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Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales | Ingeniería en Biotecnología
Cálculo multivariado
Funciones vectoriales U1
Programa de la asignatura:
Universidad Abierta y a Distancia de México 1
U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
Índice
Presentación de la Unidad ....................................................................................................... 2
Propósitos ................................................................................................................................. 3
Competencia específica ........................................................................................................... 4
1.1 Introducción a funciones vectoriales .................................................................................. 4
1.1.1 Límites y continuidad ....................................................................................................... 5
1.1.2 Funciones en el plano y en el espacio ............................................................................ 6
1.1.3 Gráficas de funciones de varias variables ...................................................................... 8
1.2 Algebra y operaciones vectoriales ................................................................................... 11
1.2.1 Vectores libres, vectores en el espacio vectorial .......................................................... 11
1.2.2 Módulo, cosenos directores y ángulo entre vectores; vector unitario ........................... 14
1.2.3 Suma y diferencia vectorial ........................................................................................... 15
1.2.4 Productos (multiplicación) vectoriales ........................................................................... 16
1.3 Geometría analítica del espacio ....................................................................................... 21
1.3.1 Ecuación de la recta ...................................................................................................... 22
1.3.2 Ecuación del plano ........................................................................................................ 25
Actividades ............................................................................................................................. 28
Autorreflexiones...................................................................................................................... 28
Cierre de la Unidad ................................................................................................................ 29
Para saber más ...................................................................................................................... 30
Fuentes de consulta ............................................................................................................... 32
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U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
Presentación de la Unidad
En esta Unidad, se describen algunos conceptos básicos del cálculo multivariado,
tales como las funciones vectoriales. Las funciones son entes matemáticos
fundamentales con los que anteriormente ya trataste, en la asignatura de Cálculo
diferencial e integral. Es bien sabido que las funciones son reglas de
correspondencia entre dos conjuntos, estos últimos comúnmente bien definidos.
Es importante no confundir el concepto de función con el de relación. Una relación
es una correspondencia entre dos conjuntos que asocia con cada elemento del
primer conjunto algún elemento del segundo conjunto. En cambio, una función es
una regla que asigna a cada elemento de un conjunto llamado dominio,
exactamente un elemento de un segundo conjunto llamado contradominio.
En cálculo multivariado, el concepto de función se extiende a más dimensiones,
por ejemplo, conjuntos de vectores como posibles dominios para una función.
Particularmente, serán de interés en esta Unidad las funciones de dos variables, las
cuales son una regla de correspondencia que asigna a cada par ordenado de
números reales (𝑥, 𝑦) en el dominio, con uno y sólo un número 𝑧 en el
contradominio. Es por ello que, en esta Unidad, estudiarás nuevas operaciones
matemáticas para generar un tipo nuevo de función, llamada función de varias
variables. Estas operaciones las implementarás sobre vectores, y estudiarás
nuevas operaciones como el producto escalar y el producto vectorial, los que
revisarás con cierto detalle, a fin de construir, más adelante, funciones vectoriales o
funciones de varias variables.
También llevarás a cabo una revisión de las operaciones básicas entre vectores,
junto con algunos ejercicios de graficación de funciones de varias variables. El
interés se centrará en ampliar el campo de aplicación de las funciones de varias
variables a las ciencias e ingeniería; en particular, a la Ingeniería en Biotecnología.
A lo largo de esta Unidad, tendrás la oportunidad de ejercitar mediante problemas y
ejercicios tipo los conceptos adquiridos, lo cual te permitirá comprender nuevos
conceptos y realizar la solución de problemas cada vez más complicados.
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U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
Propósitos
El estudio de esta Unidad te permitirá:
Identificar las ideas fundamentales del álgebra de vectores y sus operaciones
básicas.
Relacionar los conceptos de funciones vectoriales y sus representaciones
geométricas, tanto en el plano como en el espacio.
Graficar superficies, tales como esferas, paraboloides, hiperboloides entre
otras funciones de dos variables.
Analizar las ecuaciones de la recta y el plano en el espacio tridimensional,
que dan pie a la geometría analítica en el espacio.
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U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
Competencia específica
Analizar expresiones del álgebra vectorial a través de sus operaciones y representaciones en el sistema de ejes cartesiano del espacio, para extender su uso a situaciones y contextos de la física y la ingeniería.
1.1 Introducción a funciones vectoriales
Las funciones vectoriales, así como los métodos de cálculo, describen algunas
aplicaciones de curvas y problemas de mecánica. El concepto de función vectorial
es fundamental en ello.
Una función cuyo dominio es un conjunto de número reales y cuyo recorrido es un
subconjunto del espacio n dimensional se denomina función vectorial de una
variable real.
Las funciones vectoriales se designan con letras mayúsculas cursivas tales como F,
G, X, Y, etc., o mediante letras minúsculas cursivas negritas f, g, etc., el valor de
una función F en t se designa corrientemente como F(t).
Las operaciones usuales del algebra vectorial pueden aplicarse para combinar dos
funciones vectoriales o una función vectorial con una función real.
Para una función de variable real con valores vectoriales, la derivada se define
como en el caso de funciones con valores reales, con pequeñas diferencias que
surgen en relación con el teorema del incremento finito. Naturalmente que en el
caso de funciones vectoriales hay una serie de cuestiones que no se plantean,
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U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
como son las relativas al signo de la derivada, crecimiento y decrecimiento,
convexidad, etc. La primera novedad respecto al caso de las funciones con valores
reales surge en que ahora hay interpretaciones geométricas y físicas muy
interesantes: La derivada primera y la derivada segunda proporcionan,
respectivamente, la velocidad y la aceleración de una partícula que se mueve en el
espacio.
1.1.1 Límites y continuidad
La parte central del cálculo en una variable son las funciones. En el caso de
cálculo multivariado, estas vuelven a ser de suma importancia, debido a sus
múltiples aplicaciones. Una infinidad de problemas de las áreas científicas y
tecnológicas pueden ser resueltos usando funciones, así como sus operaciones
fundamentales (Stewart, 1999). Las aplicaciones de las funciones van desde el
cálculo de la órbita de planetas o satélites, hasta el estudio del comportamiento de
fenómenos meteorológicos. Asimismo, las funciones han sido aplicadas para
estudiar el crecimiento poblacional como el crecimiento de colonias de bacterias en
una muestra orgánica. Estas y otras aplicaciones requieren de la comprensión del
concepto de función, tanto en el caso de una variable como en el caso de varias
variables.
En esta primera parte del curso aprenderás que el domino de una función de dos
variables está definido dentro del plano 𝐗 − 𝐘. Como podrás observar, el
dominio es el conjunto de pares ordenados que definen a la función y el
contradominio de esta, se encuentra en el eje Z; tal como se aprecia en la Figura 1.
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U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
Figura 1. Gráfica de una función.
Asimismo, podrás recordar los conceptos continuidad y límite de una función
junto con sus propiedades, pero ahora extendidas a dos variables (Zill, 2012).
1.1.2 Funciones en el plano y en el espacio
Comenzaremos por abordar algunos conceptos básicos de matemáticas y de física,
el espacio unidimensional R se identifica con una recta. El espacio R2 puede ser
representado, de manera natural, mediante un plano: trazaremos una recta
horizontal y una vertical, que llamaremos eje x y eje y, respectivamente.
Determinamos una escala en cada una de estas rectas (no es imprescindibles que
sean iguales). Para cada punto P del plano trazaremos rectas paralelas a los ejes
que pasen por P. De acuerdo a la identificación de la recta con el conjunto de los
numero reales, sea a el punto de corte de la paralela al eje y con el eje x y sea b el
punto de corte de la paralela al eje x con el eje y. Al punto P le hacemos
corresponder el par ordenado de números reales (a, b) ∈ 𝑅2, tal como se observa
en la Figura 2.
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U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
Figura 2. Identificación de 𝑅2 y el plano.
Consideremos el espacio tridimensional, se representa como (𝑅3 = 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 𝑅) y se
identifica como el espacio tridimensional. Para establecer la correspondencia
debemos considerar un eje adicional, usualmente llamado eje z perpendicular al
plano formado por el eje x y el eje y. Cada punto P del espacio está en
correspondencia con un elemento. (x, y, z) de R3. Observemos en la Figura 3 esta
correspondencia en la que se muestra de manera gráfica al punto P
correspondiente con la terna (a, b, c):
Figura 3. Puntos en el espacio elementos de 𝑅3.
Como podrás observar, la definición de continuidad en el punto (𝑎, 𝑏), de una
función de dos variables y con dominio en 𝐷 está dada por:
lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏),
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U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
Se dice que la función es continua en el dominio, si 𝑓 es continua en todo punto
(𝑎, 𝑏) perteneciente a 𝐷.
1.1.3 Gráficas de funciones de varias variables
Existen varias maneras de visualizar una función de dos o más variables, mediante
una superficie en el espacio tridimensional.
La grafica de una función 𝑓: 𝐷∁ 𝑅2 → 𝑅 es el conjunto de puntos (x, y, z) tales que
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y 𝑥 ∈ 𝐷 , es decir:
𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓) = {(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦))|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷
La grafica de una función de dos variables 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) puede interpretarse
geométricamente como una superficie S en el espacio de forma tal que si
proyección sobre el plano x,y es de D, es el dominio de f. en consecuencia, a cada
punto (x,y) en D le corresponde un punto(x,y,z) en la superficie y a la inversa: a
cada punto (x, y, z) en la superficie le corresponde un punto (x, y) en D
También, te encontrarás con el tópico de cilindros, esferas y superficies
cuadráticas (Zill, 2012). Es importante que reflexiones sobre la ecuación general de
segundo grado:
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 + 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑦𝑧 + 𝐹𝑥𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0
Como podrás observar esta última ecuación contiene los coeficientes 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷,
𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝐼, 𝐽; ten en cuenta que los valores de estas constantes, definen un tipo
particular de superficie a partir de la misma ecuación.
Por ejemplo, si 𝐴, 𝐵, 𝐶 son distintos de cero y 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝐼, 𝐽, son todos
iguales a cero, podrás observar que la ecuación se convertirá en: 𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2 +𝑧2
𝑐2 = 1. La
gráfica de dicha ecuación sería muy similar a la que se presenta en la Figura 4.
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Figura 4. Elipsoide.
Asimismo, al dar diferentes valores a las constantes 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝐼, 𝐽;
se generarán diferentes superficies. Otro ejemplo es el caso del hiperboloide de una
hoja, donde la ecuación es de la forma: 𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2 −𝑧2
𝑐2 = 1. Como puedes observar sólo
hay un cambio de signo en la variable 𝑧, respecto de la ecuación del elipsoide. La
gráfica del hiperboloide se muestra en la Figura 5.
Figura 5. Hiperboloide de una hoja.
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U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
Como un ejemplo más, observa la gráfica del hiperboloide de dos hojas en la Figura
6.
Figura 6. Hiperboloide de dos hojas.
Particularmente, para los casos de un elipsoide, un cono elíptico y los paraboloides
elíptico e hiperbólico, partirás de la ecuación general de segundo grado.
En los temas expuestos, se comentó la definición de una función de varias variables
y de algunas de sus aplicaciones. Es importante que complementes tu aprendizaje
con el material recomendado para que refuerces los conceptos estudiados.
Este tema es de gran relevancia debido por medio del mismo, lograrás asociar las
funciones de dos variables independientes con gráficas en tres dimensiones. Se te
recomienda primero graficar haciendo uso de esquemas o trazos desde diferentes
perspectivas, para después desplegar la gráfica por computadora a través de un
graficador, teniendo siempre en cuenta los valores de las constantes
𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝐼, 𝐽.
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U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
Además de las secciones 1.7 y 1.8 que revisaste en la
actividad 1, lee y revisa las siguientes secciones del texto
de Zill (2012):
Sección 4. 1. Funciones de varias variables
Sección 4.2. Límites y continuidad
Estas secciones abordan de manera concreta los
diferentes tópicos de las funciones vectoriales.
El texto de Leithold, El Cálculo (2006) es recomendable cuando las bases del
cálculo de una variable no están bien cimentadas. Los primeros capítulos están
dedicados justamente al cálculo de una variable y la segunda parte del libro al
cálculo multivariado. Es un libro clásico en las facultades de ciencias e
ingeniería, y el número de impresiones índica que ha sido ampliamente revisado.
Se sugiere como libro de consulta, cuando algunos de los conceptos no queden
bien comprendidos en los textos anteriores.
1.2 Algebra y operaciones vectoriales
En el estudio de ciertas ciencias físicas como son: estática, electromagnetismo,
óptica, así como de algunas de índole tecnológico; como en procesamiento de
señales y en graficación por computadora, la comprensión de las operaciones
básicas entre vectores es de importancia toral. Es por ello que se presentan los
conceptos de cantidad escalar, así como de su contraparte: la cantidad vectorial
(Zill, 2012).
1.2.1 Vectores libres, vectores en el espacio vectorial
En esta parte comenzaremos definiendo cantidades escalares y cantidades
vectoriales. Se dice que una cantidad es vectorial cuando esta tiene dirección,
magnitud y sentido, mientras que la cantidad escalar sólo tiene magnitud. Esto
significa que, para el caso de la cantidad escalar solo consideraremos un solo
número real.
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U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
Los vectores son útiles en la representación de cantidades físicas, tales como el
desplazamiento, la velocidad, la aceleración o la fuerza, aunque también pueden
representar otras cantidades menos conocidas, como el campo eléctrico o el campo
magnético.
Típicamente, la gráfica de los vectores mencionados puede ser ubicada en una
simple recta numérica, o en el plano bidimensional de coordenadas 𝑋𝑌, también
llamado 𝑅2 o dentro del espacio vectorial tridimensional de coordenadas 𝑋𝑌𝑍,
conocido también como 𝑅3. Esto último, en virtud de que cada eje coordenado es
en realidad una recta numérica. Un ejemplo común de un vector libre se muestra en
el gráfico de la Figura 7.
Otra forma para la representación de cantidades vectoriales es aquella donde
simplemente se utiliza una flecha en una dirección determinada, a un ángulo dado y
con una cierta longitud. Este tipo de vectores son llamados vectores libres y son
muy usados en Física, principalmente en el área de Estática.
El concepto de espacio vectorial suele ser no tan simple de definir, debido a la
complejidad matemática con la cual podríamos argumentar un concepto de este
tipo. En términos muy simplificados podríamos decir que, un espacio vectorial es un
conjunto de entes matemáticos (los vectores, por ejemplo), que cumplen con ciertas
propiedades algebraicas. Este concepto, aunque no tan sencillo de explicar en unas
cuantas palabras ha permitido ampliar el campo de aplicación de las matemáticas.
Teniendo entonces que, en el caso de los vectores, el espacio en donde “habitan,
“se puede considerar un espacio vectorial. En el caso del plano se dice que es un
espacio vectorial de dimensión dos, el caso del espacio se suele decir espacio
vectorial de dimensión tres o simplemente 𝑅3.
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U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
Figura 7. Vector libre en el espacio tridimensional
Es importante que puedas representar vectores tanto en el plano como en el
espacio. Es recomendable que realices gráficos como el que se observa en el
espacio vectorial tridimensional de la Figura 7.
En la gráfica se ha trazado una línea que representa a un vector 𝐴 dado, que parte
justo en el punto 𝑀. Y que llega al punto 𝑁. El vector que se gráfica está en tres
dimensiones y tiene la siguiente representación analítica:
𝐴 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑧�̂�
Los vectores unitarios 𝑖̂, 𝑗̂, �̂� suelen ser graficados, respectivamente, sobre los ejes
coordenados 𝑋, 𝑌 𝑦 𝑍. Estos vectores unitarios o de longitud unidad, al ser
multiplicados por 𝑥, 𝑦 o 𝑧 valores, forman al vector.
Partiendo de estos valores se puede encontrar la magnitud del vector, la cual, está
dada por la expresión: |𝐴|2
= √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2. Teniendo entonces definidos los
valores de las componentes del vector 𝐴 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), esto será suficiente para poder
operar con estos valores o con su magnitud.
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1.2.2 Módulo, cosenos directores y ángulo entre vectores;
vector unitario
Los cosenos directores de un vector 𝑎 son cosenos de ángulos que forma el vector
como positivos semiejes de coordinadas. Para determinar los cosenos directores de
un vector 𝑎 es necesario las coordenadas respectivas del vector dividir en el
módulo del vector. La suma de cuadrada de los cosenos directores equivale a uno
y es denominada atributo.
Los cosenos directores de un vector se determinan mediante 𝒂 = {𝒂𝒙; 𝒂𝒚}se
calcula pos las formulas.
𝒄𝒐𝒔 𝒂 =𝒂𝒙
|𝒂|
𝒄𝒐𝒔 𝜷 =𝒂𝒚
|𝒂|
Retomando la idea de los vectores unitarios del espacio tridimensional, estos
cumplen con ciertas propiedades interesantes respecto de un vector cualquiera.
Algunas de estas propiedades se enlistan a continuación.
Siempre y cuando 𝑖,̂ 𝑗̂ y �̂� sean vectores unitarios del espacio tridimensional se
cumplirá que;
1) 𝑖̂ × 𝑗̂ = �̂�
2) 𝑖̂ ∙ 𝑗̂ = 0
3) 𝑖̂ ∙ 𝑖̂ = 1
Estos tres casos ejemplifican el comportamiento de los vectores unitarios en el
espacio o incluso en el plano. Falta decir que estos vectores, además de ser
unitarios, son perpendiculares entre sí. Entonces al conjunto {𝑖,̂ 𝑗̂, �̂�} suele
llamársele conjunto ortonormal de vectores. Esto significa que tienen norma o
tamaño unitario y además son ortogonales entre sí (Leithold, 2006).
En el caso del inciso 1, debes entender que el producto cruz de dos
vectores es igual al tercero, aunque el signo no siempre es positivo. Esto se
debe a que el producto cruz no es conmutativo y el signo puede cambiar.
En el caso del inciso 2, cuando calcules el producto escalar de dos vectores
unitarios ortogonales, este será igual a cero.
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U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
Finalmente, en el inciso 3, el producto escalar de un vector unitario consigo
mismo será igual a la unidad.
Las operaciones básicas entre vectores son suma, resta, multiplicación por un
escalar y los productos escalar y vectorial. Se definen las propiedades de la
aritmética de vectores, para ello sean 𝐴 y�⃗⃗�, vectores y 𝑘 una cantidad escalar:
𝑖) 𝐴 + �⃗⃗� = �⃗⃗� + 𝐴; Conmutativa
𝑖𝑖) 𝐴 + (𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶) = (𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + �⃗⃗�) + 𝐶; Asociativa
𝑖𝑖𝑖) 𝐴 + 0⃗⃗ = 0⃗⃗ + 𝐴; Elemento Neutro de la Suma
𝑖𝑣) 𝐴 + (−𝐴)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0⃗⃗; Inverso aditivo
𝑣) 𝑘(𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶) = 𝑘𝐴 + 𝑘�⃗⃗�; Distributiva para un escalar
𝑣𝑖)(𝑘1 + 𝑘2)𝐴 = 𝑘1𝐴 + 𝑘2𝐴; con 𝑘1, 𝑘2 escalares
𝑣𝑖𝑖)(𝑘1)(𝑘2)𝐴 = 𝑘1𝑘2𝐴; con 𝑘1, 𝑘2 escalares
𝑣𝑖𝑖𝑖)(1)𝐴 = 𝐴
𝑖𝑥)(0)𝐴 = 0⃗⃗
Si dos vectores tienen la misma dimensión, podrás llevar a cabo las operaciones
definidas anteriormente. Supón que un segundo vector está definido como: �⃗⃗� =
𝑢𝑖̂ + 𝑣𝑗̂ + 𝑤�̂�. Así como el vector𝐴, este segundo vector �⃗⃗� también puede graficarse
en el espacio, una vez conocidos los valores de (𝑢, 𝑣, 𝑤).
1.2.3 Suma y diferencia vectorial
La composición de vectores o suma de un vector es un proceso de calculación del
vector 𝑐̅, cuyos elementos equivalen a la suma de estos elementos respectivos de
vectores �⃑� 𝑦 �⃗⃑�, es decir, cada elemento de vector 𝑐 equivale a:
𝑐𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖
La descomposición de vectores o diferencia de vectores �̅� − �̅� es un proceso de
calculación de vectores 𝑐̅ cuyos elementos equivalen a diferencia emparejada de
todos los elementos respectivos de vectores �⃑� 𝑦 �⃗⃑�, es decir cada elemento del
vector 𝑐 equivale a:
𝑐𝑖 = 𝑎𝑖 − 𝑏𝑖
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1.2.4 Productos (multiplicación) vectoriales
También se le llama producto vectorial ya que el vector o producto cruz de dos
vectores AxB, es una cantidad vectorial que posee una magnitud es el área de un
paralelogramo el cual está formado por A y B y está en la dirección de avance que
indica la regla de mano derecha cuando A se mueve hacia B. Esto puede ser
ejemplificado en la Figura 8.
Figura 8. Multiplicación de vectores (Martínez, A. 2009).
Se define el producto escalar𝐴 ∙ �⃗⃗�y el producto vectorial 𝐴 × �⃗⃗� entre 𝐴 𝑦 �⃗⃗� de la
siguiente forma:
𝑥) 𝐴 ∙ �⃗⃗� = 𝑥𝑢 + 𝑦𝑣 + 𝑧𝑤; Producto escalar.
Como puedes observar la suma de los productos de las componentes resulta ser un
escalar.
𝑥𝑖) 𝐴 × �⃗⃗� = (𝑦𝑤 − 𝑧𝑣)𝑖̂ − (𝑥𝑤 − 𝑧𝑢)𝑗̂ + (𝑥𝑣 − 𝑦𝑢)�̂�; Producto vectorial. Este
producto resulta ser un vector perpendicular al plano que hacen los vectores
𝐴 𝑦 �⃗⃗�. En la Figura 9 se muestra geométricamente esta operación;
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U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
Figura 9. Producto vectorial.
Producto vectorial �⃗⃗� × �⃗� entre los vectores �⃗⃗� y �⃗�, siendo θ el ángulo entre
ellos.
El resultado de las operaciones vectoriales se puede obtener multiplicando las
magnitudes de los vectores y el seno del ángulo entre ellos, como el resultado debe
ser un vector, se usa un vector unitario normal al plano que contiene a los vectores
A y B.
𝐴𝑋𝐵 = 𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝐴𝐵𝑎𝑛
Donde
𝑎𝑛 = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑠𝑒𝑛 𝜃𝐴𝐵=𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑐𝑢𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙.
Se le llama producto cruz debido al símbolo que usa para indicarse, también se le
llama producto vectorial debido a que el resultado es un vector.
Si tenemos los vectores:
𝐴 = (𝐴𝑋 , 𝐴𝑌, 𝐴𝑍) 𝑌 𝐵 = (𝐵𝑋 , 𝐵𝑌, 𝐵𝑍).
Entonces:
𝐴𝑋𝐵 = |
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
𝐴𝑋 𝐴𝑌 𝐴𝑍
𝐵𝑋 𝐵𝑌 𝐵𝑍
|
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U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
= (𝐴𝑌𝐵𝑍 − 𝐴𝑍𝐵𝑌)𝑎𝑥 + (𝐴𝑍𝐵𝑋 − 𝐴𝑋𝐵𝑍)𝑎𝑦 + (𝐴𝑋𝐵𝑌 − 𝐴𝑌𝐵𝑋)𝑎𝑧
El resultado de la matriz se obtiene cruzando los términos en permutaciones
cíclicas, el vector que resulta tiene magnitud igual al área del paralelogramo que
forman los vectores, las propiedades del producto cruz son las siguientes.
𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑨𝒙𝑩 ≠ 𝑩𝒙𝑨
𝐸𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑨𝒙𝑩 = −𝑩𝒙𝑨
𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑨𝒙(𝑩𝒙𝑪) ≠ (𝑨𝒙𝑩)𝒙𝑪
𝐸𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑨𝒙(𝑩 + 𝑪) = 𝑨𝒙𝑩 + 𝑨𝒙𝑪
Los vectores ortogonales son aquellos que están tangentes entre sí, es decir que
forman un ángulo de 90 grados (recto) la cual puede ser una línea horizontal y una
vertical.
𝑎𝑥𝑥 𝑎𝑦 = 𝑎𝑧
𝑎𝑦 𝑥 𝑎𝑧 = 𝑎𝑥
𝑎𝑧𝑥 𝑎𝑥 = 𝑎𝑦
Las operaciones entre vectores tendrán importantes aplicaciones en las Unidades
dos y tres, al definir las operaciones del cálculo diferencial vectorial; tales como la
divergencia, el gradiente y el rotacional de un campo de fuerzas, Marsden, J. E., et
al. (2004). Mientras tanto aquí, estos productos los usarás para obtener rectas y
planos en el espacio. Otra aplicación de los vectores en dos y tres dimensiones
asociada a las funciones en varias variables es aquella que presenta la posibilidad
de parametrizar una función.
A continuación, en la gráfica de la Figura 10, se muestra la curva de una cicloide,
misma que podrás generar cuando un punto 𝑃 del perímetro de un círculo que gira,
describe una trayectoria similar a la mostrada en la gráfica de la Figura 11. Un
ejemplo de este fenómeno es el que sufre una moneda al rodar en una superficie
lisa. Evidentemente, podrás encontrar otras versiones de la cicloide en páginas de
internet o en la bibliografía recomendada, Marsden, J. E., et al. (2004).
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U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
Figura 10. Cicloide.
Figura 11. Trayectoria de un moneda que rueda.
La ecuación de la cicloide es una clara aplicación de las funciones en varias
variables. Esta puede ser expresada por 𝑐(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡, 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡),
para toda 𝑡𝜖[𝑎, 𝑏]; en donde 𝑎 y 𝑏 son dos números cualesquiera.
Como puedes observar en la ecuación anterior, se tienen tres variables, 𝑥, 𝑦, 𝑡.
Además de las curvas paramétricas en dos dimensiones con parametro 𝑡, podrás
obtener curvas en el espacio tridimensional, tal como la curva de la gráfica que se
incluye a continuación, cuya ecuación se ve como: ℎ(𝑡) = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡). Es preciso
mencionar que está curva es similar a la de la doble hélice del ADN, como la que se
observa en Figura 12.
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U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
Figura 12. Doble hélice.
En los textos recomendados, podrás encontrar el material necesario para la
comprensión de los conceptos de espacio tridimensional, así como el producto
punto y el producto vectorial. Al mismo tiempo, será necesario que estudies las
operaciones básicas entre vectores, tanto en dos como en tres dimensiones. Estos
textos te serán de gran ayuda en el desarrollo de tus competencias al permitirte
resolver problemas con diferente grado de dificultad. También te ayudarán a
comprender como se genera una curva paramétrica, tanto en el plano como en el
espacio. Como advertencia tendrás cuidado con el cambio de notación entre los
diferentes textos.
Resuelve los ejercicios propuestos en las Actividades 2 y 3 que se encuentran en
el documento de Actividades de aprendizaje U1. Aprenderás en estos ejercicios a
identificar claramente entre cantidades escalares y vectoriales. Revisarás las
operaciones básicas entre vectores y obtendrás las gráficas de funciones
paramétricas en el plano y el espacio.
Universidad Abierta y a Distancia de México 21
U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
A lo largo del material expuesto, tendrás que tomar en cuenta los siguientes puntos:
Las operaciones básicas entre vectores te permitirán conocer el lenguaje propio
de varias de las ciencias físicas.
Las operaciones que tienen que ver con el producto entre vectores te permitirán
generar nuevos vectores o nuevos escalares. Si usas el producto punto, el
resultado será un escalar. Si al contrario usas el producto cruz o vectorial el
resultado será un vector.
Podrás además graficar funciones paramétricas del parámetro 𝑡, esta variable la
podrás usar para representar el tiempo. Esto para el caso de funciones que
describen movimiento o de procesos que dependen del tiempo.
Las operaciones de suma, resta, multiplicación por un escalar y los productos
punto y cruz, serán la base para encontrar las ecuaciones de planos y rectas en
el espacio. Este tópico los podrás estudiar en el siguiente tema dentro de esta
misma Unidad.
Te sugerimos leer y revisar el texto de Zill, (2012):
Capítulo 1. Vectores y espacio tridimensional.
Sección 1.3. y 1.4.
Las actividades de esta Unidad se basan en este
texto, así como en la sección 2.1, por lo que resulta
conveniente su repaso.
1.3 Geometría analítica del espacio
El uso de rectas y planos es una tarea común en ciencias e ingeniería. Para el caso
de ciertos fenómenos, es recomendable graficar estos entes matemáticos en el
espacio tridimensional, debido a que existen problemas en donde se requiere de
dos variables independientes. Son bien conocidas las diferentes formas de la
ecuación de una recta en el plano cartesiano y sus demostraciones para obtenerlas,
Leithold, L., (2006).
En este tema se estudiará una nueva forma para la ecuación de la recta, pero en el
espacio tridimensional y mediante el uso de vectores, esto junto con el empleo de
las operaciones básicas entre vectores que anteriormente fueron estudiadas. A
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U1 Cálculo multivariado Funciones vectoriales
manera de ilustración, se grafica la ecuación de una recta en el espacio
tridimensional. Esta es mostrada en la Figura 13.
Figura 13. Recta en el espacio tridimensional.
Como sabemos en geometría analítica en dos dimensiones, la recta es el lugar
geométrico de los puntos que equidistan a dos puntos fijos 𝑃 y 𝑄. Estos son
llamados los extremos de un segmento de recta. La característica primordial de
una recta es su pendiente respecto al eje horizontal. Sin embargo, cuando la recta
se grafica en el espacio, es común obtener su ecuación a través de la
parametrización de las coordenadas (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) de todos sus puntos. Esta
parametrización normalmente se lleva a cabo usando el parámetro 𝑡, el cual, se
define en algún dominio dado, tal como 𝑡𝜖[𝑡0, 𝑡𝑓].
1.3.1 Ecuación de la recta
Las ecuaciones de la recta se presentan en diversas formas tales como punto-
pendiente: de los dos puntos pendientes y ordenados al origen y la forma general,
cada una de ellas con sus respectivas demostraciones.
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Figura 14. Recta (Suarez M.O 2013).
Para poder determinar la ecuación vectorial de un recta es necesario que se
conozcan los puntos de la recta, vamos a halla la ecuación a partir de un punto y
un vector de posición, si tuviéramos dos puntos por ejemplo A y R en la figura
anterior entonces tenemos el vector 𝐴𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ es un vector de posición. Teniendo los
puntos A de la recta y un vector de dirección �⃗⃗�, un punto genérico R de la recta
tendrá entonces una posición con el vector 𝑂𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , el cual es ilustrado en la Figura 15.
Figura 15. Recta (Suarez M.O 2013).
Para definir la ecuación de una recta en el espacio basta conocer un punto de la
recta y un vector paralelo a la recta, este vector tomo el nombre o se denomina
vector director. Y tenemos un punto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧𝑜)el punto conocido, será 𝑃 =
(𝑥, 𝑦, 𝑧) un punto cualquiera de la recta y del vector �⃗� = (𝐴, 𝐵, 𝐶) el vector director la
ecuación quedara dada por:
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Desde un enfoque vectorial, la ecuación de la recta en el espacio puede definirse
de la siguiente forma: 𝑟 = 𝑟0 + 𝑡�⃗�, donde 𝑟, 𝑟0y �⃗� son vectores. Los cuales se
escriben en términos de sus componentes como sigue: 𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑟0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)
y �⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐).
Esto permite reescribir la ecuación de la recta de forma tal que:
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0 + 𝑎𝑡, 𝑦0 + 𝑏𝑡, 𝑧0 + 𝑐𝑡)
La ecuación de la recta que paso por dos puntos diferentes en el espacio. Si la
recta pasa por dos puntos 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)𝑦 𝐵(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) tales que 𝑥1 ≠ 𝑥2, 𝑦1 ≠ 𝑦2 𝑦 𝑧1 ≠
𝑧2 entonces la ecuación de la recta se puede calcular utilizando la fórmula
siguiente: 𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1=
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
𝑧 − 𝑧1
𝑧2 − 𝑧1
La ecuación paramétrica de la recta en el espacio puede ser escrita de manera
siguiente
{𝑥 = 𝑙𝑡 + 𝑥0
𝑦 = 𝑚𝑡 + 𝑦0
𝑧 = 𝑛𝑡 + 𝑧0
Donde (𝑥0 ,𝑦0, 𝑧0) son las coordenadas de los puntos que están en la recta, y
{𝑙, 𝑚, 𝑛} las coordenadas del vector director de la recta.
La ecuación canónica de la recta en el espacio se representa matemáticamente si
se conocen las coordenadas del punto que está en la recta y del vector director �⃗⃗� =
{𝑙, 𝑚. 𝑛}, entonces la ecuación de la recta puede ser escrita en la forma canónica
utilizando la siguiente expresión.
𝑥 − 𝑥0
𝑙=
𝑦 − 𝑦0
𝑚=
𝑧 − 𝑧0
𝑛
Para ilustrar mejor este concepto busca en la red el video “Ecuaciones de la
recta en 3D” (2011), elaborado por la Universidad Peruana de Ciencias
Aplicadas.
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Si la recta es intersección de dos planos, entonces su ecuación se puede expresar
con el sistema siguiente de ecuaciones:
{𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑥 + 𝐶1𝑧 + 𝐷1 = 0𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑥 + 𝐶1𝑧 + 𝐷1 = 0
1.3.2 Ecuación del plano
Figura 16. Plano en tercera dimensión (Suarez M.O 2013).
Para definir la ecuación de un plano en el espacio basta con conocer un punto en el
plano y un vector o plano perpendicular, donde tenemos un punto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧𝑜)
en el punto conocido del plano 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) un punto general del plano y del vector
�⃗⃗⃗� = (𝐴, 𝐵, 𝐶) el vector es perpendicular al plano 𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ el cual es perpendicular al
plano �⃗⃗⃗�, es decir 𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . �⃗⃗⃗� = 0. Esto se observa en la imagen de la Figura 16.
Usando las mismas operaciones vectoriales, ahora puedes encontrar otros lugares
geométricos en el espacio tales como, el del plano. Esto se consigue, a través del
siguiente teorema:
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Figura 17. Plano en el espacio.
La ecuación general del plano, cualquier plano se puede expresar como una
ecuación del plano de la primera forma donde los valores de A, B y C no pueden
ser cero al mismo tiempo.
𝐴𝑋 + 𝐵𝑌 + 𝐶𝑍 + 𝐷 = 0
Ecuación del plano en segmentos si el plano cruza los ejes 𝑂𝑋, 𝑂𝑌 𝑦 𝑂𝑍 en los
puntos con las coordenadas (𝑎, 0, 0), (0, 𝑏, 0 )𝑦 (0, 0, 𝑐), entonces puede calcularse,
utilizando la fórmula de ecuación del plano en segmentos.
𝑥
𝑎+
𝑦
𝑏+
𝑧
𝑐= 1
También existe la ecuación del plano, que pasa por un punto, perpendicular al
vector normal, para formular la ecuación de plano sabiendo las coordenadas del
La gráfica de una ecuación lineal 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, con las
constantes 𝑎, 𝑏, 𝑐, no todas cero, es un plano con vector perpendicular a
este, dado por �̂� = 𝑎𝑖̂ + 𝑏𝑗̂ + 𝑐�̂�. En la gráfica siguiente, podrás observar
un plano en el espacio. Como se puede observar, cada plano puede
extenderse infinitamente en cualquier dirección, a menos que se indique
lo contrario en su ecuación. Un ejemplo de ello, se observa en la Figura
17.
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punto del plano 𝑀(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) y el vector normal del plano �⃗⃗� = {𝐴, 𝐵, 𝐶} se puede
utilizar la formula siguiente.
𝐴(𝑥 − 𝑥0) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0) + 𝐶(𝑧 − 𝑧0) = 0
La ecuación del plano que pasa por tres puntos dados, que no están en una recta,
si hay dadas coordenadas de tres puntos tenemos
𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)𝑦 𝐶(𝑥3, 𝑦3, 𝑧3), que están en el plano entonces la ecuación
del plano se puede calcular por la formula siguiente:
|
𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1
𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑧2 − 𝑧1
𝑥3 − 𝑥1 𝑦3 − 𝑦1 𝑧3 − 𝑧1
| = 0
Te invito a que revises los apartados 1.5 y 1.6 del
texto de Zill (2012); en los que encontrarás
respectivamente, los tópicos: ecuación de la recta y
ecuación del plano. Ten en cuenta que ambos
lugares geométricos se grafican en el espacio. Para
ello, es necesario tener muy claros los conceptos de
producto escalar y producto vectorial, analizados en
el subtema anterior.
A continuación, debes resolver la actividad integradora de esta Unidad, que te
permitirá reforzar los conceptos discutidos y te entrenará para la siguiente Unidad,
sobretodo en el uso de planos tangentes a superficies. Estos planos tendrán
además vectores normales a ellos, los cuales, estarán relacionados con el
gradiente de la función graficada. Asimismo, obtendrás las ecuaciones de rectas y
planos. Aprenderás también a resolver problemas usando las dos nuevas
operaciones entre vectores; que es el producto escalar y el producto vectorial.
En esta tercera parte de la Unidad 1, estudiaste las ecuaciones de rectas y planos
en el espacio tridimensional. También resolviste problemas empleando operaciones
vectoriales.
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Como seguramente ya habrás notado, las ecuaciones de la recta y el plano son en
realidad funciones vectoriales o funciones de un parámetro 𝑡. Este interesante
resultado te permitirá graficar planos y rectas, usando una sola variable
independiente. Por lo que, seguramente te será de gran utilidad estudiar este tipo
de funciones, ya que en experimentos de laboratorio el tiempo suele ser una
variable de la que depende el proceso estudiado.
Actividades
La elaboración de las actividades estará guiada por tu docente en línea,
mismo que te indicará, a través de la Planeación didáctica del docente en línea,
la dinámica que tú y tus compañeros (as) llevarán a cabo, así como los envíos
que tendrán que realizar.
Para el envío de tus trabajos usarás la siguiente nomenclatura:
BCMV_U1_A1_XXYZ, donde BCMV corresponde a las siglas de la asignatura,
U1 es la unidad de conocimiento, A1 es el número de actividad, el cual debes
sustituir considerando la actividad que se realices, XX son las primeras letras de
tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu
apellido materno.
Autorreflexiones
Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de
Autorreflexión indicadas por tu docente en línea y enviar tu archivo. Cabe
recordar que esta actividad tiene una ponderación del 10% de tu evaluación.
Para el envío de tu autorreflexión utiliza la siguiente nomenclatura:
BCMV_U1_ATR _XXYZ, donde BCMV corresponde a las siglas de la
asignatura, U1 es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu
nombre, y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu
apellido materno
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Cierre de la Unidad
A lo largo de esta Unidad has podido adentrarte en los conceptos de vectores en el
espacio tridimensional y sus operaciones básicas. Entre estas operaciones se
encuentran el producto escalar y el producto vectorial. Al mismo tiempo, has podido
revisar los conceptos de función de varias variables y su representación gráfica en
el espacio. Particularmente, las funciones de dos variables y algunas curvas
paramétricas como la cicloide y la doble hélice en el espacio tridimensional.
Examinaste algunas superficies cuadráticas relevantes tales como: elipsoides,
conos, cilindros, esferas, hiperboloides, paraboloides y sus diferentes variantes.
Revisaste los conceptos continuidad y límite de una función de dos variables.
También, pudiste revisar algunas ecuaciones relacionadas con rectas y planos; y
resolviste algunos problemas de geometría analítica en el espacio.
Todas estas nuevas herramientas matemáticas las aplicaste a ciertos problemas de
las ciencias físicas o de la ingeniería. Al respecto, debes tomar en cuenta que todos
los conceptos estudiados serán usados en las siguientes Unidades. Por ejemplo, en
la segunda Unidad, las operaciones vectoriales estudiadas aquí te serán muy útiles
para calcular el gradiente, la divergencia y el rotacional, tanto de campos escalares
como de vectoriales. Asimismo, las gráficas en el espacio te apoyarán para
representar los conceptos de la derivada de una función.
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Para saber más
Para saber más se recomiendan las siguientes fuentes de información:
Todas estas páginas contienen materiales complementarios o video clases que
apoyan el aprendizaje de algunos de los conceptos estudiados en esta Unidad.
http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/SupSegOrden.htm
En esta liga puedes consultar los apuntes sobre superficies cuadráticas, planos y
rectas.
http://infomat-fiei.blogspot.mx/2011/07/superficies-conicas-y-cuadricas.html
Nuevamente, apuntes sobre las cónicas y algunas de sus características, como
apoyo a la consulta de ciertos conceptos útiles en la solución de problemas.
http://www.scielo.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0718-07642010000200005
Artículo de Investigación en el área de biotecnología, en donde se muestra la
aplicación de gráficas en el espacio.
http://www.vitutor.com/geo/vec/a_e.html
En esta liga encontrarás algunos ejercicios resueltos sobre el tópico de vectores.
http://www.youtube.com/watch?v=sF6NAi9IRl4
En esta liga encontrarás un interesante video, sobre vectores y su representación.
Algunos ejemplos de vectores son enunciados. Este video puede ser un material
muy ilustrativo complementario de la segunda parte de la Unidad 1.
http://www.google.com.mx/search?q=cicloide&hl=es-
419&rlz=1C2CHFA_enMX484MX485&prmd=imvns&tbm=isch&tbo=u&source=univ&
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sa=X&ei=OJFkUMraCcHK2AW3sYGgCw&sqi=2&ved=0CCgQsAQ&biw=973&bih=5
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En esta liga podrás observar esquemas diversos de la función cicloide y de algunas
de sus características geométricas. También de algunas de sus implementaciones
físicas.
Courant R., et al. (2006) ¿Qué son las Matemáticas? Conceptos y métodos
fundamentales. México: Fondo de Cultura Económica.
En este libro podrás encontrar algunos de los tópicos estudiados en esta Unidad.
No es un libro de texto propiamente, es un más bien un tratado muy general de
matemáticas. Muy recomendable para comprender justamente ¿Qué son las
Matemáticas?
De acuerdo con los autores te permite lograr un contacto real con el quehacer
matemático.
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Fuentes de consulta
1. Leithold, L. (2006). El Cálculo. México: Oxford.
2. Marsden, J. E., et al. (2004). Cálculo Vectorial. España: Pearson-Addison
Wesley.
3. Stewart, J. (2006). Cálculo. Conceptos y Contextos. Estado de México.
México: Thompson.
4. Zill, D. G. et al. (2012). Matemáticas 3. Cálculo de Varias variables. México,
D. F.: McGraw-Hill.