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DipartimentodiFisica,SapienzaUniversitàdiRoma

ComplementidiFisicaperLaboratoriodiMeccanica.

CesareBini

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Con il corso di Laboratorio diMeccanica gli studenti di Fisica sperimentano ilprimo approccio con la pratica dellamisura in laboratorio. Vengono proposteesercitazioniriguardantitemidimeccanicadelpunto,dimeccanicadeisistemiedi dinamica dei fluidi. Le conoscenze che gli studenti stanno apprendendo nelparallelocorsodiMeccanica,sononecessarieperlacomprensionedellafisicadeisistemiproposti.Inquestiappuntisonodiscussiinmodoapprofonditoalcunidiquestisistemiperunalorocorrettacomprensione.Perilcasodell’esercitazionedi meccanica dei fluidi, vengono trattati degli elementi di Fisica Generale acomplementodiquantosvoltonelcorsodiMeccanica.

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(1)STUDIODELMOTODIUNCARRELLOINUNPIANOINCLINATO­I.......................... 41.1.MOTODIUNPUNTOMATERIALESUUNPIANOINCLINATO......................................................... 41.2.ROTOLAMENTOEATTRITOVOLVENTE........................................................................................ 61.3.ANALISIDELMOTODELCARRELLOTENENDOCONTODELL’ATTRITOVOLVENTEDELLERUOTE................................................................................................................................................................ 81.4.ANALISIDELLEENERGIEDISSIPATE.......................................................................................... 10

(2)STUDIODELMOTODIUNCARRELLOINUNPIANOINCLINATO–II .................... 122.1CARRELLOAPPESOALL’ESTREMITÀDELPIANOINCLINATOCONUNAMOLLA......................... 122.2CASODELL’ATTRITORADENTE/VOLVENTE. ............................................................................. 132.3CASODELL’ATTRITOVISCOSO. ................................................................................................... 152.4CONSIDERAZIONICONCLUSIVE. .................................................................................................. 17

(3)OSCILLAZIONIDIUNCORPORIGIDO:ILPENDOLOFISICO. .................................... 193.1CONSIDERAZIONIGENERALI. ...................................................................................................... 193.2MISURADIGCONUNGENERICOPENDOLOFISICO..................................................................... 203.3MISURADIGCONILPENDOLOREVERSIBILE. ............................................................................ 233.4L’APPROSSIMAZIONEDIPICCOLOANGOLO................................................................................ 25

(4)STUDIODELMOTODIUNVOLANO. ................................................................................ 284.1MOTODELVOLANOINASSENZADELLEPALETTE...................................................................... 284.2MOTODELVOLANOINPRESENZADELLEPALETTE. .................................................................. 304.3STUDIOSPERIMENTALEDELMOTODIUNVOLANO. .................................................................. 32

(5)LEGGEDISVUOTAMENTODIUNCONDOTTOATTRAVERSOCAPILLARI............ 335.1GENERALITÀSUILIQUIDI:ILIQUIDIIDEALI............................................................................... 335.2MOTODIUNLIQUIDOIDEALEINUNCONDOTTO. ...................................................................... 355.3ILFENOMENODELLAVISCOSITÀ. ............................................................................................... 385.4LIQUIDOREALEINUNCONDOTTOCILINDRICO:LALEGGEDIHAGEN­POISEUILLE. ................ 405.5MOTOLAMINAREEMOTOTURBOLENTO:ILNUMERODIREYNOLDS....................................... 425.6LEGGEDISVUOTAMENTODIUNCAPILLARENELREGIMELAMINAREENELREGIMETURBOLENTO. .................................................................................................................................... 435.7CONSIDERAZIONISPERIMENTALI............................................................................................... 46

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(1)Studiodelmotodiuncarrelloinunpianoinclinato‐I

1.1.Motodiunpuntomaterialesuunpianoinclinato.Consideriamouncarrellovincolatoamuoversisuunpianoinclinato.IlcarrelloècostituitodaunamassaM con4ruote,ciascunadimassam<<M.Chiamiamoθ l’inclinazione del piano rispetto all’orizzontale. Il sistema è schematizzato inFig.1.1.

Fig.1.1Schemadelleforzecheagisconosulcarrello.SonoancheindicatigliassiXeY.

Trattiamodapprima il sistemaassumendoche il carrellosiaassimilabileadunpunto materiale di massa M che si muove strisciando sul piano inclinato.Chiamiamoµd il coefficiente di attrito dinamico tra piano e carrello. In questaapprossimazione non si tiene conto del fatto che il carrello in realtà non stastrisciando, ma piuttosto rotola attraverso le 4 ruote cilindriche. Nel seguitovedremo come la trattazione del problema simodifica se si abbandonaquestaipotesi.Il puntomateriale sperimenta l’azione delle 3 forze indicate in figura: la forzapesoMg direttaverso ilbasso, la reazionevincolareRNortogonalealpiano, einfine la forza di attrito, sempreparallela al piano.Quest’ultima avrà un versosempreoppostoalmoto,quindiversol’altodurantelafasedidiscesaeversoilbasso nell’eventuale fase di risalita. Disponiamo l’asseX lungo il piano direttoversoilbassoeconl’originepostanellaposizionedipartenzadelcarrello;l’asseY è a questo ortogonale, ambedue gli assi sono disposti come in figura.Proiettando l’equazione del moto sui due assi e detta a, l’accelerazione delcarrellolungol’asseX,abbiamopergliassiXeYrispettivamente:

€

Mgsenθ −µdRN = MaRN = Mgcosθ (1.1)

Lasecondaequazioneesprime lacondizionediequilibrio lungo l’asseY, cioè ilfatto che la reazione vincolare uguaglia la componenteY della risultante dellealtreforze.Dalledueequazioni,sostituendo,ricaviamol’accelerazione

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5

€

a = gsenθ −µd gcosθ (1.2)cherisulta,comeprevisto,indipendentedallamassaedipendentedall’angolodiinclinazione del piano. Nel caso in cui l’angolo θ sia piccolo per cui possiamoassumere(troncandoalprimoordineglisviluppiinserie):

€

senθ ≈ θcosθ ≈1

siottienel’espressione:

€

a = gθ −µd g (1.3)Si trattadiunaespressionemolto interessantedalpuntodivistasperimentale.Infatti se siamo in grado dimisurare l’accelerazione con cui il carrello scendelungo il piano inclinato in funzione dell’angolo di inclinazione del piano,possiamo ricavare l’accelerazione di gravità g semplicemente come pendenzadella retta sperimentale. Inoltre dall’intercetta all’origine possiamo ricavare ilcoefficientediattrito,ilqualeineffettideterminadiquantolarettasperimentalepassisottol’originedegliassi.L’andamentoattesoèriportatoinFig.1.2.

Fig.1.2 Andamento dell’accelerazione del moto di discesa del carrello con l’angolo diinclinazionedelpianoinclinato.Sinotichel’intercettaall’origineènegativa.Dallamisuradelsuovaloreassolutoèpossibilericavareilcoefficientediattritodinamicoµd.

Sinotichelalinearitàdellarelazioneègarantitasolonellimitedipiccoliangoli.Fino a quale angolo questo limite sia valido, dipende da quale sia il livello diprecisione richiesto nella misura. Per θ=10°, l’errore che si commettenell’approssimareilsenoconl’angoloèpariallo0.5%.Perθ=20°lostessoerrorediventadel2%.Quindiladistorsionesullamisuradigsaràalpiùdel5permilleperangoliinferioriai10gradi.Lasceltadell’angolomassimodipendequindidaltipodiprecisionechesiintendeaveresullamisuradig.Consideriamoorauneventualemotodirisalita,chesipuòottenereperesempiofacendopartireilcarrellodalbassoconvelocitànonnullaversol’alto.Intalcaso,tuttoilragionamentofattorestaugualesalvoilfattochelaforzadiattritocambiasegnodivenendoora concorde con la forzapeso.Ciò si traducenel fatto che ilmodulodell’accelerazioneèoraesprimibilecome:

€

a = gθ + µd g (1.4)per cui, facendo la differenza Δa tra i valori del modulo dell’accelerazioneottenutoindiscesaeinrisalita,siottiene:

€

Δa = 2µd g (1.5)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

9.81*x-9.81*0.005

!!"#$%&!

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"µ#$

6

da cui deriviamo un possibile metodo di misura del coefficiente di attritodinamico:

€

µd =Δa2g (1.6)

Quest’ultimometodopresenta,daunpuntodivistasperimentale,unvantaggiosignificativo rispetto al metodo precedente. Infatti nella differenza diaccelerazione, eventuali incertezze sistematiche comuni nellamisura delle dueaccelerazionisicancellano.Viceversanelmetododerivatodalleformule(1.2)e(1.3),contalamisuraassolutadell’accelerazione.

1.2.Rotolamentoeattritovolvente.Nelprecedenteparagrafo ilmotodel carrello è stato trattatonell’ipotesi che ilcarrellofosseassimilabileadunpuntomaterialechestrisciasulpianoinclinato.In realtà sappiamo che il contatto tra carrello e piano è dato dalle 4 ruotecilindriche poste sotto il carrello, ciascuna delle quali si muove sul pianorotolando senza strisciare. La questione da dover affrontare ora è comedovertrattarel’attritoinquestocaso.La condizione di puro rotolamento di un cilindro che rotola senza strisciarelungounpianoinclinato,corrispondeal fattoche inogni istante, ilcontattotracilindroepianoèdatodaununicoasse,unsolopuntosevistoinproiezione,checostituisce il “centro istantaneo di rotazione”. Tale punto è tenuto fermodall’attritostatico fornitodalpiano.Tuttavia taleattrito,essendoper l’appuntostatico, non compie alcun lavoro, agendo infatti esclusivamente su un puntofermo. Dunque in questo modello non si avrebbe alcun attrito e alcunadissipazionedienergia.Tuttaviaanchenelcasodirotolamentovièingeneraleunaformadiattritochedaluogoadunadissipazionedienergia,responsabiledelfatto,peresempio,chepercondurreunautomobileavelocitàcostantesuunpianoorizzontaleoccorrecomunqueconsumarecarburante.Vediamoorache,ineffetti,agisceunsecondotipo di attrito che viene chiamato “attrito volvente” per distinguerlo da quellodescrittonelprecedenteparagrafodetto“attritoradente”.Vediamoqualitativamentecosasuccede.Consideriamouncilindrodiraggiorcherotolasulpianoinclinato.ChiamiamoOil punto di contatto tra ruota e piano, il “centro istantaneo di rotazione”. Seeffettuiamo un ingrandimento della zona intorno a O come nella Fig.1.3, cirendiamosubitocontocheinrealtàtalepuntodicontattononèbendefinito.Neicasi reali sidovrebbepiuttostoparlarediuno “zonadi contatto”dellaqualeOrappresentailpuntocentrale.Ineffettiaccadecheduranteilrotolamento,siailcilindrocheilpianopossonodeformarsisecondolemodalitàillustrateappuntonella Fig.1.3. Assumiamo che si tratti di una deformazione perfettamenteelastica,cioètalechequandolaruotaèpassata,ilpianoassumelastessaformacheavevaprimadelpassaggiodellaruotaecheanchelaruota,toltadalcontattocon il piano, torna ad assumere la sua forma cilindrica. A prima vista si puòpensare che l’ipotesi di deformazione elastica implichimancanza di attrito. Inrealtàanchenelcasodideformazioneelasticapuòaverluogounadissipazionedienergia sotto forma di calore che si traduce quindi in attrito. Assumendo persemplicitàche,comeinfigura,siasoloilpianoadeformarsi,vediamoinfattiche

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inogni istante, ipuntidellasuperficiedelpianoavallediOsperimentanounacompressionedapartedellaruota,quelliamonteunrilassamentocheliriportanella loro posizione di equilibrio. Durante la compressione il piano acquistaun’energiapotenzialeelasticachepoirestituiscenellafasedirilassamentosottoformadi lavoromotoresullaruotaesotto formadicaloredissipato.E’proprioquiilpunto:seunapartedell’energiapotenzialeacquistatavienerestituitasottoformadicalore,allorasihaattritovolvente.Nelcasocontrarioilmotoèinveceprivodiattrito.Concentriamocisulprimocaso.Seunapartedell’energiapotenzialeacquistataèdissipata,significacheil lavorocheilpianorestituisceallaruotaspingendolaèinferioreaquellochelaruotaavevafornitoalpianonellafasedicompressione.DetteNCeNRlereazionivincolaririspettivamentenellafasedicompressioneedirilassamentoedettiLCeLRilavoricorrispondentialleduefasi,siha:

€

LR = NR × s > LC = NC × sincuisèlospostamento,comunenelleduefasiinvirtùdellasuppostaelasticitàdelladeformazione,dacui

€

NR > NC Ciòsignificachevièunosquilibriotraleduereazionivincolari,comemostratoin Fig.1.4. Tutto va come se la reazione vincolare risultante RN non fosseapplicataesattamenteinO,mainunpuntodelpianopiùavallediO,diciamoO’,adunadistanzavettorialebdaO.

Fig.1.3Contattotraruotaepianoinclinato.Lo“zoom”mostracheilcontattotraruotaepianoinclinatononèpuntiforme.IlpuntoOèinrealtàun’”astrazione”,piùcorrettamentedovremmoparlaredizonaestesadicontatto.

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8

Fig.1.4 Schema più realistico del contatto tra ruota e piano inclinato, nel caso in cui laruota stia scendendo lungo il piano inclinato e vi sia una dissipazione di energia. Sonoindicatiivettoridellereazionivincolarilegatiallafasedicompressione(NC)eaquelladirilassamento(NR).IlvettorebcongiungeilpoloOconilcentrodellereazionivincolariO’.

Sulla base delle considerazioni appena svolte, la risultante dei momenti delleforzerispettoalpoloOdiviene:

€

M = r × M g +

b × RN (1.7)

Il primo termine è il momento della forza peso responsabile della discesa delcilindro. Il secondo termine, che è presente solo nel caso in cui abbia luogo losquilibriodellereazionivincolaridescrittosopra,èparametrizzatodalvettoreb,che rappresenta appunto lo spostamento del centro delle reazioni vincolaririspettoalcentroistantaneodirotazione.Piùgrandeilmodulodib,maggioreèlo squilibrio tra compressione e rilassamento,maggiore l’energia dissipata perattrito.

1.3.Analisidelmotodelcarrellotenendocontodell’attritovolventedelleruote.ConsideriamoorailsistemacostituitodallamassaMedalle4ruote,ciascunadimassam<<M. Chiamiamor il raggio delle ruote, eT la forza di trazione tra lamassaM e ciascuna delle 4 ruote. Quest’ultima forza di trazione è una forzainternadelsistema,esiesercitatracarrelloeruoteincorrispondenzadegliassidi trasmissione.Anche in questi assi possono aver luogodelle formedi attritodovuti allo scorrimento tra parti meccaniche, forze che tuttavia ignoriamo inquestatrattazione.Scriviamodunqueleequazionidelmotodelcentrodimassadel carrello e la seconda equazione cardinale della meccanica per il moto diciascuna ruota rispetto al centro istantaneo di rotazione. Proiettiamodirettamentelaprimaequazionesull’asseXelasecondasull’assedirotazione.L’equazionedelcarrelloè:

€

Ma = Mgsenθ − 4T (1.8)quelladellaruota:

€

Iα = rT + mgsenθr − bmgcosθ (1.9)incuiαèl’accelerazioneangolaredellaruota,eincuidinuovoabbiamoespressola reazione vincolare ponendo a zero la risultante delle forze nella direzionenormalealpiano.Utilizzandolarelazione

€

α =ar (1.10)

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9

che esprime la condizione di “puro rotolamento”, possiamo risolvere le dueequazioni (8) e (9) con il vincolo (10), rispetto alle incognitea eT.RicaviamoprimaTdalladalle(9)equindilasostituiamonella(8):

€

T =1rI ar−mg(rsenθ − bcosθ)

Ma = Mgsenθ − 4I ar2

+ 4mgsenθ − 4 brmgcosθ

(1.11)

cherisolviamorispettoall’accelerazione:

€

a M + 4 Ir2

= (M + 4m)gsenθ − 4 bmg

rcosθ

(1.12)

e, tenendo conto che il momento d’inerzia di un cilindro rispetto all’asseistantaneodirotazioneèdatoda

€

I =32mr2

(1.13)

cifornisce:

€

a(M + 6m) = (M + 4m)gsenθ − 4 bmgrcosθ

(1.14)

E’ interessante confrontare questa espressione dell’accelerazione con la (1.2),ottenutanell’ipotesiche ilcarrello fosseapprossimabileadunpuntomateriale.Mettendosinell’approssimazionedeipiccoliangoli,otteniamoperquestocaso:

€

a =M + 4mM + 6m

gθ − 4 br

m(M + 6m)

g (1.15)

chedinuovocostituiscel’equazionediunarettanelpianoa‐θ .Confrontandola(1.15) con la (1.3) vediamo in primo luogo che il coefficiente angolare è nelsecondo caso pari a g solo nel limite in cuim<<M. Nello stesso limite, checonsideriamoragionevolenelnostrocaso,l’intercettaèidentificabileconquellapresente nella formula (1.3) se si definisce un coefficiente di attrito dinamicoradente“efficace”:

€

µd = 4 brmM (1.16)

Questo significa che nel limite in cuim<<M, la misura di a in funzione di θ permette ancora di misurare g come coefficiente angolare. La misuradell’intercettaall’originepermettediottenereunvalorediµdchehailsignificatodicoefficiente“efficace”diattritodinamico.Comeabbiamovisto,quest’ultimoèinrealtàdatodalprodottodiduefattori:ilprimo,b/r,rappresentaquellochenelprecedente paragrafo abbiamo chiamato “squilibrio” tra compressione erilassamento dell’attrito volvente; il secondo dipende da quanto le ruote sonomassiverispettoalcorpodelcarrello.Nelcasodelnostrocarrellociaspettiamoquindiunvaloreefficacediµddialmenounpaiodiordinidigrandezzainferioreaivaloritipicidiµdchesihannonelcasodell’attritoradente(dell’ordinedi0.1‐0.3).

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Fig.1.5Dall’altroversoilbasso:posizione,velocitàedaccelerazioneinfunzionedeltempoperunmotodelcarrellosulpianoinclinato.Ilsistemaècaratterizzatodaiparametriθ=2°e µd=0.003, il punto di partenza si trova a 1 m dall’ostacolo posto in fondo al pianoinclinatoenell’urto,v’/v=0.8.Ilmotoèillustratodall’inizioalsecondourtosull’ostacolo.

L’esperimento proposto consiste dunque nel lasciar cadere il carrello lungo ilpianoinclinatoedimisurarelaposizioneassuntadalcarrellostessoinfunzionedeltempofinoalmomentoincuiilcarrellosiferma.Ilmotoècaratterizzatodalfattocheall’estremitàinferioredelpianoinclinatoèpostounostacolosulqualeilcarrellourta.Aseguitodell’urtoilcarrellorisalefinoaraggiungereunaquotax=l’diversadaquelladipartenza(cheabbiamopostoax=0).InFig.1.5 sonomostrate la posizione, la velocità e l’accelerazione delmoto infunzione del tempo. Dai grafici è facile dedurre le varie fasi del moto sopradescritto.

1.4.Analisidelleenergiedissipate.Nelcorsodelprocessoc’èstataunadissipazionedienergia.Cisonoduepossibilisorgentididissipazione:l’eventualeanelasticitàdell’urtoel’attritotracarrelloepiano.Complessivamentel’energiadissipataèdatadalladifferenzatraleenergiepotenzialiall’inizioeallafinedelprocesso.Considerandocomeistanti inizialiefinaliquellodipartenzaequello incuiper laprimavolta lavelocitàsiannulla,l’energiadissipataèdatadalladiminuzionedienergiapotenziale:

€

δE = E fin − Ein = −Mgl'senθ (1.17)

che deve essere pari alla somma dell’energia dissipata nell’urto che possiamoesprimerenellaforma:

tempo (s)0 1 2 3 4 5 6

po

siz

ion

e (

m)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tempo (s)0 1 2 3 4 5 6

velo

cit

a’ (m

/s)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tempo (s)0 1 2 3 4 5 6

accele

razio

ne (

m/s

2)

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

11

€

δEurto =12Mv'2 − 1

2Mv 2

(1.18)

v’evessendoilmodulodellavelocitàdelcarrelloappenadopoeappenaprimol’urtorispettivamente,eaquelladissipataperattritocheèparia:

€

δEattr = (l + l')Mgcosϑ (1.19)Tutte le grandezze presenti in queste relazioni sono misurabili e pertanto èpossibile stabilirequantitativamente la frazionedi energiadissipataperurtoeperattrito.

12

(2)Studiodelmotodiuncarrelloinunpianoinclinato–II

2.1Carrelloappesoall’estremitàdelpianoinclinatoconunamolla.Inquestasecondapartedell’esperienzadelpianoinclinato,ilcarrelloècollegatoall’estremitàsuperioredelpianoinclinatoattraversounamolla.Oltrealleforzecheagisconosulcarrellogiàdescrittenelprecedentecapitolo(forzapesoeforzadiattrito),entraingiocoinquestocasoanchelaforzadirichiamoelasticodellamolla,chedunquerendeilfenomenocompletamentediversodalpuntodivistacinematico. Studieremo il fenomeno in due casi: nel caso in cui l’attrito tracarrello e piano inclinato sia dello stesso tipo di quello discusso nel capitoloprecedenteenelcasoincuisiadominanteunattritoditipo“viscoso”.Loschemadelleforzeingioco,validoinambedueicasi,èillustratonellaFig.2.1.

Fig.2.1Schemadelleforzecheagisconosulcarrelloinmotosulpianoinclinato,quandoècollegatoadunpuntofissoperiltramitediunamolla.Rispettoallasituazionedellafigura1.1,èstataaggiunta la forzadirichiamoelastico. Iversidelleforzeelasticheediattritodipendono dalla situazione del moto. In questo caso il carrello sta tornando verso laposizionediequilibriomuovendosidalbassoverso l’alto: la forzaelasticaèconcordealmoto,quelladiattritovisioppone.

Intuttiicasilaforzadirichiamoelasticodellamollasaràdatada:

€

Fel = −k(x − x0) (2.1)incuikèlacostantedielasticitàdellamolla,x laposizionedelcarrellolungoilpiano e x0 la cosiddetta posizione di riposo della molla, cioè quel valoredell’allungamentodellamollaperilqualesiannullalaforzadirichiamo.Lamollaèassuntaidealeedimassatrascurabile.Tratteremo dunque il moto del carrello come se si trattasse di un puntomateriale soggetto alle 4 forze indicate. In primo luogo determiniamo laposizionediequilibrioxeqdelcarrello.Lapresenzadella forzapeso fasi infattiche la posizione effettiva di equilibrio dellamolla sia diversa da x0. Quando ilcarrello è fermo, nonvi è forzadi attrito e dunque si equilibrano forzapeso eforzadirichiamoelastica:

€

−k(x − x0) + mgsenθ = 0 (2.2)dunquelaposizionediequilibriosiottienericavandoxdalla(2.2):

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(+,"

13

€

xeq = x0 +mgksenθ

(2.3)

Ilsignificatodiquestaformulaèche,comegiàdetto,lapresenzadellaforzapesospostadax0axeqlaposizionediequilibriodellamolla.E’interessantenotarechenelle argomentazioni seguenti, possiamo di fatto inglobare completamentel’effettodella forzapesoinquellodella forzaelasticasemplicementespostandodax0axeqlaposizionediriposodellamolla.Ciòèdovutoalfattochelastrutturadella forza elastica (2.1) è del tipo –kx + costante. Quindi la presenza di unulteriore forza costante, la forzapeso,non faaltro checambiare il valoredellacostante.

2.2Casodell’attritoradente/volvente.Supponiamodunqueche ilmotodelcarrellosiadel tipodiquellodescrittonelcapitolo1,cioèsiacaratterizzatodauntipodiattritochefornisceunaforzachesiopponealmotodimodulocostanteeproporzionalealpesodelcarrello:

€

Fattr = µdMgcosθ (2.4)doveMèlamassadelcarrello,θ l’angolodiinclinazioneeilcoefficientediattritodinamico può essere pensato come “efficace” nel caso di attrito volvente,secondoquantoillustratonelparagrafo1.3.L’equazionedelmotoproiettatalungol’asseXèdatada:

€

−k(x − xeq ) ± µdMgcosθ = Ma (2.5)

che,interminidifferenzialiemettendocinelsistemadiriferimentoincuixeq=0,èdeltipo:

€

M˙ ̇ x + kx = ±µd Mgcosθ (2.6)Il±traduceilfattochelaforzadiattritocambiasegnoadognisemi‐oscillazione.Si tratta della ben nota equazione delmoto armonicoma con termine noto. Ilperiododellepseudo‐oscillazioni(pseudo‐periodo)èdatoda:

€

T = 2π Mk (2.7)

mal’ampiezzadell’oscillazionevieneriducendosiadognioscillazioni.

Fig.2.2Posizionerelativadeipunti0 (posizionediequilibrio),1 (puntodipartenzadelmotoavelocitànulla)e2primopuntoincuilavelocitàsiannulladinuovo.

E’ conveniente studiare il moto di questo sistema utilizzando il teoremadell’energia cinetica. Con riferimento alla Fig.2.2, poniamo lo 0 dell’asse X incorrispondenza della posizione xeq e supponiamo di far partire la molla convelocità nulla da una posizione 1 a valle di 0. In virtù del frenamento dovuto

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14

all’attrito,ciaspettiamochelaprimaoscillazionesiconcludainunaposizione2di coordinata negativa e dimodulo inferiore alla coordinata della posizione 1.Applichiamo dunque il teorema dell’energia cinetica tra i punti 1 e 2. Si deveuguagliare il lavoro fatto delle forze di attrito alla differenza tra le energiepotenziali delle due posizioni. Per quanto detto in precedenza, l’energiapotenziale della forza peso è già contenuta nell’energia potenziale elastica sesostituiamoxeqaxo.Dettix1ex2imodulidellecoordinatedeipunti1e2,siha:

€

−µdMgcosθ(x1 + x2) =12kx2

2 −12kx1

2 =12k(x2 − x1)(x2 + x1)

dacui

€

x2 = x1 −2µdMgcosθ

k (2.8)

Ripetendo l’argomento per le oscillazioni successive, si ottiene la formularicorsiva:

€

xn = xn−1 −2µdMgcosθ

k (2.9)

oanche:

€

xn = x1 −2(n −1)µdMgcosθ

k (2.10)

Quindi si avrà unmoto come quellomostrato inFig.2.3: oscillazioni smorzatecon ampiezza decrescente linearmente. Ad ogni oscillazione, l’ampiezzadiminuisce di una quantità fissa proporzionale a µd e inversamenteproporzionaleak.

Fig.2.3Graficodellaposizionedelcarrello in funzionedel temponelcasodioscillazionismorzateconattritoradente.Ledimensionidelleoscillazionisiriduconolinearmentealpassaredeltempo.

L’oscillazioneproseguefinoaquandononsiraggiungeunvaloredin ,diciamonj,percui

15

€

x j−1 <2µdMgcosθ

k (2.11)

A questo punto il carrello avrà terminato le sue oscillazioni, fermandosieventualmenteancheprimadiaverraggiuntoilvalorediequilibriox=0.Ilmassimonumerodioscillazioniosservabilisarà:

€

n >1+kx1

2µdMgcosθ (2.12)

Inrealtànonèdettochesiraggiungatalenumerodioscillazioni.Infatti inogniistanteincuiilcarrellosifermaperinvertireilsuomoto,puòripartiresoloselaforzadirichiamoèsuperioreall’attritostaticochetendeamantenereariposoilcarrello stesso. Pertanto nella j‐esima fermata se la coordinata della fermatasoddisfalacondizione:

€

kx j < µsMgcosθ (2.13)

Ilcarrellorimarràfermo.Pertanto,dettax∞lacoordinatadellaposizioneincuiilcarrellosifermaallafinedel suo moto di oscillazioni smorzate, i valori di x∞ saranno compresi in unintervallo intorno allo 0 di semiampiezza determinata dai due effetti (2.11) e(2.12).

2.3Casodell’attritoviscoso.Questosecondocasodifferiscedaquellotrattatonelprecedenteparagrafoperilfattochelaforzadiattritoèdeltipo:

€

F attr = −λ

v (2.14)cioèèancorainversooppostoalmotomaè,inmodulo,proporzionalealmodulodella velocità. E’ il caso che si presenta quando le caratteristiche del corpo inmotosonotalidarenderesignificatival’azionefrenantedell’ariaodelfluidonelqualeilcorposimuove.E’particolarmenterilevantenelcasoincuicisimuovaperesempio inacquao inaltro liquidomapuòesserloanchenel caso incui ilfluidosiasemplicementearia.La costante di proporzionalità λ , dipende sia dalla forma del corpo che dallecaratteristichedelfluidonelqualeessosimuove.Dunquelaforzadiattritononècostante, ma è sempre più piccola quanto più il moto rallenta. Questacaratteristica della forza viscosa determina il fatto che le oscillazioni sonoinfinite.Nel casodella forza viscosa è agevole trattare ilmotodirettamente risolvendol’equazionedelmotoproiettatasull’asseX:

€

−k(x − xeq ) − λv = Ma (2.15)che,interminidifferenzialicostituisceun’equazionedeltipo(semprescegliendounsistemadiriferimentonelqualexeq=0)

€

M˙ ̇ x + λ˙ x + kx = 0 (2.16)bennotaequazionedelleoscillazionismorzate,deltuttoanalogaaquellachesiincontraindiversialtriambitidellafisica.L’analisi ci insegna come si trova la soluzione di questa equazione. Si cercanosoluzionideltipoesponenziale

€

eαtsostituendonell’equazioneequindisiricavanoivaloridiα percuil’equazioneèsoddisfatta:

16

€

Mα 2eαt + λαeαt + keαt = 0Mα 2 + λα + k = 0

α1/ 2 =−λ ± λ2 − 4Mk

2M= −

λ2M

±λ2M

2

−kM (2.17)

che,posti

€

γ =λ2M

ω02 =

kM (2.18)

fornisceleduesoluzioni

€

α1/ 2 = −γ ± γ 2 −ω02 (2.19)

E’interessantesoffermarsisulsignificatofisicodeidueparametriγ eω0appenadefiniti: γ rappresenta l’intensità dello smorzamento, ω0 è invece legatoall’elasticità della molla. La “competizione” tra i due parametri determina laqualitàdelmoto. Il caratteredellasoluzionedipende infattiessenzialmentedalsegnodelterminesottoradice.Ci limitiamoalcasopiùinteressante,quellopercui

€

γ 2 <ω02. Si tratta del caso in cui lo smorzamento, parametrizzato dal

parametro γ, è piccolo, inferiore alla scala dell’oscillazione data dalla costanteelastica della molla. In questo caso le due soluzioni della (2.17) sono numericomplessielasoluzionegeneraleèdeltipo:

€

x(t) = A1e−γt+ i ω0

2−γ 2 t + A2e−γt− i ω0

2−γ 2 t =

e−γt A1eiωt + A2e

−iωt[ ] =

e−γt A1(cosωt + isenωt) + A2(cosωt − isenωt)[ ] =

e−γt (A1 + A2)cosωt + i(A1 − A2)senωt)[ ] (2.20)

dove abbiamo introdotto le costanti di integrazioniA1 eA2 che dipenderannodallecondizioniinizialidelproblema,abbiamointrodottolapulsazioneefficaceopseudo‐pulsazione

€

ω 2 =ω02 − γ 2,e infineabbiamousatoleformulediEuleroper

ricondurci a funzioni trigonometriche semplici. Dall’ultima delle (2.20)osserviamo che, per garantire che la soluzione sia reale, la sommaA1+A2 deveesserereale,mentreladifferenzaA1‐A2deveessereimmaginaria.Ciòsuggeriscediporre:

€

A1 = a + ibA2 = a − ib

dacui

€

x(t) = e−γt 2acosωt − 2bsenωt[ ] =

Ae−γt sen(ωt +ϕ) (2.21)

checostituiscelasoluzionedell’equazionedelleoscillazionismorzategraficatainFig.2.4.

17

Fig.2.4Graficodellaposizionedelcarrello in funzionedel temponelcasodioscillazionismorzate con attrito viscoso. Le dimensioni delle oscillazioni si riduconoesponenzialmentealpassaredeltempo.

InquestaformulalequantitàAeφ sonolegateallecondizioniinizialidelmoto,mentre γ e ω sono caratteristiche strutturali del sistema (massa, costanteelastica, coefficiente di smorzamento viscoso). In questo caso il numero dioscillazioniè in lineadiprincipio infinitodatochelariduzionedell’oscillazionenon è costante come nel caso precedente,ma si riduce inmodo esponenziale.Rimane invece il limite dovuto all’attrito statico, che anche in questo casodeterminailvaloredix∞.Infinesinotichelopseudo‐periodoèparia

€

T =2πω

= 2π 1ω02 − γ 2

= 2π Mk − λ 4M (2.22)

E’ interessante notare che questo pseudo‐periodo è pari a quello ottenuto nelcapitolo2.2solonellimiteincuiλ èpiccolo.

2.4Considerazioniconclusive.Nel caso dell’esperimento proposto in laboratorio, l’attrito dominante è quelloradente/volvente delle ruote del carrello sul piano inclinato. Si cerca diaumentarelacomponentediattritoviscosoapplicandosulcarrellolecosiddette“vele”chehannol’effettodiaccrescereilvaloredi λ .E’ bene comunque notare che in tutti i casi reali, ambedue i tipi di attrito quidescrittisonoingioco,epertantoilmotoeffettivosaràunocomposizionedituttiglieffetti.E’tuttaviapossibilemettersiincondizioniincuil’unool’altrotipodiattritoprevalgaedunquesiapossibileevidenziareuntipodicomportamentool’altro.Unmodoperconfrontareidaticonidueandamentiprevisticonsistenel

18

graficare l’andamento dei massimi di oscillazione in funzione del tempo: nelprimocasol’andamentosaràessenzialmentelineare,nelsecondoesponenziale.

19

(3)Oscillazionidiuncorporigido:ilpendolofisico.

3.1Considerazionigenerali.Inquestocapitoloderiviamoleprincipaliproprietàdelmotodioscillazionediuncorpo rigido qualsiasi intorno ad un asse qualsiasi. In seguito applichiamo taliproprietàaduecasiparticolarichesiincontranonelleesperienzedilaboratoriodimeccanica:ilgenericopendolofisico(costituitodaunabacchettaedapesi)eilcosiddettopendoloreversibile.

Fig.3.1CorporigidodiformaqualsiasiappesoperilpuntoOemessoinoscillazione.SonoindicatiilcentrodimassaG,ilvettoredistanzatraOeGel’angoloθ tratalevettoreelaverticale.

Consideriamo dunque un corpo rigido di forma qualsiasi e ci riferiamo alloschemamostrato inFig.3.1. ChiamiamoG laposizionedel centrodimassadelcorpo,Olaposizionedelpoloeλ ladistanzatraOeG.Immaginiamodunquediappendere il corpo ad un perno posto in corrispondenza della posizione diO.Intendiamo studiare le caratteristiche del moto del sistema al variare delladistanza λ . Scriviamo la seconda equazione cardinale della meccanica deisistemi, trascurando eventuali effetti di attrito nel contatto tra perno e corporigido,econsiderandodunqueesclusivamentel’effettodellaforzapeso:

€

d L

dt= λ × M g

(3.1)

in cuiM è la massa del corpo rigido ed in cui abbiamo espresso sotto formavettoriale sia λ che g. Proiettiamo l’equazione sull’asse Z normale al pianoverticale contenente O e G e sul quale giacciono ambedue i vettori λ e g.Otteniamo:

€

Ioα = −λMgsenθ (3.2)incuiabbiamoindicatoconIoilmomentod’inerziadelcorporigidorispettoaO,conα l’accelerazioneangolaredelsistemaeconθ l’angolotraλ e ladirezioneverticale.Sinotiche il segnomenoalsecondomembrorenderagionedel fatto

!"

#"

!"#"

20

che il momento della forza peso tende sempre a richiamare il corpo verso laposizionediequilibrionellaqualeOeGsonoallineatisullaverticale.Sviluppiamol’equazionedelmotonell’ipotesidipiccoliangoli, ipotesiverificatanellimiteincuièpossibilesostituireilvaloredell’angoloaquellodelsuoseno.Nel paragrafo 3.4 torneremo diffusamente sul significato e sui limiti diapplicabilitàdiquestaapprossimazione.Nellimiteappenadetto,la(3.2)diventa:

€

˙ ̇ θ +λMgIo

θ = 0 (3.3)

bennotaequazionedifferenzialecheforniscecomesoluzionel’equazioneorariadelmotoarmonico

€

θ(t) = θ0sen(ωt + φ) (3.4)incuiθ0eφ dipendonodallecondizioniinizialidelmotoeω èlapulsazione,datada:

€

ω 2 =λMgIo (3.5)

corrispondenteadun“periododellepiccoleoscillazioni”

€

T = 2π IoMgλ (3.6)

Il termine “piccoleoscillazioni”, si riferisceovviamenteal fatto cheèquanto siottieneperpiccoli angoli. Siamodi frontedunqueadun tipicomotodipiccoleoscillazioniintornoadunaposizionediequilibrio.Laformula(3.6)èdiestremageneralità. Al suo interno compaiono i due parametri I0 e λ , rispettivamentemomento d’inerzia e posizione del centro di massa, che dipendono entrambidalladistribuzionedellemasserispettoall’assedirotazione.Nelseguitoapplichiamo la (3.6)aduesistemi fisicidifferentichecostituisconoentrambi possibili esperimenti di laboratorio, e infine riprenderemol’approssimazionedipiccoloangolocuiabbiamogiàaccennatoenediscuteremolavalidità.

3.2Misuradigconungenericopendolofisico.Consideriamoilsistema,chechiameremopendolofisico,illustratonellaFig.3.2.IlsistemaècostituitodaunabacchettadimassamelunghezzaLedauncilindrocavo di massaM, altezza h e raggi interni ed esterni r1 ed r2 che può essereinfilatodallabacchettaeadessaconnessoconunavite.Consideriamoilpendoloin tre diverse modalità. In tutti i tre casi la bacchetta è appesa al perno delpendolo. Nella modalità (a) la bacchetta è appesa in prossimità di una suaestremitàedoscillaliberamente.Nellamodalità(b)labacchettaèancoraappesaall’estremitàmahainquestocasoilpesocilindricoconnessoinmodotalecheilcentro del cilindro sia posto ad una distanza x dall’asse di rotazione. Nellamodalità (c) infine, è la stessa bacchetta con lo stesso peso ad oscillarema inquestocasolabacchettaèappesaalsuocentro.Deriviamodunquelaformuladelperiodonelletremodalitàappenadescritte.

21

Fig.3.2Schemadell’esperienzadelpendolonelle tremodalitàdescrittenel testo. Inrosso labacchetta,inazzurroilbasamentoeilpeso.

Modalità(a).Con riferimento alla formula (3.6) consideriamo i parametri I0 eλ . Si tratta inquestocasodelmomentod’inerziadellabacchettaedelladistanzadelcentrodimassadellabacchettadall’assedirotazione:

€

I0 =112mL2 + md2

λ = d (3.7)

incuiabbiamoindicatocondladistanzatrailforopercuièappesalabacchettaed il centro di massa della bacchetta ed abbiamo utilizzato il teorema diHuygens‐Steiner.La(3.6)diventa,elevandodirettamenteilperiodoalquadrato:

€

T 2 = 4π 2

m L2

12+ d2

mgd (3.8)

dacui,risolvendorispettoag

€

g =4π 2

T 2L2

12d+ d

(3.9)

che consente, note le caratteristiche geometrichedella bacchetta, di ricavaregmisurando il periodo delle piccole oscillazioni. Si noti che la misura di g nondipendeinquestocasodallamassadellabacchettamasolodallasuageometria.Per questa via, attraverso la (3.9) si ottiene una buona misura di g, con unincertezzachepuòesserebenaldisottodell’1%.Modalità(b).Inquestocasooccorreaggiungerel’effettodelpeso.Leespressionianaloghealle(3.7) sono date da (introduciamo Ibacc per indicare il momento d’inerzia dellabacchettarispettoalsuocentrodimassa):

€

I0 = Ibacc + md 2 + Ipeso + Mx 2

λ =md + Mxm + M

(3.10)

22

incuixèladistanzadelcentrodimassadelpesodall’assedirotazioneeIpesoèilmomento di inerzia del peso, ovvero di un cilindro cavo di raggi interni edesternipariar1edr2edialtezzah,rispettoadunassepassanteperilsuocentrodimassaeortogonaleallasuadirettrice:

€

Ipeso =112

Mh2 +14M r1

2 + r22( ) (3.11)

Inserendole(3.10)nella(3.6)otteniamounarelazionedeltipo:

€

T 2 =4π 2

ga + bx 2

c + bx

(3.12)

incui

€

a = Ibacc + md 2 + Ipesob = Mc = md

(3.13)

La(3.12)rappresentaunarelazionetrailquadratodelperiododelleoscillazionie la distanza del peso dall’asse di rotazione e può essere direttamenteconfrontata con i risultati sperimentali ottenuti misurando il periodo dellepiccoleoscillazioneinfunzionedellaposizionedelpeso.IlprimodeiduegraficiinFig.3.3 illustra l’andamentodella (3.12)per valori dei parametri prossimi aquellichesihannoinlaboratorio.Modalità(c).L’unicadifferenzaconilcasoprecedenteècheoral’assedirotazionepassaperilcentro di massa della bacchetta e dunque d=0. La coordinata x è dunque inquestocaso ladistanzatra ilcentrodellabacchettae ilcentrodelpeso. Il fattoched=0semplificaalcuneformule. Inparticolare la(3.12)assumela formapiùsempliceeanchepiùinteressantedalpuntodivistadellapossibilitàdieffettuareunfitlineare:

€

T 2 = 4π 2 ax

+ bx

(3.14)

incui

€

a =Ibacc + Ipeso

Mg

b =1g

(3.15)

Leformule(3.14)e(3.15)hannounchiarosignificatofisico.Alcresceredix,cioèmanmanochesiallontanailpesodall’assedirotazione,ilpendolosicomportaesattamente come un pendolo semplice di lunghezza x in cui il peso svolge ilruolodelpuntomaterialecollegatoall’estremitàdelfilo,edunqueilsuoperiodonondipendedallamassadellesuepartinèdallealtrecaratteristichegeometrichemasolodalladistanzadelpesodall’assedirotazione.

23

Fig.3.3Andamento del quadrato del periodo delle piccole oscillazioni con la distanza tra laposizionedelcentrodelpesoel’assedirotazionenelleduemodalità(b)(graficoasinistra)e(c)(graficoadestra)descritteneltesto.

Larelazione(3.14)èillustrateinFig.3.3.PerentrambiigraficidiFig.3.3ivalorideiparametriingiocosonosimiliaquellidicuisidisponeinlaboratorio.

3.3Misuradigconilpendoloreversibile.Il pendolo reversibile costituisce un interessante caso di meccanica del corporigido.Infatti,sullabasedialcuneproprietàdelsuomoto,èpossibilerealizzareuna misura dell’accelerazione di gravità g abbastanza precisa esclusivamentesulla base di misure di distanza e intervallo di tempo. Si tratta quindi di uninteressante esempio di come si possano sfruttare le proprietà di un sistemafisicoperindividuareunmetododimisura.Sviluppiamo ora la formula del periodo osservando che, se introduciamo unagrandezzale,aventeledimensionidiunalunghezza,definitacome

€

le =IoMλ (3.16)

edettalunghezzaequivalentedelpendolo,ilperiodoassumelaforma

€

T = 2π leg (3.17)

formalmente equivalente a quella del pendolo semplice. E’ interessanteconsiderareleproprietàdellalunghezzaequivalenteappenadefinita.Scriviamoilmomentod’inerziautilizzandoilteoremadiHuygens‐Steiner:

€

Io = IG + Mλ2 (3.18)intendendo con IG il momento d’inerzia rispetto ad un asse parallelo a quellodatopassanteperilcentrodimassa.Inquestomodolalunghezzaequivalenteedilperiodoassumonorispettivamenteleforme

€

le =IGMλ

+ λ

T = 2π IGMλ

+ λ (3.19)

graficate inFig.3.4. L’andamento della lunghezza equivalente conλ è di facileinterpretazione. Infatti quando il polo è molto lontano dal centro di massa, ilcorpo rigido è approssimabile ad un puntomateriale intorno aG e dunque la

x(cm)0 5 10 15 20 25 30 35 40

T^2(s^2)

0.6

0.8

1

1.2

1.4

4.*3.1415^2*(11246.+58.95+75.51*x^2)/(980.4*28.6*16.5+980.4*75.51*x)

x(cm)2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

T^2(s^2)

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

4.*3.1415^2*((3460.+58.95)/(980.4*75.51*x)+(x/980.4))

!"#$%"&# !"#$%"&#

24

lunghezzaequivalentesiriduceaλ stessa,esiavràdifattounpendolosemplice.All’avvicinarsi del polo aG, l’effetto della distribuzionedellemasse comincia afarsisentire,sipassaperunminimoesidivergeperpiccoliλ .Ladivergenzadelperiodoperλ0 corrispondeal fatto che se appendiamo il corpoperunassepassante per G il corpo tenderà a non oscillare, perché si troverà in unasituazionediequilibrioindifferente.Aquestopuntopossiamo fare lanostraosservazione: la formula (3.17) ci dicechese,perunadataconfigurazionedelpendoloperlaqualesimisurailperiodo,fossimoingradodimisurarelalunghezzaequivalentesemplicementemisurandola distanza tra due punti, avremmo in mano un sistema per ricavare g,semplicementedamisuredilunghezzaetempo

€

g = 4π 2 leT 2 (3.20)

Ilpendoloreversibilepermettedifarequestotipodimisura.Vediamooracome.

Fig.3.4Ilgraficoasinistramostral’andamentodellalunghezzaequivalenteleinfunzionedella distanza λ tra polo e centro di massa. Nel grafico a destra è invece riportato ilperiodo delle oscillazioni del pendolo sempre in funzione di λ . Si notino i minimisimmetricieladivergenzapervaloridiλ prossimia0.

Chiamiamo pendolo reversibile un corpo rigido dimassa qualsiasi (che non ènecessarioconoscere)maconproprietàdisimmetriarispettoadunadirezioneprivilegiata,peresempiodeltipodiquellomostratoinFig.3.5.I2coltellimobiliconsentonodiappendereilcorpoedimetterloinoscillazioneintornoaqualsiasipoloO lungo l’asse x definito in figura. Non è nemmeno necessario conoscerel’esattaposizionedelcentrodimassa,occorresoloassumereche,permotividisimmetria, esso sia posto lungo l’asse centrale del corpo. A questo puntodimostriamounaproprietàdicui la lunghezzaequivalentesopradefinitagode.Risolviamol’equazionedisecondogradoinλ implicitanellaprimadelle(3.19):

€

Mλle = IG + Mλ2

Mλ2 −Mλle + IG = 0 (3.21)

dacui

€

λ1/ 2 =le2

±le2

4−IGM (3.22)

percui,indipendentementedaivaloridiMediIGsiha:

€

λ1 + λ2 = le (3.23)La formula (3.23) è la chiavedel nostro argomento. Infatti i due valoriλ1 eλ2hanno incomune il fattocheappendendo ilpendoloperassipassantiaqueste

25

due distanze dal centro dimassaG, il periodo è lo stesso.Dunque, se riesco atrovareduetaliposizionilungol’assexperlequalimisurolostessoperiodo,enemisuro ladistanza,hodi fatto trovatounmodoperdeterminaregapartiredamisuredi tempoedistanzasecondo la(3.20).Possibilivaloridiλ1eλ2concuifarelamisurasonoriportatinelgraficodiFig.3.6.

Fig.3.5E’mostrato inmodoschematico ilsistemadelpendoloreversibiledisponibile inlaboratorio. E’ indicato il pendolo con il suo centro di massaG e la posizione dei duecoltelli C1 e C2 che possono essere spostati lungo la linea tratteggiata e il sistema disupportoconilsensoreperlamisuradelperiododelleoscillazioni.

Fig.3.6Andamentodelperiododelleoscillazioneconladistanzaλ tracentrodimassaepolo(comeinFig.3.2).Sonoindicatiduevaloridiλ corrispondentiallostessoperiodoT=3 s. La somma dei valori assoluti delle due posizioni corrisponde alla lunghezzaequivalentele.DaivaloridiTedilesiricavagsecondola(3.11).

3.4L’approssimazionedipiccoloangolo.Nel passare dalla (3.2) alla (3.3) abbiamo fatto l’approssimazione di piccoloangolocheconsisteinsostanzanell’identificarel’angoloconilsuoseno:

€

senθ ≈ θ (3.24)Solo in base a tale approssimazione l’equazione differenziale (3.3) divienefacilmente risolubile e fornisce la ben nota soluzione del cosiddetto moto

!"#

!$#

%#

!"#!$%"&

(m)! -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

T (

s)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

!!" !#"

!#$!!!"!%&"

26

armonicosemplice.Cichiediamoorainqualelimitel’approssimazionedatadalla(3.24)siaragionevolmentevalidaecosadobbiamoaspettarcidivederenelcasoincuinonsiavalida.La Fig.3.7 mostra in funzione dell’angolo θ la differenza relativa tra seno eangolo. Si vede che per angoli al di sotto di circa 15 gradi, il seno differiscedall’angolopermenodell’1%echealdisottodicirca5gradilastessadifferenzaèaldisottodello0.1%.Questosignificacheseintendiamofaredellemisureconincertezzeal livellodel%,dobbiamo limitarci adoscillazioni aldi sottodei10gradi.Se invece lanostra incertezzadeveessere tenutaaldi sottodelpermillecomeavvienenelcasodimisuredigrandeprecisione,occorreeffettuaremisuredioscillazioniallivellodelgradooppureoccorretenerecontodellecorrezioni.Il problema delmoto del pendolo non è risolubile analiticamente se non si fal’approssimazione di piccole oscillazioni. Esistono soluzioni numeriche osoluzioni analitichema soloper approssimazioni successive. Per esempio se siapprossimailsenofinoalsecondoordinedellosviluppoinserie,cioèsiaggiungeilterminecubicoalla(3.24):

€

senθ ≈ θ − θ3

6 (3.25)

si ottiene una soluzione nella quale il periodo dipende dall’angolomassimo dioscillazioneθ0,secondol’espressione

€

T(θ0) = T0 1+14sen2 θ0

2

(3.26)

QuiT0èilperiododellepiccoleoscillazioni,peresempioquellodatodalla(3.6)nelcasopiùgeneraledipendolofisico.

Fig.3.7Infunzionedell’angoloespressoingradi, ladifferenzarelativatrasenoeangolo,cheindicailgradodierroresistematicodovutoall’approssimazionedipiccoloangolo.

Dunque per una misura di precisione dell’accelerazione di gravità con unpendolo, si può operare come segue: si effettuanomisure di periodo nellastessacondizione(peresempiolamodalità(a)delpendolofisico)perdiversivaloridell’angoloθ0,esifaungraficodelperiodoinfunzionedisen2(θ0/2).Si dovrebbe ottenere una retta la cui intercetta all’origine è, secondo la(3.26),ilvalorediT0che,amezzodella(3.6),cipermettediricavareg.

27

Si noti infine che in tutta la trattazione fatta finora abbiamo trascurato losmorzamentodelpendolo,smorzamentochepuòaverluogosiaperl’attritodell’ariacheperl’attritonelpernodirotazione.Talesmorzamentositraducenel fatto che l’ampiezza dell’oscillazione diminuisce secondo le modalitàdescrittenelcapitolo2apropositodellamollasulcarrello.

28

(4)Studiodelmotodiunvolano.Il volano, o volano d’inerzia, costituisce un sistema fisico, particolarmentesemplice da realizzare, che permette di evidenziare diversi aspetti dellameccanica del punto e dei sistemi. Il moto di un volano può essere infattidescritto impostando due equazioni del moto accoppiate: una di un corpoassimilabileadunpuntomaterialeel’altradiunsecondocorpoassimilabileadun corpo rigido. Lamisura della cinematica delmoto del sistema permette diricavare con procedimenti standard di analisi dati, alcune caratteristichedinamiche del sistema, quali il momento d’inerzia e il momento delle forzeresistenti.Risolveremoilproblema,sullalineadiquantovistonelcapitolo2,induecasi:ilcaso in cui l’unica forma di attrito che il volano subisce è quella delle forzeresistenti sul perno delmoto di rotazione, e il caso in cui vi siano anche delleforzediattritoviscoso.

Fig.4.1 Schema dell’apparato per l’esperimento del volano. E’ indicato anche l’asseverticaleXorientatoversoilbasso.

Con riferimento alla Fig.4.1 chiameremo:m la massa del peso, I il momentod’inerziadelvolanointornoadunasseadessoortogonaleepassanteperilsuocentrodimassa,Ma ilmomentocostantedelle forze resistenti,r il raggiodellapuleggia su cui si avvolge il filo a cui è connessa lamassam,R ladistanzadelcentrodiciascunforodalcentrodelvolanoeinfineµ lamassadiciascunbulloneche si può inserire nei fori del volano. Assumeremo che il filo che collega ilvolanoallamassasiainestensibileedimassatrascurabile.Vedremonelseguitocosacomportaunataleassunzione.

4.1Motodelvolanoinassenzadellepalette.Scriviamodunqueleequazionidelmotodelsistema.Consideriamo dapprima la massa. Sulla massa agiscono la forza peso direttaverso il basso e la tensione del filo che sarà diretta verticalmente verso l’alto.Proiettiamodirettamentel’equazionedelmotosull’asseverticalexdirettoversoilbasso:

29

€

ma = mg−T1 (4.1)incuiT1èappuntoilmodulodellatensionedelfilo.Per il volano, trattandosi di un corpo rigido vincolato a ruotare intorno ad unpunto in quiete, useremo la seconda equazione cardinale della meccanica deisistemi,conilpuntoOcomepolo.EssendoilpoloOcoincidenteconilcentrodimassa del volano, il momento della forza peso sarà nullo e dunque dovremoconsiderare esclusivamente il momento della forza di tensione del filo (chechiameremo T2) e il momento delle forze resistenti di attrito. Detta α l’accelerazione angolare del sistema, e proiettando direttamente l’equazionesulladirezioneortogonalealpianodelvolano,avremo:

€

Iα = rT2 −Ma (4.2)Aquestopuntomettiamoincampoleipotesicheabbiamofattosulfilo.L’essereil filo di massa trascurabile e inestensibile implica infatti da un lato che latensioneèlastessainciascunasezionedelfilo,edall’altrochel’angolodicuisisvolge il filo nella puleggia corrisponde all’innalzamento o abbassamentodellamassa.Avremoquindileduerelazioni:

€

T1 = T2 = Ta =αr (4.3)

conlequaliilnostrosistemaèdatodadueequazioninelledueincogniteaeT:

€

ma = mg−TIra = rT −Ma

(4.4)

Risolvendootteniamoperl’accelerazioneconcuilamassascende:

€

a =mgr2 − rMa

I + mr2 (4.5)

che ci dice che il moto di discesa della massa è un moto uniformementeaccelerato.E’ interessantenotareche la formula(4.5)nel limite incuinonvièalcunmomentoresistentenelvolanosiriducea

€

a = g mr2

I + mr2 (4.6)

cheasuavoltadiventagquandoilmomentod’inerziadelvolanoètrascurabilerispetto alla massa e tende a 0 quando il momento d’inerzia è predominanterispettoallamassadelpesomoltiplicataperilquadratodelraggiodellapuleggia(mr2).Latensionedelfiloèinvecedatada:

€

T =mgI −mrMa

I + mr2 (4.7)

L’aggiuntadin coppiedibulloninei foridelvolanoha l’effettodimodificare ilmomentod’inerziadelvolanostesso,secondolarelazione:

€

I = I0 + 2nµR2 (4.8)incuiI0èilmomentod’inerziadelvolanoinassenzadibulloni.Assumeremocheibullonisianoinseritiacoppieinposizionisimmetricheperevitarecheilcentrodi massa del volano si sposti rispetto all’asse di rotazione. E’ interessanteinserire la relazione (4.8) nell’espressione (4.5) per ricavare l’andamentodell’accelerazione al variare del numero di coppie di bulloni inseriti. Passandoall’inversodelleaccelerazionisiottiene:

30

€

1a

=I0 + mr2

mgr2 − rMa

+ n 2µR2

mgr2 − rMa

(4.9)

Unesempiodidipendenzadell’inversodiaccelerazionedalnumerodibullonièriportatoinFig.4.2pervaloritipicideiparametriingioco.Nelseguitovedremocome utilizzare questa relazione per ricavare sperimentalmente il momentod’inerziaeilmomentodelleforzediattritodelvolano.

Fig.4.2Andamentoattesodell’inversodell’accelerazioneinfunzionedelnumerodicoppiedibulloni.Iparametriutilizzatisonoquellichetipicamentesihannoinlaboratorio.Sinotil’andamentorettilineoconlapendenzael’intercettachiaramenteevidenziabili.

4.2Motodelvolanoinpresenzadellepalette.L’inserimento delle cosiddette “palette” nei fori dei bulloni del volano, ha lostessoeffettodell’usodella“vela”nell’esperienzadelcarrello.Essenzialmentesipassaadunasituazionenellaqualel’attritoviscosoincidenelmotodelsistema.Riprendiamo dunque lo stesso schema del precedente paragrafo aggiungendosoltantoallasecondadelle(4.4)unmomentoresistentedeltipo:

€

Mv = −kω (4.10) dove ω è la velocità angolare del volano, che, sempre per l’ipotesi di filoinestensibile,èlegataallavelocitàvdellamassadallarelazione

€

v =ωr (4.11)Lacostantekhaunsignificatoanalogoaquelladellacostanteλ introdottanella(2.33):dipendedunquedallecaratteristichedellepalettemontateedalmezzoincuisimuovono.Procedendocomeper larisoluzionedelsistema(4.4),sipervieneall’equazionedelmoto

31

€

Ir

+ mr

a +

krv + Ma = mgr (4.12)

Dunque, come del resto ampiamente intuitivo, non siamo più di fronte ad unmoto uniformemente accelerato, ma siamo di fronte ad un’equazionedifferenziale invcherisolviamoconilmetododellaseparazionedellevariabili.Procediamoallarisoluzioneattraversoiseguentipassaggi:

€

I + mr2( ) dvdt = mgr2 − kv − rMa

(I + mr2)dv'mgr2 − kv'−rMa

= dt'0

t

∫0

v

∫

ln mgr2 − kv − rMa

mgr2 − rMa

= −

kI + mr2

t (4.13)

Esplicitando rispetto a v e passando all’esponenziale abbiamo dunque lasoluzione:

€

v(t) = v lim 1− e−tτ

(4.14)

incuiabbiamodefinitoi2parametrichecaratterizzanoilmoto:

€

v lim =mgr2 − rMa

k

τ =I + mr2

k

(4.15)

LadipendenzadellavelocitàdaltempoperquestocasoèillustratadalgraficoinFig.4.3,dovesonoancheindicatigraficamenteisignificatisiadivlimchediτ .E’interessantenotarechelavelocitàlimiteraggiuntadallamassanellasuacadutanon dipende dal momento d’inerzia del volano, ma unicamente dagli agentifrenanti,siaradenticheviscosi.Viceversala“costanteditempo”τ nondipendedalmomentoresistente.

Fig.4.3Andamentodella velocitàdi cadutadel grave in funzionedel temponel casodivolano con le “palette”. Sono evidenziati i significati grafici dei parametri vlim e τ chedevonoesseredeterminatisperimentalmente.

t (s)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

v (

m/s

)

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.069*(1.-exp(-x*0.59))

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32

4.3Studiosperimentaledelmotodiunvolano.Ilmotodelvolanovienestudiatosperimentalmentemisurandolaposizionedellamassam in funzione del tempo con un rivelatore opportuno. Lamisura dellaposizionex(t)permettediricavareagevolmentesiailprofilodellavelocitàv(t)che quello dell’accelerazione. Assumiamo dunque di effettuare due serie dimisure:(A)conilvolanosenzapalettemaconunnumeroncrescente,diciamoda0a4,dicoppiedibulloni,(B)conilvolanoconlepaletteesenzabulloni.Nel caso della misura (A) ci aspettiamo di osservare dei moti uniformementeacceleraticonaccelerazionidatidalle(4.5)e(4.9).Nelcasoinvecedellamisura(2)ciaspettiamounmotodeltipodatodalla(4.14).Comegiàaccennato,laformula(4.9)èparticolarmenteinteressante.Infattièunaformuladeltipo:

€

1a

= A + nB (4.16)

percuiilgraficodell’inversodelleaccelerazioniinfunzionedinpermetteconunfit rettilineo di ricavareA eB che a loro volta sono legati (secondo la (4.9)) aquantitàincognitechevogliamomisurare.Inparticolaresiha:

€

I0 = 2µR2 AB−mr2

Ma = mgr − 2µR2

rB (4.17)

dallequalièpossibilericavareleduecaratteristichedelvolano,I0edMa.Nel caso della misura (B), dal grafico della velocità in funzione del tempo, èpossibile ricavare i due parametri vlim e τ . Da vlim, utilizzando la prima delle(4.15)èpossibilericavarek.

33

(5)Leggedisvuotamentodiuncondottoattraversocapillari.L’ultimosistemacheconsideriamoè illustratonella figura5.1.UnaprovettadisezioneSdispostaverticalmente,contieneunliquidocheinizialmentelaoccupafinoadunaquotax=h0,x essendo lacoordinataverticaleorientataverso l’alto.Alla quota x=0 è posto un orifizio al quale possono essere collegati tubicinicapillari di diverse sezioni e lunghezze. Tra l’orifizio e il capillare è posto unrubinetto che assumiamo inizialmente chiuso. All’istante di tempo t=0 ilrubinettovieneapertoedilliquidoiniziaafluireattraversoilcapillare.All’uscitadalcapillareilliquidocadeinunrecipientepostosopraunabilanciachedunquemisura la funzionem(t), massa di liquido in funzione del tempo. Ci poniamodunqueilproblemadiprevederelaformaelecaratteristichedellafunzionem(t),sullabasedelladinamicadei fluidi.Perarrivaream(t)procederemonelmodoseguente: dopo una breve introduzione su alcune caratteristiche generali deiliquidi, deriveremo le proprietà della dinamica dei cosiddetti liquidi ideali;quindi passeremo a considerare il fenomeno della viscosità e deriveremo leproprietà delmoto dei liquidi reali nei due diversi regimi, quello laminare equelloturbolentoovorticoso;allafine,riprendendolecaratteristicheottenute,procederemo a derivare la funzionem(t) per i casi detti che sarà possibileconfrontareconivaloriottenutisperimentalmente.

Fig.5.1Schemadell’apparatoperlamisuradellaleggedisvuotamentodeicapillari.

5.1Generalitàsuiliquidi:iliquidiideali.Le caratteristiche fondamentali che individuano i liquidi, e li differenziano daigas sono le seguenti: alto grado dimobilità e scorrevolezza tra le parti che locompongono, sostanziale incompressibilità. I liquidi tendono ad assumere laforma del recipiente nel quale sono contenuti,ma, a differenza dei gas, hannovolumeproprioinquantosonoscarsamentecomprimibili.

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34

La trattazione sia della statica che della dinamica dei liquidi è basata sullanozione di volume elementare di liquido dV: detta ρ la densità del liquido, ilvolume elementare ha massa dm=ρdV. Su tale volume elementare cheimmaginiamopersemplicitàdiformacubica,agisconoduetipidiforze:leforzedivolumeeleforzedisuperficie.Consideriamodapprimaleforzedivolume.UnagenericaforzadivolumedFcheagiscesull’elementodivolumesaràdeltipo:

€

dF = γdV (5.1)in cui il vettore γ è diverso a seconda del tipo di forza. La caratteristica dellaforza di volume è dunque quella di essere proporzionale al volume e di nondipenderedalcontattoconivolumivicini.E’dunqueessenzialmentedovutaadunacausaesternaalliquidostessocioèallecondizioniincuiilvolumesitrova.Dueesempidiforzedivolume,ambedueproporzionaliallamassa,sonolaforzapesoe la forzacentrifuga. Ilvettoreγ èpariaρgnel casodella forzapesooaρωrnelcasodellaforzacentrifuga.Leforzedisuperficiesonoinvecelegatealcontattotraunelementodivolumeeisuoi vicini. Con riferimento alla superficie di separazione tra due elementi, sipotranno sviluppare forze aventi direzionenormale alla superficie, o parallela.Nel primo caso si parla di forze di pressione, nel secondo, di sforzi di taglio.Definiamo la pressione p e lo sforzo di taglio T nel modo seguente: detterispettivamente Fn e Ft le componenti normale e tangenziali delle forze dicontattotradueelementidivolume,siha

€

p =dFndS

T =dFtdS (5.2)

Ambeduelegrandezzequidefinitehannoledimensionidiunaforzaperunitàdisuperficie.Nelcasodiunliquidoinquiete,sihannosoloforzedipressione.Infattiglisforziditagliointervengonosoloquandosihannodeimotidiscorrimentodielementidi liquido rispetto ad altri. D’altro canto le forze di pressione risultanoindipendentidalladirezionedellanormaleall’elementodiliquidoconsideratoequindi, in virtù di tale proprietà è possibile definire una pressione scalare p,funzionedellecoordinateall’internodelliquidostesso.Nel caso invece di un liquido in moto, dovranno essere considerati anche glisforzidi taglio.Chiameremo liquidi idealiquei liquidi che, inmoto,presentanosforziditaglionulliotrascurabili.Sitrattaovviamentediunaschematizzazionedi chiaro significato fisico: l’assenza di sforzi di taglio tra elementi di volumecontigui, comporta l’assenza di forze di attrito nello scorrimento di strati diliquidocontigui.Lasituazionedeiliquidiidealièdunqueintuttosimileaquelladelmotodiun corpo solido suun supporto liscioprivodi attrito: inquel casol’unicaforzatracorpoesupportoèlareazionevincolarenormaleallasuperficie,analogamente in questo caso si hanno solo le forze di pressione normali allasuperficiediseparazionetraelementidiliquido.Sulla base delle considerazioni fatte formuliamo dunque le caratteristiche cheassumeremoperiliquidiideali:

totaleincomprimibilità(ladensitàèdunquecostanteintuttoilvolumedelliquido);

35

assenzadiattritiinterni(T=0nelcorsodelmotodelliquido).Lasecondacaratteristicaèquellacrucialechedeterminaladifferenzanelmotoinuncondottotraliquidiidealiereali.

5.2Motodiunliquidoidealeinuncondotto.Consideriamo dunque un condotto e un liquido ideale che fluisce in talecondotto. Nella trattazione di tale moto immaginiamo che ogni posizioneall’internodel liquido, specificatadalle coordinatexy ez, sia caratterizzatodaunacertavelocitàv(x,y,z,t),funzionedellaposizioneedeltempo.Inogniistantedi tempo dunque, per ogni posizione vi è un valore univoco di velocità. Talefunzione caratterizza completamente ilmotodel liquido. In ciascunaposizionetransiteranno diversi elementi di volume. Sev non dipende esplicitamente daltempo t , in ciascuna posizione si avrà sempre la stessa velocità. In tal casodiremocheilmotoèstazionario.Vediamo ora alcune proprietà di un tale moto, definendo alcune importantinozioni.In primo luogo, il fatto che ad ogni istante di tempo t, ciascun punto siacaratterizzato ad uno ed un solo vettore velocità, permette di descriveregraficamenteilmotodelliquidointroducendolenozionidilineadiflussoetubodiflusso.Intenderemoconlineadiflussounaqualsiasilineachehalaproprietàcheinqualunquepuntoètangentealvettorevelocitàinquelpunto.Adundatoistanteditempo,lelineediflussononsiintersecano.Infatti,seduelineediflussosi intersecassero in un punto, ciò implicherebbe l’esistenza di due vettori divelocità differenti nello stesso punto. Quindi dobbiamo immaginare le linee diflussocome“parallele”.Aquestopuntopossiamoprendereuncertonumeroditali linee per costruire un tubodi flusso, che delimita dunqueunaporzione diliquido.Nessunelementodelliquidopuòpassareattraversoiltubodiflusso.LasituazioneèillustratanellaFig.5.2.

Fig.5.2 Rappresentazione schematica di un tubo di flusso. Sono indicati i volumettiinfinitesimidV1 edV2diugualmassacollocatialledueestremitàdel tubo.Perciascunaestremitàsonorappresentatelesuperficirelativeaitempitet+dt.

Consideriamo ora il moto di un liquido all’interno di un tubo di flusso. Peresempiopossiamoimmaginarechetaletubocoincidaconleparetidelcondotto,ma ciò non è necessario. Consideriamo i due istanti di tempo, t e t+dt.Nell’intervallodi tempodt che stiamo considerando, il liquido si sarà spostatocomeinfigura.TuttovacomeseilvolumeinfinitesimodV1sifossespostatoad

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36

occupareilvolumeinfinitesimodV2.Lemassedm1edm2corrispondentiaiduevolumidevonoessereugualiseassumiamochenelcondottononcisonosorgentiné pozzi, in altre parole se, come abbiamo prima detto, nessun elemento diliquidopuò transitare attraverso le pareti del tubodi flusso.DetteS1 (S2) ev1(v2) le superfici e le velocità corrispondenti alle posizioni dei due volumielementaridV1edV2,edettaρ ladensitàdelliquido,cheècostantenell’ipotesidiliquidiideali,siavrà:

€

ρS1v1dt = ρS2v2dt (5.3)che,definendolaportatavolumetrica

€

QV = Sv (5.4)implica la conservazione della portata volumetrica lungo il moto del liquidoidealeinuncondotto.E’possibiledefinireinmodoanalogolaportatadimassa

€

QM = ρSv (5.5)cheèlaquantitàchesiconservanelcasoincuiladensitànonècostante.Sinotiche in questo caso abbiamo ipotizzato che la velocità di tutti gli elementi diliquido in una delle sezioni considerate, siano uguali in modulo e parallele.Qualora ciò non fosse realizzato, è possibile comunque definire una portatavolumetrica (o di massa), integrando sulla superficie la velocità espressa infunzionedellacoordinatasullasuperficie.

€

QV = v(x,y,z)dS'S∫

(5.6)

La conservazione della portata implica che in corrispondenza di qualunqueristringimentodiuncondotto(diminuzionedellasezioneS),sihaunaumentodivelocità. Utilizzeremo nel seguito questo risultato di estrema generalità indiversecircostanze.Nel caso in cui il condotto non sia orizzontale, osserviamo che entra in giocoanche la forza peso. Deriviamo dunque una legge generale valida per i liquidiideali, che permette di individuare una quantità che si conserva nel corso delmotodiunliquidoidealeinuncondottoqualsiasi.TaleleggevasottoilnomediTeoremadiBernoulli.Sempre con riferimento alla figura 5.2 e detta z la coordinata verticale,consideriamodinuovountubodi flussoe lasituazioneadue istantisuccessiviseparatidadt.ComenelladiscussioneprecedenteosserviamochetuttovacomeseilliquidocontenutonelvolumedV1sitrasferissenelvolumedV2.Applichiamoaquestoprocessoilteoremadell’energiacinetica.Uguagliamocioèlavariazionedell’energia cinetica nel passaggio dallo stato 1 allo stato 2, al lavoro fatto datutteleforzecheagisconosulliquido,siadivolumechedisuperficie.Unica forzadivolumeingiocoè la forzapeso. Il lavoro fattodalla forzapesoèpariallavariazionedell’energiapotenzialecambiatadisegno:

€

Lg = −ΔEp = (z1 − z2)gdm (5.7)Cisipuòconvincerefacilmentechetraleforzedisuperficie,leunichechefannolavoro sul liquido, sono le forzedi pressioneai due estremidel tubodi flusso.Infatti, trattandosi di un liquido ideale non si hanno sforzi di taglio, e d’altraparte, le forzedipressioniconleparetidelcondotto,puressendodiverseda0non compiono lavoro dato che sono ortogonali alla velocità del liquido stesso.Dettep1ep2lepressionidelliquidoaivolumidV1edV2,illavorofattodalleforzedipressioneèdatoda:

37

€

Lp = (p1 − p2)dV = (p1 − p2)dmρ (5.8)

Lavariazionedienergiacineticaèdatada:

€

ΔEk =12v22dm −

12v12dm

(5.9)

percui,uguagliandolavariazionedienergiacineticaallasommadeilavorifattisulsistema,edeliminandodm,otteniamo:

€

12v22 −12v12 = (z1 − z2)g +

p1 − p2ρ (5.10)

dacui,separandoiterminiconsuffisso1daquelliconsuffisso2l’equazione:

€

v12

2g+p1gρ

+ z1 =v22

2g+p2gρ

+ z2 (5.11)

che, dovendovalerequalunque siano leposizioni1 e2 lungo il condotto, ha ilsignificatodiunaleggediconservazione.Laquantitàchesiconservaèlasommadi tre termini, tutti aventi le dimensioni di una lunghezza. Il primo terminecostituiscelacosiddettaaltezzadiarresto,chedeveilsuonomeallacircostanzadiesserepariall’altezzaraggiuntadaungravelanciatoinaltoconvelocitàv; ilsecondo termine è detto altezza piezometrica, il terzo è invece l’altezzapropriamentedetta,lungolaverticale.Dunque, ricapitolando, per un liquido ideale, nel moto lungo un condotto diformaqualsiasi,lasommadelletrealtezzedettesiconserva.Consideriamooraduecasiparticolari, conseguenzadel teoremadiBernoulli. IlprimocasoèquelloillustratodallaFig.5.1sepensiamoditogliereilcapillareelasciare dunque il liquido fluire direttamente dall’orifizio praticato alla quotaz=0. Prendiamo come posizioni 1 e 2 rispettivamente il pelo del liquido, el’orifizio. Nelle due posizioni si ha la stessa pressione, pari alla pressioneatmosferica.Dunquep1=p2.La(5.11)ciforniscequindi:

€

v22 − v1

2

2g= z1

(5.12)

dacui,ricordandochelaportatavolumetricadeveconservarsiechedunque

€

v1S1 = v2S2 (5.13)siricavalavelocitàconcuiilpelodelliquidoscende:

€

v12

2gS1S2

2

−1

= z1 (5.14)

dacuil’equazionedifferenziale(nell’approssimazioneS1>>S2)

€

−dhdt

=S2S1

2g h (5.15)

Nel seguito vedremo che si tratta formalmente della stessa equazione che ciaspettiamonelcasodisvuotamentoinregimedimototurbolento,evedremolasoluzioneditaleequazione.Comesecondaconseguenzadella(2)consideriamo ilcaso incui ilcondottosiaorizzontale.Intalcasoaconservarsièlaquantità:

€

v 2

2g+pρg (5.16)

38

e quindi nel caso di sezione costante, il liquido fluisce mantenendo la stessavelocitàelastessapressione.Sinoticomequestaconclusionesiacompletamentecontrariaall’esperienza.Infatti,l’esperienzaconiliquidirealicidicecheilflussodiun liquido inuncondottoorizzontalecomportaunacadutadipressione,percui, per mantenere il liquido in movimento occorre fornire dall’esterno lapressionemancante.Vedremonelseguitocomequestorisultatoemergeinmododeltuttonaturalequandosiintroduceilfenomenodellaviscosità.Ancheinquestocasovièunastrettaanalogiaconilmotodiuncorposolidosuun piano orizzontale. In quel caso, in assenza di attrito, non occorre compierelavoropermantenere ilcorpo inmotorettilineoeduniforme.Lostessoaccadeper ilmotodiun liquidoideale inuncondottoorizzontale:nonoccorrefornireunadifferenzadipressionepermantenerloinmotostazionario.

5.3Ilfenomenodellaviscosità.Perdescrivereilfenomenodellaviscositàeperdefinireilcoefficientediviscositàη , è conveniente riferirsi in primo luogo al caso descritto nella Fig.5.3: sullasuperficiediuna“piscina”diprofonditàhvienespintaconunaforzaFcostante,una lastrasolidadisuperficieS.Sappiamochepermantenere inmoto la lastra(possiamoimmaginareunabarca)ènecessarioutilizzareunmotorecheesercitila forza necessaria al moto. Nel momento in cui la forza cessasse di agire ciaspettiamochelabarcatenderàarallentareequindifermarsi.

Fig.5.3Esperimentoconcettualepermettere inevidenza il fenomenodellaviscosità.Labarcachevienespintasullasuperficiedellapiscinaèindicatainrosso.Lefrecceindicanolevelocitàdimovimentodiciascunstratoelementaredifluido.

Per trattarequesto caso immaginiamo il liquidodellapiscina costituitodaunasuccessione di strati che scorrono gli uni sugli altri come in figura. Lo stratosuperioreèacontattoconlasuperficiedellalastra,quelloinferioreconilfondodellapiscina.Nelcasodiliquidoideale,l’assenzadisforziditagliofasichenellasuperficie di contatto tra lastra e strato superiore non vi sia alcuna forzaparallela almoto, e dunque la lastra possamuoversi liberamente lasciando inquieteilprimostratoe,conlui,tuttiglialtristrati.Seinveceimmaginiamochevisiano delle forze di taglio parallele al moto, dobbiamo pensare che ciascunostrato,siasollecitatoamuoversilongitudinalmente,dall’azioneditrascinamentodellostratoadessosuperiore,eche,nellostessotempoesercitiunaforzasullostratoadessoinferiore.Ledueforzesonocontrarieinversoeugualiinmoduloamenodi infinitesimi.Pertantociascunostratosimuoveràdimotouniforme.Lostrato superiore sarà direttamente trascinato dalla lastra, possiamo assumereche sia in quiete rispetto alla lastra e dunque avrà la velocità della lastrav, lo

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39

strato inferiore sarà invece in quiete con il fondo della piscina e dunque avràvelocità0,quelliintermediavrannovelocitàcheandrannoda0av.Quandounaschematizzazione di questo tipo è applicabile al nostro sistema, si dice che ilmoto del liquido si svolge in regime laminare. In tale regime è comunquepossibilepensarealmotodel fluidocomeadunmotodistratichescorronogliunisuglialtri.Perquantodetto,taleregime,purnonessendo“ideale”nelsensoche abbiamo detto sopra, rappresenta comunque un regime di motoessenzialmente ordinato. Nel seguito vedremo cosa succede quando lecaratteristiche del moto sono tali che nemmeno questa forma di ordine èconsentita.Empiricamente si osserva una relazione di proporzionalità tra la forza con cuivienespintalabarcaelavelocitàcostantedaquestaassunta

€

v ∝ FhS (5.17)

tipica di unmoto caratterizzato da attrito viscoso (vedi cap.3.2). Sempre con iriferimento al modello degli strati di liquido prima illustrato, detta x lacoordinata che individua ciascuno strato (0<x<h) ci aspettiamoun andamentolinearedellavelocitàdeglistraticonlaprofonditàacuisitrovano:

€

v(x) = v xh (5.18)

ovvero

€

dvdx

=vh (5.19)

percuiutilizzandola(5.17)espressaperunaforzainfinitesimadFt(utilizziamoquiilsuffissotperindicareilcaratteretangenzialedellaforza)eintroducendovila(5.19)otteniamo

€

dFt =ηdvdxdS

T =dFf

dS=η

dvdx

(5.20)

in cui dunque lo sforzo di taglio T che caratterizza ilmoto reale del liquido èespressoinfunzionedidueelementi:unelementocinematico(laderivatadellavelocitàrispettoax)euno(η)chedipendeunicamentedallecaratteristichedellalastra e delmezzo. La quantitàη è detta coefficiente di viscosità. Dalla (5) sicapisce il significato di η : per alti valori di η occorre applicare forze moltoelevateperottenereun’altavelocitàdellalastra;viceversavaloritendentia0diη corrispondono a liquidi quasi ideali, per i quali non è affatto necessarial’applicazionediunaforza.InTab.5.1vengonodativaloridiη peralcuniliquidicomuni.L’unitàdimisuradelcoefficientediviscositànelS.I.èpariaNs/m2edèanche dettoPoise. I valori sono dati per specifici valori della temperatura deifluidi,datocheilmeccanismodellaviscositàdipendedallatemperatura.

40

Materiale Temperatura(oC) Viscosità(Ns/m2)Acqua 0

20100

1.8×10‐31.0×10‐30.3×10‐3

Mercurio 20 1.5×10‐3Oliolubrificante 16 1.1×10‐1Etanolo 20 1.2×10‐3EtereEtilico 20 0.2×10‐3Sangue 37 4.0×10‐3

Tab.5.1Valorideicoefficientidiviscositàperalcunifluidiadiversetemperature.

5.4Liquidorealeinuncondottocilindrico:laleggediHagen‐Poiseuille.Applichiamo ora le considerazioni appena fatta a proposito dei liquidi reali inmotoinregimelaminare,alcasodiuncondottoorizzontalecilindriconelqualefluisceunliquido.Nel caso di un condotto cilindrico di lunghezzaΔl e raggio della sezioneR, ilmodello degli strati che scorrono gli uni sugli altri continua a valere, conl’importante differenza che in questo caso dobbiamo considerare delle coronecilindricheinluogodeipiani.Lostratoacontattoconlaparetedelcondottosaràfermo(v=0),quelliconcentriciavrannoinvecevelocitàcrescentifinoalcilindroinfinitesimo centrale che esibirà la velocitàmassima (v=vmax). Chiamiamo r lacoordinata radiale, conr=0al centrodel condotto er=R sullaparete;v(r) è lavelocitàlongitudinaledelmotolaminaredellostratochesitrovaadistanzardalcentro del condotto, si tratta di una funzione chiaramente decrescente;p ep’sonorispettivamentelepressionidelliquidoall’inizioeallafinedelcondotto.Consideriamo dunque il moto del generico strato, corona cilindrica lunga Δlcompresatrairaggirer+dr.Essendoilmotoavelocitàcostante,lasommadelleforzeagentisullostratodeveannullarsi.Leforzeinquestionesono2:laforzadipressionecheagiscesulledueestremitàdellostrato,eglisforziditagliodovutiagli strati inferioree superiore.Le risultantedelle forzedipressionesaràdatada:

€

(p − p')2πrdr (5.21)mentrelarisultantedelleforzeditagliosaràdatadalbilanciamentotralaforzaesercitatadallostratoesternoequellaesercitatosullostratointerno:

€

−2πrΔlη dvdr

+ 2π (r + dr)Δlη dvdr

+d2vdr2

dr

(5.22)

in cui abbiamo usato l’espressione (5.20) per caratterizzare lo sforzo di taglionell’una e nell’altra superficie di separazione. Si noti che essendo la derivatadv/dr negativa, il primo termine della somma, dovuto al trascinamento dellostrato più interno risulta positivo, il secondo, dovuto al trascinamento dellostratopiùesternorisultainvecenegativo.Sommiamo ora e uguagliamo a 0 la somma delle espressioni (5.21) e (5.22)eliminandoilfattorecomune2πdredtrascurandoiterminidisecond’ordine:

41

€

(p − p')r + Δlη dvdr

+ rΔlη d2vdr2

= 0

−Δp =Δlηr

dvdr

+ r d2vdr2

=

Δlηr

ddr

r dvdr

(5.23)

Siamopervenutiadunaequazionedifferenzialedel secondoordine inrdacui,integrando due volte ricaviamo la funzione v(r). Procediamo con dueintegrazionientrambiperseparazionedivariabili.Laprima:

€

−Δp r'dr'0

r

∫ =ηΔl d r' dvdr'

0

r dvdr

∫

−Δp r2

2=ηΔlr dv

dr

(5.24)

elaseconda:

€

−Δp rdr2

=ηΔldv

−Δp2ηΔl

r'dr'R

r

∫ = dv'0

v(r )

∫

v(r) =Δp4ηΔl

R2 − r2( )

(5.25)

Quest’ultima equazione esprime la dipendenza della velocità dello stratoinfinitesimodallasuaposizionedelcondotto,edèillustratainmodoqualitativoinFig.5.4. A differenza del caso delmoto della lastra discusso nel precedenteparagrafo, la velocità varia in questo caso quadraticamente con il raggio, eraggiungeilsuovaloremassimovmax,perr=0:

€

vmax =Δp4ηΔl

R2 (5.26)

A partire dall’ultimadelle (5.25), con una ulteriore integrazione sulla genericasezioneS,determiniamolaportatavolumetricadelcondotto:

€

QV = vdS'S∫ = v(r)2πrdr =

0

R

∫ 2πΔp4ηΔl

R2r − r3( )dr0

R

∫

=2πΔp4ηΔl

R4

2−R4

4

=2πΔp4ηΔl

R4

(5.27)

da cui otteniamo la legge di Hagen‐Poiseuille che esprime la portata di uncondottocilindricodovescorreunliquidoinregimelaminare:

€

QV =πΔp8ηΔl

R4 (5.28)

42

Fig.5.4Andamentodelle velocitàdelle corone circolari elementaridi fluido in funzionedelraggiordellacorona.L’andamentoèillustratoperilmotodiunfluidoinuncondottocilindrico.

Facciamooraalcuneconsiderazionisuquestaimportanteformula.EssaesprimeunarelazionediproporzionalitàtralacosiddettacadutadipressionetraledueestremitàdelcondottoΔpelaportatadelcondottostessoQV

€

Δp = ZQV incuiilcoefficientediproporzionalitàZèdatoda:

€

Z =8ηΔlπR4

(5.29)

edèanchedettoimpedenzadelcondotto.Ilsignificatodell’impedenzaèanalogoa quello della resistenza elettrica nella teoria dei circuiti: più elevata èl’impedenza,minoreè laportata(analogodellacorrenteelettrica)chesiriescead avere per una data caduta di pressione (analogo della differenza dipotenziale).L’impedenzadipendedalcoefficientediviscositàdelliquidoedallageometriadelcondotto.Sinotiladipendenzadallaquartapotenzadelraggiodelcondotto, chemostra come condottimolto sottili (come i capillari) abbiano ingeneraledelleimpedenzemoltoelevate.

5.5Motolaminareemototurbolento:ilnumerodiReynolds.Le considerazioni fatte nei due paragrafi precedenti fino alla derivazione dellalegge diHagen‐Poiseuille si applicano al caso delmoto in regime laminare, uncaso incui, comeabbiamodetto,benché il liquidononsia ideale, il suomotoètuttaviacaratterizzatodauncertogradodi“ordine”.Ilfenomenodellaviscositàpuò essere visto come ilmeccanismo in grado dimantenere “ordinato”questomoto, garantendo un regolare scorrimento tra i volumi del liquido in motorelativogliunirispettoaglialtri.Tuttaviaperundatoliquido,ciaspettiamochealcresceredellavelocità,siarriviadunasituazionenellaqualelaforzadiattritoviscosotraiduestratinonèpiùsufficienteacontrastarelatendenzadeisingolivolumidifluidoamuoversiliberamenteinmododisordinato.Peruncertovaloredi velocità critica si passa dal regime laminare ad un altro che chiameremoregime vorticoso o turbolento, nel quale dunqueun elementodi liquidodaràluogo adunmoto vario all’internodel condotto, nonpiù caratterizzabile comestazionario.E’possibilemettere inevidenza sperimentalmente ilpassaggiodal

!"

#"

#"

$"

43

moto laminare a quello turbolento iniettando nel condotto filamenti di liquidicolorati e osservando che in un caso un filamento colorato mantiene la suaidentitànelcorsodelmoto,mentrenell’altrocasotenderàaframmentarsi.La trattazione del moto turbolenta è chiaramente molto complessa e vienegeneralmente fatta utilizzando programmi di simulazione al calcolatore. Quivogliamo solo individuare delle grandezze accessibili sperimentalmente chepermettono di caratterizzare il passaggio da un tipo di moto all’altro. A talescopointroduciamoilnumerodiReynolds:

€

Re =ρvRη

(5.30)

combinazione adimensionale di alcune caratteristiche del tipo di liquido (ladensitàρ eilcoefficientediviscositàη)delraggiodelcondottoRedellavelocitàv. Qualitativamente possiamo pensare Re come il rapporto tra le “forze diinerzia” dovute alla velocità e le forze di attrito viscoso. Valori elevati di Recorrispondono a situazioni nelle quali la velocità tende a dominare sullaresistenzadovutaallaviscosità.EmpiricamentesiosservacheperRe>1000sihalatransizionedalmotolaminarealmototurbolento.Ciòèequivalenteastabilireunvaloredellavelocitàcriticaparia:

€

vcr ≈1000ηρR

(5.31)

Si trattadiunarelazionesemiqualitativa,piùunastimadiordinedigrandezzacheunvaloreeffettivoincuicambia ilregime.Tuttaviaè interessantenotare ilfatto che la velocità critica è tanto più grande quanto più alta è la viscosità equantopiùpiccola è ladensità, per cui liquidi leggeri emolto viscosi sonopiùadattialmotolaminare.Nelcasodimototurbolentocambiaanchelarelazionetracadutadipressioneeportata. Tendenzialmente non si ha più una relazione lineare tra le due mapiuttosto una relazione quadratica tra caduta di pressione e velocità. Su basepuramenteempiricasitrova:

€

Δp =λΔl2R

v 2 (5.32)

incuiλ èunparametroaventeledimensionidiunadensità,legatoalnumerodiReynoldsdalla:

€

λ = 0.16ρRe− 14 (5.33)

La relazione (5.32) ci dice che in questo caso, per raddoppiare la velocità delmotooccorrequadruplicarelacadutadipressioneenonraddoppiarlacomenelcaso del regime laminare. Dal punto di vista dunque della conduzione ilmotolaminareèdecisamentepreferibileaquelloturbolento.

5.6Leggedisvuotamentodiuncapillarenelregimelaminareenelregimeturbolento.Abbiamoaquestopuntotuttiglistrumentipertrattareilcasodellosvuotamentodelcondottoattraversouncapillare,schematizzatonellafigura5.1.Deriveremolaleggedisvuotamentonelleseguentiipotesi:ilmotolungoilcondottoverticalepuòessereconsideratoidealeequindisegueilteoremadiBernoulli;ilmotonelcapillare sarà considerato prima laminare poi turbolento: nel primo caso

44

utilizzeremo la (5.28), nel secondo caso la (5.32). Infine faremo delleconsiderazionidicaratteresperimentale.Applichiamo dunque il teorema di Bernoulli nella forma (5.11) tra il pelodell’acqua(quotah,sezioneS,pressioneatmosfericap,velocitàv)nelcondottoverticalee ilpuntodi fuoriuscitadel liquidodal condottoal capillare (quota0,sezioneS’,pressionep’evelocitàv’):

€

v 2

2g+pρg

+ h =v'2

2g+p'ρg

ρgh = p'−p( ) +12ρ v '2 −v 2( ) = p'−p( ) +

12ρv 2 v'

v

2

−1

(5.34)

Osserviamo subito che il rapporto v’/v è pari al rapporto tra la sezione delcondotto verticale e quella del capillare, e dunque, dato che nei casi che ciinteressano

€

v'v

=SS'

>>1 (5.35)

possiamosemplificarela(5.34)eottenerelarelazionetraquotahevelocitàv:

€

h =p'−pρg

+12gv 2 S

S'

2

(5.36)

Nella(5.36)comparelacadutadipressionep’­pche,comesappiamoèlegataallavelocità in modi diversi a seconda se ci troviamo nel regime laminare oturbolento. Una volta specificata tale relazione la (5.36) dà luogo ad unaequazionedifferenziale inh,essendo infattiv=dh/dt.Ricaviamotaleequazioneneiduecasi.Nelcasodelmotolaminareusiamola(5.28).Dettor’ilraggiodelcapillare,v’lavelocitàmedianelcapillare,eosservatochelacadutadipressionetragliestremidelcapillareèpariap‐p’(ugualeeoppostaaquellaaicapidelcondottoverticale,dato che la pressione in uscita dal capillare non può che essere quellaatmosferica),siha:

€

QV = πr'2 v'= πΔp8ηΔl

r'4

Δp =8ηΔlv'r'2

=8ηΔlvr'2

SS'

(5.37)

Sostituendonella(5.36)otteniamol’equazionedifferenzialecercata:

€

h =8ηΔlρgr'2

SS'

dhdt

+12g

SS'

2 dhdt

2

(5.38)

Si trattadiun’equazionedifferenzialenon lineare,nériconducibilebanalmentead una equazione lineare. Tuttavia vediamo facilmente che nel caso di motolaminare,finchècioèilnumerodiReynoldsrimanealdisottodelvaloredisogliacheabbiamostabilitoesseredell’ordinedi1000,ilsecondoterminedella(5.28)è trascurabile rispetto al primo. Infatti facendo il rapporto tra i due termini eprocedendoallenumerosesemplificazionisiottiene:

€

SS'ρr'2 v16ηΔl

=ρr'2 v'16ηΔl

=r'16Δl

Re <<1 (5.39)

se

€

Re <<16Δlr'

≈1000 (5.40)

45

condizioneverificatanelcasodimotolaminare,datiivaloridiΔler’deicapillariinusoinlaboratorio.Dunquenella(5.38)possiamotogliereilsecondoaddendoasecondomembroericavarel’equazionelinearedelprimoordineche,definitalacostanteditempoτ

€

τ =8ηΔlr2

ρgr'4 (5.41)

èdeltipobennoto:

€

dhh

= −dtτ (5.42)

eforniscedunquesoluzioniditipoesponenzialeperlaleggedisvuotamentodelcondottoattraversouncapillareinregimelaminare:

€

h(t) = h0e− tτ (5.43)

Lavelocitàdellosvuotamentoèparametrizzatadallacostanteτ edunque,comeatteso, dipendedal tipodi liquido (ρ ,η) edalle caratteristiche geometrichediprovettaecapillare (Δl,r,r’)oltrechedall’accelerazionedigravità,essendo lagravitàindefinitivailmotoredellosvuotamento.Nelcasodiregimeturbolento,sostituiamolarelazione(5.32)nella(5.36):

€

h =v'2Δlλ2ρgr'

+v 2

2gSS'

2

= v 2 SS'

2λΔl2ρgr'

+12g

=

12g

1+λΔlρr'

v 2

SS'

2

(5.44)

Inquestocasosihaun’equazionedeltipo

€

h =1k 2

−dhdt

2

(5.45)

incuiabbiamodefinitolacostantekdatada:

€

1k 2

=12g

1+λΔlρr'

SS'

2

(5.46)

Si noti che a rigore k non è una costante, dato che contiene al suo interno ilparametrofenomenologicoλ definitodalla(5.33)cheasuavolta,dipendendodaRe,puòvariarenelcorsodelfenomeno.Datatuttavialadeboledipendenza(alla‐1/4)diλ dallavelocità,assumiamok costantenelcorsodelmoto.L’equazione(5.45)èancoraditipononlineare.Tuttaviainquestocasoprendendolaradicediamboimembricisiriconduceadunaequazionelinearecherisolviamoconilmetododellaseparazionedellevariabili:

€

h =1k−dhdt

dh'h'

= − kdt'0

t

∫h0

h

∫

2 hh0

h= −kt

h(t) = h0 −k2t

(5.47)

Come si vede dalla (5.46), la costante k dipende dalle stesse quantità da cuidipende la costante di tempo τ definita per il moto laminare, ed è dunque lagrandezzachecontrollalavelocitàdisvuotamento.

46

Ricapitolando,leleggidisvuotamentocercatesonodunque: nel caso di regime laminare la legge (5.43) con la definizione dellacostanteditempoτ (5.41); nelcasodiregimevorticoso,l’ultimadelle(5.47)conladefinizionedicostantekdatadalla(5.46).LaFig.5.5mostradueesempidileggidisvuotamentoperunsetdiparametri.

Fig.5.5Andamentodellivellodelliquidonellaprovettainfunzionedeltempoperuncasodimotolaminareedunodimototurbolento.Sonoindicati ivalorideiparametriusatiequellidellecostantiditempoτ ekrispettivamenteneiduecasi.

5.7Considerazionisperimentali.Per ognuno dei capillari a disposizione si procederà in laboratorio allamisuradella funzionem(t) definita sopra. E’ facile rendersi conto che tale funzione èdirettamentecollegataalla funzioneh(t) ricavatanelparagrafoprecedenteperciascunodeidueregimipossibili.Infattialgenericoistanteditempot,laquantitàdiliquidofinitanellabilanciasaràpariaquellamancantenelcondottoverticale(trascurandoilvolumedelcapillare):

€

m(t) = h0 − h(t)( )Sρ (5.48)ovvero,introducendolaquantità

€

m∞ = h0Sρ pariallamassatotaletrasferitadalcondottoallabilanciaafineesperimento,

€

h(t) =1Sρ

m∞ −m(t)( ) (5.49)

che è la relazione da usare per ricavare la quantitàh(t) da confrontare con lateoria.DunqueoccorreràconoscereSeρ (quest’ultimaèladensitàdell’acqua)esidovràmisuraredirettamenteconlabilancialamassainfunzionedeltempo.

t (s)0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

h (

m)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.25*exp(-x/120)

t (s)0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

h (

m)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

((sqrt(0.25)-0.002*x/2))^2

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5$,$/6//.$'-7.70$

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$$,$-$@78'=$

47

Concludiamoosservandochederivandola(28)rispettoaltemposiottieneunarelazionemoltointeressante:

€

dmdt

= −dhdtρS = v(t)ρS = v'(t)ρS'= v'(t)ρπr'2 (5.50)

Dalla misura della derivata della quantità misurata dalla bilanciam(t) si puòottenerelavelocitàdifuoriuscitadalcapillareinfunzionedeltempo

€

v'(t) =1

πρr'2dmdt (5.51)

edaquesto,notoilcoefficientediviscosità,ilnumerodiReynoldsinogniistantedellosvuotamento:

€

Re (t) =1

πηr'dmdt (5.52)

Dunque lamisuradirettadidm/dt consentedivalutaredirettamente il regimedelmotodisvuotamentoistanteperistante.

48