1

Universidad Tcnica Particular de Loja La Universidad Catlica de Loja

Electrnica y Telecomunicaciones Teora de Control Automtico

Deber # 2

Aldo Vicente Ruiz Vinces

16 de mayo de 2014

Realizar los problemas del captulo 4: P4.17, PA4.5, PD4.3, PM4.5

P4.17 Una pinza de robot, que se muestra en la parte (a) de la Figura P4.17, se controla de tal forma

que se cierra un ngulo utilizando un sistema de control de motor de cc como se muestra en la

parte (b). El modelo del sistema de control se muestra en la parte (c), donde = 30, = 1 ,

Figura P4.17 Control de una pinza robot.

= =1, = 0.1 = 1.

(a)

(b)

(c)

2

(a) Determnese la respuesta () del sistema para un cambio de escaln en () cuando = 20

()

()=

() (

) (1

( + ))

1 + (

) (1

( + )) ()()

=20(30) (

1(0.1 + 1)

)

1 + 20(30) (1

(0.1 + 1))

()

()=

20(30) (1

(0.1 + 1))

1 + 20(30) (1

(0.1 + 1))

()

()=

(600) (1

0.12 + )

1 + 600 (1

0.12 + )

()

()=

6000.12 +

0.12 + + 6000.12 +

()

()=

600

0.12 + + 600

()

()=

6000

2 + 10 + 6000

() = 1 1.00215.0349(77.2962 + 1.5058)

(b) Suponiendo que () = 0, calcule el efecto de una perturbacin en la carga () = /.

()

()=

(1

( + ))

1 + (

) (1

( + )) ()()

()

()=

(1

(0.1 + 1))

1 (600) (1

(0.1 + 1)) (1)

3

()

()=

(1

0.12 + )

1 (600

0.12 + )

()

()=

(1

0.12 + )

1 (600

0.12 + )

()

()=

(1

0.12 + )

1 + (600

0.12 + )

()

()=

1

0.12 + + 600

= lim0

() =

600

(c) Determnese el error estacionario cuando la entrada es () = , t >0. Suponga = 0

() =1

2

= lim sE0

() = lim0

(1 ())()

= lim0

(0.12 +

0.12 + + 600)

1

2=

1

600

PA4.5 Un sistema que controla la presin media arterial durante la anestesia ha sido diseado y

probado. Se postula que el nivel de la presin arterial mantiene una relacin con la profundidad de

la anestesia durante una operacin quirrgica. La figura PA 4.5 muestra un diagrama de bloques del

sistema, donde la accin de la ciruga se representa por la perturbacin D(s)

Figura PA4.5 Control de la presin arterial

4

a. Determnese el error en estado estacionario debido a las perturbacin D(s)=1/s. (Sea R(s)=0)

()

()=

1( + 2)2

1 (1)()

1( + 2)2

()

()=

1( + 2)2

1 +

( + 2)2

()

()=

( + 2)2 +

()

()=

3 + 42 + 4 +

= lim0

()

( + 2)2 +

1

= lim0

()

3 + 42 + 4 +

1

= lim0

()(0)

(0)3 + 4(0)2 + 4(0) +

1

(0)

= 0

b. Determnese el error en estado estacionario para una entrada de rampa r(t)=t, t>0 (sea

D(s)=0)

()

()=

1( + 2)2

1 (1) ()

1( + 2)2

()

()=

1( + 2)2

1 +

( + 2)2

()

()=

( + 2)2 +

()

()=

3 + 42 + 4 +

5

= lim0

() (1 ()

() )

1

2

= lim0

()3 + 42 + 4

(3 + 42 + 4 + )

=4

c. Seleccinese un valor adecuado de K menor o igual a 10 y dibjese la respuesta y(t) para una entrada de perturbacin de escaln unitario (supngase que r(t)=0)

()

()=

1( + 2)2

1 (1

) ()1

( + 2)2

()

()=

1( + 2)2

1 +

( + 2)2

()

()=

( + 2)2 +

()

()=

3 + 42 + 4 +

Con un valor de K=8

()

()=

3 + 42 + 4 + 8

PD4.3 El sistema de control de velocidad de la figura PD4.1 se modifica de forma que () =1

+5 y

la realimentacin es K1, como se muestra en la figura PD4.3

Figura PD4.3 Sistema de control de velocidad

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a. Determnese el intervalo de K1, permisible para que el error en estado estacionario sea

exx 1 %

() =

= (

) (1

+ 5)

1 + ( ) (

1 + 5

) (1)

() =

=

( + 5) + 1

() =

=

2 + 5 + 1

() = (1 ())()

() = (1

2 + 5 + 1) ()

() = (2 + 5 + (1)

2 + 5 + 1)

() = (2 + 5 + (1 1)

2 + 5 + 1) (

1

)

= 0.99 < 1 < 1.01

b. Determnese un valor adecuado para k1 y K tal que la magnitud del error en estado

estacionario a una perturbacin de viento d(t)=2t rad/s, 0 < t

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Tenemos que:

() = 2

() = ()

() = (

2 + 5 + 1) (

2

)

= lim0

() (

2 + 5 + 1) (

2

)

= lim0

() (2

1)

Por lo tanto para tener un valore de 0.1 se debe tener que:

1 > 20

= lim0

() (2

20)

< 0.1

PM4.5 Considrese el sistema de control en lazo cerrado que se muestra en la figura PM4.5. La

ganancia del controlador es K=2. El valor nominal del parmetro de la planta es a=1. El valor

nominal se utiliza nicamente a efectos de diseo, ya que en realidad el valor no se conoce

exactamente.

El objetivo del anlisis es analizar la sensibilidad del sistema en lazo cerrado para el parmetro a

Figura PM4.5 Sistema de control en lazo cerrado con incertidumbre en el parmetro a

a. Para a=1, demustrese analticamente que el valor de y(t) en estado estacionario es igual a

2 cuando r(t) es un escaln unitario. Verifquese que la respuesta a un escaln unitario est

dentro de del 2% del valor final despus de 4 segundos

8

() =

= () (

1

)

1 + () (1

)

() =

=

( ) +

lim0

() () = lim0

()

( ) + (

1

)

lim0

() (

)

Teniendo los valores de K=2; a=1; R(s)=1/s

lim0

() (2

2 1)

lim0

() (2

1)

lim0

() = 2

b. La sensibilidad del sistema para cambios en el parmetro a se puede analizar estudindolos

efectos de los cambios del parmetro sobre la respuesta transitoria. Dibjese la respuesta

a un escaln unitario para a=0.5, 2 y 5. Analcese los resultados

Cdigo MatLab

k=2; t=[0:0.1:5]; num=k a=[1 0.5 2 5]; for inc=1:4 den=[1 -a(inc)]; sys=tf(num,den); sys_cl=feedback(sys,[1]); y(:,inc)=step(sys_cl,t); end plot(t,y(:,1),'black +',t,y(:,2),'blue +',t,y(:,3),'red

+',t,y(:,4),'green +') grid on; axis([0 5 0 5]);

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xlabel('Tiempo(seg)') ylabel('y(t)') title('Grafica'); legend('a=1 (negro)','a=0.5(azul)','a=2(rojo)','a=5(verde)')