Matemática

#ConquistaNoEstudo Semana11 Etapa2 Ensino Médio 3a. SÉRIE

Neste Guia, você vai estudar sobre raízes imaginárias e racionais.

Pág. 58 do Módulo 11

Profa. Conceição Longo

RAÍZES REAIS E RAÍZES IMAGINÁRIAS

Todo polinômio tem um número par de raízes complexas, pois as raízes complexas são aos pares (o número complexo e seu conjugado). Portanto, um polinômio de grau ímpar terá, no mínimo, uma raiz real! Raízes reais: a quantidade de raízes reais tem a mesma qualidade do grau do polinômio:

• Polinômio com grau ímpar possui quantidade ímpar de raízes reais. • Polinômio com grau par possui quantidade par de raízes reais.

As raízes imaginárias de um polinômio ocorrem aos pares (raiz imaginária e seu conjugado).

Importante:Um polinômio com grau ímpar terá, no mínimo, uma raiz real;Um polinômio com grau ímpar terá um número ímpar de raízes reais;Um polinômio com grau par poderá não ter raízes reais, mas se tiver, será em

quantidade par.

TEOREMA DO RESTO

O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo (x – a) é o valor numérico para P(a).

Ou seja, para determinar o resto da divisão de um polinômio por um binômio do primeiro grau, devemos substituir o “x” pela raiz do divisor (igualar a zero e isolar o “x”).

Obs.: Se este resto for igual a zero, ou seja, P(a) = 0, então dizemos que o polinômio P(x) é DIVISÍVEL pelo binômio (x – a), e, portanto "a" é uma raiz do polinômio P(x).

Exemplo: o resto da divisão de P(x) = 2x³ + 5x² – 4x – 3 por x + 2 é 9, pois:

x + 2 = 0 P(-2) = 2(-2)³ + 5(-2)² – 4(-2) – 3 x = -2 P(-2) = 2.(-8) + 5.4 + 8 – 3 P(-2) = -16 + 20 + 8 – 3 P(-2) = 9

Raízes complexas

O que isso significa? Acompanhe o próximo exemplo.

Se o número complexo z (não real) é raiz de multiplicidade m de umaequação de coeficientes reais, então o conjugado 𝑧𝑧 também é raiz demultiplicidade m da mesma equação.

29.44

Raízes complexas

Se um número complexo 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏, com b ≠ 0, é raiz de uma equaçãopolinomial com coeficientes reais, então o conjugado 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 também éraiz dessa equação.

O que isso significa? Acompanhe o próximo exemplo.

Sabendo-se que 5 + 2i é uma das raízes da equação 𝑥𝑥4 − 11𝑥𝑥3 + 37𝑥𝑥2 − 9𝑥𝑥 − 58 = 0,

vamos determinar, em ℂ, as demais raízes dessa equação.

Observe que a equação tem coeficientes reais e z = 5 + 2i é sua raiz, então = 5 – 2i

também é raiz da equação.

Com o dispositivo de Briot-Ruffini, obtemos uma equação de grau menor cujas raízes são

as demais raízes da equação dada:

29.45

Resolvendo a equação obtida, 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 2 = 0,encontramos as outras raízes, –1 e 2.

Assim, além de 5 + 2i, as outras três raízes daequação são 5 – 2i, –1 e 2.

Observe que: • As raízes complexas não reais de uma equação algébrica com coeficientes reais ocorrem sempre aos pares.

• Toda equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar admite pelo menos uma raiz real. 

Raízes racionais

Observe que:

▪ As raízes complexas não reais de uma equação algébrica com coeficientes reais ocorrem sempre

aos pares.

▪ Toda equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar admite pelo menos uma raiz real.

29.45

Raízes racionais

Se 𝑝𝑝𝑞𝑞, com p e q inteiros primos entre si, é raiz racional da equação algébrica de grau n e coeficientes inteiros 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + …+ 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0 = 0, então p é divisor de 𝑎𝑎0e q é divisor de 𝑎𝑎𝑛𝑛.

Obs.:• Esse teorema não garante a existência de raiz racional, mas, se ela existir, indica uma forma de

encontrá-la.• Se nenhum dos possíveis valores encontrados é raiz da equação, então a equação não tem raízes reais.

Exemplo:

Vamos encontrar as raízes inteiras da equação 𝑥𝑥4 − 76 𝑥𝑥

3 − 2𝑥𝑥2 + 12 𝑥𝑥 +

13 = 0

Veja que, nesta equação, os coeficientes não são inteiros. Neste caso, multiplicamos osdois lados da equação por 6 e obtemos 6𝑥𝑥4 − 7𝑥𝑥3 − 12𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 2 = 0 , obtendouma equação com coeficientes inteiros e equivalentes à equação dada, portanto, comas mesmas raízes. Assim, 𝑎𝑎0 = 2 e 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 6Aplicando o teorema das raízes racionais, temos:

Divisores inteiros de 𝑎𝑎0: D(2) = ±1,±2 Divisores inteiros de 𝑎𝑎𝑛𝑛: D(6) = ±1,±2,±3,±6

𝑝𝑝𝑞𝑞 , com p e q primos entre si: ±1,± 1

2 , ±13 , ±

16 , ±2,±

23

Agora, basta testar todas elas na equação, por substituição ou pelo dispositivo de Briot-Ruffini.

Verificando os valores encontrados, temos –1 e 2 como raízes inteiras da equação.

Em equações com coeficientes inteiros e an = 1, se existirem raízes racionais, essasraízes serão inteiras e dividirão a0.

Acompanhe um exercício resolvido: encontrar as raízes inteiras da equaçãox3 – 4x2 + 25x – 100 = 0 e depois resolvê-la em ℂ.

Como a equação tem todos os coeficientes inteiros, aplicamoso teorema das raízes racionais.Temos: 𝑎𝑎0 = 1 e 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 100

Divisores inteiros de 𝑎𝑎0: D(1) = ±1Divisores inteiros de 𝑎𝑎𝑛𝑛: D(100) = ±1,±2, ±4,±5,±10,±20, ±25,±50, ±100𝑝𝑝𝑞𝑞 , com p e q primos entre si: ±1,±2,±4,±5,±10, ±20,±25, ±50,±100

Utilizando o polinômio x3 – 4x2 + 25x – 100 = 0, verificamos se algum elemento desseconjunto é raiz da equação.

P(1) = 13 – 4.12 + 25.1 – 100 = 1 – 4 + 25 – 100 = – 78 ≠ 0P(-1) = (-1)3 – 4.(-1)2 + 25.(-1) – 100 = – 1 – 4 – 25 – 100 = – 130 ≠ 0P(2) = 23 – 4.22 + 25.2 – 100 = 8 – 16 + 50 – 100 = – 58 ≠ 0P(-2) = (-2)3 – 4.(-2)2 + 25.(-2) – 100 = – 8 – 16 – 50 – 100 = – 174 ≠ 0P(4) = 43 – 4.42 + 25.4 – 100 = 64 – 64 + 100 – 100 = 0

Com essa raiz, podemos aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini e encontrar uma equação degrau menor.

29.48

Exercício resolvido

Resolvendo a equação 𝑥𝑥2 + 25 = 0 , temos as outrasraízes:𝑥𝑥2 + 25 = 0 ⇒ 𝑥𝑥2 = −25 ⇒ 𝑥𝑥2 = 25𝑖𝑖𝑖 ⇒ 𝑥𝑥 = ±5𝑖𝑖Logo, o conjunto solução da equação é S = {4, –5i, 5i}

Para resolverPara resolver

1. Escreva certo ou errado:a) Um polinômio de grau 7 pode ter 5 raízes imaginárias.b) Um polinômio de grau 4 pode ter apenas uma raiz real.c) Um polinômio de grau 9 pode ter 3 raízes reais.

2. Calcule o valor de k para que a divisão do polinômio P(x) = 2x4 - 5x³ + kx² + 3x – 3 por Q(x) = x – 3 tenha resto igual a 88.

3. Encontre as raízes racionais da equação 2x4 - 3x3 - 6x2 – 8x – 3 = 0.

CONFIRA AS RESPOSTASCONFIRA AS RESPOSTAS

1.a) Erradob) Erradoc) Certo

2. k = 6

3. As raízes são: 3 𝑒𝑒 − 12