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第二章 � 静电场中的导体和电介质 � 

§ 2-1 静电场中的导体

§ 2-2 唯⼀一性定理和电像法

§ 2-3 电容与电容器

§ 2-4 静电场中的电介质

§ 2-5 电介质中静电场的基本规律

§ 2-6 唯⼀一性定理及 静电场问题的求解

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§2-0 物质的电性质

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电场中的物质 n  � 真空中静电场的基本规律 � 

思考： � 将一块材料(导体或绝缘体)置于静电场中，会发生什么？ � 

电场 �  物质 � 电荷重新分布 � 总电场发生变化 � 

思考：一切归于沉寂之后，电场满足什么规律？ � 

n  环路定理 !E ⋅d!l

C"∫ = 0 ⇔ ∇×!E = 0

n  ⾼高斯定理 �!E ⋅d!S

S"∫∫ = Q� ε0 ⇔ ∇⋅!E = ρ ε0

Ø  标量势 ϕ !r( ) = −

!E ⋅d!l

P

!r

∫ ⇔ !E = −∇ϕ

答案：满足真空中静电场的基本规律！ � 但是…… � 

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物质中的电场 n  � 物质中的静电场满足与真空中一样的基本规律，即 � 

思考： � 宏观电场满足什么规律？ � 

思考： � 物质中的电场(宏观)如何测量？ � 

库仑定律＋叠加原理 �  � 或者 �  � 高斯定理＋环路定理 � 

n  宏观电磁学中，物质中的电场系指“平均值”

Ø  由物质中重新分布后的微观电荷以及外部电荷共同决定 n  物质中实际(微观)的电场 是⾼高度不均匀的

!E

!E =

!E = 1

V!E dV

V∫∫∫ !E d nm>几个  

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导体和绝缘体 n  �  各种物质电性质的不同，早在18世纪初就为人们所注意了。1729年，英国人Gray就发现金属和丝绸的电性质不同，前者接触带电体时能很快把电荷转移或传导到别处，而后者却不能。 � 

导体： 大量可以自由移动的电荷 (称为载流子) 如金属(载流子为自由电子) � 

绝缘体： 几乎没有可自由移动电荷 如玻璃、橡胶、木头 � 

此外，还有半导体 � 

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电导率(Conductivity) n  � 电导率：导电性能的量度 � (第四章) � 

( ) ( )( )

vEρσ

×= =

电荷密度 平均速度

电场

n  单位： ( ) ( ) ( ) ( )13C m m s V m 1 m−⋅ ⋅ = Ω⋅

n  � 不同材料的电导率可以相差二十多个量级 � n  σ >> 1：导体 n  σ << 1：绝缘体 n  σ ～ 1：半导体

n  � 静电学中，我们只关注两类极端情形 � n  理想导体： σ → ∞ n  理想绝缘体： σ ＝ 0

锰铜合⾦金

原子中的电子排列

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原子中的电子排列 绝缘体

(⼏几乎)满壳层半导体

4个价电⼦子导体

1～2个价电⼦子

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金属导体 n  �  在金属中，由于相邻原子的相互作用，原子的价电子并不约束在某一原子中，而为各原子实所共有，称为自由电子。 � n  �  但是，自由电子并没有脱离金属的原子，由于原子间的相互作用，形成了各原子实的宏观电场，若把金属置于真空中，则自由电子在金属中有较低的电势，在外部有较高的电势，在金属的表面层中，势能曲线为势垒。自由电子则被约束在势阱中。 � 

⼤大多数⾦金属 逸出功为1~6 eV

常温下电⼦子 平均动能为0.039 eV

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§2-1 静电场中的导体

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静电学中的导体

导体：包含大量的可以自由移动的电荷(载流子) � n  � 大量～∞：可认为导体是载流子的无穷大仓库 � 

n  铜：平均每个铜原⼦子贡献⼀一个自由电⼦子(～1028/m3 ) 。 n  极少量的载流⼦子重新分布即可达到静电平衡 (～10–13 ) 。

n  � 可自由移动：可以做宏观定向运动 � n  铜：自由电⼦子总是在⽆无规则热运动的 (u～105 m/s ) n  电荷在导体中定向移动时会遇到粘滞性阻⼒力

!v ≡ !u = 1N

!uii=1

N

∑Ø  如果v = 0，则自由电⼦子不受⼒力

Ø  如果自由电⼦子受⼒力，则v ≠ 0

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静电平衡的条件 n  �  处于电场中的导体，当自由电荷不再定向移动，从而一切归于沉寂时，就达到了静电平衡，因而静电平衡的条件为 � 

!v = 0

0tρ∂ ∂ =n  电荷分布不再变化： 等价吗 � 

需要多长时间达到静电平衡？有宏观尺度上的定向移动吗？

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静电平衡时的电场分布

n  导体外侧附近的电场垂直于导体表面 � 

全空间每一点的电场等于外场 � E0 以及导体中重新分布后的电荷 —感应电荷 � 产生的电场 � E′ � 叠加： � 

!E =!E0 +

!′E

Because：若 E ≠ 0，则电荷仍在继续运动，尚未达到静电平衡 n  在导体内部，感应电荷的场倾向于完全抵消外场

导体对于静电具有彻底的“抗电性” 导体是静电场的“禁区” 导体边界自动是静电场的边界

Because：若不垂直，则电荷仍在 沿着表面继续运动

n  导体内部的电场等于零 �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  �  � (WHY?) !E =!E0 +

!′E = 0

0

vE

′vE

!E

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静电平衡时的电势分布 n  � 静电平衡时，导体是等势体，导体表面是等势面 � 

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静电平衡时的电荷分布

n  导体表面电荷的电荷层⼀一般只有1⾄至2个原⼦子的厚度。若初始时刻，导体内电荷不为零，则导体内的电荷将按指数衰减，在很短的时间内（约10−14

秒），导体达到静电平衡。

n  将电荷分别放在若⼲干固定导体上，当达到静电平衡时，电荷在这些导体上的分布使得电场能量最小(Thomson定理)。

n  � 静电平衡时，净电荷只分布在导体的表面，导体内部的体电荷密度处处为零。 � 

0ρ ρ ρ+ −= + =

10( 10 m)−×4− 2− 0 2 4 6

( )E x

( )xρ

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导体表面的电场与电荷 n  � 静电平衡时，导体表面外侧处的电场与该处面电荷密度成正比。 � 

Φ ≈

!Eout ⋅ n̂ΔS( ) + !Ein ⋅ −n̂ΔS( ) = σΔS

ε0

SΔ

SΔ 侧

SΔ

!Eout

n̂

n  � 导体表面单位面积受到的静电力 � 

!P =σ

!E = σ 2

2ε0

n̂ = 12ε0Eout

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n̂

n  ⽅方向有电荷正负决定

总是指向导体外

思考：导体表面的电荷具体如何分布？ � 

!Eout =

σε0

n̂ ˆ n :  指向导体外  

静电能密度(第三章)

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导体表面的面电荷分布 导体表面的电荷分布非常复杂！ � n  �  导体表面的电荷分布与导体的几何形状、导体所带的总电量以及周围其它场源和导体有关 � 

n  �  孤立导体表面的电荷分布 �  σ 不仅与导体表面的曲率 �  k 有关，还与导体表面的整体形状有关。 � 

k → σ →!Eout

k → σ →!Eout

k → σ →!Eout

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

n  σ 与 k 之间并不存在唯⼀一的函数关系 n  定性关系：

思考：带正电的孤立导体，为什么表面不可能有负电荷？ � 

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电荷分布与曲率有关 例：用长直导线连接的两个半径不同的导体球。 � 

Q

R

qr

Rσrσ

0 0

0 0

1414

RR

rr

RQR

rqr

σϕπε ε

σϕπε ε

⎧ ≈ =⎪⎪⎨⎪ ≈ =⎪⎩

r

R

R Qr q

σσ

≈ ≈ 仅仅只是说明 仅仅只是定性

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电荷分布与外部电荷有关 n  � 带电量为 � Q � 的孤立导体，表面的面电荷分布与同号 � 

n  � 若导体表面的面电荷密度有正有负，则必然还有别的带电体。 � 

n  � 电中性导体球旁有一正点电荷 � Q � 

Because：若有负电荷，其接受的电场线来自何处？

n  中和线：正负感应电荷分界线

n  靠近点电荷⼀一侧感应出 –q 背离点电荷⼀一侧感应出 +q

q Q<

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孤立导体椭球 n  � 20世纪50年代，前苏联科学家朗道(Landau)在《连续介质电动力学》中介绍了用正交曲线坐标系求解椭球导体表面电荷分布的例子，对椭球导体： � 

xy

z

ab

c2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + =

得到其表面电荷分布为： � 1 22 2 2

4 4 44Q x y zabc a b c

σπ

−⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

思考：由此结果你是否可以给出细针、导体薄圆盘、无限长导体条带上的电荷分布？ � 

（我们后面将通过“猜”的⽅方法得到）

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没有电荷的空腔 n  � 如果导体空腔内没有电荷，则空腔内电场为零，电势为常数，空腔内表面没有电荷。 � 

∵ 空腔内没有电荷

∴电势极值在边界取得

But 导体表面是等势面

∴空腔内 const.ϕ =

!E = 0

思考：是否可以用电场线分析给出同样结论？ � 

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有电荷的球形空腔 n  � 如果点电荷 � q � 置于中性导体球壳内 � n  球壳内表面带电为 −q， 其分布与点电荷的位置有关�

n  球壳外表面带电为+q，分布均匀�

点电荷和内表面电荷在导体内以及导体球外产⽣生的电场之和为零

q q− q+

S

q q− q+

n  � 如果内表面不是球面，以上结论均成立！ � 

n  空腔内电场与点电荷 q 的位置有关�

n 球壳外电场等于均匀分布于外表面的感应电荷产⽣生的电场�

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静电屏蔽 n  � 对于任意形状导体壳 � 

n  腔内却影响腔外：导体外电场取决于外表面⼏几何、空腔内总电量、导体壳总电量以及导体外的电荷分布；与空腔内的电荷分布⽆无关。

n  腔外不影响腔内：腔内电场由内表面⼏几何、内部电荷分布决定；与空腔外的电荷分布以及导体壳是否带电⽆无关。�

n  如果让导体壳接地，则 腔内、腔外互不影响 (静电屏蔽) � 

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避雷针 n 避雷针利用了极端放电原理 � 

7 8

3 ~ 4 km10 ~10 V

k R ( ) → σ →

!E

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场致离子显微镜

场致发射显微镜也是依赖⾦金属尖端上所产⽣生的强电场。中间细小⾦金属针的尖端直径约为1000Å， 被置于⼀一个先抽成真空后充进少量氦⽓气的玻璃泡中。泡内壁镀上⼀一层⼗十分薄的荧光质导电膜，荧光膜与⾦金属针之间加上⼀一个⾼高电压，当⼀一个氦原⼦子与针尖碰撞时，那里极强的电场会把氦原⼦子中⼀一个电⼦子剥去，剩下带正电的氦离⼦子。随即氦离于沿着场线跑⾄至荧光壁，撞击荧光膜引起发光。那些到达荧光膜某特定点上的氦离⼦子，在很⾼高的近似程度上，可以看作是发源于径向场线的另⼀一端，这样，根据荧光膜的发光点的位置就可以推断出⾦金属尖端的个别原⼦子的位置。利用这⼀一装置，把需要研究的⾦金属作成针状样品放⼊入这⼀一设备中，便可获得荧光膜上斑点图样，进⼀一步分析出待测样品的原⼦子排列。分辨率～1 nm。

n 场致离子显微镜(FIM：Field ion microscope) � 

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范德格拉夫起电机 n  范德格拉夫起电机(van de Graaff generator) 可用于加速带电粒子，如原子核物理研究中用的静电加速器。 � n  ⾦金属针尖A接在⼏几万伏的直流电源的正极上，通过尖端放电使传送带带正电。与导体球壳相连另⼀一针尖F通过尖端放电使⾦金属球带正电。这样随着传送带不停运转，⾦金属球电量越来越多，电势不断升⾼高。但由于绝缘物的漏电，电势不可能⽆无限升⾼高，⼀一般可达到107 V左右。 n  在绝缘圆柱内，有⼀一与传送带平⾏行的真空管道通往空⼼心导体球，如果把带电粒⼦子注⼊入管道，粒⼦子在管道中被加速成⾼高能粒⼦子，然后通过管道引⾄至进⾏行实验的地⽅方，目前在半导体⼯工业中把小型范德格拉夫起电机用于离⼦子注⼊入技术。

Eaϕ =

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静电复印机与激光打印机

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唯一性定理 I 以 � S = ∂V 为边界的区域 � V � 内的电势唯一确定，如果： (1) 区域 � V � 内部的电荷分布 � ρ(x,y,z) 已知； (2) 边界 � ∂S � 上每一点的电势 � φ(x,y,z) 给定。 � 

如果边界为导体，所给定电势应为常数， 否则（静电）解不存在

V：求解区域

S = ∂V ：V 的边界

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唯一性定理 I 的证明 n  � 如果有两个解 � φ′ � 和 � φ″ � 同时满足： � 

n  V 内给定的电荷分布 2 2

0ϕ ρ ε ϕ′ ′′∇ = − =∇

n  S 上给定的电势数值

SS Sϕ ϕ ϕ′ ′′= =

n  � 则 � φ ≡ φ′–φ″ � 是下面静电学问题的解： � 

n  V 内⽆无电荷 2 0ϕ∇ =

n  S 上电势为零 0S

ϕ =

V 内 φ ≡ 0 无电荷区域

极值在边界上

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唯一性定理 II 以导体表面 � S = S0+ S1+ S2+ ··· + SN = ∂V � 为边界的 区域 � V � 内的电场唯一确定，如果 (1) 区域 � V � 内部的电荷分布 � ρ(x,y,z) 已知； (2) 每一个内导体的电量 � Q1 , Q2 , ··· , QN 给定。 � 

V：求解区域 S1 ：内边界

S0 ：外边界 (可以⽆无穷⼤大)

S2 ：内边界

Q1

Q2

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唯一性定理 II 的证明

n  V 内给定的电荷分布

∇2 ′ϕ = − ρ

ε0

= ∇2 ′′ϕ

n  S 上给定的电势数值

!′E ⋅d!S

S1,2

"∫∫ =Q1,2

ε0

=!′′E ⋅d!S

S1,2

"∫∫

n  导体表面是等势面意味着两个解还应满⾜足

′ϕS1,2

= ′c1,2 , ′ϕS0= ′c0

′′ϕS1,2

= ′′c1,2 , ′′ϕS0= ′′c0

V 内 � ρ 已知 S1

S0

S2

Q1

Q2

n  � 如果有两个解 � (φ′, E′ = − φ′) � 和 � (φ″, E″ = − φ″) � 同时满足： � 

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唯一性定理 II 的证明 n  � 两解之差 � (φ ≡ φ′–φ″ , E = − φ) � 是下面静电学问题的解： � 

n  V 内⽆无电荷 2 0ϕ∇ =

n  内导体均不带电

!E ⋅d!S

S1,2"∫∫ = 0

n  导体表面：

ϕS1,2

= c1,2 = ′c1,2 − ′′c1,2

ϕS0= c0 = ′c0 − ′′c0

V 内 φ ≡ c 无电荷区域

极值在边界上0 1 2c c c c= = ≡

V 内 � ρ=0 S1

S0

S2

0

0

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