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COMPARATIVO DE SISTEMAS DE COORDENADAS
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FACULTAD DE INFORMÁTICA Y CIENCIAS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS
CÁTEDRA DE MATEMATICA
SECCIÓN:03
TEMA: “COMPARACION DE SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS, POLARES, CILINDRICAS Y ESFERICAS”
PRESENTADO POR:
APELLIDOS, NOMBRES CARNETSANCHEZ VASQUEZ, VICTOR RENÉ 22-1694-2007SANDOVAL TEJADA, SARA EDITH 25-0025-2014VASQUEZ CARDOZA, CINDY YAMILETH 22-1630-2005ZAVALETA MENJIVAR, CHRISTIAN ALEXANDER 22-2956-2010ZELAYA PEREZ, ANGEL ARNOLDO 22-5205-2007
CONTENIDO
INTRODUCCION.............................................................................................................................3
COORDENADAS POLARES O SISTEMAS POLARES............................................................4
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS.......................................................................4
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES................................................................................5
LA ROSA POLAR........................................................................................................................7
LA ESPIRAL DE ARQUÍMEDES...............................................................................................8
LEMNISCATA..............................................................................................................................9
EL CARACOL DE PASCAL.......................................................................................................9
CARDIOIDE...............................................................................................................................10
SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS........................................................................11
SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS..........................................................................11
RELACIÓN ENTRE LOS DISTINTOS SISTEMAS DE COORDENADAS............................12
ENTRE CARTESIANAS Y CILÍNDRICAS......................................................................13
ENTRE CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS...........................................................................13
ENTRE CARTESIANAS Y ESFÉRICAS........................................................................14
CONCLUSION...............................................................................................................................15
BIBLIOGRAFIA..............................................................................................................................16
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INTRODUCCION
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas que sirven para definir
laposición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y
una distancia. También definiremos los sistemas de coordenadas cartesianas,
polares, cilíndricas y esféricas, al mismo tiempo que mostramos la relación que
existe entre cada uno de los sistemas de coordenadas.
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COORDENADAS POLARES O SISTEMAS POLARES
Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas
bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por una distancia y un
ángulo, ampliamente utilizados en física y trigonometría.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen
o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje
polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia.
Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder
asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano
corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es
el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor
θ crece en sentido anti-horario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0)
se conoce como la “coordenada radial” o “radio vector”, mientras que el ángulo es
la “coordenada angular” o “ángulo polar”.
En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En
ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
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En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos
o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un
sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en se pueden definir
sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto
(A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto
( ) sobre un eje determinado:
Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de
coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O)
y un vector ( ) tal que:
, cuyo módulo es
El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del
vector de posición de dicho punto sobre el eje x.
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
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A las coordenadas polares o sistemas polares se le llama ecuación polar ya que
define a la ecuación como una curva expresada en coordenadas polares. En
muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo como una función de
θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ( (θ), θ) y se
puede representar como la gráfica de una función .
Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función
polar . Si (−θ) = (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°),
si (180°−θ) = (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si
(θ−α°) = (θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le
llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O,
llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de
referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para
poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del
plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y
θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida que va de O a P. El
valor θ crece en sentidoanti horario y decrece en sentido horario. La
distancia r (r ≥ 0) se conoce como la “coordenada radial” o “radio vector”, mientras
que el ángulo es la “coordenada angular” o “ángulo polar”.En el caso del origen, O,
el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la
convención de representar el origen por (0,0º).El sistema de coordenadas polares
es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del
plano se determina por un ángulo y una distancia.
Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas
se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma
cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son:
6
LA ROSA POLAR
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La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y
puede expresarse como una ecuación polar simple,
para cualquier constante (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas
ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k
es par. Si k es racional pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los
pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6,
10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.
Si tomamos sólo valores positivos para r y valores en el intervalo para ,
la gráfica de la ecuación:
es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural . Y si , la gráfica
es una circunferencia de radio
LA ESPIRAL DE ARQUÍMEDES
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La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la
cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa
con la ecuación
Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b
controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada.
La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los
dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre
el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva fue una de las primeras curvas,
después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos.
Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más
fácil con una ecuación polar.
LEMNISCATA
En geometría analítica, sean n puntos del plano F1, F2,...,Fn y k un número real
estrictamente positivo. El conjunto de los puntos del plano cuyo producto de las
distancias a cada uno de los puntos F1, F2,...,Fn es constante e igual a k es una
curva (lugar geométrico) llamada lemniscata de n focos. Lemniscata, en griego
significa cinta de lana.
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En matemáticas la, en particular, lemniscata de Bernoulli es un tipo de curva
descrita por la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:
y tiene sólo dos focos.
La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a ,
el símbolo del infinito, que es ampliamente utilizado en matemáticas.
EL CARACOL DE PASCAL
El caracol de Pascal es la concoide de una circunferenciaque pase por el polo. Es
un tipo de epitrocoide.
Por tanto, su ecuación en coordenadas polares es:
En el caso particular
de h=2·a, se obtiene
una cardioide:
CARDIOIDE
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Se llama cardioide a la curva cuya ecuación polar es: ρ=a(1+cos θ), por su
semejanza con el dibujo de un corazón.
La cardioide es una curva ruleta de tipo epicicloide, con k=1. También es
un caracol de Pascal, cuando 2a=h.
SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS
El sistema de coordenadas cilíndricas se usa para
representar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional. Resulta
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especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de coordenadas
es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al
que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera
coordenada es la distancia existente entre el eje y y el punto, la segunda es el
ángulo que forman el eje X y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la
tercera es la coordenada z que determina la altura del cilindro.
SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que
las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un
punto mediante una distancia y dos ángulos.En consecuencia, un punto P queda
representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio , el ángulo
polar colatitud φ y el azimut θ.Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de
colatitud, en cuyo caso su margen es de -90° a 90° (de -π/2 a π/2radianes), siendo
el cero el plano XY. También puede variar la medida del azimut, según se mida el
ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0° a 360° (0 a 2π en radianes) o de -
180° a +180° (-π a π).Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor
determinado.
Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se
usa en espacios euclídeos tridimensionales. Este sistema de coordenadas
esféricas está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el
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origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las
otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.
RELACIÓN ENTRE LOS DISTINTOS SISTEMAS DE COORDENADAS
ENTRE CARTESIANAS Y CILÍNDRICAS
Con un poco de trigonometría se puede establecer la relación entre los tres
sistemas. Entre cartesianas y esféricas tenemos que la coordenada z, es la
misma,
Mientras que las coordenadas e constituyen los catetos de un triángulo
rectángulo de hipotenusa , por lo que
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De aquí se tienen las relaciones inversas
ENTRE CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
Empleando de nuevo trigonometría podemos pasar de esféricas a cilíndricas. En
primer lugar, la coordenada es la misma en los dos sistemas. El resto de
coordenadas se relacionan mediante un nuevo triángulo rectángulo
Y con las correspondientes relaciones inversas
ENTRE CARTESIANAS Y ESFÉRICAS
Combinando las relaciones anteriores obtenemos el paso de esféricas a
cartesianas.
Y sus correspondientes relaciones inversas
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CONCLUSION
Por lo tanto en base a este trabajo podemos concluir que los sistemas polares pueden graficar sus coordenadas polares haciendo uso del “Eje Polar” que consiste en un punto “O” del plano, al que se le llama “origen”o “polo”, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada “eje polar” que es equivalente al eje x del sistema cartesiano, como sistema de referencia.
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BIBLIOGRAFIA
https://books.google.com.sv/books?
id=oLgUANewDrYC&pg=PA210&dq=ESPECIFICACIONES+SOBRE+LAS+
ECUACIONES+DE+COORDENADAS+POLARES&hl=es&sa=X&ei=C481V
cK1LMT3oATA4IHoAg&ved=0CC0Q6AEwAw#v=onepage&q=ESPECIFICA
CIONES%20SOBRE%20LAS%20ECUACIONES%20DE
%20COORDENADAS%20POLARES&f=false
http://es.wikipedia.org/wiki/Caracol_de_Pascal
http://es.wikipedia.org/wiki/Lemniscata
16
http://www.monografias.com/trabajos33/coordenadas-polares/coordenadas-
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https://academica.ues.edu.sv/uiu/elementos_estudio/matematica/Jesus
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11.%20Coordenadas%20Polares.pdf
https://books.google.com.sv/books?id=fcvPeAOIV-
MC&pg=PA714&dq=COORDENADAS+POLARES+en+calculo&hl=es&sa=
X&ei=ZY81VY3nNM-
zogTOt4DABw&ved=0CBsQ6AEwAA#v=onepage&q=COORDENADAS
%20POLARES%20en%20calculo&f=false
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