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Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Introduction à la dynamique des rotors
• Composants d’un rotor
• Formulation du problème
• Principales phénoménologies
• Résolution du problème aux valeurs propres
• Rigidification centrifuge
• exemples
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Composant d’un rotor
arbre
disquepalier
Arbre:
Disques:
• rigide • flexible
rigide déformable
-flexibilité isotrope-flexibilité anisotrope
paliers: • rigide • flexible -flexibilité isotrope
-flexibilité anisotrope
-symétrie de révolution-symétrie cyclique
-dissipatifs-non-dissipatifs
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Pièces en rotation
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Imperfection, déséquilibre
G e
ε
e: déséquilibre statiqueε: déséquilibre dynamique
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Mise en équation
2 repères possibles peuvent être utilisés :Z
X
YΩt
x
y
z
Lorsque les parties tournantes sont essentiellement axisymétriquesl’utilisation de ce repère permet une modélisation simple de rotordont les paliers présente une rigidité anisotrope
La rotation uniforme autour de l'axe du rotor
est considéré comme le mouvement de corps
rigide auquel se superposeront des pet
Le repère t
its
mouvements
xyz
(c
ournant
f. chap I)
.
•
Le repère fixe XYZ•
y zk k≠
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
I-5 Application à la dynamique d’un solidedéformable
•Rm repère lié ausolide en mouvementconfondu avec Rgdans la position deréférence (non déformé)
• x vecteur position de M (solide non déformé) dans Rm
• u vecteur déplacement de M/Rm dans Rm
• v vecteur position de M (solide déformé) dans Rm
• s vecteur déplacement de O ’/Rg dans Rg
• y vecteur position de M/Rg dans Rg
O
O'
(S)
Rg: repère galiléen
Rm : repère mobile
s
x
x
uv
y
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
I-5-1 Cinématique
t t 1
t t
R : matrice rotation dont les colonnes sont les cosinus directeurs
des vecteurs de base de Rm exprimés dans Rg; R R I ; R R
y s R(x u) : vecteur déplacement absolu dans Rg
R y R s (x u)
−
⋅
= =⋅ = + +
⋅ = + +
1
2
3
3 2
3 1
2 1
: vecteur déplacement absolu dans Rm
: vecteur vitesse de rotation Rm/Rg exprimé dans Rm;
0
: matrice vitesse de rotation associée au vecteur ; 0
0
ω ⋅ω ω = ω ω −ω ω
⋅Ω ω Ω = ω −ω −ω ω
R R : dérivée de la matrice de changement de base
y Ru s R (x u) : vitesse absolue exprimée dans Rg
⋅ = Ω⋅ = + + Ω +
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
I-5-2 Contraintes, déformations
1
2
3
3 2
3 1
2 1
: vecteur associé au teneur des contraintes de Cauchy
: vecteur associé au tenseur des déformations ; u
: opérateur différentiel ;
/ x 0 0
0 / x 0
0 0 / x
0 / x / x
/ x 0 / x
/ x / x 0
⋅σ⋅ε ε = ∇⋅∇
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂∇ =
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
: vecteur taux de déformation; u
Loi généralisée de hooke (viscoélasticité linéaire): A( )
A : matrice des coefficients élastiques; : coefficient d'amortissement visq
⋅ε ε = ∇
⋅ σ = ε + ηε⋅ η ueux
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
I-5-3 Formulations énergétique
t
V
t t t 2 t t
V V V V
t t t t t 2
V V
Expression de l'énergie cinétique :
1Ec y y dV
2
1 1Ec u u u u u u u (R s x)
2 2
1 u (R s x) (s s 2s R x-x x)
2
⋅
= ρ
= ρ + ρ Ω + ρ Ω − ρ Ω +Ω
+ ρ +Ω + ρ + Ω Ω
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
u.A.)u(2
1 .A.
2
1Ep
ndéformatio de epotentiell energiel' de Expression
V
t
V
t ∇∇=εε=
⋅
∫∫
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Rm dans expriméeset t fSf frontière lasur surface de forces t ; volumede forces : f
fufxRfs()fufxRfs( tRyRfyWext
données forces des du travail Expression
Sf
ttt
V
ttt
Sf
t
V
t ∫∫∫∫ +++++=+=
⋅
uA)u(2
1Fd
:ndissipatio deFonction
t
V
∇∇η=
⋅
∫
Formulation énergétique (suite)
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
I-5-4 Équations du mouvement discrétisées
données forcesecteur v tfF
entamortissemd' matrice AGG C
raideur de matrice G ; AGGK
inertiesd' forces vecteur )xxsR(-r
angulaireon accélératid'tion rigidifica de matrice G2
1P
centrifugetion rigidifica de matrice N
uegyroscopiq matrice 2G
masse de matrice M
FrN)P(KG)C(M:ematriciell forme sousécrivent s' Lagrange de équations Les
û :ncrétisatioDis
SF
t
V
t
t
t
2tt
t
2t
t
t
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
φ+φ=
η=
φ∇==
Ω+Ω+ρφ=
=φΩρφ=
φΩρφ=
φΩρφ=
φρφ=
+=Λ+++Λ++Λ
Λφ=⋅
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Formulation dans le repère tournant
e
e
Matrice de raideur: ; Matrice d'amortissement:
Matrice de masse: Matrice gyroscopique: G
Matrice de rigidité centrifuge:
Force d'inertie éléme
t te e
t te
t 2
K G AG C G AG
M N N; 2 N N
N N N;
η
ρ ρ
ρ
= =
= = Ω
= Ω
∫ ∫∫ ∫
∫ntaire:
Vecteur force ( f: densité volumique, t:densité surfacique):
t 2e
t te
SF
r N x
F N f N t
ρ= − Ω
= +
∫∫ ∫
AGUˆ ; GUˆ ; NUu =σ=ε=
C’est un cas particulier du solide en grand déplacement de corps rigide et petitesdéformations (cf chap 1-5 et chap 2-3).Le repère est lié au solide idéal indéformable entraîné dans un mouvement de rotationuniforme d’axe fixe.Le vecteur u représente le déplacement d’un point matériel dans ce repère.
U: vecteurs des déplacement nodaux; N: matrice des fonctions d’interpolation nodale approximation interpolée du champ de déplacement uu :
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Principales phénoménologies
Vibrations libres:Fréquences propres fonctions de la vitesse de rotation
Vitesses critiques:Résonances: 1 fréquence propre est un multiple de lavitesse de rotation
Instabilités:Le mouvement est instable pour certaines plages devitesse de rotation
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Vibrations libres
Evolution des fréquences propres en fonction de la vitesse de rotation (diagrammes de Campbell)
•Effet gyroscopique
•Effet de rigidification due à la précontrainte centrifuge
•Effet de spin-softning
( ) ( )lin géom _MU C U K K N UG 0Ω ΩΩ+ + + + + =
( ) ( )lin géom _MU C G U K N U 0K ΩΩΩ+ + + + + =
( ) ( )lin géom _MU C G U K K U 0NΩΩ Ω+ + + + + =
Dédoublement des pulsations propres d’ordre multiple
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Vitesses critiquesRésonances dues aux harmoniques de la vitesse
de rotation, diagramme de CampbellLes fréquences d’excitation sont souvent liées à la vitesse de rotation Ωou à un de ses multiples
•déséquilibre statiqueou dynamique durotor (balourd)•couple moteur nonconstant•sillageaérodynamique(turbines,compresseurs)
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Instabilité
•Spin-softning: la matrice K+N n’est pas toujours définie positive
•Arbre asymétrique (excitation paramétrique)
•Dissipation associées aux parties en rotation
•...
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
modes propres d ’un système gyroscopiqueconservatif
( )lin géom _
K
MU G U K K N U 0 (1)Ω Ω Ω+ + + + =
L’équation (1) est écrite sous forme d ’équation d ’état:
A B
U K 0 0 KW ; W W 0
U 0 M K G
− = + =
A: matrice symétriqueB: matrice antisymétrique
Ket M : matrices symétriquesG : matrice antisymétrique
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Propriétés des modes propres d’un systèmegyroscopique conservatif
t
tt
t
t
t
t
t
soit une solution du type W=Xe
2n valeurs propres et vecteurs propres conjugués 2 à 2
X BXen prémultipliant (1) par X (transconjugué de X) =-
X AX
X BXˆde m
A X+BX=0 (
eme =-X AX
X BXor
1
-X A
)
λ
λ ⇒
λ
λ
( )tt t t t
t t
t t t t
i i i
i
les valeurs propres sont imaginaires pu
X BX X B X X BX- = B B;A A
X X AX X A X X AX
=-
si i est une valeur propre associée au vecteur
res
X
( i ) est une valeur
:
= = − = − =
⇒ λ λλ = ω
− ω i
tk k
t tk j k j
propre associée au vecteur X
On peut normer les vecteurs propres par rapport à la matrice A: X AX 1
les vecteurs propres sont orthogonaux au sens des produits scalaires X AX et X BX
=
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Vibrations libres
k
k
(la solution temporelle est réelle)
conditions initiales de déplacement et de vitesse
= +
=
=
=
∑ ∑k kt tk k k k
k k
k
0
tk 0
W(t) X e X e
i
W(0) W
(0) X AW
λ λα α
λ ω
α
X
YZ
k
k
O
A
ψ
t=0
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
modes propres d ’un système gyroscopiquenon-conservatif
( ) ( )lin géom
K
MU C G U K K N U 0 (1)+ + + + + =
L’équation (1) est écrite sous forme d ’équation d ’état:
A B
U K 0 0 KW ; W W 0
U 0 M K C G
− = + = +
Ket M et C: matrices symétriquesG : matrice antisymétrique
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Propriétés des modes propres d ’un systèmegyroscopique non-conservatif
t
i
t t
i
soit W=Xe
solution: 2n solution , X 2 à 2 conjuguées
les valeurs propres de (1) vérifient: det(A B) 0
soit le problème aux Valeurs propres assoc
A
ié:
les valeurs
X+BX=0 (1)
A Y+B Y=0
propr
(2)
λ
λ
µ
•
λ + =•
λ
t
t tj i j
t t
i
i
i
Y est dit vecteur propre gauche de (
es de (2) vérifient: det(A B ) det(A B
(2) peut aussi s'écrire Y (A B) 0
Bi-orthogonalité:
Y AX Y BX 0 pour i j
en normant les vecteur
) 0
s prop
1
r
)
⇒ λ = µµ + =
λ + =
•
= ≠
µ
⇒
=
+ =
ti i
t tj i ij j i ij i
es tel que Y AX 1
Y AX Y BX
=
= δ = −δ λ
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Effet des précontraintes ‘statiques’
•Rappel: (1) (2)ij ij
j m miij
j i i j
i
i
Les déformations sont infinitésimales:
1 pour i=1,2,3
uu1 u u
2 x x x x
-u
x
= +
<<
∂∂ ∂ ∂ε = + + ε ε∂ ∂ ∂ ∂
∂∂
Mesure des déformations : tenseur de Green
Hypothèses de linéarité :
(1)ij
i
j
jiij
j i
-Les rotations sont de faible amplitude:
1 pour i j
d'où l'expression du tenseur des déformations:
ux
uu1
2 x x
<< ≠
=
∂∂
∂∂ε = + ε∂ ∂
linéaire
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Effet des précontraintes ‘statiques’
•Etat non déformé
V0 V* V(t)
0 0ij ij , ε σ * *
ij ij , ε σ
*iu
•Etat précontraint •Déformation autourde l’état précontraint
0 * 0 *ij ij ij ij ij ij + , ε = ε ε σ = σ +σ
•Si on ne retient que les termes quadratique dans la variation de l’énergie potentiellede déformation, il apparaît un terme supplémentaire du à la partie non-linéaire dutenseur des déformation:
( )* *(1) 0 *(2)ij ij ij ij(Ep)δ = δ σ ε + σ ε∫ ∫
0 *(2)ij ij : Energie potentielle
de précontrainte (géométrique)
σ ε∫
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Matrice de rigidité géométrique
•Discrétisation de l’énergie interne de précontrainte:
En ordonnant le vecteurs des déplacement nodaux sous la forme:
Ut=[U1 U2 …Un V1 V2 …Vn W1 W2 …Wn]
La matrice de raideur géométrique s’écrit:
t 0
V
1 2 n
0 0 0xx xy yz
0 0 01 2 nyy yz
0zz
1 2 n
kg 0 0
Kg 0 kg 0 avec kg= H H dV
0 0 kg
N N N
x x xN N N
H et y y y
symN N N
z z z
= σ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ σ σ σ ∂ ∂ ∂ = σ = σ σ ∂ ∂ ∂ σ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∫
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Phénoménologies associées aux précontraintes
•L’effet d’une précontrainte statique est particulièrement important dans lecas de structures minces (aubes de compresseur, de ventilateur) :
• poutre avec chargement axial (effort normal élevé)
•Coques avec chargement dans leurs plans (contraintes membranairesélevées)
•Des contraintes positives (traction) accroissent la rigidité transverseet les fréquences propres associées (flexion)
•Des contraintes négatives (compression) diminuent la rigiditétransverse et peuvent provoquer une instabilité de flambement.
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Exemple1
Une poutre de longueur L est encastrée perpendiculairementsur un disque rigide à une distance d de l’axe.La poutre a une section circulaire de surface S et d’inertie I
d L
Ω
X
Y
x
Ωt
y
O
U(t) et V(t) sont les déplacements de l’extrémité libre de lapoutre dans le repère tournant oxyzLes déplacements u(z,t) , et v(z,t) d’un point de la fibremoyenne s’expriment à l’aide de la fonction d’interpolationN(z)=z2/L2:u=U.N(z)v=V.N(z)
( ) ( )( ) L 22
0
1Ec S u v v d u dz
2ρ= −Ω + + + Ω∫
[ ]
N
u N 0 0 1 0U
v 0 N ; 1 0 0V
w 0 0 0 0 0
− = = Ω
Ω
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Equation du mouvement (repère tournant)
L Lt t
0 0
tL
2 2 30
L Lt 2 2 t 2 2
0 0
L 5 0 0 L 5M SN Ndz S ; G 2 SN Ndz 2 S
0 L 5 L 5 0
4 0N N EIK EI dz ; C= K
0 4z z L
dL 5 0 L 3
N SN Ndz S ; r SN 0 dz Sd0 L 5 0
z
ρ ρ ρ ρ
η
ρ ρ ρ ρ
− = = = = Ω
∂ ∂ = = ∂ ∂
= = −Ω = − = Ω
Ω
Ω Ω
∫ ∫
∫
∫ ∫
( )2 2 2 20 0
1 0 0 1 1 0 1 0 U 5 3U U2 d
0 1 1 0 0 1 0 1 V 0V Vηω ω
− + Ω + + −Ω = Ω
( )2
2 20
déplacement 'statique' du aux forces centrifuges:
5Us= d ;Vs 0
3 ωΩ
=−Ω
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Valeurs propres propres
λ1
λ2
λ3
λ4
λ1,λ4
λ2,λ3 instable
Résonance pour une excitation dontla fréquence est égale à la vitesse de
rotation
Limite de stabilité:la partie réelle d’uneou plusieurs valeurs propres devientpositive
Parties imaginaires
Parties réelles
t0
U
VW ; W=W e
U
V
λ
=
Ω/ω0
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Formulation dans un repère fixe
Hypothèses:
- Les parties tournantes sont symétriques de révolution(sauf petit déséquilibtre de type balourd)
- Une section droite du rotor est supposée indéformable(arbre ou disque)
-Les supports fixes peuvent être anisotropes(paliers à raideur anisotrope)
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Exemple
X
YZ
ky
kz
O
A
Arbre + disque rigideO: articulationA: palier souple
Arbre: longueur L; masse mDisque: rayon R; masse M
1 1 1
1 1 1 1 2 2 2
2 2 2 2 3 3 3
rotations :
autour de Z : OXYZ Ox y z
autour de y : Ox y z Ox y z
autour de x : Ox y z Ox y z
Ψ →θ →ϕ →
ψ
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Formulation énergétique
2 2 2
2
1 1
2 2 22
2 2Ox y z
Matrice d'inertie du rotor:
MRJ 0 0 J2I 0 J 0 ;
MR ml0 0 J J Ml
4 3
= = = + +
2 2 2
r 1 2 r
Ox y z
sin
Z y x = ;
cos
ϕ−ψ θ Ω = ψ + θ +ϕ → Ω θ ϕ = Ω ψ θ
( )2 2 2 22
Energie cinétique :
1Ec J a sin cos
2 = Ω −ψ θ + θ +ψ θ
( )2 2y y z z
y z
Energie potentielle :
1Ep k u k u ;
2u lsin ; u l cos sin
= +
= ψ = ψ θ
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Equations du mouvement
y z
2 2 22
2 2 2 2 2 2y z z
pour et petits : u l ; u l
1Ec J a 2a
21 1
Ep l k k k l2 2
+
ψ θ = ψ = θ
= Ω − Ωψθ+ θ ψ
= ψ + θ = µψ + θ
22 2 z
Equations de Lagrange :
1 0 0 1 0J J a k l 0
0 1 1 0 0 1
ψ − ψ µ ψ + Ω + = θ − θ θ
( ) ( )
2i t 2 z
0 02
2 2 2 2 2 2 20 0
k lsolution : en posant V e et
J
les pulsations propres sont solutions de :
a 0
ωψ = ω = θ
ω
ω −ω µω −ω − ω Ω =
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Campbell
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Vibrations libres
ψ
θ
y z0
k k ; 0.8; C.I.: =1 =0 =0 =0Ω = = ψ θ ψ θ ω
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Excitation par balourd
r
mb
Faible balourd:mbr2 petitr/l petit
( )2 2
2 2 2balourd b 2
2 22 2 z b
Energie cinétique:
1 r 2rEc m l sin t cos t
2 l l
Equation du mouvement :
1 0 0 1 0 cos tJ J a k l m rl
0 1 1 0 0 1 sin t
Ω Ω= ψ + θ + − ψ Ω + θ Ω
ψ − ψ µ ψ Ω + Ω + = Ω θ − θ θ − Ω
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Solution du problème stationnaire (balourd)
|uz|/u0 |uy|/u0
|uz|=|uy|
Rotor à palier non-symétrique:(ky=kz)2 vitesses critiques
2b
2
m lu0 r.
J=
Rotor à palier symétrique:(ky=kz)1 seule vitesse critique
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
20
2 20
Equations dans le repère fixe :
1 0 0 1 1 0a 0
0 1 1 0 0 1
Equations dans le repère tournant:
1 0 0 2 a (1 a) 0
0 1 (2 a) 0 0
ψ − ψ ψ + Ω +ω = θ θ θ
ψ − ψ ω − − Ω +Ω + θ − − θ ω
2 20
0(1 a)
ψ = θ− − Ω
Repère fixe / repère tournant
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Modèle arbre + disques rigidesmodèle élément fini
Modélisation d’un disque rigide
Z
X
Y
w
v
ψ
θ 1 nœud, 4 ddl (en flexion): v,w,ψ,θ
( ) ( )2 2 2 2 22 1
1 2
1 1 1Ec Md(v w ) J J 2
2 2 2J Jxx ; J Jzz Jyy
= + + θ +ψ + Ω − Ωψθ
= = =
2 1
2 1
Md 0 0 0 0 0 0 0
0 Md 0 0 0 0 0 0M ; G
0 0 J 0 0 0 0 J
0 0 0 J 0 0 J 0
= = −
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Elément arbre
ZX
Y
v1
w1
ψ1
θ1
v2
w2
ψ2
θ2
2 nœuds ; 4 ddl par noeud
t1 1 2 2
t1 1 2 2
2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 2 2 3 2
v(x) Nv.V; V=[v v ]
w(x) Nw.W; V=[w w ]
x x x x x x x xNv Nw 1 3 2 -x+2 3 2
l ll l l l l l
= ψ ψ
= θ θ
= = − + − − −
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Formulation matricielle
− − − − − =
−
2 2
2 2
2
2
156 0 0 22L 54 0 0 13L
156 22L 0 0 54 13L 0
4L 0 0 13L 3L 0
4L 13L 0 0 3LSLM
420 156 0 0 22L
sym 156 22L 0
4L 0
4L
ρ
Lt t t t
v v w w
0
L t tt tv v w w
zz
0
L tt 2v w
xx xx
0
1Ec S V N N V W N N W dx
2
dN dN dN dN1 + I V V W W dx
2 dx dx dx dx
dN dN 1 - I V W dx I
dx dx 2
= ρ +
ρ +
ρ Ω + ρ Ω
∫
∫
∫
− − − − − − − − − − = − − −
2 2
2zz
2
0 36 3L 0 0 36 3L 0
0 0 3L 36 0 0 3L
0 4L 3L 0 0 L
0 0 3L L 0IG
30L anti 0 36 3L 0
sym 0 0 3L
0 4L
0
ρ
Matrice de raideur poutre en flexion classique inchangée
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
balourd
Pour un faible balourd situé sur l’axe OY à t=0:
( )2 2 2 2balourd b
1Ec m v w r 2r vsin t w cos t
2 = + + Ω + Ω − Ω + Ω
L’application des équations de Lagrange fait apparaîtreune masse locale au nœud (souvent négligée) et unvecteur force dans les direction Y et Z.Reporté dans le second membre les composantes sont:
2y b
2z b
F m r.cos t
F m r.sin t
= Ω Ω
= Ω Ω
r
mb
r
mb
Y
Z
αPour un faible balourd situé à un angle a par rapport àl’axe OY à t = 0:
( )( )
2y b
2z b
F m r.cos t
F m r.sin t
α
α
= Ω Ω +
= Ω Ω +