Control 1 Ayudanta de MAT 236Nombre:1. Sea z=1x2+ y29a)Hallar el
dominio y recorrido de la funcin y graficar el dominio.b) Graficar
las curvas de nivel z=2, z=1, z=0 y z=1 yhacer un bosquejo de la
grfica de la superficie z=f (x, y)Solucinl dominio es {( x , y) R/
x2+y29}, que corresponde a la par!e e"!erior del c#rculo de cen!ro
$%,%) y de radio &, incluida la circunferencia.l recorrido es ,
1b) 'as curvas de nivel para z=2, z=1, z=0 y z=1son circunferencias
conc(n!ricas con cen!ro en $%,%) y de radios 18,13, 10 y3,
respec!ivamen!e)n bosquejo de la superficie ser#a*+. ,e!ermine si f
( x , y) ={1cos x2+y2x2+ y2,(x , y) (0,0)0, ( x , y)=( 0,0)s
con!inua en (0,0)Solucin:f ( x , y) =lim( x , y )(0,0) 1cos
x2+y2x2+y21+cos x2+ y21+cos x2+ y2lim( x , y) (0,0) lim(x , y
)(0,0)1cos2x2+ y2( x2+y2) (1+cosx2+y2)lim(x , y )(0,0)s en2x2+y2(
x2+y2) (1+cos x2+ y2)=12'uego,fno es con!inua en (0,0),pueslim(x ,
y)(0,0)f ( x , y) f ( 0,0) .-ero, siredefinimos la funcin en (0,0)
,!al que f ( 0,0)=12, es!a nueva funcin escon!inua en el
origen.&. ,e!ermine si e"is!e la derivada direccional en la
direccin el vec!or( 12 , 12) en el pun!o (0,0) de la funcin..f ( x
, y) ={x3+3 y3x2+ y2 ,(x, y)( 0,0)0,( x , y)=(0,0)Solucin:Du f (
0,0)=limt 0f (( 0,0)+t( 12, 12))f (0,0)t=limt 0f ( t2 , t2)t=
22=2.. Supongamos que f es con!inua y !iene derivadas parciales
con!inuas. Supongamos que !iene derivada direccionalm"ima igual a
/% en P(1,2), que se alcan0a en la direccin de P a Q(3,4).
)!ili0ando es!a informacin calcula f (1,2)a) f ( 1,2)=(110, 310)b)
f ( 1,2)=50c) f ( 1,2)=( 5010,15010)d) 1inguna de las
an!erioresSolucin:2omofes con!inua y!iene derivadas parciales
con!inuas en!onces esdiferenciable en P. -or es!a ra0n la derivada
direccional se puede calcularcomoel produc!oescalardeladireccinyel
vec!orgradien!e.3demsladerivada direccional m"ima se alcan0a en la
direccin del gradien!eDu f (1, 2)=f (1,2)=50 u=1f (1,2)f (1,2)l
vec!or que une el pun!o P y pun!o Q es PQ=(2,6))n vec!or uni!ario
en esa direccin es u=(110 ,310)-or lo !an!o,f ( 1,2)=f (1,2) u=(
5010,15010)
