Embed Size (px)
Citation preview
MIHAIL RAŞEEV
COMPONENTELE
SISTEMELOR
MECANICE I
(notiţe de curs)
2009
- 1 -
CUPRINS
Pag.1 ASAMBLĂRI ARBORE-BUTUC………………………………………………… 4 1. 1 Generalităţi…………………………………………………………………... 4 1. 2 Asamblări arbore-butuc cu transmitere prin formă….…………………… 4 1. 2. 1 Asamblarea cu pană paralelă………………………………………… 5 1. 2. 2 Asamblarea cu caneluri……………………………………………….. 8 1. 2. 3 Asamblări cu ştifturi……………………………………………………. 11 1. 2. 3. 1 Asamblarea cu ştift longitudinal…………………………………. 12 1. 2. 3. 2 Asamblarea cu ştift transversal.…………………………………. 13 1. 3 Asamblări arbore-butuc cu transmitere prin frecare...…………………… 16 1. 3. 1 Asamblarea cu strângere proprie…………………………………….. 17 1. 3. 2 Asamblarea cu strângere pe con……………………………………... 21
2 ARBORI ŞI OSII…………………………………………………………………… 23 2. 1. Caracterizare. Rol funcţional. Criterii de casificare………………………. 23 2. 2 Materiale şi procedee tehnologice de realizare………………………….. 26 2. 3 Criterii de calcul şi etapele proiectării arborilor drepţi…………………… 28 2. 4 Calculul şi construcţia arborilor drepţi……………………………………... 29 2. 4. 1 Predimensionarea arborilor drepţi……………………………………. 29 2. 4. 1. 1 Predimensionarea la răsucire……………………………………. 29 2. 4. 1. 2 Predimensionarea la solicitări compuse..………………………. 29 2. 4. 1. 3 Predimensionarea la deformaţii………....………………………. 33 2. 4. 2 Verificarea arborilor drepţi……….……………………………………. 33 2. 4. 2. 1 Verificarea la solicitări compuse…………………………………. 33 2. 4. 2. 2 Verificarea la solicitare variabilă (oboseală)……………………. 34 2. 4. 2. 3 Verificarea la vibraţii………………………………………………. 35 2. 4. 2. 4 Verificarea la deformaţii……….…………………………………. 39
3 ANGRENAJE (TRANSMISII CU ROŢI DINŢATE).……………………………. 40 3. 1 Definire, caracterizare……………………………………………………….. 40 3. 2 Clasificarea angrenajelor…………………………………………………… 41 3. 3 Materiale pentru roţi dinţate………………………………………………… 43 3. 4 Angrenajul cilindric exterior cu dinţi drepţi………………………………… 45 3. 4. 1 Definire…………………………………………………………………... 45 3. 4. 2 Elementele geometrice ale roţii dinţate cu dinţi drepţi……………... 45
3. 4. 3 Elementele geometrice şi cinematice ale angrenajului cilindric
evolventic cu dinţi drepţi……………………………………………….. 54 3. 4. 4 Forţele din angrenajul cilindric exterior cu dinţi drepţi……………… 59
3. 4. 5 Calculul de rezistenţă a angrenajului cilindric exterior
cu dinţi drepţi……………………………………………………………. 63
- 2 -
3. 4. 5. 1 Modurile de distrugere a danturii angrenajului cilindric
exterior cu dinţi drepţi……………………………………………….. 63
3. 4. 5. 2 Capacitatea portantă a unui angrenaj cilindric
exterior cu dinţi drepţi……………………………………………….. 66 3. 5 Angrenajul cilindric exterior cu dinţi înclinaţi……………………………… 67 3. 5. 1 Definire şi caracterizare………………………………………………... 67
3. 5. 2 Elementele geometrice ale unei roţi dinţate cilindrice
cu dinţi înclinaţi, roata dinţată echivalentă…………………………… 69 3. 5. 3 Angrenarea roţilor dinţate cilindrice cu dinţi înclinaţi………………. 73 3. 5. 4 Forţele din angrenajul cilindric exterior cu dinţi înclinaţi…………… 75 3. 6 Angrenajul conic concurent ortogonal cu dinţi drepţi……………………. 78 3. 6. 1 Definire şi caracterizare………………………………………………... 78 3. 6. 2 Roata plană de referinţă……………………………………………….. 80
3. 6. 3 Elementele geometrice ale unei roţi dinţate conice
cu dinţi drepţi……………………………..…………………………….. 83
3. 6. 4 Angrenarea roţilor dinţate conice cu dinţi drepţi,
în cazul unui angrenaj ortogonal……………………………………… 88 3. 6. 5 Forţele din angrenajul conic concurent ortogonal cu dinţi drepţi….. 89
- 3 -
PREFAŢĂ Prezenta lucrare se adresează studenţilor de la specializarea Inginerie Economică în Domeniul Mecanic, din cadrul facultăţii Inginerie Mecanică şi Mecatronică a Universităţii Politehnica din Bucureşti. Lucrarea reprezintă notiţele de curs ale cursului Componentele Sistemelor Mecanice (partea I-a), curs predat în anul II de studii, semestrul II. Autorul
- 4 -
1 ASAMBLĂRI ARBORE-BUTUC 1.1 Generalităţi Asamblările arbore-butuc sunt asamblări demontabile care au drept principal rol funcţional transmiterea unui moment de răsucire de la un arbore (piesa cuprinsă) la un butuc (piesa cuprinzătoare) sau invers, eliminând deci deplasarea unghiulară relativă dintre acestea. În funcţie de posibilitatea deplasării axiale a butucului faţă de arbore asamblările arbore-butuc pot fi:
asamblări mobile (în gol sau sub sarcină);
asamblări fixe, caz în care ele pot prelua şi forţe axiale. În ceea ce priveşte modul de transmitere a momentului de răsucire acesta poate fi transmis:
prin formă (în acest caz elementele componente sunt astfel profilate încât să asigure transmiterea momentului de răsucire);
prin frecare (caz în care între elementele componente se creează o
forţă normală care asigură transmiterea prin frecare a momentului de răsucire).
1.2 Asamblări arbore-butuc cu transmitere prin formă Din această categorie fac parte mai multe asamblări arbore-butuc, cele mai des utilizate fiind:
asamblarea cu pană paralelă;
asamblarea cu caneluri;
asamblarea cu ştift longitudinal;
asamblarea cu ştift transversal.
- 5 -
1.2.1 Asamblarea cu pană paralelă Elemente constructive. În cazul acestei asamblări (STAS 1004-81 şi STAS 1006-90) în arborele 1 (fig.1.1 a.) se frezează (cu o freză deget sau o freză disc) un canal de pană de lăţime b şi adâncime t1 iar în butucul 2 se mortezează sau se broşează un canal străpuns de aceeaşi lăţime b şi adâncime t2. La montaj în aceste canale se introduce pana paralelă 3 având: lăţimea b egală cu cea a canalelor (în funcţie de domeniul de utilizare a asamblarii între pană şi cele două canale realizându-se un ajustaj cu joc, intermediar sau cu strângere); înălţimea h < t1 + t2 (deci există un joc radial între pană şi arbore respectiv butuc) şi lungime l.
T
L
l
Fig.1.1 Asamblarea cu pană paralelă
1
2
3
h
d
t2
t1
b
σs2 σs1
Ft2 Ft1
T
lc = l - b
l
b
Forma A
lc = l
b
Forma B
lc = l – b/2
l
b
Forma C
a.
b.
- 6 -
Atenţie! Existenţa canalului de pană din arbore slăbeşte secţiunea acestuia, canalul de pană fiind un puternic concentrator de tensiuni, fapt ce reprezintă principalul dezavantaj al acestei asamblări. Constructiv standardul prevede trei forme de pene paralele (fig.1.1 b.): A (cu ambele capete drepte), B (cu ambele capete drepte) şi C (cu un capăt rotund şi unul drept). Asamblarea cu pană paralelă permite deplasarea axială a butucului faţă de arbore (de obicei în gol), caz în care (conform STAS 1006-90) pana se fixează pe arbore cu ajutorul unor şuruburi cu cap înecat, între pană şi canalul de pană din butuc algându-se un ajustaj cu joc. Ca material, având în vedere solicitările relativ mari, pana se confecţionează din oţel tras la rece având rezistenţa la rupere de minim 590 MPa. Modul de transmitere a momentului de răsucire. Dacă asupra arborelui acţionează un moment de răsucire T (fig.1.1 a.), pe suprafaţa laterală de contact dintre pană şi arbore apare o tensiune de contact σs1 (având o rezultantă Ft1) şi respectiv o tensiune de contact σs2 (de rezultantă Ft2) pe suprafaţa laterală de contact dintre pană şi butuc. Existenţa acestor tensiuni de contact (a forţelor tangenţiale) asigură transmiterea prin formă a momentului de răsucire. Elemente de calcul. Solicitarea de contact este solicitarea principală din asamblare. În calcul de rezistenţă a penei paralele, ţinând cont de faptul că înălţimea penei este mult mai mică decât diametrul arborelui se poate admite:
. d
T F F F ttt2
21 (1.1)
De asemenea, în calculul tensiunilor de contact pană-arbore respectiv pană-butuc, se admite că înălţimile celor două suprafeţe de contact sunt egale cu h/2, rezultând:
, σ l h d
T
A
F σ σ σ ascc
tsss
421 (1.2)
unde lc reprezintă lungimea părţii laterale drepte a penei (fig.1.1 b.). Uzual (în cazul unui moment de răsucire constant):
pentru oţel/oţel σas = 100...150 MPa; pentru oţel/fontă σas = 80...100 MPa.
- 7 -
Solicitarea de forfecare a penei apare în planul de separaţie arbore-butuc, rezultând:
, τ l b d
T
A
F τ aff
tf
2 (1.3)
unde τaf este tensiunea admisibilă la forfecare pentru materialul penei (uzual τaf = 80...100 MPa). Metodica de dimensionare (proiectare). 1. Date iniţiale: d şi T, impunându-se sau nu lăţimea butucului L. 2. Se aleg din standard în funcţie de d: b, h, t1, t2. Dacă L este impus: 3. Se alege din standard l L. 4. Se verifică asamblarea la solicitarea de contact (relaţia (1.2)) şi eventual la forfecare (relaţia (1.3)). Dacă pana nu se verifică la una dintre cele două solicitări, se poate adopta soluţia cu două pene dispuse la 120 (pentru a nu slăbi prea mult secţiunea arborelui) sau se alege un alt tip de asamblare arbore-butuc, de exemplu o asamblare cu caneluri. Dacă L nu este impus: 3. Din solicitarea de contact (relaţia (1.2)) se determină lungimea necesară a penei rezultând:
, σ h d
T l
asnecc,
4 (1.4)
rezultând în funcţie de tipul penei, lnec (vezi fig.1.1 b.). 4. Se alege din standard l lnec. 5. Eventual se verifică pana la forfecare.
- 8 -
1.2.2 Asamblarea cu caneluri Generalităţi. La asamblarea cu caneluri pe suprafaţa arborelui 1 se prelucrează (prin frezare şi eventual finisare prin rectificare) o serie de proeminenţe ce pătrund în canalele conjugate prelucrate pe suprafaţa interioară a butucului 2 (prin mortezare sau broşare) (fig.1.2).
Rezultă că asamblarea cu caneluri este o asamblare cu pene paralele multiple, penele fiind confecţionate din aceeaşi bucată de material cu arborele. Prin aceasta capacitatea portantă a asamblării este mult sporită iar secţiunea arborelui nu mai este slăbită de canalele de pană. Ca dezavantaj, preţul de cost al asamblării este mai mare, motiv pentru care asamblarea cu caneluri este utilizată numai la asamblări greu încărcate (la cutii de viteză, arbori cardanici etc.).
T
Fig.1.2 Elemente constructive ale asamblării cu caneluri
b L
1
2
d
D
c. a. b.
Constructiv sunt standardizate trei tipuri de caneluri:
cu profil dreptunghiular (cu flancuri paralele) (fig.1.2 a.); cu profil triunghiular (fig.1.2 b.); cu profil evolventic (fig.1.2 c.).
- 9 -
Canelurile dreptunghiulare (cu flancurile paralele) sunt mai des utilizate datorită prelucrării mai simple. Pentru construcţia generală de maşini sunt standardizate trei serii de dimensiuni de caneluri dreptunghiulare:
uşoară, pentru asamblări fixe axial (STAS 1768-86); mijlocie, pentru asamblări mobile axial în gol (STAS 1769-86); grea, pentru asamblări mobile axial sub sarcină (STAS 1770-86);
şi: caneluri dreptunghiulare pentru maşini unelte (STAS 2670-78).
Canelurile triunghiulare (STAS 7346-83) se recomandă pentru asamblari fixe axial şi sarcini cu şoc. Canelurile în evolventă (STAS 6858-85) au o bună rezistenţă la oboseală utilizându-se în special în domeniul auto. După modul de centrare a butucului faţă de arbore asamblările cu caneluri pot fi:
a. cu centrare pe diametrul interior (fig.1.2 a.), metodă utilizată la canelurile dreptunghiulare, putându-se asigura o calitate bună a centrării prin rectificarea ambelor suprafeţe de centrare (apărând însă şocuri de moment în cazul unor momente de răsucire alternante);
b. cu centrare pe flancuri (fig.1.2 b.), la toate tipurile de caneluri, metodă utilizată pentru momente alternante, fiind posibilă însă finisarea prin rectificare numai a suprafeţelor de centrare ale arborilor;
c. cu centrare pe diametrul exterior (fig.1.2 c.) - la caneluri în evolventă. Calculul de rezistenţă al asamblării. Momentul de răsucire T (fig.1.3) transmiţându-se prin contactul pe flancuri, pe suprafaţa acestora apare o solicitare de contact (tensiunea de contact σs), care este solicitarea principală din asamblare. Celelalte solicitări (forfecare şi eventual încovoiere) pot fi neglijate în calculul de rezistenţă al asamblării.
Fig.1.3 Schema de calcul pentru caneluri dreptunghiulare
c 45
T d D c 45
rm
Ft
σs
- 10 -
În cazul canelurilor dreptunghiulare metodica de calcul este standardizată prin STAS 1767-67, ea putând fi utilizată şi pentru calculul celorlalte tipuri de caneluri. Cunoscând dimensiunile asamblării (D, d, c şi numărul de caneluri z), alese din standard în funcţie de diametrul arborelui d, se calculează raza medie:
4
d D r m
(1.5)
şi forţa tangenţială:
. r
T F
mt (1.6)
Totodată rezultă şi suprafaţa portantă a flancurilor pe unitatea de lungime de contact a asamblării:
, c d D
z s
2
20,75 (1.7)
în care coeficientul 0,75 ţine cont de neuniformitatea repartiţiei sarcinii pe lungimea asamblării şi între cele z caneluri. Dacă L este lungimea totală de contact, suprafaţa portantă totală va fi:
. s LS (1.8)
Cunoscând forţa tangenţială şi suprafaţa portantă totală se poate calcula tensiunea efectivă de contact:
, σ SF σ as
ts
(1.9)
unde σas este tensiunea admisibilă de contact care se alege în funcţie de materialul arborelui respectiv al butucului şi condiţiile de lucru. În cazul dimensionării din (1.9) şi (1.8) rezultă:
, s
S L , σ
F S necnec
as
tnec
:respectiv (1.10)
alegându-se L Lnec.
- 11 -
1.2.3 Asamblări cu ştifturi În cazul asamblărilor arbore-butuc cu ştift există două variante constructive în funcţie de poziţia axei ştiftului faţă de axa arborelui:
asamblare cu ştift longitudinal (fig.1.4);
asamblare cu ştift transversal (fig.1.5). Acest tip de asamblare asigură o poziţie relativ precisă între arbore şi butuc fiind însă de cele mai multe ori utilizată ca element de poziţionare şi de siguranţă deoarece nu are o capacitate portantă prea ridicată. Totodată asamblarea cu ştift transversal poate fi utilizată drept un limitator de moment (dacă T > Tmax ştiftul se foarfecă, desfăcându-se legătura arbore-butuc). Ca tipuri constructive de ştifturi cele mai utilizate sunt ştifturile cilindrice (STAS 1599-80 şi STAS 7464-71) existând însă şi alte variante ca de exemplu ştifturile tubulare elastice (STAS 9729-80).
- 12 -
1.2.3.1 Asamblarea cu ştift longitudinal În cazul acestei asamblări (fig.1.4) în arborele 1, respectiv în butucul 2, se prelucrează la montaj (pentru a se asigura coaxialitatea) un alezaj longitudinal în care se montează ştiftul cilindric 3 (STAS 1599-80), de diametru ds (uzual ds = 0,13…0,16d). Calculul asamblării Sub acţiunea momentului de răsucire T asupra ştiftului acţionează o forţă tangenţială:
,2
d
T Ft
(1.11)
care produce o solicitare de contact şi solicită ştiftul la forfecare. Calculul de verificare la solicitarea de contact. Tensiunea de contact este:
. l d d
T
ld
F
A
F as
ss
t
c
ts
42 (1.12)
Calculul de verificare la forfecare. Tensiunea de forfecare a ştiftului este:
. l d d
T 2
ld
F
A
F af
ss
t
f
tf (1.13)
În cazul dimensionării din (1.12) rezultă:
, σ d
T l d
asnec,s
4)( 1 (1.14)
iar din (1.13):
, τ d
T l d
afnec,s
2)( 2 (1.15)
alegându-se un ştift standardizat astfel încât l L, unde L - lungimea butucului şi (ds l)STAS max {(ds l)nec,1 ; (ds l)nec,2}.
T
Fig.1.4 Asamblare arbore-butuc cu ştift longitudinal
l
1
2 3
ds
d
L
- 13 -
1.2.3.2 Asamblarea cu ştift transversal
T
Fig.1.5 Asamblare arbore-butuc cu ştift transversal
σs1
Ft2
Ft1
3
2
1
d
ds
D
σs1
σs2
σs2
f
f
Ft2
Ft1
(D +
d)/
2
2d/3
În cazul acestei asamblări (fig.1.5) în arborele 1, respectiv în butucul 2, se prelucrează la montaj (pentru a se asigura coaxialitatea) un alezaj transversal în care se montează ştiftul cilindric 3 (STAS 1599-80), de diametru ds (uzual ds = 0,2…0,3d). Pentru ca în timpul funcţionării, sub acţiunea forţelor centrifuge, ştiftul să nu fie expulzat din asamblare, se recomandă ca între ştift şi arbore şi/sau între ştift şi butuc să se aleagă un ajustaj cu strângere sau să se utilizeze elemente de siguranţă. În acest caz apare o solicitare de contact ştift-butuc σs1, o solicitare de contact ştift-arbore σs2 şi o solicitare de forfecare a ştiftului în planul de separaţie arbore-butuc τf (fig.1.4). Calculul solicitării de contact ştift-butuc. Deoarece grosimea radială a butucului este de obicei relativ mică tensiunile de contact σs1 pot fi considerate uniform distribuite pe lungimea de contact, rezultând forţele Ft1 concentrate pe diametrul mediu. Din echilibrul de momente rezultă:
, d D
T Ft
21 (1.16)
dar această forţă este rezultanta tensiunilor de contact σs1 şi deci, ţinând cont de faptul că ştiftul este montat fără joc în butuc, avem:
- 14 -
, 2
d D d A F sscs1t
111 (1.17)
prin egalarea celor două expresii a forţei Ft1 obţinându-se:
, σ d Dd
T σ as
ss 1221
)(
4
(1.18)
unde: σas1 - tensiunea admisibilă de contact ştift-butuc. Calculul solicitării de contact ştift-arbore. Prin analogie cu tensiunile tangenţiale din cazul solicitării de răsucire, tensiunile de contact ştift-arbore se consideră repartizate linear, având valoarea maximă σs2 (fig.1.5). Rezultantele celor două repartiţii triunghiulare vor forma deci un cuplu de forţe Ft2 având braţul 2d/3. Rezultă deci:
, d
T Ft2
32 (1.19)
dar ştiftul fiind montat fără joc în arbore iar repartiţia tensiunilor de contact σs2 triunghiulară, avem:
, d 2
d
2
1 A F s2scs2t 22 2
1 (1.20)
şi deci, egalând cele două expresii ale forţei Ft2, se poate explicita valoarea maximă a tensiunii de contact ştift-arbore:
, σ d d
T σ as
ss 222
6 (1.21)
unde: σas2 - tensiunea admisibilă de contact ştift-arbore. Calculul la forfecare. În planul de separaţie arbore-butuc acţionează o forţă tangenţială:
d
T Ft2
(1.22)
şi deci apare o tensiune de forfecare:
, τ d d
T
A F τ af
sf
tf
2π
4
2 (1.23)
unde: τaf - tensiunea admisibilă la forfecare pentru materialul ştiftului.
- 15 -
În cazul dimensionării, din dimensionarea arborelui şi a butucului se cunosc d şi D, necunoscuta fiind diametrul ştiftului ds. Din solicitarea de contact ştift-butuc, relaţia (1.18), rezultă:
, σd D
T d
asnec,s,
1221)(
4
(1.24)
respectiv din solicitarea de contact ştift-arbore, relaţia (1.21), rezultă:
, σ d
T d
asnec,s,
2226
(1.25)
iar din solicitarea de forfecare a ştiftului, relaţia (1.23), rezultă:
, τ d
T d
afnec,s,
π23 (1.26)
alegându-se ds,STAS max { ds,nec,1; ds,nec,2; ds,nec,3 }.
- 16 -
1.3 Asamblări arbore-butuc cu transmitere prin frecare În cazul asamblărilor arbore-butuc cu transmitere prin frecare, pe suprafaţa de contact arbore-butuc sau pe suprafeţele de contact element intermediar-arbore şi element intermediar-butuc se creează o forţă normală Fn, suficient de mare, astfel încât la aplicarea momentului de răsucire T să apară un moment de frecare Tf > T, asigurându-se astfel transmiterea prin frecare a momentului de răsucire. Totodată se asigură şi transmiterea prin frecare a unor forţe axiale. Siguranţa funcţionării acestor asamblări este deci determinată de stăpânirea valorii coeficientului de frecare, valoare ce depinde de o multitudine de parametrii şi variază între limite destul de largi. Din această cauză în calculul asamblărilor cu transmitere prin frecare se adoptă un moment de calcul Tc, mai mare decât cel nominal, condiţia Tf > T scriindu-se sub forma:
, T β T T cf (1.27)
unde β este un coeficient de siguranţă împotriva patinării. Forţa normală se poate creea pe mai multe căi rezultând o varietate destul de mare de asamblări arbore-butuc cu transmitere prin frecare, dintre care cele mai des utilizate sunt:
asamblarea cu strângere proprie;
asamblarea cu strângere pe con. Este de reţinut că asamblările arbore-butuc cu transmitere prin frecare au o capacitate portantă ridicată, asigură o centrare bună a butucului faţă de arbore, dar sunt asamblări fixe axial şi de obicei greu demontabile.
- 17 -
1.3.1 Asamblarea cu strângere proprie În cazul acestei asamblări forţa normală se realizează prin alegerea unui ajustaj cu strângere între arbore şi butuc. Înainte de montaj diametrul exterior al arborelui este mai mare decât diametrul interior al butucului cu strângerea S (fig.1.6 a.), rezultând că după montaj, prin deformare, diametrul arborelui scade cu ∆a iar diametrul butucului creşte cu ∆b (∆a + ∆b = S), pe suprafaţa de contact apărând tensiunea de contact σs, a cărei rezultantă este forţa normală Fn. Dacă forţa normală este suficient de mare se asigură transmiterea prin frecare a momentului de răsucire. Asamblările cu strângere proprie se caracterizează printr-o capacitate portantă ridicată şi siguranţă în funcţionare având însă dezavantajul unei demontări relativ anevoioase şi a unui efect de concentrare a tensiunilor destul de pronunţat. Totodată apare pericolul unei forme specifice de uzare - coroziunea de fretare.
T
S/2
S/2
a/2
b/2
b/2
a/2
d
a.
Fig.1.6 Asamblare cu strângere proprie
d1
σs
d2
l
b.
σsσr
σt
+
-
-
-σs
σta1
σtb
σta
σtb2
După modul de realizare a asamblării, asamblările cu strângere proprie sunt: - asamblări presate la care montajul se face prin introducerea axială, forţată, la rece a arborelui în butuc (sau invers); - asamblări fretate caz în care prin încălzirea butucului şi/sau răcirea arborelui se anulează, prin deformare termică, strângerea şi se realizează un joc la montaj.
- 18 -
Asamblările fretate sunt mai sigure şi au o capacitate portantă mai mare (valoarea coeficientului de frecare este mai mare: la montaj suprafeţele nu sunt unse iar rugozităţile nu se distrug şi strângerile care se pot realiza sunt mai mari) dar utilizarea lor este limitată de temperatura de încălzire a butucului (pentru oţel tmax 600C) respectiv temperatura de răcire a arborelui (la răcirea cu aer lichid tmin -190C). Elemente de calcul. Calculul asamblării cu strângere proprie urmăreşte, pe de o parte, alegerea unui ajustaj care să asigure transmiterea prin frecare a momentului de răsucire dar să nu pericliteze rezistenţa arborelui sau a butucului, iar pe de altă parte, determinarea forţei axiale de presare, la montaj, la asamblările presate, respectiv a temperaturii de încalzire a butucului (de răcire a arborelui), la asamblările fretate. 1. Tensiunea de contact mimimă necesară, σs,min. Cu notaţiile din fig.1.6, în ipoteza unei repartiţii uniforme a tensiunii de contact (în realitate la capetele zonei de contact arbore-butuc apare un efect de concentrare a tensiunilor relativ puternic, efect ce poate fi atenuat printr-o proiectare corespunzătoare a formei constructive a butucului respectiv a arborelui) putem scrie:
l d σ F sn π (1.28)
şi deci momentul de frecare va fi:
, d
l d σ μ d
F μ d
F T snff 2π
22 (1.29)
din condiţia (1.27) rezultând expresia tensiunii de contact mimime necesare transmiterii prin frecare a momentului de răsucire:
. l d μ
T β σs, 2min
π
2 (1.30)
2. Tensiunea de contact maximă admisibilă, σs,max. Valoarea acestei tensiuni rezultă din limitarea tensiunilor efective ce apar în arbore şi în butuc (fig.1.6 b.).
Rezultă: - pentru arbore (indice a): σs,max,a; - pentru butuc (indice b): σs,max,b; - pentru întreaga asamblare:
. σ ; σ σ b,s,a,s,s, }{min maxmaxmax (1.31)
- 19 -
3. Strângerile teoretice, St,min, St,max. Strângerea teoretică corespunzătoare unei anumite tensiuni de contact este:
, Ek
Ek d
b
b
a
ast
S (1.32)
unde:
, ν d d
d d k , ν d d
d d k bbaa
22
2
222
21
2
21
2
:iar (1.33)
cu: Ea, Eb - modulele de elasticitate ale celor două materiale; va, vb - coeficienţii Poisson ai celor două materiale. Rezultă deci o strângere teoretică minimă St,min (cu σs,min) şi o strângere teoretică maximă St,max (cu σs,max). 4. Strângerile corectate, Scor,min, Scor,max. Strângerile teoretice calculate cu relaţia (1.32) trebuiesc corectate pentru a ţine cont de: a. rugozitatea pieselor, deoarece la montaj prin deformarea plastică a rugozităţilor strângerea scade, rezultând o corecţie de rugozitate cr:
;)(1,2 max,max, bar RR c (1.34)
b. dilatările inegale, în funcţionare, ale arborelui şi butucului (dilatarea arborelui duce la creşterea strângerii respectiv dilatarea butucului o reduce), rezultând o corecţie de dilatare cd:
, d t tα t tα c aabbd )]()([ 00 (1.35)
unde: αa, αb - coeficienţii de dilatare lineară ai celor două materiale, ta, tb - temperatura în funcţionare a arborelui respectiv butucului. Cunoscând aceste două corecţii se calculează strângerea corectată:
, cc drtcor SS (1.36)
obţinându-se deci o strângere corectată minimă Scor,min şi o strângere corectată maximă Scor,max.
- 20 -
5. Alegerea ajustajului standardizat. Ajustajul standardizat ales (STAS 8100-88) trebuie pe de o parte să asigure transmiterea prin frecare a momentului de răsucire iar pe de altă parte să nu producă în arbore sau în butuc tensiuni efective prea mari. Rezultă:
. , maxcor,,maxmincor,,min SS:respectivSS STASSTAS (1.37)
6.a. Forţa axială de presare la montaj, Fp. La montajul asamblărilor presate trebuie învinsă forţa maximă de frecare, corespunzătoare strângerii maxime a ajustajului standardizat ales. Rezultă:
, σ l d μ F F smf,p STASmax,,max π (1.38)
unde: μm - coeficientul de frecare la montaj; σs,max,STAS - tensiunea maximă de contact corespunzătoare strângerii maxime a ajustajului standardizat. Valoarea ei rezultă din relaţia (1.32), cu St = Smax,STAS. 6.b. Temperatura de încălzire a butucului la montaj, tm. Varianta mai frecventă de asamblare fretată este cea obţinută prin încălzirea la montaj a butucului. În acest caz dilatarea butucului trebuie să anuleze strângerea maximă a ajustajului standardizat şi să asigure existenţa unui joc necesar montajului. Din legea dilatării lineare rezultă temperatura necesară de încălzire a butucului la montaj:
, t d
j t
b
m,maxm 0
S STAS (1.39)
unde: jm - jocul la montaj. Dacă din calcul rezultă o temperatură de încălzire a butucului la montaj prea mare se poate adopta soluţia răcirii simultane a arborelui sau soluţia unei asamblări combinate presato-fretate.
- 21 -
1.3.2 Asamblarea cu strângere pe con În cazul asamblării cu strângere pe con contactul arbore-butuc se face pe o suprafaţă tronconică (fig.1.7), utilizându-se astfel efectul favorabil al planului înclinat (vezi par.2.4). Acest efect favorabil este cu atât mai pronunţat cu cât semiunghiul conului α/2 este mai mic, dar dacă se doreşte o demontare uşoară trebuie îndeplinită condiţia α/2 > φ.
Ff
Fig.1.7 Asamblare pe con
l/2
α/2
Fn
l
Fa
σs
k
T
dm
σs
Fa
d
Asamblarea pe con se caracterizează printr-o capacitate portantă ridicată şi asigură o bună centrare a butucului faţă de arbore, dar poate fi utilizată numai la capătul unui arbore şi necesită o prelucrare mai îngrijită a celor două suprafeţe în special în ceea ce priveşte abaterea de la valoarea prescrisă a conicităţii. În cazul utilizării unui capăt de arbore standardizat (STAS 8724/4-71) dimensiunile asamblării rezultă în funcţie de momentul transmis, standardul prescriind o conicitate k = 1:10 (rezultă că semiunghiul conului este α/2 = arctg (k/2) 2 51'). Ca element de siguranţă standardul prevede o asamblare cu pană paralelă. Sistemul de forţe din asamblare. Dacă se pune condiţia (1.27) de transmitere prin frecare a momentului de răsucire T, analog cu cazul asamblării cu strângere proprie, rezultă că pe suprafaţa conică de contact arbore-butuc trebuie să existe o forţă normală Fn:
- 22 -
. d μ
T β F
mn
2 (1.40)
Această forţă normală se realizează la montaj, când prin prestrângerea asamblării filetate asupra butucului acţionând forţa axială Fa. Totodată asupra butucului acţionează şi forţa de frecare Ff, care se opune deplasării relative arbore-butuc. În realitate Fn şi Ff sunt forţe distribuite pe suprafaţa de contact dar în calcule ele pot fi considerate ca fiind concentrate pe diametrul mediu dm, al asamblarii (un calcul “exact” este prezentat în cadrul cursului SSM). Din condiţia de echilibru de forţe pe direcţie axială, în condiţii de montaj, rezultă:
. α
μα
dμ
Tβαμ
αF
αF
α FF
mnfna
2cos
2sin
2
2cos
2sin
2cos
2sin (1.41)
Se remarcă, că forţa axială necesară Fa este mult mai mică decât forţa normală Fn, diferenţa fiind cu atât mai mare cu cât semiunghiul conului α/2 este mai mic. Calculul de rezistenţă. Elementele cele mai solicitate ale asamblării sunt suprafaţa de contact arbore-butuc şi asamblarea filetată. Alegându-se de obicei un capăt de arbore standardizat calculul este un calcul de verificare. În calcule se admite că forţa normală Fn se distribuie uniform pe suprafaţa tronconică de contact. Admiţând că suprafaţa tronconică de contact dintre arbore şi butuc poate fi aproximată cu o suprafaţă cilindrică (ipoteză justificată de valoarea redusă a conicităţii) rezultă o tensiune de contact arbore-butuc:
, σ l d μ
T β
l d F σ as
mm
ns 2π
2
π (1.42)
unde: σas - tensiunea admisibilă de contact (uzual pentru oţel/oţel σas = 100...150 MPa iar pentru oţel/fontă σas = 80...100 MPa).
În ceea ce priveşte calculul asamblării filetate aceasta se încadrează în cazul unei asamblari filetate solicitate numai de o forţă de prestrângere cu F0 = Fa (a se vedea cursul SSM).
- 23 -
2 ARBORI ŞI OSII 2.1 Caracterizare. Rol funcţional. Criterii de clasificare Arborii şi osiile sunt elemente (organe) de maşini care au rolul funcţional de a susţine elemente (organe) de maşini cu mişcare de rotaţie, faţă de partea fixă a unei instalaţii mecanice. Arborii se află în mişcare de rotaţie continuă sau alternantă, în afară de rolul de susţinere având rolul de a transmite momentul de torsiune (mişcarea şi puterea) prin intermediul organelor de maşini pe care le susţin (roţi dinţate, roţi de curea, roţi de lanţ, semicuplaje etc.).
De exemplu în fig.2.1 este prezentat subansamblul unui arbore de reductor de turaţie care transmite puterea P la o turaţie n. Subansamblul este format din: arborele 1 pe care este montată roata dinţată 2 şi semicuplajul 3, transmiterea momentului de răsucire fiind asigurată de asamblările cu pană paralelă 4 şi 5. Poziţia axială a roţii dinţate pe arbore este asigurată de bucşa distanţieră 6. Arborele este rezemat în carcasa 7 prin intermediul rulmenţilor 8. Etanşeitatea carcasei este asigurată de capacele 9 şi 10 (care au rol şi de fixare axială a arborelui) prevăzute cu garniturile 11 şi fixate de carcasă cu asamblările filetate 12, 13. Pentru etanşarea subansamblului, faţă de capacul de trecere 10, este prevăzut siemeringul 14.
n
P
Fig.2.1 Arbore drept
1 4 6 149 5
2 7 8 1011 12, 13 37
Rezultă deci că arborii sunt solicitaţi simultan la torsiune (de către momentul de torsiune transmis) şi la încovoiere (de către forţele introduse de piesele susţinute).
- 24 -
Osiile au numai rolul de a susţine alte elemente (organe) de maşini aflate în mişcare de rotaţie (continuă sau alternantă), fără să transmită momente de torsiune. Osiile pot fi rotitoare sau fixe.
De exemplu:
în fig.2.2 a. este prezentat subansamblul unei osii rotitoare format din: osia rotitoare 1 pe care este montată, prin intermediul penei paralele 4, roata de vagonet 2 care rulează pe şina 3. Poziţia axială a roţii pe osie este asigurată de bucşa distanţieră 7. Subansablul osiei este rezemat în carcasa 5 prin intermediul lagărelor cu alunecare 6;
în fig.2.2 b. este prezentat subansamblul unei osii fixe format din: osia fixă 1 pe care este montată, prin intermediul lagărului cu alunecare 4, rola de scripete 2 pe care este înfăşurat cablul 3. Subansablul osie-rolă este rezemat în carcasa 5, rotirea osiei fiind blocată de sistemul de blocare 6.
Fig.2.2 Tipuri de osii drepte
b.
1
2
3 4
5
6
a.
1
2
3 4
6
5
7
n
Osiile sunt solicitate numai la încovoiere de către forţele introduse de
piesele susţinute, solicitarea la răsucire determinată de frecările din punctele de reazem (lagăre) fiind neglijabilă. Rezultă că, din punct de vedere al calcului de rezistenţă, osiile sunt un caz particular al arborilor.
- 25 -
Principalele criterii de clasificare a arborilor şi a osiilor sunt:
forma axei geometrice: dreaptă; curbă (în cazul osiilor); cotită (în cazul arborilor);
forma secţiunii transversale: circulară plină; inelară; profilată;
tipul de mişcare (numai pentru osii): fixe; rotitore; oscilante;
modul de rezemare: static determinat; static nedeterminat;
turaţia de regim faţă de turaţia critică: regim subcritic (n < ncr); regim supracritic (n > ncr);
poziţia de funcţionare: orizontală; verticală; înclinată.
Observaţii: a. Utilizarea osiilor şi arborilor cu secţiune transversală inelară este impusă de reducerea greutăţii ansamblului din care fac parte, sau de considerente funcţionale ale acestora (de exemplu ungerea lagărelor). Se precizează însă că această soluţie determină creşterea preţului de cost, motiv pentru care adoptarea secţiunii inelare impune o analiză economică adecvată în sensul celor arătate. b. Secţiunea profilată asigură avantajul eliminării elementelor de asamblare cu arborele a pieselor susţinute, însă tehnologia de realizare este mai complicată. c. Osiile drepte reprezintă cazul general, cu utilizarea cea mai largă: material rulant, dispozitive de ridicat etc. Osiile curbe constituie un caz particular şi sunt întâlnite la autovehicule. d. Arborii drepţi se întâlnesc la transmisiile mecanice de uz general (angrenaje, roţi de fricţiune etc.), în construcţia turbogeneratoarelor etc. Arborii cotiţi sunt caracteristici motoarelor cu ardere internă, pompelor, compresoarelor etc., coturile făcând parte din mecanismul care transmite şi transformă mişcarea (mecanismul bielă-manivelă).
- 26 -
2.2 Materiale şi procedee tehnologice de realizare Materiale Materialul pentru construcţia arborilor şi a osiilor trebuie să posede următoarele calităţi:
rezistenţă mecanică atât la solicitări statice dar mai ales la solicitări variabile;
rezistenţă la condiţiile de mediu în care lucrează arborele sau osia; să fie uşor de prelucrat prin procedee tehnologice adecvate formei
constructive şi mărimii seriei de fabricaţie; să fie economic (nu mai bun decât este necesar).
Alegerea materialului se va face în funcţie de:
mărimea şi modul de variaţie în timp a sarcinilor preluate; condiţiile de mediu în care va funcţiona osia sau arborele; ansamblul din care face parte şi importanţa sa în cadrul acestuia.
Pentru construcţia arborilor şi a osiilor se utilizează:
oţeluri carbon (grupa OL); oţeluri carbon de calitate (grupa OLC); oţeluri aliate cu nichel, crom-nichel, crom-mangan; oţeluri turnate; fonte de înaltă rezistenţă, în special fonte cu grafit nodular.
Utilizarea oţelurilor aliate se recomandă atunci când se urmăreşte reducerea greutăţii şi a gabaritului, cât şi atunci când condiţiile de mediu impun oţeluri anticorozive sau inoxidabile. Folosirea fontelor de înaltă rezistenţă pentru construcţia arborilor şi a osiilor asigură următoarele avantaje:
economie de material şi manoperă, realizarea unor forme adecvate pentru buna comportare în
exploatare, sensibilitate mai redusă faţă de efectul de concentrare a tensiunilor, capacitate mai mare de amortizare a şocurilor şi vibraţiilor.
- 27 -
Procedee tehnologice de realizare
În funcţie de scop, dimensiuni, formă constructivă şi mărimea seriei de fabricaţie, osiile şi arborii se realizează din semifabricate:
laminate trase precis,
laminate forjate ulterior,
forjate liber din lingouri,
forjate în matriţă,
turnate.
Semifabricatul este prelucrat prin strunjire brută, urmată de finisarea suprafeţelor prin strunjire sau acolo unde este necesar (de exemplu fusurile) prin rectificare.
În final sau între fazele procesului tehnologic de execuţie se efectuează: pentru îmbunătăţirea rezistenţei mecanice, tratamente termice (de
exemplu îmbunătăţire); pentru îmbunătăţirea rezistenţei superficiale (în zona fusurilor şi
etanşărilor cu contact): tratamente termochimice (de exemplu cementare), acoperiri metalice (de exemplu cromare dură), tratamente mecanice (de exemplu roluire).
- 28 -
2.3 Criterii de calcul şi etapele proiectării arborilor drepţi În continuare se va trata numai calculul arborilor drepţi, calculul unei osii fiind un caz particular (moment de răsucire nul). Ruperea unui arbore duce la distrugerea acestuia şi a altor piese sau chiar a ansamblului. Deformaţiile osiilor sau a arborilor peste limitele admise constituie una dintre cauzele supraîncălzirii lagărelor sau a funcţionării necorespunzătoare a unor elemente montate pe arbore, de exemplu în cazul angrenajelor se modifică repartiţia sarcinii pe dinte. Vibraţiile subansamblului arbore-piese susţinute la o funcţionare în regim continuu cu o turaţie apropiată de turaţia critică, periclitează nu numai arborele, dar chiar întregul ansamblu din care face parte, simultan având loc şi efectul negativ al poluării sonore. Având în vedere cele precizate mai sus, proiectarea arborilor implică, în succesiunea lor logică, următoarele etape principale:
a. alegerea materialului;
b. predimensionarea, printr-un calcul simplificat impus de ansamblul din care face parte şi de datele iniţial cunoscute;
c. proiectarea formei, cu considerarea valorilor obţinute la predimensionare, a modului de rezemare, a pieselor susţinute, a modului de asamblare a acestora pe arbore etc.;
d. verificarea formei predimensionate: la solicitări compuse (dacă predimensionarea a fost făcută la
răsucire), la oboseală, la vibraţii, la deformaţii,
e. definitivarea formei constructive.
- 29 -
2.4 Calculul şi construcţia arborilor drepţi Proiectarea arborilor drepţi implică, în succesiunea lor logică, următoarele etape: 2.4.1 Predimensionarea arborilor drepţi Predimensionarea arborilor se poate face la: răsucire; solicitări compuse; deformaţii (mai rar).
2.4.1.1 Predimensionarea la răsucire
Această predimensionare se efectuează la arborii drepţi solicitaţi în principal la torsiune (caz mai rar întâlnit) şi la arborii solicitaţi în aceeaşi măsură la torsiune şi încovoiere, la care însă nu se cunosc iniţial distanţele dintre lagăre (punctele de reazem) şi piesele susţinute (punctele de aplicare a forţelor) şi deci nu se pot determina momentele încovoietoare.
În acest caz, pentru arbori cu secţiune circulară plină, rezultă:
;
T 16 d 3
atnec π
(2.1)
în care: τat = 50...80 MPa - pentru arbori solicitaţi în principal la răsucire; τat = 15...30 MPa - pentru arbori solicitaţi în aceeaşi măsură la răsucire şi încovoiere. 2.4.1.2 Predimensionarea la solicitări compuse Se efectuează atunci când iniţial se cunosc distanţele dintre lagăre şi piesele montate pe arbore. Pentru efectuarea calculului, modelul real al subansamblului arbore -elemente susţinute - lagăre se va înlocui cu modelul convenţional al unei grinzi plane, sprijinită pe două sau mai multe reazeme şi încărcată cu sarcini concentrate. Realizarea predimensionării în acest caz implică următoarea succesiune de etape (fig.2.3): a. stabilirea schemei de încărcare a arborelui (forţe şi moment de torsiune de transmis), schiţată sub forma modelului conventional adoptat;
- 30 -
d
a b T
Fig.2.3 Predimensionarea arborilor la solicitare compusă
Fr
Ft Fa
A B1 2Schema generală de încărcare a arborelui
Ft
HA HB
H Schema de încărcare a arborelui în plan orizontal
MV
+ MV1+ε MV1-ε
Mi în plan vertical
d/2
Fr Fa
VA VB
V Schema de încărcare a arborelui în plan vertical
MH+ MH1
Mi în plan orizontal
Forma constructivă a arborelui dimensionat
T Momentul de răsucire
- 31 -
b. reducerea acţiunii forţelor care încarcă arborele în două plane perpendiculare care trec prin axa arborelui: planul vertical (planul desenului) şi planul orizontal (cel perpendicular pe planul desenului); c. calculul reacţiunilor din lagăre, corespunzătoare încărcării arborelui în cele două plane, cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru cunoscute: - pentru planul vertical:
;
2
0)(
0)(
B
A
AV
BV
b ad/2F aF
= V
b a
d/F bF V
M
M
ar
ar
(2.2)
Observaţie. Pentru verificare:
; 0BA = F V V r
(2.3)
- pentru planul orizontal:
;
b aaF
H
b abF
H
M
M
t
t
B
A
AH
BH
0)(
0 )(
(2.4)
Observaţie. Pentru verificare:
;FHH t 0
BA (2.5)
d. calculul momentelor încovoietoare şi trasarea diagramelor de variaţie a acestora pe lungimea arborelui, corespunzătoare încărcării în cele două plane: - pentru planul vertical (corespunzător sensurilor adoptate pentru reacţiunile din lagăre):
;/2;; BAVAVVAV bVdFaVM aVM M M a,,B,, 110 (2.6)
- pentru planul orizontal:
. bHa HM M M B,H, ABH,AH ; 0 1 (2.7)
e. Se calculează momentele încovoietoare totale, corespunzătoare secţiunilor celor mai solicitate, j:
. M M M ,, 1...n j;2jH
2jVj (2.8)
- 32 -
f. Se calculează momentul echivalent, corespunzător acţiunii simultane a momentului încovoietor şi momentului de răsucire. Conform teoriei a III-a de rezistenţă rezultă:
. T M Mech,2j
2jj (2.9)
Această relaţie poate fi utilizată numai dacă cele două momente sunt constante sau variază după acelaşi ciclu de solicitare şi cu aceeaşi frecvenţă. Deoarece în cazul arborilor aceste condiţii nu sunt îndeplinite, relaţia (2.9) se corectează, ea devenind:
,2j
2jj TαM Mech, (2.10)
unde: α - coeficient de reducere a ciclului de variaţie a momentului de răsucire la ciclul de variaţie a momentului de încovoiere. În cazul general:
, Tai,
Mai,
(2.11)
unde: σai,M - tensiunea admisibilă la încovoiere pentru ciclul momentului de încovoiere; σai,T - tensiunea admisibilă la încovoiere pentru ciclul momentului de răsucire. Uzual: - M variază după un ciclu alternant simetric (ciclul III); - T variază după un ciclu pulsator (ciclul II), rezultând:
, ai,
ai,
II
III (2.12)
g. Se calculează diametrele arborelui în secţiunile cele mai solicitate j, pentru care s-au calculat momentele echivalente:
, π
M 32 d 3
Mai
jechjnec,
,
,
(2.13)
în care uzual: σai,M = σai III = σ-1/cr.
- 33 -
2.4.1.3 Predimensionarea la deformaţii Atunci când condiţiile funcţionale impun limitarea deformaţiilor (torsionale sau flexionale), predimensionarea se va realiza după criteriul deformaţiei. 2.4.2 Verificarea arborilor drepţi După predimensionare şi proiectarea formei constructive sunt necesare următoarele verificări: la solicitări compuse, dacă arborele nu a fost dimensionat la acestea; la oboseală; la vibraţii; la deformaţii.
2.4.2.1 Verificarea la solicitări compuse Această verificare se face numai în cazul arborilor care au fost predimensionaţi la solicitarea de răsucire sau la deformaţii. Pentru aceasta, atunci când se proiectează forma constructivă, se vor stabili şi distanţele dintre piesele susţinute şi lagăre, astfel că se vor putea realiza diagramele de momente (încovoietoare şi de torsiune) cu ajutorul cărora se calculează momentul echivalent (vezi par.2.4.1.2). Relaţia de verificare la solicitare compusă va fi:
, σ W
M σ Mai,
net,z,
ech,ech,
j
jj (2.14)
în care: Wz,net,j - modulul net de rezistenţă la încovoiere al secţiunii verificate, stabilit cu considerarea diminuării acestuia datorită canalelor de pană, găurilor transversale pentru ştifturi etc. Dacă relaţia de verificare (2.14) nu este satisfăcută se majorează diametrul arborelui sau se realege materialul (cu σ-1 mai mare).
- 34 -
2.4.2.2 Verificarea la solicitare variabilă (oboseală) Verificarea la solicitare variabilă, respectiv determinarea coeficienţilor de siguranţă, se va efectua în secţiunile în care arborele prezintă concentratori de tensiuni (salturi de diametru, canale de pană, alezaje pentru ştifturi, canale pentru inele elastice, tronsoane filetate etc.). Relaţiile corespunzătoare de calcul sunt: Pentru M alternant simetric:
.
v
1-
K
c (2.15)
Pentru T pulsator:
.
c
m
1-
v
K
1c
(2.16)
Rezultând coeficientul global de siguranţă:
c c c
c c c a
τσ
τσtot
22 (2.17)
Valorile coeficienţilor de concentrare a tensiunilor: Kσ, respectiv Kτ; de mărime: εσ, respectiv ετ şi de calitate a suprafeţei: γ, sunt date în literatura de specialitate. Ca valori ale coeficientului de siguranţă admisibil, ca, se recomandă: - ca = 1,3 atunci când condiţiile de funcţionare şi solicitările sunt precis cunoscute, calculul este corect, materialul arborelui este omogen şi tehnologia aplicată este cea prescrisă; - ca = 1,5...2,5 pentru arbori foarte importanţi a căror defectare poate produce accidente sau avarii grave, precum şi atunci când nu sunt asigurate cerinţele anterioare. Dacă rezultă că arborele nu rezistă la oboseală: se modifică geometria concentratorului de tensiune în sensul diminuării
coeficienţilor Kσ şi Kτ, se realege modul de finisare a suprafeţei, în sensul creşterii
coeficientului de calitate a suprafeţei, γ, se majorează diametrul arborelui, se înlocuieşte materialul cu unul ce are calităţi la oboseală superioare.
- 35 -
2.4.2.3 Verfificarea la vibraţii În funcţie de natura şi sensul de acţiune al sarcinilor perturbatoare, arborii drepţi pot avea în funcţionare: vibraţii flexionale determinate de forţe perpendiculare pe axa de rotaţie,
sau de forţe paralele cu axa de rotaţie aplicate excentric; vibraţii torsionale determinate de momentul de torsiune transmis; vibraţii longitudinale determinate de forţe axiale.
De obicei, prezintă importanţă pentru arborii drepţi numai primele două tipuri de vibraţii, care pot deveni periculoase. Suprapunerea pulsaţiei de funcţionare (de regim) cu pulsaţia proprie a ansamblului arbore - piese susţinute conduce la fenomenul de rezonanţă mecanică, caracterizat printr-o amplitudine de oscilaţie continuu crescătoare care produce ruperea arborelui, simultan cu poluarea sonoră a mediului ambiant şi diminuarea considerabilă a preciziei funcţionale. Verificarea la vibraţii constă deci în determinarea pulsaţiei proprii (critice) a subansamblului arbore - piese susţinute, pentru a constata dacă pulsaţia de regim nu coincide sau nu este prea apropiată de aceasta. În aplicaţiile practice, cel mai adesea, arborii sunt supuşi acţiunii mai multor forţe, nu au axa dreaptă şi nici secţiunea constantă, cauze care aduc dificultăţi în rezolvarea problemei. Pentru simplificare se înlocuieşte sistemul vibrator real (arbore - piese susţinute), cu un sistem vibrator simplu, echivalent, care să conducă la acelaşi rezultat, şi anume printr-un arbore cu secţiune constantă cu aceeaşi rigiditate şi un sistem de mase mai uşor accesibil calculului. Exemplu de verificare la vibraţii flexionale În scopul de a pune în evidenţă o serie de interpretări fizice şi de a fixa anumite concluzii cu caracter de generalitate se va trata, din punct de vedere al vibraţiilor flexionale, un caz simplu şi anume un arbore vertical fără masă proprie, pe care se află montat solidar în secţiunea mediană un disc de masă m (fig.2.4).
Pentru simplificarea calculului se admit următoarele ipoteze: secţiunea arborelui este constantă având diametrul d; masa discului se consideră concentrată în centrul de greutate al acestuia
G; centrul arborelui nedeformat O1, centrul arborelui deformat O2 şi centrul
de greutate al discului sunt colineare în timpul funcţionării; sunt neglijate efectele de amortizare, cât şi cele de rigidizare determinate
de lagărele pe care se sprijină arborele.
- 36 -
În repaos, centrul de greutate G al discului este situat excentric (cu excentricitatea e) faţă de axa arborelui nedeformat (axa lagărelor), fig.2.4.
În funcţionare, arborele rotindu-se cu viteza unghiulară ω, apare o forţă
centrifugă Fc, care produce o deformaţie elastică a acestuia cu o săgeată dinamică fdin, rezultând:
. efm m F dinc22 (2.18)
Forţei active perturbatoare Fc i se opune forţa elastică internă a arborelui Fe, determinată de rigiditatea flexională a acestuia c, forţă dată de:
Fig.2.4 Schema de calcul la vibraţii flexionale - arbore vertical
I/2d
O1O2G
I Fc Fe
ω (n)
Fc Fe
fdine
O1G
ω (n)
O2
- 37 -
. f c F dine (2.19)
Din echilibrul de forţe, în condiţii de funcţionare, rezultă:
ec F F (2.20)
şi deci:
. f c efm dindin 2 (2.21)
Din această relaţie rezultă valoarea săgeţii dinamice determinată de forţa perturbatoare Fc:
, ωm- c
ω e m f din
2
2
(2.22)
în care rigiditatea arborelui are expresia:
, l
I E c z
3
48 (2.23)
unde: E - modulul de elasticitate al materialului arborelui; Iz = π d4/64 - momentul de inerţie axial al secţiunii. Valoarea pulsaţiei proprii a ansamblului arbore - disc va fi aceea pentru care săgeata dinamică, respectiv amplitudinea vibraţiilor, tinde către infinit, respectiv are loc fenomenul de rezonanţă mecanică. Ca urmare, relaţia (2.22):
. mc
π30
n mc
m c crcr :respectiv02 (2.24)
Pentru a analiza comportarea arborelui la vibraţii într-o gamă largă de turaţii, se înlocuieşte relaţia (2.24) în (2.22) rezultând:
, /
/
ef
cr
crdin
)(1)(
2
2
(2.25)
care duce la reprezentarea grafică din fig.2.5.
- 38 -
0,8 1,20 ω/ωcr
arbori rigizi
1
arbori elastici
1
fără amortizare
cu amortizare
Fig.2.5 Comportarea la vibraţii flexionale a arborilor drepţi
fdin/e
zonă de
rezonanţă
Concluziile principale care se desprind din relaţia (2.25) şi această reprezentare grafică sunt:
a. Când arborele este în repaos: ω = 0 ω/ωcr = 0 fdin/e = 0 fdin = 0. b. Pentru ω/ωcr < 1 ω < ωcr fdin/e > 0, deci fdin şi e au acelaşi sens.
Arborii care funcţionează în această zonă sunt arbori rigizi sau arbori subcritici.
c. Dacă ω/ωcr = 1 ω = ωcr fdin/e fdin . Acesta este cazul regimului critic, respectiv fenomenul de rezonanţă mecanică.
d. Când ω/ωcr > 1 ω > ωcr fdin/e < 0, deci fdin şi e au sensuri opuse, ca urmare apare tendinţa de autocentrare care se accentuează pe măsură ce pulsaţia creşte. Teoretic dacă ω atunci fdin - e. Arborii care funcţionează în această zonă sunt arborii elastici sau supracritici.
Rezultă deci că funcţionarea sigură a arborelui va avea loc dacă:
, // crcr 1,2sau0,8 (2.26)
condiţie ce reprezintă relaţia de verificare la vibraţii flexionale a unui arbore drept. În condiţiile în care această relaţie nu este satisfăcută se vor lua măsuri în sensul modificării pulsaţiei proprii (critice) a subansamblului arbore-disc. Aceasta este posibilă prin modificarea fie a lungimii arborelui, fie a diametrului său (vezi expresia (2.23) a rigidităţii arborelui).
- 39 -
2.4.2.4 Verificarea la deformaţii Sub acţiunea sarcinilor exterioare arborii se deformează elastic. În cazul cel mai general pot apărea: deformaţii flexionale (de încovoiere), produse de forţele
perpendiculare pe axa arborelui sau de forţele axiale aplicate excentric; deformaţii torsionale (de răsucire), determinate de momentul de
torsiune transmis; deformaţii axiale, datorate forţelor axiale.
- 40 -
3 ANGRENAJE (TRANSMISII CU ROŢI DINŢATE)
3.1 Definire, caracterizare
Angrenajul este: un mecanism elementar format din două roţi (sau sectoare) dinţate, mobile în jurul a două axe având poziţie relativă invariabilă, una dintre aceste roţi antrenând-o pe cealaltă prin acţiunea dinţilor aflaţi succesiv şi continuu în contact.
Roata dinţată este un element (organ) de maşină care are o serie de dinţi dispuşi regulat pe o suprafaţă de revoluţie, denumită suprafaţă de divizare. Suprafaţa de divizare este suprafaţa de rostogolire din timpul prelucrării danturii roţii dinţate.
În cazul unui angrenaj, roata dinţată cu număr mai mic de dinţi (z1) se
numeşte pinion, iar roata dinţată cu număr mai mare de dinţi (z2) se numeşte roată. La un angrenaj, în funcţionare, există două suprafeţe care se rostogolesc fără alunecare una pe cealaltă, denumite suprafeţe de rostogolire.
Faţă de alte tipuri de transmisii mecanice, angrenajele prezintă o serie de avantaje majore, dintre care ar fi de menţionat:
raportul de transmitere este riguros constant; se pot realiza angrenaje cu o gamă foarte largă a raportului de
transmitere; domeniul puterilor transmise este foarte larg (de la, practic, 0 kW
până la 104…105 kW); domeniul turaţiilor este de asemenea foarte larg (de la 10-3 rot/min
la ceasornicele mecanice până la 104 rot/min la turbine); angrenajele prezintă o siguranţă în exploatare ridicată; randamentul unui angrenaj este mult mai ridicat decât al altor tipuri
de transmisii mecanice; gabaritul angrenajelor este redus.
Aceste avantaje au dus la utilizarea pe scară foarte largă a angrenajelor în construcţia de maşini. Dintre dezavantaje ar fi de reţinut:
angrenajele produc zgomot şi vibraţii; preţul de cost al angrenajelor este relativ ridicat (datorită preţului de
cost al materialelor, al prelucrării şi al aparaturii de control); întreţinerea în exploatare este scumpă şi pretenţioasă.
- 41 -
3.2 Clasificarea angrenajelor
Fig.3.1 Tipuri uzuale de angrenaje: a. angrenaj cilindric exterior cu dinţi drepţi; b. angrenaj cilindric exterior cu dinţi înclinaţi; c. angrenaj cilindric exterior cu dantură în V; d. angrenaj cilindric interior cu dinţi drepţi; e. angrenaj cu cremalieră cu dinţi drepţi; f. angrenaj cu cremalieră cu dinţi înclinaţi; g. angrenaj melc-roată melcată; h. angrenaj cilindric exterior elicoidal; i. angrenaj conic concurent cu dinţi drepţi; j. angrenaj conic concurent cu dinţi înclinaţi; k. angrenaj conic concurent cu dinţi curbi;
a. b. c. d.
z2
z1
z2
z1
z2
z1
z2
z1
e. f. g. h.
z2
z1
z2
z1
z2
z1
z2
z1
i. j. k.
z2
z1
z2
z1
z2
z1
- 42 -
Datorită numărului relativ ridicat de tipuri de angrenaje (câteva dintre acestea fiind prezentate în fig.3.1) se impune o clasificare a acestora, clasificare care se poate face pe baza mai multor criterii:
1. În funcţie de poziţia relativă a axelor de rotaţie ale celor două roţi dinţate: angrenaje cu axe paralele (fig.3.1 a., b., c. şi d.); angrenaje cu axe concurente (fig.3.1 i., j. şi k.); angrenaje cu axe încrucişate (fig.3.1 g. şi h.).
2. În funcţie de tipul suprafeţelor de rostogolire (divizare): angrenaje cu ambele suprafeţe de rostogolire (divizare), de
revoluţie: angrenaje cilindrice (fig.3.1 a., b., c., d. şi h.); angrenajul melc-roată melcată (fig.3.1 g.); angrenaje conice (fig.3.1 i., j. şi k.);
angrenaje având una dintre suprafeţele de rostogolire (divizare) o suprafaţă plană, denumite angrenaje cu cremalieră (fig.3.1 e. şi f.).
3. În funcţie de poziţia relativă a suprafeţelor de rostogolire: angrenaje exterioare cu suprafeţe de rostogolire tangente exterior
(fig.3.1 a., b., c., g., h., i., j. şi k.); angrenaje interioare cu suprafeţe de rostogolire tangente interior
(fig.3.1 d.).
4. În funcţie de direcţia dinţilor faţă de direcţia generatoarei suprafeţelor de rostogolire (divizare): angrenaje cu dinţi drepţi (fig.3.1 a., d., e. şi i.); angrenaje cu dinţi înclinaţi (fig.3.1 b., c., f., g., h. şi j.); angrenaje cu dinţi curbi (fig.3.1 k.).
5. În funcţie de profilul daturii: angrenaje evolventice; angrenaje neevolventice.
6. În funcţie de modul de mişcare a axelor roţilor dinţate: angrenaje cu axe fixe; angrenaje cu axe mobile (angrenajele planetare).
- 43 -
3.3 Materiale pentru roţi dinţate Dantura unei roţi dinţate este un element puternic solicitat care în unele cazuri funcţionează în condiţii tribologice severe, rezultând, pentru materialul din care este confecţionată roata dinţată, o serie de condiţii:
rezistenţă mecanică ridicată, atât la solicitări statice, dar mai ales la solicitări variabile;
sensibilitate redusă la efectul de concentrare a tensiunilor; rezistenţă ridicată la solicitări hertziene de contact; în cazul angrenajelor cu alunecări mari (angrenajul melc-roată
melcată şi angrenajul elicoidal) şi al angrenajelor care funcţionează în condiţii sărace de ungere sau fără ungere, cuplul de materiale trebuie să formeze un cuplu antifricţiune;
preţ de cost cât mai scăzut. Aceste condiţii relativ multe şi uneori contradictorii au dus la o gamă foarte largă de materiale utilizate în construcţia roţilor dinţate, dintre aceste materiale fiind de menţionat: Oţelul În funcţie de duritatea flancurilor danturii oţelurile utilizate în construcţia roţilor dinţate se împart în două categorii:
oţeluri nedurificate, caz în care duritatea flancurilor este egală cu duritatea miezului, fiind mai mică de ~ 350 HB. În acest caz oţelul este supus unui tratament termic de îmbunătăţire sau normalizare.
oţeluri durificate, caz în care duritatea flancurilor (mai mare de ~ 50 HRC) este mult mai mare decât duritatea miezului (mai mică de ~ 350 HB). Această diferenţă de duritate se obţine prin aplicarea unor tratamente de durificare superficială: cementare, nitrurare, călire prin inducţie sau călire cu flacără.
Utilizarea oţelurilor durificate superficial duce la creşterea substanţială a capacităţii portante a flancurilor angrenajului şi deci la micşorarea gabaritului acestuia, dar complică tehnologia de fabricaţie. Fonta Pentru construcţia roţilor dinţate se utilizează fonta cenuşie, fonta cu grafit nodular sau fonta maleabilă. Utilizarea fontei se impune pentru confecţionarea roţilor dinţate de dimensiuni mari şi foarte mari la care semifabricatul se obţine prin turnare. Totodată în cazul angrenajelor melc-roată melcată, la care cuplul de materiale trebuie să formeze un cuplu antifricţiune, roata melcată poate fi confecţionată din fontă, melcul fiind confecţionat din oţel durificat sau nedurificat.
- 44 -
Bronzul
Bronzul de staniu, aluminiu sau cel aliat se utilizează pentru confecţionarea danturii roţilor melcate, el formând un cuplu antifricţiune cu oţelul din care se confecţionează melcul.
Datorită preţului de cost relativ ridicat al bronzului în cazul utilizării acestuia numai coroana roţii se confecţionează din bronz, corpul roţii fiind confecţionat din oţel sau fontă. Materiale nemetalice Materialele nemetalice (materiale plastice sau materiale fibroase) au o capacitate portantă scăzută dar prezintă avantajul că pot funcţiona fără ungere, amortizează şocurile şi vibraţiile, angrenajele confecţionate din astfel de materiale producând un zgomot redus.
Materialele nemetalice se utilizează frecvent în construcţia aparaturii electrocasnice.
- 45 -
3.4 Angrenajul cilindric exterior cu dinţi drepţi
3.4.1 Definire
Angrenajul cilindric exterior cu dinţi drepţi este un angrenaj format din două roţi dinţate cilindrice cu axele paralele, direcţia dinţilor fiind paralelă cu generatoarele suprafeţelor de rostogolire (divizare).
3.4.2 Elementele geometrice ale roţii dinţate cu dinţi drepţi
Fig.3.2 Roată dinţată cilindrică cu dinţi drepţi
dda
O
df
flanc
b
h
ha
hf
τ
e = ep = p
s = s
Principalele elemente geometrice ale unei roţi dinţate cilindrice cu dinţi drepţi (fig.3.2) sunt: z - numărul de dinţi; d - diametrul cercului de divizare; pp
- pasul de divizare;
τ - pasul unghiular:
;][z
360;]rad[zπ2 ττ (3.1)
ss
- arcul dintelui pe cercul de divizare; ee
- arcul golului dintre dinţi pe cercul de divizare;
existând relaţia evidentă:
,esespp
(3.2)
- 46 -
m - modulul danturii, element standardizat (STAS 822-82), a cărei
expresie rezultă din lungimea cercului de divizare:
,π
π zp
dzpd (3.3)
definindu-se:
.π
p
m (3.4)
Standardizarea modulului este justificată de reducerea numărului de scule pentru prelucrarea danturii roţilor dinţate, pentru că fiecărei valori a modulului (deci a pasului danturii) îi corespund anumite dimensiuni ale sculei de generat (prelucrat) dantura roţii dinţate.
În ţările anglosaxone în locul modulului se standardizează Pd - diametral pitch (pasul diametral):
.1d mzPd (3.5)
Din (3.3) şi (3.4) rezultă relaţia de bază de calcul a diametrului de divizare:
;zmd (3.6)
ha - înălţimea capului dintelui; hf - înălţimea piciorului dintelui; h - înălţimea dintelui, cu relaţia evidentă:
;fa hhh (3.7)
da - diametrul de cap, calculat cu relaţia:
;2 aa hdd (3.8)
df - diametrul de picior, calculat cu relaţia:
;2 ff hdd (3.9)
b - lăţimea roţii dinţate; profilul flancului. Profilul flancului trebuie să asigure o angrenare
continuă, cu un raport de transmitere constant şi o distanţă dintre axe constantă, rezultând din legea fundamentală a angrenării. Această lege stabileşte că pentru a descrie profilul dinţilor unei roţi dinţate se va utiliza o curbă ciclică care este descrisă de un punct fix aflat pe o curbă denumită ruletă, ruletă care se rostogoleşte fără alunecare pe o curbă fixă denumită curbă de bază. Cel mai des se utilizează curba denumită evolventă.
- 47 -
Evolventa
Evolventa este curba ciclică la care ruleta este o dreaptă iar curba de bază un cerc (fig.3.3). Evolventa prezintă marele avantaj că cremaliera (cerc de bază de rază infinită) are flancurile drepte şi deci se poate prelucra uşor şi cu precizie ridicată.
Fig.3.3 Evolventa
φ
α
O
T
M = T0
M
rb
r
evolventădreapta ruletă în poziţie iniţială
cerc de bazădreapta ruletă în poziţie oarecare (normala la evolventă)
ρα
Pentru stabilirea ecuaţiilor evolventei se consideră punctul punctul M, fix pe dreapta ruletă, în două poziţii succesive: poziţia iniţială de tangenţă cu cercul de bază, respectiv o poziţie oarecare. Din condiţia de rostogolire fără alunecare a dreptei ruletă pe cercul de bază rezultă că lungimea arcului de cerc , parcurs de punctul de tangenţă pe cercul de bază, trebuie să fie egală cu lungimea segmentului , parcurs de acelaşi punct de tangenţă pe dreapta ruletă:
(3.10)
rezultă expresia unghiului de poziţie φ a punctului curent M de pe evolventă în funcţie de unghiul α (denumit unghi de presiune):
,evtg αααφ (3.11)
această funcţie purtând numele de evolventă (involută).
T0TMT
= rb(φ + α) = = rb tg α ,T0T MT
- 48 -
Pe de altă parte, din triunghiul dreptunghic OMT rezultă că raza curentă de poziţie r a punctului curent M de pe evolventă este:
,cosα
rr b (3.12)
ecuaţiile (3.11) şi (2.12) reprezentând ecuaţiile polare, parametrice ale unei evolvente. Pentru calculele geometrice şi de rezistenţă ale roţii dinţate şi ale angrenajului interesează şi cunoaşterea razei de curbură ρ a flancului evolventic, în punctul curent M, rază egală cu segmentul :
.tgαrρ b (3.13)
Cremaliera evolventică de referinţă Pentru asigurarea unei angrenări corecte şi a interschimbabilităţii roţilor dinţate trebuie definit un element de referinţă care poate fi o roată dinţată de referinţă sau o cremalieră de referinţă, fiind preferată cremaliera de referinţă care are flancurile drepte. Evident că dacă două roţi dinţate angrenează corect cu cremaliera de referinţă ele vor angrena corect şi una cu cealaltă. În România, prin STAS 821-82, s-a standardizat cremaliera de referinţă cu dinţi drepţi, ale cărei elemente geometrice sunt prezentate în fig.3.4.
Fig.3.4 Cremaliera de referinţă cu dinţi drepţi (STAS 821-82)
s0 linia de cap e0
p0=π m
linia de picior
linia ce delimitează profilul rectiliniu al flancului
linia de referinţă (s0 = e0)
h0
c0
h0a
h0f α0
ρ0f
h0a
MT
- 49 -
Elementele geometrice ale cremalierei de referinţă sunt: unghiul de referinţă (de presiune de referinţă) α0 = 20º; pasul de referinţă p0 = πm; linia de referinţă, pe care grosimea dintelui s0 este egală cu
lăţimea golului dintre dinţi e0:
;2π
20
00mp
es
înălţimea capului de referinţă h0a:
,0 mhh aoa
cu ah0 coeficientul înălţimii piciorului de referinţă;
ah0 =1; înălţimea piciorului de referinţă h0f:
,0 mhh fof
cu fh0 coeficientul înălţimii piciorului de referinţă;
fh0 =1,25; jocul de referinţă c0:
,000 mchhc afo
cu 0c coeficientul jocului de referinţă;
0c =0,25; înălţimea dintelui de referinţă h0:
,0000 mhhhh af
cu 0h coeficientul înălţimii dintelui de referinţă;
0h =2,25 raza de racordare de referinţă la piciorul dintelui ρ0f:
,00 mρρ ff
cu fρ0 coeficientul razei de racordare de referinţă la piciorul dintelui, conform
standardului:
.38,0sin1 0
00
α
cρ f
- 50 -
Elementele geometrice ale unei roţi dinţate evolventice Pentru generarea (prelucrarea) danturii evolventice se utilizează în principal două metode:
generarea (prelucrarea) prin copiere (divizare); generarea (prelucrarea) prin rostogolire (angrenare).
A. Generarea (prelucrarea) prin copiere (divizare).
În acest caz, scula cu care se prelucrează dantura unei roţi dinţate reproduce forma golului dintre dinţii roţii dinţate, dantura roţii prelucrându-se gol cu gol. După prelucrarea unui gol semifabricatul se roteşte cu pasul unghiular τ (operaţia de divizare).
Acest mod de prelucrare se face prin frezare cu o freză disc sau freză deget, denumite freze modul. Avantajul metodei constă în utilizarea unor maşini de frezat universale ceea ce conduce la un preţ de fabricaţie scăzut. Dezavantaje: fiecărei valori a modulului danturii şi fiecărei valori a numărului de dinţi
ai roţii dinţate îi corespunde o anumită freză modul; precizia danturii rezultă relativ scăzută (în special pasul unghiular); productivitatea este scăzută.
B. Generarea (prelucrarea) prin rostogolire (angrenare).
În cazul acestei metode, scula cu care se prelucrează dantura roţii dinţate “angrenează” cu semifabricatul roţii, prelucrându-se simultan mai mulţi dinţi. Metoda este mult mai productivă, rezultând roţi dinţate de precizie ridicată şi foarte ridicată. Dezavantajul metodei constă în faptul că se utilizează maşini unelte specializate al căror cost de investiţie este ridicat. Scula utilizată în acest caz poate fi:
sculă cremalieră generatoare (freză melc modul, cuţit pieptăne sau disc de rectificat);
sculă roată dinţată generatoare.
În continuare se va trata cazul prelucrării cu sculă cremalieră generatoare, variantă mai des utilizată în practică.
- 51 -
În acest caz cremaliera generatoare (fig.3.5) reprezintă de fapt negativul cremalierei de referinţă. În timpul prelucrării cremaliera generatoare se rostogoleşte pe semifabricatul roţii dinţate, existând o linie, linia de rostogolire, care se rostogoleşte fără alunecare pe cercul de divizare a roţii prelucrate. În cazul general, linia de rostogolire diferă ca poziţie de linia de referinţă a cremalierei generatoare. Distanţa dintre ele ∆x poartă numele de deplasare de profil, fiind dată de:
,∆ mxx (3.14)
cu x - coeficientul deplasării de profil. Prin convenţie:
x > 0 dacă linia de rostogolire se găseşte între linia de referinţă şi centrul roţii prelucrate;
x < 0 dacă linia de referinţă se găseşte între linia de rostogolire şi centrul roţii prelucrate.
Fig.3.5 Generarea danturii evolventice cu cremalieră generatoare (prin rostogolire)
α0=α
e
p0
linia de rostogolire
cg = c0
hga =h0a
df
Cremaliera generatoare
hf
ha
s
d da
db
linia de referinţă
hgf =h0f
∆x = x m
linia de angrenare la generare
O
T
C
L
Ľ
dl
2
Dantură evolventică generată
Dinte cu subtăiere
- 52 -
Principalele elemente geometrice ale roţii dinţate prelucrate, denumită
roată dinţată deplasată, sunt: α = αo - unghiul de presiune; ha - înălţimea capului dintelui:
;∆ 00 xhmxhh aaa (3.15)
da - diametrul de cap:
;22 0 xhmzmhdd aaa (3.16)
hf - înălţimea piciorului dintelui:
;∆ 000 xchmxhh aff (3.17)
df - diametrul de picior:
.22 00 xchmzmhdd aff (3.18)
db - diametrul de bază:
;coscos 0 αdαddb (3.19)
p - pasul de divizare, egal cu pasul cremalierei generatoare:
;π0 mpp (3.20)
pb - pasul de bază:
;cosαppb (3.21)
dl - diametrul de început al profilului evolventic. Profilul evolventic al flancului dintelui roţii prelucrate este generat numai
de partea dreaptă a flancului cremalierei generatoare, pe linia de angrenare la generare (fig.3.5) definindu-se punctul L, căruia îi corespunde diametrul de început al profilului evolventic, dl. Din considerente geometrice simple rezultă:
.sin24
2
2
0
0
xhmdd
d ab2b
l (3.22)
Limitele generării prin rostogolire a danturii evolventice A. Ascuţirea capului dintelui Dacă deplasarea de profil este pozitivă şi prea mare apare pericolul ascuţirii capului dintelui roţii prelucrate. Rezultă deci condiţia:
,,aaa ss (3.23)
cu: sa,a - valoarea admisibilă a arcului dintelui pe un cercul de cap.
- 53 -
Dacă condiţia (3.23) nu este satisfăcută se reduce deplasarea pozitivă
de profil sau se scurtează capul dintelui (se micşorează diametrul de cap). A doua metodă are dezavantajul că duce la reducerea gradului de
acoperire. B. Subtăierea danturii Dacă numărul de dinţi ai roţii dinţate prelucrate este prea mic sau deplasarea de profil este negativă, prea mare (sau pozitivă prea mică) poate apărea fenomenul de subtăiere. Acest fenomen constă în trecerea punctului L (fig.3.5) dincolo de punctul T de pe linia de angrenare la generare. În acest caz rezultă un dinte cu baza subţiată, reducându-se astfel rezistanţa danturii roţii dinţate prelucrate, scăzând şi gradul de acoperire frontal (al profilelor). Pentru evitarea fenomenului de subtăiere trebuie deci satisfăcută condiţia:
,bl dd (3.24)
din care, după unele transformări simple, rezultă:
,sin
22
0min
α
xhzz a
(3.25)
cu: zmin - numărul minim de dinţi sub care apare fenomenul de subtăiere. Pentru x = 0 şi o cremalieră de referinţă standardizată rezultă zmin 17, dar fenomenul de subtăiere nu este foarte pronunţat dacă numărul de dinţi ai roţii scade până la 14. Dacă condiţia (3.25) nu este satisfăcută şi deci apare fenomenul de subtăiere, se poate majora coeficientul deplasării de profil x.
- 54 -
3.4.3 Elementele geometrice şi cinematice ale angrenajului cilindric evolventic cu dinţi drepţi
Fig.3.6 Angrenaj cilindric evolventic cu dinţi drepţi
da2
O2
df2
aw
z1
z2
df1da1dw1
c2
c1
n1 (ω1)
vtw1 = vtw2 = vtw
C
n2 (ω2)
dw2
db1
db2
Linia de angrenare
E
A
αw
O1
C A E
Segmentul de angrenare
D B
pb
pb
Elemente geometrice Principalele elemente geometrice ale unui angrenaj cilindric exterior evolventic cu dinţi drepţi (fig.3.6) sunt:
u - raportul de angrenare, definit ca raportul dintre numărul de dinţi
ai roţii şi numărul de dinţi ai pinionului:
;1
2
zz
u (3.26)
dw1, 2 - diametrele de rostogolire ale celor două roţi dinţate; aw - distanţa dintre axe, standardizată prin STAS 6055-82,
existând relaţia:
;2
21 www
dda
(3.27)
- 55 -
c1,2 - jocul la piciorul dintelui pinionului, respectiv al roţii:
;2
1,22,12,1
afw
ddac
(3.28)
impunându-se condiţiile:
;2,1 acc (3.29)
cu: ca - jocul minim admisibil; pw - pasul de rostsgolire.
Lungimile cercurilor de rostogolire pot fi exprimate fie în funcţie de numărul de dinţi şi pasul de rostogolire, fie în funcţie de diametrul de rostogolire, rezultând:
pentru pinion:
;11 ww dπpz (3.30)
pentru roată:
.22 ww dπpz (3.31)
Împărţind relaţia (3.31) la relaţia (3.30) rezultă expresia raportului de angrenare în funcţie de diametrele de rostogolire ale celor două roţi dinţate:
.1
2
1
2
w
w
dd
zz
u (3.32)
Ţinând cont de (3.32) expresia (3.27) a distanţei dintre axe poate fi scrisă sub o nouă formă:
;21
2
1
211
21
21 uddd
ddd
a ww
ww
www
(3.33)
rezultând că:
,12
1 ua
d ww
(3.34)
respectiv:
;12 udd ww (3.35)
b1,2 - lăţimile celor două roţi dinţate, pentru compensarea erorilor de montaj axial recomandându-se:
.mm5...2:uzual 2121 bbbb (3.36)
- 56 -
Elemente cinematice Se va considera cazul cel mai des întâlnit al pinionului conducător (angrenaj reductor de turaţie).
n1,2 - turaţiile celor două roţi dinţate; ω1,2 - vitezele unghiulare ale celor două roţi dinţate, cu relaţia
cunoscută:
,30
2,12,1
nπω (3.37)
cu: n1,2 [rot/min] iar ω1,2 [rad/sec]; i12 - raportul de transmitere:
;2
1
2
112 ω
ωnn
i (3.38)
vtw - viteza tangenţială pe cercul de rostogolire, care evident trebuie să fie egală pentru cele două roţi dinţate:
;22
222
111
wtw
wtwtw
dv
dvv (3.39)
rezultând relaţia de legătură dintre raportul de transmitere şi raportul de angrenare:
.1
2
1
2
2
1
2
112 u
zz
dd
nn
iw
w
(3.40)
Angrenarea roţilor dinţate cilindrice evolventice cu dinţi drepţi
În cazul unui angrenaj cilindric exterior evolventic cu dinţi drepţi (fig.3.6) se definesc:
linia de angrenare, care în cazul unui angrenaj evolventic este tangenta comună la cele două cercuri de bază şi totodată normala comună la flancurile conjugate în contact, normală care trece prin polul angrenării C;
distanţa dintre axe de referinţă, a:
;cos222
212121
α
ddzzmdda bb
(3.41)
unghiul de angrenare (unghiul de presiune pe cilindrii de rostogolire), αw, care este unghiul dintre linia de angrenarea şi tangenta comună la cele două cercuri de rostogolire.
Relaţia de calcul a acestui unghi rezultă din expresia distanţei dintre axe:
.cos22
2121w
w
bbww
α
dddda
(3.42)
- 57 -
Împărţind (3.41) la (3.42) rezultă:
,cos
cos
α
α
a
a w
w
(3.43)
de unde:
;cosarccos
α
a
aα
ww (3.44)
coeficientul deplasărilor de profil însumate, xs:
.21s xxx (3.45)
Relaţia de calcul a acestuia rezultă din condiţia evidentă că pentru o angrenare corectă arcul dintelui pe cercul de rostogolire al unei roţi trebuie să fie egal cu arcul golului dintre dinţii roţii conjugate măsurat tot pe cercul de rostogolire.
Punând această condiţie rezultă:
.tg2
evev2121s α
ααzzxxx w
(3.46)
În practică, după calcularea coeficientului deplasărilor de profil însumate acesta se repartizează între pinion şi roată, existând diverse criterii de repartizare. Dacă:
xs < 0 (aw < a) angrenajul este un angrenaj minus; xs = 0 (aw = a) angrenajul este un angrenaj nedeplasat (x1 = x2 = 0)
sau zero deplasat (x1 = -x2); xs > 0 (aw > a) angrenajul este un angrenaj plus.
segmentul de angrenare AE .
În cazul în care pinionul este elementul conducător angrenarea (contactul dintre flancurile conjugate) începe, pe linia de angrenare, în punctul de început al angrenării A, în care baza flancului dintelui pinionului vine în contact cu vârful dintelui roţii şi deci cercul de cap al roţii intersectează linia de angrenare (acestui punct îi corespunde diametrul dA1). Angrenarea se termină în punctul de sfârşit al angrenării E, în care vârful dintelui pinionului vine în contact cu baza flancului dintelui roţii şi deci cercul de cap al pinionului intersectează linia de angrenare (acestui punct îi corespunde diametrul dE2). Rezultă deci segmentul de angrenare AE .
- 58 -
gradul de acoperire frontal (al profilelor) εα.
Pentru o angrenare continuă trebuie ca înainte ca o prereche de dinţi să iasă din angrenare în punctul E, următoarea pereche de dinţi să fi intrat deja în angrenare în punctul A. Deoarece linia de angrenare este tangentă la cercurile de bază, rezultă condiţia:
.AE bp (3.47)
Pentru adimensionalizare se defineşte gradul de acoperire frontal (al profilelor) εα:
,AE
b
α pε (3.48)
rezultând în final:
.cosπ2
sin222
22
21
21
αm
αaddddε wwbabaα
(3.49)
Dacă condiţia (3.47) este îndeplinită rezultă că pe segmentul AE se pot definii punctele B şi D (fig.3.6) plasate la distanţa pb de capetele segmentului de angrenare. Rezultă că între A şi B, respectiv între D şi E angrenează câte o pereche de dinţi iar între B şi D două perechi de dinţi. Se definesc astfel: segmentele de angrenare bipară AB şi DE ; segmentul de angrenare unipară BD.
Limitele angrenării roţilor dinţate cu profil evolventic A. Continuitatea angrenării Condiţia (3.47) ţinând cont de (3.48) este echivalentă cu:
,,aαα εε (3.50)
cu: εα,a - valoarea admisibilă a gradul de acoperire frontal (al profilelor). B. Interferenţa danturii Dacă unul dintre diametrele de început a angrenării (dA1 sau dE2) este mai mic decât diametrul de început a profilului evolventic a roţii dinţate respective (dl1 respectiv dl2) apare fenomenul de interferenţă a danturii, analog fenomenului de subtăiere de la generarea danturii. Rezultă deci condiţiile:
,1A1 ldd (3.51)
şi:
.2E l2 dd (3.52)
- 59 -
3.4.4 Forţele din angrenajul cilindric exterior cu dinţi drepţi În angrenajul cilindric exterior cu dinţi drepţi (ca şi în orice alt tip de angrenaj) acţionează patru tipuri de forţe:
forţe nominale; forţe dinamice exterioare; forţe dinamice interioare; forţe de frecare, neglijabile, cu excepţia angrenajelor cu
alunecări mari (angrenajul melc-roată melcată şi angrenajele elicoidale) şi a angrenajelor neunse sau cu ungere săracă.
A. Forţele nominale din angrenajul cilindric exterior cu dinţi drepţi
Fig.3.7 Forţele nominale din angrenajul cilindric cu dinţi drepţi
O1
O2
ω1
ω2
dw1d1
N
N
dw2d2
αwα
T T
Fr1
Fr2=Fr1
Ft1 Ft2=Ft1
Fn2=Fn1
Fn1
T1
T2
C
- 60 -
Aceste forţe apar deoarece angrenajul transmite o anumită putere mecanică la o anumită turaţie. În calculul forţelor nominale se consideră, cu o foarte bună aproximaţie, că angrenajul este zero deplasat sau nedeplasat. Pentru determinarea lor se consideră două flancuri conjugate, în contact în polul angrenării C (fig.3.7). Asupra acestora acţionează forţele normale Fn1 respectiv Fn2 (evident că: Fn1 = Fn2), care pot fi descompuse în câte o componentă tangenţială Ft1 şi Ft2, tangente la cercurile de rostogolire (divizare) şi câte o componentă radială Fr1 şi Fr2, pe direcţia liniei centrelor. Dacă se consideră pinionul conducător, din ecuaţia de echilibru de momente pentru pinion, rezultă:
,2
1
121 d
TFF tt (3.53)
respectiv, din considerente geometrice elementare:
αFFF trr tg121 (3.54)
şi:
.cos
21
21
121 rt
tnn FF
α
FFF (3.55)
Este de reţinut că din punctul de vedere al calculului danturii angrenajului prezintă interes modul de variaţie a forţei normale în funcţie de punctul ei de aplicare (fig.3.8):
pe segmentele de angrenare bipară AB şi DE pe flanc acţionează (teoretic) Fn/2;
iar pe segmentul de angrenare unipară acţionează întreaga forţă Fn.
Fig.3.8 Repartiţia forţei normale nominale pe flancul conducător
CD
E
B
A
Fn/2
Fn/2
Fn
Este de reţinut că din punctul de vedere al calculului danturii angrenajului prezintă interes modul de variaţie a forţei normale în funcţie de punctul ei de aplicare (fig.3.8):
- 61 -
pe segmentele de angrenare bipară AB şi DE pe flanc acţionează
(teoretic) Fn/2; pe segmentul de angrenare unipară acţionează întreaga forţă Fn.
B. Forţele dinamice exterioare
Apariţia acestor forţe se datorează variaţiei momentului de răsucire (a puterii mecanice şi a turaţiei), variaţii date de maşina motoare şi/sau de maşina de lucru (fig.3.9). Pentru perioada de funcţionare normală forţele dinamice exterioare se iau în consideraţie prin amplificarea forţelor nominale cu un factor dinamic exterior (factor de utilizare) KA:
.max
T
TKA (3.56)
În cazul apariţiei unor şocuri de moment forţele nominale se amplifică cu factorul de şoc KA max:
.max T
TK oc
A (3.57)
Fig.3.9 Variaţia în timp a momentului de răsucire
T
Tmax
Tşoc
t Funcţionare normală Şoc de
moment
Tmin
T
Valorile numerice concrete ale factorului dinamic exterior respectiv ale factorului de şoc se pot stabili prin două metode:
utilizarea unor date statistice care stabilesc valoarea factorului dinamic exterior respectiv a factorului de şoc în funcţie de tipul maşinii motoare şi a maşinii de lucru (varianta uzuală);
trasarea experimentală a diagramei de variaţie în timp a momentului de răsucire, metodă care se poate utiliza numai pentru instalaţii mecanice existente, fiind o metodă complicată şi scumpă (utilizată foarte rar).
ş
- 62 -
C. Forţele dinamice interioare
Apariţia acestor forţe se datorează fenomenelor vibratorii ce apar în timpul angrenării roţilor dinţate. Aceste fenomene se datorează în primul rând erorilor de execuţie ale celor două roţi dinţate ce formează angrenajul. În calculul de rezistenţă a unui angrenaj existenţa forţelor dinamice interioare se ia în consideraţie prin amplificarea forţelor nominale cu factorul dinamic interior Kv:
.alminno
dinamicalminnoV F
FFK
(3.58)
Ca şi în cazul forţelor dinamice exterioare, valoarea numerică concretă a factorului dinamic interior se poate stabili prin două metode:
determinări experimentale care însă sunt foarte dificile, au un preţ de cost ridicat şi se pot face numai pe angrenaje existente;
utilizarea unor date statistice care, de obicei, stabilesc valoarea factorului dinamic interior în funcţie de treapta de precizie de execuţie a roţilor dinţate (cu cât precizia de execuţie este mai mare cu atât forţele dinamice interioare scad) şi de viteza tangenţială pe cercul de divizare a pinionului (cu cât viteza tangenţială creşte cu atât fenomenele vibratorii sunt mai pronunţate şi deci forţele dinamice interioare cresc), utilizându-se relaţii de forma:
,1A
vK td
V (3.59)
în care: vtd - viteza tangenţială pe cercul de divizare a pinionului:
,]m/s[230
π
2111
1
dndωv td (3.60)
A [ m/s ] - o constantă a cărei valoare depinde de treapta de precizie de execuţie a roţilor dinţate, constantă a cărei valoare care creşte dacă precizia de execuţie creşte. Din cele prezentate mai sus rezultă că forţele reale (de calcu), în cazul uzual de proiectare, sunt date de relaţia:
.VAalminnocalcul KKFF (3.61)
- 63 -
3.4.5 Calculul de rezistenţă a angrenajului cilindric exterior cu dinţi drepţi
3.4.5.1 Modurile de distrugere a danturii angrenajului cilindric exterior cu dinţi drepţi
Dantura unui angrenaj cilindric exterior cu dinţi drepţi (de fapt a oricărui tip de angrenaj) se poate distruge prin:
ruperea dinţilor; distrugerea flancurilor dinţilor.
A. Ruperea dinţilor.
Forţa normală Fn transmisă de dinţii conjugaţi în angrenare produce la baza dinţilor (fig.3.10) o stare de solicitări compusă:
o solicitare de încovoiere σi; o solicitare de compresiune σc; o solicitare de forfecare τf.
Dintre aceste solicitări solicitarea principală este cea de încovoiere. În urma procesului de angrenare tensiunile care apar la baza dintelui sunt variabile, pe de o parte forţa normală îşi schimbă mărimea şi punctul de aplicaţie (fig.3.10), iar pe de altă parte, după ieşirea din angrenare tensiunile devin nule până la o nouă intrare în angrenare, rezultând o variaţie după un ciclu cvasipulsator a tensiunilor de la baza dintelui. Sub acţiunea acestor tensiuni variabile dantura roţii dinţate se poate distruge prin rupere prin oboseală. Totodată, în cazul apariţiei unor şocuri puternice de moment (fig.3.9) poate apărea şi o rupere statică a danturii. La danturile durificate, în cazul unei repartiţii neuniforme a sarcinii pe lungimea dintelui, poate apărea şi ruperea colţului dintelui.
B. Distrugerea flancurilor. Flancurile active ale danturii roţii dinţate se pot distruge în diverse moduri, dintre care cel mai frecvent întâlnite sunt:
Fig.3.10 Starea de tensiuni la baza dintelui
σi
σc
τf
Fn
Fn
tF
rF x x
- 64 -
o distrugerea prin pitting (oboseală supeficială); o distrugerea prin gripare; o distrugerea prin strivire; o distrugerea prin uzare de abraziune sau tribocoroziune.
B.1. Distrugerea prin pitting.
În cazul angrenajelor, în special în cazul danturilor nedurificate, poate apărea fenomenul de pitting (oboseală superficială).
Fig.3.11 Distrugerea prin pitting (oboseală superficială) a flancurilor
Detaliu A
Fn
Fn
A
pEHD
~ σH τ45ºEHD
~ bH
Fn
pEHD max
~ 0,8bH
τ45ºEHD max 0,3σH
c.
generatoarea de rostogolire
b. b3.
b1.
~45º
fisură de oboseală
ulei
b4.
b2.
pitting
a.
În condiţii normale de ungere, în cazul unui angrenaj de putere regimul de frecare este un regim elastohidrodinamic EHD (de fapt termoelastohidrodinamic TEHD). În acest caz (fig.3.11 a.) în zona de contact dintre cele două flancuri acţionează presiunea elastohidrodinamică pEHD iar în substrat (zecimi de mm) apare o stare de solicitări compuse având drept componentă şi tensiunea tangenţială τ45ºEHD.
Dacă tensiunile de contact sunt prea mari în substrat apar fisuri (fig.3.11 b1.).
- 65 -
Evident că datorită angrenării ciclice fenomenul are un caracter de
oboseală superficială a materialului. În timp fisura de oboseală se dezvoltă şi ajunge la suprafaţă (fig.3.11 b2.). În această fază intervine influenţa uleiului, care pătrunde în fisură şi contribuie la dezvoltarea acesteia (fig.3.11 b3.). În final apar desprinderi de material din suprafaţa flancului sub forma unor ciupituri (pitting) (fig.3.11 b4.), plasate în special în zona generatoarei de rostogolire (fig.3.11 c.), fenomenul de oboseală superficială fiind accentuat în această zonă de schimbarea sensului forţelor de frecare. În cazul unui pitting distructiv suprafaţa ocupată de pitting creşte în timp, la un moment dat roţile dinţate ieşind din uz.
B.2. Distrugerea prin gripare. Griparea este o formă de uzare de aderenţă (adeziune) ea putând fi: gripare atermică (la rece), la
angrenaje care funcţionează la încărcări foarte mari şi viteze reduse,
gripare termică, la angrenaje care funcţionează la încărcări şi viteze foarte mari.
În ambele cazuri pe suprafaţa flancurilor active apar zgârieturi orientate
pe direcţia vitezei de alunecare (fig.3.12).
B.3. Distrugerea prin strivire. Distrugerea prin strivire apare în cazul unor solicitări prin şoc, ea constând din deformarea plastică a flancurilor active. Acest mod de distrugere a flancurilor este caracteristic în special danturilor nedurificate, putând fi evitat prin limitarea şocurilor de moment.
B.4 Distrugerea prin uzare. Uzarea flancurilor active apare la angrenajele neunse sau unse incorect şi etanşate necorespunzător, ea putând fi: uzare de abraziune, tribocoroziune.
Fig.3.12 Flanc distrus prin gripare
- 66 -
3.4.5.2 Capacitatea portantă a unui angrenaj cilindric exterior cu dinţi drepţi
Din analiza modurilor posibile de distrugere a danturii unui angrenaj cilindric exterior cu dinţi drepţi (de fapt a oricărui tip de angrenaj) rezultă că capacitatea portantă a unui angrenaj corect uns şi protejat de şocuri de moment este determinată de distrugerea prin rupere prin oboseală, pitting sau gripare.
Fig.3.13 Capacitatea portantă a unui angrenaj în funcţie de viteza periferică
vt
Tcap pitting, flanc durificat
pitting, flanc nedurificat rupere, flanc nedurificat rupere, flanc durificat
gripare, flanc nedurificat
gripare, flanc durificat
Domeniul uzualal vitezelor
Pentru calculul de rezistenţă al angrenajului prezintă interes analiza variaţiei capacităţii portante, care în principal depinde de viteza tangenţială şi de duritatea flancurilor (fig.3.13). Din această analiză rezultă, că în domeniul uzual al vitezelor tangenţiale, capacitatea portantă este determinată de:
ruperea prin oboseală a dinţilor, la angrenaje cu flancuri durificate superficial;
distrugerea prin pitting a flancurilor, la angrenaje cu flancuri nedurificate.
În cazul unor viteze tangenţiale mari şi foarte mari capacitatea portantă poate fi determinată de distrugerea prin gripare termică. Rezultă că pentru o proiectare uzuală la un angrenaj trebuie făcut:
calculul solicitării piciorului dintelui (evitarea ruperii prin oboseală);
calculul solicitării flancului dintelui (evitarea distrugerii prin pitting).
- 67 -
3.5 Angrenajul cilindric exterior cu dinţi înclinaţi
3.5.1 Definire şi caracterizare Angrenajul cilindric exterior cu dinţi înclinaţi este un angrenaj format din două roţi dinţate cilindrice cu axele paralele, direcţia dinţilor fiind înclinată faţă de generatoarele cilindrilor de rostogolire (divizare), fig.3.14.
Evident că pentru o angrenare corectă unghiul de înclinare a danturii pinionului pe cilindrul de rostogolire βw1, trebuie să fie egal cu unghiul de înclinare a danturii roţii pe cilindrul de rostogolire βw2, deci:
.21 www βββ (3.62)
Rezultă deci că şi unghiul de înclinare a danturii pinionului pe cilindrul de divizare β1, este egal cu unghiul de înclinare a danturii roţii pe cilindrul de divizare β2, deci:
.021 ββββ (3.63)
Totodată pentru ca angrenarea să poată avea loc sensurile de înclinare ale celor două danturi trebuie să fie opuse (de exemplu în fig.3.14 sensul de înclinare a danturii pinionului este stânga în timp ce sensul de înclinare a danturii roţii este dreapta). Prin înclinarea danturii se obţin, faţă de angrenajul cilindric exterior cu dinţi drepţi, o serie de avantaje majore, care fac ca angrenajul cilindric exterior cu dinţi înclinaţi să fie tipul de angrenaj cel mai des utilizat în construcţia de maşini. Dintre aceste avantaje sunt de reţinut:
La angrenajul cilindric exterior cu dinţi drepţi dintele intră în angrenare brusc pe toată lătimea roţii dinţate în timp ce la angrenajul cilindric exterior cu dinţi înclinaţi dinţii intră în angrenare treptat pornind de la colţul danturii (fig.3.15). Rezultă un proces de angrenare mai lin şi deci zgomot şi vibraţii mult mai reduse.
Fig.3.14 Angrenaj cilindric exterior cu dinţi înclinaţi
z1
z2
βw1 = βw2 = βw
βw2
- 68 -
Fig.3.15 Angrenarea danturii drepte a., respectiv a celei înclinate b.
a. b.
linia de contact
La angrenajul cilindric exterior cu dinţi înclinaţi, la aceiaşi lăţime a roţii dinţate, lungimea liniei de contact este mai mare decât la angrenajul cilindric exterior cu dinţi drepţi (fig.3.15) şi deci capacitatea portantă la solicitarea de contact a danturii este mai mare.
La o roată cilindrică cu dinţi înclinaţi, la aceiaşi lăţime a roţi dinţate, lungimea dintelui este mai mare şi deci capacitatea portantă la solicitarea de la baza dintelui este mai mare.
La un angrenaj cilindric exterior cu dinţi înclinaţi, datorită înclinării danturii numărul de dinţi aflaţi simultan în angrenare creşte, deci gradul de acoperire creşte, gradul de acoperire total εγ fiind:
,βαγ εεε (3.64)
cu: εβ - gradul de acoperire axial (al înclinării). Faţă de angrenajul cilindric exterior cu dinţi drepţi angrenajul cilindric exterior cu dinţi înclinaţi prezintă şi două dezavantaje:
La intrarea în angrenare (în cazul pinionului conducător) forţa normală se aplică pe colţul dintelui roţii, respectiv la ieşirea din angrenare pe colţul dintelui pinionului (fig.3.15). Apare deci pericolul ruperii colţului dintelui, care este cu atât mai pronunţat cu cât unghiul de înclinare a danturii β este mai mare. Din acest motiv se recomandă: la danturi nedurificate:
β = 12…15 la danturi durificate (la care pericolul ruperii colţului dintelui
este mai mare): β = 8…10.
- 69 -
Ca urmare a înclinării
danturii în angrenare apare o forţă axială, Fa (fig.3.16), care produce solicitări suplimentare în reazeme. Această forţă este cu atât mai mare cu cât unghiul de înclinare a danturii este mai mare, deci un nou motiv de limitare a valorii acestuia.
Eliminarea acestui dezavantaj se poate face prin adoptarea variantei de dantură în V (fig.3.1 c.).
3.5.2 Elementele geometrice ale unei roţi dinţate cilindrice cu dinţi înclinaţi, roata dinţată echivalentă
În cazul unei roţi dinţate cilindrice cu dinţi înclinaţi se definesc două secţiuni (fig.3.17):
secţiunea normală pe direcţia dinţilor N-N. Elementele geometrice din secţiunea normală au indicele n;
secţiunea frontală T-T, înclinată faţă de secţiunea normală cu unghiul de înclinare de divizare β, egal cu unghiul de înclinare de referinţă β0. Elementele geometrice din secţiunea frontală au indicele t sau sunt fără indice.
În secţiunea normală se prelucrează dantura roţii dinţate,
regăsindu-se geometria cremalierei de referinţă. Ca şi în cazul roţii dinţate cu dinţi drepţi, în cazul general, la prelucrare
linia de referinţă a cremalierei generatoare se deplasează faţă de linia de rostogolire cu coeficientul deplasării de profil în plan normal xn. Pentru calculul elementelor geometrice ale danturii roţii interesează trecerea de la secţiunea normală la cea frontală, rezultând (fig.3.17):
pasul frontal:
,cos 0
nt
pp (3.65)
modulu frontal:
,cos 0
nt
mm (3.66)
Fig.3.16 Forţa axială din angrenajul cilindric exterior cu dinţi înclinaţi
β
Ft nF
Fa = Ft tgβ
- 70 -
unghiul de referinţă frontal:
.cos
tgtg
0
00
nt (3.67)
Roata dinţată din secţiunea normală este o roată dinţată eliptică (fig.3.17) având semiaxele de divizare a’ respectiv b’ date de:
Fig.3.17 Elementele geometrice ale unei roţi dinţate cilindrice cu dinţi înclinaţi, roata dinţată echivalentă
dn = 2ρmax = 2b’ 2/a’
N
N
T
T b’ = d/(2 cosβ)
a’ = d/2
d
Secţiunea N-N
β
pn
pt
roata dinţată echivalentă roata dinţată eliptică din N-N
b
bn
,2
da (3.68)
cu: d – diametrul de divizare din plan frontal:
,cosβ
zmzmd n
t (3.69)
respectiv:
.cos2 β
db (3.70)
- 71 -
Roata dinţată echivalentă Deoarece este dificil de a se lucra cu roata dinţată eliptică din secţiunea normală se defineşte roata dinţată echivalentă (fig.3.17) ca fiind o roată dinţată cilindrică cu dinţi drepţi cu:
modulul egal cu modulul normal al danturii roţii reale mn;
diametrul de divizare egal cu dublul razei de curbură maxime a elipsei de divizare;
lăţimea egală cu lugimea dintelui roţii reale. Elementele geometrice ale roţii dinţate echivalente au indicele n. Principalele elemente geometrice ale roţii dinţate echivalente sunt:
modulul roţii dinţate echivalente:
,nn mm (3.71)
diametrul de divizare a roţii dinţate echivalente:
,coscos
2232
2
maxβ
zm
β
dab
ρd nn
(3.72)
lăţimea roţii dinţate echivalente:
,cosβ
bbn (3.73)
numărul de dinţi ai roţii dinţate echivalente.
Pentru a stabili numărul de dinţi ai roţii dinţate echivalente, zn, se exprimă în două moduri diametrul de divizare a roţii dinţate echivalente, pe de o parte avem relaţia (3.72) iar pe de altă parte:
.nnn zmd (3.74)
Egalând (3.72) cu (3.74) rezultă:
.cos3 β
zzn (3.75)
- 72 -
Geometria, în secţiunea frontală, a roţii dinţate cilindrice
cu dinţi înclinaţi În secţiunea frontală a unei roţi dinţate cilindrice cu dinţi înclinaţi se definesc aceleaşi elemente geometrice ca şi în cazul unei roţi dinţate cilindrice cu dinţi drepţi, în calcule considerându-se unghiul de presiune de divizare αt = α0t (vezi relaţia (3.67)), unghiul de înclinare de divizare, β = βo şi coeficientul normal al deplasării de profil, xn. Rezultă deci:
diametrul de divizare, calculat cu relaţia (3.69);
diametrul de cap:
;22 0 nanaa xhmdhdd (3.76)
diametrul de picior:
;22 00 nanff xchmdhdd (3.77)
diametrul de bază:
;cos tb αdd (3.78)
diametrul de început a profilului evolventic:
.sin24
2
2
02
t
tatbbl α
xhmddd (3.79)
Limitele generării roţii dinţate cilindrice cu dinţi înclinaţi A. Ascuţirea capului dintelui
Ca şi în cazul roţii dinţate cilindrice cu dinţi drepţi, în cazul roţii dinţate cilindrice cu dinţi înclinaţi trebuie satisfăcută condiţia:
,,aatat ss (3.80)
cu: sat,a - valoarea admisibilă a arcului de cap frontal al dintelui. B. Subtăierea danturii Deoarece dantura roţii dinţate cilindrice cu dinţi înclinaţi se generează în secţiunea normală, în această secţiune se verifică evitarea apariţiei fenomenului de subtăiere a danturii. În cazul roţii dinţate cu dinţi înclinaţi această condiţie se pune pentru numărul de dinţi ai roţii dinţate echivalente, rezultând:
- 73 -
α
xh
β
zz na
n 20
3 sin
2
cos
(3.81)
şi deci, pentru o roată dinţată cu dinţi înclinaţi:
,cossin
2 32
0min β
α
xhz
n
na
(3.82)
cu: xn - coeficientul normal al deplasării de profil; αn = α0n. Rezultă că numărul minim de dinţi sub care apare fenomenul de subtăiere, în cazul unei roţii dintate cu dinţi înclinaţi este mai mic decât în cazul unei roţi dinţate cu dinţi drepţi, ceeace constituie un nou avantaj al danturii cilindrice cu dinţi înclinaţi.
3.5.3 Angrenarea roţilor dinţate cilindrice cu dinţi înclinaţi În plan frontal, angrenarea exterioară a două roţi dinţate evolventice cilindrice cu dinţi înclinaţi este analoagă cu angrenarea roţilor dinţate cu dinţi drepţi, rezultând că principalele elemente geometrice ale unui angrenaj cilindric exterior format din două roţi dinţate evolventice cu dinţi înclinaţi sunt:
distanţa dintre axe de referinţă, a:
;cos222
212121
βzzmzzmdd
a nt
(3.83)
unghiul de angrenare frontal (unghiul de presiune frontal pe cilindrii de rostogolire), αwt:
,cosarccos
t
wwt α
a
aα (3.84)
cu: αt = α0t; coeficientul normal al deplasărilor de profil însumate, xsn:
,tg2
evev2121
n
twtnnsn α
ααzzxxx
(3.85)
diametrul de rostogolire al pinionului, dw1, (relaţia (3.34));
diametrul de rostogolire al roţii, dw2, (relaţia (3.35));
diametrul de început a angrenării pentru pinionul conducător, dA1; diametrul de sfărşit a angrenării pentru roată în cazul pinionului
conducător dE2;
- 74 -
gradul de acoperire frontal (al profilelor):
.cosπ2
sin222
22
21
21
tt
wtwbabaα αm
αaddddε
(3.86)
gradul de acoperire axial (al înclinării), εβ. Acesta este egal cu raportul dintre avansul axial, pe lăţimea roţii dinţate, al unui dinte şi pasul frontal:
,π
sintg 22
ntβ m
βbpβb
ε (3.87)
cu pt = p0t;
gradul de acoperire total, εγ (relaţia (3.64)).
Limitele angrenării roţilor dinţate cilindrice cu dinţi înclinaţi În cazul unui angrenaj cilindric exterior cu dinţi înclinaţi apar aceleaşi limite ale angrenării ca şi în cazul unui angrenaj cilindric exterior cu dinţi drepţi, cu precizarea că aceste limite se verifică în plan frontal iar condiţia de continuitate a angrenării se pune pentru gradul de acoperire total:
,,aγγ εε (3.88)
cu: εγ,a - valoarea admisibilă a gradul de acoperire frontal (al profilelor), care depinde de precizia de execuţi a danturii.
- 75 -
3.5.4 Forţele din angrenajul cilindric exterior cu dinţi înclinaţi În cazul angrenajului cilindric exterior cu dinţi înclinaţi acţionează aceleaşi tipuri de forţe ca şi în cazul angrenajului cilindric exterior cu dinţi drepţi.
A. Forţele nominale din angrenajul cilindric exterior cu dinţi înclinaţi
Fig.3.18 Forţele nominale din angrenajul cilindric exterior cu dinţi înclinaţi
d1
β
T1
αt
Ft1
Fa1
Fr1
Fn1
'1nF
'1nF
Ca şi în cazul angrenajului cilindric exterior cu dinţi drepţi, dacă se consideră pinionul conducător, din ecuaţia de echilibru de momente pentru pinion, rezultă (fig.3.18), forţa tangenţială din angrenare:
.2
1
121 d
TFF tt (3.89)
Acestă forţă tangenţială este o componentă a forţei '1nF , care este
perpendiculară pe direcţia dintelui:
.cos
1'1 β
FF t
n (3.90)
A doua componentă a forţei '1nF este forţa axială:
.tg121 βFFF taa (3.91)
- 76 -
La râdul ei, în secţiunea normală pe dinte, forţa '
1nF este o componentă a forţei normale pe flancul dintelui:
.coscoscos1
'1
21t
t
t
nnn αβ
Fα
FFF (3.92)
A doua componentă a forţei Fn1 este forţa radială:
.cos
tgsin 1
121 β
αFαFFF tt
tnrr (3.93)
B. Forţele dinamice exterioare din angrenajul cilindric exterior cu dinţi înclinaţi
Ca şi în cazul celorlalte tipuri de angrenaje forţele dinamice exterioare
se consideră în calculul angrenajului cilindric exterior cu dinţi înclinaţi prin factorul dinamic exterior (factorul de utilizare), KA (par.3.4.4).
C. Forţele dinamice interioare din angrenajul cilindric exterior cu dinţi înclinaţi
Ca şi în cazul celorlalte tipuri de angrenaje forţele dinamice interioare
se consideră în calculul angrenajului cilindric exterior cu dinţi înclinaţi prin factorul dinamic interior, Kv (par.3.4.4).
D. Forţele de frecare din angrenajul cilindric exterior cu dinţi înclinaţi
Ca şi în cazul celorlalte tipuri de angrenaje (cu excepţia angrenajului melc-roată melcată şi a angrenajelor neunse sau unse necorespunzător) forţele de frecare din angrenajul cilindric exterior cu dinţi înclinaţi pot fi neglijate în calculul acestui tip de angrenaj.
3.5.5 Calculul de rezistenţă al angrenajului cilindric exterior cu dinţi înclinaţi
3.5.5.1 Modurile de distrugere şi capacitatea portantă a danturii angrenajului cilindric exterior cu dinţi înclinaţi
Dantura roţilor dinţate care formează un angrenaj cilindric exterior cu dinţi înclinaţi se poate distruge prin aceleaşi moduri ca şi dantura roţilor dinţate care formează un angrenaj cilindric exterior cu dinţi drepţi (par.3.4.5.1).
- 77 -
Totodată este de reţinut că, la fel ca în cazul unui angrenaj cilindric exterior cu dinţi drepţi, în cazul unui angrenaj cilindric exterior cu dinţi înclinaţi, în domeniul uzual al vitezelor tangenţiale, capacitatea portantă este determinată de:
ruperea prin oboseală a dinţilor, la angrenaje cu flancuri durificate superficial;
distrugerea prin pitting a flancurilor, la angrenaje cu flancuri nedurificate,
în cazul unor viteze tangenţiale mari şi foarte mari capacitatea portantă putând fi determinată de distrugerea prin gripare termică. Rezultă că pentru o proiectare uzuală şi la la un angrenaj cilindric exterior cu dinţi înclinaţi trebuie făcut:
calculul solicitării piciorului dintelui (evitarea ruperii prin oboseală)
calculul solicitării flancului dintelui (evitarea distrugerii prin pitting).
Aceste calcule se fac în secţiunea normală, deci pentru roata dinţată echivalentă (calculul solicitării piciorului dintelui), respectiv pentru angrenajul format din cele două roţi dinţate echivalente (calculul solicitării flancului dintelui).
- 78 -
3.6 Angrenajul conic concurent ortogonal cu dinţi drepţi 3.6.1 Definire şi caracterizare Angrenajul conic concurent este un angrenaj (fig.3.1i,j,k şi fig.3.19) format din două roţi dinţate conice, având suprafeţele de rostogolire (divizare) două suprafeţe conice cu vârfurile în acelaşi punct (vârful angrenajului O). Principalul avantaj al unui angrenaj conic concurent constă în aceea că el permite transmiterea mişcării şi a puterii mecanice între doi arbori având axele concurente, între axe existând un unghi oarecare, unghiul dintre axe Σ. Este de precizat că la majoritatea angrenajelor conice concurente Σ = 90º, caz în care angrenajul poartă numele de angrenaj conic concurent ortogonal. Dezavantajul angrenajului conic concurent constă în aceea că, de regulă, pinionul conic este montat în consolă faţă de reazeme, fapt ce duce la o repartiţie foarte neuniformă a sarcinii pe lungimea dintelui. Cu toate că nu este varianta cea mai des utilizată, se va trata cazul angrenajului conic concurent ortogonal cu dinţi drepţi, deoarece în cazul altor tipuri de angrenaje conice, în special geometria angrenajului, depinde de maşina unealtă pe care a fost prelucrată dantura.
Fig.3.19 Angrenaj conic concurent ortogonal
dw1 = d1 ω1
Σ= 90°
dw2 = d2
ω2
δw2 = δ2
z2
z1
b R
O
δw1 = δ1
- 79 -
Din punct de vedere geometric angrenajul conic concurent este caracterizat de:
unghiurile conurilor de rostogolire δw1,2, cu relaţia evidentă:
,21 Σδδ ww (3.94)
relaţie care în cazul unui angrenaj conic concurent ortogonal devine:
;90Σ21 ww δδ (3.95)
unghiurile conurilor de divizare δ1,2.
Observaţii: 1. Dacă unghiul conului de divizare al unei roţi dinţate conice devine un
unghi drept (δ = 90º) roata conică poartă numele de roată plană. 2. Majoritatea angrenajelor conice concurente sunt nedeplasate sau
zerodeplasate radial, deci:
,021 rr xx (3.96)
sau:
.021 rr xx (3.97)
În continuare se va considera cazul unui astfel de angrenaj. În acest caz rezultă că:
11 δδw şi ;22 δδw (3.98)
şi deci, în cazul unui angrenaj conic concurent ortogonal:
;90Σ2121 ww δδδδ (3.99)
diametrele cercurilor de rostogolire dw1,2, măsurate în secţiunea frontală exterioară;
diametrele cercurilor de divizare d1,2, măsurate în secţiunea frontală exterioară, cu:
11 wdd şi ;22 wdd (3.100)
lăţimea danturii b (de regulă b = b1 = b2);
lungimea exterioară a generatoarei de divizare R:
,sin2sin2 2
2
1
1
δd
δd
R (3.101)
în cazul angrenajului conic concurent ortogonal:
- 80 -
;2
1 22
21 ddR (3.102)
coeficientul de lăţime a danturii ψR:
;/ RbψR (3.103)
raportul de angrenare u, care ţinând cont de (3.101) este:
,sinsin
1
2
1
2
1
2
δδ
dd
zz
u (3.104)
în cazul angrenajului conic concurent ortogonal această relaţie devenind:
,tgtg
12
1
δδ
u (3.105)
relaţii care permit calculul unghiurilor conurilor de divizare (rostogolire):
u
δδ w1
arctg11 şi .arctg22 uδδ w (3.106)
Din punct de vedere cinematic angrenajul conic concurent ste caracterizat de:
raportul de transmitere i12, (pentru pinion conducător):
.12
2
1
2
2
1
2
112 z
zdd
nn
i
(3.107)
3.6.2 Roata plană de referinţă Analog cu cazul angrenajelor cilindrice, la care este standardizată o cremalieră de referinţă, la angrenajele conice concurente cu dinţi drepţi este standardizată o roată plană de referinţă (în România prin STAS 6844-80, fig.3.20).
Roata plană de referinţă este caracterizată prin aceea că unghiul conului de divizare de referinţă este un unghi drept (δ0 = 90º).
În cazul roţii plane de referinţă se definesc trei cilindrii (secţiuni): cilindrul frontal exterior, de diametru d0, care delimitează
dintele spre exterior; cilindrul frontal interior, de diametru d0i, care delimitează
dintele spre interior; cilindrul frontal median, de diametru d0m, plasat la mijlocul
lăţimii de referinţă a danturii b0.
- 81 -
Fig.3.20 Roata plană de referinţă (STAS 6844-80)
h0f
s0 e0 p0=π m
planul de referinţă (s0 = e0 = p0/2)
h0
c0
h0a
α0
ρ0f
h0a
Desfăşurata pe cilindrul frontal exterior
cilindrul frontal interior cilindrul frontal median
cilindrul frontal exterior
b0
b0/2
planul de referinţă
R0i
R0m
R0
d0i
d0m
d0
θ0a
θ0f
θ0
δ0 = 90º
δ0f δ0a
Celor trei diametre le corespund trei lungimi de referinţă a generatoarei
de divizare: lungimea de referinţă exterioară a generatoarei de divizare R0; lungimea de referinţă interioară a generatoarei de divizare R0i; lungimea de referinţă mediană a generatoarei de divizare R0m;
existând relaţiile evidente:
ii
imm
im
Rd
bdRd
bdbdRd
00
0000
000000
2
2
22
(3.108)
Celor trei cilindrii le corespund trei secţiuni: secţiunea frontală exterioară, în care elementele geometrice nu
au indice; secţiunea frontală interioară, în care elementele geometrice nu
au indicele i; secţiunea frontală mediană, în care elementele geometrice nu
au indicele m.
- 82 -
Dacă se desfăşoară roata plană de referinţă pe cilindrul frontal exterior se regăşeste geometria cremalierei de referinţă cu dinţi drepţi, cu deci m0 = m - STAS 882-82, cu precizările că în cazul roţii plane de referinţă: coeficientul jocului de referinţă 2,00 c ;
coeficientul razei de racordare de referinţă la piciorul dintelui 3,00 fρ .
Observaţie. Deoarece flancurile danturii roţii plane de referinţă în desfăşurata pe un cilindru oarecare sunt drepte, rezultă că flancurile unei roţi dinţate conice corespunzătoare unei astfel de roţi plane nu mai sunt evolventice ci sunt descrise de o octoidă.
Ca şi în cazul roţilor dinţate cilindrice, la roţile dinţate conice se utilizează modificarea (corijarea) danturii prin deplasarea de profil.
Deplasarea de profil poate fi:
deplasare radială cu coeficientul deplasării radiale de profil xr, analoagă celei de la roţile dinţate cilindrice;
deplasare tangenţială cu coeficientul deplasării tangenţiale de profil xt, care constă în modificarea grosimii dintelui pe planul de referinţă, în secţiunea frontală, cu ∆xt = xt m. Deplasarea tangenţială se consideră pozitivă dacă duce la creşterea grosimii dintelui.
Aşa cum s-a mai arătat angrenajele conice concurente cu dantura deplasată sunt zero deplasate (xr1+xr2=0, respectiv xt1+xt2=0).
Unghiurile care caracterizează roata plană de referinţă sunt:
unghiul conului de divizare de referinţă δ0 = 90º;
unghiul capului dintelui de referinţă θ0a, a cărui valoare este dată de relaţia:
;0
00
R
harctgθ a
a (3.109)
unghiul piciorului dintelui de referinţă θ0f, a cărui valoare este dată de relaţia:
;0
00
R
harctgθ f
f (3.110)
unghiul dintelui de referinţă θ0, egal cu:
;000 fa θθθ (3.111)
- 83 -
unghiul conului de cap de referinţă δ0a:
;90 0000 aaa θθδδ (3.112)
unghiul conului de picior de referinţă δ0f:
.90 0000 fff θθδδ (3.113)
3.6.3 Elementele geometrice ale unei roţi dinţate conice cu dinţi drepţi Se va considera cazul unei roţi dinţate conice cu dinţi drepţi (fig.3.21) la care conurile de divizare, de cap şi de picor au vârful comun în punctul O.
De asemenea se va considera cazul unei roţi dinţate conice cu dantura nedeplasată.
Fig.3.21 Elementele geometrice ale unei roţi dinţate conice cu dinţi drepţi, roata dinţată înlocuitoare
Ov
Cv
dv/2
dfdm d da
O
b/2
bR
δf δ δa
θa
θf
θ
hf
ha
δ
Oe
Ce
- 84 -
Ca şi în cazul roţii plane de referinţă în cazul unei roţi dinţate conice se definesc cele trei secţiuni:
secţiunea frontală exterioară (conul frontal exterior), fără indice, în această secţiune definindu-se roata dinţată înlocuitoare;
secţiunea frontală mediană (conul frontal median), indice m, în această secţiune definindu-se roata dinţată echivalentă;
secţiunea frontală interioară (conul frontal interior), indice i.
Secţiunea frontală exterioară
A. Roata dinţată conică În secţiunea frontală exterioară roata dinţată conică este caracterizată de următoarele elemente geometrice:
diametrul de divizare:
,zmd (3.114)
cu: m = m0 (STAS 882-82); înălţinea capului dintelui:
;0 mmhh aa (3.115)
înălţinea piciorului dintelui:
;2,1000 mmchmhh aff (3.116)
diametrul de cap:
;cos2cos2 δmdδhdd aa (3.117)
diametrul de picior:
;cos4,2cos2 δmdδhdd ff (3.118)
lungimea exterioară a generatoarei de divizare:
.sin2 δd
R (3.119)
lăţimea danturii:
.Rψb R (3.120)
unghiul cconului de divizare δ (relaţiile (3.106)); unghiul capului dintelui θa:
;arctgR
hθ a
a (3.121)
- 85 -
unghiul piciorului dintelui θf:
;arctgR
hθ f
f (3.122)
unghiul dintelui θ:
;fa θθθ (3.123)
unghiul conului de cap δa:
;aa θδδ (3.124)
unghiul conului de picior δf:
.ff θδδ (3.125)
B. Roata dinţată înlocuitoare
Angrenarea roţilor dinţate conice se studiază în secţiunea frontală exterioară ea având loc pe o suprafaţă sferică având raza egală cu lungimea exterioară a generatoarei de divizare. Analiza angrenării pe acestă suprafaţă sferică duce la flancuri evolventice sferice, deci flancuri curbe ale roţii plane de referinţă. Pentru a elimina acest dezavantaj se admite aproximaţia Tredgold, conform căreia angrenarea se studiază într-un plan tangent la sfera de rază R în polul angrenării Cv (fig.3.21). Rezultă o roată plană de referinţă cu flancurile drepte şi o roată dinţată conică cu dantură octoidală. Pentru stabilirea limitelor generării şi a angrenării se defineşte roata dinţată înlocuitoare (indice v) ca fiind o roată dinţată cilindrică cu dinţi drepţi cu: modulul danturii egal cu modulul din secţiunea frontală exterioară:
;mmv (3.126)
diametrul de divizare (fig.3.21):
;coscos
OC2zmd
d vvv (3.127)
diametrul de cap:
;2 avav hdd (3.128)
diametrul de bază:
,cosαdd vbv (3.129)
cu: α = α0; diametrul de început a profilului octoidal, cu o bună aproximaţie se
poate utiliza relaţia (3.22) stabilită pentru o roată dinţată cilndrică cu dinţi drepţi:
- 86 -
;sin24
22
02
α
hmddd abvbv
lv (3.130)
lăţimea danturii:
.bbv (3.131)
Pentru verificarea încadrării în limitele generării danturii trebuie stabit numărul de dinţi ai roţii dinţate înlocuitoare, zv. Acesta rezultă din exprimarea în două moduri a diametrul de divizare a roţii dinţate echivalente. Pe de o parte:
,vvvv zmzmd (3.132)
iar pe de altă parte dv este dat de (3.127), rezultând:
.cos
zδ
zzv (3.133)
Limitele generării danturii roţii dinţate conice cu dinţi drepţi Ca şi în cazul danturii cilindrice în cazul danturii conice se verifică:
evitarea ascuţirii capului dintelui; evitarea subtăierii danturii.
Ambele verificări se fac pentru roata dinţată înlocuitoare.
Ascuţirea capului dintelui Această verificare constă în verificarea condiţiei:
,,aavav ss (3.134)
cu: sav,a - valoarea admisibilă a arcului dintelui pe cercul de cap a roţi înlocuitoare, uzual sav,a = 0,25m.
Subtăierea danturii
Această verificare constă în verificarea condiţiei:
,sin
2
cos 20
min,α
hz
δz
z avv
(3.135)
condiţie echivalentă cu:
.cossin
220
min, δα
hzz a
conic
(3.136)
Observaţie. Comparând relaţia (3.136) cu relaţia (3.25) de la roata dinţată cilindrică cu dinţi drepţi, rezultă că la roata dinţată conică cu dinţi drepţi numărul minim de dinţi sub care apare fenumenul de subtăiere este mai mic.
- 87 -
Secţiunea frontală mediană
A. Roata dinţată conică În secţiunea frontală mediană, pentru calculul de rezistenţă a danturii roţii dinţate conice şi a angrenajului conic, interesează diametrul de divizare şi modulul mediu al roţii dinţate conice. Pentru a se face trecerea de la secţiunea frontală exterioară la cea frontală mediană se poate exprima diametrul de divizare mediu în funcţie de diametrul de divizare din secţiunea frontală exterioară (fig.3.21):
,21
sinsin dψdδRψdδbdd RRm (3.137)
relaţie echivalentă cu:
zmψzmzm Rm 21
(3.138)
şi deci:
Rm ψmm
21
1 (3.139)
şi:
.zmd mm (3.140)
B. Roata dinţată echivalentă
Pentru calculul de rezistenţă a danturii în secţiunea frontală mediană se defineşte roata dinţată echivalentă (indice e) ca fiind o roată dinţată cilindrică cu dinţi drepţi cu: modulul danturii egal cu modulul din secţiunea frontală mediană:
;me mm (3.141)
diametrul de divizare (fig.3.21):
;coscos
OC2 emeemm
eee zmzmδzm
δd
d (3.142)
relaţie din care rezultă că numărul de dinţi ai roţii dinţate echivalente ze este:
;cosδ
zze (3.143)
lăţimea danturii:
.bbe (3.144)
- 88 -
Totodată pentru calculul de rezistenţă a danturii trebuie stabit raportul de angrenare a angrenajului echivalent, ue, care evident va fi:
.tgcos
cos 2
12
1
1
2
1
2 uδ
u
δ
δ
z
z
z
zu
e
ee (3.145)
3.6.4 Angrenarea roţilor dinţate conice cu dinţi drepţi, în cazul unui angrenaj ortogonal Se va considera cazul unui angrenaj conic concurent ortogonal, format din două roţi dinţate conice cu dinţi drepţi, la care conurile de divizare, de cap şi de picior au vârful comul în punctul O (fig.3.19). În acest caz angrenarea se studiază în secţiunea frontală exterioară (conurile frontale exterioare), pornind de la cele două roţi dinţate înlocuitoare care formează angrenajul înlocuitor. Ca şi în cazul unui angrenaj cilindric exterior cu dinţi drepţi, nedeplasat şi în cazul angrenajului înlocuitor interesează:
distanţa dintre axe:
;coscos222 2
2
1
12121
δ
z
δ
zmzzmddaa vvvv
vwv (3.146)
raportul de angrenare:
;tgcos
cos 2
12
1
1
2
1
2 uδ
u
δ
δ
z
z
z
zu
v
vv (3.147)
diametrul de început a angrenării pentru pinionul conducător dAv1:
;sin22
22
22
211A bvavwvbvv ddαadd (3.148)
diametrul de sfărşit a angrenării pentru roată, în cazul pinionului conducător dEv2:
;sin22
21
21
222E bvavwvbvv ddαadd (3.149)
gradul de acoperire frontal (al profilelor) εαv:
- 89 -
.cosπ2
sin222
22
21
21
αm
αaddddε wvbvavbvav
vα
(3.150)
Limitele angrenării pentru angrenajul conic concurent ortogonal, cu roţi dinţate conice cu dinţi drepţi Aceste limite se stabilesc pentru angrenajul (roţile dinţate) înlocuitor, fiind analoage celor de la angrenajul cilindric exterior cu dinţi drepţi, deci se verifică:
continuitatea angrenării; evitarea interferenţei danturii.
A. Continuitatea angrenării
Continuitatea angrenării este asigurată de în verificarea condiţiei:
,,aαvα εε (3.151)
cu: εα,a - valoarea admisibilă a gradul de acoperire frontal (al profilelor), a se vede par.12.4.9.
B. Interferenţa danturii Şi în cazul unui angrenaj conic trebuie satisfăcute condiţiile:
,11A lvv dd (3.152) .22A lvv dd (3.153)
3.6.5 Forţele din angrenajul conic concurent ortogonal cu dinţi drepţi În cazul angrenajul conic concurent ortogonal cu dinţi drepţi acţionează aceleaşi tipuri de forţe ca şi în cazul angrenajului cilindric exterior cu dinţi drepţi.
A. Forţele nominale din angrenajul conic concurent ortogonal cu dinţi drepţi
Forţele nominale din angrenajul conic concurent ortogonal cu dinţi drepţi se calculează în secţiunea frontală mediană.
- 90 -
Dacă se consideră pinionul conducător, din ecuaţia de echilibru de
momente pentru pinion, rezultă (fig.3.22), forţa tangenţială din angrenare:
.2
1
121
mtt d
TFF (3.154)
Fig.3.22 Forţele nominale din angrenajul conic concurent ortogonal cu dinţi drepţi şi repartiţia sarcinii normale pe dinte
dm1 δ1
δ1
T1
α Ft1
Fn1
Fa1
Fr1Fr1
Fr1
Fn
Forţa tangenţială este o componentă a forţei normale Fn1:
.cos
121 α
FFF t
nn (3.155)
A doua componentă a forţei Fn1 este forţa:
.tg1'1 αFF tr (3.156)
Trebuie remarcat faptul că, în cazul angrenajului conic, datorită geometriei variabile a danturii, forţa normală este distribuită neuniform pe lungimea dintelui (fig.3.22), sarcina specifică fiind mai mare în secţiunea frontală exterioară şi mai mică în secţiunea frontală interioară.
- 91 -
Din punctul de vedere a calculului de rezistenţă această distribuţie
neuniformă este însă compensată de variaţia modulului şi a razei de curbură a danturii pe lungimea dintelui. În secţiunea frontală mediană, forţa '
1rF se descompune într-o componentă radială, pentru pinion:
111'11 costgcos δαFδFF trr (3.157)
şi o componentă axială:
.sintgsin 111'11 δαFδFF tra (3.158)
Asupra roţii dinţate conice acţionează aceleaşi (normală, axială şi radială), dar forţele axială şi radială îşi schimbă semnificaţia, rezultând:
componentă radială, pentru roată:
12 ra FF (3.158)
şi componenta axială, pentru roată:
.12 ar FF (3.159)
B. Forţele dinamice exterioare din angrenajul conic concurent ortogonal cu dinţi drepţi
Ca şi în cazul celorlalte tipuri de angrenaje forţele dinamice exterioare
se consideră în calculul angrenajului conic concurent ortogonal cu dinţi drepţi prin factorul dinamic exterior (factorul de utilizare), KA.
C. Forţele dinamice interioare din angrenajul conic concurent ortogonal cu dinţi drepţi
Ca şi în cazul altor tipuri de angrenaje forţele dinamice interioare se consideră în calculul angrenajului conic concurent ortogonal cu dinţi drepţi prin factorul dinamic interior, Kv.
D. Forţele de frecare din angrenajul conic concurent ortogonal cu dinţi drepţi Ca şi în cazul angrenajelor cilindrice forţele de frecare din angrenajul conic concurent ortogonal cu dinţi drepţi pot fi neglijate.
