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Contracción de FitzGerald - Lorentz
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“RelatividadDigital” — 2014/4/9 — 9:42 — page 1 — #1✐
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1.-Contraccion de FitzGerald-Lorentz
Part I: ¿Real o aparente?
Introduccion
Detectoróptico
Figura 1.1: Cada rayo refleja-do sigue una trayectoria diferentehacia el detector optico. Por esarazon, y para velocidades relati-vas cercanas a la velocidad de laluz, la contraccion de FitzGerald-Lorentz no puede verse como unasimple contraccion en la direcciondel movimiento relativo.
1 La visualizacion de un objeto fısico se construye
con los rayos de luz que, reflejados por el objeto, al-
canzan el correspondiente sistema de visualizacion.
Debido a la velocidad finita de la luz y a las dife-
rentes distancias que la luz ha de recorrer desde las
diferentes partes del objeto, no todos los rayos de
luz reflejados por el objeto alcanzan el sistema de
visualizacion al mismo tiempo. En consecuencia, la
contraccion de FitzGerald-Lorentz no es percibida
visualmente, o fotografiada, como tal contraccion
en la direccion del movimiento relativo, sino como
una especie de rotacion [163], [182], [140]. Aunque
la correccion apropiada de esos efectos revelara que
esa contraccion esta ahı.
2 En este libro hemos asumido que los resultados de todas las observaciones
y mediciones realizadas por un observador desde cualquier sistema de referen-
cia inercial son corregidas adecuadamente por un ordenador en cuya pantalla se
muestran las imagenes corregidas. En consecuencia, todos los objetos observados
en movimiento relativo seran representados y considerados como realmente con-
traıdos en la direccion del movimiento relativo, tal como prescribe la contraccion
de FitzGerald-Lorentz.
3 En un capıtulo anterior tuvimos la oportunidad de examinar el papel del factor
relativista γ = (1− v2/c2)−1/2 en la transformacion de Lorentz. Como vimos allı,
γ tambien puede ser reinterpretado como un factor para la conversion entre el
lenguaje analogico y el digital. La contraccion de la longitud, la dilatacion del
tiempo, la diferencia de fase en la sincronizacion y el incremento de la masa con el
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2 —— Contraccion de FitzGerald-Lorentz
movimiento relativo pueden ser todos ellos expresados en terminos de ese factor
relativista.
4 Como se vera en la siguiente seccion, la naturaleza real o aparente de la con-
traccion de Lorentz permanece abierta al debate, aunque las discusiones no son
muy populares. La mayorıa de los libros de texto introductorios y universitarios
sobre la teorıa de la relatividad especial le dedican poca, o ninguna, atencion. Los
debates sobre la naturaleza real o aparente de la dilatacion del tiempo, del desfase
en la sincronizacion de relojes y del incremento de la masa con el movimiento rela-
tivo son practicamente ignorados en la literatura sobre la teorıa de la relatividad
especial. Lo cual es chocante, porque ya sea real o aparente, la naturaleza de estas
cuatro consecuencias del movimiento relativo tiene que ser la misma, simplemente
porque todas ellas se derivan de la misma transformacion de Lorentz.
5 El debate sobre la naturaleza real o aparente de la contraccion FitzGerald
Lorentz se complica aun mas por otros debates externos que ponen en cuestion la
existencia de una realidad objetiva mas alla de los observadores humanos.
6 Aparte de revisar algunas opiniones sobre la naturaleza real o aparente de
la contraccion de FitzGerald-Lorentz, este capıtulo plantea algunos problemas
derivados de esa contraccion relativista, y por tanto de la interpretacion analogica
de la transformacion de Lorentz.
Contraccion de FitzGerald-Lorentz7 En el ano 1889 G. F. FitzGerald [68] y en el ano 1892 H. A. Lorentz [115]
propusieron independiente una contraccion real de la longitud de los objetos en
movimiento en la direccion del movimiento a traves del eter lumınico, con el
fin de explicar los resultados negativos del experimento Michelson-Morley (vease
el capıtulo ?? sobre Michelson-Morley). De acuerdo con FitzGerald y Lorentz, la
contraccion era causada por cambios en las fuerzas intermoleculares de los cuerpos
en movimiento (donde movimiento ha de ser entendido como movimiento absolu-
to). Puesto que no habıa razon para estos cambios, la propuesta fue considerada
un hipotesis ad hoc.
8 La contraccion FitzGerald-Lorentz es una consecuencia de los principios de
la teorıa de la relatividad especial. Para verlo, supongase que en un sistema de
referencia RFo un foton recorre una distancia vertical Lo en un tiempo t0 a su
velocidad universal c. En otro sistema de referencia RFv, coincidente con RFo
en un cierto instante y desde el cual RFo se mueve de izquierda a derecha en
la direccion del eje Xo con una velocidad v, el foton atraviesa la hipotenusa de
un triangulo rectangulo, uno de cuyos catetos es Lo (Figure 1.2). Dado que la
hipotenusa (en el espaciotiempo continuo) es mayor que ambos catetos y que
la velocidad de la luz es constante, el foton tarda un tiempo tv superior a to en
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Contraccion de FitzGerald-Lorentz —— 3
completar su viaje. Por tanto, la hipotenusa de ese triangulo sera ctv y sus catetos
Lv = Lo y vtv (vease ?? en el Capıtulo ??):
c2t2v = L2
o + v2t2v = c2t2o + v2t2v (1)
t2v(c2− v2) = c2t2o (2)
t2v =c2t2o
c2 − v2(3)
=t2o
1−v2
c2
(4)
Y por tanto:
tv = γto > to (5)
L o=
cto
L v=
ctv
L o=
cto
vtv
Vara métricaVara métrica
ctvcto
fotón fotón
Xo Xv
RFo RFv
Figura 1.2: Dilatacion del tiempo y contraccion de la distancia como consecuencia delos principios de la teorıa de la relatividad especial.
9 En consecuencia, el intervalo de tiempo to transcurrido en RFo es menor que el
intervalo tv transcurrido en RFv. Esto significa que si en RFo un foton atraviesa
la longitud Lo de un varilla metrica horizontal en un tiempo to (Figura 1.2), este
tiempo es menor que el correspondiente tiempo tv de RFv, lo que a su vez significa
que desde RFv la longitud de la varilla de RFo tiene que ser vista como contraıda
por un factor de γ−1 para hacer posible que un foton la recorra en un tiempo toa su velocidad universal c.
10 Por otro parte, tambien es inmediato obtener la contraccion de FitzGerald-
Lorentz a partir de la transformacion de Lorentz. En efecto, si xo1 y xo2 son las
coordenadas espaciales de los extremos de una varilla metrica en RFo paralela a
Xo, en el sistema de referencia RFv, desde el que RFo se mueve de izquierda a
derecha en la direccion de Xo con una velocidad constante v, las correspondientes
coordenadas xv1, xv2 seran tales que:
xo1 = γ(xv1 − vtv1) (6)
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“RelatividadDigital” — 2014/4/9 — 9:42 — page 4 — #4✐
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4 —— Contraccion de FitzGerald-Lorentz
x o1
xv1
x o2
xv2
Xo
Xv
ctvcto
x o=ct ox v
=ct v
Figura 1.3: Diagrama de espaciotiempo de una varilla metrica cuyas coordenadas espa-ciales propias son xo1 y xo2.
xo2 = γ(xv2 − vtv2) (7)
Y siendo tv1 = tv2 en el proceso de medicion realizado en RFv tendremos:1
xo2 − xo1 = γ(xv2 − xv1) (8)
O lo que es lo mismo:
xv2 − xv1 = γ−1(xo2 − xo1) (9)
¿Real o aparente?11 Acabamos de ver que la contraccion de FitzGerald-Lorentz es una consecuen-
cia inevitable de los principios de la relatividad. Ahora bien, ¿Es real2 o aparente
esa contraccion? La mayorıa de los autores de libros sobre la relatividad especial
evitan tratar con esta ’notoria controversia,’ como la llamo Max Born [36]). Sobre
esa controversia Anthony P. French escribio [71, pp. 113-114]:
Esta discusion deberıa dejar claro que la pregunta ¿tiene realmente lu-
gar la contraccion FitzGerald-Lorentz? no tiene una respuesta sencilla
e inequıvoca desde un punto de vista de la relatividad. Donde debe
ponerse toda la atencion es en definir que observaciones reales debe-
mos tomar si queremos medir la longitud de algun objeto que puede
estar en movimiento relativo respecto a nosotros. Y la prescripcion
es sencillamente medir sus dos extremos en el mismo instante, segun
nosotros ¿Que otra cosa podrıa hacerse? Ası la contraccion, cuando la
observamos, no es una propiedad de la materia sino algo inherente al
proceso de la medida.
1Para medir una varilla que se mueve se ha de medir la posicion de sus extremos en elmismo instante, en caso contrario un extremo se habrıa desplazado con respecto al otroy obtendrıamos una medida erronea de la varilla.
2Como algunos autores contemporaneos, por ejemplo [20], reclaman.
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¿Real o aparente? —— 5
¿Podrıamos decir lo mismo de la dilatacion del tiempo, de la diferencia de fase
en la sincronizacion de los relojes y del incremento de la masa con el movimiento
relativo?
Figura 1.4: El pepino de Born y el hombre menguante de Bohm.
12 En su ya clasico libro sobre la relatividad de Einstein M. Born escribio [36,
pp. 254-55]:
Si cortamos en rodajas un pepino, las rodajas seran tanto mas grandes
cuanto mas oblicuas las cortemos. Carece de sentido llamar aparentes
a los tamanos de las rodajas oblicuas y llamar real al tamano de, diga-
mos la mas pequena que podamos obtener con un corte perpendicular
al eje. De la misma forma, un varilla en la teorıa de Einstein tiene
varias medidas segun el punto de vista del observador. Una de esas
longitudes, la longitud en reposo o propia, es la mayor, pero eso no la
hace mas real que las otras.
13 Sobre el mismo asunto David Bohm escribio [34, Loc. 1253-71 Kindle edition]:
Se puede tal vez comparar esta situacion con lo que ocurre cuando
dos personas A y B se separan, aunque manteniendose cada una en
el campo visual de la otra. A dice que B parece hacerse cada vez mas
pequena, mientras que B dice que A parece hacerse cada vez mas
pequena. Por que no dice B entonces que A se esta haciendo cada
vez mas grande? La respuesta es que cada uno esta viendo una cosa
diferente: la imagen del mundo en su retina. No hay ninguna paradoja
en el hecho de que la imagen de A en la retina de B se haga mas
pequena al mismo tiempo que la imagen de B en la retina de A se
hace mas pequena. De forma similar no es paradojico decir que A
atribuye una contraccion a las reglas de B, mientras que B atribuye
una contraccion a las reglas de A simplemente porque cada uno de
ellos se esta refiriendo a algo diferente cuando habla de la longitud de
un objeto.
14 Y finalmente en un texto universitario de fısica podemos leer [86, p. 1032]:
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6 —— Contraccion de FitzGerald-Lorentz
¿Se encoge realmente un objeto en movimiento? La realidad esta ba-
sada en observaciones y medidas; si los resultados son siempre consis-
tentes y no se comete ningun error, entonces lo que se observa y se
mide es real. En ese sentido, el objeto realmente se encoge.
15 La pregunta ¿se contrae realmente un objeto en movimiento? revela una
cierta falta de honradez intelectual: el movimiento solamente puede ser relativo,
porque el movimiento absoluto es incompatible con la relatividad. Ası, todo lo
que podemos afirmar es que un objeto, cuando se observa en movimiento relativo,
es observado contraıdo en la direccion del movimiento relativo. El movimiento
relativo de un objeto hace que el objeto aparezca contraıdo en la direccion de
su movimiento relativo, y de tal manera que si, en esas condiciones, medimos su
longitud sera menor que si lo hacemos cuando el objeto esta en reposo.
16 En el sistema de referencia propio del objeto, el objeto no se observa con-
traıdo. Y, obviamente, ningun objeto puede estar y no estar realmente contraıdo
al mismo tiempo. Un objeto se puede observar simultaneamente como contraıdo
y como no contraıdo por dos observadores diferentes, segun la forma en que se
observe: en movimiento relativo en el primer caso (objeto contraıdo) y en reposo
en el segundo (objeto no contraıdo). Pero no puede estar realmente contraıdo y
realmente no contraıdo al mismo tiempo. Decir las cosas de otra manera significa
anadir confusion a este asunto.
Deformación aparente
láse
r
láse
r
(a) (b) (c)
Deformación real
aire aire
agua agua
Figura 1.5: Deformacion real y aparente. Notese que en (b) el rayo laser es paralelo ala varilla incluso si se sumerge la fuente del laser.
17 Como contrapunto, considerese ahora una varilla rıgida y recta parcial y
oblicuamente sumergida en agua. Debido a la refraccion de la luz, la varilla parece
estar doblada, pero evidentemente no lo esta como puede ser inmediatamente
comprobado sacando la varilla del agua, e incluso sin sacarla (figura 1.5 (b)).
Considerese tambien otra varilla de la misma forma y material que la primera
pero mecanica e irreversiblemente doblada como consecuencia de la aplicacion de
un esfuerzo mecanico apropiado. Aquı no hay controversia: en el primer caso la
deformacion es solo aparente; en el segundo la deformacion es real
18 Algo cambia en la estructura atomica de la varilla realmente deformada por
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¿Real o aparente? —— 7
un esfuerzo mecanico, como puede probarse experimentalmente, por ejemplo por
medio de la difraccion de rayos X. No es esto lo que ocurre en la varilla apa-
rentemente deformada por inmersion parcial en agua, como tambien se podrıa
comprobar mediante experimentos como el del metodo laser sugerido en la Figu-
ra 1.5. Tenemos entonces una asimetrıa experimentalmente verificable entre una
deformacion real y una deformacion aparente.Tiene sentido entonces hablar de
deformaciones reales y deformaciones aparentes
Xo1,000
Figura 1.6: Varilla FL.
19 Supongamos que en un cierto numero de siste-
mas de referencia existe una varilla identica (varilla
FL) provista de un medidor digital de longitudes
que mide periodicamente la longitud de cada vari-
lla y muestra el resultado numerico en la correspondiente pantalla. Supongamos
que todas las varillas en todos los sistemas de referencia estan colocadas para-
lelamente al eje X del sistema y que todas ellas se mantienen en las mismas
condiciones fısicas estandar. En consecuencia las pantallas de todos los medidores
mostraran siempre la misma medida, por ejemplo 1,000 m. Sean RFo, RFu, RFv,
RFw . . . sistemas de referencia coincidentes en un cierto instante y en movimien-
to relativo respecto a RFo con una velocidad u, v, w . . . paralela a Xo. Todos
los observadores en todos los sistemas de referencia observaran la misma medida
en todas las pantallas de todas las varillas FL, aunque esa medida no esta de
acuerdo con sus propias mediciones, excepto en el caso de su propia varilla FL.
Supongamos finalmente que todos los observadores se reunen en RFo para discutir
sus correspondientes medidas. ¿No serıa razonable concluir que todas las medi-
ciones realizadas en movimiento relativo estan distorsionadas por el movimiento
relativo de la misma forma que la forma de la varilla parcialmente sumergida
esta distorsionada por la refraccion de la luz?
20 Comparemos ahora la contraccion de FitzGerald-Lorenz con la deformacion
de la varilla parcialmente sumergida en agua:
· La contraccion de FitzGerald-Lorentz es real en el mismo sentido en el que lo
es el doblamiento de la varilla parcialmente sumergida: no son alucinaciones
de los observadores. Ambos casos son perfectamente explicables en terminos
fısicos.
· La contraccion de FitzGerald-Lorentz no es real en el mismo sentido que no
es real la deformacion que observamos en la varilla parcialmente sumergida.
Ambas deformaciones son meras consecuencias de dos formas particulares de
observar los objetos: en movimiento relativo en el primer caso y parcialmente
sumergido en agua en el segundo.
· Si observamos una varilla parcialmente sumergida podremos reconstruir su
forma y tamano real mediante una simple aplicacion de la ley de Snell sobre
la refraccion de la luz. De la misma manera, si observamos un objeto afectado
por la contraccion de FitzGerald-Lorentz, podemos tambien reconstruir su
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8 —— Contraccion de FitzGerald-Lorentz
forma y tamano propio mediante el factor relativista γ.
· Ambas deformaciones son reversibles en el sentido de que sacando la varilla
del agua y reduciendo la velocidad relativa a un valor nulo, las dos varillas
recuperan su forma y tamano original (propio).
· Al cambiar la inclinacion de la varilla parcialmente sumergida, tambien cam-
biara el nivel de deformacion. De manera similar, cambiando la velocidad
relativa con la que se observa un objeto, tambien cambia el grado de su
contraccion en la direccion del movimiento relativo.
· Ambas deformaciones ocurren sin que ningun esfuerzo mecanico actue sobre
los objetos deformados.
21 Expresiones desafortunadas como ’el movimiento modifica la longitud de los
objetos en movimiento’ son mas frecuentes de lo esperado en la literatura so-
bre la teorıa de la relatividad especial. Son, en efecto, desafortunadas porque ’el
movimiento modifica’ hace pensar en el movimiento absoluto, que es obviamente
incompatible con los principios de la relatividad. Ademas, se da por sentado que
la deformacion es real. Aunque menos espectacular, serıa mas exacto y menos
confuso decir que un objeto, cuando se observa en movimiento relativo, se ob-
serva contraıdo en la direccion del movimiento relativo. Y, en consecuencia, lo
mismo deberıa decirse sobre la dilatacion del tiempo, la diferencia de fase en la
sincronizacion y el incremento de la masa con el movimiento relativo.
22 La idea, por otra parte, de que la realidad concreta no existe sin observadores
humanos hace imposible la propia existencia de los observadores humanos, porque
la historia concreta de la vida de la que esos observadores han evolucionado no
habrıa sido posible sin esos observadores humanos. Dicho esto, y recordando a la
navaja de Ockham, ¿No deberıamos usar la palabra real en los casos como el de
la varilla deformada mecanicamente y la palabra aparente en los casos como el
de la varilla parcialmente sumergida? En este sentido, ¿es la contraccion FitzGe-
rald-Lorentz real como la varilla mecanicamente deformada o aparente como la
sumergida? O es real (o aparente) en otro sentido. Y si este fuera el caso, ¿en
que sentido?
23 Como la contraccion de Lorentz, la dilatacion inercial del tiempo, el desfase
en la sincronizacion y el incremento de la masa con el movimiento relativo son
tambien consecuencias de la transformacion analogica de Lorentz. En consecuencia
el status sobre su naturaleza real o aparente deberıa ser el mismo que el de la
contraccion de FitzGerald-Lorentz.
24 Imagınese un foton que se refleja continuamente entre dos espejos verticales
colocados en los extremos de una varilla horizontal (Figura 1.7). Un observador
en movimiento relativo con respecto a la varilla en una direccion paralela a la
misma, la vera contraıda por un factor γ−1. Si corrige la contraccion de FitzGe-
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Formas cambiantes —— 9
Fotón
cEspejo Espejo
Figura 1.7: La longitud aparente de una varilla observada en movimiento relativo sepuede corregir solo si tambien se corrige la correspondiente dilatacion inercial del tiempoy el desfase en la sincronizacion de los relojes.
rald-Lorentz tendra tambien que corregir la dilatacion inercial del tiempo y el
desfase en la sincronizacion de los relojes para poder realizar el calculo correcto
de la velocidad del foton.
25 Terminemos esta seccion parafraseando el siguiente texto universitario sobre
la contraccion de FitzGerald-Lorentz ([178, p. 42]):
(Original) Tengo que advertiros sobre el lenguaje. He dicho que una
varilla de longitud Lo observada desde su sistema de referencia propio
tiene una longitud mas corta Lv cuando se observa desde otro sistema
de referencia. A menudo este resultado se enuncia como ’Una varilla de
longitud Lo cuando es observada en su sistema de referencia propio,
parece tener una longitud mas corta Lv cuando es observada desde
otro sistema de referencia’. Este enunciado es verdadero: la varilla
parece tener una longitud Lv mas corta porque tiene una longitud Lv
mas corta. El uso de la palabra ’parece’ da la falsa impresion de que
cuando la varilla es observada desde un sistema de referencia en el
cual la varilla se mueve, la varilla realmente tiene una longitud Lo y
solo parece que tiene una longitud Lv. No. Cuando se observa desde
un sistema de referencia en el cual la varilla se mueve, la varilla tienen
realmente un longitud mas corta Lv.
(Parafrasis) Tengo que advertiros sobre el lenguaje. He dicho que una
varilla recta esta doblada cuando es observada parcialmente sumergida
en agua. A menudo este resultado se enuncia como ’Una varilla recta
parcialmente sumergida en agua parece doblada’. Este enunciado es
verdadero: la varilla parece doblada porque esta doblada. El uso de
la palabra ’parece’ da la falsa impresion de que cuando la varilla es
observada parcialmente sumergida la varilla esta realmente recta y solo
parece estar doblada. No. Cuando se observa parcialmente sumergida
en agua la varilla esta realmente doblada.
Formas cambiantes26 Considerese ahora una chapa cuadrada P hecha con el acero mas resistente
cuyo lado tiene una longitud propia Lo, y supongase que esta orientada de modo
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10 —— Contraccion de FitzGerald-Lorentz
que uno de sus lados sea paralelo al eje Xo de su sistema de referencia propio
RFo. Como no podıa ser de otra forma, despues de un giro de 45◦ sobre su centro
geometrico (Figura 1.8) y en el sentido de las agujas del reloj, P continua siendo
un cuadrado en su sistema de referencia RFo.
RFo RFv
Xo
Yo Yv
Xv
v
Figura 1.8: De acuerdo con los observadores de RFv , una simple rotacion basta paracambiar la forma de una chapa metalica fabricada con el mas resistente de los aceros.
27 En otro sistema de referenciaRFv desde el cualRFo se mueve en una direccion
paralela al eje Xo, P es visto antes de la rotacion como un rectangulo cuyos lados
son Lo y γ−1Lo. Despues de la rotacion de 45◦ la forma de P es la de un rombo
cuyo lado es Lo
√
(1 + γ−2)/2.
28 Que una simple rotacion libre sea suficiente para cambiar la forma de una
placa metalica va contra varias leyes mecanicas, fisicoquımicas y cristalograficas.
Por otra parte, y de acuerdo con el Primer Principio de la relatividad, las leyes
fısicas son las mismas para todos los sistemas de referencia. Esta incongruen-
cia deberıa ser una razon suficiente para que los observadores de RFv concluyan
que sus observaciones estan distorsionadas por el movimiento relativo de la mis-
ma manera que la observacion de una varilla parcialmente sumergida en agua
esta distorsionada por la refraccion de la luz.
RFo RFvYo Yv
Xo Xv
v
Figura 1.9: Deformacion sin esfuerzos mecanicos. Mediante una simple rotacion de laestructura, sus dos brazos se contraen y expanden alternativamente, sin que ningunafuerza actue sobre ella.
29 La estructura en escuadra representada en la figura 1.9 plantea un problema
similar: sucesivas rotaciones libres de 90◦ son suficientes para contraer, alterna-
tivamente, uno de sus brazos por un factor γ1 al tiempo que extiende el otro por
un factor γ, sin que ninguna fuerza actue sobre ellos.
30 Estos ejemplos de deformacion mecanica sin la accion de fuerzas se asemejan
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La polea deslizante —— 11
a la deformacion de una varilla cuando se sumerge parcialmente en agua y cuando
se saca del agua.
RFo RFv
F1
F1
F2F2
XoXv
?
v
Figura 1.10: Burbuja en equili-brio hidrostatico vista desde RFo
(izquierda) y desde RFv
31 Y finalmente sea B una burbuja de un cierto
fluido F2 en equilibrio hidrostatico con otro flui-
do F1. En su sistema de referencia propio RFo, la
burbuja tiene una forma esferica debido al hecho de
que la presion hidrostatica es la misma en todas las
direcciones. En RFv que se mueve respecto a RFo
en la direccion de Xo, la burbuja tiene una forma
elipsoidal debido a la contraccion de Lorentz en la
direccion del movimiento relativo. ¿Explicaran los
observadores de RFv la forma de burbuja en terminos de una deformacion real o
de una deformacion aparente?
La polea deslizante32 Una consecuencia mas intrigante de la contraccion FitzGerald-Lorentz es el
siguiente caso de la polea deslizante, en el que (¿aparentemente?) se violan varias
leyes de la mecanica.
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
mo
cuerda elástica
soporte deslizante
polea simple
Tensión To
escala métrica
soportevertical fijo
Yo
Xo
tornillo de fijaciónsección horizontal
lo
lo
secc
ión
vert
ical
Figura 1.11: De acuerdo con la leyes de la mecanica, en el equilibrio todas las marcasblancas y negras de la cuerda elastica han de tener necesariamente la misma longitud.
33 RFo es el sistema de referencia propio del montaje mecanico representado
en la figura 1.11, en el cual una carga de masa en reposo mo cuelga de una
cuerda elastica, cuyo extremo izquierdo esta unido a un soporte vertical fijo. La
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12 —— Contraccion de FitzGerald-Lorentz
cuerda se desliza sobre una polea que a su vez esta unida a un soporte deslizante
horizontal cuya posicion puede ser fijada mediante el correspondiente tornillo.
Una escala metrica, que consiste en una sucesion de marcas negras y blancas de
igual longitud, esta impresa sobre la cuerda elastica.3 En el equilibrio, la tension
mecanica es constante a lo largo de toda la cuerda, y en consecuencia la longitud
todas las marcas de la escala metrica ha de ser la misma, tanto si estan en la
seccion horizontal como si estan en la seccion vertical de la cuerda elastica. Una
conclusion que, siendo una consecuencia inmediata de las leyes de la mecanica, se
ha de verificar en todos los sistemas de referencia.
34 Sea lo la longitud propia de las marcas de la escala metrica, y supongamos
que el eje Xo de RFo es paralelo a la seccion horizontal de la cuerda. Al deslizar su
apoyo horizontal, la polea se mueve en la direccion izquierda-derecha, cambiando,
de una forma complementaria, el numero de marcas horizontales y verticales (por
sencillez supondremos que la polea se desliza siempre un numero entero de mar-
cas). Como era de esperar, en RFo la longitud de todas las marcas se mantiene
constante e igual a lo, esten en la seccion horizontal o en la vertical.
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
mv
Tensión Tvv
Yv
Xv
Tensión Tvh
T < Tvh vv
l lv o=
g-1
lo
Figura 1.12: En RFv , con respecto al cual RFo se mueve de izquierda a derecha en ladireccion del eje Xv , la longitud de las marcas horizontales de la cuerda estan contraıdaspor un factor γ−1, mientras que las marcas verticales mantienen su longitud propia lo.
35 RFv es un sistema de referencia inercial cuyo diagrama espaciotemporal
coincide con el de RFo en un cierto instante, y desde el que RFo se mueve de
izquierda a derecha, en la direccion de Xo con una velocidad v. En consecuencia,
y de acuerdo a la transformacion de Lorentz, en RFv la longitud de las marcas
verticales de la escala metrica es tambien Lo, mientras que las marcas horizontales
3Un truco comun que usamos en geologıa para ilustrar la deformacion mecanica de lasrocas.
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La polea deslizante —— 13
tienen una longitud contraıda γ−1Lo.
36 Sea n el numero de marcas de la escala metrica, y supongase que nh de
ellas estan en la seccion horizontal para una cierta posicion de la polea deslizante.
Obviamente, el numero de marcas verticales en esa misma posicion sera n − nh.
Como cabrıa esperar, en RFo la longitud Lo de la cuerda en equilibrio con la masa
colgante no varıa con la posicion de la polea:
Lo = nhlo + (n− nh)lo (10)
= lo(nh + n− nh) = nlo (11)
Sin embargo, en RFv la longitud Lv de la cuerda es variable, dependiendo de la
posicion de la polea, es decir del numero nh de marcas horizontales:
Lv = nhγ−1lo + (n− nh)lo (12)
= lo(nhγ−1 + n− nh) (13)
= lo(n− nh(1− γ−1)) (14)
Por tanto, a medida que el numero nh de marcas horizontales aumenta la longitud
Lv de la cuerda disminuye. O con otras palabras, si la polea se desplaza hacia la
derecha la longitud de la cuerda disminuye, y si se desplaza hacia la izquierda
su longitud aumenta. Obviamente esos cambios de longitud estan en desacuerdo
con las leyes de la mecanica: una misma masa colgante no puede crear diferentes
tensiones mecanicas, y por tanto diferentes estiramientos, en la misma cuerda.
mv
mv
1 12
2
3
3
4
4
5
5
6
6
lo
g-1
lo
Figura 1.13: La tension mecani-ca horizontal de cualquier partede la cuerda cambia cuando cam-bia su posicion de la seccion hori-zontal a la vertical y viceversa.
37 Al deslizar la polea hacia la izquierda o ha-
cia la derecha podemos hacer que cualquier par-
te de la cuerda pase de la posicion horizontal a
la vertical y viceversa. Cuando cambia, su tension
mecanica tambien cambia, siendo mayor cuando su
posicion es vertical (Figura 1.13). Estos cambios de
tension son tambien incompatibles con las leyes de
la mecanica.
38 Como acabamos de ver, la situacion mecanica
observada desde RFv es incompatible con las leyes
fısicas conocidas. Por una parte, la tension mecani-
ca de la cuerda debe ser la misma a lo largo de toda
su longitud y, por tanto, la longitud de todas sus
marcas metricas tiene que ser tambien la misma,
ya esten en la seccion horizontal o en la vertical.
Por la otra, la longitud total de la cuerda en equi-
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14 —— Contraccion de FitzGerald-Lorentz
librio con la masa colgante ha de ser siempre la misma, no puede cambiar con el
deslizamiento horizontal de la polea.
39 Los observadores de RFv tendrıan que concluir que la contraccion de Lorentz
que observan solo es aparente, como es aparente el doblamiento de la varilla
parcialmente sumergida en agua. En otro caso tendrıan que explicar el extrano
comportamiento mecanico de la cuerda elastica: tendrıan que explicar como es
posible que una cuerda elastica no tenga la misma tension mecanica a lo largo de
toda su longitud, y como puede ser estirada de diferentes maneras por la misma
masa colgante.
40 Por simetrıa, si la contraccion de longitudes por el movimiento relativo fuera
solo aparente, ası serıa tambien la dilatacion del tiempo, el desfase en la sincro-
nizacion de relojes y el incremento de masa con el movimiento relativo (como
veremos en el Capıtulo ?? sobre la ley de Hooke, existe otra fuente no relativista
para el aumento de la masa derivado de la equivalencia entre masa y energıa).
41 En resumen, todos los observadores en movimiento relativo con respecto a
RFo deberıan concluir que sus observaciones y mediciones son perturbadas por el
movimiento relativo, y de tal manera que no pueden obtener conclusiones fısica-
mente aceptables de lo que sucede en RFo. En este sentido, solo los observadores
en RFo pueden concluir que sus observaciones y mediciones estan de acuerdo con
lo que se espera de las leyes fısicas.
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Indice alfabetico
Asimetrıa deformacion real deformacionaparente, 7
Bohm, D., 5Born, M., 4, 5
Contraccion FitzGerald-LorentzComparada con la deformacion
mecanica, 6Comparada con la deformacion
refractiva, 6–8, 10, 14Consecuencia de los principios de la
relatividad, 2Derivada de la transformacion de
Lorentz, 3Expresiones desafortunadas, 8Formas cambiantes, 9Fuerzas intermoleculares, 2La polea deslizante, 11, 14Percepcion, 1Presion hidrostatica, 11¿Real o aparente?, 2, 4–9
Experimento Michelson-Morley, 2
FitzGerald, G.F., 2French, A.P., 4
γ como un convertidor analogico-digital, 1
Lorentz, H.A., 2
¿Real o aparente?, 2
Varilla de FitzGerald-Lorentz, 7
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