Contribution à l'étalonnage d'une machine à mesurer de très haute

Contribution a letalonnage dune machine a mesurer de

tres haute precision : mesure de rectitude et de planeite

a un niveau dincertitudes nanometriques

Siriwan Boripatkosol

To cite this version:

Siriwan Boripatkosol. Contribution a letalonnage dune machine a mesurer de tres hauteprecision : mesure de rectitude et de planeite a un niveau dincertitudes nanometriques.Genie mecanique [physics.class-ph]. Arts et Metiers ParisTech, 2010. Francais. NNT :2010ENAM0032 .

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Submitted on 20 Oct 2010

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N: 2009 ENAM XXXX

Arts et Mtiers ParisTech - Centre de Lille Laboratoire de Mtrologie et de Mathmatiques Appliques

2010-ENAM-0032

cole doctorale n 432: Sciences pour lIngnieur

prsente et soutenue publiquement par

Siriwan BORIPATKOSOL

le 7 Octobre 2010

Contribution ltalonnage dune machine mesurer de trs haute prcision :

mesure de rectitude et de planit un niveau dincertitudes nanomtriques

Doctorat ParisTech

T H S E

pour obtenir le grade de docteur dlivr par

lcole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers

Spcialit Gnie Mcanique

Directeur de thse : Olivier GIBARU

Co-encadrement de la thse : Thierry COOREVITS, Stphane LELEU

T

H

S

E

Jury

M. Rgis BIGOT, Professeur des Universits, Laboratoire LCFC, Arts et Mtiers ParisTech Prsident

M. Maxence BIGERELLE, Professeur des Universits, Laboratoire Roberval, UTC Compigne Rapporteur

M. Serge SAMPER, Professeur des Universits, Laboratoire SYMME, Universit de Savoie Rapporteur

M. Thierry TISON, Professeur des Universits, Laboratoire LAMIH, Universit de Valenciennes Examinateur

M. Olivier GIBARU, Professeur des Universits, Laboratoire L2MA, Arts et Mtiers ParisTech Encadrant

M. Stphane LELEU, Matre de Confrences, Laboratoire L2MA, Arts et Mtiers ParisTech Co-encadrant

M. Thierry COOREVITS, Matre de Confrences, Laboratoire LML, Arts et Mtiers ParisTech Co-encadrant

M. Jean DAVID, Professeur ENSAM, Laboratoire L2MA, Arts et Mtiers ParisTech Invit

M. Georges-Pierre VAILLEAU, Responsable CMI, Laboratoire National dEssais Invit

A ma mre, je te ddie ce mmoire.

REMERCIEMENTS

Ce travail de thse a t ralis au sein du Laboratoire de Mtrologie et de Mathmatiques

Appliques (L2MA) dirig par Monsieur Le Professeur Olivier GIBARU. Ce laboratoire est

install au centre de Lille de lEcole Nationale Suprieure dArts et Mtiers Ce projet a t

ralis dans le cadre de la coopration entre le L2MA et le Laboratoire National de

Mtrologie et dEssais (LNE).

Je tiens remercier le L2MA et le centre Arts et Mtiers ParisTech de Lille pour leur accueil

et le LNE, qui a fourni une grande partie des moyens exprimentaux, pour son aide prcieuse.

Je souhaite exprimer toute ma reconnaissance mon universit King Mongkuts University of

Technology North Bangkok (KMUTNB) et au Thai-French Innovation Institute (TFII). Il y a

quatre ans, au moment de prparer ma venue en France, jai pu compter sur toute laide de

Monsieur Preecha ONG-AREE, de Mademoiselle Sikan KULCHONCHAN et de Monsieur

Mickael CHAUVIN. Sans eux, rien naurait t possible, quil trouve ici lexpression de ma

gratitude et de mon respect.

Je tiens remercier Monsieur Rgis BIGOT, Professeur des Universits au Laboratoire

Conception Fabrication Commande (LCFC) lEcole Nationale Suprieure dArts et Mtiers,

centre de Metz, pour avoir accept de prsider mon jury de Thse.

Monsieur Serge SAMPER, Professeur des Universits au Laboratoire SYstmes et Matriaux

pour la MEcatronique (SYMME) luniversit de Savoie et Monsieur Maxence

BIGERELLE, Professeur des Universits au Laboratoire Roberval lUniversit de

Technologie de Compigne (UTC), ont accept dtre les rapporteurs de ce mmoire de thse.

Je tiens leur exprimer ma gratitude pour la confiance quils mont accorde et pour les

conseils et les remarques dont ils mont fait profiter.

Je remercie Monsieur Thierry TISON, Professeur des universits au Laboratoire

dAutomatique, de Mcanique et dInformatique Industrielles et Humaines (LAMIH)

luniversit de Valenciennes, davoir bien voulu particip mon jury.

Jadresse mes profonds remerciements Monsieur Jean DAVID, Professeur ENSAM au

Laboratoire L2MA et Monsieur Georges-Pierre VAILLEAU, Responsable CMI au

Laboratoire National dEssais, pour avoir accept de participer au jury en tant quinvits.

Je souhaite exprimer toute ma reconnaissance mon directeur de thse, Olivier GIBARU,

Professeur des Universits au Laboratoire L2MA lEcole Nationale Suprieure dArts et

Mtiers, centre de Lille. Son accueil au sein du L2MA ma permis de raliser cette tude.

Je remercie vivement Stphane LELEU, Matre de Confrences au L2MA, pour son soutien.

Je conserve un trs bon souvenir de nos runions de travail qui ont constitu une source de

dinspiration et de motivation importante. Je tiens lui dire toute ma reconnaissance pour la

part qui est la sienne dans la qualit du document final.

Je remercie chaleureusement Thierry COOREVITS, pour mavoir fait connatre et apprcier

le mtier de Mtrologue durant ces annes. Jai apprci tout le plaisir avec lequel il exerce ce

mtier rigoureux et sait en faire partager lintrt ses lves. Un grand merci galement

Franoise COOREVITS qui m'a gnreusement accueilli mon arrive.

Je souhaite remercier les membres de laboratoire de Mtrologie des Arts et Mtiers avec qui

j'ai partag d'agrables moments tout au long de ces annes. Tout dabord, Jean-Claude

VERVISCH qui ma aid et accompagn tout au long de ma thse. Merci de ta grande

disponibilit, de ta bonne humeur et de tes nombreux coups de main. Un grand merci

galement Franois HENNEBELLE, Adrien VAN GORP et Juliette DELABY, pour leur

vitalit et leur amiti. J'ai pass de trs bons et mmorables moments en votre compagnie.

Je tiens remercier tous ceux qui m'ont soutenu et aide. Je pense tout d'abord Sbastien

DUCOURTIEUX et Ludovic LAHOUSSE, la part exprimentale de ma thse doit beaucoup

leur aide prcieuse. Je remercie galement Eric NYIRI, il se souviendra surement de

linterfaage du laser. Enfin, je remercie Michel LELEU, technicien en usinage, pour ses

comptences, pour sa gentillesse et pour toutes les modifications du dispositif quil a bien

voulu usiner pour moi.

En Adel OLABI, jai trouv un ami toujours prt maider et changer avec moi sur nos

vies dtudiants expatris. Jai vraiment apprci les formations suivies en ta compagnie.

Enfin, je souhaite remercier mon pre et mes deux petits frres pour tout lamour quils me

donnent et pour mavoir soutenu lors de ces quatre annes en France.

SOMMAIRE GNRAL

INTRODUCTION GNRAL_____________________________________________________1

Chapitre I : METHODE DE PROPAGATION ET PROFIL DUNE LIGNE ____________________6

1 Introduction et bibliographie ______________________________________________ 8

1.1 Etude de la position dun solide _____________________________________________ 9 1.1.1 Analyse et hypothses ___________________________________________________________ 9 1.1.2 Mcanique du corps solide en petits dplacements ___________________________________ 10 1.1.3 Modle dit cinmatique _________________________________________________________ 13

1.2 Dfaut de forme ________________________________________________________ 13 1.2.1 Notion de dfaut de forme _______________________________________________________ 13 1.2.2 Passage du continu au discret ____________________________________________________ 14

1.3 Dfaut de circularit _____________________________________________________ 15 1.3.1 Dfinition normalis de la circularit _______________________________________________ 15 1.3.2 Mthode de mesure classique ____________________________________________________ 16 1.3.3 Permutation circulaire __________________________________________________________ 16 1.3.4 Propagation circulaire ___________________________________________________________ 17 1.3.5 Utilisation dun talon circulaire___________________________________________________ 17

1.4 Dfaut de rectitude ______________________________________________________ 18 1.4.1 Dfinition normalise de la rectitude _______________________________________________ 18 1.4.2 Retournement _________________________________________________________________ 19 1.4.3 Propagation ___________________________________________________________________ 21

2 Unification des mthodes de sparation ____________________________________ 28

2.1 Concept de sparation ___________________________________________________ 28

2.2 De la permutation la propagation : un concept unique ________________________ 30

3 Propagation __________________________________________________________ 32

3.1 Notations signes et units _________________________________________________ 32 3.1.1 Signes ________________________________________________________________________ 32 3.1.2 Units ________________________________________________________________________ 33

3.2 Mthode globale ________________________________________________________ 33 3.2.1 Mise en quations ______________________________________________________________ 33 3.2.2 Pondration ___________________________________________________________________ 35 3.2.3 Interprtation et utilisation du paramtre L _________________________________________ 39

3.3 Mthode niveau prpondrant ________________________________________ 40

3.4 Mthode capteurs prpondrants _____________________________________ 41 3.4.1 Calage de la courbure globale _____________________________________________________ 41 3.4.2 Rsultats _____________________________________________________________________ 42

4 Conclusion : Choix du calage de la courbure, du nombre de capteurs _____________ 44

Chapitre II : BANC EXPERIMENTAL ET ETALONNAGE METROLOGIQUE ________________46

1 Introduction __________________________________________________________ 48

1.1 Bref historique du systme mtrique ________________________________________ 48

1.2 Chane dtalonnage _____________________________________________________ 49

2 Prsentation du banc ___________________________________________________ 51

2.1 Partie existante : Description gnrale du banc de mesure ______________________ 52 2.1.1 Principes de conception _________________________________________________________ 52 2.1.2 Description technologique et mtrologique _________________________________________ 55

2.2 Dmarche de prcautions exprimentales et modifications ______________________ 58 2.2.1 Mise en uvre les instruments ___________________________________________________ 58 2.2.2 Protocole de mesure de la rectitude _______________________________________________ 58 2.2.3 Traitement des rsultats : Logiciel MATHEMATICA ____________________________________ 60 2.2.4 Prcaution et tests pour les acquisitions ____________________________________________ 60 2.2.5 Rglages ______________________________________________________________________ 63

2.3 Conception du banc pour la phase talonnage _____________________________ 66 2.3.1 Laser _________________________________________________________________________ 66 2.3.2 Principe de conception __________________________________________________________ 67 2.3.3 Prsentation du banc du mesure : Mise en uvre de linterfromtre ____________________ 68 2.3.4 Source dincertitudes ___________________________________________________________ 70

3 Etalonnage des capteurs capacitifs ________________________________________ 75

3.1 Etalonnage _____________________________________________________________ 75 3.1.1 Capteur capacitif _______________________________________________________________ 75 3.1.2 Dtermination de laxe dAbbe ____________________________________________________ 76 3.1.3 Protocole de mesure pour ltalonnage _____________________________________________ 78 3.1.4 Courbe dtalonnage ____________________________________________________________ 80 3.1.5 Effet de ltalonnage des capteurs sur le calcul dun profil ______________________________ 81

3.2 Diminution de lincohrence entre les capteurs _______________________________ 83 3.2.1 Courbe de correction ___________________________________________________________ 84 3.2.2 Effet de la diminution de lincohrence entre les capteurs sur le calcul dun profil __________ 85

4 Etalonnage des niveaux lectroniques _____________________________________ 86

4.1 Niveau lectronique _____________________________________________________ 86 4.1.1 Principe de fonctionnement et mise en service _______________________________________ 86 4.1.2 Mthode de mesure ____________________________________________________________ 87

4.2 Prcaution _____________________________________________________________ 87 4.2.1 Protocole de mesure pour ltalonnage _____________________________________________ 87

4.3 Utilisation du laser ______________________________________________________ 89 4.3.1 Prsentation __________________________________________________________________ 89 4.3.2 Courbe dtalonnage ____________________________________________________________ 89 4.3.3 Incertitude sur la rfrence ______________________________________________________ 90

4.4 Utilisation de la matrice de 16 capteurs ______________________________________ 90 4.4.1 Courbe dtalonnage ____________________________________________________________ 91 4.4.2 Incertitude sur la rfrence angulaire ______________________________________________ 91

4.5 Rsultats et discussion ___________________________________________________ 92

5 Conclusion ____________________________________________________________ 93

Chapitre III : INCERTITUDES ET OPTIMISATION DU DEPOUILLEMENT _________________96

1 Introduction __________________________________________________________ 98

2 Evaluation de lincertitude de mesure par lapproche GUM ENV 13005 ___________ 99

2.1 Mesurande ____________________________________________________________ 100

2.2 Concepts derreurs et dincertitude ________________________________________ 100

2.3 Bilan des causes dincertitudes :Diagramme d'Ishikawa ________________________ 100

2.4 Incertitude-type________________________________________________________ 101

2.5 Modlisation du mesurage _______________________________________________ 102 2.5.1 Propagation des incertitudes ____________________________________________________ 102 2.5.2 Incertitude-type compose u

c ___________________________________________________ 103

2.6 Evaluation de limportance des contributeurs ________________________________ 103

2.7 Incertitude largie U ____________________________________________________ 103

2.8 Expression de lincertitude (expression finale du rsultat de mesure) _____________ 104

2.9 Supplment 1 du GUM : Mthode de Monte Carlo ____________________________ 104

2.10 Procdure de calcul des incertitudes _______________________________________ 105

3 Evaluation des incertitudes _____________________________________________ 106

3.1 Rappel de la dfinition du mesurande ______________________________________ 107

3.2 Bilan des causes dincertitudes ____________________________________________ 107

3.3 Thermique sur le banc ___________________________________________________ 108 3.3.1 Evaluation exprimentale des variations de temprature et des gradients ________________ 108 3.3.2 Consquences ________________________________________________________________ 110

3.4 Reproductibilit de la position de la table arotech ___________________________ 111

3.5 Incertitude sur la correction du capteur _____________________________________ 111

3.6 Incertitudes sur la correction du niveau _____________________________________ 113 3.6.1 Rfrence de ltalonnage du niveau : porte-capteurs ________________________________ 113 3.6.2 Niveau lectronique ___________________________________________________________ 114 3.6.3 Bilan des incertitudes sur la correction du niveau ____________________________________ 116

4 Dtermination du paramtre L optimal ____________________________________ 116

4.1 Recherche du minimum de variabilit du profil en fonction de L _________________ 117 4.1.1 Mthode de simulation _________________________________________________________ 117 4.1.2 Simulation avec une multiplication des incertitudes sur les niveaux par 10 _______________ 118 4.1.3 Intervalle paramtre L optimal, effet sur le profil ____________________________________ 120

4.2 Mthode de lcart-type quivalent ________________________________________ 121 4.2.1 Structure du programme de simulation ____________________________________________ 122

4.2.2 Ecart-type quivalent pour le capteur C ______________________________________ 124

4.2.3 Ecart-type quivalent pour le niveau N _______________________________________ 125

4.2.4 Bilan paramtre L optimal_______________________________________________________ 126

4.3 Evaluation finale des incertitudes _________________________________________ 126

5 Rflexion sur le choix du nombre de capteurs _______________________________ 129

5.1 Dcompte des quations et des inconnues __________________________________ 129

5.2 Simulation de Monte-Carlo _______________________________________________ 131

6 Conclusion ___________________________________________________________ 132

Chapitre IV : CARTOGRAPHIE DU PLAN ________________________________________134

1 Introduction et bibliographie __________________________________________136

2 Mthode maximale _______________________________________________137

2.1 Procdure de mesure ___________________________________________________ 137

2.2 Dcompte des quations et des inconnues __________________________________ 138

3 Mthode minimale utilisant les rectitudes_____________________________139

4 Comparaison des mthodes ___________________________________________141

5 Simulation de Monte-Carlo des incertitudes sur la base de la mthode des rectitudes __________________________________________________________________142

6 Conclusion _________________________________________________________144

CONCLUSION ET PERSPECTIVES ______________________________________________147

RFRENCES BIBLIOGRAPHIQUES ____________________________________________153

Annexe I : CHOIX DU CALAGE DE LA COURBURE ________________________________161

Annexe II : PRINCIPE DE LINTERFEROMETRIE A UNE LONGUEUR DONDE ___________165

Annexe III : CALCUL DES DEPLACEMENTS DU PORTE-CAPTEUR ____________________169

Introduction gnrale

1

INTRODUCTION GENERALE

Les termes de nanomatriaux et de nanotechnologies recouvrent tout un domaine de

ralisations dont le pas est infrieur au micromtre. Ils sont obtenus soit par des technologies

qui permettent une rduction de la taille des composants, soit par la production de nano-

objets qui sauto-organisent [NM110].

Les travaux de recherche et de dveloppement concernent des domaines varis :

llectronique, les tlcommunications, loptique, la mcanique, la chimie, la biologie, la

sant, lenvironnement, les transports et les sources dnergie.

Dans le domaine de la Mtrologie, le prfixe nano peut avoir deux acceptions, celle des

objets nanomtriques ou celle des incertitudes nanomtriques y compris sur des macro objets.

Dans ce travail, nous sommes clairement dans cette seconde acception.

La majorit des pays dans le monde ont des laboratoires dont les appellations contiennent les

expressions National Measurement ou Metrology Institute , ces laboratoires dtiennent

les rfrences primaires des Etats correspondants. La plupart des grands laboratoires de

mtrologie dveloppent des programmes en nanomtrologie souvent sur des nano objets.

Aux Etats Unis, le Center for Nanoscale Science and Technology (CNST) et neuf autres

grands laboratoires du National Institute of Standards and Technology (NIST) sont en

train de dvelopper les mesures, les normes et les technologies pour le dveloppement de

lindustrie des produits pour un march nanotechnologie qui pourrait dpasser 2.5 billions de

dollars dans la prochaine dcennie, soit environ 15% de la production manufacturire

mondiale.

En Allemagne, le Physikalisch Technische Bundesanstalt (PTB) effectue de la recherche

fondamentale et du dveloppement dans le domaine de la mtrologie dans les domaines

concernant la dtermination des constantes fondamentales et naturelles, la ralisation,

lentretien et la diffusion des units lgales SI, les services et la mtrologie ainsi que du

transfert de technologie. Nous retrouverons des rfrences bibliographiques correspondantes

des travaux du PTB ds le chapitre I.

En Grande Bretagne, lquipe Surface and Nanoanalysis au National Physical

Laboratory (NPL) vise soutenir lindustrie de lUK en augmentant les connaissances

concernant les microscopes champ proche.

Dautres grands ont des laboratoires importants en mtrologie, citons le Japon, la Core du

Sud ou la Chine dans la zone Asie.

Introduction gnrale

2

Contexte

En France, le Laboratoire National de Mtrologie et dEssais (LNE) au travers de sa section

dimensionnelle a initi le projet Nanomtrologie . Le premier projet visait dvelopper

une machine innovante capable de mesurer des objets tridimensionnels avec des incertitudes

nanomtriques. Actuellement, dautres projets sont en cours de dveloppement comme un

microscope force atomique mtrologique ou une machine mesurer les dfauts de forme

cylindrique prsentant des incertitudes nanomtriques.

Pour raliser ce projet une coopration scientifique forte a t mise en place entre la section

dimensionnelle du LNE et le Laboratoire de Mathmatiques et de Mtrologie Applique

(L2MA) dArts et Mtiers ParisTech, centre denseignement et de recherche de Lille. Ce

travail a t ralis au L2MA.

Notre travail sinscrit en continuit du travail effectu par M. Ludovic LAHOUSSE qui a

soutenu sa thse en 2005. Le sujet de sa thse est Contribution la construction de

machines de grande prcision gomtrique : Le concept dinformation dans lamlioration

des performances des machines [LAH2005-b].

Lobjectif principal de notre travail est dtudier prcisment la topographie Z des plans qui

servent de rfrences dans la chaine mtrologique Z de la machine table croise

[DUC2003] [LAH2005-a] [LAH2005-b] [LAH-2005-c] [LAR2007] du LNE.

La machine (Figure 1) a t construite au LNE Trappes (Paris). Elle a t conue partir des

travaux de M. Ludovic LAHOUSSE. Ce projet vise dvelopper la capacit de raccorder aux

talons dimensionnels nationaux, les mesures dobjets issus des nanotechnologies.

Figure 1 : Machine complte

Cette machine dont le domaine dexploration est un carr de 300 mm sur une paisseur dune

cinquantaine de micromtres doit permettre datteindre des incertitudes dune dizaine de

nanomtres sur la mesure dune longueur dun centimtre. Lincertitude suivant Z tant

Introduction gnrale

3

limite deux nanomtres sur la mme distance. Ces deux incertitudes restant limites

respectivement cinquante et dix nanomtres pour une mesure correspondant lenvergure du

domaine de mesure.

La machine a t structure en deux sous-ensembles. Le premier est mobile. Il se compose de

tous les lments qui servent la mise en position et au dplacement de la palette porte

chantillon. Le second est fixe. Il constitue la partie suprieure de la machine et matrialise

lespace fixe de rfrence. Un systme de reprage de la partie mobile par rapport la partie

fixe a t mis en place.

Figure 2 : Ensemble de la machine

La machine prsente deux modes principaux de report de coordonnes pour les 2 chanes

mtrologiques X, Y dune part, et Z dautre part.

La chane Z est trs sensible la flexion thermique et le respect du principe dAbbe

ncessiterait de fixer la rfrence de planit sous la palette porte-objet. On a choisit une

solution qui consiste reconstituer le principe dAbbe par le moyen de 4 capteurs

implants sur le chariot mobile et se reprant un plan constituant la rfrence de mesure Z.

Les quatre capteurs sont disposs face la surface de rfrence constitue de 4 plateaux dont

la topographie doit tre talonne. Cest lobjet de ce travail.

Le reprage dans la direction Z est ralis au moyen de quatre capteurs capacitifs dont

ltendue de mesure est de 100 m. Ces quatre capteurs lis au chariot porte objet, proches

des quatre coins de la zone de mesure, sont en regard de quatre rfrences de planit

ralises sous forme de quatre plateaux circulaires en alliage daluminium de diamtre 440

mm et dpaisseur 70 mm. Ces plateaux sont fixs la structure de rfrence par des liaisons

qui permettent une libre dilatation de ces rfrences sans entraner de dformation.

Linterprtation des mesures dlivres par ces quatre capteurs permet de reconstituer

simultanment lquivalent dune double mesure de laltitude Z en principe dAbbe ainsi que

les valeurs des rotations autour des directions X et Y entre la porte pice et le palpeur fix la

structure de rfrence.

Le schma de la Figure 3 reprsente une coupe de la machine suivant la diagonale X, Y. Il

montre les pices massives concourant au reprage vertical dans les structures fixe et mobile

ainsi que la chane mtrologique Z.

4 rfrences Z

4 interfromtre

laser

4 capteur Z

4 Ttes de

lectures

optiques

4 miroirs

4 grilles

optiques bi

dimensionnelle

4 rfrences Z

4 interfromtre

laser

4 capteur Z

4 Ttes de

lectures

optiques

4 miroirs

4 grilles

optiques bi

dimensionnelle

Introduction gnrale

4

Figure 3 : Chane mtrologique Z

Notre objectif est donc de dterminer une cartographie des rfrences planes qui sont la base

du reprage en Z sur la table croise. Afin de mettre au point et de valider la mthode

dtalonnage de la planit des rfrences sans immobiliser le reste de la machine, un banc

ddi la mesure de planit [LAH2007] a t pralablement dvelopp et mis en place au

L2MA. La mesure dfinitive ne pourrait probablement qutre ralise in situ Trappes tant

les problmes thermiques et de maintien de la forme sont aigues au niveau de qualit cherch.

La mtrologie du plan lchelle du micromtre est bien connue mais est originale lchelle

du nanomtre dautant que les mthodes envisages sont radicalement diffrentes des

techniques de planimtrie aboutissant des incertitudes micromtriques.

Prsentation du document

Lensemble de cette dmarche est prsent dans ce mmoire de thse et sarticule en quatre

chapitres.

Le chapitre I est intitul Mthode de propagation et profil dune ligne , il prsente :

Le principe de la mesure de la rectitude par propagation

La proposition de 3 stratgies de dpouillement des donnes issues de la propagation pour raliser la rectitude des mesures : une stratgie dite globale qui est en fait un

calcul au sens des moindres carrs pondrs, une stratgie dite capteurs

prpondrants et une stratgie dite niveaux prpondrants

Pour la mthode de dpouillement au sens des moindres carrs pondrs, nous avons introduit un paramtre not L qui permet de passer de manire continue de la solution

dite capteurs prpondrants la solution dite niveaux prpondrants . Ce

paramtre gal au rapport entre lincertitude-type attribue aux capteurs et celle

attribue aux niveaux devra tre dtermin

Le chapitre II est intitul Banc exprimental et talonnage mtrologique , il prsente :

La description gnrale du banc de mesure conu pralablement ma thse par Ludovic LAHOUSSE

La dmarche exprimentale et les modifications ralises pour amliorer le fonctionnement du banc

La conception du dispositif supplmentaire pour la phase talonnage des capteurs et des niveaux

Introduction gnrale

5

Ltalonnage des capteurs capacitifs qui est ralis en deux tapes. La premire tape compare directement lindication de chaque capteur un laser interfromtrique plac

en principe dAbbe. La seconde tape consiste en la diminution de lincohrence entre

les indications des 16 capteurs.

Ltalonnage des niveaux peut tre ralis de deux manires. La premire rfrence est un angle engendr par linclinaison du matelas suprieur. Des capteurs capacitifs que

nous avons ajout chaque coin du matelas permettent dvaluer la position de laxe

de rotation. Linformation sur langle est fournie par lindication du laser laide dun

simple calcul de sinus. La seconde rfrence est toujours un angle engendr par

linclinaison du matelas suprieur mais cet angle est calcul grce aux informations

venant des 16 capteurs capacitifs du porte-capteurs analyses avec un calcul de type

plan au sens des moindres carrs en 16 points

Le chapitre III est intitul Incertitude et optimisation du dpouillement , il prsente :

La notion dincertitudes de mesures

La mthode de Monte Carlo et lapplication la mesure de la rectitude

Lvaluation des incertitudes sur la correction du capteur et du niveau

Deux mthodes de dtermination du paramtre L optimal

Lvaluation finale des incertitudes

Le chapitre IV est intitul Cartographie du plan , il prsente :

Une analyse des mthodes de mesure et de dpouillement possibles pour valuer la topographie du plan

Une mthode dite maximale en ce sens quelle utilise des mesures croises trs redondantes et une stratgie de dpouillement de type moindres carrs tenant

compte de lensemble des donnes. Ltude est rduite au dcompte des quations et

des inconnues

Une mthode dite minimale en ce sens quelle propose une analyse des rectitudes mesures dans les sens X et Y puis un recoupement des rectitudes pour reconstituer la

topographie du plan. Cette mthode vite la rsolution dun grand systme et elle

permet dutiliser directement les mthodes dveloppes dans ce travail. On ralise des

simulations sur un plan carr (300*300 mm2) en utilisant les incertitudes obtenues

dans le chapitre III

Chapitre I

Mthode de propagation et profil dune ligne

6

Chapitre I

METHODE DE PROPAGATION ET PROFIL DUNE LIGNE

1 Introduction et bibliographie ______________________________________________ 8

1.1 Etude de la position dun solide _____________________________________________ 9 1.1.1 Analyse et hypothses ___________________________________________________________ 9 1.1.2 Mcanique du corps solide en petits dplacements ___________________________________ 10 1.1.3 Modle dit cinmatique _________________________________________________________ 13

1.2 Dfaut de forme ________________________________________________________ 13 1.2.1 Notion de dfaut de forme _______________________________________________________ 13 1.2.2 Passage du continu au discret ____________________________________________________ 14

1.3 Dfaut de circularit _____________________________________________________ 15 1.3.1 Dfinition normalis de la circularit _______________________________________________ 15 1.3.2 Mthode de mesure classique ____________________________________________________ 16 1.3.3 Permutation circulaire __________________________________________________________ 16 1.3.4 Propagation circulaire ___________________________________________________________ 17 1.3.5 Utilisation dun talon circulaire___________________________________________________ 17

1.4 Dfaut de rectitude ______________________________________________________ 18 1.4.1 Dfinition normalise de la rectitude _______________________________________________ 18 1.4.2 Retournement _________________________________________________________________ 19 1.4.3 Propagation ___________________________________________________________________ 21

2 Unification des mthodes de sparation ____________________________________ 28

2.1 Concept de sparation ___________________________________________________ 28

2.2 De la permutation la propagation : un concept unique ________________________ 30

3 Propagation __________________________________________________________ 32

3.1 Notations signes et units _________________________________________________ 32 3.1.1 Signes ________________________________________________________________________ 32 3.1.2 Units ________________________________________________________________________ 33

3.2 Mthode globale ________________________________________________________ 33 3.2.1 Mise en quations ______________________________________________________________ 33 3.2.2 Pondration ___________________________________________________________________ 35 3.2.3 Interprtation et utilisation du paramtre L _________________________________________ 39

Chapitre I


7

3.3 Mthode niveau prpondrant ________________________________________ 40

3.4 Mthode capteurs prpondrants _____________________________________ 41 3.4.1 Calage de la courbure globale _____________________________________________________ 41 3.4.2 Rsultats _____________________________________________________________________ 42

4 Conclusion : Choix du calage de la courbure, du nombre de capteurs _____________ 44

Chapitre I


8

1 Introduction et bibliographie

Lobjet de ce chapitre est de mettre en place les mthodes permettant destimer le dfaut

de forme de pice circulaire ou plane avec des incertitudes de lordre de quelques nanomtres.

Classiquement, lvaluation dun dfaut de forme est ralise en deux temps. Dans un premier

temps, il sagit de raliser lvaluation mtrologique de la pice. Dans un second temps, on

analyse les carts constats sur la surface de la pice comme le rsultat de la somme dun

dfaut de position et dun dfaut de forme selon un critre dfinir. La norme fournit une

interprtation du dfaut de forme qui consiste choisir la position de la zone de tolrance par

rapport la surface de manire minimiser le dfaut de forme. Lide sous-jacente consiste

dire que puisque le choix de la position a un caractre arbitraire, il doit tre fait de manire

maximiser la probabilit de dclarer la pice conforme. Nous nous loignerons de cette

conception en dfinissant notre propre mesurande car nous ne souhaitons pas faire une

dclaration de conformit mais disposer dun profil utilisable dans le cadre de ltalonnage de

la table croise.

Pour amliorer lvaluation mtrologique de la pice, les mthodes proposes par les

diffrents auteurs tiennent sur deux concepts de base. Le premier concept correspond ce que

Jean David (brevet Renault Automation de 1988) appelle la structure mtrologique dissocie

[LAH2007] qui consiste remplacer les guidages traditionnels par une chane dinformation

utilisant des capteurs. Le second concept consiste liminer les dfauts reproductibles de la

machine de mesure en utilisant le concept de retournement (sparation par changement de

signe) ou le concept de permutation que lon peut tendre la propagation comme nous le

montrerons au paragraphe 2.2.

Pour modliser les dfauts des machines de manire linaire, nous dveloppons le concept de

torseur de petits dplacements et prsentons une tude bibliographique de la modlisation de

la gomtrie dun axe de machine. Cette tude est utile tant pour le traitement du dfaut de

position de la pice mesure que pour la modlisation de la gomtrie dun axe de machine.

Dans [ROD1840], Rodrigues introduit la formule, bien connue dans les cours de mcanique,

de la rotation dun corps solide dans lespace. La lecture du document original nous a permis

de mettre en vidence quOlinde Rodrigues a probablement t un prcurseur dans

lintroduction du concept de torseur de petits dplacements.

Pour mesurer la circularit ou la rectitude, les normes prvoient des dispositifs classiques dans

les mtrologies industrielles que nous prsentons aux paragraphes 1.3 et 1.4. Le potentiel en

termes dincertitudes de ces moyens est de lordre de quelques diximes de micromtres au

mieux. Nous prsentons les mthodes de sparation et de permutation comme moyens de

gagner un facteur 10 20. Dans le paragraphe 2, nous tentons une unification des diffrentes

mthodes de sparation des dfauts. Lide est de montrer la continuit conceptuelle entre la

permutation complte que Coorevits dans [COO90] avait qualifie de multiretournement

et la mthode de propagation que nous utilisons pour la rectitude.

La section 3 prsente notre approche de la mthode de propagation applique la mtrologie

de la rectitude dun plan de rfrence destin la table croise du LNE. Cette mthode utilise

4 capteurs capacitifs et deux niveaux lectroniques. Nous proposons une mise en quations

aboutissant une optimisation globale au sens des moindres carrs permettant de qualifier le

dfaut de rectitude dune ligne du plan, les dfauts de rectitude et de tangage du porte-capteur

Chapitre I


9

et la position relative des capteurs capacitifs. Les quations qui correspondent aux mesures

des capteurs capacitifs forment des carts au modle dont lunit est drive du mtre. Par

contre, les quations provenant des mesures des niveaux lectroniques forment des carts au

modle dont lunit est drive du radian. Lunit de la distance entre les capteurs est le

millimtre (ici en pratique, la distance est de 20mm). La cohrence impose que les indications

fournies par les capteurs et les indications angulaires multiplies par cette distance soient

exprimes dans la mme unit. Les diffrents choix possibles entre les units changent les

rsultats. Nous montrons que ces choix se comportent comme une pondration entre les

mesures issues des deux systmes de mesure. Cest pourquoi nous introduisons une analyse

au sens des moindres carrs pondrs en faisant apparatre un paramtre =

, en notant

lincertitude-type sur les capteurs et lincertitude-type sur les niveaux. Le paramtre L est inconnu ce niveau du travail. Il est li la qualit relative des capteurs par rapport aux

niveaux. Compte-tenu du matriel que nous avons utilis, nous avons choisi dexprimer les

indications des capteurs en nanomtres, les angles en microradians et les distances en

millimtres. Lintrt de ce choix tant que le nanomtre correspond 10-9

mtre et que le

produit dun microradian par un millimtre correspond lui aussi 10-9

mtre. Cest ce choix

qui conduira dans la suite du travail des paramtres L intressants compris entre un et cent

environ c'est--dire une chelle de variation facile apprhender.

La modification du choix des units pour les indications des capteurs et des niveaux ne

change pas le rapport physique entre les incertitudes. Le paramtre L sera modifi par une

puissance de 10 conscutive au changement des units qui compensent le changement des

units dans les quations. En consquence, ces modifications nauront aucun effet sur le profil

calcul.

Le problme de lvaluation des incertitudes sera trait en dtail selon la mthode de Monte-

Carlo au chapitre III. Cette valuation permettra celle du paramtre L. Ce paramtre peut

varier de zro exclu plus linfini.

Lorsquil tend vers 0, cela correspond des incertitudes faibles sur les capteurs et des

incertitudes importantes sur les niveaux. La valeur 0 ne peut tre atteinte car le systme

nadmet pas de solution. Dans ce cas, nous modifions les quations du systme ce qui nous

permet dintroduire une solution dite capteurs prpondrants . De la mme manire,

quand L tend vers linfini, la matrice des covariances pondres est galement singulire.

Nous introduisons alors une solution dite niveaux prpondrants correspondant un

autre systme dquations rsoudre au sens des moindres carrs.

Lvolution de L gnre une famille de solutions. Lvaluation des incertitudes effectue au

chapitre III permettra doptimiser lapport des capteurs relativement aux niveaux de manire

minimiser lincertitude sur le mesurande.

1.1 Etude de la position dun solide

1.1.1 Analyse et hypothses

Soit une glissire sur laquelle se translate un chariot (Figure 1). Le mouvement nominal de

translation du chariot est repr par une rgle de lecture de dplacement.

Si on suppose que :

Chapitre I


10

- la rgle est parfaite (au sens du rattachement aux talons nationaux),

- la glissire est parfaitement ralise et parfaitement rigide,

- le chariot parfaitement rigide glisse parfaitement sur la glissire, ...

Dans ces conditions, le chariot (donc l'ensemble des points constituant le chariot) subit un

mouvement de translation pure de la valeur indique par la rgle et dans la direction X.

La Figure 1 montre donc le chariot en position thorique et le chariot en position relle

sachant que lhypothse dindformabilit ne va pas de soi. Cette figure est classique.

Figure 1 : Schma de la glissire et de son chariot

En pratique, pour chaque valeur de X indique, le chariot prend une position relle diffrente

de la position thorique. Ce chariot est d'ailleurs, ventuellement, dform. Pour dcrire le

passage de la position thorique du chariot la position relle, on va faire d'une part

l'hypothse de l'indformabilit du chariot (ou dun lment de rfrence li au chariot) et

d'autre part, on s'appuie sur la constatation exprimentale que les dfauts mesurer sont

faibles (de l'ordre de quelques dizaines de micromtres pour les translations et quelques

dizaines de microradians pour les rotations). On peut alors dcrire le passage de la position

thorique du chariot la position relle comme un petit dplacement de corps solide soit,

mathmatiquement, un torseur de petits dplacements.

Lhypothse dindformabilit du chariot peut paratre trs restrictive, elle mrite un

commentaire. Lide est que le chariot est en fait un gnrateur de dplacements qui met en

position un porte outil ou un porte pice ou dune manire gnrale un solide ; le chariot lui-

mme na donc pas besoin dtre globalement indformable, seul llment mis en place doit

ltre.

Ce modle est trs intressant car il permet de modliser le dplacement dun solide sous la

forme dun champ de moments dcrit par un torseur. Il permet alors dexprimer des

dplacements combinant des translations et des rotations en disposant des proprits de

linarit, de commutativit et dassociativit.

1.1.2 Mcanique du corps solide en petits dplacements

Dans sa publication de 1840 [ROD1840], Olinde Rodrigues fait une tude trs complte du

mouvement de corps solide, de la composition des mouvements de corps solides et du passage

aux petits mouvements. Les notations modernes du produit vectoriel ou du torseur ne sont pas

utilises mais toutes les formules dveloppes sont exactes et correspondent une conception

trs actuelle de ces problmes.

Chapitre I


11

Un solide est un corps dont les diffrents points restent des distances constantes les uns des

autres au cours du mouvement. Il peut se mouvoir librement sa position dtermine par la

donne de six paramtres (degrs de libert) : la position dun point (trois coordonnes) et

trois angles qui, dans le cas gnral, sont les angles dEuler (dautres critures sont possibles,

par exemple dans la marine, les angles utiliss correspondent au changement de cap lacet, au

tangage et au roulis).

Les dplacements, du fait des rotations forment, au sens mathmatique du terme, un groupe

non commutatif et des relations non linaires rendent leurs manipulations relativement

lourdes. Tout dplacement dun solide autour de deux points fixes se rduit donc une

rotation dgale amplitude et de mme sens pour tous les points du systme autour de laxe

form par la droite passant par les deux points fixes.

Figure 2 : Etude de rotation autour dun axe fixe

La Figure 2 reprsente la rotation dun point )(M dans lespace autour de laxeOm , sa

trajectoire est dans le plan perpendiculaire laxe de rotation et est porte par le cercle centr

en m et de rayon mM . Langle envoie le point M sur le point M. Il ny a pas dhypothse de petit angle ce niveau.

Dans le plan, on peut crire les relations :

= cos + sin =

o

mM

mMi

et inj

Mm mMinmMi

sincos

Mm mMnmM

sincos

MOmO )(sin)(cos OMmOnOMmO

n

M m

M

x

y

z

o

i

k

j

n M

M

m

Chapitre I


12

Donc MO OMnOMOm

sincos)cos1( (1)

Pour un angle petit, on peut crire : 1cos , sin

OMnOMMO

OMnMOMO

OMnMM

Si on ajoute une translation du point O not )(O

)()( MOMnOMM

(2)

Ordre de grandeur de lapproximation

Pour petit, on peut dvelopper les fonctions sinus et cosinus de langle avec la thorie des

sries de Taylor comme ci-dessous.

)sin( ...!3

3

0

12

)!12()1(

n

nn

n

)cos( ...!2

12

0

2

)!2()1(

n

nn

n

Dans le passage de lquation (1) la formule du transport de moment, le plus grand terme

nglig est :

OMOm22

22 = Mm

2

2 qui scrit en norme comme Mm

2

2

O Mm est le vecteur bras de levier donc Mm est la distance entre le point M et

laxe de rotation.

Pour prciser les ordres de grandeur, si on fait tourner un solide de 1 m dun angle de 100

rad qui est dj important, cela fait nm512

)10( 24

ce qui signifie que la diffrence entre la

nouvelle position thorique dun point situ un mtre de laxe de rotation calcule par le

torseur des petits dplacements est de lordre de 5 nm ce qui est ngligeable.

Ce qui vient dtre crit ne constitue pas une tude complte des limites du torseur de petits

dplacements mais ce nest pas le propos de ce chapitre.

Chapitre I


13

1.1.3 Modle dit cinmatique

Si on reprend le schma de la Figure 1 avec la mise en place dun Torseur de Petits

Dplacements (TPD) pour caractriser lerreur de position du chariot, en chaque point M, on

dfinit le moment du torseur par

OMOM )()(

Il est classique de noter :

)(xTij la translation de l'axe i dans la direction j, soit :

- )(xTxx : justesse ou erreur relative de position

- )(xTxy : rectitude horizontale

- )(xTxz : rectitude verticale

)(xij la rotation de l'axe i autour de l'axe j, soit :

- )(xxx : roulis

- )(xxy : tangage

- )(xxz : lacet

La modlisation de la gomtrie dun axe de machine que nous venons de prsenter sera

utilise pour modliser le comportement gomtrique du solide qui portera les capteurs lors

du processus de mesure par propagation.

1.2 Dfaut de forme

1.2.1 Notion de dfaut de forme

On peut dfinir la notion de dfaut de forme partir de la notion de surface parallle (Figure

3-a). On note M un point courant sur la surface S . On note le vecteur normal la surface S en M (on suppose que lexistence de cette normale ne pose pas de problme) tel que soit norm et sortant la matire. La surface S dite surface parallle S est dfinie par son

point courant M tel que ndMM . Dans le cas gnral, une surface parallle na pas la

mme nature que la surface originelle. Il existe quelques cas particuliers (sphre, cylindre,

etc.) pour lesquels le passage de la surface S sa surface parallle est trivial.

Chapitre I


14

(a) (b)

Figure 3 : Reprsentation : (a) la notion de surface parallle (b) la zone de tolrance

On peut maintenant dfinir une zone de tolrance autour dune surface partir de ce concept

de surface parallle. Considrons la surface pour laquelle on souhaite tudier le dfaut de

forme. Considrons une sphre dont le centre appartient la surface tudier, son diamtre

est gal la tolrance. Lorsque le centre de la sphre parcourt la surface S , on peut dfinir deux surfaces enveloppes (avec la convention de signe de la normale sortante) gnres par la

sphre (Figure 3-b), lune, lintrieur de la matire, correspond la surface parallle dfinie

par une distance d gale moins le rayon de la sphre, lautre correspond la surface

parallle dfinie par une distance d gale plus le rayon de la sphre.

Dans le cas dune ligne plane (comme le cercle), on crit les mmes dfinitions dans le plan

contenant la ligne. On retrouve ainsi la couronne que lon utilise pour dfinir le dfaut de

circularit.

La zone dfinie par lenveloppe des sphres est la zone de tolrance. Dans le cas des surfaces

gauches, on place cette zone de tolrance selon les 6 degrs de libert dun mouvement de

corps solide pour placer lensemble des points mesurs lintrieur de la zone.

Dans le cas des surfaces dites simples comme la sphre ou le cylindre, le principe

dindpendance qui spare lvaluation de la taille de lvaluation de la forme conduit

utiliser un degr de libert supplmentaire qui correspond la taille.

1.2.2 Passage du continu au discret

Une rectitude est une ligne continue nominalement rectiligne dont on cherche valuer la

forme et, le cas chant, le dfaut de forme au sens de la norme. La description exhaustive du

dfaut de forme ncessiterait la saisie dune densit de points suffisante pour que

linformation contenue dans le signal chantillonn soit la mme que dans le signal continu.

Lutilisation des mthodes dlimination derreurs par permutation ou retournement ou les

mesure par propagation impose de placer des capteurs une distance qui peut tre importante

cause des dimensions des capteurs. Dans notre travail, la distance est de 20mm,

correspondant lentraxe de positionnement des capteurs dans le porte capteur mis en uvre

[LAH2007]. Un porte capteur permettant une distance de 10mm a t conue par Ludovic

LAHOUSSE mais na pas t utilis. De toute faon, 10mm constitue encore un pas important

mais invitable compte-tenu de la technologie utilise. Cette distance importante est une

limite invitable.

ndMM

M

M

d

n

SSurface

SSurface

Chapitre I


15

Pour diminuer lincertitude correspondante, on pourrait envisager une technique de mesure

complmentaire pour tudier les intervalles entre les points. Pour ne pas avoir traiter ce

problme, nous avons adopt un mesurande adapt (voir paragraphe 1.4.2).

1.3 Dfaut de circularit

1.3.1 Dfinition normalis de la circularit

La norme [NF EN ISO 1101] "Spcification gomtrique des produits (GPS) - Tolrancement

gomtrique - Tolrancement de forme, orientation, position et battement", publie en janvier

2006 constitue la base du tolrancement gomtrique. Elle prcise les notions fondamentales

lies au tolrancement par zone. Suivant la spcification indique sur le dessin (Figure 4), la

zone de tolrance de circularit est limite par deux cercles concentriques ayant une

diffrence de rayons gale t.

a : toute section

Figure 4 : Reprsentation de la zone de tolrance

La norme [NF E 10-103] Mthodes de mesurage dimensionnel : Quatrime partie - Ecarts

de circularit prcise la dfinition de la circularit : Qualit de ce qui est circulaire.

Caractrise une ligne circulaire mais ne suffit pas dfinir dans son ensemble une surface de

rvolution. Elle donne galement la dfinition de la tolrance de circularit : Distance

maximale admissible entre deux circonfrences concentriques entre lesquelles tre comprise

la ligne considre.

Note : sur une mme surface de rvolution, la tolrance de circularit ne sapplique qu la

ligne circulaire de chaque section prise sparment.

Rappel : spcification sur les dessins techniques de la tolrance de circularit t (selon NF E

04-552)

Il existe des mthodes classiques de mesurage, dcrite dans la norme, qui peuvent tre

enrichies de technique dlimination derreurs par permutation, ou adapter la mesure de

grande pice en introduisant de la propagation.

Chapitre I


16

1.3.2 Mthode de mesure classique

La norme [NF E 10-103] prsente les mthodes de mesurage des carts de circularit et leur

exploitation. Nous prsentons suivant les deux mesurages qui sont connus dans le domaine

industriel de la production pour linspection des pices et dans la recherche les dfauts de la

machine.

Mesurage des carts de circularit par la mthode de variation de rayon

Ces mthodes utilisent des capteurs tournants ou des plateaux tournants (Figure 5). Aprs

avoir dgauchi la pice par rapport laxe de rotation (rfrence des mesures), le principe

consiste dterminer les variations radiales dans une mme section sur une rvolution

complte, et de rpter opration au nombre requis de sections.

Cette mthode peut - selon le matriel utilis - permettre des relevs en continu. Par son

principe, elle est la meilleure approche du dfaut de circularit couple une mthode de

calcul du dfaut de forme en tant que zone minimale.

(a) (b)

Figure 5 : Mthode de variation de rayon : (a) Capteur tournant (b) pice tournante [NF E 10-103]

Mesurage des carts de circularit par relevs de coordonnes de points.

Cette mthode consiste relever les coordonnes des points dune section laide dune

machine mesurer bi - ou tri - dimensionnelle. Il est recommand que laxe de la pice soit

perpendiculaire aux deux axes de mesure de la machine, afin dassurer le palpage dans une

section droite de la pice.

Cette mthode, tant fonde sur un nombre de relevs de valeurs discrtes dans une mme

section, ne donne quune estimation de lcart de circularit. Cette estimation est dautant

plus fine que le nombre de points est adapt la nature des dfauts et ce, dans les limites de

lincertitude de mesure des coordonnes.

1.3.3 Permutation circulaire

La technique de permutation est utilise principalement pour la mesure de pices par relevs

de coordonnes de points prsentant un axe de symtrie : une forme circulaire ou une roue

Chapitre I


17

dente par exemple. La procdure consiste mesurer la pice N fois en faisant tourner de N

2

tour entre chaque mesure complte de la pice.

Lorsquon ralise une mesure, on obtient N carts qui sont la somme de trois classes

derreurs :

Les carts dus la gomtrie de la machine.

Les carts dus la diffrence entre la gomtrie thorique de la pice et sa gomtrie relle.

Les carts lis aux dfauts de positionnement de la pice dans lespace machine.

Aprs rotation de N

2radians, le premier point vient dans la position du second (en espace

machine), la pice ayant repris nominalement la mme position, les dfauts machine prendre

en compte sont identiques dune mesure complte de la pice lautre.

Figure 6 : Mesure par permutation [COO1990]

La Figure 6 montre une illustration simple pour comprendre cette technique.

- les points dsigns par des chiffres (1, 2, 3 ou 4) sont en espace pice

- les points dsigns par des lettres (a, b, c, ou d) sont en espace machine

Ainsi, si la pice tourne de N

2radians N fois, on a N

2 quations qui permettent dterminer

la gomtrie de la pice et celle de la machine en utilisant une technique prsente dans

[COO1990].

1.3.4 Propagation circulaire

La technique de propagation circulaire consiste gnralement disposer les capteurs fixes en

priphrie de la pice et mesurer plusieurs fois la pice aprs lavoir tourne dun angle donn

entre chaque mesure. [WHI1976] [GAO1997-a] [GAO1997-b].

1.3.5 Utilisation dun talon circulaire

Nous sommes ici dans une autre logique, on suppose que lon dispose dun talon de

circularit. La bibliographie sur lanalyse de mesures de formes circulaires est relativement

aa

b

c

d

b

d

c

1

1

2

23

3

4

4

Chapitre I


18

bien fournie [KNA1983-a] [KNA1983-b] [KUN1983] [PAH1995] [HEN2007]. Les auteurs

mesurent des talons circulaires de type bagues, MCG, Ball bar, et en dduisent les dfauts

de la machine.

1.4 Dfaut de rectitude

Comme pour la circularit, la mesure dun dfaut de rectitude peut relever de mthodes

classiques dcrites dans les normes mais galement dautres techniques avec ou sans

limination derreurs.

1.4.1 Dfinition normalise de la rectitude

La norme [NF EN ISO 1101] prcise les notions fondamentales lies au tolrancement par

zone. Suivant la spcification indique sur le dessin, la zone de tolrance peut tre limite :

- par deux droites parallles, projetes sur un plan, la tolrance correspond alors la distance entre ces deux droites,

- par deux plans parallles, la tolrance correspond alors la distance entre ces deux plans,

- par un cylindre, la tolrance correspond alors au diamtre de ce cylindre.

Cette norme est base sur le concept de zone minimale [CHE1996] [GOU1999] [ZHA1999].

La norme [NF E04-560] prcise la dfinition de la tolrance de rectitude: Dimension

maximale admissible de la zone de tolrance dans laquelle doit se situer la ligne considre.

La norme [NF E 10-101] Mthodes de mesurage dimensionnel : Deuxime partie - Ecarts de

rectitude prsente les mthodes de mesurage des carts de rectitude. Elle donne galement

des indications sur lexploitation des rsultats.

Pour le mesurage des carts de rectitude spcifis dans un plan, elle propose deux mthodes

de mesurage.

La premire mthode dite mesurages directs : les carts sont exprims directement en

units de longueur, par rapport la rfrence de mesurage considre (exemples : fil tendu

(Figure 7-a), rgle, cylindre ou faisceau optique (Figure 7-b).

(a) (b)

Figure 7 : Schmatisation des mesurages directs [NF E 10-101]

Chapitre I


19

La seconde mthode dite mesurages indirects : les carts sont exprims en units de

longueur aprs transformation dune indication angulaire (exemple : niveau lectronique

(Figure 8-a), lunette autocollimatrice, interfromtre comptage de franges avec option angle

(Figure 8-b) en dplaant successivement lquipement de mesure dun pas (l) le long de la

ligne ou gnratrice).

(a) (b)

Figure 8 : Schmatisation des mesurages indirects [NF E 10-101]

Ces mthodes sont galement utilises dans le domaine industriel de la production pour

linspection des machines dusinage [SAK1987] [FAN2000] [MAG2006] [ARD2008] par

exemple.

Dans les publications [KIY1994] [GAO1996-a], les auteurs indiquent une mthode qui utilise

deux capteurs mais ils font lhypothse de labsence de tangage du porte-capteur. Le principe

conduit mesurer la diffrence daltitudes entre deux points successifs du profil (ce qui

limine leffet de la rectitude du porte capteur ce que remarque les auteurs), en fait, il sagit

dune mthode similaire lutilisation du niveau lectronique en ce sens que lon a une

propagation sur deux points mais sans la rfrence la verticale terrestre ce qui nest pas

correct et conduit les auteurs faire lhypothse de labsence de tangage du porte-capteur ce

qui na pas de porte pratique.

Le corpus normatif concernant la rectitude est peu pertinent pour notre application (rfrence

verticale de la table croise) car :

- Le mesurande bas sur le concept de la zone minimale est adapt un besoin de dclaration de conformit des produits [NF EN ISO14253-1] mais il a linconvnient

de sappuyer sur les points extrmes du profil et de rduire linformation contenue

dans le profil un chiffre unique qualifi de dfaut de rectitude .

- Les mthodes de mesure proposes par les normes sont bien connues, mais elles assurent des incertitudes au mieux de lordre du micromtre.

Nous proposons une dfinition du mesurande qui concerne le profil complet et qui vite de

sappuyer sur les points extrmes.

1.4.2 Retournement

La mthode de retournement a t dcline de diffrentes faons (Figure 9) : mthode du

retournement de langle (a), mthode du retournement du carr (b), mthode des trois

rectitudes (c) et mthode des trois plans (d). Ces mthodes relvent dun changement de

signe. La mthode des trois plans (et des 3 rectitudes) utilise une surface intermdiaire mais

relve de la mme logique. Si on note M1=A+B pour exprimer quavec les conventions de

Chapitre I


20

signe, la premire mesure fournit la somme des dfauts des plans A et B et, de la mme

manire, M2=A+C et M3=B+C alors M2-M3=A-B qui avec M1=A+B permet de dterminer

les dfauts de A et B et constitue un retournement.

Figure 9 : Les mthodes du retournement [EVA1996] [BUR]

Ces techniques sont toutes caractrises par une manipulation mcanique en ce qui concerne

un (mais pas tous) les degrs de libert vis--vis de la direction sensible de lindication de

mesure. Cette opration change le signe d'une composante de lerreur.

Pour mesurer une ligne, la mthode dite du retournement est base sur lutilisation dun seul

capteur. Whitehouse dans [WHI1976] [CAM1995] propose deux mesures faisant apparatre

ainsi un changement de signe ce qui permet la sparation de lerreur de la machine de celle du

profil.

Figure 10 : Schmatisation du principe du retournement [GIA2004]

(a) (b)

(c) (d)

Ligne dAbbe

X

Y

Chapitre I


21

Cette mthode est connue depuis de nombreuses annes et fait partie des mthodes de

comparaison une rfrence "dmatrialise" utilise par l'abb CAYERE [CAY1953]

[CAY1956]. On trouve la description dune mthode de retournement dans lencyclopdie de

Diderot et dAlembert au chapitre bnisterie pour vrifier la rectitude dune rgle.

Pour traiter correctement la rectitude, il faut bien mettre en place les conventions de signe

(Figure 10) :

- G(x) est la rectitude du guidage, G(x) est positif si le chariot savance dans le sens de laxe Y

- R(x) est la rectitude de la rgle, R(x) est positive si la rgle prsente une bosse (cette convention est dailleurs conforme la normalisation qui veut quun excs de matire

soit compt positivement)

- Si la tige du comparateur rentre lintrieur du corps, lindication du comparateur I(x) est positive

Avec ces conventions, la Figure 10-a indique une premire indication I1(x)=G(x)+R(x) et la

Figure 10-b indique I2(x)=-G(x)+R(x), le rsultat final est obtenu par demi-somme et demi-

diffrence.

Cette mthode ncessite des prcautions exprimentales importantes tant dans le retournement

de la rgle quau niveau de ltat de surface de rgle, il est en particulier impossible de mettre

en uvre correctement cette mthode avec une rgle gratte ou une rgle en granit cause de

ltat de surface qui ncessite une qualit de repositionnement impossible obtenir en

pratique [HEN2007]. Dans le retournement de la rgle, la Figure 10 indique en particulier la

ncessit de respecter lalignement des comparateurs entre les deux positions, la rectitude

tant exprime sur cette ligne (Principe dAbbe).

En pratique, cest une mesure dlicate mettre en uvre si lon souhaite tudier une rectitude

de quelques micromtres ou moins mais tout fait efficace. La mise en uvre du

retournement qui impose, par nature, de bouger les lments valuer rend cette mthode

difficile utiliser si on vise une incertitude de quelques nanomtres.

1.4.3 Propagation

1.4.3.1 Dfinition du mesurande

En mtrologie, la premire tape dun calcul dincertitudes consiste dfinir le mesurande

avec une finesse dautant plus grande que lon souhaite un niveau faible dincertitudes.

On peut considrer une surface dune pice comme la limite entre la matire et le milieu

environnant. Un profil de rectitude est donc la ligne continue obtenue comme lintersection

entre cette surface et un plan. Cette dfinition nest pas satisfaisante dans le cadre de la

mtrologie dune rectitude dun plan destin servir dtalon la table croise. Plutt que

dnoncer les raisons pour lesquelles cette dfinition nest pas oprante, nous allons faire des

propositions.

Chapitre I


22

Il est logique de palper les points dans les mmes conditions lors de la phase dtalonnage du

plan que lors de son utilisation, soit :

- Chaque point est atteint grce un capteur capacitif prsentant une zone utile de 6mm de diamtre [LAH2005-b]. Un point est donc le rsultat de l intgration de

la microgomtrie par le capteur capacitif ou plus prcisment, nous dfinissons un

point comme la rponse de la surface au capteur capacitif et non comme un point de la

surface physique

- Le porte capteur utilis possde un entraxe de 20 mm. La mesure par propagation impose un pas de dcalage de 20 mm. Le profil est donc dfini uniquement aux points

effectivement mesurs (tous les 20 mm). Le fait de dfinir le mesurande sur les points

mesurs uniquement et non sur une ligne continue vite la question de lapplication du

thorme dchantillonnage de Shannon. Le plan est usin avec des dfauts locaux de

lordre du micromtre, ce qui est trs bien pour un fraisage, mais correspond un

rapport entre le dfaut (1m) et lincertitude recherche (de lordre de 10 nanomtres)

de lordre de 100. Lincertitude gnre par une dfinition du mesurande sur une ligne

serait prpondrante et ne permettrait pas une analyse fine du reste du processus.

Note : Pour aller plus loin, on ne peut quaboutir la conclusion quil serait ncessaire

dutiliser dautres techniques de finition du plan et de raliser une mesure locale (entre deux

points de mesure donc 20mm) de la forme pour aboutir une caractrisation plus exhaustive

du plan. Ce point na pas t abord dans ce travail.

Il faut complter le mesurande par la dfinition des grandeurs dinfluence : conformment,

la norme [NF EN ISO 1], la temprature de rfrence est de 20C. Nous considrons

lhygromtrie comme sans effet .

En fait, la temprature peut avoir un effet sur les capteurs mais pour une rectitude, cest

lexistence dun gradient de temprature, en particulier dune diffrence de temprature entre

le dessus et le dessous du plan, qui est la source dincertitude importante.

1.4.3.2 Principes

Le principe conduit utiliser des capteurs quidistants permettant la mesure de diffrences

daltitude entre points voisins et dexploiter cette mesure par une technique de sparation

derreur.

Pour supprimer l'influence du tangage du porte-capteur, un systme quip avec trois capteurs

distant a t introduit [GAO1996-b].

Cette technique permet de saffranchir des mouvements parasites de dplacement de la

matrice porte capteurs.

Une mthode, trs simple, dans son principe consiste prsenter en face de la surface

mesurer un solide portant trois capteurs aligns et espacs de la mme distance [LI1996]

[PAZ2007]. On montre que dans ces conditions, la mthode avec trois capteurs distants peut

permettre de calculer la fois lerreur de translation (rectitude) et l'erreur de tangage du

guidage du porte-capteurs.

Il est toutefois ncessaire de connatre la position relative des trois capteurs, ce qui peut se

traduire par le fait de considrer une droite passant par les deux capteurs extrmes et chiffrer

Chapitre I


23

lcart entre le capteur central et cette droite. La position relative du capteur central nest pas

ou mal connue. Ceci introduit un biais systmatique sur la courbure globale qui est trs

sensible.

On trouve dans [GAO2002-a] linfluence de cette erreur pour un systme avec 3 capteurs. Il y

est dfini ( 123 2 mmm eee ) comme paramtre de lerreur dalignement des capteurs.

Thoriquement, peut tre mesur par comparaison avec une rfrence de planit comme dans la Figure 11-a. En pratique, cependant, cette mthode est difficile et elle apporte une

incertitude finale assez grande sur la forme du profil.

(a) (b)

Figure 11 : (a) dtermination du zro utilisant une surface de rfrence de prcision, (b) influence de la dtermination du zro sur le profil de la rectitude [GAO2002-a]

En effet, le calage de la position relative du capteur central (Figure 11-a) n'est pas efficace

pour la mesure dune longue rectitude car lerreur est de type parabolique car proportionnelle

au carr de la longueur de mesure (Figure 11-b). Cette incertitude est alors la cause

prpondrante dincertitudes dans la mthode.

Figure 12 : Erreur sur le profil dvaluation [GAO2002-a]

La Figure 12 montre que pour mesurer une rectitude dun profil de 600 mm de long, une

erreur dajustement de ( ) de 10 nm va engendre une erreur de flche parabolique de 4.5 m (4500 nm) pour des capteurs espacs de 10 mm. De mme, pour des capteurs espacs de

50 mm lerreur sera de 0.18 m (180 nm).. Ce rsultat montre lextrme sensibilit de ce

paramtre. Nanmoins une incertitude de positionnement relatif des capteurs de 10nm est

nettement plus difficile obtenir pour un pas de 50mm que pour un pas de 10mm. Les

solutions proposes dans cette publication sont bases sur une technique de retournement pour

dterminer cette grandeur mais cette solution nest pas adapte notre problme.

Chapitre I


24

Pour pallier ce problme, il faut ajouter une information supplmentaire qui fournisse la

possibilit de supprimer ce biais de la courbure. Plusieurs auteurs [YIN2005] [YIN2006]

[KUM2006] ont propos un systme au moins trois capteurs avec une indication de langle

de tangage du porte-capteur.

Une amlioration de cette procdure peut tre trouve en multipliant le nombre de capteurs.

Cette volution rend les mesures redondantes et autovrifiantes . Elle ne lve cependant

pas pour autant lincertitude sur lexistence dune composante circulaire et elle ne dispense

pas dune mesure complmentaire.

Figure 13 : Dispositif pour la propagation N capteurs avec lunette autocollimatrice [SCH2005]

Dans [SCH2005], le Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB) prsente la mthode

multi-distance (interfromtre) avec une lunette autocollimatrice dite Traables Multiples

Sensor System (TMS). La Figure 13 montre une schmatisation dun dispositif exprimental

possible. Un miroir est li au systme de capteurs distants. Une lunette autocollimatrice est

utilise pour mesurer la position angulaire du porte-capteurs. La lunette autocollimatrice et la

pice sont fixes la table. Lorsque le systme de capteurs distants se dplace le long de la

pice avec le miroir, la lunette autocollimatrice mesure l'inclinaison de la partie mobile du

porte-capteurs chaque position.

Figure 14 : Dispositif pour la propagation N capteurs avec lunette autocollimatrice [LIU2009]

Aujourdhui, dans l'industrie des semi-conducteurs photorsistant , il est ncessaire davoir

un dispositif qui permette de mesurer verticalement la planit avec une rsolution

nanomtrique sans dgrader le film lors de la mesure. Liu [LIU2009] a dvelopp un

dispositif (Figure 14). Son document dcrit une approche utilisant un multi-cantilever ball

comme capteurs distants avec galement une lunette autocollimatrice comme dispositif

Chapitre I


25

dangle supplmentaire de mesure. En utilisant cette mthode, les auteurs annoncent des

incertitudes de lordre de 30 nanomtres sur une longueur de 11.25 mm.

1.4.3.3 Mise en quations issue de la bibliographie

Larticle de Weingrtner [WEI2004] est probablement la premire publication proposant une

mthode de propagation pour raliser une rectitude avec des incertitudes nanomtriques.

Lauteur propose un systme de n capteurs quidistants et il crit les quations

correspondantes puis ralise lensemble des simulations sur 3 et 4 capteurs.

Dune faon gnrale, on considre n capteurs reprs par lindice i spars de d millimtres, aligns et fixs sur un solide appel le porte-capteur. Le parcours du profil

mesurer est ralis par p positions successives du porte capteur repres par lindice j

. La topographie de la pice est acquise avec 1 np points mesurs quidistants.

Dans la Figure 15, la position de balayage jx est dfinie comme la position lextrme bord

gauche du porte-capteurs. 1 isi est la position du capteur i par rapport au premier

capteur. Les positions des n capteurs quidistants sont repres par lindice isj dans

lespace pice pour chaque pas de mesure.

Pour chaque position du porte capteur, il existe des dfauts de guidage du porte-capteurs :

erreur de translation (jT ) et de tangage ( jR ).

Figure 15 : Schma de principe pour N capteurs distants

Les mesures chaque position du porte-capteurs sont des variations de distance par rapport

llment mesurer : la valeur releve par le capteur i la mej position de balayage est

note ijm .

Les inconnues sont les points du profil (sijf ) la position verticale de dplacement du porte

capteur (jT ) et sa rotation ( jR ) et lcart de position du capteur i la position de balayage j

(ij ). Cette erreur ij est la somme dun cart systmatique li la position du capteur dans le

porte capteur et dun cart alatoire que lauteur [WEI2004] choisit de cumuler avec la

2 3 n1

d

m1jm2j

m3jmnj

Translation (T)

dplacement

Rotation (R)

Rfrence

Position j

..

..

X j

sijf

Chapitre I


26

position du capteur. La mise en place du porte-capteurs est dcrite par l'ensemble d'quations

ci-dessous.

ijijjsijij dsRTfm ni ,...,1 pj ,...,1 (3)

Dans cette quation, lauteur introduit lcart ij qui correspond a une erreur due au fait que

les 4 capteurs ne sont pas parfaitement aligns et une erreur provenant de lincertitude sur

lvaluation des distances par les capteurs. Nous ne partageons pas cette approche dans la

mesure o le fait que les capteurs ne soient pas aligns nest pas proprement parl une

incertitude. Cest la mconnaissance de lalignement exact qui est une source dincertitude.

Mathmatiquement, si les carts ij sont nuls, la reconstruction exacte de la topographie est

possible. Si les carts des mesures sont sans biais systmatique, gaussiens et indpendants, un

traitement statistique par la mthode des moindres carrs permet de connatre la valeur la plus

probable de la grandeur mesure et ainsi de fixer les limites de l'incertitude.

La source principale dincertitude correspond lincertitude sur la connaissance du dfaut

dalignement des capteurs. Ce dfaut sexprime en prenant deux capteurs en rfrence. Par

consquent, les dfauts dalignement des N-2 autres capteurs sont exprims par rapport ces

deux capteurs pris en rfrence. Un choix pratique consiste prendre les capteurs des

extrmits. Cette incertitude provient dun talonnage imparfait (voir chapitre II).

Pour les simulations, les auteurs ont impos un diamtre de la pice de 300 mm. Ils sparent

les carts de position des capteurs en deux parties.

La premire partie consiste en erreurs alatoires ji , (distribution gaussienne de moyenne

nulle et variance2 ). La seconde partie consiste en carts de position systmatiques simuls

par un choix arbitraire pour chaque capteurmje , j = 1,. . . , M (distribution gaussienne de

moyenne nulle et de variance 2 ). Ces carts sont qualifis de systmatique en ce sens quils

restent constants tout au long de la mesure. Ceci est donc trs pnalisant dans le cadre dun

processus de propagation. Les carts de position ji , des capteurs ont t fixs tels que

mjji e, pour tous les i, c'est dire, que lcart pour chaque capteur reste le mme pour

toutes les positions de mesure.

La qualit de la reconstruction de la topographie est chiffre par lcart-type normalis

N

i

i ffN 1

211

.

Chapitre I


27

Tableau 1 : Liste des systmes de capteurs utiliss [WEI2004]

Le Tableau 1 fournit la liste des systmes de capteurs utiliss pour les simulations. Divers

paires de systmes de capteurs de trois et de quatre capteurs ont t tudies. Les

configurations prsentant de bonnes performances vis--vis de l'erreur de propagation ont t

choisies.

La conception des systmes dpend de la largeur x choisie pour la matrice du porte-capteur.

La valeur de x varie entre 0,6 et 15 mm. Tous les systmes de capteurs permettent la

reconstruction de la topographie exacte dans le cas o il ny a pas derreur soit ji , = 0.

(a) (b)

Figure 16 : Ecart-type normalis en ajoutant, (a) erreur alatoire, (b) erreur systmatique. N est nombre de la position de balayage. Cercle noir : le systme utilise trois capteurs quidistants. Cercle blanc : le

systme utilise quatre capteurs quidistants [WEI2004]

Sur la Figure 16, nous remarquons que lcart-type normalis augmente considrablement avec le systme utilisant trois capteurs distants (cercle noir) lorsque le nombre de position de

balayage augmente. Avec les quatre capteurs distants (cercle blanc), lcart-type normalis diminue lorsque le nombre de position de balayage augmente. Ceci justifie lutilisation dau

moins 4 capteurs.

Chapitre I


28

La Figure 16 montre galement que les carts systmatiques (au sens ci-dessus) sont

beaucoup plus sensibles sur la qualit du profil que les carts alatoires.

Lquation (3) est rcrite en changeant de point de vue. Si l'cart ij est suppos

correspondre lcart de position relative des capteurs, c'est--dire que les ij sont fixs

gaux mie pour chaque capteur et quils sont constants pour toutes les positions de balayage

alors il vient lquation (4) ci-dessous.

miijjsijij edsRTfm ni ,...,1 pj ,...,1 (4)

En fait, les rsidus correspondent la diffrence entre les deux membres de lquation (4).

Nous devons introduire des informations supplmentaires pour rsoudre ce systme

dquations. Il est envisageable de chercher mesurer directement les valeurs de mie . Ces

mesures sont trs dlicates. Les incertitudes correspondantes seraient amplifies par la

propagation. La seule solution pratique est dajouter une mesure dangle. Il a donc t choisi

dajouter une lunette autocollimatrice pour mesurer le tangage du porte capteur comme dans

[ELS2006] [LIU2009].

A chaque position, lindication du mesureur dangle est notejN . Une inconnue note 0R est

introduite. Elle correspond au calage angulaire du porte-capteur par rapport au zro de langle

indiqu. Ainsi il vient

jj RRN 0 (5)

Les quations (5) compltent les quations (4). Elles rendent le systme rsoluble sans biais

de courbure.

2 Unification des mthodes de sparation

La mthode de retournement consiste provoquer un changement de signe pour sparer les

erreurs. Les mthodes de permutation ou de propagation ajoutent alors des quations en

mlangeant les inconnues. Dans ce paragraphe, nous tentons de raliser un passage de la

permutation complte, aussi appele multiretournement dans [COO1990], la propagation

sur une rectitude.

2.1 Concept de sparation

En mtrologie, le concept de base consiste mettre en place une chane dtalonnage pour

relier le mesurage que lon est en train de raliser et ltalon primaire correspondant. Pour

toutes les grandeurs qui relvent dune convention, ce concept est incontournable. Ainsi, le

raccordement au mtre est indispensable lors de lvaluation dune pice dune dimension

nominale de un mtre.. Il est dailleurs intressant de noter que la convention de 1790 aurait

pu choisir une autre dfinition du mtre ce qui ne changerait rien notre faon de travailler.

Nous vivons une homothtie prs .

Chapitre I


29

Figure 17 : passage dun rfrentiel matriel donc imparfait un rfrentiel idal

En mtrologie dimensionnelle, ce concept de raccordement une valeur conventionnelle

mrite dtre affin. Imaginons un repre constitu de deux rgles, on sintresse au reprage

dun point dans le plan grce ces rgles (Figure 17). Il faut sassurer que ces rgles sont

rectilignes, orthogonales, quelles prsentent la mme mtrique et que la dite mtrique est

celle du mtre. Seul ce dernier point relve du raccordement.

Les mtrologues ont identifi, de longue date, trois types de mthodes pour lvaluation des

formes et des mtriques :

- Les mthodes de permutation qui sappuient sur lhypothse de la reproductibilit des mesures pour sparer les erreurs lies linstrument de celles lies la pice.

Lanalyse de ces mthodes fait apparaitre des constantes qui aboutissent lide que

lon mesure moins des positions que des carts. Lanalyse de lhypothse de

reproductibilit aboutit lide que les dfauts de gomtrie de la machine et/ou de la

pice doivent tre suffisamment lisses et fournir des carts correctement valus

localement .

- Les mthodes de retournement qui consistent galement faire lhypothse de la reproductibilit des mesurages et faire apparatre un changement de signe qui

permettra de sparer les carts de linstrument des carts de la machine. Il faut malgr

tout raliser le rattachement des comparateurs utiliss mais cette mthode permet de

passer du raccordement dun comparateur sur une petite course la connaissance de la

forme dun objet macro gomtrique.

- Les mthodes de propagation qui ont la mme nature que les mthodes de permutation. En effet, une propagation peut tre considre comme une permutation

incomplte.

Ces mthodes permettent sous hypothse de reproductibilit et dtalonnage dun comparateur

faible course dtudier compltement la gomtrie dune machine un coefficient

homothtique prs correspondant la convention du mtre.

Lvaluation des angles fournit galement des mthodes intressantes. Langle, qui sexprime

en radian, est un rapport entre deux longueurs. Cest une caractristique adimensionnelle qui

nest pas sensible la convention du mtre. Les mthodes pour valuer les angles peuvent

relever de deux ides. La premire ide consiste crire langle comme un rapport de

longueur. La seconde ide consiste crire quun tour complet sur un cercle reprsente

radians et quil suffit de diviser le cercle.

De nombreuses techniques ont t dveloppes dans le cadre de ce que lAbb Cayre

appelait la mtrologie intellectuelle [EVA1996-b].

Chapitre I


30

2.2 De la permutation la propagation : un concept unique

Figure 18: Permutation circulaire complte

La Figure 18 correspond la permutation circulaire complte [COO1990] dun systme 16

capteurs qui se gnralise aisment. Entre deux positions, on ralise 1/16 de tour. Les

quations qui dcrivent la permutation prsentent :

- 16 inconnues correspondantes la gomtrie de la bague aux 16 points considrs et qui ont la nature dcarts suivant la normale,

- 16 inconnues correspondantes la position des capteurs - 32 inconnues de position du porte-capteur circulaire (2 pour chaque position de

mesure).

On montre quune simple mthode de moyenne et de moyenne avec permutation circulaire

des quations suffit calculer lensemble des inconnues une constante prs. Cette constante

sinterprte dailleurs comme le rattachement au mtre. La position relative de la bague et du

porte capteur correspondent naturellement au sens de sans autre calcul la position

suivant le critre des moindres carrs. Cela est li la forme de la matrice de covariance

inverser pour calculer un cercle au sens des moindres carrs lorsque les points sont

rgulirement rpartis. Les seuls termes non nuls se trouvent sur la premire diagonale.

Figure 19 : Permutation circulaire incomplte en position

Une premire dgradation de la procdure de mesure prcdente consiste ne pas mesurer

toutes les positions (Figure 19). Si on note P, le nombre de positions, on a P2162

inconnues et P16 quations. Pour pouvoir rsoudre, il faut au m

Documents

Contribution à l'étalonnage d'une machine à mesurer de très haute