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Cours 4 – Révision du tassement et
La théorie de Consolidation unidimensionnelle
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Questions pour guider la lecture1. Qu’est ce que le processus de consolidation des sols?
2. Quelle est la différence entre la consolidation et la compaction?
3. Quelle équation gouverne la consolidation unidimensionnelle?
4. Comment l’excès de pression interstitielle est distribuée dans le sol quand la charge est appliquée et après différents temps?
5. Quels facteurs déterminent le tassement de consolidation des sols?
6. Qu’est ce que le degré de consolidation moyen, le facteur temps, le module de compressibilité volumétrique, et l’indice de compression et de recompression?
7. Quelle est la différence entre la consolidation primaire et la compression secondaire?
8. Quel est le cheminement de drainage pour un drainage simple et double drainage?
9. Pourquoi procédons-nous à des essais de consolidations, comment sont-ils effectués, et quels paramètres sont déduits des résultats de ces essais?
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3
10. Comment est calculé le taux de tassement et le tassement de consolidation?
11. Existe-t-il des différences importantes entre le tassement calculéet sur le terrain?
4
4
Tassement dû à la consolidation primaire des sols àgrains fin, normalement consolidés.
(OCR=1)
L’augmentation de la contrainte verticale produit un tassement du sol suivant la ligne NCL (ligne de consolidation vierge, en anglais, « normal consolidation line »)
z'zo'fin σΔ+σ=σ
1OCR;'zo
'finlogcC
oe1oH
oe1e
oHs =σ
σ+
=+Δ=
;'1
'2logcC'vo
v'vologcC'zoz'zlogcC'zo
'finlogcCe
σ
σ=
σσΔ+σ=
σσΔ+σ=
σ
σ=Δ
5
5
Tassement dû à la consolidation primaire des sols àgrains fin, surconsolidés.
(OCR > 1)
Si le sol est surconsolidé, on doit considérer deux cas dépendant sur lamagnitude de l’augmentation de la contrainte Δσz
Cas 1 – L’augmentation de la contrainte, Δσz, est de telle sorte queσ’fin = σ’zo+ Δσz est inférieure à σ’zc (voir prochaine figure).
L’augmentation de la contrainte verticale produit un tassement du sol suivant la ligne URL (ligne de rechargement - déchargement, en anglais, « unloading-reloading line »)
'zc'fin;'zo
'finlogrC
oe1oH
oe1e
oHs σ<σσ
σ+
=+Δ=
6
6
Cas 2 – L’augmentation de la contrainte, Δσz, est de telle sorte queσ’fin = σ’zo+ Δσz est supérieure à σ’zc (voir prochaine figure).
L’augmentation de la contrainte verticale produit un tassement du sol ayant deux composantes soit une suivant la ligne URL (ligne de rechargement-déchargement, en anglais, « unloading- reloading line »), et l’autre suivant la ligne NCL ligne de consolidation vierge, en anglais, « normal consolidation line »).
'zc'fin;
'zc
'finlogcC
'zo
'zclogrC
oe1oH
oe1e
oHs σ>σσ
σ+
σ
σ+
=+Δ=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
'zc'fin;
'zc
'finlogcCOCRlogrC
oe1oH
oe1e
oHs σ>σσ
σ+
+=
+Δ=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
ou
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7
Les deux cas à considérer pour le calcul du tassement des sols à grains fins surconsolidés
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8
Procédure pour calculer tassement de consolidation primaire
1. Calculez la contrainte verticale effective courante (σ’zo) et l’indice des videscourant (eo) au centre de la couche de sol pour laquelle on requiert le tassement.
2. Calculez l’augmentation de la contrainte verticale (Δσz) au centre de la couchede sol en utilisant la méthode appropriée.
3. Calculez la contrainte verticale effective finale σ’fin = σ’zo + Δσz.
4. Calculez le tassement primaire de consolidation.
a) Si le sol est normalement consolidé (OCR = 1), le tassement de consolidationprimaire est donnée par
;'zo
'finlogcC
oe1oHs
σ
σ+
=
9
9
b) Si le sol est surconsolidé (OCR >1) et σ’fin < σ’zc, le tassement de consolidation primaire est donnée par
c) Si le sol est surconsolidé (OCR >1) et σ’fin > σ’zo, le tassement de consolidation primaire est donnée par
où Ho est l’épaisseur de la couche de sol.
;'zo
'finlogrC
oe1oHs
σ
σ+
=
;'zc
'finlogcCOCRlogrC
oe1oHs
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
σ
σ+
+=
10
10
À noter : On peut aussi calculer le tassement de consolidation primaireen utilisant mv.
Cependant mv varie avec le niveau de la contrainte. On doit donccalculer une valeur moyenne de mv sur l’intervalle de contrainteσ’zo à σ’fin. Le tassement de consolidation primaire, en utilisantmv, est
zvmoHs σΔ=
L’avantage d’utiliser l’équation précédente est que mv est déterminédes données de déplacements de l’essai de consolidation, au besoin.Ce n’est pas nécessaire, dans ce cas, de calculer le changement dansl’indice des vides, des données de l’essai, comme pour la déterminationde Cc.
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11
Couches de sols épaisses
12n1nnnz3z2n2z1n1zn
z ++−+−+σΔ++σΔ−+σΔ−+σΔ
=σΔ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Pour une meilleure précision, quand on considère des couches épaissesde sols (Ho > 2 m), on divise ces couches en des sous-couches de sols(de 2 à 5 sous-couches) et on trouve le tassement de chaque sous-couche.Le tassement de consolidation primaire totale est la somme des tassementsdes ces sous-couches.
Une méthode alternative est d’utiliser la moyenne dite « harmonique »pour l’augmentation de la contrainte verticale des sous-couches, dans l’équation pour le tassement de consolidation primaire.
L’augmentation de contrainte verticale harmonique moyenne est donnée par
ou n est le nombre de sous-couches et les indices 1,2, etc., indiquent la première couche, deuxième couche en séquence.
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Exemple 1
Le profil de sol, d’un site proposé pour un immeuble à bureau, consiste en une couche de sable fin de 10.4 m d’épaisseur reposant sur une couche d’argile molle normalement consolidée de 2 m d’épaisseur. Un dépôt de sable grossier se trouve sous l’argile molle. La nappe phréatique a été repérée à 3 m sous la surface. L’indice des vides du sable et la teneur en eau de l’argile sont respectivement 0.76 et 43%. L’immeuble à bureau imposera une augmentationde la contrainte verticale de 140 kPa au centre de la couche d’argile. Estimez le tassement de consolidation primaire de la couche d’argile. Assumez que le sol au dessus de la nappe phréatique est saturé, Cc= 0.3 et Gs = 2.7.
3 m
7.4 m
2 margile molle
sable fin
sable grossier
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13
Stratégie
Vous devriez écrire ce qui est donné ou connu.
eo (pour le sable) = 0.76; w (pour l’argile) = 43%Ho = 2 m, Δσz = 140 kPa, Cc = 0.3, Gs = 2.7
Étant donné que l’argile est normalement consolidé la réponsedu tassement de consolidation primaire suit le cheminement de laligne NCL.
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14
argile: 16.17.2x43.0swGoe ===
3m/kN7.78.916.1117.2
we11sG' =
+−=γ
+−=γ
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
La contrainte effective au milieu de la couche d’argile est :
kPa9.1351x7.74.7x5.93x3.19'zo =++=σ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Étape 1- Calculez σ’zo et eo au centre de la couche d’argile
sable: we1SesG γ
++=γ
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
3m/kN3.198.976.0176.07.2
we1esG
sat =++=γ
++=γ
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
3m/kN5.98.93.19wsat' =−=γ−γ=γ
15
15
Étape 2- Calculez l’augmentation de la contrainte verticale σ’zo au centre de la couche d’argile.
Pour ce problème en particulier l’augmentation de la contrainte verticale Δσz est donnée:
kPa140z=σΔ
Étape 3 - Calculez la contrainte verticale effective finale σ’fin au centre de la couche d’argile.
kPa9.2751409.135z'zo'fin =+=σΔ+σ=σΔ
Étape 4 - Calculez le tassement de consolidation primaire.
;mm85m085.09.1359.275log3.0x
16.112
'zo
'finlogcC
oe1oHs ==
+=
σ
σ+
=
16
16
Exemple 2
On assume la même stratigraphie que le problème 1. Cependant dans cetexemple on assume que l’argile est surconsolidé avec un OCR = 2.5, w=38% etCr = 0.05. Toutes autres valeurs de sols données à l’exemple 1 sont maintenues.Déterminez le tassement de consolidation primaire de l’argile.
Stratégie
Puisque le sol est surconsolidé, il faut vérifier si la contrainte de préconsolidation estinférieur ou supérieur à la somme de la contrainte effective verticale courante et de lacontrainte appliquée au centre de la couche d’argile. Cette vérification détermineral’équation appropriée à utiliser. Dans cet exemple le poids volumique du sable resteinchangé mais celui de l’argile a changé.
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17
Étape 1 - Calculez σ’zo et eo au centre de la couche d’argile
argile: 03.17.2x38.0swGoe ===
3m/kN2.88.903.1117.2
we11sG' =
+−=γ
+−=γ
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
La contrainte effective au milieu de la couche d’argile est :
kPa4.1361x2.84.7x5.93x3.19'zo =++=σ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
À noter : l’augmentation de la contrainte verticale effective causée par
le changement du poids volumique de l’argile surconsolidé est
minime.
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18
Étape 2- Calculez la contrainte de préconsolidation au centrede la couche d’argile.
kPa3415.2x4.136'zc ==σ
Étape 3 - Calculez la contrainte verticale effective finale σ’fin au centre de la couche d’argile.
kPa4.2761404.136z'zo'fin =+=σΔ+σ=σΔ
Étape 4 – Vérifier si σ’fin est inferieure ou supérieur à σ’zc.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ =σ<=σ kPa341'zckPa4.276'fin
Étape 5 - Calculez le tassement de consolidation primaire.
;mm15m015.04.1364.276log05.0x
03.112
'zo
'finlogrC
oe1oHs ==
+=
σ
σ+
=
19
19
Exemple 3
On assume la même stratigraphie et les mêmes paramètres du sol que le problème 2.Cependant dans cet exemple on assume que l’argile est surconsolidé avec unOCR = 1.5. Déterminez le tassement de consolidation primaire de l’argile.
Stratégie
Puisque le sol est surconsolidé, il faut vérifier si la contrainte de préconsolidation estinférieur ou supérieur à la somme de la contrainte effective verticale courante et de lacontrainte appliquée au centre de la couche d’argile. Cette vérification détermineral’équation appropriée à utiliser.
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20
Étape 1 - Calculez σ’zo et eo au centre de la couche d’argile
03.17.2x38.0swGoe ===
3m/kN2.88.903.1117.2
we11sG' =
+−=γ
+−=γ
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
La contrainte effective au milieu de la couche d’argile est :
kPa4.1361x2.84.7x5.93x3.19'zo =++=σ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
même calcul qu’à l’exemple 2.
21
21
Étape 2- Calculez la contrainte de préconsolidation au centrede la couche d’argile.
kPa6.2045.1x4.136'zc ==σ
Étape 3 - Calculez la contrainte verticale effective finale σ’fin au centre de la couche d’argile.
kPa4.2761404.136z'zo'fin =+=σΔ+σ=σΔ
Étape 4 – Vérifier si σ’fin est inférieur ou supérieur à σ’zc.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ =σ>=σ kPa6.204'zckPa4.276'fin
22
22
;mm47m047.06.2044.276log3.05.1log05.003.11
0.1s ==++
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Étape 5 - Calculez le tassement de consolidation primaire.
'zc'fin;
'zc
'finlogcCOCRlogrC
oe1oH
oe1e
oHs σ>σσ
σ+
+=
+Δ=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
23
23
Exemple 4
Une section verticale de fondation d’immeuble à un site est montrée ci-dessous. Le module de compressibilité volumétrique moyen de l’argileest donnée comme mv = 5x10-5 m2/kN. Déterminez le tassement deconsolidation.
argile
gravier
Fondation: largeur B=10 m, longueur L=20m
24
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Stratégie
Pour déterminer le tassement de consolidation primaire, il faut calculerl’augmentation de la contrainte effective dans la couche d’argile dû auchargement provenant de l’immeuble. L’argile est 10 m d’épaisseur donc il est préférable de sous divisé la couche d’argile en des sous-couches ≤ 2 m d’épaisseur.
Dans le livre de Holtz et Kovacs on traiterais la couche d’argile comme un milieu semi-infini, cependant il est mieux de la traiter comme un milieu fini et de déterminer l’augmentation de la contrainte effective verticale avec des abaques développés à cette fin.
25
25
Étape 1
Trouvez l’augmentation de la contrainte effective verticale au centre de la fondation dans la couche d’argile.
On divise la couche d’argile en 5 sous-couches, chacune d’épaisseur 2 m, c’est-à-dire Ho = 2 m. Trouvez l’augmentation de la contrainte verticale effective au milieu de chaque sous-couche sous le centre de la fondation rectangulaire. On assume une base rugueuse et l’abaque remit en classe.
B = 10m, L = 20m, L/B = 2, qs= 200 kPa
sous-couche z(m) z/B Izp I Δσ=Izpqs Δσ=4Iqs(kPa) (kPa)
1 1 0.1 0.992 0.246 198.4 196.82 2 0.3 0.951 0.243 190.2 194.43 5 0.5 0.876 0.20 175.2 160.04 7 0.7 0.781 0.163 156.2 130.45 9 0.9 0.686 0.133 137.2 106.4
m = B/z, n = L/z, σz= qs I (théorie de Boussinesq)
26
26
Étape 2 - Calculez le tassement de consolidation primaire.
mm86m086.02.1372.1562.1752.1904.198x510x5x2
n
1i izvmoHs
==++++−
==
σΔ=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∑ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
milieu fini
milieu infini
mm79m079.04.1064.1300.1604.1948.196x510x5x2
n
1i izvmoHs
==++++−
==
σΔ=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∑ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
27
27
méthode alternative – avec la moyenne harmonique d’augmentation de la contrainte verticale au milieu de la couche
Pour ce problème particulier la valeur harmonique d’augmentation de la contrainteharmonique Δσz avec n = 5 est
kPa9.181123452.13712.15622.17532.19044.1985
z =++++
++++=σΔ ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
mm91m091.09.181x510x5x10zvmoHs ==−=σΔ=
Le tassement plus grand avec la méthode alternative résulte du biaisvers le haut de la couche produit par la moyenne harmonique.
28
28
Exemple 5
Un essai de consolidation en laboratoire, sur un échantillon d’argile prélevé à 10 msous la surface du sol, a donné les résultats suivant: Cc=0.3, Cr=0.08, OCR = 5,w = 23%, et Gs = 2.7. La nappe phréatique est à la surface. Déterminez et portez surgraphique la variation de la teneur en eau et le rapport de surconsolidation OCRen fonction de la profondeur jusqu’à 50 m.
29
29
Écoulement unidimensionnel à travers un élément de sol
Théorie unidimensionnel de la consolidation
dA = dx dy
30
30
Dérivation de l’équation gouvernante pour la consolidation
1. Sol est saturé, isotrope et homogène.
2. La loi de Darcy est valide.
3. L’écoulement se produit dans la directionverticale seulement.
4. Les déformations sont petites.
31
31
(ΔV) → (ΔVw) →(ΔVv)
Observations
1. Étant donné que l’aire du sol est constante (sol confinélatéralement), le changement de volume est directement proportionnelau changement de la hauteur.
2. À une profondeur donnée le changement dans la contrainte effectiveverticale est égal au changement de l’excès de pression d’eau interstitielleà cette profondeur ou ∂σz’ = ∂u.
32
32
Volume d’eau qui entre dans l’élément, v dA
Volume d’eau qui sort de l’élément, (v +(∂v/∂z) dz) dA
(v + (∂v /∂z) dz) dA - v dA = ∂V/∂t
∂V/∂t = (∂v/∂z) dz dA
Étant donné que εv = ∂V/V = ∂e/(1+eo) et que
∂V = ∂e/(1+eo) dz dA = mv ∂σ’z dz dA
33
33
∂V = mv ∂σ’z dz dA = mv ∂u dz dA
∂V/∂t = mv dz dA ∂u/∂t et
∂v/∂z = ∂(kz ∂h/∂z)/∂z
2zu2
wvmzk
tu
dAdz2zu2
wzk
tudAdzvm
∂
∂γ
=∂∂
∂
∂γ
=∂∂
34
34
wvmzk
VC
2zu2
vC2z
u2
wvmzk
tu
γ=
∂
∂=
∂
∂γ
=∂∂
L’équation gouvernante pour la consolidationunidimensionnel
Cv est appelé le coefficient de consolidation
35
35
Solution mathématique de l’équation gouvernantela consolidation unidimensionnel
Nous considérons la solution pour le double drainage et pour le cas oul’excès de pression interstitielle est uniforme, les conditions aux frontières sont:
Quand t = 0, Δu = Δuo = ΔσzFrontière du haut, z = 0, Δu =0.Frontière du bas, z = 2Hdr, Δu =0 Hdr est la longueur de drainage
2zu2
vC
tu
∂
Δ∂=
∂Δ∂
36
36
Couche mince d’argile molle
A
Couche profonde d’argile homogène
Deux types de distribution d’excès de pression d’eau interstitielle
Distribution uniforme avec la profondeur pour une couche mince
Distribution triangulaire avec la profondeur pour une couche profonde
37
37
La solution en utilisant une série de Fourier est
( )
( )
2dr
vv H
tCT
1m22
M
0m vT2Mexp
drHMzsin
Mo
u2t,zu
=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π=
∑∞
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛Δ=Δ
38
38
Un isochrone démontrant l’excès de pression interstitielle théorique en fonction de la profondeur
39
39
On peut définir un paramètre, Uz, appelée le degré de consolidation oule rapport de consolidation.
Ce rapport exprime la quantité de consolidation complétée en un temps particulier et une profondeur donnée.
Ce paramètre s’exprime comme
∑∞
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
ΔΔ−=
0m vT2Mexp
drHMzsin
M21
uu1U
o
zz
à t = 0 Uz = 0, quand t → ∞, Uz →1
40
40
41
41
L’ingénieur en géotechnique est souvent concerné par le degré de consolidation moyen, U, de toute la couche, à un temps particulier, plutôt qu’à une profondeurparticulière.
Le rapport de consolidation moyen, U, est donné par l’expression
( )∑ −−=∞
=0mv
22 TMexp
M21U
42
42
U (%
)
Tv
Excès de pression d’eauinterstitielle initiale uniforme
Excès de pression d’eauinterstitielle initiale triangulaire
Flèches montrent les directions
de drainages
Relation entre le facteur temps et le degré de consolidation moyen
Double drainage
43
43
Par approximation de la courbe (double drainage) de la figure précédenteon peut obtenir les relations suivantes :
( ) %60UpourU100log933.0781.1T
%60Upour100U
4T
v
2
v
≥−−=
<⎟⎠⎞
⎜⎝⎛π=
Les facteurs temps correspondant à U = 50% et U=90% de consolidationsont souvent utilisé dans l’interprétation des résultats d’essais de consolidation.
On devrait se rappeler que Tv =0.848 pour U = 90% etTv =0.197 pour U = 50%.