ก

การเปรยบเทยบมลคาออปชนโดยใช แบบจาลองแบลคโชลสแบบจาลองตนไมทวนาม และการจาลองมอนตคารโล สาหรบออปชนบนดชนSET50 Comparison on option prices using Black Scholes, binomial tree models and Monte Carlo simulation

for SET50 Index Options

นายจกรกฤษณ ศรทองด เลขประจาตวนสต 493 35577 23 นางสาวนภาวด ไชยนาเคนทร เลขประจาตวนสต 493 35720 23

โครงงานนเปนสวนหนงของการศกษาระดบปรญญาตร สาขาวชาคณตศาสตร ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

ปการศกษา 2552

ข

โครงงาน การเปรยบเทยบมลคาออปชนโดยใชแบบจาลองแบลคโชลสแบบจาลองตนไมทวนาม และ การจาลองมอนตคารโล

Comparison on option prices using Black Scholes, binomial tree models and Monte Carlo simulation

โดย นายจกรกฤษณ ศรทองด เลขประจาตวนสต 493 35577 23 นางสาวนภาวด ไชยนาเคนทร เลขประจาตวนสต 493 35720 23

อาจารยทปรกษา อาจารย ดร.กตตพฒน วอง อาจารยทปรกษารวม ศาสตราจารย ดร. กฤษณะ เนยมมณ

ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย อนมตใหนบโครงงานนเปนสวน

หนงของการศกษาระดบปรญญาตร ในรายวชา 2301499 SENIOR PROJECT

-----------------------------------------------

(ศาสตราจารย ดร. กฤษณะ เนยมมณ) หวหนาภาควชาคณตศาสตร

-----------------------------------------------

(อาจารย ดร.กตตพฒน วอง) อาจารยทปรกษา

-----------------------------------------------

(ศาสตราจารย ดร. กฤษณะ เนยมมณ)

อาจารยทปรกษารวม

----------------------------------------------- (อาจารย ดร.คารณ เมฆฉาย)

กรรมการสอบ

----------------------------------------------- (อาจารย ดร.บญฤทธ อนทยศ)

กรรมการสอบ

ค

บทคดยอ

การลงทนตราสารอนพนธ(Derivative) ประเภทออปชน (Options) เปนการลงทนทมความเสยง คอนขางสง เนองจากมโอกาสทจะขาดทนแบบไมจากด ดงนนกอนการลงทน เพอปองกนความเสยงจากการลงทน ผลงทนควรศกษาและวเคราะหถงผลตอบแทนทจะไดรบจากการลงทนเสยกอน จากแนวคดดงกลาวทาใหเกดการคานวณทางคณตศาสตรทนามาใชในการวเคราะหถงผลตอบแทนจากการลงทนอยางหลากหลาย

สาหรบโครงงานนไดยกแบบจาลองตนไมทวนาม(Binomial Tree Model) แบบจาลองแบลคโชลส (Black

Schoes Model) และการจาลองมอนตคารโล (Monte-Carlo Simulation) มาใชในการศกษาและวเคราะหตราสารอนพนธประเภทออปชนสาหรบประเทศไทย ซงมการเปดทาการซอขายขนครงแรกใน พ.ศ.2550 ภายใตชอ SET50 Index Options ซงเราไดศกษา SET50 Index Options ของสญญาทมอายระหวางเดอนกรกฎาคม-กนยายน ในปพ.ศ.2552

ง

Abstract

Investment in options contains relatively high risk due to the possibility of infinite loss. Consequently, in order to prevent the loss from investment, investors should study and analyze the return of the investment.

For this project, Binomial Tree Model, Black Schoes Model and Monte-Carlo Simulation are used to analyze the price of theSET50 index options in Thailand, which officially first launched in 2007. The data of our project was collected between July – September 2009.

จ

กตตกรรมประกาศ

โครงงานการเปรยบเทยบมลคาออปชนโดยใชแบบจาลองแบลคโชลส แบบจาลองตนไมทวนาม และการจาลองมอนตคารโลจะสาเรจลลวงไปไมได หากคณะผจดทาไมไดรบความอนเคราะหและการชวยเหลอจากผมพระคณหลายทาน ดงน ขอกราบขอบพระคณ ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ และ อาจารย ดร.กตตพฒน วอง ทกรณารบเปนอาจารยทปรกษาโครงงาน และคอยใหคาปรกาในเรองตางๆในการทาโครงงานน ไมวาจะเปนความรเกยวกบตราสารอนพนธประเภทออปชน ความรเกยวกบดชน SET50 และความรเกยวทางสถตและความนาจะเปนขนสง เปนตน รวมถงสละเวลาคอยตดตามความกาวหนา เสนอแนะ และชใหเหนถงปญหาและขอผดพลาดตางๆในการศกษาและวเคราะหมลคาออปชนโดยวธการทางคณตศาสตรมาโดยตลอด ตงแตเรมตนจดทาโครงงานจนกระทงโครงงานนสาเรจลลวงอยางสมบรณและมประสทธภาพ จนสามารถนาไปเผยแพรได ขอกราบขอบพระคณ อาจารย ดร.คารณ เมฆฉาย และอาจารยดร.บญฤทธ อนทยศ ทกรณาเปนคณะกรรมการในการสอบโครงงานนและใหคาเสนอแนะและขอคดเหนทมประโยชนอยางยงสาหรบเรองตางๆในการทาโครงงานน รวมทงชใหเหนถงขอผดพลาดตางๆซงทาใหการหามลคาออปชนจากทฤษฎทางคณตศาสตรและการวเคราะหเปรยบเทยบมลคาออปชนทไดจากแตละทฤษฎสมบรณแบบและมประสทธภาพยงขนทจะนาไปเผยแพรตอไป ขอกราบขอพระคณ คณพอ คณแม และครอบครว ทคอยสนบสนน เปนกาลงใจ และคอยตดตามความกาวหนาในการทาโครงงานมาโดยตลอด ขอขอบคณเพอนๆทกคนทคอยใหกาลงใจ ใหความชวยเหลอ ใหคาปรกษา คาแนะนาและขอเสนอแนะตางๆในการทาโครงงานน และสอบถามความกาวหนาอยเสมอ และสดทายนขอขอบคณ พเรวต ถนดกจหรญ ทสละเวลามาชวยสอนคณะผจดทาในเรองของการใชโปรแกรม MATHLAB สาหรบการเงนและการคานวณการจาลองมอนตคารโล ซงทาใหโครงงานนสาเรจลลวงไดอยางมประสทธภาพ

คณะผจดทา 13 มกราคม 2553

ฉ

สารบญ หนา บทคดยอ ภาษาไทย ค บทคดยอ ภาษาองกฤษ ง กตตกรรมประกาศ จ สารบญ ฉ บทท 1 บทนา 1 บทท 2 แบบจาลองตนไมทวนาม 10 2.1 แบบจาลองตนไมทวนาม 1 คาบ 10 2.2 Risk-Neutral Valuation 13 2.3 แบบจาลองตนไมทวนามหลายคาบ 14 2.4 การกาหนดคา u และ d ใหเหมาะสมกบความผนผวน 17

2.5 โปรแกม Microsoft Excel เพอคานวณมลคาออปชนตามแบบจาลองตนไมทวนาม 19 บทท 3 แบบจาลองแบลคโชลส

3.1 สมบตของมารคอฟ 26 3.2 กระบวนการสมตอเนอง 26 3.3 กระบวนการสาหรบราคาของหน 28 3.4 ItÔ Lemma 30 3.5 สมบตของ Lognormal 30 3.6 สมบตของ Lognormal สาหรบราคาหน 31 3.7 การแจกแจงของอตราผลตอบแทน 32 3.8 อตราผลตอบแทนทคาดหวง 32 3.9 การหาความแปรปรวนจากขอมลในอดต 33 3.10 ขอสมมตฐานของแบบจาลองแบลคโชลส 35 3.11 การไดมาของสมการอนพนธของ Black, Scholes และ Merton 35 3.12 Risk-Neutral Valuation 36 3.13 สตรทวไปในการมลคาออปชนของ Black-Scholes 41

3.14 โปรแกม Microsoft Excel เพอคานวณมลคาออปชนตามแบบจาลองแบลคโชลส 42 บทท 4 การหามลคาออปชนโดยวธมอนตคารโล 44 4.1 คอลออปชน 46

4.2 พทออปชน 46 4.3 การใชวธมอนตคารโลในการหามลคาออปชนโดยอางองดชนSET50กบMATHLAB 47

บทท 5 การเปรยบเทยบมลคาออปชน 56

ช

รายการอางอง 67 บรรณานกรม 68 ภาคผนวก ภาคผนวก ก แบบเสนอหวขอโครงงาน รายวชา 2301399 Project Proposal 69 ภาคผนวก ข แหลงทมาของขอมล 71

1

บทท 1 บทนา

ตราสารอนพนธ (Derivatives) เปนตราสารทางการเงนชนดหนง เปนตราสารทไมมมลคาในตวเอง แตมมลคาขนอยกบสนคาอนทตราสารอนพนธนนอางองอย โดยเรยกสนคาทตราสารอนพนธอางองวา สนคาอางอง (Underlying Asset) นอกจากนตราสารอนพนธเปนตราสารทมอายจากด เมอหมดอายมลคาของตราสารนนๆ กจะหมดลงดวย

การซอขายอนพนธมใหพบเหนไดทวไปในชวตประจาวน เพอใหถงความหมายของอนพนธชดเจนยงขน จะยกตวอยางเรองใบจองซอรถมาอธบาย ถาคนตองการรถใหมเปนจานวนมากและมคนจานวนหนงทซอใบจองรถไมทนคนเหลานจงไปขอซอใบจองรถจากคนทจองได โดยยอมจายคาใบจองแพงกวาราคาทขายตอนแรก จากราคาไมกพนบาท ใบจองรถบางรนกขนไปถงหลกหมนกม ทงทตวใบจองรถเปลาๆ ถอวาไมมคาอะไรเลย แตคาของมนอยท “สทธ” เพอใชซอรถตามรน ตามยหอ และราคาตามทระบไว ภายในเวลาทกาหนดไวในใบจอง ถาครบกาหนดแลวผถอใบจองไมนาใบจองไปใชสทธซอรถ ใบจองรถใบนนกจะหมดคาไปทนท ในกรณนเรา เปรยบ “ใบจองรถ” ไดวาเปน “อนพนธ” ประเภทหนงทใหสทธในการซอรถได สวน “รถยนต” กเปรยบไดกบ “สงทมนอางอง” ของอนพนธฉบบนนๆ นนเอง

จะเหนไดวาราคาของใบจองรถทยงไมหมดอายจะมากหรอนอยเทาใดขนกบวาใบจองนนเปนใบจองสาหรบรถยนตยหออะไร รนอะไร คนนยมกนมากแคไหน ถาเปนรนยอดนยมราคาใบจองอาจจะสงมาก แตถาเปนรนทไมนยม คนไมตองการ คนทซอใบจองมาตอนแรกถาเปลยนใจไมอยากซอรถแลวตองการขาย ใบจองกอาจขายไมออกหรอตองขายในราคาตามากๆจงจะมคนยอมซอ ซงจะเหนไดวาคาของใบจองรถ ทอปมาเปนอนพนธจะไมมมลคาในตวเอง แตคณคาของ อนพนธจะอยท “สนทรพยอางอง”

การซอขายในตลาดอนพนธกเปรยบเสมอนการนาใบจองรถมาซอขายเปลยนมอในตลาด ราคาของใบจองจงเพมลดเปลยนแปลงตามอปสงคและอปทานในตลาด ผทซอใบจองมากหวงวาจะขายไดในราคาสงขน ซงการซอขายในตลาดอนพนธจะเปดโอกาสใหผลงทนสามารถ "ขายกอนซอ" หรอ "ซอกอนขาย" กได จงทาใหเกดโอกาสทากาไรในสองขา เชน จากตวอยางขางตน หากผลงทนคาดวาราคาใบจองจะสงขน กสามารถเขามาซอและรอขายทากาไรในอนาคต แตหากผลงทนคาดวาราคาใบจองจะตาลงกสามารถเขามา "ขาย" กอนไดเลยและรอ "ซอ" เพอทากาไรในภายหลง

นอกจากน ตราสารอนพนธยงมจดเดนทใชเงนลงทนนอย ผลงทนมโอกาสไดผลตอบแทนสง จากตวอยางใบจองรถขางตนจะเหนวาคนทซอใบจองรถมาในตอนแรกแลวนาใบจองรถไปขายตอ จะใชเงนทนนอยมากเมอเทยบกบเงนทตองใชซอรถจรงๆเพอรอนาไปขายตอทากาไร อยางไรกตาม แมวาการซอขายใบจองรถจะมลกษณะคลายกบการซอขายในตลาดอนพนธ แตกเปนเพยงการยกตวอยางเพอใหเกดความเขาใจมากขนเทานน เนองจากตราสารอนพนธมหลายประเภทวธการซอขาย ตลอดจนกาไรและขาดทนของผซอและผขาย จงขนอยกบประเภทของอนพนธนนๆ

2

ประเภทของสนคาทซอขายในตลาดอนพนธ

โดยหลกๆ แลวตราสารอนพนธทซอขายกนในตลาดเงนทวโลก สามารถแบงออกเปน 4 ประเภทใหญๆ ดวยกน ไดแก

1. ฟวเจอรส (Futures) เปนสญญาซอขายลวงหนาทซอขายผานตลาดอนพนธทมการจดตงอยางเปนทางการ เมอถงเวลาทกาหนดผซอและผขายมพนธะตองซอขายกนตามทตกลงในสญญา

2. ออปชน (Options) เปนสญญาสทธ ผขายมภาระตองปฎบตตามพนธะในสญญา ในขณะทผซอมสทธ จะเลอกใชสทธหรอไมกได

3. ฟอรเวรด (Forward) เปนสญญาซอขายลวงหนาคลายกบฟวเจอรส แตผซอและผขายตกลงซอขายกนนอกตลาดทมการจดตงขนอยางเปนทางการ

4. สวอป (Swap) เปนขอตกลงระหวางบคคลตงแต 2 ฝายขนไป ในการแลกเปลยนกระแสเงนสดในอนาคต

ทงน ในปจจบนตราสารอนพนธทซอขายใน บรษท ตลาดอนพนธ (ประเทศไทย) จากด (มหาชน) (TFEX) มอย 2 ประเภทดวยกน คอ สญญาฟวเจอรส (Futures) และสญญาออปชน (Options) โดยประกอบดวย

• SET50 Index Futures เรมซอขายเมอวนท 28 เมษายน 2549 และ

• SET50 Index Options เรมซอขายเมอวนท 29 ตลาคม 2550 Options และ SET50 Index Options ออปชน (Options)

ออปชน (Options) หมายถง สญญาทผขายออปชนใหสทธแกผซอออปชน ในการซอหรอขายสนทรพยในอนาคตตามราคาและจานวนทไดตกลง กนไวตามสญญา โดยผซอออปชนเปนผทมสทธในการตดสนใจวาจะใชสทธนนหรอไมกได โดยหากผซอเลอกทจะใชสทธผขายกตองยอมใหผซอใชสทธตามทตกลงกนไว ทงนในวนทตกลงซอขายออปชนผซอออปชนจะตองจายเงนจานวนหนงใหแกผขายออปชนเปนการตอบแทน เพอแลกกบการไดสทธตามสญญานน เรา เรยกเงนจานวนนวา “คาพรเมยม” (Premium)

ประเภทของออปชน

สญญาออปชนแบงออกเปน 2แบบดวยกน คอ 1. European Options คอ สญญาออปชนทสามารถใชสทธ ไดเมอถงวนสนสทธเทานน 2. American Options คอ สญญาออปชนทสามารถใชสทธเมอไรกไดจนถงวนสนสทธ

นอกจากนออปชนยงแบงลกษณะของสทธในการซอขายออกเปน 2 ประเภท คอ คอลออปชน (Call Options) และพทออปชน (Put Options)

1. คอลออปชน คอ การทผขายใหสทธผซอคอลออปชนในการ “ซอ” สนคาอางองในจานวน ราคา และเวลาทกาหนดไว ผซอออปชนซงเปนผไดรบสทธจะสามารถเลอกทจะใชสทธใน การ “ซอ” นหรอไมกได หากผซอคอลออปชนเลอกทจะไมใชสทธภายในระยะเวลาทกาหนดออปชนกจะหมดอายไปแตหากผซอคอลออปชนเลอกทจะใชสทธ “ซอ” สนคาอางองภายในเวลาทกาหนด ผขายคอลออปชนกมภาระผกพนตอง “ขาย” สนคาอางองใหแกผซอคอลออปชนตามจานวนราคาทตกลงกนเอาไว

2. พทออปชน คอ การทผขายใหสทธผซอพทออปชนในการ “ขาย” สนคาอางองในจานวน ราคา และเวลาทกาหนดไว ผซอพทออปชนซงเปนผไดรบสทธจะสามารถเลอกทจะใชสทธในการ “ขาย” นหรอไมก

3

ได หากผซอพทออปชนเลอกทจะไมใชสทธภายในระยะเวลาทกาหนด ออปชนกจะหมดอายไปแตหากผซอ พทออปชนเลอกทจะใชสทธ “ขาย” ภายในเวลาทกาหนด ผขายพทกมภาระผกพนตอง “ซอ” สนคาอางองใหแกผซอพทออปชน ตามจานวน ราคาทตกลงกนเอาไว เนองจากสญญาออปชนเปนสญญาทตองมสนคาอางอง ซงในโครงงานนใชดชน SET50 เปนสนคาอางอง เพอใชเปนกรณศกษา ดงนน กอนอนเราจะมาทาความเขาใจกบดชน SET50 กนกอน ดชน SET50 (SET50 Index)

ดชน SET50 เปนดชนราคาหนทสะทอนภาพรวมของตลาดหนวาเคลอนไหวไปในทศทางใด ขาขน หรอขาลง คานวณมาจากราคาหนสามญ 50 หนแรกทซอขายในตลาดหลกทรพยทมลกษณะ “ตวใหญ” คอมมลคาตลาดสงและ “ยอดนยม” คอมสภาพคลองสง หนทนามาคานวณดชน SET50 จะมการปรบรายชอทกๆ 6 เดอน เนองจากสภาพตลาดมการเปลยนแปลงอยตลอดเวลา ดงนนเมอเวลาผานไปหนทนามาใชคานวณดชนอาจไมใชหนทตวใหญและเปนทนยม 50 อนดบแรกอกตอไป จงมการปรบรายชอหนทนามาคานวณเปนระยะเพอใหไดหนทเปน “ตวใหญ” และ “ยอดนยม” เหมาะกบตลาดขณะนนจรงๆ

SET50 Index Options

SET50 Index Options หมายถง สญญาซอขายลวงหนาทผซอไดสทธในการ “ซอ” หรอไดรบสทธในการ “ขาย” ดชน SET50 จากผขายในเงอนไขและราคาทตกลงกนไวในสญญาออปชน หรอทเรยกวา ราคาใชสทธ (Exercise Price)

SET50 Index Options มจดเดนทสามารถใชสรางกลยทธทากาไรไดในทกสภาวะตลาด สามารถนามาผสมผสานกบฟวเจอรส หรอหนเพอออกแบบกลยทธลงทน รบมอกบตลาดไดทงในภาวะขาขน ขาลง และตลาดคงตว นอกจากน ผลงทนยงสามารถเลอกรปแบบการลงทนทเสยงนอยกวาฟวเจอรส อกทงยง ใชเงนลงทนนอยกวา เพราะสญญามขนาดเลกกวาฟวเจอรสถง 5 เทา

SET50 Index Options ทซอขายกนใน TFEX นนม 2 ประเภท ไดแก SET50 Index Call Options และ SET50 Index Put Options โดยสญญาเปนแบบ European Options คอ สญญาออปชนทสามารถใชสทธ ไดเมอถงวนสนสทธ (Last Trading Day) เทานน ลกษณะของ SET50 Index Options ตวคณดชน

ตวคณดชน (Multiplier) เปนตวเลขทใชคานวณมลคาของสญญาใหเปนตวเงน เนองจากดชน SET50 Index มหนวยเปนจด แตละจดของดชน SET50 Index มมลคาจดละ 200 บาท เชน หากซอ SET50 Index Call Options ทมคาพรเมยมเทากบ 50 จด ดงนนในวนแรกทตกลงซอขายสญญา ผซอจะตองจายเงนใหแกผขายเทากบ 50 จด x 200 บาท = 10,000 บาท

ออปชนมขนาดเลกกวา ฟวเจอรส 5 เทา

SET50 Futures 1 จด = 1,000 บาท SET50 Options 1 จด = 200 บาท

4

อายของสญญา SET50 Index Option มอายแตกตางกนตามเดอนทสญญาครบกาหนด โดยมเดอนทสญญาครบ

กาหนดอายทกไตรมาส ในเดอนมนาคม มถนายน กนยายน และธนวาคม ทงน SET50 Index Option แตละ Series จะสามารถซอขายไดจนถงวนทาการกอนหนาวนทาการ

สดทายของเดอนทออปชน Series นนๆหมดอาย และเมอออปชน Series ใดหมดอายกจะมออปชน Seriesใหมทหมดอายเดอนเดยวกนแตเปนปถดไปขนมาแทนท

เดอนทสญญาครบกาหนดของ SET50 Index Options เหมอนกบเดอนทสญญาครบกาหนดของ SET50 Futures เชน SET50 Index Option ทสนสดอายเดอนมถนายน วนทาการวนสดทาย = วนท 30 มถนายน ดงนน วนซอขายวนสดทาย = วนท 29 มถนายน ราคาใชสทธ

ราคาใชสทธ (Exercise Price) SET50 Index Options ทซอขายกนในตลาดอนพนธจะมราคาใชสทธทหลากหลาย โดยราคาใชสทธของออปชนแตละตวจะเปนจานวนเตมสบและหางกน Series ละ 10 จด เชน SET50 Options ทซอขายอาจมราคาใชสทธท 500 จด, 510 จด, 520 จด เปนตน แตจะไมมราคาใชสทธท 515 จดเพราะไมใชจานวนเตมสบ ราคาเสนอซอขาย

ราคาเสนอซอขายหรอทเรยกวา “คาพรเมยม” (Premium) เปนราคาทผซอผขายตกลงตอรองผาน โบรกเกอรเขามายงระบบซอขายของตลาดอนพนธ โดยคาพรเมยมทเสนอซอขายนจะอยในรปจดดชน (Index Point) เชน ผลงทนอาจสงคาสงเสนอซอ SET50 Call Options โดยเสนอราคามาท 20.30 จด ดงนน ราคาซอท 20.30 จดนกคอคาพรเมยมนนเอง

คาพรเมยมทผซอผขายตกลงกนน จะมหนวยทละเอยดทสดเปนทศนยม 1 ตาแหนงเทานน เชน ผลงทนอาจเสนอซอขายออปชนกนทราคา 20.10 จด, 20.20 จด, 20.30 จด เปนตน แตจะไมสามารถเสนอราคาทมจดทศนยม 2 ตาแหนง เชน 20.38 จด เพราะระบบซอขายจะไมรบคาสงดงกลาว เวลาซอขาย

เวลาซอขาย (Trading Hour) จะใกลเคยงกบเวลาการซอขายของหนในตลาดหลกทรพย โดยมการแบงเปนชวงเวลาเชนเดยวกบทกาหนดในตลาดหลกทรพยดงน

ชวงกอนเปดตลาด : 09.15 – 09.45 น. ชวงเชา : 09.45 – 12.30 น. ชวงกอนเปดตลาด : 14.00 – 14.30 น. ชวงบาย : 14.30 – 16.55 น.

โดยเวลาการซอขายของ SET50 Index Options นจะเปดกอนการซอขายในตลาดหลกทรพย 15 นาท และ ปดหลง 15 นาท เพอเปดโอกาสใหผซอผขายปรบกลยทธการลงทนของตน ซงเปนหลกการสากลทตลาดอนพนธในประเทศอนๆ ใชกน

5

ปจจยทมผลกระทบตอราคาออปชน มดงตอไปน คอ ราคาสนคาอางอง (Underlying Prices)

ราคาสนคาอางองยอมสงผลกระทบตอราคาของออปชนอยางแนนอน เนองจากอนพนธเปนตราสารทมราคาแปรผนไปกบราคาสนคาอางอง หากยกตวอยางสนคาอางองของออปชนคอหน เมอราคาหนเปลยนแปลงไปยอมสงผลใหราคาของออปชนเปลยนแปลงไปเชนกน ซงจะเปลยนแปลงไปในทศทางใดกขนอยกบประเภทออปชนวาเปนคอลออปชนหรอพทออปชน

• กรณเปนคอลออปชน มลคาของคอลออปชนจะเพมขนในทศทางเดยวกนกบราคาของหนทสงขน เนองจากผซอออปชนจะไดรบประโยชน(กาไร)ทมากขนหากมการใชสทธตามสญญา เนองจากมการลอกราคาซอไวตงแตตนแลว เชน ซอคอลออปชนทใหสทธในการซอหน AAA ไดทราคา 10 บาท หากปจจบนราคาของหน AAA มการปรบตวสงขน เชนจาก 10 บาทเปน 12 บาท กจะทาใหผถอออปชนมกาไรมากขน เพราะยงคงสามารถใชสทธซอหนไดทราคา 10 บาท ดงนนมลคาของออปชนยอมเพมขน

• กรณเปนพทออปชน ในทางกลบกน พทออปชนจะมมลคาเพมขนเมอราคาของหนปรบตวลดลงเพราะจากรปแบบของการทากาไรทเปนทศทางตรงกนขามกบคอลออปชน คอให สทธในการขายในราคาทกาหนดไว พทออปชนจะยงมกาไรมาก หากราคาหนแมลดลง เพราะผถอออปชนยงคงสามารถขายไดในราคาทสงเชนเดม สงผลใหยงราคาหนแมลดลงมากเทาไหร มลคาของพทออปชนกจะยงเพมขน

ราคาใชสทธ (Exercise Price)

ราคาใชสทธ จะสงผลตอมลคาของออปชน เนองจากสาเหตดงตอไปน

• คอลออปชน เมอเปรยบเทยบระหวางออปชน 2 ตว ทเงอนไขอนเหมอนกนแตมราคาใชสทธแตกตางกน มลคาของคอลออปชนทมราคาใชสทธตากวาจะมมลคาสงกวา เนองจากผซอคอลออปชนสามารถใชสทธซอหนตามสญญาออปชนไดในราคาทตากวา ทาใหมตนทนทตา ผลประโยชนยอมเพมขน สงผลใหมลคาของออปชนสงกวาในทสด ยกตวอยางเชน ออปชนทใหสทธในการซอหนบรษท AAA ออปชนตวแรกมราคาใชสทธ 20 บาท สวนออปชนอกตวมราคาใชสทธ 18 บาท ออปชนทงสองมอายคงเหลอเทากน มลคาของคอล ออปชนทมราคาใชสทธ 18 บาทยอมมราคาสงกวาออปชนทมราคาใช สทธ 20 บาท เพราะผถอคอลออปชนสามารถใชสทธซอไดในราคาถกกวา

• พทออปชน ตรงกนขามกบคอลออปชน มลคาของพทออปชนจะสงกวาสาหรบพทออปชนทมราคาใชสทธสงกวา เนองจากราคาใชสทธคอราคาทผซอออปชนสามารถขายหนได ซงหากราคาใชสทธสงกวาราคาทสามารถขายไดยอมมากกวา มลคาของออปชนจงสงกวาตามไปดวย

ความผนผวนของราคาสนคาอางอง (Volatility)

ความผนผวนจะสงผลตอมลคาของออปชน โดยหากในชวงทราคาสนคาอางองมความผนผวนมากกจะทาใหมโอกาสสงทผถอจะทากาไรจากการใชสทธไดมากขน ดงนน หากหนมความผนผวนมาก ออปชนทงคอลออปชนและพทออปชน มกจะมราคาของออปชนทปรบตวเพมขนตามขนาดของความผนผวนนน

6

อายของสญญา ออปชนทอายคงเหลอยาวกวายอมมโอกาสทราคาของสนคาอางองจะผนผวนไดมากกวาออปชนท

ใกลหมดอาย ซงทาใหมโอกาสสงทราคาสนคาอางอง จะเปลยนแปลงไปในทศทางททาใหออปชนมกาไรไดมากเชนกน ยกตวอยาง คอลออปชนทมสนทรพยอางองตวเดยวกนและราคาใชสทธเทากน คอลออปชนทมอายของสญญายาวกวา เชน หมดอายในอก 4 เดอนขางหนา จะมมลคาสงกวาออปชนทอายสนกวา เชนออปชนทหมดอายในอก 1 เดอนขางหนา เนองจากอายสญญาทยาวกวา ยอมทาใหความเปนไปไดทราคาสนคาอางองจะเปลยนแปลงไปในทศทางททาใหผถอออปชนมกาไร อตราดอกเบย

อตราดอกเบย มผลกระทบตอมลคาของออปชน เนองจากดอกเบยจะเปนตวกาหนดตนทนของการถอคอลและพทออปชน

• คอลออปชน อตราดอกเบยทสงขนจะสงผลใหคอลออปชนมคาสงขนไปดวย เนองจากคอล ออปชนใหสทธในการซอสนคาอางองในเวลาทกาหนด นกลงทนจงตองถอเงนเพอเตรยมซอ และเนองจากการเตรยมเงนไวทกบาททกสตางคลวนมตนทน โดยตนทนทวากคออตราดอกเบยนนเอง การทดอกเบยสงขนยอมทาใหมลคาปจจบนของเงนทถอหรอเงนทตองเตรยมไวตงแตวนนนอยลง ยกตวอยางเชน นายมองไกลสามารถซอหนบรษท AAA ไดในอก 1 ปขางหนา ดวยราคา 110 บาท ตามสทธจากคอลออปชน ถาปจจบนอตราดอกเบยอยท 5% ดงนน นายมองไกลจะตองเตรยมเงนในวนนไวท 104.76 บาท เพราะเมอเวลา ผานไปครบ 1 ปนายมองไกลจะไดเงนอก 5.24 บาท จากดอกเบยระยะเวลา 1 ปของเงน 104.76 บาท รวมเปน 110 บาทพอด แตถาอตราดอกเบยอยท 10% นายมองไกลจะตองเตรยมเงนในวนนเพยง 100 บาทเทานนกจะมเงนในอนาคตคออก 1 ปขางหนาเทากบ 110 บาท จะเหนวาถาอตราดอกเบยสงขนตนทนของการกนเงนเพอใชสทธตาม คอลออปชนจะนอยลง ราคาออปชนจงดงดดผลงทนมากขนและสงผลใหราคาคอลออปชนสงขนได

• พทออปชน ดอกเบยทสงขนจะสงผลใหราคาของพทออปชนลดตาลง เนองจากมลคาปจจบนของรายไดทผถอออปชนจะไดรบจากการใชสทธขายหนตามพทออปชน มคาลดลง และยงอตราดอกเบยสงขนเทาใด คาของเงนในปจจบนกยงลดลงมากขนเทานน จงเปนเหตใหราคาของพทออปชนลดลงเมออตราดอกเบยเพมขน

เงนปนผล

เงนปนผล สาหรบออปชนทใหสทธในการซอหรอขายหน เงนปนผลจะสงผลกระทบตอราคาของออปชนดวย เพราะเมอหนมการจายเงนปนผล ราคาของหนยอมลดลง และสงผลตอราคาออปชนหากเปน

• คอลออปชน การจายเงนปนผลของหนจะสงผลใหมลคาของคอลออปชนลดลง เนองจากราคาตลาดของหนจะมการปรบตวลดลงเทากบจานวนเงนปนผลทจาย สงผลกระทบใหคาคอลออปชนปรบลดลงตามไปดวย

• พทอออปชน การจายเงนปนผลของหนจะสงผลใหมลคาของพทออปชนเพมขน เนองจากราคาตลาดของหนจะมการปรบตวลดลงเทากบจานวนเงนปนผลทจาย สงผลใหคาพท ออปชนปรบตวเพมขน

7

ประโยชนของ SET50 Index options 1. ใชบรหารความเสยง ผลงทนทมพอรตลงทนในหนอย โดยเฉพาะกลมผลงทนสถาบนทมกจะม

พอรตลงทนในหนทอยในกลมดชน SET50 สามารถเลอกใช SET50 Index Options เปนเครองมอลดความเสยงในชวงทตลาดหนไมเปนใจได ซงจะทาใหชวยลดภาระในเวลาทจาเปนตองขายหนจานวนมาก อกทงคาใชจายกยงไมมากนกดวย เชน ผลงทนทมพอรตลงทนในหนกลมดชน SET50 ยอมกงวลหากตลาดตก กจะทาใหมลคาพอรตทตนมอยมมลคาลดลงได จงเขามาซอ SET50 Index Put Options เพอเปนการทาประกนใหกบพอรตลงทนของตน หากตลาดตกจนทาใหพอรตลงทนทถอไวขาดทนผลงทนกสามารถใชสทธพทออปชน และนากาไรทไดจากการใชสทธมาชดเชยกบขาดทนทเกดในพอรตหน

2. ประโยชนในการทากาไร ดวยเสนหของ SET50 Index Options ทสามารถใชเปนเครองมอทากาไรไดในทกสถานการณ อกทงยงสามารถใชเพมพลงเงนทนไดอกดวย ผลงทนจงนยมใช SET50 Index Options เปนเครองมอเพมผลกาไรใหกบพอรตลงทน แนวคดในการวเคราะหราคาตราสารอนพนธ แนวคดอาบทราจ (Arbitrage) และ กฎแหงราคาเดยว (the law of one price) เปนแนวคดพนฐานในการกาหนดราคาตราสารอนพนธ โดยมหลกการวา ในตลาดทมการแขงขนอยางสมบรณและนกลงทนทกคนไดรบขอมลเทาเทยมกน ของสองสงทเหมอนกนทกประการหรอเทยบเคยงกนไดทางการเงน จะตองมราคาเทากนเสมอ ดงนนควรเปนราคาทไมกอใหเกดโอกาสในการทากาไรโดยปราศจากความเสยงและไมตองใชเงนลงทนจากความแตกตางของราคาปจจบนกบราคาอนพนธ

ขอบเขตของราคาออปชน สมมตฐานของการตลาด

1. นกลงทนไมตองชาระคาธรรมเนยมในการทาธรกรรมของออปชน 2. นกลงทนตองชาระภาษบนกาไรสทธของการทาธรกรรมทอตราเดยวกน 3. นกลงทนสามารถกยม หรอฝากเงนไดทอตรากดอกเบยเดยวกน เทากบอตราดอกเบยปราศจาก

ความเสยง 4. นกลงทนจะทาธรกรรมอาบทราจเพอทากาไรทนททมโอกาส

กาหนดให

0 :S ราคาปจจบนของสนทรพยอางอง :K ราคาใชสทธของออปชน :T อายคงเหลอของออปชน :TS ราคาของสนทรพยอางอง ณ วนครบกาหนดอายของออปชน

:r อตราดอกเบยปราศจากความเสยงแบบทบตนตอเนองของการลงทนในชวงเวลา T :c มลคาของคอลออปชน :p มลคาของพทออปชน

8

ขอบเขตบน คอลออปชน เปนตราสารทใชสทธกบผซอ ทจะทาการซอสนทรพยอางองดวยราคาใชสทธ สาหรบทก

กรณ คอลออปชนจะไมมมลคามากกวาสนทรพยอางอง ดงนนมลคาคอลออปชนจงมขอบเขตบนเปนราคาปจจบนของสนทรพยอางอง

0c S≤ ซงถาความสมพนธนไมเปนจรง นนคอ 0c S> ดงนนนกลงทนจะทากาไรไดงายโดยซอสนทรพยอางอง

ทราคา 0S และขายคอลออปชนทราคา c พทออปชน เปนตราสารทใหสทธกบผซอ ทจะทาการขายสนทรพยอางองดวยราคาใชสทธ สาหรบทก

กรณ พทออปชนจะไมมมลคามากกวาราคาใชสทธและจะถกใชสทธวนครบกาหนดตามสญญา ดงนน มลคาพทออปชนในปจจบนจงมขอบเขตเปนมลคาปจจบนของราคาใชสทธ

rTp Ke−≤ ซงถาความสมพนธนไมเปนจรง นนคอ rTp Ke−> ดงนนนกลงทนสามารถจะทากาไรไดโดยการขาย

พทออปชนทราคา p แลวนาเงนทไดจากการขายไปลงทนดวยอตราดอกเบยปราศจากความเสยง r ขอบเขตลาง

คอลออปชนแบบยโรป พจารณาการลงทน 2 พอรตลงทน ดงน

พอรตลงทน ก. มคอลออปชน 1ออปชนและเงนสดจานวนเทากบ rTKe− พอรตลงทน ข. มสนทรพยอางอง 1 จานวน พอรตลงทน ก. ในสวนของเงนสด ถานาเงนสดไปลงทนดวยอตราดอกเบยปราศจากความเสยง เมอถงเวลาT เงนสดจะกลายเปน K

ถา TS K> คอลออปชนจะถกใชสทธในการซอสนทรพยอางอง 1 จานวน ดวยเงน K และมลคาของพอรตลงทนจะเทากบ TS

ถา TS K≤ คอลออปชนจะหมดอายโดยไมมการใชสทธและมลคาของพอรตลงทนจะเทากบK ดงนนทเวลาครบกาหนด พอรตลงทน ก. จะมมลคาเทากบ

( ),Tmax S K

พอรตลงทน ข. เมอถงเวลา T จะมมลคาของการลงทนเทากบ TS นนคอพอรตลงทน ก. จะมมลคา มากกวาหรอเทากบ พอรตลงทน ข ดงนนจะไดความสมพนธในวนปจจบนคอ

0rTc Ke S−+ ≥

หรอ 0rTc S Ke−≥ −

ในความเปนจรงมลคาคอลออปชนไมควรตดลบเนองจากนกลงทนสามารถไมใชสทธโดยปลอยใหออปชนหมดอายไป ซงทาใหมลคาคอลออปชนมคามากกวาหรอเทากบศนย ดงนนขอบเขตลางของคอล ออปชนจงเปน

( )0max ,0rTc S Ke−≥ −

9

พทออปชนแบบยโรป พจารณาการลงทน 2 พอรตลงทนดงน

พอรตลงทน ค. มพทออปชน 1 ออปชนและสนทรพยอางอง 1 จานวน พอรตลงทน ง. มเงนสดจานวนเทากบ rTKe−

พอรตลงทน ค. เมอถงเวลาครบกาหนด T ถา TS K< นกลงทนจะใชสทธตามสญญาพทออปชนโดยการขายสนทรพยอางองทราคา K มลคา

พอรตลงทน ค. จะเทากบ K ถา TS K≥ พทออปชนจะหมดอายลงโดยไมมการใชสทธ มลคาพอรตลงทน ค จะเทากบ TS

ดงนน ทเวลาครบกาหนด พอรตลงทน ค. จะมมลคาเทากบ

( )max ,TS K

พอรตลงทน ง. สมมตใหเงนสดลงทนทอตราดอกเบยปราศจากความเสยงเพราะฉะนน เมอถงเวลา T จะมมลคาของการลงทนเทากบ K นนคอ พอรตลงทน ค. จะมมลคาของการลงทนมากกวาหรอเทากบ พอรตลงทน ง. ดงนน จะไดความสมพนธในวนปจจบนคอ

0rTp S Ke−+ ≥

หรอ 0rTp Ke S−≥ −

เชนเดยวกนกบกรณคอลออปชน ในความเปนจรงพทออปชนจะมคามากกวาหรอเทากบศนย ดงนน ขอบเขตลางของพทออปชนจงเปน

( )0max ,0rTp Ke S−≥ −

ความสมพนธระหวางคอลออปชนและพทออปชน

เราพจารณาถงความสมพนธระหวางมลคาคอลออปชนและมลคาพทออปชนโดยพจารณาจากพอรตลงทน ก. และพอรตลงทน ค. จากพอรตลงทนขางตน พอรตลงทน ก. มคอลออปชน 1ออปชนและเงนสดจานวนเทากบ rTKe− พอรตลงทน ค. มพทออปชน 1 ออปชนและสนทรพยอางอง 1 จานวน

ซงทงสองพอรตลงทนมมลคาเทากนคอ ( )max ,TS K ณ วนครบอายของออปชนเนองจากออปชนแบบ

ยโรปใชสทธไดครงเดยว ณ วนครบกาหนด ดงนน พอรตลงทนทงสองจงตองมมลคาการลงทนเทากนในวนปจจบนนนคอ

0rTc Ke p S−+ = + (1.1)

จากความสมพนธดงกลาวจะแสดงใหเหนวามลคาของคอลออปชนทมราคาใชสทธและวนครบกาหนดทแนนอนจะหาไดจากมลคาพทออปชนทมราคาใชสทธ และวนครบกาหนดเดยวกนไดและในทางกลบกนก สามารถหามลคาพทออปชนจากมลคาคอลออปชนไดเชนกนภายใตราคาใชสทธและวนครบกาหนดทแนนอน

10

บทท 2 แบบจาลองตนไมทวนาม

Binomial trees Model

แบบจาลองนไดถกรเรมและพฒนาโดย Cox, Ross และ Runbinstein ในป คศ. 1979 ซงเปนเทคนคทมประโยชนและนยมใชในการประเมนมลคาออปชน โดยใชวธการสรางตนไมทวนาม (Binomial tree) ซงเปนแผนผงแสดงถงเสนทางทเปนไปไดตางๆ ของราคาหนทอางองตลอดชวงอายของสญญาออปชน โดยมสมมตฐานใหราคาของหนมการเคลอนไหวแบบสม (R a n d o m w a l k) ในแตละชวงเวลาราคาหนมการเคลอนไหวเปนไปได 2 ทางคอราคาหนเพมขน หรอ ลดลง ซงเราจะเรมจากแบบจาลองทไมซบซอนกอน

2.1 แบบจาลองตนไมทวนาม 1 คาบ

เราจะพจารณาจากกรจาลองสถานการณงายๆโดยพจารณา เพยง 1 ชวงเวลา ตวอยางท 2.1 สมมตใหราคาปจจบนของหนเทากบ 20 บาท และเราทราบแนนอนวาอก 3 เดอน

ขางหนาราคาของหนจะเปลยนเปน 22 บาท หรอ 18 บาท เทานน เราสนใจทจะหามลคาของคอลออปชนแบบยโรป ทมอาย 3 เดอน และมราคาใชสทธเทากบ 21บาท ดงนนราคาออปชนจะขนกบราคาของหนเมอครบกาหนด 3เดอน ถาอก 3 เดอนราคาหนเทากบ 22 บาท แลวออปชนจะมมลคาเทากบ 1 บาท

ถาอก 3 เดอนราคาหนเทากบ 18 บาท แลวออปชนจะมมลคาเทากบ 0 บาท สามารถเขยนแผนผงดงภาพ ราคาหน = 22 บาท ราคาออปชน = 1บาท ราคาหน =20 ราคาหน = 18 บาท ราคาออปชน= 0บาท

ภาพท 1 พจารณาพอรตลงทนมฐานะซอหนอางองΔหน และฐานะขายออปชน 1 ออปชน เราตองการคานวณจานวนหนΔทจะทาใหพอรตลงทนปราศจากความเสยง

ถาราคาหนเพมขนจาก 20 บาทเปน 22 บาท มลคาของหนในพอรตลงทนจะเทากบ 22Δบาท และมลคาคอลออปชนเทากบ 1บาท ดงนนมลคาพอรตเทากบ 22 1Δ −

ถาราคาหนลดลงจาก20บาทเปน18บาท มลคาของหนในพอรตลงทนจะเทากบ 18Δ บาท และมลคา คอลออปชน เทากบ 0 บาท ดงนนมลคาของพอรตเทากบ 18Δ

เนองจากเราตองการใหพอรตลงทนปราศจากความเสยง ดงนนผลตอบแทนของการลงทนควรจะเทากนทง 2 กรณ นนคอ

22 1 18Δ − = Δ หรอ 0.25Δ =

11

พอรตลงทนจะปราศจากความเสยงในถานะนไดคอ นกลงทนตอง ซอหนอางองจานวน 0.25 หน

ขายคอลออปชน 1 ออปชน ถาราคาของหนเพมขนเปน 22 บาทมลคา ของพอรตลงทนจะมคาเทากบ

22 1Δ − = ( )22 0.25 1 4.5− =

ถาราคาหนลดลงเปน18บาท มลคาของพอรตลงทนจะมคาเทากบ 18Δ = ( )18 0.25 1 4.5− =

ไมวาราคาหนใน 3 เดอนขางหนาจะเพมขนหรอลดลง พอรตลงทนจะเทากบ 4.5 เสมอ เนองจากพอรตลงทนทปราศจากความเสยงตองไดรบผลตอบแทนเทากบอตราดอกเบยทปราศจากความ

เสยง สมมตใหในกรณนอตราดอกเบยทปราศจากความเสยง เทากบ12%ตอป เราสามารถหามลคาปจจบนของพอรตลงทนทมมลคา 4.5 บาทไดจาก

30.12124.5 4.5 4.367rTe e

− ×− ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

ในกรณนเราทราบวาราคาปจจบนของหนเทากบ 20 บาท สมมตให f แทนราคาออปชนในปจจบน ดงนนมลคาของพอรตลงทนในปจจบนจะเทากบ

( )20 0.25 4.367f− =

5 4.367f− = หรอ 0.633f = แสดงวาราคาทเหมาะสมของออปชนในกรณนควรจะเทากบ 0.633 บาท ซงเปนราคาทไมกอใหเกด

โอกาสในการทากาไรจากสถานการณน การทาใหอยในรปสตรทวไป เราสามารถทาเปนสตรทวไปไดโดย

กาหนดให ราคาปจจบนของหนอางอง= 0S ราคาในปจจบนของออปชน = f อายคงเหลอของออปชน = T

เมอครบกาหนดอายของออปชน ราคาหนอางองเปลยนแปลงไดสองทาง จาก 0S เพมขนเปน 0uS โดยท 1u > หรอลดลงเปน 0dS โดยท 1d < ถากรณราคาหนเพมเปน 0uS ใหผลตอบแทนของออปชน = uf ถากรณราคาหนลดลงเปน 0dS ใหผลตอบแทนของออปชน = df สามารถเขยนเปยแผนผงไดดงภาพ

ภาพท 2 หมายเหต กรณ Call Options 0max( ,0)uf uS K= − 0max( ,0)df dS K= − Put Options 0max( ,0)uf K uS= − 0max( ,0)df K dS= −

0Sf

0dS

0uS

uf

df

12

ใหพอรตลงทนนมฐานะซอหนอางองจานวน Δ หน และฐานะขายคอลออปชน จานวน 1 ออปชน ถาราคาหนอางองเพมขน มลคาของพอรตลงทนจะเทากบ

0 uuS fΔ − ถาราคาหนอางองลดลง มลคาของพอรตลงทนจะเทากบ

0 ddS fΔ − เราตองการสรางพอรตลงทนทปราศจากความเสยง ดงนน ผลตอบแทนของพอรตลงทน ทง 2 กรณ ตองมคาเทากน เมอถงวนครบกาหนด

0 0u duS f dS fΔ − = Δ −

หรอ 0 0

u df fuS dS

−Δ =

− (2.1)

แสดงวา Δ เปนอตราสวนการเปลยนแปลงของราคาออปชนตอการเปลยนแปลงของราคาหนอางอง กาหนดใหอตราดอกเบยทปราศจากความเสยงเทากบ r มลคาปจจบนในการสรางพอรตลงทนนเทากบ

( )0rT

uuS f e−Δ −

ตนทนในการสรางพอรตลงทนนเทากบ

0S fΔ − ดงนน ( )0 0

rTuS f uS f e−Δ − = Δ −

( )0 0rT

uf S uS f e−= Δ − Δ −

0 0rT rT

uf S uS e f ue− −= Δ − Δ +

หรอ ( )0 1 rT rTuf S ue f e− −= Δ − +

แทนคา Δ จากสมการท8(2.1) และจดรปสมการใหมดงน

( )00 0

1 rT rTu du

f ff S ue f euS dS

− −⎛ ⎞−= − +⎜ ⎟−⎝ ⎠

( )( ) ( ) ( )

00

1rT

u d urTf f u d f eS ue

S u d u d

−−− −

= − +− −

rT rT rT rT

u u d d u uf ue f f ue f ue f de fu d

− − − −− − + + −=

−

rT rT

u u d drTe f df uf e f

eu d

−⎡ ⎤− + −⎣ ⎦=

−

rT rT

rTu d

e d u ee f fu d u d

− ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

1rT rT

rTu d

e d e de f fu d u d

− ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

13

หรอ ( )( )1rT

u df e pf p f−= + − (2.2)

เมอ rTe dpu d−

=−

(2.3)

สมการดงกลาวสามารถหามลคาของออปชน จากแบบจาลองของตนไมทวนาม 1 คาบ

จากตวอยางท 2.1 1.1u = , 0.9d = , 0.12r = , 0.25T = , 1uf = และ 0df = แทนคาในสมการท 9H(2.2) และ 10H(2.3) จะได

( )0.12 0.25 0.9 0.65231.1 0.9

ep −= =

−

ดงนน ( )0.12 0.25 0.6523 1 0.3477 0 0.633f e− ×= × + × =

ซงไดผลลพธทเหมอนกน 2.2 Risk-Neutral Valuation

ภาพท 3 นอกจากนคา p ในสมการท 11H(2.3) ยงหมายถงความนาจะเปนของราคาหนทจะเพมขน และ 1 p−

คอ ความนาจะเปนของราคาหนทจะลดลง ดงนนสมการ ( )1u dpf p f+ − หมายถงมลคาผลตอบแทนท

คาดหวงของออปชน เพราะฉะนน สมการท 12H(2.2) จงเปนการคานวณคาปจจบนของมลคาผลตอบแทนทคาดหวงของออปชน พจารณาผลตอบแทนทคาดหวงของหน เมอความนาจะเปนทราคาหนจะเพมขน คอ p กาหนดใหผลตอบแทนทคาดหวงของหน ณ T คอ ( )TE S

จะไดวา ( ) ( )0 01TE S puS p dS= + −

( )0 0pS u d dS= − +

แทนคา p จากสมการท 13 H(2.3)จะไดวา

( ) ( )0 0

rT

Te dE S S u d dSu d

⎛ ⎞−= − +⎜ ⎟−⎝ ⎠

0 0 0rTe S dS dS= − +

หรอ ( ) 0rT

TE S S e= (2.4)

แสดงวาราคาหนจะเพมขนโดยเฉลยทอตราดอกเบยปราศจากความเสยงและการกาหนดใหความ

นาจะเปนทราคาหนจะเพมขนเทากบ p จะสอดคลองกบสมมตฐานของผลตอบแทนของหนซงจะเทากบอตราดอกเบยปราศจากความเสยง

0uS

0dS

0S

p

1 p−

14

ในโลกทปราศจากความเสยง ทกคนจะไมมความแตกตางกนในดานความเสยงดงนนนกลงทนจะไมมความตองการทจะไดรบผลตอบแทนเพมขน เพอชดเชยความเสยง และผลตอบแทนทคาดหวงของนกลงทนในการลงทนทกประเภทจะเทากบอตราดอกเบยปราศจากความเสยง

Risk-Neutral Valuation เปนหลกการทใชในการประเมนมลคาของออปชนทใหผลเหมอนกน วธทไดแสดงกอนหนาน โดยหลกการมสมมตฐานวา “โลกปราศจากความเสยง” เพอนาไปใชในการคานวณราคาออปชนและผลลพธทไดจะถกตองในโลกแหงความเปนจรงดวย

ตวอยางท 2.2 จากภาพท 3 เราจะหามลคาออปชนโดยใชหลกการ Risk-Neutral Valuation ราคาหนปจจบนเทากบ 20 บาท อก 3 เดอนขางหนาราคาจะเปลยนเปน 22 บาท หรอ 18 บาท เราจะคานวณราคาออปชนแบบยโรปทราคาใชสทธเทากบ 21 บาทและมอาย 3 เดอน ใหอตราดอกเบยปราศจากความเสยงเทากบ 12% ตอป ให p แทนความนาจะเปนของราคาหนทจะเพมขน

จากหลกการ Risk-Neutral Valuation การลงทนใดๆจะใหผลตอบแทนเทากบอตราดอกเบยปราศจากความเสยงจะไดวา

( )30.12

120 20rT

TE S S e e×

= =

และมลคาทคาดหวงของหนในอก 3 เดอน เทากบ

( ) ( ) ( )0 01 22 1 18TE S puS p dS p p= + − = + −

ดงนนจะไดวา

( )22 1 18p p+ − =30.12

1220e×

4 p =30.12

1220e×

p =

30.121220 0.6523

4e

×

=

หมายความวาอก 3 เดอน คอลออปชนมโอกาส 65.23% ทจะมมลคาเทากบ 1 บาท และมโอกาส 34.77% ทจะมมลคา เทากบ 0 บาท ดงนน มลคาทคาดหวงของคอลออปชนในอก 3เดอนขางหนา จะเทากบ

0.6523 1 0.3477 0 0.6523× + × = บาท ในโลกทปราศจากความเสยง การคานวณมลคาปจจบนจะใชอตราดอกเบยปราศจากความเสยง

ดงนน มลคาของคอลออปชนในปจจบนจะเทากบ 30.12

120.6523 0.633e− ×

= บาท ซงไดผลลพธทตรงกนกบการคานวณกอนหนาน 2.3 แบบจาลองตนไมทวนามหลายคาบ

เราสามารถทจะขยายแผนผงตนไมทวนามใหมากกวา 1 คาบไดสาหรบขนตอนในการคานวณจะใชหลกคลายคลงกบการคานวณทผานมาเพยงแตในแผนผงตนไมทวนามหลายคาบนนเราจะแบงการคานวณทละคาบโดยใชสตรคานวณจากสมการท 14H(2.2) เพอสรางความเขาใจเราขอยกตวอยางการคานวณโดยใชแบบจาลองตนไมทวนาม 2 คาบ ดงน

15

ตวอยางท 2.3 กาหนดราคาปจจบนของหนอางองเทากบ 20 บาทโดยมการเปลยนแปลงของราคาจะเพมขนและลดลงใน 3 เดอน เทากบ10%กาหนดให 1 คาบ เทากบ3 เดอน เราจะคานวณมลคาคอลออปชน แบบยโรปทมอาย 6 เดอน ราคาใชสทธเทากบ 21 บาท อตราดอกเบยปราศจากความเสยง= 12%ตอป สามารถเขยนแผนผงตนไมทวนามไดเปนดงภาพ

แผนผงตนไมทวนามของราคาหน แผนผงตนไมทวนามของราคาออปชน

ภาพท 4ก. ภาพท 4ข. จากภาพ 4ก. ทจด A ราคาหนในปจจบน เทากบ 20 บาท เพมขน 10% = 22 บาท ลดลง 10%=18 บาท ทจด B ราคาหนเทากบ 22 บาท เพมขน 10%=24.2 บาท ลดลง10%=19.8 บาท ทจด C ราคาหนเทากบ 18 บาท เพมขน 10%=19.8 บาท ลดลง10%=16.2 บาท จากภาพ 4ก. และ 4ข. ราคาหนทจด D เทากบ 24.2 บาท ดงนนราคาออปชนทจด D เทากบmax(24.2 21,0) 3.2− = บาท ราคาหนทจด E เทากบ 19.8 บาท ดงนนราคาออปชนทจด E เทากบmax(19.8 21,0) 0− = บาท ราคาหนทจด F เทากบ 16.2 บาท ดงนนราคาออปชนทจด F เทากบmax(16.2 21,0) 0− = บาท

พจารณาจด B และ C สาหรบจด C มลคาของออปชนจะเกดจากกรณของจด E และจด F ซงทง 2จดมมลคาออปชนเทากบศนย ดงนนจด C มลคาออปชน เทากบศนย สาหรบจด B พจารณาจด D และ E ดงภาพ

ภาพท 5 จากโจทย 1.1, 0.9, 0.12u d r= = = และ 3 12 0.25T = = แทนคาในสมการท 15H(2.2) และ 16H(2.3) จะได

30.1212 0.9 0.6523

1.1 0.9ep

×−

= =−

มลคาออปชนทจด B จะเทากบ

A

B

D

C

E

F

A

B

D

C

E

F

20

22

18

24.2

19.8

16.2

3.2

0

0

D

EA

ราคาหน = 24.2 บาท ราคาออปชน=3.2บาท

ราคาหน = 22 บาท ราคาออปชน = 2.025

ราคาหน = 19.8บาท ราคาออปชน=0 บาท

16

( )30.12

12 0.6523 3.2 0.3477 0 2.0257Bf e− ×

= × + × = บาท

พจารณาจด A

ภาพท 6 จากโจทยทคานวณคา p ไดคาเทากบ 0.6523 จากสมการท 17H(2.2) คานวณหามลคาออปชนทจด A เทากบ

[ )30.12

12 0.6523 2.057 0.3477 0 1.2823f e− ×

= × + × =

ดงนนราคาของคอลออปชนจากตวอยางนจะเทากบ 1.2823บาท

แบบจาลองตนไมทวนาม 2 คาบ เราสามารถแสดงใหอยในรปของสตรทวไปดงน โดยกาหนดให tΔ แทนเวลาในแตละคาบ

ภาพท 7 จะไดวามลคาของออปชนจะเทากบ

( )1r tu df e pf p f− Δ= + −⎡ ⎤⎣ ⎦

เมอ r te dpu d

Δ −=

−

( )1r tu uu udf e pf p f− Δ= + −⎡ ⎤⎣ ⎦

( )1r td ud ddf e pf p f− Δ= + −⎡ ⎤⎣ ⎦

หรอ ( ) ( )22 2 2 1 1r tuu ud ddf e p f p p f p f− Δ ⎡ ⎤= + − + −⎣ ⎦

B

CA

ราคาหน = 18 บาท ราคาออปชน = 0 บาท

ราคาหน = 22 บาท ราคาออปชน = 2.0257 บาท

ราคาหน = 20 บาท ราคาออปชน = 1.2823 บาท

0dSf

uf

uuf

df

udf

ddf

0S

0uS

20u S

0udS

20d S

17

2.4 การกาหนดคา u และ d ใหเหมาะสมกบความผนผวน (Matching Volatility with u and d ) ในทางปฏบต เมอเราสรางแผนผงตนไมทวนาม เพอแสดงเสนทางทเปนไปไดของราคาหนอางอง ซงเราเลอกตวแปร u และ d เพอใหเหมาะสมกบความผนผวนของราคาหนอางอง

สมมตให ผลตอบแทนทคาดหวงของหนมคาเทากบ μ และมความผนผวนเทากบσ

ภาพท 8ก. ภายใตโลกความจรง ภาพท 8ข. ภายใตโลกทปราศจากความเสยง จากภาพท 8ก. แสดงราคาหนทเคลอนไหวในชวงหนงของตนไมทวนาม กาหนดชวงนมความยาวของเวลาคอ tΔ ราคาหนเรมตนท 0S เพมขนเปน 0uS หรอลดลงเปน 0dS และความนาจะเปนทหนจะเพมขน (ในโลก

ความจรง) มคาเทากบ p∗ จากราคาทคาดหวงของหนเมอครบกาหนดชวงเวลา tΔ คอ 0

tS eμΔ

และสาหรบบนแผนผงตนไมทวนามน ราคาทคาดหวงของหนขณะนมคาเทากบ ( )0 01p uS p dS∗ ∗+ −

ดงนน

( )0 01p uS p dS∗ ∗+ − = 0tS eμΔ

( ) tp u d e dμ∗ Δ− = −

หรอ te dp

u d

μΔ∗ −=

− (2.5)

เนองจาก σ เปนความผนผวนของราคาหน ดงนน tσ Δ คอสวนเบยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนของหนในชวงเวลาสนๆ tΔ ซงเราจะแสดงในบทตอไป ซงหมายความวา ความแปรปรวนของผลตอบแทนคอ

2 tσ Δ สาหรบแผนผงตนไมบนภาพท 8ก. ความแปรปรวนของผลตอบแทนของหนจะมคาเทากบ

( ) ( ) 22 21 1p u p d p u p d∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤+ − − + −⎣ ⎦

ดงนน

( ) ( ) 22 2 21 1p u p d p u p d tσ∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤+ − − + − = Δ⎣ ⎦ (2.6)

แทนคา p จากสมการท 18H(2.5) ในสมการท 19 H(2.6) ดงน

2

2 2 2t t t te d u e e d u et u d u d

u d u d u d u d

μ μ μ μ

σΔ Δ Δ Δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −

Δ = + − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

22 2 2 2t t t tu e u d ud d e ue ud ud deu d u d

μ μ μ μΔ Δ Δ Δ⎡ ⎤− + − − + −= − ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

0uS

0dS

0S

p

1 p−

0uS

0dS

0S

*p

*1 p−

18

( ) ( ) ( ) 22 2 t tu d e ud u d u d eu d u d u d

μ μΔ Δ− ⎡ ⎤− −= − − ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

( ) 2t tu d e ud eμ μΔ Δ= + − −

ดงนนจะไดสมการ ( ) 2 2t tu d e ude tμ μ σΔ Δ+ − = Δ

จากสมการขางตน0F

1 tu eσ Δ= (2.7)

td e σ− Δ= (2.8)

จากหลกการของ Risk-Neutral Valuation พจารณาภาพ 8ข. ความนาจะเปนทหนจะเพมขน (ในโลกความทปราศจากความเสยง) มคาเทากบ p โดยอตราดอกเบยปราศจากความเสยง r

ดงนน r te dpu d

Δ −=

−

ในโลกทปราศจากความเสยง ราคาทคาดหวงของหนเมอครบกาหนดชวงเวลา tΔ คอ 0

r tS e Δ

(จากสมการท 20 H(2.4) ) และความแปรปรวนของผลตอบแทนของหนจะมคาเทากบ

( ) ( ) ( )22 2 21 1 r t r tpu p d pu p d e u d ud eΔ Δ⎡ ⎤+ − − + − = + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

แทนคา u และ d จากสมการท 21H(2.7) และ 22 H(2.8) ในสมการขางตน

โดยท ( )2

1 .....2!

r t tr t t

e r t tσσ

σΔ ± ΔΔ ± Δ

= + Δ ± Δ + +

2 2 221 .....

2r t r t t tr t t σ σσ Δ ± Δ Δ + Δ

= + Δ + Δ + +

( )2 3

212

tr t t O tσσ Δ ⎛ ⎞= + Δ ± Δ + + Δ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

12

r t t te r t tσ σσΔ ± Δ Δ= + Δ ± Δ +

และ 2 2 21 2 ...r te r t r tΔ = + Δ + Δ +

( )( )21 2r t O t= + Δ + Δ

เมอเราไมพจารณาพจนท tΔ มกาลงมากกวา 1

ดงนนจะไดวา ( ) 21r t t t r te e e eσ σΔ Δ − Δ Δ+ − −

21r t t r t t r te e eσ σΔ + Δ Δ − Δ Δ= + − −

2

12

tr t t σσ Δ= + Δ + Δ + +

2

12

tr t t σσ Δ+ Δ − Δ + ( )1 1 2r t− − + Δ

2 22 2 2 2r t t r t tσ σ= + Δ + Δ − − Δ = Δ

1

Cox, J. C., S. A. Ross, and M. Rubinstein. “Option Pricing: A Simplified Approach.” Journal of Financial Economics 7 (October 1979):229-64.

19

ดงนน ความแปรปรวนของผลตอบแทนของหนมคาเทากบ 2 tσ Δ แสดงวาในโลกความจรง และโลกทปราศจากความเสยงมผลตอบแทนทคาดหวงของหนทตางกนแตมความแปรปรวนทเหมอนกน 2.5 โปรแกม Microsoft Excel เพอคานวณมลคาออปชนตามแบบจาลองตนไมทวนาม เพอสะดวกในการคานวณเราจงใชโปรแกรม Microsoft Excel ชวยในการคานวณมลคาออปชนตามแบบจาลองตนไมทวนาม โดยเราจะใสขอมลของออปชนคอ

ใสขอมล S0 ราคาปจจบนของหลกทรพยอางอง

ใสขอมล K ราคาใชสทธของออปชน

ใสขอมล r อตราดอกเบยทปราศจากความเสยง

ใสขอมล

คาความผนผวนของสนทรพยอางอง

ใสขอมล t อายคงเหลอของออปชน(วน) สาหรบคาความผนผวนของสนทรพยอางอง สามารถคานวณไดจากขอมลราคาสนทรพยอางองในอดต ซงจะแสดงวธการคานวณในบทท 3 ดงนนผลทออกมาจะทาใหเราทราบถงมลคา คอลออปชน และ พทออปชน ภายใตปจจยทเรากาหนด ซงมรปแบบดงน

σ

20

21

ตวแปร เซลล Formula

T(year) A9 =A6/365

u A10 =EXP(A5*SQRT(A9/A8))

d A11 =1/A10

A12 =EXP($A$4*$A$9)

A13 =1/$A$12

p A14 =($A$12-$A$11)/($A$10-$A$11)

1-p A15 =1-$A$14

rTerTe−

ตวแปร เซลล Formula

S0 F5 =A2

uS0 G4 =F5*$A$10

dS0 G6 =F5*$A$11

f J5 =$A$13*($A$14*K4+$A$15*K6)

fu K4 =MAX(G4-$A$3,0)

fd K6 =MAX(G6-$A$3,0)

f M5 =$A$13*($A$14*N4+$A$15*N6)

fu N4 =MAX($A$3-G4,0)

fd N6 =MAX($A$3-G6,0)

สตรในโปรแกม Microsoft Excel เพอคานวณมลคาออปชนตามแบบจาลองตนไมทวนาม 1 คาบ

สวนท 1 ใสขอมลของออปชนทตองการคานวณ ใสขอมลท เซลล A2 ถง เซลล A6 ดงภาพท 9 สวนท 2 การคานวณคาตวแปรตางๆทใชในสมการหามลคาออปชน

สวนท 3 แผนผงตนไมทวนาม

22

23

24

ตวแปร เซลล Formula

T(year) A9 =A6/365

u A10 =EXP(A5*SQRT(A9/A8))

d A11 =1/A10

A12 =EXP($A$4*$A$9)

A13 =1/$A$12

p A14 =($A$12-$A$11)/($A$10-$A$11)

1-p A15 =1-$A$14

S0 E8 =A2

uS0 F7 =E8*$A$10

dS0 F9 =E8*$A$11

u2S0 G6 =F7*$A$10

udS0 G8 =F9*$A$10

d2S0 G10 =F9*$A$11

f J8 =$A$13*($A$14*K7+$A$15*K9)

fu K7 =$A$13*($A$14*L6+$A$15*L8)

fd K9 =$A$13*($A$14*L8+$A$15*L10)

fuu L6 =MAX(G6-$A$3,0)

fud L8 =MAX(G8-$A$3,0)

fdd L10 =MAX(G10-$A$3,0)

f O8 =$A$13*($A$14*P7+$A$15*P9)

fu P7 =$A$13*($A$14*Q6+$A$15*Q8)

fd P9 =$A$13*($A$14*Q8+$A$15*Q10)

fuu Q6 =MAX($A$3-G6,0)

fud Q8 =MAX($A$3-G8,0)

fdd Q10 =MAX($A$3-G10,0)

rTe

rTe −

สตรในโปรแกม Microsoft Excel เพอคานวณมลคาออปชนตามแบบจาลองตนไมทวนาม 2 คาบ

25

26

บทท 3 แบบจาลองแบลคโชลส Black Scholes model

ในชวงตนทศวรรษท 70 Fisher Black, Myron Scholes และ Robert C.Mertonไดเสนอแนวทางในการประเมนหาราคาออปชน ดวยแบบจาลองน ซงเปนแบบจาลองทมความเรยบงายและสามารถใหคาตอบไดในเวลาอนรวดเรวโดยแบบจาลองนไดมอทธพลอยางมากตอนกลงทนในการคานวณราคาและการซอขายออปชนในทางปฎบต และทาใหในป ค.ศ. 1997 Myron Scholes และ Robert C.Merton ไดรบรางวลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตรจากการรวมมอกนพฒนาแบบจาลองแบลคโชลส สาหรบในบทนเราจะศกษาแบบจาลองนโดยเรมจากพฤตกรรมของราคาหน สมมตฐานของแบบจาลอง และสตรทวไปของแบบจาลองแบลคโชลส 3.1 สมบตของมารคอฟ กระบวนการของมารคอฟเปนกระบวนการสมอยางหนงทคาปจจบนเทานนทจะเปนตวแปรทใชในการทานายอนาคตซงจะไมเกยวของกบขอมลในอดต ถาราคาของหนมการเคลอนไหวแบบกระบวนการมาคอรฟ เราจะทานายราคาของหนในอนาคตโดยอาศยการแจกแจงความนาจะเปนของราคาหน ซงสมบตของมารคอฟไดแสดงวาความนาจะเปนของราคาหนในอนาคตจะไมขนกบขอมลในอดตแตจะขนกบราคาปจจบนเทานน กลาวคอ ถากระบวนการสมใดๆทมคณสมบตของมารคอฟแลวจะไดวาผลการสมหรอผลการทดลองทเกดขนในครงถดไปจะไมขนกบผลทดลองในอดตทผานมา แตจะขนอยกบผลการสมหรอผลการทดลองทเกดขนในปจจบนเทานน 3.2 กระบวนการสมตอเนอง

พจารณาราคาหนตามกระบวนการสมมารคอฟ สมมตใหราคาปจจบนของหนมมลคาเทากบ10 บาทและมการเคลอนไหวใน 1 ปขางหนามการแจกแจงเปน (0,1)φ เมอ ( , )φ μ σ เปนการแจกแจงแบบปกตทมคาเฉลยเทากบ μ และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ σ ดงนนการเคลอนไหวของราคาหนใน 2 ปขางหนาจะเปนลกษณะใด

เนองจากการเคลอนไหวใน 2 ปขางหนาเกดจากผลรวมของการแจกแจงปกตในแตละปซงมคาเฉลยเทากบ 0 และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 1 และราคาหนมสมบตมารคอฟ ดงนนการแจกแจงของแตละปจะเปนอสระตอกน เมอกระบวนการสมทการแจกแจงปกตมาตรฐานซงอสระตอกนมารวมกน ผลทไดคอการเคลอนไหวของราคาหนใน 2 ปขางหนาจะมการแจกแจงแบบปกตทมคาเฉลยเทากบ 0 และความแปรปรวน

เทากบ 2 นนคอ (0, 2)φ

เมอเราพจารณาการเคลอนไหวของหนใน 6 เดอนกจะไดวามการแจกแจงเปน (0, 0.5)φ ดงนน

โดยทวไปจะไดวา การเคลอนไหวของราคาหนในชวงเวลาT จะมการแจกแจงเปน (0, )Tφ หรอจะกลาววา

การเคลอนไหวของราคาหนในชวงเวลาสนๆ tΔ จะมการแจกแจงเปน (0, )tφ Δ

27

Wiener Processes เปนกระบวนการมารคอฟชนดหนงทมคาเฉลยของการเปลยนแปลงเทากบ 0 และอตราความแปรปรวนเทากบ 1 ตอป

ตวแปร z จะสอดคลองกบ Wiener Processes ตองมคณสมบตดงน

คณสมบตขอ 1. การเปลยนแปลง zΔ ในชวงเวลาสนๆ tΔ มคาเทากบ

z tεΔ = Δ (3.1) เมอ ε มการแจกแจงปกตมาตรฐาน, (0,1)ε φ∼ คณสมบตขอ 2. คาของการเปลยนแปลง zΔ ทกๆสองคาใดๆทแตกตางกน สาหรบชวงเวลาสนๆ tΔ จะเปนอสระตอกน จากคณสมบตขอ 1. จะไดวา zΔ จะมการแจกแจงปกตมาตรฐานซงม

คาเฉลยของ 0zΔ =

สวนเบยงเบนมาตรฐานของ z tΔ = Δ ความแปรปรวนของ z tΔ = Δ

จากคณสมบตขอ 2.จะไดวา zΔ เปนกระบวนการมารคอฟ พจารณาการเปลยนแปลงมลคาของ z ในชวงเวลาปจจบนจนถงเวลาT ซงเรากาหนดให

เทากบ ( ) (0)z T z− ซงเราสามารถเขยนความสมพนธอยในรปผลรวมของการเปลยนแปลงสาหรบชวงเวลาสนๆ tΔ เปนจานวน N ชวง เมอ

TNt

=Δ

ดงนน 1

( ) (0)N

ii

z T z tε=

− = Δ∑ (3.2)

เมอ (0,1)iε φ∼ { }; 1,2, ,i N= …

เราทราบวา iε เปนอสระตอกนสาหรบ { }1,2, ,i N= … จากคณสมบตขอ 2. ของ Wiener Processes

ดงนน จากสมาการท 23 H(3.2) ( ) (0)z T z− จะมการแจกแจงปกตซงม

คาเฉลยของ[ ]( ) (0) 0z T z− =

ความแปรปรวนของ[ ]( ) (0)z T z N t T− = Δ =

สวนเบยงเบนมาตรฐานของ[ ]( ) (0)z T z T− =

รปทวไปของ Wiener Processes

คาเฉลยของการเปลยนแปลงตอหนวยเวลาสาหรบ กระบวนการสมคอ drift rate และความแปรปรวนตอหนวยเวลาคอ variance rate ซงใน Wiener Processesพนฐาน dz จะม drift rate เทากบ 0 และ variance rate เทากบ 1 ซง drift rate เทากบศนยนนหมายความวา คาคาดหวงของ z สาหรบทกๆชวงเวลาในอนาคตจะมคาเทากบคาปจจบน สวน variance rate เทากบหนงหมายความวา ความแปรปรวนของการเปลยนแปลงของ z สาหรบชวงเวลาT จะมคาเทากบ T รปทวไปของ Wiener Processes สาหรบตวแปร x สามารถกาหนดในเทอมของ dz ไดดงน

28

dx a dt bdz= + (3.3) เมอ a และ b เปนคาคงท

พจารณาดานขวาของสมการท 24 H(3.3) พจน adt ไดแสดงวา x ม drift rate เทากบ a ตอหนวยของ

เวลา และถาไมมพจน bdz เราจะไดสมาการเปน dx adt= นนคอ dx adt

=

ดงนนเราจะได

0x x at= + เมอ 0x คอคาของ x ณ เวลา 0 ซงในระยะชวงเวลาT คาของ x จะเพมขนดวยจานวน aT พจนbdz ใน

สมการท 25 H(3.3) เปนเสมอนตวกอกวน (Noise) ของ x ซงมความแปรปรวนเทากบ 2b และมสมบตสอดคลองกบ Wiener Processes ซงมคาเฉลยเทากบ 0 และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 1 สาหรบ

ชวงเวลาสนๆ tΔ การเปลยนแปลง xΔ ของคา x จากสมการท 26 H(3.1) และ 27 H(3.3) จะไดวา

x a t b tεΔ = Δ + Δ เมอε มการแจกแจงปกตมาตรฐาน ดงนน xΔ จงมการแจกแจงปกตมาตรฐานซงม

คาเฉลยของ x a tΔ = Δ

สวนเบยงเบนมาตรฐานของ x b tΔ = Δ ความแปรปรวนของ 2x b tΔ = Δ

ในทานองเดยวกนสาหรบ Wiener Processes ซงแสดงการเปลยนแปลงของคา x สาหรบทกชวงเวลาใดๆ T จะมการแจกแจงปกตมาตรฐานซงม

คาเฉลยของการเปลยนแปลงของ x aT=

สวนเบยงเบนมาตรฐานของการเปลยนแปลงของ x b T= ความแปรปรวนของการเปลยนแปลงของ 2x b T=

ดงนน Wiener Processes จะม drift rate เทากบ a และ variance rate เทากบ 2b ItÔ Processes

เปนรปทวไปของ Wiener Processes ทมพารามเตอร a และb ซงเปนฟงกชนของมลคาสนทรพยอางอง x และเวลา t สาหรบ ItÔ Processes สามารถเขยนสมการไดเปน

( ) ( ), ,dx a x t dt b x t dz= + (3.4)

โดยทdrift rate และ variance rate ของ ItÔ Processes อาจจะเปลยนตลอดเวลา สาหรบชวงเวลาเลกๆระหวาง t และ t t+ Δ และมการเปลยนแปลงจาก x ถง x x+ Δ เมอ

( ) ( ), ,x a x t t b x t tεΔ = Δ + Δ

ความสมพนธดงกลาวไดสมมตให drift rate ของ x จากคาคงทใหกลายเปน ( ),a x t และ variance

rate ของ x จากคาคงทใหกลายเปน ( )2 ,b x t สาหรบชวงเวลาระหวาง t และ t t+ Δ

3.3 กระบวนการสาหรบราคาของหน

เนองจากรอยละของผลตอบแทนทคาดหวงของนกลงทนในหนจะเปนอสระจากราคาหน กลาวคอ นกลงทนมความตองการผลตอบแทนทคาดหวง 14% ตอปเมอซอหนทราคา 100 บาท แตนกลงทนกสามารถ

29

มความตองการผลตอบแทน 14% ตอปจากการซอหนทราคา 500 บาทกเปนได ดงนนสมมตฐานทกาหนดใหคาคงท drift rate ของผลตอบแทนมาจากราคาของหนนนยงไมเหมาะสม

พจารณาถา S เปนราคาหน ณ เวลา t ดงนน drift rate ของ S สมมตใหเทากบ Sμ สาหรบพารามเตอรμ ทเปนคาคงทบางตว ซงหมายความวาสาหรบชวงเวลาสนๆ tΔ คาคาดหวงของ S เพมขนเปน S tμ Δ และพารามเตอรμ เปนอตราผลตอบแทนทคาดหวงของหน

ถาความผนผวนของราคาหนเทากบศนยตลอด ดงนนจะไดสมการดงน S S tμΔ = Δ

เมอหาลมตท 0tΔ → จะได dS Sdtμ=

หรอ dS dtS

μ=

อนทเกรตจากเวลา 0 ถงเวลา T เราจะได

0T

TS S eμ= (3.5) เมอ 0S และ TS คอราคาหน ณ เวลา 0 และ T ตามลาดบ

สมการท 28 H(3.5) ไดแสดงใหเหนวาเมอ variance rate มคาเทากบ 0 ราคาของหนจะเพมขนดวยอตราดอกเบยแบบทบตนตอเนอง เทากบμ ตอหนวยเวลาทลงทน

ในทางปฎบต ราคาหนจะมความผนผวน เราจงไดแบบจาลองเปน

dS Sdt Sdzμ σ= +

หรอ dS dt dzS

μ σ= + (3.6)

ซงสมการนไดถกใชกนอยางแพรหลายเพอเปนแบบจาลองพฤตกรรมการเคลอนไหวของราคาหนทรจกกนในชอ Geometric Brownian motion ตวแปรσ ในสมการคอความผนผวนของราคาหนและตวแปร μในสมการคออตราผลตอบแทนทคาดหวง แบบจาลองไมตอเนอง

แบบจาลองพฤตกรรมการเคลอนไหวของราคาหนสาหรบชวงเวลาทไมตอเนองคอ S t t

Sμ σεΔ

= Δ + Δ (3.7)

หรอ S S t S tμ σ εΔ = Δ + Δ เมอ SΔ เปนการเปลยนแปลงของราคาหน S สาหรบชวงเวลาสนๆ tΔ และ (0,1)ε φ∼

พารามเตอร μ คออตราผลตอบแทนทคาดหวงตอหนวยของเวลาจากการลงทน และพารามเตอร σ คอความผนผวนของราคาหนซงในหวขอนเรากาหนดใหพารามเตอรทงสองเปนคาคงท จากสมการท

29 H(3.7) พจน tμΔ คออตราผลตอบแทนทคาดหวงสาหรบชวงเวลาสนๆ tΔ และพจน tσε Δ อตรา

ผลตอบแทนทเพมจากกระบวนการสม ซงมความแปรปรวนเทากบ 2 tσ Δ ดงนนจะมสวนเบยงเบนมาตรฐาน

เทากบ tσ Δ สาหรบผลตอบแทนในชวงเวลาสนๆ tΔ

สมการท 30 H(3.7) ไดแสดงวา S

SΔ

มการแจกแจงแบบปกตซงมคาเฉลยเทากบ tμΔ และสวน

เบยงเบนมาตรฐานเทากบ tσ Δ นนคอ

30

( , )S t tS

φ μ σΔΔ Δ∼

3.4 ItÔ Lemma 1F

2

สมมตใหมลคาของตวแปร x สอดคลองกบ ItÔ Processes ดงน

( ) ( ), ,dx a x t dt b x t dz= + (3.8)

เมอ dz เปน Wiener Processes และ ,a b เปนฟงกชนของ x และ t

ตวแปร x จะม drift rate เทากบ a และ variance rate เทากบ 2b ItÔ lemma ไดแสดงวา G เปนฟงกชนของ x และ t ทสอดคลองกบสมการดงน

22

2

12

G G G GdG a b dt bdzx t x x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

เมอ dz เปนWiener Processes เดยวกนกบสมการท 31 H(3.8) ดงนนG สอดคลองกบ ItÔ Processes โดยมdrift rate มคาเทากบ

22

2

12

G G Ga bx t x

∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂

และ variance rate มคาเทากบ 2

2G bx

∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎝ ⎠

สาหรบสมการ dS Sdt Sdzμ σ= + (3.9)

เมอμ และσ เปนคาคงท ซงเปนแบบจาลองพฤตกรรมการเคลอนไหวของราคาหน จาก ItÔ lemma สมการท 32 H(3.9) เปน ItÔ Processes ตามฟงกชนG ซงเปนฟงกชนของ S และ t คอ

22 2

2

12

G G G GdG S S dt SdzS t S Sμ σ σ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(3.10)

หมายเหตทง S และG เปนผลลพธทเกดจากสนทรพยอางองเดยวกนซงมาจากความไมแนนอนของ dz 3.5 สมบตของ Lognormal

เราจะใช ItÔ lemma ในการแสดงถงการไดมาของกระบวนการของ ln S เมอ S สอดคลองกบสมการท 33H(3.9) กาหนดให lnG S=

ดงนน 1 ,G

S S∂

=∂

2

2 2

1 ,GS S∂

= −∂

0Gt

∂=

∂

แทนคาในสมการท 34 H(3.10) จะไดกระบวนการของG ดงน

2

K. ItÔ, “On Stochastic Differential Equations,” Memoirs of the American Mathematical Society,4(1951):1-51”

31

2 22

1 1 1 102

dG S S dt SdzS S Sμ σ σ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

หรอ 2

2dG dt dzσμ σ

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

จากμ และσ เปนคาคงท แสดงวาสมการนเปนรปแบบทวไปของ Wiener Processes ซง lnG S= และม

drift rate เทากบ 2

2σμ − และ variance rate เทากบ 2σ ดงนนการเปลยนแปลงของ ln S ในระหวาง

ชวงเวลาเทากบ0 ถงเวลาเทากบ T เปนการแจกแจงแบบปกต มคาเฉลยเทากบ2

2Tσμ

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠และความ

แปรปรวนเทากบ 2Tσ นนคอ 2

0ln ln ,2TS S T Tσφ μ σ

⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦∼

หรอ 2

0ln ln ,2TS S T Tσφ μ σ

⎡ ⎤⎛ ⎞+ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

∼ (3.11)

เมอ TS คอราคาของหน ณ เวลา T , 0S คอราคาของหน ณ เวลา 0 และ ( , )m sφ แทนการแจกแจงแบบปกตทมคาเฉลยเทากบ m และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ s

จากสมการท 35 H(3.11) แสดงวา ln TS มการแจกแจงแบบปกตและเราจะเรยกวา TS มการแจกแจงแบบ Lognormal ดงนนแบบจาลองพฤตกรรมการเคลอนไหวของราคาหน ณ เวลาปจจบนถงเวลาT นนจะมการแจกแจงแบบ Lognormal ซงจะมลกษณะมคาเปนบวกเทานนและมรปทรงแบบเบขวา โดยมคาเฉลยเลขคณต คามธยฐานและฐานนยมทแตกตางกนทงหมด 3.6 สมบตของ Lognormal สาหรบราคาหน

แบบจาลองพฤตกรรมการเคลอนไหวของราคาหนนไดถกพตนาโดย Black, Scholes และ Merton ซงมสมมตฐานใหรอยละการเปลยนแปลงของราคาหนในชวงเวลาสนๆมการแจกแจงแบบปกต กาหนดให μ คอ ผลตอบแทนทคาดหวงของหนตอป σ คอ ความผนผวนของราคาหนตอป เพราะฉะนนคาเฉลยของรอยละการเปลยนแปลงของราคาหนในชวงเวลา tΔ มคาเทากบ tμΔ และสวน

เบยงเบนมาตรฐานของรอยละการเปลยนแปลงของราคาหนเทากบ tσ Δ ดงนน

( ),S t tS

φ μ σΔΔ Δ∼ (3.12)

เมอ SΔ คอการเปลยนแปลงของราคาหน S สาหรบชวงเวลา tΔ และ ( , )m sφ แทนการแจกแจงแบบปกตทมคาเฉลยเทากบ m และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ s จากสมบตของ Lognormal จะไดวา

2

0ln ln ,2TS S T Tσφ μ σ

⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦∼

32

หรอ 2

0

ln ,2

TS T TS

σφ μ σ⎡ ⎤⎛ ⎞

−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

∼ (3.13)

และ 2

0ln ln ,2TS S T Tσφ μ σ

⎡ ⎤⎛ ⎞+ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

∼ (3.14)

เมอ TS เปนราคาหน ณ เวลา T และ 0S เปนราคาหน ณ เวลา 0 จากสมาการท 36 H(3.14) แสดงวา ln TS ม

การแจกแจงแบบปกตทมคาเฉลยเทากบ 2

0ln2

S Tσμ⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ Tσ

ดงนน TS จงมการแจกแจงแบบ Lognormal และสามารถหามลคาคาดหวงของ TS ไดจาก

( ) 0T

TE S S eμ= (3.15)

3.7 การแจกแจงของอตราผลตอบแทน

กาหนดให x เปนอตราผลตอบแทนแบบทบตนตอเนองทแทจรงตอปสาหรบชวงเวลาระหวาง0และT ดงนนจะไดวา

0xT

TS S e= เราจะหาอตราผลตอบแทนทแทจรงไดเปน

0

1 ln TSxT S

= (3.16)

จากสมการท 37 H(3.13) จะไดวา 2

0

1 1 1ln ,2

TS T TT S T T

σφ μ σ⎡ ⎤⎛ ⎞

−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

∼

หรอ 2

,2

xT

σ σφ μ⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

∼ (3.17)

นนคออตราผลตอบแทนแบบทบตนตอเนองทแทจรงตอปมการแจกแจงแบบปกตทมคาเฉลยเทากบ 2

2σμ − และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ

Tσ

3.8 อตราผลตอบแทนทคาดหวง

ความตองการผลตอบแทนในหนของนกลงทนนนจะขนอยกบความเสยงของหน กลาวคอถาความเสยงสง นกลงทนจะมความตองการผลตอบแทนทสงดวย และความตองการผลตอบแทนของนกลงทนยงขนกบอตราดอกเบยดวย กลาวคอ ถาอตราดอกเบยสง นกคงทนกจะคาดหวงวาจะไดผลตอบแทนทสงดวย

จากสมการท 38 H(3.12) ไดแสดงไววา tμΔ เปนคาเฉลยของรอยละการเปลยนแปลงของราคาหนใน ชวงเวลา tΔ ซงโดยปกตเราจะสมมตให μ เปนอตราผลตอบแทนแบบทบตนตอเนองของหน แตสาหรบกรณนเราจะใช x ซงเปนอตราผลตอบแทนแบบทบตนตอเนองทแทจรงตอปสาหรบชวงเวลาT จากสมการท 39H(3.16)

0

1 ln TSxT S

=

33

และจากสมการท 40 H(3.17) คาคาดหวงของ x มคาเทากบ 2

2σμ − นนคอ ( )

2

2E x σμ= − ซงผลทได

อตราผลตอบแทนทแทจรงจะแตกตางกนกบอตราผลตอบแทนแบบทบตนตอเนองของหนμ สมมตเราจะพจารณาชวงเวลาสนๆ tΔ หลายๆชวงเวลา ซงเรากาหนดให iS เปนราคาปดของหน

สาหรบชวงเวลา i และ 1i i iS S S−Δ = − ภายใตสมมตฐานทเราจะสรางพฤตกรรมการเคลอนไหวของราคาหน ผลตอบแทนเฉลยของหนสาหรบแตละชวงปดของชวงเวลาใดๆมคาเทากบμ นนคอ tμΔ เปนคาเฉลยเลข

คณตของ i

i

SSΔ

จากสมบตของ Lognormal สาหรบราคาหน เราจะไดวา

( ) 0T

TE S S eμ=

เมอ ( )TE S เปนคาคาดหวงของราคาหน ณ เวลา T

ใสคาลอกทงสองขางจะไดวา ( ) 0 0ln ln ln lnTTE S S e S Tμ μ= + = +⎡ ⎤⎣ ⎦ (3.18)

ตอนนเราจะกาหนดให ( ) ( )ln lnT TE S E S=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ดงนนจากสมการท 41 H(3.18) เราจะไดวา

( ) ( )0ln lnTE S S Tμ− =⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0ln lnTE S S Tμ− =⎡ ⎤⎣ ⎦

หรอ 0

ln TSE TS

μ⎡ ⎤⎛ ⎞

=⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.19)

สมการท 42 H(3.19) จะนาเราไปสสมการ ( )E x μ= แตเราไมสามารถทาไดเนองจากในความเปน

จรง ( ) ( )ln lnT TE S E S>⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ดงนน0

ln TSE TS

μ⎡ ⎤⎛ ⎞

<⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

กนาเราไปสสมการ ( )E x μ< ซงไมใช

สงทเราตองการ ดงนนอตราผลตอบแทนแบบทบตนตอเนองทแทจรงจะมคานอยกวาอตราผลตอบแทนแบบทบตนตอเนองของหน 3.9 การหาความผนผวนจากขอมลในอดต

วธนเปนการคานวณหาคาความผนผวนของราคาหนจากการสงเกตราคาของหนทเกดขนจรง โดยกาหนดชวงเวลาทแนนอน เชน ทกวน ทกสปดาห หรอ ทกเดอน กาหนดให

1:n + จานวนครงในการสงเกตราคาของหน :iS ราคาปดของหนสาหรบชวงเวลาท i เมอ 0,1, ,i n= …

:τ ความยาวของชวงเวลาใน 1 ป (i.e.=1/จานวนวนทาการของตลาด)

1

ln ii

i

SuS −

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ เมอ 0,1, ,i n= …

เราจะประมาณคา ( )s สวนเบยงเบนมาตรฐานของ iu โดย

( )2

1

11

n

ii

s u un =

= −− ∑

34

หรอ ( )

22

1 1

1 11 1

n n

i ii i

s u un n n= =

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠∑ ∑ เมอu เปนคาเฉลยของ iu (3.20)

จากสมการท 43 H(3.13) สวนเบยงเบนมาตรฐานของ iu มคาเทากบσ τ นนคอ s สามารถประมาณได

โดยσ τ หรอ s σ τ≈ และความผนผวนของเราσ จะประมาณไดจากσ เมอ

ˆ sστ

=

ซงมคาความคาดเคลอนจากการคานวณเทากบ ˆ 2nσ

ตวอยางท 3.1 ตวอยางการคานวณความผนผวนของราคาหนจากขอมลในอดต

จากตารางขางตนจะได 20,n =20

1

0.03482,ii

u=

= −∑20

2

1

0.00408ii

u=

=∑

กาหนดใหม 248 วนทาการในหนงป ดงนน1

248τ =

จะไดวาสวนเบยงเบนมาตรฐานของ iu มคาเทากบ

( ) ( ) ( ) ( )220 20

22

1 1

1 1 1 10.00408 0.03482 0.0145520 1 20 20 1 19 20 19i i

i is u u

= =

⎛ ⎞= − = − − =⎜ ⎟− − ⎝ ⎠∑ ∑

วน ทสงเกต ราคาปดของหน Si Si/S i-1 ui = ln(S i/Si-1) ui2

0 295.461 297.54 1.00704 0.00702 0.000052 299.43 1.00635 0.00633 0.000043 299.72 1.00097 0.00097 0.000004 309.27 1.03186 0.03137 0.000985 307.98 0.99583 -0.00418 0.000026 308.72 1.00240 0.00240 0.000017 305.65 0.99006 -0.00999 0.000108 310.03 1.01433 0.01423 0.000209 310.58 1.00177 0.00177 0.0000010 303.46 0.97708 -0.02319 0.0005411 304.22 1.00250 0.00250 0.0000112 306.03 1.00595 0.00593 0.0000413 300.62 0.98232 -0.01784 0.0003214 300.76 1.00047 0.00047 0.0000015 298.03 0.99092 -0.00912 0.0000816 300.73 1.00906 0.00902 0.0000817 299.2 0.99491 -0.00510 0.0000318 299.58 1.00127 0.00127 0.0000019 288.24 0.96215 -0.03859 0.0014920 285.35 0.98997 -0.01008 0.00010

-0.03482 0.00408∑

35

ดงนนความผนผวนจะมคาประมาณ 0.01455 0.229140.00403

sτ= =

และมคาคาความคาดเคลอนจากการคานวณเทากบ 0.22914 0.0362340

=

3.10 ขอสมมตฐานของแบบจาลองแบลคโชลส

1. พฤตกรรมการเคลอนไหวของราคาหนมลกษณะการแจกแจงแบบ Lognormal 2. นกลงทนสามารถกยม หรอใหกไดทอตราดอกเบยปราศจากความเสยง 3. ไมมคาใชจายในการทาธรกรรมและสามารถซอขายในหนวยยอยได 4. ไมมการจายเงนปนผลจากหนตลอดอายของออปชน 5. ไมมโอกาสในการทากาไรโดยปราศจากความเสยง 6. มการซอขายหนเกดขนอยางตอเนอง 7. อตราดอกเบยปราศจากความเสยงเปนคาคงท

3.11 การไดมาของสมการอนพนธของ Black, Scholes และ Merton จากหวขอท 3.3 จะไดสมการของพฤตกรรมการเคลอนไหวสาหรบราคาหนดงน

dS Sdt Sdzμ σ= + (3.21) กาหนดให f เปนราคาของคอลออปชน S เปนราดาของหน ซงเปนสนคาอางอง ดงนน f จงเปนฟงกชน

ของ S และ t จากสมการท 44 H(3.4) ใน ItÔ Processes จะไดวา 2

2 22

12

f f f fdf S S dt SdzS t S Sμ σ σ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(3.22)

สาหรบรปแบบทไมตอเนองของสมการท 45 H(3.21) และ 46H(3.22) คอ S S t S zμ σΔ = Δ + Δ (3.23)

และ 2

2 22

12

f f f ff S S t S zS t S Sμ σ σ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂Δ = + + Δ + Δ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(3.24)

เมอ SΔ และ fΔ เปนการเปลยนแปลงของ S และ f สาหรบชวงเวลาเลกๆ tΔ และจาก ItÔ lemma จะได

Wiener Processes ของ S และ f เหมอนกนนนคอ zΔ ในสมการท 47 H(3.23) และ 48H(3.24) มคาเหมอนกน เราจะสรางพอรตลงทนทไมมความเสยงขนโดยประกอบดวยหนและตราสารอนพนธ จานวนทเหมาะสมของจานวนหนและตราสารอนพนธในพอรตลงทนคอ -1: ตราสารอนพนธ

fS∂

+∂

: หน

ดงนนฐานะของพอรตลงทนนคอขายตราสารอนพนธ 1 สญญา และซอหนจานวน f S∂ ∂ หน กาหนดให Π แทนมลคาของพอรตลงทน ดงนนจะไดวา

36

ff SS∂

Π = − +∂

(3.25)

และการเปลยนแปลงของมลคาของพอรตลงทนสาหรบชวงเวลา tΔ คอ ff SS∂

ΔΠ = −Δ + Δ∂

แทนคาสมการนดวยสมการท 49 H(3.23) และ 50H(3.24) ซงจะได

( )2

2 22

12

f f f f fS S t S z S t S zS t S S Sμ σ σ μ σ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ΔΠ = − + + Δ + Δ + Δ + Δ⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

หรอ 2

2 22

12

f f S tt S

σ⎛ ⎞∂ ∂

ΔΠ = − − Δ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ (3.26)

เนองจากไมม zΔ ปรากฎในสมการน ดงนนพอรตลงทนจงไมมความเสยงสาหรบชวงเวลา tΔ เพอไมใหเกดโอกาสการทากาไรโดยปราศจากความเสยง อตราผลตอบแทนของพอรตลงทนนตองเทากบ การนาเงนลงทนทเทากบมลคาพอรตลงทนไปลงทนทไมมความเสยง และไดรบอตราผลตอบแทนทปราศจากความเสยง r ดงนน จะได

r tΔΠ = ΠΔ (3.27)

แทนคาจากสมาการท 51 H(3.25) และ 52H(3.26) ในสมการ 53H(3.27) จะได 2

2 22

12

f f fS t r f S tt S S

σ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞− − Δ = − + Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

ดงนน 2

2 22

12

f f frS S rft S S

σ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ (3.28)

เราจะเรยกสมการท 54H(3.28) วาเปน สมการเชงอนพนธของ Black, Scholes และ Merton ซงเปนสมการเชงอนพนธยอยอนดบสอง ดงนนคาตอบของสมาการท 55H(3.28) จงมไดหลายคา แตเราทราบเงอนไขขอบเขตของออปชน (boundary conditions) โดยเราจะกาหนดขอบเขตมลคาของออปชนขนกบมลคาของ S และ t ในการหาคาตอบของสมการ กรณคอลออปชน จะใชเงอนไขคอ

( )max ,0f S K= − เมอ t T=

กรณพทออปชน จะใชเงอนไขคอ

( )max ,0f K S= − เมอ t T=

3.12 Risk-Neutral Valuation

สมการอนพนธของ Black, Scholes และ Merton นนไมขนกบความเสยง เพราะฉะนนในการประมาณมลคา f เราสามารถกาหนดความเสยงขนมาซงไมสงผลกระทบตอสมการอนพนธของ Black, Scholes และ Merton กลาวคอ นกลงทนในโลกทปราศจากความเสยงจะมผลตอบแทนทคาดหวงของการลงทน ( )μ ทกประเภทขนกบอตราดอกเบยปราศจากความเสยง ( )r ผลทตามมาคอนกลงทนจะไมมความ

ตองการทจะไดรบผลตอบแทนเพมขนเพอชดเชยความเสยง ดงนนมลคาปจจบนของเงนลงทนทกประเภทใน

37

โลกทปราศจากความเสยงจะหาไดจากการคดอตราลดของผลตอบแทนทคาดหวงดวยอตราดอกเบยปราศจากความเสยง เราจะพจารณาตราสารอนพนธทมการจายผลตอบแทนทระยะเวลาหนง เราสามารถหามลคาโดยใชหลกการ Risk-Neutral Valuation ซงมขนตอนดงน

1. สมมตใหอตราผลตอบแทนทคาดหวงจากสนทรพยอางองคออตราดอกเบยปราศจากความเสยง นนคอกาหนดให rμ =

2. คานวณหาผลตอบแทนทคาดหวงจากตราสารอนพนธ 3. หาสวนลดของผลตอบแทนทคาดหวงดวยอตราดอกเบยปราศจากความเสยง

สตรทวไปของ Black-Scholes จะหาไดจากสมการเชงอนพนธของ Black, Scholes และ Merton ใน

สมการท 56H(3.28) โดยอาศยเงอนไขขอบเขตของออปชนกบหลกการ Risk-Neutral Valuation พจารณา คอลออปชนแบบยโรป ผลตอบแทนทคาดหวงของออปชนเมอถงวนครบกาหนดของ

สญญาในโลกทปราศจากความเสยงคอ

( )ˆ max ,0TE S K−⎡ ⎤⎣ ⎦

เมอ E คอมลคาทคาดหวงในโลกทปราศจากความเสยง จากหลกการ Risk-Neutral Valuation กาหนดใหมลคาของคอลออปชนแบบยโรปเทากบ c ซงหาได

จากการหาสวนลดของผลตอบแทนทคาดหวงดวยอตราดอกเบยปราศจากความเสยงนนคอ

( )ˆ max ,0rTTc e E S K−= −⎡ ⎤⎣ ⎦ (3.29)

ตอไปเราจะแสดงวา ถา V มการแจกแจงแบบ Lognormal และมสวนเบยงเบนมาตรฐานของ lnV เทากบw แลว

[ ] ( ) ( ) ( )1 2max( ,0)E V K E V N d KN d− = −

เมอ ( ) ( )2

1

ln 2E V K wd

w+⎡ ⎤⎣ ⎦=

( ) ( )2

2

ln 2E V K wd

w−⎡ ⎤⎣ ⎦=

โดยท E คอมลคาทคาดหวงและ ( )N x คอฟงกชนคาสะสมของการกระจายความนาจะเปนแบบปกตมาตรฐาน บทพสจน

กาหนดให ( )g V เปนฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนของ V จะไดวา

[ ] ( )max( ,0) ( )K

E V K V K g V dV∞

− = −∫ (3.30)

และใหตวแปร lnV มการแจกแจงแบบปกต มสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบw จาก สมบตของการแจกแจงแบบ Lognormal จะไดวาคาเฉลยของ lnV มคาเทากบ m เมอ

( )2

ln2

wm E V= −⎡ ⎤⎣ ⎦ (3.31)

38

กาหนดใหตวแปรใหมดงน lnV mQ

w−

= (3.32)

ซงจะไดวาQ มการแจกแจงปกตมาตรฐาน นนคอมคาเฉลยเทากบ 0 และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 1 ให ( )h Q แทนฟงกชนความหนาแนนของQ ดงนน

( )2

212

Q

h Q eπ

−=

ใชสมการท 57 H(3.32) เพอเปลยนชวงในการอนทเกรตใหมจากอนทเกรตบนV เปนอนทเกรตบนQ ในสมการ

ท58 H(3.30) จะไดวา

[ ] ( )( )ln

max( ,0) ( )Qw m

K m wE V K e K h Q dQ

∞ +

−− = −∫

( )( )

( )( )ln ln

Qw m

K m w K m we h Q dQ K h Q dQ

∞ ∞+

− −= −∫ ∫ (3.33)

พจารณา

( )2

212

QQw m Qw me h Q e e

π

−+ += ⋅

( )2 2 2

212

Q Qw m

eπ

− + +

=

( )2 22

212

Q w m w

eπ

⎡ ⎤− − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

=

( )2 2

2 212

Q w wme e

π

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦ += ⋅

2

2 ( )wm

e h Q w+

= ⋅ − ดงนนสมการท 59 H(3.33) จะไดวา

[ ] ( )( )

( )( )

2

2ln ln

max( ,0)wm

K m w K m wE V K e h Q w dQ K h Q dQ

∞ ∞+

− −− = − −∫ ∫ (3.34)

ถาเรากาหนดให ( )N x แทนฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบปกตมาตรฐานสาหรบตวแปรซงมคาเฉยเทากบ 0 และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 1 ทมคานอยกวา x ดงนนจะไดวา

ให y Q w= −

( )( ) lnln

( )K mK m w ww

h Q w dQ h y dy∞ ∞

−− −

− =∫ ∫

ln

1 ( )K m ww h y dy−

−

−∞= − ∫

ln1 K mN w

w−⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

ln K mN w

w− +⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

แทนคาm จากสมการท 60 H(3.31) และกาหนดใหเทากบ ( )1N d ดงน

39

( )2

2ln lnln 2wK E V wK mN w N

w w

⎛ ⎞− + − +⎡ ⎤⎜ ⎟⎣ ⎦− +⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 2ln 2E V K w

Nw

⎛ ⎞+⎡ ⎤⎣ ⎦= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1N d=

นนคอ ( )( )

( )1ln K m wh Q w dQ N d

∞

−− =∫ (3.35)

และ ( )( )

ln

ln1 ( )

K mw

K m wh Q dQ h Q dQ

−∞

− −∞= −∫ ∫

ln1 K mN

w−⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

ln K mN

w−⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

ln K mN

w− +⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

แทนคาm จากสมการท 61 H(3.31) และกาหนดใหเทากบ ( )2N d ดงน

( )2

ln lnln 2wK E VK mN N

w w

⎛ ⎞− + −⎡ ⎤⎜ ⎟⎣ ⎦− +⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 2ln 2E V K w

Nw

⎛ ⎞−⎡ ⎤⎣ ⎦= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2N d=

นนคอ ( )( )

( )2ln K m wh Q dQ N d

∞

−=∫ (3.36)

จากสมการท 62 H(3.34), 63 H(3.35) และ 64 H(3.36) จะไดดงน

[ ] ( ) ( )2

21 2max( ,0)

wmE V K e N d KN d

+− = −

( ) ( ) ( )

2 2ln

2 21 2

w wE Ve N d KN d

− +⎡ ⎤⎣ ⎦= − (แทนคาm จากสมการท

65H(3.31))

( ) ( ) ( )1 2E V N d KN d= −

40

พจารณา คอลออปชนแบบยโรปของหนทไมจายเงนปนผลทมอายของสญญาเทากบT ราคาใชสทธเทากบ K อตราดอกเบยปราศจากความเสยงเทากบ r ราคาปจจบนของหนอางองเทากบ 0S และความผน

ผวนเทากบσ ซงแสดงในสมการท 66 H(3.29) โดยคอลออปชนมราคาเทากบ

( )ˆ max ,0rTTc e E S K−= −⎡ ⎤⎣ ⎦

เมอ TS คอราคาหน ณ เวลา T และ E คอมลคาทคาดหวงในโลกทปราศจากความเสยง จากกระบวนการสม

ภายใตสมมตฐานของ Black-Scholes TS มการแจกแจงแบบ Lognormal ดงนนจากสมการท 67 H(3.14) และ

68 H(3.15), ( ) 0ˆ rT

TE S S e= และสวนเบยงเบนมาตรฐานของ ln TS คาเทากบ Tσ

จากทเราแสดงการพสจนดงนนสมการท 69 H(3.29) มผลลพธไดคอ

( ) ( )0 1 2rT rTc e S e N d KN d− ⎡ ⎤= −⎣ ⎦

หรอ ( ) ( )0 1 2rTc S N d Ke N d−⎡ ⎤= −⎣ ⎦

เมอ

( ) 2 20

1

ˆln ln2 2

TE S T S r TK Kd

T T

σ σ

σ σ

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞+⎢ ⎥ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠= =

( ) 2 20

2

ˆln ln2 2

TE S T S r TK Kd

T T

σ σ

σ σ

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞−⎢ ⎥ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠= =

จากสมการท (1.1) ความสมพนธระหวางคอลออปชนและพทออปชน เราจะหามลคาพทออปชนดงน

0rTp c Ke S−= + −

( ) ( )0 1 2 0rT rTS N d Ke N d Ke S− −⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦

( ) ( )0 1 21 1rTS N d Ke N d−= − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )0 1 2rTS N d Ke N d−= − − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

หรอ

2 0 1( ) ( )rTp Ke N d S N d−= − − − เมอ

20

1

ln2

S r TK

dT

σ

σ

⎛ ⎞⎛ ⎞ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

2

0

2

ln2

S r TK

dT

σ

σ

⎛ ⎞⎛ ⎞ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

41

3.13 สตรทวไปในการมลคาออปชนของ Black-Scholes สตรทวไปของ Black-Scholes สาหรบการหาราคาปจจบนของคอลออปชนแบบยโรป และ พทออปชนแบบยโรปของหนทไมจายเงนปนผล คอ

0 1 2( ) ( )rTc S N d Ke N d−= −

2 0 1( ) ( )rTp Ke N d S N d−= − − − โดยท

20

1

ln2

S r TK

dT

σ

σ

⎛ ⎞⎛ ⎞ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

2

0

2 1

ln2

Sr T

Kd d T

T

σ

σσ

⎛ ⎞⎛ ⎞ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = −

c คอราคาของคอลออปชน p คอราคาของพทออปชน

0S คอราคาปจจบนของสนทรพยอางอง K คอราคาใชสทธของออปชน r คออตราดอกเบยทปราศจากความเสยง(ตอป) σ คอคาความผนผวนของสนทรพยอางอง T คออายของออปชน(ป)

( )N x คอฟงกชนคาสะสมของการกระจายความนาจะเปนแบบปกตมาตรฐาน ซงเปนคาทแสดงความนาจะเปนของตวแปรทมลกษณะการกระจายแบบปกตมาตรฐาน หรอ (0,1)φ ทมคานอยกวา x ซงมคาเทากบพนทใตกราฟของการกระจายแบบปกตมาตรฐานสาหรบตวแปรทมคานอยกวา x

ตวอยางท 3.2 กาหนดใหราคาหนอางองในปจจบนเทากบ 42 บาท และออปชนมอาย 6 เดอน มราคาใชสทธเทากบ 40 บาท ใหอตราดอกเบยปราศจากความเสยงเปน 10% ตอป และความผนผวนของราคาหนอางองเทากบ 20% ตอป จากโจทยจะได 0 42, 40, 0.1, 0.2S K r σ= = = = และ 0.5T =

ดงนน 2

1

42 0.2ln 0.1 0.540 2

0.76930.2 0.5

d

⎛ ⎞⎛ ⎞ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =

2

2

42 0.2ln 0.1 0.540 2

0.62780.2 0.5

d

⎛ ⎞⎛ ⎞ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =

และ (0.7693) 0.7791,N = ( 0.7693) 0.2209N − =

42

(0.6278) 0.7349,N = ( 0.6278) 0.2651N − =

กรณคอลออปชน 0.0542(0.7791) 40 (0.7349) 4.76c e N−= − =

กรณพทออปชน 0.0540 (0.2651) 40(0.2209) 0.81p e−= − =

ดงนนมลคาคอลออปชนมคาเทากบ 4.76 บาท และมลคาพทลออปชนมคาเทากบ 0.81บาท

3.14 โปรแกม Microsoft Excel เพอคานวณมลคาออปชนตามแบบจาลองแบลคโชลส

ภาพท 3.1 แบบจาลองแบลคโชลส

43

ตวแปร เซลล Formula

T H8 =B12/365

d1 H9 =(LN(B8/B9)+(B10+(B11^2)/2)*H8)/(B11*SQRT(H8))

d2 H10 =H9-B11*SQRT(H8)

N(d1) H11 =NORMSDIST(H9)

N(d2) H12 =NORMSDIST(H10)

-d1 K8 =-H9

-d2 K9 =-H10

N(-d1) K10 =NORMSDIST(K9)

N(-d2) K11 =NORMSDIST(K10)

Call N10 =B8*H11-B9*EXP(-B10*H8)*H12

Put N11 =B9*EXP(-B10*H8)*K12-B8*K11

ใสขอมลของออปชนทตองการคานวณท เซลล B8 ถง เซลล B12 ดงภาพท 3.1 สาหรบสตรในการคานวณคอ

คานวณมลคาออปชนจากตวอยางท 3.2 โดยใชแบบจาลองแบลคโชลส บนโปรแกม Microsoft Excel

แบบจาลองแบลคโชลส (Black Scholes Model)

เมอ N(x) คอฟงกชนคาสะสมของการกระจาย

ความนาจะเปนแบบปกตมาตรฐาน

Input42 S0 ราคาปจจบนของหลกทรพยอางอง T = 0.50137 อายคงเหลอของออปชน (ป)

40 K ราคาใชสทธของออปชน d1 = 0.76937 -d1= -0.7694

0.1 r อตราดอกเบยทปราศจากความเสยง ตอป d2 = 0.62776 -d2= -0.6278 Call = 4.7657

0.2 คาความผนผวนของสนทรพยอางอง N(d1)= 0.77916 N(-d1)= 0.22084 Put = 0.8096

183 t อายคงเหลอของออปชน(วน) N(d2)= 0.73492 N(-d2)= 0.26508

หมายเหต - จากตวอยางท 3.2 ออปชนมอาย 6 เดอน หรอครงป จงประมาณได 183 วน

0 1 2( ) ( )rTc S N d Ke N d−= −

2 0 1( ) ( )rTp Ke N d S N d−= − − −

20

1

ln2

S r TK

dT

σ

σ

⎛ ⎞⎛ ⎞ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

σ

20

2 1

ln2

S r TK

d d TT

σ

σσ

⎛ ⎞⎛ ⎞ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = −

ภาพท 3.2 ตวอยางการคานวณตาม แบบจาลองแบลคโชลส

44

บทท 4 การหามลคาออปชนโดยวธมอนตคารโล

Monte-Carlo Simulation

การหามลคาออปชนโดยวธมอนตคารโลเปนแนวคดทเกดจากการนาแบบจาลองทมการเคลอนไหว

แบบตอเนองมาเปลยนแปลงเปนแบบจาลองทมการเคลอนไหวแบบไมตอเนอง และใชการสมตวแปรสมขนมาสาหรบการหามลคาออปชนจากแบบจาลองดงกลาว

เนองจากการหามลคาออปชนนนมการอางองราคาของหลกทรพยในตลาด ในทนคอ SET50 Index ดงนนกอนทาการวเคราะหหาราคาและมลคาของออปชนในอนาคต จงจาเปนตองวเคราะหหาราคาของสนคาอางองในอนาคตทออปชนอางองอยกอน โดยการใชแนวคดจากสมการการเคลอนไหวแบบบราวเนยน (Brownian Motion) โดยผลงทนทกคนในตลาดเปนผทเปนกลางตอความเสยง ตามสมการ 70 H(4.1)

SdzSdtdS μλ += (4.1) โดย dS เปนขนาดของการเคลอนไหวของราคาสนคาอางองในชวงเวลา dt

dz เปนตวแปรสมแบบปกตมาตรฐานทมการเคลอนไหวตามกระบวนการของวเนย (Wiener Process) หรอเรยกอกชอวามการเคลอนไหวแบบบราวเนยน

μ เปนสวนเบยงเบนมาตรฐานของราคาสนคาอางอง 2μ เปนคาความแปรปรวนของราคาสนคาอางอง

λ เปนอตราคดลดของพนบตร หรอ อตราผลตอบแทน (Risk Premium) เพอชดเชยกบความเสยงทผลงทนตองแบกรบจากการลงทนในหลกทรพย

dt เปนระยะเวลาคงเหลอของสญญามหนวยเปนวน

เนองจาก dz และ dt มความสมพนธกนในเชงเสนตรง ดงนน dt จงเปนการแจกแจงแบบปกตดวยและคา μ สามารถหาไดจากสมการ (3.20)

ทงน เนองจากสมการการเคลอนไหวแบบบราวเนยนเปนการเคลอนไหวแบบตอเนอง ซงไมสามารถทาไดจรงในทางปฏบต ดงนนวธการจาลองมอนตคารโลไดมการปรบตวแบบสมการ 71 H(4.1) ใหเปนตวแบบจาลองแบบไมตอเนองจงจะนามาใชงานได ซงจากคณสมบตขอ 1 ของ Wiener Processes ในบทท 3 ไดวา

WtStSS Δ+Δ=Δ μλ (4.2) โดย W ~ N (0,1) ( การแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน )

SΔ เปนขนาดของการเคลอนไหวของราคาสนคาอางองในชวงเวลา tΔ tΔ เปนระยะเวลาคงเหลอของสญญามหนวยเปนวน

และจากกระบวนการของอโต (ItÔ Process) ในบทท 3 เราจงมสมการการหาราคาของสนคาอางองเมอสม W มาหนงคา เมอผวเคราะหทราบวาราคาของสนคาอางอง 0S เปนราคาของสนคาอางอง ณ เวลาปจจบนคอ

45

( ) 0

2

2exp SWttWST

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Δ+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= μμλ

เมอผวเคราะหสมคา W ขนมาเรอยๆได iW โดย i = 1,2,..,

สาหรบคานวณราคาในอก T วนขางหนา Tt =Δ จะได

( ) 01

2

1 2exp SWTTWST

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= μμλ

( ) 02

2

2 2exp SWTTWST

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= μμλ

. . . . . . . . .

( ) 0

2

2exp SWTTWS NNT

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= μμλ (4.3)

ดงนนจงไดสมการการหามลคาของสนคาอางองโดยวธมอนตคารโลเปนดงสมการ (4.3) และสามารถหามลคาของสนคาอางองในอก T วนขางหนาไดจาก

( )∑=

=N

iiTT WS

NS

1

1 (4.4)

TS เปนราคาสนคาอางองในอก T วนขางหนา โดยเฉลยจากการสมตวอยาง โดยแนวคดของการจาลองมอนตคารโลนนไดกลาวไววา การสมตวอยางขนมาเปนจานวนมากๆยงทาใหผลของการคานวณมคาใกลเคยงความจรงมากขน โดยในโครงงานน ผจดทาไดมการสมตวอยางมาใชในการคานวณถง 1000 ตวอยาง ซงเปนตวเลขทคอนขางมาก ดงนนผจดทาจงใชโปรแกรมการคานวณทางคณตศาสตรมาชวยในการสมตวอยางและคานวณหาราคาสนคาอางองและมลคาของคอลออปชน โปรแกรมดงกลาวคอ โปรแกรม MATLAB ทจะอธบายในหวขอตอไป

นอกจากตวแปรสมแลวสงเกตวาตวแปรตวอนๆทใชในการคานวณเปนตวแปรทมคาคงทเสมอ ยกเวนตวแปร T ทจะเปลยนแปลงไปตามอายคงเหลอของสนคาอางองทเราตองการศกษา และพบวาเมอตวแปร T มคานอยๆหรอใกลๆถงวนหมดอายของสญญา การหามลคาสนคาอางองและมลคาออปชนจะยงมความแมนยามากกวาการทตวแปร T มคามากๆ

นอกจากนเรายงสามารถใชคา TS ในการหาคาของ 0S เพอตรวจสอบความคลาดเคลอนของราคาสนคาอางองทไดจากการคานวณ

( )TSS T λ−= exp0 (4.5) เมอเราไดมลคาของสนคาอางองในอก T วนขางหนาแลว ลาดบตอไปจะเปนการนามลคาของสนคาอางองดงกลาวมาหามลคาออปชน ณ เวลานน ซงกคอวนสนสดสญญาของออปชนนนๆ วาจะมการซอชายสญญาหรอไม อยางไร โดยจะแบงการพจารณาเปนสองกรณ คอ กรณของคอลออปชน (Call Option) และพทออปชน (Put Option) ดงน

46

4.1 คอลออปชน (Call Option) อยางททราบกนแลววาคอลออปชนจะมการซอขายสญญากตอเมอราคาของสนคาอางอง ณ วนสนสดสญญามคามากกวาราคาใชสทธของคอลออปชนทตกลงไวในสญญา(Strike Prices) และมลคาคอล ออปชนคอผลตางระหวางราคาของสนคาอางองในวนสนสดสญญากบราคาใชสทธของคอลออปชนทตกลงไวในสญญา กลาวคอ เมอให TC เปนมลคาของคอลออปชน ณ วนสนสดสญญา T และ

0C เปนราคาใชสทธของคอลออปชนทตกลงในสญญา เราจงสามารถหามลคาคอลออปชนไดจากสมการ ( ){ }0,max 0CSC TT −= (4.6) เมอนา )( iT WS ; i = 1,2,.., N แทนคาในสมการ 72H(4.6) จะไดมลคาคอลออปชนจากการสม ณ วนสนสดสญญาเปนจานวน N คา จากนนจะนามลคาคอลออปชนทง N คามาหาคาเฉลยจากสมการ

∑=

=N

iiTT WC

NC

1)(1 (4.7)

เพอใชคาเฉลย TC ในการระบมลคาของคอลออปชนทผลงทนซงเปนกลางตอความเสยงคาดวาจะเปนจรงในอนาคต ณ วนท T

หลงจากทไดคา TC แลว ผวเคราะหสามารถใชคานนไปคานวณคา 0C ได โดยใชสมการ

73 H(4.5) และเปลยนตวแปร TS เปนตวแปร TC แทน ดงนนคาทไดจากการคานวณกจะเปลยนเปน 0C

ดวยเชนกน และคา 0C ทไดนตองเปนคาเดยวกนกบราคาใชสทธของคอลออปชนทตกลงกนในสญญาดวย 4.2 พทออปชน (Put Option) พทออปชนจะมการซอขายสญญากตอเมอราคาของสนคาอางอง ณ วนสนสดสญญามคาตากวาราคาใชสทธของพทออปชนทตกลงไวในสญญา (Strike Prices) และมลคาพทออปชนคอผลตางระหวางราคาใชสทธของพทออปชนทตกลงไวในสญญากบราคาของสนคาอางองในวนสนสดสญญา กลาวคอ

เมอให TP เปนมลคาของพทออปชน ณ วนสนสดสญญา T และ

0P เปนราคาใชสทธของพทออปชนทตกลงในสญญา เราจงสามารถหามลคาพทออปชนไดจากสมการ ( ){ }0,max 0 TT SPP −= (4.8)

เมอนา )( iT WS ; i = 1,2,.., N แทนคาในสมการ (4.8) จะไดมลคาพทออปชนจากการสม ณ วนสนสดสญญาเปนจานวน N คา จากนนจะนามลคาพทออปชนทง N คามาหาคาเฉลยจากสมการ

∑=

=N

iiTT WP

NP

1)(1 (4.9)

เพอใชคาเฉลย TP ในการระบมลคาของพทออปชนทผลงทนซงเปนกลางตาความเสยงคาดวาจะเปนจรงในอนาคต ณ วนท T

เมอไดคา TP แลว ผวเคราะหสามารถใชคานนไปคานวณคา 0P ได โดยใชสมการ 74 H(4.5)

เชนเดยวกนกบการหา 0C โดยการเปลยนตวแปร TS เปนตวแปร TP แทน ดงนนคาทไดจากการคานวณกจะเปลยนเปน 0P ดวยเชนกน และคา 0P ทไดนตองเปนคาเดยวกนกบราคาใชสทธของคอลออปชนทตกลงกนในสญญาดวย

47

4.3 การใชวธมอนตคารโลในการหามลคาออปชนโดยอางองดชน SET50 กบ MATLAB เนองจากการหามลคาออปชนโดยวธมอนตคารโลนนจะตองมการสมตวแปรขนมาเปนจานวนมากเพอใชในการคานวณ ดงนนจงไดนาสมการการหาราคาสนคาอางองและสมการการหามลคาออปชนมาปรบใชกบโปรแกรมการคานวณทางคณตศาสตร เพอชวยใหการคานวณสะดวกและรวดเรวมากขน ในทนเราจะใชโปรแกรม MATLAB ในการคานวณโดยมลาดบขนตอนดงตอไปน

1. ใชโปรแกรม MATLAB สรางการคานวณสนคาอางองในสวนของ Editor โดยเรมเปดการใชงานโปรแกรม MATLAB และคลก start ทมมลางซายในหนาแรกของโปรแกรม >> Desktop tools >> Editor

ภาพท (4.1) แสดงการเรมตนการทาการ Editor

2. เขยนคาสงในการคานวณลงในสวนของ Editor ดงน

จะไดคาสงทมภาพแบบดงตอไปน

% SDE is dS = lambda*S dt + mu*S dW, S(0) = Szero, % standard deviation = mu, where lambda = discount rate. % % Discretized Brownian path over [0,1] has dt = 1/1000. randn('state',1000) Szero = input('Underlying Price = '); T = input('Time Discount = '); N = 1000; lambda = 0.06/365; mu = 0.0178; % problem parameters dW = sqrt(T)*(randn(1,N)); % Brownian increments Strue = Szero*exp( (lambda-(0.5*mu^2))*T + mu*dW ); Smean = mean(Strue) Szero_check = Smean*exp((-lambda)*T)

48

ภาพท (4.2)

ในสวนของหมายเลข 1 ตามภาพ (4.2) เปนสวนทอธบายรายละเอยดเพมเตมจากคาสงการคานวณ

โดยบรรทดท 1 ถง 4 ไดอธบายสมการ ความหมายของตวแปร และลกษณะของการคานวณ สวนหมายเลข 2 จงจะเปนคาสงการคานวณอยางแทจง โดย บรรทดท 6 - เปนการสรางสถานะขนเพอใหชดของตวแปรสมทโปรแกรมประมวลผลขนมานน เปนตว

แปรสมชดเดมตลอด บรรทดท 7 - เปนการสงใหเรยกเกบขอมลของราคาสนคาอางอง ณ เวลาปจจบน ใหสงขอมลไปยงตว

แปร Szero บรรทดท 8 - เปนการสงใหเรยกเกบขอมลของอายคงเหลอของสนคาอางองและสญญาออปชน ใหสง

ขอมลไปยงตวแปร T บรรทดท 9 - จานวนของตวแปรสมทตองการใหโปรแกรมคานวณออกมา ในทนคอ 1000 ตว ใช

สญลกษณ N บรรทดท 10 - lambda คอคาของอตราคดลดพนธบตรทคดลดคดอตราสวนตอวน แตเนองจากอตราคด

ลดในโลกของความเปนจรงนนคดอตราสวนตอป จงตองหารดวย 365 วน และ mu คอ สวนเบยงเบนมาตรฐานของราคาสนคาอางอง ตามภาพ lambda มคาเปน 0.12/365 และ mu มคาเปน 0.0009 เปนเพยงตวเลขท

ยกตวอยางขนมาเทานน ซงการนามาใชในการคานวณจรงนนสามารถหาไดจากการคานวณโดยแบบจาลองแบลคโชลส

บรรทดท 11 - เปนคาสงในการประมวลผลตว dW = WT ⋅ โดยท W เปนตวแปรสมแบบปกตมาตรฐานทโปรแกรมสมขนมาจานวน N ตว ดงนนเราจงได W ทงหมด 1000 ตว

บรรทดท 13 - เปนการสงใหคานวณราคาสนคาอางองจากตวแปรสมแตละตวทโปรแกรมสมขนมา โดยใชสญลกษณ Strue

บรรทดท 15 - เปนคาสงในการหาราคาสนคาอางองโดยเฉลยจาก Strue บรรทดท 16 - เปนคาสงในการหาราคาของสนคาอางอง ณ เวลาปจจบนโดยใช Smean ในการคานวณ

1

2

49

ตอไปเปนการสรางโปรแกรมการคานวณมลคาของคอลออปชน เราจะใสคาสงในสวนของ Editor

เพมเขาไปจากการหาราคาสนคาอางองเพงอก 3 คาสงคอ

เพอไมใหเกดความสบสนในการใชงาน จงสราง Editor ใหมในการคานวณคอลออปชนแยกออกมา

จากการคานวณราคาสนคาอางอง ดงภาพ (4.3)

ภาพท (4.3) การเขยนโปรแกรมการคานวณคอลออปชน

บรรทดท 14 - เปนคาสงในการหามลคาของคอลออปชนแตละคาทเกดจากการนาราคาสนคาอางองท

คานวณมาจากตวแปรสมแตละตวทโปรแกรมสมขนมา ณ วนท T โดยใชสญลกษณเปน Ctrue

บรรทดท 15 - เปนคาสงในการหามลคาของคอลออปชนโดยเฉลยจาก Ctrue บรรทดท 16 - เปนคาสงในการหามลคาของคอลออปชน ณ เวลาปจจบนโดยใช Cmean ในการคานวณ

สาหรบการหามลคาของพทออปชน เราจะใสคาสงในสวนของ Editor เพมเขาไปจากการหาราคาสนคาอางองเพงอก 3 คาสงเชนกน คอ

และเพอไมใหเกดความสบสนในการใชงานเชนเดยวกน จงสราง Editor ใหมในการคานวณพท

ออปชนแยกออกมาจากการคานวณราคาสนคาอางองและมลคาคอลออปชน ดงภาพ (4.4)

Ctrue = max(Strue - Czero,0)Cmean = mean(Ctrue) Czeros = exp((-lambda)*T)*Cmean)

Ptrue = max(Pzero - Strue,0)Pmean = mean(Ptrue) Pzeros = exp((-lambda)*T)*Pmean)

50

ภาพท (4.4) การเขยนโปรแกรมการคานวณพทออปชน

บรรทดท 14 - เปนคาสงในการหามลคาของพทออปชนแตละคาทเกดจากการนาราคาสนคาอางองท

คานวณมาจากตวแปรสมแตละตวทโปรแกรมสมขนมา ณ วนท T โดยใชสญลกษณเปน Ptrue

บรรทดท 15 - เปนคาสงในการหามลคาของพทออปชนโดยเฉลยจาก Ptrue บรรทดท 16 - เปนคาสงในการหามลคาของพทออปชน ณ เวลาปจจบนโดยใช Pmean ในการคานวณ

3. การใชโปรแกรม MATLAB คานวณราคาสนคาอางอง มลคาของคอลออปชนและมลคาของพท ออปชน เพอใหเกดความเขาใจ เราจะยกตวอยางเหตการณการซอขายขนมาหนงตวอยางสาหรบการเรยนรการคานวณ

ตวอยาง หนสามญทตลาดคอลออปชนอางองถง มราคาตลาดวนนอยท 100 บาท มอตรา

ผลตอบแทนตอวน มการแจกแจงแบบปกต โดยอตราคดลดพนธบตรวนนอยทรอยละ 12 และคอลออปชนมราคาใชสทธ 95 บาท อายคงเหลอ 120 วน มสวนเบยงเบนมาตรฐานของราคาสนคาอางองเทากบ 0.0009 นอกจากนภายใตสนคาอางองตวเดยวกนในตลาดพทออปชน ในสญญาซอขายพทออปชนมราคาใชสทธ 110 บาท

Solution.

สวนแรกจะเปนการหาราคาหนสามญทตลาดคอลออปชนอางองถงในอก 120 วนขางหนา เนองจากเราสมมตใหอตราคดลดพนธบตรและสวนเบยงเบนมาตรฐานของราคาสนคาอางองมอตรา

คงท ดงนนเราจงทาการเปลยนคาตวแปรทงสองตวในสวนของ Editor (ตามภาพ (4.5)) ในคราวเดยวเพอใหงายตอการคานวณ โดย lambda เทากบรอยละ 12/365 เนองจากอตราคดลดพนธบตรเปนรอยละ 12 เปนคาตอป แตการคานวณนนเปนการเปลยนแปลงตอวน สวน mu เทากบ 0.0009 เปนสวนเบยงเบนมาตรฐานของราคาสนคาอางอง

51

ภาพท (4.5)

เมอกดปม ctrl+enter เพอสงใหโปรแกรมประมวลคาสง ในสวนของ Command Window บนหนาตางหลกของโปรแกรม MATHLAB จะเรยกใหเราใสขอมล Underlying Price หรอราคาสนคาอางอง ณ เวลาปจจบน ซงเทากบ 100 บาท และ Time Discount หรออายคงเหลอของสญญาเทากบ 120 วน

ภาพท (4.6)

เมอใสขอมลและกด enter แลว โปรแกรมจะทาการประมวลผลและสงขอมลออกมา 2 คา คอ Smean = 104.0311 และ Szero_check = 100.0067 ดงภาพ (4.6) โดยท Smean คอราคาของสนคาอางองในอก 120 วนขางหนาทโปรแกรมสามารถคานวณออกมาได และ Szero_check คอ ราคาของสนคาอางอง ณ เวลาปจจบน ทโปรแกรมสามารถคานวณออกมาได ซงจะเหนวามความใกลเคยงกบขอมลจรงมาก มคาความคลาดเคลอนอยท 0.0067 ถาหากตองการเรยกดตวแปรสมและราคาของสนคาอางองทไดจากตวแปรสมแตละตวทโปรแกรมประมวลผลได ใหสงเกตในสวนของ Workspace จะการแสดงคาของตวแปรแตละตวทเกยวของกบการ

52

คานวณทเราทาการประมวลผล จากนนใหดบเบลคลกท <1x1000 double> ในแถวของ W และ Strue ตามลาดบ

ภาพท (4.7)

ขอมลจะแสดงผลออกมาในสวนของ Variable Editor โดยแสดงออกมาเปนตารางดงภาพ (4.8) และ

(4.9)

ภาพท (4.8) ตวแปรสม ( dW ) ทไดจากการประมวลผลของโปรแกรม MATHLAB

53

ภาพท (4.9) ราคาของสนคาอางองทไดจากตวแปรสมแตละตว (Strue) ทไดจากการประมวลผลของโปรแกรม MATLAB

เมอเราไดราคาของสนคาอางองในอก 120 ขางหนาแลว ตอไปจะเปนการหามลคาของคอลออปชนและพทออปชนในวนสนสดสญญา หรออก 120 วนขางหนา เรมจากการหามลคาคอลออปชน โดยราคาใชสทธอยท 95 บาท หากผถอสญญาตองการใชสทธในวนน ซงราคาสนคาอางองอยท 100 บาท มลคาของคอลออปชนจะอยท 5 บาท เมอกดปม ctrl+enter เพอสงใหโปรแกรมประมวลคาสง ในสวนของ Command Window บนหนาตางหลกของโปรแกรม MATLAB จะเรยกใหเราใสขอมล Underlying Price หรอราคาสนคาอางอง ณ เวลาปจจบน ซงเทากบ 100 บาท Time Discount หรออายคงเหลอของสญญาเทากบ 120 วน และ Call Options_Now หรอราคาใชสทธ ณ เวลาปจจบน เทากบ 95 บาท เมอคาสงประมวลผลแลวจะไดมลคาออปชนเทากบ 9.0311 บาท และมลคาออปชน ณ เวลาปจจบนจากการคานวณอยท 8.6817 บาท ซงมความคาดเคลอนถง 3.6817 บาท ดงภาพ (4.10.1) และ (4.10.2)

ภาพท (4.10.1)

54

ภาพท (4.10.2) ภาพแสดงผลจากการกดปม ctrl+enter และสงขอมลเขา

เมอเราลดระยะเวลาการหามลคาออปชนลง หรออายของสญญาเหลอนอยลง คาความคาดเคลอนของมลคาออปชนจะมคาลดนอยลง โดยจะแสดงใหเหนตามตาราง (4.1) อายคงเหลอของสญญา (T ) มลคาคอลออปชน ณ

เวลาปจจบนตามขอมลจรง

มลคาคอลออปชน ณ เวลาปจจบนจากการ

คานวณ

มลคาคอลออปชน ณ วนสนสดสญญา

120 5 8.6817 9.0311 100 5 8.0787 8.3487 80 5 7.4716 7.6707 50 5 6.5533 6.6619 30 5 5.9358 5.9947 10 5 5.3138 5.3313 5 5 5.1575 5.1659 3 5 5.0948 5.0998 2 5 5.0634 5.0667 1 5 5.0319 5.0335

ตาราง (4.1) ลาดบตอไปเปนการหามลคาพทออปชน โดยราคาใชสทธอยท 110 บาท หากผถอสญญาตองการใชสทธในวนน ซงราคาสนคาอางองอยท 100 บาท มลคาของคอลออปชนจะอยท 10 บาท เมอกดปม ctrl+enter เพอสงใหโปรแกรมประมวลคาสง ในสวนของ Command Window บนหนาตางหลกของโปรแกรม MATLAB จะเรยกใหเราใสขอมล Underlying Price หรอราคาสนคาอางอง ณ เวลาปจจบน ซงเทากบ 100 บาท Time Discount หรออายคงเหลอของสญญาเทากบ 120 วน และ Put Options_Now หรอราคาใชสทธ ณ เวลาปจจบน เทากบ 110 บาท เมอคาสงประมวลผลแลวจะไดมลคาออปชนเทากบ 5.9689 บาท และมลคาออปชน ณ เวลาปจจบนจากการคานวณอยท 5.7380 บาท ซงมความคาดเคลอนถง 4.2620 บาท ดงภาพ (4.11)

55

ภาพท (4.11.1)

ภาพท (4.11.2) ภาพแสดงผลจากการกดปม ctrl+enter และสงขอมลเขา

เมอเราลดระยะเวลาการหามลคาออปชนลง หรออายของสญญาเหลอนอยลง คาความคาดเคลอนของมลคาออปชนจะมคาลดนอยลง โดยจะแสดงใหเหนตามตาราง (4.2) อายคงเหลอของสญญา (T ) มลคาพทออปชน ณ

เวลาปจจบนตามขอมลจรง

มลคาพทออปชน ณ เวลาปจจบนจากการ

คานวณ

มลคาพทออปชน ณ วนสนสดสญญา

120 10 5.7380 5.9689 100 10 6.4362 6.6513 80 10 7.1390 7.3293 50 10 8.2021 8.3381 30 10 8.9169 9.0053 10 10 9.6369 9.6687 5 10 9.8179 9.8341 3 10 9.8905 9.9002 2 10 9.9268 9.9333 1 10 9.9632 9.9665

ตาราง (4.2)

56

บทท 5 การเปรยบเทยบมลคาออปชน

จากในบททผานมาขางตนเราไดศกษาทมาและวธการคานวณมลคาของออปชน สาหรบในบทนเราจะคานวณมลคาออปชนโดยใชแบบจาลองแบลคโชลส แบบจาลองตนไมทวนาม และการจาลองมอนตคารโล ซงใชขอมลจากบรษท ตลาดอนพนธ (ประเทศไทย) จากด (มหาชน) (TFEX) ทเกดขนจรง ของสญญาออปชนแบบยโรปทมอายระหวางวนท 30 มถนายน ถง 29 กนยายน พ.ศ.2552 โดยมขอมลของปจจยตางๆดงน ราคาปจจบนของดชน SET50 ( )0S

ในการคานวณมลคาออปชนระหวางวนท 30 มถนายน ถง 29 กนยายน พ.ศ.2552 เราจะใชราคาปดของวนกอนหนาวนทเราจะคานวณหนงวน ซงกคอราคาเปดของดชน SET50 ในวนทเราจะคานวณ ตวอยางเชน เราจะคานวณมลคาออปชน ณ วนท 30 มถนายน 2552 ซงในความเปนจรงเราตองการจะพยากรณมลคาของออปชน ณ วนนดวย ถาเรานาราคาปดของดชน SET50 มาเปนราคาปจจบนเพอใชในการคานวณ เราตองรอตลาดปดเพอจะทราบราคานน ดงนนเราจงใชราคาปดของดชน SET50 ณ วนท 29 มถนายน 2552 ซงเราทราบคาทแนนอน และถอเปนราคาเปดของดชน SET50 ณ วนท 30 มถนายน 2552 ราคาใชสทธของออปชน ( )K

เราจะทาการคานวณหามลคาออปชนทมราคาใชสทธคอ 410, 420, 430, 440 และ 450 อตราดอกเบยทปราศจากความเสยง ( )r

เราใชอตราดอกเบยทปราศจากความเสยงเทากบ 6% ตอป ความผนผวนของดชน SET50 ( )σ

เราหาความผนผวนจากขอมลในอดตของดชน SET50 ซงใชราคาปดของ SET50 ระหวางวนท 2 กมภาพนธ 2552 ถงวนท 29 มถนายน 2552 โดยวธการจากหวขอ 3.9 ในบทท 3 อายของออปชน เรานบอายของสญญาตามวนทมการซอขายในตลาดจรงตงแตวนท 30 มถนายน ถง 29 กนยายน พ.ศ.2552 นนคอ ไมคานวณวนทตลาดปดทาการ

57

ราคาปจจบนของดชน SET50 ระหวางวนท 29 มถนายน ถง 28 กนยายน พ.ศ.2552

29/6/2009 433.98 31/7/2009 449.91 1/9/2009 467.52

30/6/2009 430.35 3/8/2009 464.57 2/9/2009 467.06

2/7/2009 421.29 4/8/2009 464.76 3/9/2009 475.11

3/7/2009 418.52 5/8/2009 463.97 4/9/2009 477.03

8/7/2009 411.97 6/8/2009 471.70 7/9/2009 488.16

9/7/2009 416.99 7/8/2009 467.05 8/9/2009 496.66

10/7/2009 403.69 10/8/2009 466.42 9/9/2009 499.76

13/7/2009 401.06 11/8/2009 465.54 10/9/2009 505.84

14/7/2009 413.49 13/8/2009 475.51 11/9/2009 508.20

15/7/2009 421.58 14/8/2009 473.31 14/9/2009 496.96

16/7/2009 417.57 17/8/2009 454.90 15/9/2009 503.92

17/7/2009 428.32 18/8/2009 461.00 16/9/2009 508.39

20/7/2009 442.72 19/8/2009 453.08 17/9/2009 507.98

21/7/2009 439.09 20/8/2009 460.13 18/9/2009 510.85

22/7/2009 429.24 21/8/2009 462.83 21/9/2009 508.40

23/7/2009 440.71 24/8/2009 469.23 22/9/2009 517.04

24/7/2009 442.12 25/8/2009 469.66 23/9/2009 521.47

27/7/2009 445.07 26/8/2009 470.80 24/9/2009 519.96

28/7/2009 448.58 27/8/2009 466.77 25/9/2009 514.76

29/7/2009 442.27 28/8/2009 470.69 28/9/2009 505.42

58

การหาความผนผวนจากขอมลในอดตของดชน SET50 (SET50 Index)

โดยใชขอมลระหวางวนท 2 กมภาพนธ 2552 ถงวนท 29 มถนายน 2552

วนทสงเกต ราคาปดของหน Si Si/Si-1 ui = ln(Si/Si-1) ui2

0 295.461 297.54 1.00704 0.00702 0.000052 299.43 1.00635 0.00633 0.000043 299.72 1.00097 0.00097 0.000004 309.27 1.03186 0.03137 0.000985 307.98 0.99583 -0.00418 0.000026 308.72 1.00240 0.00240 0.000017 305.65 0.99006 -0.00999 0.000108 310.03 1.01433 0.01423 0.000209 310.58 1.00177 0.00177 0.0000010 303.46 0.97708 -0.02319 0.0005411 304.22 1.00250 0.00250 0.0000112 306.03 1.00595 0.00593 0.0000413 300.62 0.98232 -0.01784 0.0003214 300.76 1.00047 0.00047 0.0000015 298.03 0.99092 -0.00912 0.0000816 300.73 1.00906 0.00902 0.0000817 299.2 0.99491 -0.00510 0.0000318 299.58 1.00127 0.00127 0.0000019 288.24 0.96215 -0.03859 0.0014920 285.35 0.98997 -0.01008 0.0001021 289.03 1.01290 0.01281 0.0001622 288.68 0.99879 -0.00121 0.0000023 290.5 1.00630 0.00628 0.0000424 284.25 0.97849 -0.02175 0.0004725 289.65 1.01900 0.01882 0.0003526 287.21 0.99158 -0.00846 0.0000727 287.62 1.00143 0.00143 0.0000028 295.42 1.02712 0.02676 0.0007229 295.43 1.00003 0.00003 0.0000030 292.94 0.99157 -0.00846 0.0000731 296.06 1.01065 0.01059 0.0001132 297.16 1.00372 0.00371 0.0000133 298.86 1.00572 0.00570 0.0000334 305.72 1.02295 0.02269 0.0005235 305.58 0.99954 -0.00046 0.0000036 304.81 0.99748 -0.00252 0.0000137 306.84 1.00666 0.00664 0.0000438 307.96 1.00365 0.00364 0.0000139 298.81 0.97029 -0.03016 0.0009140 300.2 1.00465 0.00464 0.0000241 298.97 0.99590 -0.00411 0.00002

59

42 309.62 1.03562 0.03500 0.0012343 312.34 1.00878 0.00875 0.0000844 309.58 0.99116 -0.00888 0.0000845 310.51 1.00300 0.00300 0.0000146 310.91 1.00129 0.00129 0.0000047 318.57 1.02464 0.02434 0.0005948 317.22 0.99576 -0.00425 0.0000249 320.47 1.01025 0.01019 0.0001050 328.49 1.02503 0.02472 0.0006151 328.02 0.99857 -0.00143 0.0000052 323.09 0.98497 -0.01514 0.0002353 326.94 1.01192 0.01185 0.0001454 332.83 1.01802 0.01786 0.0003255 333.4 1.00171 0.00171 0.0000056 331.76 0.99508 -0.00493 0.0000257 340.12 1.02520 0.02489 0.0006258 346.81 1.01967 0.01948 0.0003859 358.76 1.03446 0.03388 0.0011560 371.94 1.03674 0.03608 0.0013061 374.94 1.00807 0.00803 0.0000662 380.78 1.01558 0.01546 0.0002463 387.25 1.01699 0.01685 0.0002864 393.54 1.01624 0.01611 0.0002665 373.26 0.94847 -0.05291 0.0028066 380.02 1.01811 0.01795 0.0003267 384.64 1.01216 0.01208 0.0001568 398.02 1.03479 0.03419 0.0011769 401.46 1.00864 0.00861 0.0000770 390.48 0.97265 -0.02773 0.0007771 394.21 1.00955 0.00951 0.0000972 390.71 0.99112 -0.00892 0.0000873 384.77 0.98480 -0.01532 0.0002374 395.13 1.02693 0.02657 0.0007175 394.84 0.99927 -0.00073 0.0000076 398.36 1.00892 0.00888 0.0000877 414.92 1.04157 0.04073 0.0016678 410.18 0.98858 -0.01149 0.0001379 416.51 1.01543 0.01531 0.0002380 425.59 1.02180 0.02157 0.0004781 434.11 1.02002 0.01982 0.0003982 430.29 0.99120 -0.00884 0.0000883 436.39 1.01418 0.01408 0.0002084 450.59 1.03254 0.03202 0.0010385 453.37 1.00617 0.00615 0.0000486 454.61 1.00274 0.00273 0.0000187 441.78 0.97178 -0.02863 0.0008288 430.05 0.97345 -0.02691 0.00072

60

จากตารางขางตนจะได 97,n =97

10.38446,i

iu

=

=∑97

2

10.03218i

iu

=

=∑

กาหนดใหม 248 วนทาการในหนงป ดงนน1

248τ =

จะไดวาสวนเบยงเบนมาตรฐานของ iu มคาเทากบ

( ) ( ) ( ) ( )297 97

22

1 1

1 1 1 10.03218 0.38446 0.0178697 1 97 97 1 96 97 96i i

i is u u

= =

⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟− − ⎝ ⎠∑ ∑

ดงนนความผนผวนจะมคาประมาณ

0.01786 0.281390.00403

sτ= =

และมคาคาความคาดเคลอนจากการคานวณเทากบ 0.28139 0.0202194

=

หมายเหต

1. จากสมการ ( ) 0

2

2exp SWTTWS iiT

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= μμλ ในการจาลองมอนตคารโล

iW เปนการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน โดย i = 1,2,..,N โดยเราจะใชตวแปรสม 1,000 ตว เพอปรบใหตวแปรทใชกบทง 2 แบบจาลอง จงขอทาความเขาใจรวมกนโดย อตราดอกเบยทปราศจากความเสยง ( )r เทยบเทากบตวแปร λ ในสมการ

สวนเบยงเบนมาตรฐาน )(s เทยบเทากบตวแปร μ และอายคงเหลอของสญญาคอตวแปร T

2. สาหรบแบบจาลองตนไมทวนาม เราจะพจารณา 1 คาบเทากบเวลา 1 เดอน นนคอเราใชแบบจาลองตนไมทวนาม 3 คาบในการคานวณครงน

89 420.99 0.97893 -0.02129 0.0004590 408.27 0.96979 -0.03068 0.0009491 423.47 1.03723 0.03655 0.0013492 417.78 0.98656 -0.01353 0.0001893 407.99 0.97657 -0.02371 0.0005694 417.59 1.02353 0.02326 0.0005495 424.88 1.01746 0.01731 0.0003096 429.43 1.01071 0.01065 0.0001197 433.98 1.01060 0.01054 0.00011

0.38446 0.03218

61

ผลการคานวณ ผลจากการคานวณมลคาออปชนแบบยโรปทมดชน SET50 เปนสนทรพยอางองระหวางวนท 30

มถนายน ถง 29 กนยายน พ.ศ.2552 โดยใชแบบจาลองแบลคโชลสแบบจาลองตนไมทวนามและการจาลองมอนตคารโล มดงน คอลออปชน

ภาพท 5.1 คอลออปชน-ราคาใชสทธเทากบ 410

ภาพท 5.2 คอลออปชน-ราคาใชสทธเทากบ 420

62

ภาพท 5.3 คอลออปชน-ราคาใชสทธเทากบ 430

ภาพท 5.4 คอลออปชน-ราคาใชสทธเทากบ 440

63

ภาพท 5.5 คอลออปชน-ราคาใชสทธเทากบ 450 พทออปชน

ภาพท 5.6 พทออปชน-ราคาใชสทธเทากบ 410

64

ภาพท 5.7 พทออปชน-ราคาใชสทธเทากบ 420

ภาพท 5.8 พทออปชน-ราคาใชสทธเทากบ 430

65

ภาพท 5.9 พทออปชน-ราคาใชสทธเทากบ 440

ภาพท 5.10 พทออปชน-ราคาใชสทธเทากบ 450

66

จากกราฟ แสดงใหเหนวาผลการคานวณมลคาออปชนจากทฤษฎทางคณตศาสตรทง 3 แบบ มผลทแตกตางกนออกไป แตยงคงมความสอดคลองกบมลคาออปชนทเกดขนจรงใน SET50 Index Options ผลการคานวณมลคาออปชนจากทฤษฎทางคณตศาสตรทง 3 แบบมความคลาดเคลอนจากขอมลจรงนน สวนหนงอาจเกดจากอตราดอกเบยทใชในการคานวณ สาหรบโครงงานนใชอตราดอกเบยทเปนกลางทางความเสยงทรอยละ 6 และโครงงานนไมไดนาอตราผลเงนปนผลของดชน SET50 มาคานวณ เนองจากในโลกของความเปนจรงอตราเงนปนผลของหน 50 ตวในดชน SET50 มความแตกตางกน หากตองการความแนนอนของความสมพนธของขอมลกบการคานวณทางทฤษฎ สามารถวดคาไดโดยวธการทางคณตศาสตรในหลายรปแบบ

67

รายการอางอง

1 Cox, J. C., S. A. Ross, and M. Rubinstein., “Option Pricing: A Simplified Approach.” Journal of Financial Economics 7 (October 1979):229-64. 2 K. ItÔ, “On Stochastic Differential Equations,” Memoirs of the American Mathematical Society,4(1951):1-51”

68

บรรณานกรม

1 Victor Goodman, Joseph G. Stampfli, The mathematics of finance: modeling and hedging, Thomson Learning, 2001. 2 John C. Hull, Options, futures, and other derivatives, 6th ed., Prentice Hall, 2006. 3 อญญา ขนธวทย, การวเคราะหความเสยงจากการลงทนในหลกทรพย, ตลาดหลกทรพยแหงประเทศ ไทย, กรงเทพฯ, 2547. 4 Desmond J. Hogham, An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations, SIAM Review, 2001. 5 เวบไซตของตลาดหลกทรพยแหงประเทศไทย ( 0Hwww.set.or.th) 6 เวบไซตของบรษท ตลาดอนพนธ (ประเทศไทย) จากด (มหาชน) ( 1Hwww.tfex.co.th)

69

ภาคผนวก ก แบบเสนอหวขอโครงงาน รายวชา 2301399 Project

Proposal ชอโครงงาน (ภาษาไทย) การเปรยบเทยบมลคาออปชนโดยใชแบบจาลองแบลคโชลส แบบจาลองตนไม- ทวนาม และการจาลองมอนตคารโลสาหรบออปชนบนดชน SET50 ชอโครงงาน (องกฤษ) Comparison on option prices using Black Scholes, binomial tree models and Monte Carlo simulation for SET50 Index Options อาจารยทปรกษา อาจารย ดร.กตตพฒน วอง อาจารยทปรกษารวม ศาสตราจารย ดร. กฤษณะ เนยมมณ ผดาเนนการ นายจกรกฤษณ ศรทองด เลขประจาตวนสต 4933557723 นางสาวนภาวด ไชยนาเคนทร เลขประจาตวนสต 4933572023

หลกการและเหตผล ตราสารอนพนธ (Derivatives) เปนตราสารทางการเงนทไมมมลคาในตวเอง แตจะมมลคาขนอย

กบสนคาอนทตราสารอนพนธอางองอย และมอายจากดตามทระบไวในตราสารนน ในปพ.ศ.2550 บรษท ตลาดอนพนธ (ประเทศไทย) จากด (มหาชน) (TFEX) ไดเรมซอขายสญญาออปชน (Options) โดยใชดชน SET50 (SET50 Index) เปนสนคาอางอง และเรยกสญญานวา SET50 Index Options ดงนนSET50 Index Options หมายถง สญญาซอขายลวงหนาทผซอไดสทธในการ ซอ หรอ ขายดชน SET50 จากผขายในเงอนไข และราคาทตกลงกนไวในสญญาออปชน โดยทผซอสญญาออปชนจะตองจายเงนจานวนหนงแทนมลคาของสญญา ทเรยกวา คาพรเมยม (Premium) ในโครงงานนเราจะศกษามลคาของออปชนตามทฤษฎโดยใชแบบจาลอง 2 แบบ ไดแก แบบจาลองตนไมทวนาม และแบบจาลองแบลคโชลส แลวนามลคาของออปชนทไดจากแบบจาลองทงสองมาเปรยบเทยบกบมลคาทเกดขนจรง วาราคาทางทฤษฎจากทงสองแบบมความสมพนธกนหรอไม อยางไร นอกจากนเราจะใชการจาลองมอนตคารโล (Monte-Carlo Simulation) ในการหามลคาออปชน โดยอางองดชนSET50 เพอนาไปปรบใชกบกลยทธทจะทากาไรของออปชนในทกสภาวะของตลาด

วตถประสงค 1. เพอศกษาตราสารอนพนธประเภทออปชน (Options) ทมดชน SET50 เปนสนคา อางอง

2. เพอศกษาแบบจาลองตนไมทวนามและแบบจาลองแบลคโชลส 3. หามลคาออปชนตามแบบจาลองขางตน 4. ศกษาการจาลองมอนตคารโล เพอนาไปใชหามลคาออปชน

ขอบเขตของโครงงาน

• หามลคาออปชนตามแบบจาลองตนไมทวนามของ SET50 Index Options ในระยะเวลา 3 เดอน

• หามลคาออปชนตามแบบจาลองแบลคโชลสของ SET50 Index Options ในระยะเวลา 3 เดอน

70

• หามลคาออปชนโดยการจาลองมอนตคารโลของ SET50 Index Options ในระยะเวลา 3 เดอน

ขนตอนการดาเนนการ 1. กาหนดหวขอและโครงงานทจะศกษา โดยผานความเหนชอบจากอาจารยทปรกษา 2. ศกษาตราสารอนพนธประเภทออปชน 3. ศกษาการหามลคาออปชนตามแบบจาลองตนไมทวนามแบบจาลองแบลคโชลสและการจาลองมอนตคารโล 4. ศกษาและเกบขอมลการลงทนตราสารอนพนธประเภทออปชนดชน SET50 5. วเคราะหและเปรยบเทยบขอมลการลงทนตราสารอนพนธประเภทออปชนดชน SET50 กบผลทไดจากแบบจาลองตนไมทวนาม แบบจาลองแบลคโชลส และการจาลองมอนตคารโล 6. ตรวจสอบความถกตอง 7. สรปผลการดาเนนการ 8. จดทาเอกสารประกอบโครงงาน

ตารางเวลาการดาเนนการ

เดอน ขนตอนการดาเนนการ ม.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค. ม.ค.

1. กาหนดหวขอ 2. ศกษาออปชน 3. ศกษาแบบจาลอง 4. เกบขอมลดชน SET50 5. วเคราะหและเปรยบเทยบ 6. สรปผลการดาเนนการ

ประโยชนทคาดวาจะไดรบ

1. ทาใหผศกษามความรเบองตนในการเปรยบเทยบขอมลการลงทนตราสารอนพนธประเภทออปชนดชน SET50 กบผลทไดจากแบบจาลองตนไมทวนาม แบบจาลองแบลคโชลส และการจาลองมอนตคารโล

2. ทาใหผศกษานาความรทางคณตศาสตรมาใชในการเปรยบเทยบขอมลการลงทนตราสารอนพนธประเภทออปชนดชน SET50 กบผลทไดจากแบบจาลองตนไมทวนาม แบบจาลองแบลคโชลส และการจาลองมอนตคารโล

3. ทาใหผลงทนมทางเลอกในการตดสนใจลงทนตราสารอนพนธประเภทออปชนในดชนSET50มากขน บรรณานกรม Victor Goodman, Joseph G. Stampfli, The mathematics of finance: modeling and hedging, Thomson Learning, 2001. John C. Hull, Options, futures, and other derivatives, 6th ed., Prentice Hall, 2006. อญญา ขนธวทย,การวเคราะหความเสยงจากการลงทนในหลกทรพย, ตลาดหลกทรพยแหงประเทศไทย, กรงเทพฯ, 2547.

ภาคผนวก ข

71

แหลงทมาของขอมล

ราคาดชน SET50 เกบขอมลมาจากตลาดหลกทรพยแหงประเทศไทย โดยใชมลคาลาสดอยางเปนทางการ ณ เวลาปด

ของตลาดในแตละวน วธการคอ เขาทเวบไซตของตลาดหลกทรพยแหงประเทศไทย ( 2Hwww.set.or.th) >>ขอมลการซอขาย >>ดชน >> ราคาดชนตลาดหลกทรพย หรอ 3Hhttp://marketdata.set.or.th/mkt/sectorialindices.do?language=th&country=TH จะไดดงน มลคาออปชน

ขอมลมาจากตลาดหลกทรพยแหงประเทศไทย โดยเขาท เขาทเวบไซตของตลาดหลกทรพยแหงประเทศไทย ( 4 H www.se t .o r . th ) >> ขอมลการซอขาย >> ตราสารอนพนธ >> ขอมลการซอขาย หรอ เขาทเวบไซตของบรษท ตลาดอนพนธ (ประเทศไทย) จากด (มหาชน) ( 5Hwww.tfex.co.th) หรอ 6Hhttp://marketdata.set.or.th/tfx/historicalMarketReport.do?locale=th_TH 7Hhttp://www.tfex.co.th/tfex/historicalMarketReport.html?locale=th_TH ซงสามารถเลอกประเภทขาองตราสารอนพนธ และรายละเอยดตางๆไดดงน