ARITMTICA PRIMER AO

Capacidades

Determina conjuntos por extensin y comprensin.

aplica las relaciones de pertenencia e inclusin Representa grficamente los conjuntos en diagramas. Determina el cardinal de un conjuntoCOMENTARIO PREVIO

GEORGE CANTOR

( 1845 1918)Naci en San Petersburgo, Rusia; su padre un comerciante dans, quera que su hijo estudiara ingeniera pero el prefiri las matemticas.

En el ao de 1872 public su primer trabajo en la revista Mathematische Annalen sobre FUNDAMENTOS DE LA ARITMTICA y en el ao 1874 public su trabajo sobre la teora del infinito y la teora de conjuntos. Su objetivo era el de formalizar las matemticas como ya se haba hecho con el clculo cien aos antes. Cantor comenz esta tarea por medio del anlisis de las bases de las matemticas y explic todo basndose en los conjuntos. (por ejemplo, la definicin se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logr unificar a las matemticas y permiti la comprensin de nuevos conceptos. A pesar de todo sus ideas provocaron reacciones adversas, particularmente las de su maestro de la universidad Leopold Kronecker ( 1823 1891).

Estas crticas hicieron que Cantor se enfermara y termin sus das en una clnica de salud mental.

CONTENIDO TERICO

TEORA DE CONJUNTOS

IDEA DE CONJUNTOEn matemtica se usa la palabra conjunto como coleccin, agrupacin de varios objetos BIEN DEFINIDOS, llamados ELEMENTOS y pueden ser de posibilidades reales, abstractas o imaginarios con alguna caracterstica comn.

EJEMPLO:

Los ros de la costa peruana.

Libros de matemtica de la biblioteca de la I .E. CHAMPAGNAT.

Conjunto de los meses del ao.

Presidente constitucional del Per.

Nmero natural entre 10 y 11.

NOTACIN DE UN CONJUNTO

Los objetos que conforman un conjunto son llamados ELEMENTOS, los cuales se encuentran encerrados entre llaves y separados por punto y coma. A los conjuntos por lo general se les denota por alguna letra mayscula.

A = {a; e; i; o; u }

F = {3; 5; 7; 9; 11; 13}

Q = {mango; naranja; pltano; sanda}RELACIN DE PERTENENCIA ()

Un elemento pertenece () a un conjunto si es que ste forma parte de l, caso contrario se dice que no pertenece ( )

A = { 1; 3; 5; 7 } B = { a; e; i; o; u } C = { a; { b }; c; { d } }

5 A o C{ d } C i A

a A a C 7 B o B

2 B { b } C 1 A 3 A

DETERMINACIN DE CONJUNTOS

Un conjunto queda determinado de dos maneras: por EXTENSIN y por COMPRENSIN.

I. POR EXTENSIN O FORMA TABULAR: Un conjunto queda determinado por EXTENSIN O FORMA TABULAR cuando se nombran a todos y cada uno de sus elementos.

A = {Lunes; martes; mircoles; jueves; viernes; sbado; domingo}

B = { a; e; i; o; u }

C = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15}

D = {do; re; mi; fa; sol; la; si} II. POR COMPRENSIN O FORMA CONSTRUCTIVA: Un conjunto queda determinado por COMPRENSIN O FORMA CONSTRUCTIVA cuando se nombra una propiedad o caracterstica comn de los elementos del conjunto.

Dicha propiedad debe permitir identificar a los elementos sin ambigedades.

POR EXTENSIN O TABULARPOR COMPRENSIN O CONSTRUCTIVA

B ={ a; e; i; o; u }C = { 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15 }

D = { do; re; mi; fa; sol; la; si }

Q = { a; b; c; d; ; z }

B = { x/x es una vocal }C = { x/x es un nmero impar menor que 17 }

D = { x/x es una nota musical }

Q = { x/x es una letra del abecedario }

Tienes un conjunto como:

Para obtener dicho conjunto por extensin, tabulamos de la siguiente manera:

n-2-1012

52125

Luego : A = { 1; 2; 2; 5; 5 }

A = { 1; 2; 5 }

REPRESENTACIN GRFICA DE UN CONJUNTO.

I. DIAGRAMA DE VENN EULER:

Son regiones planas que nos permiten representar los conjuntos, generalmente se emplean crculos, elipses, rectngulos, tringulos, etc.

EJEMPLO:

A = { 1; 3; 5; 7}

B = { a; e; i; o; u }

C = { ; ; ; }

II. DIAGRAMA DE LEWIS CARROL.:

Si tiene 1 conjunto:

Si tiene 2 conjuntos:

III. DIAGRAMAS LINEALES:

Sirve para relacionar conjuntos y se emplean segmentos de recta, este diagrama se utiliza principalmente para representar la inclusin entre conjuntos.

EJEMPLO.

1. Si representar mediante un diagrama lineal:

A

B

2. Elabora un diagrama lineal para: A = { a; b; c } ; B = { a; b } ; C = { a; c }

A

B

C

CARDINAL DE UN CONJUNTO

El nmero cardinal de un conjunto nos indica cuantos elementos diferentes tiene dicho conjunto y se denota por:

Card ( A) : Cardinal del conjunto A n (A) : Se lee cardinal de A # (A) : nmero de elementos del conjunto A.EJEMPLO:

CONJUNTOCARDINALELEMENTOS

A = { } =

n ( A ) = 0A es un conjunto nulo o vaco

B = = { } n( B ) = 1B es un conjunto unitario

M ={ 1; 3; 5; 7; 3; 1 }

n( M ) = 4M es un conjunto cuaternario

PROBLEMAS PROPUESTOS01.Si: M =

a) Cuntos elementos tiene M?

b) Encontrar la suma de los 5 primeros elementos de M.

A) 25; 145B) 30 ; 154C) 31; 205D) 33; 11E) 32; 14502.Sean los conjuntos A = { 2; 3; 5; 7; 11 } indicar verdadero ( V ) o falso ( F) segn corresponda.

A : AA) VVVFB) FVVFC) VVFFD) VVVV E) FVVV03.Si: B = { 2; 3; 5; 7; 11; 15 ; 20 }

A = { }

Hallar la suma de los elementos de A.

A) 21B) 18C) 33 D) 36E) 2604.Si: M =

1 Determinar por extensin

2 Cuntos subconjuntos posee?

3 Cuntos subconjuntos propios posee?

4 Calcular el cardinal de M.

05.

Segn el siguiente diagrama: Descubrir la alternativa correcta:

A) P = { 1; 2; 4; 5; 7 }

B) Q = { 1; 2; 3 ;4; 5 }

C) R = { 1; 2; 4; 5; 6 }

D) P = { 1; 2; 5; 7 }

E) Q = { 4; 1; 5; 6; 3 }

06.Si A = { 1; 2; 3 } B = { 1; 2; 4 } C = { 2; 3 ; 4; 5 }

Cules son los elementos que deben estar en la parte sombreada del diagrama?.

A) 2

B) 3

C) 4

D) 2,4

E) 1, 2 , 4 07. Marcar (V) verdadero o (F) falso segn resulte cada afirmacin, respecto al conjunto Q

Q = { 2; 5; { 2 : 7 }; } 1. 2 Q

5. { 2; 5 }

2. { 2; 7 } Q

6. { 2; 7 }

3. { } ( Q4. ( Z A) VVVVVFB) FFVFVFC) VVFFVVD) FVFVFVE) VVFVFF08.Colocar el valor de verdad a cada proposicin:

A = { 8; 3; { 2 } { 1 : 3 } }

A) VVVV B) VFFV C) FVVF D) VFVF E) FFFF

09.Dado el conjunto N =

Cuntas proposiciones son verdaderas?.

A) 3 B) 4C) 5 D) 6E)7

10.Dado el conjunto, cuntos enunciados son verdaderos:

A = { 2; 3; 4 ; { 3 } ; ; { 4 }; { 3 : 4 } }

A) 6B) 8 C) 5D) 7E) 10

11. Cuntas de las siguientes proposiciones son verdaderas+.

Si: A = { a; b; { c } { p : q } }

A) 0B) 1C)2D)3E) 4

12. Sean Los conjuntos :

A = { 1; { 0 } { 3 : 4 }; 7 }

B = { 0; 4; { 3; 7 } { 1 } } Dadas las afirmaciones:

Cuntas de las proposiciones son verdaderas

A) 5B) 4C) 3D)1E) 2

13.Determinar por extensin el siguiente conjunto.

Dar como respuesta la suma de sus elementos.

A) 42B) 15C) 7D) 41E) 35

14. Sean los conjuntos:

Determinar el nmero de elementos de C

A) 1B) 2C) 4D)10E) 16LLENAR LA TARJETA DE RESPUESTAS CON LA CLAVE CORRECTA01020304050607080910

1112131415

Capacidades Identifica, distingue las clases de conjuntos. Establece relaciones entre conjuntos al representar grficas de inclusin y no inclusin

Lectura Reflexiva: LA CULTURA DE LA EXCUSA

Cuentan que un anciano ya no poda salir de cacera para alimentar a toda su familia, razn por la cual le pide a su hijo que se encargue de ello. El hijo sale a cazar y regresa rpidamente con un conejo para la cena. Al da siguiente regresa sin haber cazado nada y se excusa diciendo no hay animales. Al da siguiente tampoco trae nada y se excusa nuevamente.

Intrigado, el anciano sale a verificar cmo cazaba su hijo, y lo encuentra sentado junto a un rbol. El anciano le pregunta qu hace all. El hijo responde Silencio estoy esperando que los conejos se estrellen contra el rbol. Te acuerdas del primer conejo que traje a casa? Bueno ese lo recog cuando se estrell contra el rbol.

Reflexin:

Cuntas veces como en esta historia nos quedamos esperando que los xitos en la vida nos vengan de pura suerte o casualidad y solo damos excusas para encubrir nuestra falta de responsabilidad y perseverancia. El xito en nuestras vidas depende solamente de cada uno de nosotros, empecemos a construirlo desde ahora!CONTENIDO TERICO

CLASES DE CONJUNTO

CLASES DE CONJUNTOSDe acuerdo ala cantidad de elementos diferentes que poseen los conjuntos, estos se clasifican en:

A) CONJUNTO FINITO: Conjunto que tiene una cantidad limitada de elementos.

EJEMPLO:

R = {x/x es un da de la semana }

Q = { 3x + 2/ x N 1 x 6 }

B) CONJUNTO INFINITO: Conjunto que tiene una cantidad ilimitada de elementos.

EJEMPLO:

A = { x N / x > 8 }

B = { Las estrellas del sistema planetario}

CONJUNTOS ESPECIALESCONJUNTO

CONCEPTONOTACIN

IVACIO O NULOCarece de elementos ; { }

IIUNITARIO O SINGLETONTiene un solo elementoA = { 4 }

IIIUNIVERSAL O REFERENCIALContiene a todos los conjuntos posibles de un mismo tipoU

EJEMPLOS

A = { X/ x N 5 < x < 6 } ( I )

B = { Presidente constitucional del Per }.( II )

U = {Todos los seres animales } ..( III)

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. SUBCONJUNTO O INCLUSIN ()Un conjunto A es subconjunto o esta incluido en B, cuando todos los elementos del conjunto A, son tambin elementos del conjunto B.

EJEMPLO1

A = { a; b; c } B = { a; b; c; d; e }

A B : B A

A B

Se lee: A es subconjunto de B

A incluido en B

A esta contenido en el conjunto B

2Si: A = { 1; 2; 3 } B = { 2; 3; 4; 5 }

Se lee: A no esta incluido en B

A no es subconjunto de B

A no esta contenido en B

INCLUSIN

NO INCLUSIN

PROPIEDADES DE LA INCLUSIN.I . REFLEXIVA: Todo conjunto es subconjunto de s mismo.

2. El conjunto nulo o vaco es subconjunto de cualquier conjunto.

3. TRANSITIVA: Si un conjunto A est incluido en otro B y ste en un tercero C, entonces el conjunto A esta incluido en el conjunto C.

;

OBSERVACIN

2SUBCONJUNTO PROPIO:

Se dice que A es subconjunto propio de B si est incluido en B y existe por lo menos un elemento de B que no pertenece a A.

Si:

A = { 1; 2 } B = { 1; 2; 3 }

Se lee: A es subconjunto propio de B

A es una parte propia de B

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS1 Determinar los subconjuntos de A.

A = { 5; 9 }

Calculamos:

OBSERVAMOS:

1. n ( A ) = 2 subconjuntos = 4 222. Subconjunto propios son: { 5 } ; { 9} ; * no se considera el mismo conjunto

* obedece a la frmula : 22 1 = 3

3. CONCLUSIN * Subconjuntos: ; n = nmero de elementos

* Subconjuntos Propios:

2 Determinar los subconjuntos de B

B = { a; b; c }

{ a }; { b }{ c } Subconjunto unitarios

{ a; b };{ a; c }; { b; c }..Subconjuntos binarios

{ a; b; c } .Subconjunto ternario

..Subconjunto nulo o vaco

OBSERVAMOS:1. n (B) = 3 subconjuntos :

2. Subconjuntos propios:{ a };{ b }; { c } ; { a; b} ;{ a; c } ; { b; c } ; = 7

3. Los subconjuntos de un conjunto se forman combinando los elementos del mismo.

3 IGUALDAD DE CONJUNTOS:

Dos conjuntos son iguales si es que ambos tienen los mismos elementos.

NOTACIN: A = B

Se define :

EJEMPLO:

A = { 1; 4; 7; 10 } B = { 7; 1; 10; 4 }

A = B = { 1; 4; 7; 10 }

PROPIEDADES:

1 A = A .. Propiedad reflexiva

2A = B B = A ..Propiedad simtrica

3A = B ^ B = C A = C Propiedad transitiva

EJEMPLO ILUSTRATIVO:Dado : A = { 2 ; 3 } B = { x < x < 4 } C = { x N / 2 x 3 }

Verificar si se cumple las propiedades de igualdad de conjuntos.

Resolucin:

A = { 2 ; 3 } = { 2 ; 3 } .. Prop. Reflexiva

A = { 2 ; 3 } y B = { 2 ; 3 } .. Prop. Simtrica

A = { 2 ; 3 } B = { 2 ; 3 } C = { 2 ; 3 } .. Prop. Transitiva

4 CONJUNTOS COMPARABLES:

Dos conjuntos son comparables si y solamente si uno de ellos est incluido en otro, es decir:

EJEMPLO ILUSTRATIVO

A = { 2; 4; 6 } B = { x/x N 1 < x < 8 }

5CONJUNTO POTENCIA DE UN CONJUNTO:

Llamado tambin conjunto de partes de un conjunto, y es aquel conjunto formado por todos los subconjuntos de A.

Si A = { 1 ; 2 } ; Calcular P( A )

P ( A ) = { { 1 } ; { 2 } ; { 1 ; 2 } ; } n P ( A ) = 4

PRCTICA DE CLASE01.Si los conjunto A y B son iguales. A = :

B = {}. Calcular la suma de los elementos de:

M =

A) 23B) 24C) 30D) 22E) 3102.Si: T es un conjunto unitario. Determinar el valor numrico de:

en: T =

A) 5B) 10C) 15D) 12E) NA

03.Hallar N , Si A = B

A = { 2; 3; 3,; 3; 3; 3 } B = { 3; x; x; x; }

Si: N = A U B , Cuntos subconjuntos propios tiene?A)2B) 12 C) 3D) 1E) 804.Dado el conjunto:

A = { ; 2; { 1; 5} ; {3 } }

Cuntas de las afirmaciones son verdaderas?

I. { } A

A) 1 B) 2C) 3 D) 4E) 505.Si: . Calcular : n ( A) A) 3B) 2C) 5D) 6E) 4

06.Dado el conjunto:

Cul es la alternativa correcta?

A) B) 9 C) D)

E)

07.Dado el conjunto: B = {1; 2; m; n; {m; n } ; }

Cuntas de las proposiciones son correctas?.

A) 2 B) 3C) 4 D) 5E) 608. Dado el conjunto: A = { 2; 3; { 2; 3} ; 4; 5 }

Cuntas de las proposiciones son correctas?

A) 2 B) 3C) 4 D) 5E) 6

09. Decir cuntas de las proposiciones son verdaderas

A = { 3; 7; { 5; 7 }; { 8 } ; { 1; 3; 8 } ; 8 ; }

A) 4B) 5C) 7D) 3E) 6

PROBLEMAS PROPUESTOS01.Si: R = { { a }; b; { c } ; { d; e} } Cul es la relacin correcta:

02.Si: A = { 3a b ; 16 } ; B = { a+b } , adems A = B ( conjuntos iguales). Se sabe adems que son unitarios.

Calcular: M =

A) 148B) 186C) 176D) 172E) 182

03.Si: M = { 1; 2; 3 } y P es el conjunto formado por todos los elementos que son los dobles o los triples de los elementos del conjunto M, determinar la suma de los elementos de P.

A) 16 B) 20C) 22D) 24E) 2604.De la siguiente expresin: n ( A ) = 3 ; n ( B) = 4 .

Determinar el mximo valor de los elementos de:

A) 24 B) 23C) 22D) 21E) 20

05.

Dado los conjuntos iguales: A = B ;

A = { a2+3; b 5 } B = { b + 59 ; a 19 }. Hallar ( a + b )

A) 14 B) 7C) -14 D) - 7E) 006.Sean los conjuntos.

A = { 2; 3; 4; 4; 4; 5; 6}

B = { 2x/ x

Determinar el valor de: n ( A) + n ( A B )

A) 7B) 6 C) 5D) 4E) 3

La relacin de pertenencia se da, de elemento a conjunto

Recuerda que:

Cuando los elementos de un conjunto se repitan, se escribe una sola vez.

EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Visio.Drawing.11

La relacin de subconjunto o inclusin se utiliza de conjunto a conjunto.

2

Lic. Freyder Luis CHERO CASTROI.E. CHAMPAGNAT. Av Jos Galvez 987 - Chimbote1FRECHEC 2012 AV. Jos Glvez 987. Chimbote telfono: 968803525

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Q

R

7

2

3

1

4

5

6

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.3

.5

A

A

.7

A

B

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B

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A

B

.d .e

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_1202332949.vsdHombres que baila

BAILAN

NO BAILAN

Mujeres que nobailan

HOMBRES

MUJERES

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_1202331447.vsd.a

.e

.i

.o

.u

B

_1202332117.vsdAA

_1202331803.vsd

C

_1202331164.vsd.1

.3

.5

.7

A

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