124
! " # ! " # $ % & ’( ) * + ! * , ! - * .#/ !+ ! - *% ! " % ** 0 + # * 0 # # $ %& % ’$ ()* + % 1 ) % 2 - ! # 3 4 %% 56 - %* 7 % % +8 , - %$ . * 9: : + $ * & # ) *% 9; ! ’6 ! + 4 ** 7 ’ <’ #= 4 * 0’ < -6= 4 *> ’( %

Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

  • Upload
    ledien

  • View
    227

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��������� ����� � �������� ����� ����

�������� ������������������� ��������� ��������������

������� ������������������������ �������������������������������������

�� �������� ����� ��� ����� ����� �� �������� ���� ����

�������

� ������������ �

!���������� � � ���� � �����"� ������� #��� ������������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� ������ ��� �������� �������� !�� "��� ��#���� � � � � � � � � � � � � � � � $��% &������� �'(�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )��* ������ ��+ �! ������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��*�� ,��������� �! ��� ������� ���-������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����*�� .������#/ ��������� !����+��� !��� ��� ������� ���-������ � � � � � ����*�% �� ��� !�� � ����� "��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%��*�* 0���� +��� �� ��#���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �*

��� 0���������� �� ���������������� ��#���� ����� ��#���� � � � � � � � � ��

� ������ ����� � ���$� %�������& %������ '��$���������������� �()* �+%�� 1����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)%�� 2���������� �-������ !�� ��#���� �� ��������������� 3��� � � � � � � � � �4%�% 5��6 �-������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��%�* 7�� �������� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%%�� �+�8��������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

, -����� �������� �� ������� � %�������$� .*�� 9�:� ��� ��� ��������:� ��� �� � ��� +��� � ���� ��� � � � � � � � � � � �$*�� &� �#������ �������� �������� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � �)*�% 9������ ; ���������� ���� �! '��6 ��� ��!��� +��� � � � � � � � � � � � �4*�* 7������ ���'��� <���'� ���� �#��� ��� = � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4*�� 0� ��'������ <���� �������� ������ �����-��6� = � � � � � � � � � � � � � � � �4*�> ��'(��� ��� ������ �� ��� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %�

Page 2: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

# /�� ����� � %����� �������� 0�� � �����%����"����� �����%���� �

1 � ���� 0�� � %������� "����� 2������ ��� ����� ������3������ �1

. �0�3���%���� ����� 0�� ����������4 �������� �� %������� ,#$�� 2���� ��� 3��� �-������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *�$�� ������������� ���� �'����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *)

$���� ������ ��+ �! ������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *)$���� ����?����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *4$���% ����?����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

$�% ������ ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

+ ����%��������� �0�3���%���� �������� 0�� �� ��5��� � ���3��4 ����������� #6)�� @'(������ �������� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4)�� ��������������� ���� �'����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >�

6 7� ��������%�� ���%����"����� ��8�����& 9�������3��� �������� � ����� %��������� ����� . 4�� 0����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $�4�� ������ ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $%4�% ��������� ����� ��!�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $>4�* ����6���#�������� !�� ������ �'������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � )�

4�*�� ���6���� ��� ��(��6���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )�4�*�� . ��������� �#����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )*

4�� 7��������� �����6 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )$

�: !���������� � �������� 0�4� �� ����� %��������� ���� +6���� A��� !���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 4����� 1���������� �! !���� �! ���� ��� +��� �� 5���B ����� ��� ����� ��#����

����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 4����% 5���B ����� � � ��� ����� ��#���� ����� �� ��� �#����� �! ��������8

����� ���� ��� +��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 4%���* 0����������� �� ��!��� +��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 44���� ���!��� +��� !�� ��� ������� / ����� '���C������ ����� '���C��-���;

� �������� ��������� �! ��� �� ��� ��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � ��������� 1����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������� �������� �-������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������% 7������'����� ��������� ��� �� ��� ��� �������� � � � � � � � � � � � ��%�����* 5������� ����� ���'��� !�� ��!��� +��� � � � � � � � � � � � � � � ��$������ D��� !��-����� �����#������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)�����> ��+ !��-����� �����#������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��4�����$ �����6 �� ��������� ��!��� +��� '� 5���B ����� ��� ��� �����

��#���� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��4

Page 3: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

�� ���� ����$ �� %����� �������� ��:���� .� ������� !�� ����� ������� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� .� ������� !�� ���� ������� ��������; ����������� � � � � � � � � � � � � � � ���

� -��%���4� ��+

� ������������

7�������� ������� �! �������������� � ��� ��� '� ������� ������� ���� ����� ����� /

? � ��� +������ ��:� ��� <���� �������� ������ �! ��������� =; ��� �� ���������� �#����� ��� ����� ��� ��� ������� ���

? �� ��'�� ��#���� �� +���� ��� ��������� ��� ��� ��-���� ���������� ��8��� ��������� �����'�� ; �� ������ �� � <���� -�� � ����� ����� � = ��:� �������� � ��� �� ���'�� �� ��� � ��� '� 2��6B ��+

? ���� ��'�� ��#���� +���� �� ��-���� ���������� ����� ��������� �����'�� <���� ��� ������ �! ��������� ����=; �� ������ �� � ��:� ��� ����� � ����� ���'�� �� ��� � ��� '� 9����B ��+ �

��� ��� �3������ � ��� ���� � !�� �#����� �� ���� ������� ��� ��:� ��� ���8�� � ��� ���� �� ��������� ���� <���� '� ����8 ���� ��� � ���� !�������� = � ��� ��� ��� '����� ���� � � �������� �������� <���� ��'�� ��#���� = ��� ��-���� ����� ����8����� �����'�� ��� � ��� ��� �� ���'����� �! ����� �� ���� ��� '����� � ��#���� �!"��� <�� ��'�� ��#���� =�

&����� ��������� ����� �! ��#���� �! "��� ���� '��� ��������� �� �4�$ '� � ���� �! ������� �! 7� ���� ���� <���� ��/ E*�F= +�� ��� ����� � � ������� ��� ���������! � ��������� �������� �� �������������� "��� � ��� � D� +� �'�� �� ������������������ �� �������� �! "��� ��#���� ��������� '� .� 2��6 <�)��= �� ���!�� <�)$�= �������� <�4��= ��� ���� ����� � ��� ������ ���������� ����� ��������� '� ���� ������� ��� ����� +� � �������� �#������ ��� ��������� '� 0� &G����� <�4>)= ��� ������ � �� ��� ������ ��������������� ������ �! �� ��'�� ��#���� � 0� � ��� ����� �� ��������� �� ��� '��6 �! 0� &G����� E%*F�

A� ��� ��� �+� ����� �! ����� / �� ��'�� ��� ���� ��'�� ��#���� � 0� ��� 3� � �� �+� ��� ���� ��� ��� ���� ����� ����� �� '� 7� ���� ���� ��� �#������ '� 0� &G������ 0� ��� ����� �� � +� ��� ��� � ����� +��� ��� '������ �-������ !�� ���� ��� ��� �� ������������ � !�� ���� ��!�������� �! ��� 6������ <5���B ����� ��� ��� ����� ��#���� �����=�

0� � ��H���� �! ��� ���� �'�� �� ���� ��� !��� �� � �! ��!������ !�� ��������� ������� �! ��#���� � 2������ +� -���� ���� ��� ����� �������� ����� ��� ���������� �� ��!���� �� ��� ������'�� '��6 ��� ��������� +���� ������� ���� �������� ���� �� �����������0� ���������� ��� !����+��� '��6 ��� �����������/

�� �� ���; ���� ��� �� �� ��������� ����� � 5��� ���� A������ �4>$ <���8��������� ��� ���� �������� �! � ��� ��� =

�� �� ���� <���=; ������� ������ ���� 000/������� ��� �� ���� �������.������� 1�� I�+ J��6 �4$> <�� ���������� 1��� 0/ �� &� 5�+�� ������ �� ������=

�� ��������; ������� ���� ����� �� ������ ,������ �������� I�+ J��6�4)* <������� � ��� > +��� ������'����� �� '��� �� ��'�� ��� ���� ��'�� ��#���� =

%

Page 4: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

�� ����; ��� �� �� ����� � ������ ���� 9���� I�+ J��6 �4))��� �������; ���� ����� �� 1����� 5� ��� �4)� <7������ > �� �� ��'�� ��#8

���� =��� �� ���������� �� ��; �������� �� ������� A���� �������3� ���������

�44���� ������; ���� � ������� �� ������� �������� 5����� �44) <7������ ��

�� ���� ��'�� ��#���� =��� �!!��� �� ���"�; ������� ������� �� ������� ������� �������� 5�����

���* <7������ $ �� ������ �! ��#���� =�A������� �� �'�� +� � � �� ��� � ���� �� �' ����� �������� !�� ��� �� � 0! ������

����� �������� �� 7���� ��� ���������� ��� �������� A� ������ ������ '� ���� '���!��������� ��� ��� �� �! ��� ����� ����� '� ��� ������� '��� !��� ������ ����

4 K ���� � K ���� � ��

4 �0 K 4���� �4 K ������� � � / K����/ K �������

����4 K������

� � �� ���4 K������

� ����� K�������

� � � � �� ����

0� ��� ����� ���� �! ��� ���� +� �� ������ � '��+��� ���������� ��� ,������� ��!������ � ��� � ����� ���� '� � ������ ��� �������/ ���������� '� � ������ 9� �� K �� �� %��� ,������� '� � ������ �� K �� �� %�

*

Page 5: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

!���������� � � ���� � �����"� �������

. ��������� �'��� ��� ���� ����� � �! ��� ������ �! �� ��'�� ��#���� � �� �� ���'� �������� ����� '������� �! ��#���� �! "��� <�� ���������� ? �� � =� ���� �:��� � �������������� ��:� ��� �������� �������� � �� � ���� ����� '� ��������� A� ��� ����� � ��������� �� ����������� �! ��� ������ �! ��#���� �� �������������� � ��� ���8������� ������� �������� +���� ����� ������ !��� �! ������������������� � A������ ��� �:��� ��� �!��� ��������� �� ��#���� ���� ��� ��!� ��� �! ��� ��������� ��������� ��� '� �������� '�� ����� ��������� ���'��� �! ��� �#�����

;� ����������� %������

0� � ���������� �� �� ���'� ��#���� �! "��� � +� �� �� ��� "��� ������� �� ���,������� ��!������� 0� ���� ��� ������� ���3�������� � ��� ��!������ ���3�������� !����� ������� .�� 3��� �! ��� ����� ��� !������� �! ��� ������ �����'�� � ��� ��� ������� �����'�� � � � ��� ������ �! ��� ��#���� �� ������ �� ���� ��� �� ��� �� ���� �!���� ���� ����� �! ��� ������ � �������� ���������� �� '� �������� �! ��� ��������� �! ��� ��#����� A� �� ������ � ��� ��������� '� ��� ����# � ������� !��� � �� �+���� � � ��� ���'�� �! ��������� �

0� ��� �� � �! ���������������� � ��� ��� ������ �� ��� 7������ ��� ���� ������ � ������� �� ��� �'��� � ��� � � ���� �� '� �� ���'�� '� ��� !����+��� 3���

� ��4�� �� � � K �� � �� <�=

+���� � ��� ��� ������� ������� �� ��� ���� �! ��������� ��!������ �� ��� ���������� ������ �� ��� ������� ���3�������� �� 4� ��� ��� �������� 3��� �! ��������� ��� ������� ��� �' ����� ����������� ������ !�� ��� ��������� � ��� �� � -������� ��-���� �� � ������� ���� ��� ��������� �� � ��� ��� ������������ 0� ���� �������������������� ��� � ������� � ��� ��� 3�� ��� +� ����� ����� �� �#����� !�������� ��� � ���� � D�+���� ��� ���'��� �! ������������� �������� �! �������������� � ��� +��� �������� ����������� � ���� ��� !���� ����� ��� � +� �� !������ +� ����'�� �� ������� ���� ������� �� ��� �

2���� �-������ !�� ��� 3��� <�= !����+ !��� ��� ������� '������ �-������ �! �� ����������� ��� !��� ��� ������ '������ �-������ !�� ��� ��#����� ��� ������� '�������-������ !�� � K �� � � ���� ��� !���

��

���

��� K

���

L ���� <�=

��

���

�4��� K

����

����� M

���

< �"� M <%�= ��� <%=

��

���

���� M �

�4� � 4�

��� K

����

<��4� 2�= � ���M

M

���

< �"� � 4� M ��� M L��= ��� <*=

Page 6: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

+���� �� � �� � � ��� ���'�� �' �� �! ��� ������� ���3�������� +���� ���� +��� ���

6�������� �! ��� �8��������� ��� ��� ������ �� ��!��� +��� ��� ���� ���+��� ������

������ �� ��� -�������� +��� ��� ��� ��� ������ ��� ���� �! ����� ��� ��������� ����� !���������� � ������� �! ���� ����B ��#���� ������ ���� �� � ��� !� ��� !����+������ �������� ��+

���

L � K ���

���

<%� K ���

���

L�� K � <�=

��� ��������� -�������� ���"�� ���2�� �� ������ ��� �������� ������� 7����� ��� ��� �� �� ��� �8��������� ��� '��� !���� ��� ���� �� �! ��� �8��������� ��� ���8���� ��� ��� �! ��� �������� ������ �! ��� �8��������� ��� ������� ���� "�# �� ��� �8��������� ��� ��� ��� ��� �! ������ ��������� �� ��� �8��������� �� ����������

0� ��� �� � �! ��� ����� ����������� 3��� ��� ������� ������ '������ �-������ ������ � �� ��� +� ���� ���� ��� ������ ��� �������� �! ��� ��#����� ��� �� � ���� �!���� � ��� ��� ���� !���

��

��

��M �

�4 � 4

��� K

���

<�4 2= � ��� M

��

<" � 4 M �= �� <>=

A� �'���� ������ ��� �������� �! +� ��� �-������ <*= ��� ��������� ��� ��3������

K�

���

�� 4 K�

���

�4�� � K�

���

���� M �

������

��

� K�

���

<�� ������= � 2 K�

���

�2� M �

��� M �

������

��� ����

��

� K�

���

� <�� M "� � ��= � �� K 4� 4��

���

��� K � <$=

��� ��� ���� �! ���������� ���� ���������� ��� ������ �������� �� !����+ !��� ���!��� ���� �' �� � �! ��� ������� ���3�������� �� �� � ��� 6�������� �! ��� ���������� ������� !��� 4 ��� �� ���� ���� "�#� ������� ���������� ������'����� ? ���� �!��� � �' �� � ������ +��� �� ���� �� ��� �! ��� ��������� �

0� ��� '� �� ��� ����6�� ���� ��� �'��� ��3������ ����� � +��� ��� ��� ���� ��� ��8������ �! �� ��� �������� !�� ��� +���� ��#����

��

��

�� K ���

��

��

4�� K

���

���� M

��

"��� " K�

���

�"� <)=

��� � �����6 ���� ��� ��� ���� �! ��:� ��� ����� � ����� ����� ���� "�# 2 ���� ����� �� � +��� ��� ������� ���� ���������� ������'����� 2� ��� �' ���� ��� �������� � � ������ !�� � �������� !��� �! ��� ����� ��+ �! ������������� �! ��#���� +���� +��� �� !�������

>

Page 7: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� �'��� ���'�� '������ �-������ ����� �� � ������� +�� ����� ��+ � ���� ������:����� !��� �� ������� ����� �� +���� 3��� ��� ��������� ��� �� ������� ����� �� ��!��� �� +���� 3��� ��� �:�� (��� � I�����

� �

��M ��� < �4�= K L ��

� �4�

��M ��� < �4� � 4� ��= K �"� M <%��

� �

��M ��� < �4M 2= K �� ����4 M �� <4=

�� ������� ����� � ��� �� � �-������ ��� � ������ '������ �! �������� ������ !����+ '� ����������� �! ��� ������'����� �! 6������ ������ '� ���� �! �� ��� ����������� �������� ��+ �

0� ������� ����� ��� '������ �-������ ���� ��� !��� �! (��� ��������� ���� ��� ��!���� A� � � ���� ���� ���� !�� '��6 �� �! ��� ��#���� ��� ��� '��6 ������ �! �����#���� '�� �! ���� � ���� ��� '� �� ��� ������� !�� ��� ����� �-������ � +���� A����� !�� ��� � �+� -��������

EE <4 � � �=FF K �� EEFF K <=� <=� �

EE2 � �FF K EE� <4 ��=FF � ����M �

�<4 ��= � <4 ��=

�� <4 � � �= � <��=

+���� � ������ ��� ���� �! ��� ��!��� ��� � � ��� ���� ������ ������ �� ��� ��!����. ��������� ��� ���'�� �������� � ������ ��� ��:������ �! ����� �� '��� ��� �! ��� ������� ��!����

; 9���� ����������4 �������� �� 5��� �������

��� � '���� +��� ��� ����3������ �! �� ����� !�� �������� �������� � 7�������� �! ��� ��#���� ��� ���� ��� ��� �� � !���������� ���������� �! ��� ����� ����� ����������� � ��� ������ �������� <��� ������� = +���� ��� !� ��+ �! �� ��� ��������� �� ����� �������� ��� � ��� ���� ��� ����� � �#����� �! !�������� �! +���� !��� ��������� ��� �#���� �� ��� � �+� ��� �������� <��� ������� = +���� ��� ��#���� ��� � � �!��� !����+��� ��������� / ������� ��� ������� ���� ��� ������������� �� ���������������� +���� ��� '� ��'�������� +������ �� ��� !���

�� �� K ��

�� �� K ��

� M� �� K �� <��=

� M�� ��� K ��

��� M�� ���� K �

��� �����# �! ���H����� ��� � K �� � >� � K �� � � �� ��� �� �! �������� � ������ ��������� ���� ����� 0� ���6 ��������� ��� ���'�� �! ����������� �������� � 0� ���

$

Page 8: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

�#����� ��� ���6 � �-��� �� *� ��� ��� �������� �! �� !�� �������� <��� ������� = ������ �������� ��� '� +������ �� ��� !���

���

������ K �� � K �� ��� <��=

+������ ������ ��� ��������� +����� �! ��� ��������� � �� � ��� �� �! � ������������ ��� � � ��� ���'�� �! �������� �

2������ +� ��� ���� ���� ��� �� �! ����������� �������� �������� ��� +� ����������� ���'�� '� �� ��� ������'����� �! ���� �������� �� ��� ���������� �! ��������� ������ �� � �� ��� ���� �� ������� +���� +� ������ '� �� � K �� � �� ���� ��� �� ����� �� ������� �� '������ �-������ ��� '� +������ �� ��� !���

L � K��

��

������� <�%=

0� � ����� ���� ��� ��� �������� �������� <��= ����� <�=��A� ������� �� ���� !��� ��� '������ �-������ <4= ���� 3��� �-������ !�� ��� 3���

<�=� A� � � ��� ������� �! ��������� ������������� ��� � ��� ���� ��� ����������"�������

K ������ <%�� ��2� � <�*=

��� �H������� ����� !������� �! ���������� ���� ���� ��� ������ �! ��� ��� �������������'�� ����3� ��� ��� �! �' ����� ���� �'�� �� ��� ����� ����� ��� ��������� A�!����+ ���� ��� �� � ��� ������ '� 0� &G����� E%*F ��� ��� ���� ���� ��� "��� � A� ������������ ��� �������� �����'�� ��� �������� �! ������� �� ��� ���� � 0� �� '��� ��+� '�0� &G����� ���� ��� ����� � �� ���'�� �������� �! ����������� �! ��������� � A� ����������� �� ��� ������ ��� ��� �� �� �! ��� �������� �����'�� � � !����+

� K � �� ���� ��4�� �� ������ <��=

D���� ��� ������� �! ��� �� �! '������ �-������ �� ��� !���

K <�= <�>=

��� � �������� �� � ��� !� ��� ��� �������� �� �������� <�=��0� ����� �� �� ���'� �� ��� "��� +� +���� ���� �� ��� � ���������� �� ��������

�! �������� �� ��� �� �! ��� �������� �����'�� � ��� ��� '� �� ��� ���� '�� ��� �� ��� ������ � ���� ������ � �� ��� ��� ��� �� ��

;� ������� �"=���4���

��� ��������� �! �������� �'(�������� <�������� !���� ����:������= ������� ��� '������� �!3��� �-������ ����� ��� �8������ ,�������� ���� !��������� ��� ���� !�������� !����+ !��� ��� � ������� ���� ��� ���3�������� ���� � �� ����� ��� ���� ���� �+���'������ ����� �! ��� �������� � ��� �� ��� �� ���� �! ���� � �� �� ��� �� ���� !����� ��� ��+ !���� ���� ��� ��� �

�� �� ��������� ��� ������ ��� �� ����� ���� ��� !����+���

��������� � ��� 3��

��� ��� K ���

� ����

)

Page 9: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� � ������ ��� �� � �! ��� ���� !�������� � �� ���'�� '� ��� !����+��� �������� !�� ����'������ ����� �! ��� ���3�������� ����

�� K 7 <�=�M � <�= � 7� K 7�� <�$=

7������ ��� ���������� ��� �� 7 �� ���'� ��� �������� �! ��� !���� ��� ��� ������ ���� ���� ������ '��� ��������� �� ���� �� �� ��'������ ������� A� � ��� ���� ��� ���������� � �H������� ������

������ � ������ 0 ��� ��� �� � ���� !��� �� �� �'(������ ������ �! ���� ��� !� ���!����+��� ���� !�������� ����

�� K �� 0� K 70� �� K 7�7� <�)=

@'���� �� ������� ��� �������� ��� ��� ������������ ���� !��� �� �� �'(������ �������9�:����������� �! <�$= +��� �� ���� �� ���� �����

4� K 74 M >7�M >�� >7 K�7

��� >� K

��

��<�4=

�� K�4

��M 4�� ����4� K 7�M � >74M ?7�M ?�

7�� �-������ ��� �������� '������ �-������ �� ��� ���� !��� �� �� �'(������ ���������� ���� !�������� !��� �� �������� �� � ����������� !���� ����� ������!���� 7������ ,���� ��� ���� �������� !���� 6��+� !��� ��� ��� ���� �������� � ����������� �� ����� ��� ������ '������ �-������ ���� !��� �� �� �'(������ ������ <���� ����� E%�F=�

0� ��� �� � �! �������� �������� ����� ������ �� ���������� ���'��� ������� �� ���������'����� �! �� ����� �� ��� �������� '������ �-������ � 0� '����� ����� +���+� � � ��� ����� ���� �! ��:����������� �� ��� ��!� ���� ��� �! <4=� ��� �' ������ �� '������ �-������ <4=�� ���� ��� �'��� �� ���'�� �������� ������ ��������� �! +�� ��� ���� ��� !����+��� ������

<%� L �4�� <��=

� �'(������ ������ ���� ��� �������� ����� �� ��!� A� �� � �� !������ ��� ��������� ���� ��������� �! �������� �'(�������� <�������� !���� ����:������= ��-���� ���� !���8

����

K ������ <%� L �4�� ��2� K <�= � <��=

������ ��������� ����� �� ��'������ ,�������� ���� !�������� ����

� K <��= <��=

I��� ���� ��� ��� �������� ������� <= � ��� ��� �� <��= ��� <��=�.� ��������� ��� �-����� �! ��� �'��� ��������� � ��� ����������� �! ��� �! �����8

���� ����� ��� �������� �����'�� � 0� ���� �! ������� ��������� ��� �� ��� ������� ������������ ��������� +���� ��� �'(������� ��� � ��� '� ��:� ��� ��������� �� �� � ������� ���� � � ����������� �����'�� �! ��� ��� �������� ���������

0� K 4� 4� <�%=

+���� ��� ���� ���������� �� ��� ����������� �

4

Page 10: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� !��� ����� �������� �! ��� �������� !������� �� ����� �'(������ !��� � � ����������������� �� 6 ��� +� ���� ��� �� � �� ��� � ���� � A� ����� ��� ��������� �� ���8 �������� !������� +���� ��� ������ �� ���� ��0�� ����� � 0� ��� �� � ��� �� � �������!��� �! ��� ��� �������� �-������ �������'�� +��� ��� �������� �'(�������� � � !����+

� K �� �� �

��

�� K ��� �� �

���

<%� L �4� K�

���

���� ���� � M

���

���

���� 0� M��

� ������ <�*=

2� K�

���

��� ���� � M

���

���

���0� M �� ������

�� K ��� �� �

��

+���� ��� ����# � ������ ��� �8������ ������ ���� �! ��� -�������

2� K 2�

���

�� � <�����=�� K

���

2� M�

���

< ������=��� <��=

�� K ��

���

��

�� � �� K

���

��

��� ���H����� ��������� �� �������� <�*= ��� '� ��������� �� � ��� � � D�+�������� ��� ��� ����������� ��� �� ��� ������� �� �� �� �� �� �������� �� ����� � I�����+� ����

���

���� K �� K �� � �� <�>=

���

���� M L � K �� K �� � � ��

���

��� K �

0� ���� �! ��� �'��� � ���� ��������� ��� +���� ����� ������ ��������� ��� �������� ��������� �#������ ������'����� �

;, /���� ��0 � ������������

;,;� @4�������� � � ����%� ��2������

��� ������� �! ��������� ������������� �� ��� �������� �! ����� ����� ����� ����� �� ��� � ������� ���� ������� �! ��� 3��� �-������ ����������� ��� !� ��� ����� ��+�! ������������� ������ �� � ��� ������� ���������� ��� ��+ ��� � � �! !��� ���� /

��

Page 11: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

�C ����� �#� � � ���������� ������� ��� ��� !������� ! ��� ��� ������� "�# +������� '��� ��� ��������� 0� ��� �� � �! �� ��'�� ��#���� ��� ������ �� ��� ������� ������ � ���� ��� !����+��� ������� !���

! K !� �� �

�� K

���

"�� ���� � M

���

���

"��0� M "� ������ <�$=

+���� "�� � "��� ��� "� ��� '� !������� �!

�� � ���C ��� ������� ��� ��� ��� 3� ��� '������ �-������ +�� � !��� �� ������� ����� �

� !����+

� !

��M ��� < !4 M = K #� <�)=

+���� # ������ ��� ������� ���������C ��� ������� ����� � ����������� !�� ��� ������� �! 3��� �-������ ���� !�� ���

������������� ����� � � 7�� �-������ ��� !����+��� ���-������ ����

���� �� ����� �� ���������� !

��M ��� < !4M = � � <�4=

��C ����� �#� � ���� #���� �� +���� ����� � �� ������� ���������� ��� ��� ������8����� � ��������� ���� �� ����

EE � �FF M EE!FF <4 � � �= K �� EE� FF K � <%�=

08���� ��� <���� E%�F E%*F= �� ����� �� � ������ �! �#���������� �! ��� ���-������<�4= +���� ������ ��� ��� ���� ������ �! �������� ���������� �� �������� � I������� ���� �! ��� ���-������ �� �������� ��� ������� �! 3��� �-������ +� ��� ���� ������� �! �� �#������ ���-������ +���� ����� ���� !�� ��� !����$ ��� ��� '� ���� �! +� ��� ����3��� �-������ � ��� ������ �� ������� �! ��� ������� ���-������� ���� ��� ������ ���'� ���������� '� ���������� ��� ��� �#������ !��� �! ��� ���-������ � � !����+

���� ������ !

��M ��� < !4 M =

���

N��

�� �

��M ��� < �4�=

��

��

�������

���

A�� �

� �4�

��M ��� < �4� � 4� ��= <%�

� <%�=

N�

� �

��M ��� < �4 M 2=�� ����4

�� �

��� �������� ���������� N���A�� �N� ��� !������� �! ��� �������� �����'�� �� ���� ��4�� �� ����� � .!��� ��� �#���������� �! ��� �'��� ���-������ ��� � ���������� �� � '����������� � ��#������ -�������� �

0� ������ �! ��� �������� �������� ���� ��� ���-������ <%�= ���� �� �� ���-������ +����� �#�������� ������ �� ��� ����������

���

��� ����� ������

� �

��� ����� ���� ��

�4�

��� ����4�

<%�=

��

Page 12: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

����� ��� ���-������ <%�= �� � ���� !�� ��'������ 3��� ��� � ���������� ��� '� ��� �� ��8'��������� 7�� �-������ ��� ���-������ ��� '� �������� �! ��� � ������'����� �� ��� ���� ������������� ��� ����� � ���� �! ��������� +���� �� ��� ��� ���� ��� ��������� ���8������� ��� �� ��� ����� ���� �� ����� ��� �������� �������� � 0� �������� ����� ������ � ��������� ���� �! ��� ���-������ ��� �8������ ������� ���-������ +���� ��������� ����������� ��� ��� �! ����� � �

A� -���� ���� ��� �! ��� ��� �-����� �! ��� � ���������

N��

���

�� K �

���

�N��

� M <! N���= � <%%=

+����

N��

� K N�� �

�4� � �� �

��� � ��

�K N��

� < �� � = <%*=

2�� !������ ������ +� ��!�� ��� ������ �� ��� !����+��� .������# ��� �� ��� '��6 �!0��� &G����� E%*F�

;,; B%%����C �������� ����0��$ ��� � ����%� ��2������

�!

�� N� ��

��K ��

�$ N��2

�$K �� $ K������

�!

� � N� ��

� �M�

<! N��=

N��

4� �A�� K ��

� ���� � N� �2

� ���� �K ��

�!

�0� N� ��

�0� �

A�� K �� K �� � � ��

���

�!

�0� N� ��

�0�

A�� K ��

�!

� � N� ��

� �

��

�0� N� �2

�0�

�M�

A�����

�N�� K ��

� K �� � � �

�!

� N� ��

��

���

���

�0� N� �2

�0�

��

A����

�N�� K �

��

Page 13: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

�� ����� ���-������

���

��

� � N� �2

� �

�!

� � N� ��

� �

���

���

A�� ���

� �M N� �

���

� ���� �M

M

��

�� N� �2

��

���

A�� ���

��

� $M�

���

N�� L � M�

���

A�� � <%� � �

;,;� D����� �� � ���$� 5���

2�� � ����� "��� ��� �� ��� !����+ !��� ��� �'��� ��� ��������� '� ������ � K �� A��'����

A� K ��

�! K N�

��

��

��

K N�2� <%�=

�N�

� 2� ���� M

�N�

��2� ����� � �

A� � � ��+ ��� ���� ��C �! ��� ����� ��+ �! ������������� � ��� � ��� ���� ����������'�� ����� +��� +���� ������� �+� ��:����� ����� "��� 0 ��� 00� ���� � +������� +��� ��� ���� � K 4 � �� ��� (��� ��������� <%�= ����� ����

EEFF � � K � ��� EE� FF K � <%>=

5������ <��= ��� <%�=� �� ���� +� �'����

N�� < �� � = K N

��� < �� � � = <%$=

��� �������� �� � ���� !�� �� ��'������ ����������� ������ �! � ��� �� � D���� �� ���'� ��� 3�� ���� �! �� � ����������� �! �� ��� ���� �� ���� A� ��������

N�� <� = K N

��� <� = <%)=

7�� �-������ ��� !������� N� <� = � ��� ��� !�� ��� ����� "��� ��� !�� ��� ��� �� +����� �� ���������

0� ����� �� ��������� ��� !������� �� � �H����� �� �� ���� <%�=� !�� ��� �� � �! ������� � � ���� �� � ��������� +��� �$� � D���� �� !����+ �� �������

N� K�

� <%4=

�������� <%�= '�����

�! K�

��

��

�� K

�2� 2� ����� � � <*�=

��� � ��� ��� �� ��� ��������� +��� ��� � �! ��� ��� ���� ������������� � ��� 3� ��������� � ������ ��� �'' �-�������

�%

Page 14: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

;,;, ���� 0���� �� ������

0! +� ��� ���� �� ��������'�� +��� ��������� � ��#���� 0 !��� � ����� "��� 00 ���������� !�� ��� (��� ��������� +� �'���� �����������

N�� <

�� � � = K

� <*�=

D���� ��� ���������� N� ������ ������ �� �� � !�� ��#���� �@�� ������ ����� �� ��� ��� +�� �� � ������� ����� �! ��#���� �� +���� ����

��������� �� � � �� �+� ������������ ��� ���������� �! ��� ������� ������ '�������-������ ��� ��� �� ������� ������ �� !������� �! ��� �' ����� ������������ ��� ���� � +��� ���� ����������� ������ '� ��� ���� �� ��� ��!��� �! ������� '��+��� �+���:����� � ��� '���� � ��� � ��!��� ���� �! �� � �� ����� +��� ��� ��� ����� ������������� �! ����������� � 7�� �-������ +� ������ ��� ����� ����������� �

��� � ��+ ��� ���� � ���������'�� +��� ��������� �+� ��#���� 0 ��� 00� ��� +���� � ���� �� '� ������'�� !�� � ����� ��� �� ��������� �� @� ��� � +���

4� � � K� !�� � �K �� 4 K ��M �

<4� ��= <*�=

��� (��� �! �������� ������ <��=� ����

EE2FF � �

��� ���

� �

�<4��= � <4��=

�� <4 � ��= K ��

�� '������ ��� ��������� <��= ��� ��� ��������

� K �

���

<���M ��� � ��= �

�� ���� +� �'����

EE2� FF � �M

���

���

�� M �� M��<4��= � <4��=

��

<4 � ��= K � <*%=

����������� �� ��� (��� �! ��� ������� � �! ��� !����+��� !���

EEFF � �M EE!FF <4 � ��= K � <**=

��� � �+� �������� ��� '� ��+ �' ������� �� ��� �! ��� ��������� !����+��� !��� ������������� �! ��� ������� ���-������� ��� �� ��� �

��

�� �! M ��<4��= � <4��= M

���

�� ��

���

%��

�N��

��

K � <*�=

5������ <%%= �� ���� ��� �������� ��� '� ���� !����� � !����+

EE��FF K �� <*>=

+����

�� K ��� M

��<4��= � <4��= � ��

� K �N��

� � <*$=

�*

Page 15: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� -������� ��������� ���� ����� ���������'�� +��� � ������ ��� ��� ��� ���������� ��� �� ������ �� ��� ��� '� ���������� �#������������� I����� ��������� �� ����������� <%%= +� ����

���

���� K <�� �!= M

���

��� <*)=

��� !�� ��� ����� "���

�� K � �! M�

� <*4=

+���� � �! ���� � ��� !��� �������� ��� ����� � ��� ���'�� -�������� A� ��� ��+ ������� ��� ��� +�� � +� ��� !�� ��� ������������ ��� ������� '��+��� ��� ��#���� ������ "��� ��������� +��� ��� �8��������� �! ��� ��#���� ������� ��� ���������'�� +���!�� ��� ��������� ����� ��� ��� ������� �! ��� �������� ��������� �! ��� ����������

��� ��������� �� ��� �! ��� �#���������� �! ��� ����� ��+ �! ������������� �����+ '� +������ �� ��� !����+��� ������� !���

A�� K �

����

� < != K�

� < ��=�

���

��� �

<�� �!= K�

���

���� �� <��=

K�

2�

���

�����

,-������ <��=� � ��� �'' �-������ !�� ��� ��#���� � A� ���� ������ !������ �� ��� �-����� � ,-������ <��=� � ������ ��� �'' 89���� �-������� 2������ ��� ��������<��=� '��+��� ��� ������� "�# ��� ��� ���� "�# 2 ����� ����� ��� !������������:������ '��+��� ��� ������������� �! ����� ��������� ����� !�� +���� K 2$���� ��� �������������� ������ ��� ��� ���� �! ��� ���������� ���� �� ��� �'��� ������������� ���� +� ������ ���� �� ������������� �! ��#���� �� ��� ��� ���� 7��� �� 89���� ���-������ � ��� !��� �! ��� ����� ��+ �! ������������� � ��� � ��� �! ������� �' �������� ���� '� 0��� &G����� �� ��� ��� �������� �! ������������� ��#����������� �

;# ����������� �� ������������ �������& ���%� �������

��� �'��� ��� ����� �'' �-������ ����� ����������� ��� !����+��� ��������

��� K

� <�� �!=

� �� ! K

� <�� �!=

��� <��=

� +��� � ��� �������'����� ���������

� ��� �

K � �� <��

� $� =

���

����

� �K

����

� � <��=

��

Page 16: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

D���� ��� ���������� �! ��� D�������� !��� ������ ��� ��� <�� �!= ����!� ��� ���������������� !�� �������� ��������� ��� !�� ��� �������� 0� �������� �������'����� �������� ����� ����� �������� '��+��� ��������� / ��� �������� ��������� �! ��������� � ��8���� �� ��� ����� �� ��� ���� �

����� ��� ��� ���������� �� �������� ��� �� ��� !��� ���� ��� ���������� N� � ��8������� ���� �� ��� ������������ 2�� ��� ��� �� ��� �� ����� ���-������ ������� �������'����� ������ �� ���� � +���� �� � ���� � ��������� �� ��� ��� �������� +����+� ���� '�!���� ��� ����� ��� !����+��� ��������

���

�N��

� � ��� M

�N�

����� ����� N

���

���

� ���

� �

��� K � <�%=

7�� �-������ +� �'����

��� K �� ���� K

���

� � �

����

� � <�*=

��� ����� ��� !����+��� !��� �! ��� ������ "�# ��� ��� ����� �� �������� �-������

2� K �� ����� M���

���

���0��

�� L �4� K��� ����� M

���

���

���� 0� M

���

���

� � �

����

� �

����� � <��=

A� �� ���� ��� ���� ����� +���� ��� �������� �! ������� �� ��� ���� ������ �� �������� � ��� ����� �! ��������� D�+���� ���� ��� +��6 !��� �! ��� ��"����� �� ����������� '������ �� ����������� �� ��� ��#����� I����� �! +� � ��� ���� ��� ���������! �� ��� ���� ��� ��� ������ �� ��� �� ��� ����� +� �'���� !��� <��=

����

� �K

����

� � <�>=

��� �������� ����� ��� !����+��� �������'����� ���������

��%��

���

� �K

��%��

���

� �

D���� �� !����+

���

� �K � +��� � �K <�$=

��� ���� ���� ��� ������� ��� ��� �� ������ �� ��� �� � �� �� �� ��� ��� � '����� �� ��� �� ��� ���� �! ����� ��������� � A� �� ���� ���� ��� ��#���� � � ���$&������� �� ��� ��#���� �� ��� !��� !���� �! ����������� ������� �� ��� �������� ����� �������������� ��� �' �������� ���� '� 0��� &G����� �� �4>) <��� E%*F= �� ����� ����! ��� !���������� ���'��� �! ��� ��� ���� ������ �! ��#���� �! "��� � A� �� !���������� � ������ ���'��� ��� � !�� ���� ��'�� ��#���� �

�>

Page 17: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

@'���� �� ��� �������� <�>= ����� !�� ����� ��#���� ��� K ��

� < �� � =� D����

�� <�� �!=

� �� �K � !�� � �K <�)=

7�� �-������ ��� !��� ������ � ��� �� �! !������� +���� ������ �� ���� ��� �� ��� ��� ��� ������������ ��� ������� ��� ��� �� � � ��� ��� �������� ��� � ��� ��� �������� ������� �����!��� +� ��� +����

�� K�

���

��� < �� � = � ! K�

���

�!� < �� � = <�4=

��� ������� ����� ��+ ���� ����� � �� ������ �! ����������� '��+��� ��������� �� ����� ��#���� � 0� ����� � +��� ��� !����+��� �������� !�� �������� ���������

��� K �� �!� M

��

�� <>�=

+���� ���� ���� �� ����� ��#���� ��� �������� ��������� ��� ��� ������� !��� ����������� ����������

A� ������� �� ���� ������ ��� �� ����� ���-������ +���� ������ �!��� ��� ����� � ��� ����� �'���� 0� �� ��� !���

� /K

�����0�

��

��

���

�� �����

������0�

��

��

����

���

���� �

� M��0� �0�

��������

� �� <>�=

+����

�� K �

��

�����M

���

���

����

���

����

��

�M

M ����� ����

��

����

���

�%��

� �

��

<>�=

��� !������� � � ������ ��� �������� ������ ��� �� ��� � � �! !��� ������'����� /

8 �������� �������� +���� ��� ��������� ������������� '� ��� ��:������ �!�������� ��������� ��

� ��

8 ���� ���������� +���� ������'��� +��� ��� -���� �! ��� ����������� ���8����� �����

8 ��:� ��� +���� ������'��� +��� ��� -���� �! ��� �������� �������� 0�

8 ������� ��:� ��� +���� ������'��� +��� ��� ������� �! ��� ������������������� ��� �������� ���������

��� ���� ���� �� ������� ��3�� ��� ���� ����� � �"�� �� � . ��� ���� ���8�� ���� �� ��� ������� �! �� ������� ����� ��� ���������� ��������� ? ������������� ��'����� ��������� �! �-����'����� A� ���� ��� ��� ��� ���� �� ��� � ���� �

�$

Page 18: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

� ������� ��� � ������� �������� � ��� � ����

������������� � ����

��� �����������

��� ������� ���� �� ������ ��� �� � � ��������� ��� ���� �������� ��������� ������ �� �� ������ ���� �� � � ��� � ������ �� �� � ���� �� ����� ���������� � �� ��� ��� ��� ������� ���� �� ��������� ��������� �� ��� ���� ��� ������ ����� ��� ��� ���� ������� ���� � ��� �� ��� ����� �� �������������� ���� �!"� �!#�$� %� &��� ' �� ��� ���� � ��(����� ���� �� � ��� ��� ��������������� ��� � ������ �������� %� � ��� ���� ��� ������ ���� ������ �� ������� �� ������������������� �)*+$ � ����������� �� � �� � ������ ������ ������ ������ ���������� ������������� �� ��� � ��������� ������� �� � �������������,� � � �������� �� ����� �� ��� ���- �� %� ). �� ��/� ��� � �0 ����$�

����� �! �������� �������� � �� � ��� ���� �� � ����

'1

Page 19: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

�; !��������� 2������� �� ������� �� �������$���� E��

��� ��� �! ��� ��������� ��#���� ������ �� ��������������� 3��� � �� ��������� ���!����+��� 3���

&� ? �������� ��� ��� �! ���� � +�� � ��������� �� � �-��� �� '�

4� ? �������� 3��� �! �������� �! ��������� �

�� ? ����������� 3��� �! ��� ��������� �

@ ? �������� 3���

( ? �������� 3����

.�� ��� � 3��� ��� !������� �! ��� ����� � ��� ���� ��2���� �-������ ��� ��� ������� �� ��� '� � �! '������ �-������ +���� �� ��� ��� ���

�� � ���� ��� !����+��� ���'�� !���

��

���

'�&��� K

���

L ���� <>%=

��

���

'�&�4��� K

����

����� M

���

(�&� <@M 4� �F= ��M <>*=

M

���

< �"� M <%�= ���

��

���

'�&���� M �

�4� � 4�

��� K

����

<��4� 2�= � ���M

M

���

(�&� <@M 4� �F= � 4��� M

���

< �"� � 4� M ��� M L��= ��� <>�=

+���� ��� �������� � � '�!��� ��� ������������ (� ������ ��� �������� ������ ��� ���������! ���� ��

0� ������� �� +��� �������� <�= <%= ��� <*= ����� � �� ���������� ������'����� �!��� ������������� !���� @M 4� �F�

. '�!��� +� ��� ������� ��� �'��� �-������ '� ����� ����� ����������� �� ������������ � ���� ���� ��� !���

'��&�

��M'� ��� <&�4�= K L ��

'��&�4�

��M ��� <'�&�4� � 4� ��= K (�&� <@M 4� �F= M �"� M <%��

'� �

��

�&��� M �

�&�4� � 4�

�M ���

�'�&�

��� M �

�4� � 4�

�4�M2���4�

�K <>>=

K (�&�4� � @M'�&��� M'�&�"� � 4� M L��

�4

Page 20: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� ����� �� � !��3� ��� ��� �������� ��+

���

L � K ���

���

<%� K ���

���

L�� K � <>$=

0� �������� �� ��� � ���������������� '������ ��+ ��� ��������������� 3��� �� � ��� !� ��� &�#+���8������� �-������

�)

��M G K���(� <.��O���8@�� ���=

�F

��K ���@� <2������=

���F K�� < �� = <>)=

���) K(� < �� =

+���� <%�����& ������ ��������=

) K ��@� F K ��(� ( K�

���

&�(�� G K�

���

&�(�4� <>4=

7�� ���� �� &P�. < �����= � ��� �! ���� <����� 6� �� �����= ���� ��� �����

�� K ))�*� ���������

) '�� �� K ** � ��

��) '

����� <$�=

���� K�

��� � K �44$4>� ���

'

��� !��� �! &�#+��� �-������ �������� ���� +� ������� ��� �� �'�� �������� �!�������� ��� ��� ���� ���� � ����� ������ �� ������� ��� � ������� ������� !������������� �������� �! �� ��� ��� �� � +���8 �������� '� �#���������� �������� ������ �� � �! ��������� ���������� ? ������������ !�� ���� ����������� ��� ��� 0� ������ '� ��+���� ����������� !�� ��� � ��� � !�� �� ����� ����������� �� ���� ������������� +���� �������� ������������ �! �������� ������ '� ���������� .� �#����� �! ��� ��� � ��� &D98��������� � � ���� �! ��-��� ����� �

�;� F��� 2�������

A� ������� �� ���� ������ ��� '��6 �-������ !�� ��� �'��� � ���� 5�!��� +� �� � ���� ������ ��� �������� !����+��� �������� !��� &�#+���8������� �-������ �

��6��� ��� ���������� �! �-������ <>)=� ��� �' �������� <>)=� +� �'���� �����������

�(

��M ���G K � <$�=

D���� +� �'���� ��� �-������ �! ����������� �� ������ ��� G � �� ����� "�#�@� ��� ����� ���� ��6��� ��� ������ ������� �! <>)=� +��� F +� ���

���@

���FM G�F K

�����F�F K

��

���� <@�@= �

����� <F �F=

��

Page 21: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

����������� ��

���@

���F K

��<)�F= ��@�

�F

��K

K�

��<)�F= ��

���� <@� @= �

����� <F �F=

��

+���� <>)=� ��� <>)=� ���� '��� � ��� 7�� �-������ ��� ���'������� �! ��� � �+� �� ��� �����

(@M G�F K �)�F

��M ���

�<F�(M)�@= �

�<F �(M) � @= �

� <$�=

��� �������� �� ���'� ��� ������� !���� ��������� �� ��� ��!�8���� ��� �� ���� �����8����� !�� ��� �������� ��+

��� ����� �������� !����+ +��� +� ��6� ��� ����� ������� �! <>)=� +��� @� A� ���

@ � G K�

��@� ���F K

K ����

� <@ � @=

��M�

����� <F�@= M

��F� ���@

K ����

� <@ � @=

��M�

����� <F�@=

����

� <F �F=

��

D����

@ � G K ��

� <) � @=

��M� <F �(=

��

� ��� <@�(= <$%=

��� � ��� �#��� ��� !�� ��� ����� ������� ��������� �� ��� ��!�8���� ��� ����������!�� ��� �������� ��+ �

A� ��� ��+ �� ��� �� ����� �� !�������� ��� '��6 �-������ !�� ��� � ���� ��� ��-������ ��� � �!�� �� �� ��� � �+� �� � � 2�� � �! ��� ��� �� ��� ������#��� �! ����������������� � ��� �� � ���� �!��� ��� �� � ���� � ���8��������� ����� � � ��� ��� � ��� ��� ���� ������������������� <&D9= !�� +���� ��� �������������� '��6������� ������ ���� �� ���� ��� ��� ���� �� ��� ���� ��:����� ������'����� � ��� ��� ���� &D9 � !��-������ ������� �� ��� �� �������� �! +��� ����������� ��� ��'����� ����� � �! ��� �� �@� ��� ����� ���� '��6 �-������ ��� '� � �� �� ���� �! ��� �! ��� ������� �-������ �A� ���� �� � !�� ��� �+�8��������� ��� �� <���� !�� ��� !���� ������� ��� �� =�

.������� �! ������� '������ �-������ ���� �������� �� ��� ��#���� �! "��� ��� ��8���� ������� �� ��� !����+��� �-������

��M ��� < 4= K ��

� 4

��M ��� < 4 � 4 �= K (@M G�FM "� <$*=

��

� �M �

� 4 � 4

�M ���

�� �M �

� 4 � 4

�4 M 2�4

�K @ � GM � M " � 4�

��

Page 22: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

+����

K�

���

'�&�� 4 K�

���

'�&�4��

� K�

���

<�� '�&��� � ��= � �� K 4� 4� " K�

���

'�&�"��

� K�

���

'�&���� M �

��� � ��

�� <$�=

2 K�

���

�2� M'�&�

��� M �

��� � ��

��� ����

��

� K�

���

'�&� <�� M "� � ��=

��� � �������� �� � '� ���'���� +��� ��� ������'����� �! ��� ��������������� 3����5������ ��� �������� <$�= <$%= �� ���� +� �'���� ��� !����+��� 3��� !��� �! ��� '��6��� �������� ��+

��M ��� < 4= K ��

��< 4 M)�F=M

M���� 4 � 4 � <F�(M)� @= M �

�<F �(M) � @= �

�K "� <$>=

��

� �M �

� 4 � 4M�

�<) � @MF �(=

�M

M����� �M �

� 4 � 4

�4 M 2�4 M@�(

�K � M " � 4

0� ������ � �� �������� <$*= ��� � �-������ ���� ��� ��������� !��� ��-����� !��� ������� �������� ��+ � . +� �� ��� !��� �������� ��� ��� �! ��� ��#���� � ����� '� 4 M)�F ��� ��� !��� ������ ��� ��� '� � M �

� 4 � 4M�

�<) �@MF �(=� ��� �����8

������� ���������� �! ��� �������� "�#

�� K <F�(M)� @= ��<F �(M) � @=�� <$$=

� ������ ��� ���#��� ������ ������ +���� ��� ���������� "�# �! ������

2� K @�(� <$)=

� ������ ��� ������ ������$

��

Page 23: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� � ��+ ������ �� ��� ������� �� '������ �-������� 0! +� �������� ��� �-������'� (� ��� ���� ���!��� ��� �������� ���� ��� ��������� +� ������ ��

�(

��M ���G K

���

(�

'�L � <$4=

��� �-������ �������� +��� ��� ��� �������� �! ������ <$�= �! ��� �����8���� ��� ���� ��

���

(�

'�L � K � <)�=

��� ��� ������ ��� � ��� �� ��� �������� �������� �! ��� ��#���� +���� ��� � � �! ���������� �������� �

5� ���� �! ��� ������� �������� '������ �-������ +� ��� �� � ������ ��� �-������!�� ��� ������� G� &���������� �-������ <>>=� '� (

� ��� ������ �� +� ���

�G

��M ��� <G� 4 M 4 � G= ���

(4 � 4M

���

(�

'�<�� &�'��� � ��=

K

K <@M 4 �F=�

���

<(�=� &�

'�F�

���

<(�=� &�

'���M

���

(�&�

'�"�M

���

(�

'�<%�<)�=

��� � ��� �� � ������� !��� �! '� (� ��# +���� ��� '� ������� �� ��� !����+��6 �!�������������� &D9 ������ A� ������ �� �����3�� !��� �! ��� �-������ �� ��� �-����

�;, ����������4 ��������

0� ����� �� ��� 3��� �-������ !�� ��� 3��� -����� �� ��� '�������� �! ��� ������� +����� �� ��� ����� ��� �������� �������� !�� ��� !����+��� -��������

K �L ����� <%�� ���2�� L��� <)�=

A� ���� �� � !������ !�� � ���������� �� � �! � �+�8��������� � ���� ������ �� '������� � ��� �� ��� '� � �! ��� ������ ������������� �������� �� ��� ������� ��� ��8������ ���'��� ��� ��� � ��� � ����������� '��������� "��� +��� ��� �H����������� �������� A� ��6� ���� ���� � !�+ ������� �����6 �� ��� ���'��� �! �������� �'8(�������� ��� 6�� �������� ��� ���'��� �! ������������� ���� �'������

��� ���� ���'��� �� ��� -�� ���� �! �'(�������� � ��� ���6 �! ���������� �! &�#+���8������� �-������ ���� +��� �� ���� �� ��� ������� <���� ����8�����������= ���� !����8����� ��� !������ �! �������������� ��� �� ��� ��� �������� �! ������ ������ �! �����������0� �� '��� ��+� ���� ��� � �������� ��� ��������� +��� �� ���� �� ��� ������ �! ��� �8������ ������� !���� �� ��� ����8����� ��� �������� �������� ������ ����������� ���� �! ���� !�������� !�� 3��� @�)�( ��� F +��� +������ �� ��� ��� ���� +��� D�+���� �!+� ��� ����� ��� !���8 ����� ����� �'(���

�+�

�K

���

� ,� ,� ,�,� � -� -�,� -� � -�,� -� -� �

��� �

�!�

�K

���

� .� .� .�

.� � �� ��

.� �� � ��

.� �� �� �

��� � <)%=

�%

Page 24: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

���� �� ��� '� ��+� ���� � ��� � ��� !���8��� �� � A� ���� ��� �� ���� ���� ���'������ ��� ����� ��� ���� !�������� ���� �� ��� ��� ���� +���

��� ������� ����� !�� ��� � ��� ��������� ��� � ������� ���� ��� ������� ���������

� K @M 4 �F� <)*=

��� ��� ���� �������� �'(��� H

-� K ����Q��� <)�=

��� �� ��������� � ������ ��� � ��� �� �! ��� ����� ���6� ��� � � ������� ������������ ��� ,�������� ���� !�������� �������

�� K 7� � H� K 7H7� <)>=

5������ ��� �'��� �����6 �� ���� +� ��� +���� ��� ��� �������� �����'�� !�� �� ������� ��� !����+��� !���

� K�&�� ��� � �H�)�� �������4� 4

�� )� K ������4� <)$=

+���� �� ���'� ��� ������ �'����� ������� �#��� ����������8�������� �� � ������ �� �� 8��� ������� ������������ ��� ��:� ��� �� ����������

0� ��� ���� ��� � ������� �� �

K <�= � <))=

�� ����� '��� �� �� ���2������ ��� � ��6� � �����6 ���������� ��� �������� �! ����� ���� � . +� 6��+

!��� ��� ������������� ������ �! "��� ��#���� ��� ������ �#���� ��� ���� !��� ���������������� ����� � +���� ��� ����!� ��� ��� '�� ��� ��� �������� �������� �! ��� ����� � 0� ����� �! ��� �� ���� ��� � ����� ���� ��� '� ��� ����� ����� ����� � � 0���� �� � �! &D9 ����� ��� �������� � ��� ��� !����+��� !��� �! <%� ��� L�� �! ����� ����� ��� �' ���

<%� K &�'�

���

'�

'� M'����

�4� 4�

�� ��� K ����

L�� K &�'��

���

'�

<'� M'�=����%

��� � �

�� <)4=

+���� ��� � ��� ����� ��� !��-����� �! � ��� 8 �������� ��� � ��� 5�������� ���8 ����� 7������ �� � � ���� !�� !������� � ������� +���� ������ ��� ��� �:��� ���������������� � D�+���� �� �������� ���� ��� �������� ����� � ��������� �� ��� �'��!�� ��� ����#����� ��� �� ��:� ��� ��� ��� ������ ����� � ��������� �� ��� �'�� !�� ���������� ����#������

�*

Page 25: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

�;# �0�3���%���� ����

��� ����� � ��#���� �! ������� �������� ������ �� ��� �� � �! ��� !���� ������� ������������ ��#���� ������� ���� �������� ��� ��� �! ��������� ��� � � ������ ������������ � ��� '���� � �� ���� � ��� ��� �� +���� +� !��� ����� ��� �� ��� � �� � ��� ��������������� � D�+���� �� ����� �� �� ��� ��������� !������ �! ��� � �������������� � ��� +� ��� ���� ��+ ��� ����� �������� +��� �� ���������� � ������� �� ��� ���������������� &� K &� K &� ����������� ��

L � K L � K �� <%� K <%� /K <%� L�� K L�� /K L�� <4�=

+���� �! ���� � ������ ( ��� / ������ �������� ��� ��� �� ����������2���� �! ��� ����� ��� � !����+

�&�4��4�� � �� � ��@�(

� <4�=

0� � ���������� �� ��6� ��� !����+��� ���� !�������� �! �������� 3��� �4��4�

�� <4�G= <4�=

+���� ��� '��6 -�������� ��� ��3��� � !����+

K '�&M'�& � '�&�

4 K ��&4� M'�&4� � 4 K 4� M'�

'�4�� <4%=

G K (&4� M (&4� ��

(&G K 4� 4�

D�����

4� K 4M ���G��

� �4� K 4 �

��G�

��� K �

��G��

� ��� K �

��G

<4*=

��� �� �! ��������� �-������ �� ��+ ��� !����+��� !���

R&M & ���4 K �� ��� G K �� R& K�&

��M 4� ����&�

>4 K����M G�FM "� >4 K�4

��M <4� ����=4�

�G

��M ���

G� 4M 4 � G

(&G� GM

(

'�

��

'�

'���

��K <4�=

K(�&

'��

(

'�G�F

(&

'�

�"� "�

(

'�<%� � K @M 4�F�

���@

��M G K

�����F�

�F

��K ���@�

��� ��� !����+��� ������� ������ '������ �-������

'�&

R��

(&G� ���� ��

�K �� � ����4 �� � ����

(&G

���2� M'�&�� M L� 4 � <%M�

(&G � <%�

��

Page 26: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

'�&

R�� M

(&G� ���� ��

'�

'�

�K �� � ����4 M�� � ����

(&G'�

'� <4>=

��� 2� M'�&�� L�M 4 � <%M�

(&G � <%

'�

'�

7�������� +� ���� ���� ��� �������� �������� �� ����� �� ��� � ��� � ���� 0� �� ��� � �! ��������� ���������� �� � � ���� ���� ���� ���� ��� !��� �! ��� �������� ��+ !�� �� ����� �� ����

�� K ���� �� K ���� <4$=

'�&�� K%

���� '�&�� K

%

����

���� ��� � � ������� ��� � ������ �! ����#����� ���� ��'����� ��������� �������� '��� ������ 2�� �� ����� ��� ������� ����#����� ���� !�� ������� ����� � <�-�������������� �! ��������� S= ���� '��� � ������� !�� �������� �� '� �! ��� ����� �!������

2�� !������ ������ +� ��!�� ��� ������ �� ��� ���������� �� ��� �� ��� �� �

�>

Page 27: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

, -����� �������� �� ������� � %�������$�

,;� )�I����� ��� ������I����� �� ������ 0�� � ����� %��

������� �! ����� ��� �������� �������� ��� '� ��� ������� �� ��:����� ����� �! �'8 ��������� ��������� ����� ���� �� I�+��� �-������ �! ������ �! �������� ����� ���������� ��� � � ������ �! ��������� ������� � ���� ����� ��� '� ���� !����� ��� �� ��������� ����� '� ����� ������ ��� ��������� ��������� � 2������ �� � ���������� ����� ��������� 3��� ����� ��� ��� �������� ��� � ��� ������ !����+ !��� ���8����� ����� ����� '� ������������ ��������� ���� ����� �������� ,��������� T��8��� <�,T= ��� �������� �! ������ �! 6������ �� ���'����� !������� �� ���� ��� '���� ������� '� ���� �! � ���������������� ����� ����� ��������� 0� ��� � ���� +���� ��� ����� ��� ������ ���� �! ����� +��� � �������� ��!������ �� ��������� ��������� �

��� ��� �������� �! ����� ����� ��������� ����� �! � ��� +��� � ���� ����������� �� �� � ���� ������� !��� ��� !��� ����� �! �������������� � ��� � 9�:������ ��� ��������� ��������� +��� �� ��� �! ����������� +����� ��� ���� ���������� &���� �� � '� ������� ��:����� �� ��� �� � �! � ��� ��� �! �������� �������� �� �! ����� �������� � 0� ��� 3� � �� � ���� �������� �������� +��� ���� ����� ������ ������� ��� "����� ������� ����� ��� ��� ����� � �� ��������� ������� '��+��� ����� 0� ��� ����� �� �� �������� ���� ��������� ��� '����� � � ���� +���� ������ ����� � ��� ��� �������<���������� ��� ������ �� ��� �������� �������� = �� �� ��� "������ ��� ���� '����� � � � ��� ���� 2������ � ����� �������� '����� �� ������� � � � ��� ���� ��� �� !��� ���!����'�� ������� !�� "��� ��������� � A� ����� ��� ��������� �� ��� � ���� �� ��� �� ��� ��

��� �� � ��������� !������ �! ������ ������� � ��� ���������� �! ��:����� 6���8����� !�� ��� ���� ��������� 8 ��� �)������ ��� "��� ��������� �� ������� �! ��� 6������� ��� ����� ������ ��������� ������������� '� �������� ��������� �! ��������� �0� �� � �� � �! � ��������� '������ ��� ���������� �� ��� �������� �������� � ��������� � ������ ������'����� �� �������� '������ �-������ <�������� ����� = �� ������ � ������ !��� ������ ��� ���� ��#� 0� ��� � ���� +� ��� ��� ����� ��� ������� �! � ���� ������� �������� +���� ���� �� � �� �! �����'���� 3��� �-������ ������������ ��������� ��������� �� ��� �#������ ������������� E>�F E>%F� ���� ������ ��� '�!���� �� ��!������ -����� �� ��� �-����

��� ���'��� �! ���� ������� +����� ��� ����� � ���� ���� ���� ����� ��� � ������� �� ��H������ +��� �� ����������� ��3������ �! ��� ����������� �� ��� �����8 ����� ����� �! �� ��������� ��� �� � ��������� �������� �! ��� ��� ���� ���� ����� ����� �������� �� ���������� �� ����� ������� +��� ��� ��� �-������ �� �#������������� ���'����� � ��� !��3���� �� ����� �������� <E��F �� $>=� 0� �������� ��� ���8�� � � ��� � ���� ����� �� �������� �������� �� ����� �������� ��� �������������'� ���� ��������������� ����������� <���� ������� ��� !������� ����� ���������������= �! ��������� �� � �������� ����� ����� �! �� ��������� 0� ���� ���� ���� �! +����� ���������� � ����� ����� ������ �! ����������� +� +���� ���� �� 6��+ � ���� �!���� !�������� �! ��� -������� �� ��� �������� ����� ������ ��� � �������������� �����8�� �� ���'���� ,��� ������ ��� ��� !������� +��6 +��� ������ ��� � ������� ����"�#� ����3� ���� ���� ����� ����������� ������� � ��� �����3�� ���� ��� ��� �� '���� �! ��� �� � ��������� ���� � �� �! ��������� ����� ��� �������� �������� �

�$

Page 28: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

0� �������� +� ���� �� ���� !��-������ +��� ��� ���'��� �! ��:����� ����������� !�� ��:����� ��������� � 0� ������ � �� �� � � ����� ��������������� �-����'���� � ������� �� ����� ��� �������� �������� �!��� ����� ��������� ���� ����#����� ���� �2�� �� ����� � ��� +���� "�+��� ������� � ���� ����� �������� ��� ��� ����� �������� ������ ����������� +��� ��� 6������ +����� ����� �� ������ � 7�� �-������ +� ����� ��� ����� ��������������� ����� +��� ��:����� ����������� �! ��������� ����� � ��� �������� � �� ��� ���� �� ��� �� � �! "��� ��#���� � @�� �! ��� ��� �� � ����� ��� ���'��� �! ��� ���'������

��� � ������� �� �� ��� ���� �� ������� �! �������� �������� ������� !��� �6������ �-������ �� � ������ �� +��6 +��� � )���� �� �������� ������ ���� � ������8��������� ������������ 0� � ��3��� �� � +�� ������ �� ��� �! ��� 6������ ������ �! �� � � � ���� 6������ ������ �! ��������� ����� ��� ������� ��H������ ��������� +��� ��� � ������� 2�� �#����� � ������� �-����'���� ���� �! � �������� �������� �� +������������ �� ��� ���� +���� ���� � ����������� �-��� �� ����� 7�� �-������ ��������� !��� ��� �-����'���� ���� +���� ��� � �� �� ��� ��� �������� �! ����� ����� �������-������ �! ��� 6������ ������ +���� ���� �� '� ��� ������� '� ���� �! � ������� �� 8���'����� !�������� 7�������� ��� ������ ���� ��� ��� ���'�� ��� ���� �� ��� � 2�� ��� ��� �� ������ �-������ ��� ��� ������� '� � ��!������ �� � &�#+���8��6� �� ���'������� ���'��� ����� � �! ����� ������� "�+ ������ ���� ���� �-����'���� ���� � 0� ���8��� � �� 8 �� 8 ��� �% ������ ������ �! ����3�� �� � ��� ��������� ��� ��� (� ��3���� ��� +��� &������� ��� -�� ���� �! ��� ���'����� �! 6������ ����������� � �������� ����� ��������������� ����������� ���� ��� ��� ���� � 6�� � ����

,; ���� ����$& ������ ��������& �����%����

A����� �������������� ��������� ����� �� �#������ �! �� � �� ���'�� '� �� ����� �� ������� �� '������ �-������ � D�+���� ��� � ������'����� �� � ����������������� ������������� �����'�� � 2�� �� ����� �� ��� �� � �! �������� �������� ��� � ��� ������ �! �#���� �! �������� �������� <���� E%*F E*�F=� ��� ��-���� �� �#��� ��� �! ��� �� �! 3��� �-������ � 0� ���� �� � ���������� �-������ !�� ����� ��������� �����'�� ���� ��� !��� �! ��������� �-������ � ���� ����� � �� ���� �� ��������� ����������'������� ��������� � ���� ����� ��������� �����'�� ������ '� ���������� ���� ������� ��������� �� !��� ������� ����� @� ��� ����� ���� ��� ������ ��� '� � ����� �� ���!��������� '���� � ���� ����� ��������� �����'�� ��� ��3��� �� ��� � +�� ���� �������� � �� ��������������� �-����'����

2������ �� ��� � ���� +� ��� ��� �� ��� ������ � ����� �! ����� � �! �#������ �!�� ������ ���������� ��� � ����� � ������ �� �� � �! ��������� +���� �� ������ ��� �������� '������ !��� +��6 ��� ��� A��� '������ ����� +��� ��� 6������� ���� ���!�� �#����� ����� � �! ���� ���� �! ���� ��������� �� ��� � .�������� �� ��� ����� ������ �! ��� � ����� � ��������� '� �������� < ��/ E>�F E�F E�F E%F !�� ��!������ =���� ��� �� ���'�� '� �� ���������� 3��� �! ��� �8������ ���'�� �! '��� ��� � 0� ����� � �! �������� +��� ���� ���� �������� �! ������� �� ������� ����� � �� � ��� ���� � ���� �� ��� �������� '��+��� ��� ������� ��� ��� �! �� ��'��� �� ��� "��� ��� ���� �� ������ �! �� �� ��'�� '� ��� 6������ ��� ��� ���� � ���� ��������� ���� ������������� ������������� ����� � �� ��� �������� � ���� ���� ��� ��� �� '� ����������:��� � 2�� ��� ��� �� ���� �� ��� ������ �� �������� +��� �������� ��� ����� �������

�)

Page 29: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

+���� � ���������� ��� !�� � ��� ��� �

,;� )�������J ���������� ���� � "��� ��� ��� �� 0�4�

. ������� ��������� �'��� �������������� ����� �! ����� �������� ������� �������� ��� �������� 3���� ��� ����� 3��� �-������ !����+��� !��� ������� ��������'������ �-������ +��� � ����� ������� ���'�� �! ������� ������������ � 7�� �-��������� �#���� ���� �� ��� ����� ���������� ���� �! +��6 �� ���������� +��� ���� ��������� ��� � ������ ��� �� �� @�� �! ��� � ���� +� ��������� '� &� .� 5��� ���4*� < �� ��� ���������� �! 5���B ����� �� ����� �������� E*%F=� 9�� �� ��� ��������� ������� !��� ������ �� ��� ���� � ������ 1� ������ ����� <5���B = +��� � ��� � ��������������� +��� ���� ����� �� �� ������ +� ������ 1�� ,#� ����� �! ��� ���� +� ���3���� �� ������� �#�������� � 0� �� '��� !���� ��� ���� �� � ��� ��+� � �! ��������� 1� � <���� ��� �� +���= ��� 1�� 0� � �� � ���� ������� �����������

. ��� �-����� �! �#� ����� �! ���������� ���� ����� �#� � � +��� ���������� ���� �! ��!��� +��� � .���� !��� ��� ��� ���� �������� +��� ����� �#� � ��� �8������ ��������+��� ������ ���6� +��� ��� �� ������� � ���'�� �! �� �'�� ���� �! ��!��� +��� ������ �� ��������� �! �����'����� � ��� ���� �� ��� �������� �! '������� �����8���� � A� �� �� ��� ���'��� !������ �� ��� � ���� � ��� � ������� ���� ��!��� +��� ��� ���� +��6�� ���������� � '��6 +��� ��� !�� ��� ��� �� ���� ��� �� ��� �������'���� ��� ������� � 0� ������ ���� ��� ��� �' ���� � �������� ������ �� ��� � ��� �����������-�� < �� E%�F !�� ��� ������ �����+ ��� ��!������ =�

,;, ���%�� %��"��� '���"������& �%�������*

7������� �! ��������� ��������� �! ����� ��� �������� �������� +��� �� �#������'��+��� ��������� ���� �� ��������� ���� �� ������ ���'� ���� ��� �#��� ��� ���'8��� � ��� � ��� ��������� +��� ��� ����������� �! ����� �� ����������� ��� � ���6+��� ��� ���'� ���� !���� �� ���'� ���� �! ���� !��� �� ��!�������� �! ��� ����� ������ �! ��������� � &���� !�� ��� ����� � ��� ���� ������ +��6�� ����������&� � ��������� ������'����� ��� '� �� �� ��� ����� ����� �� '� &� .� ������ ���7� 7�+�� E�%F < �� �� � E%)F= +���� ��!�� �� ��� ���������� ����� ��������� ��������� ������ ��� ��������� �! �-����'����� ��� ��� � ��� ����� ���� �� � -�� ������� �����'���� �� �! �-������ +���� ����� ��� �#� ����� �! ���6 +��� � D�+���� ����� !��� ��������� ����� ��������� �! ����������� ��������� �� ��� ��� ������ ������

���� ���������� ��������� �! ���8����� ����� ���6���8D������� ��������� ����'��� �� � ���� ������� +����� ��� !���� �! ��� ����� +��� ��� ���� ��� '������ �-�������D�+���� � ��������� ��� ������ �! ���6 +��� � ���� �� ��� ��� ��� �! ��� ��� �� � ���6 �! � �������� <�������= ����������

,;# �����"������ ';$; ��%����� �����$ ���2����*

&��� ����� � �� ����� ��� �������� �������� ��� ��������� +��� ��� ������������! �� ��'������ � ���� ���� �� "���������� �! �������� ��� �� ��� �������� �! ������� �� ����� �������� ��� �� ��� �� ��'������ ��� � ��:����8������ �� "�+ �! "������������ � . � ��� ���� ��� ��������� +��� ������������� ��������� �� ��� ������

�4

Page 30: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

@�� �! ��� �� � ���������� ��������� ������������ �����-��6� � ��� !�������8��6� �#��� ��� �! +���� !��� ��� ���� 0� �� '��� !���� ���� ����� �� ��� ������������� ��������� �! ������'����� �! ��� ��� ������ �� �� �� ��'�� ������� 0� ��� 3� � ������� ����������� �! ��� � ��� '���6 ��+� ��� � ������� �! �������8��6� ������� +���� ���� ���� ������'����� � !������ 0� ��� ����� ���� ��� �! ��� � ������� '����� �������� ��� ��� ���� �� �� �#��� ���8��6� �������� �! +���� !��� ��� ������� ��� '������� ��� �� '� ��������� +��� � ��������� �������� �! ��� ��:� ��� �������� +������ �������� �! ���� ����

.������ ��� �! �� ��'������ ������ �� ��� ����� +��� ��� '������ �-������ �!���� ���� ��� � ��� ��������� +��� ��� �������� '��+��� ��������� ������ �! ���� ������ ������� ��� � �� ��������� � ��� � ������� ��� �! ��� � �� ��'������ � 0� � �� ��! � ������� ���'��� ��� � ��� ������� ������8��6� +��� �! ���� ��� E%4F� ��� � ������������ +��� ��� �� �! ������� �! ��� !���� �! ����������� �! ��� �+�8����� �����!���� � �������� &� � ��6��� �� ��� �������� �! ��� ������� �#� ��� � ��� ������� ��� �� �������

,;1 /�"=��� �������� �� �� ����

2������ +� ��� ��� � ���� �! ����� �! ����� �������� ��� +� ����������� �� �����!����� �������� ������ ���� �� ��������� ����������� �

A� '���� +��� ��� ��� �������� �! ��� � ���� �! ����� �� +���� ������ �! ���� ������ ����� ��������� �����'�� ���������� ��� !�� ����� �������� ��� �� ���'�� '� ��������� '������ �-������ � ��� � �� �'�� ����� ��� � ������� ���� ���� ��������� ����������� �'�� < ��/ E>�F E��F !�� !������ ������ =�

��� ��#� ����� ��� ������ ������� ��� !���������� 3��� ���������� ��� !�� ����� �������� ��� ������ �! ���� ��� ��� �� ���'�� '� �� �+� '������ �-������� ���� ���-������ ��� '� !��������� �� ��:����� !��� � A� ����������� �� ��� ���� �� � ����������� �! ��� �-������ �! ��� 3� � ����� E�%F E�*F E��F E�$F ��� �� ��� �� �� ������� �'������ � ��� ����� � �! ��� ����� � ��������� �� ��+ ���� �� ��� � �� ��� �� � ��� ������������� ��� �������� �! ����� �! ����� �������� ��� '� ���� '� ���� �!������ ��������� +����� ��� �8������ �������� �#������ ������������� E%�F�

��� �' �-���� ����� � ��� ������� �� ��� '� � �! ��� ��� ���� ��������������������� ��� ����� ����� ���� ��� ���������� �� ��� �������� �! ���� ��� � ��� ���8 �������� �����'�� ����� ����� +��� �������� ��������� !�� �� ����� �� ��� ������ �������� ������� '� &� 5��� ��� ��� ������ �� '� ��� ��!������ !�� ����� �! ����� �������� �0! +� ������� ��� ���������� +� �'���� � ����� +���� ����� ���� �� ��� ����� �! ��8��� ��#���� �! "��� �� �� �� �������� 0� ��� ������� ��� ����� � '� �� �� ��� ��������� ������� !�� ������ �! ���� ��� E>>F '�� ��� ������ ��� ��� '� �� ��� �#������ �� ������ +��� ��� '������ �-������ �! ���� ��� +���� +� �� ��� ��+ �� ��� � ���� <�����������/ E>4F=�

. ��#� +� ��� ��� ��� ����� �� +���� +� ������� �+� �:��� / ���������� �� �������������� �������� ��� �� ��� �������� ������������ �! ��������� < ��/ E$�F !�� ������ =���� ������ � ������� ������'���� �� ��� ��"����� �! ��� �8������ ������ ��� �� ���'������� �! ����� �������� <���� E��F E�>F E�$F=� ������ ��� � ��� ����� ����������������� �� ���'��� ��� �������� �! ��� ���� ������ �! ��������� �! "��� ��������� ����� ����� ����� �� ����� �� �! ��� ������� �� ��� 6������ ��� +���8��3��� �����������

%�

Page 31: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

�'(��� ��� ����� �! ��� ������ �! ��� ������� �� ��� ����� ����� ������� 7�� �-��������� �����'�� �� ���'��� ��� �:��� � � ����� '����� ���� ���� 0� � ������ ���'�!�� �!������ ��� �������� ������������ � � ��� �������� �����'�� ����� ���� �� ��� ������ ���'�� ��� ���������� ��� �� �������� ��� �#� ����� �! ��� ����� ��������� �:��� +������� ������� �� ��� ����� �� �:����

.�� ����� ��������� �'��� ��� ���������� 0� �� � �! ����� ��!�������� �! ��� 6������ +� � � ��� ���������� �� �������� E��F�

0� ��� �' �-���� ������� +� �� �� � ������� ������ �#��� ��� �! 5���B ����� ���5���B ����� �� ��!� ��� ���� ����� � �! ��� �� �� ��� � �� ��+ ��� ������������� �! ��� �:������ <����� �����= �������� ��������� '� ���� �! ��������� �! ���� �����8���� � ��� ����� ��� �8������ � ����8���� �������� E$�F�

2������ +� ��+ ��� ��������� �! ���� ��� +��� �� ������ ������� ��� �������� ���� �#����� �! ����������� �! ��� ������ ����� �� �� ��������� ��������� '������ ������� �������� �� ���� ��� �� �� ������ E%�F�

%�

Page 32: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

# /�� ����� � %����� �������� 0�� � �����3

%����"����� �����%����

&������������� �������� �! ����� �������� � '� �� �� ��� � ������� ���� ��������8���� �� � ��� 3��� �! ������� �! "��� ��#���� ����� �#� � � ����� �������� +���� � ��"����� �� ��� ����� � �� � '� � ����� ���������� 3��� �! ���� ��� ��� '� ����8��6���������� �! ��� �! ��� ��������� � 0� ��� ����� ��� ����� ��������� �#��� ��� � ���� '������ ��� ����� ������� ����� ������� !�� �� ����� ��� �8������ ������ !���8���� �! ��� ��������� ���'�� ���� ��� ������ ��� � � ����� � ��� ��� �! ������#����! ����������� �������� �! ������� ������ ��� � ����

A� ��� ��� �� ��� ������� �� �#����� �! ��� � ����� !�� � �+�8��������� � ���+��� �� � ������� �! �������� �'����� �! ��������� � &���� �! ��� ��� ������ -����!��-������ �� ����������� �� ��� �������� �� ���������� E*4F�

. �� ��� ��������� ����� +� ��3�� �� ������� ��������� 3��� �� � ������������ �� +���� � ���� ��������� ��� ����� ���� �� � ���� �! ��� �����8����� ����� ���� �! ������ �������� �� � ������� �� ���� �! ���� '� ��� ��������� � 0� ��� �� ��! ���������'�� '������� ��� ���� �! ��������� +���� "�+ ��� �! ��� ������ ������ ������ ��������� ��� ��� �� �� ���� ������� ���'��� � A� ������ �� ��� ���'����! ���3�������� �! �������������� � ��� !������ �� ��� +��6�

0� � ������ ���������� ����� +���� +� +��� �� ��� ���� �� ��� ������� ����� � ��� �� ���'�� '� �+� ������� ������� �� ��� ���� �� <�� �= �

�� <�� �= �� � �� � �

�� � �� � � !�� ��� 6������ ��� ��� "��� ��������� �� ��������� ��� '� �+� �������� 3��� 4� <�� �= �4� <�� �= !�� ��� � �+� ��������� � .�� ��� � 3��� ��� ��������� +���� ���� ���� ���� ��� ��3��� �� ��� ������ ������ �� ��� !�� �� ����� ��� "��� �� ��� ��� 6������ �� ��������� �� � �'������ � � �� ��� ����� '� ��� ��'� ��� ��������

�� <�= K

��

�� ��� �� <�= K

��

�� �� <4)=

0� ��� ��3������ �! �������� �'�� ��������� ��� � � � U� ������ � �����U -���8����� +���� ��� ������ ������� ��� �������� A� ������ ���� '� ��� ��� ��

� � ������� �� � ��3��� �� ���� ����� �! ��� ������ �� ��� ��� �� ����� �! ��� 6������ �� �! ���"��� �� ���������� ���� ��� '� ������� �� �� � ����� <�� �������� �����= -�������� ��� � ��

� '� ��� !����+��� !�������

��� K�

� <�� =

��

�������

���� ��

� K�

� <�� =

��

��� ����� <44=

+����

� K �� �

�� � �

� � �� K �� <���=

���

�/ K

��

����� ���

�/K

��

����

����

��� �� � ��� ���������� ��� !������� !�� �� � � � � �����'������ �! � ������� �����

� ��� �� � � ����� ��� �� �� '� ��������� !�� ��� ����� �! ��� ����� '��� ���� �� � �'������ '� � ��!� �! � ��� �� ������ ���� ��� +���� ������� ���3�������� ��� ��� ������ ����� '� ���� ������ �� ������� � ���� �����#������� !�� �� ����� �� ���

%�

Page 33: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

�������� �! ��� '�������� ���� �� � ������ ��� ������������� ��� ������ *��� � +��*,�0� ������ � �� ��� � ��

� +���� �� ��� �� � ��� ��� ���� �������������� �� ����� �! ������� "��� !�� ��� 3� � -������� ��� �� ����� �! ��� 6������ !�� ��� ����� ��� ��� �� ��� ���� ��� � ��

� ��� ��3��� ����� �� ����� �! ��� ���� 6������ ��� �! ��� ���� "����� ���������� 7�� �-������ ���� �� � � � ��� ��� ���� ��������������� 2�� �� ����� ��� � �-��� �� ���� �

�� !�� +���� �� ������ ��������� �0� � �� � �� ����6 ��� !����+��� ��������

���

�K <� &=� <�= � �

��

�K &� <�= � <���=

& /K�

� <�=

��

����� � <�= /K

��

��

��� -������� & ��3��� �� <���=� � ������ ��� ��������7�� �-������

�� / K�

� <�=

��

�������

��� K <� &= ��� � <���=

�� / K�

� <�=

��

��� ���� K & ��

7������ ��� ������8��� ������� �� ��� ���� �� � �� ��� ������� �� ��� ������ �����8

����� ������ �� ��� ������� ���3��������� ����� ��3������ ������� ��� !��� ������ �!�,T�

5� ���� �! ��� �'��� �������� +� ��� ��+ �� ��� �� ����� �� ��������� ��� �������! �������� �'����� ��������� �� ��� ������� �! ����� ��� �������� �������� � I������� � � ���� !�� ��� ����� ����

��� K �0&��� ��� K �0&�� <��%=

7�� �-������ ��� ������� �� ��� ���� �� � �� ��� ��� ����������� 3��� � ���� ���

'� ������� �� ��� ����� 3��� �! ���� ��� &� 0� ��� � �� � ������� �� '������ �-������ <+������ �� �#������S= ������ �� ��� !����+��� !���

���

�� ����

M ���� �� 4

�� �

�&

��M ���

�<� &=4�

�K �� <��*=

���

�� ����

M ���� �� 4

�� �

�&

��M ���

�&4�

�K �

A� ��� �� � ���'��� ��� � �+� �-������ �� ��� !����+��� ���

����&4� M <� &=4�

�K � <���=

0! +� ��� ���� �-������ <��*=� � � ��������� !�� ��� 3��� �-������ !�� ��� ���� ���& ���� �-������ <���= � � ��������� ������� �! ��� ������ ��� ��������� ����� ���8���� ���������� �� ��� �������� �������� ��������� �� ��� ���������������� ����� +������� ��� ��+�� ��� ������ ��� �������������� �������'�� < ��/ E��F=� A� ��+ ���� �+�

%%

Page 34: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

�#����� �! ����� +���� ��� ����������������� ���� �'��� ��� 3� � ��� � � �� !��8-������ �� ��� �������� ��� �� ��� �� �������� �! � ��� ��� � 0� ����� �� �'���� 3����-������ +� ���� �������� '������ �-������ +���� ���� ��� !����+��� !��� �� ���,������� �� ��������

�� �� 4

��

��M ���

� �� 4

� � 4� ���K <%�� <��>=

�� �� 4

��

��M ���

� �� 4

� � 4� ���K <%� � <%� M <%� K ��

+���� ����� ������ �������� ������� 7����� ��� ��� �� <%�� <%� ��� �������� ����� � A� ��6� ��� � ������� ���� ��� � -�������� ��� !� ��� !����+��� ��� ����������������

�� K ���&� ����&� ��0

�� �� K ��

�&� ����&� ��0

�� <��$=

<%� K <%��&� ����&� ��0

��

+���� ��� �������� ��!�������� ��� �� �! ��� 6������ � ��� 3� !�� ���� ��!�������� �

��� �-������

��

��K ������4�� <��)=

��� 0 /K 4� 4� � ��� �������� �������� �! ��������� �5� ���� �! ��� ����� ��+ �! ������������� ��� ��� ��+ ���� ��� ��� ������

<���= � ����������������� ���� �'��� ��� +���� ��� '� ��� �� � +��� ��� ���������������� <��$= ����������� �! ����& E>�F� 0� ��� �� � +� ���� +��� � ����� ������� ����� 0! +� � ��� �� �������� ��� � ������ ��� ��������� +��� �� ���� �� '��� �����������'�� ����& ��� 0 ���� +� �'���� � ���������� �#������ !��� �! ��� �������� ��������

�� K <� &=��M���!!

�&� �

�� �� K &��M��

�!!

�&� �

�� <��4=

<%� K <%� K *�&� �

�0� ����&�

+���� ���!! ��

��!! ��� ��� �8������ ������� ������ ������ �������� ��� ����� ��� �

!��-������ � ���� �� '� ���� ��� ��� 3� � ��� �! �� � ������ < ���� ��!�������� �! ��� 6������

������ �= � ����� '� � D��6�B ��+ +��� �������� ���H����� ��������� �� ���

���� ��� &� ��� ��� �� ��� ���-���� * � �� � � ����� � ���� �� '� ��� ����� ������� �������� � � ��� �������� !���� �� ��� ��� �������

0� ����� �� ������� !�� �� ��'������ �! ��� ����� �������� ��� ��� ��� �� �#���� ����'��� ����� '� ���������� !�� ��������� ���������� �� ��� �������� �������� 0� ��� � (� ��3�� '���� � ��� �� ��'������ ������ '� "�+ �! � ���� ����� ��� �! ��� "��� ���8������� 0� � ��������� ����� ��� ������ ����� ���� �� ������'����� �� 0� ���� ���#��� ��� ����� �� ��� ��+� � �����#������� ��� !����+��� ��� �������� ��������

�� K <� &=��M���!!

�&� �

�M %0 �0� <���=

�� K &��M���!!

�&� �

� %0 �0�

���������

��� �� ���������

�� � ��������� ����� ����

���� ����� ����� ���� ��� ����� ����� �� ���

%*

Page 35: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

<%� K <%� K *�&� �

�0 <�M V0 �0= ����&�

+���� % ��� V ��� ���������� �������� ��������� ����� � ����� ��� �� '� ����������� �� �� ���'� !�� �� ����� �� ��'������ �������

�� "���������� ��� �������� �� +���� �������� ��� '� �����-��6� <E��F �=���� �'��� �� ���'�� ��� �! ����� ���� ��� '� �� �� �� ��� !������ �� ��� +��6�

0� ���� �! ����� ��������� ���� �� ��� ���'��� �! ��� �������� ��� � ����� ���� ���!���� +���� �� ��� ��� �� '� �������'�� �� �� � �! +��� ����� � � &� � ��������� �!���� � ��� ���6 �! �����'������� <��� ���� �! ��� �������� ��������� +��� ��� ��� ������� ��������=� ��� ���� �� � ������� ���'�� �! ���� ���������� ����� ������� �� ���� �! ����������� ��� ��� �-������ �� ��� ���6 �! ������� ���� �! ����������� �! +��6�� ���������� +��� � 0� ���������� ��� 1�8+��� ��� ��� ��������� ��!��� +��� ������'� �� ���'�� '� ��� ����� � A� �� �� ��� �������� �! ��� � ���� !����+��� !��� ���:����� ����� ��� ����� !������ �� ��� � ���� �

���� ����� �� !�" #����� �� #��� $������ � �� %�� ����� �� &������ �� &���� �'�� (��� ������� #�������� �� !���� "� )�������

%�

Page 36: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

1 � ���� 0�� � %������� "����� 2������ ���

����� ������������

0� ��� ������� +� ��� ��� ��� ����� �! ����� �������� ��������� �� ��� ������ ���� E�>F!�� �� ��� ��� 6������ ��� ����� "��� ��������� � A� ��� ��� �� ��������� !��������� !�� � � ��� +��� � "��� ��������� � @��� � !�+ '� �� ��������������� !������ +��� '��� �� �� �� ����� �� ����� ��� ����� +����� ��� �������� �#������ ������������� E>�FE>)F� ��������������� ������ +��� '� �� �� �� �� !������ ������� !�� �+�8�������������� �

�������� ������������� ��������� +��� �� �'�� ����� ��!�������� �! ��� 6�������������� ���� ��� ���������� +�� �� �� ���'� ����� � � �� ��3�� 3��� �� � ������������!������� �� �! ��� 6������� 2�� ��� � ���3�������� ��� ��!�������� �������� �!��� 6������ � ��3��� � ��� ���� �����#/ !� K �� D���� +� !�������� ��� %����������������� �! ������ �! ��� ����� ���������

��� ��� �! ��� ����� � �� 3�� ��� !����+��� 3��� ��3��� �� ����� K �! ��� ��!������������ �� � �� ��� �� �� ����� � �! ��� ���� �������� � � E���=/

�� �� ��� ��� �! ��� 6������ ��!����� �� � ���� ��!������ ������/ � <K� �=

�� �� ��� ���� �! ��� "��� ��������� ��!����� �� � ���� ��!������ ������/ � <K� �= �� K �� � �

%� �������� �! ��� 6������/ ��� <K� �=

*� ��!�������� �������� �! ��� 6������/ !� <K� �= � 1� /K ���!� 2 �

�� ��������� �! "��� ��������� ��� <K� �= � � K �� � �

>� ���� ���/ & <K� �=

$� ����������� ������ !�� ��� ��������� � <K� �=�

7�� �-������ � ���� � �������� ������� � �� ���'�� '� ��� �������

� / <K� �= �� ������ � /K� �� �� ����!�� ���� &� �

�� � K �� � � <���=

2���� �-������ !�� ��� � 3��� !����+ !��� '������ �-������ +���� +� ������� ��!���������

5������ �-������ ��� !��������� �� ����� ���'�� !��� �� �������� ������ �! �����8���� � 2�� ����� �������� �� ��� ���������� �� �������� ��� !����� �! �������� ������ !�� ��� 6������ � ��3��� � � ��� �! �' �� �! �� +���� � ���� ����������� ��� ��� 3� ��������� ��������� +��� ��� � �! ��� ��� ���� ��������� �������� <���� E**F=� &������������� �! ��� 6������ ��� ���� ����������� '���� � ��� ��!������ ���3�������� �� � ��3��� +��� �� ���� �� ��� ��!�������� �������� �! 6������ !�� 2�� ��� ���3��������!� K ��

0� � ��� ��� �� � ��� ���� !�� "��� ��������� � ���� ���� ��:����� 6�������� ���� ��� 6������ +���� ���� ���� ������ �� ��� ���� �! ������ ���������� ������ ��������� ��� ��� �������� �! � ���������� "��� ��������� ���� +��� �� ���� �� �������������� �! ��� 6������� 0� ��� ,������� �� �������� ��� �������� 3��� !�� ��� ������ �

%>

Page 37: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

����� '� ��� ��:������ 4� <�� �=4� <�� �= !�� ��� "��� ��������� � +���� 4� <�� �= � ����������� �! ��� "��� ��� 4� <�� �= � ��� �������� �! ��� 6������ �� ��� ��� ������ �� ������ ��� �� ��� ��� �� ���� �! ���� �� ��� �������� ������ ����� ��� ���� ���������� �!�������� ������ �! "��� ��������� ���(����� �� ��� ��!������ ���3�������� ��� ������(������ � ������� '� ��� !������� �! ������ �! ��� 6������

�K � ��� � � � / � K �� <K� �= K

K !� K ����� <K� �= � ��� K��� <K� �=

��� <���=

+�� � �#� ����� � � ���� �� ��� ������ ��� ��������� !�� ��� �#� ����� �! ��� !��������! ������ �� ���� '� !��������� ������

0� � �� � �� ����6 ���� ��� ���������� 3��� �! ��������� �! �������� ������ �! "������������ ��� ����� '� ��� !����+��� ��������

�K � �� / �K� <K� �= /K !������� ���

��

��� <K� �= K 4���� <K��= � �

�� ��� <K� �= K 4�

��� <K��= � �

� <��%=

0� ����� �� ���������� ��� ����������� ������� �! ��� ���� !�������� +� !��������'������ �-������ �! �� !�� ��� ��������� � ���� ���� ��� !����+��� !���

��

��� K

L ���� <��*=

!�� ����� �������� ������ �! ��� 6������ � � �� ���

��

�����

��� K

�����

L ���� <���=

!�� ����� �������� ������ �! ��� � "��� ��������� � <�= � ��� � K �� �� 0� ����'��� �������� L �� L � ��� ��� �� ����� +���� ��� !� ��� !����+��� '��6 ��� ����������+

�K � ��� � � � / L � M�

���

L � K � <��>=

���� ���������� �! �������� ������ !�� "��� ��������� ����� ��� !����+��� ���� �! ���� ��:�����������

��

��� K

�� ����

��

�����

��� K

�����

�� ��� M

������

�� � �K���� <��$=

+���� � ������ ��� ���� ������ ������ 3��� �! ��� '������� �� <�=�

%$

Page 38: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� � �������� ����� ��� !����+��� ����� !��� �! �� '������ �-������ !�� � K�� � ��

� �

��K L ��

� �

��M9��

� � �K�

�K L �� <��)=

�� ������� ����� <���� � �����+����= �! �� ���

3�� ���K ��

�� ���K� ��3

���= K �� <��4=

�� ����� �! ������� ��!��� ������ ������� ��� ��!������ ���3�������� �� +��� ��� ����� ���� 3 � ��� '���6�� EE� � �FF ������ ��� ��:������ �! 3���� ����� �! -�������� �� ��� �'���6�� �� ��� �� ����� ��� �������� ��� �! ��� ��!����

0� � ������ ������ +� �'���� ��� !����+��� ������� �������� '������ �-������ ������� ����� !���� 2�� ��� ������� ����� �! ��� ��!������ ���3�������� ��

�� ����

��9��-� K <%� M �"��

� < ����=

��M9��

� ���� � �K� -�

�K <%� M �"�� <%� M

���

<%� K �� <���=

��� !�� ����� �� ������� ��!���

�3�������M��-���� K��

���K� �� 3

�EE���FF EE-�FF� K � <���=

0� ��� � �������� -��-� ������ ������� 1����8P������: ��� ��� �� "��"� ���������� �� !���� ��� <%�� <%� ������ ��� �������� ����� � �������� <���=� �#��� � ��� '��6 ��� �������� �! ���������

A� �� ��� ���� �� ��� ��� ������ �! ������� ������ '������ �-������ � ���� ���� ������� �! � ����� 3��� �! ����������� +� ���� ����� ��� '��6 ������ ��� ����������+� 9����� ���������� ������� ������ '������ �-������ ��� ��� ���������� �! ��� '��6�-������ ��� '� !���� �� ��� '��6 E�>F� ��� ���������� � '� �� �� � ��������� �! ��� �������! ��#���� ���� '��6 -�������� �� � '� ��3��� �� ��� � +�� ���� '������ �-������ !�� ��� � -�������� ���� ��� !��� �! ��� ���� ��� �������� ��+ �! ��� ����� ������������������ ������������� �

5������ ��� ��������� �� ���� +� ��3�� ��� !����+��� '��6 -��������

/K � M�

���

�� >� /K ���� M�

���

����� >K /K�

���

� �K�� <���=

+���� ��� ��� '��6 �� ��� ��� ��� '��6 �������� ��� �� �'(������ �������� �����8��� ��������� +��� ��� ��!������ �! ��� ������ �� ��� 6������ ������ ���� �� ����� ������ �! �������;

- / K -� !�

� >K� >KM�

���

���K� >K

����K� >K

��

� <��%=

-� / K -� M�

���

-�;

%)

Page 39: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� � ��� '��6 1����8P������: ��� ��� �� +��� ��� �8������ ������ �� ���� -� ;

� / K �� M�

��� ��>K� >K

�M

���

��� ���K� >K

����K� >K

��

�� / K ��� M�

���

���� �� /K !��!�� <��*=

��� � ��� '��6 ����3� �������� ������ +��� ��� ������ �� ���� �� � ��� �������� ��� ���� � ��� ���� �������.���� ����� ���� ������ �! ��� 6������;

L /K L� MM�

� >K� >K� >KM�

���

���K� >K

����K� >K

����K� >K

��

���

L� / K L� M�

���

L� ��� >KM�

���

�����K� >K

�M <���=

M-��!� >K�

���

-��!���K� >K

��

��� ��� ������ �� ���'� ��� '��6 ���� "�# �� ��� ���������� �� ��������� .���� ��������� �� ���� L� +� ���������

��� '��6 '������ �-������ �! ������ ��� '� ��+ +������ �� ��� !����+��� !���

��

�M

�R���M./�

�M

�R���

>KML-�>�

K " � >�M �� <��>=

+����

" /K ��"� M�

���

�"��

� /K ��� M�

���

��� �"� � !� >KM�

���

�"� � !���K� >K

�� <��$=

��� ��� �� ������ ��� ������� ��������� �A� 6�� ��� ��� �������� �! ��� ������ ��������� �� � ������� ��!��� '���� � �� ����

��� '� � �� �� ��� � ���� �0� ��� ���������� �� �������� ��� +��� ��� ������ �! 3��� <���= +� ���� �� �� �� ��

��� !����+��� �������'����� ���������

�!�

��K ��� ��� <��)=

��� ��������� ����� ��� �#� ����� �! ��� !������� �! ������ <���=� 5� ��� ������ <���=�! ��6��+� 3��� ��� �������� ���� ��� ���� �! ��� 3��� �-������ !�� ��� ��!���������������� !��

%4

Page 40: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

0� � � �!�� �� +���� �-������ <��)= �� ��� !����+��� +��6�� !���

��

!��� K

����� ����� <��4=

!�� ����� �������� ������ �! ��� 6������ � � ��� ��� '������ �-������ ����� ���!����+��� ��������� �� ����� �! ������� ��!���

3��!���K

��������� <�%�=

��� �������� � � ����� ������� '� ���� �! ��� D������� ������� !�� ������� ��!��� �5�!��� +� ��� ��� ��������� �-������ �! ��� ����� ��� � �� �� ��� ���������

�! ��� �'(��� +���� +� ���� ��������� �'���� 0� � �� � �� ������ � ���6��� ����������! ��� �������� �! '��6 -�������� �� ���� ��������� �� ��� ��� ���� ������ �! ��#���� ���� ������� ���� +��� �#������ ������'����� �! ��������� � D�+���� �� ������ � �� �����#���� ������ ��� ��������� �! ��� ��� ��� ����� ��� �'(������ '���� � �K� ��� >K ���������� ��������$ 9�� �� ��� �������� �������� ��� � ��������� ��� '� �� � ��� ��� �� ����������� !��� �� ������ �� ���� �! ��� ��� �� �������� ������ ��� ���� "�# ������� 0� � �� � ��������� �� ������ ���� ��� �#������ ���������� � �� ��� � -��������� 0! +� ��� ��������� � +��� ���� ��������� !��� ��� ��������������� �-����'���� ��� � ������'����� ��� '� ����������

0� ����� �� ���� ���� �� '������ �-������ <��)= �������� '������ �-������ <���= ������ '������ �-������ <��>= ��� �������'����� ��������� <��)= ���� 3��� �-������ !�� 3��� <���= +� ���� ��� �������� �������� !�� ������� ��� ��� �� �������� ����� ��� '��6 �������� ������ ��� ��� '��6 ���� "�#� 0! +� ��� ��� � �������� +� +���� �����* <�M �= �-������ � 7�� �-������ +� +���� '� �� ��� ��� �-������� ��� � ���������+��� ��� !��� ���� ��� ���� ��� & � ��� ���������� ����� ��������� �����'�� ��� ��� ��-���� �� ���������� �-������� A� ������� �� !�������� ��� �-�������

A� ���� ��� �� ������� � ���� ������ �! ���� ��� ��� '� �� ���'�� '� � '�������-������ <��*=� ��� +� ��� ��� �-����� �! �������� �'����� �! ��������� � 0! ������������ ��� ������ �'�� +� ��� �� ��� ��� �-������� 7����� �'����� �! ��������� � �� ��������� !������ �� ��� +��� ����� � ��� ���� ����� ���'��� �! ��������� '��������� ������ ����� <���� 5���B ����� +���� +� ��� ��� !������ �� ��� � ���� = ����� �� ����� � � �������� !�� ���� ��� +���� ��� ��� �������� +��� ��� ������� !�� �������� �'���������� � 0� �������� ��� ���� ��� �-������ !����+��� !��� ��� �� ��� �������� ��+��� ��� ������� � ������ ���� � ����� +���� �� ���'� � ��������� ����#����� �!���� ���� A� 6��+ !��� �#�������� +��� ����� ����� ��������� �����'�� ���� ��� � ����������� �������� �������� ��������� �-������ !�� ��� �����'�� � .�� ��� � �������� ��� '� ���� ���� ����� � �! +� ������ �� �-������ !�� ���� ��� !��� � �������� ����������� ��� +� ���� '� � ����� ������ ������-�� �� ��� +��6 E�$F�

5������ ��� �'��� �����6 �� ���� +� ��������� �� ������� ����� ��� ������ �"������� ������� �� ��� !����+��� ������� !���

�W�

��M9��G K L&� W� K & &"� <�%�=

+���� W� � ��� ��������� �! ���� ��� !��� ��� �-����'���� ����� ��� ������ �������� +������ "�# �! ���� ��� G ��� ��� ����� �! ���� ��� L& �� � '� ����� '� ��� �������� �������� �

*�

Page 41: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

A� �#���� ���� & ���� �� �� �-����'���� ����� ��� ���� �#������ ��������� � ��� �-��8��'���� ����� �! ���� ��� &" ��� 3� ��� �-������ <�%�= +��� ��� "�# ��� ����� �-��� ������� ��� ������ � +� ��+ ����� !����+ ������ !��� ��� ����� ��+ �! ������������� �

&�6��� �� � ������� ���� ����� �! ���� ��� �� ��� ����� ��!��� ����������� +���� +���� ��� !����+��� �������'����� ��������� !�� ���� ��� �� ��� ��!���

3 EEW�FF EEGFF �� K �� <�%�=

+���� ��� ���� � ��� !��� �! ������� '������� ��������� !�� ���� ������� � ������� '������ �-������ +���� +� ���� �� �� �� �� ��� �������� ���� ���

��+� �� ��� ��'�� � ��� ��

��"� �/ /������ �"������ ��� ��� �M �8��������� ������ ������ � ������� ������� ��� ��������� ���!������� K ���

�� �! � ��

��K L �

�� �! � ���

��M9�� � �K� K L �

�������� �! ��<���=

��9��-� K <%� M �"�

�������� �! � ����������

M9��� ���� � �K� -�

�K <%� M �"�

'��6 ������ ��� ��M �

�R���M./�

! ��M �

�R���>KML-

�>�"K " � >�M �

�������'����� �! !� ��

��K ��� ���

���� ��� �����M9�� G K L&

��"� C /������ �"������ +���� � �� ��� ��� ��������, � ����� �� ��� ��������������

�� �! � 3�� ���K �

�� �! ��� ���K� �� 3

���K �

�������� �! � �3�������M��-���� K��

�������� �! � ���K� �� 3

�EE���FF EE-�FF� K �

�������'����� 3��!���K

���������

���� ��� 3 EEW�FF EEGFF �� K �

*�

Page 42: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

. ������� ��������� +� �� ��� -���� ���� ��� ������� �������'����� �������� !�� ���'��6 �������

0� ����� �� ��� ����� 3��� �-������ !�� ��� 3��� � �� ��� �� �������� <���= +� ������ ���� ��� ������� ��� �� ���� +� ���� �� ��� �� '������ �-������ �! ��� ��'��� ��� �������� �������� � A� ���� �� � !�� ��� ��������� ���������� �� � � . ���3� � ��� ��� +� ����� ��� ����� � �� �'�� ��� +���� ����� � �� �'����� �! �#�������� ��� ����� ��+ �! ������������� �� � +�� ������� !�� ��� �������� �#������ ������������� ���� ����� �� � ���� '� ���� ������� '� ���� �! ��� ��� ���� �������� �� ��� �#�����������! ��� ����� ��+ �! ������������� �

0� ��� �� � �! ��� �#������ ������������� ������ +� ������� � !����+ ���� � ��3�� ��� !����+��� ������

�� /K

� �� �� ����� �����

�M

�R����!��W�

� ������

�� /K!�� � �K� �9��-

�9��� ���� � �K� -�

�9��

�M

�R���

>KML-�>�

��9����

� �9��G �9�

� ������

� K �� �� %�

� /K�L �� L �� <%�� <%�� ��:� L&

�� ������ <�%%=

��#� /K��� �� �"�� �"�� " � >�M ��:� �

�� ������

+���� 9� ������ ��� ��� ������� �! ���������� ���������� � ���� ��� '������ �-��8���� ��� '� +������ �� ��� !����+��� ������� !���

�����

M����4�

K � M ��#�� <�%*=

+�����4�����$�$�

������ ���������� ���������� � 2�� ����������� +� ���� ��� �� �

7���� ��� ���������� � ����0� ��������� �! �������� ���� ����� �� E%�F �� � � ���� ���� ��� ������ ��3���

'� <�%%= ��� �H������� ����� !������� �! ��� ������ � �! ��6��+� 3��� � ���� ������ ��� � ������� �� ��� !���

�� K �� <�= � �� K �� <�= � � K � <�= <�%�=

0� ��� �� � ����� ��� ��������� +� �'���� ��� ����� �! ���������� ������� +���������� ����������� 0� ����� �� ����������� ��� ���� ���������� +� +���� ���� �� ��������������� �� �-������ !�� ��� ���� "�# �� � ���������� �� ���� � � ��� �������� �����'������������ +� +���� ���� �� �#���� ��� ����� �! +� +����� �� �� ���'� �� ��� �� ��� ����:��� 8 +� +���� ���� �� ��� �-������ !�� ������� ��� � �� � ���������� �� �������� �! ������� ��������� � 2������ +� ��� ��� ����� �� +���� ��� � ���� �! ��� �#���8 ��� ��� ������ �� �� �� +����� � ��� ���� �������� �� ��� ���'��� �! ������������������� �'������

*�

Page 43: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� � ������� �� �� ��� ���� ��� �������� �! ��� �������� �������� <�%�= � ��� �!��� �� � ���������� ��� !������ �! �#������ ������������� � I����� ��� ��� �������������'�� ��� 3��� ���� ���� '�� ��� ����� ���������� � �� � ��+�� ��� �� � �� ������������-����'���� ������������� �

0� ����� �� �#�� � ��� �������� ���������� ��� !�� �#������ ������������� +� ���8 ���� � ������ �� � �! ��� ��� ��� �� ��� !��� <�%�= ����� ��� � ������� ���� ����� � ��� ������ ��� ��� ���� ���� +� ����� ��� ��� ����������� �� ��� ��3������ <���= �!� ��� ������ �� ���� ��% � +��� � +� ������ ��� ������ '������ �-�������

��� �� �! �-������ <�%�= !�� ��% +������ ������ '������ �� ����������������� ��� ��� �������� � ��� ����� ������� �� �! �#������ ������������� � 2�� ��� ��� ��+� ��� ����� ��� ��� ��������� ��������� +��� ��� ������������� �������"���������� ��� '� !��������� � !����+ /

8 ������� ��"�����/ ����� �#� � � ���������� ������� !������� "� ��� � "�#( K��9� ��� ���� !�� ���� ��������������� ����� <���� !�� ���� ��������! 3��� �-������ = ��� !����+��� ���-������ � ��� 3��

�"���

M9��( � �� "� K "� <��%= � �� ( K ( <��%= � ��� <�%>=

8 �������� ��� ��������/ ��� ������� !������� "� K "� <��%= � ������� ����

�4 ���������4 �K : /��"�

���%���%� <4 � 4= 5 �� <�%$=

8 ������� �� �������� +.������ �������� �� !��� �"������,�

��� �� � ��������� ����� � ������� ����� �! ��� -�������� �! ��� ����� ���� �+����� / � ���������� ���� +���� ������ �#�������� �� ��� �' ����� �������� 3��� ��� �������������� ���� +���� ��� ��� ������ �� �' ����� ��������� �� ���� ��� ���������� ��� 3�� ����������� �� ��� �� � �! ���������� �� �������� '���� � +� ���� ����� +����������� ��������� �

,������ ���-������ <�%>= � �#������� '� ���� �! �������� ���������� +���� ����8����� ��� ���������� �! ��� ���-������ �� ��������������� ����� � � .�������� �� ��� ��������� ��-�������� <�%>= � �-�������� �� ��� !����+��� ���-������ !�� ��� !���� ������ ���� !�� ������� �! 3��� �-������

���% � ������� /�"���

M���

�4�A�

�������

M�����4�

��

� �� A ���������

( K ��9�� <�%)=

+���� A ��� ��� �������� ���������� ��� !������� �! ��%� . ��������� �'��� ���� ��������� ���������� �! !������� <�%%= �� ��� �' ���� ������� +������ ��� ������ '�������-�������

*%

Page 44: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� ������� �! ��� �'��� ���'��� �� ��� !����+��� !���

�"� K A������ ��� K ���� �A K �A

���%K

��"����%���%

� <�%4=

���� ��������� �� <�%$= ��� ��� ��% � A � ���'���� �������'��� D���� �!��� ������������ !��������

"�� <A= K A���� "�� � �

� <A= K A���� �� K

K ��� K�"���A

� ��� K���

�A� A��� <A= � � <�*�=

7�� �-������ ��� !������� ��� ��� ��� +���� ��������� ��� ��!�8���� ��� �! ���3��� �-������ ��� ����� �! ��� ������������� <"�� <A= ��

� <A== � 6��+�� 0� ����� �� ���8�3�� '�� �� ������� '� ��� �������� ��"����� <�*�=� ���� ��� ����� �� <A= �! ��� 3����-������ � ��� � ��� �! ��� �� � ��������� ��� �-����� �! ��� ����� ��+ +����� ����������� �#������ ������������� � &������� �������� <�*�= ����� ��� ������� �! 3����-������ !�� ��� ��6��+� ������ A/

��"��A�A

�A

��M

��� �

�A�A

�A

�4�K �� <�*�=

7�� �-������ ����� ��� ����� ���� �! ��� ��������� �! ��������������� ���� �'��8��� <���� ��� ���������� �! �����# ��&�

����= ��� � ��� � �� ���� ����� ���$

0� ������ �� ������ ��� �����'�� ���� �� 3�� ��� ��� A� ��%� ��� � � ����� ����� ��H���� ��������� ���'���� 2�� ��� ��� �� +� � � !������ � ��� ���� �������� +������� ��� ��-���� ��� �#������� �! ��� �� � ����

��� � ������� ���� ��� �� ����� ���-������ <�*�=� ��3�� ��� ��������� ��� !���8���� ���� �� �� ���� ������ ��� ���� ����� ��� �"�� �� ������� 7�� �-������ ������� ��� ��� �H����� ��������� !�� ��� ��������������� �-����'���� +����� ��� ������� �� �� �� ��� ������� ���� ��� !���

L ��" K � !�� � K �� � ��

<%��" K � !�� � K �� � �� <�*�=

L&�" K �

���� !����+ �������� !��� ��3������ <�%%=� �! ��� ������ � ��������� �� ������� ���������� ������ ���������� ��������������� ��������� �! ��� � ����� ���

'� !���� �� ��� ������� E>%F�A� ������� �� �� �� ��� ���������� ����� !����+��� !��� ��� �'��� ��������8

������� ������

**

Page 45: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

. �0�3���%���� ����� 0�� ����������4 ��������

�� %�������

.;� !���� ��� E�� 2�������

0� ��� ������� +� ���� ������ ����� �! ����� �������� �� +���� ���� ��� ��� 3� ���� �������� ��������� A� ��� ���� �+� ��� � �! ��� ����� E>>F� 0� ��� 3� � ��� ��'����<�= +� � ��� ���� ��� ���� "��� �� ���� � �������� �'��� ��� � � +��6�� � ����������� ��� �! ��� !��� �������� �'����� �� �� �� �������� ��� � ������� ���� ���������� �! ��� �������� �! ��� ������ ��� ���������� '� �+� ����������� ����� � �@� ��� ��� ���� ��� 6������ ��� ����� ��������� ��!��� ��� ��� ���� ��� ������ ��� ����� @��� ��� ��!�������� �������� !� ������ � A� �� ���� ��� ����� ������� �� �������� ��������� @� ��� ����� ���� ��� ���� ��� ��� ������ '� ��� ����������� ���� ��� ����� ����� �������� �! ��� 6������ ��� ������ ���������/ !� K � ���������� �! �� ��� ��� �! ��� "��� ��� ���������� '� ������ �! ���� ��� �����

�� K & ��� �� K �0&�� <�*%=

0� ��� ����� ��� �! ����� ��'���� <6= +� ����+ !�� ��'������ ������ �! �� ��� ���� �� �

�� '�� ��� ���� ��� � � ���� �� '� ����� '� � ��� �������� ��������� 0�

� ������� �� � ��� �������� � � ���� �� '� �! ��� !��� & K &< �� $ �� = +���� � ���

��� �-����� �! ��� ����� ����� ����� � !�� � ������� �������� � 0� ��� ������ +� � ������ ����� � !��� �! ��� ��������

& K &� �� ��

�� ��

� <�**=

+���� �� � �� � &� ������ ��!������ ��� ���� ����� �! ������� �� ��� ���� ��� ��� ���� ����

��� � ���� ���� �� ������� ��� ���� ��� & ��� ������ � +��� +������ �������8����� ������ �! ����� ����� �� ��� ���� �� �

�� � ��� ������ +��� ������ �! &

��� ������ ���� '� ������ �! ���� �� ��� ���� ��� �� �� ��� � +�� ���� ������������ & ��� <� &= �� ������ ��� ����� ���� ������ ��� ��� ���������'�� �� �������� ����� ������ ���� �� � ������� ��������� ��� 7�� �-������ ���� ����� � ����#8����� �! ���� ��� ���������� ��� !�� ����� ��������� �����'�� � ����#����� ��������� ��� �!���� � �� �������� ���� ��-���� � ����� ���� �� ��� �������� !�� ������ �! ���� ��� ������ ����� ������� �-������ �� '��� ����� ������ �� ��� ������� �������� A� ������ �� ��� ����� !������ �� ��� � ���� �

2���� +���� �� ���'� ���������� ����� � �� ��� ����� �� �� �� �� ��� ������� ���� !����+

�� ��� ��!������ ������� �� ��� ��� �! ��� "��� ���������

� K � <K� �= K �� 1� � &1� ��� 1� /K ���!�� K ���� <�*�=

�� ��� 3��� �! ������� �������� �! ��� 6������ ��� <K� �= �� ��� ����� ����� ����� �!�� ��������

%� ��� 3��� �! ������� �������� �! ��� "��� ��� <K� �= �� ��� ����� ����� ����� �! �� ����8����

*�

Page 46: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

*� ��� ����� ����� ��!�������� �������� �! ��� 6������ !� <K� �=�

5� ���� �! ��� �������� 3��� ��� ��� ��3�� ��� ����� ����� 3���� �������� 0 <K� �=��� �� ����� ������� ���������� ����� �K� <K� �= ��������� �� '������ �-������

0 /K ��� ���� �K� /K !���0 <�*>=

��� ��!������ ������� �� ��� ��� �! ��� 6������ � � �� ��� ��� ������ �������� � 3��� '���� � �� � ��� ���� �� ���� �! +� � ��� ���� ����� � �� �� �#������'��+��� ��������� � 0� ������� ����� � ����� '� ��� ��������

�� K ��1���� <�*$=

+���� ��� 3� ����������� ��� ������� �� ��� �������� ��+ �� ,������� �� ���������������� �� +� ��� +���� ��� !����+��� �������� !�� ��� ���� ��� �� ��� �+� �'���

��� � �! ��� �����

<�=8����� / & K 1��� �

��� �� K �0&��� <�*)=

<6=8����� / & K �

���

� ��� K

��&�K �0&��

��� 3��� �� � !��3� ��� !����+��� '������ �-������ �� ���������� �� ��������

�� �� ��� �������� �! ��� "��� ���������

� �

��M9��

� � �K�

�K �� <�*4=

�� �������� '������ !�� ��� 6������

�����

��K 9��-� M <%� <���=

%� �������� '������ !�� ��� "���

�����

��M �K� � ��� ���

�K 9��-� <% <���=

0� �������� ��� ��!�������� �������� !� �� � !��3� ������ ��� �������� ����������� �#� ����� �! ��� 3��� �! ������ �! ��� 6������� ���� ��� � � �! �+� ���� �

*� P�������� �������'����� ��������� ������ ��� ���� ���������� ��� ��� �������� �!��������

�!�

��K ��� ��� <���=

*>

Page 47: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� ����� ���� ? � ����������� �������'����� ��������� � � ������� ��������

���!� K� ���!�

����� <��%=

�� �� 7���� ��� ����������

�7 ���

�4'K

�7��'

�4�� <��*=

+���� ��� ���� ����# ��!�� �� ,������� ���������� ��� ��� ������� ����# �� �������������������� �

@'���� �� ��� �������� ����9��� ��(� ��!�� �� ���������� �����'�� �

. +� ���� ��������� ��������� <���=<��%= ����� ��� �#� ����� �! ��� 3��� �! �������! 6������ �� �� <K� �= +�� � ���������� ���� ��� ��!�������� �������� ��� ��� ��������������� �� �

!� K ������ ��� K���

�� <���=

&������� '������ �-������ ������� ������� 1����8P������: ��� � -��-� +������� ������� �� ��� � ��� 7����� ��� � '� ��� !����+��� ���� !�������� ����

�� K 1���-�!�� � �� K 1���-�!�� <��>=

&������� �-������ ������� � +��� ��� ����� <% +���� � ��� ��:� ��� !�����A� ���� �� ���!��� � ��� ��� �� ����� �� �'���� 3��� �-������ !��� ��� �'��� '������

�������� � 2�� ������� ��� �������� +� ��� ���� !������ �+� ����� !����+��� !��� �+������� �! ��� �������� �����'�� � I����� +� ���� � ������

���� K! � �!�� �K�

"� <��$=

��

���� K! � �!�� �K� � ���&

" <��)=

��� ���� ��� & ��� ��� ������ ����� ��� � �����'�� '���� � �� � ������ ����� '� ����������� <�*)=� �� '� ��� �������� <�*)=�� 7�� �-������ �� ��� '� ���������� !��� ��� ���! ����������� ��� �������� �����'�� �

��� !����+��� !������� �� � '� ����� �� ���� �! ��� �������� ��������

K�-��-� � <%�8�� 8�

�� <��4=

+���� 8�� 8� ������ ������� D�������� !��� ������� ��������� !������ �� ��� ����� ��+�! ������������� �

2�� ��� �� �! �������� �'(�������� +� ����� ���� � ��� ���� ��� ������� �������� � ��� �����'�� '�� �� � ��� �! ��� � 0����� ������� �! ��!��������� A� ���� �� � !�������� ��� ����� D�+���� ��� �#���������� �! ��� ����� ��+ �! ������������� � �� ��� �!+� ���� � ��� �'(�������� �!��� ��� �#���������� �! ��� ������� ���-�������

2�� ��� �! ��� ������ �! ��� �������� �����'�� ��� �������� �������� ��� � ���� ������ ��� !��� �! ��� ��������

K �����

�� � K �� �� <�>�=

*$

Page 48: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

+���� � �H������� ����� !�� ��� ��������� +���� +� ���!��� �� ��� �-������� � ��6� �+� �������������� �����6 �@�� ���� ������ � �� ������� �� +��� 5���B ����� � +��� � �� ��� ����� � �!

���� ��� +��� � ������� �� ������ ����� � 7�� �-������ ��� �'��� ��� ����� �������������� ��� �� ����6������� A� �� � �� ����� � '���� � ��� �#���������� �! ��� ����� ��+�! ������������� !�� � ����� +��� ������ ��� �������� ��+ ������ '� ���� ��� � ����+��� �#������ ��������� ������'����� �� 3��� �-������ � ��� ����� ����� "�+ �! ������������������ ����� � 6��+� �� ��� ��������� 3��� ������� �

�������� +� ����� ����� ��� ���� ��� �� �������� �� �������� �'�� ���� "��� �� ������ <�= �! ����� ��� ��� ��� �� ��� �����������; ��� ��� '� ����� ������������ � ������ �! �����'�� / ������ �! ��� ������� �� ��� ��� �! ��� "��� ��� �������� '������ ������� ������ �! ��� ���� ���� ����� � �� �������� !���� �� ��� � U��� ������U���� � ��:����� !��� ��� �� � +���� +��� ��� ������ ������� �� <���� ������� �=� 0� ��� ��� � ��� ����� �� � � �� ���������� �-������ !�� ���� ��� +���� �� ���� � ��� �������� '� � ���� ����� ��������� �����'�� +��� ��������� ����#����� ��������� � 0� �������� ��� �������� �'����� � ������� ����� ��� �#� ����� �! ��� �������� ��� ��� ����� ��-���� � ������ �������� �! ��� �������� �������� �

��� � ������� �� �� ��� ���� ��� �'��� ������ �! �����'�� ��� ���� �� ��������������� ���'��� ��� �� ��� �� �������� � 5 & 5 �� 0� � ������ ����� ������ �!���� ��� +��� �� ���� �� �� ������� ����� &� ��� ����� ��� ������ �! � ���� ����� �! &� �� '��+��� �� ��� �> ��������� ���� ��� �� �������� � ������ !��3����� 0� �������������� +� ���� �� ��6� ���� �! ��� ��� ������� 0! ������������� �� �������� ��� �������'� ���� �! ��� ������� �� ��� ��� +���� +� �� �� ��� ������� ��� � �� �������� ��� ��� �������

.; ����������� �������"�����

.; ;� /���� ��0 � ������������

A� ��� ��� ���� ����� ��� ����� ��+ �! ������������� !�� �+�8��������� � ��� !��+���� ��� ����������� � ��� ����� 0! ��� � ��� �� � �� ��� '� !��������� � !����+ <���� E>>F=� 2�� ��� ������� �! 3��� �-������ <���� !�� ��� ���� ����� ��� �������= ���!����+��� ���-������

��8�

��M �

�8�

��M �K� � ���8�

-� ��!�

��-� � ��� ��� <% �0 � �� <�>�=

�� � '� ��� 3�� ��������������� ���� ��������� ���'��� '� ��� �#���������� �! ��� ���-������ � ��� ����������

�� ������� �! 3��� �-������ � ��� ��� '� ���������� '� ���� �! �������� ���������� ���������� �� ������������� '� 08���� ��� <���� E�>F=� I����� �� ��� '� ��+� ������� !����+��� ���-������

��8�

��M �

�8�

��M �K� � ���8�

�-� �

�!�

��-� � ��� ��� <% �0

*)

Page 49: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

N�

�� �

��M9��

� � �K�

� A� �

��!�

�� ��� ���

A�� �

� �

����

��9��-� <%

A�� �

� �����

��M �K� � ��� ���

�9��-� M <%

� �� <�>�=

�� � ���� !�� ��� 3��� ��� ��� ���� !�� ������� �! 3��� �-������ � ��� ���������� N��A� �A���A�� ��� !������� �! ��� �������� �����'�� ���� !�� � ������ �-��� �� � �� ���� A� ������� �� �� �� ��� ��� �-����� �! ��� �'��� ��������� !�� ��� � �+� ��:���������� �

.; ; ����������

A� ��� ���� ��� ����� +��� ��� �������� �����'�� ����� '� ��� �������� <��$=� 0� � ������� ��� �� �� ������ � '��+��� <�=8����� ��� <6=8����� '���� � ��� ���� ��:������������ �� ��� 3��� �� ��� ��� �� ��� �' �������� �! ������ <�*)=� �� <�*)=��

0� � �� � �� ����6 ���� ��� ����� ���� �! ��:����������� �� ��� ���-������ <�>�= ����� ��� ��������� �! ��� ���-������ +��� �� ���� �� ��� !����+��� ����������

�� �

����!�

�������

�������

��

� <�>%=

� +��� � � ��� � � ���!�� ��� ���� ��� ���

� <�>*=

7�� �-������ � ��� ���-������ �� � ���� !�� ��� E��� ��� ���H����� �! ��� ����������� ���� �� ���� �� A� �'���� !��� ��� ������'����� �! ���� ���������� <�>%= ���!����+��� ��������

N� K ��8�

� �M �

�8�

� ��

-� MA� K ��8�

�!�M �

�8�

�!� �

!��� �8�

� �K�

�� �K� �

!��� �8

� �K�

�� �K� �

�A�� K �A�� K ��8�

� �K� �

�8�

� �K� <�>�=

@� ��� ����� ���� ��� ���H����� �! ������ ���������� <�>*= ���� �� ��� !����+������������

�8�

� � N�

��K� M

�-��

� �A�� M

�-��

� �A�� K ��

�� ��

�8�

�!�M N�!���

�� �K� K ��

*4

Page 50: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

A� K -� K �N�!��� <�>>=

0� ������ ��� �� ����� ���-������

<% �0 � �� <�>$=

+���� ��3�� ��� �������� ������ �! ��� � ����2�� ��������� ��� �� +� ��6� ��� !����+��� �����!���� � �������

�8�

� �K�K

�8�

� �K�K � <�>)=

A� ��� ���� !������ ��� ����� �� +���� ��� � ������� � ��� '���� ����� 0� �� ��� �8-����� �� ��������� ������'����� �! ��:� ��� ���������

7��'������� �! �������� <�>�=� ��� <�>>=� ����� ��+

N� K ��8�

� ��

�8�

� �K � <�>4=

��� ����� ���� �! ��� �������� �� ��� �� � ��������� '������ �� ��� �������� �!����������� �� ���'�� '� ��� ������ I����� ��� ������� !��� ������ �! ��� 6������ ��� ��� ����� �� ������ �! ��� ���� ���� A� �� �� � ������ +��� � ��� �������� �! ������� ��� � �� ��� ��������� ���� � ������ ��� +���� '� ���� �'�� �! +� ���!����� ����#���������� �! ��� ����� ��+ !�� � ������ ������

�������� <�>>=� ���� �!��� �� � ����������� �� ��� ��������

�8�

�!�K N�!��� <�$�=

D���� �������� <�>�=� ��� <�>>=� ����� ��� !����+��� �������� !�� ������� 1����8P������: ��� �

-� K ��8�

�!�� -� K ��

�8�

� �!��� �

�� �!��� ��� ���� !�������� �� ������� 7����� ��� � �� ���'�� '� <��>=

�� K ���8�

�!�!�� � �� K ���� �� /K ���

�8�

� �� <�$�=

��� � ��� ��� ���� ��������������� �������� !�� ��� ��� �������� ��� ����� "��� �� ���������� ��� �� � ��������� �������� �! ��� � �������� � ��� !��� ���� ��������� <�>4=� ��� <�$�= �����

�� K ���!��� �� K ��

� ��� <�$�=

��� ������ ��-���� �� � ������� �� � ������ ��� �� ���� '� ������ �� ��� ��#���' �������

7�� �-������ +� �'���� �� �������� �! ��� ����� ��#���� ����� +���� +� ������� ������ !�� ��#���� �! "��� � 0� ���� ���� ��� ������ �"���� F���M� ���� '�������������� �! ��� �'��� ������ 7������� '��+��� ������� ��� � +���� ��� ����������� ��� �������� 5��� ����� +��� ��� �������� ��� ���� 9 +���� ���� �� ������� ��� �����

��

Page 51: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��+ �! ������������� � ��� �������� ��� �� '� ������ !�� ��� ������������������� �! ������� ��� �������� +���� �� ��� ������� ������ �������� ����� ��� �������������'�� �

@'���� �� ��� ����� ������� �������� ��� �� ��� �������� ������ �! ��������� ����� ���'�� '� ��� ����� <%� 2�� ��� ��� �� ������� �! '������� ? ������� ����� ���'��� ��� ��� �-������ ����� ����� �! ������� ��� � !����+ !��� ��� ���%�� 3��� �-������ �

A� ����� �� � ������� ���� ��� ��������� �! ��� �������� !�� �� !�� �������� �'������ "��� <<�=8����� = �� ��� �������� !�� ������ �'�� "��� <<6=8����� = � �� ����������� �������� �� �� �������� ��:����� ��� ���� ��������������� 2�� ������ �'�� "��� ����������� <�$�=� ����� ��� !����+��� ����� ��� �! ��� ��� �������� �������� !�� ��� ���������� ���

�� K ��� M :� � ��

�� <�$%=

+���� ��� � ��� ��!������ ��� ��� ��� �� ? ��� ����� ������� ��!������ ������� �� ��� ���� 0� ��� � �� � ��� ������ �'����� ���H����� : �� ���'� ��� ��� ��������� �! ���"���� ����������� �� �� -���� ���� ����3� ��� ���� �! ��� ������������ +��� �� ���"���� ��� � ��� ��� �� � !�� ��� ����� +��� ��� �������� �'����� � �������� . ��� ����"��� �� ��� �� � � �������� �'�� �� �� �� ��� ��� ��������� � 7�� �-������ ��� ��������!�� �� �� ���'� �� ���������� �� ������ �! ���� ��� +���� ��� ��� �� ����� �������������������� ������ �! ��� 6������ ��� � � ���� ���'����� �! ����� � D���� ���� ������������ ������� �� ��� � ��� �������� �������� !�� ��� ��� ��� ������ '� �#������� !�������� ����� ��������� �! ��� ���� "��� ����������

0����������� ��� � ����� ������ ���+ ��������� '� A� � ��� <���� ��/ E�*F=���� ����� ����� ��� �������� �������� �! ��������� �� ��� ����� ����� ����� ������'� �������� ������� �� ��� �������� ��������� �! ���� ��������� ��� ���� �� ���� ��� '�������� '� ��� ��������� ��������� !�� � ����� ���� ����� ����� ���������� &���� �������� �������� ��������� ��"��� !�� ���� ��������� ����� ����� ��������� �! '��� ������������� � +��� � ����� ����� ����������� '��+��� �����

0� ��� ��#� ��' ������ +� ��� ���� � ������ �������� ����� +���� ����+ !�� �������8���� �� ��� �������� �������� !�� ������� ��� � �

.; ;� ����������

A� ������� �� ��� ���� ��� ����� '� �� �� ��� �������� �����'�� <��)=� D�+���� +������ ��� ��������� �� ��� ����� � �� � �� +���� ��� ����� � ����� +��� �� ���� �� ����������� �! ���� ���� 0� ��� � �� � �� ��� ������ ����� �� ��� ��� �������� �������� !�� ��� ����� <% '���� � ��� � ��� ���� ��������� ��� �������� !�������� A� �����!� ��� ��������� !������ ��� � ��� ��������� �! ��� ����� +��� �� ���� �� '��� 3���� �������� 0 �������&� 7�� �-������

<% K*0; ����&� <�$*=

+���� �������� ��������� * ��� ; ��� ���� ������ �� � ��� !�� A� ���� ��!� ���� �� �'�� ��������� ������'����� ������������ �� ��� ������ ������� 0� ����& +����+���� ������ �� � ������� ��������� � ������� ������ 0� ������ � �� ������ ������'����� ��� � ���� +���� '� ����� �������� ��� ���� ��� �� <�$*= � ������� �� ��� ���������! �������� �'�� ����� �� +���� ; �������� +��� ��� ���� ��� ���� 0� ������� �� ���

��

Page 52: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� '� ��� �� �� ��� ��������� ��� �� '� ��+�� �� ������ D�+���� ��� � ����������� ��� !����+ !��� ��� ����� ��+ �! ������������� �

A� � ��� �� � ��� �������� <�>)= �� �����5������ ��� �������� <�*)= �� ���� +� �'���� ��� !����+��� ������'����� �! ��� �����

�� ��� ���-������ <�>�=

<�=8����� / <% �0 K *0 �0;�

��1�

� ��� � �!�� 9��!���

�� �K� �

<6=8����� / <% �0 K *0 �0;�

���

��� � � �K� � 0 � !� �K� <�$�=

7�����'����� ��������� +��� ��� ��������� ; �� ��� � �������� ������ ��� ��������� �!��� ������� ��' ������ !����+��� !��� ���H����� �! ������ ���������� � I����� �������� <�>>=� ��� <�>>=� +��� '� ��"������� A� ������� ��� ��� � �� ��� �! ��� ����� ��+ �!������������� �� ��� (�#���� ������

��"� �

<�=8����� <6=8�����

N� K ��8�

� �M �

�8�

� �� N� K �

�8�

� �M �

�8�

� ��

-� K ��8�

�!�M �

�8�

�!�-� � -� K �

�8�

�!�M �

�8�

�!�-� �

-� K �N�!��� � -� K �N�!��� �

��8�

� �

;

��1��� K �� �� K �0&�� �

�8�

� �

;

���

K ��

�8�

�!�M �

�8�

� �!��� K ��

�8�

�!�M

�8�

� �M

;

���

�!��� K �

.!��� �� � ������������ +� �'���� ��� !����+��� �������� !�� ��� ������� 1����8P������: ��� � �� '��� ��� � �! �����

<�=8����� / -� K ��8�

�!�M &;!��� � <�$>=

<6=8����� / -� K ��8�

�!��

��

Page 53: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

<�=8����� X <6=8����� / -� K

��

�8�

� �M &;

�!��� � <�$$=

� +��� � ��� !����+��� ��������� !�� ������� !��� ������ !�������

<�=8����� /�8�

�!�K �

�8�

� �!��� � �

�8�

� �K

;

��1�� <�$)=

<6=8����� /�8�

�!�K

�8�

� �M

;

���

�!��� � �

�8�

� �K

;

���

���� !�� ��� ������� 7����� ��� � !����+ ��� �������� �! ��� !���

<�=8����� /

�� K �1����8�

�!�!�� M &;1����� �� K ����

�� / K ��1����8�

� �M &;1���� <�$4=

<6=8����� /

�� K �1����8�

�!�!�� � �� K ����

�� / K ��1����8�

� �M &;1���

0� � ��� ���� '��� ����� ������� �������� �! ��� � +���� ��� ���� �� ��� 5���B ��� �������� �������� !�� ��� � <���� E��F E*%F= �! ��� ������ ������ A� ������� ������ ������ ��� -�� �����

0� ����� �� �����!� ��� ��� �������� �! ��� ������ ����� +� �������� ��� �'��� ���8������ �������� !�� � ������� �������� � 0� ��� � �� � !��� ������� 8�� 8� ��� !���� ������������ �! �������� �'(�������� ������ �� ��� ��!�������� �������� !� ����� ���������� ��������� �! �� �������� ����� 2�� �� ����� +� ��� ���� � ��� ��������� �! �������� 7����� ? ���� ��!�������� ��� �� ��

�� /K !��!�� � /K ����� �� /K�

��� �����

�� ��� � 1�� /K �����<�)�=

����

8� K 8���� ��� ���� �

�� 8� K 8�

��� ��� ���� �

� <�)�=

��� � �#����� ��� �������� <�$)=� ����� ��� �'��� � �������� 5������ ��� !����+����������� �� ����

�8�

�!�K �!� �8

���� <�)�=

+� �'����

�8�

�!�!�� K �

�8�

��F� M

�8�

����F�

�8�

���F�� M

�8�

��������

�� <�)%=

F� / K !�!�� � ��� � 1���

�%

Page 54: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

+���� ��� �������� ��� �� F� � ������ ��� ��!� 7�����8 ���� ��!�������� ��� ��� I�++� ��� +���� <�$)=� �� ��� !���

<�=8����� /

����

�8�

����M �

�8�

� �

��M�

�8�

��M�8�

����

�F� �

�8�

���F�� K �� <�)*=

<6=8����� /

����

�8�

����M �

�8�

� �M

;

���

��M�

�8�

��M�8�

����

�F� �

�8�

���F�� K �

��� � �������� �� � ���� !�� ��'������ ��!�������� F�� 7�� �-������ ��������� �� ������������� �! ��� 7�����8D������� ������� �� ��� ��� �� ����� � ���H����� �! ��� �� ��F��F�� ���� �� ���� � �������������� D���� �� '��� �� � ��� !��� ������ 8� �� �'� ����������� �! ��������� �� �� ��� ��� �-������ <����� �������� !�� ; �� ��'���= ; �� � '� ����������� �! ��� � �+� ��������� �� <6=8����� '�� ��� ���� ����� ��<�=8����� � 0� �������� +� ����

<�=8����� / 8� K 8��1�� �

�� 1� �8

�1�M �

�8�

� �K �; <�)�=

<6=8����� / 8� K 8��1�� �

�� 1� �8

�1�M �

�8�

� �K

;

���

� <�)>=

; K ;�1�� �

��� ��:�������� �-������ <�)�=� !�� <�=8����� ��� '� �� ��� ����� '� ��� ������ �!���������� ��� � 0! +� ������ ��� �����'�� ����� ��� ���������� ��� '� < ���� +� ��� +������� �-������ �� ��� ���������� ��� !���

�1�

�<K 1��

� �

�<K � �

�8�

�<K � <�)$=

7�� �-������ 8� � ��� ���� ����� ��� ���������� ��� ��� ��� � ��� ��'���� '� ���!����+��� ������� �����

�1��� K ��� �� <�))=

+���� !����+ !��� <�)$=�$�� 0� ���� ���� ��� ������� �! ��� �������� <�$)=� !�� � ��������������� +��� �������� �'�� ���� "��� � �! ��� !���

<�=8����� / 8� K 8�� ��� <�)4=

��� ���'��� � ���� ����������� !�� ������ �'�� �������� � D�+���� +� ��� �����!���� �-������ <�)>=� �! +� ������ ��� �����'�� �� � +�� ���� ��� '� ��� �'��� �������!�� ��� <�=8������ I����� +� �'����

<6=8����� /� � � 1�

��� �� � 1

��

K 8� K 8�� �� � 1

��

<�4�=

���

1� �8�

�1�K

;

���

K 8� K 8��)�*�

� ���

���

� +

;� �� � <

<�< <�4�=

�*

Page 55: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

0� � �� �������� �� ����� ��� �������� <�$)=� �� ��� !������� <�$4= !�� 7����� ��� � �2�� � ������� �������� +� �'���� �����������

<�=8����� /

�� K �1���

�1� �8

�1�M �

�8�

� �

��M�

�8�

��M �

�8�

���

�F� �

�8�

���F��

�� K �1���

�8�

� �M �

�8�

� �

��� <�4�=

<6=8����� /

�� K �1���

�1� �8

�1��M�

�8�

��M �

�8�

���

�F� �

�8�

���F��

� <�4%=

�� K �1���

�8�

� �M �

�8�

� �

��

��� � �� �� 3� � ��� �������� �! ��� �������� !�� <�=8����� � . ��������� '�<�)4= ��� 3� � ������'����� �� ��� ������� ��� �� ������ ������� ��� �������� �� �����!�������� �! ��� 6������� 7�� �-������ �� � ��� ���������� �! ��� ������� D��������!��� ������ 8� +��� �� ���� �� �� +���� ������ �

� �� ��� ��!�������� �! ��� 6�������.�������� �� ��� �������� <�$)=� !�� ��� �#� ����� �! ��� �������� ��� ���H����� ; �� �'� ��:����� !��� ����� 2�� ��� ������� ��-����� �� ��� 5���B ����� �� � ���� ����� ��������� � ������ ����������� ���������� �! ��� ������� !��� ������ !������� 8� ��

��� �� ��� ��� � +���� +���� ������ � ���� �� � �,

�+��������� ��� ��� ������'�����

� �1��� �,

�� �� ��� ��� �� <��� +���� ���S= ��� ���������� �� ������� �������

��� ����������� ��� �������� �� ��� ��!�������� �! ��� "���� ,��� ������ �� � �� �'���� ��������� ��� � ����� ��� ��� ��� �� '� ���� ���� �'�� ��� +� �� ��� ���� ������ ����� !�������

��� � ������� �� �� ��� ���� �� � ���������� �� � �! ��� ��� ���� ������� !��� ������

8� ��� �������� <�$4=� !�� �������� �'�� ���� "��� ����� ; K -

�+���� � ��� ����

��� ��� �! ��� ���� ����� � D���� �� ��� ���������� �� � ��� ���H����� �� ��� ��:� ���!���� <�$*= �������� +��� ���� �! ��� ���� ����� �! ��� ���������� ��� �������� �� '��� ��������� �� ��� +��6 E��F �� ��������� ����� �

��� �������� �! ��� �������� !�� <6=8����� � ������� . �����������������-�������� �� ��� ���� �� ��� �� �������� �! ��� !��� ������ 8� �� �� ��� ��� !��������� 8� �� 1� +� ��� ������� � � ���������� �� � � �� ���� ���������� ��� ��������A� ���� �� � !�� ��� ������ ������

7��������� ��� �'��� ��������������� ��� ��������� +� �� ���� ��� 5���B ��� ��8������ �������� !�� ��� � ��� '� ������� !��� ��������� ����8����� '� � ����3� �������! ������� !��� ������� � 0� ���� ���� ��� � ���� ����� ��-���� � ������ �������� ������ � '��6�������

.;� ����� �����

.���� ������ ����� �� ���'��� �+�8��������� < ��������= ������� ��� �������� ����� � !��-������ � �� � ��� 5��� ������ A� -���� ��� !���������� �������� �! ���

��

Page 56: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� ���� 5��� ����� �� � ��� �� �������� !���� �! ��!������ <���� E��F E*%F=

���4�

��K �� ���� �� �M��� ��� �M9 ���� �M*

�4� 4�

� ��

�4�

���4�

��

��<�4*=

���4�

��K : �� ���� �M9 ���� �� � *

�4� 4�

�M ��

�4�

���4�

��

��

+����

��

��K ������4��

��

��K ���4� � � /K

�� �� ��

� �� � =

&�� <�4�=

��� � ������ ��� ����� ������� .���� �8D���� � �������� ����� � � �������� ����� �� � � ��� 4���� ���$ < ���� ��!�������� S= � � ������ � � ���4���� ���$ � � 5��� ��� ��� � ������� �� ��� ������� � 5��� ������= '� ��� �������� <�4�=��

�� ������ ��� ������� ������� ��� ��� �! ��� "��� ����������

�� � �� ��� ��� ���� ������� ������� �� ��� ���� ��������� �� ��� ���� �� ��� ����

��� � ��� �� ��� !����+��� +��

�� K <� &�= ��� � �� K &�

��� � <�4>=

+���� &� � ��� ������� ���� ���� 4��4� ��� ��������%�� 4������� �! '��� ���������

���� 4� 4� � ��� ������ ��������� ��� �������� ��������� ��� ��� :� 9� *� �� ������ �����

��� ���������� �� 5���B ����� � !�� !��� '���� ���-�� �� �������� �� ��� ����������� ��� ������ � ��� �! ���!� ���� ��� �'��� �������� ��������� ��� ���������� ��� !����� !���������� �! � �+�8��������� ��#����� ����� �� ��� �������� � � � '���� �����! ��� ����� '��6 ��� � K �� M�� ��� ��� "��� ������� ��� � ������� ����� �� ������� ��� ��� �� I����� �� K &����

2�� ��� ��� �� ��� �������� ��������� ��� ���������� !�� �� ����� �� ��� !����+���+�� E*�F

� /K �� M�

%�� M �� :M �9� > /K ��� <�4$=

6 /K�

&�

�9M �� :

�� � /K

�� :

&��

@� ��� ����� ���� �� ��� ������� ��!������ '��6 �� ������ ���� ��� �! ����� �������� E�*F ��� !����+��� !��� �! ��� �� <�4*= � � ��

�4�

��M .�

��0

���K �����

� K �� M�� � �� K &�����0

��K &�

�4�

���4�

��

��

� K �! �� ��M ��� �=��

.��4�

��M �

�0

��K ���� �

!0� <�4)=

� K�� �� � M =

��

�>

Page 57: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

+��� ��� !����+��� �������� ����� ���������

K �� M �� � .� K ��� � � K

&��

� �� ��

�� <�44=

�! K �� M : �� M �9� � K ��� � K�

&�

�9M : ��

��

!K

*

&��

����� ������� �� �! ��������� � � �� '� .����� E4F +���� �� K *� ��� K ��

�� K �

������� � ������ �� ��� �� <�4*=� ��� ��������� �� �� ���'��� ��� ������'����� �!

��� �������� ������������ � � ����� ������� �� ��� ���������� �! ��� ����� ��������� 2���#����� �� ��� +��6 E��F E�$F ��� !����+��� �����#����� �������� '��+��� ��� ������������ ���� ��� &� ��� ��� ������ ��� ��������� � � E���= � ����� ��

�� K �� <� �= � � K�

&�M �

� <���=

A� ������ �� ��� ���'��� �! ��� ������'����� �! �������� ������������ �� ���'�� '� ������������ �� �� ��� ��#� ������� �! ��� � ���� �

0� ����� �� ������� ��� �������� ������� �� ��� ������� ��' ������ +��� 5���B �������� +� ���� �� ��������� ��� ������ ��� .���� �8D���� ��!�������� ��� ��� �

� �� �� ��� 5��� ����� � ����� '� ��� ��������

� /K�

��F���

� <���=

��� ��������� !����+ !��� ��� � ������� ���� ��!�������� �! ��� 6������ ��� ������� ���� ������ �! ���� ��� ��� ����

��#�##����

##����$�$�

� �� ����� �����

�K �� <���=

�?� � �� ? /K& &�&�

+���� ���� ��� ���������� �! � ��� ���� ��� ������ ��������� ��!�������� +���� &������� ��� ��!������ ��� ���� ����� �! ���� ����

A� ��� ����� ��� ������ ��� ��� �! ��� <6=8������ 0� ��� ����� �� � �� �� !������������� ��� ��� ��� ���� ��� � ������� �� ��� �� ��� ��� '� ��� �������� <���=� ����

& K �� 1

���

<��%=

��� �����'�� ? ��� '� ��+ ������� �� ������ �! ��� ������� �� ��� ��� �� ��� �������� ������ �! ��� 6������ 1� � � M �� �� A� ����

? K&

&� � �

�� �� ��

M �� �� �� � &� ��� <��*=

��� 3� � ������'����� �� ���'� ��� ����� ����� ������ ������ �! ��� "��� ������������ �� � ��� <����� �����= �������� "��� ������ � +���� ��� ����� ������'����� �� ���'� ������ �! ��� ����� ����� ������ (� D����

? � ( �� ( /K �� �� � /K �� ��

��K = K &�? <���=

�$

Page 58: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� � ���� ���� ��� ����� ����� ����� ��� ������� �� ��� +�� ��� ��� ��-���� �����!������ �� ��� ����� ����� �� ���������

5�!��� +� ������� +��� ��� ������������� �! ��� �������� �������� �� � ���������� �������� ��� �����'�� �� <�4%= !���

� � � 1�

���� �� � 1

��� 5������ ��������� �! ��� �������

��' ������ �� ���� +� �'����

�� K ��

�1� �8

�1�M �

�8�

��M �

�8�

���

�F� �

�8�

���F�

&�;

�� ��

��

�� K

���

�8�

� ��M &�;

�� ��

�� <��>=

@'���� �� ��� ��� ��� �� �� ��� 6������ �� � � ������� ��� �������� �� ���� ����� ������� �� �� 5���B ������ ��� �� � ������'����� ��� '� +������ �� ���� �! ��������'�� � +���� ��"��� ��� �������� +��� ��� "���� ���� � ������'����� ��� ��� �������� ��� ��� ��� �� !�� ��� "���� D�+���� ��� !��� ������ 8� ��� '� ���� ��������� ��'��� �����'��

� �� � 1

��� 7�� �-������ +� ��� ���� � ��� ���������� �� ��� � +�� ����

��� ������� ��-����� '� ��� 5���B ����� ������ ��� ������ 0� � �� � �� ����6 ������� !����+��� ������

8� K 8��)�*�

� ���M &�;

(

��� ; K �0&��� 1� � � M (� <��$=

������ ����� ��� �� ���� �������� ��� �� � �������'�� +��� ��� �������� <�)>= ����������� �������� ���H����� ; �� ��� !���� ��������� ����� �� � � � ����3� ���������� �������� ������ �! ��� 6������ 1�

; K;�

1�� ;� K ��� � <��)=

��� ����� ������ ��� �������� <��$= '���� � �� ��� ������ ����� +� �� ��� ���� ���� ������ � '��+���; ���;� �� ��� �'��� ��������� ���� � ���������� � ����� ���������'� ��� ��-�������� �! ��� ������ ����� ��� ������ '� ������� !��� ��� ����������������������� �

��� � ��6� �� ��������� �' �������� ���� ��� �������� �� ��� ������� ��� ��� ���� ������ '� ��������� ��� ���� '���� � ��� ������'����� 8�

�)�*� � ����������� �! ������������ �! ��� 6������� D���� ��� �������� ��� ���� �� � '� �! ��� ����� �! ��� ��� ����; �

��� ������� ������������� ��������� ���� ��+ �� ��� !����+��� ������ ��� ���������������� !�� ������� ��� �

�� K ��� M ��(�M ���� M &�;���

�� K ���� �� /K ��� <@�M &�;(= � <��4=

+���� ��� � �

�� ��� ������� ����� �! ��� ��� �� ��� 6������/ !� K �� �� �-����������

� K : � +��� � A K � ��� �! ��� ������� ��� ��� �� ��� "��� �� ���������� ����������� ��������� ��� ��� @�; ��� ������ ����� �� ��� ������� ���� ��� &��

0� ����� �� �'���� 5���B ��� �������� +� ���� �� ������!� 9 K &�; ��� �� � ������� ������� ��� � ��� ���� < ��� � �� 5���B �������� ��� ��� �8������ �#�� ��� � =�

A� ���� ��� ������ �� ��� ������� ��� ����� � ��� ��� �! � ������ ������ ������������� '�� �� � ���� � �'���� ���� ������ ������'����� �! �������� ��������� �� !��� ����8��� �� ��������� ������'����� �! ��� �������� �! ���� ��� �� ��� ������ �������� �� ��� �������� �! � ���������� ������

�)

Page 59: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

+ ����%��������� �0�3���%���� �������� 0��

�� ��5��� � �����4 �����������

+;� 7"=���4 �����4 ����������

.���� !��� ��� -�� ���� �! ������'����� �! ����������� �� ������� ��� ��� �� ����� � ������� -�� ���� ��������� +��� ��� ��� ���� 5��� ����� �! ������� ��� �������� � . ����� �� '� 5��� �� � �!��� � ���� ���� �������� '������ �-������ ������� � ���8���'����� �! �������� ������������ � ��� ����� ��� ��� �-����� ���� ��� �����# �! ��������� ��� ���� � ��� ��������� ��� �:8�������� ���� � � ���� �� '� �������� ���� ��� ���������� ������'����� � �� ���'�� '� � �������� ��������� ��� 0� � �� � �� ����6 ���� ��� � ������'����� ������� ��� ��������� �! �������� �'(�������� E>�F� A� ��+ �� ��� ������� ���� ��� ��� ��� ����� � ��������� ����� �� +���� ��� � ������'����� '����� ���������� �'(������ ��� ������ �� ��� ������ ����� �� ��� 5��� ������'����� <!�� ������ ��/ E$�F=�

���� � ��������� �'(������ ����� +��� � ������'����� �! �������� ������������ � ����8������������� ���� �'�� �! +� ��� ��� ��������� ������'����� �� ������� ��� � ����� ��� !��� ������� ���� ��"��� �� ��� ����� � ������ ��� �#� ����� �! "��������� �! �������� ��������� 6������ ������ ��� �� '� ��� ������������� �! �������� �� ��� �����8 �������� ���������� ������� ��� �#� ����� �! ��� "��������� � � �� ��� �! ������ ����! ����� �������� �� '��� ��������� '� @� 7�� � E�>F� P�������� ��� ��������� ���8������� � �������� �! ��� "��������� ��� ��� ����� �� ��� ������� �! A� P� �� 6� ��P�'�6 ��� P� D����� E%�F� 2������ -�������� ���������� ��� � �� ��� '� �� � !������ ��� +��6� D�+���� ��� ��� �������� ���� �! � ����� '� �� �� ��� ��� ��������� �� ��� '��� ��� ������ ����� �#� � ��� ������� �� ������ 5���B ����� +��� ��� ������8'����� �! �������� ������������ '� ���� �! D�������B ��������� '� �� �� ��� "���������6������ ������� . ��� ���� ����������� ��������� ��� ��� ���� !�� �� ������� � ��� ����� ������� ������� "��������� ��� ��:� ��� � ��������� !�� '� � � ����8��������� ���� � ����8����������� ���������� ��� ��� ��� ��� �� '� ��� ����� +�� �! �������� ����8��� �'�� ����� � � 2�� ��� ��� �� +� ���� ������ �� ��� ����-����'���� ������������� �� ��� ��� ��������� �

A� ��� ���� � �+�8��������� ��������� ��� � ���� �! � ���� 6������ ��� �! � "������� ������ �! ��� 6������ � � ���� �� '� �� ���'�� '� ��� !����+��� �+��� ��������� ����:�������'�� !�������

� K �� <K� �= � K � ��� � � � � <���=

+���� �� ������ ��� ��!������ ���3�������� �! ��� 6������ ��� � � ��� ���� ������������ �������� ������������ ��� ��� ��!�������� �������� �! ��� 6������ ��� ��3��� '� �����������

��� /K���

��� N�� /K

����

��� !� /K ����� <���=

7�������� ��� ����� !� K � ����� ���� �� ��� ��!������ ���3�������� !�� �� � K �� ��+���� �� <K� ��= K K�

�4

Page 60: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� ������ �! ��� "��� � �� ���'�� '� ��� ���� !�������� �! ��� ,������� ��������3��� 4� K 4� <�� �= ��3��� �� ��� ���� �! ������� ���3�������� �� <��� �= �! ��� 6�������A� ����

4� K 4���� <K� �= � �

�K/ ��� <K� �= <���=

��� ������������ �! ��� "��� � ���� ����� '�

N�� K����

��M �K� � ��� ��� � �K� /K !���

���� ���

�� <��%=

+���� �K� � ��� ���������� �������� �! ��� "��� +��� �� ���� �� ��� 6�������A� ������� �� ��������� ��� ���� !�������� ���� !�� ��� �'��� -�������� ����3��

'� ��� ,�������� ���� !�������� ����

�� K 7 <�=�M � <�= <��*=

��� �������� <���= ��� ��� ���� ��:����������� �! ��� �������� <��*= ����� ��� !����+���-�������� �� ��� ��+ ��!������ � ���

!�� K 7!�� ���� K 7��� M >7�M >�� N��� K 7N��M� >7���M ?7�M ?�� <���=

+���� ��� ��� ������ ��� ���� �����������A� � ��� ���� ��� ���� !�������� ���� !�� ��� �������� 3��� �! ��� "��� ���������

�� ��� ��� !��� � �� ��� !�� ��� 6������

���� K 7��� M >7�M >� <��>=

7�� �-������

���� ���� K 7���� ���

� �K�� K �K� <��$=

5������ ��� � �������� �� ���� +� ��� ��+ �� ��� ������ ��� ���� !�������� �! ��������������� �! ��� "���� A� �'���� �����������

N��� K�

��

�7��� M >7�M >�

�M �K� � ���

�7��� M >7�M >�

�K <��)=

K 7N�� M � >7���M ?7�M ?��

+���� ��� ��3������ �! ��� ���������� �������� �� '��� � ���9�� �� ��� ��� ���� �! ������'����� ��������� ����� �� ��� ������ �! ��� !���� +�

�� ���� ��������� ���� ��� ��� ������������ N��� N�� ��� ����'(������� 7�� �-������ �������:������ � �� � ����'(������� A� ����

N��� N��� K 7�N�� N��

�M � >7

���� ���

� <��4=

2�� ��� ��� �� ��� ��:������ �! ������������ ������ '� � �� � � ��� �������� �����'�� ��� ��� �������� �! ��� ����� ����� ����� �! � �+�8��������� � ����

0� ��� ����� E�)F � ������ �� '��� ����� �� �� �������� ��� � ��H������ �� ���,������� �� �������� �! � ��� ��� � A� ���� � � � ������ +�� �� ��� ���������� ��8 ��������� 0! +� ��6� ��� �������� �! ��� ���� !�������� �������� !�� ��������� +� �'����

��� ���� K 7 ��� ��� M >7!� >7 K ���

����� 7���

�!����

>�

Page 61: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� ���� K 7 ��� ��� M >7!� >7 K ���

����� 7���

�!��� <���=

7�� �-������ +� ��� +����

� >7���� ���

�K<� �= >7

���� ���

�M � >7

���� ���

�K

K <� �= �������� 7���

��K� M � ���

����� 7���

��K� � <���=

+���� � � ��'���������' �������� �! ��� �������� �� <��4= �����

N��� N��� <� �= �K� � ��� ���� ��K� � ��� ���� K <���=

K 7�N�� N�� <� �= �K� � ��� ��� ��K� � ��� ���

0� ���� ���� ��� -�������

� /K�

��

���� ���

�M �K� � ��� ��� <� �= �K� � ��� ��� ��K� � ��� ��� �

��

��

���� ���

� <� �= �K� � ��� ��� ��K� � ��� ���� <��%=

� �'(������ ����

�� K 7� <��*=

A� ���� ��� -������� �� � 0����� ������� ������������ . �� �'(������ �����'�� �� ��� '������������� ���� ��� �� �! ��� �������� �����'�� � @'���� �� ����� �#� � � ��� �! ��������������� ����3�� '� ��� ��� �������� ���H����� �

0� � �� � �� �� ���� � ������ �������� ����� <% �� �� � ������� �������� +����������� � ���� ���� � ���

���

���� ���

�� ��-����� '� ��� �������� �! 5���B ������ ���

���� -�� ���� � �! ��� ����� ��+ �! ������������� ����� ��� ���� �! ������'����� ��� !���� ��������� ������

+; ������������� �������"�����

. +� ���� ������� ��������� ��� ��������� ������� ��� �+�8��������� ����� ��-���� ��� !���������� �! 3��� �-������ !�� ��� !����+��� 3���

" /K� � � ���� ��� �!�� �� &

�!�� <K� �= � ���� � <���=

+���� � � ��� ������� �� ��� ��� �! ��� "��� ��� ���� ������ �� ��� ��!������ ���83�������� �! ��� 6������ ���� �� ��� ������� ���3�������� �� � ����� '� ��� �������� �� K �1���� 1� /K ���!�� � � ��� �' ����� ����������� �! ��� ������ ������ !��'��� ��������� ��� & � ��� ������� ���� ���� @���� ��'�� ���� ��� ��� �������� '�!����

��� ������� �� ��� ��� �! ��� 6������ �� ��� ��!������ ���3�������� � ��� ��������� ����� ��� 3��� '���� � �� � ��� ���� �� � ���������� �������� +������ �� �#������ '��+��� ��������� �

>�

Page 62: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� � 3��� ��� � ���� ����� �� !��3� ��� !����+��� �� �! '������ �-������

@� /K� �

��M9��

� � �K�

�K �� <��>=

�� /K �����

��9��-� <% K :� <��$=

�� /K �����

��M �K� � ��� ���

�9��-� M <% K :� <��)=

, / K� �

��M9��L-� � ��� ��� -� � ��� ���

�!��<%

�� �K� K �� <��4=

/ K � M � �

! /K�!�

�� ��� ��� K :� <�%�=

; /K�W�

��M9��G L& K �� W� /K & &"� <�%�=

+���� -��-� ������ ��� 3� � 1����8P������: ������� ��� ��� �� <% � ��� �������� ����� � � ��� ����3� �������� ������ ��� ���� �� �! ��� ��#���� L � ��� ���� "�#������ &" �� ���'� ��� �8������ �-����'���� ���� ��� G � ��� ���� ��� "�# ��� L& � ������� ��� ������

��� ���� ��� '������ �-������ <�%�= ����� ��� ����� � �������� '����� ��� !�����! 5���B ����� ��� �� ��� ������'����� �! ����#����� ����� L&� 0� �� '��� ���������� ��� ���� ��� E�$F ��� �������� �� ������� ����� � 2�� �� ����� ��� �������'����� ����� ������ �! �'�� ��� �� '��� �� �� �� '� I� P������� <���� E�)F=�

. +� ��+ �� ������� �� ������ �! ���� ��� ��������� '� ��� ���������� ���� ���'������ �-������ ��� ��������� +��� ��� � !����+��� !��� 5���B ����� ��� � ������������ �������� ��� ����#����� ���� �! ���� ��� ��� �� ��3���� <���� L& � �=� D�+������ ����� '� ��������� ���� ���� ����� ��������� �� ��� ���'��� �! ��������� �! ������!������� ���� ��� ���� ������ �� ��� ����������� @�� �! ��� �� � ������� !��� �! ��� ����������� �-������ !����+ !��� ��� �8������ ��������� �! �-����'����� ��� ��� ����������'� ������ 7�+�� I������� 1� ��� ��� ����� <���� �� E�)F !�� ��!������ ����� �� ���=� ,��� ������ �� ��� ����������� ��� �� �������� ��� '� ����������� ����� ���� ��� '������ +� �� ��� �� �� �� ��� !������ �� ��� � ���� �

0� ����� �� �'���� 3��� �-������ !��� ��� �'��� '������ �-������ +� ���� �� ����!���� �������� �������� !�� ��� � -�������� ���

/K�-��-� � <%� ��L� &"�G� L&

�� <�%�=

�� � '� !������� �! ��� �������� �����'�� � 0� ��� ������� ��� �� �! ��� �������� �����'�� � ��� �� � !����+

� /K! � �!�� �K� �W�� ��9��

"� 9 /K ���� <�%%=

>�

Page 63: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

D���� ��� �������� �! ���� ��� ��� ��� ������ ����� ��� �����'�� � 0� ���� ���� +���� �#���� ���� � ����� ��#���� ����� �� !����+ !��� ������������� ��� ��������� �A� �� � �� ����� � �� ����� ��������� ��H������ �! ���������� ���������� �� !�� �+���+ ������'����� / ��� �� � ��� ��� �� � /K ���&� 0� ��� !��� ����� �� +���� '���������'����� ��� ��� ��� +� � � ��� �� ��� �! ������������� ��� ��������� !�� �+������ ��� ������ ���������� @�� ��� ��+ ���� ��� ���'���� ����� ��� 3� ��� �������+ �! ������������� �

@��� ��� !�������

K <�= � <�%*=

� ����� +� �'���� � ��� �� � ��� �! ��:�������� �-������ !�� 3��� "�A� �� ���� ��� �������� �������� <�%*= ��� !� ��� ����� ��0 � ������������

�! ��� !����+��� ������� ���-������

� !

��M9��( ��� ! K ! <�= � ( K ( <�= � <�%�=

� ��� 3�� '� ��� ������� �! 3��� �-������ � 0� ��� ���-������ ! � ��� ����3� ���������� ( �� "�#�

��� ��-�������� � �-�������� �� ��� !����+��� ���-������ +���� �� � ���� !�� ���E���

� !

��M9��(N� @� A� ��� A� ��� N�, A� �! N�;��� <�%>=

+����

N� �A� �A� �N��A� �N� <�%$=

��� �������� ���������� ��������� �� ��� �������� �����'�� ����� �#���������� �! ��� ����� ��+ �! ������������� �� ��� ������� �� � � ����8

������� ���� �'��� �����!��� +� ��6� �����!���� � ������� �H����� !�� ��� �������+ �� '� ��� 3�� ��� �������� �#������ ���������� �� ��� �������� �������� � ���� ��� � !����+ /

�� ��� �������� � � �������� 7�� �-������ ����� ��� �������� !������� !�� �� ����������� �� ������ ��� ��� �� �����'�� ����� ������� ��������� � ��� � ������� +��� '�������� �� ��� ��� �! ��� ����! � ���� �������� ��� ������ �� � ������� !��� ��� ����+� �� ��� ��������� ��� �����������

�� ��� ���������� �� ��� �������� �������� �K� � �� �� � -��������� ��� � ���8���� � ������� �� ��� �������� �! ��� ��������� ������'����� �� ��� �'(������ ��������������������� A� �������� �� !��� !�������

%� ��� ���������� �� ��� ����������� �������� 9 � ������� A� ����� 6�� ��� � 8 ������� �� ��� �� � �! ��� ������������� '�� ��� �#�������� +��� ��� ������������������ �������� �! ������� ��� ����� ��+ ���� �� ��� ��� ����� ��� ���� ���� �� ��� �

*� ��� ���������� �� ��� ��������� �! ���� ��� & !��� �� �-����'���� ����� &"W� � & &" � -���������

�� ��� ���������� �� ��� �������� ������������ � � �������>� D����� ����� ���'������� �! �����'�� 9� �K� �W�� � ��� '� ����������

>%

Page 64: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

. +� �� !������ ��� � � ������� ����� ��������������� ��� ��������� �� � ����8���� �! ��� ��������������� �-����'���� ������ �� ��� ��������� �� ��� ��� ���� @� ����������������� �

5������ ��� � � ������� �� ���� +� ��� +���� ��� !����+��� ����� �������� �!��� �������� !�������

? ������� ��� �

-� K -�� <�"�W�= M

�#� <�"=!

� �K� � �K� � �" /K� � �!�� �

��

-� K -�� <�"�W�= M

�#� <�"=!

� �K� � �K� � &" K &" <�"= � <�%)=

? �������� ������ ��� �������

� K �� <�"�W�= M�

��) <�"=

�!� �K�

���!� �K�

��

! K !� <�"�W�= M�

�!) <�"=

�!� �K�

���!� �K�

�� <�%4=

? "�#� �! ������ ������� ���� ���

L K 9/�K� �9M9*!

����

( K �/�K� M��9M�*!

���� <�*�=

G K Q�K� M 1�9M1*!����

+���� ��� ���H����� ��� !������� �! �����'�� �"? �������� �����

!��<% K Y/�K� MY�9 ���!

���� <�*�=

+��� ���H����� ��������� ����� �� �����'�� �"���� �������� �! ��� ���H����� �� ��� �'��� �������� ����� ���� �� ��� +���� �

�� ������ �� ��� �������������� ������'����� +��� ��� ���H����� �)� !) �� ��� ������ ��� ������� ��� ���������

'� "��������� �! ��� ����� ��������� 6������ ������ ��� �� '� ��� ������ ���� A� �� ������������ ��� ���������� ����� ��������� �����'�� �� ���'��� ������ �! ������ ���� 2�� ��� ��� �� � ����� ����� ��"����� �! ������ ��� ��� '� ����� ��"����� '� ��� ������ ��������+���� �� ��� ����� ����� ���� �� ��� ���������� �������� �K� � ��� ��� ���� 6������������ �� ��� ����� � ����� '� �

� ���� � ��� M ���� � ���

�� 7�� �-������ ��� ����������

���)���� ���

������ ���

���� '� ��� ������ � �� ���� ���� I�� �� ������ !���

������ ����. +� �� !������ ��� ���������� �! ������� ��� � �� ��� �������� ���������� �� ���

����� � !��� '� <�%)= � ���� ��-����� '� ��� ��� � ����� �! ��� ����� +��� ��� �������+ �! ������������� � 0� ����� +��� +� ��+ !������ ���� ���H����� #�� #� �� ��� ��� �������� <�%)= ��� ��� ���H����� �) �� ��� ������ �������� <�%4= ��� ��������� < ��/!������ <�)�==�

��� �#���������� �! ��� ����� ��+ �! ������������� <�%>= � ������� <���� ��E%*F=� A� ����� ��� ����� ���� �! ��:����������� �� ��� �������� ��+ � A� 6�� ���� ���������'�� ��� ��������� ������ �

>*

Page 65: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��������� �! ��� ����� ��+ �! ������������� +��� �� ���� �� ���� ���������� �� �

����!�

����W�

�������

�������

�����

����9

��

�����

N� K N�

� M�

�!)� � N� ��)

� �

��!� �K�

���!� �K�

�� <�*�=

N�

� /K� !�� �

N�� ��� �

A� K� !��!�

N�� ���!�

M�

�!)�!�

N� ��)�!�

��!� �K�

���!� �K�

�� <�*%=

N� K� !��W�

N�� ���W�

� <�**=

� � ���

�A� M ���A

� K <!) N��)=!

� �K� M ���N�!� �K�

9����*!

��M N�9��

�9*!

��M N�9��

�1*!

��K �� <�*�=

� � ���

�A� M ���A

� K <!) N��)=!

� �K� ���N�!� �K� M

M9����*!

�� N�9��

�9*!

�� N�9��

�1*!

��K �� <�*>=

� !��� N�� ��

��M�

�!)�� N���)

��

��!� �K�

���!� �K�

�K � <�*$=

��� � ��������� ���� ������� ������ ������'����� �! ���!� W� -�������� ������8'����� �! ��� ������ � +��� � -�������� ������'����� �! ���������� ��������� . ���� ����� ���� !�� ��'������ 3��� ���H����� �! ��� � ������'����� �� � ���� � ����������.!��� �� � ����� � +� �'����

�* K �� 9* K �� 1* K �� <�*)=

�A� K �A� K �!� �K� � � /K !) N��) N� ���

� ���

�� M �

� <�*4=

��� ����� ��+ �! ������������� � �� � ������ +��� �� ���� �� ��� !����+��� ����������������

��� ���� ��� ��� � ��� � � ���!�� ���9� ���W� <���=

A� ���� �� ��� ���� �� ��� ����� �! ��� !������ ����� � ��� ���������� �� 6����� ������������� ��� � '���� � �� ��� ��� ������'��� �� ��� ����� ��+ ��� �� ��� �������� <�*)=� ��� ��������� +��� �� ���� �� <���= ����� � �� �! ��������� ��� ����� � �� �����

>�

Page 66: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

���-������ +���� � � �������� ���������� 0� ��3�� ��� �����%����� �� ��� � ��� ����� ��� !����+��� !���

� /K

��/

�� N��9/

�� N��Q

��MY�

��K� �9M

M

���

��M N���

�� N��1�

��

�9 �9M <���=

MN�Y/�K� � �K� M N�L& � �

D���� ��� ���� �! ��������������� �-����'���� ��3��� '� � K � ������ �!

9 K �� �K� K �� L& K �� <���=

���� ��� ����������� �������� �������� ������ <��:� ���= ��� ��� ����#����� �! ���� ������ � ��� ��������� !��� ��� �-����'�����

7������ ��� � ������� *� ����� ��� ��������� �! L& ��� N� +��� �� ���� �� W�� 0��������� ��� �'��� ���-������ ����� ����������� �! ��� � !������� ���� +� ��� +����

L& K W�

B� N� K ��W�� <��%=

+���� B� �� ��� '� ����� !������� �! �����'�� �"� 7�� �-������ +� �'���� � +���

�Q

��K ��

�1���

K � <��*=

0� � +���� ���������� ���� ��� �� <�*)= ��� �������� ������������ ��� ��� ������'����� ��� �� �������� ��� �������� �! ��� ����� !����+ !��� ��� !��� ���� ��� ����� ��� ��� �� � ��� ����������� 3��� �! ������ ��� +���� ����� ����# �� ��� ����������������-����'�����

I�+ +� ������ �� ��� ���H����� �! ������ ���������� �! 3��� � ��� ���� ���� ���!83����� �! ��� ��� ����� ��� !����+��� �� ���

N�-��!

��M

� !��!�

N�� ���!�

�!��M

��/ M N

�9/ M N�QM �N�

�� K ��<���=

�!)�� N���)

��K ��

�!)��� N� ��)

���K �� <��>=

�!)����

N� ��)����

���� M �

�!)� � N� ��)

� �

�K �

#� M

�#�

�� <��$=

� K �

� ���

#�N� ��#� M �

� #��

�� M �

�M N�

� <��)=

+����

� /K ����� �� /K�

��� ����

�� ��� /K ������ �� /K !��!�� <��4=

��� ���� ��������� �! ��� 7�����8 ���� ��!�������� ��� �� ���

>>

Page 67: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� ���H����� �! ��� ��� �����

N��-�� M-�

�K

� !��!�

N�� ���!�

�� <�>�=

�!)����

N� ��)����

K �� <�>�=

�N��#� M #�

�K ���

� M

�� �� ���N

� <�>�=

7�� �-������ '������ <��>= ��� <�>�= �� ����

�!)�!�

N� ��)�!�

K � <�>%=

I�#� +� ��� ���� ��� ���H����� �! ��� � � A� ������/

� � N��9/

� � N� �Q

� � N�

��K� M �

�-��

� �!� �K� �

��-��

� �!� �K� K �� <�>*=

���

� �M N� ��

� �K ��

�1�� �

K � <�>�=

��������� ��� ���H����� �! ���!� �����

��

���/

�!� N��9/

�!� N� �Q

�!�

�� �K� M �N� !��� � �K� M �O� M �O�

��!<�/ N

� N�Q=!��� � �K�"K �� <�>>=

���

�!�M N� ��

�!�K ��

�1��!�

K �� <�>$=

+���� ��� ��������� �! ��� �� O��O� �� 7���� ��� ���������� ��� ����� '� ��� ����8����

Z���' K

�C���'

�7 ���

7 ���[4�� � Z�

��' K �

��C�

��'

�7���

7���[4�� <�>)=

���� ��� � ������� ��� ������'����� �! ���W� ��� ��� ����� ��� �� �������� �2������ ��� �� � ��������� !����+ !��� ��� ���� ���� ���H����� �! ���9 ��� �� ��

��� !���

�� M N�� K �� 1� K � <�>4=

0� ������� �! ��� �� ��� <�>�= <�>$= !�� ������� ���H����� �����

N� K N� <� = N� K�

�� ���� �� K

�� <�$�=

+���� ��� ����� +��� �������� '��� � ���

>$

Page 68: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

0� � ��� -���� ����� +��� ���������� �� ������� ��� ��� �� ��� ���� �� '� �����8���� <�>*= <�>>=� 9��������� �! ������� ��� � +��� �� ���� �� ��� �� ��� ��� � � +��� � +��� �� ���� �� ��� ��!�������� �������� !� ��� �� �� ����� ��� ��� ��������� �!��� � ��� �� �-����'����� ��� ��� ��� ��� ���� ���� �'��� D���� +� � ��� ���� ������H����� � ���� �� ����

� K � <�$�=

���� ��� ���������� �! �������� �-������ ���� � � +���� . ��� ��� �-����� �!<�*$= <�*4= <��$= <�>%= +� �'����

��� K �) �!) K �0&�� �) K �0&��� !) K � <�$�=

0� � ���������� �� ��������� ��� !����+��� ��������

8 /K � �!� <�$%=

8� /K 8 ���)

�!� �K�

���!� �K�

���� !�� �������� ���������� +� ����

N� K �

� 8�� �

K N�

� � A� K �

� 8��!�

� N� K �

� 8��W�

K ��W�� <�$*=

��� ��� �������� <�*$= ������ ��� !����+��� ��� ���� !������ !�� ��� �������� ������

� K 8 ��8

�� <�$�=

����������� �� ��� �������� <�>*= <�>>= �����

��/

� � N��9/

� � N� K ��

�Q

� �K ��

����

��/

���� N� �9/

����

�M �N� <�/ N

�9/ = K �� <�$>=

�����Q

���� Q K � Q K 1�Q�� Q� K �0&�� <�$$=

��� � �������� ����� ��� !����+��� �������'����� ��������� !�� ��� ���������� N�

��N�

� �M 1� �N

�1�K � N� K N�

��� ��

�� �� /K 1��� � <�$)=

7�� �-������ ����������� �! <�$*=� ���� �� ��� !����+��� �������� �������� �! ��� !��������� 8

8 K �8� M �8� �

����W�� M

��)

�!� �K�

���!� �K�

�� <�$4=

8� K 8���� ��

�� 8� K 8�

���!�

��� �'��� ��������� �������� � ���������� ��� !�� ��� �8������ ���%� ��������

>)

Page 69: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

0� �������� ����������� �� <�$>=� �����

�/ 9/

�K

�8�

�� ���� ( K

�L �8� �K�

�� <�)�=

+���� +� ���� ��������� !�� ��� �������� <�>4= ��� <�$�=�0� ������� �! �������� <�$�= <��)= ��� <�>�= ���� ����������� �� ��� !����+���

������3������ �! ��� �������� ���H����� ������� �� ��� �������� ������������

�) K ���� #� K �� ���� #� K � <� �= ��� <�)�=

����������� �� �������� <���= +��� <�$%= <�$*= <�$4= ��� <�)�= !�� ������� ��� � -�� ��� �������� <�>�= !�� ������� ��� � -

�� �����

-� K� �8�

�!�M W�1

�!��� � ���!� �K� � �K�� /K ���Q�1

���� <�)�=

-� K ����8�

� ��1�!��� W�1

�!��� <� �= ���!� �K� � �K�

D���� � ��������� �� ��� ������������ ��� ������� ��� � �� ��� �� � � ������������ ���������� ��� !�� 5���B ����� ��� ��� !������ �! ��� ����� ��� '� ������� '����������� ��� �������� �����'�� �

2�� ��������� ����� � �� � ���������� �� ���� !��� �-������ �! ��� ����� �� @�3����� ����������� A� +���� ���� �� �� ��'������ ���������� ��!������ � ���� ��� �� �! '������ �-������ <��>= �� ���� ��� !���

? �� '������ !�� ��� "��� ���������

� ����

M ���� �� 4

��K �� <�)%=

? �������� '������ !�� ��� 6������

��

�4�

��M 4� � ����4�

�K ����� M �� "

� M 1���Y� �����M*�4� 4�

��

��

��

�4� 4�

� <� �=

�4� 4�

�� ����4� �

�4� 4�

�� ����4�

��<�)*=

? �������� '������ !�� ��� "���

��

�4�

��M 4� � ����4�

�K ����� M �� "

� 1���Y� �����*�4� 4�

�M

M ��

��

��

�4� 4�

� <� �=

�4� 4�

�� ����4� �

�4� 4�

�� ����4�

��<�)�=

? ������ '������

� ��

��M ���

� ��4

� M 2��� � ����4��� � ����4� <�)>=

>4

Page 70: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

�4� 4�

���*�4� 4�

�M 1���Y� �����

��

��

��

�4� 4�

� <� �=

�4� 4�

�� ����4� �

�4� 4�

�� ����4�

� �

? ���� ��� '������

�1���W�

��M ���

�1���W�4

� M =�M1���W�

BK � <�)$=

��� �#������ !���� �� "�� �� "

�� ������ �%%���� "��� ���� ������'����� �� ��8

������ '������ �-������ ���� ��� !����+��� ��������

�� "� K ��

�"�0 M ��

�� �� "

� K ���"�0 M ��

��

�� /K ?�M �P�4� >�

�M�>PP

��<� �= � <�))=

�� /K ?�M �P�4� >�

�M�>PP

��<� �= � P /K >77

�� P� �

+���� �� "�0 �

�� "

�0 ��� ���� <���� �������������= '��� !���� ���

�� �

�� �� �� ��� ������ ��3

����� "��� ����� 0� ����� �! ���������� �� ��� �'��� �������� ���� ��� � � �! ����������� !���� �! �������� ���� ������ 7������ !���� ,���� !���� ������!���� !����� ���������� �� ��� �����# �! ������� �������� P �! ��� ����������� � ��� +��� �� ���� �� ���������� ���� 7�������� ��� �������� '��� !���� ���� � �� �� �������� ��!������ � ���� 0� ����� '� ��������� ���� ��� ������� ������������ ��������� �� ��� �'��� ������� �����8��� '������ �-������ ���'���� +��� �������� '��� !���� ��� �'(������ ���� ���������+��� �� ���� �� ��� ,�������� ���� !���������

��� ��������� �������� � �� �'��� � � !����+

�� K �1���� � K �� M �� � �� K ���1���� * K Y/ 1

���� <�)4=

+���� ��� 7����� ��� ��� �� ����� ��� ����� '� ��� !����+��� ��� �������� ��������

�� K 1���-�!�� K � ��

��8�

��F�M

�8�

���

���F�

�F� M

�8�

��������

�M <�4�=

M W�� � ���4� 4�

���4� 4�

�� F� K !�!�� �

�� K 1���-�!�� K ��� W�� <� �= ���4� 4�

���4� 4�

��<�4�=

�� K ����8�

� ���

+��� ��� !��� ������ ����� '�

�8 K �� 8� <�� �� ��� ���= M �� 8

���� ��

� ��

�4� 4�

���4� 4�

� <�4�=

��� ������ � ��� ��� ������ "�# ������ 2 ��� ����� '�

� K 8 ��8

��� 2 K 1���!�L K 1���9/

�4� 4�

� 1���� ������ <�4%=

$�

Page 71: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� ��� ���� ��� "�# �� ��� !���

= K 1���!�G K Q��4� 4�

� <�4*=

0� � �� � �� �� ���� ��� ������������� �! ��� �'��� �� !�� � �������� ����� � +��������� ����� �! ���� ��� ���� �� 5���B �-������ <�4*= +������ ��� �������� ��� ���� 9�

����� ������ ��� -�� ���� �! ��������� � �������� �! ���������� ��������� ��� ����� ��� ����� �� ���H����� ��� �� '��� �#��� ����� ������ �� ���������� ����������5���B ������ ��� ��������� � � ��+� ����� ��� �� �#� � ������ �� �'������ !�� �� � �������� ��������� �� ��� !��� ���� �� ������ �� ������'����� +���� ��� '� ���������������� . �� �#����� ��� � ��� ���� � ��������� � �������� ����� �� +���� ��� ��� �� �������� !���� �! ��!������ ��� 6������ ��� ��� ���� <���� 4� K �=� ���� �"�+ �! ��� "��� ������� � ����� �������� � �� ���'�� '� ��� �� '������ ��� '� ����������� '������ !�� ��� "���� 2�� ��������� +� ������� ������ �! ���� ���� ���� +�����

���� �� 4

��K �� <�4�=

� �� M � <� �= ��

�4� � ����4� K ���� ��

�* M <� �= �� ���4

��4� �

�� K ��� ���

��� ���������� �! ��� ������'����� ���H����� * ������ '� ������ ������ �! ��� "������ 4� ��� �� '� ���� ����� D�+���� ��� ���������� �! �� ��� ��� ��������� ����� ��!�8���� ��� �! ��� �-������ ��� '� � ������ ��� ��� ���'��� 2�� �� ����� �� �������������� "�+ <���4� K �= +� ���� �����#�������

����

�&� <� ��= M

� �� M � <� �= ��

�4� � 4�

�M *4� K �� <�4>=

+���� � K ��$& � ��� ���� ��� ��� ��� �� �� ��� ���� ��!������ ������ 0! ��� ��� ������������ � �! ��� ����� �! �� �� C� ��� �������� �! ��� "��� �� � '� �! ��� ����� �!� '$� �� ��6� '��� ������'����� �! ��� ������ ������ 1���������� ��� ���'�� +���� '���� ��"����� �! � !�� ���� ������ ��������� +���� ��� �� '� ���� �'�� �� ��� � !�� ���6 �

$�

Page 72: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

6 7� ��������%�� ���%����"����� ��8�����& 9���3

����3��� �������� � ����� %��������� �����

6;� ������������

0� ��� ������� +� ���� �� �� �#������ ������ ����� �! �+�8��������� ������� ��� ��8������ ��� ������� �� +��� 5���B ����� E$�F� ��� �#������ ����� ������� ��� '�������-������ !�� ���� ��� �� �� �� �� ������� ������� �! ��� � ���� � +��� � ��� ��� ����8���� ���������� �� ��� ���� ��� ��������� A� ��+ ���� ��� '������ �-������ �! ���� ������ '� ����� �����#������� ��� ��� ������� ����� +��� ������ ��������� �� ��� �! ����������� � 5������ ��� �� ���� ��� ��� �#����� ������� ����6���#�������� ��� ���!����+��� �������������� �! � ���� �������� ��+ ���� 5���B ����� � ��� �! ��� ��8�� �'�� ������� �! ��� �����8����� ���� ����� ���'��� !�� ��� ��������������� �����+��� ��� �������� �! ���� ���� 0� �������� �� !����+ � +��� ���� � U ����� ��#����U ������! ����� �������� ��������� ������� <���� E�4F E$*F E$F E*F E$%F= � � ��� ���'�� �����#8������� �! '��� 5���B ����� ��� ��� ��������������� ����� +��� ���� ��� �������� ������������� �� ����� � �! ���� ��� +��� �

A� ������� �� ��� !����+��� +���0� ��' ���� � +� ��� ��� � ����� ����� ������ ������� ��� ����� �! !���� ��������

�+�8��������� ������ .�� -�������� ��������� �� ��� ����� ���� ������ ����� ����� ������8��� ��������������� ���� ��� 3��� ��3��� �� � ������� ��� �� ��� ���� �������! ��� �����8����� ����� ���3�������� ����� ��� ���� ���� ���� ��� !������� �! �+������'�� / ������ �� ����� � ��� ���� �� . �� ��� ��� ���� ������ �! ��#���� �� ��������� � ����� ������ '��� ��������� �! ��� � ���� ��� � �� � ��������� �������������� ���������� +��� !��-���� �� ����� ������� '��+��� ��� � +�� +��6 �� ��� !���� �!��������� �������� ��� ��� � +�� +��6 +����� ��� ���� ��� �������� +��� ���� ����� ��� ���� "��� 3����� ��� ������� � A� ������ �� ��� ����� �� ��' ���� %�

��' ���� % � ������� �� � ���������� ��� �! ����� ��!�������� �� ���'�� '� ��� ���8���� �+�8��������� ����� ? �������� ��!�������� � 0� ��� �� � ��������� ������ ����� ����� ������� ������ '�� ����� � �� �������� ��� ��� � ��������� !�� ����#���������� �! ��� �8������ ����6���#�������� � 0� ��� ��� ��' ������ +� �����8���� 5���B �������� !�� �������� ��������� � ��� �� � ��������� � �� �� �� �� ����� ��' ������ � ��� �����8����� ���� ������ ���� ��� � ������� �! ����������� �!��� ����� �������� +� ����� ����� �+� ��� � �! �������'����� �������� �! � �������������� ����� �+�8��������� ����� ��� � ����� ����� ����� �! �+� ���� ��������� �A� ��+ ���� � ��������� !�� ������� ��� �������� ����� �+� ��������� �������'��8��� �������� ��� ��� ����������� �! ����� �������� ����� �+� ����������� �������'������������� �

��� �� �! �������� ��� � ���� �! � ����� �-����'���� ��������� < ����� �-����'���� �� �������� ��!�������� ����� � = !��� �������'����� �������� �+� ��� �������� �������� �� �����8 ��� �+� �� ���������� ����� ��� ������� �! ��� ����� �������� ���������� ���'����

0� ��' ���� * +� ��� ��� ��� �8������ ����6���#�������� � ��� � ��� (��6���� ��8������� (��6���� ������� ��� ��(��6���� ����� �� � � ���� ���� �� � �� ����� ������������������ � �������� +��� ��� ��3������ �! ��� ������� ������ �'����� ������ �) +����� � ���� �� '� ����� ������ �#������������ �� ����� ������� +� �'���� !��� ��������

$�

Page 73: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

+���� ����!� � ���������� �! !��� ����� ����� �������� ��������� �����6�;� ���+� ����� ����� ������ �'����� ������ ��%� �!� � +��� � �� ��� ������� ���� ��� &� ������ ������� ������ �'����� ������ �)� D��� +� � � 5���B �������� ��� ������ '� ���� '��6 ������ �'����� ������ �! ��� 6������ � � ��� ������ �'����� ������ �!��� "��� 6 � ��� �������� ��������� +���� ������������ ��� ��"����� �! ������� ������������ �! ��� ��������� �� ��� ��� ��� �! ��� ����� ��������� ��� 3����� ; ������ ��� ��������� �� ��� �'�� !�� ��� �������� ������� ��� ���� ��� ���������

5� ���� �! ��� �����8����� ���� ����� ��������� +� �'���� !��� ����'���� �������� !�� !��� �������� ��������� +���� +� ���� ������������ @�� �! ��� � ������� ������� ��� ����� ; � � +���� ����� ���� �� ��� ���� � ���� �������� ������� !�� ��� 5���������

��� �� � ��������� ������ ��� �! ��� +��6 � ���� �� ���� �! "�+ �! '��� 5���B ����� ��� ��� ���� � ���� �������� ���� !����+ !��� ��� !��� ��������������� ������� ��� ������ �����#������� � �� ���� �'�� �� �'������ ��� �������� ����� '� -����83�� '� ��� !��� ���� ����6���#�������� ��� '� ��� ����� +�� �� �� ���'� ��� ��8��� �������� �! �������� �������� '�� �� ��� ��� ��� �� '� ����������� !�� ���6 � 0� ��� �������� ��� �������� ������� ��� ���� ��� �������� ��� '� ������� ��� ��� +����'� � ��� �� �� ������ ����� �� +���� ��� ���H����� ; ���� �� � ��� � ��������� �� ���� �� � �� ��������� �������� ��� � ���� �� '��������� �� �� +���� ��� ����� ����������� ��� !��� ��������������� ������

��� ��������� �! �����8����� ���� ����� � �� �� ��� ��� ��� +��6 � � ������ �!���������� �! � ����8���� �������� �� �� ��������� �� ������� �� +��� ��� ���� ����� ������ ���� �� ��� '� �� ��� �#������ �� ���� ����������� ���'��� � 0� �������8��� +� ���� ������ �� � !���������� ����� ������ �������� !�� �� �������� ������� ����������� �

6; ����� ����

��� ������ ������� ��� �+�8��������� ����� �! � �������� ����� � �� ����� �������� � '� �� �� ��� !����+��� �� �! ��6��+� 3���

� �� � �4��4� � �� &

�� <�4$=

+���� �� � ��� ����� ����� ������� ������� �� ��� ���� �! ��� 6������ ��� �! ���"��� �� ��������� 4��4� ��� ����� ����� �������� 3��� �! ��� � ��������� � � �������� ����� ��!�������� ��� �� ��� & ������ ��� ������� ���� ��� ���� ��� !������� �! ��������� �! ���� �� � ��� �� ����� �������� ���������� ������ <�,T= �� ��� ����� ������������ ������ �! �,T� ��� � 3��� �� � ��� !� ��� !����+��� ��������� +���� ��� ��� '� � !�� ��� ������������� �! � ��������� ��������������� �����

��#

������ � ��� �

####& &�&�

####

� �� <�4)=

����� /K ��#

�##����## �##����

## �##����

##� � � /K �� �

��� <�44=

+���� ����� ����� ���� ��� ���������� �! ��� ��!�������� ��� �� ��

$%

Page 74: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

2���� <�4$= ��� !������� �! ��� ������ �����'�� � �� ��� ���� � � � � ���� �� � ��� !� 3��� �-������ +���� !����+ !��� ������� '������ �-������ '� � ������ ��� ����

��� ������� '������ �-������ ����������� !�� ��� ��� �� ����� ��� � !����+

8 �� ��� �������� ��+

� �

��M �� ��� 4

� K ��� �

��M �� ���4

� K �� <%��=

8 �������� '������ �-������

���4�

��K ����� M <%� ��

�4�

��K ����� <%� <%��=

8 '������ �-������ �! ���� ���

� <& &"=

��M ���G K L&� <%��=

8 �������'����� ��������� !�� ��� ��!�������� ��� ��

��

��K ������4� <%�%=

��� ��������� � ������� �� ��� �#� ����� �! � �� ��������� ������ ��� 0� ��� ������ ����� ��� � ������ ���� �� ��������

4� K���

��� � K ��������

���� ��� �������� <%�%= '����� ��� ��������� 0! +� �� ��� ��������� ��� �� ��������������� +���� � ���������� �� ��� +��� ����� � ���� ��� �������� <%�%= '����� ��� �����! ��� �� �! 3��� �-������ �

��� ������� ��� ��� �� ��� !� ��� !����+��� ��� �������� ��������

��� K ��� M ��(�M ���� M9��M <& &"=�� ( /K �� �� <%�*=

��� K ����� ��� K ��� � �� :�M9(

�M <& &"=�

&" K &� <� M %(= �

+���� &" ������ ����� �! ��� ���� ��� �� ��� ��������������� �-����'���� +���� ���8�� ���� �� ���� ���� ����� <%�L&� ��� ��� ���� ��� �� ��

� � ��� ������� ������� ��� ����� 6������ ��� ? ��� ������� ������� ��� ��� �� ��� "��� ��� ��� � -�������� � +��� � ��� �������� ��������� ��� ��� :� 9� %� ��� !������� �! �� ������� ���� ��� &�� 7����������� ��������� ��� �� ����� ���� �� ��� ���� ���[� ��� ���� +���� : ����� ���� �� ������ ���� ������ �'����� ���H����� �! �� ����� "���� ��� ������'����� +��� ��� ��������� � ������� �� ����-����'���� ������ �! ���� ��� ��� �� ��� ���� �� ��������� '�������� ��� ������ �! ��������� +��� � 0� ��� '� ��+� ���� �� ����� ���� ������'����� �������� ������ �! '��� ��������� � A� ������� !�� �� ��� ���� ���� �� ��� 3� � ���� �!��� ��� ��������� �

��� ����� � � �� �� ��� �'��� �������� �� �������� � !��� �! ��� �������� �������� +���� !����+ �������� '� ��� ������������� �! ��� !��� ��������� ��������������� ��������� � �������� ���� '� ����3�� �� ��� �-����

$*

Page 75: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� ������ ��� �������� �������� !�� ��� "�# �! ���� ��� ��� !�� ��� ����� ���� ���!����+��� !���

G K Q��4� 4�

�� <% K *

�4� 4�

�; ����&� L& K

& &"

B� <%��=

0� ��� ������ ����� ��� �������� ��������� Q�� *�;� B ��� ��� ���� ��������� ����� ����� ������� ���� ��� &�� 9�� �� ��� �������� ��� ������'����� �! ��� �������� �! ���� ������ '� ������������ ���� ��� ������� ��� � � I����� �! +� ��3�� ����3�� ��� ���������������� '�

�� /K ��� ; <& &�= �� �� /K ��� M; <& &�=�� <%�>=

���� ��� ����� �� ��� �-������ <%��= ������� ����� ��� ������'����� �! ��� ��:� ���!���� *

�4� 4�

��

0� � �� � �� �� ���� ��� �� ��� ��� � ��� '� ���������� !��� ��� �� �! 3��� '������������ �! ��� �� '������ �-������ <%��=�� .�������� �� <%�%= +� ����

�(

��K ���4�

� �

��K ��

�(

�� ( K

�� �

�� <%�$=

����������� �� +� ��� ���� ��� ���� ��� '������ �-������� A� ����

�<& &"=

��M& &"

BK Q�

�<( �=

�� <%�)=

D����

& K &�E� M %(MQ�&�<( �=

Q�&�B

� �

<( �=���% (�%12��F <%�4=

��� �� � ������'����� �� ���'� � ��� ������ +���� ��� ������ �� ��� � ��� �� '� ����� �� ���� 0� ��� 3� � �����#������� ���� ��� '� ��������� �� ����� �� ���'��� ���� ���+��� �� ��� +���� ����� ���� �� ��� � ������� B � �� A� ���� ���� �� ��� � ������� �� ��� ��������

������� �� ��� �'��� ��� ��������� +� �� ���� ��� ���� ����� ���� ����� ��� ���� #����� � ��� ������ ������� ��� !����+��� � ������ 3���

�4��4� � �� �

�� <%��=

+���� ���� �� ��� !� ��� 3��� �-������

���4�

��K ���

���(�M ���� M9��M <& &"=�; <& &�= �

�M

M*�4� 4�

��

���4�

��K ����

�� �� :�M9(

�M <& &"=; <& &�=

� <%��=

*�4� 4�

��

$�

Page 76: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

���

��

��K ������4��

��

��K ���4� � ( � �� �� <%��=

& K &�

� M %(M

Q�&�<( �=

0! +� � ��� � �� ; � � ���� ��� �� �! �-������ <%��= �������� +��� ��� ���! 5���B �-������ �� +���� ��� �������� ������� ��� ����� �� +� ���������� ������ ���� 5���B ����� ��� ��� ������� ��� ����������� �! ��� �������� <%��=� !�� ���� ����0� ��� �������� ��� � � � 6��� �! ��'��� �#��� ��� �! 5���B ����� �� ����� �� ����!�&�� �� ��� ��� ��������� +��� ��� � !����+��� !��� <%��= �������� ��� ��������� %�Q���� ����� '� ��� �������� <%�>= +���� +� ������ '� ���� �! ��� �����8����� ���� ������

A� ������� �� ���� ������ �������� '��+��� ��� �'��� ���������� ����� ����� ��8������ ��������� ��� ���� ��������� �! �������� ��� �������� ��� ����� �������

6;� /%����� ������ � ���������

9� �������� �! �������� �������� '� ���� �! � ����� ����� ����� � ������������ �� �+��� � ��!�������� � ���������� ���������� �������� ��� ��� ���������� �������� �! ��� � ��� ������ �� ��� ��� � A� ��� ���� ��� � � ��� �� ��� ������ �� ����� ����� ����� � ����� �����8����� ���� ����� ��������� !�� ������3������ �! ��� ����� ������������� ��������� �

0� ��� �������� +� ���� !�� ��� � ��!��������

� K ��(�� �� K �

������ �� K �

����� � <%�%=

��� ��� ��������� ���������� �������� !�� ������� ��� ��� ��� � !����+

�� ��� K ��� M �

��� &� %

�(9�M <; = <& &�= � <%�*=

�� ��� K �� :� <9M &� %= ( <; = <& &�=

D��� +� ���� ������� ���������� ��� �-����'���� ���� ��� &" K &� <� M %(=�0� ��� ����� �� � ��� !��� ��� ��� ������ �� � '� �� �"�� �� +��� � ����� �#��

��� ��� W� ����

W� K��� ���

�M��� ���

� <%��=

7������ ��� ���'��� �� 3�� ������ ������ (� � ������� ��� ��� ��� �� ��� ���� ��� &������ '� ����� ��� ���� �! +� ������� !�� ��� �������� !�� ���� ��� <%��=�� A� ���� ����* �-������ �� ��� �� �� �� ��� +� ���� �� ���������� �-������ ����!���� !�� �� ������ "�+ �! ��� "��� ������� ��� '������� �! ��� ������ �������� ��� ���'��� ������ ���������� � ��� � ������� !�� � �+�8��������� � ��� ��� +� ��� ��� ��� �-������ �� ��� �-����

��������� �� �� ������ *��� ���� ������ �� � ��� �� ��� *��� ���� ������ ��� ��� �� �� ��� �� �� ���� �� ������� ���� �� ������� � � ������� +��� �� �� � � ������ �� ������ ����� ����������� �� �� ������������� �� �� ���� *���� ��� � ����� , ������� ������ �� �� �������������� �� �� ������������� ��������� �� �������� -�� �� ��� ��� ������� �� � ���� ��

$>

Page 77: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

D�+���� +� ������� +��� ��� ��� ��� �! ��� �'��� ���'��� �� � ��:����� +��� I�����+� ����!� ��������� �! ��� ����� �������� ��� �������� '��+��� ����� ����� ��� �����8 ����� ����� � ���� ��� ���'��� ��� '� ����� ��� ���������� �-������ ��������� �'��� ���� ����� ��� ����� � �! �������� ����� ����� ��� ����� ����� ��������� <�������'�������������� S=� ���� �� �������� � �� �'�� !�� ����� ���'��� ��� �� ��� ���������������� ������� �! ������� �������� �-������ ��� ������� ��� ��� ���'��� '����� ����8'�����

��� ����� ����� ����� !�� �������� ��!�������� � ����3�� � !����+ � T����������� �� ��� ����� ����� ����� ��� ������� '� (�� ��� ���� (� �� ���'� �������� ���������� ������ �! ����� ��� �� �� ���'� ������ �! ��� ���� �� ��� ��� �! ��� "��� ��������� �! ��� �������� ��������� ��� ����� ������� ��� ��� ��� ������� '� ���� ���

��� �! ���� � ��� ������ � ��������� +��� ��� ���� ��� ��� �! � 2�� ��� � -�������� ���!����+��� �������� ���������� �������� ��� � ����

��� ���� K �%(�� ��� ���

� K �!�� <%�>=

0� ��� � �������� �%� �! ������ ���� <����= ������ �'����� ������ �! ��� ���� �����8���� <��������= ��� �! ��� "��� �� ���������� 0� ������ � �� �������� ��������� �! �������� ����� ����� ��� � ��� '� ��� ���� ������������� �! � ������� ���������� �! ����������� ��������� ���� ��� ��� ��"������ '� � ���� ��� ���� ����� �� ��� ����� ������������������ ��� !�� ��� ��#���� �! ��� �������

��� �'��� ��� ����� ����� ����� ��� ����� ����� ��������� ��� ������� ������� �+� �� �! �������'����� ��������� �

@� ��� ��� ���� +� ���� ���� � �� ��� ��� �������� +���� !�� ��� ��� ������� !���

�� K <� &= ���� �� K &���� <%�$=

+���� & ������ ��� ������� ���� ��� �! ��� ������� @� � '������� �! ��� ����� �������� +� ��-���� ��� !����+��� �-��������� �! ����� ������� ��� ��������

����� K �������� ����� K ������� � <%�)=

+���� ������� ������ ���� ������� ��� � �� ��� 6������ ��� �� ��� "��� �� ���������� � ��� ���� ���+��� ������ �� ��� ��!��� �� � �� ��3���� ���� ���� �! ��� ��!������ ���� ��� ��� ������'����� �! ��� 6������ ��� �! ��� "��� �� ��� ����/ �� K ��� M��� 0! ��� ��!��� !������� ��� ������ !������� ��� ��� ��� +���� !����+ ����� ���� ������� �! �������� �! ��� ����� �������� +� ���� ���$�� K �&� ���$�� K &����� <%�$= !����+ !��� <%�)= �! ��� ������� ��� � ������ �� ��� ��� �

@� ��� ����� ���� +� ���� ��� !����+��� �������� '��+��� ������� �� ��� ����

� <�� �= K�

�"/ ��$��

�� <�� �=�� <�� �= ���� <%�4=

� <�� �= K�

�"/ ��$��

�� <�� �=�� <�� �= ����

+���� @,� <�� �= � ��� ����� �������� ���������� ������ ������� �� ��� ����� � �! �������� ����� ��������� �� ��� ���� � � ������ �� ������ �� � ��� ���������� ���!������� �! ��� ����� ��������� 6������ ���� �� � �-��� �� � +��� ��� ����� � ��������

$$

Page 78: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

'� ��� ���� ��� ���� �����+� � ��� �������� !�� ��� ���������� ��� !������� �! ��� "����� K ���� 0! ��� ����� �������� � ���$���� +� ��� +���� ��� � �������� �� ���!���

� K <� &= ��� � K & ��� <%��=

& K�

�"/ ��$��

�� <�� �= ��3 � ��

�"/ ��$��

�� <�� �= ��3

�������� ������ �! �� ��� ���� �� ������ ������ ���������� ������� +� �'����

� K �� <� M (=�� � � K �� <� M �=�� � <%��=

�� K ����� M (�

���� �� K ��

�� M ��

���

������� ��� ���'������� �! ��� � �������� ��� ������������� +� ������ ������������� ��� !����+��� ��� ������ �� ��� ��� ��������

( K (� M& &�� &�

� � K �� & &�&�

<%��=

7�� �-������ !�� ��� 4 ��6��+� -�������� �! �������� ���������� ��!�������� �(� �� ��� �� � (�� ��� ���� ���� &

�� <%�%=

+� ���� 4 �-������ �� ��� �� �� ��/ � �-����'���� ��������� <%��= � ����� ����� ��� ����8���� �������� <%�*= � ����� ����� ��� �������� �������� <%�>= � ��������� �������'������������� <%�$= ��� � ����������� �������'����� ��������� <%��=� ��� ����� ����'�������'��� ��� '� ������

. �� ������������ �� ��� +� �'���� ��� !����+��� �������� '��+��� ����������� ��8��� ����� -�������� &� (� ��� �� ��� ����� ����� ����������� -�������� (� �

& &� K �

�% �!

����� M �

��� M9

� <� &�=�%

�(M <%�*=

M��9M �� :

� &��!

����

(� K�

<�% �! = <� &�=

����� M �

��� M9

� <� &�=�!

�(M

M��9M �� :

� &��!

����

�� K �

<�% �! =&�

����� M �

��� M9

� <� &�=�%

�(M <%��=

M��9M �� :

� &��%

���

7�� �-������ ��������� <%�*= ��� <%��= +� �� ���� ��� �������� ��������� %�Q� ��8������� �� ��� �������� !�� ���� ��� ��� '� �#��� �� �� ���� �! ��� ����� �������� ��8������� � A� �'����

% K�/ �

&� <�% �!=� Q� K

<9M �� := &��!

�% �!� <%�>=

$)

Page 79: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

� /K �� M ���� M �� :M �9� �/ /K <� &�=�% M &��! <%�$=

��� �������� ��������� � ������ ��� '��6 ������ �'����� ������ ��� �/ � ��� T���������� �'����� ������ �

I�+ !�� ��� ������������� �! ( ��� � +� ���� ��� !����+��� �+� �-������ � ������������ �������'����� ��������� <%�$= ����� ��� !����+��� �������� '��+��� ��� �����8 ����� ������ ������

9M�! ;

�% �!

���� M �

��� M9

� <� &�=�%

�9M �� :

� &��!

�% �!

( K

K

� �� : &��!

�M

�! ;

�% �!

��9M �� :

� &��%

�M

�9M �� :

� &��!

�% �!

�<%�)=

����������� �� ��� �-����'���� ��������� <%��= �����

W� K ��� M �

��� M9

�(

� �� :M9

�� <%�4=

D���� �' �������� �! � ���������� !��� <%�)= �� <%�4= ���� �� ( ����� �� ���� �!��� �#�� ��� ��� W� ��� '� ���� �! <%�)= <%��= <%�*= ��� ��������� �� ������ (�� ��� & �� ���� �! ��� �#�� ��� ���� 7�� �-������ ��� ��� �������� �������� ������ � �� ������� ��� ��� �� ���� �! ��� �#�� ��� ���� ��� �������� ��� ������� �!��� ���'���� A� ���� ��� -���� ��� � ����� �� ��� �� ��� +��6 ��� �� ����� �������!����

0� ��� ��#� ��' ������ +� ��� ��� ������ !��� �! �� ���������� �-������ +���� +����� ��������� �� ��� '�������� �! ��� ��' �������

0� ��� 5��� ����� �� � �� ������ �� � � � ��:����� 3��� ��������� ��� ����� ����������� ������ �! ��� "��� �� ��� �����'�� = � ������ ��� ��������� �! ��� "��� ��������0� ��� ���� � ������� �� ��� !��� ���� �� ������ � �� ��� ���� ��������� ��� ����� ��8������ ���������� ������ � ��� �������� !�� ��� "��� ���������� 0� ���� ���� �,T��� � � ��+�� �! ��� ��� �������� �! ��� ���� 6������ '�� ��� "��� ��� ���� ��� �������� ������ ��� �� ��� ��:� ���� ��� �� ��������� �� �! ��� "��� ��� ����� ����������� ��� � ����� '� � <� M (= ��� '���� � ( � ��� ����� ����� ��� ��� �! ������������ � ����������� �� �� ��� ��� ������ �������� +��� �� ���� �� ��� 6������ ���������� ������ �! "��� �� +� �� ���� 7�� �-������ ��� ������ �! ��� "��� �� ���8������ �� ��� ������ � ����� '� ��� ��:������ �! ��� � �+� -�������� � A� ��������� �������� ����� ��� ��� �! ��� -�������

= /K�

���

�<� M (= � ��

�� &� <( �= <%%�=

��� � ��� ���� ��� �� ��� 1�� �������� A� ��!�� �� ��� �����'�� !��-������ �� ��� !��������� ��������� � D�+���� �� � ����� ���� ��� ���� !�������� <(� �= � <(� == � ����� ������8��8��� ��� �� ��� '� ���� +������� �����������

. ��������� '�!��� +� ������� !������ ��� ��"����� �! ����-����'���� ������ �!���� ��� �� ���'�� �� ��� �������� �������� '� ��� �������� ��������� � . (� ��3�������! ��� �����3������ � '� �� �� ��� ����� � �! ������ ���� ��� +��� ��� �� ��� �� '�

$4

Page 80: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

������ +��� !���� !�� ��� � ��� ��������� ������ '� !���� '� ���� �! ����� ������#�������� ���+���

��� � ��+���� '� �� ��� �������� �������� !�� �������� ��!�������� <%�*= ��� ��������������� �� ��� <%�*= <%��= � ��� ��� �������� ��������� ���������� '� 5��� <���� �� E*�F=� A� ����

� �

� �� /K <�� ��� = M <�

� ��� = K <� &�6= ( &�6� � �(M 6=�

��� ���� � �! ��! /K

&�<�� ��� = K &��� <6 &��= (;

& &�&�

� �= 6(;& &�&�

& &� K �

�% �!

�E<� &�6= <� &�=�%F (M &� E6 �! F �� � <%%�=

� �

�% �!

�E� �/ F ( E6 �! F =� �

(� K�

<�% �!= <� &�=�E<� &�6= <� &�=�! F (M &� E6 �! F �� �

��

<�% �!=<� &�=�E� �! F ( E6 �! F =� �

�� K �

<�% �!=&��E<� &�6= <� &�=�%F (M &� E6 �%F �� �

� �

<�% �!=&��E� �%F ( E6 �%F =� �

+���� ���/ ��� ��3��� '� <%�$= ��� �� ��������

6 /K�

&�

�9M �� :

�� � /K

�� :

&�� <%%�=

��� �������� �����3� ��� ������� �� �! ��� ��� ��� �� ��� +��� ��� � ��������� �� ������������� �� ��� �������� �

&�6��� � � �! ��� �������� <%%�= ��� <%�>=� !�� ��� ���� ��� ��� �!��! � �������

+� �'���� ����������� ��� �������� '��+��� ������ ������ ( ��� ��������� �! "���������� =

�6 M

�!<� �%=

&�<�% �!=

;<� �/ =

&�<�% �!=

�� M

�!<6 �%=

&�<�% �!=

;<6 �!=

&�<�% �!=

=

(K �� <%%%=

+���� �� � ���� !�� ��� �������� ����� ��!�������� �

)�

Page 81: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

6;, 9������%������ �� ���%����"������

6;,;� G����� ��� ��=����� ����

. +� ���� ��������� ������� ��� ����� ����� ��!�������� ���'��� �! � �+�8��������������� ��-���� �� ���������� '������� ���������� 0� ��� �� � �! ����� ���������� ���������� �������� ���'��� ��� � ��������� ��� '� �� ��� !���������� 0� 2����� �+� ��+ ������������ ����� ����� �� � ��� ������ �������� �� ��� �������� +���� ���� '� ��� ������ �� ������ �

!�$�� C ���� �� �� .����)������� ����2 3, 0��)���� ��������4 5, 0��)����������4 6, ��0��)����$

��� ���������� ��������� !�� ��� � �� � ��� � !����+

�= (��6���� ��������� �� � �� +���� ��� '������� �! ��� ����� � ��������'��

= K � ( K �; <%%*=

�� ���� ���� ����� � �� "�+ ������� ��� '������� ��� ��� �-������ �����8 ����� ������ ������ �! '��� ��������� �� � '� �-���

�= (��6���� ������� �� � �� +���� ����� � � �������� �! ��� ����� ������������� "��� ��������� �������� +��� ��� �#������ +����; ����

��� K ���� �� K �; <%%�=

%= ��(��6���� �� � �� +���� ��� ���� ��� ��� ��� ��� �#������ "��� ��� ����� � '� ��� ��� ����

��� ���� K W�� <%%>=

+���� W� � � ����� �#�� ��� ����

��� � �� � ��� ������ ����6���#�������� '���� � ���� ��� '� ����������� ���8!����� ����� ����� ��������� <���� +��� ��������� �:��� �� �� ��� ����������� ������ ���� ��� '� ���������= ��� ���������� �� ���� ���� �� �������� '��+��� ��� ���� ���8������ ? �� ��� �� � '��+��� ����� ����� ��� ����� ����� �������� ��������� �

���� ��������� +��� ����� �� �!��� !�� �������� +��� ����� ��������� 2�� �� ���������� ����� ��������� �! ������� ��� +��� ���������� '� ���� �! ��������� �! �����

)�

Page 82: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

'� A� T���� E*)F <��� � ���� ��� � = .� ��� E*�F <��� � ���� ����� = �� '� ���� �! ��� !���� ��� � ���� �����8����� ���� ����� ��������� ��������� �! ����� ��� +������������� '� ���� �! ��� �������������� ��������� ���� ��� �'��� �� ���'�� ������� � ������ �� ��� ���������� �� �������� �������� �� � ���� �� �� �#������ !��� ���� ���+��6 �! 2� � ���� E��F �� ���� �� E��F &� .� 5��� ��� 9� � A���� E�%F ��� ��������� � ��� ���'��� � ���� ���� ������� ��� +� ��!�� �� ������ �����+ +��6 �! �� ,�A���� E��F �� 9� ����� E*�F �� �� � 5������� E��F +�� ��� ��� �� � ������ ����������� �! ��� �� ��� �! ��� �� ����� � �

��� �������� ��� ����� �� ��� +��6 ��:�� !��� ��� ������� ��� �������� '���� ���� ����� ������� �� ���������� �������� ��������� ; � ����������� �� ��� � ��������������� �� ��� �����8����� ���� ����� ���'�� �������������� �� ��� � ��� �� +����+� ������ � ��� !��� ��������� �� ������� ��������� �� �� ��� �:��� �

��� =����� �������� �� � �� ���'�� '� <%%*= ����� ����������� ��� !��� �� ���� ��� ������� '��+��� �������� ���������

�� /K 6 M�! <� �%=;<� �/ =

&�<�% �!=K � <%%$=

A� ������� �� ���� ������ ��� =����� ������ �� ��0� � �������� � ���� ���� �� �������� �� ����� ����� �� � +���� ������� ������ �8

'������ �%� �! ��� ��� ��� ��� ��� �8������ ������ �� ����� ��� ������ �)� ��� � ��3��� � ��� �������� !������� �! ��� �#�� ��� ��� W� �� ��� ����� ����� ������������ ( �� ��� ������� (��6���� �� �� D���� +� ���� !�� � �

�) / K W�

(K

��� ���

�M��� ���

(K

K �

(� <� &�6= ( &�6�� � � 6

=

( <%%)=

A� ��� ��������� ��� !������� 4������� '� ���� �! ��� ����� ����� ��������� !��

���� ��� ��� <%%�=� �� '� ���� �! ��� ����� ����� ��������� �� ������ ������ �! ���"��� <%%�=� 5������ ��� �������� <%%�=� �� ���� +� �'���� �� ��� 3� � �� � ��� !����+��������� �� ��� ��� ������� '��+��� �������� ���������

�� /K &� 6

�0

�%

� <� &�=��

��

� ������

56���

��

;<� &�6

&���0

K �� <%%4=

�0 /K � 6�

��

+���� +� ���� � �� ��� �������� <%%�=� !�� ��� ���� ����0� ��� ����� �� � +� �' ������ <%%�=� !�� �

� ��� �'���� ��� ���� �� ��� ���������� '��+��� �������� ���������

�� /K � �) 66 ;

� 5��

K � <%*�=

)�

Page 83: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

2������ !�� ��� ��=����� �� � +� ���� ��� �� ��� �-����'���� ��������� <%��= ����-������ �! ��� !��� ��� ��� ����� '� <%%�=� ��� ��� ���� ��� ��� <%�>=�� ��� ����� ��������� �� ��� ��� ������� '��+��� �������� ���������

�� /K

�7

�� 6 ;

� &�&�

6

�%

�M <%*�=

M

6

�7

�� 6 ;

� &�&�

�%

��K ��

�7/K� &��%

M&��!

��� �� �! ��������

���� ��� ��� ��� K � <%*�=

!��� !��� �-������ !�� !��� �������� ��������� ���6���;� �� �-���������� !����� M �

���� :�9�;

��� ���� �! ��� �������� ��������� ��%� �! � �)� ��� ��� �������

���� ��� &�� 0� � ��������� ��� ��� �-������ �� � � ���� ���� ��� �������� . �� ������ '� ����� ������������ +� ��� ��� !������ ��� ������� ��������� �� ��� � 2������ � �� �� ��� �#����� ����� �#� � �+� ��� ������ ��� ���'�� ������� �� +���� ��� !���-�������� ����6�; ��� ���� ��� ������������

D�+���� ��� ���������� ������� ��� '� ��� ������� �� ��� !���� ������� �� �� I����� �' �������� �! ��� ���������; K � �� ���� ��� ��� K � ����� ��� !����+��� �� �! �-������

� �% M &�6�% �!

�!K �� �) � M

6�

�K ��

6

� 6 M�

��)

�7

K � <%*%=

A� �� !������ ���� ��� �� �� � � �+� ���� �� ����� ������� � @�� �! ���� ��� '�!���� ������������ ��� �� �� ��� !���

� K<�% �)=

���

���)

M�)� 6 K�% <�% �)=

���

���)

� � K��

%���

���)

<%**=

��� � ��� ��� !���� .��� ��� �������� ��������� �� 5���B ����� <���� E*�F=� 0� � ������ ������� ���� ���� ��� !� ���������� ��� �-������ �� K � +��� ; K �� 7�� �8-������ ���6��� ����� '� <%**= ��� ; K � ��� ������ � ������� �! ��� !��� � ��� �!�������'����� ��������� � 0� ����� ��� ��������� ������ ��� ����

/��(� ���� #���� ������ ���� ����� ������ ��� � ��� .��� ��� ��������� ���� ����� ����� �� �� �� � ���� �� ��� ���� ���� �� ���������� ��������� ��� ������ �������� �� �� ������ � ���������� �� ��� ������� �������$

��� �������� !����+ ����� !�� ��� ������ ����� �� +���� ��� ������'����� �! ������� ��� �������� ��� '� ������������ �� ��� �������� �������� !�� ��� � �

��� � ���� �� �� ��� ���� �� ��� � ��� ���������� �! � ���� �������� ��� ���8����'����� �! ��� � �������� +��� ��� (��6���� ������� �� � � ������� ? ��� �� � � ������ �� � � ���������� �! ��� ��3������ �! ��� ������� ������ �'����� ������ �) ? ��� ��

)%

Page 84: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

�������� �� � � ���� ���� ��� ���� ��� �� ��� ��(��6���� �#�������� � ��� ����� 9����� ��� '� !���� !�� �� ����� �� ��� '��6 �! ����� E*�F� ��' �������� �! � ���� �������� �� ��� !������ <%%�= !�� ������ �! ���� ��� ��+ ���� & K &� ���� ��� ���� ��� !����+ � � ��� ���� �� ��� �#�������� ��� ��� ��� ���� �� '� � ���� �� '� ��� ���� � �������'� ������

��� � ������� �� ��� ��������� �� K �� ��� ��������� � �������� '� ��� ����� ������� �! ��� �� <%*%=� A� ����� ����� �� �� ��� ��#� ��' ������ �� � ����������#������ D�+���� ��� ������� ��� '� � �� � � 3� � ��� �! �� ��������� ��������� !������������� � ������� +��� ; �K �� 0� � � ������ �� ��� !��� ����� +��� �� ����������������'����� �! ��� ���� ��� ��������� 0! ��� ���������; � ���� �� ������� �� +��� ������������� ��������� �! ��� ����� +� ��� ������� ��� ������� �! ��� !��� �� ���� ��� ��� ��� K� � ����� ���� ��� ����� ������� �! � ���� �-������ !��� � ������ ��� �! ������������ �� K � ���� ��� ����� � �! ����������� ; �� ��� ��������� ������ ���� +� ���������� �� ��� ����� ��� �! ��������� ��� � ��� 0� � �� � �� ��+ ���� ��� � ��������������� �������� �� ��� !��� ������� �! ��� � ���� A� ���� ��� ��� �� ��� ���������������� � �! ��� ������ �� ��� +��6 ��� ��� ��� ������ � ��������� �#������

6;,; B �������� ���%�

. ��������� �'��� ��� �� �! �-������ ���� 6�� 6�� ��� K � !�� �������� ��������� �����6�;� ������ '� ����� ������������� D�+���� �� � � ������ ����� ����'���� � ��� +���� ��� '� ������� ����������� +��� ��� ������� ���6���� 5���+ +� ��+ ��� ��������� �� ��� ���������� '� ���� �! ��� ���6��� &.1�, $��� A� ���� ��� ����� !����+��� ���� !�� ��� � �����������

�% K *)� ���C�� �! K ���� ��

�C�� �) K�%

� M )&�� <%*�=

+���� ��� �� � ��������� �������� � ����� �� �!��� ���� �� <���� ��/ E��F +���� �� � ������� ���� ) K �� ���� � ���� 3� +��� �#���������� ���� !�� ���� ��� =� A� ���� ���� ����� ) K %� ��� �� !�� ��� ���� ������� �! � ���� �-������ ��� ����� ) K �� !����� !��� ������

0� 2����� % ��� * +� ��+ ��������� ������� �! � ���� �-������ <%*%=� ��8������ � <������� � ���� �� 2����� = ��� 3� �������� <%**= ��� ���������� �� ����-������ �� K � +��� ; K �� 7�� �-������ ��� ������� � �� � � ������� �! ��� !���������� �� �! �������'����� �������� � �������� � <������� � ���� �� 2����� = �� 2�����% ��� 3� �-������ <%*%= '�� ��� ��� �������'����� ��������� �� K �� D���� �� � ���� ������� �! ��� !��� �� ��� �� �� ��������� '������� 0� � ������ ���� �� �' ���� ���� ������� � ����� �������� ����� �! ��� �������� ��������� 9 !�� ���� ����� �! ���� ������� +���� ����� �� ��'������ <�#��� ��� ����� ��� ���=� 0� �������� �� ��� ��������� �!��� �������'����� �������� ��� +���� ��������� �� �������'����� �! ��� ��������

)*

Page 85: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

������ �� ������������� �� ��� � ����� �� ������������� �� ��� � ������������ ��� �� �������� ��������� ����� ��� ��� ����� �� �������� ��������� � � ��� ���

������ � ������� ���������� � ����� �� � ������� ����� ��� �� �������� �������������� ��� ��� ����� �� �������� ��������� � � ��� ���

� �� �� �� ���������� ������ ��� � ����� ��������� � �� �� �� ������ �� ��� � ��� � !�� �� ���! ��� "������� ������ �� � ������� ��� ��� ��� #� �!� ��� � ��$� ��� � ���� ����� �� �� %�� ��� ����� � ��� ����� ����� ��� � ���� �!� �������� ���� �� ���� �� ��� � ��� �&� � ��� '���!��( � �� �� �� %���� � �� ����� �� � ��� ���� ��� � � �� ���� ���� ��� ����� �� �� ��������� �!��� ��� � #��� �� �� � ���� ���������� ���� ���������� �� �������� �� ��� �� � �!� ����� ��� ��� ���� ��� ������ ��� ���� )*�+( )�,+( )-+��

. ���! � � ������� �� ����� ��� � ���� �!�� #� � �� �� �������������� ��� �� ����! �� ������ ��� �� � � � ��� � � � � ��� ������! �� � ������ ������� ��� ��� ��� � ��� ����� �� ������ ��! � ����� !������ ������� ������ ����( � � ��/� ��� � � ���0( � ���!�� �� �� ���������� ��� 1� ����! ��� � �� � !�$�� ������ ���!�� �� ��!� � 2�! ����������� ����� ����� �� ������� #��� ��� �� �� !�� ����� ���� ����� ����! ��� ��

0�

Page 86: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

������� ������� 3� ��( ��� ���� ����� � ��� ���� ��� � � ��� � ����� ��!��� ���!� �������� ���������� '��� �� ��������� !�� �� � �� �� 4��5� �!��

� �� ��� � � �� ����� ������ �� %���� � � �� �� ��� ����� ��� ��������� ��� � 4�� �!� ���� ��! ��� � ���� �!� ������� 6����� � � � ��� ��� �� 4��5� �!�� � �� �� �� �� �� � ���! "������� ��� � �� ��� �!�� ��! "��������� ��� �!�� ��� "�� ��� ��� ������� ����� ��� ��7� ��� ������ � ���� �� � ����� ��� � ��! � ����� ��� ��� ��� � ���� �!�� � � ���0� 8� � � ����� ��� � ��� �� � ��� �� ���� �� �������� 8 ��� ���� ������ ��� � ���!�

������ � ���������� �� ������� ���������� ��� ������ �� � ����� �� ��� �� �� ����� ��� �������� ��� ���� ������� ���� �������� ��������� � � ���

1� � �� ���! ��! �� %���� * � �� �� !����� �� ���������� ��� ������ �!��� 1�������� � �� ��������� �!���� �� � ����� � �� ����� �� �7�9� ��� 4��5� �!� ��� � �� �� � ���� �!� �� � �� � ��� ��� �����! ��� ��� ��������� �� � :��! ��

#� ��� ���� ��;��� � ���� "��������� ��� ��� �!�� ��! ��� � ������� ���0 �%���� *( ����� �� � "������� !�$���� �� ������� #��� ��� ���� �� ��� ������ �� 4��5� �!� ��! � ��� � ����� �� � ���� �!� ��� � � ���0�� ���( �� � ��� ����!� ����!( �� �� ���� � �� ����� ����! ��! � ������ � �� ���� ���� � �������/ ����� �� ������ �����( �����!��� � ������������� �� �� ������� �������( ���!� �� ��������� �

0*

Page 87: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

������ �� ���������� �� ��� ��������������� ��� ����� �� �� ��� ������� ���������� ������� ��� ��� �� �� � �� ������ �� � ���� �������� ��������� � � ���

. ���! � ��� ����� ��� � ��;���� � ��! <� !�������� � ������� ��� ����� ������ ��& ������ ��=7���� #�� �� ����� �� %���� -� � �� ���� ��"�������� ������ �� ������ �� ������� � ���� ������ �� � ����� � �� �������� ��� ���"�������� ������ �� ������� � � !�$��� �� ���� ������ �� ���� � � ���� � �� :��! ����� ��� #� ��� � � �� � � 7� � � ����� ���� ���"�������� ��� � <���� 6����� �� ������ �� � ����� �� �����2����� � ���� �� � ��� ������ ������� ��� ��� ���� ������ ��������

������ �� ���������� �� �������� �������� ��������� ���� �(�� ������������ ���� � � <��� ���� �������� ��������� � � ���

� ���������� �������

#� ����� ���! �� ��� '���� ! ����� � ������ �� � ��������� 4�� �!���� ����� �������� !�� � ��� �� �!��� ������ �! ������ �!�� ��������� ���� � ���� ��� � ����� �������� �!� ��� � ������ "����� �� �������

0-

Page 88: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� �� � ��������� ������ ��� �! ��� �'��� ��� ����� ����� � �! ��� �����8��������� ����� � ���� 5���B ����� !����+ � � ������ �� � �! ��� !��� ��������������� ������� +���� ��� �������� +��� ��� ���� ��� �������� ���� �� <; K �=� ����������� �� ��������8����� ���� ����� ����� �������'����� �������� +���� �� � �#� ������� !�� ��8������ ��������� � @�� �! ���� �������� +��� ��� ���� � ���� �������� !�� 5���B ������ ��� ����� ����� � ����� �� +���� ��� �������� +��� ��� ���� ��� �������� � ��� ���� ��� � �+� ����� ��� �� '� �� �'�� ��� �� ��� ��������� � �������� ��� �#8��� ��� �! ��� ��� ���� ��������� �+�8��������� ����� �! ���� ��'�� ��#���� '� ������� ���������� �� ��� ���� ��� �������� � ���� ��� !�� ��� �#� ����� �! �������� '��+���������� ��� � ��� ��� ���������� ������ �� ��������� ����� ��� ������� '� ��������8����� ���� ����� ������� �� ��� +��6�

0� ����� �� �'���� 5���B ��� �������� �������� !�� ��� � �� � ���� ��� � +��� ������� ��� ����#����� ��������� �! ��� ���� ��� <������ �:��� = +���� ��� ������ �� ���������� ��������������� ������

0� ��� !��� ��������������� ����� ����� ������ � �������� �� ��'����� !�� ����������� ���� ������ ���� ���� ���) ? �� ��� � !�� ��� ���� � �� �� ��� ��������� ����� � ���� ��� '� ������� �� � ���� �� ��'����� ��������� '� �� 9���6�� <���� E%>F= +���� ��� ��� �� ��� "�����������

��� ��������� �� ��� ��� ����� �� ��� ������� ��' ������ ��+ ���� �� ������������������� �� � �! ����� � �! ���� ��� +��� '��� �������� ? 5���B �������� �! ��� � +��� ��� ��������� 9 � +��� � ��� �������� ������� ��� ���� ��� �������� +��� ������������ ; ? ��� '� ��������� +������ ��� -���������� ��� �-����� ��� ���� ������-����������� ��"����� �� ����������� ��������� � ��� �� � ������ ��� � ��� ����� �����#��� ����� �� ��� +��6 E$F�

&������� �� ��� � !�� �������� �������� !�� +���� ��� �'��� �����8����� ���� ���������� � � '����� (� ��3�� ���� !�� ���6 ������ �! ���� ��� �� ��� +��� ����� � �! ���������� ��� +��� ��� '� � ���� �� '� ��� �� ����� '� ������ ������ �! ��� 6�������.� ��"����� �! ��� ��������� �! "��� ������� �� ��� � ������ � �! ��� ����� �! � !�+������� �! ��� !����+��� ������ ������ �! ��� 6�������

))

Page 89: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

�: !���������� � �������� 0�4� �� ����� %���3

������ ����

������ �! ����������� �! ���� ��� +��� � ��� �! ��� ���� ��� �� �! ��� �������� �!������� ��� ����� � 0� ���� ����������� ������������ �� ������ �� �� � ������� ����� ��� ��� ����� �'�� ��������� �! ��!�������� ������ '� ���� � ���� ����� � ���������� �'�� ��� ������� �� ��� ��� ��� ��!�������� ������ �������� �! ����6 ����D�+���� � ��������� �� ���'���� �! ���� ��������� ��� ��������� +������ ��� �����'��������� �'�� ������ �! ��� ��������� 2�� ��� ��� �� �� ��� '� � �� �� �������������������� ��� � ������ ��� �� � ��������� ����������� �! ��� ������� ��� ����� �

!�$�� +C ���� �� �� #��� ����� � ��� �������$ ��� ���� �����2 ���������� #����4��� ���� �����2 ������� #����$

0� 2����� ) +� ��+ ������������ ��� �+� �� � ������� ����� �������� �� � ���8!����� �� ��� � . ��� �� ��� ��� �'���� ���� �! ����������� ��� ����������� �!��:����� +��� ��� ��� � ��� � �� !�� ��� ������������� �! ������ ��������� �! ��� ��8������� A��� ��� ������� �� ��� � �� � '� �� ����� ������� '� � ���� �#��� ��� �� ���'������� '� � ��'����� '� ��������� �� ��� ����� �� '� ��� ����� ���� ����������'� ��� ����������� D�+���� ��� � � �� � ������� ����� �! +��� � ��� ���� ����� �!���� �� ��� ����� �������� ��� �����-��6� <�! ���� � �� � ������ �#��� ��� S= ��� ����������� �������� �� ��� ����� �! � !�+ 6�������� � ���� ������� '� ���� �! ��� ��8��� +��� ������� !��� ����������-��6� ������� '� ����������� �! ���� ����6 ����'������� �

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Dept

h [m

]

Porosity

LAB (Laval) LAB (Osterberg)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Vp

Vs

velocity of propagation (m/s)

dept

h (m

)

porositysoilprofile

1PcSc

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Dept

h [m

]

Porosity

LAB (Laval) LAB (Osterberg)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Vp

Vs

velocity of propagation (m/s)

dept

h (m

)

porositysoilprofile

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Dept

h [m

]

Porosity

LAB (Laval) LAB (Osterberg)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Vp

Vs

velocity of propagation (m/s)

dept

h (m

)

porositysoilprofile

1PcSc

!�$�� 6/ ������ �� ���������� �� ���������� +�8�= ��� ���� ��� �� <��= ��� ����������� ������� � ��� ����� �� ��� ��#��$

)4

Page 90: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

0� 2����� 4 +� ��+ � ������� �� ��� �! ��� � ��� ������� <������� ��� ������� �!7���� ��� �� E%�F=�

0� ��� ������� +� ��� ��� ��� ���� !������ �! ��� ������ �! ������ +��� �� ������� ����������� �

�:;� ��4 ����

��� � ������ � !�+ ���������� ��������� �! ��� �� �������� �! +��� !���� �� ���������.��� ��� +��� �� �������� ��� ������� �� ��� ����������� �! � ����������� ������� ��!���? ��� #��� ����� # ? �� +���� ������������ 3��� ��� �� ��������� '�� ��� �������� 3��� ������ ��������� � 0! ��� ������ ��� ��� ���� +� ���� +��� ������ ���6 +��� �� +��������# ���� �

��� � � ��� ���� ��� �� ��������� �������� �! ��� !���� # � ����� '� ��� !����+����-������

D <�� �= K �� � ��� � ��� � � � � <%*>=

+���� � �� ��� � �! ��� ��� �� +��� �� ���� �� � ��� �! ��� ��� �� +��� �� ���� �� ������ �� ������ ��� ������� ���3�������� �! ��� 6������� ��� ������� ��-�������� ���� ���� ������ �! ��� ������ ������ �� ��� ��!��� ��� ��:�������'�� ��� ������ �!��������� ��� ��������� � ����������� �� ����� �#� � � ����� ���� �! ����������� �!��� ��!���� 0� ����� �� �� ��� � ��������� +� � � ��� ��������

�D � ��� ���� D M ���D

��K � <%*$=

. ��� �������� �! D � ���������� �� ��� ��!��� <D � ��� ���� ����� ��� ��!��� ���� ��������� ���� D ��� �� � ����� �� ���������� ���������= +� ��� ��3�� � ���� ������������ '� ��� ��������

� /K���� D

����� D � <%*)=

��� ����� �������� �! D ���� � -������� ������������ �� ����� � ������� �� �����8���� � 5������ ��� �������� <%*$= �� ���� +� �'���� !�� ��� ���� �! �����������

� /K��

��� � K

�!

��

����� D � <%*4=

0� � �� � �� �� ���� ��� �������� <%*>= ��� ��� ���� � ��� ��������� �� ��� ������8���� ��������� �! ��� �������� �! ��� ��!���� ��� ���� ���� 6�������� �! ��� ������ ������ '� �� ���'�� '� ��� � ��������� D�+���� ��� � ���������� �� ��� ������ �! +��� �

0! ��� ���� �! ����������� � � ����� ���� ��� �������� <%*4= � ��� ��������� ��:��8������ �-������ !�� ��� !������� D

�D

��M � ����� D � K � <%��=

A��� �� ����������� ������� ��������� !�� ��� �� ����� �! ��� !���� <���� D <�� � K �= ?�����= ��� �-������ !��� � ��������� 7����� ���'����

4�

Page 91: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

�:; -��%�$����� � ����� � �������� 0�4� �� F���M� ���� ������%� ������ ����

A� ������� �� ��� ��� �� �#����� �! ����� � �! +��6 �� ���������� <���� ���= +��� !��5���B ����� � +��� � ��� U ����� ��#����U ����� �� +���� '��� ��� �������� 9 ��� ��������� ��� ���H����� <� �= ��� � ���� �� '� ����� ��������� �� 5���B ����� ��� ����������� �� ������� � ������ �#��� ��� ���������� <!�� ��� �����+ �! �� ��� ��/ E�4F E$F=�

��� ���� ��� �! ��� ����� � � �� ��+ ���� ��:������ '��+��� ��� � �+� ����� ��� ����� -������������ ��� �� � ���������� '������ �� ����������� �� ��� ������# ���'��� � ��� ����������� �! ��!��� +��� +���� ���� �� ��������� ���� �� ����� �������� �� �����! ����� �������� �

��� � ������ ��� �� �! �-������ �! 5���B ����� <�4*= <�4�= +��� � ���� ����38������ �! ��� ��������� 2�� ��� 3��� 4��4� � �� � +� ���� ��� 3��� �-������

���4�

��M ��

�4�

��K �� ���� �� � M ��� ��� � M9 ���� �M *

�4� 4�

�� <%��=

���4�

��M ��

�4�

��K : �� ���� �M9 ���� �� � *

�4� 4�

��

+����

��

��K ������4��

��

��K ���4� � <%��=

�� K �� E� � <� �=F � �� K � <� �= �� � �� K �� �� �

� K�

&�M �

�� � K

�� ��

A� '���� ��� ����� � �! ��� � ��� '� ������� �� �����'�������� �� ��� ��� +���� ���� ��� ����������� �! ��� !���� # �! ��� +��6 �� ���������� +��� ���� �! � ������� ��!��� �� +����

��4���K ��

��4���K �� <%�%=

+���� EE FF ������ ��� (��� �! ��� -�������� @� ��� � ��!��� ��� ������������ ���'� �� ��������� ��� +� ���� ����� (��� ��� ��%������ � �������������

�� /K

���4�

��

��� �� /K

���4�

��

�� <%�*=

���� ��� !����+��� �������'����� ��������� �����

������4�

��K �

��� � ��

������4�

��K �

��� � �� <%��=

�#�� ���� ���� �� ������ ������� .������� �� �������� ����� �� ��� ���� ������ ��� � �/0 �������� �� ������ ����� ������� �� ��� �������� �� +�������� ,� �� ����� ���������� �� ��� ���1� �� �� ����� �� �� ����� �� ���� �� 2� #�������� ��� 3� ,� #����� 4567 82����� &9:� $� ��� ������ ����� ���� ��� �� ���� ������� ���������� �������� ��������� ����� �� ��������� �� ��������� ��� ������ ��� ��� �����

4�

Page 92: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

������ �

��K �

����

��

��� �� EE���� �FF K �

����

��

����

+���� � � ��� ���� �! ����������� �! ��� ��!��� # ��� � �� ���� ������ ������� ��������� ���� �! ���� � ��� ��������� �! ����������� �! ��� +����

5������ <%��= �� ���� +� �'���� �����������

������ �

��K

������ � �M �� ��

�� �� <%�>=

EE���� �FF K�

���� � ��

A� �������� ��� (��� �! 3��� �-������ <%��= �� ��� ��!��� #� 0� !����+ ������������ ���

�� ���� � �� <�M �� �=��� M

� ���

��9�� ���� K ��

� ���

��9�� ���� M

� ���

�� : �� �� ���� K � <%�$=

��� � ������� �� ���������� ���'���� A� �� ���� ��� � ��� <%��= � �%�"�����! ��� ���������� � ��� ���� ��� ��� ����� ������� �����������

������

��������� �������8

����� A� ����� ���� ��� � ������ ��� �� ��0� � ���������� �� ������� ��� ���� ��� �� ��� ������������ ���� �! ��� ���'���

<%�$=� ��� �����4���� ���� !����+ �! +� ��6� ��� ����� ������� �! ��� �-������ +���� ������ �� ������������� �� �� A� �'����

� ���

� ������ M ���

���� K ��

����� M ���

�� K ��

��� /K �� � ��� ��� /K �� � �� <%�)=

D���� +� ���� !�� ��� ���� �! ��� !����

�� K ��

�� �� ����� <%�4=

. �� 2 �� �� 2 � �� !����+ ��� E��� ��������� �� �%�"������� �! ��� �� <%��=

� � <� �= 2 � <%>�=

��� ��������� � �'���� �� !��3���� '���� � � � ��� ������ ���� ����� ���� �! ����������� <%�4= �� ���'� ��� ���� +���� 0� � �� � �� �� ���� ��

��� ���������� �� � +������ ��� ��"����� �! ������ ��� � K � ��� �������� ������ �� ������ ���� !������

� K �� K$��$ �� <%>�=

0� ��� �� � ��������� �� <%�)=� ��� ��������� �� ��� "��� ���� ���� ���� ��� ����

+��� � ������� ����� '� ��� 6�������A� ������� �� ��� ���$�������� ����� �� ��� ��� +� ��6� ��� ����� ������� �! ���

�������� <%�$= +��� ��� ������ �� 0� !����+ � ���

� ��� M ���

���� � �M

� ���

� 9��� � � K �� <%>�=

� ���

� 9��� � �M

� ���

� : ����� � � K ��

4�

Page 93: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� ��� �� ��� ��� �������� � � !����+

��<� � <� �== �� ��8�

� ���� ��8�

��� <� �= �� 9

��

��K �� <%>%=

+����

��8� /K�� M ���

��� ��8� /K : <%>*=

��� ���������� �! ��� ���'��� ���� ��� !���

�� K�

�� E� � <� �=F

��$%-�� <%>�=

+����

� /K ����8� M E� � <� �=F ���8� �9

��� <� �= � <%>>=

- /K �� *� E� � <� �=F

���8��

�8��

9�

���

0� ��� '� �� ��� ��+� ���� ����� ��� ��������� <%>�= - 2 � !�� ��� � � �� 9 � ��D�+���� �� ��3��� '� <%>�= � �� ����� ����� �! ��� ���������� ��������� �� 9 � ��� 3��

9 � ��%��8��8� �

$ �� : <�

� M ���= <%>$=

��� � ��� ����� ��������� �� �%�"��������0� ��� ���������� �� � � K �� 9 K � +� ���� � �-��� �� ������ �8� �� �8� +���� ����

���� ��� �� � ��������������� �����'�������� �+� ������� !�� �� ��3�� �+� ������������ ���� �! ����������� 1� ��� 1��

��� 1�8���� ������ ��� 5��� +��� �� ��� ���0 0�4 �� ��� ������ �! ����� �������� � �� � 6��+� � ��� ����� ����� ��� �� ������ �� ��� �+�8��������� � ��� �� ���'��'� �����'���� 3��� �-������ � 2�� �� ����� �� � 6��+� �� ��� ������ �! '����� ��#���� �!"��� �� +���� �� � ������� �� �� ���'� ��������� ��������� �! ��-��� ������ � �� �������'� �� �� �� �� �4%) E*�F� 2�� ����� �������� �� �� '��� �� ������� '� J�� 2���6�� ���4** E��F�

�:;� F���M� ���� 4�; � ���%� ������ ���� �� � ���%�� ������������ �������� 0�4�

��� �'��� ����� � ����� ����� ��� ����������� ��������� �! ��� +��� !���� #� A� ����� ����� �������� �'��� !�� �� ����� ��� ����������� �! ��� +��� � 2�� ��� ��� �� +�������� �� ������� ������������� +��� � . +� �� ��� ���� �! ����������� �'�������'��� !����+ �� ��� ����� �! !��-����� E ���

A� ��6 ������� �! �-������ <%��= +���� ���� ��� !��� �! ��� !����+��� ��������8����� +���

4� K Q�� � 4� K Q�� � � K @�� � � K ,�� � <%>)=

4%

Page 94: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

� /K �#� E/ <� � � E�=F �

+���� Q��Q� �@�� ,� ��� ��� ���� ��������� � � ��� +��� ������ E ���� !��-��������� ����� '� ����� ���� �� ��� !����+��� +��/ ��� +��� ���'�� /K

%� � � K

�� M / 0� � ������# ��� ��� ��������� �! ����������� � /K �$ ���� +���� ����� �#� </� � �= K �#� < 0� <� � �== �#� E/ <�� <� � �= E�=F ���� ������'����� �! ��� ��8��������� ��� �! ��� ������ ��� +����

��' �������� �! ��� �� ��� �� 3��� �-������ ����� ��� !����+��� �������'����� ���8������

� ��E

������ � �����M �� �

�M /*E�

�Q�M

M� ��E

��9�� � /*E��Q� K �� <%>4=

� ��E

��9�� � /*E��Q� M

� ��E

�� : �� �� �M /*E��Q� K �

. � ��� ��� ���'��� �! �#� ����� �! ��� +��� ������ �� ��� ���������� ���'���+��� ��� �����������

�Q��Q�

�� . '�!��� +� ���� ��� ���'��� ���� �+� ���� / �� ���

��������� �� ������������� �� � <���� ��� �� ���� = ��� �� ��� ��������� �! ��� +��������� � <������������ ���� =�

2�� ���� ��� �� ���� <������������� ���� +��� = +� ����� ��E

� ��� M /*E�� �� M

� ��E

� /*E�� �� K �� � K � � ��

� ��E

� /*E�� �� M

� ��E

� M /*E�� �� K �� <%$�=

� �� K Q� � ��� � �

� K Q� � ����� �� ��� ��� �������� ��� '� +������ �� ��� �� � �� ��� !����+��� !���

E

�� �� �� ���

� �E

�� �� ��

M

M/*

�< �� M �� M � ��=

�E

�� ��

K �� <%$�=

����

�E

��K

E��M / 9��

E� E� � <� �=F M / 9��

<� M �=���� ��� K

��

�� <%$�=

7�� �-������ ������� ��� ��� � ���� E$�� ��� ��� ����������� 0� �! ������������� ���� +��� � ��������� �� ��� �������� ���H����� 9�

0� ��� �+� ����� �! !��-������ +� ���� ���� ��� !����+��� �������

E � � / ���:��

� E

��

��K

��

�� M ��� ���

:��<0� = K ��

E �� / ���:��

� E

��

��K

�� �� �� ���

��� <%$%=

���:��

<0� = K*

�% ���

��

&�

� � <� �=

4*

Page 95: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� 3� � �� ��� ����6 +��� ��� �� ��� �! ��� ��� ���� ���8��������� ����� ���8����� � �� �� ��� �������� � ��� ���� �� ��� ����� ��� � ��������� +��� ��� �! !������<%�4=� D���� ��� ����������� �! ��� !���� �! ���� +��� � ��������� +��� ��� ������������! ������������� +��� �! ��3���� !��-������ ��� � ������ ���� ��� ����������� �� ��� ����� � 3�����

A� ����� ����� !������ ��������� �! ��� � ������������� +��� �� � ����������#������

2�� ������������ ���� +� �'���� ��� �� ��� ��� ��������� ��E

� ��� M ���

�� M /*E

� � ��E

� : �� � M /*E

� ��E

� 9� /*E��K �� <%$*=

�� �!��� �� � ������������

E

�E� � <� �=F

�E

�� ��8�

���E

�� ��8�

M

M�

�/*

��

�E

���<� M �=

�E

�� ���8� ��8� �

9

��

<%$�=

��E

�� <� �=

�E

�� 9

��

�K �

��� � ����6 ����� �+� ����� �! !��-������ / E � � ��� E ���0� ��� 3� � �� � +� �'����

E � � / �� /K���:��

� E

��

��

���

�<� M �= ��� ���8� ��8� M �

9

��

K �� ���

:��<0� = K � <%$>=

@'���� �� +� �'���� �+� ���� ������� �! ��� �-������

���:��

� E

��

��####�

/ K �� 8� K��8� M ���8� M �

;

��

� M ��

�� M ��� M �� :M �;

��

�� M ��� <%$$=

���:��

� E

��

��####�

/ K �� 8� K �

��� � ��� -���� �! ���� �! ����������� �! �+� ������������ ���� �� ��� ����� �! ����!��-������ 7������ ��� ����� ���� 1�8+��� ��� ��� ��������� �� ��� ������ 5�������� ��� ����������� �! ������ ���� ��� �� ��� <%$$= ����6 +��� ��� �������� !�� ��� ���� �! ������������ +��� � �� �� ��� ��� ���� ���8��������� ����� �! ��� �������� �������� 9 K ��

0� ��� ����� �� � +� ����

E �� / �� /K ���:��

� E

��

��

4�

Page 96: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��E� � <� �=F ��� ��8�

������ ��8�

��� <� �= ���

9

��

�K � <%$)=

��� �������� +��� ��� �������� <%>%=� 7�� �-������ ��� ����� E � � ���� ������ ������������ �! ��� !���� �! ���� ��� ������������ +��� �� ��� � ����

����������� �� +� �'���� ��� !����+��� ����������� �� ��� ����� �! ��3���� !��-������

���:��

<0� = K*V�� �� �V�

� <%$4=

V� K ��

�� M � �

���

��8� M ���8� M �

9

��

���

V� K ��8�

� ��8�

���

�M ��8�

� � <� �= ��8�

���

�M �

9

��

� � 9

� �� ���

D���� '��� ����� �! ����������� !�� ��� 1�8+��� ��� 1�8+��� ��� 3�����A� ������� �� ��� ��� �������� �! � ��������� �� ��� �� ��� +���� ����� �! !��-������

E � E���=� A� � � ��� !����+��� ��������� ����

�8� K ���� �%� �8� K ����

�%� �� K ����

�%�

�� K ���� �

�� � � K ��� * K ��� �

��%� <%)�=

9 K �) >C�� &� K �*� � K �$�

����� �8�� �8�� �� ��� �� ��� ��� �� <���

��� K *�>$ �

�� !�� ��� ���� ��� &� K �*=��� ��� !������� � K �� $

�� �� � ����� ������� !�� ���� �������� �������� ����� �

���3���� ��� ��� �! � !�+ ���� ����� ��� �������� '� +����� 0� ���� ������� !�� ����������� ��� ������'����� * ����� ���� �� ���� �� 9����� ��� �������� ���H����� 9�� '��� � ������� '� ���� �! ��� � ���� �������� < ��/ ������� 4=� ��� ������ ������H����� � K �$� !����+ !��� 5������� !������ <%��=��

!�$�� �:C ����� �� ���������� ��� ���������� �� ������� ��� ��#���� ��� �#������� �� ��� ��������� ���-���� � / �$� +/��,� ��� +� ��� �����,�

���� ��� �� +��� �� ���'�� '� ��� �������� <%$�= ��� ������������� '� ��� !����+����� ���'����� �! ���� ��� ����������� �� !������� �! !��-����� <2��� ��=� ��� ���� ����

4>

Page 97: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

����� ���� �� ��� ������� �! 5���B ����� ��� ��� �� ��� ���� �� ��� ������� �! ��� ����� ��#���� ������

0� � ����� ���� ��� -���������� '������� �! ��� ���� �! ����������� � ��� ��� ��'��� ����� � 0� � � !�+ ������� ������ �� 5���B ����� ���� ��� �� ��� ����� ��#��������� �� ��� ����� �! ���� !��-������ � . ����� -����������� ��:������ '��+��� ��� ������ ������ !�� ��� ������������ 0� ��� ����� �! ������ !��-������ �� � ���� �������� 5���B ����� ���� ������ ��� ������ � ��� �� ������� �! ���� +��� �

!�$�� ��C 7��������� �� ��� ����� �� ����� #���� � ������� �� ��� ������������-���� �

��� ������ �������� � ���� ������ �� 2��� �� +���� +� ���� ��� ����������� �! ���!���� �! ���� +��� ���� ���

:��0� � � !������� �! ��� ������ ��� ���H����� � ���

'������� �! ����������� �������� ���� ������� �! +��� ������� '� ��� ������ ��� +����� ��������� �� ��� ����� ����� ����� �� ��� �������� �������� �! ��������� � ���������� �� ��������� �! +��� �� ��� ����� ��������� 0� � ������ ������� �� ��� ������ ��! ��� ����� ����� ��:� ��� �������� �� ������� �� +��� ��� ��:������ �! ��������� �� �������� ����� ����� ��� �� ��� ��������� �! ������� ��� ������ ���������� 2���������� ��� ������� ����� �� ��� ��������� ��� ��� �� �������� ��������� !��� ���� ������� <���6�! ����������S=�

��� �� � ���� ��������� �! ����������� ��� ����� �� 2����� �� �������� ���� ����"����� �! ������ ��� �� � '� ������ �� ��� ����� ���+���� �� �� ��� �� '��� 6��+�������� �� 5��� +�� ��������� �� ��� ���������� �! ��� ��:� ��� ���H����� �� ���!��-������ ��� +���� '� ������� �� ���������� �! ��� �� ��� �:��� �� ������ �� ��"������! ��� ����� �������� �� ������� � ��� �:��� � ��� ��� ���� �� ��� �� � +��� ��� "����� ���� � ���� ���� ���� ���������� ��� ���������� ����� ����� ������ �� ��� ��� ������� '��� ��� (� ��3�� ��� !������ '� !����� �������� �! ���������

A� ������� �� ������������ +��� � ��� ���� ���� �� ��� !����+��� 2����� ����� ��������� �� 5���B ����� ��� �� ��� ���� �� ��� ����� ��#���� ������ 0� ����� �� ��+ ��������� ��� ��"����� �! ������ ��� � ��� �! ��� �������� 9 +� ���� � +��� ��� ������� +��� � K � <�� ��� ������ ���� = ��� ��� ������� +��� 9 K � <�� ��� ���'�� ���������� =�

,��� ������ ������ ����� ��� -����������� ��:������ ��� ���� ���� �' ������� !��1�8+��� <2��� ��=� ��� � ��������� �� ��"����� �! ��� �������� ������� ������� ��� � �� ���'�� '� ��� ��������� 9� ��� ����� ��#���� ����� <9 K �� � K �= � +��� � 5���B

4$

Page 98: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

����� +��� 9 K � ����� ���� �! ��� � +��� ��:����� ���� � !�+ ������� <��+�� ����� �� ��� ��!� �������=� ��� �������� 9 ��!� ��� ����� �� ������ ����� ��� ������ �����:������ ��� �� '� ��� ������ ���� ��� �� ��� ��� ��� ��� �� '� ���� ����� ��� '���� ���� ���� ��:������ '��+��� ��+ !��-����� ��� ���� !��-����� ���� +��� ��� ���� �� ��� �� '� ������ � '�� � ��������� '� ��� ����� ��#���� ������ ��� ��� '� ������������ ���� � ���� �������� ���� ���� ��� '�� ����� �! ��� �������� ���������9 +��� �� ���� �� ��� � ������ ��������� �� ���� �������� �������� �

5��� ��� ������ ��� � ��� ��� �������� 9 ������ ��� ����������� -���� ��� �����'��� ��������� �� ��� ����� 2������

!�$�� � C ����� �� ���������� ��� ���������� �� ������� ��� �3�#���� ��������� ������� ���� ����� 9 ��� ��������� ���-����� ��

0� ���� �! ��� ����� �� ��� ���������� ��� ������ ��� � ��� ��� ��"����� ��� �#� 8����� �! ��� ��+ <1�8= +��� <2��� �%=� ����� �! ��� +��� ��� ����� -������������ �������� 5���B ����� ��� �� ��� ����� ��#���� ������ ��� ��#���� ��:������ ������ �� �������� �! ���� !��-������ ��� ����� ��� %� �������� ��� ��� ������� ��� ��������������� ������ -����������� ��:������ ��� ��� � '�� <���� ) �������=�

!�$�� ��C ����� �� ���������� ��� ���������� �� ������� ��� �5�#���� ��������� ������� ���� ����� 9 ��� ��������� ���-����� ��

��� �'��� �#����� ����� ��� !����+��� ������ ��� ��� A� ���� ����� ������ �� ��� �#����� �! ���� ��� +��� ���� ������ ��� � ���

��� �������� ��������� 9 ���� � -����������� '�� ��� -���������� ��"����� �� �� ��� �

4)

Page 99: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

7������ �� �! �� ��� !�� 5���B ����� +��� ��� � !�� ��� ����� ��#���� ����� �� +������� ������ ��� � K � ��� ��� �������� ��������� 9 K � ��+ ���� '��� ����� ��������'���� �������� ��� ��������� 9 ��� 3� � ��������� '������� ��� ��������� !����'���� 0� ���������� '��� ����� ������� ��� �#� ����� �! ��� 1�8+���� ����� �������������� �! ������������� 1�8 1�8 ��� �8+��� ��� -������������ ��� ��� '�� �������� -����������� �� ��������� �

�� ������ ��� ���������� �� ��� ����� ������� ��� �������� ������������ ����� �� �8������ ����� ��� �� ��� ����3������ �! ��� �������� ������� I����� �! +� � ��� ���������'����� ���H����� * K � ��� �� ������� �� � �������� ����� � +������ ����#������! ���� ��� ���� �� � ��� � ��� �� ��� !��� ���� ������ ��� �� ������ � �� ���� ��� � ��� ���������� � � 3��� �� ���'�� '� �� �+� 3��� �-������� ��� � �� �#��������� �! ������� ���#������ '������� �! ����������� �! ������������� +��� � 0� ������� �! 3���� ��+� �� ��� ������� ��6� ����� ���� ��� ��� ���� �! ������ ��� � �K � ����� � ����������������� ������ ���� '����� � �� +���� '� �� ��� �� � �! � �� ������� 3���� ��� ��� '� �#������� '� ��� !��� ���� ������ ��� ������ ��� �������� �������� 4� 4� ������ �-������ �� ������ ��� ������'����� �� �� ������� *

�4� 4�

���4� 4�

��

%� A� ���� ����� ������ ���� � ������ �������� ����� �! ��� ��������� 9 ���� ���'� ��� ��� ���� � ���� �������� !�� �������� �������� ���� �� �� ����� ���'�� ��8������� �! ���� �! ����������� ��� ��������� �! ������������ 0� �������� ��� �����! ����������� �! ������������� 1�8+��� '����� ���� "�� � � !������� �! !��-��������� ���������� �' �������� �� ��� �������� ��� ���������� ��� �������� ���� ��� � ���� �������� ������� ��� '�� ����� �! ��� ����������

�:;, ������������ �� ��� �� 0�4�

��� '��6 +��� ��� ����� �'��� ��� ��� '� � !�� ��� ������ �! ��!��� +��� � ��� �+��� ��� ������� ��� �� ��� ����������� �! '��6 +��� +��� ��� '�������� ��� ������������������ ���'��� +���� ����� ��� +��� � ��� �+�8����� ����� ���!8 ���� ���'��� �!��� ��� ���� ��� ������� 0� � 6��+� <���� E*$F= ���� �� ��� �� � �! ��� '������� '��+����� ��� ��� �������� ��� ������ ����� �#� � � ����� ��!��� +��� ? �������� +��� +�� � ���� � � '�� ��+�� ���� ��� ���� �! ���� ��� �� < ����= +���� 0� ��� �� � �! �� ��� �������� �� ��� ��� ��� ���!8 ���� ����� ��� �#� � ������� ��!��� +��� ? ���� +���� @���� ����� ���� �! ��� ��� ��� ���!8 ���� � �� ������� +��� �� ����� "��� ����� �#� � � �8������ �������� +���� . �������� �����+ �! ��� ������ ��� '� !���� �� ��� '��6 E%�F�

��� !���������� ���'��� �! ��� ������ �! ��!��� +��� � ��� !��� �! '���������������� � . � ��� �� ������� �! �������������� � ��� +��� ��:� ��� ��� ���'��� �!!���������� �! '������� ��������� � ��������� +��� ���� ���������� ��� ���� ���'��� ������� ��������� !��� ��� !��� ���� � �������� ������ �! ��������� ���� �� ��� ���8����� �! '������� ����� � 2�� � �������� ����� � �� �+�8��������� ����� ��� �#���� �+� ��������� ��������� �� ��� '������� ���� 0! ��� '������� � ��������'�� +� ���������� ������ 6���������� ���������

�� <K� �= �� <K� �=##���

K �� �K� <K� �=###���

K �� <%)�=

�� ��#�� ��������� �-� M-�

��##���

K %�#�� �K� <K� �=###���

K � <%)�=

44

Page 100: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� ��� ���� �������������� � �'���� � 0� ��� 3� � �� � +� ��-���� ���� ��� '����8��� +���� � ������3�� +��� ��� '������� �! ��� 6������ ��� ��� ���� <��� ����������������= ��� ���� ��� �������� �! ��� "��� ��������� � ��������� +��� ��� �������� �!��� 6������ <���6 �! ������'�����=� 0� ��� ����� �� � ��� ����� ��������� � ������������ ��� 3� � ��� !����+ !��� ��� ������� �������'����� ��������� � ��� ����� ���� ����! <%)�=� ������� ������ �� �#������ ��� ����� '������� ������� %�#� <�� �� ����������!���= �� � ����� ��� ������ �! ��� ����� '��� <���������� �! ��� ������ !����+��� !������������ �������'����� ��������� =�

0� ��� ,������� �� �������� ��� ��������� <%)�= ���� ��� !������ M��

��##���

K ��#�� 4� 4�##���

K � <%)%=

��� �������� � ��:����� �� ��� �� � �! ������'�� '�������� 0� +� ����� ������ '���� �������� �� � ����6���#�������� ���� ��� �#������ ������� ������ '� �� ���'��������� ��������� � ���� �� � ������'�� '������� ��� +� ��� ����� ��-���� ��� ���8������ �! ��� !��� <%)�=� �� ����� 7�� �-������ +� ���� �� ���������� ��������� ����������� ��� �� � �! �+�8��������� � ��� �

.�������� �� ��� ��������� ��������� +��� ��� ����6���#�������� �� � � �������� ��� "�+ �! ��� "��� ��������� ������� ��� ������'�� '������� � ������������ ����� ���� ��� ��� ��:������ �� '��� ��� �! � '������� �� �����!��� '��+��� �+� ��:���������� �������� � .�������� �� ��� �� �������'����� ��������� +� ����

� �K� ��###�

K � �K� ��###�

<%)*=

2�� ��� ��� �� +� �� ��� � � ��� �������� !�� ��� '������� ����� �! ��� �� "�+�.�������� �� ��� �'��� �� ���'�� � ������� +� ����

� �K� �� K��

��-�

&

��� !� <%)�=

0� ��� �������� ��� ������� ��1���-� �!� � �

�1��� ��-�!�� � ��������� +��� ���

������� ��� ��� �� ,������� �� ��������� ��� ���H����� �� ������ ��� ������� ��� �� ������-���� ������� �� ��� ���������� ����� �! ��� '������� �� �����!���� 0� �#� ����� � ��������� +��� ��� !��� ���� ��� "�+ �! ��� "��� ��������� !��� ��� �������� ��� �!��� ��!��� �� �� �� ����� ��� �� � �������� �' ����� ��������� +���� ��� ������ �!����������� ��������� �! ��� �����'����� ������ 0� ��� ����� ��� � ��"����� ���������'� ��:����� ���� ���� �� '��� ��� �! ��� ��!���� 0� � ��� ���'�� �� � ��� ���� ���� ������ �! "�+ ��������� ����� ��� �#� ����� �! � '������� ����� +���� � �������� '�� (��� ��������� <%)�= +��� � ���������������� ���H����� ���

0� � �� ��� �� ���������� ��� �������� �! ��������� <%)�= �� ��� ,������� �� ��������

���4� 4�

�� � K�

��� &�

&����

�� � /K

%��&��� ������

�� �

� � <%)>=

+���� � � ��� ���� ������ ������ �! ��� ��!��� �� �� ������� ���3���������0! ��� ��!��� � �� �#������ '������� +� ���� &� K � ��� ��� � �� �#������ ��� ���

+���� �� � '� ����� �� ��� ��!��� �� �������� �� ��� �#������ ������� ��������� �� <%)%=���� �'��� ��������� !�� ������'�� '������� �� '��� ���������� '� 9��� ��+��� ��

�4>� E�$F �� ��� ����� � �! ��!��� +��� �

���

Page 101: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� � ������� �� �� ��� ���� ��� ��� �! '������� ��������� ��� '� ������������ �������������� ����� '� �� �� ������� �������� �-������ �� ������ � �� ���������� !����+��� !��� ��� ����������� �! 9����B ��+ �� �� '������ �-������ ������&���� �! ��� ������ ���� ������� �� ��������� ����'���� ��������8��:� ��� �-������ ���8����� �� ��� ������������ ���������� �� ����� �������� ���� ��� !��-������ ��� �������� '� ��� ������� �! ����� �������� ��� �� ��� � ����� ��-���� ������ ����3���� '���������������� ��6� � ���������� �! ��� ���� ��� ����

��� '������� ��������� <%)>= �� '��� �� ��� �� ��� ���� ���'��� �! ��� ���������� +��� � �� ����� � �! �������� '��+��� ��:� ��� ��� �� �������� 0� �� '��� !������� ���� �� ����6 ���� +��� +��� �#��������� � .������ ��� �! ���'��� �� +���� ��� ��������� ���� �� ��������� ���� ��� ��!��� +��� �

7�������� ��� ��������� <%)>= ��������� ���� ��� ��������� �! ��� ������ <�� ������������ �! ��� ������ �= +���� +� ���� �� ��� ���'� �� ��� '�������� A� ���� �� ���� ��������� �� ��� ���������� ��������� �! ��� �������� ��������� 0� ��� �� � �! �� ��� "��� ��� ���'��� � ������ �� ���� +���� +� �� �� �� �'��� ��� +� ���� �� ������� !����� '������� ������ A� ��� ���� �� ��� � ���� ����� ����� "��� ��� �� ��� �� � +� ����+��� � ���6��� ���������

�4�� 4�� � ��

��4� 4� � ��

�K�� <%)$=

!�� ��� �����!���� 0� ������ �� ��� ����� ��������� �� ��� �#������ '��������7�������� <%)>= <%)$= �������� +��� ��� ��������� <%)%=� ��� <%)*= !��� ��� !���

�� �! '������� ��������� !�� ��� �+�8��������� ����� �������� 3���� +��� �� �����"����

��� � ������� ���� ��� ���������� ���� ��� '������ �-������ ��� ��� ��-���� '����8��� ��������� ��� �� ����� �:��� ������ �� ��� � �! � ��� ��������� �-������ !�� ��������<����� ���������= �����'�� �

�:;# /�� �� 0�4� �� � ��������C %����� "���R4�����& %�����"���R��2���J ����%����� %��%���� � � ���%����� ���3����

�:;#;� -����������

A� ���� ��� �� ��' ������ ���% ���� ��� �+�8��������� ����� �! ����� �������� ��� ������ �� ��� � ���� ����� ����� ���� �! ����������� �! '��6 +��� � 0� ���� ����+� �� � �#���� �� ���� �! � ����� �������� ��!��� +��� �! � ��� ���� ����� ������������ ��� ��������� � ������ ���'�� �! ��!��� ���� �! ������������ A� ��+ ���� ��� � ��� �� ��

��� � 3� � '���"� ������ ��� ��� �������� �! ��� ���� �������� +��� �� ������ ��� ���8���� ��� � !����+ !��� ��� ������ ����� �! ������������ ��� ���� ��� �� +��� +���� ��� ������� �! �+� +��� �-������

���'

���K ��'&�'� ��' /K

�M ��

� ����' K �� <%))=

����

���K ���&�� � ��� /K

� ����� K ��

���

Page 102: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

+���� �� � ��� ���[� ��� ������ ��� ���� ������ ��� �� ��� ��� ��� ��� �� ���������� K �' M �� � 0! +� ��� ���� ��+ ��� '������� ����� ���'��� !�� ��� ���!8 ���� F 2 �+��� ��� !��� '������� F K � ���� +� ��� �� ��� ��+ ���� ����� �#� � ������� �! ���!����+��� ������� !���

� K�G' �#�

��'F

�M G� �#�

���F

�� �� < <� 3��== #M <%)4=

M

G'

�'

�#�

��'F

�M G�

���#�

���F

���� < <� 3��== <� 3� 5 3� �

+���� #� < ��� ���� '� � ������ �� ��������� �! � ��� F �#� �� ��������� G'� G� ���

���� ��������� ��� �'� �� � +��� ��

�K � <�= � �

�K � <�= ��� ���� ��� ���� !����+���

!��� ��� �� ��� ��� ��������

�'

��K � ���

��'�

��

��K � ���

����

� ���

���

��K *

'� ���

��'

�'� ���

���

�� <%4�=

+���� ��� �� ���� � �� ��� �! ����'����� �! �-������ <%))= ��� �! ��� ����������� �!'������� ��������� �� ���������� 0� � ������� ��� ���� ��� +��� �� ���'�� '� <%)4=��������� +��� ���� �� ��� �� ��������� ���� !� � +��� ��� ����� F� ��� � ��� ��� ��!�� ������� �� � ������� #���� @'���� �� ��� �� ��������� � K G##MG<< �� ���'� ����� �

G�#�G'(���< M G�(��� <

�� MG�<�

G' ��

�(���< M G� �

��(��� <

�� K � <%4�=

��� � ��� ����� ���(������� �! �������� �������� �0� � ��������� ���� ��!��� +��� �� ��� ��������� ����� ��� '�������� . �����

����������� �������� ��+ ���� ���� ����� �� ��� ��� �� ��� �� � �! ��� ����� ����� � ���� ��+�� ���� ��� �! '��6 +��� � I����� '��6 +��� ��� �������� ��� ��� �-����������� ��������� ����� � �

� � '���� ��� �� ����� !��� ��� ����� +���� ��!��� +��� ���

����������� ��� !�� ��� ��� �� ����� ��������� ����� � ��� ��� ��6� ��!��� +���

���� ���������� �� ��������� ����������� �

�:;#; 9�4����$ 2�������

A� ������� �� �� ���'� ��!��� +��� �� ������� ��� �������� �������� +��� � "���� ����������� ����� � '��� ����������� � +��� � ��������� ��� '� !���� �� ������'����� �! 5�.�'�� ��� P� A����� 6� �� ��� '��6 E%�F� A� ��� ��� ���� ���� � '���! ������ �! ��� ������# ���'����

. ��������� �'��� ��� ������ �! ��!��� +��� �� �+�8��������� � ��� ��:�� -������������ !��� ��� � ������ !�� ���8��������� ��������� ���� +��� ��� �������� �������� ����� '� � ���'������� �! '��6 +��� � 0� ��� �� � �! � ���8��������� �������������� ��� �+� '��6 ���� �! ����������� +���� ����� � ����� �������� +���� 2�� �+�8��������� � ��� +� ���� ����� '��6 ���� / 1�8+��� 1�8+��� ��� �8+��� +����������� �+� ��!��� ���� �� ��� �� � �! ��������'�� '�������� 2�� ��� ������'��

���

Page 103: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

'������� ���� !�� ��� �� � �! �� ���������� � ��� ? � "��� �� ��� �#������ ����� ����#� � ����� ��!��� ���� ���� 0� �������� � ��� ��� � +��� ��� �� ������� ��� �������� �#� � ���������� �8������ ���6� ���� �

0� ��� ��' ������ +� ��� ���� ��!��� +��� �� �+�8��������� ���������� �����8�� ��� �������� +��� �� ��������'�� '�������� D�+���� +� �������� � +��� ��� ����8����� ������� �� ��� ������'�� '������� ���������� ��� ��������� �� '��� ����� �� ���4>� '� 9��� ��+��� E�$F� ��� ����� � � '� �� �� ��� ����� ��#���� ������ A� �������� ��������� ����� �� ���� ��� ��+ !��-����� ����� � . ���� ���� �#��� ��� ������� �!5� .�'�� �� ��� '��6 E%�F ������� �� � � ��������� ����� � �! ��� ���'��� �� ��� !���!��-����� ������ A� ����� �������� ���� ��� ���'��� �! �#� ����� +���� � �� ��� � � ����������� � �� ��� �� � �! ����� ��������� �������� �

�� ��� ��� �! ��� ������� +� -���� � !�+ �� ��� �'������ +����� 5���B ������ . ��� ����� � ���� ���� ����������� ���� ��� ����� ��#���� ����� �� ��� ��� ����������� �� ��� ������ �� � �

�:;#;� ���%���"����� ���������� ��� ���%����� �������

. �� �� �� �� E>$F +� ��6 � ������� �! ��� �� �! 3��� �-������ +���� +� �'����!��� 5���B �-������ '� ��� �' �������� 9 K �� � K �� 0� � ���������� �� ��������� ����� ��������� ������ �� !�� ��� 6������ ��� !������� ��� �� ��������� ������ �� !�� ���"���� ��� ������ � ���������� ����� !�� ��� ��������� ������� �! ��� ��������� ��� ����� ��� ���� ��� ��� ���� '������� ����

�� K ����+� M ������ 4� K���

��� � K ��������� <%4�=

�� K ����+� M ����� � 4� K���

���

+���� +����� +� ��� ��� �+� ���� �! ��������� �������� �� ��� � +���� +� +��� � ����� ��� ��� ���� ��� ������ ������

A� ���� � ��� �#� +��� ��� ��+�+��� ����������� �! ��� H8�#� ��� ��� �8�#� �� ������������ �! ����������� �! ��� +���� . ��� ���'��� � � ���� �� '� �+�8����� �����+� ��6� ��� !����+��� �� ��� !�� �������

+� K �� <H= �#� E/ <� E�=F � +� K �� <H= �#� E/ <� E�=F � <%4%=

8�< K -� <H= �#� E/ <� E�=F � 8�

< K -� <H= �#� E/ <� E�=F �

8�# K 8�

3 K 8�# K 8�

3 K ��

���

� �� K ��� <H= �#� E/ <� E�=F � � �� K ��

� <H= �#� E/ <� E�=F � <%4*=

& &� K �� �#� E/ <� E�=F

��' �������� �� 3��� �-������ ���� �!��� �������!��+��� ����������� �� ��� !����+����������'����� ��������� !�� H � �

-� K/*

�� E M /*-�� �� K &�EB

/M EB

��

�H� �

���� ��

�� <%4�=

��� K ��

��

�H� �

���� ��

� K ����

�H� �

��� �

��%

Page 104: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

� +��� � �:

��

�H� �

�M E�

��� M

�&� EB

�� </M EB=

��

�H� �

�M

/*

��E

� ��� ��

�K �� <%4>=

��� M ���

��

��

�H� �

�M E�

���

�&� EB

�� </M EB =

��

�H� �

�M

/*

��E

� ��� ��

�K ��<%4$=

���

��

��

�H� �

�M E�

�-� M

/* �� �� <

�� E M /*=

E�-� K � <%4)=

0� � ���������� �� ��������� � ����� ����� ��������� 0� ����� �� �� � +� ��3����� !����+��� ��#������ -��������

�% K���8�

5 �� �! K�8��8�

� *� K*B

��2 �� � K

&�

�� ��8�

2 �� <%44=

� K �� ��

5 �� H� KH

�8�B� � K �8�B� E� K EB

+���� ��� ��������� �8�� �8�� �� ��� ��3��� '� <%>�= <%>*= ��� �� ��� ����� ��#��������� ���� �� ���'� ��� ��������� �! !���� �! '��6 �8+��� ��� 1�8 1�8+��� �� ������������� � ��� �! ���� � ��������� +��� ��� ����� �! '��6 ��� � ��������� !�� E ��� . +�������� ����� � �! ����#����� �! ���� ��� ��� ��!������ ���� B ��� '� ��� �� ��'���������

. +� ���� ������� ��������� +� ������� !������ ��� ��"����� �! ��� ����-����'���������� �! ���� ��� ���� K �� 0� ��� �������'����� �������� ������� �� ��� ��' ������+� ���� 6��� �� �� ��� �������� �� ����� �� ��+ ��� +�� �� +���� ��� ��"����� ����� �������� �! ��� ��������

2������ +� ���� ��� ����� !�� ������������� ��� �� � ��' �������� �! <%44= �� �-��8���� <%4>=<%4)= ����� ���!

��

�H� �

�M E�

��� M

� E

� </M E=

��

�H� �

�M /

*

�E

� ��� ��

�K �� <*��=

���

�H� �

�M E�

���

� E

/M E

��

�H� �

�M /*E

� ��� ��

�K ��

���%

��

�H� �

�M E� M

/*E

E M /9

�-� K �

��� ��:�������� ���������� ���'��� ��� '� �� ��� ����� '���� � ��� �����# �! ���!83����� !�� ���������� �������� � ����������� �! H� ��� � ��:����� !��� ��� �� � �!+��� �� ������������ �������� < ��/ E%�F=� 7�� �-������ +� ��6 ������� �� ��� !���

�� K ��!(��3 M��!(

��3� �� K ��%(��3 M��%(

��3� -� K -%(43� <*��=

+���� ��� �� ��� ��� �� ��������� �! ��� H8�#� ��� �#������ ��� ��� = �� � �� � �������� ���� ���� � ��� � ��� �#� ����� ��-�������� !�� ��!��� +��� � ��' �������� ��<*��= ����� ���� �� ��� !���

=

��K � �

��%

� M

/*

E M /9

��E

��� <*��=

��*

Page 105: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

������! M

��! M

� E

/M E

� ���

�� ���M

�� M

� M

�/*

E

��E

��

M

�� M ��! M

� M

� E

/M EM

��! M

�/*

E

� ���

�� ���E

��K � <*�%=

����������� �� +� �'���� ��� !����+��� �������� !�� �����������

D� K�-%� �

�%� �

�!

��� D� K

�-%� �

�%� �

�!

��� <*�*=

+����

��! K %!��%� ��% K %%�

�! � <*��=

%! /K�

�:

��:

�����

�� ��M �9

::�

��

���! M

�:

��:

� �����

�� ��M�:�

��M �9

::�

��

� <*�>=

%% /K

�:

��:

�����

�� ��M �9

::�

��

�� M �:

��:

� �����

�� ��M�:�

��M �9

::�

��

<*�$=

��� �'��� ������� !�� ��� �#������ ���� ����� ����� ��6��+� ��� ���� -%� ��! � �

�%

+���� �� � '� ����3�� !��� '������� ��������� � ��� � ��� �'(��� �! ��� ��#� ��'8 �������

2�� ��������� ��� �� +� ����� ��� ��������� ����� �� ��� ����� ���'��� �� ��� ������! ���� ��� ��+ !��-������ �

0� ��� �� � �! �$ �2���� �%%���������� +� ����������� �'���� !��� �������� <*��= ��� <*�%=

E� � /

=

��K � �

��%

�E

���

���

��K �

�E

������

��K � �

��!

�E

���

<*�)=

���

%! K %% K � D� K�-%� �

�%� ���

� D� K�-%� �� �

�!

�� <*�4=

2�� ��� �� � �! ��0 �2���� �%%���������� ��� �-������ <*�%= '����� ��������0� ��� '� +������ �� ��� !����+��� !���

E � � / ��!E�

���

�� ���M E

�E M /*

� M

���E

��M

M

�E�� M ��!

�M /*

��! M

��E

���

�� ���E

��K � <*��=

���

Page 106: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

&�6��� ��� !����+��� �' ��������

I /K E

���

�� ��M E

�E

�� � M ��!���!

� <*��=

+� �'���� � -�������� �-������ !�� I

��!I� M /*

��! M

��E

��I <*��=

/*

����! M

� �� M ��!

���!� M

���E

���

E M��E��K ��

+���� !�� ���� E ��� '� ����� '� ��� ������� ������'����� ������

I K I� M EI� M��E�� <*�%=

.!��� �� � ����������� +� �'����

I K

())*

))+

���=�

�=��

��=����

� �:�

��E�

���=�

�=��

��=����

� �:�

��E /*

=����

=��

�:�

�� <*�*=

5������ ��� �������� <*��= �� ���� +� ������ �� ��� !����+��� �� ��� !�� ��� �#������

E � � /

=

��K � � M �

��%

�E

���

���

��K � � M �

���! M �

�E

���

���

��K �

���! M �

��!����! M �

��E

�� /*

E

���! M �

���!

�E

���

<*��=

��� !�� ��� ���H����� �! ���������

%! K �E�

/*

� ��!� M ���!

� %% K ���!

� E�

/*

� ��!� M ���!

<*�>=

@'���� �� ��� �� ��� ������� ��������� �! ��� �-������ <*��= ��� �� � ������'�����

����'����� ������� !�� E � ��

��>

Page 107: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

�:;#;, F������� 4��� %��"��� �� ��� �� 0�4�

0� ����� �� ��������� ��!��� +��� �� �������� ������� ��� ������ +� ���� ��������� !�� H K �� A� �� �� �� ��� ������ ��� ���'��� �� +���� ��� '������� � ��%��3�"� ��� � ������� ��� ������ � �� ������� +��� 4������ .�������� �� ��' ���������* '������� ��������� ���� ���� ��� !���

����3�� � � ���

##3��

K ��

�G���H

M�G����

�####3��

K �� <*�$=

����3�� � <� ��� �� =

##3��

K

K ��8� ��

�G����

M�G���H

� ���� ��

�G���� ��8�

� � ��

�####3��

K �� <*�)=

��

�G�� G��

�####3��

K �� <*�4=

+���� ���� ����� ���� �

��� ��� ��������� �! ��� ��� �� ��� ��� 3� � �+� ��������� ����

���� ��� ��!��� H K � � ��� 8!��� <!��83��� �����#�������= ��� ��� �� � ��������� ���� ���� ����� � �� ���� ���� �! "��� �� ������� ��� ��!��� <��������'�� '�������=�G�� � G

�� ������ ��� ��������� �! ��� �� ��������� �

� �� ��� ��������� �! �8�#� ��� H8�#� �� ��������� +���� G�� � ��� H8��������� �! ��� �� ��������� �

� �0� ��� �� � �! � ������'�� '������� ������� ��� ��������� <*�$= ��� ��� ���������

<*�4= +���� �������� 3� � ��������� +���� ���� �� �� � ��� �����8���� ��� ��"������ ��� �#������

��� ��� ��#� ��������� �� ��� "��� ��� ��� �! ��� ����� ��������� ��� ������ +���������� � +��� �� ��� �� � �! ��������'�� '������� +��� +� ��� ��� ���� ��� ��������� ����

7�������� <*�4= +���� ��"��� ��� !��� ���� ��� ��������'�� '������� � �������!�� '��� ��� ���� ��� "��� ��������� +���� ���� �� �� ���'� �� ���� ���� ���������� ��!��� ����3�� '� � �������� �� � ������� !����� .�������� �� ��� ����� ����� �!9��� ��+��� ��� �6���6 E�$F ��� � ������� !���� � ������������ �� ��� ��:������ �! ������� ��� �� '��� ��� �! ��� '�������

���

��

�G�� G��

� �

��� &���#�

�####3��

K �� <*��=

+���� � ������ � ��!��� ������'����� ���H����� ��� ��#� � �� �#������ ��� ������� ���H����� � � �� ������� ����� ����� �� �������� �! � '������� ����� +����

� ������� '� ��� "�+ �! ��� "��� ��������� !��� ��������� ����3�� '� ��� ����� �������� <���� '� ��� ������'����� * ���� ��� & � �������� �! ��� ����� ����� ���������! ��� '������� ��� � � ���� �! ������� �! ������� ����� ������� ����������� +����� ���� �� ��� ��!��� ������ ����= �� ��� !��� ���� �! � ���� "���� 0� � ����� ���� �������� � � � ����� ���� �� ��� ��������'�� < �����= '������� ��� ��� ����� � � ������ ���� �� ��� ���������� �! ��� ��� �� ��� "���/ �� K &���#�� ���� � '���������������� � � �� !�� �� ����� �� ������� �! ����� �������� +��� � ����� 6������ +������� � �� �� ��� �� �������� �! ������ ������������ ��:� ��� ��� ������ ����� � �

��$

Page 108: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

0� �������� !�� ��� ������'�� '������� +� ���� �� ������� !�� ��� ���������� �! ����� "�# ������� ��� '�������� ��� ���������� '������� ��������� � ���� ��� +����� ���� �� ��� �#� ����� �! �� ���������� ��� ���� �� ��� ������� !�� ��� �#������ <�� �������� H 5 �=�

��' �������� �! �� ��� �! ��� ������� ��' ������ �� '������� ��������� <*�$=8<*�4=����� ��� !����+��� �-������ !�� ����� ��6��+� ��� ���� -%� �

�! � �

�%

BK K :� <*��=

+����

B /K

���������

�4

��M � �/��

�%% �/��

�/��% 4�

�����

�� � M ���%�%%M

M���!

�����

�� ��

����

�� � M ���%MM���!

�����

�� ��%!

/ ::��9

<%% �= ���

<%! �= ���

���������

� <*��=

K /K�-%� ��! � ��%

��

��� ���������� �� ����� ��� ���%����� �������C ���B K � ����������� ���E ��������� A� ���� ������ ��������� ������� �! ��� �-������ !�� ���� ��� ��+!��-������ �

�:;#;# (�$ �2���� �%%����������

0� ��� �� � �! ���� !��-������ �:� � +� ���� %% K %! K � ��� ��� �� ��� ��� ��������

!����+ �� ��� !���

'

� �

��!

�E

��M

��%

�E

��&�

�E

��K �� <*�%=

+����

� /K

� �

��%

�E

���� *&�

�E

��'

� �

��%

�E

�� <*�*=

D���� !�� � K � ��� �������� <*�%= ������ �� � K � +���� � ��� �������� �� ��� ����������� !�� ����� ��������� ��������� @����+� � +� �'���� ��� �������� ��������� +������ �������� '� 0� ,������ ��� P� A����� 6� E�4F �� ��� ����� �! ���� +��� <���� �

�� �=�

7�� �-������ ��� ������ ��� !�� ��� �� � ��� ��� ��� � +���� . ��+� �� ��� �����E�4F ��� �-������ <*�%= �� � � �+� ���� ��3���� �+� ��!��� +��� / � ���� ��������+��� +���� ��������� +��� ��� 3���� ����������� ��� +��� ��� �������� � '�� ���������� �! � +��� � � ����������� �������� +��� +���� � ���6� <���� �� ������� ��� �������� ��� 1�8+���= ��� ��������� +��� ��� �������� ��/ �! 5 �� 5 �%� ��� �������� +���� ���6� '���� � �� ����������� � ��'������ ���� ��� � +��� ������ �#� � �� ��� ������! ���� !��-������ � 0���������� �!��� ��� ���������� �� ���� !��� ���� '��6 +��� �

��)

Page 109: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

��� � �� ��� ��� ��� ���� ����� ��� '���� � ��� �� ��� ��� �������� <*�%= � ���������+��� ��� �� ��� ��� �������� �� !�� ��� �8������ ��������8������� +��� E*$F� ��� ������:������ � ���� ��� ���� ��������8������� +��� ��������� �� '��� ��� �! ��� �����!������ ��� �'��� ��� ����� +��� ��������� ����� '���+ ��� '������� <H 2 �= �� ��� ����� �������

��� �������� �� �������� �! ��� � +��� ��� '� !���� �� ��� ������� �! 5� .�'�� ��E%�F�

�:;#;1 ��0 �2���� �%%����������

0! +� ������� !�� ��� �������� <*��= ��� <*�>= �� ��� ��������� ���B K� ���� +� �'������� �� ��� ��� �������� ��"������ � ���������� �! :

��� E� ��� �#��� ��� +��� �� ���� ��%

E ����� ��� �������� �� ��� ������ ����� ��� ��� !����+��� �������� !�� ��� ������ �����

�E

� � � M �

��%

�E

���� *'

� � M �

��%

�E

��'

� � M �

���! M �

�E

���

M <*��=

M��%

E�K �

7������ +� �'���� �+� ������� /

�� �������� +��� +�� � �������� � ��:����� !��� ���� �� ��� ����� E � � ��� +�� ������������ � �! ��� ����� � <

%E=� ��� �������� !�� ��� �������� ������ ��� ��������

<*�*= +��� ��� ��������� �! '��6 +��� �������� '� ��� ��+ !��-����� ����� � I�����+� ����

� M �

��%K ��8�

�� M ����

� ��8��� �

�� M �

���! M �K ��8�

�� M ���� M ��� M �� :

� ��8��� 8�

<*�>=

7�� �-������

� ��8�

�� �

�E

���� *'

� ��8��� �

�E

��'

� ��8��� 8�

�E

��K � <*�$=

�� ��� �������� +��� �� ��� �������� �! ����������� �! ��� ����� � <%E=� D���� ��

��� �� ���� �� ��� ��� +�� � ��� �������� �! ����������� �! ��� 1�8+����

�:;#;. D����� �� �������$ ��� �� 0�4� "� F���M� ���� ��� � ���%������� ����

��� �� ��� !�� � �+�8��������� ����� �! ����� ����8"��� ��#���� ��� ����� �� ��� ������� ����� '� �������� +��� ��� � �'������ '� ���� �! ��� 5���B ����� ��� +����#���������� �' �������� � A� ���� ��� �� ���� ������ �! ��� � ������� �� �� ��� +��6� D�+���� � ��������� '�!��� ����� � � ���� ���� -���������� ��������� �! '�������� � !�� � ����������� �! ���� ��� +��� � ���������� T�������� �! '��6 +��� ��� ��"������ '� ��� �������� ��������� 9 '�� ��� ��"����� ��"����� �� ���� !��-�����? ��+ !��-����� �������� ��� �� '� ��� ����� !�� ����� �! ��� ��������� !����+���

��4

Page 110: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

!��� ��� ��� ���� � ���� �������� � ��� ��"����� �! ������ ��� � �� ��� ��������� �!����������� � ������ ���� ��� ���������� �� � ������ ������ �! ����������� �� �������� ���� �� ��� ��� ���� �� ��� ������������ �� ������� � �! ��������� �! +��� �!��� ���������� �! ����� �������� �� ���� �! ��� ����� �� ��� �����������

I������ '��6 +��� ��� ��!��� +��� ������ ��� -���������� ��:������ '��+��� 5���B ����� ��� ��� ����� ��#���� ������ 0� ��� '� �#������ ���� ����� �! �#� ����� �!��:����� ��!��� ���� ��� ��:����� !�� '��� ����� '�� �� ��� �! ����� � �! ��� ���'������ ��� ��� ������'���

0� ����� '� ��������� ���� �� ��� !�� ��!��� +��� +����� ��� 5���B ����� ��� �!���������� �� ���� !��-����� ������ ���� ����� �� ��� �! 9��� ��+��� !�� ��+ !��-������ ����� ������ !��� ��� � �'������ +����� ��� ����� ��#���� ������

7�������� �� ����� '� '��� �� ���� ���� ��� ����� ��#���� ����� �� � '� -���8���������� � +�� � �����#������� ���� 5���B ����� '���� � �� ��� ��� ������� ���������� ���� �������� � D�+���� �� � 6��+� !��� ��� ������ �! ��#���� �! "��� ���� ������ ��� �! ��� ����� ��#���� ������ ��� ���� ������ !�� ��� ��������� ����� � � ��� ��� �� '� �� � ��� �� � !�� ����� �������� � !�� � � -���������� ����� � �! ���� ���+��� � ����������

�� ���� ����$ �� %����� ��������

��;� B����%���� �� ���$ ����� ������

&� �#������ '��+��� ��������� �! ����� ��� �������� �������� '����� �� ����� � ��������� ���'��� �! ��������� '������ +����� ������� �! ��� �������� � ��� � ��������� ��������� +��� � ���� ����� �������� ��!��� ��� ���� ������ �� +���� ����#������ ��6� ������ 2�� �� ����� �� ��� ���� �� ������ ��� ����� �! �� � �����

�� ��

������� �� +��� >��

�� !�� ��� �#������ ��!���� ��� �������� � � �� �� ���� ������������������ � � 2�� �� ����� �� ��� ���+�� �! ��7 ��� ��� '� �'�������� ��� ����� �! �������"�+ ������� � ����� �������� +��� �� +���� �� !��� ������ ���'��� ���������� � .�������� �������� �������� � �� � � �� �� �� �� 6 � ���� ���� 3���� ��� ��������������� ��� ���� �! ����� �������� !�� ��� ��� ��� ��� ���� ���� �! ��������� '������� +���� �� ��� � �� ��������� �#����� �! ��� ����� � ��������� ��������� ���� �������

7�� ������ ����� � �! �� �#������ �� ����� �������� +��� ������� ���� �+���� � �! ��� ��� ��� ������� ���������� ��� ��� �3������ ��� �� '� ��� ���� ���� '�� �� � ���� � �!�� '� ��� �������� �! ������ ����� ����� ����� � 0� ��� �� ��! �������� �� ������� +� ���� +��� �#������ �! �� '��+��� 6������ ��� ��� �� ����"��� ��������� �� +���� �������� '���� �������� '������ � 0� ������ � �� ��� ����� � �� � ��� ���� �� ������� �������� �! 6������ ��� �! � "��� ��������� !��� +��6 ��� ���A��� '������ � ��� 3� � ���� �! �#������ � ��������� +��� � ������ ������� �:��� ��������� +��� � ����� � �� �' ������� �! ������ ���� +��� ��� ������ ���� �! ��������� @���� ����� ���� ��� ���� �! �������� '� ��� ���� �� ������� � ���� ���� ��� +� � � ��������#������� �! � �������� ����� � � A� �� �� ��� � ����� �� ��� ��������

��� ��� ���� �� ������� ����� �! � �� �#������ '��+��� � "��� ��������� ���� ���� �� ����� ��� �������� �������� � '� �� �� ��� ��� ���� +��6 �! �������� < ��/

���

Page 111: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

E�F E%F !�� ��!������ =� 0� ��� �������� +��6 �! �������� ��� ������ �! �� ������� +� ������� �� "�� ���� ��!��� ����������� +��� � �� � D�+���� !�� ����� �������� +�� ����� ��� ����� 8 ����� �������� � ������� ���� ���� ���]. K ���� 8 ��� ��� ���� ���� ����� � ������� ���� ��� ��"����� �! ��� ��������� �! ��� ��!��� � ����� A� �� �� �����"����� �! ��� ��������� �� ��� ��#� ��' ������� ��� � +�� +� �� ���� +� �� ���'��������� +��� � ����� �� ���� �� ���������

A� � ��� � +��� ���� ��� "��� ��������� ��� � � �! �+� ��� � � ��� '��6 ��� ���� ��� �#������ �� ��� �� � ����� � ������� �! ��� �� ��'���� ��� ����� ��� � 8��� �� ��'��� 8 ���� +��� ��� �������� �! ��� '��6 "��� ��� �� ������������� � ����

� /K �

�� M �� �� <*�)=

+���� � � �� ������ ������� ������� �� ��� ���� �! ��� �� ��'��� ��� �! ��� "���

������� �� ����������.�������� �� �������� � ���� !�� �! �������� �! �� �'��� !��� ��� "��� ��� � �� ���

��!��� �! ��� ���� ������ �� ��� ���'�� �! ������'�� ��� ���� �� ��� ��!���� ��������� �! '��� ��� � ���������� �� ���������� +��� ��� ���� ���� �! ����������� ������'��+��� �� ��'��� ��� ��� ���� 6������� ��� ���� ���� ������ �� � ��� �������������� ��������� ������� �! ��� 6������ ��� �� �� ��� !��� �! � ������� ������� +��� �� 8���'���� ��� �! � ��#���� ����������� ������� @� ��� � ��� ��� ��� �#���� �������� �! �� ��'��� �� ����� ��+� �� � !��-������� ��� ����� � ���������� �� ��� 3� � �����'� ��� ������� ��� ��� �! �� ��'��� �� ��� "��� ��� �� 7�������� ����� ��� �� � �������� +���� �� ��'��� ����� �! ���� �������� �� ������ '������ ������� ������� "��������� �0� ��� �-����'���� ��� �#���� ��� � �+� ����� � �� ���� ��� ��� �����

���� �� �� ������� ����� � ������ ��� �������� ���������� 0! �� � ������� ��������� ������'�� '��� ��� �� ��� ��!��� �! ��� 6������ ��� ������� �������� ��� �� ���������� ��6� ����� ��� �� ����������� �! �� ��'��� �������� �� ����� "��� ��� � ��� ��� �+���� ��� ������� '���� �� ��� 6������� A� ���� ���� +��� ��� �������� ����������0� ��� �� � �! � ���� ������������� �! ��� "��� �� ��'��� ��� �#������ �! �� '��+������ �+� ��� � ��� '� � ���� �� '� �� ���������� A� ����� ��������� �� ��� � ���� ����� �� ��� ��������� �� ������� ������

0� ����� �� ��� ����� � ��������� ����� �� ��� ����� �! ��� +��6 +� ���� �� ��� �������� �� ����� �� ������� �� '������ �-������ � @� ��� �������� ����� ����� <������ ��� ������������� ��� ������ ���� � +�,T= �! � ����� �� �������� ��������= ������������� !������� �! '��� ��� ��� ���� ������ � ������� '� �� ���� � � ��� !������� �!������� ����� 0! ��� ���� �! ��� �������� ��!��� ��������� �� ��� ����� �������� ���������������� � ������� '� D��� ��� ��� �� �! �� ��'��� ��� ���� ���� �! ��� �������� ��!���'�' ���� ��� ������ �! �� +���� � ������� �� ��'�� �� ��� ����� �������� ���������������� � �� ������� �-��� �� ��� ������� '�D����

��� � ������ '� � ��� ������ �! ��� ����� �������� ���������� ������� ���� ��������� �! �� �! �� ��'��� ���� !����� �� ���� ���� !��� ��� "��� ��� � �� ��� ���� 6������ � ����� '� ��� ����� ����� '������ ��������

L � K '� <�F=

��� F /K

D����

� <*�4=

+���� L � ������ ��� ������� ����� ��� �! �� ����� ��� ���� ���� ��� ���� ����� ������������

���

Page 112: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

0� ����� �� ��� ����� ��� ����� +� ���� �� ����!� ��� ���� �� ��� ��������� ���-�������� �� F ���� �� ��� ����� ��� ���� �! ���������� ������������� ���� ���� 2�����-������ !�� ��� � -�������� ��� � ���� �� ���� � !��� �! ��������� �-������ +������� ����3�� '� �������� !�� ��� �'��� ��������� ���� �

2�� ��� ���� )#)�+� � ��� ���� ������ �! ��� !������� � ��� �� ���'�� '� ��� ��������

��������

��

��K � <� �= � J�(�

���� � <*%�=

+���� � ������ ��� ������� ��� ��� �! ��� �� ��'��� �� ��� "��� ��� � ,0 � ��� ������'������ !�� �������� �� ��'�� �� ��� ���� ��!��� ��� �� ��� ��� ��� A��� �����������!���� ��� �� � � ���� �� '� ��� ���� � ��� J ��� �������� ��������� +���� +�������� ��� ��� ����� ��� ������ ����� �� ��� ����������� � ��� 5�������� ��� ������� � � ��� �' ����� ������������ 0� ��� �� � �! !��� ��� � �-����'���� �� +���� ����� ������� ���� <��� 3� � ������'����� +��� ���H����� �= ��� ��� �� ������� ���� <��� ����� ������'����� +��� ���H����� J= ��� �-��� '�� �! ���� ��� ��� +� �'���� !��� ����-������ <*%�= ��� !����+��� �������� !�� ��� �-����'���� !������� �! �������� ���

� K �' /K

-�

-�

� M -�

-�

� �� /KJ

�(�

���� <*%�=

��� �������� �� ���'� ��� �8������ ��� %��� �� ������ � 0� '���� �� ��� ������-�

-�K � +��� ��� ���� ����� �! �������� ��� ��� ������� �� ��� ����� � !�� -�

-��

�� .� ��� ����� ������� ��� ��� � ��� !������� � � ���-���� ���������� ��� �� ��������� �� ����� �! +� ���� ��� ��� ���� ��� ����� ���� �� � ��+ ���� ����� !��� ������������������ �-����'���� �� ������� ���� 0� ������� ��� ����� � ��� ���������������� ����-����'���� ���� +���� ��� �� ���'�� '� ��� ���� �-������ <*%�= ��� ������������ +��� ��� �� ��������

0� ��� �� ����� <*�4= +� ���� �� � ������� ������'����� ��������� +��� ��� �������! ��� �������� ��!���� 7�� �-������ +� �� � !�������� � �������� !�� ��� ���� )<

)�� A�

��6� ��� � ������� ���� ������ �! ��� �������� ��!��� ��� ������� +��� �� ������������� �! ��� ���� ��� & +���� �� ���� �� ���'� ����#����� ����� � �! �������� ����������� �! ������ �! ��� 6�������

2�� � �! ��� ��� � ������ ���� !�� �H������� ����� �������� ��!��� �! ����� ����������� �������� +��� � ������ �������� �! ���� ���� � ������ �! �� ������� ����8������ ��� ������ ����� ��� �! ��� �������� ��!��� ��� ��� �! ���� �� ��� ����������

����� �������� ������ ��� '� � ���� �� '� ������������/ %D�

��� ' % <&� =�

� � �������8���� �� �� ������� ������ �! ��� ���� ��� ��� ����� '� � ����� L& +���� �� ���'� �������� ��� �! ��� � ������ ��� ���� ���� ��� ������ �! ��� ����� ��������� 5������ ����'��� � ������� �� ���� +� �'���� �����������

F

�F

��K ?

L&

&� <*%�=

+���� ��� ��������������� !����� ? � � ���� �� '� ��� ���� !�� ��� ����� � �! ��� +��6�

���

Page 113: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

@'���� �� �� � ��������������� ��� � �-����'���� L& � � ��� ��� �-����'���� !���8���� � � ��������� +��� ��� ������� ��� ��� � ������� ��� �������� <*%�=� ���� ����� ����� <*�4= ���� �� ������������

��� '������� �! ��� ��������� ����� '� �� �� ��� �'��� � ������� �� '�������6�� �� � ����� '����8���6 ���������� ���'��� E>�F� 0� +� !���� ���� �� ��� ��������� -������������ �� ��������� +��� �' �������� �

A� ��� ��� ���� ��� �� �! 3��� �-������ +���� ����� � ���� ���� �#��� ��� ��� �!���'��� � 0� ���������� +� ��� �� ���'� �������� �! �� ������� ��� ��:� ��� � +��� � +���� ����������� '������� ��������� �� ������'�� '�������� +���� ��� ���������� ��� !����� ��(����� �! ��������� ���'��� � .�������� �� ��� �'��� �����6 +� ���� �� ������������ !����+��� 3���

� �� �

'� � ��4

�� ��4� � &� �� F�� '� /K �� M � � <*%%=

+���� ��� ������������� � � ��3��� '� <*�)=� ��� �������� �! ��� ����� ��������� ��� ��� ������ '���� � ��� �� ��'��� �� ��� "��� ��� � ���� +��� ��� ��� �������� � �������� "��� ���������� �����!��� +� � � ���� �+� �������� '������ �-������ !�� ��� 6������ ��� !�� '��� "��� ��������� ���������

2���� �-������ !����+ !��� ����� �� '������ �-������ �+� �������� '�������-������ ��� '������ �-������ �! ���� ��� �������'����� ��������� !�� ��� ��!�������� �!��� 6������ ��� �+� ��������� �-������ !�� �+� ���������� ����� ��������� �����'�� � 0���� �� � �! ���� ��!�������� �! ��� 6������ ���� ������ �! ��� "��� �� ��� ��� ���� ������������� �! �� ��'��� ��� ���� ������ �! ���� ��� ����

������ ��

#### '� '�

'�

####� �� � 5 �� �� �W�� � �� <*%*=

���� ���� ��� !���

( �� '������

� ����

M ���� �� 4

��K '� L��

� '���

M ���� '� 4

��K '� L�� <*%�=

��

��M 4� � ���� � K <� �= L�� L� /K

L � '�K '

'�

� <�F=

���

( �������� '������

� '� 4�

��M ���

� '� 4

� � 4� M �'��M *

�4� 4�

�K �

���4�

��K ����� M *

�4� 4�

�� <*%>=

( ���� ��� '������

��%

Page 114: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

�W�

��MQ� ���

�4� 4�

�K W�

B�

+����

�� K ��� M �� �� ��M���� M W��� <*%$=

�' K �'� M �� '� '�

�M W�� �� K <� �= �'� � K ��'�

+��� �������� ��������� ��� ����� � * '���� ��� ����� ���� ������ �������������� ����� ��� ���� ������� ���� ��� &�� 0� �������� +� ����

( �������'����� ���������

��

��K ������4�� <*%)=

( ��������� �-������ !�� ����� ��������� �����'��

� �� <

<�

��K ?W�

&"

� F <� K �= K F� �D��� <� K �=

��

��

��K

B*)

�<� �=

��'

�� �

�� � <� K �= K

=�-��

-�

� M=�-

��

-�

� <*%4=

B*) / K�

J(���� � �� /K � <� K �= �

.���� ��� �������� ��������� ?� ��� B*) ��� � ���� �� '� ��� ����� ������ �� ��� !�� ��� � ��� �! �-������ ���� ��� '��� �'������ � ���� D�+����

��� ��������� ���������� ���'��� ���� '��� ����� ����� ��� � ������� �! �������'�������������� ��� � �������'�� �#������ ���� ���������� �! ���� ���� ����� �� �� ������ '� !���� �� ��� 1�89 ��� � �! 5� .�'�� E�F� ��� �� � ��������� �� ��� ����'��� ��'�� ��� E�F E%F� A� -���� ���� ����� ��� �� � ��������� ������ ��� �! ��� �+��6 � ��� ������ � ������� ����� ��� !����+��� �������� !�� ������ �! ���� ��� ������ ��� �������� �������� !�� ������� ��� �

W� K BQ� ����4� 4�

��

�� K ��� M �� �� ��M���� BQ� ���

�4� 4�

��� <**�=

�' K �'� M �� '� '�

� BQ� ���

�4� 4�

D���� ������ �! ���� ��� ������ �� �-������ �! ������ �� � ������ +�� � ���8���'����� �! '��6 �� �� ���� �� �������� �! "��� � �������� <**�=� ����+ �� ������������������ ������ �! ���� ��� !��� 3��� �-������ �

��� � ���� ���� ��� ������� ����� ���'��� �� '��� ������� !��������� �� ��� �'����������� � 0� ������ �� ��� '������� ��������� � 0� ��� �+�8��������� �� � �� �� ���!����+��� !���

��� �'�

��##��K ��#��

��*

Page 115: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

'�4� 4�

�� �##��K �

��' &��#�

�##��

� <**�=

�4� 4�

��4� 4�

�� ��

##��K �

0� � �� � �� ����6 ���� ��� � ��������� ��� �! ��� ����� �������� � ���'��� �� '��� �������� !�� � �89 �� � �� ��� �'��� -����� +��6 �!

5� .�'�� � &� � ��������� �� ��� !�� ����������� �! ��� ����� ��� ��������� +����������� �! �� ������� ��� ��:� ���� 2�� �� ����� �� �� '��� ��+� ���� ��� �� ����� � � !������� �! �������� �������� �! ��������� �� � � � ��#����� 0� � ����!�� ��� �������� �������� �-��� �� ���� ��� �� ���� ����� �� ���� +��� ��� �������� ��� ����3����� 0� ��� 3� � �� � ��� � ��� � �� �-����'���� ��� ��� ���'�� �! '��� ��� ������ ��� ���� ��� ���������� '� ��� ������� ��� ��� �� ��� �������� ��!��� � �� � ��� ����'���� � ��� ���� ��� ��� ��� ������� 0� ��� ����� �#����� �� � ����#����� ���� !���������� �����'�� / B*)�

�>��� ��� ���� !�� �� ��'��� �� ����� ��+� �� ��� 6������� ���

�������� ��� +�� !�� �� ������� �� ��� �! 3���� � 1����������� � �!�� � � ���������� �!��� �������� �������� !��� ��� ��!��� ������'����� ���H����� � '���� � ��� ������������ '� �����������

��; B����%���� �� ����� ����� ������J ��%��������

. +� ���� ������� ��������� ����� � �� �������� +��� ��� �8������ �� ����� ������ �������� �� +���� ��� �������� �! ������� ��� �� ��� ����� �� ���]. ��� ���������+��� ��� ���������� �! �� ���� � ���� �� �� ������� � ������ � &�� ������� �! ����� ��� ��� � �� �� ��������� ����������� �� 3�� ���������������� ��������� �! ��� �������� ���� ��� �� !�� ��� ���������� �! ���� � � ��������� ������ ������ 0� ������ � �� ���������� �� � � ����� ����� �������������� ����� !�� �� ������� +��� �� ���� � �� ���'��� ��� ������� � ����

A� ������� �� �#����� ��� ������ �! ��������� ������ ����� �� ���� �! ��������8 ����� �� �������� '� ���� �! ��� P����� �-�������

A� '���� +��� ���������� ��� ��������������� �-����'���� ��������� �� �� �����8!��� '��+��� �+� ��:����� ��� � �! � ��-���� ��� � ��������� ��������� ��������� �!�� �����!��� '��+��� � "��� ��� �� ����� �� ��� ����� � �! ������ ������

��� � ��� ���� � ��!��� �� � �����8����� ����� ,�������� ���� �� ���'�� '� ����� ����� ������ �

� K ��<�� <�

�� <**�=

+���� <<�� <�= ��� ��!��� ���������� � 5� � ������ � ������ ������ ��� ��� 3� � ��� ����� ������ ��� �� �! ��� ��!��� ��� ��3��� '� ��� ��������

$� / K��

�<�� � /K

$� � $��$� � $��

� <**%=

��� / K $� � $�� J�� /K���

����<�� �

0� ��� '� ��+� ���� ��� ������ ��������� �! ��� ���������� �-����'���� ��������� �� ��� � ��!��� �� ��� !����+��� ������� !���

EE��FF � � K ���J��� <***=

���

Page 116: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

+���� � ������ ��� 7����� ��� ��� �� �� '��6 �' ����� �� '��� ��� �! ��� ��!������ ��� ��� ��������� �! ��� ��!��� ��� ��� �� '��� �� ��� ����� �! �������� ������� ���������

0� ��� �� � �! ����� "��� �� '��� ��� �! ��� �����!��� +���� � �� ��! � ���'����+� ���� � K �� ��� ��� K #��� +���� # � � ������� ������� ���� �������� <***=������ �� ��� !����+��� ���

�? �� K #��

���

:������� � ����� <**�=

+���� :��� ��� ���������� ��� ���� ����������� �! ��� ����� ������ ��� ��

<J�� :���= � K � <**>=

@� ��� ��!� ���� ��� �! <**�= +� ���� ��� ��:������ �! ��� ��� '��+��� ��� �� ��� ��� � ��� ��� "��� ��� � �� ����������

0� �������� �� ��� ���������� �-����'���� ��������� <**�= �� �-����'���� �� ��������!��� � ���������� '� ��� ��������������� ��������� �! �-��� �������� ��������� < �'' !��� ������� = �! '��� ��� �

�?��?� �?

�K ��

�� � � ��

�� <**$=

+���� �?� �� ��� ��� ��� �� ��� �� ��� ��� � ��� �� ��� "��� ��� � �� ���������� A�� ��� ��� ����������� �� '� �-��� ��� ��� ����/ �? K �� K � K �0&���

A� ����� ��� �'��� ��������� �� � ���� ������ �! ��� �-����'����� A� ���� ����

��? � � ?��? K ��� � � ���� � <**)=

��� ����� '� �' �������� �� <**�=

��? ��� K

� � ?

� �

���? � �

?

� ���? K #�

��M�

��

�� <**4=

+���� ��� �������� ��� ���� ��������� � 0� +� � ���� ���� ��� ������ �! "��� ��� �

� ���� ������ ���� ��� �! ��� �� ��� ��� �/ � � � � ? ��� ���� ��� ��!��� ��� ��� #� ��� ����� 2�� ����� �� � +� ����

@�

� �� �� �? K #�

��M�

��

�� <*��=

+���� @ � ��� �� ��� �����0���������� �! ��� �������� ����� ��� 8���� �������

���

��K #�

@�

��M�

��

�� <*��=

�� +���� �� � ��� ����������� ��� ���� +���� +� ������!� +��� ��� ��������� ��� ����

��>

Page 117: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

A� ����� ����� ��� ��������� �� ���'�� '� �������� <*��= �� � ����� �#����� �! ��������� ���� �� '��� ��� �

r

!�$�� �,C ���� � �� �������� ����������� ��� ���������� � � �������

0������ � ������� �! �� ��'��� 3����� ��� �������� �� ��� ������� ���� +��� ��� ���������� ��� � �! ��� �� ��'��� ����� '� <*��= !�� �� K �� �� K � +���� � ������ �������� �! ��� �������� <2����� �*=� ��� ����� �! ������ ����� ��� ����� '���+ ��� ��������� ��� ��� �� �! ����� � � ���� 3�� �! ��� �'��� �� ��� �������� +��� �! ������������ ��� ����� ��� �#� ����� �! � ��!��� ��� ��� ��� ��������� �� P����� !��������� ������� ��� ��� � �� +���� ������ ����� ����� � ��+�� ���� ��� @��� ��� ������������ ��� ���� ���� �� '���� ��� ������� ��� ��� �! �� ��'��� ������ � ��� ��� ����� � ��������� �! ��� ����� �! ��� ����������� ���� ���� 3���� +��� ��� �� <����� ���� �!2��� �*=� ��� ����� � �! ���� � �� ��'�� ��� �� ���� ���� �� ��������� +��� ����������� ������� ����� � ������ �� "��� !��� �! ��� �� ��'����

16

8

0.4 0.8

C H at 323 K6 6

relative pressure, p/p0

!�$�� �#C ����������� ��� ���������� �� � ���� ���� ��� �������� E��F

0� 2����� �� �� ����� ���� �� ��� ��+�� ����� �! ��� �� ���� � ���� ��"������ ��� ���8�� �! ������ ������ @� ��� ����� ���� ��� ����������� ��� ��� ��-���� � ����������� 0�������� !��� ��� ���� �! ��� �������� '� ������ ���� �������� ���� �� !��� '��� ���

��$

Page 118: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

�! ��� �������� �� �� �������� <��+�� ���� �! 2��� �*=� 0� ��� ����� �� K �� K � +�������� ���� ��� ������� ��� ��� � ��+�� ���� �� ��� �� � �! ������ ������ 7�� �-������+� �' ���� � �� ���� � ��+� �� ��� �#����� �! 2����� ���

1���� � �� ������� �! ���� �������� +��� �� ����� ��� ������ �� ��� �� ���'���� ��� �'��� �#������ D�+���� ��� ���������� �! �� ���� � ���� � ��������� +��������� ����������� ��������� ��� ����� ����� ����� �� �������� � ����� ��-���� � ����������3������ �! ��� ����� !�� ���������� �������� �

� -��%���4�

7�������� �������������� ������� �! ����� �������� +���� +� ��� ����� �� ��� ����� ��� ���� �� � ������ ����� ���� �! ������������ ���� ��-���� � ������ ��� ��������3������ � +��� � ���� �������� �! ����� ������������ ��������� � ��� � �� � � !�+�� � ��������� -�� ���� +���� ����� '� �� +���� �� ���� !������

�� 9�������� �� ���������$

A� ���� ��������� ������� ���'��� ��� ��� �� ���������� +��� � ����� ����� ��38������ �! ��������������� ����������� �� �������� ����������� � ����� ��� '� � +����� �! ��� ���'��� �! +� +��6 +��� ��� ����������� ������ ��� � �� �������� ������������� �� ��!� @�� �! ��� ���'��� +���� ��� '� ����� �� ��� �� ��� � !���������� � ����� !�� �! ������ '� ���������� <�������� ������= +��� �������'�� ���� ������'����� �!���� ����������� ���� � ���'��� ��� ����� ��� �������� �! ��:� ��� ��� �! � ��������8���� ����������� �� ���'������ 5�� ��� ���� -�� ���� �! ��� ���'�� ������� -�������� ������ '� �� +���� �� ��� +���

�� ������� ������� ��� ������� 1��$

��� � ���'��� ��� � �� ������� ��������������� ��� ��������� � +��� � �� ���8������� +��� ��� �������� ��������� !�� +��6 ������� ��� !���� ���6���8D������� ���8������ �

.�� ��������������� �� ��� +���� +��� ��� ����� �� ��� � ���� ��� +���� ��� �� � 8 ������ ��� �������� �� �������� +��� '� �� �� ��� � ������� ���� ��� ������� ���� "�#� ��� ������� "�#� ��� ������������ �� ���� ����� +��� ��� ����� � �! ��� �' ����� ������8����� � ��� ��������������� !����� ��� ���� ����� � ��� � ��������� ���� � ������� ��� ��� �� �������� !�� '��� ��������������� ����� � ��� !�� � ������ �! ���6 +��� ������� �������� �

%� 9�������� ��� �������� ������ ������ �� ��� �)������$

��� � ���'��� ��� ��������� ��������� +��� ��������� ����������� �! ������� �!����� �������� �� ��� �������� �! ���� �������������� �! ���� ��� ����� 3�8��� ���������� ����� ��!�������� ���� ��� +�� ��� �� '� �������!��+��� '���� ������ �#� � ������� ���8��������� ����� !�� ��� � '������� ��� ������ �! �#������������������� ��� �� '� ���������� �� ����������� ��� � �� ��� �� ��� ����� �! ���8����������� ����� �

��)

Page 119: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

*� ��������� �� ������������ ��� ��������� ��� �� �$

���� �! ��� � ���'��� ��� '���� ���������� �������� ��� ������� ������������ � ��� +��� � ���'�� ���� ��� �������� +��� � ������������ ������� ���� ��� '�� �� ����'��� ��������� +��� �� �#������ +���� ��-���� ���������� ����� ��������� ����8�'�� � . '�� ���� -�� ���� � � ���� ����� '��+��� ������ ����� �! �' �������� ������������ ������-�� �� ��� ���������� �! ���� ������ ��� �������� ��+ !��� ����� �������� �������� ����� �������� �

�� ��� ��� �������� ��� ����� ���������$ ��������� ��� ���������$

��� 3� � ����� �������� �������� ��� '� ���������� �� � +�� ���� ��� '� ��� ������������� ������� �! ��#���� � ��� ��������� !�� � ���� !�� ��� �������� �! ��� ����� � �� �� +�� �� ��� 3� � -�� ���� �� ��� �'����

@� ��� ����� ���� ���'��� ��������� +��� ��� �� �������� �! ��� � ���� ����� ��� � ������ ����� ��� ����������� ����������� ������� ���� !����+ ��������� !��� ������6 �! ���� ����� '��+��� ������ ���� �! �� ��������� . �������� � �� ��������8���� ����� �! ����������� �� ����� �������� +���� !����+ !��� ��� ��:� ���8���������-������ � ��� ������ ���� ���'�!�� ��� �� ��� ���� ������ ��������� �� ����� ������� �������� < ��� � ��� ��� ��������� ��� ��� �����������= +���� ��� ��6�� ���� !��� �������� ����� ����� +������ ��� (� ��3������ '� !�� �#����� ��������� ��������� �

>� 9������� #���� � ������ �������$

����� �#� � �� � ������� �� ����� �! ��� -�� ����� ��� ��� �� � ���� ����������������������� ����� ��� ��� �H������� ��������� � ���� .���� !��� ������������� ��������� +��� ��� �������� ��+ !�� ��� 6������ +���� +� ���� ��������� �'��� ��+ !�� "��� ��������� ����� �� '����� ����� ������ ������ �'�� ��� ����� "��� � �������'��� ��� � !�� �� ����� �� ��������� �! "��� ���������� '�''�� �! ������ .���8� � ����� ������� ��� ���� ����� �� ���������� +��� '�� �� � ��� �� ����� ������������������� ��!��� +��� � ��� �� ����� �� '��� ������� ����������

$� :��) ��������4 �� ����� ������$

����� � � ��� �����'�� ������ �� ������ ���� +����� ��� ����� ���� �! ��� ���'8���� ���� �������������� ����� �! ����� �������� ������������ ��� � '� �� �� ���� ������� �! �������� �'����� ��� �������� � �� �� ��� �������� ���� �� �#��� ������������ ����������� A� ���� ��� -���� �� ���� '���� � �� ������� � ��:����� ��� �!����� � 2�� ��������� ����� �! ������ �'�� ��������� � ��� ����� �� ��� � ���� ����� �#� � ���� !�+ ��������� +��6 �

2��� ��� ����� �! ���+ �! ���������� ��������� �! ��� � ����� 3� � ��� ���� '������� ��� ��� �! ��� �� ��� +��� ��������� �� ��� +��6� 2��� ��� ������ ������������ ��������� ��������� �! +��6 ������� !�� ��� ����� ��� ����� �� ��� � ���� ��� ���������'�� � ����

��4

Page 120: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

)� .������� �������4 ��������� ����������$

A� ���� ��������� ���� ������� ��� � �! ����� � �� �������� �������� ��� '� ��8 ���'�� '� ��������� ����� ��������� +��� ��� � !�� ����� �������� � D�+���� � ���������������� +���� ����� '� ������������ ���� ��� �������� ����� �! �������� �������� ����������� ��� ��� �� ����� '��� ���� ������� +��� � ����� � ������� ���� ������� �������� '� �#������ � !��� . ������ ��� �������� ����� ����� ���� �� ���������� �������������������� ��� ������ �

D ����

E�F �� ��#���; ��)���)������ /������ ��� ��� 7�����������������*���;����� ����;���� 8;������ ���� T����� 5����� �����

E�F �� ��#���; @� .� ������� ��� 9�:� ��� �� 1���� &����� 0�/ ����� ����� ��������� �������4 7��������� *��� � ��� 8�&��&��� :� ���) 5� .�'�� <,��=A0.�8������ I�� �) �����

E%F �� ��#���; 7������� �! .� ������� ��� 9�:� ��� �� 1���� ��� ������� &������� . �89 ,#����� �! ��� 5������� T���� 1��'��� 7���$ 7���$ ����$ .:& �����

E*F �� ��#���; &�������� �! ��!��� +��� �� ������� ��� �������� '� ���� �! � �+�8��������� ��������� ? ������� ���� <70�&= �� ������ ��/ ������� :���� � .��� �������2 ���� ��� <������ �������� ��� ���� ��� ���)� 7� ��� P� A����� 6�<,� �= �������� T����� �����

E�F �� ��#���� �� ������$ .� .#� �������� �����8 ���� 2��+ ������� � 1����8�� ��� &����� ���� ����� 9�!�������� 7���$ 7���$ ����$ 16 ���8�%� �444�

E>F �� ��#���� �� ������$ @� � ���������� .#� �������� 2��������� 1��'������� ����� 9�!�������� �! ��� �6������ ��/ ������ � 7��������� �� ����� ������ �������� � 0�� @� �� .� I���� <,� �= 7������ X D���C7�7 *$8�$�����

E$F �� ��#���� �� ������; @� &������� .��� ��� A��� �� ��������� 1������ ���&����4 =������ �� ��������� ��������4 ���$ 3634 9�$ >4 ����$ 34 5??@$

E)F �� ��#���� �� ������; &������������ ��!��� +��� �� ��������'�� '����8���� �� �+�8��������� ������� ��� ����� ���$����$���� ����$ <�� �����= �����

E4F �� %� ������; 1���������� �! ����� �� 1���� &����� &�������� ����� .' ��'���&������� ,� ����� , �# �44%�

E��F �� &� ����'��; 7��3������� �! 5���B ������ 7���$ ����$ %���$ �. %)�8%)*�4)��

E��F �� &� ����'��; @����� �! � ����B �-������ .�������� 1, � �>�$8�>�4�444�

���

Page 121: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

E��F �� �� ��!; ������ �! 1���������� �! ,�� ��� A��� �� � 2����8��������� 1���� ������ 0� ��+82��-����� ����� =7�7 + �>)8�$) �4�>�

E�%F �� �� ��!� (� &� ����; ��� ,�� ��� 7��H����� �! ��� ������ �! 7�� ���������4=$ 7���$ ����$ , �4*8>�� �4�$�

E�*F � ����#�� )� �����'� �� *�+��; 7������� �� ������ ����4 ,������ ����8��� 1��� �4)$�

E��F �� �� ����"�,���"� )� �� &��; 7������� �� %������ ���� <� ����� ���A��������� :���� �������� 5����� <�44�=�

E�>F )� �����'; �B����"�� ��� ����� ������ ,������ ������� 1��� �44��

E�$F � (�����-.+� �� ������; @� ���-���� �� ������� ������� ������ /���$ ���� ��$ ���$ 7 $ �%/ $)%8$)) �4>%�

E�)F (� (��-� �� �"��� �� � ��"�'� ���; ��� 7������ �� *����� ���� ������ ��#������� ���#4 <��$ =$ ��������� ���# # �%%8�*� �4$4�

E�4F �� ������� �� ������; . �������� �! ��!��� +��� �� ������C����� ������ ��� ��-���C����� ������ �����!��� ����$ ����$ ���� ����$ �, � ��8** �����

E��F /�� %�����; @� ��� ������ �! ��� ��� ��� ��� ���������� 1�������� �� &�� ����� =$ ����$ + * �%�8�*� �4**�

E��F %� &�����; G'�� ��� ,�� �����G�� ���G� �� &����� *�����0����������� ��� 9���������������� .����������� � C;���� 4> �8�% �4���

E��F �� &���!���; ��� ,:��� �! 2���� 1�� ��� 9������ �� T��������� 7����� �! 1���� ���6 �����$ 7<�� ��� %%�8%*� �4�$�

E�%F �� �� &������ �� �� ��-; . 7�������� ������ �! ������� &������� 7���$���$ ����$ 7���� ,, �*48�>> �4$��

E�*F �� &� &��'; ,������ �! � � ������� ��������� !�� ��� ���������� �! ����� ������� �������� �-������ !�� �������� � "�+ �� ����� ����� ��/ 8���� ��� �������� ������� �� .������� ��� ������ ���� P� D����� P� A����� 6� <,� �=70�& 7��� � �������� A��� >$8�%� �444�

E��F �� �� &����� �� �� �� ��; 7��������4 ������� 7��� ��� ������� .�������1�� ������ I�+ J��6 �4)��

E�>F �� ��#��; ���;������ � �� ���� �����) 9��� ���� �4)��

E�$F (� �� ��"��� �� ������ �� (��"�; ������ �! 9������ 1�����'����� ��������� ��� �� 2����8��������� 1���� &���� =$ ���� ��������4 �.1 %$48*�� �4)$�

E�)F 0� 1� ��."��; ����������������� 7�� � ���� &�������� �! .'�� ��� �������&������� � 1��� 0/ I���-����'���� ������ ����$ ����� ���$ +����� �����4 ���������� ��������� �������, %���$ 7 ,#+ ���%8��$> �����

���

Page 122: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

E�4F 0� �� ������ �� �� �,����.�; �������� �� ���� � ������ &�8 ��+8D����4$%�

E%�F �� ������ �� ��#�� �� �!!��; @� ��� .���� &� ,:��� 2�� 1���� &����4 7���$ ����$4 #, �8> *$48*4� �����

E%�F �� ��� �� ������ <,� �=; ������� :���� � .�� �������2 ���� ��� <�������������� ��� ���� ��� ���)� 70�&87��� � �������� T����� <�� �����= �����

E%�F �2�"" ��; ������� �������� �������� 5����� �����

E%%F �2�"" ��� �� �������; @� ��� ������������� ��� ������ ����� �! "��� ����������������� 3��� 7���$ ���$ ����$ 7���$ ,1 �4$��

E%*F �� �������; ���� ����� ��& 1����� 5� ��� �4)��

E%�F �� �G������ � ������; ������� �������� ���� ����� �� ��������8T�����I�+ J��6 �44)�

E%>F �� 0��� &� ��,��� ��(,���� (� &�����$ 7������� 1��� ���/ . P�� ���������� 1�� ���� 1�������� �� 1��� ��� �� ���6 / ��� %����� ���� �. %�$8%>��44)�

E%$F �""2� 1�; ��������������� �� ��� ���� � ��� �� �������� A��� �4>��

E%)F �� �� 1������ �� �� 0�+�!�� �� �� ����"; . ������ �! &������� � &�#8���� � 0�/ E*F �)>8%�� �������� I� J� <�4)*=�

E%4F �� �����,."� �� ������; @� �� ��� ��� �� ��� ������������ ����� �! �����8�� ��� �������� +��� ��� '������ �-������ !�� ���� ��� =���$ ����� $��$4 ��, *�*%�8�**4 ���%�

E*�F �� �����; 5��������� ��� 2���^������ ��� &� ��6�� ������ ��! ���� ��� 1�� 8�����G�� '�������� !G�� ,��6�� ����� C$ ����#$ ����$ ��� ����$ 6 � *4 �4�4�

E*�F �� (� �!���; ��� ��� 7������� ������� I��� �� ,���� ������� _�> ��������I�+ J��6 �4)4�

E*�F �� �+�; ��������� ����� ��� � D� <<4 9�����4 �*� �4%)�

E*%F �� ���!�'; 7�������4 �������� ��� ���� ����� �� �� ������ ����2 �#�����'�� ������ � �$ 7$ /��4 7�������� ������ �� 7 ���� �44��

E**F �� ��������; 7 ���� ������ � ������� ������� �������� ��� ���� D��86�� ����� ��� 5�������� &������� �4$��

E*�F �� ��������$ ������� ���� ����� �� ��� ������� �������� 5����� �4)*�

E*>F �� ��������� �� �� ���; ��� �������� ���� �������4 D���'��� ��� 1�� �6000C� ��������8T����� 5����� �4>��

E*$F �� �� 3�!���,; ������� ��� %� :���� 1����� I�+ J��6 <�4>$=�

���

Page 123: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

E*)F �� 3��!; %��� ��� ��� 8����������) ���'��� �4�)�

E*4F /��4 ���� �� �!!��; . 7�� �������� ������ �! 2���� ��������� �������&������� .�� 0� .���������� �� ������������ 2��+ ��������� 7��� �+ ��*8��%�444�

E��F �� �� �"!�; E���������� �����$ 7�������� �� ��� � :���� ,� ����� .� ���8��� �4)%�

E��F � ��"���� �� ������; @� ��� �� �� �! "�+ �� ��'������ �� �������� �������� �� ���� ��� �������������� <��$ =$ �� ��������� ���# + �4�48�4** �����

E��F �� ������; ���������� &���� �! �+�81�� � 1���� &������� =$9����"�� �� ���� ����$ : ��8$$ �44��

E�%F �� ������; 9������ �! 1���� &������� ����� ����� 9�!�������� ���7������� 1��� ���� 0�/ �� 7� 5���� &� 2� 5����� <,� = ����� ������ ��������� ��� �������� ��� ����� ���� �� �������� ������ �� ,���6 ��[ .������ ���T����� 70&I, 5�������� %*%8%�> �44>�

E�*F �� ������; 1���� &���� �� 2����� ������ � ��� I�+ &���� +��� ��� 5������,-������ �! 1��� ��� 7���$ �� ����� ,+ * �4�8>�) �44>�

E��F �� ������; 1���� &���� �� 2����� ������ � 0�/ �� �����, <,��= ������� ������ ��� ������ ����� � 7&9�) A���� �������3� %�$8%�* �44>�

E�>F �� ������; ���� � ������� �� ������� �������� 5����� �44)�

E�$F �� ������; . ������������� &���� �! 7����� �'�� 1���� &������� +������ 5������ ,-������ �! 1��� ��� ��������� � ������ ���� � / ��8*$ �44)�

E�)F �� ������; @� ��� ���� �! ,#� ����� �! A��6 9� ���������� A��� �� 1����8�� ��� &������� 7���$ ����� #: % >�$8>>4 �44)�

E�4F �� ������; A��� �� 1���� ��� ������� &������� ��/ P� D����� P� A�����8 6� <,� �= 8���� ��� ������� ������� �� .������� ��� ������ ���� ��������8A���I�+J��6 �%�8�)> �444�

E>�F �� ������$ ��+��� ,#������ ������������� �! 1���� ��� ������� &���8���� � 0�/ ������ � 7��������� �� ����� ���� �� �������� � 0�� @� �� .�I���� <,� �= 7������ X D���C7�7 �*$8�>� �����

E>�F �� ������; I��� �� ��� I����� �! 0������� �'����� �� ������� �! 1���� ��� ������� &������� C$ 7���#$ ����$ ����$ 4 +: �����

E>�F �� ������; @� � D��������� .� ������� �� 1���� &������� C$ 7���#$����$ ����� 4 +:& �����

E>%F �� ������; ������������� �! &������������� 7�������� 0�/ �� &�(�+ 6��� ��� ���� <,� �= �����"��)� ���� ����� �� ��� ����� �������� ����� � ��������B� <������ �>$8>�* .������� 1�� �����

��%

Page 124: Continuum Theories of Mixtures ( Lecture Notes

E>*F �� ������; ����� ��� ���6 +��� �� ����� ��� �������� �������� � 0�/ T�7������ .� 9����� 2� @������ �� ������� <,� �= ����$ F:.�7@& 44U A�����������3� *)48��% �����

E>�F �� ������; ���� `�� ���� �� &������� @'(�������� .�� ��� �� &���� �! 1���� &������� ��/ 1� 1����8 ������� &� 5������ <,� �= ������� �������4 ����������� 9�# ��������80���� &���� �*48�>� �����

E>>F �� ������; ��������������� .��� �'����� �! 5���B &���� �! 1������ ��� ���8������ &������� 7���$ ����$ #, �8> $�48$%> �����

E>$F �� ������; 1���������� �! ���� ��� ��!��� +��� �� ����� �������� ��/5� &��� ��+ 6� <,��= ���������� ���� 1����� ���� �! �������� 1�� 1�����%��8%�> �����

E>)F @� ������������� �! I�������� 1������ ��� &������� =������ �� �������� .��*$8�>� ���%�

E>4F �� ������; @� ������������� �������� ��� ��� ���� �! ��� ����� ��+ �!������������� �� ������ �� ��/ 9� P����'� <,��= 7������� ����� ����� ����� ��������� .�� ������� �������� 5����� %8%% ���%�

E$�F �� ������; @� � &����8&���� ���� ����� !�� 1������ ��� 5���B &���� ���7���� ������� � ����8���� �������� .B�������"�� #, 4 �4%8>�% ���*�

E$�F �� ������; ������������� �! ������ �+�87�������� ������81������ ���&���� � ������ �� ������� <,� �= ������ ��� ��� 7��������� �� ����� ������ �������� ��.&& ���� ��������80����� &���� �4%8%�> �����

E$�F �� ������; ������ ��� ��� �'(������ �������� ������������ �� ��� ������ �!����� �������� ����$ ���$ ���$ 7 <�� �����= �����

E$%F �� ������; ,�� ��� &�������� �! ���!��� A��� �� ������ ��� &��������������� ��� ? ������� ���� <70�&= �� ������ ��/ ������� :���� � .�� �������2���� ��� <������ �������� ��� ���� ��� ���)� 7� ��� P� A����� 6� <,� �=�������� T����� �����

E$*F �� ������� �� ��#���; .��� ��� A��� �� 1���� �����82���� &�#���� ��/P� D����� I� P������� <,� �= ��� � �������� �� .������� ��� ������ ������������� %���� ��� ����������� ���� ����� ������� I��� �� .������ ��� 7����8�������� &������� T��� �� �������� 5����� �)�8%�* ���%�

��*