Computing and Processing Correspondences with Functional Maps

Maks Ovsjanikov, Etienne Corman, Michael Bronstein, Emanuele Rodolà, Mirela Ben‐Chen, Leonidas Guibas, Frederic Chazal, Alex Bronstein

SIGGRAPH 2017 course

Functional Vector Fields

Mirela Ben‐ChenTechnion, Israel Institute of Technology

ERC Project 714776 (OPREP)

So far

Computing and analyzing FMAPs Using FMAPs for function transfer

3[Ovsjanikov, BC, Solomon, Butscher, Guibas, SIGGRAPH 2012]

This part

Computing FMAPs using vector fields Using FMAPs for vector field transfer

4[Azencot, BC, Chazal, Ovsjanikov, SGP 2013]

What are vector fields?

• Smooth assignment of “arrow” per point

• Only tangent vector fields

• Visualize with texture• Can see direction but not length

5

Vector fields and maps – symbiosis

Fluid SimulationQuad remeshing Map ImprovementAzencot, Corman, BC, Ovsjanikov, SIGGRAPH 2017 Corman, Ovsjanikov, Chambolle, SGP 2015 Azencot, Vantzos, Wardetzky, Rumpf, BC, SCA 2015

Transporting data with point‐to‐point maps

Mapping scalars Mapping vectors

7

∈∈ ∈∈∈ ∈?

Tangent plane of  at 

The Map Differential

• Start a curve from  with tangent 

• Map the curve to 

• is the tangent of the mapped curve at 

8

∈∈

∈∈

Transporting data with point‐to‐point maps

Mapping scalars Mapping vectors

9

∈∈ ∈∈∈ ∈

Tangent plane of  at 

Transporting data with functional maps

Mapping functions Mapping vector fields

10

: → : →

The Map Differential

11

0

: 0,1 →

0

: 0,1 →

.5

1

.5

1

The functional Map Differential

12

0

: 0,1 →

0

: 0,1 →

.5

1

.5

1

The functional Map Differential

13

The functional Map Differential

14

: →

The functional Map Differential

15

: →: →

The functional Map Differential

16

: →: →

0 0′ 0 ⟨ , ⟩′ 0 ⟨ , ⟩

, ⟨ , ⟩

The functional Map Differential

Corresponding vector fields

18

For all 

Corresponding vector fields

19

For all 

Functional Vector Fields

20

LinearComplete*

Corresponding FVFs

21

, ⟨ , ⟩

Corresponding FVFs commute with FMap

22

Application – Joint vector field design

23constraints

smoothness

map consistency

Application – Joint vector field design

24constraints + smoothness + consistency 

Application  ‐ Joint Quad‐remeshing

25

Wed 9am, Room 152 

[Azencot, Corman, BC, Ovsjanikov, SIGGRAPH 2017]

Map “animation”

27

∈∈

One map Map sequence

∈∈

1.5

0

A 1‐parameter family of maps

28

Back to vector fields

29

Back to vector fields, self maps

30.5 ∈

Back to vector fields, self maps

31∈

From maps to vector fields

32∈

,

From vector fields to trajectories

• We know: map → vector fields

• How to do: vector fields →map?

• Given  solve for  such that

33

The flow PDE

From vector fields to functional trajectories

• Given (stationary)  ,  solve for  such that

34

0 ∘

The flow:

The functional flow:

The functional flow

35

The functional flow

36

⟨ , ⟩

The discrete functional flow

• The surface  is a triangle mesh

• The function  is represented using a linear basis  , e.g. hat basis

• is a vector,  is a matrix

• A matrix ODE

37

The discrete functional flow

• A matrix ODE

• Closed form solution

38

Implementation

• Mesh  :  vertices,  faces.• Represent  in the hat basis ‐ ∈• Represent  in the hat basis – a sparse matrix  ∈

• Compute  t expmv , ,

expmv: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/29576‐matrix‐exponential‐times‐a‐vector?focused=5172371&tab=function

Interpolate to vertices vector per face gradient operator

ApplicationsMaps from vector fields

40[Azencot, Vantzos, BC, SGP 2016]

ApplicationsIncompressible flow on surfaces• Numerically simulate the equation

• Vector field changes, more complicated• Total vorticity  conserved by construction 

41[Azencot, Weißmann, Ovsjanikov, Wardetzky, BC, SGP 2014]

ApplicationsIncompressible flow on surfaces

42

ApplicationsViscous thin films on surfaces

Total volume of fluid conserved by construction

43[Azencot, Vantzos, Wardetzky, Rumpf, BC, SCA 2015]

ApplicationsInferring vector fields

44

is distance preserving commutes with Δ

, , || Δ Δ ||

commutes with Δ

|| Δ Δ ||

[Azencot, BC, Chazal, Ovsjanikov, SGP 2013]

ApplicationsInferring vector fieldsis area preserving is orthogonal

is a rotation in functional space

is anti‐symmetric

is divergence free

(some) conclusions

• Vector fields and maps relate through tangents to trajectories

• Can be used to transport vector fields with maps orto compute maps from vector fields

• The functional approach allows to use linear algebra instead of geometric tracing for trajectory related problems

46

References

• Ovsjanikov, BC, Solomon, Butscher, Guibas, SIGGRAPH 2012, “Functional Maps: A Flexible Representation of Maps Between Shapes”

• Azencot, BC, Chazal, Ovsjanikov, SGP 2013, “An Operator Approach to Tangent Vector Field Processing”

• Azencot*, Weißmann*, Ovsjanikov, Wardetzky, BC, SGP 2014, “Functional Fluids on Surfaces”

• Corman, Ovsjanikov, Chambolle, SGP 2015, “Continuous Matching via Vector Field Flow”

• Azencot, Vantzos, Wardetzky, Rumpf, BC, SCA 2015, “Functional Thin Films on Surfaces”

• Azencot, Vantzos, BC, SGP 2016, “Advection‐Based Function Matching on Surfaces”

• Azencot, Corman, BC, Ovsjanikov, SIGGRAPH 2017, “Consistent Functional Cross Field Design for Mesh Quadrangulation”

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