Cap��tulo 8El problema del control robusto8.1 Introducci�onLas caracter��sticas del dise~no de un sistema de control van a depender en gran me-dida, de la �delidad con la que el modelo empleado describa el comportamiento delsistema. Uno de los principios del modelado de sistemas es el de simpli�caci�on;consistente en que de la forma m�as simple posible el modelo capte los rasgos funda-mentales bajo an�alisis del proceso.Un proceso real puede ser extremadamente complejo para ser descrito de formaabsolutamente precisa por un modelo matem�atico, en cuyo caso se habla de erroresde modelado. Si se a~nade el hecho de que se trata de describir al sistema conun modelo lineal e invariante en el tiempo, ello implica otro conjunto de hip�otesissimpli�cadoras que incrementan los errores de modelado originales o residuales.Se puede considerar por tanto, que cualquier modelo matem�atico de un procesoreal va a ser en mayor o menor grado impreciso, o dicho de otra forma va a contarcon incertidumbres o errores de modelado.Si se desea controlar de manera e�ciente un proceso real, se deber�a de tenerinformaci�on sobre las posibles fuentes de incertidumbres, evaluando su efecto sobreel comportamiento del sistema completo.La necesidad de cumplir unas especi�caciones de dise~no cada vez m�as exigentes,ha llevado a tener en consideraci�on aspectos de importancia pr�actica en el desarrollo159

160 Introducci�onde los sistemas de control. De forma que el comportamiento del sistema se mantengaaceptable en un ambiente realista, en el que las incertidumbres van a estar siemprepresentes.Entre los principales factores causantes de los errores de modelado pueden des-tacarse:1. Modi�caciones en el punto de trabajo de la planta o con respecto al modelonominal.2. Din�amica no lineal no considerada.3. Din�amica de alta frecuencia no modelada.4. Retardos de tiempo no contemplados.5. Imprecisiones en los par�ametros, debidas al m�etodo de identi�caci�on y/o mo-delado empleado.Estos factores se pueden agrupar en dos grandes grupos: las incertidumbresparam�etricas (1) y (5) y las estructurales (2), (3) y (4). Con respecto al conoci-miento disponible sobre las causas de las incertidumbres puede distinguirse entreincertidumbre estructurada y no estructurada.En el caso de incertidumbre no estructurada s�olo se conoce que existen discre-pancias entre el modelo y la planta real, y posiblemente puede conocerse tambi�en eltama~no de las desviaciones de determinadas medidas entrada/salida (por ejemplo, ladiscrepancia en la respuesta frecuencial causada por la din�amica de alta frecuenciano modelada y/o diferencia en la respuesta temporal debido a la no consideraci�onde un elemento no lineal).Si se conoce de la incertidumbre que en cierta medida se debe a algunos elementosdiferenciados de la planta, en la forma de tolerancias de sus valores (por ejemplo,la incertidumbre en el valor de un polo y/o un cero), en ese caso se trata de unaincertidumbre estructurada.Es posible tambi�en, que se tenga un conocimiento parcial y separado de lasfuentes de incertidumbre, en cuyo caso tambi�en podr�a hablarse de incertidumbreparcialmente estructurada (por ejemplo, el hecho pr�actico de que las incertidumbresexistentes en distintos actuadores sean independientes entre s��).A la hora de plantearse el dise~no de un sistema de control robusto para un procesocon incertidumbres, surgen una serie de cuestiones escalonadas:

El problema del control robusto 1611. C�omo modelar tales procesos.2. C�omo analizar el sistema de control.3. C�omo dise~nar el controlador.Para resolver los 3 puntos anteriores, se hace necesario la introducci�on de nuevosconceptos y herramientas de c�alculo para el an�alisis y dise~no de sistemas de control.El campo de aplicaci�on de esta nueva disciplina denominada control robusto, abarcatodos aquellos problemas que se caractericen por considerar incertidumbres en elmodelo que sean tolerables por un controlador �jo lineal e invariante en el tiempo;limitando con aquellos que necesitan un controlador variable (control adaptativo,control por plani�caci�on de la ganancia).Los objetivos de control tratan en cualquier caso, de que el controlador dise~nadofuncione bien cuando se implante en el proceso real. Este objetivo, a su vez puedeconsiderarse compuesto en una serie de subobjetivos. De �estos, el principal es queel sistema sea estable en lazo cerrado, para unas condiciones de trabajo dadas onominales. Es lo que se denomina Estabilidad Nominal (NS).Por otro lado, una vez conseguida la estabilidad es necesario que ciertas variablesdel sistema presenten un comportamiento adecuado y en algunos casos �optimo res-pecto a una funci�on de costes o ��ndice de comportamiento. Esto se tiene en cuentareferenci�andolo como Comportamiento Nominal (NP).Es tambi�en muy importante, de cara a la aplicaci�on industrial, que se tenga encuenta en el dise~no el conocimiento que se posea de la incertidumbre en el modelo.Otro requerimiento que se va pedir a un sistema de control es que sea estable en lazocerrado, para el conjunto de posibles plantas que se puedan dar como consecuenciade la incertidumbre en el modelo de la planta. El objetivo perseguido se denominaEstabilidad Robusta (RS).Si adem�as se considera que para todas las plantas posibles no basta con queel sistema de control permanezca estable sino que han de cumplirse unas especi-�caciones de funcionamiento, se considerar�a que se est�a aludiendo al concepto deComportamiento Robusto (RP).En la �gura 8.1 queda resumido el problema de dise~no y los diferentes niveles deexigencia que se establecen sobre un sistema de control, tal y como se ha descritoanteriormente.El control de sistemas con incertidumbres entra dentro del campo de estudio de la

162 Introducci�onPROCESOREAL Complejo

����

?? ?

?

Simpli�cacionesModelomatem�atico Incertidumbres

Sistemade Control�-

-

EstabilidadNominal(NS) ComportamientoNominal(NP) EstabilidadRobusta(RS) ComportamientoRobusto(RP)????Figura 8.1: Planteamiento del problema de control

El problema del control robusto 163disciplina conocida como Control Robusto. La d�ecada de los ochenta se considera elper��odo de desarrollo de dicha teor��a, pudi�endose destacar entre otros los desarrolloste�oricos realizados durante este per��odo: 1) M�etodos H1 (Zames y Francis, 1983;Doyle et al, 1989); 2) m�etodos LTR (Loop Transfer Recovery) (Doyle y Stein, 1981,Stein y Athans, 1987); 3) m�etodo de dise~no IMC (Internal Model Control) (Morariet al, 1989); 4) m�etodos de Kharatinov (Barmish, 1993); 5) m�etodo de S��ntesis-�(Balas et al, 1991); 6) m�etodo GPC (Generalized Predictive Control) (Clarke et al,1989); 7) m�etodo QFT (Quantitative Feedback Theory) (Horowitz, 1982).Las principales aplicaciones de la teor��a de control robusto realizadas en los�ultimos a~nos se han llevado a cabo en las �areas de control de procesos qu��micos,rob�otica, estructuras exibles y control de aeronaves (Dorato, 1993). Como con-secuencia de los buenos resultados obtenidos, y del inter�es despertado en la comu-nidad cient���ca y t�ecnica por la nueva disciplina, han surgido diferentes paquetes deCACSD (Dise~no de Sistemas de Control Asistido por Computador) para el dise~node sistemas de control robusto, como ejemplos signi�cativos se pueden citar: Pro-gram CC (Thompson, 1988), Robust-Control Toolbox (Chiang y Safonov, 1992)y �-Analysis and Synthesis Toolbox (Balas et al, 1991) ambos para Matlab. Estecap��tulo se centra en los m�etodosH2, LTR yH1, habi�endose empleado para el dise~noy an�alisis de los controladores, los dos paquetes de CASCD citados anteriormenteen primer lugar.8.2 Relaciones fundamentalesLa calidad de un dise~no va a depender en gran manera, del grado de aproximaci�oncon el que se recojan, de forma matem�atica, los deseos de c�omo se quiere que funcioneel sistema bajo ciertas condiciones. Y por tanto, del conocimiento que se tenga dela planta, as�� como de lo que se le exija al sistema de control. Esto �ultimo, quedar�are ejado como las especi�caciones de dise~no a cumplir por el controlador.Relaciones fundamentales de controlUn sistema de control gen�erico puede verse representado en la �gura 8.2, donde:G representa la planta, K el controlador, di; do las perturbaciones que afectan alproceso, r la referencia o consigna, y la respuesta del sistema y n el ruido ligado alas medidas de los sensores.

164 Relaciones fundamentales- h - h? - h? -r?h�6 nydoGdiK uer -

Figura 8.2: Sistema de control y se~nales signi�cativasPara caracterizar el comportamiento de un sistema de control resulta �util de�niruna serie de operadores, o matrices (funciones en el caso escalar) de transferencia:� Lazo Abierto o Raz�on de Retorno:Li = KG ; Lo = GK� Diferencia de Retorno:Fi = I + Li ; Fo = I + Lo� Sensibilidad: Si = F�1i ; So = F�1o� Sensibilidad Complementaria:Ti = I � Si ; To = I � So� Sensibilidad del Control: N = KSodonde los sub��ndices fi; og hacen referencia a que el operador se de�na a la entradao a la salida de la planta respectivamente.Del diagrama de bloques de la �gura 8.2, pueden obtenerse las siguientes fun-ciones (matrices en el caso de sistemas multivariables) de transferencia que van adeterminar las propiedades m�as relevantes a tener en cuenta para el dise~no de unsistema de control:

El problema del control robusto 1651. Estabilidad interna: El sistema es internamente estable si son estables (verap�endice B.1) cada uno de los elementos de la matriz R, que relaciona losvectores r; di con y; u, siendo: " yu # = R " rdi #donde: R = " GK(I +GK)�1 (I +GK)�1GK(I +GK)�1 �K(I +GK)�1G #2. Comportamiento entrada-salida:y = To(r � n) + Sodo + SoGdi (8:1)e = r � y= So(r � do � n)� SoGdi (8.2)3. Sensibilidad del sistema a peque~nos cambios en los par�ametros de la planta:Si la funci�on (matriz) de transferencia en lazo abierto L0o(s) sufre una desviaci�oncon respecto a la nominal Lo(s) debido a peque~nas variaciones en los par�ame-tros de la planta y/o del regulador, la correspondiente desviaci�on de la funci�on(matriz) de sensibilidad complementaria To(s) viene dada por (MacFarlane,1970): T�1o (s)�To(s) = So(s)L�1o (s)�Lo(s) (8:3)que es la generalizaci�on matricial de la relaci�on escalar de Bode (Kwakernaak,1972): d lnTd lnL = dT=TdL=L = S4. Demanda de control: u = KSo(r � n� do) + Sidi (8:4)El conjunto de ecuaciones 8.1-8.4 resumen los bene�cios fundamentales y ob-jetivos de dise~no inherentes a los sistemas de control realimentados. De ellas sedesprende la existencia de una serie de objetivos contrapuestos:1. De 8.2, se deriva que los errores de seguimiento del sistema e en presencia decambios de consigna r y el efecto de perturbaciones do actuando a la salida de laplanta pueden hacerse "peque~nos", procurando que el operador de sensibilidadSo sea\peque~no" tambi�en (o equivalentemente Lo lo bastante grande). Paraatenuar convenientemente las perturbaciones que act�uen a la entrada de laplanta di ser�a necesario que el producto SoG se mantenga lo menor posible.

166 Relaciones fundamentales2. De la ecuaci�on 8.3, se deriva la conveniencia de mantener So(s) lo menorposible, ( Lo(s) lo mayor posible), a �n de que el efecto de peque~nas variacionesde par�ametros en la planta no afecten de manera sensible al comportamientodel sistema en lazo cerrado.3. Sin embargo, el aumentar excesivamente la ganancia en lazo abierto (Lo) oequivalentemente disminuir So, hace que dada la relaci�on existente entre So yTo se provoque un aumento de la magnitud de To, produciendo dos consecuen-cias negativas:(a) Una posible ampli�caci�on del ruido de medida n y su transmisi�on a lasalida del sistema.(b) Una mayor sensibilidad del sistema a los efectos de la din�amica no mo-delada de alta frecuencia.4. El esfuerzo de control u requerido para rechazar las perturbaciones actuantessobre el sistema y conseguir una buena regulaci�on depende de las magnitudesde Si; So; K. Por tanto si se pretende que u no sea excesivo ser�a necesario man-tener So, y Si lo su�cientemente bajas. Pero dado que a su vez �estas dependeninversamente de K, disminuir las primeras supone aumentar la �ultima.Se presentan pues objetivos contradictorios, debi�endose llegar en cada problemade dise~no a una soluci�on de compromiso. Habitualmente la din�amica inmodelada dealta frecuencia es la que da lugar a los mayores niveles de incertidumbre. Teniendoen cuenta que el ruido de medida suele ser tambi�en de alta frecuencia, y que lascaracter��sticas de los sistemas din�amicos pueden muy bien asemejarse a �ltros pasabajo, una forma de resolver el problema planteado con los objetivos contrapuestosanteriores, es procurando que cada uno se cumpla en un rango de frecuencias deinter�es.Se pueden establecer tres zonas de frecuencias, de forma que dentro de cada unase trata de conseguir unos objetivos primordiales (ver �gura 8.3):� Zona de baja frecuencia: En la que se requiere alta ganancia para conseguir:{ Buen seguimiento de la referencia.{ Adecuado rechazo de perturbaciones.{ Reducci�on de la sensibilidad del sistema a peque~nos cambios en los par�a-metros de la planta.

El problema del control robusto 167QQQQQQQQQQQQQQQBBBBBBBBB

ZONA DE BAJA FRECUENCIA- Seguimiento de consigna- Rechazo de perturbaciones- Peque~nos cambios en parmetros- Comportamiento RobustoZONA FRECUENCIA DE CRUCE- Estabilidad- Velocidad de respuesta

ZONA DE ALTA FRECUENCIA- Rechazo ruido en sensores- Estabilidad Robusta! (rad/s)

kLk0(db)

Figura 8.3: Zonas de frecuencias de inter�es� Zona de frecuencia intermedia: Va a ser determinante de propiedades talescomo:{ Estabilidad y m�argenes de estabilidad.{ Velocidad de respuesta y ancho de banda.� Zona de alta frecuencia: Se va a requerir baja ganancia para:{ Rechazo del ruido de los sensores.{ Estabilidad robusta.Las especi�caciones de control pueden darse en el dominio frecuencial. Unaforma de hacerlo es empleando funciones dependientes de la frecuencia, o de pon-deraci�on, para acotar las magnitudes de los operadores de sensibilidad y sensibilidadcomplementaria. Para el caso de un sistema escalar pueden venir dados de la forma:j S(j!) j� wS(!) y j T (j!) j� wT (!) 8 !Se pueden obtener las siguientes aproximaciones:j L j� 1() ( j S j� 1j T j� 1 )

168 Relaciones fundamentalesj L j� 1() ( j S j� 1j T j� 1 )Para el rango de frecuencias donde j L j� 1, las propiedades del sistema en lazocerrado dependen cr��ticamente del valor de la fase del lazo abierto; as�� se tendr�aque: j L j � 1 j S j� 1()argL(j!) � �180� j T j� 1Reglas pr�acticas para el dise~noLas aproximaciones anteriores llevan a una serie de reglas �utiles a la hora de realizarla s��ntesis de un sistema de control:� Alta ganancia en lazo abierto lleva a baja sensibilidad y buenas propiedadesde rechazo de perturbaciones y seguimiento de la referencia (np).� Peque~na ganancia en lazo abierto es adecuada para que la respuesta debida alruido en sensores sea considerablemente baja, y para mantener la estabilidaddel sistema frente a incertidumbres en la planta (rs).� A frecuencias cercanas a la frecuencia de cruce de ganancia, la fase del sistemadebe permanecer acotada lo su�cientemente alejada de �180�, para propor-cionar unos adecuados m�argenes de estabilidad y para prevenir la ampli�caci�onde perturbaciones y ruidos.El conjunto de reglas anteriores constituyen la base del dise~no cl�asico en el do-minio frecuencial (Freudenberg et al, 1988, Maciejowski, 1989), consistente en quea partir del ajuste de la ganancia en lazo abierto se consiguen unas especi�cacionesde dise~no dadas en lazo abierto y/o cerrado. Otras t�ecnicas realizan tambi�en elproceso de ajuste en frecuencia, pero empleando directamente las funciones (matri-ces) de transferencia en lazo cerrado. En el cap��tulo 9 se presentan algunas t�ecnicasde ajuste de las ganancias en lazo abierto (ltr), mientras que en el cap��tulo 10 sedescriben algunos m�etodos para el ajuste de las ganancias en lazo cerrado (H2; H1)1.1La t�ecnica de ajustar las formas de las respuestas en frecuencia de ciertas funciones (matrices)de transferencia se conoce en general como Loop Shaping, en terminolog��a inglesa.

El problema del control robusto 169Extensi�on de conceptos a sistemas multivariablesEl concepto de ganancia de un sistema puede extenderse a sistemas multivariableshaciendo uso de las relaciones entre las normas (ver ap�endice B.2) de las se~nalesvectoriales de salida y entrada al sistema.En general, si k x k representa a cualquier norma de un vector x, se de�ne lanorma inducida de la matriz G por:k G k= supx6=0k Gx kk x ky en particular si se elige la norma Eucl��dea (de un vector complejo x):k x k= pxHx(donde xH representa el vector traspuesto conjudado de x), la norma inducida de lamatriz es la norma espectral o de Hilbert:k G ks= �donde �2 es el autovalor m�aximo de la matriz GHG o de su traspuesta GGH , dondeGH es la matriz traspuesta conjugada de G (ver ap�endice B.3).Si se tiene una matriz de transferenciaG(s), con s = j!, y (0 � ! � 1), entoncessu norma espectral va ser una funci�on de !. Por tanto la norma k G(s)u(s) k va adepender de la direcci�on del vector u(s) y de la frecuencia !. Para cada valor defrecuencia es posible hallar unas cotas de la magnitud:k G(s)u(s) kk u(s) kque reemplazan el concepto de ganancia simple por el de rango de ganancias, estando�este acotado (superior e inferiormente). Estas cotas son las denominadas gananciasprincipales extremas: �[G(j!)], �[G(j!)], que pueden calcularse a partir de losvalores singulares m�aximo (�) y m��nimo (�) de la matriz de transferencia G(j!)(ver ap�endice B.3) para cada frecuencia !.Para el caso de un sistema multivariable, las especi�caciones de dise~no puedendarse empleando las ganancias principales extremas:�[S(j!)] � wS(!)

170 Relaciones fundamentales�[T (j!)] � wT (!)donde igual que para el caso escalar, las funciones de ponderaci�on (wS(!); wT (!))se eligen de forma que se tengan en cuenta los objetivos a cumplir en cada intervalode frecuencias de inter�es:1. Baja frecuencia: �(S)� 1�i(T ) � 12. Frecuencia intermedia: j �i(j!) j� �i(j!)con mg,mf satisfactorios (ver ap�endice B.4).3. Alta frecuencia: �(T )� 1Teniendo en cuenta que para cualquier matriz arbitraria Q y su matriz unitaria Ise cumple: maxf0; �(Q)g � �(Q+ I) � �(Q) + 1maxf0; �(Q)g � �(Q+ I) � �(Q) + 1se pueden transformar las especi�caciones anteriores, empleando las ganancias prin-cipales extremas en lazo abierto:1. A baja frecuencia: �(L) � 1�(S) si �(L)� 12. A alta frecuencia: �(L) � �(T ) si �(L)� 1Las aproximaciones anteriores proporcionan una forma de transformar las especi-�caciones sobre �(T ) y �(S), en expresiones de la matriz de transferencia en lazoabierto (ver �gura 8.4): 1=�[L(j!)] � wS(!)�[L(j!)] � wT (!)

El problema del control robusto 171

0

dB

(L)

NP

RST

S

(L)

-1

Figura 8.4: Correspondencia especi�caciones lazo cerrado-lazo abierto8.3 Descripci�on de las incertidumbresUn diagrama de bloques general de un sistema de control de una planta con incer-tidumbres queda representado en la �gura 8.5, donde E representa los errores demodelado existentes en la planta.De las posibles formas de representar el conocimiento impreciso que se tiene en elcaso de un proceso escalar (incertidumbre tipo aditivo, multiplicativo etc.), cuandose trata de un sistema multivariable hay que considerar algunos otros casos; pueshabr�a que tener en cuenta su situaci�on en el lazo de control. As�� por ejemplo, laincertidumbre de tipo multiplicativo podr�a estar a la entrada o a la salida, o inclusopodr�an coexitir ambas simult�aneamente. En cada caso habr�a que analizar el sistemaen concreto y tratar de plasmar los errores de modelado de la forma m�as conveniente.Las incertidumbres multiplicativas son las m�as frecuentemente empleadas, debidoa que satisfacen las propiedades intuitivas de ser peque~nas a baja frecuencia (dondeel modelo de la planta nominal es generalmente bien conocido), y por otro lado sonelevadas para alta frecuencia (donde el modelo es siempre m�as impreciso). Habitual-mente el nivel de incertidumbre aumenta con la frecuencia, debido principalmente a

172 Descripci�on de las incertidumbres-� �� K -� �� G -� �� -?? ?� ���6

dodir n- yue E6 ?Figura 8.5: Sistema de control con incertidumbres en la plantala din�amica no modelada de alta frecuencia (sensores, actuadores, modelos de ordenreducido de la planta). Si bien, hay diversas formas de caracterizar la incertidumbreque exista en un sistema de control, como se pasa a describir a continuaci�on.La planta actual o real, G0, puede expresarse de forma gen�erica como:G0 = G+�G (8:5)donde G es el modelo nominal de la planta, y �G representa la incertidumbre oerrores de modelado presentes en el sistema.El tratamiento que se hace es considerar que el conjunto de incertidumbres queafectan al sistema puede ser representado por una incertidumbre equivalente, que semani�esta de alguna forma espec���ca en un lugar localizado. En ocasiones ello noes posible, en cuyo caso se habla de incertidumbres simult�aneas (dos o m�as).Los modelos de incertidumbres m�as empleados son: aditiva (iA), multiplicativaa la entrada/salida (iMi y iMo) de la planta, de realimentaci�on a la planta (iRp),como bucle realimentado a la entrada/salida de la planta (iRi, iRo), (ver �gura 8.3).A continuaci�on se dan las expresiones correspondientes a cada una de ellas:1. iA: G0 = G+ E�G = E

El problema del control robusto 173- e-?- -e-6 K E Gr y - -?- -e-6 K EGr yeiMi iMoe- K E Gr y�e6 -- -6 e- K EGr y�e6 --6iRi iRpe- K EGr y�e6 --6 - ?-e-6 K EGr ye- -iRo iAFigura 8.6: Algunos tipos de incertidumbres

174 Descripci�on de las incertidumbres2. iMi: G0 = G(I + E)�G = GE3. iMo: G0 = (I + E)G�G = EG4. iRp: G0 = (I +GE)�1G�G = [(I +GE)�1 � I]G5. iRi: G0 = G(I + E)�1�G = G[(I + E)�1 � I]6. iRo: G0 = (I + E)�1G�G = [(I + E)�1 � I]GEn general, a la hora de la descripci�on anal��tica de las incertidumbres en la planta�estas pueden englobarse en dos grandes grupos: estructuradas y no estructuradas.Incertidumbres no estructuradasPara este tipo de incertidumbre, lo que se conoce de E(s) puede consistir en unacota de su magnitud, generalmente dependiente de la frecuencia:�[E(j!)] � �(!) 8 ! (8:6)Resulta interesante de cara a posteriores an�alisis el factorizar E(s) en la forma:E(s) = e(s)�(s) ; �[�(s)] � 1 8! (8:7)Todas estas descripciones albergan la posibilidad de acoplamiento entre distintasfuentes de incertidumbres (por ejemplo, entre diferentes actuadores), considerandoel caso m�as desfavorable (E(s) es una matriz con elementos no nulos fuera de ladiagonal principal). Pudiendo ocurrir, que se contemplen ciertas posibilidades que

El problema del control robusto 175en la pr�actica nunca se produzcan. Si �eso ocurriera, el dise~no realizado se caracteri-zar��a por ser excesivamente conservador.Incertidumbre estructuradaSi de alguna manera se localizan las fuentes de las incertidumbres del sistema,se tendr�a una descripci�on m�as ajustada o estructurada de los errores de modelado.Esta puede estar constituida a su vez por m�ultiples incertidumbres localizadas e in-dependientes no estructuradas (Ei(s)). Las cuales pueden corresponder a din�amicasno modeladas de los actuadores, de los sensores, o de la propia planta. As��, paracada uno de los bloques independientes Ei(s) se realiza la factorizaci�on:Ei(s) = ei(s)�i(s) ; �[�i(s)] � 1 8! (8:8)La incertidumbre completa E(s) del sistema queda de la forma:E(s) = diag fEi(s)g i = 1; : : : ; psiendo p el n�umero de bloques.Los errores de modelado tambi�en podr��an consistir en imprecisiones en algunospar�ametros del proceso, suponiendo en este caso una incertidumbre totalmente es-tructurada o param�etrica. Este �ultimo caso se dar��a por ejemplo, si existe unaincertidumbre acotada en uno o varios polos y/o ceros de la planta, as�� como en lacuanti�caci�on de los elementos de retardo.Ejemplo: Incertidumbres aditiva y multiplicativaConsid�erese un proceso en el que la din�amica de alta frecuencia no se ha consi-derado en el modelo nominal G, de forma que el modelo completo o real de la plantaviene dado porG0(s) = G(s)Es(s); con: Es(s) = 100(s2 + 2:4s+ 144)144(s2 + s+ 100)donde Es es la incertidumbre en el modelo nominal. Esta se puede interpretar a suvez como una incertidumbre de tipo multiplicativo, aditivo, u otros. En el primercaso se tendr�a: G0 = G(1 + Em); con Em = Es � 1

176 Estabilidad robusta

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0

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rad/s

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umbr

e m

ultip

licat

iva

(dB

)

Figura 8.7: Magnitud de la incertidumbre multiplicativay para el caso de incertidumbre aditiva:G = G + Ea; con Ea = G(Es � 1)En las �guras 8.7 y 8.8 se muestran respectivamente las respuestas en frecuencia(magnitudes) para cada tipo de incertidumbre. Puede verse c�omo la incertidumbremultiplicativa es peque~na a baja frecuencia, donde el modelo es bien conocido, y seincrementa a medida que aumenta la frecuencia.8.4 Estabilidad robustaSi el sistema de control dise~nado con el modelo nominal es estable, interesa saber siel sistema mantendr�a la estabilidad para cada uno de los elementos G0 del conjuntoG de plantas posibles: G = fG0gPara el an�alisis del problema anterior, es �util obtener una representaci�on delsistema como la de la �gura 8.9.

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(dB

)

Figura 8.8: Magnitud de la incertidumbre aditiva-

�EMa b

Figura 8.9: Sistema de interconexi�on

178 Estabilidad robustaTeorema de la Peque~na GananciaEste teorema ha jugado un importante papel en el desarrollo de la teor��a del con-trol robusto (Dorato et al, 1987), y establece una condici�on su�ciente que garantizala robustez de la estabilidad de un sistema (Lunze, 1989):Teorema: Dado el sistema representado en la �gura 8.9, donde M y E repre-sentan sistemas cuadrados (mismo n�umero de entradas que de salidas) y estables,entonces el sistema en lazo cerrado ser�a estable si:k EM k< 1siendo k : k cualquier norma matricial compatible con el sistema (ver ap�endice B.2).Tanto M como E pueden ser sistemas no lineales y/o invariables en el tiempo.Sin embargo, el teorema establece solo una condici�on su�ciente para la estabilidaddel sistema en lazo cerrado.Particularizando para el caso de sistemas lineales e invariantes en el tiempo (lti),el sistema de la �gura 8.9 ser�a estable si se cumple:�[E(j!)M(j!)] < 1 8!La idea de aplicar este teorema, para analizar la robustez de un sistema decontrol con incertidumbres, se basa en el empleo de M(s) como el sistema visto porla incertidumbre E(s). Al sistema M(s) se le denomina Sistema de Interconexi�on,debido al hecho de que conecta la entrada "a" y la salida "b" de la incertidumbreE(s).En el caso de tratarse de sistemas lti, las se~nales externas, tales como pertur-baciones y se~nales de referencia, no van a afectar a la estabilidad del sistema y decara al an�alisis de robustez solo interesa la forma de c�omo es visto el sistema por laincertidumbre.Para llegar a la representaci�on anterior, se parte de la representaci�on convencionalde la planta y controlador, junto con los bloques de las incertidumbres que se tenganlocalizadas, se realizan las transformaciones equivalentes necesarias de forma que elresultado sea la separaci�on de la incertidumbre por un lado E(s) y del resto delsistema M(s) (sistema de interconexi�on) por otro.

El problema del control robusto 179Ejemplo: An�alisis de robustezConsid�erese un sistema de control con realimentaci�on unitaria, donde la planta nom-inal G y el controlador K (regulador 1) est�an dados porG(s) = 1s2 ; K(s) = 10(s+ 1)s+ 5El modelo real de la planta (incluida la incertidumbre) viene dado por,G0(s) = G(s)[1 + Em(s)]siendo, Em(s) = s(�0:30556 + 0:6667)s2 + s+ 100Para este caso (incertidumbre de tipo multiplicativo) el sistema de interconexi�oncoincide, salvo en signo, con la funci�on de sensibilidad complementariaM = �Ty aplicando el teorema de la peque~na ganancia, la m�axima incertidumbre admisibleo tolerable viene dada por: j E j� 1jM j = 1j T jEn la �gura 8.10 se muestran tanto la incertidumbre j Em j (l��nea a trazos),as�� como la tolerancia del sistema de control a incertidumbres multiplicativas (l��neacontinua). Como puede verse, el sistema veri�ca la condici�on exigida por el teoremade la peque~na ganancia, y por tanto tendr�a una estabilidad robusta. En la �gura 8.11pueden verse las respuestas obtenidas para la planta nominal y la real, observ�andoseel efecto de la incertidumbre.Si se modi�ca el controlador (regulador 2), de modo que �este sea ahora,K(s) = 32(s+ 1)s+ 2el test de la estabilidad robusta derivado del teorema de la peque~na ganancia no secumple, tal y como puede verse en la �gura 8.12. Sin embargo, dicho teorema s�oloaporta una condici�on su�ciente, y como se observa a partir de la respuesta temporaldel sistema con la incertidumbre dada en la �gura 8.13, el sistema realmente s��

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40

60

10-1 100 101 102

rad/s

Ince

rtid

umbr

e y

tole

ranc

ia (

dB)

Figura 8.10: Tolerancia e incertidumbre multiplicativa con el regulador 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tiempo (seg)

resp

uest

as

Figura 8.11: Respuestas con regulador 1 del sistema nominal y del real

El problema del control robusto 181

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

10-1 100 101 102

rad/s

Ince

rtid

umbr

e y

tole

ranc

ia (

dB)

Figura 8.12: Tolerancia e incertidumbre multiplicativa con el regulador 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tiempo (seg)

resp

uest

as

Figura 8.13: Respuestas con regulador 2 del sistema nominal y del real

182 Estabilidad robustaveri�ca la condici�on de estabilidad robusta, ya que aunque la respuesta temporalsea poco amortiguada, s�� es estable.Si se considera E(s) una incertidumbre no estructurada y el sistema es lineal einvariante en el tiempo, se tiene el siguiente teorema que da condiciones necesariasy su�cientes para la robustez de la estabilidad (rs) del sistema de control en lazocerrado (Freudenberg et al, 1988; Morari et al, 1989)Teorema: Supuesto el sistema de interconexi�on M(s) estable, y que la incer-tidumbre E(s) es de tal clase que el sistema en lazo cerrado es estable si y solo si laproyecci�on del determinante det[I�M(s)E(s)] a lo largo del contorno de Nyquist Dno envuelve al origen. Entonces, el sistema en lazo cerrado ser�a estable para todaslas incertidumbres E(s) tales que: �[E(j!)] � 1 si y solamente si, se cumple algunade las siguientes condiciones equivalentes :det[I �M(j!)E(j!)] 6= 0 8 ! = �[E(j!)] � 1, �[M(j!)E(j!)] < 1 8 ! = �[E(j!)] � 1, �[M(j!)] < 1 8!, kMk1 < 1En el caso de que la incertidumbre tenga una estructura diagonal de bloques,de�nida por el conjunto:X� = fE(s) = diag fEi(s)g = �[Ei(s)] � �g (8:9)el an�alisis de la robustez de la estabilidad (rs) con el resultado del teorema anteriorpuede dar un resultado potencialmente conservativo, en el sentido de que supongasolo una condici�on su�ciente. Se tiene sin embargo, el siguiente teorema de robustezde la estabilidad (rs) menos conservador, al tener en cuenta la estructura de E(s)(Morari et al, 1989; Freudenberg et al, 1988):Teorema: Supuesto el sistema de interconexi�on M(s) estable, y que la in-certidumbre E(s) es de tal clase que el sistema en lazo cerrado es estable si y solosi la la proyecci�on del determinante det[I �M(s)E(s)] a lo largo del contorno deNyquist D no envuelve al origen. Entonces, el sistema ser�a estable en lazo cerradopara todas las incertidumbres E(s) 2 X�=1 si y solo si:�[M(j!)] < 1 8!La de�nici�on de �(M) (valor singular estructurado ssv, ap�endice B.3) suponeuna generalizaci�on del radio espectral �(M) y del m�aximo valor singular �(M).

El problema del control robusto 183An�alisis de robustez con los valores singularesComo se ha presentado en apartados anteriores, hay diversas causas que originan laexistencia de incertidumbre en el modelo de la planta. Siendo de inter�es pr�acticoel que, a la hora de plantear las especi�caciones de dise~no, se tenga en cuenta elconocimiento que se posea sobre la incertidumbre.El planteamiento de un m�etodo, para el an�alisis de robustez de la estabilidad deun sistema de control, puede establecerse de modo gen�erico como sigue:1. Supuesta un tipo de incertidumbre en el modelo del proceso, se sit�ua en ellugar del lazo donde se presuma que act�ue o pueda quedar re ejado su efecto.2. El conocimiento que se tiene sobre la incertidumbre puede consistir en un cotasuperior de la magnitud de la incertidumbre como funci�on de la frecuencia (noestructurada): �[E(j!)] < e(!)3. Se realizan las transformaciones adecuadas para llegar a la forma est�andar dean�alisis (�gura 8.9), con el sistema de interconexi�on y la incertidumbre en dosbloques.4. Por el teorema de la peque~na ganancia se tiene que una condici�on su�ciente (nonecesaria) para que el sistema sea estable para ciertos niveles de incertidumbreses que: �(EM) < 1 8!o tambi�en: �(E) < 1�(M)As�� por ejemplo, para una incertidumbre multiplicativa considerada a la salidade la planta, el sistema de interconexi�on es: M = GK(I +GK)�1 y el test para larobustez se reduce a: �(E) < �[I + (L)�1]Se demuestra en la pr�actica, que los tests para robustez de la estabilidad bajociertas caracter��sticas de la incertidumbre dan condiciones excesivamente conser-vadoras.

184 Estabilidad robustaPara el caso de un sistema 2 � 2 el an�alisis con �i(M) supone impl��citamenteque la incertidumbre actuante sobre el sistema sea en el caso m�as desfavorable de laforma:caso a) " e11(s) e12(s)e21(s) e22(s) #Mientras que la incertidumbre podr��a darse de una forma m�as estructurada,donde las incertidumbres en cada canal sean independientes entre s��, sin que seafectaran con t�erminos de acoplamiento:caso b) " e1(s) 00 e2(s) #O incluso que dichas incertidumbres fueran iguales en ambos canales:caso c) " e(s) 00 e(s) #Tambi�en, en algunos casos, puede ocurrir que el conocimiento que se tenga de laincertidumbre consista en posibles intervalos donde se encuentren los par�ametros conincertidumbres del modelo del sistema, en cuyo caso se tratar��a de una incertidumbremuy estructurada o param�etrica:caso d) 2664 k1 0 : : : 0... . . . ...0 0 : : : kn 3775En los sistemas reales puede darse en general una combinaci�on de los distintostipos de incertidumbre, pudiendo ser considerada parte como estructurada y partecomo no estructurada. Seg�un el conocimiento que se posea del tipo de incertidumbreal que est�e sometido el sistema, se emplear�a unas determinadas herramientas dec�alculo para el an�alisis de la robustez de la estabilidad. As�� para estimar los niveles(o tolerancias) de incertidumbre permitidos, para los que el sistema mantiene suestabilidad, se propone emplear en cada caso:

El problema del control robusto 185caso a) El valor singular m�aximo del sistema de interconexi�on (M):1�(M)caso b) El valor singular estructurado de M :1�(M)caso c) El radio espectral de M : 1�(M)caso d) El valor singular estructurado real de M (Packard y Doyle, 1993):1�R(M)Se comprueba, que el conservadurismo decrece de a) hacia d), con lo que el co-nocimiento (a priori) que se suministre sobre el tipo de incertidumbre existente enel modelo del sistema va a ser de suma importancia.Ejemplo: Robustez frente a incertidumbre param�etricaConsid�erese un sistema de control con realimentaci�on unitaria, cuya planta G ysu regulador proporcional K est�an dados respectivamente por,G(s) = s+ bs2(s+ a) ; K(s) = kLos valores de los par�ametros b; a; k se consideran constantes durante largosper��odos de tiempo, pero por otro lado son desconocidos. Estando caracterizada laincertidumbre por los intervalos,3 � b � 5; �0:5 � a � 0:5 5 � k � 15Que puede a su vez ponerse de una forma conveniente para el c�alculo del sistemade interconexi�on M , as�� como para que la incertidumbre est�e normalizada, es decir,�(E) � 1; 8 !

186 Estabilidad robustaPara ello, se hace: b = bo + b1�1; j �1 j� 1; bo = 4; b1 = 1a = ao + a1�2; j �2 j� 1; ao = 0; a1 = 0:5k = ko + k1�3; j �3 j� 1; ko = 10; k1 = 5De esta forma, el bloque de incertidumbre E es una matriz diagonal constituidapor n�umeros reales con valor absoluto inferior o igual a la unidad,E = diagf�1;�2;�3g

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

10-1 100 101 102

rad/s

sv(M

), m

u_re

al(M

)

sv(M)

mu_real(M)

Figura 8.14: An�alisis de robustez para incertidumbre param�etricaLos valores de bo; b1; ao; a1; ko; k1 se han incluido en M , y dado que �(E) � 1, lacondici�on su�ciente para que el sistema tenga una estabilidad robusta es que,�(M) � 1; (caso m�as conservador)o si se tiene en cuenta el car�acter param�etrico de la incertidumbre, la condici�on es�R(M) � 1; (caso de incertidumbre param�etrica)

El problema del control robusto 187En la �gura 8.14 se tienen ambos valores; observ�andose que mientras a partirdel an�alisis con �(M) no se cumple la condici�on su�ciente de estabilidad robusta,�esta s�� se veri�ca si se emplea �R(M). En el primer caso se est�a considerando unasituaci�on excesivamente conservadora e irreal, mientras que en el segundo caso seest�a expl��citamente considerando que la incertidumbre es de tipo param�etrica.8.5 Comportamiento robustoDentro de las especi�caciones de dise~no hay que considerar el comportamiento nomi-nal (np) deseado del sistema en lazo cerrado. Este alude a aspectos relacionados conel rechazo a perturbaciones externas actuantes sobre el sistema, a la reducci�on delos errores de seguimiento, al esfuerzo de control y a un comportamiento adecuadoa�un en el caso de peque~nas variaciones en los par�ametros del modelo nominal de laplanta.Como se ha visto anteriormente, una forma anal��tica de expresar los requerimien-tos anteriores es mediante una relaci�on frecuencial basada en el modelo nominal dela planta, de la forma: �[WS(j!)S(j!)] � 1 (8:10)donde WS(j!) es una funci�on (matriz) de ponderaci�on que pone de mani�esto losper�les deseados de la funci�on de sensibilidad S(j!) en las distintas regiones defrecuencia. Si el per�l deseado es el mismo en todos los canales (especi�caci�onhomog�enea) entonces: WS(s) = wS(s)I y queda:�[S(j!)] � 1j wS(j!) jEl problema de an�alisis del comportamiento robusto (rp), consiste en determinarsi el sistema en lazo cerrado satisface las especi�caciones de comportamiento paratodas las posibles plantas G0(s) 2 G. Ser�a determinar si se cumple:�[WS(j!)S 0(j!)] � 1supuesto que se veri�ca 8.10 para la planta nominal G(s).Dada la representaci�on del sistema de la �gura 8.15, en la que se tienen carac-terizadas las incertidumbres por ET (s); y donde se especi�ca un np para el sistemanominal expresado mediante una relaci�on entre dos se~nales (vectores) v y w, por

188 Comportamiento robustoMET

--�

-w vFigura 8.15: An�alisis del comportamiento robustomedio de: v = E�1S w. Se tiene el siguiente teorema de robustez del comportamiento(rp) (Freudenberg et al, 1989; Morari et al, 1989):Teorema: Dado el sistema M(s) de la �gura 8.15, supuesto estable y obtenidocon el modelo nominal de la planta, sujeto a la incertidumbre ET , con �(ET ) � 1.El sistema satisface la condici�on de comportamiento robusto si y solo si:�(M) < 1 8!donde �(M) se calcula con respecto a la incertidumbre estructurada de forma diago-nal E = diag fET ; ESg; siendo ES(s) una incertidumbre �cticia con �[ES(j!)] � 1,la cual est�a relacionada con el comportamiento nominal deseado.En el teorema anterior se realiza la transformaci�on del problema de rp en uno ders equivalente, con un bloque adicional de incertidumbre. Se hace al transformar laespeci�caci�on de np en lazo cerrado (expresada como una relaci�on entre dos se~nalesw y v), en una incertidumbre �cticia representada por ES (ver �gura 8.16) (Doyle1983, Morari et al. 1989, Freudenberg 1989).Con lo expuesto hasta ahora, los requerimientos para un sistema de controlpueden escalonarse en cuatro niveles de complejidad o exigencia:1. El primero es el m�as elemental e imprescindible: la estabilidad del sistemanominal (ns).2. A continuaci�on est�a el conseguir un comportamiento nominal (np) deseado.3. El tercer objetivo consiste en gozar de una estabilidad robusta (rs).

El problema del control robusto 189

METES

E--

��w vFigura 8.16: Equivalencia entre comportamiento robusto y estabilidad robusta4. Y �nalmente, que el comportamiento deseado se mantenga a�un con la existen-cia de incertidumbres, lo que supone un comportamiento robusto (rp).Si se realiza una partici�on del sistema de interconexi�on (caso de rs para in-certidumbres simult�aneas, o rp para un tipo de incertidumbre actuando sobre laplanta): M(s) = " M11 M12M21 M22 #de forma que M(s) incluye el escalado apropiado para que la incertidumbre est�enormalizada: �[E(s)] < 1, los objetivos anteriores pueden analizarse a partir deM(s) empleando en cada caso (Skogestad et al, 1988; Freudenberg, 1989):� ns: M es estable� np: �(M22) < 1 8 !� rs: Seg�un sea estructurada o no estructurada la incertidumbre ET :�(M11) < 1 �o �(M11) < 1 8 !� rp: �(M) < 1 8 !

190 Robustez de plantas con fuerte ganancia direccional8.6 Robustez de plantas con fuerte ganancia di-reccionalA diferencia de los sistemas escalares, un proceso multivariable se caracteriza porquela ganancia que el sistema mani�esta para una determinada perturbaci�on y/o consig-na va a depender de la direcci�on espacial que �esta tenga, dado su car�acter vectorial.Potencialmente puede haber una fuerte discrepancia entre las ganancias de laplanta para dos se~nales actuando en distintos canales o lazos. Una medida de ladireccionalidad de la planta se obtiene del n�umero de condici�on de su matriz detransferencia G(s), de�nido como:�[G(j!)] = �[G(j!)]�[G(j!)]un valor elevado de �(G) implica una fuerte dependencia direccional de G.Las matrices con elevados n�umeros de condici�on est�an num�ericamente mal condi-cionadas para el c�alculo de su inversa. Empleando este resultado, se dice que unsistema est�a mal condicionado para ciertas frecuencias si su matriz de transferencia,a esas frecuencias, tiene un n�umero de condici�on elevado. Si �este es pr�oximo a uno,se dice que el sistema est�a bien condicionado. Los valores singulares de las matricesno son independientes de escalados, por lo que el n�umero de condici�on de una plantava a depender de las unidades empleadas a la entrada y a la salida de la planta.Un controlador que compense la direccionalidad acusada de una planta, apli-cando se~nales de control elevadas en la direcci�on donde la ganancia del sistema esbaja, puede dar buenos resultados si el modelo del proceso es muy preciso. Pero sidebido a las incertidumbres, la direcci�on del vector de control, de elevada magnitud,generado no coincide exactamente con la direcci�on de baja ganancia de la planta,entonces la ampli�caci�on de las se~nales de control pueden ser mucho mayores quelas esperadas con el modelo; resultando un comportamiento nada satisfactorio delsistema de control.Los problemas para el control de una planta con incertidumbres y una direcciona-lidad acusada, se ponen especialmente de mani�esto, cuando se analiza la robustezde la estabilidad frente a incertidumbres simult�aneas y/o la robustez del compor-tamiento del sistema de control. Como se ha visto en el apartado anterior, enambos casos la herramienta de an�alisis es el valor singular estructurado del sistemade interconexi�on M(s).

El problema del control robusto 191Cuando se tienen dos fuentes de incertidumbre separadas, o cuando se especi�caun comportamiento deseado para un proceso con una incertidumbre dada, el sistemade interconexi�on queda de la forma:M(s) = " M11(s) M12(s)M21(s) M22(s) #y la incertidumbre equivalente:E(s) = " E11(s) E12(s)E21(s) E22(s) #dado que si �(E) � �, la condici�on de estabilidad robusta para el sistema es:�(M) < 1� 8 !entonces como: �(M) � maxi f�(Miigocurre que el margen de estabilidad frente a incertidumbres simult�aneas no va a sermejor que los m�argenes frente a cada tipo de incertidumbre actuando sola.Resulta interesante obtener cotas de �(M) expresadas en funci�on de los valoressingulares de los elementos Mij, de forma que puedan emplearse para facilitar eldise~no y an�alisis. Con este objetivo, se dan los siguientes resultados (Freudenber1989): �(M) � [�(M12)�(M21)]1=2 �max f�(M11); �(M22)g�(M) � [�(M12)�(M21)]1=2 +max f�(M11); �(M22)gEn las ecuaciones anteriores puede verse la dependencia de la robustez del sistemade los elementos Mij; i 6= j . Si ocurre que:[�(M12)�(M21)]1=2maxf�(M11)�(M22)g � 1 (8:11)el sistema ser�a mucho m�as sensible a incertidumbres simult�aneas que a las mismasactuando de forma individual. Por ello, aunque se tenga garantizada la robustezfrente a cada incertidumbre individual (elementos Mii, �(Mii) < 1) pueden exi-stir un par de peque~nas incertidumbres que actuando simult�aneamente causen lainestabilidad del sistema, siempre que:[�(M12)�(M21)]1=2 � 1 (8:12)

192 Robustez de plantas con fuerte ganancia direccional- h- -r- - h?- - h r�? r -6r- K EI G ES y

Figura 8.17: Incertidumbres para problema de comportamiento robusto.y por tanto: �(M) � [�(M12)�(M21)]1=2 � 1Los sistemas que, al menos potencialmente, pueden llevar con m�as facilidad ala condici�on anterior, son aquellos que tengan plantas mal condicionadas; especial-mente si no se toman algunas precauciones a la hora del dise~no.El problema de analizar la robustez en la estabilidad de un sistema con incer-tidumbres multiplicativas a la entrada y a la salida actuando simult�aneamente, oel de an�alisis del comportamiento robusto de un sistema con incertidumbre multi-plicativa a la entrada, son especialmente cr��ticos, y ponen de mani�esto lo dichoanteriormente.Para el sistema de la �gura 8.17 se trata de analizar la robustez en el compor-tamiento del sistema. Se supone que los errores de modelado de la planta puedenexpresarse como una incertidumbre multiplicativa a su entrada:EI(s) = wI(s)�I(s) �[�I(j!)] � 1 8!y que la especi�caci�on de comportamiento nominal puede expresarse mediante unaincertidumbre �ct��cia equivalente (ver �gura 8.18):ES(s) = wS(s)�S(s) �[�S(j!)] � 1 8!Se obtiene que: " a1a2 # =M " b1b2 #

El problema del control robusto 193

M(s)�I(s)�S(s)--

��a1a2 b1b2

Figura 8.18: Problema de estabilidad robusta equivalente.siendo el sistema de interconexi�on:M = " �TIwI �KSowSSoGwI SowS #si G(s) es invertible, el t�ermino M12 puede ponerse como: M12 = TIG�1. Si sesupone que los elementos M12;M21 cumplen las condiciones 8.11 y 8.12 se tendr�aque �(M)� 1, y como:[�(M)]1=2 � �(SowIG)�(TIwSG�1) � �(SowI)�(TIwS)�(G)se pone de mani�esto el hecho de que si la planta tiene una acusada ganancia direc-cional (�(G) elevado), la estabilidad del sistema experimentar�a una mayor sensibi-lidad a incertidumbres simult�aneas.Otras relaciones de inter�es, que ponen de relieve lo anterior, a la vez que tambi�enincluyen el efecto de la ganancia direccional del controlador dise~nado, se dan acontinuaci�on (Freudenberg 1989, Morari et al. 1989):�(M) � �(wSSo) + �(wITo)�(M) � �(wITI) + �(wSSI)�(M) � �(wITI) + (1 +p )�(wSSo)

194 Robustez de plantas con fuerte ganancia direccional�(M) � maxf�(wITI); �(wSSo)g+q�(wITI)�(wSSo) = min f�(G); �(K)gLas expresiones anteriores pueden ayudar durante el dise~no, pero hay que teneren cuenta que si se emplean para analizar directamente la robustez del sistema,pueden llevar a dise~nos muy conservadores, debido a que para plantas con marcadaganancia direccional la cota puede estar excesivamente sobre-estimada. Ser�a conve-niente por tanto, de cara al dise~no �nal, calcular el valor de �(M) de forma directa.Ejemplo: Planta con fuerte ganancia direccionalSea la siguiente matriz de transferencia G(s), correspondiente a un proceso mul-tivariable compuesto de dos entradas y dos salidasG(s) = 175s+ 1 " 0:878 0:8641:082 1:096 #Este sistema reune especialmente las caracter��sticas anteriormente citadas sobrela fuerte ganancia direccional. Con la peculiaridad de que su n�umero de condici�ontoma un valor elevado y constante, de 141.3, para todo el rango de frecuencias. Espues, un ejemplo de lo que se denomina una planta mal condicionada, o sea convalores de �(G)� 1en el rango de frecuencias de inter�es. En la �gura 8.19 pueden verse sus gananciasextremas o valores singulares en funci�on de la frecuencia. Tambi�en se muestran laparte real (curva continua) y la parte imaginaria (curva de trazos) de los elementosde la matriz de ganancia relativa (rga) (ver ap�endice B.5) en la �gura 8.20.

El problema del control robusto 195

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102

rad/s

Gan

anci

as e

xtre

mas

de

G

Figura 8.19: Ganancias extremas para planta con fuerte ganancia direccional-40

-20

0

20

40

10-5 10-2 101 104

rad/s

RGA(G_11)

-40

-20

0

20

40

10-5 10-2 101 104

rad/s

RGA(G_12)

-40

-20

0

20

40

10-5 10-2 101 104

rad/s

RGA(G_21)

-40

-20

0

20

40

10-5 10-2 101 104

rad/s

RGA(G_22)

Figura 8.20: Parte real e imaginaria de los elementos de la matriz de gananciarelativa (rga).

Cap��tulo 9M�etodos de dise~no LTR9.1 Introducci�onEl m�etodo de dise~no de sistemas de control denominado Recuperaci�on de la funci�onde Transferencia del Lazo abierto (ltr),1 surgi�o como consecuencia del objetivode mejorar la robustez de los controladores basados en el procedimiento LinealCuadr�atico Gaussiano (lqg) (Doyle y Stein, 1979). Posteriormente, la teor��a entorno a ltr ha transcendido de sus or��genes, constituyendo una metodolog��a dedise~no sistem�atica y exible para sistemas de control tanto escalares como multiva-riables. Durante la d�ecada de los ochenta tuvo su �epoca de desarrollo e implantaci�on(Athans, 1986; Stein y Athans, 1987; Maciejowski, 1985), y sigue siendo un temade investigaci�on y estudio (Zhang y Freudenberg, 1993; Saberi et al, 1993; Saeki,1992).Como se ha presentado en el cap��tulo anterior, las especi�caciones de dise~nopueden plantearse en el dominio de la frecuencia. En este cap��tulo se trata el pro-blema del ajuste de las ganancia del sistema en lazo abierto, a �n que cumplan unasespeci�caciones de dise~no dadas. El m�etodo de dise~no basado en la teor��a lqg, juntocon un procedimiento para recuperar cierta funci�on de transferencia en lazo abiertoespeci�cada, constituye la t�ecnica conocida como lqg/ltr.Un controlador basado en observador (cbo) cumple el Principio de Separaci�on,proporcionando a la hora del dise~no la divisi�on de �este en dos problemas indepen-dientes:1Loop Transfer Recovery en terminolog��a inglesa197

198 Propiedades del regulador LQR1. Dise~no del controlador por realimentaci�on de estados.2. Dise~no del observador para reconstruir el estado a partir de la medida de larespuesta del sistema.Por tanto, si el sistema de control con realimentaci�on de estados (lqsf)2 esestable en lazo cerrado y tiene un comportamiento nominal adecuado, ello garan-tiza las mismas propiedades para el sistema nominal con cbo. Sin embargo, conla presencia de incertidumbres en el modelo, el regulador con el vector de esta-dos estimado (lqsef)3 no lleva necesariamente al mismo comportamiento obtenidopor realimentaci�on de estados, as�� como tambi�en puede haber un deterioro de laspropiedades de robustez con respecto al regulador lqsf (Doyle y Stein, 1981).Surge de esta forma, la motivaci�on de desarrollar estructuras de control basadasen observador (cbo), u otras no basadas en observador (cnbo), que mantengan oal menos conserven la parte esencial, de las propiedades que caracterizan al dise~nobasado en la realimentaci�on de estados (lqsf), o a su problema dual, el �ltro deKalman (kbf).En este cap��tulo se presentan dos estructuras empleadas en el dise~no ltr. Unabasada en observador (cbo) y otra no basada en observador (cnbo).9.2 Propiedades del regulador LQRComo se ha visto en el cap��tulo 8, para un proceso que pueda describirse por unmodelo lineal e invariante en el tiempo, el comportamiento del sistema en lazocerrado y su robustez van a depender de ciertas funciones (matrices) de transferenciaasociadas al sistema de control, tales como la funci�on de sensibilidad S(s) y sucomplementaria T (s). A la vez, como se ha descrito en el cap��tulo anterior, �estasse pueden expresar a partir de la funci�on (matriz) de transferencia en lazo abiertoL(s).Basado en lo anterior, una manera de formular las especi�caciones de dise~no con-siste en de�nir la funci�on (matriz) de transferencia en lazo abierto deseada (ftlad)Lt(s). El problema ser�a encontrar un controlador con una estructura determinadaque proporcione la ftlad.2linear quadratic state feedback en la terminolog��a inglesa.3linear quadratic state estimated feedback en la terminolog��a inglesa.

M�etodos de dise~no LTR 199En la literatura se han sugerido dos m�etodos para obtener Lt(s) que proporcio-nan unas caracter��sticas muy aceptables. Una se basa en el empleo de la teor��a decontrol �optimo cuadr�atico (lqr), y la otra est�a basada en la teor��a del �ltro Kalman(kbf). La ventaja esgrimida para el empleo de estos m�etodos es que el sistemaadquiere, de forma autom�atica, ciertas propiedades muy estimables desde el puntode vista del comportamiento nominal y de la robustez de la estabilidad.Obtenci�on de la ftlad a trav�es de lqrSuponiendo que se conoce un modelo de la planta, expresado en el espacio deestados por el conjunto de ecuaciones:_x = A x+B uy = C x (9.1)donde se supone tambi�en, que las ecuaciones anteriores incluyen posibles escaladosy/o ampliaciones realizadas sobre el modelo de la planta, a f��n de adecuarla para eldise~no.El comportamiento deseado del sistema puede especi�carse de forma convenientemediante la optimizaci�on de una funci�on de coste J . Si se de�ne el vector:z =Mxen el que sus componentes son combinaciones lineales de las variables de estado (Mes una matriz constante de dimensiones adecuadas); y las matrices de ponderaci�on:Q = QT � 0 Rc = RTc > 0se trata de minimizar: J = Z 10 (zTQz + uTRcu)dt= Z 10 (xTMTQMx + uTRcu)dt (9.2)El problema anterior es el llamado lqr, cuya soluci�on es de la forma:u = �Kcxdenomin�andose a Kc matriz de realimentaci�on de estados. A partir de la soluci�onPc de la ecuaci�on algebraica de Riccati de control (AREc) siguiente:ATPc + PcA� PcBR�1c BTPc +Qc = 0 (9:3)

200 Propiedades del regulador LQR-� �� - �(s)B C -Kc �6 G(s) y

x- s sabrFigura 9.1: Estructura regulador lqr (lqsf)con Qc = MTQMse obtiene: Kc = R�1c BTPcsiendo: Pc = P Tc � 0El problema tendr�a soluci�on Pc y ser�a �unica, si el par (A;B) es estabilizable(todos los modos inestables son controlables).Se de�ne Hc(s), como la funci�on (matriz) de transferencia en lazo abierto entrela entrada a la planta y la se~nal de retorno. Es la relaci�on entre la se~nal que entrapor el punto\a" y la que retorna por el punto\b" de la �gura 9.1. Se denominaFunci�on de Relaci�on del Retorno o de Lazo Abierto:Hc(s) = Kc�(s)Bdonde: �(s) = (sI �A)�1, y la correspondiente Funci�on de Diferencia del Retorno:Fc(s) = I +Hc(s)A partir de la ecuaci�on AREc y de algunas manipulaciones algebraicas (MacFar-lane 1979), se obtiene:F Tc (�s)RcFc(s) = Rc +GTc (�s)QGc(s) (9:4)con: Gc(s) =M(sI � A)�1B

M�etodos de dise~no LTR 201En el caso de que: Rc = �Ise obtiene: F Tc (�s)Fc(s) � I (9:5)mostrando Safonov y Athans (1977) que la desigualdad anterior garantiza para elsistema un margen de fase (MF) m��nimo de 60� (se admite un cambio de fase deal menos 60� simult�aneamente en cada canal sin que produzca la inestabilidad delsistema), un margen de ganancia (MG) in�nito (frente a variaciones en forma devalor real � > 1, o modi�caci�on de la ganancia en continua, generados de formasimult�anea en todos los canales sin que el sistema pierda su estabilidad nominal)y un margen de tolerancia para reducci�on de la ganancia (TRG) de hasta �6db(reducci�on simult�anea de la ganancia 0:5 � � < 1, o sea de hasta el 50% de su valornominal, en cada canal sin que desestabilice al sistema de control).De 9.5 se desprende que: �i(FHc Fc) � 1y por tanto: �(FHc Fc) � 1como: �(FHc Fc) � �(FHc )�(Fc) = �2(Fc)se tendr�a que: �2(Fc) � 1 ) �(Fc) � 1dada la relaci�on Si = F�1c , y teniendo en cuenta la propiedad de los valores singularesde una matriz no singular P �(P�1) = 1�(P )se obtiene: �(Si) � 1 (9:6)lo cual tiene la interpretaci�on f��sica en el caso escalar, de que el sistema no ampli�car�alas perturbaciones actuantes a la salida de la planta.Por otro lado teniendo en cuenta que:Ti(s) = I � Si(s)con lo que: �(Ti) � �(I) + �(F�1c )� 1 + 1�(Fc)� 1 + 1=1 = 2 (9.7)

202 Propiedades del regulador LQRLa desigualdad 9.7, puede interpretarse como una medida de la robustez de laestabilidad para el caso de incertidumbre multiplicativa no estructurada existente ala entrada de la planta. De forma que, a partir del teorema de peque~na ganancia(ver cap��tulo 8), una condici�on su�ciente para que el sistema permanezca establepara una incertidumbre no estructurada E(s) es que:�(E) � 1�(Ti)ya que en este caso, M(s) = Ti(s), y por tanto:�(E) � 12lo que f��sicamente equivale a decir que el sistema de control puede aceptar hasta un50% de incertidumbre relativa en la planta, manteniendo la estabilidad.Otra caracter��stica de Hc(s) es que para alg�un par de n�umeros reales f�; !og secumple: �(Hc) � �! ; 8 ! > !olo que se traduce en la propiedad de una ca��da de la ganancia del sistema de�20 db=dec a alta frecuencia.En resumen, puede decirse que el controlador lqr tiene las siguientes propiedades:� Ley de control �optima.� Amplios m�argenes de fase (MF) y ganancia (MG), (TRG).� Robustez de la estabilidad (rs) frente a incertidumbres de tipo multiplicativosituadas a la entrada de la planta.� Respuesta en frecuencia en lazo abierto con una pendiente de ca��da suave aalta frecuencia.Las propiedades anteriores son todas, salvo la �ultima, muy atractivas para unsistema de control. Ser��a deseable adem�as, si ello fuera posible, que manteniendo lastres primeras casi sin alteraci�on, se consiguiera un aumento de la pendiente de ca��daa alta frecuencia. Es en esa zona donde se mani�estan fundamentalmente los erroresde modelado, con lo que se reforzar��a la robustez frente a la din�amica inmodeladade alta frecuencia.

M�etodos de dise~no LTR 203Ajuste de las ganancias principalesComo se ha visto para el problema lqr la matriz de transferencia de diferenciade retorno Fc(s) cumple la igualdad 9.4; si se supone, sin p�erdida de generalidad(bastar��a con escalar la entrada al sistema), que Rc = �I, queda:F Tc (�s)Fc(s) = Rc +GTc (�s)QGc(s)=�de la cual se deduce que (Doyle et al. 1981, Maciejouski 1989):�i(Fc) = "1 + �2i� (Q1=2Gc)#1=2 (9:8)y de esta se obtienen las siguientes expresiones para los valores singulares extremos:�(F�1c ) = "1 + �� (Q1=2Gc)#�1=2�(F�1c ) = "1 + �� (Q1=2Gc)#�1=2De las ecuaciones anteriores se deriva la posibilidad de modi�car los valoressingulares o ganancias principales de F�1c = Si, actuando sobre la matriz Q y elescalar �. Si en el rango de frecuencias de inter�es ! 2 D! se cumple:�(Hc)� 1la expresi�on 9.8 se reduce a: �i(Hc) � �i(Q1=2Gc)p� (9:9)la relaci�on 9.9 puede emplearse para realizar ajustes de Hc(s) en una doble vertiente:a) El valor del par�ametro � modi�ca de forma simult�anea todas las gananciasprincipales.b) La matriz Q puede emplearse para modi�car s�olo una de las ganancias prin-cipales dejando el resto inalteradas, por medio del empleo de las propiedadesde los valores y vectores singulares (ver ap�endice B.3).

204 El controlador LQGAjuste de �i(Hc) para un\i" dadoDado el producto de matrices de orden m� pQ1=2Gc(j!)para una frecuencia particular ! = !1, es posible descomponerla en sus valoressingulares: Q1=2Gc(j!1) = U�V H = rXi=1 ui�ivHi ; r = minfm; pgsi se modi�ca Q1=2 en la forma:Q1=2 = Q1=2(I + �ujuHj )teniendo en cuenta la propiedad de los vectores singularesujuHi = ( 0 si i 6= j1 si i = j )se obtiene: Q1=2Gc(j!1) = (I + �ujuHj )Pri=1 ui�ivHi= Pri6=j ui�ivHi + (1 + �)uj�jvHjcon lo que �unicamente se modi�ca la ganancia principal �j que pasa de �j a (1+�)�j.Por tanto, bajo la hip�otesis 9.9 se tiene una forma expl��cita de manipular los �i(Hc)de forma independiente o unilateral para un\i" dado.9.3 El controlador LQGEl regulador lineal cuadr�atico gausiano (lqg) es un procedimiento b�asicamente for-mulado en el dominio temporal, y con tratamiento en lazo cerrado. Sin embargo,puede tambi�en plantearse como un procedimiento de optimizaci�on en el dominio fre-cuencial, tal y como se presenta en esta secci�on, as�� como siguiendo el enfoque dadoen el ap�endice A.3. En este apartado se describe en primer lugar el procedimientode dise~no lqg, y a continuaci�on se pasa al principal inter�es de este cap��tulo: losm�etodos de dise~no de control robusto denominados en general ltr. Se realiza paraello una formulaci�on en el espacio de estados, y un tratamiento en el dominio de lafrecuencia a la hora de formular los objetivos de dise~no.

M�etodos de dise~no LTR 205- is i i

s --s �?���6

� �r - u Planta yu Kc �(s) BKo- 6C -

Figura 9.2: Estructura regulador lqg/ltr-iSi el sistema se encuentra sometido a perturbaciones estoc�asticas y/o el vectorde estado no es accesible, se emplea un observador para estimar los estados. Casode elegir como observador el �ltro de Kalman (kbf), se denomina al m�etodo lqg.Este tiene la ventaja de que minimiza la varianza del error de estimaci�on a partirde la caracterizaci�on de los ruidos, de los que se suponen conocidas las matrices decovarianza. En la �gura 9.2 se muestra la estructura del controlador lqg.Si el modelo de la planta junto con las perturbaciones estoc�asticas se puederepresentar por el conjunto de ecuaciones:_x = A x+B u+ � v1y = C x+ v2 (9.10)siendo v1; v2 realizaciones de ruido blanco gausiano caracterizados por:E[v1; vT1 ] = W � 0 ; E[v2; vT2 ] = Ro > 0 ; E[v1; vT2 ] = 0donde W;�; Ro son conocidos, estimados o elegidos de forma arbitraria de cara aldise~no del observador.La soluci�on del problema lqg se hace dividi�endolo en dos subproblemas inde-pendientes (Principio de Separaci�on) (Gopal, 1982):1. El problema de control: resuelto como lqr. Suponiendo que el vector deestados estimado coincide con el del proceso.

206 El controlador LQG2. Y el problema del observador: resuelto como kbf.Para un modelo exacto de la planta, la estabilidad del sistema controlado por rea-limentaci�on de estados (lqr, o tambi�en nombrado como lqsf) garantizar�a tambi�enla del sistema empleando el vector de estados estimado (lqsef).Para resolver el subproblema del observador (�ltro Kalman):_x = A x+B u+Ko (y � y)y = C x (9.11)se necesita encontrar la matriz de ganancia del observador Ko. Para ello se resuelvela ecuaci�on algebraica de Riccati del observador (AREo):APo + PoAT � PoCTR�1o CPo +Qo = 0 (9:12)con: Qo = �V1�T ; Ko = PoCTR�1oPara (A;C) detectable (todos los modos inestables son observables) hay unasoluci�on Po �unica de 9.12, con Po = P To � 0De las ecuaciones del modelo de la planta 9.1, del observador 9.11, y la ley decontrol: u = �Kcxse puede de�nir el error de estimaci�on �:� = x� xresultando " _x_� # = " A�BKc BKc0 A�KoC # " x� #lo que indica que los polos del sistema en lazo cerrado son la uni�on de los poloscorrespondientes a la ley de control (lqr) y los polos del observador (kbf).El compensador lqg queda:K(s) = Kc(sI � A+BKc +KoC)�1Ko (9:13)y la ftla de�nida a la entrada de la planta:L(s) = K(s)G(s)

M�etodos de dise~no LTR 207Es un hecho remarcado en la literatura, que el empleo de estimadores de estadospuede deteriorar la robustez del sistema, as�� como su comportamiento en lazo cerradosi no se tienen modelos muy precisos de la planta.La circunstancia de tratar de mejorar la robustez de un sistema lqg fu�e loque originalmente provoc�o el desarrollo de la metodolog��a lqg/ltr. Al incluir elestimador de estados, potencialmente pueden deteriorarse las propiedades del controllqr, o lo que es lo mismo de la ftla (L(s)) con respecto a la ftlad (Lt(s)).9.4 Controlador LTR basado en observadorComo se describe en el cap��tulo 8, las especi�caciones de dise~no pueden realizarsea trav�es de expresiones o cotas para ciertas funciones (matrices) de transferenciaen lazo abierto (ftla). Dependiendo de en qu�e puntos se de�nan tales ftla, nor-malmente a la entrada o a la salida de la planta, se emplear�a una estrategia dedise~no diferente. El m�etodo se denominar�a lqg/ltr-i, si se considera a la entradade la planta, y lqg/ltr-o si es a la salida, o tambi�en conocidos como m�etodos ltrbasados en observador, por derivarse tales m�etodos de la teor��a relacionada con losreguladores lqg, la cual emplea un �ltro de Kalman (observador de estado) paraestimar el vector de estado.9.4.1 M�etodo LQG/LTR-iExisten diferentes m�etodos para realizar la llamada recuperaci�on de la funci�on detransferencia en lazo abierto (Saberi et al, 1993), en este apartado se emplea elprocedimiento introducido por Doyle y Stein (1979); y que consiste en modi�carlos par�ametros libres de dise~no del observador, de forma que la ftla recupere lascaracter��sticas frecuenciales de la ftlad. Esto se consigue, en el caso de sistemasde fase m��nima (todos sus ceros se encuentran en el semiplano izquierdo), haciendodepender la matriz de covarianza del ruido en el proceso de un par�ametro escalar\q",llamado ganancia de recuperaci�on (gain recovery):Qo = Qo + qZsiendo Z = ZT � 0 una matriz arbitraria. Para el caso de sistema de fase m��nima(ver ap�endice A.2), se demuestra (Stein y Athans, 1987) que:limq!1K(s)G(s) = Kc(sI � A)�1B = Hc(s)

208 Controlador LTR basado en observadorEl controlador lqg/ltr: K(s), sustituye la din�amica de la planta por la din�amicadeseada, y de�nida por Hc(s). Los ceros de K(s) corresponden a los ceros de Hc(s),y algunos de sus polos se emplean para cancelar los ceros de la planta G(s). Espor �esto, que el m�etodo s�olo garantiza una recuperaci�on asint�otica para plantascon modelos inversos estables. La presencia de ceros inestables tiene el efecto delimitar las caracter��sticas del comportamiento obtenible, independientemente de lametodolog��a de dise~no que se emplee. Sin embargo, si los ceros inestables de laplanta est�an lo su�cientemente alejados del ancho de banda del sistema de control,entonces es posible una recuperaci�on parcial en el rango de frecuencias de inter�es,y a efectos pr�acticos la presencia de tales ceros no afectan de manera sensible a larobustez y comportamiento del sistema a baja frecuencia.Es posible, que para alcanzar un nivel de recuperaci�on deseado, las demandasdel controlador sean excesivamente elevadas. Para un sistema con peque~nos erroresde modelado �ello no es cr��tico, sin embargo para sistemas donde las incertidumbresjuegan un importante papel, puede darse el caso extremo de que se provoque lainestabilidad del sistema de control. Basado en esta idea, se han propuesto pordiferentes autores (Athans, 1986; L�opez y Rubio, 1994) controladores lqg con re-cuperaci�on parcial (zonas de baja y media frecuencia) (ltr-i), el cual exhibir�a unascaracter��sticas de comportamiento similares al lqg en el rango de frecuencias deinter�es, y que adicionalmente presenta unas mejores propiedades de robustez frentea la presencia de din�amica inmodelada de alta frecuencia.Ejemplo: Dise~nos lqr, lqg, lqg/ltrSea el sistema dado por las siguientes ecuaciones:_x = Ax +Bu+ �wy = Cx + vdonde las matrices A, B, C, y � vienen dadas por:A = 0 1�3 �4 ! ; B = 01 ! ; C = � 2 1 � ; � = 35�61 !Dicho sistema corresponde a una funci�on de transferencia de la forma:G(s) = y(s)u(s) = s+ 2(s+ 1)(s+ 3)Se considera en primer lugar el control lqr. Para ello se trata de encontrar elregulador �optimo que minimice el siguiente criterio cuadr�atico o funci�on de coste:J = Z 10 (xTMTMx + u2) dt

M�etodos de dise~no LTR 209donde se emplean:M = � 52:915 8:944 � ; Rc = 1; Q = diagf1; 1gCon estos datos puede ser calculado el regulador lineal cuadr�atico (lqr), bien apartir de la descripci�on por variables de estado, tal y como se detalla a lo largo deeste cap��tulo, o mediante el uso de funciones de transferencia, como se describe en elap�endice A. Siguiendo el primer m�etodo, y resolviendo la correspondiente ecuaci�onde Riccati de control se tendr�a que la matriz de realimentaci�on de estados es,Kc = [ 50 10 ]Las correspondientes funciones de transferencia implicadas en el desarrollo sonrespectivamente: Gc(s) =M�(s)B = 8:944s+ 52:915(s+ 1)(s+ 3)Hc(s) = 50 + 10s(s+ 1)(s+ 3)La funci�on de transferencia correspondiente al bucle cerrado se obtiene de laexpresi�on general: Gbc(s) = C(sI � A+BKc)�1Bo en el caso de tratarse de un sistema de simple entrada-salida, tambi�en puedeobtenerse de, Gbc(s) = G(s)1 +Gc(s) = s+ 2s2 + 14s+ 53 (9:14)Con este regulador lqr se cumplen las especi�caciones del sistema en buclecerrado (regulador �optimo, que sit�ua los polos del sistema en lazo cerrado en lasposiciones �7:0� 2:0j), y la funci�on de transferencia del bucle abierto Hc(s), tienecomo era de esperar muy buenas caracteristicas de robustez: margen de fase de 86�y margen de ganancia in�nito. Sin embargo, si el estado no es accesible es necesariodise~nar un observador de estado o �ltro de Kalman para estimarlo, con lo cualse obtiene el correspondiente controlador lqg. Para ello se tendr�an las siguientesmatrices de covarianza: Qo = ��T ; Ro = 1que tras resolver la correspondiente ecuaci�on algebraica de Riccati se obtiene lamatriz de ganancia del �ltro de KalmanKo. Una vez conocidasKc yKo, el reguladorse puede obtener de forma general a partir de la expresi�on,K(s) = Kc(sI � A+BKc +KoC)�1Ko

210 Controlador LTR basado en observadorde donde se obtiene: K(s) = 1000(s+ 2:6)(s� 18:66)(s+ 42:7)Si se calcula la funci�on de transferencia en bucle cerrado con el regulador lqg,se obtiene la misma obtenida anteriormente (ecuaci�on 9.14), dado que la inclusi�ondel observador no modi�ca el lazo cerrado del sistema de control. Sin embargo, si seanaliza la funci�on de transferencia en lazo abierto K(s)G(s), se obtiene un margende fase de 15� y un margen de ganancia de �1:9 db. Los cuales son sensiblementeinferiores a los obtenidos con el regulador lqr. Por lo que la robustez del sistemacon el regulador lqg sufre un serio deterioro.A �n de mejorar la robustez, a continuaci�on se dise~na un regulador lqg/ltr.Para ello, se modi�ca la matriz de covarianza en la forma:Qo = ��T + qBBTPara dise~nar el regulador lqg/ltr se va incrementando q desde cero (reguladorlqg) hasta un valor razonable para tener un compromiso entre la estimaci�on y larobustez. Este proceso se puede ver en la �gura 9.3, donde se representa el diagramade Nyquist de la funci�on de transferencia en bucle abierto para distintos valores delpar�ametro q; as�� mismo en la tabla adjunta se dan los valores de los m�argenes deestabilidad obtenidos en cada caso.Margen de Margen deq ganancia (db) fase (grados)0 -1.9 15.0100 -2.6 20.0500 -5.2 32.51000 -8.0 42.510000 1 74.59.4.2 M�etodo LQG/LTR-oLa t�ecnica consiste en explotar la dualidad existente entre los problemas lqr y kbf.Esta lleva a demostrar que si se establecen las equivalencias:AT ! A ; CT ! BBT ! C ; �!MV1 ! Q ; Ro ! Rc

M�etodos de dise~no LTR 211

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

Real G(jw)

Imag

G(jw

)

q=0

q=100

q=500

q=1000

q=10000

Glqr

Figura 9.3: Diagrama de Nyquist para diferentes qla funci�on (matriz) de transferencia en lazo abierto del observador (kbf):Ho(s) = C(sI � A)�1Ko = C�(s)Kogoza de las mismas propiedades analizadas para el controlador lqr. Con la diferen-cia, de que ahora se presentan para una ftlad de�nida a la salida de la planta envez de la entrada (ver �gura 9.4).Para el caso de planta de fase m��nima se conseguir�a la recuperaci�on asint�otica-� �� - �(s)Ko C6-r y -ss baFigura 9.4: Estructura de Ho(s) (kbf)

212 Controlador LTR no basado en observador- m-� ��- Ko - m �(s) -KcB �?C66r- - Planta -y

Figura 9.5: Estructura regulador lqg/ltr-ode la ftlad a la salida de la planta:limq!1G(s)K(s) = C(sI � A)�1Ko = Ho(s)donde ahora el par�ametro\q" (ganancia de recuperaci�on) se emplea para modi�carla matriz de ponderaci�on del estado, Qc en 9.2, de la forma:Qc = Qc + qZsiendo Z = ZT � 0 una matriz arbitraria. En la �gura 9.5 se muestra la estructuradel regulador lqg/ltr-o.9.5 Controlador LTR no basado en observadorEl compensador obtenido con el m�etodo lqg/ltr-i tiene la forma 9.13, la ftlatomada a la entrada es: L(s) = K(s)G(s), y la ftlad especi�cada es: Lt(s) =Hc(s). El error entre ambas (error de recuperaci�on):E(s) = Lt(s)� L(s) (9:15)puede expresarse como:E(s) = N(s)[I +N(s)]�1[I +Hc(s)] (9:16)Se de�ne el nivel de recuperaci�on como el tama~no de E(s):�[E(s)] (9:17)

M�etodos de dise~no LTR 213El error de recuperaci�on se anula si y solo si:N(s) = 0 ; 8 !siendo: N(s) = Kc(sI � A+KoC)�1B (9:18)En ese caso, se dice que se produce una recuperaci�on exacta de la ftlad a laentrada de la planta (eLTRi). En otro caso, se dir�a que la recuperaci�on ha sido soloaproximada (aLTRi), si el tama~no de N(s) se hace su�cientemente peque~no paracualquier !. Se tratar�a de encontrar una matriz Ko(q) que consiga:N(s) = Kc(sI � A+Ko(q)C)�1B ! 0 (9:19)Para mantener la independencia entre los dise~nos de la realimentaci�on de estados yel observador, para una matriz Kc dada, se cumplir�a la relaci�on 9.19 si:(sI � A +Ko(q)C)�1B ! 0q ! 1Se puede comprobar, que a medida que el par�ametro\q" aumenta, tambi�en lo haceel tama~no de Ko(q), de forma que:si q !1 entonces kKo(q)kF !1donde se de�ne: kKokF = qtraza(KoKTo )La dependencia anterior ocasiona que para conseguir una recuperaci�on aprox-imada con �[N(s)] lo su�cientemente peque~no, tenga a veces que aumentar Koexcesivamente, provocando un incremento del ancho de banda del compensador, locual va a ser contraproducente en algunas situaciones pr�acticas.Si se considera u la se~nal a la salida del compensador, y u(s) la se~nal de controlde entrada a la planta, puede obtenerse:u(s) = �N(s)u(s)�Kc(sI � A+KoC)�1y(s)Motivado por la relaci�on anterior y dado que la condici�on de eLTRi se consigueanulando N(s), o equivalentemente haciendo que u(s) no dependa expl��citamente deu(s), Chen y col. (Chen et al. 1991) desarrollan una estructura para controlador nobasada en observador (cnbo), donde la se~nal que genera el controlador no depende

214 Controlador LTR no basado en observador- j

j- -

- 6���6r -u Kc �(s) Koxc -u y

CPlanta

Figura 9.6: Estructura del cnbo ltr-ide manera expl��cita de la se~nal de control a la planta (ver �gura 9.6). Se eliminade esta forma la dependencia de la matriz de distribuci�on B de la se~nal de control,caracter��stica de las estructuras convencionales basadas en observador.Las ecuaciones descriptivas del cnbo son:_xc = (A�KoC)xc +Koyyc = Kcxcu = yc (9.20)y equivalentemente la representaci�on entrada-salida:K(s) = Kc(sI � A +KoC)�1Ko (9:21)Si se compara su estructura con la cbo (ecuaci�on 9.13), se comprueba que�unicamente di�eren en que no aparece el t�ermino BKc.Para obtener Ko y Kc se pueden resolver de forma similar a la realizada con elcontrolador basado en observador convencional. El controlador se desea estable, deforma que hay que examinar los autovalores �i(A � KoC) para cada Ko obtenido

M�etodos de dise~no LTR 215durante el proceso de dise~no. Para este regulador no se cumple el principio deseparaci�on, por lo que para garantizar la estabilidad del sistema nominal en lazocerrado se analiza si la matriz:Alc = " A�KoC KoC�BKc A #cumple: Re[�i(Alc)] < 0Se demuestra (Chen et al. 1991), que existe un valor de la ganancia de recu-peraci�on qo tal que 8q � qo, el sistema nominal en lazo cerrado y el controlador sonasint�oticamente estables.El error de recuperaci�on 9.15 obtenido con el cnbo es:Ec(s) = N(s) (9:22)Si se toma la misma matriz Ko para cnbo y cbo, y se comparan 9.16 y 9.22,se obtiene que el nivel de recuperaci�on (9.17) obtenido para el primero es superior.As��, si se cumple: �[Lt(s)]� 1 8! 2 D!y se supone un cierto nivel de recuperaci�on:�[N(s)]� 1siendo Lt(s) = Hc(s) y D! la regi�on de frecuencias de inter�es. La relaci�on entre elerror de recuperaci�on del cbo (E(s)) y del cnbo (Ec(s)) se obtiene de:�(E) = �[M(I +M)�1(I +Hc)]� �(M)�[(I +M)�1]�(I +Hc)= �(M)�(I +Hc)�(I +M) = �(Ec)�(I +Hc)�(I +M)� �(Ec)[�(Hc)� 1]�(M) + 1 � �(Ec)�(Hc)1 � �(Ec)concluyendo: �(E)� �(Ec) 8 ! 2 D!Se obtiene que un cnbo consigue mayor nivel de recuperaci�on que empleando uncbo para el mismo valor de Ko(q) (y por tanto para el mismo valor de la ganancia

216 Controlador LTR no basado en observador-� �� Ko �(s) -Kc

B6r y- Planta� ��? xc u --

Figura 9.7: Estructura ltr-o (cnbo)de recuperaci�on\q"). Una consecuencia inmediata de gran utilidad pr�actica, es quepara un mismo grado de recuperaci�on el cnbo necesita matrices Ko con tama~nos(kKokF ) menores que los obtenidos con el cbo; y consecuentemente el reguladortendr��a un ancho de banda menor, protegiendo de esa forma al sistema de demandasde control excesivas, y en algunos casos de la posible saturaci�on de los actuadores.Otra ventaja consiste en que de esa forma se evita la ampli�caci�on innecesaria delruido de medida; y �nalmente una mayor robustez frente a la din�amica no modeladade alta frecuencia.En el desarrollo anterior se ha analizado la s��ntesis ltr-i con el cnbo. Tambi�enes posible realizar un dise~no ltr-o especi�cando una ftlad a la salida de la planta.En este caso la estructura del regulador es la representada en la �gura 9.7, con lasecuaciones descriptivas del cnbo ltr-o dadas por:_xc = (A� BKc)xc +Ko(y � r)yc = �Kcxcu = yc (9.23)y la representaci�on entrada-salida del regulador:K(s) = Kc(sI � A+BKc)KoSi se compara con la estructura cbo (ecuaci�on 9.13), se comprueba que �unicamentedi�eren en que no aparece el t�ermino KoC. Representa el caso dual del regulador

M�etodos de dise~no LTR 217ltr-i (cnbo), por lo que los resultados anteriores obtenidos para �este, son igual-mente v�alidos (Saberi et al, 1993).Como se comenta brevemente en la introducci�on y se ha planteado a lo largode la exposici�on de este cap��tulo, el procedimiento ltr constituye una metodolog��ade dise~no sistem�atica que ha transcendido de sus or��genes, y aunque por tradici�onsigue denomin�andose lqg/ltr, se ha independizado del problema lqg. Dado que,el m�etodo ltr consiste en de�nitiva en especi�car una funci�on (matriz) de trans-ferencia en lazo abierto (que cumpla las especi�caciones de dise~no deseadas), y atrav�es del ajuste de uno de los par�ametros de dise~no se realiza la recuperaci�on oaproximaci�on de la ftlad por medio de un regulador ltr.Ejemplo: Dise~no ltr-i con estructura no basada en observadorA continuaci�on se comparan las recuperaciones obtenidas mediante un regula-dor lqg/ltr-i convencional (cbo), y un regulador ltr-i no basado en observador(cnbo), para el mismo ejemplo visto anteriormente. Para ello, se parte del mismosistema dado en el ejemplo anterior. El procedimiento de recuperaci�on, al igualque antes se indicara, consiste en hacer depender la matriz de covarianza Qo delpar�ametro q, o tambi�en llamado ganancia de recuperaci�on, en la formaQo = ��T + qBBTEl regulador lqg/ltr-i convencional se obtiene de,K(s) = Kc(sI � A+BKc +KoC)�1Komientras que el regulador ltr-i con estructura no basada en observador est�a dadopor, K(s) = Kc(sI � A+KoC)�1KoLos niveles de recuperaci�on, o grados de aproximaci�on a la funci�on de transferen-cia en lazo abierto obtenida con el regulador lqr, conseguidos por ambos reguladores(cbo y cnbo) pueden verse en las �guras 9.8 a 9.13, para diferentes valores de q(las curvas continuas corresponden al control lqr, y las de trazos al ltr). Puedeverse c�omo la recuperaci�on obtenida con el cnob es sensiblemente superior al cbo.Ello genera una consecuencia positiva de cara a la robustez frente a la din�amicainmodelada de alta frecuencia, as�� como la menor sensibilidad frente a las perturba-ciones. Ya que a medida que aumenta q se incrementa la ganancia del observadory consecuentemente el ancho de banda del regulador. De forma que para alcanzar

218 Controlador LTR no basado en observador-60

-40

-20

0

20

40

10-3 100 103

CBO q= 0

w (rad/s)

mag

(L)

(db)

-60

-40

-20

0

20

40

10-3 100 103

CNBO q= 0

w (rad/s)

mag

(L)

(db)

-200

-150

-100

-50

0

10-3 100 103

w (rad/s)

fase

(L)

(gr)

-200

-150

-100

-50

0

10-3 100 103

w (rad/s)

fase

(L)

(gr)

Figura 9.8: Bodes para reguladores lqr, lqg/ltr, ltr (cnbo), q = q1-100

-50

0

50

10-3 100 103

CBO q= 500

w (rad/s)

mag

(L)

(db)

-100

-50

0

50

10-3 100 103

CNBO q= 500

w (rad/s)

mag

(L)

(db)

-200

-150

-100

-50

0

10-3 100 103

w (rad/s)

fase

(L)

(gr)

-200

-150

-100

-50

0

10-3 100 103

w (rad/s)

fase

(L)

(gr)

Figura 9.9: Bodes para reguladores lqr, lqg/ltr, ltr (cnbo), q = q2

M�etodos de dise~no LTR 219-100

-50

0

50

10-3 100 103

CBO q= 2500

w (rad/s)

mag

(L)

(db)

-100

-50

0

50

10-3 100 103

CNBO q= 2500

w (rad/s)

mag

(L)

(db)

-200

-150

-100

-50

0

10-3 100 103

w (rad/s)

fase

(L)

(gr)

-200

-150

-100

-50

0

10-3 100 103

w (rad/s)

fase

(L)

(gr)

Figura 9.10: Bodes para reguladores lqr, lqg/ltr, ltr (cnbo), q = q3-100

-50

0

50

10-3 100 103

CBO q= 3600

w (rad/s)

mag

(L)

(db)

-100

-50

0

50

10-3 100 103

CNBO q= 3600

w (rad/s)

mag

(L)

(db)

-400

-300

-200

-100

0

10-3 100 103

w (rad/s)

fase

(L)

(gr)

-400

-300

-200

-100

0

10-3 100 103

w (rad/s)

fase

(L)

(gr)

Figura 9.11: Bodes para reguladores lqr, lqg/ltr, ltr (cnbo), q = q4

220 Controlador LTR no basado en observador-60

-40

-20

0

20

40

10-3 100 103

CBO q= 25000

w (rad/s)

mag

(L)

(db)

-60

-40

-20

0

20

40

10-3 100 103

CNBO q= 25000

w (rad/s)

mag

(L)

(db)

-200

-150

-100

-50

0

10-3 100 103

w (rad/s)

fase

(L)

(gr)

-200

-150

-100

-50

0

10-3 100 103

w (rad/s)

fase

(L)

(gr)

Figura 9.12: Bodes para reguladores lqr, lqg/ltr, ltr (cnbo), q = q5-60

-40

-20

0

20

40

10-3 100 103

CBO q= 1e+005

w (rad/s)

mag

(L)

(db)

-60

-40

-20

0

20

40

10-3 100 103

CNBO q= 1e+005

w (rad/s)

mag

(L)

(db)

-200

-150

-100

-50

0

10-3 100 103

w (rad/s)

fase

(L)

(gr)

-200

-150

-100

-50

0

10-3 100 103

w (rad/s)

fase

(L)

(gr)

Figura 9.13: Bodes para reguladores lqr, lqg/ltr, ltr (cnbo), q = q6

M�etodos de dise~no LTR 221- Lt(s) - jE(s)- ?L(s) -rr ba

Figura 9.14: El error de recuperaci�on como una incertidumbre aditivauna recuperaci�on adecuada, sea necesario incrementar de forma excesiva el valor delpar�ametro q o ganancia de recuperaci�on.Se extrae por tanto del an�alisis anterior, que la ventaja b�asica del regulador ltr(cnbo) es que consigue una aproximaci�on o recuperaci�on mejor que un reguladorlqg/ltr (cbo) para un mismo valor de q. Lo cual tiene mucha relevancia de caraa la implementaci�on f��sica del regulador en un ambiente real.9.6 Controlador LTR=H1En el cap��tulo siguiente se trata ampliamente la teor��a relacionada con el controlH1.Sin embargo, a continuaci�on se plantea un problema particularmente interesante: setrata de encontrar un regulador lqg/ltr-i, tal que una medida de la aproximaci�onde la respuesta en frecuencia en lazo abierto conseguida por el regulador ltr al lqrest�e acotada superiormente. Dicha medida se va a caracterizar mediante una cotaH1, tal y como se describe a continuaci�on.En este apartado se presenta un procedimiento para obtener un controladorlqg/ltr que consigue aproximar la respuesta en frecuencia en lazo abierto (ftla)a una especi�cada (ftlad), con un determinado grado de aproximaci�on o de re-cuperaci�on. La soluci�on se obtiene resolviendo un problema de control sub�optimoH1. Como ya se ha descrito en este cap��tulo, el procedimiento lqg/ltr-i consisteen encontrar un controlador K(s) que consiga acercar a la ftla: L(s) = K(s)G(s)a una ftlad: Lt(s) = Hc(s) dada.

222 Controlador LTR=H1Para el an�alisis del problema de la recuperaci�on, puede interpretarse a L(s) comosi se tratara de Lt(s) con una incertidumbre aditiva (ver �gura 9.14):E(s) = L(s)� Lt(s)Se de�ne el grado de recuperaci�on (Saeki 1992), como:�E = kE(s)[I + Lt(s)]�1k1 (9:24)Si se emplea un cbo, se obtiene un error de recuperaci�on que puede expresarse:E(s) = Kc(sI � A+BKc +KoC)�1B[I +Hc(s)] (9:25)como se desea que E(s) sea lo menor posible (al menos en el rango de frecuencias deinter�es), se puede plantear el problema de conseguir un grado de recuperaci�on pordebajo de un m��nimo deseable �E, y expresarlo como una cota H1.Teniendo en cuenta la de�nici�on 9.24 y la expresi�on 9.25 queda:�E = kKc(sI � A+BKc +KoC)�1B[I +Hc(s)][I +Hc(s)]�1k1 < �E (9:26)lo que equivale a encontrar una matriz Ko(q) que satisfaga:kKc(sI � A +BKc +KoC)�1Bk1 < �E (9:27)Para obtener la soluci�on del problema anterior, se tiene el siguiente teorema(Saeki, 1992):Teorema: Existe una matriz Ko, que satisface la ecuaci�on 9.27, si y solo si laecuaci�on algebraica de Riccati:(A�BKc)X +X(A�BKc)T �X(1�CTC � 1�2EKTc Kc)X + �Q+BBT = 0 (9:28)tiene una soluci�on X = XT > 0, para un n�umero real � > 0, lo su�cientementepeque~no y una matriz arbitraria Q = QT > 0. Obteni�endose como soluci�on:Ko = 12�XCTEl papel desempe~nado por � es similar al de 1=q2 en el procedimiento de recu-peraci�on descrito en apartados anteriores. El resultado anterior es v�alido tanto paraplantas de fase m��nima as�� como para plantas de fase no m��nima. A continuaci�on seda un procedimiento a seguir para el c�alculo del regulador LTR=H1:

M�etodos de dise~no LTR 2231. Se elige una matriz arbitraria sim�etrica de�nida positiva Q, un valor de �Edentro del intervalo 0 < �E < 1y un valor lo su�cientemente peque~no de � = �1 > 02. Se resuelve la ecuaci�on de Riccati 9.28.3. Si su soluci�on X no es de�nida positiva se incrementa el valor de �E y sevuelve al paso 2.4. Si X es de�nida positiva se resuelve la ecuaci�on 9.28 para distintos valores de� 2 (0; �1), para todos los cuales la ecuaci�on de Riccati tiene soluci�on de�nidapositiva.5. Se elige la matriz Ko para un valor de � del intervalo anterior, para el cual seobtiene el valor inferior de la norma de Frobenius de la matriz Ko,kKkF = qtraza (KTo Ko)Con el procedimiento anterior, se consigue el grado de recuperaci�on deseado, ala vez que se evita incrementar el tama~no de Ko, y con ello el que el ancho de bandaaumente en exceso, protegiendo por tanto al sistema frente a la din�amica inmode-lada de alta frecuencia, de las perturbaciones y ruidos de medida de los sensores.Ejemplo: Controlador LTR=H1Se van a considerar dos casos, el primero correspondiente a una planta de fasem��nima (caso 1), y el segundo (caso 2) que trata con una planta de fase no m��nima;a �n de ver la validez del procedimiento para ambos tipos de plantas.Para ambos casos se emplea,A = " 0 1�3 �4 # ; B = " 01 #la matriz de realimentaci�on de estados es Kc = [ 50 10 ], y la matriz Q se elige dela forma, Q = " 1 00 1 #

224 Controlador LTR=H1Para caso 1 (fase m��mina):C = h 2 1 i ; y se elige �E = 0:1Para caso2 (fase no m��nima):C = h 2 �0:1 i ; y se elige �E = 0:35En las �guras 9.15 y 9.16 se muestra la dependencia de la norma de Frobeniusde la matriz de ganancia del observador Ko en funci�on del par�ametro �. Para todoslos valores de � mostrados en dichas �guras se consiguen respectivamente�E < 0:1 (fase m��nima)�E < 0:35 (fase no m��nima)Sin embargo, se elige el valor de � para el que se obtiene el valor de kKokF inferior.Y por tanto, el regulador consigue el objetivo pre�jado, pero con un ancho de bandainferior; protegiendo as�� al sistema frente a las incertidumbres, perturbaciones yruidos que afectan a la planta.

M�etodos de dise~no LTR 225

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

x10-5epsilon

Nor

ma

de F

robe

nius

de

Ko

Figura 9.15: Norma de Frobenius en funci�on de � para sistema de fase m��nima

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4x105

1 2 3 4 5 6 7 8 9

x10-9epsilon

Nor

ma

de F

robe

nius

de

Ko

Figura 9.16: Norma de Frobenius en funci�on de � para sistema de fase no m��nima

Cap��tulo 10Controladores H110.1 Introducci�onComo se ha descrito en el cap��tulo 8, una forma de establecer las especi�caciones dedise~no, consiste en la minimizaci�on de determinada funci�on de coste formulada en eldominio frecuencial. Dos medidas de comportamiento, ampliamente empleadas enlos problemas de control �optimo y robusto, son las normas H2 y H1. La soluci�onal problema de control de optimizaci�on H2 (tambi�en denominado de Wiener-Hopf)fue desarrollada durante las d�ecadas de los 60 y 70; mientras que el dise~no con H1se inici�o en el decenio de los 80 y contin�ua a�un su desarrollo.La formulaci�on del problema de control �optimo H1 fu�e realizada por Zames en1981 para el caso escalar y basada en una representaci�on entrada-salida, obteniendola soluci�on del problema en 1984 (Zames y Francis, 1984). Posteriormente los mismosautores obtienen la soluci�on para el caso multivariable.Los primeros algoritmos para la resoluci�on de los problemas H1, desarrolladosdesde 1984 a 1988, ten��an el inconveniente de que el controlador obtenido era, engeneral, de un orden elevado (Francis, 1987) comparado con el de la planta, porlo que como paso previo a la implementaci�on f��sica del regulador era convenienterealizar un intenso trabajo para obtener reguladores de menor dimensi�on.Es a partir del trabajo de Doyle y colaboradores (1989), cuando se da un fuerteimpulso para la soluci�on algor��tmica de los problemas de control H1, obteni�endoseun controlador de la misma dimensi�on que la planta ampliada, o tambi�en deno-227

228 Justi�caci�on del control H1minada planta generalizada, (constituida por el modelo del proceso junto con lasmatrices de ponderaci�on que constituyen las especi�caciones de dise~no). Con ello,da comienzo la llamada segunda generaci�on de algoritmos en el espacio de estadosde la teor��a H1. Caracterizada por el planteamiento del problema de optimizaci�onformulado en el espacio de estados y resuelto, de forma m�as simple, a partir dedos ecuaciones algebraicas de Riccati desacopladas. En este cap��tulo se tratan enprimer lugar las t�ecnicas inicialmente desarrolladas para la soluci�on de los problemasde control H1, pasando a continuaci�on a describir las t�ecnicas basadas en el espaciode estados.10.2 Justi�caci�on del control H1En este apartado se trata de justi�car la utilidad del control H1 en la teor��a decontrol. Para ello, se ha elegido el planteamiento de dos problemas de controlesenciales: el problema del comportamiento nominal �optimo, y el problema de laestabilidad robusta. En ambos casos, y a �n de simpli�car la exposici�on, as�� comopara que el lector familiarizado con la teor��a cl�asica de control lo encuentre m�asameno, se trata en ambos casos el problema escalar. Tambi�en se presenta la conexi�onentre la teor��a de juegos diferencial y el control H1.10.2.1 Interpretaci�on H1 del comportamiento nominalEl m�etodo de optimizaci�on de sistemas de control H1 est�a relacionado con la mini-mizaci�on del valor de pico de la respuesta en frecuencia de cierta funci�on en buclecerrado. Para aclarar y profundizar en el signi�cado de la aseveraci�on anterior,consid�erese el ejemplo del sistema b�asico de control de la �gura 10.1; donde la plantatiene la funci�on de transferencia G(s) y el controlador K(s), la se~nal d representalas perturbaciones actuando sobre el sistema y la se~nal y la salida del sistema.A partir de la �gura 10.1, puede obtenerse la dependencia de la respuesta delsistema y la variable de control, con el resto de variables que act�uan sobre el sistema.Queda: y(s) = T (s) r(s) + S(s) d(s)� T (s) n(s) (10.1)u(s) = K(s) S(s) [r(s)� n(s)� d(s)] (10.2)Como puede verse en la ecuaci�on 10.1, la funci�on de sensibilidad S caracteriza

Controladores H1 229-� �� - - -� �� -

�� ��66

?K(s) G(s)r u ydnFigura 10.1: Estructura de un sistema de control convencionalel comportamiento del sistema de control con respecto a las perturbaciones (d). Unproblema de dise~no puede consistir en obtener un controlador K que consiga unrechazo o atenuaci�on considerable de las perturbaciones,S � 0al menos en la zona de frecuencias de actuaci�on de la perturbaci�on.El problema original considerado por Zames (1981) consiste en encontrar uncompensador K que haga al sistema de control estable y minimice el valor de picode�nido como, k S k1= max! jS(j!)j (10:3)Dado que para algunas funciones el valor de pico puede no existir, se reemplaza�este por el supremo o menor de las cotas superiores, as�� que,jjSjj1 = sup! jS(j!)j (10:4)En general, para el caso multivariable, signi�ca minimizar el supremo del valorsingular m�aximo. k S k1= sup! �[S(j!)]La justi�caci�on de este problema reside en que si el valor de pico de la funci�on desensibilidad es peque~no, entonces la magnitud de S necesariamente es peque~na para

230 Justi�caci�on del control H1todas las frecuencias, y por tanto las perturbaciones ser�an atenuadas para todaslas frecuencias. La minimizaci�on de jjSjj1 es la optimizaci�on del peor caso, porqueello equivale a la minimizaci�on del efecto sobre la salida de la peor perturbaci�on (esdecir, una perturbaci�on arm�onica a la frecuencia donde jSj tiene el valor de pico).El problema del peor caso tiene una interpretaci�on matem�atica muy signi�cativa,tal y como se expone a continuaci�on. Supuesto que la pertubaci�on d es desconocidapara las frecuencias de inter�es, pero tiene energ��a �nita, el valor,jjdjj2 = sZ 1�1 jd(t)j2dt (10:5)se conoce como la norma-2 de la perturbaci�on d. La energ��a de d es el cuadrado dela norma-2. Entonces, la norma jjSjj del sistema S con entrada d y salida y inducidapor la norma-2, se de�ne como,jjSjj = supd:jjdjj2<1 jjyjj2jjdjj2 (10:6)De aqu��, se deriva que la norma est�a directamente relacionada con la gananciade energ��a para la entrada con la distribuci�on frecuencial peor posible. Utilizandoel teorema de Parseval se llega a que,jjSjj = jjSjj1 (10:7)Por ello, el valor de pico es precisamente la norma del sistema inducida por lasnormas-2 sobre las se~nales de entrada y salida. La norma es conocida como norma-1del sistema.La optimizaci�on del peor caso sugiere un paradigma de la teor��a de juegos: eldise~nador desea determinar el compensador K que ofrece la mejor protecci�on contrala peor pertubaci�on que se puede dar u ocurrir sobre el sistema. Esto explica porqu�een algunos trabajos te�oricos la optimizaci�on H1 es tratada desde el punto de vistade la teor��a de juegos diferencial.Si se realiza una breve re exi�on, se observa que la minimizaci�on de jjSjj1 comotal no es una herramienta �util de dise~no. La respuesta en frecuencia de cada plantay compensador f��sico decrece a alta frecuencia. Esto signi�ca que a menudo lasensibilidad S puede hacerse peque~na a baja frecuencia pero eventualmente tiendea un valor asint�otico a alta frecuencia. Por ello, un valor peque~no de S a bajafrecuencia no se re eja en el valor de pico, pero es de considerable importancia para

Controladores H1 231las especi�caciones del sistema de control. Por esta raz�on, es habitual introduciruna funci�on de peso dependiente de la frecuencia W y considerar la minimizaci�onde, jjWSjj1 = sup! jW (j!)S(j!)j (10:8)La forma habitual de elegir W es que sea grande a baja frecuencia, y vayadecreciendo a medida que aumente la frecuencia. El problema de minimizaci�onde la sensibilidad ponderada as�� de�nido, tiene ciertos aspectos interesantes. Sinembargo, no tiene en cuenta las limitaciones f��sicas en la variable de control delsistema. Por lo que habr��a que modi�car la funci�on de coste a minimizar, de formaque �ello se tuviera en consideraci�on.10.2.2 Interpretaci�on H1 de la estabilidad robustaA continuaci�on se ilustra la conexi�on entre la minimizaci�on del valor de pico y eldise~no para obtener una estabilidad robusta. Para ello se va a considerar el diagramade Nyquist mostrado en la �gura 10.2, que corresponde a la funci�on en lazo abiertoL = GK de un sistema de control escalar gen�erico como el de la �gura 10.1. Enparticular, se analiza si el sistema realimentado permanece estable bajo la existenciade una incertidumbre que modi�ca la funci�on de transferencia desde su valor nominalLo al valor actual o real L.En el desarrollo siguiente se supone que el sistema es estable en bucle abierto (osea, L representa a un sistema estable). Tambi�en se asume que el sistema nominalen lazo cerrado est�a bien dise~nado, en el sentido de que es estable. Por lo que eldiagrama de Nyquist del sistema nominal, Lo, no rodea al punto cr��tico (�1; 0j) delplano complejo. El sistema real ser�a tambi�en estable en lazo cerrado si el corres-pondiente diagrama de Nyquist de L tampoco rodea a dicho punto. Se demuestraque el diagrama de Nyquist no rodea al punto -1 si,jL(j!)� Lo(j!)j < jLo(j!) + 1j 8 ! 2 < : (10:9)Esto es equivalente a,jL(j!)� Lo(j!)jLo(j!) : jLo(j!)jjLo(j!) + 1j < 1 8 ! 2 < : (10:10)De�niendo la funci�on de sensibilidad complementaria To del sistema nominal enbucle cerrado como, To = 1� So = 1� 11 + Lo = Lo1 + Lo (10:11)

232 Justi�caci�on del control H1(0,0)

(-1,0j)

Im

Re

L(jw)

L (jw)o

Figura 10.2: Interpretaci�on de la estabilidad robusta con el diagrama de Nyquistsiendo So la funci�on de sensibilidad nominal. Entonces, a partir de la ecuaci�on(10.10) se tendr�a que si,jL(j!)� Lo(j!)jLo(j!) :jTo(j!)j < 1; 8 ! (10:12)el sistema con incertidumbre (o sistema real) ser�a estable en bucle cerrado.El factor jL(j!)� Lo(j!)j=jLo(j!)j en esta expresi�on, representa el tama~no rela-tivo de la incertidumbre frente al valor nominal Lo. Supuesto que este valor relativoes una funci�on de la frecuencia y que al menos se conoce una cota de la misma dadapor, jL(j!)� Lo(j!)jjLo(j!)j � jWT (j!)j; 8 ! (10:13)Entonces, jL(j!)� Lo(j!)jLo(j!) � jTo(j!)j == jL(j!)� Lo(j!)j=jLo(j!)jjWT (j!)j � jWT (j!)To(j!)j < jWT (j!)To(j!)j (10:14)

Controladores H1 233de aqu��, si se cumple, jWT (j!)To(j!)j < 1; 8 ! 2 < : (10:15)por (10.12) el sistema en bucle cerrado es estable para toda incertidumbre limitadapor (10.13). Se puede demostrar que la condici�on (10.13) es una condici�on necesariay su�ciente para la estabilidad robusta del sistema (Morari et al. 1989).Se ha obtenido la condici�on (10.15) bajo la hip�otesis de que el sistema en bucleabierto es estable. Puede probarse que tambi�en es v�alida para sistemas inestablesen bucle abierto, con tal de que el sistema nominal y el pertubado en bucle abiertotengan el mismo n�umero de polos en la parte derecha del plano complejo.Utilizando la notaci�on de normas introducida anteriormente la condici�on paraestabilidad robusta puede reescribirse como,jjWT (j!)To(j!)jj1 < 1; (10:16)Esto demuestra explicitamente la relevancia de la norma-1, o sea el valor delpico de la respuesta en frecuencia para caracterizar la robustez. Como se ha visto enel procedimiento seguido, el criterio del valor de pico surge en este caso del criteriode estabilidad de Nyquist, el cual restringe el diagrama de Nyquist de la funci�on debucle abierto a no cortar el punto -1 del plano complejo.Por tanto, para que un sistema tenga garantizada la estabilidad robusta ser�asu�ciente que se dise~ne de forma que jjWTTojj1 sea menor que uno. Un posibleproblema que se puede plantear es el de minimizaci�on de la norma jjWTTojj1 conrespecto a todos los compensadores que estabilizan al sistema en bucle cerrado comoun problema de optimizaci�on de la estabilidad robusta. Sin embargo, la estabilidadraramente es el �unico objetivo de dise~no, por lo que en la funci�on de coste a minimizaraparecen otros elementos que hacen alusi�on a otros subobjetivos, como por ejemploal comportamiento nominal deseado.10.2.3 Control H1 y la teor��a de juegos diferencialComo se ha mencionado anteriormente, el problema de control H1 est�a estrecha-mente relacionado con la teor��a de juegos diferencial. Para verlo, debemos pensar enel dise~nador por un lado, y en el medio ambiente por otro, como si de dos jugadoresse trataran. El objetivo del dise~nador es elegir un controlador que estabilice al sis-tema y sea �optimo con respecto a un criterio dado; mientras que el medio exterior

234 Planteamiento del problema general de controltiene como objetivo el desbaratar o hacer fracasar la estrategia del dise~nador, pormedio de la elecci�on de la perturbaci�on peor posible que act�ue sobre la planta acontrolar. As��, se de�ne un ��ndice de comportamientoJ(K;w) = Z 10 (zT z � 2wTw)dtsiendo K el regulador, w la perturbaci�on actuante sobre el sistema tal que w 2 H2(ver ap�endice C.1), z una medida para evaluar el comportamiento en lazo cerradodel sistema, y un par�ametro arbitrario. La soluci�on, si existe, dar�a un controlador�optimo K� que estabiliza al sistema de control para la peor perturbaci�on w� 2 H2actuante sobre el sistema.10.3 Planteamiento del problema general de con-trolEn el cap��tulo 8 se ha planteado la necesidad de que a la hora de dar las especi�ca-ciones de dise~no, se hagan de forma que se planteen unos requerimientos f��sicamenterealizables. Determinadas exigencias de dise~no se pueden plantear como un pro-blema de optimizaci�on en el dominio frecuencial, a trav�es del empleo de unas fun-ciones (matrices) de ponderaci�on, que suponga una soluci�on de compromiso para elconjunto de objetivos contrapuestos que aparecen en todo problema de control.Consid�erese el diagrama de bloques de la �gura 10.3, donde el conjunto de se~nalesactuantes sobre el sistema: r; di; do; n, quedan caracterizadas o ponderadas en fre-cuencia respectivamente por:Wr(j!); Wdi(j!); Wdo(j!); Wn(j!)En dicho diagrama adem�as se incluyen las medidas ponderadas de las se~nales deerror (e), control (u) y se~nal a controlar (y), empleando respectivamente,WS(j!); WU(j!); WT (j!)El conjunto de funciones (matrices) de ponderaci�on junto con la planta y regu-lador puede transformarse en un diagrama de bloques equivalente m�as compacto,como el de la �gura 10.4.

Controladores H1 235- Wr - m K - m G - m -Wdi Wdo?? ?m Wn� �6

? ?dodir n- yueWS WU

WT? ?

---z1 z2

z3rr t

Figura 10.3: Ponderaciones en frecuencia de vectores de entrada y salida- - h- - h-- - h - - h -r?

--6

�

---r?

-

WSWUWTe6WrWnWdoWdi

rndodi GKu

z3z2z1

e6

- PyFigura 10.4: Estructura general para problemas de control H1; H2.

236 Planteamiento del problema general de controlA partir del sistema dado en la �gura 10.5, se plantea el siguiente problema dedise~no: obtener un regulador ( K ) que minimice alg�un tipo de medida 1 de lafunci�on (matriz) de transferencia Tzw,z = Tzwwque relaciona el vector de salida z (vector de se~nales requeridas para caracterizar elcomportamiento del sistema en lazo cerrado),z = [z1 z2 z3]Tz1 = WSe z2 = WUu z3 =WTycon el vector de entrada w w = [r n do di]TA partir de las expresiones dadas en el cap��tulo 8, que relacionan: e; u; y conr; n; do; di, y del diagrama de bloques de la �gura 10.4 se obtiene:264 z1z2z3 375 = 264 WSSoWr �WSSoWn �WSSoWdo �WSSoGWdiWUKSoWr �WUKoSoWn �WUKSoWdo �WUSiWdiWTToWr �WTToWn WTSoWdo �WTSoGWdi 375 26664 rndodi 37775Si s�olo se considera r, con Wr = I y WU = 0, queda:" z1z3 # = " WSSoWTTo # rde forma similar, si se considera �unicamente do, queda:" z1z3 # = " �WSSo�WTTo # doy en estos casos, el problema de optimizaci�on es conocido como: problema de sensi-bilidad mixta (Green y Limebeer, 1995).Se puede obtener una partici�on de la planta generalizada P de la siguiente formaP = " P11 P12P21 P22 #1Las normas m�as empleadas en control son las normas H2, y H1, ver ap�endice B.2

Controladores H1 237P (s) -K(s) �-- zwu e

Figura 10.5: Planta generalizada y reguladordonde se tiene que z = P11w + P12ue = P21w + P22u (10.17)u = Key al sustituir queda: z = [P11 + P12K(I � P22K)�1P21]wPor tanto, se tiene la funci�on (matriz) de transferencia que relaciona z con w:z = Tzwwdonde la funci�on (matriz) de transferenciaTzw = P11 + P12K(I � P22K)�1P21se conoce como transformaci�on lineal fraccionaria (lft)2. A partir de esta relaci�onse plantea el problema est�andar: encontrar un regulador K (que sea propio) queminimice la norma H1 de la funci�on (matriz) de transferencia que relaciona w conz, bajo la restricci�on de que K estabilice a P (en el sentido de que consiga unsistema de control con estabilidad interna). A continuaci�on se dan dos ejemplos deproblemas de control t��picos, y c�omo �estos pueden transformarse en el problema decontrol est�andar de la �gura 10.5.10.3.1 Problema de seguimientoEn primer lugar se describe el problema de seguimiento de la se~nal de referencia.Sea el sistema de la �gura 10.6, en el que se presenta el problema de minimizar la2lft: Linear Fractional Transformation, en terminolog��a inglesa.

238 Planteamiento del problema general de controlj- - -- 6 -�K2GuK1rw yWFigura 10.6: Planta generalizada para problema de seguimientosiguiente funci�on de costes: (kr � yk22 + k�uk22)1=2donde � es un par�ametro de ajuste, que pondera la magnitud de control, de maneraque al disminuirlo aumenta el ancho de banda del sistema de control.La equivalencia con el problema est�andar se puede establecer a partir de lassiguientes relaciones: e = " ry # ; K = h K1 K2 iz = " r � y�u # = " Ww �Gu�u #e = " WwGu # = " W0 #w + " 0G # uque al identi�car t�erminos con la expresi�on general de P (s) dada en la ecuaci�on10.17 queda:P11 = " W0 # ; P12 = " �G� # ; P21 = " W0 # ; P22 = " 0G #

10.3.2 Problema de estabilidad robustaOtro problema t��pico es el que plantea una estabilidad robusta del sistema de control.Sea el sistema de la �gura 10.7, para el que la incertidumbre en la planta est�acaracterizada de la forma:G0 = G+�G; k�G(j!)k <j E(j!) j; 8!

Controladores H1 239GKj- - -�6r y

Figura 10.7: Planta generalizada para problema de estabilidad robustaSi se aplica el teorema de la peque~na ganancia, la condici�on para que el sistemasea estable para todo el conjunto de plantas es:kEK(I +GK)�1k1 � 1comparando esta condici�on con la forma del problema est�andar,Tzw= = P11 + P12K(I � P22K)�1P21e identi�cando t�erminos, queda que en este caso la planta generalizada es,P = " O EII �G #10.4 Parametrizaci�on de los controladoresEn primer lugar se va a introducir el concepto de factorizaci�on coprima. Para elcaso de dos polinomios f(s); g(s), se dice que son coprimos entre s��, si su m�aximocom�un divisor es 1. A su vez �esto ocurre si existen sendos polinomios x(s); y(s) talesque se veri�ca la condici�on de Bezout o ecuaci�on diof�antica:f(s)x(s) + g(s)y(s) = 1Extendiendo este concepto a matrices F (s); G(s) 2 RH1 (ver ap�endice C), sedice que son coprimas por la derecha, si tienen el mismo n�umero de columnas yexisten las matrices X(s); Y (s) 2 RH1 tales que:[X Y ] " FG # = XF + Y G = I

240 Parametrizaci�on de los controladoreslo que equivale a decir que la matriz [F G]T es invertible por la izquierda en RH1.De forma similar se de�ne coprima por la izquierda: Las matrices F;G tienen elmismo n�umero de �las, y existen X; Y 2 RH1, tales que:[F G] " XY # = FX +GY = Ise dice entonces que la matriz [F G] es invertible por la derecha en RH1.Si G(s) es una matriz de transferencia propia, una factorizaci�on coprima por laderecha de G es una factorizaci�on de la forma:G(s) = N(s)M�1(s)donde N y M son matrices coprimas entre s�� en RH1. Igualmente, se obtiene lafactorizaci�on coprima por la izquierda:G(s) = M�1(s)N(s)Se demuestra que para cada matriz de transferencia G(s) se cumple:G = NM�1 = M�1N ; " X �Y�N M # " M YN X # = Ilo que constituye una doble factorizaci�on coprima de G. A continuaci�on se dansendos algoritmos para obtener las factorizaciones coprimas anteriores.Factorizaci�on coprima por la derecha.1. Se tiene una realizaci�on en el espacio de estados de G:G(s) � (A;B;C;D); con: (A;B) estabilizable y (C;A) detectable2. Se calcula una matriz Kc que haga que A +BKc sea estable.3. Se calculan las matricesAc = A+BKc; Cc = C +DKc

Controladores H1 2414. Se obtienen la siguientes realizaciones de M;N :M(s) � [Ac; B;Kc; I]; N(s) � [Ac; B; Cc; D]5. Finalmente, G(s) = N(s)M�1(s)Factorizaci�on coprima por la izquierda.1. Se tiene una realizaci�on en el espacio de estados de G:G(s) � (A;B;C;D); con: (A;B) estabilizable y (C;A) detectable2. Se calcula Ko tal que A+KoC sea estable.3. Se calculan las matricesAo = A+KoC; Bo = B +KoD4. Se obtienen las siguientes realizaciones de M; N :M(s) � [Ao; Ko; C; I]; N(s) � [Ao; Bo; C;D]5. Finalmente, G(s) = M�1(s)N(s)El resto de matrices de la doble factorizaci�on coprima de G est�an dadas por:X(s) � [Ac;�Ko; Co; I]; Y (s) � [Ac;�Ko; Kc; O]X(s) � [Ao;�Bo; Kc; I]; Y (s) � [Ao;�Ko; Kc; O]Dada la planta generalizada P del problema est�andar, la cual se supone propia:P = NM�1 = M�1N ; " X �Y�N M # " M YN X # = Iy un regulador K, cuya factorizaci�on coprima est�a dada porK = UV �1 = V �1U

242 Parametrizaci�on de los controladoresuna forma de determinar si K estabiliza a la planta P es veri�cando si se cumple:" M UN V # 2 RH1o equivalentemente, " M UN V # 2 RH1El conjunto de reguladoresK que estabilizan a la planta P se pueden parametrizaren funci�on de una funci�on (matriz) de transferencia Q 2 RH1, de la forma:K = (Y �MQ)(X �NQ)�1 = (X �QN)�1(Y �QM)Para el caso especial, P 2 RH1, se tendr�a que:N = N = P; X =M = I; X = M = I; Y = O; Y = Oy por tanto, K = �Q(I � PQ)�1 = �(I �QP )�1QSe puede demostrar (Francis 1987), que K estabiliza a P si y solo si K estabilizaa P22 (siendo �esta estrictamente propia). Por ello, a continuaci�on se emplea dichoresultado. Si se realiza la doble factorizaci�on coprima de P22,P22 = N2M�12 = M�12 N2; " X2 �Y2�N2 M2 # " M2 Y2N2 X2 # = Ise tendr�a que el conjunto de reguladores que estabilizan a P22 vendr�a dado por:K = (Y2 �M2Q)(X2 �N2Q)�1 = (X2 �QN2)�1(Y2 �QM2) (10:18)10.4.1 El problema de ajuste del modeloSi se de�nen las siguientes funciones (matrices) de transferencia:T1 = P11 + P12M2Y2P21; T2 = P12M2; T3 = M2P21se demuestra que T1; T2; T3 2 RH1, y para K dado por la expresi�on 10.18, lafunci�on (matriz) de transferencia que relaciona z con w en el problema est�andarser�a: Tzw = T1 � T2QT3

Controladores H1 243- --

- 6w T3 Q T2 j? -zT1 �Figura 10.8: Interpretaci�on del problema de ajuste del modelo (M-M).y el objetivo de minimizar kTzwk1 corresponde a un problema de ajuste o aproxi-maci�on de modelos (M-M)3.En la �gura 10.8 se hace una interpretaci�on del problema M-M, donde T1 es elmodelo a ajustar, T2 y T3 est�an dados, o son conocidos, y Q 2 RH1 hay queencontrarlo, de forma que se realice el mejor ajuste a partir de la minimizaci�on dela norma H1 del error de ajuste: kT1 � T2QT3k1Si se comparan las expresiones del problema est�andar,z = [P11 + P12K(I � P22K)�1P21]wy del ajuste del modelo (ver �gura 10.8),z = [T1 � T2QT3]wse tienen las siguientes equivalencias:P11 = T1; P12 = T2; P22 = O; T3 = P21; K = �QPor tanto, dado un problema de dise~no, lo primero ser�a transformarlo a la formadel problema est�andar, y a continuaci�on identi�car las funciones (matrices) de trans-ferencia T1; T2; T3 que corresponden al problema M-M. A continuaci�on se da el al-goritmo cT1T2T3P para obtener T1; T2; T3 a partir del problema est�andar:1. Se obtiene una realizaci�on m��nima de la planta generalizada.P (s) � (Ap; Bp; Cp; Dp)3Model Matching en terminolog��a inglesa (M-M).

244 Parametrizaci�on de los controladores2. Seg�un las dimensiones de w; u; z; e se particiona en la formaBp = [B1 B2]; CTp = [C1 C2]; Dp = " D11 D12D21 D22 #con D22 = 0, dado que P22 es estrictamente propia.3. Se calculan T1; T2; T3:T1(s) � (A0; B0; C 0; D11); T2(s) � (Ac; B2; C1 +D12Kc; D12)T3(s) � (Ao; B1 +KoD21; C2; D21)con Ac = Ap +B2Kc; Ao = Ap +KoC2; C 0 = [C1 +D12Kc �D12Kc]A0 = " Ac �B2KcO Ao # ; B0 = " B1B1 +KoD21 #10.4.2 Aplicabilidad del teorema de NehariEn esta secci�on se presenta el teorema de Nehari, el cual juega un importante papelen la soluci�on de los problemas H1. Como se ver�a a continuaci�on, este teoremaestablece un resultado empleando para ello la norma de Hankel. La norma de Hankelde un sistema F (s) � (A;B;C;D) , la cual se representa mediante kFkH o tambi�enpor medio de k�Fk, se puede obtener a partir de los grammianos de controlabilidadWc y observabilidad Wo del sistema F (s). Para dicho c�alculo se siguen los siguientespasos:1. Para calcular Wc se resuelve la ecuaci�on de Lyapunov,AWc +WcAT = BBT2. Con la siguiente ecuaci�on de Lyapunov se obtiene Wo.ATWo +WoA = CTC3. Finalmente se calcula k�Fk = qj �max(WcWo) j

Controladores H1 245El teorema de Nehari es de gran utilidad para resolver los problemas de opti-mizaci�on H1. Este teorema determina el grado de aproximaci�on entre dos funcioneso matrices de transferencia; donde una de ellas R 2 L1 (es propia y sin polos enel eje imaginario), y la otra X 2 H1 (es propia y estable). Para una funci�on omatriz de transferencia R 2 L1 se de�ne la distancia en H1 como:dist(R;H1) = inffkR�Xk1 : X 2 H1; R 2 L1gEn t�erminos de sistemas, se trata de aproximar un sistema inestable R(s) porotro estable X(s). El teorema de Nehari establece que existe una matriz detransferenciaX 2 H1, para una matriz de transferencia dada R 2 L1, que satisface:kR�Xk1 = k�RkSe deriva que si para una R 2 RL1 dada, se obtiene una factorizaci�on de laforma, R(s) = R1(s) +R2(s)donde R1 es estrictamente propia y anal��tica en Re s � 0, y R2 es propia y anal��ticaen Re s � 0, entonces se cumple que,�R = �R1O sea, se hace una expansi�on en fracciones parciales donde R1 contiene la parteinestable y R2 la parte estable de R; y posteriormente se emplea R1 para calcular,dist(R;H1) = k�Rk = k�R1kAs�� por ejemplo, si se tiene,R(s) = 2664 1s2 � 1 41s2 � s+ 1 s+ 1s� 1 3775y se realiza una expansi�on en fracciones parciales, quedan:R1(s) = 2664 0:5s� 1 01s2 � s+ 1 2s� 1 3775 ; R2(s) = 24 �0:5s+ 1 40 1 35

246 Soluciones al problema de ajuste del modeloUna realizaci�on de R1(s) � (A;B;C;D) es:A = 26664 2 �2 1 01 0 0 00 1 0 00 0 0 1 37775 ; B = 26664 1 00 00 00 2 37775 ; C = " 0:5 �0:5 0:5 00 1 �1 1 #Para obtener los grammianos, Wc y Wo; de R1 se resuelven las ecuaciones deLyapunov correspondientes, obteni�endose �nalmente quedist(R;H1) = k�Rk = k�R1k1 = qj �max(WcWo) j = 1:2695Hasta ahora, se ha obtenido la aproximaci�on alcanzable, por el teorema de Ne-hari, pero no se ha tratado el problema de calcular X.10.5 Soluciones al problema de ajuste del mo-deloEn este apartado se tratan las soluciones al problema de encontrar una Q 2 RH1que minimice el error de ajuste kT1 � T2QT3k1 para unas T1; T2; T3 �jadas. O sea,se aborda el problema de encontrar:� = inffkT1 � T2QT3k1 : Q 2 RH1g10.5.1 El problema escalarSe considera a continuaci�on el planteamiento realizado para el caso escalar; para elque s�� es conmutativo el producto de funciones de transferencia, por lo que se puedeponer T1 � T2T3Q, y por tanto, sin p�erdida de generalidad, basta con considerar elcaso T3 = 1 (pues en otro caso se llama al producto T2T3 como T2):inffkT1 � T2Qk1gEl caso trivial corresponde a la soluci�on Q = T1=T2, s�olo v�alida si T1 es estable,y T2 es de fase m��nima. Si T2 tiene un �unico cero inestable z1, la soluci�on tambi�en

Controladores H1 247es sencilla, obteni�endose en ese caso:Q(s) = T1(s)� T1(z1)T2(s) ; kT1 � T2Qk1 =j T1(z1) jUna funci�on de transferencia T (s) 2 RH1, se dice que es interior (inner) siT (�s)T (s) = 1Por ejemplo, 1; 1� ss+ 1 ; 1� s+ s21 + s+ s2son funciones de transferencia interiores. Los ceros de una funci�on de transferenciainterior caen todos dentro del semiplano complejo de la derecha, Re s > 0, de ah��que se le d�e el adjetivo de interior. Se dice que una funci�on de transferencia esexterior (outer) si no tiene ceros en Re s > 0 (o sea que quedan en el exterior dedicho semiplano complejo de la derecha). Desde el punto de vista de sistemas, unafunci�on de transferencia interior es un sistema estable de fase no m��nima y pasa-todocon ganancia unidad; y una exterior es estable y de fase m��nima.Toda funci�on (matriz) de transferencia T 2 RH1 tiene una factorizaci�onT = TiTosiendo Ti interior y To exterior. Para obtenerlas se pueden emplear por ejemplolas funciones\iofr.m y iofc.m" para Matlab de Robust Control Toolbox (Chiang ySafonov, 1992), o las funciones\inner y outer" del Program CC (Thompson, 1988).Para resolver el caso general, se transforma el problema de la siguiente forma:kT1 � T2Qk1 = kR�Xk1con R = T�12i T1 2 RL1; X = T2oQ 2 RH1donde se ha obtenido la factorizaci�on T2 = T2iT2o, siendo T2i una funci�on de trans-ferencia interior y T2o una exterior (conviene tener en cuenta que T2i f��sicamenteequivale a un �ltro pasa-todo de ganancia unidad).Aplicando el teorema de Nehari, se obtiene que,� = inffkR�Xk1 : R 2 RL1; X 2 RH1g = k�Rk

248 Soluciones al problema de ajuste del modeloA continuaci�on se da un algoritmo (alfaQ) para calcular � y el �optimo Q(s),para el caso escalar:kT1 � T2Qk1; con: T2 T2T3; o tambi�en si: T3 = 11. Realizar la factorizaci�on interior-exterior de T2,T2 = T2iT2o2. Calcular, R = T�12i T1se obtiene una realizaci�on m��nima,R(s) � (A;B;C;D)3. Se resuelven las ecuaciones de Lyapunov,AWc +WcAT = BBTATWo +WoA = CTC4. Se obtiene el valor propio m�aximo, � del producto de grammianos WcWo, y sucorrespondiente vector propio v.5. Calcular,f(s) � (A; v; C; 0); g(s) = (�AT ; ��1Wov; BT ; 0); X = R � �f=g6. Se obtienen, � =j � j; Q = T�12o XUna vez calculado Q, se puede obtener el regulador �optimo K a partir de laecuaci�on 10.18.10.5.2 Optimizaci�on del comportamiento nominalA �n de ver la aplicabilidad de los resultados y m�etodos anteriores se plantea elproblema de conseguir una especi�caci�on de comportamiento nominal (np) dada.

Controladores H1 249j- - -6w z� K GFigura 10.9: Problema de comportamiento nominal.Sea el sistema de la �gura 10.9, en la que se emplea una nomenclatura para lasse~nales de acuerdo con la empleada en el problema est�andar. As��, se tiene que,z = Sw; S = 1=1 +GKSe plantea el problema de conseguir un seguimiento adecuado, al menos en elrango de frecuencias [0; !1]. Para ello se propone la siguiente especi�caci�on:j S(j!) j< �; 8 ! 2 [0; !1]as�� por ejemplo, con � = 0:01 se requiere un error de seguimiento inferior al 1%en dicho rango de frecuencias. Esto mismo se puede realizar de forma aproximadaempleando una funci�on de ponderaci�on W y la condici�onkWSk1 < � (10:19)Una posible elecci�on para W es la siguiente:W (s) = (0:01w�11 s+ 1)k(0:1w�11 s+ 1)kTeniendo en cuenta la forma general del problema est�andar, se tiene que P22 =�G, ya que: z = w � y = Gue = w �Guu = Key por tanto, P = " 1 �G1 �G #

250 Soluciones al problema de ajuste del modeloSi se realiza una factorizaci�on coprima de P22,P22 = N=M; MX �NY = 1los reguladores que estabilizan al sistema vendr�an dados por,K = Y �MQX �NQ; Q 2 RH1al sustituir en S se obtiene, S =MX �MNQcon lo que el problema de comportamiento nominal 10.19 equivale akT1 � T2Qk1 < �con: T1 = WMX; T2 = WMN . Se tratar�a de obtener un valor de �� = inffkT1 � T2Qk1 : Q 2 RH1tal que � < �, dependiendo el valor de � del exponente k de W (s); por lo que seindicar�a por �k.Algoritmo (KNP)A continuaci�on se da un para resolver este problema de np.1. Realizar la factorizaci�on coprima de �G:�G = N=M; MX �NY = 12. Se de�ne la funci�on de ponderaci�on,W (s) = (0:01w�11 s+ 1)k(0:1w�11 s+ 1)kse toma inicialmente el valor k = 1.3. Se obtiene T1 = WMX; T2 = WMN; V (s) = (s+ 1)ldonde el exponente l es el grado relativo de G.

Controladores H1 2514. Se sustituye T2 T2V , y por medio del algoritmo alfaQ, ya descrito, calcula�k, �k = minfkT1 � T2Q1k1 : Q1 2 RH1Si �k � �, se incrementa k en uno, y se vuelve al paso 3. En otro caso,continuar.5. Por medio del algoritmo alfaQ, calcular Q1 2 RH1, tal que,�k = kT1 � T2Q1k16. Se calcula �nalmente el regulador,K = Y �MQaX �NQacon Qa(s) = V (s)Q1(s)=(0:1w�11 s + 1)l.Ejemplo:Con el siguiente ejemplo, se ilustra el procedimiento anterior para una planta defase no m��nima G(s) = (s� 1)(s� 2)(s+ 1)(s2 + s+ 1)Para las especi�caciones de comportamiento nominal se emplean w1 = 0:01; � =0:1 (�20 db). Por tanto, se desea conseguir un error de seguimiento inferior al 10%para se~nales de referencia con ancho de banda inferior a 0:01 rad/s.1. Como la planta es estable, se toman:N = �G; M = 1; X = 1; Y = 12. Se elige W (s) = � s+ 110s+ 1�k3. Se calculan T1(s) = � s+ 110s+ 1�k ; V (s) = s+ 1T2(s) = �� s+ 110s+ 1�k (s� 1)(s� 2)(s+ 1)(s2 + s+ 1)

252 Soluciones al problema de ajuste del modelo4. Se obtienen: �1 = 0:2299; �2 = 0:0511, y por tanto �2 < �; k = 2.5. Se calcula Q1(s) = �6:114(s+ 0:3613)(s2 + s+ 1)(s+ 4:656)(s+ 1)26. Y �nalmente Qa(s) = �6:114 (s+ 0:3613)(s2 + s+ 1)(s+ 4:656)(s+ 1)(10s+ 1)K(s) = 0:6114 (s+ 0:3613)(s+ 1)(s2 + s+ 1)(s+ 0:004698)(s+ 0:5280)(s2 + 5:612s+ 9:599)En la �gura 10.10 pueden verse las magnitudes de las funciones de sensibilidadj S(j!) j y sensibilidad complementaria j T (j!) j obtenidas; la respuesta temporalpara consigna escal�on unidad se tiene en la �gura 10.11, puede comprobarse elcomportamiento de fase no m��nima que presenta el sistema.

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102

rad/s

mag

nitu

d (d

B)

Sensibilidad

Sensibilidad complementaria

Figura 10.10: Magnitudes de j S(j!) j; j T (j!) j, problema de np

Controladores H1 253

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80

segundos

resp

uest

a la

zo c

erra

do

Figura 10.11: Respuesta temporal a escal�on unidad, problema de np10.6 Problemas de control H2; H1 en el espaciode estadosEn la primera parte de este cap��tulo se ha presentado una forma de resolver el pro-blema de control H1 para el caso de sistemas de una entrada y una salida (planta es-calar), el cual sigue el tratamiento original realizado por Francis (1987). Igualmente,siguiendo un procedimiento similar, aunque bastante m�as elaborado y complejo, esposible obtener los correspondientes algoritmos para resolver el problema multiva-riable. Si bien, para ello resulta m�as ventajoso emplear el tratamiento en el espaciode estados que se presenta a continuaci�on; el cual es general y v�alido independien-temente del car�acter escalar o vectorial de la planta a controlar, consituyendo unm�etodo m�as compacto.A pesar de ello, se ha comenzado este cap��tulo con el procedimiento entrada-salida descrito en los apartados anteriores; a �n de presentar los or��genes del pro-blema, as�� como el planteamiento seguido para su resoluci�on. Se trata con ello queel lector se sit�ue ante el problema de control H1 con una perspectiva que va desdesu enfoque cl�asico al planteamiento actual.

254 Problemas de control H2; H1 en el espacio de estadosLos algoritmos desarrollados en el espacio de estado se caracterizan en general porestar basados en la soluci�on de dos ecuaciones algebraicas de Riccati desacopladas,partiendo de las matrices de estado de la planta ampliada o generalizada. A partirdel trabajo de Doyle et al.(1989) se inicia la etapa actual del desarrollo de algoritmospara la resoluci�on de los problemas de control H1.Consid�erese una realizaci�on en el espacio de estados de la planta ampliada P (s)(ver �gura 10.5) expresada como:_xp = Apxp +B1w +B2uz = C1x+D11w +D12u (10.20)e = C2x+D21w +D22uo en forma abreviada como, P (s) � (Ap; Bp; Cp; Dp)con, Bp = [B1 B2] ; CTp = [C1 C2]Dp = " D11 D12D21 D22 #De forma general, el problema de dise~no se puede expresar de la siguiente forma:dado el sistema de la �gura 10.5, se tratar�a de encontrar un regulador K(s) 4,asint�oticamente estable que haga al sistema en lazo cerrado Tzw internamente establey que minimice la norma H2 (problema H2) o la norma H1 (problema H1) de Tzw.En el tratamiento que hacen Doyle et al.(1989) de ambos problemas (H2; H1),en el espacio de estados se tienen en cuenta algunas suposiciones, que sirven parasimpli�car la formulaci�on, y van a constituir las hip�otesis de trabajo del problemade control �optimo H1 que a continuaci�on se desarrolla.Las condiciones supuestas para las matrices de estado de la planta ampliada P (s)son las siguientes:1. Los pares (Ap; B1) y (Ap; B2) son estabilizables.2. Los pares (C1; Ap) y (C2; Ap) son detectables.4Los controladores racionales propios, detectables y estabilizables que dotan al sistema en lazocerrado de estabilidad interna son denominados controladores admisibles.

Controladores H1 2553. DT12C1 = 0 y DT12D12 = I4. B1DT21 = 0 y D21DT21 = I5. D11 = 0 y D22 = 0Las suposiciones (1) y (2) garantizan la existencia de la soluci�on de las ecuacionesde Riccati de control y del observador. La suposici�on (3) implica la ortogonalidadentre C1x y D12u, lo cual en la formulaci�on de un problema lqg implica que lafunci�on de costes no tendr�a ponderaci�on cruzada entre el estado x y la entradade control u, a la vez que la matriz de ponderaci�on del vector de control ser�a lamatriz unidad. La (4) equivale a la (3) para las matrices de covarianza de los ruidosactuantes sobre el proceso y sobre la medida (ruido en sensores). La suposici�on(5) se hace para simpli�car la formulaci�on, y no supone p�erdida de generalidad, yaque un problema determinado puede transformarse en uno equivalente que satisfagatales requerimientos (Green y Limebeer, 1995, Safonov et al.1989).10.6.1 Controlador �optimo H2Como se ha descrito en el apartado anterior, una forma de expresar algunas de lasespeci�caciones de dise~no es mediante la minimizaci�on de la norma H2 de la funci�on(matriz) de transferencia Tzw. O expresado en t�erminos de se~nales: se trata deencontrar un controlador K(s) asint�oticamente estable que estabilice al sistema enlazo cerrado y que minimice la norma H2 de la se~nal de respuesta del sistema a unase~nal de entrada caracterizada por ser ruido blanco con intensidad unidad. Estoexpresado en forma anal��tica supone la minimizaci�on de la funci�on de coste:JH2 = 12� Z 10 traza[T Tzw(�j!)Tzw(j!)]d! = kTzwk22 (10:21)Una forma de calcular la norma H2 es mediante:kTzwk22 = traza(CTWcCTT ) = traza(BTTWoBT ) (10:22)donde las matrices (AT ; BT ; CT ; DT ) determinan una realizaci�on en el espacio deestados del sistema Tzw; y las matrices Wc y Wo son sus respectivos grammianosde controlabilidad y observabilidad. Estos se pueden obtener resolviendo las corres-pondientes ecuaciones de Lyapunov:ATWc +WcATT +BTBTT = 0

256 Problemas de control H2; H1 en el espacio de estadosATTWo +WoAT + CTTCT = 0El controlador �optimo K(s) que minimiza kTzwk2 se calcula resolviendo el parde ecuaciones algebraicas de Riccati independientes:ATpX2 +X2Ap �X2B2BT2 X2 � CT1 C1 = 0 (10:23)ApY2 + Y2ATp � Y2CT2 C2Y2 �B1BT1 = 0 (10:24)que teniendo en cuenta la de�nici�on del operador de Riccati (ver ap�endice C.2)puede ponerse de forma equivalente como:X2 = Ric(HX2)Y2 = Ric(HY 2)siendo las matrices Hamiltonianas asociadas:HX2 = " Ap �B2BT2�CT1 C1 �ATp #HY 2 = " ATp �CT2 CT2�B1BT1 �Ap #A partir de las soluciones X2; Y2 respectivas de 10.23 y 10.24 se tiene el compen-sador �optimo: K(s) = Kc(sI � Ap +B2Kc +KoC2)�1Ko (10:25)donde: Kc = BT2 X2 ; Ko = Y2CT2son las matrices de realimentaci�on de estados y de ganancia del observador, en laestructura convencional del controlador lqg.El m��nimo de JH2 se obtiene de :min kTzwk22 = kGcB1k22 + kKcGok22 = kGcKok22 + kC1Gok22 (10:26)con: Gc(s) = (C1 +D12Kc)(sI � Ap � B2Kc)�1Go(s) = (sI � Ap �KoC2)�1(B1 +KoD21)

Controladores H1 25710.6.2 Relaci�on entre LQG/LTR y H2Los problemas de dise~nos lqg/ltr-i y lqg/ltr-o pueden interpretarse como doscasos particulares del problema de optimizaci�on H2 de sensibilidad mixta (Stein etal. 1987). A continuaci�on de pone de mani�esto dicha correspondencia.Consid�erese la planta a controlar G(s) representada por las ecuaciones de estado_x = Ax+Bu+ �v1y = Cx+ �Iv2z = Mxdonde: G(s) = C�(s)B; �(s) = (sI � A)�1 y los ruidos sobre el proceso(v1) y sobre los sensores (v2) se consideran ruidos gausianos con intensidad unidade incorrelados entre s��. Un regulador �optimo lqg minimiza la funci�on de costeJLQG = E ( 1T Z T0 (zT z + �2uTu)dt) (10:27)Teniendo en cuenta que se tienen las siguientes relaciones" y(s)z(s) # = " G(s) C�(s)� �IM�(s)B M�(s)� 0 # 264 u(s)v1(s)v2(s) 375u(s) = �K(s)y(s)se obtiene: " z�u # = Tzw " v1v2 #donde, Tzw = " T11 T12T21 T22 # (10:28)con, T11 = M�(s)��M�(s)K(s)[I +G(s)K(s)]�1C�(s)�T12 = �M�(s)BK(s)[I +G(s)K(s)]�1T21 = ��K(s)[I +G(s)K(s)]�1C�(s)�T22 = ��K(s)[IG(s)K(s)]�1Sustituyendo la ecuaci�on 10.28 en la 10.27 y teniendo en cuenta el teorema deParseval (Stein y Athans, 1987) se obtiene que la funci�on de coste dada en 10.27 se

258 Problemas de control H2; H1 en el espacio de estadospuede expresar en el dominio de la frecuencia comoJLQG = 12� Z 10 tr [TzwTHzw]d!Lo cual establece la relaci�on entre los problemas de optimizaci�on H2 y lqg. Acontinuaci�on se avanza m�as en dicha relaci�on, estableci�endose las condiciones bajolas cuales el problema de dise~no lqg/ltr se puede transformar en un problema decontrol �optimo H2 de sensibilidad mixta.� Caso lqg/ltr-i. Si se consideran las siguientes condiciones:W (s) = M�(s)B(1=�)� = B� 0queda:Tzw(s) � " W (s)[I +K(s)G(s)]�1 0�[I +K(s)G(s)]1K(s)G(s) 0 # = � " W (s)Si(s) 0�Ti(s) 0 #A partir de lo cual se concluye que el problema lqg/ltr-i equivale a unproblema de sensibilidad mixta H2.� Caso lqg/ltr-o. Si se consideran las siguentes condiciones:W (s) = C�(s)�(1=�)M = C� 0queda:T Tzw(s) � " [I +G(s)K(s)]�1W (s) 0�G(s)K(s)[I +G(s)K(s)]1 0 # = � " So(s)W (s) 0�To(s) 0 #Y por tanto, al igual que para el caso anterior, tambi�en se obtiene que elproblema lqg/ltr-o equivale a un problema de sensibilidad mixta H2.

Controladores H1 25910.6.3 Controlador H1En un determinado problema de control, puede que se est�e interesado en minimizarel m�aximo alcanzable por la respuesta frecuencial de Tzw, en vez de minimizar alg�untipo de promedio, como se hace en la optimizaci�on H2. En ese caso, se plantea unproblema de optimizaci�on H1, en el que se trata de obtener el m��nimo de:kTzwk1 = sup! �(Tzw) (10:29)Para contrastar los problemas H1 y H2, consid�erese el caso monovariable (es-calar) en el que se tenga: kTzwk1 � esto equivale a que para una se~nal w con kwkrms � 1, el sistema dar�a una respuestaz = Tzww tal que kTzwwkrms � ; mientras que si:kTzuk2 � ello equivale a que para una se~nal particular w de ruido blanco de intensidad unidad,el sistema dar�a una respuesta z = Tzww con kTzwwkrms � . Por lo tanto unproblema de minimizaci�on H1 es m�as general que uno H2, al abarcar el primero laposibilidad de una gama m�as amplia de se~nales de entrada.Otra distinci�on la supone el hecho de que H2 minimiza el valor cuadr�atico mediode la magnitud sobre todas las frecuencias, no haciendo alusi�on directa alguna ala existencia de posibles picos de peque~na anchura (resonancias pronunciadas peromuy estrechas), pues su efecto sobre el c�alculo del promedio ser�a poco apreciable.Sin embargo, la optimizaci�on H1 es el m�aximo de esos posibles picos el que tieneen cuenta (Stoorvogel, 1992).Para remarcar el aspecto distintivo entre los reguladoresH2 yH1, a continuaci�onse va a utilizar el problema de sensibilidad mixta anteriormente de�nido. Como sedescribe en el cap��tulo 8, a partir de la relaci�on:�(WSSo) � 1se especi�ca un comportamiento nominal deseado (np) y con:�(WTTo) � 1

260 Problemas de control H2; H1 en el espacio de estadosse especi�ca una robustez de la estabilidad (rs) del sistema de control frente aincertidumbres multiplicativas situadas a la salida de la planta. 5Una forma de que se veri�quen simult�aneamente las desigualdades anteriores eshaciendo que se cumpla: kTzwk1 = WSSoWTTo 1 � 1 (10:30)El regulador �optimo H1 minimizar��a dicho valor, mientras que el regulador�optimo H2 minimizar��a la norma kTzwk2; por lo que el primero trata directamentecon el problema de maximizar la robustez del sistema de control, y de ah�� su atractivoy utilidad en los problemas de control robusto.El c�alculo de la norma H1 se puede hacer directamente a partir de su de�nici�on(10.29), o de forma indirecta. As��, si se tiene una realizaci�on de Tzw dada por lasmatrices (AT ; BT ; CT ; DT ), se de�ne la matriz Hamiltoniana asociada H como:H = " AT BTBTT = 2�CTTCT �ATT #y se establecen las siguientes equivalencias (Doyle et al. 1989):1. Tzw cumple: kTzwk1 < (10:31)2. H no tiene autovalores en el eje imaginario.3. H 2 dom (Ric) (ver ap�endice C.2)4. H 2 dom (Ric) y Ric(Tzw) > 0 si (C;A) es observable.Teniendo en cuenta (1) y (2) se puede derivar un m�etodo para calcular kTzwk1:1. Se selecciona un escalar > 0.2. Se forma la matriz H y se testea si tiene autovalores en el eje imaginario.3. Se aumenta o disminuye de acuerdo con el resultado del paso 2.5En ese caso el sistema de interconexi�on coincide con la funci�on de sensibilidad complementaria:M(s) = To(s) (ver cap��tulo 8).

Controladores H1 2614. Se repite el proceso, iterando con hasta encontrar un valor cr��tico o que concierta precisi�on cumpla la condici�on del paso 2, en ese caso se consigue unacota ajustada kTzwk1 < o.Para encontrar un controlador asint�oticamente estableK(s), que consiga kTzwk1 < , se resuelven el par de ecuaciones algebraicas de Riccati siguientes (Doyle et al,1989): ATpX1 +X1Ap �X1[(1= 2)B1BT1 �B2BT2 ]X1 + CT1 C1 = 0 (10:32)ApY1 + Y1ATp � Y1[(1= )2CT1 C1 � CT2 C2]Y1 +B1BT1 = 0 (10:33)o teniendo en cuenta la de�nici�on del operador de Riccati (ver ap�endice C.2):X1 = Ric(HX1)Y1 = Ric(HY1)con las matrices Hamiltonianas asociadas:HX1 = " Ap (1= 2)B1BT1 � B2BT2�CT1 C1 �ATp #HY1 = " ATp (1= 2)CT1 C1 � CT2 C2�B1CT1 �Ap #El controlador resultante es:K(s) = Kc[sI � Ap � (1= 2)B1BT1 X1 � B2Kc � ZKoC2]�1Ko (10:34)donde:Kc = BT2 X1; Ko = Y1CT2 ; Z = [I � (1= 2)Y1X1]�1; K1 = B1BT1 X1(1= 2)El compensador 10.34 consigue kTzwk1 < , sin embargo la soluci�on no ser�a v�alida(es decir: el sistema en lazo cerrado no ser�a asint�oticamente estable) a menos quese cumplan las condiciones siguientes: X1 � 0Y1 � 0 (10.35)j �max(X1Y1) j < 2

262 Problemas de control H2; H1 en el espacio de estadosAunque no sea tan evidente como en el caso H2, el controlador H1 tiene unaestructura constituida por una realimentaci�on de estados y un observador (ver �gura10.12). La din�amica del compensador queda descrita por el conjunto de ecuaciones:_x = Apx+B2u+ ZKo(y � y) +B1wy = C2xu = Kcx (10.36)w = (1= 2)BT1 X1xdonde Kc representa la matriz de realimentaci�on de estados, ZKo la matriz deganancia del observador y w supone un estimado de la peor perturbaci�on que pudieradarse sobre el sistema, en el sentido de que maximizar�a la magnitud (Doyle et al,1989): kzk22 � 2kwk22El c�alculo para obtener la soluci�on de un problema de optimizaci�on H1 requiereun proceso iterativo, inici�andose con un valor inicial para el par�ametro , probandosi se cumplen todas las condiciones necesarias (10.31,10.35) y modi�c�andolo hastaencontrar una soluci�on adecuada. El proceso de b�usqueda puede terminar con elvalor m��nimo min, o en una soluci�on sub�optima ( o > min).10.6.4 Algoritmo de c�alculo del regulador H1A la hora de aplicar el algoritmo de c�alculo del regulador H1 anteriormente descrito,pueden aparecer algunos problemas num�ericos que di�culten o hagan imposible suresoluci�on. Por ello, se han desarrollado, y a�un se siguen desarrollando en la actua-lidad, diferentes algoritmos de c�alculo que tratan de mejorar y facilitar la resoluci�onnum�erica de las ecuaciones. En la bibiliograf��a especializada pueden encontrarsediferentes opciones para dicho c�alculo (Green y Limebeer, 1995). A continuaci�on seda un algoritmo alternativo al descrito anteriormente, que mejora las propiedadesnum�ericas para el c�alculo del controlador H1.La ley de control se obtiene de u = �Kcxy el estimador del estado se calcula a partir de las ecuaciones_x = Apx+B2u+B1w + Z1Ko(y � y)

Controladores H1 263-� ��-� ��- ZKo -� ��- �p(s)B2

K1 KcC2

-�?�6

�6 G(s) -6r y- x u

Figura 10.12: Estructura del controlador H1w = BT1 X1x(1= 2)y = C2x+D21BT1 X1x(1= 2)Las matrices Kc; Ko; Z1 se obtienen respectivamente de,Kc = D012(BT2 X1 +DT12C1); D012 = (DT12D12)�1Ko = (Y1CT2 +B1DT21)D021; D021 = (D21DT21)�1Z1 = (I � �2Y1X1)�1Las matrices X1; Y1 son soluciones de las correspondientes ecuaciones de Ric-cati, o de forma equivalente (ver ap�endice C.2):X1 = Ric " Ap �B2D012DT12C1 �2B1BT1 �B2D012BT2�C 0T1 C 01 �(Ap �B2D012DT12C1)T #Y1 = Ric " (Ap � B1DT21D021C2)T �2CT1 C1 � CT2 D021C2�B01D0T1 �(Ap �B1DT21D021C2) #donde, C 01 = (I �D12D012DT12)C1; B01 = B1(I �DT21D021D21)

264 Problemas de control H2; H1 en el espacio de estadosFinalmente, se dan las matrices del regulador K,K(s) � [Ar; Br; Cr; Dr]con, Ar = Ap � B2Kc � Z1KoC2 + �2(B1BT1 � Z1KoD21BT1 )X1Br = Z1Ko; Cr = �Kc; Dr = 0as�� como la realizaci�on de Tzw:" _x_x # = " Ap �B2KcZ1KoC2 T22 # " xx # + " B1Z1KoD21 #w" zy # = " C1 �D12KcC2 0 #+ " 0D21 #wdonde se tiene que,T22 = Ap � B2Kc + �2B1BT1 X1 � Z1Ko(C2 + �2D21BT1 X1)10.6.5 Ejemplos ilustrativosEjemplo: Dise~no H1 de sistema doble integradorSea el sistema compuesto por la planta nominal a controlar (�gura 10.13),G(s) = 1s2 = y(s)u(s)la perturbaci�on d, y el ruido de medida n actuantes sobre el sistema, cuyo conjuntoqueda descrito por las ecuaciones siguientes:_x1 = d+ u_x2 = x1y = x2 + nSe desea dise~nar un regulador H1 que consiga atenuar el efecto de d y n sobre elsistema, a la vez que la se~nal de control no tome valores excesivos a �n de evitar en loposible la saturaci�on de los actuadores. Para lo cual, se incluir�a la se~nal de control,junto con la propia variable de estado x2, en las variables empleadas para evaluar

Controladores H1 265u -���� - - -?������?d 1s 1sx1 x2y nFigura 10.13: Diagrama de bloques

-���� - - -����1s 1sx1 x2 ? -s -6�

syu

w z

K(s)Figura 10.14: Diagrama de bloques para H1

266 Problemas de control H2; H1 en el espacio de estadosel comportamiento del sistema en lazo cerrado; o sea, como elementos de z. Por loque los respectivos vectores w; z implicados en los desarrollos te�oricos comentadosanteriormente (�gura 10.14), son en este caso:w = " dn # ; z = " x2u #Para la elecci�on realizada, queda que las matrices que componen la realizaci�onde la planta generalizada son de la forma:

P (s) = 26666664 0 0 1 0 11 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 10 1 0 1 037777775O sea, Ap = " 0 01 0 #B1 = " 1 00 0 # ; B2 = 264 10 375C1 = " 0 10 0 # ; C2 = h 0 1 iD11 = " 0 00 0 # ; D12 = " 01 #D21 = h 0 1 i ; D22 = h 0 iSiguiento los pasos dados en este apartado, y tras un proceso iterativo de b�usquedapara el valor de , se obtiene que el algoritmo da una soluci�on factible para = 2:62,el cual est�a pr�oximo pero no coincide con el valor �optimo. Para obtener el �optimose pueden emplear algoritmos m�as so�sticados; tales y como se dan en el RobustControl Toolbox (funci�on\hinfsyn"), o en el �-Synthesis Toolbox (funci�on\hinfopt"),para Matlab. Para = 2:62 se obtiene el siguiente regulador H1:

Controladores H1 267K(s) = 578:3(s+ 0:39)(s+ 2:33)(s+ 220:72)que equivale b�asicamente a un compensador de adelanto con un polo situado a altafrecuencia, incluido para mejorar la robustez del sistema. Para este regulador seobtienen: un margen de fase de 44.6 grados, un margen de ganancia de 44.3 db, yun porcentaje de incertidumbre multiplicativa tolerable (1/max(T )) del 70%.Para analizar el comportamiento del controlador dise~nado frente a la din�amicainmodelada, se considera que la planta real viene dada porG0 = G(1 + Em)con, Em(s) = s(�0:30556s+ 0:6667)s2 + s+ 100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

10-1 100 101 102

rad/s

Tol

eran

cia

e in

cert

idum

bre

(dB

)

Tolerancia

Incertidumbre multiplicativa

Figura 10.15: Incertidumbre tolerable e incertidumbre existenteEn la �gura 10.15 se muestran el nivel de tolerancia a incertidumbre multiplica-tiva del sistema de control, as�� como la magnitud de Em(j!). La respuesta temporal

268 Problemas de control H2; H1 en el espacio de estados

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 2 4 6 8 10 12 14

tiempo (seg)

resp

uest

a

Figura 10.16: Comportamientos con planta nominal y planta realpuede verse en la �gura 10.16, en la que se muestra el comportamiento para el mo-delo nominal de la planta G, y para el modelo real G0. Como puede verse, en estecaso el efecto de la din�amica inmodelada es muy poco apreciable, cosa que ponede mani�esto la robustez del comportamiento del sistema de control, al menos paraeste tipo de incertidumbre.Ejemplo: Dise~no de controladores H2; H1 de tiempo discretoEn este ejemplo se plantea el problema de controlar una planta, cuyo modelomatem�atico es de tiempo continuo G(s), por medio de un regulador de tiempodiscreto K(z), empleando un per��odo de muestreo de Tm = 0:01 segundos. En la�gura 10.17 se muestra el diagrama de bloques del sistema de control.El procedimiento de dise~no empleado sigue los pasos siguientes:1. Se obtiene un modelo discreto de la planta G(z), empleando para ello la aprox-imaci�on del mantenedor de orden cero (ZOH).

Controladores H1 269i �� �� ZHO -6- K(z) G(s)r Tm Tm y�Figura 10.17: Controlador H1 de tiempo discreto2. Se realiza la transformaci�on bilineal inversa, obteni�endose un sistema continuoen el plano-w G(w).3. Se dise~na el controlador H2; H1, obteniendo K(w)4. Se emplea la transformaci�on bilineal para obtener el regulador equivalente detiempo discreto K(z).En forma sint�etica, dicho proceso de dise~no consiste en:G(s) ZOH�! G(z) bilin�1�! G(w) H2;H1�! K(w) bilin�! K(z)donde el operador bilin empleado realiza una trasformaci�on del plano w al plano zconsistente en: w = 2(z � 1)Tm(z + 1)La transformaci�on inversa bilin�1 se emplea para dise~nar un regulador de tiempodiscreto con t�ecnicas de tiempo continuo en el plano-w.La funci�on de transferencia de la planta a controlar es,G(s) = 900s3 + 30s2 + 700s+ 1000En la �gura 10.18 pueden verse las respuestas en frecuencia de G(s) y G(w) paraun per��odo de muestreo de Tm = 0:01 seg:Las especi�caciones de dise~no para el sistema de control son:

270 Problemas de control H2; H1 en el espacio de estados

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105

rad/s

|G(s

)|, |

G(w

)| (

db)

|G(s)|

|G(w)|

Figura 10.18: Respuestas en frecuencia de G(s)yG(w)� Especi�caci�on de comportamiento nominal (NP): reducci�on de la sensibilidadde al menos 1=100 hasta una frecuencia de aproximadamente 1 rad=seg. Loanterior puede conseguirse mediante una funci�on de ponderaci�on WS de laforma, W�1S = 0:01(s+ 1)2�(s=30 + 1)2� Especi�caci�on de estabilidad robusta (RS): un ancho de banda de unos 30 rad=s,una tolerancia a incertidumbre multiplicativa superior al 32 %, y una ca��da dej T j inferior a �20 db para frecuencias superiores a 2000 rad=s. Estas especi-�caciones se pueden tener en cuenta eligiendo una funci�on de ponderaci�on WTde la forma, W�1T (s) = 3:16(s=300 + 1)(s=10 + 1)El par�ametro � empleado en WS tiene el sentido f��sico de que al aumentarlo seimpone al sistema de control una especi�caci�on de npm�as exigente (un valor inferiorde j S j a baja frecuencia). El proceso de dise~no consiste en �jar WT y variar �, deforma que se cumpla la condici�on de estabilidad robusta, as�� como que se optimiceel comportamiento nominal simult�aneamente para el valor mayor de � posible. Enla �gura 10.19 se muestran las formas de W�1T y W�1S para � = 1:5.

Controladores H1 271

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105

rad/s

|1/W

_S|,

|1/W

_T|

(db)

|1/W_S|

|1/W_T|

Figura 10.19: Respuesta en frecuencia de funciones de ponderaci�on inversasW�1S ;W�1TSe plantea por tanto un problema de control H1 de sensibilidad mixta (np +rs): kTzwk1 = WSSWTT 1 < 1 (10:37)Se inicia el proceso de dise~no con � = 1, obteni�endose un regulador H1 para elque se cumplen las especi�caciones de dise~no. A �n de mejorar las prestaciones delregulador, se inicia un proceso iterativo dando valores al par�ametro �. Se concluye�nalmente, que el objetivo de dise~no 10.37 se veri�ca con un regulador H1 para unvalor de hasta � = 1:5, no cumpli�endose para un regulador H2. En la �gura 10.20pueden compararse las respuestas en frecuencia de Tzw para ambos reguladores.Como puede comprobarse, el regulador H2 no consigue el objetivo kTzwk1 < 1,mientras s�� se alcanza con el regulador H1.En las �guras 10.21, 10.22, 10.23 y 10.24 se muestran respectivamente las res-puestas en frecuencia de W�1S con S, W�1T con T , para el regulador H2 y el H1.Finalmente en la �gura 10.25 se muestra la curva de Nichols (de la funci�on de trans-ferencia en lazo abierto L = GK) obtenida con el regulador H1. A partir de ella,puede obtenerse que el controlador dise~nado proporciona un margen de ganancia de

272 Problemas de control H2; H1 en el espacio de estados

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105

rad/s

|T_z

w| (

db)

H_inf

H_2

Figura 10.20: Respuesta en frecuencia de Tzw para reguladores H2 y H112 decibelios, y un margen de fase de 43 grados. Por otro lado, a partir de 1= j T jse obtiene una tolerancia a incertidumbre multiplicativa superior al 60 % en el peorde los casos. El regulador H1 obtenido, K(z), es de orden 6, el mismo de la plantageneralizada. Ya que la planta a controlar es de orden 3, la funci�on de ponderaci�onWS es de orden 2, y WT es de primer orden.K(z) = 16:7016z6 � 40:2747z5 + 13:4628z4 + 35:544z3 � 31:404z2 + 3:7234z + 2:2497z6 � 1:5311z5 + 0:1799z4 + 0:2894z3 + 0:0413z2 + 0:0169z + 0:0037En las �guras 10.26 y 10.27 se muestran respectivamente la se~nal de control y larespuesta obtenida con el regulador H1.

Controladores H1 273

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105

rad/s

|S|,

|1/W

_S|

(db) |S|

|1/W_S|

Figura 10.21: Magnitudes de W�1S y S para regulador H2

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105

rad/s

|T|,

|1/W

_T|

(db)

|T||1/W_T|

Figura 10.22: Magnitudes de W�1T y T para regulador H2

274 Problemas de control H2; H1 en el espacio de estados

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105

rad/s

|S|,

|1/W

_S|

(db) |S|

|1/W_S|

Figura 10.23: Magnitudes de W�1S y S para regulador H1

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105

rad/s

|T|,

|1/W

_T|

(db)

|T|

|1/W_T|

Figura 10.24: Magnitudes de W�1T y T para regulador H1

Controladores H1 275

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

-450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

arg(L) (gra)

|L|

(db)

Figura 10.25: Curva de Nichols para regulador H1

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

muestras (Tm=0.01 seg.)

cont

rol

Figura 10.26: Se~nal de control para cambio en escal�on unidad, con regulador H1

276 Problemas de control H2; H1 en el espacio de estados

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

muestras (Tm=0.01 seg.)

resp

uest

a

Figura 10.27: Respuesta a escal�on unidad, con regulador H1

Cap��tulo 11Aplicaci�on de control robusto11.1 Introducci�onHasta la d�ecada de los ochenta las aplicaciones de las t�ecnicas de control moderno enlos buques hab��a sido algo bastante inusual. A pesar de la amplia aceptaci�on y �exitosconseguidos en otras ramas de la ingenier��a (probablemente el contrapunto sea la in-dustria aeron�autica), donde los avances de la teor��a de control han sido r�apidamenteincorporados en la b�usqueda de la mejora del funcionamiento y seguridad.Las razones de la inercia presentada por la industria naval hay que buscarlas endiversos factores, tales como: la mayor duraci�on de los barcos comparados con losaviones, la resistencia a intentar nuevas t�ecnicas cuando los m�etodos tradicionaleshan demostrado tener un funcionamiento v�alido, as�� como la ca��da en la industriade construcci�on naval, entre otros.En muchos casos, la innovaci�on ha consistido en la sustituci�on directa de losantiguos sistemas de control anal�ogicos por otros equivalentes digitales, y el aprove-chamiento de la potencia de computaci�on del ordenador empleado, para incorporaro mejorar tareas de monitorizaci�on y alarma; m�as que para explotar los bene�ciosque podr��a reportar el empleo de algoritmos de control avanzado.Los primeros autopilotos para el guiado autom�atico de barcos eran simples dis-positivos en los que el error de rumbo se utilizaba para producir una orden al ser-vosistema del tim�on proporcional al error del rumbo. Posteriormente se modi�c�oincluyendo el efecto derivativo para mejorar la respuesta transitoria y el efecto inte-277

278 Introducci�ongral para corregir los errores estacionarios debidos a las perturbaciones ambientales.Debido a su simplicidad, �abilidad y bajo coste, los autopilotos pid a�un semantienen en la mayor��a de barcos. Uno de los principales inconvenientes es lanecesidad de sintonizaci�on por parte del operador, para adaptarse al cambio decondiciones de navegaci�on.Ha sido el per��odo de �nales de los setenta y durante la d�ecada de los ochenta,cuando la mejora del sistema de control de los buques ha experimentado un notableincremento en investigaci�on y desarrollo. La justi�caci�on se debe primordialmentea razones tales como:1. Las elevadas subidas del precio del petr�oleo y la b�usqueda de la reducci�on delcoste en los transportes.2. La exigencia de mejora en la seguridad del transporte mar��timo.3. La transferencia tecnol�ogica acelerada por los recientes avances de la micro-electr�onica, inform�atica y telecomunicaciones.4. El �exito obtenido en otras ramas de la industria, en la aplicaci�on de los �ultimosdesarrollos de la teor��a de control.El impulso proporcionado en la �ultima d�ecada se pone de mani�esto, en el hechode que todos los buques de nueva construcci�on incorporan un sistema autom�aticom�as o menos so�sticado para el control del rumbo.Por otro lado, ha demostrado ser de gran utilidad, tanto para buques de laMarina Mercante como para los de la Armada, el que adicionalmente al problemadel control del rumbo de un buque (escalar o monovariable), se considere el empleode sistemas activos de estabilizaci�on para la regulaci�on del movimiento de balance;lo cual da lugar a un problema de control multivariable (sistema con dos entradasy dos salidas). Si bien en la mayor��a de sistemas instalados a bordo se tratan comodos problemas de control independientes, en el sentido de que los reguladores sedise~nan de forma independiente entre s��, sin tener en cuenta el car�acter vectorial dela planta.El problema del control de un buque puede interpretarse seg�un la �losof��a delcontrol robusto, dado la gran cantidad de factores que van a in uir en la incertidum-bre del modelo de la planta. La din�amica de un buque va a depender de una seriede factores, entre los que cabe destacar (L�opez et al, 1995):

Aplicaci�on de control robusto 279Din�amicadel buque

? ?6 6OtrosfactoresPerturbacionesambientales

de cruceroVelocidad de cargaCondiciones

Figura 11.1: Factores que afectan a un buque1. Velocidad de crucero.2. Estado de carga.3. Estado del mar, vientos y corrientes.4. Profundidad.5. Densidad del agua del mar.Un sistema de control e�caz ha de tener en cuenta los errores de modelado quese pueden acumular debido al efecto de diferentes factores. Por lo que el an�alisis derobustez del sistema es esencial, dadas las diversas circunstancias que van a in uirsobre la din�amica de la planta y por tanto sobre el comportamiento del sistema decontrol. En este cap��tulo se describen los dise~nos de controladores LTR, H2 y H1multivariables para el control del rumbo y balance de un buque, proponi�endose unconjunto de indicadores de robustez para su evaluaci�on.

280 Descripci�on de la planta11.2 Descripci�on de la plantaLa complejidad de la din�amica de un buque, as�� como el alto coste econ�omico y detiempo para la realizaci�on de pruebas de mar experimentales, puso de mani�estola necesidad del empleo de modelos que captaran el comportamiento de un barcoen diversas condiciones de navegaci�on. A partir de �nales de los setenta el empleode modelos matem�aticos hizo que se avanzara en el dise~no y aplicaci�on de nuevossistemas de control en la industria naval, gracias a los avances conseguidos en loscomputadores digitales empleados para realizar las simulaciones.A partir de las leyes de la mec�anica, para un s�olido r��gido con seis grados de liber-tad (3 rotaciones y 3 traslaciones), se pueden obtener las ecuaciones que gobiernanel movimiento de un buque, referidas a un sistema de referencia �jado en el propiobarco:Para la traslaci�on (fuerzas):X = m[ _u+ qw � rv � xG(q2 + r2) + yG(pq � _r) + zG(pr + _q)]Y = m[ _v + ru� pw � yG(r2 + p2) + zG(qr � _p) + xG(qp+ _r)] (11.1)Z = m[ _w + pv � qu� zG(p2 + q2) + xG(rp� _q) + yG(rq + _p)]y para el giro (pares o momentos de fuerza):K = Ix _p+ (Iz � Iy)qr +m[yG( _w + pv � qu)� zG( _u+ ru� pw)]M = Iy _q + (Ix � Iz)rp+m[zG( _u+ qw � rv)� xG( _w + pv � qu)] (11.2)N = Iz _r + (Iy � Ix)pq +m[xG( _v + ru� pw)� yG( _u+ qw � rv)]El sistema de referencia est�a situado en el buque y no tiene por qu�e coincidircon el centro de gravedad del mismo (a veces se emplea el centro de simetr��a). Lasmagnitudes que aparecen en las ecuaciones anteriores son:� m: masa del barco.� Ix; Iy; Iz: momentos de inercia respecto a cada eje coordenado.� xG; yG; zG: posici�on del centro de masas.� �; �; : �angulos de giro respecto a los ejes coordenados (x; y; z).� r = _ ; p = _�; q = _�: velocidades angulares respecto a los tres ejes.

Aplicaci�on de control robusto 281� u; v; w: componentes del vector velocidad referidos a los ejes coordenados(x; y; z). Tambi�en se emplean como: Vx = u; Vy = v; Vz = w.� X; Y; Z: componentes en cada eje de las fuerzas actuantes sobre el barco.� K;M;N : componentes en cada eje de los pares o momentos actuantes sobreel buque.En las �guras (11.2),(11.3) y (11.4) se muestra el signi�cado f��sico de las variablesm�as signi�cativas del modelo.

X

Y

Z

Figura 11.2: Sistema con 6 grados de libertadSi s�olo se consideran el desplazamiento en el plano horizontal y los giros respectoa los ejes (x; z), el sistema se reduce a un problema de cuatro grados de libertad.Las ecuaciones del movimiento quedan en ese caso:26664 (1�X 00G) 0 0 00 (1� Y 00_v ) �L(z00G + Y 00_p ) L(x00G � Y 00_r )0 �(z00G +K 00_vv) L(k00xx �K 00_p ) �L(z00Gx00G +K 00_r )0 (x00G �N 00_v ) �L(z00Gx00G +N 00_p ) L(k002zz �N 00_r ) 37775 26664 _u_v_p_r 37775 = 26664 XtotYtotKtotNtot 37775(11:3)

282 Descripci�on de la plantaVx

Vy

V

Figura 11.3: Variables: �; ; u = Vx; v = Vy; V

Figura 11.4: Variables: �; �

Aplicaci�on de control robusto 283Donde el sub��ndice \tot" indica las fuerzas y pares totales actuando sobre el casco,debidos a los efectos: hidrodin�amicos, viento, olas y corriente; y el resto de variablesson las magnitudes f��sicas del buque as�� como sus coe�cientes hidrodin�amicos.Para buques de grandes dimensiones, la consideraci�on anterior es razonable, yaque los movimientos m�as signi�cativos son los que afectan al gobierno del barco(rumbo y movimiento en el plano), y al movimiento de balance (giro con respectoa un eje axial al buque); despreci�andose el desplazamiento vertical y el giro conrespecto a un eje transversal conocido como movimiento de cabeceo. En ese caso, elmodelo, desde el punto de vista del control, se caracteriza por una o dos entradas decontrol (�angulos de tim�on y aletas estabilizadoras) y dos salidas (�angulos de rumboy balance); trat�andose por tanto de un sistema multivariable. Si �unicamente se est�ainteresado en el control del rumbo (por ejemplo, para el caso de grandes petroleros,en los que el movimiento de balance es menos apreciable), el modelo matem�atico sereduce a un sistema escalar de una entrada y una salida (ver ejemplo del control delrumbo dado en el cap��tulo 4, apartado 4.4).Entre las razones que justi�can el empleo de sistemas de control del movimientode balance pueden destacarse:1. Medida de seguridad en navegaci�on; ya que un corrimiento o desplazamientode la carga, causado por un �angulo de escora excesivo, puede poner en seriopeligro la estabilidad del buque.2. No tener que desviarse en exceso de una ruta dada debido a unas condicionesambientales adversas.3. Mejora en las condiciones de trabajo de la tripulaci�on.4. Aumento de la comodidad del pasaje, en su caso.5. Conseguir una plataforma estable adecuada, para el disparo y aterrizaje abordo, en los buques de la Armada.Para ello, se pueden emplear diferentes t�ecnicas: 1) sistemas de dep�ositos otanques de agua; 2) utilizaci�on del tim�on como sistema de estabilizaci�on del balance(rrs); y 3) la que ha resultado ser m�as e�caz, al menos para velocidades superioresa 12 nudos, que utiliza super�cies de control o aletas estabilizadoras.Al considerar el problema de control de los �angulos de rumbo ( ) y balance (�),empleando como variables de control los �angulos de tim�on (�) y de las aletas (�),se plantea un problema de control de un sistema multivariable. En determinados

284 Descripci�on de la plantaBUQUE ----

balance (�)�angulo de�angulo derumbo ( )

estabilizadores (�)�angulo de�angulo detim�on (�)Figura 11.5: Componentes de entrada-salida del problema multivariablebuques, existe una fuerte interacci�on entre las distintas variables de entrada y salida,por lo que el empleo de dos controladores independientes puede no dar buenosresultados. En ese caso, si se quiere conseguir un buen comportamiento, se haceaconsejable el empleo de t�ecnicas de control de sistemas multivariables.Desde el punto de vista del control de un buque se puede decir que hay dos condi-ciones de navegaci�on bien diferenciadas (L�opez et al, 1995). La primera, se trata delcaso en que el problema es el realizar una determinada maniobra que conlleve esfuer-zos grandes y prolongados de las variables de control (tim�on y aletas estabilizado-ras), en cuyo caso los efectos no lineales dominan el comportamiento del sistema.La otra, se da en situaciones de mantenimiento del rumbo, o cuando el proceso deregulaci�on para un cambio de consigna requiere unas desviaciones de las super�ciesde control (pala de tim�on y aletas estabilizadoras) que no sean excesivas en tiempoy magnitud. Bajo dichas condiciones el sistema se puede aproximar por un mo-delo lineal. Ello puede hacerse linealizando las ecuaciones del movimiento en tornoa una soluci�on estacionaria, para unas condiciones nominales de funcionamiento.Otra posible forma es realizando una identi�caci�on de la planta por algunos de losm�etodos dados en el cap��tulo 3; o una identi�caci�on en el dominio de la frecuencia,como se hizo para obtener el modelo matem�atico lineal mlmv19 que se describe acontinuaci�on.Para ilustrar el dise~no de controladores multivariables, se emplean los modeloslineales o linealizados multivariables (dos entradas y dos salidas) para unas condi-ciones de operaci�on de dos buques. Se emplean por un lado el modelo matem�aticoque denominaremos mlmv19 (modelo lineal de orden elevado obtenido por identi�-caci�on); y por otro modelo no lineal y variable en el tiempo que llamaremos modnl.En el primer caso, (mlmv19) el modelo matem�atico corresponde a un buque

Aplicaci�on de control robusto 285ss -- - m6 -

- m -6--

�(s) �(s) (s)�(s)

G11(s)G12(s)G22(s)G21(s)Figura 11.6: Diagrama de bloque del sistema multivariabletipo fragata para unas condiciones nominales de funcionamiento y una velocidad de18 nudos1. Fue obtenido por (Freeman et al, 1982) empleando t�ecnicas de respuestaen frecuencia, a partir de las cuales se obtuvieron las cuatro funciones de transfe-rencia (G11; G12; G21; G22) que caracterizan la matriz de transferencia del sistemamultivariable.Las ecuaciones descriptivas de la planta vienen dadas por:" �(s) (s) # = " G11(s) G12(s)G21(s) G22(s) # " �(s)�(s) # (11:4)G11(s) = 19:92(1:54s2 + 0:976s+ 0:0077)(19:84s4 + 24:34s3 + 7:69s2 + 5:34s+ 0:234)(s2 + 3:645s+ 13:28)G12(s) = 13:916(0:965s2 + 0:61s� 0:176)(15:66s4 + 21:32s3 + 6:87s2 + 3:81s+ 0:193)(s2 + 9:402s+ 7:952)G21(s) = 0:1(s2 + 3:645s+ 13:28)(21:5s2 + s)G22(s) = 0:4266(s2 + 9:402s+ 7:952)(18:1s2 + s)La variable a controlar y1 corresponde al �angulo de balance �, la variable acontrolar y2 es el �angulo de rumbo , la variable de control u1 corresponde al �angulo1Navegaci�on: 1 Nudo = 1852 metros/hora.

286 Descripci�on de la plantade aletas estabilizadoras �, y la variable de control u2 corresponde al �angulo detim�on �.Dado que una realizaci�on m��nima en el espacio de estados de este modelo es dedimensi�on elevada (diecinueve), se va a emplear un modelo de orden reducido de laplanta, a �n de obtener un controlador de menor dimensi�on y para hacer un an�alisisposterior de la robustez del sistema de control frente a la din�amica inmodelada dealta frecuencia (debida en este caso a la diferencia entre el modelo de orden completoy el modelo de orden reducido). Si se calculan los valores singulares de Hankel delmodelo completo de la planta:�Hi para: i = 1; 2; : : : ; 19se obtiene que: �H7 < 0:1�H6y dado que �Hi+1 � �Hi , se elige un modelo reducido de sexto orden. En la �gura 11.7se muestran las ganancias principales del modelo completo y del modelo reducido,como puede verse se consigue una buena aproximaci�on hasta una frecuencia de 3radianes/segundo. Dado que esta frecuencia va a ser muy superior al ancho de bandadel sistema en lazo cerrado, puede considerarse una aproximaci�on aceptable en elrango de frecuencias de inter�es.Las matrices de estado obtenidas para el modelo reducido de la planta son:A = 0BBBBBBBB@ 0:049 �0:015 �0:255 �0:442 0:986 0:0940:012 0:279 0:211 0:632 �0:112 0:357�0:010 0:151 0:228 0:443 �0:182 �0:555�0:092 �0:482 �0:213 �0:118 �0:896 �0:017�0:053 �0:179 �0:080 0:067 �0:569 �0:117�0:001 �0:203 0:307 0:010 �0:034 �0:178

1CCCCCCCCABT = �0:001 0:001 0:013 0:004 �0:039 0:0170:025 0:035 0:031 0:102 �0:106 0:033 !C = 0:011 �0:796 0:478 �1:149 0:113 �0:4800:023 �0:001 �0:001 0:001 �0:000 �0:000 !Para la s��ntesis del regulador se emplea el modelo reducido, sin embargo la eva-luaci�on de la respuesta temporal se realiza con el modelo de orden completo. En la�gura 11.8 se muestra el n�umero de condici�on, �(G), de la planta, a partir del cualpuede comprobarse que la planta tiene una fuerte direccionalidad en la ganancia,puesto que �(G)� 1 para todas las frecuencias (ver cap��tulo 8).

Aplicaci�on de control robusto 287

-200

-150

-100

-50

0

50

100

10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102

G

G

Gp

Gp

w (rad/s)

sv (

db)

Figura 11.7: Respuestas en frecuencia de modelos completo (Gp) y reducido (G)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10-3 10-2 10-1 100

w (rad/s)

k(G

)

Figura 11.8: N�umero de condici�on de la planta

288 Descripci�on de la plantaEn el segundo caso (modnl), el modelo matem�atico corresponde al desarrolladopor (Kallstrom et al, 1982), y corresponde a un buque mercante del tipo ro/ro-pasajeros. Este modelo es multivariable, no lineal y variable en el tiempo, sirviendopara caracterizar el comportamiento del buque tanto en operaci�on de mantenimientode rumbo, como en grandes maniobras. La validaci�on experimental de este modelofue realizada de forma exhaustiva por sus autores, ajustando sus par�ametros hastaconseguir una excelente correspondencia entre los resultados experimentales y lassimulaciones.Por ello, se puede considerar el modnl como un buen banco de pruebas paraevaluar los dise~nos de sistemas de control desarrollados tanto escalares como multiva-riables (L�opez y Rubio, 1995a; Messer y Grimble, 1992; Kallstrom et al, 1982). Lasexpresiones correspondientes a cada uno de los t�erminos que aparecen en la ecuaci�on11.3, correspondientes a los pares y fuerzas debidos a los factores hidrodin�amicos ylas perturbaciones ambientales, pueden encontrarse en (Kallstrom et al, 1982; L�opez,1994).Los �angulos de tim�on � y aletas � que se generan como magnitudes de mandoa trav�es de un controlador, ya sea autom�atico o manual, han de ser ejecutados porlas respectivas m�aquinas del tim�on y de las aletas estabilizadoras. Las din�amicas de�estos dispositivos se modelan como sistemas de primer orden, dados por:_� = (�c � �)=�R ; j _� j� _�max ; j � j� �max_� = (�c � �)=�F ; j _� j� _�max ; j � j� �maxsiendo �c y �c los �angulos de mando de consigna que se remiten como orden a lasala de m�aquinas (con las constantes de tiempo �R y �F ).Para mostrar la naturaleza no lineal del modnl, se presentan a continuaci�onalgunas pruebas de simulaci�on. En las �guras 11.9 y 11.10 puede verse la p�erdidasustancial de velocidad que experimenta el sistema si se somete a una prolongadaactivaci�on de la variable de control � (�angulo de tim�on). En dichas �guras se mues-tran la derivada del rumbo (o velocidad angular) r, y la velocidad V , para �angulosde tim�on de 20 y 10 grados respectivamente. Se representan as�� mismo el �angulo debalance �, y su derivada p. La velocidad nominal o de crucero inicial es en amboscasos de 15 nudos. Se observa, que a mayor �angulo de tim�on mayor es la p�erdida develocidad. Y dado que la din�amica del buque depende fuertemente y de forma nolineal de dicha velocidad, as�� como tambi�en de otras magnitudes,_ ; �; _�; �; �se tendr�a que durante dicha operaci�on el sistema tendr�a un comportamiento nolineal y variable en el tiempo.

Aplicaci�on de control robusto 289-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0 500

r (g

rad/

seg)

t (seg)

5

6

7

8

0 500

V (

m/s

)

t (seg)

-2

0

2

4

6

8

0 500

fi (g

rad)

t (seg)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 500

p (g

rad/

s)

t (seg)Figura 11.9: r(t); V (t); �(t); p(t) para � = 20�; V = 15 nudos-1.5

-1

-0.5

0

0 500

r (g

rad/

seg)

t (seg)

3

4

5

6

7

8

0 500

V (

m/s

)

t (seg)

-5

0

5

10

15

0 500

fi (g

rad)

t (seg)

-0.5

0

0.5

1

0 500

p (g

rad/

s)

t (seg)Figura 11.10: r(t); V (t); �(t); p(t) para � = 10�; V = 7:72 m=s

290 Descripci�on de la plantapolos � (seg)0-0.02825 � 0.30494j 3.27-0.0081 123.17-0.1403 7.12Tabla 11.1: Polos y constantes de tiempo de modnl linealizado para V = 7:72m=sPara realizar el dise~no de los reguladores es necesario que se disponga de unmodelo lineal de la planta. Para ello, el modnl se linealiza en torno a la soluci�onestacionaria u = V; v = r = � = p = � = � = 0donde V es la velocidad de crucero.A continuaci�on se dan las matrices de una representaci�on de estado del modelo(modnl) linealizado para una velocidad V = 15 nudos, as�� como la tabla 11.1con los polos y constantes de tiempo (�) asociados (no se considera la din�amicade los actuadores). Como puede verse el sistema tiene un par de polos complejosconjugados muy poco amortiguados.A = 0BBBBBB@ �0:02720 0:15048 0:00443 0:26255 00:00250 �0:04043 �0:39268 �0:09381 0�0:00128 �0:00129 �0:13732 �0:00204 00 1 0 0 00 0 1 0 0

1CCCCCCAB = 0BBBBBB@ 0:06466 0:1747�0:01426 �0:01319�0:0007 �0:005540 00 0

1CCCCCCA ; CT = 0BBBBBB@ 0 00 00 01 00 11CCCCCCA

Aplicaci�on de control robusto 29111.3 Evaluaci�on de los controladoresCuando se realiza el dise~no de un regulador utilizando para ello alg�un criterio de opti-mizaci�on, o siguiendo una determinada t�ecnica, conviene evaluar las caracter��sticasde dicho regulador frente a diferentes indicadores de comportamiento y robustez,que proporcionen una visi�on m�as global de las prestaciones del regulador. A con-tinuaci�on se proponen un conjunto de indicadores para evaluar los dise~nos que serealicen.� An�alisis de la respuesta temporal y se~nales de control.� Caracterizaci�on del rechazo de las perturbaciones actuantes a la salida (do) ya la entrada (di) de la planta, por medio de:Ido = �[So(j!)]; Idi = �[SoG(j!)]� Indicador de Comportamiento Nominal (una medida del grado de recuperaci�ona una frecuencia ! = !o dada):INP = min( �[L(j!o)]�[Lt(j!o)] ; �[L(j!o)]�[Lt(j!o)])� M�argenes de Estabilidad (extensi�on al caso multivariable de los m�argenes defase y ganancia cl�asicos, se emplean para ello los valores propios, �i de lamatriz de transferencia en lazo abierto):MG = mini fMG(�i)g ; MF = mini fMF (�i)gEn el caso de un sistema multivariable, los m�argenes de fase y ganancia as��obtenidos no proporcionan la utilidad que tienen en el caso de los sistemasescalares para caracterizar la robustez del sistema. Pero s�� pueden utilizarsecomo indicadores de robustez cualitativos (Lunze, 1989; Doyle y Stein, 1981),en el sentido de que si se obtienen valores poco satisfactorios de MG y MF,ello ser�a indicativo de la falta de robustez.� Indicadores de Estabilidad Robusta (estimaci�on del tanto por ciento de incer-tidumbre tolerable para la que el sistema mantiene su estabilidad): 22El sub��ndice\i" indica que se trata de un indicador con respecto a incertidumbre de tipomultiplicativo que se considera re ejada a la entrada de la planta, mientras que con el sub��ndice\o"se indica que se considera a la salida.

292 Dise~no de controladores LTR multivariables{ Incertidumbre multiplicativa no estructurada: 3I11i : M = Ti; I11o : M = Tomin! f1=�[M(j!)]g 100%{ Incertidumbre multiplicativa con estructura diagonal:I12i : M = Ti; I12o : M = Tomin! f1=�[M(j!)]g 100%{ Incertidumbres multiplicativas simult�aneas con estructuras diagonales:I1s : min! f1=�[M(j!)]g 100%M = " �Ti �SiKSoG �To #� Indicadores de Comportamiento Robusto (estima el tanto por ciento de in-certidumbre de tipo multiplicativo con estructura diagonal tolerable para laque el sistema cumple una especi�caci�on de comportamiento dada de la forma�(SoWS) � 1): I3i : M = " �Ti �KSoWSSoG SoWS #I3o : M = " �To �ToWSSo �ToWS #min! f1=�[M(j!)]g 100%11.4 Dise~no de controladores LTR multivaria-blesEn este apartado se realiza el dise~no de controladores LTR (LTR-o y LTR-i) conla estructura convencional, as�� como para la estructura no basada en observador,ambas descritas en el cap��tulo 9.3�; � representan los valores singulares extremos, y � el valor singular estructurado. M repre-senta el sistema de interconexi�on correspondiente a cada caso.

Aplicaci�on de control robusto 29311.4.1 Dise~no LTR-oPara el dise~no del regulador se sigue el procedimiento descrito en el cap��tulo 9.El par�ametro\q" (ganancia de recuperaci�on) se incrementa s�olo lo necesario pararealizar una recuperaci�on aceptable en el rango de frecuencias de inter�es del sistema(zonas de baja y media frecuencia). As�� se evita incrementar la sensibilidad delsistema a la din�amica no modelada de alta frecuencia (rs), y se aproximan lasespeci�caciones de dise~no (np). Se desea que el sistema consiga un buen rechazode las perturbaciones y unos errores de seguimiento lo su�cientemente peque~nos(aproximaci�on de la acci�on integral). Para ello, se toman los siguientes par�ametrosde dise~no:Ro = " 10 00 1 # ; Qo = �aW�Ta ; W = " 0:9817 �0:1342�0:1342 0:0184 #Rc = I2; Qc = CTa Ca; Ca = [C O2]; BTa = [B O2]Aa = " A BO2�n ��I2�2 # ; �a = " On�2I2�2 # ; q = q1 = 103donde Aa; Ba y Ca son las matrices de la planta ampliada.En la �gura 11.11 se muestran las ganancias principales de L(s) para el con-trolador lqg/ltr-o (cbo); como puede verse, el controlador no consigue una re-cuperaci�on adecuada. Si se incrementa q hasta 1000q1, se obtiene el nivel de recu-peraci�on deseado a baja frecuencia, pero a costa de un incremento en el ancho debanda del regulador. Esto produce como consecuencia que las �ordenes generadaspor el controlador sean de magnitudes mayores, con lo que se puede provocar la sat-uraci�on de los actuadores de una forma m�as frecuente, una mayor sensibilidad a lasincertidumbres y a las perturbaciones ambientales, as�� como la posible generaci�onde �ordenes de control irrealizables f��sicamente por el sistema.Si se emplea un controlador ltr-o (cnbo) con los mismos par�ametros de dise~nodados arriba, se observa la mejora en el grado de recuperaci�on conseguida a bajafrecuencia con respecto al cbo ( �gura 11.12); puede comprobarse que es el mismoque el obtenido con la estructura est�andar (cbo) para q = 1000q1. El efecto deincrementar el valor de q puede verse al comparar las �guras 11.13 y 11.14, dondese muestran las respuestas temporales y demandas de control para ambos contro-ladores: cbo, q = 1000q1 y cnbo, q = q1.En la �gura 11.15 se puede observar c�omo el regulador dise~nado cumple lasespeci�caciones deseadas para el rechazo de las perturbaciones actuantes tanto a lasalida (�i(So)), como a la entrada (�i(SoG)) de la planta. En la misma �gura se

294 Dise~no de controladores LTR multivariables

-150

-100

-50

0

50

100

150

10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102

w (rad/s)

sv(L

) (d

b)

q=1000 (cbo)

LTR

KBF

KBF

LTR

LTR

KBF

Figura 11.11: Valores singulares de Ho(s) y L(s), para q = q1 = 103, cbo

-150

-100

-50

0

50

100

150

10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102

w (rad/s)

sv(L

) (d

b)

q=1000 (cnbo)

KBF

LTR

Figura 11.12: Valores singulares de Ho(s) y L(s), para q = q1 = 103, cnbo

Aplicaci�on de control robusto 295-2

0

2

4

6

8

0 50 100 150 200 250 300

t (seg)

y (g

ra)

y1

y2

-40

-20

0

20

40

60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

t (seg)

u (g

ra)

u1

u2

q=1e6, (cbo)

Figura 11.13: Respuesta temporal para cbo, q = 103q1-2

0

2

4

6

8

0 50 100 150 200 250 300

t (seg)

y (g

ra)

y1

y2

-40

-20

0

20

40

60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

t (seg)

u (g

ra)

u1

u2

q=1e3, (cnbo)

Figura 11.14: Respuesta temporal para cnbo, q = q1

296 Dise~no de controladores LTR multivariables-80

-60

-40

-20

0

20

10-5 10-2 101

rad/s

sv(S

o) (

db)

-80

-60

-40

-20

0

20

10-5 10-2 101

rad/s

sv(S

oG)

(db)

-20

0

20

40

60

10-5 10-2 101

rad/s

1/[s

v(M

),ss

v(M

)] (

db)

iMi

iMies

-20

0

20

40

60

10-5 10-2 101

rad/s

1/[s

v(M

),ss

v(M

)] (

db)

iMo

iMoes

Figura 11.15: Caracter��stica rechazo perturbaciones y niveles de incertidumbre tol-erablesrepresentan tambi�en unas estimaciones de las tolerancias del sistema de control aincertidumbres de tipo multiplicativo, que se den a la entrada (iMi) o a la salida dela planta (iMo) respectivamente. Para incertidumbre no estructurada se representa:1=�[M(j!)]y para el caso de incertidumbres con estructura diagonal (a la entrada de la plantapuede corresponder a la din�amica no modelada de los actuadores: iMies, y si seconsidera a la salida de la planta se podr��a representar la din�amica de los sensores(iMoes), se representa: 1=�[M(j!)]donde M(j!) es el sistema de interconexi�on. Con 1=�[M(j!)] se obtienen unasestimaciones de las tolerancias a las incertidumbres mayores que con 1=�[M(j!)],o lo que es lo mismo: se obtiene una estimaci�on de la robustez de la estabilidadsuperior. Esto es l�ogico, al suponer la primera una condici�on menos conservativaque la �ultima. Puede comprobarse tambi�en, que el sistema es m�as robusto frente aincertidumbres situadas a la salida de la planta que frente a incertidumbres situadasa la entrada; ello es consecuencia de que el dise~no realizado es ltr-o.En la tabla 11.2 se resumen los valores de los indicadores de robustez consegui-

Aplicaci�on de control robusto 297Controlador I11i I12i I11o I12o I1s MG MF I3o I3i% % % % % db gra % %cbo: q = 1000q1 23.0 27.5 76.1 76.1 22.0 26.9 59.8 38.3 24.5cnbo: q = q1 25.3 62.1 74.9 74.9 34.3 18.9 51.8 53.5 40.9Tabla 11.2: Indicadores de robustez de los controladores LTR-o (mlmv19)dos por ambos controladores ltr-o para el mismo grado de recuperaci�on (inp) 4.Finalmente, se puede realizar una implementaci�on del regulador en tiempo discreto,empleando un per��odo de muestreo de hasta 1 segundo, con el cual el regulador detiempo discreto proporciona un comportamiento en lazo cerrado equivalente al detiempo continuo.11.4.2 Dise~no LTR-iEn este apartado se presentan los resultados de simulaci�on obtenidos con el modelono lineal multivariable; a �n de evaluar los controladores que se dise~nan a partir demodelos linealizados para distintas condiciones de trabajo. En la secci�on anterior seha realizado un dise~no ltr-o, en �esta se hace uno ltr-i, para as�� ilustrar aplicacionesde ambas metodolog��as. Una discusi�on m�as amplia sobre el dise~no y an�alisis dereguladores ltr-i para distintas condiciones de funcionamiento puede encontrarseen (L�opez, 1994; L�opez y Rubio, 1995a).Con el modelo linealizado de la planta (modnl) para una velocidad de V =15 nudos y los par�ametros de dise~no:Rc = " 0:1 00 1 # Qc = CTQC Q = " 10 00 1 #Ro = I2 Qo = BBT q = 106se obtiene un regulador lqg/ltr-i. En la �gura 11.16 se tiene la respuesta obtenidacon el modelo lineal, que puede compararse con la obtenida para el modelo no linealdada en la �gura 11.17.El controlador se ha calculado para una condici�on de trabajo dada, por lo queinteresa ver el comportamiento del sistema en otras condiciones diferentes. Esto se4Los valores de la tabla 11.2 est�an expresados: MF en grados, MG en decibelios y el resto deindicadores en tanto por ciento de incertidumbre tolerable.

298 Dise~no de controladores LTR multivariables-2

0

2

4

6

8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

t (seg)

y (g

ra)

y1

y2

-10

-5

0

5

10

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

t (seg)

u (g

ra)

u1

u2

Figura 11.16: Respuesta con modelo linealizado de modnl-2

0

2

4

6

8

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

t (seg)

y (g

ra)

y1

y2

-10

-5

0

5

10

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

t (seg)

u (g

ra)

u1

u2

Figura 11.17: Respuesta con modelo no lineal (modnl)

Aplicaci�on de control robusto 299hace analizando las respuestas temporales del sistema a cambio de consigna tipoescal�on de 5 grados, para velocidades de crucero de V1 = 10 nudos y V2 = 21 nudosrespectivamente, que se muestran en la �gura 11.18. Como puede verse, ambasrespuestas son satisfactorias.0

2

4

6

0 50 100 150 200

t (sec)

head

ing

(deg

)

V1

V2

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 50 100 150 200

t (sec)

roll

(deg

)

V1

V2

-6

-4

-2

0

2

0 50 100 150 200

t (sec)

rudd

er (

deg)

V1

V2

-4

-2

0

2

0 50 100 150 200

t (sec)

fin (

deg)

V1

V2

Figura 11.18: Respuestas temporales para diferentes condiciones de navegaci�onSe ha visto que, para excursiones moderadas del vector de control, el sistema nolineal (modnl) responde adecuadamente con el regulador lineal dise~nado. Sin em-bargo, el modelo es fuertemente no lineal, por ello se trata de evaluar al controladoren una situaci�on en la que los efectos no lineales dominen el comportamiento delsistema. Esta circunstancia se da en el caso de grandes cambios de consigna, en losque el vector de control puede llegar a saturarse o tomar valores elevados, duranteper��odos de tiempo relativamente largos; con las consiguientes p�erdidas de velocidady cambios en la planta que ello produce.En la �gura 11.19 se muestra la respuesta del sistema para un cambio de consignade 180 grados; como puede verse, el comportamiento es excelente: no produce unasobreoscilaci�on apreciable y la interacci�on con la otra variable a controlar es muybaja, si se compara con los resultados obtenidos para la misma maniobra empleandoun controlador monovariable (ver �gura 11.20). La importancia de este controladorestriba en que al reducir el �angulo de inclinaci�on o balance (tambi�en denominado de

300 Dise~no de controladores LTR multivariablesescora) durante la maniobra, se mejora la robustez del sistema frente a un �angulo deescora excesivo, que circunstancialmente puede a su vez provocar un desplazamientode la carga y por tanto un fuerte cambio en las caracter��sticas que determinan laestabilidad del buque, aumentando el peligro de vuelco.0

50

100

150

200

0 500 1000

t (seg)

y2 (

gra)

-40

-20

0

20

40

0 500 1000

t (seg)

u2 (

gra)

-10

0

10

0 500 1000

t (seg)

y1 (

gra)

-40

-20

0

20

40

0 500 1000

t (seg)

u1 (

gra)

Figura 11.19: Respuesta modnl controlador multivariable, ltr-iEl regulador anterior se ha desarrollado para conseguir un funcionamiento ade-cuado para cambios en la referencia. Como ya se ha dicho, otra importante condici�onde funcionamiento se re�ere a la situaci�on de mantenimiento del rumbo y reducci�ondel movimiento de balance. La exigencia anterior no est�a garantizada en presenciade perturbaciones para el controlador LTR-i anterior (ver �gura 11.21). En dicha�gura se muestran las tolerancias a incertidumbres y la caracter��stica en frecuenciapara el rechazo de las perturbaciones que se den tanto a la entrada como a la salidade la planta.El comportamiento esperado del sistema frente a perturbaciones, se puede de-terminar a partir de las respuestas en frecuencia de So(s)G(s) y So(s), dadas enla �gura 11.21; de la que se deduce que las perturbaciones no van a ser atenuadasindependientemente de la direcci�on en que �estas se den. Para ello se propone modi-�car las matrices de ponderaci�on y ampliar el modelo de la planta para el dise~no delcontrolador ltr-i; incorporando una caracter��stica de alta ganancia en lazo abierto

Aplicaci�on de control robusto 3010

50

100

150

200

0 500 1000

t (seg)

y2 (

gra)

-40

-20

0

20

40

0 500 1000

t (seg)

u2 (

gra)

-10

0

10

0 500 1000

t (seg)

y1 (

gra)

-40

-20

0

20

40

0 500 1000

t (seg)

u1 (

gra)

Figura 11.20: Respuesta modnl controlador monovariablea baja frecuencia (aproximaci�on de la acci�on integral).Para ello se emplea un modelo linealizado de la planta para una velocidad decrucero de 21 nudos. Los par�ametros de dise~no tomados para el regulador ltr-i 5son los siguientes:Aa = A On�2�C O2�2 ! ; Ba = BO2�2 ! ; CTa = CO2�2 !Rc = 5 " 1 00 1 # Qc =MTa QMaQ = " 100 00 1 # Ma = "C 0:1 00 0:1 # � = BaRo = I2 Qo = ��T ; q = 106donde las matrices Aa; Ba y Ca corresponden al modelo de la planta ampliada uti-lizado para el c�alculo del regulador.5Se emplea la versi�on no basada en observador, dado que a baja frecuencia se produce unarecuperaci�on del lazo abierto sensiblemente superior que con un regulador lqg/ltr-i est�andar.

302 Dise~no de controladores LTR multivariables-20

0

20

40

60

80

10-4 10-1 102

w (rad/s)

1/sv

_max

(M)

(db)

iMi

-20

0

20

40

60

80

10-4 10-1 102

w (rad/s)

1/sv

_max

(M)

(db)

iMo

-80

-60

-40

-20

0

20

10-4 10-1 102

w (rad/s)

sv(S

o) (

db)

-80

-60

-40

-20

0

20

10-4 10-1 102

w (rad/s)

sv(S

oG)

(db)

Figura 11.21: Caracter��sticas de la tolerancia a incertidumbres y rechazo de lasperturbacionesEn la �gura 11.22 se muestran los valores singulares extremos de So(j!) ySo(j!)G(j!). Como puede verse, �[So(j!)G(j!)] < 1 (�4:96db) para toda !;as�� mismo, �[So(j!)G(j!)] y �[So(j!)] son ambos lo su�cientemente peque~nos enla zona de baja frecuencia, como es deseable. Con este controlador se obtienenlos siguientes indicadores de robustez: I11i = 62%; I12i = 70%; I11o = 61%; I12o =63%; I1s = 38%.La �gura 11.23 muestra las respuestas temporales del sistema para el controla-dor LTR-i (NOBC) multivariable, y para un controlador que no tiene en cuenta elcar�acter vectorial de la planta. En las simulaciones se emplea una altura signi�cativade olas de 4m y un �angulo de incidencia de 45� relativo al curso de referencia delbuque. Puede verse que hay una mejora notable en la reducci�on del movimiento delbalance si se emplea el controlador LTR-i multivariable.La �gura 11.24 muestra el rumbo (heading) y el balance (roll) para condiciones develocidad no nominales (18 nudos y 16:5 nudos); se observa que el comportamientoes adecuado, lo cual representa otra prueba de la robustez del controlador dise~nado.Debido a las din�amicas asociadas a la planta y a los reguladores, �estos se puedenimplementar directamente en un computador digital con un per��odo de muestreo de

Aplicaci�on de control robusto 303-20

0

20

40

60

80

10-4 10-1 102

w (rad/s)

1/sv

_max

(M)

(db)

iMi

-20

0

20

40

60

80

10-4 10-1 102

w (rad/s)

1/sv

_max

(M)

(db)

iMo

-80

-60

-40

-20

0

20

10-4 10-1 102

w (rad/s)

sv(S

o) (

db)

-80

-60

-40

-20

0

20

10-4 10-1 102

w (rad/s)

sv(S

oG)

(db)

Figura 11.22: Caracter��sticas de la tolerancia a incertidumbres y rechazo de lasperturbaciones-10

-5

0

5

10

0 500

t (sec)

roll

(deg

)

SISO controller

-10

-5

0

5

10

0 500

t (sec)

head

ing

(deg

)

SISO controller

-10

-5

0

5

10

0 500

t (sec)

roll

(deg

)

MIMO controller

-10

-5

0

5

10

0 500

t (sec)

head

ing

(deg

)

MIMO controller

Figura 11.23: Operaci�on con rumbo constante bajo acci�on de las olas

304 Dise~no de controladores H2 y H1 multivariables-10

-5

0

5

10

0 500

t (sec), V=9.5m/s

roll

(deg

)

-10

-5

0

5

10

0 500

t (sec), V=9.5m/s

head

ing

(deg

)

-10

-5

0

5

10

0 500

t (sec), V=8m/s

roll

(deg

)

-10

-5

0

5

10

0 500

t (sec), V=8m/s

head

ing

(deg

)

Figura 11.24: Comportamiento para condiciones de trabajo no nominales0:1 segundos, sin tener en cuenta de una manera expl��cita el car�acter muestreado delsistema de control. Todas las implementaciones de los algoritmos LTR-i empleadosen las simulaciones con el modelo no lineal (modnl) se realizan de esta forma (L�opezy Rubio, 1995a). Otra posibilidad ser��a utilizar un regulador de tiempo discretoequivalente, empleando por ejemplo un per��odo de muestreo de 0.5 segundos.11.5 Dise~no de controladores H2 y H1 multiva-riablesPara obtener un conjunto (WH) de matrices de ponderaci�on implicadas en los pro-blemas de dise~no H2 y H1 (ver cap��tulo 10):WH = fWS(s);WU(s);WT (s);Wr(s);Wn(s);Wdo(s);Wdi(s)g (11:5)que den una soluci�on f��sicamente realizable y satisfactoria, se pueden emplear dosprocedimientos:

Aplicaci�on de control robusto 3051. Empezar sin informaci�on previa sobre la di�cultad del problema de dise~no atratar, e interpretar las especi�caciones de dise~no en el dominio frecuencialcomo elementos de WH . Ensayar distintas combinaciones, hasta conseguirunos resultados adecuados.2. Comenzar a partir de unos resultados previos, obtenidos con alguna t�ecnicade dise~no, que pongan de mani�esto la di�cultad del problema de control, denuna interpretaci�on en frecuencia de los resultados y sirvan para sugerir posiblesmejoras, a partir de una adecuada selecci�on de los elementos de WH .En este cap��tulo se emplea el segundo procedimiento, de forma que se aprovechanlos resultados de una primera fase de dise~no de un controlador ltr, a partir delos cuales se sugieren los elementos de WH , comparando �nalmente los resultadosobtenidos por los reguladores ltr, H2 y H1.La metodolog��a de dise~no propuesta tiene dos etapas o fases. La primera fase esopcional y consiste en el dise~no de un controlador H2. En la segunda fase se obtieneun regulador H1 basado en los resultados de la primera etapa. Si as�� se considera,s�olo se realiza la segunda etapa (L�opez y Rubio, 1995c; L�opez 1994). El algoritmopropuesto sigue los siguientes pasos:1. Seleccionar los elementos de WH .2. Resolver el problema del regulador �optimo H2 (cap��tulo 10).3. Ver si las respuestas temporal y frecuencial son adecuadas (analizar los indi-cadores de comportamiento y robustez); si no es as��, se vuelve al paso 1.4. Calcular el valor 2: kTzwk1 = 25. Hacer: = 26. Resolver el problema del regulador H1 para el valor de (ver cap��tulo 10).7. Si no se encuentra soluci�on para el valor de empleado, se toma uno mayory se vuelve al paso 6. Para encontrar el valor de para el que se consigue elregulador �optimoH1, se puede emplear, por ejemplo, el m�etodo de la bisecci�oncomo procedimiento iterativo de b�usqueda del �optimo.8. Calcular el valor 1: kTzwk1 = 1

306 Dise~no de controladores H2 y H1 multivariables9. Ver si las respuestas temporal y frecuencial son adecuadas; si no es as��, seaumenta el valor de y se vuelve al paso 6.10. Disminuir el valor de y volver al paso 6.El proceso iterativo anterior, se interrumpe cuando se llega al valor �optimo = opt, o a un valor de > opt, para el que al disminuir su valor el regulador H1obtenido no da una respuesta temporal adecuada (por ejemplo: un excesivo aumentode la magnitud de control comparado con el reguladorH2 previo); o si ocurre que a�una pesar de disminuir el valor de kTzwk1, el controlador obtenido tiene globalmenteunos indicadores de robustez menos satisfactorios. Puede igualmente darse el caso,de que al calcular el regulador H1 �optimo directamente empleando algunas de lasfunciones que tienen incorporadas los paquetes de programas de Dise~no de Sistemasde Control por Computador (cacsd), tales como Program CC, y Robust ControlToolbox, sea necesario el empleo de un regulador sub�optimo que de mejores carac-ter��sticas de robustez globales. De ah�� la importancia del conjunto de indicadoresde robustez propuesto (L�opez, 1994).11.5.1 Controladores H1 para sistema de orden elevadoSe plantea el problema de obtener el dise~no de controladores H2 y H1, a �n derealizar un an�alisis comparativo entre ellos y con los resultados anteriores obtenidoscon los reguladores LTR-o. Para realizar los dise~nos se emplea el modelo de ordenreducido (sexto orden) obtenido para el modelo mlmv19 descrito anteriormente, elcual es de orden diecinueve. Una vez obtenidos los reguladores se eval�uan con elmodelo de orden completo del buque.En primer lugar se plantea el problema de optimizaci�on de sensibilidad mixtadescrito en el cap��tulo 10. Para seleccionar las funciones de ponderaci�on: WS(s) yWT (s), se utilizan como ayuda los per�les (respuestas en frecuencia) de la ftladempleados para el dise~no ltr. O en otro caso, se parte simplemente de las especi�-caciones de dise~no sin disponer de dise~nos anteriores. Tras algunos ensayos, se tomapara la especi�caci�on del comportamiento nominal (np):W�1S (s) = 26664 3:1623s+ 9:0 10�6s+ 0:09 00 3:1623s+ 4:510�6s+ 0:045 37775

Aplicaci�on de control robusto 307y como funci�on de ponderaci�on de la funci�on de sensibilidad complementaria To(s):W�1T (s) = 2664 3:1623s+ 15003162:3s+ 474:34 00 3:1623s+ 7503162:3s+ 237:17 3775en la �gura 11.25 se muestran ambas funciones (matrices) de ponderaci�on, las cualesre ejan las especi�caciones de dise~no en el dominio de la frecuencia.

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104

rad/s

sv(W

_S),

sv(W

_T)

(db)

W_S

W_T

Figura 11.25: Respuestas en frecuencia de WS y WTSe calcula el regulador �optimo H2 (sensibilidad mixta) de la forma descrita en elcap��tulo 10. Este regulador consigue:kTzw(j!)k1 � 2 = 0:566El valor = 2 se utiliza como valor de partida para resolver el problema de opti-mizaci�on H1. Empleando un proceso iterativo para el c�alculo del regulador H1, seobtiene: kTzw(j!)k1 = o = 0:480Dado que o < 2, se consigue una mejora con respecto al regulador H2 anterior, enel sentido de que se veri�ca la desigualdadkTzwk1 � 1

308 Dise~no de controladores H2 y H1 multivariablescon m�as holgura. Las respuestas temporales de ambos reguladores, para un cambiotipo escal�on de [0; 5]T grados en la referencia, son muy similares; en la �gura 11.26se muestran para el regulador H1.-2

0

2

4

6

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

t (seg)

y (g

ra)

y1

y2

-40

-20

0

20

40

60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

t (seg)

u (g

ra)

u1

u2

Figura 11.26: Respuesta temporal controlador H1 (sensibilidad mixta)Como se describe en el cap��tulo 8, la responsabilidad de la atenuaci�on de lasperturbaciones que act�uen sobre la planta, y de conseguir un seguimiento adecuadoa cambios de referencia, recae sobre las matrices de transferencia So(s) y So(s)G(s).En la �gura 11.27 se tienen los valores singulares de ambas para el controlador H1(sensibilidad mixta). El comportamiento de So es totalmente satisfactorio,�[So(j!)]� 1; a baja frecuenciacomo era de esperar del planteamiento hecho con el problema de sensibilidad mixta.Sin embargo, no ocurre lo mismo con SoG; dado que seg�un se deduce de la �gura11.27, se pueden dar perturbaciones vectoriales, actuantes a la entrada de la planta,que no sean atenuadas por el sistema.Para conseguir una caracter��stica similar a la del controlador ltr-o dise~nadoen la secci�on anterior, se modi�ca la funci�on de coste de modo que Tzw incluya unt�ermino que pondere tambi�en al factor SoG, puesto que de lo visto en el cap��tulo 8

Aplicaci�on de control robusto 309-60

-40

-20

0

20

10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102

w (rad/s)

sv(S

o) (

db)

-150

-100

-50

0

50

10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102

w (rad/s)

sv(S

oG)

(db)

Figura 11.27: So y SoG para controlador H1 (sensibilidad mixta)se obtiene que el vector de error entre la referencia y la respuesta del sistema vienedado por, e = r � y= So(r � do � n)� SoGdiEn el planteamiento general del problema de optimizaci�on realizado en el cap��tulo10, se considera el caso particular:" z1(s)z3(s) # = " WS(s)So(s) �WS(s)So(s)G(s)Wdi(s)WT (s)To(s) WT (s)So(s)G(s)Wdi(s) # " r(s)di(s) #donde Wdi(s) se elige de forma que se especi�que, con los elementos (1,2) y (2,2) deTzw, el objetivo de conseguir como resultado un controlador que a baja frecuenciasatisfaga: �[So(j!)G(j!)]� 1 (11:6)Este objetivo puede alcanzarse (ver �gura 11.30) tomando las siguientes matrices

310 Dise~no de controladores H2 y H1 multivariablesde ponderaci�on:Wdi(s) = 1s+ 1IWS(s) = 26664 s+ 7:210�23:1623s+ 2:2768 10�5 00 s+ 3:6 10�23:1623s+ 1:1384 10�5 37775WT (s) = 2664 3162:3s+ 379:473:1623s+ 1200 00 3162:3s+ 189:743:1623s+ 600 3775En las �guras 11.28 y 11.29 se muestran respectivamente las funciones de pon-deraci�on WS, WT , as�� como WSWdi y WTWdi, para el caso del problema de rechazoa las perturbaciones.

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104

rad/s

sv(W

_S),

sv(W

_T)

(db)

W_S

W_T

Figura 11.28: Respuestas en frecuencia de WS y WTCon el regulador H2 se obtiene kTzwk1 = 1:533; mientras que el regulador H1,consigue kTzwk1 = 1:195. En la �gura 11.31 se muestra la respuesta temporal delsistema con el controlador H1 para un cambio de consigna [0; 5]T grados.Si se calculan los indicadores de robustez propuestos para los controladores

Aplicaci�on de control robusto 311

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104

rad/s

sv(W

_S W

_di),

sv(W

_T W

_di)

(db)

W_S W_di

W_T W_di

Figura 11.29: Respuestas en frecuencia de WSWdi y WTWdi-100

-50

0

50

10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102

w (rad/s)

sv(S

o) (

db)

-150

-100

-50

0

50

10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102

w (rad/s)

sv(S

oG)

(db)

Figura 11.30: So y SoG controlador H1

312 Dise~no de controladores H2 y H1 multivariables-2

0

2

4

6

8

0 50 100 150 200 250 300

t (seg)

y (g

ra)

y1

y2

-40

-20

0

20

40

60

0 50 100 150 200 250 300

t (seg)

u (g

ra)

u1

u2

Figura 11.31: Respuesta temporal controlador H1dise~nados, se obtienen los resultados que se resumen en la tabla 11.3. Los valo-res de la tabla est�an expresados: MF en grados, MG en decibelios y el resto entanto por ciento de incertidumbre tolerable.

Controlador I11i I12i I11o I12o I1s MG MF I3o I3i% % % % % db gra % %H2 (s. mixta) 37 82.4 100 100 42.5 37.6 74.9 68.1 51.0H1 (s. mixta) 45.2 86.3 100 100 44.5 72.1 80.6 73.5 55.6H2 42.1 45.8 72.9 74.1 34.8 12.3 58.7 51.8 37.9H1 31.7 39.8 74.4 74.4 28.8 9.1 58.2 52.3 33.2Tabla 11.3: Indicadores de robustez de los controladores H2 y H1 (mlmv19)

Aplicaci�on de control robusto 31311.5.2 Regulador H1 para una planta no linealEn este apartado se va a dise~nar un controlador H1 para el modnl, cuyos objetivosson: 1) obtener un rechazo adecuado de las perturbaciones ambientales (las cuales semani�estan a la entrada y a la salida de la planta), y 2) una estabilidad robusta paraciertos niveles de incertidumbre. Para ello, como se ha justi�cado en el apartadoanterior, se toma la siguiente matriz de transferencia:Tzw = " WS(s)So(s) �WS(s)So(s)G(s)Wdi(s)WT (s)To(s) WT (s)So(s)G(s)Wdi(s) #y por tanto, en la funci�on de coste, kTzwk1aparecen de manera expl��cita las matrices de transferencia So y SoG; las cuales soncomo ya se ha indicado, las responsables directas que determinan la atenuaci�on de lasperturbaciones que act�uen sobre la planta. Las respectivas matrices de ponderaci�on(dependientes de la frecuencia) WS;Wdi se eligen para conseguir tales objetivos. Elt�ermino WTTo se emplea para tener en cuenta la incertidumbre en el modelo de laplanta, y se elige de forma que se consiga una tolerancia a incertidumbres de tipomultiplicativo de un 50% en el peor caso.El modelo de la planta es no lineal, sin embargo para hacer el dise~no se empleaun modelo linealizado, y posteriormente el controlador se prueba con el modelomatem�atico no lineal. El regulador obtenido es sub�optimo para las condiciones deoperaci�on para las que se ha realizado la linealizaci�on, por ello no est�a garantizadopara el conjunto de puntos en su vecindad debido a la din�amica no lineal del sistema.Sin embargo, el controlador se dise~na con unas buenas propiedades de robustez,siendo los resultados obtenidos por simulaci�on satisfactorios.Para una velocidad de crucero de 21 nudos se eligen (tras algunos ensayos, yayudado de los resultados obtenidos con el regulador ltr-i dise~nado en la secci�onanterior) las siguientes matrices de transferencia de ponderaci�on:WS(s) = 2664 s+ 0:0723:1623s+ 2:2768 10�5 00 s+ 3:6 10�23:1623s+ 1:1384 10�5 3775Wdi(s) = 1s+ 1I

314 Dise~no de controladores H2 y H1 multivariablesWT (s) = 2664 3162:3s+ 379:473:1623s+ 1200 00 3162:3s+ 189:743:1623s+ 600 3775Con las cuales, el regulador H2 obtiene kTzwk1 = 1:046, y el H1 reduce dichovalor a kTzwk1 = 0:91. En la �gura 11.32 se muestran las respuestas en frecuenciade �[So(j!)] y �[So(j!)G(j!)]; como puede comprobarse, ambas magnitudes son losu�cientemente peque~nas en el rango de baja frecuencia. La �gura 11.33 muestralos niveles estimados de incertidumbre multiplicativa no estructurada tolerables porel sistema a la entrada de la planta (iMi), y a la salida (iMo). Esta �gura repre-senta 1=�(M), donde M es el sistema de interconexci�on para cada tipo particularde incertidumbre. Si se trata de incertidumbre no estructurada, de la �gura 11.33se desprende que para el caso de incertidumbre multiplicativa situada a la entradade la planta Ei (donde G0 = G(I + Ei)), �esta no causar�a la inestabilidad del sis-tema, siempre que kEik1 < 0:56 (o sea, que el sistema permite hasta un 56% deincertidumbre relativa).Igualmente, para el caso en que la incertidumbre est�e a la salida Eo (tal queG0 = (I + Eo)G) se obtiene que kEok1 < 0:66 (lo cual supone un 66% de incer-tidumbre tolerable en el caso m�as desfavorable). Si se analiza la robustez del sistemacon respecto a incertidumbres estructuradas (estructura diagonal), se obtienen res-pectivamente unas tolerancias del 62% y 67% respectivamente, lo cual implica unaestimaci�on menos conservativa, ya que en estos casos se emplea 1=�(M), donde�(M) es el valor singular estructurado de M .Para evaluar el comportamiento del controlador dise~nado frente a las perturba-ciones ambientales, el sistema se somete a unas condiciones de navegaci�on carac-terizadas por una altura signi�cativa de olas de 4m, corriente de 2m=s, y vientocon velocidad de 20m=s, actuando las perturbaciones en una direcci�on de 45 gradosrelativa al curso de referencia del buque. Las respuestas temporales obtenidas semuestran en las �guras 11.34 y 11.35, en las que se puede comparar el compor-tamiento obtenido con el regulador H1 multivariable, y un controlador escalar queno considera la naturaleza multivariable de la planta. Puede comprobarse que conel regulador H1 se obtiene una mejora considerable en la reducci�on del movimientode balance, as�� como en el mantenimiento del rumbo.En la �gura 11.36 se muestra el comportamiento obtenido con el mismo contro-lador para una velocidad de crucero de 18 nudos, diferente a la nominal empleadapara el dise~no. Para la implementaci�on del regulador en un computador digital seemplea un controlador de tiempo discreto equivalente con un per��odo de muestreo

Aplicaci�on de control robusto 315-150

-100

-50

0

50

10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102

w (rad/s)

sv(S

o) (

db)

-150

-100

-50

0

50

10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102

w (rad/s)

sv(S

oG)

(db)

Figura 11.32: �[So(j!)] y �[So(j!)G(j!)]0

20

40

10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101

w (rad/s)

1/sv

(M)

(db)

Multiplicativa a la entrada (iMi)

0

20

40

10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101

w (rad/s)

1/sv

(M)

(db)

Multiplicativa a la salida (iMo)

Figura 11.33: Tolerancias a incertidumbres (1=�[M(j!)])

316 Dise~no de controladores H2 y H1 multivariables-5

0

5

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

t (sec)

head

ing

(deg

) Controlador SISO

-5

0

5

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

t (sec)

head

ing

(deg

) Controlador MIMO

Figura 11.34: Rumbo para controladores SISO y MIMO-5

0

5

10

15

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

t (sec)

roll

(deg

)

Controlador SISO

-5

0

5

10

15

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

t (sec)

roll

(deg

)

Controlador MIMO

Figura 11.35: Movimiento de balance para controladores SISO y MIMO

Aplicaci�on de control robusto 317Contrl I11i I12i I11o I12o I1s MG MF I3o I3i% % % % % db gra % %1: LTR-i 68.5 78.7 60.7 71.7 44.4 25.8 66.7 - -2: LTR-i 62.3 69.8 60.5 63.1 37.6 27.6 59.5 52.1 53.13: H2 52.3 58.3 63.7 63.7 31.3 17.8 46 49.7 39.74: H1 56.2 61.9 67.3 67.3 33.5 11.5 50.3 53.2 42.6Tabla 11.4: Indicadores de robustez de los controladores para modnlde 0:1 segundos (se utiliza para ello la transformaci�on bilineal, ver cap��tulo 10). Seemplea este per��odo con el criterio de obtener unas respuestas temporales del sistemaen lazo cerrado equivalentes para el regulador de tiempo continuo y el de tiempodiscreto. En la tabla 11.4 se resumen los indicadores de robustez de los controladoresdise~nados para el modelo no lineal (modnl).-5

0

5

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

t (sec)

head

ing

(deg

)

-5

0

5

10

15

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

t (sec)

roll

(deg

)

Figura 11.36: Comportamiento para condici�on no nominal

318 S��ntesis de los resultados obtenidos11.6 S��ntesis de los resultados obtenidosEn este apartado se trata de resumir y remarcar los principales resultados obtenidosen los estudios llevados a cabo. De ello cabe destacar:1. Se han realizado diversos dise~nos para el control de un sistema multivariable,como es el control del rumbo y balance de un buque.2. Para evaluar los diferentes dise~nos LTR, H2 y H1 se ha propuesto un conjuntode indicadores de comportamiento y robustez.3. El problema de dise~no de un sistema de control multivariable es sensiblementem�as complejo que el de un sistema escalar. Sin embargo, los algoritmos em-pleados para resolver tales problemas se realizan en el espacio de estados y sonindependientes de la dimensi�on y car�acter vectorial o escalar de la planta. Sinembargo puede ser necesario emplear un m�etodo de c�alculo alternativo en al-gunos de los pasos intermedios del algoritmo, debido a los problemas num�ericosque aparecen con mayor frecuencia en el caso de sistemas multivariables y/oen sistemas de dimensi�on elevada.4. Se han empleado las metodolog��as LTR-i y LTR-o, en sus versiones de estruc-tura basada en observador (cbo), o convencional, y no basada en observador(cnbo). Mostr�andose que para un mismo nivel de recuperaci�on es aconsejable,en general, el empleo de la �ultima, siempre que el sistema en lazo abierto pre-sente elevada ganancia a baja frecuencia.Ya que, para un nivel de recuperaci�on dado, proporciona unos reguladores m�asrobustos y m�as realizables desde un punto de vista de la aplicaci�on industrial.En otro caso (para controladores que no aproximen la acci�on integral, como losempleados para obtener respuestas sin sobre-oscilaci�on apreciable a cambios deconsigna tipo escal�on), la estructura cbo se caracteriza por conseguir mejorespropiedades de robustez.5. La elecci�on de la s��ntesis LTR-i o de la LTR-o, va a depender de las especi�ca-ciones de dise~no y de que en cada caso concreto la elecci�on de una de ellas seam�as propicia para satisfacer tales especi�caciones. As��, si se conoce a priorique los efectos de las incertidumbres del sistema pueden quedar re ejados a lasalida de la planta, o si �esta tiene m�as salidas que entradas, ser��a m�as ventajosoemplear la metodolog��a LTR-o. Mientras que si la planta tiene m�as entradasque salidas y/o la incertidumbre puede considerarse que queda re ejada a laentrada de la planta, resulta m�as aconsejable utilizar el m�etodo LTR-i.

Aplicaci�on de control robusto 3196. El m�etodo de dise~no seguido para los reguladores H2 y H1, calcula en primerafase un regulador H2, a partir del cual se obtiene el H1, con el que se consiguedisminuir el valor de la funci�on de coste kTzwk1 obtenido con el dise~no H2.La robustez del sistema, en general, mejora para el controlador H1, pero encada caso hay que examinarla, antes de decidir entre los reguladores H2 y H1.7. Un reguladorH1 sub�optimo puede proporcionar unas propiedades de robustezy comportamiento globalmente m�as satisfactorias que el regulador H1 �optimo.8. Los resultados del empleo de una u otra metodolog��a de dise~no, van a dependeren gran manera de diversos factores:(a) De los requerimientos de control que se precisen.(b) Del modo en que �estos se expresen de forma matem�atica.(c) De la experiencia que se tenga a la hora de seleccionar los par�ametros dedise~no.(d) De seguir un procedimiento iterativo sistem�atico que simpli�que el dise~noy reduzca el n�umero de iteraciones.Se han obtenido buenos resultados con cada una de las metodolog��as analiza-das: LTR, H2 y H1.9. Se ha comprobado, al menos para los casos analizados, que un controla-dor H1 con prestaciones similares a un controlador LTR, requiere una di-mensi�on mayor, necesita per��odos de muestreo sensiblemente inferiores y poseepropiedades num�ericas menos favorables; por lo que desde un punto de vistapr�actico, y en determinados casos concretos, podr��a ser m�as recomendable elempleo de controladores ltr (L�opez y Rubio, 1995b).La metodolog��a H1 aborda de una forma expl��cita las especi�caciones del sis-tema en lazo cerrado y los niveles de incertidumbre que el sistema de controldebe soportar, por lo que resulta m�as simple la formulaci�on de ciertos pro-blemas de control robusto. La metodolog��a LTR consiste sin embargo, en unprocedimiento indirecto, ya que trata con las funciones (matrices) de trans-ferencia en lazo abierto, no pudi�endose expresar de manera directa (a partirde las matrices de ponderaci�on empleadas para el dise~no) los niveles de in-certidumbre tolerables, teniendo que calcularse �estos a posteriori. Por otrolado, la metodolog��a H1 junto con el procedimiento de dise~no conocido comos��ntesis-� (Balas et al, 1991) puede proporcionar de forma directa reguladorescon un comportamiento robusto.

320 S��ntesis de los resultados obtenidosEn general, se puede decir que ning�un m�etodo proporciona la soluci�on total alproblema de dise~no; ya que con t�ecnicas diferentes, y con distintos grados de so�sti-caci�on, pueden obtenerse resultados similares. En cada caso particular habr�a quedeterminar a partir de las caracter��sticas del sistema a controlar y de las exigenciasde dise~no, cu�al es la metodolog��a que proporciona los mejores resultados. Resultapor tanto de inter�es el desarrollo de m�etodos iterativos informatizados para el ajustey selecci�on automatizada de los par�ametros de dise~no, en funci�on de unas especi�-caciones realizadas por el operador (cosa que no siempre es sencilla, especialmenteen el caso de sistemas multivariables). Integrando diferentes t�ecnicas de control ro-busto en un sistema que ofrezca al usuario la posibilidad de comparar y decidir laestrategia de control que pueda conseguir mejores resultados, o que mejor se adapteal problema concreto de dise~no.Hay que remarcar que la teor��a de control en torno a los m�etodos H1 est�a encontinua evoluci�on, as�� como el desarrollo de t�ecnicas de dise~no de controladoresmulti-objetivos, tales como la conocida por H2=H1; existiendo la en actualidadgrandes esfuerzos de investigaci�on en torno a tales m�etodos (Doyle et al. 1994,Haddad et al, 1994; Rotea et al, 1991; Stoorvogel, 1992; Khargonekar et al, 1991;Green y Limebeer, 1995; Grimble, 1994).

Ap�endice AAn�alisis de los sistemas de controlbasados en observadorA.1 An�alisis de robustez con y sin observadorSea un sistema de control por realimentaci�on del vector de estado, y el correspon-diente sistema que emplea un observador para estimar el estado del proceso, tal comomuestran las �guras A.1 y A.2 respectivamente. Entre los esquemas correspondientesde �estas �guras (Doyle y Stein, 1979), se cumplen las siguientes propiedades:1. La funci�on de transferencia de los bucles cerrados es la misma en ambos casos.2. La funci�on de transferencia en bucle abierto abriendo en el esquema de la

-� �� - �(s)B C -Kc �6 G(s) yx- s sabr

Figura A.1: Realimentaci�on del vector de estado321

322 An�alisis de robustez con y sin observador- jj j

--t t- ?���

6� �

r - u (1) (2) u0 Planta yu Kc �(s)B Ko- 6C -

Figura A.2: Diagrama del controlador LQG�gura A.2 por el punto (1) es la misma. En efecto:� en la �gura A.1, u = �Kc x = �Kc�B u0� en la �gura A.2, u = �Kc x = �Kc�B u0ya que x = �Bu0, al tener los dos sistemas (planta y observador) la mismase~nal de entrada.3. Las funciones de transferencia abriendo en el esquema completo (A.2) por (2)son diferentes. Se puede demostrar que s�olo son iguales si se modi�ca Ko,pasando a depender de un par�ametro q y tendiendo �este a in�nito. Ello sedemostrar�a en la pr�oxima secci�on.El hecho de que sean distintos en este caso, se debe a que la din�amica delerror del observador (y � y) es tenida en cuenta, si se rompe el bucle (o sise introducen perturbaciones) por (2), cosa que no ocurre si se abre por (1)(A.2).

An�alisis de los sistemas de control basados en observador 323A.2 Condici�on su�ciente para la recuperaci�onA continuaci�on se va a desarrollar la condici�on su�ciente para que el bucle abiertolqg tienda al lqr. A partir de la �gura A.1 se tiene que la funci�on de transferenciaen lazo abierto (que relaciona la se~nal que entra por el punto a y sale por el puntob) del regulador lqr viene dada por,Hc(s) = LLQR(s) = Kc(sI � A)�1B (A:1)Para ello, se hacen depender las ganancias del �ltro de Kalman de un determinadopar�ametro q. Si se cumple que: limq!1 Ko(q)q = BW (A:2)siendo W cualquier matriz no singular entonces; el bucle abierto lqg se aproximaasint�oticamente al lqr.En efecto, la funci�on de transferencia de bucle abierto con observador viene dadapor, LLQG = Kc(sI � A+BKc +KoC)�1Ko C�B (A:3)Si se hace = (sI � A + BKc)�1 y teniendo en cuenta el lema de inversi�on dematrices, (A+BCD)�1 = A�1 � A�1B(C�1 +DA�1B)�1DA�1 (A:4)dicha expresi�on, puede ser escrita como:LLQG = Kc[�Ko(1 + CKo)�1C]Ko C�B == [KcKo �KcKo(1 + CKo)�1CKo] C�B == [KcKo(1� (1 + CKo)�1)CKo] C�B == KcKo(1 + CKo)�1 C�B (A.5)Si en esta �ultima expresi�on se aplica la condici�on de recuperaci�on dada por laexpresi�on (A.2), se tiene,LLQG = KcqBW (1 + CqBW )�1 C�Bque cuando se hace tender q a in�nito se reduce a:LLQG = KcBW (CBW )�1 C�B

324 Condici�on su�ciente para la recuperaci�onAplicando a �esta �ultima expresi�on, nuevamente el lema de inversi�on de matrices(A.4) y sustituyendo por su valor se llega a,LLQG = KcBW (CBW )�1 C�B == Kc�BW (1 +Kc�B)�1[C�BW (1 +Kc�B)�1]�1 C�B == Kc�BW (C�BW )�1 C�B == Kc�BLuego la expresi�on �nal que se obtiene es,LLQG(s) = Kc�Bla cual es id�entica a la expresi�on (A.1) correspondiente a LLQR(s). Con esto quedademostrada la convergencia al tender el par�ametro q a in�nito, de las funciones detransferencia en bucle abierto, cuando se tiene una estructura de realimentaci�ondirecta del estado o con un observador (�ltro de Kalman).Para que Ko cumpla la condici�on de recuperaci�on se tendr�a que introducir algunamodi�caci�on en el �ltro de Kalman. Para ello, se dise~na el �ltro de Kalman con unasmatrices de covarianzas �cticias. Se tomar�an:Q = Qo + q2BV BT (A.6)R = Ro (A.7)siendo V cualquier matriz no singular y donde Qo y Ro son las matrices de cova-rianzas nominales de w y v; y q es un par�ametro escalar conocido como ganancia derecuperaci�on.Con estas modi�caciones se calcula el �ltro de Kalman:Ko = PCTR�1 (A:8)AP + PAT +Q� PCTR�1CP = 0 (A:9)Introduciendo las anteriores matrices de covarianzas en la ecuaci�on (A.9), resulta:AP + PAT +Qo + q2BV BT � PCTR�1CP = 0 (A:10)

An�alisis de los sistemas de control basados en observador 325y dividiendo la expresi�on por q2 se llega a,APq2 + Pq2AT + Qoq2 +BV BT � q2(Pq2 )CTR�1C(Pq2 ) = 0 (A:11)Hay que destacar el hecho de que en la anterior ecuaci�on (A.11), existen dos tiposde variables: q, que es el par�ametro cuyo valor se modi�ca para recuperar la funci�onde transferencia, y la matriz P , de la cual dependen los valores de las gananciasdel �ltro de Kalman y que s�olo puede ser encontrada una vez asignado a q un valordeterminado.Por tanto, si se hace tender q a in�nito se tendr�a:q2(Pq2 )CTR�1C(Pq2 ) q!1�! BV BTy teniendo en cuenta el valor de Ko (ecuaci�on A.8), se tiene:Ko(q)RKTo (q)q2 q!1�! BV BTque descomponiendo lo anterior se llega a:Ko(q)q q!1�! B V 12 (R 12 )�1| {z }W = BWSe cumple, por tanto, la condici�on de recuperaci�on (ecuaci�on A.2).Se calcular�a, por tanto, el �ltro de Kalman a partir de la matriz de covarianzamodi�cada, de este modo, a medida que se aumente el valor del par�ametro q m�ascerca se estar�a de la funci�on de transferencia en bucle abierto del lqr. Al hacer�esto, se pierde precisi�on en la estimaci�on del estado, ya que se est�a calculando el�ltro de Kalman con unas covarianzas �cticias, sin embargo, se gana en robustez.A.3 Planteamiento del M�etodo LQG en el Do-minio de la FrecuenciaLa ecuaci�on de Riccati se puede interpretar en el dominio de la frecuencia, de formaque proporcione expresiones en t�erminos de funciones de transferencia. Sea el sis-

326 Planteamiento del M�etodo LQG en el Dominio de la Frecuenciatema, _x = Ax+Bu (A:12)d�onde u es de dimensi�on 1 por simplicidad, y sometido al criterio de funcionamiento:J = Z 10 (xTQcx + u2) dt (A:13)Se supone r = 1 sin p�erdida de generalidad, ya que puede ser englobado en loselementos de la matriz Qc. La ecuaci�on de Riccati correspondiente viene dada por:ATPc + PcA� PcBR�1BTPc +Qc = 0que a su vez puede ser reordenada de la forma:�PcA� ATPc = Qc � PcBBTPcSumando y restando sPc al primer miembro se tiene:Pc(sI � A) + (�sI � AT )Pc = Qc � PcBBTPcque llamando �(s) = (sI � A)�1 conduce a:Pc��1(s) + �T�1(�s)Pc = Qc �KTc KcPremultiplicando por BT�T (�s) y postmultiplicando por �(s)B se llega a:BT�T (�s)Pc��1(s)�(s)| {z }I B +BT �T (�s)�T�1(�s)| {z }I Pc�(s)B =BT�T (�s)[Qc �KTc Kc]�(s)BBT�T (�s)PcB| {z }KTc +BTPc| {z }Kc �(s)B =BT�T (�s)Qc�(s)B � BT�T (�s)KTc Kc�(s)B

An�alisis de los sistemas de control basados en observador 327La funci�on de transferencia en bucle abierto cuando se aplica la ley de controllqr es Hc = Kc�(s)B = BT�T (s)KTc , luego la anterior expresi�on se puede escribir:HTc (�s) +Hc(s) = BT�T (�s)Qc�(s)B �HTc (�s)Hc(s) (A:14)que a su vez se puede reescribir de la forma:[1 +HTc (�s)][1 +Hc(s)] = 1 +BT�T (�s)Qc�(s)B (A:15)Se de�ne: Fc(s) � 1 +Hc(s), y Fc(s) se conoce como la funci�on de diferenciasdel retorno.Ahora sup�ongase el segundo miembro de (A.15) factorizado de la forma (factor-izaci�on espectral): 1 +BT�T (�s)Qc�(s)B = �c(s)�c(�s) (A:16)se tiene entonces que (A.15) se puede reescribir:Fc(s)Fc(�s) = �c(s)�c(�s)y por tanto: Fc(s) = �c(s)con lo que se llega a la expresi�on que da la funci�on de transferencia del sistema enbucle abierto, con la realimentaci�on de las variables de estado:Hc(s) = �c(s)� 1Obs�ervese que mediante la factorizaci�on espectral anterior se ha resuelto laecuaci�on de Riccati al determinar �c(s). En efecto se ha obtenido Hc(s), lo cuales equivalente a determinar Kc, ya que ambas vienen relacionadas por la expresi�onHc(s) = Kc�B. Es decir, manipulando exclusivamente funciones de transferenciase llega a determinar la soluci�on al problema lqr.Una vez demostrado lo anterior se puede comprobar lo que se hab��a a�rmadosobre la robustez de los reguladores lqr.Si se factoriza Qc de la forma Qc = MTM y se hace s = j! en la ecuaci�on deRiccati (A.15) se obtiene:

328 Planteamiento del M�etodo LQG en el Dominio de la Frecuenciaj 1 +Hc(j!) j2= 1+ jM�(j!)B j2de donde: k1 +Hc(j!)k > 1 (A:17)Si se interpreta esta condici�on en el plano polar, la curva de Hc(j!) no puedeentrar dentro de un c��rculo de centro (�1; 0) y radio 1, por lo que se asegura unmargen de fase mayor de 60 grados y un margen de ganancia in�nito.Un desarrollo an�alogo para el problema de la observaci�on llevar�a a un resultadodel mismo tipo. Para el �ltro de Kalman se tiene que la matriz de ganancia delobservador est�a dada por, Ko = PoCTobteni�endose �esta de la ecuaci�on de Riccati:APo + PoAT +Qo � PoCTCPo = 0Si se de�ne la funci�on de transferencia en bucle abierto del observador como laque resulta de cortar el bucle del �ltro de Kalman por el punto (1) en la �gura A.2,se tendr�a: Ho = C�Ko (A:18)Y efectuando un desarrollo similar al realizado para el control se llegar�a a:Ho(s) = �o(s)� 1con: �o(s)�o(�s) = 1 + C�(s)Qo�T (�s)CT (A:19)Lo que se obtiene no es Ko, sino Ho(s), pero ambos resultados, como se ha visto,son equivalentes.Procedimiento de c�alculoDe lo desarrollado en esta secci�on se puede resumir que mediante la manipulaci�onde funciones de transferencias, se llega a resolver el problema lqg. El procedimientoser��a especi�car la matriz Qc en forma factorizada como Qc = MTM , lo cual esequivalente a especi�car la funci�on de transferencia Gc(s) = M�(s)B. A partir de

An�alisis de los sistemas de control basados en observador 329esta funci�on de transferencia y mediante la factorizaci�on de la ecuaci�on de diferenciasdel retorno: [1 +HTc (�s)][1 +Hc(s)] = 1 +GTc (�s)Gc(s) (A:20)se puede llegar a deducir Hc(s), funci�on de transferencia de bucle abierto del lqr.De forma an�aloga, especi�cando la matriz Qo en forma factorizada como Qo =��T o bien especi�car la funci�on de transferencia Go(s) = C�(s)�, y mediante lafactorizaci�on de la ecuaci�on de diferencias del retorno:[1 +Ho(s)][1 +HTo (�s)] = 1 +Go(s)GTo (�s) (A:21)se puede calcular Ho(s).Con estas dos funciones de transferencia: Hc(s); Ho(s), se pueden calcular lasganancias de la ley de control y del �ltro de Kalman Kc y Ko, ya que estan directa-mente relacionadas por las expresiones (A.1) y (A.18) rese~nadas anteriormente.A.4 Regulador LQG obtenido mediante ecuaci�ondiof�anticaA continuaci�on se deduce una ecuaci�on diof�antica, que puede ser utilizada comoalternativa para obtener la expresi�on del regulador lqg. Este regulador a partir dela (ecuaci�on A.3) viene dado por,GR(s) = Kc(sI � A +BKc +KoC)�1Ko (A:22)que operando como se ha visto en la secci�on (A.2), se llega a la expresi�on (A.5) dela funci�on de transferencia en bucle abierto, y por tanto para el regulador ser��a,GR(s) = KcKo(1 + CKo)�1 (A:23)Utilizando nuevamente el lema de inversi�on de matrices (A.4) se obtiene la expresi�on:GR(s) = [Kc�Ko �Kc�B(1 + C�B)�1Kc�Ko](1 + CKo)�1 (A:24)que llamando kk(s) = Kc�Ko, y teniendo en cuenta las expresiones de Gc (A.1) yGo (A.18), puede escribirse,GR(s) = [kk �Gc(1 +Gc)�1kk](1 + CKo)�1 == [kk(1�Gc(1 +Gc)�1)][1 + C�Ko � C�B(1 +Gc)�1kc�Ko]�1 == kk(1 +Gc)�1[1 +Go �Gp(1 +Gc)�1kk]�1 (A.25)

330 Regulador LQG obtenido mediante ecuaci�on diof�anticaGR(s) = kk1 +Gc +Go +GcGo �Gpkk (A:26)GR(s) = kk(1 +Gc)(1 +Go)�Gpkk (A:27)Esta expresi�on da una relaci�on en t�erminos de funciones de transferencia parael regulador lqg. Si se expresan las funciones de transferencia deseadas Gdc y Gdocomo cociente de dos polinomios en s, y sustituyendo en la expresi�on (A.27) se tiene:Gdc(s) = n1(s)d1(s) y Gdo(s) = n(s)d(s) (A:28)GR(s) = kk(s)�c(s)�o(s)d1(s)d(s) � n(s)kk(s)d(s) = kk(s)d1(s)�c(s)�o(s)� n(s)kk(s)d1(s)d(s) = nr(s)dr(s) (A:29)donde �c(s) es el factor positivo procedente de la factorizaci�on del t�ermino derechode la ecuaci�on (A.20) y �o(s) el correspondiente a la ecuaci�on (A.21).A partir de la ecuaci�on (A.29), se puede llegar a la ecuaci�on diof�antica quepermite obtener la expresi�on del regulador mediante la manipulaci�on de polinomiosen s, donde nr(s) y dr(s) son las incognitas. En efecto, haciendo nr(s) = kk(s)d1(s),se tiene: �c(s)�o(s) = dr(s) d(s) + n(s) nr(s) (A:30)

Ap�endice BElementos matem�aticos �utiles enla teor��a de controlB.1 Polos y ceros de un sistema multivariableSea un sistema lineal e invariante en el tiempo (slit) descrito por el conjunto deecuaciones: _x(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t) +Du(t) (B.1)donde x 2 <n es el vector de estados, y 2 <p es el vector de medidas y u 2<m es el vector de control. Siendo A;B;C;D matrices constantes de dimensionescompatibles.Se de�nen los polos del sistema como los autovalores o valores propios de lamatriz A.Supuesto que:� El conjunto de matrices (A;B;C;D) constituyen una realizaci�on m��nima dela matriz de transferencia de la planta G(s).� El n�umero de salidas no es inferior al de entradas: p � m.se de�nen los ceros de transmisi�on del sistema B.1 como el conjunto de n�umeros331

332 Polos y ceros de un sistema multivariablecomplejos z, los cuales satisfacen la siguiente desigualdad (Zhang y Freudenberg,1990): rango " zI � A �B�C D # < n +msiendo la multiplicidad de z igual a su multiplicidad algebraica.Si el sistema G(s) tiene alg�un cero en el semiplano complejo derecho se dice quees de fase no m��nima; en caso contrario de fase m��nima.El sistema B.1 es estable si y solamente si todos sus polos est�an en el semiplanocomplejo de la izquierda.Criterio de Nyquist generalizadoA trav�es de los autovalores del sistema en lazo cerrado se determina si un sistemade control es estable. Igualmente, �esto se podr��a inferir a partir de la aplicaci�ondel teorema de Nyquist. Para sistemas multivariables tiene la siguiente expresi�on(MacFarlane, 1977): rXi=1N(�1; �i[L(s)]; D) = �Poldonde:L(s) matriz de transferencia en lazo abierto de dimensiones r � r.D contorno semicircular de Nyquist, de radio in�nito que envuelve al semiplanocomplejo derecho, y que evita los polos de L(s) en el eje imaginario rode�andoloscon semic��rculos de radio in�nitesimal.Pol n�umero de polos inestables de L(s).N n�umero de vueltas en sentido horario del lugar de Nyquist en torno al punto(�1; 0).�i autovalores o valores propios.

Elementos matem�aticos �utiles en la teor��a de control 333B.2 NormasSe de�ne una norma k : k en un espacio vectorial V (de�nido sobre un conjunto conestructura de cuerpo C), como una operaci�on con las propiedades:k v k > 0 8v 2 V; v 6= 0k v k = 0, v = 0k �v k = j � jk v k 8� 2 C; v 2 Vk v + w k � k v k + k w k 8v; w 2 VSea C el conjunto de los n�umeros complejos. Para V = Cn, se de�ne la norma-ppara el vector v = (v1; : : : ; vn) 2 V como:k v kp= (j v1 jp + : : :+ j vn jp)1=pLas tres normas m�as utilizadas son para p = 1; 2;1, con:k v k1= maxi j vi jSi se trata de V = Cn�n los elementos de V ser�an las matrices complejas M deorden n. Algunas normas usuales son:1. Norma de Frobenius: kM kF= sXi Xj j mij j22. Norma�1: kM k1= maxj Xi j mij j3. Norma�1: kM k1= maxi Xj j mij j4. Norma espectral: kM k2= rmaxi �i(MHM)Algunas relaciones �utiles son:kM k22 � kM k2F= traza(MHM) � n kM k22

334 Los Valores SingularesUna norma matricial que satisfaga la condici�on:kMN k � kM kk N kse denomina compatible. Se tiene una cota inferior para cualquier norma matricialcompatible: �(M) � kM kdonde �(M) es el radio espectral de M :�(M) = maxi j �i(M) jSe de�ne la norma inducida de la matriz M como:kM k= supv 6=0 kMv kk v kLa norma inducida tiene las siguientes propiedades:1. kMv k � kM k k v k2. k �M k = j � j kM k3. kM +N k � kM k k N k4. kMN k � kM k k N kB.3 Los Valores SingularesLos valores singulares (sv) de una matriz G se de�nen como :�i(G) = q�i(GHG) i = 1; 2; : : : ; kdonde �i representa un autovalor y k = min(r;m); siendo m el n�umero de columnasde G y r su n�umero de �las.Si los valores singulares se ordenan de forma que �i � �i+1, los valores singularesextremos ser�an: � = �1 � = �k

Elementos matem�aticos �utiles en la teor��a de control 335La descomposici�on en valores singulares (svd) de una matriz G queda de laforma: G = (U1 U2) � 00 0 ! (V1 V2)HG = USV h = nXi=1 uivHi �iGvi = �iuiuHi G = vhi �icon: S = diag[�1; �2; : : : ; �n]V = [v1; v2; : : : ; vn]U = [u1; u2; : : : ; un]UUH = I; V V H = ILos valores singulares son los elementos de la diagonal principal de S, las colum-nas de la matriz U son los denominados vectores singulares por la izquierda (otambi�en direcciones principales de salida) y las de V son conocidos como vectoressingulares por la derecha (o direcciones principales de entrada).Algunas propiedades �utiles de los valores singulares son:1. �(G) = maxx6=0 k Gx kk x k2. �(G) = minx6=0 k Gx kk x k3. �(G) �j �i(G) j� �(G)4. Si G es no singular: �(G) = 1�(G�1)5. Si G es no singular: �(G) = 1�(G�1)6. �(�G) =j � j �(G)7. �(G+H) � �(G) + �(H)8. �(GH) � �(G)�(H)

336 Los Valores Singulares9. �(G)� �(H) � �(G+H) � �(G) + �(H)10. maxf�(G); �(H)g � �(GH) � p2maxf�(G); �(H)g11. nXi=1 �2i = Traza(GhG)12. maxi;j j gi;j j� �(G) � nmaxi;j j gi;j jValor Singular EstructuradoSe de�ne el valor singular estructurado (ssv) (Doyle, 1982) de una matriz M ,como la inversa del valor singular m�aximo de una matriz E que anule el determinantedet (I �ME), y cero en otro caso. O sea:�(M) = min� f��1 = det (I �ME) = 0 para alg�un E 2 X�gDonde X� es el conjunto de matrices caracterizado por una determinada estruc-tura diagonal de bloques Ei estables:X� = fE = diag fEig = �[Ei] � �g (B:2)La de�nici�on de �(M) supone una generalizaci�on del radio espectral �(M) =�max(M), y del m�aximo valor singular �(M). En el caso particular donde se de�neX� de la forma: X�=1 = fE = �I = j � j� 1gse tiene que �(M) = �(M) . Y si ocurre que E es una matriz que no tiene estructuradiagonal de bloques, entonces �(M) = �(M).Algunas propiedades �utiles del valor singular estructurado son:1. Para la matriz unidad I: �(I) = 12. Para todo escalar �: �(�M) =j � j �(M)3. Acotamiento: �(M) � �(M) � �(M)

Elementos matem�aticos �utiles en la teor��a de control 3374. Para A;B matrices cuadradas:�(AB) � �(A)�(B)5. Para cualquier E 2 X�: �(E) = �(E)6. Sea D el conjunto de matrices reales diagonales positivas: D = diag fdiIig,donde el tama~no de cada bloque (diIi) coincide con el de los bloques Ei. SiD 2 D y E 2 X�, entonces DED�1 2 X�, cumpli�endose que:�(DMD�1) = �(M)de lo anterior, y teniendo en cuenta la propiedad 3 se obtiene:�(M) � �(DMD�1) 8D 2 D7. A partir de la propiedad anterior se deriva un m�etodo para el c�alculo de unacota de �(M): �(M) � infD2D �(DMD�1)Se demuestra, que la igualdad se alcanza hasta un m�aximo de tres bloques.Para un n�umero mayor de bloques se consigue una cota ajustada (Morari etal, 1989; Thompson, 1988).B.4 Los Valores PropiosLos valores singulares de matrices de funciones racionales (Matrices de Transferen-cia) no son funciones anal��ticas, por lo que a diferencia del caso escalar no se tieneuna expresi�on anal��tica que relacione la ganancia y la fase del sistema (Freudenberget al, 1988).Para el caso de sistema escalar de fase m��nima se tiene que cuando j KG j� 1(zona pr�oxima a frecuencia de cruce de ganancia !c) se tiene que:j 1 +KG j�j 1 + (KG)�1 j� 2 j sen((� + �)=2) jsiendo � + � el margen de fase (mf) del sistema.Los autovalores de un sistema multivariable s�� satisfacen las propiedades mate-m�aticas requeridas, pero no se relacionan directamente con la calidad del dise~no enlazo cerrado y no est�an de�nidos para matrices de transferencias no cuadradas.

338 Los Valores PropiosA pesar de ello, para el caso de sistema multivariable se desarrollan unas rela-ciones similares a las anteriores, empleando los valores propios de las matrices detransferencia I +GK y I + (GK)�1. Teniendo en cuenta que para cualquier matrizcuadrada Q: �(Q) �j �(Q) j� �(Q)se pueden acotar superiormente al valor singular m��nimo e inferiormente al valorsingular m�aximo.Para un sistema con matriz de transferencia G cuadrada se realiza la factorizaci�ono descomposici�on en valores caracter��sticos (cvd) dada por:G = W�W�1donde las columnas de W son los autovectores (o vectores propios) de G y � es unamatriz diagonal formada por los autovalores (o valores propios) de G:� = diag f�igSe obtienen unas propiedades muy �utiles y sencillas de manejar:�i[I +GK] = 1 + �i(GK)�i[I + (GK)�1] = 1 + 1=�i(GK)As��, cuando j �i(GK) j= 1 para alg�un �i y ! = !c se tiene:j �i(I +GK) j=j �i[I + (GK)�1] j= 2 j sen[(� + ��i)=2] jque es an�aloga, para cada �i, a la obtenida en el caso escalar.Por tanto, como j �i j acota a �, se puede emplear el valor de (� + ��i) comoargumento para evaluar un dise~no, ya que si �+��i es peque~no en la zona de cruce,el sistema exhibir�a una robustez pobre (Doyle y Stein, 1981).Generalizaci�on de los conceptos de M�argenes de EstabilidadEl an�alisis con los �i(j!) da un conocimiento sobre la estabilidad del sistema.Pueden extenderse los conceptos escalares de margen de ganancia (MG) y margende fase (MF) para el caso vectorial de�niendo:MG = mini fMG(�i)g ; MF = mini fMF (�i)g

Elementos matem�aticos �utiles en la teor��a de control 339donde para cada �i[L(j!)] se obtiene un diagrama de Nyquist (escalar) as�� comounos m�argenes de estabilidad (MGi;MFi) asociados.Hay que tener en cuenta que en el caso multivariable la existencia de unosm�argenes de fase y ganancia (tal y como se de�nen arriba) excelentes, no va aindicar necesariamente (a diferencia de lo que ocurre en el caso escalar) que el sis-tema tenga una robustez tambi�en excelente. Sin embargo, s�� se puede a�rmar locontrario: si se obtienen unos m�argenes de estabilidad (MF;MG) inaceptables, elloser�a indicativo de que la robustez del sistema no es satisfactoria (Doyle y Stein,1981). Es por ello que algunos autores los cali�quen como indicadores de robustezcualitativos (Lunze, 1989).B.5 La Matriz de Ganancia RelativaEn algunos casos la incertidumbre o errores de modelado de un sistema puedendescribirse en t�erminos de las incertidumbres de los elementos de la matriz de trans-ferencia, por ejemplo como producto de una identi�caci�on experimental.Si G(j!) es la matriz de transferencia de un sistema, �esta se har�a singular a unafrecuencia ! si se produce un cambio relativo de �1=�ij(j!) en su elemento gij(j!)(Postlethwaite et al, 1993), y no se har�a singular mientras se cumpla:j g0ij(j!)� gij(j!) j< �1�ij(j!)Los valores �ij(j!) son los elementos de la matriz �[G(j!)] llamada Matriz deGanancia Relativa (rga), obteni�endose de:�[G(j!)] = G(j!): � (G(j!)�1)Tdonde :� indica producto elemento a elemento (o de Schur) de dos matrices.Por tanto, los elementos de rga dan una medida directa de la sensibilidad ala incertidumbre en el sistema elemento a elemento. Matrices con valores elevadosde los elementos de rga se har�an singulares para peque~nos errores relativos en suselementos.Se veri�can las propiedades siguientes:1. Xi �ij =Xj �ij = 1

340 La Matriz de Ganancia Relativa2. Independencia de escalados. Para dos matrices reales y diagonales D1; D2 secumple: �(D1GD2) = �(G)3. Al menos para sistemas con dos entradas y dos salidas se veri�ca:k �(G) km � 1��(G) �k �(G) kmdonde �(G) es el n�umero de condici�on de G o relaci�on entre sus valores singu-lares extremos para cada frecuencia !:�[G(j!)] = �[G(j!)]�[G(j!)]Se cumple que: k �(G) km= 2maxfk �(G) k1; k �(G) k1gDado que � va a depender de las unidades que se empleen para representar alsistema, existen unas para las que toma su valor m��nimo ��. Se consigue si seescala la planta de forma adecuada por un par de matrices reales diagonalesD1; D2: ��(G) = minD1;D2 �(D1GD2)Se tendr�a por tanto que un sistema con un �� elevado tendr�a tambi�en un valorgrande de los elementos de RGA. E igualmente sistemas con altos elementos deRGA tendr�an tambi�en elevados valores de ��. En este caso se dice que la plantaest�a mal condicionada, lo que implicar�a en general algunos problemas adicionalespara realizar su control (Morari et al. 1989), as�� como una mayor sensibilidad a lasincertidumbres relativas en sus elementos de la matriz de transferencia del sistema.Otro aspecto importante a tener en cuenta en el an�alisis de robustez consiste enque la rga tambi�en sirve como indicador de la robustez del sistema a incertidumbresmultiplicativas diagonales que se presenten a la entrada de la planta. Como es elcaso de las incertidumbres independientes debidas a la din�amica no modelada de losactuadores. En ese caso, la incertidumbre E(s) se representa:E(s) = diagfei(s)gy la planta real G0 estar�a relacionada con la nominal G por:G0(s) = G(s)[I + E(s)]

Elementos matem�aticos �utiles en la teor��a de control 341La matriz de transferencia en lazo abierto real queda:G0K = G(I + E)K = GK(I +K�1EK)o de forma equivalente:G0K = G(I + E)K = (I +GEG�1)GKLas matrices de error correspondientes a cada expresi�on anterior a su vez puedenponerse como: (K�1EK)ii =Xj �ji(K)ej(GEG�1)ii =Xj �ij(G)ejSi tanto la planta G, como el controlador K tienen valores elevados en los ele-mentos de RGA, el sistema de control ser�a especialmente sensible a incertidumbrestipo multiplicativo situadas a la entrada de la planta. Lo anterior se dar��a por ejem-plo para una planta mal condicionada en caso de emplear un controlador que realiceuna inversi�on de la planta en determinadas frecuencias para conseguir reducir lainteracci�on entre los diferentes canales o lazos de control del sistema.

Ap�endice CDe�niciones y algoritmosrelacionados con la teor��a H1C.1 Algunas de�nicionesA continuaci�on se de�nen los espacios de Hardy H2 y H1, los cuales son amplia-mente tratados en los temas relacionados con las teor��as de control �optimo y robustoH2; H1, as�� como en problemas mixtos H2=H1. En primer lugar se de�nen para elcaso del problema escalar.El espacio de Hardy H1 consiste en el conjunto de funciones F (s) de la variablecompleja s = � + j!, las cuales son anal��ticas y est�an acotadas en el semiplanocomplejo de la derecha, Re s > 0. Se de�ne la norma H1 de F como:kFk1 = supfj F (s) j: Re s > 0gDado que en la teor��a de control se trabaja con funciones y matrices de transferenciacon coe�cientes reales, se de�ne el subconjunto,RH1 � H1En este caso, y empleando el teorema del m�odulo m�aximo (Churchill et al, 1978;Spiegel, 1971), basta con emplear s = j!, y por tanto:kFk1 = supfj F (j!) j: ! 2 <gEl espacio de Hardy H2 consiste en el conjunto de funciones F (s) de la variable343

344 Algunas de�nicionescompleja s = �+j!, las cuales son anal��ticas en el semiplano complejo de la derecha(Re s > 0), y que satisfacen la condici�on,kFk22 = sup�>0 12� Z 1�1 j F (� + j!) j2 d! <1Y limit�andose al caso de coe�cientes reales (espacio RH2), se tiene que paracalcular la norma H2, basta con integrar a lo largo del eje imaginario s = j!:kFk22 = 12� Z 1�1 j F (j!) j2 d!Para el caso vectorial, se de�nen de forma similar empleando las de�nicionespara sistemas multivariables de norma H2 y norma H1:kFk22 = 12� Z 10 traza[F T (�j!)F (j!)]d!kFk1 = sup! �[F (j!)]En la bibliograf��a relacionada con la teor��a de control H1 se emplea una de-terminada nomenclatura para indicar los diferentes conjuntos que se utilizan. Acontinuaci�on se presenta un resumen de �esta, a �n de identi�car de forma sencilla ydirecta cada uno de dichos conjuntos (Francis, 1987):L2 : Conjunto de funciones (matrices) de transferencias estrictamente propias y sinpolos en el eje imaginario.H2 : Conjunto de funciones (matrices) de transferencias estrictamente propias yestables.L1 : Conjunto de funciones (matrices) de transferencias propias y sin polos en eleje imaginario.H1 : Conjunto de funciones (matrices) de transferencias propias y estables.

De�niciones y algoritmos relacionados con la teor��a H1 345RL2 : Conjunto de funciones (matrices) de transferencias con coe�cientes reales,estrictamente propias y sin polos en el eje imaginario.RH2 : Conjunto de funciones (matrices) de transferencias con coe�cientes reales,estrictamente propias y estables.RL1 : Conjunto de funciones (matrices) de transferencias con coe�cientes reales,propias y sin polos en el eje imaginario.RH1 : Conjunto de funciones (matrices) de transferencias con coe�cientes reales,propias y estables.C.2 El operador de RiccatiSean A;Q;R matrices cuadradas de dimensi�on n, con R y Q sim�etricas. Se de�nela matriz Hamiltoniana asociada como:H = " A RQ �AT #Si se supone que H no tiene autovalores en el eje imaginario, y que existe unamatriz T que hace la siguiente partici�on:T�1HT = " A11 A120 A22 # (C:1)con la propiedad de que la matriz A11 tiene todos sus autovalores con parte realnegativa; y que a su vez T puede ponerse como:T = " T11 T12T21 T22 # (C:2)entonces la matriz X = T21T�111estar�a determinada de forma �unica por H. O dicho de otra forma, se puede es-tablecer una correspondencia o funci�on (denominada tambi�en operador de Riccati),representada por Ric, entre el conjunto de matrices Hamiltonianas fHg y el conjuntode matrices fXg: X = Ric (H)

346 El problema de aproximaci�on de Hankelel dominio de esta funci�on se representa por dom (Ric), y consta del conjunto dematrices Hamiltonianas H que no tienen autovalores en el eje imaginario, y para lasque existe una matriz de transformaci�on T que particiona a H en la forma dada porla ecuaci�on C.1, con todos los autovalores de A11 con parte real negativa.Se tiene adem�as que la matriz X es sim�etrica, y resulta ser la soluci�on de laecuaci�on algebraica de Riccati (Doyle et al. 1989):ATX +XA+XRX �Q = 0por lo que se suele decir que H es la matriz Hamiltoniana asociada a la ecuaci�onalgebraica de Riccati anterior.C.3 El problema de aproximaci�on de HankelA continuaci�on se describe otro planteamiento del problema de ajuste del modelo(M-M), basado en el problema de aproximaci�on de Hankel; y que es la base delalgoritmo de Doyle y Glover para resolver el problema H1 en el espacio de estados,as�� como otros algoritmos relacionados con problemas H1.Se plantea el problema de minimizar,kT1 + T2QT3k1Seg�un las dimensiones relativas de T1; T2; T3 se pueden dar varias situaciones cono-cidas como problemas de uno, dos y cuatro bloques respectivamente. En primerlugar se va a considerar el caso en que se supone que T1; T2 son matrices cuadradas,o que T1 tiene m�as columnas que �las, y T2 m�as �las que columnas. En cuyo casose denomina problema de un bloque. En ese caso, se supone que se cumple,T1T �1 = I; T �2 T2 = I (C:3)Teniendo en cuenta las propiedades de una matriz A,�(A�) = �(A); �(XAY ) = �(A) (C:4)para X; Y funciones (matrices) de transferencia pasa-todo, se obtiene que (problemade un bloque) kT1 + T2QT3k1 = kT3T �1 T2 +Q�k1 = kN +Q�k1

De�niciones y algoritmos relacionados con la teor��a H1 347Dado que Q es estable, Q� ser�a inestable, y se demuestra queN = T3T �1 T2es tambi�en estable. El problema de aproximar una funci�on (matriz) de transferenciaconocida estable ,N , por una inestable, Q�, es similar al problema de Nehari descritoen el cap��tulo 10, y se conoce como problema de aproximaci�on de Hankel.Puede darse el caso que T1 tenga m�as �las que columnas, o que T2 tenga m�ascolumnas que �las, en cuyo caso el problema se complica, ya que no es posible hacerque se cumplan las igualdades dadas en C.3. Sin embargo, es posible encontrarsendas matrices T1?; T2? tales que cumplan:" T �1T �1? # = " T1T1? # = I; " T2T2? # = " T �2T �2? # = Iteniendo en cuenta las propiedades dadas en C.4, se llega a,kT1 + T2QT3k1 = " N11 +Q N12N21 N22 # 1que corresponde a la forma general del denominado problema de cuatro bloques queaparece en la literatura sobre la teor��a de control H1. Se tiene que,N11 = T �2 T1T �3 ; N12 = T �2 T1T �3?N21 = T �2?T1T �3 ; N22 = T �2?T1T �3?En el caso especial en que T21 es cuadrada, o tiene m�as �las que columnas, elproblema se simpli�ca quedando:kT1 + T2QT3k1 = " N11 +QN21 # 1de igual forma, si T2 es cuadrada, o tiene m�as columnas que �las, queda el problemareducido a kT1 + T2QT3k1 = h N11 +Q N12 i 1Los dos problemas anteriores se conocen como problemas de dos bloques. Portanto, a la hora de resolver el problema de aproximaci�on de Hankel, se pueden darcuatro situaciones: dos correspondientes a los problemas de dos bloques, una alproblema de cuatro bloques, y otra al problema de un bloque (Maciejowski, 1989).

348 El algoritmo de GloverC.4 El algoritmo de GloverA continuaci�on se da el algoritmo desarrollado por Glover (Glover, 1984) para re-solver el problema de aproximaci�on de Hankel. De forma gen�erica �este se puedeexpresar de la siguiente forma:minQ2RH1 kN + Y �k1; Y; N 2 RH1En lo que sigue, se supone que N es una matriz de transferencia cuadrada, ycaso de no serlo se ampliar��a �esta con �las o columnas de ceros hasta que as�� fuera.Paso 1. Se obtiene una realizaci�on de N(s) � (Ab; Bb; Cb; Db), tal que las ecua-ciones de Lyapunov Ab� + �ATb = �BbBTbATb � + �Ab = �CTb Cbtengan la misma soluci�on� = " �iI 00 �1 # ; �1 = diag f�2; � � � ; �ng; �1 � �2 � � � � � �n > 0Para obtener dicha realizaci�on (denominada realizaci�on balanceada), se puedeemplear el siguiente algoritmo:1. Se parte de una realizaci�on de N(s) � (A;B;C;D).2. Se resuelven las ecuaciones de Lyapunov para (A;B;C;D), obteniendolas soluciones respectivas P y Q.3. Se obtiene una factorizaci�on Q = RTR, empleando por ejemplo el m�etodode Cholesky (Press et al, 1990).4. Se realiza la descomposici�on en valores singulares siguiente,RPRT = U�2UT5. Se obtiene �nalmente la realizaci�on deseada(Ab; Bb; Cb; Db) = (TAT�1; TB; CT�1; D)donde T = ��1=2UTR.

De�niciones y algoritmos relacionados con la teor��a H1 349Paso 2. Se obtiene una partici�on de A;B;C conforme con la forma obtenida de �en el paso 1.Ab = " A11 A12A21 A22 # ; Bb = " B1B2 # ; Cb = h C1 C2 iy se toman: � = �21 � �21I1; UUT = Ital que B1 = �CT1 U .Paso 3. Se calcula la soluci�on �optima al problema de aproximaci�on de Hankel, queviene dada por la realizaci�on,Yopt = (�AT ;�CT ; BT ; DT )donde sus matrices se obtienen de:A = ��1(�21AT22 + �1A22�1 � �1CT2 UBT2 ); B = ��1(�1B2 + �1CT2 U)C = �C2�1 � �1UBT2 ; D = �D + �1ULa teor��a y resultados de la aproximaci�on de Hankel tiene un gran n�umero deaplicaciones, adem�as de para la resoluci�on de los problemas de control H1. Laprincipal es la aproximaci�on de modelos de gran dimensi�on en el espacio de estadospor otros m�as simples o modelos reducidos.Frecuentemente, en muchos problemas H1, se plantea el encontrar una funci�on(matriz) de transferencia Y que satisfagakN + Y �k1 � y no siempre se trata de obtener la soluci�on �optima Yopt; en ese caso se habla desoluci�on sub�optima. Sin embargo, existir�a una Y que satisfaga dicho requerimientosi y solo si � �1. Una forma de obtener dicha soluci�on sub�optima es por medio dela realizaci�on: Ysubopt(s) � (A ; B ; C ; D )con A = ��1 ( 2ATb + �Ab�)B = ��1 �Bb; C = �Cb�; D = �Db

350 El algoritmo de Gloverdonde � = �2 � 2I. Se demuestra (Safonov et al, 1987) que en este caso no esnecesario obtener previamente la realizaci�on (Ab; Bb; Cb; Db), sino que directamentea partir de (A;B;C;D) se resuelven las ecuaciones de LyapunovAP + PAT = �BBT ; ATQ+QA = �CTCy se obtiene � = QP � 2Iquedando �nalmente la realizaci�on de Ysubopt con las matrices,A = ��1 ( 2AT +QAP )B = ��1 QB ; C = �CP; D = D

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