Contextualizar Matematicas en La Primaria de Holanda

LA CONTEXTUALIZACIÓN DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA PRIMARIA

DE HOLANDA

Flavia Irene Santamaria

Tesis de Maestría

en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales con orientación en Matemática

LA CONTEXTUALIZACIÓN DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA PRIMARIA

DE HOLANDA

Flavia Irene Santamaria

Dirección

Prof. Ana María Porta de Bressan Dra. Betina Zolkower

Facultad de Ingeniería Universidad Nacional del Comahue

Julio 2006

Índice

INTRODUCCIÓN 1

i‐ Metodología de trabajo 3 ii‐ Esquema general del trabajo 4 iii‐ Pertinencia de este trabajo para la Enseñanza de la Matemática en la Argentina 4 Bibliografía 6

CAPÍTULO I ‐ La matemática realista holandesa 7

1.1 ¿Cómo surgió la Educación Matemática Realista (EMR)? 7 1.2 ¿En qué consiste la EMR? 11 1.3. Labor del Instituto Freudenthal 13 1.4 Principios en que se basa la EMR 14

1.4.1 Principio de actividad 16 1.4.2 Principio de realidad 17 1.4.3 Principio de niveles 17

1.4.3.1 Matematización horizontal y vertical 18 1.4.3.2 Los modelos para la EMR 19 1.4.3.3 Los diferentes niveles de comprensión que puede atravesar un alumno 19

1.4.4 Principio de reinvención guiada 21 1.4.5 Principio de interacción 21 1.4.6 Principio de interrelación o interconexión 22

Bibliografía 23

CAPÍTULO II ‐ El sistema educativo en Holanda 25

2.1 Organización general del sistema educativo en Holanda 25 2.1.1 Educación obligatoria y gratuita 25 2.1.2 Niveles educativos 25

2.1.2.1 Educación pre‐primaria (anterior a los 4 años) 25 2.1.2.2 Educación primaria – Basisonderwijs (de 4 – 12 años) 27 2.1.2.3 Educación secundaria y post secundaria (a partir de los 12 años) 31

2.1.3 Tipos de escuelas primarias 34 2.1.4 Otras características observadas 34 2.1.5 Evaluaciones tomadas a los alumnos 35

2.2 La Educación Matemática en la Escuela Primaria en Holanda 35 2.2.1 Una perspectiva macro‐didáctica sobre el desarrollo matemático 35

2.2.1.1 El rol influyente de los libros de texto 36 2.2.1.2 El “Prove” 38 2.2.1.3 Los objetivos de base para la educación matemática 38 2.2.1.4 Trayectorias de enseñanza–aprendizaje 40

2.2.1.4.1 ¿Qué es una TAL? 41 2.2.1.4.2 Características 42

Bibliografía 43

CAPÍTULO III ‐ Análisis de los libros de texto (primera parte) 45

3.1 El papel de los contextos en la EMR 45 3.1.1 Problemas escolares, problemas contextuales y problemas en la escuela 45

i

3.2 Contextos en Holanda 49 3.3 Los libros de texto que siguen el enfoque de la EMR 53

3.3.1 Características de los libros de texto 53 3.3.1.1 Colección Wis en Reken ‐ Editorial Bekadidact 53 3.3.1.2 Colección RekenRijk ‐ Editorial Wolters Noordhoff 54

3.3.2 Los contextos y las situaciones en los libros de texto 55 3.3.2.1 ¿Qué contextos y situaciones aparecen con mayor frecuencia en los libros de textos? 55

3.3.2.1.1 Libro: Wis en Reken 55 3.3.2.1.2 Libro: RekenRijk 58

3.3.2.2 Los contextos ¿pertenecen al mundo real o al fantasioso? ¿Son ricos y significativos? 61

3.3.2.2.1 Libro: Wis en Reken 61 3.3.2.2.2 Libro: RekenRijk 62

3.3.2.3 ¿A qué culturas, géneros, clases sociales y etnias aluden estos contextos y situaciones? 63

3.3.2.3.1 Algunas consideraciones acerca del género 66 3.3.2.4 ¿Se vuelve sobre los mismos contextos y situaciones de una lección a otra o de

un capítulo a otro y de un grado a otro? Y si se vuelve, ¿cómo? 67 3.3.2.5 ¿Qué función cumplen las ilustraciones en relación con la presentación de los

contextos y las situaciones y en relación con la resolución de los problemas? ¿Qué tipo de ilustraciones aparecen con mayor frecuencia? 70

3.3.2.5.1 Práctica reproductiva y productiva 72 Bibliografía 74

CAPÍTULO IV ‐ Análisis de los libros de texto (segunda parte) 77

4.1 ¿Cómo se trabaja el número en los primeros grados? ¿Qué usos se les da al número?¿Cómo se trabajan los algoritmos convencionales? 77

4.1.1 El número para nombrar 77 4.1.2 El número de contar 78 4.1.3 El número de cardinalizar 79 4.1.4 El número de comparar y ordenar 82 4.1.5 El número de medir 83 4.1.6 El número de calcular 86

4.1.6.1 Descomposiciones aditivas de un número natural 87 4.1.6.2 Problemas de suma y resta que impliquen la composición de dos medidas y en las

que una transformación opera sobre una medida 88 4.1.6.3 Problemas de multiplicación 95 4.1.6.4 Problemas de división 100

4.2 ¿Cómo se trabajan los contenidos de Geometría? 102 4.2.1 Mirar y proyectar 102 4.2.2 Orientarse y ubicar 103 4.2.3 Razonar acerca del espacio 104 4.2.4 Trabajar con transformaciones 105 4.2.5 Construir y dibujar 106 4.2.6 Medir y calcular 107

4.3 La perspectiva micro‐didáctica– el progreso en la comprensión 109 4.3.1 Los diagramas, los esquemas y los modelos matemáticos 109

4.3.1.1 El collar ‐ La línea numérica 109 4.3.1.2 El colectivo 114 4.3.1.3 La máquina de gaseosas 117

ii

4.3.1.4 Descomposición aditiva de sumas de números naturales 117 4.3.1.5 El rekenrek 118

4.3.2 La esquematización progresiva 119 4.3.3 Modelos conectados como la “columna vertebral” del progreso 122 4.3.4 Los Manipulables 124

4.3.4.1 Los bloques Dienes 125 4.4 ¿Cual es la proporción entre el lenguaje pictórico y el lenguaje verbal en las páginas del libro de texto? La misma ¿es constante? 127 Bibliografía 131

CAPÍTULO V – Conclusiones 133

5.1 Interrogantes que se abren 135 Bibliografía 137

APÉNDICE 139

iii

iv

Introducción

Introducción Esta tesis busca describir el modo en que una teoría didáctica, la Educación Matemática

Realista (EMR), se materializa en los textos escolares de matemática utilizados en Holanda. Asimismo estos textos, al alcance directo de docentes y alumnos, sirven de vehículo para la realización práctica (áulica) de esa teoría.

La EMR es una perspectiva que se desarrolló en Holanda desde fines de los años setenta en torno al trabajo del matemático Hans Freudenthal (1905‐1990). Desde entonces se ha publicado numerosa literatura que refleja los resultados positivos de esta teoría. Por ejemplo, en los EE.UU, el enfoque de la EMR fue adoptado en los libros de textos de la colección ʺMatemática en contextoʺ (MIC‐Enciclopedia Británica) para los grados 5 a 8. Una investigación demostró que los alumnos de varios distritos escolares de diversos estados que utilizaron esta serie de libros de texto, lograron mejorar notablemente su rendimiento en las pruebas nacionales (Romberg y De Lange, 1998). Esta corriente ha inspirado muchas de las ideas para la reforma en la enseñanza de la matemática en varios países tales como Inglaterra, Alemania, Dinamarca, España, Portugal, Sudáfrica, EE.UU., Japón, Malasia y Puerto Rico (De Lange, 1996).

Además, en los Países Bajos hay resultados internacionales positivos1 que se pueden utilizar como indicadores del éxito de la EMR en la reforma de la educación matemática. Los resultados del Tercer Estudio Internacional de Matemática y Ciencia (por sus siglas en inglés, TIMSS) demuestran que los alumnos en los Países Bajos obtuvieron altos logros en la educación de las matemáticas (Mullis, Martin, Beaton, Gonzalez, Kelly y Smith, 1997). Internacionalmente la EMR es reconocida como un muy efectivo enfoque para enseñar matemática (TIMSS 2003) y resolver problemas matemáticos (PISA 22001).

Por otro lado, en Indonesia se han realizado pruebas piloto obteniendo excelentes resultados al aplicar la EMR ‐específicamente en la enseñanza de la geometría. Las investigaciones exploratorias han mostrado que a pesar de que la EMR es un enfoque desarrollado en Holanda se podría implementar satisfactoriamente en este país (Fauzan, 2002). Fauzan nos aclara que para poder utilizar la EMR en su país de manera integra, es necesario un gran esfuerzo en las áreas de desarrollo del currículum, evaluación, entrenamiento docente en servicio, etc. Todo esto debe estar apoyado desde investigaciones en desarrollo y evaluaciones formativas para asegurar que la mejora “local” sea obtenida.

En la transformación de la enseñanza en Holanda ‐a través de la implementación de esta línea didáctica, la cual se está llevando a cabo desde hace más de 20 años‐ se le asigna un papel fundamental a los libros de texto (Anghileri, 2001; Seegers y Gravemeijer, 1997; Gravemeijer, 1994 y Jong, 1986). “Los libros de texto han sido centrales para el desarrollo del currículum” (Anghileri, 2001: 9). Los nuevos libros de texto propician las mejoras propuestas en la educación matemática, ya que son las herramientas más importantes para guiar la enseñanza de los profesores (tanto con respecto a los contenidos como a los métodos de enseñanza). A diferencia de lo que ocurren en otros países occidentales, donde han surgido numerosas críticas con respecto al uso de los libros de texto, en Holanda los mismos ocupan un lugar privilegiado (Heuvel–Panhuizen, 2001) dado que existe un “clima receptivo” hacia los mismos (Gravemeijer, 1994: 138). “Los textos en Holanda han sido desarrollados bajo la sombrilla de una agencia de orientación para ayudar a trasladar las ideas investigadas a una práctica factible y todos asumir así una instrucción interactiva” (Anghileri, 2001: 9). “En estos 1 Como un ejemplo se pueden mencionar las investigaciones llevadas a cabo por Treffers (1987) y Rengerink (1983), entre otros, en donde nos muestran que obtuvieron mejores resultados al trabajarse la división con el enfoque realista que con el enfoque tradicional de enseñanza. 2 PISA: Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes.

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Introducción

textos se presta mucha atención al entrelazado de varios ejes de aprendizaje” (Treffers y Beishuizen, 1999: citado por Anghileri, 2001)

Es sabido que a los docentes les cuesta apropiarse de manera sustantiva de las directivas y las recomendaciones de aquellos que proponen las reformas pedagógicas y curriculares (Dussel, 2001; CTERA, 2001). Estos documentos les suelen parecer a los docentes demasiado teóricos y distantes de su realidad áulica y de las necesidades específicas a su práctica. Por lo tanto, el libro de texto ocuparía entonces un lugar intermedio entre la teoría y la práctica—cercano tanto a los que proponen las reformas como a la realidad cotidiana de los docentes que son los llamados a llevar a cabo esta reforma. En eso radica en gran medida el éxito de la reforma de la instrucción matemática realizada en Holanda (ver el apartado que será discutido en el Capítulo 2). Debido a lo anterior, mirar de cerca de qué modo la EMR se hace realidad en los libros de texto ayudaría a apreciar modos efectivos de mejorar la enseñanza de la matemática y poder incorporar algunas de estas ideas al trabajo que se hace en la Argentina. En Argentina los libros de texto pasaron de ser portadores de las reformas educativas, contando con la aprobación del Estado y respetando las normas pedagógicas vigentes, a ser dependientes en muchos casos de las leyes del mercado.

En el siglo XX, hasta los años 80, las reformas educativas en la Argentina se llevaban a cabo a través de los libros de texto. Los mismos, además de responder a las normas pedagógicas en vigencia necesitaban de una aprobación del Estado (mediante sus instituciones oficiales) para evitar, como ocurre en la actualidad, la dependencia de las publicaciones a las leyes del mercado. Esta última dependencia ha dado lugar “en muchos casos a situaciones que relegan las cuestiones políticas y pedagógicas a problemas de marketing” (Pineau, 2006; 2) o “lo que importa es escribir lo que vende, no lo que es importante enseñar” (Giré Freixes y Parcerisa, 2000; 139).

Los docentes, de manera individual o institucionalmente ‐en la menor cantidad de casos‐, hacen la elección del texto escolar para sus alumnos guiados por sus propios criterios, frente a una multiplicidad de libros a su alcance (actualmente existen más de 30 editoriales que editan textos escolares y algunas de ellas publican una variedad de ellos)3

Sin embargo, es importante reconocer que “los textos constituyen otra instancia de la transposición didáctica pues introducen nuevas modificaciones en los objetos de enseñanza, constituyen una nueva y más fina delimitación del alcance de los contenidos” (Pineau, 2006). Y que en algunos casos, “los libros de texto se constituyen para los profesores, en una fuente de abrevar en la búsqueda de un parámetro de comparación de sus propios conocimientos disciplinares, de una clarificación respecto del tipo de actividades a realizar, de propuestas innovadoras en la articulación y organización de los contenidos a enseñar” (Chemello, 2002; 70).

Como se dice en Freixes y Parcerisa (2000), se necesita de un docente capaz de hacer un uso reflexivo de los textos y esto demanda una capacitación y desarrollo de apoyos para los mismos que les permita tal elección en función de las normas curriculares y la realidad de su alumnado, debido a que muchos textos encierran sólo cambios formales y no implican las modificaciones de fondo necesarias para adaptarse a las reformas de contenidos que tuvieron lugar en la década de los 90. En Holanda, por ejemplo, se ha necesitado incluir material para los docentes con el enfoque de la EMR, con ejemplos muy prácticos para enseñarles cómo deben enseñar e interpretar el material de los libros de texto.

3 Estas más de 30 editoriales que producen libros escolares manejan un mercado que ronda los 100 millones de pesos –y que por 1999 era de 120 millones al año. Sin embargo, un conjunto de empresas fuertes (Santillana, Puerto de Palos, Estrada, Aique, Kapelusz y A‐z Editora), la mayoría perteneciente a Grupos multinacionales, reúne casi el 80% de las ventas (Laino, 2003).

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Introducción

En los capítulos siguientes se centrará en dar las bases teóricas en que se sustenta el cambio en la enseñanza de la matemática en las escuelas holandesas y en analizar cómo se lleva este enfoque a la escuela a través de una selección de libros de texto.

Es importante aclarar que lejos de querer presentar este enfoque para ser replicado en forma exacta en la Argentina lo que se busca es tratar de estudiar en detalle lo que pasó en Holanda para ver qué se puede aprender de este fenómeno. Querer replicar el enfoque realista sería imposible dadas las características tan diferentes entre nuestro país y Holanda: a nivel demográfico, de la formación y capacitación de los docentes, de la forma y el funcionamiento del sistema escolar, y de la estructura y las dimensiones de la industria editorial de libros de texto.

Toda innovación propone diferente educación y diferentes resultados de aprendizaje. Gravemeijer (1994: 138) propone que nos planteemos dos cuestiones para evaluar el currículo realista: ¿Ha sido implementada la EMR? y ¿La EMR conduce a los resultados de aprendizaje deseados? Dado que la reforma ha sido puesta en práctica principalmente a través de los libros de texto es que esta tesis se centrará en su análisis, teniendo en cuenta que las diferencias en los libros de texto conducen a diferentes formas de enseñanza y las diferentes formas de enseñanza conducen a diferentes resultados de aprendizaje.

i Metodología de trabajo

Este trabajo consiste en un análisis descriptivo de los libros de texto para la escuela primaria que se utilizan en Holanda. Dado que la corriente didáctica dominante en ese país es la EMR, los criterios que utilizaremos como herramienta para el análisis de estos textos son los principios fundamentales de esta corriente, es decir, la concepción de la matemática como actividad humana, la distinción entre matematización horizontal y vertical, el uso de construcciones y producciones libres como punto de partida para los procesos de esquematización y formulación progresiva, el uso de modelos, una gran importancia a la interacción entre los actores del proceso educativo dentro del aula y una fuerte interrelación entre los diferentes ejes curriculares.

Es en base a estos principios que elaboramos las siguientes preguntas.

1‐ ¿Qué contextos y situaciones aparecen con mayor frecuencia en los libros de texto? ¿Hay algún contexto o situación que aparezca con mayor prominencia?

2‐ ¿Los contextos pertenecen al mundo real o al fantasioso de los niños? ¿Son los mismos ricos y significativos en tanto despiertan su interés y mueven al trabajo con ellos?4

3‐ ¿A qué culturas, prácticas, géneros, clases sociales y etnias, aluden estos contextos y situaciones? ¿Los mismos son sólo “experienciables” por niños holandeses?

4‐ ¿Se vuelve o no sobre los mismos contextos y situaciones de una lección a otra o de un capítulo a otro y de un grado a otro? Y si se vuelve, ¿cómo?

5‐ ¿Qué función cumplen las ilustraciones en relación con la presentación de los contextos y situaciones y en relación con la resolución de los problemas? ¿Qué tipo de ilustraciones aparecen con mayor frecuencia?

6‐ ¿Cómo se trabaja el número en los primeros grados? ¿Qué usos se les da al número? ¿Cómo se trabajan (presentan, explican, practican, interrelacionan) los algoritmos convencionales?

4 Cabe aclarar que para responder esta última cuestión tengo en cuenta lo que he observado en situaciones de juegos con niños informales, observaciones en la biblioteca de Delft, etc. La respuesta a dicha cuestión tiene un alto componente personal.

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Introducción

7‐ ¿Cómo se trabajan los contenidos de Geometría?

8 ‐ ¿Se hace uso de diagramas, esquemas, modelos matemáticos? ¿Cómo se vinculan estos con los contextos y las situaciones? ¿Se nota la esquematización progresiva, la abreviación, descontextualización de tales esquemas, diagramas y modelos? ¿Cómo se trabaja sobre los diagramas, esquemas y modelos? ¿Se vuelve sobre ellos sistemáticamente? ¿Cómo?

9‐ ¿Cuál es la proporción entre el lenguaje pictórico y el lenguaje verbal en las páginas del libro de texto? ¿Es constante la misma?

ii Esquema general del trabajo

Este trabajo está organizado en una introducción y cinco capítulos, siendo el último el correspondiente a las conclusiones.

En el capítulo I se narra la historia del nacimiento y el desarrollo de la Educación Matemática Realista y los principios en los que se basa esta corriente.

En el capítulo II se describe la estructura y el funcionamiento del sistema educativo en Holanda. Primeramente el enfoque es general, de todos los niveles, y posteriormente se comenta la enseñanza de la matemática en la Escuela Primaria en ese país. En ese mismo capítulo se desarrolla la perspectiva macro‐didáctica y en el Capítulo III y IV, la micro‐didáctica. La primera trata sobre el progreso en la comprensión de contenidos matemáticos en un largo periodo de tiempo, centrándose sobre las trayectorias de enseñanza‐aprendizaje que sirven como un diseño longitudinal para la enseñanza de la matemática. La perspectiva micro‐didáctica, en cambio, muestra cómo pueden suceder cambios en la comprensión y habilidades del alumno en una o dos lecciones. Desde la EMR, se considera fundamental que una teoría de educación matemática tenga en cuenta estas dos perspectivas (Heuvel‐ Panhuizen, 2002).

Los capítulos III y IV incluyen el análisis de una selección de libros de texto en base a las preguntas listadas más arriba. El foco de nuestro análisis son los textos de mayor circulación para los grados inferiores de la escuela primaria, Grado 3 y 4, que en nuestro sistema educativo corresponden al 1ro y 2do grado de la EGB 1. En el análisis de estos textos, se presta particular atención al abordaje del número y las operaciones, la geometría y la medida, temas centrales en la instrucción matemática a nivel primario.

De las seis editoriales diseñadas desde la línea realista en Holanda ‐Wis en Reken, RekenRijk, Talrijk, Wereld in Getallen, Alles Telt y Pluspunt‐ se seleccionaron para un trabajo detallado las dos primeras, que son las más utilizadas en las escuelas holandesas que siguen esta corriente didáctica. Estas seis editoriales se consideran las más representativas, de mayor accesibilidad y las que, en su conjunto, representan la variedad de enfoques de la EMR (Heuvel–Panhuizen, 2002).

iii Pertinencia de este trabajo para la Enseñanza de la Matemática en la Argentina

En base al análisis anterior, esta tesis intenta ofrecer tres aportes: dar a conocer la educación matemática realista, mostrar el peso que posee la elección de un libro de texto en una reforma educativa y destacar la posibilidad de crear interrogantes en base a la línea que conllevan los diseños curriculares para orientar a los docentes en la elección de los libros de texto en matemática.

Zolkower (1999) afirma que el instrumentar una propuesta desarrollada en Holanda en la Argentina, país con una realidad diversa, resulta ser un “aporte valioso hacia el tratamiento reflexivo (y afectivo) de problemáticas que aquejan al campo de la enseñanza de la matemática en todo el mundo. Entre ellas está la significación de los objetos y operaciones

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Introducción

matemáticas, el problema de la adquisición de algoritmos como automatismos carentes de sentido, la dificultad de transferir lo aprendido en situaciones didácticas a la resolución de problemas en situaciones a‐didácticas y, finalmente, el debate acerca del valor humano, social y político de la enseñanza de la matemática.”

En vista de lo anterior, en 1999 se creó el Grupo Patagónico de Didáctica de la Matemática (proyecto de capacitación, estudio e investigación/acción, cuyas siglas son GPDM) coordinado por la Prof. Ana Bressan y la Dra. Betina Zolkower en San Carlos de Bariloche, Prov. de Río Negro. Este grupo se aboca a la tarea de revisar la manera de enseñar la matemática siguiendo las líneas de la EMR. Así, los resultados de esta tesis contribuirán al desarrollo de la investigación en el GPDM.

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Introducción

Bibliografía

‐ Anghileri, J. (2001). Principles and Practices in Arithmetic Teaching. Innovative approaches for the primary classroom. Buckingham: Open University Press. Philadelphia. ‐ Chemello G. (2002): La enseñanza de la matemática y la formación del pensamiento. Un estudio sobre la demostración en nivel medio. Tesis de Maestría en Didáctica dirigida por las Dras. Camillioni, A. y Gysin, L. Dpto de Ciencias de la Educación. Facultad de Filosofía y Letras. UBA ‐ CTERA (2001): Consulta nacional. Muestra de 3030 casos (abarca todas las provincias, niveles‐tipo de escuela selección docente) Encuesta realizada en el 2000. ‐ De Lange, J. (1996): Using and Applying Mathematics in Education En International handbook of mathematics education, de Bishop, A.J. (eds). Parte I. Págs: 49‐97. Utrecht: Kluwer academic. ‐ Dussell, I. (2001): Los cambios curriculares en los ámbitos nacional y provinciales en la Argentina (1990‐2000). Elementos para su análisis. Proyecto Alcance y Resultados de las Reformas Educativas en Argentina, Chile y Uruguay. Ministerios de Educación de Argentina, Chile y Uruguay. Grupo Asesor de la Universidad de Standford/BID ‐ Fauzan, A. Plomp, T., y Slettenhaar, D. (2002): Traditional Mathematics Education vs. Realistic Mathematics Education: Hoping for Changes. Proceedings of the 3rd International Mathematics Education and Society Conference. Págs 1‐4. Copenhagen: Centre for Research in Learning Mathematics. ‐ Giré Freixes, N. y Parcerisa, A. (2000): Evaluación en la educación secundaria. Barcelona: Grao. Págs: 138‐140. ‐ Gravemeijer, K (1994): Developing Realistic Mathematics Education. Freudenthal Institute. Universidad de Utrecht. Holanda. ‐ Heuvel‐Panhuizen, M. (2001): Realistic mathematics education in Netherlands. En Principles and Practices in Arithmetic Teaching. Innovative approaches for the primary classroom, de Anghileri, J. Philadelphia: Buckingham, Open University. ‐ Heuvel‐Panhuizen, M. (2002): Realistic Mathematics Education as Work in Progress. En: Common sense in Mathematics education, de Fou‐Lai Lin (Eds.). Proceedings of 2001 The Netherlands and Taiwan Conference on Mathematics Education. Págs: 1‐43. Taiwan: National Taiwan Normal University. ‐ Jong, R. de (1986): Wiskobas in methoden. Utrecht: OW&OC. ‐ Laino, G. (2003): Artículo realizado para Administración de la Empresa Editorial, cátedra a cargo de Fernando Esteves Fros ‐director editorial de Alfaguara S.A.‐ UBA. ‐ Mullis, I., Martin, M., Beaton, A., Gonzalez, E., Kelly, D., y Smith, T. (1997): Mathematics Achievement in the Primary School Years. IEA. Third International Mathematics and Science Study (TIMSS). Boston: Chestnut Hill. ‐ Pineau, P. (2006): El libro como objeto. Perspectiva histórica de la producción de textos escolares. El rol del Estado en la producción de textos escolares. Anales de la educación común. Filosofía política de la enseñanza Tercer siglo. Año 2. Número 3. Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires. ‐ Rengerink, J. (1983): De staartdeling, een geïntegreerde aanpak volgens het principe van progressieve schematisering. Utrecht: Vakgroep Onderwijskunde/IPAW, Rijksuniversiteit Utrecht. ‐ Romberg, A. y Lange J. de (1998): Mathematics in Context: Teacher Resource and Implementation Guide. EE.UU: Britannica Mathematics system. ‐ Seegers, G. y Gravemeijer, K. (1997): Implementation and effect of realistic curricula. En The role of contexts and models in the development of mathematical strategies and procedures de Beishuizen, M., Gravemeijer, K. y Van Lieshout, E. Págs: 255‐272. Culemborg: Technipress. ‐ Treffers, A. (1987): Three Dimensions. A Model of Goal and Theory Description in Mathematics Education: The Wiskobas Project. Dordrecht: Reidel. ‐ Zolkower, B. (1999). El sentido común en la resolución de problemas matemáticos. Número 108. Págs: 44‐ 47. Buenos Aires: Novedades Educativas.

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Capítulo I: La Matemática Realista Holandesa

CAPÍTULO I

La matemática realista holandesa

1.1 ¿Cómo surgió la Educación Matemática Realista (EMR)?

Para poder contestar a esta pregunta debemos remontarnos, según las palabras de la renombrada investigadora italiana Castelnuovo (1997), a los años anteriores a la década del 60. A fines de la Segunda Guerra Mundial, se instituyó en varios países la educación obligatoria e igualitaria hasta una edad determinada por cada gobierno. A pesar de que numerosos educadores, matemáticos y psicólogos hicieron notar las dificultades para la comprensión matemática que se presentaba entre los alumnos ‐dificultades que se acrecentaban si el alumno no tenía el apoyo de una familia con recursos económicos‐ no se llegaron a hacer cambios sustanciales en los modos habituales de enseñar esta disciplina. Estas dificultades se atribuían a que los métodos de enseñanza eran poco apropiados para las posibilidades intelectuales y psicológicas de los alumnos y al hecho de que los contenidos, tal como estaban organizados en los currículos, eran demasiados abstractos.

A raíz del lanzamiento del primer satélite artificial soviético “Sputnik”, en 1957, los gobiernos de los países occidentales y en especial el de EE.UU. se dieron cuenta que no podrían alcanzar altos niveles en tecnología sin mejorar la enseñanza de las matemáticas en la educación secundaria. Para ellos, un país capaz de semejante avance espacial debía contar con científicos con una elevada formación en matemáticas (Castelnuovo, 1997). El gran problema era definir qué tipo de enseñanza de la matemática era la más adecuada para lograr el objetivo de contar con científicos que pudieran alcanzar una formación capaz de igualar o superar a la de la URSS.

Para poder resolver este problema, el gobierno de EE.UU. impulsó a la OECE1 a convocar un seminario internacional para especialistas de la disciplina y profesores de escuelas secundarias. El objetivo de esta iniciativa fue recoger información y comparar los programas vigentes en búsqueda de elementos que pudieran orientar cambios en el sistema educativo. Este seminario se llevó a cabo en Royamont (Francia), en 1957. Para los matemáticos Choquet, Stone y Dieudonné el problema principal radicaba en la brecha existente entre la escuela secundaria y la Universidad debido a que los programas de la escuela secundaria que se desarrollaban en los diferentes países estaban muy alejados de las concepciones de la matemática moderna2. La solución que se propuso, y que adoptaron varios países, fue dejar de enseñar la geometría euclidiana e incorporar en su lugar una enseñanza basada en la teoría de conjuntos y estructuras. En 1961, Papy (matemático belga) introdujo el uso de flechas para representar relaciones binarias en una lección demostrativa en la Conferencia Anual de AT(A)M3. Esta nueva representación dio origen a un nuevo y estimulante enfoque de algunos temas bastantes abstractos (Tahta, 2004). Papy redactó una serie de libros de texto sobre la introducción didáctica de temas relativos a conjuntos y estructuras que fue la base de otros muchos libros interesantes, desde un punto de vista matemático, pero didácticamente muy rígidos. Estas publicaciones provocaron que muchos países cayeran, según palabras de Castelnuovo, en el “torbellino conjuntista” o en palabras de Freudenthal, se “cayó en el conjunto a toda costa.” Estos cambios no buscaban acabar con las dificultades de comprensión que se presentaban en la educación matemática sino acortar la brecha entre la escuela secundaria y la Universidad (Castelnuovo, 1997).

1 Organización Europea de Cooperación Económica. 2 Por “matemática moderna” se entendió el movimiento de enseñanza que incluyó el enfoque conjuntista ‐estructuralista en la educación matemática de la escuela primaria y secundaria 3 Siglas de Association for Teaching (Aids) in Mathematics.

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Entre las principales características y consecuencias del movimiento hacia la matemática moderna se pueden contar los siguientes (Guzmán, 1993):

Se subrayaron las estructuras abstractas en diversas áreas, especialmente en el álgebra.

Se pretendió profundizar en el rigor lógico y en la comprensión, contraponiendo ésta a los aspectos operativos y manipulativos de la disciplina.

Lo anterior condujo al énfasis en la fundamentación a través de las nociones iniciales de la teoría de conjuntos y en álgebra, donde el rigor es fácilmente alcanzable.

Como consecuencia, sufrieron un gran detrimento la enseñanza de la geometría elemental y el desarrollo de la intuición espacial dado que estos resultan más difíciles de fundamentar rigurosamente.

Con respecto a las actividades fomentadas, la consecuencia natural de estos cambios fue el vaciamiento de la enseñanza de problemas interesantes (propios de la geometría elemental) y la sustitución de los mismos por ejercicios repetitivos (una misma idea expresada de muchas maneras destintas) muy cercanos a la mera tautología y reconocimiento de nombres (que es, en buena parte, lo que el álgebra puede ofrecer a este nivel elemental).

Lo anterior provocó que la matemática se alejara aún más de la realidad, dado que si era abstracta la geometría de Euclides, la teoría de conjuntos era aún más difícil de poder ser comprendida por los alumnos, no tanto en su fase inicial, pero si en el tratamiento de las estructuras numéricas , por ejemplo. La prioridad educativa se concentró en “satisfacer” a los pocos alumnos que tenían posibilidades de acceder a estudios superiores y la gran mayoría debió seguir los pasos a un mundo más desigual y abstracto (Keitel, 1997). El sistema de enseñanza de la matemática parecía concebido como si su función exclusiva fuera la preparación de futuros matemáticos y el desarrollo de habilidades y disposiciones para la población estudiantil en su conjunto. En otras palabras, se trató de una propuesta didáctica que de facto funcionaba como elitista ‐lo contrario del slogan de “una matemática para todos.”

En 1970, según Guzmán (1993), se comenzó a percibir que los cambios propuestos no daban los resultados esperados y recién en 1980 hubo un reconocimiento general de que se había exagerado considerablemente en las tendencias hacia la “matemática moderna”, en lo que respecta al énfasis puesto en las estructuras abstractas de la matemática. Era fundamental revertir la situación en que se encontraba la enseñanza de la matemática. Para Guzmán (1993) era necesario cuidar y cultivar la intuición en general, la manipulación operativa del espacio y de los mismos símbolos. Se tenía que empezar a recuperar la comprensión sobre lo que se hacía, pero por supuesto, sin permitir que ese esfuerzo por entender trasladara a un segundo plano los contenidos intuitivos de la mente en su acercamiento a los objetos matemáticos. No es cierto que lo que era bueno para la fundamentación, dentro de la ciencia matemática, sea considerado también bueno para la transmisión de conocimientos. Para él, la formalización rigurosa no debía abordarse en las experiencias iniciales. Las consecuencias de la corriente de la matemática moderna fueron malas en general, pero resultaron especialmente nefastas para el desarrollo del pensamiento geométrico de los alumnos. Aunque inicialmente las modificaciones impuestas por la misma se planteaban para la enseñanza secundaria, los cambios poco a poco fueron abarcando todos los niveles del sistema educativo. Guzmán expresa que dado que la geometría a nivel elemental es difícil de formalizar adecuadamente se dejó ir por el mismo “agujero” el pensamiento geométrico, la intuición espacial y la fuente más importante de verdaderos problemas y resultados interesantes abordables con un número pequeño de herramientas fácilmente asimilables (Guzmán, 1993).

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En la década de los años sesenta, Holanda observó al movimiento de la Matemática Moderna con reticencia. Esta actitud crítica fue el impulso inicial del movimiento de reforma que dio origen, en 1968, al proyecto Wiskobas (iniciado por Wijdeveld y Goffree). Este proyecto fue llevado a cabo por un grupo conformado por educadores en matemática del nivel primario y secundario4 bajo la dirección de Hans Freudenthal. Ellos trabajaban en el departamento conocido como IOWO, (Instituto para el Desarrollo de la Educación Matemática) en la Universidad estatal de Utrecht. Este proyecto se impuso entre 1970 y 1977, desterrando de las escuelas los libros de texto basados en la Matemática Moderna. El mismo constituyó un proyecto curricular para la enseñanza elemental de las matemáticas, con el objetivo de innovar la educación de esta disciplina a nivel nacional y mediante la formación de profesores en ejercicio como motores del cambio.

El enfoque actual de la llamada Educación Matemática Realista5 fue determinado mayormente por las ideas de Freudenthal acerca de las matemáticas, su aprendizaje y su enseñanza (Heuvel‐Panhuizen, 2002). Las investigaciones que se continuaron llevando a cabo en el IOWO se focalizaron en el “desarrollo educativo en consulta con el educador.” Esto se refiere al enfoque de innovación basado en la incorporación al desarrollo del currículum (antes y durante la carrera docente) de investigaciones educativas, y de conversaciones continuas con las escuelas. El diseño y la discusión de ejemplos inspiradores (prototipos o ejemplos “paradigmáticos,” usando un termino que ocupa un lugar central en la teoría de Freudenthal, 1991) formó el corazón de la estrategia de innovación. Los prototipos que fueron desarrollados por el IOWO sirvieron como fuente de inspiración a los autores de libros de texto. Esto dio lugar a cuatro series de libros de texto en los cuales estas nuevas ideas fueron tomando forma concreta (De Jong, 1986). Posteriormente, el IOWO fue cerrado y las actividades de investigación se continuaron realizando en el Grupo de Investigación sobre la Educación Matemática y Centro Educacional de Computación (OW & OC), que en 1992 fue renombrado como Instituto Freudenthal en honor a su fundador (Gravemeijer, 1994).

El enfoque tecnológico (que nació del resultado del proyecto OSM6 en Rotterdam) en la educación impulsa que se incluya una descripción completa de las metas educacionales en términos de objetivos instruccionales. Sin embargo, en la filosofía basada en los aportes de Freudenthal, los objetivos instruccionales no son lo más importante; la finalidad principal es establecer una cierta forma de práctica educacional. El énfasis está colocado en el proceso (de diseño curricular) más que en el producto (conjunto de saberes a adquirir). El tener que alcanzar metas pasó a ser menos importante que la manera en que dichas metas son alcanzadas. Más aun, se aspiró a objetivos más abstractos y globales referidos, por ejemplo, al desarrollo de una “actitud matemática”. Freudenthal (1980: 35‐38) entiende que el término educación encierra tanto el logro de los objetivos de la instrucción formal como el desarrollo de actitudes de toda la clase: morales, sociales, emocionales, religiosas y cognitivas, todo lo cual hará del ser humano un hombre culto, formado, que es uno de los objetivos más relevantes de la educación matemática realista.

Estos objetivos no se ajustaban al enfoque instruccional tecnológico propuesto por Gagné y Briggs (1974) y Bloom (1976) para la educación matemática. Es decir, las estrategias de diseño instruccional no parecían aplicables a este tipo de educación matemática. Esta lucha entre la instrucción tecnológica y esta filosofía educacional que no se le correspondía, fue la

4 El proyecto para secundaria fue posterior y se conoce como WISKIVON y está a cargo de I. De Lange y A. Treffers 5 Gravemeijer aclara que el término “realista” conectado al enfoque de los Países Bajos no implica que no se haya trabajado con similares enfoques en otra parte del mundo. Cita como ejemplos el trabajo de Kamii (1993) y Whitney (1988). 6 OSM son las siglas de Education and Social Environment.

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que inició la búsqueda de una alternativa para el enfoque tecnológico del desarrollo curricular en la década del setenta (Gravemeijer, 1994).

Nuestra sociedad tecnológica demanda que los ciudadanos aprendan a tratar con conceptos abstractos y relaciones formales. Según Sierpinska y Lerman (1996), Streefland (1997) y Schoenfeld (1994), es importante guiar a los alumnos en las estrategias requeridas de simbolización, modelado, abstracción, formalización y generalización para capacitarlos a participar como miembros competentes de su comunidad y para que puedan hacer frente a los elementos claves dominantes en la matematización7 del mundo (Keijzer, 2004). De estas necesidades sociales, surge que la psicología educativa se haya focalizado fuertemente en los procesos cognitivos y en las estrategias de resolución de problemas (Greeno, Collins y Resnick, 1996; Keijzer, 2004). Como sugiere Alsina citando a De Lange (2000: 1): se debería “prestar especial atención al desarrollo de grandes competencias o habilidades como son el pensar matemáticamente, saber argumentar, saber representar y comunicar, saber resolver, saber usar técnicas matemáticas e instrumentos y saber modelizar. Aprender a modelizar es saber estructurar el contexto, matematizar y reinterpretar los resultados de esta matematización, revisar el modelo, modificarlo, etc.”

En 1993, Guzmán escribe que ya era tiempo de que se reaccionara al abandono injustificado de la geometría intuitiva en nuestros programas del que fue culpable la corriente denominada “Matemática Moderna.” Él consideraba una necesidad ineludible, desde un punto de vista didáctico, científico e histórico, volver a recuperar el contenido espacial e intuitivo en toda la matemática, no ya sólo en lo que se refiere a la geometría sino en un aspecto más general. Se había “perdido el cultivo de aquellas porciones de la matemática que tratan de estimular la capacidad de los seres humanos para explorar racionalmente el espacio físico en el que viven, la figura, la forma física” (Guzmán, 1993: 83).

En relación a lo anterior, debemos destacar los trabajos influyentes de los esposos holandeses Dina y Pierre van Hiele acerca de la enseñaza de la geometría. En sus clases como profesores de enseñaza secundaria, ellos observaron que, a pesar de explicar temas de geometría numerosas veces y de manera distintas a sus alumnos, los mismos no los entendían. Además comprobaron que todos los años los alumnos presentaban los mismos conflictos; en ocasiones los alumnos no sabían seguir el proceso de resolución de un ejercicio y en otros casos, no entendían lo que el profesor les pedía. A partir de dichas observaciones, los van Hiele diseñaron lo que hoy se conoce como “el modelo de razonamiento geométrico de van Hiele” (Jaime, 1994). Ambos presentaron sus trabajos en sus respectivas tesis doctorales en 1957, bajo la dirección de Freudenthal, mientras Pierre fue el diseñador teórico del modelo, su esposa desarrolló una aplicación práctica de éste en la enseñanza de la geometría. En 1959 se publica el artículo ʺLa pensée de lʹenfant et la geométrieʺ en el Bulletin de lʹ A.P.M.E.P.8, que representa la primera exposición pública a nivel internacional del modelo de van Hiele. A pesar de los esfuerzos de Freudenthal y de los van Hiele, el modelo no logró captar la atención del mundo occidental. Mientras tanto, este artículo resultó de gran interés para los educadores soviéticos, quienes se hallaban inmersos en un proyecto de reforma curricular. Tras unos años de intensas investigaciones y experimentaciones, se incorpora el modelo de van Hiele como base teórica de la elaboración del nuevo currículum de enseñanza de la geometría en la U.R.S.S., cuya implantación definitiva se produce en 1964. Lo increíble de la historia es que hasta 1974 la comunidad educativa de los países occidentales, con excepción de Holanda, siguió ignorando el modelo de van Hiele hasta que

7 Para Gravemeijer, matematizar significa literalmente hacer matemática. En este contexto más matemática puede relacionarse con las características de la matemática misma: generalidad, certeza, exactitud y concisión. 8 Revista de la Asociación Francesa de Profesores de Matemáticas de la Enseñanza Pública.

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Wirszup dio una conferencia en la reunión anual del N.C.T.M.9 y publicó en 1976 un artículo (Wirszup, 1976) con un contenido similar. Wirszup hizo una descripción del currículum soviético y del modelo de van Hiele y alertó a los profesores de su país ante el hecho de que el currículum de geometría soviético era más eficaz dado que “los alumnos soviéticos aprenden antes, más y mejor que en EE.UU.” (Guillén, Gutiérrez, Jaime y Cáceres; 1992: 5). Actualmente, el interés por este modelo, tanto desde el punto de vista de la investigación educativa como del de la práctica docente, ha crecido en tal envergadura, que casi todas las investigaciones en geometría lo tienen en cuenta (Jaime, 1994).

1.2 ¿En qué consiste la EMR?

Hace más de treinta años que la concepción de la matemática como actividad humana es la base de la educación realista holandesa de las matemáticas (Freudenthal, 1971, 1973 y 1991; Treffers, 1987; De Lange, 1987; Gravemeijer y Terwel, 2000). En dicha concepción la matematización fue establecida como una importante actividad de los educandos (Gravemeijer, 1994; De Corte, Greer y Verschaffel, 1996; Gravemeijer, 2001).

La EMR es un enfoque en el cual se utilizan situaciones del mundo real o problemas contextuales como un punto inicial para aprender matemática. Estas situaciones significativas, al tiempo, son matematizadas para formar relaciones más formales y estructuras abstractas (Heuvel‐Panhuizen, 1996) (ver punto 1.4.3). Al organizar un problema y tratar de identificar los aspectos matemáticos, descubriendo las regularidades y las relaciones con otros problemas ya trabajados, los alumnos hacen uso de lo que Treffers (1987) denomina “matematización horizontal”. Posteriormente se utiliza la “matematización vertical” para desarrollar conceptos matemáticos por medio del uso de modelos (ver punto 1.4.3) y mediante la participación en las discusiones de la clase completa10 (ver punto 1.4.5).

La EMR se apoya en dos pilares fundamentales: el uso de modelos, mediadores entre lo abstracto y lo concreto, y la interacción en el aula entre los alumnos y entre el docente con los alumnos. Esta interacción, que debe ser intensa, permitirá a los docentes construir sus clases teniendo en cuenta las producciones de los alumnos (Fauzan, Plomp y Slettenhaar; 2002).

Otra idea clave de esta corriente es que a los alumnos se les debería dar la oportunidad de reinventar las matemáticas bajo la guía de un adulto en lugar de intentar trasmitirles una matemática pre‐construida. En otras palabras, se trata de crear oportunidades para que los alumnos puedan abocarse a actividades similares a la de los matemáticos; a estructurar contextos ricos que inviten a ser organizados por medio de herramientas matemáticas. (Struik, 1987; De Corte, Greer Y Verschaffel, 1996). Freudenthal reconoció que la humanidad había desarrollado a la matemática para resolver todo tipo de problemas prácticos. Así mismo sostenía que los alumnos deberían ser guiados para poder recorrer un proceso similar al que conduciría a la matemática formal que hoy conocemos ‐proceso muy largo en el tiempo que se reduciría a algunos años en la escuela‐, donde en algunos casos perdieron muchas de las relaciones obvias con la vida cotidiana (Struik, 1987; De Corte, Greer Y Verschaffel, 1996).

9 Siglas en inglés de Asociación Nacional de Profesores de Matemáticas de EE.UU. 10 Freudenthal no usaría el término “concepto” en la oración anterior, sino el de “objeto mental”. Para él, existe una creciente distancia entre el “concepto de X” y “X” (por ejemplo entre el concepto de número y número o el concepto de triángulo y el triángulo, etc.). El “concepto de X” parece significar cómo uno concibe al objeto X en una determinada perspectiva, por ejemplo, por intuición, inspección, reflexión, etc. La cognición no comienza con conceptos, más bien al revés: los conceptos son el resultado de procesos cognitivos. La enseñanza del concepto de X no es la manera apropiada para enseñar X. Para él y otros investigadores, el objetivo final de la enseñanza y aprendizaje es la construcción o constitución de objetos mentales, en donde la distancia entre los conceptos y los objetos mentales dependerá del tema, pero aún más del individuo y su situación particular (para ampliar el tema ver Freudenthal, 1991: 18‐19).

11


Freudenthal enfatizó que la mejor forma de aprender y enseñar matemática es en grupos pequeños y heterogéneos en lo que hace a las habilidades de los alumnos. Trabajando de este modo, los alumnos, guiados por el docente, organizan situaciones problemáticas y reflexionan acerca de su actividad matematizadora. De esta manera se pueden identificar en las producciones libres de los alumnos diferentes niveles de matematización, dado que es un grupo heterogéneo, que marcarán el camino a seguir hacia un nivel mayor de abreviación y esquematización a través de un proceso denominado matematización progresiva (ver figura 1). La actividad matematizadora se traduce didácticamente en reinvención guiada11 (desde el punto de vista del alumno) que, desde el punto de vista del observador, se denomina matematización progresiva (Freudenthal, 1991). El desarrollo de modelos favorece la matematización vertical que se hace presente a través de la reinvención guiada, en donde los alumnos pueden experimentar un proceso similar al proceso por el cual las matemáticas fueron inventadas históricamente. Esto se logra mediante trayectorias de enseñanza‐aprendizaje en donde las estrategias de enseñanza necesitan ser adecuadamente elaboradas en base a los desarrollos de los alumnos (las construcciones y producciones espontáneas de los alumnos y la propia historia de la matemática son dos fuentes importantes de las que se obtiene material para guiar las reinvenciones de los alumnos) para que finalmente los alumnos puedan ser estimulados a utilizar sus propias estrategias (Zulkardi, 2005).

Figura 1: Ejemplo de una producción libre de una alumna al trabajar el contexto del colectivo

(Bressan y otros, 2005)

Inicialmente la EMR más que ser una teoría clara y sencilla de educación matemática, consistió en ideas básicas divididas entre el cómo y el qué de la enseñanza matemática. La acumulación y revisión repetida de estas ideas, en los últimos 35 años, han dado a lugar a lo que ahora conocemos por EMR. Donde el desarrollo de la EMR es considerado aún hoy ‐ a pesar del tiempo transcurrido‐ “un trabajo en construcción” (Heuvel–Panhuizen; 2002).

Gravemeijer (2000) sostiene que Freudenthal no ha desarrollado una teoría didáctica completa, sino que se ha detenido especialmente en el proceso de matematización, es decir en describir el paso del conocimiento informal al matemático (proceso que resulta laborioso de seguir para la mayoría de los docentes en razón de su escaso conocimiento de la disciplina y de los alcances de los distintos contextos y modelos que lo facilitan), pero muchos de los pensamientos que hoy son de dominio público a través de documentos curriculares, textos sobre la enseñanza de las matemáticas y entre académicos y docentes de matemática encuentran sus raíces en las ideas por él desarrolladas.

11 Freudenthal usa el término de “reinvención guiada” para expresar el hecho del rol importante de los docentes y libros de textos escolares en el proceso de aprendizaje.

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1.3. Labor del Instituto Freudenthal

El Instituto Freudenthal tiene la doble tarea de fomentar mejoras en la enseñanza de la matemática en las escuelas holandesas y continuar realizando investigaciones y proyectos de diseño curricular en el campo de la didáctica de la matemática. Es decir, por un lado, el Instituto actúa como centro nacional experto para la educación matemática desempeñando un papel central en la innovación educativa en el área de matemática en las escuelas ‐al desarrollar, por ejemplo, materiales de instrucción, teorías y planes de estudios que se gestan conjuntamente entre profesores, educadores de profesores, autores de libros de texto, investigadores, etc. a través de reuniones, conferencias, publicaciones e información en Internet. Por otra parte el Instituto es también un instituto de investigación con base en la Universidad de Utrecht. De esta manera se investiga para que la teoría surja del trabajo en la práctica y, a su vez, se mejore la práctica a partir de nuevas ideas y materiales curriculares.

La mayoría de las investigaciones llevadas a cabo por el Instituto Freudenthal tienen el carácter de investigaciones de diseño o investigación para el desarrollo. El objetivo principal de este tipo de investigaciones es desarrollar una teoría de enseñanza de dominio específico para la educación realista de las matemáticas (Drijvers, 2004). Los investigadores buscan desarrollar secuencias instruccionales prototípicas que puedan ser utilizadas por los autores de los libros de texto. El investigador puede hacer uso de todo su conocimiento del dominio específico concerniente a la educación matemática: experiencias de clases, conocimientos sobre libros de texto, actividades educacionales, etc. A modo de “handy man” o “bricoleur” (Gravemeijer, 1994), el investigador pone juntas las piezas de conocimiento y las sugerencias para las actividades de tal manera que se encastren según su propósito, que en este caso es desarrollar una secuencia instruccional que se ajuste a la filosofía educacional de la EMR. Esta manera de desarrollar prototipos puede tomar la forma de una actividad de investigación denominada “investigación para el desarrollo”12 Gravemeijer (1994).

¿Qué significa investigar para el desarrollo? Para Freudenthal (1991: 161) es “experimentar el proceso cíclico de desarrollo e investigación tan conscientemente, reportándolo tan cándidamente que éste se justifique por sí mismo, y que esta experiencia pueda ser transmitida a otros para convertirse en su propia experiencia”

El núcleo de la investigación de desarrollo se encuentra en la alternancia cíclica entre “experimentos pensados” y “experimentos enseñados.” En el primero, el investigador intenta anticipar o prever cómo una actividad se desarrollará en la clase. Luego el investigador pondrá a prueba el experimento pensado, en un experimento enseñado. Mientras tanto, buscará evidencias que justifiquen refutarla o confirmarla, sin dejar de prestar atención a nuevas posibilidades que se le presenten. Posteriormente, los resultados del experimento enseñado alimentarán al siguiente experimento pensado, el cual será seguido por otro experimento enseñado y así sucesivamente (ver figura 2). Para poder cumplir con lo anterior, el investigador debe tener en mente un proceso de enseñanza de larga duración. Es decir, su objetivo no debe ser resolver un problema inmediato sino que debe impulsar un proceso iterativo y acumulativo de diseño, experimentación, reflexión y rediseño que resulte de una teoría local de instrucción (Gravemeijer, 1997). Como ejemplos podemos considerar: la línea numérica, el contexto del colectivo, etc. (ver punto 4.3.1).

Existe una relación reflexiva entre estos experimentos enseñados y pensados (teóricos y prácticos) en el micro‐nivel, y la teoría de instrucción local en la que estos experimentos se enmarcan. En este sentido es que se puede decir que los ciclos de enseñanza matemática sirven al desarrollo continuo de las teorías locales de instrucción. Dado que los experimentos enseñados subsecuentes son llevados a cabo con los mismos alumnos, cada experimento de

12 Traducción de “developmental research”.

13


enseñanza comienza con el residuo de los experimentos de enseñanza precedentes (Gravemeijer, 1997)

Experimentos de ins de ins de insde instrucción

Experimentostrucción

Experimentostrucción

Experimentos trucción

Experimentos pensados

Experimentospensados


Experimentos pensados


Teoría de instrucción local conjeturada

Figura 2: Reflexión entre la teoría y la experimentación (Gravemeijer, 1997: 23)

La producción de un solo experimento de diseño es una teoría local de enseñanza (de un tópico específico). Una colección de teorías locales de enseñaza forma la base para una teoría más amplia de la enseñanza de dominio específico. La teoría de dominio específico alternadamente se retroalimenta en el desarrollo de las teorías locales de enseñaza. La teoría global o teoría de dominio específico es centralizada en muchos prototipos que representan teorías locales (por ejemplo, la teoría local de instrucción de fracciones, adición y sustracción, algoritmos escritos, matrices, exponenciales). Es decir, la EMR es una constelación de una teoría global (cuyos pilares son: matematización progresiva, reinvención guiada, modelos de/para, niveles, interacción, reflexión e integración de los ejes curriculares) y un conjunto de teorías locales (para la enseñanza del álgebra: Streefland y van Ameron; de las fracciones: Streefland; de las razones y proporciones: Broekman, van der Valk y Wijers; geometría De Moor, etc.). Estas teorías son dinámicas, abiertas al cambio. Nuevas demandas sociales, nuevos desarrollos tecnológicos o una atención a las necesidades de un sub‐grupo específico de la población estudiantil (ej. las minorías étnicas), crean la necesidad de ajustes los cuales serán llevados a cabo por medio de la investigación de desarrollo (Drijvers, 2004).

1.4 Principios en que se basa la EMR

En su etapa inicial (década del 70), el diseño curricular desde la perspectiva de la EMR se sustentó en las siguientes características:

El uso de contextos como vehículos para el crecimiento entre lo concreto y lo abstracto;

El uso de modelos como la “columna vertebral” del progreso;

El uso de las construcciones y producciones libres o abiertas de los alumnos en los procesos de enseñanza/aprendizaje;

El carácter interactivo de los procesos de enseñanza/aprendizaje

El entrelazado de los varios ejes en el currículo de matemática

De Lange (1996) y Fauzen (2002) remarcan que estas características resultaron de una combinación de los tres niveles de van Hiele, la fenomenología didáctica de Freudenthal y la matematización progresiva de Treffers.

14


De acuerdo a la teoría de niveles de van Hiele (citado en De Lange, 1996), el proceso de aprendizaje procede a través de tres niveles del pensamiento. Un alumno alcanzará:

el primer nivel del pensamiento cuando, a través de la experimentación, llegue a establecer características fundamentales del objeto de estudio (sin relacionarlas entre si). Por ejemplo: en este nivel el alumno llega a establecer que un triángulo posee tres lados, que existen distintos tipos de triángulos según la longitud de los lados o considerando la amplitud de los ángulos, etc.

el segundo nivel, tan pronto como aprenda a establecer interrelaciones entre esas características (en este nivel puede encontrar que no existen triángulos equiláteros rectángulos, o que todo triángulo equilátero es equiángulo, o que existe una relación entre los lados y los ángulos de un triángulo, por ejemplo); y

el tercer nivel, cuando el alumno sea capaz de justificar esas relaciones o interrerelaciones a partir de sus propiedades y del uso del método matemático (Es capaz de demostrar que si un triángulo es equilátero entonces es equiángulo, o que en un triángulo al ángulo mayor le corresponde el lado mayor o la llamada propiedad triangular, etc.)

Una diferencia importante entre la instrucción tradicional y la EMR es que, mientras en la primera se comienza a trabajar desde el segundo o tercer nivel, la EMR empieza desde el primero (De Lange, 1996). Para De Lange, y en línea con las ideas de Freudenthal (1983), se debería comenzar con una exploración fenomenológica de los aspectos reales de los conceptos13 y estructuras matemáticas en el primer nivel y continuar lentamente desde allí hasta las operaciones formales en el segundo nivel y entonces, recién avanzar con el tercero (lo que desde la EMR se denomina matematización progresiva).

Treffers (en De Lange, 1996) indica que van Hiele, tanto en su trabajo teórico como en los resultados de los libros de textos, no responde completamente a las siguientes dos cuestiones:

¿Cómo debería ser concretizada la exploración fenomenológica?

¿Qué acciones didácticas son necesarias para ayudar a los alumnos a pasar de un cierto nivel al siguiente?

De Lange (1996) subraya que la didáctica fenomenológica de Freudenthal (1973, 1983) responde la primera de las dos cuestiones anteriores. Freudenthal propone usar la realidad como un punto de partida para la matematización de acuerdo a los tres niveles de van Hiele, dando así una primera idea para un marco de la teoría educacional. Para poder responder a la segunda cuestión fue necesario incluir los aportes de Treffers (1991).

Treffers indica que las relaciones entre los aspectos del aprendizaje y de la enseñanza de la EMR forman un patrón complejo de principios de aprendizaje‐enseñanza: (L‐1) el concepto de aprendizaje como reinvención, (I‐1) comenzar con una base de orientación concreta, (L‐2) la caracterización de los distintos niveles en el aprendizaje, (I‐2) la provisión de modelos que sirven de puente para el paso de un nivel al otro, (L‐3) el aspecto reflexivo de los procesos de aprendizaje, (I‐3) las producciones y construcciones libres o abiertas de los alumnos, (L‐4) el aprendizaje como una actividad social, (I‐4) la instrucción interactiva, (L‐5) el carácter estructural y esquemático del aprendizaje y (I‐5) el entrelazado de ejes de contenido de aprendizaje de la matemática.

La figura 3 muestra como algunos de los principios de la EMR están más conectados a la enseñanza y otros más al aprendizaje, y la distinción ya mencionada en el punto anterior entre una teoría global y una teoría local para diferentes dominios de contenidos.

13 Como ya se menciona en la referencia 9, Freudenthal habla de “objetos mentales” y no de conceptos.

15


Que

‐ Actividad humana significativa

‐ Matematización horizontal y verti

‐ Bajo y alto nivel de habilidades

Que

Cálculo con números enteros

Etc.

Figura 3: Diseño teóri

1.4.1 Principio de actividad

La filosofía educacional dnoción de Freudenthal de la mat(matematizar) el mundo que nos 1973, 1991).

Freudenthal (1971) explicorganización “es una actividad dtambién es una actividad de orealidad la cual tiene que ser orgde la realidad tienen que ser resnuevos o viejos, los vuestros oacuerdo a nuevas ideas, para coenfoque axiomático.” (413 ‐ 414)

Para Freudenthal el objetivcomo una actividad general que por lo tanto ʺmatematizarʺ involu

En la EMR matematizaFormalizar implica modelizar, si 14 Generalizar implica para Freudenthala EMR no se entiende como la aplicaplicar o transferir según su caractersituaciones reconociendo característicatipo. Al mismo tiempo el proceso dgeneralización toma forma de una (Gravemeijer, 1994:104). Por ejemplo, ude colectivos, estas flechas son tambiécontexto es desarrollado en el punto 4

16

Teoría general de la RME
Como
cal

Enseñanza Principio de la realidad

Principio de interconexión

Principio de reinvención

Aprendizaje Principio de la actividad

Principio de niveles

Principio de interacción

E

co

e lemrod

a e rrgaaniue lom

o cacra

r mb

l uacióístis sie acnan u.3.1

Teoría local de la RM
Como
Comprensión de los números como una base

Esquematización progresiva

Estrategia conectadas

Práctica productiva

Etc.

del enfoque de la EMR (Heuvel‐Panhuizen, 2002)

a EMR, como se expresara anteriormente, se basa en la ática como actividad humana cuya finalidad es organizar ea incluyendo a la propia matemática (Freudenthal: 1971,

que la matematización entendida como actividad de esolución de problemas, de búsqueda de problemas, pero nización de un tema. Esto puede ser un asunto de la zada de acuerdo a patrones matemáticos si los problemas ltos. También puede ser un tema matemático, resultados s de otros, los cuales tienen que estar organizados de prenderlos mejor, en un contexto más amplio o por un

es matematizar la realidad cotidiana. Freudenthal ve esto racteriza tanto a la matemática pura como a la aplicada y matematizar tanto la matemática como la realidad.

involucra principalmente generalizar14 y formalizar15. olizar, esquematizar y definir, y generalizar es entendido

n concepto distinto de transferir. Cuando se habla de generalizar en n de un procedimiento conocido a situaciones nuevas (esto sería ca de novedad para el alumno) sino que implica conectar varias milares que permiten que se las clasifique dentro de un determinado solución (abarcativo) puede ser estructurado y por lo tanto la tividad de organización, como una forma de matematización vez que los alumnos se han familiarizado con la flecha de paradas sadas en diferentes situaciones (ver El Colectivo; Brink, 1974). Este .2 del capítulo IV. El proceso de generalización es acompañado por


en un sentido reflexivo. Dado que para la EMR son centrales la reflexión y la justificación, el probar pierde importancia (Gravemeijer, 1994).

Para Freudenthal (en Gravemeijer y Doorman, 1999) la matematización es un proceso clave en la instrucción matemática por dos razones: primero, la matematización familiariza a los alumnos con un acercamiento matemático a las situaciones de la vida diaria. Gravemeijer (1994) se refiere con lo anterior a la actividad matemática de búsqueda de problemas, que implica una actitud matemática, comprender sabiendo las posibilidades y las limitaciones de un enfoque matemático, saber si la solución hallada es la apropiada y cuando no lo es. La segunda razón está relacionada a la idea de la reinvención. Freudenthal argumenta que el proceso por el cuál los matemáticos llegan a sus conclusiones es invertido en el enfoque axiomático de la instrucción. El se refiere a este fenómeno como “inversión anti‐didáctica”, la cual se debe a la falsa premisa de que el pensamiento matemático puede ser trasmitido directamente a los alumnos. El punto final en las matemáticas no debería ser punto inicial para la enseñanza de las matemáticas.

1.4.2 Principio de realidad

Desde la perspectiva de la EMR, aprender matemáticas significa hacer matemáticas, una “actividad mental reflexiva” (Freudenthal, 1991) en la que resolver problemas situados16 en contextos realistas, en el sentido de realizables o imaginables, es central a la tarea de matematización. Sin embargo, la palabra “realista”, no se refiere sólo a la conexión con el mundo real, sino que también se refiere a las situaciones problemáticas que son reales en la mente de los alumnos (Heuvel‐Panhuizen, 2001). El contexto de los problemas a ser presentados a los alumnos puede ser del mundo real, pero esto no es necesariamente siempre así (Zulkardi, 2005).

Según Heuvel‐Panhuizen (2002), la confusión que existe con la palabra “realista” se origina con la traducción del verbo “imaginar” que en holandés es “zich REALISEren”. El énfasis puesto en hacer algo real en la mente es lo que le da el nombre a la EMR. El mundo fantástico de los cuentos de hadas y el mundo formal de las matemáticas pueden ser contextos convenientes para un problema, mientras sean reales en la mente del alumno. Aunque inicialmente los contextos elegidos en los problemas corresponderán a una situación de la vida cotidiana, es necesario que posteriormente se desprendan de esta para así adquirir un carácter más general, o sea, para transformarse en modelos matemáticos.

1.4.3 Principio de niveles

Como ya hemos mencionado, las situaciones del mundo real o problemas contextuales sirven de punto de partida para aprender matemática. Con el tiempo, estas situaciones significativas son matematizadas para formar relaciones más formales y estructuras abstractas (proceso que en la EMR denominaron esquematización progresiva, desde el punto

una cierta formalización del lenguaje. Las marcas que representan los signos de la parada desaparecen y las flechas no son más interpretadas como eventos de la parada de los colectivos (Gravemeijer, 1994). 15 La formalización concierne al proceso de cambio desde el ʺlenguaje cotidianoʺ al lenguaje formal de las matemáticas. En el caso de los colectivos de la ciudad, primero el número de pasajeros fue representado en un lenguaje ordinario, y posteriormente se incluyen signos de las paradas del colectivo y una línea de colectivos o ʺcadena de colectivosʺ. El cambio es subsecuentemente esquematizado como un lenguaje de fecha “desnuda”. Una vez que los alumnos se familiarizaron con el signo igual, ellos están en posición para manejar un lenguaje formal en el cual ha desaparecido hasta la última referencia visible a los eventos o situaciones dinámicas. Ahora el lenguaje formal es también adecuado para la descripción de situaciones estáticas (Gravemeijer, 1994). 16 Los términos ʺsituadoʺ y ʺsituacionesʺ se usan en un sentido restringido, refiriendo al tipo de situaciones donde los alumnos desarrollan estrategias informales; como por ejemplo, situaciones que son personalmente significantes para los alumnos.

17


de vista del observador, y reinvención guiada, desde el punto de vista del alumno; Freudenthal, 1991). Lo anterior significa que los alumnos atraviesan distintos niveles de comprensión, desde un nivel de razonamiento matemático más informal a uno más formal. Este punto lo desarrollaremos con ejemplos concretos en el Capítulo IV. En el proceso anterior se distingue el uso de modelos como puentes de conexión entre los distintos niveles de comprensión. Para completar este principio de niveles, a su vez, se retomará la distinción entre matematización horizontal y vertical (Freudenthal, 1991 y Treffers, 1987).

1.4.3.1 Matematización horizontal y vertical

Dentro del proceso de matematización horizontal, los alumnos generalizan herramientas matemáticas, las cuales los ayudan a organizar y a solucionar una situación problemática presentada dentro de un contexto de la vida real. Identificar o describir la matemática específica que es relevante dentro de un contexto general, esquematizar, formular y visualizar un problema de diversas maneras, descubrir relaciones y regularidades, reconocer un aspecto isomorfo en diversos problemas son ejemplos de actividades de matematización horizontal. Para Treffers (1987) lo anterior implica convertir un problema contextual en un problema matemático.

La matematización vertical es el proceso de reorganización dentro del mismo sistema matemático. Representar una relación como fórmula, probar regularidades, mejorar, ajustar, combinar e integrar modelos, formular un modelo matemático y generalizar son ejemplos de las actividades de matematización vertical. Por esta razón se dice que la matemática vertical es tomar una situación matemática y elevarla a un nivel más alto de abstracción. Al proponer en la clase problemas que admitan soluciones en diferentes niveles matemáticos, se puede inducir a los alumnos a realizar este tipo de matematización vertical (Freudenthal, 1991; Gravemeijer y Terwel, 2000).

Freudenthal (1991) explica que la matematización horizontal implica ir del mundo de la vida al mundo de los símbolos, mientras que la matematización vertical significa moverse dentro del mundo de los símbolos matemáticos. Él agrega a su vez que la diferencia entre estos dos “mundos” no es siempre clara, sus fronteras están vagamente marcadas. Lo cual provoca una dificultad debido a que no es fácil determinar lo que uno comprende por realidad.

El contexto del autobús o colectivo de dos pisos (Brink, 1989) permite ejemplificar los dos tipos de matematización arriba mencionados. Se trata de una historia acerca de colectivos de dos pisos el cual se hace real en el aula mediante puestas en escena. La matematización horizontal se hará presente cuando los alumnos comiencen a trabajar los diagramas y dibujos del colectivo (modelos iniciales de este contexto) y, en particular, las posibles distribuciones de pasajeros en los dos pisos. Esto permite que en la instrucción en los grados iniciales se trabaje con dobles (por ejemplo, 14 pasajeros, 7 arriba y 7 abajo) y con las distintas maneras de estructurar un número dado. Por otro lado, estaremos transitando el proceso de matematización vertical cuando, después del uso frecuente de los diagramas del colectivo de doble piso, éste se descontextualiza y comienza a funcionar como modelo para argumentaciones lógicas acerca de las relaciones numéricas. (Gravemeijer, 1994). La figura 4 ilustra cómo al principio el relato está conectado al contexto del colectivo de dos pisos (a), después la ilustración se esquematiza de tal manera que sólo aparece el número de pasajeros de cada uno de los pisos del colectivo (b) y finalmente se llega a una expresión con números puros (c).

18


c

b a

Figura 4: el colectivo de dos pisos (obtenido de los libros Wis en Reken, Editorial Bekadidact)

Este contexto ayuda a trabajar la propiedad de la suma. Al trabajar con este contexto, los niños comprenden que un número de pasajeros puede ser organizado en un número de pasajeros que se ubican en el piso superior del colectivo, que denominaremos “x”, y un número de pasajeros que se queda en el piso inferior, que denominaremos “y”, pero que también puede ser posible el caso inverso. La propiedad conmutativa se hará visible cuando el contexto es interpretado como una adición que involucra a “x” e “y”. Es decir cuando el educando resuelve “x + y” por medio de “y + x”.

1.4.3.2 Los modelos para la EMR

Dentro de la EMR, los modelos son vistos como representaciones de situaciones problemáticas que necesariamente reflejan aspectos esenciales de conceptos y estructuras matemáticas que son relevantes para la situación problema, pero que pueden tener diferentes manifestaciones. Pueden servir como modelos los materiales, situaciones paradigmáticas, esquemas, diagramas, símbolos, etc. (Heuvel‐Panhuizen, 2003)

Como dicen Gravemeijer y Doorman (1999; citado en Cachafeiro, 2003), la enseñanza de la matemática debiera tender a superar la dicotomía entre el conocimiento formal e informal de manera que los alumnos vean al conocimiento que adquieren como parte de su propio conocimiento personal del que son responsables y es en este sentido que los modelos de la EMR son pensados.

En el punto 4.3.1 del Capítulo IV explicaremos el uso de varios modelos muy trabajados en la EMR, como por ejemplo: el collar (que es un material físico), el colectivo (que es una situación paradigmática) o la línea numérica abierta (que es un esquema notacional)17.

1.4.3.3 Los diferentes niveles de comprensión que puede atravesar un alumno

En la figura 5 se esquematizan, a la izquierda, los diferentes niveles de comprensión que pueden atravesar los alumnos. El primer nivel está asociado con actividades de la vida cotidiana, que no incluye trabajos escritos por parte de los alumnos. Los alumnos introducen su conocimiento y estrategias situacionales y las aplican en la situación. Por ejemplo, se puede considerar el contexto ya mencionado del colectivo de dos pisos. El segundo nivel se alcanza cuando la misma suma de pasajeros es presentada como una tarea escrita y la suma es modelada de forma escrita. Para resolver el problema, los alumnos crean un modelo de la situación: en este caso, por ejemplo, la figura 4b puede ser considerada como un modelo de lo que pasa en el colectivo de doble piso. En el contexto del colectivo igualmente aparece implícito el procedimiento de solución. En el tercer nivel, el foco de atención y reflexión pasa a ser las estrategias usadas desde un punto de vista matemático y se llega a un modelo más general y descontextualizado, el cual puede servir para organizar matemáticamente otras situaciones de suma transformándose en un modelo para. Al trabajar en este nivel, el alumno sólo trata con números (figura 4c), sin pensar en la situación al buscar, por ejemplo, como

17 Clasificación obtenida de Bressan, Zolkower y Gallego (2005). El colectivo, por ejemplo, es una situación paradigmática según la clasificación de estas autoras.

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hacer más sencilla la suma y resolverla casi automáticamente. Finalmente, el último nivel consiste en el algoritmo escrito con la forma estándar de la suma.

En el enfoque realista se busca que los alumnos construyan los modelos por ellos mismos, en interacción con sus pares y bajo la guía del docente, durante la resolución de problemas18 y que esos modelos sirvan como base para el desarrollo del conocimiento matemático formal. La noción de modelo incluye modelos situacionales y matemáticos19. Por ejemplo, la sustracción repetida puede ser vista como un modelo en la división larga.

Situaciones

Modelo de

Modelo para

Conocimiento formal

y en términos más generales

Situacional

Formal

General

Referencial

Figura 5: Los niveles de comprensión (Gravemeijer, 1994)

Los niveles de comprensión también pueden ser descritos en términos más generales, como muestra la parte derecha de la figura 5:

el nivel de la situación en donde el dominio específico, conocimiento situacional y estrategias son usadas dentro del contexto de la situación;

el nivel referencial en donde los modelos y estrategias refieren a la situación esquematizada en el problema. Este nivel incluye los modelos, descripciones, conceptos, procedimientos y estrategias que se refieren a situaciones concretas o paradigmáticas;

el nivel general en donde lo que domina la referencia al contexto es un foco matemático sobre las estrategias. Como resultado de la generalización, exploración y reflexión, el nivel anterior se desarrolla reflexionando acerca de las estrategias más dominantes y sus características;

el nivel formal en donde uno trabaja con procedimientos estándares y notación convencional. El nivel general funciona como el nivel referencial para el nivel formal, donde el nivel formal puede ser visto como una formalización del nivel general.

Un requerimiento importante para que los mismos funcionen de la manera aquí descripta, es que estén enraizados en situaciones concretas y que además sean lo suficientemente flexibles como para ser altamente utilizables en niveles más altos en las actividades matemáticas. Esto significa que los modelos proveerán a los alumnos de una base durante el proceso de matematización vertical, sin obstruir el camino de regreso a la fuente (Heuvel‐Panhuizen, 2002).

18 Aquí se puede señalar una importante diferencia de la EMR con el enfoque estructuralista, dado que para los segundos los manipulables (o material didáctico concreto) son presentados como modelos pre‐existentes. Aunque en un primer momento los modelos constituyeron un punto de partida concreto para el desarrollo de la matemática formal, no se hacen explícitas las conexiones con el conocimiento informal del alumno (Gravemeijer, 1994). 19 Otra diferencia con el enfoque estructuralista es que la palabra “modelo” se refiere a modelos concretos tales como manipulables y diagramas (Gravemeijer, 1994).

20


1.4.4 Principio de reinvención guiada

Ya hemos mencionado que las estrategias informales de los alumnos pueden frecuentemente ser interpretadas como anticipadoras de procedimientos más formales. En general, uno necesita encontrar problemas contextuales que brinden una variedad de estrategias de solución, lo cual permitirá a los alumnos comparar y explicar sus soluciones dando lugar a discusiones relacionadas sobre la conveniencia y eficacia de las mismas, prefiriendo una posible ruta de aprendizaje hacia un proceso de matematización progresiva (Gravemeijer y Doorman, 1999)

A su vez, el trabajo con problemas que son similares entre ellos ofrece la oportunidad para el proceso de reinvención. La resolución de un problema similar a otro ya antes realizado induce a este proceso. La descripción del problema da lugar al uso de un lenguaje informal, el cual evoluciona a un lenguaje más formal y estandarizado debido a un proceso de simplificación y formalización (Gravemeijer, 1994). En la figura 6 podemos ver el proceso de reinvención; proceso de aprendizaje por medio del cual el conocimiento matemático formal en sí mismo puede ser reconstruido.

lenguaje matemático

algoritmo

resolver

describir

conocimiento matemático formal

problemas contextuales

Figura 6: Representación esquemática del proceso de reinvención (Gravenmeijer, 1994: 94)

Para Freudenthal (1991: 9) el proceso de reinvención guiada es:

“un balance sutil entre la libertad de inventar y la fuerza de guiar”

Los alumnos deberían ser invitados a “producir” de forma concreta. De Lange (1995) enfatiza el hecho de que las “producciones libres” fuerzan a los alumnos a reflexionar sobre la trayectoria que ellos mismos han realizado en su proceso de aprendizaje. Los alumnos pueden, por ejemplo, ser invitados escribir un ensayo, hacer un experimento, recoger datos y a dibujar conclusiones, diseñar ejercicios que puedan ser utilizados en otra evaluación o a diseñar una prueba para otros compañeros en el aula (Zulkardi, 2005). Las producciones libres pueden también formar parte esencial en las evaluaciones. Este punto será ampliado en el Capítulo IV.

1.4.5 Principio de interacción

La interacción entre los alumnos y entre los alumnos y los profesores es un aspecto esencial en la didáctica realista (De Lange, 1996, Gravemeijer, 1994). La negociación explícita, la intervención, la discusión, la cooperación, y la evaluación son elementos esenciales en un proceso de aprendizaje constructivo en el cual los métodos informales del estudiante son

21


usados como una “palanca” para alcanzar los formales. En esta instrucción interactiva, los estudiantes son estimulados a explicar, justificar, convenir y discrepar, cuestionar alternativas y reflexionar.

Dentro de la RME, la enseñanza de la matemática es considerada una actividad social y, como ya hemos comentado, a los estudiantes debería dárseles la oportunidad de mostrar sus estrategias e invenciones a otros. Al escuchar y observar lo que otros han desarrollado y discutir las distintas maneras de resolver un problema, se les permite tomar algunas de esas ideas para mejorar naturalmente sus estrategias. Esta interacción entre ellos puede provocar que ellos reflexionen y así puedan alcanzar niveles más altos de comprensión.

Cuando en la RME nos referimos a “la clase completa”, no estamos diciendo que todos los estudiantes procedan colectivamente a resolver un problema, siguiendo la misma senda y alcanzando el mismo nivel de desarrollo al mismo tiempo. En la RME los chicos son considerados como individuos, cada uno sigue una senda de aprendizaje individual. Contrariamente a otros enfoques, en la RME se intenta mantener al grupo de alumnos juntos ‐no buscando separarlos en pequeños grupos de trabajo de acuerdo a sus habilidades‐ y adoptando problemas que puedan ser resueltos en los diferentes niveles de comprensión (Heuvel‐Panhuizen, 2002). Es más, la RME propone que lo mejor para posibilitar procesos de matematización progresiva/reinvención guiada es trabajar en clases heterogéneas, esto es, con grupos de alumnos que posean distinto nivel de habilidades (Freudenthal 1991).

1.4.6 Principio de interrelación o interconexión

La fuerte interrelación de los contenidos de varios ejes o unidades de las matemáticas es otro aspecto esencial de la EMR (De Lange, 1996; Gravemeijer, 1994). Esto implica que los ejes de contenidos de aprendizaje no pueden ser tratados como entidades separadas; el entrelazado de los contenidos de varios ejes de aprendizaje debe ser incluido en las situaciones problemáticas. Usualmente para resolver un problema uno necesita más que sólo estrategias propias del álgebra o de la geometría. El permitirle a un alumno desarrollar sus propias estrategias hace que mientras algunos resuelvan un problema de una manera geométrica, otros lo hagan de una forma aritmética. El mundo actual exige que un alumno pueda prepararse a resolver un problema de su entorno de maneras cada vez más ingeniosas. Para Freudenthal (1991) la interrelación entre ejes debe darse tan pronto, tanto tiempo y tan fuertemente como sea posible.

En el capítulo II se ha hecho hincapié en el origen de la Educación Matemática Realista, por qué Freudenthal y su grupo de investigación fueron críticos a la Matemática Moderna, los principios en los que se basa la EMR y los resultados que se han obtenido en líneas generales. Sin embargo, para poder complementar la comprensión que fundamenta la EMR en los Países Bajos, es necesario comentar las características del sistema educativo vigente en Holanda. Primeramente se hará una presentación general, de todos los niveles, y luego se comentará la enseñanza de la matemática en la escuela primaria holandesa. Esto ayudará a conocer mejor el ámbito en que se trabaja con el enfoque de la EMR.

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Capítulo II: El sistema educativo en Holanda

CAPÍTULO II

El sistema educativo en Holanda

2.1 Organización general del sistema educativo en Holanda

2.1.1 Educación obligatoria y gratuita

En los Países Bajos la educación es obligatoria para todos los niños cuyas edades están comprendidas entre los 5 y 17‐18 años, aunque según la edad se presentan diferencias en el número de horas obligatorias de asistencia. Para los chicos cuyas edades están comprendidas entre 5 y 16 años es obligatoria la jornada completa, mientras que a los 17‐18 años sólo es obligatoria la media jornada. Igualmente, como se verá más adelante, esto depende del tipo de educación secundaria.

La educación es gratuita desde los 4 y hasta los 16 años (momento en que finaliza el periodo de jornada completa obligatoria). Actualmente el porcentaje de participación de alumnos en la educación secundaria es de alrededor del 100% (Die, 2001) Igualmente las escuelas pueden pedir que los padres contribuyan con el coste de ciertas actividades ‐actividades deportivas no obligatorias, visitas, material lúdico, etc.‐ pero tales contribuciones son voluntarias y no pueden ser causa para impedir la admisión de un estudiante. Quedan exceptuadas las escuelas denominadas internacionales para la población de origen no holandés1. Cuando un alumno supera los 16 años (o concluye el 4 año de educación secundaria) pasa a pagar una matrícula obligatoria que determina el Ministerio. Es decir, los alumnos que sigan estudiando para poder ingresar a la universidad, luego de cumplir 18 años, o los alumnos que asisten a la escuela especial, entre otros, deben pagar un monto que se ajusta anualmente en base al índice de costo de vida. Por ejemplo, los honorarios por el año escolar 2004/2005 para un alumno con más de 16 años se fijó en 936 euros (que debe ser abonado en la misma institución a la que el alumno asiste) y en 1550 euros para un alumno que asiste a un nivel educativo más alto.

En Holanda aproximadamente el 70% de las chicas y el 63% de los chicos no han repetido nunca en los años de educación obligatoria.

2.1.2 Niveles educativos

2.1.2.1 Educación pre‐primaria (anterior a los 4 años)

El Países Bajos no está prevista una educación formal para los niños menores de 4 años (edad en la que pueden empezar la escuela primaria). Sin embargo, fuera del sistema de educación formal hay instalaciones espacialmente preparadas para el cuidado de los niños más pequeños. Dichos centros son también asequibles para los niños en edad escolar.

Todos los días, más de 300.000 niños utilizan dichas instalaciones en más de 3.500 centros distribuidos en todo el país2. Los costos son abonados por los padres, empleadores y el Estado (aunque últimamente los cambios en las políticas sociales han disminuido considerablemente las ayudas por parte de este último). Se ha convertido en una política de Estado el incrementar la disponibilidad de estos establecimientos y mejorar la calidad de los mismos, dado que permite que los padres se sientan seguros y puedan combinar la paternidad con su vida laboral.

1 Estas escuelas se rigen por las leyes de su país de procedencia y no es obligatoria la enseñanza de la lengua holandesa. 2 Datos correspondientes al 2004 obtenidos del Eurydice.

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Las siguientes opciones son las que actualmente están disponibles:

Guarderías infantiles de día para chicos entre 6 meses y 5 años (llamadas crèche), Niñeras, y Centro de cuidado elegido por el empleador.

Las Guarderías infantiles de día están abiertas de lunes a viernes desde las 8.00 a las 17.00, salvo algunas excepciones. Las mismas son un servicio carísimo. Generalmente hay dos personas tituladas por grupo de niños (el número de niños por grupo depende de la edad de los mismos). También hay guarderías infantiles de medio día. Aunque los horarios y días parecen ser amplios, no es así la posibilidad de que uno consiga una plaza de jornada completa por 8 horas o de media jornada, 4 horas. Al 4to – 6to mes de gestación, los padres comienzan a movilizarse para conseguir alguna plaza en una de estas guarderías, pero recién serán notificados de haber sido aceptados un mes antes de terminársele a la madre la licencia materna. Esto genera momentos de angustia, dado que las opciones cercanas al domicilio o lugar de trabajo son muy pocas.

Las niñeras cuidan a los niños en sus propias casas y suelen ser encontradas por medio de agencias especializadas. Cuidan a chicos de entre 6 semanas y 4 años, 8 horas por día y desde los 4 a los 12 años, hasta 5 horas por día.

Los lugares de cuidado financiados por el empleador (grandes empresas, universidades, etc.) son previstos para los hijos de los empleados. Ellos pueden ofrecer centros de cuidado internos al lugar del empleador o reservando lugares en guarderías infantiles subsidiadas y no subsidiadas. Los costos de estos servicios son igualmente altísimos o equivalentes a los que no cuentan con ésta facilidad.

Por supuesto también existe la posibilidad de que los niños sean cuidados por un amigo o pariente (aunque sólo ocurre en rarísimas excepciones).

Aunque la educación primaria recién es obligatoria a los 5 años, la razón principal para que los padres no esperen a esa edad se debe a la diferencia de costos entre la misma y la crèche (el 98% comienza la escuela primaria a los 4 años9). Esta última tiene costos altísimos (más de 1.100 euros la jornada completa de 8 horas por 4 días). Lo anterior motiva a que sea muy habitual que los padres opten por trabajar 4 días a la semana c/u y así sólo necesiten pagar tres jornadas en la crèche. Es muy difícil y carísimo conseguir cubrir las 5 jornadas completas, puesto que, ante la falta de vacantes, se considera que el padre o la madre deben hacerse cargo de sus hijos por uno o dos días. Este sistema funciona porque la dificultad por conseguir una vacante y los costos son tenidos en cuenta por los empleadores y el personal intenta adaptarse de manera de conseguir que todos puedan cuidar a sus hijos, sin dejar de trabajar para ello. Muchas mujeres trabajan 3 jornadas completas o 5 medias jornadas hasta que los chicos entren a lo escuela básica cuando un matrimonio quiere tener más de un hijo. Dado que tampoco uno puede conseguir fácilmente que su hijo se quede más de 8 horas por día en la crèche, nadie puede obligar al empleado a trabajar después de su horario (para terminar de hacer alguna tarea antes de volver a su casa o trabajar horas extras). Se sabe que es responsabilidad del padre ir a buscar a su hijo y que tampoco podrá dejárselo a otra persona. La madre y el padre comparten las responsabilidades y obligaciones. Cuando un niño se enferma, su madre o padre deben turnarse para cuidarlo y pedirse las vacaciones necesarias cuando las licencias no sean suficientes.

En los Países Bajos no existe, salvo en las poblaciones de inmigrantes, la idea de la “abuela/o” que nosotros conocemos en Argentina y en América Latina. Los abuelos cumplen un rol muy distante y no suelen encargarse del cuidado de sus nietos (salvo situaciones especiales). Ellos tienen su propia vida y sus actividades personales: viajes, aprender nuevos idiomas, hacer trabajos sociales, hacer deporte, etc. Es por eso que las familias tipo están formadas por el

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matrimonio y los hijos de ellos hasta que cumplan la edad para independizarse (cerca de los 18–20 años). El gobierno cuenta con propiedades que permiten que los jóvenes consigan un lugar donde vivir y se independicen de los padres sin necesidad de formar una familia.

En los Países Bajos, tendencia que es común en toda Europa Occidental, la edad de concepción del primer hijo supera los 27 años (salvo en poblaciones inmigrantes). El Estado tiene una fuerte política de concepción responsable y existen muchos planes para evitar embarazos no queridos (en las escuelas se enseña educación sexual obligatoriamente desde los 6 años, la obra social cubre los costos de los métodos anticonceptivos, etc.) y la sociedad impulsa a los jóvenes a que no se apuren en tomar una decisión que implicará grandes sacrificios de la pareja. Un ejemplo claro de lo mencionado, es que es prácticamente imposible ver a una adolescente o joven mujer embarazada (salvo en grupos étnicos minoritarios).

En junio del año 2000, el Ministro de Educación, Cultura y Ciencia, el Ministro de Salud, Bienestar Social y Deporte y el Ministerio de políticas urbanas y de integración de minorías publicaron una carta sobre las políticas en la educación preescolar (VVE). En dicha carta brindan una idea general sobre las políticas del gobierno y listan medidas concretas a trabajarse a futuro. Una de esas medidas propone empezar a guiar a los niños que están en situación de riesgo, cuyas edades estén comprendidas entre los 2 y 5 años, y que por dicha causa en un futuro tendrán una desventaja educativa. En Holanda el 10% de su población es de origen extranjero. Se están revirtiendo el sistema de escuelas especiales para chicos de padres no holandeses dado que se demostró que este tipo de políticas no favorece la integración social, sino todo lo contrario. En estas escuelas los chicos recibían una instrucción en su lengua materna, además de cumplir un horario en donde se hablaba holandés.

2.1.2.2 Educación primaria – Basisonderwijs (4 – 12 años)

Las escuelas primarias, denominada Basisonderwijs (figura 7), están divididas en 8 grados. Dado que para entrar al grado 1 debe tener 4 años en los Países Bajos, existe un desfasaje de dos años con respecto a nuestra notación (ver tabla 1).

Tabla 1 Estructura de la Escuela Primaria Holandesa Edad 4/5 5/6 6/7 7/8 8/9 9/10 10/11 11/12 Año del grupo ‐ Argentina I I 1 2 3 4 5 6 Año del grupo ‐ Holanda 1 2 3 4 5 6 7 8

Dichas escuelas están autorizadas a incorporar al sistema a los chicos con más de 3 años y

10 meses, aunque los padres no están obligados a enviarlos hasta los 5 años y un mes. A partir de ese momento el Estado, a través de la intervención de un juez de menores, comienza a multar a los padres con sumas considerables de dinero y en casos extremos puede solicitar la prisión de los responsables.

La escuela irá determinando la manera en que los chicos son incorporados al aula luego de cumplida la edad mínima (que depende del número de niños a incorporarse por mes). Por ejemplo, si en el mes de noviembre hay 5 chicos con pedido de incorporación, la dirección de la escuela puede determinar que vayan entrando sólo dos en noviembre para no alterar el normal funcionamiento del aula y después dos en diciembre y así. Los chicos no se incorporan todos juntos el primer día de clases, porque intentan que los chicos se vayan adaptando en varias semanas. El paso entre la crèche y la escuela es paulatino (al principio el chico va sólo 2 horas a la escuela dos veces a la semana). De esta manera cada chico que ingresa ve que el grupo tiene normas que debe cumplir y la docente no debe enseñarle a todos, todo. El resto del grupo va guiando al nuevo ingresante.

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(Enseñaza especial)

(A) (Enseñaza científica)

(Alta Enseñaza profesional) (B)

(C) (Especialización)

(D)

(Enseñaza profesional) (E)

(Formación básica profesional) (F)

(G) (Enseñaza asistencial)

Figura 7: Sistema educativo en los Países Bajos.


A partir de los 4 años, los niños deben asistir a la educación común de base (BAO), a la educación primaria especial (SBAO) o a la educación especial (SO). En el 2001/2 aproximadamente un 95% de alumnos fue a la BAO, un 3.2% fue a la SBAO y un 2% a la SO3 (figura 8).

El horario escolar para las materias exigidas en el currículum por Ley no puede exceder, sin contar los descansos, las 5,5 horas de clases diarias. Pero el horario escolar total depende del número de actividades extras que tengan incluidas en el plan de cada escuela.

El Ministerio de Educación, Cultura y Ciencia abona anualmente por cada alumno lo siguiente a cada escuela: si asiste a la (BAO) abona 4.000 euros, 8.800 euros si asiste a la (SBAO) y 15.500 euros por un alumno de la (SO)11. Esos montos son dados a las escuelas indistintamente si son públicas o privadas.

Sistema educativo en los Países Bajos

Figura 8: estructura del sistema de educación. El tamaño de cada bloque representa el número de estudiantes por tipo de educación.

Los chicos además pueden ir a centros para el cuidado de chicos entre los 4 y 12‐13 años, tanto para antes como para después de la escuela. Estos centros están abiertos, generalmente todo el año, antes y después del horario escolar (y a veces en la hora del almuerzo), en vacaciones o en los días feriados escolares. Las tareas de cuidado son específicas para chicos que van a la escuela todo el día. Por ejemplo, un niño de 6 años puede asistir a la escuela tres veces por semana hasta las 15 horas y dos días en que sólo va 5 horas. Esos momentos libres son los que les permite a los docentes planificar, tener reuniones con el departamento, capacitarse, etc. Para el Estado, los padres deben hacerse cargo de sus hijos en dichos momentos. Por lo tanto, los padres pagan este servicio extra‐escolar para que puedan cuidar de sus hijos hasta las 17 – 18 horas. Por lo tanto, dado que también este servicio es muy caro, los padres siguen tomándose medio día c/u en sus trabajos (uno tiene la posibilidad de trabajar hasta un 80% del tiempo cuando se tienen niños menores de 12 años). Cuán caro sea este servicio depende de cual sea el sueldo de los padres, dado que a medida que uno cobra más dinero, uno deja de tener acceso a subvenciones por montos considerables. A su vez la Municipalidad puede llegar a cubrir de forma completa estos gastos cuando el niño esté a cargo de un solo padre y dicha persona está intentando insertarse en el mundo laboral (y necesita tener tiempo para capacitarse, ir a entrevistas de trabajo, etc.).

3 Datos más actuales que figuran en la página oficial del ministerio de Educación, Cultura y Ciencia de los Países Bajos http://www.minocw.nl/english/

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http://www.minocw.nl/english/


El Estado, para poder garantizar este servicio, ha creado 71.0000 plazas entre 1999‐2002 y otras 10.000 en el 20034 en estos centros de cuidado. Dichos centros para el cuidado de niños ofrecen la oportunidad y el espacio para que los mismos se desarrollen en compañía de otros niños de la misma edad. El objetivo, por un lado, es estimular el desarrollo social, cognitivo y emotivo de los niños y, por el otro, permitirle a los padres el que puedan hacer actividades fuera de la casa (como un curso, trabajar, etc.).

La supervisión de niños que se alojarán en la escuela durante el descanso para almorzar es responsabilidad del Ministerio de Educación, Cultura y Ciencia. Dicho servicio tiene un coste extra y actualmente el 30% de la población estudiantil hace uso del mismo4.

Las escuelas primarias convencionales y escuelas de educación especial son libres de decidirse por su propia organización interna. Cada clase puede incluir uno o más grupos de la misma edad. En la mayoría de las escuelas primarias los alumnos son agrupados de acuerdo a su edad (divididos en 8 grupos). En algunas escuelas, los niños de edades diferentes son puestos en la misma clase. En otras los niños son agrupados de acuerdo con su nivel de desarrollo o habilidad. Los niños de entre 4 y 8 años (correspondientes a 1ro ‐ 4to año) pueden ir conjuntamente a clases denominadas de menores y los niños entre 9 y 12 años (correspondientes a 5to‐ 8vo año) a clases denominadas de mayores. También la escuela puede dividir a los alumnos en 3 secciones: de los más jóvenes (de 1ro a 3ro), del medio (de 4to a 6to) y superiores (de 7mo a 8vo).

Los docentes están obligados a enseñar todas las disciplinas que se dan en la escuela, salvo las correspondientes a Educación Física, idiomas, arte, música y actividades prácticas. Actualmente los docentes cuentan con la colaboración, que es obligatoria entre el 1ro y 4to año, de una ayudante para el trabajo dentro del aula (puede ser una estudiante de docencia o estudiantes del secundario que tengan interés y hayan hecho algunos cursos de pedagogía).

La Ley de Educación Primaria exige que las siguientes áreas deban estar incluidas en el plan de estudios de cada escuela, aunque es posible trabajarlo de forma que estas estén integradas:

Coordinación sensorial y Educación Física, Holandés, Aritmética y matemática, Inglés, Asignaturas fácticas (geografía, historia, biología, ciencias en general, ciencias sociales ‐ incluyendo estudios políticos‐ y movimientos religiosos e ideológicos, Asignaturas de expresión (que incluyen el uso de la lengua, el arte, la música, los trabajos manuales y la obra dramática), Habilidades sociales y de la vida (incluyendo seguridad vial) y Vida saludable.

Aunque estas asignaturas son obligatorias, las escuelas son libres de determinar cuánto tiempo trabajar en cada una de las áreas. En general, el número de horas por materia está representado como se muestra en la tabla 2.

Tabla 2 División horaria (h./ semana) Grado 1 2 3 4 5 6 7 8 Lengua holandesa 3.30 3.30 8.45 8.30 8.30 7.45 7.15 7.15 Ingles 0 0 0 0 0 0 0.45 0.45 Matemática 0.30 0.30 4.15 4.30 5.00 5.00 5.00 5.00 Estudios humanos y del ambiente 1.00 1.00 1.15 1.15 3.30 4.30 4.45 4.45 Educación Física 8.00 8.00 1.30 1.30 1.30 1.30 1.15 1.15 Educación Artística 6.00 6.00 4.00 4.00 3.30 3.15 3.00 3.00 Otros 2.00 2.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 Recreos 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 Total 22.30 22.30 22.30 22.30 25.00 25.00 25.00 25.00

4 Datos correspondientes al 2004 obtenidos del Eurydice.

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Los chicos que no tengan como lengua en sus hogares la lengua holandesa pueden también recibir clases en su propia lengua, de manera parcial, para ayudarlos a adaptarse (aunque esto está dejando de ser así). El porcentaje de alumnos del nivel primario que pertenecen a un grupo étnico minoritario‐ quienes tienen padres con una mínima educación‐ representan el 13% (Die, 2001).

2.1.2.3 Educación secundaria y post secundaria (terciaria y no terciaria, a partir de los 12 años)

A los 12 años todos los niños son evaluados para determinar que tipo de enseñanza pueden seguir al finalizar el Basisonderwijs. Para esa prueba los niños se preparan en todo el país y van tomando las evaluaciones por zonas (la evaluación se llama CITO). La decisión final que determina la clasificación se basa en:

los resultados de la CITO (ver punto 2.15);

las calificaciones del alumno a lo largo de todo el Basisonderwijs; y

los comentarios y consejos de los docentes que figuran en el expediente del alumno (siendo el ítem con mayor peso a la hora de tomar la decisión).

La prueba naturalmente es muy temida porque determinará lo que podrá o no estudiar ese chico en los años siguientes. En base a ello se inscriben en los diferentes tipos de “secundarios”. Si un alumno obtuvo las máximas notas, puede elegir cualquier tipo de educación para los años siguientes, aunque le aconsejan que se prepare para la universidad (VWO). Si en cambio alcanzó el nivel más bajo, se le recomienda seguir una educación más práctica (LWOO). La recomendación de los agentes del Estado es aceptada por los padres y alumnos. Casi no existen posibilidades de cambios de un nivel considerado “inferior” a uno de mayor complejidad, inmediatamente después de haberse realizado la evaluación. Posteriormente se presentarán nuevas oportunidades.

El nivel educativo correspondiente a la educación secundaria puede comprender tanto la educación común como la especial (aunque no incluye la escuela especial para discapacitados motores, visuales, etc., la educación para adultos, etc.). La educación secundaria provee de escuelas de los siguientes tipos:

Educación pre‐ universidad (VWO; 6 años, 12‐18 de edad);

Educación secundaria general (HAVO; 5 años; 12‐17 de edad);

Educación secundaria pre‐ vocacional (VMBO; 4 años, 12‐16 de edad);

Entrenamiento práctico (12‐18 de edad).

Hay también escuelas secundarias especiales para chicos con dificultades de aprendizaje y conducta (LOM) y para chicos con dificultades de aprendizaje (MLK). Estas escuelas son ahora conocidas como escuelas especiales de educación secundaria (SVO).

El primer año es común en todas las orientaciones para favorecer que el paso entre un tipo de escuela y otro, sea más sencillo (Brugklas‐ clase preparatoria o Basisvorming, en la figura 7, y VO1+2, en la figura 8). En este año se procura favorecer un desarrollo general. Igualmente son más sencillos los pasajes de un nivel a otro dentro de una misma institución (por eso es positivo cuando en la misma escuela hay más de un nivel). En la figura 7 se puede ver en verde todas las opciones que existen, que van desde las más prácticas (F) a las más teóricas (A). Son más difíciles los pases entre escuelas comunes y las especiales (se puede ver en la figura 7 que no existe comunicación entre (G) y las otras opciones). El alumno puede ser transferido si en un año demuestra que le corresponde estar en un nivel de complejidad más alto, pero si no alcanza el nivel de notas exigido (en el nuevo nivel) al año siguiente se lo

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traslada nuevamente al nivel anterior. La idea es que cada uno ocupe el lugar que le corresponde, entendiendo las limitaciones propias. Obviamente a medida que avanza uno en la formación se dificulta el pasaje a otro nivel de mayor exigencia (dado que el alumno tiene que rendir equivalencias).

A su vez, dependiendo del nivel, es que durará la formación. Para poder ir a la universidad es necesario seguir la formación más formal (A). Esta orientación durará 6 años. Esa es la única manera de que un alumno pueda acceder a estudios universitarios: tanto en la Open Universiteit – OU (caracterizada por una formación a distancia o en un país extranjero con convenio con los Países Bajos) o la Wetenschappelijk Onderwijs ‐ WO (Enseñanza científica).

La formación distinguida con la letra (B) corresponde a una enseñanza menos científica que la (A).

Todos los alumnos que entran al cuarto año de la HAVO y el quinto año del VWO tienen que escoger una de las siguientes cuatro combinaciones como especialidad: Cultura y Sociedad, Economía y Sociedad, Ciencia y Salud, y Ciencia y tecnología.

Actualmente las nuevas reformas educativas introducidas en estos niveles educativos involucran un nuevo enfoque de enseñanza más independiente. El mismo se denomina ʺHet Studiehuisʺ y pone el énfasis en la adquisición de conocimientos y el aprendizaje activo a través del estudio independiente en vez de la transferencia de conocimientos. El papel del profesor se ha transformado y actualmente ocupa el rol de un supervisor.

Las formaciones distinguidas con las letras (C), (D), (E) y (F), en la figura 7, corresponden a una formación en oficios denominada VMBO (voorbereidend middelbaar beroepsonderwijs). Los alumnos se especializan directamente en un oficio como profesión. Estos se dividen en 4 niveles. Cada alumno puede elegir una orientación diferente, como formación técnica, formación administrativa y económica, formación en servicios y cuidado o formación agraria. Todas estas opciones comparten un 1 año en común más. En el final del segundo año los alumnos deben elegir una de 4 “leerwegen” (son niveles de formación que van desde el muy práctico al casi todo teórico) y en una de los 4 sectores propuestos.

Al final del segundo año cada alumno elige un “leerweg” en el VMBO (camino para aprender). Hay 4 opciones diferentes:

1‐ “leerweg” teórico, no especializado en un determinado oficio o profesión, como si el objetivo para después del VMBO fuera continuar estudiando.

2‐ “leerweg” mixta, una combinación entre pensar y hacer, para prepararte en una determinada profesión u oficio.

3‐ “kaderberoepsgerichte leerweg”, aprender por medio de la práctica.

4‐ “basisberoepsgerichte leerweg”, completamente práctico.

Hay 4 orientaciones‐ sectores diferentes: cuidado y servicio, técnico, economía y agricultura. Con cada elección el alumno se orienta a un determinado terreno de trabajo. Dentro de un sector pueden existir divisiones. El sector técnico, por ejemplo, está dividido entre construcción, metal y electro.

Para clarificar lo anterior consideraremos las opciones que se le presentan a un alumno, en el colegio Stanislaas de la ciudad de Delft. En esta escuela sólo tienen el “Leerweg teórico” (C) y el “leerweg Gemengde” (D). Como cada escuela tiene la libertad de determinar el currículum, en esta escuela se decidió que cada alumno debe hacer un examen de una materia extra a las 7 básicas. Una de las 8 materias debe estar orientada a un oficio. El alumno elige en

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ese caso entre electrotecnia, comercio y administración o cuidado y bienestar (en Delft no hay orientación agraria). Esto lo han hecho así porque permite que sus alumnos tengan:

‐ un doble diploma: “vmbo‐theoretische leerweg” y “vmbo‐gemengde leerweg”,

‐ tengan una buena base para continuar estudiando o cambiarse al 4 año del havo.

‐ una mejor preparación a la hora de elegir una orientación dentro del mbo.

Los alumnos tienen que elegir 8 materias comprendidas en las categorías: creatividad (música, dibujo, danza), exactas (química, matemática, biología, etc), lenguas y sociales (historia, geografía, concepción de la vida, etc)

Finalmente (G) corresponde a una formación muy práctica que no permite el ingreso a un nivel superior de formación (que es el LWOO+PRO, en la figura 8). Existe mucha semejanza con la formación especial. Los egresados pueden trabajar en tareas de limpieza, administrativas rutinarias, etc. El entrenamiento práctico es asequible para los alumnos que no pueden obtener un certificado del VMBO. Es decir, los alumnos reciben una formación especial que los prepara para el ingreso directo al mercado laboral de dicha región. El soporte de necesidades especiales es provisto por escuelas de educación especial para educación secundaria (SVO). También puede pasar que alumnos del nivel (F) necesiten una ayuda temporal para poder continuar con el programa educativo que ellos han elegido.

Desde el 2003, los alumnos del VMBO que han terminado el programa teórico con éxito pueden ingresar en el cuarto año del HAVO. Para que ese pase tenga lugar, el alumno debe haber aprobado entre las asignaturas del VMBO matemática y el idioma francés o alemán. A su vez puede ser necesario que cumpla otros requisitos como los siguientes: un alumno de VMBO, que quiere elegir como orientación Ciencia y Tecnología del HAVO, por ejemplo, debe haber estudiado física y química en el VMBO; mientras que un alumno que desea seguir la orientación Ciencia y Salud debe haber estudiado biología, física y química. A su vez, los alumnos con certificados del HAVO pueden ser admitidos al quinto año de VWO.

Uno de los objetivos centrales del gobierno es lograr que los egresados de cada nivel educativo, al finalizar su formación secundaria, posean los requisitos mínimos para poder conseguir un trabajo. Sin embargo, el HAVO y el VWO proveen de una educación general y es por ello que no se los considera como una instancia final de capacitación. Su propósito es preparar a los alumnos para ingresar a la educación profesional más alta (HBO y WO).

En la HBO (Hoger Beroepsonderwijs) uno puede seguir Comercio agrícola, Logística, Economía, Salud, etc. Tanto esta opción como las dos universitarias están consideradas de educación alta. Las instituciones de HBO proveen el entrenamiento teórico y práctico para las ocupaciones consideradas de alta complejidad (sin incluir las carreras universitarias). Los diplomados encuentran empleo en varios campos, incluyendo los trabajos intermedios y de alto rango en comercio e industria, en servicios sociales, en atención sanitaria y en el sector público.

En la brecha de educación media (Middelbaar beroepsonderwijs) están las demás opciones de educación adulta. En la MBO uno se puede formar profesionalmente para posiciones dentro de la industria, en prestación de servicios y administración. El MBO concluye lo aprendido en el VMBO. Se distinguen 4 sectores para formarse en: técnica, agricultura y medio natural, economía y prestación de servicios y asistencia médica.

El Middenkaderopleidingen y el vakopleidingen (BOL) tienen un período de prácticas de un 20% como mínimo a un 60% como máximo del tiempo total de cursada. Una gran parte de los alumnos se forman profesionalmente por este medio después de haber encontrado un trabajo. Muchas veces combinan el trabajo y el aprendizaje tanto práctico como de teoría. Esta

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formación se llama “beroepsbegeleidende leerweg” (BBL). El BBL es una responsabilidad conjunta entre el Estado, los que están a cargo de la enseñanza y las empresas implicadas.

Los alumnos siguen, por ejemplo, dos días de enseñanza en su escuela y el resto de los días asisten a los lugares donde se realizan los oficios (sean empresas, grandes almacenes, granjas, etc).

El BBL se divide en tres niveles de formación:

1‐ El primer nivel de formación es hasta que comienza una práctica del oficio y se conecta al VMBO (dura de 2 a 3 años).

2‐ El segundo nivel es hasta que autónomamente trabaja en su profesión y se conecta a la base del MBO (dura entre 1 y 2 años)

3‐ Finalmente la persona que ejerce su profesión se especializa y este nivel está conectado al vakopleidingen en el MBO (dura entre 1 y 2 años).

2.1.3 Tipos de escuelas primarias

Distribución de escuelas de acuerdo a su denominación (en porcentajes: tabla 3)

Tabla 3: 2002 2003

Denominación5 Escuelas [%] Alumnos [%] Escuelas [%] Alumnos [%]

Total 100 100 100 100

Pública 30 27 29 27

Privada no religiosa 12 9 12 10

Privada Protestante 22 25 22 24

Privada Católica Romana 26 27 26 27

Privada (combinación de las dos anteriores) 11 13 11 13

2.1.4 Otras características observadas

Es importante destacar que cualquier persona que no pueda conseguir trabajo tiene derecho a una pensión y por ende el estado hace hasta lo imposible para que ningún estrato de su población esté incapacitado para trabajar. Todos ocupan un lugar importante en su sociedad y son respetados por ello. Nadie es más que nadie, ni nadie tiene derecho a más. El gran problema que tienen es que casi nadie está capacitado para seguir un estudio universitario, ni le interesaba antes de la crisis del 2003 el hacerlo. Una persona que maneja un colectivo gana un sueldo bueno por 8 horas de trabajo. Un investigador que debe perfeccionarse continuamente, recibe presiones por publicaciones, conferencias, etc. gana relativamente lo mismo. Debido a ello, tienen pocos investigadores holandeses en muchas áreas. Una persona que egresa de la Universidad hasta el 2003 tenía asegurado un puesto en una empresa privada con mejores sueldos que si trabaja para la Universidad. Debido a ello, tuvieron que subir el sueldo y mejorar la situación de los trabajadores universitarios para hacer la situación más atractiva a una persona capacitada. Debido a lo anterior, estos puestos deben ser cubiertos por extranjeros de Europa o el resto del mundo. Hasta hace unos años muchísimos de los alumnos doctorandos en ciencias e ingenierías de los Países Bajos eran extranjeros (hay poco incentivo de la sociedad a este tipo de formación, por lo tanto poca gente la buscaba). En los últimos años se está revirtiendo este proceso por la crisis económica en que se encuentra el país. Muchas empresas dejaron de tomar a personas con estudios universitarios y por ende estos vuelven a la universidad a especializarse.

5 Datos correspondientes al 2004 obtenidos del Eurydice.

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2.1.5 Evaluaciones tomadas a los alumnos

Aunque los docentes de la escuela primaria regularmente informan sobre el progreso de los alumnos a los padres en reuniones periódicas, de las entrevistas que se ha realizado a algunos padres (de origen no holandés), se ha notado que muchos no están completamente conformes con la manera de evaluar en Holanda. Ellos sienten que no pueden ayudar a sus hijos hasta que ya es demasiado tarde. Aunque los docentes suelen recomendar que estimulen a sus hijos en la lectura (comprándole libros de cuentos de acuerdo a su nivel, visiten la biblioteca, etc.) o trabajan con CD educativos; ellos no pueden ayudarlos con las actividades diarias. Los alumnos nunca sacan sus libros y cuadernos de la escuela y sólo muestran a sus padres algunas tareas especiales. La idea es que los chicos sólo hagan tareas dentro de la escuela y no que vuelvan a sus casas a resolver, por ejemplo, cuentas. De esta manera los padres no pueden presionar a sus hijos para que se esfuercen, hacerles parte de los trabajos o intervenir en esta parte de su educación. El problema que ven los padres es que si sus hijos tienen dificultades para sumar o multiplicar, ellos no lo descubren hasta que reciben la evaluación cuatrimestral. Pero en ese momento tampoco saben cómo sus hijos resuelven las actividades y cómo ayudarlos. Los chicos sólo llevan a la escuela el almuerzo y la ropa para las actividades especiales (para natación, gimnasia, etc.). Ni siquiera llevan cartuchera y lápices ya que en la escuela tienen todo lo que necesitan. Los padres no tienen un rol tan central o determinante sobre la evolución de sus hijos. Los mismos padres no saben cuando sus hijos están siendo evaluados en la escuela, dado que muchas veces no tiene que estudiar para la evaluación. La evaluación es parte de la tarea diaria. Los informes finales o boletines tienen la función de informar y aconsejar a los padres a que estimulen a sus hijos en ciertas actividades o revean problemas de conducta.

El grupo CITO6 (www.cito.nl) desarrolla pruebas que las escuelas utilizan para medir sus resultados finales y así pueden compararlos con el de otras escuelas. Los alumnos realizan un test general de este grupo al terminar la escuela primaria para complementar el informe que permite al equipo pedagógico sugerir a los padres sobre que tipo de secundario es el más aconsejado para sus hijos, dadas sus capacidades. En el 2004 el 90 % de escuelas primarias (6400 escuelas) se inscribieron para que sus alumnos, 167.000 en total, realicen esta prueba. El CITO también desarrolla el test para medir el progreso individual de los alumnos. Actualmente ha diseñado evaluaciones específicas para el 3ro y 4 to año y en un futuro cercano lo extenderá al 5to y 6to año. Treffers (1998) y Huevel‐Panhuizen (1990) (citado en Gravemeijer, 1994: 137) aclaran que estas pruebas no pueden medir correctamente las diferencias que pueden surgir al enseñarse bajo la EMR o la educación mecánica, por ser muy “gruesas” (en inglés: coarse). Ellos sugieren que los test PPON7 y las pruebas en investigaciones a menor escala son más apropiadas para medir la esencia de la EMR.

2.2 La Educación Matemática en la Escuela Primaria en Holanda

2.2.1 Una perspectiva macro‐didáctica sobre el desarrollo matemático

Heuvel‐Panhuizen (2002) distingue dos niveles de trabajo en el desarrollo matemático: la perspectiva macro‐didáctica (que desarrollaremos en este capítulo) y la perspectiva micro‐didáctica (que desarrollaremos en el capítulo III y IV). El primer nivel trata sobre el progreso en la comprensión en un largo periodo de tiempo, focalizándose sobre las trayectorias de enseñanza‐aprendizaje (incluyendo los objetivos a ser alcanzados al finalizar la escuela primaria y los objetivos intermedios a lo largo de todo este nivel educativo) que sirven como un diseño longitudinal para la enseñanza de la matemática. La perspectiva micro‐didáctica, en cambio, muestra cómo pueden suceder cambios en la comprensión y habilidades del 6 CITO son las iniciales de Instituto Nacional de Evaluación Educativa. 7 PPON National Assessments of the Educational Achievements

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http://www.cito.nl/


alumno en una o dos lecciones. Para la RME es fundamental que una teoría de educación matemática tenga en cuenta ambos tipos de perspectivas para considerarse completa.

En los Países Bajos, en el nivel de la escuela primaria (a diferencia de muchos otros países) no ha habido una posición centralizada con respecto a la toma de decisiones sobre el currículo, los libros de texto o los exámenes (véase Mullis, 1997). Se pueden tomar como ejemplos los siguientes puntos:

las escuelas pueden decidir qué serie de libros de texto utilizarán a lo largo del año e incluso pueden desarrollar su propio currículo;

lo qué se enseña en las escuelas primarias es, para la mayoría, responsabilidad de los profesores y de los equipos escolares (en donde los profesores tienen bastante libertad de elección y acción);

a los profesores se les permite realizar cambios en su horario sin pedir la autorización del director de la escuela; y

el consejo del profesor, al finalizar la escuela primaria, es el criterio de mayor peso para asignar a un estudiante a un nivel particular de la educación secundaria (tiene más valor incluso que las evaluaciones).

Lo que resulta extraño es por qué a pesar de esta libertad en las decisiones educativas, los temas enseñados en esta área en una escuela primaria no se diferencian, en mucho, al de otras escuelas. En general, todas las escuelas siguen, en grandes rasgos, el mismo plan curricular (Heuvel–Panhuizen, 2003). Esto nos conduce a intentar responder ¿Cuáles son los determinantes del currículo matemático de la escuela primaria en los Países Bajos? Hasta hace poco tiempo, había tres determinantes:

las series de los libros de texto de matemáticas;

el ʺProeveʺ, un documento que recomienda los contenido matemáticos que han de ser enseñados en la escuela primaria; y

los objetivos de base que se deberán alcanzar al final de la escuela primaria según lo estipulado por el gobierno.

Sin embargo, desde 1998, se agregó un cuarto determinante denominado trayectorias de enseñanza – aprendizaje (TAL), que ya mencionamos.

2.2.1.1 El rol influyente de los libros de texto

A diferencia de lo que ocurren en otros países occidentales, donde han surgido numerosas críticas con respecto al uso de los libros de texto, en los Países Bajos los mismos tienen un lugar privilegiado (Heuvel–Panhuizen, 2001). Los nuevos libros de texto propician las mejoras propuestas en la educación matemática, ya que son las herramientas más importantes para guiar la enseñanza de los profesores (tanto con respecto a los contenidos como a los métodos de enseñanza).

En Holanda la reforma de Educación Matemática se ha llevado a cabo, y se sigue haciendo, a través de los libros de texto, debido a que este país cuenta con un gran ventaja que lo permite: es muy pequeño. Esto involucra algunas limitaciones, pero algunas pueden ser compensadas por un adecuado proceso de implementación (Gravemeijer, 1994). Esto “revela la naturaleza informal de la reforma: el Gobierno nunca hizo resoluciones formales respecto de la instrucción de la EMR. Las escuelas por si mismas han sido quienes resolvieron reformarse educativamente, aunque no se debe olvidar que la reforma fue iniciada por un instituto que siempre estuvo bajo la autoridad del gobierno” (Gravemeijer, 1994: 135).

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Actualmente más del 80% de las escuelas primarias holandesas utilizan una serie de libros de texto de matemáticas que, en mayor o menos grado, está inspirada en la RME. Cabe destacar que hace diez o quince años este porcentaje alcanzaba sólo el 50% (De Jong, 1986; Heuvel–Panhuizen, 2001).

Hoy las más importantes series de libros de texto (que son desarrolladas completamente por editores comerciales) son: Pluspunt, De Wereld in Getallen, Wis en Reken, RekenRijk, Alles Telt, y Talrijk (algunos de cuyos libros serán trabajados en los capítulos 3 y 5). Los autores de los libros de texto son investigadores independientes de educación matemática que pueden utilizar las ideas resultantes de investigaciones de, por ejemplo, el Instituto Freudenthal (y de sus precursores) y del SLO8.

Estas series son utilizadas por los profesores para planear sus lecciones diarias. Las actividades están pensadas para trabajarse con la clase completa, individualmente y en pequeños grupos. Debido a que cada autor o editorial determina la serie de libros, las mismas presentan algunas diferencias (aunque estas diferencias no se reflejan en los contenidos a ser trabajados). Las mayores diferencias se presentan en los temas de los contenidos y su expresión didáctica por un lado, y por el otro, en el diseño de las guías para los docentes (algunas guías son extensas y en otras series dan mucha más libertad al docente). Todas las series anteriores asumen la enseñanza interactiva como un principio, lo cual requiere de una actitud apropiada, habilidades específicas y conocimiento tanto como comprensión de los temas y capacidad pedagógica por parte de los docentes (Gravemeijer, 1994). Sin Embargo, esto no es fácil de llevar a cabo a través de materiales escritos no muy guiados. Para Gravemeijer (1997), el principal problema de implementar la RME se presenta en el área de tensión entre el “dejar al alumno reinventar por si mismo” y “guiar el proceso de aprendizaje”.

Para la RME lo mejor es que el docente siga el proceso de implementación de manera tal que se encuadre en una “adaptación consistente con la idea” del enfoque; lo cual dista de ser fácil. El docente necesita interpretar la instrucción guiada flexiblemente. Cuanto mejor comprendan los docentes las series de libros de texto, más flexiblemente serán estos usados. Los docentes aprenden con su experiencia, comenzándo a familiarizarse con la reforma y pudiéndola así juzgar. Por lo tanto, se descartan las otras dos formas para implementar la reforma9: adaptación fiel y adaptación recíproca. La primera asume que el docente sigue las instrucciones guiadas de manera precisa y usando el material en la forma aconsejada o prescripta, para lo cual se requiere de una guía irrealizablemente detallada y de un docente muy dócil y subordinado. La segunda, asume que no sólo el comportamiento del docente cambia bajo la influencia del currículum, sino que el mismo currículum también cambiará cuando éste sea transmitido por el docente a sus alumnos en el aula (Gravemeijer, 1994).

Sin embargo, algunos estudios también han revelado que la guía proporcionada por la RME no llega a implementarse óptimamente en la práctica dentro del aula por esto se han tenido que proponer nuevos cambios (Gravemeijer, 1993; Heuvel‐Panhuizen y Vermeer, 1999). No fue tan fácil, como se creía en un primer momento, poder implementar las ideas de la RME sólo a través de los libros. Gravemeijer (1994) aclara que las investigaciones llevadas a cabo muestran que usar series de libros de texto realista no resulta en que se logre necesariamente una Enseñanza Matemática Realista, pero se reconoce que es un apoyo importante para los docentes que quieren acercarse a ella. Como dice Fullan (citado por Gravemeijer, 1994) un verdadero cambio o reforma sólo es posible cuando la visión de los docentes también cambia.

8 SLO es el instituto para el desarrollo del Currículo de los Países Bajos. 9 Propuestas por Gravemeijer (1994).

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2.2.1.2 El “Prove”

Desde finales de la década de los 80, se han difundido una serie de publicaciones llamadas “Proeve”10, que han sido utilizadas como orientadoras en el desarrollo de los libros de texto. Estas publicaciones contendrán finalmente ‐dado que actualmente el trabajo todavía está sin concluir‐ descripciones de los variados dominios de las matemáticas: para todas las habilidades numéricas básicas, algoritmos escritos, razones y porcentajes, fracciones y números decimales, medidas y geometría. El ʺProeveʺ, que fue pensado como ayuda para los autores de libros de texto, profesores formadores de docentes y los consejeros de la escuela ‐y no como una serie para los profesores‐ está escrito en un estilo sencillo y con muchos ejemplos. Por otra parte, muchos de los expertos en la RME fueron, y siguen siendo, los principales contribuyentes de la realización de estas series (Heuvel–Panhuizen, 2001).

Los desarrolladores de los libros de texto e investigadores (en colaboración con profesores formadores de docentes, consejeros de la escuela y profesores) trabajan en actividades de enseñanza‐aprendizaje que son incluidas en las series de libros de texto. La reforma en educación matemática ha sido llevada a cabo, de manera interactiva e informal, sin la intervención del gobierno.

2.2.1.3 Los objetivos de base para la educación matemática

Hasta 1993 los profesores y los equipos de la escuela, debido a que sólo existía una ley general que contenía una lista de los temas a ser enseñados, tenían que determinar específicamente qué contenidos se tenían que enseñar. Recién en 1993, el Ministerio de Educación presentó una lista de objetivos “de baseʺ. Dicha lista de 23 objetivos para la matemática, divididos en seis dominios (tabla 4), fue revisada y publicada en 1998 (OCandW, 1998). Dichos objetivos describen lo que los estudiantes tienen que saber al final de la escuela primaria (a los doce años). El contenido de esta lista concuerda con los documentos del ʺProeveʺ mencionados anteriormente.

Desde que se promulgaron en 1993, estos dieron origen a numerosas discusiones (De Wit, 1997) ya que resultan insuficientes e inadecuados para impulsar mejoras en la práctica en el aula y controlar resultados educativos. Proponer objetivos, simplemente, no es condición suficiente para poder alcanzarlos. Por otro lado, surgieron similares críticas en todas las áreas escolares donde se habían propuesto este tipo de formulaciones (Heuvel–Panhuizen, 2001).

Objetivos para la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria holandesa11

Al finalizar la escuela primaria los estudiantes deberían …

1 Poder contar para adelante y para atrás con unidades cambiantes 2 Saber las combinaciones de sumas y multiplicaciones hasta 10 3 Poder realizar problemas sencillos de aritmética mental con comprensión de la lógica

de las operaciones 4 Poder estimar resultados determinando las repuestas de manera global, incluyendo el

trabajo con fracciones y decimales.

Habilidades Generales

5 Comprender la estructura de los números enteros y el sistema de numeración de base decimal

10 El titulo completo de esta serie es “Diseño de un Programa Nacional para la Educación Matemática en las Escuelas Primarias”. La primer parte de esta serie fue publicada en 1989. Aunque el título refiere a un “programa nacional” éste no corresponde a una intervención del gobierno. Los autores quisieron designarlo como programa nacional para lograr un programa común para todas las escuelas primarias de Holanda y actualmente podemos decir que lo han conseguido (Huevel‐Panhuizen, 2001). 11 Esta lista puede encontrarse en el sitio oficial del Ministerio de Educación, Cultura y Ciencia de los Países Bajos http://www.minocw.nl/english/index.html

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http://www.minocw.nl/english/index.html


6 Poder usar la calculadora con comprensión 7 Poder convertir problemas sencillos los cuales no son presentados en a manera

matemática en un problema matemático Algoritmos 8 Poder utilizar algoritmos estandarizados o variaciones de éstos para realizar

operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división, en situaciones contextuales sencillas.

9 Poder comparar razones y porcentajes 10 Poder resolver problemas sencillos de razón 11 Comprender el concepto de porcentaje y poder realizar cálculos prácticos con

porcentajes presentados en situaciones contextuales sencillas

Razón y porcentaje

12 Comprender la relación entre razón, fracciones y decimales. 13 Saber que las fracciones y los decimales pueden representar diferentes tipos de

situaciones 14 Poder ubicar fracciones y decimales en la recta numérica y convertir fracciones a

decimales; también con la ayuda de la calculadora.

Fracciones

15 Poder comparar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones simples en situaciones contextuales sencillas por medio de modelos.

16 Poder leer el tiempo y calcular intervalos de tiempo; también con ayuda de calendarios 17 Poder hacer cálculos con dinero en situaciones contextuales de la vida cotidiana. 18 Comprender la relación entre las cantidades más importantes y sus correspondientes

unidades de medición 19 Conocer las unidades actuales de medición de longitud, área, volumen, tiempo,

velocidad, peso y temperatura, y poder aplicarlas en situaciones contextuales sencillas.

Medida

20 Poder leer y construir tablas y diagramas simples a partir de sus propias investigaciones de situaciones contextuales sencillas.

21 Adquirir algunos conceptos básicos y nociones para organizar y describir geométricamente el espacio.

22 Poder razonar geométricamente utilizando edificios hechos con bloques, planos, mapas, imágenes y datos acerca de posiciones, dirección, distancia y escala.

Geometría

23 Poder explicar sombras, componer figuras y construir e identificar modelos de objetos regulares.

Tabla 4: Objetivos para la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria holandesa

Heuvel–Panhuizen nos comenta que al comparar esta lista con la de otros países se pueden encontrar algunos puntos interesantes para remarcar, como por ejemplo que:

algunos contenidos matemáticos fundamentales no figuran en esta lista (como probabilidad y estadística, combinatoria y lógica, etc.).

la lista es muy simple, por lo que los profesores tienen mucha libertad para interpretar los objetivos y, al mismo tiempo, casi no reciben ayuda u orientación.

Para Heuvel–Panhuizen, como consecuencia del último punto, la lista de objetivos es realmente un documento que no es consultado por los educadores. A pesar de lo pesimista de la anterior sentencia, esta primera lista cumplió un rol importante en la educación matemática holandesa al confirmar y validar los cambios recientes en el plan de estudios. Los cambios más significativos fueron que a partir de ese momento:

se debía prestar más atención a la aritmética mental y a la estimación,

desaparecieron del currículo las operaciones formales con fracciones,

se incluyó oficialmente la geometría en el currículo, y que

también se debería incorporar el uso, con criterio, de la calculadora.

Sin embargo, no todos estos cambios se han incluido todavía en los libros de texto y se han puesto en práctica dentro del aula (especialmente en los dos últimos ítems).

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2.2.1.4 Trayectorias de enseñanza–aprendizaje (un nuevo factor para el seguimiento macro didáctico)

En respuesta a las críticas mencionadas en el punto anterior, por varios años no se supo que dirección se tendría que elegir para poder mejorar los objetivos de base. Las propuestas que surgieron proponían suministrar:

una lista más detallada de los objetivos para cada grado (expresado en términos operacionales), o

una descripción que respaldara la enseñanza (más que sólo la evaluara).

En 1997, el gobierno optó por la última opción que dio lugar al comienzo del proyecto TAL12. El proyecto fue realizado conjuntamente por el Instituto Freudenthal y el SLO, en colaboración con el CED13. Las trayectorias de enseñanza–aprendizaje determinan un nuevo factor de guía para el encauzamiento macro‐didáctico en la educación de las matemáticas en la escuela primaria holandesa (Heuvel–Panhuizen, 2001).

Cabe aclarar que el proyecto TAL es sólo un trabajo inicial y en vías de construcción. Aunque todavía no se sabe cómo funcionará en la práctica de la escuela y si pueden realmente ayudar a los profesores, los informes que se hicieron hasta ahora revelan resultados positivos (De Goeij, Nelissen y Heuvel‐Panhuizen, 1998; Groot, 1999; Slavenburg y Krooneman, 1999). Los mismos dan una sensación general de que la trayectoria TAL de enseñanza–aprendizaje (en aritmética con números enteros para los grados inferiores de la escuela primaria) ha logrado, de una forma u otra, mejorar el nivel de la educación matemática holandesa (Heuvel–Panhuizen, 2001).

El objetivo principal del proyecto TAL es desarrollar trayectorias de enseñaza‐aprendizaje para todos los dominios del currículo de las matemáticas de la escuela primaria y ofrecer los medios para la implementación de las mismas en la práctica escolar. La idea es desarrollar en total 3 trayectorias de enseñanza–aprendizaje: una para el cálculo con números enteros, otra para la medida y geometría y finalmente una para fracciones, decimales y porcentajes.

Una trayectoria de enseñanza‐aprendizaje describe el proceso de aprendizaje que los estudiantes deben seguir, aunque no debería concluirse de lo anterior que ésta sólo contiene la perspectiva del que aprende. Para Heuvel–Panhuizen (2001) y su equipo, el término trayectoria de enseñanza–aprendizaje14 tiene tres significados que se entrelazan:

una trayectoria de aprendizaje que da una descripción general del proceso de aprendizaje de los estudiantes;

una trayectoria de enseñanza, que consiste en indicaciones didácticas que describen cómo la enseñanza puede óptimamente combinar y estimular el proceso de aprendizaje.

un resumen del tema, indicando cuáles de los elementos de base del currículo de las matemáticas deberían ser enseñados.

12 TAL es una abreviación holandesa y brinda objetivos intermedios para las trayectorias de enseñaza‐aprendizaje. El Equipo TAL incluye un gran grupo de personas con todo tipo de especializaciones en las matemáticas de la escuela primaria. El grupo tiene experiencia en investigación y desarrollo de la educación matemática, evaluación, educación docente, asesoramiento docente y enseñanza en escuela primaria. Desde el comienzo del proyecto las siguientes personas contribuyeron al desarrollo de la trayectoria de enseñaza aprendizaje: Brink, J., Heuvel–Panhuizen, M (coordinadora), Menne, J., Moor, E., Treffers, A., etc. 13 CED es el centro asesor de las escuelas primarias y se encuentra en la ciudad de Rótterdam. 14 En holandés, la trayectoria de enseñanza–aprendizaje se llama “leerlijn”. El verbo holandés “leren” tiene un doble significado, ya que significa tanto “enseñar” como “aprender” y lijn significa línea o trayectoria.

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El proyecto comenzó en 1998 con el desarrollo de la trayectoria de enseñanza–aprendizaje correspondiente al cálculo con números enteros. Primero se publicó una descripción para los grados inferiores, desde el grado 1 y hasta el 415 (Treffers, Heuvel‐Panhuizen y Buys, 1999) y posteriormente otra para los superiores, desde el grado 5 y hasta el 8 (Heuvel‐Panhuizen, Buys y Treffers, 1999). En 2001, ambas trayectorias fueron traducidos al inglés y publicadas juntas en un nuevo libro (Heuvel‐Panhuizen, 2001b). Paralelamente, desde 1999, se comenzó a desarrollar la trayectoria para la medida y geometría (que fue publicada en ingles en 2005). El material incluye CDs con videos de clases prototipos (figura 9). Figura 9: Lección 3 de la Trayectoria de medida y geometría: Introducción del contexto histórico, el pie como unidad de medida.

2.2.1.4.1 ¿Qué es una TAL?

Aunque una trayectoria de enseñanza–aprendizaje ubica al proceso de aprendizaje en línea, no quiere decir que un paso debe ser seguido necesariamente e inexorablemente por otro ya establecido previamente. En una TAL, la descripción de cada trayectoria tiene en cuenta lo siguiente (Heuvel–Panhuizen, 2001):

los procesos individuales de aprendizaje de los estudiantes;

las discontinuidades en los procesos de aprendizaje (a veces los estudiantes pueden progresar de a saltos y brincos y, en otras veces, pueden tener recaídas);

el hecho de que se pueden aprender simultáneamente habilidades múltiples y que se pueden desarrollar diversos conceptos al mismo tiempo, tanto dentro como fuera del tema trabajado de manera específica;

las diferencias que pueden aparecer en el proceso de aprendizaje dentro de la escuela, que reflejan las diferencias en las situaciones de aprendizaje de fuera de la escuela; y

los diversos niveles en los cuales los niños dominan ciertas habilidades.

Aunque estas trayectorias contienen muchos ejemplos concretos de las actividades en el aula, no pueden ser utilizados como libro de recetas para la enseñanza cotidiana. Contrariamente, fueron pensadas para proveer a los profesores de un ʺmapa educativo mentalʺ, el cual pueda ayudarles (en caso de necesidad) a hacer adaptaciones al libro de texto que se ha elegido trabajar en la clase. La trayectoria de enseñanza‐aprendizaje sirve como una guía a un nivel conceptual (Heuvel–Panhuizen, 2003).

Según Freudenthal (1991) al seleccionar nuevos problemas un profesor debe tener una buena idea de: los objetivos, la ruta que puede conducir a éstos objetivos y las señales de

15 Estos grados abarcan a los estudiantes de entre 4 y 8 años.

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referencia que los estudiantes cruzarán de una forma u otra a lo largo de ese proceso. Es decir, para la RME, no es posible guiar el aprendizaje de los estudiantes sin esta perspectiva longitudinal Sin tener lo anterior en mente, es difícil para el profesor apreciar las estrategias de los estudiantes y poder prever cambios que sucederán a la distancia (Streefland, 1985).

2.2.1.4.2 Características

Para Heuvel–Panhuizen (2003), estas trayectorias de enseñanza–aprendizaje tienen algunos elementos nuevos que hacen que sean consideradas como un nuevo fenómeno educativo en Holanda.

La característica más importante de la trayectoria es su perspectiva longitudinal. En este tipo de trayectorias, en vez de ser sólo una colección ensamblada de objetivos de logros de todos los diferentes grados, se describen cómo las capacidades se construyen conectándose unas con otras (indicándose qué viene primero y qué viene después).

Una segunda característica es su doble perspectiva de objetivos de logros y de marco didáctico de enseñanza. La trayectoria de enseñanza‐aprendizaje no solamente describe las marcas (los hitos) que pueden ser distinguidos en el camino seguido por cada alumno, sino que también retrata las actividades claves en la enseñanza que conducen a estas marcas. La tercera característica es su coherencia inherente, basada en la distinción de niveles. La descripción muestra que lo que se ha aprendido en una etapa, es entendido y realizado en un nivel más alto (en una etapa siguiente). Un patrón recurrente de transiciones entrecruzadas a un nivel más alto forma el elemento conector en la trayectoria. Otra implicación crucial es que los estudiantes pueden trabajar en los mismos problemas sin estar en el mismo nivel de comprensión.

La cuarta característica hace referencia al nuevo formato de descripción que esboza y narra el desarrollo continuo que toma lugar en el proceso de enseñanza ‐ aprendizaje (y que también fue completado con muchos ejemplos). De esta manera la descripción dejó de ser una simple lista de habilidades para ser archivadas o una formulación estricta de los parámetros de comportamiento que se pueden esperar.

En el capítulo II se describió la estructura y el funcionamiento del sistema educativo en Holanda. Primeramente el enfoque fue general, de todos los niveles, y posteriormente se comentó la enseñanza de la matemática en la Escuela Primaria en ese país. Más aún, en este capítulo se desarrolló la perspectiva macro‐ didáctica y en el Capítulo III y IV, se trabajará la perspectiva micro‐didáctica.

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Contextualizar Matematicas en La Primaria de Holanda