COMENZANDO CON MATLAB

Entorno de trabajo

Lo primero al abrir Matlab es como se muestra a continuacin:

Entorno de Matlab

o Command Window

Aqu es donde empezaremos a escribir nuestros comandos.

o Workspace

Se muestran las variables que se estn utilizando en el momento.

o Command History

Historial de los comandos usados. Al salir del programa estos quedan guardados,

se pueden utilizar haciendo clic sobre alguno de ellos.

2

Herramientas Bsicas

exit/quit

Provoca la salida y cierre de Matla.

>>exit

>>quit

clc

Limpia la ventana de comandos (Commando Windows).

>>clc

help

Muestra la ayuda en la ventana de comandos de la funcin especificada.

>>help funcin

doc

Similar a help pero muestra la documentacin de la funcin en el buscador

del help. Abre una ventana con un ejemplo.

>>doc funcin

format

Cambia la cantidad de decimales que se muestran por variable, ejemplos:

>>format long muestra 14 decimales

>>pi

ans = 3.141592653589793

>>format bank muestra 2 decimales

>>pi

ans = 3.14

>>format short e notacin cientfica

>>pi

ans =

3.1416e+00

>>format long e notacin cientfica con 14 decimales

>>pi

ans =

3.141592653589793e+00

>>format short muestra 4 decimales, formato de matlab

>>pi

ans =

3.1416

3

clear

Borra todas las variables creadas o alguna especificada.

>>clear

>>clear variable1 variable2

who

Muestra las variables que han sido creadas.

>>who

whos

Similar a who pero muestra ms informacin de las variables.

>>whos

save

Guarda todas las variables del espacio de trabajo o solo las variables que se

especifiquen en un archivo.

>>save(nombre_del_archivo)

>>save(nombre del archivo,variable1,variable2,)

Matrices

Sistema de ecuaciones lineales

(SEL)

Es un sistema de ecuacin de la forma:

AX=B

Donde:

A: Matriz de orden m*n, llamada matriz coeficiente.

X: Matriz de orden n*1, llamada matriz incgnita.

B: Matriz de orden m*1, llamada matriz trminos constantes.

El sistema tiene las siguientes soluciones:

o Rango(A)=Rango(A:B)

Tiene al menos una solucin.

o Rango(A)Rango(A:B)

No existe solucin.

o Rango(A)=Rango(A:B)=N de incgnitas

Solucin nica.

o Rango(A)=Rango(A:B)

4

Ejemplos:

Se tiene el siguiente SEL:

x + y 2z = 4

2x y + z = 2

-x + 2y -3z = 2

Expresado de forma matricial quedara:

1 1 22 1 1

1 2 3

=

422

Ver las soluciones de la matriz:

X=A-1B

Como se vera esto en Matlab:

Para escribir una matriz en Matlab se hace de la siguiente forma:

>>A=[ 1Fila ; 2Fila ; 3 Fila ; .]

Si no queremos que nos muestre el resultado agregamos al final del

comando un ;

Inversa de la matriz:

>>inv(A);

Rango de la matriz:

>>Rank(A)

Para hacer un comentario en alguna lnea de comando basta con escribir

%escriben_su_comentario

Ingresando el ejercicio anterior en Matlab

>> A=[1 1 -2;2 -1 1;-1 2 -3] %Nos muestra la variable

A =

1 1 -2

2 -1 1

-1 2 -3

>> B=[4;2;2]; %No nos muestra la variable

5

>> X=inv(A)*B

Warning: Matrix is singular to working precision.

X =

Inf

Inf

Inf

Se puede ver que tenemos infinita solucin.

Rango de la matriz:

>> AB=[A,B]

AB =

1 1 -2 4

2 -1 1 2

-1 2 -3 2

>> rank(A)

ans =

2

>> rank(AB)

ans =

2

Rango de A igual a Rango de A:B y menor N de incognitas. Infinitas soluciones

Mtodo directo LU

Se tiene el siguiente SEL

20 10 4 = 26 10 25 5 = 0 4 5 + 20 = 7

En forma matricial quedara:

(20 10 4

10 25 54 5 20

) (

) = (2607

)

6

Matlab

>> A=[20 -10 -4;-10 25 -5;-4 -5 20]

A =

20 -10 -4

-10 25 -5

-4 -5 20

>> B=[26;0;7]

B =

26

0

7

>> [l,u,p]=lu(A)

l =

1.0000 0 0

-0.5000 1.0000 0

-0.2000 -0.3500 1.0000

u =

20.0000 -10.0000 -4.0000

0 20.0000 -7.0000

0 0 16.7500

p =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Z=L-1 * B Z=L-1 * P-1 * B

P=Matriz identidad PMatriz identidad X=U-1 * Z X=U-1 * Z

>> Z=inv(l)*B

Z =

26.0000

13.0000

16.7500

>> X=inv(u)*Z

X =

2

1

1

X=2 ; y=1 ; z=1

7

1) Resolver el siguiente SEL mediante el mtodo LU:

652

64

642

63

64

54321

4321

5432

4321

5321

xxxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

Mtodo Gauss-Jacobi

Se tiene la matriz:

AX=B

La cual debe quedar:

A=D+L+U

D=diagonal de A

L=matriz inferior de A

U=matriz superior de A

dCXX

BDXULDX

BDXULDX

nn

d

n

C

n

)1()(

1

)1(

1

)(

11

)(

)(

Para poder usar este mtodo se debe crear el cdigo en un script, ya que hay que

hacer varias iteraciones. Para esto veremos los siguientes cdigos a tener en

cuenta:

if

Si la condicin se cumple se ejecuta el cdigo contenido, si no, salta.

>>if condicin

>>cdigo

>>end

else-if

Igual que if solo que si no cumple la condicin va al otro cdigo.

>>if condicin

>>cdigo cuando se cumple la condicin

>>else

>>cdigo cuando no se cumple la condicin

>>end

8

for

Ejecuta el cdigo en un ciclo determinado de veces.

>>for variable=inicio:incremento:final

>>cdigo

>>end

while

Ejecuta el cdigo mientras la condicin sea verdadera

>>while condicin

>>cdigo

>>end

El siguiente cdigo servir para realizar una operacin mediante el mtodo de Gauss-

Jacobi

clear all clc

%Definimos variables A=input('Introdusca la matriz A: ') B=input('Introdusca la matriz B: ') ite=input('Introdusca cantidad de iteraciones a realizar: ');

[f,c]=size(A); %tamao de la matriz, filas, columnas l=tril(A); %matriz triangular inferior u=triu(A); %matriz triangular superior m=diag(A);

x0=zeros(f,1);

%creamos matriz triangular inferior y superior while diag(l)>0 for i=1:f l(i,i)=0; %ponemos la cero la fila y columna i u(i,i)=0; end end

D=zeros(f,c);

%creamos matriz diagonal de A while diag(D)==0 for i=1:f D(i,i)=m(i,1); end end

%variables para la solucion C=-inv(D)*(l+u); d=inv(D)*B; xn=x0; k=0; clc fprintf('Las soluciones son: \n'); fprintf('\n');

9

%soluciones for i=1:ite xi=C*xn+d; xn=xi; k=k+1; fprintf('x(%d)',k); fprintf('%10.4f',xi); fprintf('\n'); end

fprintf('\n Analisis de convergencia\n'); %***Definicion de variables*** AC=diag(A); contador=0;

%diagonal dominante for i=1:c ai=A(:,i); %separar en columnas ai(i,i)=0; sum_ai=sum(abs(ai)); %sumar el valor absoluto de la columna for j=1:f acj=AC(j,1); if sum_ai

10

2) Resolver mediante el mtodo de Gauss-Jacobi:

652

64

642

63

64

54321

4321

5432

4321

5321

xxxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

11

Mtodo Mnimos Cuadrados

Dados (n+1) puntos (Xi,Yi) i=0,1,.,n. Se determina la funcin:

m

i

ii xfxf0

)()(

Tal que su error sea:

n

i

ii xfy0'

2))((

Usando la forma compacta se tiene:

xi x0 x1 .. xn yi y0 y1 .. yn

Ajustar por:

)()()()( 1100 xfxfxfxf mm

Para obtener m ,...,, 10 se forma el siguiente SEL (sistema de ecuaciones lineales):

Ax=B

1)1(

1

0

1)1(

1

0

)1()1(

10

11110

00100

)()()(

)()()(

)()()(

xnB

n

xmX

m

mxnA

nmnn

m

m

y

y

y

xfxfxf

xfxfxf

xfxfxf

Ejemplo: Ajustar los datos por una funcin lineal baxxf )( donde:

x 0.0 1.0 2.0 2.5 3.0

y 2.9 3.7 4.1 4.4 5.0

Se tiene 1*)( baxxf dnde xxf )(0 ; 1)(1 xf

Las matrices asociadas son:

*

13

15.2

12

11

10

0.5

4.4

1.4

7.3

9.2

b

a

12

Se normaliza el SEL multiplicando por la matriz A transpuesta, lo cual quedara:

BAAAxBAxAA TTTT 1

Resolviendo en Matlab

>> A=[0 1 2 2.5 3;1 1 1 1 1]' %Definimos matriz A

A =

0 1.0000

1.0000 1.0000

2.0000 1.0000

2.5000 1.0000

3.0000 1.0000

>> B=[2.9 3.7 4.1 4.4 5]' %Definimos matriz B

B =

2.9000

3.7000

4.1000

4.4000

5.0000

>> x=(inv(A'*A))*(A'*B)

x =

0.6431

2.9267

9267.26431.0)( xxf

Usando comandos en Matlab

Definimos los valores de la tabla

>> xi=[0 1 2 2.5 3]

xi =

0 1.0000 2.0000 2.5000 3.0000

>> yi=[2.9 3.7 4.1 4.4 5];

Usamos comando polyfit el cual forma el polinomio de interpolacin, y el 1 ya

que queremos un polinomio de grado 1 de la forma baxxf )(

>> f=polyfit(xi,yi,1)

f =

0.6431 2.9267

9267.26431.0)( xxf

13

Graficando los valores

>> plot(xi,yi,'r*') %usamos r* para obtener una grfico

con * en rojo

Ahora generaremos una recta para visualizar el error

o linspace(inicio,fin,espaciado)

>> x=linspace(0,5,20); %vamos desde 1 hasta 5

espaciado 20 veces

o polyval(funcin, valores), evaluamos el polinomio con valores

>> y=polyval(f,x);

>> hold on %Para conservar el grafico anterior

>> plot(x,y)

Para saber el error se utilizan los siguientes comandos:

>> fxi=polyval(f,xi); %evaluamos la funcin encontrada

9267.26431.0)( xxf con los valores de

xi

>> error=sum((yi-fxi)^.2) %sumamos los valores

error =

0.0692

0 0.5 1 1.5 2 2.5 32.5

3

3.5

4

4.5

5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

14

Ejercicios

1. Dado

x 0.05 0.12 0.15 0.3 0.45 0.7 0.84 1.05

y 0.957 0.851 0.832 0.72 0.583 0.378 0.295 0.156

Ajustar los datos a un polinomio cubico.

2. Dado

x 0 8 16 24 32 40

y 14.621 11.843 9.87 8.418 7.305 6.413

Ajustar los datos a un polinomio de cuarto grado.

15

Metodo Runge-Kutta de Orden 4

Este mtodo se utiliza para resolver Problemas Valor Inicial (PVI) con la siguiente forma:

Dado el PVI:

00 )(

),('

yxy

yxfy

Hallar )(xy con ah en el intervalo ],[ cb

Para resolver este tipo de problemas existen varios mtodos pero nosotros estudiaremos

el mtodo de Runge-Kutta orden 4:

)22( 432161

1 kkkkyy nn

);(*

);(*

);(*

);(*

34

223

222

1

2

1

kyhxfhk

yxfhk

yxfhk

yxfhk

donde

nn

k

nh

n

k

nh

n

nn

Para aplicar este mtodo en Matlab se utilizara el siguiente cdigo:

clc clear all fprintf('METODO DE RUNGE-KUTTA ORDEN 4')

%****Para poder ingresar "x" e "y" de forma simbolica syms x syms y %************

fprintf('\n'); %para obtener un espacio

f=inline(input('Ingrese la derivada de primer orden: ','s')); %inline para poder evaluar la funcin mas adelante % se debe ingresar : "2*x+y" ; para tener y'=2x+y x=input('\nIngrese el valor de Xo: '); y=input('\nIngrese el valor de Yo: '); h=input('\nIngrese el valor de h: '); n=input('\nIngrese numero de iteraciones:'); %Si se desea de [0,2] serian 3 iteraciones, ya que comienza con cero, todo %depende del valor de Xo inicial clc fprintf(' ite x k1 k2 k3 k4 y');

%creamos un ciclo "for" para realizar las iteraciones necesarias

for i=1:n k1=h*(feval(f,x,y)); %feval : evaluamos f en x e y

z=x+(h/2);

16

w=y +(k1/2); k2=h*(feval(f,z,w));

w=y+(k2/2); k3=h*(feval(f,z,w));

z=x+h; w=y+k3; k4=h*(feval(f,z,w));

fprintf('\n %0.0f %10.1f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f

%10.4f',i,x,k1,k2,k3,k4,y); x=x+h; y=y+((1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)); end

fprintf('\n');

Este cdigo nos mostrara en columnas los valores correspondientes a cada iteracin

realizada.

Ejemplo: Resolver el siguiente PVI.

1

5.0)0(

2'

h

y

xxyy

En el intervalo [0,2]

Lo cual al ingresar bien los datos Matlab nos entregara:

ite x k1 k2 k3 k4 y

1 0.0 0.0000 1.0000 1.5000 5.0000 0.5000

2 1.0 5.3333 16.0000 32.0000 138.6667 2.1667

3 2.0 170.6667 640.0000 1813.3333 11136.0000 42.1667

Del cual podemos obtener si se desea y(1) o y(2)

Resolver el siguiente ejercicio: Obtener y(1.5) con h=0.1

Ingresando bien los datos en Matlab, el resultado de este ejercicio es y(1.5)=3.4902

1)1(

2'

y

xyy