Conicas - Copia

8/15/2019 Conicas - Copia

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1 Circunferencia2 Parábola3 Elipse4 Hiperbola

Objetivos.Se persigue que el estudiante:

• Identifique, grafique y determine los

elementos de una cónica conociendo su

ecuación general.

• Dado elementos de una cónica encuentre su

ecuación.

• Resuelva problemas de aplicación empleando

teoría de cónicas


2/38

Las cónicas o también llamadas secciones cónicas se presentan cuandoun doble cono se interseca con planos.

No estamos interesados en los lugares geométricos de R3, estudiaremos lascurvas de intersección de estas superficies pero en R2. Se obtendrán lasecuaciones de definiciones directamente en el plano cartesiano.Descubriremos ue la ecuación de una cónica, tiene la forma!

Ax

+ By

+ Cx + Dy + Exy + F = !

"on A ≠ ! ó B ≠ !ó ambos, # E = ! .

1. Circunferencia

1.1. Definición.

Sea O un punto del plano # sea $ r % un n&mero realpositivo. Se define la circunferencia como el con'unto depuntos P " x, y# tal ue la distancia de P a O es igual a$ r %. (s decir!

Circunferencia = { P " x, y# $ d " P , O# = r } )l punto $ O % se le denomina centro de la circunferencia # a $ r % se

le denomina radio de la circunferencia.


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1.2. Ecuación canónica de la circunferencia

Supongamos ue O tiene coordenadas "h, k #

y

P ( x, y )

r

O(h, k )

x

La distancia entre los puntos P " x, y# de la circunferencia # el punto

C "h, k # , la cual denotamos como $ r %, está dada por r=

entonces, tenemos!

" x − h#

+ " y − k #

,

" x − h#+ " y −

k #

= r Ecuación canónica de una

circunferencia. Para r > ! .

*n tipo especial de circunferencia es auella ue tiene por ecuación!

x+ y

=

r

(s decir, una circunferencia con centro O"!, !# , el origen!

y

y = x− r

O(!,!) r

y = −

x

− r

x


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Despe'ando y , obtenemos las ecuaciones de las semicircunferenciassuperior e inferior.

Ejemplo

Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que tiene centro el punto O (%, )y radio &

S OLUCIÓN :

Reemplazando en " x − h#

+ " y − k #

= r

tenemos:

" x − %#

+ " y − #

=

&

" x − %#

+ " y − #

=

'

La ecuación canónica pedida.

)+ora, en la ecuación canónica del e'emplo anterior

" x − %#

+ " y − #

= &, al elevar al cuadrado # reducir términos seme'antes

se obtiene!

x

− % x + () + y

− % y + % = '

x

+ y

− % x − % y + () + (( = !

Se puede decir, entonces ue la ecuación de una circunferencia tendrála forma!

x+ y

+ C * x + D* y + F *= !

también!

Ax + Ay

+ Cx + Dy + F = !

(sta &ltima ecuación es llamada ("*)"-N /(N(R)L D( *N)"-R"*N0(R(N"-).

1or tanto si nuestra intensión fuese dibu'ar la circunferencia odescubrirle sus elementos centro # radio a partir de la ecuación general,deber4amos llevar la ecuación a su forma canónica completando trinomioscuadrados perfectos.


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Ejemplo

Graficar la circunferencia que tiene por ecuación x + y − % x + ) y −( = !

Solución

La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando

cuadrados

( x − % x + %)+ ( y + ) y + ')= ( + % + '" x − #

+ " y +

=

+

Tenemos una circunferencia de radio r = + y centro C ",−

r = +

C ",−

No toda ecuación de la forma

representará una circunferencia. Ax

+ Ay

+ Cx + Dy + F =

!

Si en el proceso de llevarla a la forma canónica se obtiene r

= ! , es

decir resulta

51or ué6" x − h#

+ " y − k #

= ! , el lugar geométrico es el

punto

O"h, k # .

Si r < ! , la ecuación no representa lugar geométrico. 51or ué6

Ejemplo

Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que contiene a los puntos ((, ) ,

(&, !) y (& + & , &)Solución:Si los puntos pertenecen a la circunferencia deben satisfacer su ecuación. En este caso

empleamos la ecuación general x

+ y

+ C * x + D* y + F *= ! .Reemplazando las coordenadas de los puntos dados:


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⎪( + + C *(() + D (*) +

F *= !

⎨& + ! + C *(&) + D*(!) + F *= !

⎪

⎪ & +⎩ & ) + &

+ C *(& +

& ) + D*(&) + F *= !

Resolviendo simultáneamente el sistema:

⎧⎪C *+ D + F *=

−+⎪⎨&C *⎪⎪ & +⎩

+ F *= −'

& )C *+& D*+ F *= −

(& +

& ) − '

En la segunda ecuación se obtiene F *= −' −&C *

Reemplazando en la primera:C *+ D*+ F *=

−+

C *+ D*−' − &C *=

−+

−C *+ D*=

%

D*= + C

*

Reemplazando D* y F * en la tercera ecuación:

(& + & )C *+& D*+ F *= −

(& +& ) − '

(& + & )C *+& ( + C *) + (−' − &C *) =− (& +

& ) − '

&C *+&C *+) + &C *−' − &C *= −' − ) & − & − '

&C *+&C *= −( − )

&

(

Entonces:

& + &)C *= −) (&

+

C *= −)

& )

F *= −' − &C *

y = −' − & (−))

F *= '

or tanto, la ecuación general de la circunferencia ser!a:

x

+ y

− ) x − % y + '

= !

"grupando y completando cuadrados, se obtiene la ecuación canónica: x

+ y

− ) x − % y + '

= !

( x − ) x + ') + ( y − % y + %) = −' + ' + %

( x − &) + ( y − ) = %

(

(

D*= + C *

= − D*=


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Ejercicios Propuestos 1

#. $rafi%ue el lugar geom&trico definido por cada una de las siguientes ecuaciones:

a. x

+ y

− x − % y + ( =

!

b. x + y − % x + ) y + (&= !

b. x

+ y

− x − y + ' = !

c. x

+ y

− % x − ) y + (- = !

'. (etermine la ecuación de la circunferencia %ue contiene a los puntos

centro se encuentra sobre la recta definida por la ecuación x + y = −(

.

Resp ( x + &) + ( y − ) = +

A"!,)#, B"(,+#

y cuyo


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). (etermine la ecuación general de una circunferencia tangente a la recta definida por la ecuación x − & y + + = ! , y está centrada en el punto (−(,−)

Resp (& x + (& y + ) x + + y − () =!

*. La intersección de las rectas L( : x − y + & = !

y

L : % x + y − =

!

es el centro de una

circunferencia %ue es tangente a la recta L& : x − y + ( = ! . (etermine la ecuación de

la

circunferencia. Resp ( x + ( ) + ( y − ) = (() & -+. (etermine la longitud de la cuerda de la circunferencia %ue tiene como ecuación

x

+ y

− ) x − (% y − (((

= !conociendo %ue el punto medio de dica cuerda tiene

coordenadas ((- , - ) . Resp +!) -. allar la ecuación canónica de la circunferencia %ue contiene los puntos (!, !) , ((, −()y

(', −() . Resp ( x − +) + ( y − %) = %(

/. (etermine la ecuación de la circunferencia %ue es tangente a las rectas de ecuaciones y = x y

x + y = ( y %ue contiene al punto (, ) . Resp ( x − + ) + ( y + ( ) ='

2. Parábola2.1. Definición

Sea l una recta # sea F un punto. La parábola se define

como el con'unto de puntos P " x, y# tal ue su distancia al

punto F es igual a su distancia a la recta l . (s decir!

1arábola 7{ P " x, y# $ d " P , F # = d " , l #}

)l punto F se le denomina foco de la parábola # a la recta l se ledenomina directriz de la parábola.

2.2 Ecuación canónica

Supongamos ue F tiene coordenadas (!,

)

# la recta l tiene

ecuación y = −

con > ! . bserve la gráfica! y

d " , F # P " x, y#

F "!, #

! "!,!#

−

l


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d " ,l #

x y = −

bserve ue d " P , F #

=

" x − !#

+ " y − #

# ue d " P , l #=

y + .

-gualando distancias # resolviendo!

d " P , F # = d " P , l #

" x − !#

+ " y − #

= y +

( " x − !# + " y − # ) = "

y +

#

x

+ y

− y

+

x

= % y

= y

+ y +

)l punto ! se le denomina vértice de la parábola, en este caso tienecoordenadas (!,!) . ) la recta perpendicular a la directri8, ue contiene alvértice # al foco, se le denomina Eje Focal. bserve ue para la parábolaanterior el e'e focal es el e'e y .

bserve además ue la parábola es cóncava +acia arriba.

)l segmento de recta perpendicular al e'e focal ue pasa por el foco #ue tiene como e9tremos los dos puntos de la parábola, se denomina ladorecto # tiene una medida de % . :Demuéstrele;

Suponga a+ora ue el vértice no es el origen, ue tenemosentonces su ecuación ser4a!

! "h, k # ,

< su gráfico ser4a!

" x − h#

= % " y − k #

y

P " x, y#

F "h, k + #

! "h, k #

l y = k −

x


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1ara otros casos, tenemos!

" x − h# = −% " y − k #


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*na parábola con eje focal vertical, pero cóncava hacia abajo.

y

/e focal

directri0

l

! "h, k #

foco F "h, k − #

y = k +

x

Si la parábola tiene ecuación " y − k #

= % " x − h# , Su eje focal

seráhorizontal # además será cóncava hacia la derecha!

y

l x = h −

! "h, k # F "h + , k #

x

Si la parábola tiene ecuación " y − k #

= −% " x − h# . Su eje

focalserá horizontal , pero a+ora será cóncava hacia la izuierda!


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y

l

x = h +

F "h − , k # ! "h, k #

x

La ecuación general de esta cónica será de la forma Ax

+ By

+ Cx + Dy + F =

!

con A = !o

B = ! pero no ambos. (s decir

tendremos ecuaciones de la forma Ax+ Cx + Dy + F

= !

o de la fo

By+ Cx + Dy + F = ! , seg&n sea la dirección del e'e focal.

más simplemente x+ C * x + D* y + F *= !

y+ C * x + D* y + F *= !

Ejemplo 1

Graficar la par!"ola que tiene por ecuación% x

− ! x − % y + '- = ! Indique

coordenadas del #$rtice, coordenadas del foco, ecuación de la recta directri%

SOLUCIÓN:

(espe0ando la variable cuadrática para completarle cuadrados y agrupando, tenemos:

% x

− ! x = −% y −

'-

% ⎛ ⎜ x− + x+

+ ⎞%⎟=

y −'-

++

% ⎝ 1 2⎜

+⎟

% ⎠ % % %

= ) y − (

⎛⎞

⎝ ⎠

1 2⎜

+⎟ = )" y −

rma


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⎛⎞

⎝ ⎠

Se deduce entonces %ue:

#. La parábola tiene v&rtice !⎛ +⎝ &

'. El e0e focal es paralelo al e0e y

,&⎞ .⎠

). La parábola es cóncava acia arriba

*. =&

debido a %ue ) = %

Realizando su gráfica tenemos:

=&

⎛ + ' ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=&

⎛ +,&⎞

⎝ ⎠

y =&

Ejemplo 2

Hallar la ecuación &eneral de la par!"ola que tiene foco el punto de coordenadas"−&,−# y directri% la recta con ecuación x = (

SOLUCIÓN

En primer lugar representamos el foco y la directriz en el plano cartesiano.

directri0

x = (

F (− &,−)

=

! (−(,−

)

/e focal

1oncluimos %ue:

#. El v&rtice debe tener coordenadas "−(,−#

⎜ ⎟

F ,

! ⎜ ⎟


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'. El e0e focal es paralelo al e0e 2

). La parábola es cóncava acia la iz%uierda.

*. = , distancia del v&rtice al foco o distancia del v&rtice a la directriz.

+. La ecuación de traba0o es " y − k # = −% " x − h#

3ien, reemplazando los valores en la ecuación de traba0o, tenemos:

" y + #

= −%"#" x + (#

y

+ % y + % = − x −

x + y

+ % y + ( = !

Ejemplo 3

Un puente col&ante de (!" de lon&itud tiene trayectoria para"ólica sostenida portorres de i&ual altura si la directri% se encuentra en la superficie terrestre y el punto

'!s "a(o de cada ca"le est! a (+" de altura de dic)a superficie, )allar la altura delas torres

SOLUCIÓN:

rimero acemos una representación gráfica de la información proporcionada,traba0ando en el plano cartesiano, es me0or poner el v&rtice en el origen:

y

=2> m

y =)! x

P ")!, y#

y

! "!,!#h

x

} (+"Superficie terrestre Directri8

La ecuación de la trayectoria ser!a: x

= %"(+# y

x

= )! y

x = )! y

4tilizando la ecuación de la trayectoria determinamos 5y6: )!

= )!

y y = )!

h = y +

or lo tanto la altura de las torres ser!a: h = )! + (+

h = -+"

}


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Ejemplo 4

Hallar la ecuación de la par!"ola que tiene e(e focal #ertical y contiene los puntos(−(, +) , (&, () y (-,+) SOLUCIÓN:7a %ue tiene e0e focal vertical empleamos la ecuación

8or%u&9.

x

+ C * x + D* y + F *=

!1ómo los puntos pertenecen a la parábola, las coordenadas deben satisfacer suecuación.Reemplazando y simplificando:

⎧(−()

+ C *(−() + D*(+) + F *= !⎪⎪

(&)

+ C *(&) + D*(() + F *= !⇒

⎧−C *++ D*+ F *= −(⎪

&C *+ D*+ F *= −'

⎨ ⎨⎪ ⎪ + + = −⎪(- ) + C *(- ) + D*(+) + F *= !

⎩-C *+ D*

F * %'

Resolviendo el sistema simultáneo se obtiene:C *= −) , D*=

−%

y F *= (&

or tanto la ecuación buscada ser!a:

x

+ −) x − % y + (& = !


#. $rafi%ue el lugar geom&trico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: ;


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Definición.

Sean# F dos puntos del plano # sea a una

constante positiva. La (lipse se define como el con'unto de

puntos P " x, y# tales ue la suma de su distancia a con(su distancia a F es igual a a . (s decir!

(lipse7{ P ( x, y)$ d ( P , F ) + d ( P , F ) = a}(

) # F se les denomina foco" de la elip"e # $ a % representala

medida del "e#ieje #a$or de la elipse.

!.2 Ecuación CanónicaSean ( F − c,!)

#

F (c,!), observe el gráfico!

y

P " x, y#

b

! ( "−a,!#

c

F ( "−c,!#

a

c

O"!,!#

b

F "c,!#

a

! "a,!#

x/e focal

De la definición tenemos!

d ( P , F ) + d " P , F # = a

" x − c#

+ " y − !#

+

" x + c#

+ " y −

!#

= a

Despe'ando un radical, elevando al cuadrado # reduciendotérminos seme'antes!

F (

F

( F

(

(


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( " x − c# + y ) =

(a −

" x + c#

+ y )

" x − c#

+ y= %a

−

%a

" x + c#

+ y

+ " x − c#

+ y

x

− xc + c

+ y

= %a

−

%a

" x + c#

+ y

+ x

− xc + c

+ y

%a ( x + c) +

y

= %a

+ %cx

Dividiendo para ?, elevando al cuadrado # reduciendo

términos seme'antes!(a " x + c# + y ) = (a + cx)

Dividiendo para

a [" x + c# + y ]= a % + a c + c x

a [ x + cx + c + y ]= a % + a cx + c x

a x

+ a

cx + a

c

+ a

y

= a

%+ a

cx + c

x

a x

− c

x

+ a

y

= a

%− a

c

(a − c ) x + a y = a (a − c )

a

(a

− c

) x

"a

− c

#

a"a

− c

#

x

a y

+=

a"a

− c

#

y

a"a

− c

#

a"a

− c

#

+= (

a

a

−c

0inamente, llamando b

= a

− c

tenemos!

y

+ = (a b

*cuación canónica de la elipse con centro O(!,!) y

e(e focal )ori%ontal

$ b % representa la longitud del "e#ieje #enor , bserve lagráfica anterior.

)u4 el lado recto tienedimensión

1ara los casos generales tenemos!

b

. :Demuéstrelo;a

Suponga ue el vértice es el punto

horizontal entonces su ecuación ser4a!

! "h, k # , # ue el eje focal"ea

x


18/38

< su gráfica ser4a!( x −

h)

a

( y − k )

+ = (b


19/38

y

! ( "h − a, k

# F ("h − c, k

#

O"h, k # F "h + c, k

#

! "h + a, k #

x

%b"ervación! La dirección del e'e focal está indicada por el término uetiene el ma#or denominador, es este caso ese ser4a el valor de $ a

%. bserve

también ue a > b .

1or lo tanto, si el eje focal fue"e vertical, su ecuación ser4a!

< su gráfica ser4a!

( y − k )

a

( x −h)

+ = (

b

y

! "h, k + a#

F

"h, k + c#a

c

O"h, k #

b b

c

a

F ( "h, k − c#

! ( "h, k − a#

x


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Ejemplo 1Graficar la *lipse que tiene por ecuación

Indique todos sus ele'entos

Solución

+ x

+ () y

+ (!! x − ') y − (+)

= !

La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completandocuadrados

+( x + % x + %)+ ()( y − ) y + ')= (+) + (!! + (%%+( x + ) + ()( y − &) = %!!

"ora dividimos para *==

+( x + )

%!!()( y −

&)+

%!!

=%!!

%!!

( x + )

()

( y −&)+ =

(+

La >ltima ecuación nos indica %ue la elipse tiene:

#. 1entro !(−,&)

'. E0e focal #ertical, debido a %ue el mayor denominador está sobre el termino %ue

contiene a 5 y 6 Entonces a

= + ⇒ a = +

). b

= () ⇒ b = %

*. Lo anterior nos permite calcular el valor de c .

or lo tanto la gráfica ser!a:

c =

c =

c =

c =&

a

− b

+ −()

'

y

('e 0ocal

! ("−,#

F ( "−,)#

O"−,

F "−,!#

x

! "−,#


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Hallar la ecuación &eneral de la *lipse cuye e(e 'ayor 'ide + unidades y losfocos son los puntos de coordenadas (!,.+ & ) # (!,−+ & ).SOLUCIÓN:rimero representamos en el plano cartesiano los puntos dados.

! ("!,(!#

F ( "!,+

O"!,!#

F "!,−+

! "!,−(!#

?bservamos %ue la elipse tiene como e0e focal, el e0e y, %ue c = + & .1omo nos dicen %ue el e0e mayor mide '= unidades, entonces a = (!

Esto, nos permite calcular b !b

= a

− c

b

= ((!) − (+

& )b

= (!! −

-+

b

= + ⇒ b =

+

@inalmente la ecuación de la elipse ser!a:

y

x

+ =(

(!! +

% x

+ y

=

(!!

Ejemplo 3

Una pista de carros tiene for'a de elipse, el e(e 'ayor 'ide - .' / el e(e 'enor 0.' 1eter'ine la distancia a que se encuentra un carro del centro de la pista en el'o'ento en que pasa a la altura de uno de los focos

Solución

Representando en el plano cartesiano la información proporcionada, tenemos:

y


22/38

carro

! "−+,!#

d

O"!,!#

b

a ! ("+ ,! #

F ( "−%,!#

F "%,!#

La ecuación de la elipse ser!a: x+ y

= (+

&

1omo a = + y b = & entonces c = a − b = + − ' = ()

c = %

La dimensión de la altura de uno de los focos a la elipse es la mitad de la dimensión dellado recto

b

'=

a +

c = %

d =Empleando el teorema de itágoras, resulta:

% + ('

)

d =%(

+




23/38

+. La Tierra gira alrededor del Sol siguiendo una órbita el!ptica con e2centricidad igual a !.!(-

y e0e mayor de '' ×(!)

Am. Si el sol está ubicado en uno de los focos de la elipse ,

determine la mayor y la menor distancia entre la Tierra y el Sol. ;NO23: e2centricidad e = c 4

Resp d #A$O%

= (+.!-(%

5'd #E&O%

= (%).') 5'

&. 'iperbola

&.1Definición.

Sean # F dos puntos del plano # sea a una

constante positiva. La @ipérbola se define como elcon'unto de puntos P " x, y# del plano tales ue el valor

absoluto de la diferencia de su distancia a con su(

distancia a F es igual a a . (s decir!

(lipse7 { P ( x, y) $ d ( P , F ) − d ( P , F ) = a}( ) # se les denomina foco" de la hipérbola.

(

&.2 Ecuación CanónicaSean ( F − c,!)

#

F (c,!), observe el gráfico!

y

P " x, y#b

F ("−c,!# ! ( "−a,!# ! "a,!#

O"!,!# F "c,!# x

b

De la definición tenemos!

d ( P , F ) − d " P , F # = a(

" x + c#

+ " y − !#

−

" x − c#

+ " y − !#

= a

a

F (

F

F F

(


24/38

Despe'ando un radical, elevando al cuadrado # reduciendo términosseme'antes!

( " x + c# + y ) =

(a +

" x − c#

+ y )

" x + c#

+ y= %a

+

%a

" x − c#

+ y

+ " x − c#

+ y

x

+ xc + c

+ y

= %a

+

%a

" x − c#

+ y

+ x

− xc + c

+ y

%cx − %a

=

%a

( x − c) + y

Dividiendo para ?, elevando al cuadrado # reduciendo términosseme'antes!

(cx − a )

=

(a

" x − c#

+ y )

c x

− a

cx + a

%= a

[" x − c# + y ]c

x

− a

cx + a

%= a

[ x − cx + c + y ]

c x

− a

cx + a

%= a

x

− a

cx + a

c

+ a

y

c

x

− a

x

− a

y

= a

c

− a

%

(c − a ) x − a y = a (c − a )

Dividiendo para a (c − a )

x"c

− a

#−

a"c

− a

#

x

−

a y

="c

− a

#

y

= (

a"c

− a

#

a"c

− a

#

a

c

− a

0inamente, llamando b

= c

− a

tenemos!

y

−a b

= ( *cuación canónica de la )ip$r"ola con centroO(!,!)

y e(e focal )ori%ontal

)u4 $ b % representa la longitud del segmento bserve lagráfica anterior llamado "e#ieje conju(ado.

1ara los casos generales tenemos!

Suponga ue el vértice es el punto

+ori8ontal entonces su ecuación ser4a!

! "h, k # , # ue el e'e focalsea


x


25/38

( x − h)

a

( y − k )

− = (b


26/38

y

F ( "h − c, k #

! ( "h − a, k

#

O"h, k #

F "h + c, k #

3 "4 5 a, 6 #

x

%)*E+-C/ 0 ! La dirección del e'e focal esta indicada por el término

positivo # además sobre este término estará $ a %.

1or lo tanto, si el e'e focal fue"e vertical, su ecuación ser4a!


( y − k )

a

( x −h)

− = (b

y

/e focal

F "h, k + c#

! "h, k + a#

O"h, k #

! ( "h, k − a#

F ( "h, k − c#

x


27/38

Ejemplo 1Graficar la )ip$r"ola que tiene por ecuación x − & y + x + ) y − ( = !

Indique

coordenadas de los #$rtices, coordenadas de los focos y ecuaciones de lasas6ntotas

S OLUCIÓN :

"grupando y completando cuadrados para darle la forma canónica a la ecuación:

( x + x + ()− &( y − y + ()= ( + ( − &( x + () − &( y − ()

= −(

&( y − () − ( x + ()

= (

Se concluye %ue:

( y −()

(&

( x +()

− =((

#. La ip&rbola tiene e0e focal vertical, debido a %ue el termino positivo es el %ue contiene a5y6.

'. a

=(⇒ =(

& &

). b

= ( ⇒ b = (

El valor de c se lo calcula empleando la fórmula c

=a

+ b

, es decir:

c = a

+ b

= ( +=&

% = (& &

or lo tanto su gráfica ser!a:

('e focal

F = "−(, ( + (

&

! = "−(, ( + (&

! = "−(, ( − (&

C "−(,(#

F = "−(, ( − (

&

Las ecuaciones de las as!ntotas se determinan igualando a cero la ecuación canónica:

&( y −() − ( x +() = !

&( y −()

= ( x +

()

&( y −() = ( x + ()

& ( y −() = ± ( x + ()

± ( x +()

a

(

(

(


28/38

Ejemplo 2 y − ( = &

( x + () y = (

±&

Hallar la ecuación &eneral de la cónica que tiene por focos los puntos

"-, 7 y por #$rtices los puntos ", y "),

"(, y

S OLUCIÓN :

Representando los focos y v&rtices en el plano cartesiano, sacamos las conclusionesnecesarias para plantear la ecuación buscada

F ( ((,&) O(%,&)! ( (,&)

! (),&) F (-,&)

(el gráfico se observa %ue:

#. El e0e focal debe ser orizontal.

'. El centro tiene coordenadas !(%,&) .

). a = y c = &

El valor de b se calcula empleando la formula b = c

− a

, es decir:

b = c

− a

= ' − % = +

"ora allando la ecuación de la ip&rbola, tenemos:

( x − %)

%( y −&)

− =(

+

+( x − x + ())− %( y − ) y + ')= !+ x

− %! x + ! − % y

+ % y − &) − ! = !

+ x

− % y

− %! x + % y + % = !

Ejercicios Propuestos 3.4



29/38

Ejemplo 3Resp x + ( = ±

y


30/38

). (etermine la ecuación de la recta %ue contiene al centro de la iperbola cuya ecuación es

% x

− y

+ & x − y + %'

= !y es perpendicular a la recta definida por la ecuación

x − ' y + & = ! . Resp ' x + y + %% = !

*. (etermine la distancia entre los v&rtices de la cónica con ecuación

− ' x + ( x + % y + % y ='

Resp )

+. Si una ip&rbola, una circunferencia de radio + y el rectángulo "31( de lado AB = ) , están

ubicados en el plano cartesiano como se muestra en la figura, determine la distancia entre losv&rtices de la ip&rbola.

Resp d = (!

tras regiones del plano, importantes a considerar, ser4an auellas ueestán definidas por inecuacione".

Ejemplo 1

Grafique la re&ión del plano % = {( x, y ) $ y > x − %}SOLUCIÓN:

y

y > x

− % y = x

− %

x

y


31/38

Ejemplo 2

Grafique la re&ión del plano % = {( x, y ) $ x + y

y

x

+ y

= %

x

+ y

<

%

x

x

+ y

> %

Ejemplo 3

Grafique la re&ión del plano % = {( x, y ) $ x − y ≤ (}

y

x

− y

<

(

x− y

= (

x

− y

> (

( x

x

− y

> (


32/38

Ejemplo 4

Grafique la re&ión del plano % = {( x, y ) $ x − % ≤ y ≤

y = x − (

(&,+)

(− (,−&) y = x

− %

Ejemplo 5

Grafique la re&ión del plano % ={( x, y ) $ − % − x ≤ y ≤ − ( x + }

y = − x +

y = − % − x

(


33/38


#. Si " x, y# :

x−

y

a

b

≤ ( , grafi%ue A" x, y# .

'. $rafi%ue las regiones en el plano definidas por:

#. & x

+ + y

≤

'

'. x

+ y

≥

()

). x

+(

y (

x + y ≥ x

+ y

< %

Misceláneos

#. $rafi%ue el lugar geom&trico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: ;indi%uev&rtices, focos, centros as!ntotas

#. y

+ % y − ) x + =

!

B. " y − (#

= x + %

'. & x

− + y

+ ) x + (! y = &

). x

+ y

− ( x − ( y + &)

= !

*. x

+ & y

+ ) x + ) = !

+. x

+ y

+ % x − & y + ' = !

-. ' x

− % y

− +% x + y + ((&

= !

/. % x

+ ' y

− x = &

C.

#=.

##.

#'.

#).

x

−% x − % y = !

x

− % x + y

− () y + % = !+ x

+ () y

+ (!! x − ') y − (+) =

!

y

− % y − x + = !

% x

− & y

+ x + () = !

'. 1alifi%ue como Derdadera o falsa cada una de las proposiciones. ustifi%ue formalmente surespuesta.

a. La ecuación x

+ y

+ ax + by =

c

representa una circunferencia para todos los

n>meros reales diferentes de cero a,b,c.

b. La distancia entre los focos de la gráfica de

x

a

y

+b

= ( es a

− b

c. La ecuación x

+ y

− kx + % =

!

describe una circunferencia si y sólo si

k ∈ (−∞,−)∪ (,+∞)d. El v&rtice de una parábola es el foco de la otra parábola y viceversa, si la ecuación de una

de ellas es y

− y − % x + ( = ! , entonces la ecuación de la otra parábola

es

y

+ y + x − % = !

e. La cónica de ecuación y = x

+ x −( , tiene su foco en ((, !) .

f. Sea la parábola P , cuya ecuación es P : y

− & y + + x + = ! , su foco tiene

por

⎛ (!- &⎞coordenadas F

!⎜ − , ⎟


34/38

⎝ %! %⎠

g. Sea la ecuación

una ip&rbola.

Ax

− y

+ & x − y = ! con Re = 7 F A > ! , la ecuacióndescribe

.

). (etermine la ecuación de la circunferencia %ue tiene como centro el v&rtice de la parábola

%ue tiene por ecuación x + & y − y = ! , y contiene al foco de la misma.

Resp ( x − ( ) + ( y − ( ) = (( ) (%%


35/38

*. 4na circunferencia tiene por ecuación x

+ ( y − ) = ( . La recta de

ecuación

y = kx

donde k∈ % , es tangente a la circunferencia. alle todos los valores posibles de k .

Resp k = ± &

+. (etermine la ecuación del con0unto de puntos

de P a los puntos "−%,!# y "%,!# es #*. P " x, y# tales %ue la suma de la distancia

Resp x

+ y

= (%' &&

-. (etermine la ecuación del lugar geom&trico de los puntos P " x, y# tales %ue la distancia

al punto "(,− es dos veces la distancia a la recta definida por la ecuación x − % = ! .

Resp( x − +)

%

( y + &)− =

((

/. 4n avión sigue una trayectoria tal %ue su distancia a una estación de radar situada en el

punto ",!# es igual a un tercio de su distancia a una carretera %ue sigue el trayecto de la

recta definida por x = − . (etermine la ecuación de la trayectoria %ue sigue el avión.

Resp( x − +

) '%

y

+ =(

B. (etermine la ecuación del lugar geom&trico compuesto de puntos P " x, y# %ue cumplen

con la condición de %ue su distancia al e0e GyH es el doble %ue su distancia al punto ;',I).

Resp & x + % y − () x + % y + + = !

C. 4n punto se mueve de tal manera %ue su distancia al punto ;',I' es siempre igual a untercio de su distancia al punto ;*,#. (etermine la ecuación del lugar geom&trico,

Resp x + y − x + & y + ++ = !

#=. (etermine la ecuación general del lugar geom&trico definido por el con0unto de puntos( x, y ) ubicados en el plano tales %ue la distancia al punto (−(,−) es el doble dela

distancia a la recta definida por la ecuación x − & = ! .

Resp & x − y − ) x − % y + &( = !

##. (etermine la ecuación del lugar geom&trico de un punto %ue se mueve de tal manera %uela distancia a la recta x + & = ! es siempre dos unidades mayor %ue su distancia alpunto ;#,#.

#'. Sea " x, y# :

⎪⎧ x

+ % y

Resp y − y − % x + ( = !

− + = !allar A" x, y# .

⎪⎩ x

− y

−

+ = !

Resp A" x, y# = {( - , &

),(

- ,−&

),(−

- , &

),(−

- ,−&

)}

#). allar los valores de GbH para los cuales el sistema:⎪⎧ x

+ y

= %tiene solución >nica.

#*. Sea el sistema

⎪⎩

Resp b = ±

y − y − a( x + &a( + () =!

,

y = x +

b

∈

+. Encuentre los valores de

⎨⎩⎪ y

− y − a x − a

+ () = !

a( , a %

⎨

⎨


36/38

a( , a para %ue el sistema tenga solución en %

.

Resp a(

> a

> !

#+. Encontrar el con0unto solución de los siguientes sistemas ;realice las respectivas gráficas

⎪⎧#. ⎨ y = x

⎪⎧

).⎨

yx = !

y = x + & y = ' − x


37/38

⎧ x + y = +'. ⎨ ⎪

⎧*.

⎨

x

+ y

= (

⎩ x − ) y = ' ⎪⎩ x

− y

= %

Resp #. A" x, y# ={(&,'), (− (,()}'. A" x, y# = {( (,),(−

(,)}

). A" x, y# = {(,+), (− ,+), ( + ,%),(−

+ ,%)}

*. A" x, y# = {( ,),(

,−), (−

,),(

,−)}

#-. allar la ecuación de la recta %ue contiene al punto ;I#,- y es tangente al lugar geom&trico

%ue tiene por ecuación x

+ y

− x − ) y − & = ! .

Resp x − & y + ! = !

#/. allar la ecuación de la recta %ue tiene pendiente −&

%ue tiene por ecuación % x

+ % y

+ x + % y − %- = ! .

y es tangente al lugar geom&trico

& ' & (-

Resp y = − x +

o y = − x −

#B. allar la ecuación de la recta %ue es paralela a la recta %ue tiene porecuación x + % y + &( =

!

x

+ y

+ ) x − =

! .

y es tangente al lugar geom&trico %ue tiene por ecuación

( - (

Resp y = − % x +

o y = − % x − +

#C. (etermine la ecuación de la recta l %ue contiene al centro de la elipse de ecuación

% x

+ ' y

+ x − &) y + % = ! y contiene al foco de la parábola deecuación

x

− ) x − % y + + = ! .

Resp x + y − & = !

'=. (etermine la ecuación de la parábola %ue es cóncava acia arriba y contiene tres de los

v&rtices de la elipse cuya ecuación es ' x

+ % y

= &) .

Resp x = −%

( y − &)&

'#. (etermine el valor de la distancia m!nima entre la circunferenciaC y la recta L , si sus

ecuaciones son respectivamente C : x

+ y

+ x − % y − % = ! y L : x − y − ) = !

.

Resp d =((

− (+

''. (adas una circunferencia C y una elipse E %ue son concentricas de las cuales se

conoce la ecuación de la elipse E : ' x

+ () y

+ ( x − )% y −

) = !

y %ue C es


38/38

tangente al e0e , determine la ecuación de C .

Resp ( x + () + ( y − ) =

'). (emostrar %ue la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x

+ y

= r

, en

el punto " x( , y( # perteneciente a la circunferencia es: x( x + y( y = r

.

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