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CONCEITOS BÁSICOS DE CONCEITOS BÁSICOS DE GRAFOSGRAFOS
Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes
Março - 2009
Vértices e Arestas
Em um grafo não orientado G=(V,E), o conjunto de arestas E consiste em pares de vértices não ordenados. V={1,2,3,4,5,6} E={(1,2),(1,5),(2,5),(3,6)}
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Vértices e Arestas
Em um grafo orientado (ou dígrafo) G=(V,E), os arcos consistem em pares de vértices ordenados (u,v).V= {1,2,3,4,5,6} E={(1,2),(4,1),(2,4),...}
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Vértices e Arestas
Loop (laço): uma aresta que liga um vértice a ele mesmo
Multi-aresta: é uma coleção de arestas que tem os mesmos pontos finais.
Classificação de Grafos
Simples: um grafo simples não tem loops nem multi-arestas
Multigrafo: pode ter multi-arestas mas não pode ter laços
Pseudografo: pode ter multi-arestas e laços
Trivial: consiste de um vértice sem arestas
Nulo: não tem vértices, nem arestas
Vizinho e Vizinhança
Os vértices unidos por uma aresta são chamados de vizinhos.
A vizinhança (aberta) de um vértice v em um grafo G, denotado por N(v), é o conjunto de todos os vizinhos de v.
A vizinhança fechada de um vértice é N(v) U {v}.
Adjacência
Vértices Adjacentes: se (u,v) é uma aresta em um grafo G=(V,E), dizemos que o vértice v é adjacente ao vértice u.
Quando o grafo não é orientado a relação de adjacência é simétrica
u v
v é adjacente a uu é adjacente a v
Adjacência
Quando o grafo é orientado a relação de adjacência não é simétrica
u v
v é adjacente a u
u não é adjacente a v pois não existe a aresta (v,u)
Adjacência
Nos dois exemplos o vértice 2 é adjacente ao vértice 1. Mas no segundo o vértice 1 não é adjacente ao vértice 2 pois não existe a aresta (2,1).
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Exemplo 1 Exemplo 2
Incidência
Arestas Incidentes: se o vértice v é um dos pontos finais da aresta e, dizemos que e é incidente em v.
Quando o grafo não é orientado a relação de incidência é simétrica.
eu v
Incidência
Nos exemplos abaixo a aresta (2,5) é incidente ao vértice 5. Mas no segundo a aresta (2,5) não incide no vértice 2.
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Exemplo 1 Exemplo 2
Grau de um Vértice
O grau de um vértice em um grafo não orientado é o número de arestas incidentes nele.
Loops contam duas vezes Exemplo: o grau do vértice 2 do grafo
abaixo é 4.
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Grau de um Vértice
Em um grafo orientado, temos a noção de grau de entrada e grau de saída.
O grau de um vértice orientado é seu grau de entrada mais seu grau de saída.
O grau de entrada do vértice 2 é 1 e o grau de saída é 3.
1 2 3
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Soma dos Graus Leonhard Euler estabeleceu uma relação
fundamental entre vértices e arestas em um grafo
Teorema: a soma dos graus dos vértices de um grafo é duas vezes o número de arestas.
Porque?
Prova: Cada aresta contribui duas vezes para a soma dos graus.
Exercícios
1. Dado o grafo abaixo, ache:1. O conjunto de vértices2. O conjunto de arestas3. O grau de todos os vértices4. Os vértices adjacentes ao vértice 25. Construa uma tabela com os vizinhos de
cada vértice
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Exercícios
2. Defina os conjuntos (V,E), ache os graus e os vizinhos de cada vértice do Grafo G das questões a, b e c.
Grafos valorados (Redes ≡ Networks)
Uma Rede é um grafo não-direcionado (ou um digrafo) no qual um número real é associado os vértices e/ou ligações. Este número é freqüentemente referido como o peso da ligação. Essa classificação é dada de acordo com a necessidade, ou não, da indicação do fluxo entre os vértices.
Grafos valorados (Redes ≡ Networks)
Na prática este número pode representar:- custos, distâncias, capacidades, e/ou
suprimentos e demandas;- tempo (trânsito, permanência, etc);- confiabilidade de transmissão;- probabilidade de ocorrer falhas;- capacidade de carga;- outros.
Representação Matemática
Um Rede é representado matematicamente também por:
G=(V,E,w)Onde: V é o conjunto de vértices; E é o conjunto de ligações;e w é o peso associado aos vértices e/ou ligações.
Grafos valorados (Redes ≡ Networks)
Exemplos de Grafos valorados (Redes ≡ Networks)
• Redes ferroviárias• Redes de telecomunicações• Redes de estradas• Redes Elétricas• Redes de esgotos• Redes de transportes• Redes de atividades → “scheduling” de
atividades em grandes projetos
Redes de atividades
Famílias de Grafos
Grafo Completo: é um grafo simples tal que cada par de vértices é interconectado por uma aresta.
K1 K2 K3 K4
Famílias de Grafos
Grafo Bipartido: é um grafo cujo conjunto de vértices pode ser dividido em dois subconjuntos U e W, tal que cada aresta do grafo conecta um vértice de U com um vértice de W.
Famílias de Grafos
Um grafo bipartido não pode ter loops Um grafo bipartido completo tem cada
vértice de uma partição conectado a todos os vértices da outra partição
K2,3
Famílias de Grafos
Grafo Regular: é um grafo em que todos os vértices tem o mesmo grau
Um grafo k-regular é regular e todos os vértices tem grau k
Grafo de PetersenTetraedro Molécula de O2
Famílias de Grafos
Bouquet: é um grafo que contém apenas um vértice com n loops
Bipolar (Dipole): é um grafo que contém dois vértices ligados por n arestas
D3B2 B4
Famílias de Grafos
Um grafo caminho P é um grafo simples com |VP| = |EP| + 1, tal que todos os vértices e arestas possam ser desenhados em uma linha reta
P2
P3
P4
Famílias de Grafos
Um grafo ciclo é um único vértice com um loop ou um grafo simples C, com |VC| = |EC|, tal que todos os vértices e arestas possam ser desenhados em um círculo
C1 C2
C4
Famílias de Grafos
Outros tipos de grafos:HipercuboEscadaInterseçãoIntervaloLinhaEtc.
Exercícios
1. Desenhe o menor grafo não-bipartido possível
2. Desenhe um grafo bipartido 3-regular que não é K3,3
Exercícios
3- Dê uma partição de vértices ou justifique porque o grafo não é bipartido
x z
u v
x y
u v
w z
Gabarito
1 - loop2 -
3 – U = {x, v} e W = {u,z} U = {x, z, u} e W = {y, v, w}
x z
u v
Observação
Como dito anteriormente, quando o conjunto de vértices de um grafo é particionado em dois subconjuntos U e W, tal que cada aresta do grafo conecta um vértice de U com um vértice de W, esse grafo é chamado bipartido.Também pode ser chamado 2-partido.Consequentemente, no caso de ser particionado em 3 subconjuntos teremos um 3-partido e assim sucessivamente até um k-partido (quando temos k subconjuntos).
Subgrafo ou sub-grafo
Dizemos que um grafo H = (W,F) é um subgrafo, ou sub-estrutura, de um grafo G = (V,E), quando W V e F E.
Observe que H é um grafo, o que implica na coerência das definições de W e de F, que não podem ser especificados de forma independente (ou seja, em H só podem existir ligações entre vértices de W).
Subgrafo ou sub-grafo
Subgrafo ou sub-grafo
Diz que H é um subgrafo induzido quando F contiver exatamente as ligações de G envolvendo vértices de W
Grafo G=(V,E) subgrafo induzido
H=(W,F)
Subgrafo ou sub-grafo
Um subgrafo abrangente (ou parcial) é quando W = V
Subgrafo ou sub-grafo
K-fatorUm K-fator é um subgrafo abrangente regular de grau K.
Enfim se H for um subgrafo de G, G será um supergrafo de H