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El siguiente temario resume los conocimientos de Matemáticas y Estadística que
se que se espera en los candidatos a ingresar al programa de Maestría en
Ciencias Ambientales del Instituto Potosino de Investigación Científica y
Tecnológica. Recomendamos a los candidatos prepararse con tiempo de manera
adecuada para los exámenes, sea que postule por vía EXANI III o que ingresen a
nuestro Curso Propedéutico. Para esto se provee, una pequeña guía de estudios
que contienen ejercicios tipo sobre los cuales se basarán los exámenes de
admisión.
Contenidos de matemáticas del Curso Propedéutico
I. Funciones: lineales, exponenciales, periódicas.
II. Diferenciación numérica, Series de Taylor
III. Concepto de derivada
IV. Integración numérica
V. Concepto de integral
Contenidos de estadística del Curso Propedéutico
I. Tipos de variables
II. Medidas de tendencia central y de dispersión
III. Resumen e interpretación de variables
IV. Parámetros, estadísticos e inferencia
V. Formulación de hipótesis estadísticas
VI. Distribuciones
GUÍA DE EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS
FUNCIONES
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
LIMITES Y CONTINUIDAD
1
2
3
4
DERIVADAS
1 Resuelva:
2
3 Resuelva:
INTEGRALES
Resuleva
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
Instituto Potosino de Investigación Científica y Tecnológica AC
División de Ciencias Ambientales
Ejercicios tipo para el proceso de ingreso a la maestría en Ciencias Ambientales
1.- Identificación de variables
1.1- Para las siguientes variables indica si se trata de una variable numérica o categórica. En caso de tratarse de
una variable numérica indica si la escala es discreta o continua, y si se trata de una variable categórica indica si
la escala es ordinal o nominal:
a) Estación del año (primavera vs verano vs otoño vs invierno).
b) Contenido de metanol en gramos por m3 por hora removidos por un consorcio bacteriano de
Pseudomona.
c) Tipo de adsorbente para remoción de Plomo (Carbón activado vs Resina vs Óxido metálico).
d) Número de especies de cactáceas presentes en una parcela de 5x5 metros en un sitio de estudio en
el altiplano potosino.
2.- Cálculos de medidas de tendencia central y de dispersión, e interpretación:
2.1- La siguiente serie de datos contiene valores de ml de hidrógeno por litro de reactor producidos por hora
en un reactor:
3087 3011 2937 2947 3073 2961 2915 2918 3071 3038
Calcula las siguientes medidas:
a) Media:
b) Mediana:
c) Moda:
e) Varianza:
f) Desviación estándar:
g) Error estándar:
h) Rango:
2.2 - Se trataron diez muestras con un consorcio bacteriano, y se midió el contenido de tolueno en las
muestras antes y después de haber sido tratadas. A continuación se presenta la media y el error estándar para
el porcentaje de remoción de tolueno en las muestras:
Media = 74.60
Error estándar = 10.18
Construye el intervalo de confianza del 95% alrededor de la muestra y con base en este intervalo de confianza
indica si es razonable concluir que el porcentaje de remoción de tolueno fue del 85 %.
2.3- Explica que es el primer cuartil.
3.- Resumen e interpretación de variables:
3.1- La siguiente base de datos contiene el índice de masa corporal una especie de ave. Este índice se obtiene
dividiendo la masa corporal entre la longitud del ala del organismo y es un parámetro frecuentemente utilizado
en ornitología para estimar rápidamente el estado nutricional del organismo:
0.33 0.36 0.31 0.43 0.45 0.36 0.46 0.43 0.45 0.47
0.31 0.35 0.41 0.38 0.46 0.37 0.40 0.48 0.47 0.34
Genera una tabla de frecuncias que contenga los siguientes datos para cada una de las categorías: frecuencias,
frecuencias acumulativas, y porcentajes. Utiliza las siguientes categorías para generar la tabla de frecuencias: 1)
0.31 a 0.34, 2) 0.35 a 0.38, 3) 0.39 a 0.42, 4) 0.43 a 0.46, 5) 0.47 a 0.50
3.2- Observa la siguiente gráfica y responde a las preguntas:
Calificación
Fre
qu
en
cia
90807060
20
15
10
5
0
a) ¿Cómo se le llama a esta gráfica en estadística?
b) ¿Cuál es el valor aproximado de la media para esta población?
c) ¿Con base en la información contenida en la gráfica crees que se trate de una distribución normal?
d) ¿Cual es el tamaño de muestra aproximado?
3.3- Observa la siguiente figura y responde a las preguntas:
Pb
(µ
g/
ml)
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
a) ¿Como se le llama a esta gráfica en estadística?
b) ¿Cual es el valor aproximado de la mediana para esta población?
c) ¿Se trata de una distribución simétrica?
d) ¿Existen valores extremos en la gráfica?
3.4- Observa la siguiente figura y responde las preguntas:
X
Y
5550454035
104
102
100
98
96
94
92
90
a) ¿Cómo se le llama a esta gráfica en estadística?
b) ¿Qué tipo de relación existe entre las variables que se presentan en la gráfica?
c) Con base en la información que se presenta en la gráfica ¿qué puedes concluir acerca de la
dispersión de los datos?
3.5- Observa la siguiente figura en la cual las barras de error representan intervalos de confianza del 95%
alrededor de las medias poblacionales, y responde las siguientes preguntas:
0
20
40
60
80
100
Carbón activado Resina Óxido metálico
Tipo de adsorbente
Rem
oció
n d
e P
b (
%)
a) ¿Cómo se le llama a esta gráfica en estadística?
b) ¿Cuantas poblaciones están representadas en esta figura, nómbralas?
c) Con base en la información que se observa en la gráfica, ¿que puedes concluir con respecto a la
eficiencia de remoción basada en los diferentes tratamientos?
3.6- Tomando en cuenta la información contenida en la siguiente gráfica de probabilidad normal indica si los
datos aparentemente provienen o no provienen de una población cuya distribución es normal.
Residual
Pe
rce
nt
100500-50-100
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Normal Probability Plot of the Residuals
4.- Parámetros, estadísticos e inferencia
4.1- Con el objeto de estudiar el efecto de la exposición a la luz sobre algunos aspectos de la fisiología de una
especie de encino, se midió el área foliar y la tasa fotosintética de 100 hojas de encino provenientes de árboles
que se encuentran en un fragmento de bosque de encino con exposición noreste y 100 hojas de árboles de
otro fragmento con exposición sureste. Con base en este diseño, responde a las siguientes preguntas:
a) ¿Cual o cuáles son las población(es) que se están estudiando?
b) ¿Cuales son las muestras y cuál es el tamaño de muestra para cada una de las poblaciones?
b) ¿Cuáles son las variables que están en juego en este estudio?
d) Para estas variables, ¿Cuáles son las observaciones que se obtuvieron, y cuantas observaciones se
obtuvieron para cada una de las variables?
4.2.- Existen dos modalidades para realizar inferencia, una es la prueba de hipótesis, y la otra es la estimación.
Explica con tus propias palabras en qué consiste cada una de estas dos modalidades.
4.3.- Explica el teorema del límite central con tus propias palabras.
5.- Formulación de hipótesis estadísticas
5-1.- El objetivo de un estudio fue comparar la velocidad volumétrica de producción de biohidrógeno
utilizando dos tipos diferentes de consorcios bacterianos para determinar si un nuevo consorcio (consorcio tipo
B) provee una mayor velocidad de producción con respecto al consorcio tradicional (consorcio tipo A). El
experimento consistió en llevar a cabo el proceso de producción de biohidrógeno utilizando los mismos
volúmenes para cada uno de los dos consorcios bacterianos. Para cada uno de estos consorcios se llevaron a
cabo diez repeticiones del experimento y se compararon estadísticamente las dos medias utilizando un
modelo estadístico. Con base en esta información responde a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa para este estudio?
b) Si el valor real promedio de velocidad volumétrica de producción de hidrógeno es de 3100 ml/l/hr
para el consorcio tipo B, explica en qué consistiría cometer el error tipo I.
6.- Distribuciones
6.1-¿Cuales son los parámetros de la distribución binomial?
6.2- Describe la forma de la distribución uniforme, si lo consideras apropiado puedes apoyarte con una gráfica.
6.3- ¿Cuales son los valores de la media y varianza para la distribución normal estándar?
6.4- La siguiente gráfica corresponde a la forma de la distribución de t para una muestra con seis grados de
libertad. Sobre la misma gráfica dibuja las formas de la misma distribución cuando los grados de libertad son
cuatro y cuando son ocho.