Contingencia Bio

8/17/2019 Contingencia Bio

1/29

Una empresa de imprimir, alimentada a mano, estaba sujeta a lo que parecía ser un número

irrazonable de obstrucciones causadas por interferencias de las hojas de papel a la prensa.Se hizo una prueba para ver si diferentes operarios encontraban o no diferentes grados de

dificultad con la máquina. Cada operario alimentó la máquina introduciendo el mismo número

de hojas, contándose luego el número de atascos sufridos por cada uno, lo que dio lugar a la

siguiente tabla:

Operario A B C D Total

Obstrucciones 6 7 9 18 40

¿Existe o no diferencia entre los operarios a un nivel 05,0 ?. ¿Y aun nivel 025,0 ?.

Analizar los resultados.

El valor teórico viene dado por la expresión: 348,9815,7 2 3;025,02

3;05,0


2/29

http://www.fuenterrebollo.com/


3/29

En un hospital se ensayó la eficacia de cinco medicamentos en un grupo de pacientes, con el

objeto de determinar si al final del tratamiento un paciente determinado mejoraba o no.Las observaciones que se encontraron están anotadas en la siguiente tabla:

Tratamientos A B C D E Total

Número de pacientes 51 54 48 49 48 250Pacientes mejorados 12 8 10 15 5 50

¿Existe diferencia entre los medicamentos a un nivel de 0,05?.

50

250

a

51=

50

250

b

54=

50

250

c

48=

50

250

d

49=

50

250

e

48=

2,10250

51.50a

=

8,10250

54.50 b = 6,9

250

48.50 b = 8,9

250

49.50 b = 6,9

250

48.50e =

El estadístico de contraste:

03,65003,56506,9

5

8,9

15

6,9

10

8,10

8

2,10

12n

e

O 22222

i

2i

5

1i

215 =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∑

=

Por tanto, como 2 4;05,024 488,903,6 χ , aceptamos la hipótesis nula oH , es decir,

no existe diferencia entre los diferentes medicamentos, con un riesgo 05,0 , en la

mejora de los pacientes al finalizar el medicamento.


4/29

Las leyes de la herencia de Mendel predicen la aparición de tipos de guisantes con

ascendencia específica 9:3:3:1 para las clases lisa y amarilla, lisa y verde, arrugada y

amarilla, arrugada y verde. En cierto experimento se obtuvieron, respectivamente, 315,

108, 101 y 32.

A un nivel de 0,05, ¿coinciden los datos con la teoría?.

47,055647,55655675,34

32

25,104

101

25,104

108

75,312

315n

e

O 2222

i

2i

4

1i

214 =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∑

=

Se acepta la hipótesis nulao

H porque 2

3;05,0

2

3 815,747,0 χ , el valor teórico es

menor que el valor esperado, afirmando que los datos observados coinciden con la teoría.


5/29

En un laboratorio se observó el número de partículasα

que llegan a una determinada zona

procedentes de una sustancia radiactiva en un corto espacio de tiempo siempre igual,anotándose los resultados en la siguiente tabla:

Número de partículas 0 1 2 3 4 5

Número de períodos de tiempo 120 200 140 20 10 2

Se pide:

a) Ajustar los datos a una distribución de Poisson.

b) Calcular la probabilidad con que llegan las partículas.

c) Verificar si el ajuste es correcto mediante una 2χ

, con un nivel 05.0

2,1

492

590

n

nx

x

6

1i

ii

=

∑

= . Por tanto, 2,1k

e.

!k

2,1k xP

=

5,,1,0k L


6/29


7/29

31,324928,15

12

7,42

20

7,106

140

8,177

200

2,148

120n

e

O 222225

1i i

2i2

3 =⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∑

=

Como 2 3;05,023 815,731,32 χ el valor observado es mayor que el valor teórico,

rechazamos la hipótesis nula. Es decir, la distribución de datos en estudio no se puedeajustar a una distribución de Poisson a un nivel de confianza del 95%.

http://www.fuenterrebollo.com/Matematicas-Taller/tablas-estadisticas.html


8/29

En una examen final de estadística, los estudiantes recibieron las siguientes calificaciones:

80 70 75 65 85 90 80 85 75

75 95 50 90 75 55 85 65 90

80 65 80 80 80 75 70 95 100

70 75 70 80 85 60 80

Verificar si las calificaciones obtenidas siguen una distribución normal, con una fiabilidad

del 95%.


9/29

Intervalos ix iO ii O.x i2i O.x

45 - 55 50 1 50 2500

55 - 65 60 2 120 7200

65 - 75 70 7 490 34300

75 - 85 80 13 1040 83200

85 - 95 90 8 720 64800

95 - 105 100 3 300 30000

34O

6

1i

i =∑

=

∑

=

=

6

1i

ii 2720O.x∑

=

=

6

1i

i2i 222000O.x

8034

2720

n

O.x

x

6

1i

ii

=

∑

=

4,1141,129640034

22200080

34

O.x

2

6

1i

i2i

2=

∑

=

Intervalos ix iO i p n. pe ii =

2iO i

2i eO

45 - 55 50 1 0,0129 0,41 1 2,44

55 - 65 60 2 0,08 2,72 4 1,47

65 - 75 70 7 0,2366 8,04 49 6,09

75 - 85 80 13 0,34 11,56 169 14,62

85 - 95 90 8 0,2366 8,04 64 7,96

95 - 105 100 3 0,08 2,72 9 3,31

n = 34 87,35e

O6

1ii

2i=

∑

=


10/29

Como 2 3;05,02

36 815,787,1 χ , el valor observado es menor que el valor teórico o

esperado, afirmamos que las calificaciones se distribuyen normalmente a un nivel deconfianza del 95%.


11/29

Tres métodos de empaquetado de tomates fueron probados durante un período de cuatro

meses; se hizo un recuento del número de kilos por 1000 que llegaron estropeados,obteniéndose la tabla adjunta:

Meses A B C Total

1 6 10 10 262 8 12 12 323 8 8 14 30

4 9 14 16 39

Total 31 44 52 127

Se pide:

a) Observando simplemente los datos, ¿qué creeremos que se puede inferir sobre el experimento?

b) Con un nivel de significación 05,0 , comprobar que los tres métodos son igualmente

buenos.


12/29

81,7127

31.32

n

O.Oe 12

yx21 = 32,7

127

31.30

n

O.Oe 13

yx31 =

09,11127

44.32

n

O.Oe 22

yx22 = 39,10

127

44.30

n

O.Oe 23

yx32 =

10,13127

52.32n

O.Oe 32 yx23

=

28,12127

52.30n

O.Oe 33 yx33

=

97,15127

52.39e51,13

127

44.39e52,9

127

31.39e 434241 =

El estadístico de contraste: ne

Ok

1i

m

1 j

ij

2ij

e

eOk

1i

m

1 j

21m.1k ij

2ijij

∑∑∑

= =

= =

En nuestro caso, 613.141m.1k =

24,112797,15

16

51,13

14

52,9

9

28,12

14

39,10

8

32,7

8

10,13

12

09,11

12

81,7

8

65,10

10

01,9

10

35,6

6n

e

O

222222

2222224

1i

3

1 j ij

2ij2

6

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∑∑

= =


13/29



14/29

La siguiente tabla muestra el resultado de un experimento para investigar el efecto de la

vacunación de animales de laboratorio contra una determinada enfermedad:

Enfermos

Vacuna

Sufrieron la

enfermedad

No sufrieron

la enfermedad

Vacunados 9 42No Vacunados 18 28

Se pide:

a) ¿Afecta la vacuna a un nivel ?05,0

b) ¿Y a un nivel ?01,0

c) Responder al apartado (a) utilizando la corrección de Yates.


15/29

2,3397

70.46

n

O.Oe8,12

97

27.46

n

O.Oe

8,3697

70.51

n

O.Oe2,14

97

27.51

n

O.Oe

2212

2111

yx22

yx21

yx12

yx11

=

=

57,5972,33

28

8,12

18

8,36

42

2,14

9

ne

O 22222

1i

2

1 j ij

2ij2

1 =⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∑∑

= =


16/29



17/29

Sobre una decisión de importancia nacional los votos de demócratas y republicanos

registraron los datos de la siguiente tabla:

A favor En contra Abstenciones

Demócratas 85 79 40

Republicanos 120 62 26Se pide:

a) ¿Hay diferencia entre ambos partidos a un nivel ?05,0

b) ¿Y a un nivel ?01,0

32,33412

66.208

n

O.O

e68,32412

66.204

n

O.O

e

2,71412

141.208

n

O.Oe82,69

412

141.204

n

O.Oe

5,103412

205.208

n

O.Oe5,101

412

205.204

n

O.Oe

3231

2221

1211

yx

23

yx

13

yx22

yx12

yx21

yx11

=

=

=


18/29

El estadístico de contraste:

94,1041294,42241232,33

262,71

62

5,103

120

68,32

40

82,69

79

5,101

85n

e

O

22

22222

1i

3

1 j ij

2ij2

2

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∑∑

= =

Se acepta la hipótesis nula oH cuando el estadístico de contraste2

1m.1k es menor o

igual que el estadístico teórico 21m.1k ;

. Atendiendo a que:

22;01,0

22

22;05,0

22 210,994,10991,594,10 χ

En ambos casos, con un riesgo de 05,0 y 01,0 , se rechaza la hipótesis nula,concluyendo que existe diferencia entre los dos partidos cara a la votación.

96,1041243,21353,209

41266

26

141

62

205

120.

208

412

66

40

141

79

205

85.

204

412

nO

O

O

O

O

O.

O

n

O

O

O

O

O

O.

O

n

222222

y

223

y

222

y

221

xy

213

y

212

y

211

x

2

232123211

=

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

22;01,0

22

22;05,0

22 210,996,10991,596,10 χ

En ambos casos, con un riesgo de 05,0 y 01,0 , se rechaza la hipótesis nula,

concluyendo que existe diferencia entre los dos partidos cara a la votación.


19/29

Un agricultor desea saber si existe diferencia entre diez abonos en el cultivo del plátano

en una determinada zona. Para ello abona seis matas con cada abono, observa el mismo

número de kilos y obtiene los siguientes resultados:

Abono ix 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x

2is 9 3 4 3 5 4 2 4 5 3

( ≡

2is varianza del abono ix ) )6n( =

¿Es cierto que hay diferencia entre los abonos a un nivel 01,0 ?. ¿Y a un nivel 05,0 ?

El estadístico de contraste: ( ≡in elementos muestra ix )

]

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

k

1i

2ii

k

1i

i22

1k sLn.1n1n.sLn


20/29


21/29


22/29

67,117717

239.353

n

O.Oe 11

yx11 = 33,121

717

239.364

n

O.Oe 12

yx21 =

85,105717

215.353

n

O.Oe 21

yx12 = 15,109

717

215.364

n

O.Oe 22

yx22 =

47,98

717

200.353

n

O.Oe 31

yx13 = 53,101

717

200.364

n

O.Oe 32

yx23 =

02,31717

63.353

n

O.Oe 41

yx14 = 98,31

717

63.364

n

O.Oe 42

yx24 =


23/29

b) Sea la hipótesis nula :Ho El modelo genético es correcto

O A B AB

Comunidad 1121

2

1 r .ne =

120

) pr 2 p(.ne 2

2

79

)qr 2q (.ne 2

3

33) pq 2(.ne4 =

43,035343,353353e

O4

1i i

2i2

12

124 =∑

=

Como 2 1;05,021 841,343,0 χ se acepta la hipótesis nula, concluyendo que

el modelo genético es correcto, a un nivel de significación de 0,05.


24/29


25/29

227,010042

40

49

50

9

10n

e

O 2223

1i i

2i2

12

1132

1 pk =

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

=

∑

=

El estadístico teórico841,32

1;05,0 =

Como 2 1;05,02 841,3227,01

χ se acepta la hipótesis nula Ho, y en consecuencia, se

acepta el modelo teórico, con una fiabilidad del 95%.

El número de defectos congénitos en una muestra de 100 individuos de una poblaciónestableció la siguiente distribución:

Número de defectos 0 1 2 3 4 5Frecuencia 84 9 3 2 1 1

¿Se ajustan los datos a una distribución de Poisson?.

Número de defectos 0 1 ≥

2

Probabilidad 0,7408 0,2222 0,0368


26/29

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

=

∑

=

10068,3

7

22,22

9

08,74

84n

e

O 2223

1i i

2i2

1 12,21

Siendo 2 1;01,021 635,621,12 χ se rechaza la hipótesis nula, concluyendo que

el número de defectos congénitos no sigue una distribución de Poisson, con un nivel deconfianza del 99%.

Con el objeto de controlar la producción de una máquina que produce laminas de madera se

inspeccionan 100 láminas al azar. Los resúmenes de los resultados muestrales son:7,9xˆ = 05,1ˆ = .

20 láminas con espesor inferior a 9 mm - 38 láminas con espesor entre 9 y 10 mm - 25

láminas con espesor entre 10 y 11 mm - 17 láminas con espesor superior a 11 mm -.

¿Se ajustan los datos a una distribución normal, con una confianza del 95%?.


27/29

Como 2 1;05,021 841,306,5 χ se rechaza la hipótesis nula y se concluye que el

espesor de las láminas de madera no se ajusta a una distribución normal, con un nivel de

significación de 0,05.



28/29

Se clasificaron 1000 individuos de una población según el sexo y según fueran normales o

daltónicos.

Masculino Femenino

Normal 442 514

Daltónicos 38 6

p2

1 pq p

2

1 2

Según un modelo genético, las probabilidades son:

q 2

1 2q 2

1

donde q = 1 - p = proporción de genes defectuosos de la población.

A partir de la muestra se ha estimado que 087,0q ˆ = . ¿Concuerdan los datos con el

modelo?.

La tabla de frecuencias observadas y esperadas [ ei = n . pi ] será:


29/29

Hombre Normal Hombre Daltónico Mujer Normal Mujer Daltónica

442 38 514 6 1000

(456,5) (43,5) (496,2) (3,8) (1000)

Siendo 2 2;05,022 991,5068,3 χ se acepta la hipótesis nula Ho y se concluye

que se acepta el modelo genético, con un nivel de confianza del 95%.

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