Control Digital Unac

7/28/2019 Control Digital Unac

1/104

CCoonnttrrooll DDiiggiittaall

Marzo-2013

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

Curso :

ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRONICA

REVISADO POR M.Sc Ing. Jacob Astocondor Villar


2/104

CCoonntteenniiddoo

1.- Introduccin1.1.- Introduccin1.2.- Esbozo histrico del control por computadora

1.3.- Evolucin de la teora de control digital1.4.- Porqu una teora de control por computadora?

1.4.1.- Caractersticas propias de los sistemas muestreados1.4.1.1.- Dependencia del tiempo

1.4.1.2.- Armnicos de alto orden1.4.1.3.- Tiempo de establecimiento finito1.4.2.- Procesos inherentemente muestreados.

2.- El proceso de muestreo2.1.- Introduccin2.2.- Descripcin del proceso de muestreo y definiciones2.2.1.- Muestreo peridico y no peridico

2.2.1.- Periodo de muestreo y frecuencia de muestreo2.3.- Introduccin al teorema fundamental del muestreo2.3.1.- El Teorema de Nyquist-Shannon y su demostracin2.3.2.- Observaciones sobre el Teorema del muestreo

2.4.- La inversin del Muestreo (Reconstruccin de seales

muestreadas)2.4.1- El reconstructor de Shannon2.4.2.- El retenedor de orden cero.2.4.3.- El retenedor de orden uno.

2.4.4.- El retenedor poligonal2.5.- Confusin de frecuencia o Aliasing2.5.1.- Tres propiedades fundamentales de las sealessinusoidales muestreadas

2.5.2.- Frecuencia normalizada de sinusoides muestreadas2.5.3.- Prefiltrado antialiasing

3.- Modelado de sistemas de control en tiempo discreto3.1.- Modelado desde el punto de vista de la computadora3.2.- Obtencin de modelos discretos a partir de modelos

continuos.

3.2.1.- Modelo discreto invariante al escaln para unsistema continuo de primer orden3.2.2.- El operador corrimiento3.2.3.- Diagramas de simulacin3.2.4.- Aproximacin de la derivada por diferencias finitas.

3.2.5.- Aproximacin de la integral (Regla trapezoidal o deTustin).3.2.6.- Modelos discretos de sistemas continuos de ordenmayor a uno.

3.3.- La Transformada Z.3.3.1.- Definiciones de la transformada Z (bilateral yunilateral) .3.3.2.- Propiedades de la transformada Z

3.3.2.1.- Linealidad3.3.2.2.- Corrimiento en el tiempo

3.3.2.3.- Transformada de la convolucin3.3.2.4.- Teorema del valor final.

3.3.3.- Tablas de Transformadas Z.3.4.- La funcin de Transferencia de pulso3.5.- Polos y ceros de funciones de transferencia de pulso3.6.- Modelado desde el punto de vista del proceso3.6.1.- Obtencin de G(z) a partir de G(s)

3.6.2.- Discretizacin de funciones de transferencia en lazoabierto usando tablas de transformadas.

3.6.2.1.- Ejemplo. Sistema de primer orden

3.6.2.2.- Ejemplo. Sistema de segundo orden reduciblemediante fracciones parciales3.6.2.3.- Ejemplo. Sistema de segundo orden no reduciblemediante fracciones parciales

3.6.2.4.- Ejemplo. Sistemas de orden superior.3.6.3.- Reduccin de bloques en cascada

3.6.4.- Funcin de transferencia de pulso de un sistema decontrol digital de una planta continua

4.- Anlisis de sistemas de control en tiempo discreto4.1.- Introduccin4.2.- Clculo de la respuesta de un DSLIT

4.3.- Solucin de las ecuaciones de diferencias medianteiteracin numrica4.3.1.- Ejemplo. Sistema de primer orden4.4.- Solucin de la ecuacin de diferencias lineal

mediante transformada Z4.5.- La Transformada Z inversa.4.5.1.- Clculo directo de la integral de contorno compleja4.5.2.- Clculo por expansin en serie de potencias

4.5.3.- Clculo por expansin en fracciones parciales

4.5.3.1.- Caso de polos distintos (reales y complejos)4.5.3.2.- Caso de polos repetidos4.6.- Ejemplos de clculo de la respuesta de un sistemadiscreto mediante transformada Z

4.6.1.- Sistema de primer orden en lazo abierto4.6.2.- Sistema de segundo orden el lazo abierto (Sucesinde Fibonacci)4.7.- Clculo de la respuesta de un DSLIT por convolucin

con l arespuesta al impulso unitario4.7.1.- Descomposicin de una seal discreta como sumade impulsos

4.7.2.- Respuesta de un DSLIT ante entradas arbitrarias:La Convolucin4.7.3.- Respuesta al impulso de sistemas causales

4.8.- Anlisis de estabilidad de DSLITs4.8.1.- Respuesta al impulso y estabilidad4.8.2.- Estabilidad y polos de una funcin de transferenciade pulso4.9.- Mtodos para el anlisis de estabilidad basada en los

polos4.9.1.- Criterio de Routh modificado4.9.1.1.- Diseo de controladores estabilizantes en lazocerrado

4.9.2.- Criterio de Joury4.9.3.- Criterio de Schur-Cohn4.9.4.- Lugar de las races

5.- Diseo de sistemas de control en tiempo discreto5.1.- Introduccin

5.2.- Traslacin del diseo analgico5.2.1.- Diferentes aproximaciones

5.2.2.- Controladores P.I.D. digitales

BBiibblliiooggrraaffaa

1.- Computer Controlled Systems. Astrom, Wittenmark

2.- Digital Control Systems. B. J. Kuo


3/104

Introduccin al Control Digital Captulo 1. Introduccin

Captulo 1Introduccin

En la actualidad casi todos los controles automticos de uso industrial, domstico

automotriz u otro tipo se implementan en forma digital, la mayora en base amicrocontroladores. Esto hace necesario entender que tipo cosas ocurren cuando un sistema

fsico de naturaleza continua, como son la mayora de los procesos industriales, se controla

mediante un sistema digital como es la computadora.

1.1.- Introduccin

En la figura 1.1 se muestra un diagrama de bloques tpico de un sistema de control basado

en una computadora digital. En este diagrama se aprecia que la salida ( )y t del proceso que

se desea controlar es una funcin que depende en forma continua del tiempo, sin embargo,

su informacin ( )y k solo se dispone en algunos instantes discretos de tiempo denominados

instantes de muestreo, es decir, k es una variable que toma valores discretos0,1,2,3,...k= , y por lo tanto ( )y k es una variablemuestreada.

Figura 1.1. Esquema tpico de control por computadora

En forma similar la entrada del proceso ( )u t no puede ser actualizada en forma continua

por la computadora sino que tpicamente se mantiene constante entre cada instante de

muestreo.

La manera en que se determina en tiempo en el que ocurren los instantes de muestreo puede

ser uniforme o no-uniforme. En estas notas solamente se trata el caso de muestreo

uniforme en el cual los instantes de muestreo estn dados por

k st kT= (1.1)

dondes

T es el perodo de muestreo que se mantiene constante.

En este caso

Reloj

AlgoritmoA / D D / A ProcesoContinuo

Computadora

SalidaContinua

y(t)y(k) u(k) u(t)y(t)

1


4/104


s sy( k ) y( kT ), u( k ) u( kT )= = (1.2)

El esquema tpico de control por computadora contiene tanto variables continuas como

variables muestreadas o discretas. Esta mezcla puede ser complicada, sin embargo, en

ocasiones es suficiente con describir lo que ocurre solamente en los instantes de muestreo,

en este caso solo interesan los valores de las seales en los instantes de muestreo y sepueden considerar todas ellas discretas, a este tipo de sistema se le llama sistemas de

tiempo discreto. Los sistemas discretos trabajan con secuencias de valores discretos y la

manera natural de modelarlos es mediante ecuaciones de diferencias.

1.2.- Esbozo Histrico del control por computadora

La idea del control por computadora surgi alrededor de 1950. El primer inters fue usarlo

en el control de misiles y la navegacin area, sin embargo, las computadoras de aquella

poca no eran adecuadas para estas aplicaciones.

La primera incorporacin de una computadora digital al control de procesos industriales se

desarrolla a mediados de los 50s con un esquema de control supervisorio como el

mostrado en la Figura 1.2. En este esquema la computadora no participa directamente en el

lazo de control, sino que solamente puede monitorear las variables medibles o modificar los

set point o seales de referencia enviadas a los controladores analgicos conectados al

proceso.

Computadora

PlantaReferencias

Consola del operador

Controladoresanalgicos

variablesmedibles

. . .

.

.

.

Figura 1.2. Esquema de control supervisorio.

El uso de las computadoras digitales en el control de procesos ha pasado por varios

periodos que podran clasificarse como sigue:

Periodo Pionero (fines de los 50s) Perodo del Control Digital Directo (inicios de los 60s) Periodo de la minicomputadoras (fines de los 60s) Periodo de las microcomputadoras (inicios de los 70s)

2


5/104


6/104


Los avances en la tecnologa de circuitos integrados permiti el desarrollo de computadoras

cada vez ms pequeas, ms rpidas y ms poderosas, a fines de los 60s se acu el

trmino minicomputadora para las computadoras basadas en la nueva tecnologa que eran

muy adecuadas para los requerimientos del control de procesos industriales. Una

minicomputadora tpica tena una longitud de palabra de 16 bits, una memoria de 64 a 128Kbytes, poda realizar una suma en 2 s y una multiplicacin en 7 s, sin embargo, seguansiendo sistemas muy costosos en 1975 un mainframe tpico de minicomputadora costaba

alrededor de diez mil dlares, con lo cual un sistema completo para aplicaciones de control

ascenda hasta unos cien mil dlares en total.

Periodo de las microcomputadoras (inicios de los 70s)

Con el desarrollo del microprocesador en 1972 el costo y el tamao de las computadoras se

abati an ms. En 1980 la tarjeta principal de una computadora con el mismo poder que

una minicomputadora de 1975 costaba unos quinientos dlares. Esto trajo como

consecuencia prcticamente la desaparicin de los controladores analgicos y su reemplazopor controladores digitales compactos de un solo lazo basados en microcontrolador. En la

figura 1.4 se muestra el aspecto fsico de un controlador analgico y un controlador digital

de un solo lazo, ambos implementan controladores tipo P.I.D.

Figura 1.4. Aspecto fsico de un controlador industrial de un solo lazo (a) Analgico. (b) Digital.

A partir de los aos 90 los microprocesadores se podan adquirir por unos pocos dlares,

esto trajo un profundo impacto en las aplicaciones del control por computadora, al grado de

que actualmente prcticamente todos los controladores estn basados en computadora.

Adems, las industrias masivas como la automotriz impulsaron el desarrollo de

computadoras de propsito especial en un solo circuito integrado llamadas

microcontroladores, las cuales incluyen en un solo chip adems de la CPU, memoria ypuertos de entrada/salida, convertidores analgico/digital y digital/analgico, timers, y otros

dispositivos necesarios para una gran gama de aplicaciones en el control de procesos.

En la figura 1.5 se muestran controladores digitales Yokogawa de un solo lazo, los cuales

implementan las acciones clsicas de control P, PI, PD, PID, en forma digital, enriquecidas

(a) (b)

4


7/104


con algoritmos digitales de autosintonizacin, adems de las prestaciones que aporta la

interface visual que aporta una pantalla LCD en color que puede conmutar a diferentes

modos y presentaciones como las mostradas

Figura 1.5. Controladores digitales actuales de un solo lazo de control.

Primer sistema de Control Distribudo: en 1975 (TDC2000 de Honeywell)

El microcontrolador hizo econmicamente posible disear computadoras especializadas en

cada parte del proceso, de manera que en un tiempo ya se tenan computadoras

interactuando y compartiendo las diferentes labores de control, supervisin, monitoreo,

almacenamiento, todas ellas intercomunicadas mediante una red de rea local tambin

basada en computadoras. Este esquema mejor notablemente la robustez del sistema global,

la disponibilidad de los componentes, as como el la velocidad al realizar procesamiento en

paralelo basado en mltiples computadoras. A este esquema se le denomin control

distribuido (ver figura 1.6). El primer esquema de este tipo fue comercializado por

Honeywell en 1975 y se denomin el TDC2000.

5


8/104


. . .

Consola del operador

ComputadorasEn D.D.C.

ComputadoraSupervisora

Planta

InterfazdeComunicacin

cc

enDDC

. . .

ccen

DDC. . .

ccen

DDC. . . Sensores/

Actuadores

Sensores/

Actuadores

Sensores/Actuadores

Figura 1.6. Esquema de control jerrquico o distribuido.

En la actualidad las compaas de automatizacin disean prcticamente todos sus equipos

pensados como una pieza de un sistema de control distribuido, por ejemplo, en la figura 1.7

se muestra el diagrama de un sistema de control distribuido actual de la compaa Foxboro.

Figura 1.7. Sistema de control distribudo actual de la compaa Foxboro.

1.3.- Desarrollo de la Teora del Control Digital

6


9/104


A continuacin se enumeran algunos de los desarrollos ms significativos de la teora de

control digital y de control en general.

1948 Oldenburg y Sartorius.- Ecuaciones de diferencias para SLITs

1949 C. Shannon concreta un trabajo previo de Nyquist estableciendo el teoremafundamental del muestreo.

1947 Hurewicz define una transformacin para seales discretas

1952 Ragazzini y Zadeh (USA) retoman el trabajo de Hurewicz y definen la Transformada

Z. Esta es definida tambin en forma independiente por Tsypkin (URSS), Jury (USA) y

Barker (Inglaterra). Otro enfoque fue desarrollado por Tsypkin en 1950, Barker en 1951,

y Jury en 1956 esta alternativa fue conocida como la Transformada Z modificada.

1960 R. Kalman Introduce la teora del espacio de estado.

1957 Bellman y Pontryagin (1962). Muestan que el problema del diseo de controladores

puede formularse como un Problema de optimizacin.

1960 Kalman: problema LQR = Ecuacin de Riccati. Introduce tambin la teora de control

estocstico convirtiendo el controlador LQR en el LQG lo que conlleva ms tarde al Filtro

de Kalman

1969 1979 Mtodos polinomiales para la solucin de problemas especficos de control

(Kalman 1969, Rosenbrock 1970, Wonham 1974, Blomberg & Ylinen 1983, Kucera 1979.

1970s 1980s Se desarrollan metodologas para la identificacin de procesos basadas encomputadora. Astrom y Eykhoff (1971), Ljung (1987)

1970s 1980s paralelamente se desarrollan tambin metodologas para incorporar

esquemas de identificacin a los controladores diseados, de manera que se obtienen

controladores adaptables que por primera vez son viables dados los avances de la

tecnologa digital Astrom y Wittenmark (1973, 1980, 1995).

1974: El Britnico Ebrahim Mandani, demuestra la aplicabilidad de la lgica difusa descrita

(por Lofti Zadeh 10 aos antes) en el campo del control, desarrolla el primer sistema deControl con Lgica Difusaprctico: La Regulacin de un Motor de Vapor esto inaugura los

primeros trabajos de tcnicas de inteligencia artificial aplicadas al control: despusvendran las redes neuronales y los algoritmos genticos.

1980s Aparecen los primeros controladores digitales que incorporan herramientas de

sintonizacin automtica desarrolladas como un producto de la teora del control adaptable.

En 1987, aparece el concepto de Fuzzy Boom", ya que se comercializa una multitud de

productos basados en la lgica difusa, sobretodo en el Japn.

7


10/104


1980 a la fecha. George Zames (1981). Introduce la tcnica de diseo de controladores

robustos denominada control H-infinito. Alberto Isidori (1985). Retoma las herramientas de

la geometra diferencial para el estudio de los sistemas no lineales

1.3.1.- El futuro del control por computadora

El desarrollo que se espera para el futuro prximo se deber dar en:

Conocimiento de los procesos.- El conocimiento de los procesos se ve impulsado por eluso de las computadoras conectadas a los procesos, ya que de esta manera es ms fcil la

obtencin de datos en lnea as como la realizacin de experimentos y el proceso de los

resultados.

Tecnologa de las mediciones.- Esto es difcil de predecir, sin embargo, la combinacin desensores de distintas tecnologas con los modelos matemticos del proceso ya aporta nuevas

tcnicas de diagnstico de fallas, adems del desarrollo de medidores basados en

computadora.

Tecnologa de las computadoras.- Aqu se espera un desarrollo continuado de lareduccin de la razn costo/desempeo de los circuitos principales y de soporte de las

computadoras, adems del desarrollo de software y perifricos cada vez ms poderosos.

Teora del control.- La incorporacin de las herramientas tericas desarrolladas ha sidogradual (control adaptable, control de modelo predictivo) sin embargo an faltan por

incorporarse muchos algoritmos y metodologas.

Dificultades: La implementacin de los nuevos mtodos de control en tiempo real basadosen herramientas de software accesibles.

1.4.- Porqu una teora de control por computadora?

Una manera simple de ver el control digital es considerarlo como una versin aproximada

del control analgico, es decir, podemos usar la teora de control analgico tradicional para

desarrollar controladores analgicos y al final hacer una buena aproximacin discreta del

controlador obtenido, entonces porqu considerar una teora aparte para estudiar los

sistemas de control por computadora?.

Una buena teora de control debe explicar completamente el esquema bsico de control por

computadora mostrado en la figura 1.1. el cual tiende a comportarse como un sistema

analgico conforme la frecuencia del reloj se incrementa ms y ms. Sin embargo, existen

varios fenmenos propios de este esquema que no pueden ocurrir en un sistema puramente

analgico.

8


11/104


1.4.1.- Caractersticas propias de los sistemas muestreados.

Las siguientes caractersticas estn presentes en los sistemas muestreados, sin embargo,

NO pueden aparecer en los sistemas lineales invariantes en el tiempo con controladores

continuos:

Dependencia del tiempo Armnicos de alto orden Transitorio de tiempo finito (tiempo de asentamiento finito)

Dependencia del tiempo.

Por ejemplo, consideremos la respuesta en el tiempo de un sistema continuo y uno digital

bajo la misma entrada (escaln unitario) mostrada en la figura 1.8

Continuo: ( ) ( ) ( )y t y t u t+ = Discreto: yk=0.3679yk-1+0.6321uk

Figura 1.8. Respuesta al escaln unitario de un sistema continuo y un sistema discreto.

Y luego veamos qu ocurre si el escaln se retarda 0.5 segundos. La respuesta de ambos

sistemas se muestra en la figura 1.9


Step response

Time (sec)

Amplitud

0 1 2 3 4 5 6

0

0.

0.

0.

0.

1 Step Response

Time (sec)

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Amplitude

Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

9


12/104


Figura 1.9. Respuesta de los sistemas anteriores al escaln retardado 0.5 seg.

De la figura 1.9 se puede observar que mientras la salida del sistema continuo cumple con

la propiedad de invariancia en el tiempo:

En cambio, la salida del sistema discreto produce una salida y(k-1) en lugar de la esperada

y(k-0.5).

Armnicos de alto orden

Para el mismo par de sistemas del caso anterior, si obtenemos su respuesta a una entrada

puramente senoidal de 0.25 hertz, con un periodo de muestreo de 1.9 segundos, obtenemos

la respuesta mostrada en la figura 1.10.


Figura 1.10. Respuesta de ambos sistemas a una seal senoidal de 0.25 hertz

Como puede observarse de la figura 1.10, mientras que el sistema continuo presenta un

estado estacionario completamente senoidal con una frecuencia igual a la de entrada, la

salida del sistema discreto es un tren de pulsos cuadrados, el cual contiene una gama de

frecuencias muy grande, no presente en la entrada.

Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Si la respuesta a u(t) es y(t), entonces la respuesta a u(t-0.5) es y(t-0.5)

10


13/104


Transitorio de tiempo finito

Consideremos el sistema doble integrador( )y u t= (1.3)

Consideremos adems el controlador analgico por retroalimentacin de estado:

1 2( )u t k y k y= + (1.4)Con k1 = k2 = -1

En la figura 1.11 se muestra la respuesta del controlador analgico en color azul y la

respuesta correspondiente de su versin discretizada (en color rojo) con un periodo de

muestreo Ts=0.1s. En la figura 1.12 se muestran las acciones de control necesarias para

obtener la respuesta de la figura 1.11.

Figura 1.11. Respuesta al escaln unitario del integrador doble con la retro de estado continua y discretizada

Figura 1.12. Accin de control aplicada al doble integrador con la retro de estado continua y discretizada

La ley de control discretizada se calcula en los instantes de muestreo simplemente como

1 2( ) ( ) ( )u kTs k y kTs k y kTs= + (1.5)

y se mantiene constante entre un instante de muestreo y el siguiente, por esta razn la

grfica de u(k) presenta la forma escalonada tpica mostrada en la figura 1.12.

Utilizando teora de control digital se demuestra que la ley de control (1.5) corresponde a

un controlador deadbeat, el cual tiene un tiempo de asentamiento finito de n*Ts donde

n=2 (orden del sistema) cuando se eligen las ganancias siguientes:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

entrada(u)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 00

0 .5

1

1 .5

posicion(y)

11


14/104


1 22

1 3,

2k k

Ts Ts= = (1.6)

La figura 1.13 muestra la respuesta del sistema en lazo cerrado usando el controlador

deadbeat con Ts=1seg.

Figura 1.13 respuesta del doble integrador con el controlador deadbeat con Ts=1s

Figura 1.14 Accin de control del deadbeat aplicada al doble integrador.

Como puede apreciarse en la figura 1.13, la salida del sistema alcanza la referencia en 2segundos y la accin de control (figura 1.14) no requiere un esfuerzo muy considerablecomparado con el controlador analgico o el discretizado del primer caso (figura 1.12).

1.4.2.- Procesos inherentemente muestreados.

Si no fuera suficiente justificacin la existencia de los comportamientos propios de los

sistemas digitales mencionados arriba, existen tambin sistemas que son discretos deorigen, es decir, sistemas que no son discretizaciones de procesos continuos. Por ejemplo:

Algoritmos ejecutados en computadora. (Mtodos numricos): Muestreo gobernadopor el reloj de la computadora.

Sistemas de medicin muestreadoso Radar: muestras cada revolucin de la antenao Instrumentos analticos (espectrgrafos, cromatgrafos): Muestras de la

sustancia procesadas fuera de lnea

o Sistemas econmicos: muestras cada periodo de corte.

Electrnica de potencia: muestreo debido al switcheo de los tiristores

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

entrada(u)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

posicion(y)

12


15/104


Sistemas biolgicos: transmisin de seales en el sistema nervioso basadas enpulsos.

Motores de combustin interna: estn sincronizados por el proceso de explosinrepetitiva.

13


16/104

Introduccin al Control Digital Captulo 2. Modelado del Proceso de Muestreo

Captulo 2Modelado del Proceso de Muestreo

2.1. Introduccin.

El muestreo es la propiedad fundamental de los sistemas de control por computadora y es

realizado como una parte del proceso de conversin de Analgico a Digital.

En el contexto de comunicaciones electrnicas y sistemas de control, muestrear significa

reemplazar una seal continua por sus valores numricos o muestras tomados en ciertos

instantes de tiempo denominados instantes de muestreo.

El proceso inverso al muestreo consiste en convertir una secuencia de valores numricos

(muestras) a una seal continua y se denomina inversin del muestreo o reconstruccin de

seales. Este proceso inverso es realizado en los convertidores de digital a analgico.

2.2.- Descripcin del proceso de muestreo y definiciones

En la figura 2.1 se describe el proceso de muestreo que convierte la seal analgica ( )f t

en la seal de tiempo discreto ( )kf t .

Figura 2.1. El proceso de muestreo.

El proceso de muestreo solo discretiza los valores del tiempo (escala horizontal) y no los

valores de la seal (escala vertical), esto es slo una parte de lo que ocurre en un

convertidor de analgico a digital, ya que en el muestreo solo se convierten en discretos los

valores del tiempo, por ello a ( )k

f t se le llama seal de tiempo discreto.

En un convertidor de analgico a digital, tambin se discretizan los valores de ( )kf t al

expresarlos con un nmero finito de bits (a este proceso se le llama cuantizacin). De esta

manera, al usar n bits, solo se pueden representar 2n valores de ( )k

f t y el resto de los

valores simplemente se redondean al valor ms cercano.

(t) muestreador

tk

(tk)

t tkt0 t1 t2 t3 t4 t5 t0 t1 t2 t3 t4 t5

14


17/104


En la figura 2.2 se muestra la etapa de cuantizacin suponiendo que se usan solamente n=3

bits y por lo tanto solo se pueden representar 8 valores distintos de ( )k

f t .

Fig. 2.2. Proceso de cuantizacin y codificacin para n=3 bits.

Despus de la cuantizacin se asigna un cdigo binario a cada valor representable de laseal ( )

kf t , con esto se discretiza la escala vertical, obtenindose una seal discreta en

ambas escalas (vertical y horizontal).

Denotaremos los instantes de muestreo como0 1 2 3, , , , ...t t t t o bien, como kt con

0,1,2,3,...k= de manera que la versin muestreada de ( )f t consiste en la secuencia, lista

o conjunto de valores ( )k

f t ={ }0 1 2( ), ( ), ( ),...f t f t f t .

Muestreo uniforme o peridico.- Es el que se considerar en este curso y corresponde alcaso en que los instantes de muestreo son equidistantes, es decir, son mltiplos de un

intervalo de tiempo constante h . A esta constante h se le llama periodo de muestreo.

kt k h=

En este caso la secuencia ( )k

f t se convierte en

( )k

f t ={ }(0), ( ), (2 ), (3 ),...f f h f h f h

Frecuencia de muestreo.- Se denota por sf y se define como el inverso del periodo demuestreo, es decir

1s

fh

= (muestras/seg)

O bien,

22

s sf

h

= = (rad/seg)

(tk)

tkt0 t1 t2 t3 t4 t5

cuantizacin

(tk)

tkt0 t1 t2 t3 t4 t5

Mnimaescala

Cdigo111

110

101

100

011

010

001000

Plenaescala

15


18/104


2.3.- Introduccin al Teorema Fundamental del Muestreo.

Una pregunta fundamental que se desprende del proceso de muestreo es la siguiente Ser

posible recuperar la informacin de la seal analgica ( )f t a partir de sus muestras ( )k

f t ?

El teorema fundamental del muestreo responde a esta pregunta. Para ganar alguna nocin

intuitiva respecto a este teorema observemos que entre ms muestras tomemos por unidadde tiempo (es decir, entre mayor sea la frecuencia de muestreo

sf ) perderemos menos

informacin de la seal original, pero la informacin perdida tambin depende de que tan

rpido cambia dicha seal original. Para visualizar esta situacin consideremos el muestreo

de dos seales muestreadas a la misma frecuencias

f , pero una seal con variaciones lentas

y otra con variaciones rpidas en la figura 2.3

Fig. 2.3.- Dos seales muestreadas a la misma frecuencias

f . a) Seal con variaciones lentas. b) Seal con

variaciones rpidas

Como puede intuirse de la figura 2.3, es posible que no se pueda recuperar la seal original

del inciso (b) a partir de sus muestras.

Un caso que hace evidente lo que ocurre en la figura 2.3(b) es el mostrado en la figura 2.4

en donde se muestrean dos seales distintas:1( ) 1 sin(2 )f t t= + ,

2( ) 1f t = . En este caso se

obtienen las mismas muestras ( )kf t para las dos seales, por lo tanto a partir de las puras

muestras es imposible saber si las muestras provienen de una seal o de la otra.

Fig. 2.4.- Dos seales que producen las mismas muestras.

(a) (b)0 0.5 1 1.5 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

16


19/104


2.3.1.- El Teorema de Nyquist-Shannon.

El teorema del muestreo de Nyquist-Shannon, tambin conocido como teorema del

muestreo de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon, es un teorema fundamental de lateora de la informacin, de especial inters en las telecomunicaciones y en el control

digital. Este teorema fue formulado en forma de conjetura por primera vez por HarryNyquist en 1928 (Certain topics in telegraph transmission theory), y fue demostrado

formalmente por Claude E. Shannon en 1949 (Communication in the presence of noise). La

siguiente es la versin de Shannon:

Adems, la seal continua ( )f t se puede calcular a partir de sus muestras mediante la

siguientefrmula de interpolacin de Shannon.

[ ]( ) ( ) ( ) / 2sk

f t f kh Sinc t kh

=

= (2.1)

Donde la funcin Sinc se define como

sin0

( )

1 0

xsi x

Sinc x x

si x

=

=

(2.2)

Demostracin:La hiptesis de que ( )f t no contiene frecuencias mayores a

0 , significa que el espectro

(contenido de frecuencia o Transformada de Fourier) ( )F de la seal es de Ancho de

Banda Limitada como se muestra en la figura 2.5.

Figura 2.5.- Espectro de banda limitada

( )F es la Transformada de Fourier de ( )f t , es decir,

( )F

00

2

s2

s

ncho de banda

Una seal continua ( )f t que no contiene frecuencias mayores a0

est dada de manera

nica por sus muestras en puntos equidistantes {..., ( 2 ), ( ), (0), ( ), (2 ),...}f h f h f f h f h si

02

s >

17


20/104


( ) ( ) j tF f t e dt

= (2.3)

O bien, ( )f t es la Transformada Inversa de Fourier de ( )F

1( ) ( )

2

j tf t F e d

= (2.4)

A partir de ( )F definimos la funcin auxiliar siguiente

1( ) ( )s s

k

F F kh

=

= + (2.5)

Obsrvese que en el caso en que0

2s

> , entonces ( )sF es simplemente una secuencia

peridica de copias de ( )F como se muestra en la figura 2.6(a).

Figura 2.6.- Espectro de la seal ( )s

F a) Para0

2s

> . b) Para 02s <

En el caso en que 02s < , ( )sF se deforma debido a la contribucin del traslape de

cada copia de ( )s

F k + con la copia vecina ( ( 1) )sF k + + lo cual hace aparecerfrecuencias que no estaban en el espectro original como se observa en la figura 2.6(b).

A continuacin supondremos que ocurre el caso de la figura 2.6(a), es decir, supondremos

que 02s > .

Como ( )s

F es peridica de periodos

se puede expandir en una serie de Fourier, como

sigue

( ) jkhs kk

F C e

=

= (2.6)

Donde los coeficientesk

C estn dados por

( )s

F

00

2

s 2

ss

0 2 s

s

2s

3

2

s

3

2

s

(a) Caso0

2s

>

( )s

F

2

s2

ss

0 2s

s2 s 32

s32

s (b) Caso

02

s <

00

18


21/104


/2

/2

1( )

s

s

jkh

k s

s

C F e d

= (2.7)

Aseguramos que ( )k

C f kh= , para verificarlo, evaluemos ( )f t dado por (2.4) en t kh=

1( ) ( )

2

j khf kh F e d

=

Y como suponemos que 02s > entonces/2

/2

1( ) ( )

2

s

s

j khf kh F e d

=

Y como en este intervalo ( ) ( )sF hF = , entonces/2

/2

( ) ( )2

s

s

j kh

s

hf kh F e d

=

Y como2

sh

= , obtenemos

/2

/2

1( ) ( )

s

s

j kh

s k

s

f kh F e d C

= =

Por lo tanto:

Conociendo ( )kC f kh= podemos calcular de manera nica ( )sF , usando (2.6),

Conociendo ( )s

F podemos calcular de manera nica ( )F (truncando entre

2 2

s s

y

) y conociendo ( )F podemos calcular de manera nica ( )f t usando (2.4)

Con lo cual queda demostrado el teorema.

A continuacin demostraremos que la manera de reconstruir la seal original a partir de susmuestras se logra mediante la frmula de interpolacin (2.1)

Partiendo de (2.4), tenemos que

1( ) ( )2

j tf t F e d

= =/2

/2

1 ( )2

s

s

j tF e d

Y si 02s > lo anterior se puede expresar en trminos de ( )sF como/2

/2

( ) ( )2

s

s

j t

s

hf t F e d

=

19


22/104


Sustituyendo la serie de Fourier para ( )s

F (2.6) obtenemos/2

/2

( )2

s

s

jkh j t

k

k

hf t C e e d

=

=

Introduciendo el exponencial a la sumatoria/2

( )

/2

( )2

s

s

j t kh

k

h f kh e d

=

=

Usando la linealidad de la integral/2

( )

/2

( )2

s

s

j t kh

k

hf kh e d

=

=

Sacando el factor que no depende de la variable de integracin /2

( )

/2

( )

2

s

s

j t kh

k

hf kh e d

=

=

Integrando para t kh /2

( )

/2

1( )

2 ( )

s

s

j t kh

k

hf kh e

j t kh

=

=

( ) /2 ( )/2

( )2 ( )

s sj t kh j t kh

k

h e ef kh

j t kh

=

=

Usando la frmula de Euler[ ]2sin ( ) / 2

( )2 ( )

s

k

t khhf kh

t kh

=

=

Reacomodando las constantes y recordando que2

sh

=

[ ]sin ( ) / 2( )

( ) / 2

s

k s

t khf kh

t kh

=

=

Que es la frmula de interpolacin (2.1) buscada para t kh . El caso t kh= slo implica

cambiar el valor de la integral por s .

Observaciones sobre el Teorema del Muestreo:

1. A la frecuencia2

sN

= se le denomina Frecuencia de Nyquist y define la mxima

frecuencia contenida en la seal original que puede ser reconstruida treas el muestreo.

20


23/104


2. La ecuacin (2.1) define la reconstruccin de seales cuya Transformada de Fourier es

nula para frecuencias mayores aN

3. La frmula (2.1) es no causal, ya que para calcular el valor de la seal original en un

instante dado t requiere las muestras ( )f kh las cuales an no han ocurrido para kh t> (si t es el instante presente para kh es futuro)

4. La frmula (2.1) es una suma ponderada de las muestras ( )f kh . La funcin de

ponderacin es

( ) ( / 2)st Sinc t = (2.8)Por lo tanto la frmula (2.1) se puede reescribir como

( ) ( ) ( )k

f t f kh t kh

=

= (2.9)

Es importante tener bien presente la forma que tiene la grfica de la funcin ( )t , ya que es

una funcin que aparece comnmente en el campo del procesamiento digital de seales.Dicha grfica se muestra en la figura 2.7.

... -13h -11h -9h -7h -5h -3h -2h -h 0 h 2h 3h 5h 7h 9h 11h 13h ...-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Funcin (t)

Figura 2.7.- Grafica de la funcin ( ) ( / 2)

st Sinc t =

De la figura 2.7 se puede observar que la amplitud de la funcin de ponderacin ( )t es

menor del 10% para 3t h> y menor del 5% para 6t h> , por lo tanto si nos esperamos 3 o 6periodos de muestreo podemos obtener ms muestras para evaluar la frmula disminuyendo

el error de reconstruccin aproximadamente en un 10% y 5% respectivamente. Esta

estrategia implica agregar retardos a la reconstruccin, lo cual no es deseable en sistemas

de control en tiempo real, pero es perfectamente manejable en la reconstruccin de seales

en tiempo diferido (seales almacenadas para su proceso posterior).

5. La frmula (2.1) garantiza una reconstruccin perfecta cuando se cumple la condicin

del teorema del muestreo, es decir, cuando 02

s < , pero el clculo de la frmula (2.1)

requiere considerar todas las muestras presentes, pasadas y futuras de la seal, es decir,

requiere ( )f kh para k desde hasta + , lo cual en general no es posible. En la

21


24/104


prctica, la sumatoria infinita se trunca a valores finitos pero muy grandes de k,

obtenindose una reconstruccin aproximada.

6. Por la razn del punto anterior, si se requiere una mejor reconstruccin en la prctica se

debe exagerar la condicin del teorema 02

s < siendo una recomendacin emprica

02

s


25/104


En la figura 2.8a se muestra una reconstruccin perfecta de una seal utilizando la frmula

de interpolacin de Shannon. Al disminuir la frecuencia de muestreo comienzan a aparecer

algunos errores en la reconstruccin como se observa en la figura 2.8b.

Fig. 2.8.- Reconstruccin con la frmula de Shannon a) Caso 02s > . b) Caso 02s < .

2.4.2.- El Retenedor de Orden Cero (Zoh).

Este es el reconstructor ms utilizado por su sencillez y consiste simplemente en congelar el

valor de la muestra presente hasta que se tiene la siguiente muestra, es decir,

( ) ( ) ( 1)f t f kh para kh t k h= < + (2.10)

Por lo tanto, la seal reconstruida toma una forma escalonada como se puede ver en la

figura 2.9 en la cual se muestra la reconstruccin de la misma seal que en las figuras 2.8.

Fig. 2.9.- Reconstruccin con el retenedor de orden cero.

0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1f(t)originalmuestras f(kh)f(t)reconstruida

0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

f(t) originalf(kh)f(t) reconstruida

0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

f(t) original

f(kh)f(t) reconstruida

(a) (b)

23


26/104


El retenedor de orden cero no solamente se utiliza para reconstruir seales. Es utilizado

tambin para retener el valor de las muestras a la entrada de los convertidores analgico a

digital mientras se realiza la conversin. En este caso el bloque de muestreo y retencin van

juntos como se muestra en la figura 2.10

Fig. 2.10 Primera etapa de un convertidor A/D

2.4.3.- El Retenedor de Orden Uno (Foh).

Este retenedor une la muestra actual con la muestra siguiente mediante una lnea recta cuya

pendiente es igual a la lnea que une la muestra pasada con la presente, es decir,

[ ]( ) ( 1)( ) ( ) ( ) ( 1)

f kh f k hf t f kh t kh para kh t k h

h

= + < + (2.11)

En la figura 2.11 se muestra la reconstruccin de la misma seal de la figura 2.9 mediante

el retenedor de orden uno.

Fig. 2.11.- Reconstruccin con el retenedor de orden uno.0 0.5 1 1.5 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1 f(t)originalf(kh)f(t)reconstruida

switch analgico-

+

MuestreadorRetenedor de orden cero

24


27/104


2.4.4.- El Retenedor Poligonal

Los picos de error generados por el retenedor de orden uno se deben a que es un

extrapolador, ya que predice el comportamiento rectilneo entre una muestra y lasiguiente basado en la recta que une la muestra actual con la anterior. Si en lugar de esta

idea usamos un interpolador que una la muestra actual con la siguiente mediante una recta

obtenemos el retenedor poligonal siguiente

[ ] [ ]( 1)( ) ( ) ( ) ( 1)

f k h f khf t f kh t kh para kh t k h

h

+ = + < + (2.12)

En la figura 2.12 se muestra una reconstruccin tpica utilizando este retenedor poligonal.

Fig. 2.12 Reconstruccin con el retenedor poligonal.

Obsrvese que la ecuacin (2.12) es no-causal, por lo tanto este retenedor tampoco puede

implementarse en tiempo real.

2.5.- Confusin de Frecuencia o Aliasing.

Cuando se muestrean seales peridicas es posible que aparezcan frecuencias lentas en la

seal muestreada que no estaban presentes en la seal original.

Para explicar este fenmeno repasaremos qu es una seal peridica y estudiaremos el caso

ms sencillo en el que la seal peridica contiene una sola frecuencia (seal sinusoidal

pura).

Una seal analgica ( )f t se dice peridica cuando existe una constante positiva T tal

que

0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

f(t)originalf(kh)f(t)reconstruida

25


28/104


( ) ( ) 0, 1, 2,...f t f t nT con n= + = (2.13)A la constante T ms pequea que cumple lo anterior se le llama el periodo

fundamental de ( )f t .

Por ejemplo, la seales sinusoidales ( ) sin( )f t t= y ( ) cos( )g t t= son peridicas y su

periodo fundamental es 2T = radianes, ya quesin( ) sin( 2 ) 0, 1, 2,...t t n con n= + = (2.14)cos( ) cos( 2 ) 0, 1, 2,...t t n con n= + = (2.15)

Ejemplo:La sinusoide de frecuencia (rad/seg) dada por ( ) sin( )f t t= es peridica puesto que deacuerdo a (2.14)

( ) sin( ) sin( 2 ) 0, 1, 2,...f t t t n con n = = + = Es decir,

2 2( ) sin( ( )) ( ) 0, 1, 2,...f t t n f t n con n

= + = + =

Por lo tanto su periodo fundamental es2

T

=

En forma similar para el caso de seales discretas:

Una seal de tiempo discreto ( )f kh se dice peridica cuando existe un entero positivo

N tal que

( ) ( ) 0, 1, 2,...f kh f kh nNh con n= + = (2.16)A la constante N ms pequea que cumple lo anterior se le llama el periodo

fundamental de ( )f kh .

Ahora consideramos el muestreo de una seal analgica sinusoidal ( ) sin( )f t t= , el cualconsiste en convertir la seal ( )f t a sus muestras ( )f kh , entonces

( ) sin(2 ) sin(2 ( )) 0, 1, 2,...f kh fkh kht n con n = = + =

Seguir siendo peridica la seal despus del muestreo?

2.5.1.- Tres propiedades fundamentales de las seales sinusoidales muestreadas.

Para que una seal de tiempo discreto ( )f kh sea peridica debe existir un entero0N tal que

( ) (( ) )f kh f k N h para todo entero k= + (2.17)

Es decir, para el caso de la seal sinusoidal debe existir un entero N tal que

sin(2 ) sin(2 ( ) )fkh f k N h = +

26


29/104


Comparando con (2.14) obtenemos que 1, 2,...fNh = es decir, fNh debe ser un entero,lo cual es imposible cuando fh es un nmero irracional.

Propiedad 1.- La seal sinusoidal muestreada sin(2 )fkh no necesariamente esperidica.

Ejemplo: En cul de los siguientes casos la seal sinusoidal muestreada sin(2 )fkh esperidica? (considerar h=1)

a) Para 0.1f = b) Para 1.12f = c) Para f = d) Para 2f =

Solucin: solamente en los incisos (a) y (b) se cumple que fh es racional por lo tanto soloen esos caso la sinusoide es peridica.

Propiedad 2.- Las sinusoides muestreadas cuyas frecuencias estn separadas un

mltiplo de s (o bien un mltiplo de sf

) son idnticas.

En efecto, 0 0sin(( ) ) sin(2 ( ) )s sn kh f nf kh + = +

0 0sin(2 2 ) sin(2 2 )

sf kh nf kh f kh nk = + = +

0 0sin(2 ) sin( )f kh kh = =

En otras palabras, las sinusoides de frecuencias0 0, , 0, 1, 2,...

sn con n + = (o bien,

0 0, , 0, 1, 2,...

sf f nf con n+ = ) dan exactamente el mismo resultado despus delmuestreo.

Por esta razn se dice que las frecuencias 0 sn + sonALIAS de la frecuencia 0 o bien,

las frecuencias 0 sf nf+ son un ALIAS de la frecuencia 0f .

Propiedad 3.- La mxima frecuencia posible de una sinusoide muestreada es/ 2

s N = (o bien / 2

sf ).

Esto es consecuencia de la propiedad anterior, ya que cualquier frecuencia mayor que

/ 2s se puede escribir como 0 sn = + para algn entero n donde 0 puede ser

positiva o negativa, pero est en el rango 0 / 2s < . Ver la figura 2.13

0

2

s

s 2 s 3 s 3

2

s

x

0

0 2 s = +

27


30/104


Fig. 2.13. Expresando una frecuencia como 0 sn = +

Es decir, cualquier frecuencia mayor que / 2s

es el alias de una frecuencia0

en el

rango 0/ 2 / 2s s < < .

En otras palabras, las nicas sinusoides muestreadas posibles tienen frecuencias en el

intervalo fundamental siguiente

,2 2 2 2

s s s sf f

o bien f

< < < < (2.18)

2.5.2.- Frecuencia normalizada de sinusoides muestreadas.

Cuando se muestrea la sinusoide ( ) sin( ) sin(2 )f t t Ft= = se obtiene la sinusoide

muestreada ( ) sin( ) sin(2 )f kh kh Fkh= = la cual se puede reescribir como

( ) sin( ) sin(2 )f k k fk = =

Dondes

hF

= = ys

Ff Fh

F= = son lasfrecuencias normalizadas (y sus unidades son

ciclos/muestra) de la seal muestreada.

Obsrvese que los intervalos fundamentales dados por (2.18) en el caso de frecuencias

normalizadas se convierten en

1 1,

2 2

o bien f < < < < (2.19)

Ejemplo: Si las siguientes sinusoides continuas se muestrean usando una frecuencia demuestreo de 1 / sF Kmuestra seg= :

1( ) cos(450 )f t t= ,

2( ) cos(1400 )f t t= ,

3( ) cos(9520 )f t t= .

a) En que seales se convierten?b) Cul es la frecuencia en Hertz de las seales analgicas?c) Calcular la frecuencia en el intervalo fundamental de las seales muestreadas.d) En qu casos se obtiene un alias de la frecuencia original?

1( ) cos(450 )f kh kh= , 2 ( ) cos(1400 )f kh kh= , 3( ) cos(9520 )f kh kh= . Para

Solucin:a) Al muestrear lo nico que se cambia es t por kh , se obtenienen las seales muestreadas

siguientes:

1( ) cos(450 )f kh kh= ,

2( ) cos(1400 )f kh kh= ,

3( ) cos(9520 )f kh kh= . Para

28


31/104


b) Como 1( ) cos(450 ) cos(2 (225) )f t t t = = su frecuencia es de 225 Hz

Como 2 ( ) cos(1400 ) cos(2 (700) )f t t t = = su frecuencia es de 700 Hz

Como3( ) cos(9520 ) cos(2 (4625) )f t t t = = su frecuencia es de 4625 Hz

c) Normalizando las frecuencias con 1000 /sF muest seg= , es decir,0.001 / h seg muestra= se obtiene

1( ) cos(0.45 )f k k= , 2 ( ) cos(1.4 )f k k= , 3( ) cos(9.52 )f k k= .

Calculando de qu frecuencia (en el intervalo fundamental) son alias:

1( ) cos(0.45 )f k k= =cos(2 (0.225) )k . En este caso 0.225f = ciclos/muestra est en el

intervalo fundamental y no es un alias.

2 ( ) cos(1.4 )f k k= = cos(2 (0.7) )k = cos(2 (1 0.3) )k = cos(2 ( 0.3) )k por lo tanto, en

este caso 0.3f = ciclos/muestra. Es decir, 0.7 es un alias de -0.3.

3( ) cos(9.52 )f k k= =cos(2 (3.173333) )k = cos(2 (3 0.173333) )k + =cos(2 (0.173333) )k por lo tanto, en este caso 0.1733333f = ciclos/muestra. Es decir,3.173333 es un alias de 0.173333

d) Convertimos a frecuencia en Hertz multiplicando por 1000 /s

F muest seg= :

(0.225ciclos/muestra)*(1000muestras/seg) = 225 Hertz (no es alias)

(-0.3ciclos/muestra)*(1000muestras/seg) = -300 Hertz (alias)

(0.173333ciclos/muestra)*(1000muestras/seg) = 173.33 Hertz (alias)

Como era de esperarse, slo en el segundo y tercer caso se obtuvieron alias, ya que soloen esos casos se viola la hiptesis del teorema fundamental del muestreo.

Tarea No. 2

a) Verificar mediante la graficacin de las sinusoides continuas siguientes

1 1( ) cos(2 )f t F t= , 2 2( ) cos(2 )f t F t= donde F1=1/8 Hz y F2=-7/8 Hz junto con

sus muestras a razn de 1sF = muestra/seg. (ver figura 2.14) que ambassinusoides producen las mismas muestras (y por lo tanto una es el alias de la

otra).

b) Cul es la frecuencia de la sinusoide discreta obtenida?

29


32/104


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5F2=-7/8 HzF1=1/8 HzFs=1 Hz

Fig. 2.14. Solucin del inciso (a)

Ejercicios:1.- A qu frecuencia se deber muestrear la seal 1( ) sin(2 )f t t= para que sea un alias de

2( ) sin(0.4 )f t t= ? Verificarlo graficando las dos selaes junto con sus muestras a la

frecuencia de muestreo calculada.

2.- La seal modulada 0 0( ) sin(4 )cos(2 )f t t t = es muestreada con0

3s

f

= . Determina

las frecuencias (en Hertz) que estarn contenidas en la seal muestreada.

2.5.3.- Prefiltrado Antialiasing

Una manera de asegurar que las componentes de alta frecuencia de la seal a muestrear no

generen alias al muestrearse es evitando que contenga frecuencias mayores a N , esto se

puede lograr mediante un filtro analgico pasa bajas previo a la etapa de muestreo (ver

figura 2.15) cuya frecuencia de corte sea0 c N

donde0

es la mxima frecuencia

que nos interesa conservar de la seal original.

Fig. 2.15. Prefiltrado analgico anialiasing.

FFiillttrroo

aannttiiaalliiaassiinngg

f(t)

f(k) libre

de alias

EEttaappaa ddee mmuueessttrreeoo

ddeell ccoonnvveerrttiiddoorr

AA//DD

30


33/104


34/104

Introduccin al Control Digital Captulo 3. Modelado de Sistemas de Control Digital

Captulo 3Modelado de Sistemas de Control Digital

3.1.- Modelado desde el punto de vista de la computadora.

Si nos ubicamos en el lugar del algoritmo discreto que se ejecuta en la computadora en el

diagrama bsico de un lazo de control digital directo (ver figura 3.1) podemos observar que

desde este punto de vista, el proceso a controlar se comporta como un sistema cuya entrada

manipulable es la seal discreta ( )u k y cuya respuesta es la seal discreta ( )y k

Fig. 3.1. Algoritmo discreto controlando un proceso continuo

Es decir, desde el punto de vista de la computadora, el proceso se comporta como se

muestra en la figura 3.2

Figura 3.2. Punto de vista de la computadora

O sea que la computadora ve al proceso continuo como si fuera otro sistema que procesa

entradas discretas y produce salidas discretas y por lo tanto debiera admitir un modelodiscreto.

3.2.- Obtencin de modelos discretos a partir de modelos continuos.

En esta seccin se aborda el problema de obtener una representacin discreta adecuada a

partir delmodelo continuo lineal con coeficientes constantes de un proceso dado.

AAAlllgggooorrriiitttmmmooodddiiissscccrrreeetttooo

PPrroocceessooCCoonnttiinnuuoo

CCoommppuuttaaddoorraa

yy((kk)) uu((kk)) uu((tt)) yy((kk))yy((tt))DD //AA AA //DD

RReelloojj

AAAlllgggooorrriiitttmmmooodddiiissscccrrreeetttooo

AA //DD DD //AAPPrroocceessoo

CCoonnttiinnuuoo

CCoommpuuttaaddoorraa

yy((kk)) uu((kk)) uu((tt))yy((tt)) yy((tt))

32


35/104


36/104


37/104


Es decir, hemos obtenido el modelo discreto dado por la ecuacin de diferencias lineal deprimer orden

(( 1) ) ( ) ( )y k h y kh u kh + = + (3.9)Donde

( ), 1ah ahbe e

a = = (3.10)

Ejemplo:Obtener el modelo discreto invariante al escaln para el sistema continuo dado por la

siguiente funcin de transferencia. Considerar un periodo de muestreo 1h = 1

( )1

pG s

s=

+

Solucin:En este caso 1a b= = . Sustituyendo en (3.10), obtenemos

( )1 1, 1e e = =

Por lo tanto el modelo discreto queda1 1(( 1) ) ( ) (1 ) ( )y k h e y kh e u kh + = +

Es decir, aproximadamente

(( 1) ) 0.3679 ( ) 0.6321 ( )y k h y kh u kh+ = +

La simulacin de este caso de sistema continuo y su equivalente discreto se mostraron en el

captulo 1. En la figura 3.4 se muestran nuevamente las respuestas de ambos sistemas a un

escaln unitario. En esta ocasin se enciman las graficas para que se observe la perfecta

coincidencia de ambos modelos en los instantes de muestreo.

Fig. 3.4. Respuesta al escaln unitario del sistema de primer orden continuo y su equivalente discreto.

3.2.2.- El operador corrimiento.

Antes de abordar el problema de la obtencin de modelos discretos para sistemas ms

generales introduzcamos una notacin que ayudar a simplificar la representacin de los

sistemas discretos.

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Respuesta al escaln unitario

y(t)y(k)

35


38/104


Se define el operador corrimiento o adelanto unitario que se denotar como q de

manera que para cualquier seal discreta ( )x kh

( ) (( 1) )qx kh x k h= + (3.11)

En forma similar se define el operador retardo unitario o corrimiento hacia atrs

denotado 1q de manera que

( ) (( 1) )qx kh x k h= + (3.12)

Ambos operadores se pueden aplicar de manera repetida, por ejemplo2 ( ) ( ( )) (( 1) ) (( 2) )q x kh q qx kh qx k h x k h= = + = +

En forma similar 3 ( ) (( 3) )q x kh x k h= + , o bien, 3 ( ) (( 3) )q x kh x k h = , etc.

3.2.3.- Diagramas de simulacin.

Una de las ventajas del operador retardo es que este puede implementarse fsicamente o

simularse en una computadora. Algunos simuladores como Simulink permiten definir

una simulacin mediante diagramas de bloques. As por ejemplo, basndonos en el bloque

bsico de retardo unitario mostrado en la figura 3.5 podemos construir diagramas de

simulacin de sistemas discretos.

Fig. 3.5.- Bloque del operador retardo unitario

Ejemplo:El diagrama de simulacin para el sistema de primer orden dado por la ecuacin (3.9):

(( 1) ) ( ) ( )y k h y kh u kh + = + se puede obtener observando lo siguiente:1) Si la salida de un bloque de retardo es ( )y kh , la entrada debe ser (( 1) )y k h+ 2) Entonces esta entrada puede obtenerse de la ecuacin original (3.9)

Aplicando esta idea se obtiene el diagrama de la figura 3.6.

Fig. 3.6. Diagrama de simulacin del sistema discreto de primer orden.

En Simulink slo hay algunas diferencias: la apariencia de algunos bloques, la manera en

que se define el periodo de muestreo, la manera en que se definen entradas y salidas y

q-1x((k+1)h) x(kh)

+u(kh)

q-1x(kh)x((k-1)h)

36


39/104


especialmente que en lugar del smbolo q-1

se usa el smbolo 1/z. En la figura 3.6 se

muestra el diagrama correspondiente en simulink as como el resultado de la simulacin.

Fig. 3.6. Simulacin del sistema de primer orden discreto en Simulink.

A continuacin se presentarn enfoques alternativos aproximados pero ms sencillos parala obtencin de modelos discretos de sistemas continuos.

3.2.4.- Aproximacin de la derivada por diferencias finitas.

Una manera clsica de aproximar la derivada de una funcin ( )y t conociendo dos puntos

de dicha funcin es mediante la pendiente de la recta que une dichos puntos como se

muestra en la figura 3.7 y se puede expresar como

( ) ( ) ( )( )

dy t y y t t y t y t

dt t t

+ = =

(3.13)

Fig. 3.7. Aproximacin de la derivada.

As, si deseamos aproximar la derivada (pendiente de la recta tangente) en t kh= , cont h = , sustituyendo en (3.13) obtenemos

kh (k+1)h

y(kh+h)

y(kh)

t

y(t) Pendienteexacta

Pendienteaproximada

t

y

37


40/104


41/104


Tambin puede observarse en la figura 3.8 ninguna de las dos aproximaciones coinciden

con el sistema original en los instantes de muestreo como ocurri con la aproximacin

invariante al escaln (ver figura 3.4).

3.2.5.- Aproximacin de la integral (Regla trapezoidal o de Tustin).

Si escribimos las ecuaciones diferenciales que definen al sistema continuo utilizando

integrales en lugar de derivadas podemos obtener otras aproximaciones al considerar el rea

bajo la curva definida por la integral entre dos instantes de muestreo como se muestra en la

figura 3.9.

Fig. 3.9.- Aproximacin mediante un trapecio del rea entre los instantes kh y kh+h.

Si escribimos el rea bajo la curva de la seal ( )x t desde 0 hasta t como una funcin del

tiempo tenemos

0( ) ( )

t

I t x d = (3.18)

Por lo tanto el rea hasta el instante kh ser

0( ) ( )

kh

I kh x t dt= (3.19)Y hasta el instante kh h+

0( ) ( )

kh h

I kh h x t dt+

+ = (3.20)

Y observando la figura, la diferencia entre estas dos reas es el rea entre los instantes kh y

kh h+ , la cual se puede aproximar por el rea del trapecio, por lo tanto

( ) ( )( ) ( )

2

x kh h x khI kh h I kh h

+ ++ (3.21)

O bien,

( ) ( )( ) ( )

2

x kh h x khI kh h I kh h

+ ++ + (3.22)

Lo cual se puede escribir en trminos del operador q como sigue

kh (k+1)h

x(kh+h)

x(kh)

t

x(t)

reatrapezoidalaproximada

h0

rea exacta

0( ) ( )

kh

I kh x t dt=

39


42/104


1( 1) ( ) ( )

2

qq I kh hx kh

+ (3.23)

O bien,

1( ) ( )

2 1

h qI kh x kh

q

+

(3.24)

A esta aproximacin se le llama regla trapezoidal o aproximacin de Tustin.

Ejemplo:Para el sistema de primer orden ( ) ( ) ( )y t ay t bu t+ = con 0.1h = podemos aplicar estaaproximacin reescribiendo el sistema en trminos de una integral como sigue

[ ]0

( ) ( ) ( )t

y t ay t bu t dt= + Por lo tanto

[ ]( ) ( ) ( ) ( )kh h

khy kh h y kh ay t bu t dt

++ = + +

Usando (3.22) con ( ) ( ) ( )x t ax t bu t= + obtenemos[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

( ) ( )2

ay kh h bu kh h ay kh bu khy kh h y kh h

+ + + + ++ +

Simplificando obtenemos

2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y kh h y kh ahy kh h bhu kh h ahy kh bhu kh+ + + + + Despejando

(2 ) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( )ah y kh h ah y kh bhu kh h bhu kh+ + + + +

En la figura 3.9 se muestra la respuesta al escaln unitario del sistema continuo original

comparado con la respuesta del sistema discreto aproximado mediante regla trapezoidal, si

se compara con la figura 3.8 se puede observar que la regla trapezoidal da mejoresresultados que la aproximacin por diferencias hacia delante.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

continua

aprox trapezoidal

Fig. 3.9. Respuesta al escaln unitario de la aproximacin por trapecios para diferentes valores de h.

40


43/104


3.2.6.- Modelos discretos de sistemas continuos de orden mayor a uno.

Hasta aqu se han ejemplificado solamente sistemas de primer orden, sin embargo, las

aproximaciones anteriores se pueden aplicar a sistemas de mayor orden con ayuda del

operador q , directamente a partir de la funcin de transferencia del sistema continuo,

reemplazando cada multiplicacin por la variable compleja s por una operacin derivadaexpresada de manera aproximada en trminos de q y reemplazando las variables de entrada

y salida por sus muestras en el instante kh , de esta manera podemos resumir la tcnica en

la siguiente tabla

Tabla 3.1. Obtencin de Aproximaciones DiscretasMtodo de aproximacin Reemplazar Explicacin

Derivada por diferencias hacia adelante s por1q

h

Ecuacin (3.15)

Derivada por diferencias hacia atrs s por1

1 q

h

Ecuacin (3.17)

Integral por regla trapezoidal (Tustin) s por2 1

1

q

h q

+

Ecuacin (3.24)

Ejemplo:Obtener la aproximacin discreta por diferencias hacia delante y por la regla trapezoidal

para el siguiente sistema continuo de segundo orden dado por su ecuacin diferencial

1 0( ) ( ) ( ) ( )y t a y t a y t bu t+ + =

Solucin:La funcin de transferencia correspondiente al sistema es

2

1 0

( )( ) ( )

Y s bG s U s s a s a= = + +

Es decir,2

1 0( ) ( )s a s a Y s bU s + + = (3.25)

Usando diferencias hacia adelante2

1 0

1 1( ) ( )

q qa a y kh bu kh

h h

+ + =

Desarrollando el cuadrado

( )

2 2 2

1 0

( 2 1) 1 ( ) ( )q q a h q a h y kh bh u kh + + + =

Es decir,2 2 2

1 1 0( 2) (1 ) ( ) ( )q a h q a h a h y kh bh u kh + + + =

En el dominio del tiempo discreto obtenemos

2 2

1 1 0( 2 ) ( 2) ( ) (1 ) ( ) ( )y kh h a h y kh h a h a h y kh bh u kh+ + + + + = (3.26)

41


44/104


45/104


46/104


47/104


La cual es una serie geomtrica de razn 1az , y por lo tanto converge al valor

1

1( )

1

zX z

az z a= =

(3.34)

siempre y cuando 1 1az < , es decir, la ROC es z a>

Ejemplo: Encuentre la transformada Z del escaln unitario ( )kh :

Solucin: Como puede observarse, esta seal corresponde al ejemplo anterior en el casoparticular en que a=1. Por lo tanto

1

1( )

1 1

zz

z z = =

(3.35)

Y por lo tanto la ROC es 1z > .

3.3.2.- Propiedades de la Transformada Z

A continuacin se presentan algunas de las propiedades fundamentales que tiene la

transformada Z y gracias a las cuales se ha convertido en una herramienta muy til para elmodelado, anlisis y diseo de los sistemas y seales en tiempo discreto.

3.3.2.1.- Linealidad

Esta propiedad es una consecuencia directa de la definicin, ya que la transformada se

define como una sumatoria y las sumatorias poseen la propiedad de linealidad, es decir,

[ ] [ ] [ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )ax kh bx kh a x kh b x kh+ = +Z Z Z (3.36)

O lo que es lo mismo,

Si1 2

( ) ( ) ( )x kh ax kh bx kh= + , entonces 1 2( ) ( ) ( )X z aX z bX z= +

Donde a, b son dos constantes cualesquiera. La ROC de ( )X z ser la interseccin de las

ROC para1( )X z y

2( )X z .

La propiedad de linealidad se extiende para cualquier nmero de sumandos en la

combinacin lineal del lado derecho de (3.36).

Ejemplo. Sea ( ) 3(2 ) 2( 1)k kx kh = . Por la propiedad de linealidad tendremos que

( ) 3 [2 ] 2 [ 1 ]k kX z = Z Z , es decir,1 1

3 2( )

1 2 1X z

z z =

+. La ROC de X(z) es la

interseccin de la ROC de cada sumando, es decir, es la interseccin de 2>z con 1z > ,

es decir, la ROC deX(z) es 2z > .

45


48/104


Ejemplo. La transformada Z de la sinusoide discreta 0( ) sin( ) ( )x kh kh kh = se puedecalcular usando la propiedad de linealidad y la frmula de Euler:

sin( )2

j je e

j

= (3.37)

Por lo tanto

0 0

( ) ( )2

j kh j khe e

x kh khj

=

Entonces, de (3.34) y de la propiedad de linealidad obtenemos

=

11 00 1

1

1

1

2

1)(

zezejzX

jj

lo cual se puede escribir como sigue

+

=

211

11

00

00

12

1)(

zzeze

zeze

jzX

jj

jj

o bien,1

0

1 2

0

sin( )( )

1 2cos( )

zX z

z z

=

+(3.38)

y la ROC ser la interseccin entre 0j

ez > y 0jez > , pero 10 =je , por lo tanto la

ROC es 1>z .

3.3.2.2.- Corrimiento en el tiempo.

a) Corrimiento hacia atrs (Retardo). Si ( )X z es la transformada Z de ( )x kh ,entonces:

[ ( )] ( )nx kh nh z X z =Z (3.39)

Donde n es cualquier entero positivo. La ROC por lo tanto es la misma que la de ( )X z ,

excepto por 0z = .

Demostracin:

De la definicin0

[ ( )] ( ) k

k

x kh nh x kh nh z

=

= Z

Haciendo el cambio de variable i k n= se obtiene

[ ( )] ( ) i n

i n

x kh nh x ih z

=

= Z ( )n ii n

z x ih z

=

=

Pero como ya se dijo ( ) 0 0x xh para k= < , por lo tanto

0

( ) ( )n i n

i

z x ih z z X z

=

= =

46


49/104


b) Corrimiento hacia adelante (Adelanto). Si ( )X z es la transformada Z de ( )x kh ,entonces:

1 ( 1)[ ( )] ( ) (0) ( ) ... ( )n n nx kh nh z X z z x x h z x nh h z + = + + + Z (3.40)

Donde n es cualquier entero positivo. La ROC por lo tanto es la misma que la de ( )X z ,

excepto por 0z

=.

Demostracin:

De la definicin0

[ ( )] ( ) k

k

x kh nh x kh nh z

=

+ = +Z

Haciendo el cambio de variable i k n= + se obtiene

[ ( )] ( )i n

i n

x kh nh x ih z

+

=

+ = Z ( )n ii n

z x ih z

=

=

Sumando y restando el trmino1

0

( )n

i

i

x ih z

=

1

0 0

( ) ( )nn i i

i i

z x ih z x ih z

= =

=

1

0

( ) ( )n

n i

i

z X z x ih z

=

=

1

0

( ) ( )n

n n i

i

z X z z x ih z

=

= 1( ) (0) ( ) ... ( )n n nz X z z x z x h zx nh h= .

Obsrvese que si las condiciones iniciales (0), ( ),..., ( )x x h x nh h son cero, la propiedadanterior se convierte simplemente en

[ ( )] ( )nx kh nh z X z+ =Z (3.41)

Ejemplo: Consideremos el escaln unitario discreto ( )kh , calculemos las transformadas Zde las siguientes seales:

Escaln retardado 3 periodos de muestreo:

3[ ( 3 )] ( )kh h z z = Z 31 3 2

1 1

1z

z z z

= =

Escaln adelantado 3 periodos de muestreo:3 3 2[ ( 3 )] ( ) (0) ( ) (2 )kh h z z z z h z h + = + + Z

3 3 2

1

1

11z z z zz = + +

3 2

1

1(1 )

1z z z

z = + +

2 1 6 4 33

1

1

1 1

z z z z zz

z z

+ + += =

47


50/104


51/104


Ejemplo. La manera directa de calcular la convolucin de dos seales discretassustituyendo en la definicin (3.42) y desarrollando la sumatoria trmino a trmino. Este

procedimiento resulta bastante laborioso. Sin embargo, se puede facilitar un poco el clculo

si hacemos uso de la propiedad anterior, por ejemplo, calculemos la convolucin de las

siguientes dos seales de duracin finita:1( ) {1, 2,1, 1}x kh = ,

2( ) {1, 2,3,1}x kh =

Solucin. Escribimos la trasformada z de cada seal:1 2 3

1( ) 1 2X z z z z = + + , 1 2 3

2 ( ) 1 2 3X z z z z = + + +

multiplicamos las expresiones en el dominio z:1 2 3 4 5 6

1 2( ) ( ) 1 (2 2) (1 3 4) ( 1 1 2 6) (3 6 6) (1 3)X z X z z z z z z z = + + + + + + + + + + + +

1 2 3 4 5 61 4 8 8 3 2z z z z z z = + + + +

Por lo tanto

1 2* {1, 4,8,8,3, 2, 1}x x =

El ejemplo anterior revela que la convolucin de seales de duracin finita sigue lasmismas reglas que la multiplicacin de polinomios.

3.3.2.4.- Teorema del valor final.

Esta es una propiedad muy til para averiguar a qu valor tiende una seal cuando el

tiempo crece a infinito, usando solamente informacin de su Transformada Z.1

1

( ) lim ( ) lim(1 ) ( )k z

x x kh z X z

= = (3.45)

Demostracin. Calculemos la expresin del lado derecho usando la definicin detransformada Z

1 1

1 10

lim(1 ) ( ) lim(1 ) ( ) kz z

k

z X z z x kh z

=

=

Usando la propiedad de corrimiento hacia atrs

10 0

lim ( ) ( )k kz

k k

x kh z x kh h z

= =

=

10 0

lim lim ( ) ( )N N

k k

z Nk k

x kh z x kh h z

= =

=

Intercambiando el orden de los lmites (se supone que la expresin entre corchetes es

continua respecto a N y respecto a z), obtenemos

49


52/104


10 0

lim lim ( ) ( )N N

k k

N zk k

x kh z x kh h z

= =

=

Sustituyendo el lmite z=1,

0 0lim ( ) ( )

N N

Nk k

x kh x kh h= =

=

Desarrollando las sumatorias

( ) ( )lim (0) ( ) ... ( ) ( ) ( 1) (0) ( ) ... ( )N

x x h x Nh h x Nh x x x h x Nh h

= + + + + + + + +

[ ]lim ( )N

x Nh

= = ( )x

Ejemplo.

Consideremos la siguiente seal exponencial discreta de la ecuacin (3.33)

0( ) ( )

0 0

k

k

a para k x kh a kh

para k

= =

De acuerdo al Teorema del valor final

1

11

1( ) lim(1 )

1zx z

az

=

0=

Sin embargo, este resultado slo es vlido en la ROC, pero como 1z , entonces la ROCse transforma en 1a < , lo cual corresponde a lo esperado (es decir, solamente las

funciones exponenciales que cumplen 1a < tienden a cero como valor final) como se

ilustra en la figura 3.11.

Fig. 3.11. Seal exponencial discreta para el caso 1a < , a) 0.8a = , b) 0.8a =

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

x(kh)=(0.8)k

0 5 10 15 20-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 x(kh)=(-0.8)k

k

(a) (b)

50


53/104


3.3.3.- Tablas de Transformadas Z.

Usando la definicin y las propiedades de la transformada Z es posible obtener expresiones

para la transformada Z de una gran variedad de seales de tiempo discreto.

De esta manera, es posible elaborar un compendio de seales y sus correspondientes

transformadas Z y sus respectivas ROC en forma de tabla de transformadas. Se puedenencontrar tablas muy extensas en los libros de texto o en diferentes sitios de internet, por

ejemplo: https://www.u-cursos.cl/ingenieria/2009/2/EL41C/1/material_alumnos/bajar?id_material=45237

En la tabla 3.2 se resumen las transformadas obtenidas hasta aqu y algunas otras junto consus correspondientes transformadas de Laplace. Como puede verse en dicha tabla, todas las

transformadas Z mostradas son funciones racionales de 1z (es decir, son divisiones de

polinomios en z-1). En esta seccin se introducen algunos conceptos importantes

relacionados con estas funciones.

Tabla 3.2 Transformadas de algunas seales discretas

Seal Continua ( )x t ( )X s Discreta ( )x kh ( )X z ROC

Impulso

unitario( ) t 1 ( ) kh 1 Todo el

plano z

Escaln

unitario( ) t

1

s ( )kh

1

1

1 z 1>z

Rampa

unitaria( )t t

2

1

s ( )kh kh

( )

1

211

hz

z 1>z

Exponencial ( )ate t 1

s a ( )akhe kh

1

1

1

ah

e z

h

z a>

Sinusoidal

0sin( ) ( )t t

2 2

1

s + 0sin( ) ( )kh kh

1

0

1 2

0

sin( )

1 2cos( )

h z

h z z

+ 1>z

0cos( ) ( )t t

2 2

s

s + 0cos( ) ( )kh kh

1

0

1 2

0

1 cos( )

1 2cos( )

h z

h z z

+ 1>z

Sinusoidal

modulada

por

exponencial

0sin( ) ( )ate t t 2 2

1

( )s a +

0sin( ) ( )akhe kh kh

1

0

1 2 2

0

sin( )

1 2 cos( )

ah

ah ah

e h z

e h z e z

+ hz a>

0cos( ) ( )ate t t 2 2( )

s a

s a

+

0cos( ) ( )akhe kh kh

1

0

1 2 2

0

1 cos( )

1 2 cos( )

ah

ah ah

e h z

e h z e z

+

hz a>

Adems de las transformadas de seales individuales es conveniente tener a la mano las

propiedades de la transformada Z y de la transformada de Laplace.

En la tabla 3.3 se resumen todas las propiedades de la transformada Z presentadas en esta

seccin.

51


54/104


Tabla 3.3. Propiedades de la Transformada Z

PropiedadDominio del

tiempoDominio z ROC

Linealidad 1 1 2 2( ) ( )c x kh c x kh+ 1 1 2 2( ) ( )c X z c X z+ Interseccin de las ROC

de X1(z) y X2(z)

Corrimientohacia atrs

( )x kh nh ( )nz X z La deX(z) exceptoz=0

Corrimientohacia adelante

( )x kh nh+ 1

0

( ) ( )n

n n k

k

z X z z x kh z

=

La misma de ( )X z

Convolucin 1 2*x x 1 2( ) ( )X z X z Interseccin de las ROC

de X1(z) y X2(z)

Teorema del

valor final

lim ( )k

x kh

11

lim(1 ) ( )z

z X z

Interseccin de la ROCde ( )X z con z=1

3.4.- La Funcin de Transferencia de Pulso.

Como ya vimos en secciones anteriores, un sistema discreto lineal invariante en el tiempo(DSLIT) puede ser representado por una ecuacin de diferencias que en general ser de la

forma

0 1

0 1

( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( )

N

M

a y kh Nh a y kh Nh h a y kh

b x kh Mh b x kh Mh h b x kh

+ + + + + =

+ + + + +(3.46)

Donde: ( )x kh , ( )y kh son la entrada y la salida del sistema respectivamente, 0 1, ,..., Na a a ,

0 1, ,..., Mb b b son coeficientes constantes y N, M son los mximos adelantos involucrados dela salida y la entrada respectivamente, a N se le llama el orden del sistema.

Observacin: para que el sistema dado por (3.46) seacausalse requiere que N M

Calculando la transformada Z a cada lado de la ecuacin (3.46) y usando la propiedad de

corrimiento hacia delante, suponiendo condiciones iniciales cero, obtenemos1 1

0 1 0 1( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )N N M M

N Ma z Y z a z Y z a Y z b z X z b z X z b X z + + + = + + +

Factorizando, obtenemos

( ) ( )1 10 1 0 1... ( ) ... ( )N N M M

N Ma z a z a Y z b z b z b X z + + + = + + +

Despejando el cociente de la salida entre la entrada

1

0 1

1

0 1

...( )

( ) ...

M M

M

N N

N

b z b z bY z

X z a z a z a

+ + +=

+ + +(3.47)

52


55/104


56/104


Donde 0 1 0 1, ,..., , , ,..., ,N Ma a a b b b son constantes.

La funcin de transferencia de pulso (3.50) puede ser escrita en trminos de potencias de1z multiplicando numerador y denominador por Nz para obtener

1

0 1

10 1

...

( ) ...

M N M N N

M

N

N

b z b z b z

G z a a z a z

+ + +

= + + +

O bien,1

0 1

1

0 1

...( )

...

Md M

N

N

b b z b zG z z

a a z a z

+ + +=

+ + +(3.51)

Donde d N M= es el retardo total del sistema.

Definimos uncero de ( )G z como un valor dez que hace cero el numerador ( )B z , esdecir, es un valor de z tal que ( ) 0G z = .

En forma similar un polo de ( )G z es un valor de z que hace cero el denominador( )A z , es decir, un valor de z tal que ( )G z = .

De acuerdo a la definicin anterior, la funcin racional ( )G z puede ser expresada de

manera que aparezcan en su expresin explcitamente los ceros y los polos, factorizandonumerador y denominador como sigue

1 2

1 2

( )( )...( )( ) ( )( )...( )

M

N

z z z z z zG z K z p z p z p

= (3.52)

Donde0 0/K b a= , Mzzz ,...,, 21 son las races del numerador, es decir, los ceros finitos

de )(zX , Nppp ,...,, 21 son las races del denominador, es decir, lospolos finitos de )(zX

Obsrvese que de acuerdo a la expresin (3.51) la funcin de transferencia de pulsotiene adems d N M= ceros repetidos para z = . Por lo tanto ( )G z tiene M cerosfinitos, N polos finitos y N M ceros infinitos. Si contamos tanto ceros finitos comoinfinitos resulta que )(zX tiene el mismo nmero de polos que de ceros.

3.6.- Modelado desde el punto de vista del proceso.

El esquema general de control digital directo mostrado en la figura 3.1 tambin puede ser

replanteado desde el punto de vista del proceso continuo, el cual recibe como entrada la

seal continua ( )u t , la cual es la salida del convertidor digital/analgico de la computadora

54


57/104


58/104


59/104


Podemos definir

[ ] [ ]( ) ( ) ( )Y z y t y kh= = Z Z (3.56)

Esta definicin implica que al no poder calcular la transformada Z de la seal continua

( )y t , introducimos un muestreo ficticio para reemplazar ( )y t por ( )y kh . Con esta

definicin, podemos obtener G(z) como sigue

( )( )

( )

Y zG z

U z=

(3.57)

Entonces, de (3.53)1( ) (1 ) ( )G z z Y z= (3.58)

Y sustituyendo (3.55)

1 1 ( )( ) (1 )G s

G z zs

= Z L

Que por comodidad abreviaremos como

1 ( )( ) (1 ) G sG z zs

= Z (3.59)

Tomando en cuenta la prdida de informacin entre instantes de muestreo en la salida ( )y k

podemos finalmente transformar todo el diagrama de bloques de la figura 3.14 a un solo

dominio como se muestra en la figura 3.15

Fig. 3.15. Diagrama de bloques del lazo de control digital directo en el dominio z.

Obsrvese que ahora los muestreadores no son ya necesarios porque todas las seales que

fluyen en el diagrama son de tiempo discreto, por lo tanto se pueden eliminar los

muestreadores como se muestra en la figura 3.16.

Fig. 3.16. Eliminacin de los muestreadores.

H(z) G(z)YY((zz)) UU((zz))YY((zz))

H(z) G(z)yy((kk)) uu((kk))yy((tt))

yy((kk))

57


60/104


61/104


62/104


63/104


64/104


65/104


3.6.2.4.- Ejemplo. Sistemas de orden superior.Cuando se tiene una planta de orden mayor que 2, siempre es posible expresarla entrminos de los dos casos anteriores. Consideremos por ejemplo la planta continua dada por

la siguiente funcin de transferencia de cuarto orden

4 3 2

3( )

4 6 5 2

+=

+ + + +

sG s

s s s s

Como las races del denominador son 311 2 3,4 2 21, 2,= = = s s s , se puede factorizar

como sigue

2

3( )

( 1)( 2)( 1)

+=

+ + + +s

G ss s s s

Por lo tanto

2

( ) 3

( 1)( 2)( 1)

+=

+ + + +G s s

s s s s s s

Y por lo tanto

( )G s

s se puede desarrollar en fracciones parciales como sigue

2

( )

1 2 1

+ = + + + + + + +

G s A B C Ds E

s s s s s s

Donde 32

=A , 2= B , 16

=C , 13

=D y 43

= E

1

2( ) (1 )

1 2 1

A B C Ds EG z z

s s s s s

+ = + + + + + + + Z

etc (El resto del procedimiento es similar al de los ejemplos anteriores).

3.6.3.- Reduccin de Bloques en Cascada.

Con el procedimiento descrito en la seccin anterior ya podemos expresar un sistema de

control que involucra elementos continuos y discretos en un solo dominio (el dominio Z).

De esta manera podemos extender las reglas de reduccin de diagramas de bloques al

dominio Z con una sola excepcin que en la que hay que tener precaucin especial:

Bloques en Cascada con muestreador de por medio

En el caso en que dos bloques continuos estn conectados en cascada con un muestreador

(convertidor A/D) de por medio la equivalencia es directa como se muestra en la figura

3.17

63


66/104


Fig. 3.17. Bloques continuos en cascada con muestreador de por medio.

De manera que en la figura 3.17 se pueden obtener las funciones de transferencia de pulso

de cada bloque en forma directa como

[ ]( ) ( )G z G s= Z y [ ]( ) ( )H z H s= Z

Y por lo tanto el diagrama de la figura 3.17 se puede convertir a un slo bloque o funcin

de transferencia de pulso dado por

( )( ) ( )

( )

Y zG z H z

U z= (3.68)

Bloques en Cascada sin muestreador de por medio

Si no existe un muestreador en medio de dos bloques continuos se aplica el procedimientoexplicado en la seccin anterior para el caso (Retenedor ZOH Planta Continua) y de esta

manera la equivalencia por bloques es como se muestra en la figura 3.17

G(s) H(s)uu((kk))uu((tt)) yy((kk))yy((tt))

G(z)H(z)UU((zz)) YY((zz))

64


67/104


Fig. 3.17. Bloques continuos en cascada sin muestreador de por medio

En la figura 3.17 el bloque equivalente GH(z) se obtiene discretizando el equivalente en

cascada G(s)H(s) de los bloques continuos, es decir

[ ]( ) ( ) ( )GH z G s H s= Z (3.69)

3.6.4.- Funcin de transferencia de pulso de un sistema de control digital de unaplanta continua.

Una vez que tenemos expresada la funcin de transferencia de la planta en cascada con el

retenedor de orden cero tenemos expresado todo el sistema en un solo dominio y podemos

aplicar todas las reglas de reduccin de diagramas de bloques para obtener una expresin

simplificada del sistema en lazo cerrado.

As por ejemplo, para obtener la funcin de transferencia del siguiente sistema de control

digital directo mostrado en la figura 3.19. Donde M(s) representa la funcin de

transferencia de un sensor analgico.

G(s) H(s)uu((kk))uu

Documents

Control Digital Unac