370
Theory and Background E Copyright LMS International 2000

Complete Theory

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Complete Theory

Theory and Background

������������� �����������������

Page 2: Complete Theory

Table of Contents

Part I Signal processing

Chapter 1 Spectral processing��� ������������������������ ���������������������������������������������������������������������������������

��� �������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��� ������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������

����� ������ ������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������ ������������������������������������������������������������������������������������

���������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������!"������ �#��������������������������������������������������������������������������

����������������$��� �#������������������������������������������������������������������������������

����������������!����� �%����������������������������������������������������������������������������

��& �'������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������

��# (���������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������

Chapter 2 Structural dynamics testing��� �������������� �&������������������������������������������������������������������������������������������������

��� ���$��������� �#������������������������������������������������������������������������������������������������

��� ����"����������� �%������������������������������������������������������������������������������������������

Chapter 3 Functions��� )�$����$����!"������ ������������������������������������������������������������������������������������

)�$��(����� ������������������������������������������������������������������������������������������������������

�"����������� ������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������

*������$ �&��������������������������������������������������������������������������������������������������������

+��,�,����������� �&����������������������������������������������������������������������������������������

+��,�,����������,"��� �&��������������������������������������������������������������������������������

��� -��."�������$����!"������ �/������������������������������������������������������������������������

����"$ �/����������������������������������������������������������������������������������������������������������

�"������� ����"$ �%������������������������������������������������������������������������������������

����������������"$ ��������������������������������������������������������������������������������������

�������� �0������������������������������������������������������������������������������������������������������

+�����������$������ ����� &�����������������������������������������������������������������������

-��."�����(��������-"����� &�����������������������������������������������������������������������

�$�"����(������� &&������������������������������������������������������������������������������������������

��� ��$������ !"������ &/��������������������������������������������������������������������������������������

1'��������'���21�3 &/������������������������������������������������������������������������������������������

-��."����������� &/������������������������������������������������������������������������������������������

1������������ &�������������������������������������������������������������������������������������������������

1��'��������� &�����������������������������������������������������������������������������������������������

��& 4��� &0����������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��# ($������"������ #���������������������������������������������������������������������������������������������

Page 3: Complete Theory

Part II Acoustics and Sound Quality

Chapter 4 Terminology and definitions&�� ���"����."������ #/����������������������������������������������������������������������������������������

�"���������2+3 #/�������������������������������������������������������������������������������������������� �"��������"�� #/������������������������������������������������������������������������������������������������ �"���2���"���3� ������� #/����������������������������������������������������������������������������-����!���� #%��������������������������������������������������������������������������������������������������������+�������'������ #��������������������������������������������������������������������������������������������������"�����$��������253 #0��������������������������������������������������������������������������������

&�� (�!���������������� /����������������������������������������������������������������������������������������6������ /������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �"�����������'����� /�������������������������������������������������������������������������������������+�������'���������'����' /��������������������������������������������������������������������������������� �"���2���"���3�����������'����� /��������������������������������������������������������������� �"��������"�����'����+ /���������������������������������������������������������������������������������

&�� 1��'��,���� /���������������������������������������������������������������������������������������������������&�& ���"����������� /&������������������������������������������������������������������������������������������

Chapter 5 Acoustic measurements#�� ���"����$���"��$���!"������ /�������������������������������������������������������������������

�"��������"�����'�� /��������������������������������������������������������������������������������������� �"���������� /�����������������������������������������������������������������������������������������������(����"��� ������� /0������������������������������������������������������������������������������������������+����"��������"���������������7 %�������������������������������������������������������������������

#�� ����"�������!����"����."������ %�����������������������������������������������������������������#�� ���"����$���"��$����"�!���� %&��������������������������������������������������������������������

���"����� 1��������� %&����������������������������������������������������������������������������������#�& -��."�����,���� %/��������������������������������������������������������������������������������������������#�# -����� ��������� %%����������������������������������������������������������������������������������������������

-��� �"���!������$������'����,������������� %%��������������������������������������������-��� "�!���������"��8���������������� %%����������������������������������������������������-���9����'����������������������� %�������������������������������������������������������������-&��9��8"��!��$����������� %0����������������������������������������������������������������������#�#�� )��������� %0����������������������������������������������������������������������������������������������"��$���$������."��� ������������������������������������������������������������������������

Chapter 6 Sound quality/�� )��,��������������!� �"���:"���� �&����������������������������������������������������������

�"���������� �&��������������������������������������������������������������������������������������������������)�������������!���"����,����"$������ �#����������������������������������������������6���"���������� �/�������������������������������������������������������������������������������������������� �"������������ �/����������������������������������������������������������������������������������������������"����� �%����������������������������������������������������������������������������������������������������������+�� �%������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,���� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� �0����������������������������������������������������������������������������������������������������������)�$�������!!��� 0���������������������������������������������������������������������������������������������

/�� �"���."������������� 0�����������������������������������������������������������������������������������������������!���"���������� 0�������������������������������������������������������������������������������6���"����������������������,��� 0�������������������������������������������������������������������

/�� (���������� 0#������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 4: Complete Theory

Chapter 7 Sound metrics%�� �"��������"�����'�� �����������������������������������������������������������������������������������������

)�$����$������"��������"�����'�� �����������������������������������������������������������������%�� ;."�'�������"��������"�����'�� �����������������������������������������������������������������������%�� ��"����� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������

%���� �'���������<� �������������������������������������������������������������������������������������%���� �'���������<�� ��&��������������������������������������������������������������������������������%���� ��"������5������ ��&������������������������������������������������������������������������������

%�& ������� ��%��������������������������������������������������������������������������������������������������������%�# (�"����� ��0������������������������������������������������������������������������������������������������������%�/ -�"�"���������� �����������������������������������������������������������������������������������������%�% +�� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������%�� ����"����������7�2��3 �������������������������������������������������������������������������������������%�0 ���������!���������'���2 ��=�+ ��3 ��&����������������������������������������������������������%��� �$�"���'����� ��#��������������������������������������������������������������������������������������������������

Chapter 8 Acoustic holography��� �����"���� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���"�������������������� ��0����������������������������������������������������������������������

)�$�����������������!��."���� ��0�������������������������������������������������������������������� "$$������!���������'�� �������������������������������������������������������������������������������+���������������'����������'�� �����������������������������������������������������������������26���3������������������������ ��&��������������������������������������������������������������)�� ������!�������������*��������� ��#������������������������������������������������������'������!��������"����."������ ��/��������������������������������������������������������

Part III Time data processing

Chapter 9 Statistical functions����$"$=�$�7�$"$=������������7��$"$ ��������������������������������������������������� "$ ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������������������������������������������������������(���$�����."��� ��������������������������������������������������������������������������������������������������!���� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������+��������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������<����������������������'������ �������������������������������������������������������������������������,���"����'������ ��&������������������������������������������������������������������������������;7��$����'����� ��&������������������������������������������������������������������������������������������ ������� ��&����������������������������������������������������������������������������������������������������������>"����� ��#�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������'����������� ��/������������������������������������������������������������������������������������������

Chapter 10 Time frequency analysis���� �����"���� �&��������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������� �$�8!��."����� ������������� �&�������������������������������������������������������

)�� ���)�$��-�"�����)����!��$�2 )-)3 �&������������������������������������������������� �'������������ �&�����������������������������������������������������������������������������������������������

���� :"������� �$�8!��."����� ������������� �&/������������������������������������������������)�� �����8<����������,"��� �&%��������������������������������������������������������������������?�������@���� �&�������������������������������������������������������������������������������������������������

���& (�!������� �#�������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 5: Complete Theory

Chapter 11 Resampling���� -�7�������$����� �#���������������������������������������������������������������������������������������������

������ �������������$����� �#�������������������������������������������������������������������������

������ �������"���$����� �#&������������������������������������������������������������������������������������ -�������������� �#/����������������������������������������������������������������������������������

�����& ��,����������� �#%���������������������������������������������������������������������������������������� �����'������$����� �#0��������������������������������������������������������������������������������������

�$���$��������7�$��� �#0���������������������������������������������������������������������������������� (�!������� �/�������������������������������������������������������������������������������������������������������

Chapter 12 Digital filtering���� 6�������!�������������������������!������� �/&���������������������������������������������������� -�(�������(�!����������� �%�������������������������������������������������������������������������������

������ -��������������$������� �%���������������������������������������������������������������������-����� ������������ �%���������������������������������������������������������������������������������������

������������!����� �%�����������������������������������������������������������������������������������������

-��������� �%������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������!�-�(�!����� �%&��������������������������������������������������������������������������

��������!����-�(��������!���� �%&��������������������������������������������������������������������-�(�$"����������-���� �%/��������������������������������������������������������������������������������

-�(�(�$�@�!���� �%%�������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������!���(�!������"�������������������� �%�����������������������������������

����3� ����!����!����������������� �%������������������������������������������������������� ����3���$�"�����������!��."������ �%0����������������������������������������������������

����3� ��������"��,����������!���� �����������������������������������������������������������6������!����� �������������������������������������������������������������������������������������������������������

6"������ !����� �����������������������������������������������������������������������������������������������,���'�2�����3�!����� ���������������������������������������������������������������������������������

��'�������,���'�2������3�!����� �������������������������������������������������������������������"���2���������3�!���� �������������������������������������������������������������������������������������

���&3��)����!��$��������������������!���� ��#���������������������������������������� ���#3����������,������������!��$���� ��#����������������������������������������������������

����$��������!���������� ��#�������������������������������������������������������������������������������& ��(���'������������!���� ��%����������������������������������������������������������������������

���� �������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������& ���������!����� ��0������������������������������������������������������������������������������������������������

���# (�!������� �0�������������������������������������������������������������������������������������������������������

Chapter 13 Harmonic tracking���� �����"���� �0&����������������������������������������������������������������������������������������������������

����������!���"�� �0&���������������������������������������������������������������������������������������������� )���������,������"�� �0#��������������������������������������������������������������������������������

������ ����$��������!���(�$ �0#���������������������������������������������������������������������� �'�!��$�������� �0#������������������������������������������������������������������������������

)�� �"�"�����."���� �0/��������������������������������������������������������������������������������)�������."���� �0/����������������������������������������������������������������������������������������

���� +�������� ������������� �00��������������������������������������������������������������������������������

Page 6: Complete Theory

Chapter 14 Counting and histogramming�&�� �����"���� ��&�����������������������������������������������������������������������������������������������������&�� 1�����$�����������"�����$���� ��/������������������������������������������������������������

�&���� +������"��$���� ��/�����������������������������������������������������������������������������&���� ��'�����������"�����$���� ��%�������������������������������������������������������������&���� (�������"�����$���� �������������������������������������������������������������������������"������!�������������� �����������������������������������������������������������������������������������"������!������8����� ��0������������������������������������������������������������������������������

�&�� )��8��$�����������"�����$���� ��������������������������������������������������������������&���� -��$8�8��"���� ��������������������������������������������������������������������������������&���� (����8$������"���� ��������������������������������������������������������������������������&���� AA(���������8�����B����AA(���!���CC�$��� �������������������������������������

�&�& (�!������� ��%������������������������������������������������������������������������������������������������������

Part IV Analysis and design

Chapter 15 Estimation of modal parameters�#�� ;��$������!�$���������$���� ���������������������������������������������������������������������

�������,�"�"��� ����������������������������������������������������������������������������������������������#�� )������!��������� �����������������������������������������������������������������������������������������������

�#���� ���������$"��������������!�!�����$�$��� ������������������������������������#���� ������������,������$��� ��#���������������������������������������������������������������������#���� �"���������"��������� ��/�������������������������������������������������������������������������#���& )�$��'��!��."�������$�����$���$������ ����������������������������������������#���# <�,��8���"����$������������� �������������������������������������������������������������

�#�� +���$�������$�����$���� ����������������������������������������������������������������������� ���������!���$��� ����������������������������������������������������������������������������������������#���� +����������� ��&�����������������������������������������������������������������������������������������#���� ������������ ��/���������������������������������������������������������������������������������������#���� �������!���� ��%�����������������������������������������������������������������������������������������#���& ��$���7�$�������������!"����� �������������������������������������������������������������������������������� �&����������������������������������������������������������������������������#���# ������."�������$���7��7�������� �&���������������������������������������������������������!��������"�"����� �&&����������������������������������������������������������������������������������!�����$�������� �&&��������������������������������������������������������������������������������+���������$���$��������!���$��� �&#����������������������������������������������������������$�����������$"$��"$,����!�$���� �&/����������������������������������������������;7�$��� �&�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�����$�������� �#���������������������������������������������������������������������������������+���������$���$��������!���$��� �#�������������������������������������������������������;7�$��� �#������������������������������������������������������������������������������������������������������������#���/ ������."�����!��."�������$��� �#&�������������������������������������������������������#���% -��."�������$��������������$���������!������ �#/������������������������

�#�& ��7�$"$�����������$��� �/��������������������������������������������������������������������������#�&�� )��������������� �/�������������������������������������������������������������������������������

�#�# ����"�������!��������$���������$���� �/&��������������������������������������������������

Chapter 16 Operational modal analysis�/�� �������������$�������������D �/������������������������������������������������������������������/�� )��������������� �%�����������������������������������������������������������������������������������������

�/���� ��������",���� �����!�������$���� �%����������������������������������������/���� 9�"����;7�������)����."�� �%#�����������������������������������������������������������/���� ���������!���$���������$���������!�������$��� �%%��������������

�/�� (�!������� �%0������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 7: Complete Theory

Chapter 17Running modes analysis

�%�� ("������$������������ ��������������������������������������������������������������������������������������%�� ����"������"������$���� ��&����������������������������������������������������������������������������

�%���� )����$����,����� !"������ ��&�������������������������������������������������������������������%���� ����������������� ��/����������������������������������������������������������������������������

�%�� �����!��������������������!��"������$���� ��������������������������������������������������%���� ��������!��"������$���� ���������������������������������������������������������������������

�%�& �������������!����"�� �0��������������������������������������������������������������������������������������� �����-�������������������"�������������� �0�������������������������������������������$������� �0�������������������������������������������������������������������������������������

Chapter 18Modal validation

���� �����"���� �0&�������������������������������������������������������������������������������������������������������� � -�������� �0#�������������������������������������������������������������������������������������������������� ����� ����������� �0%�������������������������������������������������������������������������������������������& (����������,���������"�������"�"� �0����������������������������������������������������������# ?�������@���$���������$���� ��������������������������������������������������������������������������/ �������$���7�� ��������������������������������������������������������������������������������������������������% ���������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������� ��$���������!�$����� ��&�������������������������������������������������������������������������������������0 ��������������!"������ ��#����������������������������������������������������������������������������������� "$$������!�-(-� ��%������������������������������������������������������������������������������������������� ��������!�-(-� ���������������������������������������������������������������������������������������������

Chapter 19 Rigid body modes�0�� ����"�������!�������,������������� ���������������������������������������������������������������

����'������!�������,��������������!��$�$���"����-(-� �������������������������������"�������!���������,������������� ���������������������������������������������������������

�0�� (�����,����$������������ ��/�������������������������������������������������������������������������������0���� ����$���������!�$���"����$���������������,����$���� ��%�������������0���� ��������!�������,����$�����,�����������$���������� �����������������

�0�� (�!������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������

Chapter 20 Design���� 4�������$�����$�����!���$����������� ����������������������������������������������������������� �����'�� ��#��������������������������������������������������������������������������������������������������������

������ ���$������,������"�����������'����������� ��#�������������������������������� ����!������� ��������� ��0��������������������������������������������������������������������������������

������ ���$������,������"�� ��0������������������������������������������������������������������������ �$���$��������!�����!���������������� ��������������������������������������������� ��!��������!�$���!������������$���� ��0���������������������������������������������& ����!���������������������"����� �&%�������������������������������������������������������# 4�����!�������� �&�������������������������������������������������������������������������������������;7�$�����!���������������!���,��$����$�� �&0������������������������������������������ ���� ����������� �#�����������������������������������������������������������������������������������������

���& -�������������� �#&�������������������������������������������������������������������������������������������������&�� ���$������,������"���!���!�������������� �#&��������������������������������

Page 8: Complete Theory

Chapter 21 Geometry concepts���� )�����$�����!��������"�"�� �#����������������������������������������������������������������������� 9���� �#0��������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������� �#0����������������������������������������������������������������������������������������������������������1�������� �#0������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 9: Complete Theory

Part I

Signal processing

Chapter 1Spectral processing 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 2Structural dynamics testing 23. . . . . . . . . . . . . .

Chapter 3Functions 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Theory and Background

Page 10: Complete Theory
Page 11: Complete Theory

��������

��������������� �

����� ������ ��� ���� ��� � � ��� ��� �� ���������� ���� ������������������������������������������ �������������������������

Digital signal processing

Aliasing

Leakage and windows

Averaging

������������������������������ �������������������������������������� ���������

Page 12: Complete Theory

������� ����������������

����������������� ��!������� ��!�

1.1 Digital signal processing

Time and frequency domains

"�������������������������� �������������������������������������������� �����������������������������������#����������� ����������������������������������������������������������������������������������������� ����

���� �������

�� ������

$���������� ���������������������������������������������������������������������������������������������� ��������!�������������������������

Fourier transform

������ ����������������������������������������%��������� ��&������� ����������'������������������������������

��2�3� ��

��

�2�3E� E�� E�� E��F�� ��������

�2�3� ��

��

��E2�3� EF�����F�� ��������

���������������������������������������������'����������������������������������������������������������������(��������

The Discrete Fourier Transform (DFT)

�������������������������'���������������������������)�����'�����������������"������������ �������������������%���&���������������������������������������������������������(��������%*�������&�

Page 13: Complete Theory

����������������

+����"��������������������

�2�3E����E� E���E��

������

��������� ������������������������������� ������������������������� �������,����������� ����(��������������������������������������� ������������������������������������������

Hermitian symmetry

���'����������������������������������������������������������(��������������������������������������������������������������������������������������"���������������������������������������!����������������������������������� ������������������������������������������������������������������ �����������������������������������������

����������

���

������

��������� �������������

The Fast Fourier Transform (FFT)

���'���'�����������������������������������������������)'����"��������������������%�������&�����������������������������-��������������������������������������������������� ����������������������������� ���������!�����''��

Page 14: Complete Theory

������� ����������������

����������������� ��!������� ��!

����

�������

����� ���

����� ����������

������

������� �����������������������������''�����������������������������������������%*&������� ��������%��������.,�/,�0,�����,�1�.,��2./,�.2/0&�

Blocksize

�������������������*�����������������������������������������*�������������������*�������������������������� �����*3.�����������������������������$�����������������������������������������������������

Frequency range

�������!����������������������!������������� ����������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������3������������ �������������������������������%*3.&�%�3�&�

Page 15: Complete Theory

����������������

!+����"��������������������

�������

����� ����������

��

��

�$�7��� �

�������� �

��������������������������� ��������������������������!��-�%*&���������������������%�&�������� �������������������������������������������������������������������������

Real time Bandwidth

4�����������''�������������"����������!������������������������������������������������!���������������������!����������������������!��-���������������������������������������������������������������������������������������������������"�����������������!����������������������,�������������������������������������������������������������

�����������

������������

����������!

�����������"

##�� ##��� ##��!

$���������� ������

�����������

������������

����������!

�����������"

##�� ##��� ##��!

���������������������������������������!�����������������������������������������������������������������������

Overlap

5 ����������������� �� ������������������������������������������������������������������������

Page 16: Complete Theory

������� ����������������

����������������� ��!������� ��!#

�����������

������������

����������!

�����������"

##�� ##��� ##��!

"�������������������������������������������������������������,���� ����������������������������������������������������!������������������ �������������������������6���������������������������� �,���� ��������������������-�����������������������������

������������������������������������������7����������������"������������������������.28����������������������������������������������������������������������������� ��������������

��� �������

&������������'��(���������

Page 17: Complete Theory

����������������

$+����"��������������������

9������������ ��������������:28�������������������������������������;���������������������������������������������������%��������������������� ����&�����������!�������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������

��� �������

&�������������'��(�!�)�������

Page 18: Complete Theory

������� ����������������

����������������� ��!������� ��!%

1.2 Aliasing

���������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������

������������������� �������������������������!����������&������'��������,�������������������������������������%��&������������������������������������������������%�"&�

�� � �F��

�������������������������������������"�( ���������������������������������%��&,�������������!����������*��������������%��&�

��������FF� �

��������������������������������������������������������������

� ����������

����������������

� ����*���

� �� �! �"

!�� "��

9����������������*��������������%��&�������<������������=������� ������������!����� ������������:��� ,�� �������������!������ ������������.��� ������� ������������!������ �������������� �������������������������� ,�� ,�� ��������������������������������� �

������������������� ���������������������������������������������������;�������������������������������������������������������'����������������������� ����������������������������������������������������������������������"�( ���������������������������������������

Page 19: Complete Theory

����������������

)+����"��������������������

������������

���+ ��

���+ ��

���������(���������������������������

Page 20: Complete Theory

������� ����������������

����������������� ��!������� ��!�*

1.3 Leakage and windows

9������������������������������������������������������������������!�����9����������������� ����������������������������������������������������������

����

�������

�������'�������

�������������������������� �����������������,���)'������������������������� ��������������6����������� ����������������������������������,�����������������������!�����������������������������������������������������������������

����

����

�������

������������ ���'�������

,#��������'�������

��������������������������!�����������������������������������������������������������������������6���������������������������������� ��������������,����������������������+���������"�����,�����!��������������������������������(����������������������������������������������,�������������������������������������������

Page 21: Complete Theory

����������������

��+����"��������������������

1.3.1 Windows

������������������������������������������ �����������������������������������������������������������������������������������������������-�������������������������������������������������������������������� �����������������������������<��������������=����������������!������������������������������������� �

#�������� ��������������'���-� ���������(����� ��� �������.

#�������� ��������������'���-���� ������'��(��(����� ��� �����'��(������'���'.

#�������� ��������������'�����(�������� �������'��(��(����� �� �����������'���'.

��� �� �������.

��� �� �������.

� *

������������������� ������������������������������������������������������������� ��������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Self windowing functions

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������-������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������������������������������������9�������������������������������������������������������������������������������

Note! It should be noted that synchronizing the signal and the sampling time, or usinga self windowing function is preferable to using a window.

Page 22: Complete Theory

������� ����������������

����������������� ��!������� ��!��

Window characteristics

����������������� �����!������������������;����������������������������������������� ���������������������������������������������� ��������������������������������(������������������������������������������������������������������������-������������������������

��/���

(�/(����������0�

�������0���������

��1

�����1��'���(

����������� ��������������������������-���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�������,���������������� �������,��������������������������,�������������������������������!�������������������������������������������5�����������,����� ���%������������������!���������������������(�����������&��������� ������������������������"�������������������������������������� �������������!��������������������������������������������������������������9������������������������������������������� ��������� ��������������

6�������� 7�����������%� &

��������������%� 3����&

*���� ���������%����&

>�(�9���������%� &

?������ ;�: ;.2 ��22 :�@

7������ ;:. ;A2 ��1 ��/

7������ ;/: ;.2 ��:A ��0

B����; ��� ;A@ ;.2 ��0 ��2

���!��� ;@. ;.2 .�2 ���

'���� ;@: 2 :�/: C2�2�

���������+��������������������

Page 23: Complete Theory

����������������

�+����"��������������������

Window types

Uniform window

�������������������������!���������������������������������������������������������� � "� ��� ������� ��� �� ���� ��� �������� ����� �,��������,��������������������������������������-���������������������������������������

���������������������;�7������,�7������,� ���!���,�B����; �������'����������!����������������������������������� ������������������'���������������������� �������� ������� ����� ������������� ;� ����������

Hanning

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������"��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�����������

Hamming

��������������������������������������7���������������������������������������������������������������������12� �

Blackman

�����������������������������������!���������������������������������

Kaiser–Bessel

�������������������������������������� ������������ ��,����������!��������������������������������������������������������������� �����"����������������!���������7����������������������������������(�������

Page 24: Complete Theory

������� ����������������

����������������� ��!������� ��!�

Flattop

�����������=��������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Force window

���������������������������������������������������������������������"����������������������������������(�����������������������������"������� �����������������������������������2��������

Exponential window

���������������������������������������������"����������������������������������������������������������������������� ������ ��� ������ ������ � ������� ��� �� (�������� ������� ��� ���������������������������������<$(�������������=� �������� ��8�� ���� �������������������

9��(���������������������������������������������%����&����������������������������"��������������������������������������������������(������������������������������������������������������������������%�&�����������%�&���"�������� ����������������������������������������������������������������������!���������������������������������������������������

Page 25: Complete Theory

����������������

�!+����"��������������������

Choosing window functions

For the analysis of transient signals use :

?������ �����������������

'��� ������������������������������������ ��������������������

$(������� �������������������������������������������������������������������������������������������

For the analysis of continuous signals use :

7������ �����������������

���!�������B����; ���

������� ���������������������������������������������������������������� ����������� ��

'���� ������������������������������������������������������������������������������������

?������ ��������������-�������������������������������������������������������������������������

For system analysis i.e. measurement of FRFs use :

'��� ������(�������%�����&��������������������������

$(������� ���������������������������������������������������(������

7������ ���������������������������������������������(��������������

?������ ���������������������������������������������������(��������������

Window correction mode

9����������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������

9������ ������������������������������������� ����

$���� ����������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 26: Complete Theory

������� ����������������

����������������� ��!������� ��!�#

"������������������������������������������,��������������������������������������,���������������������������������������

Amplitude correction

����������(���������������� ��������������7��������������

����

'���'�����/��

�� ������

�� ������

�������

����

�� ������

�������

�'���'�����/��

6��������������������%������ �(�7�������������&�������������������������������,������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������7�����������������������������������������������,������������������������������������������������������������������.�

9�������������������������������������������������������������������������������������������������������

Energy correction

6��������������������������������������

���/������/�� '���'������ '���'�����/��

Page 27: Complete Theory

����������������

�$+����"��������������������

"������������� �������������������������������������������������������������,���������������������������������������������������������� ������������������������������������������������

"�������������7�������������,�������������������������������A�8���������������������������������������������������������������A:���������������������� ��

Window correction factors

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������.�������� ���������

6�������� 9���������� $��������

?������ � �

7�������(� . ��A:

7�������(. .�AD ��@�

7�������(: :�.2 .���

���!��� .�02 ��@D

7������ ��01 ��1@

B����; ��� .�/@ ��0A

'���� /��0 .�.A

�������.�6���������������������

Page 28: Complete Theory

������� ����������������

����������������� ��!������� ��!�%

1.4 Averaging

��������������������������������������������;����������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������� ������-����� ������������� �,�������������������,���!�������������������������������������� ���������������9������������������������������ ������������������������ ����

Linear

������������������������������ ����������������������� ������������������ �����"������������������������ ����� ������"����� ���� ������-�������� ��������������������(�����;

�� ������

���

�� ������

������������� �����������E � ��2 ��3� � ������������� ������������

���������������������������

Stable

"����������������� ����������������������� ����������������� ����"������������������������ ����� ������"���������������,����������� �����������������������;

� � �� F� ��� � ������

����� �������������� ������������������������ ������������������������������������������������������ ����!������������������������������������

Exponential

$(��������� ������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������"����������;

� � �� �� F� ��� � � ������!

Page 29: Complete Theory

����������������

�)+����"��������������������

�����������������������������������������������

Peak level hold

"������������������������������������������� ������������������������6������������������(����,�������������������������������������������������'�����!�� �������� ������,��������������������������������������� ������������,�(�����.�%�����/�*���&�������&���������!��-������������������ ����������;���� ��������,�(�������������� ����(����. ����������������;

� 2�3� � 2�3 G� 2�3G�F G� ��2�3G

� 2�3� � ��F2�3

�! ��

�������

�� ������

"���������,���� �������������������,����������������,�����(����� �����������������������������������,�������������������� ���������������

Peak reference hold

"����!������������� ������,��������������������� �����������������"��(������������������������������(�����������������������,�����������������������(�

�����%�����/�*���&������������������� ����������;���� ��������,�(�

�������������� ����(����. ����������������;

�� 2�3� �� 2�3 G�� 2�3G�F G�� ��2�3G

�� 2�3� �� ��F2�3

�! ��

�������

������$

��������,���� ������������������������ ������������������������(������ ������������������������

Page 30: Complete Theory

������� ����������������

����������������� ��!������� ��!�*

1.5 Reading list

Signal and system theory

E����� ��������9�F��+������4������)���G�9������������>�������+�������6����;�"�������,��@D��

E����� ��������9�F��+������$���������9�����������������������������������9�������6����;�"�������,��@02�

4�B��5����������$��������9���������������9�������E����6����H�����,��@D0�

E��>�(>�����������������������������������%.�����&>�����,��@D.,��@0A�

General literature in digital signal processing

9�#��5������������4�6��������)�������������+��������+�����7���,�$���������������*�E�,��@D1�

��4��4���������� ��F�������������9�������������)�������������+��������+�����7���,�$���������������*�E�,��@D1�

B�F�� ��������������B��I��)������>����������������9�������F����9����H�?����,���������@D@�

>�� �������������*�����������������>�����,�+������@0��

9��+������� �����)�������������+�������������,�)�����9���"���������E����6����H������

Discrete Fourier Transform

$�5�� ���������'���'���������������+�����7���,�$���������������*�E�,��@D/�

Page 31: Complete Theory

����������������

��+����"��������������������

4�6��4����-���''��G�'��������������������+�����7���,�$���������������*�E�,��@01�

����� ������������6��+��!�)'�3''��������� �������9���������G�����������"���������E����6����H�����,��@01�

7�E��*��������'���'����������������������� �������9����������������#����,��@0.�

4�$�� ����'���9�������������)�������������+��������9�������6���,��@01�

"$$$;9��+������+������������)�������������+��������"$$$�+���,�*��I��!,��@D@�

Page 32: Complete Theory
Page 33: Complete Theory

��������

������������ ���������� �

?����������������������������������������������������������������� �������������������(�������������������������������� ����������������

�������������� �������������������������������������������(���������������������� ��������������

Signal analysis

Signature analysis

System analysis

Page 34: Complete Theory

������. ����������������������

����������������� ��!������� ��!�

2.1 Signal analysis

������������������������������������������������������� ��������������������������������%����&�������������(��������������(���������������������������������,������������,�����������������!�������>��������������������!�����(����������������������������������.�.

"��(���������� ������������� ���������������,���������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������:�

*����� ������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������9��������������������������

���(����������������� ��������������������������������� ������,����������������������������������������������������������������������������������������.�:�

Page 35: Complete Theory

����������������������

�!+����"��������������������

2.2 System analysis

�������������������������������(���������������������������,��������������������������������������������"�����������������������,���������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������

� �� � ��

�� �

�� �

�� �

�� �

�� �

>��������������������������������������������������������������������������������������������������������,��������� �������������������

���'�������4������'�������%'4'&�����������������������������(�����������������������������%����&��������������������%����&�����������������������������������������������������0�������1�2���,�"�)5'����9��'4'���������������������.�)5'�,����������)5'%�������&�������������)5'�%���������&�

2 ���������������,3#

�4

3�� ����������� ����,3#

��

#$#

5���

H(f) �Xi

Xj

'�����������������������������������������������������������������������)5'����������������������������"������������!�������'4'�������������������� ��������������������� ���%��������&,������������������������������� ��,� �����������������%���;��������&�

Page 36: Complete Theory

������. ����������������������

����������������� ��!������� ��!�#

��/���

�����������������

������

Measurement points

������������������������������������������"������������������(�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������"��������� �������-�����������������)5',�������������������������������������

Exciting the structure

���������������������������������������������������������!����?�����������!���������������<�����=�������������������������������������!��������������������������������������������������������������������

"������������������������ �����������)5'�������������(�����������������������������������'4'���������>������"����>�����5����

6��������������������(��������������������������������������"�������������������������������������������������������?����������������������������������������������(������������������������������������������(�������������������������������<4� ����������=���������� ����������������������������������������������������������������������������������������<'�(�������=�

Page 37: Complete Theory

����������������������

�$+����"��������������������

2.3 Signature analysis

������� �� �������-�����������������;����������������������� �������� ��������������������9��(��������������� ���������3������������� ����������������������������������������������������������<���;��=����3��<���;����=������������������������������������������ �����������������,�������������������������%�������������&�

�������������������-��������������������(����������������������������������������������������!���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������:�������:�.�

0��������

�� �����������

���6�/� ��������

9�������������������������������������,�������������������������������������;����������������������������������;��������������������������������������������!����������� ����������������������� ������ �������������������������������������������������:�:�

>������������!������������������������������������������������������������������������������!����������������������������������������������

Tracking

������������������������������������������������������������!�����������������������������,����,����������������������������������������������������������!���������������������������������������������������������

� �� �!

9� ������ ��� ������ ��� � ������� ���������������������������������������������������� �������������������������� ����������������������������������������

Page 38: Complete Theory

������. ����������������������

����������������� ��!������� ��!�%

6��������������������������������������������!���� ����,����������������������������������,��������������������������������������

Parameters relating to signature analysis

���������������� ��� ��

�������������� �F�F�

*J�*��������������������J�%*��������������3� &���%*��������� �&������%�����������������-&�������%����!��-&

��F�F�

>� J� *����� ��� ������K3K� � J� %*����� ��� ������K3��&� �� � %*����� �����K3� &

�� �����2��3

+J�*��������� �KK3KK����!�J%�*��������� �3��&���%�*�����������&

�� ��� E2��3F�F� ���2��3

��

>�������K3K� > > >

���!��-�*�J�>+�������

*��������� ��+

Orders

'�������������������������������������������������������������������������������

9������������������������������������������"���������������������������1������������������������"��������������������

Page 39: Complete Theory

����������������������

�)+����"��������������������

�*�3�.�� ���57�

'����������������������� ����������������������;

��(�������������%���(&

���������������������%��&

���+*�������

���*� ����

'�������������� ����������� ����������������������;

��(����������%5��(&

3��+*�8����

������������������%�5&

�3�*� ���&

���+*�3��+�.�� �

��*��3�.�� �

Fixed sampling

�������������������������������������������,��������������������������������������������������������������������������� ������������(�������������������������������������������������������������������������������������������������,�������������������������������!��"���������,�����(����������������������������������� ������������������������%���&�

Order tracking

������� �� �������������������������������������������������������,�������������������������������� ���������3������������������"�

��������������������������������������������������%���&���"�������������"���������"�����������+�����������!���������������������������������������������������������������������������������������������������������(�������,������������������������%5��(J�>�3�.&�

6�����������!���,������������� ��������3��������%+&���������������������������������������������������+,����������������������������%�5J���3�+&������������������������������������!�������������� ��������������������������� ������������������

Page 40: Complete Theory

���������

�� ��� �

������������� ������������������������ �������������������������������������������

Time domain measurements

Frequency domain measurement functions

�����������������������������������������������������������������������������������L9�������������������������M�

"����������������������������������������������������������������������������������������������!�����������

Composite functions

"����������������������������������������������������������� ����������������������� ������������������������

Units

Calculation of rms values

Page 41: Complete Theory

������: '�������

����������������� ��!������� ��!�

3.1 Time domain functions

Time Record

&����������������������(���.�����!������&�J�������!��-����������������������������������(���.������������� �����������������-��������������������,�����-J������������� ���������4������������� ��������������

�������F2 3� �������F2��2 33 � ����� �

9 ����������������������� ���������������������������������������������������������������������� ������!�������������������������!�������������������� ��������+��������"����,�����������������������������/�

"�������������������9�������,�������������������������������������������������!������������������������ ������������������������������������������,�� ����������������������������������������������������������������������

Autocorrelation

�������������������������������������������������������������������������������������������!������������������������������������������� ��������������

����������������������������������5((���������������������������������������������������������������������������%�&������������������������� ���������

���F2�3F�F ��$ ��

�2�3F�2�� �3F�� ������

7�� ���������������������������������������������������������������������������������������"�����������������������������������������5((�����������������������(������������������,

���F2 3F�F ��FF���F2�3=FF �����k � 0...N � 1

n � 0...N � 1

Page 42: Complete Theory

'�������

+����"��������������������

����2���������� ���'��������������������6((�����������������������������

"���������������������������������������������� � � �������������������������������������������(���������������������������������� �������(������+�������������������������������(��������������!��� � �� +������������������ �������(�������������!����������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������� ������,�������������������-�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Crosscorrelation

�������������������������������������������������,�������������������"������������������������������"���������������������������������G

��!F2�3F�F ��$ ��

�2�3F!2�� �3F�� �����

9����������������������������������������������������������������������4(��%�&�����������������������(%�&������%�&���������������,

��!F2 3F�F ��FF��!F2�3=FF�����!

k � 0...N � 1

n � 0...N � 1

����6(�����������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������"���������������������������������������������������������

Page 43: Complete Theory

������: '�������

����������������� ��!������� ��!

Histogram

�������������������������7���������������� ������������������������������ ���������������������������������������������(�������� �������8���������$����������7.7�/�*���8��.���������������-��������� ���� ����(7 ��������������������(�

��/�����/�

�����������

ÇÇÇÇ

ÇÇÇÇ��� � �

ÇÇÇÇÇÇ

ÇÇÇ

ÇÇÇÇÇÇÇÇ

ÇÇÇÇÇÇ��

!

�!�����������

!�!

'�����:;��7�������

������������������������������������������(���������������������,

�2�3F�F �FF

� ��

F�F �FF �F�F2 3F=FFF �F�F ����F"F�F � �����#

�F�2 3F�F �=F ��F��F�F���F�F �F2 3F�F ��F�F

���FF

�F�2 3F�F �=F ��#��$���FF

����

�����(����� �������8�����������������������������%�������&������������������������!�

Probability Density

����������������������7��������������-��������������������������������������7�,

�2�3F�F �����FF �2�3=FF �F�F ����"F�F � �����$

����������������(�������������������������������

Probability Distribution

�������������������������,�7���� ���������������%�������&������������� �������������� �� ��������������������������������������������������������,�������� ������������:;A�

Page 44: Complete Theory

'�������

!+����"��������������������

�2�3F�F��

���

F �2�3=FF �F�F ����"F�F � �����%

Page 45: Complete Theory

������: '�������

����������������� ��!������� ��!#

3.2 Frequency domain functions

Spectrum

�����������������������������������9���.�������������������'�����������������������������������������������

%2�3F�F 2F� EF2 3F3=FFF �����)n � 0...N � 1

k � 0...N � 1

������������������������������������������������ ����������������>��������������������������������9"���.�"�/�*���-����.

%&

F2�3F�F �������F2%�F2�33=FF �F�F ����F� � ������*

�������������� �������������������������������������������������7��������������

%2�3F�F % HF 2� �3F�F % HF 2� �3=FF �F�F ���F�FF �������

����9:�����������(���������

������������������������������������������������������������

���''��������������������������������'���������������������������������������;����������������������5����������� ��������� ���������������������������������������������������������������9+�!������������������������������������.,�������������������������������������������������������� ���4������������������������������.�

9���������������� ������,������;�������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������6���������������������� ��������������������������������� ������ ������������������ ��������������������� �������-��,������������������������ ����

Page 46: Complete Theory

'�������

$+����"��������������������

Autopower Spectrum

��������������������������������������������������������������������������������������������������������6((������������������������ ���������������������������-�������������������������������9"����,

���F2�3F�FF �������F2%

H�F2�3F%�F2�33=FF �F�F ����F� � �������

����9:�����������(���������

���������������������������������(������� ����������������,���������������������������������������������������������������

�������������� ��������������������������,���������������������������������������-��;�������,

�2��3F2�3F�FF ���F2� �3F�F ���F2� �3=FFF �F�F �F���F�

������

���

��� �

��/��

���0����������������� �����

������

���0������������ �'���� ������

��/�������������� �'���

���� �'���� �����

�� ����

�++� 9++

����

'�����:;. 9������������

5�������������������������������,������������� ��������� ������������������"������������������������������������,��������������������������� �������������� ��������� ������������������,����������������;������4>��9�������������;((���.

'��FF2�3F�F ���=FF$#� F�F�F �������

'��FF2�3F�F ����F2�3=FF$#� F�F�F ����� �F �

��������������� �������������������'�����������������������������������������'��������������������� ����������������������;�������������������,�(���������4>��������+$9B��������� �����

Page 47: Complete Theory

������: '�������

����������������� ��!������� ��!%

���������������������������������������������������������

������������������������������-����� ��������������������������������������� ����������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������'����������������������������������������������������������������������!������� ������������������������ ���������� ���������������������������������������������������+����������)������������������������

�������������������������������������������������������:�����������������9�������������������������'�����:;.�,������'��������������������������$(����������������������������������������������

9���������� 9������������ #������������)�����

4>� +��� 9.3.

4>� ����� 93�.

4>� +�) 9.3.�'

4>� $�) 9.��3.��'

+�! +��� 9.

+�! ����� 9

+�! +�) 9.3��'

+�! $�) 9.��3��'

�����:���9��������������������

Crosspower spectrum

���������������������6(� �����������������������������������������������������������������������������"�����������������������������������������

"��������������������������������;

��!F2�3F�FF �������F%H�F2�3F�F (�F2�3F=FF �F�F ����F� � ������!

9:-��<�� "���������(���������������������������������������������������������9���.����

Page 48: Complete Theory

'�������

)+����"��������������������

="��<� "�������������������������������������������������=���.

���������������������������������������������������������������������������������"������������������������������ �����������������������������������������������������-���������������������

������������������,���������� �������� ���������������������� ���������,����������� �������������������� ������������"���������������������������������������� ����������������������������"������������������������������������������� �������������� ���������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������

���9���������������������������������������������������������������������� ��������������9����������������4�������+$9B�� ������������������

Coherence

��������������������������������N������������������,�������������������� �������������

Ordinary Coherence

���%������&������������������������������9���&������97�&������������,

�����F2�3F�F����F2�3 �

���F2�3F� ���F2�3������#

�������2�3������� ��������������������2�3��������2�3������� ���������������

"������������������(������������������������������������������� ����������������,�������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������������������������������9���������������������������������������������������������������������"����������� ���������������������������������������������������������!���

Page 49: Complete Theory

������: '�������

����������������� ��!������� ��!*

�����������������������!� �����������������2���������9������ �����%�����&�����������������������������������������������������������������������������������������������������������9���� ����%����2&�������������������������(���������������������������������,�����,�����������������������������������

������������������%�����������������������������������������'4'&�������������������������������������������������,���������������������,����������������������������������������%��������������&�����������������������%���������������������&����������������������������������������������������"�������������������������������������,����������� �����������������������������������������������������������"���������� ����������������������������������,�����������������������������������������������%�����&�

���������������������������������������������������=��������������������������9���������������������

������$��!I�F2�3F�F ��F�!!� JF2�3

�!!F2�3

��� 6����� �����������������������������������6����>��� ��������������������6�����������������������������������������������9������� ������������

��� �������������������������������������2�������

Partial Coherence

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������

�����������������������,�������������������9����.�9�.�97.�������������������������9� �����97.�������������������������9�������9� ������ ����,

������F)FF2�3FF�F����F�F)F2�3F �

���F�F)F2�3F� ����)F2�3������%

����G

����) �*�+�K ��"��������!��������%� ����"�����!�"�������!�����������%������)

Page 50: Complete Theory

'�������

�+����"��������������������

����) �*�+�K ��"��������!��������%�����"�����!�"������!�����������%������)

����) �*�+�K ������������,��������������%� �����%�����"�����!�"�������!����������%������) �

����������������������!� ���������2�������

Virtual Coherence

���#����������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������,

������)��,��F2�3F�F�����F2�3 �

����F2�3F� ���F2�3

����G

6?����� ������������������������������9?�

6?�7��� ����������������������(7 �����������������������9?�

��� ��������� ���������������������������2�������������������� �������������������������������������������������������������������������O2,�P�

Principal Component Spectra

����������������������,�9�����9����*�����������������������������������������������������������������,���������������������,��������������������������������������������������%�����������9?������9?����������������������������������������������������������������*�����������������������������������������(�����2,����������������������,������������������������������������������������������������������������������%������&����� ������������������

���+�����������������������������������������������������������������������������������������������������������,

�%2�3�F�F L-M#F�%�2�3� ������*

�%�2�3�F�F L-MF�%2�3�

L-M#L-MF�F .

L���MF�F L-M#F������FL-M

Page 51: Complete Theory

������: '�������

����������������� ��!������� ��!�

���

�6?((�J �������������(���������������������������������������������������������

Q9?�<�R�J ��������������������������������������������

O@P�J ������������������������(�

����������������������������������������������������������������������������������������������%������&�����������������9�����!����(�����������������������������������(����������������������3�������������'4'���������

Frequency Response Function

��������������������������%'4'&�����(�O7%!&�P�(��������������������������������������������������������������������;�� ����������

������

2 ��

2 ��

2 ��

3�� ��

3�� ��

3�� ��

������������

���������� ��� �����

"��&� �����������������������������&� ����������������������,��Q9�&�R�����&�; ��������������������������������Q=�&�R���&�; �����������������������������9����������������������������(�O�A���P������-%&�.�&�&�����������������������,

�(2�3�F�F ��2�3�F�F �%2�3� �������

������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������OA���P������������������������������������

The H1 Estimator

����������������������������7�;������,���������������������������������������������������������������S���������������������

Page 52: Complete Theory

'�������

+����"��������������������

N

O

NO

9

*

N�K�*O�P�9

"�������-�����������������������������������������"������������������������������� �����;

���2�3�F�F��!�2�3�����2�3�

�������

�������������������� ������������������'4'��������������������������7�������������;����������������������������� ���������������������������������������������������������

The H2 Estimator

9����� ��,���7.���������������������������������������������������������������������������������I��������������������

N

O

NO

*

N�K�*2O�8��3

"�������-��������������������������������������������������������������������������� �����;

���2�3�F�F��!!2�3���!�2�3�

������

�������������������� ����� �����������'4'������������������������������������������������������������������;���������

Page 53: Complete Theory

������: '�������

����������������� ��!������� ��!

Note! This estimator can only be implemented in the case of a single output

The Hv Estimator

'�������������A+ �������,�B�A���P����������������������� �������������������������������� �������������(�B�6((�CD

����!F�FF�F ����!�

��!

�!! ������

������������������-������������������������������������������������������6�������������������������������������������� �������������������������������������

N

O

O

*

9

N

N89�K*�2O8�3

��������������� ���������� ���������������������������������"�����(���������7.���������������������������7���������������;�����������"�������� ���������������������������������������

'���������������������������������������������������������������������������������

Impulse Response

�����������������%"4&�������������(�O����P�(��������������������������������������������������������������������������������������!����������������� ��������������

!2�3F�F � �2�3F�2�� �3F�� ������!

Page 54: Complete Theory

'�������

!+����"��������������������

O����P����������������������� ���'����������������������������������������������������������;

�#2�3�F�F ��FF��2�3� ������#

"����������������������������������������������������������������������������������

���'4'����������%7�,�7.����7 &������������������ �

Page 55: Complete Theory

������: '�������

����������������� ��!������� ��!#

3.3 Composite functions

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(������� �������������������������������������������� �������%������,���,����&,���������������������������(��������� ������������������������������������������������� ���������<�����=���������������������������������� ����������,������������� ��������������������

Overall level (OA)

����������������������� ����������������������������������������9�������������������(������������������������������ ������"����� �����������������������������������������$�������������������������������������

ANSI 1.4 time based OA level calculation

����������������(����������� �����������������5 ������ ��� ���

���������������������9��(�����������������������������%����� &������

������������������������������������������"���������������� ��������������������������������������������������-�� ����������������

��J�:1��������"������%��!�&�����������J��.1��������������������������������J��222����������� ������������������

6�����������������������!������������������������L������M�����������������!����������������������������"��������������������������� �������������:1���� ��������������������������!����������������������������122���

Frequency section

����������������������� ������������������������������������� ����������������������������������������"�����������(������������4������������������������� �������������������������������������������������������������������

������������������������������������������ ���� ���������������������������� ����

Page 56: Complete Theory

'�������

$+����"��������������������

1��'���(

:������������

;�'��0�������

< ��0�������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����

������������T3;�Q �������U3U.R

��� ����������������������� �����������������+����������������������(������� �����������;

� ����(��������������

� ����(����������������������������������������(����������� �����������

� ������������������������������

����������������������������

� �

1�������*���������

��*�����

1�������*)���/� /� ��� �

� �

��

1�������*����

Page 57: Complete Theory

������: '�������

����������������� ��!������� ��!%

Order sections

����������������������� ������������������������������������������������<����=��������5�����������������������.�:����������������������������9��<����=�������������������������������������������������������������������������� �������������!�����������"��������������������������!���������������<�������=���������������%����������������������&���9�������������������������������������������������!���������������� ��������������������������������������������(��������������������������������������������������������������������������������(��������������������������������������

+���������������������������������������������G

� ����(��������������

� ����(����������������������������������������(��� �����������

� ����(������� �������

� ������������������������ ���

�������������������������������

� �

1�������*�������

��

��*�����

1�������*�����

��*������.�� �

�3*�����

1�������*�)

��*������.�� �

�3*�����

�3�������*1��'���(��)��.��

�3�������� *1��'���(��)��.���� �

� � � �

� ��� ��

1�������*����

Octave sections

9����� ���������������������������� ������ ����� �������������������������������������������������"�5�������12�.AA���+��������� ��������������3�,��3.,��3:,��3�.������3./���� ��

Page 58: Complete Theory

'�������

)+����"��������������������

3.4 Units

�������������������������������������������>������������������������������������������������������������������������������������������������������������,�����,�����,���,�������,������,���������,������ ��������������������������������������G

������������������ !����������� "�#���������� !�����������

���� � �� �

���� �� ������ ���

���� �� !������� !�

�� � ����� �

����� �� 9��V� 9

������ ���B� �� �2B

���� �� ������ ��

�����:�.�4���������

������������������������������������������������������LMS �����������������������������������������9������������������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������

'���(����,������������������������������������%����3��.&������� ����������������������������������� �������������������������������%�3�.&�

Page 59: Complete Theory

������: '�������

����������������� ��!������� ��!!*

3.5 Rms calculations

�������������������������������������������������������������������������������������������4>������������4���>���������������������������������������������

"�������������������������,������������������������ ������������������������������������

Time and Impulse records

6�����������������������,�������������������������������������-�������������������������������������������������������������������������������������� ����,��������������������!�������� �����%���&���� ��������������������������������������������������������������!�������� ��������� ��������������������������������������������2�������������������!

���� ��� �E �E

�����

!���� � � � � �

!�

������$

rmsA

��!������(���������������� ,�������������9,���������� ������

��

Frequency spectra

����������������������������� ��������������������������������

��������� ������������ ���

�� ��������

�� �������

Page 60: Complete Theory

'�������

!�+����"��������������������

����������������� ���������������������� �������������������������������������� ����������������.���9������������������������������������������������������������%9�&���������!�� ����������������'��������������������������������%92�����9�!&,������������� �������!��

������������

��

���

�01 �0�

������� ������������������������������������������

���� �F������

������

���

��� ����

����� �������%

Autopower and crosspower spectra

��������������������� ��������������������������������������������������%!&���������������������������������������������������������9������������������������������������������ ,��� ����������������������������%92�����9�!&������� ����������� �������������������������������������������

���� �F�����������

���

�����

����� �������)

FRF, Impedance, Transmissibility and Transmittance

4��� �����������������������������������������������������������������������'4'�����������������������������������������������������������9������������������������������ ����2�"� �������

���� �� �� ������*

����!��������������������������������

������������������,�9�"� ������� ��������������:;.0�

������������'4'�������A�"� ���

Page 61: Complete Theory

������: '�������

����������������� ��!������� ��!!�

�������

�����%���

���

����� ��� �F�

�����

���

���

���

��� ����

�����

Sound power, sound intensity (active and reactive), SFTVI and SFUI

�'�#"�%������������������������������������&������'?"�%������������������������������&����"�5������������������������������������������������������������������������������������,��������������������������������������,������ ���������������������������������������

�������������������

��

Particle velocity (active and reactive)

9���������������� �����������������������������������,�������������������������������������������������������������������.�������������:;.0�

���� F���

������

���

��� ����

�� ������

Page 62: Complete Theory

53

Part II

Acoustics and Sound Quality

Chapter 4Terminology and definitions 55. . . . . . . . . . . . . .

Chapter 5Acoustic measurements 67. . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 6Sound quality 83. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 7Sound metrics 99. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 8Acoustic holography 117. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Theory and Background

Page 63: Complete Theory

!!

���������

����� ���� �

���� ��� �

����� ������ �������� ���������� ��� ������ ���� ��������� ������������

Acoustic quantities

Reference conditions

Octave bands

Acoustic weighting

Page 64: Complete Theory

������/ ������������������������

����������������� ��!������� ��!!#

4.1 Acoustic quantities

Sound power (P)

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,���� ������������������������������������������������������������������������������������ ������� �������,��������������������������(�����������

������������������EF�������������������������&��������������������� ����

�������.��

���

��

����������������������������(���������E�������������,����6���

����������������������������������������6�

Sound pressure

�������������������������������������������������� �������������������������������������������������������,���� ��������������������������(���������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������%����������&,����������� ����������������������������������������������������������������������������,������������������������������������%S,I,����W&��������������+�����%E�&����&G"��

Sound (Acoustic) intensity

9������������������������ ����������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������

Page 65: Complete Theory

������������������������

!$+����""����9������������������X�����

���������2F��$��F�.�� . ���

.

������������������ ���,�����������:);����������������������������HG"�,�%�����������������������&�

���������������������� �������:)����������������������������������������������,��������������������������������������

���������9������,��� �����������% .

���

�&�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"������������������� ����������������������������,����������������������������-���

"������������������;� ��������������������������������

�����.� ��

.2�3��

9������,�������������������������!���������������������-���������������������������-����������

Normal sound intensity

������������������������������������ �����������������������������

Free field

�����������������������-���������������������������������������������������������������������������� � ��� ����� ���� ���������� ����������������������������������� ������������

Page 66: Complete Theory

������/ ������������������������

����������������� ��!������� ��!!%

Diffuse field

"����������� ����� ������� ��� ������������������������� ������� �����-���

Particle velocity

+������ ����������� ��������� �����������������������"��������������������������������� ������������������������������"���������������������������

�����. � �F,

��� �/��������������%E��, J�������� ������%"G��

���������� �������������������������������� ���� ����������� ����������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������,���������������������������� ����������������������,����������� �������������������������������������������� ���������

$�������/;/���������������������������� �����,�������������������������������������������� �������������+������ ����������� ��������:);�����(�����������������%"G���

"����������������������������� ����������� ��������������� �����������������������-���

?����������������������%����������������� ��� ��������������&,��������� ����������������������������������������������������������������%����

�����!,� ��E�E�/

Page 67: Complete Theory

������������������������

!)+����""����9������������������X�����

��� ��/����� ��������������%E���J�����������������������%��G"��/� ��������������������������%"G��

��������������������/;/�����/;1�����������������������������,���������������(��������������������������������������������������� ������������������� �

�����#� . ��

�����/

Acoustic impedance (Z)

����������������������������������������������������������� ��������������������������

3� �F�F/ �����$

���� /�������������%��G"����J�� ��������������������������%"G��

Page 68: Complete Theory

������/ ������������������������

����������������� ��!������� ��!#*

4.2 Reference conditions

"������������������������������������������������������,�������,������������������������.2��������������������������������������2.:��+�%�����&���?����������������

������������������ J���.��%��G"��� ����������������������� /�:/:�%"G������������������������ J�/�1�������%��G"���

dB scale

����������������������� ��������������������������������������������������������������������,�����������������(������������������������������������������������������� �������������� ������7������������������������������������������ ���������������,������������������������������

Sound power level Lw

������������������������������������������������%�������&� ������������������������������������

�����%45� �� �����FG�.G��

������������������������E*�J��2;�.�%H�

Particle velocity level Lv

������������������������������������������������ ������

�����)4,� �� �����F ,,�

���������������� ���������+*�J�12��2;@�%"G��

Page 69: Complete Theory

������������������������

#�+����""����9������������������X�����

Sound (Acoustic) intensity level LI

��������������������������������������� ���������������� ����

������*4.� �� �����FG. G.�

����������������������������������������������������������� J�2;�.�%HG"��

Normal acoustic intensity level (LI)

��������������������������������������� ���������������������� ����

�������4. � �� �����FG. G.� �6

Sound pressure level LP

����������������

�������

4�� �� �����F ����

� �� ����� �������������� ������������������������%���+�&

������ ������� �������������������������������������������� ��������������������

�� J�2�2222.�%E��/�.2��E�

������������������� �����.2��E�����!������������������-����������������������������������������������������2227-�������������������� ����������

Page 70: Complete Theory

������/ ������������������������

����������������� ��!������� ��!#�

4.3 Octave bands

������%�3�&���� �����������������������������������������������������������������(����������%��������������������-�� ����&���������� ��������

�-��� �-�����-��

fc, i�1 � 2. fc,i

+��������� �������%�3:,��3�.��3./������&������������������������

fc, i�1 � ( 21�x ). fc,i

��������(�J�:,�.,�./������

� �0���

�!�0���

fc.2�1�2x�������������������������3(���� ��������

fc.2�1�2x�������������������������3(���� ��������

���������������������������������������<������=������������"�����������"�5�������12.AA��������������-���������������������� ������������ ����������3�,��3.������3:���� ����������������������/���

*��������������������������������������������������-��������������������������������5�� ���������� ������������������-�� ������������������������������������

Page 71: Complete Theory

������������������������

#+����""����9������������������X�����

*������-��������

�3���

�3.��

�3:��

�3���

�3.��

�3:��

�3���

�3.��

�3:��

�A ( ( ( �A2 ( �A22 (

�0 �02 ( �022

.2 ( .22 ( .222 ( ( (

..�/ ( ../ ../2

.1 ( .12 ( ( ( ..12 (

.0 .02 .022 (

:��1 ( ( ( :�1 ( :�12 (

:1�1 :11 ( :112

/2 ( /22 ( /222 ( ( (

/1 ( /12 /122

12 ( 122 ( ( ( 1222 (

1A 1A2 1A22 (

A: ( ( ( A:2 ( A:22 (

D� D�2 ( D�22

02 ( 022 ( 0222 ( ( (

@2 ( @22 @222

�22 ( �222 ( ( ( �2222 (

��. ��.2 ��.22 (

�.1 ( ( ( �.12 ( �.122 (

�/2 �/22 ( �/222

�A2 ( �A22 ( �A222 ( ( (

�����/�� *������-�����������%7-&

Page 72: Complete Theory

������/ ������������������������

����������������� ��!������� ��!#

4.4 Acoustic weighting

Frequency weighting

������������������������,���������������������������,���������������������������������������������������������������������������� ����������������������� ����(���������������� ���������������������������,����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�������������������������������������������(����������������������������������������������������� ������������������9�������������������������������������������'�����/;��������������� �����(���������<+����=�����!7-;���������������������,���������������������222�7-���,���+���� �������������������� �������������� ��

'�����/;� $����������������������������

Page 73: Complete Theory

������������������������

#!+����""����9������������������X�����

9,� �������;�������������������������������9;���������������������������������������������������������(������������������������ ���/2��������������������������������������������������� �����/2� ������9;������������� ������������������������(�������������������� �������������� ������;����������������������������D2������22������������������ �����������������������������'�����/;.��������������� �������������������9,�� ,�������������� 9,�� ���

�����/�.�%� ����&������������� ��������������������������������������:����������������"����������������������������,������������������������������������������;�����������'�����/;.�������������������������������������������

�=�

�>�

�?�

�"�

�!�

���

� �

��

� �� �! �"� ? � � ?? �

#��������57�

$����������� ������1�

1

:

,

'�����/;. ��������-������������� �

Page 74: Complete Theory

������/ ������������������������

����������������� ��!������� ��!##

�3:�5�� �����������������7-

9���������� ���������� �����������

�A ;1A�D ;.0�1 ;0�1

.2 ;12�1 ;./�. ;A�.

.1 ;//�D ;.2�/ ;/�/

:��1 ;:@�/ ;�D�� ;:�2

/2 ;:/�A ;�/�. ;.�2

12 ;:2�. ;���A ;��:

A: ;.A�. ;@�: ;2�0

02 ;..�1 ;D�/ ;2�1

�22 ;�@�� ;1�A ;2�:

�.1 ;�A�� ;/�. ;2�.

�A2 ;�:�/ ;:�2 ;2��

.22 ;�2�@ ;.�2 2

.12 ;0�A ;��: 2

:�1 ;A�A ;2�0 2

/22 ;/�0 ;2�1 2

122 ;:�. ;2�: 2

A:2 ;��@ ;2�� 2

022 ;2�0 2 2

�222 2 2 2

�.12 T2�A 2 2

�A22 T��2 2 ;2��

.222 T��. ;2�� ;2�.

.122 T��: ;2�. ;2�:

:�12 T��. ;2�/ ;2�1

/222 T��2 ;2�D ;2�0

1222 T2�1 ;��. ;��:

A:22 ;2�� ;��@ ;.�2

0222 ;��� ;.�@ ;:�2

�2,222 ;.�1 ;/�: ;/�/

�.,122 ;/�: ;A�� ;A�.

�A,222 ;A�A ;0�/ ;0�1

.2,222 ;@�: ;���� ;���.

�����/�. 6�������������������������

Page 75: Complete Theory

#$

��������

���������������� ��

�������������������������������������������������

Measured acoustic functions

"�����������������������������������������������������������������������������������������������������������

Calculation of acoustic quantities

Acoustic measurement surfaces

Frequency bands

Field indicators

Page 76: Complete Theory

������1 9���������������

����������������� ��!������� ��!#%

5.1 Acoustic measurement functions

�������������������������������������������������������'�������������������������������������� ����������������������������������1�.�

Sound pressure level

������������������������/;�.���������������������������������������"������������������ ������������������������������

'������������������������,�������������������������������,������������������������� �������������������������������� ����"��������,����������!��������������������������,����������������� ��������������������������������� ��

Sound Intensity

���������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������

"������������������������������������������������ ������������

����������������,� . �,������������������

"������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������"��������,���������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������9�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������'�����������������������������,��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����!��.� .��)F��=�

���F�F�

6���6�.�������������������������������������������������������,����������������������,�,���������������������������� ����������������

Page 77: Complete Theory

9���������������

#)+����""����9������������������X�����

'��������������,���������������������������������������,���������������������������������� �����������"�������������������� ���������������������������

��������������������������%�������������������&���������������

.���/��,�F�F��=F�F� ��=F���F�F�F�

�����!��

'����������-�������������������������������%�����������������������&�������������������������������,������� �����������-���

Residual intensity

����������������

�.�4����F.� ����!�

����4���������������������������� ��������F.���������������������

����������(����������������������������������������������������� ����������������������������(�� ������������������������������"������������������������������������������������������������ ��������������

4����.��4.�4� ����!�

I� ��������������������/;�.,�����IF �����������/;�2���"���������������������������������� �����������,����������������������,������������������������������������������������������������%4�� ��F.�

&����

�������������������� ����������������������������������� ���������������� ��

Page 78: Complete Theory

������1 9���������������

����������������� ��!������� ��!$*

Pressure residual intensity index

'����������������������������������������������(����������������������,������������������������������������������������������������������������������������ ���� �������"��������������������������������������������������������������������,�����������������������������������-�����7�� �,����������������������������������������������������������������������������������!����������������������������������������������������������!��������������������������������������������������������������������������������(����� ������������������� ����6��������(�,������������������������������������������ ����������������������������������������"������������������������������������������������������(���>��������������������������������������������(���

��.�� 2F4��4. F3 ����!�!�6

����I� �������������������� �������IF���������������������������� ���

Dynamic capability index

"��������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������<���������������=�%�&

4����.��F �F�6� 4. � 4� ����!�#

�����������������������

I,

� !�

4�

�1

�������

4.

'�����1;� )��������������������(���

Page 79: Complete Theory

9���������������

$�+����""����9������������������X�����

���<���������������=�%�&����������������������������������������������������������������

F��������������� ���������������

+������� %�������& �2

$�������� %������.& �2

��� � %������:& D

�����1�� ���������������%�&

�������������������������������;����������(�����������������������������������������������������������������������<���������������������(=��I,�������������

4�� 2F��.���F3 ����!�$�6

Page 80: Complete Theory

������1 9���������������

����������������� ��!������� ��!$�

5.2 Calculation of acoustic quantities

9������������������������� ���������������� �������������������������������������������������������������1�.��� ������ � ����������������������������������������������� �����

������������������������ ����������������������������������������������������������1�/��������������������������� ����!��������������������������������������%����&��������������������������������������������1�:�

Effective sound pressure

������� ���������������� ������"� �������������������������������������������������������������������������

��� � ����

��

� �2�3 �� ��

����!�%

� ����

��

��2�3��

Acoustic intensity

���������� ��������������������������������������������������������������

. ��

��

��

. 2�3�� ����!�)

6�������������������������� ������������������������������������� ������,����������������������������������������������������������� �����������������������������������������

.���� �F�F/

����!��*

Page 81: Complete Theory

�� � �� ���

�� � �� ���

. � .�

. F�F�

,

.

9���������������

$+����""����9������������������X�����

�����������,�����������"������������������������+�� �+�����������������,�

Sound power

�������������������������������������6�����������������������������������������������������

�� . F�F� ����!���

?���������������������,�������������������������������������������� �������������,�������

����� �F/F�F� ����!���

Particle velocities

������������������������������������������������������������������ ������

, � .

�����!��

9�����������������������������������������-����������1�.���%������������������������������������������ ��� ���������������&

9������������� ������ 4��������� '������ >B�����

$���� �%4>�&������������

�� ���������������������

+����*3�.�

��������������4

"����� ������ 63�.

���������� E "��������,���� 6�

���������������������,����

%�&

����������������,����

%�&

+������ ����� ���������,������������

�3�

�����1�. 5 � �������������������������������������������

��� �F/�F�

��� �F/�F�

Page 82: Complete Theory

������1 9���������������

����������������� ��!������� ��!$

5.3 Acoustic measurement surfaces

9������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������������������������������������������������9��������-�����������������������������������������������������������������������"�5�����������������������������������������������������

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ

�������/� ���

����������������������

�����

'�����1;.������������,�����������������������������

9�������������������������������������,��������������������������������

9������������������������������� �������������������������������������������,���������������������TW����������������������������������������������������������

Acoustic ISO standards

$��%�&'()**���%�&'()*+������������������������������������������������������������������������������%���;&������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�����������������������

Page 83: Complete Theory

9���������������

$!+����""����9������������������X�����

"�5;:D// 9��������;�)������������������������ �����������������;�$���������������������;���������������� ����������������

"�5;:D/1 9��������;�)������������������������ �����������������;�+���������������������������������;�������������

$��%�&',-.*'.����������������������������������������"��������������������������������������������������������������������������������������������������������������"������������������������������������������������������������������������������������������

Page 84: Complete Theory

������1 9���������������

����������������� ��!������� ��!$#

5.4 Frequency bands

6�� ������������������������������� ����������������������,��������������������������

��� ��

��

�2�3�� ����!��

����������������������������������������������������������������� ����������������������������G

�� ������

�����������!��!

���� �� 0��*��+�7 0��*�7+�8� �9�88 �88� �9��87

���������������!�������������������� �����������������������������������,�����12�8���������������������������"���������������������������������������������

"�����������������������������������������������������������������������������������������������������"������������������������ ����������������������������������������������������������������������������������������!����������������������������������������������������������������

Page 85: Complete Theory

9���������������

$$+����""����9������������������X�����

5.5 Field indicators

6�����������������-��������������������������������������������������,����������������������"�5�@A�/;�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������9������������������������������,���������� �����������������������������������,���������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������

F1 Sound field temporal variability indicator

������� ��������������������%�����&� ����������������������"���������������������

����!��# ���.

��� �

�����

2F. �� . F3��

6��� . ���������� �������>���������� ��������F�� ������������������������������

. � �������

. � ����!��$

F2 Surface pressure–intensity indicator

"������������������������������������������������������,��������������������� ������������������������"������������������ ��������� �,����������������������������������������9���������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������;���������������(������������������������������������������ �����������������������������������������������������������������������������������,��������������'.��������������������� ����� ������� �����������������������

Page 86: Complete Theory

������1 9���������������

����������������� ��!������� ��!$%

����!��% �� 4��4G. G

4� �������������������������� ����������

4�� �� �����E�� �E�

���

�����

�!�����!��)

�����������������������������������&����������������������������%������������������&�

4G. G ������������������������������������������� ����������

4G. G� �� �����E�� �E�

���

G. �G.��!�

����!��*

����G. �G�������������%�������&� ����������������������� ����

Note! A large difference between intensity and pressure suggests that the probe isnot well aligned or that you are operating in diffuse field.

"�����������������2� ������������������ �������������������������%��������&���������������������������������

F3 Negative partial power indicator

�������������������(�������������������������������������������,������������������������������������������!������������������������������(�������� ����������������������������������������������� ��������%����� &�����������������������(�������������%���� &�

����!��� ��4��4.

4� �������������������������� ����������� �

Page 87: Complete Theory

9���������������

$)+����""����9������������������X�����

4. ����������������������������������������� ����������

4. � �� �����E����F�E�

���

. �.�F���� ����!���

Note! If the quantity � . �.� is negative, then the effect of extraneous sources is

too great and the set of measurements do not satisfy the ISO requirements.

"�����������������2 ������������������ �������������������������%��������&���������������������������������

F4 Non–uniformity indicator

�������������������������������%������������&� �������������(���������������"���������������������������������������������� ������

����!�� &��.

�� �

����

2F. �� . F3��

6����������������������������������&������������������������������ . ������������������������������������� ������!��� ����*��������

. � � E����

. � ����!��

"�����������������2 ,��������������������������������

5.5.1 The criteria

������������������ ��������� ���������������������������������������������

Page 88: Complete Theory

������1 9���������������

����������������� ��!������� ��!%*

Ld – F2 Measurement chain accuracy

"������������������������������������������������������������������� ������������������������������"�5�@A�/;�,����������������������������(�%I,&���������������������������'� ����������������������

4�� �� � "��������

I, ����������������������������������������������������*5��9F���2� ��������������������1;�0���I, ������� �����������������������������������(������������������������������������������

"������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������

F3 – F2 Extraneous noise sources

"�������������������������������2� �����2 ���������������%��������:� &,��������������������������������������������������(���������������������� ������������������������������

"��������������������������������������������:�� ,�������������������������� ���������������� ��������������������������������������������,��������������������������������(������������������������������������������������������������ ��������

Measurement mesh adequacy

9����!������������������������������������%���&��������������������������������������

� :F�F &E� "���������

��� &�����������������������%����&���������2 �������������������������������1;.:'��������������������������1�:�������������������������������

6������������������������������������������������(����� ������'�2

���������������������� ������������������

Page 89: Complete Theory

9���������������

%�+����""����9������������������X�����

�������������%7-& �

5�� ����� �3:�5�� ����� +��������������

$��������������.

��� �������:

A:;�.1 12;�A2 �@ ��

.12;122 .22;A:2 @ �@

�222;/222 022;1222 1D .@

A:22 �@ �/

9�������%A:�;�/!����12�;�A�:!&�7- 0

�����1�: #����������������������������������������

Page 90: Complete Theory
Page 91: Complete Theory

%

���������

�� ��������

����������������������������������������������������������������������

Basic theory relating to sound quality

Sound quality analysis

9��(��� �����������������������������������������������������������������

Page 92: Complete Theory

������A ������������

����������������� ��!������� ��!%

6.1 The basic concepts of Sound Quality

Sound signals

�����������������������������������������+�,�������(������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,���������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �����������%���������&�������������������������������������������;���� ������������������������(���������������� ��������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������,������������������������������������������� ����� ����������������������������-��

������������������������������������������������������������������������� ��%�+�&��������I�����������������������/;�.�������������������� �����.2��E����!������������������-����������������������������������������������������2227-��������������������� ����������

����������������������� ��������������������������������������������������������������������,�����������������(������������������������������������������������������� �������������� ������7������������������������

/�����#�� ��������������������������������������������������������.2!7-�������������������������������������� ��������������������,�������������������������������������������������������������������������������(������������������������������������ �����������������������I����������������������)�����������������������������//��B7-�����)9�����������/0!7-�

����������������9���������������������-����������������%����������+�&����������������������������������������������������������������������������%�����&�������<����=���7�� ���������� ����������������+�,����������������������������������������������,����������������� ���� ������������������������������������������

Page 93: Complete Theory

������������

%!+����""����9������������������X�����

The perception of sounds by the human ear

9�����������������(������������������������������������ �� ������� ���������������������� ����������������������������������������������������������������������������(,����������� ��,�����������������������������������������������������"���������,�������������������������� �� ���������%���<��������=&�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������������������������������� ������������������� �������������������

+�����������,���� �,������������������(������������������������������������"������������������������������������������������������,����!�������,�(�������,�� ������,����(,�����9������������,������������<����=����������������������������������,�������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������'����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!��J�K����

The hearing process

��������������������,������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,�������������������� �������������������������������������������������� ���������������������������������������,J�K�

'�����A;���������� ��������������������%�����J!K&������������������������������������������������)������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������������������������2�!7-������������������!��������������������,��������������������������������������������!������������������������������������������!������������������,����������������������

Page 94: Complete Theory

������A ������������

����������������� ��!������� ��!%#

&��&��

@������@�������

@����(�����0�

�������� ��

:�(���

��������0���

��������������

3����'���'

����5�����

$����'���'

������

3�������� 8��������

2������

����������0���

'�����A;� ��������������������

Binaural hearing

9���������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ���������122�7-,�����������������������������������������������������������������-����,��������� ������������������������� �����������������������������������������������������������

+���������������������������������������������������������������������-�,���������������������������������������������������������������������������������������J��#K����������������!�����<����=�������������������������������=�������������������� �����������������������������������������������������!������������

Sound perception

�������,���������������������������������������������������������������������������������������������������������������,��������!�����������������������������������������������������������������������������������������������������������"�����������,���������������������������������������������������������������� ������������������������������������

Page 95: Complete Theory

������������

%$+����""����9������������������X�����

����������������������������,����������������������������������������������������������������������������������������������,�������������������������<�������=������������������������������������� ����"���������,������� ��������������������������������������������� �� ����������������������9���������������������������������,��������������������������<����=�����������������������������������������������������������������������

Loudness

����������������� ���������������������������������������������������������%����������&��������������������������������������������� ,�������������������������������������������������������������������������������� �����������������'�����A;.�J!K�������������������� ������������ ������������+�,��������������������������,��������������������������������������������������������������� ��

'�����A;. $�����������������������������Q1R

Pitch

������� ��<���������������=,������������<����=,�����������������������������������J#K�

Page 96: Complete Theory

������A ������������

����������������� ��!������� ��!%%

�������������������� ������������������������������������������ �,�������������������������������������������������������+����������������������������������������������� ����5��������������������������������������<���������=���"�����������������������!�������������������,����������������������������������������������������������������������������������9�������������,������ ��������������������������������������������.G���������������9������������������� ���������������������������������������������������������������.G����'���(�����������������0!7-�����������<���������=���������:227-�

����������������������������������������������(������,��������������� ����,�������������������������������������������<���������=���9�������������������.1�7-��������������������������������,������������ ����������������������������������������� ���������������������� ���������������������������������������������������������������,��������������������������L"��?����������������������.1�7-���������������������.1���,��������������������,�//27-,�������������������������������������������� ����

9��������������,������������ ������������������������������������� �������������������������������(������������������������������0!7-�������<���������=�����:227-,������������������������ ������������������������������������������������0�!7-����������������������������.�22����������������������:22�7-������������������������������212��,������������������.�22����

Critical bands

������������������������������������������ ������������������������ ������������������������ �������������������������(������������������ ��������������������2�7-,�������������������122�7-, �� ���������������������� ����%�����.:�8&���������������������������������������������������������������;��������������������������������������� ���������������������������<�������� ���������=�������< ��!=������������������������������������������A���

Page 97: Complete Theory

������������

%)+����""����9������������������X�����

�������� ����% ��!&����'�������%7-&

��������%7-&

�12�22

.�12�22

:.12�22

/:12�22

1/12��2

A1D2�.2

DD22�/2

00/2�12

�������� ����% ��!&����'�������%7-&

��������%7-&

@�222�A2

�2��D2�@2

���:D2.�2

�.�A22./2

�:�012.02

�/.�12:.2

�1.122:02

�A.@2/12

�������� ����% ��!&����'�������%7-&

��������%7-&

�D:/22112

�0/222D22

�@/022@22

.21022��22

.�D222�:22

..0122�022

.:�2122.122

./�:122:122

�����A�� ���������������������

Masking

���������������������������� ,��� ������������������������������������������������������������'���(����,����������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������������������������5������������,��������� �������������������<���!=������������� �����������������������������������

9��(�����������!������������������J!K���9�12�� ,�/�!7-����%���!��T&�������������������������������;���������,��������������.22�7-,�������� �����@2�� ���"���������� ����������22�� ,�����������������

#������

����� �����������������1�

�(���(�������(����/

;�����������6�/�����

'�����A;: >��!�����������������������������O1P

Page 98: Complete Theory

������A ������������

����������������� ��!������� ��!)*

������������ ����������!���������,������������������������ ����������!�������������9����,������������������������������������������������������������������� �����������������������!����� �,��������������������������������������������������������������������������!������������

Temporal effects

'������,�������������������������������������������������������������������<��������=����������������������������,����������������� ����������������������� ����������������������������� ��������������������������������������������������������������������������.22������'�����������������,��������������������������������������

����������������������������������!����G

�;������������������������������������������������������������������ �����!������������� �������������������<��;���!���=���������������������������������������������

�;�9�������������������������������������������������������)������������� ��������.22����%������������!������������ �&,�����������������������!��%���;���!���&�

�;�"����������������� �����������������,��������������� ���(��������������������������,���������������,�����������������������������������<��������������!���=�

9���������������������������������������������������J#K�

Page 99: Complete Theory

������������

)�+����""����9������������������X�����

6.2 Sound quality analysis

5������������������������������������������������<���;���;���;��;��;���;���;�=���*�������������������������������������������������������������� ������������������������������� ��������������'��������<���;���;��!;��;��;���;���;���=��������������������������;������������������������������������(����������������������������������������9��������������������������������������;����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������A���

"�����������������������������������������������,�������������������������������,����������������������������������������"������������������������������������������,����������������������������������������������� ���������������������������� ���������������������������������������������������������������� �������(�������������������������������������������������%���<������=&,����������������������������������<������=������������

9��������������������������������,�����������������������������������������������������<����=�����������(����������������������,��������������������������,�������������,����������������������������!����� ��������$(��������� ���������������������������������������������������������������������������������� �,�������������,��������������,��������������,���������������!�������(������������� ��������������������,�������������������� ����������!�����,����,�����,������,�����,��,�����!,�������������,���������,���������,���������,����������,����������������

����� ��������������������������������������9������������������������������������������������������,������ ���������� ���������$(�����������������������������;����,����������������� �������������������%���(����&�����������������,������������������������������,��<�������=��������������!,���������������"���������,������������������������� �,�����������������<����=�

Analysis of sound signals

7� �������������������������������������,� ����������������������������������������������������������������������������������

Page 100: Complete Theory

������A ������������

����������������� ��!������� ��!)�

ÄÄÄÄ

#������/

:�������������

Analysis

ÎÎÎÎÎÎÎÎÎ

#�$���

�� �

#�$���

�� �

%� ���

%� ����$

� ����� ������/

'�����A;/ ���������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,�������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������ �������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������(�������������������������������������,���������������������������������������������������������"��������� �������������������������������,��������%���;(����� &�������������������������

%�&������������������������� ������������ ��������������������������������������������������� ������������������������������������ ��������������������� �����������������������������������!�����6������������������,�������������������������������������������������������������������� ����������������<����!=�������������������������������������;����������������������������������������� ��� �����������������������������������������������������������

%�&�������������������������������������������������������������;��� ���������� � ����������������������������������������������������������������������������������������������������

����#�������"���������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������,�������������������������

Page 101: Complete Theory

������������

)+����""����9������������������X�����

9���������������������������������������,�������������������� ���������<���=�������������������������������������������������������������������

Binaural recording and playback

������������������������������������������������������,������-,��������������������������������!������������������������������������(������������������������ �(������������������������������������������������������������������������ ����� � ���������������������������������������������������� �� ���������"�������� ����������������������������������������������������������

����A�������������

%�������$

��������

������&����

'�����&����

��(������&����

"���)�����

����������(��� ,����������

#�������,������������

;������

'�����A;1 ����������������������������!

"����������������������������������������!����(�������������������������9���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������:)�����������������"������������������������ �����������������������(����������������������������������������������������������������������������������������������������������;�����������������������������������������9�������������������,���������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������!��������������������������,��������� �� �����������������������������������������������������

9������������������������������������������������,������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������������

� ����0�����I��������������������������������������������������������������,����������������������������������"���������,���������������<����=������������������������������������������������������������������������������������������������������,������,�����������,�

Page 102: Complete Theory

������A ������������

����������������� ��!������� ��!)

9������������������������-���������������������������������������������������������������� �������������������������������������������9����������������������������������������������������������������

����,������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�����������������������������������������������,���������������������-�������������������������������� ������;������-������������������������� ����;�����-�����������������������������������

$����#�����������������������������)9����������������������A������������������6���������������������������������,���������������� �������:.������������������������������� �������� �����������������������������������

"�����6����������������������������������������,�����;�����-�����������������������;�������������������������-������������������������������������������"���������,�������������������������!�������������������������������������������������������������������������

Page 103: Complete Theory

������������

)!+����""����9������������������X�����

6.3 Reading list

� D.LUBMAN=������;<�2��!=��$������4��)���>���� ���������:� ���2�� )� ���� )=�Q�"�R�����!�9������������;����������=�����

� J.BLAUERT=�������2������ )=���)�+����=���$,������2��3=��0���

� W.BRAY ET AL=�?�,�2���� ��� ��-������6� �<��2�����<���� ���/# ��<�=�+�����9���������A0�=�)�������29N3=�Q"����&8�/=��00�=����&&�8&#��

& D.HAMMERSHOI, H.MOLLER,�6� �<��2��<��2������ �@��������2������� ����� < /A��� �����<����� ��<�� ��<B��/��=�+�����������0�����; ����'�����=�<������2�3=����=��&8�%=��00�=�%���

# J.HASSAL, K.ZAVERI=��/�<���/����������<���� ��=�6�"���S�>T���=��>��#��9���R"$=����$���=��0��

/ E.ZWICKER,H.FASTL,���!/#��/�<���/�=� �/��� � ������2�=� �������� <�����=� 6�����2?��$���3=��00��

% Q�*1��; =�����/#��! �#������ ����/�) ���� =�<���9�������(������=� ������$=6��������24>3=��0���

� ��*4 ��9=�Q�?1;��; =���������/�2��,�2<���� ����� �� �!� /��. ��������� )� ��������/���� )�=� �;�+�����0�����=�+����� �;�9���������<�,���������!������=�)��R'���������2��3=������/8����00������#08�/��

0 *� *�--6�;9>;(�;)���=�?�,�2���� ��� �����2�/���� ����� ��,�2<���� ��/# ��<������������#���<B��/��,��:#���/�������� )� ������=� �;�������0�����=�+����� �;�9��������<�,���������!������=�)��'���������2��3=������/8����00�=�����/08�%0�

�� >�)�>�9����;)���=�.����,� )�. ����������������</���?<�� )��//�2������ =� �;������0���%�=�+����� �;�9���������<�,���������!������=�)��'���������2��3=�����/8����00�=������08�&��

�� ?��(�)1=�?�(4 +�=�. �2<� /������#���������� ��2������ )�� ��#���,�2<���� �����<B��/A��,�������;<�2��!=�+�����������!�������������������������!����������<��������$R!��=�1���&8�/=��00�=�6�������2����3=���������8��&&�

�� �9);(9�)�19���1(?�9�5�)�19�-1(� )�9��(��5�)�19=����#��� ���:�2/<2��� )�4�<� ����4�,�2=�� 18#��8�0%#�2;3

�� ;�5 ��>;(� ;)� ��=� ���)���� ���� :�2/<2��� )� 4�<� ���� �//���� )� ��� ?.CD�E�*.�FDE76+=�Q�"��������"���� ������Q���2;3=�<������=�9���=��00��

�& �Q� );<;9 =����/��<�������:�2/<2��� )�4�<� ����@������>..=�Q�����"��� �����$�=�<�����=�9����=�����#%%8�#�#=��0/��

�# �Q� );<;9 =����/��,���4�,�2���������B!������>..�� ��?�/�B�2=�Q�����"��� �����$�=<���#��=�9���=�����#%#8/��=��0%��

�/ ;�5 ��>;(=����/��<��� ����:�2/<2��� )�4�<� �������������22!�>����B2����< ��=�Q����"��� �����$�=�<����/�=�9����=����/%#8/��=��0%%�

�% ����6;(�9;>=�:������������������ ��>�B����� �� �:���< �����=�6<�2�� )��� ��>�#�/2����������� ��>�B����� �:� ���2=���'�����������=���?���8*��������=��0���

�� ��4(; =�6���/# < )�,����#�� ��G����� ��� �����/#� �5�#2�2� )�B�2��B�)� ��/#�22��)A �2�=���"����=�<���#0=��������8�&�=��0�#

Page 104: Complete Theory

������A ������������

����������������� ��!������� ��!)#

�0 ��51��9;(=���!/#��/�<���/���<)# ��������$�;<�2��!�:������� =�����7�;��������=�00��

�� ��4(; =��� �6���/# < )�,����#�� �������<#�)����=���"����=�<���#�=������/�8���=�0�#�

�� ��-�(4 ;�=�5#������/�������;<�2��!�. ��/��=�+�����;������������������� ����� �$����"$����9<*�����������8�+��,��$� ��"����=�1����=��00��

�� ��-�(4 ;��;)������<B��/��,���������� �����?����2�>�#�/2������=� ����;������0�#��%=�(�!�����0U�&&=�-� �)�����!�������;�����������!������"��$��=�����%8&�=�00��

�� ��?�-� *=�>�#�/2�������;<�2��!����$�����.����,� )��#��:����2���� ����FB��/��,�����A�<���� ���$��#��<B��/��,������ )=���������;��8�������0�#��/=�(�!�����0U&/��-� �)�8���!������=�;�����������!������"��$��=������08�/=��00��

�& ?�)1 9 ;9�=����$�������/#�����#��� �2!�������.��<2��,� ����� ��#���������������>�#�/2��=�+������"����A�0=�������%U�/�

�# �1)1(��9�4 )(N�(; ;�(�*�� 1���)�19=�.����,� )�:����2���� ����FB��/A��,�� ����<���� ��� $��#� �<B��/��,�� ���� )� ��� >�#�/2�� ����=���(�� �������� �����>��//��/�

�/ -�>�6(�9���;)���=���:� /��������?��� ���� �����<B��/��,�������:#���/��������6�����������������/�� ��>�#�/2����������</��� �������)���=�8�+����������� ���������8�0=9������6����2��3=������&8/=��0�0=������%08�����

�% (� �)*1�� =���?�,�2���� �����/�������.����,��>�#�/2����< ��;<�2��!=� �;������0���%0=�+���=� �;�9���������<�,���������!������=�)��'���������2��3=�������8�/�00�=������&08�#��

�� ?�(�6�;9<;94;=�����916��;=�#������� � /���������/# ��<��� �:#���/������ )���/����� �����������) �2��:� ��� � )�?��/������ ��=�+����� ���������� A0�=�)�����=������=�Q"�����8��=��00�=��������#8�����

�0 >�) 4?;�;)���=�����<�!���������� �>�#�/2������� )���:�������� ���<�� )��//�2���A��� =� �;��������#�0//#=�+����������� �;�9���������<�,���������!������=�)��'��������2��3=������#8�%=��0�#=������%8�&�

�� )� �>�)��;)���=�FB��/��,������ )�����<�B2��� �>�#�/2��+�����������$���$����"����������������=� �;��������0��##=�+����������� �;9���������<�,���������!������=�)��'���������2��3=������/8��=��0�0=�������#8����

�� �N�?� *� *�=�� �2!�������:���. �������������<�� )��//�2������ ���� )� � ����/A/�< ���<�����!�.�������� �=�Q �;�(�'����2;3=�<������=����&=�1����00�=�����#�8/��

�� >�-4Q�)��;)���=�������/#�� ���< ��;<�2��!��,�2<���� ����#����������#�<�������=Q �;�(�'����2;3=�<����0=�9����=��������0��=�������8���

�� �$�������9������� ������=� ����&8�0%%�2(��/3=����� )������$��#������/���������/#. ������� /�=����"������ �������!��$������

�& *� );;9;>;9=�)�*14)?� )=����.=�����2������,�2<��� )��<�������=�6�"���S>T����)��������(�'���=�����8�0�#=�������8���

�# ��9�>��4(�=�)�N��� *�)�=���< ���,�2<���� �� �:����B!����.����#��=�Q �;(�'���=�<�����=�9��&=�1���00�=������8&��

�/ *��1��;(=� < ���� ��2�����6� �<��2��/# �2�)!=������������"����=�<�����/=��00�=�����%�8����

Page 105: Complete Theory

������������

)$+����""����9������������������X�����

�% >�?;94�)=���64(>*�(�=�������/��2����������<���� ���!����������<B��/��,���,�2A<���� ������< ��;<�2��!=� �"�������<�,�����=�������00�=�������8���

�� ?����*;�=�?�;66�)=�6� �<��2�����<���� ������4�<� �������������������� ��#���,�2A<���� ������< ��;<�2��!� � ��<����B�2��=�+�����9���������� A0�=�)������� 29N3=� Q"���&8�/=��00�=�����&��8&0��

�0 ?�)*;��;=�#��.������ /�����?���<��� ��2����<�2������ ������������#� �/���/���� )� ��������</��� =�+�������8�)��$�������"��=��0�&�

&� �� ���9���=�+�(��191<�9=�� ��,�2<���� ����6� �<��2�����<���� ���!���������/�<���/� �� ��</���=� +����� 9����� ���� 0�=� )������� 29N3=� Q"��� �&8�/=� �00�=� ���&#08&//�

&� *�*���;( *1�=�*��1��;(=�������/��2���������� ���� ��2����/���� )�H���$�5�22?��#�!����<2�������2�������I=�+������&����=�6��T���=��00�=�+�����*/8%�2���3�

&� >�?;94�)=�*�?�;(���*=� . ,����)���� �B��$�� �FB��/��,�����������<���� ��� ��<B��/��,��:2������/���� =� �;�+������0��#&=�+����������� �;�9���������<�,��������!������=�)��'���������2��3=������/8����0�0=�����0#8����

&� *��1��;(�;)���=��� �����:#���/�������/����������#� ��=�+�����0�����; ����'��R���=�<������2�3=�������&8�%=��00�=�������

&& N�1>��1)1�;)���=��,�2<���� ����>�#�/2���F< ���#��<)#��! �#���������< ����#������� �����?��,� )�F������� =�Q �;�(�'����2;3=�<�����=�9��&=�1���00�=���#�8#%�

&# ���*4)�*�9 �;)���=�����=�>�B����� �� ������# ����������#��/<������J����� ����>��$=�.��/#��������K7D�L�=���������0U�&0=�+�����-� �)�80�����!=�;�����������!�����"��$���

&/ *��1>��;)���=�����/��������$����2� ��>�B����� �� ���< ��;<�2��!�� ��#������� )��:�������� ��?<�� )��//�2������ =� �;��������%�0##=�+����� �;�9���������<�,��������!�=�)��'���������2��3=��������8��=��0�%=����#�8/��

&% >����+�( 19 =���Q��?(�--�9=����#�������������/�� )������ )���>�B����� �?��/��A����=� �������!��"�$��'��;���������)��������+����� ���������0��

&� ��Q�� ?(�--�9=� �� �B���� ��� �<�� � >�B����� =� �����$��� +����� ���� � � 69�8��8���&�8&

&0 Q�����;�)*;( 11�=�����6�(>;(=���-����F��� ����� ��:���<������������2������������ )�>�#�/2�������;<�2��!=�9� ��)��������+�������00�2�0�&3

#� ������������ ������=�(�!��9���� 1��/��U��8��0�#�2;3

#� ������������ ������=�(�!��9���� 1�#�&0�8��0�/�2;3

#� British Standards Institution=�����<���� ��� ���,�2<���� ����#<�� ������<������$#�2��B��!���/#� �/�2�,�B����� �� ������������#�/��(�!��9���6 �/�&��8��0�%

#� �$�������9������� ������=� ���&�8��0%%�2(8�0�/3=����� )������$��#������/��������/#�. ������� /�=�������!��$������"������ �������!��$������

#& �9 �� ��#=�:�2/<2���� �����#������/<2���� �� ���=���$�������9������� ������������R"�=�����=��&���6�������=�9���N���=�9���N����������4 �=��0/0

## ������������ ������=�(�!��9���� 1�#���8��0%#�2;3

Page 106: Complete Theory
Page 107: Complete Theory

))

���������

�� ��������

"�������������������������� ������������������������������������������(����������������������,������������������������������������������������������������������������������ ������������������������������� �������������������������������������(��������������;�� ���������� ����������������������������������������������

Sound pressure levels

Loudness metrics

Sharpness

Roughness

Fluctuation strength

Pitch

Articulation index

Speech interference levels

Impulsiveness

���������������������������A

Page 108: Complete Theory

������D �����������

����������������� ��!������� ��!�**

7.1 Sound pressure level

����������������������������������������������������� ��%�+�&��������I�������������������������/;�.�

������������������������������ ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������4>��� ����� ����������������������� ���������,������������9; ;������)����������������������������������������������(���������������������������������������������(����������������������������������������������������������������� ��������������

Time domain sound pressure level

����������������������������������������������������������� ���������������"$��A1������9*�"��"�/;�@0:����������

'��������������������������������������������������9,� ������������������������� ����������������������(����������� ���������� ������������������� ����9��(����������������������������

%����� &�������������������������������������������������"���������������

����������������������������������%���&��������������%���������-�&� ����������������

��J�:1��������"������%��!�&�����������J��.1��������������������������������J��222����������� ������������������

������������������������%���&�������������������������������������

6�����������������������!������������������������������L�������M����������������!����������������������������"����������������������������� ������������������,�����������������������(�������6�����������������������,����(��������� ���������������������������������,���������������122����������������������������������������������,�������"�����������

Page 109: Complete Theory

�����������

�*�+����""����9������������������X�����

7.2 Equivalent sound pressure level

���������������G�"�5�@@A3�;�@0.�����"�5�@@@G�@@2���� �������������������<��� ����9;�������������������� �����������=������������9�,��

��������������� ���� ���������9;�������������������� �����������������,��������������,����������������������� ����,������������������������������������������������������������������� �� �����������������������������(�������G

4���=� �� ������

��

��� �����

��

F���2�3

���

F�����

�����$��

���

�9�,�� �������� ��������������9;�������������������� �,�����������,��������� ���������� ����������������������������.

�2� ������������������������%.2�+�&N

�9%& ����������������9;�������������������������������������

"����������������������������� ������������������ ������������������������������������� ������������������ �,����� �� ��������������������������

9����������-����,������������������������������������;9;��������������������������%&�����������,��

Page 110: Complete Theory

������D �����������

����������������� ��!������� ��!�*�

7.3 Loudness

���������������������������������'�����A;.�������������L�����������M�����������������������������������;����������(������������������������������ ������������������������������� �� ���������������� ����� ����������������������������������(������������������������������ ���������������������������� ��������������������������������������� ���������������L���,�������+��?�

������������ ����������(���������E���������!7-;����������������������,�����������������������!7-���,���+���� ������������������� ��������������� ���������������������������������������������������������������������;����������������������������-�����"�5�..A;�@0D%$&�

9�������������� ���������%����������&�+���� ����������6����%6&,������������������+����%E&��������������������G

����$���� �2��&�3���

�����������=�����������������������(�����������������!������������������9������������������������������������������ �����/2�+�����9������������������������,�������� ������������,�����%���&� ���,���������,�������+�������������2�+�����������

6��������������������;��������������������������,�����������������������������������������������������������,���������������� ���������������������������!���������������������A���������������L������������M���"����������������������<���������������=�������,�(��������������3 ��!�

'�����������������,���������-������������������������ ��������������W���!������� �������������������"�5����������J��.��.��K���9�������������������� ���J�!K�������������������������"�5����������

�������������������G

� ����� ������������������������� �������������������� ����������� �������������%�������&�������������������

� ����� �������������������������������� ��������������������������,��!������������������!���������

'������������ �������������,�W���!��������������������������������!��������������������������J�#K,���������������������������"�5���������

Page 111: Complete Theory

�����������

�*+����""����9������������������X�����

7.3.1 Stevens Mark VI

���� ���%>��!�#"&�����,���������-�����"�5�1:.;9;�@D1�����9*�"�:�/;�@02,�������������� �������������������� ������������������������������������������������������������!7-���"�������������������,�������������������������� ��������,�������������������������������������������-����� �,�������� ������� �������� ����������������������������(��������'�����D;���������������������� ������������������������������������%�������&,��������������D;:�

����$���� ��� F2F��� ��F3

��� �M� �J �����������������������M" �J ��������������������������,����������J ��������������������������������������,��������2�J ����������������������������������,������������!����

������"��������������������� ���������%2�:���� �3����� �,2��1������3:���� �&�

'�����D;� ��������%>��!�#"&

Page 112: Complete Theory

������D �����������

����������������� ��!������� ��!�*

7.3.2 Stevens Mark VII

9����������������������������� ���>��!�#""�J�!.��$K,������������������������������������������������%���'�����D;.�&,�������������� ����������������������2�����������D;:�����������������������:�127-���9�������������������%�������&,������������������<���� ������������ �=�%+�� &����������,����������:.�� ��������������������������:�127-���+�� � �����������������0�� ��������������������� �����+�����$(���������������������J!K�����J�$K�

'�����D;. ��������%>��!�#""&

7.3.3 Loudness Zwicker

������������������������W���!�������%��������-�����"�5�1:. &�����������3:���� �������������������� �����,�������������������������������������,��������������������"������������������������������(���������������,��������������������������

Page 113: Complete Theory

�����������

�*!+����""����9������������������X�����

���������!��"�������������������������>��!�����������������������������������������������������������9������� �������������������<���!=������������� ��������������������������������������9��(������������!������������������J!K���9�12�� ,�/�!7-����%���!��T&�������������������������������;���������,��������������.22�7-,�������� �����@2�� ���"���������� ����������22�� ,�����������������

#������

����� �����������������1�

�(���(�������(����/

;�����������6�/�����

'�����D;: >��!�����������������������������%1&

����������������������������������������������������������������������� ������������������ ����������!������!��������������������������;������������������������������� ����������������,���������������������!����������������������������������������� ��������������������������� �����!����������������������������� ��

'�����D;/����������(����������W���!�������������3:���� �����������������������������������W���!����������

Page 114: Complete Theory

������D �����������

����������������� ��!������� ��!�*#

#������

����� �����������������1�

'�����D;/ $(������������������������������������W���!�=�������Q1R

�������������������������������������������������������%������ �������&���������%���!�� �������&�������������������W���!����������������������������������������-����������������������������������������������������''�;�������� ������������������������ ��������������-������������������������������������������ ����������; ����������������������������������������

���W���!����������������������������������������������������!��������!����������������������������������������� ������������������������������!������� ���������

������������,������������������������������������� �����������������������������������������(�������������,���������������� �����+�������������������������������������������������� ���������������� �������������������� ��������������!�� ��������

Page 115: Complete Theory

�����������

�*$+����""����9������������������X�����

7.4 Sharpness

9�������������������� ����������������������������������<��������=,�����������������������������������������%�����&����<����=���������������������������������������������������������������������������������;���������������������������������������� �����������������������������������

4������,�������������������������������������������������������,��������;�����������������������������9�������� ����������������������,�(����������������������������<����=��������������������������������������;���������,��������������������,���������������������������!7-������� ������� �����A2�� �

��������������������������������������������������������������������������'�����D;1�J#K��������������� ����������������������������������������������������������������,������������������� ��������������������������������������������(�������%�2!7-&���������%2�.�!7-&���;������������������������������������;���� �������7�����������������������������������������

'�����D;1 �������������������������

Page 116: Complete Theory

������D �����������

����������������� ��!������� ��!�*%

�������������������������������%6?����&�������������������G

����$���2�3� ����F

�2�3F)2�3F�

��&E6���

�E6���

�2�3F��

��� �&?�����������������N ������������������������������������������;������������������������������%'�����D;A&���������������� ����������A� ��!����������(�������������

����$�!)2�3� ���//����%��

'�����D;A �����������������������������������

�������������������6�(���������<�����=�����������������������������������������

����$�#�� ��&E6���

�E6���

��2�3F��

Page 117: Complete Theory

�����������

�*)+����""����9������������������X�����

7.5 Roughness

���������������������������������������������������������������������������������������6���������������������������� �������%�1�7-&,����������� ������������������������������������ �����������������������������������������������D�A�

9�������������������������%��� ��12;:22�7-&,��������������������������"�������������������������%�1;:22�7-&,��������������������������,������������,������������������������������������������������������������������������,������������������������������������������������

4���������������������������������������������������������������,����������������� ������������������������������������������������������L����MN����������������������������228,�D2�7-�����������!7-������A2�� �

����������������������������������������������������������� ���������������������9����������������������������� ���������������������������������!��������,�����������������!��������%�L&�����������,��������������������������(��������������������������������� ��������������������������)�����������!���,�������!�������������������������������������,����������������������������������������������������������(R) �����������������������������������������(�������

R" fmod �L ����$�$

X������ ������������������������������� �������������������� �� �����������������L��������������������������M��������������������,�������������������������,��������������!���������������������������������������������

Page 118: Complete Theory

������D �����������

����������������� ��!������� ��!��*

7.6 Fluctuation strength

6���������������������� �������������������������.2�7-,���������� ����������������������� ������ ����������������,�������������������������������%����������������&�������������������������������������������"���������,������������������������������������L'��������������M�����������L ����M���9������������������ �����������������������B7-�������A2�� ��������22�8����������������������/7-������������������� ����������������/�7-���X������ ��������� ���������������������������������QAR��������!�������������������������!��������������������������������

��������������������������������%'&�����������������������%����&��������!��������%�L)������������������

F# �L(fmod�4Hz) � (4Hz�fmod)

����$�%

Page 119: Complete Theory

�����������

���+����""����9������������������X�����

7.7 Pitch

+���������������������������������������������������������������������'���������,���������������������������������������,������������������������������� ��

"���������(���,����������������������������������,�������������������������� ���������������������������������(��������������������������������������,������������!������������������,���!����������������������������������

+����,����������������������(����,���������������� ����������������������������������,���������������������������

"������������ ���������������(���,��������������������������������������������������������������,��������������������������������������������������� �,� ����������������������������������������������������"���������,������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������������+�������������

������������������������������������������������ ��������������%E��9������������9���#���D�,����AD@;A00,��@0.&��� ������������� ��������������������� �������������� ������������������������������������������������������������������� ��

"�,�������������������������������� ����������������!�������������,���������������������������������������"���������������� �����������������,��������������"�����������

Page 120: Complete Theory

������D �����������

����������������� ��!������� ��!���

7.8 Articulation index (AI)

���9����������"��(�������������� ����������� ��������������������� �������������� ������������������������!�����������������������-���������������������������!��������������������������� ���������� �������������� ����

�����������������������������������������!���������������������������������������������������%����3:���� ������&��������������������������������������������������'��������������������,��9����������"��(������� ��

9�������������� ������������������������ �����'�����D;D�������J�$K&�������3:��� � ������ �� ��� �� ����� ����������������������������6���������� ������� � �� ��� ����� ��� ��������,���9"���������� ������������������������ ������������ ������ �� ���� ������� � +�������� ��������������������������������������

'�����D;D F������������������������9����������"��(

����� ���(������������������������������������������������%��'������D;0������J�$K&��'������������ ���,���9"����2�21����������,��������;��� ����� �������� ���;����������� ����,� ��9"����2��������������J�$K�

'�����D;0�"����������������������������������������������������(

����������������� �������

� �������������������������������������!���� ���!������������L������������������������������������M,�+��������������"4$,�#���/1,002;00/,��@/D������������������������������������������2;�228

Page 121: Complete Theory

�����������

��+����""����9������������������X�����

� >�������������������������������������9">������������������������������������!����������� ,������������������������������������������:2� �������(����������02� ����������������.2�����22� �����������������������������������������;�2D8�����������A28

Page 122: Complete Theory

������D �����������

����������������� ��!������� ��!��

7.9 Speech interference level (SIL, PSIL)

6����������������������������������,����!������������������������������ ���������������������"������������������,����� ������-����������������!����� �������������������������������������������������������,��������������������<�����"�������� �=�%�"�&����� �����

���!����������������������������������� ���������������������� ��������������A22;�.22,��.22;./22�����./22;/022�7-������������������������������������ �����������,�����������������������������E�� �����,�6������F������������I�+��?����E6FI,������������� ����������������� �������122,��222�����.222�7-���� �������J!.�$K�

"���@DD,��������"�������� ��������������-�����9*�"�:��/;�@DD%4;�@0A&�JK,����������������������/�!7-���� �����������������������������������"�5���������,������������"�5����������4�����4::1.;�@D/���5��� ���,���9*�";�"������������� ���������������������% ���!&����������.�1�� ������������+�"��J�$K�

��������������������"�������������������������������������������� ��������������������J��!.�$K�������������������������������������"���������������������������������������������������9����(����,�'�����D;@���������������������������������;�;�������� ����������������������� �����+�"�,���������������������������J!K�

'�����D;@ ������������������������������������!������������%����6����&

Page 123: Complete Theory

�����������

��!+����""����9������������������X�����

7.10 Impulsiveness

������������������������������������ ��������������������"��������������������������������������������������������

���������������������������������� ������������������������� ���,����������������������������� ����N����������������!�� �,���������������������������������������������$�����������������������������������'������������"��������������������������%��������&����������

��/�������� �

�(���(���

&��6������

����� ������

��������

��������� ���������

���������

�(���(����������

9������������������������������������������������������ � ����������������������������� ����������4>�� ����%����������������������&�������4>������������%���������������!������������&�����������;��������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������������������������������!�� ������������������!�� ����(���������� ,���������������������������������!����������������� �����������������!������������������������������������������������������� ����������������������!���������������������������������������

�����������������(�����������������������������������������������������!�

Page 124: Complete Theory
Page 125: Complete Theory

��$

���������

���������������

������������������������!����������������������������

Page 126: Complete Theory

������0 9�����������������

����������������� ��!������� ��!��%

8.1 Introduction

9����������������������������������������������-���������������"���������������������������������������� ����;�����������������������-�������������� ����"�G

� ���������������������������������������������������������(���������

� �����������������,� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������%���������;���������&�

� ����������������� �����������������������,��������������������������������

������������������������������������!��������������������������������������������������������������������,�������������������������������������

Basic principles

"������������������������������,����������������������������������������������������������������������������������'���������������������������� �������������,�������� �������������������� �����

9�������������������������������������������������������������������������������������������������������������>���������������!�����������������

"���� ����������������������:)���������-���������������������������������������������������������������������������������� ������������������������

Page 127: Complete Theory

9�����������������

��)+����""����9������������������X�����

8.2 Acoustic holography concepts

����������������������������������������������������������������������������� �,�������������������'�����������������6�������������������(�,������������������������������������ ����������,���������������������������������������������������������������������������������������

��������������������� ���>����������������������������������������� ������������������������G

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

����������� ���

������������������������������������ ������������!�������������������������������$����������������������������������������(��������%����������������&�

Temporal and spatial frequency

"�����������������������������������������������������������������

$���������6�������������������������������������,��������������������������������%�&������(���������������������������������� ��������������������������

����

�* ��

�������

*B�B�

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

���������������������������������������������������� ���������'������������������ ������

Page 128: Complete Theory

������0 9�����������������

����������������� ��!������� ��!��*

2E�E3� ���

��

F � 2E� E3�� E�E�F�� ����%��

�������������"�������������������������������������(������������� ��������������������������,����������������������������������

������

�������

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

����������������������������������������������%!2&�������������G

6��*����� � ���* *

������������������������������������������������

"������(�����������������,������������������������� ���������(�������������(��������������������������������������������������������������������������

��� �����������������������������������������������'�����������������"�9���������������������������������������������������%(����������(����&,������.;�����������������������������������

� E2��=�!3���

�F�����<���F2E�E=E !3F���2�����!!3EE��E�E�! ����%��

������%!(�,�!�&������������������������������������������������� �+���"������(���,�����,�"�����������������.;)����������������������

Page 129: Complete Theory

9�����������������

���+����""����9������������������X�����

&��������

� ������������+-� '�����0���������6+-�6�

9���������������%�����&��� �����������������������������������������������������������������,�������� ������ ����%!&�������� ���������������������������������������� ���������������������������������������!�������������������������������������������� ����������.����������������������������������������������������� ����������������������

��������������

6�

'�����0����������6+��6�

6+

Summation of plane waves

����������'��������������������������������������������������������������������������������������������

$������������������������������������������������������������������� ������������������ �������������������

Page 130: Complete Theory

������0 9�����������������

����������������� ��!������� ��!���

����������� ���

'�����/�(�*���� ������ ���������'�����/�(�*���

��������������������������������������������������������������� ��������"�����,������������������������������������������������������������������������������������������ �������������������� ��

6�� �������������������,�������������������������������������� ����� ��

Propagating and evanescent waves

����������!��������������� ��G

������������������� � �� ������� �� ���� ��� ������������������������������������

�������������������� � �� ������� ��� ����������

+������������ �����������������������������������������������������������������������$ �������� ����������������(������������������������������������

�����������������������!� ������������� ������������,������������������������������������������������������������������������"������������������������������������������������������������� ����,���������������������������������������������� ������������������G

Page 131: Complete Theory

9�����������������

��+����""����9������������������X�����

����������� ���

� ������ ���������

6�� ����������������������������������� ������,������������������������������������������������������������������������ ��������������,������������������������������������������������������������� �������� �%������������ ������������������������������������������� �&��������������������

9�������������������������� �������� ��������������� ������!-����������������������������������������������������������� ��������������

6+

6������������ ���

67

!-����������������������� �������!2�������!����� ��������!(����!����������������������

��� ��� � ��! � ���� � �/

����%�

��� �/�� 2��� � ��!3�

�� ��������������� � ��! � 2

�/ 3����%����������������������������������� �

����&��������������������� �����������������������������������G�������� ������������������ ���������������������������������

Page 132: Complete Theory

������0 9�����������������

����������������� ��!������� ��!��

��� � ��! � ���

�� �������

����/

�� �/���/'����

��� � ��! � ���

�� ������/����

��������'������

�!

6���!-�������������,����������������������������������(�������

��������%�����F�&������������������������� ��������������������������������������������������������

(Back) propagating to other planes

+������� ���������������������������������4�����=���������$����������)������=��F�����������G

�2�3����2��3'� E2�� ��3E�� E�! ����%�

������F�����������F����������������������������������������������������������������������������������������������

6���������� ����������������%!&�������������������������������������������%-&�

�������������������������4�����=�����������

�2��=�!= �3� �2��=�!= �3E)� E2��=�!= �� ��3

�E2��=E�!=E �3� �E2��=E�!=E ��3 �)�2��=E�!=E ��� �3

�����-�Y�-=

�����2�C�-�C�-=

����%�!

����%�#

����-=�����������������������-��������������������������������������������������� ����

)�� �E� E�� E��

����!-�������������������������0;:�

Page 133: Complete Theory

9�����������������

��!+����""����9������������������X�����

����������������������������� �������������������!��������������������

The Wiener filter and the AdHoc window

9������������ ,� �������� ��������������������������������������������+������������������������������������������������������������������������������kz���$ �������� ����������������������������������� ��������kz,������������������������������������������������������������������������������������������ �������� �����������������������������������������*�������������������� �������� ������������������������������������ ��,����������

+���������������������������,��� �������� ����������������������������������������������������������������������������������7�� ������������������� ����������������������,�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������

6+

ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ

�������*�6�

6� �� �/���/�'����

��������'����

6����������������������������,���6�������������������������������������������� �������� ��������� ����������������!���������������������� ���!������������������������������������������������������������������������������������6���������!������������������*����4����%�*4&���6������*4� �����������������1� ,��������������������������������������������������� �������� �������������������?�������������*4� ����%1� �����(����&����������� ��������� ������!����������������������������������������� ��������������������������������������� ��������1� ���� ������������������������������������������������������

6�����6���������������,��������������������������������������;��������������������9�����������������������''�,������� ����������������<�������=������������� �������������"�����������������,���������������������������������������''����������������������������������� ������������������������������������� ������

������������������

Page 134: Complete Theory

������0 9�����������������

����������������� ��!������� ��!��#

�������������������,������������������������������������"���������������������������,������������������ �������������������������������������������������������� ������������������������

�����;������!�/��������'��������������,���''������������!��������������������������������������������������������"������������������������������������������������������������������������,���������������������������������������������������������������������''���������������������������������������7����������������7����������������������''�������9�7�����������������,������������������������������������7���������������������� ����������������������������(����������������

�����;���������9��7����������%6&��������G

� ��2�� �3� .� � �

�2�� �3

.�� ��2�� �3

.�� ��2�� �3

5L.M� ��#� ��#���� ��� ��� �

.�� ��2�� �3�

5L.M� ��#� ��#���� ��� ��� �

.�� ��2�� �3�

5EL.M� �

6��

6��

6��

Derivation of other acoustic quantities

"����!����������������� ���������,�����������������������������������������������,��������������������������������������� �����������������������������������������������������������������������������G

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

measurement plane

correct calculation plane

correct calculation plane

incorrect

Page 135: Complete Theory

9�����������������

��$+����""����9������������������X�����

B��������������������������������������,�������������������������������� ���������� ����������������������������

���������� ������%#&��������!�����������������������������������������;�������������������9����������������������������������������������������%��T���&

>�� �

/���2�3

����%�$��E2�3� � E2�2�3=�2�� �E��33

5������������������ ���������!����������������������������������������

����%�%.� �E>

Page 136: Complete Theory

128

Part III

Time data processing

Chapter 9Statistical functions 129. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 10Time frequency analysis 139. . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 11Resampling 151. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 12Digital filtering 163. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 13Harmonic tracking 193. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 14Counting and histogramming 203. . . . . . . . . . . . .

Theory and Background

Page 137: Complete Theory

��)

���������

������������� ��� �

)������ ������������ �������������������������-�������������������������� ���� ��������������������� �����������������������������

Page 138: Complete Theory

������@ �����������������

����������������� ��!������� ��!�*

Minimum, maximum, range and extremum

�������������������������'�����@;�������������������

��+�������+������

������

+

��/�

���

���������� �0������������

'�����@;� >������,���(����,����������(���������������

������������������������������� ������������������������������������ ������

��1����������������������������� ������������������������������������ ������

"��������������������������������������������(����� �����

�1���������(��������������������� ����������������������������������"���������������(������������������ �����������(������������������������� ����������������,������������������������� ����������

Sum

�����������������������������&�� �����������������

�<�� ������

F �� �����)��

Integration

������������������������ ���� ����,����������������������������������������� ��������������������

Page 139: Complete Theory

�����������������

��+����"""�������������������

����� ������

FF��� �����

F��

��

��

����

�����)��

Root mean square

����������������,���������������� � ���,������ ����

����)����� F �������

F ���������&������������������������"������������������ ������������������������������

Crest factor

������������������ ����

����)�G������ G�F���

���������������� �����������������<<���!���==������������9����������������������������������/���9���������������������������������������:����/�9���������!����������������������������

Mean

��������������������� �����%(���������������� �������������������������"������������

����)�!��� �

������

F ��

Page 140: Complete Theory

������@ �����������������

����������������� ��!������� ��!��

����&����������������������

�����������������������������������������-���������� ���������������������9�������� ������������

�������������������������� �������������������� ������������ �����������������������������������������������������������!���������������������:/�

Median

�����������������������������������(������� ������������������������������ ��������(������������������G

����)�#�����

��

F�2�3F��F� ���

����

F�2�3F��F� ��

'������������,����������������������������� ��������������������������������������������������%�����������&������6���&�������,�����������

����)�$����� ����

������������ ������������������������������������������������������6���&���� �,���������������������������������������������� �����

����)�%���������� �

������������������������ �������������������� ������������� ���������������������6��������������������������������������������������������������������!�����������������!��������������������'����@;.�

Page 141: Complete Theory

�����������������

�+����"""�������������������

�*�+

�*�+

�*�+

������������������6�'

&���������6�'��� ��/�������6�'���

���������*������ �0������C������ �������D������

'�����@;. ���������������!������������������

�!������������������������������������������������ ������+�����������������������������!����)�����������������������������������������(���������� ���������������(���������� ��!�����������������(��������� �������������� ��!����������������������������������(��� ����������������,��������������������������������!����������������������;��������'��������������������!������$�������@;�:������

Percentiles

��������������������(�����������12������������������������ ��������128���������� ������������������������������128������� ����"����������������������������2�,�.1�,�D1������@2����������

����������������������������������������(������� �������������O����� ���������������������������������� ����������28������ ���������������������2�������������@28����������

Variance and standard deviation

'����������������������������� ������������������������������������������������������������ ����� ��������������� ����������� ������������� ����

����)�),��F2��= ���= ���3��

� �������

��� ���

�������������������������������������������������������������������

������������ ����������������������������������� ������G

Page 142: Complete Theory

������@ �����������������

����������������� ��!������� ��!�

����)��*�F2��= ���= ���3� F,��F2��= ���= ���3�

������������ ���������������������������������������������

Mean absolute deviation

"���������������,�����������,��������������������������������������������������������(���%�������������&���"���������,��� �������������������� �������������������������������������������������������� ���������������������� ��������������������!����!�������������������

9���������������������������������� ����� �������������������� �����,���������G

����)����?�,F2��= ���= ���3��������

�F��� ��F�

Extreme deviation

���(���� ����������� ����

����)���$�7F2$�7���� =F��� �$��3�

���(���� ������������������������������,�(�������������������������������������������������������������������������-���

Skewness

�!���������������������'�����@;.���"���������-���������������������������������������������������� ������"������������

����)�����$F2��= ���= ���3��������

F�� ��� �

� �!�

����!������������������������!����������������������������������������

Page 143: Complete Theory

�����������������

�!+����"""�������������������

$ ��������������!����������������-��,�������������������������������������������!�����I��������� ����������������!����������������������!����������������������������� ���������������������������%$���@;�:&���'����������-������������������%F�������&������������,������������ ������������������!�������������(�����

/�� ����"�����������������������������������������������!��������������������� �������� �����������������������

Kurtosis

5��������������������������������������������������������!������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������� ���������������F�������������������������������'�����@;:�

�*�+

�*�+

�*�+

�������������0���� ��������6������� �/������6�������

'�����@;: )�������������������� ��������� �!������������������������������������

���!������������������

����)���<��F2��= ���= ���3F�F ��$�

F �F���

���

F�� ��� �

� �!�

&

F��%!

�� �

������;:�����������,���������F�������������������������!����������-���

���!����������������������������������������������������������������������9������ � ������������������������������������������������F������������������,������������ � ������������������������������������������

������������ ���������%$���@;�/&���� �&�� ,������������-�������������������%F�������&��������������7�� �,���!�������������������������������,������������������;������������������������������������ �����������������@;�/�������� ����������

Page 144: Complete Theory

������@ �����������������

����������������� ��!������� ��!�#

Note! Higher order moments (skewness and kurtosis), are often less robust than low-er order moments which are based on linear sums. (It is possible that the cal-culation of the skewness or kurtosis generates an overflow.) They must beused with caution.

Markov regression

���������������� ���������������������������!����������������� ����������������������������������"������������������������������������4%�&����������������������������������������������������������� ���������� ��������������������������,������������������

��/��/

�����������������������!�������������� ������������������������

���������������������������������������������������� ����

�2�3����F���

���

��F����F���� ��F��� ����)��!

�����������������������������������%2&������ ����

�2�3� ������

��� ����)��#

���>��!� ���������������������������������������������

����)��$�����,F��)������ F/�����/�� �� �2�3

�2�3

Page 145: Complete Theory

�����������������

�$+����"""�������������������

������������������������!� ���������2�% ����������������&������%��������������&���"��������������������������������������������2��������������������������"���� ��������������������������������������������������������������������

Page 146: Complete Theory
Page 147: Complete Theory

�)

���������

���������� ��� ������

�������� ��������;����������������������(�������������%�������&������������������������������ ���������������������������� ���� ������������������ �����!���������������������������������������

Introduction to the theory

Linear representations

Quadratic representations

Page 148: Complete Theory

�������2 ��������������������

����������������� ��!������� ��!�*

10.1 Introduction

9�����������������������������������;�����������'���������������������������;�;�������������������������������������������,�������� ����������������-����������������=���������������������6��������� ������������������������������������������������������� ��������������������,�������������������������(������������������������������������

���;���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������=��������������������������������������3������������������"�������������������������������������������������������������������������������,�����������L����������������M�

������������������������������������������� ����

G�2�3G� J�$�������������������������������

������������������������������ ���������������������������'��������������6���

G�2�3G� J�$�����������������������������������������

����������������E��.��������������������������������������������������

�2�= �3 $������������������������������%�����������&����������%��������

J

"����������������������������������� ������������������������ �����������������

��

��

�2�= �3E��� G�2�3G� �����*��

������������� ������������������ ���������������������

��

��

�2�= �3E��� G�2�3G� �����*��

Page 149: Complete Theory

��������������������

��+����"""�������������������

$���������2;�������2;.����!����������<��������=���������������������������������,��

�� ��

��

�2�= �3E�� E�� �����*�

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2;�������2;.����������������� ����������������� ����

"����������������������������������;�����������������������;

� ���������������������������������2�.

� ������������������������������������2�:�

Page 150: Complete Theory

�������2 ��������������������

����������������� ��!������� ��!��

10.2 Linear time–frequency representations

�������������������������������������������������"��(�.�����(� ����������,����3��.����������������;���������������������;

��2�3& ��2�= �3

��2�3& ��2�= �3

�2�3� /���2�3� /���2�3& �2�= �3� /���2�= �3� /���2�= �3

������������������������������;

� ������������'���������������

� 6� ����������

The Short Time Fourier Transform (STFT)

9���������������������� �������; ����������������������;��������������'����������������%��'�&���������� �� ��������������� ��������������� ����������,���������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������� ���������������'������2;��

����

�������

��

�����/�����

�����'���'�/���

'������2;� ������������'���������������

'������������������������������������������������������,�����������'���������������������������������� ����

Page 151: Complete Theory

��������������������

�+����"""�������������������

� 2�=�3� ���� �

��

�����F�2�3F)H2�� �3E�� �����*�

��������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������%��J��3�&����������(����������������������������������������������������������������������������������,���������� ����������������������������������������������������������������������,���������������������������������������-���������������������������������������������������������������

9�������� � ����������'�������������������(�����������������'����������������������������6�������������������������;������$�������2;/���������

� 2�=�3� ���� �

��

�V���F�2�3E'H2�� �3FE�� �����*�!

������������������ ������������������������������� ����������������������<<�����������==����������������������-��������������'�����2;�����������������������������������!��������������������������� �����������������������������������������������

Wavelet analysis

9������������ ������������� ����������������������;�����������������,������������������������������������������������������������������������������������������������������'�������6� ������������

"�����,���'�������������������������������������������������������������,��������������������������� ������6� ����������������������������������,�����������������������������������,��������� ���������������������������������������,��������������������������������-����������������=��������5�������������������������������,������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������

Page 152: Complete Theory

�������2 ��������������������

����������������� ��!������� ��!�

�������������������������������������������6� �������������"��������������������������%�������� �&�������-���������* ��������������*����������� �������%�� ��&������ ����

#�2�3� �

G�G� F# �� �����*�#

������������������������ ������*G�

�������������6� �������������6������� ����

:52�= �3� �

G�G� ��

��

�2�3E#�� �� E�� �����*�$

��������������������-�����

9������ ������������'������������������������������������������������������������������������������(���������������������������������������������"���� ������������������������ ��������������������>�������������������3��������������������������(������������������'������2;.%�&�

���������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������'������2;����!�������'����������������������� �,������������������?��������������������,����� ����������������������������������!������������������+�� ��������������

��

�� /

����������������������������������������'������2;.%�&������������������������������������������������� ���,�������;����������������������������

Page 153: Complete Theory

��������������������

�!+����"""�������������������

����

�������

����

�������

������#��0��E��������������

'������2;. >��������������3������������

����������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�������������,�������������������������������������������������������������������7�������������������� ���������������������������������������������������,������������������������ ���������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������,������������������������������������������������� �������

Page 154: Complete Theory

�������2 ��������������������

����������������� ��!������� ��!�#

10.3 Quadratic time–frequency representations

6��������������������������������,�������������,�����������������������������;�������������������������;�����������������������������������������������������������������������������;�����������������������(�����������������������������������,�������������������� �����������������������������������������

�2�3& �2�= �3

!2�3& !2�= �3

�2�3� /��2�3� /�!2�3& �2�= �3

� G/�G��2�= �3� G/�G

�!2�= �3� /�/� H �!2�= �3� /�/� H !�2�= �3

������*�%

���������������������������������������L����������M,����������������������L�����������M����������������������������������������������������������������������!���L����������������M,������������!�������������������������������

���������������������������-������������������������,����������������;������L��������M����������������������������������������,��� �,����������������������N����������������������������������������;��������������-����������������������������������������������������������������������=��������������;�����������,������������������;��������������-�����������������������������

����(��������������������;�������������������������������������������������

����������J�Z��'�Z.

����������J�Z6�Z.

������������������;�������������������;����'���������������%��'�&�������6� ������������%6�&������ ������������������������������������������(������������������������������� �����7������������������������������������������������������;�����������,�������������������������������-�����6���������������������������������������������������,������������������������������������� ������������-�������������

'���������������������������;����������������������,��������������������������� ������������%��'�����6�������������������������&,���������!���������������������������L���������������M�������L�����������M�

Page 155: Complete Theory

��������������������

�$+����"""�������������������

The Wigner–Ville distribution

���6����;#�����������������

52�= �3� �����

��

� H �� ��EF�����F��� �

�EE�� �����*�)

����������������������"����������������������

52�= �3� �����

��

� H �� ��EF�����F��� �

�EE�� �����*��*

�������������������������

�������������������������������������������������"���������,���������������������������������������������������������������������������

>�����������������������������������������������������������������������2;@����������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������� ������-������������������������������������������ ����������������������������6������������� ����������������������������������� ���������������������

������������������������������������������������������������������,�������������������� � ����-������������������������������������� ��������������������������������������,�,

������ ���

�������������������������6�����#�������������������������������������������,������������,��������������������������������������,������,�������,��������������������������������������������� ��������������������������������������������,���6�����#����������������������-��������������������

������������ ����������������������� �������������������������������� ����������-�������������������������������������

Page 156: Complete Theory

�������2 ��������������������

����������������� ��!������� ��!�%

��

9�����������������������������-�����*�,�������������������������������������������������������������;-��� ������"������������������������#��5�) ���������B<��� ���� ��������$#� ��#����) �2����������������������������������!��������������������,�������������������-�����������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� ��

6��� ������������������������������������ ������������������������������������,���� �������������������������������������������,�������������������������������������*������������������ ����������������������������������������������������

����������������������������(��������������������������������������������������(���������������������������������������������������������������������������������������,����������������������������������������������������������������������������������������9������������ ,���������������������������-����������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Generalization

9�������-����������6����;#����������������������������������������;������������������,������������������������������������������� �������������������������!��������,�������������������3����������������������������������������������������������������������������� ����������������;������������������������������,��������������������������������������������������������������;�������������������

Page 157: Complete Theory

��������������������

�)+����"""�������������������

��������������������������3���������������������������������������

�2�= �3����

���

�2�� ��= �� ��35�E2��= ��3F������ ������*���

����H(��?.� ?�������6����;#���������������������������(���.���������Ψ3 �

�����L!�����������M���"�������������������!������������������������������������������������������;��������������������� ������������������������������!������������������������������������������������������������6����;#���������������

��������(����������������������������������������������!���

����������������!����J�6�������������������������������������

�������+����;6�����)����������%�+6)&������!����J����������������������������������������������������������;��������������������

+����;6�����)����������%+6)&�������������+6),�������������������������������������(�������������������������������L����;���6���������������M�

����;6��������)����������%�6)&������!����J�(�������������������������

����������������;�� �����������������%��;��������������������&������������������=�������,�����(�����������������������������������������������������,���6����;#��������������,�+6),��+6),����

�������������������3���������� �������������������������!���������9����������,�����(��������������������������������������������������������,���6����;#��������������,��6),�����

Page 158: Complete Theory

�������2 ��������������������

����������������� ��!������� ��!�!*

10.4 References

Books

���;�����������������G���������;�+�����7����;��@@1�;�.@@�����;�"� *�2;�:;1@/1:.;�

Papers

����������X�����������;���������������4�����������G'��7�������,�F�'� ������(; �����%"$$$��+�>���-��,�9������@@.&

���;��������������������;�9�� �����G����������%+��������"$$$,�E�����@0@&

6� ��������������������������G5��4����,�>��#����%"$$$��+�>���-��,�5������@@�&

���;�����������������������������������������������������������G7��#������9�����,�B��6��!��,�6��7�����!(�%E�����������������"#,>����@@/&

Page 159: Complete Theory

�!�

��������

�������� �

��������������������������������(��������������������� %��������������&�������������"������������������������������� �� ����������������������������������������������������������������������

Fixed resampling

Adaptive resampling

Page 160: Complete Theory

�������� 4��������

����������������� ��!������� ��!�!�

11.1 Fixed resampling

���������������� ����������������������������������������������������������������������������������!������������"������

4�����������������������������������������������9�)9��������,�����(�����,���������������������������/0222�������������������"���������������� ����������������.227-����122����������������������������������������������������������������������������������������(������"��������������������������������������,�����������������������������,���"���������,� ���"������

5������������,���������������������������������������������������������������������������������������������������������,������������!�����,�����������������,����������������

"������������������������������������������������������������������������������������������������ �������6������������������ �� ������������������������������������������������������������������" ������

9����������������������������������������������������,�����������������������������������������������)39���� ������"������������������������������������� ������������������������������������)39���� �����

���������������������������������!��������������������������������������������������������������!�������������������-������������������ ������������������������������"����������������� ��������������������������������������������������� ��������������������'��������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������O:P�����O/P�

Page 161: Complete Theory

4��������

�!+����"""�������������������

11.1.1 Integer downsampling

"���������������������������������� ���������������� ����������������������������7�� ������������������!����������� ���������������������������������������(�������������������������������������������������������:,����������������������������������������������A�����������������������������������.������������������������������������������������������� ���������������������

���� ������������,������������������������,�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������,�����������(�����������������������������������1�������������

���������������������������������!7-,������������ �����������1227-���"��������.����������������,������07-�������������:.1�7-�

F57 !�?57 ?��571��'���(

�.?

.�

)��������������������������1������������������������.227-������ �����������227-���"���������������������������������������������������������������������������22�7-� ����������������������� �������������������������� ����������������������������������.1������������������������������0�7-���������

ÉÉÉÉÉF !�? ��

1��'���(

�.?

.�

�?� ����� ��� ��������������57�

Page 162: Complete Theory

�������� 4��������

����������������� ��!������� ��!�!

���������������������������1����������������!���� ���1�������

F ��

1��'���(

�.?

.�

���������57�

*�������������������������������������������������:.1�7-��������������������D17-�������227-� ������������������������������������� �����������

F57!�?57

�.?

.�

��571��'���(

=?57

11.1.2 Integer upsampling

"������������������������������ �� �����������������������������������������������������*����������������������������� ��� ������-��,���������������������������������������������������� �����������������������������������

�������������������������������������� /,� ������ ����� ��� :� -���� ��������������������(�����������������������������������������������������������!����������������

"���������� ���������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������

Page 163: Complete Theory

4��������

�!!+����"""�������������������

��'� ����������

���<��������=���������������������-���,�������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������

�������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������������������������������.���������������������*�������������������������9������������������������������������,���������������������������������������������������������������������?�����������������������2��������!����������������������������������������������

0'

0'

������������������������������������������������������������������������������������������������ ���������������� ������������������������������ �����

Page 164: Complete Theory

�������� 4��������

����������������� ��!������� ��!�!#

11.1.3 Fractional ratios

4�����������������;��������������������-����������������������������������������������������������������������������������.�1����������� �������������������������������.����������������������������1������������������������������������������� ������������������������������������������������������� ������������������������������.!7-��������������������������������:22�7-���9������������������0227-����������,����������������������������������������.�1

"�������������������������������������������1,����������.227-�����������9�� �� ����,� ���� �� ������� ����� �����.22�����:227-���������������,�����������������������������������������������������������������

?

�������������������������������������/!7-�%�� �����������.!7-&���9������������������!7-����������������������������������������(���������������������������������1�����������������������/22�7-�������������������������������������������:227-�

?

6��������;������������������������������,��������������������������������������������������������������������������� �������������������� ������

Page 165: Complete Theory

4��������

�!$+����"""�������������������

11.1.4 Arbitrary ratios

������������������������������������������-���������������������������������������������������������������'������������,� ����������������(�����������������������������(���������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������

�������������������������������0�@.������������������������������������0222�7-���������������������������������������������������������������-����������������������������.1���������������������������������������.0,�������������������������(�����������

"����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������� ���������������������������������!����������<?�������������������������������=��������������������� ������������1����������������������������������������������

������������������ �� ����������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������������������������(������������������������������ ������������� ������ ��� ����������� �� ��������

������������������������������������<�)4=�%���������)��������4���&���"�����������<?�������������������������������=������������������ =����;�������������������������G

�)4J�2����2�%02[%�22�4�3��%�C��;�����������Y���&&&

��� 4�J�?���������������������������������;�������8�J�����������������������8������*��������������

Page 166: Complete Theory

�������� 4��������

����������������� ��!������� ��!�!%

�������������������������������������������������������������������������������"������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 167: Complete Theory

4��������

�!)+����"""�������������������

11.2 Adaptive resampling

9���� �����������������������������������������������������������������������������������(���������������������������9�����!������������������������������(����������<<����;����M������������������ �����������������������������������������������������������������+���������������� �������������������-���������������������,����������������� ��������������

'���������������� ������,�����(����,�������������������� �������������������� ����������������������������������������������� ��������?�����������������������������������,������������������������������������������������������������������������������ �

"�����������������'����������������������������������������������������������������,������ ��������������������������������������E���������������������������� ��������������������������.7-,����������������������� �����������������������.������������(������������������!��������������������������������������$ �� ��������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������,�����������������������������������������������4+>� ��������,��������!�����������������������������

'���������������������������������� �����������������������%��������������(��������������(����&,����������������!���� �����������������������������������������������������������������������������������������,�����������������������������������������,��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������9���� ��������������������������������� �������������������������

Implementation example

�����(������������������������������� �� �������� ����������������������������������������������������������� ��������������������

I�����������������������������������������������������������!����������������������������!��������������������N������������,������������� �����������3����������������������������������������3�����������

Page 168: Complete Theory

�������� 4��������

����������������� ��!������� ��!�#*

�/��

�����0�����

3������

"������������������������������������������������������������,���������%������&���������������������������%��&���������������� ���������������������������� �������������������������� �������

�/��

������ ��� ��!

��������� ����

��������� ����

��

��������������������������%��&�������������������������������������������������

6���������������������������������������������������������������������������

� �

� �

�����������������*�������������,���������������� ������������'�3.�9���� ��������������������������������G������������������� ���������������������������������,�������������������������������������������������������������������������

"��������������������������������������������������������'��������3�����������������9���� ����������������� ���������������������������3�����������������������������)������������������������������������ �����%������&�������������������������������������������� ��������������������

�������$��

�� ���$��

�������(�������������������������%��3�&����122���������������������������.2227-,�������������������������

Page 169: Complete Theory

4��������

�#�+����"""�������������������

���J�1223.222�J�2�.1Q�(�%:A23A2&�R�J���1�����

?�������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������(���� ������������?�������������������� ���������������������������������������������������������������������������� ���������������������������!���������������������

α1

tt 1

α

t1

y(t)

t, ∆t

t, ∆t’t1

y’(t)

y’1

downsampling

y’1

α1y’’

�C2�C3

�CC2�3

�����

��� �����

'������������������������������������α�,���α%&��������������������������������������������������%�&���� ������������������������������������%�=�&��������������������� ����������������������������������������� ��� ����������������������

)����������������������������������������������������������������������,� ����������������������������������������"������������������������������������������,�������������������� ����������������,����������������������������������������������

�����������������������%��������������������������������������&������ ����� ��� �� ������ ������ ������� ����� �� � ������� ���� ������� ������������9����������������������������;������� ������� ���� �� �� ��������� %�������� ����;������&� ����������������������������

+��� �����������������������������������������;��������,������������,��������������������������������� ,��������������������������������������������������������;������������������������%'"4&�����������������������������������;����,����������������������;����,���������������������������������������������������������������������������������������������������������/�

Page 170: Complete Theory

�������� 4��������

����������������� ��!������� ��!�#�

11.3 References

O�P 9��#��5������������4�6��������)�������������+��������+�����7�����@D1

O.P ��4��4���������� ��F�������������9�������������)�������������+��������+�����7�����@D1

O:P 4�$����������������4��4�����>������)�������������+��������+�����7�����@0:

O/P E�F��+���!�������)�F��>�����!��)�������������+��������G�+���������9�������������9����������>��>������+�����������@@.

Page 171: Complete Theory

�#

��������

�������������� �

'������� ������� ���� ���� �� ������ �������� ��� ��� ������������ ���������� ������ �������������� �� ��������������������������������������������

Basic definitions related to digital filtering

Types of filters and their design

Analysis of filters

Application of filters

������������������������������ �(������������������ �������������������������9���������������������������������������

Page 172: Complete Theory

�������. )�������������

����������������� ��!������� ��!�#

12.1 Basic definitions relating to digital filtering

A linear time–invariant system

)����������������������������������� ��������������������/���3����9������������������������������������������������������������������������������������� �������������.;��

�%�&

��������M�2 3N� ������

�2�3F<�F2 ��3

�����* �������������������9������;������������������������������� �����������������������������������������"����������������(����������������������������������������������

��������!E2 3� �FL� E2 3Mx(n) y(n)

9�������������"����������������������������(�P�(� �����������������������P��� ���������������������������������

9���"����+�����������������������������������(����*��������������������������*�����������*�

'������������.;���������(�������������������(��������

��������2 3� ������

�2�3F<�F2 ��3

Page 173: Complete Theory

)�������������

�#!+����"""�������������������

"����������������������"�����������������������������������������������������*���.������������ �����������"�����������������*���"���� ��������,������������������(�"��*���"��������(�"�����"��

����������������(��������� ����

!2 3� ������

�2�3F#F2 ��3 � ������

#2�3F�F2 ��3 �������

$��������.;/����!�������������+������������������������!�������������� ����������(������������.�����������(����:������������������������������� ������%��"&���������������(�����������������������������������������������-�������������������������������������

x(n) y(n);�2�������h(n)

Stability and Causality

�����������������������������������������������������������������������;�� �������������������� ������������������������������

9����������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������

�� ���

G#2 3G�� �������!

9���������������������������������������������/�* ������������������������������*� ��9���������;�� ���������������������������������������������������������-��������Q*,�����������������������������������������������

Difference equations

������������;�� �������������� ����������������������������������������������������������������������������4����������������������������,�������� �������������!��������������������������������������������������� ������������������������������������������������������� ���������������������������������,����������������,�����������������,��������������������������-�����������������

Page 174: Complete Theory

�������. )�������������

����������������� ��!������� ��!�##

��������������������-������������������������������������������������� �������������.;A�

�������#!2 3���

���

B�F�2 � �3FV���

���

��F!2 � �3F

9��(���������������������������������������� ����

�������$!2 3�� ��!2 � �3� B��2 3� B��2 � �3

����������������-�������������

,����

,����

x(n)

x(n–1)

y(n)

y(n–1)

b0

b1

–a1

,������������������������������9�����-�������������������������

�����������������������������������������!��������0���������"�����>�������������������������������-���������������������������������������������������������

The z transform

���-���������������������(��������� ����

�������%%2�3� �� ���

�2 3F��

����������������(� ������������-�����������������������������������������������������������������

���������������������������-����������������������������������%����&�����-������"����������������������9������������������������5� ����5�����������������������

Page 175: Complete Theory

)�������������

�#$+����"""�������������������

"����-�����,���� ������������������������������� ��������������� ����

�������)�2�3� (2�3

%2�3

����A����������������(����������������������������������������

��������*�2�3���� ���

��� ������F�F����

��

�� B����� B��

���F�F�B��

The frequency response of filters

�������������������������������������(���J��7�����%��� �������

�����������������������������&���'������������.;/

!2 3� ������

#2�3F�F���2 ��3

����������

� ���� ��

����

#2�3F������

� �2 3F�F2����3

����������A��M7���������������������������������������������,��������� ����������������������������� ��� ��������������������������-�����������������������������������������-J�M7���

����������2�3G����� ��2���3� �� ���

#2 3F����

������������������������������������������������������������������������=��������������������������������������������������������������������������������������(����

Relationship between the frequency response and the Fourier transform ofa filter

���������������������������������� ����������������� ��������'������������������������A��7���

Page 176: Complete Theory

�������. )�������������

����������������� ��!������� ��!�#%

���������2�E��3� �� ���

#2 3E����

#2 3� �����

��

E�2�E��3E���

����������������������������������������'������������������������������� ���������������� ���������������������������������,������������������(���������������������������������

��������(2�E��3� %2�E��3F�2�E��3

������������ �������������������������������� �������������������������������������

��������2������$����#���'����������������������&�������,���)�����'��������������������� ���

��������!��2�3� ��� ��

#�2�3E��� E2���3E �

������)'���������������������������-������������������������� ��������*��������������������������������������������)'�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������)'�����������,�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������-��� ��������������'�����������������������������������������������������

Finite and Infinite Impulse Response Filters

6�������������������������������������������������������������������������&��Q���Q�&� �%�������������&��������-����������������������������������������������"���������������%'"4&��������������

Page 177: Complete Theory

)�������������

�#)+����"""�������������������

�%�&

*.*�

����������������������������������������-������������������������������������������������������������������'"4�����������������������������.�.�.�

9������%����&��������������������(����������;�����T��%������&���������������������"���������������%""4&���������������)���������������������������������������.�.�:������.�.�/�

Use of digital filters

)�������������������������������������������������������;���;��������,��������,�����������������,�����������%�����-����&,��������������������3�������������������

������ ��������������� �����������������������������;��������������,����������� ��������������������,���������������������,������������������,��������������������������������������������������������

Page 178: Complete Theory

�������. )�������������

����������������� ��!������� ��!�$*

12.2 FIR and IIR filter design

'���������������������������������;��'����"������4������%'"4&��������������"������"������4������%""4&���������9����������������������������������������� �������

����������� '"4 ""4

������� �����������������������%����J2&

��������������Z����ZC�

+��� ������%��������������������������������������������&

��������

$�������� ����������%���������&���������� ���������������������������������������

������������������

4������������������ ��

��� ����

�������������� ������������ ��������������

9���� �������� ��� ��������

4���-���� ��������������%���������& ������������%��������������&

������������������������������������������������������������������������

'"4�6����� �������D/

'"4�>���������� �������DA

'"4�4�- �������DD

""4� ��� �������02

""4� ������ �������0�

""4������� �������0.

""4�"� ��������� �������0:

""4����� �������0:

""4�"� �������� �������0D

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �� ������������������������������� �

Page 179: Complete Theory

)�������������

�$�+����"""�������������������

12.2.1 Filter design terminology

Filter characteristics

��������������������������������%��������&���������������������'�����.;��

��� �0��

����0����� ��

��� �0����� ��

����0��

���������0��

5 ��

���������

'������.;� '����������������

���������������������������������������-��������������������������������������������������������

*������-����������J

9�������������������������������J *������-����������(����

����������������������2���2�1

���������%7-&

����������������

Linear phase filters

�����������������������������������������������������

�2�E��3� G�2�E��3G��E��2�3

'���������������,������/������������������� � ����"����������������������������������������������������������������������������������,

Page 180: Complete Theory

�������. )�������������

����������������� ��!������� ��!�$�

#2 3� #2� �� 3

����������������/��&���G��

��������������������� �������&��������������� �������������������(���������������������������������'������.;.����������������������������������&������������ ��

�����-�������������

����������������

��* ����*?

�����-�������������

����������������

��* �����*?.?

'������.;. ������������������������������ ��*

Filter types

� ���������������������� ����%�����������������������������&����������������������������������������������������������������������

��'� ���

0��� ���

(�/(� ���

0������

5 �� 5 ��

5 �� 5 ��

'������.;: '�������

"��������������������������������������)���������������������7���������������������������������������������4�-�(������������������������������������������

��##����������#������������������!������� �� ������������������������������������������������������������������

Page 181: Complete Theory

)�������������

�$+����"""�������������������

��������#�� E2�3� ��FFFFFF��� �� �

����������������������

��������$#2 3� �����

��

E��2�3E��� ��

� �����

��

E ��E��� ��

� ����

��� �0��

��� 0���� ��

����0�����������0��

5 ��6�������������������������� ������ �������� � "����������� �� �� �������� ��� ��� ������� ���� �������������������������������������

'������.;/ ���������������������������������

/�����������#������������������������@22������������������������������7�������������������������������������������

��������%�� E2�3�� �FFFFFF�� �� �

�FFF �FFF��� �� �

����������������������

��������)#2 3� �����

��

E��2�3E��� ��

� ������

��

��

E � E��� �����

E � E��� ����!

� ��V����E2� ��3

Page 182: Complete Theory

�������. )�������������

����������������� ��!������� ��!�$

"������������ �����������������������������������������������������������7��������������������������������A,����/�����������������Q�Q��� ���������������

5 ��

�� ��

'������.;1 ������������������7��������������

12.2.2 Design of FIR filters

Design of an FIR window filter

����������������������������������(������������'�����������

��������*�2�E��3� �� ���

#2 3E����

#2 3� �����

��

E�2�E��3E���

������������������'�������������������������������������������������������������������������-������� �����������������;� and i�������������������"������������������������!����������������������!������-������)������������������������������������F����������������� ������������������������������

'������.;A F���������������������������������'����������

Page 183: Complete Theory

)�������������

�$!+����"""�������������������

9����������������������������'���������������������������������������������������������������������������������'������������������������������� ��������������������

���������#W2 3� #2 3E$2 3

���� ����������������������������������#W2 3��� ��������������

������������

����������������������������������������������

� ���������������������������������������������������

� �������������������������������������� ��������

��������������������������������

"�������������������� ��������������������

E��52 3� �F$#� F� 2� �3

�� � 2� �3

���� ��� ��� ���

J�2������

/���������������������������������������������������������������������"��������

52 3� �� 2�� �3 ����� FF$#� FF� 2� �3

�� �

2� �3�

J�2������

��J�2�1

/����������������������������������7������������������������� ���������������������������������������J2�1/�

3��������B����������������������������������������(������������������������������� ���������������(������������������������������������;������������������'��������������������(�����������;����������������"������������������������������������������������������������������������������������

Page 184: Complete Theory

�������. )�������������

����������������� ��!������� ��!�$#

52 3�.�� �� L� �2� �3M��

.�E�FFFFFFF$#�

� 2� �3�

� �2� �3�

6���F* ������-��������� ���������������������������������������������������;����������������������������������������������������������

�����������������������(������������������������������������!���B������������,������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������� ����������������������������������

��������� ������������������������(�������� (���������������3�R�R3��(��

�E2�3( ���2�� �����E2�33

���2�3� �����2�3����2�3and

�� �And so

�2�3� �

�E2� �3� 2� �3�

��E2�3� 2� �3�

����E2�3� �

������������������H����������������������� ���)'������������� ����������� ��������&���������������������������������������

FIR multi window Filter

������������������������������������������������������������������������������� ���������"��������������������!��������������������������

"�����������������������������.;�1�����������������������������)'��������������������)'����������������������������������������-���������������������� ��������&��������������������������

Page 185: Complete Theory

)�������������

�$$+����"""�������������������

�2�3� ��� ��

#2 3E���2���3E �

�2�3��2�3G��E��2���3�

#2 3� �������

E�2�3E��2���3 �

'�����������������������������7����J�,�����������������

�2�3� 2�� ��3

V���

���

�2�3

LF�� ����E�2���3E �FM����������

��������������������������������������������������������������������������������������,����� ������������������������A������������������������������������������������������������������������ ������������������������

���������������������������������������������� ���''���������������������������������������������������������-��������������������������������������������������������������������

FIR Remez filter

�������������-�(��������������������������� ������(����������������� ����������������������������������������������������������,������������������������������������-�������+��!�;>������������������������������������������������;������������'"4������

���������������������������(���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������'"4��������������������������������������� �

��������������(������������������������������������������������������������������ ���������������������������������������������(�������������������-����������������-����������������������(���������������������������������������������������������������������������'������.;D�

Page 186: Complete Theory

�������. )�������������

����������������� ��!������� ��!�$%

� ��

���

���

��

���

'������.;D 9����(������������

���������������������������������������������� ���)'������������������������������

4������'���������������������������(���������������������������������������������������������������������H������9������������������������������%����&������������������������ ������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������+�� ������������������������������������������������������������������������� ������������������"������� ������������-�H�����������������������������������������������������(����������������.3��&���������������

12.2.3 Design of IIR filters using analog prototypes

��������� �� �������������������������������������������������������������(�!��������!���!"���������������!����������,��!�"������������0��

Step 1) Specify the filter characteristics

������������������������������������������'������.;0������������������������������������������������

Page 187: Complete Theory

)�������������

�$)+����"""�������������������

��+����� �� ��� ��(�� ����0�����1�

������������1�

�� � ������������'��������

� ��

'������.;0 '��������������������""4������

Step 2) Compute the analog frequencies

9��������������������������������������������������������������������������������'������� ��������������������,����������� ������������������� ���������������� ���������������������������������������������%-&������������������������������������������������

���������� ��� ���

�� ���

6����/��7�3�%�����������&������/7��

���������� ��� ����

�� ���� � �

E � E ��2����3

��������!��� �E ��2����3

�������������(�������������������� �����������������������,�����������;����������������"�����������������������������������������%��������&��������������

Page 188: Complete Theory

�������. )�������������

����������������� ��!������� ��!�%*

� ��

��

�� ��

���������/��������������

�� ���������/����������

'������.;@ ��� �����������������������������������

Step 3) Select the suitable analog filter

"���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������

������������

������ ����"������

"� ��������� �%���""&������

�����%��������&������

Bessel filters

������������� ���������(������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������(���������������������������������� ������������������� ������(��������,���� �,������������������� ������(����������������������������������� �������������������� ������������������������������������������ ���������(���������!�����������������������������������������\

Page 189: Complete Theory

)�������������

�%�+����"""�������������������

������������ ���������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������� ����

��������#�2�3���

6 2�3

����S������������������� ��������������

��������$6 2�3� 2� � �36 ��2�3� ��6 ��2�3

����,* �������������-�����������

��������%���2� 3J� J

Butterworth filters

���������������-���������������������(��������������������������������������������������������������������>�(�������������������������� �� ����������������-��������������������������������������������� ��������������

��������)G�2�3G�� ��� 2 ��/3�

��������������������������������������������������������������������������� ����������������.;.@����/7�

�������*G�2��3G�� �2�3�2� �3� �

�� 2� ��

���/3

�������������������;����������������-�������A��������������/��������� ���������%�3�.�&������3���J������������������������������:� �������������������

Page 190: Complete Theory

�������. )�������������

����������������� ��!������� ��!�%�

G5 ���G�

!�1

n=4

n=10

'������.;�2 ������������������ �����������

9���������������������������������������������������01�

Chebyshev (type I) filters

�������������������������� ����;����������������������������������������������������

��������G�2�3G�� ��� ��:� 2�3

����'���������������� ������������������ ��������������������������������������������������������������������� ��

��� ��

����

��� ��

����

'����������������������,��������� ������(��������������������������������������� ������������(������,��������(������������;�����������������������,���������������������������� �������������������������� ��������������������������

���������������������������������� ���������������������(�������������������������������������-��������(������ ����������������������������������������������������!�������������������(��������������������A[C5���Y�� 35�� �

Page 191: Complete Theory

)�������������

�%+����"""�������������������

������ �����������������;��������������������������������������;��������������9��������������������������������������������������01�

Inverse Chebyshev (type II) filters

��������������������-���������� ����;����������������������(�����������������������"���������

��������G�2�3G�� �

�� ��� : 2��3

: 2����3��

����'���������������� ������������,�� ����������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������� ��

��

�� ��

����

��� ��

������ ��

����

'����������������������,���"� ��������� ������(��������������������������������������� ������������(������,��������(������������;��������������

���������������������������������� ���������������������(�������������������������������������-��������(������ ����������������������������������

Cauer (elliptical) filter

���������������������������������������� ���������������������������������,�������� ������������������������������������������%���������������������������&��������� ����;������������������������������

Page 192: Complete Theory

�������. )�������������

����������������� ��!������� ��!�%

���� ����

����������������������� ����

�������G�2�3G�� ��� ���� 2�43

����5���I������������������� �����������������������������������������������������������������5���I��������������������5���I���� �� �����������E������������������������� �����������������������������������

�������������������������������-����������������������������������(������������������������������������7�� ������������������������������������ ����������������������������������������������������������������

'������� ���������,����������(���������������������������������������������� ������������������ ��������������������(������������������������������������������-����,��������(�������������������������������

"���������� ����� ������������(�������,����������������!��������������������(�������������������A[C5���Y�� 35�� �����������������(����������� ����������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������(�����������������������������������������(�������

Page 193: Complete Theory

)�������������

�%!+����"""�������������������

Step 4) Transform the prototype low pass filter

9�������������� ������������������������������������������������-�������������������/��������(����������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������

��������� 4���������� '�������������

� ��/

�������������������

�������������������� � �/�

�������������������� � ����<�2� E2�<��23

�� ��

� � E2�<��23

����<�2

�� ��

�������������������

Step 5) Apply a bilinear transformation

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������2�3��2�3G���

�����

�����

����������������������������������������������,��������� �������������P�.����������������������������9��������,�������������,�����������������������������������������������������������������������

Determining the filter order

I����������������������������������������������������� �����������������������������������'������.;���

Page 194: Complete Theory

�������. )�������������

����������������� ��!������� ��!�%#

��

��

� ��

���������

���0����� ��

'������.;�� �������������������������������������

4������������� ��������������������������������"����(�����������

9������ 6���������������,�����������������.��������������"����(���������� �

�������������?�����������

���������������������������%����������������&��������%�����������������&���������������������������������� ������������������������������������������������������������������������

���������������� ��������������������������������������������������

���������������������������������������� ������������������������� ������,������� ����"�������""������������������������������������������������ �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

5��������������������������������������������������������������������������������������

�� ������

2�� ��3 2�� ���3� ��

��

9����������������������������������������������� ,����������������+����������������������������������������

��VV����VV�VV

������������

������ ������

Page 195: Complete Theory

)�������������

�%$+����"""�������������������

9���������������������������������,���������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������

� �

� ������

� �����E2���3

���� ������ ������

�O2�3EO 2�� ��3�O2�3EO2�� ��3

$������

����<�����������������������������������������!����

12.2.4 IIR Inverse design filter

���<������� ��������=���������������������������������������������������������-��������(����������������������������������������.�.�:�9������ ���������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������!������������������������������������������������������������������

Page 196: Complete Theory

�������. )�������������

����������������� ��!������� ��!�%%

12.3 Analysis

������������������������������������ ������������������������������������������

Frequency response of filters

����������������������������������������A��M7����������������������������������������������������.;�2

Group delay

��������������������������������� ������������������ ����������������������������������������������������������������������������� ����

�2�3G����� ��2�E��3� G�2�E��3G��E��2�3

������������������������

�������!��2�3�� � E2�3�

��������������������������������������� �� ����������

�������#�)2�3�� �� E2�3

��

"������ ������������������������������������������������������� ���������������������������������������

'���������������,������/������������������� � ����� ������������������������������������

Page 197: Complete Theory

)�������������

�%)+����"""�������������������

12.4 Applying filters

������������������������������������������������

Direct trace filtering

"����������������������������������������(�����������������������������������������������������������������������

Zero phase filtering

��������������������������������������������������������������������.�������������������������������������������������"�����������'"4���������(��������������������������������������������������������������������(�����������������,��������""4��������������������� ������;���������"������������������������� ��������������������������;�����,���������������������� �������������������������<���� �����=���"������������������������,��������������������������,��������� �������������������� ���������������������������������������������������������������������

"��(���/*������Q*.������-������������������� ������������

�������$3ME� E2� 3N� �� ���

�2� 3F��

���������;�J� ���

�2<3F2���3�<

3M�2� 3N� %2���3

����� %2�3� 3M�2 3N

��

����� �����������������������-������������������������'������.;�.�

(%�& �%�&

���� ����

�%�&�%�&J(%;�&

���� ����

�%�&J�%;�&

'������.;�. 4���-��������-�������������

Page 198: Complete Theory

�������. )�������������

����������������� ��!������� ��!�)*

"�����������������������

� E2�3� %E2���3

E2�3� � E2�3F� E2�3�� E2�3F%E2���3

6 E2�3� E2���3� � E2���3F%E2�3

( E2�3�� E2�3F6 E2�3�� E2�3F� E2���3F%E2�3

�����<��� ���=�����������������������

���2�3� � E2�3F� E2���3

�� ���

���2�3� � E2���3F� E2����3� G�2���3G����

����-�����������������������������?���������������������������������������������������,����������������������������������-����������������������������������������

Page 199: Complete Theory

)�������������

�)�+����"""�������������������

12.5 References

O�P 9��#��5������������4�6��������)�������������+��������+�����7�����@D1

O.P ��4��4���������� ��F�������������9�������������)�������������+��������+�����7�����@D1

O:P 4�$����������������4��4�����>������)�������������+��������+�����7�����@0:

O/P E�F��+���!�������)�F��>�����!��)�������������+��������G�+���������9�������������9����������>��>������+�����������@@.

Page 200: Complete Theory
Page 201: Complete Theory

�)

���������

���� �������� �

������������������������������ �� �����7�����������!�����������B�����������

Theoretical background

Practical considerations

Page 202: Complete Theory

�������: 7�����������!���

����������������� ��!������� ��!�)

13.1 Introduction

����������������������������������������������������!�������������������%�����&��������������������������������������,����������������������������������������"����������������������������� ����������������������������������������"�������������,��������������������������������� ������������������������������������(���� ��������������������������B�������������� �����������������������!������������������ ������������������������������������������������������������������������!������������

9���������������������������B�������������������������;�����������"���������������������������,�������������������������������������������(��������������������,������������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������%���������������;���������������&���������������������3�����������������������������������������������������������������������

Conditions for use

����������������������������B��������������;

� ��������������!������������������������������������������������������������������������������,

� �������������������������������%����2�2��7-&�����������������������������������%��� ���������������������������������&,

� ���������������������������,

� �������������������������� �������� ��������������������,

� �����������������

"��������������B�������������������������������������������;

� ����������������������%������ &��������!����������������!�����

� ������������������������������������������������

� 9������������������������������4��� ���������������������������������������������� ���������������������

Page 203: Complete Theory

7�����������!���

�)!+����"""�������������������

13.2 Theoretical background

�������������������B�����������������!��������������������� �� ���������

� 9���������������������4��"���������������!��������,��������������� �����������������4��3���������I����4��������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ��������4��3�����������

. ������!������������������� �����������:�.�.������������������������!��������������������������!������������

������������������������������������������������:�:�

13.2.1 Determination of the Rpm

�������B������������������������� ������������������!�������������������������������,������������������������������4+>�����������������������������,����������������������������������!�������������������������������� ����������������������,������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������� �������������������������������������������������������������,�������������������������������������������������

�������������������������������������� �������������������������������������������������3�����������

�������������� �� ������������������������������������������������������������� ����������,�����������������(���������������������������������,�������������������������������������������������������������������������������<�����;��;������4+>=��������������������

13.2.2 Waveform tracking

���B��������������������� �� ����������������� �����������������������!����������6���������������0������������

Page 204: Complete Theory

�������: 7�����������!���

����������������� ��!������� ��!�)#

The Structural equation

������������������������������������������ �������������������!�9������� �����(����,�(����������������������������������������������������������������������������

�2 E��3F�F � ���2���E��3�22 � �3E��3� �22 � �3E��3� � ��������

�������������������������������������������������������

� E2 3F�F /2 3� E2 � �3� � E2 � �3� � ��������

���������/���������������

6�����������������������������!����,���������:;.������������������������������������������������������ ����������!�������������������������

6������!������������ �����������������������������,��������������������������������������������������,��������������������������������������������������������� ��� ��������������,���������������������$��������:;.���������

� E2 3F�F /2 3� E2 � �3� � E2 � �3� �2 3 �������

�������������������������!�������������������������� ��������������������������� �"����������������������6������������������� ����������������������������������������������

The Data equation

(���������������������������������������������,���������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 205: Complete Theory

7�����������!���

�)$+����"""�������������������

!E2 3F� � E2 3� � E2 3 �������

��������������������������������������������������������������������������5���������6���������������������������� ��������������������������������������

The Least squares formulation

'���������������������.����������:;:������:;/���� ��������������������J(�����(�������(�����R���4����������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������

��V� /2 3V�

VV��V���

�2 � �3�2 � �3�2 3

���� � �2 3

!2 3� �2 3� �������!

�������������������:;1���������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������

� E2 3F� ��E2 3

��E2 3�������#

$��������:;1����������;

��V� /2 3V�

VV�2 3�V����2 � �3�2 � �3�2 3

���� � �2 3

�2 3E2!2 3� �2 33� �������$

������������������������(�����������������������������������������������������������,���,�����������������������������������������������������������������������B�����������������������������!�������������������9������� ���������������������������������������������������������������,�����������!���������� ������� ����,������� ������������������������������������� ��������������������������

Page 206: Complete Theory

�������: 7�����������!���

����������������� ��!������� ��!�)%

6�������������������� �����������$��������:;D���� �������������� ������������������������������� ����������������������������������

Page 207: Complete Theory

7�����������!���

�))+����"""�������������������

13.3 Practical considerations

���������������������������������������������������B��������������������������������������

Frequency resolution

"�������������B���������������������������!������������������������������������������������������������������"������������ �,������������������������������������������������������������������ ������ ����������������������������� ����������9������������,�������� ���������������������������� �������������������������������������������������

Filter characteristics

"��������������� ��������������������������$��������:;D�����������������������������������!����������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������

�:� �� E2 3

���E2 3

��E2 3�������%

9��������������� ����������������������������������%������������&��������������������������������������������������"������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ����������������9�������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �������������������� ������������!���

������B����������������������������������-���������������"���������,��������������������������������������������

Page 208: Complete Theory

�������: 7�����������!���

����������������� ��!������� ��!�**

5:*�?�

5:*����

5:*� ��

'������:;� $���������7�����������������'����

Bandwidth characteristics

$��������:;D���������������������������,�����.�������������� ������������������������������,������������������ �������������������������������������������������� ���������������������������������������������!��

?���������������������������������������������4��� ����,���������������������������������������������������

�������

�� $ �

������

�������

�� $ �

������

'������:;.�)�����������������������������������������������������

Allowable slew rates

�������������������B�������������������������������������������������!����������������� ������������ �����������������6��������������� ������,������ ��������� ������������������������������������������������������������������

����������� �������������������������������� ������������ �����������"����������������'����������������������������'�K3K.��

Page 209: Complete Theory

7�����������!���

�*�+����"""�������������������

����!��������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������� ��������������������7�� �������������������������������������������������������������������������������D17-3���� ��1�������,����������� �������������������������D127-���"���������������������������(���������������������������������������������������������

Page 210: Complete Theory
Page 211: Complete Theory

�*

���������

�� �� �� ����������� �

�������������� �������������������� ��������������������������� ��������������������������������������������

Counting of single events and occurrences

Two–dimensional counting methods

Page 212: Complete Theory

�������/ ������������������������

����������������� ��!������� ��!�*

14.1 Introduction

"����������������,����������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������'������/;������������������������������� ��������� ��������������������1�������%::2�������&�

���������

�������

�/�

�."

��."

'������/;� ������������3������

"��������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������!��������������������;�������� ����������������������������������������������� �������������������������-����;����������������������������,����������'������/;.�

'������/;. �������� ���������������

����������� �����G;

� �����������������!������������� ���������������������������� ��������������������<<+�!��������==�������������������������/�.���

Page 213: Complete Theory

������������������������

�*!+����"""�������������������

� ���(����������������������������� ����������������������������� ��������������������<<� �������==���������������������������������/�.�.�

� ������������������������������������������-�����������������������������������������������<<4�������������=�������������������/�.�:

������������������������������������������������ ������������ �������������������

� �����,��������������������������������������������������� ����������� ���������������������������������������������������������������������� ���

� ����.�������������������� �� ���� ���������������������������������������������� �,����������������������������������

Page 214: Complete Theory

�������/ ������������������������

����������������� ��!������� ��!�*#

14.2 One dimensional counting methods

����������������������� ����������������������<������ ��=������������������������������(�������������������

�������/�:��������������������������������(���������������������������� ���������������������������������<���������������������������=�

14.2.1 Peak count methods

������������������������������������<<��!�M%��(������ �&�����<< ������M�%��������� &������������������������!������ ������������������������ ����������������������������I����������������������������!������� ������%(���&������������!��%��(���&,���������� ������%�������&�

��

'������/;: �������������!������ �����

9�������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������'�������/;/��������������������������������� ���!; ����������������������������������������������������

Page 215: Complete Theory

������������������������

�*$+����"""�������������������

ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ

ÉÉÉÉÉÉÉÉ

ÉÉÉÉÉÉÉÉ

ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ�

��

!

"

� � �

�����

�������������

ÇÇÇÇÇÇÇÇ

ÇÇÇÇÇÇÇÇ�

��

!

"

� � ������

�������������

ÇÇÇÇ

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ�

��

!

"

� � ������

�������������

@+�����8���� 8�+���

'������/;/ 7��������������!��%��(���&,� ������%������&���������%(���&

14.2.2 Level cross counting methods

����������������������������������������������������� �������� ������)����������������������������������%����� � &�����������������%���� � &�����������������������������I������������������������������ �%��&����������,������� �%����&����������������������

��

'������/;1 ������������ �����������

+�!������������ ������������������������������������������������ ���������������������� ��������������������������!����� ����� �������������������� ��������� ����������������������� ��������������������� �����������!; ����������

9�� ����������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������,������������������������������������������������������

Page 216: Complete Theory

�������/ ������������������������

����������������� ��!������� ��!�*%

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ

ÇÇÇÇÇÇ

ÇÇÇÇ�

��

"

>

F

� � ������

�������������

� ����������/�

ÇÇÇÇÇÇ

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ

ÇÇ

ÇÇÇÇ�� � � �

�����

�������������

��'����������/�

ÇÇ�

"

>

F

ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ

ÉÉÉÉÉÉÉÉ

ÉÉÉÉ

ÉÉÉÉÉÉÉ�

��

"

>

F

� � �

�����

�������������

� �����H���'����������/�

ÉÉÉÉ

'������/;A 7������������� ����������������

14.2.3 Range counting methods

9������������������������������������������������������������������������ ������������� ���!; ������������

Counting of single ranges

������������������� ���!; ����������������������4����������������������� ������������������������������ �����������������������

�"

�"

'������/;D �������������������!; ����������

9���������������������������������,�����������������������,�����������

Page 217: Complete Theory

������������������������

�*)+����"""�������������������

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ�

��

!

"

� � �

�������������

$�/�

ÇÇÇÇ

! "

ÇÇÇÇ

�" �!

'������/;0 7�������������������!; ����������

Counting of range–pairs

��������������������������%�������������������������;����&,����������������������������������������� ��������� ��������������������������������������������������������������������������'������/;@,����������������������������������������������������� ���������������

��'� ����������

'������/;@ ����� ���������������������������������� �������

"�����������������������������������,������������������������� ���������,������������������������� ��������������������� �������������9���������������������������������������������������������������� �������� ���������������� ���������

�������;������������������� ��������������� �����4��������������������������������������� ������,�������������������������<<����M������� ��������%�������&�������������������%���������&�����������������

* � $

'������/;�2 4����������������

Page 218: Complete Theory

�������/ ������������������������

����������������� ��!������� ��!��*

"������������(������������������������������������������������������������%4&,����������<��������=����������������

Page 219: Complete Theory

������������������������

���+����"""�������������������

14.3 Two–dimensional counting methods

�������������������������������,����������������������������� ��������������������������������������������������������� ������7��� �,���������������������������� �����������,�����������������������������������<��;����������=��������������������������������������������

14.3.1 From–to–counting

�������<<�������M� ��������������������������!���� ���������������� �������� ������9�����(����,��������������������������� �������� �9����������������!���� �������������������'������/;���

6

&

��

��

'������/;�� '���;���������

"������(����,���'������������%��.&�������������������������������%:�/&�����%����.&,������������������� �� ������������%�;9J); &�

����������������<<������==�����������������������������������>��!� ;>���(�9O�,�P���������������� ���������������!����� ���������������� �������� �������������(����������������������� ������'������/;����������������

Page 220: Complete Theory

�������/ ������������������������

����������������� ��!������� ��!���

� 6 � �

6

#������4

����

"

��6�

!

�������

�����������������������>��!� �����(���������������� ������� ��,���������������������������-�������� ����������������������������������������������������������������������!������ �������������������� �������������������������������������������������>���!� �����(�

14.3.2 Range–mean counting

9�����(������������;�������������������������������������;������4���;��������(������ ����������������%�;�&������������������������������������ ����%�T�&3.�

6

&

��

��

�8�

�86 �86

6

� �

'������/;�. 4���������������

"��������������������������� ��������9������,���4���;����������������������� �������9�%������&����� �%J�9T��3�.�������&�4����,���������������������������������������������������:)�������

Page 221: Complete Theory

������������������������

��+����"""�������������������

���0�����������

$�/�8��

'������/;�: )��������������;�����������

14.3.3 ‘‘Range pair–range” or ‘‘Rainflow’’ method

9���;��������������������������������������,������������������������������������,������<<���������;����M����������������������������� ����,�������������������������������E����,�!���������<<4������������M�� ��������������(����������������,��������(���������������;�����������������������������,��������������������;�����������������������������������������������������������������������'��������������������������������������.�D�

$�����������������������������������������,��� ���������������������%�������&������������������������������������������������ ������������������������������������>���=������������������������!��������������������������������� �� ���������������������

� ��� �������������������������������!; �����������

9������������������������������������ ��������������� ���!����� �����,���������������������������������������!; ��������������"�����������������������������������������<<����;����M�������'��������������������-�4,�����!�%��� ����&������������ �����������������-���������������������������������%�������&������ �����������4�����%��������&�������� �������!�%��� ����&�� ��

Page 222: Complete Theory

�������/ ������������������������

����������������� ��!������� ��!��

��

��

�!

�"

�?

�>

$$

$

$

��

��

�?

�>

'������/;�/ ��� �����������������������������!� ����������

"������� �(�����������������������!���������������������������������������������-�4�������

9��������������������!,����(� ����� �����������!�����,��������������������.���������������� ������������ �������������������������������4��������:��������������������������������(� ������!�������������!������������:,������������������������� ������!����������������������������������������������������(�(������������������%/&��������������������!��������������������!������ ����������+�!�1�������������� ��������������������������� �������������,�������������4�

"������(���������������������������������������� ��������%:,/&���������!; �����������

*��������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������4��������������������������������������������� ���������������������������� �����������������-�

. ���������������������������������;������

�������������������������������������������!������������������������ ������,��������!������������;�����������������������"����,�������������������!; ������������������������������������������������5���������;�����������,����������������������� �����������������9������,����(��������������������������������������������������� �������������������,����������������������� ����������������������������������������������������;��������,��������������������4���;�����������������������������������������

: ����������<<4����M

Page 223: Complete Theory

������������������������

��!+����"""�������������������

9���������������������,���<<�����M������!������ �������������������������-��������������������������������������"�������������������������������������������,����������� ��������������������������� ����������

Example

�������������(���������������������;���������������������

��������������������������������

9���!; ����� ������������ �� ��������������-�4,��������������!; ���������������������

��

�!

�"

�?

�=

�F

�>

$

��������������%������������������;��������������&������������!�������/������(������"�������������� -��-�!-�"&,�������������������������������(�������-�!-&��������������������� ���������������(����� -������"&,���"������������%����������(����&,����������������� ������������������������������(������-�!-�"-������?���������������������������������,������(�����!-�"-�?-������>��������������������������������������������

��

�!

�"

�?

�=

�F

�>

��

�!

�"

�?�=

�F

�>

��������������;��������������������������(������������������

<<����������!�����M,���(����� -��-�!-������>��������������������������������%��-�!&����������

Page 224: Complete Theory

�������/ ������������������������

����������������� ��!������� ��!��#

� ��

�!

�=

�F

�>

��

�!

�=

�F

�>

'��������������������(���,����<<�����==�����������������������������������������������������������������<<����;�;�����==�

Further considerations

����������������������;�����������������������������������������������������-������������������������������������������������������ �������������������!�������������� �����������������������������<��������������=���"��������� ������������������������������� �����������������,���������������!���������,������������������������������!��������������������������������������,�������������������������

�������������������������� �������-���������������������������������������������������������������-������4���:4,�����(����,��������������������'���;��������������������Z����;�ZC:[4,������-�����"����������,��������������������������-���������������

Page 225: Complete Theory

������������������������

��$+����"""�������������������

14.4 References

O�P '�������������������������������������,���E�����E� �,�.@��>��������9F94)��>+,�"������,��������@A@�

O.P ���������������������������,���E�����E� �,�"9��;�������,�4��,�������@D2��

O:P ���������������������������,� ���)��!���>,�A��"�9'�����������>�����,�'�������?�9,�>����@D���

O/P '��������>������������� �����������,�>�����!��>��H�$������,B�����������������,�E��������������>���������$������,�>�����@A0��

O1P ����������������������������,�6�����+�,��$$���������������.�'��������@D1,�E�������������������$� ���������$������,�������@DA�

Page 226: Complete Theory

218

Part IV

Analysis and design

Chapter 15Estimation of modal parameters 219. . . . . . . . . .

Chapter 16Operational modal analysis 267. . . . . . . . . . . . . .

Chapter 17Running modes analysis 281. . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 18Modal validation 293. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 19Rigid body modes 309. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 20Design 321. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 21Geometry concepts 357. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Theory and Background

Page 227: Complete Theory

��)

��������

�������� �����

����������

��������������������������������������� �� �������������������������������������� ������G

The definition and derivation of modal parameters

Factors to consider in the estimation

Descriptions of different parameter estimation techniques

Calculation of static compensation modes

Page 228: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!��*

15.1 Estimation of modal parameters

9������������������� ������������������������������������-��������������� ���������������������������������������������������������'������1;��������������������������� ����������������������

� �� � ��

���������(������������� ���������

#��F2��3F��

���

V �F ���2��� ��3

��F���H

2��� �H�3

��������������������������� ���������

FREQUENCYDAMPING

MODE SHAPES

'������1;��)�� ���������������������

"�����������(�������������������������������,������������������������������������������������������������������������������������������������������������������;���������������������������������������%'4'�&,������������������� ���,���������������%"4�&���'���"4����������������������������������������������(���������$��������1;��

#��F2�3F�����

V�F����F���� �F���H�F�

H�� �����!��

���������������������������'4'������� �����$��������1;.�

Page 229: Complete Theory

$������������������������

���+����"#�����>�����9������������)����

#��F2��3F�����

V�� �F���

2��� ��3�

�F���H

2��� �H�3�!� �����!��

���

��7 ���� J�"4��������������%�������&�����������������������������%�������&�)5'�7

��7 ��7�� J�'4'��������������)5'�������������)5'�7

& J������������������ �����������������������������=�������������������������������������������������������

���7� � J������� ��������������

�� � J����� ��������������

[��������������(���������

�������� ����������(������������������$���������1;:������1;/�

��� ��� ���� �����!�

���

�,� J��������������������������������

�� J�������������������������

��

���� ��� �� �� � �� ���� �����!�

���

��� J����������������������������������

�� J��������������������

$��������1;1����������������,������������ �����������������������

����� ��F,��FF,�� �����!�!

Page 230: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!���

���

+�� J������������������������������)5'�����������

+7� J�����������������������������)5'�7���������

�� J��������(���������������,������ ����������������������������������������

*����������������������������������������%����������������&��������(���"��������������������,������������������������(�������,

����

������������!�#

���

"� J���"�,���"������������

�������,�����������������%�����������������&,�����������������������,����������,�����������������������������������"�,�������"�����%�����������������������������&�

����������������������������������������������������������%��������&��������������������,����������������������������������(����%������ ;��&�������������������������������������>��������������������������������������������������������������������������������������������������

A note about units

����������������������� ������� ����������������3��,�����������������������7-�

���������,����������������$��������1;������1;.,��� ����������������������������������9���������,������������������������������� �������������4����������������������������������������������������������������������,�%$��������1;1&��������������������������������� ���������� �������������,������������%��������&�����������)��������,����������������������� ����������������������������������

'������,�������������������������,����������������������������������������������������������������������������������������9����,�����������������������������������������������������������'�������,���������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������

Page 231: Complete Theory

$������������������������

��+����"#�����>�����9������������)����

15.2 Types of analysis

������������������������������������������������������������������������������������������������������;

� ?��������������������������������������������������1�.��

� >�!������������������������������������1�.�.

� ?������������������������������������1�.�:

� ?���������������������������������������������1�.�/

� ������������������������������������������� ����;����������������������������1�.�1

��������������������������������������������������������1�:

15.2.1 Single or multiple degree of freedom method

"�,�������� ��������������,����������������������������������,��������������������������������������������������������������������������������������������������%�)5'&�����������

���������

���

����*�����

'������1;. �������������������������������

?�����������������,���'4'���������1;.��������������������������1;D������������������������������ �������������������������� ������

#���

�F���

2��� ��3�

�FH���

2��� �H�3�����!�$

Page 232: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!��

��� � � � ����

"�������������������������������������������������������������,�������������������������������,��� �������,�������"���������������

#�� ��F���

2��� ��3�

�F���H

2��� �H�3� <��� �

2���

�������!�%

���

���7 �J����������������%���������������&������������(���������������������� ��"�(�

���7 �J ����������������%������������&������������(�������������������������"��

?�������������������������������������'������1;:�

��'����������

���������

��������

������������

� ���������� ���4

� ����

��

���

'������1;: ?���������������������

$��������1;D�����������������������������������������(����������,�������������

#�� ��F���

2��� ��3�����!�)

�����������##����������������������)5'�������������������������������������������������������������+�!����!���,�>������!��������������������

Page 233: Complete Theory

$������������������������

��!+����"#�����>�����9������������)����

��������������##�����������������)5'�������������� ������������������������������������������������"�����������������������������"������������������������(����������������������������������������� ������������������������� ����������������������������������������;�����"��������,�������������,�"�"����,��

15.2.2 Local or global estimates

"��������������������������������������������������������������������������,

#�� E2�3 � ����

�����E���� �H��� E�E�H�� �����!��*

��������������������� ������� ����������������������������������������)5'����"������������������ ������ ��������������������������������������������������������������������������������������6����������������������������������,����������������������������N���!��������������������������

�������������� 5��������������

$����������������7 ���������-������� �������,������������������������������������ ������ ����������������

9������������������������-��������������������������������������=���������������

9����-����������������������������������������������������������������������������"����������������������������������������������������������������������� ��������������������

6���������������,���������������������� �������]������������������������������������������������

+�!����!������������������������������������������������������������� �����

�������������������(�$(��������,������(�>���"��������'������������)����+������"������������������������������������������������������������������������

Page 234: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!��#

15.2.3 Multiple input analysis

9���������������� �����������&� ������)5'������&� ������)5'�����(������������������������� �����������������%���������1;�2&����������������������(���������������������������

L�M � ����

L��M�F���� L�H�M�F�

H�� �����!���

���

OAP�J%&�.&�&�����(�������7 ��������

O5�P�J %&�.&�&�����(�������7� ��������

$��������1;1�������������(�����������������(���������������,

L��M � ��FM>N�F�>��� �����!���

���

QTR� �J &� � ����%������&���������������������������������)5'�

�T�� �J &� � ����%���&��������������������������������)5'�

"��)5'��������7����������������������)5'���������� ����������������>�(���� �����������,

���� � ���� �����!��

������������������������������� �������������������(�������(��������������������������,

L��M �F M>N�F�4�� �����!��

�����I������� ����%���&�����&� ��������������(������������������������������������������������� ��������������)5'��

�����������������������"�,���������������������������������*��������������������������������������������������������������������������������������������������������)5'��

Page 235: Complete Theory

$������������������������

��$+����"#�����>�����9������������)����

?����������������������������������(,���������1;����������������,

��� � ����

M>N��4���F��� � M>HN��4H���F�H�� �����!��!

"�������������������������)5'��������������)5'���������������

���� � ����

,���4���F��� � ,H���4H���F�H�� �����!��#

���

�A � �/ �&� � ��������������������)5'����������������)5'��

"��������������������������������1;�A������������������������������������������������������������������)5'��"�������������������������������������������������;

�4��F���� �����!��$

9����������������������������������������������������������������� ���� ���������������������������������������������(������������������1;�D�%�������������� ������������������������������������&�������������������������������������(����������������1;�A�

����������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� �����������.� ��������������������*������������������������������(������������,����������������� ����������)5'���������(��������

M�N� � ���M>N�2���F��� � M>N�2���F

������ �����!��%

�������

�� " �� � �

M�N� � ���FM>N�F2�� � M>N�F2��F�F����� �����!��)

Page 236: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!��%

������������������������������������������� �����������)5'�7.������������������������������������� ��������������� �����������������������������������������������������������������������������7 �������7 �

������������������ ��������������)5'��,����(������������������������������������1;�@�

M�N� � ���FM>N�F2�2 � M>N�F2�2FF������ �����!��*

���������������������������������������������������������������������� �������� ���"���������������������������������������������������������������,���������������������������������������������������������������� ������������9����������������������������������������������������� ���� ����������������������,�������������������������������������������,������������������������������������������������

15.2.4 Time vs frequency domain implementation

?����������������������������������,��������������������������������������� ���������'����������������������������������������������������������'4'������������*���������������!�������������������������������������������������������������(����������������������������������������������������������

'�������������������������������������������������������������������������,������������������������������������������������������������������;

#��= F2��3F � ����

V�� �F���

2�� � ��3�

�F���H

2�� � �H�3�!� �����!���

���

��7.� J������������������������������

Page 237: Complete Theory

$������������������������

��)+����"#�����>�����9������������)����

��J�������� ������������������������������

9�����������������������������������������������������������������������������������������������"�������������� ����������������������������������������������������������������������������(�����������������1;.��

"���������������������������������������������,������'4'�������������������!��������������������������������������"������4�������%"4&���9�'���'����������������%''�&�����������������������������������������������������������������������������������������������������.�%����:.,�A/,��.0���&������������� �������9���������������,����������������������������������������������������������������������������������9���������������������������������������������������-�������������������������������������������������

"��������,��� ����������������������������������������� �������������������-���������������������������������������������������������'������1;/�

�������

(�4

��� ���+

����������������0��

�����������0��

'������1;/ 9��������������������� ���������������

������������������������������������������������������������������������������ ���"����������������������������������������������,���������������������������������������������������������������������������������������������"������������������������������������������"�( ���� �"����������������������

�� � ���2����� ��� �3

�����!���

��������������������������������������

Page 238: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!�*

#��= F2�3F � ����

�F����F�� ��� �FH����F�H� �� �����!��

��

#��= � ����

�F���F� � � �FH���F�H � �����!��

���

�� � ��� E�� �����!��!

������������������������������������������������������������������1;./������������-���7.� ���������� ���� ����������������������������1;.1���*����� ������������������������������������

�� � �2����������3�� � ����� �����!��#

��������������������������������������������].� 3��������������������"�����������,������������������������������������,������������������������������������������������������������%��"��.���"�(&�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������%�������������&���������������������������������� ����������������,�������������������������9��������������������������������������������������� ������������������������������-��������� ������������������������,�����������������������������

15.2.5 Vibro–acoustic modal analysis

����������������������������������� �������������������������������������������������������� �������������������������������������� ��������������� �����������������������������������������������������������������(������,�����(�� ����;����������������������������������

����������������������������������������� ������������������������ ����;������������� ���G

Page 239: Complete Theory

$������������������������

��+����"#�����>�����9������������)����

�� ����F� ��:�F� O��M�NF � M�N�F M2�N �����!��$

���

-6.�'6.�<6� ���������������,���������������������������

J�K� ��(�������������������

J��K ��������������������������� ����

"���������������������������������������������G

�� ����F� ��:�F� O��M�N � M��N� ��M2�N �����!��%

���

-�.�'�.�<�� �������������������������; ��������������

ω�J��K ��������������������������� ����

������������������������

M2�N �F ��B

�F�� �����!��)

M2�N �F ��B

F�F�� �����!�*

���������������������������������������������������� ����;��������������������G

�O�

� O/

O� ����� � ���:�

:������ � �����

�:

������� � � � ��� �����!��

���������������������������������������������� ����;�������������� �����������������������;����������

������ ��������������������� ����;����������������������������������������(��������G

����G�� ���

� ����

��

�G���� �����!��

>��������������������;����������������������������������������������������������������;���������������������������������������������������������������������������������������� ������������������,������������������������������

Page 240: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!��

���������(�����������������������������������(�������������������������� ��������������������������������������������������������������������������;����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������(�����������������<#����;����������>�����9��������G�4���������,�>���������������>����#������=����B��6��!�������'�9����-��� ��-�

Page 241: Complete Theory

$������������������������

�+����"#�����>�����9������������)����

15.3 Parameter estimation methods

9�������������������������������������������������� �����������1���

������ !���������� �&2 ������ ��������� %�����

+�!����!��� �������,�������

����� ��� ����� �����

>������!��� ��������� ����� ��� ����� �����

����������� �����������������������

����� ��� ����� �����

�����(�>��"��������'������

�����������������������

���� ��� ������ ��������������

���������������(�$(�������

������������������������������������

���� �� ������ ��������������

����������'�������)�����

��������� ���� ��� ������ ��������������

'�������������)����+����������������

������������������������������������

���� ��� ������ ��������������

�B2����D�� E���"���������"������"����,����,������������

Selection of a method

9������������������������������������������������������������������)������������������������� ������������������������

��&2���������������������� ����������������������������������� ����������!���������������������������������%����������������������������&������������������������������9�������������������������!����������������������������������G

� ���������������������������!������������������������N

Page 242: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!�

� ���������������������������������������������������������N

� ����������������������������

'����������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������)5'��������,����������������������������������������������������

������1�%2���������������������������������������)5'������������� ����������������������������������������!�����������"�������� ��������������������'4'�������������������������������������������������������'�������,�������(��������������������������������������������������������������������������

$�����������&2�������������������������������������������������������������������������������������������������������"���� ����������������������������������������>">5�'4'����"����������!��������������������-������ ������������������������������������������18���������������������������������������

2�� �������������&2���'�������)������)����+���������������� �������������������������������������������������� ,�������������������������������������������"������!�����������������������������������%���������������2�:8&����������������������������� �������������,���������������������>)5'����������������������������������������������������������-�'4'���������������������������������(���

15.3.1 Peak picking

+�!����!���������������&2����������!�������������������#�� ������������������������������������������� �������������������������������������(��������������������������������������������

'���(����,�����������������������������%'4'&������������������-��������������������������%��������������������&,�������������������������(�����%��!���������&�����������������������������(����%��!��������&�������������� ������������(������������ �������������������������������������������������������������������������������� ������������������������

Page 243: Complete Theory

$������������������������

�!+����"#�����>�����9������������)����

9��������������������������������������������������:� ����������������� �������������.,�������������������!������'4'������������������������������!���������%:� �����&�����������������������������������:�����������������������������������������������������������������'������1;1������� ��������.�������������������������������

� ���� �����

�����!�

�������

(�4

�1�� � !��1

� ����

'������1;1 7���������%:�� &�����������������������

���������� ��������������������������������������������,����������������������������������������'4'�����������������������������������!�������������������������������������������������������������(�������������������������������������!������������������������������'4'�������������

"������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,����������������������������������������������

Note! Peak picking is a single DOF method: it is therefore only suitable for data withwell separated modes.

9����������������������������,������������������������������������������������������� ��������������������7�� �,����� ������������������ ������,���������������������������������������������

Page 244: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!�#

15.3.2 Mode picking

"��������������������������������������������������,��������������������������������������!���������������!�������������'4'���6����������������,��������������������������������������������������������(�������

#��= "����

2�� � ��3�����!�

%���������������1;D&

����������������(��������������������������7�� ����������������������,�����������������,����������������������������������������������������(��������������������,������������������������������������������������������ ������������������,��

�������������,�������� ������������1;:/���������������������� ����

�����

�������!�!

*�����������������������������������������������������������������������������������������������

��������>������!������������������� �������������,� ���������������������������������+�!����!���������%���������1�:��&���������������

���>���+��!�������������� ���������������� ���������������������������"������(�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,����������������������������������������!�������������������������������������������������,�����������������������������������������������������������������,� ���������������������������������������4�����������!������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�����������������������������������������������������������������������������������

>������!�������������������!��� �������!��������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������

Page 245: Complete Theory

$������������������������

�$+����"#�����>�����9������������)����

15.3.3 Circle fitting

���������������������������������������������������������(����������������������������������������������������������������������������� ��������B���������+����������������������������������������)5'�������������"���������������������,������������������(�����������������

#��= �����

�� � ���

�H���

�� � �H������!�#

>�!������������������������������,�7������,�����������������(������������������,����������(��������������(����������������������(������,���������1;:A������������

# �-� �>

� �� �F2� � ��3� �� �. �����!�$

"������������������������������������������(���������������� ����������������������������������������������������������(����,�������������'������1;A�

� �-�� >��

2��(�

$��(�

��

��

��

��

��

�� ��/�� >-

�$-2�

2�� -��F�= .� >��F�3

'������1;A 4�����������������������������������������������

�������������������,������������������(������������������������������������������������������������������������������(��������������������������������������������������(������

Page 246: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!�%

7� �������������������������������������������������������������,���������������� �������������1;:0�

� � ��� ����

��� 2����3� �� 2����3

�����!�%

��������(�������@�P�7T������������������������������������,.����������������������������'������1;A�

� � -�� >��

������!�)

� � ��/�� >- �����!�*

������������������������)5'�����������������������"�������������������������,��������������������������������������������,���������������������������� ������������������������������

15.3.4 Complex mode indicator function

��������(�>���"��������'����������������������������������������������������������������������������������'4'����������������������� ����������!��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������$����')+"���7�� ��������������������������(����������� ����������������������������������������������������������

���'4'�����(���������������&��%����&�����&��%����&��������������������(����������������

�����!��LF�2�3FM � �����

MF�FN�F;�

�� ��MF4FN�

5���������(��������

�����!��LF�2�3FM � LF�FMF� ;�

�� ���FLF4FM

Page 247: Complete Theory

$������������������������

�)+����"#�����>�����9������������)����

���

O�A�����PJ ��'4'�����(������-�&�����&�

O���P�J ���������������(������-�&� �����&

U�� ��J �����������������������������

��� ��J ����������� �����������������

B�I�C�3�J ���������������������������������������(������-�&�����&

��!��������������� ���������������������'4'�����(�������������������������

�����!�LF�FM � LF-FMFLF�FMFLF>FM�

���

O��@�PJ ������������������(����������������������(������������ ����

O��6�PJ �������������������� ��������(

O��T�PJ ��������������������(����������������������(����������������������� ����

"���������������������1;/.������1;/:,����������������������������������� ����������������1;/.���,������������������� ���������������,����������������� ��������������������(������������1;/:���������������������������(,������������������������������ ����������������������

'�������������,����������������������������������(��������������� �����������

��������(�>���"��������'������������������������ �������� �������������������(,�����������������������'4'�����(�% �O�A�P �AMO�A�P������������������

�����!�LF�FMF�LF�FM � LF>FMFLF�FMF�LF>FM�

�����!�!:�. �2�3� ��2�3� ��2�3�VVVVV�� �= �= �����

���

�����J ��������� ����������������'4'�����(������������

Page 248: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!�*

�����J ��������������� ���������'4'�����(������������

&�J ����������������

"�����������O�A�PA�O�A�P ������(���������������������������������������� ���������������������>"'���������������� �������������������������������������������������������������>"'��������������������������������)��������!������������������������������������������,������������������������������������������������������'������1;D�

+�!��������>"'���������������������������������������������!���������������������������������������������������!������������������������������

��/

.��

.�

.

:82#

�������

'������1;D $(�����������>"'����������������������

6���������������� ��������,����������1;/:������1;//������������������������(���������������������������������������O�T�P,������������������,���������� �����O�@�P�

�������������������� �����������������������������������������������������������'4'�������������%��.���������

�����!�#��� 2�3F � MF-FN�� FLF�2�3FMFMF>FN�

���������������� ���������������������������������������������-���������� ������������������� ���������������,����������'4'�����������������������������������������������

�����!�$��� 2�3F �

;�

�� ��

9�������������������������%��������������������������&������������������������ ���������������������������������������������(������������ ����������������������������������������

Page 249: Complete Theory

$������������������������

��+����"#�����>�����9������������)����

��/

.��

.�

.

:82#

�������

�������

��

'������1;0 $(�����������>"'���������������������������'4'

5���>"'������������������������������)5'��������������������������������������������� �����������������������������������������������������������������(��������'������1;@�

��/

.��

.�

.

:82#

�������

:82#I

:82#I�

'������1;@ $(�����������������������������>"'�

Page 250: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!��

Cross checking and tracking

9���������������������������������������������������������������������������������!��������������������������� ������������9����������,�����������>"'��������!������������������������������� ���9��������������������� �������������������������������������������������������������������������������������� ����������,����������+���������������������������������������������������������������������������������������>"'�(����������!���������������������������'������1;@���������������������>"'�(��������������������������������������������������(������������!�

9����!������!�������������������>"'������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������>9������(������������������������������������������

+�"�� �- 0� +�"����- 0�

+�"�� �-�0� +�"����-�0�

6���������0��������������������������������>"'�������������>"'������������������ ����������>"'�.������������

:82#I

:82#I�

� 0

6�������>9������(������(������ ����� ����(� ��� �� ��!� ���>"'^.� ������� �� ���������� ��!�������������������������������������������0�

"�

"�

"

"

:82#I

:82#I�

� 0

6�������>9������(������������������ ��� �� ��!� ����>"'^.� �����������������+����������������������������������������������0�

"�

"�

"

"

+�!����!����������������������������������,�'-F2�����������������������������>"'��������������������������������������>"'����������,����>"'���������������������������������������������� ����!������������ �

Page 251: Complete Theory

$������������������������

�+����"#�����>�����9������������)����

9��(�������������!�� �������������>"'��������������'������1;@��������������

��/

.��

.�

.

:82#

�������

'������1;�2 $(�������������������������������!���>"'�

15.3.5 Least squares complex exponential

�������������������(�$(������������������������������� �������������#�� ���������������������� ����������������������������������������������-��������������,��������������������������

��������������������������!�,���������(������������������������������%"4&��� ������

�����!�%#��F2�3F � ����

�F����F���� �FH����F�H��

"�������������������(����������������� ������� ��������������������������������������%����&����������%����&�)5'���"����������������� ����������������%��������������&�������������������������������������������������������'4'���������������"������������������������������������� ����������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������

Page 252: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!�

Model for continuous data

9���������������������������������!�������������1;/0������� ����� ������ ��������������������������7� �������,����������������������������)5'����"���������������������������������������������������������7 ,������������������������������������������������������)5'�������������������������������������� ���"���������� �����������������!����������������������������������������������&������������������������

�����!�)2����3�#�� � ��2����3���#�� � ��� � ��#�� � �

"���,���������1;/0�(���������������������������������������������&������������(�(���������������������������(��������������������������(�(��������������� ���������������������������������������������������������������������������������

�����!�!*2����3�� 2�3� ��2����3���� 2�3� ��� � ��� 2�3 � �

����������������,�������������������������������������������������,�������������������������������������������������������1;/@���� �����������������������������

�����!�!��� � ���

���� ��� � �� � �

�� ��= �� �H�=�� ����

�������������������������������,�������������������������������������������������1;/@������������ �������������$����������������(�(�������������������� ���������������������� ������������1;1��

Model for sampled data

>���������������� ��������,�������������������������������!����������������1;/0�������������������!����

�����!�!�

#��= F �F �

���

����F� �F�F �H���F�H �

�� � �����

"�������������������(�(��������,��������������������������������������������������� �

Page 253: Complete Theory

$������������������������

�!+����"#�����>�����9������������)����

'���������������������������������(���������� ����������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������.*�%�����������������������������������������������&�

�����!�!#��= F�F ��#��= ��F�F ���F�F ��#��= ��F �F �

������������������ ������������������� ������������������� ���,

�����!�!��� � ������� � ��� � �� � �

Practical implementation of the method

�������������������(�$(���������������������������������������������������1;1:����������������������������

"���������������������������7.�]�����������9��������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������1;1:������������������������������������������������������������������������������������������)5'����������� �������������������������������������1;11��������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(,���������1;1A�����������������(����������������������������+��������"����(�

�����!�!!

���������

#��=���)

#��=���)

#��= ��

)#��=���

���)���)���)���

#��=�)

#��=���)

#��= ��

)#��=���

���������

!

��$�

����)

����%!

����

���$

�� #��=�)

� #��=�

)� #��=

)� #���

���

���%

!

���

&�J������ ���������������

&*J�����������������)5'�

&� J���������������)5'�

6������������������������������

Page 254: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!�#

�����!�!#����

��=��

)��

���=���=�)�

������)�

��=���=�)

��=�

���!

���$�

����)

����%!

�F0��$�

� ��=�� ��=�

)� ��=�

��%!

�������������������� �����������(������������

�����!�!$��=2 ���

���

��

���

��

��

2#��= ��F#��= �23

�������������� �����������(��������������������������������������������(�$(������������������������������������������������������������������ �����������������������������������������(����������������1;1D�

*������������ ������������1;1A������������������������������������������������������������������������������������������������������������1;1/���������� ������� �

Determining the optimum number of modes

����������������������1;1A�����������������������������������������������������(�����������������1;1:���"��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

"������������������������������������������&������������������������7�� �,�������������������������������������������������!�������"��������������������������������������������������?�����������������������(�$(������������,��������������� �������� ������ ����������������������������������������������������1;1A����������������������������������������

���������,�������������!���������1;1A�����������������,���������������������������&������������������������9������������������������������!������� ������������������������������������������������

��=�� ��=���=�������F0F�� ��=�

� ��=��

������������������������������������������������

6���.������������������������������������������� ����

Page 255: Complete Theory

$������������������������

�$+����"#�����>�����9������������)����

���

��=��

��=���=��

��=���=���=��

��=&��=&��=&�&=&

���

!

���$�

�������&��%!

�F0F��$�

� ��=�� ��=�� ��=�� �&=�

��%!

�6���������������������������������.,��������������*��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

9�����������������������������������������������������������������������������������������������������'������1;����������������������������������������-�����������������/������%����/������������� �������������\&�

*������������������������������������������������������������������������������������,������������������������������������������������������������������������������������������������������(�������,�����������������������������,��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������'������1;���

;�������������@�����

������������������� �����������������!��������"��������?��������>��������=

��������������

������������

'������1;�� �����������������������,����������/�����

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������+��������������������������������(�������������������������������������������������������������������,�������������%�������(����������������&����������������������������������������������������������������������������������������������������9��������������������� ����������������������������������������������������������������������6�������������,�����"��������������������������������������������������������������,�������������������������������������������� ����������������������������������������������������"�����������,������������� �������-��

Page 256: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!�%

of

d

s

v

sssss

ss

sss

s

ss

ss

sss

s

ss

ssss

fv

f

d

fv

f

fv

d

ff

fv

d

num

ber

of m

odes

ampl

itude

frequency

'������1;�. 9�������-������������

Example

����������������������������������,��������������'������1;�:�

� � ! "

(�

��

� � ! "

(

'������1;�: $(���������������������(�(�������

�������������������������������������� ���������������������������

Page 257: Complete Theory

$������������������������

�)+����"#�����>�����9������������)����

2�.:

�..�2;�2

�6.2�2;�

�������������������������%*J�&���$���������1;11������1;1A������������ ��

���

�� ���

�����

��!

�������F0F�

�$�

������%!

����������F0F����

����������������������/*,���J����*�����������1;1/�����������������������������.

��� � � �

� �* �

����������������������� ����������������

� � � �=F � � �� �����

�F �F ����

� � � �=F � � �� �����

�������������������������������������/�������-���������������������������������������������������������������'������1;�:�

15.3.5.1 Multiple input least squares complex exponential

�������������������(�$(������������,������������ ,���������������������������������������������������������������������������������"����������,��������� ���� ����������)5'������������7�� �������������������� ������������������!����������� �������������

Page 258: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!�!*

�������������������������������(�$(�������,�%������������&,������(���������������������������(�$(������������������������������������������������������������� ���� ����������)5'������������������������������������#�� ����������������������������������������������#���������>�������������������������������������(����������������������������������������������������������������������%�������&�)5'�%���������1�.�:&������������������������������������,�����������������������������������������������������������, ��������������������������

���������������>������"��������������������(�$(��������������������������������������������������1�.�:���������1;�A�

�����!�!%���� � ����

,���4���F��� � ,H���4H���F�H�

���

�A� /�&� � ����%���&����"4�����������)5'����������������)5'�

�I� J� �������������������������������������������"��&��������)5'���������������I� ����������������*�

+�� J���������������������������������)5'������������

*����������������,��������,����������������������������������������������������������������������)5'���"�������������������������������������������������������� ������������������������

Model for sampled data

��������(�����������������1;10���������������������������������������������������,�������������������������������������������������������������������������������������������������������)5'����������������������������������� ��

"���������������������������������������,���������1;10�����������,

�� �� � ����

,���4��� � � ,H���4H���H �

�����!�!)

�� � �����

"���������� ���������������������������������������1;1@,����������������������������������������

Page 259: Complete Theory

$������������������������

�!�+����"#�����>�����9������������)����

�� ��F�F �� ��������F�F �� �����F � � �����!�#*

������������������������������������

�4��L��� � �����

��F��� � ��M � � �����!�#�

�����!�#��� � �

%�����������������������������������������������������������������������������������(�$(������������������1�:�1&�

$��������1;A2�������,��������(�������,���������������&� �����������������������������������������������������������9��������9��������������������������������&��&���

������������(�����������������1;A���������������O�I�P������� �]��������������������������������������������������������������9���������1;1@����������������������&������������,�����������������������������������������������������������������������&� �������������&����(�����������������1;A.�

*���������,�������������������������)5'������������ �������,�����&��J�,������������1;A2������1;A����������������������1;1:������1;1/�������������������������(�(�������������������������������������������������������������(�(�������������

Practical implementation of the method

�������������������������������1;A2��������������������������������������������������������������������������������)5'����������� ��������������,�����������������������1;A:���9���������������������������,�����(��������������������������������,��������������1;A/�����������������(����������������������������������������� ������������(,

�����!�#

����������

��������

��������

�� �����

�������

����

���

����

���

������

���������

�� �����

�������

����������

!

���

����)��

���

!

�F0F

��������

� ������

������

�� �� ���

������

��������

!

���

Page 260: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!�!�

&� J�������� ���������������

&*J�������������������)5'�

��=2F �F��

���

F��

��

F2FL� ��MF��FL� �2M�F3 �����!�#

�����!�#!����

��=�

)�

��=�

��=�)�

���

���)�

��=�

��=�)

��=�

����

�F���

����)��

���

��F����

� ��=�

� ��=�)

� ��=�

����

����������������������������������������������������������������������������������1;A.���"��������������������������������������������9��������������������������������������������� ������������������������,���������������������� �����������������������������������������������������9����������������������������������������������������������������������������,�������������������������������

)���������������(�����������������1;A.��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,��������������������������������������)5'�������������������1�.���"���������������������������0�������������������.�����������������:����������������-�����������������"������������������������������������������������������������������.������

9������������������������(�$(������������,���������-��������������������������������������������������������������9�������������������������������������� ������������������������������������ ���������������������������������������������-������������������������������������"���������1�.�:,�������������������������������������������������������������������������������������)5'�������������������������������������������������������!��������������������������������,��� �����������������������������������������������������-�������������������������������������������������������������������������������������������-���������������������������������������������������������������������������

9����������,��������������������������������������������� ��������������������������"���������������-��������������������,�� �����������������������(���������,������������������;����,��������������������

Page 261: Complete Theory

$������������������������

�!+����"#�����>�����9������������)����

9 9�K� 9�K� 9�K� 9�K& 9�K# 9�K/

���&#/%�0���������&�#�/�%���0���������&�#�/�%���0������

�&/������&�/�������&�/�������&�/��&�&�&&&/&�#�#�#&#/#�/�/�/&

���&#/%�0���������&�#�/�%���0���������&�#�/�%���0������

����&&#//%��0�������������&�&�#�/�/�%�����0��������

������&&##//%%��00�����������������&�&�#�#�/�/

�������&&&##///%%���00��������������������

���������&&&###///%%%���000����������

�B2���D�7 ��2���� �B��$�� �����2�������*��B<2����+=� <�B������������*+�� � <�B������������ /��?F ��*�+

Example

�����������������,�����������������(���������������������./0������(������������������������������������ ������������������������� �����O�������P����������������������������)5'������������)5'����������

����������������������������%����/��,����&�J�.&����������1;11������1;1A���������� ��

Page 262: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!�!

��

��

� �

����!�������

������F0F��

���

� ��

� ��!�

����������

������F0�� � �

���������������(��������������������

�2�F2�� �� �

��0F��

������������������������� �������������

z �* j, � � 0 * j �2�t

�4� � L* �= �M

*����������������������������������������������������������������������������������(�$(��������%������./@&���"���������������������������������������������������������������'�������(�����������������������������������������������@2����������������������(������������������)5'��������.������� �����������,�������� ��������������������������������

15.3.6 Least squares frequency domain

��������������'�������)�����������������������)5'��������������������,���������������������������������������������������������������� ������� �������������������"������������������������������������

���������������(�����������������1;AA

#��F2�3F � ����

�F����F���� �FH����F�H�� �����!�##

"������������������������������������������� ������,���������������������������������!������������������

Page 263: Complete Theory

$������������������������

�!!+����"#�����>�����9������������)����

����������������,���������1;AA�����������������!��������������������9������������������������

#��=� � ������

����

��� � ���

�H���

��� � �H��!�� <��� �

2���

��������!�#$

���

���7 �J������������������������������(���������������������� ����(

���7 �J ������������������������������(����������������������������

�������������������'������1;:���*�������������������������������������������������������������������N�������������,����������������������������������������)5'�

��������������'�������)�����������������������������(����������������1;AD�����������������������������,���������������������������������������������-������������ ����������������������������

15.3.6.1 Multiple input least squares frequency domain

��������������������������'�������)�����������������������)5'�������������������������������������������������� ���� �����������)5'���������������������������������������������������������������)5'��

���������������(�����������������1;10,

�����!�#%���� � ����

F,���4���F��� � ,H���4H���F�H��

"������������������,������������������������������������������ �������,���������������������������������������������������!�������������������'�������,������������������������������)5'�%�����������������)5'&��������������� ���� ����������)5'������������-���������������

����������������,���������1;A0������������������������������������9��������������������������������������������������

Page 264: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!�!#

����� � ����

,���4����� � ��

�,H���4H����� � �H�

� �4������

� �-��� �����!�#)

���

O@5PU� �J�������������������������)5'�����������������)5'�, ����������������&�

OI5PUU� �J �������������������������)5'�����������������)5'�,� �����������������&�

�����������������')�������������������������1;A@�

15.3.7 Frequency domain direct parameter identification

���'��������������)����+������"�����������%')+"&����������������������������������#�� �������,�������� ����������������������� ������������������������"���������� ���� ��������������� �������,����������������������������������(���� ���������������������������������������"���������,���')+"��������������������������������������$����������������

Theoretical background

��������������')+"�������������������������������������������������������������

�����!�$*�!��2�3� :!

�2�3� O!2�3 � � 2�3

6���������������������������������,����������������������������������������������'4'�

�����!�$�L� ��.� ����� ��MFL�2�3M � ��6�� 6�

���

�J��������� ������

Page 265: Complete Theory

$������������������������

�!$+����"#�����>�����9������������)����

4��/�-���',��������������������������(�%�&� ����&�&

4*�/�-���<,��������������������������(�%�&� ����&�&

A����J�����(����'4'=��%&� ����&��&

S*.�S� ������������������������������%&� ����&� �&

*�������������������������,���A����]����(���������������� ��������������������'4'=��

$��������1;D����� ��������� ����������������� ������ �6����������������������������������� �������'4'�,�����������������������;������������������,�����!���������(�����������4*.�4�.�S*. �����S� ���������������������������������A�����$��������1;D��������������������������]A�����������������������������������������������������������(�������������'��������������������,�������=�������������������������������� ��������� ����������� �������������������������������(�

�����!�$��� ��.

� ��� �

������������������������������(�O�P�������������������(��������� �����"��������������������������������������,����������(��]�����������������������������(�������������,�����������������������

"������������,����������������������������������������������������������������,����������������O�P������ �������

Data reduction

+��������������������������(,������ ���������������������� �����������������������������������������'��������������������,�����(�������&"]������������������������������������������������-�������������������(�]���������������������(������������������������������������

������������������������������������������� �����

� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������-��������������

� �������������������������������������������������������������� �������������

Page 266: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!�!%

Residual correction terms

���')+"���������������������������������������������"��������������������!�������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������� �������������������������������"�������������������������������������������������������������,����������1;D�������

�����!�$L� ��.� ����� ��MF�2�3 �

���:��� ���:��� :�� �:�� ��:�

�����������������������������������������������������������,����������������������%��������������������������������������������������������������&�

Determining the optimum number of modes

9������������������������(�$(��������%���$&�����,������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������,����������������!�����������������'��������������,�������������%������������&���������������������,�����������������������������������������9��������������������������������������������������������������,���������������������������������,���������������������������������������

9���������������������������������������������������������')+"��������������������� ���������������9����������� ������������������,�����������(������������-���������������,������!������������������ �����������(����������������������!����������(�������������������������������������������������������������������������������!����������(������������������������������� �������������������9��������������������������-����������� ����������������������������������������� ������������G������!����������(���������������������������������� ������������������������������������������� ����� �����

6��������������������-������������,�%�����$����������./D&,��������������������������������������������������9�������������������������������� ���������������

Pseudo–DOFs for small measurement sets

)��������������������������������,���')+"���������������������������������������������������������������)�������'�����������������������������

Page 267: Complete Theory

$������������������������

�!)+����"#�����>�����9������������)����

� � �

7�� �,������������������������������������������������$�����,���������������������;������L�����;M�)�������'����������������������������� ������,�������������������L��M�����������������������������������������������������������

Mode shape estimation

?�������������������������������������������������,�������������������������(�������������������������������������,���')+"��������������������������������������������������������������(�����������������������(�

��������������(��������������� ������ ������G;

� ����� �������%����������������������������������������')������&

� ��������������������� ��������������������������������������,����������������������������������� ���������������������������������������

"�������������(���������������������������������')�������������������������������

Normal modes

'�������������������������O4*P�������O4�P����������� ����������%�1;D.&,���������������������������%�������������(&������������,���������������������������

*������������������������� �����')+"�������������� ���������� ����������������������������������������������������

���FO� � � F � �����!�$

�������� �������������� ����������������������������� �����'$>����������!��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������')�����������������������������������; ����������������������������� ;����������������������������������%�������������������������&,��������')+"�������������'$>;��!����������

)������� ����������������������������������;�������������'4'�������������������������'4'��������������������������������������'4'����������������������

Page 268: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!�#*

15.4 Maximum likelihood method

9�����; ��������������;���������(�������!�������%>�&��������������������������������������������������������������������� ������������ ���������������������������;�������������������������������������������������������������������

9������������$;��')����������������� ������������������ �������� ���������������,�����������������������!�G

� ���������������$�������������������������!��������������������������%�����&��������������:�����(����

� ��������������������������������������

� �����������������������������������������������,�������������������������������-�������������

� ����������������� �������������� ������������������������������

15.4.1 Theoretical aspects

9������������(;������������������_����!����������������;��������������_�����������������'�������4������'�������%'4'&���������������������������������

�W

��F2��3���F2��3

?F2��3�����!�$!

������/��.�����������.�&�����������J��.�����������.�&�

���

��F2��3��

���

!� E2��3E��

������������������������������������������

���

Page 269: Complete Theory

$������������������������

�#�+����"#�����>�����9������������)����

? E2��3��

���

!E2��3E6���

��������;���������������������

���������������������������������%��&������� �����!�2��3� ���E� E�E�E��������

�����;��������%�����������������������&�����������(; ����������������9������ �����������������������������������������������������-������������������������������������������������(�������������������������� �������������������������(�����������>���������

The Least–Squares Solver

4����������������W

��F2��3������������1;D1�������������'4'����F2��3

�� �,��������������������������������������������,

� ���

!�F2��3F6�����

���

!�F2��3F���2��3F�� # � �����!�$#

������/��.�����������.�&����*�J��.�����������.�&��������/��.�����������.�&�

*�������������1;DA��������������������������������������H������������������������������������������ �����������������������������������

9��������������������1;DA����������������������,�����������������������

���

%��)�

%�)�

��� �

�)

%��

(�(�)

%��

���

����

6�6�)

6��

����

# �

���

6�����

6���6������6��

���

�=X�����

��������

���

Page 270: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!�#�

%� E2��3�5��F2��3EL!2��3F=!�2��3F=E �E�E�E�F=! 2��3M

(�2��3��%� E2��3E�E��� E2��3

������� 2�� �3�� �� �=E �E�E�E=�E�

���%�����(&�E������������(�8�����������;�������������

"����

%������

%�����

�E�E� �

����

%��

(�(����(��

���

�����!�$$

����&��&��&������������%�T�&%&��&��T�&���������%����&��YY��,��������������������������������&��� ����� ������������������1;DA�����������������H������,����9� =�������������1;DD������������������

The Maximum–Likelihood Solver

?���������������������%���,�'4'����&���!��������������������������������������������������������� �������������� �����������������%����������������������������(�����������������������&��� �����������,���'4'���������������������������������������������3�����������%�������;����������&���7�� �,������������!���������'4'�����������������������������������

The ML equations

9�����������������'4'���������������,���%���� &����;��!���������������������

2�42�3���

���

F��

���

F��

���

FGF�W

�� E2�=E��3���� E2��3FG�

,��M���2��3N�����!�$%

���>������������ LF6� = �E�E�E�E=F6��=F�FM������ �����������-���������

�����1;D0�������������������������������F����;*���������-��������������,��������!���� �����������������������������������������%�1;D0&����F����;*����������������� ����

%��& ��� � E"��F"�F����E ���F���������"

Page 271: Complete Theory

$������������������������

�#+����"#�����>�����9������������)����

%��& ������� ��� ��

������� �2��3,� "�� +�2�3�+�G������

�2�3�

����������

����������$

�W

��2�=��3����2��3

,��M���2��3N����

�W

��2�=��3����2��

E3

,��M���2��3N�

���

�W

��2�=��3����2��3

,��M���2��3N�����

�W

��2�=��

3����2��E3

,��M���2��3N�

����������

����������%

!

Deriving confidence interval

����� �����������(������>��������W

�4��������������������������

�������������`�;4� ������ �����%�4� &�G���/�,M�W

�4N� :�46

9�����������(������������������`�;4� ������ ���������� ����

:�46" L"��F"�M�� �����!�$)

����8"����E������������(� ������������������������������F����;*���������������9���������������������������������������������������������������������������,���������� �����������(��������������������������������������������

7��,��������������������� �������������(�����������������������������%��������������������������������������������&�

Page 272: Complete Theory

�������1 $������������������������

����������������� ��!������� ��!�#

15.5 Calculation of static compensation modes

>��������������������������������������������������������������������'������,�����������������������������������������������������������������������7�� �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�������������

�������� ��������,����������������������������������������������

L�:E2�3M#Y L��E2�3MY�Y LF��FM���LF��FM �����!�%*

�+���#$#�� ������

������#$# ������� ������

����

������� ������

����

���������������������������(����������������������������������������(����������"����������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������� ������������%��� ��������&�'4'�������������������������������������������������������������������������������������������'4'�����(���������������������%��� ������������������������&����������������������������� ������������������������ �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������������������������������������������������

Frequency of the static compensation modes

�������������������������������������%�2&�����������������������������������������������������,�����������!������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �����,����

��� ����F�<����F�����<�2

The Singular Value decomposition (SVD)

"��������������������������������������,������������ ���������������������������������������������������������(������������������������������������������������������������������(�

Page 273: Complete Theory

$������������������������

�#!+����"#�����>�����9������������)����

�<����F�����<�2� -�>F

������������ ��������������������������������������������������������� ���,������������ ���,��������������� ����%�2&

��� -� ��� ��

��������������������� ������I����������� ������������������ �������

4��� �

�F��F����

���� > � � � - �

4��� �

�F����� ��F>�

Page 274: Complete Theory
Page 275: Complete Theory

�#$

���������

������� ������

� ������

��������������������������������������������!������������������������������������������

Reasons for performing operational modal analysis

Theoretical aspects

Page 276: Complete Theory

�������A 5�����������������������

����������������� ��!������� ��!�#%

16.1 Why operational modal analysis?

���������������������������������������������������������������������(���������������������������������'�������4������'�������%'4'�&�������������7�� �,��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������;�������������������������(�����;�����,���������������������������������������������-���������������������� ���!������������9����������,�� ����������������������������� ���%����������;������������������,�����;�����������������������;���������������&���������!�������������

"�����������,���������������(�������������;�����������������������3����(������������ ��������������,�������(������������� �����������,���������������,���������,���������������������������������"�������������������������������������������������� �������

"�������������������������;�������������������������������,����� �� ���������,����������������������������������������������7��,(�����������������������������������������������������������������������������������������������������(�������������������

'������,���� ���������������;������������������������������������������������;���������������������������������7��,��������������������(�������(������� �����������������������������������

Traditional processing of operational data

9����������������������������������������������������������������������!;���!�������������������������;�������������������������������������������������������������������;������L4�������>���9�������M� �������������!������������,������(���������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"��������������������������������%�����������������&,������� ������"�������������������������������������������;����������������������������������������������,������������������-�������������������������������������������������������������������,�����������������������������������������������������������������������������������

Page 277: Complete Theory

5�����������������������

�#)+����"#�����>�����9������������)����

������;����������������!;���!��������������������������������������!��������������!������������������������������������"��������,���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������+�;!��������������������������� �������'4'��������������������������������������������������������������� �����������������%������������&����������

��� ;�������������������,�������������������������������(��������������������������������������������������������������������������������������������������������������(������������ ��������������������������������������� ��������������� ��������������'4'�������������������

Using Operational modal analysis

������������������������������(������������������,��������������������������������!����������������������������������������������������������������������(��������������������������������������%���������������,���������,���������&,����������,�������������%�������&,������������%����������&,��������(�������%���������������&�

����������,������������������������������������������������������������������������������������� �������'4'���������������������������������������������������7�� ����5��������������������������������������������������������������������������������������������,��������!�������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������

���������������������,��������������������������������������������������������;����������;���������������������������������������������������������������� �����������������;������������������������ ���''������������

Page 278: Complete Theory

�������A 5�����������������������

����������������� ��!������� ��!�$*

16.2 Theoretical aspects

����������������������������������!��������������������������������������������������������������

5 ����������,�� ����������������������������������� ��������������������������������������(����������������;��������������������

; 9��;4����� �>� ����9 �������������%94>9&,; *������$(���������������%*$(�&; �����������������������

$��7�������1��������$����� ��87�1$9���������������������������*$(�����������������������������������������������������(��������������������������������������$������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,����� ���������������������������������������������������'� �����������1�1����������%���$&�������������������;�����������������������

�������������������������6���������������������,���������������������������������� �,�����������������������������������'������������������,���������������������� �����������������L�������M�������������������������������_��������L����������M����������������������������������#�����)��������������������������������������������������������,�������������� �������"����0�����8 "9���������������:������!�������8�:!9������� ����

16.2.1 Stochastic substate identification methods

�������������������������������������������������������

M����N� L�MFM��N� M$�N�����#��

M!�N� L:MFM��N� M,�N

��� J(�K������������� �����������������,J��K����������� ����������������&����J �K.�J+�K,����-��;���,����� ����������,������������

������������������������������������ ���

Page 279: Complete Theory

5�����������������������

�$�+����"#�����>�����9������������)����

'���������������������,����������O4P�����O'P��������� ����������������(����������������(���9�����������������,������� ����������(�O1�P�����������������������������������(�O'�P��������������������G

LF�M�����

L:M

L:ML�M��

L:ML�M���

����

�EZ L:� EM� LFL'MYL�ML'M���YL�M���L'MFM �����#��

����L'M� �LFM����NM!�NFM������O�P��������(������������������

�������O1�P�����O'�P���������������������!��&" ,�����*�������������������������

�����������������������������������������-���������� �������������� ��������������� ����������O4P�����(��������� ������������������O4P������ ����

L�M� LE� EMLE EMLE� EM�� �����#�

�����(���� ������������ ����������������A;:�����������������������(����������������������������� �����λ� ������������������OΛP��������������������������������� ������������������µ� �����������������������������

��� �F��F��& ��� ��� ���� �����2��3 �����#�

������ �������������������������� ������������������������������;�����

������������������������������������ ����

���� ��

��� � ���������#�!

������������Q�R��������;���������������������������������� ������������������� �����Q�R�����O�P,��� �����������������������

M"N�� L:MFM�N �����#�#

���(����������������������������;�������-����������������������������������������

Page 280: Complete Theory

�������A 5�����������������������

����������������� ��!������� ��!�$�

The stochastic realization problem

�����������������������������������������������O4P�����O'P�����������A;.,������������������������������,�����������������������������Q��� �R������������������!�����������������������-�������������������������������������������������������������������������������������������������O�/,�1�����AP�

�������������;��� �������������������������������������������,!���������� �������4���-�����% 4&�����������������#�����9�������%�#9&�

F� �����������������������

L��M� �FM!���NFM!�N���F �����#�$

����J��K��� ������ ��������������&��� ��������� ��������������

'�����≥��,���OA�.�P�������������������!;7��!������(�G

L��=�M�����

L��M

L��M���L��M

Y

L��M

L��M���L����M

Y

�������Y

L��M

L����M���

L������M

����

�����#�%

)��������������������O5�P��������������������������������������������-�����������

L��=�M� LF�ML:�M �����#�)

��OH�P�����OH�P���������;�������� �������������������������-�&����������&���� ,������ �����+�;���������������������7��!������(����OH�P�����OH�P������������������#)�����������������������7��!������(��� �������������

L5�MFL��=�ML5�M� LFL-�MYL-�MFM�L��ML�M L�ML�M����

L>�M

L>�M���� L-�MFL��MFL>�M

�����#��*

����O6�P��������������;-������������ ���������������������,�����������������O@�P������������������������������� �����������������������OT�P��������������������������������� �����

5������������,���������-�����������������������7��!������(��������

Page 281: Complete Theory

5�����������������������

�$+����"#�����>�����9������������)����

L5�MFL��=�MFL5�M� L5�MFLF�MFL:�MFL5�M

�����#���

'�������������A;�2������A;��,��������������������������� ������������(���������� ��,������������������������������,���

LF�M� L5�M��L-�ML��M

��� �����#���

��������������������������,����������������������������,�����������������������O1�P�����,

L:M� M�����FB2�/�F��F��$�F��N �����#��

����O9P��������������������������

�F,����� LF���MFL�M �����#��

����O1���P����������(���������������������������!��������O1�P����O1���

↑P���������������������(�����������!�����

)���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������� ������4���-���������������������#�����9��������������

Balanced Realization (BR)

L5�M� L.M ���L5�M� L.M �����#��!

������������������� �� ��

Canonical Variate Analysis (CVA)

�#9���������������������������� �������������,����J��K/J��K��� �������������,�����������������(�O5�P��� �������������A;D������������)�����������������������-�������

L�M�����

L��M

L��M���L����M

Y

L��M

L��M���L����M

Y

������Y

L����M

L����M

���L��M

����

YZY L�M�����

L��M

L��M

���L����M

Y

L��M

L��M���L����M

Y

������Y

L����M

L����M���L��M

����

������#��#

Page 282: Complete Theory

�������A 5�����������������������

����������������� ��!������� ��!�$

��������;���!�������-��������Oℜ TP�����Oℜ ;P��

L�M� L4�MFL4�MVZ L�M� L4�MFL4�M �����#��$

"����������#9,������������������������

L5�M� L4�M��Y ���YL5�M� L4

�M�� �����#��%

6��������������,������������ ����������������A;�2����������������;������������������������9��������������������������#9������������������������������������������������������>��������������������(���������������������������������������������

Practical implementation of correlation–driven stochastic subspace meth-ods

$��������A;�2����������������<��=�����!;7��!�������������������������������������"��������,�������������������,���������������������������7��!�����������-��������������������A;0������A;�A��������������������<��������=�����������,����������������������������G

L�W

�M��������

M!���NFM!�N��� �����#��)

����-��������������������������

9���������������A;�@����������������������������������������������������!�����������������������������������������������;�����������,��� ������������������%�@&��������������������������������������������������������9���������������������������������������������������������!�������� ���''��������;�����������������������������������������������������''������������ ����������������� ��������������������������������������������%����7������&���������� ������!���

����#)���������������������������������7��!������(�����������������������������

L5�MEL�W

�=�MEL5�M� LFL-W

�MVL-W

�MFM���L�W

�M

L�MYL�M

L�W

�M���F���L>W

�M

L>W

�M���F� L-

W

�MEL�W

�MEL>W

�M� L-

W

�MEL�W

�MEL>W

�M

�����#��*

���

Page 283: Complete Theory

5�����������������������

�$!+����"#�����>�����9������������)����

L�W

�M� ���)F2��--- � 3F=X��� ��--- � � ������#���

L�W

�M� ���)F2� ��--- �������F3F=X� ��� � ��--- �������

� �

"�������������������������������������������������������������� ����,������!�����O6�P���������� �����������(������������(�������

LFW

�M� L5�M��FL-

W

�MFL�W

�M��� �����#���

9����������������������������!����,������������������������ ��������������������������������������������P� ��"��������,������������������������������������������������������������������� ���������������� ����5�������������������������-����������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������A;������A;�0,������������������������������������������������

16.2.2 Natural Excitation Techniques

�������G$��������#������������ �����������1�1���������8����9��������������������'�������������������#��������

+������������$�����������������������������������������;!����������������� ���������������������,������������������������������������������������������������ODP���"����������������,��������������������������������(������������������������,�����������������������������������������������������(�����������������������������������O�0�P�

$�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,��������������������������������������������������������������������,��!�+������������$,�$��������4���-�����9��������%$49&����"�����������)��������������������������(������������������������������;�����������������������������������������

�������������������������������*$(�,�������������*������$(������������������9��������������!���������$49����������������������������������������������������������������������������������������� ��������4���-����������

Page 284: Complete Theory

�������A 5�����������������������

����������������� ��!������� ��!�$#

>����������,���+������������$����������������������������������������������������������������������,

L��M���

���

M"N�F�F�����M4N� � M"NH� F�F

�H� ���M4NH� YY��

�����#��

L��M���

���

M"N�F��� M4N

� � M"NH� F�

�H� M4N

H�

���� ��� ���F�������QIR�������������� �������&��� ��������������������������������������������������������������;��������Q*����������� ���������������������,��������������������������������������������������R

�����������������������(�(����������������������������,

��M4N� F��F�

H� M4N

H� ���������������������������������(������������������

�������������

��� EM4N� EL.M� ����� EM4N� EL �M����� ����

� EM4N� L �M� M�N �����#��

����O2�P���O2�P���������������������������������&����(�&����

"�����������������&" ��������������,���������������������A;./��������������������������.*�3*��������������������.*�������������������"��������,�� ����������������������������������������

����������������������������������������������������������������

��������������������A;./,� ��M4N� F��F�

H� M4N

H� ,���������������������������

��������7��,

L��MFL.M� L����MFL �M�---� L����MFL �M� � �����#��!

$��������A;.1�����������������������������������������������������������������������������������������������O2�P����O2�P��������� ������������������������ ��������������������� ��������������������� ����5������������������������!����,���������A;./����������������������������-����� ����������������������&�������� �������,������������������������������µ��������������������������� �����JIK� 3��

��������������������������������������������� ������������������������������������������������ ���������������������"�����,������������������;������������������������������������������;�������������������������������������

Page 285: Complete Theory

5�����������������������

�$$+����"#�����>�����9������������)����

Extraction of mode shapes in a second step and model validation

����������������������������������,���+������������$���������������������������,���������������������(������������������������������������������������������������������������'�������;��������,����������������O�@�P��������������������������������;������������������������������������������������� ���������������G

%� 2��3���

��� ��

��� ��� �� H

��� �H�� 6� �

� ��� ��� 6� H�

� ��� �H� �����#��#

����9"��7ω���������������������"������������������������������������������ ���������������

"�������������������"/��,�4�"��������S�

"�������������4�"���������������

��������;������������������������Q�R��������������S�"���������

��������������;������������������������Q�R�������������,����������������������������������������������������������������,�������������������������� ��

��������������������������������� ����������������������������������������������;��������������(���������������������������,������������������������������������������������������������������������� �������������������9����������,������ �������������������������!����� ����������������������������������-�������"�����������������������'4'��������,������������� ������������A;.A������������������������������������7����������������������������������������������;��������������������������������������������������������''������������ ���������"��9"��7������������������������������''�������� ���������������,���������''�������������������������������������"���������������������������������A;�@,�������.����������������A;.A�������������

16.2.3 Selection of the modal parameter identificationmethod

��������������������������������������������������������

����'��2��������������������������������(�$(��������������������������!����9��;�������������������;�������������������'4'�����"�������4���������������

Page 286: Complete Theory

�������A 5�����������������������

����������������� ��!������� ��!�$%

9���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������,�����������������������;��������������������������������������

>�����������������������������������������������������������'�������)����������������'����������������!���������������������������A�.�.

"8 �������"��������9����������������L�������M������������������������������,����������������������

9���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������

�:!8���������:������!�������9���������������������L�������M����������������������������������������������������

"�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �L�������������M�����������������������������������������������(�����������������������������'����������������!���������������������������������A�.���

Page 287: Complete Theory

5�����������������������

�$)+����"#�����>�����9������������)����

16.3 References

O�P �>���9)9;S�4������������������,��@@D�

O.P 5�)�,�) ����������$ ��������������������#����9��������>�����������������������>��� �����*��������#��������+������,�+�)�B�?���� �,��@@/�

O:P 5�)�,�#�����+�����+�,���������E�,�5���������)���������������>���������$� �������,�+�����0��"����������>�����9���������������,���/�:;/.�,�'������,��@@2�

O/P 9���������>�,� ��� ����>�,� � ����9�,�L"�;��������)�����>��������������)�������������#���������������,�����9�������������5������������������4������>�������M,�+��������">9��S#,�5������,��@@D�

O1P )����?� �,�)�������+�,�B��!�����!�4�)�,�L9�����-��������������������������������������M,�"���E��������,�#����/.,�*���/,�����0.�;0:0,��@01�

OAP B������,�L9������������������������������������������ ������������� ���������������M,�+������.��9���������������������,�����������������,�����D21;D�/,�+�������F�� �,��@D0�

ODP �����)�,�9�������4�,�W��������4�,�����>����,�>�,�L+������$����������������������>�����9�������M,��9$�+����D@2..�,������@,��@D@�

O0P E����F�7��""",��������F�,�����������E�+�,�L���*������$(����������������%*$(�&�����>�����+������$(������������5��������������,�������������E����������9�������������$(��������>�����9�������M,�#�����2,���/,�����.A2;.DD,��@@1�

O@P 7��������,�#������9������7�,�L5����?�����9��;���������;����������������������(���������������������������;��������,�+���������A��"���������������������4���9� �����������������)�������,6��!������������+���,��@@D�

O�2P #������9������7�,�6��!���B�,�7�����(�6�,�L'����������X���������$�������������������������*#7�+������G����������M,�9������39��9������,�#����0:,�*°�1,�����D@A;02/,��@@D�

O��P 6��!���B�,�#������9������7�,�7�����(�6�,�L�������������9����������>�����9������������5�������)�������4����*����+������M,�+�����:��

"���������������������9��;�����������; ��������������#�������,>������%�*)&,�E����:;�1,��@@/,�����@:�;@/2,��@@/�

O�.P 6��!���B�,�7�����(�6�,�L�������������+���9�����������#������9�� ��������������4����"������*�������9����� �#�����M,�:���"��������������������9��;�����������; ��������������#�������,�>������%�*)&,E����:;�1,��@@/,������/:D;�//1,��@@/�

Page 288: Complete Theory

�������A 5�����������������������

����������������� ��!������� ��!�%*

O�:P #������9������7�,�"������B�,���������E�,�L�������+�����������������"������������������������'�������)���9�������M,�+������1��"������������>�����9�������,�B�?��� �,�����1�D;1:0,��� �,��@@2�

O�/P #������9������7,�F��������+�,�L9�>�(�������!�������+�����$������������������9������>������"���3>������5����'������)��M,�9F94)�������������>�������+�������������=�>�������9�� �����9���� �����������������)���9�������,�+��������.,�>��,��@@1�

O�1P #������9������7�,���������E�,�+������4�,������!���E�,�L9�'��������)������>�(�������!�������"��������������������������������'�����'����)���9�������M,�+�����0;��">9�,������.1.;�.A�,�B������,�@@2�

Page 289: Complete Theory

�%�

���������

�� � ������ ������

����� ������ �������� �� ������ ���������� �� �� �� ��� ����������������������"��������������������������G

The definition of running modes analysis

The type of measurement data required for running modeanalysis

The identification and scaling of running modes

The interpretation and validation of running modes

Page 290: Complete Theory

�������D 4��������������������

����������������� ��!������� ��!�%�

17.1 Running mode analysis

����������"�,�������������������������������������������������������������� ���������%���������&���������������� �����������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������,����������������������������%��&,���������������%�&��������������������%T��&�

5���������������������������������������������������������������������������'4'���������������������%������)5'�&���������������)5'��������������������������������������������������������������������,���������������������������������������������������!�����������%(��������������&��������������������

�����������������%������&� �������������������������N������������,��� �����������������,�� �����������������������������������!������������������� ��������������,������������������%������������&�����������������������������,����������������������,�����������������������,������ ������������������������������������

'��������������,��������������������������������������������"������������������������������������,����������������%�������������&�������������� ��������������������������������������������������������,���������������������������������������������������������������������������������������(�����������������

"���������,�����������������!�����������������������������������������9������������������������������������%����������������)5'&,��������������������������������������������������������� ��������������������9������������������������������

�����������������9�%�&���)5'���������������������������G�����������,����������,� ����,�����������������������������,�����(�������"������ ������������������������������������������,����������!����� ������������������������������������

"������������������������������������������������������������,����� ���������������������������������� ����������������������������������)5'��������������,�����(����,�������!�����������������������������������������:������01�A�7-,��������������� �������������������� ��������������������������� ����Q9K,��� �������������������������������)5'��

Page 291: Complete Theory

4��������������������

�%+����"#�����>�����9������������)����

9��������������=�����������������������������������������������������������������!�����������������������������%������������&� �������������������)5',��������������������� ����������(������������������������������������������ �����������Q9K��������������� ����QTK,��� ����Q9K��������������������"�,�,������������������,����������������

��������������������������������������������������������������4��������������������������������������������)5'������������ ������������������,������,������������������������������?����������������������������������3�����������������������������QAR,��������������������������J9K��������������������������

M%�2��3N� M���2��3N �2��3� M���2��3N �2��3� ��� ������$��

M���2��3N �2��3

��� �����

V>��>������ ��

�!�F �2��3���� ���

�����

V>��>������ ��

�!�F �2��3 �����$��

���,

� J ��)5'������

�� J ���������������������������

27��� J ���������������������)5'�7

" J ����������������������

������ ������������������������������������G

� ������������������������������������������� ,����������������������������(������������������������������������������������������������%����,���-,�I����=���������,���&�

� ����������� ��������������������������%�&�

� �����������������������������������������,�����������'4'��� ����

� ������������������������������������������������G����2���&�����������-������� ,����������������������������������Q(���&R�

� ���������������������������������������" ��&,�������������!�����������������������

Page 292: Complete Theory

�������D 4��������������������

����������������� ��!������� ��!�%

17.2 Measuring running modes

"�����,������������������������������������������������������������G

� ������������

� ��������������������������������������������������������������������������

� �������������� �����������������������������,����������� ����������������

"��������,�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������������������������������ ����������������������������������9����������,���������� ��������� ������������������������������,����� �����������������������������������������������������������������������

�������� ������������������������,��������������������������������������)5'��������������������������������������������� ��������������"�������������������������������������������������������������(,���������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������(����������������������������������������������,������������������������������������������

����������������������� ����������������������������������G����������������������������������������������

17.2.1 Transmissibility functions

6�������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������,������������������������������������3�

��F2�3F�F%�F2�3

%�F2�3�����$�

����7������������������

Page 293: Complete Theory

4��������������������

�%!+����"#�����>�����9������������)����

6���� ������������ �� �,�����������������������������������������������������������������������

��2�3F�F'��F2�3

'��F2�3�����$�

����������������������������������������(������%���������������&����������������9���!������������������������������������������!������������������������%����������������������������!�����(�������������&,������-���%���;�������&����������������������������������9������������!��������������������������������������������������������,�����������������������,�������������-���������������������!�����3�7� ��4���������!������������������������

"�����������'�������4������'��������%����������� ������&,����������������A� ,�A� ,�AT&��������������������������������������������"��������,������������������������������������������3�7 ������������������������������������������%�����22�8&���6�����������������������������������������$��������D;/���� ,������������������%�&���������������������������������������������

����F2�3F�F�F'��F2�3�

'��F2�3F�F'��F2�3�����$�!

������������������(�����������������������������������������������������������������������������������������(������������,�������������������������������������������������"��������,���� �,���������������������������������������������������������'4'�,������������������������������������������������������������������,����������������������,���

9��������������������������������������������������������������,���������� ���������������D;�,������������������������������D;:�����������������������%����������������&������ ��������������������������������������27%�&,�������������������������������������������������������� ������������������(�������7������������������ �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 294: Complete Theory

�������D 4��������������������

����������������� ��!������� ��!�%#

9��������������������������������������������)5'���������������������������������������������������������4>�� �������������������������������

�%�F2�3� F�F ��F2�3F�F '��F2�3� �����$�#

6�������������������������������������������������������,���������������������������(���������������������������%����(�����,����,���������&,���������������������������������� ��������������������)������������������������������� ����� ���������������������������������������������7������7�&.���'����������� ���������%������&,������������������������������

�%�F2��3� F�F ��F2��3F�F '��F2��3� �����$�$P�Q

�%� �F2��3� F�F �%�F2��3�F�F�F2��3 �����$�%P�R�Q

�%�� F2��3� F�F �%�

�F2��3�F�F�F2��3 �����$�)P�R�7Q

17.2.2 Crosspower spectra6��������������������������������������������������������������������������������������������,�������������������������������������������������������������)5'���������������������)5'�7

'��F2�3F�F %�F2�3F%H� F2�3 �����$��*

����[�������������(���������

���������������������������������,���������������������� ����� �����������!����������������������������� ���%���������������������������������������������������!�����������������������&��������������������������������������������������������������������������������������������;����������������������"���������,�������������������������������������������������)5'��

Page 295: Complete Theory

4��������������������

�%$+����"#�����>�����9������������)����

9������������������������������,�����������,������������������������������������������������������������7

M%�F2�3NF�F'��F2�3

'��F2�3� �����$���

6�����������������������,������������������������������� �������������������$���������D;0������D;@���������������� � ������������������ �����

Page 296: Complete Theory

�������D 4��������������������

����������������� ��!������� ��!�%%

17.3 Identification and scaling of runningmodes

?���!�����������,�����������������������������������������������������������������������

��������!����!���������������!����������������������(������������ ����,��������������������������������������������������������������������������,������������������� �������������������,�������������������:)����������������������������������'����������������!��-�����2./�%1�.������������&,��������������������������1�.��������������;���� ��������������������������������������

Note! There is no such quantity as damping defined for a running mode. Similarlyother modal parameter concepts such as residues or modal participation fac-tors have no meaning for running mode analysis.

17.3.1 Scaling of running modes

"�������������������������������������������� ����������������������

������������������������������������������ ������������������!����!���������,������������������������������������%������������������,������������&�

� �����������������������������������������������

� "��������������������������������,�������������������������������������������������������,������������������������D;A�

� "����������������������,������������D;������������������������������������,�������������������������������������

� "����������������� ���������������,� ����������������������������������������������D;D,��D;0������D;@��������������������������������������������������

Page 297: Complete Theory

4��������������������

�%)+����"#�����>�����9������������)����

� 9�������������������������������������������,����������������(��������������$�������� �������������������������������������������������������������

� '������,��� �������������������������������������������������������������������������������������"��� ��������������������������������������������������%��������������(&� �������������������!,����������������������������������������������������������������������

$��������������� ������������������������������������������������������������������������������������=����������������������������������������������������,����������������������������������������������

Page 298: Complete Theory

�������D 4��������������������

����������������� ��!������� ��!�)*

17.4 Interpretation of results

9���������������(���,������������������������ ����������������������������������������>����������'����,�>�����9�������������������>�����������������

Modal Scale Factors and Modal Assurance Criterion

�����>����������'���������>�����9������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������,���������������������

���>����������'�����������������������7������������������-627�� ����������������� �������9��������������������������������������������(���%��������������&,�������������������������������������������������������������������������������� �������

�����$����� �2��M>��N

�HFM>2�N

M>��N�HFM>��N

����Q#�7�R������7������������OT�P�

����������������>�����9����������������(������������������������������������������,�������������������������������D;�:�

�����$����:�2��2M>��N

�HFM>2�N3�

2M>��N�HFM>��N3V2M>2�N

�HM>2�N3

"���������������������(������������������(� �����QT�7�R�����QT���R,�����>�'����������������������������������������������,������>9�� ����������������������"�����������������������,���>9� �����������������%����-��&,�������>�'���� �������������

>����������'����������>�����9���������������� �������������������������������������������������������������������������>9�� ���������������������������������������������22�8�������>�'����������������� ����������������������������6���������������������,���>�'����������������������������,��������������������>9�����������������������������

Page 299: Complete Theory

4��������������������

�)�+����"#�����>�����9������������)����

Modal decomposition

6��������������������������)5'������ ������������������������,������������������������������������������������������!�������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������������������������,���������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������<�����=������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����$��M%�2��3N� ��M>�N� ��M>�N� ��� � � M> N�����

6��9� �������������������������������������%������������&T� ������������������������������%����������&�� ����������������������������������������� ��������

����������������������������������� �������(����� ����

�����$��!M%�2��3N��$�7���[

� ���$�7����[M>�N���� � �$�7

����[M> N�������

���L4�M����(��������������� �����

�����$��#����� ���[� M%�2��3N� L��M>�N���� � � M> NM �

� M%�2��3N �

Note! Take care when interpreting these values since resemblance of the modal andthe running mode may purely be coincidental. A running mode at 56 Hz willhave no connection with a modal mode at 200 Hz even if they look alike.

Page 300: Complete Theory
Page 301: Complete Theory

�)

���������

���!�������

��������������������������������� ������� ����������������������

Modal Scale Factors and Modal Assurance Criterion

Mode participation

Reciprocity

Scaling

Modal Phase Collinearity and Mean Phase Deviation

Comparison of modal models

Mode Indicator Functions

Summation of FRFs

Synthesis of FRFs

Page 302: Complete Theory

�������0 >����� ��������

����������������� ��!������� ��!�)

18.1 Introduction

9������������������� ��������� ������������������������������������������,��������� ����,����������������������������������������������������;

� ����������2�������������������������������������������������%�����!�����������������,�>9�&�������������������0�.�

� ������������������������������������0�:�

� "������������������������������,�������������������0�/�

� F�����-���������������,�������������������0�1��%������&

� ����������1���,�������������������0�A�

� ����������������������������������������������������,��������������������0�D�

� ��������������������������������������������0�0�

� ����%��������2�������,�������������������0�@�

� ����������#2"2����������"��(����,�������������������0��2�

� ����������#2"2���������������������0���

���� ��������������������������������� ���������(���������� ���������������-��������*������-�������������������������������������������������(���������������������������������� �����������������������������������(������

Page 303: Complete Theory

>����� ��������

�)!+����"#�����>�����9������������)����

18.2 MSF and MAC

����������2��������������!�����������������

���'4'����������7����������������������������������������������������(���������������

�����%��#��= �������

�F����� � ��

��FH���

�� � �H��!�

�������(����'4'��������(��������

�����%��L�M����� L�OM

�� � ���L�OM

H

�� � �H�

����O5<P��������������(�������������6���>�(���=����������������������������������������������������������(�����������������������������

�����%���� ��M>�NFM>�N�

����������������������������������������������������������������7����������������������

�����%��� E�=E��� E2=E�

�,� E�,2 E�

��� � E2 E�

����������-627�� ������������>����������'�����������������������7�����������9���������������������������������������������(���%���������������&,������������������������������������������������������������������������������������ ������

�����%�!�� �2��M���N

�HFM�2�N

M���N�HFM���N

����Q5�7�R������7������������O5�P�

Page 304: Complete Theory

�������0 >����� ��������

����������������� ��!������� ��!�)#

����������������>�����9����������������(������������������������������������������G

�����%�#��:�2��2M���N

�HFM�2�N3�

2M���N�HFM���N3V2M�2�N

�HM�2�N3

"���������������������(������������������(� �����Q4��!R�����Q4��!R��>�'����������������������������������������������������>9�� ����������������������"�����������������������,���>9�� ������������������%����-��&,�������>�'���� �������������

"�����������������,���>9������������������������������������������(� ������������������������������������������������������������� ������������������������������� ��������>9�� ����

>����������'����������>�����9���������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�������6���������������������,���>9�� �����������������������������������������22�8������>�'������������������������ �����%���������,�����������������������������������&������������������������6���������������������,�����>�'������������������������������������������������>9�����������������������������

9������������������������>9�� ���������� �������������������������������� �����������������������������(G

�����%�$M>�N

�FL�MFM>N���V$#� V�� �

� �F��#��$���

����"� �����������������������������!�

$ ���������(������������(����� ������,���������������������������������������������������������������������"���������,������������������>9�� �������������������������������(��������� ��������!��������������������

'�����������������������������������>�'�����>9�������������������������������������������������������D�/�

Page 305: Complete Theory

>����� ��������

�)$+����"#�����>�����9������������)����

18.3 Mode participation

������� �������������������������������������������������������� �������������������������������������������'����������,������������������� �������������������������(������������=�������������������������9������������������������������ ������������,�� ���������������������������

Note! These evaluations are only meaningful when the same response and referencestations are included for all modes.

6�����������������������������������������������������������������,��� ����������������������������������������������������������������������������������(����������

6��������������������������������������,������������������������� ����� ���������������������������������������������������

'������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������

Page 306: Complete Theory

�������0 >����� ��������

����������������� ��!������� ��!�)%

18.4 Reciprocity between inputs and outputs

4���������������������������������������������������������������������������������������������������'4'���������������������������������

Reciprocity of FRFs

4������������'4'����������;

��������������������)5'��������(��������)5'����������������������������������)5'��������(��������)5'��

��������(���������������������;

�����%�%#�F�F2�3� #�F�F2�3

���������������'4'�����(��������������*��������������������������������������������������������������������������'4'�������������������

Reciprocity in the modal model

?������������������������'4'�����(

�����%�)���F�F�

����� M>N��4����� ��

�M>NH��4�

H�

��� �H��!�

���������������,�������������(�����������,������������������ ��������������������������� ��������������������>�!�����������������������������������������������,������������������(������������������

'�����������������������,�����������������������������������������������������������������������������������������

?������������������������������������������������������������������,��������������������!���������������������������������������������������������������������������������������

Page 307: Complete Theory

>����� ��������

�))+����"#�����>�����9������������)����

"������������(������������������������������������-����������������������������������������������������)5'������������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������� ��������������������������

"����������������������������������������������������������������"������,������������������)5'����������������������-����"��������������������������������������������������,�������������������������� ����������������������������������������������������

� ���������� ��������������������������������������������������������������������� ��������������,���������������������(��������������� ���������������)5'�

. ������������������ ������������������������5������������������������������������������������

: ������������������������������562���������������������� ��������������� ����������������������������������������������������� ����������

�� �

� ���

,H� F2�

� ���

,H� F,�

����

+��J��������������������

��� J��������������������������

Page 308: Complete Theory

�������0 >����� ��������

����������������� ��!������� ��!**

18.5 Generalized modal parameters

�����������������������������������������������-����������%���������&�

��������]��7.� ��������������������7������������������������������������������������������ �%�����������������������������&�������������� �������������������������������"��������������������������������,��������� �����������������������������������������������������������9������������,������������������� ,��������������������������

�����%��*

�� E�=�� ��F,��F,� E�

����

�������

$��������0;�������������������

�����%������2��3�����

��������

���

,��,���� � ��

�,H��,

H��

�� � �H����

���

"� /���������������������,� J������������������������������

� � � �� ����

�� J����������������������������������� J����������������������������������

9���������,��������������������������������0;�����������*��������������������������0;�,��������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������"����������0;���������������� ��������������������������������������"�������������� ������������������������������������������������������������������������� ����������������� �������������

6�����������������������������������������������!����,���������0;�2������0;����������������������������������������������������� ���������������������������������������������"����������,�������� �����������������������������������������������

Page 309: Complete Theory

>����� ��������

*�+����"#�����>�����9������������)����

�����%��������,��,���������

�������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ���������������7�����������������������������������������������������������������������������������]�����������������������0;�.����������������������&�����������&�T����!��������������������������������������������������������������������������� ����

*����������� �����������������������������������������������������������������������,�������������������������������������������������������������������� �������������������������������>�������������������������������������������������������������������������������>��������������������������������������������������������������������������������

� ?��������"��������������������������������������������������������������������������%"�&������������0;�.�������������

� ?�����������"�����������������������������������������������������������������������������%��/�"���

��&��������������

� ?����������9"�����������������������������������������������������������������������������%��&����������������������������������������������������)5'��

� ?��������"�������������������������������������������������������������������������������� ����+�� �����������������

��

���

F ,���F� �

� ?������(����"��������������������������������������������������������������� ����+�� �������������������������)5'�����������������������������

� ?������������"��������������������������������������������������������������� ����+�� ���������������������������)5'���������������

Page 310: Complete Theory

�������0 >����� ��������

����������������� ��!������� ��!*�

18.6 Mode complexity

6������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ��������������������������� �����

'�������������������,�������� ����������������������������������������������������������������������������������� ���9���������������L>���5 ������(���#���M�%>5#&���������������%�����&������������������������������������������������������������������������������������������������,

�����%���F>��

��

���

$�F���

��

���

$�

F �F���[

���

� ������������������J���������������������������J�Z+��Z.����������������������

��� J������������������������� ������������������������������������� J�2�������

�����>5#����(���������������%�����22�8&������������������������"��������(���������������������������� �����������������������������������������"������������ ������(M,�������������������������������������������������(��������������������

7�� ���������>5#����������������������������������������������%���,��������28&,����������������������(���������������������������������������������������'4'��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 311: Complete Theory

>����� ��������

*+����"#�����>�����9������������)����

18.7 Modal phase collinearity

'����������������������������������������,���������������������������������������������������������������������������������������(���������������������������������%������������������������������&��������������2�,��02�����;�02����9������������������<<>�����+��������������M�%>+�&����(�(���������������������������������������������������������������������������������������� ����

��������(���������������%�����228&�����������������������9�����>+������(���������������������(����,���������������������������������������������������������������������������������������������������

Mean phase deviation

9�������������������������(����������������������� ���������>���+����) ������%>+)&�����������(��������������� ������������������������������������������������������������� ���,���������������������������������������������>+)� �����������������%����2�&��������������������

Page 312: Complete Theory

�������0 >����� ��������

����������������� ��!������� ��!*

18.8 Comparison of models

6��������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,����������� ����,��������������������������������>9�� �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�����

Page 313: Complete Theory

>����� ��������

*!+����"#�����>�����9������������)����

18.9 Mode indicator functions

>���"��������'��������%>"'�&�������������������������������(���������������������������������������������������������������������>"'�������������������������� ��������������������������������������������� ��������������;��������������>"'������(�������������������������������������=��������������������������������>"'������� �������������������������������������������)���������������������������������������������������� ������,������������>"'�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������,���������������>"'�����(�������9��(����������>"'���������������

F� ����������=��'4'�����(�OAP,������������������;���������������������������� ���,�Q2R,������������������Q9R��������������������������������������

�����%��M%N��M N

4�� ����������!���������������,���������0;�/�������������������������������������

�����%��!%�� �%�� 2��� ���3F2 �� � �3

'������������������,�����������������������������(���������������@2����������,�����������������(�����������������������������������������������%�����������&���������������������������������������� ����S����������������������������������>��������������������������������������������������������������

Page 314: Complete Theory

�������0 >����� ��������

����������������� ��!������� ��!*#

�����%��#��

G G( �F %��%�

%��%��%�

�%�

������������(�������������������������������������������������0;�1��������(�������������

�����%��$��

G G( �F �����

�2��������

���3

����������������������0;�D���������������������������������������������������������������� ����������������������� ���������������������������������������������� �������

�����%��%���F��F � �F2��

�F������F��F3F

����������������A���A� ������A�

��A� ��� ���������������������������������������������������������������������������������%���������������������������'4'�����(�������������&��������������>��"��������'���������������������������������������� �������(����������0;�0��������������������"�(�������������������������������������������������������������(�����9�������>"'����������������������������������������� ��������0;�0����������������������"������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������0;�0������������������������������������������������������������������� ����,�������������������������������������������'���������������,�������������������������������������������������������

Page 315: Complete Theory

>����� ��������

*$+����"#�����>�����9������������)����

18.10 Summation of FRFs

9������������������������������������������������������������������������������������������!�������'4'���������������������������!������������������������������������� ����������,�����������������������������

F�������������������������������������'4'������ ��������������������������������������������������������������������+���������!������������,�������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 316: Complete Theory

�������0 >����� ��������

����������������� ��!������� ��!*%

18.11 Synthesis of FRFs

���'4'����������� ��������������������������������������-��������������������������������������%�������������������������������������������&��� ������ ��������������������������������������������������������������������� ���������?�������>�(���; ������������������������������������������%�������0�/&��������� ���������������������'4'���������������������������

Correlation and errors

"�������������������������������������������� ��������������������������������-��'4'��

�������������������������-�������(�������������������-�������������� �����

�����%��)/����2���� F�F

G��

F��F�F�H�G�

�� ��

��F�F�H��!��� ��

��F�F�H��!�

���

6� J��������(� ���������������-��'4'���������������

-�J��������(� ����������������'4'���������������

�����������������������������������������-������������-�� �����

�����%��*4�F�����F�F

��

F��F�F��F�F��F�F��

H

��

��F�F�H�

9�����������'4'��������������������������������������������������������(������������������������������������������� ���������������������������������������������-��'4'�

Page 317: Complete Theory

*)

���������

�����"������

"����������������� ����������������������������������� ������������������������������������� ��

The calculation of rigid body properties of a structure fromFRF measurements

Rigid body analysis to determine rigid body modes

Page 318: Complete Theory

�������@ 4��������������

����������������� ��!������� ��!�*

19.1 Calculation of rigid body properties

������������������������������������������������������������������������$(��������������������������������%'4'�&���������������� �����������������������������������������������������������������������G�����������������,��������������������������������������������������

"���������������������������������

� 9������������������������������������������������������������������������������������������������>�����>����>��������������������O�P�

. ��������������������������������,�������'4'������������������������������������������������������������������������!�������������������������,��������������������������������������%����,���������� ��,��������������������������������������&�������������%������O.P&���������������������������!�����������������������������������������������������������������!�����%������O:P&�

��������������������������������������������

�������

������

��������

���������������������

$�/���0�������

�������0��

'������@;� 4��������������

Derivation of rigid body properties from measured FRFs

Input data

'4'���������������������������������������������������������������������������������������3����,��������������������������������������������������������4������������������%�������&�����������������������������������������������

Page 319: Complete Theory

4��������������

��+����"#�����>�����9������������)����

"�������.�(������������A������������������������������������+�������������������������������������������������A�(��������%����.��������:���������&������.�����������������������

Reference axis system

9���������������������������������������� ������������(����������������(���������������������������������� �����������������������������������������������������

Specification of the frequency band

4������������������������������������������%����������&������ �����������������������������������������������������������������������������%��'������@;�&�

Mass line value

���L��������M� ����������������������������������,���������� ���������������'4'������������G

��& 6����������������������������������������������������������,����������� �����%�����������������������&���������������,�����������������'4'��������������"������������������������� ������������������� ���������������������������������������

.�& 6�����������������������������������������������������������������,���'4'���� ��������������"�������������������������������������������,��������������,������������������������������'4'��������������� �����%�����������������������&�������������,�252���������

:�& "����������������'4'��������� ������������������������������������ ������������������,���������������������������������������������������������������������������������������������4��������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������,�������������������� ����������������������

Calculation of the rigid body properties

. ������������#�����#�����������������������1

��� ���������������������

"������,�������������������������)5'��������������� ���������������������������������%�������������������������������&������������,���������������������������������������������������������3�������(���������������

Page 320: Complete Theory

�������@ 4��������������

����������������� ��!������� ��!��

9���������������%TS,�TI,�TW&�������������'���������������%������&������������������������L�MG

M%��

N)� LEEM��� FM%��

N2 �����)��

���

M%��

N)������������������������ ���

M%��

N2����������������������� ���

LM��� ������������������(�%��������������&��������L�M

6���������������������,������������������������������������������,������������������������������������L�M����������������������������(�������������������

M%��

N�� 2LEEM��� FLEEM�3FM%��

N2 �����)��

���LM�������������������(�%��������������&��������L�M�

��. ���������������

'���������������������������������,���������������������+,�X,����������������������,�.,���������������������

�����)�

�������������� ��� ���'�����/��0����+���������

�����������

%��

���

%��

��!

%��

���

%��

�;�

%��

�;!

%��

�;�

)

%��

���

%��

��!

%��

���

%��

�;�

%��

�;!

%��

�;�

)

---

---

---

---

---

------

�����������

��������

� 3�

(��

� 3;

(;)

3�

� %�

3;

� %;

)

� (�%�

� (;%;

� �)

��������

����������

%��

�)�

%��

�)!

%��

�)�

���

�)�

���

�)!

���

�)�

)

%��

�)�

%��

�)!

%��

�)�

���

�)�

���

�)!

���

�)�

)

---

---

---------------

����������

����9E.�=E,�����NE ������������������������������+�%������������������(�������&�

������ �;�����������������������%��������������)5'�����������������������A&������� �����������������������������������������"��������������������������,�����������������������(�����������'����,������������������������������������������(� ��������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������

Page 321: Complete Theory

4��������������

�+����"#�����>�����9������������)����

6 ������������#�����#������#���������1

.�� ���������������������

'��������������������������S;���������������L�MG

M �N� LM��� $� ���������%!�

�����)�

LM��� ������������������(�%��������������&��������L�M

6�����������L�M�����������������������������������G

M �N� 2LM�LM��� 3$� ���������%!�

�����)�!

LM��� �����������������(�%��������������&��������������L�M

��������������������������������������I;�����������W;��������

.�. ���������������

'��������������,�.�������

���

���$

�)� �)! �)���)���)!��)�

���

���%

!

������

����

3�� (�

���

� 3��

%�

���(�

�%��

�����

VM �N �����)�#

������������������+���'�����/��0����+��������������� ���

Q'�R��������������������������S�,�I������W������������������������������������������������������

( ������������#�����'����������#����������#����������������������������#�������

'��%�&��������������������������������%��&����������� ������������G

Page 322: Complete Theory

�������@ 4��������������

����������������� ��!������� ��!�

��

��$

)�����)� )!����)! )�����)�

�)�

�)!

�)�

��

��%

!

�������

������!�

� )� )!

�����

��� )��

�� )�

��!�����

� )! )��

��

��

��

�!�

��

��

��

� �!

� ���

��

� ��� �!

��

� ��

� ��

�������

V

�����

�����$

%/�)

()�)3/�)

.��

.!!

.��

.�!

.!�

.��

�����

�����%

!

�����)�$

S���,�I��������W����������������������������#����������#������"((,�"���"--��������������#�������������������������(�������"(�,�"�-�"(-���������������#�������������������������(��������

��������������������������� ��������������'���,��������������������������� ������������ �������������������������%���������&���9�������,���� �������������������������������������� ���������������������������

��������������������������������������������������������� ������������G

��$�

)�����)� )!����)! )�����)�

��%!

����

������!

�����

���

��!�����

��

�Y$�

�/�)!/�)�/�)%!�

�����)�%

���.����������������������������������������������������� ������������G

��$�

�)�� !/�)F )�� �/�)F )!�)!� �/�)F )�� �/�)F )��)�� �/�)F )!� !/�)F )�

��%!

����

���

�!�

��

� �!� ���

� ��� �!

� ���

� ����

�Y

��

��$

.��

.!!

.��

.�!

.!�

.��

��

��%

!

�����)�)

9���������������,����� �;���������������������%����������������������������������.&������� �����������������������9����������������������������������������������� �����������������������������������������������������(�� ��������������������%����������@;:&�

Page 323: Complete Theory

4��������������

�!+����"#�����>�����9������������)����

"������,��������������������������������� ����"�������������������������������������� �����������������!�������������������������

* ������������#�����'����������#����������#����������������������������#�������

"�������G��M4)N� L�MM�)N

$�

4�4!4�%!

����

.��� .!�� .��

� .�!.!!

� .�!

� .��� .!�.����

�F$� ���!��%!�

�����)��*

QI�R������ ����������������������������������%�����&��(��������O4P�����������(����������%���������&�Q��R������ ������� �����

�������������� ����������,�������$��� �����G�"�,�".,�":G����:���������������������������$��� �����G�Q�R,�Q.R,�Q:R�G������������������:������������(����������

Page 324: Complete Theory

�������@ 4��������������

����������������� ��!������� ��!�#

19.2 Rigid body mode analysis

9�����������������%��������&�������������������������������,�������� ������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������,����������������������������������������������������������������������������������������������������������������%�������������������&,������������������������������������������������������,���������������,�������9���������������������������������������������������������������(����������������������������������

"�����A��������� ������������������������������S,�I,�����W��(�,����������������������(����$ ����������������������������������������������������������������������A������

�������@��������������������������������������������������������������������������������'4'���������������������������������������� ��,��������������������������������(������������������-�����������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������N������

� ����������������������������������������������

� �����������������������������������������������

Use of rigid body analysis

"����������������������������,����������%������&���������������������������������������������������������������������������

1 Debugging the measurement set–up4��������������������������� ����������������;�������������������������������'4'���� �����������������������������������������������%����������������������������(����&���"���������,����������!����!������������������������������������������������������������������������������������ ����L������M�����������������������) �����������������������������������������������

� ���;������������%����� ���������&

� ������������������������������%�� �������������&

Page 325: Complete Theory

4��������������

�$+����"#�����>�����9������������)����

� ���������������������%�� ���������������������&

� ���������������������������������� �����%�������������&

� �����������������

5� ����������,��������������/�����,����������������������� ;����������������������������������

2 Completion of non–measured DOFs>�������������������������;����������������3����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������A�������������������������������������������������������������������������������������������������������;�������)5'����������!������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

3 Correction of measurement errors?������������������������������������.����������������������;���������������������������������������)5'���������������������������������������� �������������������%���������&��������������������"���� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������%�������&����������

4 Synthesis of modes based on the geometry of the structure4�����������������������������������������������������������=�����,���������������,�������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������(��������������������������������� ������������������

19.2.1 Decomposition of measured modes into rigid bodymodes

����������������������������������������������������� �� �������������������

� ?��������������������������A�������������������������������

Page 326: Complete Theory

�������@ 4��������������

����������������� ��!������� ��!�%

. )����������� �����������������A��������������� �� ����� �����������������������������������������������������������������������������������������������������A��������)5'��������� �������������������������������������������������������������(������������������������������������������������������������������W��(����������������.��������������(��,� �������������� �����:�)5'��������

: �����������������������������������������)5'�������������������������A�������������������

Limitations

����������������������������������������������������%����(��������������������&��������������� ���������!����������������������������� ������������������������������������������������������������������������6�����������������������������������������(��������������������������������-������(����������������������������������������������������������������������������������������������������������!�����������������������������������������������������������������������������������

19.2.2 Synthesis of rigid body modes based on geometri-cal data

������������������������������������<��;��=����������������������������������������������������������������������(���������������������������������(����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������;

���� �� ����

�������F��

�.�

���

Page 327: Complete Theory

4��������������

�)+����"#�����>�����9������������)����

" J�����������

� J���������������������������������

�� � J���������������������������������������)5'���������� �(�����������

�( � J��������������������������������������)5'���������� �(�����������

F� J����������������������������� ��(������������

4������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 328: Complete Theory

�������@ 4��������������

����������������� ��!������� ��!�*

19.3 References

O�P ��� ���,�E������*�����,�5�'�"�����������������-����,������0����"������5���,�S�,��F�������E�������������"2���������5��������2��������������?�� �����������������,�+�5�� �(�10@,��';::�2�������,'������,

O.P 5!�-���,�7�F,��������������������5���,�S�,��'��������������������E� �����������@�����(����"������1������,�3��������2��������������$�������������������,�*������>�������,����,�E����@@�

O:P �����,�F������F���,���A�����������+���,��������������"������+������������������"�,����"�,,���+�������������������$�����!�!�����!����������� ����;5�������������������������������������,��@@1;�@@A

O/P �>��"���������I-6�'404�9�-�,���4��������-������5�+��������>��"���������,��� �,� �����,����.�A;.�D,����:�./;:�:.,��@@A

O1P �>��"���������A� ����4,,�5���,�S�,��-�,����������(�������-�,���-�,������'404�9�>��"�������������������������,�4���)#) 3��3@��.@1,��� �, �����,..���,��@@�

Page 329: Complete Theory

��

���������

�����

�������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������

Sensitivity

Modification prediction

Forced response

Page 330: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!��

20.1 Using the modal model for modal design

���������������������������������������;�������������������������������������������������������������

�������������� ����������������������������������������������������������������#���.����������������7� �������������������������������������������������)5'��������7����!�����"������������ ��������������������������������������%������������������� ����&��������������������������%�������&�������������%�&�7������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������� �������������

'�������������������������������>�(���; �����������������������������������������,���'4'��������)5'��������7����������������(�����������������)5'�7�������������������������)5'��,������(��������)5'���������������������������7G

�����*�����F2�3F� ���F2�F3

"�����������,���'4'�����(�����������������������������������

?������������������,������������������������������������)5'��"��������������������������������������������������� �����������������������������7G

�����*������ � ��F$��F$��

�����*�� �� � ��F$ �F$��

���

�"7� �����!���������������)5'��"�����7

��7� �����!���������������)5'��������7

$"� �������!��������������������������������)5'�"

$�� �������!��������������������������������)5'��

Page 331: Complete Theory

)����

�+����"#�����>�����9������������)����

$7� �������!��������������������������������)5'�7

����������������������;

�����*��� �F�F ��F$��F$ �F�F ��F$��F$��$��F ��F

$ �F$����F$��

F�F����F� ������

�����77� ������!�����,��+��������������,���

��������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������

"��������������� ������������������������

� "�������������������������������������������������,��������������,��+�����������������������

� >����������������������������� �������������)����5��'������������������������������������������

����������������������������������������G�����,�%�������&�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������;

'���&� ����������������������������������� �������%������� ���������&,�� ������������(��������������������������I�7 �������������������������G

�����*�!�4��F�F �4�F4����F4���

�������������������������������������������H������������������������� ����JHK�

�����*�#\5]�F�F��$�

5�5����

5�

��%!

��

����������5� �����������������������������������������������������������������G

�����*�$L�M�F�F \5]�F�4��

Page 332: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!�

�������������������JTK�.��������������������� ������������ ����������������������������������������JHK� � ����������(������������������ �������������G

����*�%\>]�F�F ��F\5]�

'������������������������������������������������������

�����*�)��F�F M5N�F�4��F�F M>N�FM>N��

���������������.2;0

����*��*

���F\5]�F\5]

��F� \5]�FF�4��

��F�5H��F4��F�F5H��F4��F� ���F�F5

H

��F4��

5H��5��F�F5H��5��F�F ���F�F5H�F�5��

�"�������������������������������������������,������������������������������ ������,�����������������������;

����*���

��F�F4��5���

���������������������.2;0������������ ������������� ��������������������������� �����H������������������������������I��������������������������� �����T,����������������������������������������������� ����������.2;�2���5� ����������������������������������� ����������������������I������������,������������������,����������������������� ������������������������������������������'4'�����(��������������������������������������������������������.2;�2����������������������������������������������������(���������;����������������������������������������������

Page 333: Complete Theory

)����

�!+����"#�����>�����9������������)����

20.2 Sensitivity

9��(���������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������(�������������������������������������������������������������(������������������������������������������� �����������������������������

'��������������������(������������ ���,�������������������������������������������������������������������� ������������;������������������;�����!���6��������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������,�����������������������������������������������������������������5������������������������������������������������������������ ���������������������� ������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������,�����������������������9������ ������������������������������������������������������������������������������������������ ���������������������������"������������������� ��������������������������������������,�������������� �� ������������������������������9������ ��������������� ������������������������������������������������������������������� ����������

20.2.1 Mathematical background to sensitivity analysis

)��������������� ��������)5'��� ����������������� �� ��%�����������������&� �������������������� �� ���������������������������(������������������� �����������

>�������������������������'�������4������'������������������

������B���,��

J �B ������ ��

�����*���

������������� �� �����������������������������������E,�������������������������

Page 334: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!�#

�����*���E���

�E�F���

���

F ���� ��

�E�����E�

���

���

����

2��� ��3�

�E���E�

E�������������������)5'�������������������������������������)5'��

�����������������������(�U������ ����

�����*��;�����//� ��://�O//

��� - ��������������(' �����������������(< �����������������(� �����������������������������������������������

������������E�����������������

?��������������������������������������������,��������.2;�:���������������������

�����*��!�E���

�E�F� M��/N

��E;

�E�M�/�N

?������������.2;�.��������.2;�1������

�����*��#�E���

�E�F�$�

�����

��/���� ��

%!�

F�E;

�E�F$� �����

�/��2��� ��3

%!�

������������������.2;�A��������������������,���������������������������������������������.2;�:,��� ��������� ����������������%.2;�D&�������������%.2;�0&�

�����*��$�E���E�F�� �

����FM��/�N

�F��E;�E���������

M�/��N

Page 335: Complete Theory

)����

�$+����"#�����>�����9������������)����

�����*��%

�E�����E�F�� M��/�N

�F ������E;�E���������

M�/��NF� �����

M��/�N���E;�E���������

� �/��

��� ���

� �����

� ��/���� ��

��F��E;�E���������

M�/��N

�����������������.2;�D�����.2;�0,�������������� �������7� ���������)5'����������������������������������������������������������������������� ����������������$ ������������������������� ������,���>�(����; �������������������������������������������������� ������������������ �������� ����������������)5'�������������������)5'�������������� �����������������������������7�������,���������������,��+ ��������������,����77� ����������+���������������� �����������������������������������������������������������������

'������������������������������.2;�0,���������������������������������� ��� �������������������������������)5'������������������������������������������������E,�����������������)5'���������������������������������������������������������������������������������������������'����������������������������������������(�U,���������������������+������������,����������������%�������&������ ���������������������������

Mass

������������������E�����������������������)5'�����$��������.2;�D����.2;�0������������������

�����*��)�E���E��F�� ���F$

���

�E$���E��

F�� �� E$��� E$��� $�� �

���

���

��� ��$��E$�� �����*��*

Stiffness

������������������E�����������������������)5'������������$�������.2;�D�����.2;�0������������������

Page 336: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!�%

�����*����E���E��B

F�� 2$��� $B� E3�

�E$���E��B

F�� 2$��� $B�3E��

���

2$��� $B�3$����� ��

�����*���

*��������)5'����������(�������%L������M&����$�"�J�$�� �J�2

Damping

������������������E������ �����������������)5'������������$�������.2;�D�����.2;�0��������

�����*���E���E/�B

F�� ��2$��� $B� E3�

�E$���E/�B

F��2$��� $B�3

�$��� 2$��� $B�3E�

���

����� ��

2$��� $B�3$�� �����*��

����������������������������.2;�@,�.2;.������.2;.:���������������������� ���������������������������������������������������������(������������ �������������������������(�����������������

Page 337: Complete Theory

)����

�)+����"#�����>�����9������������)����

20.3 Modification prediction

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������=��������������������������������������!���������������������,������������3����������,'$>;��!����,�����,�������������������������"�������������������������������,�������������������������������������������������������������������������������������������������������������

>��������������������������������� ����G

� ������������������������������

� ������������������������������������������������������������������%���������������&

� ������������������������������,������������������������;������;������������

������������������ ������������������(���������������������������������������������������������������������������������������,��������������������-����������������� �������� ���������������������������������

20.3.1 Mathematical background

����������������������������������������������������������������������������������������������1���

��������������������������������!����������������������������������������������������������������(����������������������� ����������������"��������������������������������������������(������������������������������������

Modal models for the assembly of substructures with flexible coupling andviscous damping

������������#�������������������������������,�������.����������������������������������������������������������G

Page 338: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!*

�����*��!��F��FF����F� �:�FF���� � O�FF���� �F �F��F�

�����*��#��F��FF����F� �:�FF���� � O�F���� �F �F��F�

����������-��.�'������<� ����������,��������������������������������������������.�������������������������������F����� ������������������������������������������������������������������� �������{(�}�����{(�},������������ �����{��}�����{��}������ ���

������������������������������������������������ �����������������'�������������.�����������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������%)�����=������&�G

�����*��$�F��F���� F�F �F��FF���� F�F ���F

�������������������������������������G

�����*��%���F�!��F�F 6�FF�!��F�F ����

���

��F�F � ��� ��:��

F

�!��F�F ������ �6�F�F ����

O��

����F�F ���������������4� �����S� �������������-������������������������(�T� ,������(������� ����������������������������������������� ������������������������������(�� � ���)������������������������.2;.D��������������������� �����������������������������������������������(���������������

����������4� �����S� �������������-��������;�������;�������������������� ��������(��T� ����������������G

�����*��)>��F��F>�F�F ����

Page 339: Complete Theory

)����

�+����"#�����>�����9������������)����

>��F6�F>�F�F �B�� �����*�*

�������(������� �����T� ������������������������������������������������;��������{y1}�������������������{q1}�G

�����*���!��F�F >�F����

?�����(���������.2;.@�����.2;:2����������������������.2;.0�������;������������������������������#��������������������(��������.2;:�����������������������������������������������������������������G

�����*���F����F����F�F �B��F����F�F >��F����

"����������������������������������������������������������

����������������������������������������.,����������������������

�� ��������(�� ������������� ��������(�T� ��������� ��������(��T����������������������������������������J��K�����������������������������������.������������������G

�����*��F����F����F�F �B��F����F�F >��F����

Substructure assembly������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������'������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������� ��������(���������� ��������(�

>���(�������������������������������������������������������G

�F�F ���� �

���

F

�!�F�F �!�!��

6F�F �6�� �

6��

���F�F ������

��� �����*�

����������������������G

Page 340: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!�

�����*�!��F\!]F� 6F\!]F�F ���

"������� ����������������������������.2;:1�������������-��������� ��������(�#��������������������G

�����*�#>F� �F>�� �

>��

������������ �����������������(����G

�����*�$� �F� �F �� �

��

���������������������������������������������G

�����*�%\!] F�F >F���FF

���

���F�F ������9��(��������������������������.2;::������������ ����������� �����������,�������G

�����*�)����F���F�F �B�F���F�F >�F���

9���������!���������(������� �����T�������������������������������.�������������������������������"���,������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������(����������������������������������������������6���������������������<� �����'��������.2;:1������G

�����*�*�2�F�F �/F3F\!]F� 26F� 6/F3F\!]F� ���

Page 341: Complete Theory

)����

+����"#�����>�����9������������)����

���

�/F�F���

��

��

�:/

�� :/

��

��

�� :/

�:/

���

�6/F�F��

��

��

�O/

�� O/

��

��

�� O/

�O/

���

����������������������������������������������������������������-������������������������(�#��������������������������������������������������������������������������������3����������� ������

Modification of structures ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������;

�����*����=F:�=FO�F� �F��=F:�=FO�

���������������������������������������������������������������G

������

���

���

�:��

��

���

����

�:�

���

��6���

���

��

�O��

�� ���

��

�O�

���

������*��

"���������������������������� �����(����������������������������������������������������,���������������������������������������������

6���������������������(��������.2;/.�������������������������������������������%$����.2;/2&,������������������������������������������������

�F2�� �/� ��3F\!]F�F 26� 6/� �63F\!]F�F ��� �����*�

Uncoupling the equations of motion?��������������������������������������������������������������%(��������.2;:A&����������������������T� ,������� �������������������������������������������������G

Page 342: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!

������F�F 6����F�F >���� �����*�

���

��F�F ���F�F >��/>F�F >���>

6�F�F �B�F�F >�6/>F�F >��6>

����������4"������S" �������������������������������������������-��������������� ������������������6����������� ������������� ������������������� =�����H,��������G

5���5F�F ����

5�6�5F�F �B��

��������������������������G

���F�F 5F����FF �����*�!

�����������������.2;//����������������������5��������G

�����F����F�F �B��F����F�F 5�>�F��� �����*�#

�����������������������T�����H�������������������������(�T�����;

>�F�F >5 �����*�$

����������� ����������������������������������G

\!]F�F >�F���� �����*�%

$�������.2;/0��������������������������������������������������������������������������������������������������6�����������������������������������������������������������G

�����*�)�����F����F�F �B��F����F�F >��F���

������������������������������������������������������������������

����������������������� ��������� ��������������������������������������(�T��

Page 343: Complete Theory

)����

!+����"#�����>�����9������������)����

Flexible coupling with proportional damping

�������������������� ����������(����������������������� ����������������"�������������������������������-����������������������������

4��������������������������������� ��������������

2��L�M� �L:M� LOM3FM%N� M N �����*�!*

Zero damping"��������������������G��O�P�J�O2P,���(���� ��������������������� �������� ����G����

.������������ �����G�Q�R��

2��L�M� LOM3M%N� M�N �����*�!�

����������������������������������,�������������������(���������������

��� ���= ���= �� �� �����*�!�

��H�� ���F= ���=F �

H�� �� �����*�!

��������� �����������,�������������������%����G�T3�;��02�&�

����������������������������������-�,��������������������������������� ���������������������������������������������������������������,�������������������������,���������������������������������������������G

L"M� LM"�NE���EM"NM �����*�!

L"M�FL�MFL"M� ���XXXL"M�FLOMFL"M���� �����*�!!

M%N� L"MM�N �����*�!#

2����������3M�N� M�N �����*�!$

$#���F IF ��� � ���E����� �����*�!%

Propotional damping"����������������������������,��������������������(�������������������������������������������(������������������������(G

Page 344: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!#

L:M� �L�M� �LOM �����*�!)

���������������(����������������G

2E2��� ����� �

3L�M� LOME3EM%N� M�N �����*�#*

������ ����������������������(�����

���� ������� �

����� �����*�#�

��������(������������ ���������������� �����%;ω�&���������������������%α,�β&���6��������������������������������!�������������%���������������,��������������������&,������������������������� ���������������������������������������,������������������������������������������

Modal synthesis

5������������������������������������������,�∆>,�∆B�����������������������������������������������������������������������������������������

2��2L�M� L��M3� LOM� L�OM3M%N� M�N �����*�#�

"������������G

2���2���� L��M3����� L��M3M�N� M�N �����*�#

6���G

L"M�� L"ML��M� �����*�#

L��M� L>M�EL��ML>MV ���VL��M� L>M�EL�OML>M �����*�#!

������ ������������ ������������������,����!;�������������������������������������,�������������������������������������

"����������������������������,��������(��������������� ������������� �������������������������������������G�α�����β�

���������������������������������������� ��������������������������"����������������������������������������������������������������������������������������������������������)5'����9����������������������������������������������������� �

Page 345: Complete Theory

)����

$+����"#�����>�����9������������)����

Rigid coupling

������ ���������������(������������,�����������������������������������������)5'������������������������������������������������,�����������������������)5',�������(����������������<������=���"�������������������)5'��������� �-�������������

����������������������������������������

L�MM(N� M�N �����*�##

+�����������������������������G

M(N� L"MM�N �����*�#$

�����������������������������G

L�ML"MM�N� LMM�N� M�N �����*�#%

������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�O�P����������������

LL�ML�MM������� M�N �����*�#)

�M��NM��N�� �� L�M��YL�M�.� �M��N� L�MM��N �����*�$*

������������������������������������������������������������;���������O��P�

�������������������� ����������G

2�L�M����L�M� L�M��B�L�M3M��N� M�N �����*�$�

6�������� �������������� ������������������������������������������� �,������������������������������������ �����������������������"����������,�������������������������������������������������� ����������������������

����������������������������������������������������������������

Page 346: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!%

20.3.2 Implementation of Modification prediction

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,�������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������

20.3.2.1 Retrieval of the modal model

��������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������

9�����������������%���������������,��������� ����,�������������������&��� ������ ����������������������������������"���������������� ������������������������;

� ��������������##�������"�������������������������������������������������,����������������,��+����������������������������������������������������������������������������������������,�������������%�����&�������������������������������������������������������������������������������������������������-�����*������������ ���������)���5�'��������������������������������������������

. ��������&2�#��������������#��������>����������������������������� �������������)����5��'���������������������������������������������������������������������,����������������������������������������������������������������������������������������>��� �,�����������������������������"������"�,��������+������������������������������������� ���)�����5��'�����

��������������������,������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�������������������������������������������'4'������ ����������������������,������������������(����������������������������������������������������������������������������������������������������"�������������������������������������������������������'4'��������������������� �������������������������

Page 347: Complete Theory

)����

)+����"#�����>�����9������������)����

9�������������������������������������,������������������������������������ ���������������������������(���������������������������������������������������������������������������������������������������������������%��������������������(�������&��������������������������������?����������������������������������������� ;�����������������������������������?���������,��������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������'������������,�������� ����������������������������������������������������������������������������������� ������������������������

6�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������,�������������������������� ����������"������������ ���������������������������������������������������������������������������!���������������������������������������� �����������������"�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

"�������������������������������������������������������������������,�����������������������������������������������������������������������������������������������������G�����,������������������������#��,��������9������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������

20.3.3 Definition of modifications to the model

9����������� �������)����5��'��������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������(������������������������������ ���������������������

20.3.3.1 Mass modifications

9������������������������������������������������������������������������������������ ���������������������������

Page 348: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!*

20.3.3.2 Stiffness modifications

9������������������%������&�����������������������)����5��'������������������

����������������������������������� ���������,���)5'������������������������������������������������� ����

*�������������%��������&���������������������������������������������������������������

20.3.3.3 Damping modifications

9�������������%������&�����������������������)����5��'������������������

����������������������������������� ������������)5'����������������������������������,��������������� ����

*�������������������������������������������������������������������������

20.3.3.4 Truss elements

9���������������������������������������������������������'���������������������������������%�����������&������������������(���������������������������������������������������,����������������������� ������������� �������������������������������������������������������(���"���� �������������������������������������������������������������������������������������������!����������������������������

������������������������ ���������N����������������������������������(����������������������������������������

9���������������������-�������;��������������������9;��������=��I����=���������������������$;��������������������������(�������������� ����������

Page 349: Complete Theory

)����

�+����"#�����>�����9������������)����

9��������������������������������������������������������������������������������������������������������������A����A������������(�����A�)����5��'�����%:������������&������������(�����������������������������������������������������������:�����������(��

20.3.3.5 Rod elements

9������������������������������������������������������4�������������������������������������%�����&���������������������������������������(�������������� ���������������������������������������������������������(�"����������� �������������������������������������������������������������������������������������������!�������������������������

����������������������� �����������������������������������������(�����������������������������������������9���������������������-��������;���������������������<�7;���������-�

�����������������������������������A����A�������������(�����A�)����5�'�����%:������������&������������(�������������������������������������������������������������:���;��������(������������>������ ����������������������������������������

20.3.3.6 Beam elements

9�����������������������������������������������������������������������������������

����������������������� ����������������������������������������������������G

� �������������%��,��.&

� ������������������������%9&

� ��������=��I����=����������%$&

Page 350: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!�

� ��������=�������������%�&

� ��������=���������������%F&

� ���������������������������������������%"�,�"�&

� ���������������������������%"&

� ������������������������������������������������������������%�&

���������K�@-9-�

2�

2

$��������������

������������������

ÉÉÉÉÉÉÉÉÉ

20

���������������������������������������������;�������������������������������������������������������������������������G

"�� ��������������������������

"� �����������������������������������������������

���.����������� ���(�)����5��'��������G�:�����������������:������������9����������������������������(�����������������������G�:�����������������������:���������'�������������������������������������������������������������������������������������(������������������������;�����������"�����������,������������������������������������%������������&���������������������������

20.3.3.7 Plate membrane elements

9����������������������������������������������������������������������������������������%�����������������������������&�����������������%����������������������&�

����������������������� ����������������������������������������������������G

Page 351: Complete Theory

)����

+����"#�����>�����9������������)����

� ���������������

� ���������������������,��.,��:,������/

� ����������!����%&�(����������������������������

� �������������� �����������������������,�������������.�%�&

� �������������� ������������������������,������.������:�%�&

� �������������������,��.������:

� >���������������������������I����=��>�������%$&,�+������=��������%�&,������������%�&�

��������������(�������������������������

0

"

!

!

�(�6�����

6�������������������������������� �����������������������,����������%�(�0&�����������������������������������������9���������������������(���������������%%�T�&�%0T�&�;�/&������������������

"������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������%��&

� ���������������������� �������������������������������,����������������������������#@22

2�3)������"�������!���$����������!!�����$��������!��������$�$,�����������,����������,��������������������!���������

Page 352: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!

� �������������������������(�����������,������������������3��������������#��

� ������������������������!,������������������3���!�������������� 1

$��������������������������������������A�)����5��'�����;�:���������������:���������;���������������������(���������������������������������������������������������������������������,�����������������������������������������������������������������

20.3.3.8 Tuned absorbers

9������������������������)���5��'�����������������������������������������������������������������������������������������(���������

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

������������,�!��������������SDOF�����������������������������������������������������������������������������������������%�����&���������������������������������������,��������������������

6 ������$�

������$�

"��������������������������������������������������������������������(� ��������������������������������/��G�������������������������������������������������������������"�%(����������� �������������������������=������������������������&�

Page 353: Complete Theory

)����

!+����"#�����>�����9������������)����

�����*�$�2���� /����3F����F�F �F2��� ��3F�

�F����

6�������������������� ������(� �G

�����*�$��F�F���F��

����F� �/�F�F �

����������������������������������;

�����*�$ ����F�F 2�� �/�3F��F����

'������������.2;D:�����.2;D/

�����*�$! F�F2�� �/�3�

����� �/�� �F��F��

���������������������������������������������������������� ��������"�� ,����������������������������������������G

�����*�$# F�F ���F��F��

�����*�$$���F�F2�F� �/�3F�

��F��F�F �/�F�F �

"���������������������������������������/*�������������������������������������������������������� ������������������������������������������(��/�*&���������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������ �������� ������������������������� ���"���������,����������=������������������������������������������;

�����*�$%� �F�F ��F� F� F�

�F�F �

Page 354: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!#

����!������������������������=����������������� ����M��������������������������G

�����*�$)�F�F ����

9������������������������������������������������������G

�����*�%*%���F�F/

� ��� F�F��

�2�� �3��

'������������.2;D0,�.2;D@�����.2;02��������������������".������������������������������������������������������� ��������!�����

"�� ����� ���������%�������&

�� ����������������������,������������������������������

� ���������=�������������������������

������ �����������������������������������������������������������G

�����*�%����F�F �F.>�

�F�F�F���.

���

T� ������������������������������������������������������������

�, �������������������������������������������

20.3.3.9 Constraints

+����������������������������������������)5'�����������)5'����������

)�������������������������������)5'�,�����������������������������������)������������������������)5'�������������� �����(�����<������=�

Page 355: Complete Theory

)����

$+����"#�����>�����9������������)����

20.3.4 Modification prediction calculation

5��������������������������� �������������������������������������������������������������

'��������������������������������������������������������������%���������&����������������������%����������&,��������������������������������������������������������������������������G

�� 4�� ����������������������������������� �������������������

������ �������� �����������������%��������������(&��������������T�����T� ��������������������

.� E����������������������������������������� ��%�������.2;:D&�����T%.2;:A&�

:� )��������������������%��������������������&�����������������������������������������4������S� �%�������.2;/2&�

/� )���������������������������������������������������4�������S%�������.2;/.&�

1� ?��������������(�T��������������������������������������������������������������

A� 9��������������-�����������������������%�������.2;//&������������������(���������������������

D� ��������������������� ��������� ����������� �������������������������������������(���������������������(������%�����������������������������������&�����������������

Numerical problems

������ ��������������������� �������������� �������������������,�������������������������������������������������������������

� �������������������������������������������,�����������������������������������������������������������(��������������� ���������

� 9����������������������������������������������������������������������������������������;���������% ����������27-&��������������������'$�����������(��������(����������������������������>�������������������������������������������������������������������������������� ���������

Page 356: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!%

"������������������������������������������������������������������������������������������������������������6�����������������������������������������,��������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������(�������������(����������������� ������������ �����������������������������"���������������������(������������%�������&� ������������������������������������� �������������������������������������������������������������T0�

20.3.5 Units of scaling

"�����������������������������������������������,��������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������ ������������������������������������������������������������(����������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������,�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

$������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������%��������� ��������������&,�������������������������������� ������������������������������(��������'4'��%������������������������������&,���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(������������������������������������������������������

Page 357: Complete Theory

)����

)+����"#�����>�����9������������)����

Example of the application of a beam element

�������������(��������������������������������������������������� ��������������������������������������������������(�����������������������

���� ����

2������������0���

����

����

����

����

& ����

�!

"

?

�!

"

?

�����������������G

� )�����-������������������/���������,�����������������������������������������������������(�����������������

. )������������������������������������������������������

� K���������������!���,��$

� K�$�$����!��������!���������

�, K�$�$����!��������!���,��������������!������������=���!����,������������=���������

; K�N�"��C��$��"�"���!���������

? K������$��"�"�

� K�������!���,��$

�=��=�� K������������!���������,��$���!�����������$���������,������$���)�����!��$������������'���!��$������������!��������������=���������������������-��"�����8��

Page 358: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!!*

$ K�$������C��$����������

'��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������

!

7

+

�)<���71�� ������ � )���B����� ����� �� ��2�/�2�/������ �����!�����*�������7�� ��E+

: �������������������������������������������9��������������%����&����������%��������&�����(��������������������������������A�����������A�)����5��'�����������������%@�.�T�.�H�.���.���.�����"� ����������,���.�+�.� �.���& �� ������"� ���������.&

��$�

-�>�5���%!

�� �FF�

�$�

-�>�5���%!

�� �FFFF& ��� �2����

��$�

����"���%!

�� ��FF�

�$�

����"���%!

�� ��FFFFF& �������

��

7

��

�� ��� �� ��

�)<���71�7 �2��� �������/������� �������� ��7

/ 9������������������������������������

Page 359: Complete Theory

)����

!�+����"#�����>�����9������������)����

)�(�)�(�

)�

(�)�

(�

)�(�

)�(�)�(�)�(�)&(&)#(#

�)<���71�E �����B2!�����2��� �������/��

1 +������������������������%������&���������������)5'��

A 9��������������������������������������������������������������������������������%�����&��������������

4���!��G

� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� "��������������!�������������������������������������;���������������������������������������������������������������(����������������������������������������������������������� �������������������������������������������������.�'�������,����������������������������������������������������(�

� ��������������!���������������������������������"����(������������� �����������������(������������������(�������������������!�������������

Static condensation

������������������������������������������������������������������������������)����5��'��������������������������������������������������������������������������������������������������>��(�������,������������������������������������������������������������)����5��'���������������������������������������������������������������������������������������������������,

Page 360: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!!�

�����*�%����

�O�

�O���O�

��O��

����FZF���

���

L�M

L�M

L�M���

����

) ��!���������������������1-�

( ��!������������������1-��

���������������������������������������� ������������������������������������ ����������������� ����������,

�����*�%���

�O�

�O���O�

��O��

����FF�>>��F�F ��FF���

���

L�M

L�M

L�M���F�>>��

'��������������������������.2;0:������������������������������������������)5'�������� ��

�����*�%�O��F�>�F�F �O��

�F�>��F�F \�]

��������������� ����(����������������)5'����������������������������,

�����*�%!�>��F�F�F �O�����F�O�

�F�>�

"��������������������.2;01������������.2;0:�������G

�����*�%#�O�FF�>�F�F ��F��

�FF�>�F

��

�����*�%$�O�FF� �O

�F�F �O��FF�O��

�F��F�O��

Page 361: Complete Theory

)����

!+����"#�����>�����9������������)����

����������OB�P�����O>��P�����������.2;0A������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������)5'����������������>��������������������������������������������������� ������������������ ����������������������������������������������������������������!�����������

*�����OB�P����(����������������.2;0D����������������������OB44P������;��������������������������(���������������������������������������������������������������������������������������������(������������������������������������������������������������)5'����������������������������������������������6����������������������������������������������������������������������������������������������������������;����������������������������������������(������������������������������������������ �����������"����������������(��������� ���������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������,���� �,�����������������������������������������������,����������������,�����������������������������������������������(����������������������

Page 362: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!!

20.4 Forced response

$(��������������������������������������������������������������������������,���������������������,�(�����������������������������������%������&������������������������ ��� ������������������������������ ������������������+������������������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������������

"�������������� ��������������������������������������������������� ���������!���������������������������������� ������������������������������������������������������������;

� ����������������������������������������������a

� ������������������������������������������������a

� �����������������(���������������������a

� ��������������������������������������������������a

������������������������������� �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(����

���'�����������������������������������������������������������������������������������������!����������������

20.4.1 Mathematical background for forced response

���������=�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������,������ ��������������������������(�������������������������������������G

�����*�%%�%2�3�F�F ��2�3�F� 2�3�

��� J9���K������������������� ����%&*�����&�OA���P������'�������4������'�����������(�%&* ����&*&J2���K������������������������ ����%&* �����&�

Page 363: Complete Theory

)����

!!+����"#�����>�����9������������)����

��������������������(; ��������������������������� ��������������� ��������� ��� ����������������������������������!�����

6��������������������������������������%)5'&,������,������������ �������������G

�����*�%)%�2�3F�F��

���

F���F2�3F �2�3

������������������������)5'����������������������������������������������������,�����������������������������'4'���������)5'�7����������)5'����������������������������������������������������������(����������������������������������7������������������������

6���������������������������������� ������,��������������������������������������������,���'4'������������������� ����

�����*�)*���2�3F�F ��

���

����

��� ��

?������������.2;0@,��������������������������������������������)5'���������������������������������������������������������)5'��7������������������������������������%������&���������� ����������������������

�����*�)�%�2�3F�F��

���

F�� �����

,��,��

��� ���!�F �2�3

$ ������������������������� ������,���>�(���; ��������������������������������������������������� �������$�������.2;/��������������������� �������� ����������������)5'��������������������)5'������������� �����������������������������7�������,���������������,��+�������������� ,����77� ����������+���������������� �����������������������������������������������������������������

$�������.2;@������������������������)5'������������������������������������������������������������������������������ �����;

Page 364: Complete Theory

������.2 )����

����������������� ��!������� ��!!#

�����*�)�

��2�3��

��� ����

���

,�� �2�3� ��2�3��

���

,�� �2�3

��2�3��

��� �H���

���

,H�� �2�3� ��2�3��

���

,H�� �2�3

������ H�1����

H�����7

*/���2���/� �<)���������+

������������������)5'�����!���������������������������������������������� ����

�����*�)%�2�3F�F �

���

F ,��F��2�3�F ��

��

F ,H��F��2�3

Page 365: Complete Theory

!$

��������

#������� �����

������������������������������������ �� ��������������������������������������

the geometry of a test structure

the definition of nodes

Page 366: Complete Theory

������.� F�����������

����������������� ��!������� ��!!%

21.1 The geometry of a test structure

9�����������������������������������������������������������������������������������,���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������!�������������,���������������������������������������������������"���������������������������������������������������������������������������������������������������"�����������������������������,������������� �����������������������������

���

�����������

+

7

'�����.�;� 9��������������������������

*�����������������������������������������������������������������������L9������M������������

Page 367: Complete Theory

F�����������

!)+����"#�����>�����9������������)����

21.2 Nodes

9������������������������������������������������

Location

�������������������������:)�������������������������:�����������!���������������������������������������������������� ��������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������:)�����������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������,��������������������������

4�����������������

����������� ��������

+

%

+

%

+

%

" "

�*

& &

'�����.�;. ��������������

���������(����,������������������������������������������������������������������

�������� O N 5 � � �

����������� � " 5 �� &#° �

������� � " � �� &#° ##°

Orientation

*�������������������������������������������������������"�����������������������������������������������������������������

Page 368: Complete Theory

������.� F�����������

����������������� ��!������� ��!#*

��

'�����.�;: *������������������

�����������������������������������������������������=������������"��������������(���������������������������������������������������������������,��������������� ���������� ����,�������������������������������$����������

Euler angles

����$���������������������������������������������������������,����� ������������������������������������������

"1�

��� ����� ����,� ]"(�� %$����SI&� ��� �� �������������W���(���������������������%+����� ������S���(�����I���(��&�� �����������������������������������������������������=�������(���������

%�

+L

�L

7L

"+� M�

��

"10

��������������"(-�%$����SW&��������������������=��(��������������������������%+���� ��������(=��(�������-=��(��&�����������������������������������,�������������������M�������(���������

"+7+L

+N �L�LL

7L7N

-

Page 369: Complete Theory

F�����������

#�+����"#�����>�����9������������)����

"�0

'������������������,�"�-��%$����IW&���������������������(M��(�������������������������,������ ���������M��(�������-M��(������������������������������������������������������������

+LL��LL

M

% 7LL

"�7-

Degrees Of Freedom (DOFs)

���)����5��'������������������������������������������������������� ���$����������������������(��������D�)����5��'����N�:�����������,�:�����������������������)5'%��&��

M

%

$� $M

$% �����

'�����.�;/ )������������

Page 370: Complete Theory