Coleção de números = estatísticas Estatística: …...33 Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística Estatística x Probabilidade Faces Probabilidades

11

Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

Coleção de números = estatísticasColeção de números = estatísticas

� O número de carros vendidos no país

aumentou em 30%.

� A taxa de desemprego atinge, este mês,

7,5%.

� As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje.

� Resultados do Carnaval no trânsito: 145

mortos, 2430 feridos.


Estatística: Estatística: uma definição

A ciência de coletar, organizar,

apresentar, analisar e interpretar dados

com o objetivo de tomar melhores

decisões.


Estatística (divisão)

Descritiva

Indutiva

Os procedimentos usadospara organizar, resumir eapresentar dados.

A coleção de métodos etécnicas utilizados para estudaruma população baseado emamostras probabilísticas destapopulação.


População

Uma coleção de todos os

possíveis elementos, objetos ou

medidas de interesse.

22


Censo

Um levantamento efetuado sobre

toda uma população é denominado de

levantamento censitário ou

simplesmente censo.


Amostra

Uma porção ou parte de

uma população de interesse.


Amostragem

O processo de escolha de uma

amostra da população é denominado

de amostragem.


PROBABILIDADE(Matemática) Univariada

ESTATÍSTICA(Matemática

Aplicada)Multivariada

Trabalha com uma

única característica

dos dados

Trabalha com duas ou

mais características

dos dados


POPULAÇÃO(Censo)

AMOSTRA(Amostragem)

InferênciaErro

PROBABILIDADE


Estatística Descritiva

Probabilidade

Estatística Indutiva

Amostragem

33


Estatística x Probabilidade

Faces Probabilidades Faces Freqüências

1 1/6 1 15

2 1/6 2 18

3 1/6 3 23

4 1/6 4 25

5 1/6 5 22

6 1/6 6 17

Total 1 Total 120


Arredondamento

Todo arredondamento é um erro.

O erro deve ser evitado ou então

minimizado.


Regra básica:

Arrendondar sempre para o mais

próximo.


É ímpar

É par

Aumenta

Não aumenta

Exemplos:

1,456 1,46 1,454 1,45

1,475 1,48

1,485 1,48


V

A

R

I

Á

V

E

I

S

QualitativasQualitativas

Quantitativas

OrdinalOrdinal

NominalNominal

DiscretaDiscreta

ContínuaContínua


NOMINAL

ORDINAL

SexoReligião

Estado civil Curso

Conceito

Grau de Instrução

Mês

Dia da semana

Variável Qualitativa

44


Variável Quantitativa

Número de faltas

Número de irmãos

Número de acertos

Altura

Área

Peso

Volume

CONTÍNUA

DISCRETA



Estatística Descritiva

Organização;

Resumo;

Apresentação.

Conjunto de dados:

�Amostra

ou

�População


Um conjunto de dados éresumido de acordo com as seguintescaracterísticas:

Tendência ou posição central

Dispersão ou variabilidade

Assimetria (distorção)

Achatamento ou curtose

Amostra ouPopulação


Tendência ou Posição Central

(a) As médias

Simples

Aritmética

Geométrica

Harmônica

Quadrática

Interna


A média Aritmética

n

xx

n

1

n

x...xxx i

in21 ∑

=∑=+++

=

55


A média Geométrica

ni

nn21g xx ... .x.xm ∏==


A média Harmônica

∑=

+++

=

=

+++

=

x

1n

x

1...

x

1

x

1n

nx

1...

x

1

x

11

m

in21

n21

h


A média Quadrática

n

x

n

x...xxm

2i

2n

22

21

q∑

=++

=


A média InternaA média Interna

É a mesma média aritmética só

que aplicada sobre o conjunto onde

uma parte dos dados (extremos) é

descartada.


Conjuntos mgmh

4 6 5 4,9 4,8

1 9 5 3 1,8

x

Médias

Exemplo


Relação entre as médias

Dado um conjunto de dados

qualquer, as médias aritmética,

geométrica e harmônica mantém a

seguinte relação:

mmx hg ≥≥

66



(a) As médias

Ponderadas

Aritmética

Geométrica

Harmônica

Quadrática


A média Aritmética Ponderada

∑

∑=

=+++

+++=

w

w.x

w...ww

w.x...w.xw.xm

i

ii

k21

kk2211ap


A média Geométrica Ponderada

∑

∑

∏=

==

w wi

w wk

w2

w1gp

i i

i k21

x

x ... .x.xm


A média Harmônica Ponderada

∑

∑=

=

+++

++=

x

ww

x

w...

x

w

x

wwww

m

i

i

i

k

k

2

2

1

1

k21h P


Produtos p01 p02 q

Carne 4,80 5,52 5

Cana 5,20 4,94 1

Ceva 0,80 0,92 12Pão 1,50 2,10 2

Total -- --

Exemplo


Produto p01 p02 α p(0,t)

1 4,80 5,52 0,57 1,15

2 5,20 4,94 0,13 0,95

3 0,80 0,92 0,23 1,15

4 1,50 2,10 0,07 1,40

Total -- -- 1,00 --

77


Solução

114,15%1,1415

07,023,013,057,0

07,0.40,123,0.15,113,0.95,057,0.15,1map

==

=+++

+++=

Média aritmética ponderada dos

relativos (aumentos) será:

Por este critério o aumento foi de

14,15%.Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

Média geométrica ponderada dos



13,73%.

%73,1131373,1

40,115,195,015,1

40,115,195,015,1m07,023,013,057,0

1 07,023,013,057,0gp

==

==

==


Média harmônica ponderada dos



13,32%.

%32,1131332,1

40,1

07,0

15,1

23,0

95,0

13,0

15,1

57,01

m h P

==

=

+++

=



(b) A mediana (median)

me = [x(n/2) + x(n/2)+1]/2 se “n” é par

É o valor que separa o conjunto emdois subconjuntos do mesmo tamanho.

me = x(n+1)/2 se “n” é ímpar



(b) Separatrizes

A idéia de repartir o conjunto de dados

pode ser levada adiante. Se ele for repartido

em 4 partes tem-se os QUARTIS, se em 10 os

DECIS e se em 100 os PERCENTIS.


Considere o seguinte conjunto:

1 -1 0 4 2 5 3

Como n = 7 (ímpar), então x(n+1)/2 = x4

Ordenando o conjunto, tem-se:

-1 0 1 2 4 3 5

Então: me = x4 = 2

Exemplo

88


Se o conjunto for:

1 -1 0 4 2 5 3 -2Tem-se: n = 8 (par)

Então me = [xn/2+xn/2+1)]/2 = (x4 + x5)/2

Ordenando o conjunto, tem-se:

-2 -1 0 1 2 3 4 5

me = (x4 + x5)/2 = (1 + 2)/2 = 1,50Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística


(c) A moda (mode)

É o(s) valor(es) do conjunto que

mais se repete(m).


Considere o conjunto

0 1 1 2 2 2 3 5

Então: mo = 2

Pois, o dois é o que mais se repete

(três vezes).

Exemplo 1


Considere o conjunto:

0 1 1 2 2 3 5

Então: mo = 1 e mo = 2

Conjunto bimodal

Exemplo 2



0 1 2 3 4 5 7

Este conjunto é amodal, pois

todos os valores apresentam a mesma

freqüência.

Exemplo 3


(a) A amplitude (h)

(b) O Desvio Médio (dma)

(c) A Variância (s2)

(d) O Desvio Padrão (s)

(e) A Variância Relativa (g2)

(f) O Coeficiente de Variação (s)

Dispersão ou VariabilidadeDispersão ou Variabilidade

99


h = xmáx - xmín

A Amplitude (range)


-2 -1 0 3 5

h = 5 – (-2) = 7


A média é:

15

5

5

53021x ==

+++−−=

O dma (average deviation)


-2 -1 0 3 5


Calculando os desvios: xxi −

Tem-se: d1 = -2 – 1 = -3

d2 = -1 – 1 = -2

d3 = 0 – 1 = -1

d4 = 3 – 1 = 2

d5 = 5 – 1 = 4Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

Como pode ser visto a soma éigual a zero. Tomando o módulo vem:

40,25

125

|4||2||1||2||3|n

|xx|dma i

==

=++++−+−+−

=

=∑ −

=


Se ao invés de tomar o módulo,elevarmos ao quadrado, tem-se:

80,65

34

5

1641495

42)1()2()3(

n

)xx(s

22222

i2

2

==++++

=

=++−+−+−

=

=∑ −

=

A variância (variance)


n

)xx(

n

)xx(....)xx()xx(s

i2

n2

22

12

2

∑ −=

=−++−+−

=

A variância de um conjunto dedados será:

xn

xs 2

2i2 −

∑=

1010


É a raiz quadrada da variância

xn

x

n

)xx(s 2

2ii

2

−∑

=∑ −

=

O Desvio Padrão (standard deviation)


Se extrairmos a raiz quadradateremos do resultado anteriorteremos:

61,280,6n

)xx(s i

2

==∑ −

=


A Variância Relativa

O Coeficiente de Variação

x

sg2

22

=

x

sg =


O coeficiente de variação do

exemplo anterior, será:

%77,2601

6077,2

x

sg ===


Organização;

Resumo;

Apresentação. Amostra

ou População

Grande Conjuntos de DadosGrande Conjuntos de Dados


1111


Ótimo Muito BomMuito Bom BomBom InsuficienteRegular ÓtimoInsuficiente BomMuito Bom Muito BomÓtimo RegularRegular BomBom Muito BomMuito Bom Insuficiente................... ....................

Conceitos da Escola Athira Karabina


Defeito Freqüência %Ótimo 71 14,20

Muito Bom 95 19,00

Bom 97 19,40

Regular 70 14,00

Insuficiente 83 16,60

TOTAL 500 100

Distribuição de freqüênciasDistribuição de freqüências


SIMPLES

ACUMULADAS

Absoluta

Relativa

Absoluta

Relativa

Apresentação

FREQÜÊNCIAS Percentual

Apresentação

Percentual

Decimal

Decimal

1212


Valores fi Fi fri fri Fri

0 60 60 0,30 30 30

1 50 110 0,25 25 55

2 40 150 0,20 20 75

3 30 180 0,15 15 90

4 10 190 0,05 5 95

5 6 196 0,03 3 98

6 4 200 0,02 2 100

TOTAL 200 — 1,00 100 —

Freqüências: representação



Defeitos em uma linha de produção

14%

20%

19%14%

17%

11%5%

Desenho

Esmalte

Lascado

Maior

Menor

Torto

Trincado



Número de irmãos dos alunos da turma

450 - Estatística - PUCRS - 2012/01

0 1 1 6 3 1 3 1 1 0

4 5 1 1 1 0 2 2 4 1

3 1 2 1 1 1 1 5 5 6

4 1 1 0 2 1 4 3 2 2

1 0 2 1 1 2 3 0 1 0


1313


Distribuição de freqüências por

ponto ou valores da variável:

“NúmeroNúmero dede irmãosirmãos dosdos alunosalunos dada

turmaturma 450450” da disciplina:

Probabilidade e Estatística PUCRS -

2012/01.


N0 de irmãos N0 de alunos0 71 212 83 54 45 36 2∑ 50


Diagrama de colunas simples da

variável: Número de irmãos dos

alunos da turma 450 Disciplina:

Estatística, PUCRS - 2012/01


0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6


1414


Neste caso, a média a dada por:

nx.f

f...ff

x.f...x.fxfx ii

k21

kk2211 ∑=

+++

+++=

A média AritméticaA média Aritmética


xi fi fixi0 7 01 21 212 8 163 5 154 4 165 3 156 2 12∑ 50 95

ExemploExemplo


A média será, então:

irmãos 90,150

95

nx.f x ii ==

∑=


Como n = 50 é par, tem-se:

irmão

2 me

xx

xxxx )/(/)/n(/n

1211

2

2

2625

1250250122

=+

=+

=

=+

=+

=++

A MedianaA Mediana


Total de Total de dados dados n = 50 n = 50 (par)(par)

xi fi Fi0 7 71 21 282 8 363 5 414 4 455 3 486 2 50∑∑∑∑ 50 —

Metade Metade dos dados dos dados n/2 = 25n/2 = 25

ExemploExemplo

1515


mo = valor(es) que mais se

repete(m)

A ModaA Moda


xi fi0 71 212 83 54 45 36 2∑ 50

A moda é A moda é igual aigual a1 (um)1 (um)

Pois ele se Pois ele se repete repete

mais vezesmais vezes

ExemploExemplo


h = xmáx - xmín

h = 6 - 0 = 6 irmãos

A AmplitudeA Amplitude


Neste caso, o dma será dado por:

n

|xx|.f

f...ff

|xx|f...|xx|f|xx|fdma

ii

k21

k21 k21

−∑=

=+++

−++−+−=

O Desvio Médio O Desvio Médio


xi fi fi|xi - | 0 7 7.|0 – 1,90| = 13,301 21 21.|1 – 1,90| = 18,90 2 8 8.|2 – 1,90| = 0,803 5 5.|3 – 1,90| = 5,504 4 4.|4 – 1,90| = 8,405 3 3.|5 – 1,90| = 9,30 6 2 2.|6 – 1,90| = 8,20∑∑∑∑ 50 64,40

x

ExemploExemplo

1616


O dma será, então:

irmãos 29,150

40,64

n

|xx|.f dma ii==

−∑=


xn

xfn

)xx(f

n

)xx(f....)xx(f)xx(fs

22ii

2i

2k

22

2

2

i

k211

−∑

=∑ −

=

=−++−+−

=

Neste caso, a variância será:

A Variância A Variância


xi fi fixi2

0 7 02.7 = 01 21 12.21 = 212 8 22.8 = 323 5 32.5 = 454 4 42.4 = 645 3 52.3 = 756 2 62.2 = 72∑∑∑∑ 50 299

ExemploExemplo


A variância será, então:

irmãos 3700,2

90,150

299 x

n

xfs

2

22

2

i2 i

=

=−=−∑

=


O desvio padrão será dado por:

irmãos 1,54 1,5395

3700,2xn

xfs 22ii

≅=

==−∑

=

O Desvio Padrão O Desvio Padrão


Dividindo a média pelo desviopadrão, tem-se o coeficiente de variação:

%03,8190,1

539480,1g ==


1717


Idade (em meses) dos

alunos da turma 450 da

disciplina: Probabilidade e

Estatística - PUCRS - 2012/01


276 245 345 240 270 310 368

334 268 288 336 299 236 239 355 330

287 344 300 244 303 248 251 265 246

240 320 308 299 312 324 289 320 264

252 298 315 255 274 264 263 230 303

369 247 266 275 281 230 234



Distribuição por classes ou

intervalos da variável “idade dos alunos

da turma 450” da disciplina:

Probabilidade e Estatística da PUCRS -

2012/01


Idades Número de alunos230 |--- 250 12250 |--- 270 9270 |--- 290 8290 |--- 310 7310 |--- 330 6330 |--- 350 5350 |--- 370 3

Total 50

1818


Histograma de freqüências da

variável “Idade dos alunos da turma

450” de Probabilidade e Estatística

da PUCRS - 2012/01


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

2 3 0 | - - - 2 50 2 50 |- - - 2 70 2 70 |- - - 2 9 0 2 9 0 |- - - 3 10 3 10 |- - - 3 3 0 3 3 0 |- - - 3 50 3 50 | - - - 3 70

fi / hi



Antes de apresentar as medidas,

i. é, representantes do conjunto, é

necessário estabelecer uma notação

para alguns elementos da

distribuição.


1919


xi = ponto médio da classe;

fi = freqüência simples da classe;

lii = limite inferior da classe;

lsi = limite superior da classe;

hi = amplitude da classe.


xi fi xi

230 |--- 250 12 240250 |--- 270 9 260270 |--- 290 8 280290 |--- 310 7 300310 |--- 330 6 320330 |--- 350 5 340350 |--- 370 3 360

∑ 50 —

O Ponto Médio da Classe O Ponto Médio da Classe


xi fi fi. xi

240 12 2880260 9 2340280 8 2240300 7 2100320 6 1920340 5 1700360 3 1080∑ 50 14260

A Média da Distribuição


A média será:

meses 20,28550

14260

nx.f x ii

==∑

=

ExemploExemplo


Neste caso, utilizam-se as

freqüências acumuladas para

identificar a classe mediana, i. é, a

que contém o(s) valor(es)

central(is).

A Mediana A Mediana

2020


Total de Total de dados dados n = 50 n = 50 (par)(par)

Metade Metade dos dados dos dados n/2 = 25n/2 = 25

xi fi Fi230 |--- 250 12 12250 |--- 270 9 21270 |--- 290 8 29290 |--- 310 7 36310 |--- 330 6 42330 |--- 350 5 47350 |--- 370 3 50

∑∑∑∑ 50 —

ExemploExemplo


Portanto, a classe mediana

é a terceira. Assim i = 3. A

mediana será obtida através da

seguinte expressão:


meses 2808

420 270

8

212

50

20702

8

212

50

20702 f

F2

n

hli mi

1i

iie

=+=

−

+=

=

−

+=

−

+=−


Neste caso é preciso

inicialmente apontar a classe

modal, i. é, a de maior freqüência.

Neste exemplo é a primeira com fi

= 12. Assim i = 1.

A Moda A Moda


Classe Classe modal, pois modal, pois

ffii = 12. = 12.

i xi fi1 230 |--- 250 122 250 |--- 270 93 270 |--- 290 84 290 |--- 310 75 310 |--- 330 66 330 |--- 350 57 350 |--- 370 3— ∑∑∑∑ 50

ExemploExemplo


Portanto a moda poderá

ser obtida através de uma

das seguintes expressões:

2121


Critério de King:

meses 250 9

9.20023

90

9.20302

ff

fhli m

1i 1i

1iiio

=

+=

=

++=

++=

− +

+


Critério de Czuber:

meses 246 16230

924

12.20023

)90(12.2

012.20302

)ff(f.2

ffhli m

1ii

i

1i

1iiio

=+=

=

−+=

=

+−

−+=

=

+−

−+=

− +

−


h = xmáx - xmín

h = 370 - 230 = 140 meses

A Amplitude A Amplitude


Neste caso, o dma será dado por:

n

|xx|.f

f...ff

|xx|f...|xx|f|xx|fdma

ii

k21

k21 k21

−∑=

=+++

−++−+−=

O Desvio Médio Absoluto O Desvio Médio Absoluto


xxi fi fi.|xi - | 240 12 12.|240 – 285,20| = 542,40260 9 9.|260 – 285,20| = 226,80 280 8 8.|280 – 285,20| = 41,60300 7 7.|300 – 285,20| = 103,60320 6 6.|320 – 285,20| = 208,80340 5 5.|340 – 285,20| = 274,00360 3 3.|360 – 285,20| = 224,40∑ 50 1621,60

ExemploExemplo

2222


O dma será, então:

meses 32,43

50

60,1621

n

|xx|.f dma ii

=

==−∑

=


xn

xfn

)xx(f

n

)xx(f....)xx(f)xx(fs

22ii

2i

2k

22

2

2

i

k211

−∑

=∑ −

=

=−++−+−

=

Neste caso, a variância será:

A Variância A Variância


xi fi fi. xi2

240 12 12.2402 = 691200 260 9 9.2462 = 608400280 8 8.2802 = 627200300 7 7.3002 = 630000320 6 6.3202 = 614400340 5 5.3402 = 578000360 3 3.3602 = 388800∑ 50 4 138 000

ExemploExemplo


A variância será, então:

meses 420,961

20,28550

4138000

xn

xfs

2

2

2

2

i2 i

=

=−=

=−∑

=


O desvio padrão será dado por:

meses 37,70 37,6956

96,1420xn

xfs 22ii

≅=

==−∑

=

O Desvio Padrão O Desvio Padrão


Dividindo a média pelo desvio

padrão, tem-se o coeficiente de

variação:

%22,1320,285

695623,37g ==


2323


SkewnessProf. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

Primeiro Coeficiente ( de Pearson)

a1 = (Média - Moda) / Desvio Padrão

Segundo Coeficiente ( de Pearson)

a2 = 3.(Média - Mediana) / Desvio Padrão


Coeficiente Quartílico

CQA =[(Q3 - Q2) - (Q2 - Q1)]/(Q3 - Q1)

Coeficiente do Momento

a3 = m3/s3, onde m3 = Σ(Σ(Σ(Σ(X - )3/nx


Coeficiente = 0Conjunto Simétrico

Provão 2000Curso: Odonto


Coeficiente < 0Conjunto: Negativamente Assimétrico

Provão 2000Curso: Jornalismo


Coeficiente > 0Conjunto: Positivamente Assimétrico

Provão 2000Curso: Eng. Elétrica

2424


(Kurtosis)


Coeficiente de Curtose (momentos)

xa4 = m4/s4, onde m4 = Σ(X - )4/n


Coeficiente = 3 ou 0Conjunto: Mesocúrtico

Provão 2000Curso: Odonto


Coeficiente > 3 ou (> 0)Conjunto: Leptocúrtico

Provão 2000Curso: Matemática


Coeficiente < 3 ou (< 0)Conjunto: Platicúrtico

Provão 1999Curso: Eng. Civil


2525


Então:

Se y = ax +by = ax +b

b+xa=y

sa=s 2x

22y

s|a|=s xy


Análise Exploratória de Dados

As técnicas de análise exploratória dedados consistem em gráficos simples dedesenhar que podem ser utilizados pararesumir rapidamente um conjunto de dados.Uma destas técnicas é uma forma deapresentação de dados conhecida comoCaule e Folha.


Apresentação Caule e Folha

Para ilustrar esta forma deapresentação vamos supor que oconjunto a seguir é o resultado de umteste do tipo Psicotécnico de 100questões aplicados a 40 candidatos aum emprego em uma grandeorganização industrial.


44 53 67 89 98 37 60 55

48 88 47 65 82 85 90 74

41 61 72 73 77 81 60 89

52 90 62 64 66 59 50 65

50 40 93 79 55 49 56 73

Resultado de um teste do tipoPsicotécnico de 100 questões aplicados a 40candidatos.

Exemplo


3 7

4 0 1 4 7 8 9 9

5 0 0 2 3 5 5 6 9

6 0 0 1 2 4 5 5 6 7

7 2 3 3 3 4 7 9

8 1 2 5 5 8 8 9

9 0 0 3 8

Ramo e Folha


Girando a representação 90 graustem-se um diagrama semelhante a umhistograma. Esta representação possuiduas vantagens sobre o histograma:

É mais fácil de construir;

Apresenta os dados reais.

2626


1565 1790 1644 1679 2008

1675 1900 1832 1756 1766

1580 1945 1733 1922 1854

1975 1870 1812 1954 1888

1634 1785 1855 2044 1965

Faça um representação utilizando adezena como unidade de folha.

Exercício


BoxPlot – Caixa e Bigode

Outra forma de ter uma idéia doconjunto de dados é utilizar a regra doscinco itens. Nem sempre a média e odesvio padrão são as melhoresalternativas para resumir um conjuntode dados.


A média e o desvio padrão podem

sofrer forte influência de valores

extremos e além disso não fornecem uma

idéia da assimetria do conjunto de dados.

Como alternativa as seguintes cinco

medidas são sugeridas (Tukey, 1977):


(i) A mediana;

(ii) Os extremos (máximo e mínimo);

(iii) Os quartis.

Estas cinco medidas são denominadas

de estatísticas de ordem.


Representação

A informação fornecida por estes

cinco números pode ser representada em

um diagrama denominado de “Diagrama

Caixa e Bigode” (BoxPlot). O desenho

fornece uma idéia da posição, dispersão,

assimetria e dados discrepantes do

conjunto (outliers).Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

Traçar um retângulo tendo comoextremos os quartis e englobando a mediana.Calcular a distância interquartil, isto é:

DQ = Q3 – Q1

Determinar os limites dos pontosdiscrepantes:

Q1 – 1,5 DQ

Q3 + 1,5 DQ

2727


Qualquer valor abaixo de Q1 – 1,5DQ ou acima de Q3 + 1,5 DQ seráconsiderado um valor discrepante(outlier). Para obter o diagrama caixa ebigode (boxplot) traçar duas linhas apartir do centro do retângulo e em ladosopostos até o último ponto do conjuntoque não seja um ponto discrepante.


Diagrama de Caixa e Bigodes - BoxPlot

x xx

Q1 Q2 Q3

D5,1+Q Q3DQD5,1-Q Q1


3 5 7 5 3 6 8 5 2

4 5 5 6 9 8 6 8 1

7 12 4 8 7 4 6

Obtenha o diagrama Caixa e Bigode parao número de paradas semanais paramanutenção de uma máquina.

Exemplo


Mínimo 1

Quartil um 4

Mediana 6

Quartil três 7

Máximo 12

Os cinco valores são:

Exemplo

Os demais são:

D 7 – 4 = 3

Q1- 1,5D -0,5

Q3 + 1,5D 11,5

Outlier 12


12

4=Q1 6=Q2 7=Q3

5,11=D5,1+Q Q33=DQD5,1-Q=5,0- Q1

91


Wilfredo Pareto

O Diagrama de Pareto é uma

homenagem ao engenheiro, filósofo,

sociólogo e economista italiano Vilfredo

Frederico Samaso Pareto (1848 - 1923).

Pareto foi um dos pioneiros na aplicação de

análises matemáticas ao estudo dos

fenômenos sócio-econômicos.

2828


Wilfredo enunciou, em 1897, o que

passou a ser conhecido como “PrincipioPrincipio

dede ParetoPareto” que afirma: “80% das

dificuldades tem origem em 20% dos

problemas”. Este principio poderia ser

colocado como existem muitos itens

triviais mas poucos vitais.


Diagrama

O Diagrama de Pareto é um gráfico de

colunas simples, onde a variável está em

ordem de importância freqüência de

ocorrência ou custo) dos problemas ou

defeitos.


Normalmente o diagrama envolve a

freqüência simples combinada com a

freqüência acumulada em um único

gráfico. É, também, comum a colocação de

um sistemas de eixos X’Y’ auxiliares.


Exemplo

Diagrama de Pareto

0

20

40

60

80

100

120

140

E B C F D A H I

Tipo de erro

Nú

me

ro d

e e

rro

s

0%

25%

50%

75%

100%

Triviais

Vitais


Exercício

Considerando os dados sobre o

“Defeitos” (Panilha “Exercício_3) do

Laboratório 2, construa um diagrama de

Pareto para os dados.


Defeitos Número de Azulejos

Desenho 71

Esmalte 95

Lascado 97

Maior 70

Menor 83

Torto 57

Trincado 27

Total 500

2929


Solução

Ordenando as freqüências

dadas e calculando as freqüências

relativas e relativas acumuladas,

tem-se:


Posições Relativas

A média e o desvio padrão são as duas

principais medidas utilizadas para descrever

um conjunto de dados. Elas, também,

podem ser utilizadas para comparações, isto

é, para fornecer a posição relativa de um

valor em relação ao conjunto como um todo.


O escore “z”

Seja (x1, x2, ..., xn) uma amostra de “n”

observações. Sejam e “s” a média e o

desvio padrão da amostra. Então o escore zi

é o valor que fornece a posição relativa de

cada xi da amostra, tendo como ponto de

referência a média e como medida de

afastamento o desvio padrão.

x


s

x-xz i

i=

O escore z fornece o número de

desvios padrão que cada valor está acima ou

abaixo da média. O escore –1,5, significa

que este valor está um desvio e meio abaixo

da média.


O escore Z é também uma variável,

que é obtida pela transformação da

amostra original. Ela apresenta média

igual a zero e desvio padrão igual a um.


Exemplo

Considere o seguinte amostra:

36 39 38 41 45 44 35 48 35 40

40 40 36 41 37 38 37 39 39 44

42 42 39 43 42 41 39 41 35 40

44 36 40 37 40 36 39 47 40 43

34 45 38 42 46 41 43 37 38 38

3030


0

1

2

3

4

5

6

7

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

37,0-Curtose

33,0Assimetria

=

=


Calcular os escores “zz” para cada

valor da amostra. Representar os

valores da amostras e os escores em

diagramas para verificar se houve

alteração no formato da distribuição dos

dados.


Solução:A média e o desvio padrão da amostra são:

40 e 3,2619. Então os escores padronizados serão:0,3066 0,9197 -0,9197 -0,6131 -0,6131

-1,2263 -0,3066 -0,6131 0,3066 1,5328

1,2263 -1,5328 2,4526 -1,5328 0,0000

0,0000 0,0000 -1,2263 0,3066 -0,9197

-0,6131 -0,9197 -0,3066 -0,3066 1,2263

0,6131 0,6131 -0,3066 0,9197 0,6131

0,3066 -0,3066 0,3066 -1,5328 0,0000

1,2263 -1,2263 0,0000 -0,9197 0,0000

-1,2263 -0,3066 2,1460 0,0000 0,9197

-1,8394 1,5328 -0,6131 0,6131 1,8394


0

1

2

3

4

5

6

7

-1,84 -1,23 -0,61 0,00 0,61 1,23 1,84 2,45

31,0-Curtose

37,0Assimetria

=

=


Propriedades

A média do escore padronizado é zero;

O desvio padrão do escore padronizado é

um.

A forma da distribuição do escore

padronizado é a mesma dos dados

originais.Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

Escalas

O escore Z não é utilizado

normalmente da forma como é

calculado. É comum a utilização de

uma escala linear de transformação.

As duas mais utilizadas são:

3131


EscalasA escala T que é obtida através da

seguinte transformação

TT == 1010..ZZ ++ 5050

A escala “A” que é utilizada nos

vestibulares é obtida por:

AA == 100100..ZZ ++ 500500Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

Teorema de Chebyshev

O teorema de Chebyshev permite

verificar qual é o percentual mínimo de

valores de um conjunto de dados que deve

estar um “certo número” de desvios em

torno da média.


Em qualquer conjunto de dados com

desvio padrão “s”, pelo menos

(1 – 1/z2) dos valores do conjunto devem

estar entre “z” desvios em torno da

média, onde “z” é um valor tal que

z > 1.


Exemplos:

Assim pelo menos:

75% dos valores estão dentro de z = 2desvios a partir da média;

89% dos valores estão dentro de z = 3desvios a contar da média;

94% dos valores estão dentro de z = 4desvios a contar da média.


1 - 1/4 = 75%.

S2<X-X

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Coleção de números = estatísticas Estatística: …...33 Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística Estatística x Probabilidade Faces Probabilidades