GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA

APLICACIONES A LA FÍSICA

Sea un vector libre.

Componentes

rectangulares de .

Sea un vector libre,

Sabemos que

Por tanto:

Suma de vectores

Método gráfico o trigonométrico:

Del gráfico se debe tener en cuenta que:

Método analítico:

Dado que:

Entonces:

Equilibrio de una partículaUna partícula se encuentra en equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual al vector nulo. Una partícula en

equilibrio está en reposo o está moviéndose describiendo una línea recta con velocidad constante.

Por tanto:

y

Un buen número de problemas de equilibrio de una partícula, se solucionan eligiendo una partícula significativa y dibujando el diagrama de todas las fuerzas que actúan sobre ella (Diagrama del sólido aislado).

En problemas considerados correspondientes a fuerzas coplanarias y concurrentes a un punto, la suma vectorial de todas las fuerzas es igual al vector nulo, para que se conserve el equilibrio.

Cinemática:

Una partícula en equilibrio que está moviéndose describiendo una línea recta con velocidad constante se rige a través de la ecuación rectora.

En problemas de este tipo: Velocidad propia del móvil.

Velocidad de efectos colaterales que actúan sobre el móvil. (Velocidad del viento, velocidad de una corriente de agua, etc.)

Velocidad resultante del móvil respecto a un observador en tierra.

Ecuación rectora.Donde son fuerzas que actúan simultáneamente en el móvil.

Observación:

Se dice que el viento está “A favor” si la velocidad del avión y la velocidad del viento poseen la misma dirección y el mismo sentido.

Se dice que el viento está “En contra” si la velocidad del avión y la velocidad del viento tienen la misma dirección y sentidos contrarios.

Las convenciones usadas para determinar desplazamientos y velocidades de acuerdo con la convención universal asociada a la rosa de los vientos son:

1. Para vectores localizados en el primer y segundo cuadrantes, el ángulo se toma con referencia al norte así:

La dirección de es nor-este (N-E).

ó al este del norte.

La dirección de es nor-oeste (N-O).

ó al oeste del norte.

2. Para vectores localizados en el tercer y cuarto cuadrante, el ángulo se toma con referencia al sur así:

La dirección de es sur-oeste (S-O).

ó al oeste del sur.

La dirección de es sur-este (S-E).

ó al este del sur.

3. Si un vector se encuentra formando ángulo de 45º al este del norte su dirección se indica simplemente como Nor-este ó N-E, omitiendo el valor del ángulo.

4. Si el vector se encuentra sobre uno de los ejes, su dirección se indica como este ó oeste ó norte ó sur según sea el caso.

CÓNICAS

Secciones de un cono de revolución:

La superficie de un cono puede considerarse generado por la rotación de una recta L alrededor de otra recta fija L’, de tal modo que el ángulo entre L y L’ permanezca constante, son ser nulo.

A la recta L’ se le llama eje del cono.Al punto v de intersección entre L y L’ se le llama vértice del cono.A toda recta que pasa por v y que pertenece a la superficie se le llama generatriz del cono.

El cono consta de dos partes o mantos que tienen en común sólo el vértice v.

Cónicas:

Si un cono de revolución es cortado por un plano, la curva de intersección es llamada sección cónica o simplemente cónica.

Dependiendo de la ubicación del plano se distinguen los distintos tipos de cónicas.

PARÁBOLA: Si el plano intercepta un manto del cono paralelamente a una generatriz y no toca el otro manto, la cónica obtenida es llamada parábola.

HIPERBOLA: Si el plano corta ambos mantos y no contiene al vértice, la curva resultante se llama hipérbola.

ELIPSE: Si el plano cruza solo una manto del cono y no es paralelo a una generatriz, la cónica resultante se llama elipse.

CIRCUNFERENCIA: Si el plano corta perpendicularmente al eje se obtiene una circunferencia.

CÓNICAS DEGENERADAS:

Las cónicas propiamente dichas son las que ya se han descrito: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Sin embargo, desde un punto de vista matemático conviene a veces considerar como cónicas las figuras que se obtienen al cortar la superficie cónica mediante planos que pasan por su vértice. A estas figuras se les llama cónicas degeneradas. Según esto, una recta, un par de rectas, o incluso un punto, serían cónicas degeneradas.

La ecuación cuadrática general en X y Y expresada de la forma:

Representa la gráfica de una ecuación de segundo grado.Representa una sección cónica dependiendo de la relación que exista entre los coeficientes.

TRASLACION DE EJES

Sea XY un plano cartesiano y (x, y) las coordenadas de un punto P bajo dicho sistema. Considere el punto fijo C (h, k) y establezca en él el origen O’ de otro sistema de coordenadas X’Y’ tal que los ejes X’ y Y’ son respectivamente paralelos a los ejes X y Y. El punto P tienen coordenadas (x’, y’) en el sistema X’Y’ y el punto C es (0, 0) en el nuevo sistema.

Si los sistemas se han obtenido a través de la misma base ortonormal , se tiene que:

( x’, y’ ) = (x - h, y – k)

De donde x’= x – hy’= y – k

O lo que es lo mismo x = x’ + hy = y’ + k

Así obtienes las coordenadas de P en uno de los sistemas a través del conocimiento de sus coordenadas en el otro.

PARÁBOLALa parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano, el punto fuera de la recta.

El punto fijo es llamado foco y la recta fija, directriz.

Eje de la parábola: Recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz.

Vértice: Punto medio del segmento AF siendo F el foco y a el punto de intersección del eje con la directriz.

Cuerda focal: Segmento de la recta que pasa por el foco y une dos puntos de la parábola.

Lado recta: Es la cuerda focal perpendicular el eje.

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA:

Al escoger un sistema de coordenadas XY con el eje x el eje de la parábola y origen en el vértice, las coordenadas del foco son del tipo F( p, 0) con p o y la directriz es la recta de ecuación x = -p.

La distancia de F a V es

X(x, y) es un punto de la parábola si y solo si

Nota: Si p>0 La parábola es cóncava a derecha.

Si p<0 La parábola es cóncava a izquierda.

Si Y coincide con el eje de la parábola y el vértice está en el origen:

F (0, p) V (0, 0) directriz y = -p

La distancia de F a V es

X(x, y) es un punto de la parábola si y solo si

Nota: Si p>0 La parábola es cóncava hacia arriba.

Si p<0 La parábola es cóncava hacia abajo.

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON EJE PARALELO A UNO DE LOS EJES DEL SISTEMA XY:

Si el vértice es el punto V (h, k), al considerar el sistema trasladado X’Y’ con origen en V, se puede analizar la curva de dicho sistema y analizar las ecuaciones de traslado para trasladar la información al sistema XY.

1. Si el eje de la parábola es paralelo al eje X, bajo el sistema X’Y’ la ecuación es

Que es el sistema XY toma la forma

Vértice en V (h, k), la distancia de F a V es

2. Si el eje de la parábola es paralelo al eje Y, bajo el sistema X’Y’ la ecuación es

en el sistema XY toma la forma

Vértice en V (h, k), la distancia de F a V es

NOTA:

Al desarrollar la ecuación de una parábola paralela al eje X se obtiene una ecuación del tipo:

La parábola paralela al eje Y es una ecuación del tipo:

ELIPSELa elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, del mismo plano, es constante y mayor que la distancia de los dos puntos.

Los puntos fijos son llamados focos.

Eje focal o eje principal: Recta que contiene los focos.

Eje normal: Recta perpendicular al eje focal por el centro de la elipse.

Centro de la elipse: El punto medio del segmento que une a los focos.

Vértices: Los puntos de intersección entre la elipse y los ejes. V1, V2, M1, M2

Eje mayor: Segmento V1-V2.

Eje menor: Segmento M1-M2.

Cuerda: Segmento que une dos puntos de la elipse.

Radio focal: Segmento que une un foco con un punto de la elipse.

Lado recto: Es la cuerda perpendicular al eje mayor por uno de los focos.

a : Distancia del centro a los vértices v1 y v2.

b : Distancia del centro a los vértices M1 y M2.

c : Distancia del centro a los focos F1 y F2.

ECUACIÓN DE LA ELIPSE:

Al escoger un sistema de coordenadas XY con origen en el centro de la elipse y eje X coincidiendo con el eje focal.

F1 (c, 0) F2 (-c, 0) con c>o y 2a la suma constante, con la distancia entre los focos es 2c, entonces 2a > 2c así que a > c.

X(x, y) es un punto de la elipse si y solo si

De donde

y C(0, 0)

De aquí se obtiene que los extremos del eje menor sean M1 (0, b) y M2 (0,-b)

Los extremos del eje mayor sonV1 (a, 0) y V2 (-a, 0)

Ó

para C (h, k)

Si Y coincide con el eje focal de la elipse y el centro está en el origen, se obtiene:

Con

Y y C(0, 0)

De aquí se obtiene que los extremos del eje menor sean M1 (b, 0) y M2 (-b, 0)

Los extremos del eje mayor sonV1 (0, a) y V2 (0, -a)

F1 (0, c) y F2 (0,-c)

para C (h, k)

CIRCUNFERENCIASi a = b entonces la ecuación de la elipse se convierte en

Ecuación de la circunferencia con centro en (0, 0) y radio a

Similarmente la ecuación representa la circunferencia con centro en (h, k) y radio a.

HIPÉRBOLA

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos P del plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de las distancias de P a dos puntos fijos F1 y F2 es constante y menor que la distancia entre F1 y F2.

Los puntos fijos son llamados focos de la hipérbola.

Eje focal o eje principal: Recta que contiene los focos.

Centro de la hipérbola: El punto medio del segmento que une a los focos.

Vértices: Los puntos de intersección entre la hipérbola y el eje principal.

Cuerda: Segmento que une dos puntos de la hipérbola.

Radio focal: Segmento que une un foco con un punto de la hipérbola.

Lado recto: Es la cuerda perpendicular al eje principal por uno de los focos.

a : Distancia del centro a los vértices v1 y v2.

c : Distancia del centro a los focos F1 y F2.

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA:

Al escoger un sistema de coordenadas XY con origen en el centro de la hipérbola y eje X coincidiendo con el eje focal.

C (0, 0) F1 (c, 0) F2 (-c, 0) con c>o y 2a la suma constante, con la distancia entre los focos es 2c, entonces 2a < 2c así que a < c.

X(x, y) es un punto de la hipérbola si y solo si

De donde

y C(0, 0)

De aquí se obtiene que los vértices son

V1 (a, 0) y V2 (-a, 0)

Eje transversal: Segmento que une los vértices V1 y V2. La longitud del eje transversal es 2 a.

Eje conjugado: Segmento perpendicular al eje transversal y cuyo punto medio es el centro de la hipérbola. La longitud del eje conjugado en 2b.

Asíntotas de la hipérbola: La grafica de la hipérbola es simétrica con respecto

a los ejes de coordenadas. Al despejar x y y se obtiene

y

Se puede concluir que y puede tomar cualquier valor real y que x puede tomar cualquier valor diferente de -a < x < a-

De allí que las rectas y son ambas asíntotas de la

hipérbola con ecuación

La hipérbola con eje principal paralelo al eje X y centro en C (h, k) se expresa de la forma

con

En este caso las asuntotas son:

y

La hipérbola con eje principal el eje Y y centro en el origen del sistema XY.

Su ecuación se expresa de la forma

con

Las asíntotas son las rectas y

V1 (0, a)

V2 (0, -a)

F1 (0, c)

F2 (0,-c)

La hipérbola con eje principal paralelo al eje Y y centro en C (h, k) su ecuación queda de las forma

Asíntotas en y