no momento do contrato, ao montante dos
reembolsos a efectuar pelo mutuário, à taxa de juro acordada entre ambos.
5.2. Sistemas de amortização de empréstimos
Os vários sistemas de amortização de empréstimos distinguem-se atendendo,
fundamentalmente, a dois factores:
ao modo de reembolso do capital;
ao modo de pagamento dos juros.
No presente contexto, começaremos por tratar dos sistemas de reembolso
único em que o capital é reembolsado de uma só vez, sendo os juros pagos de
acordo com uma das seguintes hipóteses: pagamento periódico de juros ou
pagamento de juros no final.
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 49
Também os sistemas reembolsos periódicos em que o capital é amortizado de
modo escalonado ao longo do prazo do empréstimo serão alvo do nosso interesse.
Nos sistemas de amortização com reembolsos periódicos, há sempre lugar à
constituição de uma renda de amortização, uma vez que os termos são
entregues ao mutuante, reduzindo o montante do capital em dívida. Cada
termo da renda (que notaremos por Tk) é composto por duas parcelas:
uma parcela de juro (ou quota de juro), calculada sobre o valor do
capital em dívida no início de cada período, representada por Jk;
e uma parcela de reembolso (ou quota de capital), que amortiza parte do
capital em dívida e que designaremos por Mk.
Deste modo, o termo genérico da renda de amortização referente a um dado
período k será dado por:
k k kT = J + M
No que concerne à evolução das parcelas que compõem o termo da renda,
verificaremos que, ao longo da vida de um dado empréstimo, a parcela Jk será
sempre decrescente, uma vez que o montante do capital em dívida se reduz.
Quanto ao modo de evolução de Tk e de Mk, este é fixado pelas partes, podendo
obedecer a múltiplas hipóteses, à semelhança do que sucede com as rendas de
termos variáveis.
Porém, as situações mais vulgares são aquelas em que:
é constante o termo da renda de amortização (T),
ou é constante a quota de reembolso (M).
No contexto do nosso estudo, trataremos do sistema de reembolsos
progressivos ou sistema de prestações constantes - também conhecido por
sistema francês -, e do sistema de reembolsos constantes ou sistema de
prestações decrescentes, por vezes também designado por sistema italiano.
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 50
5.2.1. Sistemas de reembolso único
5.2.1.1. Sistema de reembolso único com pagamento periódico dos juros
Neste sistema, o montante inicial do empréstimo (C0) é liquidado no final do
prazo, sendo o juro, pago período a período, constante e igual a:
1 2 n 0J J J C i= = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ∗
Esquematicamente teremos:
Exemplo 22
A quantia de 5.000 € foi emprestada por um ano, tendo sido acordado que
seriam pagos juros mensais à taxa de 9% ao ano e o que o capital seria
devolvido no final do prazo. Calcule o montante de juro a entregar em cada
mês, o montante total pago a título de juros e o montante a entregar na última
prestação.
Resolução
Como o juro é pago mensalmente e a taxa que nos é indicada é uma taxa anual,
vamos primeiramente, recorrendo a uma relação de proporcionalidade, apurar
a taxa mensal que lhe corresponde. Logo, surge
1/129%i 0,75%12
= =
Uma vez conhecida a taxa mensal, o montante a pagar em cada mês será:
kJ 5.000 0,0075 37, 5 €= ∗ =
O montante total a pagar a título de juros será:
TJ 37, 5 12 450 €= ∗ =
0 1 2 3 4 n
+ C0 - J1 - J2 - J3 - J4 - (Jn+C0)
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 51
Por último, o montante a entregar no último período será:
0 nC J 5.000 37, 5 5.037, 50 €+ = + =
5.2.1.2. Sistema de reembolso único com acumulação de juro composto
Nesta possibilidade de amortização, deixa-se “correr” o empréstimo, não se
efectuando qualquer amortização de capital nem qualquer pagamento de juros.
No vencimento, o mutuário entrega ao mutuante o capital inicialmente cedido,
acrescido dos juros vencidos, calculados de acordo com o regime composto.
Assim o valor a liquidar no vencimento do empréstimo será:
( )nn 0C C 1 i= ∗ +
Esquematicamente teremos:
Exemplo 23
Uma empresa contraiu, hoje, um empréstimo no montante de 50.000 €
destinados à aquisição de um novo equipamento fabril. Daqui a quatro anos,
liquidará o montante de capital, bem como os juros acumulados de acordo com
o regime de capitalização composta à taxa anual de 6%. Calcule o montante a
entregar, após os 4 anos, à instituição que realizou o financiamento.
Resolução
O montante a liquidar passados quatro anos será:
( )44C 50.000 1 0,06 63.123,85 €= ∗ + =
0 1 2 3 4 n
+ C0 - C0∗(1+i)n
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 52
5.2.2. Sistemas de reembolsos periódicos
5.2.2.1. Sistema de prestações constantes (sistema francês)
Neste sistema, por decisão, é constante o termo da renda de amortização:
1 2 nT T T T= = ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = =
Por seu turno, o termo genérico da renda de amortização (prestação) será:
k kT J M= +
Se T é constante por decisão e Jk é decrescente por definição, resulta que as
amortizações de capital, ou seja, os Mk terão de ser, necessariamente, crescentes
em k. Eis porque se designa este processo de amortização por sistema de
amortização progressiva. Em termos esquemáticos, a situação descrita surge
representada do seguinte modo:
O capital mutuado C0 corresponde ao valor actual de uma renda de
amortização com n termos constantes iguais a T. Se recordarmos a expressão
que permite calcular o valor actual de uma renda imediata, de termos
constantes e postecipados teremos:
nn i0
1 (1 i)C T Ti−− += ∗ = ∗a
Esta expressão permite-nos calcular o montante de capital mutuado (C0),
conhecer o valor do termo da renda (T), ou determinar qualquer um dos outros
factores, tal como sucedia no caso das rendas. Aliás, a aplicação dos
conhecimentos adquiridos aquando do estudo das rendas assume, no contexto
da amortização de empréstimos, um carácter recorrente.
No sistema francês pode-se estabelecer uma relação diferentes quotas de
capital. Assim, a relação entre uma dada quota de capital e a quota de capital
imediatamente anterior será dada por:
k k 1 k 1M M M i− −= + ∗
0 1 2 3 4 n-1 n
+ C0 - T - T - T - T - T - T
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 53
Em cada período, a quota de capital surge acrescida do montante de juros que
deixam de ser pagos, isto é, Mk-l × i. Sendo o montante dos juros pagos em cada
período k calculados sobre o montante do capital em dívida no início desse
período, esse capital diminui em Mk-l, uma vez que foi essa a amortização de
capital efectuada no período anterior.
Pondo em evidência, vem:
( )k k 1M M 1 i−= ∗ +
Podemos generalizar, estabelecendo a relação existente entre uma dada quota
de capital k+m e uma outra quota de capital k:
( )mk m kM M 1 i+ = ∗ +
Da mesma forma, podemos considerar o caso particular da relação que se
estabelece entre uma dada quota de capital k e a primeira amortização
efectuada, surgindo então:
( )k 1k 1M M 1 i −= ∗ +
Logo, genericamente, Mk cresce em progressão geométrica de razão (1 + i).
Tendo em atenção a relação existente entre as diferentes quotas de capital
podemos igualmente estabelecer que:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n i
0 1 2 3 n
2 n 10 1 1 1 1
2 n 10 1
n i
0 1
C M M M M
C M M 1 i M 1 i M 1 i
C M 1 1 i 1 i 1 i
C M
−
−
= + + + ⋅⋅⋅⋅ +
= + ∗ + + ∗ + + ⋅⋅⋅⋅ + ∗ +
⎡ ⎤= + + + + + ⋅⋅⋅⋅ + +⎣ ⎦
= ∗s
s
Ao pretendermos determinar o montante de capital em dívida num
determinado momento – procedimento particularmente útil e necessário
quando queremos determinar os juros pagos num dado período k – ele vai
corresponder ao valor actualizado das prestações que se encontram por
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 54
liquidar. Notando por CDk o capital em dívida imediatamente após o
pagamento da prestação k, surge:
( )k
n k n - k i
1 (1 i)CD T Ti
−−− += ∗ = ∗a
Usando as quotas de capital podemos ainda estabelecer que:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n - k i
k k 1 k 2 k 3 n
2 n k 1k k 1 k 1 k 1 k 1
2 n k 1k k 1
n-k i
k k 1
CD M M M M
CD M M 1 i M 1 i M 1 i
CD M 1 1 i 1 i 1 i
CD M
+ + +
− −+ + + +
− −+
+
= + + + ⋅⋅⋅ ⋅+
= + ∗ + + ∗ + + ⋅⋅⋅⋅ + ∗ +
⎡ ⎤= + + + + + ⋅⋅⋅⋅ + +⎣ ⎦
= ∗s
s
Porém, em vez de pretendermos conhecer qual o montante de capital ainda em
dívida, poderá ser necessário determinar qual o montante de capital já
amortizado, após o pagamento de uma dada prestação de ordem k. Tal
importância resulta da diferença entre o montante de capital mutuado (C0) e o
montante de capital ainda não amortizado (CDk), cuja fórmula acabámos de
encontrar. Logo, se designarmos por CAk o capital amortizado após o
pagamento da prestação de ordem k, como CAk + CDk = C0, vem:
( )k 0 0
n k n - k i
1 (1 i)CA C T C Ti
−−− += − ∗ = − ∗a
Outro processo de apurar este montante é o que decorre das amortizações de
capital efectuadas até ao momento k, ou seja:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k i
k 1 2 3 k
2 k 1k 1 1 1 1
2 k 1k 1
k i
k 1
CA M M M M
CA M M 1 i M 1 i M 1 i
CA M 1 1 i 1 i 1 i
CA M
−
−
= + + + ⋅⋅⋅ ⋅ +
= + ∗ + + ∗ + + ⋅⋅⋅⋅ + ∗ +
⎡ ⎤= + + + + + ⋅⋅⋅⋅ + +⎣ ⎦
= ∗s
s
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 55
Esta última expressão permite-nos calcular o montante de capital já
amortizado após o pagamento de k prestações, sendo conhecido o valor da
primeira quota de capital.
O juro periódico será calculado tendo por base o montante do capital em dívida
no início do período a que o mesmo se reporta, teremos que:
k k 1J CD i−= ∗
Existem, porém, duas excepções, em que o cálculo do juro periódico surge mais
simplificado. É o caso das quotas de juro correspondentes à primeira e à última
prestações.
No caso da primeira prestação, o montante do capital em dívida coincide com o
próprio montante do empréstimo, pelo que:
1 0J C i= ∗
Já no que se refere à última prestação, o montante do capital em dívida no início
do período vai coincidir com a amortização efectuada nesse período, donde
surge:
n nJ M i= ∗
Por último, para se determinar a totalidade dos juros pagos durante a vida do
empréstimo teremos de subtrair à totalidade das prestações pagas (n∗T) o
capital mutuado (C0):
T 0J n T C= ∗ −
Exemplo 24
Um empréstimo no montante de 50.000 € vai ser liquidado nos próximos 10
anos através de prestações trimestrais constantes de capital e juros. Sabendo
que foi praticada uma taxa anual nominal de 12%, determine:
a) O valor de cada prestação trimestral.
b) O valor da 10ª quota de capital.
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 56
c) O valor do capital em dívida logo após o pagamento da 18ª prestação.
d) O capital amortizado após o pagamento da 20ª prestação.
e) A quota de juro incluída na 19ª prestação.
f) O valor dos juros totais pagos.
Resolução
a)
Estando na presença de uma taxa anual nominal e o empréstimo é liquidado
através de trimestralidades é necessário calcular a taxa trimestral que lhe
corresponde, isto é,
1/412%i 3%
4= =
Considerando que:
( ) 30
1/4 n i 3%01 1 0,03
50.000 30 50.0000,03
C T T T−− +
⇔ ⇔= ∗ = ∗ = ∗a a
obtém-se o valor de cada prestação trimestral constante de capital e juros:
T 2.550,96 €=
b)
O valor da 1ª quota de juro será:
1 0 1/4J C i 50.000 0,03 1.500 €= ∗ = ∗ =
Logo, o valor da 1ª quota de capital será:
1 1M T J 2.550,96 1.500 1.050,96 €= − = − =
Tendo o valor de M1 podemos determinar o valor de M10:
( ) ( )9 9
10 1 1/4M M 1 i 1.050,96 1 0,03 1.371,27 €= ∗ + = ∗ + =
c)
Logo após o pagamento da 18ª prestação o capital em dívida será:
1/418
1/4
12 12
1/4i 12 1 (1 i ) 1 (1 0,03)CD T T 2.550,96 25.392,30 €i 0,03=
− −− + − += ∗ ∗ = ∗ =a
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 57
d)
Logo após o pagamento da 20ª prestação o capital amortizado será:
( )1/420 1 1
1/4
2020 11/4i
1 20
1 0,03(1 i )CA M M 1.050,96 28.239,77 €i 0,03− −++
= ∗ = ∗ = ∗ =s
e)
O juro incluído na 19ª prestação é obtido da seguinte forma:
19 18 1/4J CD i 25.392,30 0,03 761,77 €= ∗ = ∗ =
f)
Os juros totais suportados durante toda a vida do empréstimo são:
T 0J n T C 30 2.550,96 50.000 26.528,80 €= ∗ − = ∗ − =
5.2.2.2. Sistema de reembolsos constantes
Neste sistema é constante a amortização ou reembolso de capital de cada termo
da renda:
1 2 nM M M M= = ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = =
Se M é constante por decisão e sendo Jk sempre decrescente, significa que Tk é, necessariamente, decrescente em k.
O termo genérico da renda de amortização (prestação) é dado por:
k kT J M= +
Porque a parcela de capital amortizado em cada período é sempre constante e
igual a M, então podemos concluir que a quota de juro a pagar em cada período
decresce em progressão aritmética à razão M∗i e logo a prestação evoluirá da
seguinte forma:
( )
2 1
2 1
3 1
k 1
T T M i
T T 2 M i
T T 3 M i
T T k 1 M i
= − ∗
= − ∗ ∗
= − ∗ ∗⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= − − ∗ ∗
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 58
Em termos esquemáticos, a situação descrita surge representada do seguinte
modo:
O valor de M, ou seja, o valor da parcela de capital a amortizar em cada
período é, então, igual ao montante do capital inicial dividido pelo número de
prestações de capital a efectuar, isto é:
0CMn
=
Podemos, ainda, estabelecer que o capital amortizado após o pagamento de
uma dada prestação k corresponde a:
kCA k M= ∗
enquanto que o capital ainda em dívida após o pagamento dessa prestação k
corresponde a:
( )kCD n k M= − ∗
No que concerne à quota de juro a pagar num dado momento k, esta vai ser
calculada tendo por base o montante do capital em dívida no início do período.
Ora, nesse momento, já terão sido efectuadas k-1 amortizações, estando por
realizar n-(k-1), donde resulta que:
( )k k-1J CD i n - k - 1 M i⎡ ⎤= ∗ = ∗ ∗⎣ ⎦
Porque, como já foi referido, a quota de juro a pagar em cada período decresce
em progressão aritmética à razão M∗i então pode-se estabelecer uma relação
entre qualquer quota de juro k e a quota de juro do 1º período:
( )
2 1
2 1
3 1
k 1
J J M i
J J 2 M i
J J 3 M i
J J k 1 M i
= − ∗
= − ∗ ∗
= − ∗ ∗⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= − − ∗ ∗
0 1 2 3 4 n-1 n
+ C0 - T1 - T2 - T3 - T4 - Tn-1 - Tn
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 59
Refira-se por último que os juros totais suportados durante a vida do
empréstimo poderão ser facilmente determinados através da seguinte
expressão:
n1 n
T ii 1
J JJ J n2=
+= = ∗∑
em que:
1 0 nJ C i e J M i= ∗ = ∗
Exemplo 25
Um empréstimo no montante de 20.000 € vai ser amortizado através de 20
reembolsos semestrais constantes de capital. Sabendo que foi praticada uma
taxa anual nominal de 10%, determine:
a) O valor da 10ª prestação a pagar.
b) O valor do capital em dívida logo após o pagamento da 13ª prestação.
c) O capital amortizado após o pagamento da 17ª prestação.
d) A quota de juro incluída na 10ª prestação.
e) O valor dos juros totais pagos.
Resolução
a)
Estando na presença de uma taxa anual nominal e o empréstimo é liquidado
através de semestralidades é necessário calcular a taxa semestral que lhe
corresponde, isto é,
1/210%i 5%
2= =
O valor de cada reembolso constante de capital será de:
0C 20.000M 1.000 €n 20
= = =
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 60
A quota de juro incluída na 1ª prestação ascenderá a :
1 0 1/2J C i 20.000 0,05 1.000 €= ∗ = ∗ =
e logo o valor da 1ª prestação será de:
1 1T J M 1.000 1.000 2.000 €= + = + =
Considerando a relação existente entre a 1ª prestação e a 10ª prestação obtém-se:
10 1 1/2T T 9 M i 2.000 9 1.000 0,05 1.550 €= − ∗ ∗ = − ∗ ∗ =
b)
Logo após o pagamento da 13ª prestação o capital em dívida será:
( )13CD 20 13 M 7 1.000 7.000 €= − ∗ = ∗ =
c)
Logo após o pagamento da 17ª prestação o capital amortizado será:
17CA 17 M 17 1.000 17.000 €= ∗ = ∗ =
d)
O juro incluído na 10ª prestação poderá ser obtido através da relação existente
com a 1ª quota de juro:
10 1 1/2J J 9 M i 1.000 9 1.000 0,05 550 €= − ∗ ∗ = − ∗ ∗ =
e)
O valor da última quota de juro é:
20 1/2J M i 1.000 0,05 50 €= ∗ = ∗ =
Os juros totais suportados durante toda a vida do empréstimo são:
1 20T
J J 1.000 50J 20 20 10.500 €2 2+ +
= ∗ = ∗ =
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 61
5.3. Construção de quadros de amortização
Os quadros de amortização têm como objectivo dar conta do "andamento" de
um determinado empréstimo, isto é, indicar que valores assumem, em cada
momento, os montantes do capital em dívida, da quota de juro, da quota de
capital, da prestação a pagar, ou ainda, fornecer informação relativa a outras
variáveis consideradas relevantes para o processo de amortização.
Podemos descrever os quadros de amortização como sendo quadros de dupla
entrada. Em linha, surge identificado o período de tempo k; enquanto isso, em
coluna, teremos a informação relativa aos elementos acima referenciados, do
modo que passamos a caracterizar mais circunstanciadamente.
A primeira coluna indica o valor do capital em dívida no início de cada
período.
A segunda coluna dá conta dos juros a pagar no período, sendo Jk obtido
multiplicando por i o valor do capital em dívida no início de k.
A terceira coluna informa quanto ao valor da amortização de capital
(reembolso) a efectuar em cada período, ou seja, quanto ao valor de Mk.
Por último, na quarta coluna inscrevem-se os valores referentes à prestação
efectivamente paga, ou seja, aos Tk, que resultam da adição dos valores de Jk e
de Mk.
Atendendo às características descritas, os quadros de amortização surgem com
a seguinte estrutura:
Período k Capital em dívida no início do período K
(CDk-1)
Juro (Jk)
Amortização (Mk)
Prestação (Tk)
1 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ n
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 62
Exemplo 26
Um empréstimo no montante de 10.000 € vai ser liquidado através de 5
semestralidades. Sabendo que foi praticada uma taxa anual nominal de 8%,
construa o quadro de amortização caso seja adoptado o:
a) Sistema de prestações constantes (sistema francês).
b) Sistema de reembolsos constantes.
Resolução
a)
Estando na presença de uma taxa anual nominal e o empréstimo é liquidado
através de semestralidades é necessário calcular a taxa semestral que lhe
corresponde, isto é,
1/28%i 4%2
= =
Considerando que:
( ) 5
n i 4%0 5 1 1 0,04
C T 10.000 T 10.000 T 0,04
−
⇔ ⇔− +
= ∗ = ∗ = ∗a a
obtém-se o valor de cada prestação trimestral constante de capital e juros:
T 2.246,27 €=
O quadro de amortização correspondente será:
Semestre k CDk-1 Jk Mk T
1 10.000,00 400,00 1.846,27 2.246,27
2 8.153,73 326,15 1.920,12 2.246,27
3 6.233,61 249,34 1.996,93 2.246,27
4 4.236,68 169,47 2.076,80 2.246,27
5 2.159,88 86,40 2.159,88 2.246,27
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 63
b)
O valor de cada reembolso constante de capital será de:
0C 10.000M 2.000 €n 5
= = =
O quadro de amortização correspondente será:
Semestre k CDk-1 Jk M Tk
1 10.000 400 2.000 2.400
2 8.000 320 2.000 2.320
3 6.000 240 2.000 2.240
4 4.000 160 2.000 2.160
5 2.000 80 2.000 2.080
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano)
FORMULÁRIO
A . CAPITALIZAÇÃO
1. Regime Simples
i CJ 0K ∗=
2. Regime Composto
n0n i)(1 CC +∗= 0
n0T Ci)(1 CJ −+∗= i i)(1 CJ 1-K
0K ∗+∗=
i n C -J JJ 0TT ∗∗= i C -J JJ 0KK ∗=
3. Regime Dito Simples
i) n (1 CC 0n ∗+∗= i CJ 0K ∗= i n CJ 0T ∗∗=
B. TAXAS DE JURO
m i i
(m)
1/m = 1i)(1 i 1/m
1/m −+=
C. ACTUALIZAÇÃO
1. Desconto Composto
-tnt-n i)(1 CC +∗= t
t
n i)(11 i)(1 CDC
+−+
∗=
2. Desconto por Dentro
i) t (1
CC n
t-n ∗+=
i t 1i t CDD n ∗+
∗∗=
3. Desconto por Fora
d) t (1 CC nt-n ∗−∗= d t CDF n ∗∗=
4. Desconto Bancário
( ) Dt1c360
2ti1VNPLD s −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+∗⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+∗−∗=
Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano)
D. RENDAS FINANCEIRAS
n
n i1 (1 i)
i
−− +=a
nn i
(1 i) 1 i
+ −=s
1. Rendas temporárias, imediatas e de termos constantes
n i0C T = ∗a n inC T = ∗s
n i0C T (1 i)= ∗ ∗ +a n inC T (1 i)= ∗ ∗ +s
2. Rendas temporárias, diferidas e de termos constantes
mn i0C T (1 i)−= ∗ ∗ +a n inC T = ∗s
m 1n i0C T (1 i)− += ∗ ∗ +a n inC T (1 i)= ∗ ∗ +s
3. Rendas perpétuas, imediatas e de termos constantes
0TCi
= 0TC (1 i)i
= ∗ +
E.AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
1. Sistema de Prestações Constantes (Sistema Francês )
n i0C T = ∗a n i0 1C M = ∗s
k kT M J= + nT M (1 i)= ∗ +
n k 1kT M (1 i) − += ∗ + k 1
k 1M M (1 i) −= ∗ +
n k ik k 1CD M −+= ∗s n k ikCD T −= ∗a
k ik 1CA M = ∗s n k ik 0CA C T −= − ∗a
k k 1J CD i−= ∗ T 0J n T - C= ∗
2. Sistema de Reembolsos Constantes
0CMn
= k kT M J= +
k 1T T (K 1) M i= − − ∗ ∗ nT M (1 i)= ∗ +
( )kCD n K M= − ∗ kCA K M= ∗
k 1J J (K 1) M i= − − ∗ ∗ [ ]kJ n (K 1) M i= − − ∗ ∗
k k 1J CD i−= ∗ 1 nT
J JJ n2+
= ∗