Pontificia Universidad Católica del Perú Maestría en Ingeniería de Control y Automatización

Control Óptimo

Examen Parcial 2013-2 Duración: 150 minutos. No se permite el uso de libros y ni apuntes.

Problema 1 (5 puntos) Se tiene un sistema lineal dado por la ecuación de estado: que se quiere controlar de manera que la salida y tenga un comportamiento similar a la salida del siguiente modelo de referencia: Encontrar la ley de control usando teoría de control optimal. Desarrolle la ecuación de Riccati en sub-matrices. Dibuje el diagrama de bloques del sistema de lazo cerrado y explique sus partes.

Problema 2 (3 puntos) Explique y fundamentar. (a) ¿Qué ventajas ofrece un controlador con feedback y feedforward respecto a otro que sólo

contiene feedback? (b) ¿Qué significa que un problema de optimización sea convexo? (c) ¿Explicar el criterio de estabilidad de Lyapunov aplicado a un sistema lineal de lazo cerrado

Problema 3 (2 puntos) Dada el problema de optimización:

Minimizar f(x) = 3x12 + 2x1x2 + x2

2

Restricción g(x) = 3x1 + 2x2 – 5 <= 0

Plantear la condición necesaria de Kuhn-Tucker. (No se pide resolver el problema).

Problema 4 (5 puntos) Determine la solución del siguiente problema de control optimal donde se aprecia un término central en la función de costo. Plantee la ecuación de Riccati correspondiente. Ponga ejemplos en los que se llega a una función de costo de este tipo.

. x = Ax + Bu

y = Cx

. z = Az + B r

y = C z

Ecuación de estado

Función de costo

. x = Ax + Bu

0

inf

J = (xTQ1x + xTQ2x + uTRu) dt . .

Problema 5 (5 puntos) Se tienen dos motores eléctricos en paralelo que accionan una carga de gran inercia tal como se muestra en la figura. El costo de accionar cada motor depende de su potencia de salida según las siguientes expresiones: Motor 1 : C1 = 1 – P1 + 2 P1

2 Motor 2 : C2 = 1 + 0.5P2 + 1.5P22

Done C es el costo de accionamiento del motor y P es la potencia desarrollada. El motor 1 puede desarrollar una potencia máxima de 40 watts. El motor 2 puede desarrollar una potencia máxima de 50 watts. Considerando que la potencia requerida por la carga es de 70 watts, determine las potencias suministradas por cada motor de manera que se minimice el costo total de accionamiento de los motores. Plantee el problema de diseño óptimo y resuelva según la condiciones de Kuhn-Tucker. Verifique la convexidad del problema de optimización. San Miguel, 18 de Octubre de 2013 Ecuación de Riccati (Ley de Control) : ATP + PA – PBR-1BTP + Q = O

u = -Kx , K = R-1BTP

Hamiltonian: H = L(x,u) + Tf(x,u)

Engranaje que acciona la carga

Engranaje 2

Engranaje 1

Motor 1 Motor 2

Carga