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8/19/2019 Control Automatico Compensador Adelanto Rlocus
1/50
Control Automático
Compensador de adelanto en el lugar de
las raíces
8/19/2019 Control Automatico Compensador Adelanto Rlocus
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Contenido
Estrategia para la síntesis de reguladores rlocus
Algoritmo para el diseño usando el plano complejo
Cálculo del compensador de adelanto en el plano S
Por ubicación del cero(s) o cancelación de polo(s) Método de la bisectri
Cálculo del compensador de adelanto en el plano !
Por ubicación del cero(s) o cancelación de polo(s)
Método de la bisectri
Ejemplos " ejercicios
#esumen
#e$erencias
8/19/2019 Control Automatico Compensador Adelanto Rlocus
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Cálculo del regulador K(s)
En la práctica% un regulador &(s) e'acto "nico no puede ser calculado por dosraones
En general el lao de regulación no es desegundo orden*
Por raones prácticas% los +alores de
sobreimpulso " de tiempo de estabiliación noson establecidos de $orma e'acta, sino% por+alores límite
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Estrategia para la síntesis de
reguladores en el plano complejo
-* Atacar el problema por partes
Primero% si es necesario% estabiliar el sistema% Segundo% buscar satis$acer los criterios de
sobreimpulso " tiempo de subida% .ercero " $inal% satis$acer los re/uisitos de error deestado estacionario*
0* Para la satis$acción de re/uisitos de sobreimpulso
má'imo " de error de estado estacionario para laperturbación% se trabaja primero con la respuestadirecta*
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Algoritmo para el diseño con
ayuda del lugar de las raíces-* 1ra$icar el lugar de las raíces para la$unción de trans$erencia de lao abierto
12()*
0* Encontrar las regiones para la ubicacióndeseada del par de polos dominantes*
3* 4eterminar la ubicación cualitati+a del par
de polos dominantes introduciendo uncompensador o regulador *)(ˆ K
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Algoritmo para el diseño con
ayuda del lugar de las raíces(2)
5* 1ra$icar para la nue+a $unción de
trans$erencia de lao abierto% %
el lugar de las raíces*
6* Encontrar el +alor de la ganancia K /ue
ubica los polos dominantes en la región
deseada*
7* Simular el comportamiento en el tiempodel lao de regulación
)()(ˆ OG K K
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1. ra!icar el lugar de las raíces para
"(s)
8bicar los polos " ceros en el plano complejo
Encontrar " gra$icar las regiones del eje real
/ue pertenecen al lugar de las raíces Encontrar el centroide " las asíntotas
Encontrar los ángulos de partida " de llegada
1ra$icar cada asta del lugar de las raíces
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2. Encontrar las regiones para la
u#icaci$n del par de polos dominantes
Con+ertir las especi$icaciones del dominio
del tiempo en especi$icaciones de
$recuencia natural n " amortiguamiento
relati+o *
1ra$icar las especi$icaciones de $recuencia
natural " amortiguamiento relati+o*
Seleccionar la región donde se cumplen las
especi$icaciones del dominio del tiempo*
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Ejemplo de regiones para la u#icaci$n de
los polos dominantes de la%o cerrado en el
planos &plano s
j
'
n mín. (tr má.)
n má.
mín. * má.
má.
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E* 9nteriano -:
Ejemplo de regiones para la u#icaci$n de
los polos dominantes de la%o cerrado en
el planos Se muestra un sistemacon los límites de laona en la /ue sedeben ubicar los polosde lao cerrado para+alores de
; :*7
:*-s*
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+. ,eterminar la u#icaci$n cualitati-a
del par de polos dominantes
Seleccionar el compensador o regulador
adecuado de acuerdo a los criterios
conocidos*
9niciar con los reguladores más simples
(con pocos polos " ceros)*
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. ra!icar el lugar de las raíces para la
nue-a !unci$n de trans!erencia de la%o
a#ierto #ealiar el producto K( )*GO( )
8bicar los polos " ceros en el plano complejo
Encontrar " gra$icar las regiones del eje real/ue pertenecen al lugar de las raíces
Encontrar el centroide " las asíntotas
Encontrar los ángulos de partida " de llegada 1ra$icar cada asta del lugar de las raíces
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/. Encontrar el -alor de la ganancia K 0ue
u#ica los polos dominantes en la regi$n
deseada Seleccionar la ubicación $inal para los polosdominantes en la región deseada
Comprobar /ue e$ecti+amente e'iste un par
de polos dominantes " /ue la in$luencia delos polos restantes es despreciable*
Calcular la ganancia K para esa ubicación*
Esto corresponde a la parte proporcional del
controlador*
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. &imular el comportamiento en el
tiempo del la%o de regulaci$n
?eri$icar si se cumplen las especi$icacionesdadas para el sistema completo
Si no se cumplen las especi$icaciones +ol+er
al punto 6 e iterar* Si aun no se cumplen todas las
especi$icaciones con el regulador escogido%+ol+er al punto 3*% escoger otro punto o
seleccionar otro regulador más complejo (P%P4% P9% P94), o agregar otro regulador% "repetir el procedimiento*
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Compensadores y reguladores en
tiempo continuo y discreto Compensador de adelanto
Compensador de atraso
Compensador adelanto@atraso
Compensador de $iltro de muesca
K lead
( λ )=k C ( λ− z' λ− p
')n
11
)( p
z
K lag
npnp p
nznz zC notch k K 22
22
2
2)(
'' z p
11 z p
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,esarrollo de las ecuaciones del
compensador de cancelaci$n a condición de $ase con
el compensador
agregado
Agrupamos el ángulo delcero del compensador
con los ángulos de la
planta
4espejamos el ángulodel polo del
compensador "
e+aluamos para los
primeros +alores de
(ϕ z
'−ϕ p
')⏞
φ
+(∑i=1
q
ϕ zi−∑
i=1
n
ϕ pi)⏞
γ ∠GO( λ
1)
=(2∗l+1)⋅π
−ϕ p'+ϕ z
'+∑
i=1
q
ϕ zi−∑
i=1
n
ϕ pi
⏞
γ̂ 3∠ ĜO
( λ1 )=(2∗l+1)⋅π ¿
−ϕ p'=(2∗l+1)⋅π −γ̂ =±14'º −∠̂GO ( λ1)
ϕ p
'
=±14' º 5 3∠ ĜO ( λ1)¿
l a +ariable representa a s o
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)tan(
6m7e
'
11'
p
ss p
Compensador de adelanto por el
m8todo de cancelaci$n de polo
1'
)(ˆ14'ss
O p sG
)()()(ˆ xOO pssGsG
1
)()(ˆ
1
ssOlead
C
sGs K
k
'
'
ps
zsk K C lead
'Re
ImPlano s
a cancelación no
puede ser e'acta*
Bo cancelar polos
inestables*
7e !s1"− p'# x
' p
1s
' z
x p z '
' p
$
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-=
)tan(
6m7e
'
11'
p
z z p
Compensador de adelanto por el
m8todo de cancelaci$n de polo
1'
)(ˆ14' z z
O p zG
)()()(ˆ xOO p z zG zG
1)()(ˆ
1
z zOlead
C
zG z K
k
Im
'
')( p z
z zk z K C lead
Re x p z '
' p
1 z
1
' p
1
Plano z
7e ! z1 "− p'
#
xEste es un caso particular delmétodo de ubicación del cero.
Puede ser resuelto con las
ecuaciones de ese método;
pero, de esta forma, es
aplicable para realizar un
filtro de muesca
$
' z
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0:
Compensador de adelanto por el
m8todo de u#icaci$n del cero
$ )( '1' z z p
)tan(
6m7e
'
11'
p
z z p
φ=±14'°−∠GO( z )%
z= z1
1
)()(ˆ
1
z zOlead
C
zG z K k
$
' p ' z
1 z
1
' p
1
Re
ImPlano z
'
'
p z
z zk K C lead
- @
:
7e ! z1 "− p'
#
x
'1 z z
arbitrario z '
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Ejemplo 1
Sintetice un regulador /ue Daga /ue el sistema tenga
ante una entrada escalón una respuesta con
un sobreimpulso MP entre el 3 " el -:
un tiempo de estabiliación tS6E F 3 s Escoja para punto s- un +alor de entre los siguientes
a) -1.0 !- " 1.# b) -1.1$ !- " 1.%$
c) -1.%$ !- " 1.0 d) -1.1$ !- " %.0
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Ejemplo 19 &oluci$n
Escogemos el punto s- > @-*-6 GH@ j -*06 Su parte real es menor de @-% lo cual cumple
con el tiempo de estabiliación menor a 3segundos% (tS6 > 3H(n))
Su parte imaginaria lo coloca entre los límitespara el sobreimpulso entre el 3 " el -:dados por :*6I- F F :*J56
Cancelamos el polo en @-*6 con : > @-*6
El ángulo de la planta reducida en el polo ens > @-*6% % e+aluada en el punto s- es@-60*73K
& ˆ
)(ˆ sG
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Ejemplo 19 Cálculo
El ángulo a agregar es
$ p0 > L-=:K G > 0J*3JK% @330*73KN
Escogemos el +alor $ p0 > 0J*3JK "a /ue éste
se encuentra entre L-=:K* El orden del compensador de adelanto es
entonces -
El polo del compensador de adelanto
p: > @3*67
a ganancia estática del compensador deadelanto es k C > -*J0
& ˆ
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Ejemplo 19 rá!icas
(s G -*6)
&lead(s) > -*J0 @@@@@@@@@@@@@@
(s G 3*67)
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07
p'=1−% z
1−1%
cos(θ−φ
2 )cos(θ+φ2 )
Compensador de adelanto por el
m8todo de la #isectri%
θ=tan−1 (6m ! z1"1−7e ! z1 ")1
)(14' z zO
zG$
z'=1−% z
1−1%
cos(θ+φ2 )cos(θ−φ2 )
1
)(ˆ
1
z zOlead
C
zG K
k
'
'
p z
z zk K C lead $
C - @ - C
' p ' z
1 z
1
'
1−7e ! z1"
#
1
Re
ImPlano z
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Ejemplo 29 7ealimentaci$n no
unitaria
Sintetice un regulador /ue Daga /ue el
sistema tenga ante una entrada escalón una
respuesta con
8n sobreimpulso MP entre el 6 " el -: 8n tiempo de estabiliación del 0% tS0E F 0 s
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Ejemplo 29 &oluci$n
Calculamos /ue el amortiguamiento relati+odebe satis$acer :*6I O O :*7I
Calculamos /ue el producto @0*6 GH@ j 3 El ángulo de la planta e+aluada en el punto
s- es -70*I
El ángulo a agregar es
Escogemos el +alor $ > -J*-K "a /ue éste seencuentra entre L-=:K*
&
φ=
!
14'°−12.:;1
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Ejemplo 29 &elecci$n del punto s1
Con los parámetros encontrados seleccionamos la
ona % " el ella el punto s- > @0*6 GH@ j 3
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Ejemplo 29 &elecci$n del punto s1
Calculamos un compensador por el método de la
bisectri% con > 6:*0
z'
=−%s1
%
cos(φ+θ2 )cos(
φ−θ2 )
114' s'
p'=−%s
1%
cos(φ−θ2 )cos(
φ+θ2 )
=−%(−2 ./+ j+ )%
cos(1
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Ejemplo 29 >ugar de las raíces
Con el compensador de adelanto aplicado obtenemos
/.
.+/.2+)(
s
s s K lead
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30
Ejemplo +9 Compensador de
adelanto
Encuentre para el sistema en tiempo discreto cu"aplanta 1() se muestra a continuación% con . > :*- s
a) El punto - en el cual el sistema tiene un +alor de
amortiguamiento relati+o > :*J6 " una $recuencianatural 5 radHs*
b) El compensador digital de adelanto% por el método decancelación de polo% /ue site los polos de lao
cerrado del sistema en - > :*76 L :*0i*
'.414
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33
&oluci$n al ejemplo +
a) El punto z1 para & 0.'$, (n & rad!s, * & 0.1
En el tiempo continuo encontramos el punto s-
adecuado " lo con+ertimos con > es.
s-> @ es-Q. > :*J-6 G j:*-I5
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E* 9nteriano 35
&oluci$n al ejemplo + (+)
Se muestra la ona %
para las condiciones
; :*J6 "
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36
Ejemplo 9 Compensador de adelanto
por el m8todo de la #isectri%
Encuentre para el sistema en tiempo discreto delejemplo -% con la planta 1()% con . > :*- s
a) El compensador digital de adelanto% por elmétodo de la bisectri% /ue Daga /ue la respuestade lao cerrado ante un escalón tenga comocaracterísticas dinámicas
8n sobreimpulso MP O -: 8n tiempo de estabiliación del 0 tS O -*5 s
8se un punto - de los siguientes-) :*7J6 L j:*6 0) :*7J6 L j:*06 3) :*J L j:*3 5) :*=
L j0
'.414
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37
&oluci$n al ejemplo
a) +P 10 ) * 0.$, t/ %- 1. s ) n * %.$',
* & 0.1 s, n * . rad!s, r & 0.'$1$
Escogemos por lo tanto al punto z1 & 0.#'$ "0.%$
/ue cumple con las condiciones de /uedar dentro delárea delimitada por el radio r > :*J6 " elamortiguamiento relati+o & :*7
+./@)(@14'1
z z
zG$
θ=tan−1 (6m ! z1"1−7e ! z1 ")= tan−1 ( '.2/1−'.
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3J
&oluci$n al ejemplo 9
compensador de adelanto
Calculamos un compensador de adelanto por el método
de la bisectri*
z'=1−% z
1−1%
cos(θ+φ2 )cos(
θ−φ2 )
=1−%1−'.
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E* 9nteriano 3=
&oluci$n al ejemplo 9 lugar de
las raíces
ugar de las raíces
compensado por el
método de la bisectri%
para el punto -
escogido*
Se muestra la ona %
para las condiciones%
de la parte a) * :*6I
" n * 0*=6J, r >
:*J6
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3I
&oluci$n al ejemplo 7espuesta ante
un escal$n para el sistema compensado
'.+
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5:
Análisis de resultados para el
ejemplo Se puede obser+ar en la $igura anterior% /ue se
cumple el +alor pedido para el tiempo deestabiliación, nicamente el sobreimpulso estáligeramente ma"or /ue el -:*
El problema principal parece ser /ue el tiempo demuestreo .S> :*- s es mu" grande respecto a laconstante de tiempo dominante del sistema + , :*3s% esto a$ecta al sobreimpulso pues la salida tiene
cambios mu" grandes en cada periodo de muestreo*Se puede reducir el sobreimpulso% en este caso%reduciendo el tiempo de muestreo a .S O :*:36 s*
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5-
Ejemplo /9 Compensador de
!iltro de ranura (notc !ilter)
Encuentre para el sistema en tiempo discreto% con la
planta 1()% con un tiempo de muestreo . > :*:6 s% el
compensador en tiempo discreto% /ue Daga /ue la
respuesta de lao cerrado ante un escalón tenga
las características dinámicas siguientes
8n sobreimpulso MP O -:
8n tiempo de estabiliación del 0 tS O 3 s
'.:2+1)51.44/%? (%
'.:
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50
&oluci$n al ejemplo /
a) +P 10 ) * 0.$, t/ %- s ) n * 1.,
* & 0.0$ s, n * %.%# rad!s, r & 0.$$
Encontramos /ue el punto s1 & -1. 2 "1. es la intersecciónde las condiciones dadas* .rans$ormamos al plano z "obtenemos el punto z1 & 0.1 "0.01. Escogemosentonces el punto z1 & 0.1 "0.0 /ue cumple con lascondiciones de /uedar dentro del área delimitada por elradio r > :*I366 " el amortiguamiento relati+o & :*7*
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53
&oluci$n al ejemplo /9
compensador de !iltro de muescaCalculamos un compensador de $iltro de muesca por el método de
cancelación de polos* a /ue el ángulo será aportado por dos
polos% entonces el ángulo de cada polo será la mitad*
Calculamos el +alor del polo doble
Calculamos la ganancia estática del compensador
'.1
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44/50
55
&oluci$n al ejemplo /9 lugar de
las raíces
ugar de las raíces
compensado con un
$iltro de muesca% para
el punto - escogido*
Se muestra la ona %
para las condiciones%
de la parte a) * :*7
" n * -*33, r >
:*I37
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&oluci$n al ejemplo /9 7espuesta ante
un escal$n para el sistema compensado
2
2
):11
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57
Análisis de resultados para el
ejemplo / Se puede obser+ar en la respuesta ante escalón% /ue
se cumplen los +alores pedidos para elsobreimpulso% el tiempo de estabiliación*
El periodo de muestreo . > :*:6s parece ser mu"pe/ueño para el sistema* E'isten apro'imadamente00 muestreos en un periodo de oscilación* Se puedeDacer . > :*-s con toda con$iana*
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7esumen
Se parte de /ue el sistema es de segundo
orden
Se emplea una estrategia /ue e+ita al
má'imo los e$ectos secundarios de cadaparte sobre las otras
El procedimiento debe tomar en cuenta /ue
el modelo es ine'acto " /ue las
especi$icaciones no pueden ser tampoco
e'actas " recurrir a la iteración
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Ejercicio
Sintetice un regulador /ue Daga /ue el sistema tenga
ante una entrada escalón una respuesta con
un sobreimpulso menor al 6
un tiempo de estabiliación tS0E F :*= s
Escoja un punto s- de entre los siguientes
a) @6*06 GH@ j 6*J6 b) @5*6 GH@ j 3*J6 c) @6*06 GH@ j 6*06
d) @0*06 GH@ j 5 e) @-%6 GH@ j 0*06
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5I
Ejercicios
-) #esuel+a el ejemplo 3 por el método de ubicacióndel cero en #eT-U
0) #esuel+a el ejemplo 3 por el método de ubicaciónde cero en el polo G:*=-=J
3) Calcule el ejemplo 5 por el método de la bisectri%con un tiempo de muestreo .S > :*:36 s
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7e!erencias
2gata% &atsuDiVo* WIn3enier4a de 5ontrol
+oderna X% Pearson% Prentice Yall% 0::3% 5Z
Ed*% Madrid*
4or$% #icDard% [isDop #obert* W/istemas de
control modernoX% -:Z Ed*% Prentice Yall%
0::6% España*