C�alculo IIslides de aula

Sasha Anan′in

ICMC, USP, S�ao Carlos

1�29 de setembro de 2014

2. Fun�c�oes e aplica�c�oes diferenci�aveis

Na rodovia, todo mundo anda ao longo de uma reta.S�o que a reta tamb�em est�a andando!

� Um motorista b�ebado

Lidando no c�alculo I com derivadas de fun�c�oes de uma vari�avel real, apesarde saber relacionar a derivada com a reta tangente ao gr�a�co da fun�c�ao,talvez n�ao chegamos ao entender pleno que a derivada f ′(p) da fun�c�aof (x) em p �e de fato a melhor aproxima�c�ao de f (x) por uma fun�c�ao linearna vizinhan�ca de p.

2.1. De�ni�c�ao. Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita, sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto e seja f : U → V ′ uma aplica�c�ao. Dizemosque f �e deriv�avel em p ∈ U se existe uma aplica�c�ao linear L : V → V ′ talque a aplica�c�ao g(h) := f (p + h)− f (p)− Lh, de�nida em uma vizinhan�cade 0 ∈ V , �e pequena em compara�c�ao com |h|. Isto signi�ca que

lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h| = 0 (ou, equivalentemente, que lim

06=h→0

g(h)|h| = 0).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 2 / 49

2. Fun�c�oes e aplica�c�oes diferenci�aveis

Na rodovia, todo mundo anda ao longo de uma reta.

S�o que a reta tamb�em est�a andando!� Um motorista b�ebado

Lidando no c�alculo I com derivadas de fun�c�oes de uma vari�avel real, apesarde saber relacionar a derivada com a reta tangente ao gr�a�co da fun�c�ao,talvez n�ao chegamos ao entender pleno que a derivada f ′(p) da fun�c�aof (x) em p �e de fato a melhor aproxima�c�ao de f (x) por uma fun�c�ao linearna vizinhan�ca de p.

2.1. De�ni�c�ao. Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita, sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto e seja f : U → V ′ uma aplica�c�ao. Dizemosque f �e deriv�avel em p ∈ U se existe uma aplica�c�ao linear L : V → V ′ talque a aplica�c�ao g(h) := f (p + h)− f (p)− Lh, de�nida em uma vizinhan�cade 0 ∈ V , �e pequena em compara�c�ao com |h|. Isto signi�ca que

lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h| = 0 (ou, equivalentemente, que lim

06=h→0

g(h)|h| = 0).

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2. Fun�c�oes e aplica�c�oes diferenci�aveis

Na rodovia, todo mundo anda ao longo de uma reta.S�o que a reta tamb�em est�a andando!

� Um motorista b�ebado

Lidando no c�alculo I com derivadas de fun�c�oes de uma vari�avel real, apesarde saber relacionar a derivada com a reta tangente ao gr�a�co da fun�c�ao,talvez n�ao chegamos ao entender pleno que a derivada f ′(p) da fun�c�aof (x) em p �e de fato a melhor aproxima�c�ao de f (x) por uma fun�c�ao linearna vizinhan�ca de p.

2.1. De�ni�c�ao. Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita, sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto e seja f : U → V ′ uma aplica�c�ao. Dizemosque f �e deriv�avel em p ∈ U se existe uma aplica�c�ao linear L : V → V ′ talque a aplica�c�ao g(h) := f (p + h)− f (p)− Lh, de�nida em uma vizinhan�cade 0 ∈ V , �e pequena em compara�c�ao com |h|. Isto signi�ca que

lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h| = 0 (ou, equivalentemente, que lim

06=h→0

g(h)|h| = 0).

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2. Fun�c�oes e aplica�c�oes diferenci�aveis

Na rodovia, todo mundo anda ao longo de uma reta.S�o que a reta tamb�em est�a andando!

� Um motorista b�ebado

Lidando no c�alculo I com derivadas de fun�c�oes de uma vari�avel real, apesarde saber relacionar a derivada com a reta tangente ao gr�a�co da fun�c�ao,talvez n�ao chegamos ao entender pleno que a derivada f ′(p) da fun�c�aof (x) em p �e de fato a melhor aproxima�c�ao de f (x) por uma fun�c�ao linearna vizinhan�ca de p.

2.1. De�ni�c�ao. Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita, sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto e seja f : U → V ′ uma aplica�c�ao. Dizemosque f �e deriv�avel em p ∈ U se existe uma aplica�c�ao linear L : V → V ′ talque a aplica�c�ao g(h) := f (p + h)− f (p)− Lh, de�nida em uma vizinhan�cade 0 ∈ V , �e pequena em compara�c�ao com |h|. Isto signi�ca que

lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h| = 0 (ou, equivalentemente, que lim

06=h→0

g(h)|h| = 0).

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2. Fun�c�oes e aplica�c�oes diferenci�aveis

Na rodovia, todo mundo anda ao longo de uma reta.S�o que a reta tamb�em est�a andando!

� Um motorista b�ebado

Lidando no c�alculo I com derivadas de fun�c�oes de uma vari�avel real,

apesarde saber relacionar a derivada com a reta tangente ao gr�a�co da fun�c�ao,talvez n�ao chegamos ao entender pleno que a derivada f ′(p) da fun�c�aof (x) em p �e de fato a melhor aproxima�c�ao de f (x) por uma fun�c�ao linearna vizinhan�ca de p.

2.1. De�ni�c�ao. Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita, sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto e seja f : U → V ′ uma aplica�c�ao. Dizemosque f �e deriv�avel em p ∈ U se existe uma aplica�c�ao linear L : V → V ′ talque a aplica�c�ao g(h) := f (p + h)− f (p)− Lh, de�nida em uma vizinhan�cade 0 ∈ V , �e pequena em compara�c�ao com |h|. Isto signi�ca que

lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h| = 0 (ou, equivalentemente, que lim

06=h→0

g(h)|h| = 0).

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2. Fun�c�oes e aplica�c�oes diferenci�aveis

Na rodovia, todo mundo anda ao longo de uma reta.S�o que a reta tamb�em est�a andando!

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Lidando no c�alculo I com derivadas de fun�c�oes de uma vari�avel real, apesarde saber relacionar a derivada com a reta tangente ao gr�a�co da fun�c�ao,

talvez n�ao chegamos ao entender pleno que a derivada f ′(p) da fun�c�aof (x) em p �e de fato a melhor aproxima�c�ao de f (x) por uma fun�c�ao linearna vizinhan�ca de p.

2.1. De�ni�c�ao. Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita, sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto e seja f : U → V ′ uma aplica�c�ao. Dizemosque f �e deriv�avel em p ∈ U se existe uma aplica�c�ao linear L : V → V ′ talque a aplica�c�ao g(h) := f (p + h)− f (p)− Lh, de�nida em uma vizinhan�cade 0 ∈ V , �e pequena em compara�c�ao com |h|. Isto signi�ca que

lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h| = 0 (ou, equivalentemente, que lim

06=h→0

g(h)|h| = 0).

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2. Fun�c�oes e aplica�c�oes diferenci�aveis

Na rodovia, todo mundo anda ao longo de uma reta.S�o que a reta tamb�em est�a andando!

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Lidando no c�alculo I com derivadas de fun�c�oes de uma vari�avel real, apesarde saber relacionar a derivada com a reta tangente ao gr�a�co da fun�c�ao,talvez n�ao chegamos ao entender pleno que a derivada f ′(p) da fun�c�aof (x) em p �e de fato a melhor aproxima�c�ao de f (x) por uma fun�c�ao linearna vizinhan�ca de p.

2.1. De�ni�c�ao. Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita, sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto e seja f : U → V ′ uma aplica�c�ao. Dizemosque f �e deriv�avel em p ∈ U se existe uma aplica�c�ao linear L : V → V ′ talque a aplica�c�ao g(h) := f (p + h)− f (p)− Lh, de�nida em uma vizinhan�cade 0 ∈ V , �e pequena em compara�c�ao com |h|. Isto signi�ca que

lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h| = 0 (ou, equivalentemente, que lim

06=h→0

g(h)|h| = 0).

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Lidando no c�alculo I com derivadas de fun�c�oes de uma vari�avel real, apesarde saber relacionar a derivada com a reta tangente ao gr�a�co da fun�c�ao,talvez n�ao chegamos ao entender pleno que a derivada f ′(p) da fun�c�aof (x) em p �e de fato a melhor aproxima�c�ao de f (x) por uma fun�c�ao linearna vizinhan�ca de p.

2.1. De�ni�c�ao. Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita, sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto e seja f : U → V ′ uma aplica�c�ao.

Dizemosque f �e deriv�avel em p ∈ U se existe uma aplica�c�ao linear L : V → V ′ talque a aplica�c�ao g(h) := f (p + h)− f (p)− Lh, de�nida em uma vizinhan�cade 0 ∈ V , �e pequena em compara�c�ao com |h|. Isto signi�ca que

lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h| = 0 (ou, equivalentemente, que lim

06=h→0

g(h)|h| = 0).

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2. Fun�c�oes e aplica�c�oes diferenci�aveis

Na rodovia, todo mundo anda ao longo de uma reta.S�o que a reta tamb�em est�a andando!

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Lidando no c�alculo I com derivadas de fun�c�oes de uma vari�avel real, apesarde saber relacionar a derivada com a reta tangente ao gr�a�co da fun�c�ao,talvez n�ao chegamos ao entender pleno que a derivada f ′(p) da fun�c�aof (x) em p �e de fato a melhor aproxima�c�ao de f (x) por uma fun�c�ao linearna vizinhan�ca de p.

2.1. De�ni�c�ao. Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita, sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto e seja f : U → V ′ uma aplica�c�ao. Dizemosque f �e deriv�avel em p ∈ U se existe uma aplica�c�ao linear L : V → V ′ talque a aplica�c�ao g(h) := f (p + h)− f (p)− Lh, de�nida em uma vizinhan�cade 0 ∈ V , �e pequena em compara�c�ao com |h|.

Isto signi�ca que

lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h| = 0 (ou, equivalentemente, que lim

06=h→0

g(h)|h| = 0).

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2. Fun�c�oes e aplica�c�oes diferenci�aveis

Na rodovia, todo mundo anda ao longo de uma reta.S�o que a reta tamb�em est�a andando!

� Um motorista b�ebado

Lidando no c�alculo I com derivadas de fun�c�oes de uma vari�avel real, apesarde saber relacionar a derivada com a reta tangente ao gr�a�co da fun�c�ao,talvez n�ao chegamos ao entender pleno que a derivada f ′(p) da fun�c�aof (x) em p �e de fato a melhor aproxima�c�ao de f (x) por uma fun�c�ao linearna vizinhan�ca de p.

2.1. De�ni�c�ao. Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita, sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto e seja f : U → V ′ uma aplica�c�ao. Dizemosque f �e deriv�avel em p ∈ U se existe uma aplica�c�ao linear L : V → V ′ talque a aplica�c�ao g(h) := f (p + h)− f (p)− Lh, de�nida em uma vizinhan�cade 0 ∈ V , �e pequena em compara�c�ao com |h|. Isto signi�ca que

lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h| = 0 (ou, equivalentemente, que lim

06=h→0

g(h)|h| = 0).

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A aplica�c�ao linear L �e �unica se existir.

Realmente, se a aplica�c�ao g ′(h) :== f (p + h)− f (p)− L′h tamb�em �e pequena em compara�c�ao com |h|, de∣∣g ′(h)− g(h)

∣∣ ≤ ∣∣g ′(h)∣∣+ ∣∣g(h)∣∣ segue lim06=h→0

∣∣(L′−L)h∣∣|h| = 0. Supondo que

L′ − L 6= 0, encontramos v ∈ V tal que (L′ − L)v 6= 0. Agora,

0 = lim0<t→0

∣∣(L′−L)(tv)∣∣|tv | =

∣∣(L′−L)v∣∣|v | , uma contradi�c�ao.

Chamamos L a derivada de f em p e denotamos Dpf := L. Note que, peloLema 1.10.2, estes conceitos independem da escolha de normas em V e V ′.

O conceito de derivada de uma fun�c�ao de uma vari�avel real e, mais ainda,o de derivada de um caminho c : (a, b)→ Rn em t0 ∈ (a, b), s�ao casos

particulares da De�ni�c�ao 2.1, pois c(t0) = lim06=h→0

c(t0+h)−c(t0)h implica que

a fun�c�ao g(h) := c(t0 + h)− c(t0)− c(t0)h, de�nida em uma vizinhan�caaberta de 0 ∈ R, �e pequena em compara�c�ao com |h|. A �unica diferen�ca �eque agora a derivada c(t0) n�ao �e um vetor, mas �e uma aplica�c�ao linearc(t0) : R→ Rn, dada pela regra h 7→ c(t0)h, sendo c(t0) como naDe�ni�c�ao 1.8.

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A aplica�c�ao linear L �e �unica se existir. Realmente, se a aplica�c�ao g ′(h) :== f (p + h)− f (p)− L′h tamb�em �e pequena em compara�c�ao com |h|, de∣∣g ′(h)− g(h)

∣∣ ≤ ∣∣g ′(h)∣∣+ ∣∣g(h)∣∣ segue lim06=h→0

∣∣(L′−L)h∣∣|h| = 0.

Supondo que

L′ − L 6= 0, encontramos v ∈ V tal que (L′ − L)v 6= 0. Agora,

0 = lim0<t→0

∣∣(L′−L)(tv)∣∣|tv | =

∣∣(L′−L)v∣∣|v | , uma contradi�c�ao.

Chamamos L a derivada de f em p e denotamos Dpf := L. Note que, peloLema 1.10.2, estes conceitos independem da escolha de normas em V e V ′.

O conceito de derivada de uma fun�c�ao de uma vari�avel real e, mais ainda,o de derivada de um caminho c : (a, b)→ Rn em t0 ∈ (a, b), s�ao casos

particulares da De�ni�c�ao 2.1, pois c(t0) = lim06=h→0

c(t0+h)−c(t0)h implica que

a fun�c�ao g(h) := c(t0 + h)− c(t0)− c(t0)h, de�nida em uma vizinhan�caaberta de 0 ∈ R, �e pequena em compara�c�ao com |h|. A �unica diferen�ca �eque agora a derivada c(t0) n�ao �e um vetor, mas �e uma aplica�c�ao linearc(t0) : R→ Rn, dada pela regra h 7→ c(t0)h, sendo c(t0) como naDe�ni�c�ao 1.8.

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A aplica�c�ao linear L �e �unica se existir. Realmente, se a aplica�c�ao g ′(h) :== f (p + h)− f (p)− L′h tamb�em �e pequena em compara�c�ao com |h|, de∣∣g ′(h)− g(h)

∣∣ ≤ ∣∣g ′(h)∣∣+ ∣∣g(h)∣∣ segue lim06=h→0

∣∣(L′−L)h∣∣|h| = 0. Supondo que

L′ − L 6= 0, encontramos v ∈ V tal que (L′ − L)v 6= 0.

Agora,

0 = lim0<t→0

∣∣(L′−L)(tv)∣∣|tv | =

∣∣(L′−L)v∣∣|v | , uma contradi�c�ao.

Chamamos L a derivada de f em p e denotamos Dpf := L. Note que, peloLema 1.10.2, estes conceitos independem da escolha de normas em V e V ′.

O conceito de derivada de uma fun�c�ao de uma vari�avel real e, mais ainda,o de derivada de um caminho c : (a, b)→ Rn em t0 ∈ (a, b), s�ao casos

particulares da De�ni�c�ao 2.1, pois c(t0) = lim06=h→0

c(t0+h)−c(t0)h implica que

a fun�c�ao g(h) := c(t0 + h)− c(t0)− c(t0)h, de�nida em uma vizinhan�caaberta de 0 ∈ R, �e pequena em compara�c�ao com |h|. A �unica diferen�ca �eque agora a derivada c(t0) n�ao �e um vetor, mas �e uma aplica�c�ao linearc(t0) : R→ Rn, dada pela regra h 7→ c(t0)h, sendo c(t0) como naDe�ni�c�ao 1.8.

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A aplica�c�ao linear L �e �unica se existir. Realmente, se a aplica�c�ao g ′(h) :== f (p + h)− f (p)− L′h tamb�em �e pequena em compara�c�ao com |h|, de∣∣g ′(h)− g(h)

∣∣ ≤ ∣∣g ′(h)∣∣+ ∣∣g(h)∣∣ segue lim06=h→0

∣∣(L′−L)h∣∣|h| = 0. Supondo que

L′ − L 6= 0, encontramos v ∈ V tal que (L′ − L)v 6= 0. Agora,

0 = lim0<t→0

∣∣(L′−L)(tv)∣∣|tv | =

∣∣(L′−L)v∣∣|v | , uma contradi�c�ao.

Chamamos L a derivada de f em p e denotamos Dpf := L. Note que, peloLema 1.10.2, estes conceitos independem da escolha de normas em V e V ′.

O conceito de derivada de uma fun�c�ao de uma vari�avel real e, mais ainda,o de derivada de um caminho c : (a, b)→ Rn em t0 ∈ (a, b), s�ao casos

particulares da De�ni�c�ao 2.1, pois c(t0) = lim06=h→0

c(t0+h)−c(t0)h implica que

a fun�c�ao g(h) := c(t0 + h)− c(t0)− c(t0)h, de�nida em uma vizinhan�caaberta de 0 ∈ R, �e pequena em compara�c�ao com |h|. A �unica diferen�ca �eque agora a derivada c(t0) n�ao �e um vetor, mas �e uma aplica�c�ao linearc(t0) : R→ Rn, dada pela regra h 7→ c(t0)h, sendo c(t0) como naDe�ni�c�ao 1.8.

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A aplica�c�ao linear L �e �unica se existir. Realmente, se a aplica�c�ao g ′(h) :== f (p + h)− f (p)− L′h tamb�em �e pequena em compara�c�ao com |h|, de∣∣g ′(h)− g(h)

∣∣ ≤ ∣∣g ′(h)∣∣+ ∣∣g(h)∣∣ segue lim06=h→0

∣∣(L′−L)h∣∣|h| = 0. Supondo que

L′ − L 6= 0, encontramos v ∈ V tal que (L′ − L)v 6= 0. Agora,

0 = lim0<t→0

∣∣(L′−L)(tv)∣∣|tv | =

∣∣(L′−L)v∣∣|v | , uma contradi�c�ao.

Chamamos L a derivada de f em p e denotamos Dpf := L.

Note que, peloLema 1.10.2, estes conceitos independem da escolha de normas em V e V ′.

O conceito de derivada de uma fun�c�ao de uma vari�avel real e, mais ainda,o de derivada de um caminho c : (a, b)→ Rn em t0 ∈ (a, b), s�ao casos

particulares da De�ni�c�ao 2.1, pois c(t0) = lim06=h→0

c(t0+h)−c(t0)h implica que

a fun�c�ao g(h) := c(t0 + h)− c(t0)− c(t0)h, de�nida em uma vizinhan�caaberta de 0 ∈ R, �e pequena em compara�c�ao com |h|. A �unica diferen�ca �eque agora a derivada c(t0) n�ao �e um vetor, mas �e uma aplica�c�ao linearc(t0) : R→ Rn, dada pela regra h 7→ c(t0)h, sendo c(t0) como naDe�ni�c�ao 1.8.

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A aplica�c�ao linear L �e �unica se existir. Realmente, se a aplica�c�ao g ′(h) :== f (p + h)− f (p)− L′h tamb�em �e pequena em compara�c�ao com |h|, de∣∣g ′(h)− g(h)

∣∣ ≤ ∣∣g ′(h)∣∣+ ∣∣g(h)∣∣ segue lim06=h→0

∣∣(L′−L)h∣∣|h| = 0. Supondo que

L′ − L 6= 0, encontramos v ∈ V tal que (L′ − L)v 6= 0. Agora,

0 = lim0<t→0

∣∣(L′−L)(tv)∣∣|tv | =

∣∣(L′−L)v∣∣|v | , uma contradi�c�ao.

Chamamos L a derivada de f em p e denotamos Dpf := L. Note que, peloLema 1.10.2, estes conceitos independem da escolha de normas em V e V ′.

O conceito de derivada de uma fun�c�ao de uma vari�avel real e, mais ainda,o de derivada de um caminho c : (a, b)→ Rn em t0 ∈ (a, b), s�ao casos

particulares da De�ni�c�ao 2.1, pois c(t0) = lim06=h→0

c(t0+h)−c(t0)h implica que

a fun�c�ao g(h) := c(t0 + h)− c(t0)− c(t0)h, de�nida em uma vizinhan�caaberta de 0 ∈ R, �e pequena em compara�c�ao com |h|. A �unica diferen�ca �eque agora a derivada c(t0) n�ao �e um vetor, mas �e uma aplica�c�ao linearc(t0) : R→ Rn, dada pela regra h 7→ c(t0)h, sendo c(t0) como naDe�ni�c�ao 1.8.

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A aplica�c�ao linear L �e �unica se existir. Realmente, se a aplica�c�ao g ′(h) :== f (p + h)− f (p)− L′h tamb�em �e pequena em compara�c�ao com |h|, de∣∣g ′(h)− g(h)

∣∣ ≤ ∣∣g ′(h)∣∣+ ∣∣g(h)∣∣ segue lim06=h→0

∣∣(L′−L)h∣∣|h| = 0. Supondo que

L′ − L 6= 0, encontramos v ∈ V tal que (L′ − L)v 6= 0. Agora,

0 = lim0<t→0

∣∣(L′−L)(tv)∣∣|tv | =

∣∣(L′−L)v∣∣|v | , uma contradi�c�ao.

Chamamos L a derivada de f em p e denotamos Dpf := L. Note que, peloLema 1.10.2, estes conceitos independem da escolha de normas em V e V ′.

O conceito de derivada de uma fun�c�ao de uma vari�avel real e, mais ainda,o de derivada de um caminho c : (a, b)→ Rn em t0 ∈ (a, b), s�ao casos

particulares da De�ni�c�ao 2.1,

pois c(t0) = lim06=h→0

c(t0+h)−c(t0)h implica que

a fun�c�ao g(h) := c(t0 + h)− c(t0)− c(t0)h, de�nida em uma vizinhan�caaberta de 0 ∈ R, �e pequena em compara�c�ao com |h|. A �unica diferen�ca �eque agora a derivada c(t0) n�ao �e um vetor, mas �e uma aplica�c�ao linearc(t0) : R→ Rn, dada pela regra h 7→ c(t0)h, sendo c(t0) como naDe�ni�c�ao 1.8.

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A aplica�c�ao linear L �e �unica se existir. Realmente, se a aplica�c�ao g ′(h) :== f (p + h)− f (p)− L′h tamb�em �e pequena em compara�c�ao com |h|, de∣∣g ′(h)− g(h)

∣∣ ≤ ∣∣g ′(h)∣∣+ ∣∣g(h)∣∣ segue lim06=h→0

∣∣(L′−L)h∣∣|h| = 0. Supondo que

L′ − L 6= 0, encontramos v ∈ V tal que (L′ − L)v 6= 0. Agora,

0 = lim0<t→0

∣∣(L′−L)(tv)∣∣|tv | =

∣∣(L′−L)v∣∣|v | , uma contradi�c�ao.

Chamamos L a derivada de f em p e denotamos Dpf := L. Note que, peloLema 1.10.2, estes conceitos independem da escolha de normas em V e V ′.

O conceito de derivada de uma fun�c�ao de uma vari�avel real e, mais ainda,o de derivada de um caminho c : (a, b)→ Rn em t0 ∈ (a, b), s�ao casos

particulares da De�ni�c�ao 2.1, pois c(t0) = lim06=h→0

c(t0+h)−c(t0)h implica que

a fun�c�ao g(h) := c(t0 + h)− c(t0)− c(t0)h, de�nida em uma vizinhan�caaberta de 0 ∈ R, �e pequena em compara�c�ao com |h|.

A �unica diferen�ca �eque agora a derivada c(t0) n�ao �e um vetor, mas �e uma aplica�c�ao linearc(t0) : R→ Rn, dada pela regra h 7→ c(t0)h, sendo c(t0) como naDe�ni�c�ao 1.8.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 3 / 49

A aplica�c�ao linear L �e �unica se existir. Realmente, se a aplica�c�ao g ′(h) :== f (p + h)− f (p)− L′h tamb�em �e pequena em compara�c�ao com |h|, de∣∣g ′(h)− g(h)

∣∣ ≤ ∣∣g ′(h)∣∣+ ∣∣g(h)∣∣ segue lim06=h→0

∣∣(L′−L)h∣∣|h| = 0. Supondo que

L′ − L 6= 0, encontramos v ∈ V tal que (L′ − L)v 6= 0. Agora,

0 = lim0<t→0

∣∣(L′−L)(tv)∣∣|tv | =

∣∣(L′−L)v∣∣|v | , uma contradi�c�ao.

Chamamos L a derivada de f em p e denotamos Dpf := L. Note que, peloLema 1.10.2, estes conceitos independem da escolha de normas em V e V ′.

O conceito de derivada de uma fun�c�ao de uma vari�avel real e, mais ainda,o de derivada de um caminho c : (a, b)→ Rn em t0 ∈ (a, b), s�ao casos

particulares da De�ni�c�ao 2.1, pois c(t0) = lim06=h→0

c(t0+h)−c(t0)h implica que

a fun�c�ao g(h) := c(t0 + h)− c(t0)− c(t0)h, de�nida em uma vizinhan�caaberta de 0 ∈ R, �e pequena em compara�c�ao com |h|. A �unica diferen�ca �eque agora a derivada c(t0) n�ao �e um vetor, mas �e uma aplica�c�ao linearc(t0) : R→ Rn, dada pela regra h 7→ c(t0)h, sendo c(t0) como naDe�ni�c�ao 1.8.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 3 / 49

2.2. Lema (regra da cadeia). Sejam V1,V2,V3 espa�cos R-lineares de di-

mens�ao �nita, U1⊂◦V1 e U2⊂◦V2 abertos e U1f1−→ U2

f2−→ V3 aplica-�c�oes.

Se f1 �e deriv�avel em p ∈ U1 e f2 �e deriv�avel em f1(p) ∈ U2, ent�ao acomposta f2 ◦ f1 : U1 → V3 �e deriv�avel em p e Dp(f2 ◦ f1) = Df1(p)f2 ◦Dpf1.

Demonstra�c�ao. As aplica�c�oes g1 : U → V2 e g2 : U′ → V3, dadas pelas

regrasg1(h) := f1(p + h)− f1(p)− (Dpf1)h,

g2(h′) := f2

(f1(p) + h′

)− f2

(f1(p)

)− (Df1(p)f2)h

′

e de�nidas respectivamente em vizinhan�cas abertas 0 ∈ U ⊂◦V1 e 0 ∈ U ′

⊂◦V2, s�ao pequenas em compara�c�ao com |h| e |h′|. J�a que Dpf1 �e cont��nuapela Proposi�c�ao 1.6 (10) e lim

h→0g1(h) = 0, podemos reescolher a vizinhan�ca

0 ∈ U ⊂◦V1 fazendo-a t�ao pequena que h′ := (Dpf1)h + g1(h) ∈ U ′ paratodo h ∈ U. Agora, pela linearidade de Df1(p)f2, temos

f2(f1(p + h)

)= f2

(f1(p) + (Dpf1)h + g1(h)

)= f2

(f1(p) + h′

)=

= f2(f1(p)

)+ (Df1(p)f2)h

′ + g2(h′) =

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 4 / 49

2.2. Lema (regra da cadeia). Sejam V1,V2,V3 espa�cos R-lineares de di-

mens�ao �nita, U1⊂◦V1 e U2⊂◦V2 abertos e U1f1−→ U2

f2−→ V3 aplica-�c�oes. Se f1 �e deriv�avel em p ∈ U1 e f2 �e deriv�avel em f1(p) ∈ U2, ent�ao acomposta f2 ◦ f1 : U1 → V3 �e deriv�avel em p e Dp(f2 ◦ f1) = Df1(p)f2 ◦Dpf1.

Demonstra�c�ao. As aplica�c�oes g1 : U → V2 e g2 : U′ → V3, dadas pelas

regrasg1(h) := f1(p + h)− f1(p)− (Dpf1)h,

g2(h′) := f2

(f1(p) + h′

)− f2

(f1(p)

)− (Df1(p)f2)h

′

e de�nidas respectivamente em vizinhan�cas abertas 0 ∈ U ⊂◦V1 e 0 ∈ U ′

⊂◦V2, s�ao pequenas em compara�c�ao com |h| e |h′|. J�a que Dpf1 �e cont��nuapela Proposi�c�ao 1.6 (10) e lim

h→0g1(h) = 0, podemos reescolher a vizinhan�ca

0 ∈ U ⊂◦V1 fazendo-a t�ao pequena que h′ := (Dpf1)h + g1(h) ∈ U ′ paratodo h ∈ U. Agora, pela linearidade de Df1(p)f2, temos

f2(f1(p + h)

)= f2

(f1(p) + (Dpf1)h + g1(h)

)= f2

(f1(p) + h′

)=

= f2(f1(p)

)+ (Df1(p)f2)h

′ + g2(h′) =

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 4 / 49

2.2. Lema (regra da cadeia). Sejam V1,V2,V3 espa�cos R-lineares de di-

mens�ao �nita, U1⊂◦V1 e U2⊂◦V2 abertos e U1f1−→ U2

f2−→ V3 aplica-�c�oes. Se f1 �e deriv�avel em p ∈ U1 e f2 �e deriv�avel em f1(p) ∈ U2, ent�ao acomposta f2 ◦ f1 : U1 → V3 �e deriv�avel em p e Dp(f2 ◦ f1) = Df1(p)f2 ◦Dpf1.

Demonstra�c�ao. As aplica�c�oes g1 : U → V2 e g2 : U′ → V3, dadas pelas

regrasg1(h) := f1(p + h)− f1(p)− (Dpf1)h,

g2(h′) := f2

(f1(p) + h′

)− f2

(f1(p)

)− (Df1(p)f2)h

′

e de�nidas respectivamente em vizinhan�cas abertas 0 ∈ U ⊂◦V1 e 0 ∈ U ′

⊂◦V2, s�ao pequenas em compara�c�ao com |h| e |h′|.

J�a que Dpf1 �e cont��nuapela Proposi�c�ao 1.6 (10) e lim

h→0g1(h) = 0, podemos reescolher a vizinhan�ca

0 ∈ U ⊂◦V1 fazendo-a t�ao pequena que h′ := (Dpf1)h + g1(h) ∈ U ′ paratodo h ∈ U. Agora, pela linearidade de Df1(p)f2, temos

f2(f1(p + h)

)= f2

(f1(p) + (Dpf1)h + g1(h)

)= f2

(f1(p) + h′

)=

= f2(f1(p)

)+ (Df1(p)f2)h

′ + g2(h′) =

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 4 / 49

2.2. Lema (regra da cadeia). Sejam V1,V2,V3 espa�cos R-lineares de di-

mens�ao �nita, U1⊂◦V1 e U2⊂◦V2 abertos e U1f1−→ U2

f2−→ V3 aplica-�c�oes. Se f1 �e deriv�avel em p ∈ U1 e f2 �e deriv�avel em f1(p) ∈ U2, ent�ao acomposta f2 ◦ f1 : U1 → V3 �e deriv�avel em p e Dp(f2 ◦ f1) = Df1(p)f2 ◦Dpf1.

Demonstra�c�ao. As aplica�c�oes g1 : U → V2 e g2 : U′ → V3, dadas pelas

regrasg1(h) := f1(p + h)− f1(p)− (Dpf1)h,

g2(h′) := f2

(f1(p) + h′

)− f2

(f1(p)

)− (Df1(p)f2)h

′

e de�nidas respectivamente em vizinhan�cas abertas 0 ∈ U ⊂◦V1 e 0 ∈ U ′

⊂◦V2, s�ao pequenas em compara�c�ao com |h| e |h′|. J�a que Dpf1 �e cont��nuapela Proposi�c�ao 1.6 (10) e lim

h→0g1(h) = 0, podemos reescolher a vizinhan�ca

0 ∈ U ⊂◦V1 fazendo-a t�ao pequena que h′ := (Dpf1)h + g1(h) ∈ U ′ paratodo h ∈ U.

Agora, pela linearidade de Df1(p)f2, temos

f2(f1(p + h)

)= f2

(f1(p) + (Dpf1)h + g1(h)

)= f2

(f1(p) + h′

)=

= f2(f1(p)

)+ (Df1(p)f2)h

′ + g2(h′) =

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 4 / 49

2.2. Lema (regra da cadeia). Sejam V1,V2,V3 espa�cos R-lineares de di-

mens�ao �nita, U1⊂◦V1 e U2⊂◦V2 abertos e U1f1−→ U2

f2−→ V3 aplica-�c�oes. Se f1 �e deriv�avel em p ∈ U1 e f2 �e deriv�avel em f1(p) ∈ U2, ent�ao acomposta f2 ◦ f1 : U1 → V3 �e deriv�avel em p e Dp(f2 ◦ f1) = Df1(p)f2 ◦Dpf1.

Demonstra�c�ao. As aplica�c�oes g1 : U → V2 e g2 : U′ → V3, dadas pelas

regrasg1(h) := f1(p + h)− f1(p)− (Dpf1)h,

g2(h′) := f2

(f1(p) + h′

)− f2

(f1(p)

)− (Df1(p)f2)h

′

e de�nidas respectivamente em vizinhan�cas abertas 0 ∈ U ⊂◦V1 e 0 ∈ U ′

⊂◦V2, s�ao pequenas em compara�c�ao com |h| e |h′|. J�a que Dpf1 �e cont��nuapela Proposi�c�ao 1.6 (10) e lim

h→0g1(h) = 0, podemos reescolher a vizinhan�ca

0 ∈ U ⊂◦V1 fazendo-a t�ao pequena que h′ := (Dpf1)h + g1(h) ∈ U ′ paratodo h ∈ U. Agora, pela linearidade de Df1(p)f2, temos

f2(f1(p + h)

)= f2

(f1(p) + (Dpf1)h + g1(h)

)= f2

(f1(p) + h′

)=

= f2(f1(p)

)+ (Df1(p)f2)h

′ + g2(h′) =

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 4 / 49

= f2(f1(p)

)+ (Df1(p)f2)(Dpf1)h + (Df1(p)f2)

(g1(h)

)+ g2

((Dpf1)h + g1(h)

)para todo h ∈ U.

Portanto,

f2(f1(p + h)

)− f2

(f1(p)

)− (Df1(p)f2)(Dpf1)h =

= (Df1(p)f2)(g1(h)

)+ g2

((Dpf1)h + g1(h)

).

Sendo Df1(p)f2 linear e cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6 (10), a fun�c�ao(Df1(p)f2)

(g1(h)

)�e pequena em compara�c�ao com |h|, pois

lim06=h→0

(Df1(p)f2)(g1(h)

)|h| = Df1(p)f2 lim

0 6=h→0

g1(h)|h| = 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5).

Resta provar que lim06=h→0

∣∣∣g2((Dpf1)h+g1(h))∣∣∣

|h| = 0. Sabemos que∣∣g2(h′)∣∣ =

= |h′|g(h′), onde g : U ′ → R≥0 �e uma fun�c�ao que satisfaz limh′→0

g(h′) = 0.

Logo, ∣∣∣g2((Dpf1)h+g1(h))∣∣∣

|h| =

∣∣(Dpf1)h+g1(h)∣∣

|h| g((Dpf1)h + g1(h)

)≤

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 5 / 49

= f2(f1(p)

)+ (Df1(p)f2)(Dpf1)h + (Df1(p)f2)

(g1(h)

)+ g2

((Dpf1)h + g1(h)

)para todo h ∈ U. Portanto,

f2(f1(p + h)

)− f2

(f1(p)

)− (Df1(p)f2)(Dpf1)h =

= (Df1(p)f2)(g1(h)

)+ g2

((Dpf1)h + g1(h)

).

Sendo Df1(p)f2 linear e cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6 (10), a fun�c�ao(Df1(p)f2)

(g1(h)

)�e pequena em compara�c�ao com |h|, pois

lim06=h→0

(Df1(p)f2)(g1(h)

)|h| = Df1(p)f2 lim

0 6=h→0

g1(h)|h| = 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5).

Resta provar que lim06=h→0

∣∣∣g2((Dpf1)h+g1(h))∣∣∣

|h| = 0. Sabemos que∣∣g2(h′)∣∣ =

= |h′|g(h′), onde g : U ′ → R≥0 �e uma fun�c�ao que satisfaz limh′→0

g(h′) = 0.

Logo, ∣∣∣g2((Dpf1)h+g1(h))∣∣∣

|h| =

∣∣(Dpf1)h+g1(h)∣∣

|h| g((Dpf1)h + g1(h)

)≤

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 5 / 49

= f2(f1(p)

)+ (Df1(p)f2)(Dpf1)h + (Df1(p)f2)

(g1(h)

)+ g2

((Dpf1)h + g1(h)

)para todo h ∈ U. Portanto,

f2(f1(p + h)

)− f2

(f1(p)

)− (Df1(p)f2)(Dpf1)h =

= (Df1(p)f2)(g1(h)

)+ g2

((Dpf1)h + g1(h)

).

Sendo Df1(p)f2 linear e cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6 (10), a fun�c�ao(Df1(p)f2)

(g1(h)

)�e pequena em compara�c�ao com |h|, pois

lim06=h→0

(Df1(p)f2)(g1(h)

)|h| = Df1(p)f2 lim

0 6=h→0

g1(h)|h| = 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5).

Resta provar que lim06=h→0

∣∣∣g2((Dpf1)h+g1(h))∣∣∣

|h| = 0. Sabemos que∣∣g2(h′)∣∣ =

= |h′|g(h′), onde g : U ′ → R≥0 �e uma fun�c�ao que satisfaz limh′→0

g(h′) = 0.

Logo, ∣∣∣g2((Dpf1)h+g1(h))∣∣∣

|h| =

∣∣(Dpf1)h+g1(h)∣∣

|h| g((Dpf1)h + g1(h)

)≤

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 5 / 49

= f2(f1(p)

)+ (Df1(p)f2)(Dpf1)h + (Df1(p)f2)

(g1(h)

)+ g2

((Dpf1)h + g1(h)

)para todo h ∈ U. Portanto,

f2(f1(p + h)

)− f2

(f1(p)

)− (Df1(p)f2)(Dpf1)h =

= (Df1(p)f2)(g1(h)

)+ g2

((Dpf1)h + g1(h)

).

Sendo Df1(p)f2 linear e cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6 (10), a fun�c�ao(Df1(p)f2)

(g1(h)

)�e pequena em compara�c�ao com |h|, pois

lim06=h→0

(Df1(p)f2)(g1(h)

)|h| = Df1(p)f2 lim

0 6=h→0

g1(h)|h| = 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5).

Resta provar que lim06=h→0

∣∣∣g2((Dpf1)h+g1(h))∣∣∣

|h| = 0.

Sabemos que∣∣g2(h′)∣∣ =

= |h′|g(h′), onde g : U ′ → R≥0 �e uma fun�c�ao que satisfaz limh′→0

g(h′) = 0.

Logo, ∣∣∣g2((Dpf1)h+g1(h))∣∣∣

|h| =

∣∣(Dpf1)h+g1(h)∣∣

|h| g((Dpf1)h + g1(h)

)≤

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 5 / 49

= f2(f1(p)

)+ (Df1(p)f2)(Dpf1)h + (Df1(p)f2)

(g1(h)

)+ g2

((Dpf1)h + g1(h)

)para todo h ∈ U. Portanto,

f2(f1(p + h)

)− f2

(f1(p)

)− (Df1(p)f2)(Dpf1)h =

= (Df1(p)f2)(g1(h)

)+ g2

((Dpf1)h + g1(h)

).

Sendo Df1(p)f2 linear e cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6 (10), a fun�c�ao(Df1(p)f2)

(g1(h)

)�e pequena em compara�c�ao com |h|, pois

lim06=h→0

(Df1(p)f2)(g1(h)

)|h| = Df1(p)f2 lim

0 6=h→0

g1(h)|h| = 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5).

Resta provar que lim06=h→0

∣∣∣g2((Dpf1)h+g1(h))∣∣∣

|h| = 0. Sabemos que∣∣g2(h′)∣∣ =

= |h′|g(h′), onde g : U ′ → R≥0 �e uma fun�c�ao que satisfaz limh′→0

g(h′) = 0.

Logo, ∣∣∣g2((Dpf1)h+g1(h))∣∣∣

|h| =

∣∣(Dpf1)h+g1(h)∣∣

|h| g((Dpf1)h + g1(h)

)≤

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 5 / 49

= f2(f1(p)

)+ (Df1(p)f2)(Dpf1)h + (Df1(p)f2)

(g1(h)

)+ g2

((Dpf1)h + g1(h)

)para todo h ∈ U. Portanto,

f2(f1(p + h)

)− f2

(f1(p)

)− (Df1(p)f2)(Dpf1)h =

= (Df1(p)f2)(g1(h)

)+ g2

((Dpf1)h + g1(h)

).

Sendo Df1(p)f2 linear e cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6 (10), a fun�c�ao(Df1(p)f2)

(g1(h)

)�e pequena em compara�c�ao com |h|, pois

lim06=h→0

(Df1(p)f2)(g1(h)

)|h| = Df1(p)f2 lim

0 6=h→0

g1(h)|h| = 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5).

Resta provar que lim06=h→0

∣∣∣g2((Dpf1)h+g1(h))∣∣∣

|h| = 0. Sabemos que∣∣g2(h′)∣∣ =

= |h′|g(h′), onde g : U ′ → R≥0 �e uma fun�c�ao que satisfaz limh′→0

g(h′) = 0.

Logo, ∣∣∣g2((Dpf1)h+g1(h))∣∣∣

|h| =

∣∣(Dpf1)h+g1(h)∣∣

|h| g((Dpf1)h + g1(h)

)≤

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 5 / 49

≤(∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣+ ∣∣g1(h)∣∣|h|

)g((Dpf1)h + g1(h)

).

A aplica�c�ao Dpf1 �e linear e, pela Proposi�c�ao 1.6 (10), �e cont��nua.

Delimh→0

g1(h) = 0, conclu��mos que (Dpf1)h + g1(h) tende a 0 quando h tende

a 0. Levando em conta que lim06=h→0

∣∣g1(h)∣∣|h| = 0, resta observar que os valores

da fun�c�ao 0 6= h 7→∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣ s�ao limitados. Note que os pontos h

|h| ,

h 6= 0, est�ao na esfera unit�aria Sn−1 (onde n �e a dimens�ao de V1). Nademonstra�c�ao do Lema 1.10.2 foi observado que Sn−1 �e um compacto.Pelo Lema 1.7.10, os valores da fun�c�ao

∣∣(Dpf1)x∣∣, x ∈ Sn−1, s�ao limitados,

pois essa fun�c�ao �e cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6 �

2.3. Matriz jacobiana. Em termos de coordenadas (x1, . . . , xm) em Rm e(y1, . . . , yn) em Rn, a derivada em p ∈ U ⊂◦Rm da aplica�c�ao f : U → Rn ,pode ser descrita pela matriz jacobiana: Denotemos por fi (x1, . . . , xm) eDi (h1, . . . , hm), i = 1, . . . , n, as componentes de f (x) e de (Dpf )h e sejae1, . . . , em ∈ Rm a base que corresponde �as coordenadas (x1, . . . , xm).

Substituindo h := tej , 0 6= t ∈ R, em g(h)|h| =

f (p+h)−f (p)−(Dpf )h|h| , obtemos

0 = lim06=t→0

fi (p + tej)− fi (p)− Di (tej)

|tej |=

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 6 / 49

≤(∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣+ ∣∣g1(h)∣∣|h|

)g((Dpf1)h + g1(h)

).

A aplica�c�ao Dpf1 �e linear e, pela Proposi�c�ao 1.6 (10), �e cont��nua. Delimh→0

g1(h) = 0, conclu��mos que (Dpf1)h + g1(h) tende a 0 quando h tende

a 0.

Levando em conta que lim06=h→0

∣∣g1(h)∣∣|h| = 0, resta observar que os valores

da fun�c�ao 0 6= h 7→∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣ s�ao limitados. Note que os pontos h

|h| ,

h 6= 0, est�ao na esfera unit�aria Sn−1 (onde n �e a dimens�ao de V1). Nademonstra�c�ao do Lema 1.10.2 foi observado que Sn−1 �e um compacto.Pelo Lema 1.7.10, os valores da fun�c�ao

∣∣(Dpf1)x∣∣, x ∈ Sn−1, s�ao limitados,

pois essa fun�c�ao �e cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6 �

2.3. Matriz jacobiana. Em termos de coordenadas (x1, . . . , xm) em Rm e(y1, . . . , yn) em Rn, a derivada em p ∈ U ⊂◦Rm da aplica�c�ao f : U → Rn ,pode ser descrita pela matriz jacobiana: Denotemos por fi (x1, . . . , xm) eDi (h1, . . . , hm), i = 1, . . . , n, as componentes de f (x) e de (Dpf )h e sejae1, . . . , em ∈ Rm a base que corresponde �as coordenadas (x1, . . . , xm).

Substituindo h := tej , 0 6= t ∈ R, em g(h)|h| =

f (p+h)−f (p)−(Dpf )h|h| , obtemos

0 = lim06=t→0

fi (p + tej)− fi (p)− Di (tej)

|tej |=

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 6 / 49

≤(∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣+ ∣∣g1(h)∣∣|h|

)g((Dpf1)h + g1(h)

).

A aplica�c�ao Dpf1 �e linear e, pela Proposi�c�ao 1.6 (10), �e cont��nua. Delimh→0

g1(h) = 0, conclu��mos que (Dpf1)h + g1(h) tende a 0 quando h tende

a 0. Levando em conta que lim06=h→0

∣∣g1(h)∣∣|h| = 0, resta observar que os valores

da fun�c�ao 0 6= h 7→∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣ s�ao limitados.

Note que os pontos h|h| ,

h 6= 0, est�ao na esfera unit�aria Sn−1 (onde n �e a dimens�ao de V1). Nademonstra�c�ao do Lema 1.10.2 foi observado que Sn−1 �e um compacto.Pelo Lema 1.7.10, os valores da fun�c�ao

∣∣(Dpf1)x∣∣, x ∈ Sn−1, s�ao limitados,

pois essa fun�c�ao �e cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6 �

2.3. Matriz jacobiana. Em termos de coordenadas (x1, . . . , xm) em Rm e(y1, . . . , yn) em Rn, a derivada em p ∈ U ⊂◦Rm da aplica�c�ao f : U → Rn ,pode ser descrita pela matriz jacobiana: Denotemos por fi (x1, . . . , xm) eDi (h1, . . . , hm), i = 1, . . . , n, as componentes de f (x) e de (Dpf )h e sejae1, . . . , em ∈ Rm a base que corresponde �as coordenadas (x1, . . . , xm).

Substituindo h := tej , 0 6= t ∈ R, em g(h)|h| =

f (p+h)−f (p)−(Dpf )h|h| , obtemos

0 = lim06=t→0

fi (p + tej)− fi (p)− Di (tej)

|tej |=

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 6 / 49

≤(∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣+ ∣∣g1(h)∣∣|h|

)g((Dpf1)h + g1(h)

).

A aplica�c�ao Dpf1 �e linear e, pela Proposi�c�ao 1.6 (10), �e cont��nua. Delimh→0

g1(h) = 0, conclu��mos que (Dpf1)h + g1(h) tende a 0 quando h tende

a 0. Levando em conta que lim06=h→0

∣∣g1(h)∣∣|h| = 0, resta observar que os valores

da fun�c�ao 0 6= h 7→∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣ s�ao limitados. Note que os pontos h

|h| ,

h 6= 0, est�ao na esfera unit�aria Sn−1 (onde n �e a dimens�ao de V1).

Nademonstra�c�ao do Lema 1.10.2 foi observado que Sn−1 �e um compacto.Pelo Lema 1.7.10, os valores da fun�c�ao

∣∣(Dpf1)x∣∣, x ∈ Sn−1, s�ao limitados,

pois essa fun�c�ao �e cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6 �

2.3. Matriz jacobiana. Em termos de coordenadas (x1, . . . , xm) em Rm e(y1, . . . , yn) em Rn, a derivada em p ∈ U ⊂◦Rm da aplica�c�ao f : U → Rn ,pode ser descrita pela matriz jacobiana: Denotemos por fi (x1, . . . , xm) eDi (h1, . . . , hm), i = 1, . . . , n, as componentes de f (x) e de (Dpf )h e sejae1, . . . , em ∈ Rm a base que corresponde �as coordenadas (x1, . . . , xm).

Substituindo h := tej , 0 6= t ∈ R, em g(h)|h| =

f (p+h)−f (p)−(Dpf )h|h| , obtemos

0 = lim06=t→0

fi (p + tej)− fi (p)− Di (tej)

|tej |=

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 6 / 49

≤(∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣+ ∣∣g1(h)∣∣|h|

)g((Dpf1)h + g1(h)

).

A aplica�c�ao Dpf1 �e linear e, pela Proposi�c�ao 1.6 (10), �e cont��nua. Delimh→0

g1(h) = 0, conclu��mos que (Dpf1)h + g1(h) tende a 0 quando h tende

a 0. Levando em conta que lim06=h→0

∣∣g1(h)∣∣|h| = 0, resta observar que os valores

da fun�c�ao 0 6= h 7→∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣ s�ao limitados. Note que os pontos h

|h| ,

h 6= 0, est�ao na esfera unit�aria Sn−1 (onde n �e a dimens�ao de V1). Nademonstra�c�ao do Lema 1.10.2 foi observado que Sn−1 �e um compacto.

Pelo Lema 1.7.10, os valores da fun�c�ao∣∣(Dpf1)x

∣∣, x ∈ Sn−1, s�ao limitados,pois essa fun�c�ao �e cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6 �

2.3. Matriz jacobiana. Em termos de coordenadas (x1, . . . , xm) em Rm e(y1, . . . , yn) em Rn, a derivada em p ∈ U ⊂◦Rm da aplica�c�ao f : U → Rn ,pode ser descrita pela matriz jacobiana: Denotemos por fi (x1, . . . , xm) eDi (h1, . . . , hm), i = 1, . . . , n, as componentes de f (x) e de (Dpf )h e sejae1, . . . , em ∈ Rm a base que corresponde �as coordenadas (x1, . . . , xm).

Substituindo h := tej , 0 6= t ∈ R, em g(h)|h| =

f (p+h)−f (p)−(Dpf )h|h| , obtemos

0 = lim06=t→0

fi (p + tej)− fi (p)− Di (tej)

|tej |=

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 6 / 49

≤(∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣+ ∣∣g1(h)∣∣|h|

)g((Dpf1)h + g1(h)

).

A aplica�c�ao Dpf1 �e linear e, pela Proposi�c�ao 1.6 (10), �e cont��nua. Delimh→0

g1(h) = 0, conclu��mos que (Dpf1)h + g1(h) tende a 0 quando h tende

a 0. Levando em conta que lim06=h→0

∣∣g1(h)∣∣|h| = 0, resta observar que os valores

da fun�c�ao 0 6= h 7→∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣ s�ao limitados. Note que os pontos h

|h| ,

h 6= 0, est�ao na esfera unit�aria Sn−1 (onde n �e a dimens�ao de V1). Nademonstra�c�ao do Lema 1.10.2 foi observado que Sn−1 �e um compacto.Pelo Lema 1.7.10, os valores da fun�c�ao

∣∣(Dpf1)x∣∣, x ∈ Sn−1, s�ao limitados,

pois essa fun�c�ao �e cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6 �

2.3. Matriz jacobiana. Em termos de coordenadas (x1, . . . , xm) em Rm e(y1, . . . , yn) em Rn, a derivada em p ∈ U ⊂◦Rm da aplica�c�ao f : U → Rn ,pode ser descrita pela matriz jacobiana: Denotemos por fi (x1, . . . , xm) eDi (h1, . . . , hm), i = 1, . . . , n, as componentes de f (x) e de (Dpf )h e sejae1, . . . , em ∈ Rm a base que corresponde �as coordenadas (x1, . . . , xm).

Substituindo h := tej , 0 6= t ∈ R, em g(h)|h| =

f (p+h)−f (p)−(Dpf )h|h| , obtemos

0 = lim06=t→0

fi (p + tej)− fi (p)− Di (tej)

|tej |=

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 6 / 49

≤(∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣+ ∣∣g1(h)∣∣|h|

)g((Dpf1)h + g1(h)

).

A aplica�c�ao Dpf1 �e linear e, pela Proposi�c�ao 1.6 (10), �e cont��nua. Delimh→0

g1(h) = 0, conclu��mos que (Dpf1)h + g1(h) tende a 0 quando h tende

a 0. Levando em conta que lim06=h→0

∣∣g1(h)∣∣|h| = 0, resta observar que os valores

da fun�c�ao 0 6= h 7→∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣ s�ao limitados. Note que os pontos h

|h| ,

h 6= 0, est�ao na esfera unit�aria Sn−1 (onde n �e a dimens�ao de V1). Nademonstra�c�ao do Lema 1.10.2 foi observado que Sn−1 �e um compacto.Pelo Lema 1.7.10, os valores da fun�c�ao

∣∣(Dpf1)x∣∣, x ∈ Sn−1, s�ao limitados,

pois essa fun�c�ao �e cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6 �

2.3. Matriz jacobiana. Em termos de coordenadas (x1, . . . , xm) em Rm e(y1, . . . , yn) em Rn, a derivada em p ∈ U ⊂◦Rm da aplica�c�ao f : U → Rn ,pode ser descrita pela matriz jacobiana:

Denotemos por fi (x1, . . . , xm) eDi (h1, . . . , hm), i = 1, . . . , n, as componentes de f (x) e de (Dpf )h e sejae1, . . . , em ∈ Rm a base que corresponde �as coordenadas (x1, . . . , xm).

Substituindo h := tej , 0 6= t ∈ R, em g(h)|h| =

f (p+h)−f (p)−(Dpf )h|h| , obtemos

0 = lim06=t→0

fi (p + tej)− fi (p)− Di (tej)

|tej |=

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 6 / 49

≤(∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣+ ∣∣g1(h)∣∣|h|

)g((Dpf1)h + g1(h)

).

A aplica�c�ao Dpf1 �e linear e, pela Proposi�c�ao 1.6 (10), �e cont��nua. Delimh→0

g1(h) = 0, conclu��mos que (Dpf1)h + g1(h) tende a 0 quando h tende

a 0. Levando em conta que lim06=h→0

∣∣g1(h)∣∣|h| = 0, resta observar que os valores

da fun�c�ao 0 6= h 7→∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣ s�ao limitados. Note que os pontos h

|h| ,

h 6= 0, est�ao na esfera unit�aria Sn−1 (onde n �e a dimens�ao de V1). Nademonstra�c�ao do Lema 1.10.2 foi observado que Sn−1 �e um compacto.Pelo Lema 1.7.10, os valores da fun�c�ao

∣∣(Dpf1)x∣∣, x ∈ Sn−1, s�ao limitados,

pois essa fun�c�ao �e cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6 �

2.3. Matriz jacobiana. Em termos de coordenadas (x1, . . . , xm) em Rm e(y1, . . . , yn) em Rn, a derivada em p ∈ U ⊂◦Rm da aplica�c�ao f : U → Rn ,pode ser descrita pela matriz jacobiana: Denotemos por fi (x1, . . . , xm) eDi (h1, . . . , hm), i = 1, . . . , n, as componentes de f (x) e de (Dpf )h e sejae1, . . . , em ∈ Rm a base que corresponde �as coordenadas (x1, . . . , xm).

Substituindo h := tej , 0 6= t ∈ R, em g(h)|h| =

f (p+h)−f (p)−(Dpf )h|h| , obtemos

0 = lim06=t→0

fi (p + tej)− fi (p)− Di (tej)

|tej |=

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 6 / 49

≤(∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣+ ∣∣g1(h)∣∣|h|

)g((Dpf1)h + g1(h)

).

A aplica�c�ao Dpf1 �e linear e, pela Proposi�c�ao 1.6 (10), �e cont��nua. Delimh→0

g1(h) = 0, conclu��mos que (Dpf1)h + g1(h) tende a 0 quando h tende

a 0. Levando em conta que lim06=h→0

∣∣g1(h)∣∣|h| = 0, resta observar que os valores

da fun�c�ao 0 6= h 7→∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣ s�ao limitados. Note que os pontos h

|h| ,

h 6= 0, est�ao na esfera unit�aria Sn−1 (onde n �e a dimens�ao de V1). Nademonstra�c�ao do Lema 1.10.2 foi observado que Sn−1 �e um compacto.Pelo Lema 1.7.10, os valores da fun�c�ao

∣∣(Dpf1)x∣∣, x ∈ Sn−1, s�ao limitados,

pois essa fun�c�ao �e cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6 �

2.3. Matriz jacobiana. Em termos de coordenadas (x1, . . . , xm) em Rm e(y1, . . . , yn) em Rn, a derivada em p ∈ U ⊂◦Rm da aplica�c�ao f : U → Rn ,pode ser descrita pela matriz jacobiana: Denotemos por fi (x1, . . . , xm) eDi (h1, . . . , hm), i = 1, . . . , n, as componentes de f (x) e de (Dpf )h e sejae1, . . . , em ∈ Rm a base que corresponde �as coordenadas (x1, . . . , xm).

Substituindo h := tej , 0 6= t ∈ R, em g(h)|h| =

f (p+h)−f (p)−(Dpf )h|h| , obtemos

0 = lim06=t→0

fi (p + tej)− fi (p)− Di (tej)

|tej |=

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 6 / 49

≤(∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣+ ∣∣g1(h)∣∣|h|

)g((Dpf1)h + g1(h)

).

A aplica�c�ao Dpf1 �e linear e, pela Proposi�c�ao 1.6 (10), �e cont��nua. Delimh→0

g1(h) = 0, conclu��mos que (Dpf1)h + g1(h) tende a 0 quando h tende

a 0. Levando em conta que lim06=h→0

∣∣g1(h)∣∣|h| = 0, resta observar que os valores

da fun�c�ao 0 6= h 7→∣∣(Dpf1)

h|h|∣∣ s�ao limitados. Note que os pontos h

|h| ,

h 6= 0, est�ao na esfera unit�aria Sn−1 (onde n �e a dimens�ao de V1). Nademonstra�c�ao do Lema 1.10.2 foi observado que Sn−1 �e um compacto.Pelo Lema 1.7.10, os valores da fun�c�ao

∣∣(Dpf1)x∣∣, x ∈ Sn−1, s�ao limitados,

pois essa fun�c�ao �e cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6 �

2.3. Matriz jacobiana. Em termos de coordenadas (x1, . . . , xm) em Rm e(y1, . . . , yn) em Rn, a derivada em p ∈ U ⊂◦Rm da aplica�c�ao f : U → Rn ,pode ser descrita pela matriz jacobiana: Denotemos por fi (x1, . . . , xm) eDi (h1, . . . , hm), i = 1, . . . , n, as componentes de f (x) e de (Dpf )h e sejae1, . . . , em ∈ Rm a base que corresponde �as coordenadas (x1, . . . , xm).

Substituindo h := tej , 0 6= t ∈ R, em g(h)|h| =

f (p+h)−f (p)−(Dpf )h|h| , obtemos

0 = lim06=t→0

fi (p + tej)− fi (p)− Di (tej)

|tej |=

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 6 / 49

= lim06=t→0

( fi (p1,...,pj−1,pj+t,pj+1,...,pm)−fi (p1,...,pj−1,pj ,pj+1,...,pm)t − Diej

)t|t| .

Isto implica que a matriz [Diej ]ij de Dpf �e montada pelas derivadas par-ciais em p das componentes fi 's de f , ou seja, [Diej ]ij =

[∂fi∂xj

(p)]ij. Assim,

fi (p + h) = fi (p) +m∑j=1

∂fi∂xj

(p)hj + gi (h) para todos i = 1, . . . , n, onde gi

denota a i-�esima componente de g .

2.4. De�ni�c�ao. Sejam V1,V2 espa�cos R-lineares e U ⊂◦V1. Uma aplica�c�aocont��nua f : U → V2 se chama aplica�c�ao de classe C 0. Uma aplica�c�aof : U → V2 �e deriv�avel sobre U se ela �e deriv�avel em cada p ∈ U. Nestecaso, f �e de classe C 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5). Mais ainda, a regrap 7→ Dpf de�ne uma aplica�c�ao Df : U → LinR(V1,V2). Sabemos queLinR(V1,V2) �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita. Caso a aplica�c�aoDf seja cont��nua, chamamos f uma aplica�c�ao de classe C 1. Por indu�c�ao,se Df �e de classe C k−1, dizemos que f �e uma aplica�c�ao de classe C k . Sef �e de classe C k para todo k ∈ N, a aplica�c�ao f �e de classe C∞.Caso f : U → R seja uma fun�c�ao de classe C k , escrevemos f ∈ C k(U),onde k ∈ N ∪ {∞}.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 7 / 49

= lim06=t→0

( fi (p1,...,pj−1,pj+t,pj+1,...,pm)−fi (p1,...,pj−1,pj ,pj+1,...,pm)t − Diej

)t|t| .

Isto implica que a matriz [Diej ]ij de Dpf �e montada pelas derivadas par-ciais em p das componentes fi 's de f , ou seja,

[Diej ]ij =[∂fi∂xj

(p)]ij. Assim,

fi (p + h) = fi (p) +m∑j=1

∂fi∂xj

(p)hj + gi (h) para todos i = 1, . . . , n, onde gi

denota a i-�esima componente de g .

2.4. De�ni�c�ao. Sejam V1,V2 espa�cos R-lineares e U ⊂◦V1. Uma aplica�c�aocont��nua f : U → V2 se chama aplica�c�ao de classe C 0. Uma aplica�c�aof : U → V2 �e deriv�avel sobre U se ela �e deriv�avel em cada p ∈ U. Nestecaso, f �e de classe C 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5). Mais ainda, a regrap 7→ Dpf de�ne uma aplica�c�ao Df : U → LinR(V1,V2). Sabemos queLinR(V1,V2) �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita. Caso a aplica�c�aoDf seja cont��nua, chamamos f uma aplica�c�ao de classe C 1. Por indu�c�ao,se Df �e de classe C k−1, dizemos que f �e uma aplica�c�ao de classe C k . Sef �e de classe C k para todo k ∈ N, a aplica�c�ao f �e de classe C∞.Caso f : U → R seja uma fun�c�ao de classe C k , escrevemos f ∈ C k(U),onde k ∈ N ∪ {∞}.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 7 / 49

= lim06=t→0

( fi (p1,...,pj−1,pj+t,pj+1,...,pm)−fi (p1,...,pj−1,pj ,pj+1,...,pm)t − Diej

)t|t| .

Isto implica que a matriz [Diej ]ij de Dpf �e montada pelas derivadas par-ciais em p das componentes fi 's de f , ou seja, [Diej ]ij =

[∂fi∂xj

(p)]ij.

Assim,

fi (p + h) = fi (p) +m∑j=1

∂fi∂xj

(p)hj + gi (h) para todos i = 1, . . . , n, onde gi

denota a i-�esima componente de g .

2.4. De�ni�c�ao. Sejam V1,V2 espa�cos R-lineares e U ⊂◦V1. Uma aplica�c�aocont��nua f : U → V2 se chama aplica�c�ao de classe C 0. Uma aplica�c�aof : U → V2 �e deriv�avel sobre U se ela �e deriv�avel em cada p ∈ U. Nestecaso, f �e de classe C 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5). Mais ainda, a regrap 7→ Dpf de�ne uma aplica�c�ao Df : U → LinR(V1,V2). Sabemos queLinR(V1,V2) �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita. Caso a aplica�c�aoDf seja cont��nua, chamamos f uma aplica�c�ao de classe C 1. Por indu�c�ao,se Df �e de classe C k−1, dizemos que f �e uma aplica�c�ao de classe C k . Sef �e de classe C k para todo k ∈ N, a aplica�c�ao f �e de classe C∞.Caso f : U → R seja uma fun�c�ao de classe C k , escrevemos f ∈ C k(U),onde k ∈ N ∪ {∞}.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 7 / 49

= lim06=t→0

( fi (p1,...,pj−1,pj+t,pj+1,...,pm)−fi (p1,...,pj−1,pj ,pj+1,...,pm)t − Diej

)t|t| .

Isto implica que a matriz [Diej ]ij de Dpf �e montada pelas derivadas par-ciais em p das componentes fi 's de f , ou seja, [Diej ]ij =

[∂fi∂xj

(p)]ij. Assim,

fi (p + h) = fi (p) +m∑j=1

∂fi∂xj

(p)hj + gi (h) para todos i = 1, . . . , n, onde gi

denota a i-�esima componente de g .

2.4. De�ni�c�ao. Sejam V1,V2 espa�cos R-lineares e U ⊂◦V1. Uma aplica�c�aocont��nua f : U → V2 se chama aplica�c�ao de classe C 0. Uma aplica�c�aof : U → V2 �e deriv�avel sobre U se ela �e deriv�avel em cada p ∈ U. Nestecaso, f �e de classe C 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5). Mais ainda, a regrap 7→ Dpf de�ne uma aplica�c�ao Df : U → LinR(V1,V2). Sabemos queLinR(V1,V2) �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita. Caso a aplica�c�aoDf seja cont��nua, chamamos f uma aplica�c�ao de classe C 1. Por indu�c�ao,se Df �e de classe C k−1, dizemos que f �e uma aplica�c�ao de classe C k . Sef �e de classe C k para todo k ∈ N, a aplica�c�ao f �e de classe C∞.Caso f : U → R seja uma fun�c�ao de classe C k , escrevemos f ∈ C k(U),onde k ∈ N ∪ {∞}.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 7 / 49

= lim06=t→0

( fi (p1,...,pj−1,pj+t,pj+1,...,pm)−fi (p1,...,pj−1,pj ,pj+1,...,pm)t − Diej

)t|t| .

Isto implica que a matriz [Diej ]ij de Dpf �e montada pelas derivadas par-ciais em p das componentes fi 's de f , ou seja, [Diej ]ij =

[∂fi∂xj

(p)]ij. Assim,

fi (p + h) = fi (p) +m∑j=1

∂fi∂xj

(p)hj + gi (h) para todos i = 1, . . . , n, onde gi

denota a i-�esima componente de g .

2.4. De�ni�c�ao. Sejam V1,V2 espa�cos R-lineares e U ⊂◦V1.

Uma aplica�c�aocont��nua f : U → V2 se chama aplica�c�ao de classe C 0. Uma aplica�c�aof : U → V2 �e deriv�avel sobre U se ela �e deriv�avel em cada p ∈ U. Nestecaso, f �e de classe C 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5). Mais ainda, a regrap 7→ Dpf de�ne uma aplica�c�ao Df : U → LinR(V1,V2). Sabemos queLinR(V1,V2) �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita. Caso a aplica�c�aoDf seja cont��nua, chamamos f uma aplica�c�ao de classe C 1. Por indu�c�ao,se Df �e de classe C k−1, dizemos que f �e uma aplica�c�ao de classe C k . Sef �e de classe C k para todo k ∈ N, a aplica�c�ao f �e de classe C∞.Caso f : U → R seja uma fun�c�ao de classe C k , escrevemos f ∈ C k(U),onde k ∈ N ∪ {∞}.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 7 / 49

= lim06=t→0

( fi (p1,...,pj−1,pj+t,pj+1,...,pm)−fi (p1,...,pj−1,pj ,pj+1,...,pm)t − Diej

)t|t| .

Isto implica que a matriz [Diej ]ij de Dpf �e montada pelas derivadas par-ciais em p das componentes fi 's de f , ou seja, [Diej ]ij =

[∂fi∂xj

(p)]ij. Assim,

fi (p + h) = fi (p) +m∑j=1

∂fi∂xj

(p)hj + gi (h) para todos i = 1, . . . , n, onde gi

denota a i-�esima componente de g .

2.4. De�ni�c�ao. Sejam V1,V2 espa�cos R-lineares e U ⊂◦V1. Uma aplica�c�aocont��nua f : U → V2 se chama aplica�c�ao de classe C 0.

Uma aplica�c�aof : U → V2 �e deriv�avel sobre U se ela �e deriv�avel em cada p ∈ U. Nestecaso, f �e de classe C 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5). Mais ainda, a regrap 7→ Dpf de�ne uma aplica�c�ao Df : U → LinR(V1,V2). Sabemos queLinR(V1,V2) �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita. Caso a aplica�c�aoDf seja cont��nua, chamamos f uma aplica�c�ao de classe C 1. Por indu�c�ao,se Df �e de classe C k−1, dizemos que f �e uma aplica�c�ao de classe C k . Sef �e de classe C k para todo k ∈ N, a aplica�c�ao f �e de classe C∞.Caso f : U → R seja uma fun�c�ao de classe C k , escrevemos f ∈ C k(U),onde k ∈ N ∪ {∞}.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 7 / 49

= lim06=t→0

( fi (p1,...,pj−1,pj+t,pj+1,...,pm)−fi (p1,...,pj−1,pj ,pj+1,...,pm)t − Diej

)t|t| .

Isto implica que a matriz [Diej ]ij de Dpf �e montada pelas derivadas par-ciais em p das componentes fi 's de f , ou seja, [Diej ]ij =

[∂fi∂xj

(p)]ij. Assim,

fi (p + h) = fi (p) +m∑j=1

∂fi∂xj

(p)hj + gi (h) para todos i = 1, . . . , n, onde gi

denota a i-�esima componente de g .

2.4. De�ni�c�ao. Sejam V1,V2 espa�cos R-lineares e U ⊂◦V1. Uma aplica�c�aocont��nua f : U → V2 se chama aplica�c�ao de classe C 0. Uma aplica�c�aof : U → V2 �e deriv�avel sobre U se ela �e deriv�avel em cada p ∈ U.

Nestecaso, f �e de classe C 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5). Mais ainda, a regrap 7→ Dpf de�ne uma aplica�c�ao Df : U → LinR(V1,V2). Sabemos queLinR(V1,V2) �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita. Caso a aplica�c�aoDf seja cont��nua, chamamos f uma aplica�c�ao de classe C 1. Por indu�c�ao,se Df �e de classe C k−1, dizemos que f �e uma aplica�c�ao de classe C k . Sef �e de classe C k para todo k ∈ N, a aplica�c�ao f �e de classe C∞.Caso f : U → R seja uma fun�c�ao de classe C k , escrevemos f ∈ C k(U),onde k ∈ N ∪ {∞}.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 7 / 49

= lim06=t→0

( fi (p1,...,pj−1,pj+t,pj+1,...,pm)−fi (p1,...,pj−1,pj ,pj+1,...,pm)t − Diej

)t|t| .

Isto implica que a matriz [Diej ]ij de Dpf �e montada pelas derivadas par-ciais em p das componentes fi 's de f , ou seja, [Diej ]ij =

[∂fi∂xj

(p)]ij. Assim,

fi (p + h) = fi (p) +m∑j=1

∂fi∂xj

(p)hj + gi (h) para todos i = 1, . . . , n, onde gi

denota a i-�esima componente de g .

2.4. De�ni�c�ao. Sejam V1,V2 espa�cos R-lineares e U ⊂◦V1. Uma aplica�c�aocont��nua f : U → V2 se chama aplica�c�ao de classe C 0. Uma aplica�c�aof : U → V2 �e deriv�avel sobre U se ela �e deriv�avel em cada p ∈ U. Nestecaso, f �e de classe C 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5).

Mais ainda, a regrap 7→ Dpf de�ne uma aplica�c�ao Df : U → LinR(V1,V2). Sabemos queLinR(V1,V2) �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita. Caso a aplica�c�aoDf seja cont��nua, chamamos f uma aplica�c�ao de classe C 1. Por indu�c�ao,se Df �e de classe C k−1, dizemos que f �e uma aplica�c�ao de classe C k . Sef �e de classe C k para todo k ∈ N, a aplica�c�ao f �e de classe C∞.Caso f : U → R seja uma fun�c�ao de classe C k , escrevemos f ∈ C k(U),onde k ∈ N ∪ {∞}.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 7 / 49

= lim06=t→0

( fi (p1,...,pj−1,pj+t,pj+1,...,pm)−fi (p1,...,pj−1,pj ,pj+1,...,pm)t − Diej

)t|t| .

Isto implica que a matriz [Diej ]ij de Dpf �e montada pelas derivadas par-ciais em p das componentes fi 's de f , ou seja, [Diej ]ij =

[∂fi∂xj

(p)]ij. Assim,

fi (p + h) = fi (p) +m∑j=1

∂fi∂xj

(p)hj + gi (h) para todos i = 1, . . . , n, onde gi

denota a i-�esima componente de g .

2.4. De�ni�c�ao. Sejam V1,V2 espa�cos R-lineares e U ⊂◦V1. Uma aplica�c�aocont��nua f : U → V2 se chama aplica�c�ao de classe C 0. Uma aplica�c�aof : U → V2 �e deriv�avel sobre U se ela �e deriv�avel em cada p ∈ U. Nestecaso, f �e de classe C 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5). Mais ainda, a regrap 7→ Dpf de�ne uma aplica�c�ao Df : U → LinR(V1,V2).

Sabemos queLinR(V1,V2) �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita. Caso a aplica�c�aoDf seja cont��nua, chamamos f uma aplica�c�ao de classe C 1. Por indu�c�ao,se Df �e de classe C k−1, dizemos que f �e uma aplica�c�ao de classe C k . Sef �e de classe C k para todo k ∈ N, a aplica�c�ao f �e de classe C∞.Caso f : U → R seja uma fun�c�ao de classe C k , escrevemos f ∈ C k(U),onde k ∈ N ∪ {∞}.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 7 / 49

= lim06=t→0

( fi (p1,...,pj−1,pj+t,pj+1,...,pm)−fi (p1,...,pj−1,pj ,pj+1,...,pm)t − Diej

)t|t| .

Isto implica que a matriz [Diej ]ij de Dpf �e montada pelas derivadas par-ciais em p das componentes fi 's de f , ou seja, [Diej ]ij =

[∂fi∂xj

(p)]ij. Assim,

fi (p + h) = fi (p) +m∑j=1

∂fi∂xj

(p)hj + gi (h) para todos i = 1, . . . , n, onde gi

denota a i-�esima componente de g .

2.4. De�ni�c�ao. Sejam V1,V2 espa�cos R-lineares e U ⊂◦V1. Uma aplica�c�aocont��nua f : U → V2 se chama aplica�c�ao de classe C 0. Uma aplica�c�aof : U → V2 �e deriv�avel sobre U se ela �e deriv�avel em cada p ∈ U. Nestecaso, f �e de classe C 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5). Mais ainda, a regrap 7→ Dpf de�ne uma aplica�c�ao Df : U → LinR(V1,V2). Sabemos queLinR(V1,V2) �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita.

Caso a aplica�c�aoDf seja cont��nua, chamamos f uma aplica�c�ao de classe C 1. Por indu�c�ao,se Df �e de classe C k−1, dizemos que f �e uma aplica�c�ao de classe C k . Sef �e de classe C k para todo k ∈ N, a aplica�c�ao f �e de classe C∞.Caso f : U → R seja uma fun�c�ao de classe C k , escrevemos f ∈ C k(U),onde k ∈ N ∪ {∞}.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 7 / 49

= lim06=t→0

( fi (p1,...,pj−1,pj+t,pj+1,...,pm)−fi (p1,...,pj−1,pj ,pj+1,...,pm)t − Diej

)t|t| .

Isto implica que a matriz [Diej ]ij de Dpf �e montada pelas derivadas par-ciais em p das componentes fi 's de f , ou seja, [Diej ]ij =

[∂fi∂xj

(p)]ij. Assim,

fi (p + h) = fi (p) +m∑j=1

∂fi∂xj

(p)hj + gi (h) para todos i = 1, . . . , n, onde gi

denota a i-�esima componente de g .

2.4. De�ni�c�ao. Sejam V1,V2 espa�cos R-lineares e U ⊂◦V1. Uma aplica�c�aocont��nua f : U → V2 se chama aplica�c�ao de classe C 0. Uma aplica�c�aof : U → V2 �e deriv�avel sobre U se ela �e deriv�avel em cada p ∈ U. Nestecaso, f �e de classe C 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5). Mais ainda, a regrap 7→ Dpf de�ne uma aplica�c�ao Df : U → LinR(V1,V2). Sabemos queLinR(V1,V2) �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita. Caso a aplica�c�aoDf seja cont��nua, chamamos f uma aplica�c�ao de classe C 1.

Por indu�c�ao,se Df �e de classe C k−1, dizemos que f �e uma aplica�c�ao de classe C k . Sef �e de classe C k para todo k ∈ N, a aplica�c�ao f �e de classe C∞.Caso f : U → R seja uma fun�c�ao de classe C k , escrevemos f ∈ C k(U),onde k ∈ N ∪ {∞}.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 7 / 49

= lim06=t→0

( fi (p1,...,pj−1,pj+t,pj+1,...,pm)−fi (p1,...,pj−1,pj ,pj+1,...,pm)t − Diej

)t|t| .

Isto implica que a matriz [Diej ]ij de Dpf �e montada pelas derivadas par-ciais em p das componentes fi 's de f , ou seja, [Diej ]ij =

[∂fi∂xj

(p)]ij. Assim,

fi (p + h) = fi (p) +m∑j=1

∂fi∂xj

(p)hj + gi (h) para todos i = 1, . . . , n, onde gi

denota a i-�esima componente de g .

2.4. De�ni�c�ao. Sejam V1,V2 espa�cos R-lineares e U ⊂◦V1. Uma aplica�c�aocont��nua f : U → V2 se chama aplica�c�ao de classe C 0. Uma aplica�c�aof : U → V2 �e deriv�avel sobre U se ela �e deriv�avel em cada p ∈ U. Nestecaso, f �e de classe C 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5). Mais ainda, a regrap 7→ Dpf de�ne uma aplica�c�ao Df : U → LinR(V1,V2). Sabemos queLinR(V1,V2) �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita. Caso a aplica�c�aoDf seja cont��nua, chamamos f uma aplica�c�ao de classe C 1. Por indu�c�ao,se Df �e de classe C k−1, dizemos que f �e uma aplica�c�ao de classe C k .

Sef �e de classe C k para todo k ∈ N, a aplica�c�ao f �e de classe C∞.Caso f : U → R seja uma fun�c�ao de classe C k , escrevemos f ∈ C k(U),onde k ∈ N ∪ {∞}.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 7 / 49

= lim06=t→0

( fi (p1,...,pj−1,pj+t,pj+1,...,pm)−fi (p1,...,pj−1,pj ,pj+1,...,pm)t − Diej

)t|t| .

Isto implica que a matriz [Diej ]ij de Dpf �e montada pelas derivadas par-ciais em p das componentes fi 's de f , ou seja, [Diej ]ij =

[∂fi∂xj

(p)]ij. Assim,

fi (p + h) = fi (p) +m∑j=1

∂fi∂xj

(p)hj + gi (h) para todos i = 1, . . . , n, onde gi

denota a i-�esima componente de g .

2.4. De�ni�c�ao. Sejam V1,V2 espa�cos R-lineares e U ⊂◦V1. Uma aplica�c�aocont��nua f : U → V2 se chama aplica�c�ao de classe C 0. Uma aplica�c�aof : U → V2 �e deriv�avel sobre U se ela �e deriv�avel em cada p ∈ U. Nestecaso, f �e de classe C 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5). Mais ainda, a regrap 7→ Dpf de�ne uma aplica�c�ao Df : U → LinR(V1,V2). Sabemos queLinR(V1,V2) �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita. Caso a aplica�c�aoDf seja cont��nua, chamamos f uma aplica�c�ao de classe C 1. Por indu�c�ao,se Df �e de classe C k−1, dizemos que f �e uma aplica�c�ao de classe C k . Sef �e de classe C k para todo k ∈ N, a aplica�c�ao f �e de classe C∞.

Caso f : U → R seja uma fun�c�ao de classe C k , escrevemos f ∈ C k(U),onde k ∈ N ∪ {∞}.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 7 / 49

= lim06=t→0

( fi (p1,...,pj−1,pj+t,pj+1,...,pm)−fi (p1,...,pj−1,pj ,pj+1,...,pm)t − Diej

)t|t| .

Isto implica que a matriz [Diej ]ij de Dpf �e montada pelas derivadas par-ciais em p das componentes fi 's de f , ou seja, [Diej ]ij =

[∂fi∂xj

(p)]ij. Assim,

fi (p + h) = fi (p) +m∑j=1

∂fi∂xj

(p)hj + gi (h) para todos i = 1, . . . , n, onde gi

denota a i-�esima componente de g .

2.4. De�ni�c�ao. Sejam V1,V2 espa�cos R-lineares e U ⊂◦V1. Uma aplica�c�aocont��nua f : U → V2 se chama aplica�c�ao de classe C 0. Uma aplica�c�aof : U → V2 �e deriv�avel sobre U se ela �e deriv�avel em cada p ∈ U. Nestecaso, f �e de classe C 0 pela Proposi�c�ao 1.6 (5). Mais ainda, a regrap 7→ Dpf de�ne uma aplica�c�ao Df : U → LinR(V1,V2). Sabemos queLinR(V1,V2) �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita. Caso a aplica�c�aoDf seja cont��nua, chamamos f uma aplica�c�ao de classe C 1. Por indu�c�ao,se Df �e de classe C k−1, dizemos que f �e uma aplica�c�ao de classe C k . Sef �e de classe C k para todo k ∈ N, a aplica�c�ao f �e de classe C∞.Caso f : U → R seja uma fun�c�ao de classe C k , escrevemos f ∈ C k(U),onde k ∈ N ∪ {∞}.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 7 / 49

Por 2.3, f �e de classe C k se e s�o se todas as derivadas parciais de ordem k

das componentes de f s�ao cont��nuas sobre U, isto �e,

∂k fi∂xj1 ...∂xjk

∈ C 0(U)

para todos i = 1, . . . , n e j1, . . . , jk ∈ {1, . . . ,m}.

2.5. Exemplo. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao. Dizemos que um ponto

p ∈ U �e um m��nimo (m�aximo) local de f se existe uma vizinhan�ca abertap ∈W ⊂◦U tal que f (w) ≥ f (p) (f (w) ≤ f (p)) para todo w ∈W .Lidando no c�alculo I com fun�c�oes de uma vari�avel real, estudamoscondi�c�oes necess�arias (a primeira derivada �e nula no ponto) e su�cientes(a primeira derivada �e nula no ponto e a segunda �e positiva/negativa) paraum ponto ser um m��nimo/m�aximo local de uma fun�c�ao de classe C 2. Parafun�c�oes de v�arias vari�aveis, a situa�c�ao �e parecida, mas um pouco maiscomplicada.Consideremos uma fun�c�ao f : Rn → R dada pelo polin�omio de grau ≤ 2

nas coordenadas (x1, . . . , xn) em Rn, f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj+

+n∑

j ,k=1

cjkxjxk , onde c0, cj , cjk ∈ R e cjk = ckj .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 8 / 49

Por 2.3, f �e de classe C k se e s�o se todas as derivadas parciais de ordem k

das componentes de f s�ao cont��nuas sobre U, isto �e, ∂k fi∂xj1 ...∂xjk

∈ C 0(U)

para todos i = 1, . . . , n e j1, . . . , jk ∈ {1, . . . ,m}.

2.5. Exemplo. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao. Dizemos que um ponto

p ∈ U �e um m��nimo (m�aximo) local de f se existe uma vizinhan�ca abertap ∈W ⊂◦U tal que f (w) ≥ f (p) (f (w) ≤ f (p)) para todo w ∈W .Lidando no c�alculo I com fun�c�oes de uma vari�avel real, estudamoscondi�c�oes necess�arias (a primeira derivada �e nula no ponto) e su�cientes(a primeira derivada �e nula no ponto e a segunda �e positiva/negativa) paraum ponto ser um m��nimo/m�aximo local de uma fun�c�ao de classe C 2. Parafun�c�oes de v�arias vari�aveis, a situa�c�ao �e parecida, mas um pouco maiscomplicada.Consideremos uma fun�c�ao f : Rn → R dada pelo polin�omio de grau ≤ 2

nas coordenadas (x1, . . . , xn) em Rn, f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj+

+n∑

j ,k=1

cjkxjxk , onde c0, cj , cjk ∈ R e cjk = ckj .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 8 / 49

Por 2.3, f �e de classe C k se e s�o se todas as derivadas parciais de ordem k

das componentes de f s�ao cont��nuas sobre U, isto �e, ∂k fi∂xj1 ...∂xjk

∈ C 0(U)

para todos i = 1, . . . , n e j1, . . . , jk ∈ {1, . . . ,m}.

2.5. Exemplo. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao.

Dizemos que um pontop ∈ U �e um m��nimo (m�aximo) local de f se existe uma vizinhan�ca abertap ∈W ⊂◦U tal que f (w) ≥ f (p) (f (w) ≤ f (p)) para todo w ∈W .Lidando no c�alculo I com fun�c�oes de uma vari�avel real, estudamoscondi�c�oes necess�arias (a primeira derivada �e nula no ponto) e su�cientes(a primeira derivada �e nula no ponto e a segunda �e positiva/negativa) paraum ponto ser um m��nimo/m�aximo local de uma fun�c�ao de classe C 2. Parafun�c�oes de v�arias vari�aveis, a situa�c�ao �e parecida, mas um pouco maiscomplicada.Consideremos uma fun�c�ao f : Rn → R dada pelo polin�omio de grau ≤ 2

nas coordenadas (x1, . . . , xn) em Rn, f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj+

+n∑

j ,k=1

cjkxjxk , onde c0, cj , cjk ∈ R e cjk = ckj .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 8 / 49

Por 2.3, f �e de classe C k se e s�o se todas as derivadas parciais de ordem k

das componentes de f s�ao cont��nuas sobre U, isto �e, ∂k fi∂xj1 ...∂xjk

∈ C 0(U)

para todos i = 1, . . . , n e j1, . . . , jk ∈ {1, . . . ,m}.

2.5. Exemplo. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao. Dizemos que um ponto

p ∈ U �e um m��nimo (m�aximo) local de f se existe uma vizinhan�ca abertap ∈W ⊂◦U tal que f (w) ≥ f (p) (f (w) ≤ f (p)) para todo w ∈W .

Lidando no c�alculo I com fun�c�oes de uma vari�avel real, estudamoscondi�c�oes necess�arias (a primeira derivada �e nula no ponto) e su�cientes(a primeira derivada �e nula no ponto e a segunda �e positiva/negativa) paraum ponto ser um m��nimo/m�aximo local de uma fun�c�ao de classe C 2. Parafun�c�oes de v�arias vari�aveis, a situa�c�ao �e parecida, mas um pouco maiscomplicada.Consideremos uma fun�c�ao f : Rn → R dada pelo polin�omio de grau ≤ 2

nas coordenadas (x1, . . . , xn) em Rn, f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj+

+n∑

j ,k=1

cjkxjxk , onde c0, cj , cjk ∈ R e cjk = ckj .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 8 / 49

Por 2.3, f �e de classe C k se e s�o se todas as derivadas parciais de ordem k

das componentes de f s�ao cont��nuas sobre U, isto �e, ∂k fi∂xj1 ...∂xjk

∈ C 0(U)

para todos i = 1, . . . , n e j1, . . . , jk ∈ {1, . . . ,m}.

2.5. Exemplo. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao. Dizemos que um ponto

p ∈ U �e um m��nimo (m�aximo) local de f se existe uma vizinhan�ca abertap ∈W ⊂◦U tal que f (w) ≥ f (p) (f (w) ≤ f (p)) para todo w ∈W .Lidando no c�alculo I com fun�c�oes de uma vari�avel real, estudamoscondi�c�oes necess�arias

(a primeira derivada �e nula no ponto) e su�cientes(a primeira derivada �e nula no ponto e a segunda �e positiva/negativa) paraum ponto ser um m��nimo/m�aximo local de uma fun�c�ao de classe C 2. Parafun�c�oes de v�arias vari�aveis, a situa�c�ao �e parecida, mas um pouco maiscomplicada.Consideremos uma fun�c�ao f : Rn → R dada pelo polin�omio de grau ≤ 2

nas coordenadas (x1, . . . , xn) em Rn, f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj+

+n∑

j ,k=1

cjkxjxk , onde c0, cj , cjk ∈ R e cjk = ckj .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 8 / 49

Por 2.3, f �e de classe C k se e s�o se todas as derivadas parciais de ordem k

das componentes de f s�ao cont��nuas sobre U, isto �e, ∂k fi∂xj1 ...∂xjk

∈ C 0(U)

para todos i = 1, . . . , n e j1, . . . , jk ∈ {1, . . . ,m}.

2.5. Exemplo. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao. Dizemos que um ponto

p ∈ U �e um m��nimo (m�aximo) local de f se existe uma vizinhan�ca abertap ∈W ⊂◦U tal que f (w) ≥ f (p) (f (w) ≤ f (p)) para todo w ∈W .Lidando no c�alculo I com fun�c�oes de uma vari�avel real, estudamoscondi�c�oes necess�arias (a primeira derivada �e nula no ponto)

e su�cientes(a primeira derivada �e nula no ponto e a segunda �e positiva/negativa) paraum ponto ser um m��nimo/m�aximo local de uma fun�c�ao de classe C 2. Parafun�c�oes de v�arias vari�aveis, a situa�c�ao �e parecida, mas um pouco maiscomplicada.Consideremos uma fun�c�ao f : Rn → R dada pelo polin�omio de grau ≤ 2

nas coordenadas (x1, . . . , xn) em Rn, f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj+

+n∑

j ,k=1

cjkxjxk , onde c0, cj , cjk ∈ R e cjk = ckj .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 8 / 49

Por 2.3, f �e de classe C k se e s�o se todas as derivadas parciais de ordem k

das componentes de f s�ao cont��nuas sobre U, isto �e, ∂k fi∂xj1 ...∂xjk

∈ C 0(U)

para todos i = 1, . . . , n e j1, . . . , jk ∈ {1, . . . ,m}.

2.5. Exemplo. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao. Dizemos que um ponto

p ∈ U �e um m��nimo (m�aximo) local de f se existe uma vizinhan�ca abertap ∈W ⊂◦U tal que f (w) ≥ f (p) (f (w) ≤ f (p)) para todo w ∈W .Lidando no c�alculo I com fun�c�oes de uma vari�avel real, estudamoscondi�c�oes necess�arias (a primeira derivada �e nula no ponto) e su�cientes

(a primeira derivada �e nula no ponto e a segunda �e positiva/negativa) paraum ponto ser um m��nimo/m�aximo local de uma fun�c�ao de classe C 2. Parafun�c�oes de v�arias vari�aveis, a situa�c�ao �e parecida, mas um pouco maiscomplicada.Consideremos uma fun�c�ao f : Rn → R dada pelo polin�omio de grau ≤ 2

nas coordenadas (x1, . . . , xn) em Rn, f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj+

+n∑

j ,k=1

cjkxjxk , onde c0, cj , cjk ∈ R e cjk = ckj .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 8 / 49

Por 2.3, f �e de classe C k se e s�o se todas as derivadas parciais de ordem k

das componentes de f s�ao cont��nuas sobre U, isto �e, ∂k fi∂xj1 ...∂xjk

∈ C 0(U)

para todos i = 1, . . . , n e j1, . . . , jk ∈ {1, . . . ,m}.

2.5. Exemplo. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao. Dizemos que um ponto

p ∈ U �e um m��nimo (m�aximo) local de f se existe uma vizinhan�ca abertap ∈W ⊂◦U tal que f (w) ≥ f (p) (f (w) ≤ f (p)) para todo w ∈W .Lidando no c�alculo I com fun�c�oes de uma vari�avel real, estudamoscondi�c�oes necess�arias (a primeira derivada �e nula no ponto) e su�cientes(a primeira derivada �e nula no ponto e a segunda �e positiva/negativa)

paraum ponto ser um m��nimo/m�aximo local de uma fun�c�ao de classe C 2. Parafun�c�oes de v�arias vari�aveis, a situa�c�ao �e parecida, mas um pouco maiscomplicada.Consideremos uma fun�c�ao f : Rn → R dada pelo polin�omio de grau ≤ 2

nas coordenadas (x1, . . . , xn) em Rn, f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj+

+n∑

j ,k=1

cjkxjxk , onde c0, cj , cjk ∈ R e cjk = ckj .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 8 / 49

Por 2.3, f �e de classe C k se e s�o se todas as derivadas parciais de ordem k

das componentes de f s�ao cont��nuas sobre U, isto �e, ∂k fi∂xj1 ...∂xjk

∈ C 0(U)

para todos i = 1, . . . , n e j1, . . . , jk ∈ {1, . . . ,m}.

2.5. Exemplo. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao. Dizemos que um ponto

p ∈ U �e um m��nimo (m�aximo) local de f se existe uma vizinhan�ca abertap ∈W ⊂◦U tal que f (w) ≥ f (p) (f (w) ≤ f (p)) para todo w ∈W .Lidando no c�alculo I com fun�c�oes de uma vari�avel real, estudamoscondi�c�oes necess�arias (a primeira derivada �e nula no ponto) e su�cientes(a primeira derivada �e nula no ponto e a segunda �e positiva/negativa) paraum ponto ser um m��nimo/m�aximo local de uma fun�c�ao de classe C 2.

Parafun�c�oes de v�arias vari�aveis, a situa�c�ao �e parecida, mas um pouco maiscomplicada.Consideremos uma fun�c�ao f : Rn → R dada pelo polin�omio de grau ≤ 2

nas coordenadas (x1, . . . , xn) em Rn, f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj+

+n∑

j ,k=1

cjkxjxk , onde c0, cj , cjk ∈ R e cjk = ckj .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 8 / 49

Por 2.3, f �e de classe C k se e s�o se todas as derivadas parciais de ordem k

das componentes de f s�ao cont��nuas sobre U, isto �e, ∂k fi∂xj1 ...∂xjk

∈ C 0(U)

para todos i = 1, . . . , n e j1, . . . , jk ∈ {1, . . . ,m}.

2.5. Exemplo. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao. Dizemos que um ponto

p ∈ U �e um m��nimo (m�aximo) local de f se existe uma vizinhan�ca abertap ∈W ⊂◦U tal que f (w) ≥ f (p) (f (w) ≤ f (p)) para todo w ∈W .Lidando no c�alculo I com fun�c�oes de uma vari�avel real, estudamoscondi�c�oes necess�arias (a primeira derivada �e nula no ponto) e su�cientes(a primeira derivada �e nula no ponto e a segunda �e positiva/negativa) paraum ponto ser um m��nimo/m�aximo local de uma fun�c�ao de classe C 2. Parafun�c�oes de v�arias vari�aveis, a situa�c�ao �e parecida, mas um pouco maiscomplicada.

Consideremos uma fun�c�ao f : Rn → R dada pelo polin�omio de grau ≤ 2

nas coordenadas (x1, . . . , xn) em Rn, f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj+

+n∑

j ,k=1

cjkxjxk , onde c0, cj , cjk ∈ R e cjk = ckj .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 8 / 49

Por 2.3, f �e de classe C k se e s�o se todas as derivadas parciais de ordem k

das componentes de f s�ao cont��nuas sobre U, isto �e, ∂k fi∂xj1 ...∂xjk

∈ C 0(U)

para todos i = 1, . . . , n e j1, . . . , jk ∈ {1, . . . ,m}.

2.5. Exemplo. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao. Dizemos que um ponto

p ∈ U �e um m��nimo (m�aximo) local de f se existe uma vizinhan�ca abertap ∈W ⊂◦U tal que f (w) ≥ f (p) (f (w) ≤ f (p)) para todo w ∈W .Lidando no c�alculo I com fun�c�oes de uma vari�avel real, estudamoscondi�c�oes necess�arias (a primeira derivada �e nula no ponto) e su�cientes(a primeira derivada �e nula no ponto e a segunda �e positiva/negativa) paraum ponto ser um m��nimo/m�aximo local de uma fun�c�ao de classe C 2. Parafun�c�oes de v�arias vari�aveis, a situa�c�ao �e parecida, mas um pouco maiscomplicada.Consideremos uma fun�c�ao f : Rn → R dada pelo polin�omio de grau ≤ 2

nas coordenadas (x1, . . . , xn) em Rn, f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj+

+n∑

j ,k=1

cjkxjxk , onde c0, cj , cjk ∈ R e cjk = ckj .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 8 / 49

As derivadas parciais de ordem 1 de f s�ao ∂f∂xi

(x1, . . . , xn) = ci+

+n∑

k=1

cikxk +n∑

j=1cjixj = ci + 2

n∑k=1

cikxk , i = 1, . . . , n.

As derivadas parciais

de ordem 2 de f s�ao constantes ∂2f∂xj∂xi

(x1, . . . , xn) = 2cij , i , j = 1, . . . , n.

As derivadas parciais de ordem ≥ 3 de f s�ao portanto nulas. Assim,

f ∈ C∞(Rn). A decomposi�c�ao f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj +

n∑j ,k=1

cjkxjxk

pode ser vista como a decomposi�c�ao f (x) = f (0) + (D0f )x + g(x), ondeg(x) �e uma fun�c�ao pequena em compara�c�ao com |x |. Isto implica(D0f )(x1, . . . , xn) =

∑nj=1 cjxj .

Quando a origem 0 �e um m��nimo local de f ? Suponhamos que 0 �e umm��nimo local de f . Se D0f 6= 0, podemos encontrar p ∈ Rn tal que(D0f )p < 0. Agora, para todos su�cientemente pequenos t > 0, temost(D0f )p + g(tp) < 0. Portanto, f (tp) = f (0) + t(D0f )p + g(tp) < f (0)para tais t, contradizendo 0 ser um m��nimo local de f . Logo, D0f = 0 e,sem perda de generalidade, podemos supor que c0 = 0, ou seja, quef (x1, . . . , xn) = xCx t , onde x :=

[x1 . . . xn

], x t denota a matriz x

transposta e C �e a matriz sim�etrica C := [cij ].

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 9 / 49

As derivadas parciais de ordem 1 de f s�ao ∂f∂xi

(x1, . . . , xn) = ci+

+n∑

k=1

cikxk +n∑

j=1cjixj = ci + 2

n∑k=1

cikxk , i = 1, . . . , n. As derivadas parciais

de ordem 2 de f s�ao constantes ∂2f∂xj∂xi

(x1, . . . , xn) = 2cij , i , j = 1, . . . , n.

As derivadas parciais de ordem ≥ 3 de f s�ao portanto nulas. Assim,

f ∈ C∞(Rn). A decomposi�c�ao f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj +

n∑j ,k=1

cjkxjxk

pode ser vista como a decomposi�c�ao f (x) = f (0) + (D0f )x + g(x), ondeg(x) �e uma fun�c�ao pequena em compara�c�ao com |x |. Isto implica(D0f )(x1, . . . , xn) =

∑nj=1 cjxj .

Quando a origem 0 �e um m��nimo local de f ? Suponhamos que 0 �e umm��nimo local de f . Se D0f 6= 0, podemos encontrar p ∈ Rn tal que(D0f )p < 0. Agora, para todos su�cientemente pequenos t > 0, temost(D0f )p + g(tp) < 0. Portanto, f (tp) = f (0) + t(D0f )p + g(tp) < f (0)para tais t, contradizendo 0 ser um m��nimo local de f . Logo, D0f = 0 e,sem perda de generalidade, podemos supor que c0 = 0, ou seja, quef (x1, . . . , xn) = xCx t , onde x :=

[x1 . . . xn

], x t denota a matriz x

transposta e C �e a matriz sim�etrica C := [cij ].

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 9 / 49

As derivadas parciais de ordem 1 de f s�ao ∂f∂xi

(x1, . . . , xn) = ci+

+n∑

k=1

cikxk +n∑

j=1cjixj = ci + 2

n∑k=1

cikxk , i = 1, . . . , n. As derivadas parciais

de ordem 2 de f s�ao constantes ∂2f∂xj∂xi

(x1, . . . , xn) = 2cij , i , j = 1, . . . , n.

As derivadas parciais de ordem ≥ 3 de f s�ao portanto nulas.

Assim,

f ∈ C∞(Rn). A decomposi�c�ao f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj +

n∑j ,k=1

cjkxjxk

pode ser vista como a decomposi�c�ao f (x) = f (0) + (D0f )x + g(x), ondeg(x) �e uma fun�c�ao pequena em compara�c�ao com |x |. Isto implica(D0f )(x1, . . . , xn) =

∑nj=1 cjxj .

Quando a origem 0 �e um m��nimo local de f ? Suponhamos que 0 �e umm��nimo local de f . Se D0f 6= 0, podemos encontrar p ∈ Rn tal que(D0f )p < 0. Agora, para todos su�cientemente pequenos t > 0, temost(D0f )p + g(tp) < 0. Portanto, f (tp) = f (0) + t(D0f )p + g(tp) < f (0)para tais t, contradizendo 0 ser um m��nimo local de f . Logo, D0f = 0 e,sem perda de generalidade, podemos supor que c0 = 0, ou seja, quef (x1, . . . , xn) = xCx t , onde x :=

[x1 . . . xn

], x t denota a matriz x

transposta e C �e a matriz sim�etrica C := [cij ].

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 9 / 49

As derivadas parciais de ordem 1 de f s�ao ∂f∂xi

(x1, . . . , xn) = ci+

+n∑

k=1

cikxk +n∑

j=1cjixj = ci + 2

n∑k=1

cikxk , i = 1, . . . , n. As derivadas parciais

de ordem 2 de f s�ao constantes ∂2f∂xj∂xi

(x1, . . . , xn) = 2cij , i , j = 1, . . . , n.

As derivadas parciais de ordem ≥ 3 de f s�ao portanto nulas. Assim,

f ∈ C∞(Rn).

A decomposi�c�ao f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj +

n∑j ,k=1

cjkxjxk

pode ser vista como a decomposi�c�ao f (x) = f (0) + (D0f )x + g(x), ondeg(x) �e uma fun�c�ao pequena em compara�c�ao com |x |. Isto implica(D0f )(x1, . . . , xn) =

∑nj=1 cjxj .

Quando a origem 0 �e um m��nimo local de f ? Suponhamos que 0 �e umm��nimo local de f . Se D0f 6= 0, podemos encontrar p ∈ Rn tal que(D0f )p < 0. Agora, para todos su�cientemente pequenos t > 0, temost(D0f )p + g(tp) < 0. Portanto, f (tp) = f (0) + t(D0f )p + g(tp) < f (0)para tais t, contradizendo 0 ser um m��nimo local de f . Logo, D0f = 0 e,sem perda de generalidade, podemos supor que c0 = 0, ou seja, quef (x1, . . . , xn) = xCx t , onde x :=

[x1 . . . xn

], x t denota a matriz x

transposta e C �e a matriz sim�etrica C := [cij ].

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 9 / 49

As derivadas parciais de ordem 1 de f s�ao ∂f∂xi

(x1, . . . , xn) = ci+

+n∑

k=1

cikxk +n∑

j=1cjixj = ci + 2

n∑k=1

cikxk , i = 1, . . . , n. As derivadas parciais

de ordem 2 de f s�ao constantes ∂2f∂xj∂xi

(x1, . . . , xn) = 2cij , i , j = 1, . . . , n.

As derivadas parciais de ordem ≥ 3 de f s�ao portanto nulas. Assim,

f ∈ C∞(Rn). A decomposi�c�ao f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj +

n∑j ,k=1

cjkxjxk

pode ser vista como a decomposi�c�ao f (x) = f (0) + (D0f )x + g(x), ondeg(x) �e uma fun�c�ao pequena em compara�c�ao com |x |.

Isto implica(D0f )(x1, . . . , xn) =

∑nj=1 cjxj .

Quando a origem 0 �e um m��nimo local de f ? Suponhamos que 0 �e umm��nimo local de f . Se D0f 6= 0, podemos encontrar p ∈ Rn tal que(D0f )p < 0. Agora, para todos su�cientemente pequenos t > 0, temost(D0f )p + g(tp) < 0. Portanto, f (tp) = f (0) + t(D0f )p + g(tp) < f (0)para tais t, contradizendo 0 ser um m��nimo local de f . Logo, D0f = 0 e,sem perda de generalidade, podemos supor que c0 = 0, ou seja, quef (x1, . . . , xn) = xCx t , onde x :=

[x1 . . . xn

], x t denota a matriz x

transposta e C �e a matriz sim�etrica C := [cij ].

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 9 / 49

As derivadas parciais de ordem 1 de f s�ao ∂f∂xi

(x1, . . . , xn) = ci+

+n∑

k=1

cikxk +n∑

j=1cjixj = ci + 2

n∑k=1

cikxk , i = 1, . . . , n. As derivadas parciais

de ordem 2 de f s�ao constantes ∂2f∂xj∂xi

(x1, . . . , xn) = 2cij , i , j = 1, . . . , n.

As derivadas parciais de ordem ≥ 3 de f s�ao portanto nulas. Assim,

f ∈ C∞(Rn). A decomposi�c�ao f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj +

n∑j ,k=1

cjkxjxk

pode ser vista como a decomposi�c�ao f (x) = f (0) + (D0f )x + g(x), ondeg(x) �e uma fun�c�ao pequena em compara�c�ao com |x |. Isto implica(D0f )(x1, . . . , xn) =

∑nj=1 cjxj .

Quando a origem 0 �e um m��nimo local de f ? Suponhamos que 0 �e umm��nimo local de f . Se D0f 6= 0, podemos encontrar p ∈ Rn tal que(D0f )p < 0. Agora, para todos su�cientemente pequenos t > 0, temost(D0f )p + g(tp) < 0. Portanto, f (tp) = f (0) + t(D0f )p + g(tp) < f (0)para tais t, contradizendo 0 ser um m��nimo local de f . Logo, D0f = 0 e,sem perda de generalidade, podemos supor que c0 = 0, ou seja, quef (x1, . . . , xn) = xCx t , onde x :=

[x1 . . . xn

], x t denota a matriz x

transposta e C �e a matriz sim�etrica C := [cij ].

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 9 / 49

As derivadas parciais de ordem 1 de f s�ao ∂f∂xi

(x1, . . . , xn) = ci+

+n∑

k=1

cikxk +n∑

j=1cjixj = ci + 2

n∑k=1

cikxk , i = 1, . . . , n. As derivadas parciais

de ordem 2 de f s�ao constantes ∂2f∂xj∂xi

(x1, . . . , xn) = 2cij , i , j = 1, . . . , n.

As derivadas parciais de ordem ≥ 3 de f s�ao portanto nulas. Assim,

f ∈ C∞(Rn). A decomposi�c�ao f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj +

n∑j ,k=1

cjkxjxk

pode ser vista como a decomposi�c�ao f (x) = f (0) + (D0f )x + g(x), ondeg(x) �e uma fun�c�ao pequena em compara�c�ao com |x |. Isto implica(D0f )(x1, . . . , xn) =

∑nj=1 cjxj .

Quando a origem 0 �e um m��nimo local de f ?

Suponhamos que 0 �e umm��nimo local de f . Se D0f 6= 0, podemos encontrar p ∈ Rn tal que(D0f )p < 0. Agora, para todos su�cientemente pequenos t > 0, temost(D0f )p + g(tp) < 0. Portanto, f (tp) = f (0) + t(D0f )p + g(tp) < f (0)para tais t, contradizendo 0 ser um m��nimo local de f . Logo, D0f = 0 e,sem perda de generalidade, podemos supor que c0 = 0, ou seja, quef (x1, . . . , xn) = xCx t , onde x :=

[x1 . . . xn

], x t denota a matriz x

transposta e C �e a matriz sim�etrica C := [cij ].

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 9 / 49

As derivadas parciais de ordem 1 de f s�ao ∂f∂xi

(x1, . . . , xn) = ci+

+n∑

k=1

cikxk +n∑

j=1cjixj = ci + 2

n∑k=1

cikxk , i = 1, . . . , n. As derivadas parciais

de ordem 2 de f s�ao constantes ∂2f∂xj∂xi

(x1, . . . , xn) = 2cij , i , j = 1, . . . , n.

As derivadas parciais de ordem ≥ 3 de f s�ao portanto nulas. Assim,

f ∈ C∞(Rn). A decomposi�c�ao f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj +

n∑j ,k=1

cjkxjxk

pode ser vista como a decomposi�c�ao f (x) = f (0) + (D0f )x + g(x), ondeg(x) �e uma fun�c�ao pequena em compara�c�ao com |x |. Isto implica(D0f )(x1, . . . , xn) =

∑nj=1 cjxj .

Quando a origem 0 �e um m��nimo local de f ? Suponhamos que 0 �e umm��nimo local de f .

Se D0f 6= 0, podemos encontrar p ∈ Rn tal que(D0f )p < 0. Agora, para todos su�cientemente pequenos t > 0, temost(D0f )p + g(tp) < 0. Portanto, f (tp) = f (0) + t(D0f )p + g(tp) < f (0)para tais t, contradizendo 0 ser um m��nimo local de f . Logo, D0f = 0 e,sem perda de generalidade, podemos supor que c0 = 0, ou seja, quef (x1, . . . , xn) = xCx t , onde x :=

[x1 . . . xn

], x t denota a matriz x

transposta e C �e a matriz sim�etrica C := [cij ].

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 9 / 49

As derivadas parciais de ordem 1 de f s�ao ∂f∂xi

(x1, . . . , xn) = ci+

+n∑

k=1

cikxk +n∑

j=1cjixj = ci + 2

n∑k=1

cikxk , i = 1, . . . , n. As derivadas parciais

de ordem 2 de f s�ao constantes ∂2f∂xj∂xi

(x1, . . . , xn) = 2cij , i , j = 1, . . . , n.

As derivadas parciais de ordem ≥ 3 de f s�ao portanto nulas. Assim,

f ∈ C∞(Rn). A decomposi�c�ao f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj +

n∑j ,k=1

cjkxjxk

pode ser vista como a decomposi�c�ao f (x) = f (0) + (D0f )x + g(x), ondeg(x) �e uma fun�c�ao pequena em compara�c�ao com |x |. Isto implica(D0f )(x1, . . . , xn) =

∑nj=1 cjxj .

Quando a origem 0 �e um m��nimo local de f ? Suponhamos que 0 �e umm��nimo local de f . Se D0f 6= 0, podemos encontrar p ∈ Rn tal que(D0f )p < 0.

Agora, para todos su�cientemente pequenos t > 0, temost(D0f )p + g(tp) < 0. Portanto, f (tp) = f (0) + t(D0f )p + g(tp) < f (0)para tais t, contradizendo 0 ser um m��nimo local de f . Logo, D0f = 0 e,sem perda de generalidade, podemos supor que c0 = 0, ou seja, quef (x1, . . . , xn) = xCx t , onde x :=

[x1 . . . xn

], x t denota a matriz x

transposta e C �e a matriz sim�etrica C := [cij ].

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 9 / 49

As derivadas parciais de ordem 1 de f s�ao ∂f∂xi

(x1, . . . , xn) = ci+

+n∑

k=1

cikxk +n∑

j=1cjixj = ci + 2

n∑k=1

cikxk , i = 1, . . . , n. As derivadas parciais

de ordem 2 de f s�ao constantes ∂2f∂xj∂xi

(x1, . . . , xn) = 2cij , i , j = 1, . . . , n.

As derivadas parciais de ordem ≥ 3 de f s�ao portanto nulas. Assim,

f ∈ C∞(Rn). A decomposi�c�ao f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj +

n∑j ,k=1

cjkxjxk

pode ser vista como a decomposi�c�ao f (x) = f (0) + (D0f )x + g(x), ondeg(x) �e uma fun�c�ao pequena em compara�c�ao com |x |. Isto implica(D0f )(x1, . . . , xn) =

∑nj=1 cjxj .

Quando a origem 0 �e um m��nimo local de f ? Suponhamos que 0 �e umm��nimo local de f . Se D0f 6= 0, podemos encontrar p ∈ Rn tal que(D0f )p < 0. Agora, para todos su�cientemente pequenos t > 0, temost(D0f )p + g(tp) < 0.

Portanto, f (tp) = f (0) + t(D0f )p + g(tp) < f (0)para tais t, contradizendo 0 ser um m��nimo local de f . Logo, D0f = 0 e,sem perda de generalidade, podemos supor que c0 = 0, ou seja, quef (x1, . . . , xn) = xCx t , onde x :=

[x1 . . . xn

], x t denota a matriz x

transposta e C �e a matriz sim�etrica C := [cij ].

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As derivadas parciais de ordem 1 de f s�ao ∂f∂xi

(x1, . . . , xn) = ci+

+n∑

k=1

cikxk +n∑

j=1cjixj = ci + 2

n∑k=1

cikxk , i = 1, . . . , n. As derivadas parciais

de ordem 2 de f s�ao constantes ∂2f∂xj∂xi

(x1, . . . , xn) = 2cij , i , j = 1, . . . , n.

As derivadas parciais de ordem ≥ 3 de f s�ao portanto nulas. Assim,

f ∈ C∞(Rn). A decomposi�c�ao f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj +

n∑j ,k=1

cjkxjxk

pode ser vista como a decomposi�c�ao f (x) = f (0) + (D0f )x + g(x), ondeg(x) �e uma fun�c�ao pequena em compara�c�ao com |x |. Isto implica(D0f )(x1, . . . , xn) =

∑nj=1 cjxj .

Quando a origem 0 �e um m��nimo local de f ? Suponhamos que 0 �e umm��nimo local de f . Se D0f 6= 0, podemos encontrar p ∈ Rn tal que(D0f )p < 0. Agora, para todos su�cientemente pequenos t > 0, temost(D0f )p + g(tp) < 0. Portanto, f (tp) = f (0) + t(D0f )p + g(tp) < f (0)para tais t, contradizendo 0 ser um m��nimo local de f .

Logo, D0f = 0 e,sem perda de generalidade, podemos supor que c0 = 0, ou seja, quef (x1, . . . , xn) = xCx t , onde x :=

[x1 . . . xn

], x t denota a matriz x

transposta e C �e a matriz sim�etrica C := [cij ].

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 9 / 49

As derivadas parciais de ordem 1 de f s�ao ∂f∂xi

(x1, . . . , xn) = ci+

+n∑

k=1

cikxk +n∑

j=1cjixj = ci + 2

n∑k=1

cikxk , i = 1, . . . , n. As derivadas parciais

de ordem 2 de f s�ao constantes ∂2f∂xj∂xi

(x1, . . . , xn) = 2cij , i , j = 1, . . . , n.

As derivadas parciais de ordem ≥ 3 de f s�ao portanto nulas. Assim,

f ∈ C∞(Rn). A decomposi�c�ao f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj +

n∑j ,k=1

cjkxjxk

pode ser vista como a decomposi�c�ao f (x) = f (0) + (D0f )x + g(x), ondeg(x) �e uma fun�c�ao pequena em compara�c�ao com |x |. Isto implica(D0f )(x1, . . . , xn) =

∑nj=1 cjxj .

Quando a origem 0 �e um m��nimo local de f ? Suponhamos que 0 �e umm��nimo local de f . Se D0f 6= 0, podemos encontrar p ∈ Rn tal que(D0f )p < 0. Agora, para todos su�cientemente pequenos t > 0, temost(D0f )p + g(tp) < 0. Portanto, f (tp) = f (0) + t(D0f )p + g(tp) < f (0)para tais t, contradizendo 0 ser um m��nimo local de f . Logo, D0f = 0 e,sem perda de generalidade, podemos supor que c0 = 0,

ou seja, quef (x1, . . . , xn) = xCx t , onde x :=

[x1 . . . xn

], x t denota a matriz x

transposta e C �e a matriz sim�etrica C := [cij ].

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 9 / 49

As derivadas parciais de ordem 1 de f s�ao ∂f∂xi

(x1, . . . , xn) = ci+

+n∑

k=1

cikxk +n∑

j=1cjixj = ci + 2

n∑k=1

cikxk , i = 1, . . . , n. As derivadas parciais

de ordem 2 de f s�ao constantes ∂2f∂xj∂xi

(x1, . . . , xn) = 2cij , i , j = 1, . . . , n.

As derivadas parciais de ordem ≥ 3 de f s�ao portanto nulas. Assim,

f ∈ C∞(Rn). A decomposi�c�ao f (x1, . . . , xn) = c0 +n∑

j=1cjxj +

n∑j ,k=1

cjkxjxk

pode ser vista como a decomposi�c�ao f (x) = f (0) + (D0f )x + g(x), ondeg(x) �e uma fun�c�ao pequena em compara�c�ao com |x |. Isto implica(D0f )(x1, . . . , xn) =

∑nj=1 cjxj .

Quando a origem 0 �e um m��nimo local de f ? Suponhamos que 0 �e umm��nimo local de f . Se D0f 6= 0, podemos encontrar p ∈ Rn tal que(D0f )p < 0. Agora, para todos su�cientemente pequenos t > 0, temost(D0f )p + g(tp) < 0. Portanto, f (tp) = f (0) + t(D0f )p + g(tp) < f (0)para tais t, contradizendo 0 ser um m��nimo local de f . Logo, D0f = 0 e,sem perda de generalidade, podemos supor que c0 = 0, ou seja, quef (x1, . . . , xn) = xCx t , onde x :=

[x1 . . . xn

], x t denota a matriz x

transposta e C �e a matriz sim�etrica C := [cij ].

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 9 / 49

Dizemos que uma matriz sim�etrica C �e positiva se xCx t ≥ 0 para todo x ese xCx t = 0 apenas para x = 0.

�E imediato que 0 �e um m��nimo local dafun�c�ao xCx t se a matriz sim�etrica C �e positiva. (Claro que este m��nimo �ede fato global.) O crit�erio de Sylvester possibilita decidir se uma matrizsim�etrica �e positiva. Por exemplo, no caso n = 2, o crit�erio diz que amatriz C = [cij ] �e positiva se e s�o se c11 > 0 e detC > 0.Podemos resumir o resultado obtido: um polin�omio f de grau ≤ 2 tem umm��nimo local em p se Dpf = 0 e a matriz hessiana [ ∂2f

∂xi∂xj(p)]ij de f em p

�e positiva. Posteriormente perceberemos que o mesmo fato vale paraqualquer fun�c�ao de classe C 2.

2.6. Lema (de Hadamard). Seja f : U → R uma fun�c�ao de classe C∞

de�nida em uma vizinhan�ca aberta p ∈ U ⊂◦Rn do ponto p = (p1, . . . , pn)∈ Rn. Ent�ao existem uma vizinhan�ca aberta p ∈W ⊂◦U e fun�c�oes

gi : W → R de classe C∞ tais que f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para

todo x ∈W .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 10 / 49

Dizemos que uma matriz sim�etrica C �e positiva se xCx t ≥ 0 para todo x ese xCx t = 0 apenas para x = 0. �E imediato que 0 �e um m��nimo local dafun�c�ao xCx t se a matriz sim�etrica C �e positiva.

(Claro que este m��nimo �ede fato global.) O crit�erio de Sylvester possibilita decidir se uma matrizsim�etrica �e positiva. Por exemplo, no caso n = 2, o crit�erio diz que amatriz C = [cij ] �e positiva se e s�o se c11 > 0 e detC > 0.Podemos resumir o resultado obtido: um polin�omio f de grau ≤ 2 tem umm��nimo local em p se Dpf = 0 e a matriz hessiana [ ∂2f

∂xi∂xj(p)]ij de f em p

�e positiva. Posteriormente perceberemos que o mesmo fato vale paraqualquer fun�c�ao de classe C 2.

2.6. Lema (de Hadamard). Seja f : U → R uma fun�c�ao de classe C∞

de�nida em uma vizinhan�ca aberta p ∈ U ⊂◦Rn do ponto p = (p1, . . . , pn)∈ Rn. Ent�ao existem uma vizinhan�ca aberta p ∈W ⊂◦U e fun�c�oes

gi : W → R de classe C∞ tais que f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para

todo x ∈W .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 10 / 49

Dizemos que uma matriz sim�etrica C �e positiva se xCx t ≥ 0 para todo x ese xCx t = 0 apenas para x = 0. �E imediato que 0 �e um m��nimo local dafun�c�ao xCx t se a matriz sim�etrica C �e positiva. (Claro que este m��nimo �ede fato global.)

O crit�erio de Sylvester possibilita decidir se uma matrizsim�etrica �e positiva. Por exemplo, no caso n = 2, o crit�erio diz que amatriz C = [cij ] �e positiva se e s�o se c11 > 0 e detC > 0.Podemos resumir o resultado obtido: um polin�omio f de grau ≤ 2 tem umm��nimo local em p se Dpf = 0 e a matriz hessiana [ ∂2f

∂xi∂xj(p)]ij de f em p

�e positiva. Posteriormente perceberemos que o mesmo fato vale paraqualquer fun�c�ao de classe C 2.

2.6. Lema (de Hadamard). Seja f : U → R uma fun�c�ao de classe C∞

de�nida em uma vizinhan�ca aberta p ∈ U ⊂◦Rn do ponto p = (p1, . . . , pn)∈ Rn. Ent�ao existem uma vizinhan�ca aberta p ∈W ⊂◦U e fun�c�oes

gi : W → R de classe C∞ tais que f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para

todo x ∈W .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 10 / 49

Dizemos que uma matriz sim�etrica C �e positiva se xCx t ≥ 0 para todo x ese xCx t = 0 apenas para x = 0. �E imediato que 0 �e um m��nimo local dafun�c�ao xCx t se a matriz sim�etrica C �e positiva. (Claro que este m��nimo �ede fato global.) O crit�erio de Sylvester possibilita decidir se uma matrizsim�etrica �e positiva.

Por exemplo, no caso n = 2, o crit�erio diz que amatriz C = [cij ] �e positiva se e s�o se c11 > 0 e detC > 0.Podemos resumir o resultado obtido: um polin�omio f de grau ≤ 2 tem umm��nimo local em p se Dpf = 0 e a matriz hessiana [ ∂2f

∂xi∂xj(p)]ij de f em p

�e positiva. Posteriormente perceberemos que o mesmo fato vale paraqualquer fun�c�ao de classe C 2.

2.6. Lema (de Hadamard). Seja f : U → R uma fun�c�ao de classe C∞

de�nida em uma vizinhan�ca aberta p ∈ U ⊂◦Rn do ponto p = (p1, . . . , pn)∈ Rn. Ent�ao existem uma vizinhan�ca aberta p ∈W ⊂◦U e fun�c�oes

gi : W → R de classe C∞ tais que f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para

todo x ∈W .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 10 / 49

Dizemos que uma matriz sim�etrica C �e positiva se xCx t ≥ 0 para todo x ese xCx t = 0 apenas para x = 0. �E imediato que 0 �e um m��nimo local dafun�c�ao xCx t se a matriz sim�etrica C �e positiva. (Claro que este m��nimo �ede fato global.) O crit�erio de Sylvester possibilita decidir se uma matrizsim�etrica �e positiva. Por exemplo, no caso n = 2, o crit�erio diz que amatriz C = [cij ] �e positiva se e s�o se c11 > 0 e detC > 0.

Podemos resumir o resultado obtido: um polin�omio f de grau ≤ 2 tem umm��nimo local em p se Dpf = 0 e a matriz hessiana [ ∂2f

∂xi∂xj(p)]ij de f em p

�e positiva. Posteriormente perceberemos que o mesmo fato vale paraqualquer fun�c�ao de classe C 2.

2.6. Lema (de Hadamard). Seja f : U → R uma fun�c�ao de classe C∞

de�nida em uma vizinhan�ca aberta p ∈ U ⊂◦Rn do ponto p = (p1, . . . , pn)∈ Rn. Ent�ao existem uma vizinhan�ca aberta p ∈W ⊂◦U e fun�c�oes

gi : W → R de classe C∞ tais que f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para

todo x ∈W .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 10 / 49

Dizemos que uma matriz sim�etrica C �e positiva se xCx t ≥ 0 para todo x ese xCx t = 0 apenas para x = 0. �E imediato que 0 �e um m��nimo local dafun�c�ao xCx t se a matriz sim�etrica C �e positiva. (Claro que este m��nimo �ede fato global.) O crit�erio de Sylvester possibilita decidir se uma matrizsim�etrica �e positiva. Por exemplo, no caso n = 2, o crit�erio diz que amatriz C = [cij ] �e positiva se e s�o se c11 > 0 e detC > 0.Podemos resumir o resultado obtido:

um polin�omio f de grau ≤ 2 tem umm��nimo local em p se Dpf = 0 e a matriz hessiana [ ∂2f

∂xi∂xj(p)]ij de f em p

�e positiva. Posteriormente perceberemos que o mesmo fato vale paraqualquer fun�c�ao de classe C 2.

2.6. Lema (de Hadamard). Seja f : U → R uma fun�c�ao de classe C∞

de�nida em uma vizinhan�ca aberta p ∈ U ⊂◦Rn do ponto p = (p1, . . . , pn)∈ Rn. Ent�ao existem uma vizinhan�ca aberta p ∈W ⊂◦U e fun�c�oes

gi : W → R de classe C∞ tais que f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para

todo x ∈W .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 10 / 49

Dizemos que uma matriz sim�etrica C �e positiva se xCx t ≥ 0 para todo x ese xCx t = 0 apenas para x = 0. �E imediato que 0 �e um m��nimo local dafun�c�ao xCx t se a matriz sim�etrica C �e positiva. (Claro que este m��nimo �ede fato global.) O crit�erio de Sylvester possibilita decidir se uma matrizsim�etrica �e positiva. Por exemplo, no caso n = 2, o crit�erio diz que amatriz C = [cij ] �e positiva se e s�o se c11 > 0 e detC > 0.Podemos resumir o resultado obtido: um polin�omio f de grau ≤ 2 tem umm��nimo local em p se Dpf = 0 e a matriz hessiana [ ∂2f

∂xi∂xj(p)]ij de f em p

�e positiva.

Posteriormente perceberemos que o mesmo fato vale paraqualquer fun�c�ao de classe C 2.

2.6. Lema (de Hadamard). Seja f : U → R uma fun�c�ao de classe C∞

de�nida em uma vizinhan�ca aberta p ∈ U ⊂◦Rn do ponto p = (p1, . . . , pn)∈ Rn. Ent�ao existem uma vizinhan�ca aberta p ∈W ⊂◦U e fun�c�oes

gi : W → R de classe C∞ tais que f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para

todo x ∈W .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 10 / 49

Dizemos que uma matriz sim�etrica C �e positiva se xCx t ≥ 0 para todo x ese xCx t = 0 apenas para x = 0. �E imediato que 0 �e um m��nimo local dafun�c�ao xCx t se a matriz sim�etrica C �e positiva. (Claro que este m��nimo �ede fato global.) O crit�erio de Sylvester possibilita decidir se uma matrizsim�etrica �e positiva. Por exemplo, no caso n = 2, o crit�erio diz que amatriz C = [cij ] �e positiva se e s�o se c11 > 0 e detC > 0.Podemos resumir o resultado obtido: um polin�omio f de grau ≤ 2 tem umm��nimo local em p se Dpf = 0 e a matriz hessiana [ ∂2f

∂xi∂xj(p)]ij de f em p

�e positiva. Posteriormente perceberemos que o mesmo fato vale paraqualquer fun�c�ao de classe C 2.

2.6. Lema (de Hadamard). Seja f : U → R uma fun�c�ao de classe C∞

de�nida em uma vizinhan�ca aberta p ∈ U ⊂◦Rn do ponto p = (p1, . . . , pn)∈ Rn. Ent�ao existem uma vizinhan�ca aberta p ∈W ⊂◦U e fun�c�oes

gi : W → R de classe C∞ tais que f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para

todo x ∈W .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 10 / 49

Dizemos que uma matriz sim�etrica C �e positiva se xCx t ≥ 0 para todo x ese xCx t = 0 apenas para x = 0. �E imediato que 0 �e um m��nimo local dafun�c�ao xCx t se a matriz sim�etrica C �e positiva. (Claro que este m��nimo �ede fato global.) O crit�erio de Sylvester possibilita decidir se uma matrizsim�etrica �e positiva. Por exemplo, no caso n = 2, o crit�erio diz que amatriz C = [cij ] �e positiva se e s�o se c11 > 0 e detC > 0.Podemos resumir o resultado obtido: um polin�omio f de grau ≤ 2 tem umm��nimo local em p se Dpf = 0 e a matriz hessiana [ ∂2f

∂xi∂xj(p)]ij de f em p

�e positiva. Posteriormente perceberemos que o mesmo fato vale paraqualquer fun�c�ao de classe C 2.

2.6. Lema (de Hadamard). Seja f : U → R uma fun�c�ao de classe C∞

de�nida em uma vizinhan�ca aberta p ∈ U ⊂◦Rn do ponto p = (p1, . . . , pn)∈ Rn.

Ent�ao existem uma vizinhan�ca aberta p ∈W ⊂◦U e fun�c�oes

gi : W → R de classe C∞ tais que f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para

todo x ∈W .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 10 / 49

Dizemos que uma matriz sim�etrica C �e positiva se xCx t ≥ 0 para todo x ese xCx t = 0 apenas para x = 0. �E imediato que 0 �e um m��nimo local dafun�c�ao xCx t se a matriz sim�etrica C �e positiva. (Claro que este m��nimo �ede fato global.) O crit�erio de Sylvester possibilita decidir se uma matrizsim�etrica �e positiva. Por exemplo, no caso n = 2, o crit�erio diz que amatriz C = [cij ] �e positiva se e s�o se c11 > 0 e detC > 0.Podemos resumir o resultado obtido: um polin�omio f de grau ≤ 2 tem umm��nimo local em p se Dpf = 0 e a matriz hessiana [ ∂2f

∂xi∂xj(p)]ij de f em p

�e positiva. Posteriormente perceberemos que o mesmo fato vale paraqualquer fun�c�ao de classe C 2.

2.6. Lema (de Hadamard). Seja f : U → R uma fun�c�ao de classe C∞

de�nida em uma vizinhan�ca aberta p ∈ U ⊂◦Rn do ponto p = (p1, . . . , pn)∈ Rn. Ent�ao existem uma vizinhan�ca aberta p ∈W ⊂◦U e fun�c�oes

gi : W → R de classe C∞ tais que f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para

todo x ∈W .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 10 / 49

Demonstra�c�ao. Seja W := B(p, r), r > 0, uma bola aberta centrada emp tal que W ⊂ U e seja x ∈W .

De�nimos uma fun�c�ao u : [0, 1]→ R pelaregra u(t) := f

(p + t(x − p)

). Pelo Lema 2.2 e por 2.3, a fun�c�ao u(t) �e de

classe C∞ e u′(t) =n∑

i=1

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)(xi − pi ).

Pelo teorema fundamental do c�alculo,

f (x)−f (p) = u(1)−u(0) =∫ 10 u′(t) dt =

∫ 10

n∑i=1

∂f∂xi

(p+t(x−p)

)(xi−pi ) dt =

=n∑

i=1(xi − pi )

∫ 10

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)dt.

Resta fazer gi (x) :=∫ 10

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)dt e observar que gi �e de classe

C∞ aplicando v�arias vezes o Lema 1.7.11 �

2.7. Lema. A fun�c�ao f : R→ R≥0, de�nida pela regra

f (x) :=

{0 se x ≤ 0

e−1x se x > 0

, �e de classe C∞, f ∈ C∞(R), e f (x) = 0 se e

s�o se x < 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 11 / 49

Demonstra�c�ao. Seja W := B(p, r), r > 0, uma bola aberta centrada emp tal que W ⊂ U e seja x ∈W . De�nimos uma fun�c�ao u : [0, 1]→ R pelaregra u(t) := f

(p + t(x − p)

).

Pelo Lema 2.2 e por 2.3, a fun�c�ao u(t) �e de

classe C∞ e u′(t) =n∑

i=1

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)(xi − pi ).

Pelo teorema fundamental do c�alculo,

f (x)−f (p) = u(1)−u(0) =∫ 10 u′(t) dt =

∫ 10

n∑i=1

∂f∂xi

(p+t(x−p)

)(xi−pi ) dt =

=n∑

i=1(xi − pi )

∫ 10

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)dt.

Resta fazer gi (x) :=∫ 10

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)dt e observar que gi �e de classe

C∞ aplicando v�arias vezes o Lema 1.7.11 �

2.7. Lema. A fun�c�ao f : R→ R≥0, de�nida pela regra

f (x) :=

{0 se x ≤ 0

e−1x se x > 0

, �e de classe C∞, f ∈ C∞(R), e f (x) = 0 se e

s�o se x < 0.

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Demonstra�c�ao. Seja W := B(p, r), r > 0, uma bola aberta centrada emp tal que W ⊂ U e seja x ∈W . De�nimos uma fun�c�ao u : [0, 1]→ R pelaregra u(t) := f

(p + t(x − p)

). Pelo Lema 2.2 e por 2.3, a fun�c�ao u(t) �e de

classe C∞ e u′(t) =n∑

i=1

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)(xi − pi ).

Pelo teorema fundamental do c�alculo,

f (x)−f (p) = u(1)−u(0) =∫ 10 u′(t) dt =

∫ 10

n∑i=1

∂f∂xi

(p+t(x−p)

)(xi−pi ) dt =

=n∑

i=1(xi − pi )

∫ 10

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)dt.

Resta fazer gi (x) :=∫ 10

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)dt e observar que gi �e de classe

C∞ aplicando v�arias vezes o Lema 1.7.11 �

2.7. Lema. A fun�c�ao f : R→ R≥0, de�nida pela regra

f (x) :=

{0 se x ≤ 0

e−1x se x > 0

, �e de classe C∞, f ∈ C∞(R), e f (x) = 0 se e

s�o se x < 0.

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Demonstra�c�ao. Seja W := B(p, r), r > 0, uma bola aberta centrada emp tal que W ⊂ U e seja x ∈W . De�nimos uma fun�c�ao u : [0, 1]→ R pelaregra u(t) := f

(p + t(x − p)

). Pelo Lema 2.2 e por 2.3, a fun�c�ao u(t) �e de

classe C∞ e u′(t) =n∑

i=1

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)(xi − pi ).

Pelo teorema fundamental do c�alculo,

f (x)−f (p) = u(1)−u(0) =∫ 10 u′(t) dt =

∫ 10

n∑i=1

∂f∂xi

(p+t(x−p)

)(xi−pi ) dt =

=n∑

i=1(xi − pi )

∫ 10

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)dt.

Resta fazer gi (x) :=∫ 10

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)dt e observar que gi �e de classe

C∞ aplicando v�arias vezes o Lema 1.7.11 �

2.7. Lema. A fun�c�ao f : R→ R≥0, de�nida pela regra

f (x) :=

{0 se x ≤ 0

e−1x se x > 0

, �e de classe C∞, f ∈ C∞(R), e f (x) = 0 se e

s�o se x < 0.

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Demonstra�c�ao. Seja W := B(p, r), r > 0, uma bola aberta centrada emp tal que W ⊂ U e seja x ∈W . De�nimos uma fun�c�ao u : [0, 1]→ R pelaregra u(t) := f

(p + t(x − p)

). Pelo Lema 2.2 e por 2.3, a fun�c�ao u(t) �e de

classe C∞ e u′(t) =n∑

i=1

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)(xi − pi ).

Pelo teorema fundamental do c�alculo,

f (x)−f (p) = u(1)−u(0) =∫ 10 u′(t) dt =

∫ 10

n∑i=1

∂f∂xi

(p+t(x−p)

)(xi−pi ) dt =

=n∑

i=1(xi − pi )

∫ 10

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)dt.

Resta fazer gi (x) :=∫ 10

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)dt e observar que gi �e de classe

C∞ aplicando v�arias vezes o Lema 1.7.11 �

2.7. Lema. A fun�c�ao f : R→ R≥0, de�nida pela regra

f (x) :=

{0 se x ≤ 0

e−1x se x > 0

, �e de classe C∞, f ∈ C∞(R), e f (x) = 0 se e

s�o se x < 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 11 / 49

Demonstra�c�ao. Seja W := B(p, r), r > 0, uma bola aberta centrada emp tal que W ⊂ U e seja x ∈W . De�nimos uma fun�c�ao u : [0, 1]→ R pelaregra u(t) := f

(p + t(x − p)

). Pelo Lema 2.2 e por 2.3, a fun�c�ao u(t) �e de

classe C∞ e u′(t) =n∑

i=1

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)(xi − pi ).

Pelo teorema fundamental do c�alculo,

f (x)−f (p) = u(1)−u(0) =∫ 10 u′(t) dt =

∫ 10

n∑i=1

∂f∂xi

(p+t(x−p)

)(xi−pi ) dt =

=n∑

i=1(xi − pi )

∫ 10

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)dt.

Resta fazer gi (x) :=∫ 10

∂f∂xi

(p + t(x − p)

)dt e observar que gi �e de classe

C∞ aplicando v�arias vezes o Lema 1.7.11 �

2.7. Lema. A fun�c�ao f : R→ R≥0, de�nida pela regra

f (x) :=

{0 se x ≤ 0

e−1x se x > 0

, �e de classe C∞, f ∈ C∞(R), e f (x) = 0 se e

s�o se x < 0.S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 11 / 49

Demonstra�c�ao. Basta mostrar, por indu�c�ao sobre n ∈ N, que

(2.8) f (n)(x) =

{0 se x ≤ 0

e−1x x−2npn(x) se x > 0

,

onde pn(x) �e um polin�omio,

pois sabemos que lim0<x→0

e−1x xk = lim

y→∞y−k

ey =

= 0 para qualquer k ∈ Z. (Note que (2.8) de�ne uma fun�c�ao cont��nua.)Para n = 0, tomemos p0(x) := 1. Finalmente,

ddx

(e−

1x x−2npn(x)

)=

= e−1x 1x2x−2npn(x)− 2ne−

1x x−2n−1pn(x) + e−

1x x−2np′n(x) =

= e−1x x−2(n+1)

(pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x)

),

ou seja, pn+1(x) := pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x) �e um polin�omio �

2.9. Corol�ario. Sejam 0 < r0 < r1 e p ∈ Rn. Ent�ao existe uma fun�c�aog : Rn → [0, 1] de classe C∞, g ∈ C∞(Rn), tal que g(x) = 0 para|x − p| ≥ r1 e g(x) = 1 para |x − p| ≤ r1.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 12 / 49

Demonstra�c�ao. Basta mostrar, por indu�c�ao sobre n ∈ N, que

(2.8) f (n)(x) =

{0 se x ≤ 0

e−1x x−2npn(x) se x > 0

,

onde pn(x) �e um polin�omio, pois sabemos que lim0<x→0

e−1x xk = lim

y→∞y−k

ey =

= 0 para qualquer k ∈ Z.

(Note que (2.8) de�ne uma fun�c�ao cont��nua.)Para n = 0, tomemos p0(x) := 1. Finalmente,

ddx

(e−

1x x−2npn(x)

)=

= e−1x 1x2x−2npn(x)− 2ne−

1x x−2n−1pn(x) + e−

1x x−2np′n(x) =

= e−1x x−2(n+1)

(pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x)

),

ou seja, pn+1(x) := pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x) �e um polin�omio �

2.9. Corol�ario. Sejam 0 < r0 < r1 e p ∈ Rn. Ent�ao existe uma fun�c�aog : Rn → [0, 1] de classe C∞, g ∈ C∞(Rn), tal que g(x) = 0 para|x − p| ≥ r1 e g(x) = 1 para |x − p| ≤ r1.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 12 / 49

Demonstra�c�ao. Basta mostrar, por indu�c�ao sobre n ∈ N, que

(2.8) f (n)(x) =

{0 se x ≤ 0

e−1x x−2npn(x) se x > 0

,

onde pn(x) �e um polin�omio, pois sabemos que lim0<x→0

e−1x xk = lim

y→∞y−k

ey =

= 0 para qualquer k ∈ Z. (Note que (2.8) de�ne uma fun�c�ao cont��nua.)

Para n = 0, tomemos p0(x) := 1. Finalmente,

ddx

(e−

1x x−2npn(x)

)=

= e−1x 1x2x−2npn(x)− 2ne−

1x x−2n−1pn(x) + e−

1x x−2np′n(x) =

= e−1x x−2(n+1)

(pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x)

),

ou seja, pn+1(x) := pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x) �e um polin�omio �

2.9. Corol�ario. Sejam 0 < r0 < r1 e p ∈ Rn. Ent�ao existe uma fun�c�aog : Rn → [0, 1] de classe C∞, g ∈ C∞(Rn), tal que g(x) = 0 para|x − p| ≥ r1 e g(x) = 1 para |x − p| ≤ r1.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 12 / 49

Demonstra�c�ao. Basta mostrar, por indu�c�ao sobre n ∈ N, que

(2.8) f (n)(x) =

{0 se x ≤ 0

e−1x x−2npn(x) se x > 0

,

onde pn(x) �e um polin�omio, pois sabemos que lim0<x→0

e−1x xk = lim

y→∞y−k

ey =

= 0 para qualquer k ∈ Z. (Note que (2.8) de�ne uma fun�c�ao cont��nua.)Para n = 0, tomemos p0(x) := 1.

Finalmente,

ddx

(e−

1x x−2npn(x)

)=

= e−1x 1x2x−2npn(x)− 2ne−

1x x−2n−1pn(x) + e−

1x x−2np′n(x) =

= e−1x x−2(n+1)

(pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x)

),

ou seja, pn+1(x) := pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x) �e um polin�omio �

2.9. Corol�ario. Sejam 0 < r0 < r1 e p ∈ Rn. Ent�ao existe uma fun�c�aog : Rn → [0, 1] de classe C∞, g ∈ C∞(Rn), tal que g(x) = 0 para|x − p| ≥ r1 e g(x) = 1 para |x − p| ≤ r1.

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Demonstra�c�ao. Basta mostrar, por indu�c�ao sobre n ∈ N, que

(2.8) f (n)(x) =

{0 se x ≤ 0

e−1x x−2npn(x) se x > 0

,

onde pn(x) �e um polin�omio, pois sabemos que lim0<x→0

e−1x xk = lim

y→∞y−k

ey =

= 0 para qualquer k ∈ Z. (Note que (2.8) de�ne uma fun�c�ao cont��nua.)Para n = 0, tomemos p0(x) := 1. Finalmente,

ddx

(e−

1x x−2npn(x)

)=

= e−1x 1x2x−2npn(x)− 2ne−

1x x−2n−1pn(x) + e−

1x x−2np′n(x) =

= e−1x x−2(n+1)

(pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x)

),

ou seja, pn+1(x) := pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x) �e um polin�omio �

2.9. Corol�ario. Sejam 0 < r0 < r1 e p ∈ Rn. Ent�ao existe uma fun�c�aog : Rn → [0, 1] de classe C∞, g ∈ C∞(Rn), tal que g(x) = 0 para|x − p| ≥ r1 e g(x) = 1 para |x − p| ≤ r1.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 12 / 49

Demonstra�c�ao. Basta mostrar, por indu�c�ao sobre n ∈ N, que

(2.8) f (n)(x) =

{0 se x ≤ 0

e−1x x−2npn(x) se x > 0

,

onde pn(x) �e um polin�omio, pois sabemos que lim0<x→0

e−1x xk = lim

y→∞y−k

ey =

= 0 para qualquer k ∈ Z. (Note que (2.8) de�ne uma fun�c�ao cont��nua.)Para n = 0, tomemos p0(x) := 1. Finalmente,

ddx

(e−

1x x−2npn(x)

)=

= e−1x 1x2x−2npn(x)− 2ne−

1x x−2n−1pn(x) + e−

1x x−2np′n(x) =

= e−1x x−2(n+1)

(pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x)

),

ou seja, pn+1(x) := pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x) �e um polin�omio �

2.9. Corol�ario. Sejam 0 < r0 < r1 e p ∈ Rn. Ent�ao existe uma fun�c�aog : Rn → [0, 1] de classe C∞, g ∈ C∞(Rn), tal que g(x) = 0 para|x − p| ≥ r1 e g(x) = 1 para |x − p| ≤ r1.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 12 / 49

Demonstra�c�ao. Basta mostrar, por indu�c�ao sobre n ∈ N, que

(2.8) f (n)(x) =

{0 se x ≤ 0

e−1x x−2npn(x) se x > 0

,

onde pn(x) �e um polin�omio, pois sabemos que lim0<x→0

e−1x xk = lim

y→∞y−k

ey =

= 0 para qualquer k ∈ Z. (Note que (2.8) de�ne uma fun�c�ao cont��nua.)Para n = 0, tomemos p0(x) := 1. Finalmente,

ddx

(e−

1x x−2npn(x)

)=

= e−1x 1x2x−2npn(x)− 2ne−

1x x−2n−1pn(x) + e−

1x x−2np′n(x) =

= e−1x x−2(n+1)

(pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x)

),

ou seja, pn+1(x) := pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x) �e um polin�omio �

2.9. Corol�ario. Sejam 0 < r0 < r1 e p ∈ Rn. Ent�ao existe uma fun�c�aog : Rn → [0, 1] de classe C∞, g ∈ C∞(Rn), tal que g(x) = 0 para|x − p| ≥ r1 e g(x) = 1 para |x − p| ≤ r1.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 12 / 49

Demonstra�c�ao. Basta mostrar, por indu�c�ao sobre n ∈ N, que

(2.8) f (n)(x) =

{0 se x ≤ 0

e−1x x−2npn(x) se x > 0

,

onde pn(x) �e um polin�omio, pois sabemos que lim0<x→0

e−1x xk = lim

y→∞y−k

ey =

= 0 para qualquer k ∈ Z. (Note que (2.8) de�ne uma fun�c�ao cont��nua.)Para n = 0, tomemos p0(x) := 1. Finalmente,

ddx

(e−

1x x−2npn(x)

)=

= e−1x 1x2x−2npn(x)− 2ne−

1x x−2n−1pn(x) + e−

1x x−2np′n(x) =

= e−1x x−2(n+1)

(pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x)

),

ou seja, pn+1(x) := pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x) �e um polin�omio �

2.9. Corol�ario. Sejam 0 < r0 < r1 e p ∈ Rn. Ent�ao existe uma fun�c�aog : Rn → [0, 1] de classe C∞, g ∈ C∞(Rn), tal que g(x) = 0 para|x − p| ≥ r1 e g(x) = 1 para |x − p| ≤ r1.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 12 / 49

Demonstra�c�ao. Basta mostrar, por indu�c�ao sobre n ∈ N, que

(2.8) f (n)(x) =

{0 se x ≤ 0

e−1x x−2npn(x) se x > 0

,

onde pn(x) �e um polin�omio, pois sabemos que lim0<x→0

e−1x xk = lim

y→∞y−k

ey =

= 0 para qualquer k ∈ Z. (Note que (2.8) de�ne uma fun�c�ao cont��nua.)Para n = 0, tomemos p0(x) := 1. Finalmente,

ddx

(e−

1x x−2npn(x)

)=

= e−1x 1x2x−2npn(x)− 2ne−

1x x−2n−1pn(x) + e−

1x x−2np′n(x) =

= e−1x x−2(n+1)

(pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x)

),

ou seja, pn+1(x) := pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x) �e um polin�omio �

2.9. Corol�ario. Sejam 0 < r0 < r1 e p ∈ Rn.

Ent�ao existe uma fun�c�aog : Rn → [0, 1] de classe C∞, g ∈ C∞(Rn), tal que g(x) = 0 para|x − p| ≥ r1 e g(x) = 1 para |x − p| ≤ r1.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 12 / 49

Demonstra�c�ao. Basta mostrar, por indu�c�ao sobre n ∈ N, que

(2.8) f (n)(x) =

{0 se x ≤ 0

e−1x x−2npn(x) se x > 0

,

onde pn(x) �e um polin�omio, pois sabemos que lim0<x→0

e−1x xk = lim

y→∞y−k

ey =

= 0 para qualquer k ∈ Z. (Note que (2.8) de�ne uma fun�c�ao cont��nua.)Para n = 0, tomemos p0(x) := 1. Finalmente,

ddx

(e−

1x x−2npn(x)

)=

= e−1x 1x2x−2npn(x)− 2ne−

1x x−2n−1pn(x) + e−

1x x−2np′n(x) =

= e−1x x−2(n+1)

(pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x)

),

ou seja, pn+1(x) := pn(x)− 2nxpn(x) + x2p′n(x) �e um polin�omio �

2.9. Corol�ario. Sejam 0 < r0 < r1 e p ∈ Rn. Ent�ao existe uma fun�c�aog : Rn → [0, 1] de classe C∞, g ∈ C∞(Rn), tal que g(x) = 0 para|x − p| ≥ r1 e g(x) = 1 para |x − p| ≤ r1.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 12 / 49

Demonstra�c�ao. Fazendo g0(x) := f(|x − p|2 − r20

)e

g1(x) := f(r21 − |x − p|2

), onde f �e a fun�c�ao do Lema 2.7,

vemos queg0(x) > 0 para |x − p| > r0, que g0(x) = 0 para |x − p| ≤ r0, queg1(x) > 0 para |x − p| < r1 e que g1(x) = 0 para |x − p| ≥ r1. Logo,

g0(x) + g1(x) > 0 para todo x ∈ Rn e g(x) := g0(x)g0(x)+g1(x)

�e a fun�c�ao

desejada, pois g ∈ C∞(Rn) pelo Lema 2.2 �

2.10. Vetores tangentes, derivadas e campos vetoriais. A derivadac(t0) de c : (a, b)→ V (onde V �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita et0 ∈ (a, b)), introduzida na De�ni�c�ao 1.8, pode ser interpretada como umvetor tangente ao caminho c no ponto p := c(t0), pelo menos intuitiva-mente. Para chegar a uma de�ni�c�ao adequada e rigorosa de vetor tangente,�e bem �util entender o que este vetor �faz� com fun�c�oes de�nidas numavizinhan�ca aberta de p.

Seja V ◦⊃Uf−→ R, p ∈ U, uma fun�c�ao de classe C∞. A composta f ◦ c ,

de�nida numa vizinhan�ca aberta de t0 ∈ (a, b), �e uma fun�c�ao de classe C 1,supondo que c �e de classe C 1. Assim, podemos fazer a derivada

c(t0)f :=d

dt

∣∣∣t=t0

(f ◦ c) = limt0 6=t→t0

f(c(t)

)− f(c(t0)

)t − t0

.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 13 / 49

Demonstra�c�ao. Fazendo g0(x) := f(|x − p|2 − r20

)e

g1(x) := f(r21 − |x − p|2

), onde f �e a fun�c�ao do Lema 2.7, vemos que

g0(x) > 0 para |x − p| > r0,

que g0(x) = 0 para |x − p| ≤ r0, queg1(x) > 0 para |x − p| < r1 e que g1(x) = 0 para |x − p| ≥ r1. Logo,

g0(x) + g1(x) > 0 para todo x ∈ Rn e g(x) := g0(x)g0(x)+g1(x)

�e a fun�c�ao

desejada, pois g ∈ C∞(Rn) pelo Lema 2.2 �

2.10. Vetores tangentes, derivadas e campos vetoriais. A derivadac(t0) de c : (a, b)→ V (onde V �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita et0 ∈ (a, b)), introduzida na De�ni�c�ao 1.8, pode ser interpretada como umvetor tangente ao caminho c no ponto p := c(t0), pelo menos intuitiva-mente. Para chegar a uma de�ni�c�ao adequada e rigorosa de vetor tangente,�e bem �util entender o que este vetor �faz� com fun�c�oes de�nidas numavizinhan�ca aberta de p.

Seja V ◦⊃Uf−→ R, p ∈ U, uma fun�c�ao de classe C∞. A composta f ◦ c ,

de�nida numa vizinhan�ca aberta de t0 ∈ (a, b), �e uma fun�c�ao de classe C 1,supondo que c �e de classe C 1. Assim, podemos fazer a derivada

c(t0)f :=d

dt

∣∣∣t=t0

(f ◦ c) = limt0 6=t→t0

f(c(t)

)− f(c(t0)

)t − t0

.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 13 / 49

Demonstra�c�ao. Fazendo g0(x) := f(|x − p|2 − r20

)e

g1(x) := f(r21 − |x − p|2

), onde f �e a fun�c�ao do Lema 2.7, vemos que

g0(x) > 0 para |x − p| > r0, que g0(x) = 0 para |x − p| ≤ r0,

queg1(x) > 0 para |x − p| < r1 e que g1(x) = 0 para |x − p| ≥ r1. Logo,

g0(x) + g1(x) > 0 para todo x ∈ Rn e g(x) := g0(x)g0(x)+g1(x)

�e a fun�c�ao

desejada, pois g ∈ C∞(Rn) pelo Lema 2.2 �

2.10. Vetores tangentes, derivadas e campos vetoriais. A derivadac(t0) de c : (a, b)→ V (onde V �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita et0 ∈ (a, b)), introduzida na De�ni�c�ao 1.8, pode ser interpretada como umvetor tangente ao caminho c no ponto p := c(t0), pelo menos intuitiva-mente. Para chegar a uma de�ni�c�ao adequada e rigorosa de vetor tangente,�e bem �util entender o que este vetor �faz� com fun�c�oes de�nidas numavizinhan�ca aberta de p.

Seja V ◦⊃Uf−→ R, p ∈ U, uma fun�c�ao de classe C∞. A composta f ◦ c ,

de�nida numa vizinhan�ca aberta de t0 ∈ (a, b), �e uma fun�c�ao de classe C 1,supondo que c �e de classe C 1. Assim, podemos fazer a derivada

c(t0)f :=d

dt

∣∣∣t=t0

(f ◦ c) = limt0 6=t→t0

f(c(t)

)− f(c(t0)

)t − t0

.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 13 / 49

Demonstra�c�ao. Fazendo g0(x) := f(|x − p|2 − r20

)e

g1(x) := f(r21 − |x − p|2

), onde f �e a fun�c�ao do Lema 2.7, vemos que

g0(x) > 0 para |x − p| > r0, que g0(x) = 0 para |x − p| ≤ r0, queg1(x) > 0 para |x − p| < r1

e que g1(x) = 0 para |x − p| ≥ r1. Logo,

g0(x) + g1(x) > 0 para todo x ∈ Rn e g(x) := g0(x)g0(x)+g1(x)

�e a fun�c�ao

desejada, pois g ∈ C∞(Rn) pelo Lema 2.2 �

2.10. Vetores tangentes, derivadas e campos vetoriais. A derivadac(t0) de c : (a, b)→ V (onde V �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita et0 ∈ (a, b)), introduzida na De�ni�c�ao 1.8, pode ser interpretada como umvetor tangente ao caminho c no ponto p := c(t0), pelo menos intuitiva-mente. Para chegar a uma de�ni�c�ao adequada e rigorosa de vetor tangente,�e bem �util entender o que este vetor �faz� com fun�c�oes de�nidas numavizinhan�ca aberta de p.

Seja V ◦⊃Uf−→ R, p ∈ U, uma fun�c�ao de classe C∞. A composta f ◦ c ,

de�nida numa vizinhan�ca aberta de t0 ∈ (a, b), �e uma fun�c�ao de classe C 1,supondo que c �e de classe C 1. Assim, podemos fazer a derivada

c(t0)f :=d

dt

∣∣∣t=t0

(f ◦ c) = limt0 6=t→t0

f(c(t)

)− f(c(t0)

)t − t0

.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 13 / 49

Demonstra�c�ao. Fazendo g0(x) := f(|x − p|2 − r20

)e

g1(x) := f(r21 − |x − p|2

), onde f �e a fun�c�ao do Lema 2.7, vemos que

g0(x) > 0 para |x − p| > r0, que g0(x) = 0 para |x − p| ≤ r0, queg1(x) > 0 para |x − p| < r1 e que g1(x) = 0 para |x − p| ≥ r1.

Logo,

g0(x) + g1(x) > 0 para todo x ∈ Rn e g(x) := g0(x)g0(x)+g1(x)

�e a fun�c�ao

desejada, pois g ∈ C∞(Rn) pelo Lema 2.2 �

2.10. Vetores tangentes, derivadas e campos vetoriais. A derivadac(t0) de c : (a, b)→ V (onde V �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita et0 ∈ (a, b)), introduzida na De�ni�c�ao 1.8, pode ser interpretada como umvetor tangente ao caminho c no ponto p := c(t0), pelo menos intuitiva-mente. Para chegar a uma de�ni�c�ao adequada e rigorosa de vetor tangente,�e bem �util entender o que este vetor �faz� com fun�c�oes de�nidas numavizinhan�ca aberta de p.

Seja V ◦⊃Uf−→ R, p ∈ U, uma fun�c�ao de classe C∞. A composta f ◦ c ,

de�nida numa vizinhan�ca aberta de t0 ∈ (a, b), �e uma fun�c�ao de classe C 1,supondo que c �e de classe C 1. Assim, podemos fazer a derivada

c(t0)f :=d

dt

∣∣∣t=t0

(f ◦ c) = limt0 6=t→t0

f(c(t)

)− f(c(t0)

)t − t0

.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 13 / 49

Demonstra�c�ao. Fazendo g0(x) := f(|x − p|2 − r20

)e

g1(x) := f(r21 − |x − p|2

), onde f �e a fun�c�ao do Lema 2.7, vemos que

g0(x) > 0 para |x − p| > r0, que g0(x) = 0 para |x − p| ≤ r0, queg1(x) > 0 para |x − p| < r1 e que g1(x) = 0 para |x − p| ≥ r1. Logo,

g0(x) + g1(x) > 0 para todo x ∈ Rn

e g(x) := g0(x)g0(x)+g1(x)

�e a fun�c�ao

desejada, pois g ∈ C∞(Rn) pelo Lema 2.2 �

2.10. Vetores tangentes, derivadas e campos vetoriais. A derivadac(t0) de c : (a, b)→ V (onde V �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita et0 ∈ (a, b)), introduzida na De�ni�c�ao 1.8, pode ser interpretada como umvetor tangente ao caminho c no ponto p := c(t0), pelo menos intuitiva-mente. Para chegar a uma de�ni�c�ao adequada e rigorosa de vetor tangente,�e bem �util entender o que este vetor �faz� com fun�c�oes de�nidas numavizinhan�ca aberta de p.

Seja V ◦⊃Uf−→ R, p ∈ U, uma fun�c�ao de classe C∞. A composta f ◦ c ,

de�nida numa vizinhan�ca aberta de t0 ∈ (a, b), �e uma fun�c�ao de classe C 1,supondo que c �e de classe C 1. Assim, podemos fazer a derivada

c(t0)f :=d

dt

∣∣∣t=t0

(f ◦ c) = limt0 6=t→t0

f(c(t)

)− f(c(t0)

)t − t0

.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 13 / 49

Demonstra�c�ao. Fazendo g0(x) := f(|x − p|2 − r20

)e

g1(x) := f(r21 − |x − p|2

), onde f �e a fun�c�ao do Lema 2.7, vemos que

g0(x) > 0 para |x − p| > r0, que g0(x) = 0 para |x − p| ≤ r0, queg1(x) > 0 para |x − p| < r1 e que g1(x) = 0 para |x − p| ≥ r1. Logo,

g0(x) + g1(x) > 0 para todo x ∈ Rn e g(x) := g0(x)g0(x)+g1(x)

�e a fun�c�ao

desejada, pois g ∈ C∞(Rn) pelo Lema 2.2 �

2.10. Vetores tangentes, derivadas e campos vetoriais. A derivadac(t0) de c : (a, b)→ V (onde V �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita et0 ∈ (a, b)), introduzida na De�ni�c�ao 1.8, pode ser interpretada como umvetor tangente ao caminho c no ponto p := c(t0), pelo menos intuitiva-mente. Para chegar a uma de�ni�c�ao adequada e rigorosa de vetor tangente,�e bem �util entender o que este vetor �faz� com fun�c�oes de�nidas numavizinhan�ca aberta de p.

Seja V ◦⊃Uf−→ R, p ∈ U, uma fun�c�ao de classe C∞. A composta f ◦ c ,

de�nida numa vizinhan�ca aberta de t0 ∈ (a, b), �e uma fun�c�ao de classe C 1,supondo que c �e de classe C 1. Assim, podemos fazer a derivada

c(t0)f :=d

dt

∣∣∣t=t0

(f ◦ c) = limt0 6=t→t0

f(c(t)

)− f(c(t0)

)t − t0

.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 13 / 49

Demonstra�c�ao. Fazendo g0(x) := f(|x − p|2 − r20

)e

g1(x) := f(r21 − |x − p|2

), onde f �e a fun�c�ao do Lema 2.7, vemos que

g0(x) > 0 para |x − p| > r0, que g0(x) = 0 para |x − p| ≤ r0, queg1(x) > 0 para |x − p| < r1 e que g1(x) = 0 para |x − p| ≥ r1. Logo,

g0(x) + g1(x) > 0 para todo x ∈ Rn e g(x) := g0(x)g0(x)+g1(x)

�e a fun�c�ao

desejada, pois g ∈ C∞(Rn) pelo Lema 2.2 �

2.10. Vetores tangentes, derivadas e campos vetoriais. A derivadac(t0) de c : (a, b)→ V (onde V �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita et0 ∈ (a, b)), introduzida na De�ni�c�ao 1.8, pode ser interpretada como umvetor tangente ao caminho c no ponto p := c(t0), pelo menos intuitiva-mente.

Para chegar a uma de�ni�c�ao adequada e rigorosa de vetor tangente,�e bem �util entender o que este vetor �faz� com fun�c�oes de�nidas numavizinhan�ca aberta de p.

Seja V ◦⊃Uf−→ R, p ∈ U, uma fun�c�ao de classe C∞. A composta f ◦ c ,

de�nida numa vizinhan�ca aberta de t0 ∈ (a, b), �e uma fun�c�ao de classe C 1,supondo que c �e de classe C 1. Assim, podemos fazer a derivada

c(t0)f :=d

dt

∣∣∣t=t0

(f ◦ c) = limt0 6=t→t0

f(c(t)

)− f(c(t0)

)t − t0

.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 13 / 49

Demonstra�c�ao. Fazendo g0(x) := f(|x − p|2 − r20

)e

g1(x) := f(r21 − |x − p|2

), onde f �e a fun�c�ao do Lema 2.7, vemos que

g0(x) > 0 para |x − p| > r0, que g0(x) = 0 para |x − p| ≤ r0, queg1(x) > 0 para |x − p| < r1 e que g1(x) = 0 para |x − p| ≥ r1. Logo,

g0(x) + g1(x) > 0 para todo x ∈ Rn e g(x) := g0(x)g0(x)+g1(x)

�e a fun�c�ao

desejada, pois g ∈ C∞(Rn) pelo Lema 2.2 �

2.10. Vetores tangentes, derivadas e campos vetoriais. A derivadac(t0) de c : (a, b)→ V (onde V �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita et0 ∈ (a, b)), introduzida na De�ni�c�ao 1.8, pode ser interpretada como umvetor tangente ao caminho c no ponto p := c(t0), pelo menos intuitiva-mente. Para chegar a uma de�ni�c�ao adequada e rigorosa de vetor tangente,�e bem �util entender o que este vetor �faz� com fun�c�oes de�nidas numavizinhan�ca aberta de p.

Seja V ◦⊃Uf−→ R, p ∈ U, uma fun�c�ao de classe C∞. A composta f ◦ c ,

de�nida numa vizinhan�ca aberta de t0 ∈ (a, b), �e uma fun�c�ao de classe C 1,supondo que c �e de classe C 1. Assim, podemos fazer a derivada

c(t0)f :=d

dt

∣∣∣t=t0

(f ◦ c) = limt0 6=t→t0

f(c(t)

)− f(c(t0)

)t − t0

.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 13 / 49

Demonstra�c�ao. Fazendo g0(x) := f(|x − p|2 − r20

)e

g1(x) := f(r21 − |x − p|2

), onde f �e a fun�c�ao do Lema 2.7, vemos que

g0(x) > 0 para |x − p| > r0, que g0(x) = 0 para |x − p| ≤ r0, queg1(x) > 0 para |x − p| < r1 e que g1(x) = 0 para |x − p| ≥ r1. Logo,

g0(x) + g1(x) > 0 para todo x ∈ Rn e g(x) := g0(x)g0(x)+g1(x)

�e a fun�c�ao

desejada, pois g ∈ C∞(Rn) pelo Lema 2.2 �

2.10. Vetores tangentes, derivadas e campos vetoriais. A derivadac(t0) de c : (a, b)→ V (onde V �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita et0 ∈ (a, b)), introduzida na De�ni�c�ao 1.8, pode ser interpretada como umvetor tangente ao caminho c no ponto p := c(t0), pelo menos intuitiva-mente. Para chegar a uma de�ni�c�ao adequada e rigorosa de vetor tangente,�e bem �util entender o que este vetor �faz� com fun�c�oes de�nidas numavizinhan�ca aberta de p.

Seja V ◦⊃Uf−→ R, p ∈ U, uma fun�c�ao de classe C∞.

A composta f ◦ c ,de�nida numa vizinhan�ca aberta de t0 ∈ (a, b), �e uma fun�c�ao de classe C 1,supondo que c �e de classe C 1. Assim, podemos fazer a derivada

c(t0)f :=d

dt

∣∣∣t=t0

(f ◦ c) = limt0 6=t→t0

f(c(t)

)− f(c(t0)

)t − t0

.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 13 / 49

Demonstra�c�ao. Fazendo g0(x) := f(|x − p|2 − r20

)e

g1(x) := f(r21 − |x − p|2

), onde f �e a fun�c�ao do Lema 2.7, vemos que

g0(x) > 0 para |x − p| > r0, que g0(x) = 0 para |x − p| ≤ r0, queg1(x) > 0 para |x − p| < r1 e que g1(x) = 0 para |x − p| ≥ r1. Logo,

g0(x) + g1(x) > 0 para todo x ∈ Rn e g(x) := g0(x)g0(x)+g1(x)

�e a fun�c�ao

desejada, pois g ∈ C∞(Rn) pelo Lema 2.2 �

2.10. Vetores tangentes, derivadas e campos vetoriais. A derivadac(t0) de c : (a, b)→ V (onde V �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita et0 ∈ (a, b)), introduzida na De�ni�c�ao 1.8, pode ser interpretada como umvetor tangente ao caminho c no ponto p := c(t0), pelo menos intuitiva-mente. Para chegar a uma de�ni�c�ao adequada e rigorosa de vetor tangente,�e bem �util entender o que este vetor �faz� com fun�c�oes de�nidas numavizinhan�ca aberta de p.

Seja V ◦⊃Uf−→ R, p ∈ U, uma fun�c�ao de classe C∞. A composta f ◦ c ,

de�nida numa vizinhan�ca aberta de t0 ∈ (a, b), �e uma fun�c�ao de classe C 1,supondo que c �e de classe C 1.

Assim, podemos fazer a derivada

c(t0)f :=d

dt

∣∣∣t=t0

(f ◦ c) = limt0 6=t→t0

f(c(t)

)− f(c(t0)

)t − t0

.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 13 / 49

Demonstra�c�ao. Fazendo g0(x) := f(|x − p|2 − r20

)e

g1(x) := f(r21 − |x − p|2

), onde f �e a fun�c�ao do Lema 2.7, vemos que

g0(x) > 0 para |x − p| > r0, que g0(x) = 0 para |x − p| ≤ r0, queg1(x) > 0 para |x − p| < r1 e que g1(x) = 0 para |x − p| ≥ r1. Logo,

g0(x) + g1(x) > 0 para todo x ∈ Rn e g(x) := g0(x)g0(x)+g1(x)

�e a fun�c�ao

desejada, pois g ∈ C∞(Rn) pelo Lema 2.2 �

2.10. Vetores tangentes, derivadas e campos vetoriais. A derivadac(t0) de c : (a, b)→ V (onde V �e um espa�co R-linear de dimens�ao �nita et0 ∈ (a, b)), introduzida na De�ni�c�ao 1.8, pode ser interpretada como umvetor tangente ao caminho c no ponto p := c(t0), pelo menos intuitiva-mente. Para chegar a uma de�ni�c�ao adequada e rigorosa de vetor tangente,�e bem �util entender o que este vetor �faz� com fun�c�oes de�nidas numavizinhan�ca aberta de p.

Seja V ◦⊃Uf−→ R, p ∈ U, uma fun�c�ao de classe C∞. A composta f ◦ c ,

de�nida numa vizinhan�ca aberta de t0 ∈ (a, b), �e uma fun�c�ao de classe C 1,supondo que c �e de classe C 1. Assim, podemos fazer a derivada

c(t0)f :=d

dt

∣∣∣t=t0

(f ◦ c) = limt0 6=t→t0

f(c(t)

)− f(c(t0)

)t − t0

.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 13 / 49

Deste modo, o vetor tangente c(t0) associa a cada fun�c�ao f de classe C∞,de�nida numa vizinhan�ca aberta de p = c(t0), um n�umero c(t0)f ∈ R.

Claro que este n�umero depende apenas do comportamento de f na proxi-midade de p. Em outras palavras, se diminuirmos a vizinhan�ca U para W ,p ∈W ⊂◦U, temos c(t0)(f |W ) = c(t0)f .Sejam f1, f2 fun�c�oes de classe C∞, de�nidas em vizinhan�cas abertasp ∈ U1,U2⊂◦V , e sejam r1, r2 ∈ R. As fun�c�oes r1f1 + r2f2 e f1f2 s�ao de�-nidas numa vizinhan�ca aberta de p (por exemplo, em U1 ∩ U2) e s�ao declasse C∞. Portanto, podemos calcular os n�umeros c(t0)(r1f1 + r2f2) ec(t0)(f1f2). Lembrando como derivar fun�c�oes de uma vari�avel real, obtemosc(t0)(r1f1 + r2f2) = r1

(c(t0)f1

)+ r2

(c(t0)f2

)(o vetor tangente c(t0) �e

linear) e c(t0)(f1f2) = f1(p)(c(t0)f2

)+ f2(p)

(c(t0)f1

)(o vetor tangente

c(t0) satisfaz a regra de Leibniz).Chegamos �a seguinte

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 14 / 49

Deste modo, o vetor tangente c(t0) associa a cada fun�c�ao f de classe C∞,de�nida numa vizinhan�ca aberta de p = c(t0), um n�umero c(t0)f ∈ R.Claro que este n�umero depende apenas do comportamento de f na proxi-midade de p.

Em outras palavras, se diminuirmos a vizinhan�ca U para W ,p ∈W ⊂◦U, temos c(t0)(f |W ) = c(t0)f .Sejam f1, f2 fun�c�oes de classe C∞, de�nidas em vizinhan�cas abertasp ∈ U1,U2⊂◦V , e sejam r1, r2 ∈ R. As fun�c�oes r1f1 + r2f2 e f1f2 s�ao de�-nidas numa vizinhan�ca aberta de p (por exemplo, em U1 ∩ U2) e s�ao declasse C∞. Portanto, podemos calcular os n�umeros c(t0)(r1f1 + r2f2) ec(t0)(f1f2). Lembrando como derivar fun�c�oes de uma vari�avel real, obtemosc(t0)(r1f1 + r2f2) = r1

(c(t0)f1

)+ r2

(c(t0)f2

)(o vetor tangente c(t0) �e

linear) e c(t0)(f1f2) = f1(p)(c(t0)f2

)+ f2(p)

(c(t0)f1

)(o vetor tangente

c(t0) satisfaz a regra de Leibniz).Chegamos �a seguinte

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 14 / 49

Deste modo, o vetor tangente c(t0) associa a cada fun�c�ao f de classe C∞,de�nida numa vizinhan�ca aberta de p = c(t0), um n�umero c(t0)f ∈ R.Claro que este n�umero depende apenas do comportamento de f na proxi-midade de p. Em outras palavras, se diminuirmos a vizinhan�ca U para W ,p ∈W ⊂◦U, temos c(t0)(f |W ) = c(t0)f .

Sejam f1, f2 fun�c�oes de classe C∞, de�nidas em vizinhan�cas abertasp ∈ U1,U2⊂◦V , e sejam r1, r2 ∈ R. As fun�c�oes r1f1 + r2f2 e f1f2 s�ao de�-nidas numa vizinhan�ca aberta de p (por exemplo, em U1 ∩ U2) e s�ao declasse C∞. Portanto, podemos calcular os n�umeros c(t0)(r1f1 + r2f2) ec(t0)(f1f2). Lembrando como derivar fun�c�oes de uma vari�avel real, obtemosc(t0)(r1f1 + r2f2) = r1

(c(t0)f1

)+ r2

(c(t0)f2

)(o vetor tangente c(t0) �e

linear) e c(t0)(f1f2) = f1(p)(c(t0)f2

)+ f2(p)

(c(t0)f1

)(o vetor tangente

c(t0) satisfaz a regra de Leibniz).Chegamos �a seguinte

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 14 / 49

Deste modo, o vetor tangente c(t0) associa a cada fun�c�ao f de classe C∞,de�nida numa vizinhan�ca aberta de p = c(t0), um n�umero c(t0)f ∈ R.Claro que este n�umero depende apenas do comportamento de f na proxi-midade de p. Em outras palavras, se diminuirmos a vizinhan�ca U para W ,p ∈W ⊂◦U, temos c(t0)(f |W ) = c(t0)f .Sejam f1, f2 fun�c�oes de classe C∞, de�nidas em vizinhan�cas abertasp ∈ U1,U2⊂◦V , e sejam r1, r2 ∈ R.

As fun�c�oes r1f1 + r2f2 e f1f2 s�ao de�-nidas numa vizinhan�ca aberta de p (por exemplo, em U1 ∩ U2) e s�ao declasse C∞. Portanto, podemos calcular os n�umeros c(t0)(r1f1 + r2f2) ec(t0)(f1f2). Lembrando como derivar fun�c�oes de uma vari�avel real, obtemosc(t0)(r1f1 + r2f2) = r1

(c(t0)f1

)+ r2

(c(t0)f2

)(o vetor tangente c(t0) �e

linear) e c(t0)(f1f2) = f1(p)(c(t0)f2

)+ f2(p)

(c(t0)f1

)(o vetor tangente

c(t0) satisfaz a regra de Leibniz).Chegamos �a seguinte

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 14 / 49

Deste modo, o vetor tangente c(t0) associa a cada fun�c�ao f de classe C∞,de�nida numa vizinhan�ca aberta de p = c(t0), um n�umero c(t0)f ∈ R.Claro que este n�umero depende apenas do comportamento de f na proxi-midade de p. Em outras palavras, se diminuirmos a vizinhan�ca U para W ,p ∈W ⊂◦U, temos c(t0)(f |W ) = c(t0)f .Sejam f1, f2 fun�c�oes de classe C∞, de�nidas em vizinhan�cas abertasp ∈ U1,U2⊂◦V , e sejam r1, r2 ∈ R. As fun�c�oes r1f1 + r2f2 e f1f2 s�ao de�-nidas numa vizinhan�ca aberta de p (por exemplo, em U1 ∩ U2) e s�ao declasse C∞.

Portanto, podemos calcular os n�umeros c(t0)(r1f1 + r2f2) ec(t0)(f1f2). Lembrando como derivar fun�c�oes de uma vari�avel real, obtemosc(t0)(r1f1 + r2f2) = r1

(c(t0)f1

)+ r2

(c(t0)f2

)(o vetor tangente c(t0) �e

linear) e c(t0)(f1f2) = f1(p)(c(t0)f2

)+ f2(p)

(c(t0)f1

)(o vetor tangente

c(t0) satisfaz a regra de Leibniz).Chegamos �a seguinte

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 14 / 49

Deste modo, o vetor tangente c(t0) associa a cada fun�c�ao f de classe C∞,de�nida numa vizinhan�ca aberta de p = c(t0), um n�umero c(t0)f ∈ R.Claro que este n�umero depende apenas do comportamento de f na proxi-midade de p. Em outras palavras, se diminuirmos a vizinhan�ca U para W ,p ∈W ⊂◦U, temos c(t0)(f |W ) = c(t0)f .Sejam f1, f2 fun�c�oes de classe C∞, de�nidas em vizinhan�cas abertasp ∈ U1,U2⊂◦V , e sejam r1, r2 ∈ R. As fun�c�oes r1f1 + r2f2 e f1f2 s�ao de�-nidas numa vizinhan�ca aberta de p (por exemplo, em U1 ∩ U2) e s�ao declasse C∞. Portanto, podemos calcular os n�umeros c(t0)(r1f1 + r2f2) ec(t0)(f1f2).

Lembrando como derivar fun�c�oes de uma vari�avel real, obtemosc(t0)(r1f1 + r2f2) = r1

(c(t0)f1

)+ r2

(c(t0)f2

)(o vetor tangente c(t0) �e

linear) e c(t0)(f1f2) = f1(p)(c(t0)f2

)+ f2(p)

(c(t0)f1

)(o vetor tangente

c(t0) satisfaz a regra de Leibniz).Chegamos �a seguinte

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 14 / 49

Deste modo, o vetor tangente c(t0) associa a cada fun�c�ao f de classe C∞,de�nida numa vizinhan�ca aberta de p = c(t0), um n�umero c(t0)f ∈ R.Claro que este n�umero depende apenas do comportamento de f na proxi-midade de p. Em outras palavras, se diminuirmos a vizinhan�ca U para W ,p ∈W ⊂◦U, temos c(t0)(f |W ) = c(t0)f .Sejam f1, f2 fun�c�oes de classe C∞, de�nidas em vizinhan�cas abertasp ∈ U1,U2⊂◦V , e sejam r1, r2 ∈ R. As fun�c�oes r1f1 + r2f2 e f1f2 s�ao de�-nidas numa vizinhan�ca aberta de p (por exemplo, em U1 ∩ U2) e s�ao declasse C∞. Portanto, podemos calcular os n�umeros c(t0)(r1f1 + r2f2) ec(t0)(f1f2). Lembrando como derivar fun�c�oes de uma vari�avel real, obtemosc(t0)(r1f1 + r2f2) = r1

(c(t0)f1

)+ r2

(c(t0)f2

)

(o vetor tangente c(t0) �elinear) e c(t0)(f1f2) = f1(p)

(c(t0)f2

)+ f2(p)

(c(t0)f1

)(o vetor tangente

c(t0) satisfaz a regra de Leibniz).Chegamos �a seguinte

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 14 / 49

Deste modo, o vetor tangente c(t0) associa a cada fun�c�ao f de classe C∞,de�nida numa vizinhan�ca aberta de p = c(t0), um n�umero c(t0)f ∈ R.Claro que este n�umero depende apenas do comportamento de f na proxi-midade de p. Em outras palavras, se diminuirmos a vizinhan�ca U para W ,p ∈W ⊂◦U, temos c(t0)(f |W ) = c(t0)f .Sejam f1, f2 fun�c�oes de classe C∞, de�nidas em vizinhan�cas abertasp ∈ U1,U2⊂◦V , e sejam r1, r2 ∈ R. As fun�c�oes r1f1 + r2f2 e f1f2 s�ao de�-nidas numa vizinhan�ca aberta de p (por exemplo, em U1 ∩ U2) e s�ao declasse C∞. Portanto, podemos calcular os n�umeros c(t0)(r1f1 + r2f2) ec(t0)(f1f2). Lembrando como derivar fun�c�oes de uma vari�avel real, obtemosc(t0)(r1f1 + r2f2) = r1

(c(t0)f1

)+ r2

(c(t0)f2

)(o vetor tangente c(t0) �e

linear)

e c(t0)(f1f2) = f1(p)(c(t0)f2

)+ f2(p)

(c(t0)f1

)(o vetor tangente

c(t0) satisfaz a regra de Leibniz).Chegamos �a seguinte

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 14 / 49

Deste modo, o vetor tangente c(t0) associa a cada fun�c�ao f de classe C∞,de�nida numa vizinhan�ca aberta de p = c(t0), um n�umero c(t0)f ∈ R.Claro que este n�umero depende apenas do comportamento de f na proxi-midade de p. Em outras palavras, se diminuirmos a vizinhan�ca U para W ,p ∈W ⊂◦U, temos c(t0)(f |W ) = c(t0)f .Sejam f1, f2 fun�c�oes de classe C∞, de�nidas em vizinhan�cas abertasp ∈ U1,U2⊂◦V , e sejam r1, r2 ∈ R. As fun�c�oes r1f1 + r2f2 e f1f2 s�ao de�-nidas numa vizinhan�ca aberta de p (por exemplo, em U1 ∩ U2) e s�ao declasse C∞. Portanto, podemos calcular os n�umeros c(t0)(r1f1 + r2f2) ec(t0)(f1f2). Lembrando como derivar fun�c�oes de uma vari�avel real, obtemosc(t0)(r1f1 + r2f2) = r1

(c(t0)f1

)+ r2

(c(t0)f2

)(o vetor tangente c(t0) �e

linear) e c(t0)(f1f2) = f1(p)(c(t0)f2

)+ f2(p)

(c(t0)f1

)

(o vetor tangentec(t0) satisfaz a regra de Leibniz).Chegamos �a seguinte

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 14 / 49

Deste modo, o vetor tangente c(t0) associa a cada fun�c�ao f de classe C∞,de�nida numa vizinhan�ca aberta de p = c(t0), um n�umero c(t0)f ∈ R.Claro que este n�umero depende apenas do comportamento de f na proxi-midade de p. Em outras palavras, se diminuirmos a vizinhan�ca U para W ,p ∈W ⊂◦U, temos c(t0)(f |W ) = c(t0)f .Sejam f1, f2 fun�c�oes de classe C∞, de�nidas em vizinhan�cas abertasp ∈ U1,U2⊂◦V , e sejam r1, r2 ∈ R. As fun�c�oes r1f1 + r2f2 e f1f2 s�ao de�-nidas numa vizinhan�ca aberta de p (por exemplo, em U1 ∩ U2) e s�ao declasse C∞. Portanto, podemos calcular os n�umeros c(t0)(r1f1 + r2f2) ec(t0)(f1f2). Lembrando como derivar fun�c�oes de uma vari�avel real, obtemosc(t0)(r1f1 + r2f2) = r1

(c(t0)f1

)+ r2

(c(t0)f2

)(o vetor tangente c(t0) �e

linear) e c(t0)(f1f2) = f1(p)(c(t0)f2

)+ f2(p)

(c(t0)f1

)(o vetor tangente

c(t0) satisfaz a regra de Leibniz).

Chegamos �a seguinte

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 14 / 49

Deste modo, o vetor tangente c(t0) associa a cada fun�c�ao f de classe C∞,de�nida numa vizinhan�ca aberta de p = c(t0), um n�umero c(t0)f ∈ R.Claro que este n�umero depende apenas do comportamento de f na proxi-midade de p. Em outras palavras, se diminuirmos a vizinhan�ca U para W ,p ∈W ⊂◦U, temos c(t0)(f |W ) = c(t0)f .Sejam f1, f2 fun�c�oes de classe C∞, de�nidas em vizinhan�cas abertasp ∈ U1,U2⊂◦V , e sejam r1, r2 ∈ R. As fun�c�oes r1f1 + r2f2 e f1f2 s�ao de�-nidas numa vizinhan�ca aberta de p (por exemplo, em U1 ∩ U2) e s�ao declasse C∞. Portanto, podemos calcular os n�umeros c(t0)(r1f1 + r2f2) ec(t0)(f1f2). Lembrando como derivar fun�c�oes de uma vari�avel real, obtemosc(t0)(r1f1 + r2f2) = r1

(c(t0)f1

)+ r2

(c(t0)f2

)(o vetor tangente c(t0) �e

linear) e c(t0)(f1f2) = f1(p)(c(t0)f2

)+ f2(p)

(c(t0)f1

)(o vetor tangente

c(t0) satisfaz a regra de Leibniz).Chegamos �a seguinte

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2.10.1. De�ni�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita.

Um vetor tangente v a U em p �e uma regra que associaum n�umero vf ∈ R a cada fun�c�ao f de classe C∞ de�nida numa vizinhan-�ca aberta de p (ou seja, U ◦⊃W

f−→ R com p ∈W ) de modo que, paraquaisquer fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas em vizinhan�cas abertasde p, valem as seguintes propriedades:

• v(r1f1 + r2f2) = r1(vf1) + r2(vf2) para todos r1, r2 ∈ R (vf �e R-linearem f );• v(f1f2) = f1(p)(vf2) + f2(p)(vf1) (vf satisfaz a regra de Leibniz);• vf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizinhan�cade p; mais formalmente, isto signi�ca que v(f |W ′) = vf se p ∈W ′⊂◦W .

Grosso modo, um vetor tangente a U em p �e simplesmente uma

deriva�c�ao local de fun�c�oes de�nidas na proximidade de p.Denotamos por TpU o conjunto de todos os vetores tangentes a U em p.De fato, TpU �e um espa�co R-linear, pois podemos de�nir (rv)f := r(vf ) e(v1 + v2)f := v1f + v2f para quaisquer v , v1, v2 ∈ TpU, r ∈ R e fun�c�ao fde classe C∞ de�nida em uma vizinhan�ca aberta de p.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 15 / 49

2.10.1. De�ni�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Um vetor tangente v a U em p �e uma regra que associaum n�umero vf ∈ R a cada fun�c�ao f de classe C∞ de�nida numa vizinhan-�ca aberta de p (ou seja, U ◦⊃W

f−→ R com p ∈W )

de modo que, paraquaisquer fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas em vizinhan�cas abertasde p, valem as seguintes propriedades:

• v(r1f1 + r2f2) = r1(vf1) + r2(vf2) para todos r1, r2 ∈ R (vf �e R-linearem f );• v(f1f2) = f1(p)(vf2) + f2(p)(vf1) (vf satisfaz a regra de Leibniz);• vf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizinhan�cade p; mais formalmente, isto signi�ca que v(f |W ′) = vf se p ∈W ′⊂◦W .

Grosso modo, um vetor tangente a U em p �e simplesmente uma

deriva�c�ao local de fun�c�oes de�nidas na proximidade de p.Denotamos por TpU o conjunto de todos os vetores tangentes a U em p.De fato, TpU �e um espa�co R-linear, pois podemos de�nir (rv)f := r(vf ) e(v1 + v2)f := v1f + v2f para quaisquer v , v1, v2 ∈ TpU, r ∈ R e fun�c�ao fde classe C∞ de�nida em uma vizinhan�ca aberta de p.

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2.10.1. De�ni�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Um vetor tangente v a U em p �e uma regra que associaum n�umero vf ∈ R a cada fun�c�ao f de classe C∞ de�nida numa vizinhan-�ca aberta de p (ou seja, U ◦⊃W

f−→ R com p ∈W ) de modo que, paraquaisquer fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas em vizinhan�cas abertasde p, valem as seguintes propriedades:

• v(r1f1 + r2f2) = r1(vf1) + r2(vf2) para todos r1, r2 ∈ R (vf �e R-linearem f );• v(f1f2) = f1(p)(vf2) + f2(p)(vf1) (vf satisfaz a regra de Leibniz);• vf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizinhan�cade p; mais formalmente, isto signi�ca que v(f |W ′) = vf se p ∈W ′⊂◦W .

Grosso modo, um vetor tangente a U em p �e simplesmente uma

deriva�c�ao local de fun�c�oes de�nidas na proximidade de p.Denotamos por TpU o conjunto de todos os vetores tangentes a U em p.De fato, TpU �e um espa�co R-linear, pois podemos de�nir (rv)f := r(vf ) e(v1 + v2)f := v1f + v2f para quaisquer v , v1, v2 ∈ TpU, r ∈ R e fun�c�ao fde classe C∞ de�nida em uma vizinhan�ca aberta de p.

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2.10.1. De�ni�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Um vetor tangente v a U em p �e uma regra que associaum n�umero vf ∈ R a cada fun�c�ao f de classe C∞ de�nida numa vizinhan-�ca aberta de p (ou seja, U ◦⊃W

f−→ R com p ∈W ) de modo que, paraquaisquer fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas em vizinhan�cas abertasde p, valem as seguintes propriedades:

• v(r1f1 + r2f2) = r1(vf1) + r2(vf2) para todos r1, r2 ∈ R

(vf �e R-linearem f );• v(f1f2) = f1(p)(vf2) + f2(p)(vf1) (vf satisfaz a regra de Leibniz);• vf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizinhan�cade p; mais formalmente, isto signi�ca que v(f |W ′) = vf se p ∈W ′⊂◦W .

Grosso modo, um vetor tangente a U em p �e simplesmente uma

deriva�c�ao local de fun�c�oes de�nidas na proximidade de p.Denotamos por TpU o conjunto de todos os vetores tangentes a U em p.De fato, TpU �e um espa�co R-linear, pois podemos de�nir (rv)f := r(vf ) e(v1 + v2)f := v1f + v2f para quaisquer v , v1, v2 ∈ TpU, r ∈ R e fun�c�ao fde classe C∞ de�nida em uma vizinhan�ca aberta de p.

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2.10.1. De�ni�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Um vetor tangente v a U em p �e uma regra que associaum n�umero vf ∈ R a cada fun�c�ao f de classe C∞ de�nida numa vizinhan-�ca aberta de p (ou seja, U ◦⊃W

f−→ R com p ∈W ) de modo que, paraquaisquer fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas em vizinhan�cas abertasde p, valem as seguintes propriedades:

• v(r1f1 + r2f2) = r1(vf1) + r2(vf2) para todos r1, r2 ∈ R (vf �e R-linearem f );

• v(f1f2) = f1(p)(vf2) + f2(p)(vf1) (vf satisfaz a regra de Leibniz);• vf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizinhan�cade p; mais formalmente, isto signi�ca que v(f |W ′) = vf se p ∈W ′⊂◦W .

Grosso modo, um vetor tangente a U em p �e simplesmente uma

deriva�c�ao local de fun�c�oes de�nidas na proximidade de p.Denotamos por TpU o conjunto de todos os vetores tangentes a U em p.De fato, TpU �e um espa�co R-linear, pois podemos de�nir (rv)f := r(vf ) e(v1 + v2)f := v1f + v2f para quaisquer v , v1, v2 ∈ TpU, r ∈ R e fun�c�ao fde classe C∞ de�nida em uma vizinhan�ca aberta de p.

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2.10.1. De�ni�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Um vetor tangente v a U em p �e uma regra que associaum n�umero vf ∈ R a cada fun�c�ao f de classe C∞ de�nida numa vizinhan-�ca aberta de p (ou seja, U ◦⊃W

f−→ R com p ∈W ) de modo que, paraquaisquer fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas em vizinhan�cas abertasde p, valem as seguintes propriedades:

• v(r1f1 + r2f2) = r1(vf1) + r2(vf2) para todos r1, r2 ∈ R (vf �e R-linearem f );• v(f1f2) = f1(p)(vf2) + f2(p)(vf1)

(vf satisfaz a regra de Leibniz);• vf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizinhan�cade p; mais formalmente, isto signi�ca que v(f |W ′) = vf se p ∈W ′⊂◦W .

Grosso modo, um vetor tangente a U em p �e simplesmente uma

deriva�c�ao local de fun�c�oes de�nidas na proximidade de p.Denotamos por TpU o conjunto de todos os vetores tangentes a U em p.De fato, TpU �e um espa�co R-linear, pois podemos de�nir (rv)f := r(vf ) e(v1 + v2)f := v1f + v2f para quaisquer v , v1, v2 ∈ TpU, r ∈ R e fun�c�ao fde classe C∞ de�nida em uma vizinhan�ca aberta de p.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 15 / 49

2.10.1. De�ni�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Um vetor tangente v a U em p �e uma regra que associaum n�umero vf ∈ R a cada fun�c�ao f de classe C∞ de�nida numa vizinhan-�ca aberta de p (ou seja, U ◦⊃W

f−→ R com p ∈W ) de modo que, paraquaisquer fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas em vizinhan�cas abertasde p, valem as seguintes propriedades:

• v(r1f1 + r2f2) = r1(vf1) + r2(vf2) para todos r1, r2 ∈ R (vf �e R-linearem f );• v(f1f2) = f1(p)(vf2) + f2(p)(vf1) (vf satisfaz a regra de Leibniz);

• vf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizinhan�cade p; mais formalmente, isto signi�ca que v(f |W ′) = vf se p ∈W ′⊂◦W .

Grosso modo, um vetor tangente a U em p �e simplesmente uma

deriva�c�ao local de fun�c�oes de�nidas na proximidade de p.Denotamos por TpU o conjunto de todos os vetores tangentes a U em p.De fato, TpU �e um espa�co R-linear, pois podemos de�nir (rv)f := r(vf ) e(v1 + v2)f := v1f + v2f para quaisquer v , v1, v2 ∈ TpU, r ∈ R e fun�c�ao fde classe C∞ de�nida em uma vizinhan�ca aberta de p.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 15 / 49

2.10.1. De�ni�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Um vetor tangente v a U em p �e uma regra que associaum n�umero vf ∈ R a cada fun�c�ao f de classe C∞ de�nida numa vizinhan-�ca aberta de p (ou seja, U ◦⊃W

f−→ R com p ∈W ) de modo que, paraquaisquer fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas em vizinhan�cas abertasde p, valem as seguintes propriedades:

• v(r1f1 + r2f2) = r1(vf1) + r2(vf2) para todos r1, r2 ∈ R (vf �e R-linearem f );• v(f1f2) = f1(p)(vf2) + f2(p)(vf1) (vf satisfaz a regra de Leibniz);• vf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizinhan�cade p;

mais formalmente, isto signi�ca que v(f |W ′) = vf se p ∈W ′⊂◦W .

Grosso modo, um vetor tangente a U em p �e simplesmente uma

deriva�c�ao local de fun�c�oes de�nidas na proximidade de p.Denotamos por TpU o conjunto de todos os vetores tangentes a U em p.De fato, TpU �e um espa�co R-linear, pois podemos de�nir (rv)f := r(vf ) e(v1 + v2)f := v1f + v2f para quaisquer v , v1, v2 ∈ TpU, r ∈ R e fun�c�ao fde classe C∞ de�nida em uma vizinhan�ca aberta de p.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 15 / 49

2.10.1. De�ni�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Um vetor tangente v a U em p �e uma regra que associaum n�umero vf ∈ R a cada fun�c�ao f de classe C∞ de�nida numa vizinhan-�ca aberta de p (ou seja, U ◦⊃W

f−→ R com p ∈W ) de modo que, paraquaisquer fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas em vizinhan�cas abertasde p, valem as seguintes propriedades:

• v(r1f1 + r2f2) = r1(vf1) + r2(vf2) para todos r1, r2 ∈ R (vf �e R-linearem f );• v(f1f2) = f1(p)(vf2) + f2(p)(vf1) (vf satisfaz a regra de Leibniz);• vf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizinhan�cade p; mais formalmente, isto signi�ca que v(f |W ′) = vf se p ∈W ′⊂◦W .

Grosso modo, um vetor tangente a U em p �e simplesmente uma

deriva�c�ao local de fun�c�oes de�nidas na proximidade de p.Denotamos por TpU o conjunto de todos os vetores tangentes a U em p.De fato, TpU �e um espa�co R-linear, pois podemos de�nir (rv)f := r(vf ) e(v1 + v2)f := v1f + v2f para quaisquer v , v1, v2 ∈ TpU, r ∈ R e fun�c�ao fde classe C∞ de�nida em uma vizinhan�ca aberta de p.

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2.10.1. De�ni�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Um vetor tangente v a U em p �e uma regra que associaum n�umero vf ∈ R a cada fun�c�ao f de classe C∞ de�nida numa vizinhan-�ca aberta de p (ou seja, U ◦⊃W

f−→ R com p ∈W ) de modo que, paraquaisquer fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas em vizinhan�cas abertasde p, valem as seguintes propriedades:

• v(r1f1 + r2f2) = r1(vf1) + r2(vf2) para todos r1, r2 ∈ R (vf �e R-linearem f );• v(f1f2) = f1(p)(vf2) + f2(p)(vf1) (vf satisfaz a regra de Leibniz);• vf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizinhan�cade p; mais formalmente, isto signi�ca que v(f |W ′) = vf se p ∈W ′⊂◦W .

Grosso modo, um vetor tangente a U em p �e simplesmente uma

deriva�c�ao local de fun�c�oes de�nidas na proximidade de p.

Denotamos por TpU o conjunto de todos os vetores tangentes a U em p.De fato, TpU �e um espa�co R-linear, pois podemos de�nir (rv)f := r(vf ) e(v1 + v2)f := v1f + v2f para quaisquer v , v1, v2 ∈ TpU, r ∈ R e fun�c�ao fde classe C∞ de�nida em uma vizinhan�ca aberta de p.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 15 / 49

2.10.1. De�ni�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Um vetor tangente v a U em p �e uma regra que associaum n�umero vf ∈ R a cada fun�c�ao f de classe C∞ de�nida numa vizinhan-�ca aberta de p (ou seja, U ◦⊃W

f−→ R com p ∈W ) de modo que, paraquaisquer fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas em vizinhan�cas abertasde p, valem as seguintes propriedades:

• v(r1f1 + r2f2) = r1(vf1) + r2(vf2) para todos r1, r2 ∈ R (vf �e R-linearem f );• v(f1f2) = f1(p)(vf2) + f2(p)(vf1) (vf satisfaz a regra de Leibniz);• vf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizinhan�cade p; mais formalmente, isto signi�ca que v(f |W ′) = vf se p ∈W ′⊂◦W .

Grosso modo, um vetor tangente a U em p �e simplesmente uma

deriva�c�ao local de fun�c�oes de�nidas na proximidade de p.Denotamos por TpU o conjunto de todos os vetores tangentes a U em p.

De fato, TpU �e um espa�co R-linear, pois podemos de�nir (rv)f := r(vf ) e(v1 + v2)f := v1f + v2f para quaisquer v , v1, v2 ∈ TpU, r ∈ R e fun�c�ao fde classe C∞ de�nida em uma vizinhan�ca aberta de p.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 15 / 49

2.10.1. De�ni�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Um vetor tangente v a U em p �e uma regra que associaum n�umero vf ∈ R a cada fun�c�ao f de classe C∞ de�nida numa vizinhan-�ca aberta de p (ou seja, U ◦⊃W

f−→ R com p ∈W ) de modo que, paraquaisquer fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas em vizinhan�cas abertasde p, valem as seguintes propriedades:

• v(r1f1 + r2f2) = r1(vf1) + r2(vf2) para todos r1, r2 ∈ R (vf �e R-linearem f );• v(f1f2) = f1(p)(vf2) + f2(p)(vf1) (vf satisfaz a regra de Leibniz);• vf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizinhan�cade p; mais formalmente, isto signi�ca que v(f |W ′) = vf se p ∈W ′⊂◦W .

Grosso modo, um vetor tangente a U em p �e simplesmente uma

deriva�c�ao local de fun�c�oes de�nidas na proximidade de p.Denotamos por TpU o conjunto de todos os vetores tangentes a U em p.De fato, TpU �e um espa�co R-linear, pois podemos de�nir (rv)f := r(vf ) e(v1 + v2)f := v1f + v2f para quaisquer v , v1, v2 ∈ TpU, r ∈ R e fun�c�ao fde classe C∞ de�nida em uma vizinhan�ca aberta de p.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 15 / 49

Chamamos TpU espa�co tangente a U em p.

2.10.2. Exemplo. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita e seja v ∈ V . Para algum ε > 0 su�cientemente pequeno,

temos um caminho linear (−ε, ε) cp,v−→ U de�nido pela regra cp,v (t) :=

= p + tv . Seja U ◦⊃Wf−→ R uma fun�c�ao de classe C∞ de�nida numa

vizinhan�ca aberta de p, p ∈W . A derivada direcional vpf de f em p(na dire�c�ao de v) �e nada mais do que

vpf := cp,v (0)f =d

dt

∣∣∣t=t0

f (p + tv) = lim06=t→0

f (p + tv)− f (p)

t.

Considerando uma base linear �padr�ao� b1, . . . , bn ∈ Rn e as corresponden-tes coordenadas (x1, . . . , xn), �e f�acil veri�car que (bi )p = ∂

∂xi

∣∣ppara todos

i = 1, . . . , n.

Na verdade, todos os vetores tangentes s�ao derivadas direcionais:

2.10.3. Proposi�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Ent�ao a aplica�c�ao ip : V → TpU dada pela regraip : v 7→ vp �e um isomor�smo de espa�cos R-lineares.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 16 / 49

Chamamos TpU espa�co tangente a U em p.

2.10.2. Exemplo. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita e seja v ∈ V .

Para algum ε > 0 su�cientemente pequeno,

temos um caminho linear (−ε, ε) cp,v−→ U de�nido pela regra cp,v (t) :=

= p + tv . Seja U ◦⊃Wf−→ R uma fun�c�ao de classe C∞ de�nida numa

vizinhan�ca aberta de p, p ∈W . A derivada direcional vpf de f em p(na dire�c�ao de v) �e nada mais do que

vpf := cp,v (0)f =d

dt

∣∣∣t=t0

f (p + tv) = lim06=t→0

f (p + tv)− f (p)

t.

Considerando uma base linear �padr�ao� b1, . . . , bn ∈ Rn e as corresponden-tes coordenadas (x1, . . . , xn), �e f�acil veri�car que (bi )p = ∂

∂xi

∣∣ppara todos

i = 1, . . . , n.

Na verdade, todos os vetores tangentes s�ao derivadas direcionais:

2.10.3. Proposi�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Ent�ao a aplica�c�ao ip : V → TpU dada pela regraip : v 7→ vp �e um isomor�smo de espa�cos R-lineares.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 16 / 49

Chamamos TpU espa�co tangente a U em p.

2.10.2. Exemplo. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita e seja v ∈ V . Para algum ε > 0 su�cientemente pequeno,

temos um caminho linear (−ε, ε) cp,v−→ U de�nido pela regra cp,v (t) :=

= p + tv .

Seja U ◦⊃Wf−→ R uma fun�c�ao de classe C∞ de�nida numa

vizinhan�ca aberta de p, p ∈W . A derivada direcional vpf de f em p(na dire�c�ao de v) �e nada mais do que

vpf := cp,v (0)f =d

dt

∣∣∣t=t0

f (p + tv) = lim06=t→0

f (p + tv)− f (p)

t.

Considerando uma base linear �padr�ao� b1, . . . , bn ∈ Rn e as corresponden-tes coordenadas (x1, . . . , xn), �e f�acil veri�car que (bi )p = ∂

∂xi

∣∣ppara todos

i = 1, . . . , n.

Na verdade, todos os vetores tangentes s�ao derivadas direcionais:

2.10.3. Proposi�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Ent�ao a aplica�c�ao ip : V → TpU dada pela regraip : v 7→ vp �e um isomor�smo de espa�cos R-lineares.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 16 / 49

Chamamos TpU espa�co tangente a U em p.

2.10.2. Exemplo. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita e seja v ∈ V . Para algum ε > 0 su�cientemente pequeno,

temos um caminho linear (−ε, ε) cp,v−→ U de�nido pela regra cp,v (t) :=

= p + tv . Seja U ◦⊃Wf−→ R uma fun�c�ao de classe C∞ de�nida numa

vizinhan�ca aberta de p, p ∈W .

A derivada direcional vpf de f em p(na dire�c�ao de v) �e nada mais do que

vpf := cp,v (0)f =d

dt

∣∣∣t=t0

f (p + tv) = lim06=t→0

f (p + tv)− f (p)

t.

Considerando uma base linear �padr�ao� b1, . . . , bn ∈ Rn e as corresponden-tes coordenadas (x1, . . . , xn), �e f�acil veri�car que (bi )p = ∂

∂xi

∣∣ppara todos

i = 1, . . . , n.

Na verdade, todos os vetores tangentes s�ao derivadas direcionais:

2.10.3. Proposi�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Ent�ao a aplica�c�ao ip : V → TpU dada pela regraip : v 7→ vp �e um isomor�smo de espa�cos R-lineares.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 16 / 49

Chamamos TpU espa�co tangente a U em p.

2.10.2. Exemplo. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita e seja v ∈ V . Para algum ε > 0 su�cientemente pequeno,

temos um caminho linear (−ε, ε) cp,v−→ U de�nido pela regra cp,v (t) :=

= p + tv . Seja U ◦⊃Wf−→ R uma fun�c�ao de classe C∞ de�nida numa

vizinhan�ca aberta de p, p ∈W . A derivada direcional vpf de f em p(na dire�c�ao de v) �e nada mais do que

vpf := cp,v (0)f =d

dt

∣∣∣t=t0

f (p + tv) = lim06=t→0

f (p + tv)− f (p)

t.

Considerando uma base linear �padr�ao� b1, . . . , bn ∈ Rn e as corresponden-tes coordenadas (x1, . . . , xn), �e f�acil veri�car que (bi )p = ∂

∂xi

∣∣ppara todos

i = 1, . . . , n.

Na verdade, todos os vetores tangentes s�ao derivadas direcionais:

2.10.3. Proposi�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Ent�ao a aplica�c�ao ip : V → TpU dada pela regraip : v 7→ vp �e um isomor�smo de espa�cos R-lineares.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 16 / 49

Chamamos TpU espa�co tangente a U em p.

2.10.2. Exemplo. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita e seja v ∈ V . Para algum ε > 0 su�cientemente pequeno,

temos um caminho linear (−ε, ε) cp,v−→ U de�nido pela regra cp,v (t) :=

= p + tv . Seja U ◦⊃Wf−→ R uma fun�c�ao de classe C∞ de�nida numa

vizinhan�ca aberta de p, p ∈W . A derivada direcional vpf de f em p(na dire�c�ao de v) �e nada mais do que

vpf := cp,v (0)f =d

dt

∣∣∣t=t0

f (p + tv) = lim06=t→0

f (p + tv)− f (p)

t.

Considerando uma base linear �padr�ao� b1, . . . , bn ∈ Rn e as corresponden-tes coordenadas (x1, . . . , xn), �e f�acil veri�car que (bi )p = ∂

∂xi

∣∣ppara todos

i = 1, . . . , n.

Na verdade, todos os vetores tangentes s�ao derivadas direcionais:

2.10.3. Proposi�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Ent�ao a aplica�c�ao ip : V → TpU dada pela regraip : v 7→ vp �e um isomor�smo de espa�cos R-lineares.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 16 / 49

Chamamos TpU espa�co tangente a U em p.

2.10.2. Exemplo. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita e seja v ∈ V . Para algum ε > 0 su�cientemente pequeno,

temos um caminho linear (−ε, ε) cp,v−→ U de�nido pela regra cp,v (t) :=

= p + tv . Seja U ◦⊃Wf−→ R uma fun�c�ao de classe C∞ de�nida numa

vizinhan�ca aberta de p, p ∈W . A derivada direcional vpf de f em p(na dire�c�ao de v) �e nada mais do que

vpf := cp,v (0)f =d

dt

∣∣∣t=t0

f (p + tv) = lim06=t→0

f (p + tv)− f (p)

t.

Considerando uma base linear �padr�ao� b1, . . . , bn ∈ Rn e as corresponden-tes coordenadas (x1, . . . , xn), �e f�acil veri�car que (bi )p = ∂

∂xi

∣∣ppara todos

i = 1, . . . , n.

Na verdade, todos os vetores tangentes s�ao derivadas direcionais:

2.10.3. Proposi�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Ent�ao a aplica�c�ao ip : V → TpU dada pela regraip : v 7→ vp �e um isomor�smo de espa�cos R-lineares.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 16 / 49

Chamamos TpU espa�co tangente a U em p.

2.10.2. Exemplo. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita e seja v ∈ V . Para algum ε > 0 su�cientemente pequeno,

temos um caminho linear (−ε, ε) cp,v−→ U de�nido pela regra cp,v (t) :=

= p + tv . Seja U ◦⊃Wf−→ R uma fun�c�ao de classe C∞ de�nida numa

vizinhan�ca aberta de p, p ∈W . A derivada direcional vpf de f em p(na dire�c�ao de v) �e nada mais do que

vpf := cp,v (0)f =d

dt

∣∣∣t=t0

f (p + tv) = lim06=t→0

f (p + tv)− f (p)

t.

Considerando uma base linear �padr�ao� b1, . . . , bn ∈ Rn e as corresponden-tes coordenadas (x1, . . . , xn), �e f�acil veri�car que (bi )p = ∂

∂xi

∣∣ppara todos

i = 1, . . . , n.

Na verdade, todos os vetores tangentes s�ao derivadas direcionais:

2.10.3. Proposi�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita.

Ent�ao a aplica�c�ao ip : V → TpU dada pela regraip : v 7→ vp �e um isomor�smo de espa�cos R-lineares.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 16 / 49

Chamamos TpU espa�co tangente a U em p.

2.10.2. Exemplo. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita e seja v ∈ V . Para algum ε > 0 su�cientemente pequeno,

temos um caminho linear (−ε, ε) cp,v−→ U de�nido pela regra cp,v (t) :=

= p + tv . Seja U ◦⊃Wf−→ R uma fun�c�ao de classe C∞ de�nida numa

vizinhan�ca aberta de p, p ∈W . A derivada direcional vpf de f em p(na dire�c�ao de v) �e nada mais do que

vpf := cp,v (0)f =d

dt

∣∣∣t=t0

f (p + tv) = lim06=t→0

f (p + tv)− f (p)

t.

Considerando uma base linear �padr�ao� b1, . . . , bn ∈ Rn e as corresponden-tes coordenadas (x1, . . . , xn), �e f�acil veri�car que (bi )p = ∂

∂xi

∣∣ppara todos

i = 1, . . . , n.

Na verdade, todos os vetores tangentes s�ao derivadas direcionais:

2.10.3. Proposi�c�ao. Seja p ∈ U ⊂◦V , onde V �e um espa�co R-linear dedimens�ao �nita. Ent�ao a aplica�c�ao ip : V → TpU dada pela regraip : v 7→ vp �e um isomor�smo de espa�cos R-lineares.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 16 / 49

Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.

Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv .

Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .Seja l : V → R uma fun�c�ao linear. �E imediato que vp l = lv . Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.Seja w ∈ TpU. Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p, de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz. Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas. Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n, v :=n∑

j=1cjbj e w ′ := w − vp. Agora, w

′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i . Resta mostrar que w ′ = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 17 / 49

Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2.

Claro que D0cp,v : r 7→ rv .Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .Seja l : V → R uma fun�c�ao linear. �E imediato que vp l = lv . Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.Seja w ∈ TpU. Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p, de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz. Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas. Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n, v :=n∑

j=1cjbj e w ′ := w − vp. Agora, w

′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i . Resta mostrar que w ′ = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 17 / 49

Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv .

Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .Seja l : V → R uma fun�c�ao linear. �E imediato que vp l = lv . Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.Seja w ∈ TpU. Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p, de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz. Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas. Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n, v :=n∑

j=1cjbj e w ′ := w − vp. Agora, w

′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i . Resta mostrar que w ′ = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 17 / 49

Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv .

Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .

Seja l : V → R uma fun�c�ao linear. �E imediato que vp l = lv . Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.Seja w ∈ TpU. Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p, de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz. Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas. Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n, v :=n∑

j=1cjbj e w ′ := w − vp. Agora, w

′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i . Resta mostrar que w ′ = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 17 / 49

Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv .

Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .Seja l : V → R uma fun�c�ao linear.

�E imediato que vp l = lv . Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.Seja w ∈ TpU. Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p, de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz. Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas. Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n, v :=n∑

j=1cjbj e w ′ := w − vp. Agora, w

′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i . Resta mostrar que w ′ = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 17 / 49

Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv .

Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .Seja l : V → R uma fun�c�ao linear. �E imediato que vp l = lv .

Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.Seja w ∈ TpU. Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p, de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz. Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas. Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n, v :=n∑

j=1cjbj e w ′ := w − vp. Agora, w

′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i . Resta mostrar que w ′ = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 17 / 49

Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv .

Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .Seja l : V → R uma fun�c�ao linear. �E imediato que vp l = lv . Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.

Seja w ∈ TpU. Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p, de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz. Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas. Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n, v :=n∑

j=1cjbj e w ′ := w − vp. Agora, w

′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i . Resta mostrar que w ′ = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 17 / 49

Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv .

Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .Seja l : V → R uma fun�c�ao linear. �E imediato que vp l = lv . Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.Seja w ∈ TpU.

Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p, de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz. Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas. Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n, v :=n∑

j=1cjbj e w ′ := w − vp. Agora, w

′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i . Resta mostrar que w ′ = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 17 / 49

Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv .

Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .Seja l : V → R uma fun�c�ao linear. �E imediato que vp l = lv . Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.Seja w ∈ TpU. Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p,

de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz. Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas. Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n, v :=n∑

j=1cjbj e w ′ := w − vp. Agora, w

′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i . Resta mostrar que w ′ = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 17 / 49

Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv .

Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .Seja l : V → R uma fun�c�ao linear. �E imediato que vp l = lv . Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.Seja w ∈ TpU. Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p, de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz.

Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas. Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n, v :=n∑

j=1cjbj e w ′ := w − vp. Agora, w

′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i . Resta mostrar que w ′ = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 17 / 49

Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv .

Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .Seja l : V → R uma fun�c�ao linear. �E imediato que vp l = lv . Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.Seja w ∈ TpU. Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p, de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz. Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz.

Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas. Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n, v :=n∑

j=1cjbj e w ′ := w − vp. Agora, w

′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i . Resta mostrar que w ′ = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 17 / 49

Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv .

Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .Seja l : V → R uma fun�c�ao linear. �E imediato que vp l = lv . Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.Seja w ∈ TpU. Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p, de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz. Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .

Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas. Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n, v :=n∑

j=1cjbj e w ′ := w − vp. Agora, w

′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i . Resta mostrar que w ′ = 0.

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Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv .

Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .Seja l : V → R uma fun�c�ao linear. �E imediato que vp l = lv . Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.Seja w ∈ TpU. Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p, de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz. Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas.

Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n, v :=n∑

j=1cjbj e w ′ := w − vp. Agora, w

′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i . Resta mostrar que w ′ = 0.

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Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv .

Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .Seja l : V → R uma fun�c�ao linear. �E imediato que vp l = lv . Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.Seja w ∈ TpU. Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p, de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz. Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas. Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n,

v :=n∑

j=1cjbj e w ′ := w − vp. Agora, w

′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i . Resta mostrar que w ′ = 0.

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Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv .

Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .Seja l : V → R uma fun�c�ao linear. �E imediato que vp l = lv . Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.Seja w ∈ TpU. Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p, de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz. Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas. Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n, v :=n∑

j=1cjbj

e w ′ := w − vp. Agora, w′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i . Resta mostrar que w ′ = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 17 / 49

Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv .

Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .Seja l : V → R uma fun�c�ao linear. �E imediato que vp l = lv . Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.Seja w ∈ TpU. Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p, de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz. Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas. Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n, v :=n∑

j=1cjbj e w ′ := w − vp.

Agora, w ′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i . Resta mostrar que w ′ = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 17 / 49

Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv .

Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .Seja l : V → R uma fun�c�ao linear. �E imediato que vp l = lv . Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.Seja w ∈ TpU. Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p, de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz. Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas. Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n, v :=n∑

j=1cjbj e w ′ := w − vp. Agora, w

′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i .

Resta mostrar que w ′ = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 17 / 49

Demonstra�c�ao. O fato que ip �e linear segue diretamente do Lema 2.2.Com efeito, lembrando como relacionam-se a derivada considerada comoum vetor e a derivada interpretada como uma aplica�c�ao linear, obtemosvpf =

((Dpf ) ◦ (D0cp,v )

)1 pelo Lema 2.2. Claro que D0cp,v : r 7→ rv .

Logo, vpf = (Dpf )v �e linear em v .Seja l : V → R uma fun�c�ao linear. �E imediato que vp l = lv . Em particular,o n�ucleo de ip �e nulo e, assim, a aplica�c�ao ip �e injetora.Seja w ∈ TpU. Para todas as fun�c�oes f1, f2 de classe C∞ de�nidas emvizinhan�cas abertas de p, de f1(p) = f2(p) = 0 deduzimos w(f1f2) = 0 pelaregra de Leibniz. Al�em disso, w1 = 0, pois w1 = w(1 · 1) = w1 + w1 pelaregra de Leibniz. Isto implica que wc = 0 para qualquer fun�c�ao constante c .Escolhendo uma base linear b1, . . . , bn ∈ V , identi�camos V com Rn edenotamos por (x1, . . . , xn) as correspondentes coordenadas. Sendo cadacoordenada uma fun�c�ao de classe C∞, de�nimos ci := wxi para todo

i = 1, . . . , n, v :=n∑

j=1cjbj e w ′ := w − vp. Agora, w

′xi = (w − vp)xi =

= ci − xi( n∑j=1

cjbj)= ci − ci = 0 para todo i . Resta mostrar que w ′ = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 17 / 49

Seja f uma fun�c�ao arbitr�aria de classe C∞ de�nida numa vizinhan�ca abertade p.

Pelo Lema 2.6, diminuindo a vizinhan�ca, obtemos f (x) = f (p)+

+n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para algumas fun�c�oes gi 's de classe C∞ de�nidas numa

vizinhan�ca aberta de p. Aplicando o mesmo lema �as fun�c�oes gi 's, obtemos

f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (p) +

n∑i ,j=1

(xi − pi )(xj − pj)hij(x). Da�� segue

w ′f = 0 �

2.10.4. De�ni�c�ao. Seja V um espa�co R-linear de dimens�ao �nita e sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto. Um campo vetorial suave F sobre U ouum operador diferencial de ordem 1 sobre U �e uma aplica�c�aoF : C∞(U)→ C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) (lineari-dade de F ) e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) (a regra de Leibniz para F ) paratodos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.

Sejam F ,F1,F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U).As regras (gF )f := g(Ff ), (F1 + F2)f := F1f + F2f e[F1,F2]f := F1(F2f )− F2(F1f ), onde f ∈ C∞(U), de�nem camposvetoriais suaves gF , F1 + F2 e [F1,F2] sobre U.

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Seja f uma fun�c�ao arbitr�aria de classe C∞ de�nida numa vizinhan�ca abertade p. Pelo Lema 2.6, diminuindo a vizinhan�ca, obtemos f (x) = f (p)+

+n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para algumas fun�c�oes gi 's de classe C∞ de�nidas numa

vizinhan�ca aberta de p.

Aplicando o mesmo lema �as fun�c�oes gi 's, obtemos

f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (p) +

n∑i ,j=1

(xi − pi )(xj − pj)hij(x). Da�� segue

w ′f = 0 �

2.10.4. De�ni�c�ao. Seja V um espa�co R-linear de dimens�ao �nita e sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto. Um campo vetorial suave F sobre U ouum operador diferencial de ordem 1 sobre U �e uma aplica�c�aoF : C∞(U)→ C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) (lineari-dade de F ) e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) (a regra de Leibniz para F ) paratodos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.

Sejam F ,F1,F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U).As regras (gF )f := g(Ff ), (F1 + F2)f := F1f + F2f e[F1,F2]f := F1(F2f )− F2(F1f ), onde f ∈ C∞(U), de�nem camposvetoriais suaves gF , F1 + F2 e [F1,F2] sobre U.

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Seja f uma fun�c�ao arbitr�aria de classe C∞ de�nida numa vizinhan�ca abertade p. Pelo Lema 2.6, diminuindo a vizinhan�ca, obtemos f (x) = f (p)+

+n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para algumas fun�c�oes gi 's de classe C∞ de�nidas numa

vizinhan�ca aberta de p. Aplicando o mesmo lema �as fun�c�oes gi 's, obtemos

f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (p) +

n∑i ,j=1

(xi − pi )(xj − pj)hij(x).

Da�� segue

w ′f = 0 �

2.10.4. De�ni�c�ao. Seja V um espa�co R-linear de dimens�ao �nita e sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto. Um campo vetorial suave F sobre U ouum operador diferencial de ordem 1 sobre U �e uma aplica�c�aoF : C∞(U)→ C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) (lineari-dade de F ) e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) (a regra de Leibniz para F ) paratodos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.

Sejam F ,F1,F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U).As regras (gF )f := g(Ff ), (F1 + F2)f := F1f + F2f e[F1,F2]f := F1(F2f )− F2(F1f ), onde f ∈ C∞(U), de�nem camposvetoriais suaves gF , F1 + F2 e [F1,F2] sobre U.

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Seja f uma fun�c�ao arbitr�aria de classe C∞ de�nida numa vizinhan�ca abertade p. Pelo Lema 2.6, diminuindo a vizinhan�ca, obtemos f (x) = f (p)+

+n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para algumas fun�c�oes gi 's de classe C∞ de�nidas numa

vizinhan�ca aberta de p. Aplicando o mesmo lema �as fun�c�oes gi 's, obtemos

f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (p) +

n∑i ,j=1

(xi − pi )(xj − pj)hij(x). Da�� segue

w ′f = 0 �

2.10.4. De�ni�c�ao. Seja V um espa�co R-linear de dimens�ao �nita e sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto. Um campo vetorial suave F sobre U ouum operador diferencial de ordem 1 sobre U �e uma aplica�c�aoF : C∞(U)→ C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) (lineari-dade de F ) e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) (a regra de Leibniz para F ) paratodos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.

Sejam F ,F1,F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U).As regras (gF )f := g(Ff ), (F1 + F2)f := F1f + F2f e[F1,F2]f := F1(F2f )− F2(F1f ), onde f ∈ C∞(U), de�nem camposvetoriais suaves gF , F1 + F2 e [F1,F2] sobre U.

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Seja f uma fun�c�ao arbitr�aria de classe C∞ de�nida numa vizinhan�ca abertade p. Pelo Lema 2.6, diminuindo a vizinhan�ca, obtemos f (x) = f (p)+

+n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para algumas fun�c�oes gi 's de classe C∞ de�nidas numa

vizinhan�ca aberta de p. Aplicando o mesmo lema �as fun�c�oes gi 's, obtemos

f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (p) +

n∑i ,j=1

(xi − pi )(xj − pj)hij(x). Da�� segue

w ′f = 0 �

2.10.4. De�ni�c�ao. Seja V um espa�co R-linear de dimens�ao �nita e sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto.

Um campo vetorial suave F sobre U ouum operador diferencial de ordem 1 sobre U �e uma aplica�c�aoF : C∞(U)→ C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) (lineari-dade de F ) e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) (a regra de Leibniz para F ) paratodos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.

Sejam F ,F1,F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U).As regras (gF )f := g(Ff ), (F1 + F2)f := F1f + F2f e[F1,F2]f := F1(F2f )− F2(F1f ), onde f ∈ C∞(U), de�nem camposvetoriais suaves gF , F1 + F2 e [F1,F2] sobre U.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 18 / 49

Seja f uma fun�c�ao arbitr�aria de classe C∞ de�nida numa vizinhan�ca abertade p. Pelo Lema 2.6, diminuindo a vizinhan�ca, obtemos f (x) = f (p)+

+n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para algumas fun�c�oes gi 's de classe C∞ de�nidas numa

vizinhan�ca aberta de p. Aplicando o mesmo lema �as fun�c�oes gi 's, obtemos

f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (p) +

n∑i ,j=1

(xi − pi )(xj − pj)hij(x). Da�� segue

w ′f = 0 �

2.10.4. De�ni�c�ao. Seja V um espa�co R-linear de dimens�ao �nita e sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto. Um campo vetorial suave F sobre U

ouum operador diferencial de ordem 1 sobre U �e uma aplica�c�aoF : C∞(U)→ C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) (lineari-dade de F ) e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) (a regra de Leibniz para F ) paratodos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.

Sejam F ,F1,F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U).As regras (gF )f := g(Ff ), (F1 + F2)f := F1f + F2f e[F1,F2]f := F1(F2f )− F2(F1f ), onde f ∈ C∞(U), de�nem camposvetoriais suaves gF , F1 + F2 e [F1,F2] sobre U.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 18 / 49

Seja f uma fun�c�ao arbitr�aria de classe C∞ de�nida numa vizinhan�ca abertade p. Pelo Lema 2.6, diminuindo a vizinhan�ca, obtemos f (x) = f (p)+

+n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para algumas fun�c�oes gi 's de classe C∞ de�nidas numa

vizinhan�ca aberta de p. Aplicando o mesmo lema �as fun�c�oes gi 's, obtemos

f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (p) +

n∑i ,j=1

(xi − pi )(xj − pj)hij(x). Da�� segue

w ′f = 0 �

2.10.4. De�ni�c�ao. Seja V um espa�co R-linear de dimens�ao �nita e sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto. Um campo vetorial suave F sobre U ouum operador diferencial de ordem 1 sobre U

�e uma aplica�c�aoF : C∞(U)→ C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) (lineari-dade de F ) e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) (a regra de Leibniz para F ) paratodos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.

Sejam F ,F1,F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U).As regras (gF )f := g(Ff ), (F1 + F2)f := F1f + F2f e[F1,F2]f := F1(F2f )− F2(F1f ), onde f ∈ C∞(U), de�nem camposvetoriais suaves gF , F1 + F2 e [F1,F2] sobre U.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 18 / 49

Seja f uma fun�c�ao arbitr�aria de classe C∞ de�nida numa vizinhan�ca abertade p. Pelo Lema 2.6, diminuindo a vizinhan�ca, obtemos f (x) = f (p)+

+n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para algumas fun�c�oes gi 's de classe C∞ de�nidas numa

vizinhan�ca aberta de p. Aplicando o mesmo lema �as fun�c�oes gi 's, obtemos

f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (p) +

n∑i ,j=1

(xi − pi )(xj − pj)hij(x). Da�� segue

w ′f = 0 �

2.10.4. De�ni�c�ao. Seja V um espa�co R-linear de dimens�ao �nita e sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto. Um campo vetorial suave F sobre U ouum operador diferencial de ordem 1 sobre U �e uma aplica�c�aoF : C∞(U)→ C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2)

(lineari-dade de F ) e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) (a regra de Leibniz para F ) paratodos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.

Sejam F ,F1,F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U).As regras (gF )f := g(Ff ), (F1 + F2)f := F1f + F2f e[F1,F2]f := F1(F2f )− F2(F1f ), onde f ∈ C∞(U), de�nem camposvetoriais suaves gF , F1 + F2 e [F1,F2] sobre U.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 18 / 49

Seja f uma fun�c�ao arbitr�aria de classe C∞ de�nida numa vizinhan�ca abertade p. Pelo Lema 2.6, diminuindo a vizinhan�ca, obtemos f (x) = f (p)+

+n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para algumas fun�c�oes gi 's de classe C∞ de�nidas numa

vizinhan�ca aberta de p. Aplicando o mesmo lema �as fun�c�oes gi 's, obtemos

f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (p) +

n∑i ,j=1

(xi − pi )(xj − pj)hij(x). Da�� segue

w ′f = 0 �

2.10.4. De�ni�c�ao. Seja V um espa�co R-linear de dimens�ao �nita e sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto. Um campo vetorial suave F sobre U ouum operador diferencial de ordem 1 sobre U �e uma aplica�c�aoF : C∞(U)→ C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) (lineari-dade de F )

e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) (a regra de Leibniz para F ) paratodos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.

Sejam F ,F1,F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U).As regras (gF )f := g(Ff ), (F1 + F2)f := F1f + F2f e[F1,F2]f := F1(F2f )− F2(F1f ), onde f ∈ C∞(U), de�nem camposvetoriais suaves gF , F1 + F2 e [F1,F2] sobre U.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 18 / 49

Seja f uma fun�c�ao arbitr�aria de classe C∞ de�nida numa vizinhan�ca abertade p. Pelo Lema 2.6, diminuindo a vizinhan�ca, obtemos f (x) = f (p)+

+n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para algumas fun�c�oes gi 's de classe C∞ de�nidas numa

vizinhan�ca aberta de p. Aplicando o mesmo lema �as fun�c�oes gi 's, obtemos

f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (p) +

n∑i ,j=1

(xi − pi )(xj − pj)hij(x). Da�� segue

w ′f = 0 �

2.10.4. De�ni�c�ao. Seja V um espa�co R-linear de dimens�ao �nita e sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto. Um campo vetorial suave F sobre U ouum operador diferencial de ordem 1 sobre U �e uma aplica�c�aoF : C∞(U)→ C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) (lineari-dade de F ) e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2)

(a regra de Leibniz para F ) paratodos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.

Sejam F ,F1,F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U).As regras (gF )f := g(Ff ), (F1 + F2)f := F1f + F2f e[F1,F2]f := F1(F2f )− F2(F1f ), onde f ∈ C∞(U), de�nem camposvetoriais suaves gF , F1 + F2 e [F1,F2] sobre U.

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Seja f uma fun�c�ao arbitr�aria de classe C∞ de�nida numa vizinhan�ca abertade p. Pelo Lema 2.6, diminuindo a vizinhan�ca, obtemos f (x) = f (p)+

+n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para algumas fun�c�oes gi 's de classe C∞ de�nidas numa

vizinhan�ca aberta de p. Aplicando o mesmo lema �as fun�c�oes gi 's, obtemos

f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (p) +

n∑i ,j=1

(xi − pi )(xj − pj)hij(x). Da�� segue

w ′f = 0 �

2.10.4. De�ni�c�ao. Seja V um espa�co R-linear de dimens�ao �nita e sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto. Um campo vetorial suave F sobre U ouum operador diferencial de ordem 1 sobre U �e uma aplica�c�aoF : C∞(U)→ C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) (lineari-dade de F ) e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) (a regra de Leibniz para F )

paratodos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.

Sejam F ,F1,F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U).As regras (gF )f := g(Ff ), (F1 + F2)f := F1f + F2f e[F1,F2]f := F1(F2f )− F2(F1f ), onde f ∈ C∞(U), de�nem camposvetoriais suaves gF , F1 + F2 e [F1,F2] sobre U.

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Seja f uma fun�c�ao arbitr�aria de classe C∞ de�nida numa vizinhan�ca abertade p. Pelo Lema 2.6, diminuindo a vizinhan�ca, obtemos f (x) = f (p)+

+n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para algumas fun�c�oes gi 's de classe C∞ de�nidas numa

vizinhan�ca aberta de p. Aplicando o mesmo lema �as fun�c�oes gi 's, obtemos

f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (p) +

n∑i ,j=1

(xi − pi )(xj − pj)hij(x). Da�� segue

w ′f = 0 �

2.10.4. De�ni�c�ao. Seja V um espa�co R-linear de dimens�ao �nita e sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto. Um campo vetorial suave F sobre U ouum operador diferencial de ordem 1 sobre U �e uma aplica�c�aoF : C∞(U)→ C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) (lineari-dade de F ) e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) (a regra de Leibniz para F ) paratodos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.

Sejam F ,F1,F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U).As regras (gF )f := g(Ff ), (F1 + F2)f := F1f + F2f e[F1,F2]f := F1(F2f )− F2(F1f ), onde f ∈ C∞(U), de�nem camposvetoriais suaves gF , F1 + F2 e [F1,F2] sobre U.

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Seja f uma fun�c�ao arbitr�aria de classe C∞ de�nida numa vizinhan�ca abertade p. Pelo Lema 2.6, diminuindo a vizinhan�ca, obtemos f (x) = f (p)+

+n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para algumas fun�c�oes gi 's de classe C∞ de�nidas numa

vizinhan�ca aberta de p. Aplicando o mesmo lema �as fun�c�oes gi 's, obtemos

f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (p) +

n∑i ,j=1

(xi − pi )(xj − pj)hij(x). Da�� segue

w ′f = 0 �

2.10.4. De�ni�c�ao. Seja V um espa�co R-linear de dimens�ao �nita e sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto. Um campo vetorial suave F sobre U ouum operador diferencial de ordem 1 sobre U �e uma aplica�c�aoF : C∞(U)→ C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) (lineari-dade de F ) e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) (a regra de Leibniz para F ) paratodos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.

Sejam F ,F1,F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U).

As regras (gF )f := g(Ff ), (F1 + F2)f := F1f + F2f e[F1,F2]f := F1(F2f )− F2(F1f ), onde f ∈ C∞(U), de�nem camposvetoriais suaves gF , F1 + F2 e [F1,F2] sobre U.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 18 / 49

Seja f uma fun�c�ao arbitr�aria de classe C∞ de�nida numa vizinhan�ca abertade p. Pelo Lema 2.6, diminuindo a vizinhan�ca, obtemos f (x) = f (p)+

+n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para algumas fun�c�oes gi 's de classe C∞ de�nidas numa

vizinhan�ca aberta de p. Aplicando o mesmo lema �as fun�c�oes gi 's, obtemos

f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (p) +

n∑i ,j=1

(xi − pi )(xj − pj)hij(x). Da�� segue

w ′f = 0 �

2.10.4. De�ni�c�ao. Seja V um espa�co R-linear de dimens�ao �nita e sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto. Um campo vetorial suave F sobre U ouum operador diferencial de ordem 1 sobre U �e uma aplica�c�aoF : C∞(U)→ C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) (lineari-dade de F ) e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) (a regra de Leibniz para F ) paratodos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.

Sejam F ,F1,F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U).As regras (gF )f := g(Ff ),

(F1 + F2)f := F1f + F2f e[F1,F2]f := F1(F2f )− F2(F1f ), onde f ∈ C∞(U), de�nem camposvetoriais suaves gF , F1 + F2 e [F1,F2] sobre U.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 18 / 49

Seja f uma fun�c�ao arbitr�aria de classe C∞ de�nida numa vizinhan�ca abertade p. Pelo Lema 2.6, diminuindo a vizinhan�ca, obtemos f (x) = f (p)+

+n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para algumas fun�c�oes gi 's de classe C∞ de�nidas numa

vizinhan�ca aberta de p. Aplicando o mesmo lema �as fun�c�oes gi 's, obtemos

f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (p) +

n∑i ,j=1

(xi − pi )(xj − pj)hij(x). Da�� segue

w ′f = 0 �

2.10.4. De�ni�c�ao. Seja V um espa�co R-linear de dimens�ao �nita e sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto. Um campo vetorial suave F sobre U ouum operador diferencial de ordem 1 sobre U �e uma aplica�c�aoF : C∞(U)→ C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) (lineari-dade de F ) e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) (a regra de Leibniz para F ) paratodos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.

Sejam F ,F1,F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U).As regras (gF )f := g(Ff ), (F1 + F2)f := F1f + F2f

e[F1,F2]f := F1(F2f )− F2(F1f ), onde f ∈ C∞(U), de�nem camposvetoriais suaves gF , F1 + F2 e [F1,F2] sobre U.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 18 / 49

Seja f uma fun�c�ao arbitr�aria de classe C∞ de�nida numa vizinhan�ca abertade p. Pelo Lema 2.6, diminuindo a vizinhan�ca, obtemos f (x) = f (p)+

+n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para algumas fun�c�oes gi 's de classe C∞ de�nidas numa

vizinhan�ca aberta de p. Aplicando o mesmo lema �as fun�c�oes gi 's, obtemos

f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (p) +

n∑i ,j=1

(xi − pi )(xj − pj)hij(x). Da�� segue

w ′f = 0 �

2.10.4. De�ni�c�ao. Seja V um espa�co R-linear de dimens�ao �nita e sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto. Um campo vetorial suave F sobre U ouum operador diferencial de ordem 1 sobre U �e uma aplica�c�aoF : C∞(U)→ C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) (lineari-dade de F ) e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) (a regra de Leibniz para F ) paratodos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.

Sejam F ,F1,F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U).As regras (gF )f := g(Ff ), (F1 + F2)f := F1f + F2f e[F1,F2]f := F1(F2f )− F2(F1f ),

onde f ∈ C∞(U), de�nem camposvetoriais suaves gF , F1 + F2 e [F1,F2] sobre U.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 18 / 49

Seja f uma fun�c�ao arbitr�aria de classe C∞ de�nida numa vizinhan�ca abertade p. Pelo Lema 2.6, diminuindo a vizinhan�ca, obtemos f (x) = f (p)+

+n∑

i=1(xi − pi )gi (x) para algumas fun�c�oes gi 's de classe C∞ de�nidas numa

vizinhan�ca aberta de p. Aplicando o mesmo lema �as fun�c�oes gi 's, obtemos

f (x) = f (p) +n∑

i=1(xi − pi )gi (p) +

n∑i ,j=1

(xi − pi )(xj − pj)hij(x). Da�� segue

w ′f = 0 �

2.10.4. De�ni�c�ao. Seja V um espa�co R-linear de dimens�ao �nita e sejaU ⊂◦V um subconjunto aberto. Um campo vetorial suave F sobre U ouum operador diferencial de ordem 1 sobre U �e uma aplica�c�aoF : C∞(U)→ C∞(U) tal que F (r1f1 + r2f2) = r1(Ff1) + r2(Ff2) (lineari-dade de F ) e F (f1f2) = (Ff1)f2 + f1(Ff2) (a regra de Leibniz para F ) paratodos f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R.

Sejam F ,F1,F2 campos vetoriais suaves sobre U e seja g ∈ C∞(U).As regras (gF )f := g(Ff ), (F1 + F2)f := F1f + F2f e[F1,F2]f := F1(F2f )− F2(F1f ), onde f ∈ C∞(U), de�nem camposvetoriais suaves gF , F1 + F2 e [F1,F2] sobre U.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 18 / 49

Com efeito, para F1 + F2 (soma de campos) e gF , a veri�ca�c�ao �e imedi-ata.

Vamos veri�car que o comutador de campos [F1,F2] �e um campo.Para quaisquer f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R, temos

[F1,F2](r1f1 + r2f2) = F1(F2(r1f1 + r2f2)

)− F2

(F1(r1f1 + r2f2)

)=

= r1(F1(F2f1)

)+ r2

(F1(F2f2)

)− r1

(F2(F1f1)

)− r2

(F2(F1f2)

)=

= r1([F1,F2]f1

)+ r2

([F1,F2]f2

),

[F1,F2](f1f2) = F1(F2(f1f2)

)− F2

(F1(f1f2)

)=

= F1((F2f1)f2)

)+ F1

(f1(F2f2)

)− F2

((F1f1)f2

)− F2

(f1(F1f2)

)=

=(F1(F2f1)

)f2 + (F2f1)(F1f2) + (F1f1)(F2f2) + f1

(F1(F2f2)

)−

−(F2(F1f1)

)f2 − (F1f1)(F2f2)− (F2f1)(F1f2)− f1

(F2(F1f2)

)=

=([F1,F2]f1

)f2 + f1

([F1,F2]f2

).

2.10.5. Exemplo. Para qualquer subconjunto aberto U ⊂◦Rn, o operador∂∂xi

, i = 1, . . . , n, providencia um campo suave sobre U. A gente se acostu-mou a imaginar este campo como sendo formado pelos vetores unit�arios,todos na dire�c�ao do i-�esimo eixo coordenado.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 19 / 49

Com efeito, para F1 + F2 (soma de campos) e gF , a veri�ca�c�ao �e imedi-ata. Vamos veri�car que o comutador de campos [F1,F2] �e um campo.

Para quaisquer f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R, temos

[F1,F2](r1f1 + r2f2) = F1(F2(r1f1 + r2f2)

)− F2

(F1(r1f1 + r2f2)

)=

= r1(F1(F2f1)

)+ r2

(F1(F2f2)

)− r1

(F2(F1f1)

)− r2

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= r1([F1,F2]f1

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([F1,F2]f2

),

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−(F2(F1f1)

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)=

=([F1,F2]f1

)f2 + f1

([F1,F2]f2

).

2.10.5. Exemplo. Para qualquer subconjunto aberto U ⊂◦Rn, o operador∂∂xi

, i = 1, . . . , n, providencia um campo suave sobre U. A gente se acostu-mou a imaginar este campo como sendo formado pelos vetores unit�arios,todos na dire�c�ao do i-�esimo eixo coordenado.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 19 / 49

Com efeito, para F1 + F2 (soma de campos) e gF , a veri�ca�c�ao �e imedi-ata. Vamos veri�car que o comutador de campos [F1,F2] �e um campo.Para quaisquer f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R, temos

[F1,F2](r1f1 + r2f2) = F1(F2(r1f1 + r2f2)

)− F2

(F1(r1f1 + r2f2)

)=

= r1(F1(F2f1)

)+ r2

(F1(F2f2)

)− r1

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)− r2

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)=

= r1([F1,F2]f1

)+ r2

([F1,F2]f2

),

[F1,F2](f1f2) = F1(F2(f1f2)

)− F2

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)+ F1

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)− F2

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=(F1(F2f1)

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)−

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)=

=([F1,F2]f1

)f2 + f1

([F1,F2]f2

).

2.10.5. Exemplo. Para qualquer subconjunto aberto U ⊂◦Rn, o operador∂∂xi

, i = 1, . . . , n, providencia um campo suave sobre U. A gente se acostu-mou a imaginar este campo como sendo formado pelos vetores unit�arios,todos na dire�c�ao do i-�esimo eixo coordenado.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 19 / 49

Com efeito, para F1 + F2 (soma de campos) e gF , a veri�ca�c�ao �e imedi-ata. Vamos veri�car que o comutador de campos [F1,F2] �e um campo.Para quaisquer f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R, temos

[F1,F2](r1f1 + r2f2) = F1(F2(r1f1 + r2f2)

)− F2

(F1(r1f1 + r2f2)

)=

= r1(F1(F2f1)

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= F1((F2f1)f2)

)+ F1

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=([F1,F2]f1

)f2 + f1

([F1,F2]f2

).

2.10.5. Exemplo. Para qualquer subconjunto aberto U ⊂◦Rn, o operador∂∂xi

, i = 1, . . . , n, providencia um campo suave sobre U. A gente se acostu-mou a imaginar este campo como sendo formado pelos vetores unit�arios,todos na dire�c�ao do i-�esimo eixo coordenado.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 19 / 49

Com efeito, para F1 + F2 (soma de campos) e gF , a veri�ca�c�ao �e imedi-ata. Vamos veri�car que o comutador de campos [F1,F2] �e um campo.Para quaisquer f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R, temos

[F1,F2](r1f1 + r2f2) = F1(F2(r1f1 + r2f2)

)− F2

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)=

= r1(F1(F2f1)

)+ r2

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)=

=([F1,F2]f1

)f2 + f1

([F1,F2]f2

).

2.10.5. Exemplo. Para qualquer subconjunto aberto U ⊂◦Rn, o operador∂∂xi

, i = 1, . . . , n, providencia um campo suave sobre U. A gente se acostu-mou a imaginar este campo como sendo formado pelos vetores unit�arios,todos na dire�c�ao do i-�esimo eixo coordenado.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 19 / 49

Com efeito, para F1 + F2 (soma de campos) e gF , a veri�ca�c�ao �e imedi-ata. Vamos veri�car que o comutador de campos [F1,F2] �e um campo.Para quaisquer f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R, temos

[F1,F2](r1f1 + r2f2) = F1(F2(r1f1 + r2f2)

)− F2

(F1(r1f1 + r2f2)

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= r1(F1(F2f1)

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=([F1,F2]f1

)f2 + f1

([F1,F2]f2

).

2.10.5. Exemplo. Para qualquer subconjunto aberto U ⊂◦Rn, o operador∂∂xi

, i = 1, . . . , n, providencia um campo suave sobre U. A gente se acostu-mou a imaginar este campo como sendo formado pelos vetores unit�arios,todos na dire�c�ao do i-�esimo eixo coordenado.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 19 / 49

Com efeito, para F1 + F2 (soma de campos) e gF , a veri�ca�c�ao �e imedi-ata. Vamos veri�car que o comutador de campos [F1,F2] �e um campo.Para quaisquer f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R, temos

[F1,F2](r1f1 + r2f2) = F1(F2(r1f1 + r2f2)

)− F2

(F1(r1f1 + r2f2)

)=

= r1(F1(F2f1)

)+ r2

(F1(F2f2)

)− r1

(F2(F1f1)

)− r2

(F2(F1f2)

)=

= r1([F1,F2]f1

)+ r2

([F1,F2]f2

),

[F1,F2](f1f2) = F1(F2(f1f2)

)− F2

(F1(f1f2)

)=

= F1((F2f1)f2)

)+ F1

(f1(F2f2)

)− F2

((F1f1)f2

)− F2

(f1(F1f2)

)=

=(F1(F2f1)

)f2 + (F2f1)(F1f2) + (F1f1)(F2f2) + f1

(F1(F2f2)

)−

−(F2(F1f1)

)f2 − (F1f1)(F2f2)− (F2f1)(F1f2)− f1

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).

2.10.5. Exemplo. Para qualquer subconjunto aberto U ⊂◦Rn, o operador∂∂xi

, i = 1, . . . , n, providencia um campo suave sobre U. A gente se acostu-mou a imaginar este campo como sendo formado pelos vetores unit�arios,todos na dire�c�ao do i-�esimo eixo coordenado.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 19 / 49

Com efeito, para F1 + F2 (soma de campos) e gF , a veri�ca�c�ao �e imedi-ata. Vamos veri�car que o comutador de campos [F1,F2] �e um campo.Para quaisquer f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R, temos

[F1,F2](r1f1 + r2f2) = F1(F2(r1f1 + r2f2)

)− F2

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),

[F1,F2](f1f2) = F1(F2(f1f2)

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=([F1,F2]f1

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([F1,F2]f2

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2.10.5. Exemplo. Para qualquer subconjunto aberto U ⊂◦Rn, o operador∂∂xi

, i = 1, . . . , n, providencia um campo suave sobre U. A gente se acostu-mou a imaginar este campo como sendo formado pelos vetores unit�arios,todos na dire�c�ao do i-�esimo eixo coordenado.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 19 / 49

Com efeito, para F1 + F2 (soma de campos) e gF , a veri�ca�c�ao �e imedi-ata. Vamos veri�car que o comutador de campos [F1,F2] �e um campo.Para quaisquer f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R, temos

[F1,F2](r1f1 + r2f2) = F1(F2(r1f1 + r2f2)

)− F2

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2.10.5. Exemplo. Para qualquer subconjunto aberto U ⊂◦Rn, o operador∂∂xi

, i = 1, . . . , n, providencia um campo suave sobre U. A gente se acostu-mou a imaginar este campo como sendo formado pelos vetores unit�arios,todos na dire�c�ao do i-�esimo eixo coordenado.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 19 / 49

Com efeito, para F1 + F2 (soma de campos) e gF , a veri�ca�c�ao �e imedi-ata. Vamos veri�car que o comutador de campos [F1,F2] �e um campo.Para quaisquer f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R, temos

[F1,F2](r1f1 + r2f2) = F1(F2(r1f1 + r2f2)

)− F2

(F1(r1f1 + r2f2)

)=

= r1(F1(F2f1)

)+ r2

(F1(F2f2)

)− r1

(F2(F1f1)

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=(F1(F2f1)

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2.10.5. Exemplo. Para qualquer subconjunto aberto U ⊂◦Rn, o operador∂∂xi

, i = 1, . . . , n, providencia um campo suave sobre U. A gente se acostu-mou a imaginar este campo como sendo formado pelos vetores unit�arios,todos na dire�c�ao do i-�esimo eixo coordenado.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 19 / 49

Com efeito, para F1 + F2 (soma de campos) e gF , a veri�ca�c�ao �e imedi-ata. Vamos veri�car que o comutador de campos [F1,F2] �e um campo.Para quaisquer f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R, temos

[F1,F2](r1f1 + r2f2) = F1(F2(r1f1 + r2f2)

)− F2

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2.10.5. Exemplo. Para qualquer subconjunto aberto U ⊂◦Rn, o operador∂∂xi

, i = 1, . . . , n, providencia um campo suave sobre U.

A gente se acostu-mou a imaginar este campo como sendo formado pelos vetores unit�arios,todos na dire�c�ao do i-�esimo eixo coordenado.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 19 / 49

Com efeito, para F1 + F2 (soma de campos) e gF , a veri�ca�c�ao �e imedi-ata. Vamos veri�car que o comutador de campos [F1,F2] �e um campo.Para quaisquer f1, f2 ∈ C∞(U) e r1, r2 ∈ R, temos

[F1,F2](r1f1 + r2f2) = F1(F2(r1f1 + r2f2)

)− F2

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= r1(F1(F2f1)

)+ r2

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)+ F1

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2.10.5. Exemplo. Para qualquer subconjunto aberto U ⊂◦Rn, o operador∂∂xi

, i = 1, . . . , n, providencia um campo suave sobre U. A gente se acostu-mou a imaginar este campo como sendo formado pelos vetores unit�arios,todos na dire�c�ao do i-�esimo eixo coordenado.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 19 / 49

2.10.6. Proposi�c�ao. Sejam U ⊂◦Rn um subconjunto aberto e F um

campo suave sobre U.

Ent�ao F =n∑

i=1fi

∂∂xi

, onde f1, . . . , fn ∈ C∞(U).

O campo F pode ser tamb�em visto como uma fam��lia suave Fp ∈ TpU,

p ∈ U, de vetores tangentes; de fato, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣p. Para qualquer

subconjunto aberto W ⊂◦U, podemos restringir F para W obtendo umcampo suave F |W sobre W .

Demonstra�c�ao. Utilizando as fun�c�oes constru��das no Corol�ario 2.9, obser-vemos que, para toda fun�c�ao f ∈ C∞(U) e qualquer subconjunto abertoW ⊂◦U, de f |W = 0 segue (Ff )|W = 0. Realmente, suponhamos quef |W = 0, mas (Ff )(p) 6= 0 para algum ponto p ∈W . Sem perda de gene-ralidade, podemos supor que W �e uma bola aberta centrada em p, ou seja,que W = B(p,R) com R > 0. Pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos h := g |U . Obviamente,fh = 0. Logo, 0 = F (fh) = (Ff )h + f (Fh). Calculando os valores em p,temos 0 = (Ff )(p) · h(p) + f (p) · (Fh)(p) = (Ff )(p), pois h(p) = 1 ef (p) = 0. Uma contradi�c�ao.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 20 / 49

2.10.6. Proposi�c�ao. Sejam U ⊂◦Rn um subconjunto aberto e F um

campo suave sobre U. Ent�ao F =n∑

i=1fi

∂∂xi

, onde f1, . . . , fn ∈ C∞(U).

O campo F pode ser tamb�em visto como uma fam��lia suave Fp ∈ TpU,

p ∈ U, de vetores tangentes; de fato, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣p. Para qualquer

subconjunto aberto W ⊂◦U, podemos restringir F para W obtendo umcampo suave F |W sobre W .

Demonstra�c�ao. Utilizando as fun�c�oes constru��das no Corol�ario 2.9, obser-vemos que, para toda fun�c�ao f ∈ C∞(U) e qualquer subconjunto abertoW ⊂◦U, de f |W = 0 segue (Ff )|W = 0. Realmente, suponhamos quef |W = 0, mas (Ff )(p) 6= 0 para algum ponto p ∈W . Sem perda de gene-ralidade, podemos supor que W �e uma bola aberta centrada em p, ou seja,que W = B(p,R) com R > 0. Pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos h := g |U . Obviamente,fh = 0. Logo, 0 = F (fh) = (Ff )h + f (Fh). Calculando os valores em p,temos 0 = (Ff )(p) · h(p) + f (p) · (Fh)(p) = (Ff )(p), pois h(p) = 1 ef (p) = 0. Uma contradi�c�ao.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 20 / 49

2.10.6. Proposi�c�ao. Sejam U ⊂◦Rn um subconjunto aberto e F um

campo suave sobre U. Ent�ao F =n∑

i=1fi

∂∂xi

, onde f1, . . . , fn ∈ C∞(U).

O campo F pode ser tamb�em visto como uma fam��lia suave Fp ∈ TpU,

p ∈ U, de vetores tangentes;

de fato, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣p. Para qualquer

subconjunto aberto W ⊂◦U, podemos restringir F para W obtendo umcampo suave F |W sobre W .

Demonstra�c�ao. Utilizando as fun�c�oes constru��das no Corol�ario 2.9, obser-vemos que, para toda fun�c�ao f ∈ C∞(U) e qualquer subconjunto abertoW ⊂◦U, de f |W = 0 segue (Ff )|W = 0. Realmente, suponhamos quef |W = 0, mas (Ff )(p) 6= 0 para algum ponto p ∈W . Sem perda de gene-ralidade, podemos supor que W �e uma bola aberta centrada em p, ou seja,que W = B(p,R) com R > 0. Pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos h := g |U . Obviamente,fh = 0. Logo, 0 = F (fh) = (Ff )h + f (Fh). Calculando os valores em p,temos 0 = (Ff )(p) · h(p) + f (p) · (Fh)(p) = (Ff )(p), pois h(p) = 1 ef (p) = 0. Uma contradi�c�ao.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 20 / 49

2.10.6. Proposi�c�ao. Sejam U ⊂◦Rn um subconjunto aberto e F um

campo suave sobre U. Ent�ao F =n∑

i=1fi

∂∂xi

, onde f1, . . . , fn ∈ C∞(U).

O campo F pode ser tamb�em visto como uma fam��lia suave Fp ∈ TpU,

p ∈ U, de vetores tangentes; de fato, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣p.

Para qualquer

subconjunto aberto W ⊂◦U, podemos restringir F para W obtendo umcampo suave F |W sobre W .

Demonstra�c�ao. Utilizando as fun�c�oes constru��das no Corol�ario 2.9, obser-vemos que, para toda fun�c�ao f ∈ C∞(U) e qualquer subconjunto abertoW ⊂◦U, de f |W = 0 segue (Ff )|W = 0. Realmente, suponhamos quef |W = 0, mas (Ff )(p) 6= 0 para algum ponto p ∈W . Sem perda de gene-ralidade, podemos supor que W �e uma bola aberta centrada em p, ou seja,que W = B(p,R) com R > 0. Pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos h := g |U . Obviamente,fh = 0. Logo, 0 = F (fh) = (Ff )h + f (Fh). Calculando os valores em p,temos 0 = (Ff )(p) · h(p) + f (p) · (Fh)(p) = (Ff )(p), pois h(p) = 1 ef (p) = 0. Uma contradi�c�ao.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 20 / 49

2.10.6. Proposi�c�ao. Sejam U ⊂◦Rn um subconjunto aberto e F um

campo suave sobre U. Ent�ao F =n∑

i=1fi

∂∂xi

, onde f1, . . . , fn ∈ C∞(U).

O campo F pode ser tamb�em visto como uma fam��lia suave Fp ∈ TpU,

p ∈ U, de vetores tangentes; de fato, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣p. Para qualquer

subconjunto aberto W ⊂◦U, podemos restringir F para W obtendo umcampo suave F |W sobre W .

Demonstra�c�ao. Utilizando as fun�c�oes constru��das no Corol�ario 2.9, obser-vemos que, para toda fun�c�ao f ∈ C∞(U) e qualquer subconjunto abertoW ⊂◦U, de f |W = 0 segue (Ff )|W = 0. Realmente, suponhamos quef |W = 0, mas (Ff )(p) 6= 0 para algum ponto p ∈W . Sem perda de gene-ralidade, podemos supor que W �e uma bola aberta centrada em p, ou seja,que W = B(p,R) com R > 0. Pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos h := g |U . Obviamente,fh = 0. Logo, 0 = F (fh) = (Ff )h + f (Fh). Calculando os valores em p,temos 0 = (Ff )(p) · h(p) + f (p) · (Fh)(p) = (Ff )(p), pois h(p) = 1 ef (p) = 0. Uma contradi�c�ao.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 20 / 49

2.10.6. Proposi�c�ao. Sejam U ⊂◦Rn um subconjunto aberto e F um

campo suave sobre U. Ent�ao F =n∑

i=1fi

∂∂xi

, onde f1, . . . , fn ∈ C∞(U).

O campo F pode ser tamb�em visto como uma fam��lia suave Fp ∈ TpU,

p ∈ U, de vetores tangentes; de fato, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣p. Para qualquer

subconjunto aberto W ⊂◦U, podemos restringir F para W obtendo umcampo suave F |W sobre W .

Demonstra�c�ao. Utilizando as fun�c�oes constru��das no Corol�ario 2.9, obser-vemos que, para toda fun�c�ao f ∈ C∞(U) e qualquer subconjunto abertoW ⊂◦U, de f |W = 0 segue (Ff )|W = 0.

Realmente, suponhamos quef |W = 0, mas (Ff )(p) 6= 0 para algum ponto p ∈W . Sem perda de gene-ralidade, podemos supor que W �e uma bola aberta centrada em p, ou seja,que W = B(p,R) com R > 0. Pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos h := g |U . Obviamente,fh = 0. Logo, 0 = F (fh) = (Ff )h + f (Fh). Calculando os valores em p,temos 0 = (Ff )(p) · h(p) + f (p) · (Fh)(p) = (Ff )(p), pois h(p) = 1 ef (p) = 0. Uma contradi�c�ao.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 20 / 49

2.10.6. Proposi�c�ao. Sejam U ⊂◦Rn um subconjunto aberto e F um

campo suave sobre U. Ent�ao F =n∑

i=1fi

∂∂xi

, onde f1, . . . , fn ∈ C∞(U).

O campo F pode ser tamb�em visto como uma fam��lia suave Fp ∈ TpU,

p ∈ U, de vetores tangentes; de fato, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣p. Para qualquer

subconjunto aberto W ⊂◦U, podemos restringir F para W obtendo umcampo suave F |W sobre W .

Demonstra�c�ao. Utilizando as fun�c�oes constru��das no Corol�ario 2.9, obser-vemos que, para toda fun�c�ao f ∈ C∞(U) e qualquer subconjunto abertoW ⊂◦U, de f |W = 0 segue (Ff )|W = 0. Realmente, suponhamos quef |W = 0, mas (Ff )(p) 6= 0 para algum ponto p ∈W .

Sem perda de gene-ralidade, podemos supor que W �e uma bola aberta centrada em p, ou seja,que W = B(p,R) com R > 0. Pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos h := g |U . Obviamente,fh = 0. Logo, 0 = F (fh) = (Ff )h + f (Fh). Calculando os valores em p,temos 0 = (Ff )(p) · h(p) + f (p) · (Fh)(p) = (Ff )(p), pois h(p) = 1 ef (p) = 0. Uma contradi�c�ao.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 20 / 49

2.10.6. Proposi�c�ao. Sejam U ⊂◦Rn um subconjunto aberto e F um

campo suave sobre U. Ent�ao F =n∑

i=1fi

∂∂xi

, onde f1, . . . , fn ∈ C∞(U).

O campo F pode ser tamb�em visto como uma fam��lia suave Fp ∈ TpU,

p ∈ U, de vetores tangentes; de fato, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣p. Para qualquer

subconjunto aberto W ⊂◦U, podemos restringir F para W obtendo umcampo suave F |W sobre W .

Demonstra�c�ao. Utilizando as fun�c�oes constru��das no Corol�ario 2.9, obser-vemos que, para toda fun�c�ao f ∈ C∞(U) e qualquer subconjunto abertoW ⊂◦U, de f |W = 0 segue (Ff )|W = 0. Realmente, suponhamos quef |W = 0, mas (Ff )(p) 6= 0 para algum ponto p ∈W . Sem perda de gene-ralidade, podemos supor que W �e uma bola aberta centrada em p, ou seja,que W = B(p,R) com R > 0.

Pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos h := g |U . Obviamente,fh = 0. Logo, 0 = F (fh) = (Ff )h + f (Fh). Calculando os valores em p,temos 0 = (Ff )(p) · h(p) + f (p) · (Fh)(p) = (Ff )(p), pois h(p) = 1 ef (p) = 0. Uma contradi�c�ao.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 20 / 49

2.10.6. Proposi�c�ao. Sejam U ⊂◦Rn um subconjunto aberto e F um

campo suave sobre U. Ent�ao F =n∑

i=1fi

∂∂xi

, onde f1, . . . , fn ∈ C∞(U).

O campo F pode ser tamb�em visto como uma fam��lia suave Fp ∈ TpU,

p ∈ U, de vetores tangentes; de fato, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣p. Para qualquer

subconjunto aberto W ⊂◦U, podemos restringir F para W obtendo umcampo suave F |W sobre W .

Demonstra�c�ao. Utilizando as fun�c�oes constru��das no Corol�ario 2.9, obser-vemos que, para toda fun�c�ao f ∈ C∞(U) e qualquer subconjunto abertoW ⊂◦U, de f |W = 0 segue (Ff )|W = 0. Realmente, suponhamos quef |W = 0, mas (Ff )(p) 6= 0 para algum ponto p ∈W . Sem perda de gene-ralidade, podemos supor que W �e uma bola aberta centrada em p, ou seja,que W = B(p,R) com R > 0. Pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos h := g |U .

Obviamente,fh = 0. Logo, 0 = F (fh) = (Ff )h + f (Fh). Calculando os valores em p,temos 0 = (Ff )(p) · h(p) + f (p) · (Fh)(p) = (Ff )(p), pois h(p) = 1 ef (p) = 0. Uma contradi�c�ao.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 20 / 49

2.10.6. Proposi�c�ao. Sejam U ⊂◦Rn um subconjunto aberto e F um

campo suave sobre U. Ent�ao F =n∑

i=1fi

∂∂xi

, onde f1, . . . , fn ∈ C∞(U).

O campo F pode ser tamb�em visto como uma fam��lia suave Fp ∈ TpU,

p ∈ U, de vetores tangentes; de fato, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣p. Para qualquer

subconjunto aberto W ⊂◦U, podemos restringir F para W obtendo umcampo suave F |W sobre W .

Demonstra�c�ao. Utilizando as fun�c�oes constru��das no Corol�ario 2.9, obser-vemos que, para toda fun�c�ao f ∈ C∞(U) e qualquer subconjunto abertoW ⊂◦U, de f |W = 0 segue (Ff )|W = 0. Realmente, suponhamos quef |W = 0, mas (Ff )(p) 6= 0 para algum ponto p ∈W . Sem perda de gene-ralidade, podemos supor que W �e uma bola aberta centrada em p, ou seja,que W = B(p,R) com R > 0. Pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos h := g |U . Obviamente,fh = 0.

Logo, 0 = F (fh) = (Ff )h + f (Fh). Calculando os valores em p,temos 0 = (Ff )(p) · h(p) + f (p) · (Fh)(p) = (Ff )(p), pois h(p) = 1 ef (p) = 0. Uma contradi�c�ao.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 20 / 49

2.10.6. Proposi�c�ao. Sejam U ⊂◦Rn um subconjunto aberto e F um

campo suave sobre U. Ent�ao F =n∑

i=1fi

∂∂xi

, onde f1, . . . , fn ∈ C∞(U).

O campo F pode ser tamb�em visto como uma fam��lia suave Fp ∈ TpU,

p ∈ U, de vetores tangentes; de fato, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣p. Para qualquer

subconjunto aberto W ⊂◦U, podemos restringir F para W obtendo umcampo suave F |W sobre W .

Demonstra�c�ao. Utilizando as fun�c�oes constru��das no Corol�ario 2.9, obser-vemos que, para toda fun�c�ao f ∈ C∞(U) e qualquer subconjunto abertoW ⊂◦U, de f |W = 0 segue (Ff )|W = 0. Realmente, suponhamos quef |W = 0, mas (Ff )(p) 6= 0 para algum ponto p ∈W . Sem perda de gene-ralidade, podemos supor que W �e uma bola aberta centrada em p, ou seja,que W = B(p,R) com R > 0. Pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos h := g |U . Obviamente,fh = 0. Logo, 0 = F (fh) = (Ff )h + f (Fh).

Calculando os valores em p,temos 0 = (Ff )(p) · h(p) + f (p) · (Fh)(p) = (Ff )(p), pois h(p) = 1 ef (p) = 0. Uma contradi�c�ao.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 20 / 49

2.10.6. Proposi�c�ao. Sejam U ⊂◦Rn um subconjunto aberto e F um

campo suave sobre U. Ent�ao F =n∑

i=1fi

∂∂xi

, onde f1, . . . , fn ∈ C∞(U).

O campo F pode ser tamb�em visto como uma fam��lia suave Fp ∈ TpU,

p ∈ U, de vetores tangentes; de fato, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣p. Para qualquer

subconjunto aberto W ⊂◦U, podemos restringir F para W obtendo umcampo suave F |W sobre W .

Demonstra�c�ao. Utilizando as fun�c�oes constru��das no Corol�ario 2.9, obser-vemos que, para toda fun�c�ao f ∈ C∞(U) e qualquer subconjunto abertoW ⊂◦U, de f |W = 0 segue (Ff )|W = 0. Realmente, suponhamos quef |W = 0, mas (Ff )(p) 6= 0 para algum ponto p ∈W . Sem perda de gene-ralidade, podemos supor que W �e uma bola aberta centrada em p, ou seja,que W = B(p,R) com R > 0. Pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos h := g |U . Obviamente,fh = 0. Logo, 0 = F (fh) = (Ff )h + f (Fh). Calculando os valores em p,temos 0 = (Ff )(p) · h(p) + f (p) · (Fh)(p) = (Ff )(p), pois h(p) = 1 ef (p) = 0. Uma contradi�c�ao.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 20 / 49

Seja p ∈ U. De�namos o vetor tangente Fp ∈ TpU.

Para isto, tomemos uma fun�c�ao arbitr�aria Rn ◦⊃Wf−→ R de classe C∞

de�nida numa vizinhan�ca aberta de p e, mantendo f a mesma numa vizi-nhan�ca aberta de p, a estendemos a uma fun�c�ao h ∈ C∞(U) novamenteutilizando o Corol�ario 2.9. Para um apropriado R > 0, temosB(p,R) ⊂W ∩ U. Como acima, pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos

h(x) :=

{f (x)g(x) se x ∈ B(p,R)0 se x ∈ U \ B(p,R) . A veri�ca�c�ao de h ∈ C∞(U)

pode ser realizada localmente. Sobre B(p,R) a fun�c�ao h �e de classe C∞,pois h = fg com f e g de classe C∞. Denotando por B(p, r1) :=

{x ∈ Rn |

|x − p| ≤ r1}a bola fechada, vemos que a fun�c�ao g �e nula no subconjunto

aberto U \ B(p, r1) e que U \ B(p, r1) ⊃ U \ B(p,R). Resta observar queU = B(p,R)∪

(U \ B(p, r1)

). A fun�c�ao h coincide com a fun�c�ao f numa

vizinhan�ca do ponto p (de fato, na bola aberta B(p, r0)).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 21 / 49

Seja p ∈ U. De�namos o vetor tangente Fp ∈ TpU.

Para isto, tomemos uma fun�c�ao arbitr�aria Rn ◦⊃Wf−→ R de classe C∞

de�nida numa vizinhan�ca aberta de p e, mantendo f a mesma numa vizi-nhan�ca aberta de p, a estendemos a uma fun�c�ao h ∈ C∞(U) novamenteutilizando o Corol�ario 2.9.

Para um apropriado R > 0, temosB(p,R) ⊂W ∩ U. Como acima, pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos

h(x) :=

{f (x)g(x) se x ∈ B(p,R)0 se x ∈ U \ B(p,R) . A veri�ca�c�ao de h ∈ C∞(U)

pode ser realizada localmente. Sobre B(p,R) a fun�c�ao h �e de classe C∞,pois h = fg com f e g de classe C∞. Denotando por B(p, r1) :=

{x ∈ Rn |

|x − p| ≤ r1}a bola fechada, vemos que a fun�c�ao g �e nula no subconjunto

aberto U \ B(p, r1) e que U \ B(p, r1) ⊃ U \ B(p,R). Resta observar queU = B(p,R)∪

(U \ B(p, r1)

). A fun�c�ao h coincide com a fun�c�ao f numa

vizinhan�ca do ponto p (de fato, na bola aberta B(p, r0)).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 21 / 49

Seja p ∈ U. De�namos o vetor tangente Fp ∈ TpU.

Para isto, tomemos uma fun�c�ao arbitr�aria Rn ◦⊃Wf−→ R de classe C∞

de�nida numa vizinhan�ca aberta de p e, mantendo f a mesma numa vizi-nhan�ca aberta de p, a estendemos a uma fun�c�ao h ∈ C∞(U) novamenteutilizando o Corol�ario 2.9. Para um apropriado R > 0, temosB(p,R) ⊂W ∩ U.

Como acima, pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos

h(x) :=

{f (x)g(x) se x ∈ B(p,R)0 se x ∈ U \ B(p,R) . A veri�ca�c�ao de h ∈ C∞(U)

pode ser realizada localmente. Sobre B(p,R) a fun�c�ao h �e de classe C∞,pois h = fg com f e g de classe C∞. Denotando por B(p, r1) :=

{x ∈ Rn |

|x − p| ≤ r1}a bola fechada, vemos que a fun�c�ao g �e nula no subconjunto

aberto U \ B(p, r1) e que U \ B(p, r1) ⊃ U \ B(p,R). Resta observar queU = B(p,R)∪

(U \ B(p, r1)

). A fun�c�ao h coincide com a fun�c�ao f numa

vizinhan�ca do ponto p (de fato, na bola aberta B(p, r0)).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 21 / 49

Seja p ∈ U. De�namos o vetor tangente Fp ∈ TpU.

Para isto, tomemos uma fun�c�ao arbitr�aria Rn ◦⊃Wf−→ R de classe C∞

de�nida numa vizinhan�ca aberta de p e, mantendo f a mesma numa vizi-nhan�ca aberta de p, a estendemos a uma fun�c�ao h ∈ C∞(U) novamenteutilizando o Corol�ario 2.9. Para um apropriado R > 0, temosB(p,R) ⊂W ∩ U. Como acima, pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos

h(x) :=

{f (x)g(x) se x ∈ B(p,R)0 se x ∈ U \ B(p,R) .

A veri�ca�c�ao de h ∈ C∞(U)

pode ser realizada localmente. Sobre B(p,R) a fun�c�ao h �e de classe C∞,pois h = fg com f e g de classe C∞. Denotando por B(p, r1) :=

{x ∈ Rn |

|x − p| ≤ r1}a bola fechada, vemos que a fun�c�ao g �e nula no subconjunto

aberto U \ B(p, r1) e que U \ B(p, r1) ⊃ U \ B(p,R). Resta observar queU = B(p,R)∪

(U \ B(p, r1)

). A fun�c�ao h coincide com a fun�c�ao f numa

vizinhan�ca do ponto p (de fato, na bola aberta B(p, r0)).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 21 / 49

Seja p ∈ U. De�namos o vetor tangente Fp ∈ TpU.

Para isto, tomemos uma fun�c�ao arbitr�aria Rn ◦⊃Wf−→ R de classe C∞

de�nida numa vizinhan�ca aberta de p e, mantendo f a mesma numa vizi-nhan�ca aberta de p, a estendemos a uma fun�c�ao h ∈ C∞(U) novamenteutilizando o Corol�ario 2.9. Para um apropriado R > 0, temosB(p,R) ⊂W ∩ U. Como acima, pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos

h(x) :=

{f (x)g(x) se x ∈ B(p,R)0 se x ∈ U \ B(p,R) . A veri�ca�c�ao de h ∈ C∞(U)

pode ser realizada localmente.

Sobre B(p,R) a fun�c�ao h �e de classe C∞,pois h = fg com f e g de classe C∞. Denotando por B(p, r1) :=

{x ∈ Rn |

|x − p| ≤ r1}a bola fechada, vemos que a fun�c�ao g �e nula no subconjunto

aberto U \ B(p, r1) e que U \ B(p, r1) ⊃ U \ B(p,R). Resta observar queU = B(p,R)∪

(U \ B(p, r1)

). A fun�c�ao h coincide com a fun�c�ao f numa

vizinhan�ca do ponto p (de fato, na bola aberta B(p, r0)).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 21 / 49

Seja p ∈ U. De�namos o vetor tangente Fp ∈ TpU.

Para isto, tomemos uma fun�c�ao arbitr�aria Rn ◦⊃Wf−→ R de classe C∞

de�nida numa vizinhan�ca aberta de p e, mantendo f a mesma numa vizi-nhan�ca aberta de p, a estendemos a uma fun�c�ao h ∈ C∞(U) novamenteutilizando o Corol�ario 2.9. Para um apropriado R > 0, temosB(p,R) ⊂W ∩ U. Como acima, pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos

h(x) :=

{f (x)g(x) se x ∈ B(p,R)0 se x ∈ U \ B(p,R) . A veri�ca�c�ao de h ∈ C∞(U)

pode ser realizada localmente. Sobre B(p,R) a fun�c�ao h �e de classe C∞,pois h = fg com f e g de classe C∞.

Denotando por B(p, r1) :={x ∈ Rn |

|x − p| ≤ r1}a bola fechada, vemos que a fun�c�ao g �e nula no subconjunto

aberto U \ B(p, r1) e que U \ B(p, r1) ⊃ U \ B(p,R). Resta observar queU = B(p,R)∪

(U \ B(p, r1)

). A fun�c�ao h coincide com a fun�c�ao f numa

vizinhan�ca do ponto p (de fato, na bola aberta B(p, r0)).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 21 / 49

Seja p ∈ U. De�namos o vetor tangente Fp ∈ TpU.

Para isto, tomemos uma fun�c�ao arbitr�aria Rn ◦⊃Wf−→ R de classe C∞

de�nida numa vizinhan�ca aberta de p e, mantendo f a mesma numa vizi-nhan�ca aberta de p, a estendemos a uma fun�c�ao h ∈ C∞(U) novamenteutilizando o Corol�ario 2.9. Para um apropriado R > 0, temosB(p,R) ⊂W ∩ U. Como acima, pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos

h(x) :=

{f (x)g(x) se x ∈ B(p,R)0 se x ∈ U \ B(p,R) . A veri�ca�c�ao de h ∈ C∞(U)

pode ser realizada localmente. Sobre B(p,R) a fun�c�ao h �e de classe C∞,pois h = fg com f e g de classe C∞. Denotando por B(p, r1) :=

{x ∈ Rn |

|x − p| ≤ r1}a bola fechada, vemos que a fun�c�ao g �e nula no subconjunto

aberto U \ B(p, r1)

e que U \ B(p, r1) ⊃ U \ B(p,R). Resta observar queU = B(p,R)∪

(U \ B(p, r1)

). A fun�c�ao h coincide com a fun�c�ao f numa

vizinhan�ca do ponto p (de fato, na bola aberta B(p, r0)).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 21 / 49

Seja p ∈ U. De�namos o vetor tangente Fp ∈ TpU.

Para isto, tomemos uma fun�c�ao arbitr�aria Rn ◦⊃Wf−→ R de classe C∞

de�nida numa vizinhan�ca aberta de p e, mantendo f a mesma numa vizi-nhan�ca aberta de p, a estendemos a uma fun�c�ao h ∈ C∞(U) novamenteutilizando o Corol�ario 2.9. Para um apropriado R > 0, temosB(p,R) ⊂W ∩ U. Como acima, pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos

h(x) :=

{f (x)g(x) se x ∈ B(p,R)0 se x ∈ U \ B(p,R) . A veri�ca�c�ao de h ∈ C∞(U)

pode ser realizada localmente. Sobre B(p,R) a fun�c�ao h �e de classe C∞,pois h = fg com f e g de classe C∞. Denotando por B(p, r1) :=

{x ∈ Rn |

|x − p| ≤ r1}a bola fechada, vemos que a fun�c�ao g �e nula no subconjunto

aberto U \ B(p, r1) e que U \ B(p, r1) ⊃ U \ B(p,R).

Resta observar queU = B(p,R)∪

(U \ B(p, r1)

). A fun�c�ao h coincide com a fun�c�ao f numa

vizinhan�ca do ponto p (de fato, na bola aberta B(p, r0)).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 21 / 49

Seja p ∈ U. De�namos o vetor tangente Fp ∈ TpU.

Para isto, tomemos uma fun�c�ao arbitr�aria Rn ◦⊃Wf−→ R de classe C∞

de�nida numa vizinhan�ca aberta de p e, mantendo f a mesma numa vizi-nhan�ca aberta de p, a estendemos a uma fun�c�ao h ∈ C∞(U) novamenteutilizando o Corol�ario 2.9. Para um apropriado R > 0, temosB(p,R) ⊂W ∩ U. Como acima, pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos

h(x) :=

{f (x)g(x) se x ∈ B(p,R)0 se x ∈ U \ B(p,R) . A veri�ca�c�ao de h ∈ C∞(U)

pode ser realizada localmente. Sobre B(p,R) a fun�c�ao h �e de classe C∞,pois h = fg com f e g de classe C∞. Denotando por B(p, r1) :=

{x ∈ Rn |

|x − p| ≤ r1}a bola fechada, vemos que a fun�c�ao g �e nula no subconjunto

aberto U \ B(p, r1) e que U \ B(p, r1) ⊃ U \ B(p,R). Resta observar queU = B(p,R)∪

(U \ B(p, r1)

).

A fun�c�ao h coincide com a fun�c�ao f numavizinhan�ca do ponto p (de fato, na bola aberta B(p, r0)).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 21 / 49

Seja p ∈ U. De�namos o vetor tangente Fp ∈ TpU.

Para isto, tomemos uma fun�c�ao arbitr�aria Rn ◦⊃Wf−→ R de classe C∞

de�nida numa vizinhan�ca aberta de p e, mantendo f a mesma numa vizi-nhan�ca aberta de p, a estendemos a uma fun�c�ao h ∈ C∞(U) novamenteutilizando o Corol�ario 2.9. Para um apropriado R > 0, temosB(p,R) ⊂W ∩ U. Como acima, pelo Corol�ario 2.9, para 0 < r0 < r1 < R ,constru��mos uma fun�c�ao g ∈ C∞(Rn) e de�nimos

h(x) :=

{f (x)g(x) se x ∈ B(p,R)0 se x ∈ U \ B(p,R) . A veri�ca�c�ao de h ∈ C∞(U)

pode ser realizada localmente. Sobre B(p,R) a fun�c�ao h �e de classe C∞,pois h = fg com f e g de classe C∞. Denotando por B(p, r1) :=

{x ∈ Rn |

|x − p| ≤ r1}a bola fechada, vemos que a fun�c�ao g �e nula no subconjunto

aberto U \ B(p, r1) e que U \ B(p, r1) ⊃ U \ B(p,R). Resta observar queU = B(p,R)∪

(U \ B(p, r1)

). A fun�c�ao h coincide com a fun�c�ao f numa

vizinhan�ca do ponto p (de fato, na bola aberta B(p, r0)).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 21 / 49

A de�ni�c�ao Fpf := (Fh)(p) independe da escolha de h, pois, para umaoutra escolha h′ ∈ C∞(U), a fun�c�ao h − h′ �e nula numa vizinhan�ca abertade p, implicando

(F (h − h′)

)(p) = 0 pela observa�c�ao acima.

Pela mesmaraz�ao, Fpf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizi-nhan�ca de p. A linearidade de F e a regra de Leibniz para F implicam facil-mente as correspondentes propriedades de Fp.

Pelos Exemplo 2.10.2 e Proposi�c�ao 2.10.3, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣ppara fun�c�oes

apropriadas fi : U → R, i = 1, . . . , n. Seja f ∈ C∞(U). Ent�ao, pelas consi-dera�c�oes acima, Fpf = (Ff )(p). Aplicando isso para a coordenada f :== xj |U ∈ C∞(U), obtemos C∞(U) 3 F (xj |U) = fj �

2.10.7. Lema.[

∂∂xi, ∂∂xj

]= 0.

Demonstra�c�ao. Provaremos um fato mais forte: Seja R2 ◦⊃Uf−→ R uma

fun�c�ao tal que as derivadas parciais ∂f∂x1

, ∂f∂x2

e ∂2f∂x1∂x2

existem em todos os

pontos de U, sendo ∂2f∂x1∂x2

cont��nua em p ∈ U. Ent�ao a derivada ∂2f∂x2∂x1

(p)

existe e ∂2f∂x2∂x1

(p) = ∂2f∂x1∂x2

(p).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 22 / 49

A de�ni�c�ao Fpf := (Fh)(p) independe da escolha de h, pois, para umaoutra escolha h′ ∈ C∞(U), a fun�c�ao h − h′ �e nula numa vizinhan�ca abertade p, implicando

(F (h − h′)

)(p) = 0 pela observa�c�ao acima. Pela mesma

raz�ao, Fpf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizi-nhan�ca de p.

A linearidade de F e a regra de Leibniz para F implicam facil-mente as correspondentes propriedades de Fp.

Pelos Exemplo 2.10.2 e Proposi�c�ao 2.10.3, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣ppara fun�c�oes

apropriadas fi : U → R, i = 1, . . . , n. Seja f ∈ C∞(U). Ent�ao, pelas consi-dera�c�oes acima, Fpf = (Ff )(p). Aplicando isso para a coordenada f :== xj |U ∈ C∞(U), obtemos C∞(U) 3 F (xj |U) = fj �

2.10.7. Lema.[

∂∂xi, ∂∂xj

]= 0.

Demonstra�c�ao. Provaremos um fato mais forte: Seja R2 ◦⊃Uf−→ R uma

fun�c�ao tal que as derivadas parciais ∂f∂x1

, ∂f∂x2

e ∂2f∂x1∂x2

existem em todos os

pontos de U, sendo ∂2f∂x1∂x2

cont��nua em p ∈ U. Ent�ao a derivada ∂2f∂x2∂x1

(p)

existe e ∂2f∂x2∂x1

(p) = ∂2f∂x1∂x2

(p).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 22 / 49

A de�ni�c�ao Fpf := (Fh)(p) independe da escolha de h, pois, para umaoutra escolha h′ ∈ C∞(U), a fun�c�ao h − h′ �e nula numa vizinhan�ca abertade p, implicando

(F (h − h′)

)(p) = 0 pela observa�c�ao acima. Pela mesma

raz�ao, Fpf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizi-nhan�ca de p. A linearidade de F e a regra de Leibniz para F implicam facil-mente as correspondentes propriedades de Fp.

Pelos Exemplo 2.10.2 e Proposi�c�ao 2.10.3, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣ppara fun�c�oes

apropriadas fi : U → R, i = 1, . . . , n. Seja f ∈ C∞(U). Ent�ao, pelas consi-dera�c�oes acima, Fpf = (Ff )(p). Aplicando isso para a coordenada f :== xj |U ∈ C∞(U), obtemos C∞(U) 3 F (xj |U) = fj �

2.10.7. Lema.[

∂∂xi, ∂∂xj

]= 0.

Demonstra�c�ao. Provaremos um fato mais forte: Seja R2 ◦⊃Uf−→ R uma

fun�c�ao tal que as derivadas parciais ∂f∂x1

, ∂f∂x2

e ∂2f∂x1∂x2

existem em todos os

pontos de U, sendo ∂2f∂x1∂x2

cont��nua em p ∈ U. Ent�ao a derivada ∂2f∂x2∂x1

(p)

existe e ∂2f∂x2∂x1

(p) = ∂2f∂x1∂x2

(p).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 22 / 49

A de�ni�c�ao Fpf := (Fh)(p) independe da escolha de h, pois, para umaoutra escolha h′ ∈ C∞(U), a fun�c�ao h − h′ �e nula numa vizinhan�ca abertade p, implicando

(F (h − h′)

)(p) = 0 pela observa�c�ao acima. Pela mesma

raz�ao, Fpf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizi-nhan�ca de p. A linearidade de F e a regra de Leibniz para F implicam facil-mente as correspondentes propriedades de Fp.

Pelos Exemplo 2.10.2 e Proposi�c�ao 2.10.3, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣ppara fun�c�oes

apropriadas fi : U → R, i = 1, . . . , n.

Seja f ∈ C∞(U). Ent�ao, pelas consi-dera�c�oes acima, Fpf = (Ff )(p). Aplicando isso para a coordenada f :== xj |U ∈ C∞(U), obtemos C∞(U) 3 F (xj |U) = fj �

2.10.7. Lema.[

∂∂xi, ∂∂xj

]= 0.

Demonstra�c�ao. Provaremos um fato mais forte: Seja R2 ◦⊃Uf−→ R uma

fun�c�ao tal que as derivadas parciais ∂f∂x1

, ∂f∂x2

e ∂2f∂x1∂x2

existem em todos os

pontos de U, sendo ∂2f∂x1∂x2

cont��nua em p ∈ U. Ent�ao a derivada ∂2f∂x2∂x1

(p)

existe e ∂2f∂x2∂x1

(p) = ∂2f∂x1∂x2

(p).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 22 / 49

A de�ni�c�ao Fpf := (Fh)(p) independe da escolha de h, pois, para umaoutra escolha h′ ∈ C∞(U), a fun�c�ao h − h′ �e nula numa vizinhan�ca abertade p, implicando

(F (h − h′)

)(p) = 0 pela observa�c�ao acima. Pela mesma

raz�ao, Fpf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizi-nhan�ca de p. A linearidade de F e a regra de Leibniz para F implicam facil-mente as correspondentes propriedades de Fp.

Pelos Exemplo 2.10.2 e Proposi�c�ao 2.10.3, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣ppara fun�c�oes

apropriadas fi : U → R, i = 1, . . . , n. Seja f ∈ C∞(U). Ent�ao, pelas consi-dera�c�oes acima, Fpf = (Ff )(p).

Aplicando isso para a coordenada f :== xj |U ∈ C∞(U), obtemos C∞(U) 3 F (xj |U) = fj �

2.10.7. Lema.[

∂∂xi, ∂∂xj

]= 0.

Demonstra�c�ao. Provaremos um fato mais forte: Seja R2 ◦⊃Uf−→ R uma

fun�c�ao tal que as derivadas parciais ∂f∂x1

, ∂f∂x2

e ∂2f∂x1∂x2

existem em todos os

pontos de U, sendo ∂2f∂x1∂x2

cont��nua em p ∈ U. Ent�ao a derivada ∂2f∂x2∂x1

(p)

existe e ∂2f∂x2∂x1

(p) = ∂2f∂x1∂x2

(p).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 22 / 49

A de�ni�c�ao Fpf := (Fh)(p) independe da escolha de h, pois, para umaoutra escolha h′ ∈ C∞(U), a fun�c�ao h − h′ �e nula numa vizinhan�ca abertade p, implicando

(F (h − h′)

)(p) = 0 pela observa�c�ao acima. Pela mesma

raz�ao, Fpf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizi-nhan�ca de p. A linearidade de F e a regra de Leibniz para F implicam facil-mente as correspondentes propriedades de Fp.

Pelos Exemplo 2.10.2 e Proposi�c�ao 2.10.3, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣ppara fun�c�oes

apropriadas fi : U → R, i = 1, . . . , n. Seja f ∈ C∞(U). Ent�ao, pelas consi-dera�c�oes acima, Fpf = (Ff )(p). Aplicando isso para a coordenada f :== xj |U ∈ C∞(U), obtemos C∞(U) 3 F (xj |U) = fj �

2.10.7. Lema.[

∂∂xi, ∂∂xj

]= 0.

Demonstra�c�ao. Provaremos um fato mais forte: Seja R2 ◦⊃Uf−→ R uma

fun�c�ao tal que as derivadas parciais ∂f∂x1

, ∂f∂x2

e ∂2f∂x1∂x2

existem em todos os

pontos de U, sendo ∂2f∂x1∂x2

cont��nua em p ∈ U. Ent�ao a derivada ∂2f∂x2∂x1

(p)

existe e ∂2f∂x2∂x1

(p) = ∂2f∂x1∂x2

(p).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 22 / 49

A de�ni�c�ao Fpf := (Fh)(p) independe da escolha de h, pois, para umaoutra escolha h′ ∈ C∞(U), a fun�c�ao h − h′ �e nula numa vizinhan�ca abertade p, implicando

(F (h − h′)

)(p) = 0 pela observa�c�ao acima. Pela mesma

raz�ao, Fpf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizi-nhan�ca de p. A linearidade de F e a regra de Leibniz para F implicam facil-mente as correspondentes propriedades de Fp.

Pelos Exemplo 2.10.2 e Proposi�c�ao 2.10.3, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣ppara fun�c�oes

apropriadas fi : U → R, i = 1, . . . , n. Seja f ∈ C∞(U). Ent�ao, pelas consi-dera�c�oes acima, Fpf = (Ff )(p). Aplicando isso para a coordenada f :== xj |U ∈ C∞(U), obtemos C∞(U) 3 F (xj |U) = fj �

2.10.7. Lema.[

∂∂xi, ∂∂xj

]= 0.

Demonstra�c�ao. Provaremos um fato mais forte: Seja R2 ◦⊃Uf−→ R uma

fun�c�ao tal que as derivadas parciais ∂f∂x1

, ∂f∂x2

e ∂2f∂x1∂x2

existem em todos os

pontos de U, sendo ∂2f∂x1∂x2

cont��nua em p ∈ U. Ent�ao a derivada ∂2f∂x2∂x1

(p)

existe e ∂2f∂x2∂x1

(p) = ∂2f∂x1∂x2

(p).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 22 / 49

A de�ni�c�ao Fpf := (Fh)(p) independe da escolha de h, pois, para umaoutra escolha h′ ∈ C∞(U), a fun�c�ao h − h′ �e nula numa vizinhan�ca abertade p, implicando

(F (h − h′)

)(p) = 0 pela observa�c�ao acima. Pela mesma

raz�ao, Fpf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizi-nhan�ca de p. A linearidade de F e a regra de Leibniz para F implicam facil-mente as correspondentes propriedades de Fp.

Pelos Exemplo 2.10.2 e Proposi�c�ao 2.10.3, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣ppara fun�c�oes

apropriadas fi : U → R, i = 1, . . . , n. Seja f ∈ C∞(U). Ent�ao, pelas consi-dera�c�oes acima, Fpf = (Ff )(p). Aplicando isso para a coordenada f :== xj |U ∈ C∞(U), obtemos C∞(U) 3 F (xj |U) = fj �

2.10.7. Lema.[

∂∂xi, ∂∂xj

]= 0.

Demonstra�c�ao. Provaremos um fato mais forte: Seja R2 ◦⊃Uf−→ R uma

fun�c�ao tal que as derivadas parciais ∂f∂x1

, ∂f∂x2

e ∂2f∂x1∂x2

existem em todos os

pontos de U, sendo ∂2f∂x1∂x2

cont��nua em p ∈ U.

Ent�ao a derivada ∂2f∂x2∂x1

(p)

existe e ∂2f∂x2∂x1

(p) = ∂2f∂x1∂x2

(p).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 22 / 49

A de�ni�c�ao Fpf := (Fh)(p) independe da escolha de h, pois, para umaoutra escolha h′ ∈ C∞(U), a fun�c�ao h − h′ �e nula numa vizinhan�ca abertade p, implicando

(F (h − h′)

)(p) = 0 pela observa�c�ao acima. Pela mesma

raz�ao, Fpf depende apenas do comportamento de f numa (pequena) vizi-nhan�ca de p. A linearidade de F e a regra de Leibniz para F implicam facil-mente as correspondentes propriedades de Fp.

Pelos Exemplo 2.10.2 e Proposi�c�ao 2.10.3, Fp =n∑

i=1fi (p)

∂∂xi

∣∣ppara fun�c�oes

apropriadas fi : U → R, i = 1, . . . , n. Seja f ∈ C∞(U). Ent�ao, pelas consi-dera�c�oes acima, Fpf = (Ff )(p). Aplicando isso para a coordenada f :== xj |U ∈ C∞(U), obtemos C∞(U) 3 F (xj |U) = fj �

2.10.7. Lema.[

∂∂xi, ∂∂xj

]= 0.

Demonstra�c�ao. Provaremos um fato mais forte: Seja R2 ◦⊃Uf−→ R uma

fun�c�ao tal que as derivadas parciais ∂f∂x1

, ∂f∂x2

e ∂2f∂x1∂x2

existem em todos os

pontos de U, sendo ∂2f∂x1∂x2

cont��nua em p ∈ U. Ent�ao a derivada ∂2f∂x2∂x1

(p)

existe e ∂2f∂x2∂x1

(p) = ∂2f∂x1∂x2

(p).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 22 / 49

Seja p = (p1, p2).

Primeiramente provamos um an�alogo bidimensional doteorema de Lagrange (o Lema 1.7.7) do valor m�edio. Suponhamos que,para alguns r1, r2 ∈ R, os pontos (p1 + t1r1, p2 + t2r2), onde (t1, t2) percor-re o quadrado unit�ario [0, 1]× [0, 1], est�ao todos em U, ou seja,(p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U para qualquer (t1, t2) ∈ [0, 1]× [0, 1]. Ent�ao

f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2) =

= r1r2∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2)

para um apropriado (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Com efeito, a fun�c�ao g(x2) := f (p1 + r1, x2)− f (p1, x2) �e cont��nua e deri-v�avel para x2 variando entre p2 e p2 + r2. Pelo Lema 1.7.7, g(p2 + r2)−−g(p2) = r2g

′(p2 + t2r2) para um certo t2 ∈ (0, 1). Note que g ′(p2 + t2r2)= ∂f

∂x2(p1 + r1, p2 + t2r2)− ∂f

∂x2(p1, p2 + t2r2). Aplicando novamente o

Lema 1.7.7, nessa vez, para a fun�c�ao h(x1) :=∂f∂x2

(x1, p2 + t2r2) que �e con-t��nua e deriv�avel para x1 variando entre p1 e p1 + r1, obtemos g ′(p2 + t2r2)= r1h

′(p1 + t1r1) para um certo t1 ∈ (0, 1), ou seja, g(p2 + r2)− g(p2) =

= r2r1∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 23 / 49

Seja p = (p1, p2). Primeiramente provamos um an�alogo bidimensional doteorema de Lagrange (o Lema 1.7.7) do valor m�edio.

Suponhamos que,para alguns r1, r2 ∈ R, os pontos (p1 + t1r1, p2 + t2r2), onde (t1, t2) percor-re o quadrado unit�ario [0, 1]× [0, 1], est�ao todos em U, ou seja,(p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U para qualquer (t1, t2) ∈ [0, 1]× [0, 1]. Ent�ao

f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2) =

= r1r2∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2)

para um apropriado (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Com efeito, a fun�c�ao g(x2) := f (p1 + r1, x2)− f (p1, x2) �e cont��nua e deri-v�avel para x2 variando entre p2 e p2 + r2. Pelo Lema 1.7.7, g(p2 + r2)−−g(p2) = r2g

′(p2 + t2r2) para um certo t2 ∈ (0, 1). Note que g ′(p2 + t2r2)= ∂f

∂x2(p1 + r1, p2 + t2r2)− ∂f

∂x2(p1, p2 + t2r2). Aplicando novamente o

Lema 1.7.7, nessa vez, para a fun�c�ao h(x1) :=∂f∂x2

(x1, p2 + t2r2) que �e con-t��nua e deriv�avel para x1 variando entre p1 e p1 + r1, obtemos g ′(p2 + t2r2)= r1h

′(p1 + t1r1) para um certo t1 ∈ (0, 1), ou seja, g(p2 + r2)− g(p2) =

= r2r1∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 23 / 49

Seja p = (p1, p2). Primeiramente provamos um an�alogo bidimensional doteorema de Lagrange (o Lema 1.7.7) do valor m�edio. Suponhamos que,para alguns r1, r2 ∈ R, os pontos (p1 + t1r1, p2 + t2r2), onde (t1, t2) percor-re o quadrado unit�ario [0, 1]× [0, 1], est�ao todos em U, ou seja,(p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U para qualquer (t1, t2) ∈ [0, 1]× [0, 1].

Ent�ao

f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2) =

= r1r2∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2)

para um apropriado (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Com efeito, a fun�c�ao g(x2) := f (p1 + r1, x2)− f (p1, x2) �e cont��nua e deri-v�avel para x2 variando entre p2 e p2 + r2. Pelo Lema 1.7.7, g(p2 + r2)−−g(p2) = r2g

′(p2 + t2r2) para um certo t2 ∈ (0, 1). Note que g ′(p2 + t2r2)= ∂f

∂x2(p1 + r1, p2 + t2r2)− ∂f

∂x2(p1, p2 + t2r2). Aplicando novamente o

Lema 1.7.7, nessa vez, para a fun�c�ao h(x1) :=∂f∂x2

(x1, p2 + t2r2) que �e con-t��nua e deriv�avel para x1 variando entre p1 e p1 + r1, obtemos g ′(p2 + t2r2)= r1h

′(p1 + t1r1) para um certo t1 ∈ (0, 1), ou seja, g(p2 + r2)− g(p2) =

= r2r1∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 23 / 49

Seja p = (p1, p2). Primeiramente provamos um an�alogo bidimensional doteorema de Lagrange (o Lema 1.7.7) do valor m�edio. Suponhamos que,para alguns r1, r2 ∈ R, os pontos (p1 + t1r1, p2 + t2r2), onde (t1, t2) percor-re o quadrado unit�ario [0, 1]× [0, 1], est�ao todos em U, ou seja,(p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U para qualquer (t1, t2) ∈ [0, 1]× [0, 1]. Ent�ao

f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2) =

= r1r2∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2)

para um apropriado (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Com efeito, a fun�c�ao g(x2) := f (p1 + r1, x2)− f (p1, x2) �e cont��nua e deri-v�avel para x2 variando entre p2 e p2 + r2. Pelo Lema 1.7.7, g(p2 + r2)−−g(p2) = r2g

′(p2 + t2r2) para um certo t2 ∈ (0, 1). Note que g ′(p2 + t2r2)= ∂f

∂x2(p1 + r1, p2 + t2r2)− ∂f

∂x2(p1, p2 + t2r2). Aplicando novamente o

Lema 1.7.7, nessa vez, para a fun�c�ao h(x1) :=∂f∂x2

(x1, p2 + t2r2) que �e con-t��nua e deriv�avel para x1 variando entre p1 e p1 + r1, obtemos g ′(p2 + t2r2)= r1h

′(p1 + t1r1) para um certo t1 ∈ (0, 1), ou seja, g(p2 + r2)− g(p2) =

= r2r1∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 23 / 49

Seja p = (p1, p2). Primeiramente provamos um an�alogo bidimensional doteorema de Lagrange (o Lema 1.7.7) do valor m�edio. Suponhamos que,para alguns r1, r2 ∈ R, os pontos (p1 + t1r1, p2 + t2r2), onde (t1, t2) percor-re o quadrado unit�ario [0, 1]× [0, 1], est�ao todos em U, ou seja,(p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U para qualquer (t1, t2) ∈ [0, 1]× [0, 1]. Ent�ao

f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2) =

= r1r2∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2)

para um apropriado (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Com efeito, a fun�c�ao g(x2) := f (p1 + r1, x2)− f (p1, x2) �e cont��nua e deri-v�avel para x2 variando entre p2 e p2 + r2.

Pelo Lema 1.7.7, g(p2 + r2)−−g(p2) = r2g

′(p2 + t2r2) para um certo t2 ∈ (0, 1). Note que g ′(p2 + t2r2)= ∂f

∂x2(p1 + r1, p2 + t2r2)− ∂f

∂x2(p1, p2 + t2r2). Aplicando novamente o

Lema 1.7.7, nessa vez, para a fun�c�ao h(x1) :=∂f∂x2

(x1, p2 + t2r2) que �e con-t��nua e deriv�avel para x1 variando entre p1 e p1 + r1, obtemos g ′(p2 + t2r2)= r1h

′(p1 + t1r1) para um certo t1 ∈ (0, 1), ou seja, g(p2 + r2)− g(p2) =

= r2r1∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 23 / 49

Seja p = (p1, p2). Primeiramente provamos um an�alogo bidimensional doteorema de Lagrange (o Lema 1.7.7) do valor m�edio. Suponhamos que,para alguns r1, r2 ∈ R, os pontos (p1 + t1r1, p2 + t2r2), onde (t1, t2) percor-re o quadrado unit�ario [0, 1]× [0, 1], est�ao todos em U, ou seja,(p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U para qualquer (t1, t2) ∈ [0, 1]× [0, 1]. Ent�ao

f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2) =

= r1r2∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2)

para um apropriado (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Com efeito, a fun�c�ao g(x2) := f (p1 + r1, x2)− f (p1, x2) �e cont��nua e deri-v�avel para x2 variando entre p2 e p2 + r2. Pelo Lema 1.7.7, g(p2 + r2)−−g(p2) = r2g

′(p2 + t2r2) para um certo t2 ∈ (0, 1).

Note que g ′(p2 + t2r2)= ∂f

∂x2(p1 + r1, p2 + t2r2)− ∂f

∂x2(p1, p2 + t2r2). Aplicando novamente o

Lema 1.7.7, nessa vez, para a fun�c�ao h(x1) :=∂f∂x2

(x1, p2 + t2r2) que �e con-t��nua e deriv�avel para x1 variando entre p1 e p1 + r1, obtemos g ′(p2 + t2r2)= r1h

′(p1 + t1r1) para um certo t1 ∈ (0, 1), ou seja, g(p2 + r2)− g(p2) =

= r2r1∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 23 / 49

Seja p = (p1, p2). Primeiramente provamos um an�alogo bidimensional doteorema de Lagrange (o Lema 1.7.7) do valor m�edio. Suponhamos que,para alguns r1, r2 ∈ R, os pontos (p1 + t1r1, p2 + t2r2), onde (t1, t2) percor-re o quadrado unit�ario [0, 1]× [0, 1], est�ao todos em U, ou seja,(p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U para qualquer (t1, t2) ∈ [0, 1]× [0, 1]. Ent�ao

f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2) =

= r1r2∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2)

para um apropriado (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Com efeito, a fun�c�ao g(x2) := f (p1 + r1, x2)− f (p1, x2) �e cont��nua e deri-v�avel para x2 variando entre p2 e p2 + r2. Pelo Lema 1.7.7, g(p2 + r2)−−g(p2) = r2g

′(p2 + t2r2) para um certo t2 ∈ (0, 1). Note que g ′(p2 + t2r2)= ∂f

∂x2(p1 + r1, p2 + t2r2)− ∂f

∂x2(p1, p2 + t2r2).

Aplicando novamente o

Lema 1.7.7, nessa vez, para a fun�c�ao h(x1) :=∂f∂x2

(x1, p2 + t2r2) que �e con-t��nua e deriv�avel para x1 variando entre p1 e p1 + r1, obtemos g ′(p2 + t2r2)= r1h

′(p1 + t1r1) para um certo t1 ∈ (0, 1), ou seja, g(p2 + r2)− g(p2) =

= r2r1∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 23 / 49

Seja p = (p1, p2). Primeiramente provamos um an�alogo bidimensional doteorema de Lagrange (o Lema 1.7.7) do valor m�edio. Suponhamos que,para alguns r1, r2 ∈ R, os pontos (p1 + t1r1, p2 + t2r2), onde (t1, t2) percor-re o quadrado unit�ario [0, 1]× [0, 1], est�ao todos em U, ou seja,(p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U para qualquer (t1, t2) ∈ [0, 1]× [0, 1]. Ent�ao

f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2) =

= r1r2∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2)

para um apropriado (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Com efeito, a fun�c�ao g(x2) := f (p1 + r1, x2)− f (p1, x2) �e cont��nua e deri-v�avel para x2 variando entre p2 e p2 + r2. Pelo Lema 1.7.7, g(p2 + r2)−−g(p2) = r2g

′(p2 + t2r2) para um certo t2 ∈ (0, 1). Note que g ′(p2 + t2r2)= ∂f

∂x2(p1 + r1, p2 + t2r2)− ∂f

∂x2(p1, p2 + t2r2). Aplicando novamente o

Lema 1.7.7, nessa vez, para a fun�c�ao h(x1) :=∂f∂x2

(x1, p2 + t2r2) que �e con-t��nua e deriv�avel para x1 variando entre p1 e p1 + r1,

obtemos g ′(p2 + t2r2)= r1h

′(p1 + t1r1) para um certo t1 ∈ (0, 1), ou seja, g(p2 + r2)− g(p2) =

= r2r1∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 23 / 49

Seja p = (p1, p2). Primeiramente provamos um an�alogo bidimensional doteorema de Lagrange (o Lema 1.7.7) do valor m�edio. Suponhamos que,para alguns r1, r2 ∈ R, os pontos (p1 + t1r1, p2 + t2r2), onde (t1, t2) percor-re o quadrado unit�ario [0, 1]× [0, 1], est�ao todos em U, ou seja,(p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U para qualquer (t1, t2) ∈ [0, 1]× [0, 1]. Ent�ao

f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2) =

= r1r2∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2)

para um apropriado (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Com efeito, a fun�c�ao g(x2) := f (p1 + r1, x2)− f (p1, x2) �e cont��nua e deri-v�avel para x2 variando entre p2 e p2 + r2. Pelo Lema 1.7.7, g(p2 + r2)−−g(p2) = r2g

′(p2 + t2r2) para um certo t2 ∈ (0, 1). Note que g ′(p2 + t2r2)= ∂f

∂x2(p1 + r1, p2 + t2r2)− ∂f

∂x2(p1, p2 + t2r2). Aplicando novamente o

Lema 1.7.7, nessa vez, para a fun�c�ao h(x1) :=∂f∂x2

(x1, p2 + t2r2) que �e con-t��nua e deriv�avel para x1 variando entre p1 e p1 + r1, obtemos g ′(p2 + t2r2)= r1h

′(p1 + t1r1) para um certo t1 ∈ (0, 1),

ou seja, g(p2 + r2)− g(p2) =

= r2r1∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 23 / 49

Seja p = (p1, p2). Primeiramente provamos um an�alogo bidimensional doteorema de Lagrange (o Lema 1.7.7) do valor m�edio. Suponhamos que,para alguns r1, r2 ∈ R, os pontos (p1 + t1r1, p2 + t2r2), onde (t1, t2) percor-re o quadrado unit�ario [0, 1]× [0, 1], est�ao todos em U, ou seja,(p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U para qualquer (t1, t2) ∈ [0, 1]× [0, 1]. Ent�ao

f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2) =

= r1r2∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2)

para um apropriado (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Com efeito, a fun�c�ao g(x2) := f (p1 + r1, x2)− f (p1, x2) �e cont��nua e deri-v�avel para x2 variando entre p2 e p2 + r2. Pelo Lema 1.7.7, g(p2 + r2)−−g(p2) = r2g

′(p2 + t2r2) para um certo t2 ∈ (0, 1). Note que g ′(p2 + t2r2)= ∂f

∂x2(p1 + r1, p2 + t2r2)− ∂f

∂x2(p1, p2 + t2r2). Aplicando novamente o

Lema 1.7.7, nessa vez, para a fun�c�ao h(x1) :=∂f∂x2

(x1, p2 + t2r2) que �e con-t��nua e deriv�avel para x1 variando entre p1 e p1 + r1, obtemos g ′(p2 + t2r2)= r1h

′(p1 + t1r1) para um certo t1 ∈ (0, 1), ou seja, g(p2 + r2)− g(p2) =

= r2r1∂2f

∂x1∂x2(p1 + t1r1, p2 + t2r2).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 23 / 49

Resta observar que

g(p2+r2)−g(p2)=f (p1+r1, p2+r2)−f (p1, p2+r2)−f (p1+r1, p2)+f (p1, p2).

Precisamos provar que limp2 6=x2→p2

∂f∂x1

(p1, x2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

x2 − p2= ∂2f

∂x1∂x2(p1, p2),

ou seja, que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 6= |x2 − p2| < δ impli-

ca

∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, x2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

x2 − p2− d

∣∣∣∣ ≤ ε, onde d := ∂2f∂x1∂x2

(p1, p2). Fixamos

ε > 0.Sendo ∂2f

∂x1∂x2cont��nua em (p1, p2) e sendo U aberto, encontramos δ > 0

tal que as desigualdades |r1|, |r2| < δ implicam (p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U e∣∣ ∂2f∂x1∂x2

(p1 + t1r1, p2 + t2r2)− d∣∣ < ε para todos (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Pelo an�alogo bidimensional do teorema do valor m�edio demonstrado acima,as desigualdades 0 < |r1|, |r2| < δ implicam∣∣∣ f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2)

r1r2− d

∣∣∣ < ε.

Passando ao limite nessa desigualdade com r1 → 0, obtemos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 24 / 49

Resta observar que

g(p2+r2)−g(p2)=f (p1+r1, p2+r2)−f (p1, p2+r2)−f (p1+r1, p2)+f (p1, p2).

Precisamos provar que limp2 6=x2→p2

∂f∂x1

(p1, x2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

x2 − p2= ∂2f

∂x1∂x2(p1, p2),

ou seja, que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 6= |x2 − p2| < δ impli-

ca

∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, x2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

x2 − p2− d

∣∣∣∣ ≤ ε, onde d := ∂2f∂x1∂x2

(p1, p2). Fixamos

ε > 0.Sendo ∂2f

∂x1∂x2cont��nua em (p1, p2) e sendo U aberto, encontramos δ > 0

tal que as desigualdades |r1|, |r2| < δ implicam (p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U e∣∣ ∂2f∂x1∂x2

(p1 + t1r1, p2 + t2r2)− d∣∣ < ε para todos (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Pelo an�alogo bidimensional do teorema do valor m�edio demonstrado acima,as desigualdades 0 < |r1|, |r2| < δ implicam∣∣∣ f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2)

r1r2− d

∣∣∣ < ε.

Passando ao limite nessa desigualdade com r1 → 0, obtemos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 24 / 49

Resta observar que

g(p2+r2)−g(p2)=f (p1+r1, p2+r2)−f (p1, p2+r2)−f (p1+r1, p2)+f (p1, p2).

Precisamos provar que limp2 6=x2→p2

∂f∂x1

(p1, x2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

x2 − p2= ∂2f

∂x1∂x2(p1, p2),

ou seja, que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 6= |x2 − p2| < δ impli-

ca

∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, x2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

x2 − p2− d

∣∣∣∣ ≤ ε, onde d := ∂2f∂x1∂x2

(p1, p2).

Fixamos

ε > 0.Sendo ∂2f

∂x1∂x2cont��nua em (p1, p2) e sendo U aberto, encontramos δ > 0

tal que as desigualdades |r1|, |r2| < δ implicam (p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U e∣∣ ∂2f∂x1∂x2

(p1 + t1r1, p2 + t2r2)− d∣∣ < ε para todos (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Pelo an�alogo bidimensional do teorema do valor m�edio demonstrado acima,as desigualdades 0 < |r1|, |r2| < δ implicam∣∣∣ f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2)

r1r2− d

∣∣∣ < ε.

Passando ao limite nessa desigualdade com r1 → 0, obtemos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 24 / 49

Resta observar que

g(p2+r2)−g(p2)=f (p1+r1, p2+r2)−f (p1, p2+r2)−f (p1+r1, p2)+f (p1, p2).

Precisamos provar que limp2 6=x2→p2

∂f∂x1

(p1, x2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

x2 − p2= ∂2f

∂x1∂x2(p1, p2),

ou seja, que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 6= |x2 − p2| < δ impli-

ca

∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, x2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

x2 − p2− d

∣∣∣∣ ≤ ε, onde d := ∂2f∂x1∂x2

(p1, p2). Fixamos

ε > 0.

Sendo ∂2f∂x1∂x2

cont��nua em (p1, p2) e sendo U aberto, encontramos δ > 0tal que as desigualdades |r1|, |r2| < δ implicam (p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U e∣∣ ∂2f∂x1∂x2

(p1 + t1r1, p2 + t2r2)− d∣∣ < ε para todos (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Pelo an�alogo bidimensional do teorema do valor m�edio demonstrado acima,as desigualdades 0 < |r1|, |r2| < δ implicam∣∣∣ f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2)

r1r2− d

∣∣∣ < ε.

Passando ao limite nessa desigualdade com r1 → 0, obtemos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 24 / 49

Resta observar que

g(p2+r2)−g(p2)=f (p1+r1, p2+r2)−f (p1, p2+r2)−f (p1+r1, p2)+f (p1, p2).

Precisamos provar que limp2 6=x2→p2

∂f∂x1

(p1, x2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

x2 − p2= ∂2f

∂x1∂x2(p1, p2),

ou seja, que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 6= |x2 − p2| < δ impli-

ca

∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, x2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

x2 − p2− d

∣∣∣∣ ≤ ε, onde d := ∂2f∂x1∂x2

(p1, p2). Fixamos

ε > 0.Sendo ∂2f

∂x1∂x2cont��nua em (p1, p2) e sendo U aberto, encontramos δ > 0

tal que as desigualdades |r1|, |r2| < δ implicam (p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U

e∣∣ ∂2f∂x1∂x2

(p1 + t1r1, p2 + t2r2)− d∣∣ < ε para todos (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Pelo an�alogo bidimensional do teorema do valor m�edio demonstrado acima,as desigualdades 0 < |r1|, |r2| < δ implicam∣∣∣ f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2)

r1r2− d

∣∣∣ < ε.

Passando ao limite nessa desigualdade com r1 → 0, obtemos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 24 / 49

Resta observar que

g(p2+r2)−g(p2)=f (p1+r1, p2+r2)−f (p1, p2+r2)−f (p1+r1, p2)+f (p1, p2).

Precisamos provar que limp2 6=x2→p2

∂f∂x1

(p1, x2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

x2 − p2= ∂2f

∂x1∂x2(p1, p2),

ou seja, que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 6= |x2 − p2| < δ impli-

ca

∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, x2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

x2 − p2− d

∣∣∣∣ ≤ ε, onde d := ∂2f∂x1∂x2

(p1, p2). Fixamos

ε > 0.Sendo ∂2f

∂x1∂x2cont��nua em (p1, p2) e sendo U aberto, encontramos δ > 0

tal que as desigualdades |r1|, |r2| < δ implicam (p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U e∣∣ ∂2f∂x1∂x2

(p1 + t1r1, p2 + t2r2)− d∣∣ < ε para todos (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Pelo an�alogo bidimensional do teorema do valor m�edio demonstrado acima,as desigualdades 0 < |r1|, |r2| < δ implicam∣∣∣ f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2)

r1r2− d

∣∣∣ < ε.

Passando ao limite nessa desigualdade com r1 → 0, obtemos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 24 / 49

Resta observar que

g(p2+r2)−g(p2)=f (p1+r1, p2+r2)−f (p1, p2+r2)−f (p1+r1, p2)+f (p1, p2).

Precisamos provar que limp2 6=x2→p2

∂f∂x1

(p1, x2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

x2 − p2= ∂2f

∂x1∂x2(p1, p2),

ou seja, que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 6= |x2 − p2| < δ impli-

ca

∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, x2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

x2 − p2− d

∣∣∣∣ ≤ ε, onde d := ∂2f∂x1∂x2

(p1, p2). Fixamos

ε > 0.Sendo ∂2f

∂x1∂x2cont��nua em (p1, p2) e sendo U aberto, encontramos δ > 0

tal que as desigualdades |r1|, |r2| < δ implicam (p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U e∣∣ ∂2f∂x1∂x2

(p1 + t1r1, p2 + t2r2)− d∣∣ < ε para todos (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Pelo an�alogo bidimensional do teorema do valor m�edio demonstrado acima,as desigualdades 0 < |r1|, |r2| < δ implicam∣∣∣ f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2)

r1r2− d

∣∣∣ < ε.

Passando ao limite nessa desigualdade com r1 → 0, obtemos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 24 / 49

Resta observar que

g(p2+r2)−g(p2)=f (p1+r1, p2+r2)−f (p1, p2+r2)−f (p1+r1, p2)+f (p1, p2).

Precisamos provar que limp2 6=x2→p2

∂f∂x1

(p1, x2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

x2 − p2= ∂2f

∂x1∂x2(p1, p2),

ou seja, que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 6= |x2 − p2| < δ impli-

ca

∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, x2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

x2 − p2− d

∣∣∣∣ ≤ ε, onde d := ∂2f∂x1∂x2

(p1, p2). Fixamos

ε > 0.Sendo ∂2f

∂x1∂x2cont��nua em (p1, p2) e sendo U aberto, encontramos δ > 0

tal que as desigualdades |r1|, |r2| < δ implicam (p1 + t1r1, p2 + t2r2) ∈ U e∣∣ ∂2f∂x1∂x2

(p1 + t1r1, p2 + t2r2)− d∣∣ < ε para todos (t1, t2) ∈ (0, 1)× (0, 1).

Pelo an�alogo bidimensional do teorema do valor m�edio demonstrado acima,as desigualdades 0 < |r1|, |r2| < δ implicam∣∣∣ f (p1 + r1, p2 + r2)− f (p1, p2 + r2)− f (p1 + r1, p2) + f (p1, p2)

r1r2− d

∣∣∣ < ε.

Passando ao limite nessa desigualdade com r1 → 0, obtemosS. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 24 / 49

∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, p2 + r2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

r2− d

∣∣∣∣ ≤ εpara qualquer r2 ∈ R satisfazendo 0 < |r2| < δ �

2.10.9. Campos vetoriais e equa�c�oes diferenciais ordin�arias. Os cam-pos vetorias s�ao ferramentas indispens�aveis quando lidamos com equa�c�oesdiferenciais ordin�arias. Seja F um campo vetorial sobre U ⊂◦V , onde V �eum espa�co R-linear de dimens�ao �nita, e seja p0 ∈ U. Queremos achar umcaminho deriv�avel c : (a, b)→ U com t0 ∈ (a, b) tal que c(t0) = p0 ec(t) = Fc(t) para todos t ∈ (a, b). (Tal caminho se chama curva integral

de F .) Em outras palavras, buscamos um caminho que, no momentodado t0, passa por um ponto dado p0 ∈ U e cujos vetores tangentes est�aono campo dado F . Este problema pode ser formulado tamb�em na l��ngua deequa�c�oes diferenciais ordin�arias (o que n�ao fazemos aqui); o caminho c(t)em quest�ao ser�a uma solu�c�ao de um sistema apropriado de equa�c�oes dife-renciais ordin�arias. Podemos tamb�em fazer o campo F depender da vari�a-vel do tempo t e considerar o problema mais geral: achar um caminhoc : (a, b)→ U tal que c(t0) = p0 e c(t) = Fc(t)(t) para todo t ∈ (a, b).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 25 / 49

∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, p2 + r2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

r2− d

∣∣∣∣ ≤ εpara qualquer r2 ∈ R satisfazendo 0 < |r2| < δ �

2.10.9. Campos vetoriais e equa�c�oes diferenciais ordin�arias. Os cam-pos vetorias s�ao ferramentas indispens�aveis quando lidamos com equa�c�oesdiferenciais ordin�arias.

Seja F um campo vetorial sobre U ⊂◦V , onde V �eum espa�co R-linear de dimens�ao �nita, e seja p0 ∈ U. Queremos achar umcaminho deriv�avel c : (a, b)→ U com t0 ∈ (a, b) tal que c(t0) = p0 ec(t) = Fc(t) para todos t ∈ (a, b). (Tal caminho se chama curva integral

de F .) Em outras palavras, buscamos um caminho que, no momentodado t0, passa por um ponto dado p0 ∈ U e cujos vetores tangentes est�aono campo dado F . Este problema pode ser formulado tamb�em na l��ngua deequa�c�oes diferenciais ordin�arias (o que n�ao fazemos aqui); o caminho c(t)em quest�ao ser�a uma solu�c�ao de um sistema apropriado de equa�c�oes dife-renciais ordin�arias. Podemos tamb�em fazer o campo F depender da vari�a-vel do tempo t e considerar o problema mais geral: achar um caminhoc : (a, b)→ U tal que c(t0) = p0 e c(t) = Fc(t)(t) para todo t ∈ (a, b).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 25 / 49

∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, p2 + r2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

r2− d

∣∣∣∣ ≤ εpara qualquer r2 ∈ R satisfazendo 0 < |r2| < δ �

2.10.9. Campos vetoriais e equa�c�oes diferenciais ordin�arias. Os cam-pos vetorias s�ao ferramentas indispens�aveis quando lidamos com equa�c�oesdiferenciais ordin�arias. Seja F um campo vetorial sobre U ⊂◦V , onde V �eum espa�co R-linear de dimens�ao �nita, e seja p0 ∈ U.

Queremos achar umcaminho deriv�avel c : (a, b)→ U com t0 ∈ (a, b) tal que c(t0) = p0 ec(t) = Fc(t) para todos t ∈ (a, b). (Tal caminho se chama curva integral

de F .) Em outras palavras, buscamos um caminho que, no momentodado t0, passa por um ponto dado p0 ∈ U e cujos vetores tangentes est�aono campo dado F . Este problema pode ser formulado tamb�em na l��ngua deequa�c�oes diferenciais ordin�arias (o que n�ao fazemos aqui); o caminho c(t)em quest�ao ser�a uma solu�c�ao de um sistema apropriado de equa�c�oes dife-renciais ordin�arias. Podemos tamb�em fazer o campo F depender da vari�a-vel do tempo t e considerar o problema mais geral: achar um caminhoc : (a, b)→ U tal que c(t0) = p0 e c(t) = Fc(t)(t) para todo t ∈ (a, b).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 25 / 49

∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, p2 + r2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

r2− d

∣∣∣∣ ≤ εpara qualquer r2 ∈ R satisfazendo 0 < |r2| < δ �

2.10.9. Campos vetoriais e equa�c�oes diferenciais ordin�arias. Os cam-pos vetorias s�ao ferramentas indispens�aveis quando lidamos com equa�c�oesdiferenciais ordin�arias. Seja F um campo vetorial sobre U ⊂◦V , onde V �eum espa�co R-linear de dimens�ao �nita, e seja p0 ∈ U. Queremos achar umcaminho deriv�avel c : (a, b)→ U com t0 ∈ (a, b) tal que c(t0) = p0 ec(t) = Fc(t) para todos t ∈ (a, b).

(Tal caminho se chama curva integral

de F .) Em outras palavras, buscamos um caminho que, no momentodado t0, passa por um ponto dado p0 ∈ U e cujos vetores tangentes est�aono campo dado F . Este problema pode ser formulado tamb�em na l��ngua deequa�c�oes diferenciais ordin�arias (o que n�ao fazemos aqui); o caminho c(t)em quest�ao ser�a uma solu�c�ao de um sistema apropriado de equa�c�oes dife-renciais ordin�arias. Podemos tamb�em fazer o campo F depender da vari�a-vel do tempo t e considerar o problema mais geral: achar um caminhoc : (a, b)→ U tal que c(t0) = p0 e c(t) = Fc(t)(t) para todo t ∈ (a, b).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 25 / 49

∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, p2 + r2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

r2− d

∣∣∣∣ ≤ εpara qualquer r2 ∈ R satisfazendo 0 < |r2| < δ �

2.10.9. Campos vetoriais e equa�c�oes diferenciais ordin�arias. Os cam-pos vetorias s�ao ferramentas indispens�aveis quando lidamos com equa�c�oesdiferenciais ordin�arias. Seja F um campo vetorial sobre U ⊂◦V , onde V �eum espa�co R-linear de dimens�ao �nita, e seja p0 ∈ U. Queremos achar umcaminho deriv�avel c : (a, b)→ U com t0 ∈ (a, b) tal que c(t0) = p0 ec(t) = Fc(t) para todos t ∈ (a, b). (Tal caminho se chama curva integral

de F .)

Em outras palavras, buscamos um caminho que, no momentodado t0, passa por um ponto dado p0 ∈ U e cujos vetores tangentes est�aono campo dado F . Este problema pode ser formulado tamb�em na l��ngua deequa�c�oes diferenciais ordin�arias (o que n�ao fazemos aqui); o caminho c(t)em quest�ao ser�a uma solu�c�ao de um sistema apropriado de equa�c�oes dife-renciais ordin�arias. Podemos tamb�em fazer o campo F depender da vari�a-vel do tempo t e considerar o problema mais geral: achar um caminhoc : (a, b)→ U tal que c(t0) = p0 e c(t) = Fc(t)(t) para todo t ∈ (a, b).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 25 / 49

∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, p2 + r2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

r2− d

∣∣∣∣ ≤ εpara qualquer r2 ∈ R satisfazendo 0 < |r2| < δ �

2.10.9. Campos vetoriais e equa�c�oes diferenciais ordin�arias. Os cam-pos vetorias s�ao ferramentas indispens�aveis quando lidamos com equa�c�oesdiferenciais ordin�arias. Seja F um campo vetorial sobre U ⊂◦V , onde V �eum espa�co R-linear de dimens�ao �nita, e seja p0 ∈ U. Queremos achar umcaminho deriv�avel c : (a, b)→ U com t0 ∈ (a, b) tal que c(t0) = p0 ec(t) = Fc(t) para todos t ∈ (a, b). (Tal caminho se chama curva integral

de F .) Em outras palavras, buscamos um caminho que, no momentodado t0, passa por um ponto dado p0 ∈ U e cujos vetores tangentes est�aono campo dado F .

Este problema pode ser formulado tamb�em na l��ngua deequa�c�oes diferenciais ordin�arias (o que n�ao fazemos aqui); o caminho c(t)em quest�ao ser�a uma solu�c�ao de um sistema apropriado de equa�c�oes dife-renciais ordin�arias. Podemos tamb�em fazer o campo F depender da vari�a-vel do tempo t e considerar o problema mais geral: achar um caminhoc : (a, b)→ U tal que c(t0) = p0 e c(t) = Fc(t)(t) para todo t ∈ (a, b).

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∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, p2 + r2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

r2− d

∣∣∣∣ ≤ εpara qualquer r2 ∈ R satisfazendo 0 < |r2| < δ �

2.10.9. Campos vetoriais e equa�c�oes diferenciais ordin�arias. Os cam-pos vetorias s�ao ferramentas indispens�aveis quando lidamos com equa�c�oesdiferenciais ordin�arias. Seja F um campo vetorial sobre U ⊂◦V , onde V �eum espa�co R-linear de dimens�ao �nita, e seja p0 ∈ U. Queremos achar umcaminho deriv�avel c : (a, b)→ U com t0 ∈ (a, b) tal que c(t0) = p0 ec(t) = Fc(t) para todos t ∈ (a, b). (Tal caminho se chama curva integral

de F .) Em outras palavras, buscamos um caminho que, no momentodado t0, passa por um ponto dado p0 ∈ U e cujos vetores tangentes est�aono campo dado F . Este problema pode ser formulado tamb�em na l��ngua deequa�c�oes diferenciais ordin�arias (o que n�ao fazemos aqui);

o caminho c(t)em quest�ao ser�a uma solu�c�ao de um sistema apropriado de equa�c�oes dife-renciais ordin�arias. Podemos tamb�em fazer o campo F depender da vari�a-vel do tempo t e considerar o problema mais geral: achar um caminhoc : (a, b)→ U tal que c(t0) = p0 e c(t) = Fc(t)(t) para todo t ∈ (a, b).

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∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, p2 + r2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

r2− d

∣∣∣∣ ≤ εpara qualquer r2 ∈ R satisfazendo 0 < |r2| < δ �

2.10.9. Campos vetoriais e equa�c�oes diferenciais ordin�arias. Os cam-pos vetorias s�ao ferramentas indispens�aveis quando lidamos com equa�c�oesdiferenciais ordin�arias. Seja F um campo vetorial sobre U ⊂◦V , onde V �eum espa�co R-linear de dimens�ao �nita, e seja p0 ∈ U. Queremos achar umcaminho deriv�avel c : (a, b)→ U com t0 ∈ (a, b) tal que c(t0) = p0 ec(t) = Fc(t) para todos t ∈ (a, b). (Tal caminho se chama curva integral

de F .) Em outras palavras, buscamos um caminho que, no momentodado t0, passa por um ponto dado p0 ∈ U e cujos vetores tangentes est�aono campo dado F . Este problema pode ser formulado tamb�em na l��ngua deequa�c�oes diferenciais ordin�arias (o que n�ao fazemos aqui); o caminho c(t)em quest�ao ser�a uma solu�c�ao de um sistema apropriado de equa�c�oes dife-renciais ordin�arias.

Podemos tamb�em fazer o campo F depender da vari�a-vel do tempo t e considerar o problema mais geral: achar um caminhoc : (a, b)→ U tal que c(t0) = p0 e c(t) = Fc(t)(t) para todo t ∈ (a, b).

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∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, p2 + r2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

r2− d

∣∣∣∣ ≤ εpara qualquer r2 ∈ R satisfazendo 0 < |r2| < δ �

2.10.9. Campos vetoriais e equa�c�oes diferenciais ordin�arias. Os cam-pos vetorias s�ao ferramentas indispens�aveis quando lidamos com equa�c�oesdiferenciais ordin�arias. Seja F um campo vetorial sobre U ⊂◦V , onde V �eum espa�co R-linear de dimens�ao �nita, e seja p0 ∈ U. Queremos achar umcaminho deriv�avel c : (a, b)→ U com t0 ∈ (a, b) tal que c(t0) = p0 ec(t) = Fc(t) para todos t ∈ (a, b). (Tal caminho se chama curva integral

de F .) Em outras palavras, buscamos um caminho que, no momentodado t0, passa por um ponto dado p0 ∈ U e cujos vetores tangentes est�aono campo dado F . Este problema pode ser formulado tamb�em na l��ngua deequa�c�oes diferenciais ordin�arias (o que n�ao fazemos aqui); o caminho c(t)em quest�ao ser�a uma solu�c�ao de um sistema apropriado de equa�c�oes dife-renciais ordin�arias. Podemos tamb�em fazer o campo F depender da vari�a-vel do tempo t e considerar o problema mais geral:

achar um caminhoc : (a, b)→ U tal que c(t0) = p0 e c(t) = Fc(t)(t) para todo t ∈ (a, b).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 25 / 49

∣∣∣∣ ∂f∂x1

(p1, p2 + r2)− ∂f∂x1

(p1, p2)

r2− d

∣∣∣∣ ≤ εpara qualquer r2 ∈ R satisfazendo 0 < |r2| < δ �

2.10.9. Campos vetoriais e equa�c�oes diferenciais ordin�arias. Os cam-pos vetorias s�ao ferramentas indispens�aveis quando lidamos com equa�c�oesdiferenciais ordin�arias. Seja F um campo vetorial sobre U ⊂◦V , onde V �eum espa�co R-linear de dimens�ao �nita, e seja p0 ∈ U. Queremos achar umcaminho deriv�avel c : (a, b)→ U com t0 ∈ (a, b) tal que c(t0) = p0 ec(t) = Fc(t) para todos t ∈ (a, b). (Tal caminho se chama curva integral

de F .) Em outras palavras, buscamos um caminho que, no momentodado t0, passa por um ponto dado p0 ∈ U e cujos vetores tangentes est�aono campo dado F . Este problema pode ser formulado tamb�em na l��ngua deequa�c�oes diferenciais ordin�arias (o que n�ao fazemos aqui); o caminho c(t)em quest�ao ser�a uma solu�c�ao de um sistema apropriado de equa�c�oes dife-renciais ordin�arias. Podemos tamb�em fazer o campo F depender da vari�a-vel do tempo t e considerar o problema mais geral: achar um caminhoc : (a, b)→ U tal que c(t0) = p0 e c(t) = Fc(t)(t) para todo t ∈ (a, b).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 25 / 49

N�ao planejamos estudar essa mat�eria nas presentes notas de aula. Um alu-no/leitor interessado no assunto pode consultar o ap�endice das notas.

2.11. Polin�omios de Taylor. A f�ormula f (p + h) = f (p) + (Dpf )h+ g(h)providencia a melhor aproxima�c�ao de uma fun�c�ao f de classe C 1 por umaconstante mais uma fun�c�ao linear. Uma aproxima�c�ao ser�a esperadamentemais exata se tentamos aproximar f por um polin�omio.

2.11.1. Teorema. Sejam U ⊂◦Rn, f ∈ C k+1(U) e [p, p + h] ⊂ U, onde[p, p + h] denota o segmento de reta que liga os pontos p e p + h. Ent�ao

f (p + h) = f (p) +k∑

s=1

1

s!

n∑i1,...,is=1

∂s f

∂xi1 . . . ∂xis(p)hi1 . . . his+

+

∫ 1

0

(1− t)k

k!

n∑i1,...,ik+1=1

∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik+1

(p + th)hi1 . . . hik+1dt,

onde h = (h1, . . . , hn).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 26 / 49

N�ao planejamos estudar essa mat�eria nas presentes notas de aula. Um alu-no/leitor interessado no assunto pode consultar o ap�endice das notas.

2.11. Polin�omios de Taylor. A f�ormula f (p + h) = f (p) + (Dpf )h+ g(h)providencia a melhor aproxima�c�ao de uma fun�c�ao f de classe C 1 por umaconstante mais uma fun�c�ao linear.

Uma aproxima�c�ao ser�a esperadamentemais exata se tentamos aproximar f por um polin�omio.

2.11.1. Teorema. Sejam U ⊂◦Rn, f ∈ C k+1(U) e [p, p + h] ⊂ U, onde[p, p + h] denota o segmento de reta que liga os pontos p e p + h. Ent�ao

f (p + h) = f (p) +k∑

s=1

1

s!

n∑i1,...,is=1

∂s f

∂xi1 . . . ∂xis(p)hi1 . . . his+

+

∫ 1

0

(1− t)k

k!

n∑i1,...,ik+1=1

∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik+1

(p + th)hi1 . . . hik+1dt,

onde h = (h1, . . . , hn).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 26 / 49

N�ao planejamos estudar essa mat�eria nas presentes notas de aula. Um alu-no/leitor interessado no assunto pode consultar o ap�endice das notas.

2.11. Polin�omios de Taylor. A f�ormula f (p + h) = f (p) + (Dpf )h+ g(h)providencia a melhor aproxima�c�ao de uma fun�c�ao f de classe C 1 por umaconstante mais uma fun�c�ao linear. Uma aproxima�c�ao ser�a esperadamentemais exata se tentamos aproximar f por um polin�omio.

2.11.1. Teorema. Sejam U ⊂◦Rn, f ∈ C k+1(U) e [p, p + h] ⊂ U, onde[p, p + h] denota o segmento de reta que liga os pontos p e p + h. Ent�ao

f (p + h) = f (p) +k∑

s=1

1

s!

n∑i1,...,is=1

∂s f

∂xi1 . . . ∂xis(p)hi1 . . . his+

+

∫ 1

0

(1− t)k

k!

n∑i1,...,ik+1=1

∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik+1

(p + th)hi1 . . . hik+1dt,

onde h = (h1, . . . , hn).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 26 / 49

N�ao planejamos estudar essa mat�eria nas presentes notas de aula. Um alu-no/leitor interessado no assunto pode consultar o ap�endice das notas.

2.11. Polin�omios de Taylor. A f�ormula f (p + h) = f (p) + (Dpf )h+ g(h)providencia a melhor aproxima�c�ao de uma fun�c�ao f de classe C 1 por umaconstante mais uma fun�c�ao linear. Uma aproxima�c�ao ser�a esperadamentemais exata se tentamos aproximar f por um polin�omio.

2.11.1. Teorema. Sejam U ⊂◦Rn, f ∈ C k+1(U) e [p, p + h] ⊂ U, onde[p, p + h] denota o segmento de reta que liga os pontos p e p + h.

Ent�ao

f (p + h) = f (p) +k∑

s=1

1

s!

n∑i1,...,is=1

∂s f

∂xi1 . . . ∂xis(p)hi1 . . . his+

+

∫ 1

0

(1− t)k

k!

n∑i1,...,ik+1=1

∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik+1

(p + th)hi1 . . . hik+1dt,

onde h = (h1, . . . , hn).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 26 / 49

N�ao planejamos estudar essa mat�eria nas presentes notas de aula. Um alu-no/leitor interessado no assunto pode consultar o ap�endice das notas.

2.11. Polin�omios de Taylor. A f�ormula f (p + h) = f (p) + (Dpf )h+ g(h)providencia a melhor aproxima�c�ao de uma fun�c�ao f de classe C 1 por umaconstante mais uma fun�c�ao linear. Uma aproxima�c�ao ser�a esperadamentemais exata se tentamos aproximar f por um polin�omio.

2.11.1. Teorema. Sejam U ⊂◦Rn, f ∈ C k+1(U) e [p, p + h] ⊂ U, onde[p, p + h] denota o segmento de reta que liga os pontos p e p + h. Ent�ao

f (p + h) = f (p) +k∑

s=1

1

s!

n∑i1,...,is=1

∂s f

∂xi1 . . . ∂xis(p)hi1 . . . his+

+

∫ 1

0

(1− t)k

k!

n∑i1,...,ik+1=1

∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik+1

(p + th)hi1 . . . hik+1dt,

onde h = (h1, . . . , hn).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 26 / 49

Demonstra�c�ao. Em seguida, usamos repetidamente a f�ormula

ddt g(p + th) =

n∑i=1

∂g∂xi

(p + th)hi , v�alida para qualquer g ∈ C 1(U) pelo

Lema 2.2.

Pelo teorema fundamental do c�alculo,

f (p+ h)− f (p) =

∫ 1

0

d

dtf (p+ th)dt =

∫ 1

0

d(t − 1)

dt

n∑i=1

∂f

∂xi(p+ th)hi dt.

Integrando por partes, obtemos

f (p + h)− f (p) =n∑

i=1

∂f

∂xi(p)hi −

∫ 1

0(t − 1)

n∑i=1

d

dt

∂f

∂xi(p + th)hi dt =

=n∑

i=1

∂f

∂xi(p)hi +

∫ 1

0(1− t)

n∑i1,i2=1

∂2f

∂xi1∂xi2(p + th)hi1hi2 dt

pela f�ormula acima. Acabamos de demostrar o teorema no caso k = 1.

Utilizando a indu�c�ao sobre k , resta observar que ddt

(1−t)k+1

(k+1)! = − (1−t)kk! e

integrar por partes o �ultimo termo na f�ormula do teorema �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 27 / 49

Demonstra�c�ao. Em seguida, usamos repetidamente a f�ormula

ddt g(p + th) =

n∑i=1

∂g∂xi

(p + th)hi , v�alida para qualquer g ∈ C 1(U) pelo

Lema 2.2. Pelo teorema fundamental do c�alculo,

f (p+ h)− f (p) =

∫ 1

0

d

dtf (p+ th) dt =

∫ 1

0

d(t − 1)

dt

n∑i=1

∂f

∂xi(p+ th)hi dt.

Integrando por partes, obtemos

f (p + h)− f (p) =n∑

i=1

∂f

∂xi(p)hi −

∫ 1

0(t − 1)

n∑i=1

d

dt

∂f

∂xi(p + th)hi dt =

=n∑

i=1

∂f

∂xi(p)hi +

∫ 1

0(1− t)

n∑i1,i2=1

∂2f

∂xi1∂xi2(p + th)hi1hi2 dt

pela f�ormula acima. Acabamos de demostrar o teorema no caso k = 1.

Utilizando a indu�c�ao sobre k , resta observar que ddt

(1−t)k+1

(k+1)! = − (1−t)kk! e

integrar por partes o �ultimo termo na f�ormula do teorema �

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Demonstra�c�ao. Em seguida, usamos repetidamente a f�ormula

ddt g(p + th) =

n∑i=1

∂g∂xi

(p + th)hi , v�alida para qualquer g ∈ C 1(U) pelo

Lema 2.2. Pelo teorema fundamental do c�alculo,

f (p+ h)− f (p) =

∫ 1

0

d

dtf (p+ th) dt =

∫ 1

0

d(t − 1)

dt

n∑i=1

∂f

∂xi(p+ th)hi dt.

Integrando por partes, obtemos

f (p + h)− f (p) =n∑

i=1

∂f

∂xi(p)hi −

∫ 1

0(t − 1)

n∑i=1

d

dt

∂f

∂xi(p + th)hi dt =

=n∑

i=1

∂f

∂xi(p)hi +

∫ 1

0(1− t)

n∑i1,i2=1

∂2f

∂xi1∂xi2(p + th)hi1hi2 dt

pela f�ormula acima. Acabamos de demostrar o teorema no caso k = 1.

Utilizando a indu�c�ao sobre k , resta observar que ddt

(1−t)k+1

(k+1)! = − (1−t)kk! e

integrar por partes o �ultimo termo na f�ormula do teorema �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 27 / 49

Demonstra�c�ao. Em seguida, usamos repetidamente a f�ormula

ddt g(p + th) =

n∑i=1

∂g∂xi

(p + th)hi , v�alida para qualquer g ∈ C 1(U) pelo

Lema 2.2. Pelo teorema fundamental do c�alculo,

f (p+ h)− f (p) =

∫ 1

0

d

dtf (p+ th) dt =

∫ 1

0

d(t − 1)

dt

n∑i=1

∂f

∂xi(p+ th)hi dt.

Integrando por partes, obtemos

f (p + h)− f (p) =n∑

i=1

∂f

∂xi(p)hi −

∫ 1

0(t − 1)

n∑i=1

d

dt

∂f

∂xi(p + th)hi dt =

=n∑

i=1

∂f

∂xi(p)hi +

∫ 1

0(1− t)

n∑i1,i2=1

∂2f

∂xi1∂xi2(p + th)hi1hi2 dt

pela f�ormula acima.

Acabamos de demostrar o teorema no caso k = 1.

Utilizando a indu�c�ao sobre k , resta observar que ddt

(1−t)k+1

(k+1)! = − (1−t)kk! e

integrar por partes o �ultimo termo na f�ormula do teorema �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 27 / 49

Demonstra�c�ao. Em seguida, usamos repetidamente a f�ormula

ddt g(p + th) =

n∑i=1

∂g∂xi

(p + th)hi , v�alida para qualquer g ∈ C 1(U) pelo

Lema 2.2. Pelo teorema fundamental do c�alculo,

f (p+ h)− f (p) =

∫ 1

0

d

dtf (p+ th) dt =

∫ 1

0

d(t − 1)

dt

n∑i=1

∂f

∂xi(p+ th)hi dt.

Integrando por partes, obtemos

f (p + h)− f (p) =n∑

i=1

∂f

∂xi(p)hi −

∫ 1

0(t − 1)

n∑i=1

d

dt

∂f

∂xi(p + th)hi dt =

=n∑

i=1

∂f

∂xi(p)hi +

∫ 1

0(1− t)

n∑i1,i2=1

∂2f

∂xi1∂xi2(p + th)hi1hi2 dt

pela f�ormula acima. Acabamos de demostrar o teorema no caso k = 1.

Utilizando a indu�c�ao sobre k , resta observar que ddt

(1−t)k+1

(k+1)! = − (1−t)kk! e

integrar por partes o �ultimo termo na f�ormula do teorema �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 27 / 49

Demonstra�c�ao. Em seguida, usamos repetidamente a f�ormula

ddt g(p + th) =

n∑i=1

∂g∂xi

(p + th)hi , v�alida para qualquer g ∈ C 1(U) pelo

Lema 2.2. Pelo teorema fundamental do c�alculo,

f (p+ h)− f (p) =

∫ 1

0

d

dtf (p+ th) dt =

∫ 1

0

d(t − 1)

dt

n∑i=1

∂f

∂xi(p+ th)hi dt.

Integrando por partes, obtemos

f (p + h)− f (p) =n∑

i=1

∂f

∂xi(p)hi −

∫ 1

0(t − 1)

n∑i=1

d

dt

∂f

∂xi(p + th)hi dt =

=n∑

i=1

∂f

∂xi(p)hi +

∫ 1

0(1− t)

n∑i1,i2=1

∂2f

∂xi1∂xi2(p + th)hi1hi2 dt

pela f�ormula acima. Acabamos de demostrar o teorema no caso k = 1.

Utilizando a indu�c�ao sobre k , resta observar que ddt

(1−t)k+1

(k+1)! = − (1−t)kk!

e

integrar por partes o �ultimo termo na f�ormula do teorema �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 27 / 49

Demonstra�c�ao. Em seguida, usamos repetidamente a f�ormula

ddt g(p + th) =

n∑i=1

∂g∂xi

(p + th)hi , v�alida para qualquer g ∈ C 1(U) pelo

Lema 2.2. Pelo teorema fundamental do c�alculo,

f (p+ h)− f (p) =

∫ 1

0

d

dtf (p+ th) dt =

∫ 1

0

d(t − 1)

dt

n∑i=1

∂f

∂xi(p+ th)hi dt.

Integrando por partes, obtemos

f (p + h)− f (p) =n∑

i=1

∂f

∂xi(p)hi −

∫ 1

0(t − 1)

n∑i=1

d

dt

∂f

∂xi(p + th)hi dt =

=n∑

i=1

∂f

∂xi(p)hi +

∫ 1

0(1− t)

n∑i1,i2=1

∂2f

∂xi1∂xi2(p + th)hi1hi2 dt

pela f�ormula acima. Acabamos de demostrar o teorema no caso k = 1.

Utilizando a indu�c�ao sobre k , resta observar que ddt

(1−t)k+1

(k+1)! = − (1−t)kk! e

integrar por partes o �ultimo termo na f�ormula do teorema �

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2.11.2. Corol�ario. Sejam f ∈ C k+1(B(p,R)

)e 0 < r < R .

Ent�ao existe

uma fun�c�ao g : B(0, r)→ R tal que lim0 6=h→0

g(h)|h|k = 0 e

f (p + h) = f (p) +k∑

s=1

1

s!

n∑i1,...,is=1

∂s f

∂xi1 . . . ∂xis(p)hi1 . . . his + g(h)

para todo h ∈ B(0, r).

Demonstra�c�ao. Pelo Lema 1.7.10, as derivadas parciais∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik+1

sendo cont��nuas s�ao limitadas sobre o compacto B(p, r). A fun�c�ao (1−t)kk! �e

limitada sobre [0, 1] e∣∣ hi|h|∣∣ ≤ 1 para todos i e 0 6= h ∈ B(0, r). Para

concluir que lim06=h→0

g(h)|h|k = 0, resta aplicar o item 5 da Proposi�c�ao 1.7.9

(de fato, demonstramos que a fun�c�ao g(h)|h|k+1 �e limitada para

0 6= h ∈ B(0, r)) �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 28 / 49

2.11.2. Corol�ario. Sejam f ∈ C k+1(B(p,R)

)e 0 < r < R . Ent�ao existe

uma fun�c�ao g : B(0, r)→ R tal que lim0 6=h→0

g(h)|h|k = 0

e

f (p + h) = f (p) +k∑

s=1

1

s!

n∑i1,...,is=1

∂s f

∂xi1 . . . ∂xis(p)hi1 . . . his + g(h)

para todo h ∈ B(0, r).

Demonstra�c�ao. Pelo Lema 1.7.10, as derivadas parciais∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik+1

sendo cont��nuas s�ao limitadas sobre o compacto B(p, r). A fun�c�ao (1−t)kk! �e

limitada sobre [0, 1] e∣∣ hi|h|∣∣ ≤ 1 para todos i e 0 6= h ∈ B(0, r). Para

concluir que lim06=h→0

g(h)|h|k = 0, resta aplicar o item 5 da Proposi�c�ao 1.7.9

(de fato, demonstramos que a fun�c�ao g(h)|h|k+1 �e limitada para

0 6= h ∈ B(0, r)) �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 28 / 49

2.11.2. Corol�ario. Sejam f ∈ C k+1(B(p,R)

)e 0 < r < R . Ent�ao existe

uma fun�c�ao g : B(0, r)→ R tal que lim0 6=h→0

g(h)|h|k = 0 e

f (p + h) = f (p) +k∑

s=1

1

s!

n∑i1,...,is=1

∂s f

∂xi1 . . . ∂xis(p)hi1 . . . his + g(h)

para todo h ∈ B(0, r).

Demonstra�c�ao. Pelo Lema 1.7.10, as derivadas parciais∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik+1

sendo cont��nuas s�ao limitadas sobre o compacto B(p, r). A fun�c�ao (1−t)kk! �e

limitada sobre [0, 1] e∣∣ hi|h|∣∣ ≤ 1 para todos i e 0 6= h ∈ B(0, r). Para

concluir que lim06=h→0

g(h)|h|k = 0, resta aplicar o item 5 da Proposi�c�ao 1.7.9

(de fato, demonstramos que a fun�c�ao g(h)|h|k+1 �e limitada para

0 6= h ∈ B(0, r)) �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 28 / 49

2.11.2. Corol�ario. Sejam f ∈ C k+1(B(p,R)

)e 0 < r < R . Ent�ao existe

uma fun�c�ao g : B(0, r)→ R tal que lim0 6=h→0

g(h)|h|k = 0 e

f (p + h) = f (p) +k∑

s=1

1

s!

n∑i1,...,is=1

∂s f

∂xi1 . . . ∂xis(p)hi1 . . . his + g(h)

para todo h ∈ B(0, r).

Demonstra�c�ao. Pelo Lema 1.7.10, as derivadas parciais∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik+1

sendo cont��nuas s�ao limitadas sobre o compacto B(p, r).

A fun�c�ao (1−t)kk! �e

limitada sobre [0, 1] e∣∣ hi|h|∣∣ ≤ 1 para todos i e 0 6= h ∈ B(0, r). Para

concluir que lim06=h→0

g(h)|h|k = 0, resta aplicar o item 5 da Proposi�c�ao 1.7.9

(de fato, demonstramos que a fun�c�ao g(h)|h|k+1 �e limitada para

0 6= h ∈ B(0, r)) �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 28 / 49

2.11.2. Corol�ario. Sejam f ∈ C k+1(B(p,R)

)e 0 < r < R . Ent�ao existe

uma fun�c�ao g : B(0, r)→ R tal que lim0 6=h→0

g(h)|h|k = 0 e

f (p + h) = f (p) +k∑

s=1

1

s!

n∑i1,...,is=1

∂s f

∂xi1 . . . ∂xis(p)hi1 . . . his + g(h)

para todo h ∈ B(0, r).

Demonstra�c�ao. Pelo Lema 1.7.10, as derivadas parciais∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik+1

sendo cont��nuas s�ao limitadas sobre o compacto B(p, r). A fun�c�ao (1−t)kk! �e

limitada sobre [0, 1] e∣∣ hi|h|∣∣ ≤ 1 para todos i e 0 6= h ∈ B(0, r).

Para

concluir que lim06=h→0

g(h)|h|k = 0, resta aplicar o item 5 da Proposi�c�ao 1.7.9

(de fato, demonstramos que a fun�c�ao g(h)|h|k+1 �e limitada para

0 6= h ∈ B(0, r)) �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 28 / 49

2.11.2. Corol�ario. Sejam f ∈ C k+1(B(p,R)

)e 0 < r < R . Ent�ao existe

uma fun�c�ao g : B(0, r)→ R tal que lim0 6=h→0

g(h)|h|k = 0 e

f (p + h) = f (p) +k∑

s=1

1

s!

n∑i1,...,is=1

∂s f

∂xi1 . . . ∂xis(p)hi1 . . . his + g(h)

para todo h ∈ B(0, r).

Demonstra�c�ao. Pelo Lema 1.7.10, as derivadas parciais∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik+1

sendo cont��nuas s�ao limitadas sobre o compacto B(p, r). A fun�c�ao (1−t)kk! �e

limitada sobre [0, 1] e∣∣ hi|h|∣∣ ≤ 1 para todos i e 0 6= h ∈ B(0, r). Para

concluir que lim06=h→0

g(h)|h|k = 0, resta aplicar o item 5 da Proposi�c�ao 1.7.9

(de fato, demonstramos que a fun�c�ao g(h)|h|k+1 �e limitada para

0 6= h ∈ B(0, r)) �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 28 / 49

2.11.2. Corol�ario. Sejam f ∈ C k+1(B(p,R)

)e 0 < r < R . Ent�ao existe

uma fun�c�ao g : B(0, r)→ R tal que lim0 6=h→0

g(h)|h|k = 0 e

f (p + h) = f (p) +k∑

s=1

1

s!

n∑i1,...,is=1

∂s f

∂xi1 . . . ∂xis(p)hi1 . . . his + g(h)

para todo h ∈ B(0, r).

Demonstra�c�ao. Pelo Lema 1.7.10, as derivadas parciais∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik+1

sendo cont��nuas s�ao limitadas sobre o compacto B(p, r). A fun�c�ao (1−t)kk! �e

limitada sobre [0, 1] e∣∣ hi|h|∣∣ ≤ 1 para todos i e 0 6= h ∈ B(0, r). Para

concluir que lim06=h→0

g(h)|h|k = 0, resta aplicar o item 5 da Proposi�c�ao 1.7.9

(de fato, demonstramos que a fun�c�ao g(h)|h|k+1 �e limitada para

0 6= h ∈ B(0, r)) �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 28 / 49

2.11.3. Crit�erio. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao deriv�avel em p ∈ U.

Se p �e um m��nimo/m�aximo local de f , ent�ao Dpf = 0.Suponhamos que f ∈ C 3(U), que Dpf = 0 e que a matriz hessiana

H :=[

∂2f∂xi∂xj

(p)]ijde f em p �e positiva/negativa. Ent�ao p �e um m��ni-

mo/m�aximo local de f .

Demonstra�c�ao. Aqui, repetimos basicamente os argumentos apresentadosno item 2.5. Suponhamos que Dpf 6= 0. Ent�ao (Dpf )h > 0 para algumh ∈ Rn. Pela De�ni�c�ao 2.1, para pequenos t ∈ R, temos f (p + th) =

= f (p) + t(Dpf )h + g(th). De lim06=t→0

∣∣g(th)∣∣|th| = 0, conclu��mos que∣∣g(th)∣∣ < |t| · (Dpf )h para su�cientemente pequenos t's. Logo, para

tais t's, o sinal de t(Dpf )h+ g(th) �e igual ao de t. Isto contradiz a hip�ote-se que p �e um m��nimo/m�aximo local de f .Para a segunda parte do crit�erio, podemos aplicar o Corol�ario 2.11.2, poisB(p,R) ⊂ U para algum R > 0. Assim, f (p + h) = f (p) + 1

2hHht + g(h),

onde h := [h1 . . . hn] ∈ B(0, r), 0 < r < R e lim06=h→0

g(h)|h|2 = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 29 / 49

2.11.3. Crit�erio. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao deriv�avel em p ∈ U.

Se p �e um m��nimo/m�aximo local de f , ent�ao Dpf = 0.

Suponhamos que f ∈ C 3(U), que Dpf = 0 e que a matriz hessiana

H :=[

∂2f∂xi∂xj

(p)]ijde f em p �e positiva/negativa. Ent�ao p �e um m��ni-

mo/m�aximo local de f .

Demonstra�c�ao. Aqui, repetimos basicamente os argumentos apresentadosno item 2.5. Suponhamos que Dpf 6= 0. Ent�ao (Dpf )h > 0 para algumh ∈ Rn. Pela De�ni�c�ao 2.1, para pequenos t ∈ R, temos f (p + th) =

= f (p) + t(Dpf )h + g(th). De lim06=t→0

∣∣g(th)∣∣|th| = 0, conclu��mos que∣∣g(th)∣∣ < |t| · (Dpf )h para su�cientemente pequenos t's. Logo, para

tais t's, o sinal de t(Dpf )h+ g(th) �e igual ao de t. Isto contradiz a hip�ote-se que p �e um m��nimo/m�aximo local de f .Para a segunda parte do crit�erio, podemos aplicar o Corol�ario 2.11.2, poisB(p,R) ⊂ U para algum R > 0. Assim, f (p + h) = f (p) + 1

2hHht + g(h),

onde h := [h1 . . . hn] ∈ B(0, r), 0 < r < R e lim06=h→0

g(h)|h|2 = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 29 / 49

2.11.3. Crit�erio. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao deriv�avel em p ∈ U.

Se p �e um m��nimo/m�aximo local de f , ent�ao Dpf = 0.Suponhamos que f ∈ C 3(U), que Dpf = 0 e que a matriz hessiana

H :=[

∂2f∂xi∂xj

(p)]ijde f em p �e positiva/negativa.

Ent�ao p �e um m��ni-

mo/m�aximo local de f .

Demonstra�c�ao. Aqui, repetimos basicamente os argumentos apresentadosno item 2.5. Suponhamos que Dpf 6= 0. Ent�ao (Dpf )h > 0 para algumh ∈ Rn. Pela De�ni�c�ao 2.1, para pequenos t ∈ R, temos f (p + th) =

= f (p) + t(Dpf )h + g(th). De lim06=t→0

∣∣g(th)∣∣|th| = 0, conclu��mos que∣∣g(th)∣∣ < |t| · (Dpf )h para su�cientemente pequenos t's. Logo, para

tais t's, o sinal de t(Dpf )h+ g(th) �e igual ao de t. Isto contradiz a hip�ote-se que p �e um m��nimo/m�aximo local de f .Para a segunda parte do crit�erio, podemos aplicar o Corol�ario 2.11.2, poisB(p,R) ⊂ U para algum R > 0. Assim, f (p + h) = f (p) + 1

2hHht + g(h),

onde h := [h1 . . . hn] ∈ B(0, r), 0 < r < R e lim06=h→0

g(h)|h|2 = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 29 / 49

2.11.3. Crit�erio. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao deriv�avel em p ∈ U.

Se p �e um m��nimo/m�aximo local de f , ent�ao Dpf = 0.Suponhamos que f ∈ C 3(U), que Dpf = 0 e que a matriz hessiana

H :=[

∂2f∂xi∂xj

(p)]ijde f em p �e positiva/negativa. Ent�ao p �e um m��ni-

mo/m�aximo local de f .

Demonstra�c�ao. Aqui, repetimos basicamente os argumentos apresentadosno item 2.5. Suponhamos que Dpf 6= 0. Ent�ao (Dpf )h > 0 para algumh ∈ Rn. Pela De�ni�c�ao 2.1, para pequenos t ∈ R, temos f (p + th) =

= f (p) + t(Dpf )h + g(th). De lim06=t→0

∣∣g(th)∣∣|th| = 0, conclu��mos que∣∣g(th)∣∣ < |t| · (Dpf )h para su�cientemente pequenos t's. Logo, para

tais t's, o sinal de t(Dpf )h+ g(th) �e igual ao de t. Isto contradiz a hip�ote-se que p �e um m��nimo/m�aximo local de f .Para a segunda parte do crit�erio, podemos aplicar o Corol�ario 2.11.2, poisB(p,R) ⊂ U para algum R > 0. Assim, f (p + h) = f (p) + 1

2hHht + g(h),

onde h := [h1 . . . hn] ∈ B(0, r), 0 < r < R e lim06=h→0

g(h)|h|2 = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 29 / 49

2.11.3. Crit�erio. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao deriv�avel em p ∈ U.

Se p �e um m��nimo/m�aximo local de f , ent�ao Dpf = 0.Suponhamos que f ∈ C 3(U), que Dpf = 0 e que a matriz hessiana

H :=[

∂2f∂xi∂xj

(p)]ijde f em p �e positiva/negativa. Ent�ao p �e um m��ni-

mo/m�aximo local de f .

Demonstra�c�ao. Aqui, repetimos basicamente os argumentos apresentadosno item 2.5.

Suponhamos que Dpf 6= 0. Ent�ao (Dpf )h > 0 para algumh ∈ Rn. Pela De�ni�c�ao 2.1, para pequenos t ∈ R, temos f (p + th) =

= f (p) + t(Dpf )h + g(th). De lim06=t→0

∣∣g(th)∣∣|th| = 0, conclu��mos que∣∣g(th)∣∣ < |t| · (Dpf )h para su�cientemente pequenos t's. Logo, para

tais t's, o sinal de t(Dpf )h+ g(th) �e igual ao de t. Isto contradiz a hip�ote-se que p �e um m��nimo/m�aximo local de f .Para a segunda parte do crit�erio, podemos aplicar o Corol�ario 2.11.2, poisB(p,R) ⊂ U para algum R > 0. Assim, f (p + h) = f (p) + 1

2hHht + g(h),

onde h := [h1 . . . hn] ∈ B(0, r), 0 < r < R e lim06=h→0

g(h)|h|2 = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 29 / 49

2.11.3. Crit�erio. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao deriv�avel em p ∈ U.

Se p �e um m��nimo/m�aximo local de f , ent�ao Dpf = 0.Suponhamos que f ∈ C 3(U), que Dpf = 0 e que a matriz hessiana

H :=[

∂2f∂xi∂xj

(p)]ijde f em p �e positiva/negativa. Ent�ao p �e um m��ni-

mo/m�aximo local de f .

Demonstra�c�ao. Aqui, repetimos basicamente os argumentos apresentadosno item 2.5. Suponhamos que Dpf 6= 0.

Ent�ao (Dpf )h > 0 para algumh ∈ Rn. Pela De�ni�c�ao 2.1, para pequenos t ∈ R, temos f (p + th) =

= f (p) + t(Dpf )h + g(th). De lim06=t→0

∣∣g(th)∣∣|th| = 0, conclu��mos que∣∣g(th)∣∣ < |t| · (Dpf )h para su�cientemente pequenos t's. Logo, para

tais t's, o sinal de t(Dpf )h+ g(th) �e igual ao de t. Isto contradiz a hip�ote-se que p �e um m��nimo/m�aximo local de f .Para a segunda parte do crit�erio, podemos aplicar o Corol�ario 2.11.2, poisB(p,R) ⊂ U para algum R > 0. Assim, f (p + h) = f (p) + 1

2hHht + g(h),

onde h := [h1 . . . hn] ∈ B(0, r), 0 < r < R e lim06=h→0

g(h)|h|2 = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 29 / 49

2.11.3. Crit�erio. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao deriv�avel em p ∈ U.

Se p �e um m��nimo/m�aximo local de f , ent�ao Dpf = 0.Suponhamos que f ∈ C 3(U), que Dpf = 0 e que a matriz hessiana

H :=[

∂2f∂xi∂xj

(p)]ijde f em p �e positiva/negativa. Ent�ao p �e um m��ni-

mo/m�aximo local de f .

Demonstra�c�ao. Aqui, repetimos basicamente os argumentos apresentadosno item 2.5. Suponhamos que Dpf 6= 0. Ent�ao (Dpf )h > 0 para algumh ∈ Rn.

Pela De�ni�c�ao 2.1, para pequenos t ∈ R, temos f (p + th) =

= f (p) + t(Dpf )h + g(th). De lim06=t→0

∣∣g(th)∣∣|th| = 0, conclu��mos que∣∣g(th)∣∣ < |t| · (Dpf )h para su�cientemente pequenos t's. Logo, para

tais t's, o sinal de t(Dpf )h+ g(th) �e igual ao de t. Isto contradiz a hip�ote-se que p �e um m��nimo/m�aximo local de f .Para a segunda parte do crit�erio, podemos aplicar o Corol�ario 2.11.2, poisB(p,R) ⊂ U para algum R > 0. Assim, f (p + h) = f (p) + 1

2hHht + g(h),

onde h := [h1 . . . hn] ∈ B(0, r), 0 < r < R e lim06=h→0

g(h)|h|2 = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 29 / 49

2.11.3. Crit�erio. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao deriv�avel em p ∈ U.

Se p �e um m��nimo/m�aximo local de f , ent�ao Dpf = 0.Suponhamos que f ∈ C 3(U), que Dpf = 0 e que a matriz hessiana

H :=[

∂2f∂xi∂xj

(p)]ijde f em p �e positiva/negativa. Ent�ao p �e um m��ni-

mo/m�aximo local de f .

Demonstra�c�ao. Aqui, repetimos basicamente os argumentos apresentadosno item 2.5. Suponhamos que Dpf 6= 0. Ent�ao (Dpf )h > 0 para algumh ∈ Rn. Pela De�ni�c�ao 2.1, para pequenos t ∈ R, temos f (p + th) =

= f (p) + t(Dpf )h + g(th).

De lim06=t→0

∣∣g(th)∣∣|th| = 0, conclu��mos que∣∣g(th)∣∣ < |t| · (Dpf )h para su�cientemente pequenos t's. Logo, para

tais t's, o sinal de t(Dpf )h+ g(th) �e igual ao de t. Isto contradiz a hip�ote-se que p �e um m��nimo/m�aximo local de f .Para a segunda parte do crit�erio, podemos aplicar o Corol�ario 2.11.2, poisB(p,R) ⊂ U para algum R > 0. Assim, f (p + h) = f (p) + 1

2hHht + g(h),

onde h := [h1 . . . hn] ∈ B(0, r), 0 < r < R e lim06=h→0

g(h)|h|2 = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 29 / 49

2.11.3. Crit�erio. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao deriv�avel em p ∈ U.

Se p �e um m��nimo/m�aximo local de f , ent�ao Dpf = 0.Suponhamos que f ∈ C 3(U), que Dpf = 0 e que a matriz hessiana

H :=[

∂2f∂xi∂xj

(p)]ijde f em p �e positiva/negativa. Ent�ao p �e um m��ni-

mo/m�aximo local de f .

Demonstra�c�ao. Aqui, repetimos basicamente os argumentos apresentadosno item 2.5. Suponhamos que Dpf 6= 0. Ent�ao (Dpf )h > 0 para algumh ∈ Rn. Pela De�ni�c�ao 2.1, para pequenos t ∈ R, temos f (p + th) =

= f (p) + t(Dpf )h + g(th). De lim06=t→0

∣∣g(th)∣∣|th| = 0, conclu��mos que∣∣g(th)∣∣ < |t| · (Dpf )h para su�cientemente pequenos t's.

Logo, paratais t's, o sinal de t(Dpf )h+ g(th) �e igual ao de t. Isto contradiz a hip�ote-se que p �e um m��nimo/m�aximo local de f .Para a segunda parte do crit�erio, podemos aplicar o Corol�ario 2.11.2, poisB(p,R) ⊂ U para algum R > 0. Assim, f (p + h) = f (p) + 1

2hHht + g(h),

onde h := [h1 . . . hn] ∈ B(0, r), 0 < r < R e lim06=h→0

g(h)|h|2 = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 29 / 49

2.11.3. Crit�erio. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao deriv�avel em p ∈ U.

Se p �e um m��nimo/m�aximo local de f , ent�ao Dpf = 0.Suponhamos que f ∈ C 3(U), que Dpf = 0 e que a matriz hessiana

H :=[

∂2f∂xi∂xj

(p)]ijde f em p �e positiva/negativa. Ent�ao p �e um m��ni-

mo/m�aximo local de f .

Demonstra�c�ao. Aqui, repetimos basicamente os argumentos apresentadosno item 2.5. Suponhamos que Dpf 6= 0. Ent�ao (Dpf )h > 0 para algumh ∈ Rn. Pela De�ni�c�ao 2.1, para pequenos t ∈ R, temos f (p + th) =

= f (p) + t(Dpf )h + g(th). De lim06=t→0

∣∣g(th)∣∣|th| = 0, conclu��mos que∣∣g(th)∣∣ < |t| · (Dpf )h para su�cientemente pequenos t's. Logo, para

tais t's, o sinal de t(Dpf )h+ g(th) �e igual ao de t.

Isto contradiz a hip�ote-se que p �e um m��nimo/m�aximo local de f .Para a segunda parte do crit�erio, podemos aplicar o Corol�ario 2.11.2, poisB(p,R) ⊂ U para algum R > 0. Assim, f (p + h) = f (p) + 1

2hHht + g(h),

onde h := [h1 . . . hn] ∈ B(0, r), 0 < r < R e lim06=h→0

g(h)|h|2 = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 29 / 49

2.11.3. Crit�erio. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao deriv�avel em p ∈ U.

Se p �e um m��nimo/m�aximo local de f , ent�ao Dpf = 0.Suponhamos que f ∈ C 3(U), que Dpf = 0 e que a matriz hessiana

H :=[

∂2f∂xi∂xj

(p)]ijde f em p �e positiva/negativa. Ent�ao p �e um m��ni-

mo/m�aximo local de f .

Demonstra�c�ao. Aqui, repetimos basicamente os argumentos apresentadosno item 2.5. Suponhamos que Dpf 6= 0. Ent�ao (Dpf )h > 0 para algumh ∈ Rn. Pela De�ni�c�ao 2.1, para pequenos t ∈ R, temos f (p + th) =

= f (p) + t(Dpf )h + g(th). De lim06=t→0

∣∣g(th)∣∣|th| = 0, conclu��mos que∣∣g(th)∣∣ < |t| · (Dpf )h para su�cientemente pequenos t's. Logo, para

tais t's, o sinal de t(Dpf )h+ g(th) �e igual ao de t. Isto contradiz a hip�ote-se que p �e um m��nimo/m�aximo local de f .

Para a segunda parte do crit�erio, podemos aplicar o Corol�ario 2.11.2, poisB(p,R) ⊂ U para algum R > 0. Assim, f (p + h) = f (p) + 1

2hHht + g(h),

onde h := [h1 . . . hn] ∈ B(0, r), 0 < r < R e lim06=h→0

g(h)|h|2 = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 29 / 49

2.11.3. Crit�erio. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao deriv�avel em p ∈ U.

Se p �e um m��nimo/m�aximo local de f , ent�ao Dpf = 0.Suponhamos que f ∈ C 3(U), que Dpf = 0 e que a matriz hessiana

H :=[

∂2f∂xi∂xj

(p)]ijde f em p �e positiva/negativa. Ent�ao p �e um m��ni-

mo/m�aximo local de f .

Demonstra�c�ao. Aqui, repetimos basicamente os argumentos apresentadosno item 2.5. Suponhamos que Dpf 6= 0. Ent�ao (Dpf )h > 0 para algumh ∈ Rn. Pela De�ni�c�ao 2.1, para pequenos t ∈ R, temos f (p + th) =

= f (p) + t(Dpf )h + g(th). De lim06=t→0

∣∣g(th)∣∣|th| = 0, conclu��mos que∣∣g(th)∣∣ < |t| · (Dpf )h para su�cientemente pequenos t's. Logo, para

tais t's, o sinal de t(Dpf )h+ g(th) �e igual ao de t. Isto contradiz a hip�ote-se que p �e um m��nimo/m�aximo local de f .Para a segunda parte do crit�erio, podemos aplicar o Corol�ario 2.11.2, poisB(p,R) ⊂ U para algum R > 0.

Assim, f (p + h) = f (p) + 12hHh

t + g(h),

onde h := [h1 . . . hn] ∈ B(0, r), 0 < r < R e lim06=h→0

g(h)|h|2 = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 29 / 49

2.11.3. Crit�erio. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun�c�ao deriv�avel em p ∈ U.

Se p �e um m��nimo/m�aximo local de f , ent�ao Dpf = 0.Suponhamos que f ∈ C 3(U), que Dpf = 0 e que a matriz hessiana

H :=[

∂2f∂xi∂xj

(p)]ijde f em p �e positiva/negativa. Ent�ao p �e um m��ni-

mo/m�aximo local de f .

Demonstra�c�ao. Aqui, repetimos basicamente os argumentos apresentadosno item 2.5. Suponhamos que Dpf 6= 0. Ent�ao (Dpf )h > 0 para algumh ∈ Rn. Pela De�ni�c�ao 2.1, para pequenos t ∈ R, temos f (p + th) =

= f (p) + t(Dpf )h + g(th). De lim06=t→0

∣∣g(th)∣∣|th| = 0, conclu��mos que∣∣g(th)∣∣ < |t| · (Dpf )h para su�cientemente pequenos t's. Logo, para

tais t's, o sinal de t(Dpf )h+ g(th) �e igual ao de t. Isto contradiz a hip�ote-se que p �e um m��nimo/m�aximo local de f .Para a segunda parte do crit�erio, podemos aplicar o Corol�ario 2.11.2, poisB(p,R) ⊂ U para algum R > 0. Assim, f (p + h) = f (p) + 1

2hHht + g(h),

onde h := [h1 . . . hn] ∈ B(0, r), 0 < r < R e lim06=h→0

g(h)|h|2 = 0.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 29 / 49

Por simplicidade, suponhamos que H �e positiva.

A fun�c�ao h 7→ hHht �e con-t��nua. Pelo Lema 1.7.10, essa fun�c�ao atinge seu m��nimo m > 0 (positivo!)no compacto Sn−1 :=

{x ∈ Rn | |x |2 = 1

}, implicando que hHht ≥ m|h|2

para todo h ∈ Rn.

J�a que lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h|2 = 0, existe ε > 0 tal que

∣∣g(h)∣∣ < m3 |h|

2 para todo

h ∈ B(0, ε). Para tais h's, 12hHh

t + g(h) ≥ 0. Al�em disso, 12hHh

t + g(h) == 0 para h ∈ B(0, ε) apenas quando h = 0 �

2.11.4. Pontos cr��ticos de uma fun�c�ao. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun-

�c�ao deriv�avel em todos os pontos de U. Dizemos que p ∈ U �e um ponto

cr��tico de f se Dpf = 0. Pelo Crit�erio 2.11.3, os pontos cr��ticos de f s�aocandidatos naturais a extremos local de f e, como mostra a segunda partedo crit�erio, s�ao m��nimos/m�aximos locais caso f seja de classe C 3 e a mat-riz hessiana de f em p seja positiva/negativa. Mas, como no caso da fun-�c�ao f (x1, x2) := x21 − x22 e p = 0, pode ocorrer que a matriz hessiana noponto cr��tico n�ao �e positiva, nem negativa. Isto pode acontecer quando amatriz hessiana �e degenerada (isto signi�ca que seu determinante �e nulo).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 30 / 49

Por simplicidade, suponhamos que H �e positiva. A fun�c�ao h 7→ hHht �e con-t��nua.

Pelo Lema 1.7.10, essa fun�c�ao atinge seu m��nimo m > 0 (positivo!)no compacto Sn−1 :=

{x ∈ Rn | |x |2 = 1

}, implicando que hHht ≥ m|h|2

para todo h ∈ Rn.

J�a que lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h|2 = 0, existe ε > 0 tal que

∣∣g(h)∣∣ < m3 |h|

2 para todo

h ∈ B(0, ε). Para tais h's, 12hHh

t + g(h) ≥ 0. Al�em disso, 12hHh

t + g(h) == 0 para h ∈ B(0, ε) apenas quando h = 0 �

2.11.4. Pontos cr��ticos de uma fun�c�ao. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun-

�c�ao deriv�avel em todos os pontos de U. Dizemos que p ∈ U �e um ponto

cr��tico de f se Dpf = 0. Pelo Crit�erio 2.11.3, os pontos cr��ticos de f s�aocandidatos naturais a extremos local de f e, como mostra a segunda partedo crit�erio, s�ao m��nimos/m�aximos locais caso f seja de classe C 3 e a mat-riz hessiana de f em p seja positiva/negativa. Mas, como no caso da fun-�c�ao f (x1, x2) := x21 − x22 e p = 0, pode ocorrer que a matriz hessiana noponto cr��tico n�ao �e positiva, nem negativa. Isto pode acontecer quando amatriz hessiana �e degenerada (isto signi�ca que seu determinante �e nulo).

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Por simplicidade, suponhamos que H �e positiva. A fun�c�ao h 7→ hHht �e con-t��nua. Pelo Lema 1.7.10, essa fun�c�ao atinge seu m��nimo m > 0 (positivo!)no compacto Sn−1 :=

{x ∈ Rn | |x |2 = 1

},

implicando que hHht ≥ m|h|2para todo h ∈ Rn.

J�a que lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h|2 = 0, existe ε > 0 tal que

∣∣g(h)∣∣ < m3 |h|

2 para todo

h ∈ B(0, ε). Para tais h's, 12hHh

t + g(h) ≥ 0. Al�em disso, 12hHh

t + g(h) == 0 para h ∈ B(0, ε) apenas quando h = 0 �

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�c�ao deriv�avel em todos os pontos de U. Dizemos que p ∈ U �e um ponto

cr��tico de f se Dpf = 0. Pelo Crit�erio 2.11.3, os pontos cr��ticos de f s�aocandidatos naturais a extremos local de f e, como mostra a segunda partedo crit�erio, s�ao m��nimos/m�aximos locais caso f seja de classe C 3 e a mat-riz hessiana de f em p seja positiva/negativa. Mas, como no caso da fun-�c�ao f (x1, x2) := x21 − x22 e p = 0, pode ocorrer que a matriz hessiana noponto cr��tico n�ao �e positiva, nem negativa. Isto pode acontecer quando amatriz hessiana �e degenerada (isto signi�ca que seu determinante �e nulo).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 30 / 49

Por simplicidade, suponhamos que H �e positiva. A fun�c�ao h 7→ hHht �e con-t��nua. Pelo Lema 1.7.10, essa fun�c�ao atinge seu m��nimo m > 0 (positivo!)no compacto Sn−1 :=

{x ∈ Rn | |x |2 = 1

}, implicando que hHht ≥ m|h|2

para todo h ∈ Rn.

J�a que lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h|2 = 0, existe ε > 0 tal que

∣∣g(h)∣∣ < m3 |h|

2 para todo

h ∈ B(0, ε). Para tais h's, 12hHh

t + g(h) ≥ 0. Al�em disso, 12hHh

t + g(h) == 0 para h ∈ B(0, ε) apenas quando h = 0 �

2.11.4. Pontos cr��ticos de uma fun�c�ao. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun-

�c�ao deriv�avel em todos os pontos de U. Dizemos que p ∈ U �e um ponto

cr��tico de f se Dpf = 0. Pelo Crit�erio 2.11.3, os pontos cr��ticos de f s�aocandidatos naturais a extremos local de f e, como mostra a segunda partedo crit�erio, s�ao m��nimos/m�aximos locais caso f seja de classe C 3 e a mat-riz hessiana de f em p seja positiva/negativa. Mas, como no caso da fun-�c�ao f (x1, x2) := x21 − x22 e p = 0, pode ocorrer que a matriz hessiana noponto cr��tico n�ao �e positiva, nem negativa. Isto pode acontecer quando amatriz hessiana �e degenerada (isto signi�ca que seu determinante �e nulo).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 30 / 49

Por simplicidade, suponhamos que H �e positiva. A fun�c�ao h 7→ hHht �e con-t��nua. Pelo Lema 1.7.10, essa fun�c�ao atinge seu m��nimo m > 0 (positivo!)no compacto Sn−1 :=

{x ∈ Rn | |x |2 = 1

}, implicando que hHht ≥ m|h|2

para todo h ∈ Rn.

J�a que lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h|2 = 0, existe ε > 0 tal que

∣∣g(h)∣∣ < m3 |h|

2 para todo

h ∈ B(0, ε).

Para tais h's, 12hHh

t + g(h) ≥ 0. Al�em disso, 12hHh

t + g(h) == 0 para h ∈ B(0, ε) apenas quando h = 0 �

2.11.4. Pontos cr��ticos de uma fun�c�ao. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun-

�c�ao deriv�avel em todos os pontos de U. Dizemos que p ∈ U �e um ponto

cr��tico de f se Dpf = 0. Pelo Crit�erio 2.11.3, os pontos cr��ticos de f s�aocandidatos naturais a extremos local de f e, como mostra a segunda partedo crit�erio, s�ao m��nimos/m�aximos locais caso f seja de classe C 3 e a mat-riz hessiana de f em p seja positiva/negativa. Mas, como no caso da fun-�c�ao f (x1, x2) := x21 − x22 e p = 0, pode ocorrer que a matriz hessiana noponto cr��tico n�ao �e positiva, nem negativa. Isto pode acontecer quando amatriz hessiana �e degenerada (isto signi�ca que seu determinante �e nulo).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 30 / 49

Por simplicidade, suponhamos que H �e positiva. A fun�c�ao h 7→ hHht �e con-t��nua. Pelo Lema 1.7.10, essa fun�c�ao atinge seu m��nimo m > 0 (positivo!)no compacto Sn−1 :=

{x ∈ Rn | |x |2 = 1

}, implicando que hHht ≥ m|h|2

para todo h ∈ Rn.

J�a que lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h|2 = 0, existe ε > 0 tal que

∣∣g(h)∣∣ < m3 |h|

2 para todo

h ∈ B(0, ε). Para tais h's, 12hHh

t + g(h) ≥ 0.

Al�em disso, 12hHh

t + g(h) == 0 para h ∈ B(0, ε) apenas quando h = 0 �

2.11.4. Pontos cr��ticos de uma fun�c�ao. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun-

�c�ao deriv�avel em todos os pontos de U. Dizemos que p ∈ U �e um ponto

cr��tico de f se Dpf = 0. Pelo Crit�erio 2.11.3, os pontos cr��ticos de f s�aocandidatos naturais a extremos local de f e, como mostra a segunda partedo crit�erio, s�ao m��nimos/m�aximos locais caso f seja de classe C 3 e a mat-riz hessiana de f em p seja positiva/negativa. Mas, como no caso da fun-�c�ao f (x1, x2) := x21 − x22 e p = 0, pode ocorrer que a matriz hessiana noponto cr��tico n�ao �e positiva, nem negativa. Isto pode acontecer quando amatriz hessiana �e degenerada (isto signi�ca que seu determinante �e nulo).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 30 / 49

Por simplicidade, suponhamos que H �e positiva. A fun�c�ao h 7→ hHht �e con-t��nua. Pelo Lema 1.7.10, essa fun�c�ao atinge seu m��nimo m > 0 (positivo!)no compacto Sn−1 :=

{x ∈ Rn | |x |2 = 1

}, implicando que hHht ≥ m|h|2

para todo h ∈ Rn.

J�a que lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h|2 = 0, existe ε > 0 tal que

∣∣g(h)∣∣ < m3 |h|

2 para todo

h ∈ B(0, ε). Para tais h's, 12hHh

t + g(h) ≥ 0. Al�em disso, 12hHh

t + g(h) == 0 para h ∈ B(0, ε) apenas quando h = 0 �

2.11.4. Pontos cr��ticos de uma fun�c�ao. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun-

�c�ao deriv�avel em todos os pontos de U. Dizemos que p ∈ U �e um ponto

cr��tico de f se Dpf = 0. Pelo Crit�erio 2.11.3, os pontos cr��ticos de f s�aocandidatos naturais a extremos local de f e, como mostra a segunda partedo crit�erio, s�ao m��nimos/m�aximos locais caso f seja de classe C 3 e a mat-riz hessiana de f em p seja positiva/negativa. Mas, como no caso da fun-�c�ao f (x1, x2) := x21 − x22 e p = 0, pode ocorrer que a matriz hessiana noponto cr��tico n�ao �e positiva, nem negativa. Isto pode acontecer quando amatriz hessiana �e degenerada (isto signi�ca que seu determinante �e nulo).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 30 / 49

Por simplicidade, suponhamos que H �e positiva. A fun�c�ao h 7→ hHht �e con-t��nua. Pelo Lema 1.7.10, essa fun�c�ao atinge seu m��nimo m > 0 (positivo!)no compacto Sn−1 :=

{x ∈ Rn | |x |2 = 1

}, implicando que hHht ≥ m|h|2

para todo h ∈ Rn.

J�a que lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h|2 = 0, existe ε > 0 tal que

∣∣g(h)∣∣ < m3 |h|

2 para todo

h ∈ B(0, ε). Para tais h's, 12hHh

t + g(h) ≥ 0. Al�em disso, 12hHh

t + g(h) == 0 para h ∈ B(0, ε) apenas quando h = 0 �

2.11.4. Pontos cr��ticos de uma fun�c�ao. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun-

�c�ao deriv�avel em todos os pontos de U.

Dizemos que p ∈ U �e um ponto

cr��tico de f se Dpf = 0. Pelo Crit�erio 2.11.3, os pontos cr��ticos de f s�aocandidatos naturais a extremos local de f e, como mostra a segunda partedo crit�erio, s�ao m��nimos/m�aximos locais caso f seja de classe C 3 e a mat-riz hessiana de f em p seja positiva/negativa. Mas, como no caso da fun-�c�ao f (x1, x2) := x21 − x22 e p = 0, pode ocorrer que a matriz hessiana noponto cr��tico n�ao �e positiva, nem negativa. Isto pode acontecer quando amatriz hessiana �e degenerada (isto signi�ca que seu determinante �e nulo).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 30 / 49

Por simplicidade, suponhamos que H �e positiva. A fun�c�ao h 7→ hHht �e con-t��nua. Pelo Lema 1.7.10, essa fun�c�ao atinge seu m��nimo m > 0 (positivo!)no compacto Sn−1 :=

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para todo h ∈ Rn.

J�a que lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h|2 = 0, existe ε > 0 tal que

∣∣g(h)∣∣ < m3 |h|

2 para todo

h ∈ B(0, ε). Para tais h's, 12hHh

t + g(h) ≥ 0. Al�em disso, 12hHh

t + g(h) == 0 para h ∈ B(0, ε) apenas quando h = 0 �

2.11.4. Pontos cr��ticos de uma fun�c�ao. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun-

�c�ao deriv�avel em todos os pontos de U. Dizemos que p ∈ U �e um ponto

cr��tico de f se Dpf = 0.

Pelo Crit�erio 2.11.3, os pontos cr��ticos de f s�aocandidatos naturais a extremos local de f e, como mostra a segunda partedo crit�erio, s�ao m��nimos/m�aximos locais caso f seja de classe C 3 e a mat-riz hessiana de f em p seja positiva/negativa. Mas, como no caso da fun-�c�ao f (x1, x2) := x21 − x22 e p = 0, pode ocorrer que a matriz hessiana noponto cr��tico n�ao �e positiva, nem negativa. Isto pode acontecer quando amatriz hessiana �e degenerada (isto signi�ca que seu determinante �e nulo).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 30 / 49

Por simplicidade, suponhamos que H �e positiva. A fun�c�ao h 7→ hHht �e con-t��nua. Pelo Lema 1.7.10, essa fun�c�ao atinge seu m��nimo m > 0 (positivo!)no compacto Sn−1 :=

{x ∈ Rn | |x |2 = 1

}, implicando que hHht ≥ m|h|2

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J�a que lim06=h→0

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2 para todo

h ∈ B(0, ε). Para tais h's, 12hHh

t + g(h) ≥ 0. Al�em disso, 12hHh

t + g(h) == 0 para h ∈ B(0, ε) apenas quando h = 0 �

2.11.4. Pontos cr��ticos de uma fun�c�ao. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun-

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cr��tico de f se Dpf = 0. Pelo Crit�erio 2.11.3, os pontos cr��ticos de f s�aocandidatos naturais a extremos local de f

e, como mostra a segunda partedo crit�erio, s�ao m��nimos/m�aximos locais caso f seja de classe C 3 e a mat-riz hessiana de f em p seja positiva/negativa. Mas, como no caso da fun-�c�ao f (x1, x2) := x21 − x22 e p = 0, pode ocorrer que a matriz hessiana noponto cr��tico n�ao �e positiva, nem negativa. Isto pode acontecer quando amatriz hessiana �e degenerada (isto signi�ca que seu determinante �e nulo).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 30 / 49

Por simplicidade, suponhamos que H �e positiva. A fun�c�ao h 7→ hHht �e con-t��nua. Pelo Lema 1.7.10, essa fun�c�ao atinge seu m��nimo m > 0 (positivo!)no compacto Sn−1 :=

{x ∈ Rn | |x |2 = 1

}, implicando que hHht ≥ m|h|2

para todo h ∈ Rn.

J�a que lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h|2 = 0, existe ε > 0 tal que

∣∣g(h)∣∣ < m3 |h|

2 para todo

h ∈ B(0, ε). Para tais h's, 12hHh

t + g(h) ≥ 0. Al�em disso, 12hHh

t + g(h) == 0 para h ∈ B(0, ε) apenas quando h = 0 �

2.11.4. Pontos cr��ticos de uma fun�c�ao. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun-

�c�ao deriv�avel em todos os pontos de U. Dizemos que p ∈ U �e um ponto

cr��tico de f se Dpf = 0. Pelo Crit�erio 2.11.3, os pontos cr��ticos de f s�aocandidatos naturais a extremos local de f e, como mostra a segunda partedo crit�erio, s�ao m��nimos/m�aximos locais caso f seja de classe C 3 e a mat-riz hessiana de f em p seja positiva/negativa.

Mas, como no caso da fun-�c�ao f (x1, x2) := x21 − x22 e p = 0, pode ocorrer que a matriz hessiana noponto cr��tico n�ao �e positiva, nem negativa. Isto pode acontecer quando amatriz hessiana �e degenerada (isto signi�ca que seu determinante �e nulo).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 30 / 49

Por simplicidade, suponhamos que H �e positiva. A fun�c�ao h 7→ hHht �e con-t��nua. Pelo Lema 1.7.10, essa fun�c�ao atinge seu m��nimo m > 0 (positivo!)no compacto Sn−1 :=

{x ∈ Rn | |x |2 = 1

}, implicando que hHht ≥ m|h|2

para todo h ∈ Rn.

J�a que lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h|2 = 0, existe ε > 0 tal que

∣∣g(h)∣∣ < m3 |h|

2 para todo

h ∈ B(0, ε). Para tais h's, 12hHh

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t + g(h) == 0 para h ∈ B(0, ε) apenas quando h = 0 �

2.11.4. Pontos cr��ticos de uma fun�c�ao. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun-

�c�ao deriv�avel em todos os pontos de U. Dizemos que p ∈ U �e um ponto

cr��tico de f se Dpf = 0. Pelo Crit�erio 2.11.3, os pontos cr��ticos de f s�aocandidatos naturais a extremos local de f e, como mostra a segunda partedo crit�erio, s�ao m��nimos/m�aximos locais caso f seja de classe C 3 e a mat-riz hessiana de f em p seja positiva/negativa. Mas, como no caso da fun-�c�ao f (x1, x2) := x21 − x22 e p = 0, pode ocorrer que a matriz hessiana noponto cr��tico n�ao �e positiva, nem negativa.

Isto pode acontecer quando amatriz hessiana �e degenerada (isto signi�ca que seu determinante �e nulo).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 30 / 49

Por simplicidade, suponhamos que H �e positiva. A fun�c�ao h 7→ hHht �e con-t��nua. Pelo Lema 1.7.10, essa fun�c�ao atinge seu m��nimo m > 0 (positivo!)no compacto Sn−1 :=

{x ∈ Rn | |x |2 = 1

}, implicando que hHht ≥ m|h|2

para todo h ∈ Rn.

J�a que lim06=h→0

∣∣g(h)∣∣|h|2 = 0, existe ε > 0 tal que

∣∣g(h)∣∣ < m3 |h|

2 para todo

h ∈ B(0, ε). Para tais h's, 12hHh

t + g(h) ≥ 0. Al�em disso, 12hHh

t + g(h) == 0 para h ∈ B(0, ε) apenas quando h = 0 �

2.11.4. Pontos cr��ticos de uma fun�c�ao. Seja Rn ◦⊃Uf−→ R uma fun-

�c�ao deriv�avel em todos os pontos de U. Dizemos que p ∈ U �e um ponto

cr��tico de f se Dpf = 0. Pelo Crit�erio 2.11.3, os pontos cr��ticos de f s�aocandidatos naturais a extremos local de f e, como mostra a segunda partedo crit�erio, s�ao m��nimos/m�aximos locais caso f seja de classe C 3 e a mat-riz hessiana de f em p seja positiva/negativa. Mas, como no caso da fun-�c�ao f (x1, x2) := x21 − x22 e p = 0, pode ocorrer que a matriz hessiana noponto cr��tico n�ao �e positiva, nem negativa. Isto pode acontecer quando amatriz hessiana �e degenerada (isto signi�ca que seu determinante �e nulo).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 30 / 49

Por exemplo, este �e o caso quando a fun�c�ao f tem extremo local em todosos pontos de uma curva passando por p.

Supondo que a matriz hessianan�ao �e degenerada, o ponto cr��tico em quest�ao, apesar de ser isolado (istosigni�ca que numa vizinhan�ca aberta deste ponto n�ao h�a outros pontoscr��ticos), n�ao �e necessariamente um ponto de extremo local. O ponto podeapresentar um ponto de sela no gr�a�co de f , de modo que em algumasdire�c�oes temos um m��nimo local de f , em outras, um m�aximo local. Usan-do o teorema de in�ercia de Sylvester, podemos estudar e classi�car taispontos cr��ticos, mas paramos aqui, no in��cio da teoria de Morse, que tratadeste assunto.

Na pr�oxima subse�c�ao, precisaremos de alguns fatos t�ecnicos, inclusive dageneraliza�c�ao do item 4 da Proposi�c�ao 1.7.9 para caminhos integr�aveis.

2.11.5. Proposi�c�ao. Seja f : [a, c]→ Rn um caminho integr�avel (istosigni�ca que as componentes fj : [a, c]→ R, j = 1, . . . , n, de f s�ao fun�c�oesintegr�aveis). Ent�ao a fun�c�ao |f | : [a, c]→ R �e integr�avel e

∣∣ ∫ ca f (t)dt

∣∣ ≤≤∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt, onde | · | denota uma norma arbitr�aria, �xa em Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 31 / 49

Por exemplo, este �e o caso quando a fun�c�ao f tem extremo local em todosos pontos de uma curva passando por p. Supondo que a matriz hessianan�ao �e degenerada, o ponto cr��tico em quest�ao, apesar de ser isolado (istosigni�ca que numa vizinhan�ca aberta deste ponto n�ao h�a outros pontoscr��ticos), n�ao �e necessariamente um ponto de extremo local.

O ponto podeapresentar um ponto de sela no gr�a�co de f , de modo que em algumasdire�c�oes temos um m��nimo local de f , em outras, um m�aximo local. Usan-do o teorema de in�ercia de Sylvester, podemos estudar e classi�car taispontos cr��ticos, mas paramos aqui, no in��cio da teoria de Morse, que tratadeste assunto.

Na pr�oxima subse�c�ao, precisaremos de alguns fatos t�ecnicos, inclusive dageneraliza�c�ao do item 4 da Proposi�c�ao 1.7.9 para caminhos integr�aveis.

2.11.5. Proposi�c�ao. Seja f : [a, c]→ Rn um caminho integr�avel (istosigni�ca que as componentes fj : [a, c]→ R, j = 1, . . . , n, de f s�ao fun�c�oesintegr�aveis). Ent�ao a fun�c�ao |f | : [a, c]→ R �e integr�avel e

∣∣ ∫ ca f (t)dt

∣∣ ≤≤∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt, onde | · | denota uma norma arbitr�aria, �xa em Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 31 / 49

Por exemplo, este �e o caso quando a fun�c�ao f tem extremo local em todosos pontos de uma curva passando por p. Supondo que a matriz hessianan�ao �e degenerada, o ponto cr��tico em quest�ao, apesar de ser isolado (istosigni�ca que numa vizinhan�ca aberta deste ponto n�ao h�a outros pontoscr��ticos), n�ao �e necessariamente um ponto de extremo local. O ponto podeapresentar um ponto de sela no gr�a�co de f , de modo que em algumasdire�c�oes temos um m��nimo local de f ,

em outras, um m�aximo local. Usan-do o teorema de in�ercia de Sylvester, podemos estudar e classi�car taispontos cr��ticos, mas paramos aqui, no in��cio da teoria de Morse, que tratadeste assunto.

Na pr�oxima subse�c�ao, precisaremos de alguns fatos t�ecnicos, inclusive dageneraliza�c�ao do item 4 da Proposi�c�ao 1.7.9 para caminhos integr�aveis.

2.11.5. Proposi�c�ao. Seja f : [a, c]→ Rn um caminho integr�avel (istosigni�ca que as componentes fj : [a, c]→ R, j = 1, . . . , n, de f s�ao fun�c�oesintegr�aveis). Ent�ao a fun�c�ao |f | : [a, c]→ R �e integr�avel e

∣∣ ∫ ca f (t)dt

∣∣ ≤≤∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt, onde | · | denota uma norma arbitr�aria, �xa em Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 31 / 49

Por exemplo, este �e o caso quando a fun�c�ao f tem extremo local em todosos pontos de uma curva passando por p. Supondo que a matriz hessianan�ao �e degenerada, o ponto cr��tico em quest�ao, apesar de ser isolado (istosigni�ca que numa vizinhan�ca aberta deste ponto n�ao h�a outros pontoscr��ticos), n�ao �e necessariamente um ponto de extremo local. O ponto podeapresentar um ponto de sela no gr�a�co de f , de modo que em algumasdire�c�oes temos um m��nimo local de f , em outras, um m�aximo local.

Usan-do o teorema de in�ercia de Sylvester, podemos estudar e classi�car taispontos cr��ticos, mas paramos aqui, no in��cio da teoria de Morse, que tratadeste assunto.

Na pr�oxima subse�c�ao, precisaremos de alguns fatos t�ecnicos, inclusive dageneraliza�c�ao do item 4 da Proposi�c�ao 1.7.9 para caminhos integr�aveis.

2.11.5. Proposi�c�ao. Seja f : [a, c]→ Rn um caminho integr�avel (istosigni�ca que as componentes fj : [a, c]→ R, j = 1, . . . , n, de f s�ao fun�c�oesintegr�aveis). Ent�ao a fun�c�ao |f | : [a, c]→ R �e integr�avel e

∣∣ ∫ ca f (t)dt

∣∣ ≤≤∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt, onde | · | denota uma norma arbitr�aria, �xa em Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 31 / 49

Por exemplo, este �e o caso quando a fun�c�ao f tem extremo local em todosos pontos de uma curva passando por p. Supondo que a matriz hessianan�ao �e degenerada, o ponto cr��tico em quest�ao, apesar de ser isolado (istosigni�ca que numa vizinhan�ca aberta deste ponto n�ao h�a outros pontoscr��ticos), n�ao �e necessariamente um ponto de extremo local. O ponto podeapresentar um ponto de sela no gr�a�co de f , de modo que em algumasdire�c�oes temos um m��nimo local de f , em outras, um m�aximo local. Usan-do o teorema de in�ercia de Sylvester, podemos estudar e classi�car taispontos cr��ticos,

mas paramos aqui, no in��cio da teoria de Morse, que tratadeste assunto.

Na pr�oxima subse�c�ao, precisaremos de alguns fatos t�ecnicos, inclusive dageneraliza�c�ao do item 4 da Proposi�c�ao 1.7.9 para caminhos integr�aveis.

2.11.5. Proposi�c�ao. Seja f : [a, c]→ Rn um caminho integr�avel (istosigni�ca que as componentes fj : [a, c]→ R, j = 1, . . . , n, de f s�ao fun�c�oesintegr�aveis). Ent�ao a fun�c�ao |f | : [a, c]→ R �e integr�avel e

∣∣ ∫ ca f (t)dt

∣∣ ≤≤∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt, onde | · | denota uma norma arbitr�aria, �xa em Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 31 / 49

Por exemplo, este �e o caso quando a fun�c�ao f tem extremo local em todosos pontos de uma curva passando por p. Supondo que a matriz hessianan�ao �e degenerada, o ponto cr��tico em quest�ao, apesar de ser isolado (istosigni�ca que numa vizinhan�ca aberta deste ponto n�ao h�a outros pontoscr��ticos), n�ao �e necessariamente um ponto de extremo local. O ponto podeapresentar um ponto de sela no gr�a�co de f , de modo que em algumasdire�c�oes temos um m��nimo local de f , em outras, um m�aximo local. Usan-do o teorema de in�ercia de Sylvester, podemos estudar e classi�car taispontos cr��ticos, mas paramos aqui, no in��cio da teoria de Morse, que tratadeste assunto.

Na pr�oxima subse�c�ao, precisaremos de alguns fatos t�ecnicos, inclusive dageneraliza�c�ao do item 4 da Proposi�c�ao 1.7.9 para caminhos integr�aveis.

2.11.5. Proposi�c�ao. Seja f : [a, c]→ Rn um caminho integr�avel (istosigni�ca que as componentes fj : [a, c]→ R, j = 1, . . . , n, de f s�ao fun�c�oesintegr�aveis). Ent�ao a fun�c�ao |f | : [a, c]→ R �e integr�avel e

∣∣ ∫ ca f (t)dt

∣∣ ≤≤∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt, onde | · | denota uma norma arbitr�aria, �xa em Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 31 / 49

Por exemplo, este �e o caso quando a fun�c�ao f tem extremo local em todosos pontos de uma curva passando por p. Supondo que a matriz hessianan�ao �e degenerada, o ponto cr��tico em quest�ao, apesar de ser isolado (istosigni�ca que numa vizinhan�ca aberta deste ponto n�ao h�a outros pontoscr��ticos), n�ao �e necessariamente um ponto de extremo local. O ponto podeapresentar um ponto de sela no gr�a�co de f , de modo que em algumasdire�c�oes temos um m��nimo local de f , em outras, um m�aximo local. Usan-do o teorema de in�ercia de Sylvester, podemos estudar e classi�car taispontos cr��ticos, mas paramos aqui, no in��cio da teoria de Morse, que tratadeste assunto.

Na pr�oxima subse�c�ao, precisaremos de alguns fatos t�ecnicos, inclusive dageneraliza�c�ao do item 4 da Proposi�c�ao 1.7.9 para caminhos integr�aveis.

2.11.5. Proposi�c�ao. Seja f : [a, c]→ Rn um caminho integr�avel (istosigni�ca que as componentes fj : [a, c]→ R, j = 1, . . . , n, de f s�ao fun�c�oesintegr�aveis). Ent�ao a fun�c�ao |f | : [a, c]→ R �e integr�avel e

∣∣ ∫ ca f (t)dt

∣∣ ≤≤∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt, onde | · | denota uma norma arbitr�aria, �xa em Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 31 / 49

Por exemplo, este �e o caso quando a fun�c�ao f tem extremo local em todosos pontos de uma curva passando por p. Supondo que a matriz hessianan�ao �e degenerada, o ponto cr��tico em quest�ao, apesar de ser isolado (istosigni�ca que numa vizinhan�ca aberta deste ponto n�ao h�a outros pontoscr��ticos), n�ao �e necessariamente um ponto de extremo local. O ponto podeapresentar um ponto de sela no gr�a�co de f , de modo que em algumasdire�c�oes temos um m��nimo local de f , em outras, um m�aximo local. Usan-do o teorema de in�ercia de Sylvester, podemos estudar e classi�car taispontos cr��ticos, mas paramos aqui, no in��cio da teoria de Morse, que tratadeste assunto.

Na pr�oxima subse�c�ao, precisaremos de alguns fatos t�ecnicos, inclusive dageneraliza�c�ao do item 4 da Proposi�c�ao 1.7.9 para caminhos integr�aveis.

2.11.5. Proposi�c�ao. Seja f : [a, c]→ Rn um caminho integr�avel

(istosigni�ca que as componentes fj : [a, c]→ R, j = 1, . . . , n, de f s�ao fun�c�oesintegr�aveis). Ent�ao a fun�c�ao |f | : [a, c]→ R �e integr�avel e

∣∣ ∫ ca f (t)dt

∣∣ ≤≤∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt, onde | · | denota uma norma arbitr�aria, �xa em Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 31 / 49

Por exemplo, este �e o caso quando a fun�c�ao f tem extremo local em todosos pontos de uma curva passando por p. Supondo que a matriz hessianan�ao �e degenerada, o ponto cr��tico em quest�ao, apesar de ser isolado (istosigni�ca que numa vizinhan�ca aberta deste ponto n�ao h�a outros pontoscr��ticos), n�ao �e necessariamente um ponto de extremo local. O ponto podeapresentar um ponto de sela no gr�a�co de f , de modo que em algumasdire�c�oes temos um m��nimo local de f , em outras, um m�aximo local. Usan-do o teorema de in�ercia de Sylvester, podemos estudar e classi�car taispontos cr��ticos, mas paramos aqui, no in��cio da teoria de Morse, que tratadeste assunto.

Na pr�oxima subse�c�ao, precisaremos de alguns fatos t�ecnicos, inclusive dageneraliza�c�ao do item 4 da Proposi�c�ao 1.7.9 para caminhos integr�aveis.

2.11.5. Proposi�c�ao. Seja f : [a, c]→ Rn um caminho integr�avel (istosigni�ca que as componentes fj : [a, c]→ R, j = 1, . . . , n, de f s�ao fun�c�oesintegr�aveis).

Ent�ao a fun�c�ao |f | : [a, c]→ R �e integr�avel e∣∣ ∫ c

a f (t)dt∣∣ ≤

≤∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt, onde | · | denota uma norma arbitr�aria, �xa em Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 31 / 49

Por exemplo, este �e o caso quando a fun�c�ao f tem extremo local em todosos pontos de uma curva passando por p. Supondo que a matriz hessianan�ao �e degenerada, o ponto cr��tico em quest�ao, apesar de ser isolado (istosigni�ca que numa vizinhan�ca aberta deste ponto n�ao h�a outros pontoscr��ticos), n�ao �e necessariamente um ponto de extremo local. O ponto podeapresentar um ponto de sela no gr�a�co de f , de modo que em algumasdire�c�oes temos um m��nimo local de f , em outras, um m�aximo local. Usan-do o teorema de in�ercia de Sylvester, podemos estudar e classi�car taispontos cr��ticos, mas paramos aqui, no in��cio da teoria de Morse, que tratadeste assunto.

Na pr�oxima subse�c�ao, precisaremos de alguns fatos t�ecnicos, inclusive dageneraliza�c�ao do item 4 da Proposi�c�ao 1.7.9 para caminhos integr�aveis.

2.11.5. Proposi�c�ao. Seja f : [a, c]→ Rn um caminho integr�avel (istosigni�ca que as componentes fj : [a, c]→ R, j = 1, . . . , n, de f s�ao fun�c�oesintegr�aveis). Ent�ao a fun�c�ao |f | : [a, c]→ R �e integr�avel e

∣∣ ∫ ca f (t) dt

∣∣ ≤≤∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt, onde | · | denota uma norma arbitr�aria, �xa em Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 31 / 49

Demonstra�c�ao. A desigualdade do lema �e v�alida para qualquer caminhoconstante f (t) := v ∈ Rn, pois

∣∣ ∫ ca f (t) dt

∣∣ = ∣∣(c − a)v∣∣ e ∫ c

a

∣∣f (t)∣∣dt == (c − a)|v | neste caso.

Se a desigualdade semelhante vale para caminhosintegr�aveis f |[a,b] : [a, b]→ Rn e f |[b,c] : [b, c]→ Rn, ent�ao a mesma valepara f , pois∣∣ ∫ c

a f (t) dt∣∣ = ∣∣ ∫ b

a f (t)dt +∫ cb f (t)dt

∣∣ ≤ ∣∣ ∫ ba f (t) dt

∣∣+ ∣∣ ∫ cb f (t)dt

∣∣ ≤≤∫ ba

∣∣f (t)∣∣dt + ∫ cb

∣∣f (t)∣∣ dt = ∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt.Da�� conclu��mos que a desigualdade vale para caminhos cujas componentess�ao fun�c�oes escada.Pela De�ni�c�ao 1.7.8, cada componente fj de f �e o limite uniforme de umasequ�encia de fun�c�oes escada fji : [a, c]→ R, i ∈ N, lim

i→∞fji = fj .

Denotemos por gi o caminho (integr�avel) com componentes f1i , . . . , fni .Temos a converg�encia lim

i→∞

∫ ca gi (t)dt =

∫ ca f (t)dt que se veri�ca por

componentes utilizando o �ultimo item da Proposi�c�ao 1.7.9.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 32 / 49

Demonstra�c�ao. A desigualdade do lema �e v�alida para qualquer caminhoconstante f (t) := v ∈ Rn, pois

∣∣ ∫ ca f (t) dt

∣∣ = ∣∣(c − a)v∣∣ e ∫ c

a

∣∣f (t)∣∣dt == (c − a)|v | neste caso. Se a desigualdade semelhante vale para caminhosintegr�aveis f |[a,b] : [a, b]→ Rn e f |[b,c] : [b, c]→ Rn, ent�ao a mesma valepara f ,

pois∣∣ ∫ ca f (t) dt

∣∣ = ∣∣ ∫ ba f (t)dt +

∫ cb f (t)dt

∣∣ ≤ ∣∣ ∫ ba f (t) dt

∣∣+ ∣∣ ∫ cb f (t)dt

∣∣ ≤≤∫ ba

∣∣f (t)∣∣dt + ∫ cb

∣∣f (t)∣∣ dt = ∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt.Da�� conclu��mos que a desigualdade vale para caminhos cujas componentess�ao fun�c�oes escada.Pela De�ni�c�ao 1.7.8, cada componente fj de f �e o limite uniforme de umasequ�encia de fun�c�oes escada fji : [a, c]→ R, i ∈ N, lim

i→∞fji = fj .

Denotemos por gi o caminho (integr�avel) com componentes f1i , . . . , fni .Temos a converg�encia lim

i→∞

∫ ca gi (t)dt =

∫ ca f (t)dt que se veri�ca por

componentes utilizando o �ultimo item da Proposi�c�ao 1.7.9.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 32 / 49

Demonstra�c�ao. A desigualdade do lema �e v�alida para qualquer caminhoconstante f (t) := v ∈ Rn, pois

∣∣ ∫ ca f (t) dt

∣∣ = ∣∣(c − a)v∣∣ e ∫ c

a

∣∣f (t)∣∣dt == (c − a)|v | neste caso. Se a desigualdade semelhante vale para caminhosintegr�aveis f |[a,b] : [a, b]→ Rn e f |[b,c] : [b, c]→ Rn, ent�ao a mesma valepara f , pois∣∣ ∫ c

a f (t) dt∣∣ = ∣∣ ∫ b

a f (t)dt +∫ cb f (t) dt

∣∣ ≤ ∣∣ ∫ ba f (t) dt

∣∣+ ∣∣ ∫ cb f (t)dt

∣∣ ≤

≤∫ ba

∣∣f (t)∣∣dt + ∫ cb

∣∣f (t)∣∣ dt = ∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt.Da�� conclu��mos que a desigualdade vale para caminhos cujas componentess�ao fun�c�oes escada.Pela De�ni�c�ao 1.7.8, cada componente fj de f �e o limite uniforme de umasequ�encia de fun�c�oes escada fji : [a, c]→ R, i ∈ N, lim

i→∞fji = fj .

Denotemos por gi o caminho (integr�avel) com componentes f1i , . . . , fni .Temos a converg�encia lim

i→∞

∫ ca gi (t)dt =

∫ ca f (t)dt que se veri�ca por

componentes utilizando o �ultimo item da Proposi�c�ao 1.7.9.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 32 / 49

Demonstra�c�ao. A desigualdade do lema �e v�alida para qualquer caminhoconstante f (t) := v ∈ Rn, pois

∣∣ ∫ ca f (t) dt

∣∣ = ∣∣(c − a)v∣∣ e ∫ c

a

∣∣f (t)∣∣dt == (c − a)|v | neste caso. Se a desigualdade semelhante vale para caminhosintegr�aveis f |[a,b] : [a, b]→ Rn e f |[b,c] : [b, c]→ Rn, ent�ao a mesma valepara f , pois∣∣ ∫ c

a f (t) dt∣∣ = ∣∣ ∫ b

a f (t)dt +∫ cb f (t) dt

∣∣ ≤ ∣∣ ∫ ba f (t) dt

∣∣+ ∣∣ ∫ cb f (t)dt

∣∣ ≤≤∫ ba

∣∣f (t)∣∣dt + ∫ cb

∣∣f (t)∣∣ dt = ∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt.

Da�� conclu��mos que a desigualdade vale para caminhos cujas componentess�ao fun�c�oes escada.Pela De�ni�c�ao 1.7.8, cada componente fj de f �e o limite uniforme de umasequ�encia de fun�c�oes escada fji : [a, c]→ R, i ∈ N, lim

i→∞fji = fj .

Denotemos por gi o caminho (integr�avel) com componentes f1i , . . . , fni .Temos a converg�encia lim

i→∞

∫ ca gi (t)dt =

∫ ca f (t)dt que se veri�ca por

componentes utilizando o �ultimo item da Proposi�c�ao 1.7.9.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 32 / 49

Demonstra�c�ao. A desigualdade do lema �e v�alida para qualquer caminhoconstante f (t) := v ∈ Rn, pois

∣∣ ∫ ca f (t) dt

∣∣ = ∣∣(c − a)v∣∣ e ∫ c

a

∣∣f (t)∣∣dt == (c − a)|v | neste caso. Se a desigualdade semelhante vale para caminhosintegr�aveis f |[a,b] : [a, b]→ Rn e f |[b,c] : [b, c]→ Rn, ent�ao a mesma valepara f , pois∣∣ ∫ c

a f (t) dt∣∣ = ∣∣ ∫ b

a f (t)dt +∫ cb f (t) dt

∣∣ ≤ ∣∣ ∫ ba f (t) dt

∣∣+ ∣∣ ∫ cb f (t)dt

∣∣ ≤≤∫ ba

∣∣f (t)∣∣dt + ∫ cb

∣∣f (t)∣∣ dt = ∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt.Da�� conclu��mos que a desigualdade vale para caminhos cujas componentess�ao fun�c�oes escada.

Pela De�ni�c�ao 1.7.8, cada componente fj de f �e o limite uniforme de umasequ�encia de fun�c�oes escada fji : [a, c]→ R, i ∈ N, lim

i→∞fji = fj .

Denotemos por gi o caminho (integr�avel) com componentes f1i , . . . , fni .Temos a converg�encia lim

i→∞

∫ ca gi (t)dt =

∫ ca f (t)dt que se veri�ca por

componentes utilizando o �ultimo item da Proposi�c�ao 1.7.9.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 32 / 49

Demonstra�c�ao. A desigualdade do lema �e v�alida para qualquer caminhoconstante f (t) := v ∈ Rn, pois

∣∣ ∫ ca f (t) dt

∣∣ = ∣∣(c − a)v∣∣ e ∫ c

a

∣∣f (t)∣∣dt == (c − a)|v | neste caso. Se a desigualdade semelhante vale para caminhosintegr�aveis f |[a,b] : [a, b]→ Rn e f |[b,c] : [b, c]→ Rn, ent�ao a mesma valepara f , pois∣∣ ∫ c

a f (t) dt∣∣ = ∣∣ ∫ b

a f (t)dt +∫ cb f (t) dt

∣∣ ≤ ∣∣ ∫ ba f (t) dt

∣∣+ ∣∣ ∫ cb f (t)dt

∣∣ ≤≤∫ ba

∣∣f (t)∣∣dt + ∫ cb

∣∣f (t)∣∣ dt = ∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt.Da�� conclu��mos que a desigualdade vale para caminhos cujas componentess�ao fun�c�oes escada.Pela De�ni�c�ao 1.7.8, cada componente fj de f �e o limite uniforme de umasequ�encia de fun�c�oes escada fji : [a, c]→ R, i ∈ N, lim

i→∞fji = fj .

Denotemos por gi o caminho (integr�avel) com componentes f1i , . . . , fni .Temos a converg�encia lim

i→∞

∫ ca gi (t)dt =

∫ ca f (t)dt que se veri�ca por

componentes utilizando o �ultimo item da Proposi�c�ao 1.7.9.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 32 / 49

Demonstra�c�ao. A desigualdade do lema �e v�alida para qualquer caminhoconstante f (t) := v ∈ Rn, pois

∣∣ ∫ ca f (t) dt

∣∣ = ∣∣(c − a)v∣∣ e ∫ c

a

∣∣f (t)∣∣dt == (c − a)|v | neste caso. Se a desigualdade semelhante vale para caminhosintegr�aveis f |[a,b] : [a, b]→ Rn e f |[b,c] : [b, c]→ Rn, ent�ao a mesma valepara f , pois∣∣ ∫ c

a f (t) dt∣∣ = ∣∣ ∫ b

a f (t)dt +∫ cb f (t) dt

∣∣ ≤ ∣∣ ∫ ba f (t) dt

∣∣+ ∣∣ ∫ cb f (t)dt

∣∣ ≤≤∫ ba

∣∣f (t)∣∣dt + ∫ cb

∣∣f (t)∣∣ dt = ∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt.Da�� conclu��mos que a desigualdade vale para caminhos cujas componentess�ao fun�c�oes escada.Pela De�ni�c�ao 1.7.8, cada componente fj de f �e o limite uniforme de umasequ�encia de fun�c�oes escada fji : [a, c]→ R, i ∈ N, lim

i→∞fji = fj .

Denotemos por gi o caminho (integr�avel) com componentes f1i , . . . , fni .

Temos a converg�encia limi→∞

∫ ca gi (t)dt =

∫ ca f (t)dt que se veri�ca por

componentes utilizando o �ultimo item da Proposi�c�ao 1.7.9.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 32 / 49

Demonstra�c�ao. A desigualdade do lema �e v�alida para qualquer caminhoconstante f (t) := v ∈ Rn, pois

∣∣ ∫ ca f (t) dt

∣∣ = ∣∣(c − a)v∣∣ e ∫ c

a

∣∣f (t)∣∣dt == (c − a)|v | neste caso. Se a desigualdade semelhante vale para caminhosintegr�aveis f |[a,b] : [a, b]→ Rn e f |[b,c] : [b, c]→ Rn, ent�ao a mesma valepara f , pois∣∣ ∫ c

a f (t) dt∣∣ = ∣∣ ∫ b

a f (t)dt +∫ cb f (t) dt

∣∣ ≤ ∣∣ ∫ ba f (t) dt

∣∣+ ∣∣ ∫ cb f (t)dt

∣∣ ≤≤∫ ba

∣∣f (t)∣∣dt + ∫ cb

∣∣f (t)∣∣ dt = ∫ ca

∣∣f (t)∣∣dt.Da�� conclu��mos que a desigualdade vale para caminhos cujas componentess�ao fun�c�oes escada.Pela De�ni�c�ao 1.7.8, cada componente fj de f �e o limite uniforme de umasequ�encia de fun�c�oes escada fji : [a, c]→ R, i ∈ N, lim

i→∞fji = fj .

Denotemos por gi o caminho (integr�avel) com componentes f1i , . . . , fni .Temos a converg�encia lim

i→∞

∫ ca gi (t)dt =

∫ ca f (t)dt que se veri�ca por

componentes utilizando o �ultimo item da Proposi�c�ao 1.7.9.

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Por outro lado, a sequ�encia de fun�c�oes |gi |, i ∈ N, converge uniformementea fun�c�ao |f |.

Realmente, usando a norma padr�ao | · |0 em Rn, peloLema 1.10.2, encontramos uma constante a > 0 tal que |v | ≤ a · |v |0 paratodo v ∈ Rn. Logo, para todo t ∈ [a, c],

∣∣gi (t)− f (t)∣∣ ≤ a

∣∣gi (t)− f (t)∣∣0=

= a

√n∑

j=1

(gij(t)− fj(t)

)2 ≤ a

√n∑

j=1||gij − fj ||2. J�a que

∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣ ≤≤∣∣gi (t)− f (t)

∣∣ e ∣∣f (t)∣∣− ∣∣gi (t)∣∣ ≤ ∣∣f (t)− gi (t)∣∣ = ∣∣gi (t)− f (t)

∣∣ pelaspropriedades da norma | · |, obtemos

∣∣∣∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣gi (t)− f (t)∣∣.

Portanto,∣∣∣∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣∣∣∣ ≤ a

√n∑

j=1||gij − fj ||2, onde a parte direita tende

a 0 quando i →∞. Isto implica que limi→∞

∣∣∣∣|gi | − |f |∣∣∣∣ = 0.

Sendo fun�c�oes escada as componentes das gi 's, sabemos que∣∣ ∫ ca gi (t)dt

∣∣ ≤ ∫ ca

∣∣gi (t)∣∣ dt para todo i ∈ N. Passando ao limite emambas as partes dessa desigualdade, pelo �ultimo item da Proposi�c�ao 1.7.9,chegamos ao desejado �

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Por outro lado, a sequ�encia de fun�c�oes |gi |, i ∈ N, converge uniformementea fun�c�ao |f |. Realmente, usando a norma padr�ao | · |0 em Rn, peloLema 1.10.2, encontramos uma constante a > 0 tal que |v | ≤ a · |v |0 paratodo v ∈ Rn.

Logo, para todo t ∈ [a, c],∣∣gi (t)− f (t)

∣∣ ≤ a∣∣gi (t)− f (t)

∣∣0=

= a

√n∑

j=1

(gij(t)− fj(t)

)2 ≤ a

√n∑

j=1||gij − fj ||2. J�a que

∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣ ≤≤∣∣gi (t)− f (t)

∣∣ e ∣∣f (t)∣∣− ∣∣gi (t)∣∣ ≤ ∣∣f (t)− gi (t)∣∣ = ∣∣gi (t)− f (t)

∣∣ pelaspropriedades da norma | · |, obtemos

∣∣∣∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣gi (t)− f (t)∣∣.

Portanto,∣∣∣∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣∣∣∣ ≤ a

√n∑

j=1||gij − fj ||2, onde a parte direita tende

a 0 quando i →∞. Isto implica que limi→∞

∣∣∣∣|gi | − |f |∣∣∣∣ = 0.

Sendo fun�c�oes escada as componentes das gi 's, sabemos que∣∣ ∫ ca gi (t)dt

∣∣ ≤ ∫ ca

∣∣gi (t)∣∣ dt para todo i ∈ N. Passando ao limite emambas as partes dessa desigualdade, pelo �ultimo item da Proposi�c�ao 1.7.9,chegamos ao desejado �

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Por outro lado, a sequ�encia de fun�c�oes |gi |, i ∈ N, converge uniformementea fun�c�ao |f |. Realmente, usando a norma padr�ao | · |0 em Rn, peloLema 1.10.2, encontramos uma constante a > 0 tal que |v | ≤ a · |v |0 paratodo v ∈ Rn. Logo, para todo t ∈ [a, c],

∣∣gi (t)− f (t)∣∣ ≤ a

∣∣gi (t)− f (t)∣∣0=

= a

√n∑

j=1

(gij(t)− fj(t)

)2 ≤ a

√n∑

j=1||gij − fj ||2.

J�a que∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣ ≤

≤∣∣gi (t)− f (t)

∣∣ e ∣∣f (t)∣∣− ∣∣gi (t)∣∣ ≤ ∣∣f (t)− gi (t)∣∣ = ∣∣gi (t)− f (t)

∣∣ pelaspropriedades da norma | · |, obtemos

∣∣∣∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣gi (t)− f (t)∣∣.

Portanto,∣∣∣∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣∣∣∣ ≤ a

√n∑

j=1||gij − fj ||2, onde a parte direita tende

a 0 quando i →∞. Isto implica que limi→∞

∣∣∣∣|gi | − |f |∣∣∣∣ = 0.

Sendo fun�c�oes escada as componentes das gi 's, sabemos que∣∣ ∫ ca gi (t)dt

∣∣ ≤ ∫ ca

∣∣gi (t)∣∣ dt para todo i ∈ N. Passando ao limite emambas as partes dessa desigualdade, pelo �ultimo item da Proposi�c�ao 1.7.9,chegamos ao desejado �

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Por outro lado, a sequ�encia de fun�c�oes |gi |, i ∈ N, converge uniformementea fun�c�ao |f |. Realmente, usando a norma padr�ao | · |0 em Rn, peloLema 1.10.2, encontramos uma constante a > 0 tal que |v | ≤ a · |v |0 paratodo v ∈ Rn. Logo, para todo t ∈ [a, c],

∣∣gi (t)− f (t)∣∣ ≤ a

∣∣gi (t)− f (t)∣∣0=

= a

√n∑

j=1

(gij(t)− fj(t)

)2 ≤ a

√n∑

j=1||gij − fj ||2. J�a que

∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣ ≤≤∣∣gi (t)− f (t)

∣∣ e ∣∣f (t)∣∣− ∣∣gi (t)∣∣ ≤ ∣∣f (t)− gi (t)∣∣ = ∣∣gi (t)− f (t)

∣∣ pelaspropriedades da norma | · |, obtemos

∣∣∣∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣gi (t)− f (t)∣∣.

Portanto,∣∣∣∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣∣∣∣ ≤ a

√n∑

j=1||gij − fj ||2, onde a parte direita tende

a 0 quando i →∞. Isto implica que limi→∞

∣∣∣∣|gi | − |f |∣∣∣∣ = 0.

Sendo fun�c�oes escada as componentes das gi 's, sabemos que∣∣ ∫ ca gi (t)dt

∣∣ ≤ ∫ ca

∣∣gi (t)∣∣ dt para todo i ∈ N. Passando ao limite emambas as partes dessa desigualdade, pelo �ultimo item da Proposi�c�ao 1.7.9,chegamos ao desejado �

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Por outro lado, a sequ�encia de fun�c�oes |gi |, i ∈ N, converge uniformementea fun�c�ao |f |. Realmente, usando a norma padr�ao | · |0 em Rn, peloLema 1.10.2, encontramos uma constante a > 0 tal que |v | ≤ a · |v |0 paratodo v ∈ Rn. Logo, para todo t ∈ [a, c],

∣∣gi (t)− f (t)∣∣ ≤ a

∣∣gi (t)− f (t)∣∣0=

= a

√n∑

j=1

(gij(t)− fj(t)

)2 ≤ a

√n∑

j=1||gij − fj ||2. J�a que

∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣ ≤≤∣∣gi (t)− f (t)

∣∣ e ∣∣f (t)∣∣− ∣∣gi (t)∣∣ ≤ ∣∣f (t)− gi (t)∣∣ = ∣∣gi (t)− f (t)

∣∣ pelaspropriedades da norma | · |, obtemos

∣∣∣∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣gi (t)− f (t)∣∣.

Portanto,∣∣∣∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣∣∣∣ ≤ a

√n∑

j=1||gij − fj ||2, onde a parte direita tende

a 0 quando i →∞.

Isto implica que limi→∞

∣∣∣∣|gi | − |f |∣∣∣∣ = 0.

Sendo fun�c�oes escada as componentes das gi 's, sabemos que∣∣ ∫ ca gi (t)dt

∣∣ ≤ ∫ ca

∣∣gi (t)∣∣ dt para todo i ∈ N. Passando ao limite emambas as partes dessa desigualdade, pelo �ultimo item da Proposi�c�ao 1.7.9,chegamos ao desejado �

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Por outro lado, a sequ�encia de fun�c�oes |gi |, i ∈ N, converge uniformementea fun�c�ao |f |. Realmente, usando a norma padr�ao | · |0 em Rn, peloLema 1.10.2, encontramos uma constante a > 0 tal que |v | ≤ a · |v |0 paratodo v ∈ Rn. Logo, para todo t ∈ [a, c],

∣∣gi (t)− f (t)∣∣ ≤ a

∣∣gi (t)− f (t)∣∣0=

= a

√n∑

j=1

(gij(t)− fj(t)

)2 ≤ a

√n∑

j=1||gij − fj ||2. J�a que

∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣ ≤≤∣∣gi (t)− f (t)

∣∣ e ∣∣f (t)∣∣− ∣∣gi (t)∣∣ ≤ ∣∣f (t)− gi (t)∣∣ = ∣∣gi (t)− f (t)

∣∣ pelaspropriedades da norma | · |, obtemos

∣∣∣∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣gi (t)− f (t)∣∣.

Portanto,∣∣∣∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣∣∣∣ ≤ a

√n∑

j=1||gij − fj ||2, onde a parte direita tende

a 0 quando i →∞. Isto implica que limi→∞

∣∣∣∣|gi | − |f |∣∣∣∣ = 0.

Sendo fun�c�oes escada as componentes das gi 's, sabemos que∣∣ ∫ ca gi (t)dt

∣∣ ≤ ∫ ca

∣∣gi (t)∣∣ dt para todo i ∈ N. Passando ao limite emambas as partes dessa desigualdade, pelo �ultimo item da Proposi�c�ao 1.7.9,chegamos ao desejado �

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Por outro lado, a sequ�encia de fun�c�oes |gi |, i ∈ N, converge uniformementea fun�c�ao |f |. Realmente, usando a norma padr�ao | · |0 em Rn, peloLema 1.10.2, encontramos uma constante a > 0 tal que |v | ≤ a · |v |0 paratodo v ∈ Rn. Logo, para todo t ∈ [a, c],

∣∣gi (t)− f (t)∣∣ ≤ a

∣∣gi (t)− f (t)∣∣0=

= a

√n∑

j=1

(gij(t)− fj(t)

)2 ≤ a

√n∑

j=1||gij − fj ||2. J�a que

∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣ ≤≤∣∣gi (t)− f (t)

∣∣ e ∣∣f (t)∣∣− ∣∣gi (t)∣∣ ≤ ∣∣f (t)− gi (t)∣∣ = ∣∣gi (t)− f (t)

∣∣ pelaspropriedades da norma | · |, obtemos

∣∣∣∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣gi (t)− f (t)∣∣.

Portanto,∣∣∣∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣∣∣∣ ≤ a

√n∑

j=1||gij − fj ||2, onde a parte direita tende

a 0 quando i →∞. Isto implica que limi→∞

∣∣∣∣|gi | − |f |∣∣∣∣ = 0.

Sendo fun�c�oes escada as componentes das gi 's, sabemos que∣∣ ∫ ca gi (t) dt

∣∣ ≤ ∫ ca

∣∣gi (t)∣∣ dt para todo i ∈ N.

Passando ao limite emambas as partes dessa desigualdade, pelo �ultimo item da Proposi�c�ao 1.7.9,chegamos ao desejado �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 33 / 49

Por outro lado, a sequ�encia de fun�c�oes |gi |, i ∈ N, converge uniformementea fun�c�ao |f |. Realmente, usando a norma padr�ao | · |0 em Rn, peloLema 1.10.2, encontramos uma constante a > 0 tal que |v | ≤ a · |v |0 paratodo v ∈ Rn. Logo, para todo t ∈ [a, c],

∣∣gi (t)− f (t)∣∣ ≤ a

∣∣gi (t)− f (t)∣∣0=

= a

√n∑

j=1

(gij(t)− fj(t)

)2 ≤ a

√n∑

j=1||gij − fj ||2. J�a que

∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣ ≤≤∣∣gi (t)− f (t)

∣∣ e ∣∣f (t)∣∣− ∣∣gi (t)∣∣ ≤ ∣∣f (t)− gi (t)∣∣ = ∣∣gi (t)− f (t)

∣∣ pelaspropriedades da norma | · |, obtemos

∣∣∣∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣gi (t)− f (t)∣∣.

Portanto,∣∣∣∣∣gi (t)∣∣− ∣∣f (t)∣∣∣∣∣ ≤ a

√n∑

j=1||gij − fj ||2, onde a parte direita tende

a 0 quando i →∞. Isto implica que limi→∞

∣∣∣∣|gi | − |f |∣∣∣∣ = 0.

Sendo fun�c�oes escada as componentes das gi 's, sabemos que∣∣ ∫ ca gi (t) dt

∣∣ ≤ ∫ ca

∣∣gi (t)∣∣ dt para todo i ∈ N. Passando ao limite emambas as partes dessa desigualdade, pelo �ultimo item da Proposi�c�ao 1.7.9,chegamos ao desejado �

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2.11.6. De�ni�c�ao. Sejam V e V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nitamunidos respectivamente de normas | · | e | · |′ e seja L : V → V ′ uma apli-ca�c�ao linear.

De�nimos a norma de L pela f�ormula

|L| := sup06=v∈V

|Lv |′|v | = sup

|v |=1|Lv |′. Sendo

{v ∈ V | |v | = 1

}um compacto e

sendo L cont��nua, conclu��mos pelo Lema 1.7.10 que |L| <∞. Claro que anorma |L| pressup�oe (e depende das) escolhas de normas em V e V ′.

2.11.7. Corol�ario (teorema do valor m�edio). Sejam V e V ′ espa�cos R-li-neares de dimens�ao �nita munidos respectivamente de normas | · | e | · |′,seja V ◦⊃U

f−→ V ′ uma aplica�c�ao de classe C 1 e seja [p1, p2] ⊂ U, onde[p1, p2] denota o segmento de reta que liga os pontos p1, p2. Ent�ao∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1|.

Demonstra�c�ao. Pelo teorema fundamental do c�alculo, f (p2)− f (p1) =

=∫ 10

ddt f(p1 + t(p2 − p1)

)dt. Pelo Lema 2.2, d

dt f(p1 + t(p2 − p1)

)=

= (Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1). Pelas Proposi�c�oes 2.11.5 e 1.7.9 e pela De�ni-

�c�ao 2.11.6,∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ ∫ 10

∣∣(Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1)∣∣′ dt ≤

≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1| �

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2.11.6. De�ni�c�ao. Sejam V e V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nitamunidos respectivamente de normas | · | e | · |′ e seja L : V → V ′ uma apli-ca�c�ao linear. De�nimos a norma de L pela f�ormula

|L| := sup06=v∈V

|Lv |′|v | = sup

|v |=1|Lv |′.

Sendo{v ∈ V | |v | = 1

}um compacto e

sendo L cont��nua, conclu��mos pelo Lema 1.7.10 que |L| <∞. Claro que anorma |L| pressup�oe (e depende das) escolhas de normas em V e V ′.

2.11.7. Corol�ario (teorema do valor m�edio). Sejam V e V ′ espa�cos R-li-neares de dimens�ao �nita munidos respectivamente de normas | · | e | · |′,seja V ◦⊃U

f−→ V ′ uma aplica�c�ao de classe C 1 e seja [p1, p2] ⊂ U, onde[p1, p2] denota o segmento de reta que liga os pontos p1, p2. Ent�ao∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1|.

Demonstra�c�ao. Pelo teorema fundamental do c�alculo, f (p2)− f (p1) =

=∫ 10

ddt f(p1 + t(p2 − p1)

)dt. Pelo Lema 2.2, d

dt f(p1 + t(p2 − p1)

)=

= (Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1). Pelas Proposi�c�oes 2.11.5 e 1.7.9 e pela De�ni-

�c�ao 2.11.6,∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ ∫ 10

∣∣(Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1)∣∣′ dt ≤

≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1| �

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2.11.6. De�ni�c�ao. Sejam V e V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nitamunidos respectivamente de normas | · | e | · |′ e seja L : V → V ′ uma apli-ca�c�ao linear. De�nimos a norma de L pela f�ormula

|L| := sup06=v∈V

|Lv |′|v | = sup

|v |=1|Lv |′. Sendo

{v ∈ V | |v | = 1

}um compacto e

sendo L cont��nua, conclu��mos pelo Lema 1.7.10 que |L| <∞.

Claro que anorma |L| pressup�oe (e depende das) escolhas de normas em V e V ′.

2.11.7. Corol�ario (teorema do valor m�edio). Sejam V e V ′ espa�cos R-li-neares de dimens�ao �nita munidos respectivamente de normas | · | e | · |′,seja V ◦⊃U

f−→ V ′ uma aplica�c�ao de classe C 1 e seja [p1, p2] ⊂ U, onde[p1, p2] denota o segmento de reta que liga os pontos p1, p2. Ent�ao∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1|.

Demonstra�c�ao. Pelo teorema fundamental do c�alculo, f (p2)− f (p1) =

=∫ 10

ddt f(p1 + t(p2 − p1)

)dt. Pelo Lema 2.2, d

dt f(p1 + t(p2 − p1)

)=

= (Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1). Pelas Proposi�c�oes 2.11.5 e 1.7.9 e pela De�ni-

�c�ao 2.11.6,∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ ∫ 10

∣∣(Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1)∣∣′ dt ≤

≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1| �

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2.11.6. De�ni�c�ao. Sejam V e V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nitamunidos respectivamente de normas | · | e | · |′ e seja L : V → V ′ uma apli-ca�c�ao linear. De�nimos a norma de L pela f�ormula

|L| := sup06=v∈V

|Lv |′|v | = sup

|v |=1|Lv |′. Sendo

{v ∈ V | |v | = 1

}um compacto e

sendo L cont��nua, conclu��mos pelo Lema 1.7.10 que |L| <∞. Claro que anorma |L| pressup�oe (e depende das) escolhas de normas em V e V ′.

2.11.7. Corol�ario (teorema do valor m�edio). Sejam V e V ′ espa�cos R-li-neares de dimens�ao �nita munidos respectivamente de normas | · | e | · |′,seja V ◦⊃U

f−→ V ′ uma aplica�c�ao de classe C 1 e seja [p1, p2] ⊂ U, onde[p1, p2] denota o segmento de reta que liga os pontos p1, p2. Ent�ao∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1|.

Demonstra�c�ao. Pelo teorema fundamental do c�alculo, f (p2)− f (p1) =

=∫ 10

ddt f(p1 + t(p2 − p1)

)dt. Pelo Lema 2.2, d

dt f(p1 + t(p2 − p1)

)=

= (Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1). Pelas Proposi�c�oes 2.11.5 e 1.7.9 e pela De�ni-

�c�ao 2.11.6,∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ ∫ 10

∣∣(Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1)∣∣′ dt ≤

≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1| �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 34 / 49

2.11.6. De�ni�c�ao. Sejam V e V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nitamunidos respectivamente de normas | · | e | · |′ e seja L : V → V ′ uma apli-ca�c�ao linear. De�nimos a norma de L pela f�ormula

|L| := sup06=v∈V

|Lv |′|v | = sup

|v |=1|Lv |′. Sendo

{v ∈ V | |v | = 1

}um compacto e

sendo L cont��nua, conclu��mos pelo Lema 1.7.10 que |L| <∞. Claro que anorma |L| pressup�oe (e depende das) escolhas de normas em V e V ′.

2.11.7. Corol�ario (teorema do valor m�edio). Sejam V e V ′ espa�cos R-li-neares de dimens�ao �nita munidos respectivamente de normas | · | e | · |′,

seja V ◦⊃Uf−→ V ′ uma aplica�c�ao de classe C 1 e seja [p1, p2] ⊂ U, onde

[p1, p2] denota o segmento de reta que liga os pontos p1, p2. Ent�ao∣∣f (p2)− f (p1)∣∣′ ≤ sup

x∈[p1,p2]|Dx f | · |p2 − p1|.

Demonstra�c�ao. Pelo teorema fundamental do c�alculo, f (p2)− f (p1) =

=∫ 10

ddt f(p1 + t(p2 − p1)

)dt. Pelo Lema 2.2, d

dt f(p1 + t(p2 − p1)

)=

= (Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1). Pelas Proposi�c�oes 2.11.5 e 1.7.9 e pela De�ni-

�c�ao 2.11.6,∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ ∫ 10

∣∣(Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1)∣∣′ dt ≤

≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1| �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 34 / 49

2.11.6. De�ni�c�ao. Sejam V e V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nitamunidos respectivamente de normas | · | e | · |′ e seja L : V → V ′ uma apli-ca�c�ao linear. De�nimos a norma de L pela f�ormula

|L| := sup06=v∈V

|Lv |′|v | = sup

|v |=1|Lv |′. Sendo

{v ∈ V | |v | = 1

}um compacto e

sendo L cont��nua, conclu��mos pelo Lema 1.7.10 que |L| <∞. Claro que anorma |L| pressup�oe (e depende das) escolhas de normas em V e V ′.

2.11.7. Corol�ario (teorema do valor m�edio). Sejam V e V ′ espa�cos R-li-neares de dimens�ao �nita munidos respectivamente de normas | · | e | · |′,seja V ◦⊃U

f−→ V ′ uma aplica�c�ao de classe C 1

e seja [p1, p2] ⊂ U, onde[p1, p2] denota o segmento de reta que liga os pontos p1, p2. Ent�ao∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1|.

Demonstra�c�ao. Pelo teorema fundamental do c�alculo, f (p2)− f (p1) =

=∫ 10

ddt f(p1 + t(p2 − p1)

)dt. Pelo Lema 2.2, d

dt f(p1 + t(p2 − p1)

)=

= (Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1). Pelas Proposi�c�oes 2.11.5 e 1.7.9 e pela De�ni-

�c�ao 2.11.6,∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ ∫ 10

∣∣(Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1)∣∣′ dt ≤

≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1| �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 34 / 49

2.11.6. De�ni�c�ao. Sejam V e V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nitamunidos respectivamente de normas | · | e | · |′ e seja L : V → V ′ uma apli-ca�c�ao linear. De�nimos a norma de L pela f�ormula

|L| := sup06=v∈V

|Lv |′|v | = sup

|v |=1|Lv |′. Sendo

{v ∈ V | |v | = 1

}um compacto e

sendo L cont��nua, conclu��mos pelo Lema 1.7.10 que |L| <∞. Claro que anorma |L| pressup�oe (e depende das) escolhas de normas em V e V ′.

2.11.7. Corol�ario (teorema do valor m�edio). Sejam V e V ′ espa�cos R-li-neares de dimens�ao �nita munidos respectivamente de normas | · | e | · |′,seja V ◦⊃U

f−→ V ′ uma aplica�c�ao de classe C 1 e seja [p1, p2] ⊂ U, onde[p1, p2] denota o segmento de reta que liga os pontos p1, p2.

Ent�ao∣∣f (p2)− f (p1)∣∣′ ≤ sup

x∈[p1,p2]|Dx f | · |p2 − p1|.

Demonstra�c�ao. Pelo teorema fundamental do c�alculo, f (p2)− f (p1) =

=∫ 10

ddt f(p1 + t(p2 − p1)

)dt. Pelo Lema 2.2, d

dt f(p1 + t(p2 − p1)

)=

= (Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1). Pelas Proposi�c�oes 2.11.5 e 1.7.9 e pela De�ni-

�c�ao 2.11.6,∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ ∫ 10

∣∣(Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1)∣∣′ dt ≤

≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1| �

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2.11.6. De�ni�c�ao. Sejam V e V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nitamunidos respectivamente de normas | · | e | · |′ e seja L : V → V ′ uma apli-ca�c�ao linear. De�nimos a norma de L pela f�ormula

|L| := sup06=v∈V

|Lv |′|v | = sup

|v |=1|Lv |′. Sendo

{v ∈ V | |v | = 1

}um compacto e

sendo L cont��nua, conclu��mos pelo Lema 1.7.10 que |L| <∞. Claro que anorma |L| pressup�oe (e depende das) escolhas de normas em V e V ′.

2.11.7. Corol�ario (teorema do valor m�edio). Sejam V e V ′ espa�cos R-li-neares de dimens�ao �nita munidos respectivamente de normas | · | e | · |′,seja V ◦⊃U

f−→ V ′ uma aplica�c�ao de classe C 1 e seja [p1, p2] ⊂ U, onde[p1, p2] denota o segmento de reta que liga os pontos p1, p2. Ent�ao∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1|.

Demonstra�c�ao. Pelo teorema fundamental do c�alculo, f (p2)− f (p1) =

=∫ 10

ddt f(p1 + t(p2 − p1)

)dt. Pelo Lema 2.2, d

dt f(p1 + t(p2 − p1)

)=

= (Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1). Pelas Proposi�c�oes 2.11.5 e 1.7.9 e pela De�ni-

�c�ao 2.11.6,∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ ∫ 10

∣∣(Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1)∣∣′ dt ≤

≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1| �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 34 / 49

2.11.6. De�ni�c�ao. Sejam V e V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nitamunidos respectivamente de normas | · | e | · |′ e seja L : V → V ′ uma apli-ca�c�ao linear. De�nimos a norma de L pela f�ormula

|L| := sup06=v∈V

|Lv |′|v | = sup

|v |=1|Lv |′. Sendo

{v ∈ V | |v | = 1

}um compacto e

sendo L cont��nua, conclu��mos pelo Lema 1.7.10 que |L| <∞. Claro que anorma |L| pressup�oe (e depende das) escolhas de normas em V e V ′.

2.11.7. Corol�ario (teorema do valor m�edio). Sejam V e V ′ espa�cos R-li-neares de dimens�ao �nita munidos respectivamente de normas | · | e | · |′,seja V ◦⊃U

f−→ V ′ uma aplica�c�ao de classe C 1 e seja [p1, p2] ⊂ U, onde[p1, p2] denota o segmento de reta que liga os pontos p1, p2. Ent�ao∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1|.

Demonstra�c�ao. Pelo teorema fundamental do c�alculo, f (p2)− f (p1) =

=∫ 10

ddt f(p1 + t(p2 − p1)

)dt.

Pelo Lema 2.2, ddt f(p1 + t(p2 − p1)

)=

= (Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1). Pelas Proposi�c�oes 2.11.5 e 1.7.9 e pela De�ni-

�c�ao 2.11.6,∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ ∫ 10

∣∣(Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1)∣∣′ dt ≤

≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1| �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 34 / 49

2.11.6. De�ni�c�ao. Sejam V e V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nitamunidos respectivamente de normas | · | e | · |′ e seja L : V → V ′ uma apli-ca�c�ao linear. De�nimos a norma de L pela f�ormula

|L| := sup06=v∈V

|Lv |′|v | = sup

|v |=1|Lv |′. Sendo

{v ∈ V | |v | = 1

}um compacto e

sendo L cont��nua, conclu��mos pelo Lema 1.7.10 que |L| <∞. Claro que anorma |L| pressup�oe (e depende das) escolhas de normas em V e V ′.

2.11.7. Corol�ario (teorema do valor m�edio). Sejam V e V ′ espa�cos R-li-neares de dimens�ao �nita munidos respectivamente de normas | · | e | · |′,seja V ◦⊃U

f−→ V ′ uma aplica�c�ao de classe C 1 e seja [p1, p2] ⊂ U, onde[p1, p2] denota o segmento de reta que liga os pontos p1, p2. Ent�ao∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1|.

Demonstra�c�ao. Pelo teorema fundamental do c�alculo, f (p2)− f (p1) =

=∫ 10

ddt f(p1 + t(p2 − p1)

)dt. Pelo Lema 2.2, d

dt f(p1 + t(p2 − p1)

)=

= (Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1).

Pelas Proposi�c�oes 2.11.5 e 1.7.9 e pela De�ni-

�c�ao 2.11.6,∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ ∫ 10

∣∣(Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1)∣∣′ dt ≤

≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1| �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 34 / 49

2.11.6. De�ni�c�ao. Sejam V e V ′ espa�cos R-lineares de dimens�ao �nitamunidos respectivamente de normas | · | e | · |′ e seja L : V → V ′ uma apli-ca�c�ao linear. De�nimos a norma de L pela f�ormula

|L| := sup06=v∈V

|Lv |′|v | = sup

|v |=1|Lv |′. Sendo

{v ∈ V | |v | = 1

}um compacto e

sendo L cont��nua, conclu��mos pelo Lema 1.7.10 que |L| <∞. Claro que anorma |L| pressup�oe (e depende das) escolhas de normas em V e V ′.

2.11.7. Corol�ario (teorema do valor m�edio). Sejam V e V ′ espa�cos R-li-neares de dimens�ao �nita munidos respectivamente de normas | · | e | · |′,seja V ◦⊃U

f−→ V ′ uma aplica�c�ao de classe C 1 e seja [p1, p2] ⊂ U, onde[p1, p2] denota o segmento de reta que liga os pontos p1, p2. Ent�ao∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1|.

Demonstra�c�ao. Pelo teorema fundamental do c�alculo, f (p2)− f (p1) =

=∫ 10

ddt f(p1 + t(p2 − p1)

)dt. Pelo Lema 2.2, d

dt f(p1 + t(p2 − p1)

)=

= (Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1). Pelas Proposi�c�oes 2.11.5 e 1.7.9 e pela De�ni-

�c�ao 2.11.6,∣∣f (p2)− f (p1)

∣∣′ ≤ ∫ 10

∣∣(Dp1+t(p2−p1)f )(p2 − p1)∣∣′ dt ≤

≤ supx∈[p1,p2]

|Dx f | · |p2 − p1| �S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 34 / 49

2.12. Teoremas da fun�c�ao inversa e da fun�c�ao impl��cita.

O teoremada fun�c�ao inversa reduz o problema de exist�encia da inversa local de umaaplica�c�ao ao problema de exist�encia da inversa de sua derivada num ponto,isto �e, a um problema de �algebra linear. Grosso modo, o teorema a�rmaque uma aplica�c�ao possui inversa local na vizinhan�ca de um ponto se suaderivada neste ponto �e um isomor�smo linear:

2.12.1. Teorema (da fun�c�ao inversa). Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares dedimens�ao �nita, p ∈ U ⊂◦V e f : U → V ′ uma aplica�c�ao de classe C k ,k ≥ 1, tais que Dpf : V → V ′ �e um isomor�smo linear. Ent�ao existem vizi-nhan�cas abertas p ∈W ⊂◦U e f (p) ∈W ′⊂◦V ′ e uma aplica�c�aog : W ′ →W de classe C k tais que f (W ) = W ′, g ◦

(f |W

)= 1W e(

f |W)◦ g = 1W ′ .

O teorema da fun�c�ao impl��cita serve, por exemplo, para resolver (pelomenos teoricamente) alguns sistemas de equa�c�oes n�ao-lineares. Novamente,o problema de exist�encia local de solu�c�oes se reduz a um semelhante pro-blema de �algebra linear.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 35 / 49

2.12. Teoremas da fun�c�ao inversa e da fun�c�ao impl��cita. O teoremada fun�c�ao inversa reduz o problema de exist�encia da inversa local de umaaplica�c�ao ao problema de exist�encia da inversa de sua derivada num ponto,

isto �e, a um problema de �algebra linear. Grosso modo, o teorema a�rmaque uma aplica�c�ao possui inversa local na vizinhan�ca de um ponto se suaderivada neste ponto �e um isomor�smo linear:

2.12.1. Teorema (da fun�c�ao inversa). Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares dedimens�ao �nita, p ∈ U ⊂◦V e f : U → V ′ uma aplica�c�ao de classe C k ,k ≥ 1, tais que Dpf : V → V ′ �e um isomor�smo linear. Ent�ao existem vizi-nhan�cas abertas p ∈W ⊂◦U e f (p) ∈W ′⊂◦V ′ e uma aplica�c�aog : W ′ →W de classe C k tais que f (W ) = W ′, g ◦

(f |W

)= 1W e(

f |W)◦ g = 1W ′ .

O teorema da fun�c�ao impl��cita serve, por exemplo, para resolver (pelomenos teoricamente) alguns sistemas de equa�c�oes n�ao-lineares. Novamente,o problema de exist�encia local de solu�c�oes se reduz a um semelhante pro-blema de �algebra linear.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 35 / 49

2.12. Teoremas da fun�c�ao inversa e da fun�c�ao impl��cita. O teoremada fun�c�ao inversa reduz o problema de exist�encia da inversa local de umaaplica�c�ao ao problema de exist�encia da inversa de sua derivada num ponto,isto �e, a um problema de �algebra linear.

Grosso modo, o teorema a�rmaque uma aplica�c�ao possui inversa local na vizinhan�ca de um ponto se suaderivada neste ponto �e um isomor�smo linear:

2.12.1. Teorema (da fun�c�ao inversa). Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares dedimens�ao �nita, p ∈ U ⊂◦V e f : U → V ′ uma aplica�c�ao de classe C k ,k ≥ 1, tais que Dpf : V → V ′ �e um isomor�smo linear. Ent�ao existem vizi-nhan�cas abertas p ∈W ⊂◦U e f (p) ∈W ′⊂◦V ′ e uma aplica�c�aog : W ′ →W de classe C k tais que f (W ) = W ′, g ◦

(f |W

)= 1W e(

f |W)◦ g = 1W ′ .

O teorema da fun�c�ao impl��cita serve, por exemplo, para resolver (pelomenos teoricamente) alguns sistemas de equa�c�oes n�ao-lineares. Novamente,o problema de exist�encia local de solu�c�oes se reduz a um semelhante pro-blema de �algebra linear.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 35 / 49

2.12. Teoremas da fun�c�ao inversa e da fun�c�ao impl��cita. O teoremada fun�c�ao inversa reduz o problema de exist�encia da inversa local de umaaplica�c�ao ao problema de exist�encia da inversa de sua derivada num ponto,isto �e, a um problema de �algebra linear. Grosso modo, o teorema a�rmaque uma aplica�c�ao possui inversa local na vizinhan�ca de um ponto se suaderivada neste ponto �e um isomor�smo linear:

2.12.1. Teorema (da fun�c�ao inversa). Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares dedimens�ao �nita, p ∈ U ⊂◦V e f : U → V ′ uma aplica�c�ao de classe C k ,k ≥ 1, tais que Dpf : V → V ′ �e um isomor�smo linear. Ent�ao existem vizi-nhan�cas abertas p ∈W ⊂◦U e f (p) ∈W ′⊂◦V ′ e uma aplica�c�aog : W ′ →W de classe C k tais que f (W ) = W ′, g ◦

(f |W

)= 1W e(

f |W)◦ g = 1W ′ .

O teorema da fun�c�ao impl��cita serve, por exemplo, para resolver (pelomenos teoricamente) alguns sistemas de equa�c�oes n�ao-lineares. Novamente,o problema de exist�encia local de solu�c�oes se reduz a um semelhante pro-blema de �algebra linear.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 35 / 49

2.12. Teoremas da fun�c�ao inversa e da fun�c�ao impl��cita. O teoremada fun�c�ao inversa reduz o problema de exist�encia da inversa local de umaaplica�c�ao ao problema de exist�encia da inversa de sua derivada num ponto,isto �e, a um problema de �algebra linear. Grosso modo, o teorema a�rmaque uma aplica�c�ao possui inversa local na vizinhan�ca de um ponto se suaderivada neste ponto �e um isomor�smo linear:

2.12.1. Teorema (da fun�c�ao inversa). Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares dedimens�ao �nita, p ∈ U ⊂◦V e f : U → V ′ uma aplica�c�ao de classe C k ,k ≥ 1, tais que Dpf : V → V ′ �e um isomor�smo linear.

Ent�ao existem vizi-nhan�cas abertas p ∈W ⊂◦U e f (p) ∈W ′⊂◦V ′ e uma aplica�c�aog : W ′ →W de classe C k tais que f (W ) = W ′, g ◦

(f |W

)= 1W e(

f |W)◦ g = 1W ′ .

O teorema da fun�c�ao impl��cita serve, por exemplo, para resolver (pelomenos teoricamente) alguns sistemas de equa�c�oes n�ao-lineares. Novamente,o problema de exist�encia local de solu�c�oes se reduz a um semelhante pro-blema de �algebra linear.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 35 / 49

2.12. Teoremas da fun�c�ao inversa e da fun�c�ao impl��cita. O teoremada fun�c�ao inversa reduz o problema de exist�encia da inversa local de umaaplica�c�ao ao problema de exist�encia da inversa de sua derivada num ponto,isto �e, a um problema de �algebra linear. Grosso modo, o teorema a�rmaque uma aplica�c�ao possui inversa local na vizinhan�ca de um ponto se suaderivada neste ponto �e um isomor�smo linear:

2.12.1. Teorema (da fun�c�ao inversa). Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares dedimens�ao �nita, p ∈ U ⊂◦V e f : U → V ′ uma aplica�c�ao de classe C k ,k ≥ 1, tais que Dpf : V → V ′ �e um isomor�smo linear. Ent�ao existem vizi-nhan�cas abertas p ∈W ⊂◦U e f (p) ∈W ′⊂◦V ′ e uma aplica�c�aog : W ′ →W de classe C k tais que f (W ) = W ′, g ◦

(f |W

)= 1W e(

f |W)◦ g = 1W ′ .

O teorema da fun�c�ao impl��cita serve, por exemplo, para resolver (pelomenos teoricamente) alguns sistemas de equa�c�oes n�ao-lineares. Novamente,o problema de exist�encia local de solu�c�oes se reduz a um semelhante pro-blema de �algebra linear.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 35 / 49

2.12. Teoremas da fun�c�ao inversa e da fun�c�ao impl��cita. O teoremada fun�c�ao inversa reduz o problema de exist�encia da inversa local de umaaplica�c�ao ao problema de exist�encia da inversa de sua derivada num ponto,isto �e, a um problema de �algebra linear. Grosso modo, o teorema a�rmaque uma aplica�c�ao possui inversa local na vizinhan�ca de um ponto se suaderivada neste ponto �e um isomor�smo linear:

2.12.1. Teorema (da fun�c�ao inversa). Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares dedimens�ao �nita, p ∈ U ⊂◦V e f : U → V ′ uma aplica�c�ao de classe C k ,k ≥ 1, tais que Dpf : V → V ′ �e um isomor�smo linear. Ent�ao existem vizi-nhan�cas abertas p ∈W ⊂◦U e f (p) ∈W ′⊂◦V ′ e uma aplica�c�aog : W ′ →W de classe C k tais que f (W ) = W ′, g ◦

(f |W

)= 1W e(

f |W)◦ g = 1W ′ .

O teorema da fun�c�ao impl��cita serve, por exemplo, para resolver (pelomenos teoricamente) alguns sistemas de equa�c�oes n�ao-lineares.

Novamente,o problema de exist�encia local de solu�c�oes se reduz a um semelhante pro-blema de �algebra linear.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 35 / 49

2.12. Teoremas da fun�c�ao inversa e da fun�c�ao impl��cita. O teoremada fun�c�ao inversa reduz o problema de exist�encia da inversa local de umaaplica�c�ao ao problema de exist�encia da inversa de sua derivada num ponto,isto �e, a um problema de �algebra linear. Grosso modo, o teorema a�rmaque uma aplica�c�ao possui inversa local na vizinhan�ca de um ponto se suaderivada neste ponto �e um isomor�smo linear:

2.12.1. Teorema (da fun�c�ao inversa). Sejam V ,V ′ espa�cos R-lineares dedimens�ao �nita, p ∈ U ⊂◦V e f : U → V ′ uma aplica�c�ao de classe C k ,k ≥ 1, tais que Dpf : V → V ′ �e um isomor�smo linear. Ent�ao existem vizi-nhan�cas abertas p ∈W ⊂◦U e f (p) ∈W ′⊂◦V ′ e uma aplica�c�aog : W ′ →W de classe C k tais que f (W ) = W ′, g ◦

(f |W

)= 1W e(

f |W)◦ g = 1W ′ .

O teorema da fun�c�ao impl��cita serve, por exemplo, para resolver (pelomenos teoricamente) alguns sistemas de equa�c�oes n�ao-lineares. Novamente,o problema de exist�encia local de solu�c�oes se reduz a um semelhante pro-blema de �algebra linear.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 35 / 49

Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica�c�ao de classe C 1, onde U1⊂◦V1,

U2⊂◦V2 e V1,V2,V3 s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita.

Fixandoum ponto p1 ∈ U1, obtemos uma aplica�c�ao E (p1,−) : U2 → V3 de classeC 1 dada por U2 3 y 7→ E (p1, y) ∈ V3. Denotaremos porD ′′(p1,p2)E : V2 → V3 a derivada de E (p1,−) em p2 ∈ U2. Podemos pensar

em tal derivada como se fosse a parcial, mas por um grupo y de vari�aveis.Para algum p3 ∈ V3, temos E (p1, p2) = p3.Queremos de�nir implicitamente uma aplica�c�ao s, s(p1) = p2, por meio da�equa�c�ao� E

(x , s(x)

)= p3. Caso a aplica�c�ao linear D ′′(p1,p2)E : V2 → V3

seja um isomor�smo, a �equa�c�ao� pode ser localmente resolvida:

2.12.2. Teorema (da fun�c�ao impl��cita). Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica-

�c�ao de classe C k , k ≥ 1, tal que E (p1, p2) = p3 e D ′′(p1,p2)E : V2 → V3 �e

um isomor�smo linear, onde p1 ∈ U1⊂◦V1, p2 ∈ U2⊂◦V2 e V1,V2,V3

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Ent�ao, para uma bola abertap1 ∈ B ⊂◦U1 (su�cientemente pequena), existe uma �unica aplica�c�ao con-t��nua s : B → U2 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Essa aplica�c�ao s �e de classe C k .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 36 / 49

Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica�c�ao de classe C 1, onde U1⊂◦V1,

U2⊂◦V2 e V1,V2,V3 s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Fixandoum ponto p1 ∈ U1, obtemos uma aplica�c�ao E (p1,−) : U2 → V3 de classeC 1 dada por U2 3 y 7→ E (p1, y) ∈ V3.

Denotaremos porD ′′(p1,p2)E : V2 → V3 a derivada de E (p1,−) em p2 ∈ U2. Podemos pensar

em tal derivada como se fosse a parcial, mas por um grupo y de vari�aveis.Para algum p3 ∈ V3, temos E (p1, p2) = p3.Queremos de�nir implicitamente uma aplica�c�ao s, s(p1) = p2, por meio da�equa�c�ao� E

(x , s(x)

)= p3. Caso a aplica�c�ao linear D ′′(p1,p2)E : V2 → V3

seja um isomor�smo, a �equa�c�ao� pode ser localmente resolvida:

2.12.2. Teorema (da fun�c�ao impl��cita). Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica-

�c�ao de classe C k , k ≥ 1, tal que E (p1, p2) = p3 e D ′′(p1,p2)E : V2 → V3 �e

um isomor�smo linear, onde p1 ∈ U1⊂◦V1, p2 ∈ U2⊂◦V2 e V1,V2,V3

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Ent�ao, para uma bola abertap1 ∈ B ⊂◦U1 (su�cientemente pequena), existe uma �unica aplica�c�ao con-t��nua s : B → U2 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Essa aplica�c�ao s �e de classe C k .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 36 / 49

Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica�c�ao de classe C 1, onde U1⊂◦V1,

U2⊂◦V2 e V1,V2,V3 s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Fixandoum ponto p1 ∈ U1, obtemos uma aplica�c�ao E (p1,−) : U2 → V3 de classeC 1 dada por U2 3 y 7→ E (p1, y) ∈ V3. Denotaremos porD ′′(p1,p2)E : V2 → V3 a derivada de E (p1,−) em p2 ∈ U2.

Podemos pensar

em tal derivada como se fosse a parcial, mas por um grupo y de vari�aveis.Para algum p3 ∈ V3, temos E (p1, p2) = p3.Queremos de�nir implicitamente uma aplica�c�ao s, s(p1) = p2, por meio da�equa�c�ao� E

(x , s(x)

)= p3. Caso a aplica�c�ao linear D ′′(p1,p2)E : V2 → V3

seja um isomor�smo, a �equa�c�ao� pode ser localmente resolvida:

2.12.2. Teorema (da fun�c�ao impl��cita). Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica-

�c�ao de classe C k , k ≥ 1, tal que E (p1, p2) = p3 e D ′′(p1,p2)E : V2 → V3 �e

um isomor�smo linear, onde p1 ∈ U1⊂◦V1, p2 ∈ U2⊂◦V2 e V1,V2,V3

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Ent�ao, para uma bola abertap1 ∈ B ⊂◦U1 (su�cientemente pequena), existe uma �unica aplica�c�ao con-t��nua s : B → U2 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Essa aplica�c�ao s �e de classe C k .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 36 / 49

Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica�c�ao de classe C 1, onde U1⊂◦V1,

U2⊂◦V2 e V1,V2,V3 s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Fixandoum ponto p1 ∈ U1, obtemos uma aplica�c�ao E (p1,−) : U2 → V3 de classeC 1 dada por U2 3 y 7→ E (p1, y) ∈ V3. Denotaremos porD ′′(p1,p2)E : V2 → V3 a derivada de E (p1,−) em p2 ∈ U2. Podemos pensar

em tal derivada como se fosse a parcial, mas por um grupo y de vari�aveis.

Para algum p3 ∈ V3, temos E (p1, p2) = p3.Queremos de�nir implicitamente uma aplica�c�ao s, s(p1) = p2, por meio da�equa�c�ao� E

(x , s(x)

)= p3. Caso a aplica�c�ao linear D ′′(p1,p2)E : V2 → V3

seja um isomor�smo, a �equa�c�ao� pode ser localmente resolvida:

2.12.2. Teorema (da fun�c�ao impl��cita). Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica-

�c�ao de classe C k , k ≥ 1, tal que E (p1, p2) = p3 e D ′′(p1,p2)E : V2 → V3 �e

um isomor�smo linear, onde p1 ∈ U1⊂◦V1, p2 ∈ U2⊂◦V2 e V1,V2,V3

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Ent�ao, para uma bola abertap1 ∈ B ⊂◦U1 (su�cientemente pequena), existe uma �unica aplica�c�ao con-t��nua s : B → U2 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Essa aplica�c�ao s �e de classe C k .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 36 / 49

Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica�c�ao de classe C 1, onde U1⊂◦V1,

U2⊂◦V2 e V1,V2,V3 s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Fixandoum ponto p1 ∈ U1, obtemos uma aplica�c�ao E (p1,−) : U2 → V3 de classeC 1 dada por U2 3 y 7→ E (p1, y) ∈ V3. Denotaremos porD ′′(p1,p2)E : V2 → V3 a derivada de E (p1,−) em p2 ∈ U2. Podemos pensar

em tal derivada como se fosse a parcial, mas por um grupo y de vari�aveis.Para algum p3 ∈ V3, temos E (p1, p2) = p3.

Queremos de�nir implicitamente uma aplica�c�ao s, s(p1) = p2, por meio da�equa�c�ao� E

(x , s(x)

)= p3. Caso a aplica�c�ao linear D ′′(p1,p2)E : V2 → V3

seja um isomor�smo, a �equa�c�ao� pode ser localmente resolvida:

2.12.2. Teorema (da fun�c�ao impl��cita). Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica-

�c�ao de classe C k , k ≥ 1, tal que E (p1, p2) = p3 e D ′′(p1,p2)E : V2 → V3 �e

um isomor�smo linear, onde p1 ∈ U1⊂◦V1, p2 ∈ U2⊂◦V2 e V1,V2,V3

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Ent�ao, para uma bola abertap1 ∈ B ⊂◦U1 (su�cientemente pequena), existe uma �unica aplica�c�ao con-t��nua s : B → U2 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Essa aplica�c�ao s �e de classe C k .

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Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica�c�ao de classe C 1, onde U1⊂◦V1,

U2⊂◦V2 e V1,V2,V3 s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Fixandoum ponto p1 ∈ U1, obtemos uma aplica�c�ao E (p1,−) : U2 → V3 de classeC 1 dada por U2 3 y 7→ E (p1, y) ∈ V3. Denotaremos porD ′′(p1,p2)E : V2 → V3 a derivada de E (p1,−) em p2 ∈ U2. Podemos pensar

em tal derivada como se fosse a parcial, mas por um grupo y de vari�aveis.Para algum p3 ∈ V3, temos E (p1, p2) = p3.Queremos de�nir implicitamente uma aplica�c�ao s, s(p1) = p2, por meio da�equa�c�ao� E

(x , s(x)

)= p3.

Caso a aplica�c�ao linear D ′′(p1,p2)E : V2 → V3

seja um isomor�smo, a �equa�c�ao� pode ser localmente resolvida:

2.12.2. Teorema (da fun�c�ao impl��cita). Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica-

�c�ao de classe C k , k ≥ 1, tal que E (p1, p2) = p3 e D ′′(p1,p2)E : V2 → V3 �e

um isomor�smo linear, onde p1 ∈ U1⊂◦V1, p2 ∈ U2⊂◦V2 e V1,V2,V3

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Ent�ao, para uma bola abertap1 ∈ B ⊂◦U1 (su�cientemente pequena), existe uma �unica aplica�c�ao con-t��nua s : B → U2 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Essa aplica�c�ao s �e de classe C k .

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Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica�c�ao de classe C 1, onde U1⊂◦V1,

U2⊂◦V2 e V1,V2,V3 s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Fixandoum ponto p1 ∈ U1, obtemos uma aplica�c�ao E (p1,−) : U2 → V3 de classeC 1 dada por U2 3 y 7→ E (p1, y) ∈ V3. Denotaremos porD ′′(p1,p2)E : V2 → V3 a derivada de E (p1,−) em p2 ∈ U2. Podemos pensar

em tal derivada como se fosse a parcial, mas por um grupo y de vari�aveis.Para algum p3 ∈ V3, temos E (p1, p2) = p3.Queremos de�nir implicitamente uma aplica�c�ao s, s(p1) = p2, por meio da�equa�c�ao� E

(x , s(x)

)= p3. Caso a aplica�c�ao linear D ′′(p1,p2)E : V2 → V3

seja um isomor�smo, a �equa�c�ao� pode ser localmente resolvida:

2.12.2. Teorema (da fun�c�ao impl��cita). Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica-

�c�ao de classe C k , k ≥ 1, tal que E (p1, p2) = p3 e D ′′(p1,p2)E : V2 → V3 �e

um isomor�smo linear, onde p1 ∈ U1⊂◦V1, p2 ∈ U2⊂◦V2 e V1,V2,V3

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Ent�ao, para uma bola abertap1 ∈ B ⊂◦U1 (su�cientemente pequena), existe uma �unica aplica�c�ao con-t��nua s : B → U2 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Essa aplica�c�ao s �e de classe C k .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 36 / 49

Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica�c�ao de classe C 1, onde U1⊂◦V1,

U2⊂◦V2 e V1,V2,V3 s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Fixandoum ponto p1 ∈ U1, obtemos uma aplica�c�ao E (p1,−) : U2 → V3 de classeC 1 dada por U2 3 y 7→ E (p1, y) ∈ V3. Denotaremos porD ′′(p1,p2)E : V2 → V3 a derivada de E (p1,−) em p2 ∈ U2. Podemos pensar

em tal derivada como se fosse a parcial, mas por um grupo y de vari�aveis.Para algum p3 ∈ V3, temos E (p1, p2) = p3.Queremos de�nir implicitamente uma aplica�c�ao s, s(p1) = p2, por meio da�equa�c�ao� E

(x , s(x)

)= p3. Caso a aplica�c�ao linear D ′′(p1,p2)E : V2 → V3

seja um isomor�smo, a �equa�c�ao� pode ser localmente resolvida:

2.12.2. Teorema (da fun�c�ao impl��cita). Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica-

�c�ao de classe C k , k ≥ 1, tal que E (p1, p2) = p3 e D ′′(p1,p2)E : V2 → V3 �e

um isomor�smo linear, onde p1 ∈ U1⊂◦V1, p2 ∈ U2⊂◦V2 e V1,V2,V3

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita.

Ent�ao, para uma bola abertap1 ∈ B ⊂◦U1 (su�cientemente pequena), existe uma �unica aplica�c�ao con-t��nua s : B → U2 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Essa aplica�c�ao s �e de classe C k .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 36 / 49

Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica�c�ao de classe C 1, onde U1⊂◦V1,

U2⊂◦V2 e V1,V2,V3 s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Fixandoum ponto p1 ∈ U1, obtemos uma aplica�c�ao E (p1,−) : U2 → V3 de classeC 1 dada por U2 3 y 7→ E (p1, y) ∈ V3. Denotaremos porD ′′(p1,p2)E : V2 → V3 a derivada de E (p1,−) em p2 ∈ U2. Podemos pensar

em tal derivada como se fosse a parcial, mas por um grupo y de vari�aveis.Para algum p3 ∈ V3, temos E (p1, p2) = p3.Queremos de�nir implicitamente uma aplica�c�ao s, s(p1) = p2, por meio da�equa�c�ao� E

(x , s(x)

)= p3. Caso a aplica�c�ao linear D ′′(p1,p2)E : V2 → V3

seja um isomor�smo, a �equa�c�ao� pode ser localmente resolvida:

2.12.2. Teorema (da fun�c�ao impl��cita). Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica-

�c�ao de classe C k , k ≥ 1, tal que E (p1, p2) = p3 e D ′′(p1,p2)E : V2 → V3 �e

um isomor�smo linear, onde p1 ∈ U1⊂◦V1, p2 ∈ U2⊂◦V2 e V1,V2,V3

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Ent�ao, para uma bola abertap1 ∈ B ⊂◦U1 (su�cientemente pequena), existe uma �unica aplica�c�ao con-t��nua s : B → U2 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Essa aplica�c�ao s �e de classe C k .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 36 / 49

Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica�c�ao de classe C 1, onde U1⊂◦V1,

U2⊂◦V2 e V1,V2,V3 s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Fixandoum ponto p1 ∈ U1, obtemos uma aplica�c�ao E (p1,−) : U2 → V3 de classeC 1 dada por U2 3 y 7→ E (p1, y) ∈ V3. Denotaremos porD ′′(p1,p2)E : V2 → V3 a derivada de E (p1,−) em p2 ∈ U2. Podemos pensar

em tal derivada como se fosse a parcial, mas por um grupo y de vari�aveis.Para algum p3 ∈ V3, temos E (p1, p2) = p3.Queremos de�nir implicitamente uma aplica�c�ao s, s(p1) = p2, por meio da�equa�c�ao� E

(x , s(x)

)= p3. Caso a aplica�c�ao linear D ′′(p1,p2)E : V2 → V3

seja um isomor�smo, a �equa�c�ao� pode ser localmente resolvida:

2.12.2. Teorema (da fun�c�ao impl��cita). Seja U1 × U2E−→ V3 uma aplica-

�c�ao de classe C k , k ≥ 1, tal que E (p1, p2) = p3 e D ′′(p1,p2)E : V2 → V3 �e

um isomor�smo linear, onde p1 ∈ U1⊂◦V1, p2 ∈ U2⊂◦V2 e V1,V2,V3

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Ent�ao, para uma bola abertap1 ∈ B ⊂◦U1 (su�cientemente pequena), existe uma �unica aplica�c�ao con-t��nua s : B → U2 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Essa aplica�c�ao s �e de classe C k .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 36 / 49

Na demonstra�c�ao deste teorema precisaremos do seguinte lema cujademonstra�c�ao ser�a adiada.

2.12.3. Lema. Se C ⊂◦[0, 1] e C ⊂f [0, 1], ent�ao C = ∅ ou C = [0, 1].

Demonstra�c�ao do Teorema 2.12.2. De�namos a aplica�c�aof : U1 ×U2 → V1 ×V3 pela regra f (x , y) :=

(x ,E (x , y)

). �E facil ver que f

�e de classe C k . Levando em conta que

Dpf =

[1 0

D ′(p1,p2)E D ′′(p1,p2)E

]na forma matricial em blocos, podemos portanto aplicar o Teorema 2.12.1a f e p := (p1, p2).Escrevemos a inversa local(V1 × V3) ◦⊃W ′ g−→W ⊂◦(U1 × U2)⊂◦(V1 × V2) de f na formag(x , z) =

(g1(x , z), g2(x , z)

), onde (p1, p2) ∈W , (p1, p3) ∈W ′ e g1, g2

s�ao de classe C k . Para uma bola aberta B tal que p1 ∈ B ⊂◦U1, temos(B, p3) ⊂W ′.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 37 / 49

Na demonstra�c�ao deste teorema precisaremos do seguinte lema cujademonstra�c�ao ser�a adiada.

2.12.3. Lema. Se C ⊂◦[0, 1] e C ⊂f [0, 1], ent�ao C = ∅ ou C = [0, 1].

Demonstra�c�ao do Teorema 2.12.2. De�namos a aplica�c�aof : U1 ×U2 → V1 ×V3 pela regra f (x , y) :=

(x ,E (x , y)

). �E facil ver que f

�e de classe C k . Levando em conta que

Dpf =

[1 0

D ′(p1,p2)E D ′′(p1,p2)E

]na forma matricial em blocos, podemos portanto aplicar o Teorema 2.12.1a f e p := (p1, p2).Escrevemos a inversa local(V1 × V3) ◦⊃W ′ g−→W ⊂◦(U1 × U2)⊂◦(V1 × V2) de f na formag(x , z) =

(g1(x , z), g2(x , z)

), onde (p1, p2) ∈W , (p1, p3) ∈W ′ e g1, g2

s�ao de classe C k . Para uma bola aberta B tal que p1 ∈ B ⊂◦U1, temos(B, p3) ⊂W ′.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 37 / 49

Na demonstra�c�ao deste teorema precisaremos do seguinte lema cujademonstra�c�ao ser�a adiada.

2.12.3. Lema. Se C ⊂◦[0, 1] e C ⊂f [0, 1], ent�ao C = ∅ ou C = [0, 1].

Demonstra�c�ao do Teorema 2.12.2.

De�namos a aplica�c�aof : U1 ×U2 → V1 ×V3 pela regra f (x , y) :=

(x ,E (x , y)

). �E facil ver que f

�e de classe C k . Levando em conta que

Dpf =

[1 0

D ′(p1,p2)E D ′′(p1,p2)E

]na forma matricial em blocos, podemos portanto aplicar o Teorema 2.12.1a f e p := (p1, p2).Escrevemos a inversa local(V1 × V3) ◦⊃W ′ g−→W ⊂◦(U1 × U2)⊂◦(V1 × V2) de f na formag(x , z) =

(g1(x , z), g2(x , z)

), onde (p1, p2) ∈W , (p1, p3) ∈W ′ e g1, g2

s�ao de classe C k . Para uma bola aberta B tal que p1 ∈ B ⊂◦U1, temos(B, p3) ⊂W ′.

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Na demonstra�c�ao deste teorema precisaremos do seguinte lema cujademonstra�c�ao ser�a adiada.

2.12.3. Lema. Se C ⊂◦[0, 1] e C ⊂f [0, 1], ent�ao C = ∅ ou C = [0, 1].

Demonstra�c�ao do Teorema 2.12.2. De�namos a aplica�c�aof : U1 ×U2 → V1 ×V3 pela regra f (x , y) :=

(x ,E (x , y)

).

�E facil ver que f�e de classe C k . Levando em conta que

Dpf =

[1 0

D ′(p1,p2)E D ′′(p1,p2)E

]na forma matricial em blocos, podemos portanto aplicar o Teorema 2.12.1a f e p := (p1, p2).Escrevemos a inversa local(V1 × V3) ◦⊃W ′ g−→W ⊂◦(U1 × U2)⊂◦(V1 × V2) de f na formag(x , z) =

(g1(x , z), g2(x , z)

), onde (p1, p2) ∈W , (p1, p3) ∈W ′ e g1, g2

s�ao de classe C k . Para uma bola aberta B tal que p1 ∈ B ⊂◦U1, temos(B, p3) ⊂W ′.

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Na demonstra�c�ao deste teorema precisaremos do seguinte lema cujademonstra�c�ao ser�a adiada.

2.12.3. Lema. Se C ⊂◦[0, 1] e C ⊂f [0, 1], ent�ao C = ∅ ou C = [0, 1].

Demonstra�c�ao do Teorema 2.12.2. De�namos a aplica�c�aof : U1 ×U2 → V1 ×V3 pela regra f (x , y) :=

(x ,E (x , y)

). �E facil ver que f

�e de classe C k .

Levando em conta que

Dpf =

[1 0

D ′(p1,p2)E D ′′(p1,p2)E

]na forma matricial em blocos, podemos portanto aplicar o Teorema 2.12.1a f e p := (p1, p2).Escrevemos a inversa local(V1 × V3) ◦⊃W ′ g−→W ⊂◦(U1 × U2)⊂◦(V1 × V2) de f na formag(x , z) =

(g1(x , z), g2(x , z)

), onde (p1, p2) ∈W , (p1, p3) ∈W ′ e g1, g2

s�ao de classe C k . Para uma bola aberta B tal que p1 ∈ B ⊂◦U1, temos(B, p3) ⊂W ′.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 37 / 49

Na demonstra�c�ao deste teorema precisaremos do seguinte lema cujademonstra�c�ao ser�a adiada.

2.12.3. Lema. Se C ⊂◦[0, 1] e C ⊂f [0, 1], ent�ao C = ∅ ou C = [0, 1].

Demonstra�c�ao do Teorema 2.12.2. De�namos a aplica�c�aof : U1 ×U2 → V1 ×V3 pela regra f (x , y) :=

(x ,E (x , y)

). �E facil ver que f

�e de classe C k . Levando em conta que

Dpf =

[1 0

D ′(p1,p2)E D ′′(p1,p2)E

]na forma matricial em blocos, podemos portanto aplicar o Teorema 2.12.1a f e p := (p1, p2).

Escrevemos a inversa local(V1 × V3) ◦⊃W ′ g−→W ⊂◦(U1 × U2)⊂◦(V1 × V2) de f na formag(x , z) =

(g1(x , z), g2(x , z)

), onde (p1, p2) ∈W , (p1, p3) ∈W ′ e g1, g2

s�ao de classe C k . Para uma bola aberta B tal que p1 ∈ B ⊂◦U1, temos(B, p3) ⊂W ′.

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Na demonstra�c�ao deste teorema precisaremos do seguinte lema cujademonstra�c�ao ser�a adiada.

2.12.3. Lema. Se C ⊂◦[0, 1] e C ⊂f [0, 1], ent�ao C = ∅ ou C = [0, 1].

Demonstra�c�ao do Teorema 2.12.2. De�namos a aplica�c�aof : U1 ×U2 → V1 ×V3 pela regra f (x , y) :=

(x ,E (x , y)

). �E facil ver que f

�e de classe C k . Levando em conta que

Dpf =

[1 0

D ′(p1,p2)E D ′′(p1,p2)E

]na forma matricial em blocos, podemos portanto aplicar o Teorema 2.12.1a f e p := (p1, p2).Escrevemos a inversa local(V1 × V3) ◦⊃W ′ g−→W ⊂◦(U1 × U2)⊂◦(V1 × V2) de f na formag(x , z) =

(g1(x , z), g2(x , z)

), onde (p1, p2) ∈W , (p1, p3) ∈W ′ e g1, g2

s�ao de classe C k .

Para uma bola aberta B tal que p1 ∈ B ⊂◦U1, temos(B, p3) ⊂W ′.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 37 / 49

Na demonstra�c�ao deste teorema precisaremos do seguinte lema cujademonstra�c�ao ser�a adiada.

2.12.3. Lema. Se C ⊂◦[0, 1] e C ⊂f [0, 1], ent�ao C = ∅ ou C = [0, 1].

Demonstra�c�ao do Teorema 2.12.2. De�namos a aplica�c�aof : U1 ×U2 → V1 ×V3 pela regra f (x , y) :=

(x ,E (x , y)

). �E facil ver que f

�e de classe C k . Levando em conta que

Dpf =

[1 0

D ′(p1,p2)E D ′′(p1,p2)E

]na forma matricial em blocos, podemos portanto aplicar o Teorema 2.12.1a f e p := (p1, p2).Escrevemos a inversa local(V1 × V3) ◦⊃W ′ g−→W ⊂◦(U1 × U2)⊂◦(V1 × V2) de f na formag(x , z) =

(g1(x , z), g2(x , z)

), onde (p1, p2) ∈W , (p1, p3) ∈W ′ e g1, g2

s�ao de classe C k . Para uma bola aberta B tal que p1 ∈ B ⊂◦U1, temos(B, p3) ⊂W ′.

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A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k .

De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

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A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2).

Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

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A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2.

A igualdade(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

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A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′.

Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

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A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z .

Consequentemente, E(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

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A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .

Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

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A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s.

Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

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A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 38 / 49

A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B .

Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 38 / 49

A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b.

Com efeito,(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

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A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W .

Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-nida pela regra h : x 7→

(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 38 / 49

A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6,

a ima-gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 38 / 49

A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B .

Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 38 / 49

A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada.

Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 38 / 49

A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W

e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 38 / 49

A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z).

Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 38 / 49

A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)),

implicando x = x ′ e s0(x) =g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E

(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 38 / 49

A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′.

De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 38 / 49

A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3.

Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 38 / 49

A aplica�c�ao s : B → U2 dada por s(x) := g2(x , p3) �e claramente declasse C k . De f (p1, p2) = (p1, p3) segue g(p1, p3) = (p1, p2). Da��,s(p1) = p2. A igualdade

(f |W

)◦ g = 1W ′ signi�ca que(

g1(x , z),E(g1(x , z), g2(x , z)

))= (x , z) para todo (x , z) ∈W ′. Logo,

g1(x , z) = x e E(x , g2(x , z)

)= z . Consequentemente, E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B .Resta mostrar a unicidade de s. Seja s0 : B → U2 uma aplica�c�ao cont��nuasatisfazendo s0(p1) = p2 e E

(x , s0(x)

)= p3 para todo x ∈ B .

Suponhamos que s(b) = s0(b) para algum b ∈ B . Ent�ao s e s0 coincidemnuma vizinhan�ca aberta de b. Com efeito,

(b, s0(b)

)=(b, s(b)

)=

=(b, g2(b, p3)

)= g(b, p3) ∈W . Sendo a aplica�c�ao h : B → B × U2, de�-

nida pela regra h : x 7→(x , s0(x)

), cont��nua pela Proposi�c�ao 1.6.6, a ima-

gem inversa h−1(W ) �e aberta em B , b ∈ h−1(W )⊂◦B . Vamos mostrarque h−1(W ) �e a vizinhan�ca desejada. Para todo x ∈ h−1(W ), temosh(x) ∈W e, portanto, existe (x ′, z) ∈W ′ tal que h(x) = g(x ′, z). Mash(x) =

(x , s0(x)

)e g(x ′, z) =

(x ′, g2(x

′, z)), implicando x = x ′ e s0(x) =

g2(x , z) com (x , z) ∈W ′. De E(x , g2(x , z)

)= z e E

(x , s0(x)

)= p3, con-

clu��mos que z = p3. Agora, s0(x) = g2(x , z) signi�ca que s0(x) = g2(x , p3)= s(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 38 / 49

Vemos que h−1(W ) serve como a desejada vizinhan�ca de b.

Assim, acaba-mos de mostrar que o conjunto A :=

{b ∈ B | s(b) = s0(b)

}�e aberto,

A⊂◦B .Suponhamos que s(b) 6= s0(b) para algum b ∈ B . O segmento de reta queliga p1 e b est�a inteiramente contido na bola aberta B . Parametrizandoeste segmento, c : [0, 1]→ B , c(t) := (1− t)p1 + tb, vemos quep1 ∈ c−1(A)⊂◦[0, 1], pois c �e cont��nuo.Por outro lado, se ri ∈ c−1(A), i ∈ N, �e uma sequ�encia convergente em[0, 1], ent�ao seu limite r := lim

i→∞ri pertence a c−1(A). Realmente,

c(ri ) ∈ A implica s(c(ri )

)= s0

(c(ri )

). As aplica�c�oes s ◦ c e s0 ◦ c s�ao con-

t��nuas, implicando s(c(r)

)= s0

(c(r)

)pela Proposi�c�ao 1.6.5. Conclu��mos

que r ∈ c−1(A). Pelo Lema 1.4, c−1(A) ⊂f [0, 1].J�a que 0 ∈ c−1(A), o subconjunto c−1(A) n�ao �e vazio. Pelo Lema 1.12.3,c−1(A) = [0, 1]. Agora 1 ∈ c−1(A) signi�ca que s(b) = s0(b), umacontradi�c�ao �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 39 / 49

Vemos que h−1(W ) serve como a desejada vizinhan�ca de b. Assim, acaba-mos de mostrar que o conjunto A :=

{b ∈ B | s(b) = s0(b)

}�e aberto,

A⊂◦B .

Suponhamos que s(b) 6= s0(b) para algum b ∈ B . O segmento de reta queliga p1 e b est�a inteiramente contido na bola aberta B . Parametrizandoeste segmento, c : [0, 1]→ B , c(t) := (1− t)p1 + tb, vemos quep1 ∈ c−1(A)⊂◦[0, 1], pois c �e cont��nuo.Por outro lado, se ri ∈ c−1(A), i ∈ N, �e uma sequ�encia convergente em[0, 1], ent�ao seu limite r := lim

i→∞ri pertence a c−1(A). Realmente,

c(ri ) ∈ A implica s(c(ri )

)= s0

(c(ri )

). As aplica�c�oes s ◦ c e s0 ◦ c s�ao con-

t��nuas, implicando s(c(r)

)= s0

(c(r)

)pela Proposi�c�ao 1.6.5. Conclu��mos

que r ∈ c−1(A). Pelo Lema 1.4, c−1(A) ⊂f [0, 1].J�a que 0 ∈ c−1(A), o subconjunto c−1(A) n�ao �e vazio. Pelo Lema 1.12.3,c−1(A) = [0, 1]. Agora 1 ∈ c−1(A) signi�ca que s(b) = s0(b), umacontradi�c�ao �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 39 / 49

Vemos que h−1(W ) serve como a desejada vizinhan�ca de b. Assim, acaba-mos de mostrar que o conjunto A :=

{b ∈ B | s(b) = s0(b)

}�e aberto,

A⊂◦B .Suponhamos que s(b) 6= s0(b) para algum b ∈ B .

O segmento de reta queliga p1 e b est�a inteiramente contido na bola aberta B . Parametrizandoeste segmento, c : [0, 1]→ B , c(t) := (1− t)p1 + tb, vemos quep1 ∈ c−1(A)⊂◦[0, 1], pois c �e cont��nuo.Por outro lado, se ri ∈ c−1(A), i ∈ N, �e uma sequ�encia convergente em[0, 1], ent�ao seu limite r := lim

i→∞ri pertence a c−1(A). Realmente,

c(ri ) ∈ A implica s(c(ri )

)= s0

(c(ri )

). As aplica�c�oes s ◦ c e s0 ◦ c s�ao con-

t��nuas, implicando s(c(r)

)= s0

(c(r)

)pela Proposi�c�ao 1.6.5. Conclu��mos

que r ∈ c−1(A). Pelo Lema 1.4, c−1(A) ⊂f [0, 1].J�a que 0 ∈ c−1(A), o subconjunto c−1(A) n�ao �e vazio. Pelo Lema 1.12.3,c−1(A) = [0, 1]. Agora 1 ∈ c−1(A) signi�ca que s(b) = s0(b), umacontradi�c�ao �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 39 / 49

Vemos que h−1(W ) serve como a desejada vizinhan�ca de b. Assim, acaba-mos de mostrar que o conjunto A :=

{b ∈ B | s(b) = s0(b)

}�e aberto,

A⊂◦B .Suponhamos que s(b) 6= s0(b) para algum b ∈ B . O segmento de reta queliga p1 e b est�a inteiramente contido na bola aberta B .

Parametrizandoeste segmento, c : [0, 1]→ B , c(t) := (1− t)p1 + tb, vemos quep1 ∈ c−1(A)⊂◦[0, 1], pois c �e cont��nuo.Por outro lado, se ri ∈ c−1(A), i ∈ N, �e uma sequ�encia convergente em[0, 1], ent�ao seu limite r := lim

i→∞ri pertence a c−1(A). Realmente,

c(ri ) ∈ A implica s(c(ri )

)= s0

(c(ri )

). As aplica�c�oes s ◦ c e s0 ◦ c s�ao con-

t��nuas, implicando s(c(r)

)= s0

(c(r)

)pela Proposi�c�ao 1.6.5. Conclu��mos

que r ∈ c−1(A). Pelo Lema 1.4, c−1(A) ⊂f [0, 1].J�a que 0 ∈ c−1(A), o subconjunto c−1(A) n�ao �e vazio. Pelo Lema 1.12.3,c−1(A) = [0, 1]. Agora 1 ∈ c−1(A) signi�ca que s(b) = s0(b), umacontradi�c�ao �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 39 / 49

Vemos que h−1(W ) serve como a desejada vizinhan�ca de b. Assim, acaba-mos de mostrar que o conjunto A :=

{b ∈ B | s(b) = s0(b)

}�e aberto,

A⊂◦B .Suponhamos que s(b) 6= s0(b) para algum b ∈ B . O segmento de reta queliga p1 e b est�a inteiramente contido na bola aberta B . Parametrizandoeste segmento, c : [0, 1]→ B , c(t) := (1− t)p1 + tb,

vemos quep1 ∈ c−1(A)⊂◦[0, 1], pois c �e cont��nuo.Por outro lado, se ri ∈ c−1(A), i ∈ N, �e uma sequ�encia convergente em[0, 1], ent�ao seu limite r := lim

i→∞ri pertence a c−1(A). Realmente,

c(ri ) ∈ A implica s(c(ri )

)= s0

(c(ri )

). As aplica�c�oes s ◦ c e s0 ◦ c s�ao con-

t��nuas, implicando s(c(r)

)= s0

(c(r)

)pela Proposi�c�ao 1.6.5. Conclu��mos

que r ∈ c−1(A). Pelo Lema 1.4, c−1(A) ⊂f [0, 1].J�a que 0 ∈ c−1(A), o subconjunto c−1(A) n�ao �e vazio. Pelo Lema 1.12.3,c−1(A) = [0, 1]. Agora 1 ∈ c−1(A) signi�ca que s(b) = s0(b), umacontradi�c�ao �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 39 / 49

Vemos que h−1(W ) serve como a desejada vizinhan�ca de b. Assim, acaba-mos de mostrar que o conjunto A :=

{b ∈ B | s(b) = s0(b)

}�e aberto,

A⊂◦B .Suponhamos que s(b) 6= s0(b) para algum b ∈ B . O segmento de reta queliga p1 e b est�a inteiramente contido na bola aberta B . Parametrizandoeste segmento, c : [0, 1]→ B , c(t) := (1− t)p1 + tb, vemos quep1 ∈ c−1(A)⊂◦[0, 1], pois c �e cont��nuo.

Por outro lado, se ri ∈ c−1(A), i ∈ N, �e uma sequ�encia convergente em[0, 1], ent�ao seu limite r := lim

i→∞ri pertence a c−1(A). Realmente,

c(ri ) ∈ A implica s(c(ri )

)= s0

(c(ri )

). As aplica�c�oes s ◦ c e s0 ◦ c s�ao con-

t��nuas, implicando s(c(r)

)= s0

(c(r)

)pela Proposi�c�ao 1.6.5. Conclu��mos

que r ∈ c−1(A). Pelo Lema 1.4, c−1(A) ⊂f [0, 1].J�a que 0 ∈ c−1(A), o subconjunto c−1(A) n�ao �e vazio. Pelo Lema 1.12.3,c−1(A) = [0, 1]. Agora 1 ∈ c−1(A) signi�ca que s(b) = s0(b), umacontradi�c�ao �

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Vemos que h−1(W ) serve como a desejada vizinhan�ca de b. Assim, acaba-mos de mostrar que o conjunto A :=

{b ∈ B | s(b) = s0(b)

}�e aberto,

A⊂◦B .Suponhamos que s(b) 6= s0(b) para algum b ∈ B . O segmento de reta queliga p1 e b est�a inteiramente contido na bola aberta B . Parametrizandoeste segmento, c : [0, 1]→ B , c(t) := (1− t)p1 + tb, vemos quep1 ∈ c−1(A)⊂◦[0, 1], pois c �e cont��nuo.Por outro lado, se ri ∈ c−1(A), i ∈ N, �e uma sequ�encia convergente em[0, 1],

ent�ao seu limite r := limi→∞

ri pertence a c−1(A). Realmente,

c(ri ) ∈ A implica s(c(ri )

)= s0

(c(ri )

). As aplica�c�oes s ◦ c e s0 ◦ c s�ao con-

t��nuas, implicando s(c(r)

)= s0

(c(r)

)pela Proposi�c�ao 1.6.5. Conclu��mos

que r ∈ c−1(A). Pelo Lema 1.4, c−1(A) ⊂f [0, 1].J�a que 0 ∈ c−1(A), o subconjunto c−1(A) n�ao �e vazio. Pelo Lema 1.12.3,c−1(A) = [0, 1]. Agora 1 ∈ c−1(A) signi�ca que s(b) = s0(b), umacontradi�c�ao �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 39 / 49

Vemos que h−1(W ) serve como a desejada vizinhan�ca de b. Assim, acaba-mos de mostrar que o conjunto A :=

{b ∈ B | s(b) = s0(b)

}�e aberto,

A⊂◦B .Suponhamos que s(b) 6= s0(b) para algum b ∈ B . O segmento de reta queliga p1 e b est�a inteiramente contido na bola aberta B . Parametrizandoeste segmento, c : [0, 1]→ B , c(t) := (1− t)p1 + tb, vemos quep1 ∈ c−1(A)⊂◦[0, 1], pois c �e cont��nuo.Por outro lado, se ri ∈ c−1(A), i ∈ N, �e uma sequ�encia convergente em[0, 1], ent�ao seu limite r := lim

i→∞ri pertence a c−1(A).

Realmente,

c(ri ) ∈ A implica s(c(ri )

)= s0

(c(ri )

). As aplica�c�oes s ◦ c e s0 ◦ c s�ao con-

t��nuas, implicando s(c(r)

)= s0

(c(r)

)pela Proposi�c�ao 1.6.5. Conclu��mos

que r ∈ c−1(A). Pelo Lema 1.4, c−1(A) ⊂f [0, 1].J�a que 0 ∈ c−1(A), o subconjunto c−1(A) n�ao �e vazio. Pelo Lema 1.12.3,c−1(A) = [0, 1]. Agora 1 ∈ c−1(A) signi�ca que s(b) = s0(b), umacontradi�c�ao �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 39 / 49

Vemos que h−1(W ) serve como a desejada vizinhan�ca de b. Assim, acaba-mos de mostrar que o conjunto A :=

{b ∈ B | s(b) = s0(b)

}�e aberto,

A⊂◦B .Suponhamos que s(b) 6= s0(b) para algum b ∈ B . O segmento de reta queliga p1 e b est�a inteiramente contido na bola aberta B . Parametrizandoeste segmento, c : [0, 1]→ B , c(t) := (1− t)p1 + tb, vemos quep1 ∈ c−1(A)⊂◦[0, 1], pois c �e cont��nuo.Por outro lado, se ri ∈ c−1(A), i ∈ N, �e uma sequ�encia convergente em[0, 1], ent�ao seu limite r := lim

i→∞ri pertence a c−1(A). Realmente,

c(ri ) ∈ A implica s(c(ri )

)= s0

(c(ri )

).

As aplica�c�oes s ◦ c e s0 ◦ c s�ao con-t��nuas, implicando s

(c(r)

)= s0

(c(r)

)pela Proposi�c�ao 1.6.5. Conclu��mos

que r ∈ c−1(A). Pelo Lema 1.4, c−1(A) ⊂f [0, 1].J�a que 0 ∈ c−1(A), o subconjunto c−1(A) n�ao �e vazio. Pelo Lema 1.12.3,c−1(A) = [0, 1]. Agora 1 ∈ c−1(A) signi�ca que s(b) = s0(b), umacontradi�c�ao �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 39 / 49

Vemos que h−1(W ) serve como a desejada vizinhan�ca de b. Assim, acaba-mos de mostrar que o conjunto A :=

{b ∈ B | s(b) = s0(b)

}�e aberto,

A⊂◦B .Suponhamos que s(b) 6= s0(b) para algum b ∈ B . O segmento de reta queliga p1 e b est�a inteiramente contido na bola aberta B . Parametrizandoeste segmento, c : [0, 1]→ B , c(t) := (1− t)p1 + tb, vemos quep1 ∈ c−1(A)⊂◦[0, 1], pois c �e cont��nuo.Por outro lado, se ri ∈ c−1(A), i ∈ N, �e uma sequ�encia convergente em[0, 1], ent�ao seu limite r := lim

i→∞ri pertence a c−1(A). Realmente,

c(ri ) ∈ A implica s(c(ri )

)= s0

(c(ri )

). As aplica�c�oes s ◦ c e s0 ◦ c s�ao con-

t��nuas,

implicando s(c(r)

)= s0

(c(r)

)pela Proposi�c�ao 1.6.5. Conclu��mos

que r ∈ c−1(A). Pelo Lema 1.4, c−1(A) ⊂f [0, 1].J�a que 0 ∈ c−1(A), o subconjunto c−1(A) n�ao �e vazio. Pelo Lema 1.12.3,c−1(A) = [0, 1]. Agora 1 ∈ c−1(A) signi�ca que s(b) = s0(b), umacontradi�c�ao �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 39 / 49

Vemos que h−1(W ) serve como a desejada vizinhan�ca de b. Assim, acaba-mos de mostrar que o conjunto A :=

{b ∈ B | s(b) = s0(b)

}�e aberto,

A⊂◦B .Suponhamos que s(b) 6= s0(b) para algum b ∈ B . O segmento de reta queliga p1 e b est�a inteiramente contido na bola aberta B . Parametrizandoeste segmento, c : [0, 1]→ B , c(t) := (1− t)p1 + tb, vemos quep1 ∈ c−1(A)⊂◦[0, 1], pois c �e cont��nuo.Por outro lado, se ri ∈ c−1(A), i ∈ N, �e uma sequ�encia convergente em[0, 1], ent�ao seu limite r := lim

i→∞ri pertence a c−1(A). Realmente,

c(ri ) ∈ A implica s(c(ri )

)= s0

(c(ri )

). As aplica�c�oes s ◦ c e s0 ◦ c s�ao con-

t��nuas, implicando s(c(r)

)= s0

(c(r)

)pela Proposi�c�ao 1.6.5.

Conclu��mosque r ∈ c−1(A). Pelo Lema 1.4, c−1(A) ⊂f [0, 1].J�a que 0 ∈ c−1(A), o subconjunto c−1(A) n�ao �e vazio. Pelo Lema 1.12.3,c−1(A) = [0, 1]. Agora 1 ∈ c−1(A) signi�ca que s(b) = s0(b), umacontradi�c�ao �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 39 / 49

Vemos que h−1(W ) serve como a desejada vizinhan�ca de b. Assim, acaba-mos de mostrar que o conjunto A :=

{b ∈ B | s(b) = s0(b)

}�e aberto,

A⊂◦B .Suponhamos que s(b) 6= s0(b) para algum b ∈ B . O segmento de reta queliga p1 e b est�a inteiramente contido na bola aberta B . Parametrizandoeste segmento, c : [0, 1]→ B , c(t) := (1− t)p1 + tb, vemos quep1 ∈ c−1(A)⊂◦[0, 1], pois c �e cont��nuo.Por outro lado, se ri ∈ c−1(A), i ∈ N, �e uma sequ�encia convergente em[0, 1], ent�ao seu limite r := lim

i→∞ri pertence a c−1(A). Realmente,

c(ri ) ∈ A implica s(c(ri )

)= s0

(c(ri )

). As aplica�c�oes s ◦ c e s0 ◦ c s�ao con-

t��nuas, implicando s(c(r)

)= s0

(c(r)

)pela Proposi�c�ao 1.6.5. Conclu��mos

que r ∈ c−1(A).

Pelo Lema 1.4, c−1(A) ⊂f [0, 1].J�a que 0 ∈ c−1(A), o subconjunto c−1(A) n�ao �e vazio. Pelo Lema 1.12.3,c−1(A) = [0, 1]. Agora 1 ∈ c−1(A) signi�ca que s(b) = s0(b), umacontradi�c�ao �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 39 / 49

Vemos que h−1(W ) serve como a desejada vizinhan�ca de b. Assim, acaba-mos de mostrar que o conjunto A :=

{b ∈ B | s(b) = s0(b)

}�e aberto,

A⊂◦B .Suponhamos que s(b) 6= s0(b) para algum b ∈ B . O segmento de reta queliga p1 e b est�a inteiramente contido na bola aberta B . Parametrizandoeste segmento, c : [0, 1]→ B , c(t) := (1− t)p1 + tb, vemos quep1 ∈ c−1(A)⊂◦[0, 1], pois c �e cont��nuo.Por outro lado, se ri ∈ c−1(A), i ∈ N, �e uma sequ�encia convergente em[0, 1], ent�ao seu limite r := lim

i→∞ri pertence a c−1(A). Realmente,

c(ri ) ∈ A implica s(c(ri )

)= s0

(c(ri )

). As aplica�c�oes s ◦ c e s0 ◦ c s�ao con-

t��nuas, implicando s(c(r)

)= s0

(c(r)

)pela Proposi�c�ao 1.6.5. Conclu��mos

que r ∈ c−1(A). Pelo Lema 1.4, c−1(A) ⊂f [0, 1].

J�a que 0 ∈ c−1(A), o subconjunto c−1(A) n�ao �e vazio. Pelo Lema 1.12.3,c−1(A) = [0, 1]. Agora 1 ∈ c−1(A) signi�ca que s(b) = s0(b), umacontradi�c�ao �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 39 / 49

Vemos que h−1(W ) serve como a desejada vizinhan�ca de b. Assim, acaba-mos de mostrar que o conjunto A :=

{b ∈ B | s(b) = s0(b)

}�e aberto,

A⊂◦B .Suponhamos que s(b) 6= s0(b) para algum b ∈ B . O segmento de reta queliga p1 e b est�a inteiramente contido na bola aberta B . Parametrizandoeste segmento, c : [0, 1]→ B , c(t) := (1− t)p1 + tb, vemos quep1 ∈ c−1(A)⊂◦[0, 1], pois c �e cont��nuo.Por outro lado, se ri ∈ c−1(A), i ∈ N, �e uma sequ�encia convergente em[0, 1], ent�ao seu limite r := lim

i→∞ri pertence a c−1(A). Realmente,

c(ri ) ∈ A implica s(c(ri )

)= s0

(c(ri )

). As aplica�c�oes s ◦ c e s0 ◦ c s�ao con-

t��nuas, implicando s(c(r)

)= s0

(c(r)

)pela Proposi�c�ao 1.6.5. Conclu��mos

que r ∈ c−1(A). Pelo Lema 1.4, c−1(A) ⊂f [0, 1].J�a que 0 ∈ c−1(A), o subconjunto c−1(A) n�ao �e vazio.

Pelo Lema 1.12.3,c−1(A) = [0, 1]. Agora 1 ∈ c−1(A) signi�ca que s(b) = s0(b), umacontradi�c�ao �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 39 / 49

Vemos que h−1(W ) serve como a desejada vizinhan�ca de b. Assim, acaba-mos de mostrar que o conjunto A :=

{b ∈ B | s(b) = s0(b)

}�e aberto,

A⊂◦B .Suponhamos que s(b) 6= s0(b) para algum b ∈ B . O segmento de reta queliga p1 e b est�a inteiramente contido na bola aberta B . Parametrizandoeste segmento, c : [0, 1]→ B , c(t) := (1− t)p1 + tb, vemos quep1 ∈ c−1(A)⊂◦[0, 1], pois c �e cont��nuo.Por outro lado, se ri ∈ c−1(A), i ∈ N, �e uma sequ�encia convergente em[0, 1], ent�ao seu limite r := lim

i→∞ri pertence a c−1(A). Realmente,

c(ri ) ∈ A implica s(c(ri )

)= s0

(c(ri )

). As aplica�c�oes s ◦ c e s0 ◦ c s�ao con-

t��nuas, implicando s(c(r)

)= s0

(c(r)

)pela Proposi�c�ao 1.6.5. Conclu��mos

que r ∈ c−1(A). Pelo Lema 1.4, c−1(A) ⊂f [0, 1].J�a que 0 ∈ c−1(A), o subconjunto c−1(A) n�ao �e vazio. Pelo Lema 1.12.3,c−1(A) = [0, 1].

Agora 1 ∈ c−1(A) signi�ca que s(b) = s0(b), umacontradi�c�ao �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 39 / 49

Vemos que h−1(W ) serve como a desejada vizinhan�ca de b. Assim, acaba-mos de mostrar que o conjunto A :=

{b ∈ B | s(b) = s0(b)

}�e aberto,

A⊂◦B .Suponhamos que s(b) 6= s0(b) para algum b ∈ B . O segmento de reta queliga p1 e b est�a inteiramente contido na bola aberta B . Parametrizandoeste segmento, c : [0, 1]→ B , c(t) := (1− t)p1 + tb, vemos quep1 ∈ c−1(A)⊂◦[0, 1], pois c �e cont��nuo.Por outro lado, se ri ∈ c−1(A), i ∈ N, �e uma sequ�encia convergente em[0, 1], ent�ao seu limite r := lim

i→∞ri pertence a c−1(A). Realmente,

c(ri ) ∈ A implica s(c(ri )

)= s0

(c(ri )

). As aplica�c�oes s ◦ c e s0 ◦ c s�ao con-

t��nuas, implicando s(c(r)

)= s0

(c(r)

)pela Proposi�c�ao 1.6.5. Conclu��mos

que r ∈ c−1(A). Pelo Lema 1.4, c−1(A) ⊂f [0, 1].J�a que 0 ∈ c−1(A), o subconjunto c−1(A) n�ao �e vazio. Pelo Lema 1.12.3,c−1(A) = [0, 1]. Agora 1 ∈ c−1(A) signi�ca que s(b) = s0(b), umacontradi�c�ao �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 39 / 49

2.12.4. M�aximos e m��nimos condicionados, multiplicadores de

Lagrange.

Consideremos o seguinte problema. Sejam dadas uma fun�c�ao

Rm ◦⊃Uf−→ R e uma aplica�c�ao Rm ◦⊃U

g−→ Rn, ambas de classe C 1, eseja c ∈ Rn. Queremos achar m�aximos e m��nimos de f no conjunto de

n��vel S de g de�nido por S :={x ∈ U | g(x) = c

}.

Multiplicadores de Lagrange. Seja p ∈ S um extremo local de f em S .Suponhamos que a matriz jacobiana Dpg tem posto n (isto signi�ca quetodas as n linhas da matriz s�ao linearmente independentes). Ent�ao existeλ ∈ Rn, chamado multiplicador de Lagrange, tal que Dpf = λ(Dpg).

Assim, para achar um m�aximo/m��nimo de f sobre um conjunto de n��vel Sliso (isto signi�ca que a derivada Dqg de g em cada q ∈ S tem posto n),em termos de coordenadas, podemos resolver o seguinte sistema de equa-�c�oes em x1, . . . , xm, λ1, . . . , λn

gi (x1, . . . , xm) = ci , i = 1, . . . , n,

∂f

∂xj(x1, . . . , xm) =

n∑i=1

λi∂gi∂xj

(x1, . . . , xm), j = 1, . . . ,m.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 40 / 49

2.12.4. M�aximos e m��nimos condicionados, multiplicadores de

Lagrange. Consideremos o seguinte problema.

Sejam dadas uma fun�c�ao

Rm ◦⊃Uf−→ R e uma aplica�c�ao Rm ◦⊃U

g−→ Rn, ambas de classe C 1, eseja c ∈ Rn. Queremos achar m�aximos e m��nimos de f no conjunto de

n��vel S de g de�nido por S :={x ∈ U | g(x) = c

}.

Multiplicadores de Lagrange. Seja p ∈ S um extremo local de f em S .Suponhamos que a matriz jacobiana Dpg tem posto n (isto signi�ca quetodas as n linhas da matriz s�ao linearmente independentes). Ent�ao existeλ ∈ Rn, chamado multiplicador de Lagrange, tal que Dpf = λ(Dpg).

Assim, para achar um m�aximo/m��nimo de f sobre um conjunto de n��vel Sliso (isto signi�ca que a derivada Dqg de g em cada q ∈ S tem posto n),em termos de coordenadas, podemos resolver o seguinte sistema de equa-�c�oes em x1, . . . , xm, λ1, . . . , λn

gi (x1, . . . , xm) = ci , i = 1, . . . , n,

∂f

∂xj(x1, . . . , xm) =

n∑i=1

λi∂gi∂xj

(x1, . . . , xm), j = 1, . . . ,m.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 40 / 49

2.12.4. M�aximos e m��nimos condicionados, multiplicadores de

Lagrange. Consideremos o seguinte problema. Sejam dadas uma fun�c�ao

Rm ◦⊃Uf−→ R e uma aplica�c�ao Rm ◦⊃U

g−→ Rn, ambas de classe C 1, eseja c ∈ Rn.

Queremos achar m�aximos e m��nimos de f no conjunto de

n��vel S de g de�nido por S :={x ∈ U | g(x) = c

}.

Multiplicadores de Lagrange. Seja p ∈ S um extremo local de f em S .Suponhamos que a matriz jacobiana Dpg tem posto n (isto signi�ca quetodas as n linhas da matriz s�ao linearmente independentes). Ent�ao existeλ ∈ Rn, chamado multiplicador de Lagrange, tal que Dpf = λ(Dpg).

Assim, para achar um m�aximo/m��nimo de f sobre um conjunto de n��vel Sliso (isto signi�ca que a derivada Dqg de g em cada q ∈ S tem posto n),em termos de coordenadas, podemos resolver o seguinte sistema de equa-�c�oes em x1, . . . , xm, λ1, . . . , λn

gi (x1, . . . , xm) = ci , i = 1, . . . , n,

∂f

∂xj(x1, . . . , xm) =

n∑i=1

λi∂gi∂xj

(x1, . . . , xm), j = 1, . . . ,m.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 40 / 49

2.12.4. M�aximos e m��nimos condicionados, multiplicadores de

Lagrange. Consideremos o seguinte problema. Sejam dadas uma fun�c�ao

Rm ◦⊃Uf−→ R e uma aplica�c�ao Rm ◦⊃U

g−→ Rn, ambas de classe C 1, eseja c ∈ Rn. Queremos achar m�aximos e m��nimos de f no conjunto de

n��vel S de g de�nido por S :={x ∈ U | g(x) = c

}.

Multiplicadores de Lagrange. Seja p ∈ S um extremo local de f em S .Suponhamos que a matriz jacobiana Dpg tem posto n (isto signi�ca quetodas as n linhas da matriz s�ao linearmente independentes). Ent�ao existeλ ∈ Rn, chamado multiplicador de Lagrange, tal que Dpf = λ(Dpg).

Assim, para achar um m�aximo/m��nimo de f sobre um conjunto de n��vel Sliso (isto signi�ca que a derivada Dqg de g em cada q ∈ S tem posto n),em termos de coordenadas, podemos resolver o seguinte sistema de equa-�c�oes em x1, . . . , xm, λ1, . . . , λn

gi (x1, . . . , xm) = ci , i = 1, . . . , n,

∂f

∂xj(x1, . . . , xm) =

n∑i=1

λi∂gi∂xj

(x1, . . . , xm), j = 1, . . . ,m.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 40 / 49

2.12.4. M�aximos e m��nimos condicionados, multiplicadores de

Lagrange. Consideremos o seguinte problema. Sejam dadas uma fun�c�ao

Rm ◦⊃Uf−→ R e uma aplica�c�ao Rm ◦⊃U

g−→ Rn, ambas de classe C 1, eseja c ∈ Rn. Queremos achar m�aximos e m��nimos de f no conjunto de

n��vel S de g de�nido por S :={x ∈ U | g(x) = c

}.

Multiplicadores de Lagrange.

Seja p ∈ S um extremo local de f em S .Suponhamos que a matriz jacobiana Dpg tem posto n (isto signi�ca quetodas as n linhas da matriz s�ao linearmente independentes). Ent�ao existeλ ∈ Rn, chamado multiplicador de Lagrange, tal que Dpf = λ(Dpg).

Assim, para achar um m�aximo/m��nimo de f sobre um conjunto de n��vel Sliso (isto signi�ca que a derivada Dqg de g em cada q ∈ S tem posto n),em termos de coordenadas, podemos resolver o seguinte sistema de equa-�c�oes em x1, . . . , xm, λ1, . . . , λn

gi (x1, . . . , xm) = ci , i = 1, . . . , n,

∂f

∂xj(x1, . . . , xm) =

n∑i=1

λi∂gi∂xj

(x1, . . . , xm), j = 1, . . . ,m.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 40 / 49

2.12.4. M�aximos e m��nimos condicionados, multiplicadores de

Lagrange. Consideremos o seguinte problema. Sejam dadas uma fun�c�ao

Rm ◦⊃Uf−→ R e uma aplica�c�ao Rm ◦⊃U

g−→ Rn, ambas de classe C 1, eseja c ∈ Rn. Queremos achar m�aximos e m��nimos de f no conjunto de

n��vel S de g de�nido por S :={x ∈ U | g(x) = c

}.

Multiplicadores de Lagrange. Seja p ∈ S um extremo local de f em S .

Suponhamos que a matriz jacobiana Dpg tem posto n (isto signi�ca quetodas as n linhas da matriz s�ao linearmente independentes). Ent�ao existeλ ∈ Rn, chamado multiplicador de Lagrange, tal que Dpf = λ(Dpg).

Assim, para achar um m�aximo/m��nimo de f sobre um conjunto de n��vel Sliso (isto signi�ca que a derivada Dqg de g em cada q ∈ S tem posto n),em termos de coordenadas, podemos resolver o seguinte sistema de equa-�c�oes em x1, . . . , xm, λ1, . . . , λn

gi (x1, . . . , xm) = ci , i = 1, . . . , n,

∂f

∂xj(x1, . . . , xm) =

n∑i=1

λi∂gi∂xj

(x1, . . . , xm), j = 1, . . . ,m.

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2.12.4. M�aximos e m��nimos condicionados, multiplicadores de

Lagrange. Consideremos o seguinte problema. Sejam dadas uma fun�c�ao

Rm ◦⊃Uf−→ R e uma aplica�c�ao Rm ◦⊃U

g−→ Rn, ambas de classe C 1, eseja c ∈ Rn. Queremos achar m�aximos e m��nimos de f no conjunto de

n��vel S de g de�nido por S :={x ∈ U | g(x) = c

}.

Multiplicadores de Lagrange. Seja p ∈ S um extremo local de f em S .Suponhamos que a matriz jacobiana Dpg tem posto n

(isto signi�ca quetodas as n linhas da matriz s�ao linearmente independentes). Ent�ao existeλ ∈ Rn, chamado multiplicador de Lagrange, tal que Dpf = λ(Dpg).

Assim, para achar um m�aximo/m��nimo de f sobre um conjunto de n��vel Sliso (isto signi�ca que a derivada Dqg de g em cada q ∈ S tem posto n),em termos de coordenadas, podemos resolver o seguinte sistema de equa-�c�oes em x1, . . . , xm, λ1, . . . , λn

gi (x1, . . . , xm) = ci , i = 1, . . . , n,

∂f

∂xj(x1, . . . , xm) =

n∑i=1

λi∂gi∂xj

(x1, . . . , xm), j = 1, . . . ,m.

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2.12.4. M�aximos e m��nimos condicionados, multiplicadores de

Lagrange. Consideremos o seguinte problema. Sejam dadas uma fun�c�ao

Rm ◦⊃Uf−→ R e uma aplica�c�ao Rm ◦⊃U

g−→ Rn, ambas de classe C 1, eseja c ∈ Rn. Queremos achar m�aximos e m��nimos de f no conjunto de

n��vel S de g de�nido por S :={x ∈ U | g(x) = c

}.

Multiplicadores de Lagrange. Seja p ∈ S um extremo local de f em S .Suponhamos que a matriz jacobiana Dpg tem posto n (isto signi�ca quetodas as n linhas da matriz s�ao linearmente independentes).

Ent�ao existeλ ∈ Rn, chamado multiplicador de Lagrange, tal que Dpf = λ(Dpg).

Assim, para achar um m�aximo/m��nimo de f sobre um conjunto de n��vel Sliso (isto signi�ca que a derivada Dqg de g em cada q ∈ S tem posto n),em termos de coordenadas, podemos resolver o seguinte sistema de equa-�c�oes em x1, . . . , xm, λ1, . . . , λn

gi (x1, . . . , xm) = ci , i = 1, . . . , n,

∂f

∂xj(x1, . . . , xm) =

n∑i=1

λi∂gi∂xj

(x1, . . . , xm), j = 1, . . . ,m.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 40 / 49

2.12.4. M�aximos e m��nimos condicionados, multiplicadores de

Lagrange. Consideremos o seguinte problema. Sejam dadas uma fun�c�ao

Rm ◦⊃Uf−→ R e uma aplica�c�ao Rm ◦⊃U

g−→ Rn, ambas de classe C 1, eseja c ∈ Rn. Queremos achar m�aximos e m��nimos de f no conjunto de

n��vel S de g de�nido por S :={x ∈ U | g(x) = c

}.

Multiplicadores de Lagrange. Seja p ∈ S um extremo local de f em S .Suponhamos que a matriz jacobiana Dpg tem posto n (isto signi�ca quetodas as n linhas da matriz s�ao linearmente independentes). Ent�ao existeλ ∈ Rn, chamado multiplicador de Lagrange, tal que Dpf = λ(Dpg).

Assim, para achar um m�aximo/m��nimo de f sobre um conjunto de n��vel Sliso (isto signi�ca que a derivada Dqg de g em cada q ∈ S tem posto n),em termos de coordenadas, podemos resolver o seguinte sistema de equa-�c�oes em x1, . . . , xm, λ1, . . . , λn

gi (x1, . . . , xm) = ci , i = 1, . . . , n,

∂f

∂xj(x1, . . . , xm) =

n∑i=1

λi∂gi∂xj

(x1, . . . , xm), j = 1, . . . ,m.

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2.12.4. M�aximos e m��nimos condicionados, multiplicadores de

Lagrange. Consideremos o seguinte problema. Sejam dadas uma fun�c�ao

Rm ◦⊃Uf−→ R e uma aplica�c�ao Rm ◦⊃U

g−→ Rn, ambas de classe C 1, eseja c ∈ Rn. Queremos achar m�aximos e m��nimos de f no conjunto de

n��vel S de g de�nido por S :={x ∈ U | g(x) = c

}.

Multiplicadores de Lagrange. Seja p ∈ S um extremo local de f em S .Suponhamos que a matriz jacobiana Dpg tem posto n (isto signi�ca quetodas as n linhas da matriz s�ao linearmente independentes). Ent�ao existeλ ∈ Rn, chamado multiplicador de Lagrange, tal que Dpf = λ(Dpg).

Assim, para achar um m�aximo/m��nimo de f sobre um conjunto de n��vel Sliso

(isto signi�ca que a derivada Dqg de g em cada q ∈ S tem posto n),em termos de coordenadas, podemos resolver o seguinte sistema de equa-�c�oes em x1, . . . , xm, λ1, . . . , λn

gi (x1, . . . , xm) = ci , i = 1, . . . , n,

∂f

∂xj(x1, . . . , xm) =

n∑i=1

λi∂gi∂xj

(x1, . . . , xm), j = 1, . . . ,m.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 40 / 49

2.12.4. M�aximos e m��nimos condicionados, multiplicadores de

Lagrange. Consideremos o seguinte problema. Sejam dadas uma fun�c�ao

Rm ◦⊃Uf−→ R e uma aplica�c�ao Rm ◦⊃U

g−→ Rn, ambas de classe C 1, eseja c ∈ Rn. Queremos achar m�aximos e m��nimos de f no conjunto de

n��vel S de g de�nido por S :={x ∈ U | g(x) = c

}.

Multiplicadores de Lagrange. Seja p ∈ S um extremo local de f em S .Suponhamos que a matriz jacobiana Dpg tem posto n (isto signi�ca quetodas as n linhas da matriz s�ao linearmente independentes). Ent�ao existeλ ∈ Rn, chamado multiplicador de Lagrange, tal que Dpf = λ(Dpg).

Assim, para achar um m�aximo/m��nimo de f sobre um conjunto de n��vel Sliso (isto signi�ca que a derivada Dqg de g em cada q ∈ S tem posto n),

em termos de coordenadas, podemos resolver o seguinte sistema de equa-�c�oes em x1, . . . , xm, λ1, . . . , λn

gi (x1, . . . , xm) = ci , i = 1, . . . , n,

∂f

∂xj(x1, . . . , xm) =

n∑i=1

λi∂gi∂xj

(x1, . . . , xm), j = 1, . . . ,m.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 40 / 49

2.12.4. M�aximos e m��nimos condicionados, multiplicadores de

Lagrange. Consideremos o seguinte problema. Sejam dadas uma fun�c�ao

Rm ◦⊃Uf−→ R e uma aplica�c�ao Rm ◦⊃U

g−→ Rn, ambas de classe C 1, eseja c ∈ Rn. Queremos achar m�aximos e m��nimos de f no conjunto de

n��vel S de g de�nido por S :={x ∈ U | g(x) = c

}.

Multiplicadores de Lagrange. Seja p ∈ S um extremo local de f em S .Suponhamos que a matriz jacobiana Dpg tem posto n (isto signi�ca quetodas as n linhas da matriz s�ao linearmente independentes). Ent�ao existeλ ∈ Rn, chamado multiplicador de Lagrange, tal que Dpf = λ(Dpg).

Assim, para achar um m�aximo/m��nimo de f sobre um conjunto de n��vel Sliso (isto signi�ca que a derivada Dqg de g em cada q ∈ S tem posto n),em termos de coordenadas,

podemos resolver o seguinte sistema de equa-�c�oes em x1, . . . , xm, λ1, . . . , λn

gi (x1, . . . , xm) = ci , i = 1, . . . , n,

∂f

∂xj(x1, . . . , xm) =

n∑i=1

λi∂gi∂xj

(x1, . . . , xm), j = 1, . . . ,m.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 40 / 49

2.12.4. M�aximos e m��nimos condicionados, multiplicadores de

Lagrange. Consideremos o seguinte problema. Sejam dadas uma fun�c�ao

Rm ◦⊃Uf−→ R e uma aplica�c�ao Rm ◦⊃U

g−→ Rn, ambas de classe C 1, eseja c ∈ Rn. Queremos achar m�aximos e m��nimos de f no conjunto de

n��vel S de g de�nido por S :={x ∈ U | g(x) = c

}.

Multiplicadores de Lagrange. Seja p ∈ S um extremo local de f em S .Suponhamos que a matriz jacobiana Dpg tem posto n (isto signi�ca quetodas as n linhas da matriz s�ao linearmente independentes). Ent�ao existeλ ∈ Rn, chamado multiplicador de Lagrange, tal que Dpf = λ(Dpg).

Assim, para achar um m�aximo/m��nimo de f sobre um conjunto de n��vel Sliso (isto signi�ca que a derivada Dqg de g em cada q ∈ S tem posto n),em termos de coordenadas, podemos resolver o seguinte sistema de equa-�c�oes em x1, . . . , xm, λ1, . . . , λn

gi (x1, . . . , xm) = ci , i = 1, . . . , n,

∂f

∂xj(x1, . . . , xm) =

n∑i=1

λi∂gi∂xj

(x1, . . . , xm), j = 1, . . . ,m.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 40 / 49

Cada tal solu�c�ao produz um ponto p := (x1, . . . , xm) ∈ S que �e um candi-dato a m�aximo/m��nimo de f sobre S .

(Sendo S liso, os λi 's s�ao �unicoscaso existam.) Se, por exemplo, h�a �nitas solu�c�oes, podemos comparar osvalores de f nessas e decidir quais dos p's podem constituir um m�aximo oum��nimo. Caso S seja um compacto, o problema ser�a assim resolvido peloLema 1.7.10. Caso contr�ario, precisamos ainda estudar o compartamentode f no in�nito e/ou na fronteira de S .

Demonstra�c�ao do m�etodo de multiplicadores de Lagrange. Da �alge-bra linear sabemos que n ≤ m e que existe uma (n × n)-submatriz de Dpgcujo determinante n�ao �e nulo. Renomeando as vari�aveis x1, . . . , xm pode-mos supor que essa submatriz �e formada pelas �ultimas n colunas de Dpg .Assim, interpretamos Rm como Rk × Rn, k := m − n.Apliquemos o Teorema 2.12.2 para p = (p1, p2), p3 := c e E (x , y) :=g(x , y). O fato que a submatriz M2 formada pelas �ultimas n colunas deDpg tem determinante n�ao-nulo signi�ca que det(D ′′(p1,p2)E ) 6= 0. Pela

�algebra linear, D ′′(p1,p2)E �e um isomor�smo linear. Podemos diminuir U,

fazendo-o da forma U = U1 × U2 3 (p1, p2) com U1⊂◦Rk e U2⊂◦Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 41 / 49

Cada tal solu�c�ao produz um ponto p := (x1, . . . , xm) ∈ S que �e um candi-dato a m�aximo/m��nimo de f sobre S . (Sendo S liso, os λi 's s�ao �unicoscaso existam.)

Se, por exemplo, h�a �nitas solu�c�oes, podemos comparar osvalores de f nessas e decidir quais dos p's podem constituir um m�aximo oum��nimo. Caso S seja um compacto, o problema ser�a assim resolvido peloLema 1.7.10. Caso contr�ario, precisamos ainda estudar o compartamentode f no in�nito e/ou na fronteira de S .

Demonstra�c�ao do m�etodo de multiplicadores de Lagrange. Da �alge-bra linear sabemos que n ≤ m e que existe uma (n × n)-submatriz de Dpgcujo determinante n�ao �e nulo. Renomeando as vari�aveis x1, . . . , xm pode-mos supor que essa submatriz �e formada pelas �ultimas n colunas de Dpg .Assim, interpretamos Rm como Rk × Rn, k := m − n.Apliquemos o Teorema 2.12.2 para p = (p1, p2), p3 := c e E (x , y) :=g(x , y). O fato que a submatriz M2 formada pelas �ultimas n colunas deDpg tem determinante n�ao-nulo signi�ca que det(D ′′(p1,p2)E ) 6= 0. Pela

�algebra linear, D ′′(p1,p2)E �e um isomor�smo linear. Podemos diminuir U,

fazendo-o da forma U = U1 × U2 3 (p1, p2) com U1⊂◦Rk e U2⊂◦Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 41 / 49

Cada tal solu�c�ao produz um ponto p := (x1, . . . , xm) ∈ S que �e um candi-dato a m�aximo/m��nimo de f sobre S . (Sendo S liso, os λi 's s�ao �unicoscaso existam.) Se, por exemplo, h�a �nitas solu�c�oes,

podemos comparar osvalores de f nessas e decidir quais dos p's podem constituir um m�aximo oum��nimo. Caso S seja um compacto, o problema ser�a assim resolvido peloLema 1.7.10. Caso contr�ario, precisamos ainda estudar o compartamentode f no in�nito e/ou na fronteira de S .

Demonstra�c�ao do m�etodo de multiplicadores de Lagrange. Da �alge-bra linear sabemos que n ≤ m e que existe uma (n × n)-submatriz de Dpgcujo determinante n�ao �e nulo. Renomeando as vari�aveis x1, . . . , xm pode-mos supor que essa submatriz �e formada pelas �ultimas n colunas de Dpg .Assim, interpretamos Rm como Rk × Rn, k := m − n.Apliquemos o Teorema 2.12.2 para p = (p1, p2), p3 := c e E (x , y) :=g(x , y). O fato que a submatriz M2 formada pelas �ultimas n colunas deDpg tem determinante n�ao-nulo signi�ca que det(D ′′(p1,p2)E ) 6= 0. Pela

�algebra linear, D ′′(p1,p2)E �e um isomor�smo linear. Podemos diminuir U,

fazendo-o da forma U = U1 × U2 3 (p1, p2) com U1⊂◦Rk e U2⊂◦Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 41 / 49

Cada tal solu�c�ao produz um ponto p := (x1, . . . , xm) ∈ S que �e um candi-dato a m�aximo/m��nimo de f sobre S . (Sendo S liso, os λi 's s�ao �unicoscaso existam.) Se, por exemplo, h�a �nitas solu�c�oes, podemos comparar osvalores de f nessas e decidir quais dos p's podem constituir um m�aximo oum��nimo.

Caso S seja um compacto, o problema ser�a assim resolvido peloLema 1.7.10. Caso contr�ario, precisamos ainda estudar o compartamentode f no in�nito e/ou na fronteira de S .

Demonstra�c�ao do m�etodo de multiplicadores de Lagrange. Da �alge-bra linear sabemos que n ≤ m e que existe uma (n × n)-submatriz de Dpgcujo determinante n�ao �e nulo. Renomeando as vari�aveis x1, . . . , xm pode-mos supor que essa submatriz �e formada pelas �ultimas n colunas de Dpg .Assim, interpretamos Rm como Rk × Rn, k := m − n.Apliquemos o Teorema 2.12.2 para p = (p1, p2), p3 := c e E (x , y) :=g(x , y). O fato que a submatriz M2 formada pelas �ultimas n colunas deDpg tem determinante n�ao-nulo signi�ca que det(D ′′(p1,p2)E ) 6= 0. Pela

�algebra linear, D ′′(p1,p2)E �e um isomor�smo linear. Podemos diminuir U,

fazendo-o da forma U = U1 × U2 3 (p1, p2) com U1⊂◦Rk e U2⊂◦Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 41 / 49

Cada tal solu�c�ao produz um ponto p := (x1, . . . , xm) ∈ S que �e um candi-dato a m�aximo/m��nimo de f sobre S . (Sendo S liso, os λi 's s�ao �unicoscaso existam.) Se, por exemplo, h�a �nitas solu�c�oes, podemos comparar osvalores de f nessas e decidir quais dos p's podem constituir um m�aximo oum��nimo. Caso S seja um compacto, o problema ser�a assim resolvido peloLema 1.7.10.

Caso contr�ario, precisamos ainda estudar o compartamentode f no in�nito e/ou na fronteira de S .

Demonstra�c�ao do m�etodo de multiplicadores de Lagrange. Da �alge-bra linear sabemos que n ≤ m e que existe uma (n × n)-submatriz de Dpgcujo determinante n�ao �e nulo. Renomeando as vari�aveis x1, . . . , xm pode-mos supor que essa submatriz �e formada pelas �ultimas n colunas de Dpg .Assim, interpretamos Rm como Rk × Rn, k := m − n.Apliquemos o Teorema 2.12.2 para p = (p1, p2), p3 := c e E (x , y) :=g(x , y). O fato que a submatriz M2 formada pelas �ultimas n colunas deDpg tem determinante n�ao-nulo signi�ca que det(D ′′(p1,p2)E ) 6= 0. Pela

�algebra linear, D ′′(p1,p2)E �e um isomor�smo linear. Podemos diminuir U,

fazendo-o da forma U = U1 × U2 3 (p1, p2) com U1⊂◦Rk e U2⊂◦Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 41 / 49

Cada tal solu�c�ao produz um ponto p := (x1, . . . , xm) ∈ S que �e um candi-dato a m�aximo/m��nimo de f sobre S . (Sendo S liso, os λi 's s�ao �unicoscaso existam.) Se, por exemplo, h�a �nitas solu�c�oes, podemos comparar osvalores de f nessas e decidir quais dos p's podem constituir um m�aximo oum��nimo. Caso S seja um compacto, o problema ser�a assim resolvido peloLema 1.7.10. Caso contr�ario, precisamos ainda estudar o compartamentode f no in�nito e/ou na fronteira de S .

Demonstra�c�ao do m�etodo de multiplicadores de Lagrange. Da �alge-bra linear sabemos que n ≤ m e que existe uma (n × n)-submatriz de Dpgcujo determinante n�ao �e nulo. Renomeando as vari�aveis x1, . . . , xm pode-mos supor que essa submatriz �e formada pelas �ultimas n colunas de Dpg .Assim, interpretamos Rm como Rk × Rn, k := m − n.Apliquemos o Teorema 2.12.2 para p = (p1, p2), p3 := c e E (x , y) :=g(x , y). O fato que a submatriz M2 formada pelas �ultimas n colunas deDpg tem determinante n�ao-nulo signi�ca que det(D ′′(p1,p2)E ) 6= 0. Pela

�algebra linear, D ′′(p1,p2)E �e um isomor�smo linear. Podemos diminuir U,

fazendo-o da forma U = U1 × U2 3 (p1, p2) com U1⊂◦Rk e U2⊂◦Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 41 / 49

Cada tal solu�c�ao produz um ponto p := (x1, . . . , xm) ∈ S que �e um candi-dato a m�aximo/m��nimo de f sobre S . (Sendo S liso, os λi 's s�ao �unicoscaso existam.) Se, por exemplo, h�a �nitas solu�c�oes, podemos comparar osvalores de f nessas e decidir quais dos p's podem constituir um m�aximo oum��nimo. Caso S seja um compacto, o problema ser�a assim resolvido peloLema 1.7.10. Caso contr�ario, precisamos ainda estudar o compartamentode f no in�nito e/ou na fronteira de S .

Demonstra�c�ao do m�etodo de multiplicadores de Lagrange.

Da �alge-bra linear sabemos que n ≤ m e que existe uma (n × n)-submatriz de Dpgcujo determinante n�ao �e nulo. Renomeando as vari�aveis x1, . . . , xm pode-mos supor que essa submatriz �e formada pelas �ultimas n colunas de Dpg .Assim, interpretamos Rm como Rk × Rn, k := m − n.Apliquemos o Teorema 2.12.2 para p = (p1, p2), p3 := c e E (x , y) :=g(x , y). O fato que a submatriz M2 formada pelas �ultimas n colunas deDpg tem determinante n�ao-nulo signi�ca que det(D ′′(p1,p2)E ) 6= 0. Pela

�algebra linear, D ′′(p1,p2)E �e um isomor�smo linear. Podemos diminuir U,

fazendo-o da forma U = U1 × U2 3 (p1, p2) com U1⊂◦Rk e U2⊂◦Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 41 / 49

Cada tal solu�c�ao produz um ponto p := (x1, . . . , xm) ∈ S que �e um candi-dato a m�aximo/m��nimo de f sobre S . (Sendo S liso, os λi 's s�ao �unicoscaso existam.) Se, por exemplo, h�a �nitas solu�c�oes, podemos comparar osvalores de f nessas e decidir quais dos p's podem constituir um m�aximo oum��nimo. Caso S seja um compacto, o problema ser�a assim resolvido peloLema 1.7.10. Caso contr�ario, precisamos ainda estudar o compartamentode f no in�nito e/ou na fronteira de S .

Demonstra�c�ao do m�etodo de multiplicadores de Lagrange. Da �alge-bra linear sabemos que n ≤ m e que existe uma (n × n)-submatriz de Dpgcujo determinante n�ao �e nulo.

Renomeando as vari�aveis x1, . . . , xm pode-mos supor que essa submatriz �e formada pelas �ultimas n colunas de Dpg .Assim, interpretamos Rm como Rk × Rn, k := m − n.Apliquemos o Teorema 2.12.2 para p = (p1, p2), p3 := c e E (x , y) :=g(x , y). O fato que a submatriz M2 formada pelas �ultimas n colunas deDpg tem determinante n�ao-nulo signi�ca que det(D ′′(p1,p2)E ) 6= 0. Pela

�algebra linear, D ′′(p1,p2)E �e um isomor�smo linear. Podemos diminuir U,

fazendo-o da forma U = U1 × U2 3 (p1, p2) com U1⊂◦Rk e U2⊂◦Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 41 / 49

Cada tal solu�c�ao produz um ponto p := (x1, . . . , xm) ∈ S que �e um candi-dato a m�aximo/m��nimo de f sobre S . (Sendo S liso, os λi 's s�ao �unicoscaso existam.) Se, por exemplo, h�a �nitas solu�c�oes, podemos comparar osvalores de f nessas e decidir quais dos p's podem constituir um m�aximo oum��nimo. Caso S seja um compacto, o problema ser�a assim resolvido peloLema 1.7.10. Caso contr�ario, precisamos ainda estudar o compartamentode f no in�nito e/ou na fronteira de S .

Demonstra�c�ao do m�etodo de multiplicadores de Lagrange. Da �alge-bra linear sabemos que n ≤ m e que existe uma (n × n)-submatriz de Dpgcujo determinante n�ao �e nulo. Renomeando as vari�aveis x1, . . . , xm pode-mos supor que essa submatriz �e formada pelas �ultimas n colunas de Dpg .

Assim, interpretamos Rm como Rk × Rn, k := m − n.Apliquemos o Teorema 2.12.2 para p = (p1, p2), p3 := c e E (x , y) :=g(x , y). O fato que a submatriz M2 formada pelas �ultimas n colunas deDpg tem determinante n�ao-nulo signi�ca que det(D ′′(p1,p2)E ) 6= 0. Pela

�algebra linear, D ′′(p1,p2)E �e um isomor�smo linear. Podemos diminuir U,

fazendo-o da forma U = U1 × U2 3 (p1, p2) com U1⊂◦Rk e U2⊂◦Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 41 / 49

Cada tal solu�c�ao produz um ponto p := (x1, . . . , xm) ∈ S que �e um candi-dato a m�aximo/m��nimo de f sobre S . (Sendo S liso, os λi 's s�ao �unicoscaso existam.) Se, por exemplo, h�a �nitas solu�c�oes, podemos comparar osvalores de f nessas e decidir quais dos p's podem constituir um m�aximo oum��nimo. Caso S seja um compacto, o problema ser�a assim resolvido peloLema 1.7.10. Caso contr�ario, precisamos ainda estudar o compartamentode f no in�nito e/ou na fronteira de S .

Demonstra�c�ao do m�etodo de multiplicadores de Lagrange. Da �alge-bra linear sabemos que n ≤ m e que existe uma (n × n)-submatriz de Dpgcujo determinante n�ao �e nulo. Renomeando as vari�aveis x1, . . . , xm pode-mos supor que essa submatriz �e formada pelas �ultimas n colunas de Dpg .Assim, interpretamos Rm como Rk × Rn, k := m − n.

Apliquemos o Teorema 2.12.2 para p = (p1, p2), p3 := c e E (x , y) :=g(x , y). O fato que a submatriz M2 formada pelas �ultimas n colunas deDpg tem determinante n�ao-nulo signi�ca que det(D ′′(p1,p2)E ) 6= 0. Pela

�algebra linear, D ′′(p1,p2)E �e um isomor�smo linear. Podemos diminuir U,

fazendo-o da forma U = U1 × U2 3 (p1, p2) com U1⊂◦Rk e U2⊂◦Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 41 / 49

Cada tal solu�c�ao produz um ponto p := (x1, . . . , xm) ∈ S que �e um candi-dato a m�aximo/m��nimo de f sobre S . (Sendo S liso, os λi 's s�ao �unicoscaso existam.) Se, por exemplo, h�a �nitas solu�c�oes, podemos comparar osvalores de f nessas e decidir quais dos p's podem constituir um m�aximo oum��nimo. Caso S seja um compacto, o problema ser�a assim resolvido peloLema 1.7.10. Caso contr�ario, precisamos ainda estudar o compartamentode f no in�nito e/ou na fronteira de S .

Demonstra�c�ao do m�etodo de multiplicadores de Lagrange. Da �alge-bra linear sabemos que n ≤ m e que existe uma (n × n)-submatriz de Dpgcujo determinante n�ao �e nulo. Renomeando as vari�aveis x1, . . . , xm pode-mos supor que essa submatriz �e formada pelas �ultimas n colunas de Dpg .Assim, interpretamos Rm como Rk × Rn, k := m − n.Apliquemos o Teorema 2.12.2 para p = (p1, p2), p3 := c e E (x , y) :=g(x , y).

O fato que a submatriz M2 formada pelas �ultimas n colunas deDpg tem determinante n�ao-nulo signi�ca que det(D ′′(p1,p2)E ) 6= 0. Pela

�algebra linear, D ′′(p1,p2)E �e um isomor�smo linear. Podemos diminuir U,

fazendo-o da forma U = U1 × U2 3 (p1, p2) com U1⊂◦Rk e U2⊂◦Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 41 / 49

Cada tal solu�c�ao produz um ponto p := (x1, . . . , xm) ∈ S que �e um candi-dato a m�aximo/m��nimo de f sobre S . (Sendo S liso, os λi 's s�ao �unicoscaso existam.) Se, por exemplo, h�a �nitas solu�c�oes, podemos comparar osvalores de f nessas e decidir quais dos p's podem constituir um m�aximo oum��nimo. Caso S seja um compacto, o problema ser�a assim resolvido peloLema 1.7.10. Caso contr�ario, precisamos ainda estudar o compartamentode f no in�nito e/ou na fronteira de S .

Demonstra�c�ao do m�etodo de multiplicadores de Lagrange. Da �alge-bra linear sabemos que n ≤ m e que existe uma (n × n)-submatriz de Dpgcujo determinante n�ao �e nulo. Renomeando as vari�aveis x1, . . . , xm pode-mos supor que essa submatriz �e formada pelas �ultimas n colunas de Dpg .Assim, interpretamos Rm como Rk × Rn, k := m − n.Apliquemos o Teorema 2.12.2 para p = (p1, p2), p3 := c e E (x , y) :=g(x , y). O fato que a submatriz M2 formada pelas �ultimas n colunas deDpg tem determinante n�ao-nulo signi�ca que det(D ′′(p1,p2)E ) 6= 0.

Pela

�algebra linear, D ′′(p1,p2)E �e um isomor�smo linear. Podemos diminuir U,

fazendo-o da forma U = U1 × U2 3 (p1, p2) com U1⊂◦Rk e U2⊂◦Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 41 / 49

Cada tal solu�c�ao produz um ponto p := (x1, . . . , xm) ∈ S que �e um candi-dato a m�aximo/m��nimo de f sobre S . (Sendo S liso, os λi 's s�ao �unicoscaso existam.) Se, por exemplo, h�a �nitas solu�c�oes, podemos comparar osvalores de f nessas e decidir quais dos p's podem constituir um m�aximo oum��nimo. Caso S seja um compacto, o problema ser�a assim resolvido peloLema 1.7.10. Caso contr�ario, precisamos ainda estudar o compartamentode f no in�nito e/ou na fronteira de S .

Demonstra�c�ao do m�etodo de multiplicadores de Lagrange. Da �alge-bra linear sabemos que n ≤ m e que existe uma (n × n)-submatriz de Dpgcujo determinante n�ao �e nulo. Renomeando as vari�aveis x1, . . . , xm pode-mos supor que essa submatriz �e formada pelas �ultimas n colunas de Dpg .Assim, interpretamos Rm como Rk × Rn, k := m − n.Apliquemos o Teorema 2.12.2 para p = (p1, p2), p3 := c e E (x , y) :=g(x , y). O fato que a submatriz M2 formada pelas �ultimas n colunas deDpg tem determinante n�ao-nulo signi�ca que det(D ′′(p1,p2)E ) 6= 0. Pela

�algebra linear, D ′′(p1,p2)E �e um isomor�smo linear.

Podemos diminuir U,

fazendo-o da forma U = U1 × U2 3 (p1, p2) com U1⊂◦Rk e U2⊂◦Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 41 / 49

Cada tal solu�c�ao produz um ponto p := (x1, . . . , xm) ∈ S que �e um candi-dato a m�aximo/m��nimo de f sobre S . (Sendo S liso, os λi 's s�ao �unicoscaso existam.) Se, por exemplo, h�a �nitas solu�c�oes, podemos comparar osvalores de f nessas e decidir quais dos p's podem constituir um m�aximo oum��nimo. Caso S seja um compacto, o problema ser�a assim resolvido peloLema 1.7.10. Caso contr�ario, precisamos ainda estudar o compartamentode f no in�nito e/ou na fronteira de S .

Demonstra�c�ao do m�etodo de multiplicadores de Lagrange. Da �alge-bra linear sabemos que n ≤ m e que existe uma (n × n)-submatriz de Dpgcujo determinante n�ao �e nulo. Renomeando as vari�aveis x1, . . . , xm pode-mos supor que essa submatriz �e formada pelas �ultimas n colunas de Dpg .Assim, interpretamos Rm como Rk × Rn, k := m − n.Apliquemos o Teorema 2.12.2 para p = (p1, p2), p3 := c e E (x , y) :=g(x , y). O fato que a submatriz M2 formada pelas �ultimas n colunas deDpg tem determinante n�ao-nulo signi�ca que det(D ′′(p1,p2)E ) 6= 0. Pela

�algebra linear, D ′′(p1,p2)E �e um isomor�smo linear. Podemos diminuir U,

fazendo-o da forma U = U1 × U2 3 (p1, p2) com U1⊂◦Rk e U2⊂◦Rn.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 41 / 49

Pelo Teorema 2.12.2, temos uma bola aberta p1 ∈ B ⊂◦U1 e umaaplica�c�ao s : B → U2 de classe C 1 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B ,

ou seja, g(x , s(x)

)= c . Portanto, a fun�c�ao

f ◦ h : B → R, onde h(x) :=(x , s(x)

), tem extremo local para x = p1.

Pela primeira parte do Crit�erio 2.11.3, Dp1(f ◦ h) = 0. Sendo g ◦ h umaconstante, obtemos Dp1(g ◦ h) = 0. Pelo Lema 2.2, (Dpg) ◦ (Dp1h) = 0 e(Dpf ) ◦ (Dp1h) = 0. Na forma matricial em blocos, Dpf = [v1 v2], Dpg =

= [M1M2] e Dp1h =

[1M

]. Logo, M1 +M2M = 0 e v1 + v2M = 0. J�a que

a matriz M2 possui inversa, temos M = −M−12 M1 e v1 = v2M−12 M1. Resta

de�nir λ := v2M−12 , pois λ[M1M2] = [v2M

−12 M1 v2M

−12 M2] = [v1 v2] �

Na demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1, precisaremos dos seguintes fatos,curiosos e �uteis por si.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 42 / 49

Pelo Teorema 2.12.2, temos uma bola aberta p1 ∈ B ⊂◦U1 e umaaplica�c�ao s : B → U2 de classe C 1 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B , ou seja, g(x , s(x)

)= c .

Portanto, a fun�c�aof ◦ h : B → R, onde h(x) :=

(x , s(x)

), tem extremo local para x = p1.

Pela primeira parte do Crit�erio 2.11.3, Dp1(f ◦ h) = 0. Sendo g ◦ h umaconstante, obtemos Dp1(g ◦ h) = 0. Pelo Lema 2.2, (Dpg) ◦ (Dp1h) = 0 e(Dpf ) ◦ (Dp1h) = 0. Na forma matricial em blocos, Dpf = [v1 v2], Dpg =

= [M1M2] e Dp1h =

[1M

]. Logo, M1 +M2M = 0 e v1 + v2M = 0. J�a que

a matriz M2 possui inversa, temos M = −M−12 M1 e v1 = v2M−12 M1. Resta

de�nir λ := v2M−12 , pois λ[M1M2] = [v2M

−12 M1 v2M

−12 M2] = [v1 v2] �

Na demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1, precisaremos dos seguintes fatos,curiosos e �uteis por si.

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Pelo Teorema 2.12.2, temos uma bola aberta p1 ∈ B ⊂◦U1 e umaaplica�c�ao s : B → U2 de classe C 1 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B , ou seja, g(x , s(x)

)= c . Portanto, a fun�c�ao

f ◦ h : B → R, onde h(x) :=(x , s(x)

), tem extremo local para x = p1.

Pela primeira parte do Crit�erio 2.11.3, Dp1(f ◦ h) = 0. Sendo g ◦ h umaconstante, obtemos Dp1(g ◦ h) = 0. Pelo Lema 2.2, (Dpg) ◦ (Dp1h) = 0 e(Dpf ) ◦ (Dp1h) = 0. Na forma matricial em blocos, Dpf = [v1 v2], Dpg =

= [M1M2] e Dp1h =

[1M

]. Logo, M1 +M2M = 0 e v1 + v2M = 0. J�a que

a matriz M2 possui inversa, temos M = −M−12 M1 e v1 = v2M−12 M1. Resta

de�nir λ := v2M−12 , pois λ[M1M2] = [v2M

−12 M1 v2M

−12 M2] = [v1 v2] �

Na demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1, precisaremos dos seguintes fatos,curiosos e �uteis por si.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 42 / 49

Pelo Teorema 2.12.2, temos uma bola aberta p1 ∈ B ⊂◦U1 e umaaplica�c�ao s : B → U2 de classe C 1 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B , ou seja, g(x , s(x)

)= c . Portanto, a fun�c�ao

f ◦ h : B → R, onde h(x) :=(x , s(x)

), tem extremo local para x = p1.

Pela primeira parte do Crit�erio 2.11.3, Dp1(f ◦ h) = 0.

Sendo g ◦ h umaconstante, obtemos Dp1(g ◦ h) = 0. Pelo Lema 2.2, (Dpg) ◦ (Dp1h) = 0 e(Dpf ) ◦ (Dp1h) = 0. Na forma matricial em blocos, Dpf = [v1 v2], Dpg =

= [M1M2] e Dp1h =

[1M

]. Logo, M1 +M2M = 0 e v1 + v2M = 0. J�a que

a matriz M2 possui inversa, temos M = −M−12 M1 e v1 = v2M−12 M1. Resta

de�nir λ := v2M−12 , pois λ[M1M2] = [v2M

−12 M1 v2M

−12 M2] = [v1 v2] �

Na demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1, precisaremos dos seguintes fatos,curiosos e �uteis por si.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 42 / 49

Pelo Teorema 2.12.2, temos uma bola aberta p1 ∈ B ⊂◦U1 e umaaplica�c�ao s : B → U2 de classe C 1 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B , ou seja, g(x , s(x)

)= c . Portanto, a fun�c�ao

f ◦ h : B → R, onde h(x) :=(x , s(x)

), tem extremo local para x = p1.

Pela primeira parte do Crit�erio 2.11.3, Dp1(f ◦ h) = 0. Sendo g ◦ h umaconstante, obtemos Dp1(g ◦ h) = 0.

Pelo Lema 2.2, (Dpg) ◦ (Dp1h) = 0 e(Dpf ) ◦ (Dp1h) = 0. Na forma matricial em blocos, Dpf = [v1 v2], Dpg =

= [M1M2] e Dp1h =

[1M

]. Logo, M1 +M2M = 0 e v1 + v2M = 0. J�a que

a matriz M2 possui inversa, temos M = −M−12 M1 e v1 = v2M−12 M1. Resta

de�nir λ := v2M−12 , pois λ[M1M2] = [v2M

−12 M1 v2M

−12 M2] = [v1 v2] �

Na demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1, precisaremos dos seguintes fatos,curiosos e �uteis por si.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 42 / 49

Pelo Teorema 2.12.2, temos uma bola aberta p1 ∈ B ⊂◦U1 e umaaplica�c�ao s : B → U2 de classe C 1 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B , ou seja, g(x , s(x)

)= c . Portanto, a fun�c�ao

f ◦ h : B → R, onde h(x) :=(x , s(x)

), tem extremo local para x = p1.

Pela primeira parte do Crit�erio 2.11.3, Dp1(f ◦ h) = 0. Sendo g ◦ h umaconstante, obtemos Dp1(g ◦ h) = 0. Pelo Lema 2.2, (Dpg) ◦ (Dp1h) = 0 e(Dpf ) ◦ (Dp1h) = 0.

Na forma matricial em blocos, Dpf = [v1 v2], Dpg =

= [M1M2] e Dp1h =

[1M

]. Logo, M1 +M2M = 0 e v1 + v2M = 0. J�a que

a matriz M2 possui inversa, temos M = −M−12 M1 e v1 = v2M−12 M1. Resta

de�nir λ := v2M−12 , pois λ[M1M2] = [v2M

−12 M1 v2M

−12 M2] = [v1 v2] �

Na demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1, precisaremos dos seguintes fatos,curiosos e �uteis por si.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 42 / 49

Pelo Teorema 2.12.2, temos uma bola aberta p1 ∈ B ⊂◦U1 e umaaplica�c�ao s : B → U2 de classe C 1 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B , ou seja, g(x , s(x)

)= c . Portanto, a fun�c�ao

f ◦ h : B → R, onde h(x) :=(x , s(x)

), tem extremo local para x = p1.

Pela primeira parte do Crit�erio 2.11.3, Dp1(f ◦ h) = 0. Sendo g ◦ h umaconstante, obtemos Dp1(g ◦ h) = 0. Pelo Lema 2.2, (Dpg) ◦ (Dp1h) = 0 e(Dpf ) ◦ (Dp1h) = 0. Na forma matricial em blocos, Dpf = [v1 v2], Dpg =

= [M1M2] e Dp1h =

[1M

].

Logo, M1 +M2M = 0 e v1 + v2M = 0. J�a que

a matriz M2 possui inversa, temos M = −M−12 M1 e v1 = v2M−12 M1. Resta

de�nir λ := v2M−12 , pois λ[M1M2] = [v2M

−12 M1 v2M

−12 M2] = [v1 v2] �

Na demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1, precisaremos dos seguintes fatos,curiosos e �uteis por si.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 42 / 49

Pelo Teorema 2.12.2, temos uma bola aberta p1 ∈ B ⊂◦U1 e umaaplica�c�ao s : B → U2 de classe C 1 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B , ou seja, g(x , s(x)

)= c . Portanto, a fun�c�ao

f ◦ h : B → R, onde h(x) :=(x , s(x)

), tem extremo local para x = p1.

Pela primeira parte do Crit�erio 2.11.3, Dp1(f ◦ h) = 0. Sendo g ◦ h umaconstante, obtemos Dp1(g ◦ h) = 0. Pelo Lema 2.2, (Dpg) ◦ (Dp1h) = 0 e(Dpf ) ◦ (Dp1h) = 0. Na forma matricial em blocos, Dpf = [v1 v2], Dpg =

= [M1M2] e Dp1h =

[1M

]. Logo, M1 +M2M = 0 e v1 + v2M = 0.

J�a que

a matriz M2 possui inversa, temos M = −M−12 M1 e v1 = v2M−12 M1. Resta

de�nir λ := v2M−12 , pois λ[M1M2] = [v2M

−12 M1 v2M

−12 M2] = [v1 v2] �

Na demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1, precisaremos dos seguintes fatos,curiosos e �uteis por si.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 42 / 49

Pelo Teorema 2.12.2, temos uma bola aberta p1 ∈ B ⊂◦U1 e umaaplica�c�ao s : B → U2 de classe C 1 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B , ou seja, g(x , s(x)

)= c . Portanto, a fun�c�ao

f ◦ h : B → R, onde h(x) :=(x , s(x)

), tem extremo local para x = p1.

Pela primeira parte do Crit�erio 2.11.3, Dp1(f ◦ h) = 0. Sendo g ◦ h umaconstante, obtemos Dp1(g ◦ h) = 0. Pelo Lema 2.2, (Dpg) ◦ (Dp1h) = 0 e(Dpf ) ◦ (Dp1h) = 0. Na forma matricial em blocos, Dpf = [v1 v2], Dpg =

= [M1M2] e Dp1h =

[1M

]. Logo, M1 +M2M = 0 e v1 + v2M = 0. J�a que

a matriz M2 possui inversa, temos M = −M−12 M1 e v1 = v2M−12 M1. Resta

de�nir λ := v2M−12 , pois λ[M1M2] = [v2M

−12 M1 v2M

−12 M2] = [v1 v2] �

Na demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1, precisaremos dos seguintes fatos,curiosos e �uteis por si.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 42 / 49

Pelo Teorema 2.12.2, temos uma bola aberta p1 ∈ B ⊂◦U1 e umaaplica�c�ao s : B → U2 de classe C 1 tal que s(p1) = p2 e E

(x , s(x)

)= p3

para todo x ∈ B , ou seja, g(x , s(x)

)= c . Portanto, a fun�c�ao

f ◦ h : B → R, onde h(x) :=(x , s(x)

), tem extremo local para x = p1.

Pela primeira parte do Crit�erio 2.11.3, Dp1(f ◦ h) = 0. Sendo g ◦ h umaconstante, obtemos Dp1(g ◦ h) = 0. Pelo Lema 2.2, (Dpg) ◦ (Dp1h) = 0 e(Dpf ) ◦ (Dp1h) = 0. Na forma matricial em blocos, Dpf = [v1 v2], Dpg =

= [M1M2] e Dp1h =

[1M

]. Logo, M1 +M2M = 0 e v1 + v2M = 0. J�a que

a matriz M2 possui inversa, temos M = −M−12 M1 e v1 = v2M−12 M1. Resta

de�nir λ := v2M−12 , pois λ[M1M2] = [v2M

−12 M1 v2M

−12 M2] = [v1 v2] �

Na demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1, precisaremos dos seguintes fatos,curiosos e �uteis por si.

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2.12.5. Lema (de contra�c�ao).

Seja V um espa�co R-linear munido de umanorma | · | e sejam p ∈ V , 0 < r ∈ R e 1 > c ∈ R. Denotemos porB(p, r) :=

{x ∈ V | |x − p| ≤ r

}a bola fechada de raio r centrada em p.

Suponhamos que uma aplica�c�ao h : B(p, r)→ B(p, r) satisfa�ca a proprie-dade

∣∣h(x ′)− h(x)∣∣ ≤ c |x ′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(p, r). Ent�ao existe

um �unico ponto �xo q ∈ B(p, r) de h, h(q) = q.

Demonstra�c�ao. Se |x ′ − x | < ε para x , x ′ ∈ B(p, r), ent�ao∣∣(h(x ′)− h(x)

∣∣< cε. Isto implica que h

(B(x , ε) ∩ B(p, r)

)⊂ B

(h(x), cε

)∩ B(p, r).

Assim, h �e uma aplica�c�ao cont��nua.Seja q0 ∈ B(p, r). A sequ�encia de�nida por indu�c�ao qi+1 := h(qi ), i ∈ N,�e de Cauchy. Realmente, para todo k ∈ N, temos

|q0 − qk | ≤ |q0 − q1|+ |q1 − q2|+ · · ·+ |qk−1 − qk | ≤

≤ (1 + c + · · ·+ ck−1)|q0 − q1| ≤ 11−c |q0 − q1|.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 43 / 49

2.12.5. Lema (de contra�c�ao). Seja V um espa�co R-linear munido de umanorma | · |

e sejam p ∈ V , 0 < r ∈ R e 1 > c ∈ R. Denotemos porB(p, r) :=

{x ∈ V | |x − p| ≤ r

}a bola fechada de raio r centrada em p.

Suponhamos que uma aplica�c�ao h : B(p, r)→ B(p, r) satisfa�ca a proprie-dade

∣∣h(x ′)− h(x)∣∣ ≤ c |x ′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(p, r). Ent�ao existe

um �unico ponto �xo q ∈ B(p, r) de h, h(q) = q.

Demonstra�c�ao. Se |x ′ − x | < ε para x , x ′ ∈ B(p, r), ent�ao∣∣(h(x ′)− h(x)

∣∣< cε. Isto implica que h

(B(x , ε) ∩ B(p, r)

)⊂ B

(h(x), cε

)∩ B(p, r).

Assim, h �e uma aplica�c�ao cont��nua.Seja q0 ∈ B(p, r). A sequ�encia de�nida por indu�c�ao qi+1 := h(qi ), i ∈ N,�e de Cauchy. Realmente, para todo k ∈ N, temos

|q0 − qk | ≤ |q0 − q1|+ |q1 − q2|+ · · ·+ |qk−1 − qk | ≤

≤ (1 + c + · · ·+ ck−1)|q0 − q1| ≤ 11−c |q0 − q1|.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 43 / 49

2.12.5. Lema (de contra�c�ao). Seja V um espa�co R-linear munido de umanorma | · | e sejam p ∈ V , 0 < r ∈ R e 1 > c ∈ R.

Denotemos porB(p, r) :=

{x ∈ V | |x − p| ≤ r

}a bola fechada de raio r centrada em p.

Suponhamos que uma aplica�c�ao h : B(p, r)→ B(p, r) satisfa�ca a proprie-dade

∣∣h(x ′)− h(x)∣∣ ≤ c |x ′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(p, r). Ent�ao existe

um �unico ponto �xo q ∈ B(p, r) de h, h(q) = q.

Demonstra�c�ao. Se |x ′ − x | < ε para x , x ′ ∈ B(p, r), ent�ao∣∣(h(x ′)− h(x)

∣∣< cε. Isto implica que h

(B(x , ε) ∩ B(p, r)

)⊂ B

(h(x), cε

)∩ B(p, r).

Assim, h �e uma aplica�c�ao cont��nua.Seja q0 ∈ B(p, r). A sequ�encia de�nida por indu�c�ao qi+1 := h(qi ), i ∈ N,�e de Cauchy. Realmente, para todo k ∈ N, temos

|q0 − qk | ≤ |q0 − q1|+ |q1 − q2|+ · · ·+ |qk−1 − qk | ≤

≤ (1 + c + · · ·+ ck−1)|q0 − q1| ≤ 11−c |q0 − q1|.

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2.12.5. Lema (de contra�c�ao). Seja V um espa�co R-linear munido de umanorma | · | e sejam p ∈ V , 0 < r ∈ R e 1 > c ∈ R. Denotemos porB(p, r) :=

{x ∈ V | |x − p| ≤ r

}a bola fechada de raio r centrada em p.

Suponhamos que uma aplica�c�ao h : B(p, r)→ B(p, r) satisfa�ca a proprie-dade

∣∣h(x ′)− h(x)∣∣ ≤ c |x ′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(p, r). Ent�ao existe

um �unico ponto �xo q ∈ B(p, r) de h, h(q) = q.

Demonstra�c�ao. Se |x ′ − x | < ε para x , x ′ ∈ B(p, r), ent�ao∣∣(h(x ′)− h(x)

∣∣< cε. Isto implica que h

(B(x , ε) ∩ B(p, r)

)⊂ B

(h(x), cε

)∩ B(p, r).

Assim, h �e uma aplica�c�ao cont��nua.Seja q0 ∈ B(p, r). A sequ�encia de�nida por indu�c�ao qi+1 := h(qi ), i ∈ N,�e de Cauchy. Realmente, para todo k ∈ N, temos

|q0 − qk | ≤ |q0 − q1|+ |q1 − q2|+ · · ·+ |qk−1 − qk | ≤

≤ (1 + c + · · ·+ ck−1)|q0 − q1| ≤ 11−c |q0 − q1|.

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2.12.5. Lema (de contra�c�ao). Seja V um espa�co R-linear munido de umanorma | · | e sejam p ∈ V , 0 < r ∈ R e 1 > c ∈ R. Denotemos porB(p, r) :=

{x ∈ V | |x − p| ≤ r

}a bola fechada de raio r centrada em p.

Suponhamos que uma aplica�c�ao h : B(p, r)→ B(p, r) satisfa�ca a proprie-dade

∣∣h(x ′)− h(x)∣∣ ≤ c |x ′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(p, r).

Ent�ao existe

um �unico ponto �xo q ∈ B(p, r) de h, h(q) = q.

Demonstra�c�ao. Se |x ′ − x | < ε para x , x ′ ∈ B(p, r), ent�ao∣∣(h(x ′)− h(x)

∣∣< cε. Isto implica que h

(B(x , ε) ∩ B(p, r)

)⊂ B

(h(x), cε

)∩ B(p, r).

Assim, h �e uma aplica�c�ao cont��nua.Seja q0 ∈ B(p, r). A sequ�encia de�nida por indu�c�ao qi+1 := h(qi ), i ∈ N,�e de Cauchy. Realmente, para todo k ∈ N, temos

|q0 − qk | ≤ |q0 − q1|+ |q1 − q2|+ · · ·+ |qk−1 − qk | ≤

≤ (1 + c + · · ·+ ck−1)|q0 − q1| ≤ 11−c |q0 − q1|.

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2.12.5. Lema (de contra�c�ao). Seja V um espa�co R-linear munido de umanorma | · | e sejam p ∈ V , 0 < r ∈ R e 1 > c ∈ R. Denotemos porB(p, r) :=

{x ∈ V | |x − p| ≤ r

}a bola fechada de raio r centrada em p.

Suponhamos que uma aplica�c�ao h : B(p, r)→ B(p, r) satisfa�ca a proprie-dade

∣∣h(x ′)− h(x)∣∣ ≤ c |x ′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(p, r). Ent�ao existe

um �unico ponto �xo q ∈ B(p, r) de h, h(q) = q.

Demonstra�c�ao. Se |x ′ − x | < ε para x , x ′ ∈ B(p, r), ent�ao∣∣(h(x ′)− h(x)

∣∣< cε. Isto implica que h

(B(x , ε) ∩ B(p, r)

)⊂ B

(h(x), cε

)∩ B(p, r).

Assim, h �e uma aplica�c�ao cont��nua.Seja q0 ∈ B(p, r). A sequ�encia de�nida por indu�c�ao qi+1 := h(qi ), i ∈ N,�e de Cauchy. Realmente, para todo k ∈ N, temos

|q0 − qk | ≤ |q0 − q1|+ |q1 − q2|+ · · ·+ |qk−1 − qk | ≤

≤ (1 + c + · · ·+ ck−1)|q0 − q1| ≤ 11−c |q0 − q1|.

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2.12.5. Lema (de contra�c�ao). Seja V um espa�co R-linear munido de umanorma | · | e sejam p ∈ V , 0 < r ∈ R e 1 > c ∈ R. Denotemos porB(p, r) :=

{x ∈ V | |x − p| ≤ r

}a bola fechada de raio r centrada em p.

Suponhamos que uma aplica�c�ao h : B(p, r)→ B(p, r) satisfa�ca a proprie-dade

∣∣h(x ′)− h(x)∣∣ ≤ c |x ′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(p, r). Ent�ao existe

um �unico ponto �xo q ∈ B(p, r) de h, h(q) = q.

Demonstra�c�ao. Se |x ′ − x | < ε para x , x ′ ∈ B(p, r), ent�ao∣∣(h(x ′)− h(x)

∣∣< cε.

Isto implica que h(B(x , ε) ∩ B(p, r)

)⊂ B

(h(x), cε

)∩ B(p, r).

Assim, h �e uma aplica�c�ao cont��nua.Seja q0 ∈ B(p, r). A sequ�encia de�nida por indu�c�ao qi+1 := h(qi ), i ∈ N,�e de Cauchy. Realmente, para todo k ∈ N, temos

|q0 − qk | ≤ |q0 − q1|+ |q1 − q2|+ · · ·+ |qk−1 − qk | ≤

≤ (1 + c + · · ·+ ck−1)|q0 − q1| ≤ 11−c |q0 − q1|.

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2.12.5. Lema (de contra�c�ao). Seja V um espa�co R-linear munido de umanorma | · | e sejam p ∈ V , 0 < r ∈ R e 1 > c ∈ R. Denotemos porB(p, r) :=

{x ∈ V | |x − p| ≤ r

}a bola fechada de raio r centrada em p.

Suponhamos que uma aplica�c�ao h : B(p, r)→ B(p, r) satisfa�ca a proprie-dade

∣∣h(x ′)− h(x)∣∣ ≤ c |x ′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(p, r). Ent�ao existe

um �unico ponto �xo q ∈ B(p, r) de h, h(q) = q.

Demonstra�c�ao. Se |x ′ − x | < ε para x , x ′ ∈ B(p, r), ent�ao∣∣(h(x ′)− h(x)

∣∣< cε. Isto implica que h

(B(x , ε) ∩ B(p, r)

)⊂ B

(h(x), cε

)∩ B(p, r).

Assim, h �e uma aplica�c�ao cont��nua.Seja q0 ∈ B(p, r). A sequ�encia de�nida por indu�c�ao qi+1 := h(qi ), i ∈ N,�e de Cauchy. Realmente, para todo k ∈ N, temos

|q0 − qk | ≤ |q0 − q1|+ |q1 − q2|+ · · ·+ |qk−1 − qk | ≤

≤ (1 + c + · · ·+ ck−1)|q0 − q1| ≤ 11−c |q0 − q1|.

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2.12.5. Lema (de contra�c�ao). Seja V um espa�co R-linear munido de umanorma | · | e sejam p ∈ V , 0 < r ∈ R e 1 > c ∈ R. Denotemos porB(p, r) :=

{x ∈ V | |x − p| ≤ r

}a bola fechada de raio r centrada em p.

Suponhamos que uma aplica�c�ao h : B(p, r)→ B(p, r) satisfa�ca a proprie-dade

∣∣h(x ′)− h(x)∣∣ ≤ c |x ′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(p, r). Ent�ao existe

um �unico ponto �xo q ∈ B(p, r) de h, h(q) = q.

Demonstra�c�ao. Se |x ′ − x | < ε para x , x ′ ∈ B(p, r), ent�ao∣∣(h(x ′)− h(x)

∣∣< cε. Isto implica que h

(B(x , ε) ∩ B(p, r)

)⊂ B

(h(x), cε

)∩ B(p, r).

Assim, h �e uma aplica�c�ao cont��nua.

Seja q0 ∈ B(p, r). A sequ�encia de�nida por indu�c�ao qi+1 := h(qi ), i ∈ N,�e de Cauchy. Realmente, para todo k ∈ N, temos

|q0 − qk | ≤ |q0 − q1|+ |q1 − q2|+ · · ·+ |qk−1 − qk | ≤

≤ (1 + c + · · ·+ ck−1)|q0 − q1| ≤ 11−c |q0 − q1|.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 43 / 49

2.12.5. Lema (de contra�c�ao). Seja V um espa�co R-linear munido de umanorma | · | e sejam p ∈ V , 0 < r ∈ R e 1 > c ∈ R. Denotemos porB(p, r) :=

{x ∈ V | |x − p| ≤ r

}a bola fechada de raio r centrada em p.

Suponhamos que uma aplica�c�ao h : B(p, r)→ B(p, r) satisfa�ca a proprie-dade

∣∣h(x ′)− h(x)∣∣ ≤ c |x ′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(p, r). Ent�ao existe

um �unico ponto �xo q ∈ B(p, r) de h, h(q) = q.

Demonstra�c�ao. Se |x ′ − x | < ε para x , x ′ ∈ B(p, r), ent�ao∣∣(h(x ′)− h(x)

∣∣< cε. Isto implica que h

(B(x , ε) ∩ B(p, r)

)⊂ B

(h(x), cε

)∩ B(p, r).

Assim, h �e uma aplica�c�ao cont��nua.Seja q0 ∈ B(p, r).

A sequ�encia de�nida por indu�c�ao qi+1 := h(qi ), i ∈ N,�e de Cauchy. Realmente, para todo k ∈ N, temos

|q0 − qk | ≤ |q0 − q1|+ |q1 − q2|+ · · ·+ |qk−1 − qk | ≤

≤ (1 + c + · · ·+ ck−1)|q0 − q1| ≤ 11−c |q0 − q1|.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 43 / 49

2.12.5. Lema (de contra�c�ao). Seja V um espa�co R-linear munido de umanorma | · | e sejam p ∈ V , 0 < r ∈ R e 1 > c ∈ R. Denotemos porB(p, r) :=

{x ∈ V | |x − p| ≤ r

}a bola fechada de raio r centrada em p.

Suponhamos que uma aplica�c�ao h : B(p, r)→ B(p, r) satisfa�ca a proprie-dade

∣∣h(x ′)− h(x)∣∣ ≤ c |x ′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(p, r). Ent�ao existe

um �unico ponto �xo q ∈ B(p, r) de h, h(q) = q.

Demonstra�c�ao. Se |x ′ − x | < ε para x , x ′ ∈ B(p, r), ent�ao∣∣(h(x ′)− h(x)

∣∣< cε. Isto implica que h

(B(x , ε) ∩ B(p, r)

)⊂ B

(h(x), cε

)∩ B(p, r).

Assim, h �e uma aplica�c�ao cont��nua.Seja q0 ∈ B(p, r). A sequ�encia de�nida por indu�c�ao qi+1 := h(qi ), i ∈ N,�e de Cauchy.

Realmente, para todo k ∈ N, temos

|q0 − qk | ≤ |q0 − q1|+ |q1 − q2|+ · · ·+ |qk−1 − qk | ≤

≤ (1 + c + · · ·+ ck−1)|q0 − q1| ≤ 11−c |q0 − q1|.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 43 / 49

2.12.5. Lema (de contra�c�ao). Seja V um espa�co R-linear munido de umanorma | · | e sejam p ∈ V , 0 < r ∈ R e 1 > c ∈ R. Denotemos porB(p, r) :=

{x ∈ V | |x − p| ≤ r

}a bola fechada de raio r centrada em p.

Suponhamos que uma aplica�c�ao h : B(p, r)→ B(p, r) satisfa�ca a proprie-dade

∣∣h(x ′)− h(x)∣∣ ≤ c |x ′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(p, r). Ent�ao existe

um �unico ponto �xo q ∈ B(p, r) de h, h(q) = q.

Demonstra�c�ao. Se |x ′ − x | < ε para x , x ′ ∈ B(p, r), ent�ao∣∣(h(x ′)− h(x)

∣∣< cε. Isto implica que h

(B(x , ε) ∩ B(p, r)

)⊂ B

(h(x), cε

)∩ B(p, r).

Assim, h �e uma aplica�c�ao cont��nua.Seja q0 ∈ B(p, r). A sequ�encia de�nida por indu�c�ao qi+1 := h(qi ), i ∈ N,�e de Cauchy. Realmente, para todo k ∈ N, temos

|q0 − qk | ≤ |q0 − q1|+ |q1 − q2|+ · · ·+ |qk−1 − qk | ≤

≤ (1 + c + · · ·+ ck−1)|q0 − q1| ≤ 11−c |q0 − q1|.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 43 / 49

2.12.5. Lema (de contra�c�ao). Seja V um espa�co R-linear munido de umanorma | · | e sejam p ∈ V , 0 < r ∈ R e 1 > c ∈ R. Denotemos porB(p, r) :=

{x ∈ V | |x − p| ≤ r

}a bola fechada de raio r centrada em p.

Suponhamos que uma aplica�c�ao h : B(p, r)→ B(p, r) satisfa�ca a proprie-dade

∣∣h(x ′)− h(x)∣∣ ≤ c |x ′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(p, r). Ent�ao existe

um �unico ponto �xo q ∈ B(p, r) de h, h(q) = q.

Demonstra�c�ao. Se |x ′ − x | < ε para x , x ′ ∈ B(p, r), ent�ao∣∣(h(x ′)− h(x)

∣∣< cε. Isto implica que h

(B(x , ε) ∩ B(p, r)

)⊂ B

(h(x), cε

)∩ B(p, r).

Assim, h �e uma aplica�c�ao cont��nua.Seja q0 ∈ B(p, r). A sequ�encia de�nida por indu�c�ao qi+1 := h(qi ), i ∈ N,�e de Cauchy. Realmente, para todo k ∈ N, temos

|q0 − qk | ≤ |q0 − q1|+ |q1 − q2|+ · · ·+ |qk−1 − qk | ≤

≤ (1 + c + · · ·+ ck−1)|q0 − q1| ≤ 11−c |q0 − q1|.

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Portanto, para j ≥ i ≥ n, podemos estimar

|qi − qj | ≤ c i |q0 − qj−i | ≤ 11−c c

i |q0 − q1| ≤ cn

1−c |q0 − q1|.

Levando em conta que limn→∞

cn

1−c = 0, conclu��mos que qi , i ∈ N, �e uma

sequ�encia de Cauchy e, portanto, converge. Sendo a bola B(p, r) fechada,o limite q := lim

i→∞qi est�a em B(p, r), q ∈ B(p, r). Sendo h cont��nua,

h(q) = limi→∞

h(qi ) = limi→∞

qi+1 = q, ou seja, q �e um ponto �xo de h.

Se q′ ∈ B(p, r) �e um outro ponto �xo de h, h(q′) = q′, ent�ao|q′ − q| =

∣∣h(q′)− h(q)∣∣ ≤ c |q′ − q|. Uma contradi�c�ao �

Vamos interpretar Rn2 como o espa�co de todas as (n × n)-matrizes. A fun-�c�ao det : Rn2 → R �e de classe C∞, pois se calcula via express�oes polinomi-ais nos coe�cientes da matriz. Em particular, det �e uma fun�c�ao cont��nua.Logo, as matrizes n�ao-degeneradas (isto �e, as matrizes cujo determinanten�ao �e nulo) formam um conjunto aberto GLn R := {M ∈ Rn2 | detM 6= 0}⊂◦Rn2 . Pela �algebra linear, toda matriz M ∈ GLn R possui inversaM−1 ∈ GLn R e M−1 = 1

detM adjM, onde adjM denota a matriz adjuntaa M.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 44 / 49

Portanto, para j ≥ i ≥ n, podemos estimar

|qi − qj | ≤ c i |q0 − qj−i | ≤ 11−c c

i |q0 − q1| ≤ cn

1−c |q0 − q1|.

Levando em conta que limn→∞

cn

1−c = 0, conclu��mos que qi , i ∈ N, �e uma

sequ�encia de Cauchy

e, portanto, converge. Sendo a bola B(p, r) fechada,o limite q := lim

i→∞qi est�a em B(p, r), q ∈ B(p, r). Sendo h cont��nua,

h(q) = limi→∞

h(qi ) = limi→∞

qi+1 = q, ou seja, q �e um ponto �xo de h.

Se q′ ∈ B(p, r) �e um outro ponto �xo de h, h(q′) = q′, ent�ao|q′ − q| =

∣∣h(q′)− h(q)∣∣ ≤ c |q′ − q|. Uma contradi�c�ao �

Vamos interpretar Rn2 como o espa�co de todas as (n × n)-matrizes. A fun-�c�ao det : Rn2 → R �e de classe C∞, pois se calcula via express�oes polinomi-ais nos coe�cientes da matriz. Em particular, det �e uma fun�c�ao cont��nua.Logo, as matrizes n�ao-degeneradas (isto �e, as matrizes cujo determinanten�ao �e nulo) formam um conjunto aberto GLn R := {M ∈ Rn2 | detM 6= 0}⊂◦Rn2 . Pela �algebra linear, toda matriz M ∈ GLn R possui inversaM−1 ∈ GLn R e M−1 = 1

detM adjM, onde adjM denota a matriz adjuntaa M.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 44 / 49

Portanto, para j ≥ i ≥ n, podemos estimar

|qi − qj | ≤ c i |q0 − qj−i | ≤ 11−c c

i |q0 − q1| ≤ cn

1−c |q0 − q1|.

Levando em conta que limn→∞

cn

1−c = 0, conclu��mos que qi , i ∈ N, �e uma

sequ�encia de Cauchy e, portanto, converge.

Sendo a bola B(p, r) fechada,o limite q := lim

i→∞qi est�a em B(p, r), q ∈ B(p, r). Sendo h cont��nua,

h(q) = limi→∞

h(qi ) = limi→∞

qi+1 = q, ou seja, q �e um ponto �xo de h.

Se q′ ∈ B(p, r) �e um outro ponto �xo de h, h(q′) = q′, ent�ao|q′ − q| =

∣∣h(q′)− h(q)∣∣ ≤ c |q′ − q|. Uma contradi�c�ao �

Vamos interpretar Rn2 como o espa�co de todas as (n × n)-matrizes. A fun-�c�ao det : Rn2 → R �e de classe C∞, pois se calcula via express�oes polinomi-ais nos coe�cientes da matriz. Em particular, det �e uma fun�c�ao cont��nua.Logo, as matrizes n�ao-degeneradas (isto �e, as matrizes cujo determinanten�ao �e nulo) formam um conjunto aberto GLn R := {M ∈ Rn2 | detM 6= 0}⊂◦Rn2 . Pela �algebra linear, toda matriz M ∈ GLn R possui inversaM−1 ∈ GLn R e M−1 = 1

detM adjM, onde adjM denota a matriz adjuntaa M.

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Portanto, para j ≥ i ≥ n, podemos estimar

|qi − qj | ≤ c i |q0 − qj−i | ≤ 11−c c

i |q0 − q1| ≤ cn

1−c |q0 − q1|.

Levando em conta que limn→∞

cn

1−c = 0, conclu��mos que qi , i ∈ N, �e uma

sequ�encia de Cauchy e, portanto, converge. Sendo a bola B(p, r) fechada,o limite q := lim

i→∞qi est�a em B(p, r), q ∈ B(p, r).

Sendo h cont��nua,

h(q) = limi→∞

h(qi ) = limi→∞

qi+1 = q, ou seja, q �e um ponto �xo de h.

Se q′ ∈ B(p, r) �e um outro ponto �xo de h, h(q′) = q′, ent�ao|q′ − q| =

∣∣h(q′)− h(q)∣∣ ≤ c |q′ − q|. Uma contradi�c�ao �

Vamos interpretar Rn2 como o espa�co de todas as (n × n)-matrizes. A fun-�c�ao det : Rn2 → R �e de classe C∞, pois se calcula via express�oes polinomi-ais nos coe�cientes da matriz. Em particular, det �e uma fun�c�ao cont��nua.Logo, as matrizes n�ao-degeneradas (isto �e, as matrizes cujo determinanten�ao �e nulo) formam um conjunto aberto GLn R := {M ∈ Rn2 | detM 6= 0}⊂◦Rn2 . Pela �algebra linear, toda matriz M ∈ GLn R possui inversaM−1 ∈ GLn R e M−1 = 1

detM adjM, onde adjM denota a matriz adjuntaa M.

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Portanto, para j ≥ i ≥ n, podemos estimar

|qi − qj | ≤ c i |q0 − qj−i | ≤ 11−c c

i |q0 − q1| ≤ cn

1−c |q0 − q1|.

Levando em conta que limn→∞

cn

1−c = 0, conclu��mos que qi , i ∈ N, �e uma

sequ�encia de Cauchy e, portanto, converge. Sendo a bola B(p, r) fechada,o limite q := lim

i→∞qi est�a em B(p, r), q ∈ B(p, r). Sendo h cont��nua,

h(q) = limi→∞

h(qi ) = limi→∞

qi+1 = q, ou seja, q �e um ponto �xo de h.

Se q′ ∈ B(p, r) �e um outro ponto �xo de h, h(q′) = q′, ent�ao|q′ − q| =

∣∣h(q′)− h(q)∣∣ ≤ c |q′ − q|. Uma contradi�c�ao �

Vamos interpretar Rn2 como o espa�co de todas as (n × n)-matrizes. A fun-�c�ao det : Rn2 → R �e de classe C∞, pois se calcula via express�oes polinomi-ais nos coe�cientes da matriz. Em particular, det �e uma fun�c�ao cont��nua.Logo, as matrizes n�ao-degeneradas (isto �e, as matrizes cujo determinanten�ao �e nulo) formam um conjunto aberto GLn R := {M ∈ Rn2 | detM 6= 0}⊂◦Rn2 . Pela �algebra linear, toda matriz M ∈ GLn R possui inversaM−1 ∈ GLn R e M−1 = 1

detM adjM, onde adjM denota a matriz adjuntaa M.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 44 / 49

Portanto, para j ≥ i ≥ n, podemos estimar

|qi − qj | ≤ c i |q0 − qj−i | ≤ 11−c c

i |q0 − q1| ≤ cn

1−c |q0 − q1|.

Levando em conta que limn→∞

cn

1−c = 0, conclu��mos que qi , i ∈ N, �e uma

sequ�encia de Cauchy e, portanto, converge. Sendo a bola B(p, r) fechada,o limite q := lim

i→∞qi est�a em B(p, r), q ∈ B(p, r). Sendo h cont��nua,

h(q) = limi→∞

h(qi ) = limi→∞

qi+1 = q, ou seja, q �e um ponto �xo de h.

Se q′ ∈ B(p, r) �e um outro ponto �xo de h, h(q′) = q′,

ent�ao|q′ − q| =

∣∣h(q′)− h(q)∣∣ ≤ c |q′ − q|. Uma contradi�c�ao �

Vamos interpretar Rn2 como o espa�co de todas as (n × n)-matrizes. A fun-�c�ao det : Rn2 → R �e de classe C∞, pois se calcula via express�oes polinomi-ais nos coe�cientes da matriz. Em particular, det �e uma fun�c�ao cont��nua.Logo, as matrizes n�ao-degeneradas (isto �e, as matrizes cujo determinanten�ao �e nulo) formam um conjunto aberto GLn R := {M ∈ Rn2 | detM 6= 0}⊂◦Rn2 . Pela �algebra linear, toda matriz M ∈ GLn R possui inversaM−1 ∈ GLn R e M−1 = 1

detM adjM, onde adjM denota a matriz adjuntaa M.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 44 / 49

Portanto, para j ≥ i ≥ n, podemos estimar

|qi − qj | ≤ c i |q0 − qj−i | ≤ 11−c c

i |q0 − q1| ≤ cn

1−c |q0 − q1|.

Levando em conta que limn→∞

cn

1−c = 0, conclu��mos que qi , i ∈ N, �e uma

sequ�encia de Cauchy e, portanto, converge. Sendo a bola B(p, r) fechada,o limite q := lim

i→∞qi est�a em B(p, r), q ∈ B(p, r). Sendo h cont��nua,

h(q) = limi→∞

h(qi ) = limi→∞

qi+1 = q, ou seja, q �e um ponto �xo de h.

Se q′ ∈ B(p, r) �e um outro ponto �xo de h, h(q′) = q′, ent�ao|q′ − q| =

∣∣h(q′)− h(q)∣∣ ≤ c |q′ − q|.

Uma contradi�c�ao �

Vamos interpretar Rn2 como o espa�co de todas as (n × n)-matrizes. A fun-�c�ao det : Rn2 → R �e de classe C∞, pois se calcula via express�oes polinomi-ais nos coe�cientes da matriz. Em particular, det �e uma fun�c�ao cont��nua.Logo, as matrizes n�ao-degeneradas (isto �e, as matrizes cujo determinanten�ao �e nulo) formam um conjunto aberto GLn R := {M ∈ Rn2 | detM 6= 0}⊂◦Rn2 . Pela �algebra linear, toda matriz M ∈ GLn R possui inversaM−1 ∈ GLn R e M−1 = 1

detM adjM, onde adjM denota a matriz adjuntaa M.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 44 / 49

Portanto, para j ≥ i ≥ n, podemos estimar

|qi − qj | ≤ c i |q0 − qj−i | ≤ 11−c c

i |q0 − q1| ≤ cn

1−c |q0 − q1|.

Levando em conta que limn→∞

cn

1−c = 0, conclu��mos que qi , i ∈ N, �e uma

sequ�encia de Cauchy e, portanto, converge. Sendo a bola B(p, r) fechada,o limite q := lim

i→∞qi est�a em B(p, r), q ∈ B(p, r). Sendo h cont��nua,

h(q) = limi→∞

h(qi ) = limi→∞

qi+1 = q, ou seja, q �e um ponto �xo de h.

Se q′ ∈ B(p, r) �e um outro ponto �xo de h, h(q′) = q′, ent�ao|q′ − q| =

∣∣h(q′)− h(q)∣∣ ≤ c |q′ − q|. Uma contradi�c�ao �

Vamos interpretar Rn2 como o espa�co de todas as (n × n)-matrizes. A fun-�c�ao det : Rn2 → R �e de classe C∞, pois se calcula via express�oes polinomi-ais nos coe�cientes da matriz. Em particular, det �e uma fun�c�ao cont��nua.Logo, as matrizes n�ao-degeneradas (isto �e, as matrizes cujo determinanten�ao �e nulo) formam um conjunto aberto GLn R := {M ∈ Rn2 | detM 6= 0}⊂◦Rn2 . Pela �algebra linear, toda matriz M ∈ GLn R possui inversaM−1 ∈ GLn R e M−1 = 1

detM adjM, onde adjM denota a matriz adjuntaa M.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 44 / 49

Portanto, para j ≥ i ≥ n, podemos estimar

|qi − qj | ≤ c i |q0 − qj−i | ≤ 11−c c

i |q0 − q1| ≤ cn

1−c |q0 − q1|.

Levando em conta que limn→∞

cn

1−c = 0, conclu��mos que qi , i ∈ N, �e uma

sequ�encia de Cauchy e, portanto, converge. Sendo a bola B(p, r) fechada,o limite q := lim

i→∞qi est�a em B(p, r), q ∈ B(p, r). Sendo h cont��nua,

h(q) = limi→∞

h(qi ) = limi→∞

qi+1 = q, ou seja, q �e um ponto �xo de h.

Se q′ ∈ B(p, r) �e um outro ponto �xo de h, h(q′) = q′, ent�ao|q′ − q| =

∣∣h(q′)− h(q)∣∣ ≤ c |q′ − q|. Uma contradi�c�ao �

Vamos interpretar Rn2 como o espa�co de todas as (n × n)-matrizes.

A fun-�c�ao det : Rn2 → R �e de classe C∞, pois se calcula via express�oes polinomi-ais nos coe�cientes da matriz. Em particular, det �e uma fun�c�ao cont��nua.Logo, as matrizes n�ao-degeneradas (isto �e, as matrizes cujo determinanten�ao �e nulo) formam um conjunto aberto GLn R := {M ∈ Rn2 | detM 6= 0}⊂◦Rn2 . Pela �algebra linear, toda matriz M ∈ GLn R possui inversaM−1 ∈ GLn R e M−1 = 1

detM adjM, onde adjM denota a matriz adjuntaa M.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 44 / 49

Portanto, para j ≥ i ≥ n, podemos estimar

|qi − qj | ≤ c i |q0 − qj−i | ≤ 11−c c

i |q0 − q1| ≤ cn

1−c |q0 − q1|.

Levando em conta que limn→∞

cn

1−c = 0, conclu��mos que qi , i ∈ N, �e uma

sequ�encia de Cauchy e, portanto, converge. Sendo a bola B(p, r) fechada,o limite q := lim

i→∞qi est�a em B(p, r), q ∈ B(p, r). Sendo h cont��nua,

h(q) = limi→∞

h(qi ) = limi→∞

qi+1 = q, ou seja, q �e um ponto �xo de h.

Se q′ ∈ B(p, r) �e um outro ponto �xo de h, h(q′) = q′, ent�ao|q′ − q| =

∣∣h(q′)− h(q)∣∣ ≤ c |q′ − q|. Uma contradi�c�ao �

Vamos interpretar Rn2 como o espa�co de todas as (n × n)-matrizes. A fun-�c�ao det : Rn2 → R �e de classe C∞, pois se calcula via express�oes polinomi-ais nos coe�cientes da matriz.

Em particular, det �e uma fun�c�ao cont��nua.Logo, as matrizes n�ao-degeneradas (isto �e, as matrizes cujo determinanten�ao �e nulo) formam um conjunto aberto GLn R := {M ∈ Rn2 | detM 6= 0}⊂◦Rn2 . Pela �algebra linear, toda matriz M ∈ GLn R possui inversaM−1 ∈ GLn R e M−1 = 1

detM adjM, onde adjM denota a matriz adjuntaa M.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 44 / 49

Portanto, para j ≥ i ≥ n, podemos estimar

|qi − qj | ≤ c i |q0 − qj−i | ≤ 11−c c

i |q0 − q1| ≤ cn

1−c |q0 − q1|.

Levando em conta que limn→∞

cn

1−c = 0, conclu��mos que qi , i ∈ N, �e uma

sequ�encia de Cauchy e, portanto, converge. Sendo a bola B(p, r) fechada,o limite q := lim

i→∞qi est�a em B(p, r), q ∈ B(p, r). Sendo h cont��nua,

h(q) = limi→∞

h(qi ) = limi→∞

qi+1 = q, ou seja, q �e um ponto �xo de h.

Se q′ ∈ B(p, r) �e um outro ponto �xo de h, h(q′) = q′, ent�ao|q′ − q| =

∣∣h(q′)− h(q)∣∣ ≤ c |q′ − q|. Uma contradi�c�ao �

Vamos interpretar Rn2 como o espa�co de todas as (n × n)-matrizes. A fun-�c�ao det : Rn2 → R �e de classe C∞, pois se calcula via express�oes polinomi-ais nos coe�cientes da matriz. Em particular, det �e uma fun�c�ao cont��nua.

Logo, as matrizes n�ao-degeneradas (isto �e, as matrizes cujo determinanten�ao �e nulo) formam um conjunto aberto GLn R := {M ∈ Rn2 | detM 6= 0}⊂◦Rn2 . Pela �algebra linear, toda matriz M ∈ GLn R possui inversaM−1 ∈ GLn R e M−1 = 1

detM adjM, onde adjM denota a matriz adjuntaa M.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 44 / 49

Portanto, para j ≥ i ≥ n, podemos estimar

|qi − qj | ≤ c i |q0 − qj−i | ≤ 11−c c

i |q0 − q1| ≤ cn

1−c |q0 − q1|.

Levando em conta que limn→∞

cn

1−c = 0, conclu��mos que qi , i ∈ N, �e uma

sequ�encia de Cauchy e, portanto, converge. Sendo a bola B(p, r) fechada,o limite q := lim

i→∞qi est�a em B(p, r), q ∈ B(p, r). Sendo h cont��nua,

h(q) = limi→∞

h(qi ) = limi→∞

qi+1 = q, ou seja, q �e um ponto �xo de h.

Se q′ ∈ B(p, r) �e um outro ponto �xo de h, h(q′) = q′, ent�ao|q′ − q| =

∣∣h(q′)− h(q)∣∣ ≤ c |q′ − q|. Uma contradi�c�ao �

Vamos interpretar Rn2 como o espa�co de todas as (n × n)-matrizes. A fun-�c�ao det : Rn2 → R �e de classe C∞, pois se calcula via express�oes polinomi-ais nos coe�cientes da matriz. Em particular, det �e uma fun�c�ao cont��nua.Logo, as matrizes n�ao-degeneradas

(isto �e, as matrizes cujo determinanten�ao �e nulo) formam um conjunto aberto GLn R := {M ∈ Rn2 | detM 6= 0}⊂◦Rn2 . Pela �algebra linear, toda matriz M ∈ GLn R possui inversaM−1 ∈ GLn R e M−1 = 1

detM adjM, onde adjM denota a matriz adjuntaa M.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 44 / 49

Portanto, para j ≥ i ≥ n, podemos estimar

|qi − qj | ≤ c i |q0 − qj−i | ≤ 11−c c

i |q0 − q1| ≤ cn

1−c |q0 − q1|.

Levando em conta que limn→∞

cn

1−c = 0, conclu��mos que qi , i ∈ N, �e uma

sequ�encia de Cauchy e, portanto, converge. Sendo a bola B(p, r) fechada,o limite q := lim

i→∞qi est�a em B(p, r), q ∈ B(p, r). Sendo h cont��nua,

h(q) = limi→∞

h(qi ) = limi→∞

qi+1 = q, ou seja, q �e um ponto �xo de h.

Se q′ ∈ B(p, r) �e um outro ponto �xo de h, h(q′) = q′, ent�ao|q′ − q| =

∣∣h(q′)− h(q)∣∣ ≤ c |q′ − q|. Uma contradi�c�ao �

Vamos interpretar Rn2 como o espa�co de todas as (n × n)-matrizes. A fun-�c�ao det : Rn2 → R �e de classe C∞, pois se calcula via express�oes polinomi-ais nos coe�cientes da matriz. Em particular, det �e uma fun�c�ao cont��nua.Logo, as matrizes n�ao-degeneradas (isto �e, as matrizes cujo determinanten�ao �e nulo)

formam um conjunto aberto GLn R := {M ∈ Rn2 | detM 6= 0}⊂◦Rn2 . Pela �algebra linear, toda matriz M ∈ GLn R possui inversaM−1 ∈ GLn R e M−1 = 1

detM adjM, onde adjM denota a matriz adjuntaa M.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 44 / 49

Portanto, para j ≥ i ≥ n, podemos estimar

|qi − qj | ≤ c i |q0 − qj−i | ≤ 11−c c

i |q0 − q1| ≤ cn

1−c |q0 − q1|.

Levando em conta que limn→∞

cn

1−c = 0, conclu��mos que qi , i ∈ N, �e uma

sequ�encia de Cauchy e, portanto, converge. Sendo a bola B(p, r) fechada,o limite q := lim

i→∞qi est�a em B(p, r), q ∈ B(p, r). Sendo h cont��nua,

h(q) = limi→∞

h(qi ) = limi→∞

qi+1 = q, ou seja, q �e um ponto �xo de h.

Se q′ ∈ B(p, r) �e um outro ponto �xo de h, h(q′) = q′, ent�ao|q′ − q| =

∣∣h(q′)− h(q)∣∣ ≤ c |q′ − q|. Uma contradi�c�ao �

Vamos interpretar Rn2 como o espa�co de todas as (n × n)-matrizes. A fun-�c�ao det : Rn2 → R �e de classe C∞, pois se calcula via express�oes polinomi-ais nos coe�cientes da matriz. Em particular, det �e uma fun�c�ao cont��nua.Logo, as matrizes n�ao-degeneradas (isto �e, as matrizes cujo determinanten�ao �e nulo) formam um conjunto aberto GLn R := {M ∈ Rn2 | detM 6= 0}⊂◦Rn2 .

Pela �algebra linear, toda matriz M ∈ GLn R possui inversaM−1 ∈ GLn R e M−1 = 1

detM adjM, onde adjM denota a matriz adjuntaa M.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 44 / 49

Portanto, para j ≥ i ≥ n, podemos estimar

|qi − qj | ≤ c i |q0 − qj−i | ≤ 11−c c

i |q0 − q1| ≤ cn

1−c |q0 − q1|.

Levando em conta que limn→∞

cn

1−c = 0, conclu��mos que qi , i ∈ N, �e uma

sequ�encia de Cauchy e, portanto, converge. Sendo a bola B(p, r) fechada,o limite q := lim

i→∞qi est�a em B(p, r), q ∈ B(p, r). Sendo h cont��nua,

h(q) = limi→∞

h(qi ) = limi→∞

qi+1 = q, ou seja, q �e um ponto �xo de h.

Se q′ ∈ B(p, r) �e um outro ponto �xo de h, h(q′) = q′, ent�ao|q′ − q| =

∣∣h(q′)− h(q)∣∣ ≤ c |q′ − q|. Uma contradi�c�ao �

Vamos interpretar Rn2 como o espa�co de todas as (n × n)-matrizes. A fun-�c�ao det : Rn2 → R �e de classe C∞, pois se calcula via express�oes polinomi-ais nos coe�cientes da matriz. Em particular, det �e uma fun�c�ao cont��nua.Logo, as matrizes n�ao-degeneradas (isto �e, as matrizes cujo determinanten�ao �e nulo) formam um conjunto aberto GLn R := {M ∈ Rn2 | detM 6= 0}⊂◦Rn2 . Pela �algebra linear, toda matriz M ∈ GLn R possui inversaM−1 ∈ GLn R

e M−1 = 1detM adjM, onde adjM denota a matriz adjunta

a M.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 44 / 49

Portanto, para j ≥ i ≥ n, podemos estimar

|qi − qj | ≤ c i |q0 − qj−i | ≤ 11−c c

i |q0 − q1| ≤ cn

1−c |q0 − q1|.

Levando em conta que limn→∞

cn

1−c = 0, conclu��mos que qi , i ∈ N, �e uma

sequ�encia de Cauchy e, portanto, converge. Sendo a bola B(p, r) fechada,o limite q := lim

i→∞qi est�a em B(p, r), q ∈ B(p, r). Sendo h cont��nua,

h(q) = limi→∞

h(qi ) = limi→∞

qi+1 = q, ou seja, q �e um ponto �xo de h.

Se q′ ∈ B(p, r) �e um outro ponto �xo de h, h(q′) = q′, ent�ao|q′ − q| =

∣∣h(q′)− h(q)∣∣ ≤ c |q′ − q|. Uma contradi�c�ao �

Vamos interpretar Rn2 como o espa�co de todas as (n × n)-matrizes. A fun-�c�ao det : Rn2 → R �e de classe C∞, pois se calcula via express�oes polinomi-ais nos coe�cientes da matriz. Em particular, det �e uma fun�c�ao cont��nua.Logo, as matrizes n�ao-degeneradas (isto �e, as matrizes cujo determinanten�ao �e nulo) formam um conjunto aberto GLn R := {M ∈ Rn2 | detM 6= 0}⊂◦Rn2 . Pela �algebra linear, toda matriz M ∈ GLn R possui inversaM−1 ∈ GLn R e M−1 = 1

detM adjM, onde adjM denota a matriz adjuntaa M.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 44 / 49

No c�alculo da matriz adjunta usamos express�oes polinomiais nos coe�cien-tes da matriz M.

Consequentemente, a aplica�c�ao adj : Rn2 → Rn2 �e declasse C∞. Chegamos �a seguinte

2.12.6. Observa�c�ao. A aplica�c�ao GLn R−1

−→ GLn R �e de classe C∞ �

2.12.7. Lema. Sejam V ◦⊃Wf−→W ′⊂◦V uma aplica�c�ao de classe C k ,

k ≥ 1, e g : W ′ →W a aplica�c�ao inversa de f de classe C 1, onde V ,V ′

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Entao g �e de classe C k .

Demonstra�c�ao. Por indu�c�ao sobre k , podemos supor que g �e de classeC k−1 com k ≥ 2. Pelo Lema 2.2, Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1 para todo w ′ ∈W ′.

O fato que f �e de classe C k , de acordo com a De�ni�c�ao 2.4, signi�ca que aaplica�c�ao Df : W → LinR(V ,V

′), de�nida pela regra w 7→ Dw f , �e declasse C k−1. Sendo g de classe C k−1 pela hip�otese de indu�c�ao, conclu��mos,utilizando a f�ormula Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1, que a aplica�c�ao w ′ 7→ Dw ′g �e

de classe C k−1 pela Observa�c�ao 2.12.6 �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 45 / 49

No c�alculo da matriz adjunta usamos express�oes polinomiais nos coe�cien-tes da matriz M. Consequentemente, a aplica�c�ao adj : Rn2 → Rn2 �e declasse C∞.

Chegamos �a seguinte

2.12.6. Observa�c�ao. A aplica�c�ao GLn R−1

−→ GLn R �e de classe C∞ �

2.12.7. Lema. Sejam V ◦⊃Wf−→W ′⊂◦V uma aplica�c�ao de classe C k ,

k ≥ 1, e g : W ′ →W a aplica�c�ao inversa de f de classe C 1, onde V ,V ′

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Entao g �e de classe C k .

Demonstra�c�ao. Por indu�c�ao sobre k , podemos supor que g �e de classeC k−1 com k ≥ 2. Pelo Lema 2.2, Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1 para todo w ′ ∈W ′.

O fato que f �e de classe C k , de acordo com a De�ni�c�ao 2.4, signi�ca que aaplica�c�ao Df : W → LinR(V ,V

′), de�nida pela regra w 7→ Dw f , �e declasse C k−1. Sendo g de classe C k−1 pela hip�otese de indu�c�ao, conclu��mos,utilizando a f�ormula Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1, que a aplica�c�ao w ′ 7→ Dw ′g �e

de classe C k−1 pela Observa�c�ao 2.12.6 �

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No c�alculo da matriz adjunta usamos express�oes polinomiais nos coe�cien-tes da matriz M. Consequentemente, a aplica�c�ao adj : Rn2 → Rn2 �e declasse C∞. Chegamos �a seguinte

2.12.6. Observa�c�ao.

A aplica�c�ao GLn R−1

−→ GLn R �e de classe C∞ �

2.12.7. Lema. Sejam V ◦⊃Wf−→W ′⊂◦V uma aplica�c�ao de classe C k ,

k ≥ 1, e g : W ′ →W a aplica�c�ao inversa de f de classe C 1, onde V ,V ′

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Entao g �e de classe C k .

Demonstra�c�ao. Por indu�c�ao sobre k , podemos supor que g �e de classeC k−1 com k ≥ 2. Pelo Lema 2.2, Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1 para todo w ′ ∈W ′.

O fato que f �e de classe C k , de acordo com a De�ni�c�ao 2.4, signi�ca que aaplica�c�ao Df : W → LinR(V ,V

′), de�nida pela regra w 7→ Dw f , �e declasse C k−1. Sendo g de classe C k−1 pela hip�otese de indu�c�ao, conclu��mos,utilizando a f�ormula Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1, que a aplica�c�ao w ′ 7→ Dw ′g �e

de classe C k−1 pela Observa�c�ao 2.12.6 �

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No c�alculo da matriz adjunta usamos express�oes polinomiais nos coe�cien-tes da matriz M. Consequentemente, a aplica�c�ao adj : Rn2 → Rn2 �e declasse C∞. Chegamos �a seguinte

2.12.6. Observa�c�ao. A aplica�c�ao GLn R−1

−→ GLn R �e de classe C∞ �

2.12.7. Lema. Sejam V ◦⊃Wf−→W ′⊂◦V uma aplica�c�ao de classe C k ,

k ≥ 1, e g : W ′ →W a aplica�c�ao inversa de f de classe C 1, onde V ,V ′

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Entao g �e de classe C k .

Demonstra�c�ao. Por indu�c�ao sobre k , podemos supor que g �e de classeC k−1 com k ≥ 2. Pelo Lema 2.2, Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1 para todo w ′ ∈W ′.

O fato que f �e de classe C k , de acordo com a De�ni�c�ao 2.4, signi�ca que aaplica�c�ao Df : W → LinR(V ,V

′), de�nida pela regra w 7→ Dw f , �e declasse C k−1. Sendo g de classe C k−1 pela hip�otese de indu�c�ao, conclu��mos,utilizando a f�ormula Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1, que a aplica�c�ao w ′ 7→ Dw ′g �e

de classe C k−1 pela Observa�c�ao 2.12.6 �

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No c�alculo da matriz adjunta usamos express�oes polinomiais nos coe�cien-tes da matriz M. Consequentemente, a aplica�c�ao adj : Rn2 → Rn2 �e declasse C∞. Chegamos �a seguinte

2.12.6. Observa�c�ao. A aplica�c�ao GLn R−1

−→ GLn R �e de classe C∞ �

2.12.7. Lema. Sejam V ◦⊃Wf−→W ′⊂◦V uma aplica�c�ao de classe C k ,

k ≥ 1,

e g : W ′ →W a aplica�c�ao inversa de f de classe C 1, onde V ,V ′

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Entao g �e de classe C k .

Demonstra�c�ao. Por indu�c�ao sobre k , podemos supor que g �e de classeC k−1 com k ≥ 2. Pelo Lema 2.2, Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1 para todo w ′ ∈W ′.

O fato que f �e de classe C k , de acordo com a De�ni�c�ao 2.4, signi�ca que aaplica�c�ao Df : W → LinR(V ,V

′), de�nida pela regra w 7→ Dw f , �e declasse C k−1. Sendo g de classe C k−1 pela hip�otese de indu�c�ao, conclu��mos,utilizando a f�ormula Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1, que a aplica�c�ao w ′ 7→ Dw ′g �e

de classe C k−1 pela Observa�c�ao 2.12.6 �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 45 / 49

No c�alculo da matriz adjunta usamos express�oes polinomiais nos coe�cien-tes da matriz M. Consequentemente, a aplica�c�ao adj : Rn2 → Rn2 �e declasse C∞. Chegamos �a seguinte

2.12.6. Observa�c�ao. A aplica�c�ao GLn R−1

−→ GLn R �e de classe C∞ �

2.12.7. Lema. Sejam V ◦⊃Wf−→W ′⊂◦V uma aplica�c�ao de classe C k ,

k ≥ 1, e g : W ′ →W a aplica�c�ao inversa de f de classe C 1,

onde V ,V ′

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Entao g �e de classe C k .

Demonstra�c�ao. Por indu�c�ao sobre k , podemos supor que g �e de classeC k−1 com k ≥ 2. Pelo Lema 2.2, Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1 para todo w ′ ∈W ′.

O fato que f �e de classe C k , de acordo com a De�ni�c�ao 2.4, signi�ca que aaplica�c�ao Df : W → LinR(V ,V

′), de�nida pela regra w 7→ Dw f , �e declasse C k−1. Sendo g de classe C k−1 pela hip�otese de indu�c�ao, conclu��mos,utilizando a f�ormula Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1, que a aplica�c�ao w ′ 7→ Dw ′g �e

de classe C k−1 pela Observa�c�ao 2.12.6 �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 45 / 49

No c�alculo da matriz adjunta usamos express�oes polinomiais nos coe�cien-tes da matriz M. Consequentemente, a aplica�c�ao adj : Rn2 → Rn2 �e declasse C∞. Chegamos �a seguinte

2.12.6. Observa�c�ao. A aplica�c�ao GLn R−1

−→ GLn R �e de classe C∞ �

2.12.7. Lema. Sejam V ◦⊃Wf−→W ′⊂◦V uma aplica�c�ao de classe C k ,

k ≥ 1, e g : W ′ →W a aplica�c�ao inversa de f de classe C 1, onde V ,V ′

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita.

Entao g �e de classe C k .

Demonstra�c�ao. Por indu�c�ao sobre k , podemos supor que g �e de classeC k−1 com k ≥ 2. Pelo Lema 2.2, Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1 para todo w ′ ∈W ′.

O fato que f �e de classe C k , de acordo com a De�ni�c�ao 2.4, signi�ca que aaplica�c�ao Df : W → LinR(V ,V

′), de�nida pela regra w 7→ Dw f , �e declasse C k−1. Sendo g de classe C k−1 pela hip�otese de indu�c�ao, conclu��mos,utilizando a f�ormula Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1, que a aplica�c�ao w ′ 7→ Dw ′g �e

de classe C k−1 pela Observa�c�ao 2.12.6 �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 45 / 49

No c�alculo da matriz adjunta usamos express�oes polinomiais nos coe�cien-tes da matriz M. Consequentemente, a aplica�c�ao adj : Rn2 → Rn2 �e declasse C∞. Chegamos �a seguinte

2.12.6. Observa�c�ao. A aplica�c�ao GLn R−1

−→ GLn R �e de classe C∞ �

2.12.7. Lema. Sejam V ◦⊃Wf−→W ′⊂◦V uma aplica�c�ao de classe C k ,

k ≥ 1, e g : W ′ →W a aplica�c�ao inversa de f de classe C 1, onde V ,V ′

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Entao g �e de classe C k .

Demonstra�c�ao. Por indu�c�ao sobre k , podemos supor que g �e de classeC k−1 com k ≥ 2. Pelo Lema 2.2, Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1 para todo w ′ ∈W ′.

O fato que f �e de classe C k , de acordo com a De�ni�c�ao 2.4, signi�ca que aaplica�c�ao Df : W → LinR(V ,V

′), de�nida pela regra w 7→ Dw f , �e declasse C k−1. Sendo g de classe C k−1 pela hip�otese de indu�c�ao, conclu��mos,utilizando a f�ormula Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1, que a aplica�c�ao w ′ 7→ Dw ′g �e

de classe C k−1 pela Observa�c�ao 2.12.6 �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 45 / 49

No c�alculo da matriz adjunta usamos express�oes polinomiais nos coe�cien-tes da matriz M. Consequentemente, a aplica�c�ao adj : Rn2 → Rn2 �e declasse C∞. Chegamos �a seguinte

2.12.6. Observa�c�ao. A aplica�c�ao GLn R−1

−→ GLn R �e de classe C∞ �

2.12.7. Lema. Sejam V ◦⊃Wf−→W ′⊂◦V uma aplica�c�ao de classe C k ,

k ≥ 1, e g : W ′ →W a aplica�c�ao inversa de f de classe C 1, onde V ,V ′

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Entao g �e de classe C k .

Demonstra�c�ao. Por indu�c�ao sobre k , podemos supor que g �e de classeC k−1 com k ≥ 2.

Pelo Lema 2.2, Dw ′g = (Dg(w ′)f )−1 para todo w ′ ∈W ′.

O fato que f �e de classe C k , de acordo com a De�ni�c�ao 2.4, signi�ca que aaplica�c�ao Df : W → LinR(V ,V

′), de�nida pela regra w 7→ Dw f , �e declasse C k−1. Sendo g de classe C k−1 pela hip�otese de indu�c�ao, conclu��mos,utilizando a f�ormula Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1, que a aplica�c�ao w ′ 7→ Dw ′g �e

de classe C k−1 pela Observa�c�ao 2.12.6 �

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No c�alculo da matriz adjunta usamos express�oes polinomiais nos coe�cien-tes da matriz M. Consequentemente, a aplica�c�ao adj : Rn2 → Rn2 �e declasse C∞. Chegamos �a seguinte

2.12.6. Observa�c�ao. A aplica�c�ao GLn R−1

−→ GLn R �e de classe C∞ �

2.12.7. Lema. Sejam V ◦⊃Wf−→W ′⊂◦V uma aplica�c�ao de classe C k ,

k ≥ 1, e g : W ′ →W a aplica�c�ao inversa de f de classe C 1, onde V ,V ′

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Entao g �e de classe C k .

Demonstra�c�ao. Por indu�c�ao sobre k , podemos supor que g �e de classeC k−1 com k ≥ 2. Pelo Lema 2.2, Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1 para todo w ′ ∈W ′.

O fato que f �e de classe C k , de acordo com a De�ni�c�ao 2.4, signi�ca que aaplica�c�ao Df : W → LinR(V ,V

′), de�nida pela regra w 7→ Dw f , �e declasse C k−1. Sendo g de classe C k−1 pela hip�otese de indu�c�ao, conclu��mos,utilizando a f�ormula Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1, que a aplica�c�ao w ′ 7→ Dw ′g �e

de classe C k−1 pela Observa�c�ao 2.12.6 �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 45 / 49

No c�alculo da matriz adjunta usamos express�oes polinomiais nos coe�cien-tes da matriz M. Consequentemente, a aplica�c�ao adj : Rn2 → Rn2 �e declasse C∞. Chegamos �a seguinte

2.12.6. Observa�c�ao. A aplica�c�ao GLn R−1

−→ GLn R �e de classe C∞ �

2.12.7. Lema. Sejam V ◦⊃Wf−→W ′⊂◦V uma aplica�c�ao de classe C k ,

k ≥ 1, e g : W ′ →W a aplica�c�ao inversa de f de classe C 1, onde V ,V ′

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Entao g �e de classe C k .

Demonstra�c�ao. Por indu�c�ao sobre k , podemos supor que g �e de classeC k−1 com k ≥ 2. Pelo Lema 2.2, Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1 para todo w ′ ∈W ′.

O fato que f �e de classe C k , de acordo com a De�ni�c�ao 2.4, signi�ca que aaplica�c�ao Df : W → LinR(V ,V

′), de�nida pela regra w 7→ Dw f , �e declasse C k−1.

Sendo g de classe C k−1 pela hip�otese de indu�c�ao, conclu��mos,utilizando a f�ormula Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1, que a aplica�c�ao w ′ 7→ Dw ′g �e

de classe C k−1 pela Observa�c�ao 2.12.6 �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 45 / 49

No c�alculo da matriz adjunta usamos express�oes polinomiais nos coe�cien-tes da matriz M. Consequentemente, a aplica�c�ao adj : Rn2 → Rn2 �e declasse C∞. Chegamos �a seguinte

2.12.6. Observa�c�ao. A aplica�c�ao GLn R−1

−→ GLn R �e de classe C∞ �

2.12.7. Lema. Sejam V ◦⊃Wf−→W ′⊂◦V uma aplica�c�ao de classe C k ,

k ≥ 1, e g : W ′ →W a aplica�c�ao inversa de f de classe C 1, onde V ,V ′

s�ao espa�cos R-lineares de dimens�ao �nita. Entao g �e de classe C k .

Demonstra�c�ao. Por indu�c�ao sobre k , podemos supor que g �e de classeC k−1 com k ≥ 2. Pelo Lema 2.2, Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1 para todo w ′ ∈W ′.

O fato que f �e de classe C k , de acordo com a De�ni�c�ao 2.4, signi�ca que aaplica�c�ao Df : W → LinR(V ,V

′), de�nida pela regra w 7→ Dw f , �e declasse C k−1. Sendo g de classe C k−1 pela hip�otese de indu�c�ao, conclu��mos,utilizando a f�ormula Dw ′g = (Dg(w ′)f )

−1, que a aplica�c�ao w ′ 7→ Dw ′g �e

de classe C k−1 pela Observa�c�ao 2.12.6 �

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 45 / 49

Demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1.

Compondo f com certas transla�c�oes,podemos supor sem perda de generalidade que p = 0 e f (p) = 0.Toda aplica�c�ao linear coincide com sua derivada em qualquer ponto(em particular, �e de classe C∞), portanto, compondo f com a aplica�c�aolinear (Dpf )

−1, podemos supor sem perda de generalidade que V = V ′ eque Dpf = 1V , pois

Dp

((Dpf )

−1 ◦ f)= Df (p)

((Dpf )

−1) ◦ (Dpf ) = (Dpf )−1 ◦ (Dpf ) = 1V

pelo Lema 2.2.A derivada em p = 0 da aplica�c�ao h0 : U → V , de�nida porh0(x) := x − f (x), �e nula, D0h0 = 0. Munimos V de uma norma. Sendo h0de classe C 1, os coe�cientes da matriz da aplica�c�ao linear Dxh0 s�aocont��nuos em x ∈ U. Claro que a norma |Dxh0| da aplica�c�ao linear Dxh0 �epequena se estes coe�cientes s�ao pequenos. Consequentemente, existeR > 0 tal que |Dxh0| < 1

2 para todo x ∈ B(0, 2R) ⊂ U. Pelo Corol�a-rio 2.11.7,

∣∣h0(x ′)− h0(x)∣∣ ≤ 1

2 |x′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(0, 2R).

Fixemos um 0 < r < R arbitr�ario. Mostraremos que, para todod ∈ B(0, r), existe um �unico q ∈ B(0, 2r) tal que f (q) = d . Para isto,apliquemos o Lema 2.12.5 �a fun�c�ao hd(x) := d + x − f (x) = d + h0(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 46 / 49

Demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1. Compondo f com certas transla�c�oes,podemos supor sem perda de generalidade que p = 0 e f (p) = 0.

Toda aplica�c�ao linear coincide com sua derivada em qualquer ponto(em particular, �e de classe C∞), portanto, compondo f com a aplica�c�aolinear (Dpf )

−1, podemos supor sem perda de generalidade que V = V ′ eque Dpf = 1V , pois

Dp

((Dpf )

−1 ◦ f)= Df (p)

((Dpf )

−1) ◦ (Dpf ) = (Dpf )−1 ◦ (Dpf ) = 1V

pelo Lema 2.2.A derivada em p = 0 da aplica�c�ao h0 : U → V , de�nida porh0(x) := x − f (x), �e nula, D0h0 = 0. Munimos V de uma norma. Sendo h0de classe C 1, os coe�cientes da matriz da aplica�c�ao linear Dxh0 s�aocont��nuos em x ∈ U. Claro que a norma |Dxh0| da aplica�c�ao linear Dxh0 �epequena se estes coe�cientes s�ao pequenos. Consequentemente, existeR > 0 tal que |Dxh0| < 1

2 para todo x ∈ B(0, 2R) ⊂ U. Pelo Corol�a-rio 2.11.7,

∣∣h0(x ′)− h0(x)∣∣ ≤ 1

2 |x′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(0, 2R).

Fixemos um 0 < r < R arbitr�ario. Mostraremos que, para todod ∈ B(0, r), existe um �unico q ∈ B(0, 2r) tal que f (q) = d . Para isto,apliquemos o Lema 2.12.5 �a fun�c�ao hd(x) := d + x − f (x) = d + h0(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 46 / 49

Demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1. Compondo f com certas transla�c�oes,podemos supor sem perda de generalidade que p = 0 e f (p) = 0.Toda aplica�c�ao linear coincide com sua derivada em qualquer ponto(em particular, �e de classe C∞),

portanto, compondo f com a aplica�c�aolinear (Dpf )

−1, podemos supor sem perda de generalidade que V = V ′ eque Dpf = 1V , pois

Dp

((Dpf )

−1 ◦ f)= Df (p)

((Dpf )

−1) ◦ (Dpf ) = (Dpf )−1 ◦ (Dpf ) = 1V

pelo Lema 2.2.A derivada em p = 0 da aplica�c�ao h0 : U → V , de�nida porh0(x) := x − f (x), �e nula, D0h0 = 0. Munimos V de uma norma. Sendo h0de classe C 1, os coe�cientes da matriz da aplica�c�ao linear Dxh0 s�aocont��nuos em x ∈ U. Claro que a norma |Dxh0| da aplica�c�ao linear Dxh0 �epequena se estes coe�cientes s�ao pequenos. Consequentemente, existeR > 0 tal que |Dxh0| < 1

2 para todo x ∈ B(0, 2R) ⊂ U. Pelo Corol�a-rio 2.11.7,

∣∣h0(x ′)− h0(x)∣∣ ≤ 1

2 |x′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(0, 2R).

Fixemos um 0 < r < R arbitr�ario. Mostraremos que, para todod ∈ B(0, r), existe um �unico q ∈ B(0, 2r) tal que f (q) = d . Para isto,apliquemos o Lema 2.12.5 �a fun�c�ao hd(x) := d + x − f (x) = d + h0(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 46 / 49

Demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1. Compondo f com certas transla�c�oes,podemos supor sem perda de generalidade que p = 0 e f (p) = 0.Toda aplica�c�ao linear coincide com sua derivada em qualquer ponto(em particular, �e de classe C∞), portanto, compondo f com a aplica�c�aolinear (Dpf )

−1, podemos supor sem perda de generalidade que V = V ′ eque Dpf = 1V ,

pois

Dp

((Dpf )

−1 ◦ f)= Df (p)

((Dpf )

−1) ◦ (Dpf ) = (Dpf )−1 ◦ (Dpf ) = 1V

pelo Lema 2.2.A derivada em p = 0 da aplica�c�ao h0 : U → V , de�nida porh0(x) := x − f (x), �e nula, D0h0 = 0. Munimos V de uma norma. Sendo h0de classe C 1, os coe�cientes da matriz da aplica�c�ao linear Dxh0 s�aocont��nuos em x ∈ U. Claro que a norma |Dxh0| da aplica�c�ao linear Dxh0 �epequena se estes coe�cientes s�ao pequenos. Consequentemente, existeR > 0 tal que |Dxh0| < 1

2 para todo x ∈ B(0, 2R) ⊂ U. Pelo Corol�a-rio 2.11.7,

∣∣h0(x ′)− h0(x)∣∣ ≤ 1

2 |x′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(0, 2R).

Fixemos um 0 < r < R arbitr�ario. Mostraremos que, para todod ∈ B(0, r), existe um �unico q ∈ B(0, 2r) tal que f (q) = d . Para isto,apliquemos o Lema 2.12.5 �a fun�c�ao hd(x) := d + x − f (x) = d + h0(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 46 / 49

Demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1. Compondo f com certas transla�c�oes,podemos supor sem perda de generalidade que p = 0 e f (p) = 0.Toda aplica�c�ao linear coincide com sua derivada em qualquer ponto(em particular, �e de classe C∞), portanto, compondo f com a aplica�c�aolinear (Dpf )

−1, podemos supor sem perda de generalidade que V = V ′ eque Dpf = 1V , pois

Dp

((Dpf )

−1 ◦ f)= Df (p)

((Dpf )

−1) ◦ (Dpf ) = (Dpf )−1 ◦ (Dpf ) = 1V

pelo Lema 2.2.

A derivada em p = 0 da aplica�c�ao h0 : U → V , de�nida porh0(x) := x − f (x), �e nula, D0h0 = 0. Munimos V de uma norma. Sendo h0de classe C 1, os coe�cientes da matriz da aplica�c�ao linear Dxh0 s�aocont��nuos em x ∈ U. Claro que a norma |Dxh0| da aplica�c�ao linear Dxh0 �epequena se estes coe�cientes s�ao pequenos. Consequentemente, existeR > 0 tal que |Dxh0| < 1

2 para todo x ∈ B(0, 2R) ⊂ U. Pelo Corol�a-rio 2.11.7,

∣∣h0(x ′)− h0(x)∣∣ ≤ 1

2 |x′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(0, 2R).

Fixemos um 0 < r < R arbitr�ario. Mostraremos que, para todod ∈ B(0, r), existe um �unico q ∈ B(0, 2r) tal que f (q) = d . Para isto,apliquemos o Lema 2.12.5 �a fun�c�ao hd(x) := d + x − f (x) = d + h0(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 46 / 49

Demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1. Compondo f com certas transla�c�oes,podemos supor sem perda de generalidade que p = 0 e f (p) = 0.Toda aplica�c�ao linear coincide com sua derivada em qualquer ponto(em particular, �e de classe C∞), portanto, compondo f com a aplica�c�aolinear (Dpf )

−1, podemos supor sem perda de generalidade que V = V ′ eque Dpf = 1V , pois

Dp

((Dpf )

−1 ◦ f)= Df (p)

((Dpf )

−1) ◦ (Dpf ) = (Dpf )−1 ◦ (Dpf ) = 1V

pelo Lema 2.2.A derivada em p = 0 da aplica�c�ao h0 : U → V , de�nida porh0(x) := x − f (x), �e nula, D0h0 = 0.

Munimos V de uma norma. Sendo h0de classe C 1, os coe�cientes da matriz da aplica�c�ao linear Dxh0 s�aocont��nuos em x ∈ U. Claro que a norma |Dxh0| da aplica�c�ao linear Dxh0 �epequena se estes coe�cientes s�ao pequenos. Consequentemente, existeR > 0 tal que |Dxh0| < 1

2 para todo x ∈ B(0, 2R) ⊂ U. Pelo Corol�a-rio 2.11.7,

∣∣h0(x ′)− h0(x)∣∣ ≤ 1

2 |x′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(0, 2R).

Fixemos um 0 < r < R arbitr�ario. Mostraremos que, para todod ∈ B(0, r), existe um �unico q ∈ B(0, 2r) tal que f (q) = d . Para isto,apliquemos o Lema 2.12.5 �a fun�c�ao hd(x) := d + x − f (x) = d + h0(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 46 / 49

Demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1. Compondo f com certas transla�c�oes,podemos supor sem perda de generalidade que p = 0 e f (p) = 0.Toda aplica�c�ao linear coincide com sua derivada em qualquer ponto(em particular, �e de classe C∞), portanto, compondo f com a aplica�c�aolinear (Dpf )

−1, podemos supor sem perda de generalidade que V = V ′ eque Dpf = 1V , pois

Dp

((Dpf )

−1 ◦ f)= Df (p)

((Dpf )

−1) ◦ (Dpf ) = (Dpf )−1 ◦ (Dpf ) = 1V

pelo Lema 2.2.A derivada em p = 0 da aplica�c�ao h0 : U → V , de�nida porh0(x) := x − f (x), �e nula, D0h0 = 0. Munimos V de uma norma.

Sendo h0de classe C 1, os coe�cientes da matriz da aplica�c�ao linear Dxh0 s�aocont��nuos em x ∈ U. Claro que a norma |Dxh0| da aplica�c�ao linear Dxh0 �epequena se estes coe�cientes s�ao pequenos. Consequentemente, existeR > 0 tal que |Dxh0| < 1

2 para todo x ∈ B(0, 2R) ⊂ U. Pelo Corol�a-rio 2.11.7,

∣∣h0(x ′)− h0(x)∣∣ ≤ 1

2 |x′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(0, 2R).

Fixemos um 0 < r < R arbitr�ario. Mostraremos que, para todod ∈ B(0, r), existe um �unico q ∈ B(0, 2r) tal que f (q) = d . Para isto,apliquemos o Lema 2.12.5 �a fun�c�ao hd(x) := d + x − f (x) = d + h0(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 46 / 49

Demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1. Compondo f com certas transla�c�oes,podemos supor sem perda de generalidade que p = 0 e f (p) = 0.Toda aplica�c�ao linear coincide com sua derivada em qualquer ponto(em particular, �e de classe C∞), portanto, compondo f com a aplica�c�aolinear (Dpf )

−1, podemos supor sem perda de generalidade que V = V ′ eque Dpf = 1V , pois

Dp

((Dpf )

−1 ◦ f)= Df (p)

((Dpf )

−1) ◦ (Dpf ) = (Dpf )−1 ◦ (Dpf ) = 1V

pelo Lema 2.2.A derivada em p = 0 da aplica�c�ao h0 : U → V , de�nida porh0(x) := x − f (x), �e nula, D0h0 = 0. Munimos V de uma norma. Sendo h0de classe C 1, os coe�cientes da matriz da aplica�c�ao linear Dxh0 s�aocont��nuos em x ∈ U.

Claro que a norma |Dxh0| da aplica�c�ao linear Dxh0 �epequena se estes coe�cientes s�ao pequenos. Consequentemente, existeR > 0 tal que |Dxh0| < 1

2 para todo x ∈ B(0, 2R) ⊂ U. Pelo Corol�a-rio 2.11.7,

∣∣h0(x ′)− h0(x)∣∣ ≤ 1

2 |x′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(0, 2R).

Fixemos um 0 < r < R arbitr�ario. Mostraremos que, para todod ∈ B(0, r), existe um �unico q ∈ B(0, 2r) tal que f (q) = d . Para isto,apliquemos o Lema 2.12.5 �a fun�c�ao hd(x) := d + x − f (x) = d + h0(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 46 / 49

Demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1. Compondo f com certas transla�c�oes,podemos supor sem perda de generalidade que p = 0 e f (p) = 0.Toda aplica�c�ao linear coincide com sua derivada em qualquer ponto(em particular, �e de classe C∞), portanto, compondo f com a aplica�c�aolinear (Dpf )

−1, podemos supor sem perda de generalidade que V = V ′ eque Dpf = 1V , pois

Dp

((Dpf )

−1 ◦ f)= Df (p)

((Dpf )

−1) ◦ (Dpf ) = (Dpf )−1 ◦ (Dpf ) = 1V

pelo Lema 2.2.A derivada em p = 0 da aplica�c�ao h0 : U → V , de�nida porh0(x) := x − f (x), �e nula, D0h0 = 0. Munimos V de uma norma. Sendo h0de classe C 1, os coe�cientes da matriz da aplica�c�ao linear Dxh0 s�aocont��nuos em x ∈ U. Claro que a norma |Dxh0| da aplica�c�ao linear Dxh0 �epequena se estes coe�cientes s�ao pequenos.

Consequentemente, existeR > 0 tal que |Dxh0| < 1

2 para todo x ∈ B(0, 2R) ⊂ U. Pelo Corol�a-rio 2.11.7,

∣∣h0(x ′)− h0(x)∣∣ ≤ 1

2 |x′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(0, 2R).

Fixemos um 0 < r < R arbitr�ario. Mostraremos que, para todod ∈ B(0, r), existe um �unico q ∈ B(0, 2r) tal que f (q) = d . Para isto,apliquemos o Lema 2.12.5 �a fun�c�ao hd(x) := d + x − f (x) = d + h0(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 46 / 49

Demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1. Compondo f com certas transla�c�oes,podemos supor sem perda de generalidade que p = 0 e f (p) = 0.Toda aplica�c�ao linear coincide com sua derivada em qualquer ponto(em particular, �e de classe C∞), portanto, compondo f com a aplica�c�aolinear (Dpf )

−1, podemos supor sem perda de generalidade que V = V ′ eque Dpf = 1V , pois

Dp

((Dpf )

−1 ◦ f)= Df (p)

((Dpf )

−1) ◦ (Dpf ) = (Dpf )−1 ◦ (Dpf ) = 1V

pelo Lema 2.2.A derivada em p = 0 da aplica�c�ao h0 : U → V , de�nida porh0(x) := x − f (x), �e nula, D0h0 = 0. Munimos V de uma norma. Sendo h0de classe C 1, os coe�cientes da matriz da aplica�c�ao linear Dxh0 s�aocont��nuos em x ∈ U. Claro que a norma |Dxh0| da aplica�c�ao linear Dxh0 �epequena se estes coe�cientes s�ao pequenos. Consequentemente, existeR > 0 tal que |Dxh0| < 1

2 para todo x ∈ B(0, 2R) ⊂ U.

Pelo Corol�a-rio 2.11.7,

∣∣h0(x ′)− h0(x)∣∣ ≤ 1

2 |x′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(0, 2R).

Fixemos um 0 < r < R arbitr�ario. Mostraremos que, para todod ∈ B(0, r), existe um �unico q ∈ B(0, 2r) tal que f (q) = d . Para isto,apliquemos o Lema 2.12.5 �a fun�c�ao hd(x) := d + x − f (x) = d + h0(x).

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Demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1. Compondo f com certas transla�c�oes,podemos supor sem perda de generalidade que p = 0 e f (p) = 0.Toda aplica�c�ao linear coincide com sua derivada em qualquer ponto(em particular, �e de classe C∞), portanto, compondo f com a aplica�c�aolinear (Dpf )

−1, podemos supor sem perda de generalidade que V = V ′ eque Dpf = 1V , pois

Dp

((Dpf )

−1 ◦ f)= Df (p)

((Dpf )

−1) ◦ (Dpf ) = (Dpf )−1 ◦ (Dpf ) = 1V

pelo Lema 2.2.A derivada em p = 0 da aplica�c�ao h0 : U → V , de�nida porh0(x) := x − f (x), �e nula, D0h0 = 0. Munimos V de uma norma. Sendo h0de classe C 1, os coe�cientes da matriz da aplica�c�ao linear Dxh0 s�aocont��nuos em x ∈ U. Claro que a norma |Dxh0| da aplica�c�ao linear Dxh0 �epequena se estes coe�cientes s�ao pequenos. Consequentemente, existeR > 0 tal que |Dxh0| < 1

2 para todo x ∈ B(0, 2R) ⊂ U. Pelo Corol�a-rio 2.11.7,

∣∣h0(x ′)− h0(x)∣∣ ≤ 1

2 |x′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(0, 2R).

Fixemos um 0 < r < R arbitr�ario. Mostraremos que, para todod ∈ B(0, r), existe um �unico q ∈ B(0, 2r) tal que f (q) = d . Para isto,apliquemos o Lema 2.12.5 �a fun�c�ao hd(x) := d + x − f (x) = d + h0(x).

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Demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1. Compondo f com certas transla�c�oes,podemos supor sem perda de generalidade que p = 0 e f (p) = 0.Toda aplica�c�ao linear coincide com sua derivada em qualquer ponto(em particular, �e de classe C∞), portanto, compondo f com a aplica�c�aolinear (Dpf )

−1, podemos supor sem perda de generalidade que V = V ′ eque Dpf = 1V , pois

Dp

((Dpf )

−1 ◦ f)= Df (p)

((Dpf )

−1) ◦ (Dpf ) = (Dpf )−1 ◦ (Dpf ) = 1V

pelo Lema 2.2.A derivada em p = 0 da aplica�c�ao h0 : U → V , de�nida porh0(x) := x − f (x), �e nula, D0h0 = 0. Munimos V de uma norma. Sendo h0de classe C 1, os coe�cientes da matriz da aplica�c�ao linear Dxh0 s�aocont��nuos em x ∈ U. Claro que a norma |Dxh0| da aplica�c�ao linear Dxh0 �epequena se estes coe�cientes s�ao pequenos. Consequentemente, existeR > 0 tal que |Dxh0| < 1

2 para todo x ∈ B(0, 2R) ⊂ U. Pelo Corol�a-rio 2.11.7,

∣∣h0(x ′)− h0(x)∣∣ ≤ 1

2 |x′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(0, 2R).

Fixemos um 0 < r < R arbitr�ario.

Mostraremos que, para todod ∈ B(0, r), existe um �unico q ∈ B(0, 2r) tal que f (q) = d . Para isto,apliquemos o Lema 2.12.5 �a fun�c�ao hd(x) := d + x − f (x) = d + h0(x).

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Demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1. Compondo f com certas transla�c�oes,podemos supor sem perda de generalidade que p = 0 e f (p) = 0.Toda aplica�c�ao linear coincide com sua derivada em qualquer ponto(em particular, �e de classe C∞), portanto, compondo f com a aplica�c�aolinear (Dpf )

−1, podemos supor sem perda de generalidade que V = V ′ eque Dpf = 1V , pois

Dp

((Dpf )

−1 ◦ f)= Df (p)

((Dpf )

−1) ◦ (Dpf ) = (Dpf )−1 ◦ (Dpf ) = 1V

pelo Lema 2.2.A derivada em p = 0 da aplica�c�ao h0 : U → V , de�nida porh0(x) := x − f (x), �e nula, D0h0 = 0. Munimos V de uma norma. Sendo h0de classe C 1, os coe�cientes da matriz da aplica�c�ao linear Dxh0 s�aocont��nuos em x ∈ U. Claro que a norma |Dxh0| da aplica�c�ao linear Dxh0 �epequena se estes coe�cientes s�ao pequenos. Consequentemente, existeR > 0 tal que |Dxh0| < 1

2 para todo x ∈ B(0, 2R) ⊂ U. Pelo Corol�a-rio 2.11.7,

∣∣h0(x ′)− h0(x)∣∣ ≤ 1

2 |x′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(0, 2R).

Fixemos um 0 < r < R arbitr�ario. Mostraremos que, para todod ∈ B(0, r), existe um �unico q ∈ B(0, 2r) tal que f (q) = d .

Para isto,apliquemos o Lema 2.12.5 �a fun�c�ao hd(x) := d + x − f (x) = d + h0(x).

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Demonstra�c�ao do Teorema 1.12.1. Compondo f com certas transla�c�oes,podemos supor sem perda de generalidade que p = 0 e f (p) = 0.Toda aplica�c�ao linear coincide com sua derivada em qualquer ponto(em particular, �e de classe C∞), portanto, compondo f com a aplica�c�aolinear (Dpf )

−1, podemos supor sem perda de generalidade que V = V ′ eque Dpf = 1V , pois

Dp

((Dpf )

−1 ◦ f)= Df (p)

((Dpf )

−1) ◦ (Dpf ) = (Dpf )−1 ◦ (Dpf ) = 1V

pelo Lema 2.2.A derivada em p = 0 da aplica�c�ao h0 : U → V , de�nida porh0(x) := x − f (x), �e nula, D0h0 = 0. Munimos V de uma norma. Sendo h0de classe C 1, os coe�cientes da matriz da aplica�c�ao linear Dxh0 s�aocont��nuos em x ∈ U. Claro que a norma |Dxh0| da aplica�c�ao linear Dxh0 �epequena se estes coe�cientes s�ao pequenos. Consequentemente, existeR > 0 tal que |Dxh0| < 1

2 para todo x ∈ B(0, 2R) ⊂ U. Pelo Corol�a-rio 2.11.7,

∣∣h0(x ′)− h0(x)∣∣ ≤ 1

2 |x′ − x | para todos x , x ′ ∈ B(0, 2R).

Fixemos um 0 < r < R arbitr�ario. Mostraremos que, para todod ∈ B(0, r), existe um �unico q ∈ B(0, 2r) tal que f (q) = d . Para isto,apliquemos o Lema 2.12.5 �a fun�c�ao hd(x) := d + x − f (x) = d + h0(x).

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 46 / 49

Com efeito, de d ∈ B(0, r) e x ∈ B(0, 2r) segue que∣∣hd(x)∣∣ ≤ |d |+ ∣∣h0(x)∣∣ ≤ r +∣∣h0(x)− h0(0)

∣∣ ≤ r + 12 |x − 0| ≤ 2r , pois

x , 0 ∈ B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R).

Assim, hd : B(0, 2r)→ B(0, 2r). Sejamx , x ′ ∈ B(0, 2r). Ent�ao

∣∣hd(x ′)− hd(x)∣∣ = ∣∣h0(x ′)− h0(x)

∣∣ ≤ 12 |x′ − x |,

pois B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R), veri�cando deste modo as hip�oteses doLema 2.12.1 para c := 1

2 . Pelo Lema 2.12.5, existe um �unico q ∈ B(0, 2r)tal que hd(q) = q. Resta observar que hd(q) = q �e equivalente a f (q) = d .Acabamos de provar que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r) �e uma bije�c�ao para

qualquer 0 < r < R . �E f�acil concluir da�� que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r)�e uma bije�c�ao para todo 0 < r < R .Sendo f de classe C 1, a derivada Dx f �e cont��nua em x . Logo, a fun�c�aox 7→ det(Dx f ) �e cont��nua em x . De D0f = 1V segue que det(D0f ) = 1.Pela continuidade de det(Dx f ), existe 0 < r < R tal que det(Dx f ) 6= 0para todo x ∈ B(0, 2r). Isto signi�ca que Dx f : V → V �e um isomor�smolinear para todo x ∈ B(0, 2r).Denotemos por g : B(0, r)→ B(0, 2r) a inversa def |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r). Para quaisquer x , x ′ ∈ B(0, 2r), temos

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Com efeito, de d ∈ B(0, r) e x ∈ B(0, 2r) segue que∣∣hd(x)∣∣ ≤ |d |+ ∣∣h0(x)∣∣ ≤ r +∣∣h0(x)− h0(0)

∣∣ ≤ r + 12 |x − 0| ≤ 2r , pois

x , 0 ∈ B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R). Assim, hd : B(0, 2r)→ B(0, 2r).

Sejamx , x ′ ∈ B(0, 2r). Ent�ao

∣∣hd(x ′)− hd(x)∣∣ = ∣∣h0(x ′)− h0(x)

∣∣ ≤ 12 |x′ − x |,

pois B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R), veri�cando deste modo as hip�oteses doLema 2.12.1 para c := 1

2 . Pelo Lema 2.12.5, existe um �unico q ∈ B(0, 2r)tal que hd(q) = q. Resta observar que hd(q) = q �e equivalente a f (q) = d .Acabamos de provar que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r) �e uma bije�c�ao para

qualquer 0 < r < R . �E f�acil concluir da�� que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r)�e uma bije�c�ao para todo 0 < r < R .Sendo f de classe C 1, a derivada Dx f �e cont��nua em x . Logo, a fun�c�aox 7→ det(Dx f ) �e cont��nua em x . De D0f = 1V segue que det(D0f ) = 1.Pela continuidade de det(Dx f ), existe 0 < r < R tal que det(Dx f ) 6= 0para todo x ∈ B(0, 2r). Isto signi�ca que Dx f : V → V �e um isomor�smolinear para todo x ∈ B(0, 2r).Denotemos por g : B(0, r)→ B(0, 2r) a inversa def |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r). Para quaisquer x , x ′ ∈ B(0, 2r), temos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 47 / 49

Com efeito, de d ∈ B(0, r) e x ∈ B(0, 2r) segue que∣∣hd(x)∣∣ ≤ |d |+ ∣∣h0(x)∣∣ ≤ r +∣∣h0(x)− h0(0)

∣∣ ≤ r + 12 |x − 0| ≤ 2r , pois

x , 0 ∈ B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R). Assim, hd : B(0, 2r)→ B(0, 2r). Sejamx , x ′ ∈ B(0, 2r).

Ent�ao∣∣hd(x ′)− hd(x)

∣∣ = ∣∣h0(x ′)− h0(x)∣∣ ≤ 1

2 |x′ − x |,

pois B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R), veri�cando deste modo as hip�oteses doLema 2.12.1 para c := 1

2 . Pelo Lema 2.12.5, existe um �unico q ∈ B(0, 2r)tal que hd(q) = q. Resta observar que hd(q) = q �e equivalente a f (q) = d .Acabamos de provar que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r) �e uma bije�c�ao para

qualquer 0 < r < R . �E f�acil concluir da�� que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r)�e uma bije�c�ao para todo 0 < r < R .Sendo f de classe C 1, a derivada Dx f �e cont��nua em x . Logo, a fun�c�aox 7→ det(Dx f ) �e cont��nua em x . De D0f = 1V segue que det(D0f ) = 1.Pela continuidade de det(Dx f ), existe 0 < r < R tal que det(Dx f ) 6= 0para todo x ∈ B(0, 2r). Isto signi�ca que Dx f : V → V �e um isomor�smolinear para todo x ∈ B(0, 2r).Denotemos por g : B(0, r)→ B(0, 2r) a inversa def |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r). Para quaisquer x , x ′ ∈ B(0, 2r), temos

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Com efeito, de d ∈ B(0, r) e x ∈ B(0, 2r) segue que∣∣hd(x)∣∣ ≤ |d |+ ∣∣h0(x)∣∣ ≤ r +∣∣h0(x)− h0(0)

∣∣ ≤ r + 12 |x − 0| ≤ 2r , pois

x , 0 ∈ B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R). Assim, hd : B(0, 2r)→ B(0, 2r). Sejamx , x ′ ∈ B(0, 2r). Ent�ao

∣∣hd(x ′)− hd(x)∣∣ = ∣∣h0(x ′)− h0(x)

∣∣ ≤ 12 |x′ − x |,

pois B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R),

veri�cando deste modo as hip�oteses doLema 2.12.1 para c := 1

2 . Pelo Lema 2.12.5, existe um �unico q ∈ B(0, 2r)tal que hd(q) = q. Resta observar que hd(q) = q �e equivalente a f (q) = d .Acabamos de provar que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r) �e uma bije�c�ao para

qualquer 0 < r < R . �E f�acil concluir da�� que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r)�e uma bije�c�ao para todo 0 < r < R .Sendo f de classe C 1, a derivada Dx f �e cont��nua em x . Logo, a fun�c�aox 7→ det(Dx f ) �e cont��nua em x . De D0f = 1V segue que det(D0f ) = 1.Pela continuidade de det(Dx f ), existe 0 < r < R tal que det(Dx f ) 6= 0para todo x ∈ B(0, 2r). Isto signi�ca que Dx f : V → V �e um isomor�smolinear para todo x ∈ B(0, 2r).Denotemos por g : B(0, r)→ B(0, 2r) a inversa def |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r). Para quaisquer x , x ′ ∈ B(0, 2r), temos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 47 / 49

Com efeito, de d ∈ B(0, r) e x ∈ B(0, 2r) segue que∣∣hd(x)∣∣ ≤ |d |+ ∣∣h0(x)∣∣ ≤ r +∣∣h0(x)− h0(0)

∣∣ ≤ r + 12 |x − 0| ≤ 2r , pois

x , 0 ∈ B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R). Assim, hd : B(0, 2r)→ B(0, 2r). Sejamx , x ′ ∈ B(0, 2r). Ent�ao

∣∣hd(x ′)− hd(x)∣∣ = ∣∣h0(x ′)− h0(x)

∣∣ ≤ 12 |x′ − x |,

pois B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R), veri�cando deste modo as hip�oteses doLema 2.12.1 para c := 1

2 .

Pelo Lema 2.12.5, existe um �unico q ∈ B(0, 2r)tal que hd(q) = q. Resta observar que hd(q) = q �e equivalente a f (q) = d .Acabamos de provar que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r) �e uma bije�c�ao para

qualquer 0 < r < R . �E f�acil concluir da�� que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r)�e uma bije�c�ao para todo 0 < r < R .Sendo f de classe C 1, a derivada Dx f �e cont��nua em x . Logo, a fun�c�aox 7→ det(Dx f ) �e cont��nua em x . De D0f = 1V segue que det(D0f ) = 1.Pela continuidade de det(Dx f ), existe 0 < r < R tal que det(Dx f ) 6= 0para todo x ∈ B(0, 2r). Isto signi�ca que Dx f : V → V �e um isomor�smolinear para todo x ∈ B(0, 2r).Denotemos por g : B(0, r)→ B(0, 2r) a inversa def |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r). Para quaisquer x , x ′ ∈ B(0, 2r), temos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 47 / 49

Com efeito, de d ∈ B(0, r) e x ∈ B(0, 2r) segue que∣∣hd(x)∣∣ ≤ |d |+ ∣∣h0(x)∣∣ ≤ r +∣∣h0(x)− h0(0)

∣∣ ≤ r + 12 |x − 0| ≤ 2r , pois

x , 0 ∈ B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R). Assim, hd : B(0, 2r)→ B(0, 2r). Sejamx , x ′ ∈ B(0, 2r). Ent�ao

∣∣hd(x ′)− hd(x)∣∣ = ∣∣h0(x ′)− h0(x)

∣∣ ≤ 12 |x′ − x |,

pois B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R), veri�cando deste modo as hip�oteses doLema 2.12.1 para c := 1

2 . Pelo Lema 2.12.5, existe um �unico q ∈ B(0, 2r)tal que hd(q) = q.

Resta observar que hd(q) = q �e equivalente a f (q) = d .Acabamos de provar que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r) �e uma bije�c�ao para

qualquer 0 < r < R . �E f�acil concluir da�� que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r)�e uma bije�c�ao para todo 0 < r < R .Sendo f de classe C 1, a derivada Dx f �e cont��nua em x . Logo, a fun�c�aox 7→ det(Dx f ) �e cont��nua em x . De D0f = 1V segue que det(D0f ) = 1.Pela continuidade de det(Dx f ), existe 0 < r < R tal que det(Dx f ) 6= 0para todo x ∈ B(0, 2r). Isto signi�ca que Dx f : V → V �e um isomor�smolinear para todo x ∈ B(0, 2r).Denotemos por g : B(0, r)→ B(0, 2r) a inversa def |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r). Para quaisquer x , x ′ ∈ B(0, 2r), temos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 47 / 49

Com efeito, de d ∈ B(0, r) e x ∈ B(0, 2r) segue que∣∣hd(x)∣∣ ≤ |d |+ ∣∣h0(x)∣∣ ≤ r +∣∣h0(x)− h0(0)

∣∣ ≤ r + 12 |x − 0| ≤ 2r , pois

x , 0 ∈ B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R). Assim, hd : B(0, 2r)→ B(0, 2r). Sejamx , x ′ ∈ B(0, 2r). Ent�ao

∣∣hd(x ′)− hd(x)∣∣ = ∣∣h0(x ′)− h0(x)

∣∣ ≤ 12 |x′ − x |,

pois B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R), veri�cando deste modo as hip�oteses doLema 2.12.1 para c := 1

2 . Pelo Lema 2.12.5, existe um �unico q ∈ B(0, 2r)tal que hd(q) = q. Resta observar que hd(q) = q �e equivalente a f (q) = d .

Acabamos de provar que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r) �e uma bije�c�ao para

qualquer 0 < r < R . �E f�acil concluir da�� que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r)�e uma bije�c�ao para todo 0 < r < R .Sendo f de classe C 1, a derivada Dx f �e cont��nua em x . Logo, a fun�c�aox 7→ det(Dx f ) �e cont��nua em x . De D0f = 1V segue que det(D0f ) = 1.Pela continuidade de det(Dx f ), existe 0 < r < R tal que det(Dx f ) 6= 0para todo x ∈ B(0, 2r). Isto signi�ca que Dx f : V → V �e um isomor�smolinear para todo x ∈ B(0, 2r).Denotemos por g : B(0, r)→ B(0, 2r) a inversa def |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r). Para quaisquer x , x ′ ∈ B(0, 2r), temos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 47 / 49

Com efeito, de d ∈ B(0, r) e x ∈ B(0, 2r) segue que∣∣hd(x)∣∣ ≤ |d |+ ∣∣h0(x)∣∣ ≤ r +∣∣h0(x)− h0(0)

∣∣ ≤ r + 12 |x − 0| ≤ 2r , pois

x , 0 ∈ B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R). Assim, hd : B(0, 2r)→ B(0, 2r). Sejamx , x ′ ∈ B(0, 2r). Ent�ao

∣∣hd(x ′)− hd(x)∣∣ = ∣∣h0(x ′)− h0(x)

∣∣ ≤ 12 |x′ − x |,

pois B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R), veri�cando deste modo as hip�oteses doLema 2.12.1 para c := 1

2 . Pelo Lema 2.12.5, existe um �unico q ∈ B(0, 2r)tal que hd(q) = q. Resta observar que hd(q) = q �e equivalente a f (q) = d .Acabamos de provar que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r) �e uma bije�c�ao para

qualquer 0 < r < R .

�E f�acil concluir da�� que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r)�e uma bije�c�ao para todo 0 < r < R .Sendo f de classe C 1, a derivada Dx f �e cont��nua em x . Logo, a fun�c�aox 7→ det(Dx f ) �e cont��nua em x . De D0f = 1V segue que det(D0f ) = 1.Pela continuidade de det(Dx f ), existe 0 < r < R tal que det(Dx f ) 6= 0para todo x ∈ B(0, 2r). Isto signi�ca que Dx f : V → V �e um isomor�smolinear para todo x ∈ B(0, 2r).Denotemos por g : B(0, r)→ B(0, 2r) a inversa def |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r). Para quaisquer x , x ′ ∈ B(0, 2r), temos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 47 / 49

Com efeito, de d ∈ B(0, r) e x ∈ B(0, 2r) segue que∣∣hd(x)∣∣ ≤ |d |+ ∣∣h0(x)∣∣ ≤ r +∣∣h0(x)− h0(0)

∣∣ ≤ r + 12 |x − 0| ≤ 2r , pois

x , 0 ∈ B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R). Assim, hd : B(0, 2r)→ B(0, 2r). Sejamx , x ′ ∈ B(0, 2r). Ent�ao

∣∣hd(x ′)− hd(x)∣∣ = ∣∣h0(x ′)− h0(x)

∣∣ ≤ 12 |x′ − x |,

pois B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R), veri�cando deste modo as hip�oteses doLema 2.12.1 para c := 1

2 . Pelo Lema 2.12.5, existe um �unico q ∈ B(0, 2r)tal que hd(q) = q. Resta observar que hd(q) = q �e equivalente a f (q) = d .Acabamos de provar que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r) �e uma bije�c�ao para

qualquer 0 < r < R . �E f�acil concluir da�� que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r)�e uma bije�c�ao para todo 0 < r < R .

Sendo f de classe C 1, a derivada Dx f �e cont��nua em x . Logo, a fun�c�aox 7→ det(Dx f ) �e cont��nua em x . De D0f = 1V segue que det(D0f ) = 1.Pela continuidade de det(Dx f ), existe 0 < r < R tal que det(Dx f ) 6= 0para todo x ∈ B(0, 2r). Isto signi�ca que Dx f : V → V �e um isomor�smolinear para todo x ∈ B(0, 2r).Denotemos por g : B(0, r)→ B(0, 2r) a inversa def |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r). Para quaisquer x , x ′ ∈ B(0, 2r), temos

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Com efeito, de d ∈ B(0, r) e x ∈ B(0, 2r) segue que∣∣hd(x)∣∣ ≤ |d |+ ∣∣h0(x)∣∣ ≤ r +∣∣h0(x)− h0(0)

∣∣ ≤ r + 12 |x − 0| ≤ 2r , pois

x , 0 ∈ B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R). Assim, hd : B(0, 2r)→ B(0, 2r). Sejamx , x ′ ∈ B(0, 2r). Ent�ao

∣∣hd(x ′)− hd(x)∣∣ = ∣∣h0(x ′)− h0(x)

∣∣ ≤ 12 |x′ − x |,

pois B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R), veri�cando deste modo as hip�oteses doLema 2.12.1 para c := 1

2 . Pelo Lema 2.12.5, existe um �unico q ∈ B(0, 2r)tal que hd(q) = q. Resta observar que hd(q) = q �e equivalente a f (q) = d .Acabamos de provar que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r) �e uma bije�c�ao para

qualquer 0 < r < R . �E f�acil concluir da�� que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r)�e uma bije�c�ao para todo 0 < r < R .Sendo f de classe C 1, a derivada Dx f �e cont��nua em x .

Logo, a fun�c�aox 7→ det(Dx f ) �e cont��nua em x . De D0f = 1V segue que det(D0f ) = 1.Pela continuidade de det(Dx f ), existe 0 < r < R tal que det(Dx f ) 6= 0para todo x ∈ B(0, 2r). Isto signi�ca que Dx f : V → V �e um isomor�smolinear para todo x ∈ B(0, 2r).Denotemos por g : B(0, r)→ B(0, 2r) a inversa def |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r). Para quaisquer x , x ′ ∈ B(0, 2r), temos

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Com efeito, de d ∈ B(0, r) e x ∈ B(0, 2r) segue que∣∣hd(x)∣∣ ≤ |d |+ ∣∣h0(x)∣∣ ≤ r +∣∣h0(x)− h0(0)

∣∣ ≤ r + 12 |x − 0| ≤ 2r , pois

x , 0 ∈ B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R). Assim, hd : B(0, 2r)→ B(0, 2r). Sejamx , x ′ ∈ B(0, 2r). Ent�ao

∣∣hd(x ′)− hd(x)∣∣ = ∣∣h0(x ′)− h0(x)

∣∣ ≤ 12 |x′ − x |,

pois B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R), veri�cando deste modo as hip�oteses doLema 2.12.1 para c := 1

2 . Pelo Lema 2.12.5, existe um �unico q ∈ B(0, 2r)tal que hd(q) = q. Resta observar que hd(q) = q �e equivalente a f (q) = d .Acabamos de provar que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r) �e uma bije�c�ao para

qualquer 0 < r < R . �E f�acil concluir da�� que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r)�e uma bije�c�ao para todo 0 < r < R .Sendo f de classe C 1, a derivada Dx f �e cont��nua em x . Logo, a fun�c�aox 7→ det(Dx f ) �e cont��nua em x .

De D0f = 1V segue que det(D0f ) = 1.Pela continuidade de det(Dx f ), existe 0 < r < R tal que det(Dx f ) 6= 0para todo x ∈ B(0, 2r). Isto signi�ca que Dx f : V → V �e um isomor�smolinear para todo x ∈ B(0, 2r).Denotemos por g : B(0, r)→ B(0, 2r) a inversa def |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r). Para quaisquer x , x ′ ∈ B(0, 2r), temos

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Com efeito, de d ∈ B(0, r) e x ∈ B(0, 2r) segue que∣∣hd(x)∣∣ ≤ |d |+ ∣∣h0(x)∣∣ ≤ r +∣∣h0(x)− h0(0)

∣∣ ≤ r + 12 |x − 0| ≤ 2r , pois

x , 0 ∈ B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R). Assim, hd : B(0, 2r)→ B(0, 2r). Sejamx , x ′ ∈ B(0, 2r). Ent�ao

∣∣hd(x ′)− hd(x)∣∣ = ∣∣h0(x ′)− h0(x)

∣∣ ≤ 12 |x′ − x |,

pois B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R), veri�cando deste modo as hip�oteses doLema 2.12.1 para c := 1

2 . Pelo Lema 2.12.5, existe um �unico q ∈ B(0, 2r)tal que hd(q) = q. Resta observar que hd(q) = q �e equivalente a f (q) = d .Acabamos de provar que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r) �e uma bije�c�ao para

qualquer 0 < r < R . �E f�acil concluir da�� que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r)�e uma bije�c�ao para todo 0 < r < R .Sendo f de classe C 1, a derivada Dx f �e cont��nua em x . Logo, a fun�c�aox 7→ det(Dx f ) �e cont��nua em x . De D0f = 1V segue que det(D0f ) = 1.

Pela continuidade de det(Dx f ), existe 0 < r < R tal que det(Dx f ) 6= 0para todo x ∈ B(0, 2r). Isto signi�ca que Dx f : V → V �e um isomor�smolinear para todo x ∈ B(0, 2r).Denotemos por g : B(0, r)→ B(0, 2r) a inversa def |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r). Para quaisquer x , x ′ ∈ B(0, 2r), temos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 47 / 49

Com efeito, de d ∈ B(0, r) e x ∈ B(0, 2r) segue que∣∣hd(x)∣∣ ≤ |d |+ ∣∣h0(x)∣∣ ≤ r +∣∣h0(x)− h0(0)

∣∣ ≤ r + 12 |x − 0| ≤ 2r , pois

x , 0 ∈ B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R). Assim, hd : B(0, 2r)→ B(0, 2r). Sejamx , x ′ ∈ B(0, 2r). Ent�ao

∣∣hd(x ′)− hd(x)∣∣ = ∣∣h0(x ′)− h0(x)

∣∣ ≤ 12 |x′ − x |,

pois B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R), veri�cando deste modo as hip�oteses doLema 2.12.1 para c := 1

2 . Pelo Lema 2.12.5, existe um �unico q ∈ B(0, 2r)tal que hd(q) = q. Resta observar que hd(q) = q �e equivalente a f (q) = d .Acabamos de provar que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r) �e uma bije�c�ao para

qualquer 0 < r < R . �E f�acil concluir da�� que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r)�e uma bije�c�ao para todo 0 < r < R .Sendo f de classe C 1, a derivada Dx f �e cont��nua em x . Logo, a fun�c�aox 7→ det(Dx f ) �e cont��nua em x . De D0f = 1V segue que det(D0f ) = 1.Pela continuidade de det(Dx f ), existe 0 < r < R tal que det(Dx f ) 6= 0para todo x ∈ B(0, 2r).

Isto signi�ca que Dx f : V → V �e um isomor�smolinear para todo x ∈ B(0, 2r).Denotemos por g : B(0, r)→ B(0, 2r) a inversa def |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r). Para quaisquer x , x ′ ∈ B(0, 2r), temos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 47 / 49

Com efeito, de d ∈ B(0, r) e x ∈ B(0, 2r) segue que∣∣hd(x)∣∣ ≤ |d |+ ∣∣h0(x)∣∣ ≤ r +∣∣h0(x)− h0(0)

∣∣ ≤ r + 12 |x − 0| ≤ 2r , pois

x , 0 ∈ B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R). Assim, hd : B(0, 2r)→ B(0, 2r). Sejamx , x ′ ∈ B(0, 2r). Ent�ao

∣∣hd(x ′)− hd(x)∣∣ = ∣∣h0(x ′)− h0(x)

∣∣ ≤ 12 |x′ − x |,

pois B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R), veri�cando deste modo as hip�oteses doLema 2.12.1 para c := 1

2 . Pelo Lema 2.12.5, existe um �unico q ∈ B(0, 2r)tal que hd(q) = q. Resta observar que hd(q) = q �e equivalente a f (q) = d .Acabamos de provar que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r) �e uma bije�c�ao para

qualquer 0 < r < R . �E f�acil concluir da�� que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r)�e uma bije�c�ao para todo 0 < r < R .Sendo f de classe C 1, a derivada Dx f �e cont��nua em x . Logo, a fun�c�aox 7→ det(Dx f ) �e cont��nua em x . De D0f = 1V segue que det(D0f ) = 1.Pela continuidade de det(Dx f ), existe 0 < r < R tal que det(Dx f ) 6= 0para todo x ∈ B(0, 2r). Isto signi�ca que Dx f : V → V �e um isomor�smolinear para todo x ∈ B(0, 2r).

Denotemos por g : B(0, r)→ B(0, 2r) a inversa def |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r). Para quaisquer x , x ′ ∈ B(0, 2r), temos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 47 / 49

Com efeito, de d ∈ B(0, r) e x ∈ B(0, 2r) segue que∣∣hd(x)∣∣ ≤ |d |+ ∣∣h0(x)∣∣ ≤ r +∣∣h0(x)− h0(0)

∣∣ ≤ r + 12 |x − 0| ≤ 2r , pois

x , 0 ∈ B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R). Assim, hd : B(0, 2r)→ B(0, 2r). Sejamx , x ′ ∈ B(0, 2r). Ent�ao

∣∣hd(x ′)− hd(x)∣∣ = ∣∣h0(x ′)− h0(x)

∣∣ ≤ 12 |x′ − x |,

pois B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R), veri�cando deste modo as hip�oteses doLema 2.12.1 para c := 1

2 . Pelo Lema 2.12.5, existe um �unico q ∈ B(0, 2r)tal que hd(q) = q. Resta observar que hd(q) = q �e equivalente a f (q) = d .Acabamos de provar que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r) �e uma bije�c�ao para

qualquer 0 < r < R . �E f�acil concluir da�� que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r)�e uma bije�c�ao para todo 0 < r < R .Sendo f de classe C 1, a derivada Dx f �e cont��nua em x . Logo, a fun�c�aox 7→ det(Dx f ) �e cont��nua em x . De D0f = 1V segue que det(D0f ) = 1.Pela continuidade de det(Dx f ), existe 0 < r < R tal que det(Dx f ) 6= 0para todo x ∈ B(0, 2r). Isto signi�ca que Dx f : V → V �e um isomor�smolinear para todo x ∈ B(0, 2r).Denotemos por g : B(0, r)→ B(0, 2r) a inversa def |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r).

Para quaisquer x , x ′ ∈ B(0, 2r), temos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 47 / 49

Com efeito, de d ∈ B(0, r) e x ∈ B(0, 2r) segue que∣∣hd(x)∣∣ ≤ |d |+ ∣∣h0(x)∣∣ ≤ r +∣∣h0(x)− h0(0)

∣∣ ≤ r + 12 |x − 0| ≤ 2r , pois

x , 0 ∈ B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R). Assim, hd : B(0, 2r)→ B(0, 2r). Sejamx , x ′ ∈ B(0, 2r). Ent�ao

∣∣hd(x ′)− hd(x)∣∣ = ∣∣h0(x ′)− h0(x)

∣∣ ≤ 12 |x′ − x |,

pois B(0, 2r) ⊂ B(0, 2R), veri�cando deste modo as hip�oteses doLema 2.12.1 para c := 1

2 . Pelo Lema 2.12.5, existe um �unico q ∈ B(0, 2r)tal que hd(q) = q. Resta observar que hd(q) = q �e equivalente a f (q) = d .Acabamos de provar que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r) �e uma bije�c�ao para

qualquer 0 < r < R . �E f�acil concluir da�� que f |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r)�e uma bije�c�ao para todo 0 < r < R .Sendo f de classe C 1, a derivada Dx f �e cont��nua em x . Logo, a fun�c�aox 7→ det(Dx f ) �e cont��nua em x . De D0f = 1V segue que det(D0f ) = 1.Pela continuidade de det(Dx f ), existe 0 < r < R tal que det(Dx f ) 6= 0para todo x ∈ B(0, 2r). Isto signi�ca que Dx f : V → V �e um isomor�smolinear para todo x ∈ B(0, 2r).Denotemos por g : B(0, r)→ B(0, 2r) a inversa def |B(0,2r) : B(0, 2r)→ B(0, r). Para quaisquer x , x ′ ∈ B(0, 2r), temos

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 47 / 49

|x ′−x | =∣∣f (x ′)− f (x)+h0(x

′)−h0(x)∣∣ ≤ ∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ ∣∣h0(x ′)−h0(x)∣∣

≤∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ 12 |x′ − x |,

implicando |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y |, ondey ′ := f (x ′) e y := f (x).Vamos demonstrar que Dyg = (Dg(y)f )

−1 para todo y ∈ B(0, r). Fixamosy ∈ B(0, r) e denotamos x := g(y). Precisamos mostrar que

limy 6=y ′→y

g(y ′)− g(y)− (Dx f )−1(y ′ − y)

|y ′ − y |= 0.

Fazemos x ′ := g(y ′). Sendo f cont��nua, x ′ → x implica y ′ → y pela Pro-posi�c�ao 1.6.5. Da desigualdade |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y | demonstrada acimasegue que y ′ → y implica x ′ → x . Portanto, podemos trocar no limite y ′

por f (x ′). Assim, basta mostrar que

limx 6=x ′→x

x ′−x−(Dx f )−1(f (x ′)−f (x)

)|x ′−x |

|x ′−x ||y ′−y | = 0. J�a que |x

′−x ||y ′−y | ≤ 2, reduzimos a

tarefa �a limx 6=x ′→x

(Dx f )−1 (Dx f )(x ′−x)−f (x ′)+f (x)

|x ′−x | = 0. Resta lembrar que qual-

quer aplica�c�ao linear �e cont��nua (no nosso caso, a aplica�c�ao (Dx f )−1) e

usar a de�ni�c�ao da derivada Dx f .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 48 / 49

|x ′−x | =∣∣f (x ′)− f (x)+h0(x

′)−h0(x)∣∣ ≤ ∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ ∣∣h0(x ′)−h0(x)∣∣

≤∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ 12 |x′ − x |, implicando |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y |, onde

y ′ := f (x ′) e y := f (x).

Vamos demonstrar que Dyg = (Dg(y)f )−1 para todo y ∈ B(0, r). Fixamos

y ∈ B(0, r) e denotamos x := g(y). Precisamos mostrar que

limy 6=y ′→y

g(y ′)− g(y)− (Dx f )−1(y ′ − y)

|y ′ − y |= 0.

Fazemos x ′ := g(y ′). Sendo f cont��nua, x ′ → x implica y ′ → y pela Pro-posi�c�ao 1.6.5. Da desigualdade |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y | demonstrada acimasegue que y ′ → y implica x ′ → x . Portanto, podemos trocar no limite y ′

por f (x ′). Assim, basta mostrar que

limx 6=x ′→x

x ′−x−(Dx f )−1(f (x ′)−f (x)

)|x ′−x |

|x ′−x ||y ′−y | = 0. J�a que |x

′−x ||y ′−y | ≤ 2, reduzimos a

tarefa �a limx 6=x ′→x

(Dx f )−1 (Dx f )(x ′−x)−f (x ′)+f (x)

|x ′−x | = 0. Resta lembrar que qual-

quer aplica�c�ao linear �e cont��nua (no nosso caso, a aplica�c�ao (Dx f )−1) e

usar a de�ni�c�ao da derivada Dx f .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 48 / 49

|x ′−x | =∣∣f (x ′)− f (x)+h0(x

′)−h0(x)∣∣ ≤ ∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ ∣∣h0(x ′)−h0(x)∣∣

≤∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ 12 |x′ − x |, implicando |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y |, onde

y ′ := f (x ′) e y := f (x).Vamos demonstrar que Dyg = (Dg(y)f )

−1 para todo y ∈ B(0, r).

Fixamosy ∈ B(0, r) e denotamos x := g(y). Precisamos mostrar que

limy 6=y ′→y

g(y ′)− g(y)− (Dx f )−1(y ′ − y)

|y ′ − y |= 0.

Fazemos x ′ := g(y ′). Sendo f cont��nua, x ′ → x implica y ′ → y pela Pro-posi�c�ao 1.6.5. Da desigualdade |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y | demonstrada acimasegue que y ′ → y implica x ′ → x . Portanto, podemos trocar no limite y ′

por f (x ′). Assim, basta mostrar que

limx 6=x ′→x

x ′−x−(Dx f )−1(f (x ′)−f (x)

)|x ′−x |

|x ′−x ||y ′−y | = 0. J�a que |x

′−x ||y ′−y | ≤ 2, reduzimos a

tarefa �a limx 6=x ′→x

(Dx f )−1 (Dx f )(x ′−x)−f (x ′)+f (x)

|x ′−x | = 0. Resta lembrar que qual-

quer aplica�c�ao linear �e cont��nua (no nosso caso, a aplica�c�ao (Dx f )−1) e

usar a de�ni�c�ao da derivada Dx f .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 48 / 49

|x ′−x | =∣∣f (x ′)− f (x)+h0(x

′)−h0(x)∣∣ ≤ ∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ ∣∣h0(x ′)−h0(x)∣∣

≤∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ 12 |x′ − x |, implicando |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y |, onde

y ′ := f (x ′) e y := f (x).Vamos demonstrar que Dyg = (Dg(y)f )

−1 para todo y ∈ B(0, r). Fixamosy ∈ B(0, r) e denotamos x := g(y).

Precisamos mostrar que

limy 6=y ′→y

g(y ′)− g(y)− (Dx f )−1(y ′ − y)

|y ′ − y |= 0.

Fazemos x ′ := g(y ′). Sendo f cont��nua, x ′ → x implica y ′ → y pela Pro-posi�c�ao 1.6.5. Da desigualdade |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y | demonstrada acimasegue que y ′ → y implica x ′ → x . Portanto, podemos trocar no limite y ′

por f (x ′). Assim, basta mostrar que

limx 6=x ′→x

x ′−x−(Dx f )−1(f (x ′)−f (x)

)|x ′−x |

|x ′−x ||y ′−y | = 0. J�a que |x

′−x ||y ′−y | ≤ 2, reduzimos a

tarefa �a limx 6=x ′→x

(Dx f )−1 (Dx f )(x ′−x)−f (x ′)+f (x)

|x ′−x | = 0. Resta lembrar que qual-

quer aplica�c�ao linear �e cont��nua (no nosso caso, a aplica�c�ao (Dx f )−1) e

usar a de�ni�c�ao da derivada Dx f .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 48 / 49

|x ′−x | =∣∣f (x ′)− f (x)+h0(x

′)−h0(x)∣∣ ≤ ∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ ∣∣h0(x ′)−h0(x)∣∣

≤∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ 12 |x′ − x |, implicando |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y |, onde

y ′ := f (x ′) e y := f (x).Vamos demonstrar que Dyg = (Dg(y)f )

−1 para todo y ∈ B(0, r). Fixamosy ∈ B(0, r) e denotamos x := g(y). Precisamos mostrar que

limy 6=y ′→y

g(y ′)− g(y)− (Dx f )−1(y ′ − y)

|y ′ − y |= 0.

Fazemos x ′ := g(y ′). Sendo f cont��nua, x ′ → x implica y ′ → y pela Pro-posi�c�ao 1.6.5. Da desigualdade |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y | demonstrada acimasegue que y ′ → y implica x ′ → x . Portanto, podemos trocar no limite y ′

por f (x ′). Assim, basta mostrar que

limx 6=x ′→x

x ′−x−(Dx f )−1(f (x ′)−f (x)

)|x ′−x |

|x ′−x ||y ′−y | = 0. J�a que |x

′−x ||y ′−y | ≤ 2, reduzimos a

tarefa �a limx 6=x ′→x

(Dx f )−1 (Dx f )(x ′−x)−f (x ′)+f (x)

|x ′−x | = 0. Resta lembrar que qual-

quer aplica�c�ao linear �e cont��nua (no nosso caso, a aplica�c�ao (Dx f )−1) e

usar a de�ni�c�ao da derivada Dx f .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 48 / 49

|x ′−x | =∣∣f (x ′)− f (x)+h0(x

′)−h0(x)∣∣ ≤ ∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ ∣∣h0(x ′)−h0(x)∣∣

≤∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ 12 |x′ − x |, implicando |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y |, onde

y ′ := f (x ′) e y := f (x).Vamos demonstrar que Dyg = (Dg(y)f )

−1 para todo y ∈ B(0, r). Fixamosy ∈ B(0, r) e denotamos x := g(y). Precisamos mostrar que

limy 6=y ′→y

g(y ′)− g(y)− (Dx f )−1(y ′ − y)

|y ′ − y |= 0.

Fazemos x ′ := g(y ′). Sendo f cont��nua, x ′ → x implica y ′ → y pela Pro-posi�c�ao 1.6.5.

Da desigualdade |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y | demonstrada acimasegue que y ′ → y implica x ′ → x . Portanto, podemos trocar no limite y ′

por f (x ′). Assim, basta mostrar que

limx 6=x ′→x

x ′−x−(Dx f )−1(f (x ′)−f (x)

)|x ′−x |

|x ′−x ||y ′−y | = 0. J�a que |x

′−x ||y ′−y | ≤ 2, reduzimos a

tarefa �a limx 6=x ′→x

(Dx f )−1 (Dx f )(x ′−x)−f (x ′)+f (x)

|x ′−x | = 0. Resta lembrar que qual-

quer aplica�c�ao linear �e cont��nua (no nosso caso, a aplica�c�ao (Dx f )−1) e

usar a de�ni�c�ao da derivada Dx f .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 48 / 49

|x ′−x | =∣∣f (x ′)− f (x)+h0(x

′)−h0(x)∣∣ ≤ ∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ ∣∣h0(x ′)−h0(x)∣∣

≤∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ 12 |x′ − x |, implicando |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y |, onde

y ′ := f (x ′) e y := f (x).Vamos demonstrar que Dyg = (Dg(y)f )

−1 para todo y ∈ B(0, r). Fixamosy ∈ B(0, r) e denotamos x := g(y). Precisamos mostrar que

limy 6=y ′→y

g(y ′)− g(y)− (Dx f )−1(y ′ − y)

|y ′ − y |= 0.

Fazemos x ′ := g(y ′). Sendo f cont��nua, x ′ → x implica y ′ → y pela Pro-posi�c�ao 1.6.5. Da desigualdade |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y | demonstrada acimasegue que y ′ → y implica x ′ → x .

Portanto, podemos trocar no limite y ′

por f (x ′). Assim, basta mostrar que

limx 6=x ′→x

x ′−x−(Dx f )−1(f (x ′)−f (x)

)|x ′−x |

|x ′−x ||y ′−y | = 0. J�a que |x

′−x ||y ′−y | ≤ 2, reduzimos a

tarefa �a limx 6=x ′→x

(Dx f )−1 (Dx f )(x ′−x)−f (x ′)+f (x)

|x ′−x | = 0. Resta lembrar que qual-

quer aplica�c�ao linear �e cont��nua (no nosso caso, a aplica�c�ao (Dx f )−1) e

usar a de�ni�c�ao da derivada Dx f .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 48 / 49

|x ′−x | =∣∣f (x ′)− f (x)+h0(x

′)−h0(x)∣∣ ≤ ∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ ∣∣h0(x ′)−h0(x)∣∣

≤∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ 12 |x′ − x |, implicando |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y |, onde

y ′ := f (x ′) e y := f (x).Vamos demonstrar que Dyg = (Dg(y)f )

−1 para todo y ∈ B(0, r). Fixamosy ∈ B(0, r) e denotamos x := g(y). Precisamos mostrar que

limy 6=y ′→y

g(y ′)− g(y)− (Dx f )−1(y ′ − y)

|y ′ − y |= 0.

Fazemos x ′ := g(y ′). Sendo f cont��nua, x ′ → x implica y ′ → y pela Pro-posi�c�ao 1.6.5. Da desigualdade |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y | demonstrada acimasegue que y ′ → y implica x ′ → x . Portanto, podemos trocar no limite y ′

por f (x ′).

Assim, basta mostrar que

limx 6=x ′→x

x ′−x−(Dx f )−1(f (x ′)−f (x)

)|x ′−x |

|x ′−x ||y ′−y | = 0. J�a que |x

′−x ||y ′−y | ≤ 2, reduzimos a

tarefa �a limx 6=x ′→x

(Dx f )−1 (Dx f )(x ′−x)−f (x ′)+f (x)

|x ′−x | = 0. Resta lembrar que qual-

quer aplica�c�ao linear �e cont��nua (no nosso caso, a aplica�c�ao (Dx f )−1) e

usar a de�ni�c�ao da derivada Dx f .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 48 / 49

|x ′−x | =∣∣f (x ′)− f (x)+h0(x

′)−h0(x)∣∣ ≤ ∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ ∣∣h0(x ′)−h0(x)∣∣

≤∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ 12 |x′ − x |, implicando |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y |, onde

y ′ := f (x ′) e y := f (x).Vamos demonstrar que Dyg = (Dg(y)f )

−1 para todo y ∈ B(0, r). Fixamosy ∈ B(0, r) e denotamos x := g(y). Precisamos mostrar que

limy 6=y ′→y

g(y ′)− g(y)− (Dx f )−1(y ′ − y)

|y ′ − y |= 0.

Fazemos x ′ := g(y ′). Sendo f cont��nua, x ′ → x implica y ′ → y pela Pro-posi�c�ao 1.6.5. Da desigualdade |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y | demonstrada acimasegue que y ′ → y implica x ′ → x . Portanto, podemos trocar no limite y ′

por f (x ′). Assim, basta mostrar que

limx 6=x ′→x

x ′−x−(Dx f )−1(f (x ′)−f (x)

)|x ′−x |

|x ′−x ||y ′−y | = 0.

J�a que |x′−x ||y ′−y | ≤ 2, reduzimos a

tarefa �a limx 6=x ′→x

(Dx f )−1 (Dx f )(x ′−x)−f (x ′)+f (x)

|x ′−x | = 0. Resta lembrar que qual-

quer aplica�c�ao linear �e cont��nua (no nosso caso, a aplica�c�ao (Dx f )−1) e

usar a de�ni�c�ao da derivada Dx f .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 48 / 49

|x ′−x | =∣∣f (x ′)− f (x)+h0(x

′)−h0(x)∣∣ ≤ ∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ ∣∣h0(x ′)−h0(x)∣∣

≤∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ 12 |x′ − x |, implicando |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y |, onde

y ′ := f (x ′) e y := f (x).Vamos demonstrar que Dyg = (Dg(y)f )

−1 para todo y ∈ B(0, r). Fixamosy ∈ B(0, r) e denotamos x := g(y). Precisamos mostrar que

limy 6=y ′→y

g(y ′)− g(y)− (Dx f )−1(y ′ − y)

|y ′ − y |= 0.

Fazemos x ′ := g(y ′). Sendo f cont��nua, x ′ → x implica y ′ → y pela Pro-posi�c�ao 1.6.5. Da desigualdade |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y | demonstrada acimasegue que y ′ → y implica x ′ → x . Portanto, podemos trocar no limite y ′

por f (x ′). Assim, basta mostrar que

limx 6=x ′→x

x ′−x−(Dx f )−1(f (x ′)−f (x)

)|x ′−x |

|x ′−x ||y ′−y | = 0. J�a que |x

′−x ||y ′−y | ≤ 2, reduzimos a

tarefa �a limx 6=x ′→x

(Dx f )−1 (Dx f )(x ′−x)−f (x ′)+f (x)

|x ′−x | = 0.

Resta lembrar que qual-

quer aplica�c�ao linear �e cont��nua (no nosso caso, a aplica�c�ao (Dx f )−1) e

usar a de�ni�c�ao da derivada Dx f .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 48 / 49

|x ′−x | =∣∣f (x ′)− f (x)+h0(x

′)−h0(x)∣∣ ≤ ∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ ∣∣h0(x ′)−h0(x)∣∣

≤∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ 12 |x′ − x |, implicando |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y |, onde

y ′ := f (x ′) e y := f (x).Vamos demonstrar que Dyg = (Dg(y)f )

−1 para todo y ∈ B(0, r). Fixamosy ∈ B(0, r) e denotamos x := g(y). Precisamos mostrar que

limy 6=y ′→y

g(y ′)− g(y)− (Dx f )−1(y ′ − y)

|y ′ − y |= 0.

Fazemos x ′ := g(y ′). Sendo f cont��nua, x ′ → x implica y ′ → y pela Pro-posi�c�ao 1.6.5. Da desigualdade |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y | demonstrada acimasegue que y ′ → y implica x ′ → x . Portanto, podemos trocar no limite y ′

por f (x ′). Assim, basta mostrar que

limx 6=x ′→x

x ′−x−(Dx f )−1(f (x ′)−f (x)

)|x ′−x |

|x ′−x ||y ′−y | = 0. J�a que |x

′−x ||y ′−y | ≤ 2, reduzimos a

tarefa �a limx 6=x ′→x

(Dx f )−1 (Dx f )(x ′−x)−f (x ′)+f (x)

|x ′−x | = 0. Resta lembrar que qual-

quer aplica�c�ao linear �e cont��nua

(no nosso caso, a aplica�c�ao (Dx f )−1) e

usar a de�ni�c�ao da derivada Dx f .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 48 / 49

|x ′−x | =∣∣f (x ′)− f (x)+h0(x

′)−h0(x)∣∣ ≤ ∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ ∣∣h0(x ′)−h0(x)∣∣

≤∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ 12 |x′ − x |, implicando |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y |, onde

y ′ := f (x ′) e y := f (x).Vamos demonstrar que Dyg = (Dg(y)f )

−1 para todo y ∈ B(0, r). Fixamosy ∈ B(0, r) e denotamos x := g(y). Precisamos mostrar que

limy 6=y ′→y

g(y ′)− g(y)− (Dx f )−1(y ′ − y)

|y ′ − y |= 0.

Fazemos x ′ := g(y ′). Sendo f cont��nua, x ′ → x implica y ′ → y pela Pro-posi�c�ao 1.6.5. Da desigualdade |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y | demonstrada acimasegue que y ′ → y implica x ′ → x . Portanto, podemos trocar no limite y ′

por f (x ′). Assim, basta mostrar que

limx 6=x ′→x

x ′−x−(Dx f )−1(f (x ′)−f (x)

)|x ′−x |

|x ′−x ||y ′−y | = 0. J�a que |x

′−x ||y ′−y | ≤ 2, reduzimos a

tarefa �a limx 6=x ′→x

(Dx f )−1 (Dx f )(x ′−x)−f (x ′)+f (x)

|x ′−x | = 0. Resta lembrar que qual-

quer aplica�c�ao linear �e cont��nua (no nosso caso, a aplica�c�ao (Dx f )−1)

eusar a de�ni�c�ao da derivada Dx f .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 48 / 49

|x ′−x | =∣∣f (x ′)− f (x)+h0(x

′)−h0(x)∣∣ ≤ ∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ ∣∣h0(x ′)−h0(x)∣∣

≤∣∣f (x ′)− f (x)

∣∣+ 12 |x′ − x |, implicando |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y |, onde

y ′ := f (x ′) e y := f (x).Vamos demonstrar que Dyg = (Dg(y)f )

−1 para todo y ∈ B(0, r). Fixamosy ∈ B(0, r) e denotamos x := g(y). Precisamos mostrar que

limy 6=y ′→y

g(y ′)− g(y)− (Dx f )−1(y ′ − y)

|y ′ − y |= 0.

Fazemos x ′ := g(y ′). Sendo f cont��nua, x ′ → x implica y ′ → y pela Pro-posi�c�ao 1.6.5. Da desigualdade |x ′ − x | ≤ 2|y ′ − y | demonstrada acimasegue que y ′ → y implica x ′ → x . Portanto, podemos trocar no limite y ′

por f (x ′). Assim, basta mostrar que

limx 6=x ′→x

x ′−x−(Dx f )−1(f (x ′)−f (x)

)|x ′−x |

|x ′−x ||y ′−y | = 0. J�a que |x

′−x ||y ′−y | ≤ 2, reduzimos a

tarefa �a limx 6=x ′→x

(Dx f )−1 (Dx f )(x ′−x)−f (x ′)+f (x)

|x ′−x | = 0. Resta lembrar que qual-

quer aplica�c�ao linear �e cont��nua (no nosso caso, a aplica�c�ao (Dx f )−1) e

usar a de�ni�c�ao da derivada Dx f .

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 48 / 49

Sendo Dx f cont��nua em x e sendo g(y) cont��nua em y

(j�a que g �e deriv�avelem todos os pontos y ∈ B(0, r)), a derivada Dyg = (Dg(y)f )

−1 �e cont��nuaem y pela Observa�c�ao 1.12.5. Em outras palavras, g �e de classe C 1.Resta fazer W := B(0, 2r) e W ′ := B(0, r) e usar o Lema 1.12.6 �

2.12.8. Gradiente e conjuntos de n��vel.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 49 / 49

Sendo Dx f cont��nua em x e sendo g(y) cont��nua em y (j�a que g �e deriv�avelem todos os pontos y ∈ B(0, r)),

a derivada Dyg = (Dg(y)f )−1 �e cont��nua

em y pela Observa�c�ao 1.12.5. Em outras palavras, g �e de classe C 1.Resta fazer W := B(0, 2r) e W ′ := B(0, r) e usar o Lema 1.12.6 �

2.12.8. Gradiente e conjuntos de n��vel.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 49 / 49

Sendo Dx f cont��nua em x e sendo g(y) cont��nua em y (j�a que g �e deriv�avelem todos os pontos y ∈ B(0, r)), a derivada Dyg = (Dg(y)f )

−1 �e cont��nuaem y pela Observa�c�ao 1.12.5.

Em outras palavras, g �e de classe C 1.Resta fazer W := B(0, 2r) e W ′ := B(0, r) e usar o Lema 1.12.6 �

2.12.8. Gradiente e conjuntos de n��vel.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 49 / 49

Sendo Dx f cont��nua em x e sendo g(y) cont��nua em y (j�a que g �e deriv�avelem todos os pontos y ∈ B(0, r)), a derivada Dyg = (Dg(y)f )

−1 �e cont��nuaem y pela Observa�c�ao 1.12.5. Em outras palavras, g �e de classe C 1.

Resta fazer W := B(0, 2r) e W ′ := B(0, r) e usar o Lema 1.12.6 �

2.12.8. Gradiente e conjuntos de n��vel.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 49 / 49

Sendo Dx f cont��nua em x e sendo g(y) cont��nua em y (j�a que g �e deriv�avelem todos os pontos y ∈ B(0, r)), a derivada Dyg = (Dg(y)f )

−1 �e cont��nuaem y pela Observa�c�ao 1.12.5. Em outras palavras, g �e de classe C 1.Resta fazer W := B(0, 2r) e W ′ := B(0, r) e usar o Lema 1.12.6 �

2.12.8. Gradiente e conjuntos de n��vel.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 49 / 49

Sendo Dx f cont��nua em x e sendo g(y) cont��nua em y (j�a que g �e deriv�avelem todos os pontos y ∈ B(0, r)), a derivada Dyg = (Dg(y)f )

−1 �e cont��nuaem y pela Observa�c�ao 1.12.5. Em outras palavras, g �e de classe C 1.Resta fazer W := B(0, 2r) e W ′ := B(0, r) e usar o Lema 1.12.6 �

2.12.8. Gradiente e conjuntos de n��vel.

S. Anan′in (ICMC) c�alculo II 1�29 de setembro de 2014 49 / 49