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Confira3aplicaesdosnmeroscomplexosporSebPublicadoporCharlesBastos|quartafeira,18dejunhode2014|Semcomentrios
NossoblogapresentaosegundoartigodoprofessorSebastioVieiradoNascimento(Seb).EelefoireproduzidotalcomoconstruiuSeb(compoucasadaptaes).Numtodoaspropostas,sugesteseargumentosaquiapresentadossoderesponsabilidadedoautor,quepropsmeoartigoeaprovouapublicaocomoapareceaseguir.
NmerosComplexoseAplicao
Taltrabalhoobjetivamostrarqueosnmeroscomplexos,comomuitosimaginam,nosoaplicadosapenas
emengenharia eltrica,mas sim, emproblemas doEnsinoMdio, tal como:
encontrar oslados,emnmeros inteiros,deum tringulo
retngulo,dadaamedidadahipotenusa,queoqueveremosaseguir.
JoserafilhodeumagricultorefrequentavaaescoladoEnsinoMdio.Certodiaoprofessorpassouumatarefaparacasasobrenmeroscomplexos.AssimqueJoschegaemcasa,suamepergunta:
Qual o dever de casa, meu filho? Jos responde: Uma lista de
exerccios sobre
nmeroscomplexos.OpaideJosaoouvirfalaremnmeroscomplexos,perguntaaofilho:Eparaqueservemeu
filho, na vida real, nmeros complexos? O filho responde: Eu fiz a
mesma pergunta aoprofessor, e eleme respondeuqueagente s veria a
aplicaodosnmeros complexos, casoa
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gentenofuturofizesseumcursodegraduaoemengenhariaeltrica.porisso,meufilho,quenapocaqueestudeioEnsinoMdio(antigocientfico),nuncativeomenorinteresseemaprenderessetaldenmeroscomplexos.Porquepapai?Ora,porqueduranteoperodoquefrequenteiaescoladoEnsinoMdio,emmomentoalgumtiveaoportunidadedever,emsaladeaula,umasaplicaodamatemtica"ensinada"numasituaoprticadodiaadia.
CertodiaopaideJoseencontracomumprofessorpornomeSebeperguntalhe:Professor,souagricultoremeufilhoestudaoEnsinoMdiooprofessordelepassouumalistadeexercciossobrenmeroscomplexosedissequeosnmeroscomplexosstmaplicaoemcursodegraduaodeengenhariaeltrica,issoverdade?RespondeuoprofessorSeb:No!Vejamosalgunsexemplos.
Aplicaesdosnmeroscomplexos
1.Suponhaquevoctenhaumfiodearamecom85metrosdecomprimentoequerdividiloemduaspartes,cadaparteumnmerointeiro,ecomcadapartefazerumquadrado,perguntase:qualdeveserotamanhodecadaparte?
Resoluo:
Aplicandonmeroscomplexos,obtmse:.Logo, e .
Portanto:
Resposta.Umapartecom eaoutracom ,ouseja,umquadradodelado
eoutrodelado .
Masexistealgumoutromododecortaroarame,professor?Vejamos:
85 = +x2 y285 = 5 17 = ( + ) ( + )22 12 42 12
(2 + i) (4 + i) = 7 + 6i x = 7 y = 685 = + = +x2 y2 72 62
36m 49m 6m7m
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Trocandoosinalde oude .Troquemososinalde :
Resposta.Umapartecom eaoutracom ,ouseja,umquadradodelado
eoutro,delado .
2.Suponhaquevocdelimitouumterrenoretangularcompermetroiguala226metrosenotouqueadiagonalmedia85metros,perguntase:quaisasmedidasdoretnguloemnmerosinteiros?Resoluo:
Comooretngulocompostopordoistringulosretngulosiguais,logo,bastaacharasmedidasdoslados
de um deles. Para achar asmedidas dos lados de um tringulo retngulo
tendo o valor
dahipotenusa,bastausarasfrmulasdeEuclides,asquaisso:
(umdoscatetos)(ooutrocateto)
(hipotenusa)
Como ,temosque
Asmedidasdosladosdotringuloretnguloso:
Comoadiagonaldeumretngulocomumadoistringulosretngulosiguais,logo,unindoosdois
2 + i 4 + i 2 + i(2 i) (4 + i) = 9 2i85 = +92 22
4m 81m 2m9m
a = x2 y2b = 2xyc = +x2 y2x > y
85 = 92 22a = = 7792 22b = 2 9 2 = 36c = + = 8592 22
(a, b, c) = (77, 36, 85)
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tringulosretngulospelasduashipotenusas,obtmseumretngulocomasmedidas:ladomenor:
,ladomaior: ediagonal: .Permetrodoretngulo:
Osenhorsabequepossvel,usandonmeroscomplexos,delimitaroutroterrenoretangularcomadiagonalmedindo
epermetromenorque ?Duvido!Sacreditovendo.
Vejamos:Como podeserescritodeoutramaneira: ,ento:
Asmedidasdosladosdotringuloretnguloso:
Comoadiagonaldeumretngulocomumadoistringulosretngulosiguais,logo,unindoosdoistringulosretngulospelashipotenusas,obtmseumretngulocomasseguintesmedidas:ladomenor:
,ladomaior: ediagonal: .Permetrodonovoretngulo:Usandonmeros
complexos, foramgastos amenos para delimitar um terreno
commesmadiagonal(claroqueareadesteterrenobemmenor).
3.Com25tijolosfazseumquadradocomcadalado5tijolosseoquadradodelado5fordivididoemdoisquadradosmenores,qualamedidadoladodecadaum?
Resoluo:
Resposta.Umquadradocomlado3tijoloseoutrocomlado4tijolos.
36m 77m 85m2 36 + 2 77 = 226m
85m 226m
85 85 = +72 62
a = = 1372 62b = 2 7 6 = 84c = + = 8572 62
(a, b, c) = (13, 84, 85)
13m 84m 85m2 13 + 2 84 = 194m
32m
25 = 5 5 = ( + ) ( + ) = (1 + 2i) (1 + 2i) = 3 + 4i12 22 12 2225
= +32 42
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Trocandoosinalde :
Matematicamente, uma igualdade verdadeira, mas no satisfaz ao
problemaproposto.
Concluso
Paraqueensinartringulosretngulos,ternospitagricosenmeroscomplexossomentepelofatodeessesassuntosfazerempartedocurrculodoMinistriodaEducao?Paramimumacoisaqueisolada,nosignificaabsolutamentenada.Pior:atrapalhaacarreirademuitosjovens.
ComopodemosesperaralgumresultadodeensinodamatemticadoEnsinoFundamentaleMdio,seasementasnomencionamaplicaes?Ouserqueoqueconstanasementasapenasparasercobradonasprovas?
Como seria estimulante, para todos os alunos, se o
professormostrasse o quanto poderoso
efundamentalaquiqueestoaprendendo!
Diantedoexposto,podeseafirmarque:a averso queo aluno
temmatemtica, decorre da distncia que oEnsinoFundamental
eMdioguardadarealidadeemquevivejqueoalunonoconseguefazeraconexoentreoqueaprendeesuasnecessidadedodiaadia,davemodesinteressee,emconsequncia,aaversomatemticatodaamatemticadoEnsinoFundamentaleMdioimportanteparaavidadoaluno,masdaformacomo"ensinada":Noserveparanada.
Autor
1 + 2i(1 2i) (1 + 2i) = 5 + 0i25 = +02 52
25 = +02 52
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SebastioVieiradoNascimento(Seb)professortitular(porconcurso)aposentadodaUFCGPBUniversidadeFederaldeCampinaGrandePB.email:[email protected]
