Upload
hoangtu
View
235
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
These
Presentee a
L’Universite de Poitiers
Pour l’obtention du grade de
Docteur de l’Universite de PoitiersEcole Superieure d’Ingenieurs de Poitiers
Ecole doctorale des sciences pour l’ingenieurDiplome National - Arrete du 7 aout 2006
Specialite « Automatique »
Pour l’obtention du grade de
Docteur de l’Ecole Nationale d’Ingenieurs de TunisSpecialite « Genie Electrique »
Presentee par
Sadok BAZINE
Conception et implementation d’unMeta-modele de machines asynchrones
en defaut
Directeurs de these : G. CHAMPENOIS et K. JELASSI
Co-encadrement : S. TNANI
Presentee et soutenue publiquement le 29 juin 2009
COMPOSITION DU JURY
President : Mohamed Elleuch Professeur a l’ENIT TunisRapporteurs : Habib Rehaoulia Maıtre de conferences (HDR) a l’ESSTT Tunis
Mohammed-El-Hadi Zaım Professeur a l’Universite de Nantes
Examinateurs : Yamine Ait-Ameur Professeur a l’ENSMA PoitiersIlhem Belkhodja Professeur a l’ENIT TunisGerard Champenois Professeur a l’Universite de PoitiersKhaled Jelassi Professeur a l’ENIT TunisSlim Tnani Maıtre de conferences a l’Universite de Poitiers
These preparee au sein du Laboratoire d’Automatique et d’Informatique Industrielle de Poitierset du Laboratoire des Systemes Electriques de Tunis
Au nom d′Allah, le Tout Miséricordieux, le Très Miséricordieux.
« Et ma reussite ne depend que d’Allah. En Lui je place ma confiance, et c’est vers
Lui que je reviens repentant »(Houd, 88)
Remerciements
Je tiens a exprimer toute ma gratitude et mes sinceres remerciements a Monsieur
Gerard Champenois, Professeur a l’universite de Poitiers, pour m’avoir accueilli
au sein de son equipe, pour avoir dirige ce travail ainsi que pour ses conseils, ses
remarques, son devouement, son soutien ainsi que la confiance et l’amitie qu’il m’a
toujours temoignees.
Je remercie aussi Monsieur Khaled Jelassi, Professeur a l’Ecole Nationale d’In-
genieurs de Tunis, pour m’avoir encadree depuis le PFE. Je le remercie egalement
pour sa confiance, son soutien ainsi que son amitie.
J’adresse egalement mes remerciements a Monsieur Slim Tnani, Maıtre de confe-
rences a l’universite de Poitiers, pour avoir co-dirige ce travail ainsi que pour son
soutien tout au long de cette these.
Que Monsieur Habib Rehaoulia, Maıtre de conferences (HDR) a l’ESSTT de
Tunis, Mohammed-El-Hadi Zaım, Professeur a l’Universite de Nantes trouvent ici
l’expression de ma profonde gratitude pour m’avoir fait l’honneur de rapporter ce
travail. Ces remerciements s’adressent egalement a Monsieur Mohamed Elleuch,
Professeur a l’ENIT Tunis, Yamine Ait-Ameur, Professeur a l’ENSMA Poitiers,
Ilhem Belkhodja, Professeur a l’ENIT Tunis pour avoir accepte de participer au
jury de cette these.
Je remercie chaleureusement Monsieur Jean-Claude Trigeassou, Professeur
emerite a l’universite de Poitiers, pour les discussions fructueuses qu’on a eu en-
semble ainsi que ses remarquables qualites humaines.
Je voudrais egalement remercier toutes les personnes des laboratoires L.A.I.I et
L.S.E., qui m’ont toujours offert leur aide et qui ont su creer une ambiance agreable.
Je ne peux les citer tous de risque d’en oublier.
Pour finir, je tiens a remercier du fond du coeur ma mere et mes freres qui
n’ont cesse de m’encourager tout au long de ces annees d’etudes, et qui ont toujours
ete presents pour moi et qui ont bien pris soin de ma tres chere fille Aya durant
les periodes d’absence de sa maman et son papa. Qu’ils recoivent ici ma profonde
gratitude pour leurs innombrables sacrifices. Un grand merci aussi a Rochdi et Rim
pour leur soutien ainsi que pour les moments de complicite qui unissent nos familles.
Ces remerciements ne peuvent s’achever, sans une pensee pour ma premiere fan(et correctrice des fautes d’orthographe de cette these !) : mon epouse. Son soutienet ses encouragements (durant les periodes frequentes de doute) m’ont ete d’unegrande aide tout au long de cette these. Une pensee speciale pour ma fille Alaa quivient d’apporter une touche de douceur et d’espoir a notre vie, durant la phase finalede cette these.
A ma mere,A la memoire de mon pere,
A mes freres,A ma femme,
A mes filles Aya et Alaa.
Table des matieres
Table des matieres vii
Table des figures xiii
Liste des tableaux xix
Introduction generale 1
1 Chapitre introductif 71.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Presentation du systeme d’etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Constitution des machines asynchrones . . . . . . . . . . . . . 91.2.1.1 Le stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1.2 Le rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1.3 Les paliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Les defaillances des machines asynchrones . . . . . . . . . . . 111.2.2.1 Defaillances mecaniques . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2.2 Defaillances electriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2.2.1 Au niveau du stator . . . . . . . . . . . . . 131.2.2.2.2 Au niveau du rotor . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Panorama des methodes de modelisation des machines asynchrones . 141.3.1 Modele de Park etendu dedie au diagnostic . . . . . . . . . . . 141.3.2 Methode des elements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.3 Methode des reseaux de permeances . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.4 Methode des circuits electriques magnetiquement couples
(CEMC ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.4.1 Modele de CEMC-SA . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.4.2 Modele de CEMC-A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Methodologie de modelisation multi-enroulements (3ME) 312.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Prise en consideration de la topologie de la machine . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Force magneto-motrice (f.m.m) d’un enroulement . . . . . . . 342.2.1.1 Enroulement diametral . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
vii
2.2.1.2 Generalisation (N phases, p paires de poles et Ne
enroulements/pole/phase) . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.2 Calcul des inductances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2.1 Inductance propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.2.2 Inductance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.2.3 Inductance de fuites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.3 Bobinage imbrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.4 Bobinage concentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 Modelisation du stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.1 Modele d’un enroulement elementaire (sain) . . . . . . . . . . 532.3.2 Modelisation d’une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.2.1 Modele electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.2.2 Mise en equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.2.3 Prise en consideration de la topologie electrique . . . 55
2.3.3 Modelisation d’une phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3.3.1 Modele electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3.3.2 Mise en equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3.3.3 Prise en consideration de la topologie electrique . . . 59
2.3.3.3.1 [D]bob←phx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3.3.3.2 [D]enr←bobx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3.3.3.3 [D]enr←phx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.4 Modele global du stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.4.1 Modele electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.4.2 Mise en equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.4.3 Prise en consideration de la topologie electrique . . . 65
2.3.4.3.1 [D]enr←bobs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.3.4.3.2 [D]bob←phs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.3.4.3.3 [D]enr←phs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4 Modelisation du rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.4.1 Modele electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.4.2 Mise en equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5 Modele global de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . 732.5.1 Inductances mutuelles stator-rotor . . . . . . . . . . . . . . . 732.5.2 Couplage et alimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.2.1 Le cas de couplage en etoile . . . . . . . . . . . . . . 782.5.2.2 Le cas de couplage en triangle . . . . . . . . . . . . . 802.5.2.3 Type d’alimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.5.3 Mise en equation et resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3 Validation et parametrage d’un modele 873.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.2 Modele genere par le simulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.1 Caracteristiques topologiques du stator . . . . . . . . . . . . . 89
viii
3.2.2 Modele electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.2.3 Modele d’un enroulement elementaire . . . . . . . . . . . . . . 913.2.4 Modele d’une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2.5 Modele d’une phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.2.6 Modele du stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.2.7 Modele global de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2.7.1 Inductances mutuelles stator-rotor . . . . . . . . . . 1003.2.7.2 Couplage et alimentation . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2.7.2.1 [D]coup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.2.7.2.2 [D]alim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2.7.3 Mise en equation et resolution . . . . . . . . . . . . . 1073.3 Incidence de la variation des parametres . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3.1 L’entrefer e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.3.2 Inductances de fuites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3.2.1 Inductances de fuites statoriques Lfs . . . . . . . . . 1163.3.2.2 Inductances de fuites rotoriques Lfr . . . . . . . . . 118
3.3.3 La resistance rotorique Rb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.4 Validation experimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.4.1 Parametrage du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.4.1.1 Prise en consideration des pertes fer . . . . . . . . . 1243.4.1.2 Ajustement du courant reactif . . . . . . . . . . . . . 1253.4.1.3 Ajustement du dephasage . . . . . . . . . . . . . . . 1263.4.1.4 Ajustement du glissement . . . . . . . . . . . . . . . 1273.4.1.5 Le jeu de parametres selectionnes . . . . . . . . . . . 127
3.4.2 Validation frequentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.4.3 Validation par identification parametrique . . . . . . . . . . . 131
3.4.3.1 Principe de l’algorithme d’identification du type er-reur de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.4.3.2 Resultats d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4 3ME de la machine asynchrone en presence de defauts 1354.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.2 Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase . . . . . . 137
4.2.1 Principe de modelisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.2.1.1 Modele electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.2.1.2 Mise en equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.2.1.3 Prise en consideration de la topologie electrique . . . 140
4.2.2 Auto adaptation du modele lors de l’apparition des defauts deC-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.2.2.1 Au niveau de bobines . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.2.2.1.1 Matrices elementaires . . . . . . . . . . . . 1434.2.2.1.2 Matrices de connexion . . . . . . . . . . . . 146
4.2.2.2 Au niveau de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
ix
4.2.2.2.1 Matrices elementaires . . . . . . . . . . . . 1514.2.2.2.2 Matrices de connexion . . . . . . . . . . . . 151
4.2.2.3 Au niveau du stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.2.2.3.1 Matrices elementaires . . . . . . . . . . . . 1564.2.2.3.2 Matrices de connexion . . . . . . . . . . . . 157
4.3 Defauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse . . . . . . . 1644.3.1 Modele de l’enroulement defaillant . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.3.1.1 Modele electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.3.1.2 Prise en consideration de la topologie electrique . . . 165
4.3.2 Auto adaptation du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.3.2.1 Au niveau de bobines . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.3.2.2 Au niveau de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.3.2.3 Au niveau du stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.4 Defaillance de rupture de barres ou d’anneaux de court-circuit . . . . 1764.5 Defaut d’excentricite statique et/ou dynamique . . . . . . . . . . . . 177
4.5.1 Force magnetomotrice d’un enroulement quelconque . . . . . . 1784.5.2 Inductance propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1794.5.3 Inductance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5 Validation experimentale des modeles de defauts 1835.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.2 Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase . . . . . . 185
5.2.1 Court-circuit et topologie de bobinage . . . . . . . . . . . . . 1855.2.2 Defaut de C-C avec limitation du courant de defaut . . . . . 189
5.2.2.1 Analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.2.2.2 Analyse frequentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.2.3 Defaut de C-C sans limitation du courant de defaut . . . . . 1975.2.4 Influence de l’inductance de fuite des spires court-circuitees . . 199
5.3 Defauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse . . . . . . . 2035.4 Defauts de rupture de barres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Conclusion et perspectives 215
Annexes 221
A Quelques techniques de resolution d’equations differentielles 221A.1 Methode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222A.2 Methodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222A.3 Methode d’exponentielle d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 224A.4 Methode d’Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
B Bancs d’essais 227B.1 Parametres techniques de la « M.AS.Reelle » . . . . . . . . . . . . . . 228
x
B.2 Bobinage modifie (prises de court-circuit) . . . . . . . . . . . . . . . . 229B.3 Jeu de rotors interchangeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230B.4 Systeme d’acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
C L’environnement virtuel d’experimentation « IMSimKernel » 233C.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233C.2 E.V.E. des machines asynchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
C.2.1 Principe d’auto-generation du modele . . . . . . . . . . . . . . 235C.2.2 Principe de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237C.2.3 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238C.2.4 Les methodes decrivant le comportement dynamique d’un Objet239
C.3 Specification des scenarii de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 240C.3.1 Specification d’un evenement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241C.3.2 Specification d’un scenario de simulation . . . . . . . . . . . . 242C.3.3 Un evenement de court-circuit entre deux phases . . . . . . . 243
Bibliographie 245
Index 251
xi
Table des figures
1.1 Moteur asynchrone a cage Leroy-Somer . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Organigramme de defauts statoriques et rotoriques . . . . . . . . . . 121.3 Principe de decouplage entre les deux modes : commun (Hn(s)) et
differentiel (∆Hi(s)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Modele global de defauts statoriques et rotoriques . . . . . . . . . . . 171.5 Circuit magnetique d’une machine asynchrone (a p = 2, 4 encoches/-
pole/phase et 28 barres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6 Analogie entre circuit electrique et circuit magnetique . . . . . . . . . 221.7 Reseau de permeances elementaire autour d’une encoche statorique . 231.8 Schema electrique equivalent de la cage rotorique . . . . . . . . . . . 24
2.1 Schema en coupe d’un enroulement diametral statorique (⊗ conduc-teurs alle et cxonducteurs retour) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Theoreme d’ampere et f.m.m dans l’entrefer . . . . . . . . . . . . . . 352.3 f.m.m d’un enroulement diametral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4 Schema en coupe d’un enroulement quelconque . . . . . . . . . . . . 372.5 f.m.m d’un enroulement quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6 Calcul des mutuelles de deux enroulements quelconque . . . . . . . . 422.7 Schema en coupe d’un bobinage imbrique d’une machine a p = 2 et
Ne = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.8 Schema developpe d’un bobinage imbrique a p = 1 (Ne = 3) . . . . . 472.9 Schema developpe du bobinage imbrique d’une machine a p = 2 (Ne =
3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.10 Fonctions de repartition de l’inductance surfacielle elementaires et de
chaque paire de poles de la phase a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.11 Fonctions de repartition de l’inductance surfacielle globales de la
phase a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.12 Schema developpe du bobinage concentrique d’une machine a p = 1
(Ne = 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.13 Schema developpe du bobinage concentrique de la phase a d’une ma-
chine a p = 3 (Ne = 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.14 Fonctions de repartition de l’inductance surfacielle elementaires de la
phase a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.15 Fonctions de repartition de l’inductance surfacielle globales et elemen-
taires de la phase a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
xiii
2.16 Modele electrique d’un enroulement elementaire . . . . . . . . . . . . 532.17 Modele electrique d’une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.18 Modele electrique d’une phase a p paires de poles . . . . . . . . . . . 572.19 Modele electrique d’un stator a N phases . . . . . . . . . . . . . . . . 632.20 Modele electrique d’un rotor a cage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.21 Quelques inductances mutuelles entre le stator et la boucle rotorique
N°1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.22 Inductances mutuelles entre la phase N°1 et trois boucles rotoriques . 772.23 Le principe de choix des mailles pour un stator en etoile . . . . . . . 792.24 Les N mailles adoptees pour un stator en « triangle » . . . . . . . . . 802.25 Choix du mode de couplage de l’alimentation . . . . . . . . . . . . . 81
3.1 Schema developpe du bobinage du stator de la machine du banc d’essai 903.2 Fonctions de repartition de l’inductance surfacielle elementaires de la
phase 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.3 Fonctions de repartition de l’inductance par pole et globale de la phase 1 913.4 Modele electrique d’un stator triphase a p = 2 et Ne = 4 . . . . . . . 923.5 Schematisation multi-polaires du stator . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.6 Inductances mutuelles de phase et de bobines entre la phase 1 et la
boucle rotorique N°1 au cours d’un demarrage. . . . . . . . . . . . . . 1023.7 Les valeurs prises par la derive de la mutuelle entre la phase 1 et la
boucle rotorique N°1 au cours d’un demarrage. . . . . . . . . . . . . . 1023.8 Un apercu des mutuelles stator-rotor au niveau des bobines au cours
d’un demarrage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.9 Un apercu des mutuelles stator-rotor au niveau des phases, au cours
d’un demarrage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.10 Inductances mutuelles entre la phase N°1 et trois boucles rotoriques
au cours d’un demarrage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.11 Mode de couplage du stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.12 Apparition des ondulations de vitesse au cours de demarrage . . . . . 1083.13 Nuage de points des pas de calcul dynamiques lors d’un demarrage a
vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.14 Cem en fonction de la vitesse angulaire au cours d’un demarrage a vide1093.15 Cem a vide et en pleine charge (Cr = 7Nm a t=0.5s) . . . . . . . . . 1093.16 Incidence de la variation de l’entrefer sur le courant de magnetisation 1123.17 Incidence de la variation de l’entrefer sur le courant en pleine charge . 1133.18 Incidence de la variation de l’entrefer sur le dephasage a vide . . . . . 1143.19 Incidence de la variation de l’entrefer sur le dephasage en pleine charge1143.20 Incidence de la variation de l’entrefer sur les inductances mutuelles
de phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.21 Incidence de la variation de l’inductance de fuites statoriques sur le
glissement en pleine charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.22 Incidence de la variation de l’inductance de fuites statoriques sur le
dephasage en pleine charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
xiv
3.23 Incidence de la variation des fuites statoriques sur le demarrage de lamachine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.24 Incidence de la variation de l’inductance de fuites des boucles roto-riques sur le courant statorique en pleine charge . . . . . . . . . . . . 118
3.25 Incidence de la variation de l’inductance de fuites des boucles roto-riques sur les courants rotoriques en pleine charge . . . . . . . . . . . 119
3.26 Incidence de la variation de l’inductance de fuites des boucles roto-riques sur le glissement en pleine charge . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.27 Incidence de la variation de l’inductance de fuites des boucles roto-riques sur le dephasage en pleine charge . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.28 Incidence de la variation des fuites rotoriques sur le demarrage de lamachine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.29 Incidence de la variation des resistances de barres rotoriques sur leglissement en pleine charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.30 Dephasage introduit par le filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.31 Courant actif statorique avec et sans pertes fer (a vide) . . . . . . . . 1243.32 Courant actif statorique avec et sans pertes fer (en plein charge) . . . 1253.33 Courant reactif experimental et de simulation a vide . . . . . . . . . . 1263.34 Dephasage entre tensions et courants statoriques de simulation et
experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.35 Vitesse angulaire a vide et en pleine charge (Cr = 7Nm a t = 0.7s) . 1273.36 Analyse spectrale de Iph1 de simulation en pleine charge . . . . . . . . 1303.37 Analyse spectrale de Iph1 en pleine charge sur une plage de [0 1500]Hz 130
4.1 Modele electrique d’un enroulement avec un defaut de court-circuitde ndxyz spires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.2 Les boucles adoptees pour un enroulement en defaut . . . . . . . . . 1404.3 Modele electrique d’une bobine en presence de C-C . . . . . . . . . . 1444.4 Modele electrique d’une phase en presence de C-C . . . . . . . . . . . 1504.5 Modele electrique de l’enroulement qui sera en court-circuit avec la
carcasse de la machine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.6 Modele electrique de la bobine qui sera en contact avec la carcasse . . 1664.7 Modele electrique de la phase en C-C avec la carcasse . . . . . . . . 1704.8 Les mailles adoptees pour un stator en etoile . . . . . . . . . . . . . . 1734.9 Les mailles adoptees pour un stator en « triangle » . . . . . . . . . . 1744.10 Calcul des inductances mutuelles entre deux enroulements quel-
conques, en presence d’excentricite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.1 Inductances mutuelles MPh1←1 et Md
111←1 en fonction de la variation dend111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.2 Court-circuit de spires simple de nd111 = 29 spires . . . . . . . . . . . 1875.3 Court-circuit de spires simple de nd114 = 29 spires . . . . . . . . . . . 1885.4 Courant de defaut Icc114 en fonction du nombre de spires en court-circuit.1905.5 Courant dans les spires court-circuitees au cours de la simulation du
scenario 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
xv
5.6 Courants dans la phase en defaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.7 Incidence d’un court-circuit sur le courant dans les phases saines. . . 1935.8 Incidence d’un court-circuit de spires sur le dephasage entre les ten-
sions et les courants de lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.9 Analyse spectrale du courant dans la phase 1 . . . . . . . . . . . . . . 1955.10 Analyse spectrale du courant dans la phase en defaut (phase 2) . . . . 1955.11 Analyse spectrale du courant dans la resistance Rcc
214 . . . . . . . . . . 1965.12 Analyse spectrale du courant dans la phase en defaut [0..175]Hz . . . 1965.13 Courants statoriques au cours de la simulation du scenario 5.4 . . . . 1985.14 Courants de branches au cours de la simulation du scenario 5.4 . . . . 1985.15 Courants experimentaux lors d’un defaut de C-C de 27 spires sur la
phase 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.16 Φx experimentaux lors d’un defaut de C-C de 27 spires sur la phase 2 2005.17 Courants statoriques au cours de la simulation du scenario 5.5 . . . . 2015.18 Courants de branches au cours de la simulation du scenario 5.5 . . . . 2025.19 Dephasages entre tensions et courants de simulation . . . . . . . . . . 2035.20 Tensions appliquees aux boucles de resolution (scenario 5.6). . . . . . 2045.21 Courants dans la phase en defaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.22 Courants dans les phases saines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055.23 Courant Id1 = Id114 (dans les 13 spires de l’enroulement 114 et dans les
enroulements d’indices 12z, z ∈ 1..4) au cours de la simulation duscenario 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.24 Dephasage entre sources de tension et courants de ligne lors d’undefaut de C-C entre phase et carcasse . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.25 Courants dans la cage rotorique au cours de la simulation du scenario4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.26 Apparition des ondulations sur la vitesse de la machine . . . . . . . . 2085.27 Incidence d’une rupture de barres sur les courants statoriques en si-
mulation (scenario 5.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.28 Incidence d’une rupture de deux barres sur les courants statoriques
experimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.29 Analyse spectrale de Iph1 [0-100]Hz (simulation) . . . . . . . . . . . . 2115.30 Spectre de courant statorique de simulation et experimental [0-100]Hz
(rupture de 2 barres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125.31 Analyse spectrale de Iph1 en presence d’une rupture de 2 barres (si-
mulation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.32 Analyse spectrale du courant dans la phase a en presence d’une rup-
ture de 2 barres (experimentation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
B.1 Banc d’essais (stator a bobinage modifie) . . . . . . . . . . . . . . . . 228B.2 Schema developpe du bobinage d’un stator avec prises de C-C eloignees229B.3 Schema developpe du bobinage du stator avec prises de C-C rapprochees230B.4 Jeu de rotor interchangeable (avec et sans defaut) . . . . . . . . . . . 231
xvi
C.1 Generation incrementale du modele selon les parametres topologiquesde la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
C.2 « IMSimKernel » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
xvii
Liste des tableaux
2.1 Permeance d’encoche en fonction de la forme geometrique de l’enrou-lement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Permeance de tete d’enroulement en fonction de type du bobinage . . 46
3.1 Dalim selon le mode de couplage de la machine . . . . . . . . . . . . . 1073.2 Le jeu de parametres introduit au MetaModele . . . . . . . . . . . 1283.3 Frequences d’encoches significatives (Hz) . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.4 Estimation parametrique du Mod.C.324 . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.5 Estimation parametrique de la M.AS.Reelle . . . . . . . . . . . . . . 133
4.1 ([U ], [I], [R], [L])enrxyz et [D]enr←Enrxyz en fonction du nombre de spirescourt-circuitees d’un enroulement elementaire . . . . . . . . . . . . . 142
4.2 [M ]enrxiyizi←xjyjzjen fonction du nombre de spires court-circuitees de
l’un et/ou de l’autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.3 Matrice des inductances mutuelles « enroulement/boucle rotorique »
en fonction du nombre de spires court-circuitees de l’enroulement . . 164
5.1 Inductances propres et inductances mutuelles en fonction de nd111 . . . 1885.2 Inductances propres et inductances mutuelles en fonction de nd114 . . . 189
B.1 Caracteristiques de la M.AS.Reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
xix
Introduction générale
Les machines electriques tournantes occupent une place preponderante dans tous
les secteurs industriels. Les machines asynchrones triphasees a cage d’ecureuil sont
les plus frequemment utilisees en raison de leur robustesse, de leur simplicite de
construction et de leur bas cout. Neanmoins, celles-ci subissent au cours de leur
duree de vie un certain nombre de sollicitations externes ou internes qui peuvent les
rendre defaillantes.
Grace a sa grande flexibilite, la simulation est l’outil privilegie pour evaluer
les performances et le comportement des systemes sous des conditions extremes
ou en mode de defaillance. Il faut noter que la simulation ne peut exister sans
modelisation, en effet, la simulation n’est autre que la mise en application d’un
modele bien determine. En outre, l’un des objectifs les plus importants, dans le
cadre du diagnostic, concerne la mise au point de modeles de simulation les plus
fiables possibles, representant le fonctionnement defaillant de la machine. L’etape
de modelisation s’avere donc indispensable pour la caracterisation et la maıtrise des
phenomenes qui peuvent y apparaıtre.
La modelisation et la simulation de la machine asynchrone a fait l’objet de nom-
breux travaux de recherche, que ce soit dans le but de dimensionnement, de la
commande ou du diagnostic. La diversite des objectifs a fait apparaıtre plusieurs
techniques de modelisation et d’outils de simulation, dont chaque type de modeli-
sation est plus ou moins adapte a un domaine plus que les autres. Mais ces outils
sont souvent trop specifiques a une topologie ou une machine bien determinee. Il
serait cependant interessant de disposer d’un outil simple et generique, pouvant ser-
vir comme un banc d’experimentation et de test des machines asynchrones, que ce
soit en mode sain ou en presence de defauts. Ces defaillances impliquent generale-
1
2 Introduction generale
ment une modification de la topologie de la machine, cette modification topologique
prend l’une des formes suivantes : un court-circuit entre les spires d’une phase, un
court-circuit entre deux phases, un court-circuit entre une phase et la masse, une
rupture des conducteurs statoriques ou une rupture des conducteurs rotoriques.
L’objectif de la creation de simulateurs fins est de permettre la comprehension
des phenomenes physiques mis en jeu, la prediction de la degradation des perfor-
mances lors de l’occurrence de defaillances, l’extraction et l’analyse des signatures
de defaillances, ainsi que de proposer un environnement d’experimentation virtuelle
pour la mise au point de methodes de surveillance et de diagnostic.
Des travaux initiaux ont montre que le modele de Park modifie permet de repre-
senter, dans certains cas, avec une precision acceptable le fonctionnement sain et en
defaut de la machine asynchrone Schaeffer (1999), Bachir (2002). Mais, ce modele
simplifie prend des hypotheses de calcul pour negliger certains termes et considere
les enroulements de la machine de facon globale sans prendre en consideration les
specificites du bobinage.
Afin d’avoir des modeles plus fins et plus realistes nous pouvons avoir recours a
des techniques se basant sur la modelisation par elements finis. Ces modeles assez
precis sont tres complexes a mettre en œuvre et ne sont pas adaptes pour la modeli-
sation que ce soit en vue de la commande ou du diagnostic de quelques defauts d’une
machine asynchrone Devanneaux (2002), Didier (2004). Cette technique de modeli-
sation par elements finis est plus rigoureuse mais presente plusieurs handicaps :
– Elle est tres liee aux dimensions de la machine et ne represente qu’une machine
bien precise,
– Elle manque de flexibilite : il faut modifier la saisie de la machine pour chaque
type de defauts,
– Complexite des logiciels a elements finis (l’elaboration d’un modele necessite
des connaissances techniques de la machine),
– Elle est couteuse en temps de calcul et en ressources logicielles.
– Elle est difficilement utilisable en boucle fermee.
Pour prendre en compte la geometrie de la machine, sans utiliser la modelisation
par elements finis, il existe une methode analytique des Circuits Electriques Magneti-
quement Couples (CEMC) qui permettent de considerer chaque partie des bobinages
en fonction du nombre de paires de poles, pour le stator du nombre d’encoches par
pole et par phase, pour le rotor du nombre de barres,. . . Les deux principaux inconve-
Introduction generale 3
nients de cette methode, est que la description du modele devient vite tres complexe
par la taille des matrices et qu’elle est unique pour chaque machine (comme pour la
methodes par elements finis). En plus, lorsque l’on veut modeliser un defaut (style
court-circuit statorique), il faut redefinir toutes les matrices de description. Mais, la
description de ces matrices (avec ou en presence de defaut) suit une methodologie
bien precise qui depend essentiellement des elements geometriques de la machine.
Aujourd’hui, avec l’apport du genie logiciel, on peut donc facilement demander a un
logiciel de construire le modele a l’aide de cette methodologie de construction.
Donc, c’est cet objectif que nous nous sommes fixes dans cette these. Nous allons
dans un premier temps faire la synthese d’une methodologie de modelisation, multi-
enroulements et multi-paires de poles, de la machine asynchrone avec et sans defaut
et dans un deuxieme temps concevoir un MetaModele, a l’aide d’outils issus du
genie logiciel, ayant la capacite de construire, d’une maniere autonome, le modele
complet de la machine en absence et en presence de defaillances en prenant en compte
la geometrie de la machine.
Organisation du memoire :
L’objectif du premier chapitre est d’expliquer notre demarche qui nous a amene
a proposer ces recherches sur la creation d’un simulateur de la machine asynchrone
en presence de defauts ayant la capacite d’avoir une description fine de la machine
en prenant en compte tous les elements des bobinages statorique et rotorique. Pour
cela, nous rappelons la constitution de la machine asynchrone et nous presentons
brievement les differents types de defaut pouvant l’affecter. Ensuite, nous abordons
les differentes techniques de modelisation qui ont initiees notre demarche en mettant
l’accent sur la specificite de ces methodes en terme de precision et de complexite de
mise en œuvre.
Le deuxieme chapitre developpe la methodologie des Circuits Electriques Ma-
gnetiquement Couples (CEMC) que nous avons retenu avec une modelisation multi-
enroulements (3ME ) de la machine asynchrone. Cette methodologie decrit le prin-
cipe avec lequel le MetaModele, ici developpe, opere afin de proposer un modele
specifique a la topologie constitutive et geometrique de la machine a simuler. Il s’agit
d’une modelisation purement analytique, l’idee est de generer les mutuelles intrin-
seques au stator, intrinseques au rotor, et les mutuelles stator/rotor, en se basant
sur la distribution du champ magnetique dans l’entrefer selon la repartition spatiale
du bobinage de cette machine. Il est aussi essentiel de proposer une methodologie
de prise en consideration de l’interconnexion electriques, entre les enroulements, les
4 Introduction generale
paires de poles et les phases, par des matrices de passage, permettant ainsi de faire
le passage entre les differentes couches d’abstraction du modele.
Le troisieme chapitre montre la puissance de l’outil logiciel (IMSimKernel),
qui n’est autre que l’implementation du MetaModele decrit dans le chapitre 2,
et presente la validation d’un modele genere par ce noyau de simulation. La pre-
miere partie de ce chapitre concerne la presentation des etapes empruntees par cet
outil de simulation durant le processus de generation d’un modele de simulation
pour une machine asynchrone bien specifique. Cette etape est poursuivie par l’ex-
perimentation de l’influence de la variation des parametres les plus influents et les
plus difficiles a identifier sur le comportement de ce modele. A la suite de cette ex-
pertise, nous proposons le jeu de parametres qui nous a permis de nous rapprocher
le plus pret possible du point de fonctionnement de la machine experimentale. Dans
la derniere partie de ce chapitre, on expose les resultats de validation experimentale
de ce modele.
Le quatrieme chapitre est celui qui permet de montrer la puissance de la methodo-
logie qui a ete developpee dans le chapitre 2 pour une machine saine, en l’extrapolant
pour une machine en defaut. Evidemment, il faut enrichir la methodologie de mode-
lisation multi-enroulements, presentee dans le chapitre 2, en exposant le principe de
la prise en consideration de la presence d’un defaut. Ce defaut peut etre un defaut de
court-circuit de spires au sein d’une meme phase, un court-circuit entre deux phases,
un court-circuit entre phase et masse ou une rupture de barres. Nous montrons alors
comment prendre en compte chacune de ces alterations topologiques en se basant
sur la modelisation initiale (saine). Les resultats obtenus permettent la prediction
de la degradation des performances et, en partie, la comprehension des phenomenes
physiques mis en jeu lors de l’occurrence de defaillances simples ou multiples.
Le cinquieme chapitre presente la validation experimentale de la prise en consi-
deration des defauts par le MetaModele . Cette validation est basee sur la com-
paraison des resultats de simulation avec celles issues d’experimentation. Ces essais
experimentaux sont realises sur deux machines asynchrones triphasees a cage d’ecu-
reuil issues d’une meme serie. Les deux sont dotees de prises de connexion addi-
tionnelles sur le bobinage statorique (deux phases) afin de permettre de provoquer
des court-circuits au sein du bobinage statorique. Les points intermediaires de la
premiere sont situes a une extremite de l’enroulement avec un nombre de spires
relativement important, et pour la deuxieme, ces points sont situes au milieu du
bobinage avec un nombre de spires tres reduit. On dispose aussi d’un jeu de rotors
Introduction generale 5
interchangeables (applicable aux deux machines), dont chacun presente un taux de
defaillance different (nombre et lieu des ruptures de barres). Enfin, une comparaison
entre les resultats de simulation et les resultats experimentaux est effectuee en vue
d’evaluer la performance de l’approche.
En conclusion les resultats obtenus confirment globalement le bon comportement
de la modelisation adoptee et valide la methodologie de description avec ou sans
defaut ainsi que le MetaModele developpe.
Sommaire
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Presentation du systeme d’etude . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Panorama des methodes de modelisation des machinesasynchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chapitre
1
Chapitre introductif
Ce chapitre introductif nous permet de situer notre demarche par rapport aux
autres travaux de recherche dans le domaine du diagnostic des machines asynchrones
en s’appuyant sur un simulateur pour experimenter les techniques de surveillance. Au
debut, il rappelle la constitution de la machine asynchrone, ainsi que les principaux
defauts electriques qui peuvent la toucher.
Ensuite nous abordons les differentes techniques de modelisation qui ont initiees
notre demarche en mettant l’accent sur la specificite de ces methodes en terme de
precision et de complexite de mise en œuvre. A la fin, nous precisons le modele
retenu dans la suite de cette these.
7
1.1. Introduction 9
1.1 Introduction
Les differentes approches de modelisation reposent sur la resolution des equa-
tions de l’electromagnetisme et de la mecanique. Les differences proviennent des
hypotheses simplificatrices qu’il est possible de faire, en fonction du domaine de
frequence concerne, et de la topologie (structure physique) du systeme etudie, c’est-
a-dire en fonction des objectifs de la modelisation.
Nous nous proposons de presenter, dans ce chapitre, une synthese des differents
travaux de modelisation de la machine asynchrone en defaut. Nous commencons par
effectuer quelques rappels sur la constitution de la machine asynchrone, et ensuite
nous presentons brievement les differents types de defaut pouvant affecter cette
derniere. Enfin, nous y exposons les principales methodes de modelisation de la
machine asynchrone ainsi que leurs champs d’application et quelques elements de
comparaison en terme de precision et de complexite de mise en œuvre.
1.2 Presentation du systeme d’etude
1.2.1 Constitution des machines asynchrones
On se propose, dans cette section, de rappeler brievemement la constitution de la
machine asynchrone. Cette description va nous permettre de comprendre de quelle
facon le systeme est realise physiquement.
Les machines asynchrones peuvent se decomposer, du point de vue mecanique,
en trois parties distinctes :
– le stator, partie fixe de la machine ou est connectee l’alimentation electrique ;
– le rotor, partie tournante qui permet de mettre en rotation la charge meca-
nique ;
– les paliers, partie mecanique qui permet la mise en rotation de l’arbre moteur.
1.2.1.1 Le stator
Le stator de la machine asynchrone est constitue de toles d’acier dans lesquelles
sont places les bobinages statoriques. Pour les petites machines, ces toles sont decou-
pees en une seule piece, alors qu’elles sont decoupees par sections pour les machines
10 Chapitre 1. Chapitre introductif
Fig. 1.1 – Moteur asynchrone a cage Leroy-Somer
de puissance plus importantes. Ces toles sont habituellement recouvertes de vernis
pour limiter l’effet des courants de Foucault, elles sont assemblees les unes aux autres
a l’aide de rivets ou de soudures pour former le circuit magnetique statorique.
Les enroulements statoriques sont places dans les encoches prevues a cet ef-
fet. Ces enroulements peuvent etre inseres de maniere imbrique, ondule ou encore
concentrique Loutzky (1969) (sections 2.2.3 et 2.2.4).
L’enroulement concentrique est souvent utilise lorsque le bobinage de la ma-
chine asynchrone est effectue mecaniquement. L’isolation entre les enroulements
electriques et les toles d’acier s’effectue a l’aide de materiaux isolants qui peuvent
etre de differents types suivant l’utilisation de la machine asynchrone.
Le stator d’une machine asynchrone est aussi pourvu d’une boıte a bornes a
laquelle est reliee l’alimentation electrique. La figure 1.1 presente, entre autre, les
differentes parties de constitution du stator d’une machine asynchrone.
1.2. Presentation du systeme d’etude 11
1.2.1.2 Le rotor
Le circuit magnetique rotorique est constitue de toles d’acier qui sont, en general,
de meme origine que celles utilisees pour la construction du stator. Les rotors de
machines asynchrones peuvent etre de deux types : bobines ou a cage d’ecureuil.
Les rotors bobines sont construits de la meme maniere que le bobinage stato-
rique1. Les phases rotoriques sont alors disponibles grace a un systeme de bagues-
balais positionne sur l’arbre de la machine.
Concernant les rotors a cage d’ecureuil, les enroulements sont constitues de barres
de cuivre pour les moteurs de grande puissance ou d’aluminium pour les petits.
Ces barres sont court-circuitees a chaque extremite par deux anneaux de court-
circuit, fabriques en cuivre ou en aluminium. On presente a la figure 1.1 les differents
elements de constitution d’un rotor a cage d’ecureuil.
Dans le cas des rotors a cage d’ecureuil (figure 1.1), les conducteurs sont realises
par coulage d’un alliage d’aluminium ou par des barres massives de cuivre prefor-
mees et frettees dans les toles du rotor. Generalement il n’y a pas d’isolation entre
les barres rotoriques et le circuit magnetique. Mais la resistivite de l’alliage utilise
pour la construction de cette cage est suffisamment faible pour que les courants ne
circulent pas a travers les toles magnetiques, sauf lorsque la cage rotorique presente
une rupture de barre Muller et Landy (1994).
1.2.1.3 Les paliers
Les paliers sont constitues de roulements a billes et de flasques. Les roulements
a billes sont inseres a chaud sur l’arbre, permettant ainsi d’assurer le guidage en
rotation de l’arbre. Les flasques, moules en alliage de fonte, sont fixes sur le carter
statorique grace a des boulons ou des tiges de serrage comme le montre la figure 1.1.
L’ensemble ainsi etabli constitue alors la machine asynchrone.
1.2.2 Les defaillances des machines asynchrones
Bien que la machine asynchrone soit reputee robuste, elle peut parfois presenter
differents types de defauts. Ces defauts se declarent dans les differentes parties de la
1insertion des enroulements dans les encoches rotoriques
12 Chapitre 1. Chapitre introductif
machine en commencant par la connexion des phases statoriques et en finissant par
l’accouplement mecanique du rotor a la charge. Ainsi, dans le but d’une presenta-
tion synthetique, nous les avons classes dans deux familles principales : les defauts
mecaniques et les defauts electriques. Ces defauts sont donc rappelees brievement
dans l’organigramme de la figure 1.2.
Defauts
Mecaniques
Excentricite
statiquedynamique
mixte
Electriques
Statoriques
Court-circuit
inter-spiresentre deux phases
entre phase et terre
Rotorbobine ?
Rotoriques
Rupture
de barresou d’anneaux
de court-circuit
Oui
Non
Fig. 1.2 – Organigramme de defauts statoriques et rotoriques
1.2.2.1 Defaillances mecaniques
Les consequences des defauts mecaniques se manifestent generalement au niveau
de l’entrefer : par des defauts d’excentricite statique, dynamique ou mixte :
– Le defaut d’excentricite statique est generalement du a un desalignement de
l’axe de rotation du rotor par rapport a l’axe du stator, dont la cause la plus
frequente est un defaut de decentrage des flasques.
– Le defaut d’excentricite dynamique peut etre cause par une deformation du
cylindre rotorique, une deformation du cylindre statorique ou la deterioration
de roulements a billes.
– L’excentricite mixte, la plus frequente, est la combinaison d’une excentricite
statique et d’une excentricite dynamique.
1.2. Presentation du systeme d’etude 13
Une analyse vibratoire, une analyse par ultrason, une analyse frequentielle des
courants absorbes ou simplement une analyse visuelle de l’arbre de la machine permet
de detecter ces types de defaillance. Nous pouvons trouver dans la litterature des
ouvrages tres complets qui traitent ces divers problemes Bigret et Feron (1995),
Bonnett (1999; 2000).
1.2.2.2 Defaillances electriques
1.2.2.2.1 Au niveau du stator
Les defauts statoriques se manifestent sous la forme d’un court-circuit inter-
spires, d’un court-circuit entre deux phases ou d’un court-circuit entre une phase et
la carcasse. Ces defauts ont des origines diverses : thermique, mecanique, electrique
ou encore environnementale.
A titre d’exemple, le desequilibre des tensions d’alimentation de la machine ou
encore les demarrages frequents provoquent un echauffement excessif des bobinages
statoriques conduisant a terme a la destruction de l’isolant. De meme, les efforts
electrodynamiques que subissent les conducteurs des phases, se traduisent par des
vibrations mecaniques ayant pour effet de deteriorer l’isolant. Sur le plan electrique,
les fronts de tensions generes par les convertisseurs statiques accentuent le pheno-
mene de decharges partiels et reduisent, par consequent, la duree de vie de l’isolant
des fils. Quand aux origines environnementales, nous pouvons citer l’humidite, les
produits corrosifs ou abrasifs, . . .
1.2.2.2.2 Au niveau du rotor
Un rotor bobine peut etre touche par les memes defauts que le stator. Pour un
rotor a cage les defauts se resument a la rupture de barres ou a la rupture d’anneaux
de court-circuit Bonnett et Soukup (1992). Ces ruptures de barres ou de portions
d’anneau peuvent etre dues, par exemple, a une surcharge mecanique (demarrages
frequents,. . .), a un echauffement local excessif ou encore a un defaut de fabrication
(bulles d’air ou mauvaises soudures).
14 Chapitre 1. Chapitre introductif
1.3 Panorama des methodes de modelisation des
machines asynchrones
Les modeles decrivant le fonctionnement de la machine asynchrone en presence de
defauts peuvent etre groupes en modeles physiques et en modeles comportementaux :
Les modeles physiques se basent sur les lois de l’electromagnetisme pour decrire
le fonctionnement de la machine. Ces modeles peuvent varier en complexite
et/ou en precision selon la methode de modelisation utilisee. Les methodes les
plus utilisees dans ce cadre de modelisation sont :
– La methode des elements finis,
– la methode des reseaux de permeance,
– la methode des circuits electriques magnetiquement couples.
Les modeles comportementaux quant a eux, modifient les modeles issus de la
physique en y introduisant des parametres supplementaires qui permettent
la detection et, dans certains cas, la localisation du defaut observe Yahoui et
Grellet (1996), Schaeffer (1999), Bachir (2002). Ces modeles comportementaux
peuvent etre directement utilises dans les procedures de diagnostic, dans ce
cadre de modelisation nous pouvons citer :
– les modeles compacts electrique et thermique servant au diagnostic par es-
timation parametrique,
– la memorisation de la forme des signaux captes aux niveaux de machines
saines et en defauts, afin de les exploiter ulterieurement pour le diagnostic
par reconnaissance des formes.
Dans cette partie, nous avons choisi de presenter le modele de Park etendu ren-
contre pour le diagnostic des defauts par estimation parametrique, la methode
des elements finies, la methode des reseaux de permeances et la modelisation
par des circuits electriques magnetiquement couples.
1.3.1 Modele de Park etendu dedie au diagnostic
Ce modele s’appuie sur la transformation de Park pour l’etude des machines
asynchrones en regime dynamique, et se base sur les hypotheses simplificatrices
suivantes Caron et Hautier (1995) :
Hypothese 1.1
– la repartition de la force magnetomotrice est sinusoıdale,
1.3. Panorama des methodes de modelisation 15
– la machine est supposee symetrique (a grandeurs periodiques),
– le rotor est represente par un bobinage triphase equivalent,
– les pertes fer sont negligees,
– l’entrefer est lisse,
– les circuits magnetiques sont non satures,
– il n’y a pas d’effet de peau.
La transformation de Park permet d’aboutir a un systeme d’equations dyna-
miques compact. Ce modele fait notamment appel a un certain nombre de variables
equivalentes et est, en general, d’une mise en œuvre aisee ; en effet, les hypotheses de
symetrie et de periodicite permettent bien souvent une reduction notable de l’ordre
des variables pertinentes.
Prenons l’exemple de modele Park de la machine asynchrone saine, ecrit dans un
referentiel lie au rotor, l’equation differentielle regissant le comportement de systeme
equivalent se presente alors sous la forme : X(t) = A(ω).X(t) +B.u(t)Y = C.X(t)
(1.1)
avec
X =[ids iqs ϕdr ϕqr
]T: vecteur d’etat (1.2)
u =udsuqs
, Y =idsiqs
: entrees et sorties du modele electrique (1.3)
A =
−Rs+Rr
Lfω Rr
Lf .LmωLf
−ω −Rs+RrLf
− ωLf
RrLf .Lm
Rr 0 − RrLm
00 Rr 0 − Rr
Lm
B = 1Lf
0 0 00 1
Lf0 0
T , C =1 0 0 00 1 0 0
(1.4)
Dans le cadre du diagnostic par estimation parametrique et d’apres Schaeffer
16 Chapitre 1. Chapitre introductif
et al. (1998a), Schaeffer (1999), Bachir (2002), la machine asynchrone presente en
plus d’un comportement dynamique conventionnel, un comportement du au defaut.
Ainsi, ces etudes ont permis l’elaboration de modeles permettant le decouplage de
deux modes (fig. 1.3) :
Le mode commun, l’image du comportement sain de la machine, est exprime dans
le repere triphase ou dans le repere de Park, et tire ses parametres des com-
posants electriques de la machine.
le mode differentiel est une partie supplementaire, du a la presence d’un defaut
et permet d’exprimer l’ecart entre le mode commun et le fonctionnement de-
faillant de la machine. L’interet majeur de ce mode est que l’identification de
ses parametres permet la detection et la localisation du defaut. Rappelons que
le principe de cette methodologie est decrit dans Bachir (2002), Bachir et al.
(2008).
Fig. 1.3 – Principe de decouplage entre les deux modes : commun (Hn(s)) et differentiel(∆Hi(s))
Deux modeles de defauts ont ete definis : le premier permet de modeliser un court-
circuit simple2 sur les trois phases a travers trois quadripoles de defaut, le second
tient compte du desequilibre de la matrice des resistances rotoriques en situation de
defaut de type rupture de barres.
Cette modelisation decoule de la notion de mode « differentiel » traduit par la
creation d’un champ magnetique supplementaire dans la machine en situation de
defaut. Ainsi un modele global est defini en associant les deux modeles de defaut
avec le modele nominal (fig.1.4). Ce modele permet une surveillance generalisee de
la machine asynchrone a cage. Plusieurs travaux se sont bases sur ce modele et
ont permis de le confronter a l’experimentation, precisant ainsi leurs domaines de
validite ; en boucle ouverte Schaeffer et al. (1998b), Casimir et al. (2005), Bachir
et al. (2006) et en boucle fermee Bazine (2008).
2entre les spires d’une meme phase
1.3. Panorama des methodes de modelisation 17
Fig. 1.4 – Modele global de defauts statoriques et rotoriques
Nous aurons besoin de ce type de modelisation, dans la section 3.4.3 et dans le
chapitre 5, lors de la validation par estimation parametrique de notre MetaMo-
dele . Pour ne pas alourdir cette section, nous nous contentons d’exposer brieve-
ment le modele compact integrant les deux types de defaut, ainsi que le principe de
la detection et de la localisation de ces defauts.
La representation d’etat du modele electrique de ce systeme, avec defauts roto-
rique et statorique, dans le repere lie au rotor, s’ecrit alors :˙X(t) = A(ω).X(t) +B.u(t)Y = C.X(t) +D.u(t)
(1.5)
avec
X =[i′ds i
′qs ϕdr ϕqr
]T: vecteur d’etat (1.6)
u =udsuqs
, Y =idsiqs
: entrees et sorties du modele electrique (1.7)
A =−L−1
f (Rs.I2 +Req) L−1f
(ReqL
−1m − ωP (π2 )
)Req −
(ReqL
−1m − ωP (π2 )
)
B = 1Lf
0 0 00 1
Lf0 0
T , C =1 0 0 00 1 0 0
18 Chapitre 1. Chapitre introductif
D =3∑
k=1
2ηcck3Rs
P (−θ)Q(θcck)P (θ)
ou
[Req] = Rr ·(I2 −
α
1 + αQ(θ0))
)(1.8)
Avec,
pour le stator
– le rapport de court-circuit note ηcck = ncckns
est egal au rapport du nombre
de spires en court-circuit de la keme phase sur le nombre total de spires
dans une phase statorique sans defaut. Ce parametre permet de quantifier
le desequilibre et d’obtenir le nombre de spires en court-circuit ;
– l’angle electrique, note θcck , repere le bobinage en court-circuit par rapport
a l’axe de reference de la phase as. Ce parametre permet la localisation du
bobinage en defaut et ne peut prendre que les trois valeurs 0, 2π3 ou −2π
3 ,
correspondant respectivement a un court-circuit sur les phases as, bs ou cs ;
– la matrice Q(θcck) permet de definir le dipole resistif [Rcck ], representant le
defaut de court-circuit du bobinage k :
[Rcck ]−1 = 2ηcck3Rs
P (−θ)Q(θcck)P (θ) (1.9)
Q(θcck) = cos(θcck)2 cos(θcck) sin(θcck)cos(θcck) sin(θcck) sin(θcck)2
(1.10)
pour le rotor
– la resistance equivalente Req au rotor est la mise en serie de la resistance
saine Rr et de la matrice resistance de defaut Rdefaut,
– l’angle electrique note θ0 repere le « bobinage » en defaut. Ce parametre
permet la localisation de la barre en defaut au rotor ;
– le rapport de defaut note η0 est egal au rapport du nombre de spires en defaut
sur le nombre total de spires dans une phase triphasee rotorique fictive sans
defaut. Ce parametre permet de quantifier le desequilibre et d’obtenir le
nombre de barres cassees.
Le nombre de spires au rotor etant fictif, pour un rotor de Nr barres, si on
considere chaque maille definie par la figure 1.8 comme une spire rotorique,
une phase fictive est donc constituee de Nr3 barres. Pour nbc barres cassees
1.3. Panorama des methodes de modelisation 19
sur une phase, l’expression du rapport de defaut η0 est donnee par :
η0 = 3nbcnb
α = 23η0 Q(θ0) =
cos(θ0)2 cos(θ0) sin(θ0)cos(θ0) sin(θ0) sin(θ0)2
(1.11)
Ce modele de defaut permet la detection et la localisation de spires en court-
circuit a partir des rapports ηcck ainsi que la quantification du nombre et de la
position de barres cassees a travers le rapport η0 et l’angle θ0. Ainsi, la connaissance
de ces parametres par estimation parametrique permet une surveillance generalisee
de la machine asynchrone Bachir et al. (2006), Bazine (2008). Les parametres a
estimer sont donc :
θ = [Rs Rr Lm Lf ηcc1 ηcc2 ηcc3 η0 θ0]T (1.12)
Bien que, le modele de Park soit bien adapte aux besoins de la commande, de
l’identification et du diagnostic, il se base sur des hypotheses tres restrictives ; il
neglige les phenomenes lies a la geometrie complexe3 de la machine asynchrone.
1.3.2 Methode des elements finis
La methode des elements finis est une approche qui requiert un temps de calcul
important. Le circuit magnetique de la machine est decoupe en plusieurs elements
de dimension faible pour permettre de considerer le materiau magnetique lineaire
sur les surfaces correspondantes.
Dans le domaine du diagnostic de la machine asynchrone, la methode des ele-
ments finis est utilisee dans le but de comprendre et de quantifier les consequences
locales d’un defaut sur les differentes parties de la machine Houdouin et al. (1998),
Bangura et Demerdash (1999).
A titre d’exemple, la methode des elements finis permet l’etude des effets locaux
du defaut de rupture de barres de la cage rotorique a savoir un echauffement local
excessif du a l’augmentation des courants circulant dans les barres voisines et une
forte sollicitation electrodynamique de ces memes barres voisines pouvant conduire a
la propagation du defaut. De meme, la methode des elements finis sert a apprehender
3effet d’encoches, repartition de bobinage, defaut non symetrique . . .
20 Chapitre 1. Chapitre introductif
les impacts magnetique et thermique locaux du defaut de court-circuit inter-spires
dans les phases statoriques.
L’analyse des phenomenes electromagnetiques est basee sur la resolution des
equations de Maxwell. On distingue deux techniques principales de resolution des
equations des champs electromagnetiques Boumegoura (2001) :
Differences finies : le maillage est un quadrillage rectangulaire sur les nœuds pour
lesquels est effectuee la discretisation spatiale de l’equation differentielle, as-
sociee a la decomposition en serie de Taylor du potentiel scalaire.
Elements finis : le principe fondamental reside dans le decoupage du domaine
d’etude en domaines elementaires de dimension finie. Sur chaque domaine ap-
pele element fini, le potentiel est approche par un polynome de degre faible.
La resolution se ramene alors a la minimisation d’une fonction liee a l’energie
emmagasinee dans les elements.
L’utilisation de methode de calcul par elements finis prend en compte la geometrie
de la machine, la saturation des materiaux magnetiques, ainsi que l’effet de peau
dans les barres rotoriques.
Les equations qui regissent le champ electromagnetique dans les systemes electro-
magnetiques sont les equations de Maxwell, accompagnees des relations constitutives
du milieu considere.
Actuellement, des logiciels elements finis, permettant de resoudre des problemes
magnetiques, sont proposes couramment sur le marche. Ils se repartissent principa-
lement en trois categories :
– Les logiciels bidimensionnels statiques (Opera2D, Flux2D, Maxwell, . . .)
ou l’equation magnetique est resolue seule.
– Les logiciels bidimensionnels dynamiques (Flux2D, . . .) ou les equations ma-
gnetiques et electriques sont resolues simultanement afin de tenir compte du
mouvement.
– Les logiciels tridimensionnels (Flux3D, TOSCA, ELECTRA, . . .) per-
mettent de prendre en compte les effets de bord ou de calculer des structures
complexes.
Prenons le cas de logiciel Flux2D il permet de realiser le schema du circuit
magnetique en un plan de coupe perpendiculaire a l’axe de rotation de la machine.
1.3. Panorama des methodes de modelisation 21
Ce logiciel resout l’equation suivante CED (2009) :
−→rot
(1µ0
[νr]−→rot(−→A )−−→Hc
)+ [σ]
∂−→A∂t
+−−→grad(V ) = 0 (1.13)
avec
[νr] : est le tenseur de reluctivite magnetique du milieu,
µ0 : permeabilite magnetique du vide (en H/m),−→A : est le potentiel vecteur magnetique (en Weber/m),−→Hc : est le champ magnetique coercitif (en A/m),
[σ] : est le tenseur de conductivite electrique du milieu (en 1/Ω.m),
V : est le potentiel scalaire electrique (en V ),
t : temps (en s).
La figure 1.5 represente le circuit magnetique d’un moteur asynchrone. L’utili-
sation de la bande de roulement permet de prendre en compte la rotation du rotor
en magneto-evolutif sans pour autant effectuer un nouveau maillage de la machine
a chaque nouvelle position du rotor Boumegoura (2001).
Fig. 1.5 – Circuit magnetique d’une machine asynchrone (a p = 2, 4 encoches/pole/phaseet 28 barres)
La consideration du comportement electromagnetique local permet d’avoir une
modelisation plus fine du moteur. La resolution numerique des equations de Maxwell
regissant le comportement des champs electromagnetiques et la prise en considera-
22 Chapitre 1. Chapitre introductif
tion des equations electriques, permet de reduire les simplifications faites dans les
modeles classiques et ainsi d’avoir un modele plus proche de la machine electrique
reelle. Certes, Cette technique de modelisation est plus rigoureuse mais presente
plusieurs handicaps :
– Elle est tres liee aux dimensions de la machine et ne represente qu’une machine
bien precise,
– Elle manque de flexibilite : il faut modifier la saisie de la machine pour chaque
topologie de bobinage de la machine,
– Complexite des logiciels a elements finis4,
– Elle est couteuse en temps de calcul et en ressources logicielles.
1.3.3 Methode des reseaux de permeances
On peut egalement signaler la methode des reseaux de permeances couplees, qui
realise un compromis entre temps de calcul et precision. La methode des reseaux
de permeances est basee sur l’analogie entre le magnetique et l’electrique (Fig : 1.6)
Delforge-Delmotte (1995). Un circuit de permeances representant la geometrie de la
machine est realise dont chaque permeance est calculee a partir d’un tube de flux.
La determination de certaines permeances peut necessiter l’utilisation de la methode
des elements finis, ce qui est notamment le cas des permeances d’entrefer.
Fig. 1.6 – Analogie entre circuit electrique et circuit magnetique
C’est une representation moins fine que les elements finis, mais plus detaillee
que la modelisation analytique. L’avantage de cette methode est qu’elle permet une
resolution numerique plus rapide que les elements finis qui necessitent beaucoup
de ressources informatiques. Son inconvenient est que, si la parametrisation des
permeances des armatures statoriques et rotoriques est facile, celles des permeances
d’entrefer necessitent une etude et un developpement particulier.
4l’elaboration d’un modele necessite des connaissances techniques de la machine
1.3. Panorama des methodes de modelisation 23
Cette approche permet de prendre en compte les caracteristiques du fer utilise
pour la construction de la machine asynchrone. En effet, le calcul des differentes
reluctances ne peut se faire qu’en fixant une valeur precise pour la reluctance relative
du fer Rfer Casimir et al. (2005). Le mouvement de rotation de la machine est pris
en compte par l’intermediaire de permeances d’entrefer variables selon la position
angulaire du rotor.
Fig. 1.7 – Reseau de permeances elementaire autour d’une encoche statorique
Ainsi, la machine asynchrone est decomposee en une association de circuits ele-
mentaires, composes d’une dent, d’une encoche et de la portion de culasse concernee.
Un circuit elementaire est modelise par trois permeances (permeance de dent, per-
meance de culasse et permeance de fuite de pied d’encoche) et une source de f.m.m
(Fig. 1.7) Delforge-Delmotte (1995), Gillon (1997).
1.3.4 Methode des circuits electriques magnetiquement
couples (CEMC )
Dans l’approche de modelisation par les equations des circuits electriques magne-
tiquement couples (CEMC), les enroulements constituant le stator et/ou le rotor
sont representes par un circuit electrique equivalent, forme par une inductance en
serie avec une resistance.
Prenons l’exemple d’une machine asynchrone constituee de N s phases au stator
et de N r enroulements au rotor. Le cas d’un rotor bobine est tres similaire a la
modelisation du stator, nous traitons alors le cas d’un rotor a cage constitue par q
barres, ce qui nous ramene a N r = q+1 mailles magnetiquement couplees comme le
montre la figure 1.8 Schaeffer (1999), Devanneaux (2002). Avant d’etablir le modele,
par l’approche « circuits electriques magnetiquement couples » (CEMC ), de la ma-
24 Chapitre 1. Chapitre introductif
chine asynchrone, nous rappelons brievement les hypotheses, desormais classiques,
retenues :
– les circuits magnetiques sont non-satures,
– les pertes fer sont negligees,
– les courants inter-barres sont negligeables (toles magnetiques rotoriques isolees
des barres et des anneaux de la cage).
Fig. 1.8 – Schema electrique equivalent de la cage rotorique
La premiere hypothese peut cependant etre partiellement contournee par l’in-
troduction d’un coefficient de saturation dans l’expression de l’induction d’entrefer
permettant la prise en compte de la chute de tension magnetique (f.m.m.) dans le
fer.
En posant :
Rs : Resistance statorique
Rr : Resistance rotorique
Lsp
: Inductance propre statorique
Lrp
: Inductance propre rotorique
1.3. Panorama des methodes de modelisation 25
Lsf
: Inductance de fuite statorique
Lrf
: Inductance de fuite rotorique
M s : Mutuelle inductance inter-phases statoriques
M r : Mutuelle inductance inter-phases rotoriques
M sr : Mutuelle inductance stator-rotor
p : Le nombre de paire de poles
θ : Angle mecanique de la position du rotor
θe : Angle electrique = p θ
us =[us1 · · ·usph · · ·usNs
]T: Tensions statoriques
ur = [ur1 · · ·urk · · ·urNr ]T : Tensions rotoriques
is =[is1 · · · isph · · · isNs
]T: Courants statoriques
ir = [ir1 · · · irk · · · irNr ]T : Courants rotoriques
Les equations electriques de la machine asynchrone sont a l’origine :
[ϕ] =ϕsϕr
= [Ls] [M sr][M rs] [Lr]
·isir
= [L] · [I] (1.14)
et
[U ] =usur
=[Rs] 0
0 [Rr]
· [I] + d
dt
[[L] · [I]
](1.15)
ou :
[Rx] = [Rxij] avec i, j ∈ 1..Nx et x ∈ s, r (1.16)
[Lx] = [Lxij] avec i, j ∈ 1..Nx et x ∈ s, r (1.17)
avec
Rxij =
Rxi si i = j
0 si i 6= j
Lxij =
Lxp
i + Lxf
i si i = j
Mxi←j si i 6= j
Le comportement mecanique de la machine asynchrone depend de l’inertie J, du
couple electromagnetique Cem, du couple mecanique resistant Cr et de couple de
frottement fluide Cf = fvΩr ou fv est la constante de frottement fluide.
26 Chapitre 1. Chapitre introductif
L’equation mecanique est definie par :
JdΩr(t)dt
+ fvΩr(t) = Cem(t)− Cr(t) (1.18)
Le couple electromagnetique en fonction des trois courants statoriques et des
trois courants rotoriques s’exprime sous la forme :
Cem = 12 · [I]
T · d[L]dθ· [I] (1.19)
Le systeme complet d’equations differentielles regissant le fonctionnement de
cette machine s’ecrit :
[U ] = ([R] + Ωr∂[L]∂θ
)[I] + [L]d[I]dt
−Cr = −(12 [I]t∂[L]∂θ
)[I] + JdΩr
dt+ fvΩr
0 = −Ωr + dθ
dt
(1.20)
Soit le systeme equivalent :
U = AX + BX (1.21)
avec :
U =
[U ]−Cr
0
X =
[I]Ωr
θ
(1.22)
A =
[L] 0 00 J 00 0 1
(1.23)
B =
([R] + Ωr
∂[L]∂θ
) 0 0
−(12[I]t∂[L]∂θ
) fv 00 −1 0
(1.24)
1.3. Panorama des methodes de modelisation 27
les inductances propres et mutuelles des differents enroulements ont une place
preponderante dans la mesure ou elles contiennent la signature des differents phe-
nomenes pouvant apparaıtre au sein de la machine asynchrone. Une modelisation
precise de ces inductances menera a un apport d’informations supplementaires sur
les signaux de simulation.
Nous pouvons classer les techniques de calcul de ces inductances en deux cate-
gories :
Semi-Analytique (CEMC-SA) Le calcul des inductances et des mutuelles est
assure par un autre module de calcul independant. Ces inductances, even-
tuellement leurs derives, sont enregistres dans des fichiers, pour des valeurs
discretes de la position angulaire θ du rotor dans l’intervalle [0 ; 2π[ Schaeffer
(1999), Devanneaux (2002).
Analytique (CEMC-A) Les inductances et les mutuelles sont calculees analyti-
quement au cours de la simulation Lateb (2006).
Cette approche offre un bon compromis en terme de precision, prise en consi-
deration d’un certain nombre de defaut et en temps de calcul. Bien que ce dernier
devient plus important en utilisant la methode de CEMC-A.
Nous trouvons dans la litterature (Devanneaux (2002), Didier (2004), Casimir
et al. (2005)) plusieurs modeles, bases sur cette technique de modelisation, qui
prennent en consideration un certain nombre de defauts d’origine electromagnetique
tels que les defauts de court-circuit entre spires statoriques, les defauts de rupture
de barres rotoriques ainsi que les defauts d’excentricite statique et dynamique.
1.3.4.1 Modele de CEMC-SA
Comme mentionne auparavant cette methode est basee sur un calcul differe des
inductances et de leurs derives selon un pas d’echantillonnage spatiale bien deter-
mine. L’evolution angulaire des grandeurs magnetiques peut etre calculee par plu-
sieurs techniques et plusieurs outils de simulation, a titre indicatif, nous pouvons
citer les familles suivantes :
– les techniques de calcul par elements finis,
– l’integration de l’induction d’entrefer ; on utilise la theorie des fonctions de
distribution et de bobinage Devanneaux (2002), Devanneaux et al. (2003),
Houdouin et al. (2002), Schaeffer (1999).
– la definition des mutuelles par des fonctions trigonometriques.
28 Chapitre 1. Chapitre introductif
Cette methode permet une representation satisfaisante de la repartition topolo-
gique des differents bobinages de la machine et offre une grande souplesse de modeli-
sation. Quand au calcul des inductances de magnetisation, de toutes les inductances
mutuelles, ainsi que des derives respectifs a la position angulaire θ(t) courante du
rotor, sont generalement calcules par interpolation numerique.
Nous pouvons citer aussi d’autres techniques basees sur des fonctions Splines
comme decrit dans Houdouin (2004). En effet, apres un calcul prealable des induc-
tances sur une periode mecanique du rotor, les coefficients des fonctions Splines
sont determines et stockes dans un fichier permettant ainsi un calcul rapide des
inductances et de leurs derives a chaque pas d’integration du systeme d’equations
differentielles.
1.3.4.2 Modele de CEMC-A
Dans cette partie, nous presentons une version simplifiee du modele precedent
dans la mesure ou les inductances sont calculees analytiquement. L’idee la plus
intuitive, pour prendre en consideration la repartition des enroulements statoriques
et rotoriques, est de definir les mutuelles par des fonctions trigonometriques. A titre
indicatif, nous presentons la definition trigonometrique suivante de la matrice des
mutuelles :
[M sr] = [M srph←k] avec ph ∈ 1..N s et k ∈ 1..N r (1.25)
avec
M srph←k = M sr · cos
(θe + (ph− 1) · 2π
N s+ (k − 1) · 2π
(N r − 1))
(1.26)
Parmi les techniques qui se basent sur la methode des CEMC-A, on peut citer la
technique de generation des inductances et des mutuelles selon la repartition spatiale
de la force magnetomotrice f.m.m. dans l’entrefer.
1.4 Conclusion
Apres quelques rappels sur la constitution de la machine asynchrone, ainsi que
sur les defaillances pouvant affecter cette machine, nous nous sommes attardes sur
1.4. Conclusion 29
une synthese de differentes methodes de modelisation et de diagnostic de la machine
asynchrone triphasee en presence de defauts.
Il est egalement interessant de remarquer que les modes de defaillances precedem-
ment presentes impliquent toujours une modification de la topologie de la machine.
Selon la defaillance, cette modification topologique prend l’une des formes suivantes :
– un court-circuit entre les spires d’une phase,
– un court-circuit entre deux phases,
– un court-circuit entre une phase et la carcasse,
– une rupture des conducteurs statoriques,
– ou une rupture des conducteurs rotoriques.
La prise en consideration de ces changements de la topologie de la machine asyn-
chrone seront traites en details dans le chapitre 4.
Nous avons decide donc d’orienter notre travail vers la synthese d’un modele
dynamique des machines asynchrones en vue de la surveillence et du diagnostic. A
ce titre, on n’abordera donc ni la synthese d’un modele de comportement, ni le de-
veloppement de methodes dediees de surveillance et de diagnostic. La synthese d’un
modele physique des machines asynchrones doit permettre d’apprehender leur com-
portement en absence et en presence de defaillances. les objectifs sont les suivants :
– comprehension des phenomenes physiques mis en jeu et prediction de la de-
gradation des performances lors de l’occurrence de defaillances,
– extraction et analyse des signatures de defaillances,
– disponibilite d’une experimentation virtuelle pour la mise au point de methodes
de surveillance et de diagnostic.
Pour ce faire, le developpement d’un modele dynamique, flexible et prenant en
consideration la topologie de la machine a du etre envisage. Sa description fait l’objet
de chapitre suivant.
Sommaire
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Prise en consideration de la topologie de la machine . . . . 33
2.3 Modelisation du stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 Modelisation du rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5 Modele global de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . 73
2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Chapitre
2
Méthodologie de modélisationmulti-enroulements (3ME)
Ce chapitre traite du dilemme entre la rigueur et la simplicite de modelisation
des machines tournantes en generale, et des machines asynchrones en particulier. Ce
chapitre presente la pierre fondamentale de nos travaux, il relate la demarche modu-
laire, dynamique et autonome de generation des modeles de machines asynchrones
selon leurs parametres topologiques.
31
2.1. Introduction 33
2.1 Introduction
La modelisation et la simulation de la machine asynchrone a fait l’objet de nom-
breux travaux, que ce soit dans le but du dimensionnement, de la commande ou le
diagnostic. La diversite des objectifs a fait paraıtre plusieurs techniques de modeli-
sation et outils de simulation, dont chaque type de modelisation est plus ou moins
adapte a un domaine plus que les autres.
Mais ces outils sont souvent trop specifiques a une topologie ou une machine
bien determinee. Il serait cependant interessant de disposer d’un outil simple et
generique, pouvant servir comme un banc d’experimentation et de test des machines
asynchrones, que ce soit en mode sain ou en presence de defaut1.
Nous nous interessons, alors, a l’elaboration d’un modele qui tient compte de la
topologie, des dimensions ainsi que de la composition de la machine. L’idee est de
generer les mutuelles intrinseques au stator, intrinseques au rotor, et les mutuelles
stator/rotor, en se basant sur la distribution du champ magnetique dans l’entrefer
selon la repartition spatiale du bobinage de cette machine.
2.2 Prise en consideration de la topologie de la
machine
Selon les applications des machines asynchrones, industriellement, on rencontre
plusieurs types de bobinage (repartition spatiale) des enroulements au sein du circuit
magnetique du stator ou du rotor.
Notre but est de mettre en œvre une methodologie de modelisation multi-
enroulements et multi-polaires de la machine asynchrone. Une telle modelisation
necessite la prise en consideration de la repartition spatiale des enroulements ele-
mentaires de ce systeme (topologie de bobinage de la machine).
Pour des raisons pedagogiques, nous nous contenterons de presenter les deux
types de bobinage qui sont pris en consideration par la couche « topologie » du
MetaModele developpe dans le cadre de cette these. Ce dernier presente une
approche originale de modelisation des machines asynchrones. l’implementation de
ce MetaModele ne fournit pas un modele, mais un generateur capable de ge-
1La prise en consideration des defauts sera presentee dans le chapitre 4
34 Chapitre 2. 3ME
nerer d’une maniere dynamique et autonome un modele d’une machine selon ses
caracteristiques topologiques.
2.2.1 Force magneto-motrice (f.m.m) d’un enroulement
La force magnetomotrice dans la machine est calculee a partir de la distribu-
tion de la f.m.m dans l’entrefer, apportee par chaque enroulement elementaire de la
machine asynchrone.
2.2.1.1 Enroulement diametral
Examinons tout d’abord le cas d’un enroulement diametral, a n spires et parcouru
par un courant i, loge dans deux encoches diametralement opposees du stator. 2.2
Hypothese 2.1 On suppose que :
– le rotor et le stator sont a poles lisses,
– la reluctance du fer est negligeable devant celle de l’air,
– l’effet d’extremite est negligeable,
– le fer n’est pas sature,
– l’ouverture des encoches n’est pas prise en compte.
x
⊕R
ϕ
M
RrRs
⊙
⊗
enrx
n.i
n.i
C
Fig. 2.1 – Schema en coupe d’un enroulement diametral statorique (⊗ conducteurs alle et cxonducteurs retour)
Lorsque l’enroulement, presente par le schema en coupe de la figure 2.1, est
parcouru par un courant i, il cree un champ magnetique qui se developpe :
2.2. Prise en consideration de la topologie de la machine 35
– en majeure partie, dans le circuit magnetique commun traversant l’entrefer, ce
qui constitue le flux utile,
– l’autre partie, dans les encoches d’allee et de retour, ainsi que dans l’air, de
part et d’autre du fer (les tetes de bobine) ; ces trajets correspondent au flux
de fuite.
En negligeant l’effet d’extremite, le champ principal qui traverse l’entrefer pre-
sente la meme repartition spatiale dans n’importe quelle coupe du circuit magnetique
par rapport au plan orthogonal a l’axe de la machine.
Appliquons le theoreme d’ampere au contour ferme C :∮C
−→H−→d` =n.i
= Hfer.`fer + 2He.e(2.1)
En supposant que la reluctance du fer est negligeable devant la reluctance de l’air ,
on deduit la valeur du champ magnetique dans l’entrefer :
He = n i
2 e(2.2)
Soit E(ϕ) la force magnetomotrice, due a cet enroulement, dans l’entrefer.
x
⊕
⊙ n.i
C
A
BC
D
ϕ1
ϕ2
e
Fig. 2.2 – Theoreme d’ampere et f.m.m dans l’entrefer
36 Chapitre 2. 3ME
∮C
−→H−→d` = n i
=∫−→AB
−→H−→d`︸ ︷︷ ︸
EAB
+∫−−→BC
−→H−→d`︸ ︷︷ ︸
=0
+∫−−→CD
−→H−→d`︸ ︷︷ ︸
−EDC
+∫−−→DA
−→H−→d`︸ ︷︷ ︸
=0
= E(ϕ1)− E(ϕ2)
(2.3)
Comme |E(ϕ1)| = |E(ϕ2)|, la f.m.m d’un enroulement diametral est donc une fonc-
tion rectangulaire de valeur ± n i2 (voir figure 2.3) .
−π −π2
0 π2
π 3π2
ϕ
E
−n i2
n i2
Fig. 2.3 – f.m.m d’un enroulement diametral
2.2.1.2 Generalisation (N phases, p paires de poles et Ne enroulements/-
pole/phase)
Le cas precedent ne represente que le cas d’un enroulement elementaire d’une ma-
chine bipolaire (p = 1). On se propose, dans cette section, de generaliser l’expression
2.2 du champ magnetique dans l’entrefer pour une machine ayant :
– N phases,
– p paires de poles,
– Ne enroulements par paire de poles et par phase.
dont chaque enroulement, loge dans une encoche allee ⊗ et une encoche retour ,
est forme par n spires.
Soit αxyz et βxyz les coordonnees polaires des encoches allee et retour de l’enrou-
lement xyz . Avec :
– x est le numero de la phase a laquelle appartient l’enroulement en question,
– y est le numero de la bobine (paire de poles) appartenant a la phase x,
– z est le numero de l’enroulement de la bobine y (de la phase x).
2.2. Prise en consideration de la topologie de la machine 37
Nous adopterons cette notation tout au long de cette these. Cette indexation nous
sera tres utile, surtout dans l’implemention du generateur automatique2 des Objets
Matlab decrivant le comportement des enroulements elementaires du systeme.
x
⊕αxyz
βxyz
ϕint
ϕext
⊙⊗
enrxyz
n.i
n.iC
Fig. 2.4 – Schema en coupe d’un enroulement quelconque
Nous qualifions les valeurs appartenant a l’intervalle ϕint de grandeurs internes, et
les valeurs appartenant a l’intervalle ϕext de grandeurs externes. Plus specifiquement,
soit Eint la f.m.m a l’interieur de l’enroulement xyz et Eext la f.m.m a l’exterieur de
l’enroulement.
Notre but est alors de determiner une expression generale de cette f.m.m dans
l’entrefer.
En se basant sur les memes notations que la figure 2.2, en appliquant le theoreme
d’ampere au contour ferme C et selon l’expression (2.3) on a :∮C
−→H−→d` = n i
=∫−→AB
−→H−→d` +
∫−−→CD
−→H−→d`
= Eint − Eext
(2.4)
2IMSimKernel decrit dans l’annexe C
38 Chapitre 2. 3ME
Selon les memes hypotheses que la section precedente, la courbe E(ϕ) presentee
par la figure 2.5, de la force magnetomotrice correspondante, est de forme pratique-
ment rectangulaire.
ϕ
E
⊗αxyz ⊙βxyz
Eint
Eext
|−π2
|0
|π
|2π
S
S ′
w
Fig. 2.5 – f.m.m d’un enroulement quelconque
Comme le flux magnetique
φ = P E
et sachant que le champ magnetique
B = dφ
ds= dP
dsE
On definit alors la permeance surfacielle :
P = dP
ds(2.5)
Comme la permeance d’un circuit magnetique homogene de longueur l et de
section s est definie par :
P = µ s
l
Dans le cas particulier de l’entrefer d’une machine electrique, la permeance sur-
facielle s’ecrit :
P = µ0
e(2.6)
avec
µ : etant la permeabilite magnetique,
µ0 : etant la permeabilite du vide,
2.2. Prise en consideration de la topologie de la machine 39
e : l’epaisseur de l’entrefer
Le champ magnetique dans l’entrefer s’ecrit alors :
B(ϕ) = µ0
eE(ϕ) (2.7)
Etant donne φ =∫B(ϕ) ds, et en supposant que la machine est d’entrefer
constant on a :
φ = µ0
e
∫E(ϕ) ds (2.8)
Soit S et S ′ les surfaces definies par la figure 2.5. En supposant que le flux sortant
est egal au flux rentrant, on a l’egalite des surfaces S et S ′ et par consequent on
peut ecrire que
Eint ·w = −Eext · (2π −w) (2.9)
En se basant sur 2.4 et 2.9, on a le systeme suivant :
Eint = −
(2π −w
w
)Eext
n i = Eint − Eext(2.10)
Ce qui donne la valeur de la f.m.m de l’enroulement xyz en fonction de sa largeur
wxyz, son nombre de spires n et du courant i qui y circule dedans :
Eintxyz =
(2π −wxyz
2π
)· nxyz ixyz
Eextxyz = −
(wxyz
2π
)· nxyz ixyz
(2.11)
2.2.2 Calcul des inductances
2.2.2.1 Inductance propre
Soit un enroulement statorique ou rotorique (dans le cas de rotor bobine) d’indice
xyz (figure 2.4). Un apercu de la f.m.m produite par cet enroulement est donne par
la figure 2.5.
40 Chapitre 2. 3ME
Selon l’equation (2.8) le flux total propre (n.φ) produit par cet enroulement
Φpxyz = nxyz · L ·Rxyz ·
µ0
e
∫ βxyz
αxyzExyz(ϕ) dϕ (2.12)
avec
L : la longueur du circuit magnetique de la machine,
Rxyz : le rayon de l’alesage du stator (pour l’enroulement xyz).
Soit fxyz(ϕ) une fonction de repartition du bobinage de l’enroulement xyz, definie
tel que :
Exyz(ϕ) = ixyz · fxyz(ϕ) (2.13)
et Fxyz(ϕ) une fonction de repartition de l’inductance par unite de surface et par
ampere de l’enroulement xyz, definie par :
Fxyz(ϕ) = µ0
e· fxyz(ϕ) (2.14)
Alors la relation 2.12 devient :
Φpxyz = nxyz ixyz · L ·Rxyz ·
∫ βxyz
αxyzFxyz(ϕ) dϕ (2.15)
Comme Φp = Lp .i , on deduit alors l’inductance propre d’un enroulement ele-
mentaire en fonction de la fonction de repartition de l’inductance Fxyz(ϕ) :
Lpxyz = L ·Rxyz · nxyz∫ βxyz
αxyzFxyz(ϕ) dϕ (2.16)
Cette expression est valable quelque soit la repartition de la f.m.m : trapezoıdale3,
rectangulaire . . .
Nous introduisons, aussi, les fonctions de repartition, de l’inductance par unite
de surface, globales Fx et Fxy, deduites des fonctions de repartition elementaires
3dans lesquelles on prend en consideration l’ouverture des encoches
2.2. Prise en consideration de la topologie de la machine 41
selon les equations (2.17) et (2.18).
Fxy(ϕ) =Ne∑z=1Fxyz(ϕ) (2.17)
Fx(ϕ) =p∑y=1
Ne∑z=1Fxyz(ϕ) (2.18)
avec
Fxy(ϕ) : la fonction de repartition de l’inductance par unite de surface de la bobine
(paire de poles) y de la phase x, selon sa topologie de bobinage.
Fx(ϕ) : la fonction de repartition de l’inductance par unite de surface de la phase
x, selon sa topologie de bobinage.
Dans le cas particulier de la repartition rectangulaire, representee par la figure
2.5, cette fonction est definie par :
Fxyz(ϕ) = µ0
e· nxyz
2π −wxyz
2π si ϕ ∈ ϕint,
Fxyz(ϕ) = −µ0
e· nxyz
wxyz
2π si ϕ ∈ ϕext.
(2.19)
on deduit alors l’inductance propre d’un enroulement a repartition rectangulaire :
Lpxyz = L ·Rxyz ·µ0 n
2xyz
e·wxyz ·
(1− wxyz
2π
)(2.20)
2.2.2.2 Inductance mutuelle
Soit un deuxieme enroulement induit4, d’indice ijk, d’ouverture wijk, et loge dans
une encoche situee a un rayon Rijk de l’axe de la machine. Nous gardons les memes
notations que la figure 2.4.
Selon la figure 2.6 et l’equation (2.15), le flux traversant l’enroulement ijk et qui
est produit par l’enroulement xyz :
Φijk←xyz = nijk · ixyz · L ·Rijk ·∫ βijk
αijk
Fxyz(ϕ) dϕ (2.21)
Etant donne que Φijk←xyz = Mijk←xyz ixyz , on deduit alors l’inductance mutuelle
4au stator ou au rotor
42 Chapitre 2. 3ME
|0
|2π
−1
Fxyz(ϕ)
⊕
⊖
∫ βijkαijk
Fxyz(ϕ) dϕ
⊗αxyz ⊙βxyz
|0
|2π
−1
Fijk(ϕ)
⊕
⊖
∫ βxyzαxyz
Fijk(ϕ) dϕ
⊗αijk ⊙βijk
Fig. 2.6 – Calcul des mutuelles de deux enroulements quelconque
correspondante :
Mijk←xyz = L ·Rijk · nijk ·∫ βijk
αijk
Fxyz(ϕ) dϕ (2.22)
En se basant sur le meme raisonnement, le flux traversant l’enroulement xyz et
qui est produit par l’enroulement ijk. Ainsi, la mutuelle inductance correspondante
s’ecrit comme suit :
Φxyz←ijk = nxyz · iijk · L ·Rxyz ·∫ βxyz
αxyzFijk(ϕ) dϕ (2.23)
Mxyz←ijk = L ·Rxyz · nxyz∫ βxyz
αxyzFijk(ϕ) dϕ (2.24)
Ces relations sont valables pour le calcul analytique des inductances et des mu-
tuelles intrinseques au stator, intrinseques au rotor5, ainsi que pour le calcul des
mutuelles stator/rotor.
Afin de prendre en consideration toutes les combinaisons de l’ordre algebrique
5independemment de type du rotor : bobine ou a cage d’ecureuil
2.2. Prise en consideration de la topologie de la machine 43
des coordonnees polaires αxyz, βxyz, αijk et βijk ; une implementation conditionnelle
et recurrente du calcul est necessaire pour la numerisation de ces integrales.
Pour obtenir une courbe E(ϕ) de l’induction dans l’entrefer plus proche d’une
sinusoıde que des courbes rectangulaires ( 2.3 et 2.5), l’ensemble des spires d’une
phase sont reparties sur plusieurs encoches selon une topologie bien determinee.
A titre d’exemple, la figure 2.7 presente un schema en coupe du bobinage d’une
machine a repartition imbriquee, dans le cas d’un moteur triphase a deux paires de
poles et a 3 enroulements par pole et par phase, comme decrit precedemment dans
la section 2.2.3.
x
⊕⊙ 111
⊗
111
111
⊙ 112
⊗112
⊙ 113
⊗113
⊙12
1
⊗
121
⊙12
2
⊗122
⊙
123
⊗123
⊙211
⊗ 211
211⊙212
⊗ 212
⊙
213
⊗ 213
⊙
221
⊗221
⊙
222
⊗222
⊙
223
⊗223
⊙311
⊗ 311
311
⊙312
⊗31
2
⊙313
⊗31
3
⊙ 321
⊗
321
⊙ 322
⊗
322
⊙ 323
⊗
323
Fig. 2.7 – Schema en coupe d’un bobinage imbrique d’une machine a p = 2 et Ne = 3
Cet exemple illustre le principe d’indexation adopte dans la page 36. Une repre-
sentation developpee de ce bobinage est represente par la figure 2.9 de la section
suivante. Nous n’avons presente dans cette figure que les axes des premiers enroule-
ments de chaque phase.
44 Chapitre 2. 3ME
2.2.2.3 Inductance de fuites
Nous nous interessons a present a la determination de l’inductance de fuites
d’un enroulement elementaire d’indice xyz, cet enrouement peut etre loge dans les
encoches statoriques ou dans les encoches rotoriques.
Le calcul des inductances de fuites n’est pas toujours facile. Il suppose connu le
trajet des lignes d’induction, ce qui n’est pas toujours le cas. Il est indispensable
d’effectuer des hypotheses simplificatrices qui nous permettent d’exprimer ces in-
ductances de fuites par des expressions analytiques empiriques Foggia, Devanneaux
(2002), Lateb (2006) dont la precision est suffisante pour la plupart des applications
pratiques.
Nous nous limitions, dans ce travail, a l’exposition des expressions qui permettent
de calculer ces fuites en fonction de quelques formes geometriques des encoches et
des tetes de bobine, dont la somme de ces deux types de fuite nous permet de deduire
l’inductance de fuites totale de l’enroulement xyz :
Lfxyz = εxyz · (Lfxyz + Lfxyz) (2.25)
avec
Lfxyz : l’inductance de fuites des encoches allee et retour,
Lfxyz : l’inductance de fuites des tetes de bobine,
εxyz : un coefficient d’ajustement des fuites.
ou
Lfxyz = 2 · µ0 · n2xyz · L · λxyz (2.26)
et
Lfxyz = 2 · µ0 · n2xyz ·wxyz · λxyz (2.27)
Ces deux expressions introduisent le facteur de permeance d’encoche λxyz et le
facteur de permeance de tete d’enroulement λxyz, dont la determination depend de
la forme geometrique des encoches et des dimensions de l’enroulement. Ces facteurs
de permeance sont calcules selon les tableaux 2.1 et 2.2.
Nous avons introduit aussi le coefficient multiplicateur εxyz afin d’avoir une marge
2.2. Prise en consideration de la topologie de la machine 45
de manoeuvre sur les fuites du MetaModele, et afin de pouvoir ajuster le point de
fonctionnement du modele a l’experimentation. Cet coefficient nous permet aussi de
rattraper l’erreur due a ces expressions analytiques, surtout lors de la modelisation
de machine de petite taille.
Tab. 2.1 – Permeance d’encoche en fonction de la forme geometrique de l’enroulement
Forme geometrique d’encoche λxyz
⊗
b1
h1
h2
h1
3b1+ h2
b1
⊗
b1
b2
h1
h2
h3
h4
h1
3b1+ h2
b3+ 2h3
b2 + b3+ h4
b2
⊗
b1
b3
b2
h1
h2
h3
h4
2h1
3(b1 + b3)+ h2
b3+ 2h3
b2 + b3+ h4
b2
⊗
b1
b3
b2
h1
h2
2h1
3(b1 + b3)+ 0.623 + h2
b2
⊗
b1 h1
0.623 + h1
b1
46 Chapitre 2. 3ME
Tab. 2.2 – Permeance de tete d’enroulement en fonction de type du bobinage
Type de bobinage λxyz
concentrique a poles
consequents0.67 − 0.43 · wxyz
wréel
concentrique a poles
non consequents0.47 − 0.3 · wxyz
wréel
2.2.3 Bobinage imbrique
Un bobinage imbrique a la specificite d’etre constitue d’enroulements equilarges
de largeur wxyz = πp. La fonction de repartition de l’inductance surfacielle de ce type
de bobinage, pour une repartition rectangulaire de la f.m.m dans l’entrefer, s’ecrit
alors : Fxyz(ϕ) = µ0
e· nxyz ·
2 p− 12 p si ϕ ∈ ϕint,
Fxyz(ϕ) = µ0
e· nxyz ·
12 p si ϕ ∈ ϕext.
(2.28)
La figure 2.8 presente le schema topologique du bobinage developpe du stator
d’une machine triphasee a p = 1 et a 3 enroulements par pole et par phase.
Quelque soit l’enroulement de cette machine il est d’ouverture wxyz = π, on
deduit alors :
Lpxyz = 12 · π · L ·Rxyz ·
µ0 n2xyz
e(2.29)
Prenant le cas de la machine representee par le schema en coupe de la figure
2.7, une representation developpee de la topologie de bobinage de cette machine est
representee par la figure 2.9. Pour ne pas encombrer le schema, nous n’avons indexe
que les encoches de la phase b.
Pour les machines a p = 2, l’ouverture d’un enroulement elementaire est de π2 .
L’inductance propre de ce dernier est alors :
Lpxyz = 38 · π · L ·Rxyz ·
µ0 n2xyz
e(2.30)
2.2. Prise en consideration de la topologie de la machine 47
θ|
−π2
|0
|
π2
|π
|
3π2
|2π
111
111
111
112
112
112
113
113
113
U
X
211
211
212
212
213
213
V
Y31
1
311
311
312
312
312
313
313
313
W
Z
Fig. 2.8 – Schema developpe d’un bobinage imbrique a p = 1 (Ne = 3)
θ|0
|
π2
|π
|
3π2
|2π
U
X
211
211
212
212
213
213
221
221
222
222
223
223
V
Y
W
Z
Fig. 2.9 – Schema developpe du bobinage imbrique d’une machine a p = 2 (Ne = 3)
Pour donner un apercu des fonctions de repartition de l’inductance surfacielle
de bobinage de la machine, nous nous basons sur la couche de prise en considera-
tion de la topologie de MetaModele, developpe dans le cadre de cette these. En
introduisant les parametres N = 3, p = 2 et Ne = 4 a ce generateur de modeles
48 Chapitre 2. 3ME
et en choisissant un bobinage imbrique, nous recuperons les fonctions de repartition
elementaires et globales 2.10 et 2.11 :
La figure 2.10, presente les fonctions de repartition de l’inductance surfacielle
d’enroulements F1yz, ainsi que les fonctions de repartition de l’inductance surfacielle
de chaque paire de poles F1y pour y ∈ 1, 2 et z ∈ 1..4.
0 50 100 150 200 250 300 350 400−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
φ [°]
F(φ
)
F11
(φ) F12
(φ)
F12z
(φ)F11z
(φ)
Fig. 2.10 – Fonctions de repartition de l’inductance surfacielle elementaires et de chaquepaire de poles de la phase a
La figure 2.11 nous donne un apercu de l’inductance par unite de surface globale
de bobinage de la phase a (F1), ainsi que de chaque paire de poles appartenant a
cette phase (F11 et F12).
0 50 100 150 200 250 300 350 400−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
φ [°]
F(φ
)
F11
(φ) F12
(φ)
F1(φ)
Fig. 2.11 – Fonctions de repartition de l’inductance surfacielle globales de la phase a
2.2. Prise en consideration de la topologie de la machine 49
2.2.4 Bobinage concentrique
Ce genre de repartition se prete tres facilement a l’insertion mecanisee des en-
roulements dans les encoches correspondantes. Pour des raisons de clarte des figures,
on se limite a la representation de trois enroulements par paire de poles.
Les enroulements elementaires, constituant ce genre de bobinage, sont d’ouver-
ture variable en fonction de l’indice z de l’enroulement en question. Une expression
generale de cette ouverture est donnee par l’expression (2.31).
wxyz(z) =((N − 1) ·Ne + 2 z − 1
)·(
π
N · p ·Ne
)(2.31)
L’expression generale (2.20) de l’inductance propre d’un enroulement a reparti-
tion rectangulaire de la f.m.m s’ecrit alors :
Lpxyz(z) = π · L ·Rxyz ·µ0 n
2xyz
e· γ(z) ·
(1− γ(z)
2
)(2.32)
avec
γ(z) = (N − 1) ·Ne + 2 z − 1N · p ·Ne
Pour pouvoir representer la totalite des enroulements d’une machine a bobinage
concentrique, nous exposons le cas particulier d’une machine triphasee a p = 1 et
a Ne = 3. La figure 2.12 presente le schema topologique developpe de bobinage du
stator de cette machine.
Pour une telle machine l’inductance propre d’un enroulement d’indice xyz peut
etre deduite a partir de l’expression (2.32) sachant que :
γ(z) = (5 + 2 z)9 (2.33)
Prenons le cas d’une machine plus concrete a trois paires de poles, le schema
developpe du bobinage de la phase a est represente par la figure 2.13.
En introduisant les parametres N = 3, p = 3 et Ne = 4 au MetaModele et en
choisissant un bobinage concentrique, nous recuperons les fonctions de repartition
de l’inductance surfacielle elementaires et globales.
50 Chapitre 2. 3ME
θ|
−π2
|0
|
π2
|π
|
3π2
|2π
111
111
111
112
112
112
113
113
113
U
X
211
211
212
212
213
213
V
Y31
1
311
311
312
312
312
313
313
313
W
Z
Fig. 2.12 – Schema developpe du bobinage concentrique d’une machine a p = 1 (Ne = 3)
θ|0
|
π2
|π
|
3π2
111
111
112
112
113
113
114
114
121
121
122
122
123
123
124
124
131
131
132
132
133
133
134
134
U
X
Fig. 2.13 – Schema developpe du bobinage concentrique de la phase a d’une machine ap = 3 (Ne = 4)
Un apercu sur la repartition topologique de bobinage des enroulements elemen-
taires de la phase a est donne par la figure 2.14.
La figure 2.15 nous donne un apercu des fonctions de repartition de l’inductance
2.2. Prise en consideration de la topologie de la machine 51
0 50 100 150 200 250 300 350 400−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
φ [°]
F(φ
)
F12(1..4)
F13(1..4)
F11(1..4)
Fig. 2.14 – Fonctions de repartition de l’inductance surfacielle elementaires de la phase a
par unite de surface globales de la phase a (F1) , ainsi que les fonctions de repartition
de l’inductance surfacielle de chaque paire de poles (F11, F12 et F13) de cette phase.
0 50 100 150 200 250 300 350 400−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
φ [°]
F(φ
)
F12
(φ) F13
(φ) F11
(φ)
F1(φ)
Fig. 2.15 – Fonctions de repartition de l’inductance surfacielle globales et elementaires dela phase a
Nous tenons a signaler que les fonctions de repartition de l’inductance de phases
Fx sont les memes quelque soit le type de bobinage choisi, bobinage concentrique
ou bobinage reparti. Par exemple, pour un stator a p = 2, la fonction de la repar-
tition de l’inductance de la phase a (F1) est la meme que ce soit pour un bobinage
concentrique (Fig : 3.3 du chapitre 3) ou pour un bobinage reparti (Fig : 2.11).
52 Chapitre 2. 3ME
2.3 Modelisation du stator
Dans ce qui suit, nous allons nous interesser a la modelisation multi-paires-de-
poles et multi-enroulements du stator de la machine asynchrone, par la methode
des circuits electriques magnetiquement couples (CEMC). Le raisonnement adopte
dans cette section est valable quelque soit la maniere avec laquelle les mutuelles
sont calculees6 par le simulateur. En fait, les expressions matricielles, ici develop-
pees, peuvent servir pour une implementation purement analytique ou pour une
implementation differee.
Nous adopterons, dans ce qui suit, une demarche modulaire et incrementale de
construction du modele, en definissant les sous-modeles dans leur ordre d’appar-
tenance : enroulement, paire de poles, phase puis stator. C’est cette demarche, de
construction modulaire qui va nous permettre, dans un premier temps, de definir
une methodologie de modelisation (MetaModele)7 de la machine asynchrone.
Puis, nous faisons l’implementation de ce MetaModele en se basant sur la
programmation Objets, dont la propriete d’encapsulation reproduit parfaitement le
principe de la construction modulaire du modele, et le principe de l’agregation Mul-
ler et Gaertner (2000), materialise la construction incrementale du modele, comme
decrit dans l’annexe C.
Ainsi, la modelisation du stator suivra les etapes suivantes :
1. definir le modele d’un enroulement elementaire,
2. definir le modele d’une bobine (une paire de poles) en integrant les modeles,
deja definis, des enroulements la constituant, et en specifiant le couplage ma-
gnetique entre ses enroulements.
3. definir le modele d’une phase en integrant les modeles des bobines la consti-
tuant et en definissant le couplage magnetique entre ses bobines.
4. definir le modele du stator en integrant les modeles des phases le constituant,
en specifiant le couplage magnetique entre ses phases ainsi que leurs mode du
couplage.
Ce modele sera combine par la suite avec celui du rotor pour former le modele
global de la machine asynchrone, en integrant le couplage entre les enroulements du
stator et ceux du rotor.
6en « Offline » (CEMC-SA) ou « Online » (CEMC-A)7en fonction des parametres topologiques introduits par l’utilisateur
2.3. Modelisation du stator 53
2.3.1 Modele d’un enroulement elementaire (sain)
Prenons un enroulement elementaire d’indice xyz du stator, en se basant sur la
methode de CEMC, cet enroulement de nxyz spires sera represente par la resistance
Rxyz et l’inductance Lxyz comme decrit par la figure 2.16(a). Afin de presenter des
figures plus lisibles, dorenavant, nous schematiserons cet enroulement par le schema
compact de la figure 2.16(b).
Rxyz Lxyz
Ixyz
Uxyz
(a) Schema electrique equivalent.
Ixyz(R, L)xyz
Uxyz
(b) Schema compact.
Fig. 2.16 – Modele electrique d’un enroulement elementaire
L’equation differentielle regissant le comportement de ce dipole electrique s’ecrit :
Uxyz = RxyzIxyz + d(LxyzIxyz)dt
(2.34)
avec
Rxyz : est la resistance de l’enroulement xyz,
Lxyz : est la somme de l’inductance propre Lpxyz et de l’inductance de fuite Lfxyz de
l’enroulement xyz,
2.3.2 Modelisation d’une bobine
2.3.2.1 Modele electrique
Prenons, maintenant, l’ensemble de Ne enroulements elementaires formant la
bobine d’indice xy du stator, on definit alors deux modes de representation : une
schematisation compacte, celle de la figure 2.17(b), et une schematisation eclatee
decrite par la figure 2.17(a).
2.3.2.2 Mise en equation
L’ecriture matricielle des equations differentielles regissant le comportement des
Ne enroulements constituant cette bobine donne :
54 Chapitre 2. 3ME
Ixy1(R, L)xy1
Uxy1
Ixyzi
(R, L)xyzi
Uxyzi
Ixyzj
(R, L)xyzj
Uxyzj
IxyNe
(R, L)xyNe
UxyNe
Ixy
Uxy
(a) Schema electrique equivalent.
Ixy(R, L)xy
Uxy
(b) Schematisation compacte.
Fig. 2.17 – Modele electrique d’une bobine
[U ]enrxy = [R]enrxy [I]enrxy +d([L]enrxy [I]enrxy )
dt(2.35)
avec
[U ]enrxy =
Uxy1
:Uxyzi
:Uxyzj
:UxyNe
, [I]enrxy =
Ixy1
:Ixyzi
:Ixyzj
:IxyNe
(2.36)
2.3. Modelisation du stator 55
ainsi que
[R]enrxy =
Rxy1 · · 0 · · 0 · · 0: · . : : :0 · · Rxyzi · · 0 · · 0: : · . : :0 · · 0 · · Rxyzj · · 0: : : · . :0 · · 0 · · 0 · · RxyNe
(2.37)
et
[L]enrxy =
Lxy1 · · Mxy1←xyzi · · Mxy1←xyzj · · Mxy1←xyNe
: · . : : :Mxyzi←xy1 · · Lxyzi · · Mxyzi←xyzj · · Mxyzi←xyNe
: : · . : :Mxyzj←xy1 · · Mxyzj←xyzi · · Lxyzj · · Mxyzj←xyNe
: : : · . :MxyNe←xy1 · · MxyNe←xyzi · · MxyNe←xyzj · · LxyNe
(2.38)
sachant que, nous nous basons sur l’expression (2.22) pour calculer la valeur de la
mutuelle Mxyzi←xyzj , ∀zi, zj ∈ 1..Ne et zi 6= zj.
2.3.2.3 Prise en consideration de la topologie electrique
La topologie electrique, en general, et d’une paire de poles en particulier, est
une description de l’interconnexion entre les composants du systeme etudie. Dans
le cas des machines electriques, les enroulements et/ou les paires de poles peuvent
etre mis en serie ou en parallele. Les deux modes de connexion peuvent etre pris en
consideration selon le meme principe, developpe dans cette section.
Nous ne detaillons dans ce qui suit que le cas le plus rencontre dans le milieu
industriel ; generalement les Ne enroulements constituant une paire de poles sont mis
en serie (voir figure 2.17(a)), ce qui implique que le courant Ixy = Ixyz ∀z ∈ 1..Ne.Nous tenons a signaler que le courant Ixy represente la valeur scalaire de courant
circulant dans cette paire de poles.
56 Chapitre 2. 3ME
L’ecriture matricielle de cette egalite donne :
[I]enrxy =
Ixy1
:IxyNe
=
1:1
Ne×1
· Ixy = [D]enr←bobxy · Ixy (2.39)
et
Uxy =Ne∑z=1
Uxyz = [D]enr←bobtxy · [U ]enrxy (2.40)
Nous appelons ([D]enr←bobxy ) la matrice de connexion de paire de poles xy. Pour le
moment cette matrice est triviale, mais elle sera plus complexe lorsque la bobine en
question renferme un ou plusieurs enroulements en defaut(s), elle represente aussi
la brique de base de la construction de la matrice de connexion globale du stator et
par consequent celle de la machine asynchrone.
Cette matrice permet de faire le passage entre les grandeurs de paire de poles
et les grandeurs d’enroulements, comme decrit par les equations (2.39 et 2.40). Elle
permet aussi de definir la resistance equivalente Rxy et l’inductance equivalente Lxy
de cette bobine.
Remplacons la valeur de [I]enrxy par [D]enr←bobxy · Ixy dans l’expression (2.35) :
[U ]enrxy = [R]enrxy [I]enrxy +d([L]enrxy [I]enrxy )
dt
= [R]enrxy [D]enr←bobxy · Ixy +d([L]enrxy [D]enr←bobxy · Ixy)
dt
(2.41)
Multiplions les deux membres de l’expression (2.41) par [D]enr←bobtxy , on obtient :
[D]enr←bobtxy [U ]enrxy = [D]enr←bobtxy [R]enrxy [D]enr←bobxy︸ ︷︷ ︸Rxy
·Ixy
+d(
Lxy︷ ︸︸ ︷[D]enr←bobtxy [L]enrxy [D]enr←bobxy ·Ixy)
dt(2.42)
La relation (2.35) devient :
Uxy = RxyIxy + d(LxyIxy)dt
(2.43)
2.3. Modelisation du stator 57
2.3.3 Modelisation d’une phase
2.3.3.1 Modele electrique
Chaque phase est constituee par p bobines dont chaque bobine est constituee par
Ne enroulements en serie comme decrit dans la section precedente. Cette represen-
tation nous donne la possibilite d’etudier des phenomenes asymetriques au sein du
stator, et de pouvoir simuler des defauts sur l’une des paires de poles seulement.
Nous schematisons l’ensemble des p bobines, representees par la figure 2.18(a),
par le schema compact de la figure 2.18(b).
Ix1(R, L)x1
Ux1
Ixyi
(R, L)xyi
Uxyi
Ixyj
(R, L)xyj
Uxyj
Ixp(R, L)xp
Uxp
Ix
Ux
(a) Schema electrique equivalent.
Ix
(R, L)x
Ux
(b) Schematisation compacte.
Fig. 2.18 – Modele electrique d’une phase a p paires de poles
58 Chapitre 2. 3ME
2.3.3.2 Mise en equation
L’ecriture matricielle des equations differentielles regissant le comportement des
(p ·Ne) enroulements constituant la phase x donne :
[U ]enrx = [R]enrx [I]enrx + d([L]enrx [I]enrx )dt
(2.44)
avec
[U ]enrx =
[U ]enrx1
:[U ]enrxyi
:[U ]enrxyj
:[U ]enrxp
, [I]enrx =
[I]enrx1
:[I]enrxyi
:[I]enrxyj
:[I]enrxp
(2.45)
ainsi que
[R]enrx =
[R]enrx1 · · 0 · · 0 · · 0: · . : : :0 · · [R]enrxyi
· · 0 · · 0: : · . : :0 · · 0 · · [R]enrxyj
· · 0: : : · . :0 · · 0 · · 0 · · [R]enrxp
(2.46)
et
[L]enrx =
[L]enrx1 · · [M ]enrx1←xyi · · [M ]enrx1←xyj · · [M ]enrx1←xp
: · . : : :[M ]enrxyi←x1 · · [L]enrxyi
· · [M ]enrxyi←xyj · · [M ]enrxyi←xp
: : · . : :[M ]enrxyj←x1 · · [M ]enrxyj←xyi · · [L]enrxyj
· · [M ]enrxyj←xp
: : : · . :[M ]enrxp←x1 · · [M ]enrxp←xyi · · [M ]enrxp←xyj · · [L]enrxp
(2.47)
2.3. Modelisation du stator 59
sachant que, les elements diagonaux sont definis dans la section 2.3.2.2, la matrice
des mutuelles entre la bobine yj et la bobine yi de la phase x est definie par :
[M ]enrxyi←xyj =
Mxyi1←xyj1 · · Mxyi1←xyjzi · · Mxyi1←xyjzj · · Mxyi1←xyjNe
: · . : : :Mxyizi←xyj1 · · Mxyizi←xyjzi · · Mxyizi←xyjzj · · Mxyizi←xyjNe
: : · . : :Mxyizj←xyj1 · · Mxyizj←xyjzi · · Mxyizj←xyjzj · · Mxyizj←xyjNe
: : : · . :MxyiNe←xyj1 · · MxyiNe←xyjzi · · MxyiNe←xyjzj · · MxyiNe←xyjNe
(2.48)
et que, la mutuelle Mxyizi←xyjzj8, entre l’enroulement zj de la bobine yj et l’enrou-
lement zi de la bobine yi de la phase x, est calculee en se basant sur l’expression
generique (2.22).
2.3.3.3 Prise en consideration de la topologie electrique
Afin de rendre le MetaModele plus generique et plus autonome, la prise en
consideration de la topologie electrique d’une phase sera geree par plusieurs niveaux
de matrices de connexion, dont chacune nous permet de s’arreter a un niveau d’abs-
traction bien determine. A ce stade de la modelisation, on definit les matrices de
passage permettant de deduire :
– les grandeurs de bobines a partir des grandeurs de phase [D]bob←phx ,
– les grandeurs d’enroulements a partir des grandeurs de bobines [D]enr←bobx ,
– directement, les grandeurs d’enroulements de celles de phase [D]enr←phx .
Cette separation nous permet, par exemple, de choisir de simuler une machine
dont les enroulements par paire de poles sont en serie et les bobines sont en parallele9.
2.3.3.3.1 [D]bob←phx
Detaillons le cas presente par la figure 2.18(a), la mise en serie des paires de poles
8∀zi, zj ∈ 1..Ne, ∀yi, yj ∈ 1..p et yi 6= yj9exemple : machine basse tension.
60 Chapitre 2. 3ME
se traduit par :
Ix = Ixy ∀y ∈ 1..p. (2.49)
L’ecriture matricielle de cette egalite donne :
[I]bobx =
Ix1
:Ixp
=
1:1
(p×1)
· Ix = [D]bob←phx · Ix (2.50)
et
Ux =p∑y=1
Uxy =[1 · · 1
](1×p)
·
Ux1
:Uxp
=[D]bob←phtx · [U ]bobx
(2.51)
Nous appelons [D]bob←phx la matrice de passage entre les grandeurs electriques de
phase et les grandeurs electriques de bobines de la phase x. Comme decrit par l’
equation (2.59), elle permet aussi de definir la matrice des resistances de bobines
[R]bobx et la matrice des inductances de bobines [L]bobx de cette phase.
Cette matrice de passage sera la brique de base pour la construction de la matrice
de passage entre les grandeurs de phases et les grandeurs de bobines du stator. Elle
nous permettra, dans un premier temps, d’etudier les mutuelles entre le stator et le
rotor de chaque paire de poles a part (Fig : 2.21). Dans une seconde etape, elle nous
permettra de presenter l’effet d’un defaut asymetrique sur une bobine en particulier.
2.3.3.3.2 [D]enr←bobx
Cette matrice est une matrice diagonale par bloc, dont chaque bloc est constitue
par la matrice de passage d’une paire de poles de cette phase :
[D]enr←bobx =
[D]enr←bobx1 · · [0]
: · . :[0] · · [D]enr←bobxp
(2.52)
Cette matrice permet de faire le passage entre les grandeurs d’enroulements et
2.3. Modelisation du stator 61
les grandeurs de bobines de la facon suivante :
[I]enrx =
[I]x1
:[I]xp
=
Ix11
:Ix1Ne
:
Ixp1
:IxpNe
=
[D]enr←bobx1 · Ix1
:[D]enr←bobxp · Ixp
= [D]enr←bobx · [I]bobx (2.53)
2.3.3.3.3 [D]enr←phx
Cette matrice fait le passage entre les grandeurs electriques d’enroulements aux
grandeurs d’une phase, en prenant en consideration, a la fois, la connexion des
enroulements entre eux et celle des paires de poles. La combinaison des expressions
(2.50) et (2.53) nous permet de definir cette matrice.
[I]enrx = [D]enr←bobx · [I]bobx= [D]enr←bobx · [D]bob←phx︸ ︷︷ ︸
[D]enr←phx
·Ix (2.54)
Ainsi, la relation des tensions s’ecrit :
Ux =p∑y=1
Ne∑z=1
Uxyz = [D]enr←phtx · [U ]enrx (2.55)
Cette matrice permet, aussi, de definir la resistance equivalente Rx et l’induc-
tance equivalente Lx de cette phase, ainsi que les matrices des resistances et des
inductances de bobines ;
Remplacons [I]enrx par ([D]enr←phx · Ix) dans l’expression (2.44) :
[U ]enrx = [R]enrx [I]enrx + d([L]enrx [I]enrx )dt
= [R]enrx [D]enr←phx · Ix + d([L]enrx [D]enr←phx · Ix)dt
(2.56)
62 Chapitre 2. 3ME
et multiplions les deux membres de l’expression (2.56) par [D]enr←phtx :
[D]enr←phtx [U ]enrx = [D]enr←phtx [R]enrx [D]enr←phx︸ ︷︷ ︸Rx
·Ix
+ d(Lx︷ ︸︸ ︷
[D]enr←phtx [L]enrx [D]enr←phx ·Ix)dt
(2.57)
la relation (2.44) devient alors :
Ux = RxIx + d(LxIx)dt
(2.58)
En appliquant la meme demarche, mais en s’arretant au niveau des bobines, nous
pouvons definir les matrices des inductances et des resistances de bobines :
[U ]bobx = [D]enr←bobtx · [R]enrx · [D]enr←bobx︸ ︷︷ ︸[R]bobx
·[I]bobx
+ d(
[L]bobx︷ ︸︸ ︷[D]enr←bobtx · [L]enrx · [D]enr←bobx ·[I]bobx )
dt(2.59)
Ces matrices de connexion nous seront d’une grande utilite lors de la definition
d’un modele generique des defauts, et nous permettront d’etudier les phenomenes
asymetriques qui y suivent. Nous abordons, maintenant, la modelisation du stator
(N phases) en se basant sur les modules deja definis.
2.3.4 Modele global du stator
2.3.4.1 Modele electrique
Nous supposons que notre stator est constitue par N phases, reparties selon une
topologie de bobinage bien determinee (sections 2.2.4 et 2.2.3). En gardant le meme
principe de notation, nous representons les phases formant le stator par le schema
compact de la figure 2.19.
2.3. Modelisation du stator 63
I1(R, L)1
U1
Ixi
(R, L)xi
Uxi
Ixj
(R, L)xj
Uxj
IN(R, L)N
UN
...
...
...
Fig. 2.19 – Modele electrique d’un stator a N phases
2.3.4.2 Mise en equation
Nous gardons toujours le meme principe de mise en equation. En effet, le fait de
se baser sur la meme methodologie de formalisation, pour tous les sous-modeles, va
dans le sens de nos objectifs finaux, a savoir la conception et l’implementation d’un
modele dynamique et autonome de la machine asynchrone.
Les (N.p.Ne) equations differentielles regissant le comportement du stator
peuvent etre ecrites :
[U ]enrs = [R]enrs [I]enrs + d([L]enrs [I]enrs )dt
(2.60)
avec
[U ]enrs =
[U ]enr1
:[U ]enrxi
:[U ]enrxj
:[U ]enrN
, [I]enrs =
[I]enr1
:[I]enrxi
:[I]enrxj
:[I]enrN
(2.61)
64 Chapitre 2. 3ME
ainsi que
[R]enrs =
[R]enr1 · · 0 · · 0 · · 0: · . : : :0 · · [R]enrxi
· · 0 · · 0: : · . : :0 · · 0 · · [R]enrxj
· · 0: : : · . :0 · · 0 · · 0 · · [R]enrN
(2.62)
sachant que [R]enrx ∀x ∈ 1..p est definie par l’expression 2.46, et
[L]enrs =
[L]enr1 · · [M ]enr1←xi · · [M ]enr1←xj · · [M ]enr1←N
: · . : : :[M ]enrxi←1 · · [L]enrxi
· · [M ]enrxi←xj · · [M ]enrxi←N
: : · . : :[M ]enrxj←1 · · [M ]enrxj←xi · · [L]enrxj
· · [M ]enrxj←N
: : : · . :[M ]enrN←1 · · [M ]enrN←xi · · [M ]enrN←xj · · [L]enrN
(2.63)
avec, les matrices diagonales sont definies par l’expression 2.47, la matrice des mu-
tuelles entre la phase xj et la phase xi est construite en se basant sur les matrices
des mutuelles definissant le couplage magnetique entre les paires de poles de chaque
phase :
[M ]enrxi←xj =
[M ]enrxi1←xj1 · · [M ]enrxi1←xjyi · · [M ]enrxi1←xjyj · · [M ]enrxi1←xjp
: · . : : :[M ]enrxiyi←xj1 · · [M ]enrxiyi←xjyi · · [M ]enrxiyi←xjyj · · [M ]enrxiyi←xjp
: : · . : :[M ]enrxiyj←xj1 · · [M ]enrxiyj←xjyi · · [M ]enrxiyj←xjyj · · [M ]enrxiyj←xjp
: : : · . :[M ]enrxip←xj1 · · [M ]enrxip←xjyi · · [M ]enrxip←xjyj · · [M ]enrxip←xjp
(2.64)
ainsi que, la matrice (2.64) est elle meme constituee par les matrices des mutuelles,
exprimant le couplage magnetique entre les bobines yj et yi des phases respectives
2.3. Modelisation du stator 65
xj et xi :
[M ]enrxiyi←xjyj =
Mxiyi1←xjyj1 · · Mxiyi1←xjyjzi · · Mxiyi1←xjyjzj · · Mxiyi1←xjyjNe
: · . : : :Mxiyizi←xjyj1 · · Mxiyizi←xjyjzi · · Mxiyizi←xjyjzj · · Mxiyizi←xjyjNe
: : · . : :Mxiyizj←xjyj1 · · Mxiyizj←xjyjzi · · Mxiyizj←xjyjzj · · Mxiyizj←xjyjNe
: : : · . :MxiyiNe←xjyj1 · · MxiyiNe←xjyjzi · · MxiyiNe←xjyjzj · · MxiyiNe←xjyjNe
(2.65)
et qu’on revient toujours a la mutuelle elementaire Mxiyizi←xjyjzj10, entre l’enroule-
ment zj de la bobine yj de la phase xj et l’enroulement zi de la bobine yi de la phase
xi , calculee selon l’expression generique (2.22).
2.3.4.3 Prise en consideration de la topologie electrique
Nous poursuivons notre conception modulaire en suivant le meme principe de
modelisation. La prise en consideration de la topologie electrique du stator sera faite
en deux grandes etapes. Dans un premier temps, nous ne prendrons en consideration
que la topologie interne du stator, nous introduirons, dans une seconde etape, une
nouvelle matrice de connexion des boucles afin de proposer un modele global d’un
stator couple permettant sa resolution.
La premiere etape est, en elle meme, organisee en trois niveaux d’abstraction :
le niveau des enroulements, le niveau des paires de poles et le niveau des phases,
detailles dans la section 2.3.3.3. Nous nous proposons alors de definir les matrices
de passage entre ces niveaux ; la procedure sera la meme pour toutes ces matrices
de passage, elle consiste essentiellement a « l’auto-construction » de ces matrices en
se basant sur les matrices homologues des phases formant le stator.
2.3.4.3.1 [D]enr←bobs
Cette matrice permet de deduire les grandeurs d’enroulements de grandeurs de
bobines, c’est une matrice diagonale par bloc, dont chaque bloc est la matrice de
10∀zi, zj ∈ 1..Ne, ∀yi, yj ∈ 1..p, ∀xi, xj ∈ 1..N pour xi 6= xj
66 Chapitre 2. 3ME
passage d’une phase :
[D]enr←bobs =
[D]enr←bob1 · · [0]
: · . :[0] · · [D]enr←bobN
(2.66)
Le premier role de cette matrice est de garantir le passage entre les courants et
les tensions de bobines et ceux d’enroulements :
[I]enrs =
[D]enr←bob1 · [I]bob1
:[D]enr←bobN · [I]bobN
= [D]enr←bobs ·
[I]bob1
:[I]bobN
︸ ︷︷ ︸
[I]bobs
(2.67)
et
[U ]bobs =
[U ]bob1
:[U ]bobN
= [D]enr←bobts · [U ]enrs (2.68)
Le deuxieme role de cette matrice est d’assurer le passage entre les matrices de
resistances et d’inductances d’enroulements et celles de bobines, comme detaille par
l’expression (2.69).
Appliquons cette matrice de passage a l’expression (2.60) :
[U ]bobs = [D]enr←bobts [R]enrs [D]enr←bobs︸ ︷︷ ︸[R]bobs
·[I]bobs
+ d(
[L]bobs︷ ︸︸ ︷[D]enr←bobts [L]enrs [D]enr←bobs ·[I]bobs )
dt(2.69)
Les equations differentielles regissant le comportement des bobines sont :
[U ]bobs = [R]bobs · [I]bobs + d([L]bobs · [I]bobs )dt
(2.70)
2.3.4.3.2 [D]bob←phs
Cette matrice permet de deduire les grandeurs de bobines a partir de grandeurs
2.3. Modelisation du stator 67
de phases, et elle se deduit par :
[D]bob←phs =
[D]bob←ph1 · · [0]
: · . :[0] · · [D]bob←phN
(2.71)
Le premier role de cette matrice est de garantir le passage entre les courants et
les tensions de phases et ceux de bobines :
[I]bobs =
[I]bob1
:[I]bobN
=
[D]bob←ph1 · I1
:[D]bob←phN · IN
= [D]bob←phs ·
I1
:IN
︸ ︷︷ ︸[I]phs
(2.72)
et
[U ]phs =
U1
:UN
= [D]bob←phts ·
[U ]bob1
:[U ]bobN
︸ ︷︷ ︸
[U ]bobs
(2.73)
Le deuxieme role de cette matrice est d’assurer le passage entre les matrices
de bobines et les matrices de phases. En effet, en faisant intervenir cette matrice
dans l’expression (2.70), nous pouvons monter d’un niveau et definir les matrices
des inductances et des resistances de phase :
[U ]phs = [D]bob←phts · [R]bobs · [D]bob←phs︸ ︷︷ ︸[R]phs
·[I]phs
+ d(
[L]phs︷ ︸︸ ︷[D]bob←phts · [L]bobs · [D]bob←phs ·[I]phs )
dt(2.74)
2.3.4.3.3 [D]enr←phs
Cette matrice permet de faire le passage direct des grandeurs d’enroulements aux
grandeurs de phases. Une fois les matrices statoriques sont exprimees en fonction
des grandeurs de phases, nous pouvons transformer le systeme de (N.p.Ne) equa-
68 Chapitre 2. 3ME
tions differentielles de l’expression 2.60 en un systeme equivalent a N equations11
differentielles independantes.
La matrice [D]enr←phs est definie en combinant les expressions (2.72) et (2.67) :
[I]enrs = [D]enr←bobs · [I]bobs= [D]enr←bobs · [D]bob←phs︸ ︷︷ ︸
[D]enr←phs
·[I]phs (2.75)
La relation des tensions s’ecrit alors :
[U ]phs = [D]bob←phts · [U ]bobs= [D]bob←phts · [D]enr←bobts︸ ︷︷ ︸
[D]enr←pht
s
·[U ]enrs(2.76)
Le systeme d’equations differentielles de l’expression (2.60) s’ecrit alors :
[U ]phs = [D]enr←phts · [R]enrs · [D]enr←phs︸ ︷︷ ︸[R]phs
·[I]phs
+ d(
[L]phs︷ ︸︸ ︷[D]enr←phts · [L]enrs · [D]enr←phs ·[I]phs )
dt(2.77)
A ce stade de modelisation, nous pouvons dire que nous disposons d’un modele
generique multi-enroulements et multi-paires de poles d’un stator a N phases, p
bobines et Ne enroulements par bobine. La prochaine etape sera la definition d’un
modele multi-enroulements du rotor, la modelisation du couplage magnetique entre
ces deux elements ainsi que le mode du couplage de la machine.
2.4 Modelisation du rotor
Le cas d’un rotor bobine est traite de la meme maniere qu’un stator ; en choi-
sissant une position θ0 du rotor, et en exprimant tous les parametres topologiques
des enroulements rotoriques en fonction de la position mecanique de ce dernier.
D’ailleurs, lorsque l’utilisateur choisit de faire la simulation d’une machine a rotor
11dans le cas d’une machine saine
2.4. Modelisation du rotor 69
bobine le MetaModele instancie deux Objets de meme type, dont l’un est fixe (le
stator) et l’autre (le rotor) dispose d’un degre de liberte selon l’axe de la machine,
quantifie par la position angulaire θ.
Nous ne traiterons, donc, dans ce qui suit que le cas d’un rotor a cage.
2.4.1 Modele electrique
Nous nous basons sur la modelisation multi-enroulements, desormais classique,
de la cage rotorique comme expose dans la section 1.3.4. Cette technique de mo-
delisation se base sur la methode des boucles12 qui s’applique pour tous reseaux
electriques connexes13 et fermes14 comportant (n) noeuds et (b) branches. Cette me-
thode propose d’utiliser (b − n + 1) courants auxiliaires, dans le but de substituer
les courants de branches par des courants independants appeles courants de boucles,
ce qui se traduit par la definition d’un nouveau systeme de (b − n + 1) equations
differentielles independantes Devanneaux (2002).
Nous rappelons que le modele electrique de la cage est base sur la decomposition
du rotor en plusieurs boucles elementaires, chaque boucle est formee par deux barres
consecutives et les deux portions d’anneaux adjacentes. Les barres et les portions
d’anneaux sont modelisees par une inductance en serie avec une resistance Schaeffer
(1999), Devanneaux (2002).
La figure 2.20 represente la decomposition du rotor en plusieurs mailles ainsi que
la notation adoptee.
Nous commencons par definir la matrice resistance [R]r, constituee par les re-
sistances elementaires (Rbi , Rexai
, Rinai
). La resistance Rbi represente la resistance des
barres. Les resistances Rexai
, Rinai
representent respectivement la resistance des por-
tions de l’anneau de court-circuit externe et la resistance des portions de l’anneau
de court-circuit interne.
12appelee aussi methode des departements13dont on peut toujours joindre toute paire de noeuds par une chaıne de branches14pas de noeud terminal
70 Chapitre 2. 3ME
Rb1
Ib1
Lb1
Rina1
I ina1
Lina1
Rexa1
Iexa1
Lexa1
J1
Rbk
Ibk
Lbk
Rinak
I inak
Linak
Rexak
Iexak
Lexak
Jk
Rbk+1
Ibk+1
Lbk+1
Rinak+1
I inak+1
Linak+1
Rexak+1
Iexak+1
Lexak+1
Jk+1
RbNr
IbNr
LbNr
RinaNr
I inaNr
LinaNr
RexaNr
IexaNr
LexaNr
JNr
JNr+1
Fig. 2.20 – Modele electrique d’un rotor a cage
[R]r =
Rb1 · · 0 0 · · 0 0 · · 0: · . : : · . : : · . :0 · · RbNr 0 · · 0 0 · · 00 · · 0 Rex
a1 · · 0 0 · · 0: · . : : · . : : · . :0 · · 0 0 · · Rex
aNr0 · · 0
0 · · 0 0 · · 0 Rina1 · · 0
: · . : : · . : : · . :0 · · 0 0 · · 0 0 · · Rin
aNr
(2.78)
En ce qui concerne la matrice inductance, Nous avons choisi de l’exprimer, di-
rectement, en fonction des boucles rotoriques et non pas en fonctions des 3Nr in-
ductances de branches, comme on a fait pour la matrice des resistances. En fait, ce
choix nous evite de passer par les inductances propres et de fuites des barres et des
portions d’anneaux du rotor. Bien que plusieurs travaux de recherche se sont bases
sur cette technique, elle reste pourtant source de discussion et d’interrogation du
fait qu’elle necessite des connaissances precises des dimensions, des formes et des
materiaux de la cage rotorique.
Nous nous basons alors sur les boucles rotoriques introduites dans la figure 2.20
pour definir la matrice [L]r en fonction des inductances des boucles rotoriques Lk,
2.4. Modelisation du rotor 71
des inductances mutuelles entre ces boucles Mk←j et des inductances de fuites des
portions de l’anneau de court-circuit interne Lf inak . Sachant que les indices k, j repre-
sentent le numero de la boucle ou de la portion d’anneau en question.
[L]r =
· . · · · · · · · · · · · ·· · Lk · · Mk←j · · Mk←Nr −Lf inak: : · . : : : :· · Mj←k · · Lj · · Mj←Nr −Lf inaj: : : : · . : :· · MNr←k · · MNr←j · · LNr −Lf inaNr· · −Lf inak · · −Lf inaj · · −Lf inaNr
∑Nrk=1 Lf
inak
(2.79)
Avec,
Lk = Lpk + Lfk (2.80)
sachant que :
Lfk : represente l’inductance de fuite de la boucle k,
Lpk : represente l’inductance propre de cette boucle.
Cette inductance est calculee en se basant sur la formule (2.20) en assimilant
chaque boucle rotorique a une spire fictive d’ouverture 2πNr
.
Lpk = Nr − 1N2r
· 2π · Lr ·Rr ·µ0
e(2.81)
tel que :
Lr : la longueur de circuit magnetique du rotor,
Rr : le rayon de circuit magnetique du rotor,
Nr : le nombre de barres du rotor,
La matrice (2.79) est constituee, aussi, par les mutuelles Mk←j (∀k, j ∈ 1..Nret k 6= j) intrinseques aux boucles rotoriques. Cette mutuelle est calculee en se
basant sur l’expression (2.22). Comme les boucles rotoriques ne se chevauchent pas,
72 Chapitre 2. 3ME
cette mutuelle ne depend que de F extj (ϕ) = −µ0e. 1Nr
et elle est de valeur :
Mk←j = − 1N2r
· 2π · Lr ·Rr ·µ0
e(2.82)
2.4.2 Mise en equation
Avant d’ecrire les (Nr+1) equations differentielles regissant le comportement des
boucles rotoriques, il va falloir definir la matrice des resistances [R]r de ces boucles.
On definit, alors, par l’equation (2.83) la matrice de connexion [D]r permettant de
faire le passage entre les grandeurs de branches et les grandeurs de boucles du rotor.
Ib1
Ib2
:IbNrI ina1
I ina2
:I inaNrIexa1
Iexa2
:IexaNr
=
1 0 · · −1 0−1 1 · · 0 0: · . · . : :0 · · −1 1 01 0 · · 0 00 1 · · 0 0: · . · . : :0 · · 0 1 0−1 0 · · 0 10 −1 · · 0 1: · . · . : :0 · · 0 −1 1
·
J1
J2
:JNrJNr+1
⇓ ⇓ ⇓[I]r = [D]r · [J ]r
(2.83)
En se basant sur cette matrice de connexion et selon le meme principe developpe
dans la modelisation du stator, la matrice [R]r se deduit de la matrice (2.78) par :
[R]r = [D]tr · [R]r · [D]r (2.84)
Le systeme d’equations differentielles regissant le comportement de ce rotor s’ecrit
alors :
[V ]r = [0]((Nr+1)×1
) = [R]r · [J ]r + d([L]r · [J ]r)dt
(2.85)
2.5. Modele global de la machine asynchrone 73
2.5 Modele global de la machine asynchrone
Les mutuelles entre le stator et le rotor de la machine sont evidemment essentielles
dans cette methode de modelisation, car en charge, les grandeurs electriques du
stator sont fortement dependantes des courants rotoriques. La modelisation multi-
enroulements et multi-paires de poles, ici adoptee, nous permet d’avoir un apport
d’informations supplementaires sur les phenomenes asymetriques qui proviennent
des defauts dans cette machine, et qui sont discernables via les courants statoriques
ou par les grandeurs mecaniques, le couple electromagnetique ou la vitesse.
2.5.1 Inductances mutuelles stator-rotor
Le modele global de la machine necessite la definition des mutuelles stator-rotor,
qui representent le couplage magnetique entre la partie fixe et la partie mobile de
la machine. Etant donne l’importance de cette matrice, nous restons fidele a notre
demarche de prise en consideration de la topologie de la machine, et nous nous
basons sur le principe de calcul des mutuelles de la section 2.2.2.2.
Cette methode necessite de definir les fonctions de repartition de l’inductance
par unite de surface des boucles fictives du rotor F rk(ϕ, θ), definie par :
F rk(ϕ, θ) = µ0
e· 1−Nr
Nr
si ϕ ∈ ϕintk (θ),
F rk(ϕ, θ) = −µ0
e· 1Nr
si ϕ ∈ ϕextk (θ).(2.86)
Ainsi, nous introduisons l’inductance mutuelle elementaire, representant le cou-
plage magnetique entre un enroulement elementaire d’indice xyz et une boucle roto-
rique d’indice k. Le calcul de ces mutuelles se fait selon les equations :
M(θ)xyz←k = L ·Rxyz · nxyz
∫ βxyz
αxyzFk(ϕ, θ) dϕ (2.87)
M(θ)k←xyz = L ·Rk ·
∫ βk(θ)
αk(θ)Fxyz(ϕ) dϕ (2.88)
Sachant que :
M(θ)xyz←k represente l’effet de la boucle rotorique k sur l’enroulement xyz,
M(θ)k←xyz represente l’effet de l’enroulement xyz sur la boucle rotorique k.
74 Chapitre 2. 3ME
lorsque le rotor est situe a la positon angulaire θ par rapport a un repere lie au
stator.
Ces inductances mutuelles vont nous permettre de construire les matrices des
mutuelles globales [M ]enrsr (θ) et [M ]enrrs (θ). Commencons par la matrice des mutuelles
entre une bobine d’indice xy et le rotor :
[M ]enrxy←r(θ) =
Mxy1←1 · · Mxy1←ki · · Mxy1←kj · · Mxy1←Nr 0: · . : : : :
Mxyzi←1 · · Mxyzi←ki · · Mxyzi←kj · · Mxyzi←Nr 0: : · . : : :
Mxyzj←1 · · Mxyzj←ki · · Mxyzj←kj · · Mxyzj←Nr 0: : : · . : :
MxyNe←1 · · MxyNe←ki · · MxyNe←kj · · MxyNe←Nr 0
(θ)
(Ne×(Nr+1)
)
(2.89)
Selon le meme principe de construction incrementale, cette matrice nous servira a
son tour de brique de base pour la generation de la matrice des mutuelles [M ]enrx←r(θ)entre la phase x et le rotor. La matrice globale des mutuelles stator-rotor [M ]enrsr (θ)se deduit de cette derniere selon l’equation (2.90).
[M ]enrx←r(θ) =
[M ]enrx1←r(θ):
[M ]enrxyi←r(θ):
[M ]enrxyj←r(θ):
[M ]enrxp←r(θ)
(pNe×(Nr+1)
)
⇒ [M ]enrsr (θ) =
[M ]enr1←r(θ):
[M ]enrxi←r(θ):
[M ]enrxj←r(θ):
[M ]enrN←r(θ)
(N.p.Ne×(Nr+1)
)
(2.90)
Un travail similaire nous permet de definir la matrice des mutuelles [M ]enrrs (θ).Cette matrice renferme toutes les mutuelles elementaires decrivant le couplage ma-
gnetique entre les differents enroulements du stator et les boucles rotoriques. Notre
but est de definir la matrice des mutuelles [M]rs(θ) decrivant le couplage entre les
boucles rotoriques et les boucles statoriques globales de resolution.
2.5. Modele global de la machine asynchrone 75
Soit,
φk←xyz(θ) = Mk←xyz(θ) · Ixyz (2.91)
le flux elementaire genere par un enroulement statorique d’indice xyz et traversant
la boucle rotorique d’indice k.
On definit aussi le vecteur des flux generes par une bobine (xy) et traversant les
boucles rotoriques :
[φ]r←xy(θ) =
φ1←xy(θ)
:φNr←xy(θ)
0
=
Ne∑z=1
φ1←xyz(θ)
:Ne∑z=1
φNr←xyz(θ)
0
=
[M ]enr1←xy(θ) · [I]enrxy
:[M ]enrNr←xy(θ) · [I]enrxy
0
= [M ]enrr←xy(θ) · [I]enrxy
(2.92)
L’ecriture matricielle de cette relation pour tous les enroulements statoriques est
donnee par l’equation (2.93).
[φ]rs(θ) =
N∑x=1
φ1←x(θ)
:N∑x=1
φNr←x(θ)
0
=
N∑x=1
p∑y=1
Ne∑z=1
φ1←xyz(θ)
:N∑x=1
p∑y=1
Ne∑z=1
φNr←xyz(θ)
0
=
[M ]enr1←s(θ) · [I]enrs
:[M ]enrNr←s(θ) · [I]enrs
0
= [M ]enrrs (θ) · [I]enrs
(2.93)
On definit, une nouvelle matrice de mutuelles entre les bobines et les boucles ro-
toriques. Cette matrice se deduit facilement de la matrice de mutuelles elementaires
en se basant sur la matrice de passage ([D]enr←bobs ).
76 Chapitre 2. 3ME
Remplacons [I]enrs par [D]enr←bobs .[I]bobs dans l’expression (2.93) :
[φ]rs(θ) = [M ]enrrs (θ) · [D]enr←bobs︸ ︷︷ ︸[M ]bobrs((Nr+1)×N.p)
(θ)
·[I]bobs (2.94)
les (Nr + 1) lignes de cette matrice representent les boucles rotoriques et les
(N.p) colonnes representent les bobines statoriques ; sachant que l’element d’indice
(k, (x−1)p+y) represente la mutuelle entre la bobine d’indice y de la phase x et la kieme
boucle rotorique, lorsque le rotor est a la position angulaire θ.
mbob(k, (x−1)p+y) = Mk←xy (2.95)
Exemple 2.1 A titre illustratif, nous presentons un apercu des mutuelles stator/-
rotor, de phases et de bobines, generees par ce MetaModele, pour une machine
asynchrone triphasee a 2 paires de poles et a 4 enroulements par bobine au stator
et a 28 barres au rotor. Une modelisation detaillee de cette machine fera l’objet du
chapitre 3.
0 1 2 3 4 5 6−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
−4
θ (rad)
Msr
(H
)
Msr11← 1
Msr12← 1
Msrph2 ← 1
Msrph1 ← 1
Fig. 2.21 – Quelques inductances mutuelles entre le stator et la boucle rotorique N°1
La figure 2.21 nous donne un apercu sur les mutuelles (Msr1yi←1(θ)) mises en
jeu entre la premiere boucle rotorique et les deux paires de poles de la phase N°1,
ainsi que la mutuelle resultante (Msrph1←1(θ)) et la mutuelle globale (Msrph2←1(θ))entre la phase 2 et la boucle rotorique N°1.
Ces courbes illustrent bien la possibilite d’etudier des grandeurs de paires de poles
ou de phase en se basant sur les matrices de passage appropriees.
2.5. Modele global de la machine asynchrone 77
0 1 2 3 4 5 6−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5x 10
−4
θ (rad)
Msr
(H
)Msr
ph1 ← 2
Msrph1 ← 3
Msrph1 ← 1
Fig. 2.22 – Inductances mutuelles entre la phase N°1 et trois boucles rotoriques
La figure 2.22 nous donne un appercu sur les mutuelles entre une phase statorique
et trois boucles successives rotoriques.
2.5.2 Couplage et alimentation
Le choix du mode de couplage N-gone (N)15 ou etoile (F) a une grande influence
sur la mise en equation definitive des relations electriques du stator. Pour aboutir
a un systeme d’equations differentielles tenant compte de ce couplage, nous nous
basons sur la methode des boucles Schaeffer (1999), Devanneaux (2002), introduite
lors de la modelisation du rotor.
Nous introduisons, alors, la matrice de connexion de couplage [D]coup, permettant
de faire le passage entre les grandeurs de phases et les grandeurs de boucles, dans
un premier temps :
[I]phs = [D]coup · [J ]s[V ]s = [D]tcoup · [U ]phs
(2.96)
et de definir la matrice de passage entre les grandeurs elementaires et les grandeurs
de boucles statoriques [D]s, dans une deuxieme etape :
[I]enrs = [D]enr←phs · [I]phs= [D]enr←phs · [D]coup︸ ︷︷ ︸
[D]s
·[J ]s (2.97)
15nous gardons cette notation pour dire qu’il s’agit de la generalisation de couplage triangle
78 Chapitre 2. 3ME
En multipliant les deux termes de l’equation 2.77 par [D]tcoup et en l’exprimant
en fonction du vecteur [J ]s nous introduisons deux nouvelles matrices ; la matrice
des resistances et celle des inductances des boucles statoriques :
[V ]s = [D]tcoup · [R]phs · [D]coup︸ ︷︷ ︸[R]s
·[J ]s +d(
[L]s︷ ︸︸ ︷[D]tcoup · [L]phs · [D]coup ·[J ]s)
dt(2.98)
Sachant que
[R]s = [D]tcoup · [R]phs · [D]coup= [D]tcoup · [D]enr←phts︸ ︷︷ ︸
[D]ts
·[R]enrs · [D]enr←phs · [D]coup︸ ︷︷ ︸[D]s
(2.99)
[L]s = [D]tcoup · [L]phs · [D]coup= [D]tcoup · [D]enr←phts︸ ︷︷ ︸
[D]ts
·[L]enrs · [D]enr←phs · [D]coup︸ ︷︷ ︸[D]s
(2.100)
2.5.2.1 Le cas de couplage en etoile
La mise en etoile des N phases formant le stator, comme decrit dans la figure
2.23, definit un systeme a 2N branches et a (N + 1) noeuds. En se basant sur la
methode des departements, nous pouvons exprimer les courants de branches Ix en
fonction de (N − 1) courants de boucles independants Jx.
Nous choisissons les boucles de telle sorte que le courant de la boucle d’indice x
soit de meme direction que le courant circulant dans la phase ayant le meme indice.
Une illustration de ce choix est presente par la figure 2.23.
La Nieme boucle n’est presentee que pour un but de schematisation, les N cou-
rants de phases s’expriment en fonction des (N − 1) courants de boucles par (on
choisit de retirer JN) :
Ix = Jx − Jx+1 ∀x ∈ 1..(N − 2),
IN−1 = JN−1,
IN = −J1
(2.101)
2.5. Modele global de la machine asynchrone 79
I1
(R, L)1
U1
I2
(R, L)2
U2
IN−1
(R, L)N−1
UN−1
IN
(R, L)N
UN
...
V2
VN
V1
J1
J2
JN
Fig. 2.23 – Le principe de choix des mailles pour un stator en etoile
la relation entre tensions de boucles et tensions de phases est :V1 = U1 − UN ,Vx = Ux − Ux−1 ∀x ∈ 2..(N − 1),
(2.102)
L’ecriture matricielle des expressions (2.101) et (2.102) nous permet de definir la
matrice de connexion de couplage [D]coupF :
V1
V2
:VN−1
=
1 0 · · 0 −1−1 1 0 · · 0: · . · . · . :0 0 −1 1 0
.
U1
U2
:UN−1
UN
[V ]s = [D]tcoupF
. [U ]phs
(2.103)
ainsi,
[I]phs = [D]coupF . [J ]s (2.104)
80 Chapitre 2. 3ME
2.5.2.2 Le cas de couplage en triangle
En ce qui concerne le couplage en triangle, il suffit de choisir les mailles de telle
sorte que les courants de mailles soient egaux aux courants de branches (N courants
de phases et N boucles). La matrice de connexion de ce type de couplage n’est autre
que la matrice identite.
I1
(R, L)1
U1
I2
(R, L)2
U2
IN−1
(R, L)N−1
UN−1
IN
(R, L)N
UN
...
J1
V2
VN
V1
J2
JN
Fig. 2.24 – Les N mailles adoptees pour un stator en « triangle »
[D]coupN =
1 · · 0: · . :0 · · 1
N×N
(2.105)
Nous tenons a preciser que nous n’avons pas integre les sources de tensions dans
nos schemas de couplage et que nous nous sommes arretes au niveau des tensions
de boucles appliquees. Ce choix est fait deliberement afin de doter le MetaMo-
dele d’une autre plage de liberte. En fait, en faisant cette separation entre la
modelisation du stator et celle de l’alimentation, le modele ici developpe reste va-
lable quelque soit le type d’alimentation applique.
2.5. Modele global de la machine asynchrone 81
Il ne reste donc qu’a exprimer ces tensions de boucles en fonction des sources de
tensions selon le couplage de l’alimentation utilise.
2.5.2.3 Type d’alimentation
Notre but, maintenant, est de definir les tensions de boucles [V ]s en fonction
des sources de tensions [E] de l’alimentation utilisee. Deux possibilites sont envisa-
geables ; les sources de tensions sont couplees en etoile, comme decrit par la figure
2.25(a), ou couplees en « triangle » comme decrit par la figure 2.25(b).
e1
e2
eN−1
eN
... V1
V2
VN
(a) Alimentation couplee en etoile.
e1
e2
eN−1
eN
...
V2
VN
V1
(b) Alimentation couplee en « tri-angle »
Fig. 2.25 – Choix du mode de couplage de l’alimentation
Le couplage triangle ne necessite aucune transformation ; chaque boucle est
connectee a la source de tension correspondante. Ainsi, la matrice de connexion
n’est autre que la matrice identite :
[V ]s =
1 · · 0: · . :0 · · 1
N×N︸ ︷︷ ︸
[D]talimN
·
e1
:eN
= [E] (2.106)
82 Chapitre 2. 3ME
Lorsque l’alimentation est couplee en etoile, le vecteur [V ]s peut etre deduit des
sources de tensions par la relation :
[V ]s =
1 0 · · 0 −1−1 1 0 · · 0: · . · . · . :0 0 −1 1 00 0 0 −1 1
(N×N)
·
e1
e2
:eN−1
eN
= [D]talimF
· [E] (2.107)
ce qui definit la matrice de passage DalimF. La derniere ligne de cette matrice
est gardee ou supprimee selon le mode de couplage du stator ; elle n’est gardee que
dans le cas ou le stator est couple en triangle.
2.5.3 Mise en equation et resolution
Afin de deduire la matrice des mutuelles entre les boucles statoriques et les
boucles rotoriques nous multiplions l’expression (2.97) par la matrice des mutuelles
elementaires stator-rotor :
[φ]rs(θ) = [M ]enrrs (θ) · [D]s︸ ︷︷ ︸[M]rs(θ)
·[J ]s (2.108)
Revenons, alors, a la modelisation modulaire de notre systeme ; en se basant sur
les matrices statoriques et rotoriques exprimees dans le repere des boucles, nous
introduisons les matrices decrivant le modele global de la machine asynchrone dans
ce referentiel :
[R] =[R]s
[0][
0]
[R]r
(2.109a)
[L](θ) = [L]s
[[D]ts · [M ]enrsr (θ)
][[M ]enrrs (θ) · [D]s
][L]r
=
[L]s [M]sr(θ)[M]rs(θ) [L]r
(2.109b)
Ainsi, la combinaison de deux systemes d’equations (2.98, 2.85) definit le systeme
d’equations differentielles independantes regissant le comportement electrique de
2.5. Modele global de la machine asynchrone 83
toute la machine :
[V ] =[V ]s[V ]r
= [R] ·[J ]s[J ]r
︸ ︷︷ ︸
[J ]
+d([L](θ) · [J ])dt
(2.110)
Comme les equations electriques dependent de θ, via les mutuelles stator-rotor,
il est donc indispensable de coupler ces equations a l’equation mecanique regissant
la position angulaire du rotor. Le regroupement de ces equations differentielles est
represente par l’equation (2.111), cette expression presente le systeme d’etat global
de la machine asynchrone.
[V ] = ([R] + Ωr∂[L](θ)∂θ
) [J ] + [L](θ) d[J ]dt
−Cr = −12[J ]t∂[L](θ)
∂θ[J ] + J
dΩr
dt+ fv Ωr
0 = −Ωr + dθ
dt
(2.111)
L’ecriture matricielle de ce systeme donne :
U = AX + BX (2.112)
avec :
U =
[V ]−Cr
0
X =
[J ]Ωr
θ
(2.113)
A =
[L](θ) 0 0
0 J 00 0 1
(2.114)
B =
([R] + Ωr
∂[L](θ)∂θ
) 0 0
−(12 [J ]t∂[L](θ)
∂θ) fv 0
0 −1 0
(2.115)
84 Chapitre 2. 3ME
Nous rappelons que :
[J ] : est le vecteur des courants de boucles statoriques et rotoriques,
[V ] : est le vecteur des tensions appliquees aux boucles statoriques et aux boucles
rotoriques (=0),
J : est l’inertie ramenee au rotor,
fv : est le coefficient de frottement visqueux,
Cr : est le couple resistant applique sur l’arbre du moteur.
Une fois nous disposons d’un modele global de la machine asynchrone, il va
falloir choisir une technique de resolution de systeme d’etat (2.112). Nous avons
implemente et teste plusieurs algorithmes de resolution d’equations differentielles,
RK4, la methode d’exponentielle de matrice et la methode d’Adams, detailles dans
l’annexe A. Nous exposons brievement les avantages et les limitations de chaque
technique :
– la methode de RK4 a le merite d’etre la plus stable ; cet algorithme converge
meme en choisissant un pas de calcul « trop large ». En choisissant de le faire
fonctionner dans de telles conditions, cet algorithme converge avec des resultats
non precis.
– la methode de l’exponentielle de matrice est d’une precision tres satisfaisante
mais elle est moins stable que la technique precedente, et elle necessite plus de
ressources informatiques que les deux autres,
– la methode d’Adams est d’une precision semblable a celle de la methode expo-
nentielle de matrice et elle a l’avantage d’etre plus rapide que les deux autres,
mais elle est la moins stable numeriquement16.
Nous avons choisi de faire la resolution de notre systeme par la methode d’Adams
et nous voyons que le fait qu’elle necessite un pas de calcul plus strict est un avantage
qui nous preserve de converger a des resultats non precis comme ce qui est le cas
avec RK4.
Il est important de signaler que ces problemes de precision et de stabilite n’ap-
paraissent que dans le cas des systemes renfermant des sous-systemes ayant des
constantes de temps d’ordre de grandeur tres eloignees. Ce phenomene apparaıt lors
de la resolution des equations differentielles regissant le comportement de la ma-
chine asynchrone en presence de defaut. Vue le caractere aleatoire du defaut qui
peut surgir au cours de fonctionnement de cette derniere, ces constantes de temps
16elle necessite un pas de calcul plus strict que RK4
2.6. Conclusion 85
ne sont pas toujours discernables a l’avance. Comme solution a ce probleme, nous
avons choisi de faire fonctionner ces algorithmes avec un pas de calcul dynamique
comme decrit dans la section 3.2.7.3.
2.6 Conclusion
Nous nous sommes attardes, dans ce chapitre, sur deux points majeurs :
– le principe de la prise en consideration de la topologie de bobinage,
– la presentation de la methodologie de modelisation multi-enroulements (3ME )
de la machine asynchrone selon sa topologie constitutive.
Nous avons suivi, tout au long de ce chapitre, une demarche modulaire et incre-
mentale de formalisation du modele de la machine. Cette modularite, dont le Me-
taModele dispose, nous a permis non pas d’ecrire un modele pour une machine
asynchrone specifique, mais d’ecrire un generateur de modele, multi-enroulements et
multi-paires de poles, d’une machine asynchrone « quelconque17 », d’ou l’appellation
MetaModele.
Cette approche de modelisation offre un bon compromis en terme de precision
et de temps de calcul. De plus, on le verra dans les chapitres 4 et 5, ce type de
modelisation permet de prendre en compte un certain nombre de defauts d’origine
electrique tels que les defauts de court-circuit entre spires statoriques, les defauts de
court-circuit inter-phases, les defauts de court-circuit entre phase et carcasse et les
defauts de type rupture de barres rotoriques. Nous pouvons aussi integrer a ce type
de modele les defauts d’excentricite statique et dynamique.
Par ailleurs, meme si la methode CEMC, sur laquelle nous nous sommes bases,
ne permet pas la prise en compte de la saturation et de l’effet de peau sous leurs
formes locales, il est possible de les prendre en compte par des coefficients globaux,
reproduisant ainsi l’influence de ces phenomenes sur les grandeurs globales Gillon
(1997), Devanneaux (2002), Lateb (2006).
Le fait de vouloir faire un simulateur autonome et dynamique de la machine
asynchrone, nous a mis dans l’obligation de le doter d’une autonomie vis-a-vis de
la topologie constitutive de la machine et vis-a-vis de la resolution numerique de
systeme differentiel genere. Le principe de la prise en consideration automatique de
la topologie de la machine a ete commence dans ce chapitre et sera poursuivi, dans le
17en fonction des parametres topologiques introduits par l’utilisateur
86 Chapitre 2. 3ME
chapitre 4, par la prise en consideration des defauts qui peuvent toucher la topologie
electrique de la machine.
La couche topologie du MetaModele est totalement independante de la couche
de calcul analytique des mutuelles et des inductances de modele. Cette independance
garantit la possibilite d’integrer d’autres types de bobinage dans le noyau de gene-
ration de modele « IMSimKernel », presente dans l’annexe C. Nous consacrons le
chapitre suivant a la validation et a l’exploitation de la flexibilite de ce logiciel dans
le cas d’une machine asynchrone saine.
Sommaire
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2 Modele genere par le simulateur . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3 Incidence de la variation des parametres . . . . . . . . . . . 110
3.4 Validation experimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Chapitre
3
Validation et paramétrage d’unmodèle
Dans ce chapitre, nous commencons par donner un apercu sur les etapes em-
pruntees par le MetaModele durant le processus de generation d’un modele de
simulation d’une machine asynchrone specifique. Cette etape sera poursuivie par
l’experimentation de l’influence de la variation de quelques parametres importants
sur le comportement de ce modele. Nous proposerons, a la suite de cette expertise,
le jeu de parametres nous permettant de se rapprocher le plus pret possible du point
de fonctionnement experimental de notre machine. Nous terminons ce chapitre en
donnant les resultats de cette validation experimentale de ce generateur de modele.
87
3.1. Introduction 89
3.1 Introduction
Nous allons, dans ce chapitre, mettre en œuvre la 3ME de la machine asynchrone
exposee dans le chapitre precedent. En introduisant les parametres de la topologie
physique et electrique de la machine a simuler dans la plate-forme de simulation
ici developpee (IMSimKernel), nous recuperons le modele electrique equivalent de
cette machine (appele Mod.C.324 1). En fait, ce modele correspond a la projection
de la methodologie decrite dans le chapitre 2 sur le sous-ensemble des machines
asynchrones triphasees ayant 2 paires de poles, 4 enroulements/pole/phase et ayant
un bobinage concentrique. Les caracteristiques techniques et topologiques de cette
machine sont presentees dans l’annexe B (Banc d’essai « M.AS.Reelle »).
Nous ne detaillons, dans ce qui suit, que le processus de generation du modele
de stator. Sachant que le modele du rotor est le meme que celui de la section 2.4,
mais pour une cage a 28 barres.
3.2 Modele genere par le simulateur
3.2.1 Caracteristiques topologiques du stator
Cette machine fait partie des machines de petite puissance (1.1KW), elle est
bobinee de facon concentrique. Ce type de bobinage est le plus utilise pour les
machines appartenant a cette gamme de puissance, qui se prete tres facilement a
l’insertion mecanisee des enroulements dans les encoches statoriques.
La figure 3.1 presente le schema topologique developpe du bobinage du stator
de cette machine. Cette topologie est prise en consideration par le MetaModele,
en introduisant les parametres topologiques : N = 3, p = 2, Ne = 4 et en choisis-
sant un bobinage concentrique. Nous rappelons que le processus de generation du
Mod.C.324 se base sur les hypotheses 2.1. Un apercu des fonctions de repartition
de l’inductance surfacielle des enroulements elementaires de la phase a, est donne
par la figure 3.2. Les fonctions de repartition de l’inductance surfacielle resultantes,
de phase et de bobines, sont donnees sur la figure 3.3.
1Modele Concentrique a N = 3, p = 2 et Ne = 4
90 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
θ|0
|
π2
|π
|
3π2
|2π
111
111
111
112
112
112
113
113
113
114
114
114
121
121
122
122
123
123
124
124
U
X
211
211
212
212
213
213
214
214
221
221
222
222
223
223
224
224
V
Y
311
311
312
312
313
313
314
314
321
321
321
322
322
322
323
323
323
324
324
324
W
Z
Fig. 3.1 – Schema developpe du bobinage du stator de la machine du banc d’essai
0 50 100 150 200 250 300 350 400−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
φ (deg)
F1y
z (φ)
F111
⋅⋅⋅F114
F121
⋅⋅⋅F124
Fig. 3.2 – Fonctions de repartition de l’inductance surfacielle elementaires de la phase 1
3.2.2 Modele electrique
La figure 3.4 presente le schema electrique equivalent de cette machine, dont
chaque phase est constituee par 2 bobines en serie, dont chaque bobine est constituee
par 4 enroulements en serie. Chaque enroulement possede 58 spires logees dans une
encoche allee et une encoche retour du stator.
3.2. Modele genere par le simulateur 91
0 50 100 150 200 250 300 350 400−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
φ (deg)
F1y
(φ)
et F
1(φ)
F
12(φ) F
11(φ)
F1(φ)
Fig. 3.3 – Fonctions de repartition de l’inductance par pole et globale de la phase 1
Nous exposons dans ce qui suit les etapes empruntees, par le noyau de generation,
pour aboutir au modele final de cette machine.
3.2.3 Modele d’un enroulement elementaire
Ce generateur commence par definir le modele d’un enroulement elementaire,
decrit par la figure 2.16, en fixant la valeur de la resistance Rxyz et des inductances
Lpxyz et Lfxyz.
L’inductance propre de cet enroulement est deduite par l’expression 2.20, quant
aux inductances de fuites elles sont calculees en fonction des formes geometriques
des encoches et des tetes de bobines de l’enroulement en question selon l’expression
2.25.
Quant a la resistance, elle est soit deduite directement de la resistance globale
d’une phase par l’expression :
Rxyz = Rx
p ·Ne
= 1.25Ω (3.1)
soit calculee selon l’expression suivante :
Rxyz = ρ · 2(L + R.wxyz)s
· nxyz (3.2)
ou :
ρ : la resistivite electrique en [Ωm],
92 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
I111(R, L)111
U111
I112(R, L)112
U112
I113(R, L)113
U113
I114(R, L)114
U114
I11
U11
I121(R, L)121
U121
I122(R, L)122
U122
I123(R, L)123
U123
I124(R, L)124
U124
I12
U12
U
X
I211(R, L)211
U211
I212(R, L)212
U212
I213(R, L)213
U213
I214(R, L)214
U214
I21
U21
I221(R, L)221
U221
I222(R, L)222
U222
I223(R, L)223
U223
I224(R, L)224
U224
I22
U22
V
Y
I311(R, L)311
U311
I312(R, L)312
U312
I313(R, L)313
U313
I314(R, L)314
U314
I31
U31
I321(R, L)321
U321
I322(R, L)322
U322
I323(R, L)323
U323
I324(R, L)324
U324
I32
U32
W
Z
Fig. 3.4 – Modele electrique d’un stator triphase a p = 2 et Ne = 4
s : la surface de la section droite du fil en [m2].
R : le rayon du bobinage au niveau de la tete de bobine.
sachant que wxyz est deduite par l’expression 2.31.
Certes la deuxieme technique est plus precise, du fait qu’elle prend en compte que
pour un bobinage concentrique, les tetes de bobine des enroulements d’une meme
paire de poles sont de longueur variable. Mais la premiere technique reste, cependant,
une bonne approximation de la resistance elementaire dans ce cas de figure.
3.2. Modele genere par le simulateur 93
3.2.4 Modele d’une bobine
Chaque groupement de Ne enroulements elementaires, d’indice xy, de la figure
3.4 schematise une bobine du stator.
L’ecriture matricielle des equations differentielles regissant le comportement de
ces enroulements (2.35) est basee sur les matrices suivantes :
[U ]enrxy =
Uxy1
Uxy2
Uxy3
Uxy4
, [I]enrxy =
Ixy1
Ixy2
Ixy3
Ixy4
(3.3)
ainsi que
[R]enrxy =
Rxy1 0 0 0
0 Rxy2 0 00 0 Rxy2 00 0 0 Rxy4
(3.4)
et
[L]enrxy =
Lxy1 Mxy1←xy2 Mxy1←xy3 Mxy1←xy4
Mxy2←xy1 Lxy2 Mxy2←xy3 Mxy2←xy4
Mxy3←xy1 Mxy3←xy2 Lxy3 Mxy3←xy4
Mxy4←xy1 Mxy4←xy2 Mxy4←xy3 Lxy4
(3.5)
sachant que, les mutuelles elementaires Mxyzi←xyzj sont calculees par l’expression
(2.22) ∀zi, zj ∈ 1..4 et zi 6= zj.
La mise en serie des enroulements constituant cette bobine est assuree par la
matrice de connexion [D]enr←bobxy . Ce qui se traduit par la relation des courants :
[I]enrxy =
Ixy1
Ixy2
Ixy3
Ixy4
=
1111
︸︷︷︸
[D]enr←bobxy
·Ixy (3.6)
94 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
et la relation des tensions :
Uxy =4∑z=1
Uxyz = [D]enr←bobtxy · [U ]enrxy (3.7)
La resistance equivalente Rxy ainsi que l’inductance equivalente Lxy de cette
bobine se deduisent par :
Rxy = [D]enr←bobtxy [R]enrxy [D]enr←bobxy
Lxy = [D]enr←bobtxy [L]enrxy [D]enr←bobxy
3.2.5 Modele d’une phase
Le modele de chaque phase est forme, en grande partie, des modeles de deux
bobines la constituant. Les matrices formant le modele de cette phase sont basees
sur la concatenation et l’assemblage des matrices de ses bobines.
[U ]enrx =[U ]enrx1
[U ]enrx2
(8×1)
, [I]enrx =[I]enrx1
[I]enrx2
(8×1)
(3.8)
ainsi que
[R]enrx =[R]enrx1 0
0 [R]enrx2
(8×8)
(3.9)
et
[L]enrx = [L]enrx1 [M ]enrx1←x2
[M ]enrx2←x1 [L]enrx2
(8×8)
(3.10)
sachant que :
[M ]enrx1←x2 =
Mx11←x21 Mx11←x22 Mx11←x23 Mx11←x24
Mx12←x21 Mx12←x22 Mx12←x23 Mx12←x24
Mx13←x21 Mx13←x22 Mx13←x23 Mx13←x24
Mx14←x21 Mx14←x22 Mx14←x23 Mx14←x24
(3.11)
3.2. Modele genere par le simulateur 95
ou, la mutuelle Mx1zi←x2zj2, est calculee en se basant sur l’expression generique
(2.22).
Afin de pouvoir etudier et presenter les grandeurs de bobines, le generateur met
a notre disposition la matrice de passage suivante :
[D]enr←bobx =[D]enr←bobx1 [0]
[0] [D]enr←bobx2
=
1 01 01 01 00 10 10 10 1
(3.12)
avec,
[I]enrx =[I]enrx1
[I]enrx2
=[D]enr←bobx1 · Ix1
[D]enr←bobx2 · Ix2
= [D]enr←bobx · [I]bobx (3.13)
Cette matrice a pour but de permettre d’exprimer les grandeurs de bobines en
fonction de celles d’enroulements :
[R]bobx = [D]enr←bobtx [R]enrx [D]enr←bobx
=[D]enr←bobtx1 [R]enrx1 [D]enr←bobx1 0
0 [D]enr←bobtx2 [R]enrx2 [D]enr←bobx2
=Rx1 0
0 Rx2
(3.14)
[L]bobx = [D]enr←bobtx [L]enrxy [D]enr←bobx
= [D]enr←bobtx1 [L]enrx1 [D]enr←bobx1 [D]enr←bobtx1 [M ]enrx1←x2 [D]enr←bobx2
[D]enr←bobtx2 [M ]enrx2←x1 [D]enr←bobx1 [D]enr←bobtx2 [R]enrx2 [D]enr←bobx2
= Lx1 Mx1←x2
Mx2←x1 Lx2
(3.15)
2∀zi, zj ∈ 1..4
96 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
Dans le but d’automatiser la generation des grandeurs de phases, a partir de
celles de bobines, le generateur definit aussi la matrice de passage :
[D]bob←phx =11
(3.16)
sachant que, cette matrice garantit la mise en serie de deux bobines :
[I]bobx =Ix1
Ix2
= [D]bob←phx · Ix (3.17)
Elle definit, aussi, la matrice de passage definitive [D]enr←phx :
[D]enr←phx(8×1)= [D]enr←bobx(8×2)
· [D]bob←phx(2×1). (3.18)
Cette matrice permet de faire le passage direct entre les grandeurs de phase et
les grandeurs d’enroulements sans passer par les grandeurs de bobines. Elle permet,
ainsi, de recuperer la resistance de phase Rx et l’inductance de phase Lx a partir des
matrices elementaires :
Rx = [D]enr←phtx · [R]enrx · [D]enr←phx
Lx = [D]enr←phtx · [L]enrx · [D]enr←phx
(3.19)
3.2.6 Modele du stator
Afin de mettre l’accent sur la modelisation multi-polaires et de ne pas reprendre
les memes figures que le chapitre precedent, nous reprenons la schematisation des
trois phases, reparties selon la figure 3.1, et schematisees par la figure 3.4, par la
figure 3.5 en s’arretant au niveau des bobines.
En se basant sur la 3ME du stator, les matrices elementaires decrivant ce stator
s’ecrivent :
[U ]enrs =
[U ]enr1
[U ]enr2
[U ]enr3
(24×1)
, [I]enrs =
[I]enr1
[I]enr2
[I]enr3
(24×1)
(3.20)
3.2. Modele genere par le simulateur 97
I11(R, L)11
U11
I12(R, L)12
U12
I21(R, L)21
U21
I22(R, L)22
U22
I31(R, L)31
U31
I32(R, L)32
U32
Fig. 3.5 – Schematisation multi-polaires du stator
ainsi que
[R]enrs =
[R]enr1 0 0
0 [R]enr3 00 0 [R]enr3
(24×24)
(3.21)
et
[L]enrs =
[L]enr1 [M ]enr1←2 [M ]enr1←3
[M ]enr2←1 [L]enr2 [M ]enr2←3
[M ]enr3←1 [M ]enr3←2 [L]enr3
(24×24)
(3.22)
Sachant que les matrices de mutuelles [M ]enrxi←xj se calculent selon les expressions
generiques (2.64) et (2.65). Prenons, par exemple, le cas de la matrice de mutuelles
entre la premiere et la troisieme phase.
[M ]enr1←3 =[M ]enr11←31 [M ]enr11←32
[M ]enr12←31 [M ]enr12←32
(8×8)
(3.23)
Detaillons, aussi, la matrice de mutuelles entre la deuxieme bobine de la phase
1 et la premiere bobine de la phase 3 :
[M ]enr12←31 =
M121←311 M121←312 M121←313 M121←314
M122←311 M122←312 M122←313 M122←314
M123←311 M123←312 M123←313 M123←314
M124←311 M124←312 M124←313 M124←314
(3.24)
98 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
Sachant que, la mutuelle elementaire M12zi←31zj ∀zi, zj ∈ 1..4, entre l’enroule-
ment zj de la bobine 1 de la phase 3 et l’enroulement zi de la bobine 2 de la phase 1,
est calculee selon l’expression generique (2.22).
Comme decrit dans le chapitre precedent, la topologie electrique des trois phases
est representee par plusieurs niveaux de matrices de connexion, dont chacune nous
permet de s’arreter a un niveau de representation bien determine ; le niveau d’en-
roulements, le niveau de bobines, le niveau de phases et le niveau de boucles. Les
matrices permettant le passage entre ces differents niveaux sont :
– La matrice de passage entre les grandeurs d’enroulements et les grandeurs de
bobines.
[D]enr←bobs =
[D]enr←bob1 [0] [0]
[0] [D]enr←bob2 [0][0] [0] [D]enr←bob3
=
1 0 0 0 0 01 0 0 0 0 01 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 1 0 0 0 00 1 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 1 0 0 00 0 1 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 1 0 00 0 0 1 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 1 00 0 0 0 1 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 1
(3.25)
– La matrice de passage permettant de deduire les grandeurs de bobines a partir
des grandeurs de phases.
[D]bob←phs =
[D]bob←ph1 [0] [0]
[0] [D]bob←ph2 [0][0] [0] [D]bob←ph3
=
1 0 01 0 00 1 00 1 00 0 10 0 1
(3.26)
– La matrice de passage directe entre les grandeurs d’enroulements et les gran-
3.2. Modele genere par le simulateur 99
deurs de phases, se deduit soit par multiplication matricielle :
[I]enrs(24×1)= [D]enr←bobs(24×6)
· [I]bobs(6×1)
= [D]enr←bobs(24×6)· [D]bob←phs(6×3)︸ ︷︷ ︸
[D]enr←phs(24×3)
·[I]phs (3.27)
ou par concatenation :
[D]enr←phs =
[D]enr←ph1 [0] [0]
[0] [D]enr←ph2 [0][0] [0] [D]enr←ph3
=
1 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 00 1 00 1 00 1 00 1 00 1 00 1 00 1 00 1 00 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 1
(3.28)
Cette hierarchie de matrices de passage nous permet de deduire les matrices de
resistances et d’inductances au niveau des bobines, ou de remonter jusqu’aux phases.
[R]bobs = [D]enr←bobts · [R]enrs · [D]enr←bobs
=
R11 0 0 0 0 00 R12 0 0 0 00 0 R21 0 0 00 0 0 R22 0 00 0 0 0 R31 00 0 0 0 0 R32
(3.29)
[L]bobs = [D]enr←bobts · [L]enrs · [D]enr←bobs
=
L11 M11/12 M11/21 .. .. ..
M12/11 L12 M12/21 .. .. ..
M21/11 M21/12 L21 .. .. ..
M22/11 M22/12 M22/21 L22 .. ..
M31/11 M31/12 M31/21 .. L31 ..
M32/11 M32/12 M32/21 .. .. L32
(3.30)
100 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
[R]phs = [D]enr←phts · [R]enrs · [D]enr←phs
=
R1 0 00 R2 00 0 R3
(3.31)
[L]phs = [D]enr←phts · [L]enrs · [D]enr←phs
=
L1 M1←2 M1←3
M2←1 L2 M2←3
M3←1 M3←2 L3
(3.32)
Cette construction, en deux etapes, nous a permis de recuperer les grandeurs de
bobines, comme les mutuelles entre les deux bobines de la phase 1 et une boucle
rotorique, presentees par la figure 2.21.
3.2.7 Modele global de la machine
Une fois la generation des modeles du stator et du rotor est faite, selon leurs
parametres topologiques respectifs, le generateur rassemble les deux modeles en un
seul. Ce modele represente toute la partie electrique de la machine, en prenant en
consideration le couplage magnetique entre la partie fixe et la partie mobile de cette
derniere.
3.2.7.1 Inductances mutuelles stator-rotor
Cette etape est basee sur les fonctions de repartition de bobinages, que ce soit
pour les enroulements elementaires du stator ou pour les enroulements fictifs du
rotor, definies par les expressions respectives (2.19) et (2.86).
Ce couplage entre le stator et le rotor est modelise par les matrices de mutuelles
elementaires [M ]enrsr (θ) et [M ]enrrs (θ), sachant que l’une est la transpose de l’autre.
[M ]enrsr (θ) =
[M ]enr1←r(θ)[M ]enr2←r(θ)[M ]enr3←r(θ)
(24×29)
(3.33)
3.2. Modele genere par le simulateur 101
Detaillons le contenu de la matrice de mutuelles entre la phase 2 et le rotor :
[M ]enr2←r(θ) =[M ]enr21←r(θ)[M ]enr22←r(θ)
(6×29)
(3.34)
Faisons de meme pour la matrice de mutuelles entre la premiere bobine de cette
phase et le rotor :
[M ]enr21←r(θ) =
M211←1 · · M211←k · · M211←28 0M212←1 · · M212←k · · M212←28 0M213←1 · · M213←k · · M213←28 0M214←1 · · M214←k · · M214←28 0
(θ)
(4×29)
(3.35)
Sachant que, l’inductance mutuelle representant le couplage magnetique entre un
enroulement elementaire d’indice xyz et une boucle rotorique d’indice k est calculee
par l’expression (2.87) du chapitre precedent.
Les inductances mutuelles entre les differents niveaux de representation du stator
et les boucles rotoriques se deduisent selon les relations suivantes :
Au niveau des bobines :
[M ]bobsr(6×29)(θ) = [D]enr←bobts(6×24)
· [M ]enrsr(24×29)(θ) (3.36)
Au niveau des phases :
[M ]phsr(3×29)(θ) = [D]enr←phts(3×24)
· [M ]enrsr(24×29)(θ) (3.37)
Au niveau des boucles :
[M]sr(θ) = [D]ts · [M ]enrsr (θ) (3.38)
Toutes ces matrices sont des matrices tridimensionnelles dont les lignes sont les
indices des enroulements ou des boucles statoriques, les colonnes correspondent aux
indices des boucles rotoriques, et les pages3 representent les differentes valeurs prises
par la position angulaire θ.
Commencons par donner un apercu des mutuelles stator-rotor au niveau des
3les indices de la troisieme direction de la matrice
102 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
bobines et au niveau de phase. La figure 3.6 illustre les valeurs prises par les mu-
tuelles entre les bobines de la premiere phase et la premiere boucle rotorique ainsi
que l’inductance mutuelle globale de cette phase, au cours d’un demarrage (vitesse
variable). La derivee de cette derniere est donnee par les figures 3.7.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x 10−4
t (s)
Msr
(H)
M bob11←1 M bob
12←1
M ph1←1
Fig. 3.6 – Inductances mutuelles de phase et de bobines entre la phase 1 et la bouclerotorique N°1 au cours d’un demarrage.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−6
−4
−2
0
2
4
6x 10
−4
t (s)
∂M
ph
1←
1∂θ
(H/ra
d)
Fig. 3.7 – Les valeurs prises par la derive de la mutuelle entre la phase 1 et la bouclerotorique N°1 au cours d’un demarrage.
Nous presentons aussi, via la figure 3.8, les valeurs prises par les mutuelles entre
toutes les bobines et la premiere boucle rotorique. Les mutuelles resultantes, entre
les trois phases et cette boucle rotorique, sont representees par la figure 3.9.
3.2. Modele genere par le simulateur 103
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−1
0
1
2
x 10−4
t (s)
Mpdp
sr(H
)
M11←1M12←1M21←1M22←1M31←1M32←1
Fig. 3.8 – Un apercu des mutuelles stator-rotor au niveau des bobines au cours d’undemarrage.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5x 10
−4
t (s)
Mph
sr(H
)
M1←1M2←1M3←1
Fig. 3.9 – Un apercu des mutuelles stator-rotor au niveau des phases, au cours d’undemarrage.
La figure 3.10 nous donne un apercu sur les mutuelles entre la phase 1 et trois
boucles rotoriques successives.
104 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5x 10
−4
t (s)
Mph sr
(H
)
M1← 1
M1← 2
M1← 3
Fig. 3.10 – Inductances mutuelles entre la phase N°1 et trois boucles rotoriques au coursd’un demarrage.
Nous tenons a signaler que le logiciel de simulation ne sauvegarde que les mu-
tuelles elementaires, et que les mutuelles au niveau des phases et au niveau des
bobines sont deduites en poste simulation, via les matrices de passage introduites
precedemment. Ces figures illustrent une des fonctionnalites offertes par ces matrices
de passage. Elles peuvent, aussi, etre exploitees pour etudier les flux et les courants,
au niveau des enroulements, des bobines ou des phases.
3.2.7.2 Couplage et alimentation
Le generateur de modele gere le couplage de la machine en deux etapes : la
premiere concerne le couplage de la machine par la matrice [D]coup, et la deuxieme
concerne le couplage des sources de tension par la matrice [D]alim.
3.2.7.2.1 [D]coup
Cette matrice de connexion peut prendre deux valeurs, selon le mode de couplage
du stator (Fig : 3.11) ; soit elle est egale a la matrice identite, dans le cas de couplage
triangle, ou [D]coup =[
1 −10 1−1 0
]pour un couplage en etoile.
Quelque soit le mode de couplage du stator, les relations entre les grandeurs de
3.2. Modele genere par le simulateur 105
I1(R, L)1
U1
I2(R, L)2
U2
I3(R, L)3
U3
V2
V1
J1
J2
(a) Couplage en etoile
I1(R, L)1
U1
I2(R, L)2
U2
I3(R, L)3
U3
J1
V2
V3
V1
J2
J3
(b) Couplage en triangle
Fig. 3.11 – Mode de couplage du stator
boucles et celles de phases restent les memes :
[I]phs = [D]coup · [J ]s[V ]s = [D]tcoup · [U ]phs
(3.39)
C’est cette matrice qui nous permet de remonter a la derniere couche du stator, la
couche ou toutes les grandeurs sont exprimees en fonction des boucles deja definies.
Cette etape est realisee via la matrice de connexion definitive du stator [D]s.
[I]enrs = [D]s · [J ]s (3.40)
avec
[D]s = [D]enr←phs · [D]coup (3.41)
106 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
Precisons que [D]s = [D]enr←phs dans le cas d’un couplage en triangle, et que
[D]s =
1 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 00 1 00 1 00 1 00 1 00 1 00 1 00 1 00 1 00 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 1
·[
1 −10 1−1 0
]=
1 −11 −11 −11 −11 −11 −11 −11 −10 10 10 10 10 10 10 10 1−1 0−1 0−1 0−1 0−1 0−1 0−1 0−1 0
(3.42)
dans le cas d’un couplage en etoile.
Cette matrice permet, ainsi, de definir le systeme d’equations differentielles in-
dependantes a resoudre, ainsi que la matrice des resistances et celle des inductances
des boucles statoriques :
[V ]s = [R]s · [J ]s + d([L]s · [J ]s)dt
(3.43)
sachant que
[R]s = [D]ts · [R]s · [D]s (3.44)
[L]s = [D]ts · [L]s · [D]s (3.45)
Les tensions appliquees a ces boucles sont deduites des sources de tension via la
matrice de connexion de l’alimentation.
3.2.7.2.2 [D]alim
Le vecteur des tensions de boucles se deduit de vecteur des sources de tension
par la relation :
[V ]s = [D]talim ·
e1
e2
e3
︸ ︷︷ ︸
[E]
(3.46)
3.2. Modele genere par le simulateur 107
Cette matrice depend du type de couplage de l’alimentation ainsi que du couplage
du stator, decrit par les figures 2.25 et 3.11. Un apercu des differentes valeurs et
formes que peut prendre cette matrice est donne par le tableau 3.1.
Tab. 3.1 – Dalim selon le mode de couplage de la machine
Mode de Couplage Stator en F Stator en N
Alimentation en F
1 −10 1−1 0
1 −1 00 1 −1−1 0 1
Alimentation en N
1 00 10 0
1 0 00 1 00 0 1
Nous avons choisi, dans un premier temps, de faire fonctionner le simulateur en
mode triangle/triangle. En fait, le fait de coupler le stator en triangle nous ramene
a definir autant de boucles que les phases. Ainsi, les grandeurs de boucles seront les
memes que celles des phases. Cette similitude de grandeurs nous evite de faire des
transformations inverses pour revenir aux grandeurs de phases, afin de se concentrer
sur l’ajustement et la validation du modele.
Nous reviendrons en detail sur le couplage etoile/etoile et etoile/triangle, de cette
machine, lors de la modelisation et la validation d’un defaut entre phase et terre.
3.2.7.3 Mise en equation et resolution
La derniere etape que fait le simulateur, avant de definir le systeme d’equations
differentielles a resoudre, est l’assemblage des matrices statoriques et des matrices
rotoriques selon les equations 3.47a et 3.47b.
[R] =[R]s
[0][
0]
[R]r
(3.47a)
[L](θ) = [L]s [M]sr(θ)[M]rs(θ) [L]r
(3.47b)
Ainsi, tous les elements sont prets pour former le systeme d’equations diffe-
rentielles defini par l’expression 2.111. Nous avons evoque precedemment, dans la
108 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
section 2.5.3, que nous avons dote ce simulateur de la possibilite d’adopter un mode
de resolution dynamique. Un tel choix nous evite de definir un pas de calcul trop
petit pour toute la duree de la simulation. En effet, comme on ne prend pas en
consideration l’inclinaison des barres rotoriques, la machine demarre avec beaucoup
d’oscillations au niveau de l’acceleration (Fig : 3.12). Cette vibration rend le sys-
teme d’equations differentielles plus rigide lors de la resolution. Un pas de calcul
bien adapte au regime permanent peut ne pas etre adapte au regime transitoire, et
peut rendre l’algorithme de resolution instable au cours de cette phase.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
0
20
40
60
80
100
120
140
160
X: 0.4813Y: 156.8
t (s)
Ωr (
rad/
s)
Fig. 3.12 – Apparition des ondulations de vitesse au cours de demarrage
Nous illustrons par la figure 3.13 les valeurs prises par le pas de calcul au cours
d’un demarrage a vide de cette machine.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.31
2
3
4
5
6
7x 10
−5
t (s)
Pas
de
calc
ul (
s)
Fig. 3.13 – Nuage de points des pas de calcul dynamiques lors d’un demarrage a vide
3.2. Modele genere par le simulateur 109
Cette oscillation est bien visible sur l’evolution du couple electromoteur Cem au
cours du demarrage. Nous presentons sur la figure 3.14 l’evolution du Cem en fonction
de la vitesse angulaire Ωr du rotor au cours d’un demarrage.
−20 0 20 40 60 80 100 120 140 160−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
25
30
Ωr (rad/s)
Cem
(N
.m)
Fig. 3.14 – Cem en fonction de la vitesse angulaire au cours d’un demarrage a vide
Une presentation temporelle de l’evolution, en regime transitoire et en regime
permanent, a vide et en charge, de ce couple est donnee par la figure 3.15. Une fois
que la machine atteint le regime permanent, le Cem se stabilise a une valeur proche
de zero (comportement a vide en presence de frottement).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
25
30
X: 0.4786Y: 0.4734
t (s)
Cem
(N
.m) X: 0.8435
Y: 7.495
Fig. 3.15 – Cem a vide et en pleine charge (Cr = 7Nm a t=0.5s)
110 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
3.3 Incidence de la variation des parametres
Une fois le Mod.C.324 est genere, la couche de simulation s’occupe de faire
tourner ce modele selon les parametres de simulation, introduites par l’utilisateur
« ou l’experimentateur ». Cette couche modelise l’environnement dans lequel sera mis
le modele : alimentation, frottements, couple resistant et evenements qui peuvent
arriver au cours de la simulation.
Cette couche est implementee par l’Objet IM-SIM. Cet Objet recupere le modele
genere par le MetaModele (IM-Obj ), lui fournit l’alimentation adequate selon le
mode de couplage des sources de tension et de la machine, et assure la gestion des
evenements de simulation qui peuvent arriver. Ces evenements peuvent etre externe
a la machine :
– variation du couple resistant Cr,
– variation de la tension d’alimentation (une chute de tension, coupure d’une
phase, introduction d’une excitation de tension pour une eventuelle identifica-
tion . . .),
– variation de l’inertie mecanique de l’arbre du rotor,
comme ils peuvent etre interne :
– variation d’un parametre qui touche aux dimensions de la machine (e, R ...),
– variation de la valeur des fuites d’un enroulement,
– variation de la resistance d’un enroulement ou d’une barre...
Le principe de la specification et de la gestion des evenements, ainsi que de la
saisie d’un scenario de simulation est relate dans l’annexe C.3.
Le choix des parametres d’un simulateur est une tache delicate, et necessite
des competences dans plusieurs domaines ; construction mecanique, bobinage, choix
des conducteurs, electromagnetisme. . . Cette tache est d’autant plus difficile si nous
cherchons a imiter le comportement d’une machine reelle.
Lors de choix des parametres de simulation, nous avons passe par plusieurs si-
mulations, en variant quelques dimensions, la topologie de bobinage, la forme de
la repartition de l’induction magnetique dans l’entrefer, ainsi que la variation de
quelques parametres electriques.
Nous nous limitions, dans ce qui suit, a la presentation de l’incidence de la
variation de quelques parametres sur le comportement du modele. Sachant que nous
3.3. Incidence de la variation des parametres 111
faisons varier ces derniers, une fois que nous nous sommes fixes sur les parametres
topologiques du Mod.C.324 (section 3.2.1).
3.3.1 L’entrefer e
Le parametre e, que nous faisons varier ici, est un entrefer fictif, en assimilant
le stator a encoches a un stator lisse. Habituellement, cet entrefer est deduit de
l’entrefer mecanique eméc par l’expression :
e = Kc · eméc (3.48)
avec, Kc est le coefficient de Carter, il est utilise pour tenir compte de l’effet de
la denture Gillon (1997), Lateb (2006). Pour des machines de grande taille, ce co-
efficient donne des resultats assez precis, mais il est moins efficace dans le cas des
machines de petite taille. L’ajustement de ce parametre, en comparant les resultats
de simulation a ceux issus d’experimentation, s’avere une bonne alternative pour
prendre en consideration l’ouverture des encoches.
Il est evident que l’entrefer de la machine est l’endroit ou se passe la majeure
partie de la transformation de l’energie magnetique. Ceci rend le modele tres sensible
a toute variation de ce parametre. Afin d’illustrer l’influence de e sur le comportement
du simulateur, nous faisons varier la valeur de l’entrefer au cours de la simulation,
et nous presentons l’impact de cette variation sur quelques signaux.
Soit le scenario de simulation suivant :
Scenario 3.1 - Variation de l’entrefer a vide :
a t=0s : e = 0.55mm,
a t=1.3s : e = 0.70mm,
a t=2.3s : e = 0.90mm.
En introduisant le scenario de simulation 3.1, nous pouvons avoir une idee sur
la sensibilite du fonctionnement, a vide, a ce parametre. La figure 3.16 presente
les valeurs prises par le courant de magnetisation de la machine, en presence de
frottement sec et de frottement visqueux. Cette sensibilite vient du fait que le courant
reactif est tres sensible a la variation de l’inductance magnetisante de la machine,
112 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
une baisse de cette derniere (par augmentation de e) induit systematiquement une
augmentation des courants reactifs consommes par la machine.
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−6
−4
−2
0
2
4
6
X: 0.8649Y: 2.297
t (s)
I ph
1 (
A)
X: 1.805Y: 2.892
X: 2.825Y: 3.619
Fig. 3.16 – Incidence de la variation de l’entrefer sur le courant de magnetisation
Afin de comparer l’impact d’un tel changement sur le fonctionnement a vide
et sur le fonctionnement en pleine charge de la machine, nous introduisons, cette
fois ci, le scenario 3.2. Il est evident que l’impact de cette baisse de l’inductance de
magnetisation aura aussi un effet sur le fonctionnement en charge de la machine. Ce
besoin de magnetisation supplementaire au niveau de l’entrefer sera compense par
une consommation supplementaire du courant reactif au niveau des enroulements
statoriques. Cette augmentation du courant reactif est bien visible sur l’amplitude
globale des courants consommes par le stator, la figure 3.17 nous donne un apercu
sur cette compensation au niveau de la phase 1.
Scenario 3.2 Variation de l’entrefer en pleine charge :
a t=0s : e = 0.55mm,
a t=0.3s : On applique un couple resistant Cr = 7Nm,
a t=1.3s : e = 0.70mm,
a t=2.3s : e = 0.90mm.
Comme ce parametre a une grande incidence sur les courants reactifs consommes
par la machine, nous retrouvons cet effet sur le dephasage entre les courants et les
tensions de phases ph statoriques. Les figures 3.18 et 3.19 presentent les valeurs prises
3.3. Incidence de la variation des parametres 113
0.5 1 1.5 2 2.5 3−10
−5
0
5
10
X: 0.8419Y: 3.762
t (s)
Iph 1 (
A)
X: 1.702Y: 4.08
X: 2.702Y: 4.517
Fig. 3.17 – Incidence de la variation de l’entrefer sur le courant en pleine charge
par le dephasage Φ1 = φ(Uph1 ) − φ(Iph1 ) en fonction de la variation de l’entrefer, a
vide et en pleine charge.
Comme la machine est alimentee par une source de tension triphasee d’amplitude
constante, la machine fonctionne sous flux force, ainsi la vitesse de rotation du
rotor reste peu sensible a la variation de l’entrefer, que ce soit a vide ou en pleine
charge, par contre le courant magnetisant (courant reactif) est directement lie a
cette variation.
A vide : le dephasage Φ0 est essentiellement du aux valeurs de la resistance des
phases et de l’inductance magnetisante Lm tel que
tan(Φ0) 'Lm.wsRs
donc si e augmente, on a Lm qui diminue, et on aura Φ0 qui diminuera aussi.
En charge : Le calcul de tan(Φ) doit se faire a partir des puissances actives et
reactives tel que :
tan(Φ) = Q (puissance reactive)P (puissance active)
sachant que la puissance active depend, aux pertes Joules statoriques pret,
que du couple electromagnetique, donc lorsque l’on modifie l’entrefer, P active
est quasi-constante, par contre la puissance reactive Q depend essentiellement
de la magnetisation de l’entrefer (inversement proportionnel a Lm), donc si e
augmente, Qmagn augmente et Φ augmente aussi.
114 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
0 0.5 1 1.5 2 2.5 340
50
60
70
80
90
100
X: 0.8525Y: 83.05
t (s)
Φ1 (
°)X: 1.789Y: 82.66
X: 3.001Y: 81.88
Fig. 3.18 – Incidence de la variation de l’entrefer sur le dephasage a vide
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
20
40
60
80
100
X: 0.7775Y: 41.59
t (s)
Φ1 (
°) X: 1.736Y: 44.75
X: 2.708Y: 48.47
Fig. 3.19 – Incidence de la variation de l’entrefer sur le dephasage en pleine charge
Afin de quantifier l’incidence de la variation de ce parametre sur le couplage ma-
gnetique de la machine, nous introduisons le scenario de simulation 3.3. La variation
de l’inductance mutuelle entre les phases statoriques et la premiere boucle rotorique
est illustree par la figure 3.20.
Scenario 3.3 Evenements de variation de l’entrefer de courte duree :
a t=0s : e = 0.55mm,
a t=.54s : e = 0.70mm,
a t=.58s : e = 0.90mm.
3.3. Incidence de la variation des parametres 115
0.5 0.52 0.54 0.56 0.58 0.6 0.62−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5x 10
−4
t (s)
Mph
x←
1(H
)
M1←1M2←1M3←1
Fig. 3.20 – Incidence de la variation de l’entrefer sur les inductances mutuelles de phases
3.3.2 Inductances de fuites
Les inductances de fuites introduites dans le simulateur permettent de prendre en
compte les flux qui ne participent pas directement a la conversion electromagnetique
de l’energie. Ces fuites sont generalement dues aux formes d’encoches et aux tetes
de bobines. Plusieurs ouvrages et travaux de recherche proposent des techniques de
calcul de ces fuites Grellet, Devanneaux (2002), selon les dimensions et les formes
geometriques des encoches. Ces techniques sont mieux adaptees aux machines de
grande taille, et ne donnent pas d’aussi bons resultats pour les machines de petite
taille (comme la M.AS.Reelle).
Afin de remedier a ce probleme nous avons introduit auparavant (expression
(2.25)) le coefficient de reglage εxyz pour les enroulements statoriques, auquel nous
faisons correspondre le coefficient εk pour les boucles fictives rotoriques, ce parametre
de modele nous permet d’ajuster les valeurs des fuites lors des simulations. Le fait
de se baser sur un outil logiciel, permet d’etudier la sensibilite du modele vis-a-vis
des fuites statoriques et rotoriques, et nous permet ulterieurement, de bien choisir
ces parametres.
Comme le fonctionnement a vide de la machine n’est pas tres sensible a la va-
riation des fuites, nous nous contentons d’exposer la sensibilite de quelques signaux
a la valeur prise par les inductances de fuites, que ce soit au stator ou au rotor, lors
d’un fonctionnement en pleine charge du simulateur.
116 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
3.3.2.1 Inductances de fuites statoriques Lfs
Pour les inductances de fuites des enroulements statoriques, nous les faisons
varier selon le scenario 3.4.
Scenario 3.4 Variation des fuites statoriques en pleine charge :
a t=0s : εxyz = 0.47,
a t=0.3s : On applique un couple resistant Cr = 7Nm,
a t=1.3s : εxyz = 1.19,
a t=2.3s : εxyz = 2.38.
∀x ∈ 1..N, y ∈ 1..petz ∈ 1..Ne.
Comme le MetaModele calcule les fuites d’une maniere independante des
inductances propres, si on augmente les fuites, cela revient a augmenter l’inductance
totale statorique et a diminuer la magnetisation de la machine, donc la diminution
du flux.
Donc, en charge, pour un couple constant, la diminution du flux provoque
des augmentations du glissement, du courant rotorique et par consequence de la
puissance reactive consommee par les inductances de fuites statorique et roto-
rique. L’augmentation de la puissance reactive et le maintien de la puissance active
quasi–constante (en negligeant les variations des pertes Joule statoriques) a pour
consequence d’augmenter tres legerement le dephasage Φ.
0.5 1 1.5 2 2.5 3146
148
150
152
154
156
158
X: 0.8133Y: 149.9
t (s)
Ωr (
rad/
s)
X: 1.699Y: 149.6 X: 2.706
Y: 149.2
Fig. 3.21 – Incidence de la variation de l’inductance de fuites statoriques sur le glissementen pleine charge
3.3. Incidence de la variation des parametres 117
La figure 3.22 nous donne une idee sur les valeurs prises par ce dephasage en
fonction de la valeur des fuites statoriques, au cours de la simulation du scenario
3.4.
0.5 1 1.5 2 2.5 338
40
42
44
46
48
X: 0.8192Y: 41.73
t (s)
Φph 1
( °
)
X: 1.667Y: 41.96
X: 2.692Y: 42.39
Fig. 3.22 – Incidence de la variation de l’inductance de fuites statoriques sur le dephasageen pleine charge
Outre que l’incidence de la variation des fuites statoriques sur le regime station-
naire, ces fuites ont une repercussion non negligeable sur le regime dynamique de la
machine. Un exemple de cette repercussion est donne par la figure 3.23.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
0
20
40
60
80
100
120
140
160
t (s)
Ω r(r
ad/s
)
ǫxyz =0. 59ǫxyz =1. 19ǫxyz =1. 78
Fig. 3.23 – Incidence de la variation des fuites statoriques sur le demarrage de la machine
Etant donne que le couple max est inversement proportionnel a l’inductance de
fuites ramenee au rotor, l’augmentation des fuites provoque la diminution de ce
couple max, et le temps de demarrage sera plus important.
118 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
3.3.2.2 Inductances de fuites rotoriques Lfr
Nous n’avons pas l’habitude d’etudier les fuites statoriques et les fuites rotoriques
d’une maniere separee. Avec les modeles comportementaux (comme le modele de
Park), les fuites sont souvent ramenees au stator ou au rotor. Ce qui ne favorise pas
le fait de les etudier d’une maniere separer. La maniere avec laquelle nous avons
concu notre MetaModele nous permet de faire varier les fuites de n’importe
quelles boucles rotoriques a part. Afin d’etudier l’incidence de la variation de ce
parametre sur le comportement du modele nous le faisons varier comme decrit par
le scenario suivant :
Scenario 3.5 Variation des fuites rotoriques en pleine charge :
a t=0s : εk = 0.19,
a t=0.3s : On applique un couple resistant Cr = 7Nm,
a t=1.3s : εk = 0.63,
a t=2.3s : εk = 1.26.
∀k ∈ 1..Nr.
Commencons d’abord par presenter ce qui se passe du cote des courants sta-
toriques (Fig : 3.24) et du cote des courants rotoriques (Fig : 3.25). Ces figures
prouvent que les fuites rotoriques ont le meme effet, sur les courants statoriques ou
rotoriques, que les fuites au niveau du stator.
0.5 1 1.5 2 2.5 3
−4
−2
0
2
4
6
8
X: 0.9019Y: 3.72
t (s)
I ph
1 (
A)
X: 1.862Y: 3.966
X: 2.903Y: 4.409
Fig. 3.24 – Incidence de la variation de l’inductance de fuites des boucles rotoriques surle courant statorique en pleine charge
L’augmentation des fuites rotoriques fait augmenter l’inductance de fuites rame-
3.3. Incidence de la variation des parametres 119
nee au rotor et comme le couple max est inversement proportionnel a celle-ci, ainsi
l’augmentation des fuites rotorique provoque la diminution du couple max. Donc,
en charge, pour un couple constant, la diminution du couple max provoque des aug-
mentations du glissement, des courants rotorique et statorique, par consequence de
la puissance reactive consommee par les inductances de fuites statorique et rotorique
avec un maintien constant de la magnetisation principale, et ainsi le dephasage Φaugmente de facon plus significative que dans le cas de l’augmentation des fuites
statoriques.
0.5 1 1.5 2 2.5 3
−600
−400
−200
0
200
400
600
800
t (s)
I (A
)
Ib1
I exa1
Fig. 3.25 – Incidence de la variation de l’inductance de fuites des boucles rotoriques surles courants rotoriques en pleine charge
Les valeurs prises par la vitesse angulaire du rotor et le dephasage entre les
tensions et les courants de phase, au cours de la simulation du scenario 3.5, sont
presentees par les figures 3.26 et 3.27.
Cette similarite de comportement des variations des fuites statorique et rotorique
rend le reglage de ces deux parametres plus delicat.
Nous retrouvons aussi cette simularitee de comportement du modele vis-a-vis
de la variation des fuites statoriques et des fuites rotoriques au niveau du regime
dynamique de la machine. Un exemple de la repercussion de l’augmentation des
fuites rotoriques est donne par la figure 3.28.
Nous savons que le comportement global de la machine peut etre explique par le
fait que le couple max est inversement proportionnel a l’inductance de fuites ramenee
au rotor, l’augmentation de ces fuites provoque la diminution de ce couple, ce qui
rend le temps de demarrage plus important.
120 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
0.5 1 1.5 2 2.5 3135
140
145
150
155
160
165
X: 0.8917Y: 149.9
t (s)
Ωr (
rad/
s) X: 1.922Y: 149.4 X: 2.866
Y: 147.9
Fig. 3.26 – Incidence de la variation de l’inductance de fuites des boucles rotoriques surle glissement en pleine charge
0 0.5 1 1.5 2 2.5 320
30
40
50
60
70
80
90
100
X: 0.767Y: 41.08
t (s)
Φph 1
( °
)
X: 1.725Y: 43.64
X: 2.735Y: 47.89
Fig. 3.27 – Incidence de la variation de l’inductance de fuites des boucles rotoriques surle dephasage en pleine charge
En Outre, nos remarquons que les figures 3.23 et 3.28 ne presentent pas le meme
degre de sensibilite du regime transitoire de la machine vis-a-vis de la variation des
fuites statoriques et des fuites rotoriques. Sachant que nous avons garde les memes
taux d’augmentation des fuites dans les deux cas (50%, 100% et 150%), il est clair
que le regime dynamique de la machine est plus sensible aux fuites rotoriques.
3.3. Incidence de la variation des parametres 121
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
0
20
40
60
80
100
120
140
160
t (s)
Ω r(r
ad/s
)
ǫk =0. 19ǫk =0. 38ǫk =0. 57
Fig. 3.28 – Incidence de la variation des fuites rotoriques sur le demarrage de la machine
3.3.3 La resistance rotorique Rb
Concernant la variation de la resistance des barres rotoriques, nous avons fait
plusieurs essais de simulation. Comme previsible, nous avons remarque que lors
du fonctionnement a vide, la machine n’est pas tres sensible a la variation de ce
parametre. Nous ne presentons dans ce qui suit que les resultats de la variation de
cette resistance selon le scenario 3.6.
Scenario 3.6 Variation de la resistance de barres en pleine charge :
a t=0s : Rbi = 45µW,
a t=0.3s : On applique un couple resistant Cr = 7Nm,
a t=1.3s : Rbi = 55µW,
a t=2.3s : Rbi = 65µW.
∀i ∈ 1..Nr.
La figure 3.29 nous donnent une idee sur la sensibilite du glissement a la variation
de la resistance de barres rotoriques.
A couple de charge constant, l’augmentation de la resistance rotorique provoque
une augmentation quasi proportionnelle du glissement (Fig : 3.29), mais un maintien
quasi constant des courants statorique et rotorique.
Ce parametre a le meme effet sur le glissement que l’entrefer ou les fuites, une
augmentation de cette resistance induit systematiquement a une augmentation du
122 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
0.5 1 1.5 2 2.5 3120
130
140
150
160
170
X: 0.8214Y: 151.1
t (s)
Ωr (
rad/
s)
X: 1.807Y: 149.8 X: 2.72
Y: 148.5
Fig. 3.29 – Incidence de la variation des resistances de barres rotoriques sur le glissementen pleine charge
glissement. Mais la specificite de ce parametre est qu’il a un effet inverse sur le
dephasage entre les tensions et les courants du stator, une augmentation de ce dernier
fait baisser le dephasage Φx.
Par definition, la modelisation est la representation d’une partie de la realite. le
modele ici expose est loin de prendre en consideration tous les phenomenes qui se
passent dans la machine. Pour corriger certaines hypotheses simplificatrices, Nous
avons deja presente plusieurs coefficients correcteurs :
– le coefficient de Carter pour incorporer les formes d’encoches statoriques dans
l’entrefer fictif e Lateb (2006), Gillon (1997).
– les facteurs de permeance d’encoche et de tetes de bobine pour determiner les
fuites selon les formes geometriques de la machine Devanneaux (2002), Grellet.
Un autre phenomene n’est pas pris en consideration lors du calcul des resistances
et des inductances selon les formes geometriques de la machine, est celui de l’effet de
peau. L’une des solutions consiste a le modeliser par le coefficient de Kelvin (calcule
analytiquement en fonction de la forme geometrique des barres ou des encoches)
Lateb (2006). Toutefois, ces formulations simples ne sont pas valables pour n’importe
quelle forme d’encoches, et surtout pour les machines de petite taille.
La technique d’ajustement des parametres s’avere une bonne approximation des
phenomenes qui se passent au sein de la machine, et qui permet d’approcher le plus
que possible le point de fonctionnement de la machine a simuler.
3.4. Validation experimentale 123
3.4 Validation experimentale
3.4.1 Parametrage du modele
Le but, est de trouver le bon jeu de parametres, pour approcher le plus que
possible le point de fonctionnement du simulateur de celui de la M.AS.Reelle.
Pour se faire, nous nous sommes bases sur quatre criteres de comparaison :
– le courant actif consomme par la machine,
– le courant reactif consomme par la machine,
– la vitesse angulaire du rotor,
– et le dephasage entre les tensions et les courants statoriques.
Avant d’entamer la comparaison proprement dite, nous avons remarque que le
simulateur produit plus d’harmoniques d’espace dues a l’effet d’encoches que le sys-
teme reel. Ceci est du principalement au choix des formes rectangulaires pour les
fonctions de repartition de l’induction magnetique dans l’entrefer (negligemment de
la magnetisation du fer) et a la non prise en compte de l’inclinaison des barres roto-
riques. Ceci est du aussi a d’autres phenomenes non pris en consideration au niveau
du simulateur qui sont la saturation du fer au niveau de dents des encoches,. . .
Afin de comparer les phenomenes qui existent a la fois au niveau du simulateur
et au niveau du systeme reel, nous avons choisi de filtrer les signaux a comparer.
Ce filtrage a ete fait avec un filtre numerique d’ordre 6 et de frequence de coupure
fc = 100Hz.
Ce filtrage a pour effet d’introduire un dephasage sur les grandeurs filtrees (Fig :
3.30). Pour garder le meme dephasage entre les tensions et les courants a analyser,
nous appliquons le meme filtre sur les tensions et les courants que ce soit experimen-
taux ou de simulation.
124 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
0.6 0.605 0.61 0.615 0.62 0.625 0.63 0.635 0.64 0.645 0.65−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
t (s)
I(A
)Courantfiltre
Courantnon filtre
Fig. 3.30 – Dephasage introduit par le filtre
3.4.1.1 Prise en consideration des pertes fer
Nous commencons, d’abord, par l’ajustement des courants actifs du simulateur
par rapport a ceux issus d’experimentation. En faisant une premiere comparaison
nous nous sommes rendu compte que, a vide, il y a un grand ecart entres les cou-
rants actifs de simulation et ceux d’experimentation (Fig : 3.31). Cette difference
est due, en grande partie, aux pertes fer non prises en compte par le simulateur. En
fait, les courants de simulation ne representent que les pertes joule au niveau des
enroulements statoriques (pour une resistance de phase Rx = 9.8Ω).
0.45 0.455 0.46 0.465 0.47 0.475 0.48 0.485 0.49 0.495 0.5
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
t (s)
Iph
act
(A)
Courant de simulationavec pertes fer
Courant de simulationsans pertes fer
Courant experimental
Fig. 3.31 – Courant actif statorique avec et sans pertes fer (a vide)
Cet ecart peut etre rattrape par l’addition, en post-simulation, d’un courant de
3.4. Validation experimentale 125
meme phase que la tension et avec une amplitude adequate :
Iphx avec pertes fer = Iphx + Uphx
Rpertes fer
(3.49)
Les figures 3.31 et 3.32 illustrent l’incidence de cette operation sur le courant
actif de simulation, a vide et en pleine charge, pour une resistance de pertes fer
Rpertes fer = 1300Ω. Cette operation nous permet, aussi, de rattraper l’ecart de
dephasage qui existait entre le simulateur et la M.AS.Reelle, comme illustre par la
figure 3.34.
0.8 0.805 0.81 0.815 0.82 0.825 0.83 0.835 0.84 0.845 0.85
−3
−2
−1
0
1
2
3
t (s)
Iph
1act
(A)
Courant actif sans pertes fer (sim)Courant actif avec pertes fer (sim)Courant actif experimental
Fig. 3.32 – Courant actif statorique avec et sans pertes fer (en plein charge)
3.4.1.2 Ajustement du courant reactif
Nous venons d’exposer, dans la section precedente, que le courant reactif
consomme par la machine simulee est tres sensible a plusieurs parametres Lfs , Lfr ,
Rr et e. Nous avons remarque, aussi, que les trois premiers parametres n’ont pas une
grande incidence sur le courant reactif a vide. C’est pour cette raison que nous fixions
une premiere valeur de l’entrefer fictif, en ajustant le courant reactif consomme a
vide, tout en respectant la condition e > eméc. La figure 3.33 compare le courant
reactif de simulation et experimental pour e = 0.55mm.
Le fait de faire cet ajustement a vide nous procure une certaine immunite contre
l’incidence de la variation des inductances de fuites et de la resistance rotorique,
lors de l’ajustement du dephasage et du glissement du simulateur. L’ajustement du
courant reactif en pleine charge peut se faire en agissant, a la fois, sur Lfs , Lfr et Rr.
126 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
0.45 0.455 0.46 0.465 0.47 0.475 0.48 0.485 0.49 0.495 0.5−3
−2
−1
0
1
2
3
t (s)
Iph
1re
ac(A
)
SimulationExperimentation
Fig. 3.33 – Courant reactif experimental et de simulation a vide
3.4.1.3 Ajustement du dephasage
Ce critere est tres sensible a tous les parametres (e, Lfs , Lfr et Rr), ce qui rend
l’ajustement de ce critere tres delicat. En fait, plusieurs combinaisons de ces para-
metres nous permettent de trouver une bonne valeur du dephasage, mais a chaque
fois qu’on fait varier la valeur d’un parametre il y aura d’autres repercussions sur les
autres criteres, qu’on vient de satisfaire. En effet il faut iterer ces etapes, plusieurs
fois, jusqu’a trouver une bonne combinaison des parametres, permettant de satisfaire
tous les criteres.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
20
40
60
80
100
X: 0.6131Y: 83.05
t (s)
Φph
1(
)
X: 0.5261Y: 76.84
X: 1.005Y: 38.06
Sim sans pertes ferExp a videSim avec pertes ferExp en pleine charge
79.5
35.71
Fig. 3.34 – Dephasage entre tensions et courants statoriques de simulation et experimental
La prise en consideration des pertes fer nous a permis de rapprocher plus les
valeurs prises par le dephasage, entre les tensions et les courants statoriques Φphx en
3.4. Validation experimentale 127
simulation a celui issu de l’experimentation. La figure 3.34 illustre le comportement
assez proche du simulateur par rapport a l’experimentation.
Ce dephasage sera parmi les criteres les plus importants sur lesquels nous nous
basons lors de la caracterisation d’un defaut de court-circuit au stator.
3.4.1.4 Ajustement du glissement
Ce critere est le plus simple a satisfaire, car la resistance des barres rotoriques
est le parametre le plus influant sur le glissement de la machine, cela nous permet de
rattraper les ecarts dus a l’ajustement des autres criteres en agissant sur la valeur
de cette resistance. La figure 3.35 compare la vitesse angulaire du rotor, a vide et
en pleine charge, de simulation a celle d’experimentation.
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2140
145
150
155
160
X: 0.987Y: 148.9
t (s)
Ωr
(rad
/s)
SimulationExperimentation a videExperimentation en pleine charge
149
156.6
Fig. 3.35 – Vitesse angulaire a vide et en pleine charge (Cr = 7Nm a t = 0.7s)
3.4.1.5 Le jeu de parametres selectionnes
Nous n’avons presente dans ce qui precede que le principe avec lequel nous avons
fait le choix des parametres les plus influents. Ca n’empeche pas que le point de
fonctionnement du Mod.C.324 (simulee) depend d’autres parametres, que nous ne
pouvons pas negliger. Le tableau 3.2 expose le jeu de parametres definitif, fourni au
simulateur pour aboutir au comportement expose par les figures precedentes.
128 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
Tab. 3.2 – Le jeu de parametres introduit au MetaModele
Parametres Valeurs
de
sim
ula
tion exMax 230
√2V
Fs 50Hzfv 0.00119J 0.0125N.m.s2.rad−1
Pas de calcul dynamique
Coup Alim Triangle
du
stato
r
Couplage Triangle
N 3p 2Ne 4nxyz 58 spires
[b1, b2, b3] [4.234, 2.2, 2.935]mm[h1, h2] [9.98, 0.6]mmεxyz 1.19Rx 9.8 Ω
Topologie Concentrique
du
roto
r
Type a cage
Nr 28[b1, b2, b3] [1.4, 0, 5.253]mm[h1, h2] [16.048, 0.5]mmεk 0.38Rb 61µΩ
Rexta = Rint
a .56e− 6Lext
p
a = Lintp
a 1.7e− 9Lext
f
a = Lintf
a 1.7e− 9nk 1 spiresRr 45mm
Com
muns µ0 4π10−7
e 0.58mmL 54mm
Repartition de F rectangulaire
3.4.2 Validation frequentielle
L’analyse frequentielle des courants statoriques d’une machine asynchrone peut
reveler plusieurs informations. l’analyse spectrale des signaux d’une machine asyn-
chrone, etait parmi les premieres techniques de detection d’anomalies electrique ou
3.4. Validation experimentale 129
mecanique au sein de la machine. Les caracteristiques geometriques de la machine
(nombre de barres, nombre d’encoches, la forme des encoches...) sont une cause
directe de la richesse des ces spectres de courant.
Parmi les harmoniques les plus visibles sur un spectre de courants, on peut
citer les harmoniques d’encoches, plus specifiquement les harmoniques principales
d’encoches rotoriques fenc Devanneaux (2002). Ces frequences peuvent etre calculees
analytiquement par l’expression (3.50).
fenc =[k ·Nr
(1− gp
)± ν
]· Fs avec
k ∈ N,ν ∈ 1, 3, 5, 7, . . .,g : glissement.
(3.50)
Tab. 3.3 – Frequences d’encoches significatives (Hz)HH
HHHHνk 1 2 3 4 5
1613.99 1277.98 1941.98 2605.97 3269.97
713.99 1377.98 2041.98 2705.97 3369.97
3513.99 1177.98 1841.98 2505.97 3169.97
813.99 1477.98 2141.98 2805.97 3469.97
La figure 3.36 presente la densite spectrale de puissance du courant de la phase 1,
sur laquelle nous avons repere les frequences, correspondantes a un ν = 1, du tableau
3.3, pour un g = 5.14%. Nous signalons que les frequences d’encoches pour un
ν > 1 sont representees par les rais a droite et a gauche des harmoniques principales
reperees sur cette figure.
En experimentation, ces harmoniques sont moins visibles qu’en simulation (Fig :
3.37). Cette difference est due a plusieurs causes :
– la presence de bruit sur les courants experimentaux qui peut masquer quelques
raies,
– l’inclinaison des barres de la M.AS.Reelle,
– la saturation du fer au niveau des dents d’encoches,
– le systeme d’acquisition utilise a une frequence de coupure a 2500Hz.
On remarque que les harmoniques d’espace (3, 5, 7. . .) n’existent pas en simula-
tion car les inductances du modele sont independantes de la position du rotor (sauf
evidement les mutuelles stator/rotor).
130 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500−200
−150
−100
−50
0
50
f (Hz)
DSP
Iph
1(d
B)
613
Hz
713
Hz
1278
Hz 13
78 H
z
1942
Hz
2040
Hz
2606
Hz
2706
Hz
3270
Hz
3370
Hz
Fig. 3.36 – Analyse spectrale de Iph1 de simulation en pleine charge
0 500 1000 1500−200
−150
−100
−50
0
50
f (Hz)
DSP
de
Iph
1(d
B)
1278
Hz
713
Hz
613
Hz 13
78 H
z
(a) Simulation
0 500 1000 1500−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
f (Hz)
DSP
de
Iph
1(d
B)
50 H
z
613
Hz
713
Hz
1278
Hz
1378
Hz
(b) Experimentation
Fig. 3.37 – Analyse spectrale de Iph1 en pleine charge sur une plage de [0 1500]Hz
3.4. Validation experimentale 131
3.4.3 Validation par identification parametrique
La deuxieme technique de validation que nous allons utiliser est basee sur l’iden-
tification parametrique du modele de Park equivalent au modele genere par le Me-
taModele.
La technique d’identification que nous avons adopte est basee sur l’algorithme
par erreur de sortie, cette technique ne fait aucune hypothese sur la linearite du
modele et elle fournit une estimation non biaisee en boucle ouverte Bachir et al.
(2008).
3.4.3.1 Principe de l’algorithme d’identification du type erreur de sortie
Considerons un systeme decrit par le modele d’etat general d’ordre n, dependant
du vecteur parametres θ : x = g (x, θ, u)y = f (x, θ, u)
avec
dim(x) = n
dim(θ) = N(3.51)
ou y(t) et u(t) sont consideres mono-dimensionnels uniquement pour simplifier la
presentation. On remarquera qu’aucune hypothese de linearite n’est necessaire : g
et f sont des lois issues d’un raisonnement physique, qui en general ne sont pas
lineaires. On fera cependant l’hypothese que le systeme est identifiable Walter et
Pronzato (1997).
Soit θ une estimation de θ. Alors grace a u(t), connue aux instants d’echantillon-
nage uk, on obtient une simulation yk de la sortie, soit x = g(x, θ, u
)y = f
(x, θ, u
) (3.52)
L’estimation optimale de θ est obtenue par minimisation du critere quadratique :
J =K∑k=1
ε2k =
K∑k=1
(y∗k − yk
(uk, θ
))2(3.53)
ou y∗k est la mesure de la sortie perturbee par le bruit bk.
Comme la sortie n’est pas lineaire en θ, la minimisation de ce critere s’effectue par
132 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
une methode de Programmation Non Lineaire (P.N.L.) Richalet et al. (1971). Ainsi,
la valeur optimale du vecteur parametre notee θopt est obtenue par un algorithme
d’optimisation iteratif Himmelblau (1972).
L’algorithme de Marquardt Marquardt (1963) offre un bon compromis entre
robustesse et rapidite de convergence. Les parametres a estimer sont reactualises
selon la loi :
θi+1 = θi − [J ′′θθ + λ I]−1 · J ′θ θ=θi(3.54)
Les algorithmes d’erreur de sortie different surtout par la facon de gerer l’optimi-
sation. Pour notre part, nous avons opte pour le calcul du gradient par les fonctions
de sensibilite parametrique. On prend donc :
– J′
θ = −2K∑k=1
εkσk : gradient du critere,
– J′′θθ ≈ 2
K∑k=1
σkσTk : pseudo-hessien du critere,
– λ : parametre de reglage,
– σk,θi = ∂yk∂θi
: fonction de sensibilite parametrique vis-a-vis des sorties yk.
La particularite essentielle de cette technique d’identification reside dans la si-
mulation du modele yk sur la seule connaissance de l’excitation uk et du vecteur
parametres θ : c’est cette simulation qui garantit l’absence de biais asymptotique si
le systeme fonctionne en boucle ouverte Trigeassou et al. (2003), Bazine (2008) ; en
consequence, les residus sont l’image de la perturbation affectant le systeme.
Les fonctions de sensibilite ∂yk∂θi
(qui sont l’analogue des variables explicatives de
la methode des moindres carres) jouent elles aussi un role essentiel dans la recherche
de l’optimum : en effet, le gradient depend directement de leur calcul (ainsi que de
la simulation du modele yk a travers εk). On en deduit que si le calcul des σk,θi est
errone, il en sera de meme du gradient et donc de l’optimum obtenu.
3.4.3.2 Resultats d’identification
Le tableau 3.4 presente les resultats de l’identification parametrique du modele
de Park equivalent au Mod.C.324. Cette identification est faite avec l’excitation en
tension introduite par le scenario 3.7.
3.5. Conclusion 133
Scenario 3.7 Excitation en tension a vide et en pleine charge :
a t=0s : On demarre avec les parametres du tableau 3.2,
a t=0.3s :EMax = [230.
√2, 10, 10, 10, 10] (V ),
Fs = [50, 10, 20, 30, 40] (Hz),
a t=2.3s : On applique un couple resistant Cr = 7Nm,
Tab. 3.4 – Estimation parametrique du Mod.C.324
Parametres En pleine charge A vide
Rs (Ω) 9.343 9.298
Rr (Ω) 4.376 4.330
Lm (mH) 419.38 412.78
Lf (mH) 56.405 56.317
Le tableau 3.5 presente les resultats de l’identification parametrique de la
M.AS.Reelle, ces resultats sont obtenus en utilisant la meme excitation en tension
sur le banc d’essai.
Tab. 3.5 – Estimation parametrique de la M.AS.Reelle
Parametres En pleine charge A vide
Rs (Ω) 10.121 9.7774
Rr (Ω) 3.1363 3.8588
Lm (mH) 414.65 433.61
Lf (mH) 50.538 78.516
On remarque, que les parametres estimes issus de simulation et ceux issus de
l’experimentation sont assez comparables, nous remarquons aussi que Rs experi-
mentale est toujours superieure a celle de simulation. Cette difference est due en
grande partie aux pertes fer dans la machine, que l’algorithme essaie de compenser
par les pertes joule dans la resistance des enroulements.
3.5 Conclusion
Nous avons commence ce chapitre par une presentation de la topologie du bo-
binage de la M.AS.Reelle, puis nous avons expose les etapes empruntees, par le
134 Chapitre 3. Validation et parametrage d’un modele
MetaModele expose dans le chapitre 2, lors de la generation automatique du
modele correspondant a cette topologie. Cette etape nous a permis de concretiser
le developpement theorique du chapitre precedent par un exemple, de bien exposer
le principe de la prise en compte de la topologie electrique de la machine par des
matrices de connexion, et de donner un apercu du potentiel de cette technique de
modelisation multi-niveaux (enroulement, bobine, phase et boucles de resolution).
Quelques resultats numeriques issus de la plate-forme de simulation « IMSim-
Kernel » developpee dans la cadre de cette these, nous ont permis d’etudier l’in-
cidence de la variation de quelques parametres electriques sur le comportement du
modele. Cette « experimentation » nous a offert la possibilite de bien parametrer le
modele, dans le but de rapprocher le point de fonctionnement du simulateur a celui
de la M.AS.Reelle. Ce point de fonctionnement a une grande importance, surtout,
au cours de la validation du comportement defaillant du modele.
Une validation frequentielle et par identification parametrique vient completer la
comparaison des signaux temporels, menee lors du choix des parametres du simula-
teur. L’analyse des courants statoriques de simulation montre la richesse harmonique
de la modelisation adoptee. Celle-ci resulte de la prise en consideration de la topo-
logie du bobinage de la machine, que ce soit au stator ou au rotor. La deuxieme
technique de validation a montre que, vu par l’algorithme d’identification, les si-
gnaux issus de l’experimentation ou de la simulation sont assez similaires, et que le
simulateur peut etre utilise comme un outil d’experimentation virtuel des techniques
de detection et de localisation de defaillances.
Nous exposons dans le chapitre suivant, le principe avec lequel le MetaMo-
dele prendra en consideration l’apparition de certaines defaillances qui peuvent
toucher la machine asynchrone.
Sommaire
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2 Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 137
4.3 Defauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse . 164
4.4 Defaillance de rupture de barres ou d’anneaux de court-circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.5 Defaut d’excentricite statique et/ou dynamique . . . . . . . 177
4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Chapitre
4
3ME de la machine asynchrone enprésence de défauts
Ce chapitre a pour but d’enrichir la methodologie de modelisation multi-
enroulements « 3ME », presentee dans le chapitre 2, en exposant le principe de
la prise en consideration de la presence d’un defaut. Ce defaut peut etre un defaut
de court-circuit de spires au sein d’une meme phase, un court-circuit entre phase
et carcasse ou une rupture de barres. Nous montrons alors comment le MetaMo-
dele prend en compte chacune de ces alterations topologiques.
135
4.1. Introduction 137
4.1 Introduction
De multiples defaillances peuvent apparaıtre dans la machine asynchrone, elles
peuvent etre previsibles ou intempestives, mecaniques, electriques ou magnetiques,
et leurs causes sont tres variees.
Un outil permettant la synthese des signaux de toute une gamme des machines
asynchrones, en presence de plusieurs types de defaillance, avec des temps de simu-
lation acceptables, sera d’une grande utilite pour arriver a :
– Comprendre la genese de ces defauts, de maniere a prevoir leurs gravites et
leurs developpements.
– Analyser leurs impacts sur le comportement de la machine et en deduire les
signatures permettant, a posteriori, de remonter jusqu’a la cause de la de-
faillance.
L’objectif de ce chapitre est de doter le MetaModele , developpe dans le cha-
pitre 2, de la possibilite de s’auto-adapter aux alterations topologiques dues a l’ap-
parition des defauts de type :
– court-circuit de spires au sein d’une meme phase,
– court-circuit entre phase et carcasse,
– rupture de barres ou d’anneaux de court-circuit.
A chaque etape de modelisation nous faisons correspondre un exemple concret,
celui de la Mod.C.324 , qui nous a servie de prototype d’experimentation virtuelle
et de validation du modele sain (chapitre 3).
4.2 Defauts de court-circuit de spires au sein de
la meme phase
Nous reprenons la modelisation d’un enroulement elementaire, exposee dans la
section 2.3.1, en introduisant la possibilite de provoquer un court-circuit de spires
au sein de cet enroulement.
138 Chapitre 4. 3ME des defauts
4.2.1 Principe de modelisation
4.2.1.1 Modele electrique
Nous schematisons a present un enroulement elementaire, d’indice xyz et a nxyz
spires, et ayant un defaut de court-circuit de spires, par le schema de la figure 4.1.
Nous venons d’introduire, via cette schematisation, un point d’acces inter-spires,
ainsi qu’une resistance de court-circuit Rccxyz.
Une valeur non nulle de cette resistance peut expliquer deux contextes de court-
circuit. Le premier est que le contact de court-circuit n’est pas parfait et presente une
resistance de contact non nulle. Le deuxieme est le fait de mettre, deliberement, une
resistance de court-circuit non nulle ; dans le but de se rapprocher des conditions
reelles experimentales. En effet, nous avons eu recours a cette technique lors des
essais experimentaux, afin de limiter le courant de court-circuit Iccxyz a une valeur
efficace de l’ordre de 10A.
Ihxyz
(R, L)hxyz
Uhxyz
Idxyz
(R, L)dxyz
Udxyz
Iccxyz
Rccxyz
U ccxyz
Fig. 4.1 – Modele electrique d’un enroulement avec un defaut de court-circuit de ndxyzspires.
Le systeme d’equations differentielles regissant le comportement de ce dipole
s’ecrit :
Uhxyz = Rh
xyz · Ihxyz +d(Lhxyz · Ihxyz +Mh←d
xyz · Idxyz)dt
U ccxyz = Rcc
xyz · Iccxyz
Udxyz = Rd
xyz · Idxyz +d(Ldxyz · Idxyz +Md←h
xyz · Ihxyz)dt
U ccxyz = Ud
xyz
(4.1)
avec,
Rhxyz : est la resistance de la partie non court-circuitee de l’enroulement xyz,
Rdxyz : est la resistance des ndxyz spires, court-circuitees, de l’enroulement xyz,
4.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 139
Rccxyz : est la resistance de court-circuit de l’enroulement xyz,
Lhxyz = Lhp
xyz + Lhf
xyz : est l’inductance totale de la partie non court-circuitee de l’en-
roulement xyz (p : propre et f : de fuite),
Ldxyz = Ldp
xyz + Ldf
xyz : est l’inductance totale des ndxyz spires, court-circuitees, de l’en-
roulement xyz,
Sachant que, ces inductances propres sont calculees selon l’equation (2.16), en se
basant sur les nouvelles fonctions de repartition de l’inductance surfacielle (4.2) et
(4.3).
Fhxyz(ϕ) = µ0
e· (nxyz − ndxyz)
2π −wxyz
2π si ϕ ∈ ϕint,
Fhxyz(ϕ) = −µ0
e· (nxyz − ndxyz)
wxyz
2π si ϕ ∈ ϕext.(4.2)
Fdxyz(ϕ) = µ0
e· ndxyz
2π −wxyz
2π si ϕ ∈ ϕint,
Fdxyz(ϕ) = −µ0
e· ndxyz
wxyz
2π si ϕ ∈ ϕext.(4.3)
Et que les inductances de fuites sont calculees par les expressions suivantes :
Lhf
xyz = εxyz · (Lhfxyz + Lhfxyz)
Ldf
xyz = εdxyz · (Ldf
xyz + Ldfxyz)(4.4)
sachant que les inductances de fuites d’encoches et de tetes de bobines sont deduites
via les expressions (2.26) et (2.27) en fonction du nombre de spires correspondant.
4.2.1.2 Mise en equation
L’ecriture matricielle du systeme d’equations differentielles (4.1) donne :
[U ]enrxyz = [R]enrxyz[I]enrxyz +d([L]enrxyz[I]enrxyz)
dt(4.5)
avec,
[U ]enrxyz =
Uhxyz
U ccxyz
Udxyz
, [I]enrxyz =
IhxyzIccxyzIdxyz
(4.6)
140 Chapitre 4. 3ME des defauts
ainsi que
[R]enrxyz =
Rhxyz 0 00 Rcc
xyz 00 0 Rd
xyz
(4.7)
et
[L]enrxyz =
Lhxyz 0 Mh←d
xyz
0 0 0Md←h
xyz 0 Ldxyz
(4.8)
sachant que la valeur de l’inductance mutuelle entre les spires saines et les spires
court-circuitees de cet enroulement. sont calculees a partir des expressions donnees
par (4.9) et (4.10),
Mh←dxyz = L ·Rxyz · (nxyz − ndxyz) ·
∫ βxyz
αxyzFdxyz(ϕ) dϕ (4.9)
Md←hxyz = L ·Rxyz · ndxyz ·
∫ βxyz
αxyzFhxyz(ϕ) dϕ (4.10)
4.2.1.3 Prise en consideration de la topologie electrique
Ce systeme a trois equations differentielles ne peut etre resolu tel qu’il est ; il
faut le transformer en un systeme d’equations differentielles independantes. Une telle
transformation peut se faire de plusieurs manieres, nous adoptons toujours la meme
demarche que le chapitre precedent, et nous definissions les boucles de resolution
presentees par la figure 4.2.
Ihxyz
(R, L)hxyz
Uhxyz
Idxyz
(R, L)dxyz
Udxyz
Iccxyz
Rccxyz
U ccxyz
Idxyz
Uxyz
Ixyz
Fig. 4.2 – Les boucles adoptees pour un enroulement en defaut
4.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 141
Nous introduisons, par les relations matricielles (4.11) et (4.12), la matrice de
connexion [D]enr←Enrxyz , permettant de faire le passage entre les grandeurs de branches
et les grandeurs de boucles de cet enroulement.
[I]enrxyz =
1 00 11 −1
·
IxyzIdxyz
= [D]enr←Enrxyz · [I]Enrxyz
(4.11)
et
[U ]Enrxyz =UxyzUdxyz
= [D]enr←Enrtxyz · [U ]enrxyz (4.12)
avec, Udxyz = 0 pour un defaut de court-circuit au sein d’une meme phase.
En faisant intervenir cette matrice dans le systeme d’equations differentielles de
l’expression (4.5), nous introduisons les nouvelles matrices [R]Enrxyz et [L]Enrxyz . Ces
matrices definissent le nouveau systeme d’equations differentielles independantes de
l’expression (4.13).
[U ]Enrxyz = [D]enr←Enrtxyz [R]enrxyz [D]enr←Enrxyz︸ ︷︷ ︸[R]Enrxyz
·[I]Enrxyz
+d(
[L]Enrxyz︷ ︸︸ ︷[D]enr←Enrtxyz [L]enrxyz [D]enr←Enrxyz ·[I]Enrxyz )
dt(4.13)
Nous tenons a signaler que ces nouvelles matrices n’interviennent pas directement
au cours de la creation du modele complet de la machine ; elles ne sont evoquees ici
qu’a titre explicatif. En fait, le MetaModele suit la meme demarche de generation
modulaire, presentee dans le chapitre 2, basee sur les matrices elementaires ([R]enrxyz et
[L]enrxyz) ainsi que la nouvelle matrice de connexion ([D]enr←Enrxyz ) de cet enroulement.
Avant de passer a la formalisation du couplage magnetique entre cet enroulement
et les autres, nous exposons brievement, dans le tableau 4.1, les differentes formes
que peuvent avoir les matrices representant un enroulement en defaut selon ndxyz.
142 Chapitre 4. 3ME des defauts
Tab. 4.1 – ([U ], [I], [R], [L])enrxyz et [D]enr←Enrxyz en fonction du nombre de spires court-circuitees d’un enroulement elementaire
Matrice ndxyz = 0 0 < ndxyz < nxyz ndxyz = nxyz
[U ]enrxyz Uhxyz
Uhxyz
U ccxyz
Udxyz
U cc
xyz
Udxyz
[I]enrxyz Ihxyz
Ihxyz
Iccxyz
Idxyz
IccxyzIdxyz
[R]enrxyz Rhxyz
Rhxyz 0 0
0 Rccxyz 0
0 0 Rdxyz
Rcc
xyz 0
0 Rdxyz
[L]enrxyz Lhxyz
Lhxyz 0 Mh←d
xyz
0 0 0
Md←hxyz 0 Ldxyz
0 0
0 Ldxyz
[D]enr←Enrxyz 1
1 0
0 1
1 −1
0 1
1 −1
Nous avons evoque, dans la section 2.5.3, que la resolution numerique du systeme
d’etat, regissant le comportement de la machine, est tres sensible aux constantes
de temps des sous-systemes elementaires mis en jeux. En introduisant un defaut
de court-circuit, nous avons defini une deuxieme equation differentielle, celle de la
boucle de defaut, ce sous-systeme a comme constante de temps :
τ d = Ld
Rcc +Rd(4.14)
tandis que la constante de temps principale est egale a :
τ = Lh + Ld
Rh +Rd(4.15)
4.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 143
Il est evident que pour Rcc donnee different de zero, plus le nombre de spires en
court-circuit est petit, plus la constante de temps τ d de la boucle de defaut est
petite, et l’algorithme de resolution doit diminuer d’avantage le pas de calcul.
4.2.2 Auto adaptation du modele lors de l’apparition des
defauts de C-C
4.2.2.1 Au niveau de bobines
Reprenons, les Ne enroulements elementaires formant la bobine d’indice xy de la
figure 2.17(a). Supposons, maintenant, que cette bobine renferme des enroulements
en defaut, d’indices xyzi et xyzj , comme illustre par la figure 4.3.
4.2.2.1.1 Matrices elementaires
Les matrices decrivant cette bobine, et formant le systeme d’equations differen-
tielles de l’expression (2.35), deviennent :
[U ]enrxy =
Uxy1
:[U ]enrxyzi
:[U ]enrxyzj
:UxyNe
, [I]enrxy =
Ixy1
:[I]enrxyzi
:[I]enrxyzj
:IxyNe
(4.16)
[R]enrxy =
Rxy1 · · [0] · · [0] · · 0: · . : : :
[0] · · [R]enrxyzi· · [0] · · [0]
: : · . : :[0] · · [0] · · [R]enrxyzj
· · [0]: : : · . :0 · · [0] · · [0] · · RxyNe
(4.17)
144 Chapitre 4. 3ME des defauts
Ixy1(R, L)xy1
Uxy1
Ihxyzi
(R, L)hxyzi
Uhxyzi
Idxyzi
(R, L)dxyzi
Udxyzi
Iccxyzi
Rccxyzi
U ccxyzi
Idxyzi
Ihxyzj
(R, L)hxyzj
Uhxyzj
Idxyzj
(R, L)dxyzj
Udxyzj
Iccxyzj
Rccxyzj
U ccxyzj Id
xyzj
IxyNe
(R, L)xyNe
UxyNe
UxyIxy
(a) Schematisation eclatee.
Ihxy
(R, L)hxy Id
xyzi
(R, L)dxyzi
Iccxyzi
Rccxyzi
Idxyzi
Idxyzj
(R, L)dxyzj
Iccxyzj
Rccxyzj
Idxyzj
Uxy
Ixy
(b) Schematisation compacte.
Fig. 4.3 – Modele electrique d’une bobine en presence de C-C
4.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 145
et [L]enrxy =
Lxy1 · · [M ]enrxy1←xyzi · · [M ]enrxy1←xyzj · · Mxy1←xyNe
: · . : : :[M ]enrxyzi←xy1 · · [L]enrxyzi
· · [M ]enrxyzi←xyzj · · [M ]enrxyzi←xyNe: : · . : :
[M ]enrxyzj←xy1 · · [M ]enrxyzj←xyzi · · [L]enrxyzj· · [M ]enrxyzj←xyNe
: : : · . :MxyNe←xy1 · · [M ]enrxyNe←xyzi · · [M ]enrxyNe←xyzj · · LxyNe
(4.18)
Sachant que, les matrices des inductances mutuelles entre deux enroulements quel-
conques, sont construites selon le tableau 4.2. Ce tableau presente les differentes
formes que peut avoir la matrice [M ]enrxiyizi←xjyjzj , representant le couplage magne-
tique entre deux enroulements quelconques, defaillants ou sains, appartenant tous
les deux au stator ou l’un appartient au stator et l’autre appartient au rotor.
Tab. 4.2 – [M ]enrxiyizi←xjyjzjen fonction du nombre de spires court-circuitees de l’un et/ou
de l’autre
@@
@ndxjyjzj
= 0 0 < ndxjyjzj< nxjyjzj ndxjyjzj
= nxjyjzj
nd x
iy
iz
i=
0
Mh←hxiyizi←xjyjzj
[Mh←h
xiyizi←xjyjzj 0 Mh←dxiyizi←xjyjzj
] [0 Mh←d
xiyizi←xjyjzj
]
0<nd x
iy
iz
i<nx
iy
iz
i
Mh←h
xiyizi←xjyjzj
0Md←h
xiyizi←xjyjzj
Mh←h
xiyizi←xjyjzj 0 Mh←dxiyizi←xjyjzj
0 0 0Md←h
xiyizi←xjyjzj 0 Md←dxiyizi←xjyjzj
0 Mh←d
xiyizi←xjyjzj
0 00 Md←d
xiyizi←xjyjzj
nd x
iy
iz
i=nx
iy
iz
i 0Md←h
xiyizi←xjyjzj
0 0 0Md←h
xiyizi←xjyjzj 0 Md←dxiyizi←xjyjzj
0 00 Md←d
xiyizi←xjyjzj
Les inductances mutuelles elementaires constituant cette matrice sont deduites
de la repartition de l’inductance surfacielle correspondante, definie par l’expression
146 Chapitre 4. 3ME des defauts
(4.2) ou (4.3), selon les relations suivantes :
Mh←hxiyizi←xjyjzj = L ·Rxiyizi · (nxiyizi − ndxiyizi) ·
∫ βxiyizi
αxiyizi
Fhxjyjzj(ϕ) dϕ (4.19)
Mh←dxiyizi←xjyjzj = L ·Rxiyizi · (nxiyizi − ndxiyizi) ·
∫ βxiyizi
αxiyizi
Fdxjyjzj(ϕ) dϕ (4.20)
Md←hxiyizi←xjyjzj = L ·Rxiyizi · ndxiyizi ·
∫ βxiyizi
αxiyizi
Fhxjyjzj(ϕ) dϕ (4.21)
Md←dxiyizi←xjyjzj = L ·Rxiyizi · ndxiyizi ·
∫ βxiyizi
αxiyizi
Fdxjyjzj(ϕ) dϕ (4.22)
4.2.2.1.2 Matrices de connexion
Nous avons introduit la matrices de connexion [D]enr←bobxy lors de l’etablissement
de la relation (2.39), en se contentant de donner la valeur prise par cette matrice
pour une bobine saine, sans entrer dans les details de la generation automatique du
MetaModele.
En realite, l’auto generation de cette matrice de connexion, selon la topologie
d’une bobine, passe par deux etapes. Chaque etape assure le passage entre deux
niveaux de representation differents. L’apparition de defauts de C-C introduit des
nouveaux sous-systemes, representant les boucles de defaut selon la figure 4.3. Nous
definissions, alors, la couche des courants de boucles d’enroulements elementaires no-
tee par Enr. Cette nouvelle couche d’abstraction necessite l’introduction de nouvelles
matrices de passage :
– la matrice de passage entre les grandeurs de branches et les grandeurs de
boucles [D]enr←Enrxy ,
– la matrice de passage entre les grandeurs de boucles d’enroulements et les
grandeurs de boucles de bobine [D]Enr←Bobxy ,
– ce qui nous ramene a deduire la matrice de passage definitive [D]enr←Bobxy .
Remarque 4.1 Nous tenons a signaler que la matrice [D]enr←Bobxy substituera la matrice
de passage [D]enr←bobxy , decrite dans la section 2.3.2.3, et que les grandeurs de Bob
substitueront celles de bob. Sachant que si la bobine est saine, les nouvelles matrices
de passage seront identiques a celles de bob, et nous aurons les egalites suivantes :
Uxy = [U ]Bobxy
Ixy = [I]Bobxy
Rxy = [R]Bobxy
Lxy = [L]Bobxy
et[D]enr←bobxy = [D]enr←Bobxy
[D]enr←Enrxy = la matrice identite
4.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 147
Le MetaModele poursuit, alors, sa generation du modele selon la 3ME, sans
que cet evenement1 ne perturbe ce processus.
[D]enr←Enrxy :
Cette matrice se deduit en exprimant les courants de branches en fonction des
courants de boucles elementaires (4.23), et les tensions de boucles en fonction des
tensions elementaires de branches (4.24) .
[I]enrxy =
Denr←Enrxy1 · · [0] · · [0] · · 0
: · . : : :[0] · · [D]enr←Enrxyzi
· · [0] · · [0]: : · . : :
[0] · · [0] · · [D]enr←Enrxyzj· · [0]
: : : · . :0 · · [0] · · [0] · · Denr←Enr
xyNe
·
Ixy1
:[I]Enrxyzi
:[I]Enrxyzj
:IxyNe
[D]enr←Enrxy · [I]Enrxy
(4.23)
On en deduit la relation des tensions :
[U ]Enrxy =
Uxy1
:[U ]Enrxyzi
:[U ]Enrxyzj
:UxyNe
= [D]enr←Enrtxy · [U ]enrxy (4.24)
Nous rappelons que pour un enroulement sain, expose dans la premiere colonne du
tableau 4.1, il n’y a pas de difference entre les grandeurs de boucles et les grandeurs
de branches.
[D]Enr←Bobxy :
Des l’apparition d’un defaut (Fig : 4.3) le MetaModele fait une extension
1l’evenement d’apparition des defauts de court-circuit
148 Chapitre 4. 3ME des defauts
des grandeurs de bobine ( expressions (4.25) et (4.26)). D’ou l’interet majeur de la
matrice de passage [D]Enr←Bobxy ; permettant de deduire les grandeurs de boucles de
bobine des grandeurs correspondantes au niveau des enroulements elementaires Enr.
Cette matrice permet de prendre en consideration la mise en serie des enroulements.
[I]Enrxy =
[1 0 0
]:1 0 0
0 1 0
:1 0 0
0 0 1
:[
1 0 0]
((Ne+Ndexy )×(Ndexy+1)
)
·
IxyIdxyziIdxyzj
= [D]Enr←Bobxy · [I]Bobxy
(4.25)
et
[U ]Bobxy =
UxyUdxyziUdxyzj
= [D]Enr←Bobtxy · [U ]Enrxy (4.26)
avec Ndexy est le nombre d’enroulements en defaut de la bobine xy.
[D]enr←Bobxy :
Ainsi, nous arrivons a la matrice definitive ; assurant le passage directe entre les
grandeurs de branches et celles des grandeurs de boucles de bobine. Cette matrice
se deduit par :
[I]enrxy = [D]enr←Enrxy · [I]Enrxy
= [D]enr←Enrxy · [D]Enr←Bobxy︸ ︷︷ ︸[D]enr←Bobxy
·[I]Bobxy(4.27)
Exemple 4.1 En introduisant les parametres de la M.AS.Reelle , decrite dans l’an-
nexe B, au generateur de modeles. Et en provoquant un defaut de C-C simultane
4.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 149
sur les enroulements 2 et 3 de la premiere bobine de la phase 1. Nous recuperons les
matrices suivantes :
[I]enr11 =
I111Ih112Icc112Id112Ih113Icc113Id113I114
=
1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 −1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 1 −1 00 0 0 0 0 1
·I111I112Id112I113Id113I114
= [D]enr←Enr11 · [I]Enr11
(4.28)
[I]Enr11 = 1 0 0
1 0 00 1 01 0 00 0 11 0 0
·[I11Id112Id113
]= [D]Enr←Bob11 · [I]Bob11
(4.29)
[I]enr11 =
1 0 01 0 00 1 01 −1 01 0 00 0 11 0 −11 0 0
·
I11
Id112
Id113
= [D]enr←Bob11 · [I]Bob11
(4.30)
Cette matrice permet, aussi, de definir la matrice des resistances [R]Bobxy et la
matrice des inductances [L]Bobxy de cette bobine selon le meme principe que la section
2.3.2.3.
4.2.2.2 Au niveau de phase
Nous venons de presenter le principe avec lequel le MetaModele prend en
consideration l’apparition des court-circuits au niveau des enroulements et des bo-
bines. Nous exposons dans ce qui suit le principe de l’extension dynamique du modele
d’une phase en fonction des C-C qui y apparaissent au cours d’un exercice de simu-
lation. Reprenons, les p bobines de la figure 2.18(a), en supposant, que deux bobines
de cette phase presentent des defauts de C-C :
– la bobine d’indice xyi a deux enroulements en court-circuit zi et zj (Fig : 4.3),
– et l’enroulement zi , de la bobine xyj , a quelques spires en court-circuit aussi.
La figure 4.4 donne un apercu de cette situation et des boucles adoptees.
150 Chapitre 4. 3ME des defauts
Ix1(R, L)x1
Ihxyi
(R, L)hxyi Id
xyizi
(R, L)dxyizi
Iccxyizi
Rccxyizi
Idxyizi
Idxyizj
(R, L)dxyizj
Iccxyizj
Rccxyizj
Idxyizj
Ihxyj
(R, L)hxyj Id
xyjzi
(R, L)dxyjzi
Iccxyjzi
Rccxyjzi
Idxyjzi
Ixp(R, L)xp
Ux
Ix
(a) Schematisation eclatee,
Ihx
(R, L)hx Id
xyizi
(R, L)dxyizi
Iccxyizi
Rccxyizi
Idxyizi
Idxyizj
(R, L)dxyizj
Iccxyizj
Rccxyizj
Idxyizj
Idxyjzi
(R, L)dxyjzi
Iccxyjzi
Rccxyjzi
Idxyjzi
Ux
Ix
(b) Schematisation compacte.
Fig. 4.4 – Modele electrique d’une phase en presence de C-C
4.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 151
4.2.2.2.1 Matrices elementaires
Le principe de la generation des matrices elementaires definissant le systeme
d’equations differentielles2 de cette phase (expression 2.44) reste le meme. La seule
difference est le principe de la prise en consideration du couplage magnetique, entre
les bobines defaillantes. Plus specifiquement, le couplage entre la bobine yj et la
bobine yi .
[M ]enrxyi←xyj =
[M ]xyi1←xyj1 · · [M ]xyi1←xyjzi · · [M ]xyi1←xyjzj · · [M ]xyi1←xyjNe: · . : : :
[M ]xyizi←xyj1 · · [M ]xyizi←xyjzi · · [M ]xyizi←xyjzj · · [M ]xyizi←xyjNe: : · . : :
[M ]xyizj←xyj1 · · [M ]xyizj←xyjzi · · [M ]xyizj←xyjzj · · [M ]xyizj←xyjNe: : : · . :
[M ]xyiNe←xyj1 · · [M ]xyiNe←xyjzi · · [M ]xyiNe←xyjzj · · [M ]xyiNe←xyjNe
(4.31)
avec, la matrice des mutuelles [M ]xyizi←xyjzj 3, est calculee selon le tableau 4.2.
4.2.2.2.2 Matrices de connexion
Nous avons presente, dans la section precedente, la maniere avec laquelle le mo-
dele d’une bobine s’adapte lors de l’arrivee des nouvelles boucles de defauts. Au
niveau d’une phase, une premiere prise en consideration de ces boucles de defaut, a
ete faite lors de l’assemblage de modeles elementaires des bobines la constituant. La
deuxieme etape est la formalisation de l’interconnexion electrique par des matrices
de connexion.
Nous avons expose precedemment (section 2.3.3.3), le principe de la prise en
consideration de la topologie electrique des enroulements et des bobines au sein
d’une phase saine. Cette prise en consideration de la topologie electrique a ete im-
plementee par plusieurs niveaux de matrices de connexion, dont chacune nous permet
de s’arreter a un niveau de representation bien determine.
Lors de la modelisation d’une bobine, l’apparition des boucles de defaut, en-
gendra la creation d’une couche intermediaire notee Enr. Au niveau d’une phase,
2regissant le comportement electromagnetique des p bobines,3∀zi, zj ∈ 1..Ne, ∀yi, yj ∈ 1..p et yi 6= yj
152 Chapitre 4. 3ME des defauts
cette couche s’etend sur toutes les bobines la formant. Et la couche Bob substitua
l’ancienne couche des grandeurs de bobines bob, ainsi que la couche des boucles de
phases, notee Ph, substitua a son tour l’ancienne couche des grandeurs de phase ph.
Nous ne detaillons dans ce qui suit que les matrices de passage mettant en jeu les
boucles de defaut :
– la matrice de passage entre les grandeurs de branches et les grandeurs de
boucles elementaires [D]enr←Enrx ,
– la matrice de passage entre les grandeurs de boucles d’enroulements et les
grandeurs de boucles de bobines [D]Enr←Bobx ,
– la matrice de passage entre les grandeurs de boucles de bobines et les grandeurs
de boucles de phases [D]Bob←Phx .
Remarque 4.2 Lors du processus de generation, le MetaModele se base sur les
matrices mettant en jeu les boucles de Bob et les boucles de Ph, et non pas sur les
matrices exprimees en fonction des grandeurs de branches4. Sachant que ces matrices
de boucles sont plus generiques et peuvent jouer un double role, selon la presence
ou non des defauts de C-C. Ainsi, si la phase est saine nous retrouvons les matrices
relatees dans la section 2.3.3.3, ce qui se traduit par les egalites :
Ux = [U ]PhxIx = [I]PhxRx = [R]PhxLx = [L]Phx
et[D]enr←bobx = [D]enr←Bobx
[D]bob←phx = [D]Bob←Phx
[D]enr←Enrx :
Cette matrice se deduit du rassemblement des matrices homologues des bobines
de cette phase. Cette nouvelle couche introduit aussi les vecteurs des courants de
boucles elementaires [I]Enrx et des tensions de boucles elementaires [U ]Enrx , comme
decrit par les relations (4.32) et (4.33).
4bob et ph, selon la notation du chapitre 3ME
4.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 153
[I]enrx =
[D]enr←Enrx1 · · [0] · · [0] · · 0: · . : : :
[0] · · [D]enr←Enrxyi· · [0] · · [0]
: : · . : :[0] · · [0] · · [D]enr←Enrxyj
· · [0]: : : · . :0 · · [0] · · [0] · · [D]enr←Enrxp
·
[I]Enrx1
:[I]Enrxyi
:[I]Enrxyj
:[I]Enrxp
[D]enr←Enrx · [I]Enrx
(4.32)
On en deduit la relation des tensions :
[U ]Enrx =
[U ]Enrx1
:[U ]Enrxyi
:[U ]Enrxyj
:[U ]Enrxp
= [D]enr←Enrtx · [U ]enrx (4.33)
[D]Enr←Bobx :
Cette matrice est une matrice diagonale par bloc, dont chaque bloc est constitue
par la matrice de passage d’une bobine de cette phase :
[I]Enrx =
[D]Enr←Bobx1 · · [0]
: · . :[0] · · [D]Enr←Bobxp
((p.Ne+Ndex )×(Ndex+p)
) ·[I]Bobx1
:[I]Bobxp
= [D]Enr←Bobx · [I]Bobx
(4.34)
154 Chapitre 4. 3ME des defauts
et
[U ]Bobx =
[U ]Bobx1
:[U ]Bobxp
= [D]Enr←Bobtx · [U ]Enrx (4.35)
avec Ndex =
p∑yi=1
Ndexyi
est le nombre d’enroulements en defaut de la phase x.
[D]Bob←Phx :
Cette matrice permet de prendre en consideration la mise en serie des bobines,
constituant cette phase :
[I]Bobx =
[1 0 0 0
]:
1 0 0 00 1 0 00 0 1 0
:1 0 0 0
0 0 0 1
:[
1 0 0 0]
((Ndex+p)×(Ndex+1)
)
·
IxIdxyiziIdxyizjIdxyjzi
= [D]Bob←Phx · [I]Phx
(4.36)
et
[U ]Phx =
UxUdxyiziUdxyizjUdxyjzi
= [D]Bob←Phtx · [U ]Bobx (4.37)
4.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 155
[D]enr←Phx :
La matrice definitive se deduit par :
[I]enrx = [D]enr←Enrx · [I]Enrx
= [D]enr←Enrx · [D]Enr←Bobx︸ ︷︷ ︸[D]enr←Bobx
·[I]Bobx
= [D]enr←Enrx · [D]Enr←Bobx · [D]Bob←Phx︸ ︷︷ ︸[D]enr←Phx
·[I]Phx
(4.38)
Exemple 4.2 Reprenons l’exemple 4.1 (defauts partiels des enroulements 112 et 113),
et introduisons un defaut de C-C total sur le dernier enroulement de la deuxieme
bobine de la meme phase. Nous recuperons alors les matrices suivantes :
[I]enr1 =
I111Ih112Icc112Id112Ih113Icc113Id113I114I121I122I123Icc124Id124
=
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1
·
I111I112Id112I113Id113I114I121I122I123I124Id124
= [D]enr←Enr1 · [I]Enr1
(4.39)
[I]Enr1 =
1 0 0 0 01 0 0 0 00 1 0 0 01 0 0 0 00 0 1 0 01 0 0 0 00 0 0 1 00 0 0 1 00 0 0 1 00 0 0 1 00 0 0 0 1
·
I11Id112Id113I12Id124
= [D]Enr←Bob1 · [I]Bob1
(4.40)
[I]Bob1 =[ 1 0 0 0
0 1 0 00 0 1 01 0 0 00 0 0 1
]·
I1Id112Id113Id124
= [D]Bob←Ph1 · [I]Ph1
(4.41)
156 Chapitre 4. 3ME des defauts
[I]enr1 =
1 0 0 01 0 0 00 1 0 01 −1 0 01 0 0 00 0 1 01 0 −1 01 0 0 01 0 0 01 0 0 01 0 0 00 0 0 11 0 0 −1
·
I1Id112Id113Id124
= [D]enr←Ph1 · [I]Ph1
(4.42)
Cette matrice permet de deduire les matrices [R]Phx et [L]Phx des matrices des
resistances et inductances elementaires selon le meme principe que la section 2.3.3.3.
4.2.2.3 Au niveau du stator
Nous venons de presenter le principe avec lequel le MetaModele prend en
consideration l’apparition des C-C au niveau des enroulements, des bobines et des
phases. Nous entamons, dans cette section, le niveau du stator, c’est a dire le principe
avec lequel ce generateur de modele prendra en consideration les C-C qui peuvent
toucher les enroulements de ce stator.
La demarche de modelisation, decrite dans la section 2.3.4, reste valable. Nous
nous contentons dans ce qui suit de presenter le principe de l’extension du modele
sain du stator, afin de prendre en consideration les nouvelles boucles de defauts.
Dans le but de proposer des matrices de connexion plus lisibles et pedagogiques,
nous nous limitons a un defaut simple par phase. Plus precisement supposons que
l’enroulement yizi de la phase d’indice « 2 » et l’enroulement yjzj de la phase d’indice
« N − 1 » presentent chacun un defaut de C-C partiel.
4.2.2.3.1 Matrices elementaires
Le principe de la definition du systeme d’equations differentielles (expression
2.60), regissant le comportement electromagnetique des (N.p.Ne) enroulements du
stator, reste le meme. La seule difference est le couplage magnetique entre un enrou-
lement defaillant et les enroulements d’une autre phase. Le deuxieme enroulement
peut lui meme etre defaillant ou sain. La matrice des mutuelles elementaires entre
4.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 157
deux bobines d’indice respectives xjyj et xiyi devient alors :
[M ]enrxiyi←xjyj =
[M ]xiyi1←xjyj1 · · [M ]xiyi1←xjyjzi · · [M ]xiyi1←xjyjzj · · [M ]xiyi1←xjyjNe: · . : : :
[M ]xiyizi←xjyj1 · · [M ]xiyizi←xjyjzi · · [M ]xiyizi←xjyjzj · · [M ]xiyizi←xjyjNe: : · . : :
[M ]xiyizj←xjyj1 · · [M ]xiyizj←xjyjzi · · [M ]xiyizj←xjyjzj · · [M ]xiyizj←xjyjNe: : : · . :
[M ]xiyiNe←xjyj1 · · [M ]xiyiNe←xjyjzi · · [M ]xiyiNe←xjyjzj · · [M ]xiyiNe←xjyjNe
(4.43)
avec, la matrice des mutuelles [M ]xiyizi←xjyjzj 5, est calculee selon le tableau 4.2.
4.2.2.3.2 Matrices de connexion
Le MetaModele regenere les matrices elementaires decrivant le comportement
du systeme d’equations differentielles elementaires du stator, en fonction de l’appar-
tenance des boucles de defaut. Ce dernier fera les ajustements necessaires sur les
matrices de connexion decrivant l’interconnexion electrique au sein du stator.
La modelisation du stator vient ajouter, aux niveaux definis lors de la mode-
lisation d’une phase defaillante, le niveau des boucles de resolution. Ces boucles
dependent du mode de couplage du stator comme expose dans la section 2.5.2.
L’apparition des boucles de defaut a engendre la creation de la couche de boucles
d’enroulements Enr, la couche de boucles de bobines Bob et la couche de boucles de
phases Ph, au niveau de la modelisation des phases.
Ces couches s’etendent pour representer toutes les phases du stator. Nous ne
detaillons dans ce qui suit que les matrices de passage mettant enjeu les boucles de
defaut :
– la matrice de passage entre les grandeurs de branches et les grandeurs de
boucles elementaires [D]enr←Enrs ,
– la matrice de passage entre les grandeurs de boucles d’enroulements et les
grandeurs de boucles de bobines [D]Enr←Bobs ,
5∀zi, zj ∈ 1..Ne, ∀yi, yj ∈ 1..p, ∀xi, xj ∈ 1..N et xi 6= xj
158 Chapitre 4. 3ME des defauts
– la matrice de passage entre les grandeurs de boucles de bobines et les grandeurs
de boucles de phases [D]Bob←Phs .
– la matrice de passage entre les grandeurs de boucles de phases et les grandeurs
de boucles de resolution [D]coup.
[D]enr←Enrs :
Cette matrice se deduit par la mise en diagonale des matrices homologues des
phases. Cette nouvelle couche introduit aussi le vecteur des courants de boucles
elementaires [I]Enrs et le vecteur des tensions de boucles elementaires [U ]Enrs , comme
decrit par les relations (4.44) et (4.45).
[I]enrs =
[D]enr←Enr1 · · [0] · · [0] · · 0: · . : : :
[0] · · [D]enr←Enrxi· · [0] · · [0]
: : · . : :[0] · · [0] · · [D]enr←Enrxj
· · [0]: : : · . :0 · · [0] · · [0] · · [D]enr←EnrN
·
[I]Enr1
:[I]Enrxi
:[I]Enrxj
:[I]EnrN
[D]enr←Enrs · [I]Enrs
(4.44)
On en deduit la relation des tensions :
[U ]Enrs =
[U ]Enr1
:[U ]Enrxi
:[U ]Enrxj
:[U ]EnrN
= [D]enr←Enrts · [U ]enrs (4.45)
[D]Enr←Bobs :
Cette matrice est une matrice diagonale par bloc, dont chaque bloc est constitue
4.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 159
par la matrice de passage d’une phase du stator :
[I]Enrs =
[D]Enr←Bob1 · · [0]
: · . :[0] · · [D]Enr←BobN
((N.p.Ne+Ndes )×(Ndes+N.p)
) ·[I]Bob1
:[I]BobN
= [D]Enr←Bobs · [I]Bobs
(4.46)
et
[U ]Bobs =
[U ]Bob1
:[U ]BobN
= [D]Enr←Bobts · [U ]Enrs (4.47)
avec Ndes =
N∑xi=1
Ndexi
est le nombre de defaut de C-C au stator.
[D]Bob←Phs :
Cette matrice permet de prendre en consideration la mise en serie des bobines
au sein des phases :
[I]Bobs =
[D]Bob←Ph1 · · [0]
: · . :[0] · · [D]Bob←PhN
((Ndes+N.p)×(Ndes+N)
) ·[I]Ph1
:[I]PhN
= [D]Bob←Phs · [I]Phs
(4.48)
et
[U ]Phs =
[U ]Ph1
:[U ]PhN
= [D]Bob←Phts · [U ]Bobs (4.49)
[D]coup :
En faisant les extensions necessaires, le MetaModele vient de changer la taille
des vecteurs courants et tensions de phases. Ce changement necessite une adaptation
160 Chapitre 4. 3ME des defauts
de la matrice de couplage du stator. Cette extension est tres simple, il suffit d’inserer
un « 1 » dans le bon endroit, pour faire correspondre une alimentation nulle a la
boucle de defaut en question, et pour integrer les boucles de defaut dans le vecteur
d’etat.
Cette demarche est independante du mode de couplage, etoile ou « triangle »,
du stator. Prenons le cas du couplage en etoile, la relation (2.103) devient :
V1
V2
0:
VN−1
0
=
1 0 0 · · 0 0 −1−1 1 0 · · 0 0 00 0 1 · · 0 0 0: : : · . : : :0 0 0 · · − 1 1 0 00 0 0 · · 0 1 0
.
U1
U2
Ud2yizi:
UN−1
Ud(N−1)yjzjUN
[V ]s = [D]tcoupF
. [U ]Phs
(4.50)
et le vecteur des courants de boucles de resolution [J ]s s’etend pour devenir :
I1
I2
Id2yizi:IN−1
Id(N−1)yjzjIN
︸ ︷︷ ︸
[I]Phs
= [D]coupF ·
J1
J2
Id2yizi:
JN−1
Id(N−1)yjzj
︸ ︷︷ ︸
[J ]s
(4.51)
Concernant le couplage en triangle, le fait d’inserer ces « 1 » revient a redefinir
une matrice identite, mais cette fois ci de dimension (N + Ndes), plus tot que de
dimension N pour un stator sain, comme decrit dans l’expression 2.105.
4.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 161
La matrice de connexion definitive [D]s se deduit par :
[I]enrs = [D]enr←Enrs · [I]Enrs
= [D]enr←Enrs · [D]Enr←Bobs︸ ︷︷ ︸[D]enr←Bobs
·[I]Bobs
= [D]enr←Enrs · [D]Enr←Bobs · [D]Bob←Phs︸ ︷︷ ︸[D]enr←Phs
·[I]Phs
= [D]enr←Enrs · [D]Enr←Bobs · [D]Bob←Phs · [D]coup︸ ︷︷ ︸[D]s
·[J ]s
(4.52)
Exemple 4.3 Reprenons l’exemple du Mod.C.324 , et introduisons les defauts de
court circuit suivants :
– un court-circuit partiel sur l’enroulement 112,
– un court-circuit total sur l’enroulement 113,
– et un court-circuit partiel sur l’enroulement 222.
Des l’arrivee de ces evenements, un processus d’auto-adaptation commenca au sein
des objets representant le modele de cette machine. Nous exposons dans ce qui suit
les extensions subis par quelques vecteurs et matrices du modele, au cours de ce
processus d’extension automatique :
I111Ih112Icc112Id112Icc113Id113I114I121I122I123I124I211I212I213I214I221Ih222Icc222Id222I223I224I311I312I313I314I321I322I323I324
=
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
·
I111I112Id112I113Id113I114I121I122I123I124I211I212I213I214I221I222Id222I223I224I311I312I313I314I321I322I323I324
[I]enrs = [D]enr←Enrs · [I]Enrs
(4.53)
162 Chapitre 4. 3ME des defauts
[I]Enrs =
1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1
·
I11Id112Id113I12I21I22Id222I31I32
= [D]Enr←Bobs · [I]Bobs
(4.54)
[I]Bobs =
1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 1
·I1Id112Id113I2Id222I3
= [D]Bob←Phs · [I]Phs
(4.55)
[I]Phs =
1 0 0 −1 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1−1 0 0 0 0
·J1Id112Id113J2Id222
= [D]coupF · [J ]s
(4.56)
4.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 163
[I]enrs =
1 0 0 −1 01 0 0 −1 00 1 0 0 01 −1 0 −1 00 0 1 0 01 0 −1 −1 01 0 0 −1 01 0 0 −1 01 0 0 −1 01 0 0 −1 01 0 0 −1 00 0 0 1 00 0 0 1 00 0 0 1 00 0 0 1 00 0 0 1 00 0 0 1 00 0 0 0 10 0 0 1 −10 0 0 1 00 0 0 1 0−1 0 0 0 0−1 0 0 0 0−1 0 0 0 0−1 0 0 0 0−1 0 0 0 0−1 0 0 0 0−1 0 0 0 0−1 0 0 0 0
·
J1Id112Id113J2Id222
= [D]Fs · [J ]s
(4.57)
Nous avons mentionne auparavant que le MetaModele se base sur les matrices
de passage mettant en jeu les grandeurs de boucles, Enr, Bob et Ph et non pas sur les
matrices de passage des grandeurs de branches du chapitre 2 (enr, bob et ph). Nous
avons montre aussi que les matrices de passage du fonctionnement sain representent
un cas particulier des matrices ici exposees. Nous venons de conclure par l’expression
(4.52) le processus qui s’est mis en marche pour prendre en consideration l’arrivee
des nouvelles boucles de defaut. Ce processus s’est termine par la creation de la
matrice de connexion definitive [D]s du stator. Cette matrice, une fois combinee
avec celle du rotor formeront la matrice de connexion globale de la machine.
Avant de definir le systeme d’etat regissant le comportement electromecanique
de la machine, le MetaModele doit faire les extensions necessaires sur la matrice
definissant le couplage magnetique stator/rotor (2.90). Cette matrice est basee sur
l’inductance mutuelle elementaire M(θ)xyz←k, representant le couplage entre un enrou-
lement elementaire du stator et une boucle rotorique.
Avec l’arrivee d’un defaut, cette matrice de mutuelles s’agrandit pour prendre en
consideration, a la fois, les spires saines et les spires court-circuitees de l’enroulement
en cause. Cette matrice de mutuelles prendra l’une des formes du tableau 4.3 selon
le nombre de spires en court-circuit.
164 Chapitre 4. 3ME des defauts
Tab. 4.3 – Matrice des inductances mutuelles « enroulement/boucle rotorique » en fonctiondu nombre de spires court-circuitees de l’enroulement
PPPPPPPPPndxyz = 0 0 < ndxyz < nxyz ndxyz = nxyz
[M ]enrxyz←k(θ) Mhxyz←k(θ)
Mh
xyz←k(θ)0
Mdxyz←k(θ)
0Md
xyz←k(θ)
avec,
Mhxyz←k(θ) = L ·Rxyz · (nxyz − ndxyz) ·
∫ βxyz
αxyzFk(ϕ, θ) dϕ (4.58)
Mdxyz←k(θ) = L ·Rxyz · ndxyz ·
∫ βxyz
αxyzFk(ϕ, θ) dϕ (4.59)
Ainsi nous arrivons au bout de la prise en consideration des defauts de court-
circuit de spires, au sein d’une meme phase, par le MetaModele. La plate-forme
recupere le modele genere et le met en simulation selon les consignes de l’utilisateur,
comme decrit dans les sections 2.5.3 et 3.3. Nous venons de montrer, au cours de la
presente section, la flexibilite ainsi que la puissance de la 3ME, et l’interet d’avoir
une modelisation modulaire (Objets) et multi-niveaux de la machine asynchrone.
4.3 Defauts de court-circuit de spires entre phase
et carcasse
Cette section aura pour but d’enrichir le comportement dynamique du Meta-
Modele, en specifiant les directives qu’il doit suivre, afin de prendre en conside-
ration l’apparition d’un defaut de court-circuit entre une phase et la carcasse de la
machine, que nous supposons reliee a la terre avec une source en etoile dont le neutre
est a la terre (regime TT ). Nous avons fait en sorte que la majorite des etapes de
prise en consideration d’un defaut de C-C simple6, relatees dans la section 4.2.1,
restent valables lors de l’arrivee de ce defaut. Nous nous concentrons dans ce qui
suit sur la difference de la prise en consideration de ce defaut par rapport a celui de
la section precedente.
6Un defaut de court-circuit au sein d’une meme phase
4.3. Defauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse 165
4.3.1 Modele de l’enroulement defaillant
4.3.1.1 Modele electrique
Nous supposons qu’un court-circuit est apparu entre l’enroulement d’indice xyz
et la carcasse de la machine. Nous schematisons cet enroulement par la figure 4.5.
Cette schematisation nous ramene a la modelisation d’un enroulement presentant
un C-C simple de la section C.2.1, ainsi, les equations et les matrices decrivant cet
enroulement restent les memes que celles exposees dans la section 4.2.1.2.
Ihxyz
(R, L)hxyz
Uhxyz
Idxyz
(R, L)dxyz
Udxyz
Iccxyz
Rccxyz
U ccxyz
Uxyz
Udxyz
Ixyz
Idxyz
Fig. 4.5 – Modele electrique de l’enroulement qui sera en court-circuit avec la carcasse dela machine.
4.3.1.2 Prise en consideration de la topologie electrique
Afin que le raisonnement et les matrices definies lors de la presentation du modele
de defaut de C-C au sein d’une phase, restent valables, nous choisissons les courants
de boucles selon la figure 4.5. Sachant qu’on ne court-circuite pas les ndxyz spires de
cet enroulement, et qu’on applique une tension Udxyz 6= 0 aux bornes de la boucle de
defaut Idxyz.
En faisant ce choix, le tableau 4.1 reste valable, et presente les differentes formes
que peuvent avoir les matrices representant cet enroulement en defaut, selon la valeur
prise par ndxyz.
166 Chapitre 4. 3ME des defauts
4.3.2 Auto adaptation du modele
4.3.2.1 Au niveau de bobines
Reprenons, les Ne enroulements elementaires formant la bobine d’indice xy de la
figure 2.17(a), nous venons de supposer que l’enroulement d’indice z est en contact
avec la carcasse de la machine. La boucle de defaut Idxyz s’etale alors sur tous les
enroulements d’indice >z. Nous appelons, a present, cette nouvelle boucle par Idxy,selon la schematisation introduite par la figure 4.6.
Ixy1(R, L)xy1
Ihxyz
(R, L)hxyz Id
xyz(R, L)d
xyz
Iccxyz
Rccxyz
IxyNe
(R, L)xyNe
Uxy
Ixy
Udxy
Idxy
(a) Schematisation eclatee.
Ihxy
(R, L)hxy Id
xy(R, L)d
xyIccxyz
Rccxyz
Uxy
Udxy
Ixy
Idxy
(b) Schematisation compacte.
Fig. 4.6 – Modele electrique de la bobine qui sera en contact avec la carcasse
4.3. Defauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse 167
Concernant les matrices elementaires [U ]enrxy , [I]enrxy , [R]enrxy ainsi que [L]enrxy elles
sont identiques a celles presentees par les relations 4.16, 4.17 et 4.18. Du cote
des matrices de passage, le fait que la boucle de defaut parcourt les enroulements
sains, situes apres l’enroulement en question, change le comportement du Meta-
Modele vis-a-vis de l’adaptation de la matrice de passage [D]enr←Enrxy uniquement,
les autres matrices de passage gardent le meme comportement dynamique que la
section precedente.
[D]enr←Enrxy :
Par definition cette matrice exprime les courants de branches en fonction des
courants de boucles « elementaires ». A present, cette appellation n’est plus signifi-
cative, car on ne dispose que d’une seule boucle de defaut qui s’agrandit au fur et a
mesure que nous mettons des enroulements en serie (Fig : 4.6). Nous gardons cette
appellation generale car cette couche peut representer plusieurs types de defaut a la
fois. L’expression (4.60) presente la maniere avec laquelle cette matrice est mise a
jour, a la suite de l’arrivee de ce defaut.
[I]enrxy =
Denr←Enrxy1 · ·
[0 0
]0 · · 0
: · . : : :[0] · · [D]enr←Enrxyz [0] · · [0]0 · ·
[0 −1
]Denr←Enrxy(z+1) · · 0
: : : · . :0 · ·
[0 −1
]0 · · Denr←Enr
xyNe
·
Ixy1
:IxyzIdxyz
Ixy(z+1)
:IxyNe
[D]enr←Enrxy · [I]Enrxy
(4.60)
On en deduit la relation des tensions :
[U ]Enrxy =
Uxy1
:UxyzUdxyz
Uxy(z+1)
:UxyNe
= [D]enr←Enrtxy · [U ]enrxy (4.61)
168 Chapitre 4. 3ME des defauts
Nous rappelons que :
[I]Enrxyz =IxyzIdxyz
et que [U ]Enrxyz =UxyzUdxyz
[D]Enr←Bobxy :
Par definition, cette matrice decrit la topologie electrique des enroulements entre
eux, d’ou elle subit les memes modifications independemment du type de C-C7. Cette
matrice nous permet de deduire les grandeurs de boucles de bobine Bob des grandeurs
de boucles d’enroulements elementaires Enr, comme detaille par l’expression 4.25. Et,
le MetaModele poursuit la generation selon le meme principe que lors de l’arrivee
d’un defaut de C-C simple.
[D]enr←Bobxy :
Comme cette matrice assure le passage directe entre les grandeurs de branches
et celles des grandeurs de boucles de bobine, elle doit prendre en consideration que
le courant de defaut parcourt les enroulements d’indice superieur a z. En effet, la
definition meme de cette matrice assure cette prise en consideration, puisque elle
se deduit de la matrice de passage [D]enr←Enrxy , qui vient d’integrer ce defaut, selon
l’expression (4.27).
Exemple 4.4 Reprenons l’exemple du Mod.C.324 , decrit dans le chapitre 3, et in-
troduisons un defaut de C-C entre l’enroulement d’indice 112 et la carcasse de la
machine. Nous donnons dans ce qui suit un apercu de la maniere avec laquelle le
modele de la bobine 11 s’adapte a ce defaut :
[I]enr11 =
I111Ih112Icc112Id112I113I114
=
1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 1 −1 0 00 0 −1 1 00 0 −1 0 1
·I111I112Id112I113I114
= [D]enr←Enr11 · [I]Enr11
(4.62)
[I]Enr11 =[ 1 0
1 00 11 01 0
]·[ I11Id112
]= [D]Enr←Bob11 · [I]Bob11
(4.63)
7Court-circuit au sein d’une meme phase ou entre phase et carcasse
4.3. Defauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse 169
[I]enr11 =
1 01 00 11 −11 −11 −1
·
I11
Id112
= [D]enr←Bob11 · [I]Bob11
(4.64)
4.3.2.2 Au niveau de phase
Nous venons de presenter le principe avec lequel le MetaModele prend en
consideration l’apparition d’un court-circuit, avec la carcasse de la machine, au ni-
veau de la bobine en defaut. Nous exposons dans ce qui suit le principe de l’extension
dynamique du modele de la phase a laquelle appartient cette bobine en defaut. Re-
prenons, alors, les p bobines de la phase x (Fig : 2.18(a)), en supposant que la bobine
d’indice xy renferme l’enroulement en defaut, comme decrit par la figure 4.7.
Le principe de la generation des matrices elementaires definissant le systeme
d’equations differentielles8 de cette phase (expression (2.44)) reste le meme. La seule
difference est le principe de la prise en consideration du couplage magnetique, entre
la bobine defaillante et les autres bobines. Nous avons deja defini ce couplage par
l’expression (4.31).
Concernant les matrices de passage, elles suivent les memes regles d’extension
dynamique que celles decrites dans la section 4.2.2.2.2. Il n’y a que la matrice de
passage mettant en jeu les grandeurs de branches [D]enr←Enrx dont la generation
differe de sa correspondante.
Cette matrice se deduit du rassemblement des matrices homologues des bobines
de cette phase. Cette nouvelle couche introduit aussi les vecteurs des courants de
boucles elementaires [I]Enrx et des tensions de boucles elementaires [U ]Enrx , comme
decrit par les relations (4.65) et (4.66).
8regissant le comportement electromagnetique de p.Ne enroulements,
170 Chapitre 4. 3ME des defauts
Ix1(R, L)x1
Ihxy
(R, L)hxy Id
xy(R, L)d
xy
Iccxyz
Rccxyz
Ixp(R, L)xp
Ux
Ix
Udx
Idx
(a) Schematisation eclatee.
Ihx
(R, L)hx Id
x(R, L)d
xIccxyz
Rccxyz
Ux
Udx
Ix
Idx
(b) Schematisation compacte.
Fig. 4.7 – Modele electrique de la phase en C-C avec la carcasse
[I]enrx =
[D]enr←Enrx1 · · [0] [0] · · 0: · . : : :
[0] · · [D]enr←Enrxy [0] · · [0][0] · · [Y ] [D]enr←Enrx(y+1) · · [0]: : : · . :0 · · [Y ] [0] · · [D]enr←Enrxp
·
[I]Enrx1
:[I]Enrxy
[I]Enrx(y+1)
:[I]Enrxp
[D]enr←Enrx · [I]Enrx
(4.65)
4.3. Defauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse 171
On en deduit la relation des tensions :
[U ]Enrx =
[U ]Enrx1
:[U ]Enrxy
[U ]Enrx(y+1)
:[U ]Enrxp
= [D]enr←Enrtx · [U ]enrx (4.66)
avec,
[Y ] =[ 1 · · (z−1) z (z+1) · · Ne
0 · · 0[0 −1
]0 · · 0
]
Une fois cette matrice est generee, le MetaModele poursuit la generation
des matrices de passage ([D]Enr←Bobx , [D]Bob←Phx et [D]enr←Phx ), entre les differentes
couches de representation de cette phase, selon les memes etapes decrites precedem-
ment.
Exemple 4.5 Reprenons l’exemple 4.4, et representant cette fois ci les matrices de
passage de la phase x :
[I]enr1 =
I111Ih112Icc112Id112I113I114I121I122I123I124
=
1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 00 1 −1 0 0 0 0 0 00 0 −1 1 0 0 0 0 00 0 −1 0 1 0 0 0 00 0 −1 0 0 1 0 0 00 0 −1 0 0 0 1 0 00 0 −1 0 0 0 0 1 00 0 −1 0 0 0 0 0 1
·
I111I112Id112I113I114I121I122I123I124
= [D]enr←Enr1 · [I]Enr1
(4.67)
[I]Enr1 =
1 0 01 0 00 1 01 0 01 0 00 0 10 0 10 0 10 0 1
·[ I11Id112I12
]
= [D]Enr←Bob1 · [I]Bob1
(4.68)
[I]Bob1 =[ 1 0 0
0 1 01 0 0
]·[ I1Id112
]= [D]Bob←Ph1 · [I]Ph1
(4.69)
172 Chapitre 4. 3ME des defauts
[I]enr1 =
1 01 00 11 −11 −11 −11 −11 −11 −1
·[ I1Id112
]
= [D]enr←Ph1 · [I]Ph1
(4.70)
4.3.2.3 Au niveau du stator
Une fois que le MetaModele termine avec la prise en consideration de cette
alteration topologique au niveau des phases, l’Objet Stator recupere les N Objets
de type Phase (mis a jour), et forme le nouveau modele du stator, en redefinissant
le couplage magnetique et en introduisant les ajustements necessaires aux matrices
de passage entre les differentes couches de representation du stator. Les etapes de
generation de base ont ete detaillees dans la section 2.3.4. Nous nous contentons
dans ce qui suit de presenter ce qui change par rapport a ces etapes.
Nous poursuivons, alors, avec la presentation de la maniere avec laquelle le Me-
taModele poursuit la construction du modele du stator, en prenant en considera-
tion le contact qui s’est produit entre l’enroulement xyz et la carcasse de la machine.
Nous avons mentionne, que le generateur de modele gere l’apparition d’un defaut
de C-C entre phase et carcasse d’une maniere tres similaire a celle d’un defaut de
C-C au sein d’une meme phase (section 4.2.2.3). En fait, au niveau du stator, ce
defaut est traite de la meme maniere qu’un defaut de court-circuit au sein d’une
meme phase, l’apparition de ce defaut n’entraıne aucun changement sur le processus
de generation de ce modele (section 4.2.2.3). Ainsi, le MetaModele genere les
matrices elementaires [R]enrs et [L]enrs ainsi que les matrices de passage [D]enr←Enrs ,
[D]Enr←Bobs , [D]Bob←Phs et [D]coup de la meme maniere.
Bien que la matrice de passage [D]enr←Enrs garde la definition de la section
4.2.2.3.2, elle a deja subi les changements topologiques correspondant a ce nouveau
type de defaut. Cette prise en consideration vient du fait qu’elle est construite par
la mise en diagonale des [D]enr←Enrxipour xi ∈ 1..N, et que la matrice de passage
de la phase en defaut [D]enr←Enrx a ete mise a jour par l’expression (4.32).
Outre que les niveaux de representation Enr, Bob et Ph, la modelisation du
stator definit la couche des boucles de resolution. Ces boucles dependent du mode
de couplage du stator comme expose dans la section 2.5.2. Le contact qui vient de
surgir entre la phase x et la carcasse definit une nouvelle boucle de resolution, notee
4.3. Defauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse 173
J dx . Cette boucle est la prolongation de la boucle Idx (Fig : 4.7) definie au niveau de
e1I1
(R, L)1
ex−1Ix−1
(R, L)x−1
exIhx
(R, L)hx
Idx
(R, L)dx
Iccxyz
Rccxyz
eNIN
(R, L)N
...
...
VxV1
Vdx = ex−1
J1
Jx
J dx
Fig. 4.8 – Les mailles adoptees pour un stator en etoile
la phase x. Elle va toucher plus ou moins d’enroulements selon le mode de couplage
du stator, comme decrit par les figures 4.8 et 4.9, sachant que cette defaillance ne
peut etre simulee qu’avec une alimentation couplee en etoile.
La matrice qui assure le passage vers la couche des boucles de resolution est
[D]coup, cette matrice a ete introduite dans la section 2.5.2 , et a subi les extensions
necessaires, par le MetaModele, comme decrit dans la section 4.2.2.3.2. Cette ex-
tension a fait correspondre les alimentations adequates aux boucles de defaut. Nous
avons donne, dans la section precedente, le principe d’extension pour un nombre
quelconque de boucles de defaut, et qui reste valable dans ce cas de defaillance. Cette
extension a permis precedemment de faire correspondre une alimentation nulle aux
anciennes boucles de defaut, servira a present pour faire correspondre la source de
tension correspondante a J dx .
Nous avons mentionne, dans la section 2.5.2.3, que le vecteur excitation du stator
[V ]s est genere a partir de vecteur sources de tension [E] par la matrice [D]alim.
Pour faire correspondre la source de tension correspondante a la boucle de defaut,
le MetaModele procede de la meme maniere que pour la matrice de couplage,
mais en faisant l’extension sur les lignes uniquement, comme decrit par l’expression
174 Chapitre 4. 3ME des defauts
e1I1
(R, L)1
ex−1Ix−1
(R, L)x−1
exIhx
(R, L)hx
Idx
(R, L)dx
Iccxyz
Rccxyz
eNIN
(R, L)N
...
...
VxV1
Vdx = ex−1
J1
Jx
J dx
Fig. 4.9 – Les mailles adoptees pour un stator en « triangle »
(4.71), nous rappelons que lorsque le stator est couple en etoile la derniere ligne de
cette matrice est supprimee.
V1
V2
:Vx−1
VxVdx:
VN−1
VN
=
1 0 · · 0 0 · · 0 −1−1 1 · · 0 0 · · 0 0: · . · . : : · . : :0 · · −1 1 0 · · 0 00 0 · · −1 1 · · 0 00 0 · · 1 0 · · 0 0: : · . : · . · . : :0 0 · · 0 0 −1 1 00 0 · · 0 0 · · −1 1
((N+1)×N
)
·
e1
e2
:ex−1
ex
:eN−1
eN
[V ]s = [D]talimF
· [E]
(4.71)
Une fois que ces quatre matrices de passage sont mises a jour le MetaMo-
dele deduit la matrice de connexion definitive [D]s (expression (4.52)), permettant
4.3. Defauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse 175
d’extraire, directement, les grandeurs de branches des grandeurs de boucles de reso-
lution.
Ainsi, nous avons expose toutes les extensions faites par le MetaModele lors
de l’apparition d’un defaut de type court-circuit entre phase et carcasse et nous
terminons cette section par la suite de l’exemple 4.5 :
Exemple 4.6 Nous avons suivi, via les exemples 4.4 et 4.5, les extensions faites par
le MetaModele , sur le Mod.C.324 , au niveau de la bobine 11 et de la phase 1,
afin de prendre en consideration le court-circuit entre l’enroulement 112 et la carcasse
de la machine. Nous venons de voir, dans cette section, que la reaction du Meta-
Modele au niveau du stator est similaire a sa reaction lors de l’apparition d’un
C-C simple (section precedente). C’est pour cette raison que nous nous conten-
tons de presenter les matrices de connexion definitives selon le mode de couplage du
stator :
Couple en « triangle » :
I111Ih112Icc112Id112I113I114I121I122I123I124I211I212I213I214I221I222I223I224I311I312I313I314I321I322I323I324
=
1 0 0 01 0 0 00 1 0 01 −1 0 01 −1 0 01 −1 0 01 −1 0 01 −1 0 01 −1 0 01 −1 0 00 0 1 00 0 1 00 0 1 00 0 1 00 0 1 00 0 1 00 0 1 00 0 1 00 0 0 10 0 0 10 0 0 10 0 0 10 0 0 10 0 0 10 0 0 10 0 0 1
·
J1J d112J2J3
= [D]Ns · [J ]s
(4.72)
176 Chapitre 4. 3ME des defauts
Couple en etoile :
I111Ih112Icc112Id112I113I114I121I122I123I124I211I212I213I214I221I222I223I224I311I312I313I314I321I322I323I324
=
1 0 −11 0 −10 1 01 −1 −11 −1 −11 −1 −11 −1 −11 −1 −11 −1 −11 −1 −10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 1−1 1 0−1 1 0−1 1 0−1 1 0−1 1 0−1 1 0−1 1 0−1 1 0
·[ J1J d1J2
]
= [D]Fs · [J ]s
(4.73)
Ainsi nous arrivons au bout de la prise en consideration d’un defaut de court-
circuit entre la phase x et la carcasse de la machine par le MetaModele. La
presente section a permis de montrer la flexibilite ainsi que la puissance de la 3ME, et
l’interet d’avoir une modelisation modulaire (Objets) et multi-niveaux de la machine
asynchrone.
4.4 Defaillance de rupture de barres ou d’an-
neaux de court-circuit
Nous avons presente auparavant le principe avec lequel le MetaModele mo-
delise et represente un rotor a cage, cette modelisation est basee essentiellement sur
une representation multi-enroulements, comme detaille par la figure 1.8, ainsi que
sur la definition des mailles independantes pour la resolution du systeme d’equations
differentielles decrivant ce rotor.
Les defauts de rupture de barres ou d’anneaux de court-circuit, peuvent etre mo-
delises de deux manieres. La premiere consiste a supprimer la branche defaillante,
cette branche peut etre une barre ou une portion d’anneaux de court-circuit Devan-
neaux (2002), Didier (2004). La deuxieme, consiste a faire augmenter la resistance
4.5. Defaut d’excentricite statique et/ou dynamique 177
de la branche en question, dans le but de faire baisser considerablement le courant
qui y circule dedans.
Le fait de supprimer une branche, occasionne un changement du schema topo-
logique du rotor, ce qui se traduit par un changement des dimensions des matrices
[R]r, [L]r et la matrice de connexion [D]r, definies precedemment dans la section 2.4.
Ainsi que, d’un changement au niveau de la forme9 et de l’amplitude de la fonction
de repartition de l’inductance surfacielle de la boucle en question. Ce qui definira
les nouvelles regles de couplage magnetique intrinseques au rotor et entre le stator
et le rotor. Cette technique est une bonne alternative pour modeliser les defauts de
rupture totale mais elle ne permet pas de representer les defauts de rupture partielle
ou de fissures de barres.
Par contre, la deuxieme solution permet de modeliser les deux types de defaillance
et ne necessite pas un changement au niveau de la topologie du modele. Un chan-
gement de la valeur de la resistance de la branche en defaut suffit pour prendre en
consideration ce defaut Devanneaux (2002), Didier (2004). La valeur de la nouvelle
resistance, de la branche en question, definit le fait qu’on soit en presence d’une
rupture totale ou d’une fissure plus ou moins profonde. D’ailleurs, en realite, meme
en presence de rupture totale, il y a des courants qui peuvent circuler dans le circuit
magnetique du rotor Bonnett et Soukup (1992). Cette technique correspond parfai-
tement a la maniere avec laquelle nous avons simule la presence de defauts de fissure
de barres dans le banc d’essais decrit par l’annexe B.3.
C’est pour ces raisons que nous avons choisi de prendre en consideration ce
genre de defaut, au sein du MetaModele, selon la deuxieme methode. L’apparition
d’une rupture de barres ou de portions d’anneaux de court-circuit se resume alors
a l’envoi d’un evenement de changement de la valeur de la resistance a la branche
endommagee, comme decrit par le scenario 3.6 mais avec des valeurs de resistance
beaucoup plus elevees.
4.5 Defaut d’excentricite statique et/ou dyna-
mique
Nous commencons tout d’abord par la generalisation et la prise en consideration
des defauts d’excentricite qui peuvent toucher le circuit magnetique du stator ou
9l’ouverture de la nouvelle boucle de defaut
178 Chapitre 4. 3ME des defauts
du rotor. Pour ce faire, nous reprenons le developpement theorique de la prise en
consideration de la topologie de la machine, fait dans la section 2.2, sans supposer
que la machine est a entrefer constant.
4.5.1 Force magnetomotrice d’un enroulement quelconque
L’expression generale de la force magnetomotrice (2.11) est basee sur le fait que
la machine est a entrefer constant. En gardant toujours les memes notations que la
figure 2.4 et en supposant, cette fois ci, que l’entrefer e(ϕ) est une fonction de la
position angulaire. L’expression (2.8) de flux devient :
φ = µ0
∫∫ E(ϕ)e(ϕ) ds
= µ0 · L ·∫ E(ϕ)
e(ϕ) ·R(ϕ)dϕ(4.74)
En supposant, toujours, que le flux sortant est egal au flux rentrant, on peut
ecrire que
Eint ·∫
w
R(ϕ)e(ϕ) dϕ = −Eext ·
∫(2π−w)=w
R(ϕ)e(ϕ) dϕ (4.75)
avec R(ϕ) est le rayon de circuit magnetique auquel appartient l’enroulement en
question. Il represente le rayon de l’alesage du stator ou celui de moyeu du rotor. Le
fait que ce rayon soit en fonction de ϕ nous permet de prendre en consideration les
defauts d’usinage de ce circuit magnetique.
En se basant sur (2.4) et (4.75), on deduit le systeme suivant :
Eint = −
∫w
R(ϕ)e(ϕ)
dϕ∫w
R(ϕ)e(ϕ)
dϕ· Eext
n i = Eint − Eext
(4.76)
Ce qui donne la nouvelle valeur de la f.m.m de l’enroulement xyz en fonction de
son ouverture angulaire wxyz, son nombre des spires n et du courant i qui y circule
4.5. Defaut d’excentricite statique et/ou dynamique 179
dedans :
Eintxyz =
∫wxyz
R(ϕ)e(ϕ)
dϕ∫2π
R(ϕ)e(ϕ)
dϕ· nxyz ixyz
Eextxyz = −
∫wxyz
R(ϕ)e(ϕ)
dϕ∫2π
R(ϕ)e(ϕ)
dϕ· nxyz ixyz
(4.77)
On definit alors la nouvelle fonction de repartition de l’inductance surfacielle
Fxyz(ϕ) :
Fxyz(ϕ) = µ0
e(ϕ) ·∫wxyz
R(ϕ)e(ϕ)
dϕ∫2π
R(ϕ)e(ϕ)
dϕ· nxyz si ϕ ∈ ϕint,
Fxyz(ϕ) = − µ0
e(ϕ) ·∫wxyz
R(ϕ)e(ϕ)
dϕ∫2π
R(ϕ)e(ϕ)
dϕ· nxyz si ϕ ∈ ϕext.
(4.78)
4.5.2 Inductance propre
En ecrivant l’expression de flux propre d’un enroulement d’indice xyz :
Φpxyz = nxyz ixyz · L
∫ βxyz
αxyzR(ϕ)xyz.Fxyz(ϕ) dϕ (4.79)
on en deduit l’inductance propre de cet enroulement :
Lpxyz = Lnxyz ·∫ βxyz
αxyzR(ϕ)xyzFxyz(ϕ) dϕ (4.80)
4.5.3 Inductance mutuelle
Soit un enroulement induit, d’indice ijk, d’ouverture wijk, et loge dans un circuit
magnetique de rayon Rijk(ϕ). Nous gardons les memes notations que la section
2.2.2.2.
Selon la figure 4.10 et l’equation (2.15), le flux traversant l’enroulement ijk et
180 Chapitre 4. 3ME des defauts
|0
|2π
−1
Fxyz(ϕ)
⊕
⊖
∫ βijkαijk
Fxyz(ϕ) dϕ
⊗αxyz ⊙βxyz
|0
|2π
−1
Fijk(ϕ)
⊕
⊖
∫ βxyzαxyz
Fijk(ϕ) dϕ
⊗αijk ⊙βijk
Fig. 4.10 – Calcul des inductances mutuelles entre deux enroulements quelconques, enpresence d’excentricite
produit par l’enroulement xyz :
Φijk←xyz = nijk · ixyz · L∫ βijk
αijk
R(ϕ)ijk · Fxyz(ϕ) dϕ (4.81)
Etant donne Φijk←xyz = Mijk←xyz ixyz , on deduit alors l’inductance mutuelle
correspondante :
Mijk←xyz = Lnijk
∫ βijk
αijk
R(ϕ)ijk · Fxyz(ϕ) dϕ (4.82)
En se basant sur le meme raisonnement pour le flux traversant l’enroulement xyz
et produit par l’enroulement ijk. On en deduit l’inductance mutuelle correspondante :
Mxyz←ijk = Lnxyz
∫ βxyz
αxyzR(ϕ)xyz · Fijk(ϕ) dϕ (4.83)
L’implementation de ces expressions dans, le MetaModele, depend de la ma-
niere avec laquelle on definit la variation de l’entrefer et du rayon en fonction de la
position angulaire. Si on definit e(ϕ) et R(ϕ) par des fonctions analytiques dont on
dispose de leurs primitives analytiques, la simulation peut se faire en mode « On-
line ». Si non ; les fonctions e(ϕ) et R(ϕ) sont definies par des valeurs numeriques
4.6. Conclusion 181
selon un pas d’echantillonnage spatial bien determine, et la simulation peut se faire
en mode « Offline ».
4.6 Conclusion
Ce chapitre est la continuite du developpement theorique commence dans le
chapitre 2, dans lequel nous avons expose la methodologie de modelisation multi-
enroulements de la machine asynchrone, dont l’implementation a permis de mettre
au point le MetaModele. Nous avons exploite, dans ce chapitre, la flexibilite de
ce generateur de modele pour lui integrer la possibilite de prendre en compte l’ap-
parition de quelques defaillances pouvant affecter les machines asynchrones tout
en gardant sa faculte d’auto-generation des modeles selon leurs parametres topolo-
giques.
Nous avons expose le principe avec le quel le MetaModele prend en compte les
defauts de court-circuit de spires au sein d’une meme phase, de court-circuit entre
phase et carcasse et la rupture de barres ou d’anneaux de court-circuit ainsi que
l’excentricite du rotor par rapport au stator. Ces defauts impliquent generalement
une alteration topologique de la machine.
L’aspect modulaire et multi-niveaux du MetaModele, a permis de garder le
meme noyau de generation, et d’automatiser la tache de prise en compte des de-
fauts. Cette alteration topologique a ete prise en compte d’une maniere incrementale,
en faisant propager le defaut du niveau des enroulements enr jusqu’au niveau des
boucles de resolution, en passant par les niveaux Enr, Bob et Ph. Nous nous sommes
bases, durant cette etape d’extension dynamique du modele sain, sur les differentes
matrices de passage decrivant l’interconnexion electrique entre les differents niveaux
de representation du modele.
Pour concretiser le developpement generique, expose dans ce chapitre, nous avons
fait suivre chaque section par un exemple detaillant les extensions dynamiques faites
par le MetaModele sur l’exemple du Mod.C.324, introduit dans le chapitre 3.
La validation experimentale de quelques modeles defaillants generes par la plate-
forme de simulation IMSimKernel , ici developpee, sera presentee dans le chapitre
suivant.
Sommaire
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.2 Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 185
5.3 Defauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse . 203
5.4 Defauts de rupture de barres . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Chapitre
5
Validation expérimentale desmodèles de défauts
Ce chapitre presente la validation experimentale de la prise en consideration des
defauts par le MetaModele . Cette validation est basee sur la comparaison des re-
sultats de simulation avec celles issues d’experimentation. Ces essais experimentaux
sont realises sur deux machines asynchrones triphasees a cage d’ecureuil dotees de
prises de connexion additionnelles sur le bobinage statorique afin de permettre de
provoquer des court-circuits au sein du stator. On dispose aussi d’un jeu de rotors in-
terchangeables dont chacun presente un taux de defaillance different (nombre et lieu
des ruptures de barres). Cette comparaison entre les resultats de simulation et les
resultats experimentaux est effectuee en vue d’evaluer la performance de l’approche.
183
5.1. Introduction 185
5.1 Introduction
Nous reprenons dans ce chapitre le Mod.C.324 expose dans le chapitre 3, ce
modele est genere et gouverne par la plate-forme de simulation IMSimKernel, ici
developpe. Le but de ce chapitre est de confronter le fonctionnement en defauts du
simulateur a l’experimentation. Nous avons presente, dans le chapitre precedent le
principe avec lequel ce MetaModele reagit dynamiquement1, lors de l’introduc-
tion d’un defaut.
Nous commencons, ce chapitre, par la validation experimentale du principe de
modelisation d’un defaut de court-circuit au sein d’une meme phase, puis nous pour-
suivons avec la validation de la modelisation d’un defaut de court-circuit entre phase
et carcasse. Ensuite, nous continuons par les defauts qui peuvent toucher la cage ro-
torique, qui sont la rupture de barres et la rupture d’anneaux de court-circuit.
Pour ne pas avoir a changer de mode de couplage du modele, nous supposons
durant tout ce chapitre que le Mod.C.324 et la M.AS.Reelle sont couples en etoile
et que l’alimentation est aussi couplee en etoile.
5.2 Defauts de court-circuit de spires au sein de
la meme phase
Nous nous proposons, dans cette section, d’etudier les defauts de court-circuit
au sein d’une meme phase. Nous commencons par exploiter le fait que le Meta-
Modele prend en consideration la topologie de bobinage de la machine, et nous
simulons plusieurs defauts de C-C, en changeant l’emplacement et/ou le nombre de
spires court-circuitees. Puis nous entamons la validation experimentale proprement
dite, en introduisant des scenarios de simulation qui correspondent aux possibilites
offertes par les prises de court-circuit additionnelles, presentees dans l’annexe B.2.
5.2.1 Court-circuit et topologie de bobinage
Afin d’avoir une idee sur la relation entre le nombre de spires en C-C et les induc-
tances mutuelles au sein de la machine, nous introduisons le scenario de simulation
1fait les extensions necessaires au niveau du modele au cours de simulation
186 Chapitre 5. Validation experimentale des modeles de defauts
5.1. Nous commencons par donner un apercu des valeurs prises par l’inductance
mutuelle entre la boucle de defaut et la premiere boucle rotorique Md111←1, ainsi que
les valeurs prises par l’inductance mutuelle mise en jeu entre la boucle de resolution
J Ph1 et la premiere boucle rotorique, par la figure 5.1. Vue que le courant de boucle
J Ph1 parcourt les 464 spires de la phase en defaut, l’inductance mutuelle entre cette
boucle et les boucles rotoriques ne change pas.
Scenario 5.1 Variation du nombre de spires en C-C de courte duree :
a t=0s : Demarrage a vide,
a t=.34s : nd111 = 3 spires
a t=.38s : nd111 = 13 spires
a t=.42s : nd111 = 29 spires
a t=.46s : nd111 = 58 spires
0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
−4
t (s)
Msr
(H)
MPh
1←1
M d111←1
Fig. 5.1 – Inductances mutuelles MPh1←1 et Md111←1 en fonction de la variation de nd111
On voit bien que l’inductance mutuelle Md111←1, entre la boucle de defaut et la
boucle N°1 du rotor, est proportionnelle au nombre de spires en court-circuit.
Nous rappelons que les inductances mutuelles sont calculees a partir des fonc-
tions de repartition des inductances surfacielles, et que ces fonctions de repartition
sont en fonction du nombre de spires mis en jeu. Nous retrouvons par la figure 5.2
cette relation de proportionnalite entre les fonctions de repartition des inductances
surfacielles (F1, Fd111, Fh111) et les nombres de spires correspondants. Cette figure
represente la periode de simulation ou nd111 = 29 spires du scenario 5.1.
5.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 187
0 50 100 150 200 250 300 350 400
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
θ()
F(θ
)
Fh111
F1
Fd111
(a) Fonctions de repartition de l’inductance surfacille dephase et de l’enroulement en defaut.
0.42 0.425 0.43 0.435 0.44 0.445 0.45 0.455 0.46−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
−4
t (s)
Msr
(H)
MPh
1←1
M d111←1
(b) Inductance mutuelle de phase et de la boucle de defaut.
Fig. 5.2 – Court-circuit de spires simple de nd111 = 29 spires
Nous rappelons que l’enroulement d’indice 111 est l’enroulement concentrique
interne de la premiere bobine de la phase 1 (Fig : 3.1), cet enroulement est celui
qu’a la plus petite ouverture d’enroulement. Ce qui signifie que nd111 n’est pas le
seul facteur qui agit sur l’interaction magnetique des spires en court-circuit. Pour
avoir une idee sur l’influence de l’emplacement de l’enroulement defaillant sur son
couplage magnetique, nous introduisons le scenario 5.2.
Scenario 5.2 Court-circuit sur l’enroulement 114 :
a t=0s : Demarrage a vide,
a t=.42s : nd114 = 29 spires
188 Chapitre 5. Validation experimentale des modeles de defauts
0 50 100 150 200 250 300 350 400
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
θ ()
F(θ
)
Fh114
F1
Fd114
(a) Fonctions de repartition de l’inductance surfacille dephase et de l’enroulement en defaut.
0.42 0.425 0.43 0.435 0.44 0.445 0.45 0.455 0.46−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
−4
t (s)
Msr
(H)
MPh
1
M d114←1
(b) Inductance mutuelle de phase et de la boucle de defaut.
Fig. 5.3 – Court-circuit de spires simple de nd114 = 29 spires
Ainsi nous pouvons comparer les resultats d’un meme taux de defaillance sur la
phase 1 mais sur des emplacements topologiques differents (figure 5.2 et 5.3). Les ta-
bleaux des inductances 5.1 et 5.2 donnent une idee sur les valeurs prises par quelques
inductances, pour un defaut de 29 spires, selon l’emplacement de l’enroulement en
defaut.
Tab. 5.1 – Inductances propres et inductances mutuelles en fonction de nd111
nd111 Ld111 Lh111 Mh←d111 L1
(spires) (mH)
3 0.0496 16.213 0.84224 365.21
13 0.93168 10.853 2.9861 365.02
29 4.6363 4.5075 4.2929 364.99
Sachant que εh = 1.42 et εd = 1.9.
5.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 189
Tab. 5.2 – Inductances propres et inductances mutuelles en fonction de nd114
nd114 Ld114 Lh114 Mh←d114 L1
(spires) (mH)
3 0.0699 22.865 1.1878 365.17
13 1.3139 15.306 4.2112 364.91
29 6.5384 6.3568 6.0541 364.87
Sachant que εh = 1.42 et εd = 1.9.
Cette comparaison confirme que l’emplacement de l’enroulement en defaut in-
tervient d’une maniere significative dans l’interaction magnetique des spires court-
circuitees, ce qui se repercutera forcement sur le comportement finale du modele. Et
ce qui nous permet de se rapprocher plus des conditions experimentales.
5.2.2 Defaut de C-C avec limitation du courant de defaut
Nous nous interessons dans ce qui suit a la comparaison des signaux issus de
simulation a ceux issus d’experimentation, realises sur le deuxieme banc d’essais
(dont le bobinage est decrit par la figure B.3), et offrant la possibilite d’introduire
des court-circuits entre un nombre reduit de spires (3, 9, 12. . . spires). Nous nous
proposons, dans un premier temps, d’etudier l’incidence d’un faible changement du
nombre des spires en C-C sur les courants statoriques. Pour ce faire nous introdui-
sons le scenario de simulation de court-circuit simple 5.3.
Scenario 5.3 Une faible augmentation du nombre de spires en court-circuit :
a t=0s : Demarrage a vide (Machine saine),
a t=.3s : On applique un couple resistant Cr = 7Nm,
a t=0.7s :
nd114 = 9 (spires),
Rcc114 = 0.22 (Ω),
εd114 = 1.42.
a t=1.2s :nd114 = 12 (spires),
Rcc114 = 0.29 (Ω).
Le choix de la valeur des resistances de court-circuit Rcc est fait par mesure
190 Chapitre 5. Validation experimentale des modeles de defauts
directe de la resistance de limitation du courant de defaut utilise lors de l’experi-
mentation.
5.2.2.1 Analyse temporelle
Nous commencons par donner un apercu de courant de defaut Icc114, circulant
dans la resistance de limitation du courant Rcc114. La figure 5.4 presente les valeurs
prises par ce courant au cours de la simulation d’un court-circuit de spires, et en
faisant varier le nombre de spires court-circuitees selon le scenario 5.3.
En experimentation, nous avons realise ces court-circuits en deux etapes. La
premiere concerne le court-circuit de 9 spires sur la phase a, en reliant les bornes
219 et 228 de la figure B.3 via une resistance de 0.22 Ω. La figure 5.4(b) presente les
valeurs prises par le courant qui parcourt la resistance de court-circuit durant cette
experimentation.
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−15
−10
−5
0
5
10
15
t (s)
Icc
114
(A)
(a) Simulation : scenario 5.3.
0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1−15
−10
−5
0
5
10
15
t (s)
Icc
114
(A)
(b) Experimentation : nd114 = 9 spires.
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3−15
−10
−5
0
5
10
15
t (s)
Icc 114
(A)
(c) Experimentation : nd114 = 12 spires.
Fig. 5.4 – Courant de defaut Icc114 en fonction du nombre de spires en court-circuit.
5.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 191
Le deuxieme essai, concerne le court-circuit de 12 spires sur la meme phase, en
reliant la borne 219 a la borne 231 de la figure B.3 par une resistance de 0.29 Ω. La
figure 5.4(c) nous donne une idee sur l’intensite du courant dans cette resistance de
court-circuit au cours de cette experimentation.
Il est aussi important d’avoir une idee sur l’intensite du courant qui parcourt
les nd114 spires court-circuitees de l’enroulement en defaut, la figure 5.5 presente
les valeurs prises par ce courant au cours de la simulation du scenario 5.3. Nous
remarquons que malgre la presence de la resistance de limitation du courant de
C-C ce courant atteint des valeurs assez elevees.
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−15
−10
−5
0
5
10
15
t (s)
Id 114
(A)
Fig. 5.5 – Courant dans les spires court-circuitees au cours de la simulation du scenario5.3
En diagnostic, plusieurs techniques de supervision se basent sur l’observation des
courants consommes par la machine, sachant que l’on ignore la gravite et la phase qui
sera touchee par le defaut. Il serait alors interessant de comparer le comportement
des courants de phases issus de la simulation et ceux de l’experimentation. Nous
commencons alors par comparer les valeurs prises par le courant qui parcourt la
phase saine en simulation et en experimentation via la figure 5.6.
192 Chapitre 5. Validation experimentale des modeles de defauts
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.63
3.2
3.4
3.6
3.8
4
t (s)
I 1(A
)
(a) Simulation : scenario 5.3.
0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.13
3.2
3.4
3.6
3.8
4
t (s)
I 1(A
)
Apres le defautAvant le defaut
(b) Experimentation : nd114 = 9 spires.
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.33
3.2
3.4
3.6
3.8
4
t (s)
I 1(A
)
Avant le defautApres le defaut
(c) Experimentation : nd114 = 12 spires.
Fig. 5.6 – Courants dans la phase en defaut
Concernant les courants dans les phases saines, la figure 5.7 nous permet de
comparer les amplitudes des courants dans la phase 2 et la phase 3 lors de l’apparition
d’un defaut sur la phase 1. Les figures 5.7(a) et 5.7(b) presentent les courants dans
les phases 2 et 3 lors de la simulation du scenario 5.3, les figures 5.7(c) et 5.7(d)
presentent les memes courants mais issus d’une experimentation d’un defaut de
court-circuit de 9 spires sur la phase a et les figures 5.7(e) et 5.7(f) presentent les
memes courants mais issus d’une experimentation d’un defaut de court-circuit de 12spires sur la meme phase.
La comparaison des courants experimentaux et ceux de simulation, montre que le
comportement du simulateur est tres similaire a celui de la M.AS.Reelle, la grande
similitude est surtout du cote des courants dans les phases statoriques, la petite
difference d’amplitude du courant de defaut peut etre due a l’erreur de mesure sur
la resistance de limitation du courant de C-C.
Le dephasage entre les tensions et les courants statoriques est parmi les criteres
5.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 193
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.63
3.2
3.4
3.6
3.8
4
t (s)
I 1(A
)
(a) Courant dans la phase 2(Simulation du scenario 5.3)
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.63
3.2
3.4
3.6
3.8
4
t (s)
I 1(A
)
(b) Courant dans la phase 3(Simulation du scenario 5.3)
0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.13
3.2
3.4
3.6
3.8
4
4.2
t (s)
I 2(A
)
Apres le defautAvant le defaut
(c) Courant dans la phase 2 pour nd114 = 9spires (Experimentation).
0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.13
3.2
3.4
3.6
3.8
4
t (s)
I 3(A
)
Avant le defaut Apres le defaut
(d) Courant dans la phase 3 pour nd114 = 9spires (Experimentation).
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.33
3.2
3.4
3.6
3.8
4
4.2
t (s)
I 2(A
)
Avant le defautApres le defaut
(e) Courant dans la phase 2 pour nd114 = 12spires (Experimentation).
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.33
3.2
3.4
3.6
3.8
4
t (s)
I 3(A
)
Avant le defaut Apres le defaut
(f) Courant dans la phase 3 pour nd114 = 12spires (Experimentation).
Fig. 5.7 – Incidence d’un court-circuit sur le courant dans les phases saines.
les plus caracteristiques d’un defaut de court-circuit, ce critere reflete le desequilibre
sur les trois phases de la machine. Un court-circuit sur une phase, aura pour effet
de faire baisser le courant reactif dans cette derniere et d’augmenter la puissance
active consommee par cette phase (selon la valeur de la resistance Rcc), ce qui se
traduit par une baisse du dephasage entre la tension et le courant dans cette phase.
Le couplage magnetique au niveau des enroulements statoriques fait en sorte que ce
194 Chapitre 5. Validation experimentale des modeles de defauts
defaut se transmet aux autres phases, ce qui explique le fait que le dephasage entre
les tensions et les courants des phases b et c change aussi.
La figure 5.8(a) illustre ce phenomene de variation de dephasage selon la valeur
des spires court-circuitees en simulation. Les figures 5.8(b) et 5.8(c) presentent res-
pectivement le dephasage entre les tensions et les courants de lignes experimentaux
pour 9 et 12 spires en court-circuit.
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.632
34
36
38
40
42
X: 0.5428Y: 38.41
X: 1.448Y: 36.42
X: 0.9667Y: 36.89
φx
()
t (s)
φ1
φ2
φ3
(a) Simulation : scenario 5.3.
0.5 1 1.5 2 2.5 330
32
34
36
38
40
42
X: 0.915Y: 37.56
t (s)
Φx
() X: 2.015
Y: 36.02
Φ1
Φ2φ3
(b) Experimentation : nd114 = 9 spires.
0.5 1 1.5 2 2.5 330
32
34
36
38
40
42
X: 0.5448Y: 37.49
t (s)
Φx
()
X: 2.024Y: 35.25
Φ1Φ2Φ3
(c) Experimentation : nd114 = 12 spires.
Fig. 5.8 – Incidence d’un court-circuit de spires sur le dephasage entre les tensions et lescourants de lignes
On remarque que pour la machine experimentale, on a un leger decalage des de-
phasages des 3 phases qui peuvent etre dus a un leger desequilibre de la machine (elle
a ete rebobinee manuellement pour introduire les points d’acces intermediaires) mais
aussi apporte par les chaınes de mesure qui comportent des filtres anti-repliements
analogiques (courant et tension) qui ont chacun leur propre dephasage. Ce qui est
important est de noter que les variations de phase apportees par le defaut sont
conformes a la simulation (pour une machine couplee en etoile, la phases a et c
diminuent et la phase b augmente legerement).
5.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 195
5.2.2.2 Analyse frequentielle
Un defaut de court-circuit a aussi une double incidence sur le spectre des cou-
rants statoriques Devanneaux (2002), la premiere est l’augmentation de l’amplitude
des raies des harmoniques principales d’encoches rotoriques (reperees sur la figure
3.36) proportionnellement au nombre de spires en C-C, la deuxieme est l’apparition
d’autres harmoniques d’encoches comme le montre les figures 5.9(b) et 5.10(b).
Les figures 5.9 et 5.10 presentent l’analyse spectrale des courants dans les phases
1 et 2 avant et apres l’introduction d’un court-circuit de 27 spires sur la phase 2.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500−150
−100
−50
0
f (Hz)
DSP
Iph
1(d
B)
(a) Sans defaut.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500−150
−100
−50
0
X: 715.6Y: −61.69
f (Hz)
DSP
Iph
1(d
B) X: 1281
Y: −60.28
(b) Avec defaut de 27 spires sur la phase 2.
Fig. 5.9 – Analyse spectrale du courant dans la phase 1
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500−150
−100
−50
0
f (Hz)
DSP
Iph
2(d
B)
(a) Sans defaut.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500−150
−100
−50
0
f (Hz)
DSP
Iph
2(d
B)
(b) Avec defaut de 27 spires sur la phase 2.
Fig. 5.10 – Analyse spectrale du courant dans la phase en defaut (phase 2)
Ces raies sont beaucoup plus prononcees sur le spectre du courant circulant dans
la resistance de limitation du courant de court-circuit comme le montre la figure
5.11.
196 Chapitre 5. Validation experimentale des modeles de defauts
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500−150
−100
−50
0
f (Hz)
DSP
Icc
214
(dB
)
Fig. 5.11 – Analyse spectrale du courant dans la resistance Rcc214
D’apres Joksimovic et Penman (2000), Devanneaux (2002) un court-circuit de
spires au sein du bobinage statorique fait paraıtre des raies au tour des frequences
25, 75, 100 et 125Hz. . ., dues aux oscillations sur le couple electromagnetique qui
provoquent a leur tour des oscillations sur la vitesse angulaire du rotor. L’amplitude
de ces rais est aussi proportionelle au nombre de spires en defauts.
0 20 40 60 80 100 120 140 160−150
−100
−50
0
f (Hz)
X: 150.1Y: −68.73
DSP
Iph
2(d
B)
X: 19.23Y: −76.64
X: 80.87Y: −69.9
Fig. 5.12 – Analyse spectrale du courant dans la phase en defaut [0..175]Hz
Nous remarquons aussi que la resistance de limitation du courant de defaut
Rcc214 = 0.6W attenue les oscillations du Cem et par consequent elle fait baisser
l’amplitude des raies correspondantes comme le montre la figure 5.12, ce qui explique
le fait que les raies de cette figure sont plus faibles que celles dans la bibliographie
citees.
5.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 197
5.2.3 Defaut de C-C sans limitation du courant de defaut
Jusqu’a present nous n’avons presente que des defauts de court-circuit realises
avec une limitation du courant de defaut (via Rcc 6= 0). En pratique ce genre de
defaut arrive le plus souvent avec un contact franc (Rcc = 0), nous nous interessons
dans ce qui suit a la simulation de ce genre de defaillance mais sans limiter le courant
dans la branche de defaut, nous imposons alors une resistance de court-circuit nulle
durant le scenario 5.4 tout en faisant varier le nombre de spires court-circuitees.
Scenario 5.4 Defauts de court-circuit sans limitation du courant de defaut :
a t=0s : Demarrage a vide (Machine saine),
a t=.3s : On applique un couple resistant Cr = 7Nm,
a t=0.7s :
nd114 = 3 (spires),
Rcc114 = 0 (Ω),
εd114 = 1.42.
a t=1.2s : nd114 = 12 (spires),
a t=1.7s : nd114 = 29 (spires),
Les courants dans les phases statoriques, issus de la simulation de ce scenario,
sont presentes par la figure 5.13. Nous remarquons que cette fois ci les courants, dans
les trois phases, sont plus importants que ceux des figures 5.6(a), 5.7(a) et 5.7(b)
nous remarquons aussi que le courant dans la phase defaillante augmente de facon
significative avec le nombre de spires en defaut de celle ci.
Pour une machine de cette taille (1.1 KW ) et des l’apparition d’un faible nombre
de spires en defaut (3 spires), le courant dans la branche de court-circuit atteint une
amplitude de l’ordre de 35 A (Fig : 5.14(a)), et le courant dans les spires court-
circuitees a une amplitude de l’ordre de 30 A (Fig : 5.14(b)). Lorsque le nombre de
spires est plus important le courant de defaut reste presque constant.
198 Chapitre 5. Validation experimentale des modeles de defauts
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.22
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
t (s)
I 1(A
)
(a) Courant dans la phase a.
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.22
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
t (s)
I 1(A
)
(b) Courant dans la phase b.
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.22
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
t (s)
I 1(A
)
(c) Courant dans la phase c.
Fig. 5.13 – Courants statoriques au cours de la simulation du scenario 5.4
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2−60
−40
−20
0
20
40
60
t (s)
Icc 114
(A)
(a) Courant dans la resistance Rcc114.
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
t (s)
Id 114
(A)
(b) Courant dans les spires court-circuitees.
Fig. 5.14 – Courants de branches au cours de la simulation du scenario 5.4
Ces resultats montrent que ce defaut est tres destructeur pour l’isolation du
bobinage statorique quelque soit le nombre de spires en court-circuit de depart.
Nous avons remarque aussi que le dephasage a garde un comportement tres
proche de celui de la figure 5.8(a) a 2 pres.
5.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 199
5.2.4 Influence de l’inductance de fuite des spires court-
circuitees
Afin d’avoir une reference experimentale, tout au long de cette section, nous
choisissons d’introduire un defaut de court-circuit de 27 spires sur la phase 2 (entre
les bornes 203 et 230 de la figure B.3), avec une resistance de court-circuit de 0.6W,
sachant que cette fois ci la machine est couplee en triangle. Les courants issus de
cette experimentation sont representes par les figures 5.15(a) et 5.15(b), representant
respectivement le courant dans la resistance de court-circuit et les courants dans les
trois phases statoriques.
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1−15
−10
−5
0
5
10
15
t (s)
Icc
214
(A)
(a) Courant de defaut.
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 12
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
t (s)
I x(A
)
I1I2I3
(b) Courants dans les phases statoriques.
Fig. 5.15 – Courants experimentaux lors d’un defaut de C-C de 27 spires sur la phase 2
Comme le defaut est sur la phase 2 nous retrouvons par la figure 5.16(a) le
comportement habituel des Φx experimentaux : la baisse du dephasage la plus im-
portante est sur la phase en defaut. Nous tenons aussi a signaler qu’il y a une legere
difference par rapport au comportement de la machine en defaut lorsque elle est
200 Chapitre 5. Validation experimentale des modeles de defauts
couplee en etoile. En fait, a l’encontre du comportement des dephasages en triangle,
on remarque une legere augmentation du dephasage sur la phase qui suit la phase
en defaut (dans le sens←−−−−1→2→3) comme le montre la figure 5.16(b).
0.5 1 1.5 230
32
34
36
38
40
42
44
46
t (s)
Φx
()
Φ1Φ2Φ3
(a) Couplage en triangle
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 234
36
38
40
42
44
46
t (s)
Φx
()
Φ1Φ2Φ3
(b) Couplage en etoile.
Fig. 5.16 – Φx experimentaux lors d’un defaut de C-C de 27 spires sur la phase 2
Afin d’etudier l’effet de l’inductance des fuites de la boucle de defaut sur le com-
portement du modele en presence d’un C-C de 27 spires sur la phase 2, nous mettons
le MetaModele dans les memes conditions que l’experimentation (couplage tri-
angle) et nous introduisons le scenario 5.5 :
5.2. Defauts de court-circuit de spires au sein de la meme phase 201
Scenario 5.5 Variation de l’inductance de fuites des spires court-circuitees :
a t=0s : Demarrage a vide (Machine couplee en triangle),
a t=1s : On applique un couple resistant Cr = 7Nm,
a t=1.5s :
nd214 = 27 (spires),
Rcc214 = .6 (Ω),
εd214 = 0.24,
a t=2s : εd214 =1.66,
a t=2.5s : εd214 =3.57,
A la suite de la simulation du scenario 5.5, nous recuperons les courants dans
les phases statoriques presentes dans la figure 5.17. La figure 5.17(a) presente le
courant consomme par la phase en defaut, les figures 5.17(b) et 5.17(c) presentent
respectivement le courant dans la phase 1 et dans la phase 3 du stator.
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.22
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t (s)
Iph
2(A
)
(a) Courant dans la phase 2.
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.22
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t (s)
Iph
1(A
)
(b) Courant dans la phase 1.
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.22
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t (s)
Iph
3(A
)
(c) Courant dans la phase 3.
Fig. 5.17 – Courants statoriques au cours de la simulation du scenario 5.5
Nous pouvons conclure de ces figures que les courants de lignes ne presentent
202 Chapitre 5. Validation experimentale des modeles de defauts
pas une grande sensibilite vis-a-vis de l’augmentation des fuites des spires court-
circuitees.
Du cote des courants dans les branches de l’enroulement en court-circuit, nous
remarquons qu’ils sont assez sensibles a cette variation de fuites dans la boucle
de defaut. Que ce soit pour le courant dans la resistance de limitation du courant
de defaut Icc214 ou pour le courant qui parcourt les nd214 spires court-circuitees de
cet enroulement, l’augmentation de ces fuites fait baisser l’amplitude de ces deux
courants comme le montre les figures 5.18(a) et 5.18(b). Cette attitude nous permet
de rattraper un ecart eventuel entre le courant de defaut experimental et celui de
simulation pour la meme resistance Rcc.
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.214
15
16
17
18
19
20
t (s)
Icc
214
(A)
(a) Courant dans la resistance Rcc214.
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
4
6
8
10
12
14
t (s)
Id 214
(A)
(b) Courant dans les spires court-circuitees.
Fig. 5.18 – Courants de branches au cours de la simulation du scenario 5.5
La baisse de la valeur du dephasage entre les tensions et les courants de phases
(Fig : 5.16) prouve qu’un defaut de court-circuit de spires consomme beaucoup plus
de courants actifs que de courants reactifs, surtout au niveau de la phase en defaut.
En simulation, comme le modele est couplee en triangle, le dephasage entre les
tensions et les courants de phase doit ressembler a la figure 5.16(a). Nous remarquons
que l’augmentation des fuites dans les spires court-circuitees n’a pas une grande
incidence sur le dephasage Φ2 de la phase en defaut, mais elle rend le dephasage des
deux autres phases moins sensible au defaut (Fig : 5.19), ce qui correspond plus a
la figure du dephasage experimental.
5.3. Defauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse 203
0.5 1 1.5 234
36
38
40
42
44
46
t (s)
Φx
()
Φ1
Φ2
Φ3
Fig. 5.19 – Dephasages entre tensions et courants de simulation
5.3 Defauts de court-circuit de spires entre phase
et carcasse
Nous entamons dans ce qui suit la validation experimentale de la maniere avec
laquelle le MetaModele prend en compte un defaut de court-circuit entre phase
et carcasse. En experimentation, nous relions le point intermediaire 219 de la phase a
(Fig : B.3) au neutre de l’alimentation (couplee en etoile), par l’intermediaire d’une
resistance de 5.25 Ω. Pour que le MetaModele fait les transformations necessaires
au Mod.C.324 nous lui introduisons le scenario 5.6.
Scenario 5.6 Introduction d’un defaut de court-circuit entre la phase 1 et la carcasse :
a t=0s : Demarrage a vide (Machine saine),
a t=.3s : On applique un couple resistant Cr = 7Nm,
a t=0.7s :
SC Type = “PhGndSC”,
nd114 = 13 (spires),
Rcc114 = 5.25 (Ω),
εd114 = 1.43.
Des l’arrivee de l’evenement de defaut, le processus de mise a jour du modele se
met en marche, ce processus se termine par la definition des nouvelles boucles de
resolution de la machine defaillante. Comme on est en etoile, le stator etait decrit par
deux boucles de resolution J1 et J2, l’apparition de ce defaut definit une nouvelle
boucle de resolution J d1 comme decrit par la figure 4.8. Les tensions appliquees a
ces nouvelles boucles de resolution sont presentees par la figure 5.20.
204 Chapitre 5. Validation experimentale des modeles de defauts
0.6 0.62 0.64 0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78 0.8−600
−400
−200
0
200
400
600
t (s)
V x(V
)
V1
Vd1
V2
Fig. 5.20 – Tensions appliquees aux boucles de resolution (scenario 5.6).
Nous commencons par comparer les courants qui regnent dans la phase en defaut.
Un apercu du courant I1 et du courant de defaut Icc114, issus de la simulation du
scenario 5.6, est donne par les figures respectives 5.21(a) et 5.21(b). Les signaux issus
de l’experimentation confirment ces resultats, et nous retrouvons un comportement
tres similaire. Les figures 5.21(c) et 5.21(d) presentent respectivement le courant
dans la phase en contact avec la carcasse et le courant dans la resistance Rcc114.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
t (s)
I 1(A
)
(a) Simulation : Courant de ligne Ih1 = Ih114.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
t (s)
Icc 114
(A)
(b) Simulation : Courant dans la resistance decourt-circuit Rcc114.
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2−15
−10
−5
0
5
10
15
t (s)
I1
(A)
(c) Experimentation : Courant de ligne Ia = Ih1 .
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2−15
−10
−5
0
5
10
15
t (s)
Icc
114
(A)
(d) Experimentation : Courant dans la resistance decourt-circuit Rcc114.
Fig. 5.21 – Courants dans la phase en defaut
5.3. Defauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse 205
Nous remarquons que, malgre la resistance de limitation du courant de defaut
(Rcc114 = 5.25 Ω), le courant augmente d’une maniere importante sur la phase de-
faillante, comme illustre par les figures 5.21(a) et 5.21(c). A l’encontre d’un defaut
de C-C simple, les courants dans les phases saines n’augmentent pas avec l’appa-
rition de ce defaut voire meme ils diminuent un peu comme le montre les figures
5.22(a) et 5.22(c).
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
t (s)
I 2(A
)
(a) Simulation : Courant dans la phase 2.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
t (s)
I 3(A
)
(b) Simulation : Courant dans la phase 3.
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
t (s)
I 2(A
)
(c) Experimentation : Courant dans la phase b.
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
t (s)
I 3(A
)
(d) Experimentation : Courant dans la phase c.
Fig. 5.22 – Courants dans les phases saines
Il est aussi important d’avoir une idee sur les courants qui circulent de part et
d’autre du point de contact avec la carcasse. Ces courants sont ceux qui circulent
dans les branches de l’enroulement en defaut. Nous avons presente via la figure
5.21(a) le courant dans les spires qui sont avant le point de contact note Ih1 = Ih114,
la figure 5.23 presente le courant parcourant les 13 spires qui viennent apres le
point de contact de l’enroulement 114 et parcourant aussi les enroulements d’indices
12z, z ∈ 1..4 selon la notation des figures 4.6 et 4.7.
206 Chapitre 5. Validation experimentale des modeles de defauts
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
t (s)
Id 114
(A)
Fig. 5.23 – Courant Id1 = Id114 (dans les 13 spires de l’enroulement 114 et dans les enrou-lements d’indices 12z, z ∈ 1..4) au cours de la simulation du scenario 5.6
Nous retrouvons aussi un comportement assez similaire entre la simulation et
l’experimentation au niveau du dephasage entre les sources de tension et les courants
de ligne, surtout pour les phases b et c. C’est au niveau du dephasage de la phase a
que nous trouvons une legere difference entre Φ1 issu de l’experimentation et celui de
simulation. La figure 5.24 presente les valeurs prises par ces dephasages en simulation
et en experimentation.
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1−20
0
20
40
60
80
100
t (s)
Φx
()
Φ1Φ2
Φ3
(a) Φx de simulation.
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 210
20
30
40
50
60
70
80
t (s)
Φex
p(
)
Φ1Φ2Φ3
(b) Φx experimentaux
Fig. 5.24 – Dephasage entre sources de tension et courants de ligne lors d’un defaut deC-C entre phase et carcasse
5.4. Defauts de rupture de barres 207
5.4 Defauts de rupture de barres
Afin de valider le fonctionnement du Mod.C.324 en presence de defaut de rupture
de barres, nous introduisons le scenario 5.7. Ce scenario consiste a faire fonctionner
le modele avec une charge nominale. Par la suite, on introduit successivement une
rupture presque totale sur la premiere barre puis sur la deuxieme barre du rotor,
selon le principe decrit dans la section 4.4.
Scenario 5.7 Introduction d’un defaut de rupture de barres :
a t=0s : Demarrage a vide (Machine saine),
a t=.3s : On applique un couple resistant Cr = 7Nm,
a t=0.7s : Rb1 = 2 mW,
a t=1.2s : Rb2 = 2 mW.
Cette nouvelle valeur de resistance, qu’on vient d’introduire dans ce scenario, est
30 fois plus grande que la valeur de la resistance d’une barre saine (61µW). Cette
valeur a ete choisie de sorte que le courant qui traverse la barre defaillante soit quasi
nul.
Les figures 5.25(a) et 5.25(b) prouvent l’efficacite de cette demarche de prise
en compte d’une rupture de barres. Nous remarquons aussi que l’introduction du
premier defaut a engendre une legere augmentation de l’amplitude du courant dans
la deuxieme barre, et que le deuxieme defaut a engendre une augmentation plus
importante du courant sur la troisieme barre comme expose par la figure 5.25(c).
Comme le courant dans une barre cassee est presque nul, les courants dans les
deux portions d’anneaux de court-circuit adjacentes a cette barre cassee deviennent
egaux. La figure 5.25(d) montre l’egalite des courants dans les portions d’anneaux
d’indice a1 et a2 a la suite de la rupture de la barre d’indice b2 .
Un defaut de rupture de barres est parmi les defauts les plus traites dans la litte-
rature Bachir (2002), Devanneaux (2002), Didier (2004). Les signatures auxquelles
on s’attend est l’apparition d’ondulation de frequence 2.g.Fs sur la vitesse, ainsi
que la modulation des courants statoriques avec la meme frequence. La figure 5.26
fait un zoom sur ces ondulations au niveau de la vitesse. Avec une barre cassee
cette variation de vitesse est tres faible (' 1rad/s), et elle prend de l’ampleur avec
l’augmentation du nombre de barres cassees.
208 Chapitre 5. Validation experimentale des modeles de defauts
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−1500
−1000
−500
0
500
1000
1500
t (s)
I b1
(A)
(a) Courant dans la barre b1 .
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−1500
−1000
−500
0
500
1000
1500
t (s)
I b2
(A)
(b) Courant dans la barre b2 .
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−500
0
500
t (s)
I bk
(A)
Ib3
Ib5
(c) Courant dans les barres b3 et b5 .
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−1000
−500
0
500
1000
t (s)
Iex
ak
(A)
Iexa1
Iexa2
(d) Courant dans les portions d’anneaux externe a1
et a2 .
Fig. 5.25 – Courants dans la cage rotorique au cours de la simulation du scenario 4.4
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6146
148
150
152
154
156
158
160
t (s)
Ωr
(rad/s
)
Fig. 5.26 – Apparition des ondulations sur la vitesse de la machine
La modulation du courant statorique est presentee par la figure 5.27(a), vue la
richesse harmonique des signaux de simulation, cette modulation devient plus visible
a partir de la rupture de la deuxieme barre. L’analyse de dephasage entre les tensions
et les courants statoriques a aussi revele cette ondulation. La figure 5.27(b) presente
les valeurs prises par ce dephasage durant la simulation du scenario 5.7.
En experimentation, nous changeons le rotor sain de la machine par celui a deux
5.4. Defauts de rupture de barres 209
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.63
3.2
3.4
3.6
3.8
4
t (s)
I 1(A
)
(a) Modulation du courant statorique.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.620
30
40
50
60
70
80
t (s)
Φx
()
Φ1
Φ2
Φ3
(b) Apparition des ondulations sur le dephasage.
Fig. 5.27 – Incidence d’une rupture de barres sur les courants statoriques en simulation(scenario 5.7)
barres cassees (decrit dans l’annexe B.3), et nous faisons l’acquisition des tensions
et des courants statoriques. L’analyse de ces courants a revele cette modulation
d’amplitude (Fig : 5.28(a)), et la mesure du dephasage entre les tensions et les
courants de lignes (Fig : 5.28(b)) confirme le comportement du simulateur.
210 Chapitre 5. Validation experimentale des modeles de defauts
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 33
3.2
3.4
3.6
3.8
4
t (s)
I 1(A
)
(a) Modulation du courant statorique.
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 330
40
50
60
70
t (s)
Φx
()
Φ1
Φ2
Φ3
(b) Apparition des ondulations sur le dephasage.
Fig. 5.28 – Incidence d’une rupture de deux barres sur les courants statoriques experimen-taux
En faisant l’analyse frequentielle des courants de simulation, nous remarquons
que l’apparition d’une rupture de barre introduit plusieurs harmoniques, Ces har-
monique representent la signature spectrale de ce defaut Devanneaux (2002), Didier
(2004), et elles sont donnees par la relation :
fd = (1± 2kg) · fs (5.1)
Avec, k ∈ 1, 2, 3....
Les figures 5.29(a) et 5.29(b) presentent respectivement la densite spectrale de
puissance des courants statoriques, sans defaut et en presence de barres cassees, entre
0 et 100 Hz. La figure 5.29(b) montre que les amplitudes des raies caracteristiques
du defaut augmentent avec l’augmentation du taux de defaillance du rotor.
5.4. Defauts de rupture de barres 211
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−200
−150
−100
−50
0
f (Hz)
DSP
Iph
1(d
B)
(a) Rotor sain.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−150
−100
−50
0
f (Hz)
DSP
Iph
1(d
B)
1 barre cassee2 barres cassees
(b) En presence de rupture de barres.
Fig. 5.29 – Analyse spectrale de Iph1 [0-100]Hz (simulation)
Nous terminons notre analyse frequentielle dans la plage [0..100]Hz par une
comparaison du spectre de courant statorique experimental a celui issu de simulation
par la figure 5.30.
212 Chapitre 5. Validation experimentale des modeles de defauts
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−150
−100
−50
0
f (Hz)
DSP
Iph
1(d
B)
ExperimentationSimulation
Fig. 5.30 – Spectre de courant statorique de simulation et experimental [0-100]Hz (rupturede 2 barres)
Nous remarquons aussi la presence des raies additionnelles autour des compo-
santes principales des harmoniques d’encoches fenc introduites par l’expression (3.50)
et reperees sur la figure 3.36. L’equation (5.2) donne l’expression globale de ces raies,
integrant a la fois les frequences d’encoches et les raies additionnelles qui apparaissent
avec la defaillance du rotor Didier (2004) :
fhex = (x(1− g)± (1 + 2η)g) · Fs (5.2)
Avec, x ∈ 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... et η ∈ 0, 1, 2, 3....
Nous avons repere ces raies additionnelles sur les figures 5.31 et 5.32, representant
le spectre des courants statoriques de simulation et experimentaux dans une plage
frequentielle > 200Hz.
5.5. Conclusion 213
200 400 600 800 1000 1200 1400
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
f (Hz)
DSP
Iph
1(d
B)
Fig. 5.31 – Analyse spectrale de Iph1 en presence d’une rupture de 2 barres (simulation)
200 300 400 500 600 700 800 900 1000−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
f (Hz)
DSP
I 1(d
B)
Fig. 5.32 – Analyse spectrale du courant dans la phase a en presence d’une rupture de 2barres (experimentation)
5.5 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons exploite la deuxieme fonctionnalite du MetaMo-
dele, decrite dans le quatrieme chapitre, qui est la prise en compte dynamique
des defaillances introduites par les scenarii de simulation. La premiere exploitation
etait celle de la simulation d’un defaut de court-circuit au sein d’une meme phase,
214 Chapitre 5. Validation experimentale des modeles de defauts
le fait que le MetaModele prend en consideration la topologie du bobinage du
stator nous a permis de presenter l’influence de l’emplacement du C-C sur le fonc-
tionnement en defaut du modele. Cette faculte de bien specifier l’emplacement de
l’enroulement en defaut nous a permis de reproduire les meme defauts que ceux du
banc d’essais et de comparer les resultats de simulation a ceux d’experimentation.
La deuxieme exploitation de cette plate-forme de simulation etait la simulation
d’un defaut entre phase et carcasse. Les resultats de simulation et d’experimentation
sont assez comparables. On remarque l’importance d’un courant de phase pour ce
genre de defaut (facile a detecter avec les protections classiques du moteur).
La troisieme exploitation de ce generateur de modele etait la simulation d’une
defaillance de rupture de barres rotoriques, nous avons retrouve toutes les signatures
de ce genre de defaillance dans les signaux statoriques.
Durant toutes ces etapes, nous nous sommes bases sur des resultats experimen-
taux afin de valider le comportement en mode de defaut du simulateur, ce qui prouve
que le fonctionnement du simulateur est assez proche de la realite, et qu’il peut servir
comme un banc d’essais virtuel.
Conclusion et perspectives
Pour mener des recherches en diagnostic de la machine asynchrone sur des de-
fauts, essentiellement electriques ou mecaniques, l’outil de simulation est indispen-
sable pour les investiguer. Autant en pratique certains defauts sont quasiment im-
possibles a realiser, qu’il est souvent aussi difficile de reproduire en simulation sans
y consacrer un temps de developpement tres important. C’est pour cela que dans
cette these, avec l’idee d’utiliser les outils issus du genie logiciel, on s’etait donne
comme objectif d’automatiser la generation du simulateur de la machine asynchrone
avec la presence de differents defauts statoriques et rotoriques.
Pour cela on a commence par recenser les differentes approches pour simuler une
machine asynchrone en mettant l’accent sur la specificite de ces methodes en termes
de precision et de complexite de mise en œuvre. Il y a deux grandes familles de
techniques de simulation : par elements finis ou par resolution d’un systeme d’etat
(equations differentielles). C’est dans cette derniere que nous avons retenue notre
methode. Plus precisement, on a choisi d’utiliser la methodologie des Circuits Elec-
triques Magnetiquement Couples (CEMC), qui est doublement bien adaptee d’une
part, dans la capacite de decrire la machine en prenant en compte tous les elements
des bobinages statorique et rotorique et les defauts electriques. Nous pouvons citer
sans etre exhaustif, pour le stator, les connexions inter spires d’une meme phase ou
sur deux phases differentes ou vis-a-vis de la terre via la carcasse de la machine.
Pour le rotor les ruptures de barres ou d’anneaux en modifiant uniquement la va-
leur des parametres electriques du rotor et d’autre part, la facilite d’automatiser la
generation du modele avec defaut en utilisant des matrices de connexions. Ces ma-
trices de connexions sont directement liees a la conception de la machine, nombre de
215
216 Conclusion et perspectives
phases, nombre de paires de poles, nombre d’encoches statorique, nombres de barres
au rotor.
Pour simplifier la demarche de la methodologie de la modelisation, nous avons
commence par etudier le cas de la machine saine. Nous detaillons le MetaMo-
dele developpe dans cette these, en decrivant les parties elementaires du modele
jusqu’a la facon de les assembler pour obtenir le modele de la machine complete.
Il s’agit d’une modelisation purement analytique, en generant les mutuelles intrin-
seques au stator, intrinseques au rotor, et les mutuelles stator-rotor, en se basant sur
la distribution du champ magnetique dans l’entrefer selon la repartition spatiale du
bobinage de cette machine. Cela ce traduit par la gestion de matrices de connexions
facilement constructibles par un generateur issu du genie logiciel.
Cette partie a ete validee par une premiere etude en simulation sur la sensibilite
de certains parametres de construction comme la largeur de l’entrefer ou l’impor-
tance des fuites magnetiques statorique et rotorique. Cela nous a permis de caler le
modele de simulation avec une machine reelle existant au laboratoire et de verifier
les resultats de simulation par les resultats experimentaux obtenus pour differents
cas de charge et de couplages (etoile et triangle).
Ensuite, pour atteindre l’objectif que l’on s’etait donne (cas de la machine
avec defauts), nous avons enrichi la methodologie de cette modelisation multi-
enroulements pour prendre en consideration la presence de defauts. Ce defaut pou-
vant etre un defaut de court-circuit de spires au sein d’une meme phase, un court-
circuit entre deux phases, un court-circuit entre phase et terre ou une rupture de
barres. Nous avons montre comment prendre en compte chacune de ces alterations
topologiques. Cela se traduit par une modification des matrices de connexions, qui
sont deduites directement de la topologie normale de la machine plus des intercon-
nexions dues aux defauts de courts-circuits statoriques. Comme pour le cas de la
machine saine, cette these presente les resultats des matrices obtenues par le noyau
de generation de modeles « IMSimKernel » issu du genie logiciel pour differents
defauts et aussi la comparaison des resultats de simulation de ce modele avec des
essais experimentaux de la machine en defaut.
En conclusion de cette these, nous pouvons dire que nous avons valide le prin-
cipe de generation d’un modele dynamique de simulation par le noyau de generation
« IMSimKernel » (l’implementation Objets du MetaModele) en rentrant uni-
quement la topologie reelle de la machine, sachant que ce modele dynamique s’adapte
Conclusion et perspectives 217
automatiquement aux changements topologiques dus a l’apparition d’un defaut de
courts-circuits et/ou de rupture de barres ou d’anneaux, selon le lieu exact du defaut.
Bien sur, comme tous travaux prospectifs, il y a de nombreuses perspectives
qui sont envisageables a plus ou moins court termes. Nous avons pris plusieurs
hypotheses simplificatrices qu’il faudrait analyser une par une pour voir l’importance
de chacune sur les erreurs quelles apportent sur les resultats de simulation.
En premier lieu, il serait interessant de poursuivre les recherches sur les defauts
d’excentricites (statiques et/ou dynamiques), ceux-ci agissent sur la repartition du
champ magnetique de chaque enroulement elementaire. Une premiere approche a
montre la capacite de la methode pour introduire ce defaut mecanique. Il resterait
a finaliser l’etude en simulation ce qui permettrait de retrouver les harmoniques de
courant bien connus dans ce cas de defaut. Les aspects experimentaux sont pour
cela tres difficile a mettre en œuvre.
Une deuxieme perspective serait la prise en compte de la magnetisation du fer
sur la repartition du champ dans l’entrefer et qui va intervenir sur le calcul de chaque
mutuelle entre les enroulements statoriques et/ou rotoriques.
Une troisieme serait la prise en compte des effets de non linearite dans l’etat
magnetique dans le fer (effets de saturation) qui produirait des modulations des
inductances (et les mutuelles associees) en fonction de la position du champ magne-
tique et qui se traduirait par l’apparition d’harmoniques de courant d’ordres impairs
(3, 5, 7,..). On remarque bien qu’avec l’hypothese de prendre les inductances inde-
pendamment de la position du champ magnetique, les courants simules actuels ne
comportent pas ces harmoniques impairs.
Une autre perspective qui permettrait de rendre ce noyau de generation de mo-
dele IMSimKernel plus accessible et plus simple a utiliser, est de le doter d’une
interface graphique permettant de :
– lire et saisir les parametres du simulateur sans avoir a editer les fichiers XML
des parametres du stator, du rotor et de simulation,
– offrir une interface graphique de saisie de scenario de simulation,
– afficher en temps reel quelques signaux de simulation,
– controler la simulation : faire une pause, arreter ou poursuivre une ancienne
simulation . . .
– choisir et envoyer des evenements de simulation par des outils graphiques, au
cours d’une simulation.
218 Conclusion et perspectives
Ainsi que d’encapsuler le noyau de generation dans une boite parametrable (toolbox
matlab), exploitable pour faire de l’identification en boucle fermee de la machine
asynchrone (que ce soit en mode de programmation ou sous SimuLink).
Annexes
219
Sommaire
A.1 Methode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
A.2 Methodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
A.3 Methode d’exponentielle d’une matrice . . . . . . . . . . . 224
A.4 Methode d’Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Annexe
A
Quelques techniques de résolutiond’équations différentielles
Il existe des procedes de resolution numerique pour les equations differentielles.
La premiere methode numerique fut introduite en 1768 par Leonhard Euler. De-
puis un grand nombre de techniques ont ete developpees Demailly (1996), Vladimir
(1992) : elles se basent sur la discretisation de l’intervalle d’etude en un certain
nombre de pas. Suivant le type de formule utilise pour approcher les solutions, on
distingue les methodes numeriques a un pas ou a pas multiples, explicites ou impli-
cites.
Il existe plusieurs criteres pour mesurer la performance des methodes nume-
riques : la consistance d’une methode indique que l’erreur theorique effectuee en
approchant la solution tend vers 0 avec les pas. La stabilite indique la capacite a
controler l’accumulation des erreurs d’arrondi. Ensemble elles assurent la conver-
gence, c’est-a-dire la possibilite de faire tendre l’erreur globale vers 0 avec le pas.
221
222 Annexe A. Techniques de resolution d’equations differentielles
A.1 Methode d’Euler
La methode d’Euler est une procedure numerique pour resoudre par approxima-
tion des equations differentielles du premier ordre avec une condition initiale. C’est
la plus simple des methodes de resolution numerique des equations differentielles.
Soit le systeme suivant :
∀ x ∈ I, u′(x) = f(x, u(x))
ou I est un intervalle de R et f une fonction reelle sur I × R.
Etant donnee une condition initiale (a, u(a)) ∈ I × R, la methode fournit pour
tout point b ∈ I une suite (un(b))n∈N d’approximations de la valeur u(b) que prend
la solution de l’equation qui correspond a cette condition initiale.
un(b) s’obtient en calculant n valeurs intermediaires (yk)k∈[0,n] de la solution
approchee aux points (xk)k∈[0,n] regulierement repartis entre a et b , donnes par :
xk = a+ kb− an
On etend cette notation a x0 = a, y0 = u(a) et xn = b, yn = un(b). Ces valeurs
intermediaires sont alors donnees par la relation de recurrence :
yk+1 = yk + (xk+1 − xk)f(xk, yk), k ∈ [0, n− 1] (A.1)
A.2 Methodes de Runge-Kutta
Ces methodes reposent sur le principe de l’iteration, c’est-a-dire qu’une premiere
estimation de la solution est utilisee pour calculer une seconde estimation, plus
precise, et ainsi de suite.
La methode de Runge-Kutta d’ordre quatre (RK4) est un cas particulier d’usage
tres frequent, denote RK4.
Considerons le probleme suivant :
y′ = f(t, y), y(t0) = y0
A.2. Methodes de Runge-Kutta 223
La methode RK4 est donnee par l’equation :
yn+1 = yn + Te6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) (A.2)
ou
k1 = f (tn, yn)
k2 = f(tn + Te
2 , yn + Te2 k1
)k3 = f
(tn + Te
2 , yn + Te2 k2
)k4 = f (tn + Te, yn + Tek3)
L’idee est que la valeur suivante (yn+1) est approchee par la somme de la valeur
actuelle (yn) et du produit de la taille de l’intervalle (Te) par la pente estimee. La
pente est obtenue par une moyenne ponderee de pentes :
– k1 est la pente au debut de l’intervalle ;
– k2 est la pente au milieu de l’intervalle, en utilisant la pente k1 pour calculer
la valeur de y au point tn + Te/2 par le biais de la methode d’Euler ;
– k3 est de nouveau la pente au milieu de l’intervalle, mais obtenue cette fois en
utilisant la pente k2 pour calculer y ;
– k4 est la pente a la fin de l’intervalle, avec la valeur de y calculee en utilisant
k3.
Dans la moyenne des quatre pentes, un poids plus grand est donne aux pentes
au point milieu.
pente = k1 + 2k2 + 2k3 + k4
6 .
Le calcul de yn+1 necessite alors 4 evaluations de la fonction f , et par suite pour
les fonctions compliquees le temps de calcul devient important.
224 Annexe A. Techniques de resolution d’equations differentielles
A.3 Methode d’exponentielle d’une matrice
Une des premieres applications de l’exponentielle de matrices est la resolution des
equations differentielles ordinaires, d’une maniere explicite. En effet, de l’equation
(A.3) ci-dessous, on deduit que la solution de :
d
dty(t) = A.y(t), y(0) = y0, (A.3)
ou A est une matrice, est donnee par
y(t) = eAty0. (A.4)
L’exponentielle d’une matrice peut aussi servir a resoudre les equations non-
homogenes :
d
dty(t) = A.y(t) + z(t), y(0) = y0. (A.5)
On se propose alors d’integrer le systeme differentiel suivant :
y(t) = A.y(t) +B.u(t) (A.6)
On approxime l’entree u(t) par un polynome base sur la connaissance des valeurs
uk+1, uk, uk−1.
Entre K.Te et (K + 1).Te, on ecrit que
u(t) = a0 + a1.v (A.7)
avec
v = t−K.Te
a1 = uk+1 − ukTe
a0 = uk
A.4. Methode d’Adams 225
la solution numerique de systeme (A.6) est alors :
y(Te) = eA.Te .y(0) +∫ Te
0eA(Te−τ).B.u(τ).dτ (A.8)
L’implementation de cette methode a un ordre N quelconque est de la forme :
yk+1 = Φ.y
k+ I0 + I1 (A.9)
avec
I0 = ψ0.B.a0
I1 = (Te.ψ0 − ψ1).B.a1
et
Φ = eA.Te =N∑n=0
AnTen
n!
ψ0 =∫ Te
0eAv dv =
N∑n=0
AnTen+1
(n+ 1)!
ψ1 =∫ Te
0eAvv dv =
N∑n=0
(n+ 1)AnTen+2
(n+ 2)!
A.4 Methode d’Adams
Cette methode est l’une des categories a pas multiples. Elle peut etre classee en
formules ouvertes ou formules fermees. Dans ce qui suit, on detaillera uniquement
le cas de formules d’Adams ouvertes.
Soit l’equation differentielle suivante :
d
dty(t) = f(y, t), y(0) = y0, (A.10)
Le developpement en serie de Taylor autour de t donne :
y(t+ Te) = y(t) + Te.f(y, t) + Te2
2! .f′(y, t) + · · ·+ Te
n
n! .f(n−1)(y, t) (A.11)
226 Annexe A. Techniques de resolution d’equations differentielles
ainsi on a
yk+1 = yk + Te.fk + Te2
2! .f′
k + · · ·+ Ten
n! .f(n−1)k (A.12)
En utilisant le meme principe, on peut exprimer, par une formule generale d’ordre
(N + 1), yk+1 en fonction de yk et fk , fk−1 , fk−2 , . . . , fk−N :
yk+1 = yk + Te.N∑n=0
βNn.fk−n +O(Te)n+2 (A.13)
Dans le tableau suivant, on donne les valeurs de βNn jusqu’a N = 5, ce qui
correspond a une formule d’ordre 6
HHHHHHH
N
n 0 1 2 3 4 5 Ordre de la methode
0 1 1
1 32 −1
2 2
2 2312 −16
12512 3
3 5524 −59
243724 − 9
24 4
4 1901720 −2774
7202616720 −1274
720251720 5
5 42771440 −7923
144099821440 −7298
144028771440 − 475
1440 6
La formule la plus couramment utilisee est celle d’ordre 4 :
yk+1 = yk + Te24 . (55fk − 59fk−1 + 37fk−2 − 9fk−3) +O(Te)5 (A.14)
Sommaire
B.1 Parametres techniques de la « M.AS.Reelle » . . . . . . . . 228
B.2 Bobinage modifie (prises de court-circuit) . . . . . . . . . . 229
B.3 Jeu de rotors interchangeables . . . . . . . . . . . . . . . . 230
B.4 Systeme d’acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Annexe
B
Bancs d’essais
Les deux bancs experimentaux que nous avons utilises ont ete developpes au
L.A.I.I. de Poitiers dans le cadre du projet « Diagnostic de la machine asynchrone »et en collaboration avec la societe Moteurs Leroy Somer. Ces deux bancs sont
concus au tour de deux machines asynchrones issues d’une meme serie, chaque ma-
chine est accouplee a une machine a courant continu de meme puissance (qui fonc-
tionne en generatrice). Les deux machines asynchrones sont dotees de prises de
connexions additionnelles, sur le bobinage statorique, nous permettant de provo-
quer des court-circuits au sein du stator. La figure B.1 presente le banc d’essai ayant
des prises de connexions additionnelles, avec un nombre de spires important. Ces
prises de C-C sont introduites sur deux phases selon le schema topologique de la
figure B.2.
227
228 Annexe B. Bancs d’essais
prises de connexion surle bobinage statorique
Fig. B.1 – Banc d’essais (stator a bobinage modifie)
B.1 Parametres techniques de la « M.AS.Reelle »
Les caracteristiques de deux machines (LS90 ), montees sur les bancs experimen-
taux, sont donnees par le tableau B.1.
Tab. B.1 – Caracteristiques de la M.AS.Reelle
Puissance 1.1 KW
Tension nominale 400/230 V
Courant nominal 2.6/4.3 A
cos(Φ) 0.85/0.82
Vitesse nominale 1425 tr/min
Nombre de paires de poles 2
Nombre d’encoches statoriques 48
Nombre de barres au rotor 28
Nombre de spires par phase 464
B.2. Bobinage modifie (prises de court-circuit) 229
B.2 Bobinage modifie (prises de court-circuit)
Les essais experimentaux sont realises sur deux machines asynchrones triphasees
specialement bobinees afin de rajouter des prises supplementaires selon les figures
B.2 et B.3. Les points intermediaires de la premiere nous permettent d’experimenter
les defauts de C-C avec un nombre de spires relativement important. Quant a la
deuxieme, ces points intermediaires nous permettent d’experimenter les defauts de
C-C d’un nombre reduit de spires.
111
111
112
112
113
113
114
114
121
121
122
122
123
123
124
124
U
X
1858116
211
211
212
212
213
213
214
214
221
221
222
222
223
223
224
224
V
Y
2958
116
Fig. B.2 – Schema developpe du bobinage d’un stator avec prises de C-C eloignees
230 Annexe B. Bancs d’essais
111
111
112
112
113
113
114
114
121
121
122
122
123
123
124
124
U
X
219228231
211
211
212
212
213
213
214
214
221
221
222
222
223
223
224
224
V
Y
203224230
Fig. B.3 – Schema developpe du bobinage du stator avec prises de C-C rapprochees
B.3 Jeu de rotors interchangeables
On dispose aussi d’un jeu de rotors interchangeables (applicable aux deux ma-
chines), dont chacun presente un taux de defaillance different :
Rupture totale (faite par le constructeur) :
– d’une barre,
– de deux barres successives,
Rupture partielle :
L’extraction de la matiere des barres (a ≈95%) est faite par percage successif
avec des forets de diametres differents, les defauts realises sont :
– de deux barres a 64°,
– de deux barres a 90°,
– de deux barres a 180°.
La figure B.4 presente un jeu de rotors sur lesquels nous avons introduit differents
taux de rupture de barres.
B.4. Systeme d’acquisition 231
Fig. B.4 – Jeu de rotor interchangeable (avec et sans defaut)
B.4 Systeme d’acquisition
L’acquisition des signaux est faite par l’intermediaire d’un systeme d’acquisition
Vision de chez Nicholet. Ce systeme dispose de 16 canaux d’acquisition avec
une resolution de 12 bits, et d’une frequence d’echantillonnage maximale de 100
K-echantillons par seconde. Les signaux experimentaux ici exposes ont ete echan-
tillonnes a 10 KHz et filtres, que ce soit pour les tensions ou pour les courants, par
un filtre d’antirepliement de frequence de coupure 2.5 KHz.
Ce systeme d’acquisition dispose des fonctionnalites de visualisation, d’impres-
sion et d’enregistrement sur un disque dur de 9 Go, ainsi que le partage et la mise
sur reseau informatique des donnees acquises. Les 16 canaux d’acquisition sont iso-
les electriquement les uns des autres, en plus la plage d’entree de ces canaux va de
50mV a 500V avec une impedance d’entree de 1MΩ.
Les signaux dont nous avons fait l’acquisition durant nos experimentations sont :
– Les trois tensions triphasees appliquees aux bornes du bobinage statorique
Va, Vb, etVc, nous avons utilise pour ces mesures des ponts diviseurs de tension,
pour mieux adapter les tensions aux calibres des canaux de mesure,
– Les trois courants triphases Ia, Ib, etIc, grace a trois pinces ampermetriques de
calibre 100mV/A,
avec l’introduction de(s) court-circuit(s) nous faisons l’acquisition :
– de(s) courant(s) de defaut(s), grace a des pinces ampermetriques de meme type
que celles citees precedemment.
232 Annexe B. Bancs d’essais
En parallele a ces signaux, nous mesurons la/les resistance(s) de limitation des cou-
rants de defauts ainsi que la vitesse de rotation du rotor.
Sommaire
C.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
C.2 E.V.E. des machines asynchrones . . . . . . . . . . . . . . . 234
C.3 Specification des scenarii de simulation . . . . . . . . . . . 240
Annexe
C
L’environnement virtueld’expérimentation « IMSimKernel »
C.1 Introduction
La programmation orientee objets « MOO » Muller et Gaertner (2000) est l’ap-
proche de programmation la plus utilisee dans le domaine de developpement des
applications et de la modelisation des systemes. Malgre tous les benefices gagnes
lors de l’utilisation de cette methodologie, l’utilisation de cette technique dans le
domaine de la simulation et du diagnostic des machines electriques reste timide.
La MOO est la technique la plus adaptee pour fournir une bibliotheque de
« classes » generiques qui font abstraction des differents sous-systemes de la machineasynchrone. Le fait de coupler cette methodologie a l’approche de meta-modelisation,nous permet de proposer un generateur de modele dynamique de machines asynchrones(MetaModele). Au lieu de proposer un modele d’une machine bien specifique, ce Meta-
Modele est constitue essentiellement des regles de generation et d’interaction entre lesdifferents objets du modele. Cette approche de modelisation se base sur les inductances
233
234 Annexe C. IMSimKernel
mutuelles intrinseque au stator, au rotor et entre le stator et le rotor1), ainsi que l’auto-construction des matrices de connexion selon la topologie et la geometrie de la machine.
L’outil informatique elabore dans cette these a ete implemente sous Matlab2007b,bien que cet environnement ne fait pas le meilleur choix pour faire de la programmationorientee objets, nous l’avons choisi pour que ce travail puisse servir a d’autres membresdu laboratoire ainsi qu’a d’eventuels travaux de recherche qui vont poursuivre ce travail.
C.2 L’environnement virtuel d’experimentation
des machines asynchrones
La simulation du comportement d’une machine asynchrone necessite de fixer un certainnombre de parametres : les parametres de cette machine, les conditions de simulation ainsique le scenario a simuler :
les parametres de la machines regroupent toutes les informations permettant debien decrire la machine a simuler, sur le plan geometrique, electrique et topolo-gique2. ces parametres sont repartis sur plusieurs fichiers de configuration, dontchacun decrit une partie de la machine, ces fichiers sont situes selon l’arborescencesuivante :IMSimKernel/Data/
|-- rotor
| |-- get_rotor_param.m
| ‘-- rotor_param.xml
‘-- stator
|-- get_stator_param.m
‘-- stator_param.xml
Les parametres de simulation decrivent les conditions dans lesquelles opere le modelede la machine : Alimentation appliquee, type de couplage des sources d’alimenta-tion, mode de resolution (pas fixe ou pas variable ...), frequence de mise a jour del’affichage, une nouvelle simulation ou continuation d’une ancienne simulation . . .Ces parametres sont charges a partir du package data/sim suivant :IMSimKernel/Data/
|-- sim
| |-- get_sim_param.m
| ‘-- sim_param.xml
Les scenarii de simulation decrivent une suite chronologique d’evenements, ces eve-nements peuvent etre d’ordre externe comme la variation du couple de charge, ou dela tension appliquee. Ou d’ordre interne comme la variation de la resistance d’une
1comme decrit tout au long de cette these2topologie de bobinage (repartition spatiale des enroulements elementaires), type bobinage . . .
C.2. E.V.E. des machines asynchrones 235
barre (apparition d’une fissure), un changement au niveau de la topologie du bobi-nage (court-circuit inter-spires d’une meme phase, inter-phases ou entre une phaseet la carcasse). Ces scenarii sont enregistres dans le repertoire data/scenarios :IMSimKernel/Data/
|-- scenarios
| |-- get_sim_scenario.m
| |-- Healthy_sim_scenario_1.xml
| |-- Healthy_sim_scenario_2.xml
| |-- PhSC_sim_scenario_1.xml
| |-- PhPhSC_sim_scenario_1.xml
| |-- PhGndSC_sim_scenario_1.xml
| ‘-- ...
C.2.1 Principe d’auto-generation du modele
Une fois le parsing des fichiers XML est fait, les parametres du stator, du rotor et de si-mulation seront stockes dans les structures correspondantes « Stator parm, Rotor Pram »et « Sim Parm ». L’auto generation d’un modele dynamique peut alors commencer parl’objet mere « IM Sim Obj » jusqu’a arriver aux objets « Coil Obj » et « Bar Obj » se-lon le diagramme C.1. Ainsi chaque objet mere distribue la generation de son modele sur
IM Sim Obj
Sim ParmStator ParmRotor Parm
IM Obj
Stator ParmRotor Parm
Stator Obj
L, Rs, e, µ0, ...N , p, Nc, Topologyαx, βx ∀x ∈ 1..N
Phase Obj(1)
L, Rs, e, µ0..., p, Nc
α1y, β1y ∀y ∈ 1..p. . .
Phase Obj(N)
L, Rs, e, µ0..., p, Nc
αNy, βNy ∀y ∈ 1..p
Winding Obj(1)
L, Rs, e, µ0..., Nc
α11z, β11z ∀z ∈ 1..Nc. . .
Winding Obj(p)
L, Rs, e, µ0..., Nc
α1pz, β1pz ∀z ∈ 1..Nc
Coil Obj(1)
L, Rs, e, µ0...α111, β111
. . .Coil Obj(Nc)
L, Rs, e, µ0...α11Nc , β11Nc
Rotor
Stator Obj (θ)...
Rotor Obj
L, Rr, e, µ0, ...Nr
Bar Obj(1)
L, Rr, e, µ0...α1, β1
...Bar Obj(Nr)
L, Rr, e, µ0...αNr , βNr
int SCRing Obj(k)
R, Lp, Lf ...
ext SCRing Obj(k)
R, Lp, Lf ...
cage
wound
1..Nr
1..Nr
Fig. C.1 – Generation incrementale du modele selon les parametres topologiques de lamachine
236 Annexe C. IMSimKernel
ses objets fils, en leurs fournissant les parametres geometriques (L,R, e . . .) et topolo-giques (N, p,Ne, Nr, type de bobinage ainsi αxyz et βxyz. . .) necessaires a chaque etape degeneration.
L’objet implementant l’environnement virtuel d’experimentation est le « IM Sim Obj ».Son principal role est de fournir un environnement interactif de simulation, la premiereetape realisee par cet objet est l’instanciation du modele dynamique de la machine, appele« IM Obj ». Le second role est d’assurer la gestion des evenements de simulation. Cesevenements peuvent venir des scenarii de simulation ou de l’intervention de l’utilisateur,via l’interface graphique du simulateur.
Le modele dynamique de la machine « IM Obj », genere deux sous-objets, le « Sta-
tor Obj » et le « Rotor Obj ». Chacun de ces deux objets recoit ses parametres de l’objetmere, ces parametres decrivent la geometrie ainsi que la topologie de la partie en ques-tion. L’objet stator distribue a son tour la generation de son modele sur le N objets detype phase (de « Phase Obj(1) » a « Phase Obj(N) ») en leur fournissant leur coordonneespolaires αx, βx ∀x ∈ 1..N respectives.
Chaque objet de type phase (« Phase Obj(x) ») genere a son tour p objets de typebobine (de « Winding Obj(x1) » a « Winding Obj(xp) »), et envoie a chacun d’entre euxses parametres geometriques et topologiques p, Nc, le type de bobinage ainsi que ses co-ordonnees polaires αxy, βxy ∀y ∈ 1..p, ∀x ∈ 1..N.
Les objets « Winding Obj(xy) » generent a leur tour les Nc objets de type enroulement(de « Coil Obj(xy1) » a « Coil Obj(xyNc) »), et fournie a chacun d’entre eux ses para-metres geometriques ainsi que les coordonnees polaires des encoches allees αxyz et retourβxyz, ∀z ∈ 1..Nc, ∀y ∈ 1..p et ∀x ∈ 1..N.
« Coil Obj(xyz) » est l’objet de base de ce modele, il represente les nxyz spires logeesdans les encoches localisees par αxyz et βxyz. Ces objets representent le dernier niveau duprocessus de generation, chacun d’entre eux cree son modele electrique ; la matrice desresistances [R]xyz, celle des inductances [L]xyz ainsi que sa matrice de connexion [D]xyz.Comme le MetaModele demarre avec un modele sain, ces matrices sont au depart desmatrices unitaires. L’inductance propre Lpxyz et de fuites Lfxyz sont calculees en fonctionde la topologie de bobinage et les dimensions des encoches selon les expressions detailleesdans la section .
Un rotor bobine suit les memes etapes de generation qu’un stator, alors qu’un rotor acage d’ecureuil genere Nr « Bar Obj » decrivant ses barres, Nr « int SCRing Obj » et Nr
« ext SCRing Obj » decrivant les morceaux de deux anneaux de court-circuit de la cage.
A chaque fois qu’un evenement touche aux caracteristiques geometriques ou topolo-
C.2. E.V.E. des machines asynchrones 237
giques de la machine, ces objets suivent le meme processus pour mettre a jour le modeleglobal de la machine « IM Obj ».
C.2.2 Principe de simulation
Une fois les objets elementaires accomplissent la generation de leurs modeles, chaqueobjet mere concatene les matrices des objets fils pour former ses propres matrices resistanceet inductance. Sachant que le couplage magnetique entre les objets fils est pris en comptevia les inductances mutuelles qui remplissent les elements paradiagonaux de la matrice desinductances, comme decrit dans les sections 2.3, 4.2 et 4.2.2. Ce processus de generationse termine au niveau de l’objet « IM Obj ». Durant un scenario de simulation, ce derniersera gouverner par l’objet « IM Sim Obj » selon le diagramme C.2.
l’objet « IM Sim Obj » est le noyau du simulateur, ses principales fonctionnalites sont :initialiser les variables d’environnement selon les parametres de simulation, charger lescenario de simulation et rester a l’ecoute du canal des evenements de l’utilisateur, ainsi quede gouverner le modele dynamique de la machine (« IM Obj »). Un diagramme de principeexposant un apercu des composants constituant cet environnent virtuel d’experimentation(EVE), de machines saine et en defaut, est donne par la figure C.2.
I.M. Virtual Experimentation Environment (IMSimKernel)
: Initialization data : Data stream
I.M. Meta-model
I.M. dynamic modelauto-generation rules
IM Sim Obj
Eve
nts
man
ager
Power supplymanager
Dat
asa
vin
gm
anag
er
Data displaymanager
SimClock
IM Obj
auto
-updat
ing
laye
r
I.M. multi-layersobject-oriented model
...O.D.E loops layer:[R], [D] and [L](θ).
auto
-updat
ing
laye
r
Dynamic states space[U ] = [A].[X] + [B].[X]building and solving
⇒ [X] → θ
topologicalevents
simulation events
simulationscenario
end userevents
Induction Machine (I.M.)parameters
simulationparameters
Onlinemode stator-rotor
mutuals
Offline mode
outputdata
Fig. C.2 – « IMSimKernel »
238 Annexe C. IMSimKernel
C.2.3 Implementation
Au cours de nos travaux de recherche, nous avons passe par plusieurs etapes, et plu-sieurs choix de modelisation, les premiers modeles que nous avons developpes ont ete basessur un calcul hors-ligne des mutuelles stator-rotor. Ce calcul peut se baser sur des for-mules trigonometriques (limitation a p = 1 pour une modelisation fine multi-enroulementset multi-bobines sans les hypotheses de symetrie de bobinage), ou via l’importation desmutuelles elementaires d’un logiciel de calcul par elements finis (Flux2D). Les classespermettant de generer un modele dynamique hors-ligne sont groupees dans le package« OffLine MOD ».
En fait, lors du parametrage de l’experience de simulation, l’utilisateur doit choisirentre le mode de simulation hors-ligne ou en-ligne, ce choix aura pour effet de fixer le pa-ckage a utiliser pour l’instanciation du modele. Sachant que les deux packages proposentune implementation differente des memes classes, ce qui permet de faire abstraction dela technique de calcul de mutuelles. En outre, quelque soit le package de generation, lemodele dynamique « IM Obj » propose les memes methodes a l’environnemt virtuel d’ex-perimentation « IM Sim Obj ».
L’ensemble des packages constituant le noyau de simulation ainsi que les classes (pre-cede par un ‘@)3 qui interviennent directement dans la generation du modele sont organisescomme suit :
IMSimKernel/
|-- Data_analysis_ToolBox
|-- IM_ID_ToolBox
|-- IM_SIM_ToolBox
| |-- @IM_Sim
| |-- OffLine_MOD
| | |-- @Bar
| | |-- @Coil
| | |-- @IM
| | |-- @Phase
| | |-- @Rotor
| | |-- @Stator
| | ‘-- @Mutual_Generator
| ‘-- OnLine_MOD
| |-- @Bar
| |-- @Coil
| |-- @IM
| |-- @Phase
| |-- @Rotor
| |-- @Stator
3Technique d’emulation de la programmation objets jusqu’a la version 2007b de Matlab
C.2. E.V.E. des machines asynchrones 239
| ‘-- @Winding
|-- Math_ToolBox
|-- data
| |-- mutuals
| |-- outputs
| |-- sim
| |-- rotor
| |-- stator
| ‘-- scenarios
|-- GUI_ToolBox
‘-- XML_ToolBox
Afin que le volume de cette these reste raisonnable, nous nous sommes limites a la mo-delisation en-ligne, implementee par les classes du package de modelisation OnLine MOD,de la machine asynchrone en defaut.
C.2.4 Les methodes decrivant le comportement dynamique
d’un Objet
Au cours d’une simulation, les Objets constituant le modele peuvent recevoir plusieurstypes de message, ces messages proviennent de la couche de gestion des evenements desimulation. Ces evenements peuvent changer les parametres electriques et geometriquesdu modele (la resistance des barres, l’entrefer, les coefficients d’ajustement des fuites . . .),comme ils peuvent changer les parametres topologiques du modele (afin de simuler uncourt-circuit de spires). Ainsi, chaque classe appartenant a « OnLine MOD » ou a « Of-
fLine MOD » a deux methodes privees « update Obj » et « update connection matrix »,dont les roles sont :
update Obj : met a jour la resistance et l’inductance du modele, suite a un changementdes parametres electriques, geometriques ou topologiques.
update connection matrix : veille sur l’integrite des donnees fournies par l’objeten question, en faisant les extensions dynamiques necessaires a ses matrices deconnexion, suite aux evenements touchant la topologie du modele.
La seule classe qui a plus de methodes pour assurer l’integrite des dimensions et ducontenu de ses matrices est la classe « IM Sim ». Cette classe est en quelque sorte le« maestro » de la simulation, c’est elle qui implemente la couche de gestion des evenementset qui gere la progression de la simulation, et c’est cette classe qui assure le constructiondu modele d’etats ainsi que la resolution du systeme d’equations differentielles resultant.les methodes qui lui permettent d’assurer ce role sont :
IMSimKernel/IM_SIM_ToolBox/@IM_Sim/
240 Annexe C. IMSimKernel
|-- private
| |-- adam_4.m
| |-- allocate_mem_space.m
| |-- dyn_adam_4.m
| |-- exp_solver.m
| |-- get_ODE_U.m
| |-- get_power_supply.m
| |-- update_Obj.m
| |-- resize_matrices_and_append_Hist.m
| |-- rk_4.m
| |-- update_input_state_vect.m
| ‘-- update_state_matrices.m
|-- add_event.m
|-- get.m
|-- im_sim.m
|-- run.m
|-- send_event.m
|-- set.m
‘-- set_sim_scenario.m
C.3 Specification des scenarii de simulation
Un scenario de simulation est constitue d’une succession d’evenements chronologiques,ces evenements sont recoltes du fichier XML decrivant le scenario de simulation a executer.C’est la classe « IM Sim » qui dispose des methodes necessaires pour la lecture et l’en-voie de ces evenements a leurs destinataires (les objets concernes par cette information).Ces fonctionnalites sont assurees par les methodes « add event », « set sim scenario » et« send event ».
C.3. Specification des scenarii de simulation 241
C.3.1 Specification d’un evenement
Un evenement est une structure de donnees constituee par les attributs suivants :Done : decrit l’etat de traitement de l’evenement, Done=1 implique que
l’evenement est traite precedemment (a ne pas envoyer). Cette in-formation est utilisee lors de la continuation d’une simulation ante-rieure, pour marquer les evenements deja traites, ou pour desactiverun evenement quelconque.
Time : specifie l’instant d’execution de l’evenement.Target : definit les adresses de destinataires du message, cette adresse com-
mence toujours par sim ou im pour designer l’objet destinataire,puis par une succession de noms et de chiffres pour choisir le desti-nataire parmi les objets fils du destinataire principal. Exemple « im,stator, 2, 1, 1 » pour l’enroulement 1 de la bobine 1 de la phase 2du stator de la machine. La valeur 255 est reservee pour un mes-sage multi-destinataires, exemple « im, stator, 2, 255, 1 » pour unmessage aux 1ers enroulements de toutes les bobines de la phase 2du stator.
Parameters : est une succession de noms des attributs et des valeurs correspon-dantes.
[Desc] : est une structure de donnees facultative, elle permet de decrire lesevenements de court-circuit, en specifiant leurs types et les roles desdestinataires du message.
Ces evenements sont introduits sous la forme de balises XML « Extensible MarkupLanguage ». L’exemple d’un evenement d’introduction des harmoniques 10, 20, 30 et 40Hz sur les sources d’alimentation du simulateur a t = 0.3s (scenario 3.7) est specifie parla balise XML C.1.
Listing C.1 – Une balise d’un evenement d’excitation en tension
1 <s im event>2 <Done>0</Done>3 <Time>0 .3</Time>4 <Target>5 <item>sim</ item>
6 </ Target>7 <Parameters>8 <item>max_dt 2e−05</ item>
9 <item>U_max [ 314 10 10 10 10 ]</ item>
10 <item>f [ 50 10 20 30 40 ]</ item>
11 </ Parameters>
242 Annexe C. IMSimKernel
12 </ s im event>
sachant que max_dt est la valeur de la barriere maximale du pas de calcul dynamique.
Chaque scenario de simulation doit renfermer au moins un evenement de simulation :le message d’arret de simulation STOP_SIM. Si ce message est oublie le simulateur entameune simulation a temps illimite, cette simulation ne peut etre arretee que par un evenementd’arret, introduit par l’utilisateur via le bouton d’arret Stop , de l’interface graphique dusimulation.
Listing C.2 – L’evenement d’arret de simulation
1 <s im event>2 <Done>0</Done>3 <Time>stop time . . .</Time>4 <Target>5 <item>sim</ item>
6 </ Target>7 <Parameters>8 <item>STOP_SIM 1</ item>
9 </ Parameters>10 </ s im event>
C.3.2 Specification d’un scenario de simulation
Un scenario de simulation est constitue d’un ensemble d’evenements groupes dans unebalise racine sim_scen, ce scenario doit etre sauvegarde dans un fichier XML. Un exemplede fichier XML decrivant un scenario de simulation d’un court-circuit entre une phase etla terre, est donne par le fichier C.3.
Listing C.3 – Le fichier XML correspondant au scenario 5.6
1 <?xml ve r s i o n=”1 .0 ”?>2 <sim scen>
3 <s im event>4 <Done>0</Done>5 <Time>0 .2</Time>6 <Target>7 <item>sim</ item>
8 </ Target>9 <Parameters>
10 <item>max_dt 2e−05</ item>
11 </ Parameters>12 </ s im event>
C.3. Specification des scenarii de simulation 243
13 <s im event>14 <Done>0</Done>15 <Time>0 .3</Time>16 <Target>17 <item>sim</ item>
18 </ Target>19 <Parameters>20 <item>Cr 7</ item>
21 </ Parameters>22 </ s im event>23 <s im event>24 <Done>0</Done>25 <Time>0 .7</Time>26 <Target>27 <item>im</ item>
28 <item>stator 1 1 4</ item>
29 </ Target>30 <Parameters>31 <item>DTN 13 SC_R 5 .25</ item>
32 </ Parameters>33 <Desc>34 <Type>PhGndSC</Type>35 <Role>Source</ Role>36 </Desc>37 </ s im event>38 <s im event>39 <Done>0</Done>40 <Time>1 .2</Time>41 <Target>42 <item>sim</ item>
43 </ Target>44 <Parameters>45 <item>STOP_SIM 1</ item>
46 </ Parameters>47 </ s im event>48 </sim scen>
C.3.3 Un evenement de court-circuit entre deux phases
Nous n’avons detaille dans cette these que deux types de court-circuit, au sein d’unememe phase et entre une phase et la terre via la carcasse de la machine. L’environnementd’experimentation virtuelle IMSimKernel que nous proposons permet aussi de simuler
244 Annexe C. IMSimKernel
des defauts de court-circuit inter-phases, l’introduction d’un tel defaut peut etre faite selonla balise C.4.
Listing C.4 – Exemple de specification d’un evenement de C-C inter-phases
1 <s im event>2 <Done>0</Done>3 <Time>1 .8</Time>4 <Target>5 <item>im</ item>
6 <item>stator 1 1 4</ item>
7 <item>stator 2 1 4</ item>
8 </ Target>9 <Parameters>
10 <item>DTN 13 SC_R 0 .71</ item>
11 <item>DTN 29 SC_R 0 .71</ item>
12 </ Parameters>13 <Desc>14 <item>
15 <Type>InPhSC</Type>16 <Role>Source</ Role>17 </ item>
18 <item>
19 <Type>InPhSC</Type>20 <Role>Target</ Role>21 </ item>
22 </Desc>23 </ s im event>
cette balise demande au simulateur de programmer un evenement de court-circuit entrela 13eme spire de l’enroulement 114 de la phase 1 et la 29eme spire de l’enroulement 214 dela phase 2, via les resistances de limitation du courant de defaut respectives Rcc114 = 0.71 Ωet Rcc214 = 0.71 Ω. La balise <Desc></Desc> permet de signaler la specificite de ce defautaux fonctions de mise a jour des matrices, ainsi que de fixer le sens arbitraire du courantcirculant entre les deux phases en question.
Bibliographie
A. Anglani, A. Grieco, M. Pacella, et T. Tolio. Object-oriented modeling and simula-tion of flexible manufactering system : a rule-based procedure. ELSEVIER SimulationModelling Practice and Theory, 10 :209–234, 2002.
S. Bachir. Contribution au diagnostic de la machine asynchrone par estimation parame-trique. These de doctorat, Universite de Poitiers, France, Decembre 2002.
S. Bachir, I. BenAmeur Bazine, T. Poinot, K. Jelassi, et J-C. Trigeassou. Estimationparametrique pour le diagnostic des processus : Application a la bobine a noyau de fer.Journal Europeen des Systemes Automatises JESA, 42, 2008.
S. Bachir, S. Tnani, G. Champenois, et J-C. Trigeassou. Methodes de commande des ma-chines electriques sous la direction de r. husson. Traite Electronique, Genie Electrique,Microsystemes, Chapitre Diagnostic de la machine asynchrone, pages 253–276. EditionsHermes, Paris, 2003.
S. Bachir, S. Tnani, T. Poinot, et J-C. Trigeassou. Stator fault diagnosis in inductionmachines by parameter estimation. Dans IEEE International SDEMPED’01, pages235–239, Grado, Italie, 2001.
245
246 Bibliographie
S. Bachir, S. Tnani, J. C. Trigeassou, et G. Champenois. Diagnosis by parameter estima-tion of stator and rotor faults occurring in induction machines. IEEE Transactions onIndustrial Electronics, 53(3), June 2006.
I. B.Ameur, S. Bazine, A. Ben Zina, et K. Jelassi. Methodologie de conception et de reali-sation des applications distribuees pour la commande des systemes de production. DansConference Internationale Francophone d’Automatique CIFA, Douz Tunisie, Novembre2004.
J.F. Bangura et N.A. Demerdash. Diagnosis and characterization of effects of brokenbars and connectors in squirrel-cage induction motors by time-stepping coupled finiteelement-state space modelling approach. IEEE Trans. on Energy Conversion, 14(4) :1167–1176, December 1999.
I. B.Ameur Bazine, S. Bazine, K. Jelassi, J-C. Trigeassou, et T.Poinot. Identification ofstator fault parameters in induction machine using the output-error technique. DansThe second international conference on Artificial and Computational Intelligencefor De-cision, Control and Automation ACIDCA, Tunisia, 2005.
I. B.Ameur Bazine, S. Bazine, S. Tnani, et G. Champenois. On-line broken bars detec-tion diagnosis by parameters estimation. Dans 13th European Conference on PowerElectronics and Applications EPE, SPAIN, Barcelona, September 8-10 2009.
I. BenAmeur Bazine. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone : Applica-tion a la detection de defaut. These de doctorat, Universite de Poitiers et Universite deTunis ElManar, 2008.
S. Bazine, I. B.Ameur, A. Ben Zina, et K. Jelassi. Plate-forme pedagogique pour l’assis-tance a l’enseignement des systemes distribues. Dans Journee Scientifique JS, Ecole del’Aviation de Borj El-Amri, Tunisie, Mai 2003.
S. Bazine, K. Jelassi, G. Champenois, et S. Tnani. Object oriented modeling of a squir-rel cage induction motor. Dans The 32nd Annual Conference of the IEEE IndustrialElectronics Society IECON, FRANCE, Paris, November 7-10 2006a.
S. Bazine, K. Jelassi, G. Champenois, et S. Tnani. Modelisation multi-enroulements etmulti-polaires de la machine asynchrone en defaut. Dans Conference InternationaleFrancophone d’Automatique CIFA, Bucarest Romanie, Septembre 2008a.
S. Bazine, K. Jelassi, G. Champenois, et S. Tnani. Modelisation multi-polaires de lamachine asynchrone en defaut. Dans 4eme conference internationale JTEA, HammametTunisie, Mai 2008b.
Bibliographie 247
S. Bazine, W. Ounis, K. Jelassi, S. Tnani, et G. Champenois. Modelisation de la machineasynchrone en defaut en boucle ouverte et en boucle fermee. Dans 4eme conferenceinternationale JTEA, Tunisie, 12-14 Mai 2006b.
R. Bigret et J. L. Feron. Diagnostic - maintenance - disponibilite des machines tournantes.Editions Masson, 1995.
A. H. Bonnett. Understanding motor shaft failures. IEEE Applications Magazine, page25–41, 1999.
A. H. Bonnett. Root cause ac motor failure analysis with a focus on shaft failures. IEEETransactions on Industry Applications, 36 :1435–1448, 2000.
A. H. Bonnett et G. C. Soukup. Cause and analysis of stator and rotor failures in tree-phase squirrel-cage induction motor. IEEE Transactions on Industry Applications, 28 :921–937, Jul./Aug. 1992.
M. Bouharkat. Etude de l’evolution des courants rotoriques d’une machine asynchrone acage en regime dynamique. These de doctorat, Universite de Batna, Faculte des sciencesde l’Ingenieur, Fevrier 2006.
T. Boumegoura. Recherche de signature electromagnetique des defauts dans une machineasynchrone et synthese d’observateurs en vue du diagnostic. PhD thesis, Ecole Centralede Lyon, Mars 2001.
J-P. Caron et J-P. Hautier. Modelisation et commande de la machine asynchrone. EditionsTechnip, 1995.
R. Casimir, E. Bouteleux, H. Yahoui, G. Clerc, H. Henao, C. Delmotte, G.A. Capolino,G.Houdouin, G. Barakat, B. Dakyo, G. Didier, H. Razik, E. Foulon, L. Loron, S. Ba-chir, S. Tnani, G. Champenois, J.C. Trigeassou, V. Devanneaux, B.Dagues, J. Faucher,G. Rostaing, et J.P. Rognon. Synthese de plusieurs methodes de modelisation et de diag-nostic de la machine asynchrone a cage en presence de defauts. Revue Internationalede Genie Electrique, 8(2) :287–330, 2005.
FLUX2D, Guide d’utilisation : les applications physiques. CEDRAT, 10 edition, Juin 2009.volume 3.
G. Champenois, S. Bachir, et S. Tnani. Stator faults diagnosis in induction machines.International Review of Electrical Engineering, February 2006.
C. Delforge-Delmotte. Modelisation d’un actionneur asynchrone et de sa commande vec-torielle par reseaux de permeances. PhD thesis, Universite des Sciences et Technologiesde Lille, Janvier 1995.
248 Bibliographie
J-P. Demailly. Analyse numerique et equations differentielles. Grenoble, 1996.
V. Devanneaux. Modelisation des machines asynchrones triphasees a cage d’ecureuil en vuede la surveillance et du diagnostic. These de doctorat, Institut National Polytechniquede Toulouse, 2002.
V. Devanneaux, B. Dagues, J. Faucher, et G. Barakat. An accurate model of squirrelcage induction machines under stator faults. ELSEVIER Mathematics and Computerin Simulation, 63 :377–391, November 2003.
G. Didier. Modelisation et diagnostic de la machine asynchrone en presence de defaillances.PhD thesis, Universite Henri Poincare, Nancy-I, France, October 2004.
G Didier et H. Razik. Sur la detection d’un defaut au rotor des moteurs asynchrones.IEEE, (27) :53–62, decembre 2001.
J.B. Ekanayake, L. Holdsworth, et N. Jenkins. Comparison of 5th order and 3rd ordermachine models for doubly fed induction generator (dfig) wind turbines. ELSEVIERElectric Power Systems Research, 67 :207–215, 2003.
Albert Foggia. Technique de l’Ingenieur, Methodes de calcul des inductances de fuites,D3440,1-19.
F. Gillon. Modelisation et optimisation par plans d’experiences d’un moteur a commuta-tions electriques. PhD thesis, Universite des sciences et technologies de Lille, Decembre1997.
G. Grellet. Technique de l’Ingenieur,Pertes dans les machines tournantes,D3450,1-31.
M. Hecquet et P. Brochet. Modeling of a claw-pole alternator using permeance networkcoupled with electric circuit. IEEE Trans. On Magnectics, 31(3) :2131–2134, 1995.
D-M. Himmelblau. Applied non linear programming. Mc Graw Hill, 1972.
G. Houdouin. Contribution a la modelisation de la machine asynchrone en presence dedefauts rotoriques. PhD thesis, Universite du Havre, 2004.
G. Houdouin, G. Barakat, B. Dakyo, et Destobbeleer. Contribution of harmonic barcurrents on the airgap flux density of a faulty squirrel cage induction machine. DansICEM’98, volume III, pages 1872–1876, September 1998.
G. Houdouin, G. Barakat, B. Dakyo, E. Destobbeleer, et C. Nichita. A coupled magneticcircuit based global method for the simulation of cage induction machines under ro-tor and stator faults. Dans ELECTRIMACS’02, pages CD–ROM, Montreal, Canada,August 2002.
Bibliographie 249
G. Joksimovic et J. Penman. The detection of inter-turn short circuits in the statorwindings of operating motor. IEEE Transaction on Industrial Electronics, 47 :1078–1084, October 2000.
G.L. Kovacs, S. Kopacsi, J. Nacasa, G. Haidegger, et P. Groumpos. Application of softwarereuse and object(oriented methodologies for modelling and controle of manufacteringsystems. Computers in Industry, 39 :177–189, 1999.
A. Kumar, S. Marwaha, A. Marwaha, et N.S. Kalsi. Magnetic field analysis of inductionmotor for optimal cooling duct design. ELSEVIER Simulation Modelling Practice andTheory, 18 :157–164, 2010.
I-D. Landau et A. Karimi. Recursive algorithms for identification in closed loop : a unifiedapproach and evaluation. Automatica, 33 :1499–1523, 1997.
R. Lateb. Modelisation des machine asynchrones et synchrones a aimants avec prise encompte des harmoniques d’espace et de temps : Application a la propulsion marine parPOD. PhD thesis, Institut National Polytechnique de Lorraine, octobre 2006.
A. M. Law et W. D. Kelton. Simulation Modeling and Analysis. Mc Graw-Hill, 2emeedition, 1991.
S. Loutzky. Calcul pratique des alternateurs et des moteurs asynchrones. Editions Eyrolles,1969.
D-W. Marquardt. An algorithm for least-squares estimation of non-linear parameters. Soc.Indust. Appl. Math, 11(2) :431–441, 1963.
Z. Miao et L. Fan. The art of modeling and simulation of induction generator in wind gene-ration applications using high-order model. ELSEVIER Simulation Modelling Practiceand Theory, 16 :1239–1253, 2008.
G.H. Muller et C.F. Landy. Vibration produced in squirrel cage induction motors havingbroken rotor bars and interbar currents. Dans International Conferences on ElectricalMachines, 1994.
P. A. Muller et N. Gaertner. Modelisation objet avec UML. Eyrolles, 2000.
S. Nandi, S. Ahmed, et H. A. Toliyat. Detection of rotor slot and other eccentricity relatedharmonics in a three phase induction motor with different rotor cages. IEEE transactionon energy conversion, 16(3) :253–260, September 2001.
H. Razik. La machine a induction : commande et defaillance. PhD thesis, Universite HenriPoincare, Nancy 1, France, 2000a.
250 Bibliographie
H. Razik. La machine a induction : commande et defaillance. PhD thesis, Universite HenriPoincare, Nancy 1, France, 2000b.
J. Richalet, A. Rault, et R. Pouliquen. Identification des processus par la methode dumodele. Gordon and Breach, 1971.
M. Sahraoui, A. Ghoggal, S.E. Zouzou, et M.E. Benbouzid. Dynamic eccentricity in squirrelcage induction motor - simulation and analytical study of its spectral signature on statorcurrents. ELSEVIER Simulation Modelling Practice and Theory, 16 :1503–1513, 2008.
E. Schaeffer. Diagnostic des machines asynchrones : modeles et outils parametriques dediesa la simulation et a la detection de defauts. These de doctorat, Universite de Nantes,1999.
E. Schaeffer, E. Le Carpentier, et M.E. Zaım. Failure detection in induction machine bymeans of parametric identification. Computational Engineering in Systems Applications,1998a.
E. Schaeffer, M.E. Zaım, et E. Le Carpentier. Unbalanced induction machine simula-tion dedicated to condition monitoring. Dans ICEM’98 International Conference onElectrical Machines, Istanboul, Turquie, 2-4 septembre 1998b.
J-C. Trigeassou et T. Poinot. Identification des systemes sous la direction de i.d. landau eta. besancon-voda. Traite Information, Commande, Communication - Section SystemesAutomatises, Chapitre Identification des systemes a representation continue - Appli-cation a l’estimation de parametres physiques, pages 177–211. Editions Hermes, Paris,2001.
J-C. Trigeassou, T. Poinot, et S. Moreau. A methodology for estimation of physical para-meters. System Analysis Modelling Simulation, 43 :925–943, 2003.
A. Vladimir. Ordinary differential equations. Springer, Berlin, 1992.
E. Walter et L. Pronzato. Identification of parametric models from experimental data.Communications and Control Engineering Series. Editions Springer, 1997.
H. Yahoui et G. Grellet. Detection of an end-ring fault in asynchronous machines byspectrum analysis of the observed electromagnetic torque. Journal de Physique III, 6 :443–448, April 1996.
IndexSymbols
[νr] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21[σ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Ωr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Φ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Φx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113αxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36βxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36η0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18ηcck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38µ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38µ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34⊗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142τd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142θ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18θcck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37int . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
xyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
A
A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
−→A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
B
B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83B(ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
C
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 37Cem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 109CEMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
CEMC-A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28CEMC-SA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Cr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 84
D
[D]alimF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82, 174[D]alimN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81[D]Enr←Bobs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159[D]bob←phs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67, 98[D]Enr←Bobx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154[D]bob←phx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 96[D]s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77, 106, 161[D]coup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77[D]coupF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79, 160[D]coupN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80[D]Enr←Bobs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159[D]enr←Bobs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
251
252 Index
[D]enr←bobs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 98[D]Enr←Bobx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153[D]enr←Bobx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155[D]enr←bobx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 95[D]Enr←Bobxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148[D]enr←Bobxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148[D]enr←bobxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 93[D]enr←Enrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158[D]enr←Enrx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 170[D]enr←Enrxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147, 167[D]enr←Phs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161[D]enr←phs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68, 99[D]enr←Phx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155[D]enr←phx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61, 96[D]enr←Enrxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141[D]r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
E
[E] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81, 106e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39eméc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111e(ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178εxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44εxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139εdxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139
F
f.m.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Eextxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 179Eintxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 179f.m.m diametrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36f.m.m quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Fdxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139fenc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Fextj (ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Fhxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Flux
φk←xyz(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Φp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Φp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38[φ]rs(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75[φ]r←xy(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Frk(ϕ, θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73Fs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129fv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 84Fx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Fxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Fxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40fxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
G
g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
H−→Hc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21He . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
I
[I]Bobs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159[I]bobs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 67[I]Bobx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153[I]bobx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 95[I]Bobxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Idxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Ix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150, 170Ixy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144, 166Ixyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Iccxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Idxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138[I]Enrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158[I]enrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63, 96[I]Enrx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 170[I]enrx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 94[I]Enrxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147, 167[I]enrxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54, 93, 143[I]Enrxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141[I]enrxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Index 253
Ihxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138[I]Phs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159[I]phs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67[I]Phx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154Ix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60Ixy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
J
[J ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83[J ]r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72[J ]s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77, 79, 160J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 84
K
Kc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
L
L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38[L]bobs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 99[L]bobx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 95[L](θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82, 107[L]s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Ldf
xyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Ldp
xyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Ldxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139[L]enrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64, 97[L]enrx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 94[L]enrxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55, 93, 145[L]Enrxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141[L]enrxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Lf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Lf inak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Lfxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Lfxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Lfr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Lfs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Lfxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Lhf
xyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Lhp
xyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Lhxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Lk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Lm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19[L]r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70[L]s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Lpxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40, 179[L]phs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67, 68, 100Lpk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Lr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Lx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 96Lxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 94Lxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
M
M.AS.Reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227[M ]bobrs (θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76[M ]bobsr (θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101[M]rs(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82[M]sr(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82, 101Md←dxiyizi←xjyjzj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Md←hxiyizi←xjyjzj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Md←hxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Mdxyz←k(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
[M ]enr12←31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97[M ]enr1←3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97[M ]enr21←r(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101[M ]enr2←r(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101[M ]enrrs (θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74[M ]enrsr (θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74, 100[M ]enrx1←x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94[M ]enrxi←xj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64[M ]enrxiyi←xjyj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65[M ]enrxiyizi←xjyjzj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145[M ]enrx←r(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74[M ]enrxy←r(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74[M ]enrxyz←k(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643ME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313ME des defauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
254 Index
Mh←dxiyizi←xjyjzj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Mh←dxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Mh←hxiyizi←xjyjzj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Mhxyz←k(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Mijk←xyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41, 180Mk←j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Mk←xyz(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Mod.C.324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89[M ]phsr (θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101[M ]enrxiyi←xjyj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157[M ]enrxyi←xyj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 151Mxyz←ijk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42, 180Mxyz←k(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
N
N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36nbc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Ndes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Ndex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Ndexy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Nr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 71
P
P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Q
Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Q(θcck) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
R
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34, 40, 92R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22Rexai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Rinai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Rbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69[R]bobs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66, 99
[R]bobx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62, 95[R] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82, 107[R]s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Rdefaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Rdxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138[R]enrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64, 97[R]enrx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 94[R]enrxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55, 93, 143[R]Enrxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141[R]enrxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140Req . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Rfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Rhxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Rccxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139[R]r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72[R]s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78[R]r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69R(ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178[R]phs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67, 68, 100Rr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 19Rr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34, 71Rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Rx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 96Rxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 94Rxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
S
S, S ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
U
U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83[U ]Bobs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159[U ]bobs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66, 67[U ]Bobx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154U bobx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60[U ]Bobxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
Index 255
Ux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150, 170Uxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144, 166Uxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140U ccxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Udxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138[U ]Enrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158[U ]enrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63, 96[U ]Enrx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153, 171[U ]enrx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 94[U ]Enrxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147, 167[U ]enrxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54, 93, 143[U ]Enrxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141[U ]enrxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139Uhxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138[U ]Phs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159[U ]phs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67[U ]Phx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Ux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Uxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 94
V
[V] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83[V]r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72[V]s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77, 79, 160
W
w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
X
X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
256 Index
Ce document a ete prepare a l’aide de l’editeur de texte GNU Emacs et du logiciel decomposition typographique LATEX 2ε.
Titre Conception et implementation d’un Meta-modele de machines asynchrones endefaut
Resume Pour mener des recherches en diagnostic de la machine asynchrone sur desdefauts essentiellement electriques ou mecaniques, l’outil de simulation est indispensablepour les investiguer. Autant en pratique certains defauts sont quasiment impossibles arealiser, qu’il est souvent aussi difficile de les reproduire en simulation sans y consacrer untemps de developpement tres important. C’est pour cela que dans cette these, avec l’ideed’utiliser les outils issus du genie logiciel, on s’est donne comme objectif d’automatiser lageneration d’un simulateur de la machine asynchrone en defaut.Apres un recensement des differentes approches de simulation des machines asynchrones,nous avons developpe notre modelisation avec la methode des Circuits Electriques Ma-gnetiquement Couples (CEMC ). Nous detaillons pas a pas les etapes empruntees par leMetaModele, dans un premiers temps, pour modeliser une machine saine, en decrivantles parties elementaires du modele jusqu’a la facon de les assembler pour obtenir le modelede la machine complete. Cela s’est traduit par la generation des mutuelles intrinseques austator, intrinseques au rotor, et des mutuelles stator-rotor, ainsi que la construction desmatrices de connexions selon les caracteristiques topologiques du bobinage de la machine.Ensuite, nous avons enrichi ce MetaModele par la prise en consideration de la pre-sence de defauts de type court-circuit de spires au sein d’une meme phase, court-circuitentre phase et terre ou rupture de barres. Nous avons montre comment ce generateur demodele prend en compte chacune de ces alterations topologiques en faisant les extensionsnecessaires aux matrices de connexions et aux matrices du modele. Des resultats experi-mentaux issus de prototypes defaillants de machines asynchrones ont permis de valider ceprincipe de generation d’un modele dynamique. En conclusion, nous pouvons dire que cetteplate-forme de simulation (l’implementation Objets du MetaModele) peut alors servircomme un outil d’experimentation virtuel des techniques de detection et de localisationde defaillances de machines asynchrones.
Mots-cles Machine asynchrone, Diagnostic, Modelisation, multi-enroulements, Meta-
Modele, Modelisation Objets, topologie de bobinage, CAO des machines, court-circuitde spires, rupture de barres.
Title Design and implementation of a faulty induction machine Meta-model
Abstract To carry out research on electrical or mechanical induction machine faultsdiagnosis, the simulation tool is essential to investigate them. Although in practice someshortcomings are almost impossible to achieve, it is often difficult to reproduce them insimulation without devoting a very important development time. That is why in this the-sis, with the idea of using software engineering tools, we had set our goal to automate thegeneration of induction machine simulators with the presence of various stator and rotordefects.After a survey of different induction machines simulation approaches, we have developedour model with the Electrical Circuits Magnetically Coupled(CEMC ) method. First, wehave detailed the standalone MetaModel steps to generate a healthy induction machinemodel, beginning with the basic parts of the model and detailing assembling steps to getthe whole induction machine model. This approach is based on stator’s, rotor’s and stator-rotor mutuals, and connection matrices auto-construction according to winding’s topologyand geometry.After that, we enriched this MetaModel by implementing turns short-circuit in the samephase, short circuit between phase and ground or rotor bar’s break. We have shown howthis standalone generator takes into account each of witch topological changes by auto-extending parameters and connections matrices. This auto-generation methodology wasvalidated with experimental results from faulty induction machine prototypes, and wecan say that this simulation plate-form (the MetaModel Object oriented implementa-tion) can be used as a virtual experimentation environment to test techniques of failuresdetection and location.
Keywords Induction machine, Diagnosis, Modeling, MetaModel, Object modeling,winding topology, CAD of induction machines, short-circuit coils, bar’s break.