UNIVERSITATEA TITU MAIORESCU FACULTATEA DE INFORMATIC Prof.univ.dr.ing Creu Emil Lector univ.dr. ing. Apostolescu Ctlin 2CAPITOLUL 1. NOIUNI INTRODUCTIVE 1.1 Mrimi fizice. Uniti de msur. Dimensiuni Pentrua msura o mrime trebuie s stabilim de cte ori se cuprinde eanoaltmrimedeaceeainatur,binedefinitialeasprinconvenie drept unitate. Orice msurare fizic este ntotdeauna un proces de interaciune ntre obiectul msurat i dispozitivulde msur, proces ce modific i starea obiectului msurat. EfectuareauneioperaiidemsurareaoricreimrimifiziceM implicstabilireauneiunitidemsurcorespunztoare.Subliniemc alegereaunitiidemsurnurezultdinniciolegeafizicii,cieste determinatdefactorica:cerineleimpusedepractic,reproductibi-litate, consensgeneraletc.OricemrimefizicMtrebuieexprimatprin produsul dintre valoarea numeric {-M} i unitatea de msur M M ={M } M(1.1) Deoarece,pentruomrimefizicMsepotutilizamaimulteunitide msur, se obine: M={M1,} M1, ={M2} M2 =... (1.2) de unde: {M1}/{M2}= M1 / M2(1.3) Adic,raportulvalorilornumericealeuneimrimifiziceesteegalcu inversul raportului unitilor de msur. Exprimareamrimilorfizicesubformaunuiprodusdeforma(1.1), conducelaodeosebiredintreformulelefiziceicelematematice.De exemplu,dacavemunptratculaturaX,atuncidinpunctuldevedereal matematicii, aria ptratului este A = X2, iar din punctul de vedere al fizicii, trebuie s scriem: 2 21 122 2{ } { }{ } { } { }.A A X XsauXA X KXA = = = (1.4) 3Aadar,nformulelefizicepoateapreauncoeficientparazitK, exprimat prin raportul unitilor de msur. Aceasta a condus la necesitatea practicdeelaborareaunuisistemdeuniticoerent,astfelnctn formulele fizice coeficientul parazit s fie K = 1. n sistemul coerent de uniti de msura, Sistemul Internaional (SI), se disting trei clase de mrimi fizice i uniti de msur corespunztoare:1. Mrimi fizice i uniti de msur fundamentalei 2. Mrimi fizice i uniti de msur suplimentare 3. Mrimi fizice i uniti de msur derivate. Tabelul 1.1 Mrimi fizice i uniti de msur fundamentale Mrimea fizicSimbolul mrimii fizice Unitatea de msurSimbolul unitiide msur 1LungimeaLmetrulM 2TimpulTsecundaS 3MasaMkilogramKg 4Temperatura termodinamic grad KelvinK 5IntensitateacurentuluiIAmperA 6Cantitatea de substanmolMol 7Intensitatea luminoasIcandelaCd Tabelul 1.2. Mrimi fizice i uniti de msur suplimentare Mrimea fizicSimbolul mrimii fizice Unitateade msur Simbolul unitiide msur 1Unghiul planradianRad 2Unghiul solidsteradianSr Coerenasistemuluiinternaionalconstnfaptulcunitilede msurpentrumrimilefizicederivateseexprimnumaiinumaisub formaunorcombinaiialeunitilordemsurfundamentalesau suplimentare. Ilustrm aceast afirmaie prin cteva exemple - viteza liniar v =m/s,acceleraia a =m/s2,vitezaunghiular =rad/si acceleraia unghiular = rad/s2. nafardevaloareanumeric{M},respectivunitateademsur M ,oricemrimefizicsecaracterizeaziprindimensiunea[M],care 4reprezintunmonomalgebricdeputeri-pozitive,negative,ntregisau fracionare-ale simbolurilor mrimilor fizice fundamentale sau suplimentare: [ ] ... M L T M = (1.5) Dimensiunea[M]areunrolfundamentalnverificareacorectitudinii formulelorfizice.nSistemulInternaional(SI),unitateademsurpentru for este Newtonul: 2F kg ms N= =(1.6) Dacunitiledemsurpentrumas,lungimeitimpseexprimin sistemul de uniti GCS (centimetru, gram, secund), avem: 2 5, 10 F gcms dyn N dyn= = =(1.7) 1.2 Definiiile unitilor de msur n sistemul internaional Unitiledemsurpentrumrimilefizicefundamentalei suplimentare pot fi stabilite n dou moduri diferite: a) Pebazaunorconsiderentedeordinpractic,sefixeazunitide msur arbitrare prin elaborarea de etaloane corespunztoare. b) Sealegecaunitatedemsurvaloareauneimrimifizice existentennatur.Deexemplu,sepoatestabilicaunitatedelungime distanadintreatomiiveciniaiunuicristal,caunitatedemasceaa atomilor de hidrogen etc. Avantajul unor astfel de uniti naturale const n reproductibilitatea lor. Lanceputulelaborriiunitilordemsurs-amerspeprima variant,darpemsuradezvoltriifiziciiatomiceinucleareaufost stabilite uniti de msur naturale pentru mrimile fizice. n continuare sunt redate definiiile actuale pentru unitile de msur ale mrimilor fizice fundamentale i suplimentare: 1.Unitateadelungime(metrul).Metrulestelungimeaegalcu 1.650.763,73lungimideundnvidaradiaieicarecorespundetranziiei ntre nivelele de energie 2pl{) i 5d5 ale atomului de kripton 86 (3686 Kr). 2.Unitateadetimp(secunda).Secundaestedurataa 9.192.631.770perioadealeradiaieicarecorespundetranziieintre celedounivelehiperfinedeenergiealestriifundamentale a atomului de cesiu 133 ( 36Cs). 53.Unitateademas(kilogramul).Prototipulinternaionalal kilogramului rmne cel confecionat cu prilejul primei conferine generale demsuriigreuti,dinanul1889.Acestprototipinternaionaldin platiniradiatsepstreazlaBiroulInternaionaldeMsuriiGreuti n condiiile stabilite n anul 1889. 4. Unitatea de intensitate a curentului electric (amperul). Amperul esteintensitateaunuicurentelectriccontinuucare,meninutndou conductoareparalelerectiliniiculungimeinfiniticuseciuneacircular neglijabil, aezate n vid la o distan de 1 m unul de altul, produce ntre aceste conductoare o for egal cu 2-10" N, pe o lungime de 1 m. 5. Unitatea de temperatur termodinamic (gradul Kelvin). Gradul Kelvin,caunitatedetemperaturtermodinamic,estefraciunea 1/273,16 din temperatura termodinamic a punctului triplu al apei. 6.Unitateacantitiidesubstan(molul).Aceastunitatede msurfundamentalafostadoptatlaA14-aConferinInternaional de Msuri i Greuti din anul 1971. Prin rezoluia 3 a acestei conferine se specific: Molulestecantitateadesubstanaunuisistemcareconineattea entiti elementare, ci atomi exist n 0,012 kilograme de carbon 12 ('6C). Masa de 0,012 kg de carbon 12 conine un numr de atomi egal cu numrul lui Avogadro (N = 6,022-IO23 mol"1 ). Decteoriseutilizeazmolul,entitileelementaretrebuiespecificate, ele putnd fi atomi, molecule, ioni. alte particule sau grupuri de particule. 7.Unitateadeintensitateluminoas(candela).Candelaeste intensitatealuminoas,ndirecianormalei,auneisuprafeecuaria1/600.000 metri ptrai a unui corp negru la temperatura de solidificare a platinei i presiunea de 101325 Newton pe metru ptrat. Subliniemcunitiledemsurpentrumrimilefizice fundamentale, precum i numrul acestor mrimi, nu se consider stabilite definitiv prin definiiile enunate mai sus. Unitile de msur suplimentare se definesc n felul urmtor: 1.Unitateadeunghiplan(radianul).Radianulesteunghiulplan cuprinsntredou raze caredelimiteazpecircumferinaunuicercunarc de lungime egal cu cea a razei (fig. 1.1). Unghiul de un radian este egal cu I8O/71 grade sexagesimale, adic 1 rad = 5717'45". 2. Unitatea de unghi solid (steradianul). Steradianul este unghiul solidcare,avndvrfulncentruluneisfere,delimiteazpesuprafaa acestei sfere o arie egal cu aria unui ptrat de latur egal cu raza sferei. 6 Figura 1.1 Unghiul solid Dacdincentruluneisferederazrsetraseazosuprafaconic (fig.1.1), atunci aceast suprafa intersecteaz o parte din sfer, aria acestei pri fiind proporional cu valoarea unghiului solid AQ. Astfel: 2/ r = (1.8) Este evident c acest raport nu depinde de raza sferei. Unghiul solid total sub care se vede suprafaa sferic, din centrul sferei, este: 2244rsrr = = (1.9) Att radianul, ct i steradianul sunt uniti de msur adimensionale. 1.3 Alte uniti de msur. Ordine de mrime S-aconstatatnecesitateautilizriiunorunitidemsurcare, deinufacpartedinSI,joacunrolimportantisuntlarg rspndite.Uneledintreacesteunitidemsursuntindicaten tabelul 1.3. Serecomandcaastfeldeunitidemsur,toleratede sistemul internaional s fie folosite ct mai rar posibil. Sunt admise i unele uniti de msur a cror folosire este util n diferite domenii de activitate ca, de exemplu: Electron-volt(eV).Unelectron-voltesteenergiacinetic ctigatdeunelectroncaretraverseaz-nvid-odiferende potenial de un volt: 1 eV1,60219*10-19 J. 7Unitateaatomicdemas(u.a.m.).Unitateaatomicdemaseste fraciunea1/12dinmasaunuiatomalizotopuluicarbon12( 6C):1u= 1,66057*10-27 kg. Tabelul 1.3. Unele uniti de msur folosite mpreun cu unitile SI Denumirea SimbolValoarea n SI Anala = 3,16-107s Zid1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s Orh1 h = 60 min = 3600 s Minutmin1 min = 60 s Grado1 = TI/180 rad Minut1' =(1/60) = (n/10800) rad Secund"1" = (1/60)' = (TI/648000) rad Litru11 l=l-dm3=10"3m'3 Tont1 t= 103 kg nfizicaatomicinuclear,lungimileseexprimnunitica Angstrom (A) i Fermi (f): 1 A = 10"l() m; 1 f = 10"i5 m. Unitiledemsurpentrulungimi,utilizatenmodobinuitn astronomie, sunt: unitateaastronomic(UA)-egalcudistanamediedintreSoarei Pmnt: 1UA= 1,495980-10" m; anul lumin (al), egal cu distana pe care o parcurge lumina n vid, n decursul unui an: 1 al = 9,4605-l015 m; unitateademsurdenumitparsec(PS)sausecundparalaxiceste distanadelacarerazaorbiteiderevoluieaPmntuluinjurul Soareluiaparesubunghiuldeparalaxegalcuosecund(1"):1ps= 206264,8 UA = 3,26169 al = 3,0875-IO16 m. Multipleledateexperimentaleauscosnevidenfaptulc dimensiunile,durateleimaselepentrusistemeleexistentennaturau valori cuprinse n game extrem de largi. 81.4. Erori de msurare Valorilemrimilorfiziceseobinndiverseprocesedemsurare. Dateleexperimentalearatcnuesteposibilefectuareauneimsurri absolutexacte.Nunevomocupadeerorileexperimentalesistematice, datorateunoretalonrigreitealeaparatelordemsursauutilizareaunor metodedemsurareinadecvate,cinumaideerorilentmpltoare.Erorile ntmpltoarealemsurrilorindividualesuntinevitabile,darprin combinareamaimultormsurrierorilentmpltoarepotfisubstanial reduse. Orice msurare este afectat de eroarea absolut: m rx x x = (1.10) i de eroarea relativ:/rx x x = (1.11) undexmestevaloarreamsurat,iarxrestevaloarearealamrimiifizice X. Dacseefectueazunnumrndemsurridirecteisuccesive asupramrimiifiziceX,cumijloaceimetodedemsurareadecvate,se obin valorile individuale: 1 2, ....., ,....,i nx x x x (1. 12) Fiecare valoare individual este afectat de valoarea absolut: i i rx x x = (1.13) i de eroarea relativ: /i i rx x x = (1.14) Erorilentmpltoareinflueneazrezultatelemsurrilorsuccesive n ambele sensuri, ceea ce conduce la faptul c valorile individuale xi vor fi cndmaimici,cndmaimaridectvaloarearealxr.Subliniemc obinerearezultatelorindividualepuindiferiteuneledealtelesauaunor rezultatecarecoincidntreeleesteoconsecinlogicacondiiilorde msurare. Dac prin repetarea msurrilor se obin riguros aceleai valori individuale,nseamncmetodademsurareutilizatnuestesuficientde sensibil. 9Tabelul 1.4. Rezultatele experimentale obinute de ctre Michelson Viteza luminii c, (km/s) Numrulde apariii Viteza luminii c, (km/s) Numrul de apariii ni 299 0501299 75025 299 5502299 80020 299 6008299 8507 299 65014299 9001 299 70022 Deexemplu,ntabelul1.4seindicrezultatelecelor100de msurrisuccesivealevitezeiluminiinvid,obinutedectreMichelson n anul 1879. Scopul efecturii oricrei msurri const n stabilirea valorii reale xr.Searatcvaloarearealxrpoatefiestimatprinvaloareamediea setului de msurri (1.12) 1 1 11 1ni i i ii i ix x n x n nn n= = == = = (1.15) Seconstatdistribuiasetuluidemsurri(1.10)njurulvalorii mediix,iarabatereastandardsaudispersiarezultatelorexperimentale individuale este dat de mrimea: ( ) ( )212 22112 221x x x x x xnnii i =((

== = == =1212 21 1ii iiix nnxnx(1.16) Valorileindividualealeunuisetdenmsurri,dacneste suficientdemare,sedistribuiedupdensitateaderepartiieGausssau densitatea repartiiei normale: ( )( )22221 x xe x f= (1.17) 10Produsulreprezintprobabilitateacanurmaefecturiiunei msurrisseobinovaloarecuprinsntrexix+dx.Severific simplu egalitatea: ( ) 1 f x dx=(1.18) Aceastegalitateindicfaptulcobinereaunuirezultatoarecare este o certitudine, adic are loc cu probabilitatea P = 1. DensitateaderepartiieGausssereprezintgraficcanfigura1.2, fiindcunoscutsubdenumireadeclopotulluiGaussiavndvaloarea maximnpunctulx=x.Mrimeaindicprobabilitateacanurma efecturiiuneimsurrisseobinovaloarecuprinsntrex-xix+ x. Aceast probabilitate se mai numete i nivelul statistic de confiden pentru intervalul de ncredere x i depinde numai de raportul x/. + =x xx xdx x f P ) ((1.19) Tabelul 1.5. Dependena probabilitii P de raportul x / x/0,6761,0001,9602,0002.5813,000 P0,5000,6830,9500..9540,9900,997 Figura 1.2 - Densitatea de repartiie Gauss (clopotul lui Gauss) 11Rezultcdinsetuldemsurriunprocentde68,3%sunt cuprinsentrex- ix + . Dac, de exemplu, dorim s avem un nivel statistic de confiden P = 0,95, este necesar s lum Ax > 1,96a. Metodele experimentaleactualepermitefectuareaunormsurriafectatedeerori absolute irelativepractic neglijabile.De exemplu,valoareavitezei luminii nvidestec=(299794245,61,1)m/s,ceeaceindicoeroarerelativ c~3-10-9.UtilizareaceasuriloratomicecuCs-133permitemsurarea intervalelor temporale cu o eroare relativ t = < .Vitezamediecoincidecuviteza constant aunuimobil fictivcare arparcurgeuniform aceeasideplasaredr in acelasi interval de timp dt. Vitezainstantaneeestelimitadinvitezamediecndintervalulde timp t tinde spre zero: 0limtr drv rt dt = = =& (1.27) ,unde drrdt = &este derivata de ordinul nti a funciei( ) r rt = &n raport cu timpul,rezultcvitezainstantaneevestentotdeaunatangentla traiectorie n punctul corespunztor poziiei punctului material la momentul respectiv i indreptat n sensul micrii. Putem scrie: x y x yx ydr dx dyv e e ve vedt dt dt= = + = +rr r r r r (1.28) s-aconsiderat cavectoriunitateexsi eynuiischimbdirectiile.Modulul vitezei instantanee este: 2 2 2( ) ( ) x y x yx y x y x yv v v ve ve ve ve v v = = + + = +r r r r r r

(1.29) 2 2y xv v v + = (1.30) Putem scrie vectorul vitez i sub forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0 0 0 0 000 0lim limr x r xt t tr t e t r t e t r t t e t t r t e tvt t t t + + = = r r r r

(1.31) 15( ) () tdtdrt r t t rt ||

\|+ = +0 0

(1.32) ( ) ( )00 0rr rtdee t t e t tdt| |+ = + |\ rr r (1.33)

de unde rezult mai departe: ( ) ( ) ( )0 00 0 0rrt tde drvt e t r tdt dt| | | |= + ||\ \ rr (1.34)

dar t este ales arbitrar, deci ( )( )( ) ( )( )rrdr t de tvt e t r tdt dt= +rr (1.35) Vectorii( ) ( )r re t si de t t + r r sunt perpendiculari ntre ei. Se tie: ( ) ( ) ( )21 e t e t e t = =r r r (1.36) ( )( )2 0de te tdt=rr (1.37) Rezultmaidepartecprodusulscalardintreunvectorunitatei derivata acestuia nraportcutimpul este egalcuzero, ceea cereprezinto dovadafaptuluicvectoriirespectivisuntorientaipedirecii perpendiculare ntre ele. Acceleraia medie Vectorulvitezseschimbntimpulmicriiattcamodul(n funciederapiditateadeplasrii)cticatraiectorie(dactraiectoriaeste curbilinie).n intervalul de timp t= t - t0, variaia v a vitezei este: ( ) ( )0 0v v v v t v t = = r r r r r

(1.38) Aceeaivariaieavectoruluivitezsepoateproducentr-untimp mailungsaumaiscurt.Deaceeaacceleraiamediencazulmicrii rectiliniisedefinetecafiindraportuldintrevariaiavectoruluivitezi intervaluldetimpcorespunztor,eaputndfipozitivsaunegativ,lund semnul variaiei vitezei: 16( ) ( )00mv t v tdvadt t t= =rr ruur (1.39) Acceleraiainstantaneeestelimitadinacceleraiamediecnd intervalul de timp t= t- t0 tinde spre zero, rezult: 220limtv dv d dr dra rt dt dt dt dt | |= = = = = |\ rr r rr&& (1.40) Acceleraiainstantaneeestederivatadeordinulntiafunciei ( ) v vt =r rrespectivderivatadeordinulaldoileaafunciei( ) r rt =r rnraport cu timpul. Se mai poate scrie: yxx y x x y ydvdv dva e e ae aedt dt dt= = + = +rr uur uur uurr (1.41) 2 2 22y xa a a a + = = (1.42) 2 2y xa a a + = (1.43) 2 2 22 2 2x yx y x yd r dx d ya e e ae aedt dt dt= = + = +rr uur uur r r (1.44) 22dtx ddtdvaxx= =(1.45) dty ddtdvayy2= = (1.46) ,unitateademsurpentruvectorulunitateestem/s2.Maideparteinnd seama de ve &putem scrie: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )dvt dvtd ta t t v tdt dt dt = = +rr (1.47) ,adicacceleraiapunctuluimaterial,launmomentt,estedatoratatt variaiei modulului vitezei ct i variaiei direciei vitezei v 171.7 Micarea rectilinie uniform normal Dacvitezapeotraiectorievariazncantitiegale,ntimpuri egalemicareasenumesteuniformvariatpetraiectorie.Deplasarea mobilului n miscarea rectilinie reprezint variaia coordonatei sale. DacpunctulmaterialsedeplaseaznlungulaxeiOxcuo acceleraie constant, rezult: 22dtdxdtdxdtddtdva =||

\|= =(1.48) adt dv = , 1v a dt at c = = +, = = = dt v x vdt dxdtdxvsau

dt c atdt dx1+ =

21 1 22tx a tdt c dt a c t c = + = + + (1.49) Dac la momentul iniial t=t0=0 atunci punctul material are viteza v0 i se afla la punctul de coordinate x0: ( )0 20 v vt c = = ( )0 20 x xt c = = =Astfelobtinemlegeavitezeisilegeaspatiuluipentrumiscarearectilinei uniform variata: ( )2 20 0 0 0; ; ;2 2oov v at atv v at x x v t s x x v t at= + = + + = = + = ,

(1.50) Obinem: t v tv vsm=+=20; av vt0= ; cav vs202=Ecuaia lui Galilei as v v 220 + = (1.51) 181.8Micarea corpului rigid 1.Micareadetranslaie:aceltipdemicareacorpuluirigidncareo dreapt legat de corp rmne tot timpul paralel cu poziia ei iniial (poate fi descris ca micare o dependent de timp a razei vectoare R(t) i poziia ei iniial pentru r punct al corpului ) 2.Micareaderotaienjuruluneiaxefixe:micarentoatepunctele corpuluisedeplaseazpecercuricucentrelepedreaptanumitaxde rotatie. i iv r = r r

(1.52) sin 0i i iv r = = , unde i - distana la axa de rotaie ( ) ii i it ina r r a a = + + = +r urr r r (1.53) it ia = 2iina = 3. Micarea plan: tipul de deplasare a corpului rigid n care toate punctele acestuia se afl ntr-un moment n plane paralele 0( )i o i iV v v v r = + = + rr r r r

(1.54) ( )000ai aiaiv v rv r= == uurrr r 1.9Micarea absolut, relativ i de transport ncapitoleleprecedentes-aartatcvitezeleiacceleraileunui punctmaterialdepinddesistemuldereferinnraportcucaresestudiaz micareaconsiderat,adicsuntrelative.Micareapunctuluimaterialfa deunsistemdereferinKconsideratnrepaussenumetemicare absolut. Micarea punctului material n raport cu un sistem de referin K, caresedeplaseazfadesistemuldereferinKsenumetemicare relativ,iardeplasareasistemuluidereferintaK fadeKsenumete micare de transport. ,0r r r = +r r r

(1.55) 19 ,0r d r d r dr r r+ = (1.56) dtr ddtr ddtr d,0+ =r (1.57) ,0v v v + = , decivitezaabsolutvestesumavectorialdintrevitezade transport v0 i viteza relativ v. '' 00dv dv dva a adt dt dt= = + = +rr (1.58) ' ' ' ' ' ' 'x y zr r x e y e z e = = + +r r r r r

(1.59) '' ' ' ' '' ' ' ' ' 'yx zx y zdede de dr dx dy dzv x y z e e edt dt dt dt dt dt dt= = + + + + +rr r rr r r r (1.60) ' ' ' ', ' ' 'x y zdx dy dz drv e e edt dt dt dt= + + =rr r r r (1.61) '' '' ' ' ' yx zdede dev v x y zdt dt dt= + + +rr rr r'' 'xx xde de edt dt = = rr ur r

(1.62) ''yydeedt = rur r ''zzdeedt = rur r ( ) ( ) ( )' '' ' ' ' ' ' 'y zv v x e y e z e v r = + + + = + r r ur rr r r r r r r

(1.63) 2' '0 2drv v v r adt = + + =r uur r ur r (1.64) Tinnd cont de faptul c: 2 ' 2 ' 2 '' ' ' '2 2 2 x y zdx d y dza e e edt dt dt= + +r r r

(1.65) 20 Atunci: ( ) | |( ) ( ) (1.66) 22'' ' ' ' ' '2' 2''''''r v az e y e x edtz dedtdyedtdxe a a z y x z y x + + == + + +((

|||

\|+ + + = Dac sistemul de referin K efectueaz i o micare de translaie n raport cu K, putem scrie c: (1.67) Acceleraiadetransportestesumavectorialdintreacceleraiaa0, datoritmicriidetranslaie,iacceleraiacentripet( ') r rdatorit micrii de rotaie: ( )'0 0 tr cpa a r a a = + = +r r r r r

(1.68) Mrimea( )'2ca v = r Acceleraie Coriolis(1.69) ' ' 'trv v r v v = + = +r r r r r

(1.70) Acceleraiapunctuluimaterialnraportcuunobservatoraflatn repausestedatdesumavectorialdintreacceleraiacentripeti acceleraia Coriolis. ( )22 2 ' 2' 4cp ca a a r v = + = +(1.71) 1.10Dinamica punctului material i a corpului rigid Mecanica clasic se bazeaz pe principiile enunate de Isaac Newton (1642-1727)ncelebrasalucrarePhilosophienaturalisprincipia mathematica,publicat nanul1686.Foranuesteunobiect concret, este ( ) ( )' ' '02 a a a v r = + + + r r r r r 21maimultoideecesereduceladiversetipuridemicri.Existaforecare acioneaz tot timpul asupra noastr. Experimentele au dus la urmtoarele concluzii :1)Corpulsubaciuneaaltuicorpimodificvitezaadicprimeste acceleraie.2)Un corp aflat sub aciunea altor corpuri, se deformeaz i modific forma i dimensiunile. FizicianulRobertHookeastabilitc alungirea absolutlauneibare elasticeesteproporionalcuforaF,culungimealabareineterminatei inversproportionalacuseciuneatransversalS,depinznddemodululde elasticitate (modulul lui Young) al materialului din care este confecionat. = SEFll (1.72) n bar apar fore elastice a cror rezultant este egal n modul i de sens contrar forei exterioare F. l cSEF l k ll= = (1.73)

cSEkl= constanta de elasticitate(1.74) E = =llalungirea relativ(1.75) =SF efortul unitar, punctual unitar(1.76) 1.11Principiile mecanicii (dinamicii newtoniene) Principiul nti al mecanicii: Poziiadestare,cttimpnuseacioneazasupracorpuluicuofor extern,nusemodific.Uncorpipstreazstareaderepaussaude micare rectilinie uniform atta timp ct asupra lui nu se acioneaza cu o for extern care s i modifice aceast stare. Principiul al doilea al mecanicii - Principiul fundamental al dinamicii: 22Derivataimpulsuluip = mvr ralunuipunctmaterialnraportcutimpul, reprezintrezultantaFaforelorcareacioneazasuprapunctului materialcaurmareainteraciunilorcualtecorpuri.Foraestedirect proporional cu produsul dintre masa i acceleraia corpului. Newtonadefinitmasaunuicorpcafiindmsuracantitaiidematerie coninute n corp. Pentru a demonstra acest principiu derivm impulsul n raport cu timpul: ( )dp dmv Fdt dt= =rrr (1.77) ( )22d dv drm ct mv m m ma Fdt dt dt= = = = =r rrr r (1.78) sau pe componente: xFdtx dm =22

yFdty dm =22 22x xdv F dxdt dt m= =zFdtz dm =22 1c tmFdtmFvx xx+ = = (1.79) 21 1 22x xx xF Ftd v dt x vdt tdt c dt c t cn m= = = + = + + (1.80) 23 3 42y yyF Ftv t c y c t cm m= + = + +(1.81) 25 5 62z zzF Ftv t c z c t cm m= + = + + (1.82) ( )( )( )6 54 32 1, ,, ,, ,c c t z zc c t y yc c t x x=== ( )timpul tc c c c c c t r==6 5 4 3 2 1, , , , , , (1.83) = 6 1c c constanta de integrare 23 dp Fdt =rr(1.84) dt F dpx x = dt F dpdt F dpZY y==

( ) ( )00t p t p dt Fx xttX = (1.85) ariasuprafeteimasurateesteegalacuvariatiacomponenteiimpulsuluipe axa Ox ,t= t- t0 Principiulaltreilea-sereferlafaptulcpentruoriceaciuneexisto reaciune egal i de sens contrar. Dac un corp acioneaz asupra altui corp cu o for (notat 12F ) atunci cel de al doilea va aciona asupra primului cu for 21 12F F = r r

1.12Lucru mecanic. Energia. Puterea nactivitateasafizicomulintrebuinteazfiepropriasafor musculara, fie aceea a animalelor de munc sau chiar a mainilor, n scopul deapunenmicareounealt,unvehiculprinnvingereauneialtefore care se opune micrii sau ineriei. n toate procesele n care se transmite micarea de la un corp la altul, rolulesenialljoacomrimefizicnumitLucruMecanic.Msura lucrului mecanic este legat de fora i de deplasarea punctului de aplicaie al forei. O for efectueaz lucru mecanic cnd aceasta acionnd asupra unui corpideplaseazpunctuldeaplicaiepeoanumitdistan.Uncorpale cruideplasrinspaiusuntlimitatesenumetecorpsupuslalegturi (tramvai). Un corp ce nu este legat de alte corpuri i care se poate deplasa n orice direcie din spaiu se numete corp liber (balon). Lucrul mecanic al unei fore constante al crui punct de aplicaie se deplaseaz pe distana d, n direcia i n sensul forei este egal cu produsul dintre mrimea forei i deplasare. L=F*d(1.86) 24Fora care produce micarea se numete for motoare, iar fora ca se opunemicariisenumesteforrezistent.Unjouleestelucrulmecanic efectuat de o for de 1 newton, al crui punct de aplicaie se deplaseaz cu 1 metru pe suportul forei i n sensul ei. Lucrul mecanic elementar efectuat de fora F pentru deplasarea unui punct material pe o traiectorie C se definete prin produsul scalar : 2 2 21 2 21 1r tr tdL Fdr Fvdtdr drL Fdr F dt F mdt dt= == = = r rr rrr rr

(1.87) 2 22;2cdr drdr mvdL F dt m dt mvdv d dEdt dt dt| |= = = = |\ r r r rrr r 2 2 2 22 11 2 2 112 2 2ttmv mv mvL d Ec Ec Ec| |= = = = |\ r r r (1.88) Lucrulmecanicefectuatderezultantaforelorreprezintvariaia energieicineticeapunctuluimaterial(teoremavariaieienergieicinetice). Energia cinetic este energia pe care o au corpurile aflate n micare i este egal cu semiprodusul dintre masa i ptratul vitezei corpului. Energiapotenialesteaceeaformdeenergiecaracteristicunui corpaflatnrepaus.Deasemeneaesteenergiacesenmagazineazla ridicareauneigreuti,acionareaunuiresort,ntindereaunuielastic. Deasemeneaenergiapoatefinmagazinatatuncicndurci,fiindvorbade energiepotenial,cesepoatetransformanenergiecineticnmomentul coborrii. Fora elastic este direct proporional cu alungirea absolut: x cF k x = (1.89) x alungirea absolut 2 2 21 21 212 2rc ccrk x k xL k xdx = = Fora gravitaional este definit ca fiind: 1 22m mF rr =r r (1.90) 251 22m mFr = r(1.91) 2 2dL Fdr rdr drr r = = =r rr r(1.92) 2 1m m d = (1.93) 21 211 2rtrdrLr r r = = (1.94) Fora de greutate omogen: z c mg mg G = =(1.95) dL= Gdr=-mgd z (1.96) ( )211 2 1 2zzL mg dz mg z z = = (1.97) Lucrul mecanic nu depinde de fora drumului ntre poziiile 2 1L . Fora de frecare :N Ff = , unde coeficient de frecare = . N este rezultanta forelor de apasare pe direcia perpendicular la suprafaa de contact. Foraconservatoare-esteforapentrucarelucrulmecanicefectuat este independent de forma drumului ntre poziia iniial 1 i poziia final 2. Foranonconservatoare(disipativ)forapentrucarelucrul mecanic efectuat depinde nu numai de capetele ci i de forma drumului. = =0 r d F C (1.98) ,independentdeformadrumuluiilucruluimecanicefectuatdeforele conservatoareconducelaconcluziaccirculaiaacestorforepeundrum nchis, de orice formeste egal cu zero = = 0 2 g r r d F L(1.99) Produsul scalar Fdr = diferentiata total exact a unor funcii scalare: 26( )( )2 2 23 2 3 22 2 22 2 22px y zF Erx y zxe ye xe rr rx y z = = = =+ ++ + = =+ +rr r r r(1.100) Rezult mai departe: ( ); 0;c p c p c pdL dE dE d E E dE E E E ct = = + = = = + =(1.101) 2 2 2 2 2 21 2 1 22 2 2 2 2 2e e ek x k x k r mv mv mvct + = + = + =ptr. punctul material sub aciunea forei elastice 2 2 21 21 22 2 2mv mv mvctr r r + = + = + =dL drP F Fvdt dt= = = rr rr Mrimi fizice importante n dinamica punctului material 1.Momentul cinetic: ( ) v x r m p x r L = =(1.102) 2. Momentul forei: dl dr dpp r r F Mdt dt dt= + = =rr rr ur uurr r(1.103) Dac F = 0 sau dac punctul material se afl sub aciunea unor fore centrale M = 0: 0 =dtdl, l = ct(1.104) Conservareamomentuluicineticimplicpstrareaplanuluide micare 271.13 Legile ciocnirii Pornimdelaunsistemcecuprindeecuaiadeconservarea impulsului i ecuaia de conservare a energiei cinetice. ' '1 1 2 2 1 1 2 22 2 2' 2'1 1 2 2 1 1 1 22 2 2 2mv m v mv m vmv m v mv mvQ+ = ++ = + +r r r rr r r r(1.105) Q indic o pierdere a energiei cinetice iniiale care urmare a transformrii acesteia n cldura sau n alte forme de energiePentru Q = 0 => ciocnire perfect elasticQ0 => ciocnire inelasticCiocnirea inelastic (plastic)reprezint ciocnirea a dou corpuri, carenurmaciocniriisedeformeaz.Iniialcorpurileaufiecareviteze proprii,iarnurmaciocniriielevorplecaimpreuncuaceeaivitez. Ciocnirea plastic are loc cu degajare de caldur. Demonstraia pornete tot de la legile de conservare a impulsului i a energiei cinetice: ( )v m m v m v m2 1 2 2 1 1+ = + (1.106) ( )Qv m m v mv m++= +2 2 222 122 22!1(1.107) 2 12 2 1 1m mv m v mv++= (1.108) ( )( )2 2222 12 12 1 r rv mv vm mm mQ = += (1.109) CiocnireaelasticQ=0.Ciocnireaelasticreprezintciocnireaa dou corpuri, fr degajare de cldur. Spre deosebire de ciocnirea plastic ncarecorpurileseunescnurmaciocnirii,ncazulciocniriielastice, corpurile vor pleca mai departe cu viteze diferite, pe traiectorii diferite. Dacavem2mingicareseciocnesc,nurmaciocnirii,elei transferenergiacinetic.Demonstraiacaincazulciocniriiplastice pleactotdelaecuaiiledeconservareaimpulsului,respectivaenergiei cinetice: 28 ( ) ( )( ) ( )( ), ,1 1 2 2 1 1 2 22 2 ,2 ,21 1 2 2 1 1 2 2, ,1 1 1 2 2 22 ,2 2 ,21 1 1 2 2 2, , , ,1 1 2 2 2 1 1 2 2 12 2 2 2;mv m v mv m vmv m v mv m vm v v m v vm v v m v vv v v v v v v v v v+ = ++ = + = = + = + = = (1.110) ( )( )1 2 1 2 211 22 1 2 1 1 ,21 2,1 2 1 2 2 1'2; ;m m v m vvm mm m v mvvm mm m m v v v v +=+ +=+= = = = (1.111) Probleme Problem rezolvat DoucamioanepleacnacelaimomentdinBucuretidindreptulbornei kilometrice zero, pe oseaua Bucureti Craiova. Unul are viteza v1=60km/h i celalalt are v2=25km/h. S se determine: a) dupa ct timp punctul n care seaflbornakilometric66segasetelamijloculdistaneidintrecele2 camioane?b)careestebornakilometricprinfaacreiaaldoileacamion trece la o or dup primul. Rezolvare: a)Dacsenoteazcuxdistanaautocamioanelorfadeborna kilometric 66, atunci: 1 21 21 266 , 66:1322 24min.) ' ( ' 1). Re 150v t x v t xsi de aicit hv vb S v t v t zulta S km= + = = =+= = + = 29Probleme propuse 1. Din Giurgiu pleac la ora 8 un avion. La ora 8, dou minute i 8 secunde pleacdinBucuretispreGiurgiuunaltavioncuvitezav2=360km/h.Se ntalnesc la distana d=23km de Bucureti. tiind c distana in linie dreapt, esteD=69km,calculaivitezaprimuluiavionioradentalnireacelor2 avioane. 2.DouautomobilepleacsimultandinoraeleAiBmergndunulspre cellalt.Automobilelesentlnescdupaoorifaraseopriicontinu drumul fiecare cu viteza anterioar. Primul automobil ajunge n oraul B cu 27deminutemaitrziudectajungeal-II-leanA.Cevitezeauavutcele doua automobile dac distana A-B este de 90 Km. 3. Ecuaia unei micri este de forma S=a+bt+ct2+dt3 ce reprezint a,b,c,d? 4.Unmobildemasam=132gcadeliberpeodistanh=100m.Dupacea strbtutacelspaiuIseaplicoforF=0.5N,nsensinversgreutiiPa corpului. Calculai viteza pe care o are mobilul n momentul aplicrii forei F, viteza pe care o va avea dup t=5s de la aplicarea acestei fore i valoarea pe care ar trebui s o aib fora F pentru ca dup t=5s de aciune mobilul s fie oprit. 5.Orachetcarelamomentultaremasam(t)ivitezav(t),sedeplaseaz subaciuneauneiforeF.Vitezarelativagazelordeeapamentfade rachet este vrel . Scriei ecuaia de micare a rachetei.b) Considernd c la momentuliniialt=0vitezaracheteiestezeroimasasaestem0stabilii legatura dintre mas i viteza n cazul n care fora rezultant ce acioneaz asupra rachetei este nul. 6.Uncorppunctiformdemasmintrntr-unfluidcuovitezainiial. ConsiderndcforaderezistenceseopunemicriiestedeformaFr=-kmv,kesteoconstant,ssedeterminea)Dependenadetimpavitezei corpului b) Viteza de variaie a energiei corpului in timp. 30CAPITOLUL 2. TERMODINAMIC 2.1 Postulatele termodinamicii Primulpostulat:Unsistemtermodinamicizolatajungentotdeauna,dupa un interval de timp oarecare, ntr-o stare de echilibru termodinamic, din care nupoateieiniciodatdelasine.De aicirezulta:proceseletermodinamice sedesfasoarntotdeaunadelastrideneechilibrusprestrideechilibru termodinamic.Postulatul al doilea: Dou sisteme termodinamice A i B care pot schimba caldurntreeleseaflncontacttermic.Dac2sistemesuntadusen contact termic inu schimb caldur ntre ele, se spune c ele sunt n stare de echilibru termic. Echilibrul termic este tranzitiv. Scri de temperatur Considermcstareatermodinamicasubstaneiestecomplet determinat de un parametru extern x, un parametru intern y i temperatura empiric . ( ) , XY = (2.1) ( ) X = (2.2) Termometrul = sistem standard 1 1 2 22 1a bXX XaX X = + = (2.3) 2 12 1bX X = (2.4) 1 2 2 1 2 12 1 2 1X XXX X X X = + (2.5) 1. Scara Celsius - 001 , 0 p atm C = =2. Scara Fahrehheit - 0 01 232 , 212 F F = =3. Scara Reaumar - 0 01 20 , 80 R R = = 31Punctul triplu al apei - 0273,16 T K =Msurarea temperaturii se bazeaz pe proprietile reproductibile ale sistemelor termodinamice: dilatarea termic a corpurilor solide, lichide, gazoase; dependena de temperatur a tensiunii electrice de contact dintre doi conductori (termocuple); dependena de temperatur a rezistenei electrice pentru conductori i semiconductori; emisialuminiidectrecorpurilesolidelatemperaturinalte (pirometre). Ecuaiile termice de stare: produsul dintre presiune i volum variaz direct proporional cu temperatura. ANkT RT NPV RT p kT nkTv v V = = = = = nKT P = (2.6) ( )( ), , 0,f p VTV V p T== (2.7) 0V PTV p Vp T T| | | | | |+ = ||| \ \ \ daca V=Ct pTV Vdv dp dTp T| | | | = + || \ \ (2.8) V V T PTp p V p VT p T V T| | | | | | | | | |= = ||||| \ \ \ \ \ (2.9) 1T PVp V TT T p| | | | | |= ||| \ \ \ (2.10) Coeficientul de dilatare termic: 1P oVV T | |= |\ (2.11) Coeficientul termic al presiunii :V oTpp||

\|=1 (2.12) 32Coeficientul de compresie izoterm : 1T oVV T | |= |\ (2.13) 0p =(2.14) 101 10, 00366273,16KT = = = = (2.15) 2.2 Legile gazelor Legea Boyle-Mariotte (transformare izoterm) , T ct m ct = =(2.16) Presiuneaunuigazaflatlatemperaturconstantvariazinvers proporional cu volumul gazului pV = ct (2.17) Legea Gay-Lussac (transformare izobar) p = ct, m = ct(2.18) Volumulunuigazaflatlapresiuneconstantvariazdirect proporional cu temperatura ctTV=(2.19) 0oV VtV= ( )01 V V t = +(2.20) Legea lui Charles (transformare izocor) V= ct, m = ct(2.21) 33( ) t p p tp p p + = =1000 (2.22) Presiunea unui gaz ideal meninut la volum constant variaz liniar cu temperaturaT p p0 =ctTpTpTp= =00 (2.23) 2.3 Principiul nti al termodinamicii Pentru sisteme inchise:L Q U U U = = 1 2 (2.24) 1 2U U U = variatia energiei interne a sistemului n proces L1-2 Q Cldura primit 0 > QCldura cedat0 < QL lucru mecanic- efectuat de sistem 0 > L - efectuat asupra sistemului0 < L2 1U U U Q L Q L = = = + (2.25) T-energiadetransportprimitsaucedatprinschimbuldeparticulecu mediul nconjurator. T L Q U + = (2.26) Lucrulmecanicefectuatpentrupolarizareaunitiidevolumaunui dielectric omogen este :pL Ed P = ur ur

E = intensitatea cmpului electric P = vectorul polarizrii ( ) ( ) ()() ()0 0 0 00, 11eeP PE T D E T ET T = = = == r r r r r r r (2.27) Dac procesele termodinamice sunt ciclice: 0 = dU 0 Q L = L Q =(2.28) 34Este imposibil de realizat o main termic care ar putea s efectueze lucrumecanic,ntr-unprocesciclic,farsprimeasccaldurdinexterior (perpetuum mobile de spea I ): 0 = pdvi = 0 dU(2.29) Energiainterncaracterizeazrezervadeenergieaunuisistem termodinamiccarepoateficedatsubformadecaldurprinefectuareadelucru mecanic. 2.4 Capacitile calorice ale sistemelor termodinamice simple Capacitatea caloric este cldura necesar ridicrii temperaturii unui sistem termodinamic cu un grad. QCdT=(2.30)| |SIC =J\K n procesele adiabatice, capacitatea caloric este c = 0, deoarece Q = 0, iar pentru procesele izoterme dT = 0, C = 0. Cldura specific masic: C Qcm mdT= = (2.31) | |KgKJC = Cldura specific molar: C QCv dT= =(2.32) 35( ) ,T V V TQ dU L dU pdVU UT VU U U UdU dV dTsi Q dT p dVV T T T = + = += ( | | | | | | | |= + = + + (|||| \ \ \ \ deci rezul mai departe V TQ U U dVC pdT T T dT( | | | |= = + + (|| \ \ (2.33) Energiainternestesumadintreenergiacineticamoleculelorn raportcusistemuldereferin al centruluidemasi energiapotenialde intraciune. ,2112piNk xkU N Em vN== += (2.34) Fiecruigraddelibertatealuneimoleculeicorespundeenergia cinetic medie egal cu 2Kt ;2 2 2 2pi P pi pii i i ikT U N kT E N kT E RT E = = + = + = +;2p vPi VU RT C C p RT | |= = = |\ (2.35) Procese termodinamice politrope: 0; ;=||

\|=+||

\|= ||

\|= + ||

\|PVV PPV pVPV pVTVVC CC CdTdTdVTV C CC CTV C CPTU(2.36) 36 Proceselepolitropeisunttransformriletermodinamicencare capacitatea caloric ramane constant C = ct. Integrarea politropei se face n felul urmator: ( )1dT pdV VdpR = +P PV RT RT T P P | | | |= = || \ \ ( )10P vVC C pdVpdV VdpR C C R + + = 0PVC CpdV VdpC C+ = Considerm: PVC Cn ctC C= =; n-indicele politropei; 0 npdV Vdp + = 0dV dpnV p+ =( )ln ln lnnn V p ct pV ct + = = 1 1; ;n npV ct TV ct p T ct = = = (2.37) Generalizm 1. Procesele pentru care C = CPsi n = 0 procese izobare. 2. Procesele pentru care C =VC si n = +- procese izocore. 3.n transformrile izotermeC=,n=1.Sistemeletermodinamicepentru care capacitile calorice( ) C se numesc termostate. 4.ntransformrileadiabaticecapacitateacaloricC=0i =+= =CiCCnVP2 - indicele adiabatei >1 inoricepunctdinplanul(V,P)adiabataestemaiinclinatdect izoterma.

372.5Lucrulmecanicefectuatdegazulidealntransformrile politropei Dacvolumulgazuluiidealvariazdela 2 1laV V,lucrulmecanic efectuat de gazul ideal va fi: ( )2 21 111 1 11 2 1 121 111 1 2 1 2 1 11 1 21 21 2 1 2 11111 1 11 1 1111 1 1nV vnnV vn nnn npV V dVL pdV pVV n VpV p RT p RT Vn p n p n VRT T RL T T pVn T n n (| | ( = = = |(\ (( (| | | | | | (( ( = = ||| (( (\ \ \ (( (= = = ( ( )1 2 2p V (2.38) Obinemexpresiilepentrulucrulmecanicpentrutoateprocesele termodinamice cvasistatice i reversibile. 1. Transformari izobare: ( ) ( )2 1 1 2 1 2 1 2 1, 0; p p n L PV V RT T = = = = (2.39) 2. Transformarile izoterme n = 1 11 1 2 2 11 212 2 1 1 21lim 1 ln ln ; ln ln1nnV V V V pL RT RTn V V V V p (| | ( = = = = |(\ (2.40) 3. Transformrile izocore: n = ,02 1=L(2.41) 4. Transformrile adiabatice: n =( )1 2 2 11RL T T = ; Cp Cv R = ; =CvCp (2.42) i ;1 1v p vRC C C R = = = 38( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 21 21vRL T T C T T U UL U= = = = (2.43) Lucrumecanicesteefectuatcndenergiatermicagazuluiideal scade.Clduraprimitsaucedatdegazeleidealenproceselepolitrope Cp Cv, - clduri specifice molare ( ) ( )( )( )( ) ( )( )1 2 2 1 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 2 11 2 2 111 1vp vv vnRQ U U L C T T T TnC CnQ c T T T T C T Tn nQ C T T = + = + = + = = (2.44) 1n v nC Cn = Cldura specific molar n proces politropic Dac procesul este izobar n = 0 ( ) ( )2 1 2 11n v p p pRc c c Q c T T T T = = = = (2.45) Dac transformarea este izocor = n ( )2 1 2 1 n v v vc c Q c T T U U U = = = = (2.46) Pentru tranformri izoterme n=1, n tC C = = 21lnT TVQ L RTV = = (2.47) Pentru n nC ,C 01 n < < < < gazul care se destinde n astfel de transformriefectueazunlucrumecanicmaimaredectcldurafurnizat gazului. 2.6 Principiul al doilea al termodinamicii Dacestesatisfacutrelaia 1 2 1 2U U Q Q + = + (conservarea energiei),nseamncexistposibilitateatreceriidelauncorpcu temperatura mai mic la un corp cu temperatura mai mare. 39ntr-unproces1-2,corpulprimetecaldura 2 1Q efectueazlucrulmecanic 2 1L2 1 1 2 1 + = L U U Q(2.48) Pentru procesul 2-1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1Q U U L Q Q L L L = = =(2.49) Randamentul: 12 11QQ QQL = = (2.50) Nueste posibil realizarea unei maini termice care s efectueze un lucrumecanicfarsursrecedecaldur:1 0112= = =QQQ (practicnu se poate realiza acest lucru ) Lucru mecanic poate fi integral transformat n caldur, iar caldura nu poate fi niciodat transformat integral n lucru mecanicL Q Q LQ L L Q= < ;; (2.51) Principiul enunt: este imposibil de realizat o transformare al crui unic rezultat final s fie transformarea n lucru mecanic a cldurii primite de la o surs de temperatur uniform.ntr-odestindereizotermagazuluiideal,lucrumecanicefectuat este egal cu cldura primit.napropiereaoricreistritermicedeechilibruaunuisistem termodinamic omogen, exist alta stare, care se deosebete puin de prima i carenupoatefiatinsniciodat,plecnddinprimastarentr-unproces cvasistatic,reversibiliadiabatic.Oricesistemaflatnechilibru termodinamicestecaracterizatdeonoufunctiedestare entropie empiric,carenuvariazntimpulproceselorcvasistaticeiadiabatice( analogiecuQtemperaturaempiric,carenuvariaznprocesele cvasistatice i izoterme). 2.7 Entropia absolut a gazului ideal Existofunciedestare,cermneconstantpentruoriceproces termodinamic care are loc ntr-un termostat denumit temperatur empiric: 40 ( ) , p V =(2.52) Dacunproces cvasistaticareloc frschimbdecaldur,existomrime de stare entropia empiric - care rmne constant ( ) , p V = (2.53) ntr-un astfel de sistem termodinamic : Izotermele nu se interesecteazDiabatele nu se intersecteazO adiabata i o izoterm corespunztoare se intersecteaz numai ntr-un singur punct n planul determinat de (p,V). ntre, , si p V existolegaturunivoc,adicuneiperechidevalori 1 1, v p i corespunde o singur pereche de valori 1 1, ( ) , p p =( ) , V V = (2.54) ,exprimmlegturadintreariaelementardpdvnfunctiedearia elementard d dpdv =Jd d , unde( )( ),,p pp VJV V = = (2.55) J=Jacobianul transformrilor de variabile;condiii 01, 0 JJ Se pot alege scrile parametrilorQ i , astfel nct jacobianul J s fieegalcu1.NotmS si T Q = = undeTtemperaturaabsolutiS entropia absolut.( )( ),,T STST S T S p pJT Sp V P V V PV V = = = (2.56) pentru gazul ideal avempV x= sipV y=(2.57) ( ) ( ) y S S x T T = = ,T T dx dTVp x dp dx = = T dTpV dx= (2.58) 411S dSpVV y= (2.59) S dSVp dy= (2.60) 2.8 Legatura ntre cldura elementar i variaia entropiei ntre cldura elementar i variaia entropiei exist o legatur. QdSdS Q== (2.61) intQ marimea elementarafactor egrantdS diferentialatotalaexacta a entropiei

Proces izobar: P P p P dTQ cdT dS cT = =(2.62) Proces izocor: V v V v dTQ c dT dS cT = = (2.63) Proces izoterm: T TdV dVQ RT dS RV V = =(2.64) Proces adiabatic: 420 0 Q dS = =(2.65) Din compararea primei relaii cu relaiile corespunztoare diverselor procese rezult: QT Q TdS dST = = =(2.66) Obinemecuaiafundamentalatermodinamiciipentruprocesele cvasistatice i reversibile dU = TdS pdV. Din punct de vedere geometric, clduraareaceeaireprezentarenplanul(S,T)cailucrumecanicn planul (p , V) 21 21SSQ TdS = (2.67) Proprieti ale entropiei: 1.S- funcie de stare dS difereniala total exact = 0 dS -indiferent de tipul procesului ciclic2. n procesele cvasistatice i adiabatice se conserv( ) 0 . >= = d ct S3. Entropia absolut este o funcie de stare adiabatic ==NkkS S1(2.68) 4. Entropia este definit numai pana la o constant arbritrar aditiv 0S , care nu poate fi determinat din pr II , dar variaia de entropie este bine definit. 22 11QS ST = (2.69) 432.9 Principiul al treilea al termodinamicii La T = 0, entropia sistemelor termodinamice tinde spre o valoare constant. 0 lim = Sok T (2.70) Pentru0 T k ,0 S entropia absolut a unui sistem termodinamic tinde ctre 0, cnd temperatura absolut tinde ctre 0K (Max Plank) 0 lim =Sok T (2.71) Consecinte: 1.Indiferentdeprocesulefectuatdesistemultermodinamic,capacitatea caloric a sistemului termodinamic se anuleaz o dat cu temperatura lim lim lim 0lnT ok T ok T okS SC T TT T | | | |= = = || \ \ (2.72) n particular: lim lim 0lnvT ok T okSC TT | |= = |\ (2.73) 0lim 0lnT kSTT | | = |\ sau ( )lim 0p vT okC C = pentrutemperaturideOknu este valabil nici ecuaia de stare. 2. Pentru0 T k , coeficientul de dilatare termic i coeficientul termic al presiunii , tind la zero. 3.Pentru0 T k ,entropianupoatefimodificatprinniciunfelde aciune; izoterma de zero absolut; coincide cu adiabata. Semnificaia fizic a anulrii capacitii calorice la0 T k = este urmatoarea:Temperaturade0kreprezintaceastarencare sistemulnumaipoatecedacaldur,deoareceeste atins starea de energie minim.Temperatura 0k este principal inaccesibil. 442.10 Poteniale termodinamice ppL Fdx dEEFx = = = (2.74) Dacenergiapotenialesteminim,sistemulseaflnechilibru stabil. Potenialele termodinamice satisfac urmatoarele condiii:1. Derivata lor n raport cu o cordonat generalizat este o for generalizat. 2.Cndpotenialultermodinamicesteminimsistemulseaflnstarede echilibru termodinamicEnergia interna U:( ) ; , dU Q pdV Tds pdV U US V = = =Ecuaia fundamental: ;v s V SU U U UdU dS dV T pS V S V | | | | | | | |= + = = |||| \ \ \ \ (2.75) Energia liber F se definete astfel SdT pdV dFTS U F = =, adic F este funcie de T i V(2.76) ( ) dVVFdTTFdF V T F FT V||

\|+||

\|= = , , (2.77) VTFS||

\| =TVFP||

\| = (2.78) VTFT F TS F U||

\| = + =(2.79) prima relaie Gibbs Helmholtz Energia libereste acea parte din energia intern pe care sistemul o poateschimbacumediulexterior,iarmrimeaTS Ee = senumeteenergie legat, deoarece nu poate fi cedat de catre sistem.n procesele izoterme : dF pdV L = = (2.80) 45 = = 2 121F F dF L rezultscdereaenergieiliberereprezintlucrul mecanic efectuat de ctre sistemul termodinamic n procesele izoterme. Entalpia H: H=U+pV dH=TdS+Vdp H=H( ) , S p(2.81) ; ;p S pSH H H HdH dS dp T VS P S pdH TdS Q | | | | | | | |= + = = |||| \ \ \ \ = = (2.82) pentru procese izobare Variaiaentalpieinprocesetermodinamiceizobarereprezint caldura primit sau cedat de ctre sistem: sHU H pV H pp| | = = |\ (2.83) Entalpia liber G este funcia termodinamica: G= H-TS = U+pV-TS dG=Vdp-SdTG=G(P,T) (2.84) T ppTG GdG dP dTP TG GV Sp T | | | |= + || \ \ | | | |= = || \ \ pGH G TS G TT | |= + = |\ (2.85) a doua relaie Gibbs G-se mai numeste potenial termodinamic Gibbs 462.11 Relaiile termodinamice ale lui Maxwell Pentru o mrime exprimat ca funcie cu dou variabile avem: z=f(x,y) (2.86) dyyzdxxzdzxy|||

\|+||

\|=(2.87) dz - difereniala total exact = x y zy x z2 2valoarea unei derivate mixte nu depinde de ordinea derivrii Pornim de la ecuaia fundamental a termodinamicii pdv TdS dU =(2.88) (x, y)- pot fi orice pereche de parametrii P, V, T, S y y yxVPxSTxU||

\|||

\|=||

\| (2.89) x x xyVPySTyU|||

\||||

\|=|||

\| (2.90) U- energia interna este o funcie de stare x yuy xu = 2 2(2.91) |||

\| ||

\||||

\||||

\| + ||

\||||

\|= y x vPxvypY x STxSyTy xuyxyx2 2 2 (2.92) y xVPyvxpx ySTySxTx yuxy y |||

\|||

\| +|||

\|||

\|= 2 2 2 (2.93) , dar x y sy x s = 2 2 si x yVy xV = 2 2 (2.94) 47 xyxy yxyxyVxPySxTxVyPxSyT|||

\|||

\||||

\|||

\|=||

\||||

\|||

\||||

\| , obinem relaiile termodinamice ale lui Maxwellunde x=P , y=S S P S PTPVSsauPTSV||

\|||

\|||

\|=||

\| (2.95) pentru x = V, y = S S V S VTVPSsauVTSP||

\| =||

\|||

\| =||

\| (2.96) pentru x = P, y = T P T P TVTSPsauTVPS||

\| =||

\|||

\| =||

\| (2.97) pentru x = V, y =T V T V TPTSVsauTPVS||

\|||

\|||

\|=||

\|(2.98) din care rezult PtPT PVSTVUV T||

\|= ||

\|= (2.99) T T TPVPTVTPVPPSTPU||

\|||

\| =||

\|||

\|= (2.100) 48ProblemeProblema rezolvat: Pentru ca ncaperile unei case sa fie inute tot timpul la temperatura de 20C este necesar o cantitate de crbune de 50 Kg pe o perioad dat. Casa este construitastfelncatprintavansepierde30%dinclduriarprinperei 70%. Mediul exterior este meninut la 5C. Ce cantitate de crbune poate fi economisitdacasedubleazgrosimeapereiloricecantitatedecrbune se va consuma n plus dac temperatura mediului exterior se reduce la 2 C. Rezolvare: a)Din50kgcrbune,15Kg(30%)seconsumpentruaacoperi pierderile de cldura prin tavan, iar restul de 35 Kg (70%) pentru a acoperi pierderileprinperete.Dacsedublezgrosimeapereilor,pierderease reduce la jumtate, ecomonisindu-se 17,5 Kg de crbuneb) Diferena de temperatur crete de la 15C la 18C, deci consumul de carbune creste i el in raportul 18/15: n primul caz cu 10 Kg, iar n cazul doi cu 7,5 Kg. Probleme propuse 1.DoutermometregradateunulnscaraCelsiusicellaltnscara Fahrenheit, sunt aezate n aer unul lng altul. La ce temperatur a aerului cele doua termometre indic acelai numr de grade i au acelai semn? 2.Aerulaflatntr-unvasdevolumV=0,2m3lapresiuneap1=2*105N/m2 estercitizocor,pierzndprinrcirecalduraQ=50kJ.Aflaipresiunea final,lucrulmecanicefectuativariaiaenergieiinterne.Secunoate caldura molar izocor a aerului Cv=5/2R. 3.Omasm=10gdeoxigenseafllapresiuneap=2*105N/m2ila temperatura t=10C. Dup incalzirea izobar, gazul ocup volumul V2= 10l. Aflai:clduraabsorbitdegaz,lucrulmecanicefectuatdegaz,prin destindere,ivariaiaenergieiinterne.Cunoatemcalduramolarizobar Cp=7/2R, i =32kg/kmol. 4.Omasm=2kg,deoxigenocupvolumulV1=1m3lapresiunea p1=2*105N/m2Gazulestencalzitizobarisedestindepnlavolumul V2=3m3,apoiizocorpnpresiuneadevinep3=5*105N/m2.Aflai: variaiaenergieiinterne,lucrulmecanicefectuat degaze,clduraabsorbit de gaz. Se cunoate caldura molar izocor a aerului Cv=5/2R. 5.Unpahardeapfierbintetrebuiercitctmaimultntimpde10min. Cum este mai convenabil s se procedeze: s se puna n pahar o lingur de 49zapad i apoi s fie lsat paharul 10 min, sau mai nti s fie lasat paharul 10 min i apoi s se pun n zpad? 6. S se determine cantitatea de cldura necesar pentru a ridica temperaturauneicamerecudimensiunile7m,5m,3m,dela16Cla21Cdacse pierde prin perei 10% din cldur. Pentru aer c=1kj/kg*grd i =1.28kg/m3 7.Ssecalculezevariaiaentropieiunuicorpcaresedilatlapresiunei temperaturconstantdelavolumulV1lavolumulV2 =nV1.Secunosc capacitateacaloriclapresiuneconstantCpicoeficientuldedilataren volum . 8.Ssearatecantr-omaintermicdemrimeaT2Sex reprezint energia ce nu se poate transforma n lucru mecanic. 9.Ecuaiaunuiprocesparcursde1Kmoldegazidealestedatn coordonatele(P,V),deecuaiap=p0+aV,undep0iasuntconstante pozitive. Scriei ecuaia procesului n planul (T, S). 10.Ecuaiatransformriiparcursedeungazidealcuindiceleadiabatic esteT=S,nplanul(T,S),undeesteoconstantpozitiv.Ssescrie ecuaia procesului n planul (p, V). 11. S se calculeze variaia entropiei n cazul amestecrii a cte unui mol din dou gaze ideale diferite, aflate la aceeai temperatur i presiune. 50CAPITOLUL 3. ELECTRICITATE 3.1 Cmpul electromagnetic. Cmpul electrostatic Cauzaatracieigravitaionaleoreprezintmasacorpurilor.Analog, sarcina electriceste cauzainteraciunilorculombiene.Senoteaz cuqsau Qiesteireductibillaaltemrimifizice,adicainteraciile electromagneticenupotfireduselaaltetipurideinteracii.Foreledintre corpurilencrcatecusarcinaelectricsuntdeatraciesauderespingere. Aceastaaconduslaconcluziacexistdoutipuridesarcini:pozitivei negative.Sarcinaelectricesteunnumrntregdesarcinielementare, C e1910 6 , 1 = .Sarcinaelectricmacroscopicaaunuicorpestesuma algebric a sarcinilor electrice pozitive i negative ( ) ( ) Ne N N e N e e N q = = + = + +(3.1) Dac + = N N , corpul nu este ncrcat cu sarcina electric. Din experimente rezult c sarcina negativ este egal n valoare absolut cu sarcina pozitiv, eroarea relativ fiind: 2110 +ee e (3.2) Legeaconservriisarciniielectrice:ntr-unsistemizolatdecorpuri,suma algebric a sarcinilor electrice rmne constant. 3.2 Intensitatea cmpului electric. Teorema lui Gauss ( ) ( )21 2 1 221 12 2 1 3 211 14 4rq q q qF F e r rrr r = = = (3.3) permitivitatea absolut a mediului = r 0r permitivitatea relativPentru vid mF12010 854 , 8 = = ;Fm910 9410 = 51Foracucaresarcinaelectricqacioneazaasuprauneisarcini electrice de prob iq , este dat de formula : 24i i rqF q er =(3.4) Intensitateacmpuluielectricgeneratdeosarcinelectric punctiform iiFEq= =24rqer (3.5) Liniile de cmp electric se definesc prin familia de curbe tangente n fiecarepunctladirecialocalavectoruluiE .Sensulliniilordecmp electric coincide cu sensul forei care ar aciona, n punctul respectiv, asupra unei sarcini electrice pozitive.Numrulliniilordecmpcarestrpungunitateadearieaunei suprafeeperpendicularpeacesteliniiestenumericegalcuintensitatea cmpului electric . Liniilede cmp electric pornesc de la sarcinile electrice pozitive i ajung pe sarcinile electrice negative.Principiul superpoziiei cmpurilor electrice Dacntr-unpunctdinspaiu,cmpulelectricestegeneratdeun ansambludesarcinielectricepunctiforme 1 2, ,....,nq q q ,atunciintensitatea cmpului electric generat de sarcina electric iq , v-a fi: == + + + =nni n E E E E E12 1 ....(3.6) Fluxulprintr-osuprafaauneisferederazr,ncentrulcreiaseafl sarcina electric pozitivq , va fi: EqrqEdSSE= = = 23 (3.7) Teorema lui GaussFluxulvectoruluiintensitateacmpuluielectricE ,printr-o suprafanchisa,deoriceform,esteegalcusumaalgebricasarcinilor electricedininteriorulvolumuluilimitatdesuprafaimparitla (permitivitatea absolut). 52 = =nni eq EdS11(3.8) intensitatea volumica de sarcin electric este: 0limvq dqV dV = =

3mc= (3.9) ==vnipdv q1 (3.10) =vpdv Eds1 (3.11) Formula Gauss Ostrogadsky |||

\|++= =vdvzAzyAyxAxAds (3.12) dz dy dx dv =(3.13) =vdivEdv Eds(3.14) =vpdv divEdv1 (3.15) 0 = ||

\|dv divEv (3.16) Volumul este arbitrar; = divEteorema lui Gauss sub forma local pentru mediul omogenct = . 3.3 Potentialul cmpului electrostatic Lucrulmecanicefectuatpentrudeplasareasarciniielectrice 1q ,din poziia 1 n poziia 2 , n cmpul electric generat de sarcina electric q, aflat n repaus: 53211 1 11 21 2 1 1 21 2cos41 14 4rrdL Fdl q Edl q Edl q Edrq drrq dr qL q qr r r = = = = ==| |= = |\ r r r r (3.17) Cmpulelectrostaticesteuncampdeforeconservative,deoarece lucrulmecanicnudepindedeformadrumuluintrepoziiile1i2.Lucru mecanicefectuatdeforeconservativeestediferenadintreenergia poteniala a sistemului n starea iniiala i n starea final. 2 1 2 1Ep Ep L = (3.18) 1 114 qEp q Cr = +(3.19) 2 124 qEp q Cr = +(3.20) C = constant arbitrar Dac pt. = r , se consider Ep=0 atunci C=0 Potenialul alcmpuluielectricgeneraldesarcinaelectric , ntr-unpunctdinspaiuesteenergiapotenialasistemuluiformatdin sarcinaelectricqisarcina 1q ,pozitividevaloareaunitateC q =1 aflat n punctul respectiv. 1Epq =(3.21) 111 14pEqq r= =(3.22) 221 24pEqq r= = (3.23) ( )1 2 1 1 2L q = (3.24) 54( )1 2 = l d E21 dac pentru = = = r r r1 2 2, 0 , rqrdr ql d Er r 4 4= = = (3.25) deci potenialulntr-un punct din spaiu reprezint lucrul mecanic necesar deplasrii sarcinii electriceC q 11+ =din punctul respectiv la infinit.Unitatea de msur pentru potenialul electric este voltul (V) Vsi = cJV 1 =(3.26) Legaturadintrepotenialul iintensitateaE acmpuluielectric:E=-gradConcluzii:IntensitateacmpuluielectricE ,pesuprafeele echipoteniale( ) ct z y x = , , VectorulE este orientat de la suprafaa echipotenial cu potenial mai mare spre suprafaa echipoteniala cu potenial mai micDin teorema lui Gauss se obine: divE divgrad= =ur 2 2 222 2 2x y z x y zdivgrad e e e e e ex y z x y zx y z | || | = + + + + = | | \ \ = + + = = r r r r r r (3.27) 2 2 222 2 2;x y z = = + + = (3.28) ecuatie de tip Poisson 55( )( ) ( ) ( )'' ' '2 2 2' ' '1, ,4Vdx dy dzxyzx x y y z z= + + (3.29) ( ) , , xyz - potenialul electric ntr-un punct de coordonate x,y,z generat de sarcinile electrice cu intensitate volumic , aflat ntr-un volum 'V . Potenialul electric = funcie scalar 1 21..................4in iiqr = + + + = = (3.30)

Potenialuliintensitateacmpuluielectricgeneratdeunbipol electric. Dipolul electric este un ansamblu a dou sarcini electrice egale, dar de semne diferite. Proprietile electrice ale unui bipol se caracterizeaz prin momentul electric. P ql =ur r (3.31) Considerm c dipolul se afl n vid, potenialul cmpului electric n punctul M este:21 20 1 0 1 21 14 4r r q qr r r r | |= =| |\ (3.32) Dac r > l , putem scrie {{ l r r rl r r r =+ =2 222 21( )( )2 21 2 1 2 1 22 r r r r r r rl = + =r(3.33) rl rrlr r+= 12 12 (3.34) 22 12 12r r rr r r= = + (3.35) 563 3 20 0 01 1 cos4 4 4q rl pr Qpr r r = = =rr urr (3.36) Pentru intensitatea cmpului electric generat de dipolar electric: ( )( )32303 302 2 23 5141 1 141 3prErE pr prr rrx y z sir r= = ( | |= + |(\ = + + = urrurr urr (3.37) ( )( ) ( ) ( ) pr r p p r r p p r p r = + + + = urrr r r r r r r r r r (3.38) ( ) ( )p p e p e p ez e y e x e p p p r pz z y y x xz y xzzyyxx = + + == + +|||

\|++= (3.39) Intensitatea cmpului electric pentru dipol electric: (3.40) dipol 21r sarcina electrica r1E dipol 31r E sarcina electrica 21rDipolul electric in camp electrostatic Asupradipoluluielectricaflatntr-un camp electrostaticv-a aciona fora :( )1 22 1 E E F F F = + = (3.41) 2E - intensitatea cmpului electric n punctul n care se afl sarcina pozitiv.1E - intensitatea cmpului electric n punctul n care se afl sarcina negativ. Pentru l suficient de mic putem dezvolta n serie Taylor: ( )5 3031; , ( )4pr rpE E scad puternic cu r fata der r ( (= ( urr r 57 ( ) ( ) ( )E l EzElyElxEl r E l r E Ez y x + =+++ = + =1 2 (3.42) Fora care actioneaz asupra dipolului electric ntr-un cmp neomogen este: ( ) ( )zEpyEpxEp E p E l Fz y x++= = = (3.43) n cmp electrostatic omogen F=0, dar asupra dipolului acioneaza un cuplu de fore.Momentul cmpului de fore n raport cu centrul dipolului este: sinM l qE p EM pE l= = =uur r ur ur ur (3.44) Lucrul mecanic efectuat pentru rotirea vectorului p cu d este: ( ) dEp E p d l pEd ld pE Md dL = = = = = cos sin -variaiaenergiei poteniale a dipolului electric n camp electric omogen l pE E p Ep cos = =(3.45) Sistemeletindsocupestareadeenergiepotenialminim momenteleelectricededipolvorfiorientateparalelcuintensitateaE a cmpului electric. Polarizarea este rezultanta momentelor electrice de dipol din unitatea de volum: ==niiPVP11 (3.46) p n Po=P nKtpEP03=, unde N = numr molecule din volum,=0n numr molecule din unitate de volum 583.4 Conductori n cmp electric. Condensatori Pentrurealizareaechilibruluielectrostatictrebuiesatisfcuteurmatoarele condiii: 1.Intensitateacmpuluielectricdininteriorulconductoruluiestezero 0 int = Eint0i iE unde ct = = =(3.47) 0 int = = E 0 =iunde(3.48) 2.Intensitateacmpuluielectricnoricepunctdepesuprafaaexterna conductorului este orientat perpendicular pe suprafaa acestuia e nE E =0 =tgE(3.49) Suprafaaexterioaraconductoruluiaflatncmpelectricexterior esteechipotenial.Densitateasuperficialdesarcinelectric(sarcina electric pe unitatea de arie). | |2 s Ssiq cq qS m= = (3.50) Intensitatea conform teoremei Gauss: 0 0 0s sq S q qE S E = = =(3.51) Distribuiasarcinilorelectricepeconductorsubaciuneacmpului electricexteriorsenumeteinducieelectrostatic.Capacitateaelectrica conductorului este :qC= unde este definitit pn la 0 constanta aditiv arbitrar c sqC = (3.52) R ,0s =(3.53) 59cq qC = =(3.54) | | F Csi =1CFV=(3.55) Potenialul unei sfere de raza R, din vid, este: = =RRqdrrq0204141 (3.56) 04qC R = =(3.57) Capacitateaelectricaunuicondenstatorreprezintraportuldintre sarcina electric q i diferena de potential dintre armturi: 1 2qC = (3.58) Condensatorulplan,esteformatdindouarmturiplanedearieS fiecare i aflate la distane d una de alta. Intensitatea dintre armturi este : sq qEs = = (3.59) Diferena de potenial: 1 2qdEdS = =(3.60) 1 2q SCd = = (3.61) CuajutorulteoremeiluiGausssepoatestabilicapacitateaelectric pentrucondensatorisferici,cilindrici.Pentrucondensatoricucapacitate ( ) n c Ci =1conectai n paralel: ==niiC C1 (3.62) 60n serie:==ni iC Cs11 1 (3.63) Energia cmpului electric 1 1 12 2 21 2L qL qL L=== (3.64) lucru mecanic pentru apropiatele a dou sarcini 1 si 2 ( )1 1 2 2 1 1 2 212eW q q q q = = = +(3.65) Energia potenial a sistemului pentru dou sarcini. Pentru N sarcina: ==Nii iWe121 sau(3.66) 1 11 12 4N Ni jei j ijq qWr = = (3.67) Energiacondensatoruluipoatefiexprimatfunciedeintensitatea cmpului electric: SddUUdS CUWe2222 2 2||

\|= = = (3.68) Sd V = - volumul dielectricului dintre armturile condensatorului rrD D E EVWeWe 02202 2 2= = = =(3.69) ( )2120EDWer =(3.70) 2222cEcWeqm= =(3.71) 613.5 Curentul electric continuu Vitezamedieamicriiordonateapurtatorilordesarcinelectric, liberinconductori,subaciuneacmpuluielectricsenumetevitezade diferen sau de antrenare. Mrimi caracteristice ale curentului electric:Intensitateacurentului electric I = mrime fizicsecundar, egal cu sarcina electric care trece prin seciunea transversal a conductorului n unitatea de timp. tQI=(3.72) Densitateacurentuluielectricj=mrimefizicvectorial, orientatnsensulintensitiicurentuluielectriciavndmodululegalcu sarcinaelectriccaretreceprinunitateadetimp,prinunitateadeariea seciunii transversale a conductorului. t SQJ j= =| | 2mAsij =(3.73) Pentru o poriune de conductor, careconine i purtator de sarcin electric , n unitatea de volum, n intervalul de timpt trece sarcina: t nqSv Qd = (3.74) dnqvt SQj ==(3.75) dv nq j =(3.76) Sensulcurentuluielectricseconsidersensuldeplasriiordonatea purttorilordesarcinelectric.ncazulconductorilormetalici,fiecare atom are un electron de valen care se poate deplasa sub aciunea cmpului electric, n intregul conductor.Volumul molar = mAV =unde A= masa atomic , m= densitatea masic ANVNnmAa = = (3.77) 62 Purttorii de sarcin n metale sunt electronii care au sarcina electric q=e= C1910 6 , 1i densitatea curentului electric este: AS cv q Nvd ne jd m A= =(3.78) sauA m dN cvSI j SA= =(3.79) viteza de drift : dA mIAvN cS =(3.80) 3.6 Conservarea sarcinii electrice. Ecuaia de continuitate Considerm o suprafa inchis S, care cuprinde volumul V, ntr-un mediuconductor.Sarcinileelectricenuaparinudispar-micsorarea sarciniielectricedinvolumulVnunitatedetimp tQesteegalacufluxul de sarcini electrice prin suprafaa S: = S d jtQ (3.81) Forma integrama a ecuaiei de continuitate a curentului electric : = qdv Q (pentru Q distribuit uniform n interiorul volumului V) == dvtppdvt tQ (3.82) Teorema lui Gauss Ostrogradski = divjdv S s j(3.83) = dv j div dvdt (3.84) 630 div jt + =r (3.85) forma diferenial a ecuatiei de continuitate n regim staionar, densitatea de sarcin nu depinde de timp0 = j div 0yx zjj jx y z t + + + = (3.86) 3.7 Legile de material pentru curentul electric continuu 1j E E = =r ur ur - Legea lui Ohm sub forma local21 12onem v q = =conductivitatea conductoruluiq = rezistivitate, F=eE 1 2IE jl S = = =(3.87) 1 2I lIRS = = deci 1 2UIR R = = -Legea lui Ohm, forma integral SlR =(3.88) Rezistena electric a poriunii de circuit Energia acumulat de un electron de constanta n intervalul de timp dt este: 22 22 0 0102 2 2m v m dt eE dt edw E dtm m | |= = = |\ (3.89) Pentru unitatea de volum = =1ndw dw(3.90) 64dt E dt Emnldw2 20221 = = =(3.91) Aceastenergieestecedatreeleicristalineaconductoruluisub form de caldur. Un conductor este parcurs de curent electric cu densitatea j, atunci n unitatea de volum caldura : E j Edtdwq = = =2 ~(3.92) Legea lui Joule Lentz sub forma local Cldura degajat n dt, n poriunea de circuit este: UIdt SldtlUj Sldt q Q d = = =~~ (3.93) dtRUdt RI Q d22~= =(3.94) Legea Joule Lentz sub forma integral Puterea disipat n poriunea de circuit va fi: RURI UIdtQ dP22~= = = = (3.95) Circuite de curent electric Pentru circuit electric simplu, legea lui Ohm: r REI+=(3.96) E = tensiunea electromotoare R = rezistena exterioar r = rezistena intern Puterea debitat: ( )22r R ER RI Pe+= =(3.97) R=r 65 ( )2maxR RER Pe+= Randamentuluneisursedecurentesteraportuldintreputerea disipat n rezistena exterioar i puterea disipat n rezistena exterioar i puterea debitat pe ntregul circuit. ( ) r RRI r RRIPPe+=+= =22 (3.98) Teoremele lui Kirchhoff 1.Prima lege = legea conservrii sarcinii electrice afirm c suma algebric a intensitilor curenilor electrici dintr-un nod al reelei este egal cu zero. 01==niiI (3.99) Intensitatea curenilor electrici care intra ntr-un nod, se iau cu semnul plus, iar intensitile curenilor care ies din nod se iau cu semnul minus. 2.A doua teorem a lui Kirchhoff= generalizare a legii lui Ohm, i afirm cnoriceochiareeleielectrice,sumacderilordetensiune i iI R ,este egalcusumaalgebricatensiunilorelectromotoareconectatenochiul respectiv : = ==nii iniiE I R1 1 (3.100) Pentrunrezistori,curezistenele nR R R ,.... ,2 1,grupaiinserie,rezistena echivalent este: == + + =nii nR R R R R12 1.... (3.101) Pentru rezistori n paralel, rezistena echivalent: 66==ni iR R11 1 (3.102) 3.8 Cmpul magnetic Columbastabilitexperimentalcforadeinteraciunedintrepolii unor magneti permaneni poate fi scris analog cu fora electrostatic 1 22 mM MF Er= (3.103) ,unde M1 i M2 sunt sarcinile electrice magnetice ale polilor n natur nu exist sarcini magnetice, adic nu poate fi separat polul nord de polul sud prin divizarea magneilor permanenti. 3.8.1 Cmpul magnetic generat de curentul magnetic continuu Intensitatea punctuluimagnetic generat de elementul de lungime dl, dintr-un conductor parcurs de curentul electric de intensitate I, este dat de : 34 rlr d IdH= Formula lui Biot-Savart Laplace Pentru un conductor liniar avem formula: 2sin4 rdl IdH= (3.104) dRdH sin41=(3.105) dR Rr2sin sin= = Conductorulliniarvagenerantr-unpunctpemareuncamp magnetic de intensitate: 67( )2 1cos cos41sin4121 = =RdRH(3.106) ncazulncareconductorulliniarpoateficonsideratdelungime infinit, avem: = =2 1, 0 , iar intensitatea cmpului magnetic n punctul P, este rH 21= ,unde mAH = .Circulaia vectorului H pe un contur circular de raz R este: = = = =r rHRdlRHdl C 12121' (3.107) Dac suprafaa S pe care se sprijin punctul centrului arbitrar este sinapsa de mai multi cureni atunci:==niiI l d H1 (3.108) PutemconsideracprinsuprafaaStreceuncurentelectricde densitatej , ceea ce ne conduce la : = = ==s d j l d H s d j Isni 1 (3.109) Formula Stokes = =S Ss d j s d H rot l d Hrot H j =uur r(3.110) ( ) ( ) ( )3 3 3 324 4 4 4 rr n lq nsdrr l d qnvSrr l d sjrr l d IdH = = = = (3.111) Dac dN = ns dl = numrul purttorilor de sarcin electric din elementul de conductor considerat: 68( )( )33414r r vdNdHHdNrr v qdH= ==(3.112) Fora exercitat de cmpul magnetic asupra unui curent electric Asupraunuipurttordesarcinelectricq,caresedeplaseazcu vitezavntr-undomeniudinspaiu,n care cmpulelectricareintensitatea E, iar cmpul electric este caracterizat de inductiaE, iar cmpul magnetic este caracterizat de inducia B va aciona o for: ( ) B v E q F + = - fora Lorentz (3.113) ( ) B V q Fm =-fora magnetic (3.114) Unitatea de masurB = TmVsCmJsC mNmsmCNs= = = =2 2 2 (3.115) ( ) ( ) ( )dV B j B v q ndv dF = =(3.116) BdVdFdl = = V nq = (3.117) ( ) ( ) B l d I Sdl B j F d = =(3.118) = l d reprezint un atom de lungime a conduct, orientat n sensul densitii.( ) B l j I =(3.119) sin BIl F =(3.120) ntreconductoareleparcursedecurenielectriciaparfortedeinteraciune, denumiteforeelectrodinamice.Pentru2conductoarerectiliniiipractic infinite,foracareactioneazaasuprauneiporiunialunuiadintre conductoare este :lrI IF F F22 112 21= = =(3.121) 69= permeabilitatea absolut a mediului n care se afla cei 2 conductoriH H Br o = =(3.122) mH7010 4 = 3.8.2 Fluxul magnetic Liniiledecmpmagneticsuntcurbenspaiu,tangentenfiecare punctladireciainducieimagneticeB.Definimfluxulmagneticprintr-o suprafa S: SBdS =ur ur si| | ( )siWbweber =(3.123) UnWbestefluxulmagneticalunuicmpmagneticuniformde inducieB=1T,printr-osuprafadearie 2S=1m ,perpendicularpeliniile de cmp magnetic : 21Wb=1Tm(3.124) Liniiledecmpmagneticsuntcurbenchise,ceeacenseamnc fluxul magnetic printr-o suprafa nchis de orice form este egal cu zero: =vdv B div S d B 0 (3.125) Volumul V este arbitrar,0 0 divB sau divH = =ur uur(3.126) Din relaiile de cmp electrostatic rezultdivD si div EE = =i liniile de cmp electric pornesci se termin pe sarcini electrice. n natur nu exist sarcini magnetice, adic magnetii microscopici cu unsingurpol,numiimonopolimagnetici,delacaresporneasc,saupe 70caressetermineliniiledecmpmagnetic.Lucrulmecanicncmp electrostatic pe un conductor nchis de orice form este egal cu zero: = = 0 dS E rot l d E(3.127) sau0, 0 rot S rot D = =ur ur irot H j si rot B j = =uur r ur r Fie un conductor liniar, parcurs de un curent liniar cu intensitatea I, aflatntr-uncmpmagneticdeinducieB.Pentrudeplasareauniforma conductoruluincmpulmagneticestenecesarsseefectuezelucrul mecanic: BIL F x IB SxL I= = = = (3.128) Lucrul mecanic efectuat pentru deplasarea unui conductor parcurs n cmpmagnetic,esteegalcuprodusuldintreintensitateacurentuluielectric i fluxul magnetic prin suprafaa maturat de conductor. ProblemeProblem rezolvat: Doua sfere identice, electrizate cu electricitate de acelai semn, se aeaz la odistanoarecareunafatadealtaa.,ntreelesseexerciteoforde respingereF1=1N.Dupaaceastaseaproprieceledousferepnseating apoi se ndeparteaz la o distan egal cu jumatate din prima. ntre sfere se exercitacumoforderespingereF2=4,5N.Ssecalculezeraportul sarcinilor electrice iniiale ale celor dou sfere. Rezolvare: n primul caz: 1 21 24QQFr = Rezult 2 21 1 2 22.5 0 Q QQ Q + = .Notndcu 12QxQ = ,seobine 22.5 1 0 x x + = ,ecuaieceadmitesoluiile2si 12,soluiiceformeazn realitate una singur. 71 Probleme propuse 1. Dou mici sfere de cupru A i C fixe i egale se afl pe o plac izolant la o distan d una fa de alta. Sfera A este electrizat, iar C neutr. Se atinge A cu o sfer de cupru egal i neutr B apoi se atinge C i B. n ce punct al dreptei AC trebuie aezat sfera B pentru ca s stea n echilibru? 2.Douapenduleelectriceavndlungimilede20decmsuntsuspendaten acelai punct. Masa fiecrui pendul este de 0.1g, iar unghiul dintre firele de suspensieestede90.Determinaisarcinaelectricdepefiecarependul, sferele avnd aceeai sarcin. 3.Osfercurazar=25cmseafllapotenialulV1=10V.Unconductor aduslapotenialV2=6Vestepusncontactdeladistancusferaii modificpotenialulcaredevineV3 =7V.CalculaicapacitateaCa conductorului. 4.Uncondensatorplanprezintdistanadntrearmaturi.Cumvariaz capacitateaelectricacondensatorului,dacelseaeazntr-ocutie metalic ai crei perei se afl la distana d fa de placi? 5. Un condensator plan cu aer, este ncrcat la o surs cu tensiunea de 12kV, dupacaresedeconecteazdelasurs.Introducndoplacdeportelande grosimectjumatateadistaneidintreplci,tensiunealabornele conectorului scade la 7kV. S se afle permitivitatea porelanului. 6.UncondensatorplancuaerarecapacitateaC=10pF.Grosimeastratului deaerested=1cm,seintroducentrecele2armturiladistanegalde fiecare o tabl cu grosimea e=1mm. Care va fi capaciatea condensatorului n acest caz? 72CAPITOLUL 4. OPTICA 4.1 Noiuni introductive Opticareprezintaceeaparteafiziciicarestudiazluminai fenomeneleluminoase.Eacerceteazattnaturaluminii,producerea, propagarea,absorbia,interaciuneaeicusubstanelectimsurarea mrimilorcecaracterizeazlumina.Luminageneratsaureflectatde diverse corpuri constituie agentul fizic care, prin intermediul retinei, face ca ochiulspoatvedeaacestecorpuri(dingrecesculOpsis=tiinadespre vedere). Att natura luminii ct i comportamentul ei au preocupat omenirea din cele maivechitimpuri,darcercetareaadevenitdinspeculativ,tiinificde abiaodatcudezvoltareametodelorexperimentaledeverificarea ipotezelor.Snellius a dovedit n anul 1626 c lumina se propag n linie dreapt iarDescartesn1637enunalegilerefraciei.SecolulalXVIII-leaeste marcat de o dezvoltare exploziv mai ales a opticii geometrice, prin lucrrile fundamentalealeluiGaussiLagrange.Newtonsusineanatura corpuscularaluminiibazndu-sepede-opartepecaracterulrectiliniual propagrii luminii i pe de alt parte pe legile reflexiei, pe care le asemna cu ciocnirea corpurilor. Teoria lui Newton nu putea ns explica fenomenele deinterferena,difraciesaudepolarizare.nanul1679Huygensemite teoria ondulatorie, n baza datelor experimentale: lumina este o consecin a micrilorvibratoriiisepropagprinunde;oradiaiemonocromaticse datoreazuneimicrisinusoidaledeperioaddeterminat,caracteristic radiaiei;undeleluminoasesunttransversale,adicnormalepedireciade propagare.Maxwellaratan1865cluminasedatoreazvibraiilorunui cmpelectricasociatcuuncmpdeinduciemagnetic,perpendiculare ntreele,iaransamblulacestorcmpuriconstituiecmpulelectromagnetic. Experienele lui Hertz i ale lui Marconi au confirmat previziunile teoretice ale lui Maxwell. n spectrul undelor electromagnetice deosebim: Tip RadiaieLungime de undDomeniu de interes Radiaii hertziene15 km - 0,1 mTelecomunicaii Radiaii infraroii4 - 0,75 micrometriOptica general 73Radiaii vizibile0,75 - 0,4 micrometri Radiaii ultraviolete0,4 - 0,01 micrometri Radiaii X200 - 0,005 Angstrom Radiaii gammasub 0,005 AngstromFizica nuclear Radiaiavizibilreprezintaceapartedinspectrulderadiaiicare impresioneazretinaochiuluiumanicaredeterminpracticsenzaia vizual. Lumina poate ajunge la ochi prin intermediul corpurilor generatoare de lumin (numite surse de lumin) fie de la corpuri care reflect lumina. n naturmareamajoritateacorpurilorreflectluminaprimit.Attvederea ct i fotografia ar fi imposibile n absena luminii,. Figura 4.1 -Spectrul luminii vizibile Radiaiamonocromaticreprezintradiaialuminoasceconine undecuosingurlungimedeund.nprezentluminaestedefinitcao undelectromagnetic,ceeaceaduslamprireaopticiigeneralentrei mari capitole: a)Opticageometric-faceabstraciedenaturaluminii.Eastudiaz fenomenele luminoase, n special de reflexie i de refracie, pe baza noiunii de raz de lumin care se propag rectiliniu n medii omogene.b)Opticaondulatoriesebazeazpecaracterulondulatoriualradiaiei luminoaseistudiazevenimentecumsuntdifracia,interferenai polarizarea luminii.c) Optica fotonic studiaz evenimentele implicate de caracterul corpuscular al luminii, n special efectul fotoelectric. 4.1 Legile fundamentale ale opticii geometrice Opticageometricsauopticarazelordeluminesteuncapitolal opticiigenerale, care studiaz propagarea luminiiprin medii fizice izotrope 74iomogeneseparateprinsuprafeeplanesausferice.Lumina,subformde raze,carepornetedelapuncteleluminoasesauluminatealeunuiobiect, treceprindiferitepiesececonstituieunsistemopticurmrindsobin imagineaaceluiobiect,imaginecarepoatefirealdacesteobinutdin interseciarazeloremergentesauvirtualdacseobinedinprelungirea razelor emergente. Obiectul de studiu al opticii geometrice este reprezentat de studierea legilordepropagarealuminiiiaplicareaacestorapentruafaceposibil construireainstrumenteloroptice,astfelnctimaginileobinutesfiect maiasemntoarecuobiectele,frainecontdenaturaluminii.ntre instrumenteleconstruitecuajutorulacestorlegiseaflaparatulde fotografiat,proiectorul,etc.Legileopticiigeometricefacabstraciede caracterulondulatoriualluminii,cutoatec,nfotografie,caracterul ondulatoriudeterminoserieimportantdeevenimente(difracia, interferena i polarizarea luminii). Legilefundamentalealeopticiigeometriceaufostdeterminaten urma numeroaselor experimente i observaii. Impactul unei raze de lumin asupraunuiobiectdeterminreflexie,refracieiabsorbie,nproporii diferite,dependentedemediulimergentidemediulemergent.Aufost identificate: 1.Legeapropagriirectiliniialuminiinmediiomogene-demonstrat prinfenomenuldeumbr.Segmentuldedreaptde-alungulcruiase propag lumina poart numele de raz de lumin. Un grup de raze de lumin formeazunfasciculdelumin.Dactoaterazeledeluminsentlnesc ntr-un punct, fasciculul este denumit convergent. Dac, invers, toate razele de lumin emerg dintr-un punct, fasciculul este divergent. Dac, n schimb, razele de lumin sunt paralele ntre ele, fasciculul se numete cilindric. 2.Legeaindependeneimutualeiainversiuniidrumuluioptic- parcursuluneirazedeluminesteindependentdeaciuneaaltorrazeide sensuldepropagare.Independenamutualsedemonstreazcuajutorul camerei obscure (stenopa). 3.Legilereflexieistabilesccomportamentuluneirazedelumincare ajunge la limita de separare dintre dou medii de propagare diferite, n timp ceopartedinluminsentoarcenmediuldincareavenit(fenomende reflexie).Punctuldecontactdintrerazaluminoasisuprafaadeseparare se numete de punct de inciden, iar punctul n care raza incident vine sub un unghi cu perpendiculara locului numit unghi de inciden, n timp ce raza ntoars n mediul din care a venit se numete raza reflectat. 75 Figura 4.2 -Reflexia luminii Reflexiasefacesubun unghicepoate fi calculaticaresenumeteunghi de reflexie.Legile reflexiei: a. raza incident, normala i raza reflectat sunt n acelai plan;b.unghiuldereflexie esteegal cuunghiulde inciden.Reflexialanivelul uneisuprafeeperfectplanevafacecaunfasciculderazeparalelesfie reflectat la fel ca un fascicul de reflexie cu raze paralele. Reflexia razelor pe osuprafacumicidenivelrideterminmprtierearazelorreflectaten toatedireciile(difuzialuminii).Reflexiadifuzpermitevedereai fotografierea obiectelor din mediu. 4.Legilerefracieisereferlacomportamentuluneirazedelumincare trecedintr-unmediuomogenitransparentnaltmediuomogeni transparent, ce are proprieti diferite. Se poate observa c raza incident nu maipstreazdireciadinmediulimergentciparecsefrnge.Aceast schimbare dedirecie poart numele derefracie iar unghiul dintre normal i raza refractat poart numele de unghi de refracie.Refracia se supune urmtoarelor legi: 1) raza incident, normala i raza refractat se afla n acelai plan; 76 Figura 4.3 - Refracia luminii 2)raportuldintresinusulunghiuluideincidenisinusulunghiuluide refracie,pentrudoumediidate,areovaloareconstantsipoartnumele de indice de refracie al mediului al doilea faa de primul; sin(i)/sin(r) = n(4.1) 3)indicelederefraciealunuimediutransparentfaadevidsenumete indice de refracie absolut;4) indicele de refracie al unui mediu n2 fr de un mediu n1 poart numele deindicederefracierelativiesteegalcuraportuldintreindiciiabsolui (n2/n1);5) indicele de refracie este dependent de lungimea de und (pentru radiaia vizibil: culoarea) a luminii incidente. 77Mediul Indicelederefracie (n) Aer1,003 Apa1,33 Alcool etilic1,36 Sare1,54 Sulfurade carbon 1,63 Sticla crown1,52 Sticla flint1,76 Diamant2,42 Vid1,000 5.Reflexiatotal.ncazulncareorazadeluminaserefractdintr-un mediumaidensopticntr-unmediumaipuindensoptic(deexemplu,din sticlnaersaudinapnaer),unghiulderefracieestentotdeaunamai maredectunghiuldeincidenidecipoateajungelavaloarede/2 pentruovaloarei(imaimicdect/2)aunghiuluideinciden.La valoarea i a unghiului de inciden, raza este reflectat integral n mediul din care a venit. Unghiul i poart numele de unghi limit i fenomenul care sepetrecenacestecondiiisenumetereflexietotal.Unghiullimiteste dependentdeindiceleabsolutderefraciealcelordoumedii,conform ecuaiei: sin(i) = n2/n1 (4.2) nconcluzie,corpurileasupracroracadeluminadetermin: reflexia, refracia i absorbia radiaiei, fenomene ce au loc simultan.Reflexiapoatefidirijat(can cazuloglinzilor, utilizateinclusivn aparatele foto reflex), sau difuz (reflexia se face n toate direciile, ceea ce permitevederealorinregistrareanfotografii).Refraciapoatefi,de asemenea dirijat (lentile) sau difuz (geamul mat).Absorbiapoatefiuniformpentrutoatelungimiledeundale radiaieiluminoase(corpgrisaunegru)sauselectiv(corpuricolorate). Aparateleopticepermitomuluipercepereadedetaliiinvizibilecuochiul liber i, prin intermediul aparatelor fotografice, s le poat nregistra. Pentru obinereaunorimaginidecalitateridicat,imaginiletrebuiesfiectmai clare. Pentru formarea imaginii unui obiect este nevoie ca pentru fiecare punct din spaiul-obiectsexisteunpunctcorespunztorpeimagine.Acesteperechi depunctepoartnumeledepuncteconjugate.Dacpentrutoatepunctele 78dinspaiul-obiectexistaunpunctcorespunztorpeimagine,imaginease numete imagine stigmatic. Figura 4.4 - Stigmatismul riguros (rou) i aproximativ (negru)

Imagineastigmaticesteimposibildeobinutnpractic,deoarece apariiaimperfeciuniloresteinerentnconstrucialentileloria obiectivelor.Fiecruipunctdinspaiul-obiect(sauuneigrupedepuncte nvecinate)iivacorespundenimagineopatdedifuzie.Datoritstructuriidiscontinueaochiuluidariapeliculeifotografice,o imaginestigmaticareolimitattlaobservaiectilanregistrareape pelicul.Unexemplupentruacestfenomenestedatderetincareeste formatdin celuledecca5micronidiametru,eanregistreazdoupuncte luminoase careseproiecteazlaodistanamai micdect aceastavaloare, ca un singur punct luminos.nmodsimilaripentrupeliculafotografic:rezoluiamaxim posibilpentruunanumittipdepeliculestelimitatdedimensiunea granulelor de halogenur de argint. Dinaceastacauz,npracticacurentseacceptunstigmatism aproximativ.Studiind acest aspect,fizicianulGaussa ajuns la concluzia c imaginilerealizatedefasciculerelativnguste,vecinecuaxaopticifa decaresuntrelativpuininclinate,determinimaginisuficientde stigmatice.Aufostdenumitefasciculeparaxialeipentruobinerealors-a utilizat un paravan optic perforat n zona axei optice, denumit diafragm. 79 Figura 4.5 - Modelul Gauss Oglinzi Oglindaplanreprezintosuprafaplan,foarteneted,care reflectnmoddirijataproapeintegralluminaincident.Oglinzileplane determin formarea de imagini virtuale, n care punctele din spaiul-imagine suntlocalizatesimetricfadeplanuloglinzii,cupuncteledinspaiul-obiect. Figura 4.6 - Construcia imaginii n oglinzi plane 80Sepoatedemonstracoglinzileplanedeterminformareade imaginidrepteiegalecuobiectul.Dacooglindplanserotetecuun unghi , raza reflectat se va roti cu un unghi 2. Oglinzilesferice sunt calote de sfer, foarte bine lustruite, de obicei metalizate,carereflectpractictoatluminacecadeasupralor.Dac suprafaareflectantesteinteriorulsferei,poartnumeledeoglind concav,iardacesteparteaexterioarasferei,poartnumeledeoglind convex. Centrul sferei n care se nscrie calota poart numele de centru de curbur,iarpolulcaloteiceconstituieoglinda,senumetevrfuloglinzii. Axulopticprincipalestedreaptacetreceprincentruldecurburiprin vrfuloglinziispredeosebirede celelaltedreptecaretrecdoarprincentrul de curbur al oglinzii i care sunt numite axe optice secundare. Figura 4.7 -Reflexia n oglinzi sferice Focarulprincipalaluneioglinzisfericeconcave,esteacelpunctde peaxulopticprincipalncareconverg,dupreflexie,toaterazelecareau venit spre oglinda n mod paralel fa de axul optic principal (de la infinit).Focarulsenumete"real"dacrazeledeluminconvergisentlnescn punctul respectiv.Focarul virtual apare n cazul oglinzilor convexe, de pe care razele reflectate pornesc divergent. Focarul se determin prin prelungirea razelor reflectate n parteaopusasuprafeei.ntructrazeledeluminreflectatenutrecprin acest punct, focarul poart numele de focar "virtual".Oglinzileconcaveauntotdeaunafocarreal,ntimpceoglinzile convexeauntotdeaunafocarvirtual.Distanadinvrfuloglinziipnla focarsenumetedistanafocal.inndcontdefaptulcnormalan punctuldereflexiealuneirazedeluminpesuprafaaoglinziiestensi 81razadecurburiaplicndaproximaialuiGauss,sedemonstreazc distana focal: f = R/2(4.3) ,unde R = raza de curbur a oglinzii Deasemenea,sepoatedemonstracpentrugrupedefascicule paraxiale, locul geometric al focarelor secundare este reprezentat de un plan perpendicular pe axul optic principal, denumit plan focal. Figura 4.8 - Formula oglinzilor sferice concave Sepoatedemonstracunuipunctaflatladistanap1devrful oglinzii, ii corespunde un punct conjugat (n imagine), aflat la o distana p2 de vrf conform ecuaiei (punctelor conjugate): 1/p1 + 1/p2 = 1/f(4.4) ,unde f = distana focala a oglinzii Se observ c pentru un punct aflat la infinit, punctul conjugat va fi localizat n f, ceea exprim faptul c focarul este punctul de pe axul optic n careconvergtoaterazeleprovenitedelaunpunctsituatpeaxuloptici localizat la infinit. 82Considerm acum un obiect real O, de nlime i1, aflat n faa unei oglinzi concave, ntre centru i infinit, la distana p1. Trebuie s aflam la ce distana se va forma imaginea obiectului O i ct va fi de mare n raport cu nlimea i1. Figura 4.9 - Mrirea transversal n oglinzile concave Din figura de mai sus i din aplicarea ecuaiei punctelor conjugate, se poate demonstra c: i2/ i1 = p 2/p1(4.5) Raportuli2/i1senumetemrireliniariesteutiln macrofotografie. Raportul este subunitar dac obiectul este situat dincolo de centruldecurbur,esteunitardacobiectulestesituatchiarncentrulde curbur i supraunitar dac este ntre centrul de curbur i focarul oglinzii. 83 Figura 4.10 - Reflexia n oglinzile convexe Pentruoglinzileconvexe,celedemaisusrmnvalabile,cu deosebireacaimagineaobinutestevirtual,iarnecuaiapunctelor conjugate distana de la oglinda la imaginea virtual se introduce cu semnul minus (-). Prisma optic Prisma optic este un mediu transparent mrginit de dou fee plane. Muchiadeinterseciealecelordoufeealeprismeisenumetemuchia prismei, iar unghiul diedru dintre cele dou fee se numete unghi al prismei sauunghiderefringen,notatcuA.Planuldeseciuneperpendicularpe muchie se numete plan principal. Figura 4.11 - Elementele prismei optice 84Considerm cazul n care o raz incident monocromatic, coninut nplanulprincipal,intrdinaersauvid(caracterizatdeunindicede refracien1),nmasaprismei(alcruiindicederefracien2este ntotdeauna mai mare ca n1), ntr-un punct numit punct de incident, I, sub un unghi de incident i n raport cu normala. n punctul I, raza de lumin va fi deviat, mai aproape de normal, conform legilor de refracie. Figura 4.12 - Refracii prin prisma optica LanivelulinterfeeideemergenE,dintreadouafaiaer, datorit raportului dintre indicii de refracie, raza emergent va suferi o nou refracie,deaceastdatnssevandeprtadenormal,subununghide emergen < Im, rezultnd o raz emergent deviat cu un unghi total . Reflexia total n prism innd cont de faptul ca raza emergent iese dintr-un mediu optic mai dens ntr-unmediuopticmaipuindens,poateapreanplanuldeemergen reflexiatotal.Deexemplu:oprismdinsticl(cun~1,5)cuseciunea triunghi dreptunghic isoscel, asupra creia raza incident vine perpendicular pe una dintre catete. 85 Figura 4.13 - Reflexia total n prism Lanivelul ipotenuzei, unghiul de inciden depete unghiullimit (pentrusticl,l~42),razaincidentvaficompletreflectatspreadoua catet,undevacdea totperpendicular(unghideincidenvafinul)i, ca urmare, va iei deci nedeviat la acest nivel. O astfel de prism deviaz raza delumincu90ipoartnumeledeprismcureflexietotal(cao oglind).Folosindsticlecuformulespeciale,fenomenulreflexieitotaleeste utilizatlaaparatelefotoreflexmonoobiectivpentruredresareaimaginiin vizor, printr-o construcie dedicat numit pentaprism. Lentile Lentilelesuntmediitransparente,dinsticl,limitatededoucalote sferice sau de o calot sferic i un plan. Dac o suprafa de delimitare este o calot elipsoidal, lentila se numete asferic. Lentilele se mpart n lentile convergenteidivergentenfunciedemodulncaresuntdeviaterazele luminoase de care sunt traversate. Lentilele convergente sunt mai groase la mijloc dect la margini, iar un fascicul de raze paralele ce traverseaz lentila, devine convergent spre un punct numit punct focal. 86 Figura 4.14 - Lentile convergente: a - biconvexa, b - plan-convexa, c - menisc convergent, d - schema lentilelor convergente. Lentilele divergente sunt mai subiri la centru fa de margini iar un fascicul de raze paralele care o traverseaz devine divergent. Figura 4.15 Lentile divergente: a - biconcave, b - plan-concave, c - menisc divergent, d - schema lentilelor divergente. Caracteristici lentile: centre de curbur - centrele C1 i C2 ale celor dou calote sferice; razele de curbur ale sferelor, R1 i R2; axa optic principal este dreapta ce unete centrele de curbur ale celor dou calote sferice; centrul optic O al unei lentile este punctul situat pe axa optic i care se caracterizeaz prin faptul c raza de lumin ce trece prin acest punct nu este deviat de la direcia sa ci doar deplasat; 87orice dreapt care trece prin centrul optic se numete ax optic secundar. Figura 4.16 - Elemente geometrice ale unei lentile Aproximaiile lui GaussStudiul lentilelor se simplific pe baza aproximaiilor lui Gauss, care enun: lentilele sunt subiri, dac grosimea lor pe axa principal este neglijabil n raport cu raza de curbur; unghiul de deschidere al calotei sferice este mic (10 - 15 ) unghiurile formate de razele luminoase cu axa principal sunt mici, adic razele sunt paraxiale. Focarul lentilelor Se poate dovedi experimental c un fascicul de raze paralele cu axa optic principal ce cade pe o lentil convergent, este deviat convergent i ctoaterazeleemergenteconvergntr-unpunctF,situattotpeaxaoptic, punct denumit focar principal.Deoarecerazeledelumintrecefectivprinacestpunct,imaginea poate fi captat pe un ecran, iar punctul se numete focar real. 88 Figura 4.17 - Locul geometric al focarului unei lentile convergente Dacrazelesosescdinparteaopus(dindreapta),elevorconverge nparteastng,ntr-unpunctfocal,F'denumitfocarsecundar,situatla aceeai distan f, fa de centrul optic al lentilei. Daclentilaestedivergent,razeleemergentevoraveatraiectorie divergent la ieirea din lentil, n aa fel nct prelungirile lor se vor ntlni ntr-unfocarFsituatnaceeaipartecuceadincareauvenit.Deoarece razele emergente nu trec efectivprin acest punct F, el nu poate fi captat pe ecran i de aceea poart numele de focar virtual. Figura 4.18 - Locul geometric al focarului unei lentile divergente Aadar lentilele subiri convergente posed 2 focare principale reale FiF', simetrice i egal distanate fa de centrul optic, dac lentila seafl ntr-unmediuomogen.Deasemenea,olentildivergentaredoufocare virtuale,simetricenraportcucentruloptic.Distanadelacentrulopticla focarele principale poart numele de distan focal:f = OF. 89Dacsemodificdireciafasciculuiincident,adicrazelevinpeo axopticsecundar,nlimiteleaproximailorluiGauss,focalizareaseva realiza ntr-un focar secundar. Figura 4.19 - Locul geometric al planului focal la lentilele convergente Se pot obine o infinitate de focare secundare, n funcie de inclinaia idireciafasciculuiincident.nopticageometric,totalitateafocarelor secundareseaflntr-unplan,normalpe axaopticprincipalde care este nepat la o distan f fa de centrul optic. Cum se construiesc imaginile printr-o lentila? Fie o lentil convergent subire, cu distana focal cunoscut f = OF iunobiectliniarAB,aezatperpendicularpeaxaopticalentilei,cu punctul Bpeax.PutemconstruigeometricimagineaobiectuluiAB, adic segmentulA'B',dacseinecontdecomportamentulrazelorluminoasece traverseaz lentilele: raza luminoas AO trece prin centrul optic i deci traverseaz lentila nedeviat; razaluminoasAIesteparalelcuaxaopticiduptraversarea lentilei, va fi refractat prin focarul F. 90 Figura 4.20 - Construcia geometric a imaginii prin lentile convergente Proiecia punctului A n planul focal, punctul A' se afl la intersecia celordourazeluminoaseemergentedinlentil(IFA'irespectivAOA'). Punctul B' este situat pe axa optic, n mod similar cu punctul B, i se obine prin coborrea unei perpendiculare din punctul A' pe axa optic. Segmentul A'B'reprezintimagineaobiectuluiAB,prinlentil.nfunciederaportul dintre segmentul BO i distana focal, se disting urmtoarele cazuri: BOfoartemarenraportcudistanafocal(sepoateconsiderac, practic,tindectreinfinit):imagineaseformeaznplanulfocal, este rsturnat i foarte mic; BO mai mare dect 2f: imaginea se formeaz ntre f i 2f, este real, rsturnat i mai mic dect obiectul; punctul B situat ntre2f i f: imaginea este situat dincolo de 2f, este real, rsturnat i mai mare dect obiectul; punctulBestesituatnfocarulF':imagineaestesituatlainfinit, este real, rsturnat i mai mare dect obiectul; punctulBestesituatmaiaproapedelentildectF':imagineaeste situatdeaceeaipartecuobiectul,virtual,dreaptimaimare dect obiectul (efect de lup). Figura 4.21 - Construcia geometrica a imaginii prin lentile divergente 91nlentileledivergente,imagineaseconstruietenmodsimilar,cu singura deosebire c aceasta se afl la intersecia prelungirii razei refractate curazadirectAO,cemergesprecentrulopticallentilei.Aceastase traduce prin faptul c imaginea este virtual, adic nu poate fi captat pe un ecran. Fie urmtoarea schem optic: Figura 4.22 - Construcia geometric a i