Annexes : 158

ANNEXES

Annexes : 158

4 Annexe 2.1 ________________________________________________________________ 159 4.1 Etat des publications.______________________________________________________________ 159

4.1.1 Calcul du régime établi. _______________________________________________________ 159 4.1.2 Modèle de résistance variable. __________________________________________________ 159 4.1.3 Modèle par sources idéales. ____________________________________________________ 159 4.1.4 Changement dynamique de modèles._____________________________________________ 159

4.2 Réseaux de Petri et graphes de liens __________________________________________________ 160

5 Annexe 2.2 ________________________________________________________________ 161 5.1 Analyse de causalité et méthode nodale modifiée. _______________________________________ 161

5.1.1 EDO contre EDA. ___________________________________________________________ 161 5.1.2 Extension de l’analyse de causalité.______________________________________________ 162

6 Annexe 2.3 ________________________________________________________________ 163 6.1 Approximation linéaire.____________________________________________________________ 163

6.1.1 Modèle idéal linéarisé du Boost autour d’un point de fonctionnement ___________________ 165 6.1.2 modèle moyen non idéal linéarisé du Boost________________________________________ 165

7 Annexe 3-1 ________________________________________________________________ 166 7.1 Solution de D’Alembert. ___________________________________________________________ 166

8 Annexe 3-2 ________________________________________________________________ 167 8.1 Méthode de Bergeron _____________________________________________________________ 167

9 Annexe 4-1 ________________________________________________________________ 170

10 Annexe 4-2 ________________________________________________________________ 171

11 Annexe 4-3 ________________________________________________________________ 173

12 Annexe 4-4 ________________________________________________________________ 174

13 Annexe 3-4 ________________________________________________________________ 174

Annexes : 159

ANNEXES

4 ANNEXE 2.1 4.1 Etat des publications.

4.1.1 Calcul du régime établi. La modélisation simplifiée des convertisseurs a (quelquefois) besoin du régime de fonctionnement établi d’un convertisseur. L’effort, sur ce point, vise à faire le calcul du régime établi le plus économiquement possible [133]. Ce type de démarche est intéressant dans le cadre de la conception, mais les travaux publiés indiquent que le cas d'un convertisseur réel est très mal pris en compte.

4.1.2 Modèle de résistance variable. La représentation des interrupteurs par une résistance variable est la plus ancienne [113]. Elle calque la chute de tension aux bornes des interrupteurs. Les problèmes de convergence lors du changement de la valeur des résistances, rendent l’approche délicate. Aussi elle n’est plus utilisée qu’à but pédagogique, notamment parce qu’elle est facilement mise en œuvre avec le composant TSwitch de Pspice [118]. Les simulateurs universitaires comme Script ou Circuit ont tiré parti de la représentation par résistance variable. Ces simulateurs ont perdu de l'intérêt devant la présence du simulateur Saber par exemple, qui offre les mêmes modèles.

4.1.3 Modèle par sources idéales. La représentation des interrupteurs par une source de courant ou de tension nul(le) est un concept intellectuellement satisfaisant [137]. Cette représentation idéale a été employée avec les graphes de liens [114-115]. Contrairement à la représentation par résistance, les simulateurs de type Spice ne gèrent pas [129] l’interrupteur idéal à cause de la formulation implicite introduite par la méthode nodale. L’interrupteur idéal introduit des changements de topologie du circuit. Il s’agit de la base de construction des modèles simplifiés (moyens) de convertisseurs. Des travaux ont tiré parti de ces changements pour aboutir à des simulateurs très efficaces [133-138].

4.1.4 Changement dynamique de modèles. Le simulateur Pacte exploite le changement dynamique de modèles, relié à la description par réseaux de Petri. la figure 4.1 représente une comparatif pour un exemple de circuit. Les chiffres montrent indéniablement l'efficacité du changement dynamique de modèles. Table 4.1: Comparaison du coût CPU pour la simulation de 3ms environ du circuit de la figure 2.0, avec les outils HSpice [118], Saber 4.3 [120], CAP [136] et Pacte [5] (station de travail Sun Sparc 10).

Annexes : 160

Spice(α) Saber(β) CAP(δ) Pacte(γ)

Coût CPU (s) 589 196 32 5.2

Conditions imposées pour obtenir des précisions comparables:

α : pas d'intégration limité à 0.3µs

β : pas de temps limité à 1µs

δ : pas de temps limité à 1µs [136]

γ : phase de construction du réseau de Petri du circuit: 0.9s

Figure. 4.1 Schéma considéré pour les simulations de la table 4.1. Une impulsion est appliquée

sur la tension d'alimentation.

4.2 Réseaux de Petri et graphes de liens Les réseaux de Petri des interrupteurs idéaux sont représentés sur la figure 4.2. L’état "fermé" correspond au modèle de la source de tension nulle, avec la causalité d’une source de tension. L’état "ouvert" correspond au modèle de la source de courant nul, avec la causalité de la source de courant. Tout ceci n’est pas nouveau : Hautier et Manesse [137] par exemple, avaient largement discuté ce point.

Figure. 4.2 Interrupteur idéal: réseau de Petri et causalité. a) diode, b) interrupteur commandé

par la variable binaire, g.

Annexes : 161

De même la combinaison des états des interrupteurs conduit au réseau de Petri du convertisseur. L’apport de la causalité par rapport aux développements de [137] est de permettre la construction automatique du réseau de Petri du convertisseur. D’autre part les combinaisons non causales sont éliminées : elles correspondent en général au court-circuit de sources de tension ou à l’ouverture de sources de courant . De manière pratique, un algorithme du simulateur Pacte analyse la causalité de l’état de départ de la simulation, spécifié par l’utilisateur, et poursuit l’analyse à la volée en cours de simulation. La causalité variable a été étendue à tous les composants, comme l’inductance et le condensateur (figure 4.3) [137]. Un condensateur court-circuité n’a plus d’effet par exemple. Maintenir son modèle transitoire (capacitif), avec sa variable d’état contrainte à 0, ralentit la simulation, en bridant le pas de temps. Il est plus efficace de considérer alors un modèle de source de courant nul.

Figure. 4.3 Causalité variable de l'inductance (a) et du condensateur (b).

Aussi à partir du réseau de Petri d’un convertisseur, il est facile d’indiquer les conditions initiales de la simulation. En descendant la hiérarchie des réseaux de Petri, le logiciel Pacte répercute les conditions initiales de la simulation pour calculer les valeurs de l’état des composants. Les simulateurs de circuit usuels, basés sur la méthode nodale modifiée, ne proposent pas de possibilité (simple) de décrire des conditions initiales de simulation. Les conditions initiales sont spécifiées par des potentiels aux différents nœuds du circuit, et la moindre loi de Kirchhoff mal satisfaite crée des problèmes de calcul du point initial (DC Bias Point). 5 ANNEXE 2.2 5.1 Analyse de causalité et méthode nodale modifiée.

5.1.1 EDO contre EDA. L’autre point fort de l’analyse de causalité est d’assurer une mise en équation du système sous la forme d’une équation différentielle ordinaire (EDO) explicite lorsque le système est causal [139-140]. La méthode nodale conduit de son côté à une mise en équation implicite, sous la forme d’une équation différentielle et algébrique (EDA). La qualité d’une EDO est préférable face à une EDA : l’unicité de la solution est assurée, ce qui confère une grande efficacité à la simulation, puisqu'une EDO élimine tout problème de convergence dû au système temporel.

Annexes : 162

5.1.2 Extension de l’analyse de causalité. Si l’analyse de causalité séquentielle, telle que définie par Karnopp [141], permet une bien meilleure mise en équation d’un système que la méthode nodale modifiée, elle a néanmoins des limites. Par exemple le graphe de lien de la figure 4.4 présente une causalité indéterminée. Le graphe de liens n’admet qu’un seul élément capable de fixer le flux (le courant) au niveau de la jonction 1, et il y a indétermination entre R1 et R2. L'analyse de Causalité conduit à l'écriture d'une EDA à une inconnue (le courant). La mise en équation implicite par la méthode nodale conduit à une EDA, et ne fait évidemment pas apparaître ce genre de problème ! Par contre la méthode conduit à l'écriture d'un système de 3 EDA à 3 inconnues.

Figure. 4.4 Exemple d'un circuit simple présentant une causalité indéterminée. (a)

représentation nodale, (b) graphe de liens.

Gawthrop[22] a souhaité pouvoir représenter graphiquement la possibilité que la causalité d’un lien puisse être retournée : c'est-à-dire calculée par une propagation de la causalité dans un sens du lien ou dans l'autre. Cette possibilité est intéressante pour l’analyse structurelle d’un graphe de liens dans l’objectif du calcul d’un modèle inverse, ou du dimensionnement [142], tel est le cas pour nos modèles de sondes. L’analyse de causalité algébrique a ensuite été modifiée [29] pour tenir compte des contraintes algébriques évoquées plus haut. Le graphe de liens de la figure 4.5 porte les signes de l'analyse de causalité algébrique, dans le cas où les composants L1, L2, et C1 sont caractérisés par leurs modèles transitoires respectifs. La jonction 0:n1 présente une faute de causalité qui se traduit par une relation de contrainte algébrique L'introduction de l'inductance de maille Lc a rendu le circuit hacheur déterministe. Nous en concluons donc qu'une représentation non déterministe d'un système peut masquer un élément parasite fondamental pour la description transitoire du système. L'analyse de causalité permet donc de fournir une alarme quand la description du système est incomplète.

Annexes : 163

Figure. 4.5 Autre exemple de graphe de lien présentant un défaut de causalité : (a) représentation nodale, graphe de liens. (b) représentation nodale, graphe de liens après la

correction.

6 ANNEXE 2.3 6.1 Approximation linéaire. Soit le schéma du Boost réalisé à la figure suivante :

Figure 4.6 Schéma du Boost.

Le convertisseur Boost (figure 4.6) est un système non linéaire car il fonctionne en commutation. Nous nous intéressons à la mesure du comportement en boucle ouverte du convertisseur de puissance Boost. L’objectif de cette mesure est de déterminer expérimentalement la réponse

1 Se :VR 0:n1

D

R:R

R:Rg

iM VM

Vg Se :g 1 ig

I :L iL VL id Vd

1

M P.b. de causalité

1Se :VR 0:n1

D

R:R

R:Rg

iM VM

VgSe :g 1ig

I :L iL VL id Vd

1

M

I:Lc

Iin Iout

VinK C

R

DL RL

VR VouIs

Ic

VR

iM

iL L

MOS

D

g

Rg

R

iD

VR

iM

iL L

MOS

D

g

Rg

Lc

R

iD

a b

Annexes : 164

fréquentielle du rapport ˆ

ˆ( )outV

V ρ en petits signaux. Afin d’effectuer cette mesure nous allons faire

varier le rapport cyclique de 5% autour de sa valeur 5,00 =ρ et à l’aide de l’impédance mètre

HP4194 nous allons mesurer le rapportˆ

ˆ( )outV

V ρ autour de son point de fonctionnement.

Comme l’impédance mètre n’accepte pas à son entrée une tension continue supérieur à 42v, nous avons utilisé un potentiomètre (50k Ω) en diviseur de tension. Pour varier le rapport cyclique, et vu que la relation entre la tension de consigne Vρ et le rapport cyclique est linéaire on a ajouté à la tension de consigne un signal périodique afin d’obtenir une variation du rapport cyclique autour de son point de fonctionnement.

Figure 4.7 Schéma de réalisation.

L’impédance mètre génère un signal sinusoïdal de valeur maximal 100mv,ce signal est ajouté à la tension de consigne 0V ρ . Cette variation entraîne une variation V ρ du rapport cyclique autour de son point de fonctionnement. Cette variation se répercute sur la tension de sortie Vout. L’impédance mètre élimine la composante continue et effectue la mesure du rapport en petit

signaux. ˆ

ˆ( )outV

V ρ.

ˆ0ρ ρ+

V ρ

0 ˆV Vρ ρ+ 0 ˆ

out outVV +

HP 4194A

Gai BOOST

0V ρ

Adaptation

'0 ' ˆout outV V+

BOOST

ρ0

V0ρ

V0in V0

out

V0'out PWM HP4194A +

Annexes : 165

6.1.1 Modèle idéal linéarisé du Boost autour d’un point de fonctionnement Les équations réagissant le comportement idéal du circuit (figure 4.6) sont:

( )

( ) ),,(1111

,,111

2

1

ρρ

ρρ

outinout

ininSoutout

outinbatoutoutinLin

VIfR

VC

IC

IC

IICdt

dV

VIfVL

VL

VL

ILR

dtdI

=−−=−=

=++−−= (4.1)

avec ( ) ( ) inoutoutin IIetVV ρρ −=−= 11 (4.2)

le système d’équations peut se mettre sous la forme matricielle suivante:

( ),

11 10,

11 1 00

l

in in in Rin out

out outout

RI I I VLL L f I VL

V VVCC RC

ρρ

− − = + = −−

(4.3)

En utilisant un développement en série de Taylor limité à l’ordre 1 suivant : 0ˆ

in in inI I I= − 0ˆo u t o u t o u tV V V= −

0ρ ρ ρ= − 0bat bat batV V V= −

nous obtenons:

( )

( )

0 0

0 0

1 1 11ˆ ˆˆˆ

ˆ1 1 1ˆ 01

outin in

R

outout in

RL VI IL L L VLVV I

C RC C

ρρ

ρ

− − − = + + − − −

(4.4)

En considérant VR constante, les équations d’état du système deviennent : ˆ ˆ ˆ*ˆ ˆ ˆ*

X A X B U

Y C X D U

= +

= +

avec 01

t

C

=

et 0D =

U ρ=

6.1.2 modèle moyen non idéal linéarisé du Boost Les délais virtuels augmentent la précision du modèle moyen par rapport à une construction considérant des interrupteurs idéaux. Les équations réagissant le comportement électrique du Boost et du couple diode/MOSFET sont :

0.[1 ]BoostiD

out inIiT

δρ< >= − + (4.5.a)

0( ). 1 .Boost BoostvDS vDS

in Out Don DSonv V V vT T

δ δρ ρ < >= + − − + +

(4.5.b)

la résolution du système précédent par un développement en série de taylor limité à l’ordre 1, nous obtenons :

11 12 1 1

21 22 2 2

ˆ ˆˆˆ

ˆˆin in

R

outout

I Ia a b c Va a b cVV

ρ = + +

Annexes : 166

avec :

( )

0

011

0 0

12 21

0 022 1 2out

1 2

. ,

1 11 , 1 ;

1 , V , ,.

1 , 0.

BoostvDSD L D T D T

S

BoostiDBoost

vDS

inD Tin

R R R R R Ra

L L T L

a aL L C T C

IR R Ia b bC R L C

c cL

δ ρ

ρ ρδδ

+ + + = − − −

= − − = − −

+= − = − + = −

= =

RD et RT sont respectivement les résistance de la diode et du MOSFET. 7 ANNEXE 3-1 7.1 Solution de D’Alembert. Nous supposons que la ligne est sans perte (R=0)et que la conductance est assez grande pour être négligée dans la résolution du système (G=0). Par dérivation on obtient de (3.7) :

2 2

2 2 2

1V Vx tυ

∂ ∂=∂ ∂

(4.6.a)

2 2

2 2 2

1I Ix tυ

∂ ∂=∂ ∂

(4.6.b)

avec 1LC

υ = la vitesse de phase et LZC

= impédance caractéristique de la ligne.

C’est l’équation de d’Alembert [63]. Nous remarquons d’abord que l’équation prend une forme plus symétrique si on remplace la variable t par τ = ut car il vient :

2 2

2 2V Vx τ

∂ ∂=∂ ∂

et 2 2

2 2I Ix τ

∂ ∂=∂ ∂

(4.7)

Ce qui suggère que les variables x et τ doivent jouer des rôles semblables dans la solution, mais que seule la dérivée seconde intervient. En posant u=x+υt=x+τ ; v=x-υt=x-τ.

Nous obtenons 2 2 2 2

2 2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )2.. VV

V I V I V I V Iux u

∂ ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂∂ ∂

(4.8)

2 2 2 2

2 2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )2.. VV

V I V I V I V Iuuτ

∂ ∂ ∂ ∂= − +∂ ∂ ∂∂ ∂

(4.9)

En reportant dans l’équation des ondes (4.7)

Nous obtenons 2( , ) 0

. V

V Iu

∂ =∂ ∂

(4.10)

Annexes : 167

La solution de (4.10) s’écrit ( )V f uu

∂ =∂

d’où la solution de d’Alembert s’écrit

( ) ( )VV F u G= + , F(u) est une primitive de f(u). Finalement la solution obtenue est :

( ) ( )( , )V x t F x t G x tυ υ= + + − (4.11) de même en reportant (4.7) dans (4.5) on a :

( ) ( )( )( , ) F x t G x tI x t Zυ υ+ − −= (4.12)

par addition (respectivement soustraction) de l’équation (4.11) multipliée par Z (4.12) on obtient le système

( )( , ) . ( , ) 2.V x t Z I x t F x tυ+ = + (4.13.a)

( )( , ) . ( , ) 2.V x t Z I x t G x tυ− = − (4.13.b) Dans l’équation (4.12) il est remarquable que le terme (V+ZI) reste constant avec (x-υt), et le terme (V-ZI) avec (x+υt). La signification de ces équations peut être visualisée par le déplacement à la vitesse υ d’observateur allant du générateur vers le récepteur ( donc pour lequel (x-υt), et par suite (V+ZI), reste constant). C’est à dire que si τ est le temps de parcours de la ligne, entre ses extrémités e et s, l’expression, V+ZI, rencontrée par l’observateur lorsqu’il quitte le nœud s à l’instant t-τ, sera la même que celle qu’il trouve au nœud e à l’instant t. On remarque que la valeur prise par ( , ) . ( , )V x t Z I x t+ au point e (Figure 3.15) au temps ∆t est la même que celle prise au temps zéro au point d’abscisse Z+υ∆t d’où

( , ) . ( , ) ( , ) . ( , )V e t Z I e t V s t Z I s tτ τ− + − = + (4.14.a) ( , ) . ( , ) ( , ) . ( , )V s t Z I s t V e t Z I e tτ τ+ − + = − (4.14.b)

soit: ( ) . ( ) ( ) . ( )e ee st Z t t Z tV VI Iτ τ− + − = + ( ) . ( ) ( ) . ( )e ee st Z t t Z tV VI Iτ τ+ − + = − (4.15) 8 ANNEXE 3-2 8.1 Méthode de Bergeron Nous posant :

( )( ) [ ( )]se s

tVt tiI Z= − − (4.16.a)

( )( ) [ ( )]es e

tVt tiI Z= − + (4.16.b)

On peut écrire les équations (4.15 ) sous la forme :

Annexes : 168

( )( ) [ ( )]eee

tVt ti IZτ= + − (4.17.a)

( )( ) [ ( )]sss

tVt ti IZτ= − + − (4.17.b)

Ce qui permet de remplacer la ligne par un schéma équivalent formé de deux sous réseaux indépendants (figure 4.9) reliés par les équations (4.17) .

ie is

Yz = 1/Z

Yz=1/ZVe

Vs

)Ie(t τ−

)Is(t τ−

Avec ( ) ( ). ))e es Zt V (t i (tI Yτ− = − + . ) ( ). ))s se Z(t V (t i (tI Yτ− = − − .

Figure 4.9 Circuit équivalent d’un câble de sonde. Où le système d’équation à résoudre (câble lié à une charge résistive argch eY ) est :

( )arg( ) ( ) /ss z ch et tV I Y Yτ += −− (4.18.a) ( )( ) ( )z ee e tt ti VY I τ−= + (4.18.b)

[ ]( )( ) ( )z ss s tt ti VY I τ−= − + (4.18.c)

. ( ) ( )( )s z e et ttI V iY + = − (4.18.d)

. ( ) ( )( )e z s st ttI V iY − = − (4.18.e) A partir de ce principe, nous pouvons développer tous les éléments nécessaires d’un réseau R, L, C sous la forme de schéma équivalent comportant des sources de courant, sachant que nous avons utilisé la méthode d’Euler rétrograde, vu la stabilité qu’apporte cette méthode par rapport aux autres méthodes. Dans le cas d’une capacité, l’équation s’écrit :

121

( )( ) tdvt Ci dt= ⋅ .

Soit en appliquant la formule d’Euler rétrograde, on obtient :

121 1 2( ) [ ( ) ( )] ( )Ct t t t ti v v It= ⋅ − + − ∆∆ , Avec 12 1 2( ) [ ( ( ) ( ))]Ct t tv vI t= − ⋅ −∆ (4.19)

Tout réseau contenant des éléments R, L, C et des lignes peut donc, à l’instant t, être ramené à l’étude d’un circuit à constantes localisées, en régime établi. La résolution de cette équation permet de déterminer les tension ( )i tv en fonction des sources de courant injectées ii , connues iI et des sources de tension connues cv .

Annexes : 169

E ntrée desdonnées.

D éterm ination du réseauéquivalent

Form ation de la m atricesd’adm ittance nodale

Initialisation V 1… . V n(0)ij(0).

R esolution du systèm e (4 .21) et calcul deV 1… V n à t.

t = 0 .

C alcul de Ii (t-∆ t)

t = D t+ t .

t = tm ax.

Fin

C alcul de ij(t).

Figure 4.10 Le diagramme du calcul d'un modèle direct.

L’organigramme de calcul est alors celui représenté sur la figure 4.10. L’étude est alors faite à l’aide de la matrice d’admittance nodale. Y.V = I - i. (4.20) Où, Y = matrice analogue à admittance nodale V = vecteur des tensions nodales. i = vecteur des sources de courant injectées aux nœuds (données). I = vecteur des sources de courant connues à l’instant t dans le schéma.

Si i

c

vVv

= ,ou iv est le sous-vecteur des tensions inconnues et cv celui des tensions connues,

(4.20) s’écrit :

Non

Annexes : 170

ii iii ic

cc cci cc

y y v i Iy y v i I

= − soit en résolvant par rapport à iv

ii i cii icy yv i vI= − − (4.21)

La résolution de cette équation permet de déterminer les tension ( )i tv en fonction des sources de courant injectées ii , connues iI et des sources de tension connues cv . Ce type de méthode présente deux avantages principaux : Simples et relativement proches de l’aspect physique des phénomènes. Leur implantation est facile et leur temps de calcul relativement faible. Par contre, une allocation de mémoire est nécessaire d’autant qu’on exige un niveau de précision (pas faible). La précision de la méthode est liée à la nature du problème. 9 ANNEXE 4-1 Lors de notre utilisation de ISE-DESSIS au cours des différentes simulations effectuées, nous avons rencontré quelques problèmes de convergence. Nous citons à titre indicatif : ◊ Lors de la simulation d'une diode en inverse (appliqué une tension négative à ces bornes) le simulateur diverge !. Pour la simple raison, c'est qu'il faut utiliser une résistance en série. Ceci nous fait rappeler du causalité du circuit. En effet l'introduction de la résistance assure la causalité du circuit. De même pour la simulation de la caractéristique direct de la diode ◊ Pour l'étude transitoire de la cellule de commutation, en trouve une difficulté pour assurer la convergence du simulateur. L'idée est d'utiliser la méthode « homotopy » utilisé aussi par le simulateur SPICE-2 [103]. Donc pour faire l'étude transitoire de la cellule de commutation, il faut faire une étude statique : pour le même circuit, nous augmentant successivement les sources de tension et de courant aux valeurs désiré (IF, VR), sachant que la commande est toujours inactive (0V). Dans cette démarche il faut essayer les combinaisons possibles dans le cas où il y ait encore une divergence (faire croître IF, puis VR ou l’inverse). Une fois l'étude statique terminée, nous récupérons le résultat obtenu comme point de départ pour l'étude transitoire.

Annexes : 171

10 ANNEXE 4-2

50 .0n 100 .0n 15 0 .0n 200 .0n 250 .0n

-25-20-15-10

-505

S im u la tio n E xper ience

Cou

rant

(A)

T em ps(s)

50 .0n 100 .0n 150 .0n 200 .0n 250 .0n

-4 00

-3 00

-2 00

-1 00

0

IF=2.5 A , V R =150 V , D iode:B YT 12 P1000 , M O S: IR F 740 , IS E .

S im u la tion Exper ience

Ten

sion

(V)

50.0n 100.0n 150.0n 200.0n 250.0n

-25-20-15-10

-505

Simulation Experience

Cou

rant

(A)

Temps(s)

50.0n 100.0n 150.0n 200.0n 250.0n

-400

-300

-200

-100

0

IF=2.5A, VR=200V, Diode:BYT12P1000, MOS: IRF740, ISE.

Simulation Experience

Ten

sion

(V)

-a-

Annexes : 172

0.0 50.0n 100.0n 150.0n 200.0n 250.0n

-15

-10

-5

0

5

Simu lation Experience

Cou

rant

(A)

Tem ps(s)

0.0 50.0n 100.0n 150.0n 200.0n 250.0n

-350-300-250-200-150-100

-500

IF=2A, V R=150V,BYT12PI600, IRF740, PACTE

Simu lation Experience

Ten

sion

(V)

0.0 50.0n 100.0n 150.0n 200.0n 250.0n

-25-20-15-10

-505

Simu lation Experience

Cou

rant

(A)

Tem ps(s)

0.0 50.0n 100.0n 150.0n 200.0n 250.0n-350-300-250-200-150-100

-500

IF=6A, V R=150V, D iode:BYT12PI600, M OS: IRF740, PACTE.

Simu lation Experience T

ensi

on (V

)

-b-

Figure 4.11 Résultats de simulation et mesures (ISE : BYT12PI100-« -a- » ,PACTE : BYT12PI600« -b- »).

Annexes : 173

11 ANNEXE 4-3 L’énergie emmagasinée dans la diode à l'état bloqué est de forme électrostatique. La charge

positive dans la zone de charge d'espace, 0

. . ( ).w

n q A x dxQ = Γ∫ peut s’exprimer par l’expression

suivante [3]:

nD p

dQi idt

= − avec pi = 0 (diode bloqué). (4.22)

En multipliant les deux termes de l’équation 4.22 par - DV , On obtient :

. .nDD D

dQV i Vdt

− = − , sachant que [3] : D bi BV v u= − , et ( )2

2

1 .2. . . .B n

DQu q N Aε

= alors :

( )3

2

1. ( . ) .3.2. . . .

n nbi D D

D

d dQ Qv i Vdt q dtN Aε

− − = −

(4.23)

( )31 .

23.2. . . ..

bi n nD

D D

d Q Qvq N A

i Vdt

ε

⋅ − − = − , d’où l'énergie à l'état bloqué s'écrit:

( )3

2

1( ) .3.2. . . .B D n nbi

DQ QU V v q N Aε

= ⋅ + − .

( )32

2

1( ) 2. . . . .6. . . .B D D B nbi

D

q QAU V N uv q N Aε

ε

= ⋅ + −

( )3/ 2 3/ 22 2

2

1( ) 2. . . . . .( )(2. . . . )6. . . .B D D bi DB Dbi

D

q A qU V v N v Vu N Aq N Aε ε

ε

= ⋅ + − −

Pour VD=-VR la tension inverse appliquée à la diode et en négligeant la tension vbi (vbi<<VR) il

vient :

1/ 2 3/ 222( ) . 2. . . . . .( )( . . . )3B D bi D B RDq qU V v N uA VN Aε ε

= ⋅ +−

, avec TND

D

uL qNε

=

3/ 2

2( ) ( . 2. . . . ) ( . . . ). . .3R

B D bi D B T NDD

T

Vq q AU V v N u u LA N

uε

= ⋅ +−

(4.24)

En négligeant le premier terme par rapport au deuxième (vbi<<VR), l’énergie UB déduite s’écrit :

Annexes : 174

3/ 22( ) . . .

3R

NDB D D TT

Vq AU V N u Lu

= (4.25)

12 ANNEXE 4-4 Dans notre cas (Sonde P6139A, Oscilloscope Tek. TDS 744A) nous avons Ro =1MΩ, Co=10pF, Rt=10MΩ, Ct=8pF. Nous remarquons bien que ces valeurs ne vérifient pas la relation (3-4). Ce qui est tout à fait vrai car nous n’avons pas tenu encore compte du câble et du corps de la sonde qui introduisent eux-mêmes une capacité équivalente. Voici le schéma (Figure 4.12) équivalent tenant compte de tous les éléments : On vérifie bien que (Rt.Ct) égale (Ca+Ccor+Co). (Ro), égale à 72µs, sachant que : Rt=9MΩ, Ct =8pF, Ca=55pF, Ccor=8pF, Co=10pF, Ro=1MΩ (Sonde P6139A).

Figure 4.12 Schéma général de la sonde de tension.

13 ANNEXE 3-4 Si l est la longueur d’une ligne considérée, on décompose la ligne en n quadripôles de longueur dz=l/n. Pour simplifier le calcul (pour le début du calcul) on adoptera pour le quadripôle élémentaire la structure en Té systématique de la figure 4.13.a. La structure symétrique en π de la figure 4.13.b conviendrait tout aussi bien car la différence entre ces deux schémas ne change que la partie initiale des calculs et le choix entre les deux devient sans importance après le passage à la limite n → ∞ , dz → 0. La symétrie du quadripôle élémentaire n’est ainsi utile que dans la première partie du calcul qu’elle simplifie, mais n’influe pas le résultat final. On mènera donc la théorie dans le cas du Té de la figure 4.13.a.

Figure 4.13 L’élément symétrique adapté pour le calcul du modèle de câble en utilisant la fonction de transfert.

Le régime d’onde progressive correspond à la charge du quadripôle par son impédance caractéristique Zc et l’on a alors 1 1 2 2 cV i V i Z= = (4.26)

Rt

Ct

Tête de sonde

Ro

Co Ccor

RcorCa

Câble-ligne Le corps de la sonde Oscilloscope

Z/2

Y Y

b a Z/2 Z/2

Y

i1 i2

V V

Annexes : 175

Après développement [63], on obtient ( )( )2 1

1 21 2

c

c

Z ZV V

Z Z+

−= (4.27)

Sachant que l’impédance d’entrée doit être Zc on a donc [63] :

14c

Z ZYZ Y

= + (4.28)

Dans le cas de la ligne idéale, on a alors 0l lGR = = et sachant que :

c lljZ L n

ω= et c lljCY n

ω= . On a lc s

l

LZ RC

= = .

On développant également l’équation (4.27) au second ordre, on a : ( ) ( )2

2 1 1 2 c cV V Z Z Z Z= − + (4.29) La ligne étant décomposée en n quadripôles (figure 4.13), on a :

( ) ( )( )21 1 2 1 3 2 1. ... 1 2

n

c cn n nV V V V V V V V Z Z Z Z+ += = − + (4.30)