Dalam tulisan ini akan dibahas suatu struktur aljabar dengan
suatu himpunan tak kosong dan satu operasi biner serta memenuhi
beberapa sifat. Struktur ini dikenal dengan nama Grup. Berikut
definisi grup.
Definition
Suatu sistem aljabar yangyang memuat himpunan tak
kosongdilengkapi dengan operasi biner,dengan
serta memenuhi aksioma-aksioma berikut
1. Assositif
untuk setiap
2. Eksistensi elemen Identitas
terdapat elemen identitassedemikian sehinggauntuk semua
3. Eksistensi elemen Invers
untuk setiap,terdapatsedemikian sehingga
Berikut beberapa contoh dari grup.Contoh
Himpunan bilangan aslidengan operasi penjumlahan bukan merupakan
grup karena tidak memiliki identitas di.
Contoh
Himpunan semua bilangan bulatadalah grup abelian dengan operasi
penjumlahan pada bilangan bulat.
Penyelesaian.
Seperti yang telah diketahui bahwa penjumlahan dua bilangan
bulat, hasilnya pasti di bilangan bulat juga. Jadi operasi
penjumlahan sebarang bilangan bulat bersifat tertutup. Selanjutnya
akan dicek tiga aksioma berikut.
1. Assosiatif
ambil sebarang, sehingga
2. Eksistensi elemen Identitas
Klaimmerupakan identitas di. Seperti yang kita tahu bahwa sifat
dari bilangan bulatyaitu. Jadisebagai elemen identitas di.
3. Eksistensi elemen Invers
Klaimsebagai elemen invers. Pandangdan. Sehingga berlaku.
Jadi,elemen invers di
Grup yang memenuhi sifat komutatif untuk sebarang elemen di,
disebut denganGrup Abelian(Grup Komutatif).
Contoh
Misal diberikansebarang bilangan bulat yang tetap danmerupakan
himpunan semua pergandaan dari bilangan bulat oleh bilangan bulat.
Buktikan bahwamerupakan grup abelian dengan operasi penjumlahan
pada bilangan bulat.
Penyelesaian.
Ambil sebarang,dandiuntuk suatu.
1. Sifat Tertutup
karenadan berdasarkan sifat ketertutupan bilangan bulat, maka.
Sehingga. Jadi.
2. Assosiatif
3. Eksistensi elemen identitas
akan dicari elemen identitas, misalsedemikian sehingga
memenuhi
berdasarkan sifat bilangan bulat,dipenuhi oleh. Jadi,sebagai
elemen identitas.
4. Eksistensi elemen invers
akan dicari elemen invers dari, misalsedemikian sehingga
memenuhi.
berdasarkan sifat bilangan bulat,dipenuhi oleh. Jadi,sebagai
elemen invers.
Contoh
Diberikantak nol. Misal. Buktikandengan perkalian komposisi
adalah grup.
Penyelesaian.
ambil sebarang.
1. Sifat ketertutupan
karena, maka. Sehingga. Jadi.
2. Assossiatif
3. Eksistensi elemen identitas
Klaimsebagai elemen identitas untuk sebarang.
Jadi,elemen identitas di
4. Eksistensi elemen invers
Klaimsebagai elemen invers untuk sebarang.
Jadi,elemen invers diuntuk sebarang elemen di.
