Como a Prendo Algebra

7/13/2019 Como a Prendo Algebra

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http://www.comoaprendomatematicas.comComo Aprendo Algebra Por: Adolfo Chapuz Bentez

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Como Aprendo Algebra.

Por: Adolfo Chapuz Bentez.

Temario:

1. Introduccin.2. Fundamentos de Aritmtica.

2.1.Leyes De Los Signos.2.2.Leyes De Los Exponentes2.3.Fracciones y Su Interpretacin.2.4.Operaciones Con Fracciones.2.5.Ejercicios Complementarios.

3. Expresiones Algebraicas.3.1.Expresiones Algebraicas Y Sus Componentes(coeficiente, variable,

exponente, trmino, monomio Binomio, polinomio).4. Operaciones Con Expresiones Algebraicas

4.1.Suma4.2.Producto4.3.Cociente

5. Productos Notables.6. Factorizaciones Notables.7. Ecuaciones Cuadrticas y la Frmula General8. Solucin de Ecuaciones y Despejes.9. Divisin Sinttica.10.Descomposicin En Fracciones Parciales.


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2

1.- Introduccin.

LA MATEMTICAS FORMAN UN ROMPECABEZAS.

No me refiero a lo difcil de las matemticas, sino a que toda la matemtica estcompuesta por piezas individuales vitales, que estn relacionadas entre s y quepara poder entenderla debes, no solo tener TODAS las piezas delrompecabezas sino que tambin debes saber cmojuntarlas.

Adems debes saber que cada pieza de este rompecabezas deben engranar de forma

secuencial, respecto al nivel de dificultad: bsico, intermedio y avanzado. En orden,sin intentar pasar por ejemplo del nivel bsico al avanzado, necesariamente debespasar por el intermedio. Uno de los problemas a los que nos enfrentamos maestros,estudiantes y dems agentes relacionados con el proceso de enseanza-Aprendizaje de las matemticas es que los estudiantes llegan deficientes en el nivelacadmico anterior, por ejemplo queremos ensear ecuaciones diferenciales aestudiantes que no dominan los conceptos bsicos sobre derivadas e integrales, heah el meollo del asunto.

Son muchas las piezas del rompecabezas que podemos mencionar, pero en general,

las ms importantes y siguiendo un orden lgico son: Aritmtica, lgebra,Geometra, Trigonometra, Clculo Diferencial, Clculo Integral, EcuacionesDiferenciales, etc.

El diagrama siguiente representa el orden ideal en que un estudiante, digamosuniversitario, debera seguir para poder entender correctamente la materia deecuaciones Diferenciales:


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3

Aritmtica, lgebra Y Clculo bien coordinados para poder ENTENDEREcuaciones Diferenciales:

Artimtica

lgebra

Geometra

ClculoDiferencial EIntegral

Ecuaciones

Diferenciales

ClculoDiferencial

lgebra

Aritmtica


4/26


4

La pieza del rompecabezas que vamos a estudiar se llama: Algebra, una de las

ramas de las matemticas que son vitales para que tu formacin acadmica sea deexcelencia, si tu dominas el algebra bsica, todo lo dems es pan comido.

Para m que es el lgebra?

Bsicamente el lgebra es la base del lenguaje matemtico.

El lgebra es una ciencia en donde las cantidades se representan en trminossimblicos usando letras, nmeros, signos de agrupacin, signos para lasoperaciones, de puntuacin, etc. de modo tal que la forma de representar losproblemas que estn dados en el lenguaje cotidiano se puedan compactar en un

lenguaje especial en donde las matemticas pueda resolverlos de una manerasencilla.

La matemtica es una ciencia universal por lo que requiere de su propio lenguaje,aunque el algebra no es un lenguaje en s, es el primer paso que todo cientfico debedar para poder tener un nivel ms avanzado. No es cierto?

Toda la ciencia y tecnologa en general es el resultado de un proceso de evolucinque ha llevado miles de aos para tener la forma que actualmente se tiene, lamatemtica no es la excepcin y el lgebra que actualmente conocemos igualmentees el resultado de todo un proceso en el que han intervenido decenas dematemticos, fsicos, qumicos, filsofos, etc. que han contribuido al desarrollo dellenguaje de la matemtica.

Sin el lgebra, no puedo imaginar cmo seran las matemticas de hoy.

Para ver ms informacin de algunos significados del lgebra y su evolucin terecomiendo ver el siguiente enlace:

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra


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5

2. Fundamentos de Aritmtica.2.1 Leyes De Los Signos

Introduccin.

Si algo en las matemticas es fundamental son las leyes de los signos, herramientasbsicas que si an no dominas, ya es momento que decidas de una vez por todashacerlo porque de ellas depende toda la matemtica de nivel ms avanzado.

ELIMINA TODA DISTRACCIN: APAGA TU CELULAR, LA TV, CIERRA EL

MESENGER, EL FACEBOOK, CIERRA LA PUERTA DE TU HABITACIN Y DIQUE NO ESTS PARA NADIE, PORQUE ES VITAL QUE TODA TU ATENCINEST PUESTA EN ESTE CONCEPTO.

Olvdate de que aun no has aprendido este tema, por eso ests aqu en estemomento para aprender. Al terminar de ver este documento y los videos, teaseguro que las leyes de los signos para la aritmtica son pan comido para ti.

Agrrate de tu asiento, abrchate el cinturn de seguridad porque nos vamos deviaje al mundo del lgebra

La aritmtica trata sobre las propiedades de los nmeros naturales ,...,4,3,2,1,0N y de 2 operaciones bsicas:

Suma (+) y Multiplicacin o Producto ()


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6

Existen 2 leyes de los signos, una para la suma y otra para la multiplicacin y a suvez, para cada operacin existen leyes para signos iguales y para signos diferentes.

Sin ms rollo, vamos al grano.

I.- LEYES DE LOS SIGNOS PARA LA SUMA.

a). Signos Iguales:

Para sumar 2 cantidades del mismo signo, se escribe el mismo signo y las

cantidades se suman

b). Signos Diferentes:

Para sumar 2 cantidades de signos diferentes, se escribe el signo de la cantidad

mayor (en valor absoluto) y las cantidades se restan.

Cantidad Mayor- Cantidad menor.

LEYES DE LOS SIGNOS

SUMA

PRODUCTO

Signos Iguales

Signos Contrarios

Signos Iguales

Signos Contrarios


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7

Notas importantes:

i) El principal problema a la hora de aplicar estas leyes consiste en nosaber identificar cuando aplicar la ley de la suma o producto.

Para resolver este asunto observa bien el siguiente diagrama, dondete muestro la diferencia que hay en la representacin de una suma yun producto:

Simbologa de una Suma. Simbologa de Un Producto.2-3 (2)(-3)-1-1 (-1)(-1)

8

7

2

3

8

7

2

3

5+8 (5)(8)

La diferencia bsica se encuentra en el uso de los parntesis.

ii). Para aplicar correctamente estas leyes y hacer bien las operacionesinvolucradas, primero debes determinar el signoy despus

hacer las operaciones correspondientes.

iii). Estas leyes se han enunciado para 2 cantidades, el uso de ellascuando tenemos 3 o ms cantidades igualmente es fcil, basta conagrupar de todos las cantidades negativas por un lado, y por otro ladolas positivas y simplificar conforme a los ejemplos que vamos a tratarms adelante.

Ejemplos: Desarrollar las siguientes operaciones usando la ley de los

signos para la suma.

I. Signos Iguales:PRECAUCIN: ES SUMA

Aqu no vale eso de menos por menos ni cosa por el estilo!


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8

Nivel Bsico.

853). a

El caso ms simple ocurre cuando las dos cantidades son positivas, es la sumaordinaria: 3+5=8.

523). b

En este segundo caso es la suma de 2 cantidades negativas: -3 y -2, aqu primeroescribimos el signo negativo y luego se suman las cantidades sin el signo,obteniendo -5.

La idea que est detrs de esta suma, es la de sumar los signos negativos como siestuviramos sumando manzanas o peras: 3 negativosmas 2 negativos es iguala 5 negativos.

Ver el siguiente diagrama:

Simplemente es contar cuantos negativos hay en total.

Observa los siguientes ejemplos resueltos de la misma manera:

642).

1798).

633).

111).

1376).

431).

1349).

1495).

j

i

h

g

f

e

d

c


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9

Nivel Intermedio.

181395). c

Aqu tenemos la suma de ms de dos cantidades negativas. Se procede de la mismamanera, se antepone el signo NEGATIVO y posteriormente se suman dichascantidades. El resultado es -18.

137249). d

Aqu tenemos puras cantidades positivas, por lo que no hay problema en sumarlascomo usualmente se hace, el resultado es 13.

Otros ejemplos resueltos:

46134425).

298498).

41231233).

63111).

289676).

25111031).

205249).

246495).

j

i

h

g

f

e

d

c


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10

Para practicar:

Nivel Bsico.

1421).

1918).

44).

141).

93).

131).

411).93).

56).

48).

j

i

h

g

f

e

dc

b

a

Nivel Intermedio.

11411421).

185107).

211273).

13531).

19964).

111253).

1512219).

6312).

9936).

9863).

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a


11/26


11

Nivel Avanzado.

63641972469242).17431261986398).

611297538643).

157892611011).

13912839776).

498521131).

13321101349).

3187531).

747189731).

747289731).

ji

h

g

f

e

d

c

b

a

2. Signos Diferentes:

En este caso primero elegimos la cantidad que es mayor y observamos el signoque tiene sta. Luego hacemos la resta: cantidad mayor MENOS cantidad menor.

Nivel Bsico.

253). a

En este ejemplo la cantidad mayor es el 5 cuyo signo es negativo(recuerda que elsigno de una cantidad est a su izquierda). De acuerdo?


12/26


12

Entonces escribimos el signo: -

Luego hacemos la resta: 5-3=2. En este paso nos olvidamos del signo, porque ya lotomamos en cuenta al principio. El resultado final se obtiene juntando le signo yel 2 esto es: -2.

253). b

En este ejemplo la cantidad mayor es el 5 cuyo signo es POSITIVO (recuerda que

el signo de una cantidad est a su izquierda). De acuerdo?

Entonces escribimos el signo: +

Luego hacemos la resta: 5-3=2. El resultado final se obtiene juntando el signo + yel 2 esto es: +2.

Nota: En el resultado +2, se omite el signo +.Observa el resultado de cada ejemplo dados a continuacin.

022).

198).

693).

9101).

176).

231).

549).

495).

j

i

h

g

f

e

d

c

Nivel Intermedio.

4653).a

La idea consiste en agrupar por separado las cantidades negativas de las positivas yluego aplicar las leyes para cantidades que tienen signos diferentes, veamos elsiguiente desarrollo:


13/26


13

6

612

64534653

Primero juntamos las cantidades -3, -5, -4 y se simplifican por separado parafinalmente operar con el nico nmero positivo que es 6. El resultado se reduce acalcular -12+6= -6 (se pone el signo del mayor, y se hace la resta).

??46125611). b

Desarrollo: Usamos la misma idea.

0

2222

4126651146125611

Observa y escribe los siguientes ejemplos en tu libreta de notas.

12

2133

119174895117498195).

c


14/26


14

4

1620

3103187413871043).

d

54

8228

11711531451715311145).

e

Para Practicar:

Bsico.

42).

98).

34).

110).

66).

91).

49).

95).

53).

53).

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Intermedio.


15/26


15

4242).

1598).

5434).

74110).

11066).

31291).

1849).

8195).

4653).

4653).

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Avanzado.

1027651928393918542).

353157658372528).

1117592818224).

298754321110).

42173986).

672423191).

492579).

139895).

53109553).

5109763).

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a


16/26


16

II.- LEYES DE LOS SIGNOS PARA EL PRODUCTO.

a). Signos Iguales:

El Producto De Cantidades que tienen el mismo signo siemprees POSITIVO

Ejemplos: Desarrollar las siguientes operaciones usando la ley de lossignos para el producto.

PRODUCTO CON SIGNOS IGUALES.

Nivel Bsico.

Notemos que en el producto usamos parntesis para que no haya confusin con laoperacin de suma, an cuando las cantidades sean positivas. Recuerda: no es lomismo -3-5=-8 que (-3)(-5)=15.

Para hacer uso correcto de estas leyes primero determinamos el signo del resultado(recordando que, para 2 cantidades, signos iguales nos da POSITIVO y signosdiferentes nos da NEGATIVO) y posteriormente las cantidades se multiplican.Observa los siguientes ejemplos directos.

Nivel Bsico (2 factores).

(+)(+)=+

(-)(-)=+


17/26


17

5

3

20

12)

5

4)(

4

3).(

63)9)(8).(

9)3)(3).(

1)1)(1).(

42)7)(6).(

3)3)(1).(

36)4)(9).(

45)9)(5).(

15)5)(3).(

15)5)(3).(

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Nivel Intermedio.

En estos ejemplos vamos aumentar el nmero de factores (cantidades).

Secreto# 1: si el nmero de cantidades NEGATIVAS por multiplicar es IMPAR, elresultado SIEMPRE ser NEGATIVO.

Por qu? Es simple podemos agrupar las cantidades de 2 en 2 (lo cual siempreser positivo) y siempre nos va a quedar una cantidad negativa sola sin un

compaero, y eso har que el signo de esa cantidad sea el signo de todo elresultado.

Secreto# 2: si el nmero de cantidades NEGATIVAS por multiplicar es PAR, elresultado SIEMPRE ser POSITIVO.

140

)7)(20()7)(5)(4).(

a

Nota: Aqu podemos aplicar el secreto # 1 sin necesidad de agrupar de 2 en 2,porque tenemos 3 (impar) cantidades negativas.

Realizamos (-4)(-5)=20 y el

resultado los multiplicamos

por -7.


18/26


18

140

)7)(5)(4()7)(5)(4(

270

)6)(45()2)(3)(9)(5).(

b

Nota: Aqu podemos aplicar el secreto # 2 sin necesidad de agrupar de 2 en 2,porque tenemos 4 (par) cantidades negativas.

270

)2)(3)(9)(5()2)(3)(9)(5).(

b

Observa Y escribe en tus notas los siguientes ejemplos resueltos.

He agrupado de 2 en 2, y en ocasiones sobra una cantidad negativa.

Como tenemos un nmero

impar de factores (3), slo

anteponemos el signo negativo

y luego multiplicamos los

nmeros.

Agrupamos (-5)(-9) y (-3)(-2),obteniendo 45 y 6,respectivamente. Luegomultiplicamos los resultadosobtenidos.

Como tenemos un nmero par de

factores (4), slo el resultado ser

POSITIVO y luego multiplicamos

los nmeros. En realidad lossignos negativos desaparecen.


19/26


19

160

84)

8

7)(

5

4)(

4

3).(

648)6)(4)(27()3)(2)(4)(1)(9)(3).(

27)3)(3)(3).(

18)3)(6)(1()3)(3)(2)(1)(1).(

210)5)(7)(6).(

486)54)(3)(3()9)(6)(1)(3)(3)(1).(

9072)4)(9)(7)(4)(9).(

90)2)(45()2)(9)(5).(

2520)5)(8)(7)(3)(3).(

240)16)(15()4)(4)(5)(3).(

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Nivel avanzado.

En este tipo de ejemplos vamos a utilizar algunos de los smbolos deagrupacin como el parntesis, el corchete y las llaves. Pon muchaatencin a este tipo de ejercicios.

La idea consiste en ir eliminando los parntesis de adentro hacia afuera, aplicandolas leyes de los signos para la multiplicacin.

5

)5(

))5(().

a

Paso1. Eliminamos el parntesis de

adentro multiplicando los signos

ne ativos.

Paso 2. Obtenemos un solo

parntesis, el cual vamos a eliminar

multiplicando una vez ms los signos.


20/26


20

5

)5(

))5((

)))5((())))5(((().

b

64

)32(2

))8(4(2

)))1(8(4(2

))))1((8(4(2

)))))1(((8(4(2)))))65(((8(4(2).

c

704

)352(2

))88(4(2

)))11(8(4(2

))))11((8(4(2

)))))11(((8(4(2)))))65(((8(4(2).

d

Nota: Eliminamos sucesivamente los

parntesis de adentro hacia afuera,

en cada paso se eliminan una pareja,

multiplicando los signos

correspondientes.

Recuerda observar bien el nmero de

parntesis que van quedando.


21/26


21

Para Practicar:

Nivel Bsico.

Desarrollar los siguientes productos.

)7

2)(

4

3).(

)19)(8).(

)5)(13).(

)11)(12).(

)9)(6).(

)13)(11).(

)7)(2).(

)6)(5).(

)15)(3).(

)2)(4).(

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Nivel Intermedio.


)8

1)(5

8)(5

2).(

)3)(9)(3)(11)(8)(3).(

)6)(4)(3).(

)8)(6)(2)(5)(2).(

)6)(9)(6).(

)9)(7)(2)(7)(4)(21).(

)5)(3)(6)(4)(5).(

)8)(2)(3).(

)3)(7)(9)(4)(3).(

)4)(8)(6)(4).(

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a


22/26


22

Nivel avanzado.

)))))))1((((((().

)))))21(5(6(9(4(3).

)))))1(3(6(9(4(3).

))))2(((().

)))1(((2).

e

d

c

b

a

b). Signos Diferentes:

El Producto De 2 Cantidades que tienen signos DIFERENTES SIEMPRE esNEGATIVO

(+)(-)=-

(-)(+)=-


23/26


23

Ejemplos.

Nivel Bsico.

Empezamos con ejemplos directos con slo 2 cantidades de signos contrarios.

Debemos observar que siempre el producto, bajo estas condiciones, serNEGAVITO. Adems No importa el orden en que aparezcan los signos.

5

3

20

12)

5

4)(

4

3).(

63)9)(8).(

9)3)(3).(

1)1)(1).(

42)7)(6).(3)3)(1).(

36)4)(9).(

45)9)(5).(

15)5)(3).(

15)5)(3).(

j

i

h

g

fe

d

c

b

a

Nivel Intermedio.

En este tipo de ejercicios vamos aumentar el nmero de cantidades de diferentessignos.

OJO! Para hacer el producto ms rpido vamos aplicar los 2 secretos:

Secreto# 1: si el nmero de cantidades NEGATIVAS por multiplicar es IMPAR, elresultado SIEMPRE ser NEGATIVO.

Secreto# 2: si el nmero de cantidades NEGATIVAS por multiplicar es PAR, elresultado SIEMPRE ser POSITIVO.

De hecho, con estas observaciones no debes preocuparte por las cantidades quetengan signo positivo.

980)7)(7)(5)(4).( a El signo del resultado es negativo,porque tenemos un nmero

impar de factores. Multiplicamos

las cantidades.


24/26


24

1568)7)(7)(8)(4).( b

1)1)(1)(1)(1)(1)(1).( c

113400)9)(5)(4)(21)(10)(3).( d

El signo del resultado es positivo,

porque tenemos un nmero par

de factores. Multiplicamos las

cantidades.

El signo del resultado es Negativo, porque

tenemos un nmero impar de factores.

Luego simplemente multiplicamos las

cantidades.


25/26


25

Para Practicar:

Nivel Bsico.


)7

2)(4

3).(

)19)(8).(

)5)(13).(

)11)(12).(

)9)(6).(

)13)(11).(

)7)(2).(

)6)(5).(

)15)(3).(

)2)(4).(

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Nivel Intermedio.



26/26


26

)8

1)(

5

8)(

5

2).(

)3)(9)(3)(11)(8)(3).(

)9)(4)(3)(6)(4)(3).(

)8)(6)(2)(5)(2).(

)3)(6)(9)(6).(

)9)(7)(2)(7)(2)(21).(

)5)(3)(6)(4)(15).(

)21)(5)(8)(2)(3).(

)7)(3)(7)(9)(4)(3).(

)4)(8)(6)(6).(

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Nivel avanzado.

))))))1(((((().

)))))21(5(7(9(4(3).

)))))1(3(9(9(4(3).

))))2(4(6(().

)))1(7(5(2).

e

d

c

b

a

Visitahttp://www.comoaprendomatematicas.com

Te saluda Adolfo Chapuz Bentez.
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