Comunicaciones Analogicas - Fernandez Rubio - UPC

COMUNICACIONES ANALOGICAS

Juan A. Fernández Rubio

Mayo 1999

&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV

7(0$,6,67(0$6/,1($/(6

,,1752'8&&,216(f$/(6<6,67(0$6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,6(f$/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,6,67(0$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB I.1.2.1.- INTERCONEXION DE SISTEMAS ________________________________________3I.1.2.2.- SISTEMAS LINEALES___________________________________________________5I.1.2.3.- SISTEMAS INVARIANTES _______________________________________________5I.1.2.4.- CAUSALIDAD __________________________________________________________6I.1.2.5.- ESTABILIDAD__________________________________________________________7

,&$5$&7(5,=$&,21'(6,67(0$6/,1($/(6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

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,,17(*5$/'(&2192/8&,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB I.2.3.1.- PROPIEDADES DE LA CONVOLUCION__________________________________17I.2.3.2.- CAUSALIDAD _________________________________________________________23I.2.3.3.- ESTABILIDAD_________________________________________________________23

,'(7(50,1$&,21'(/$5(638(67$$/,038/62 BBBBBBBBBBBBBBBBB

,5(638(67$$/(6&$/2181,'$' BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

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,&21',&,21(6'((;,67(1&,$'(/$75$16)250$'$'()285,(5

,3523,('$'(6'(/$75$16)250$'$'()285,(5BBBBBBBBBBBBBBB I.3.8.1.- TRANSFORMADA DE UNA SEÑAL REAL ________________________________37I.3.8.2.- TRANSFORMADA DE UNA SEÑAL IMAGINARIA PURA____________________38I.3.8.3.- FUNCION REAL PAR __________________________________________________38I.3.8.4.- FUNCION REAL IMPAR ________________________________________________38I.3.8.5.- FUNCION REAL GENERAL _____________________________________________38I.3.8.6.- TEOREMA DE DUALIDAD ______________________________________________39I.3.8.7.- CAMBIO DE ESCALA TEMPORAL Y FRECUENCIAL ______________________42I.3.8.8.- RETARDO TEMPORAL ________________________________________________43I.3.8.9.- DESPLAZAMIENTO FRECUENCIAL. MODULACION_______________________44I.3.8.10.- DIFERENCIACION ___________________________________________________45I.3.8.11.- INTEGRACION_______________________________________________________46I.3.8.12.- CONVOLUCION EN FRECUENCIA _____________________________________49

,9(17$1$6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB I.3.9.1.- VENTANAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO _______________________________50I.3.9.2.- VENTANAS EN FRECUENCIA. FENOMENO DE GIBBS____________________52


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,,5(35(6(17$&,21*5$),&$'(/$75$16)250$'$'()285,(5'(81$6(f$/3(5,2',&$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,)2508/$'(32,6621 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

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,99$/250(',2<$872&255(/$&,21(1)81&,21'(/$65($/,=$&,21(6'(/352&(62 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

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,9(63(&752'(327(1&,$'(81352&(62(67$&,21$5,2 BBBBBB

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,9352&(626(5*2',&26 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,958,'27(50,&2BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

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,958,'2%/$1&2),/75$'2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

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9)8(17( BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

975$160,625 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9&$1$/'(&2081,&$&,21(6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB V.2.3.1.- PERDIDAS EN LINEAS DE TRANSMISION________________________________3V.2.3.2.- PERDIDAS EN EL ESPACIO LIBRE ______________________________________3

95(&(3725 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB V.2.4.1.- RUIDO BLANCO ADITIVO______________________________________________4

95(3(7,'25(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9',67256,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9',67256,21/,1($/BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB V.4.1.1.- ECUALIZADORES ____________________________________________________11

9',67256,2112/,1($/ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB V.4.2.1.- COMPRESORES Y EXPANSORES_______________________________________15

9),/75267(50,1$/(6237,026 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


7(0$9,6(f$/(6<352&(6263$62%$1'$

9,6(f$/$1$/,7,&$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,75$16)250$'$'(+,/%(57 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,352&(6$'2'(6(f$/(60(',$17((/862'(/$66(f$/(6

$1$/,7,&$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,(192/9(17(<)5(&8(1&,$,167$17$1($ BBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,75$16)250$'$'(+,/%(57'(/352'8&72'(81$6(f$/

3$62%$-2<275$3$-2$/72&21(63(&752648(126(62/$3$1BB

9,3523,('$'(6'(/$75$16)250$'$'(+,/%(57 BBBBBBBBBBBB

9,/,1($/,'$' BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,$872&255(/$&,21<(63(&752'(/$75$16)250$'$'(

+,/%(57 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,&255(/$&,21&58=$'$'(81$6(f$/<6875$16)250$'$'(


9,5(/$&,21'(2572*21$/,'$'(175(81$6(f$/<68

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9,75$16)250$'$'(+,/%(57'(/$&2192/8&,21'('26

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9,6(f$/(6&$86$/(6<75$16)250$'$'(+,/%(57 BBBBBBBBBBB

9,6(f$/(63$62%$1'$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

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9,6(f$/(66,0(75,&$6<$17,6,0(75,&$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,&20321(17(6(1)$6(<&8$'5$785$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,5(7$5'26'()$6(<'(*5832BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

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352&(626)$6(<&8$'5$785$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


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/$$872&255(/$&,21'(/352&(623$62%$1'$BBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,58,'2%/$1&23$62%$1'$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,352&(6263$62%$1'$12(67$&,21$5,26 BBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,352&(66263$66$%$1'$$0%)$6($/($725,$ BBBBBBBBBBBBB


7(0$9,,02'8/$&,21(6/,1($/(6

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9,,02'8/$&,21(6/,1($/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,$03/,78'02'8/$'$$0 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

VII.2.1.1.- ANCHO DE BANDA __________________________________________________4

VII.2.1.2.- POTENCIA TRANSMITIDA ____________________________________________5

VII.2.1.3.- GENERACION DE AMPLITUD MODULADA _____________________________6

9,,02'8/$&,210(',$17(',6326,7,92612/,1($/(6 ___________8

9,,02'8/$&,21325&21087$&,212&+233(5 ______________9

VII.2.1.4.- DEMODULACION DE AMPLITUD MODULADA _________________________12

9,,'(7(&725'((192/9(17('(3,&2 ___________________________12

9,,'(7(&725'((192/9(17(3520(',2 ______________________17

9,,02'8/$&,21'2%/(%$1'$/$7(5$/'%/3257$'25$

6835,0,'$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

VII.2.2.1.- GENERACION DE DOBLE BANDA LATERAL ___________________________21

VII.2.2.2.- DETECCION COHERENTE DE DBL____________________________________23

9,,6,1&521,=$&,21'(3257$'25$ ____________________________25

9,,,1&25325$&,21'(3257$'25$ _____________________________25

9,,*(1(5$&,21'(3257$'25$0(',$17(/$=2&8$'5$7,&2__25

9,,02'8/$&,21%$1'$/$7(5$/81,&$%/8 BBBBBBBBBBBBBBBBBB

VII.2.3.1.- GENERACION DE BANDA LATERAL UNICA ___________________________28

9,,',6&5,0,1$&,21(1)5(&8(1&,$2),/75$'2 _______________28

9,,',6&5,0,1$&,21(1)5(&8(1&,$(1'2%/((7$3$ ___________29

9,,02'8/$&,21325',6&5,0,1$&,21'()$6( _________________30

9,,02'8/$'25'(:($%(5_____________________________________31

VII.2.3.2.- DEMODULACION DE SEÑALES BLU __________________________________32

9,,%$1'$/$7(5$/5(6,'8$/29(67,*,$/%/9BBBBBBBBBBBBBBBB

VII.2.4.1.- EXPRESION DE LA SEÑAL MODULADA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO____39

VII.2.4.2.- MODULACION BLV CON PORTADORA________________________________41

9,,58,'2(102'8/$&,21(6/,1($/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,58,'2(1'2%/(%$1'$/$7(5$/BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,58,'2(1%$1'$/$7(5$/81,&$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV9,,58,'2(1$03/,78'02'8/$'$$0&21'(7(&&,21'(

(192/9(17(BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


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9,,,02'8/$&,21(6$1*8/$5(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,02'8/$&,21'()$6(<02'8/$&,21'()5(&8(1&,$ BBBBBB

9,,,02'8/$&,21'()$6( BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,02'8/$&,21'()5(&8(1&,$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,5(/$&,21(175(02'8/$&,21'()$6(<02'8/$&,21'(

)5(&8(1&,$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,&203$5$&,21(175(02'8/$&,21(6$1*8/$5(6</,1($/(6

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,$1$/,6,6(63(&75$/'()0&21817212BBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,$1&+2'(%$1'$'()002'8/$'25$72126,03/( BBBB

9,,,$1$/,6,6(63(&75$/'()0&21'2672126BBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,$1&+2'(%$1'$'(81$6(f$/)0&2181$02'8/$'25$

*(1(5$/3$62%$-2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,02'8/$&,21'()5(&8(1&,$'(%$1'$(675(&+$BBBBBBBB

9,,,*(1(5$&,21'()0'(%$1'$(675(&+$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,02'8/$&,21',5(&7$'()0'(%$1'$$1&+$ BBBBBBBBBBBBB

9,,,02'8/$&,21,1',5(&7$'()0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,'(02'8/$'25(6'()0',6&5,0,1$'25'()5(&8(1&,$6

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9,,,'(7(&&,21'()086$1'281$/,1($'(5(7$5'2 BBBBBBBB

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9,,,35((1)$6,6<'((1)$6,6(1)0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


7(0$,6,67(0$6/,1($/(6

,,1752'8&&,216(f$/(6<6,67(0$6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,6(f$/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,6,67(0$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB I.1.2.1.- INTERCONEXION DE SISTEMAS ________________________________________3I.1.2.2.- SISTEMAS LINEALES___________________________________________________5I.1.2.3.- SISTEMAS INVARIANTES _______________________________________________5I.1.2.4.- CAUSALIDAD __________________________________________________________6I.1.2.5.- ESTABILIDAD__________________________________________________________7

,&$5$&7(5,=$&,21'(6,67(0$6/,1($/(6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,(&8$&,21(6',)(5(1&,$/(6/,1($/(6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,5(638(67$,038/6,21$/ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,17(*5$/'(&2192/8&,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB I.2.3.1.- PROPIEDADES DE LA CONVOLUCION__________________________________17I.2.3.2.- CAUSALIDAD _________________________________________________________23I.2.3.3.- ESTABILIDAD_________________________________________________________23

,'(7(50,1$&,21'(/$5(638(67$$/,038/62 BBBBBBBBBBBBBBBBB

,5(638(67$$/(6&$/2181,'$' BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,6,17(6,6'(6,67(0$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,$872)81&,21(6'(/$(&8$&,21'(&2192/8&,21BBBBBBBBBB

,75$16)250$'$'()285,(5 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,87,/,=$&,21'(/$675$16)250$'$6'(/$3/$&(<)285,(5 BB

,)2508/$'(,19(56,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,7(25(0$'(&2192/8&,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,(-(03/26'(75$16)250$'$6'()285,(5 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,17(535(7$&,21'(/$75$16)250$'$'()285,(5 BBBBBBBBBBB

,&21',&,21(6'((;,67(1&,$'(/$75$16)250$'$'()285,(5

,3523,('$'(6'(/$75$16)250$'$'()285,(5BBBBBBBBBBBBBBB I.3.8.1.- TRANSFORMADA DE UNA SEÑAL REAL ________________________________37I.3.8.2.- TRANSFORMADA DE UNA SEÑAL IMAGINARIA PURA____________________38I.3.8.3.- FUNCION REAL PAR __________________________________________________38I.3.8.4.- FUNCION REAL IMPAR ________________________________________________38I.3.8.5.- FUNCION REAL GENERAL _____________________________________________38I.3.8.6.- TEOREMA DE DUALIDAD ______________________________________________39I.3.8.7.- CAMBIO DE ESCALA TEMPORAL Y FRECUENCIAL ______________________42I.3.8.8.- RETARDO TEMPORAL ________________________________________________43I.3.8.9.- DESPLAZAMIENTO FRECUENCIAL. MODULACION_______________________44I.3.8.10.- DIFERENCIACION ___________________________________________________45I.3.8.11.- INTEGRACION_______________________________________________________46I.3.8.12.- CONVOLUCION EN FRECUENCIA _____________________________________49

,9(17$1$6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB I.3.9.1.- VENTANAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO _______________________________50I.3.9.2.- VENTANAS EN FRECUENCIA. FENOMENO DE GIBBS____________________52

&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-1

,,1752'8&&,216(f$/(6<6,67(0$6

,6(f$/(6

Una señal es cualquier magnitud asociada a un fenómeno físico, función

de una o varias variables independientes, que puede ser revelada por un

instrumento o percibida por el hombre y que contiene información sobre el

fenómeno.

Ejemplos :

- Señal de voz

- Fotografía

- Velocidad del viento en función de la altura

- Etc.

Matemáticamente puede expresarse, para una sola variable, como :

x(t) -W

6(f$/(6(/(0(17$/(6

Escalón

u(t)

1

0 t

u(t) = 1 t > 0

0 t < 0


38/625(&7$1*8/$5

)2

( )(7W

$W[ Π=

$

7 7 W

t

2T = 1 -T < t < T

0 RESTO

38/6275,$1*8/$5

-T T

A

t

x(t) = A tT

Λ ( )

Λ

t

T =1 -

|t|T - T < t < T

0 RESTO

,6,67(0$6

Un sistema es un proceso que transforma una señal x(t) en otra y(t).

SISTEMA

ENTRADA SALIDA

y(t)

T[.]

x(t)


Si no se tiene ningún conocimiento del sistema puede ponerse :

y(t) = T[x(t)]

Ejemplos de sistemas :

- Circuitos eléctricos

- Cámara de fotografiar

- Sistema auditivo

- Etc.

,,17(5&21(;,21'(6,67(0$6

6(5,(2&$6&$'$

SISTEMA 1

[].17

[W SISTEMA 2 \W

[].27

)(1 W\

y(t) = T2 [y1(t)] = T2 [T1[x(t)]] = T[ ]x(t)

T = T2 [T1[.]] = T2 T1


3$5$/(/2

[W

)(1 W\

\W

)(2 W\

+

[].27

[].17

y(t) = y1(t) + y2(t) = T1[ ]x(t) + T2[ ]x(t) = T[ ]x(t)

T = T1 + T2

5($/,0(17$&,21

x(t)y(t)+ T

T

1

2

+

-

y(t) = T1[ ]x(t) - T1 T2[ ]y(t)


,6,67(0$6/,1($/(6

x (t) y (t)

x (t) y (t)2

1T [.]

1

2

El sistema es lineal si verifica que :

y(t) = T[a1x1(t) + a2x2(t)] = a1 T[x1(t)] + a2 T[x2(t)] =

= a1 y1(t) + a2 y2(t)

(-(03/2'(6,67(0$/,1($/

T[.] = d(.)dt

ddt [a1x1 + a2x2] = a1

dx1dt + a2

dx2dt

(-(03/2'(6,67(0$12/,1($/

T[.] = (.)2

(a1 x1 + a2 x2 )2 = a21 x

21 + a

22 x

22 + 2a1 a2 x1 x2

a1 x21 + a2 x

22

,6,67(0$6,19$5,$17(6

Sea y(t) = T[x(t)]

se dice que el sistema es invariante si :

T[x(t - to)] = y(t - to )

(-(03/2'(6,67(0$,19$5,$17(

T[.] = ⌡⌠-

t (.) dτ y(t) = ⌡⌠

-

t x(τ) dτ


⌡⌠-

t x(τ - to ) dτ =

τ - to = u

dτ = du = ⌡⌠

-

t-to x(u)du = y(t-to )

(-(03/2'(6,67(0$9$5,$17(

xx ( t ) y ( t ) = x ( t ) c o s tωο

c o s tωο

y(t-to ) = x(t-to ) cosωo(t-to) [t-to ) cosωo t

,&$86$/,'$'

Se dice que un sistema es causal si no responde antes de que llegue la

entrada. Esto es :

si x(t) = 0 V- t < to

entonces y(t) = T[x(t)] = 0 V- t < to

&20(17$5,2662%5(&$86$/,'$'

Los sistemas causales son de gran importancia, pues todo sistema,

inicialmente en reposo, trabajando en tiempo real es causal. No obstante, los

sistemas causales no son los únicos que tienen significado práctico. Ejemplos

de señales en los que el sistema puede utilizar valores futuros de la entrada

pueden ser en :

- Procesado de imagen (ampliación)

- Señales pregrabadas : voz, geofísicas, meteorológicas, etc.

Así pues, la causalidad no debe ser una restricción.


,(67$%,/,'$'

Un sistema es estable si para toda entrada acotada la salida está

acotada. Las condiciones de estabilidad se verán más adelante.

(-(03/2'(6,67(0$12(67$%/(

INTEGRADOR

y(t) = ⌡⌠-

t x(τ)dτ

si x(t) = u(t) =

1 t > 0

0 t < 0 Función escalón acotada

y(t) =

t t > 0

0 t < 0 No acotada

,&$5$&7(5,=$&,21'(6,67(0$6/,1($/(6

En el dominio del tiempo, los sistemas lineales pueden caracterizarse

por :

- Ecuaciones diferenciales lineales

- Respuesta al impulso

- Variables de estado

,(&8$&,21(6',)(5(1&,$/(6/,1($/(6

Una clase importante de sistemas puede caracterizarse por una

ecuación diferencial lineal que relaciona la entrada y salida. Ejemplos de

sistemas de este tipo son los circuitos RLC y los sistemas mecánicos que

incluyen resortes y fuerzas de amortiguamiento. Si los elementos

"concentrados" del sistema son invariantes en el tiempo, la ecuación

diferencial tendrá coeficientes constantes y adopta la forma general :


∑n=0

N an

dny

dtn = ∑

m=0

M bm

dmx

dtm

La solución de esta ecuación es de la forma :

y(t) = yh(t) + yp(t)

yh(t) = solución de la ecuación homogénea

yp(t) = solución particular

Para la resolución de la ecuación homogénea :

∑n=0

N an

dnyh

dtn = 0

se resuelve la ecuación característica

∑n=0

N an sn = 0

si las raíces de esta ecuación son simples, la solución será de la forma

yh(t) = ∑n=1

N An esnt

donde las An son N constantes arbitrarias y sn son las N raíces de la

ecuación característica.

Si alguna raíz fuese múltiple, la solución es algo más complicada y el

procedimiento de resolución puede encontrarse en libros dedicados a este

tema.

Para determinar las constantes An se precisarán N-condiciones

denominadas condiciones iniciales.

(-(03/2'(6,67(0$'(6&5,72325(&8$&,21(6',)(5(1&,$/(6


Ce (t) = x (t)i e (t) = y (t)oi(t)

Filtro paso bajo RC

La relación entrada-salida es :

x(t) = R i(t) + y(t)

donde

i(t) = C dy(t)

dt

Sustituyendo queda la ecuación diferencial :

y + τo dydt = x τo = RC

La ecuación característica es :

τo s + 1 = 0 s = -1/τo

por tanto la solución de la homogénea será :

yh(t) = A e-t/τo

para la solución particular suponemos una entrada :

x(t) = [acosωot] u(t)

u(t) = 1 t > 0

0 t < 0

La solución particular es :

yp(t) = a

1 + (τoωo)2 cos(ωo t - ϕ) u(t)

ϕ = arctg(τo ωo )


Para la determinación de la constante A necesitamos una condición

inicial. Supongamos

y(0) = yo

En este caso la solución general (suma de la homogénea y la particular)

será :

y(t)=yo e-t/τo +

a

1+(τoωo)2 cos(ωot-ϕ) - e-t/τo cos ϕ u(t)

De esta solución se deduce que si a=0, x(t) = 0, y(t) 0 y por

consiguiente el sistema no verifica la condición de linealidad establecida en

I.1.2.2, aunque está descrito por ecuaciones diferenciales lineales, ya que una

entrada nula produce una salida distinta de cero. El sistema tampoco es

invariante ni causal, de acuerdo con las definiciones dadas en I.1.2.3 y I.1.2.4,

respectivamente.

Si se cumple que yo = 0, el sistema será lineal, causal e invariante. Si

se cumple esta condición el sistema estará inicialmente en reposo, esto es, no

tendrá ninguna energía almacenada (condensador descargado).

Todas estas consideraciones pueden generalizarse a un sistema de

orden N en la variable y, así si un sistema de orden N está inicialmente en

reposo se cumplirá que :

y(0) = dydt

t=0 = . . . =

dN-1 y

dtN-1 t=0

= 0

y el sistema será lineal, causal e invariante.

Si un sistema tiene almacenada energía (condiciones iniciales no nulas)

puede descomponerse como en la figura.


CONDICIONES INICIALES NO NULAS

y(t)

x(t)=0

x(t)

T o

T

CONDICIONES INICIALES NULAS

+

Definiciones de linealidad, causalidad e invarianza que incluyen también

la respuesta libre (sistema superior) y que están más en consonancia con la

idea intuitiva de tales conceptos, pueden encontrarse en diversos textos de

sistemas lineales. En lo que sigue, sólo se considerarán sistemas relajados,

esto es, con condiciones iniciales nulas.

La descripción de un sistema mediante ecuaciones diferenciales es, en

muchas ocasiones, de difícil manipulación y solución, obliga a entrar en

consideraciones de cómo está constituido el sistema, es decir, requiere

conocer los coeficientes y finalmente no es un método experimental de análisis

de sistemas lineales.

,5(638(67$,038/6,21$/

,1752'8&&,21

Supongamos un integrador en un período de T-segundos.

y(t) = ⌡⌠t-T

t x(τ) dτ

y sean las entradas x1(t) y x2(t)


t /2o

o ox

1( τ) =

1

tΠ (

τ − t o / 2

t)

x2

( τ) =1

t oe

− τ/ tu ( τ )o

0 τ

1

t ox ( )τ1

x2

( τ)1

t o

to

τ

con to < T

Ambas entradas verifican :

⌡⌠-

x1(τ) dτ = ⌡⌠

-

x2(τ) dτ = 1 ; V- to

Las salidas correspondientes a ambas señales son :

y1(t) =

0 t < 0

t/to 0 < t < to

1 to < t < T

(to-t+T)/to T < t < to + T

0 to + T < t

y2(t) =

0 t < 0

1-e-t/to 0 < t < T

e-t/to ( )eT/to - 1 T < t


t

t

t o t o + T

T

y (t)1

y2 (t)

1

1-e-T/t o

T

Ambas señales de salida no tienen gran parecido, no obstante si T >> to

ambas señales se aproximan bastante.


tTt o

tTt oy

2 (t)

1y (t)

En el límite to →ambas señales coinciden, lo que sugiere un invariante,

en una prueba experimental. La salida no depende de la forma de la entrada

sino de su área normalizada a la unidad. Esta es la respuesta al impulso. En

este caso representaremos al sistema por una función característica y no por

una ecuación característica.

,,17(*5$/'(&2192/8&,21

Para obtener la salida de un sistema en función de la respuesta al

impulso y la entrada, formemos a partir de ésta la siguiente función :

x(t) = ∑n=-

x(n∆τ)

t-n∆τ

∆τ = ∑n=-

x(n∆τ)

1∆τ

t-n∆τ

∆τ ∆τ


x(t)

t

∆τ

Evidentemente

x(t) = lím x (t)

∆τ→0

La función

0 t

∆τ

n

1/ ∆τ

∆τ

ó

lím 1∆τ Π

t-n∆τ

∆τ = δ (t-τ)

∆τ→

Es la función impulso o delta de Dirac y, burdamente hablando, puede

decirse que es un pulso de amplitud infinita y duración cero. Esta función

puede ser tratada como una función generalizada o función de distribución y

no tiene sentido definirla punto por punto. No obstante, no habrá problemas en


el tratamiento de deltas como funciones ordinarias, ya que siempre aparecerán

bajo el signo integral, y en ese caso

⌡⌠-

δ(t) dt = 1

x(t) = lím

∆τ→0 x(t) = ⌡⌠-

x(τ) δ(t-τ)dτ

la función delta puede obtenerse como límite de otras funciones como por

ejemplo la del apartado anterior

δ(t) = lím

to→0 1to

e-t/to

En general :

si ⌡⌠-

s(t) dt = 1

entonces δ(t) = lím kk→

s(kt) =

límc→0

1c s(t/c)

Definiendo h(t,τ) la respuesta en t a un impulso en el instante τ

h(t,τ) = T[ ]δ(t-τ)

la salida y(t) valdrá para un sistema lineal

y(t) = T[ ]x(t) = ⌡⌠-

x(τ) T[ ]δ(t-τ) dτ

y(t) = ⌡⌠-

x(τ) h(t,τ)dτ S.L.

Si además el sistema es invariante h(t,τ) = h(t-τ) y la salida

y(t) = ⌡⌠-

x(τ) h(t-τ) dτ S.L.I.


Que se conoce como integral de convolución o simplemente

convolución y que en forma escueta se escribirá.

y(t) = x(t) * h(t)

,3523,('$'(6'(/$&2192/8&,21

La convolución es conmutativa

y(t) = x(t)* h(t) = ⌡⌠-

x(τ) h(t-τ) dt =

t - τ = u

= ⌡⌠

-

x(t-u)h(u) du

= h(t) * x(t)

x(t) * h(t) = h(t) * x(t)

La convolución es asociativa

z(t) = x(t) * [y(t) * h(t)] = [x(t) * y(t)]* h(t) = x(t) * y(t) * h(t)

La convolución es distributiva respecto de la suma

z(t) = h(t) * [ ]x(t) + y(t) = h(t) * x(t) + h(t) * y(t)

De la propiedad conmutativa se concluye que dos sistemas lineales

invariantes (S.L.I.) conectados en cascada son completamente permutables.

Así los sistemas :


h(t)=h (t)*h (t)1 2

h(t)=h (t)*h (t)12

x(t) S.L.I.h (t)2

S.L.I.

h (t)2

S.L.I.h (t)1

S.L.I.h (t)1

w(t) y(t)

y(t)x(t) z(t)

Son equivalentes.

La propiedad asociativa permite generalizar lo anterior a cualquier

número de sistemas en cascada.

(-(03/26'(&$/&8/2'(&2192/8&,21

1)

to0 T

1/T

x(t) h(t)1

*

t t

x(t) = 1T (

t-T/2T ) h(t) = e-t/to u(t)

La convolución es

y(t) = x(t) * h(t) = ⌡⌠-

x(τ) h(t-τ) dτ = ⌡⌠

-

x(t-τ) h(τ) dτ

Así, puede invertirse bien x(τ) bien h(τ). En cualquier caso pueden

distinguirse 3 zonas.


a)

0 Tt τ

x( τ )h(t- τ )

En este caso no se solapan y por tanto la integral es cero.

y(t) = 0 t < 0

b)

0

τt

x( τ )h(t- τ )

En este caso hay solapamiento parcial.

y(t) = ⌡⌠0

t

1T e-(t-τ)/to dτ =

toT (1 - e-t/to) 0 < t < T

c)

0 T t

τ

h(t- )τx( )τ


y(t) = ⌡⌠0

T

1T e-(t-τ)/to dτ =

toT ( )eT/to - 1 e-t/to t > T

La señal de salida es

T t

/ T ( 1- e )ot - T/

ot

2)

x(t)

o t−β β

h(t)1/T

-T/2 T/2 t

*

x(t) = cos πt2β

t2β h(t) =

1T

tT

T/2 > β

En este ejemplo se tendrán cinco zonas.


a)

h (t - )τ x( )τ

−β βτ

t

No hay solapamiento.

y(t) = 0 t < - β - T/2

b)

−β βτ

t

t+T/2

o

y(t) = ⌡⌠-β

t+T/2

1T cos

πτ2β dτ - β - T/2 < t < β - T/2

c)

−β βτ

to


y(T) = ⌡⌠-β

β

1T cos

πτ2β dτ β - T/2 < t < - β + T/2

d)

−β β τt

t-T/2

o

y(t) = ⌡⌠t-T/2

β

1T cos

πτ2β dτ -β + T/2 < t < β + T/2

e)

−β β τto

y(t) = 0 t > β + T/2

La señal de salida es :

y(t) =

0 t < -β - T/2

2βπT [1 + sen

π(T/2 + t)2β ] - β - T/2 < t < β - T/2

4βπT β - T/2 < t < -β + T/2

2βπT [1 + sen

π(T/2 - t)2β ] - β + T/2 < t < β + T/2

0 t > β + T/2


y(t)

-T/2 -T/2 +T/2 +T/2β β β β− − t

Obsérvese que la duración de la salida es la suma de las duraciones de

la entrada y respuesta impulsional.

,&$86$/,'$'

Si h(t,τ) es la respuesta de un sistema lineal en el instante t a un

impulso en el instante τ, el sistema será causal si

h(t,τ) = 0 t < τes decir el sistema no debe responder antes de que haya entrada.

Si el sistema además de lineal es invariante

h(t) = 0 t < 0

,(67$%,/,'$'

Si |x(t)| < M ; V- t (entrada acotada)

|y(t)| = ⌡⌠-

x(t-τ) h(τ) dτ ⌡⌠

-

|x(t-τ)| |h(τ)| dτ <

< M ⌡⌠-

|h(τ)| dt

Luego para que la salida esté acotada se debe verificar


⌡⌠-

|h(τ)| dτ <

,'(7(50,1$&,21'(/$5(638(67$$/,038/62

$3$57,5'(/',$*5$0$'(%/248(6

T

x( t )y( t )

+

-

Σ ∫ ∞−

W

GW

y(t) = ⌡⌠-

[x(τ) - x(τ - T)]dτ

si x(t) = δ(t)

h(t) = ⌡⌠-

t [ ]δ(τ) - δ(τ-T) dτ =

u(t) - u(t-T) t 0

0 t < 0 = Π

t-T/2T

h(t)

1

o Tt

$3$57,5'(/$6(&8$&,21(6',)(5(1&,$/(6

Sea el ejemplo estudiado anteriormente


C y(t)x(t)

R

τo dy(t)

dt + y(t) = x(t)

τo = RC

La respuesta impulsional obedecerá

τo dh(t)

dt + h(t) = δ(t)

o lo que es lo mismo

τo dh(t)

dt + h(t) = 0 t <> 0

Integrando la otra ecuación entre o- y o+

τo [h(o+ ) - h(o- )] + ⌡⌠

o-

o+

h(t)dt = 1

La integral es cero ya que h(t) no debe tener impulsos en el origen.

Además si el sistema debe ser causal h(o- ) = 0, luego

h(o+ ) = 1/τo

Así pues la respuesta impulso se calcula resolviendo la homogénea

para t>0 sujeta a esta condición de contorno. La solución de la homogénea es

:


h(t) = A e-t/τo u(t)

Imponiendo la condición de contorno A = 1/τo

h(t) = 1to

e-t/τo u(t)

Este procedimiento puede generalizarse a ecuaciones diferenciales de

cualquier orden. No obstante, como se verá más adelante, la solución es más

simple en el dominio de la transformada.

,5(638(67$$/(6&$/2181,'$'

Otra forma de caracterizar un sistema es mediante su respuesta al

escalón unidad, para ello veamos primero la relación entre el impulso y el

escalón.

t 0 τ

δ(τ)

t0 τ

δ(τ)

Es evidente que

u(t) = ⌡⌠-

t δ(τ)dτ ó δ(t) =

du(t)dt

Sea ahora a(t) la respuesta al escalón

a(t) = ⌡⌠-

u(τ) h(t-τ) dτ = ⌡⌠

0

h(t-τ) dτ =

t-τ = u = ⌡⌠

-

t h(u) du

Luego


a(t) = ⌡⌠-

t h(u) du h(t) =

da(t)dt

La respuesta al impulso es la derivada de la respuesta al escalón.

,6,17(6,6'(6,67(0$6

En muchas situaciones se conocerá la entrada al sistema y su salida y

se deseará hallar la respuesta impulsional garantizando estabilidad y

causalidad, es decir, habría que resolver la ecuación.

y(t) = ⌡⌠-

x(τ) h(t-τ) dτ = ⌡⌠

-

x(t-τ) h(τ)dτ

↑_______ ↑ ↑ datos incógnita

Que se conoce como problema de deconvolución. El problema es

bastante difícil por estar la incógnita bajo el signo integral, por lo que se hace

necesaria alguna otra representación de sistemas lineales e invariantes como

se verá a continuación.

,$872)81&,21(6'(/$(&8$&,21'(&2192/8&,21

Sea est la entrada a un sistema lineal e invariante. La salida será :

y(t) = ⌡⌠-

h(τ) es(t-τ) dτ = est ⌡⌠

-

h(τ) e-sτ dω

= H(s) est

Es decir, la salida es la misma entrada multiplicada por un factor H(s).

Por tanto est es una autofunción de cualquier S.L.I. y H(s) es el autovalor

correspondiente denominado también función de transferencia del sistema.


H(s) = ⌡⌠-

h(t) e-st dt

H(s) es la transformada de Laplace bilateral de la respuesta impulsional.

,75$16)250$'$'()285,(5

Haciendo s = jω en la transformada de Laplace se obtiene la respuesta

frecuencial :

H(jω) = ⌡⌠-

h(t) e-jωt dt

Que es la transformada de Fourier de la respuesta impulsional y que también

será representada por

H(ω) = F[h(t)]

Fh(t) ↔ H(ω)

Donde por simplicidad se ha omitido la unidad imaginaria j en el

argumento.

Análogamente podemos definir la transformada de Fourier de una señal

x(t).

X(ω) = ⌡⌠-

x(t) e-jωt dt

,87,/,=$&,21'(/$675$16)250$'$6'(/$3/$&(<)285,(5

La transformada de Laplace es idónea para el estudio del régimen

transitorio de sistemas lineales, estudio de sistemas de control, para el estudio


de las propiedades analíticas de la transformada de Fourier, especialmente

singularidades y para la evaluación, en algunos casos, de la transformada

inversa de Fourier mediante una modificación conveniente del camino de

integración. Es una expresión matemática carente de significado físico.

Por el contrario la transformada de Fourier tiene interpretación física

como espectros, diagramas de difracción, etc. Además, al ser función de una

sola variable real, puede dibujarse la respuesta frecuencial y observar de una

manera intuitiva sus propiedades.

I.3.3.- FORMULA'(,19(56,21

Para obtener la transformada inversa de Fourier, partiremos de la

identidad

δ(t) = 12π ⌡⌠

-

ejωt dω

En efecto

12π ⌡⌠

-

ejωt dω =

líma→

12π ⌡⌠

-a

a ejωt dω =

= lím

a→ sen at

πt = lím

a→ a sen atπ(at)

Que coincide con la función δ(t) según se ha visto anteriormente ya que

⌡⌠-

sen tπt dt = 1

Obsérvese que al ser ejωt autofunciones del sistema, cualquier función,en este caso δ(t), puede escribirse como combinación lineal de ellas.

Teniendo en cuenta que

T[δ(t)] = h(t)


T

1

2π ⌡⌠-

ejωt dω =

12ω ⌡⌠

-

T[ejωt] dt =

12π ⌡⌠

-

H(ω) ejωt dt

Luego

h(t) = 12π ⌡⌠

-

H(ω) ejωt dt

Transformada inversa de Fourier

Tδ (t) h(t)

12π ⌡⌠

-

ejωt dω

12π ⌡⌠

-

H(ω) ejωt dω

Análogamente la transformada inversa de Fourier de una señal será

x(t) = 12π ⌡⌠

-

X(ω) ejωt dω

Otra forma de verlo

x(t) = ⌡⌠-

x(τ) δ(t-τ)dτ = ⌡⌠

-

x(τ)

12π ⌡⌠

-

ejω(t-τ) dω dτ =

= 12π ⌡⌠

-

ejωt

⌡⌠-

x(τ)

_ejωτ dτ dω =

12π ⌡⌠

-

X(ω) ejωt dω


,7(25(0$'(&2192/8&,21

Sea x(t) la entrada a un S.L.I. con respuesta impulsional h(t). La salida

será

y(t) = x(t) * h(t) = ⌡⌠-

x(τ) h(t-τ) dτ

Sustituyendo x(t) por la integral de Fourier para inversión

y(t) = ⌡⌠-

h(t-τ)

12π ⌡⌠

-

X(ω) ejωτ dω dτ

Intercambiando las integrales

y(t) = 12π ⌡⌠

-

X(ω)

⌡⌠-

h(t-τ) ejωτ dτ dω = t-τ=u

= 12π ⌡⌠

-

X(ω) ejωt

⌡⌠-

h(u) e-jωu du dω

= 12π ⌡⌠

-

X(ω) H(ω) ejωt dω

Teniendo en cuenta que la transformada inversa de Y(ω) es

y(t) =12π ⌡⌠

-

Y(ω) ejωt dω

Identificando se obtiene

Y(ω) = X(ω) H(ω)


Es decir, la transformada de Fourier de la salida (convolución de la

entrada con la respuesta impulsional) es el producto de las transformadas de

la entrada y de la respuesta impulsional.

F [x(t) * h(t)] = X(ω) H(ω)

La convolución se reduce a un producto en el dominio de la

transformada y por tanto la deconvolución se convierte en un cociente.

H(ω) = Y(ω)X(ω) h(t) = F-1 [H(ω)]

,(-(03/26'(75$16)250$'$6'()285,(5

75$16)250$'$'(/,038/62

F[ ]δ(t) = ⌡⌠-

δ(t) e-jωt dt = 1

Fδ(t) ↔ 1

0

t

1

0 ω

F

75$16)250$'$'(8138/625(&7$1*8/$5

h(t) = AtT )

H(ω) = A ⌡⌠-T/2

T/2 e-jωt dt = A

2sen ω T/2ω

= AT sen πfT

πfT = AT sin c f T


F

A( tT ) ↔ A

2 sen ω T/2ω

-T/2

AT

2 π/T

2πT

ω

FA

T/2 t

-

T

),/7523$62%$-25&

h(t) = 1τo

e-t/τo u(t)

H(ω) = 1τo

⌡⌠0

e

-(jω+1τo

) t dt =

11+jωτo

F1τo

e-t/τo u(t) ↔

11+jωτo

En este caso, la transformada es compleja y habrá que representar el

módulo y la fase

|H(ω)|2 = 1

1+(ωτo)2

ϕH(ω) = -arctg(ωτo )


t

h(t)

/4

/4

/2

/2

1/ 2

|H ( )|

1

1/e

το

το

το το

1/

1/ 1/−

π

π

π

π

−

−

ω

ω

φ Η ( )ω

ω

La frecuencia de corte definida a 3dB, esto es

10 log |H(ωc)|2

|H(0)|2 = -3dB

Vale ωc = 1/τo . La banda de paso del filtro estará comprendida entre -

1/τo < ω < 1/τo y en esta banda la fase es aproximadamente lineal, es decir,

habrá pequeña distorsión a la salida del filtro como se verá más adelante.

Para frecuencias muy elevadas el módulo decae como

|H(ω)|2 ↔1

ω2

ω →

Así pues entre una frecuencia ωo y el doble de la misma la relación en

dBs es

10log |H(2ωo)|2

|H(ωo)|2 → -6dB

Se dice que la respuesta decae a un ritmo de 6dB/octava.


,,17(535(7$&,21'(/$75$16)250$'$'()285,(5

Físicamente, la interpretación de la transformada de Fourier de una

señal x(t) sólo puede hacerse en términos de energía que se verá más

adelante. No obstante, puede adelantarse que el contenido frecuencial de una

señal será tanto mayor a una frecuencia dada cuanto mayor sea el módulo desu transformada a esa frecuencia |X(ω)|, más concretamente el módulo

cuadrado |X(ω)|2 .

,&21',&,21(6'((;,67(1&,$'(/$75$16)250$'$'()285,(5

Obviamente, cualquier señal que podamos generar físicamente,

poseerá transformada de Fourier, es decir, poseerá un espectro de energía.

No obstante vale la pena preguntarse si cualquier función matemática posee

transformada.

&21',&,21(6'((;,67(1&,$

1.- La función debe ser de variación acotada, esto es, en cualquier intervalo

finito la curva debe tener longitud finita. Un ejemplo de función que no

es de variación acotada es

x(t)= sen (1/t)

t


Esta función no tiene transformada de Fourier, pero no hay que

preocuparse excesivamente, ya que no es realizable físicamente ni

siquiera como aproximación.

2.- Si

⌡⌠-

|x(t)| dt <

la transformada existe. En efecto

|X(ω)| = | ⌡⌠-

x(t) e-jωt dt | ⌡⌠

-

|x(t)| dt <

No obstante, esta condición sólo es suficiente, no es necesaria.

Ejemplo :

x(t) = senωot

t X(ω

ω

2ωo

No es módulo integrable y sin embargo su transformada existe.

3.- Cualquier discontinuidad tiene que ser de salto finito y el número de

discontinuidades en un intervalo finito también ha de ser finito. Estas

condiciones también son suficientes. Si una función es discontinua enun punto, to , la transformada inversa devuelve el valor (Ver fenómeno

de Gibbs).

f(to ) = f(to

+)-f(to-)

2

con las condiciones anteriores, las funciones

sen t

u(t)δ(t)


No tendrían transformada de Fourier. Tampoco son realizables

físicamente. No obstante puede representar aproximadamente

funciones realizables físicamente. Las funciones

e-αt2 sen t

e-αt2 u(t)1α

tα )

Tienen transformada y tienden a las funciones anteriores cuando α ∅ 0.

Por tanto podremos considerar que aquellas funciones tienen

transformada en el límite.

,3523,('$'(6'(/$75$16)250$'$'()285,(5

,75$16)250$'$'(81$6(f$/5($/

Sea x(t) real

X(ω) = ⌡⌠-

x(t) e-jωt dt

Re[X(ω)] = R(ω) = ⌡⌠-

x(t) cosωt dt

Im[X(ω)] = I(ω) = - ⌡⌠-

x(t) senωt dt

Se cumple que :

R(-ω) = R(ω) Función par

I(-ω) = -I(ω) Función impar

Conclusión :

X(-ω) = X*(ω) X(ω) es hermítica


,75$16)250$'$'(81$6(f$/,0$*,1$5,$385$

Sea x(t) = jx’(t)

R(ω) = ⌡⌠-

x’(t)senωt dt I(ω) = ⌡⌠

-

x’(t) cosωt dt

se cumple que :

R(-ω) = -R(ω) impar ; I(-ω) = I(ω) par

Conclusión

X(-ω) = -X*(ω)

X(ω) es antihermítica

,)81&,215($/3$5

Sea x(-t) = x(t)

R(ω) = 2⌡⌠

0

x(t) cosωt dt

I(ω) = 0

X(ω) = 2 ⌡⌠0

x(t) cosωtdt

,)81&,215($/,03$5

Sea x(-t) = -x(t)

R(ω) = 0

I(ω) = -2⌡⌠0

x(t)senωtdt

X(ω) = -2j ⌡⌠0

x(t)senωtdt

,)81&,215($/*(1(5$/

Cualquier función real puede escribirse como :

x(t) = xp(t) + xi(t)


siendo la parte par e impar respectivamente

xp(t) = x(t) + x(-t)

2

xi(t) = x(t) - x(-t)

2

Puesto que

F[x(-t)] = X*(ω) si x(t) es real se tiene que

F[xp(t) ] = 12 [X(ω) + X*(ω) ] = R(ω)

F[xi(t) ] = 12 [X(ω) - X*(ω) ] = jI(ω)

o también

R(ω) = 2 ⌡⌠0

xp(t) cosωtdt

I(ω) = -2 ⌡⌠0

xi(t) senωtdt

Análogamente, las transformadas inversas

xp(t) = 1

⌡⌠0

R(ω) cosωtdω

xi(t) = -1

⌡⌠0

I(ω) senωt dω

,7(25(0$'('8$/,'$'

Sean x(t) y X(ω) un par de transformadas, esto es


x(t) = 1 ⌡⌠

-

X(ω) ejωt dω

llamando z = ω

[W ⌡⌠-

X(z) ejzt dz

por tanto

[W ⌡⌠-

X(z) e-jzt dz

o bien cambiando las variables

[ω) = ⌡⌠-

X(t) e-jωt dt

Luego

F

X(t) ↔ [-ω)

Ejemplos

1) δ(t) ↔ 1

F

1 ↔ δ(ω)

F

2) AW7 ↔ 2A senωT/2

ω


F

2A sen2πBt

t ↔ $

ω

4πB

AT

2 πT

ω

t

AB

-1 / 2 B 1 / 2 B

A ∏4 πB( )ω

F

F

2 πT

-

-T/ 2 T / 2

A ( t / T )∏

t

Α

ω

T 4 πB

-2 πB 2 πB

A s in 2 πB t

πt

3) Cálculo de la transformada de

x(t) = 2

t2+1

Puesto que

F

e-|t| ↔ 2

ω2+1

Se tiene

F2

t2+1 ↔ H-|ω|


La propiedad de dualidad puede utilizarse para deducir las propiedades

duales, es decir, si hay ciertas características de una función del tiempo que

tienen implicaciones en el dominio de la frecuencia, por dualidad pueden

deducirse las implicaciones en el dominio del tiempo de algunas funciones de

frecuencia.

,&$0%,2'((6&$/$7(0325$/<)5(&8(1&,$/

F

Sea x(t) ↔ X(ω)

¿Cuál será la transformada de x(at)?

-T/2 T/2 t

1 x(t) 1 x(at)

a>1

t-T/2a T/2a

⌡⌠-

x(at)e-jωt dt =

u=at

du=adt =

1a ⌡⌠

-

x(u) e-jω/a u du

= 1|a| X(ω/a)

Los signos dentro del círculo corresponden a a < 0.

T2πT

ω

2πT

-

T/a2πa

T

ω


CONCLUSION :

Existe una relación inversa entre tiempo y frecuencia. Si la función

temporal se comprime/expande, la transformada se expande/comprime según

sea a > 1 ó a < 1.

Un disco grabado a 33 r.p.m. cuando se reproduce a 45 r.p.m. el tiempo

se comprime y por tanto la respuesta frecuencial se expande, oyéndose más

agudo.

,5(7$5'27(0325$/

F

Sea x(t) ↔ X(ω)

¿cuál será la transformada de x(t-to )?

⌡⌠-

x(t-to ) e-jωt dt =

t-to = u

dt = du = e-jωto ⌡⌠

-

x(u) e-jωu du

= e-jωto X(ω)

CONCLUSION :

Un retardo de tiempo se traduce en un retardo de fase lineal en la

transformada y viceversa. El módulo de la transformada se conserva.

Así un sistema cuya respuesta frecuencial es de la forma

H(ω) = ke-jωto

Aplicado sobre una entrada x(t) da una salida

Y(ω) = H(ω) X(ω) = ke-jωto X(ω)

cuya transformada inversa es


y(t) = kx(t-to )

Es decir, no introduce distorsión, tan sólo cambia la amplitud y retarda

puramente la entrada

EJEMPLO F

δ(t) ↔ 1

F

δ(t-to ) ↔ e-jωto

,'(63/$=$0,(172)5(&8(1&,$/02'8/$&,21

Sea

F-1

X(ω) ↔ x(t)

¿cuál será la transformada inversa de X(ω-ωo )?

1 ⌡⌠

-

X(ω-ωo )ejωt dω =

ω-ωo=u

dω = du = ejωot

1 ⌡⌠

-

X(u)ejut du

F-1

X(ω-ωo ) ↔ ejωot x(t)

EJEMPLO


xx( t )

c o s tωo

x( t )c o s tω o

y(t) = x(t) cosωo t

cosωo t = 12 [ ]ejωot + e-jωot

y(t) = 12 [ ]ejωot + e-jωot x(t)

Y(ω) = 12 [X(ω-ωo ) + X(ω+ωo )]

X( ω)

Y( ω)

- ω ω ω ω- ωωc o oc 0

El ancho de banda es el doble.

,',)(5(1&,$&,21

Sea F

x(t) ↔ X(ω)


¿cuál será la transformada de dxdt ?

dx(t)dt =

12π ⌡⌠

-

X(ω)

ddt e

jωt dω = 12π ⌡⌠

-

jωX(ω) ejωt dω

Fdx(t)

dt ↔ jωX(ω)

CONCLUSION :

Derivar en el tiempo es equivalente a multiplicar por jω en el dominio de

la frecuencia.

EJEMPLO : Ecuaciones diferenciales

∑n=0

N an

dny(t)

dtn = ∑

m=0

N bm

dmx(t)

dtm

∑n=0

N an (jω)n Y(ω) = ∑

m=0

N bm (jω)m X(ω)

de donde se deduce que

H(ω) = Y(ω)X(ω) =

∑m=0

M bm(jω)m

∑n=0

N an(jω)n

,,17(*5$&,21

Sea


F

x(t) ↔ X(ω)

¿cuál será la transformada de ⌡⌠-

t x(τ)dτ?

Llamemos

φ(t) = ⌡⌠-

t x(τ)dτ = x(t) * u(t)

t τ

u(t- )τ

Por tanto

φ(ω) = X(ω) U(ω)

Luego debe hallarse U(ω)


1

t

u(t)

1/2

t

sign(t)

1/2

-1/2t

+1

__2

u(t) = 12 + [u(t) -

12 ] =

12 +

12 sign(t)

U(ω) = 12 2π δ(ω) +

12 F[sign(t)]

Para hallar la transformada de sign(t), hallamos la de su derivada.

ddt [sign(t)] = 2δ(t)

Luego F

sign(t) ↔ 2jω

U(ω) = πδ(ω) + 1jω


y por consiguiente

φ(ω) = π X(ω) δ(ω) + X(ω)jω

F

⌡⌠-

t x(τ) dτ ↔ πX(0)δ(ω)+X(ω)/jω

Obsérvese que

X(0) = ⌡⌠-

x(t) dt = área de la señal

,&2192/8&,21(1)5(&8(1&,$

X(ω) * Y(ω) = ⌡⌠-

X(ω') Y(ω-ω') dω'

Sustituyendo X(ω') por su expresión integral

X(ω) * Y(ω) = ⌡⌠-

⌡⌠-

x(t) e-jω't dt Y(ω-ω') dω'

Intercambiando las integrales

= ⌡⌠-

x(t)

⌡⌠-

Y(ω-ω') e-jω't dω' dt =

u = ω - ω'

du = -dω' =

= 2π ⌡⌠-

x(t) e-jωt

1

2π ⌡⌠-

Y(u) ejut du dt =


= 2π ⌡⌠-

x(t) y(t) e-jωt dt

Luego

F-1

X(ω) * Y(ω) ↔ 2π x(t) y(t)

Este teorema es dual del de la convolución en el tiempo.

,9(17$1$6

,9(17$1$6(1(/'20,1,2'(/7,(032

Sea w(t) = 0 para |t| > T

Llamemos

xw(t) = x(t) w(t) señal enventanada

su transformada será

Xw(ω) = 12π X(ω) * W(ω) =

12π ⌡⌠

-

X(ω-ω') W(ω') dω'

= 12π ⌡⌠

-

X(ω')W(ω-ω') dω'

Siendo

W(ω) = ⌡⌠-T

T w(t) e-jωt dt

Sea w(t) = t

2T ) (Ventana rectangular)


X (t)W

x(t)

-T T

La señal x(t) es observada a través de la ventana w(t), dando comoresultado la señal xw(t) . El efecto en el dominio de la frecuencia es el de la

convolución de la transformada de la señal con la de la ventana.

X( ω’)W( ω- ω’)

ω0 ω’

W(ω) = 2senωT

ω

Para que la transformada de la señal enventanadaXw(ω) (transformada observada) se parezca a la transformada de la señal

X(ω), W(ω) debe parecerse a una delta, o lo que es lo mismo, el tiempo de

observación T debe tender a infinito. Para T finito, la extensión del lóbulo

principal, así como los lóbulos secundarios de la transformada de la ventana

distorsionan la transformada de la señal original.

Una manera de paliar el efecto de los lóbulos secundarios es ponderar

los valores de la señal observada por una función temporal, esto es, utilizar

otra ventana distinta de la rectangular, por ejemplo, sea la ventana triangular


w(t) = Λ

tT

W(ω) = 1T

4sen2ωT/2

ω2

π /T

π /T2

ωω

RECTANGULAR TRIANGULAR

La relación amplitud lóbulo principal/amplitud lóbulo secundario es

bastante superior en la ventana triangular, por lo que el efecto de los lóbulos

secundarios será menor, a costa de ensanchar el lóbulo principal. Esto último

redunda en una resolución más pobre para la ventana triangular. Así, si la

señal original x(t) contiene dos frecuencias separadas aproximadamente|ω2 -ω1 | ≅ 2π/T, la ventana rectangular daría dos picos mientras que la

triangular daría uno sólo, no pudiendo resolver ambas frecuencias. La elección

de una ventana será por tanto un compromiso entre resolución y efecto de

lóbulos secundarios. La que mayor resolución tiene es la rectangular.

,9(17$1$6(1)5(&8(1&,$)(120(12'(*,%%6

Es el efecto que produce el truncamiento en frecuencia de una señal,

dual del truncamiento en tiempo.

X ( )ωσH ( )ω

X( )ω

H(ω) = 0 |ω| > σ


Xσ(ω) = H(ω) X(ω) xσ (t) = x (t) * h (t)

Sea el sistema

H(ω) =

ω2σ

H ( )ω

ω0−σ σ

1

xσ(t) = h(t) * x(t)

h(t) = senσt

πt

xσ(t) = ⌡⌠-

x(τ)

senσ(t-τ)π(t-τ) dτ

Es evidente que el sistema distorsiona la señal de entrada.

Para tener una idea de esta distorsión, consideremos la señal de

entrada.

x(t)

0 ta-a

1

La salida es

xσ(t) = ⌡⌠-a

a

senσ(t-τ)π(t-τ) dτ =

1π Si [σ(t+a)] - Si[σ(t-a)]


Siendo Si(t) = ⌡⌠0

t

senττ dτ la función seno integral

1.18 π/2

π/21.18 π/2

π/2--

Si(t)

tπ 2 π

La señal de salida es

x(t)

-a a

1

x (t)σ

A cada lado de las discontinuidades, la salida es oscilatorio. El valor de

pico de la oscilación es independiente de a y es aproximadamente el 18% dela altura del pulso. De esta forma, aunque a → ODRVFLODFLyQVLJXHH[LVWLHQGRaunque comprimida (Fenómeno de Gibbs).


7(0$,,6(f$/(63(5,2',&$6

,,5(35(6(17$&,21'(6(f$/(63(5,2',&$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,75$16)250$'$'()285,(5'(81$6(f$/3(5,2',&$ BBBBBBBB

,,75$16)250$'$'(/75(1'(,038/626 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,75$16)250$'$'(/$6(f$/3(5,2',&$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,6(5,(6'()285,(5 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,5(35(6(17$&,21*5$),&$'(/$75$16)250$'$'()285,(5'(81$6(f$/3(5,2',&$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,)2508/$'(32,6621 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,6(f$/(63(5,2',&$6$75$9(6'(6,67(0$6/,1($/(6BBBBBBBB

,,5(35(6(17$&,21'(6(f$/(6123(5,2',&$60(',$17('(6$552//2(16(5,('()285,(5 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,6(f$/(63(5,2',&$6(1(/'20,1,2'(/$)5(&8(1&,$BBBBBB

,,08(675(2'(6(f$/(6<7(25(0$'(1<48,67 BBBBBBBBBBBBBBB

&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-1

II.1.- REPRESENTACION DE SEÑALES PERIODICAS

Una señal es periódica si

x(t) = x(t + To ) V- t

siendo To una cantidad positiva, denominada periodo.

EJEMPLOS

x(t) = cosωo t ωo = 2πTo

T o t

x(t) = ∑n=-

t-nTo

τ

0

1

T o-T o

. . . .. . . .τ


En general

x(t) = ∑n=-

xb (t - nTo)

t ot

o+ T o

t

x (t)b

tt

ot

o+T o

La representación

x(t) = ∑n=-

xb (t - nTo)

sigue siendo válida aunque la duración de la denominada señal básica xb(t)

sea superior al periodo To .

EJEMPLO :

xb(t) = Λ

tτ 2τ > To

2τ To

x(t)


En este caso, la envolvente final de la señal periódica x(t) no coincidecon la extensión periódica de la señal básica xb(t) .

II.2.- TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA SEÑAL PERIODICA

La señal periódica x(t) puede escribirse como

x(t) = ∑n=-

xb(t - nTo) = xb(t) * ∑

n=-

δ (t - nTo)

La convolución de la señal básica con un tren de impulsos periódico sT(t) .

. . . . . . . .

s (t)T

T o 2To-T o-2T o o

ST(t) = ∑n=-

δ(t - nTo)

La transformada de Fourier será

X(ω) = Xb(ω) ST(ω)

con

ST(ω) = ∑n=-

e-jnωTo

Para encontrar otra representación de esta última transformada,

consideremos el tren finito de impulsos, con transformada de Fourier.


STN(ω) = ∑n=-N

N

e-jnωTo

De esta forma

ST(ω) = lím STN(ω)

N→

Utilizando las propiedades de las series geométricas puede escribirse

que

STN(ω) = sen(N+1/2)ωTo

senωTo/2

Esta función es periódica de periodo ωo = 2πTo

y tiene la forma

t

sTN

(t)

o

To

NTo

F

ω

o

STN

( ω)

2N+1

ωo

2N+1

ω o

Obsérvese que a medida que N→ OD DPSOLWXG GH ORV OyEXORV

principales tiende también a infinito y la anchura de los mismos tiende a cero.

Analíticamente, puede escribirse que

STN(ω) = sen(N+1/2)ωTo

ω-m 2πTo

ω-m 2πTo

senω To2


Siendo m un número entero cualquiera. El segundo factor del productoes una función acotada de ω en el intervalo.

(m-1/2) 2πTo

< ω < (m + 1/2) 2πTo

y vale 2

To en ω = m

2πTo

por lo tanto en ese intervalo

ST(ω) = lím

N→ STN(ω) =

ω - m 2πTo

senω To2

Q(ω)

donde

Q(ω) = lím

N→ sen(N+1/2)ωTo

ω-m 2πTo

Por ser el numerador periódico con periodo ωo = 2πTo

puede escribirse que

Q(ω) = lím

N→

sen(N+1/2)(ω-m2πTo

) To

ω-m 2πTo

= πδ (ω-m2πTo

)

ya que

líma→

sena(t - τ)π(t - τ) = δ(t - τ)

II.2.1.- TRANSFORMADA DEL TREN DE IMPULSOS

ST(ω) = ωo δ(ω - mωo ) (m-1/2)ωo < ω < (m+1/2)ωo

con ωo = 2π/To . Variando m de -DOXHJRODWUDQVIRUPDGDGHXQWUHQGH

impulsos es otro tren de impulsos.


∑n=-

δ(t - nTo) ↔ ∑

m=-

ωo δ(ω - mωo)

II.2.2.- TRANSFORMADA DE LA SEÑAL PERIODICA

X(ω) = Xb(ω) ST(ω) = Xb(ω) ∑m=-

ωo δ(ω-mωo)

que puede escribirse finalmente

X(ω) = ∑m=-

ωo Xb(mωo) δ(ω-mωo) ωo = 2π/To

o bien

X(ω) = ∑m=-

Xb(mωo)

To 2π δ(ω - mωo )

La transformada de Fourier de una señal periódica es un tren deimpulsos separados ωo y con amplitudes ωo Xb(mωo) , es decir, la

transformada de la función básica particularizada en mωo .

II.3.- SERIES DE FOURIER

Tomando transformadas inversas en la última expresión y teniendo en

cuenta que

-1

2πδ(ω-mωo ) ↔ ejmωot

se obtiene

x(t) = ∑m=-

cm e

jmωot


con

cm = Xb(mωo)

To =

1To

⌡⌠

-

xb(t) e-jmωot

dt

Si xb(t) es la propia señal periódica x(t) truncada a un periodo

cm = 1

To ⌡

⌠

To

xb(t) e-jmωot

dt

Estas son las series de Fourier.

II.3.1.- REPRESENTACION GRAFICA DE LA TRANSFORMADA DEFOURIER DE UNA SEÑAL PERIODICA

La representación de la transformada de Fourier periódica es incómoda

debido a las funciones delta. Lo que suele representarse son los valores de los

coeficientes de la serie de Fourier.

Si las amplitudes de cada línea son complejas

cm = Xb(mωo)

To

Puede representarse como

Cm MODULO

FASECmϕ


II.3.2.- FORMULA DE POISSON

Puesto que una función periódica admite las representaciones :

x(t) = ∑n=-

xb (t - nTo) = ∑

m=-

Xb (mωo)

To e

jmωot

Haciendo t=0 se obtiene la fórmula de Poisson :

∑n=-

xb(nTo) = ∑

m=-

Xb(mωo)

To

Fórmula que es válida para cualquier xb(t) y que puede tener

interesantes aplicaciones.

EJEMPLOS DE APLICACION

a) Sea xb(t) = e-α|t|

α > 0

Xb(ω) = 2α

α2 + ω2

∑m=-

2αα2+(mωo)2

1

To = ∑

n=-

e

-α|nTo| ; V- To

En particular si To = 2

∑n=-

e-2α|n| = 1 + 2 ∑

n=1

e-2αn = 1 + 2

e-2α

1-e-2α

= 1+e-2α

1-e-2α = 1

tghα

Conclusión :

Se obtiene la suma de la serie :


∑m=-

αα2 + m2 2 =

1tghα α > 0

b) Demostrar que :

∑n=-

sena(t-nTo)

t-nTo = ωc

sen(2N+1)ωct

senωct

con ωc 7o y N tal que N < aTo2π < N+1

Tomando como función básica

xb(t) = senat

t ↔ ω2a )

∑n=-

sena(t-nTo)

t-nTo =

πTo

∑m=-

mωo2a e

-jm2πt/To

El sumatorio del segundo miembro contiene un número finito de

términos que depende del parámetro a

N-a

-3 -2 -1 0 1 2 3 Na

ω

∏ ( )ω

2a

N es el m-máximo que verifica

N.ωo = N 2πTo

< a


(N + 1) 2πTo

> a

De esta forma el segundo miembro pasa a ser

πTo

∑m=-N

N e

-j2m π

To t

= ωc sen(2N+1) ωct

senωct

II.4.- SEÑALES PERIODICAS A TRAVES DE SISTEMAS LINEALES

h(t)x(t) y(t)

Y(ω) = X(ω)H(ω) = H(ω) ∑n=-

Xb(nωo)

To δ(ω-nωo )

Y(ω) = ∑n=-

Yb (nωo)

To δ(ω-nωo )

Yb(nωo) = H(nωo ) Xb (nωo)

La salida también es periódica con el mismo periodo To que la de

entrada.

Respuesta en el dominio del tiempo.

y(t) = ⌡⌠-

x(τ) h(t-τ)dτ

x(τ) = ∑-

xb (τ-nTo)

La salida será :


y(t) = ∑n=-

⌡⌠

-

xb (τ-nTo) h(t-τ) dτ)

τ - nTo = u

dτ = du

= ∑n=-

⌡⌠

-

xb(u) h(t-nTo -u)du

Conclusión :

y(t) = ∑n=-

yb (t-nTo)

yb(t) = ⌡⌠-

xb(τ) h(t-τ)dt = xb(t) * h(t)

EJEMPLOS

1) Sea x(t) dada por

n

π/2

π /4

π /8

π

0 0

- π /2

- π /4

- π /2

22

1

0.50.2 0.1

0

0.50.2

0.1

4 0ωω ω0 0 0 0 0ω ω ω ω2 3−2−3−4 ω 0

C

- ω 0

ϕn

Periodo To = 10mseg

Calcular la salida de un paso bajo de 250Hz. Las frecuencias de las

rayas espectrales son nfo , con fo = 1

To = 100Hz.

Solo las rayas n = 0, ±1, ±2 aparecerán a la salida

y(t) = -1 + 2ejωot

+ 0.5eM

ej2ωot


+ 2e-jωot

+ 0.5eM

e-j2ωot

y(t) = -1 + 2cosωo t - sen2ωo t

2)x(t)

-T o Too

τ

t

h(t) = e-αt u(t) Filtro RC paso bajo

$1$/,6,6(1(/'20,1,2'(/$)5(&8(1&,$

Y(ω) = ∑n=-

Yb(nωo)

To δ(ω-nωo ))

donde

Yb (nωo) = H(nωo ) Xb(nωo) )

Tomando como función base para x(t)

xb(t) =

tτ

su transformada es

Xb(ω) = 2senωτ/2

ω

La transformada de la respuesta impulsional

H(ω) = 1

α+jω

Luego :


Yb (nωo) = 2sen nωo τ/2

nωo

1α+jnωo

La transformada de la salida será

Y(ω) = ∑n=-

2sen nωo τ/2

nToωo

1α+jnωo

2πδ(ω-nωo )

En el dominio temporal

y(t) = ∑n=-

2sennωoτ/2

nToωo

1α+jnωo

ejnωot

= τ

αTo + ∑

n=1

4sennωoτ/2

nToωo Re

e

jnωot

α+jnωo

= τ

αTo +

4π ∑

n=1

sennπτ/To

n

α2+

n

To

2

α cos Q WTo

+2nπTo

sen 2nπtTo

$1$/,6,6(1(/'20,1,2'(/7,(032

yb(t) = xb(t) * h(t)

t

y (t)b

- τ/2 τ/2


yb(t) =

0 t < -τ/2

1α 1 - e

-α(t+τ/2)-τ/2 < t < τ/2

2α senh ατ/2 e

-αtt > τ/2

y(t) = ∑n=-

yb (t-nTo)

y(t) y (t)b

t

Calculando los coeficientes del desarrollo en serie como

cn = 1

To ⌡⌠

-

yb(t) e

-jnωot dt

Se llega al mismo resultado anterior

Obsérvese que la función básica de salida tiene extensión infinita y por tanto

se produce solapamiento. Sumando las contribuciones de las infinitas

funciones en el intervalo correspondiente a un periodo se llega a la siguiente

expresión, correspondiente a una nueva función básica de duración finita igual

al periodo:

y'b (t) = 1α [ 1 -

senh α(To-τ)/2

senh αTo/2 e-αt ] -τ/2<t<τ/2


y’b (t) = 1α

senh ατ/2senh αTo/2 e-α(t-To/2) τ/2<t<To -τ/2

II.5.- REPRESENTACION DE SEÑALES NO PERIODICAS MEDIANTEDESARROLLO EN SERIE DE FOURIER

Cualquier señal no periódica puede desarrollarse en serie de Fourier en

un intervalo (a,b) definiendo

To = b - a

xb(t) =

x(t) a < t < b

0 resto

y realizando su extensión periódica

xp(t) = ∑n=-

xb (t-nTo)

El desarrollo en serie de Fourier de xp(t) coincidirá con x(t) en el

intervalo (a,b).

Si el número de términos empleado en la representación de x(t) es finito

(2N+1) se obtendrá una aproximación.

~x N(t) = ∑n=-N

N cn e

jnωot a < t < b

ωo = To

cn = 1

To ⌡⌠a

b x(t) e-jmωot

El error de aproximación será


eN (t) = x(t) - ~x N (t)

El error cuadrático total sobre todo el intervalo será

EN = ⌡⌠

a

b

|eN(t)|2dt = ⌡⌠a

b eN (t) eN*(t) dt

EN = ⌡⌠a

b e(t)

x*(t) - ∑

n=-N

N cn* e-jnωot dt

Es fácil verificar que

⌡⌠a

b e(t) e-jnωot dt = 0

Luego

EN = ⌡⌠a

b e(t) x*(t)dt = ⌡⌠

a

b |x(t)|2 dt - To ∑

n=-N

N |cn |2

II.6.- SEÑALES PERIODICAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Si una señal tiene una transformada periódica

X(ω + Ωo ) = X(ω) V- ω

Esta última podrá escribirse, igual que en el dominio temporal, como

X(ω) = ∑n=-

Xb (ω + nΩo) = Xb(ω) * ∑

n=-

δ(ω + nΩo )

Donde se ha elegido el signo positivo por razones que se verán más

adelante. Obsérvese que el uso de un signo u otro es indiferente.

Aplicando el teorema de dualidad a la transformada obtenida en señales

peródicas en el dominio del tiempo


∑n=-

δ(t - nTo ) ↔ ∑

m=-

1To

2π δ(ω - mωo )

Se obtiene que :

T/2π ∑m=-

δ(t-mT) ↔ ∑

n=-

δ(ω + nΩo )

con T = 2π/Ωo .

Luego la transformada inversa de una señal periódica en el dominio de

la frecuencia viene dada por

x(t) = xb(t) T ∑n=-

δ (t - nT)

ó

x(t) = ∑n=-

T xb (nT) δ(t - nT)

Obsérvese que la señal en el tiempo correspondiente a una señal

periódica en el dominio de la frecuencia puede obtenerse mediante el sistema.

x (t)b

x

x(t)

∑∞

−∞=−

Q

Q7W7 )(δ


II.6.1.- MUESTREO DE SEÑALES Y TEOREMA DE NYQUIST

Considérese ahora el sistema anterior con una entrada arbitraria

x(t)

x

y(t)

)( P7W7P

−∑∞

−∞=

δ

y(t) = ∑m=-

Tx(mT) δ(t - mT)

Y(ω) = ∑m=-

X(ω + mΩo )

Evidentemente la transformada de la salida Y(ω) será periódica conperiodo Ωo 7

Si X(ω) está limitada en banda

X(ω) = 0 |ω| : %

y T es tal que

Ωo :

o sea1T %

La transformada Y(ω) será

Y ( ω)

X( ω)

ω−σ σ-w w−Ω Ωo o

En estas condiciones, x(t) puede recuperarse a partir de y(t) mediante

un filtro paso bajo ideal (línea de puntos).


H(ω) =

ω

2σ w σ Ωo - w

X(ω) = Y(ω) H(ω)

En el dominio del tiempo

x(t) = y(t) * h(t)

= senσt

W * ∑n=-

Tx(nT) δ(t - nT)

x(t) = ∑n=-

Tx(nT)

senσ(t-nT)WQ7

Es decir, una señal x(t) limitada en banda a B Hz puede recuperarse a

partir de sus muestras tomadas a intervalos de T segundos si se verifica que la

frecuencia de muestreo es mayor que el doble del ancho de banda (Teorema

de Nyquist)

fs = 1T %

A la señal

y(t) = ∑n=-

Tx(nT) δ(t-nT) = xp(t)

Se denomina señal muestreada de x(t) y al tren de impulsos

sp(t) = ∑n=-

Tδ(t-nT)

se le denomina muestreador ideal


-2T -T 0 T 2Tt

t

x(t)

s (t)p

-2T -T 0 T 2T t

x (t)p


7(0$,,,&255(/$&,21<(63(&752

,,,(1(5*,$'(81$6(f$/BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,,(1(5*,$&58=$'$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,,)2508/$'(3$56(9$/3$5$(1(5*,$&58=$'$ BBBBBBBBBBBBBB

,,,)2508/$'(3$56(9$/3$5$(1(5*,$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,,6(f$/(6'(327(1&,$0(',$),1,7$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,,327(1&,$0(',$3$5$6(f$/(63(5,2',&$6BBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,,7,326'(6(f$/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,,(63(&752'(327(1&,$'(6(f$/(6'(327(1&,$0(',$),1,7$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,,6(f$/(63(5,2',&$6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,,)2508/$'(3$56(9$/3$5$6(f$/(63(5,2',&$6BBBBBBBBBBB

,,,0(','$'(3$5(&,'22',67$1&,$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,,&255(/$&,21&58=$'$<(63(&752&58=$'2 BBBBBBBBBBBBBB

,,,)81&,21'($872&255(/$&,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,,&255(/$&,21<(63(&752'(6(f$/(6'((1(5*,$),1,7$$75$9(6'(6,67(0$6/,1($/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,,&255(/$&,21&58=$'$'(6(f$/(6'(327(1&,$0(',$),1,7$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,,)81&,21'($872&255(/$&,21'(6(f$/(6'(327(1&,$0(',$),1,7$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,,&255(/$&,21&58=$'$'(6,1862,'(6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,,&255(/$&,21'(6(f$/(63(5,2',&$6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,,(63(&752&58=$'2'(6(f$/(63(5,2',&$6 BBBBBBBBBBBBBBB

,,,$872(63(&752'(6(f$/(63(5,2',&$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,,,&255(/$&,21<(63(&752'(6(f$/(6'(327(1&,$0(',$),1,7$$75$9(6'(6,67(0$6/,1($/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-1

III.1.- ENERGIA DE UNA SEÑAL

Sea el circuito de la figura

v(t) R

La potencia instantánea entregada a la carga (disipada en la resistencia)

es

P(t) = v(t) i(t) = v2(t)

R = R i2(t)

y la energía total entregada por la fuente

E = ⌡⌠-

P(t) dt =

1R ⌡⌠

-

v2(t)dt = R ⌡⌠

-

i2(t)dt

Es proporcional (igual si R=1) a la integral del cuadrado de la tensión o

intensidad.

Por analogía, definimos la energía de una señal x(t) como :

Exx = ⌡⌠-

x2(t)dt

EXTENSION A SEÑALES COMPLEJAS

Si x(t) es compleja


Exx = ⌡⌠-

|x(t)|2 dt = ⌡⌠

-

x(t)x*(t)dt

EJEMPLO

1

t0

x(t) = e α t-

u(t)

Exx = ⌡⌠0

e-2αt dt = 1

2α

III.2.- ENERGIA CRUZADA

De forma similar puede definirse la energía cruzada de dos señales

Exy = ⌡⌠-

x(t) y*(t) dt

En el caso particular de que y(t) = x(t) la energía cruzada se reduce a la

energía de la señal x(t). No suele tener una interpretación intuitiva simple salvo

en casos como el circuito anterior.

III.3.- FORMULA DE PARSEVAL PARA ENERGIA CRUZADA

Exy = ⌡⌠-

x(t) y*(t) dt = ⌡⌠

-

1

⌡⌠-

X(ω) ejωt dω y*(t) dt

= 12π ⌡⌠

-

X(ω) ⌡⌠-

y*(t) ejωt dt dω


Exy = ⌡⌠-

x(t) y*(t) dt =

1 ⌡⌠

-

X(ω) Y*(ω) dω

Obsérvese que

Exy = F [ ]x(t) y*(t) ω=0

x(t) y*(t) ↔ 1 X(ω) * Y

*(-ω)

1 X(ω) * Y

*(-ω) = 1 ⌡⌠

-

X(ω') Y* (ω' - ω) dω'

Particularizando para ω=0 queda la expresión anterior.

A la expresión

Sxy (ω) = X(ω) Y*(ω)

Se la conoce como espectro de energía cruzada de las señales x(t) e

y(t) y la energía total será

Exy = 1 ⌡⌠

-

Sxy (ω) dω

III.4.- FORMULA DE PARSEVAL PARA ENERGIA

Identificando y(t) + x(t) del apartado anterior se tiene

Exx = ⌡⌠-

| |x(t) 2 dt =

1 ⌡⌠

-

| |X(ω) 2 dω

Puede interpretarse que la energía se distribuye en el espectro según

Sxx(ω) = |X(ω)|2


Razón por la que a Sxx(ω) se le conoce como densidad espectral de

energía y la energía total se obtiene como

Exx = 1 ⌡⌠

-

Sxx(ω) dω

(-(03/2

x(t) = e-αt u(t)

X(ω) = 1

α+jω

Sxx(ω) = 1

α2+ω2

Exx = 1 ⌡⌠

-

dωα2+ω2 =

12α

3523,('$'(6'(/$'(16,'$'(63(&75$/'((1(5*,$

- Es una función real de ω- Es siempre positiva- Si x(t) es real Sxx(ω) será una función par de ω

III.5.- SEÑALES DE POTENCIA MEDIA FINITA

El concepto de energía de una señal, definido previamente, sólo tiene

sentido para el conjunto de señales que verifican que

Exx = ⌡⌠-

| |x(t) 2 dt <

Denominadas señales de energía finita.


Existen muchas señales que no verifican la relación anterior, entre ellas

las señales periódicas, el escalón, etc. Para este tipo de señales se requiere

definir otro concepto.

III.6.- POTENCIA MEDIA PARA SEÑALES PERIODICAS

Sea x(t) periódica con periodo To , la energía por cada periodo será

|Exx To = ⌡⌠

to-To/2

to+To/2

| |x(t) 2 dt

Y la potencia media por cada periodo será

|Pxx To =

|Exx ToTo

=

⌡⌠to-To/2

to+To/2

|x(t)|2 dt

To

La potencia media en M.periodos será (T = MTo )

|Pxx T = MTo =

⌡⌠to-T/2

to+T/2

| |x(t) 2 dt

T = 1

To ⌡⌠to-To/2

to+To/2

| |x(t) 2 dt

Si el número de periodos tiende a infinito, la potencia media también

será la misma.

Pxx = lím

T → 1T ⌡⌠

T | |x(t) 2dt =

1To

⌡⌠To

| |x(t) 2 dt

Este concepto es útil y puede extenderse a señales no periódicas cuya

energía es infinita. Así para cualquier señal se define

3RWHQFLD0HGLD

Pxx = lím

T→ 1T ⌡⌠

T | |x(t) 2 dt


Es evidente que para señales de energía finita esta potencia media es

cero.

(-(03/26

6HxDOFRQWLQXD

A

-T/2 T/2 t

Pxx = lím

T→ 1T (A2T) = A2

6(f$/(6&$/21

A

-T/2 T/2 t

u(t)

Pxx = lím

T→ 1T (T/2) =

12

III.7.- TIPOS DE SEÑALES

Según las definiciones anteriores, las señales pueden clasificarse en :

- Señales de energía finita 0 < Exx <

- Señales de potencia media finita 0 < Pxx <


Ambos tipos de señales son mútuamente excluyentes. Una señal de

energía finita tiene potencia media nula y una de potencia media finita tiene

energia finita.

Todas las señales acotadas de duración finita son de energía finita. Las

señales periódicas son de potencia media finita y algunas no periódicas. La

caracterización de estas últimas no siempre es fácil.

III.8.- ESPECTRO DE POTENCIA DE SEÑALES DE POTENCIA MEDIAFINITA

Para calcular el espectro de potencia de estas señales nos ayudaremos

de la función intermedia

PTxx =

ENERGIA EN TT

Sea xT(t) = x(t)

t-toT

x (t)T

t -T/2 t t +T/20 0 0 t

PxxT =

⌡⌠-

|xT(t)|2 dt

T =

1 ⌡⌠

-

|XT(ω)|2dω

T


Para T →

Pxx = lím

T→ PTxx =

1 ⌡⌠

-

límT→

| |XT(ω) 2

T dω

A la función

Sxx(ω) = lím

T→ | |XT(ω) 2

T

Se le puede denominar densidad espectral de potencia y la potencia

total

Pxx = 1 ⌡⌠

-

Sxx(ω) dω

(-(03/26

)XQFLyQHVFDOyQ

XT(ω) = e-jωT/4 2senωT/4

ω

-T/2 T/2 t

u(t)

1

Sxx(ω) = lím

T→ | |XT(ω) 2

T = lím

T→ 4sen2ωT/4

ω2T

Este límite es cero para ω QRHVWDQGRGHILQLGRSDUDω = 0.

Veamos su integral.


⌡⌠-

Sxx(ω) dω =

límT→

1T ⌡⌠

-

|xT(ω)|2 dω

lím

T→ 1T ⌡⌠

-

|xT(t))2 GW

límT→

T/2T

Luego

Sxx(ω) = lím

T→ |xT(ω)|2

T = δ(ω)

Obsérvese que

Sxx(ω) = δ(ω) |F[ ]u(t) |2

F[ ]u(t) = δ(ω) + 1jω

También Pxx(ω) = 1 ⌡⌠

-

Sxx(ω) dω =

12

III.8.1.- SEÑALES PERIODICAS

Haciendo T = (2M+1)To

xT (t) = ∑n=-M

M xb (t-nTo) con xb (t) = 0 , | t | > To /2

Su transformada de Fourier es :

XT(ω) = Xb(ω) ∑n=-M

M e

-jnωTo

Sumando la serie geométrica se obtiene


XT(ω) = Xb(ω) sen(2M+1)ωTo/2

senωTo/2

El espectro final de la señal periódica será :

Sxx(ω) = lim

T→ 1T |XT(ω)|2

= |Xb(ω)|2

To

limM→

12M+1

sen2(2M+1)ωTo/2

sen2ωTo/2

Procediendo de forma análoga a la del epígrafe II.2 relativo a la

transformada de Fourier de señales periódicas se obtiene finalmente :

Sxx(ω) = ∑n=-

|cn|2 2π δ(ω - nωo )

siendo cn el coeficiente n-ésimo del desarrollo en serie de Fourier de x(t).

cn = Xb(nωo)

To

Este es el denominado espectro de "líneas" o "rayas". La raya espectral

n-ésima tiene asociada la potencia |cn|2 .

III.9.- FORMULA DE PARSEVAL PARA SEÑALES PERIODICAS

Sean x(t) e y(t) dos señales periódicas con el mismo periodo To . La

potencia media cruzada será

Pxy = 1

To ⌡⌠

to-To/2

to+To/2

x(t) y*(t) dt

Por ser x(t) periódica

x(t) = ∑n=-

an ejnωoT ωo =

To

Sustituyendo


Pxy = ∑n=-

an

1To

⌡⌠to-To/2

to+To/2

y*(t) ejnωot dt

Por ser y(t) también periódica

y(t) = ∑n=-

bn ejnωot dt

Se concluye que

Pxy = ∑n=-

an bn *

Si ambas señales son iguales y(t) + x(t)

Pxx = ∑n=-

|an|2

,17(535(7$&,21

La potencia media de una señal periódica es igual a la suma de las

amplitudes al cuadrado de las componentes armónicas de la señal x(t). A la

raya espectral n-ésima se le puede asignar la potencia |an |2 .

III.10.- MEDIDA DE PARECIDO O DISTANCIA

Dadas dos señales reales x(t) e y(t) ¿cómo puede medirse el parecido

entre ambas?

La forma más intuitiva es medir la diferencia cuadrática integrada en el

intervalo de existencia de ambas señales. Esta distancia es

d(τ) = ⌡⌠-

[ ]x(t) - y(t-τ) 2 dt = ⌡⌠

-

[ ]x(t+τ) - y(t) 2 dt


La señal y(t) está desplazada τ.

Desarrollando el cuadrado

[ ]x(t+τ) - y(t) 2 = x2(t+τ) + y2(t) - 2y(t)x(t+τ)

Sustituyendo en la integral se obtiene

d(τ) = ⌡⌠-

x2(t+τ) dt + ⌡⌠

-

y2(t) dt - 2 ⌡⌠

-

x(t+τ) y(τ) dt

d(τ) = Exx + Eyy - 2Rxy(τ)

Rxy(τ) = ⌡⌠-

x(t+τ) y(t) dt

El valor de la distancia depende de la función Rxy(τ) . Cuanto más

grande es ésta, más pequeña será la distancia y viceversa.

Puesto que d(τ) Rxy(τ) (xx + Eyy )/2

Utilizando la desigualdad de Schwarz.

⌡⌠a

b u(t) v(t) dt

2 ⌡⌠

a

b | |u(t) 2 dt ⌡⌠

a

b | |v(t)

2 dt

con u(t) + x(t+τ) y v(t) + y(t) se tiene que

|Rxy(τ)|2

Exx Eyy

El signo igual se cumple cuando u(t) y v(t) son proporcionales, y daría ladistancia mínima/máxima dependiendo del signo de Rxy(τ) .

|d(τ)max,min

= ( )Exx1/2 ± Eyy

1/2 2


III.11.- CORRELACION CRUZADA Y ESPECTRO CRUZADO

Generalizando a señales complejas, a la expresión

Rxy(τ) = ⌡⌠-

x(t+τ) y*(t)dt) Rxy(τ) = Ryx

*(-τ)

se le denomina correlación cruzada. Su transformada de Fourier será

⌡⌠-

Rxy(τ) e-jωτ dτ = ⌡⌠

-

⌡⌠-

x(t+τ) y*(t) dt e-jωτ dτ

= ⌡⌠-

y*(t)

⌡⌠-

x(t+τ) e-jωτ dτ dt =

= X(ω) ⌡⌠-

y*(t)ejωt dt

Es decir el espectro cruzado de energía

Sxy(ω) = X(ω) Y*(ω) = ⌡⌠-

Rxy(τ) e-jωτ dτ

Nótese que Rxy(0) = Exy energía cruzada

Obsérvese que también

Rxy(τ) = ⌡⌠-

x(t) y*(t-τ) dt = x(t) * y*(-τ)

F[Rxy(τ)] = X(ω).F[ ]y*(-τ) = X(ω) Y*(ω)

III.12.- FUNCION DE AUTOCORRELACION

Si y(t) + x(t), la función correlación cruzada se convierte en la función de

autocorrelación


Rxx(τ) = ⌡⌠-

x(t+τ) x*(t) dt

su transformada de Fourier será

⌡⌠-

Rxx(τ) e-jωτ dτ = Sxx(ω) = | |X(ω) 2

es decir el espectro de energía de la señal x(t).

Nótese que

Rxx(0) = Exx Energía de la señal

de la desigualdad de Schwarz, aplicada anteriormente, se deduce que

|Rxx(τ)|2 Exx Exx = Rxx2(0)

|Rxx(τ)| 5xx(0)

III.13 CORRELACION Y ESPECTRO DE SEÑALES DE ENERGIA FINITA ATRAVES DE SISTEMAS LINEALES

x(t)

h(t)

y(t)

La correlación cruzada entrada-salida viene dada por

Rxy(τ) = ⌡⌠-

x(t+τ)y*(t)dt = x(τ) * y*(-τ)

y*(-τ) = x*(-τ) * h*(-τ)

Luego


Rxy(τ) = x(τ) * x*(-τ) * h*(-τ)

Rxy(τ) = h*(-τ) * Rxx(τ)

Análogamente la correlación salida-entrada

Ryx(τ) = y(τ) * x*(-τ) = h(τ) * x(τ) * x*(-τ)

Ryx(τ) = h(τ) * Rxx(τ)

De igual modo la autocorrelación de la salida

Ryy(τ) = y(τ) * y*(-τ) = x(τ) * h(τ) * x*(-τ) * h*(-τ)

Ryy(τ) = h(τ) * h*(-τ) * Rxx(τ)

Tomando transformadas de Fourier en las tres expresiones anteriores

se obtiene

Sxy(ω) = H*(ω) Sxx(ω)

Syx(ω) = H(ω) Sxx(ω)

Syy(ω) = |H(ω)|2 Sxx(ω)

R ( )

h ( )ττxx

S ( )ωxx

R ( )yx τ

S ( )yx ω

h ( - )τ∗R ( )τyy

S ( )yy ω

III.14.- CORRELACION CRUZADA DE SEÑALES DE POTENCIA MEDIAFINITA

Como en señales de energía finita podemos definir

Rxy(τ) = lím

T→1T ⌡⌠

T x(t+τ) y*(t) dt)


Puede comprobarse que su transformada de Fourier es el espectro de

potencia cruzada

Sxy(ω) = ⌡⌠-

Rxy(τ) e-jωτ dτ

III.15.- FUNCION DE AUTOCORRELACION DE SEÑALES DE POTENCIAMEDIA FINITA

Si ambas señales son iguales se tiene la función de autocorrelación

Rxx(t) = lím

T→ 1T ⌡⌠

T x(t+τ) x*(t)dt

y su transformada de Fourier será el espectro de potencia de la señal

Sxx(ω) = ⌡⌠-

Rxx(τ) e-jωτ dτ

Nótese que la función de autocorrelación tiene las mismas propiedades

que su homónima de energía finita

Rxx(0) = Pxx

Rxx(τ) 5xx(0)

(-(03/26

$872&255(/$&,21'(/$)81&,21(6&$/21


-T/2 T/2 t

u(t)

1

- τ

u(t+ )τ

Ruu(τ) = lím

T→ 1T ⌡⌠

-T/2

T/2 u(t+τ) u*(t) dt)

= lím

T→ 1T (T/2) =

12

Ruu(τ) = 12

Suu(ω) = F

12 = πδ(ω)

Puu = 1 ⌡⌠

-

Suu(ω) dω =

12

III.16.- CORRELACION CRUZADA DE SINUSOIDES

Sea x(t) = ejω1t ; y(t) = ejω2t

la correlación cruzada será

Rxy(τ) = lím

T→ 1T ⌡⌠

-T/2

T/2 ejω1(t+τ) e-jω2t dt

= ejω1τ lím

T→ 1T ⌡⌠

-T/2

T/2 ej(ω1-ω2)t dt

= ejω1τ lím

T→ 2sen(ω2-ω1)T/2

T(ω2-ω1)


Rxy(τ) =

0 si ω1 ω2

ejω1τ si ω1 = ω2

&21&/86,21

El parecido entre dos sinusoides de distinta frecuencia es nulo.

III.17.- CORRELACION DE SEÑALES PERIODICAS

Sea x(t) periódica de periodo Tox e y(t) de periodo Toy .

x(t) = ∑n=-

cnx ejnωoxt ωox =

Tox

y(t) = ∑m=-

cmy ejmωoyt ωoy =

Toy

Por el resultado anterior

Rxy(τ) = ∑n=-

∑

m=-

cnx c*

my ejnωoxτ lím

T→

2sen(mωoy-nωox)T/2

T(mωoy-nωox)

El límite será distinto de cero para aquellas parejas de valores n y m

tales que

mωoy = nωox

Evidentemente ωoy /ωox = Tox /Toy debe ser racional. En caso

contrario Rxy(τ) = cox c*oy

Sea (mo , no ) la pareja de número más pequeña para la que se cumple

mo ωoy = no ωox = ωo

ωo será por tanto el mínimo común múltiplo de (ωox ,ωoy ). La correlación

cruzada será una función periódica de periodo To ωo


Rxy(τ) = ∑l=-

c(lno)x c

*(lmo)y ejlωo

Si ambas señales tienen el mismo periodo no = mo = 1 y la correlación

cruzada será

Rxy(τ) = ∑l=-

clx c

*ly ejlωoτ

Finalmente si ambas señales son iguales [ ]y(t) = x(t) se obtiene la

función de autocorrelación de una señal periodica

Rxx(τ) = ∑l=-

|clx|2 ejlωoτ ; Rxx(0) = ∑

l=-

|clx|2 = Pxx

La correlacion, también periódica,admite un desarrollo de Fourier

III.18.- ESPECTRO CRUZADO DE SEÑALES PERIODICAS

Tomando la transformada de Fourier de la correlación cruzada

Sxy(ω) = F[Rxy(τ)] = ∑l=-

c(lno)x c

*(lmo)y δ (ω-lωo )

se obtiene el espectro cruzado de potencia.

III.19.- AUTOESPECTRO DE SEÑALES PERIODICAS

La transformada de Fourier de la función de autocorrelación de una

señal periódica

Sxx(ω) = F[Rxx(τ)] = ∑l=-

|cl|

2 δ(ω-lωo )

Es el autoespectro o simplemente el espectro de potencia encontrado

anteriormente.


III.20.- CORRELACION Y ESPECTRO DE SEÑALES DE POTENCIA MEDIAFINITA A TRAVES DE SISTEMAS LINEALES

Sea x(t) una señal de potencia media finita

x(t)

h(t)

y(t)

La correlación cruzada salida-entrada es por definición

Ryx(τ) = lím

T→ 1T ⌡⌠

T y(t+τ)x*(t)dt

Sustituyendo y(t+τ) en función de x(t) y h(t)

Ryx(τ) = lím

T→ 1T ⌡⌠

T x*(t)

⌡⌠

- h(α) x(t+τ-α)dα dt

Intercambiando las integrales y el límite

Ryx(τ) = ⌡⌠-

h(α)

límT→

1T ⌡⌠

T x(t+τ-α)x*(t)dt dα

Es decir

Ryx(τ) = ⌡⌠-

h(α) Rxx(τ-α) dα = h(τ) * Rxx(τ)

Análogamente, la autocorrelación de la salida

Ryy(τ) = lím

T→ 1T ⌡⌠

T y(t+τ)y*(t)dt =


= lím

T→ 1T ⌡⌠

T y(t+τ)

⌡⌠-

h*(α)x*(t-α)dα dt

= ⌡⌠-

h*(α)

lím

1T ⌡⌠

T y(t+τ) x*(t-α)dτ dα

= ⌡⌠-

h*(α) Ryx(τ+α) dα

Luego

Ryy(τ) = Ryx(τ) * h*(-τ) = Rxx(τ) * h(τ) * h*(-τ)

Expresiones totalmente idénticas a las de las señales de energía finita

R ( )

h ( )ττxx

S ( )ωxx

R ( )yx τ

S ( )yx ω

h ( - )τ∗R ( )τyy

S ( )yy ω


7(0$,96(f$/(6$/($725,$6<58,'2

,9&$5$&7(5,=$&,21'(6(f$/(6$/($725,$6 BBBBBBBBBBBBBBBBBB

,9)81&,21(6'('(16,'$''(352%$%,/,'$''(81352&(62$/($725,2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,99$/250(',2'(/352&(62BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,9$872&255(/$&,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,9$872&29$5,$1=$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,99$/250(',2<$872&255(/$&,21(1)81&,21'(/$65($/,=$&,21(6'(/352&(62 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,9352&(626&203/(-26 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,9352&(626(67$&,21$5,26(16(17,'2(675,&72BBBBBBBBBBBBBB

,9352&(626(67$&,21$5,26(16(17,'2$03/,22'(%,/0(17((67$&,21$5,26BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,9(63(&752'(327(1&,$'(81352&(62(67$&,21$5,2 BBBBBB

,9352&(626(67$&,21$5,26<6,67(0$6/,1($/(6 BBBBBBBBBBBBB

,9352&(626(5*2',&26 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,958,'27(50,&2BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,958,'2%/$1&2*$866,$12 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,958,'2%/$1&2),/75$'2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

,9$1&+2'(%$1'$(48,9$/(17('(58,'2 BBBBBBBBBBBBBBBBBB

&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV IV-1

IV.1.- CARACTERIZACION DE SEÑALES ALEATORIAS

Una variable aleatoria x es una regla que asigna un número x(ξ) al

resultado de un experimento ξ.

Una señal aleatoria o proceso estocástico asigna una función x(t,ξ) al

resultado de un experimento, de esta forma, una señal aleatoria es un conjuntode funciones temporales dependientes de un parámetro ξ. Cuando no haya

ambigüedad, se utilizará la notación x(t) para la señal aleatoria, omitiendo elparámetro ξ.

Como ejemplo de señal aleatoria puede considerarse el conjunto de

voltajes, generados por el movimiento térmico de los electrones, en bornas de

un gran número de resistencias idénticas. La figura presenta algunos de estos

voltajes para distintos resultados del experimento.

t t1

t2

x x x1 2

X(t, ξ1

)

X(t, ξ2

)

X(t, ξn

)

t

t

t

Si se fija el parámetro ξ (resultado de un experimento) se obtiene una

función temporal que se denomina "función muestra" o "realización" del

proceso.


Fijada la variable tiempo t se tiene una variable aleatoria x(t1 → x1, t2 → x2) de esta forma, una señal aleatoria puede considerarse

como un conjunto infinito de variables aleatorias, una para cada instante de

tiempo t.

Fijados el parámetro ξ y la variable temporal t se tiene un número.

IV.2.- FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE UN PROCESOALEATORIO

Para un t dado, el proceso es una variable aleatoria x con una función

de distribución dependiente de t.

F(x,t) = Px(t) [`

Que es igual a la probabilidad del suceso x(t) [`consistente en todaslas realizaciones posibles, en el instante t, tales que x(t,ξi ) no exceden el

número x.

La función densidad de probabilidad será

f(x,t) = )[W[

en los instantes t1 y t2 se tienen dos variables aleatorias y la función de

distribución conjunta de ambas variables

F(x1 , x2 ; t1 , t2 ) = P x(t1) [1 , x(t2) [2

La correspondiente función de densidad será :

f(x1 , x2 ;t1 ,t2 ) = 2F(x1, x2 ; t1,t2)

[1 [2

Análogamente podrían obtenerse las funciones de orden superior

F(x1 , x2 , . . . ., xn ; t1 , t2 , . . . , tn )

f(x1 , x2 , . . . , xn ; t1 , t2 , . . ., tn )


La caracterización completa del proceso requeriría conocer estas

funciones para cualquier orden n. Sin embargo, en muchas aplicaciones, sólo

ciertos promedios son utilizados; más concretamente, los que sólo involucran

las funciones de primer y segundo orden.

IV.3.- VALOR MEDIO DEL PROCESO

Se define el valor medio de x(t) como el valor esperado de la variable

aleatoria x en el instante t

η(t) = Ex(t) = ⌡⌠-

xf(x,t)dx

IV.4.- AUTOCORRELACION

La autocorrelación de un proceso R(t1 ,t2 ) se define como el valor

esperado del producto x(t1 ) x (t2 ).

R(t1 ,t2 ) = Ex(t1)x(t2) = ⌡⌠-

⌡⌠

-

x1 x2 f(x1 ,x2 ;t1 ,t2 ) dx1 dx2

El valor R(t1 ,t2 ) para t1 = t2 = t es la potencia media del proceso

Pm(t) = R(t,t) = Ex2(t) = ⌡⌠-

x2 f(x,t)dx

IV.5.- AUTOCOVARIANZA

Es la autocorrelación del proceso centrado x(t)-η(t). Es fácil de ver que

C(t1 ,t2 ) = R(t1 ,t2 ) - η(t1 ) η(t2 )

(-(03/2

Sea el proceso

x(t) = a cos(ωt + ϕ)


donde a y ϕ son dos variables aleatorias independientes y ϕ es una variable

aleatoria uniforme en el intervalo (- HVdecir :

f(ϕ) =

1 φ <

0 RESTO

El valor medio del proceso será

η(t) = E(x(t) = Ea E(cos(ωt + ϕ)

de las propiedades de las variables aleatorias

Ecos(ωt + ϕ) = ⌡⌠

1 cos(ωt+ϕ) dϕ = 0

Luego

η(t) = 0

La autocorrelación vendrá dada por

R(t1 ,t2 ) = Ex(t1)x(t2) =

= Ea2cos(ωt1 + ϕ) cos(ωt2 + ϕ)

Desarrollando el producto de cosenos

R(t1 ,t2 ) = 12 Ea2 E cosω[(t1+t2) + 2ϕ] + cosω(t1 - t2)

El valor medio del primer término es cero

R(t1 ,t2 ) = 12 E a2 cosω (t1 - t2 )

La potencia media del proceso vale (t1 = t2 )

Pm = R(t,t) = 12 E a2


Obsérvese que si la variable aleatoria a es una constante, los resultados

anteriores coinciden con los equivalentes de señales periódicas

determinísticas.

η(t) = 0

R(t1 , t2 ) = R(τ) = 12 a2 cosωτ

Pm = 12 a2

con τ = t1 - t2 ya que la correlación del proceso no depende de los

instantes absolutos t1 y t2 , sino de su diferencia.

IV.6.- VALOR MEDIO Y AUTOCORRELACION EN FUNCION DE LASREALIZACIONES DEL PROCESO

Si las propiedades estadísticas de un proceso (funciones de

distribución y de densidad de probabilidad) son desconocidas, pero se disponede un gran número de realizaciones del mismo, x(t,ξi ) i =1, . . . , N, el valor

medio y la autocorrelación pueden obtenerse de manera aproximada como

η(t) ≅ 1N ∑

i=1

N x(t,ξi )

R(t1 ,t2 ) ≅ 1N ∑

i=1

N x(t1 , ξi ) x (t2 ,ξi )

IV.7.- PROCESOS COMPLEJOS

Las definiciones anteriores pueden extenderse al caso que x(t)

sea complejo. El valor medio es el mismo y la autocorrelación se define como

R(t1 ,t2 ) = Ex(t1) x*(t2)

La potencia media será

Pm(t) = E|x(t)|2


(-(03/2

x(t) = aej(ωt+ϕ)

donde a y ϕ tienen el mismo significado que en el ejemplo anterior.

η(t) = 0

R(t1 , t2 ) = Ex(t1)x(t2) = E|a|2 ejω(t1-t2)

Pm = E|a|2

IV.8.- PROCESOS ESTACIONARIOS EN SENTIDO ESTRICTO

Se dice que un proceso es estacionario en sentido estricto si sus

propiedades estadísticas son invariantes ante un desplazamiento del origen de

tiempos, esto es, x(t) y x(t+c) tienen las mismas propiedades para todo c. De

esta forma

f(x1 , x2 , . . . , xn ; t1 , t2 , . . ., tn ) =

f(x1 ,x2 , . . . , xn ;t1 +c, t2 +c, . . . , tn + c)

La consecuencia es que la función de densidad de primer orden

f(x,t) = f(x,t+c) = f(x)

No depende del tiempo y por tanto el valor medio del proceso será

constante.

Análogamente, la función de densidad de segundo orden :

f(x1 ,x2 ;t1 ,t2 ) = f(x1 ,x2 ;t1 +c,t2 +c) = f(x1 ,x2 ;τ)

No depende de los instantes absolutos t1 y t2 , sino sólo de su

diferencia τ = t1 - t2 . Por tanto la autocorrelación sólo dependerá de τ y para

estos procesos puede definirse

R(τ) = Ex(t+τ) x*(t)


Definición equivalente en forma a la de la autocorrelación de señales

determinísticas de potencia media finita, cambiando el promedio temporal de

estas últimas por el promedio en el conjunto (esperanza matemática).

La potencia media valdrá

Pm = E|x(t)|2 = R(0)

Independiente del tiempo.

Puede definirse la correlación cruzada de dos procesos estacionarios

(una definición equivalente puede darse para dos procesos cualesquiera)

como

Rxy(τ) = Ex(t+τ) y*(t)

IV.9.- PROCESOS ESTACIONARIOS EN SENTIDO AMPLIO ODEBILMENTE ESTACIONARIOS

Un proceso es estacionario en sentido amplio si lo es sólo hasta orden

2, es decir, si

Ex(t) = η constante

Ex(t+τ)x*(t) = R(τ)

IV.10.- ESPECTRO DE POTENCIA DE UN PROCESO ESTACIONARIO

El espectro de potencia o densidad espectral de potencia de un procesoaleatorio estacionario x(t), Sxx(ω) nos dice como se distribuye la potencia

media en el dominio de la frecuencia. De acuerdo con el teorema de Wiener-Kinchine, Sxx(ω) puede calcularse como la transformada de Fourier de la

autocorrelación Rxx(τ) .

Sxx(ω) = ⌡⌠-

Rxx(τ) e-jωτ dτ

Inversamente


Rxx(τ) = 1 ⌡⌠

-

Sxx(ω) ejωτ dω

Análogamente, el espectro de potencia cruzada de dos señales

aleatorias estacionarias viene dado por

Sxy(ω) = ⌡⌠-

Rxy(ω) e-jωτ dt)

Rxy(τ) = 1 ⌡⌠

-

Sxy(ω) ejωτ dω

IV.11.- PROCESOS ESTACIONARIOS Y SISTEMAS LINEALES

Sea x(t) un proceso estacionario de media ηx y autocorrelación Rxx(τ) ,

de entrada a un sistema lineal e invariante como el de la figura

h(t)x(t) y(t)

El valor medio del proceso de salida, y(t) (también estacionario) será

ηy = Ey(t) = E

⌡⌠-

x(t-τ) h(τ)dτ

Intercambiando el operador esperanza por el operador integral (ambos

lineales)

ηy = ⌡⌠-

Ex(t-τ) h(τ) dτ

Por ser x(t) estacionario


ηy = ⌡⌠-

ηxh(τ)dτ = ηxH(0)

La correlación cruzada salida-entrada es

Ryx(τ) = Ey(t+τ) x*(t)

= E

x*(t) ⌡⌠-

x(t+τ-α)h(α)dα

= ⌡⌠-

Ex*(t)x(t+τ-α) h(α)dα

= ⌡⌠-

Rxx(τ-α) h(α) dα

o bien

Ryx(τ) = Rxx(τ) * h(τ)

El espectro cruzado será

Syx(ω) = Sxx(ω) H(ω)

La autocorrelación del proceso de salida valdrá

Ryy(τ) = ey(t+τ)y*(t) = E

y(t+τ) ⌡⌠-

x*(τ-α) h*(α)dα

= ⌡⌠-

Ey(t+τ)x*(t-α) h(α)dα = ⌡⌠

-

Ryx(τ+α) h*(α)dα

= ⌡⌠-

Ryx(τ-λ) h*(-λ)dλ λ = -α

o bien

Ryy(τ) = Ryx(τ) * h*(-τ)


en función de la autocorrelación de la entrada

Ryy(τ) = Rxx(τ) * h(τ) * h*(-τ)

y el espectro de salida

Syy(ω) = Sxx(ω) |H(ω)|2

R ( )

h ( )ττxx

S ( )ωxx

R ( )yx τ

S ( )yx ω

h ( - )τ∗R ( )τyy

S ( )yy ω

Estas relaciones son idénticas a las de las señales determinísticas.

IV.12.- PROCESOS ERGODICOS

El problema central en teoría de procesos es la estimación de sus

propiedades estadísticas, cuando éstas no son conocidas. ya se ha visto antes

que si se dispone de un gran número de realizaciones, pueden estimarse se

media y autocorrelación. En muchas aplicaciones, sólo se tiene acceso a una

sola realización y el único promedio que puede utilizarse es el temporal. Así

por ejemplo, puede estimarse el valor medio del proceso como

η = lím

T→ 1T ⌡⌠

-T/2

T/2 x(t)dt

Donde x(t) significa ahora una realización o función muestra conocida.¿Bajo qué condiciones η es una buena estima de η, valor medio del proceso?

Se dice que el proceso es ergódico en la media si

η= η


Cualquiera que sea la realización (función muestra) x(t) del proceso.

Puede concluirse que en un proceso ergódico en la media, el valor medio en el

conjunto puede intercambiarse con el valor medio temporal de cualquiera de

sus realizaciones.

Análogamente, un proceso es ergódico en correlación si la estima de la

autocorrelación

Rxx(τ) = lím

T→ 1T ⌡⌠

-T/2

T/2 x(t+τ)x*(τ) dτ

con x(t) una realización cualquiera del proceso, coincide con la autocorrelación

del proceso

Rxx(τ) = Rxx(τ) = Ex(t+τ) x*(t)

Obsérvese la fuerte similitud existente entre los procesos ergódicos y las

señales determinísticas de potencia media finita.

IV.13.- RUIDO TERMICO

Es el debido al movimiento errático de particulas cargadas

(habitualmente electrones) en medios conductores. Johnson y Nyquist (1928)

fueron los primeros en estudiar este ruido en resistencia metálicas, por lo que

a veces se le conoce también como ruido Johnson.

Cuando una resistencia metálica R está a temperatura T, el movimiento

errático de los electrones produce un voltaje de ruido en sus terminales en

circuito abierto. Por el teorema central del límite, el voltaje v(t) es una

distribución gaussiana de media cero y varianza (potencia).

Pv = E v2(t) = N72

3h R (vol)2

Donde

k = constante de Boltzmann = 1.37.10-23 Jul/°Kelvin

h = constante de Planck = 6,62.10-34 Julios.segundo


Mediante la mecánica cuántica, puede demostrarse que la densidad

espectral de potencia de este ruido es

Svv(f) = 2Rh|f|

eh|f|/kT - 1 (vol2 )/Hz

Gráficamente para f

0 0 .1 0 .5 1 .0

2 RKT

S ( f )Nvv

f =f

h

KTN

Si |fN | << 1, el espectro puede desarrollarse (mediante un desarrollo en serie

de Taylor) por

Svv(f) ≅ 2RkT

1 -

h|f|2kT

Suponiendo una temperatura ambiente de 290°K (27°C)

kTh ≅ 6.1012 Hz

Luego la condición |f| << kTh se cumple para todo el margen de

comunicaciones radio, además, el segundo sumando es despreciable frente a

la unidad por lo que en ese margen, la densidad espectral puede considerarse

prácticamente constante

Svv (f) ≅ 2RkT


El modelo de Thevenin equivalente para una resistencia con ruido es el

de la figura

R

v(t)

Donde ahora, la resistencia R es ideal (sin ruido) y el ruido está

representado por el generador. La máxima potencia que éste puede entregar auna carga es cuando hay adaptación de impedancias, esto es, la carga zL es

la propia resistencia zL = R, de esta forma, la potencia disponible será

R

v(t) R

Pd = E[ ]v(t)/2 2

R = Ev2(t)

4R = Pv4R

Esto puede extenderse a la densidad espectral, siendo la máxima

disponible

Svvd (f) = Svv(f)

4R = 12 kT =

12 η


Obsérvese que la máxima densidad espectral de ruido que una

resistencia puede entregar a una carga adaptada no depende del valor de la

resistencia, sólo depende de la temperatura, esta máxima densidad es la que

emplearemos en lo sucesivo como espectro de potencia del ruido térmico en el

margen de frecuencias de interés.

IV.14.- RUIDO BLANCO GAUSSIANO

Además de las resistencias, muchas otras fuentes de ruido son

gaussianas y tienen un espectro de potencia plano en un amplio margen de

frecuencias, para estas otras fuentes suele escribirse para la densidad

espectral de potencia

Svv(f) = η/2 η = kTe

siendo Te su temperatura equivalente de ruido : la temperatura a la que

debería estar una resistencia para producir la misma densidad de potencia.

Esta temperatura equivalente no coincidirá, en general, con la temperatura

física.

Aunque la expresión anterior de la densidad espectral de potencia está

limitada a un margen de frecuencias, puede extenderse a todo el dominio

frecuencial. Este es el concepto de ruido blanco, por analogía con la luz

blanca. Si n(t) es el proceso aleatorio que representa el ruido blanco, se tendrá

Snn(f) = η/2 V- f

y su función de autocorrelación

Rnn(τ) = η/2 δ(τ)

es evidente que la potencia total es infinita. Esto no debe causar ningún

problema, ya que los sistemas que filtren el ruido serán limitados en banda y la

potencia de ruido de salida finita.

IV.15.- RUIDO BLANCO FILTRADO

Sea el ruido blanco n(t), la entrada a un sistema como el de la figura


h(t)n(t) w(t)

La densidad espectral del ruido de salida será

Sww(f) = η/2 | |H(f) 2

Este ruido ya no es blanco, ya que su densidad espectral no es

constante, sino que adopta la forma del filtro (ruido coloreado).

Ejemplo : Sea el sistema

1

H(f)

-B B f

La densidad espectral del ruido de salida será

Sww(f) = η/2

f2B

y su función de autocorrelación

Rww(τ) = ηB VHQ %τ %τ

La potencia de salida vale

Pw = Rww (0) = ηB


IV.16.- ANCHO DE BANDA EQUIVALENTE DE RUIDO

La potencia de ruido a la salida de un sistema cuando la entrada es

ruido blanco, puede escribirse como

Pw =η ⌡⌠0

| |H(f) 2 df

Suponiendo un filtro simétrico, puede definirse un ancho de banda

equivalente de ruido como

BN ∆=

1g ⌡⌠

0

| |H(f) 2 df

siendo g1/2 = | |H(f) máx la ganancia del filtro a la frecuencia central. De esta

forma, la potencia de ruido a la salida sería

Pw = gηBN

que es la potencia que se obtendría con un filtro ideal (rectangular) de

ganancia g como se observa en la figura.

f

| H (f) |2 B

N

g

Areas iguales


96,67(0$'(75$160,6,21%$1'$%$6($1$/2*,&2BBBBBBBBBBBBB

9(/(0(1726'(/6,67(0$'(75$160,6,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9)8(17( BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

975$160,625 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9&$1$/'(&2081,&$&,21(6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB V.2.3.1.- PERDIDAS EN LINEAS DE TRANSMISION________________________________3V.2.3.2.- PERDIDAS EN EL ESPACIO LIBRE ______________________________________3

95(&(3725 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB V.2.4.1.- RUIDO BLANCO ADITIVO______________________________________________4

95(3(7,'25(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9',67256,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9',67256,21/,1($/BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB V.4.1.1.- ECUALIZADORES ____________________________________________________11

9',67256,2112/,1($/ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB V.4.2.1.- COMPRESORES Y EXPANSORES_______________________________________15

9),/75267(50,1$/(6237,026 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-1

V.1.- SISTEMA DE TRANSMISION BANDA BASE ANALOGICO

Es un sistema de transmisión sin desplazamiento en frecuencia, es

decir, sin ningún tipo de modulación. Aunque pocos son los sistemas que

trabajan en banda base, las razones de su estudio son las siguientes :

- Los sistemas con modulación pueden estudiarse como los de banda base

y muchos de los conceptos y parámetros de estos últimos son aplicables

a los primeros.

- El sistema banda base sirve como elemento de comparación de las

prestaciones de los distintos tipos de modulación.

V.2.- ELEMENTOS DEL SISTEMA DE TRANSMISION

FUENTE TRANSMISOR CANAL +

S T

RUIDO

S R S D

ND

RECEPTOR DESTINO

ST = Potencia de señal transmitida

SR = Potencia de señal recibida

SD = Potencia de señal en destino

ND = Potencia de ruido en destino

V.2.1.- FUENTE

Genera la información o mensaje que se desea transmitir. El mensaje

puede no ser una señal eléctrica por lo que se requerirá un transductor que

convierta la información en señales eléctricas a la entrada del transmisor.

Ejemplo : voz humana y micrófono en telefonía.


V.2.2.- TRANSMISOR

Dispone la señal mensaje para que sea transmitida al canal de

comunicaciones. En banda base, será en general un simple amplificador que

suministre la potencia necesaria de señal para su posterior recepción. En

sistemas con modulación incluirá además el sistema de modulación.

V.2.3.- CANAL DE COMUNICACIONES

En banda base no es más que una línea de transmisión formada por

cables eléctricos con distintas configuraciones geométricas. En sistemas que

utilizan modulación el canal puede ser, además de las líneas de transmisión,

fibras ópticas, guias de ondas a frecuencias de microondas, espacio libre

(radiación electromagnética), etc.

La señal será distorsionada (se verá más adelante) y fundamentalmente

atenuada a medida que se propaga por el canal. La atenuación es debida a

diversos mecanismos según el canal : pérdidas por efecto Joule en

conductores, dispersión de potencia radiada en el espacio libre, etc. Estas

pérdidas las caracterizaremos, en ausencia de distorsión, por el parámetro L

L = PePs

siendo Pe la potencia de entrada al canaly Ps la potencia de salida. En el

caso del sistema de transmisión

L = STSR

En general, las pérdidas se determinan en dBs

LdB = 10log Pe /Ps

por simplicidad se suprimirá el subíndice cuando no haya ambigüedad.

La potencia se medirá en dB-watios (dBw)

STdB = 10 log ST

estando ST expresada en watios.


De esta forma las pérdidas en dBs pueden expresarse como :

LdB = STdB - SRdB

93(5','$6(1/,1($6'(75$160,6,21

La relación entre la potencia de entrada y salida en líneas de

transmisión y guías de onda viene dada, para señales sinusoidales, por

Ps = e-2αl Pe

donde l es la longitud de la línea y α es la constante de atenuación por unidad

de longitud. Las pérdidas en dBs serán

L = 10log e2αl = 8,68αl dBs

y las pérdidas por unidad de longitud

L/m = 8,68α dB/m

L es un parámetro característico de cada línea

3(5','$6'($/*81$6/,1($6

Línea de hilos paralelos (0.1cm de φ) 1kHz 0,05dB/km

Cable coaxial (1cm φ) 100kHz 1dB/km

3MHz 4dB/km

Guía de ondas (5 x 2.5 cm) 10GHz 5dB/km

Fibra óptica monomodo longitud de onda = 1,5µm 0,2dB/km

Obsérvese que las pérdidas en dBs son proporcionales a la longitud de

la línea. Doblando la longitud se doblan las pérdidas.

93(5','$6(1(/(63$&,2/,%5(

En el espacio libre, la relación de potencias viene dada por

PsPe

= GT GR

λ

O 2


donde GT y GR son las ganancias de las antenas transmisora y receptora,

respectivamente y λ la longitud de onda.

Las pérdidas en dBs serán

LdB = -(GTdB + GRdB ) + 22 + 20 log l/λ dBs

Obsérvese que en este caso las pérdidas son proporcionales al

logaritmo de la longitud del enlace, esto hace que el espacio libre sea

preferible para grandes distancias entre transmisor y receptor.

V.2.4.- RECEPTOR

El propósito del receptor es recuperar la señal mensaje original a partir

de la versión degradada de la señal transmitida a través del canal. Si sólo

hubiese atenuación bastaría con amplificar la señal hasta niveles suficientes y

necesarios para el destinatario del mensaje. Pero el canal distorsiona la señal

y además estará contaminada con ruido.

958,'2%/$1&2$',7,92

El ruido procede de una amplia variedad de mecanismos y entra en el

sistema en todos sus puntos. Sin embargo, sus efectos son más perturbadores

cuanto más bajo es el nivel de señal, esto es, en el receptor. Suponiendo ruido

blanco aditivo y ausencia de distorsión en el canal, el receptor estará formado

simplemente por un amplificador y un filtro paso bajo como en la figura.

FILTROPASO BAJO B N

GR

S (f)=1/2 KT =nn /2η

x(t)

n (t)D

y (t)DS

R

- x(t) es la señal de entrada al receptor que supondremos estacionaria y

ergódica con potencia


SR = E x2(t) = ___x2(t)

- GR es la ganancia en potencia del amplificador.

- Snn(f) es la densidad espectral de potencia de ruido que se supone

blanco y aditivo.

Snn(f) = 12 kT = η/2

k = 1,37.10-23 Julios/°k constante de Boltzmann

T = Temperatura efectiva de ruido

Este ruido incluye tanto el procedente del canal como el generado por el

propio receptor, de esta forma el receptor de considera ideal, sin ruido.

- El filtro paso bajo se considera ideal con un ancho de banda adaptado a

la señal mensaje.

La salida del receptor será

yD(t) = GR x(t) + nD(t)

Suponiendo que el ruido es ergódico también y de media nula

___nD(t) = 0

y que está incorrelado con la señal

________x(t) nD(t) = 0

(Ambas hipótesis son bastante plausibles)

La potencia a la salida será

____yD

2(t) = GR ____x2(t) +

____nD

2(t) = GR SR + ND = SD + ND

Donde la potencia de ruido blanco vendrá dada por


ND = GR ⌡⌠

-

|HR(f)|2 Snn(f) df = GR η BN

HR(f) = Respuesta frecuencial del filtro

El parámetro que determina la calidad final del sistema de transmisión

es la relación señal/ruido (generalmente expresada en dBs)

S

N D _

SDND

= SR

ηBN =

STLηBN

Conclusión :

En un sistema sin distorsión y con ruido blanco aditivo, la relación

señal/ruido está determinada por la potencia transmitida, por las pérdidas en el

canal, por la densidad espectral de potencia de ruido y por el ancho de banda

del filtro receptor y es independiente de la ganancia del receptor, la relación

puede mejorarse :

- Aumentando la potencia transmitida. No obstante, esta potencia no

puede crecer indefinidamente bien por límites físicos de los dispositivos

amplificadores bien por la complejidad y coste del equipo.

- Minimizando la densidad espectral de potencia de ruido cuidando el

diseño del receptor. Tiene las mismas limitaciones que el anterior.

- Disminuyendo al máximo el ancho de banda del filtro. El límite viene

impuesto por el ancho de banda de la señal mensaje.

- La longitud del enlace es fija y por tanto las pérdidas también lo serán.

No obstante, en el adaptado siguiente se verá un medio de aumentar la

relación señal/ruido interviniendo en el parámetro L


(-(03/26'(5(/$&,21(66(f$/58,'2(1$/*81266,67(0$6'(

75$160,6,21

TIPO SEÑAL BANDA DE FRECUENCIAS S/N dBs

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Voz inteligible 500 Hz - 2 kHz 5-10

Voz calidad telefónica 300 Hz - 3.4 kHz 25-35

Radiodifusión AM 100 Hz - 5 kHz 40-50

Alta Fidelidad Audio 20 Hz - 20 kHz 55-65

Televisión Video 60 Hz - 4.2 MHz 45-55

&20(17$5,2

Si el ruido no es aditivo y no está incorrelado con la señal, la relación

señal/ruido es ambigua y no tiene gran significado.

V.3.- REPETIDORES

La manera de aumentar la relación señal/ruido actuando sobre el

parámetro de pérdidas L, es utilizando repetidores (filtros + amplificadores)

entre el transmisor y el receptor. El enlace se divide en M-subsecciones como

indicado en la figura.

L 1

S T+ G 1 L 2

η 1

+ G 2

η 2

+ G M

η M

L M

N D

S D

La misión de los repetidores es elevar el nivel de potencia de señal

compensando las pérdidas de subsecciones precedentes.

El último repetidor coincide con el receptor y los filtros paso bajo están

incluidos en los bloques amplificadores.


Para simplificar el análisis vamos a suponer que :

- Cada amplificador compensa exactamente las pérdidas de la subsección

precedente, es decir

Gi / Li = 1

- Todas las subsecciones son iguales.

En estas condiciones la señal en el destino tendrá la misma potencia

que la transmitida.

SD = ST

La contribución al ruido en recepción por el repetidor iésimo será

NDi = ηi BN Gi Gi+1 . . . GM

Li+1 Li+2 . . . LM = Gi ηi BN = Li ηi BN

Puesto que todas las subsecciones son iguales y

L = L1 L2 . . . LM = LiM

La potencia de ruido total será

ND = MNDi = ML1/M ηBN

y la relación señal ruido

S

N D =

ST

ML1/M ηBN

para compárala con la S/N sin repetidores supongamos M=2 L=100; ML1/M =

20, es decir, la relación señal/ruido se multiplica por 5.

El número de repetidores óptimo se obtiene minimizando ML1/M , esto

es

ddM (ML1/M ) = L1/M - M

1

M2 ln L L1/M = 0


de donde se obtiene

M = Entero [ln L]

en el ejemplo anterior saldría M = 5.

V.4.- DISTORSION

Además de pérdidas, el canal introducirá cierta distorsión en la señal

mensaje. Para que no hubiese distorsión el canal tendría que tener una

respuesta frecuencial de la forma

Hc(f) = 1L

eM IWc

En estas condiciones si s(t) es la señal de entrada al canal, la señal de

salida será

x(t) = 1L

s(t-tc )

L representa las pérdidas.

En realidad las condiciones de amplitud constante y desfasaje lineal en

la respuesta frecuencial sólo es preciso que se cumplan en el ancho de banda

de la señal. No obstante, dicha respuesta no será realizable físicamente de

manera exacta por lo que tono canal presentará alguna distorsión. Lo

importante es minimizar esta distorsión.

Este tipo de distorsión es en general lineal.

Otro tipo de distorsión es la que aparece debido a la existencia de

elementos no lineales en el transmisor; es el caso de la denominada distorsión

no lineal.

V.4.1.- DISTORSION LINEAL

La distorsión lineal puede ser de amplitud, de fase o de ambas. La

distorsión de amplitud se produce cuando la amplitud de la respuesta


frecuencial del canal no es constante en el ancho de banda de la señal y la de

fase cuando ésta no es lineal. En general

H(f) = |H(f)| ejφ(f)

El retardo temporal a la frecuencia f viene dado por

tc (f) = - φ(f) I

La distorsión de fase es equivalente a decir que cada una de las

componentes frecuenciales sufre un retardo distinto por lo que al componerse

a la salida, la forma de onda de la señal sufrirá alteraciones y por tanto habrá

distorsión. El oído humano es bastante insensible a las distorsiones de fase

por lo que esta distorsión no es muy importante en telefonía. Sin embargo,

como veremos, es bastante crítica en transmisión de pulsos.

Un ejemplo de distorsión de amplitud es la causada por la señal

multicamino debido a dos o más caminos diferentes de propagación, aunque el

canal sea ideal. La señal de salida es de la forma

x(t) = k1 x (t-t1 ) + k2 x (t-t2 )

y la respuesta equivalente del canal

H(f) = k1 eM IW1 + k2 e

M IW2

El cuadrado del módulo será

|H(ω)|2 = k12 + k2

2 + 2k1 k2 FRV It2 -t1 )

suponiendo que el eco es de pequeña amplitud, es decir,

k2 /k1 << 1

La amplitud de la respuesta frecuencial tendrá la forma

|H(ω)| ≅ k1

1+2k2k1

FRV IW2-t1) 1/2

≅ k1

1 + k2k1

FRV IW2-t1)

Es decir el eco débil produce un rizado de la amplitud de la respuesta

frecuencial y viceversa.


9(&8$/,=$'25(6

La distorsión lineal puede corregirse mediante el uso de ecualizadores

H (f)c H (f)eq

s(t)

CANAL ECUALIZADOR

x(t) y(t)

Es evidente que para que y(t) sea una versión no distorsionada de s(t),

se debe verificar que

Hc(f) Heq(f) = keM IWc

donde k y tc son constantes

Heq(f) = keM IWc

Hc(f)

Es bastante improbable que podamos diseñar exactamente la respuesta

frecuencial del ecualizador, pero en muchos casos es posible obtener una

aproximación que reduzca a valores aceptables la distorsión final.

Una de las técnicas más antiguas de ecualización de las líneas

telefónicas es al pupinización que consiste en colocar bobinas en serie a lo

largo de la línea para compensar el efecto capacitivo. Más moderno es el uso

de filtros transversales o "tap-delay line" como el de la figura.

x(t)TT

h0

h1

h2

T

hN

. . . .

y(t)+ + +

La señal de salida tendrá la forma


y(t) = ∑n=0

N hn x(t-nT)

La respuesta frecuencial del filtro será

H(f) = ∑n=0

N hn eMQ I7

Si N es impar N = 2M+1, realizando el cambio de subíndices n-M = m,

se tendrá

H(f) = eM0 I7 ∑m=-M

M Wm e

MP I7 Wm = hm+M

Expresión más familiar que, salvo un factor de fase, se trata de un

desarrollo en serie de Fourier truncado. El periodo es 1/T. Por tanto si tenemosun canal para ser ecualizado con Hc(f) definida en |f| < BN , la Heq(f) puede

aproximarse por los M primeros términos del desarrollo en serie de Fourier demanera que 1/T %N . Esta condición determinaría el T y el número de

coeficientes (multiplicadores del filtro) dependerá del grado de aproximación

que se quiera obtener.

Como ejercicio puede ecualizarse el canal multicamino del apartado

anterior

Heq(f) = k eM IWc

Hc(t) = k

k1

eM IWc-t1)

1+k2k1

eM IW2-t1)

≅

kk1

eM IWc-t1)

1 - k2k1

eM IW2-t1)

+

k2

k1

2

eM IW2-t1)

Si se cumple que t2 - t1 1

2BN puede elegirse T = t2 -t1 y los

coeficientes serán, sacando factor común eM IW2-t1)

W-1 = 1


Wo = -k2k1

W1 =

k2

k1

2

V.4.2.- DISTORSION NO LINEAL

Este tipo de distorsión se produce en sistemas que tienen elementos no

lineales. En este caso, el sistema no puede ser definido por una función de

transferencia sino por las características entrada-salida.

y(t)

x(t)

Esta característica es típica de los efectos de corte y saturación de los

amplificadores de estado sólido cuando la entrada es de gran potencia.

Cuando la señal de entrada es de bajo nivel la característica entrada-salida se

puede considerar lineal. En el caso general, la característica puede

aproximarse por una función polinómica de la forma

y(t) =a1 x(t) + a2 x2(t) + . . . + aN xN(t)

Las potencia superiores a la unidad son las que producen la distorsión

no lineal. Aunque no haya función de transferencia, la transformada de Fourier

de la salida será


y(t) = a1 X(f) + a2 X(f) * X(f) + . . . + aN X(f) . . . * X(f)

_________

N veces

Así si x(t) está limitada a la banda BN , la salida tendrá un ancho de

banda de NBN siendo N el orden de la no linealidad. Puesto que todos los

términos tienen frecuencias en |f| < BN que se solapan con X(f), no será

posible eliminar esta distorsión mediante filtrado.

Una medida de esta distorsión puede obtenerse considerando la señal

de entrada

x(t) = cosωo t

la salida será

y(t) =

a2

2 + 3a4

8 + . . . +

a1 + 3a2

4 + . . . cosωo t +

+

a2

2 + a44 + . . . cos2ωo t + . . .

A esta distorsión se le conoce con el nombre de distorsión armónica. La

distorsión del segundo armónico es :

D2 = a1/2 + a4/4 + . . .

a1 + 3a3/4 + . . . . 100 %

Una aplicación interesante de estos dispositivos no lineales es la

multiplicación de frecuencias.

Otro caso interesante es cuando la entrada es una combinación lineal

de dos frecuencias.

x(t) = Ao cosωo t + A1 cosω1 t ωo ω1

La salida es

y(t) = a1 Ao cosωo t + a1 A1 cosω1 t

+ a2 (A2o/2 + A

21/2)


+ a2 (A2o/2 + A

21/2) (cos2ωot + cos2ω1t)

+ a2 Ao A1 [cos(ωo + ω1)t + cos(ωo-ω1)t] + . . .

Además de los armónicos de las frecuencias de entrada aparecen las

frecuencias suma y diferencia. Este tipo de distorsión se conoce como

distorsión de intermodulación y es sumamente peligrosa cuando se utiliza

multiplexación por división de frecuencia (FDM) para transmitir varios canales

de información.

Canal n Canal n+1

ωω n ω n+1

En general si la entrada es

x(t) = x1 (t) + x2 (t)

La salida tendrá términos de la forma X1(f) * X2(f) y aunque X1(f) y

X2(f) estén separados en frecuencia, su convolución puede solapar a ambos.

Este tipo de distorsión se denomina "cross-talk" en telefonía.

Del resultado anterior se deduce que otra aplicación interesante de los

dispositivos no lineales es la de mezcladores o conversores de frecuencia

(moduladores-demoduladores).

9&2035(625(6<(;3$1625(6

Una forma de disminuir la distorsión no lineal es cuidando que el nivel

de la señal de entrada no exceda el rango de operación lineal del dispositivo.

Para ello se utiliza un compresor que reduzca el margen dinámico a la entrada

y un expansor que restituya el margen dinámico a la salida.


y(t)

x(t)

COMPRESOR

y(t)

x(t)

EXPANSOR

COMPRESOR CANAL ESPANSOR

V.5.- FILTROS TERMINALES OPTIMOS

Si el ruido en el receptor no es blanco y además quiere obtenerse una

buena ecualización del canal, pueden utilizarse dos filtros terminales, uno en el

transmisor y el otro en el receptor.

H (f)T

x(t) S TH (f)C + H (f)R

S (f)nn

y (t)D

Si los filtros ecualizan perfectamente el canal se tendrá


HT(f) Hc(f) HR(f) = keM IWc

y la señal de salida será

yD(t) = kx(t-tc ) + nD(t)

Las potencias de señal y ruido en destino son

SD = k2 ____x2(t)

ND = ⌡⌠

-

|HR(f)|2 Snn(f) df

Para determinar los filtros terminales óptimos que maximizan la relaciónseñal/ruido (S/N)

D debemos maximizar ésta manteniendo constante la

potencia transmitida o equivalentemente minimizar

STNDSD

teniendo en cuenta que

ST = ⌡⌠

-

|HT(f)|2

Sxx(f)df

y la expresión de ecualización del canal, puede escribirse

STNDSD

= 1

___

x2(t)

⌡⌠

-

Sxx(f)

|Hc(f)HR(f)|2 df ⌡⌠

-

|HR(f)|2 Snn(f)df

Donde únicamente se ha dejado como función de control de diseño el

filtro en el receptor.

La minimización de la expresión anterior requeriría utilizar el cálculo

variacional. No obstante utilizando la desigualdad de Schwarz.


⌡⌠-

VW

*df

2

⌡⌠

-

|V|2df ⌡⌠-

|W|2df

Identificando

V ≡ Sxx

1/2(f)

|Hc(f) HR(f)|

W ≡ |HR(f) | Snn1/2(f)

y teniendo en cuenta que el signo igual sucede cuando V = cte.W se tiene

finalmente que

|HR(f)|2op =

Sxx1/2(f)

|Hc(f)|Snn1/2(f)

y por tanto

|HT(f)|2op =

k2Snn1/2(f)

|Hc(f) |Sxx1/2(f)

Donde se observa que HR(f) desenfatiza aquellas frecuencias donde la

densidad espectral de ruido es grande y la de señal pequeña mientras queHT(f) hace lo contrario. Las fases no aparecen, pero deben ser tales que

verifiquen la relación de ecualización del canal.

Este tipo de filtros son los que se utilizan en FM (filtros de preénfasis y

deénfasis).

La relación señal/ruido óptima es


(S/N)Dop = ST

(STND/SD)op =

ST ____x2(t)

⌡⌠

-

Sxx

1/2(f) Snn1/2(f)

|Hc(f)| df

2

En la práctica, estos filtros no pueden sintetizarse de manera exacta ya

que el espectro de potencia de señal no es conocido. Los filtros deben

optimizar la relación señal/ruido para diferentes entradas. En este caso se

puden suponer una densidad espectral de potencia de señal constante.

Sxx(f) =

____x2(t)2BN

f

2BN

No se tendrá el diseño óptimo pero seguirá siendo bueno.

Si ahora suponemos que el canal sólo tiene pérdidas |Hc(f) |2 = 1/L

y que el ruido es blanco Snn(f) = η/2, la relación señal/ruido anterior se

convierte en

(S/N)Dop = ST

LηBN

Que es la misma relación encontrada anteriormente, pero que ahora

podemos decir que es óptima.


7(0$9,6(f$/(6<352&(6263$62%$1'$

9,6(f$/$1$/,7,&$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,75$16)250$'$'(+,/%(57 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,352&(6$'2'(6(f$/(60(',$17((/862'(/$66(f$/(6

$1$/,7,&$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,(192/9(17(<)5(&8(1&,$,167$17$1($ BBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,75$16)250$'$'(+,/%(57'(/352'8&72'(81$6(f$/

3$62%$-2<275$3$-2$/72&21(63(&752648(126(62/$3$1BB

9,3523,('$'(6'(/$75$16)250$'$'(+,/%(57 BBBBBBBBBBBB

9,/,1($/,'$' BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,$872&255(/$&,21<(63(&752'(/$75$16)250$'$'(


9,&255(/$&,21&58=$'$'(81$6(f$/<6875$16)250$'$'(


9,5(/$&,21'(2572*21$/,'$'(175(81$6(f$/<68

75$16)250$'$'(+,/%(57 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,75$16)250$'$,19(56$'(+,/%(57BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,75$16)250$'$'(+,/%(57'(/$&2192/8&,21'('26

6(f$/(6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,6(f$/(6&$86$/(6<75$16)250$'$'(+,/%(57 BBBBBBBBBBB

9,6(f$/(63$62%$1'$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,(48,9$/(17(3$62%$-2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,6(f$/(66,0(75,&$6<$17,6,0(75,&$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,&20321(17(6(1)$6(<&8$'5$785$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,5(7$5'26'()$6(<'(*5832BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,),/75$'2(48,9$/(17(3$62%$-2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,5(35(6(17$&,21)$625,$/'(6(f$/(63$62%$1'$ BBBBBBB

9,5(35(6(17$&,21'(352&(626(67$&,21$5,263$62%$1'$

9,$872&255(/$&,21<&255(/$&,21&58=$'$'(/26

352&(626)$6(<&8$'5$785$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


9,$872&255(/$&,21'(/352&(623$62%$-2 BBBBBBBBBBBBBBB

9,$872(63(&752'(/26352&(626)$6(<&8$'5$785$BBBBB

9,(63(&752&58=$'2'(/$66(f$/(6)$6(<&8$'5$785$BB

9,(63(&7526'(/352&(62%$-2<'(/352&(62$1$/,7,&2 BB

9,3523,('$'(6'(/$6&20321(17(6)$6(<&8$'$5$785$'(

/$$872&255(/$&,21'(/352&(623$62%$1'$BBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,58,'2%/$1&23$62%$1'$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,352&(6263$62%$1'$12(67$&,21$5,26 BBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,352&(66263$66$%$1'$$0%)$6($/($725,$ BBBBBBBBBBBBB

&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-1

VI.1.- SEÑAL ANALITICA

Dada la redundancia existente entre las frecuencias positivas y

negativas de la respuesta frecuencial de una señal real, puede usarse sólo la

parte positiva (o negativa) del espectro para caracterizar completamente la

señal.

Se define la señal analítica de x(t) como :

Ax(ω) = 2X(ω)u(ω)

o sea, el doble del espectro de las frecuencias positivas

A

X( ω)

ω ω

A ( ω)

2A

x

De forma análoga podría definirse otra función analítica.

Ax-(ω) = 2X(ω) u(-ω)

para frecuencias negativas. Obsérvese que

Ax-(-ω) = A

*x(ω) ω

En el dominio del tiempo, la señal analítica tendrá la expresión:


ax(t) = 1π ⌡⌠

0

X(ω) ejωt dω = F-1 [Ax(ω)]

compruébese que

ax-(t) = F-1

[ ]Ax-(ω) = a

*x (t)

Esta señal es compleja y su parte real es precisamente la señal x(t)

x(t) = 1π Re

⌡⌠0

X(ω) ejωt dω

La parte imaginaria x(t) es

x(t) = 1π Im

⌡⌠0

X(ω) ejωt dω

y se conoce como transformada de Hilbert y en el próximo apartado se verá

otra expresión más común. Concluyendo

ax(t) = x(t) + j x(t)

x(t) = Re [ax(t) ]

x(t) = Im[ax(t) ]

Obsérvese que la señal analítica ax(t) es coherente con el análisis

fasorial. Así si

x(t) = Acosωo t

se tiene que


X(ω) = πAδ(ω-ωo ) + πAδ(ω+ωo )

La transformada de Hilbert será

x(t) = 1π Im

⌡⌠0

X(ω)ejωt dω = Asenωo t

y la señal analítica

ax(t) = x(t) + j x(t) = Aejωot

VI.2.- TRANSFORMADA DE HILBERT

En el apartado anterior se ha definido la transformada de Hilbert como

x(t) = Im [ax(t) ] = Im F-1 [Ax(ω)]

Teniendo en cuenta que :

Ax(ω) = 2X(ω) u(ω) = X(ω) [ ]1 + sign(ω)

su transformada inversa será

ax(t) = x(t) + F-1 [ ]X(ω) sign(ω)

Dado que :-1

sign (ω) → j 1W


ax(t) = x(t) + j x(t) * 1W

Por tanto :

x(t) = x(t) * 1W =

1

⌡⌠

-

x(τ)t-τ dt

x(t) 1

πt

)(ˆ)( W[W\ =

Esta expresión es la que realmente se conoce como transformada de

Hilbert.

En el dominio frecuencial

X(ω) = -jsign(ω) X(ω)

Así pues para obtener la transformada de Hilbert de una señal x(t), la

pasamos a través de un sistema lineal cuya función de transferencia es :

FASE π/2

FASE -π /2

+j

-j

-jsign( )ω

ω


Dispositivo que puede considerarse que produce un desfasaje de -90

grados para las frecuencia positivas y 90 grados para las negativas mientras

que las amplitudes son inalteradas. Este dispositivo ideal se le conoce como

transformador de Hilbert o filtro en cuadratura.

(-(03/2

x(t) = cosωo t

su transformada de Fourier

X(ω) = π δ(ω - ωo) + πδ(ω + ωo)

Por tanto la respuesta frecuencial de la transformada de Hilbert

X(ω) = -jsign(ω) X(ω) = π2j δ(ω - ωo ) -

π2j δ(ω + ωo )

Luego :

x(t) = senωo t

Análogamente

H

senωo t → -cosωo t

VI.3.- PROCESADO DE SEÑALES MEDIANTE EL USO DE LAS SEÑALES

ANALITICAS

x(t)

h(t)

y(t)


Puesto que

Ax(ω) = 2X(ω) u(ω)

Y(ω) = H(ω) X(ω)

se tendrá que

Ay(ω) = H(ω) Ax(ω)

y también

Ay(ω) = 12 AH(ω) Ax(ω)

y en el dominio del tiempo

ay(t) = h(t) * ax(t)

ay(t) = 12 ah(t) * ax(t)

VI.4.- ENVOLVENTE Y FRECUENCIA INSTANTANEA

Igual que en fasores, ax(t) puede interpretarse como un vector en el

plano complejo


FASE INSTANTANEA (t)xφx(t)

x(t)

PARTE IMAGINARIA

a (t)x

ENVOLVENTE e (t)x

PARTE REAL

∧

La envolvente de la señal x(t) es

ex(t) = |ax(t)| = x2(t) + x2(t)

La fase instantánea

ϕx(t) = arctg x(t)x(t)

La frecuencia instántanea puede calcularse como

fix(t) = 1

dϕx(t)

dt

VI.5.- TRANSFORMADA DE HILBERT DEL PRODUCTO DE UNA SEÑAL

PASO BAJO Y OTRA PAJO ALTO CON ESPECTROS QUE NO SE

SOLAPAN

Sea

x(t) = b(t) a(t)


donde b(t) es una señal paso bajo con transformada B(ω) tal que B(ω)=0 para

|ω| > W y a(t) es paso alto tal que A(ω) = 0 si |ω| < W.

La transformado de Fourier de x(t) es

X(ω) = 1 A(ω) * B(ω) =

1 ⌡⌠

-

A(ω-ω') B(ω') dω'

La respuesta frecuencial de la transformada de Hilbert

X(ω) = -jsign(ω) X(ω)

y la transformada de Hilbert

x(t) = 1 ⌡⌠

-

-jsign(ω)

1

⌡⌠-

A(ω-ω')B(ω') dω' ejωt dω

= 1

(2π)2 ⌡⌠

- ⌡⌠

- -jsign (ω) A(ω-ω') B(ω') ejωt dω dω'

Realizando el cambio u = ω - ω'

x (t) = -j

2 ⌡⌠

-

⌡⌠

-

sign(u+ω') A(u) B(ω') ej(ω'+u)t du dω'

El producto A(u) B(ω') sólo está definido en las franjas rayadas de la

figura en el plano u-ω'.


W

-W W

W

u ∞

ω‘

s i gn (u + ) = 1ω‘

s i gn (u + ) = -1ω‘

-∞

Puesto que

sign (u + ω’) = 1 u + ω’ > 0

-1 u + ω’ < 0

se verifica que

sign (u + ω’) = sign(u)

En las franjas rayadas, luego

x(t) = 1 ⌡⌠

-

B(ω’) ejω’t dω’

1 ⌡⌠

-

-jsign(u) A(u) ejut du

Concluyendo


x (t) = a(t) b(t)

VI.6.- PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE HILBERT

VI.6.1.- LINEALIDAD

Sea z(t) = x(t) + y(t)

z(t) = x(t) + y(t)

se deduce de la linealidad de la convolución

z(t) = [ ]x(t) + y(t) * 1W

VI.6.2.- AUTOCORRELACION Y ESPECTRO DE LA TRANSFORMADA DE

HILBERT

La función de autocorrelación será

Rx x(τ) = x(τ) * x*(-τ)

= x(τ) * 1τ * x

* (-τ) 1 τ

= x(τ) * x* (-τ) *

1τ *

-

1τ

= x(τ) * x*(-τ) * δ(τ)

= x(τ) * x*(-τ) = Rxx(τ)


Luego la transformada de Hilbert tiene la misma función de autocorrelación

que la señal

Rx x(τ) = Rxx(τ)

y por lo tanto tendrá el mismo espectro. Por otro camino

Sx x(ω) = | |X(ω) 2 = | |-jsign(ω) X(ω) 2 = | |X(ω) 2 = Sxx(ω)

VI.6.3.- CORRELACION CRUZADA DE UNA SEÑAL Y SU

TRANSFORMADA DE HILBERT

Rxx(τ) = x(τ) * x*(-τ) = x(τ) * x

*(-τ) *

-

1τ

Rxx(τ) = -Rxx * 1W = - Rxx(τ)

Análogamente

Rxx(τ) = Rxx(τ)

Y sus espectros cruzados

Sxx(ω) = -jsign(ω) Sxx(ω)

Sxx(ω) = jsign(ω) Sxx (ω)

VI.6.4.- RELACION DE ORTOGONALIDAD ENTRE UNA SEÑAL Y SU

TRANSFORMADA DE HILBERT

Una señal x(t) y su transformada de Hilbert son ortogonales, esto es


⌡⌠-

x*(t) x(t) dt = 0

Demostración :

⌡⌠-

x*(t) x(t) dt = PARSEVAL =

1 ⌡⌠

-

X*(ω) X(ω) dω =

= -j ⌡⌠-

sign (ω) | |X(ω) 2 dω

Puesto que | |X(ω) 2 es par la integral es cero.

VI.7.- TRANSFORMADA INVERSA DE HILBERT

La transformada inversa de Hilbert es

x(t) = -1

⌡⌠-

x (τ)t-τ dτ

Demostración :

Sea y(t) = x(t)

La transformada de Hilbert de y(t) será

y(t) = y(t) * 1W = x(t) *

1W

= x(t) * 1W *

1W = x(t) * [ ]-δ(t)

= -x(t)


También puede verse en el dominio de la frecuencia.

VI.8.- TRANSFORMADA DE HILBERT DE LA CONVOLUCION DE DOS

SEÑALES

Sea y(t) = x(t) * h(t)

su transformada de Hilbert es

y(t) = 1W * y(t) =

1W * x(t) * h(t)

Luego

G [x(t) * h(t)] = x(t) * h(t) = x(t) * h(t)

VI.9.- SEÑALES CAUSALES Y TRANSFORMADA DE HILBERT

Por ser señales reales puede escribirse

x(t) = xp(t) + xi(t)

+

x (t)x (t)

t t

A/2 A/2

p i

t

x(t)

A

=


y como se ha visto anteriormente se cumple que

R(ω) = F [xp(t)]

jI(ω) = F[xi(t)]

En el caso de ser causal se cumple además (ver figura)

xp(t) = xi(t) sign(t)

xi(t) = xp(t) sign(t)

Transformando la segunda

jI(ω) = 1 R(ω) *

2jω

Luego la parte imaginaria es la transformada inversa de Hilbert de la parte real

I(ω) = - 1

⌡⌠-

R(ω')ω-ω' dω'

Análogamente, transformando la primera

R(ω) = 1

⌡⌠-

I(ω')ω-ω' dω' T Hilbert Directa

Esta última sólo es cierta si no hay impulsos en el origen de x(t). Si x(t) =x'(t) + kδ(t), el impulso estará presente en xp(t) , pero no en xi(t) . Además

R(ω)ω→

→ k. En este caso, la relación segunda se modificará dando:

R(ω) = R(1

⌡⌠-

I(ω')ω-ω' dω' R( N


VI.10.- SEÑALES PASO BANDA

Se denomina señal paso banda a aquella cuya transformada de Fourier

sólo existe en un determinado rango de frecuencias en la vecindad de algunafrecuencia fo que puede denominarse frecuencia central o portadora.

ω - ω o 1ω + ω

o 2ω

oωo-

- ω + ω- ω - ωo o2 1

X( ω)

La pulsación ωo es arbitraria y no tiene porque coincidir ni con la media

aritmética ni con la geométrica de ω1 y ω2 .

La transformada de la señal analítica, según se ha definido

anteriormente, es

Ax(ω) = 2X(ω) u(ω)

ω - ω o 1 ω + ωo 2

A ( ω)x

ωω

o



ax(t) = x(t) + j x(t)

VI.11.- EQUIVALENTE PASO BAJO

La señal analítica puede interpretarse como el resultado de desplazaren frecuencias (modular) una señal Bx(ω) paso bajo, esto es,

Dominio del tiempo

ax(t) = bx(t) ejωot

Dominio de la frecuencia

Ax(ω) = Bx(ω - ωo)

ω0- ω ω1 2

B ( ω)x

La señal bx(t) se le denomina equivalente paso bajo de ax(t) o x(t). Es

compleja y permite obtener x(t) y x(t) como :

x(t) = Re

bx(t) ejωot


x (t) = Im

bx(t) ejωot

VI.12.- SEÑALES SIMETRICAS Y ANTISIMETRICAS

Si X(ω) es hermítica alrededor de ωo , es decir, si | |X(ω) tiene simetría

par y ϕx(ω) impar alrededor de ωo , entonces Bx(ω) tendrá la misma simetría

alrededor del origen y bx(t) será real.

En este caso

x(t) = bx(t) cosωo t

x (t) = bx(t) senωo t

Análogamente si X(ω) es antihermítica alrededor de ωo , es decir, X(ωo

- ω) = -X*(ωo + ω) , Bx(ω) tendrá la misma simetría alrededor del origen y bx(t)

será imaginaria pura. En este caso

x(t) = -bx ' (t) sen ωo t

bx(t) = jbx '(t)

x(t) = bx '(t) cosωo t

Estas ideas que simplifican el manejo de bx(t) y por tanto de x(t), deben

tenerse presentes a la hora de elegir ωo en un problema concreto.

VI.13.- COMPONENTES EN FASE Y CUADRATURA

Si la señal equivalente paso bajo se especifica por su parte real e

imaginaria


bx(t) = ix(t) + jqx(t)

se obtiene una representación peculiar para x(t) en función de dos señales

paso bajo

x(t) = ix(t) cosωo t - qx(t) sen ωo t = Re bx(t) ejωot

ix(t) , qx(t) son las señales paso bajo

Análogamente la transformada de Hilbert

x(t) = ix(t) senωo t + qx(t) cosωo t = Im

bx(t) ejωot

La envolvente de la señal paso banda será

ex(t) = |ax(t)| = |bx(t)| = ix2(t) + qx

2(t)

y la fase instantánea

ϕx(t) = ωo t + ϕbx(t)

con

ϕbx(t) = arctg qx(t)

ix(t)

Las señales paso bajo ix(t) y qx(t) se denominan componentes en fase

y cuadratura, repectivamente.


La expresión de la transformada de Hilbert de una señal paso banda en

función de las componentes en fase y cuadratura permite implementar dicha

transformada de una manera eficiente y exacta.

La obtención de las componentes en fase y cuadratura a partir de la

señal paso banda puede obtenerse mediante el esquema de la figura.

π/2

cos toω

sen toω

-1/2 q (t)x

1/2 i (t)x

x(t)

FILTROPASO-BAJO

FILTROPASO-BAJO

VI.14.- RETARDOS DE FASE Y DE GRUPO

Estos términos son usados para describir los retardos que sufren las

diferentes partes de una señal paso banda, de banda estrecha, cuando pasa a

través de un sistema lineal paso banda con pequeña distorsión de fase. Dichos

términos carecen de significado en sistemas de banda ancha.

Sea x(t) una señal paso banda que por simplicidad supondremoshermítica en torno a la frecuencia central ωo

x(t) = bx(t) cos ωo t

En este caso, como se ha visto, la señal paso bajo es real y su

transformada hermítica en torno del origen, limitada a


|ω| ωc

La señal paso banda se dice que es banda-estrecha si se verifica que

ωc /ωo << 1

Sea ahora un sistema paso banda

H(ω) = | |H(ω) ejϕH(ω)

tal que la amplitud es prácticamente constante en la banda de la señal

| |H(ω) ≅ |H(ωo)| ωo - ωc < |ω| < ωo + ωc

y la fase puede aproximarse por una recta de acuerdo con el desarrollo en

serie de Taylor.

ϕH(ω) ≅ ϕH(ωo) + (ω - ωo) dϕH(ω)

dω ω= ωo

Definiendo el retardo de fase y de grupo como sigue

tph = - ϕH(ωo)

ωo

tgr = - dϕH(ω)

dω ω = ωo

La transformada de la señal analítica correspondiente al sistema paso

banda será


AH(ω) = 2|H(ωo)| e-jωotph e-j(ω-ωo) tgr u(ω)

La transformada de la señal analítica de x(t) es

Ax(ω) = Bx(ω - ωo)

y por tanto la transformada de la señal analítica de salida será

Ay(ω) =12 Ax(ω) AH(ω) =|H(ωo)| e-jωotph Bx(ω-ω0) e-j(ω-ωo)tgr u(ω)

La señal analítica será la transformada inversa

ay(t) = |H(ωo)| e-jωotph bx (t-tgr) ejωot

Luego la señal de salida será

y(t) = Re [ay(t)] = |H(ωo)| bx (t-tgr) cosωo(t-tph)

CONCLUSION

El retardo de grupo evaluado en la frecuencia central es el retardo de la

equivalente paso bajo de la entrada y el retardo de fase es el retardo de

portadora.

En las figuras siguientes pueden observarse ambos retardos en una

señal paso banda.


0

gt r

gr

gro o ph

t

t

b (t)x

x(t) = bx

(t) cos ωo

t

y(t) = | H( ω ) | b x (t-t ) cos ω (t-t )

b x (t-t )

En la figura pueden observarse gráficamente los retardos de grupo y

fase. Estos son las tangentes de los ángulos representados.


Φ ( ω)

t ph

tgr

ωo

H

ω

VI.15.- FILTRADO EQUIVALENTE PASO BAJO

Sea el sistema h(t) paso banda

h(t)x(t) y(t)

Este sistema puede diseñarse con tecnología de baja frecuencia usando

leve circuitería adicional.

Puesto que entre las señales analíticas existe la relación

ay(t) = 12 ax (t) * ah(t)

La misma relación se tendrá para las señales paso bajo

by(t) = 12 bx(t) * bh(t)


De este modo puede escribirse, después de sustituir los equivalentes

paso bajo por sus componentes en fase y cuadratura, que:

iy(t) = 12 [(ix(t) * ih(t) - qx(t) * qh(t)]

qy(t) = 12 [ix(t) * qh(t) + qx(t) * ih(t)]

Por tanto el sistema paso bajo que se implementaría entre x(t) e y(t)

sería

x ( t )

q ( t )x

i ( t )x

1 / 2 i ( t )h

+

+

+

+

+

-

i ( t )y

q ( t )y

y ( t )

1 / 2 q ( t )h

Este sistema, usado tradicionalmente en sistemas radar, sobre el papel

solucionaría el procesado en radio frecuencia con tecnología de baja

frequencia, el problema radica en que la realizabilidad de h(t) no garantiza lade ih(t) o qh(t) lo que conduciría solo a soluciones aproximadas de h(t).

VI.16.- REPRESENTACION FASORIAL DE SEÑALES PASO BANDA

Todas las señales que intervienen en la representación de señales paso

banda


bx(t) = ix(t) + jqx(t)

ax(t) = bx(t) ejωot = x(t) + j x(t)

x(t) = Re [ax(t)] = |bx(t)| cos [ωot + ϕbx(t)] =

= ix(t) cosωo t - qx(t) senωo t

x (t) = Im [ax(t)] = |bx(t)| sen [ωot + ϕbx(t)] =

= ix(t) sen ωo t + qx(t) cosωo t

ex(t) = |ax(t) | = |bx(t) | = x2(t) + x2(t) = ix2(t) + qx

2(t)

ϕx(t) = ωo t + ϕbx(t) = ωo t + arctg qx(t)

ix(t) = arctg x(t)x(t) = ϕax

(t)

Pueden representarse en el plano complejo como en la figura

EJE REALx(t)

EJE IMAGINARIO

x(t)

i (t)x

b (t)x

a (t)x

φ (t)bx φ (t)ax

ω to

q (t)x

∧


En realidad se trata de dos planos complejos superpuestos, donde el

correspondiente a las señales equivalentes paso bajo se ha girado un ánguloωo t en sentido contrario a las agujas de reloj para mayor claridad.

VI.17.- REPRESENTACION DE PROCESOS ESTACIONARIOS PASO-

BANDA

Sea n(t) un proceso aleatorio estacionario paso-banda. El proceso

analítico correspondiente puede representarse como

an(t) = n(t) + jn(t)

siendo n(t) la transformada de Hilbert del proceso n(t), esto es, el proceso de

salida del siguiente sistema

1

πt

n(t) n(t)

n(t) = n(t) * 1πt

Como en señales determinísticas, el proceso analítico puede escribirse

como :

an(t) = bn(t) ejωot

bn(t) , como se verá más adelante, es el proceso paso-bajo equivalente


bn(t) = in(t) + jqn(t)

de las expresiones anteriores puede establecerse

in(t) + jqn(t) = [ ]n(t) + jn(t) e-jωot

de forma que los procesos fase y cuadratura en función del proceso paso

banda tienen las expresiones siguientes :

in(t) = n(t) cosωo t + n(t) senωo t

qn(t) = n(t) cosωo t - n(t) senωo t

Las relaciones inversas son :

n(t) = in(t) cosωo t - qn(t) senωo t

n(t) = qn(t) cosωo t + in(t) senωo t

VI.17.1.- AUTOCORRELACION Y CORRELACION CRUZADA DE LOS

PROCESOS FASE Y CUADRATURA

Si el proceso paso-banda n(t) es estacionario, vamos a demostrar que

los procesos fase y cuadratura también son estacionarios. La autocorrelación

del proceso fase es

Rin in (t+τ,t) = Ein(t+τ)in(t)

Sustituyendo in(t)

Rin in(t+τ,t) = E

n(t+τ) cosωo(t+τ) + n(t+τ) senωo (t+τ)


n(t) cosωot + n(t) senωot

Desarrollando el producto

Rin in(t+τ, t) = En(t+τ) n(t) cosωo(t+τ) cosωo t +

En(t+τ) n(t) cosωo (t+τ) senωo t +

En(t+τ) n(t) senωo(t+τ) cosωo t +

En(t+τ) n(t) senωo(t+τ) senωo t

La esperanza correspondiente al primer sumando es la autocorrelación

del proceso paso-banda.

Rnn(τ) = En(t+τ) n(t)

La del segundo sumando es

Rnn(τ) = E n(t+τ) n(t) = E

n(t+τ) n(t) * 1W

= E

n(t+τ) ⌡⌠-

n(α)dαt-α

Introduciendo n(t+τ) dentro de la integral e intercambiando la esperanza

con la integral.

Rnn(τ) = ⌡⌠-

E n(t+τ)n(α)t-α dα =


= ⌡⌠-

Rnn (t+τ - α)

t-α dα

Realizando el cambio de variable t+τ-α = u se obtiene

Rnn(τ) = - ⌡⌠-

Rnn(u)

τ-u du = -Rnn(τ)

De manera análoga puede obtenerse para los otros dos sumandos

Rnn(τ) = En(t+τ)n(t) = Rnn(τ)

Rn n(τ) = En(t+τ) n(t) = Rnn(τ)

Relaciones completamente idénticas a las correspondientes a señales

determinísticas.

Haciendo uso de las relaciones trigonométricas

cosAcosB = 12 [ ]cos(A-B) + cos (A+B)

senAsenB = 12 [ ]cos(A-B) - cos(A+B)

senA cosB = 12 [ ]sen(A-B) + sen(A+B)

Se obtiene finalmente la autocorrelación

Rinin (t+τ,t) = Rnn (τ) cosωo τ + Rnn(τ) senωo τ = Rinin

(τ)


que sólo depende de τ.

La autocorrelación del proceso cuadratura y la correlación cruzada de

los procesos fase y cuadratura pueden obtenerse de manera análoga.

Rqnqn(τ) = Rinin

(τ)

Rqnin(τ) = Rnn(τ) cos ωo τ - Rnn (τ) senωo τ

Rinqn(τ) = -Rqnin

(τ)

Multiplicando Rinin(τ) por cosωo τ (senωo τ ) y Rqnin

(τ) por senωo τ (

cosωo τ ) y restando (sumando) se obtienen las relaciones inversas

Rnn(τ) = Rinin(τ) cosωo τ - Rqnin

(τ) senωo τ

Rnn(τ) = Rqnin(τ) cosωo τ + Rinin

(τ) senωo τ

Obsérvese que la correlación del proceso paso banda tiene la mismaforma que una señal paso banda en la que la "SEÑAL EN FASE" es Rinin

(τ) =

Rqnqn(τ) y la "SEÑAL EN CUADRATURA" es la correlación cruzada Rqnin

(τ)

= -Rinqn(τ) .

Las expresiones de Rinin(τ) y Rqnin

(τ) en función de Rnn(τ) y Rnn(τ)

pueden obtenerse por el procedimiento señalando anteriormente, esto es,multiplicando por senωo τ (cosωo τ ) y sumando (restando).

VI.17.2.- AUTOCORRELACION DEL PROCESO PASO BAJO

Rbnbn(τ) = E bn (t+τ) bn

*(t)


substituyendo bn(t)

Rbnbn(τ) = E [in(t+τ) + jqn(t+τ)] [in(t) - jqn(t)]

= Rinin(τ) - jRinqn

(τ) + jRqnin(τ) + Rqnqn

(τ)

Teniendo en cuenta las propiedades obtenidas anteriormente :

Rbnbn(τ) = 2 Rinin

(τ) + jRqnin(τ)

VI.17.3.- AUTOESPECTRO DE LOS PROCESOS FASE Y CUADRATURA

Tomando transformadas de Fourier en la autocorrelación del proceso en

fase

Sinin(ω) = Sqnqn

(ω) = F Rinin(τ) =

= F[Rnn(τ) cosωoτ + Rnn(τ) senωoτ]

Teniendo en cuenta las propiedades de la transformada de Fourier y de

Hilbert

Sinin(ω) =

12 [ ]Snn(ω - ωo )+ Snn (ω + ωo) -

- j 12 [-jsign (ω-ωo) Snn(ω-ωo) + jsign(ω+ωo) Snn(ω+ωo)]

= 12 [1 - sign(ω-ωo)] Snn(ω-ωo) +

12 [(1+ sign (ω+ωo)] Snn(ω+ωo)

o bien


Sinin(ω) = Snn(ω-ωo) u(-ω+ωo ) + Snn(ω+ωo) u(ω+ωo )

Expresión que tiene una interpretación gráfica sencilla. Sea el espectro

de la señal paso banda el siguiente :

A

s ( )ωnn

- ω oω o −ω 1 ω o ω o +ω 2

El primer sumando consiste en desplazar todo el espectro, a la derecha,la cantidad ωo y eliminar la parte centrada en 2ωo

A

s ( - ) u (- + )ωnn ωo ω ωo

ωω1

ω o- ω 2ω o2

u(- + )ω ωo

El segundo sumando realiza la operación contraria, desplaza elespectro, a la izquierda, la cantidad ωo y suprime la parte centrada en -2ωo .

A

s ( + ) u ( + )ωnn ω o ω ω o

ωω1ωo - ω 2ω o-2

u( + )ω ω o

-


El espectro final será la suma de los anteriores

A

ωω1−ω ω 2−ω 12

s ( )ωii n n

VI.17.4.- ESPECTRO CRUZADO DE LAS SEÑALES FASE Y

CUADRATURA

Siguiendo el mismo procedimiento del apartado anterior

Sqnin(ω) = F Rqnin

(τ) =

= F Rnn(τ) cosωoτ - Rnn(τ) senωoτ

= 12 [-jsign(ω-ωo)Snn(ω-ωo) - jsign (ω+ωo) Snn (ω+ωo)]

+ j 12 [Snn(ω-ωo) - Snn(ω+ωo)]

= j 12 [1-sign(ω-ωo)] Snn(ω-ωo) -j

12 [1+sign(ω+ωo)] Snn(ω+ωo)

o bien

Sqnin(ω) = jSnn(ω-ωo) u(-ω+ωo ) -jSnn(ω+ωo) u(ω+ωo )

Gráficamente, para la misma señal anterior


jA

ω−ω

ω 2

2

s ( )ωiqn n

-jA

VI.17.5.- ESPECTROS DEL PROCESO BAJO Y DEL PROCESO

ANALITICO

El espectro del proceso paso bajo será

Sbnbn (ω) = 2 Sinin

(ω) + jSqnin(ω)

Sustituyendo los espectros calculados anteriormente queda

Sbnbn(ω) = 4Snn(ω+ωo) u(ω+ωo )

El espectro del proceso analítico vendrá dado por

Sanan(ω) = Sbnbn

(ω -ωo) =4Snn(ω) u(ω)

Gráficamente


S ( )bb nn

−ω

4A

ω

ω1 2

ω

4A

S ( )aa nnω

−ω1 +ω2ω

ω

ω0ω0

ω0

VI.17.6.- PROPIEDADES DE LAS COMPONENTES FASE Y

CUADARATURA DE LA AUTOCORRELACION DEL PROCESO PASO

BANDA.

Se ha visto anteriormente que

Rinqn(τ) = -Rqnin

(τ)

pero al ser qn(t) e in(t) reales, de la propia definición de correlación cruzada

se deduce

Rinqn(τ) = Rqnin

(-τ)

Luego


Rinqn(τ) = -Rinqn

(-τ)

de donde se concluye que la correlación cruzada es una función impar. Esta

propiedad también puede deducirse del espectro cruzado de ambas señales

(imaginario puro).

La potencia de las señales fase y cuadratura

Pin = Pqn

= Rinin (0) = Rqnqn

(0) = Rnn (0) = Pn

es la misma que la del proceso paso banda.

VI.18.- RUIDO BLANCO PASO BANDA

S ( )n ω

ω

η

n

ω ω ω−ω −ω −ω0 00 0 0 0-w +w -w +w

/2

Por estar centrado en ωo , la correlación cruzada y el espectro cruzado

de los procesos fase y cuadratura son nulos. El autoespectro de ambos

procesos será

S ( )n

ω

ω

n

-w w

ii

η


VI.19.- PROCESOS PASO-BANDA NO ESTACIONARIOS

Hemos visto en el apartado anterior que si un proceso paso-banda es

estacionario, els proceso paso-bajo y los procesos en fase i en cuadratura

también lo son. El contrario no siempre es cierto. Sean [(W) i \(W) dos procesos

banda base i sea

WVLQW\WW[WZ 00 )(cos)()( ωω −=

Un proceso paso-banda tal que I0 es más grande que la máxima frecuencia de

los procesos paso-bajo, donde π

ω2

00 =I . La correlación del proceso Z(W), de

acuerdo con el apartado anterior, vendrá dada por

[ ] τωωττττ 002),(),(Re2

1)()(),( MWM

EEEZ HHW5W5WZWZ(W5ZZ

Z

∗+=+=

Siendo )(WEZ

el proceso equivalente paso-bajo,

)()()( WM\W[WEZ

+=

),( τW5ZE

es su correlación y ),( τW5ZZEE ∗ la correlación cruzada del proceso paso-

bajo y su conjugado. Estas últimas valen

[ ]),(),(),(),(),( τττττ W5W5MW5W5W5 [\\[\[EZ

−++=

[ ]),(),(),(),(),( τττττ W5W5MW5W5W5 [\\[\[EEZZ

++−=∗

Por tanto, para que el proceso paso-bajo sea estacionario se ha de cumplir que

[(W) i \(W) sean estacionarios y además que

)()( i )()( ττττ[\\[\[

5555 −==


9,352&(66263$66$%$1'$$0%)$6($/($725,$

Una manera de soslayar el problema de los procesos paso-banda noestacionarios es suponer que la portadora tiene una fase φ que es una

variable aleatoria distribuida uniformemente en [-π,π ] e independiente de los

procesos, es decir

)()()cos()()(’ 00 φωφω +−+= WVLQW\WW[WZ

En este caso el proceso paso-bajo será

[ ] φφ M

Z

M

ZHWEHWM\W[WE )()()()(’ =+=

Su correlación

[ ])()()()()()’*()(’)(’ τττττττ [\\[\[EE55M555WEWE(5

ZZ

−++==+=

y la correlación cruzada de )(’ WEZ

y su conjugado

0)()(’)(’)( 2’*’ ==+= ∗

φτττ M

EEEEH(5WEWE(5

ZZZZ

Por tanto el nuevo proceso es estacionario si los procesos [(W) i \(W) lo son.


7(0$9,,02'8/$&,21(6/,1($/(6

9,,,1752'8&&,21$/266,67(0$6'(02'8/$&,21 BBBBBBBBBBBBB

9,,02'8/$&,21(6/,1($/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,$03/,78'02'8/$'$$0 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

VII.2.1.1.- ANCHO DE BANDA __________________________________________________4

VII.2.1.2.- POTENCIA TRANSMITIDA ____________________________________________5

VII.2.1.3.- GENERACION DE AMPLITUD MODULADA _____________________________6

9,,02'8/$&,210(',$17(',6326,7,92612/,1($/(6 ___________8

9,,02'8/$&,21325&21087$&,212&+233(5 ______________9

VII.2.1.4.- DEMODULACION DE AMPLITUD MODULADA _________________________12

9,,'(7(&725'((192/9(17('(3,&2 ___________________________12

9,,'(7(&725'((192/9(17(3520(',2 ______________________17

9,,02'8/$&,21'2%/(%$1'$/$7(5$/'%/3257$'25$

6835,0,'$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

VII.2.2.1.- GENERACION DE DOBLE BANDA LATERAL ___________________________21

VII.2.2.2.- DETECCION COHERENTE DE DBL____________________________________23

9,,6,1&521,=$&,21'(3257$'25$ ____________________________25

9,,,1&25325$&,21'(3257$'25$ _____________________________25

9,,*(1(5$&,21'(3257$'25$0(',$17(/$=2&8$'5$7,&2__25

9,,02'8/$&,21%$1'$/$7(5$/81,&$%/8 BBBBBBBBBBBBBBBBBB

VII.2.3.1.- GENERACION DE BANDA LATERAL UNICA ___________________________28

9,,',6&5,0,1$&,21(1)5(&8(1&,$2),/75$'2 _______________28

9,,',6&5,0,1$&,21(1)5(&8(1&,$(1'2%/((7$3$ ___________29

9,,02'8/$&,21325',6&5,0,1$&,21'()$6( _________________30

9,,02'8/$'25'(:($%(5_____________________________________31

VII.2.3.2.- DEMODULACION DE SEÑALES BLU __________________________________32

9,,%$1'$/$7(5$/5(6,'8$/29(67,*,$/%/9BBBBBBBBBBBBBBBB

VII.2.4.1.- EXPRESION DE LA SEÑAL MODULADA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO____39

VII.2.4.2.- MODULACION BLV CON PORTADORA________________________________41

9,,58,'2(102'8/$&,21(6/,1($/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,58,'2(1'2%/(%$1'$/$7(5$/BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,58,'2(1%$1'$/$7(5$/81,&$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV9,,58,'2(1$03/,78'02'8/$'$$0&21'(7(&&,21'(

(192/9(17(BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-1

VII.1.- INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE MODULACION

FUENTE MODULADOR TRANSMIS. CANAL

RUIDO

+ RECEPTOR DEMODUL. DESTINO

El sistema de modulación adapta la señal mensaje, procedente de la

fuente, al canal de comunicaciones. De manera general, el modulador traslada

el espectro paso bajo de la señal mensaje a una banda de frecuencias

conveniente para su transmisión vía ondas radio y otros medios de transmisión

como guiaondas, fibras ópticas, etc.

La translación de frecuencias puede hacerse también para un mejor

aprovechamiento del canal, transmitiendo simultáneamente varios mensajes

por el mismo canal (multiplexación por división en frecuencia), dispuestos los

espectros adecuadamente.

MULTIPLEXACION POR DIVISION EN FRECUENCIA (FDM)

n n+1 n+2

ω

El espectro paso banda, resultado de la modulación, estará centrado en

una frecuencia, generalmente alta, denominada frecuencia portadora. Estaportadora es simplemente una señal de la forma Acosωc t. Hay varios

esquemas de modulación dependiendo de qué características de la señal

portadora son variadas por la señal de información (moduladora).

- 0RGXODFLRQHVGHDPSOLWXGROLQHDOHV

La señal moduladora varía las características de amplitud de la

portadora, mientras que la fase de ésta es independiente de la señal

moduladora.


- 0RGXODFLRQHVDQJXODUHV

La moduladora modifica las características de fase de la

portadora, permaneciendo la amplitud constante.

VII.2.- MODULACIONES LINEALES

VII.2.1.- AMPLITUD MODULADA (AM)

Se emplea fundamentalmente en radio difusión de onda media con

frecuencias de portadora comprendidas en la banda

535 kHz fc kHz

La características esencial de AM es que preserva la envolvente de la

portadora que, como se verá, no es más que la señal mensaje o moduladora.

Sea x(t) la señal moduladora cuyo espectro es paso bajo y en la que

supondremos que

|x(t)| -V t

La señal modulada en AM tiene la expresión

s(t) = Ac [ ]1 + mx(t) cos(ωc t + θc )

siendo Ac , ωc y θc constantes

Ac amplitud de la portadora sin modular

fc = ωc frecuencia portadora

θc fase constante de la portadora

m es el denominado índice de modulación y debe verificar la restricción

m 1


Esta condición junto con la expresada anteriormente para la señalmoduladora asegura que el término Ac[ ]1 + mx(t) es siempre positivo y

expresa exactamente la envolvente de la señal modulada.

Si m fuese mayor que la unidad, la portadora podría estar

sobremodulada (mx(t) < -1), dando como resultado inversiones de fase. En

este caso la onda modulada presentaría distorsiones de envolvente y la señal

mensaje no podría recuperarse a partir de la envolvente de la señal modulada.

En las figuras siguientes pueden observarse estos efectos

0

x(t)

t

s(t)

m<1

t

s(t)

m>1

t


9,,$1&+2'(%$1'$

La transformada de Fourier de la señal modulada es, suponiendo θc = 0

S(ω) =πAc [δ(ω-ωc) + δ(ω+ωc)] + mAc

2 [X(ω-ωc) + X(ω+ωc)]

ω

x( )ω

-w w

BANDA LATERALINFERIOR

BANDA LATERALSUPERIOR

A ( - )c cωωδ

ωω ωω-w

c c c+w

S( )ω

1/2mA X(o)c

A ( + )c cωωδ

−ω −ω−ω-wc c c+w

ππ

Así pues, el espectro no es más que el mensaje trasladado a lafrecuencia portadora ±ωc más un par de impulsos que representan a la

portadora. Tiene por tanto simetría alrededor de la frecuencia portadora

(amplitud simetría par y fase simetría impar). A la parte del espectro por

encima de la portadora se llama banda lateral superior y a la que está por

debajo, banda lateral inferior.

El ancho de banda de transmisión es el doble del ancho de banda de la

señal mensaje

BT = 2B


B = w

esto representa un mal uso del espectro.

9,,327(1&,$75$160,7,'$

Para calcular la potencia transmitida supondremos que la señalmoduladora es una señal aleatoria (proceso) y que la fase de la portadora θc

es una variable aleatoria distribuida uniformemente en [- ] e independiente

de la moduladora. De esta forma

PT = E s2(t) = ____

s2 (t)

donde la barra puede significar que el proceso es ergódico en correlación

(promedio temporal) o simplemente una simplificación de la otra notación.

Sustituyendo quedará

PT = 12 Ac

2 ________[ ]1+mx(t) 2 =

= Ac

2

2 [1+2m___x(t) + m2

____x2 (t)]

Si suponemos además que la señal tiene media nula (no tiene

componente continua) ___x(t) = 0

PT = [1 + m2___x2(t) ]

Ac2

2

Que tiene la siguiente interpretación

PT = Pc + 2PSB

siendo Pc la potencia de portadora


Pc = 12 Ac

2

y PSB la potencia de una banda lateral

PSB = Ac

2

4 m2___x2(t)

Obsérvese que

____

PSB = m2x2(t) Pc

2 12 Pc si m < 1

Por tanto, la portadora tiene al menos el 50% de la potencia transmitida.

La portadora es independiente del mensaje, no contiene ninguna información y

por consiguiente la modulación AM representa una mala utilización de la

potencia. No obstante, como se verá, el exceso de potencia transmitida

facilitará la demodulación, es decir, la detección del mensaje.

9,,*(1(5$&,21'($03/,78'02'8/$'$

El dispositivo generador de ondas AM debe ser variante con el tiempo o

no lineal ya que en la señal modulada se crean nuevas frecuencias que no

pueden ser generadas por un sistema lineal e invariante.

La forma general de obtener AM está indicada en la figura.

mx(t) s(t)

~ A cos tcc ω


Un multiplicador puede ser realizado por medio de dos dispositivos de

ley cuadrática como en la figura, con características de entrada-salida de la

forma

vo(t) = avi2(t)

siendo vo(t) la señal de salida y vi(t) la de entrada

+-v -v1 2

v +v1 2+

+

v (t)1

v (t)2

v

v

3

4

+

-

v (t)0

La salida del dispositivo superior es

v3(t) = a(v12 + 2v1 v2 + v2

2 )

la del inferior

v4(t) = a

v1

2 - 2v1v2 + v22

Por tanto la salida del sistema viene dada por

vo(t) = 4a v1(t) v2(t)


9,,02'8/$&,210(',$17(',6326,7,92612/,1($/(6

En estos sistemas, la modulación se logra aplicando la suma de la

portadora y moduladora a un dispositivo no lineal y posterior filtrado paso

banda. La no-linealidad de estos dispositivos no debe ser superior al segundo

orden.

En la figura siguiente puede verse el esquema general de este tipo de

modulador. Considerando la característica entrada-salida del dispositivo de la

forma general

vo(t) = ∑n=0

N an vn(t)

La salida del dispositivo hasta el término de tercer orden será

FILTRO PASOBANDA

ωc

s(t)v (t)o

x(t)

A cos tc cω

vo(t) = ao + a22 Ac

2 + a1 x(t) + 32 a3 Ac

2 x(t) + a2 x2(t) + a3 x3(t)

+ [a1 Ac + 2a2 Ac x(t) + 3a3 Ac x2(t) + 34 a3 Ac

3 ] cosωc t

+

1

2 a2Ac2 +

32 a3 Ac

2 x(t) cos2ωc t

+ 14 a3 Ac

3 cos3ωc t

donde se ha hecho uso de las relaciones


cos2 α = 1+cos2α

2

cos3 α = cos3α + 3cosα

4

Aunque el filtro elimine los términos de baja frecuencia y los centradosen los armónicos 2ωc y 3ωc , la salida final no será AM debido al término 3a3

Ac x2(t) por lo que la no-linealidad debe estar limitada a orden dos (a3 = 0).

De esta forma la salida será

s(t) = Ac a1

1 + 2a2a1

x(t) cosωc t

se ha de verificar que

ωo > 3w

para que no haya solapamiento del espectro de s(t) con el de x2(t) .

9,,02'8/$&,21325&21087$&,212&+233(5

Esta modulación se realiza mediante "chopping" de la señal Ac[ ]1+mx(t)

a la frecuencia portadora y posterior filtrado paso banda.

En las figuras siguientes se tiene el esquema básico y las señales

resultantes

FILTRO PASO BANDA

ω c

~ ~

R

++v (t)o

v (t)o

+A [1+mx(t)]c

s

s(t)


A [ 1 +mx(t) ]c

t

v (t)o

t

s(t)

t

T = 2 π/ ωc c

Si el conmutador permanece abierto en los ciclos positivos de portadora,la señal vo(t) será

vo(t) = Ac [ ]1+mx(t) sc(t)

donde

sc(t) = 1 cosωct 0

0 cosωct < 0

Desarrollando sc(t) en serie de Fourier

sc(t) = 12 +

2 cosωc t -

2 cos3ωc t + . . .

se tiene que

vo(t) = Ac [ ]1 + mx(t) (12 +

2 cosωct -

2 cos3ωct + . . .)


-w w ωc ω c3 ω

V ( )0 ω

Si se verifica que ωc > 2w, la señal de salida será

s(t) = 2

Ac [ ]1 + mx(t) cosωc t

El elemento clave en este modulador es el conmutador que abre y cierra

a la frecuencia portadora.

En la figura puede verse una realización sencilla del mismo mediante un

puente de diodos.R

+

+v (t)1

~~A [1+mx(t)]c

FILTRO PASO BANDA

s

v (t)1

2π/ω cV1

t


Considerando los diodos ideales, es evidente que si V1 es lo

suficientemente grande, los diodos estarán polarizados en directo ypresentarán baja impedancia (conmutador cerrado) a la señal Ac[ ]1+mx(t) en

los semiciclos positivos de v1(t) . Por el contrario, la impedancia será elevada

en los semiciclos negativos (conmutador abierto).

9,,'(02'8/$&,21'($03/,78'02'8/$'$

La demodulación de AM puede conseguirse mediante el esquema de la

figura

FILTRO PASO BAJO

~

s(t)

A cos tωL c

Este tipo de demodulación se conoce como demodulación o detección

síncrona y requiere que el oscilador local esté sincronizado en frecuencia y

fase con la portadora de la señal modulada. Será analizado con más detalle

más adelante.

Puesto que la envolvente de AM tiene la misma forma que el mensaje,

independientemente de la frecuencia y fase de la portadora, la demodulación

puede lograrse extrayendo la envolvente sin necesidad de sincronismos que

complican extraordinariamente la circuitería del demodulador.

9,,'(7(&725'((192/9(17('(3,&2

Un detector de envolvente de pico ideal es aquel que muestrea cada

pico positivo (o negativo) de la portadora y mantiene el valor hasta el próximo


ciclo como expresado en la figura. Esto es equivalente a un muestreo con

periodo de muestreo igual al periodo de la portadora.

s(t)

v (t)o

t

La operación es equivalente al siguiente esquema

h (t)

1

0 Tt

c

x

v (t)0

s (t)p

s(t)

siendo

s(t) = Ac [ ]1 + mx(t) cosωc t = g(t) cosωc t

sp(t) = ∑n=-

δ(t - nTc )

h(t) =

t-Tc/2

Tc

La salida vo(t) será


vo(t) = s(t) sp(t) *

t-Tc/2

Tc

en el dominio de la frecuencia

Vo(ω) = 1 S(ω) * Sp(ω) e-jωTc/2

senωTc/2

ω

Puesto que sp(t) es periódica, su transformada viene dada por

Sp(ω) = ∑n=-

Xb(nωc)

Tc δ (ω-nωc ) =

= 1

Tc ∑n=-

δ (ω-nωc )

y la transformada de la salida

Vo(ω) = e-jωTc/2 senωTc/2

ωTc ∑n=-

S(ω-nωc )

Que salvo el factor de fase lineal (retardo puro en el tiempo) es el

resultado de multiplicar


G( )ω

-2 cω −ω c -w 0 w ω c 2ω cω

por

ω

2 /T =π ωc c

ω cT

ω csin T /2

G(ω) : Transformada de la envolvente

Es evidente que la envolvente, obtenida mediante filtrado paso bajo,

presentara una gran distorsión, a menos que

ωc >> w

Cuando esta condición ocurre, la función superior es prácticamente

constante en el ancho de banda del mensaje.

Una realización práctica del detector de envolvente de pico es

CR v (t)0

+

-

g(t)+

-~

Rs


Rs representa la resistencia equivalente de las etapas previas al detector.

La señal de salida tendrá la forma de la figura

v (t)o

t

s(t)

La constante de tiempo de carga del condensador τs = Rs C tiene que

ser muy pequeña para que el condensador pueda cargarse al ritmo de laportadora. Por el contrario, la constante de tiempo de descarga τ = RC debe

ser grande con relación al periodo de portadora para que el condensador se

descargue lentamente en cada ciclo de portadora. Por otra parte, la descarga

debe ser más rápida que el decaimiento de la envolvente, de lo contrario el

diodo no se activaría en los picos de portadora y habría distorsión. Estacondición es equivalente a decir que 1/τ es bastante mayor que la frecuencia

máxima de la envolvente. Resumiendo

τs = Rs C << Tc = ωc

ωc

<< τ = RC << w

De la última se deduce que, como en el caso ideal, debe verificarse que

ωc >> w

para tener un rizado pequeño, es decir, poca distorsión.


Este detector es el utilizado prácticamente en todos los receptores de

onda media.

9,,'(7(&725'((192/9(17(3520(',2

El detector de envolvente de pico está restringido a situaciones donde

hay una gran separación entre la frecuencia portadora y la frecuencia máxima.

Otra posibilidad de obtener la envolvente es mediante el siguiente

esquema.

FILTRO PASO BAJO

s(t)v (t)

v (t)i

0v (t)0

RECTIFICADOR DEMEDIA ONDA

s(t) = g(t) cosωc t = Ac [ ]1 + mx(t) cosωc t

como g(t) -V t

vo(t) = s(t) p(t)

con

p(t) = 1 cosωct > 0

0 cosωct < 0

Desarrollando p(t) en serie de Fourier


p(t) = 12 +

2 cosωc t -

2 cos3ωc t + . . .

vo(t) = g(t)2 cosωc t +

2g(t) cos2 ωc t -

2g(t) cos3ωc t cosωc t + ...

= g(t)

+ g(t)2 cosωc t + AM armónicos superiores

El filtro paso bajo eliminará todas las señales si se verifica que

ωc > 2 w

G( )ω

-w w ω c 2ωcω

A diferencia del detector de envolvente de pico, el de envolvente

promedio permite obtener, al menos de manera teórica, la envolvente exacta.

Si el rectificador fuese de onda completa, el término centrado en ωc no

existiría y la condición se relaja aún más

ωc > w

Un detector práctico de envolvente promedio es el mostrado en la figura

C

R+

-

s(t)+

-~

i D α iD

R


Aquí el diodo y el filtro paso bajo están desacoplados. El desacoplo

puede conseguirse, por ejemplo, mediante un transistor en base común, donde

la unión base-emisor hace de diodo.

i Dα i

D

VII.2.2.- MODULACION DOBLE BANDA LATERAL (DBL) (PORTADORA

SUPRIMIDA)

No es más que la modulación AM vista anteriormente donde la

portadora, que no conlleva información, es suprimida. Esto representa un

ahorro considerable de potencia.

La forma de onda de la señal modulada es

s(t) = Ac x(t) cosωc t

la potencia transmitida

PT = 2 PSB = 12

____x2 (t) Ac

2

la transformada de Fourier

s( )ω

−ω cω

cω c-w ω

c+w ω


S(ω) = Ac2 [X(ω-ωc) + X(ω+ωc)]

El ancho de banda sigue siendo el mismo que en AM.

En el dominio de la frecuencia AM y DBL son bastante similares. En el

dominio del tiempo son bastante diferentes, la envolvente no tendrá la misma

forma que el mensaje, pues los valores negativos de x(t) representan una

inversión de fase de la portadora (igual que en AM con índice de modulación

superior a la unidad). Por tanto, un simple detector de envolvente no serviría,

lo que representa un compromiso entre eficiencia en potencia y sencillez del

demodulador.

s(t)

0t

t

x(t)

0


9,,*(1(5$&,21'('2%/(%$1'$/$7(5$/

De los tres métodos básicos de modulación AM vistos anteriormente, el

primero y el tercero pueden servir perfectamente para generar DBL. En el

segundo, el dispositivo no lineal debe ser perfectamente cuadrático, es decir,

la característica entrada-salida sería

vo(t) = av2i (t)

Dada la dificultad en conseguir un dispositivo de ley cuadrada exacta, se

utiliza el modulador balanceado como en la figura

MODULADOR AM

MODULADOR AM

x(t)

-x(t)

s (t)1

s (t)2

A cos tcc ω

~

s(t)+

-

Suponiendo que ambos moduladores AM son idénticos

s1(t) = Ac [ ]1 + mx(t) cosωc t

s2(t) = Ac [ ]1 - mx(t) cosωc t

La diferencia entre ambas es la señal modulada

s(t) = s1(t) - s2(t) = 2Ac mx(t) cosωc t


Un esquema práctico de modulador por conmutación o chopper podría

ser el siguiente

c(t)

FILTRO PASOBANDA

s(t)v (t)0x(t)

La señal c(t) es una onda cuadrada periódica conperiodo Tc ωc .

Debe estar aplicada exactamente en el punto medio de los transformadores

para que no aparezca en la salida. Y su amplitud debe ser suficientemente

grande para que en el semiciclo positivo los diodos paralelos están en

conducción, presentando una resistencia pequeña a x(t), y los otros esté en

corte, presentando una gran impedancia. La situación inversa se produce en el

semiciclo negativo. De esta forma

vo(t) = x(t) sc(t)

con

sc(t) = 1 c(t) > 0

-1 c(t) < 0

El desarrollo en serie de Fourier de sc(t) es

sc(t) = 4π ∑

n=1

(-1)n-1

2n-1 cos [ωct (2n-1)]

El filtro paso banda se encargará de eliminar todas las componentes espúreas(n≠1) dando como señal de salida


s(t) = 4π x(t) cosωc t

t

x(t)

c(t)

t

v (t)

t

o

9,,'(7(&&,21&2+(5(17('('%/

En el caso de doble banda lateral, el simple detector de envolvente no

sirve, y hay que recurrir a la detección coherente o síncrona.

El oscilador local del demodulador debe estar perfectamente

sincronizado en frecuencia y fase con la portadora.


~

s(t) v(t) v (t)0FILTRO PASO BAJO

A cos tL cω

Para ver el efecto de la falta de sincronismo, sea AL cos[(ωc+∆ω)t + ∆φ]

la señal del oscilador local. La señal v(t) será

v(t) = Ac AL x(t) cosωc t cos[(ωc + ∆ω)t+∆φ]

= 12 Ac AL x(t) cos [2ωc+∆ω)t+∆ω]+ cos (∆ωt+∆φ)

Después de filtrar, la señal de salida será

vo(t) = 12 Ac AL x(t) cos(∆ωt + ∆φ)

si el error en frecuencia fuese despreciable (∆ω ≅ 0) la salida sería

vo(t) = 12 Ac AL x(t) cos∆φ

Si ∆φ ODVHñal se anularía. En la práctica, las fluctuaciones del

canal de transmisión harían que ∆φ fuese una función lentamente variable con

el tiempo que modularía al mensaje produciendo un efecto de

desvanecimiento (fading) aparente.

Si el oscilador está sincronizado en fase (∆φ = 0) pero no en frecuencia

vo(t) = 12 Ac AL x(t) cos∆ωt


Así si x(t) es un tono de frecuencia fm, la salida serían dos tonos confrecuencia fm - ∆f y fm + ∆f, respectivamente. Si ∆f << fm , el efecto sería

equivalente a dos instrumentos musicales, ligeramente desafinados tocando al

unísono.

9,,6,1&521,=$&,21'(3257$'25$

Para la obtención de una portadora local sincronizada con la portadora

de la señal modulada se utilizan diversos procedimientos, dos de ellos serán

descritos a continuación. La sincronización mediante PLL (Phase Locked

Loop) no es tema de este curso.

9,,,1&25325$&,21'(3257$'25$

Algunos sistemas DBL incorporan una portadora piloto de muy bajo

nivel de potencia para facilitar el sincronismo. El esquema de demodulación es

el de la figura

FILTRO PASOBANDA MUYESTRECHO

ωc

FILTRO PASO BAJO

s(t) + piloto

9,, *(1(5$&,21 '( 3257$'25$ 0(',$17( /$=2

&8$'5$7,&2

Para sistemas con portadora totalmente suprimida, la portadora local

puede generarse mediante el siguiente esquema


DISPOSITIVOCUADRATICO

v (t) = as (t)12

v (t)1 FILTRO PASOBANDA MUYESTRECHO 2ω c

s(t)v (t)2 DIVISOR DE

FRECUENCIA2

v (t)0

:

La salida del dispositivo cuadrático será

v1(t) = ax2(t) cos2(ωct + θc)

= ax2(t)

2 + ax2(t)

2 cos2(ωc t + θc )

Si el filtro paso banda es lo suficientemente estrecho, la salida del mismo será

v2(t) = a2

____x2(t) cos2(ωc t + θc )

Puesto que x2(t) es siempre positivo, su valor medio será mayor que

cero y por tanto el divisor de frecuencia daría una frecuencia portadora local

sincronizada. No obstante, puede haber en esta última una ambigüedad en la

IDVHGH UDGLDQHV\DTXHFRQ

s(t) = x(t) cos(ωct + θc

se obtendría la misma portadora.

VII.2.3.- MODULACION BANDA LATERAL UNICA (BLU)

Tanto en AM como en DBL el ancho de banda transmitido es, BT = 2B,

el doble del necesario para transmitir la información.

La modulación banda lateral única consiste en utilizar una de las bandas

laterales (la banda superior o la inferior). Así para la banda superior, el

espectro sería de la forma


ω

s( )ω

ωc ωc +w−ω c -w −ω c

En este caso el ancho de banda es BT = B = w . La potencia

transmitida será

PT = 14 Ac

2 ____x2(t) = PSB

la mitad que en DBL. Luego este sistema es el más eficiente desde el punto de

vista de ancho de banda y potencia.

Para obtener la representación en el dominio del tiempo, obsérvese quela función analítica de S(ω) es la misma que la del mensaje trasladada a ωc y

dividida por dos

As (ω) = 12 Ax (ω-ωc)


as(t) = 12 ax(t) ejωct =

12 [x(t) + j x(t)] ejωct

Por tanto la señal modulada será (para banda lateral superior)

sBLS(t) = Re[as(t)] = 12 x(t) cosωct - x(t) senωct


Para la banda lateral inferior la señal analítica es la conjugada y la señal

modulada será

sBLI(t) = 12 x(t) cosωct + x (t) senωct

9,,*(1(5$&,21'(%$1'$/$7(5$/81,&$

9,,',6&5,0,1$&,21(1)5(&8(1&,$2),/75$'2

FILTRO BLU

x(t)

cos tωc

s(t)

Se modula en DBL y luego se selecciona mediante filtrado una de las

bandas. Dado que el filtro de BLU es irrealizable en la práctica, esta

generación sólo podrá usarse cuando el espectro de x(t) tiene poco contenido

en bajas frecuencias.

X( ω )

0 ω

ω

FILTRO BLU

ωc

0

S( ω )


9,,',6&5,0,1$&,21(1)5(&8(1&,$(1'2%/((7$3$

Aun cuando el mensaje tenga poco contenido en bajas frecuencias, si la

frecuencia potadora es mucho más alta que la banda del mensaje, el diseño

del filtro BLU puede ser complicado debido al pequeño ancho de banda de la

región de transición, relativo a la portadora. En este caso puede recurrirse a un

proceso de modulación múltiple como en la figura.

FILTROBLU

x(t)

cos( - )tωc

v (t)

ω 0

v (t)1 2FILTROPASO-BANDA

v (t)3 s(t)

cos t0ω

X( ω )

0 ω

ω

FILTRO BLU

ω c

0- ω 0

ω c - ω 0

V ( ω )2

V ( ω )1

V (w)3

2 ω - ω0 c

ω

ωω c

ωω c

S( ω )

0


9,,02'8/$&,21325',6&5,0,1$&,21'()$6(

La expresión de la señal BLU en el dominio del tiempo sugiere el

siguiente modulador.

TRANSFOR-MADOR DEHILBERT

x(t) x(t) sin tcω

sin t

cωcos t

cω

x(t) s(t)

x(t) cos tcω

π

El signo (-) corresponde a BLS y el (+) a BLI.

Sin embargo, el transformador de Hilbert es irrealizable de manera

exacta.

j

-j

T.H.

ω

Y aunque el mensaje tenga poco contenido en bajas frecuencias, la

realización del transformador de Hilbert aproximado sigue siendo dificil.


9,,02'8/$'25'(:($%(5

FILTROPASO-BAJO

π/2 π/2

x(t)

v i1

v s1

w/2~ ~

w/2

v i2

v s2 v s3

v i3

ω ±w/2c

+

±

s(t)w/2

FILTROPASO-BAJO

es el más utilizado.

Como en el caso anterior puede obtenerse BLS seleccionando el signo

superior (+) y BLI con (-). En la figura pueden verse los diferentes espectros

obtenidos para la banda lateral superior.

x( )ω

ω-w w

ω-w/2 w/2

(1/2)

ω-w/2 w/2

(1/2)

v ( )ωs1

v ( )ωs2


v ( )ω

ω

(-j/2)

i1

(j/2)

v ( )ω

ω

i2

(1/4) (1/4)

−ω c ω cω

v ( )ωs3

(1/4) (1/4)

ω

v ( )ωi3

(-1/4)(-1/4)

Sumando queda banda lateral superior. Restando quedaría BLI, pero auna frecuencia portadora ωc +ω.

9,,'(02'8/$&,21'(6(f$/(6%/8

Como en DBL, con portadora suprimida, la demodulación de banda

lateral única se realiza mediante detección coherente.


FILTRO PASO BAJO

v(t)s (t)BLU

A cos tL cω

v (t)0

sBLU(t) = Ac2

x(t) cos ωct

-+ x(t) senωct

El signo (-) corresponde a banda lateral superior y el (+) a banda lateral

inferior.

Suponiendo la portadora local perfectamente sincronizada conla

componente en fase de la señal BLU se tendrá

v(t) = AcAL

4 x(t) + AcAL

4

x(t) cos2ωct

-+ x(t) sen2ωct

El segundo término es una señal BLU con frecuencia portadora 2ωc y será

eliminada por el filtro paso bajo.

Para estudiar la distorsión producida por la falta de sincronismo

supongamos que la portadora de referencia tiene la forma:AL cos[ ](ωc+∆ωc)t + φc , la señal de salida del filtro paso bajo es

vo(t) = AcAL

4 x(t) cos(∆ωct + φc) ± x(t) sen(∆ωct + φc)

Que es una señal BLU con frecuencia portadora ∆ωc y fase φc . Esta

señal será banda lateral inferior si sBLU(t) es banda lateral superior y

viceversa.

Si suponemos en primer lugar ∆ωc = 0, la salida tendrá la forma

vo(t) = AcAL

4 x(t) cosφc ± x(t) senφc


cuya transformada de Fourier es

Vo(ω) = AcAL

4 X(ω) [cosφc ± (-j) sign(ω) senφc]

Vo(ω) = AcAL

4 X(ω) e

-+jφc ω > 0

e ±jφc ω < 0

Este retardo de fase constante a todas las frecuencia produce una

distorsión de fase del mensaje que no es muy seria para la transmisión de voz

ya que el oido es bastante insensible a la fase.

Suponiendo ahora que φc = 0 y que la señal moduladora es un tono

simple x(t) = cosωm t, la salida será

vo(t) = AcAL

4 [cosωmt cos∆ωct ± senωmt sen∆ωct]

vo(t) = Ac AL

4 cos(ωm -+ ∆ωc )t

Que es el mismo tono desplazado por la desviación en frecuencia. El

efecto primerio sería destruir la relación armónica de las componentes

espectrales. La voz tendría una calidad tipo pato donald y la música sonaría

como la oriental.

VII.2.4.- BANDA LATERAL RESIDUAL O VESTIGIAL (BLV)

La banda lateral única es buena para transmisión de voz, debido al poco

contenido en bajas frecuencias. Cuando la señal moduladora tiene

componentes significativas en la parte baja del espectro (televisión y

telegrafía), la realización del filtro BLU es difícil, no permitiendo la eliminación

completa de la otra banda. Esta dificultad sugiere otro esquema de modulación

conocido como banda lateral vestigial.


ω

X(ω)

-w w

w

S BLV (ω)

v

ω ω- ωc c

Una banda es transmitida casi completamente y sólo un residuo o

vestigio de la otra.

El ancho de banda de transmisión será

BT = B + Bv

Bv = Wv

La transformada de Fourier de la señal modulada en BLV puede

considerarse como una de doble banda lateral que se hace pasar a través de

un filtro conveniente.


SBLV(ω) = Ac2 [X(ω-ωc) + X(ω+ωc)] Hv(ω)

La forma del filtro Hv(ω) debe ser tal que el mensaje pueda ser

recuperado sin distorsión

FILTROVESTIGIALx(t)

A cos tc cω

s (t)BLV

H ( )ωv

FILTROPASO-BAJO

s (t)BLV

A cos tL cω

v (t)0

El efecto del multiplicador es desplazar el espectro de sBLV(t) a

derecha e izquierda la cantidad ωc . A la salida del filtro paso bajo la

transformada de Fourier de vo(t) será

Vo(ω) = AcAL

4 X(ω) [Hv (ω-ωc) + Hv(ω+ωc)]

Por tanto, para que no haya distorsión, el término entre corchetes debe

ser constante.

Hv (ω − ωc) + HV (ω + ωc) = 2Hv (ωc) = 1

Donde, sin pérdida de generalidad, se ha supuesto que Hv(ωc) = 1/2.


En realidad, puesto que la señal moduladora está limitada a |ω| ZOD

condición anterior sólo es necesario que se cumpla en el intervalo -w < ω < w.De esta forma, el filtro Hv(ω) pueda tener la forma.

H ( ω)v

- ω -w - ω ω ω +w ωc c c c

H ( ω+ω )v c

w-2 ω c ωH ( ω- ω )v c

-w 2ωc ω

ω

H ( ω+ω )+H ( ω- ω )

-w w

cc vv

|ω|<<ωc

Fuera de ese intervalo, la forma del filtro puede ser arbitraria.

Llamando AHv(ω) y BHv(ω) a las transformadas de las señales

analítica y equivalente paso bajo del filtro Hv(ω) , respectivamente, es evidente

que

AHv(ω) = 2Hv(ω) u(ω)


BHv(ω) = 2Hv(ω+ωc) |ω| Z

puesto que el filtro vestigial es real

Hv*(-ω) = Hv(ω)

condición que es equivalente a escribir que

BHv*(-ω) = 2Hv(ω-ωc) |ω| Z

Puede concluirse que la condición para que no haya distorsión,

expresada en términos del equivalente paso bajo, es :

BHv(ω) + B*Hv(-ω) = 2 |ω| Z

escribiendo

BHv(ω) = 1 + F(ω)

la condición anterior es equivalente a

F*(-ω) = -F(ω)

1

-1

w

-w

F( ω )

ω

Puesto que F(ω) es antihermítica, su transformada inversa f(t) será imaginaria

pura

f(t) = jg(t) g(t) real


por lo que podrá escribirse que

BHv (ω) = 1 + jG(ω)

siendo G(ω) la transformada de g(t) y por tanto hermítica

G*(-ω) = G(ω)

j

-j

-w

w

ω

G( ω)

9,, (;35(6,21 '( /$ 6(f$/02'8/$'$ (1 (/ '20,1,2

'(/7,(032

La señal analítica en el dominio de la frecuencia de la señal BLV puede

escribirse como

As(ω) = 12 Ac X(ω-ωc ) AHv(ω)

y su equivalente paso bajo

Bs(ω) = 12 Ac X(ω) BHv(ω)

Sustituyendo el equivalente paso bajo del filtro


Bs(ω) = 12 Ac [ ]X(ω) + jX(ω) G(ω)

su transformada inversa será

bs(t) = 12 Ac [x(t) + jqx(t)]

siendo

qx(t) = 1 ⌡⌠

-w

w X(ω) G(ω) ejωt dt

Por tanto la señal en el tiempo será

sBLV(t) = Re

bs(t) ejωct

sBLV(t) = 12 Ac [x(t) cosωct-qx(t) senωct]

Expresión que sugiere otra forma de obtener banda lateral vestigial

FILTRO PASOBANDA

FILTRO PASOBANDA

π/2G( )ω

x(t)

~

q (t)x

A cos tcc ω

+ s (t)BLV

-+

Obsérvese que el filtro G(ω) es prácticamente el transformador de

Hilbert aunque con una transición suave que lo hace más realizable. Si el


ancho de banda del vestigio tiende a cero, el filtro es exactamente el de Hilbert

y la componente en cuadratura la transformada de Hilbert.

9,,02'8/$&,21%/9&213257$'25$

Para poder demodular BLV con un detector de envolvente algunos

sistemas incluyen portadora, de esta forma la señal modulada tendría la

expresión

s(t) =12 Ac [ ]1 + mx(t) cosωc t

-+

12 Ac mqx(t) senωc t

La salida del detector de envolvente sería :

vo(t) =12 Ac

[ ]1 + mx(t)2

+ [mqx(t)]2

1/2

=12 Ac [ ]1 + mx(t)

1 +

mqx(t)

1+mx(t) 2

1/2

De donde se deduce que la distorsión de envolvente es producida por la

componente en cuadratura. Esta distorsión puede reducirse bien disminuyendo

el indice de modulación, bien aumentando el ancho de banda lateral vestigialde manera que se reduzca qx(t) .

VII.3.- RUIDO EN MODULACIONES LINEALES

VII.3.1.- RUIDO EN DOBLE BANDA LATERAL

FILTRO PASOBANDA

DEMODULADOR

FILTRO PASO BAJO

v (t)0v (t)i

RUIDO

s(t)+


El ruido se supone blanco y estacioanrio. El filtro paso banda estácentrado en ωc \WLHQHGHDQFKXUD: %HVGHFLUHODQFKRGHEDQGDGH

transmisión. Su misión es filtrar el ruido reduciéndolo al mínimo posible. El

ruido filtrado será por tanto paso banda.

La señal modulada es de la forma

s(t) = Ac x(t) cosωc t

La potencia de señal recibida es

SR = 12 Ac

2 __

x2(t) = 12 Ac

2 Px

La señal de entrada al demodulador será

vi(t) = [Acx(t) + in(t)] cosωc t - qn(t) senωc t

La señal detectada después de filtrar paso bajo será

vo(t) = vi(t) cosωc t + FPB = 12 Ac x(t) +

12 in(t)

El demodulador y el filtro paso bajo bloquean la componente en

cuadratura del ruido.

El ruido final es aditivo y su potencia será

ND = 14

_____in

2(t)

Como se ha visto anteriormente, la potencia de la componente en fase

es igual a la potencia del ruido paso banda, luego

ND = 14 n2(t) =

14 2ηB =

12 ηB

La potencia de señal detectada es


SD = 14 Ac

2 _____x2(t) =

14 Ac

2 Px = 12 SR

Luego la relación señal/ruido en detección será

(S/N)D = SRηB

Un sistema banda base que recibiese el mismo mensaje con la misma

potencia recibida, tendría una relación señal/ruido

(S/N)DBB = SRηB = γ

Que es exactamente la misma. Luego DBL y banda base tienen las mismas

prestaciones en lo que a reducción de ruido se refiere. Este resultado no es

intuitivo ya que desde el punto de vista de traslación de frecuencias, parecería

que al desplazar el espectro de la señal sería la misma que en banda base

mientras que la potencia del ruido sería el doble que en banda base. Sin

embargo, las bandas laterales de la señal se suman en amplitud (suma

coherente) mientras que en el ruido lo que se suman son los espectros de

potencia (suma incoherente) proporcionando el mismo ruido que en banda

base.

VII.3.2.- RUIDO EN BANDA LATERAL UNICA

La señal modulada tendrá la forma

s(t) = Ac x(t) cosωct + x(t) senωct

La potencia de señal recibida es

SR = 12 Ac

2 _____x2(t) +

12 Ac

2(t) ____x2(t) = Ac

2 Px

El ruido tiene ahora la forma


n(t) = in(t) cosωo t - qn(t) senωo t

ωo = ωc ± w/2

Los signos superiores corresponden a seleccionar la banda lateral

superior y los inferiores a la inferior.

Obsérvese que el ruido no está centrado en la frecuencia portadora.

s ( )ωnn

/2η

ω ωo ωω

c +wc

A la entrada del demodulador

vi(t) = s(t) + n(t)

A la salida del detector

vo(t) = vi(t) cosωc t + FPB

= 12 Ac x(t) +

12

in(t) cos

w2t ± qn(t)sen

w2t

La potencia de señal detectada vale

SD = 14 Ac

2 ____x2(t) =

14 Ac

2 Px = 14 SR

La potencia de ruido será

ND = 14

1

2

_____

i2n(t) +

12

_____

q2n(t) =

14

_____n2(t) =

14 ηB


Luego la relación señal/ruido en detección

(S/N)D = SRηB = γ

Que también es la misma que en banda base.

Obsérvese que en esta modulación la componente en cuadratura del

mensaje está ausente de la salida del detector mientras que aparece un

término en cuadratura del ruido, debido a que la frecuencia central de éste no

coincide con la frecuencia portadora. El ruido a la salida del detector puede

interpretarse como un ruido paso banda centrado en w/2 .

-w -w/2 w/2 w

s ( )ωnD nD

η /8 η /8

ω

VII.3.3.- RUIDO EN AMPLITUD MODULADA (AM) CON DETECCION DE

ENVOLVENTE

La señal modulada es

s(t) = Ac [ ]1 + mx(t) cosωc t

y la potencia recibida, suponiendo que el mensaje no tiene componente

continua

SR = 12 Ac

2 [ ]1+m2Px

La señal de entrada al modulador será

vi(t) = Ac [ ]1+mx(t) + in(t) cosωc t - qn(t) senωc t


A la salida del detector de envolvente

vo(t) = [Ac + Acmx(t) + in(t)]2 + qn2(t) 1/2

Suponiendo que la potencia de ruido es baja comparada con la de la

portadora, el término debido a la componente cuadratura puede despreciarse

vo(t) ≈ Ac + Ac mx(t) + in(t)

El primer sumando no contiene información. Es un término de continua

y debe ser bloqueado, luego la señal demodulada final será

yD(t) = Ac mx(t) + in(t)

La potencia de señal detectada es

SD = Ac2 m2 PX =

2m2Px

1+m2Px SR

El ruido tendrá una potencia

ND =

_____

i2n(t) =

_____n2(t) = 2ηB

La relación señal ruido en detección es

(S/N)D = m2Px

1+m2Px SRηB =

m2Px

1+m2Px γ

Puesto que m|x(t)| VHWHQGUiWDPELpQTXHm2 Px SRU ORTXH OD

máxima relación señal/ruido será

(S/N)DMAX = 12 γ


Es decir, la mitad de la de banda base, que refleja el hecho de que la

mitad o más de potencia es gastada en la portadora. Así pues AM es inferior a

banda base en, al menos, 3dB en la relación señal/ruido.


7(0$9,,,02'8/$&,21(6$1*8/$5(6

9,,,02'8/$&,21(6$1*8/$5(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,02'8/$&,21'()$6(<02'8/$&,21'()5(&8(1&,$ BBBBBB

9,,,02'8/$&,21'()$6( BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,02'8/$&,21'()5(&8(1&,$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,5(/$&,21(175(02'8/$&,21'()$6(<02'8/$&,21'(

)5(&8(1&,$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,&203$5$&,21(175(02'8/$&,21(6$1*8/$5(6</,1($/(6

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,$1$/,6,6(63(&75$/'()0&21817212BBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,$1&+2'(%$1'$'()002'8/$'25$72126,03/( BBBB

9,,,$1$/,6,6(63(&75$/'()0&21'2672126BBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,$1&+2'(%$1'$'(81$6(f$/)0&2181$02'8/$'25$

*(1(5$/3$62%$-2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,02'8/$&,21'()5(&8(1&,$'(%$1'$(675(&+$BBBBBBBB

9,,,*(1(5$&,21'()0'(%$1'$(675(&+$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,02'8/$&,21',5(&7$'()0'(%$1'$$1&+$ BBBBBBBBBBBBB

9,,,02'8/$&,21,1',5(&7$'()0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,'(02'8/$'25(6'()0',6&5,0,1$'25'()5(&8(1&,$6

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,'(7(&&,21'()086$1'281$/,1($'(5(7$5'2 BBBBBBBB

9,,,/,0,7$'25BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,58,'2(102'8/$&,21(6$1*8/$5(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

9,,,35((1)$6,6<'((1)$6,6(1)0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-1

VIII.1.- MODULACIONES ANGULARES

En las modulaciones angulares, la fase de la portadora varía de alguna

manera de acuerdo con la señal mensaje o moduladora, manteniéndose la

amplitud constante.

A diferencia de las modulaciones lineales, las modulaciones angulares

no son procesos lineales, por lo que el espectro de la señal modulada no está

relacionado de una manera simple con el espectro del mensaje.

Las modulaciones angulares presentan una mayor protección contra el

ruido e interferencias que las modulaciones lineales. Estas mejoras son

obtenidas a costa de un ancho de banda de transmisión bastante mayor que el

de la señal mensaje.

VIII.2.- MODULACION DE FASE Y MODULACION DE FRECUENCIA

La señal modulada en modulaciones angulares tiene la forma

s(t) = Ac cosθc(t)

siendo Ac constante y θc(t) una función lineal del mensaje x(t). La pulsación y

frecuencia instantánea son

ωi(t) = dθc(t)

dt fi(t) = ωi

Aunque pueden existir diversas formas de variar la fase, en la práctica

sólo se utilizan la modulación de fase (PM) y la modulación de frecuencia (FM).

Escribiendo la fase de la señal modulada como

θc(t) = ωc t + φc(t)


donde ωc es la pulsación de la portadora y φc (t) puede ser interpretado como

la fase relativa, ambas modulaciones tendrán las formas siguientes.

VIII.2.1.- MODULACION DE FASE

El término de fase relativa φc(t) , varía proporcionalmente al mensaje,

esto es

θc(t) = ωc t + φ∆ x(t)

donde φ∆ es una constante positiva que representa la sensibilidad de fase del

modulador en radianes/voltio, si x(t) es un voltaje. Si |x(t)| φ∆ será la

máxima desviación de fase.

La forma de la señal modulada es

s(t) = Ac cos [ωct + φ∆x(t)]

y la pulsación instantánea

ωi(t) = ωc + φ∆ dx(t)

dt φ∆

VIII.2.2.- MODULACION DE FRECUENCIA

En este caso es la frecuencia instantánea (equivalentemente la

pulsación) la que varía linealmente con el mensaje

fi(t) = fc + f∆ x(t)

siendo f∆ una constante positiva que, de manera análoga al caso anterior,

representa la sensibilidad en frecuencia del modulador en Hertz/Volt.

Si |x(t)| f∆ es la máxima desviación de frecuencia

fc es la frecuencia portadora.


La forma de onda de la señal modulada será

s(t) = Ac cos

ωct + ω∆ ⌡⌠-

t x(τ) dτ

con ω∆ = 2πf∆

El límite inferior de la integral podría ser cualquier otro ya que

representa un término de fase constante. En FM se supone que el mensaje no

tiene componente contínua, esto es, ___x(t) = 0, de lo contrario la integral

divergería para t → )tVLFDPHQWH XQ WpUPLQR GH contínua produciría un

desplazamiento de la frecuencia portadora. En la práctica, la componente

continua del mensaje se bloquea en los circuitos del modulador.

VIII.2.3.- RELACION ENTRE MODULACION DE FASE Y MODULACION DE

FRECUENCIA

Comparando las expresiones de las señales moduladas de PM y FM

puede observarse que FM puede considerarse como una modulación de fase

en la que la señal moduladora sería la integral del mensaje ⌡⌠-

t x(τ) dτ .

Análogamente una modulación de fase puede considerarse como una señal

FM cuya señal moduladora fuese la derivada del mensaje. Ambas situaciones

pueden contemplarse en las figuras siguientes :


MODULADORDE

FASE

MODULADORDE

FRECUENCIA

x(t)

x(t)

Accosωct

FM

PM

MODULADORDE PM

MODULADORDE FM

dx (t)

dt

∫ ∞−

W

G[ ττ )(

Accosωct

VIII.3.- COMPARACION ENTRE MODULACIONES ANGULARES Y

LINEALES

Una diferencia importante entre modulaciones angulares y lineales es

que en las primeras la amplitud, y por tanto la envolvente, es constante y no

depende del mensaje mientras que en las lineales la envolvente es

dependiente del mismo. Equivalentemente la potencia transmitida en las

angulares es constante con el mensaje.

PT = 12 Ac

2

y en las lineales no.

Otra diferencia importante son los cruces por cero de la señal

modulada. Mientras que en las modulaciones lineales son siempre periódicos,

en PM o FM ya no tienen esa regularidad en su espaciamiento.

Estas diferencias son ilustradas en las siguientes figuras


PM

FRECUENCIAS INSTANTANEAS

x(t)

t

f c

t

f c

FM

t

AM

t

t

FM

PM

t


VIII.4.- ANALISIS ESPECTRAL DE FM CON UN TONO

A pesar de las similitudes de PM y FM, esta última tiene mejores

propiedades en lo que a reducción de ruido se refiere, por lo que será objeto

de mayor atención. Por otra parte, muchos de los resultados y conclusiones

basados en el estudio de FM son aplicables, con ligeras modificaciones, a la

modulación de fase.

Antes de comenzar con el estudio en el dominio de la frecuencia de FM,

hay que observar que la frecuencia instantánea no es lo mismo que la

frecuencia espectral. La primera es una variable dependiente del tiempo que

describe la señal modulada en el dominio temporal mientras que la segunda es

la variable independiente en la transformada de Fourier de la señal modulada.

El análisis espectral de FM es, por ser un proceso no lineal, bastante

difícil salvo para un reducido número de señales moduladoras. El caso más

simple es cuando la señal moduladora es un tono simple.

x(t) = Am cosωm t

En este caso la señal modulada tendrá la expresión

s(t) = Ac cos [ωc t + ω∆ ⌡⌠0

t Am cosωm τdτ ]

La frecuencia instantánea es fi(t)=fc+ f∆ Am cosωmt, por lo que la

máxima desviación de frecuencia es f∆ Am .

Llamando

β = ω∆Am

ωm =

f∆ Amfm

Siendo β el denominado índice de modulación, la señal modulada puede

escribirse

s(t) = Ac cos(ωc t + βsenωm t)


o bien

s(t) = Re [bs(t)] ejωct

donde

bs(t) = Ac ejβsenωm t

Si bien la señal modulada no es periódica, bs(t) si lo es y, por tanto,

puede desarrollarse en serie de Fourier.

bs(t) = ∑n=-

cn ejnωmt

periodo Tm = ωm

Donde los coeficientes son

cn = 1

Tm ⌡

⌠

-Tm/2

Tm/2

bs(t) e-jnωmt

Sustituyendo bs(t) y realizando el cambio de variable ωm t = x queda la

expresión

cn = Ac [ 1 ⌡⌠

e

j(βsenx-nx)dx ]

El término entre corchetes es una de las representaciones de la n-ésimafunción de Bessel de argumento β, por lo que

bs(t) = Ac ∑n=-

Jn (β) ejnωmt

y por tanto la señal modulada


s(t) = Ac ∑n=-

Jn(β) cos(ωc + nωm)t

La transformada de Fourier es

S(f) = Ac2 ∑

n=-

Jn(β) [δ(f-fc-nfm) + δ(f+fc+nfm)]

Así pues, el espectro de una señal FM contiene una frecuencia

portadora (n=0) y un conjunto infinito de líneas "laterales" dispuestas

simétricamente a cada lado de la portadora con separaciones de frecuenciasfm , 2fm , 3fm . . .

f

s(f)

f -fc m

fc f +fc m

Las líneas impares inferiores tienen la fase invertida respecto de las

superiores por la propiedad de las funciones de Bessel

J-n (β) = (-1)n Jn(β)

También de la propiedad

∑n=-

Jn

2(β) = 1


Se obtiene de nuevo para la potencia transmitida

PT = 12 Ac

2 ∑n=-

Jn

2(β) = 12 Ac

2

En la figura están representadas algunas funciones de Bessel en

función del índice de modulación.

1015

1 2 30

1.0

J ( β)n

n=0

n=1n=2

n=3

n=10

Para valores pequeños del índice de modulación (β << 1) las funciones

de Bessel se comportan como

Jo(β) ≈ 1

β << 1

Jn(β) ≈ 1

Γ(n+1) (β2 )

n

De todo ello pueden inferirse las siguientes propiedades

- La amplitud relativa de la portadora Jo(β) varía con el índice de

modulación y por tanto depende del mensaje. A diferencia de AM, la

portadora de FM lleva información y no puede ser suprimida

- El número de líneas con amplitud no despreciable es también función delíndice de modulación. Si β << 1, sólo serán significativas la Jo y J±1 y el


ancho de banda sería como en AM. Por el contrario si β >> 1, habrá

muchas líneas, por lo que el espectro será bien diferente que en AM.

VIII.4.1.- ANCHO DE BANDA DE FM (MODULADORA : TONO SIMPLE)

En teoría, una señal FM tiene un número infinito de rayas espectrales,

por lo que el ancho de banda requerido para transmitir dicha señal será infinito.

En la práctica, la amplitud de las líneas laterales disminuye a medida que se

alejan de la portadora y el ancho de banda puede limitarse a una extensión

finita, reteniendo solamente aquellas componentes espectrales con amplitudes

significativas y omitiendo el resto.

La porción de espectro significativa dependerá de la cantidad de

distorsión tolerada en una aplicación específica.

Una valoración aproximada del ancho de banda puede determinarse

observando la siguiente figura

2

n_β1

10

5

2

β =1

J ( β)n

0.8

0.4

-0.4

0

De ella se deduce que las amplitudes de las líneas oscilan si n/β < 1 y

decrecen monotónicamente para n/β > 1. Si β es suficientemente grande, la

amplitud decrece rápidamente y puede decirse que para β grande el número

de líneas significativas es del orden de β y el ancho de banda será, por tanto,del orden de 2Mfm≈2βfm= 2f∆ Am, es decir el doble de la máxima desviación

de frecuencia, conclusión que está bastante de acuerdo con el razonamiento

intuitivo.


Para β pequeño (β << 1) la única línea significativa es la portadora, pero

deben tomarse al menos el primer par de líneas laterales (n = ±1), de lo

contrario no tendríamos modulación de frecuencia en absoluto.

Todas estas cuestiones conducen a la sencilla regla de Carson para la

determinación del ancho de banda efectivo de tranmisión de una señal FM con

un solo tono

BT ≈2fm + 2βfm = 2fm + 2f∆ Am

Una valoración más precisa del ancho de banda puede obtenersedefiniendo una cantidad ε y reteniendo sólo aquellas líneas que verifican que

|Jn (β) | > ε

Una elección conveniente para ε puede estar comprendida en el margen

0.01 < ε < 0.1

Lo que significaría que para el caso de ε = 0.01, se retendrían las M

primeras líneas, más allá de las cuales, la amplitud es inferior al 1% de la

portadora sin modular. El número de líneas será función del índice demodulación y del ε seleccionado (distorsión tolerada). El ancho de banda será :

BT = 2fm M(β) M

La condición M YLHQHGHOKHFKRGHTXHBT no puede ser inferior a 2fm .

En la tabla siguiente pueden observarse los valores de M en función deβ para ε = 0.01

β M

----- -----

0.1 1

0.3 2

0.5 2

1.0 3

2.0 4


5.0 8

10.0 14

20.0 25

30.0 35

Algunos estudios experimentales demuestran que ε = 0.01 es bastante

conservador y que ε = 0.1 produce una distorsión apreciable. Un valor

comprendido entre ambos parece más adecuado.

En ausencia de tablas o curvas apropiadas puede utilizarse la siguiente

aproximación para el número de líneas

M ≈ β + α

Estando α comprendido entre 1 y 2. Con α = 1 se tiene la regla de

Carson

El ancho de banda es

BT = 2Mfm = 2fm (β+α) = 2f∆ Am + 2αfm

VIII.5.- ANALISIS ESPECTRAL DE FM CON DOS TONOS

Si la señal moduladora está compuesta por dos tonos

x(t) = A1 cosω1 t + A2 cosω2 t

La señal modulada puede escribirse como

s(t) = Ac cos(ωc t + β1 senω1 t + β2 senω2 t)

con

βi = f∆ Ai

fii = 1, 2


La señal a desarrollar es, en este caso

bs(t) = Ac ejβ1senω1 t

ejβ2 senω2 t

Desarrollando por separado cada una de las exponenciales en serie de

fourier se obtendrá la siguiente señal modulada

s(t) = Ac ∑n=-

∑

m=-

Jn (β1) Jm (β2) cos (ωc + nω1 + mω2 )t

El espectro estará formado por cuatro tipos de líneas espectrales

- Una línea portadora de amplitud Ac Jo (β1 ) Jo(β2 )

- Líneas laterales de frecuencias fc ± nf1 debidas a un tono

- Líneas laterales de frecuencias fc ± mf2 debidas al otro tono

- Líneas laterales de frecuencias fc ± nf1 ± mf2 es decir, un batido de

ambos tonos y su correspondientes armónicos

El último tipo no tiene su equivalente en modulaciones lineales, donde

las líneas laterales se superponen de manera simple. Esta es la consecuencia

de que FM no es un proceso lineal y no se puede aplicar superposición.

En la figura se muestra el espectro para f1 << f2 y β1 > β2 donde las

inversiones de fase de las líneas correspondientes se han omitido por claridad

ff c

f +fc 1f -fc 1

f +fc 2 f +2fc 2f -fc 2f -2fc 2

Obsérvese que en este caso particular las líneas fc ± mf2 parecen

otras portadoras moduladas en FM con el tono de frecuencia f1 y que el


ancho de banda de la señal modulada es, básicamente, el que se tendría consólo el tono dominante f2 .

VIII.6.- ANCHO DE BANDA DE UNA SEÑAL FM CON UNA MODULADORA

GENERAL PASO BAJO

Aunque no puede aplicarse superposición de tonos en FM para calcular

el ancho de banda, se ha visto en el apartado anterior que el tono dominante

es el que prácticamente determina el ancho de banda. Si el ancho de banda

de la señal moduladora x(t) es B y si |x(t)| HOFDVRSHRUVHUtDHOHTXLYDOHQWH

a un tono de frecuencia B y amplitud unidad. En este caso la desviación defrecuencia máxima será f∆ y β = f∆ /B.

Llamando a

∆ = f∆Β = β relación de desviación

y aplicando la fórmula de un sólo tono

BT = 2B(β+α) = 2f∆ + 2αB

BT = 2(∆+α) B

En FM comercial

f∆ = 75kHz y B = 15kHz, de forma que la relación de desviación es

∆ = 5

Con α = 1 (regla de Carson) se obtiene un ancho de banda

BT = 180 kHz


con α = 2 el ancho de banda es

BT = 210 kHz

VIII.7.- MODULACION DE FRECUENCIA DE BANDA ESTRECHA

Si el índice de modulación β es pequeño (β << 1), sólo las líneas con

n=0,±1 serán significativas. Aproximando las respectivas funciones de Bessel

como se ha visto anteriormente, se tendrá, para la señal modulada

s(t) = Ac cosωc t + 12 βAc [cos(ωc + ωm)t - cos(ωc-ωm)t]

cuyo espectro es el de la figura

f

A /2

A /4c

c

ß

f c f +fc m

f -fc m

A /4ß- c

Comparando con la modulación de amplitud (AM) con un sólo tono

s(t) = Ac cosωc t + 12 µ Ac [cos(ωc + ωm)t + cos(ωc - ωmt)]

µ = m Am

Se ve que la diferencia básica es el signo de la línea lateral inferior, que la FM

invierte. El ancho de banda de transmisión es el mismo.


BT = 2fm

Representando ambas señales (FM y AM) mediante un diagrama

fasorial, con la portadora como fasor de referencia, se observa que las líneas

laterales de FM se combinan para dar un fasor que está en cuadratura con la

portadora y por tanto el fasor resultante no está en fase con la portadora. En

AM, el fasor resultante si está en fase con la portadora (ver figura).

-FM

SUPERIORINFERIOR

PORTADORA

RESULTANTE

f f mm

SUPERIOR

INFERIOR

PORTADORA RESULTANTE

f

f m

m-AM

En general, con una señal moduladora cualquiera, la señal modulada

FM tiene la forma

s(t) = Ac cos [ωct + φ(t)]

con

φ(t) = 2πf∆ ⌡⌠-

t x(t)dt

Si la desviación de frecuencia es suficientemente pequeña de forma que

|φ(t)| << 1

La señal modulada puede escribirse como


s(t) ≈ Ac cosωc t - Ac φ(t) senωc t

Suponiendo que el mensaje x(t) no tiene componente contínua, latransformada de Fourier de φ(t) será

F [ ]φ(t) = 2πf∆ X(ω)jω

y la transformada de la señal modulada

S(ω) = πAc [δ(ω-ωc) + δ(ω + ωc)] +12 Ac ω∆

X(ω-ωc)

ω-ωc -

X(ω+ωc)

ω+ωc

donde de nuevo se ponen de manifiesto las similitudes y diferencias con AM.

La FM de banda estrecha no presenta ninguna ventaja repsecto de AM

y prácticamente no se utiliza, sólo en radioaficionados y en algunos sistemas

de comunicaciones múltiples.

VIII.8.- GENERACION DE FM DE BANDA ESTRECHA

Un esquema de modulación de FM de banda estrecha, sugerido por las

expresiones anteriores, es el siguiente

MODULADOR DOBLE BANDA LATERAL

x(t)

MODULADOR DE FASE DE BANDAESTRETCHA

s(t)∫ ∞−∆

W

GWω

~

W$ FF ωcos

WVLQ$FF

ω

π/2


VIII.9.- MODULACION DIRECTA DE FM DE BANDA ANCHA

La generación de FM directa puede realizarse mediante un oscilador

controlado por tensión, cuya frecuencia de oscilación varíe de acuerdo con el

mensaje:

OSCILADOR SINTONIZADO

C(t)

El condensador, cuya capacidad varia con la tensión aplicada, se

denomina varactor o varicap y puede obtenerse, por ejemplo, con un diodo P-

N polarizado en inverso.

La frecuencia instantánea del oscilador puede escribirse

fi(t) = 1

2π LC(t)

La capacidad variable puede expresarse como

C(t) = Co - ∆C x(t)

Si suponemos que

∆C

Co x(t) << 1

La frecuencia instantánea será

fi(t) = fc

1 - ∆CCo

x(t) -1/2

≅ fc

1 + ∆C2Co

x(t)

siendo

fc = 1

2π LCo


Definiendo

f∆fc

= ∆C2Co

Se obtiene finalmente para la frecuencia instantánea

fi(t) = fc + f∆ x(t)

El problema fundamental de estos esquemas es la estabilidad del

oscilador por lo que en general se recurre a métodos indirectos de modulación.

VIII.10.- MODULACION INDIRECTA DE FM

El diagrama de bloques de un sistema indirecto de modulación se

presenta en la siguiente figura

x(t)MODULADOR

DE FASEDE BANDA

ESTRECHA

OSCILADOR

CONTROLADOPOR

CRISTAL

MODULADOR DE FM DE BANDA ESTRECHA

s (t)1 MULTIPLICADORDEFRECUENCIES x n

f 1

MEZCLADOR s(t)

f - f2 L

~

f

f L

2

s (t)2∫∆ GW1ω

A la salida del modulador de FM de banda estrecha se tendrá

s1(t) = A1 cos

ω1t + 2πf∆1 ⌡⌠-

t x(τ)dτ

A la salida del multiplicador de frecuencias

s2(t) = A2 cos

ω2t + 2πf∆ ⌡⌠-

t x(τ)dτ


con ω2 = nω1 f∆ = nf∆1

Finalmente, a la salida del mezclador se tendrá la señal modulada

s(t) = Ac cos

ωct + 2πf∆ ⌡⌠-

t x(τ)dτ

con fc = f2 - fL

Ejemplo :

f1 = 200 kHz (buena estabilidad)

B = 15 kHz (señal de música)

f∆1 = 25Hz (FM de banda estrecha)

La relación de desviación es

∆1 = f∆1B =

2515 10-3

Si se quiere una relación final de 5 como en FM comercial (∆ = n∆1 )

n = 3000

De esta forma, la frecuencia a la salida del multiplicador será

f2 = nf1 = 600 MHz

Por tanto si se toma una frecuencia fL de

500 < fL < 512 MHz

La frecuencia de la señal modulada será

88 < fc < 100 MHz

VIII.11.- DEMODULADORES DE FM : DISCRIMINADOR DE FRECUENCIAS


Puesto que la señal FM tiene la forma

s(t) = Ac cos θc(t)

donde

θc(t) = ωc t + 2πf∆ ⌡⌠-

t x(τ) dτ

Cualquier dispositivo que realice la derivada

ds(t)dt = -Ac

dθc(t)

dt senθc(t)

Obtendría una doble modulación AM y FM. Mediante una detección de

envolvente posterior se obtendría la señal demodulada

ν(t) = Ac [2πfc + 2πf∆x(t)]

Eliminando la componente continua se tendría finalmente el mensaje. El

diagrama de bloques está representado en la siguiente figura

LIMITADORd

dt

DETECTOR ENVOLVENTE

BLOQUEO CONTINUA

x(t)s(t)

El objeto del limitador es eliminar la modulación de amplitud espúrea

introducida por el canal.

El problema fundamental del esquema anterior es la realización del

dispositivo que realiza la derivada o lo que es lo mismo, un dispositivo con una

respuesta frecuencial de la forma

H(ω) = jω

No obstante, basta que la respuesta sea de esa forma sólo en el ancho

de banda de transmisión. Una manera aproximada de obtener esta función es

mediante el siguiente esquema, que incluye también el detector de envolvente.


S(t) V (t)o

En la figura siguiente pueden verse las respuestas frecuenciales de los filtros

superior e inferior y la respuesta total (línea de puntos).

f fc

2B1

0.707

3B

o

o

La linealidad de la porción útil de la respuesta total, centrada en fc , esta

determinada por la separación de las frecuencias resonantes de ambos filtros.Como expresado en la figura, una separación de frecuencias de 3Bo , con 2Bo

el ancho de banda a 3dB de cada filtro, proporciona resultados satisfactorios.En este caso se tendría que BT ≅ 3Bo . No obstante, siempre habrá distorsión

de frecuencias a la salida del discriminador porque la señal FM de entradacontiene frecuencias fuera del rango fc - BT /2 < f < fc + BT /2 y porque los

filtros sintonizados y los detectores de envolvente no son ideales.

VIII.12.- DETECCION DE FM USANDO UNA LINEA DE RETARDO

La derivación


ds(t)dt =

límε→0

1ε [ ]s(t) - s(t-ε)

puede ser aproximada por la siguiente expresión

ds(t)dt ≅

1τ [ ]s(t) - s(t-τ)

siempre que se cumpla que

τ << (1/fc )

La realización de este esquema es bastante sencilla mediante una línea

de retardo

RETARDOτ

Los detectores de relación y el Foster-Seely están basados en esta

idea, aunque el retardo temporal no lo obtienen con línea de retardo.

VIII.13.- LIMITADOR

Un limitador es un dispositivo que elimina las variaciones de amplitud

espúrias en una señal modulada angularmente sin destruir esta última. En la

figura puede verse la características entrada-salida de un limitador ideal.


A

-A

V (t)

V (t)i

o

En forma matemática

νo(t) = A sign [vi(t)]

Aunque la señal de entrada

s(t) + vi(t) = Ac(t) cos θc(t)

No es periódica, si la modulación de amplitud es pequeña, de forma queAc(t) > 0, V- t, la salida

νo(t) = A sign [cosθc(t)]

Puede considerarse como una señal periódica, en la variable θc con

periodo 2π

-2π - π π 2π

v ( )co θ

cθ

cuyo desarrollo en serie de Fourier es


νo(t) = 4Aπ

cosθc(t) -

13 cos3θc(t) +

15 cos5θc(t) ...

Un filtro paso banda, centrado en fc frecuencia portadora, seleccionaría

el primer término, esto es,

ν(t) = 4Aπ cos [ωct + φ(t)]

Quedando una señal modulada angularmente.

Una realización práctica simple del limitador es la de la figura.

v (t)i v (t)o

Cuando el voltaje de entrada supera el umbral de conducción de uno

cualquiera de la diodos (dependiendo de la polaridad), este conducirá

fuertemente y su voltaje se mantendrá prácticamente constante, recortando

por tanto las variaciones de amplitud de la entrada.

VIII.14.- RUIDO EN MODULACIONES ANGULARES

El diagrama de bloques del receptor de FM y PM es el mostrado en la

figura

DEMODULADOR

FILTRO PASO BANDA

RUIDO

s(t) SR FILTRO

PASO BAJO

x(t)


El filtro paso banda incluye también el limitador. La potencia de señal de

entrada al demodulador será

SR = A2c /2

y la potencia de ruido blanco

NR = η BT

de forma que la relación señal/ruido paso banda es

SN

R =

A2c

2ηBT

siendo BT el ancho de banda de la señal modulada.

El ruido paso banda puede ser expresado como

nR(t) = in(t) cosωc t - qn(t) senωc t

o en forma de módulo y fase

nR(t) = Rn(t) cos [ωct + φn(t)]

donde

Rn(t) = i2n(t) + q

2n(t)

φn(t) = arctg qn(t)

in(t)

La señal modulada tiene la forma

s(t) = Ac cos [ωct + φ(t)]


La señal de entrada al demodulador será

νi(t) = s(t) + nR(t) = A(t) cos [ωct + φv(t)]

siendo (Ver figuras)

A(t) =

[Ac + Rn(t) cosψ(t)]2

+ R2n(t) sen

2ψ(t)

1/2

φv(t) = φ(t) + arctg Rn(t) senψ(t)

Ac + Rn(t) cosψ(t) ψ(t) = φn(t) - φ(t)

EJE IMAGINARIO

EJE REAL

R (t)n

A(t) Ac

(t)n

v (t)φ

φ

(t)φ(t)ψ

φ (t)

La fase de referencia es ωc t.

La expresión complicada de la señal de entrada al modulador puede

simplificarse si se supone que la relación señal/ruido paso banda es grande

(S/N)R >> 1 Ac >> Rn(t) V- t

En este caso

A(t) ≅ Ac

φv(t) ≅ φ(t) + Rn(t)

Ac senψ(t)

Donde el arco tangente se ha aproximado por el argumento.


A la salida del demodulador, supuesto ideal, se tendrá

- PM

νo(t) = φv(t) = φ∆ x(t) + Rn(t)

Ac sen ψ(t)

- FM

νo(t) = 12π

dφv(t)

dt = f∆ x(t) + 1

2πAc ddt [Rn(t) senψ(t)]

El ruido es aditivo en ambos casos, pero dependiente de la señal modulada através de ψ(t) = φn(t) - φ(t).

El análisis del ruido puede simplificarse extraordinariamente sisuprimimos la señal moduladora en la expresión anterior. En este caso φ(t)=0 ypor tanto ψ(t) = φn(t) . El efecto de φ(t) (señal moduladora) sobre el ruido sería

el de producir componentes de frecuencia f>B a la salida del demodulador que

serían eliminadas por el filtro paso bajo. Por esta razón se puede escribir que

Rn(t) senΨ(t) →Rn(t) senφn(t) = qn(t)

Las señales de salida pueden escribirse como

- PM

νo(t) = φ∆ x(t) + qn(t)

Ac

- F M

νo(t) = f∆ x(t) + 1

2πAc dqn(t)

dt

La potencia de señal a la salida del filtro paso bajo será


- PM

SD = φ2∆ x2(t)

__ = φ

2∆ Px

- F M

SD = f2∆

___

x2(t) = f2∆ Px

Los espectros de potencia del ruido a la entrada del filtro paso bajo serán

- PM

Snono(ω) =

1

A2c

Sqnqn (ω) |ω| πBT

- F M

Snono (ω) =

1

4π2A2c

ω2 Sqnqn(ω) |ω| πBT

Puesto que

Sqnqn(f) = η |f| %T /2

A2c = 2SR

se tendrá finalmente que

- PM


Snono (f) =

η2SR

|f| %T /2

- F M

Snono(f) =

ηf2

2SR |f| %T /2

-B B B /2-B /2T T

ooS (f)n n

PM

-B B B /2-B /2T T

ooS (f)n n

FMη

A la salida del filtro paso bajo se tendrá una potencia de ruido

- PM

Pno = ⌡⌠

-B

B Snono

(f) df = ηBSR

= ND

- F M

Pn = ⌡⌠-B

B

ηf2

2SR df =

ηB3

3SR = ND

y las relaciones señal/ruido

- PM

(S/N)D = φ2∆ Px SR

ηB

- F M

(S/N)D = 3f

2∆ Px SR

ηB3


Teniendo en cuenta que

γ = SRηB

Es la relación señal/ruido que se tendría en un sistema de modulación bandabase con potencia SR .

- PM

(S/N)D = φ2∆ Px γ

- FM

(S/N)D = 3f

2∆ Px

B2 γ

Puesto que |x(t)| \GHELGRDODUHVWULFFLyQGHQRDPELJHGDGGHIDVHφ∆

π), se tiene para la modulación de fase

PM (S/N)D π2 γ

Es decir, la máxima mejora que se puede obtener para PM es del orden de

10dB.

Para FM, teniendo en cuenta que la relación de desviación es

∆ = f∆B

La relación señal/ruido queda

F M (S/N)D = 3∆2 Px γ

De donde se concluye que la figura de mérito de FM, respecto de la

banda base, aumenta con el cuadrado de la relación de desviación, lo que

hace que FM sea muy superior a PM en lo que a reducción de ruido se refiere.

En principio, parece que aumentando indefinidamente la relación de

desviación, la relación señal/ruido puede hacerse todo lo grande que se quiera,

con una potencia de señal transmitida pequeña. Esto solo será verdad si se


mantiene la condición (S/N)R >> 1 utilizada en la deducción de (S/N)D . Esta

condición es equivalente a γ >> 1 por lo que la potencia transmitida tendrá unumbral para que la relación cuadrática de (S/N)D con ∆ se verifique.

VIII.15.- PRE-ENFASIS Y DE-ENFASIS EN FM

Como se ha visto anteriormente, la densidad espectral de potencia en

FM crece con el cuadrado de la frecuencia. En general, las señales de audio

tienen un espectro que decae a altas frecuencias.

f

fB-B

B-B

Sxx

(f)

S non

o(f)

Con lo que la parte alta del espectro de la señal de audio ( 15kHz)

sufrirá más las consecuencias del ruido. La situación se agrava aún más en la

FM estéreo ya que esta se extiende hasta 53kHz.

Una forma de paliar los efectos del ruido a altas frecuencias consiste en

introducir dos filtros terminales denominados de pre-énfasis y de-énfasis.

FILTROPRE-ENFASIS

x(t)

H ( )ωpe

TRANSMISOR FM

RUIDO

RECEPTOR FM H ( )ωde

FILTRODE-ENFASIS

x(t)


El filtro en el transmisor enfatiza las componentes de alta frecuencia del

mensaje antes de ser modulado. En recepción, después de demodular, se

realiza la operación inversa, desenfatizando dichas componentes, es decir

ecualizando el espectro del mensaje. Esto hace que las componentes de alta

frecuencia del ruido sean reducidas mejorando considerablemente la relación

señal/ruido del sistema.

Suponiendo el transmisor, el canal y el receptor ideales, los filtros deben

cumplir la condición

Hde(ω) = 1

Hpe(ω) |ω| πB

Para que no haya distorsión en el mensaje.

Esto hace que la potencia de señal detectada sea independiente de ambos

filtros.

SD = f2∆ Px

La potencia de ruido será

Pn = η

2SR ⌡⌠-B

B f2 |Hde(f)2 | df

y la relación señal ruido será

(S/N)D = 2f

2∆ Px SR

η ⌡⌠-B

B f2 |Hde(f)|2 df

=


= 2B3

3 ⌡⌠-B

B f2 |Hde(f)|2 df

(S/N)Do

Donde (S/N)Do es la relación señal/ruido sin los filtros de pre-énfasis y de-

énfasis.

Un filtro de de-énfasis empleado en receptores comerciales es el simple

RC paso bajo de la figura

RC

Su respuesta frecuencial es

H(ω) = 1

1+jω/ωo

con ωo = 1

RC

La respuesta frecuencial del filtro de pre-énfasis será de la forma

Hpe(ω) = 1 + j ω

ωo

Que es aproximadamente realizada por el siguiente circuito


R

C

R/R 1

1R

Si se verifica que R1 << R y ωR1 C << 1

Hpe(ω) = R

R1

R1R + jω R1C

1 + R1R + jω R1 C

≅ 1 + jωRC

El factor de mejora será

F = 2B3

3 ⌡⌠

B

-B

f2

1+(f/fo)2 df

= (B/fo

3)

3 [B/fo - arctg (B/fo)]

En FM comercial se tiene como valor típico fo = 2.1kHz, B = 15kHz que

proporciona un factor de mejora de F = 22 que corresponde a 13dB.

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Comunicaciones Analogicas - Fernandez Rubio - UPC