Colegio Adventista Porvenir Departamento de Ciencias Sub-Sector Física Profesora Mariela Reyes L. Portada

Colegio Adventista Porvenir

Departamento de Ciencias

Sub-Sector Física

Profesora Mariela Reyes L.

Portada

Introducción a la Teoría Especial de la RelatividadProfesora Mariela Reyes

INTRODUCCION

La Teoría Especial de la Relatividad aparece en el año 1905 cuando un joven empleado de la oficina de patentes de Berna, con estudios de física del Instituto Politécnico de Zürich, envía un corto artículo a la revista de divulgación científica “Anales de la Física”. En ese artículo este joven de apenas 26 años resumía lo que sería el descubrimiento más importante del siglo XX, en una forma sencilla y clara establecía principios y predecía resultados insospechados para la época. El artículo titulado “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento” es breve pero explica claramente las bases que echarían por tierra años de Teorías fallidas y experimentos que no se correspondían con las predicciones hechas por los científicos clásicos.

El estudio de la Teoría Especial de la Relatividad es tanto romántico como interesante científicamente hablando ya que Einstein tiene todos los rasgos del “genio incomprendido” que inició la revolución científica más importantes de los últimos tiempos, que finalizaría con la Teoría Cuantica y una generación de físicos brillantes y deseosos de entender hasta el último detalle de este mundo que nos rodea.

Introducción

GALILEO Y NEWTON, LOS PADRES DE LA FÍSICA

Hasta el siglo XVI no se conocían leyes claras que predijeran y gobernaran el movimiento de los cuerpos. Pero Galileo Galilei (1564-1642) comenzó a hacer experimentos con cuerpos que caen y descubrió que existían regularidades matemáticas, así creó la cinemática, rama de la mecánica que describe el movimiento de los cuerpos. La cinemática se encarga de predecir cuánto de moverá un cuerpo, a que velocidad y que características tendrá ese movimiento, es decir, estudia “cómo se mueven los cuerpos”. Pero no teniamos claro el por qué de ese movimiento. Esto cambió cuando apareció Isaac Newton (1642-1727 ) quién estableció las bases de la dinámica, rama de la mecánica que estudia las interacciones entre los cuerpos. Esta rama se preocupa del por qué del movimiento de los cuerpos, de las fuerzas que actúan entre ellos.

Con el tiempo fueron surgiendo nuevas ideas sobre diversas áreas (óptica, electricidad, magnetismo, astronomía) que dieron forma a lo que hoy conocemos como física.

Hasta finales del siglo XIX se aceptaban casi como un dogma los postulados de Galileo y de Newton y formaban la física clásica pero surgió una complicación. Maxwell había dado forma matemática a los que sería el electromagnetismo y descubrió que debía existir una velocidad límite en la naturaleza y esa velocidad es la velocidad de la luz “c”. (aprox. 299.793 Km/seg). Esto contradecía la idea Newtoniana de la velocidad instantánea de la luz e intruducía un problema en su física.


Galileo y Newton

EL PROBLEMA DE NEWTON

Hacia 1900, los físicos trataron de unificar los diferentes campos que componían esta ciencia. Intentaban mostrar que los fenómenos térmicos podían tener una interpretación mecánica, Maxwell mostró que la electricidad, el magnetismo y la óptica eran aspectos diferentes de la Teoría electromagnética.

Se afirmaba que toda la física estaba comprendida dentro de las dos grandes teorías: mecánica y electromagnética.

Pero había una dificultad: ambas teorías eran fundamentalmente incompatibles. Por ejemplo, la velocidad de la luz (fenómeno electromagnético) no se sumaba como la velocidad de las partículas (fenómeno mecánico) como lo estudiaremos más adelante.

Einstein, profundizando los conceptos de espacio y tiempo, redujo estas incompatibilidades aparentes entre la mecánica y el electromagnetismo y formuló su teoría de la relatividad.

La teoría de la relatividad especial o restringida se dedica al estudio de las observaciones realizadas desde sistemas de referencia que se mueven los unos con respecto a los otros con velocidad constante.

La teoría de la relatividad general incluye sistemas de referencia acelerados.

En este curso sólo se estudiará la teoría de la relatividad especial.


El Problema de Newton


TRANSFORMACIONES DE GALILEO

Para comenzar definiremos algunos conceptos fundamentales:

Sistema de referencia inercial: Es un sistema donde se cumple el 1° Principio de Newton (Inercia). En este sistema actúa una fuerza neta de valor 0. Se entienden generalmente como Sistemas que se mueven en línea recta con velocidad constante o que se encuentran en reposo. Newton entendió como “Sistema inercial” un sistema fijo con respecto a las estrellas.

Evento: Hecho que sucede en un punto del espacio y en un instante del tiempo, se especifica mediante cuatro dimensiones (espacio-tiempo). Por ejemplo un evento en un sistema particular de referencia podría tener las coordenadas de posición (x, y, z, t) dadas por cuatro números (a, b, c, t) y estos números especificarían este evento en ese sistema de referencia. El mismo evento, visto desde otro sistema, podría tener coordenadas distintas.

A partir de ahora, y para las deducciones posteriores, se considerarán todos nuestros sistemas de referencia inerciales.

Transformaciones de Galileo

y` y S` S

· At = t`= 0 O` x` O x


TRANSFORMACIONES DE GALILEO

En un sistema de referencia S, un evento A tiene coordenadas x, y, z en el tiempo t. Un observador situado en otro sistema S`, que se mueve con velocidad constante v en la dirección x, encontrará que el mismo suceso ocurre en el tiempo t` y que tiene coordenadas x`, y`, z`. Se quiere saber cómo están relacionadas las medidas x, y, z y t, con las x`, y`, z` y t`.

Si los tiempos se miden en los dos sistemas, de modo que t = t`= 0, cuando los orígenes de O y O` coincidan, la figura 1 indica:

y` y S` S t = t`= 0 O` x` O x

x`vt

x

v

Figura 1

Transformaciones de Galileo x`= x – vt

y`= y

z`= z

t`= t

Transformaciones de Galileo


TRANSFORMACIONES DE GALILEO: Velocidad

Si A se mueve durante un t, el incremento de las abscisas es: x`= x – v t y dividiendo por t, se tiene:

Y si t tiende a cero, se obtiene la relación entre las velocidades en la dirección x,

EJEMPLOS

1.- Un pasajero camina hacia delante a una velocidad de 3.52 (Km/h) en el pasillo de un tren, mientras que éste se desplaza en línea recta a la velocidad constante de 92 (Km/h) con respecto a la Tierra. ¿Cuál es la velocidad de pasajero con respecto a la Tierra?

Supongamos que el tren sea el sistema S` de modo que vx` = 3.52 (Km/h). El sistema S` se mueve hacia adelante con respecto a tierra (sistema S) a la velocidad v = 92 (Km/h). Luego, la velocidad del pasajero con respecto a tierra es:

vx = vx` + v = 3.52 (Km/h) + 92 (Km/h) = 95.52 (Km/h)

t

tv

t

x

t

x

`

vvv xx `

Transformaciones de Galileo (velocidad)


TRANSFORMACIONES DE GALILEO: Velocidad

Problemas (10 min.)

1.- Un hombre descansa en la estación del Metro mientras ve venir un carro a velocidad constante 10 (m/s). En el mismo instante ve como un niño lanza a rodar por el vagón del Metro una pelota. Al medir la velocidad de la pelota (El hombre en la estación del metro) encuentra que es de 9 (m/s). ¿Cuál es la velocidad de la pelota medida desde Tierra y en que sentido fue lanzada?

2.- Un conductor maneja su auto de noche por una carretera solitaria. El conductor viaja a 103 (Km/h) con velocidad constante. De pronto ve venir un auto rojo en sentido contrario a una velocidad de 197 (Km/h). ¿Cuál es la velocidad del auto rojo medida desde Tierra?

LAS TRANSFORMACIONES DE GALILEO FALLAN

A fines del siglo XIX se comenzaron a hacer experimentos para aplicar las transformaciones de Galileo a altas velocidades (con partículas elementales y con un haz de luz) y los experimentos no se correspondían con las predicciones hechas por Galileo. Lo que quería decir que sus transformaciones no eran correctas.


EXPERIMENTO DE MICHELSON Y MORLEY

La Tierra viaja alrededor del Sol en una órbita casi circular con una velocidad v de 30 (Km/s), aproximadamente.

En el siglo XIX los físicos no podían explicar que las ondas electromagnéticas se propagaran por el vacío, y para explicar esto crearon el éter, sustancia que llenaba todo el espacio y que tenía propiedades tan contradictorias como ser permeable a cualquier cuerpo pero lo suficientemente estable para sostener las ondas electromagnéticas. Si bien suena descabellado no había otra explicación para este fenómeno.

Si suponemos que el éter, medio en el cuál la luz se propaga con velocidad c = 300000 (Km/s), está en reposo en el universo, la luz debería tener una velocidad, con respecto a la Tierra, comprendida entre c – v y c + v según la dirección de propagación de la luz y aplicando las ecuaciones de transformación de Galileo.

Para comprobar este hecho, en 1887, Michelson y Morley realizaron su famoso experimento.

Su objetivo era medir la velocidad de la luz con respecto a la Tierra en dos direcciones perpendiculares de propagación o, lo que es equivalente, medir el tiempo de recorrido de la luz en las dos direcciones anotadas y compararlas.

Michelson - Morley



Como los tiempos que se iban a medir eran muy poco diferentes, Michelson construyó un aparato llamado interferómetro que utiliza el principio de interferencia:

F

SL

L

La luz de la fuente F incide sobre la lamina semiplateada S que divide al haz en dos partes iguales que se dirigen hacia los espejos M y N situados a una distancia L (Figura 2).

a) Haz 1, en la dirección de la velocidad v de la Tierra con respecto al Sol. Cuando el haz se dirige hacia M, su velocidad es c – v, mientras que es c + v en el regreso. Por tanto, el tiempo transcurrido es:

M

N

Figura 2

v

2

2221

1

22

cv

c

L

vc

Lc

vc

L

vc

Lt

Michelson - Morley



b) Haz 2, en la dirección perpendicular a v. Cuando la luz de dirige de S a N y regresa a S`, el interferómetro avanza de S a S` con velocidad v (Figura 3). Por Pitágoras, en el triángulo SNH, se tiene:

S

F

S`L

N

H

22tv

22tv

22tc

22tc

22

222

22

22L

tv

tc

2

22

1

2

cv

c

Lt

2

21

1

2

cv

c

Lty recordemos

que:

Se nota que los tiempos t1 y t2 son diferentes y, por tanto, cuando se encuentren los dos haces de luz estarán desfasados y producirán una figura de interferencia que será diferente a la figura que producirían si estuvieran en fase.

El experimento mostró que los dos tiempo son iguales. Se realizó en distintas condiciones y siempre dio resultados negativos.

Michelson - Morley

Figura 3



Se concluye por tanto:

1.- La velocidad de la Tierra con respecto al éter es v = 0, o sea podemos interpretar este hecho como la no existencia del éter, es decir que no existe un sistema de referencia en reposo con respecto al cual todos los demás están en movimiento relativo.

2.- La medida de la velocidad de la luz en el vacío es la misma para todas las direcciones en cualquier sistema inercial, e independiente del movimiento de la fuente y el observador.

Cabe destacar que a pesar de que Michelson y Morley realizaron esta experiencia en 1887, Albert Einstein no conoció los detalles de este experimento. Solo había oído hablar del resultado de este. Lo que da pie para pensar que Einstein construyó la relatividad sin conocer su base experimental lo que representa otra razón para maravillarse con su genio.

Michelson - Morley


POSTULADOS DE LA RELATIVIDAD

De las conclusiones anteriores, ausencia de un sistema de referencia y la constancia de la velocidad de la luz, nació la teoría de la relatividad especial. Einstein generalizó estas ideas y formuló los dos postulados siguientes, base de la teoría de la relatividad:

a. Principio de la Relatividad: Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas inerciales. No hay sistema inercial preferido. Este postulado, enunciado por Galileo para la mecánica, Einstein lo amplia a toda la física. El postulado establece que es imposible determinar por medidas físicas si un sistema de coordenadas está en reposo o posee un movimiento uniforme; lo único que se sabe es que el uno se mueve con respecto al otro. Las medidas dentro de un sistema no permitirán distinguirlo de otro sistema en movimiento uniforme con él. Todas las leyes de física se expresarán de manera idéntica en todos los sistemas con movimiento uniforme.

b. Principio de la constancia de la velocidad de la luz: La velocidad de la luz en el vacío tiene el mismo valor c en todos los sistemas inerciales.

Como se verá, estos postulados alteran todos nuestros conceptos de espacio y tiempo que nos hemos formado de la experiencia cotidiana. También indican que las transformaciones de Galileo no pueden ser correctas.

Postulados de la Relatividad

Consecuencias Físicas de la Relatividad


CONSECUENCIAS DE LA TEORIA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD

Las características más notables de la Teoría Especial de la Relatividad son éstas: (A) Al medir las longitudes perpendiculares al movimiento relativo, se encuentra que son iguales en ambos sistemas; (B) el intervalo de tiempo indicado en un reloj lo encuentra más largo un observador para quien el reloj está moviéndose que otro que está en reposo respecto al reloj; y (C) las longitudes paralelas al movimiento relativo le parecen contraídas en comparación con las longitudes en reposo al observador para quien los cuerpos medidos están en movimiento.

(A) Comparación de las longitudes perpendiculares al movimiento relativo. Imaginemos dos sistemas cuyo movimiento relativo es v a lo largo de un eje común x-x`. En cada sistema un observador tiene una vara orientada hacia arriba desde el origen y a lo largo de su eje vertical (y e y`), la que, al medirla resulta de una longitud (en reposo), pongamos por caso, de exactamente un metro. Cuando estos observadores se aproximan y se cruzan deseamos determinar si en el momento que los orígenes coinciden los extremos superiores de las varillas coinciden también, para esto pondremos algún indicador (una navaja o una brocha) en la punta de ambas varilla, así si un observador ve que la otra varilla dejó una marca en la suya determinaría que la otra varilla es más corta.

Este resultado es imposible debido al Principio de Relatividad pues si ambos observadores (simétricos) que ven venir a la otra varilla a la misma velocidad encuentran este resultado, es un resultado absoluto (asimétrico) y permitiría preferir un sistema de referencia al otro lo que se contradice con el Principio de la Relatividad.



(B) Dilatación del tiempo. Se consideran dos observadores S y S`, de modo que S` se mueve con respecto a S con velocidad v y desea comparar los intervalos de tiempo medidos por sus relojes. Para esto se efectúa el siguiente experimento: S` está dentro de un tren con velocidad v, en cuyo techo hay un espejo E y S está sobre la tierra, fuera del tren (Figura 4). En un momento dado, S` manda una señal luminosa que se dirige hacia el espejo, se refleja y regresa hacia S`, quien registra un intervalo de tiempo T0 entre la emisión y la recepción de la señal que es:

Figura 4

E

c

LT

20

Donde c es la velocidad de la luz para cualquier observador.Nótese que la recepción y la emisión de la señal se

hicieron en el mismo lugar del sistema de referencia S` y que el tiempo medido en estas condiciones es lo que se denomina tiempo propio T0.

Dilatación del Tiempo (1)


2

Tc



Consideremos ahora el mismo experimento, pero en este caso visto por S, en su sistema de referencia. Mientras la luz parte de A viaja hacia el techo del tren móvil y recorre una distancia cT/2, el tren avanza una distancia vT/2 (Figura 5).

La luz se refleja y regresa hasta B después de un tiempo total T medido por S.

2

Tv

2

Tc

Por Pitágoras se tiene:

Y se deduce que T es:

22

222

22

22L

tv

tc

2

Tv

Figura 5

2

2

1

2

cv

c

LT



La emisión y la recepción de la señal luminosa se hicieron en dos lugares diferentes (A y B) del sistema de referencia S.

El tiempo medido en estas condiciones se denomina tiempo impropio T y se relaciona con el tiempo propio por medio de la ecuación:

Este resultado notable de la relatividad indica que:

El intervalo de tiempo T medido en dos lugares distintos por un observador en movimiento es mayor que el intervalo de tiempo T0 (tiempo propio) medido por otro observador en el mismo lugar de su sistema de referencia. Este efecto se denomina dilatación del tiempo.

Si nos ubicamos en la posición de S` y suponemos que la señal se lanza en el sistema S obtendremos los mismos resultados pero para S.

Esta relatividad del tiempo se ha comprobado experimentalmente por la observación de partículas que se producen en la alta atmósfera.

2

2

0

1cv

TT




(C) Contracción de las distancia paralelas al movimiento relativo. Consideremos un avión que viaja con velocidad v entre las ciudades A y B, separadas una distancia L para él (Figura 6). En su sistema de referencia, el avión recorre la distancia L en un tiempo T0.

Este tiempo es propio para el astronauta porque lleva el reloj con él y mide los dos sucesos (el paso por A y B) en el mismo lugar de su sistema (el avión).

Para un observador sobre la Tierra, él mide primero el paso del avión por A y después por B; por tanto, mide un tiempo impropio T. Mide también la distancia L0 entre las dos ciudades, distancia en reposo con respecto a su sistema lo que llamamos “distancia propio”.

220

0

220

22

0

0

/1

/1

1

que deduce se/1

Como

cvLL

L

L

cvT

T

cv

TT

v

LT

v

LT 0

A BL0

L

(Para el avión)

(Para la tierra)

Vemos que la distancia L, medida por un observador en movimiento paralelo a su longitud, es menor comparada con su longitud propia medida en un sistema donde está en reposo.

Contracción de las distancias

Figura 6

Resumen



Estos tres efectos de la relatividad (longitud en movimiento perpendicular, dilatación del tiempo, longitud en movimiento paralelo) son quizás los más importantes de considerar a la hora de hace un análisis de la Teoría que revolucionó la Física.

Pero me gustaría mencionar también el hecho de la simultaneidad. Albert Einstein cambió este concepto que desde los tiempo de Newton se consideraba un concepto absoluto.

La simultaneidad se da cuando dos sucesos ocupan la misma línea del tiempo. Para ejemplificarlo un poco mejor cuando digo que “el tren llegará a las ocho” lo que quiero decir en realidad es “la llegada del tren y las manecillas de mi reloj apuntando las ocho son eventos simultáneos.

Con las ecuaciones descubiertas anteriormente es muy sencillo demostrar que un suceso que es simultaneo en un sistema de referencia no lo es necesariamente en otro, Es decir que si dos personas en un vagón de tren sincronizan sus relojes. Un observador que observa desde el anden verá que esos relojes (sincronizados en el sistema arriba del tren) no se encuentra sincronizados si los observamos desde Tierra.


TRANSFORMACIONES DE LORENTZ

Las consideraciones de la dilatación del tiempo y de la contracción de las distancias permitirán obtener fácilmente las Transformaciones de Lorentz, pero no lo haremos aquí. Solo las mencionaremos para comprender la base matemática utilizada para deducir otras ecuaciones relativistas.

Lorentz descubrió estas ecuaciones mucho antes de que Einstein siquiera imaginara como resolver los enigmas de la relatividad, pero Lorentz no supo interpretar bien las ecuaciones, predijo resultados que se contradecían con los experimentos y no fue reconocido hasta que Einstein redescubrió estas ecuaciones (sin conocer antes las de Lorentz) y las interpretó de manera que predijeran los resultados experimentales. El sistema de ecuaciones lleva el nombre de Lorentz porque él fue quien las descubrió por primera vez.

Ecuaciones de Transformación de Lorentz

22 /1`

cv

vtxx

22

2

/1

`)/(`

cv

xcvtt

22 /1`

cv

vtxx

yy `

zz ` `zz

`yy

22

2

/1

)/(`

cv

xcvtt

Transformaciones de Lorentz (Teoría)

Suma de Velocidades


SUMA DE VELOCIDADES

Utilizando todas las ecuaciones deducidas anteriormente Einstein llegó a la ecuación que se utilizaría desde Einstein en adelante para la suma de velocidades en movimiento relativo.

El punto es que esta ecuación no debe contradecir las transformaciones de Galileo (a bajas velocidades) ni tampoco debe dar valores más elevados que la velocidad de la luz (límite de interacción en la naturaleza).

La ecuación descubierta por Einstein es:

2

`

1cuVuV

Vx

xx

Donde:Vx` = Velocidad del Sistema en movimiento.

Vx = Velocidad respecto del sistema en reposo.

u = Velocidad dentro del Sistema en movimiento.

c = Velocidad de la luz.

21

`

cuVuV

Vx

xx

Documents

Colegio Adventista Porvenir Departamento de Ciencias Sub-Sector Física Profesora Mariela Reyes L. Portada