Résumé — Dans ce papier, nous avons abordé le problème de commande de vitesse de la machine à courant continu en tenant compte de la dynamique du convertisseur de puissance DC-DC, supposé ici de type Buck. Nous développerons pour le système commandé global, constitué de l’association convertisseur plus machine, un modèle sous-forme d’une représentation d’état de quatrième ordre. Sur la base de ce modèle, un régulateur est élaboré par la technique du backstepping en vue d’assurer, d’une part, une bonne stabilité asymptotique du système et, d’autre part, une parfaite poursuite du signal de référence (celui-ci représente le profil variant souhaité pour la vitesse de la machine). Une analyse théorique établira formellement que le régulateur ainsi conçu est bien capable d’atteindre ses objectifs. Une étude par voie de simulation viendra confirmer ce résultat théorique et montrera, en outre, que le régulateur est robuste vis-à-vis des perturbations liées aux changements du couple de charge. Mots clés — machine à courant continu, convertisseur Buck DC-DC, commande en vitesse, approche backstepping

I. INTRODUCTION L’usage du moteur à courant continu à vitesse variable a été et reste très répandu dans un grand nombre d’applications, allant des industries lourdes (telles que la sidérurgie) à la robotique en passant par la traction ferroviaire. Cela s’explique par la simplicité de son fonctionnement, de son alimentation et de sa commande ([3],[4], [5], [8]). C’est pourquoi les moteurs à courant continu continuent d’exister, dans le domaine des actionneurs, à côté des moteurs alternatifs, effectivement de plus en plus nombreux en vitesse variable. Par ailleurs, on assiste depuis quelques années à un progrès technologique dans le domaine des matériaux permettant la mise au point d’aimants permanents de plus en plus performants. Grâce à ce progrès, la construction des moteurs à courant continu va en se simplifiant ce qui leur permet de rester dans la course, sur le champs des actionneurs, faisant valoir leur simplicité fonctionnelle qui constitue un atout majeur considérable. Par conséquent, le problème de commande des machines à courant continu a été largement abordé dans la littérature spécialisée au cours des dernières années ([1], [2], [6],[7]). Cependant, la plupart des travaux ignorent la dynamique du convertisseur de puissance alimentant la machine, lors de la synthèse du régulateur. En effet, le convertisseur est généralement considéré comme transparent en étant assimilé à un gain proportionnel, ou encore un gain avec retard pur. Si cette simplification peut être tolérée pour les grandes puissances, il

n’en est pas de même pour les faibles et les moyennes puissances. Une telle simplification ne peut que limiter les performances du régulateur et peut même compromettre la stabilité globale du système en boucle fermée. En effet, une dynamique non prise en compte lors de la conception du régulateur ne peut qu’engendrer une diminution de la marge de phase et risquerait ainsi de rendre le système instable. Dans ce travail, la commande en vitesse d’un moteur à courant continu est appréhendée en tenant compte de la dynamique du convertisseur supposé de type buck. Sur la base d’un modèle moyenné de l’association convertisseur plus machine, nous élaborons par la technique backstepping un régulateur de vitesse stabilisant le système en boucle fermée et garantissant la poursuite d’une référence variable. Il est formellement établi que le régulateur atteint bien les objectifs de stabilité et de poursuite pour lesquels il a été conçu. Ces résultats théoriques sont confirmés par voie de simulation ; celle-ci montre aussi que le régulateur présente une certaine robustesse vis-à-vis des perturbations de charge. Le papier est organisé comme suit : le paragraphe II est consacré à la modélisation de l’association convertisseur Buck plus machine à courant continu. La synthèse du régulateur est abordée au paragraphe III. Le quatrième paragraphe comprend une évaluation des performances du régulateur par voie de simulation. Une conclusion et une liste bibliographique achèvent le papier.

II. MODELISATION DE L’ASSOCIATION CONVERTISSEUR MACHINE

La machine est commandée, sur un quadrant, par un convertisseur DC-DC de type Buck monté comme indiqué sur la figure 1. La mise en équations sera entreprise sous les hypothèses standard suivantes : H1. Les effets de la saturation ou de réaction d’induit sont

négligeables. H2. L’inductance de l’induit mL est constante H3. L'ensemble fixé à l'arbre de la machine est de moment

d’inertie J .

H. EL FADIL1, F. GIRI2, H. OUADI3

1, 3 Laboratoire d’Automatique et d’Informatique Industrielle, EMI, 10000, Rabat, Agdal, Maroc. 2 GREYC, ISMRA, 6 Bd Maréchal Juin, 14050 Caen, France.

elfadilhassan@yahoo.fr, fouadgiri@yahoo.fr, hamidouadi3@yahoo.fr

Commande de vitesse de la machine à courant continu avec prise en compte de la dynamique du

convertisseur de puissance

Fig. 1: Circuit modélisant l’association convertisseur plus machine à courant

continu Moyennant ces hypothèses, nous obtenons pour l’ensemble convertisseur-machine, en appliquant les lois habituelles des circuits, le modèle (instantané) constitué uniquement d’équations différentielles linéaires à coefficients constants :

Lam

eama

m

a

TiKfdtdJ

KiRvdt

diL

iidtdvC

EuvdtdiL

−+−=

−−=

−=

+−=

ωω

ω (1)

avec : - i courant traversant l’inductance L du convertisseur, - v tension aux bornes du condensateur C (sortie du

convertisseur), - ai courant d’induit de la machine à courant continu, - ω vitesse de rotation, - u tension de commande qui représente l’état ouvert ou

fermé du commutateur et qui prend ses valeurs dans l’ensemble 0, 1.

- LT couple de charge, supposé connu et constant. - f coefficient de frottement visqueux, - J inertie des parties tournante. - eK et mK représentent, respectivement, la constante de

force électromotrice et la constante de couple. Par la suite on prendra KKK me == .

La commande proposée pour le système composé de l’association convertisseur plus machine est une commande en Modulation de largeur d’Impulsions (MLI). Il s’agit, pour chaque période de commutation T , de commander le commutateur à la position de fermeture (ON) pendant une durée ( Tµ ), et de le commander à la position d’ouverture (OFF) pendant le reste du temps : ( )T1 µ− . La commande MLI se présente donc comme suit:

( )( )

+≤≤++≤≤

=TttTtt pour 0

Ttttt pour 1)t(u

kkk

kkk

µµ

(2)

kt représente l’instant d’échantillonnage et T sa période.

Il découle de ce qui précède que la fonction ( )tµ , dite rapport cyclique, coïncide avec la valeur moyenne de la commande instantanée u(t). Il s’ensuit aussi que ce rapport cyclique constitue l’entrée de commande pour le modèle moyenné correspondant à (1). La linéarité de ce dernier fait que son moyenné est caractérisé par les mêmes équations, seuls les signaux sont remplacés par leurs valeurs moyennes ([11]). Le modèle moyenné est donc défini comme suit :

LEx

L1x

xC1x

C1x

xL1x

LRx

LKx

J

TxJKx

Jfx

34

243

3m

2m

m1

m2

L211

µ+−=

−=

+−−=

−+−=

&

&

&

&

(3)

où les variables d’état 1x , 2x , 3x et 4x représentent les valeurs moyennes , respectivement, de la vitesse de rotation ω , du courant induit ai , de la tension de sortie de convertisseur v et de courant d’entrée du convertisseur i .

III. SYNTHESE DU REGULATEUR Nous procédons maintenant à l’élaboration d’un régulateur qui soit capable d’assurer la stabilité asymptotique de la boucle fermée et de forcer la vitesse (moyenne) de la machine x1 à varier comme le fait un signal de référence ( )trω . Ce dernier ainsi que ses dérivées jusqu’à l’ordre quatre sont supposés bornés. Il est toujours possible de se conformer avec cette hypothèse moyennant un filtrage approprié du signal de référence. La synthèse du régulateur par la technique du backstepping se fera ici en quatre étape puisque, la commande u apparaît après quatre dérivations de la sortie x1. Etape 1. Comme signalé ci-dessus, le but de la commande est de forcer à tendre vers zéro l’erreur de poursuite suivante:

r11 xz ω−= (4) Il vient de (3) que la trajectoire de cette erreur est définie par:

rL

21r11 JTx

JKx

Jfxz ωω &&&& −−+−=−= (5)

Dans cette équation, la grandeur ( ) 2xJ/K se présente comme une commande virtuelle. Considérons alors la fonction de Lyapunov candidate suivante :

211 z5.0V = (6)

La dérivée de celle-ci le long de la trajectoire de (5) est :

−−+−== r

L211111 J

TxJKx

JfzzzV ω&&& (7)

Cette équation suggère l’expression suivante pour la commande virtuelle :

12xJK α= (8)

avec

11rL

11 zcJ

Tx

Jf

−++= ωα & (9)

ce qui implique 2

111 zcV −=& . Comme ( ) 2xJ/K n’est pas une commande effective, l’égalité (8) doit être abandonnée. Néanmoins nous retenons la fonction stabilisante définie par (9) et introduisons une seconde variable

d’erreur entre la commande virtuelle et la fonction stabilisante :

122 xJKz α−= (10)

En remplaçant, dans (5), le terme ( ) 2xJ/K par 12z α+ et en tenant compte de (9), la dérivée de 1z devient :

2111 zzcz +−=& (11) Par ailleurs, la dérivée de la fonction de Lyapunov (7) se réécrit comme suit

212111 zzzcV +−=& (12)

Etape 2. Le but est désormais de ramener à zéro l’erreur 2z . Il découle de (10), (3), (9) et (11) que 2z évolue conformément à l’équation suivante :

3m

22m

m1

2

m

2

2 xJLKx

JfK

JLKR

xJf

JLKz +

+−

+−=&

r21121L2 zczcT

Jf ω&&−+−+ (13)

Dans cette équation, la quantité ( ) 3m xJLK se présente comme une commande virtuelle. L’objectif est de ramener à zéro les variables ( 1z , 2z ) du système ((11), (13)). A cet effet, on prend la fonction de Lyapunov suivante :

2212 z5.0VV += (14)

Compte tenu de (12) sa dérivée est :

( )2122112 zzzzcV && ++−= (15)

Cette équation montre que pour stabiliser globalement et asymptotiquement le système ((11), (13)), il suffit de choisir la commande virtuelle telle que 2

222112 zczcV −−=& (avec 2c une

constante positive de réglage). Compte tenu de (15), la dérivée de 2z s’écrit alors:

2212 zczz −−=& (16) En comparant (13) et (16), il en résulte l’expression suivante pour la commande :

23m

xJLK α= (17)

avec

22m

m1

2

m

2

2 xJfK

JLKR

xJf

JLK

++

−=α

221r21121L2 zczzczcT

Jf

+−+−+− ω&& (18)

Comme ( ) 3m xJLK n’est pas la commande effective, on abandonne l’équation (17). Néanmoins, nous retenons la seconde fonction stabilisante (18) et nous introduisons l’erreur :

23m

3 xJLKz α−= (19)

En remplaçant dans (13) le terme ( ) 3m xJLK par 23z α+ , il vient

32212 zzczz +−−=& (20) Il s’en suit alors, et compte tenu de (15), que la dérivée de 2V devient :

32222

2112 zzzczcV +−−=& (21)

Etape 3. Ici, on s’efforcera de faire tendre vers zéro l’erreur 3z dont la trajectoire est définie par l’équation :

23m

3 xJLKz α&&& −= (22)

qui, compte tenu de (3), (18), (11) et (20), s’écrit :

2mm

m211

m213 x

CJLK

LR

bJKbx

LKb

Jf

bz

−+−+

+=&

( ) 12131L

14

m3

m

2 zcc2cTJbx

CJLKx

Lb

−−+++−

( ) ( ) r32122122

21 zccz1cccc ω&&&−++−++− (23)

avec 2

m

2

1 Jf

JLKb

−= (24a)

2m

m2 J

fKJLKR

b += (24b)

Dans (23), la quantité ( ) 4m xCJLK se présente comme une commande virtuelle pour le système composé des équations (11), (20) et (23) dont le vecteur d’état est constitué des erreurs ( 1z , 2z , 3z ). Pour analyser la stabilité de ce système nous prenons la fonction de Lyapunov suivante :

2323 z5.0VV += (25)

Compte tenu de (21), la dérivée de la fonction de Lyapunov

3V est :

( )323222

2113 zzzzczcV && ++−−= (26)

Cette équation montre que pour assurer la stabilité asymptotique du système ((11), (20), (23)) de d’état ( 1z , 2z , 3z ), il suffit de choisir la commande virtuelle de telle sorte que :

3323 zczz −−=& (27) avec 3c une constante positive de réglage. En effet,

moyennant ce choix, on aurait 233

222

2113 zczczcV −−−=& . En

comparant (23) et (27), il en résulte pour la commande virtuelle ( ) 4m xCJLK l’expression suivante :

( ) 34m xCJLK α= (28a) avec :

2mm

m211

m213 x

CJLK

LR

bJKbx

LKb

Jfb

+−+

+−=α

( ) 12131L

13

m

2 zcc2cTJbx

Lb

++−+−+

( ) ( ) r332122122

21 zcccz2cccc ω&&&+++−−+++ (28b)

Mais, comme ( ) 4m xCJLK n’est pas une commande effective, on abandonne (28a). En revanche nous retenons la fonction stabilisante (28b) et nous introduisons l’erreur:

34m

4 xCJL

Kz α−= (29)

que nous nous efforcerons de ramener à zéro au même titre que les autres erreurs, à savoir 1z , 2z et 3z . En remplaçant dans l’expression (23) le terme ( ) 4m xCJLK par 34z α+ et en utilisant (28b), on obtient :

43323 zzczz +−−=& (30) L’équation (26) devient alors :

43233

222

2113 zzzczczcV +−−−=& (31)

Etape 4. Il découle de (29), (3), (28b), (11), (20) et (30) que l’évolution de l’erreur 4z obéit à l’équation suivante:

2m

2

m

m431

m434 x

CLb

LR

bJKbx

LKb

Jf

bz

+++

−−=&

µLCJL

KETJb

xCL

bxLb

LCJLK

mL

34

m

23

m

4

m+−−

+−

( ) 12122

21

41 z2cc2cc3c +−−−−

( ) 2321212

221

32

31 zcc4c3cccccc +++−−−−−

( ) 332312123

22

21 z2ccccccccc −+++++−

( ) )4(r4321 zccc ω−+++ (32)

où )4(

rω dénote la dérivée quatrième de rω et:

m213 L

KbJfbb += (33a)

CJLK

LR

bJKbb

mm

m214 +−= (33b)

Les constantes 1b et 2b sont définies par (24) La commande effective µ apparaît pour la première fois dans l’équation (32). Une loi de commande doit maintenant être élaborée pour le system (11), (20), (30) et (32) dont les variables d’état sont ( 1z , 2z , 3z , 4z ). A cet effet, considérons la fonction de Lyapunov suivante :

2434 z5.0VV += (34)

dont la dérivée s’exprime, compte tenu de (31), de la manière suivante :

( )434233

222

2114 zzzzczczcV && ++−−−= (35)

Afin d’assurer la stabilité asymptotique du système dont l’état est composé des variables ( 1z , 2z , 3z , 4z ), on choisit la loi de commande de telle sorte que :

4434 zczz −−=& (36) En effet, moyennant ce choix la dérivée de 4V devient :

244

233

222

2114 zczczczcV −−−−=& (37)

Ce qui implique que le système ( 1z , 2z , 3z , 4z ) est globalement asymptotiquement stable. En combinant les équations (32) et (36), on obtient la loi de commande que voici

++−

−= 2

m

2

m

m431

m43

m xCL

bLR

bJKbx

LKb

Jfb

KELCJL

µ

L3

4m

23

m

4

mT

Jb

xCL

bxLb

LCJLK

++

++

( ) 12122

21

41 z2cc2cc3c +−−−+

( ) 2321212

221

32

31 zcc4c3cccccc +++−−−−+

( ) 332312123

22

21 z3ccccccccc −++++++

( ) 44)4(

r4321 zczccc ++++− ω (38) Le résultat ainsi établi est résumé sous forme de théorème. Théorème. Soit le système en boucle fermée composé de : - l’association d’un convertisseur Buck et d’une machine à

courant continu, représenté par son modèle moyenné (3) et soumis aux hypothèses H1-H3

- le régulateur défini par la loi de commande (38) Alors, les performances du système en boucle fermée résultant sont quantifiées par le vecteurs des erreurs ( 1z , 2z , 3z , 4z ) dont l’évolution obéit à l’équation suivante :

−−−−

−−−

=

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

zzzz

c1001c1001c1001c

zzzz

&

&

&

&

(39)

où les paramètres de synthèse (c1, c2, c3, c4) sont des constantes réelles choisies arbitrairement. En outre, la dérivée de la fonction de Lyapunov ( )2

423

22

214 zzzz5.0V +++= le long de

la trajectoire de (39) est : 244

233

222

2114 zczczczcV −−−−=& .

Par conséquent, le système des erreurs (39) est globalement asymptotiquement stable. Il s’ensuit que :

i) tous les signaux du système de commande en boucle fermée sont bornés

ii) l’erreur de poursuite r11 xz ω−= converge vers zéro

IV. EVALUATION DES PERFORMANCES PAR SIMULATION Les performances du régulateur établi précédemment vont être évaluées par voie de simulation. A cet effet, un simulateur de l’ensemble convertisseur-machine a été simulé à l’aide du

modèle instantané (1) sous Matlab/Simulink. Le dispositif expérimental simulé est conforme à la figure 2 où le régulateur est simulé par la loi de commande (38) et x désigne le vecteur d’état.

Fig. 2: Schéma de commande de vitesse d’une MCC

Les paramètres du système commandé sont ceux de la Table 1. =L 20x10-3[H] =C 400x10-6[F] =eK 0.046[V.s/rad] =mK 0.046[N-m/A]

=J 7.06x10-5[kgxm2] =f 8.42x10-4 [Nm.s/rad]

mL =2.63x10-3 [H] =mR 2.0[Ω] =E 12[V] =LT 0.05 [N-m]

Table 1 : Paramètres du modèle convertisseur plus machine

La fréquence de la MLI est choisie égale à =F 50kHz. Un tel choix est expliqué par les considérations suivantes : premièrement, la fréquence doit être supérieure à la bande audible (20kHz), deuxièmement, une fréquence assez grande, assure pour le convertisseur Buck un fonctionnement en mode de conduction continu, validant l’approximation des variables par leurs valeurs moyennes.

A. Réponse à un échelon de vitesse Les paramètres du régulateur backstepping (38) sont fixés comme suit : =1c 2x103 ; =2c 3x103 ; =3c 400; =4c 100. La figure 3 illustre la réponse du système à un échelon de vitesse de valeur 60rad/s. On remarque que la sortie atteint sa valeur de référence après un régime transitoire dont la durée dépend du choix des paramètres de réglage.

B. Poursuite d’une référence variable Nous avons appliqué, à l’entrée du système bouclé, une référence variant entre 40 et 50rad/s. Les paramètres de réglage sont fixés comme suit : =1c 1.5x103 ; =2c 1x103 ;

=3c 600; =4c 400. La figure 4 montre que la vitesse de la machine suit parfaitement sa référence.

C. Compensation d’une perturbation du couple de charge La figure 5 illustre l’effet d’une variation du couple de charge sur la vitesse de rotation, le courant induit et le rapport cyclique. Nous avons fait subir au couple de charge une variation de 50% de sa valeur nominale (0.05Nm→0.075Nm). La figure montre alors que le régulateur réagit bien à cette variation et compense son effet. Par ailleurs, la référence est fixée constante et égale à 70rad/s. Les paramètres de réglage sont : =1c 1x103 ; =2c 4x103 ; =3c 1x103; =4c 3x103.

D. Importance de la dynamique du convertisseur. Nous allons illustrer ici l’importance de prendre en compte la dynamique du convertisseur, dans la synthèse du régulateur,

sur les performances de la commande. Ignorer la dynamique du convertisseur revient à Ev µ= dans le circuit (Fig 1). Dans ce cas, la mise en équation du système commandé conduit (après moyennage) au modèle du second ordre suivant :

µm

2m

m1

m2

L211

LEx

LR

xLKx

J

TxJKx

Jfx

+−−=

−+−=

&

&

(40)

Le régulateur obtenu par la même technique que précédemment à partir du modèle (40) est décrit par loi de commande :

L22m

m2

2

m

2m T

Jf

JfK

JLKR

Jf

JLK

KEJL

−

++

−=µ

( ) ( ) r221121 zccz1c ω&&++−−+ (41)

avec les erreurs 1z et 2z sont données par (4) et (10) respectivement. Le régulateurs (41) fut appliqué successivement au système (1) et au modèle simplifié (40). Les paramètres de réglage sont choisis comme suit : =1c 8x103, =2c 104. La figure 6 illustre la réponse des deux systèmes à un échelon de vitesse de 70rd/s. Cette figure montre que, si le régulateur (41) arrive à stabiliser le système simplifié (40), il n’en est pas de même pour le système (1). Ceci prouve que la négligence de la dynamique du convertisseur dans l’élaboration du régulateur peut avoir des conséquences très négatives sur les performances de ce dernier.

0 0.05 0.10

20

40

60

vitesse de rotation (rd.s-1)

0 0.05 0.10

1

2

3

4

5

Courant induit ia (A)

0 0.05 0.10

5

10

tension v (V)

temps (s)0 0.05 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

rapport cyclique µ

temps (s) Fig.3 : Réponse à un échelon de vitesse de valeur 60rad/s

0 0.2 0.4 0.6 0.80

20

40

60vitesse de rotation (rd.s-1)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

3

4

5

Courant induit ia (A)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

10

20

30

40

50

vitesse de référence (rd.s-1)

temps (s)0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

rapport cyclique µ

temps (s)

Fig.4 : Poursuite d’une référence variable

0 0.1 0.2 0.30

20

40

60

80

vitesse de rotation (rd/s)

0 0.1 0.2 0.30

2

4

6Courant induit ia (A)

0 0.1 0.2 0.30

0.02

0.04

0.06

0.08

Couple résistant TL (Nm)

temps (s)0 0.1 0.2 0.3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

rapport cyclique µ

temps (s) Fig.5 : Compensation d’une perturbation de couple résistant

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0

20

40

60

80

Vitesse (rd/s)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

2

4

6

Courant(A)

temps

Fig.6 : Comparaison entre le système global et son simplifié (Tarif continu : système simplifié ; pointillés : système global)

V. CONCLUSION Dans ce papier nous avons abordé le problème de commande de vitesse d’une machine à courant continu avec prise en compte de la dynamique du convertisseur. Sur la base d’un modèle moyenné issu des équations différentielles régissant l’association convertisseur plus machine, nous avons conçu par la technique backstepping un régulateur en vue d’assurer, d’une part, une bonne stabilité asymptotique du système et, d’autre part, une parfaite poursuite du signal de référence. Il a été formellement établi que le régulateur ainsi conçu atteint bien ses objectifs de stabilité et de poursuite. Ce résultat a été confirmé par simulation. En outre, le régulateur s’est montré robuste vis-à-vis des perturbations dues aux changements du couple de charge. Cependant, cette perturbation engendre toujours une petite erreur de vitesse qui ne peut être annulée mais plutôt réduite par augmentation des paramètres de réglage. Toutefois, une augmentation de ces derniers engendre une très grande activité du signal de commande. En fait, la présence de l’élément limiteur à l’entrée est en grande partie responsable de telles dégradations. Nous proposons, comme suite à ce travail, d’élaborer une version adaptative pour compenser l’incertitude dont font l’objet certains paramètres du modèle (3), en l’occurrence, le couple de charge, le moment d’inertie, le coefficient de frottements visqueux et l’inductance de la machine. La prise en compte de la saturation de l’entrée est aussi un prolongement possible de ce travail.

VI. REFERENCES [1] J. Linares-Flores and H. Sira-Ramírez, “DC motor

velocity control through a DC-to-DC power converter”,

Proceedings of 43rd IEEE Conference On decision and Control, Atlantis, paradise island, Bahamas, December 14-17, 2004, pp. 5297-5302.

[2] Gwo-Ruey Yu, Ming-Hung Tseng and Yuan-Kai Lin, “Optimal positioning control of a DC servo motor using sliding mode”, Proceedings of the 2004 IEEE International Conference on Control Applications, Taipei, Taiwan, September 2-4, 2004, pp. 272-277.

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