Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32
05www.satmar.rowww.edu.ro
Concursul Național de Matematică pentru clasele a IV-a - a VIII-a
„Olimpiada Satelor din România”
23.02.2019
Clasa aVII-a
1. a) Arătați că 1
1∙2=
1
1−
1
2 și
1
2∙3=
1
2−
1
3.
b) Efectuați: 1
1∙2+
1
2∙3+
1
3∙4+ ⋯ +
1
999∙1000.
c) Determinați numărul natural x pentru care 1
1∙2+
1
2∙3+
1
3∙4+ ⋯ +
1
𝑥∙(𝑥+1)=
2018
2019.
prof. Ionela Turturean
2. Se dau numerele a=2√5și b=5√5.
a) Calculați media aritmetică și media geometrică a numerelor a și b
b)Să se determine suma tuturor numerelor naturale cuprinse între numerelereale a și b.
prof. Cristian Guț
3. Terenul de sport al unei şcoli este reprezentat în figură.
Acesta este format din dreptunghiul ABCD,triunghiul BMC,
pătratul CNRF, iar NRPD reprezintă o zonă în care se află
groapa cu nisip şi o grădină cu flori. Se ştie că
m(ABM̂)=1500, m(MCF̂)=120, N ∈ CD, R ∈ FP, perimetrul
dreptunghiului ABCD este 70 m, lăţimea BC este 40% din
lungimea AB, iar CN
ND=
3
2.
a) Arătaţi,că triunghiul MBC este echilateral.
b) Calculaţi aria dreptunghiului ABCD.
c) Câţi metri parcurge un elev la ora de educaţie fizică pe
traseul𝐴 → 𝐵 → 𝑀 → 𝐶 → 𝐹 → 𝑅 ?
prof. Posz Andrea
4. Fie B un punct situat în interiorul segmentului AC și un punct O AB. O paralelă la AB
intersectează segmentele OA, OB și OC în M, N, respectiv P . Dacă OM = 3, AM = x+1,
ON = 5 și NB = 2x + 1, x- număr natural, arătați că OP = CP.
prof. Bianca Nica
Notă: Timp de lucru 2 ore.
Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie.
SUCCES!
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
Concursul Național de Matematică pentru clasele a IV-a - a VIII-a
„Olimpiada Satelor din România”
23.02.2019
Clasa a VII-a
1. a) Mutasd ki, hogy 1
1∙2=
1
1−
1
2 és
1
2∙3=
1
2−
1
3.
b) Végezd el: 1
1∙2+
1
2∙3+
1
3∙4+ ⋯ +
1
999∙1000.
c) Határozd meg azt az x természetes számot, 1
1∙2+
1
2∙3+
1
3∙4+ ⋯ +
1
𝑥∙(𝑥+1)=
2018
2019.
prof.Turturean Ionela
2. Adottak az a=2√5 és b=5√5 számok.
a) Számítsd ki az a és b számok számtani és mértani középarányosát.
b) Számítsd ki az a és b számok közötti természetes számok összegét.
prof.Guț Cristian
3. A mellékelt ábra egy iskola sportpályájának telkét ábrázolja. Ez ABCD téglalapból, BMC
háromszögből, CNRF négyzetből egy homokos területet, valamint NRPD egy virágoskertet
ábrázol. Adott, hogy m(𝐴𝐵�̂�)=1500, m(𝑀𝐶�̂�)=1200, 𝑁 ∈ 𝐶𝐷, 𝑅 ∈ 𝐹𝑃, kerülete ABCD
téglalapnak 70 m, BC szélessége 40%-a AB hosszúságnak, valamint𝐶𝑁
𝑁𝐷=
3
2 .
a) Mutasdki, hogy MBC háromszög egyenlőoldalú.
b) Számítsd ki ABCD téglalap területét.
c) Hány métert fut le 𝐴 → 𝐵 → 𝑀 → 𝐶 → 𝐹 → 𝑅 útvonalon
egy tanuló testnevelés órán?
prof.Pósz Andrea
4. Legyen B az AC szakasz egy belső pontja és O egy pont úgy, hogy O AB. Az AB
egyeneshez húzott párhuzamos az OA, OB és OC szakaszokat az M, N illetve P pontokban
metszi. Tudva azt, hogy OM = 3, AM = x+1, ON = 5 és NB = 2x + 1, x- természetes szám,
mutasd ki, hogy OP = CP.
prof. Bianca Nica
Notă: Timp de lucru 2 ore.
Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie.
SUCCES!
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
Concursul Național de Matematică pentru clasele a IV-a - a VIII-a
„Olimpiada Satelor din România”
23.02.2019
Clasa aVII-a
barem de corectare
punctaj
1. a) 1
1−1
2=2−1
1∙2=
1
1∙2
1
2−1
3=3−2
2∙3=
1
2∙3
1p
b) scrie fiecare termen al sumei cf. pct. a 1p
reduce termenii 1p
finalizează, 1
1−
1
1000=
999
1000 1p
c) procedează ca mai sus și reduce termenii
1
1−
1
𝑥+1=2018
2019
1p
𝑥
𝑥 + 1=2018
2019 1p
x=2018
1p
2. a) 𝑚𝑎 = (𝑎 + 𝑏): 2 =7√5
2 2p
𝑚𝑔 = √𝑎 ∙ 𝑏 = √50 = 5√2
2p
b) 4<a<5 , 11<b<12 1p
Numerele cuprinse între a și b sunt: 5, 6, …, 11; 1p
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
Suma, 5+6+7+8+9+10+11=56 1p
3. a) m(𝑀𝐵�̂�)=m(𝑀𝐶�̂�)=600⇒ ∆ 𝑴𝑩𝑪–echilateral
1p
b) BC=0,4AB
PABCD=70 m ⇒2AB+2BC=70 m
1p
AB=25 m , BC=10 m
1p
AABCD = AB ∙ BC= 250 m2
1p
c) 𝐶𝑁
𝑁𝐷=3
2⇒𝐶𝑁+𝑁𝐷
𝑁𝐷=3+2
2⇒
25
𝑁𝐷=5
2⟹𝑁𝐷 = 10 𝑚
𝐶𝑁 = 15 𝑚
2p
AB+BM+MC+CF+FR=25+10+10+15+15=75 m 1p
4. Construiește figura 1p
In ∆ OAB , MN || AB 𝑇.𝑇ℎ.⇒
𝑂𝑀
𝑀𝐴=
𝑂𝑁
𝑁𝐵 =>
3
𝑥+1 =
5
2𝑥+1 1p
3(2𝑥 + 1) = 5(𝑥 + 1), 6𝑥 + 3 = 5𝑥 + 5 1p
6𝑥 − 5𝑥 = 5 − 3
𝑥 = 2 => MA = 2 + 1 = 3, NB = 2 ∙ 2 + 1 = 5 2p
In ∆ OBC , NP || BC 𝑇.𝑇ℎ.⇒
𝑂𝑁
𝑁𝐵=
𝑂𝑃
𝑃𝐶
5
5 =
𝑂𝑃
𝑃𝐶 1p
5 ∙ 𝑂𝑃 = 5 ∙ 𝑃𝐶 | : 5 => 𝑂𝑃 = 𝑃𝐶
1p
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32
05www.satmar.rowww.edu.ro
Concursul Național de Matematică pentru clasele a IV-a - a VIII-a
„Olimpiada Satelor din România”
23.02.2019
Clasa aVII-a
1. a) Fie numărul 𝑎 = √2,3(5) + 3,5(2) + 5,2(3). Arătați că a∈ Q.
b) Arătați că numărul A=(1 + 1) (1 +1
2) (1 +
1
3) ∙ … ∙ (1 +
1
2018) este număr întreg.
prof. Bianca Nica,prof. Erdei Andrea
2. a) Calculați media aritmetică și media geometrică a numerelor reale x și y care verifică relația:
|𝑥 − 2√2| + |𝑦 −2
√2| ≤ 0.
b) Arătaţi că: 1
11
1
1
kkkk , *Nk și apoi folosind egalitatea, calculaţi suma:
20192018
1...
12
1
6
1
2
1
.
prof. Ionela Turturean, prof. Schradi Edit
3. Mariei îi plac florile; împreună cu mama ei a
aranjat grădina ca în figura alăturată în care
pătratele DETS și FGVU sunt plantate cu
panseluțe, dreptunghiul TEFU, cu gazania iar
trapezele dreptunghice STOM și VUON cu
begonia. Restul suprafeței dreptunghiulare
PARC este plantată cu gazon. Știind că PA=16
m, PC=9 m, DE=FG=SM=VN=3m, și măsurile
unghiurilor ∢TOM și ∢UON sunt de 45, determinați:
a) Câți metri pătrați au fost plantați cu panseluțe.
b) Câți metri pătrați au fost plantați cu begonia.
c) Câți metri pătrați au fost plantați cu gazania.
d) Câți metri pătrați au fost plantați cu gazon.
prof. Ionela Turturean
4. Fie ΔABC oarecare cu m(∢B)=72, m(∢A)=57, punctul G este centrul de greutate al
triunghiului, iar punctele E și F aparțin laturilor AB, respectiv AC astfel încât 3AE=2AB și
m(∢GFC)=129.
a) Să se arate că EG BC.
b)Să se arate că punctele E, G, și F sunt coliniare.
prof. Cristian Guț
Notă: Timp de lucru 2 ore.
Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie. SUCCES!
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
Concursul Național de Matematică pentru clasele a IV-a - a VIII-a
„Olimpiada Satelor din România”
23.02.2019
Clasa a VII-a
1. a) Legyen 𝑎 = √2,3(5) + 3,5(2) + 5,2(3). Mutasd ki, hogy a∈ Q.
b) Bizonyítsd be, hogy
2018
11...
3
11
2
1111A
egy egész szám.
prof.Nica Bianca, prof. Erdei Andrea
2. a) Számítsd ki az x és y valós számok számtani és mértani középarányosát, ha tudjuk, hogy:
|𝑥 − 2√2| + |𝑦 −2
√2| ≤ 0.
b) Mutasd ki, hogy: 1
11
1
1
kkkk , *Nk aztán, felhasználva az előző egyenlőséget,
számítsd ki a következő összeget 20192018
1...
12
1
6
1
2
1
.
prof. Ionela Turturean, prof. Schradi Edit .
3. Mária szereti a virágokat; az édesanyjával együtt a mellékelt ábra szerint ülteti be a kertet: a
DETS és FGVU négyzetekbe árvácskát, a TEFU téglalapba gerberát, a STOM és VUON
derékszögű trapézokba pedig begóniát ültettek.
A PARC téglalap többi részét befüvesítik.
Tudva azt, hogy PA=16 m, PC=9 m,
DE=FG=SM=VN=3 m, a MOT ˆ szög és NOU ˆ
szög mértéke 45 , határozd meg:
a) Hány négyzetméteren ültettek árvácskát?
b) Hány négyzetméteren ültettek begóniát?
c) Hány négyzetméteren ültettek gerberát?
d) Hány négyzetméter a füves terület?
prof.Turturean Ionela
4. Legyen az ABC -ben m(B∢)=72⁰,m(A∢)=57⁰. Legyen G a háromszög súlypontja, E és F az
AB illetve AC oldal egy-egy pontja úgy, hogy 3AE=2AB és m(GFC∢)=129⁰.
a) Mutasd ki, hogy EG II BC.
b) Mutasd ki, hogy E,G és F kollineáris pontok.
prof. Cristian Guț
Notă: Timp de lucru 2 ore.
Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie.
SUCCES!
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
Concursul Național de Matematică pentru clasele a IV-a - a VIII-a
„Olimpiada Satelor din România”
23.02.2019
Clasa a VII-a
barem de corectare
punctaj
1. a) 𝑎 = √2
35−3
90+ 3
52−5
90+ 5
23−2
90 1p
𝑎 = √232
90+ 3
47
90+ 5
21
90 𝑎 = √
212
90+
317
90+
471
90 1p
𝑎 = √1000
90 = √
100
9 1p
= √100
√9 =
10
3 ∈ Q 1p
b) Efectueză sumele din paranteze 1p
Simplifică 1p
Finalizează, rezultat A=2019 1p
2a. a) |𝑥 − 2√2| ≥ 0, |𝑦 −2
√2| ≥ 0, 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑑𝑒,
𝑥 = 2√2, 𝑦 =2
√2
1p
ma=𝑥+𝑦
2=
3√2
2
1p
mg=√𝑥 ∙ 𝑦 = √4 = 2 1p
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
2b.
11
1
1
1
111
kkkk
kk
kk
kk
; 1p
2
1
1
1
21
1
2
1
3
1
2
1
32
1
6
1
4
1
3
1
43
1
12
1
.............................
2019
1
2018
1
20192018
1
2p
2019
2018
2019
1
1
1
20192018
1...
6
1
2
1
1p
3. a) Apătrat=l2=9 m2, Apanseluțe=18 m2 1p
b) htrapez=3 m, MO=6 m 1p
Atrapez=3(3+6):2=13,5 m2, Abegonia=27 m2 1p
c) UT=6 cm, Agazania=36=18 m2. 2p
d) APARC=916=144 m2 1p
Agazon=APARC- Apanseluțe- Abegonia- Agazania=144-18-27-18=81 m2 1p
4. a) Din 3AE=2AB rezultă că 𝐴𝐸
𝐴𝐵=
2
3 1p
G centru de greutate, de unde rezultă că 𝐴𝐺
𝐴𝑀=
2
3 ,M este mijlocul [BC] 1p
Rezultă că 𝐴𝐸
𝐴𝐵=
𝐴𝐺
𝐴𝑀 , de unde pe baza reciprocei teoremei lui Thales rezultă că
EG BC
2p
b) Calcularea m(∢C)=51⁰
Calcularea m(∢GFA)=51⁰
1p
Din faptul că (∢C,∢GFA) reprezintă o pereche de unghiuri corespondente
congruente , rezultă că GF BC 1p
EG BC si GF BC de unde pe baza axiomei lui Euclid rezultă că punctele
E, G, F sunt coliniare 1p