1

効用最大化問題 双対問題x∗

p∗

u(x∗) ≡ v(p∗, I)

minp>0

v(p, I)

s.t. p · x∗ ≤ I

maxx≥0

u(x)

s.t. p∗ · x ≤ I

p∗ · x∗ = I

双対問題のクーン・タッカー条件：

λ∗ = v�I(p∗, I)：所得の限界効用

L(p,λ) = v(p, I) + λ(p · x∗ − I)双対問題のラグランジュ関数：

v�pi(p∗) + λ∗x∗

i ≥ 0

λ∗ �v�pi(p∗) + λ∗x∗

i

�= 0

x∗i = −

v�pi(p∗, I)

v�I(p∗, I)

ロワの恒等式(後出)

x∗i

x∗j

=v�pi

(p∗, I)

v�pj(p∗, I)

内点解の場合：

2

x1

x2

p2

p1

p�1/p�2p��1/p

��2

O

v(p, I) = v(p�, I)(= v(p��, I))

u(x) = u(x�)(= u(x��))

x�

x��

p�

p��

x��2/x

��1x�

2/x�1

p∗

···

·

··

p∗1/p∗2

v(p, I) = v(p∗, I)

x∗が実現する範囲

v(p∗, I) ≤ v(p�, I) = v(p��, I)

⇒

無差別曲線と(財価格間の)間接無差別曲線の幾何

3

p1

x1

x2

O

x∗u(x) = u(x∗)

x∗1

x∗2

v(p, I) = u(x∗)

I

x∗2

p2 ≡ 1

x∗1

ロワの恒等式

p�1p��1

p��1x∗1 + x∗

2

p�1x∗1 + x∗

2

v�p1(p, I)dp1 + v�I(p, I)dI = 0

→ dI

dp1= −

v�p1

v�I= x∗

1

所得・価格間の間接無差別曲線角あり・軸と交わらない無差別曲線(レオンチェフ型)の場合

4

角あり・軸と交わらない無差別曲線の場合

p1

x1

x2

O

x∗

u(x) = u(x∗)

Ix∗2

p2 ≡ 1

x∗1

x∗∗

x∗∗∗

x∗∗2x∗∗∗

2

x∗∗∗1 x∗∗

1

v(p, I) = u(x∗)

5

滑らか・軸と交わらない無差別曲線(e.g., コブ=ダグラス型)

p1

x1

x2

Ou(x) = u(x∗)

I

v(p, I) = u(x∗)

x∗1

x∗2

x∗1

p∗1

p∗1

x∗2

p2 ≡ 1

1

(∞,∞)

(各財が不可欠)

65

p1

x1

x2

Ou(x) = u(x∗)

I

v(p, I) = u(x∗)

x∗1

x∗2

x∗1

p∗1

p∗1

x∗2

p2 ≡ 1

1

x2

x2

(x2,∞)

x1

各財が不可欠でない場合 (e.g., 代替弾力性 > 1の場合のCES関数)

7

p1

x1

x2

Ou(x) = u(x∗)

I

v(p, I) = u(x∗)

x∗1

x∗2

p∗1

p∗1

p2 ≡ 1

x2

x2

x1

線形の場合（代替弾力性＝∞)

8

I

pi

v

O

9

e(p, u) ≡ minx≥0

p · x

s.t.. u(x) ≥ u

§C.5. 支出最小化問題

支出関数：最適解

h(p, u)補償需要関数：

(i) u� > u ⇒ e(p, u�) > e(p, u)

(ii) p� ≥ p ⇒ e(p�, u) ≥ e(p, u)

(iii) e(tp, u) = te(p, u) ∀t > 0

(iv) pの凹関数 (連続関数)

選好：合理的・連続・局所非飽和 ⇒

定理C.10 (支出関数の性質）･･･基本的に生産費用最小化問題と同じ

：強い不等号 ⇐ 局所非飽和性

10

定理C.11 (マッケンジーの補題）　　　　･･･消費者理論におけるシェパードの補題

hi(p, u) =∂e(p, u)

∂pi, i = 1, . . . ,m

定理C.12 (補償需要関数の性質）

(i) h(p, u) = h(tp, u) ⇒ Dph(p, u) · p = 0

(ii) Dph(p, u)：対称・半負値定符号行列

∂

∂pihi(p, u) ≤ 0 ∀i

∂

∂pihj(p, u) =

∂

∂pjhi(p, u) ∀i, j (i �= j)

dp · dh = dp ·Dph(p, u)dp ≤ 0 (補償需要の法則)

11

定理C.13 (補償需要関数の凸性）

選好関係：凸（効用関数：準凹）⇒ 　　　：凸h(p, u)

選好関係：強凸（効用関数：強準凹）⇒ 　　　：単一要素h(p, u)

12

効用最大化問題 双対問題x∗

u(x∗) ≡ v(p∗, I∗)

maxp>0

e(p, u∗)

s.t. p · x∗ ≤ e∗

支出最小化問題 双対問題

u(x∗) ≡ u∗

I∗ ≡ e(p∗, u∗)p∗x∗

x(p∗, I∗)

= h(p∗, u∗)

v(p∗, I∗) ≡ u∗

I∗ ≡ e∗

x∗

p∗

e(p∗, u∗) ≡ e∗

e(p∗, u∗) ≡ minx≥0

p∗ · x

s.t. u(x) ≥ u∗

v(p∗, I∗) ≡ maxx≥0

u(x)

s.t. p∗ · x ≤ I∗

minp>0

v(p, I∗)

s.t.p · x∗ ≤ I∗p∗

13

§C.6. ロワの恒等式

定理C.15 (ロワの恒等式）

効用関数：連続＋強準凹間接効用関数：微分可能

u∗ ≡ v(p, e(p, u∗))

xi(p∗, I∗) ≡ h(p∗, u∗) ≡ ∂e(p∗, u∗)

∂pi= −

∂v(p∗,I∗)∂pi

∂v(p∗,I∗)∂I

証明：

} ⇒ xi(p, I) = −v�pi

(p, I)

v�I(p, I)

マッケンジーの補題

⇒ 0 =∂v(p∗, I∗)

∂pi+

∂v(p∗, i∗)

∂I

∂e(p, u∗)

∂pi

14

v(p, I) ≡ u(x(p, I))

∂u(x)

∂xj= λ∗pj

∂v(p, I)

∂pi=

m�

j=1

∂u(x∗)

∂xj

∂xj(p, I)

∂pi

∂v(p, I)

∂I=

m�

j=1

∂u(x)

∂xj

∂xj(p, I)

∂I

∂v(p, I)

∂pi= λ∗

m�

j=1

pj∂xj(p, I)

∂pi

∂v(p, I)

∂I= λ∗

m�

j=1

pj∂xj(p, I)

∂I

15

p · x(p, I) = I

xi(p, I) +m�

j=1

pj∂xj(p, I)

∂pi= 0

∂v(p, I)

∂pi= −λ∗xi(p, I)

m�

j=1

pj∂xj(p, I)

∂I= 1

∂v(p, I)

∂I= λ∗

xi(p, I) = −v�pi

(p, I)

v�I(p, I)

16

定義C.21 (需要の所得効果）

所得 ⤴ →需要 ⤴：正常財需要 ⤵：下級財{

x2

I**p2

I*p2

I**p1

I*p1

x1

x2

I**p2

I*p2

I**p1

I*p1

x1

定義C.22 (所得消費曲線）

財1は I*～I** 間で下級財

§C.7. 所得・価格変化と需要量

17

θi ≡pixi

Im�

i=1

θiηiI = 1

m�

i=1

pixi(p, I) = I

m�

i=1

pixi

I

∂xi(p, I)

∂I

I

xi= 1

ηiI ≡ ∂xi(p, I)

∂I

I

xi(p, I)

定義C.23 (需要の所得弾力性）

定理C.16 (平均所得弾力性）

証明：

I で割る

18

定義C.24 (必需財と贅沢財）

ηiI

�> 1< 1

�⇒ pi

∂xi(p, I)

∂I

�><

�θi

ηiI > 1

ηiI < 1

：贅沢財 - luxury good

：必需財 - necessary good

19

∂hi(p, u)

∂pj=

∂xi(p, I)

∂pj+

∂xi(p, I)

∂Ixj(p, I)

∂xi(p, I)

∂pj=

∂hi(p, u)

∂pj− ∂xi(p, I)

∂Ixj(p, I)

hi(p, u) ≡ xi(p, e(p, u))

定理C.17 (スルツキー方程式)

マッケンジーの補題

S(p, I) =

s11(p, I) · · · s1m(p, I)

.... . .

...sm1(p, I) · · · smm(p, I)

sij(p, I) =∂xi(p, I)

∂pj+

∂xi(p, I)

∂Ixj(p, I)

スルツキー(代替)行列：

20

x2

x1

u(x) = u*

u(x) = u**

p1*

p2*p1**

p2*

x* x**

x***

代替効果所得効果

21

定義C.25 (ギッフェン財）

価格 ⤴ → 需要 ⤴：ギッフェン財

正常財 ⇒

∂hi(p, I)

∂pi≤ 0全ての財：

}下級財 ⇒

∂xi(p, I)

∂I< 0

∂xi(p, I)

∂I> 0

∂xi(p, I)

∂pi< 0

}

∂xi(p, I)

∂pj=

∂hi(p, u)

∂pj− ∂xi(p, I)

∂Ixj(p, I)

所得効果大：∂xi(p, I)

∂pi> 0

所得効果小： ∂xi(p, I)

∂pi< 0

財1は と　の間でギッフェン財

22

x2

x1

x2

x1

Ip2

Ip1*

Ip1

Ip2

Ip1*

Ip1

定義C.26 (価格消費曲線）p1 p∗1

23

§C.8. 顕示選好理論

選好の一貫性を満たす組み合わせに注目

選好関係：観察不可能

選好関係の合理性を仮定

消費者の理論

効用関数

選好関係の連続性＋

市場価格・需要： 観察可能

顕示選好理論 これまでの理論構築

乖離

�⇒⇐

24

定義C.28 (顕示選好の弱公準(WA) - Weak Axiom of Revealed Preference）

∀(p, I), (p�, I �) > 0p · x(p�, I �) ≤ Ix(p�, I �) �= x(p, I)

�⇒ p� · x(p, I) > I �

x1

x2

··

p · x = I

p� · x = I �

x(p, I)

x(p�, I �)

x1

x2

··x(p, I)

x(p�, I �)

観察された価格・所得ペアと需要行動：�

(p, I) → x(p, I)(p�, I �) → x(p�, I �)

：購入不可能

：購入可能だが選択されない

25

x1

x2

· ·p · x = I

p� · x = I �

x(p, I)x(p�, I �)

x1

x2

·

·p · x = I

p� · x = I �

x(p, I)

x(p�, I �)

x1

x2

··

p · x = I

p� · x = I �x(p, I) x(p�, I �)

WAを満たす需要行動

26

x1

x2

· ·

p · x = I

p� · x = I �x(p, I)

x1

x2

··p · x = I

p� · x = I �

x(p�, I �)

x(p�, I �) x(p, I)

WAを満たさない需要行動

多数の需要パターン → 無差別曲線の近似

27

定理C.19 (WAの必要十分条件)

予算制約が等号で成立： p · x = I

(p, I) → (p�, I �) = (p�, p� · x(p, I))

x(p, I)の購入を補償した任意の価格・所得変化：

(p� − p) · [x(p�, I �)− x(p, I)] ≤ 0

に対して補償需要の法則が成立：

WA ⟺

需要関数が0次同次： x(p, I) = x(tp, tI) ∀t > 0{

x(p�, I �) �= x(p, I)ならば強い不等号

28

(必要性) WA ⇒ 補償需要の法則：

WA：

x(p, I) �= x(p�, I �)

p� · x(p, I) ≤ I � p · x(p�, I �) > I

と仮定する。I � = p� · x(p, I)所得補償：

p� · [x(p�, I �)− x(p, I)] = 0

p · [x(p�, I �)− x(p, I)] > 0

(p� − p) · [x(p�, I �)− x(p, I)] < 0

∵所得補償

∵ WA

辺々引く

⇒

29

(十分性) 補償需要の法則 ⇒ WA：

WA が成立しないとする： p · x(p�, I �) ≤ I

p� · [x(p�, I �)− x(p, I)] = 0所得補償：

⇒ p · x(p�, I �)− p · x(p, I)� �� �=I

≤ 0

(p� − p) · [x(p�, I �)− x(p, I)] ≥ 0

：補償需要の法則に矛盾

30

定理C.20 (WAとスルツキー行列)

微分可能バージョン：

予算制約が等号で成立： p · x = I

需要関数が微分可能＋0次同次： x(p, I) = x(tp, tI) ∀t > 0

WA： p� · x(p, I) ≤ I �

：半負値定符号(←支出関数の凹性)⇒ S(p, I)

dx = Dpx(p, I)dp+DIx(p, I)dI

= Dpx(p, I) +DIx(p, I)[x(p, I) · dp] [∵ dI = x(p, I) · dp]=

�Dpx(p, I) +DIx(p, I)x(p, I)

T�dp

= S(p, I)dp

dp · dx = dp · S(p, I)dp ≤ 0

所得補償

[∵定理C.19]

半負値定符号

31

定理C.21 (スルツキー行列の性質)

S(p, I) ：負値定符号ではない

dp = tp (t > 0)

dI = tI

B((1 + t)p, (1 + t)I) = B(p, I)

x((1 + t)p, (1 + t)I) = x(p, I)

dx = 0

：所得補償

：予算集合の0次同次性：需要関数の0次同次性

∴ S(p, I)p = 0

�S(p, I)p = 0p · S(p, I) = 0

S(p, I)p = 0 :

証明：

32

p · x = I

m�

i=1

pi∂xi(p, I)

∂pj+ xj(p, I) = 0

p ·Dpx(p, I) + x(p, I)T = 0T

m�

i=1

pi∂xi(p, I)

∂I= 1

予算制約の等号成立：

辺々pjで微分 辺々 I で微分

p ·DIx(p, I) = 1

s(p, I) = Dpx(p, I) +DIx(p, I)x(p, I)T

p · s(p, I) = p ·Dpx(p, I)� �� �=x(p,I)T

+ p ·DIx(p, I)� �� �=1

x(p, I)T

= 0

p · S(p, I) = 0 :

33

定理C.22 (WAの必要十分条件)

予算制約が等号で成立：

需要関数が微分可能＋0次同次：{∀p, I > 0

v · S(p, I)v < 0 ∀v �= tp ∀t > 0WA ⇔

34

ヒックスとスルツキーの意味での所得補償とスルツキー行列

価格変化：

∆IS = p� · x(p, I)− I

p → p�

スルツキーの所得補償(初期の需要水準を補償)：

ヒックスの所得補償(初期の効用水準を保証)：

∆IH = e(p�, u)− I

∆IS −∆IH = p · x(p, I)− e(p�, u) ≥ 0

∴ ∆IH ≤ ∆IH

35

dp = p� − p価格の微小変化：

Dpe(p, u) = h(p, u) = x(p, I)

e(p�, u) = Dpe(p, u) · dp+ e(p, u)

= h(p, u) · dp+ p · h(p, u)= (dp+ p) · h(p, u)= p� · x(p, I)

I ≡ e(p, u)マッケンジーの補題

ヒックスの所得補償：

：スルツキーの所得補償

∴ ∆IH = ∆IH

36

x2

x1

スルツキーの意味での補償ヒックスの意味での補償

B ( p , I )

x(p, I)u(x) = u

B(p', I )

p1 ' /p2'

!

!!

! !

!

37

p0 = (2, 2, 2)p1 = (1, 3, 2)p2 = (2, 1.5, 5)

WAは需要行動の非対称性に関する一貫性の仮定：

西村(1990, 例4.6)スルツキー行列の対称性

x0 = (4, 4, 4)x1 = (6, 2, 4)x2 = (8, 2, 3)

各需要行動ペア間の一貫性

選択肢が３つ以上の場合：非対称性 ⇏ 非循環性（i.e., 推移性)

38

p0 · x0 = p0 · x1 = 24

p1 · x0 = 24 > p1 · x1 = 20

：p0の下ではx0, x1とも購入可

p1 · x1 = p1 · x2 = 20

p2 · x1 = 35 > p2 · x2 = 34

p2 · x2 = p2 · x0 = 34

p0 · x2 = 26 > p0 · x0 = 24

：p1の下ではx0は購入不可

：p1の下ではx1, x2とも購入可：p2の下ではx1は購入不可

：p2の下ではx0, x2とも購入可：p0の下ではx2は購入不可

x0 � x1

x1 � x2

x2 � x0

}

}}

各ペア間の比較はWAと整合：

x0

x1x2

⇒ 需要関数 は顕示選好の強公準を満たすという。

任意数Nの価格・所得ペア：

39

定義C.29 (顕示選好の強公準(SA) - Strong Axiom of Revealed Preference）

x(p, I)

pi · x(pi+1, Ii+1) ≤ Ii ∀i ≤ N − 1 ⇒ pN · x(p1, I1) > IN

x(pi, Ii), i = 1, . . . , N

(pi, Ii), i = 1, . . . , N

需要：x(pi, Ii) �= x(pj , Ij) ∀i �= j{

x1 � x2 � · · · � xN �� x1※ SA：：循環の排除 → スルツキー行列の対称性

定理C.23 (SAと合理的選好関係)

需要関数　　　がSAに従う⇒ 対応する合理的選好関係が存在x(p, I)

40

§C.9. 消費者の集計

Gorman型効用関数

vi(p, Ii) = ai(p) + b(p)Ii

ロワの恒等式

消費者 i 固有

xji (p, Ii) = αj

i (p) + βj(p)Ii

αji (p) = −

∂ai(p)∂pj

b(p)

βj(p) = −∂b(p)∂pj

b(p)

41

v�p,�N

i=1Ii�=

N�

i=1

ai(p) + b(p)N�

i=1

Ii

需要関数の集計 → 「代表的個人の」需要関数：

消費者 1, . . . , NXj(p, I1, . . . , IN� �� �) =

N�

i=1

αji (p) + βj(p)

N�

i=1

Ii

ロワの恒等式

集計してもGorman型

42

定理C.24 (ホモセティック効用関数)

v(p, I) = V (p)I

ホモセティック効用関数 ⇒ 　　　　　間接効用関数はGorman型：

定理C.25 (ホモセティック効用関数と需要の法則)

個人の効用関数がホモセティック ⇒

(p� − p)�xi(p, I)− xi(p�, I)

�≤ 0 ∀p, p�, I > 0

xi(p, I) �= xi(p�, I) ⇒ “ > ”

個人の需要に関して需要法則の成立：

Mas-Colell, Whinston and Green (1995, Prop.4.C.2)

43

： 集計需要に関しても需要法則の成立

集計需要関数もホモセティック

(p� − p) [x(p, I)− x(p�, I)] ≤ 0 ∀p, p�, I > 0

個人の効用関数がホモセティック ⇒

x(p, I) ≡�

i

xi(p, I)

44

準線形効用関数 - quasi-linear utility function

U(x0, x1, . . . , xk) = x0 + u(x1, . . . , xk)

maxx0,x1

x0 + u(x1)

s.t. x0 + p1x1 = I

maxx1

u(x1) + I − p1x1

∂

∂x1u(x∗

1) = p1

∂2

∂x21

u(x∗1) ≤ 0

v(p1, I) = u(x1(p1)) + I − p1x1(p1) = V (p1) + I

k = 1

→ x1(p1)

：内点解(uは凹関数)

45

u(x1)

Ix1 *x0 ,x1

x0

I - x0*

p1 = 1

∂u(x∗1)

∂x1= 1

∂u(x)

∂x1> 1

∂u(x)

∂x1< 1

とする

>> >>