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Biofiacutesica para Medicina
Veterinaacuteria
Escala na biologia
Funccedilotildees Especiais
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Conversatildeo de Unidades
Medidas unidades fundamentais e padrotildees
bull Para que a quantidade resultante tenha algum significado ao se fazer a medida de uma
grandeza deve-se associar a ela um valor dimensionado em relaccedilatildeo a uma unidade que
arbitrariamente se tenha definido para medi-la
bull No Sistema Internacional de Unidades (SIU) as unidades meacutetricas satildeo as mais utilizadas
para expressar as medidas de uma grandeza
Sistema Internacional de Unidades (SIU)
Medidas unidades fundamentais e padrotildees
Unidades Elementares no Sistema Internacional de Unidades (SIU)
Sistema Internacional de Unidades (SIU)
Unidades que natildeo satildeo elementares
Velocidade [υ]=ms ⟹ combinaccedilatildeo de comprimento L (m) e tempo T (s)
Aceleraccedilatildeo [a]=ms2 ⟹ combinaccedilatildeo de comprimento L (m) e tempo T2 (s2)
Forccedila [F]=N (Newton)=1kgms2 ⟹ combinaccedilatildeo de massa M (kg) comprimento L (m) e tempo T2 (s2)
Energia [E]=J (Joule)=kgm2s2 ⟹ combinaccedilatildeo de massa M (kg) comprimento L2 (m2) e tempo T2 (s2)
Sistema Internacional de Unidades (SIU)
Medidas unidades fundamentais e padrotildees
Prefixos e siacutembolos das respectivas potecircncias de 10
Muacute
ltip
los
Su
bm
uacutelt
iplo
s
Sistema Internacional de Unidades (SIU)
Padrotildees
bull Sempre que medimos uma grandeza estamos comparando-a com o respectivo padratildeo de
referecircncia
bull Padrotildees satildeo conservados em organismos internacionalmente reconhecidos No Brasil esse
organismo eacute o Instituto Nacional de Metrologia Normalizaccedilatildeo e Qualidade Industrial
(Inmetro) Este padratildeo eacute a unidade da grandeza
bull Desde 1993 o metro eacute definido a partir da velocidade da luz no vaacutecuo e eacute o comprimento
do trajeto percorrido pela luz no vaacutecuo durante um intervalo de tempo 1299792458 de
segundo
Funccedilotildees Especiais
Devido a cada paiacutes utilizar seu proacuteprio sistema de unidades faz-se
necessaacuterio converter as unidades de um sistema para outro
Conversatildeo de Unidades
bull O meacutetodo conversatildeo em cadeia consiste em multiplicar a grandeza que se deseja
converter por ldquo1rdquo
Regras de Potenciaccedilatildeo
a b= 1a b
b a = =
0a ne
( )
( )
expoente
1
0 0 1 1 1
base
) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)
) (bases iguais e expoentes diferentes)
)
1) para 0
) 1
Nomenclatura
n n n
n m n m
mn n m
I a b a b
II a a a
III a a
IV a aa
V a a a a a
+
sdot
minus
minus
sdot = sdot
sdot =
=
= ne
= rArr = sdot = 1
asdot 1=
Quando se tem uma igualdade do tipo
Conversatildeo de Unidades
100 1)100 1 (1)
1 100
cm mi cm m
m cm = rArr = =
1000 1)1000 1 (1)
1 1000
10 (1) (1) 10
m kmii m km
km m
L km km
= rArr = =
= sdot sdot = 1000msdot1km
100
1
cm
m
sdot
1000000 cm
=
Exemplos1) Converta 10km para cm (dado 100cm=1m e 1000m=1km)
Conversatildeo de Unidades
2) Converta 8km2 para m2
( )
( )
( )
2 22
222 2 2
1000 1)1000 1 1 agora eleve tudo ao quadrado
1 1000
1000 11 reveja a regra I de potenciaccedilatildeo
1 1000
10008 1 8 8
1
m kmi m km
km m
m km
km m
mA km km km
km
= rArr = =
= =
= sdot = sdot =
2 2
2 2
1000
1
m
kmsdot 28000000 m
=
3) Converta 1000cm3 para m3
( )
( )
expoente
1
0 0 1 1 1
base
) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)
) (bases iguais e expoentes diferentes)
)
1) para 0
) 1
Nomenclatura
n n n
n m n m
mn n m
I a b a b
II a a a
III a a
IV a aa
V a a a a a
+
sdot
minus
minus
sdot = sdot
sdot =
=
= ne
= rArr = sdot = 1
asdot 1=
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia
Funccedilatildeo Exponencial
( ) ny x a xplusmn= sdot
( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =
constantes positivasa b rarr
expoente da funccedilatildeon rarr
Funccedilotildees Especiais
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo exponencial
Funccedilatildeo lei de potecircncia
( ) Bxy x A e= sdot
( ) By x A x= sdot
27182818e =
1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =
Funccedilotildees Especiais
110
( ) 10
1( ) log
Bxy x A
xy x
B Aminus
= sdot
=
Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares
1) log( ) log( ) log( )
2) log log( ) log( )
3) log( ) log( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Propriedades do logaritmo
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( ))
bx
bx
bx
x
y x a e
y x a e
a e
a b e
a b x
y x c b x
= sdot= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas
1
1 1( ( )) ( ( ))
inversaf f
f f x f f x x
minus
minus minus
rarr rArr
= =
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( )) ln( )
b
b
b
y x a x
y x a x
a x
a b x
a b
y x c b x
ω
= sdot
= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia
Ver exemplos no Matlab
1
ln( )
1
( ) ( ) ln( )
(ln( ))
( ) ln( )
x
x
x x
y x e y x x
y x e x
y e e x
minus
minus
= rArr == =
= =
Funccedilotildees Especiais
Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa
crescente
decrescente
Funccedilotildees Inversas
y
x
Como determinar a funccedilatildeo Inversa
2ordmPasso Trocar y por x
1ordmPasso Trocar x por y-1
3ordmPasso Isolar y-1
1) ( ) 3 2
2) ( ) 5 8
3) ( ) 6
y x x
y x x
y x x
= += minus += minus minus
Funccedilotildees Especiais
Natildeo admite funccedilatildeo inversa
( )y sen θ=
1
1 190ordm 90ordm
( )aa
y arcsen θminus
minusminus
=
1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =
2y x=
Funccedilotildees Especiais
11 2y xminus = 0x ge
10
110
log ( )1
110
base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()
( ) 10
( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo
x
x
x
y x y x x
y y x
y y x x
minus
minus
minus
= =
= == =
1
1 ln( )
1
base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )
( )
( ) ln( )
x
x
x
e y x e y x x
y y e x
y y e x
minus
minus
minus
= == =
= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente
Exemplo
Calcular x para
23
1) 1000 10
2) 32 5
3) 82 100
4) 152
x
x
x
xe
=
==
=
1) log( ) log( ) log(
Proprieadades do L
)
2) log log( ) log( )
3) log( ) l
ogaritmo
og( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Funccedilotildees Especiais
Composiccedilatildeo de funccedilotildees
Lei de Escala na Natureza
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Medidas unidades fundamentais e padrotildees
bull Para que a quantidade resultante tenha algum significado ao se fazer a medida de uma
grandeza deve-se associar a ela um valor dimensionado em relaccedilatildeo a uma unidade que
arbitrariamente se tenha definido para medi-la
bull No Sistema Internacional de Unidades (SIU) as unidades meacutetricas satildeo as mais utilizadas
para expressar as medidas de uma grandeza
Sistema Internacional de Unidades (SIU)
Medidas unidades fundamentais e padrotildees
Unidades Elementares no Sistema Internacional de Unidades (SIU)
Sistema Internacional de Unidades (SIU)
Unidades que natildeo satildeo elementares
Velocidade [υ]=ms ⟹ combinaccedilatildeo de comprimento L (m) e tempo T (s)
Aceleraccedilatildeo [a]=ms2 ⟹ combinaccedilatildeo de comprimento L (m) e tempo T2 (s2)
Forccedila [F]=N (Newton)=1kgms2 ⟹ combinaccedilatildeo de massa M (kg) comprimento L (m) e tempo T2 (s2)
Energia [E]=J (Joule)=kgm2s2 ⟹ combinaccedilatildeo de massa M (kg) comprimento L2 (m2) e tempo T2 (s2)
Sistema Internacional de Unidades (SIU)
Medidas unidades fundamentais e padrotildees
Prefixos e siacutembolos das respectivas potecircncias de 10
Muacute
ltip
los
Su
bm
uacutelt
iplo
s
Sistema Internacional de Unidades (SIU)
Padrotildees
bull Sempre que medimos uma grandeza estamos comparando-a com o respectivo padratildeo de
referecircncia
bull Padrotildees satildeo conservados em organismos internacionalmente reconhecidos No Brasil esse
organismo eacute o Instituto Nacional de Metrologia Normalizaccedilatildeo e Qualidade Industrial
(Inmetro) Este padratildeo eacute a unidade da grandeza
bull Desde 1993 o metro eacute definido a partir da velocidade da luz no vaacutecuo e eacute o comprimento
do trajeto percorrido pela luz no vaacutecuo durante um intervalo de tempo 1299792458 de
segundo
Funccedilotildees Especiais
Devido a cada paiacutes utilizar seu proacuteprio sistema de unidades faz-se
necessaacuterio converter as unidades de um sistema para outro
Conversatildeo de Unidades
bull O meacutetodo conversatildeo em cadeia consiste em multiplicar a grandeza que se deseja
converter por ldquo1rdquo
Regras de Potenciaccedilatildeo
a b= 1a b
b a = =
0a ne
( )
( )
expoente
1
0 0 1 1 1
base
) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)
) (bases iguais e expoentes diferentes)
)
1) para 0
) 1
Nomenclatura
n n n
n m n m
mn n m
I a b a b
II a a a
III a a
IV a aa
V a a a a a
+
sdot
minus
minus
sdot = sdot
sdot =
=
= ne
= rArr = sdot = 1
asdot 1=
Quando se tem uma igualdade do tipo
Conversatildeo de Unidades
100 1)100 1 (1)
1 100
cm mi cm m
m cm = rArr = =
1000 1)1000 1 (1)
1 1000
10 (1) (1) 10
m kmii m km
km m
L km km
= rArr = =
= sdot sdot = 1000msdot1km
100
1
cm
m
sdot
1000000 cm
=
Exemplos1) Converta 10km para cm (dado 100cm=1m e 1000m=1km)
Conversatildeo de Unidades
2) Converta 8km2 para m2
( )
( )
( )
2 22
222 2 2
1000 1)1000 1 1 agora eleve tudo ao quadrado
1 1000
1000 11 reveja a regra I de potenciaccedilatildeo
1 1000
10008 1 8 8
1
m kmi m km
km m
m km
km m
mA km km km
km
= rArr = =
= =
= sdot = sdot =
2 2
2 2
1000
1
m
kmsdot 28000000 m
=
3) Converta 1000cm3 para m3
( )
( )
expoente
1
0 0 1 1 1
base
) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)
) (bases iguais e expoentes diferentes)
)
1) para 0
) 1
Nomenclatura
n n n
n m n m
mn n m
I a b a b
II a a a
III a a
IV a aa
V a a a a a
+
sdot
minus
minus
sdot = sdot
sdot =
=
= ne
= rArr = sdot = 1
asdot 1=
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia
Funccedilatildeo Exponencial
( ) ny x a xplusmn= sdot
( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =
constantes positivasa b rarr
expoente da funccedilatildeon rarr
Funccedilotildees Especiais
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo exponencial
Funccedilatildeo lei de potecircncia
( ) Bxy x A e= sdot
( ) By x A x= sdot
27182818e =
1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =
Funccedilotildees Especiais
110
( ) 10
1( ) log
Bxy x A
xy x
B Aminus
= sdot
=
Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares
1) log( ) log( ) log( )
2) log log( ) log( )
3) log( ) log( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Propriedades do logaritmo
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( ))
bx
bx
bx
x
y x a e
y x a e
a e
a b e
a b x
y x c b x
= sdot= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas
1
1 1( ( )) ( ( ))
inversaf f
f f x f f x x
minus
minus minus
rarr rArr
= =
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( )) ln( )
b
b
b
y x a x
y x a x
a x
a b x
a b
y x c b x
ω
= sdot
= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia
Ver exemplos no Matlab
1
ln( )
1
( ) ( ) ln( )
(ln( ))
( ) ln( )
x
x
x x
y x e y x x
y x e x
y e e x
minus
minus
= rArr == =
= =
Funccedilotildees Especiais
Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa
crescente
decrescente
Funccedilotildees Inversas
y
x
Como determinar a funccedilatildeo Inversa
2ordmPasso Trocar y por x
1ordmPasso Trocar x por y-1
3ordmPasso Isolar y-1
1) ( ) 3 2
2) ( ) 5 8
3) ( ) 6
y x x
y x x
y x x
= += minus += minus minus
Funccedilotildees Especiais
Natildeo admite funccedilatildeo inversa
( )y sen θ=
1
1 190ordm 90ordm
( )aa
y arcsen θminus
minusminus
=
1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =
2y x=
Funccedilotildees Especiais
11 2y xminus = 0x ge
10
110
log ( )1
110
base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()
( ) 10
( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo
x
x
x
y x y x x
y y x
y y x x
minus
minus
minus
= =
= == =
1
1 ln( )
1
base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )
( )
( ) ln( )
x
x
x
e y x e y x x
y y e x
y y e x
minus
minus
minus
= == =
= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente
Exemplo
Calcular x para
23
1) 1000 10
2) 32 5
3) 82 100
4) 152
x
x
x
xe
=
==
=
1) log( ) log( ) log(
Proprieadades do L
)
2) log log( ) log( )
3) log( ) l
ogaritmo
og( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Funccedilotildees Especiais
Composiccedilatildeo de funccedilotildees
Lei de Escala na Natureza
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Medidas unidades fundamentais e padrotildees
Unidades Elementares no Sistema Internacional de Unidades (SIU)
Sistema Internacional de Unidades (SIU)
Unidades que natildeo satildeo elementares
Velocidade [υ]=ms ⟹ combinaccedilatildeo de comprimento L (m) e tempo T (s)
Aceleraccedilatildeo [a]=ms2 ⟹ combinaccedilatildeo de comprimento L (m) e tempo T2 (s2)
Forccedila [F]=N (Newton)=1kgms2 ⟹ combinaccedilatildeo de massa M (kg) comprimento L (m) e tempo T2 (s2)
Energia [E]=J (Joule)=kgm2s2 ⟹ combinaccedilatildeo de massa M (kg) comprimento L2 (m2) e tempo T2 (s2)
Sistema Internacional de Unidades (SIU)
Medidas unidades fundamentais e padrotildees
Prefixos e siacutembolos das respectivas potecircncias de 10
Muacute
ltip
los
Su
bm
uacutelt
iplo
s
Sistema Internacional de Unidades (SIU)
Padrotildees
bull Sempre que medimos uma grandeza estamos comparando-a com o respectivo padratildeo de
referecircncia
bull Padrotildees satildeo conservados em organismos internacionalmente reconhecidos No Brasil esse
organismo eacute o Instituto Nacional de Metrologia Normalizaccedilatildeo e Qualidade Industrial
(Inmetro) Este padratildeo eacute a unidade da grandeza
bull Desde 1993 o metro eacute definido a partir da velocidade da luz no vaacutecuo e eacute o comprimento
do trajeto percorrido pela luz no vaacutecuo durante um intervalo de tempo 1299792458 de
segundo
Funccedilotildees Especiais
Devido a cada paiacutes utilizar seu proacuteprio sistema de unidades faz-se
necessaacuterio converter as unidades de um sistema para outro
Conversatildeo de Unidades
bull O meacutetodo conversatildeo em cadeia consiste em multiplicar a grandeza que se deseja
converter por ldquo1rdquo
Regras de Potenciaccedilatildeo
a b= 1a b
b a = =
0a ne
( )
( )
expoente
1
0 0 1 1 1
base
) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)
) (bases iguais e expoentes diferentes)
)
1) para 0
) 1
Nomenclatura
n n n
n m n m
mn n m
I a b a b
II a a a
III a a
IV a aa
V a a a a a
+
sdot
minus
minus
sdot = sdot
sdot =
=
= ne
= rArr = sdot = 1
asdot 1=
Quando se tem uma igualdade do tipo
Conversatildeo de Unidades
100 1)100 1 (1)
1 100
cm mi cm m
m cm = rArr = =
1000 1)1000 1 (1)
1 1000
10 (1) (1) 10
m kmii m km
km m
L km km
= rArr = =
= sdot sdot = 1000msdot1km
100
1
cm
m
sdot
1000000 cm
=
Exemplos1) Converta 10km para cm (dado 100cm=1m e 1000m=1km)
Conversatildeo de Unidades
2) Converta 8km2 para m2
( )
( )
( )
2 22
222 2 2
1000 1)1000 1 1 agora eleve tudo ao quadrado
1 1000
1000 11 reveja a regra I de potenciaccedilatildeo
1 1000
10008 1 8 8
1
m kmi m km
km m
m km
km m
mA km km km
km
= rArr = =
= =
= sdot = sdot =
2 2
2 2
1000
1
m
kmsdot 28000000 m
=
3) Converta 1000cm3 para m3
( )
( )
expoente
1
0 0 1 1 1
base
) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)
) (bases iguais e expoentes diferentes)
)
1) para 0
) 1
Nomenclatura
n n n
n m n m
mn n m
I a b a b
II a a a
III a a
IV a aa
V a a a a a
+
sdot
minus
minus
sdot = sdot
sdot =
=
= ne
= rArr = sdot = 1
asdot 1=
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia
Funccedilatildeo Exponencial
( ) ny x a xplusmn= sdot
( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =
constantes positivasa b rarr
expoente da funccedilatildeon rarr
Funccedilotildees Especiais
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo exponencial
Funccedilatildeo lei de potecircncia
( ) Bxy x A e= sdot
( ) By x A x= sdot
27182818e =
1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =
Funccedilotildees Especiais
110
( ) 10
1( ) log
Bxy x A
xy x
B Aminus
= sdot
=
Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares
1) log( ) log( ) log( )
2) log log( ) log( )
3) log( ) log( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Propriedades do logaritmo
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( ))
bx
bx
bx
x
y x a e
y x a e
a e
a b e
a b x
y x c b x
= sdot= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas
1
1 1( ( )) ( ( ))
inversaf f
f f x f f x x
minus
minus minus
rarr rArr
= =
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( )) ln( )
b
b
b
y x a x
y x a x
a x
a b x
a b
y x c b x
ω
= sdot
= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia
Ver exemplos no Matlab
1
ln( )
1
( ) ( ) ln( )
(ln( ))
( ) ln( )
x
x
x x
y x e y x x
y x e x
y e e x
minus
minus
= rArr == =
= =
Funccedilotildees Especiais
Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa
crescente
decrescente
Funccedilotildees Inversas
y
x
Como determinar a funccedilatildeo Inversa
2ordmPasso Trocar y por x
1ordmPasso Trocar x por y-1
3ordmPasso Isolar y-1
1) ( ) 3 2
2) ( ) 5 8
3) ( ) 6
y x x
y x x
y x x
= += minus += minus minus
Funccedilotildees Especiais
Natildeo admite funccedilatildeo inversa
( )y sen θ=
1
1 190ordm 90ordm
( )aa
y arcsen θminus
minusminus
=
1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =
2y x=
Funccedilotildees Especiais
11 2y xminus = 0x ge
10
110
log ( )1
110
base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()
( ) 10
( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo
x
x
x
y x y x x
y y x
y y x x
minus
minus
minus
= =
= == =
1
1 ln( )
1
base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )
( )
( ) ln( )
x
x
x
e y x e y x x
y y e x
y y e x
minus
minus
minus
= == =
= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente
Exemplo
Calcular x para
23
1) 1000 10
2) 32 5
3) 82 100
4) 152
x
x
x
xe
=
==
=
1) log( ) log( ) log(
Proprieadades do L
)
2) log log( ) log( )
3) log( ) l
ogaritmo
og( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Funccedilotildees Especiais
Composiccedilatildeo de funccedilotildees
Lei de Escala na Natureza
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Unidades que natildeo satildeo elementares
Velocidade [υ]=ms ⟹ combinaccedilatildeo de comprimento L (m) e tempo T (s)
Aceleraccedilatildeo [a]=ms2 ⟹ combinaccedilatildeo de comprimento L (m) e tempo T2 (s2)
Forccedila [F]=N (Newton)=1kgms2 ⟹ combinaccedilatildeo de massa M (kg) comprimento L (m) e tempo T2 (s2)
Energia [E]=J (Joule)=kgm2s2 ⟹ combinaccedilatildeo de massa M (kg) comprimento L2 (m2) e tempo T2 (s2)
Sistema Internacional de Unidades (SIU)
Medidas unidades fundamentais e padrotildees
Prefixos e siacutembolos das respectivas potecircncias de 10
Muacute
ltip
los
Su
bm
uacutelt
iplo
s
Sistema Internacional de Unidades (SIU)
Padrotildees
bull Sempre que medimos uma grandeza estamos comparando-a com o respectivo padratildeo de
referecircncia
bull Padrotildees satildeo conservados em organismos internacionalmente reconhecidos No Brasil esse
organismo eacute o Instituto Nacional de Metrologia Normalizaccedilatildeo e Qualidade Industrial
(Inmetro) Este padratildeo eacute a unidade da grandeza
bull Desde 1993 o metro eacute definido a partir da velocidade da luz no vaacutecuo e eacute o comprimento
do trajeto percorrido pela luz no vaacutecuo durante um intervalo de tempo 1299792458 de
segundo
Funccedilotildees Especiais
Devido a cada paiacutes utilizar seu proacuteprio sistema de unidades faz-se
necessaacuterio converter as unidades de um sistema para outro
Conversatildeo de Unidades
bull O meacutetodo conversatildeo em cadeia consiste em multiplicar a grandeza que se deseja
converter por ldquo1rdquo
Regras de Potenciaccedilatildeo
a b= 1a b
b a = =
0a ne
( )
( )
expoente
1
0 0 1 1 1
base
) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)
) (bases iguais e expoentes diferentes)
)
1) para 0
) 1
Nomenclatura
n n n
n m n m
mn n m
I a b a b
II a a a
III a a
IV a aa
V a a a a a
+
sdot
minus
minus
sdot = sdot
sdot =
=
= ne
= rArr = sdot = 1
asdot 1=
Quando se tem uma igualdade do tipo
Conversatildeo de Unidades
100 1)100 1 (1)
1 100
cm mi cm m
m cm = rArr = =
1000 1)1000 1 (1)
1 1000
10 (1) (1) 10
m kmii m km
km m
L km km
= rArr = =
= sdot sdot = 1000msdot1km
100
1
cm
m
sdot
1000000 cm
=
Exemplos1) Converta 10km para cm (dado 100cm=1m e 1000m=1km)
Conversatildeo de Unidades
2) Converta 8km2 para m2
( )
( )
( )
2 22
222 2 2
1000 1)1000 1 1 agora eleve tudo ao quadrado
1 1000
1000 11 reveja a regra I de potenciaccedilatildeo
1 1000
10008 1 8 8
1
m kmi m km
km m
m km
km m
mA km km km
km
= rArr = =
= =
= sdot = sdot =
2 2
2 2
1000
1
m
kmsdot 28000000 m
=
3) Converta 1000cm3 para m3
( )
( )
expoente
1
0 0 1 1 1
base
) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)
) (bases iguais e expoentes diferentes)
)
1) para 0
) 1
Nomenclatura
n n n
n m n m
mn n m
I a b a b
II a a a
III a a
IV a aa
V a a a a a
+
sdot
minus
minus
sdot = sdot
sdot =
=
= ne
= rArr = sdot = 1
asdot 1=
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia
Funccedilatildeo Exponencial
( ) ny x a xplusmn= sdot
( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =
constantes positivasa b rarr
expoente da funccedilatildeon rarr
Funccedilotildees Especiais
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo exponencial
Funccedilatildeo lei de potecircncia
( ) Bxy x A e= sdot
( ) By x A x= sdot
27182818e =
1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =
Funccedilotildees Especiais
110
( ) 10
1( ) log
Bxy x A
xy x
B Aminus
= sdot
=
Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares
1) log( ) log( ) log( )
2) log log( ) log( )
3) log( ) log( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Propriedades do logaritmo
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( ))
bx
bx
bx
x
y x a e
y x a e
a e
a b e
a b x
y x c b x
= sdot= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas
1
1 1( ( )) ( ( ))
inversaf f
f f x f f x x
minus
minus minus
rarr rArr
= =
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( )) ln( )
b
b
b
y x a x
y x a x
a x
a b x
a b
y x c b x
ω
= sdot
= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia
Ver exemplos no Matlab
1
ln( )
1
( ) ( ) ln( )
(ln( ))
( ) ln( )
x
x
x x
y x e y x x
y x e x
y e e x
minus
minus
= rArr == =
= =
Funccedilotildees Especiais
Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa
crescente
decrescente
Funccedilotildees Inversas
y
x
Como determinar a funccedilatildeo Inversa
2ordmPasso Trocar y por x
1ordmPasso Trocar x por y-1
3ordmPasso Isolar y-1
1) ( ) 3 2
2) ( ) 5 8
3) ( ) 6
y x x
y x x
y x x
= += minus += minus minus
Funccedilotildees Especiais
Natildeo admite funccedilatildeo inversa
( )y sen θ=
1
1 190ordm 90ordm
( )aa
y arcsen θminus
minusminus
=
1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =
2y x=
Funccedilotildees Especiais
11 2y xminus = 0x ge
10
110
log ( )1
110
base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()
( ) 10
( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo
x
x
x
y x y x x
y y x
y y x x
minus
minus
minus
= =
= == =
1
1 ln( )
1
base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )
( )
( ) ln( )
x
x
x
e y x e y x x
y y e x
y y e x
minus
minus
minus
= == =
= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente
Exemplo
Calcular x para
23
1) 1000 10
2) 32 5
3) 82 100
4) 152
x
x
x
xe
=
==
=
1) log( ) log( ) log(
Proprieadades do L
)
2) log log( ) log( )
3) log( ) l
ogaritmo
og( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Funccedilotildees Especiais
Composiccedilatildeo de funccedilotildees
Lei de Escala na Natureza
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Medidas unidades fundamentais e padrotildees
Prefixos e siacutembolos das respectivas potecircncias de 10
Muacute
ltip
los
Su
bm
uacutelt
iplo
s
Sistema Internacional de Unidades (SIU)
Padrotildees
bull Sempre que medimos uma grandeza estamos comparando-a com o respectivo padratildeo de
referecircncia
bull Padrotildees satildeo conservados em organismos internacionalmente reconhecidos No Brasil esse
organismo eacute o Instituto Nacional de Metrologia Normalizaccedilatildeo e Qualidade Industrial
(Inmetro) Este padratildeo eacute a unidade da grandeza
bull Desde 1993 o metro eacute definido a partir da velocidade da luz no vaacutecuo e eacute o comprimento
do trajeto percorrido pela luz no vaacutecuo durante um intervalo de tempo 1299792458 de
segundo
Funccedilotildees Especiais
Devido a cada paiacutes utilizar seu proacuteprio sistema de unidades faz-se
necessaacuterio converter as unidades de um sistema para outro
Conversatildeo de Unidades
bull O meacutetodo conversatildeo em cadeia consiste em multiplicar a grandeza que se deseja
converter por ldquo1rdquo
Regras de Potenciaccedilatildeo
a b= 1a b
b a = =
0a ne
( )
( )
expoente
1
0 0 1 1 1
base
) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)
) (bases iguais e expoentes diferentes)
)
1) para 0
) 1
Nomenclatura
n n n
n m n m
mn n m
I a b a b
II a a a
III a a
IV a aa
V a a a a a
+
sdot
minus
minus
sdot = sdot
sdot =
=
= ne
= rArr = sdot = 1
asdot 1=
Quando se tem uma igualdade do tipo
Conversatildeo de Unidades
100 1)100 1 (1)
1 100
cm mi cm m
m cm = rArr = =
1000 1)1000 1 (1)
1 1000
10 (1) (1) 10
m kmii m km
km m
L km km
= rArr = =
= sdot sdot = 1000msdot1km
100
1
cm
m
sdot
1000000 cm
=
Exemplos1) Converta 10km para cm (dado 100cm=1m e 1000m=1km)
Conversatildeo de Unidades
2) Converta 8km2 para m2
( )
( )
( )
2 22
222 2 2
1000 1)1000 1 1 agora eleve tudo ao quadrado
1 1000
1000 11 reveja a regra I de potenciaccedilatildeo
1 1000
10008 1 8 8
1
m kmi m km
km m
m km
km m
mA km km km
km
= rArr = =
= =
= sdot = sdot =
2 2
2 2
1000
1
m
kmsdot 28000000 m
=
3) Converta 1000cm3 para m3
( )
( )
expoente
1
0 0 1 1 1
base
) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)
) (bases iguais e expoentes diferentes)
)
1) para 0
) 1
Nomenclatura
n n n
n m n m
mn n m
I a b a b
II a a a
III a a
IV a aa
V a a a a a
+
sdot
minus
minus
sdot = sdot
sdot =
=
= ne
= rArr = sdot = 1
asdot 1=
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia
Funccedilatildeo Exponencial
( ) ny x a xplusmn= sdot
( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =
constantes positivasa b rarr
expoente da funccedilatildeon rarr
Funccedilotildees Especiais
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo exponencial
Funccedilatildeo lei de potecircncia
( ) Bxy x A e= sdot
( ) By x A x= sdot
27182818e =
1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =
Funccedilotildees Especiais
110
( ) 10
1( ) log
Bxy x A
xy x
B Aminus
= sdot
=
Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares
1) log( ) log( ) log( )
2) log log( ) log( )
3) log( ) log( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Propriedades do logaritmo
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( ))
bx
bx
bx
x
y x a e
y x a e
a e
a b e
a b x
y x c b x
= sdot= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas
1
1 1( ( )) ( ( ))
inversaf f
f f x f f x x
minus
minus minus
rarr rArr
= =
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( )) ln( )
b
b
b
y x a x
y x a x
a x
a b x
a b
y x c b x
ω
= sdot
= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia
Ver exemplos no Matlab
1
ln( )
1
( ) ( ) ln( )
(ln( ))
( ) ln( )
x
x
x x
y x e y x x
y x e x
y e e x
minus
minus
= rArr == =
= =
Funccedilotildees Especiais
Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa
crescente
decrescente
Funccedilotildees Inversas
y
x
Como determinar a funccedilatildeo Inversa
2ordmPasso Trocar y por x
1ordmPasso Trocar x por y-1
3ordmPasso Isolar y-1
1) ( ) 3 2
2) ( ) 5 8
3) ( ) 6
y x x
y x x
y x x
= += minus += minus minus
Funccedilotildees Especiais
Natildeo admite funccedilatildeo inversa
( )y sen θ=
1
1 190ordm 90ordm
( )aa
y arcsen θminus
minusminus
=
1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =
2y x=
Funccedilotildees Especiais
11 2y xminus = 0x ge
10
110
log ( )1
110
base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()
( ) 10
( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo
x
x
x
y x y x x
y y x
y y x x
minus
minus
minus
= =
= == =
1
1 ln( )
1
base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )
( )
( ) ln( )
x
x
x
e y x e y x x
y y e x
y y e x
minus
minus
minus
= == =
= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente
Exemplo
Calcular x para
23
1) 1000 10
2) 32 5
3) 82 100
4) 152
x
x
x
xe
=
==
=
1) log( ) log( ) log(
Proprieadades do L
)
2) log log( ) log( )
3) log( ) l
ogaritmo
og( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Funccedilotildees Especiais
Composiccedilatildeo de funccedilotildees
Lei de Escala na Natureza
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Padrotildees
bull Sempre que medimos uma grandeza estamos comparando-a com o respectivo padratildeo de
referecircncia
bull Padrotildees satildeo conservados em organismos internacionalmente reconhecidos No Brasil esse
organismo eacute o Instituto Nacional de Metrologia Normalizaccedilatildeo e Qualidade Industrial
(Inmetro) Este padratildeo eacute a unidade da grandeza
bull Desde 1993 o metro eacute definido a partir da velocidade da luz no vaacutecuo e eacute o comprimento
do trajeto percorrido pela luz no vaacutecuo durante um intervalo de tempo 1299792458 de
segundo
Funccedilotildees Especiais
Devido a cada paiacutes utilizar seu proacuteprio sistema de unidades faz-se
necessaacuterio converter as unidades de um sistema para outro
Conversatildeo de Unidades
bull O meacutetodo conversatildeo em cadeia consiste em multiplicar a grandeza que se deseja
converter por ldquo1rdquo
Regras de Potenciaccedilatildeo
a b= 1a b
b a = =
0a ne
( )
( )
expoente
1
0 0 1 1 1
base
) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)
) (bases iguais e expoentes diferentes)
)
1) para 0
) 1
Nomenclatura
n n n
n m n m
mn n m
I a b a b
II a a a
III a a
IV a aa
V a a a a a
+
sdot
minus
minus
sdot = sdot
sdot =
=
= ne
= rArr = sdot = 1
asdot 1=
Quando se tem uma igualdade do tipo
Conversatildeo de Unidades
100 1)100 1 (1)
1 100
cm mi cm m
m cm = rArr = =
1000 1)1000 1 (1)
1 1000
10 (1) (1) 10
m kmii m km
km m
L km km
= rArr = =
= sdot sdot = 1000msdot1km
100
1
cm
m
sdot
1000000 cm
=
Exemplos1) Converta 10km para cm (dado 100cm=1m e 1000m=1km)
Conversatildeo de Unidades
2) Converta 8km2 para m2
( )
( )
( )
2 22
222 2 2
1000 1)1000 1 1 agora eleve tudo ao quadrado
1 1000
1000 11 reveja a regra I de potenciaccedilatildeo
1 1000
10008 1 8 8
1
m kmi m km
km m
m km
km m
mA km km km
km
= rArr = =
= =
= sdot = sdot =
2 2
2 2
1000
1
m
kmsdot 28000000 m
=
3) Converta 1000cm3 para m3
( )
( )
expoente
1
0 0 1 1 1
base
) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)
) (bases iguais e expoentes diferentes)
)
1) para 0
) 1
Nomenclatura
n n n
n m n m
mn n m
I a b a b
II a a a
III a a
IV a aa
V a a a a a
+
sdot
minus
minus
sdot = sdot
sdot =
=
= ne
= rArr = sdot = 1
asdot 1=
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia
Funccedilatildeo Exponencial
( ) ny x a xplusmn= sdot
( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =
constantes positivasa b rarr
expoente da funccedilatildeon rarr
Funccedilotildees Especiais
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo exponencial
Funccedilatildeo lei de potecircncia
( ) Bxy x A e= sdot
( ) By x A x= sdot
27182818e =
1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =
Funccedilotildees Especiais
110
( ) 10
1( ) log
Bxy x A
xy x
B Aminus
= sdot
=
Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares
1) log( ) log( ) log( )
2) log log( ) log( )
3) log( ) log( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Propriedades do logaritmo
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( ))
bx
bx
bx
x
y x a e
y x a e
a e
a b e
a b x
y x c b x
= sdot= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas
1
1 1( ( )) ( ( ))
inversaf f
f f x f f x x
minus
minus minus
rarr rArr
= =
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( )) ln( )
b
b
b
y x a x
y x a x
a x
a b x
a b
y x c b x
ω
= sdot
= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia
Ver exemplos no Matlab
1
ln( )
1
( ) ( ) ln( )
(ln( ))
( ) ln( )
x
x
x x
y x e y x x
y x e x
y e e x
minus
minus
= rArr == =
= =
Funccedilotildees Especiais
Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa
crescente
decrescente
Funccedilotildees Inversas
y
x
Como determinar a funccedilatildeo Inversa
2ordmPasso Trocar y por x
1ordmPasso Trocar x por y-1
3ordmPasso Isolar y-1
1) ( ) 3 2
2) ( ) 5 8
3) ( ) 6
y x x
y x x
y x x
= += minus += minus minus
Funccedilotildees Especiais
Natildeo admite funccedilatildeo inversa
( )y sen θ=
1
1 190ordm 90ordm
( )aa
y arcsen θminus
minusminus
=
1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =
2y x=
Funccedilotildees Especiais
11 2y xminus = 0x ge
10
110
log ( )1
110
base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()
( ) 10
( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo
x
x
x
y x y x x
y y x
y y x x
minus
minus
minus
= =
= == =
1
1 ln( )
1
base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )
( )
( ) ln( )
x
x
x
e y x e y x x
y y e x
y y e x
minus
minus
minus
= == =
= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente
Exemplo
Calcular x para
23
1) 1000 10
2) 32 5
3) 82 100
4) 152
x
x
x
xe
=
==
=
1) log( ) log( ) log(
Proprieadades do L
)
2) log log( ) log( )
3) log( ) l
ogaritmo
og( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Funccedilotildees Especiais
Composiccedilatildeo de funccedilotildees
Lei de Escala na Natureza
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Conversatildeo de Unidades
bull O meacutetodo conversatildeo em cadeia consiste em multiplicar a grandeza que se deseja
converter por ldquo1rdquo
Regras de Potenciaccedilatildeo
a b= 1a b
b a = =
0a ne
( )
( )
expoente
1
0 0 1 1 1
base
) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)
) (bases iguais e expoentes diferentes)
)
1) para 0
) 1
Nomenclatura
n n n
n m n m
mn n m
I a b a b
II a a a
III a a
IV a aa
V a a a a a
+
sdot
minus
minus
sdot = sdot
sdot =
=
= ne
= rArr = sdot = 1
asdot 1=
Quando se tem uma igualdade do tipo
Conversatildeo de Unidades
100 1)100 1 (1)
1 100
cm mi cm m
m cm = rArr = =
1000 1)1000 1 (1)
1 1000
10 (1) (1) 10
m kmii m km
km m
L km km
= rArr = =
= sdot sdot = 1000msdot1km
100
1
cm
m
sdot
1000000 cm
=
Exemplos1) Converta 10km para cm (dado 100cm=1m e 1000m=1km)
Conversatildeo de Unidades
2) Converta 8km2 para m2
( )
( )
( )
2 22
222 2 2
1000 1)1000 1 1 agora eleve tudo ao quadrado
1 1000
1000 11 reveja a regra I de potenciaccedilatildeo
1 1000
10008 1 8 8
1
m kmi m km
km m
m km
km m
mA km km km
km
= rArr = =
= =
= sdot = sdot =
2 2
2 2
1000
1
m
kmsdot 28000000 m
=
3) Converta 1000cm3 para m3
( )
( )
expoente
1
0 0 1 1 1
base
) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)
) (bases iguais e expoentes diferentes)
)
1) para 0
) 1
Nomenclatura
n n n
n m n m
mn n m
I a b a b
II a a a
III a a
IV a aa
V a a a a a
+
sdot
minus
minus
sdot = sdot
sdot =
=
= ne
= rArr = sdot = 1
asdot 1=
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia
Funccedilatildeo Exponencial
( ) ny x a xplusmn= sdot
( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =
constantes positivasa b rarr
expoente da funccedilatildeon rarr
Funccedilotildees Especiais
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo exponencial
Funccedilatildeo lei de potecircncia
( ) Bxy x A e= sdot
( ) By x A x= sdot
27182818e =
1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =
Funccedilotildees Especiais
110
( ) 10
1( ) log
Bxy x A
xy x
B Aminus
= sdot
=
Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares
1) log( ) log( ) log( )
2) log log( ) log( )
3) log( ) log( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Propriedades do logaritmo
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( ))
bx
bx
bx
x
y x a e
y x a e
a e
a b e
a b x
y x c b x
= sdot= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas
1
1 1( ( )) ( ( ))
inversaf f
f f x f f x x
minus
minus minus
rarr rArr
= =
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( )) ln( )
b
b
b
y x a x
y x a x
a x
a b x
a b
y x c b x
ω
= sdot
= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia
Ver exemplos no Matlab
1
ln( )
1
( ) ( ) ln( )
(ln( ))
( ) ln( )
x
x
x x
y x e y x x
y x e x
y e e x
minus
minus
= rArr == =
= =
Funccedilotildees Especiais
Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa
crescente
decrescente
Funccedilotildees Inversas
y
x
Como determinar a funccedilatildeo Inversa
2ordmPasso Trocar y por x
1ordmPasso Trocar x por y-1
3ordmPasso Isolar y-1
1) ( ) 3 2
2) ( ) 5 8
3) ( ) 6
y x x
y x x
y x x
= += minus += minus minus
Funccedilotildees Especiais
Natildeo admite funccedilatildeo inversa
( )y sen θ=
1
1 190ordm 90ordm
( )aa
y arcsen θminus
minusminus
=
1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =
2y x=
Funccedilotildees Especiais
11 2y xminus = 0x ge
10
110
log ( )1
110
base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()
( ) 10
( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo
x
x
x
y x y x x
y y x
y y x x
minus
minus
minus
= =
= == =
1
1 ln( )
1
base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )
( )
( ) ln( )
x
x
x
e y x e y x x
y y e x
y y e x
minus
minus
minus
= == =
= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente
Exemplo
Calcular x para
23
1) 1000 10
2) 32 5
3) 82 100
4) 152
x
x
x
xe
=
==
=
1) log( ) log( ) log(
Proprieadades do L
)
2) log log( ) log( )
3) log( ) l
ogaritmo
og( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Funccedilotildees Especiais
Composiccedilatildeo de funccedilotildees
Lei de Escala na Natureza
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
100 1)100 1 (1)
1 100
cm mi cm m
m cm = rArr = =
1000 1)1000 1 (1)
1 1000
10 (1) (1) 10
m kmii m km
km m
L km km
= rArr = =
= sdot sdot = 1000msdot1km
100
1
cm
m
sdot
1000000 cm
=
Exemplos1) Converta 10km para cm (dado 100cm=1m e 1000m=1km)
Conversatildeo de Unidades
2) Converta 8km2 para m2
( )
( )
( )
2 22
222 2 2
1000 1)1000 1 1 agora eleve tudo ao quadrado
1 1000
1000 11 reveja a regra I de potenciaccedilatildeo
1 1000
10008 1 8 8
1
m kmi m km
km m
m km
km m
mA km km km
km
= rArr = =
= =
= sdot = sdot =
2 2
2 2
1000
1
m
kmsdot 28000000 m
=
3) Converta 1000cm3 para m3
( )
( )
expoente
1
0 0 1 1 1
base
) ( ) (bases diferentes e expoentes iguais)
) (bases iguais e expoentes diferentes)
)
1) para 0
) 1
Nomenclatura
n n n
n m n m
mn n m
I a b a b
II a a a
III a a
IV a aa
V a a a a a
+
sdot
minus
minus
sdot = sdot
sdot =
=
= ne
= rArr = sdot = 1
asdot 1=
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia
Funccedilatildeo Exponencial
( ) ny x a xplusmn= sdot
( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =
constantes positivasa b rarr
expoente da funccedilatildeon rarr
Funccedilotildees Especiais
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo exponencial
Funccedilatildeo lei de potecircncia
( ) Bxy x A e= sdot
( ) By x A x= sdot
27182818e =
1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =
Funccedilotildees Especiais
110
( ) 10
1( ) log
Bxy x A
xy x
B Aminus
= sdot
=
Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares
1) log( ) log( ) log( )
2) log log( ) log( )
3) log( ) log( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Propriedades do logaritmo
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( ))
bx
bx
bx
x
y x a e
y x a e
a e
a b e
a b x
y x c b x
= sdot= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas
1
1 1( ( )) ( ( ))
inversaf f
f f x f f x x
minus
minus minus
rarr rArr
= =
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( )) ln( )
b
b
b
y x a x
y x a x
a x
a b x
a b
y x c b x
ω
= sdot
= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia
Ver exemplos no Matlab
1
ln( )
1
( ) ( ) ln( )
(ln( ))
( ) ln( )
x
x
x x
y x e y x x
y x e x
y e e x
minus
minus
= rArr == =
= =
Funccedilotildees Especiais
Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa
crescente
decrescente
Funccedilotildees Inversas
y
x
Como determinar a funccedilatildeo Inversa
2ordmPasso Trocar y por x
1ordmPasso Trocar x por y-1
3ordmPasso Isolar y-1
1) ( ) 3 2
2) ( ) 5 8
3) ( ) 6
y x x
y x x
y x x
= += minus += minus minus
Funccedilotildees Especiais
Natildeo admite funccedilatildeo inversa
( )y sen θ=
1
1 190ordm 90ordm
( )aa
y arcsen θminus
minusminus
=
1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =
2y x=
Funccedilotildees Especiais
11 2y xminus = 0x ge
10
110
log ( )1
110
base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()
( ) 10
( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo
x
x
x
y x y x x
y y x
y y x x
minus
minus
minus
= =
= == =
1
1 ln( )
1
base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )
( )
( ) ln( )
x
x
x
e y x e y x x
y y e x
y y e x
minus
minus
minus
= == =
= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente
Exemplo
Calcular x para
23
1) 1000 10
2) 32 5
3) 82 100
4) 152
x
x
x
xe
=
==
=
1) log( ) log( ) log(
Proprieadades do L
)
2) log log( ) log( )
3) log( ) l
ogaritmo
og( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Funccedilotildees Especiais
Composiccedilatildeo de funccedilotildees
Lei de Escala na Natureza
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia
Funccedilatildeo Exponencial
( ) ny x a xplusmn= sdot
( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =
constantes positivasa b rarr
expoente da funccedilatildeon rarr
Funccedilotildees Especiais
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo exponencial
Funccedilatildeo lei de potecircncia
( ) Bxy x A e= sdot
( ) By x A x= sdot
27182818e =
1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =
Funccedilotildees Especiais
110
( ) 10
1( ) log
Bxy x A
xy x
B Aminus
= sdot
=
Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares
1) log( ) log( ) log( )
2) log log( ) log( )
3) log( ) log( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Propriedades do logaritmo
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( ))
bx
bx
bx
x
y x a e
y x a e
a e
a b e
a b x
y x c b x
= sdot= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas
1
1 1( ( )) ( ( ))
inversaf f
f f x f f x x
minus
minus minus
rarr rArr
= =
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( )) ln( )
b
b
b
y x a x
y x a x
a x
a b x
a b
y x c b x
ω
= sdot
= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia
Ver exemplos no Matlab
1
ln( )
1
( ) ( ) ln( )
(ln( ))
( ) ln( )
x
x
x x
y x e y x x
y x e x
y e e x
minus
minus
= rArr == =
= =
Funccedilotildees Especiais
Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa
crescente
decrescente
Funccedilotildees Inversas
y
x
Como determinar a funccedilatildeo Inversa
2ordmPasso Trocar y por x
1ordmPasso Trocar x por y-1
3ordmPasso Isolar y-1
1) ( ) 3 2
2) ( ) 5 8
3) ( ) 6
y x x
y x x
y x x
= += minus += minus minus
Funccedilotildees Especiais
Natildeo admite funccedilatildeo inversa
( )y sen θ=
1
1 190ordm 90ordm
( )aa
y arcsen θminus
minusminus
=
1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =
2y x=
Funccedilotildees Especiais
11 2y xminus = 0x ge
10
110
log ( )1
110
base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()
( ) 10
( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo
x
x
x
y x y x x
y y x
y y x x
minus
minus
minus
= =
= == =
1
1 ln( )
1
base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )
( )
( ) ln( )
x
x
x
e y x e y x x
y y e x
y y e x
minus
minus
minus
= == =
= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente
Exemplo
Calcular x para
23
1) 1000 10
2) 32 5
3) 82 100
4) 152
x
x
x
xe
=
==
=
1) log( ) log( ) log(
Proprieadades do L
)
2) log log( ) log( )
3) log( ) l
ogaritmo
og( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Funccedilotildees Especiais
Composiccedilatildeo de funccedilotildees
Lei de Escala na Natureza
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Funccedilatildeo Tipo Lei de Potecircncia
Funccedilatildeo Exponencial
( ) ny x a xplusmn= sdot
( ) b xy x a eplusmn sdot= sdot 271828e =
constantes positivasa b rarr
expoente da funccedilatildeon rarr
Funccedilotildees Especiais
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo exponencial
Funccedilatildeo lei de potecircncia
( ) Bxy x A e= sdot
( ) By x A x= sdot
27182818e =
1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =
Funccedilotildees Especiais
110
( ) 10
1( ) log
Bxy x A
xy x
B Aminus
= sdot
=
Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares
1) log( ) log( ) log( )
2) log log( ) log( )
3) log( ) log( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Propriedades do logaritmo
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( ))
bx
bx
bx
x
y x a e
y x a e
a e
a b e
a b x
y x c b x
= sdot= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas
1
1 1( ( )) ( ( ))
inversaf f
f f x f f x x
minus
minus minus
rarr rArr
= =
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( )) ln( )
b
b
b
y x a x
y x a x
a x
a b x
a b
y x c b x
ω
= sdot
= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia
Ver exemplos no Matlab
1
ln( )
1
( ) ( ) ln( )
(ln( ))
( ) ln( )
x
x
x x
y x e y x x
y x e x
y e e x
minus
minus
= rArr == =
= =
Funccedilotildees Especiais
Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa
crescente
decrescente
Funccedilotildees Inversas
y
x
Como determinar a funccedilatildeo Inversa
2ordmPasso Trocar y por x
1ordmPasso Trocar x por y-1
3ordmPasso Isolar y-1
1) ( ) 3 2
2) ( ) 5 8
3) ( ) 6
y x x
y x x
y x x
= += minus += minus minus
Funccedilotildees Especiais
Natildeo admite funccedilatildeo inversa
( )y sen θ=
1
1 190ordm 90ordm
( )aa
y arcsen θminus
minusminus
=
1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =
2y x=
Funccedilotildees Especiais
11 2y xminus = 0x ge
10
110
log ( )1
110
base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()
( ) 10
( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo
x
x
x
y x y x x
y y x
y y x x
minus
minus
minus
= =
= == =
1
1 ln( )
1
base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )
( )
( ) ln( )
x
x
x
e y x e y x x
y y e x
y y e x
minus
minus
minus
= == =
= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente
Exemplo
Calcular x para
23
1) 1000 10
2) 32 5
3) 82 100
4) 152
x
x
x
xe
=
==
=
1) log( ) log( ) log(
Proprieadades do L
)
2) log log( ) log( )
3) log( ) l
ogaritmo
og( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Funccedilotildees Especiais
Composiccedilatildeo de funccedilotildees
Lei de Escala na Natureza
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Funccedilotildees Especiais
Funccedilatildeo exponencial
Funccedilatildeo lei de potecircncia
( ) Bxy x A e= sdot
( ) By x A x= sdot
27182818e =
1( ) ( ) ln( )xy x e y x xminus= rArr =
Funccedilotildees Especiais
110
( ) 10
1( ) log
Bxy x A
xy x
B Aminus
= sdot
=
Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares
1) log( ) log( ) log( )
2) log log( ) log( )
3) log( ) log( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Propriedades do logaritmo
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( ))
bx
bx
bx
x
y x a e
y x a e
a e
a b e
a b x
y x c b x
= sdot= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas
1
1 1( ( )) ( ( ))
inversaf f
f f x f f x x
minus
minus minus
rarr rArr
= =
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( )) ln( )
b
b
b
y x a x
y x a x
a x
a b x
a b
y x c b x
ω
= sdot
= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia
Ver exemplos no Matlab
1
ln( )
1
( ) ( ) ln( )
(ln( ))
( ) ln( )
x
x
x x
y x e y x x
y x e x
y e e x
minus
minus
= rArr == =
= =
Funccedilotildees Especiais
Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa
crescente
decrescente
Funccedilotildees Inversas
y
x
Como determinar a funccedilatildeo Inversa
2ordmPasso Trocar y por x
1ordmPasso Trocar x por y-1
3ordmPasso Isolar y-1
1) ( ) 3 2
2) ( ) 5 8
3) ( ) 6
y x x
y x x
y x x
= += minus += minus minus
Funccedilotildees Especiais
Natildeo admite funccedilatildeo inversa
( )y sen θ=
1
1 190ordm 90ordm
( )aa
y arcsen θminus
minusminus
=
1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =
2y x=
Funccedilotildees Especiais
11 2y xminus = 0x ge
10
110
log ( )1
110
base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()
( ) 10
( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo
x
x
x
y x y x x
y y x
y y x x
minus
minus
minus
= =
= == =
1
1 ln( )
1
base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )
( )
( ) ln( )
x
x
x
e y x e y x x
y y e x
y y e x
minus
minus
minus
= == =
= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente
Exemplo
Calcular x para
23
1) 1000 10
2) 32 5
3) 82 100
4) 152
x
x
x
xe
=
==
=
1) log( ) log( ) log(
Proprieadades do L
)
2) log log( ) log( )
3) log( ) l
ogaritmo
og( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Funccedilotildees Especiais
Composiccedilatildeo de funccedilotildees
Lei de Escala na Natureza
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Linearizaccedilatildeo de funccedilotildees natildeo-lineares
1) log( ) log( ) log( )
2) log log( ) log( )
3) log( ) log( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Propriedades do logaritmo
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( ))
bx
bx
bx
x
y x a e
y x a e
a e
a b e
a b x
y x c b x
= sdot= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Composiccedilatildeo de funccedilotildees inversas
1
1 1( ( )) ( ( ))
inversaf f
f f x f f x x
minus
minus minus
rarr rArr
= =
( )
ln( ( )) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( ) ln( )
= ln( )
ln( ( )) ln( )
b
b
b
y x a x
y x a x
a x
a b x
a b
y x c b x
ω
= sdot
= sdot
++ sdot+ sdot
= + sdot
Linearizaccedilatildeo da funccedilatildeo exponencialLinearizaccedilatildeo da funccedilatildeo lei de potecircncia
Ver exemplos no Matlab
1
ln( )
1
( ) ( ) ln( )
(ln( ))
( ) ln( )
x
x
x x
y x e y x x
y x e x
y e e x
minus
minus
= rArr == =
= =
Funccedilotildees Especiais
Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa
crescente
decrescente
Funccedilotildees Inversas
y
x
Como determinar a funccedilatildeo Inversa
2ordmPasso Trocar y por x
1ordmPasso Trocar x por y-1
3ordmPasso Isolar y-1
1) ( ) 3 2
2) ( ) 5 8
3) ( ) 6
y x x
y x x
y x x
= += minus += minus minus
Funccedilotildees Especiais
Natildeo admite funccedilatildeo inversa
( )y sen θ=
1
1 190ordm 90ordm
( )aa
y arcsen θminus
minusminus
=
1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =
2y x=
Funccedilotildees Especiais
11 2y xminus = 0x ge
10
110
log ( )1
110
base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()
( ) 10
( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo
x
x
x
y x y x x
y y x
y y x x
minus
minus
minus
= =
= == =
1
1 ln( )
1
base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )
( )
( ) ln( )
x
x
x
e y x e y x x
y y e x
y y e x
minus
minus
minus
= == =
= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente
Exemplo
Calcular x para
23
1) 1000 10
2) 32 5
3) 82 100
4) 152
x
x
x
xe
=
==
=
1) log( ) log( ) log(
Proprieadades do L
)
2) log log( ) log( )
3) log( ) l
ogaritmo
og( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Funccedilotildees Especiais
Composiccedilatildeo de funccedilotildees
Lei de Escala na Natureza
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Apenas funccedilotildees monotonicamente crescente ou decrescente admite funccedilatildeo inversa
crescente
decrescente
Funccedilotildees Inversas
y
x
Como determinar a funccedilatildeo Inversa
2ordmPasso Trocar y por x
1ordmPasso Trocar x por y-1
3ordmPasso Isolar y-1
1) ( ) 3 2
2) ( ) 5 8
3) ( ) 6
y x x
y x x
y x x
= += minus += minus minus
Funccedilotildees Especiais
Natildeo admite funccedilatildeo inversa
( )y sen θ=
1
1 190ordm 90ordm
( )aa
y arcsen θminus
minusminus
=
1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =
2y x=
Funccedilotildees Especiais
11 2y xminus = 0x ge
10
110
log ( )1
110
base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()
( ) 10
( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo
x
x
x
y x y x x
y y x
y y x x
minus
minus
minus
= =
= == =
1
1 ln( )
1
base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )
( )
( ) ln( )
x
x
x
e y x e y x x
y y e x
y y e x
minus
minus
minus
= == =
= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente
Exemplo
Calcular x para
23
1) 1000 10
2) 32 5
3) 82 100
4) 152
x
x
x
xe
=
==
=
1) log( ) log( ) log(
Proprieadades do L
)
2) log log( ) log( )
3) log( ) l
ogaritmo
og( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Funccedilotildees Especiais
Composiccedilatildeo de funccedilotildees
Lei de Escala na Natureza
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Como determinar a funccedilatildeo Inversa
2ordmPasso Trocar y por x
1ordmPasso Trocar x por y-1
3ordmPasso Isolar y-1
1) ( ) 3 2
2) ( ) 5 8
3) ( ) 6
y x x
y x x
y x x
= += minus += minus minus
Funccedilotildees Especiais
Natildeo admite funccedilatildeo inversa
( )y sen θ=
1
1 190ordm 90ordm
( )aa
y arcsen θminus
minusminus
=
1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =
2y x=
Funccedilotildees Especiais
11 2y xminus = 0x ge
10
110
log ( )1
110
base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()
( ) 10
( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo
x
x
x
y x y x x
y y x
y y x x
minus
minus
minus
= =
= == =
1
1 ln( )
1
base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )
( )
( ) ln( )
x
x
x
e y x e y x x
y y e x
y y e x
minus
minus
minus
= == =
= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente
Exemplo
Calcular x para
23
1) 1000 10
2) 32 5
3) 82 100
4) 152
x
x
x
xe
=
==
=
1) log( ) log( ) log(
Proprieadades do L
)
2) log log( ) log( )
3) log( ) l
ogaritmo
og( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Funccedilotildees Especiais
Composiccedilatildeo de funccedilotildees
Lei de Escala na Natureza
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Natildeo admite funccedilatildeo inversa
( )y sen θ=
1
1 190ordm 90ordm
( )aa
y arcsen θminus
minusminus
=
1 1( ) ( )y y y y θminus minus= =
2y x=
Funccedilotildees Especiais
11 2y xminus = 0x ge
10
110
log ( )1
110
base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()
( ) 10
( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo
x
x
x
y x y x x
y y x
y y x x
minus
minus
minus
= =
= == =
1
1 ln( )
1
base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )
( )
( ) ln( )
x
x
x
e y x e y x x
y y e x
y y e x
minus
minus
minus
= == =
= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente
Exemplo
Calcular x para
23
1) 1000 10
2) 32 5
3) 82 100
4) 152
x
x
x
xe
=
==
=
1) log( ) log( ) log(
Proprieadades do L
)
2) log log( ) log( )
3) log( ) l
ogaritmo
og( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Funccedilotildees Especiais
Composiccedilatildeo de funccedilotildees
Lei de Escala na Natureza
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
10
110
log ( )1
110
base 10 ( ) 10 Funccedilatildeo Inversa ( ) log ()
( ) 10
( ) log (10 ) =pode ser uma funccedilatildeo
x
x
x
y x y x x
y y x
y y x x
minus
minus
minus
= =
= == =
1
1 ln( )
1
base ( ) Funccedilatildeo Inversa ( ) ln( )
( )
( ) ln( )
x
x
x
e y x e y x x
y y e x
y y e x
minus
minus
minus
= == =
= =Grande utilidade quando se deseja isolar uma variaacutevel que se encontra no expoente
Exemplo
Calcular x para
23
1) 1000 10
2) 32 5
3) 82 100
4) 152
x
x
x
xe
=
==
=
1) log( ) log( ) log(
Proprieadades do L
)
2) log log( ) log( )
3) log( ) l
ogaritmo
og( )n
A B A B
AA B
B
A n A
sdot = +
= minus
= sdot
Funccedilotildees Especiais
Composiccedilatildeo de funccedilotildees
Lei de Escala na Natureza
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Lei de Escala na Natureza
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Periacuteodo e Frequecircncia de
oscilaccedilatildeo de um pecircndulo
simples
Lei de potecircncia com
2 ( )
1 1( 1 )
2
lT s
g
gf Hz s
T l
π
π
=
= = =
1
21
f ll
minusprop =
Frequecircncia de oscilaccedilatildeo-gt caminhada natural de
um animal passos por segundo
2
1( )
10
comprimento da perna em metro
gf passo s
l
g m s
l
π=
==
l
Periacuteodo duraccedilatildeo de um ciclo
Aceleraccedilatildeo da gravidade
Frequecircncia nuacutemero de vezes que o
ciclo se repete em 1 segundo
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Relaccedilotildees de Escala
Verificou-se que o nuacutemero de batidas do coraccedilatildeo de um animal ao longo de toda a sua
vida eacute um valor constante para todos os mamiacuteferos (800 milhotildees de batidas)
6800 10c mf t batidassdot∆ = sdot
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm)
Tempo meacutedio de vida
Aproximadamente constante
para todos os mamiacuteferos
14mt m∆ prop
14( ) 241cf m mminus= sdot
Vida meacutedia do animal
Frequecircncia cardiacuteaca
(bpm) e massa em Kg
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal maior seraacute o
seu tempo meacutedio de vida
Quanto lsquomaiorrsquo for o animal menor
eacute a sua frequecircncia cardiacuteaca
11c m
m
f tt
minusprop = ∆∆
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Vida meacutedia = 70anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia =40 anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Vida meacutedia = 25
Frequecircncia cardiacuteaca=Vida meacutedia = 2anos
Frequecircncia cardiacuteaca=
Verificar o tempo meacutedio de vida e frequecircncia cardiacuteaca
O coraccedilatildeo da BALEIA-AZULbate 9 vezes por minutofc=9bpm
Relaccedilotildees de Escala
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Introduccedilatildeo
bull Teacutecnicas experimentais e meacutetodos teoacutericos tiacutepicos da fiacutesica e da quiacutemica satildeo
extremamente uacuteteis para as generalizaccedilotildees quantitativas feitas na biologia
bull Nas ciecircncias bioloacutegicas as observaccedilotildees experimentais exigem um conhecimento dos
fundamentos dos caacutelculos vetorial diferencial e integral e de vaacuterios princiacutepios da fiacutesica e da
quiacutemica
bull Como meacutetodos e princiacutepios da fiacutesica satildeo usados para se chegar agraves generalizaccedilotildees
quantitativas de observaccedilotildees nas ciecircncias bioloacutegicas
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Graacuteficos
fonte httpinfoabrilcombrdicasescritoriopacotesos-dados-vao-parar-no-mapashtml
tabela
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
1 4791 2 4564 3 4324 4 4072 5 3813 6 3548 7 3281 8 3016 9 2754 10 2500 11 2256 12 2024 13 1809 14 1612 15 1438 16 1288 17 1166 18 1076 19 1020 20 1000 21 1021 22 1084 23 1194 24 1352 25 1563
26 1828 27 2152 28 2536 29 2985 30 3500 31 4086 32 4744 33 5479 34 6292 35 7188 36 8168 37 9237 38 10396 39 11650 40 13000 41 14451 42 16004 43 17664 44 19432 45 21313 46 23308 47 25422 48 27656 49 30015 50 32500
Construccedilatildeo de Graacuteficos
t y(t)
tabela
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Construccedilatildeo de Graacuteficos
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Graacuteficos
bull O graacutefico eacute uma das formas mais convenientes para visualizar eou interpretar uma
relaccedilatildeo entre duas ou mais grandezas aleacutem de poder evidenciar uma relaccedilatildeo entre
grandezas que seria difiacutecil de ser estabelecida somente com o uso de tabelas
bull Para construirmos um graacutefico devemos estabelecer uma escala em cada eixo de modo
que pares de valores possam ser colocados no graacutefico independente do intervalo de
variaccedilatildeo desses valores e dos comprimentos dos eixos
Linear
Logariacutetmica
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Graacuteficos
Algumas regras muito uacuteteis para a construccedilatildeo de um graacutefico
bull Em uma mesma folha eacute possiacutevel construir vaacuterios graacuteficos basta usar siacutembolos diferentes (clubs diams hearts spades ) e
uma legenda que identifique cada tipo de ponto
bull Quando o valor das grandezas jaacute tem seu desvio absoluto definido o graacutefico deve trazer esta informaccedilatildeo
bull Na medida do possiacutevel conveacutem representar os graacuteficos por curva suave
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Graacuteficos
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Graacuteficos
As folhas para graacuteficos mais utilizadas apresentam
dois tipos de escalas milimetrado e logariacutetmico
A combinaccedilatildeo dessas escalas daacute origem a trecircs tipos de folha para
graacuteficos
bull Milimetrado a folha apresenta escalas lineares
bull Mono-logariacutetmico a folha apresenta uma
escala logariacutetmica e outra linear
bull Di-logariacutetmico a folha apresenta escalas logariacutetmicas
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Escala Linear
Determinar o passo na direccedilatildeo x xp
Determinar o passo na direccedilatildeo y yp
_ _
x
Maior x Menor xp
pontos
minus=
_ _
y
Maior y Menor yp
pontos
minus=
Usar o inteiro mais proacuteximo
X Y
5 40
8 51
15 62
20 74
23 80
29 98
40
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala linear-linear
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Construccedilatildeo de escala logariacutetmica
bull Escala logariacutetmica
Quando a folha para graacutefico tem vaacuterios ciclos como mostra a figura a seguir os extremos da cada ciclo tomam
valores correspondentes a potecircncias inteiras de 10
[4 22 78 193 437]
4 22 78 193
10log (440) 264
264053
5 5
m
m
= =
= =
0 053
1
10 sdot
=
1 053
339
10 sdot
=
2 053
1148
10 sdot
=
3 053
389
10 sdot
=
4 053
1318
10 sdot
=
5 053
4467
10 sdot
=
0 1 2 3 4 5
Meacutetodo para construccedilatildeo de graacutefico na escala logariacutetmica
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
O conceito de fator de escala seraacute introduzido a partir da comparaccedilatildeo
de objetos com formas geomeacutetricas regulares A figura abaixo mostra dois cubos um de lado l e outro de lado lrsquo
= 2l e duas esferas uma de raio r e outra de raio rrsquo = 3r No caso dos cubos o lado de um eacute duas vezes maior que
do outro e o fator 2 ou L em geral eacute denominado fator de escala Ao comparar o tamanho dos raios das
esferas o fator de escala L seraacute 3
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico l
Comprimento caracteriacutestico lrsquo
Comprimento caracteriacutestico r
Comprimento caracteriacutestico rrsquo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Comprimento caracteriacutestico l
Aacuterea ~ l2
Volume ~ l3
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Fator de escala e tamanho de objetos regulares
R
3
2
4
3
4
V R
A R
π
π
=
=
Como escrever V em funccedilatildeo de A
3
2
V L
A L
=
=
L
R eacute o comprimento caracteriacutestico da esfera
L eacute o comprimento
caracteriacutestico do cubo
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Fator de escala e tamanho de objetos
As figuras abaixo mostram dois corpos muito comuns na biologia e seus respectivos comprimentos
caracteriacutesticos escolhidos
Fator de escala e Comprimento Caracteriacutestico
3~V h
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
2 2
3 3
2
Aacuterea ~ ou ~
Volume ~ ou V ~
~
A d A h
V d h
V h d
rArr
rArr
sdot
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Escala na biologia
bull Para relacionar a funccedilatildeo bioloacutegica dos organismos com seu tamanho recorremos ao conceito de escala
bull Na biologia o tamanho de um organismo estaacute diretamente relacionado com suas caracteriacutesticas e funccedilotildees
bull As propriedades bioloacutegicas de um organismo satildeo bastante dependentes de seu comprimento de sua aacuterea
superficial de seu volume e de sua massa
Definiccedilatildeo de Densidade volumeacutetrica (ou massa especiacutefica)
3
m kg
V m
m V
ρ
ρ
=
= sdot
3
3
13
4
3
(para esfera homogecircnea =constante)
m R
m R
R m
ρ π
ρ
= sdot
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Um corpo eacute homogecircneo quando ρ eacute constante
3m
m V m lV
ρ ρ ρ= = sdot rArr = sdot
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Para uma esfera homogecircnea deve-se esperar que
3 34
3
mm R m R
Vρ ρ π= = sdot sdot rArr prop
Mais massa na parte central que na periferia
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Mais massa na periferia que na parte central
Um corpo eacute natildeo homogecircneo quando ρ eacute variaacutevel
Mais massa na parte central que na periferia
ρ deve diminuir com R
ρ deve aumentar com R
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π lt= = sdot sdot rArr prop
3 34 ( )
3
mm R R m R
Vρ ρ π gt= = sdot sdot rArr prop
o expoente de R eacute menor que 3
o expoente de R eacute maior que 3
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Crescimento de uma ceacutelula
Se as dimensotildees criacuteticas de uma ceacutelula satildeo caracterizadas pela magnitude miacutenima (rlt) e
maacutexima (rgt) de seu raio como eacute mostrado na figura abaixo entatildeo toda ceacutelula de raio r
colapsaraacute se
bull r lt rlt
bull r gt rgt
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
As aplicaccedilotildees mais comuns do conceito de escala nas atividades dos
animais estatildeo relacionadas com sua capacidade para
que seu esqueleto suporte seu proacuteprio peso
suportar pesos externos sem que seu funcionamento normal seja afetado
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A capacidade de um osso para suportar uma compressatildeo direta ou uma tensatildeo de carga eacute
proporcional agrave aacuterea de sua seccedilatildeo transversal ou seja F α l2 onde l eacute o comprimento
caracteriacutestico do espeacutecime que conteacutem o osso Consequentemente um animal duas vezes
mais alto que outro de forma semelhante muito provavelmente teraacute membros capazes
para suportar aproximadamente quatro vezes mais carga que a suportada pelo animal
menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Os muacutesculos tal como os ossos tambeacutem contribuem para a resistecircncia
dos seres vivos aos esforccedilos externos e internos A resistecircncia R do muacutesculo eacute com grande aproximaccedilatildeo
proporcional ao nuacutemero de fibras no muacutesculo
F
A
c
FF A
Aσ σ= = sdot
2F A F lprop propResistecircncia Muscular eacute proporcional ao comprimento ao quadrado
A resistecircncia tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
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143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Resistecircncia em organismos de tamanho diferentes
A figura abaixo mostra o que acontece ao uacutemero no membro anterior de um cavalo quando esse osso experimenta uma
forccedila F devido agrave compressatildeo de suas articulaccedilotildees e uma forccedila P devido agrave massa do animal
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Alguns argumentos que permitiram esclarecer o papel dos ossos e dos muacutesculos nas
atividades desses seres vivos
bull A massa suportada pelos membros de um ser vivo eacute proporcional ao seu volume ou seja
m ~ l3 Portanto um animal trecircs vezes mais alto que outro de forma semelhante muito
provavelmente suportaraacute uma massa 27 vezes maior que a suportada pelo animal menor
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Quando se quer comparar entre organismos de formas semelhantes a resistecircncia ao esforccedilo ou compressatildeo a grandeza
mais significativa eacute a resistecircncia especiacutefica Re que mede a razatildeo entre a resistecircncia e a massa do organismo
Resistecircncia Muscular tambeacutem deve sustentar o seu proacuteprio peso
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Resistecircncia em organismos de tamanhos diferentes
Para avaliarmos a massa que um organismo pode levantar em relaccedilatildeo a seu
tamanho deve-se analisar a razatildeo entre essa massa e a massa do proacuteprio
organismo Essa razatildeo eacute denominada esforccedilo especiacutefico Ee
De acordo com a figura ao lado para comparar os esforccedilos especiacuteficos de dois
seres vivos pode-se usar o fator de escala L mas como veremos a seguir as
formas dos organismos tambeacutem satildeo variaacuteveis a serem consideradas
Pode levantar ateacute 100 vezes o seu proacuteprio peso
Dificilmente levanta2 vezes o seu proacutepriopeso
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Forma e tamanho
Desenvolver regras utilizando o conceito de
escala para explicar a forma e o tamanho desses
organismos enquanto suas proporccedilotildees se
alteram tem como ponto de partida as regras de
Kleiber A figura ao lado mostra um graacutefico em
folha di-log das observaccedilotildees de Kleiber sendo a
inclinaccedilatildeo dessa reta ~ 075 = frac34
34
34( ) (Lei de Potecircncia)
Taxa Calor Massa
T m m
prop
prop
Fator de Escala e Comprimento Caracteriacutestico
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Forma e tamanho
Aplicando-se os conceitos de esforccedilo e deformaccedilatildeo a um material de densidade ρ mostrou-se que a altura criacutetica
hcr para a coluna comeccedilar a curvar-se tem a seguinte dependecircncia com relaccedilatildeo a seu diacircmetro d
Formas e Tamanhos - Elasticidade
Moacutedulo de Elasticidade
(resistecircncia agrave compressatildeo)
E
m
Vρ
=
=
23~crh d
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
A altura critica eacute proporcional (~)
a d elevado a 23
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
13
2 3085cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Forma e tamanho
Se considerarmos que a massa M estaacute distribuiacuteda ao longo de toda a extensatildeo do cilindro a equaccedilatildeo anterior
sofre uma pequena alteraccedilatildeo sendo nesse caso
Para a estabilidade elaacutestica do cilindro
considerado a altura criacutetica do cilindro
eacute proporcional a seu diacircmetro elevado agrave
potecircncia 23
23~h d
13
2 3079cr
Eh d
ρ =
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Forma e tamanho
Agora considere o quadruacutepede da figura ao lado
O tronco do animal eacute comparado a um cilindro de diacircmetro d e
comprimento l sustentado em seus extremos
Assim
23aproximadamente constante para qualquer animal
l
d=
23 23 23
elefanterato rinoceronte
rato rinoceronte elefante
ll l
d d d≃ ≃
23~h d
2~V l dsdot
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Forma e tamanho
Valores de l d e η para cinco quadruacutepedes
23
l
d
143
23
23
143 (valor meacutedio)
143
l
d
l d
=
= sdot
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Natildeo pode existir na natureza
23143 (valor meacutedio)
l
d=
23
23343 143
055= gt
Que tamanho deve ser d mantendo l o mesmo valor
23
32
32
143
143
23204
143
ld
ld
d m
=
=
= =
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Proporccedilotildees oacutetimas
23143 (valor meacutedio)
l
d=
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l
Forma e tamanho
A tabela apresentada anteriormente mostra que o comprimento do arminho eacute trecircs vezes
sua largura Se fosse dez vezes maior a equaccedilatildeo ɭ α d23 prevecirc que o animal seria tatildeo
compacto que provavelmente natildeo conseguiria se deslocar Seu tronco ficaria encostado no
chatildeo
Se M eacute a massa do animal considerando que suas partes se alteram
na mesma proporccedilatildeo conforme varia seu tamanho a massa de qualquer dessas partes seraacute
uma fraccedilatildeo de M
Pelo conceito de escala Mα ld2 e pela equaccedilatildeo acima
l αM14 d α M38
2 2~ ~m
m V V l d m l dV
ρ ρ= rArr = sdot rArr sdot rArr sdot
23
23 32 2 4 14
32 23 2 83 38
143 (valor meacutedio)
~ dependecircncia com a massa m ~ ( ) ~ ~
~ dependecircncia com a massa m ~ ~ ~
l
d
l d m l l m l l m
d l m d d m d d m
=
rArr sdot rArr
rArr sdot rArrd cresce mais raacutepido que l