Complementos de Análise e Integração

Nuno C. Freire

Maio 2012

ISBN: 978-989-20-3089-0

1

(i)

Introdução

Este texto dá um apontamento sobre integração, no sentido de uma revisão

do assunto que em particular esclarece a relação entre a exposição nos conheci-

dos livros de texto por Kolmogorov e Fomin, Elementos da Teoria das Funções e

de Análise Funcional por um lado e por W. Rudin, Real and Complex Analysis,

por outro. É assim de interesse para o aluno, pelo 2 ou 3 anos das habituais

Licenciaturas; também posteriormente, já que além do tema em Análise Real,

se expõe o integral para funções definidas ou tomando valores em espaços de

Banach (domínio de dimensão finita). As referências bibliográficas dão também

atenção para textos que consideramos pertinentes, não só no tema do integral

mas também de modo geral em Análise Real e em Análise Funcional e, natural-

mente é exposta matéria fundamental nos temas. Num plano para nós ideal, dá

ao aluno uma revisão geral, por terminar o 3 ano, das propriedades de limites e

continuidade de funções; assim como de partes fundamentais de Topologia e Es-

paços Métricos. Depreende-se como o integral de Lebesgue consiste também em

completar o espaço das funções integráveis da forma elementar; recomenda-se

neste aspecto o livro por Esther Phillips nas Referências. O texto inclui o com-

pletamento de um espaço métrico via sucessões de Cauchy na primeira parte,

seguindo [Heuser]; referem-se também após, métodos mais directos usando o es-

paço () para os espaços métricos (seguimos aqui [Aliprantis e Burkinshaw] e

considerando o espaço bidual, para os espaços normados (ver [Taylor and Lay]).

No Capítulo 6, Um integral geral, expomos brevemente como em [Lang]. Numa

nota finalizando, abordamos a relação da integração com métodos numéricos

relacionando com equações diferenciais ordinárias. É desejável que os estu-

dantes tenham uma introdução à Análise Numérica, o que é conseguido nos

Cursos habituais desde o passado século. O texto não é exclusivamente Didác-

tico contudo. Observa-se que a condição de continuidade da função integranda

num ponto é não só suficiente, mas necessãria, para o Teorema Fundamental

do Cálculo, no contexto do integral de Riemann (3.11., P. 26). Contámos com

a leitura atenta de partes fundamentais do texto pela Colega Sandra Vinagre.

No Cap 12, penúltimo, faz-se um resumo de elementos básicos da teoria dos

operadores em espaços de Banach, indispensável à compreensão do Capítulo 11,

sobre o integral de Bochner; este Capítulo 12 não dispensa, tal como os out-

ros mas, este de um modo muito particular, a leitura de textos na Bibliografia

([Hille and Phillips], nem as referências se compreendem como exaustivas neces-

sariamente). Também à colega Sandra Vinagre, agradecemos indicação quanto

ao processamento do texto. Consideramo-lo como possivelmente, no contexto

actual das Licenciaturas, poder acompanhar um aluno num Curso de Mestrado

ou Doutoramento no ramo de Análise. Deixamos ao critério dos colegas se

será oportuno para apoio numa Disciplina introdutória, seja destinada a um

Mestrado ou Doutoramento. Agradecemos ainda ao colega Russel Alpizar Jara

a leitura e correcção de partes do texto.

2

3

1 Funções reais da variável real.

1.1. Sejam ( ) e ( ) espaços métricos e : ⊂ → uma função.

Esta função é contínua no ponto ∈ , pela definição, se para cada 0

certo 0 existe verificando-se (() ()) para cada em tal que

( ) . Designando por ( ) = ∈ : ( ) a bola aberta de

centro e raio em e por (() ) = ∈ : ( ()) analogamente

a bola aberta em , pondo () = () : ∈ ( ⊂ ), o mesmo é que

para cada 0, existe 0 tal que (( ) ∩ ) ⊂

(() ). A

definição generaliza-se para uma função : ⊂ → onde e sáo

espaços topológicos pondo que é contínua em ∈ se para cada vizinhança

de () em , uma vizinhança de em existe tal que ( ∩) ⊂ .

A continuidade da função no ponto do domínio significa que aproximando

por pontos que têm também uma imagem (), as imagens () aproximam

indefinidamente () e assim, é implícito que o ponto se pode aproximar

também indefinidamente por pontos do domínio, para se considerar a definição.

Por outro lado e intuitivamente, cada função constante () = ( ∈ ) em

que as imagens não se diferenciam da imagem () do ponto, deve no sentido

pretendido ser contínua em e, ainda, convém decidir se é ou não contínua

num ou noutro ponto. Quer dizer, por exemplo a função real da variável real

: = 0 1 : = 1 2 → R, () = 1 constante, deve ser contínua

em cada ponto do domínio. Isto está incluído na definição para pontos da

forma 1; basta considerarmos, dado 0 o valor = 1 − 1( + 1).

(1 é um ponto isolado de , existe 0, (1 ) ∩ = 1 onde( ) =]− +[ é a bola aberta para a métrica euclideana ( ) =| − |que usualmente se considera em R). [Ostrowsky] dá, p. 11 um resumo de R

como corpo ordenado.

Também em Análise Real, consideram-se habitualmente funções dadas por

uma relação () no corpo ordenado R em que podemos usar todas as pro-

priedades do corpo e, é inseparável do conceito de continuidade uma noção

de limite. Seguindo [Guerreiro], dada a função : ⊂ R → R e um

ponto não exterior ao domínio (recordar o conjunto exterior de , no-

tado () = ∈ R : ∃ 0 ( ) ⊂ R\) tem-se = lim→ () se em

linguagem lógica, dado 0 certo 0 existe, sendo verdadeira a implicação

∈ e | − | ⇒| () − | . Verifica-se que o limite num ponto,

se existe, é único e sugerimos ao leitor que o comprove (recordar a propriedade

triangular | + |≤| | + | |, na forma | − 0 |≤| − | + | − 0 |).Também, seguindo esta definição, é contínua em a se e somente se existe o

limite de no ponto e, que não pode deixar de ser então o valor (). É nítida

a observação acima de que para se considerar um limite lim→ () devemos

poder considerar a variável aproximando-se indefinidamente do ponto. Isto

significa que deve ser um ponto de acumulação de , em linguagem lógica,

∈ 0 ≡ ∀ 0 ( )∩\ 6= (donde cada intervalo aberto centrado em

contem uma infinidade de pontos em ).

3

4 Assim se compreende que muitos autores tomem para definição do limite,

a função verificar a condição,também em linguagem lógica,

Definição lim→ () = ≡ ∀ 0∃ 0 0 | − | ⇒| ()− | .

Depara-se com uma questão de linguagem: Deve a propriedade ( ) =|0 |= 0 bastar para que se considere a expressão Tomar a variável um valor

"no limite"? E se neste "limite", a função é indefinidamente próxima da imagem

(), deve considerar-se ainda que é contínua no ponto? Aparte preferirmos esta

interpretação, nomeadamente porque a questão tem resposta em [Guerreiro],

pelo conceito de limite de no ponto a por valores na parte de (i.e., dado

⊂ ∈ (), põe-se

lim→∈ () = ≡ ∀ 0∃ 0 ∈ e | − | ⇒| () − |; e assim em Definição o que se considera é o limite lim→∈\ () =lim→ 6= (). Aparte a nossa interpretação, tomamos o limite no ponto porvalores diferentes no ponto i.e., Definição acima, como o que significamos com

lim→ () em Análise Real.

1.2. O conceito acima lim→∈ () = , dada a função : → R ⊂ e dado ∈ () dá um critério simples para decidir se o limite não existe.

Pois pelas definições, em existindo lim→ () = então para cada subconjunto

de tal que ∈ () deve ter-se também lim→∈ () = . Logo, se

este limite por valores em não existe ou, se dadas duas partes de ,

existem lim→∈ () = e lim→∈ () = 0, 6= 0 então não existe olimite da função no ponto . Convencionamos que precisamos que um limite

da função num ponto é infinito sempre que se tenha uma das condições

Limite +∞ ≡ ∀ 0∃ 0 | − | ⇒ () 1 ou

Limite −∞ ≡ ∀ 0∃ 0 | − | ⇒ () −1.

1.3. Exercício

Mostre que dada a função : → R e dados ⊂ ∈ (), tem-se

que existe o limite lim→∈ () = se e só se lim () = para cada

sucessão () em convergente para (pode usar as definições na forma da

sua expressão lógica; note que uma relação é consequência de uma relação ,

é o mesmo que a negação de implica a negação de . Trata-de de obter uma

demonstração pelo método de provar a contra-recíproca).

1.4. Se bem que para o limite de uma função num ponto se estude o compor-

tamento da função numa vizinhança do ponto e, assim para valores próximos

da variável independente no domínio da função, convem notar que a função

: ⊂ R → R pode ser contínua em ∈ sem que no entanto seja

contínua em nenhuma vizinhança ( ). É o caso por exemplo da função

: [−1 1] → R definida como segue. Considerando = 1 : = 2 ,ponhamos () =

P∞= 12

para 1 ≤ 1( − 1) e () = 0 ( ≤ 0).Esta função é contínua no ponto 0, descontínua em cada ponto de .

4

5

1.5. Recorde-se o teorema da sucessão monótona: Dada a sucessão real

crescente e majorada (decrescente e minorada) (), a sucessão é convergente

e lim = sup : = 1 2 (lim = inf : = 1 2 ). E que

(()) = : N → é uma subsucessão da sucessão () em se é uma

composta = () após : 7→ (), onde : N → N é estritamente

crescente. No texto Tópicos de Análise Matemática de Vítor Neves encontra-

se (NAMIIv99.pdf, pp. 402-3) uma prova de que toda a sucessão tem uma

subsucessão monótona. Utilizando o conceito de cume i.e., um termo é um

cume se ≥ ( ≥ ). Se cada termo é um cume, então a sucessão é

decrescente; distinguem-se então os casos de não existirem cumes a partir de

certa ordem (a sucessão tem então uma subsucessão crescente) e de existirem

cumes de ordem arbitrariamente grande, caso em que () tem uma subsucessão

decrescente.

Conclui-se imediatamente que toda a sucessão limitada tem uma subsucessão

convergente.

1.5. Exercício Mostre que o ponto é limite de uma subsucessão de () se e

só se para cada 0, existe uma infinidade de índices tais que ∈]− +[(este é o Teorema 9. em [Lages Lima], p. 94).

1.6. Seguindo [Guerreiro], dizemos que um ponto é um valor de aderência

da sucessão limitada () se é o limite de uma subsucessão de ().

1.7. Recordar que um subconjunto de R é fechado se e só se contem o

seu conjunto derivado 0, conjunto dos pontos de acumulação de . E que

esta propriedade é equivalente a que contem o limite de qualquer sucessão

convergente de pontos seus (tenha em atenção 1.5. acima; nomeadamente, cada

ponto de acumulação de é limite de uma sucessão em , o que é proposto

como Exercício). Seguindo [Guerreiro], temos que o conjunto A dos valores de

aderência da sucessão () é um conjunto fechado (pp. 204-5) que como vimos,

não é vazio se é também um conjunto limitado. Se não é limitado, como

complemento a 1.5., sugerimos ao leitor que tem pelo menos um limite infinito

(+∞ ou −∞). Podemos por abuso de linguagem considerar +∞ e −∞ pontos

no infinito.

1.8. Seja () uma sucessão real limitada, | |≤ ( = 1 2 ) e pon-

hamos 1 = sup1 2 , 2 = sup2 3 , ..., = sup +1 .Temos 1 ≥ 2 ≥ ≥ ≥ +1 ≥ ≥ −, logo existe = lim =

inf1 2 . Notamos = lim sup e dizemos ([Guerreiro], [Lages Lima])

que é o limite superior de (). Analogamente, pondo = inf +1 ( = 1 2 ) obtemos a sucessão crescente e majorada () a qual terá um

limite = lim = sup1 2 . Dizemos que é o limite inferior de () enotamos lim inf = .

5

6

1.9. Observação Verifica-se facilmente pela definição, considerando a ex-

pressão lógica, que se = lim então para cada (resp. para cada

) certa ordem existe tal que ( ) para cada ≥ .

Conclui-se a passagem de uma desigualdade ao limite: Se ≤ ( ≥ ) e

lim = , lim = então ≤ . Recordar também o teorema das sucessões

enquadradas: Dadas sucessões convergentes → e → , se ≤ ≤ então → .

1.10. Teorema

Dada a sucessão real limitada () tem-se que = lim sup é o maior valor

de aderência de () e = lim inf é o menor valor de aderência de ().

Dem. Para cada 0, temos ≤ + pela definição de ínfimo, a

partir de certa ordem: sendo , o ínfimo, o maior dos minorantes, + já não é

um minorante do conjunto 1 2 e, além disso, () é decrescente.

Também − = sup +1 para todo o (pois ≤ para

todo o ). Então pela definição do supremo como o menor dos majorantes, pelo

menos um termo , com ≥ existe, sendo − . Logo existe pelo

menos um ∈]− +[ e tomando = 1 = 1 2 podemos considerar

(1) ∈] − 1 + 1[; seguidamente, existe seguindo o raciocínio feito, certo(2) (1) (2) ∈] − 12 + 12[ e assim sucessivamente, concluimos que

existe uma subsucessão (()) () ∈] − 1 + 1[; é () →→∞

(podemos notar lim→∞ () = ). Portanto é um valor de aderência de

(). É o maior dos sublimites. Pois se = inf1 2 então para temos ( ≥ ), certo ( não é um minorante do conjunto

dos ); então ≥ sup +1 ≥ ( ≥ ). Logo escolhendo

= ( − )2, nenhum termo ∈] − + [ ≥ e assim usando 1.5.,

não é limite de nenhuma subsucessão de (). Analogamente para o lim inf ,

concluido-se o teorema.

1.11. Corolário

A sucessão real limitada () tem limite se e só se = lim inf =

lim sup.

Dem. A condição necessária é consequência do teorema acima, pois se ()

converge para um limite , cada subsucessão de () converge para (comprove

utilizando posivelmente a expressão lógica). Para a condição suficiente existirá,

se lim inf = lim sup = , dado cada 0, uma ordem tal que − =

lim inf − ≤ ≤ lim sup + = + para cada ≥ , concluindo-

se o resultado. (Pois não existe uma subsucessão de () convergente para

nenhum = lim sup + lim sup , temos ≤ lim sup ≥ , para a

desigualdade ≤ + . Rever a analogia com a desigualdade − ).

1.12. A função : ⊂ R→ R diz-se limitada se existe 0, | () |≤

( ∈ ) i.e. se sup() = sup() : ∈ +∞ e inf = inf() : ∈ −∞.

6

7

Dada a função : [ ] → R e um ponto ≤ ≤ , em fazendo sen-

tido, o limite à esquerda de no ponto é o limite lim→∈]] () =lim→ () = (−) por valores no conjunto ] [. Analogamente, (+) =lim→∈][ () = lim→ () é o limite à direita. Recorde-se a pro-

priedade do limite da função monótona: Se é crescente então (−) = sup][ e (+) = inf ][ . E se é decrescente então (−) = inf ][ , (

+) =

sup][ .

1.13. Definição

Sendo limitada em [ ], podemos associar a cada 0 os números reais

( ) = sup()∩[] e ( ) = inf()∩[] , onde ∈ [ ]. A função 7→( ) (resp. 7→ ( )) é crescente (decrescente) e assim existe lim→() =

lim→0 ( ) = inf0 ( ) (resp. lim→() = lim→0 ( ) = sup0 ( ))que se diz o limite superior de no ponto ou, em (resp. o limite inferior de

em ).

1.14. Propriedade

Dada a função : [ ] → R como em 1.13., ∈ [ ], existe o limitelim→ () = se e só se lim→() = lim→() = .

Dem. Se lim→ () = então (1.3.) tem-se ()→ para cada sucessão

() em [ ] convergente para ; e concluimos que lim→() = se provarmos

que ( ) → para cada sucessão → 0. De facto, existe ∈ ( ) tal

que () ≤ ( ) ≤ () + e concluimos ( )→0 → usando o

teorema das sucessões enquadradas. Analogamente concluimos que ( )→→0, a condição é necessária. Também se ( ) →→0 e ( ) →→0 então

dada → , ∈ ( ) se ≥ () para cada 0 e temos − ≤ ( ) ≤() ≤ ( ) ≤ + desde que 0 seja suficientemente pequeno, para cada

0 a priori dado. Assim ()→ e a condição é suficiente.

1.15. Corolário

A função : [ ] → R é contínua no ponto do intervalo [ ] se e só se

lim→() = lim→() = () (demonstração imediata).

1.16. Conclui-se que a função de Dirichlet : R → R, () = 0 ∈ Q e

() = 1 se ∈ Q é descontínua em cada ponto.

1.17. Exemplos

(1) Dada : [0+∞[→ R () = − () onde () ="maior inteiro

≤ " tem-se em cada ponto ∈ que lim→() = lim→0 sup− () :

∈ ( ) = lim1 = 1. ( ) = inf − () : ∈ ( ) = 0 → 0 e

lim→() = 0. Se não é um número inteiro então ( ) = +−()→→0() e ( ) = − − ()→→0 (); lim→() = lim→() = ().

7

8

(2) Para a função : R → R (0) = 0 () = sin 1( 6= 0) tem-se

(0 ) = 1→ 1 = lim→0(), lim→0() = lim−1 = −1.

1.18 Definição

Dada como anteriormente assim como um ponto ∈ [ ], seja ( ) =( )− ( ). Verifica-se facilmente ([Lages Lima], p. 249) que ( ) = sup|() − () |: ∈ ( ). A função 7→ ( ) é crescente, existe o limite

( ) = lim→0 ( ) = lim→() − lim→(). Dizemos que ( ) é a

oscilação de no ponto .

1.19. A função limitada : [ ]→ R é contínua no ponto ∈ [ ] se e sóse ( ) = 0.

Dem. Conclui-se do Corolário 1.15.

1.20. Exemplos

(1) Para a função em 1.17. (1), encontramos ( ) = 1 ( = 1 2 ) e

( ) = 0 se ∈ N. (2) A função não limitada : [−1 1] → (0) = 0 e

() = (sin) podemos dizer, generalizando as definições para supremos e

ínfimos infinitos, que tem oscilação infinita no ponto 0.

1.21. Dada uma função : [ ] → R, um ponto ∈ [ ] pode ser umponto de descontinuidade de ( não é contínua em ) porque não existe um

limite lateral da função no ponto (inclusivamente, o limite ser infinito) ou num

2 caso, existindo ambos os números reais (−) (+) mas sendo diferentesou, coincidindo mas sendo diferentes do valor (). Neste 2 caso, dizemos

que tem uma descontinuidade simples ou de 1 espécie em e que é uma

descontinuidade de 2 espécie no 1 caso.

1.22. Exemplos (1) A função em (1), 1.17. só tem descontinuidades simples.

(2) a função : [−1 1] → R (0) = 0 () = sin 1( 6= 0) tem uma dscon-

tinuidade de 2 espécie no ponto 0. (3) A função : [−1 1] → R () = 0

( ∈ Q) e () = 1 ( ∈ Q) verifica ( ) = 1 em cada ponto . Tem

uma descontinuidade de 2 espécie em cada ponto (considerem-se os limites

lim→∈(0) () e lim→∈(1) () onde (0) =] − [∩Q e (1) =

]− [\Q, concluindo-se que não existe (−)).

8

9

Dizemos que o conjunto é contável se é finito (existe uma bijecção

: 1 → ) ou numerável i.e., existe uma bijecção : → .

Encontra-se em [Rudin 1], p. 97:

1.22. Proposição

Dada qualquer função : [ ] → R, o conjunto das suas descontinuidades

simples é contável.

1.23. Observação Verifica-se sem dificuldade que se é um ponto de acumu-

lação do conjunto dos termos da sucessão (), então existe uma subsucessão

() →→∞ . E que se () é uma sucessão monótona então o conjunto

: = 1 2 tem no máximo um´ponto de acumulação , sendo então

convergente para .

Recordar ([Guerreiro], p. 203)

1.24.Teorema de Bolzano-Weierstrass

Todo o conjunto infinito limitado de números reais tem um ponto de acu-

mulação.

1.25. Propriedade

Uma função monótona : [ ] ∈ R só tem descontinuidades de 1 espécie.

Dem. A função é limitada (| () |≤ max| () | | () |). Dado umponto 0 ∈] ] e uma sucessão → 0 0, a sucessão (()) é limitada

e podemos supor que o conjunto dos termos é infinito. Tem assim um ponto de

acumulação único e converge para . (1.23., 1.3.) c.q.d.

1.26. Definição

A função : [ ] → R diz-se que é de variação limitada em [ ] ([Kol-

mogorov e Fomin], [Lages Lima], [Rudin 1]) se existe uma constante tal que

qualquer que seja a partição = 0 1 = de [ ] se temP=1 | () − (−1) |≤ . A menor destas constantes diz-se que é

a variação total de em [ ] e nota-se (). Representa-se por [ ] o

conjunto das funções de variação limitada em [ ].

Considerando partições de [ ] incluindo o ponto verifica-se que sendo

∈ [ ] se tem () =

() + ().

9

10

1.27. O conjunto [ ] algebrizado para a soma ( + )() = ()+ ()

e ()() = () ( ∈ [ ] ∈ R) é um espaço vectorial real. Para ∈ [ ] ∈ R tem-se

( + ) ≤ () +

() e () =| |

().

Dem. Ver [Kolmogorov e Fomin], pp. 323-4.

Encontra-se também em [Kolmogorov e Fomin] (p 325):

1.28. A função : [ ] → R está em [ ] se e só se existem funções

crescentes de [ ] em R tais que = − .

Concluimos usando 1.22. e 1.25. a

1.29. Propriedade

O conjunto dos pontos de descontinuidade de uma função de variação limi-

tada em [ ] é contável e em cada um destes pontos, tem limites laterais

finitos.

1.30. Exemplos (1) A função (1) em 1.17. não é contínua mas é de variação

limitada. (2) A função : [− ] → R () = sin 1( 6= 0) e (0) = 0 é

contínua mas ∈ [− ] ([Lages Lima], 31., p. 285).1.31. Recordar que a função :] [→ R é diferenciável no ponto ∈

] [ se existe o limite lim→0(( + ) − ()) = 0() em R. Se existe

o limite infinito, dizemos que a derivada no ponto é infinita. Podem também

considerar-se as derivadas laterais 0() = lim→00((( + ) − () e

0() = lim→00(( + ) − ()) nos extremos, assim como em qualquer

ponto interior do intervalo. Neste sentido podemos considerar uma função difer-

enciável : [ ]→ R.

1.32. Podemos considerar, dada a função : [ ] → R, os números na

recta acabada [−∞+∞] dados por ( ) = sup(( + ) − ()) : 6=0 + ∈ ( ) e ( ) = inf((+ )− ()) : 6= 0 + ∈ ( ). Afunção 7→ ( ) é crecente, e assim existe o limite lim→0( ) = ();

analogamente, 7→ ( ) sendo decrescente, existe () = lim→0 ( ). Esteslimites podem ser infinitos, consideram-se na recta acabada. Dizemos que()

(resp. ()) é a derivada superior (resp. a derivada inferior) de em .

Concluimos de 1.14. a

1.33. Propriedade

A função : [ ]→ R é diferenciável no ponto de [ ] se e só se as

10

11

derivadas superior e inferior de em são finitas e coincidem

1.34. Exemplos (1) Com () = − () no Exemplo em 1.17. é diferen-

ciável em cada ponto ∈ N, 0() = 1. Se ∈N encontramos () = lim1 =

1 e () = lim−∞ = −∞. (2) Se : [0+∞[→ R () = sin 1( 6= 0) e

(0) = 0 então (0) = lim1 = 1, (0) = lim−1 = −1. (3) Para a função : R → R (0) = 0 e () = 1

( 6= 0) tem-se (0) = lim+∞ = +∞,

(0) = lim−∞ = −∞. (4) A função de Dirichlet : R→ R () = 0 ( ∈ Q)e () = 1 ( ∈ Q) é tal que num ponto ∈ Q temos () = lim+∞ = +∞e () = 0, enquanto para um irracional se encontra () = lim0 = 0

e () = lim−∞ = −∞ (5) Para : [0 1] → dada por () = ( ∈Q) () = 0 ( ∈ R\Q) encontra-se () = lim1 = 1 () = lim−∞ = −∞num ponto ∈ Q. Se ∈ \ então () = +∞ e () = lim0 = 0.

1.35. Dizemos que o subconjunto de R tem medida zero se para cada

0 existe uma colecção contável : ∈ ( ⊂ N) de intervalos abertostal que ⊂ S : ∈ e P∈ | | ; onde, para =] [,

| |= − . E que uma propriedade relativa a pontos de R se verifica em

quase toda a parte (tem-se c.t.p.) se se verifica excepto num conjunto de

pontos com medida zero.

Encontra-se em [Kolmogorov e Fomin] (pp. 314-319) uma demonstração

do

1.36. Teorema de Lebesgue

Se é uma função monótona de [ ] em R então o conjunto dos pontos em

que a função não é diferenciável tem medida zero.

1.37. Corolário

Toda a função real de variação limitada em [ ] tem derivada finita c.t.p.

Dem. Conclui-se do teorema de Lebesgue e de 1.28.

11

12

2 Noções gerais de topologia e espaços métricos

Recordar o conceito de espaço topológico como um conjunto não vazio

munido de uma classe T ⊂ P() (a topologia) tal que ∈ T , T é fechada

para a reunião e T é fechada para a intersecção finita. Os conjuntos na topologiasão os conjuntos abertos.

2.1. Exemplos (1) As topologias grosseira G = e (2) discreta D =

P(). (3) Se ( ) é um espaço métrico de cardinal maior que o numerável,

a classe T dos subconjuntos de tais que para cada ∈ existe 0 tal

que ( )\ ⊂ onde é uim qualquer subconjunto contável de , é uma

topologia sobre . Aqui ( ) = ∈ : ( ) .

2.2. Se é um conjunto não vazio e B é uma classe de subconjuntos de (conjuntos que serão abertos) tal que

[ : ∈ B = e para cada

1 2 ∈ B existe ∈ B, ⊂ 1 ∩ 2, então a classe das arbitrárias reuniõesde conjuntos em B é uma topologia sobre . Diz-se que uma tal classe B ébase para uma topologia T (B) sobre . Recordar que se diz também que T (B)é uma base de T ., já que todo o aberto é reunião de conjuntos abertos em B.Consideram-se habitualmente os espaços topológicos separados i.e., satisfazendo

o axioma de Hausdorff≡ ∀ ∈ ∃ ∈ T ∈ ∈ e ∩ = .

2.3. A classe B de todas as bolas abertas ( ) onde ∈ 0 e

( ) é um espaço métrico, é base para a topologia associada à métrica T quehabitualmente se considera sobre ( ).

2.4 Recordar que (≤) é um conjunto totalmente ordenado ou uma cadeia

se a relação binária ≤ em é relexiva ( ≤ ∈ ), anti-simétrica i. e.,

∀ ∈ ≤ e ≤ ⇒ = , transitiva ( ≤ ≤ ⇒ ≤ ∈ )

e além disso, pondo ⇔ ≤ 6= se verifica exactamente uma das

condiçõe = ou ou para cada ∈ . Designando então

(→) = ∈ : e (←− ) = ∈ : , a classe das intersecções( ) = (←− ) ∩ (→) é base para a topologia da ordem O sobre (≤).

2.5. Recordar ainda que dado um ponto no espaço topológico ( T ), oconjunto é uma vizinhança de se existe um aberto tal que ∈ ⊂ ;

que se nota por V o filtro das vizinhanças de (ver [Choquet], por exemplo).E o interior () = = ∈ : ∃ ∈ V ⊂ de o exterior

() = () e a fronteira () = \(() ∪ ()) = ∈ : ∀ ∈V ∩ 6= 6= ∩.

12

13

2.6. Também recordar o fecho do subcinjunto de ( T ), conjunto dospontos aderentes de ; o conjunto derivado 0 dos pontos de acumulação de e, os pontos isolados de . Esboçando um desemho, vê-se facilmente a relação

(()) = . Tem-se = () ∪ () = ∪0.

2.7. Têm-se as propriedades do interior

() = ; () ⊂ ; (()) = () e ( ∩ ) = (()) ∩(())E do fecho = ; ⊂ ; = e ∪ = ∪. Também para os

conjuntos derivados, ( ∪)0 = 0 ∪0. Aqui, ⊂ .

2.8. Diremos que o subconjunto de ( T ) é denso (resp. raro, resp. nãoraro) se = (resp. () = , resp. () 6= ). Tem-se:

Na topologia usual de R, Q é denso; Q ∩ [0 1] é não raro; Z e 1 : =1 2 são conjuntos raros.

2.9. O subconjunto de ( T ) é denso se só se cada aberto não vazio

encontra . é raro ⇔ é raro ⇔ () é denso ⇔ todo o aberto não vazio

contem um aberto 6= tal que ∩ = .

2.10. O espaço topológico (T ) diz-se separável se contem um subcon-

junto contável denso. Verifica-se facilmente que se existe uma base contável da

topologia (o espaço diz-se um espaço (2)) então é separável. Esta condição

é também suficiente para que o espaço métrico, munido da topologia associada

à métrica, seja um espaço (2).

2.11 Notar que cada subespaço métrico de um espaço métrico separável

( ) (considera-se sobre a métrica induzida; e a topologia associada à

métrica induzida, que coincide com a topologia induzida sobre como sube-

spaço topológico de ( )) é separável. Contudo, um subespaço topológico de

um espaço topológico separável não é necessariamente separável.

2.12. Recorde-se que a função : ()→ ( ) se diz contínua quando

é contínua em cada ponto ∈ i.e. ∀ ∈ V(() −1( ) ∈ V ( ∈ ). E que

são condicões equivalentes à continuidade de as condições:

) −1() ∈ T ∀ ∈ T ;) −1( ) é fechado em para cada ⊂ fechado;

() ⊂ () para cada ⊂ ;

) −1(()) ⊂ (−1()) para cada ⊂ .

13

14

Se ( ) é um espaço (1) (existe uma base contável do filtro das vizin-

hanças de cada ponto do espaço; por exemplo, a classe ( 1) : = 1 2 se é um ponto do espaço métrico ( )), estas condições são equivalentes

à continuidade sequencial ()→ () se → em cada ponto ∈ .

2.13 Dado o conjunto não vazio , recorde-se que dizemos que dadas topolo-

gias T0 1 sobre , ser T1 mais fina que T0 (T0 menos fina que T1) se T1 ⊃ T0.O que é manifestamente equivalente à continuidade da função = , :

( T1)→ ( T0).2.14 Exercícios

(1) Recorde que o subconjunto do espaço topológico ( ) é fechado se

e só se é aberto, verifique a equivalência desta condição a ter-se = ou

⊃ .

(2) Utilizando as leis de De morgan, verifique que se ( ) é um espaço

topológico, então são conjuntos fechados; que a classe dos subconjuntos

fechados de é fechada para a intersecção arbitrária e para a reunião finita.

(3) Mostre que no espaço topológico ,

a. () = (); b. () = \; c. (\) = .

(4) Verifique que no Exemplo (3) em 2.1., com = R, o subconjunto

é aberto para a topologia T se e só se para cada ∈ , existem 0 e um

conjunto contável (possivelmente vazio) ambos dependentes de , tais que

(− + )\ ⊂ .

(5) Prove que se o subconjunto do espaço topológico ( T ) é denso, então ⊂ ∩ para cada ∈ T .(6) Recorde que se ( ) é um espaço de Hausdorff então cada subconjunto

finito de é fechado. Também, o limite de cada sucessão convergente é único.

(7) Recorde que a composta de duas funções contínuas é contínua.

(9) Verifique que a reunião finita de subconjuntos raros é um conjunto raro.

14

15

2.15. Recorde que o suconjunto do espaço topológico se diz um (e o

subconjunto de é um ) se é uma intersecção contável de conjuntos

abertos ( é reunião contável de conjuntos fechados). E que cada subconjunto

fechado de um espaço métrico é um e cada subconjunto aberto é um .

2.16 Num espaço métrico ( ), dados fechados ∩ = , existem

abertos disjuntos ⊃ e ⊃ .

2.17 Notar que dada uma função : ( ) → ( ), a convergência

() →→ significa que se verifica a condição, em linguagem lógica, ∀ ∈V∃ ∈ V () ⊂ . (Se é separado então necessariamente é = ()).

A condição faz ainda sentido para uma função de um conjunto arbitrário não

vazio num espaço topológico (T ), na forma seguinte. Recordando que umaclasse B ⊂ P() é uma base de filtro sobre se satisfaz que ∈ B e para cada0 ∈ B existe 00 ∈ B 00 ⊂ ∩0, encontramos em [Choquet] a

Definição No contexto acima, dados ∈ e uma base de filtro B sobre ,dizemos que converge para ou que tem limite segundo a base de filtro Bse para cada vizinhança ∈ , certo conjunto ∈ B existe tal que () ⊂ .

2.17 Necessariamente para de Hausdorff, o limite de segundo a base de

filtro B se existe, é único.2.18. Dada uma colecção não vazia de espaços topológicos ( T) : ∈

A, recordar a topologia produto P sobre o conjunto produto cartesiano =Q∈A = = () : A → ∪ : ∈ A ∈ ∀ ∈ A. Designando

por ( : ∈ ) o produto cartesiano com | | factores iguais a ∈ T( um subconjunto finito do conjunto dos índices A com cardinal | |) e osrestantes factores iguais a todo o espaço i.e., ( : ∈ = Q∈F ×Q

∈A\ , a classe dos rectângulos abertos ( : ∈ ) é uma base para

a topologia P. No caso A = 1 ∈ N, a base de P é a classe 1 × × : ∈ T = 1 . Recordar que (P) é separado se e só se

cada factor é separado. Vê-se facilmente que (P) é um espaço (1) se

cada é um espaço (1), recordar que o conjunto das partes finitas de um

conjunto contável é contável.

2.19 Seguindo [Schwartz], (THÉORÈME (T.2,VII,1;1), p. 61) se cada factor

é separável (resp. metrizável) e o conjunto dos índices A é contável, então

(P) é

15

16

separável (metrizável).

2.20 Recorde-se que uma sucesão () no espaço topológico produto =Q∈A é convergente para () se e só se cada sucessão coordenada =

() → () = em cada espaço . : → e a projecção de

índice . Cada função é contínua, P é a topologia menos fina sobre para

a qual cada projecção de índice é contínua. Também é uma função aberta

i.e., () ∈ T para cada ∈ P.

2.20 Recordar ([Schwartz], [Choquet], [Aliprantis e Burkinshaw]), que o sub-

conjunto do espaço topológico ( T ) se diz compacto se de toda a coberturaaberta C = : ∈ de (i.e., os conjuntos são abertos e ⊂

S : ∈) se pode extrair uma subcobertura finita i.e., existe uma subcolecção finita(1) () de C tal que ⊂

S=1(). Tem-se o exemplo importante

de que cada intervalo limitado e fechado [ ] de R é compacto (considera-se em

R, mais geralmente em R , a topologia usual, associada à métrica euclideana

( ) =| − | em R, ((1 ) (1 )) =

qP=1 | − 2 |2 em

R ). Sendo um subconjunto de um espaço métrico um conjunto limitado se

está contido numa bola e, recordando os conjuntos fechados, esta é parte do

2.21 Teorema de Heine-Borel Um subconjunto de R é compacto se e so-

mente se é limitado e fechado ([Aliprantis e Burkinshaw], Theorem 5.21., p.

40).

2.22 Observação Certos autores, como [Bourbaki], incluem na definição de

espaço topológico compacto que o espaço é separado, consideramos os espaços

separados. Notar que sendo ( T ) um espaço topológico, o subconjunto é

compacto se e só se o subespaço topológico munido da topologia induzida

T = ∩ : ∈ T é compacto.Podem rever-se as seguintes propriedades dos conjuntos compactos nas refer-

ências acima.

2.23 Teorema Para que o espaço topológico seja compacto, é necessário

e suficiente que, cada classe de subconjuntos fechados cujas intersecções finitas

sejam não vazias, tenha um intersecção não vazia. Este teorema conclui-se da

definição, por passagem aos complementares usando as leis de De Morgan.

16

17

2.24 Num espaço topológico compacto, todo o subespaço fechado é compacto.

2.25 Corolário 1 Se é compacto, então dada uma sucessão decrescente de

subconjuntos fechados com intersecção vazia 1 ⊃ 2 ⊃ ⊃ ⊃ existe já

certo tal que = .

2.26 Se é compacto e se 1 ⊃ 2 ⊃ ⊃ ⊃ é uma sucessão

decrescente de fechados não vazios, entãoT∞=1 6= .

2.27 Seguindo [Choquet], temos as duas propriedades (para as quais é necessária

a separação)

2.28 PROPRIEDADE Cada subespaço compacto de é fechado.

Dem. Provemos que é aberto. Seja ∈ . Para cada ∈ , exis-

tem () e (), vizinhanças disjuntas de e de respectivamente. Uma

subclasse finita () : = 1 cobre ⊂ S=1 (). O aberto

=T=1 () é uma vizinhança de disjunta de cada um dos () e

portanto disjunta de . Significa isto que ⊂ que é asim aberto, c.q.d.

2.29 PROPRIEDADE Num espaço compacto, cada ponto tem uma base de

vizinhanças fechadas.

Dem. Sendo uma vizinhança aberta do ponto , mostremos que existe

uma vizinhança fechada de contida em . Suponhamos que não é assim.

Então, designando = temos ∩ 6= ∀ ∈ V, fechada. Do Teorema

2.23 concluimos que existe pelo menos um ponto ∈ T ∩ : ∈ V é

fechada. Isto contradiz que o espaço é separado pois dado que 6= , existem

então certas vizinhanças abertas de e de tais que ∩ = i.e., sendo

∈ V, fechada e ∈ . Concluimos a propriedade, c.q.d.

2.30 Notar que o conceito de valor de aderência de uma sucessão se generaliza

a sucessões num espaço topológico: dizemos que é um valor de aderência da

sucessão () no espaço topológico se é limite de uma subsucessão de ().

Uma propriedade equivalente é que para cada vizinhança de , existem valores

arbitrariamente grandes de para os quais ∈ ou seja, é valor de aderência

de () se e só se é um ponto aderente a cada conjunto = : ≥ , ∈ T∞=1.

17

18

2.31 Teorema Num espaço compacto , toda a sucessão tem um valor de

aderência.

Dem. De facto, na notação de 2.30, cada conjunto é não vazio, os

formam uma sucessão decrescente de fechados, aplique-se 2.26 para obter ∈T→=1., c.q.d.

A recíproca de 2.31 é válida nos espaços métricos:

2.32 Teorema (Propriedade de Bolzano-Weierstrass) O espaço métrico

é compacto se e somente se cada sucessão em tem pelo menos um ponto

aderente.

Dem. Ver por exemplo [Schwartz], pp. 86-7.

2.33 Recordar que a parte do espaço topológico se diz relativamente

compacta se o seu fecho é compacto. Assim, todo o subconjunto de uma parte

relativamente compacta de é relativamente compacto. Uma vez que supo-

mos o espaço separado, temos que todo o subconjunto de um espaço topológico

compacto é relativamente compacto; assim como toda a reunião finita de partes

relativamente compactas. Também cada sucessão () num subconjunto relati-

vamente compacto do espaço topológico tem pelo menos um valor de aderên-

cia em .

2.34 Definição O espaço topológico separado diz-se localmente compacto

se cada ponto tem pelo menos uma vizinhança compacta.

2.35 Observação Conclui-se da definição de conjunto compacto que um sub-

conjunto de um espaço topológico é compacto se e somente se o subespaço

topológico munido da topologia induzida, é um espaço topológico compacto

( 6= ). Concluimos então, sendo uma vizinhança compacta do ponto ,

em considerando uma base de vizinhanças fechadas de , contidas em (PRO-

PRIEDADE 2. 29) e usando 2.24, que em cada espaço localmente compacto,

todo o ponto tem uma base de vizinhanças compactas.

Dizemos que um espaço topológico está mergulhado num espaço topológico

se é homeomorfo a um subespaço topológico de . Recordar que ser

homeomorfo a significa que existe uma bijecção contínua de inversa contínua

(um homeomorfismo) entre e .

18

19

2.36 Definição O espaço é um compactificado do espaço se é compacto

e está mergulhado em .

2.37 Teorema (Compactificado de Alexandrov) Dado o espaço localmente

compacto ( T ), existe um compactificado de Alexandrov ( T) de tal que

\ se reduz a um singleton .Dem. Tome-se um ponto ∈ e considere-se sobre = ∪ a

topologia T formada pelo abertos de T e pelos subconjuntos de que são

complementares, em , de subconjuntos compactos de . Notar que dado um

ponto ∈ , considerando uma vizinhança compacta de em , contem

um aberto a que pertence , o ponto ∈ \ ⊂ \ , os abertos e \são disjunttos e assim é de Hausdorff.

2.38 Recordar uma demonstração simples de que se é um suconjunto com-

pacto de e é separado, então dada uma função contínua : ⊂ → ,

o subconjunto () de é compacto. E que toda a bijecção contínua entre um

espaço compacto e um espaço separado é um homeomorfismo.

2.39 A função do espaço topológico no espaço topológico diz-se que

é aberta (fechada) se a imagem () de cada subconjunto aberto de é um

aberto (um fechado) em .

Como um Exercício simples, propôe-se verificar a

2.39 Proposição Dados espaços topológicos e uma função contínua :

→ , se é um espaço topológico compacto então sendo separado, é

uma função fechada. Se é bijectiva, então é um homeomorfismo.

19

20

2.40 Definição Dizemos que o subconjunto do espaço topológico é se-

quencialmente compacto se toda a sucessão em tem uma subsucessão conver-

gente em ou, o que é o mesmo, se toda a sucessão em tem um valor de

aderência. Resulta que cada subconjunto relativamente compacto de é se-

quencialmente compacto. Também, usando o Teorema 2.32. um espaço métrico

é compacto se e só se é sequencialmente compacto.

2.41 Se é um subconjuto sequencialmente compacto do espaço topológico

, pode extrair-se uma subcobertura finita de cada cobertura aberta contável

de .

Dem. Ver [Seymour Lipschutz],18. (p.163).

Encontra-se também em [Seymour Lipschutz] (10., p. 161) a

2.21 Propriedade Se são subconjuntos compactos do espaço topológico

, existem abertos disjuntos tais que ⊂ ⊂ . Concluimos:

2.43 Se é um espaço topológico compacto, dizendo que é uma vizinhança

do conjunto se contem um aberto contendo , temos que cada dois fechados

disjuntos têm vizinhanças disjuntas.

20

21

3 O integral de Riemann e o Teorema Fundamental do Cálculo

Para os vários conceitos de integral de uma função real da variável real

que abordamos, avaliam-se somas da forma ∆ as parcelas, onde = () é

o valor da função num conjunto com uma medida . No integral de Riemann

considera-se a função : [ ] → R. Dada uma decomposição ou partição

= ()=0, = 0 1 = do intervalo [ ], associando

o comprimento − −1 do subintervalo = [−1 ] a como a sua

medida (), formam-se as somas de Riemann ( ) = ( ()=0) =P

=1()() =P

=1( − −1)() onde cada ∈ .

No caso de existência do integralR =

R () este é o limite das somas

( ) onde se refinam as partições acrescentando novos pontos no intervalo

[ ]; ou, doutro modo, quando o diâmetro max − −1 : = 1 dapartição tende para zero.

3.1. Definição Uma função () definida no intervalo [ ] diz-se integrável

à Riemann se existe um número que verifica a seguinte condição: para cada

0, existe um 0 tal que se tem | P=1( − −1)() − |≤ para

qualquer decomposição ()=0 de [ ] de diâmetro menor que e qualquer

sequência de pontos ∈ [−1 ]. O número é único e diz-se o integral de() em [ ] no sentido de Riemann.

Põe-se imediatamente a questão seguinte: no processo de obter as somas

de RiemannP

=1( − −1)(), a restrição única que se faz aos pon-tos é que estejam nos correspondentes intervalos [−1 ]. Então porquehaviam de coincidir, no limite e em supondo que um limite existe neste pro-

cedimento, os valores obtidos? Para responder a esta questão, começamos

por supor que a função é limitada em [ ]. Podemos então considerar,

dada a função limitada : [ ] → R e uma partição = ()=0 de [ ],

a soma superior ( ) =P

=1( − −1) sup() () = [−1 ] ea soma inferior ( ) =

P=1( − −1) inf() . Se existem os limitesR

= lim| |→0 ( ) e

R = lim| |→0 ( ) e coincidem, podemos es-

perar que existe o mesmo limite lim| |→0 ( ) =R . Dizemos que

R é o

integral superior de em [ ] eR é o integral inferior de em [ ]. (Integrais

de Darboux).

21

22

3.2. Para a função de Dirichlet : [ ] → R () = 0 ( ∈ Q) e () = 1( ∈ Q) encontramos R

= 0 e

R = − . Esta função não é integrável à

Riemann.

Uma vez que se ⊂ então inf ≥ inf e sup ≤ sup, quando serefina uma dada partição, a soma inferior não diminui e a soma superior não

aumenta. Temos ( ) ≤ R ≤ R

≤ ( ) para cada partição de [ ]

Dada uma partição , o integral inferior (o integral superior) é o supremo

(o ínfimo) das somas inferiores (das somas superiores) relativas a partições que

refinam , obtendo-seR =

R +R eR =

R +R se . Usando

inf( + ) = inf + inf inf + ≥ inf + inf, sup( + ) =

sup+ sup sup + ≤ sup + sup e inf = inf sup =

sup se ≥ 0 obtem-se3.3. 1.

R +

R ≤ R

( + ) ≤ R

( + ) ≤ R

+

R

2. Se 0 entãoR =

R e

R =

R . Se 0 tem-se

R =

R

eR =

R

3. Se () ≤ () ( ∈ [ ]) então R ≤ R

e

R ≤ R

3.4. Se e Σ são subconjuntos de R tais que ≤ para quaisquer ∈ e

∈ Σ tem-se sup ≤ inf Σ; e sup = inf Σ se e só se para cada 0, existem ∈ Σ e ∈ tais que − ≤ .

22

23

Recordar que dada uma função limtada : [ ] → R ⊂ [ ] se tem() = sup| ()− () |: ∈ = sup − inf .

3.5.Teorema

Seja : [ ]→ R uma função limitada. As seguintes condições são equiva-

lentes, onde se designa = ( [−1 ]):(1) é integrável à Riemann

(2) para cada 0, existem partições e do intervalo tais que ( )−()

(3) para cada 0 existe uma partição do intervalo tal que ( ) −( )

(4) para cada 0 existe uma partição = ()=0 de [ ] sendo

P=1(−

−1) .

Dem. Conclui-se facilmente (pp. 249-250 em Lages Lima]).

Temos num resumo:

3.6. Propriedade

(1) O conjunto [ ] das funções integráveis à Riemann em [ ] é um

espaço vectorial real eR + =

R +

R para ∈ [ ] ∈ R;

(2) Se ≤ em [ ] entãoR ≤ R

(3) Se e ∈ [ ] ∈ [ ] então ∈ [ ] eR =R

+

R .

23

24

3.7. Seja : [ ] → R integrável à Riemann. Então a função | | éintegrável à Riemann e | R

|≤ R

| |.

3.8. Se ∈ [ ] então a função produto está em [ ].

Encontra-se em [Lages Lima] uma prova da

3.9. Propriedade

A função : [ ] → R é integrável à Riemann se e somente se o conjunto

dos seus pontos de desontinuidade tem medida zero. Em particular, toda a

função contínua é integrável à Riemann.

O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece o vínculo entre as operações

de derivação e integração de uma função. Nomeadamente, estas são num certo

sentido inversas uma da outra. Por um lado, se começamos por integrar uma

função contínua : [ ] → R e obtemos assim a função integral indefinido

() =R () onde pomos

R () = − R

() ( ) e

R () = 0,

temos que derivando se verifica 0() = () ( ). A condição de

diferenciabilidade em [ ] não é suficiente para o procedimento inverso ou seja,

dada : [ ] → R diferenciável, pode não se verificar queR 0() = ();

verifica-se contudo se () =R () em sendo : [ ] → R integrável à

Riemann em [ ]. O conhecido teorema tem assim dois aspectos distintos ou,

se preferirmos: Afirma que a derivada de um integral indefinido de função con-

tínua coincide com a função e, tem um complemento de reconstituição de certas

funções, pelo integral indefinido da sua derivada, que segundo alguns autores

se deve a Lebesgue. Destacar-se-ão as funções : [ ] → R verificando que

podem ser efectivamente reconstituídas,R 0() = (), são as funções ab-

solutamente contínuas, como veremos adiante no integral de Lebesgue segundo

[Kolmogorov e Fomin] (ver seguindo a 9.26).

24

25

Notar que pela definição, se () ≤ ( ∈ [ ]) então R ≤(− ).

3.10. Teorema Fundamental do Cálculo

Seja uma função real contínua em [ ]. Então o integral () =R ()

é diferenciável neste intervalo e a sua derivada em cada ponto é igual ao valor

da função integranda em , (R )0() = () ( ∈ [ ]).

Dem. Temos, usando 3.6. (3), () − () =R () − R

() =R

(). Como é contínua em , temos o infinitésimo em , () = () −

()→→ 0 = (0). Substituindo, obtemos ()− () =R () + () =

()( − ) +R (), de modo que o teorema ficará provado se provarmos

que lim→(R ())(− ) = 0. Dado 0, certo 0 existe tal que para

∈ [ ] | − | se tem | () | logo para estes valores de e portanto,

para | − | , ∈ ( ), vem (R ())(− ) ≤ R

(− ) = c.q.d.

Recordar a oscilação () = sup| () − () |: ∈ e ( ) =inf( ( ) ∩ [ ]) : 0. Notemos que por (4) em Teorema 3.5., a

função : [ ]→ R é integrável à Riemann no intervalo [ ] se e só se ( )

é integrável eR () = 0

25

26

3.11. Teorema

Dada a função : [ ]→ R limitada e integrável à Riemann, se a derivada

R () existe no ponto de [ ] então é contínua no ponto .

Dem. Seja = lim→() (recordar 1.13.). Para cada 0, existe uma

partição = 0 1 = de [ ] tal que o integral superiorR ( − ()) ≤ P

=1 sup − () : ∈ (−1 ) + ≤ R () +

. AssimR +

( − ()) = 0; portanto | lim→0R +

() − |=|lim→0

R +

( − ()) |= lim0 = 0 e concluimos que =

R ().

Temos analogamente: Se = lim→() então dado 0, existe uma partição

()=0 de [ ],

R (() − ) ≤ P

=1 sup() − : ∈ (−1 ) + ≤R ()+; logo

R (()−) = 0 e também R +

(()−) = 0. Portanto

| lim→0R +

() − |=| lim→0R +

(() − ) |= lim0 = 0, e

assim =

R () =

R (). Concluimos da existência do integral à

Riemann, sendo = que é contínua em pelo Corolário 1.15., c.q.d.

Recorde-se ([Sarrico]) que dada uma função contínua : ⊂ R→ R, onde

é um intervalo aberto, possivelmente com um ambos os extremos −∞ ou +∞,pomos por exemplo se = [ ),

R = lim→

R e dizemos que o integralR

é convergente se o limite existe e é finito. Analogamente para o intervalo

= ( ]. Se = ( ), encontra-se que para os limites lim→

R +lim→

R

e lim→→

R + lim→

R existe um se e só se o outro existe e no caso

afirmativo, coincidem. Assim pondoR = lim→

R + lim→

R define-se

de modo coerente o integral. As definições estendem-se ao caso em que é

integrável em cada subintervalo fechado de , não necessariamente contínua.

Tem-se o resultado

3.12. Teorema Se ≥ 0 em [ ) e a função é integrável à Riemann em

cada intervalo [ ] onde , se além disso é limitada em [ ), então

o integralR é convergente.

Dem. De facto, supondo () ≤ ( ∈ [ )) encontramos que a funçãocrescente 7→ R

é limitada por ( − ) em [ ) e conclui-se o resultado

pelo teorema da função monótona.

26

27

3.13 Usando que se é contínua em [ ) então também são contínuas

no intervalo as funções + = max 0 e − = −min 0 = + − −,concluimos do teorema acima que se é contínua em [ ) e existe 0 tal

que | () |≤ ( ∈ [ )) então é integrável à Riemann no intervalo (o

integralR é convergente).

Recordando que a sucessão de funções reais (), as definidas sobre um

mesmo conjunto , se diz pontualmente (resp. uniformemente) convergente

para a função : → R se a sucessão ()→→∞ (), onde varia em

(resp. se a sucessão sup| () − () |: ∈ →→∞ 0, temos o resultado

em [Sarrico] (p. 279)

3.14 Teorema Se uma sucessão () de funções integráveis à Riemann em

[ ] converge uniformemente para a função em [ ], então é integrável à

Riemann em [ ] eR = lim→∞

R .

3.15 Mas por exemplo () = (0 ≤ 1) () = 0 (

1 ≤ 1) →

0 pontualmente,R 10 = 1 não converge para

R 100 = 0.

27

28

4 Desigualdades notáveis

4.1. Desigualdades de Hölder

(Hölder 1) Se 1 ∞ e =

−1 entãoP | |≤ (P | |)1(

P | |)1 para números reais ou complexos indiciados num conjunto contável.

Tomando os integrais no sentido de Riemann, para funções integráveis

de ( ) ⊂ R em R pode concluir-se de (Hölder 1) a desigualdade

(Hölder 2) Se 1 ∞ = −1

| R |≤ R

| |≤ (R

| |)1(R

| |)1, onde para = +∞ (resp.

= −∞, resp. ( ) = (−∞+∞)) se toma R +∞

= lim→+∞R (respR

−∞ = lim→+∞R − , resp.

R +∞−∞ =

R 0−∞ +

R +∞0

). Notar que o integral

de em ( ) ∈ R coincide com o integralR em [ ] se este existe, para

arbitrárias definições de () e ().

4.2. Desigualdades de Minkowski

(Minkowski 1) Se 1 ≤ ∞ são números reais ou complexos indicia-

dos num conjunto contável,

(P | + |)1 ≤ (

P | |)1 + (P | |)1

(Minkowski 2) Para funções integráveis à Riemann em ( ) 1 ≤ ∞

(R | + |)1 ≤ (R

| |)1 + (R

| |)1

28

29

4.3. Desigualdade de Jensen

Se 0 , ∈ C, (P | |)1 ≤ (

P | |)14.4. Desigualdade entre as médias geométrica e aritmética

(G-A 1) Para 1 ≥ 0 ∈ N tem-se ≤ onde

= 1

P=1 e =

√1 , com igualdade apenas se 1 = = =

(G-A 2) Deduz-se de (G-A 1) ([Ostrowski], p. 36, somente para os racionais) que se no contexto de (G-A 1) forem (1) () 0, = (1) +

+ (), então com

= 1

P=1 (), = (

(1)1

()

)1 tem-se ≤

A desigualdade é válida para quaisquer reais ≥ 0 () 0

(Esther Phillips, p. 50)

Se () ≥ 0 e 0, = 1 tem-se com Λ =P

=1 (),

(P

=1 ())ΛQ

=1 () ≤ (P

=1 ())Λ

29

30

5 Espaço métrico completo e espaço de Banach. E:V:T: e E:L:C:

EmR considera-se habitualmente a métrica euclideana ((1 ) (1 )) =qP=1( − )2 ( ∈ N).(R ) é um espaço métrico completo i.e., toda a sucessão de Cauchy

no espaço é convergente. Vemos que o subespaço métrico (Q ), subespaço

de (R ) não é completo, considerando por exemplo a sucessão de Cauchy de

números racionais (P

=0 1!) →→∞P∞

=0 1! = ∈ R\Q (se a sucessão

converge para um ponto no subespaço, então converge também para em

(R )).

Recordar que uma isometria : ( )→ ( ) entre os espaços métricos

é uma função de em tal que ( ) = ( ) para cada ∈ .

Que a imagem de se diz densa se cada ponto ∈ é um limite = lim,

( )→→∞ 0, certa sucessão () em .

5.1. Definição Dizemos que o espaço métrico completo ( e ) é um completamentodo espaço métrico ( ) se existe uma isometria bijectiva : ( ) →(() ) ⊂ ( e ) com imagem densa.

5.2. Seja ( ) um espaço métrico não completo. Consideremos, seguindo

[Heuser],

C() = () : () é de Cauchy em ( ), recordar ( )→→∞0. A relação binária ()˜() ⇔ ( ) →→∞ 0 é uma relação de

equivalência em C() obtendo-se o espaço cociente eC() = [()] : () ∈C() [()] = () ∈ C() : ()˜().Notando que | ( ) − ( ) |≤ ( ) pela condição (3) e us-

ando (2) obtemos, dadas () () ∈ C(), | ( ) − ( ) |≤| ( ) − ( ) | + | ( ) − ( ) | ≤ ( ) +

( ) →→∞ 0. Assim a sucessão real (( )) é de Cauchy e

podemos considerar (() ()) = lim ( ). Verifica-se facilmente que

a função é uma métrica em C(). Notemos que para () ∈ [()] é

(() ()) = 0; observar também que para () ∈ [()] () ∈ [()] setem

(() ())− (() ()) = (() ())− (() ()) + (() ())−(() ()) ≤ (() ()) + (() ()) = 0. Assim podemos considerar no

espaço cociente eC() a métrica e([()] [()]) = (() ()) = lim ( ).

30

31

Obviamente cada classe de equivalência contem possivelmente apenas um

elemento e = [()] onde () designa a sucessão constante igual a . Notemose = e : ∈ ⊂ eC(). A função : ( ) → ( e e) é uma isometriabijectiva. Temos que e é denso em (eC() e). De facto, dados um representante() de um elemento [()] em eC() e 0, existe uma ordem verificando

( ) ( ≥ ). A classe de equivalência e de ( ) = ()

está em e e e(e [()]) = (() ()) = lim→∞ ( ) ≤ . Também,

(eC() e) é um espaço métrico completo:

Seja ([()])∞=1 uma sucessão de Cauchy no espaço. Como vimos, e sendo

denso, corresponde a cada certo e ∈ e tal que e([()] e) ≤ 1. Tem-see(e e) ≤ e(e [()])+e([()] [() ])+e([() ] e) ≤ 1

+e([() [() ])+

1e assim os e formam uma sucessão de Cauchy. Seja e = e, e = ( )

com e = [( )]. Então ( ) = e( ) = e(e e) donde(1 2 ) é uma sucessão de Cauchy em ( ). Notemos [] = [(1 2 )] ∈eC(). Temos entãoe([()] []) ≤ e([()] e)+e(e []) ≤ 1

+e(e []) = 1

+lim→∞ ( )→→∞

0. Portanto lim→∞[()] = [] em (eC() e) que é assim completo.

5.3. Recordar que a função entre espaços métricos : ( ) → ( ) se

diz uniformemente contínua se satisfaz que para cada 0, certo 0 existe

tal que (() ()) para cada ∈ tais que ( ) . Dizendo-se

que é uma isometria se (() ()) = ( ) ( ∈ ), obviamente toda a

isometria é uniformemente contínua. Tem-se

5.4. Teorema ([Aliprantis e Burkinshaw], p. 36) Se 0 é um subespaço

denso do espaço métrico ( ) e a função : (0 )→ ( ) é uniformemente

contínua, então existe uma extensão única e : ( ) → ( ) e() = ()

( ∈ 0) que é uniformemente contínua.

5.5. No contexto acima em 5.2., encontra-se em [Aliprantis e Burkinshaw]

que sendo ( ) um qualquer espaço métrico completo contendo uma imagem

densa 0() onde 0 : ( ) → ( 0() ) ⊂ ( ), 0 uma isometria

bijectiva, então existe uma isometria bijectiva : (eC() e)→ ( ). De facto,

sendo : ( )→ (() b) ⊂ ( b) uma isometria bijectiva, () denso em( b) temos que −1 : (() b) → (() ) é uma isometria bijectiva,

−k1(()) = () denso em ( ), () denso em ( b). Utilizando queexiste uma extensão uniformemente contínua única de −1, : ( b) →( ) vemos facilmente que é uma isometria bijectiva entre ( b) e ( ).Obtivemos a

31

32

5.6. PROPRIEDADE Dado um espaço métrico não completo ( ), existe

um espaço métrico completo (eC() e) tal que para uma isometria bijectiva :( ) → ( e e) ⊂ (eC() e) se tem e denso em (eC() e). O completamento

(eC() e) é único a menos de uma isometria bijectiva.5.7 Recordar que a topologia do espaço normado ( kk) é a topologia asso-

ciada à métrica ( ) = k− k. Considerando o processo acima para obter ocompletamento de um espaço métrico, [Heuser] obtem o completamento do es-

paço normado como sendo um espaço de Banach contendo uma imagem densa

de isomorfa no sentido dos espaços normados. Onde por um isomorfismo

neste sentido entre ( kk) e ( kk ) se entende um isomorfismo vector-

ial verificando-se que existem constantes tais que kk ≤ kk e

k−1k ≤ kk ( ∈ ∈ ). Expomos em 6. um método usando sucessões

de Cauchy, apropriado aos espaços normados. Temos

5.8. PROPRIEDADE A cada espaço normado corresponde um espaço

normado completo (espaço de Banach) e, determinado univocamente a menosde um isomorfismo de espaços normados que contem como subespaço denso.

5.9 Verifica-se facilmente que se é um conjunto não vazio, então o conjunto

() das funções reais limitadas sobre , algebrizado para as operações de

soma ( + )() = () + () e produto escalar ()() = () ( ∈ R) éum espaço vectorial real. Também a função kk = sup| () : ∈ é umanorma sobre e ( kk) é um espaço de Banach. Encontra-se em [Aliprantis e

Burkinshaw] uma demonstração (p. 37) e a obtenção do completamento de um

espaço métrico utilizando o espaço ().

5.10. Se é um espaço topológico, o subconjunto () de () formado

pelas funções contínuas é fechado e tem a propriedade de que para ambas

funções contínuas em , as funções ( ∨)() = max() () e ( ∧)() =min() () serem ainda contínuas em . () é um espaço de Banach.

32

33

5.11. Um espaço vectorial real munido de uma ordem parcial≤ verificandoas condições + ≤ + para cada ≤ ( ∈ ) e ≥ 0 se ≥ 0e é um real não negativo, diz-se um espaço vectorial ordenado ([Zaanem],

[C. Aliprantis e Burkinshaw]). Se adicionalmente existem ∨ = sup e ∧ = inf para cada ∈ então diz-se um reticulado vectorial

([Aliprantis e Burkinshaw]. Diz-se que um espaço normado ordenado (um espaço

de Banach ordenado) é um reticulado normado (um reticulado de Banach) se

pondo | |= ∨ (−) se verifica kk ≤ kk sempre que | |≤| |. Ambos() e () (em particular o subespaço () das funções contínuas sobre

, se é compacto) são reticulados de Banach.

5.12. Seguindo [Megginson], dizemos que a sucessão (), : = 1 2 um conjunto linearmente independente (ver [Taylor and Lay]) no espaço de

Banach ( kk) é uma base de Schauder se para cada vector em existe uma

sucessão única de escalares () tal que =P∞

=1 , onde a série converge

em norma. Facilmente se conclui que existe então em uma base normalizada

em que cada kk = 1.5.13. Verifica-se que cada projecção de ordem ,

P∞=1 =

P=1

é um operador linear contínuo e que o funcional kP∞=1 k = supkP=1 k :

= 1 2 é uma norma equivalente sobre o espaço. Notamos por o range

de .

5.14. Os espaços = () ∈ :P∞

=1 | | ∞ 1 ≤ ∞, sãoexemplos de espaços de Banach com bases de Schauder.

Os espaços normados dão por sua vez exemplos de espaços vectoriais topológi-

cos.

5.15. Definição (Seguindo [Taylor and Lay]) Sendo um espaço vectorial

real ou complexo, munido de uma topologia T satisfazendo que a soma vectorial : × → ( ) 7→ + é contínua, considerando no produto cartesiano a

topologia produto e, também o produto escalar : K× → ( ) = é

contínuo (considerando a topologia produto sobre o produto cartesiano, onde K

é munido da topologia usual), dizemos que a topologiia T é vectorial e ( T )ou somente , é um espaço vectorial topológico (e.v.t.).

33

34

5.16. Dizemos que o subconjunto do espaço vectorial é absorvente se

para cada ∈ , existe () 0 tal que ∈ = : ∈ para cadaescalar | |≥ (). E dizemos que o subconjunto é equilibrado (resp.

convexo, resp. um disco) se[ :| |≤ 1 ⊂ (resp. se (1 − ) + ∈

para cada ∈ [0 1] ∈ ∈ , resp. se é equilibrado e convexo).

5.17. Propriedade A topologia T sobre o espaço vectorial é vectorial se

e só se tem uma base de vizinhanças de zero (base em zero) B formada porconjuntos equilibrados e absorventes e tal que, para cada ∈ , existe ∈

verificando + = + : ∈ ⊂ .

5.18. Propriedade O e.v.t. é separado se e somente se para cada 6=0 ∈ , certa vizinhança de zero existe tal que ∈ .

Para subconjuntos não vazios do espaço vectorial , notamos + =

+ : ∈ ∈ e designamos + = + ∈ um subconjunto

não vazio de .

5.19. Como consequência da definição, as translações 7→ + ( fixo,

∈ ) e as homotetias 7→ de razão 6= 0 são homeomorfismos de em

. + : ∈ B é uma base de vizinhanças de se B é uma base em zero.

Também se 6= 0, é uma vizinhança de zero para cada vizinhnça de zero .

5.20. Observação se é um subconjunto convexo do espaço vectorial ,

0 então dados ∈ temos + = (+ )( +

+ +

) ∈ (+ ).

Sendo óbvia a inclusão

(+ ) ⊂ + , conclui-se + = (+ ) .

5.21. Definição Dizemos que o e.v.t. é um espaço localmente convexo (que

a topologia vectorial do espaço é localmente convexa, é um e.l.c.) se existe

uma base em zero formada por conjuntos convexos.

34

35

5.22. Usando que a intersecção de uma classe de conjuntos convexos é um

conjunto convexo, podemos considerar, dada uma base em zero V no espaço

localmente convexo formada por conjuntos convexos, certa vizinhança de

zero equilibrada contida em , para cada em V. Então o conjunto =

P=1 : ≥ 0

P=0 = 1 ∈ é um disco.contendo , donde é uma

vizinhança de zero contida em . Assim todo o espaço localmente convexo tem

uma base em zero formada por discos absorventes.

Recordar que uma função real não negativa sobre o espaço vectorial real

se diz uma seminorma sobre se tem as propriedades () =| | () e( + ) ≤ () + () ( ∈ ∈ R). Dado um disco absorvente em

, tem-se ([Rudin2]) que o funcional de Minkowski () = () = inf

0 : ∈ é uma seminorma sobre . Pondo = ∈ : () 1 e[ ] = ∈ : () ≤ 1 tem-se ⊂ ⊂ [ ], como se verifica facilmente.5.23. Na notação anterior, dizemos que é a semibola unidade aberta de

, [ ] a semibola unidade fechada. A semibola aberta de centro e raio

relativa a é ( ) = ∈ : ( − ) = + , à semelhança da

bola aberta num espaço normado. Tem-se que a seminorma é contínua se e

só se é contínua em zero, o que tem como consequência

5.24. A seminorma , onde é um disco absorvente é contínua se e

somente se é uma vizinhança de zero.

5.25. A sucessão generalizada (ver [Armando Machado]) () no e.l.c.

converge para o ponto se só se = − → 0 o que siginifica que para

cada disco vizinhança de zero , existe certo índice () verificando-se ∈

desde que  (); ou, equivalentemente, () 1 para cada  (), certo

índice ().

35

36

5.26. Propriedade A topologia de um e.l.c. é definida pela classe das

seminormas contínuas que são os funcionais de Minkowski de uma base em

zero.

Dem. Conclui-se de 5.23., 5.22., 5.21 e anteriormente.

5.27. Definição A sucessão generalizada ([ArmandoMachado]) () no e.v.t.

diz-se que é de Cauchy se satisfaz que para cada vizinhança de zero , certo

índice ( ) existe tal que − ∈ desde que  ( ). Se cada sucessão

generalizada de Cauchy é convergente,dizemos que o e.v.t. é completo.

5.28. Encontra-se em [Köthe] como o contexto próprio geral para a definição

e propriedades de espaço completo é o das estruturas uniformes (que se podem

considerar nos espaço métricos, como também nos e.v.t.). Também aí se expõe

que todo o e.v.t. separado tem um completamento único a menos de um home-

omorfismo uniforme; que é um e.v.t. separado ainda e, é um e.l.c. se o e.v.t.

considerado é um e.l.c.

5.29. Um e.v.t. diz-se metrizável se existe uma métrica em tal que a

topologia do espaço é a topologia associada à métrica . Pode sempre considerar-

se que é invariante por translação i.e., ( ) = (+ +) ∈ . Tem-se

então que é completo se e só se cada sucessão de Cauchy em é convergente.

5.30. Definição Dizemos que um e.l.c. metrizável completo é um espaço de

Fréchet.

.

36

37

6 Um integral geral

6.1. Definição Seguindo [Lang], dado um conjunto , dizemos que a colecção

A de subconjuntos de é uma -álgebra sobre se ∈ A, = \ ∈ Apara cada ∈ A e se considerando uma qualquer classe contável de subconjun-tos em A, se tem

∞[=1

∈ A. Os conjuntos em A dizem-se os conjuntos

mensuráveis no espaço mensurável (A).6.2. Observação Verifica-se sem dificuldade que a intersecção não vazia de

qualquer classe de -álgebras sobre é ainda uma -álgebra sobre . Deste

modo, sendo P() uma -álgebra, a interseção da classe das -álgebras con-

tendo uma -álgebra dada, não é o conjunto Universo da teoria. Temos que dada

uma qualquer classe C de subconjuntos de , podemos considerar a intersecçãodas -álgebras contendo C, que se diz a -álgebra gerada por C.

6.3. Exemplo Sendo um espaço topológico, a -álgebra sobre gerada

pela topologia diz-se a -álgebra dos borelianos de .

6.4. Observação Dadas uma -álgebra A sobre e uma função : → ,

a classe ⊂ : −1() ∈ A é uma -álgebra sobre .6.5. Definição Dados um conjunto e uma -álgebra A sobre , dizemos

que a função : → [0∞] é uma medida sobre A se verifica as condições

() = 0 e (

∞[=1

) =P∞

=1 () para cada classe disjunta : =

1 2 de conjuntos em A. i.e., tal que ∩ = para 6= . Dizemos que

(A ) (ou somente ) é um espaço de medida. Aqui pomos ≤ ∞ +∞ =

∞ ( ∈ [0∞]) e 0∞ = 0.

6.6. Definição Dados espaços mensuráveis (A), (A ), dizemos que a

função : → é mensurável se −1() ∈ A para cada ∈ A .

37

38 6.7. Observação Notar que se é um espaço topológico, é um espaço

mensurável e a função : → verifica que −1() é mensurável para cadaaberto em , então considerando sobre a -álgebra dos borelianos (6.3.), a

função é mensurável dadas as propriedades da função associada de conjkuntos

inversa −1 : ( )→ P() −1() = ∈ : () ∈ ( ⊂ ). Também

considerando um espaço topológico e a -álgebra dos borelianos sobre ,

cada função contínua de em é mensurável.

6.8. Definições 1. Sendo um espaço mensurável e um conjunto não

vazio, dizemos que a função : → é uma função simples se toma apenas um

número finito de valores 1 e cada subconjunto = ∈ : () = ( = 1 ) é mensurável. Assim, dada a função simples : → , é a

reunião disjunta (de conjuntos dois a dois disjuntos) de conjuntos mensuráveis

=

[=1

se =P

=1 , notando () = 1 ( ∈ ) e () = 0

( ∈ ) a função característica de. 2. Dadas a -álgebraA sobre e a medida

sobre A, sendo uma função simples, dizemos que R =

P=1

() é

o integral de em .

6.9. Encontramos em [Lang] analogamente a 5. Toma-se por completamen-

nto de um par ( e) onde ( e kk) é um espaço de Banach e : → e é umaaplicação linear contínua injectiva tal que () é denso em e e k()k = kkpara cada ∈ . Começamos por ver que se () é outro completamento

de , então existe um isomorfismo de espaços normados (5.7.) : e →

tal que = . De facto, a aplicação linear −1 : () → () ⊂

é contínua, donde tem uma extensão linear contínua única a e com valores

em . Analogamente, a aplicação linear contínua −1 : () → () ⊂ etem uma extensão linear contínua : → e. Temos que actua como

a identidade sobre , e assim se → ∈ e ∈ , temos pela definição

das extensões lineares contínuas que () → () = donde = e analogamente = . Assim : e → é um isomorfismo vectorial

e, recordando a caracterização dos operadores lineares contínuos entre espaços

normados, é um isomorfismo de espaços normados. Certamente = . Parae, seja o espaço vectorial S formado pelas sucessões de Cauchy em . Con-

sideremos o funcional em S dado por k()kS = lim kk , já que sendo ()uma sucessão de Cauchy, a sucessão real (kk) é de Cauchy e assim é con-

vergente. Temos que kkS é uma seminorma sobre S. A relação ()˜()

em S dada por ()˜() se e só se existe um infinitésimo () = tal que

= +, = () = () é uma equivalência.Pondo e a classe de = (), se = ()˜() temos k()kS = k()kS . Deste modo, podemos pôr kek = kkS ,independentemente da particular sucessão de Cauchy na classe a que pertence,e = [()] () = . Obtendo que kk é uma norma no espaço cociente e = S˜algebrizado para e+e = ] + e e = e um escalar. Associamos a cada ∈

a classe de equivalência da sucessão constante []. : → e é linear e con-

serva as normas.

38

39

Para e = (), é ke− []k = lim→∞ k(1 2 3 )−( )k = 0e () é denso em e.Provemos que e é completo. Seja (e) uma sucessão de Cauchy no espaço.

Para cada , existe ∈ tal que ke − k ≤ 1, já que () é denso.

Dado 0, existe um número natural () tal que k−ek ( ≥ ()) e

ke−ek se ≥ (); temos então, para ≥ () que k−k =k−k ≤ k−ek+ ke−ek+ ke−k 3, o que mostra que() é de Cauchy.Sendo então = () temos, para suficientemente grande,

ke − ek ≤ ke − k+ k − ek 2, e concluimos que e é completo.

6.10. Observação Se acima o espaço é apenas seminormado i.e., se kké uma seminorma sobre , podemos considerar o subespaço 0 = ∈ :

kk = 0 e, o funcional k+0k = kk é uma norma sobre o espaço cociente0 como se conclui facilmente. Obtemos ainda o espaço S e e. Temos que aaplicação linear : → e tem agora por kernel o subespaço 0 e deste modo,

se é seminormado,o completamento de é o espaço de Banach que é obtido

como completamento do espaço cociente 0. Assim, sendo seminormado

não separado completo, não coincide com o seu completamento, que é um espaço

de Banach.

6.11. Definição Sendo um subconjunto mensurável do espaço de medida

(A ) e : → uma função simples, considerando a função simples

: → () = () ( ∈ ) e () = 0 ( ∈ ), o integral de em é

por definiçãoR =

R.

6.12. Observação Tem-seR(+ ) =

R+

R, como con-

cluimos da definição; temos que se são subconjuntos mensuráveis disjuntos

de , então, uma vez que ∪ = + , vemR∪ =

R+

R.

Acima e no que segue supomos (A ) um espaço de medida e um

espaço de Banach.

6.13. Definição Dizemos que uma função simples da forma em 6.11.,

onde é um conjunto de medida finita, é uma função em escada. Assim =P=1

onde para cada 6= 0, () = ⇔ ∈ , temos () ≤ ()

∞ (pois () ≤ () + (\) = () ∞).

39

40

6.14. Definição Dizemos que o subconjunto mensurável de é -finito se

é uma reunião contável de suconjuntos de medida finita. Dizemos ainda que

é -finita sobre (-finita, se = )

6.15. Todo o subconjunto -finito é uma reunião contável disjunta de con-

juntos de medida finita.

6.16. Definição Dizemos que a função : → é -mensurável se existem

um subconjunto de com medida zero e uma sucessão de funções em escada

() tal que ()→→∞ () para cada ∈ \ (dizemos que é o limite

pontual das funções q.t.p. como abreviatura de em quase toda a parte)

É para as funções -mensuráveis que [Lang] define o integralR,

como expomos resumidamente de seguida. Em M7. (p. 117) prova que o

limite pontual de funções mensuráveis é uma função mensurável. Assim toda a

função -mensurável é mensurável. Também em M8. mostra que se a dimensão

de é finita, então existe, para cada função mensurável : → , uma

sucessão de funções simples convergente pontualmente para . Para as funções

-mensuráveis tem-se, com arbitrário ( M11., p. 124) a

6.17. Propriedade A função : → é o limite pontual q.t.p. de uma

sucessão de funçóes em escada (é -mensurável) se e somente se é nula excepto

sobre um subconjunto -finito de , também se verificando além disso que

existe um conjunto de medida zero de tal que a restrição de a \ é

uma função mensurável e o conjunto imagem (\ ) é separável.

6.18. Definição [Lang] define, sendo =P

=1 uma função em escada,

o integral de em como sendo o vectorP

=1 () ∈ .

6.19. O limite pontual q.t.p. de uma sucessão de funções -mensuráveis é

uma função -mensurável.

Dem. Ver [Lang], pp. 125-6.

40

41

6.20. Tem-se que o conjunto E() das funções em escada de em é um

espaço vectorial. Podemos considerar sobre E() a seminorma kkE =Rkk

(definido analogamente o integral para o caso particular = R).

6.21. Observação Notemos que kkE = 0 se e só se = 0 q.t.p.Para estender o integral em E() às funções -mensuráveis, [Lang] considera

o completamento 1() de E() e estabelece os dois lemas seguintes.6.22. Lema fundamental da integração

Seja () uma sucessão de Cauchy em (E() kkE). Então existe uma função : → tal que () = lim→∞ ()() q.t.p., para uma subsucessão (())

de (). Para cada 0, existe um conjunto () de medida menor que tal

que se verifica a convergência sup k() ()−()k : ∈ \ ()k→→∞ 0.Notemos que a função é -mensurável por 6.19. Também , na notação

de 6.9., identifica-se com lim→∞ () ∈ 1().

Dadas funções = lim = lim como em 6.22., onde as estão

em E(), temos + = lim( + ) e = lim ( um escalar), com

+ e sucesões de Cauchy em (E() kkE). Assim o conjunto L1()destas funções é um espaço vectorial.

6.23. Lema Sejam () e () sucessões de Cauchy em E() convergindoq.t.p. para a mesma função em L1(). Então as sucessões (

R) e

(R) são ambas convergentes e para o mesmo limite.

6.24. Notar que pela construção do completamento, os elementos de 1()

se identificam com as classes de equivalência [ ] = ∈ L1() : k − kE =0 ∈ L1(). Também para ∈ 1(), pomos kk1 = lim kkE =

Rkk.

Dizemos que as funções em 1() são as funções integráveis. [Lang] põe entáo

41

42

6.25. Definição Dada a função = lim q.t.p. em L1(), () umasucessão de funções em escada de Cauchy em E(), o integral de em

(relativo a ) é o limiteR = lim

R em .

6.26. Se é uma função integrável, identificável com um elemento de L1()e lim () = () q.t.p., as funções em E(), onde () é de Cauchy em(L1() kk1), dizemos que é aproximável pela sucessão (). Temos

6.27. Se a função é aproximável pela sucessão (), então kk é aprox-imável por (kk) e

Rkk = lim

Rkk = lim kk1. Das desigualdades

k Rk ≤

Rkk concluimos k

Rk ≤ R

kk.

6.28 Notar que cada sucessão de Cauchy em (L1() kk1) tem limite em

L1().6.29. Proposição se a sucessão () em L1( ) é de Cauchy em L1() e

converge q.t.p .para a função , entãoR→

R.

Dem. Conclui-se da Definição 6.25. Notar que o exemplo em 3.15. (R[01]

2− ≥ 12) mostra que a hipótese de () ser de Cauchy para a seminorma kk1é necessária.

6.30. Observação A aplicação linear integral 7→ R de L1() em é

contínua como consequência da desigualdade em 6.27.

6.31. Notemos que pelas definições, se ∈ L1() então a função () =

() ( ∈ ), () = 0 ( ∈ ) está também em L1() para cada conjuntomensurável . Sendo, para dois tais conjuntos disjuntos , a função ∪ = + , que

R∪ =

R+

R, pela linearidade do integral.

6.32. Notar que se conclui, estendendo por continuidade a respectiva pro-

priedade para funções em escada, que se : → é um operador lin-

ear contínuo, especificando os espaços pela indicação do espaço imagem, que

podemos considerar o operador linear contínuo de L1( ) em L1() dadopor 7→ . Teremos

R =

R.

42

43

Se a sucessão () converge q.t.p.para a função , 3.15., mostra que pode

não se ter k− k1 → 0. Uma forma da recíproca é válida ([Lang], p.p.138-9):

6.33. Teorema Seja () uma sucessão convergente para a função em

(L1() kk1). Então existe uma subsucessão da sucessão convergente para

q.t.p. Além disso, dado 0, existe um conjunto de medida menor que

tal que a convergência é uniforme em \ .

Têm-se os seguintes resultados em [Lang].

6.34. Dada a função em L1(), sendo 0, o conjunto = ∈ :

k()k ≥ tem medida finita. Além disso, anula-se no complementar de

um conjunto -finito.

6.35. Teorema A função mensurável está em L1() se e só se kk está em1(R). Se existe ∈ L1() tal que ≥ 0 e kk ≤ então ∈ L1().6.36. Teorema Seja () uma sucessão em L1() que converge q.t.p. para a

função . Se existe ≥ 0 tal que kk1 ≤ ( = 1 2 ) então ∈ L1() ekk1 ≤ .

6.37. Corolário Seja () uma sucessão em L1() tal que P∞=1 kk éconvergente. Então a série () =

P∞=1 () converge q.t.p., a função eatá

em L1() e R =

P∞=1

R.

6.38. Corolário Sendo ∈ L1(), dado 0, existe um conjunto de

medida finita tal que k R− R

k .

6.39 Teorema da média Seja ∈ L1() e seja um subconjunto fechado

de ; suponhamos que para todos os subconjuntos mensuráveis com medida

finita positiva se tem 1()

R ∈ . Então, se 0 ∈ ou se é -finito,

tem-se que () ∈ q.t.p.

6.40.Corolário Se ∈ L1() e R = 0 para todo o conjunto de medida

finita, então = 0 c.t.p.

43

44

7 A medida de Lebesgue em R

7.1. Definição (Seguindo [Aliprantis e Burkinshaw]) Dado o conjunto não

vazio , dizemos que a classe S de suconjuntos de é um semi-anel sobre

se verifica as seguintes condições:

1. ∈ S2. Dados ∈ , tem-se ∩ ∈ S3. Para cada dois conjuntos em S, existe uma família finita de conjuntos

em S dois a dois disjuntos 1 satisfazendo \ =

[=1

.

Diremos que uma reunião contável de conjuntos dois a dois disjuntos no

semi-anel S é um conjunto-.

7.2. Definição Convencionando-se ≤ ∞ e +∞ =∞ ( ∈ [0∞]), dizemosque uma função : S → [0∞] com as propriedades () = 0 e (

∞[=1

) =

P∞=1 () para cada conjunto-

∞[=1

é uma medida para o semi-anel S.

7.3. Exemplo Verifica-se sem dificuldade que a classe S = [ ) : ≤ ∈ R é um semi-anel S sobre R. A função : S → [0∈ ∞] definida por([ )) = − é uma medida para S como mostra [Aliprantis e Burkinshaw](p. 82).

Encontra-se na mesma referência que generalizando o caso = 1, a classe

S = Y=1

[ ) : ≤ ∈ R é um semi-anel sobre R . E prova-se

por indução em que a função

44

45

(

Y=1

[ )) =

Y=1

( − ) é uma medida para este semi-anel.

7.4. Definição Dizemos que uma função : P() → [0∞] é uma medidaexterior sobre se tem as propriedades seguintes:

1. () = 0

2. se ⊂ então () ≤ ()

3. para cada sucessão () de subconjuntos de,(

∞[=1

) ≤P∞

=1()

Distinguem-se então os subconjuntos de que satisfazem a relação

() = ( ∩ ) +( ∩ ) para todo o conjunto ⊂ , que se chamam

os conjuntos -mensuráveis.

Prova-se que todo o conjunto de medida zero é -mensurável e que se tem

7.5. Propriedade Os conjuntos -mensuráveis constituem uma -álgebra

sobre (rever 6.1.). Além disso, a medida exterior tem as propriedades de

uma medida sobre a -álgebra dos conjuntos -mensuráveis.

Dem. Ver [Aliprantis e Burkinhshaw], pp. 87-8.

7.6. Observação Encontramos também a seguinte forma simples de obter

medidas exteriores sobre um conjunto:

Dada uma classe F não vazia de subconjuntos de e, uma função : F →[0∞], definindo : P() → [0∞] por () = 0 e () = infP∞=1 () :

∈ F ⊂∞[=1

para 6= e com inf =∞, tem-se que é uma medida

exterior sobre .

45

46

7.7. Teorema Se no contexto da Observação 7.6. anterior, a classe F é um

semi-anel sobre e é uma medida para o semi-anel, então relativamente à

medida exterior obtida, todo o conjunto em F é-mensurável e() = ()

para cada conjunto em F .

7.8. Definição Considere-se a medida para o semi-anel So em 7.3.

Aplicando o teorema anterior, a medida exterior obtida como em 7.6., 7.7.

é uma medida para a -álgebraM dos conjuntos -mensuráveis (que inclui

todos os produtos cartesianos

Y=1

[ ) por 7.7.). A -álgebra M é a -

álgebra dos conjuntos mensuráveis à Lebesgue e é a medida de Lebesgue em

R .

7.9. Oservação O espaço de medida (R M ) é -finito, já que R é a

reunião contável dos conjuntos mensuráveis

Y=1

[− ) de medida finita Tem-se

como consequência (p.94 na referência que consideramos):

7.9. Propriedade A medida de Lebesgue em R é a única medida para a

-álgebraM que coincide com sobre o semi-anel S .

7.10. Recordar que a topologia usual deR é a topologia associada à métrica

do máximo ((1 ) (1 )) = max| − |: 1 ≤ ≤ ,para a qual cada conjunto aberto é runião de bolas abertas ((1 ) ) =Y=1

( − + ). Esta topologia tem a base contável de abertos constituída

pelas bolas abertas de centros em vectores de coordenadas racionais e raios

racionais. Assim cada aberto é uma reunião contável de conjuntos da forma

((1 ) ) =

Y=1

(− +) 0 ∈ Q; por sua vez, temos que cada

46

47

((1 ) ) =[

Y=1

[ − + 1() + ) : () ∈ () ⊂N onde

para cada , o conjunto dos conjuntos [−+1() +) : () ∈ () ⊂N é contável, sendo portanto contável o conjunto dos produtos cartesianosfinitos destes conjuntos. Deste modo, cada tal produto cartesiano sendo um

conjunto mensurável (7.8.) e sendo a classe dos conjuntos mensuráveis uma

-álgebra pela Propriedade 7.5., cada conjunto aberto em R é mensurável.

Portanto a -álgebraM contem os borelianos de R .

7.11. Pondo + = + : ∈ ( ∈ R 6= ⊂ R ), certamente

(+ ) = () para cada ∈ , donde também (+) = ()

( ∈M ), o que se traduz dizendo que a medida de Lebesgue em R é invari-

ante por translação. Outras propriedades da medida de Lebesgue prendem-se

com a seguinte definição.

7.12. Definição Se a medida está definida nos borelianos do espaço topológico

( T ) e tem as propriedades

1. () ∞ para cada compacto

2. sendo um boreliano, () = inf() : ∈ T ⊂ 3. se é um conjunto aberto, designando por K a classe dos subconjuntos

compactos, () = sup() : ∈ K ⊂ ,dizemos que é uma medida de Borel.

7.13.Propriedade A medida é uma medida de Borel.

Dem. Ver [Aliprantis e Burkihshaw], p 112.

Encontramos também na mesma referência

7.14. Se é uma medida de Borel em invariante por translação, então

existe 0 tal que () = () ( ∈M ).

47

48

7.15. Uma vez que cada conjunto com medida de Lebesgue zero é mensurável

(reveja-se antes de 7.5.) e, existindo pelo menos um conjunto mensurável C demedida de Lebesgue zero, com o cardinal do continuo (o conjunto de Cantor,

pp. 31-34, 115-116) concluimos com [Rudin] (p. 55) que existem conjuntos men-

suráveis à Lebesgue que não são borelianos. Pois a classe S sendo contável e,

sendo cada boreliano um conjunto da forma[\ : ∈ S =

1 2 , o cardinal da classe dos borelianos não excede o cardinal do contínuoc; enquanto o cardinal do conjunto P(C) é 2c .Existem também ([Rudin]) sub-

conjuntos de R que não são mensuráveis à Lebesgue.

8 O integral de Lebesgue para funções reais da variável em R .

Expomos os resultados para funções da variável em R , válidos para a

variável num espaço de medida seguindo [Rudin].

Começamos, seguindo [Rudin], por considerar o integral para uma função

simples : R → R. Revendo em 6.8., : R → R é uma função simples

se é da forma =P

=1 onde cada é um conjunto mensurável e

() = 1 ( ∈ ), () = 0 ( ∈ ) é a função característica do conjunto .

Consideramos sobre R a -álgebra dos conjuntos mensuráveis à Lebesgue e a

medida de Lebesgue como em 7

Recordando a definição de função mensurável em 6.8. e 6.16., temos que

uma função : R → R é mensurável (i.e., −1() é um conjunto mensurávelpara cada aberto de R munido da topologia usual) se e só se é o limite q.t.p.

de uma sucessão de funções simples. Temos no conjunto imagem de a ordem

em R e, [Rudin] considera o integral utilizando a ordenação. Uma propriedade

que prova inicialmente é a seguinte. As funções -mensuráveis em [Lang] são,

identificando funções iguais q.t.p., as funções mensuráveis que se anulam no

complementar de um conjunto mensurável , com de medida zero.

8.1. Propriedade Se : R → [0∞] é uma função mensurável, existe umasucessão () de funções simples tal que 0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ ≥ e () → ()

( ∈ R ).

Dada então a função simples =P

=1 e dado ∈ M (rever a

Definição 7.8.), 6= o integral de em éP

=1 ( ∩).

48

49

8.2. Verifica-se que no contexto de 8.1., a sucessãoR é crescente e

põe-seR = sup

R tomando o sup na classe das funções simples

0 ≤ ≤ .

8.3. Pela definição, dada : R → [0∞] mensurável e ∈ temosR =

RR . Pode tomar-se, dada : → [0∞] mensurável,

considerando sobre a -álgebra ∩ : ∈ M, = 0 sobre R\.Assim os resultados para o integral sobre R estendem-se ao integral sobre um

arbitrário conjunto mensurável, em princípio.

8.4. Teorema da convergência monótona de Lebesgue

Se () é uma sucessão de funções mensuráveis em R , 1 ≤ 2 ≤ ≤ e

()→ () ( ∈ ) então é mensurável eRR →

RR .

8.5. Corolário Dadas funções mensuráveis : R → [0∞] = 1 2 e

() =P∞

=1 () ( ∈ R ), tem-seRR =

P∞=1

RR .

8.6. Observação Se bem que neste parágrafo se faça o estudo do integral

relativamente à medida de Lebesgue em R , os resultados anteriores, bem

como os que seguem, mantêm-se válidos para funções reais sobre um espaço

de medida geral. Aplicando 8.5 à medida de contagem : P()→ [0∞], paraa qual () é o cardinal do conjunto , obtemos que se ≥ 0 ( = 1 2 )então

P∞=1

P∞=1 =

P∞=1

P∞=1 .

Prova-se o importante resultado, relativo à ordem no espaço imagem

8.7. Lema de Fatou Se cada função : R → [0∞] é mensurável, = 1 2 então

RR lim inf ≤ lim inf

RR .

49

50

Cada função mensurável : R → [0∞] permite considerar uma medidasobreM , tendo-se ([Rudin], p. 27)

8.8. Se a função : R →→ [0∞] é mensurável então () =R

( ∈M) define uma medida eRR =

RR .

Obtido o integral para funções positivas da variável real, [Rudin] pode con-

siderar o integral para funções reais ou complexas, considerando, dada :

R → R, as funções +() = max() 0 e −() = −min() 0. Tem-se = + − −, | |= + + − e sendo estas funções mensuráveis se é

mensurável, põe

8.9 Definição Dada a função mensurável : R → C, diz-se que é

integrável seRR | | ∞. Pomos então R

R =RR Re

+ −RR Re

−+RR Im +−

RR Im − . O espaço

1( ) é o espaço

vectorial complexo destas funções integráveis.

8.10. Observação Toda a função -mensurável no sentido de [Lang] sendo

mensurável para [Rudin] e descobrindo-se a Propriedade 8.1., as funções reais

integráveis no espaço L1( ) para [Lang] estão no espaço 1( ). Assim

1( ) ⊃ L1(), para os espaços reais. Também dados ∈ 1( ) e o

conjunto ∈ M () ∞, a função está em L1( ). Se o es-paço de medida (A ) verifica () ∞ ( é de medida finita) então

L1() = 1(); no caso geral L1() ⊂ 1(), espaços de funções reais.

8.11. O integral para funções reais ou complexas, continua verificando a

linearidade. Temos, na generalidade, se ∈ 1( ) e ∈ C,RR ( + ) =

RR +

RR , valendo ainda a igualdade

para os integrais sobre um conjunto mensurável à Lebesgue .

Destaca-se ainda o teorema da convergência dominada de Lebesgue 8. 12.

50

51

8.12. Seja () uma sucessão de funções mensuráveis reais ou complexas

tal que existe o limite lim→∞ () = () em cada ponto . Se existe uma

função ∈ 1( ) tal que | () |≤ (), = 1 2 então ∈ 1( ),

lim→∞RR | − | = 0 e lim→∞

RR =

RR .

8.13. Observação Dado um espaço de medida geral (), o resultado

em 8.12. é válido; conforme referimos.Concluimos também, conforme a 8.10.,

que se as funções reais estão em L1() e a função em 8.12. é nula no

complementar de um conjunto de medida finita então ∈ L1() e coincidindoos integrais segundo [Lang] ou [Rudin], as igualdades para os limites dos integrais

considerados sobre mantêm-se.

9 A medida e o integral de Lebesgue para funções reais segundo [Kolmogorov

e Fomin]. Diferenciação.

Em [Kolmogorov e Fomin] encontramos uma exposição geral da teoria orig-

inariamente devida a Lebesgue, em que os conceitos de função real mensurável

coincidem com o anterior. A definição do integral é feita de modo diferente,

resultando que cada função mensurável é integrável. No contexto da medida de

Lebesgue em R como em 7., as funções da variável em R que são limitadas

e -integráveis em 6. são integráveis no sentido de [Kolmogorov e Fomin].Tal

como [Rudin] em 8., os resultados fundamentais utilizam a ordem no espaço

imagem R.

Consideremos um espaço de medida (S ) no sentido de 6., em que Sé um semi-anel verificando a condição adicional ∈ S (semi-anel unitário, naterminologia de [Kolmogorov e Fomin]). Os autores consideram que () ∈[0∞) ( ∈ S) e é -aditiva i.e., (

∞[=1

) =P

() sempre que os

conjuntos em S são dois a dois disjuntos (supondo finitos ambos os termos).Para a medida exterior ∗ gerada por põe-se ∗() = infP () : ⊂∞[=1

∈ S. A definição de conjunto L-mensurável é então

9.1. Definição No contexto acima, dizemos que o subconjunto ⊂ é

L-mensurável se para cada 0 existe ∈ S tal que ∗(∆) . Aqui,

∆ = (\) ∪ (\).

51

52

Têm-se então os resultados (pp. 262-264):

9.2. Teorema A classe dos conjuntos L-mensuráveis é uma -álgebraM sobre

contendo S. A função que é a restrição de ∗ a M é uma medida para M.Tomando para S o segundo exemplo em 7.3., obtemos a -álgebra dos conjuntosmensuráveis à Lebesgue e a medida de Lebesgue.

Continuando a tomar como mensurável cada função entre espaços de medida

cuja imagem inversa de cada conjunto mensurável é um conjunto mensurável,

para [Kolmogorov e Fomin], uma função simples é uma função mensurável cujo

conjunto imagem é contável, podendo ser infinito. Para precisar uma distinção,

chamamos a estas funções de contavelmente valoradas. Temos então os seguinte

resultados (Teorema 4., pp. 274-5 e Teorema 2., pp. 282-3)

9.3. Se a função é limite pontual de uma sucessão de funções mensuráveis,

então é mensurável.

Dem. Seja () → () ( ∈ ) onde cada função é mensurável.

Notando que é mensurável se e somente se o conjunto ∈ : () ∈Mpara cada ∈ (pois é mensurável se e só se − é mensurável, se a condiçãose verifica então ∈ : () é mensurável), temos ∈ : ()

=[

[

\

∈ : () − 1 donde concluimos que este conjunto

está em M. De facto, se () , existe tal que () − 2; para umtal , encontra-se suficientemente grande para o qual () − 1 desdeque . Reciprocamente, se está no conjunto representado em termos de

reunião e intersecção, existe tal que qualquer que seja o suficientemente

grande, temos () − 1 e considerando o limite quando → ∞concluimos () .

Encontramos o Teorema 2. (pp. 282-3):

9.4. Teorema A função : → é mensurável se e somente se é o limite

uniforme de uma sucessão de funções contavelmente valoradas.

Dem. A condição suficiente é verificada em 9.3. Para a condição necessária,

supondo mensurável, consideremos as funções dadas por () =

para ≤ () ( + 1), onde ∈ Z = 1 2 Estas funções são

contavelmente valoradas e, tendo-se | () − () |≤ 1 ( ∈ ) vemos que

convergem uniformemente para sobre , concluindo-se o teorema.

52

53

9.5. Observação Notar que podemos acrescentar a 9.3. que se a sucessão

() de funções mensuráveis converge pontualmente para q.t.p. então

é mensurável. Pois sendo mensurável cada subconjunto de um conjunto com

medida zero, temos com () → ()∀ ∈ \() = 0, que por 9.3. é

mensurável sobre \ e, sendo mensurável sobre , temos que é mensurável.

Define-se o integral da função contavelmente valorada =P∞

=1 ()

sobre o conjunto mensurável =

∞[=1

() e, diz-se então que é integrável em

, como sendoR =

P∞=1

(()) se a série é absolutamente convergente.

9.6. Observação Se a função contavelmente valorada verifica que | | éintegrável em , então é integrável em . A recíproca é válida, pois considera-

se para a série que converge absolutamente. Consequentemente, toda a função

contavelmente valorada limitada sobre é integrável em ..

.Pôe-se então, notando que se → uniformente sobre o conjunto men-

surável (e recordando que se considera () ∞ ∈ M), | R −R

|≤ () sup() − () : ∈ →→∞ 0, de modo que a

sucessão dos integrais tem um limite,

9.7. Definição Dizemos que a função é integrável em , onde é um

conjunto mensurável, se existe uma sucessão () de funções contavelmente val-

oradas convergindo uniformemente para em . O limiteR = lim

R

diz-se que é o integral de em .

9.8. Observação Notemos que é assim integrável se e só se é mensurável.

E da desigualdade || | − | ||≤| − | vemos que é integrável se e só se

| | é integrável.

53

54

9.9.Saliente-se também que sendo cada função simples no sentido de [Rudin]

uma função contavelmente valorada e, observando [Rudin] que como define a

sucessão de funções simples em 8.1., ela é uniformemente convergente para a

função mensurável se esta é limitada, temos que para funções limitadas, a

função é mensurável e integrável equivalentemente no sentido de [Rudin] e no

de [Kolmogorov e Fomin]. São propriedades do integral

9.9. Para cada conjunto mensurável ,R1 = ().

9.10. Teorema Tem-se a linearidadeR( +)) =

R+

R

desde que sejam integráveis ( ∈ R).9.11. Se () = () q.t.p., e são mensuráveis, então

R =

R.

Para funções mensuráveis e ,

9.12. Se () ≥ 0 q.t.p. então R ≥ 0. Assim a relação () ≥ ()

q.t.p. implicaR ≥ R

.

9.13. Se ≤ () ≤ q.t.p. então () ≤ R ≤ () para cada

∈M.9.14. Se é a reunião contável disjunta dos conjuntos mensuráveis (),R

=

P∞=1

R()

, onde a série converge absolutamente.

9.15 Desigualdade de Tchebychev Se ≥ 0 sobre o conjunto mensurável e 0 então ( ∈ : () ≥ ) ≤ 1

R.

Assim seR = 0 tem-se () = 0 q.t.p.em .

54

55

9.16. Teorema da continuidade absoluta do integral de Lebesgue Se é

integrável no conjunto mensurável , então para cada 0, certo 0 existe

verificando-se | R | para todo o subconjunto mensurável de tal que

() .

Dem. Ver [Kolmogorov e Fomin], pp. 291—2.

9.17. Comparação do integral à Riemann e do integral pelo método de

Lebesgue, segundo [Lang], [Rudin] e [Kolmogorov e Fomin]

Concluimos da Definição 3.1., Teorema 3.14., 8.1. e a definição em 8.2.,

que se : [ ] → R é integrável à Riemann em [ ] então é integrável

no sentido de [Rudin], de [Lang] e de [Kolmogorov e Fomin] (tem-se o Theorem

1.17 em [Rudin] com a observação aí feita à convergência uniforme). Também,

notandoR 1 o integral de Riemann (recorde-se 3.) tem-se para os diferentes

métodos,R 1 =

R[]

1, como mostra o Teorema 9. para o método de

[Kolmogorov e Fomin], pp. 297-8.

9.18. Observação Nem todo o limite pontual de uma sucessão de funções

simples em [ ] é uma função limite uniforme de funções em escada. Encontra-

se em [Guerreiro] (Capítulo V, 3.4., pp. 374-381) o integral para estas últimas

funções, chamadas de funções regradas; são caracterizadas por terem limites

laterais finitos em cada ponto e o conjunto dos seus pontos de descontinuidade

é contável. O integral de Riemann é mais geral, no sentido de que toda a função

regrada em [ ] é integrável à Riemann em [ ], coincidindo o integral por

ambas as formulações. A função : [−1 1]→ R, () = 1p| | é integrável

à Riemann mas não é uma função regrada.

Temos em 1.26. a definição de função de variação limitada, 1.28 acrescenta

que estas funções são diferença de duas funções crescentes. Recordar que o con-

junto dos pontos de descontinuidade de uma função monótona : [ ] → R

é contável; assim como também portanto o conjunto dos pontos de descon-

tinuidade de uma função em [ ].

Observa-se em [Kolmogorov e Fomin] (p.312) que toda a função real monó-

tona sobre [ ] é integrável.

Recordado o conceito de função diferenciável em 1.31., concluimos do teo-

rema de Lebesgue em 1.36. sobre a diferenciabilidade que o conjunto dos pontos

onde uma função ∈ [ ] não é diferenciável tem medida zero. Conse-

quentemente, tendo-se atendendo à relação = +−− onde + = max 0e − = −min 0 que sendo integrável (como vimos, equivalentemente,

mensurável neste sentido de [Kolmogorov e Fomin]), a função 7→ R 1 =R

() de ∈ [ ] é de variação limitada. Assim

55

56

9.19. Teorema Dada a função integrável em [ ], a derivada

R ()

existe q.t.p.

Temos ainda (pp. 327-9)

9.20. Qualquer que seja a função integrável , tem-se

R () = ().

Para a segunda propriedade no teorema fundamental do Cálculo, os autores

começam (p. 330) pelo resultado

9.21. A derivada 0 de uma função crescente é integrável e tem-seR 0() ≤

()− ().

9.22. Definição Dizemos que a função real sobre [ ] é absolutamente

contínua se para cada 0, existe 0 tal que qualquer que seja a família

de intervalos disjuntos ( ) : = 1 verificandoP

=1( − ) se

temP

=1 | ()− () | .

9.23 Qualquer função absolutamente contínua é de variaçãoi limitada ([Kol-

mogorov e Fomin], pp 333-4).

56

57

9.24. O integral indefinido () =R () de uma função integrável (men-

surável) é uma função absolutamente contínua.

Dem. Dada uma família finita de intervalos disjuntos ( ) = 1

temosP

=1 | ()− () |=P

=1 |R ()()

() |≤P=1

R ()()

| () | =R| () | onde =

[=1

( ). Aplicando o teorema da continuidade abso-

luta do integral de Lebesgue, a última expressão tende para zero quando tende

para zero o comprimento dos intervalos ( ), ficando provado o teorema.

9.25.Lema Se a derivada de uma função absolutamente contínua é nula q.t.p.,

então a função é constante.

9. 26. Teorema de Lebesgue A derivada = 0de uma função absoluta-mente contínua definida sobre o intervalo [ ] é integrável neste intervalo e, em

qualquer ponto ∈ [ ] tem-se R () = ()− ().

Encontramos os resultados 9.24. e 9.25. demonstrados em [Kolmogorov e

Fomin], pp. 335-7. Notemos que esta segunda propriedade da reconstituição de

uma função diferenciável pelo integral da sua derivada é válida unicamente para

as funções absolutamente contínuas, como se conclui de 9.23; assim esclarecendo

como observado em 3.9.

57

58

10 Funções vectoriais da variável real e integral de Riemann-Stieltjes para

funções reais.

Seguimos [Hille and Phillips], Chapter III. Recomenda-se a leitura adiante,

CAPÍTULO 12. sobre a teoria dos operadores lineares.

Como caso particular da continuidade de uma função : ⊂ R → ,

um espaço topológico, dado um espaço de Banach ( kk), é contínmua noponto (0) quando lim→(0) k()− ((0))k = 0.

10.1. Observação Podemos também considerar a continuidade fraca lim→(0) |∗()− ∗((0)) |= 0 para todo o funcional linear contínuo ∗ sobre

10.2. Definição Seja dada : ( ) ⊂ R→ e seja (0) ∈ ( ). Dizemosque a função é diferenciável (fracamente diferenciável) em (0) se existe um

vector 0((0)) ∈ verificando lim→0 k(((0)+)−((0)))− 0((0))k = 0(respectivamente lim→0 | ∗[(((0) + ) − ((0))) − 0((0))] |= 0∀∗ ∈∗).

10.3. Observação A diferenciabilidade fraca em (0) implica que a composta

∗ é diferenciável no ponto e, a recíproca é falsa.

Certamente a diferenciabilidade num ponto implica a respectiva continuidade

ou continuidade fraca.

10.4. Teorema Se a derivada fraca de se anula em cada ponto de ( )

então a função é constante no intervalo.

Dem. Conclui-se que a função real da variável real 7→ ∗() é constanteem ( ), ∗ percorrendo ∗; donde é constante. Assim não pode ter-se () = 6= = () ∈ ( ), donde o resultado c.q.d.

58

59

Recorde-se a Definição em 1.26.

10.5. Definição Dada a função : [ ] → , dizemos que é de variação

limitada se o supremo sup kP(()−())k, tomado para todas as possíveisescolhas de subintervalos disjuntos de ( ), é finito.

Podemos também considerar funções de [ ] em tais que para cada

∗ ∈ ∗, a composta ∗ seja de variação limitada. Diz-se que estas funçõessão fracamente de variação limitada e tem-se ([Hille and Phillips], pp. 59-60)

que se a função é fracamente de variação limitada, então é de variação limitada.

10.6. Definição Sejam : [ ] → uma função contínua e : [ ] →R uma função de variação limitada. Então existe o limite

R ()() =

lim||→0P

()[() − (−1)] onde nota uma partição ≡ = 0

1 = e | |= max − −1 : 1 ≤ ≤ . Por P entendemos a

soma relativa à partição . Este integral diz-se um integral de Riemann-Stieltjes.

10.7. Teorema Sendo as funções e como na definição anterior, se o

operador : → é linear fechado, onde é outro espaço de Banach, tem-se

R ()() =

R [()]().

Dem. Ver [Hille and Phillips], a demonstração do THEOREM 3.3.2. para

esta propriedade de permutação do operador com o integral.

Considerando o operador linear contínuo : × → , (1 2) =

11 + 22 (1 2 escalares) conclui-se de 10.7. o

10.8. Corolário Se : [ ] → é contínua e : [ ] → é de variação

limitada, então 1R 1()() + 2

R 2()) =

R [11() + 22()]().

59

60

Também na mesma referência encontramos a aplicação a equações diferen-

ciais em 10.10.

Notemos que tomando para a função constante () = 1 ( ∈ [ ]) o in-tegral de Riemann-Stieltjes é o integral de Riemann, Adapta.se a demonstração

da primeira forma do Teorema Fundamental do Cálculo:

10.9. Teorema Se a função : [ ] → á contínua, então a derivada do

integral indefinido de coincide com ,

R () = ().

10.10. Teorema Seja = ( ) definida e separadamente contínua para |−0 |≤ e k−0k ≤ . Suponhamos k( )k ≤ e que k( 1)−( 2)k ≤k1 − 2k para 1 2 como acima. Aqui, e são números positivosfixos e ≤ . Então existe uma única função continuamente diferenciável ()

satisfazendo () = [ ()] (| − 0 |≤ ) e (0) = 0.

60

61

11 O integral de Bochner

No que segue, ( kk) designa um espaço de Banach real ou complexo.

11.1. Sejam um conjunto não vazio e seja A uma colecção de subconjuntosde . Dizemos que A é um −anel (sobre ) se ∪ e \ estão em A paracada ∈ e ainda, se a reunião

∞[=1

∈ A para cada colecção contável de

subconjuntos de em A ([Métivier]).

11.2. A função : A → [0∞] é uma medida se () = 0 e (∞[=1

) =P∞=1() (1 2 ∈ , ∩ = = 1 2 6= ).

A medidad é −finita se é uma reunião contável de conjuntos em Ade medidas finitas. E diz-se completa se cada subconjunto de um conjunto

em A tal que () = 0 verifica que ∈ A.

11.3. A função : → ( kk) diz-se ser absolutamente contínua se paracada 0 existe 0 tal que

P k()k , sempre que os conjuntos em

A são dois a dois disjuntos eP() . E diz-se fracamente absolutamente

contínua se para cada positivo, existe 0 tal queP

| ∗[()] |

para cada colecção : = 1 2 ⊂ A de conjuntos dois a dois disjuntos,P() .

11.4. Defunição A sucessão de funções (()) de em ( kk) convergepara a função : → c.t.p. se existe um conjunto de medida zero em Atal que lim→∞ k()− ()k = 0 ( ∈ \).

11.5. Definição () de em diz-se contavelmente valorada se assume

um conjunto contável de valores, estando em A cada subconjunto de onde

toma um valor diferente de zero.

61

62

11.6. A função : → ( kk) diz-se mensurável se existe uma sucessão() de funções contavelmente valoradas convergindo c.t.p. para .

11.17. Definição A função contavelmente valorada () de em ( kk)como em 11.5. é integrável à Bochner se a função k()k é integrável à Lebesgue.Por definição, ()

R() =

P∞=1 ( ∩), onde () = ( ∈ ).

11.18. Dizemos que a função () de em é integrável à Bochner se

existe uma sucessão de funções contavelmente valoradas (()) convergente

para () c.t.p.e tal que lim→∞Rk() − ()k = 0. Por definição,

()R() = lim→∞()

R(). Notamos ((A)) o conjunto

das funções integráveis à Bochner.

Notemos acima que dada a estrutura (A), podemos tomar ⊂ 6= no lugar de , o anel A = ∩ : ∈ A e a restrição de a A . Para

as definições em 1.17., 1.18., considerando a estrutura ( ). Notamos

também () o conjunto das funções integráveis à Bochner.

11.19. Teorema É condição necessária e suficiente para que () seja inte-

grável à Bochner que () seja mensurável eRk()k ∞.

Dem. Ver [Hille and Phillips], THEOREM 3.7.4. (p. 80).

11.20. Teorema Seja () : = 1 2 uma colecção disjunta de conjuntosem A. Para () ∈ ((A)) tem-se

R∪() () =

P

R()

().

Dem. Ver a Proof:, THEOREM 3.7.11.

62

63

Também encontramos, com a demostração, o seguinte resultado; consequên-

cia da continuidade absoluta do integralRk()k,

11.21 Teorema Para dada () ∈ ((A)), a função de conjuntos

=R() é absolutamente contínua.

11.22. Teorema Seja : → um operador linear fechado, es-

paços de Banach. Se () ∈ ((A)) e [()] ∈ ((A) ) então [R()] =

R [()].

No que respeita a relação com a diferenciabilidade, temos (p. 88) ((R)

é o espaço dos operadores lineares contínuos de R em )

11.23.Teorema Se () : = → é de variação limitada e, fracamente

diferenciável c.t.p. com a derivada (), então () ∈ (R). Se () é

também fracamente absolutamente contínua, então é o integral indefinido de

().

11.24 Observação Para a definição do integral e certos desenvolvimentos, os

métodos de [Rudin] e de [Lang] não se baseiam no conceito de ordem; já em

[Kolmogorov e Fomin] a ordenação no espaço de chegada é essencial. É actual

a teoria dos reticulados normados e de Banach ([Aliprantis and Burkinshaw]

e [Zaanen], por exemplo), em que se considera sobre o espaço normado uma

ordem parcial compatível com a estrutura vectorial e, com a topologia.

63

64

12 Teoremas básicos em teoria dos operadores lineares

Para este capítulo aconselha-se [Taylor and Lay], que seguimos resumida-

mente. Podem recordar-se conceitos necessários para esta primeira parte em

B_Operadores Lineares Contínuos, adiante p.67.

A_ Elementos de teoria espectral

Consideramos um operador linear : ( ) = → , onde é um espaço

normado real ou complexo. Notamos − = − , o operador identi-

dade. Designamos o range ou codomínio de por ( ). Quando o operador

no espaço vectorial dos operadores lineares () de em é injectivo, en-

tendemos que o domínio (−1) = ( ). O subespaço de () formado pelos

operadores lineares contínuos : ( ) = → nota-se ().

12.1. Dizemos que o operador linear contínuo é invertível se além de

injectivo, se tem ( ) = e −1 ∈ (). Assim só o referimos para ∈().

12.2 Observação Recordar que () e () são álgebras. Uma álgebra é

um respaço vectorial munido de um produto (a composição) • (símbolo que porvezes se omite) tal que ( •) • = • ( •), • (+) = •+ •,(+) • = •+ • e () • () = ()( •), escalares. Alémdisto, em (), tem-se kk ≤ kkkk.

12.3. Definição O conjunto resolvente ( ) de é constituído pelos escalares

tais que o range (− ) é denso em , (− ) = ; além disso, existe o

operador resolvente inverso () = (− )−1.

12.4. Observação Recordar (ver B_Operadores lineares Contínuos adiante)

que sendo () definido e contínuo sobre o subespaço denso (− ), tem umaextensão linear contínua a todo o .

64

65

12.5. Definição [Taylor and Lay]. O subconjunto do corpo de escalares K

complementar de ( ) diz-se o espectro de e nota-se ( ).

Recorde-se a topologia de espaço normado de () para o

12.6. Teorema Seja um espaço de Banach. Se o operador tem a pro-

priedade de a sérieP∞

=0 kk ∞, onde 0 = , então o operador − é

invertível (12.1) e ( − )−1 =P∞

=0

Dem. Ver Theorem 1.4., p. 192, para a demonstração.

12.7. Observação O teorema acima dá uma condição suficeiente, mas não

necessária, para que 1 ∈ ( ).

Temos, para linear, : ( ) ⊂ → , notando o resolvente (− )1 = se existe num domínio (pp. 272-3):

12.7. Teorema Suponhamos que existe com norma k : ()→ k =(). Se | − | 1() então existe o inverso contínuo de − . Além

disso, (− ) não está propriamente contido em (− ).

12.8. Teorema O conjunto resolvente ( ) é aberto e, assim o espactro ( )

é um conjunto fechado.

65

66

12.9. Observação Se é um espaço de Banach e o operador linear :

( ) ⊂ → é fechado, então tem-se (− ) = para cada ∈ ( )

(ver [Taylor and Lay], pp. 264, 211).

12.10. Teorema Fundamental Suponhamos tal que para ∈ ( ) se tem

( − ) = . Então, se ∈ ( ) tem-se − = ( − ) e

= .

Se ∈ ( ) e | − | kk 1 então ∈ ( ) e =P∞

=0(−)+1 .

Aqui, a série converge na topologia da norma de (). A função 7→ de

( ) em () é indefinidamente diferenciável e

= ((−1)!)+1

.

Dem. Na nossa referência, pp. 274-5.

No que segue, supomos um espaço normado, 6= 0 e ∈ ().

12.11- Teorema Se | | kk então ∈ ( ) e =P∞

=1 −−1 para

cada no range (denso) de − . Portanto ( ) é compacto. Se além disso

é um espaço de Banach e | | kk, então a série =P∞

=1 −−1 é

convergente no espaço (() k : ()k).Dem. Ver p. 277 para uma demonstração (Theorem 3.1.)

12.12. Teorema Se é um espaço de Banach complexo então ( ) 6= .

Dem. Suponhamos | | kk. Da relação k−1k ≤ 1kk e, k− k ≥| | kk − kk ≥ (| | −kk)kk, concluimos kk ≤ (| | −kk)−1 →|→∞0. Recordem-se as funções analíticas da variável complexa e o Teorema 12.10.

acima. Se ( ) é o conjunto vazio, então tem-se que é analítica e limitada

em todo o plano, donde é constante. A constante terá de ser 0, o que contradiz

que é uma bijecção de em , concluido-se a demonstração.

66

67

12.13. Definição Com como em Definição 12.5. ( ∈ (( ))), se

( ) é não vazio e limitado (compacto), pomos ( ) = sup| |: ∈ ( ) edizemos que ( ) é o raio espectral de .

12.14.Teorema Se é um espaço de Banach complexo e ∈ (), então

o resolvente de é dado por =P∞

=1 −−1 para | | ( ). A série

representa ainda se é convergente e | |= ( ). Se | | ( ) então a

série diverge.

Dem Ver pp. 278-9.

Encontramos também, com a demonstração na página 278 o

12.15. Teorema Se é um espaço de Banach complexo e ∈ () então

( ) ≤ kk1 ( = 1 2 ). Além disso, o limite de kk1 é ( )

(→∞).

B_ Operadores lineares contínuos e operadores lineares fechados

No que segue são espaços normados e é um operador linear de uma

parte de em . Designamos indistintamente por kk as normas (possivelmentenão relacionadas) em e ; supomos o corpo escalar K = R ou K = C.

12.16. Notação Designamos por ( ) o espaço vectorial sobre dos

operadores lineares do subespaço de em ; notamos por ( ) = o

domínio de e ( ) = : ∈ ( ) é o range de .

67

68

12.17. Observação Recordar que a topologia do espaço normado ( kk)é a topologia associada à métrica ( ) = k − k sobre . Assim o oper-

ador linear é contínuo se e somente se transforma sucessões convergentes em

sucessões convergentes para a imagem do limite (é sequencialmente contínuo).

Pela linearidade, temos − = ( − ) e de → ⇔ k − k → 0

vem que se existe uma constante 0 tal que kk ≤kk ( ∈ ), tem.se

k − k→ 0⇒ k ( − )k ≤k − k→ 0 e é contínuo.

Na observação acima podemos também concluir imediatamente a continuidade

de em cada ponto pela condição ( ) ≤ ( ) que mostra que

é uma aplicação lipschitziana.

12.18. Propriedade O operador linear de em é contínuo sse é limitado

sobre a bola unidade = ∈ : kk ≤ 1. Ou seja, se e somente sek : → k = supkk : kk ≤ 1 ∞.Dem. Notando k : → k = kk temos pela definiçáo, kk ≤ 1 ⇒

kk ≤ kk donde kk ≤ 1 ⇒ kkkk ≤ 1. Conclui-se facilmente por

absurdo que kkkk ≤ kk e assim kk ≤ kkkk para ∈ kk ≤ 1.Dado arbitrário ∈ , 6= 0, temos = kk(kk) kkkk ≤ 1, donde

kk ≤ kkkk ( ∈ , recordar 0 = 0). Logo kk é uma possível constante em 12.17. e, é contínuo. Observe-se que um tal positivo é um majorante

de kk : kk ≤ 1donde, por drfiição de supremo, kk = k : → k éa menor constante ≥ 0 tal que kk ≤ kk ( ∈ ). O operador é

contínuo se e só se existe o número positivo k : → k.

12.19. Definição Para : → um operador linear contínuo, diz-se a

norma de o número positivo kk = k : → k. Nota-se ( ) o espaço

vectorial normado dos operadores lineares contínuos sobre com valores em .

12,20, Exercício Verifique que ( ) é um espaço vextorial normado .

68

69

12.21. Observação A bola unidade fechada = ∈ : kk ≤ 1 é umconjunto fechado, já que é sequencialmente fechado: kk ≤ 1 e k − k →0 ⇒ kk → kk (verifique) e assim vem kk ≤ 1, pela passagem de uma

desigualdade ao limite. Logo o fecho = lim : → kk 1 da bola

unidade aberta = ∈ : kk 1 é um subconjunto de . Também

se kk = 1 então de = lim +1

vem que ∈ . Assim a bola unidade é o

fecho da bola unidade aberta.

12.22. Recordando que a função : () → ( ) é contínua se e só

se () ⊂ () ( ⊂ ) mostre que é contínuo se e somente se supkk :kk 1 = k : → k ∞. Verifique ainda que kk = supkk : kk =1.

12.23. Observação Como vemos acima de 12.18., se : ⊂ → é linear

contínuo, é então uma aplicação uniformemente contínua do subespaço em

. Recordar que asim existe uma única extensão contínua de como função

sobre o fecho : ⊂ → se é um espaço de Banach (ver por exemplo

[Aliprantis and Burkinshaw]).

12.24. Para um funcional linear contínuo : → K tem-se kk = sup|() |: kk ≤ 1.

12.25. Observação Verifica-se que todo o funcional linear não nulo : →K é uma função sobrejectiva. Com efeito, dado 0 em (0) = 6= 0, o

singleton é uma base do espaço vectorial K; logo dado arbitrário escalar ,temos = (0()).

12.26. Definições (1) O espaço vectorial sobre K dos funcionais lineares

sobre é o dual algébrico de e representa-se por + (2) O subespaço de

+ formado pelos funcionais lineares contínuos, ∗ = (K), diz-se o dual

ou dual topológico de .

Dado ∗ ∈ ∗, tem.se | ∗() |≤ k∗kkk.

69

70

12.27. Teorema de Hahn-Banach Sejam um espaço normado não nulo e

um subespaço de , : → K um funcional linear contínuo sobre de

norma k : → Kk. Existe então pelo menos um funcional linear contínuo

∗ ∈ ∗ que é uma extensão de a e tal que kk = k : →Kk.Dem. Conclui-se do teorema de Hahn-Banach vectorial: Se é um espaço

vectorial sobreK e é um subespaço de , : → [0∞[ verifica as condições( + ) ≤ () + () e () =| | (), | () |≤ (), então existe um

funcional linear + sobre , estendendo e tal que | +() |≤ () ( ∈ ).

Ver [Taylor and Lay], Theorem 10.4.e [Schwartz].

12.28. Proposição Se ( kk) é um espaço normado, o dual de é um

espaço de Banach.

Dem. Trata-se de provar que dada uma sucessão (∗) em ∗ tal que k∗ −∗k →→∞ 0, existe ∗ ∈ ∗ tal que k∗ − ∗k → 0. Para kk = 1,

temos | (∗ − ∗)() |→→∞ 0, donde | ∗() − ∗() |→→∞ 0 e a

sucessão escalar ∗() → (), já que é uma sucessão de Cauchy. Temos =[ : ∈ kk = 1 e assim fica definida a função () = lim∗() =

= lim∗(). Ou seja, fica definida a função () = lim∗() de em K.

A sucessão (k∗k) é de Cauchy, como consequência da desigualdade | k∗k −k∗k |=| sup| ∗() : kk ≤ 1 − sup| ∗() : kk ≤ 1 |≤ sup| ∗() −∗() |: kk ≤ 1 (temos ∗()−∗() = ∗((+)2)+

∗((−)2; e recorde-

se que o supremo de um conjunto é o ínfimo do conjunto dos seus minorantes,

que dimunui quando este conjunto cresce) Assim | () − () |=| lim∗() −∗() |=| lim∗( − ) |= lim | ∗( − ) |≤ lim k∗kk − k = k − k, ∈ R. Portanto a função é contínua. Então ( + ) = lim∗( + ) =

lim () + ∗() = () + (), de modo que é linear, concluimos que

∈ ∗ e assim este espaço é completo, como queríamos.

12.29. Definição O dual do dual do espaço normado diz-se o bidual de

e nota-se ∗∗, por ∗∗ notamos os seus elementos.

12.30. Observação Para ∗ ∈ ∗, ∈ , tem-se que a função ∗ 7→ (∗) =∗() é linear de ∗ em . Também | (∗) |≤ kkk∗k e assim é um

elemento = ∗∗ do bidual de .

12.31. Definição A aplicação 7→ = ∗∗ como em 12.30.diz-se que é a

aplicação canónica de no seu bidual ∗∗.

70

71

Verifica-se facilmente que a aplicação canónica é linear contínua, : 7→(∗ 7→ ∗()) = ∗∗.

12.32. Definição Se o range () = () = ∗∗, dizemos que o espaçonormado é reflexivo.

12.33. Recorde-se 12.19. Tem-se kk = sup| () |: kk ≤ 1 = sup|∗() |: k∗k ≤ 1 ≤ kk. Pelo teorema de Hahn-Banach, sendo dado , kk =1, considerando o funcional linear contínuo sobre K = : ∈ K dado por 7→ , de norma 1, existe ∈ ∗∗ k∗k = 1 que estende aquele funcional

linear contínuo. Deste modo, para kk = 1, tem-se sup| ∗() |: k∗k ≤ 1 =kk. Isto permite concluir que no caso geral, kk = max| ∗() |: k∗k ≤ 1.Deste modo, tem-se kk = 1 e, além disso a aplicação é uma isometria linear

de em ∗∗. Portanto se é reflexivo, é um homeomorfismo linear (termo

proposto em [Taylor and Lay]) entre e ∗∗. Aplicando 12.28., concluimos

que todo o espaço normado reflexivo é um espaço de Banach.

12.34. Teorema Se 0 ∈ 0 6= 0, então existe pelo menos um ∗ ∈ ∗ talque k∗k = 1 e ∗(0) = k0k. Consequentemente, kk = sup| ∗() |: k∗k =1 = max| ∗() |: k∗k = 1.

Encontra-se em [Taylor and Lay] (PROBLEMS 2. p. 141, ver III.5 ) que o

range () é fechado em ∗∗ se e somente se é um espaço completo (verifica-

se pelas dfinições). Notemos que ∗∗∗ = (∗∗)∗ se identifica com por meio

de ∗ ∗∗ = ∗∗ ∗ = ∗ , ∈ se e somente se é reflexivo.

Então (∗) é fechado em ∗∗∗ e é completo.

12.35. Teorema Seja um subespaço próprio fechado de . Dado 0 ∈

tal que (0 ) = inf(0 ) : ∈ = 0, existe pelo menos um ∗ em∗ tal que k∗k = 1 ∗(0) = e ∗() = 0 para cada ∈ .

71

72

12.36. Teorema O espaço dre Banach é reflexivo se e somente se o dual

∗ é reflexivo.Dem. (Seguindo [Taylor and Lay], p. 140). Sejam 0 : → ∗∗ e

1 : ∗ → ∗∗∗ as aplicações canónicas, Se é relexivo, considerado ∗∗ ∈

∗∗, seja ∗ = ∗∗0. Temos ∗ ∈ ∗. Da hipótese () = ∗∗ vemque ∗∗∗ = 1

∗ para um ∗ e, temos efectivamente ∗∗∗ = ∗∗0 = ∗.Assim (1) = ∗∗∗ e ∗ é reflexivo. Para a recíproca, temos por reduçãoao absurdo: supondo ∗ reflexivo e não reflexivo. Então = 0() é um

subespaço próprio fechado de ∗∗, já que 0 é uma isometria e é completo.

Existe, aplicando 12.35., certo ∗∗∗ ∈ ∗∗∗ tal que k∗∗∗k = 1 e ∗∗∗(∗∗) = 0(∗ ∈ ). Como é reflexivo existe ∗ ∈ ∗ tal que k∗k = 1 = k∗∗∗k e1∗ = ∗∗∗. Significa isto que ∗∗∗(∗∗) = ∗∗(∗), ∗ ∈ ∗. Temos então para

∈ , 0 = ∗∗∗(0) = (0)(∗) = ∗(). Como varia arbitrariamente em, ∗ é o funcional nulo, o que contradiz k∗k = 1. Concluimos a demonstração.

12.37. Teorema Dado o espaço normado , a aplicação canónica é sobre-

jectiva e é reflexivo se e somente se () é fechado no bidual.

Dem. Dada () de Cauchy em (∗) k − : ∗∗k →→∞ 0, o

limite linear de () ∈ L(∗∗R) obtido como em processo anterior a

partir do limite lim→∞ (∗) = (∗) está em (∗). Com efeito, ∗ sendo

completo (12.28.), (∗) é fechado em ∗∗∗ (2., p. 141 em [Taylor and Lay]

como acima). Então k − : ∗∗∗k → 0, ∈ (∗) permite concluir que∗ é reflexivo. Aplicando !2.36. vem que é reflexivo e o teorema conclui-se

de acima de 12.35. como queríamos.

Temos também as seguintes caracterizações de funcionais lineares contínuos

(pp. 142-148 em [Taylor and Lay], pp.115-117 [Yosida]))

12.38. Para 1 ≤ ∞, pomos 0 = ( − 1) na convenção 10 = ∞.Notemos que se () ∈

0então (()) =

P∞=1 define (desigualdade de

Hölder) um elemento de ()∗.

12.39. O dual do espaço = (N) = () ∈ KN : k()k = (P∞

=1 | |)1 ∞ é 0 No sentido de quie a cada funcional linear contínuo sobre corresponde um único elemento () em

0tal que (()) =

P∞=1 .

72

73

Recordar ([Rudin 1]) que para (ΩM ) um espaço de medida, () é o

espaço de Banach das funções : Ω → que são mensuráveis e kk = (RΩ|

| )1 ∞ (1 ∞) e ∞() é o espaço de Banach das funçõesmensuráveis de Ω em K tais que kk∞ = | | ∞. No Example 8. em[Yosida] temos

12.40. O dual de () é 0() se 1 ≤ ∞. No sentido de que a

cada funcional linear contínuo sobre () corresponde uma única função ,

elemento de 0() tal que () =

RΩ ( ∈ ()).

12.41. Teorema O espaço () é reflexivo.

Dem. Ver [Taylor and Lay], pp. 145-6.

Encontramos ainda (pp. 146-149)

Considere-se o espaço de Banach = [ ] das funções () contínuas

sobre [ ], munido da norma do supremo kk = max | () |: ≤ ≤ .

12.42. Seja ∗ ∈ ∗. Existe uma função de variação limitada sobre [ ] talque a variação total de é kk e ∗ é definido pelo integral de Riemann-Stieltjes∗() =

R ()() ( ∈ [ ]).

12.43. Observação O espaço ( ) em 12.19. é um espaço de Banach se

é um espaço de Banach.

73

74

Para um espaço de Banach e um espaço normado, considere-se uma

classe Λ : ∈ A ⊂ ( ), onde A é um arbitrário conjunto não vazio de

índices. Recordem-se os conjuntos . Encontramos em [Rudin] o Princípio da

limtação uniforme

12.44. Teorema de Banach-Steinhauss Ou existe uma constante positiva

tal que kΛk ≤∀ ∈ , ou existe um denso em tal que supkΛk : ∈ A =∞∀ ∈ .

Dem. Ver 5.8, pp. 103-4.

Encontramos ainda (pp. 104-106), nas hipóteses fundamentais,

12.45. Teorema da função aberta Sejam espaços de Banach e ∈( ) um operador linear contínuo sobrejectivo. Sendo

a bola unidade

aberta em e a bola unidade aberta em , existe 0 tal que (

) ⊃ .

12.46 Observação Recordar que uma função do espaço topológico no

espaço topológico se diz aberta se transforma conjuntos abertos em conjuntos

abertos. Para cada aberto em como em 12.45., temos =[+

:

∈ 0. Assim podemos concluir do teorema que () =[ +

: ∈ ⊃

[ +

: ∈ ,. Para cada ∈ , ()

contem portanto uma bola aberta em e, o mesmo é dizer que () é um

conjunto aberto. Concluimos assim que se é além disso injectivo, então é

um homeomorfismo linear.

12.47. Se Se e são espaços de Banach e é uma bijecção linear contínua

de em então existe 0 tal que kk ≥ kk ( ∈ ).

Dem. Conclui-se do Teorema 12.45. do modo seguinte: temos kk ⇒kk 1; logo kk ≥ 1⇒ 1

kk ≥ 1 ou seja 1

kk ≥ kk c.q.d.

74

75

12.48. Recordemos que um subconjunto de um espaço métrico se diz de 2

categoria se não é uma reunião contável de conjuntos fechados de interior vazio

e o teorema de Baire, que afirma que todo o espaço métrico completo é de 2

categoria.

Generalizando 12.16. tem-se ([Rudin 2], pp. 47-8, rever o Capítulo 5)

12.49. Teorema da função aberta em e.v.t.

Suponhamos que é um espaço de Fréchet, é um e.v.t. separado e

: → é linear contínuo, tal que ( ) é de 2 categoria em . Então

( ) = , é uma função aberta e é um espaço de Fréchet.

12.50. Observação Todas as hipóteses no teorema são necessárias. Em par-

ticular, dado : → como no enunciado mas, sendo ( ) um subespaço

não fechado de , será preciso verificar se ( ) é ou não de 2 categoria como

subespaço de para poder aplicar-se o teorema ou não.

12.51. Corolário Se é um opeardor linear contínuo sobrejectivo de um

espaço de Fréchet num espaço de Fréchet , então é uma função aberta.

Se além disso é injectivo, é um homeomorfismo linear.

12.52. Uma propriedade que pode ter um operador linear : → ,

importante na teoria das equações diferenciais, ainda não sendo contínuo, é a

de ser fechado.

12.53. Definição O operador linear : ( ) ⊂ → diz-se fechado se

o seu grafo ( ) = ( ) : ∈ ( ) é um subespaço fechado de ×

munido da topologia produto.

75

76

Um modo simples de verificar se acima é fechado ou não, é aplicar

12.55. Teorema O operador em 12.53 é fechado se e somente se as hipóteses

∈ ( ) → e → implicam ∈ ( ) e = .

12.54. Exemplo Seja = [0 1] munido da topologia do supremo e, seja

= . Considere-se o operador linear : ( ) = ∈ : ∃0() ∈[0 1] → = 0. Considerando () = em = 1 2 , temos

kk = 1 0() = −1 e assim kk = k0k = →→∞ ∞, não é

contínuo. No entanto ([Dieudoné]) é fechado, pois se ∈ ( ) → e

→ , uma vez que a convergència de () para é uniforme, tem-se por

um teorema de convergência que é diferenciável, com derivada . Verifica-se

assim ∈ ( ) e = .

Têm-se os seguintes resultados em [Taylor and Lay]

12.55. Teorema Sejam um espaço topológico e um espaço topológico

separado. Se :⊂ → é uma função contínua e é fechado, então a função

é fechada.

12.56. Teorema Sejam e espaços normados, completo. Seja :

( ) ⊂ → um operador linear. Se é fechado e contínuo, então o

subespaço ( ) é fechado.

12.57. Sejam e espaços vectoriais topológicos. E seja um operador

linear de domínio um subespaço de e cujo range é de 2 categoria em .

Então () é uma vizinhança de zero em , para cada vizinhança de zero

em .

12.58. Sejam um espaço de Banach e um espaço normado, : ( ) ⊂ → ( ) ⊂ um operador linear fechado. Considerando a bola unidade

= ∈ : kk ≤ 1 tem-se: se () é uma vizinhança de zero em ,

então também o é ().

76

77

12.59. Teorema da função aberta

Sejam um espaço de Banach e um espaço normado. Seja : ( ) ⊂ → um operador linear fechado tal que ( ) é de 2 categoria em . Então

para cada subconjunto aberto de , (( ) ∩ ) é aberto em . Além

disso, ( ) = .

12.60. Corolário Sejam nas hipóteses do Teorema 12.59. Então existe

0 tal que cada ∈ é uma imagem = , para algum ∈ ( ) tal que

kk ≤ kk. Se existe o operador −1, então é contínuo.

12.61. Teorema do grafo fechado

Sejam e espaços de Banach e seja : → um operador linear

fechado. Então é contínuo.

Temos no texto [Go, Gold and Ka] (p- 289 )

12.62. Se o operador linear : → tem conjunto resolvente não vazio,

onde é um espaço de Banach complexo, então é fechado.

Dem. Se 0 ∈ () então (0 − )−1 ∈ ().Logo (0 − )−1 é fechado.Sendo ( ) 7→ ( ) um homeomorfismo, 0− é fechado donde, é fechado.12.63. Definição Um operador linear : () ⊂ → , onde

são espaços de Banach complexos, diz-se fechável se tem uma extensão como

operador linear fechado : () ⊂ → i.e., () ⊂ () e é fechado.

12.64. Teorema O operador : → é fechável se e somente se (0 ) ∈() implica = 0. Aqui são espaços de Banach complexos e () é o

grafo de .

Encontramos em [Weinholtz] uma exposição da teoria dos operadores, in-

cluindo aplicações à Física.

77

78

12.65. Uma outra demonstração de 12.28. Consideremos o espaço vectorial

real = L(R) dos funcionais lineares sobre o espaço normado real . A

classe ∗ dos funcionais lineares contínuos sobre é um subespaço de + e,

podemos considerar a classe de funções reais F = = ∈ : kk ≤ 1, = () ( ∈ ∗) tal que sup : ∈ F = k : ∗k

∞; como sabemos assim, este sup tem as propriedades de uma norma sobre

o subespaco ∗de . Dada uma sucessão de Cauchy () em ∗ relativa aesta norma sup, tem-se que a sucessão real (()) sendo de Cauchy em R,

tem um limite (). Temos ∈ , já que | ( + ) − () − () |≤|() − () + () + () − () − () |≤ ( ≤ (), 0 a priori

dado, = +). Podemos assim associar a () verificando-se obviamente

ambas as condições () lim→∞ = lim→∞ () = () ( ∈ F) e,() lim→∞ − = − para cada ∈ F . Utilizandoa propriedade em II.4, Theorem 4.4. (p. 69) em [Taylor and Lay] podemos

concluir que o dual ∗ é um espaço de Banach, munido da sua norma dada

pelo sup considerado.

12.66. Observação Poderíamos concluir que acima é contínuo, finalizando

que um espaço real dual é completo, como em 12.28. O processo em 12.65.

pode aplicar-se para provar que é completo (1 ≤ ∞) (p.68, é aplicável emvariados casos de espaços normados). Como exercício simples verificar que se

obtem imediatamente o caso geral, a partir do caso K = R. ( = Re + Im ).

12.68. Aplicação: todo o espaço normado tem um completamento espaço de

Banach. Dado com efeito o espaço normado ( kk), a injecção canónica 7→, ∗ = ∗ de no bidual algébrico L(∗ R) toma valores nobidual ∗∗, completo. () é denso em ∗∗, pois dado ∗∗ temos ∗∗ ∗ = ∗∗ − − +

∗ + = ∗∗ − ∗ + ∗ −

≤ ∗∗ −∗ ∗ +→→∞ , onde | | é arbitrariamente pequeno. Aqui,

o fecho do subespaço (∗) de ∗∗, com ∗ ∗ = lim ∗ =

∗ (() de Cauchy, assim como (), k−k→ 0) coincide com ().

A sucessão (∗) é de Cauchy em ∗∗ para cada sucessão (∗) de Cauchy em∗, tem o limite ∗∗. Pois (∗ − ∗)

∗ = ∗ − →→∞ 0.

Recordar (12.33.) que a injecção canónica é uma isometria, o fecho () é

um completamento de .

78

79

13 Uma nota sobre métidos numéricos

Consideremos o espaço vectorial real = ([ ] R) das funções reais

contínuas em [ ] que se anulam no ponto e, o subespaço de formado

pelas funções com derivada contínua em [ ], as derivadas laterais respectivas

para os extremos. O operador integralR : → , () 7→ () =

R () é

o inverso do operador de derivação : 7→ . O problema de EDO linear

homogéneo de primeira ordem + () = 0, (0) = 1 onde a função se

considera contínua, tem como é sabido a solução () = exp(− R ()). Como

salienta [Braun], na maioria dos casos não se consegue determinar a fórmula

explícita para () e, as soluções úteis são aproximações obtidas por métodos

numéricos. Um destes métodos é o método de Euler, que pode ser aplicado

à EDO de 1 ‘ordem (1) ≡ = ( ), () = 0. Aqui as funções 7→( ) fixo, e 7→ ( ) ( fixo) consideram-se contínuas. Supondo no

subespaço ∞([ ] R) das funções indefinidamente diferenciáveis, ter-se-ápelo desenvolvimento em série de Taylor, () = 0 + ( − )() + ( −)22

()2! + . Notemos que a solução de (1) se procura obter utilizando o

inverso do operador de derivação como vimos. Teremos

= ( )

2 = + = +

3 = + 2 +

2 + + 2 ,

onde se designa = ( ) = ( ) = ( ) e as-

sim sucessivamente. Continuando o processo, podemos exprimir cada derivada

de em termos de ( ) e das suas derivadas parciais. A não ser que a

função seja particularmente simples, torna-se complicado avaliar as suces-

sivas derivadas, como nota [Comte]. Considerando então o operador ( ) =

( ) + ( )2! + + −1−1 ( )! ( = 1 2 ), onde se põe

= − certo passo, avalia-se em 1 = +; reavaliam-se então as derivadas

2 em 2 = 1+ = +2, etc. Continuando o processo, obtem-se assim

um conjunto discreto de valores de , que são aproximações da solução nos

pontos = + ( = 0 1 2 ).

79

80

No método de Euler considera-se = 1 e apenas 1 = ( ) (ordem = 1,

o método é pouco utilizado, pois dá pouca acurácia). Escolhendo um passo

= (−) , pomos 0 = 1 = + 2 = +2 = + Obtemos

() = ( + ), = . Geram-se aproximações a () pela fórmula de

recursão +1 = + 1( ), = 0 1 − 1. 1( ) = ( ). O erro

cometido será = 22 (), + . Notemos que (1) é equivalente

a () =R ( ()). Assim,

(1) = (+ ) =R +

( ()) = 1

(2) = (+2) = 1+1( )(+) =R +

1((())+1(1 (1)) =

2(3) = (+ 3) = 2 + 1(2 (2))

e continuando. Da formula +1 = (+1) =R +

1( ()) =R +

1( )

vemos que se faz o cálculo aproximado de integrações.

Em [Comte] (p.214) encontra-se a ilustração de cálculos para o problema

− = 0 (0) = 1 que, como é sabido tem a solução exacta () =

exp(R 01) = exp .

Com = 001, obtemos

(001) ≈ 1 = 1 + 001 = 101

(002) ≈ 2 = 101 + 001(101) = 10201

(003) ≈ 3 = 1 0201 + 001(1 0201) = 10303

(004) ≈ 4 = 10303 + 001(10303) = 10406

80

81

Dado que a solução exacta é () = exp , o valor correcto em = 004 é

10408. Precisaríamos de um menor valor do passo para obter um valor mais

aproximado. Se tomarmos = 00005 obtemos os valores(0005) ≈ 1 = 00050

(0010) ≈ 2 = 10100

(0015) ≈ 3 = 10151

(0020) ≈ 4 = 10202

(0025) ≈ 5 = 10253

(0030) ≈ 6 = 10304

(0035) ≈ 7 = 10356

(0040) ≈ 8 = 10408.

Estes resultados são exactos até a quarta casa decimal. Seguindo [Comte],

poderia aplicar-se o algoritmo usando maior ordem para o desenvolvimento em

série deTaylor. Contudo, o método de Euler é mais de interesse teórico pois na

sua maiora, os processos práticos de calcular procuram obter a mesma acurácia

que o algoritmo de Taylor, sem a desvantagem do cálculo das derivadas de maior

ordem.

81

()

ÍNDICE

CAP 1 Funções reais da variável real .....................................3

CAP 2 Noções de topologia e espaços métricos ................12

CAP 3 O integral de Riemann e

o Teorema Fundamental do Cálculo .........................21

CAP 4 Desigualdades notáveis ..............................................28

CAP 5 Espaço métrico completo e espaço de Banach.

E.V.T. e E.L.C. ............................................................ 30

CAP 6 Um integral geral ..........................................................37

CAP 7 A medida de Lebesgue em R ................................ .44

CAP 8 O integral de Lebesgue para funções

da variável em R ........................................................48

CAP 9 A medida e o integral de Lebesgue para funções

reais segundo Kolmogorov e Fomin ..........................51

CAP 10 Funções vectoriais da variável real

e integral de Riemann-Stieltjes

para funções reais .................................58

CAP 11 O integral de Bochner .................................................61

CAP 12 Teoremas básicos da teoria

dos operadores lineares ............................................64

CAP 13 Uma nota sobre métodos numéricos .................... 79

82

77

REFERÊNCIAS

[Aliprantis e Burkinshaw] ALIPRANTIS, C. D. e BURKINSHAW, O., Prin-

ciples of Real Analysis Second Edition Academic Press, INC Harcourt Brace

Jovanovich, Publishers Boston San Diego New York Berkeley London Sydney

Tokyo Toronto (1990)

[Braun] MARTIN BRAUN, Differential Equations and Their Applications,

Fourth Edition, Texts in Applied Mathematics 11, Springer (1975)

[Choquet] GUSTAVE CHOQUET, Cours d’Analyse Tome II Topologie, Mas-

son e C.ie, Editeurs 120, Boulevard Saint-Germain, Paris-VI (1973)

[Comte] S. D. COMTE, Elementary Numerical Analysis, International Stu-

dent Edition, McGraw-Hill Book Companny New York, St. Louis, San Fran-

cisco, Düsseldorf, London, Mexico, Panama, Sydney, Toronto Kôgakusha Com-

pany, LTD Tokyo (1965)

[Dieudonné] DIEUDONNÉ, J. Fundamentos de Análisis Moderno, Editorial

Reverté, S. A. Barcelona, Buenos Aires, México MCMLXVI (1966)

[Freire] A Remark on Riemann integrable functions defined on an interval

Global Journal of Mathematical Sciences Theory and Practical Volume 4, Num-

ber 2 (2012), pp. 165-6

[Guerreiro] GUERREIRO, J. SANTOS, Curso de Análise Matemática, Es-

colar Editora (1989)

[Goh, Gold and Ka] GOHBERG, GOLDBERG and KAASHOEK, Classes of

Linear Operators Vol. I Operator Theory Advances and Applications Vol. 49

I. Gohberg, S. Goldberg and M. A. Kaashoek Birkhäuser Verlag Basel Boston

Berlin (1990)

[Hille and Phillips] HILLE, E. and PHILLIPS, R. S., Functional Analysis

and Semi-Groups, American Mathematical Society Providence, Rhode Island

(1957)

[Kolmogorov e Fomin] KOLMOGOROV, A. N. e FOMIN, S. V. Elementos

de Teoria das Funções e de Análise Funcional Editora Mir-Moscou (1976)

[Lages Lima] LAGES LIMA. E., Curso de análie vol. 1, 6 Edição impa

Instituto de Matemática Pura e Aplicada CNPq (1982)

[Lang] SERGE LANG, Real and Functional Analysis, Third Edition Grad-

uate Texts in Mathematics 142 Springer (1993)

[Seymour Lipschutz] LIPSCHUTZ, SEYMOUR, General Topology, Schaum

’s Outline Series (1965)

83

78

[Megginson] MEGGINSON, ROBERT E., An Introduction to Banach Space

Theory, Graduate Texts in Mathematics 183 Springer-Verlag New York, Inc.

(1998)

[NAMIIv 99] Neves, Vítor, Arquivo Escolar (2010)

[Ostrowski] OSTROWSKI, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral, I Vol-

ume Funções de uma variável 2 Edição Fundação Calouste Gulbenkian (1969)

[Rudin] RUDIN, WALTER Real & Complex Analysis, Second Edition Tata

McGraw-Hill Publishing Co, Limited New Delhi (1983)

[Rudin 2] RUDIN, WALTER Functional Analysis, Tata McGraw-Hill Pub-

lishing Company LTD New Delhi (1973)

[Sarrico] SARRICO, CARLOS Análise Matemática Leituras e Exercícios 3

Edição Trajectos Ciência 4 Gradiva (1999)

84

78

[Schwartz] SCHWARTZ, LAURENT Analyse Deuxième Partie Topologie

générale et analyse fonctionnelle Hermann 156, boulevard Saint-Germain, Paris

VI (1970)

[Taylor and Lay] TAYLOR, A. E. and LAY, DAVID C, Introduction to func-

tional analysis Second Edition Krieger Publishing Company Malabar, Florida

(1986)

[Weinholtz] WEINHOLTZ, ANTÓNIO de BÍVAR Teoria dos Operadores

Textos e Notas 35 CMAF (1986)

[Zaanen] ZAANEN, ANDRIUS C. Introduction to Operator Theory in Riesz

Spaces, Springer-Verlag (1997).

85

.

86