Convertidores DC-DC.pdf

Depósito Legal B.55681-2006 (III)

Fundamentos de accionamientos de máquinas eléctricas Volumen 3.- Convertidores continua-continua CAPÍTULO 6: Convertidores continua-continua CAPÍTULO 7: Introducción al análisis en variable de estado

J. Montañá

- 1998 -

ÍNDICE CAPÍTULO 6

Capítulo 6 Convertidores continua-continua 6.1 Introducción........................................................................................................1 6.1.1 Consideraciones previas......................................................................5 6.1.2 Control de los convertidores continua-continua...................................5 6.1.2.1 PWM {Modulación por anchura de pulsos} 6.1.3 Modos de operación.............................................................................9 6.2 Convertidor reductor. Step down (Buck) converter.............................................9 6.2.1 Valor medio de tensión de salida.......................................................10 6.2.2 Problemas de aplicación....................................................................11 6.2.3 Estudio bajo conducción continua......................................................14 6.2.4 Límite entre conducción continua y discontinua.................................18 6.2.5 Estudio bajo conducción continua......................................................20 6.2.5.1 Tratamiento para Vd constante 6.2.5.2 Tratamiento para Vo constante 6.2.6 Rizado de la tensión de salida...........................................................28 6.3 Convertidor elevador. Step-up (Boost) converter.............................................31 6.3.1 Estudio bajo conducción continua......................................................32 6.3.2 Límite entre conducción continua y discontinua.................................34 6.3.2.1 Tratamiento para Vo constante 6.3.2.2 Tratamiento para Vd constante 6.3.2.3 Resumen comparativo (Límite de conducción continua) 6.3.3 Estufio bajo conducción discontinua..................................................39 6.3.3.1 Tratamiento para Vo constante 6.3.3.2 Tratamiento para Vd constante

ÍNDICE CAPÍTULO 6

6.3.4 Efecto de los elementos parásitos.....................................................48 6.3.5 Rizado de la tensión de salida...........................................................45 6.4 Convertidor elevador-reductor. (Buck-Boost converter)....................................48 6.4.1 Estudio bajo conducción continua......................................................49 6.4.2 Límite entre conducción continua y discontinua.................................51 6.4.2.1 Tratamiento para Vo constante 6.4.2.2 Tratamiento para Vd constante 6.4.3 Estudio bajo conducción discontinua.................................................55 6.4.3.1 Tratamiento para Vo constante 6.4.3.2 Tratamiento para Vd constante 6.4.4 Efecto de elementos parásitos...........................................................59 6.4.5 Rizado de la tensión de salida...........................................................60 6.5 Convertidor de Cúk. Cúk dc-dc converter.........................................................62 6.5.1 Aplicación del teorema de dualidad...................................................62 6.6 Convertidor en puente completo. Full Bridge dc-dc converter..........................69 6.6.1 Métodos PWM aplicables a la conmutación.......................................73 6.6.1.1 PWM con tensión bipolar de conmutación 6.6.1.2 PWM con tensión unipolar de conmutación 6.7 Convertidores dc-dc. Estudio comparativo.......................................................79

Convertidores continua-continua 1

J. Montanñá UPC EUETIT DEE

Capítulo 6 Convertidores Continua-Continua 6.1 Introducción Los convertidores continua-continua son ampliamente utilizados en las aplicaciones que requieren un abastecimiento de potencia en régimen de corriente continua, por lo tanto su uso está muy extendido en trabajos con motores DC. Este tipo de convertidores suelen estar conectados a una red que ofrece una tensión continua no regulada obtenida de la rectificación, esta tensión, que se convertirá en la tensión de entrada al convertidor, puede fluctuar (oscilar) debido a la naturaleza senoidal de la tensión rectificada. Por consiguiente los convertidores Continua-Continua son utilizados para convertir una tensión de entrada no regulada en una salida controlada de corriente continua donde se controlará el valor medio de tensión a la salida del convertidor. A modo de resumen, el diagrama de bloques del conjunto rectificador-convertidor es:

Figura 6.1 Diagrama de bloques del sistema rectificador-convertidor

Batería Tensión de control

Rectificador de diodos no controlado

Carga DC no

regulada DC no

regulada DC

regulada Filtro capacitivo

Convertidor DC-DC

Línea de alterna



Que es equivalente al siguiente conjunto:

Figura 6.2 Diagrama simplificado del sistema rectificador-convertidor

Este tipo de convertidores habitualmente van acompañados de un transformador a modo de aislante que evite los problemas derivados de los retornos por tierra. Los convertidores que utilizan los transformadores de aislamiento, denominados Fly-back, son comúnmente utilizados en aplicaciones con pequeñas corrientes y se caracterizan por impedir la interacción entre la etapa de entrada y la de salida de potencia continua. El proceso de aislamiento de la etapa de alimentación para evitar retornos por tierra por contacto es el siguiente.

Figura 6.3 Etapa Rectificadora-convertidora sin transformador de aislamiento.

DC regulada

DC no regulada

DC no regulada



Con la inserción del transformador de aislamiento el sistema resultante es una etapa con topología de convertidor Fly-back. Se consiguen aislar los módulos de salida y entrada, evitando los retornos por tierra. El esquema equivalente del convertidor Fly-back es:

Figura 6.4 Convertidor Fly-back (con transformador de aislamiento). Con este tipo de configuración, cuando el contacto T1 está cerrado, debido al cambio de polaridad, la bobina se opone a la variación de flujo y descarga sobre la salida, de esta forma se consigue una tensión continua de salida altamente constante. En este capítulo, para poder tratar estos convertidores de una manera genérica, sólo se considerarán aquellos montajes que no utilicen el transformador de aislamiento, por lo tanto es aislamiento eléctrico será una característica a añadir en el resultado final. Dejando al margen este tipo topología con aislamiento eléctrico los convertidores que se tratarán en este capítulo son: 1.- Convertidor reductor Buck. (Step down) 2.- Convertidor elevador Boost. (Step up) 3.- Convertidor reductor/elevador Buck-Bost. (Step down-up) 4.- Convertidor de Cúk. 5.- Convertidor en puente completo. De estos 5 tipos de convertidores, sólo los modelos Buck y Boost establecen una topología básica, el resto de montajes se implementarán a partir de las características básicas de estos dos. Por ejemplo el convertidor Buck-Boost y el convertidor de Cúk son combinaciones directas de los convertidores Buck y Boost. El convertidor en puente completo es una topología que deriva del convertidor reductor (Step down).



Cada uno de los anteriores convertidores serán estudiados en detalle en este capítulo, así como sus variaciones constructivas y aplicaciones específicas referentes al abastecimiento de potencia en régimen de corriente continua, también se estudiará el trabajo con motores Dc. Las topología básicas de los convertidores estudiados s:

Figura 6.5 Convertidor Reductor Figura 6.6 Convertidor Elevador

Figura 6.7 Convertidor Reductor-Elevador Figura 6.8 Convertidor de Cúk

Figura 6.9 Convertidor en puente completo



6.1.1 Consideraciones previas Algunas de las simplificaciones utilizadas para el estudio de este tipo de convertidores son las que se comentan a continuación: a) Elementos ideales: En este capítulo, los convertidores se analizarán suponiendo trabajos en régimen permanente. Por otra parte los semiconductores utilizados se tratarán como si fuesen ideales, las pérdidas tanto en elementos capacitivos como inductivos serán consideradas nulas y por lo tanto despreciables. Algunas de las perdidas en tensión que pueden ocasionar mal funcionamiento en este tipo de convertidores serán tratadas por separado en capítulos posteriores. b) Impedancia interna nula: El aporte de tensión al convertidor suele provenir en muchos casos de un rectificador de AC no controlado junto con un gran filtro capacitivo que proporcione una impedancia de entrada muy baja y a la vez un mínimo rizado de tensión rectificada. Por lo tanto la tensión continua de entrada del convertidor se asumirá proveniente de una impedancia interna nula. c) Topología global: La parte correspondiente a la salida del convertidor suele ir acompañada de un pequeño filtro que será considerado como una parte integrante del mismo convertidor. d) Cargas equivalentes: A la salida del convertidor se supondrá una conexión a una carga que puede ser representada por una resistencia equivalente. Si la carga es un motor de corriente continua la carga equivalente se representará por una fuente de tensión continua en serie con la inductancia y resistencia típicas del motor. 6.3 Control de los convertidores Continua-Continua



La principal característica de los convertidores de corriente continua es el control del valor medio de la tensión a la salida del convertidor hasta llegar al nivel de tensión deseado, aunque la tensión a la entrada suele fluctuar. Los convertidores DC-DC utilizan uno o más semiconductores, a modo de interruptor, para transformar, de un nivel a otro, una tensión de continua dada, con lo que se logra un valor medio de tensión regulado a la salida del convertidor. Esto se consigue mediante el control de los estados ON-OFF de los semiconductores y la duración de cada uno de estos periodos ( TON-TOFF ). Para ilustrar la idea del modo de interrupción de corriente por semiconductor (swicht-mode) y el concepto de variación de valor medio, se considerará el siguiente montaje básico de convertidor de corriente continua:

Figura 6.10 Topología básica de un convertidor DC-DC En la siguiente figura se observa como el valor medio {Vo} de la tensión de salida {vo(t)} depende de las variables TON y TOFF, es decir de los estados ON-OFFde T1.



Figura 6.11 Evolución de tensión y su valor medio Existen varios métodos para controlar el tiempo de duración entre los estados ON-OFF del semiconductor, en este capítulo se prestará mayor atención a dos de ellos. Los métodos de control a los que se hace referencia son: a.- PWM: Uno de los métodos para controlar la tensión de salida es el de utilizar un modo de conmutación constante, es decir que la frecuencia de alternancia de estados ON-OFF sea fija. De esta manera ajustando la variable TON del semiconductor se puede controlar el valor medio de la tensión de salida {Vo}.

fTs

cteconmutacion = =1

(6.1)

Este método, denominado PWM o modulación por anchura de pulsos, se puede definir una relación de proporciones impuestas según la estrategia de conmutación. Esta relación se denominará ciclo de trabajo y vendrá representada por la letra D. El ciclo de trabajo, D, es definido como la relación entre el tiempo de estado ON {TON} y un periodo completo de conmutación {Ts}. Por lo tanto, y a modo de resumen, con una modulación por anchura de pulsos (PWM) se consiguen variaciones de valor medio de tensión variando la duración de TON y TOFF manteniendo constante la frecuencia de conmutación. b.- Periodo Variable: El otro método de control es un método más general y se caracteriza por disponer de tiempos de estados variables y por lo tanto la duración de periodo completo de conmutación también resultará variable. Este método es utilizado únicamente en convertidores de continua cuya topología básica esté basada en tiristores de gran potencia. Debido a esta característica constructiva este tipo de convertidores no son tratados en este capítulo. 6.1.2.1 PWM {Modulación por anchura de pulsos} En la estrategia de conmutación PWM, caracterizada por un modo de operación a frecuencia constante, los estados ON-OFF del semiconductor son controlados por una señal de control. Esta señal de control es generada mediante la comparación de un nivel de tensión de control {vcontrol} con una forma de onda repetitiva, tal como se muestra en la siguiente figura:



Figura 6.12 Estrategia de conmutación PWM

La acción sobre los estados del semiconductor se hace mediante la comparación de la tensión de control {Vcontrol} y la señal repetitiva de operación {Vst}. De forma que el interruptor estará cerrado (estado ON) siempre que se Vcontrol > Vst . El estado OFF se define de forma inversa al estado de ON. Normalmente la tensión de control es obtenida amplificando el error, o la diferencia entre la actual tensión de salida y el valor deseado de ésta. El diagrama de bloques que describe el proceso de generación de la señal de control de conmutación es el siguiente:

Figura 6.13 Generación de la señal de control de conmutación



La frecuencia de la forma de onda repetitiva ha sido representada como un diente de sierra de valor de pico constante. Esta forma de onda junto con la tensión de control ofrecerá la frecuencia de conmutación {fs}. Esta frecuencia, que permanecerá constante, puede variar entre unos kHz y un centenar de kHz pero siempre intentando superar la banda audible de 20 khz. Tal como se vio en el anterior esquema, cuando la señal de error amplificada, la cual varía de forma muy lenta, es mayor que el valor de tensión de la señal en forma de diente de sierra {Vs(t)}, la señal que representa a la conmutación del interruptor toma un valor alto, causando el paso a estado ON en el interruptor. En cualquier otro caso el interruptor se hallará en modo OFF.

En términos de Vcontrol y pico del diente de sierra {V st∧

} la relación entre el estado ON y el periodo de conmutación puede expresarse como:

D TT

V

VON

S

control

st

= = ∧ (6.2)

Siendo D la variable que define el ciclo de trabajo del convertidor. 6.1.3 Modos de operación Los convertidores de corriente continua pueden tener dos distintos modos de operación: 1) Modo de conducción continua. 2) Modo de conducción discontinua. En la práctica, un convertidor puede trabajar en ambos modos, aunque existen diferencias substanciales en las características de actuación. Por lo tanto un convertidor y su correspondiente estrategia de control deben diseñarse en base al modo de trabajo que lo defina. 6.2 Convertidor Reductor. Step-Down (Buck) converter Tal como indica su nombre, un convertidor reductor produce un menor valor medio de tensión a la salida en comparación con la tensión continua de entrada {Vd}. La principal aplicación de este tipo de convertidores se da en fuentes de potencia reguladas y en controles de velocidad en motores de corriente continua.



Conceptualmente el siguiente circuito constituye un convertidor reductor para una carga resistiva pura.

Figura 6.14 Topología de un convertidor reductor Asumiendo una carga resistiva pura y un interruptor ideal, la tensión instantánea de salida depende exclusivamente de la posición del interruptor y no del valor de la carga. 6.2.1 Valor medio de tensión de salida. La tensión media de salida {Vo}, calculada en términos de D, es la siguiente:

VoTs

v t dto

Ts= ⋅ ∫

10

( ) (6.3)

VoTs

Vd dt dt

TTs

Vd

D Vd

o

T

T

Ts

ON

ON

ON

= ⋅ + ⋅

=

= ⋅ =

= ⋅

∫ ∫1 0

(6.4)



Tal como se detalló en apartados anteriores, la variable D puede definirse como:

D v

Vcontrol

st

= ∧ (6.5)

Por tanto el valor medio de tensión a la salida del convertidor podría pasar a ser:

Vo D Vd

D v

V

Vov

VVdcontrol

st

control

st

= ⋅

= ∧

= ∧ ⋅ (6.6)

Teniendo en cuenta que Vd y Vst

∧ son parámetros constantes:

Vo v

VVd

K V

Vcte

Vo v K

control

st

d

st

control

= ∧ ⋅

= ∧ =

= ⋅ (6.7)

Variando la relación TTsON propia del semiconductor-interruptor, se puede hacer

variar el valor de Vo. Otra observación importante es que en el caso de amplificadores lineales el valor medio de la tensión de salida {Vo} varía de forma lineal con la señal de control. 6.2.2 Problemas de aplicación Las aplicación real del anterior circuito reductor presenta dos inconvenientes en algunas de sus aplicaciones. Estos inconvenientes son las sobretensiones por cargas inductivas(1) y la oscilación de tensión de salida (2). 1) En la práctica la carga suele ser de carácter inductivo, de igual forma una carga resistiva lleva asociados efectos inductivos, con lo que el interruptor deberá ser capaz de absorber o disipar la energía de los almacenada por la supuesta



inductancia. En muchos casos, en los que el interruptor no soporta este sobreaporte de energía, el semiconductor llega a destruirse. Variación de intensidad que provoca una sobretensión en bornes. El problema de la acumulación de energía inductiva puede solucionarse introduciendo un diodo en paralelo con el filtro pasabajos, tal como se observa en el anterior esquema de topología básica. 2) La tensión de salida puede fluctuar entre un valor nulo y Vd. Estas oscilaciones de tensión de salida hacen que este tipo de conversiones no sean las adecuadas en muchas aplicaciones. El problema de la fluctuación de tensión de salida puede minimizarse si utilizamos un filtro pasabajos compuesto por una bobina y un condensador con lo que se conseguirá una tensión mucho más estable. La siguiente figura muestra la forma de onda de tensión de entrada voi al filtro pasabajos en la cual se puede observar la componente continua Vo, y los armónicos múltiplos de la frecuencia de conmutación fs.

(a)



(b)

Figura 6.15 Forma de onda de tensión de Voi y su espectro frecuencial (b) La característica del filtro pasabajos acoplado a una carga puramente resistiva podría ser la siguiente:

Figura 6.16 Característica del filtro pasabajos

La frecuencia de corte {fc} de este filtro pasabajos es seleccionada para tomar un valor mucho menor que el de la frecuencia de conmutación {fs} con el fin de eliminar al máximo el efecto del rizado en la tensión de salida.



Características de funcionamiento: Una vez insertado el filtro, y de forma general, durante le intervalo en que el interruptor se encuentra en estado ON, el diodo que se encuentra en paralelo con el filtro se halla polarizado inversamente, por lo que la entrada entregará potencia a la carga. Durante el intervalo OFF del interruptor la corriente que pasa por la inductancia fluye a través del diodo transfiriendo parte de la energía almacenada a la carga. En régimen permanente, el filtro capacitivo de la salida es considerado muy alto lo que implicará un valor casi constante de la tensión de la salida Vo≡vo(t). El rizado producido en la tensión del condensador ( tensión de salida) será calculado posteriormente. De la característica constructiva de este tipo de convertidores se puede deducir que el valor medio de intensidad en la bobina es el mismo que el de la corriente de salida Io. Esta suposición es correcta siempre que se considere que valor medio de intensidad por el condensador en régimen permanente es de valor nulo. En régimen permanente valores nulos por periodo de tensión e intensidad media por la inductancia y el condensador respectivamente.

i y vC L

_ _= =0 0 (6.9)

6.2.3 Estudio bajo conducción continua La siguiente figura muestra las formas de onda para el modo de conducción continua , es decir para la situación en que la corriente por la bobina fluye de forma ininterrumpida {iL(t) > 0}. Cuando el interruptor se encuentra en estado ON, durante un tiempo igual a TON, el interruptor permite la conducción de intensidad por la bobina y el diodo se encontrará polarizado inversamente.



Figura 6.17 Evolución de tensión e intensidad en conducción continua Para un valor positivo de tensión en la bobina { VL=Vd -Vo > 0 } se obtiene el circuito correspondiente al intervalo ON y que produce una polarización inversa del diodo, el circuito equivalente se muestra a continuación. Cuando el semiconductor pasa a estado OFF la intensidad iL sigue circulando, debido al cambio de polaridad que provoca la energía almacenada en la bobina, y pasa a través del diodo, que se encuentra polarizado directamente. Ahora el valor de tensión pasa a valer VL=-Vo. El circuito equivalente a esta situación es el siguiente:

Figura 6.18a Circuito equivalente TON



Figura 6.18b Circuito equivalente TOFF

En régimen estacionario la forma de onda se repite de un periodo a otro. El valor medio de la tensión en la bobina durante un periodo es nulo, tal como se detalló en capítulos anteriores. En el caso que nos ocupa el periodo al que se hace referencia es de valor Ts=TON + TOFF, por lo tanto:

VTs

V dtL L

Ts

AVG= ⋅ ∫

10

(6.11)

VTs

V dtTs

V dtL L

T

LT

Ts

AVG

ON

ON

= ⋅ + ⋅ =∫ ∫1 1 0

0 (6.12)

Utilizando la anterior afirmación, es fácil observar como el área A y B ,de la anterior figura, serán iguales. Por consiguiente:

( ) ( )Vd Vo T Vo Ts TON ON− ⋅ = ⋅ − (6.13) O también, utilizando la relación que establece la variable D {ciclo de trabajo}:

VoVd

TT

DON

S

= = (6.14)

Es decir, en este modo la tensión de salida varía linealmente con el ciclo de trabajo del interruptor para una tensión de entrada dada. La tensión de salida, es por tanto, independiente de cualquier otro parámetro del circuito ya que depende exclusivamente de D.



La anterior ecuación puede ser simplificada simplemente promediando la tensión voi o tensión que entra al filtro, si además se tiene en cuanta que el valor medio de tensión en la bobina en régimen permanente es nulo:

Vd T TTs

VoON OFF⋅ + ⋅=

0 (6.15)

O también:

VoVd

TT

DON

S

= = (6.16)

Si se suponen nulas las perdidas de potencia (c.d.t.) de todos los elementos del circuito, la potencia de entrada del convertidor será exactamente igual a la potencia de salida.

P Pentrada salida= (6.17)

Pd Po= (6.18) Por tanto:

Vd Id Vo Io⋅ = ⋅ (6.19) Observando la relación impuesta por el ciclo de trabajo en cuanto a tensiones e intensidades, las anteriores suposiciones nos llevan a la siguiente expresión:

IoId

VdVo

D= = −1 (6.20)

En el modo de conducción continua, el convertidor reductor es equivalente a un transformador de corriente continua donde la relación de transformación puede controlarse de forma electrónica, haciéndola variar de 0 a 1 mediante el control del ciclo de trabajo de cada semiconductor-interruptor. Se observa que aunque el valor medio de la intensidad Id sigue la relación impuesta por la “relación de transformación”, el valor instantáneo de la intensidad de entrada oscila desde un pico hasta cero cada vez que el interruptor pasa a estado OFF. Un filtro apropiado en la entrada puede ser útil para eliminar los efectos indeseables de estas corrientes armónicas. Por último cabe destacar que los valores medios de tensión en la inductancia y de intensidad en el condensador permanecerán con valor nulo en cada periodo.



6.2.4 Límite entre conducción continua y discontinua En esta sección se desarrollarán las ecuaciones que muestran las influencias de varios parámetros del circuito sobre el modo de conducción de la corriente en la bobina {Continuo o Discontinuo}. En el límite de conducción continua de corriente las formas de onda de tensión en intensidad en la bobina son:

Figura 6.19 Evolución de tensión e intensidad en el caso límite

En el límite entre la conducción continua y discontinua, por definición, la corriente por la bobina iL toma valor nulo al final del periodo OFF del interruptor (semiconductor). En este límite , la intensidad media en la bobina es:

I i ILB L oBpico= ⋅ =

12

(6.21)

el valor que toma iL pico es:

iL

v dtL pico L

TON= ⋅ ∫

10

(6.22)



como vL=Vd -Vo

iL

Vd Vo TL

Vo TL pico ON OFF= ⋅ − ⋅ ≡ ⋅ ⋅1 1( ) (6.23)

que expresada en función del ciclo de trabajo quedará:

iL

Vd D TL

Vd T D DL pico ON S= ⋅ ⋅ − ⋅ ≡ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −1 1 1 1( ) ( ) (6.24)

según las formas de onda anteriores, se llega a la conclusión que vL toma un valor constante igual a (Vd-Vo). Y por lo tanto ILB tomará el valor:

I TL

Vd VoLBON=⋅

⋅ −2

( ) (6.25)

O también, utilizando la relación que establece la variable D {ciclo de trabajo}:

VoVd

TT

DON

S

= = (6.26)

Se llegará a obtener:

I Ts DL

Vd VoLB =⋅⋅

⋅ −2

( ) (6.27)

Esta intensidad es la mínima corriente promedio que debe pedir la carga para asegurar conducción continua para un ciclo de trabajo dado. Esta expresión puede dejarse en función de Vd o de Vo, resultando:

I Ts VdL

D DLB =⋅⋅

⋅ ⋅ −2

1( ) I Ts VoL

DLB =⋅⋅

⋅ −2

1( ) (6.28)

Estas expresiones serán de gran utilidad en próximos apartados. Observando la anterior expresión general se llega a la conclusión que para un periodo de conducción con unos valores conocidos de Ts, Vd, Vo, L y D, si la intensidad media de salida o el valor medio de intensidad en la bobina se vuelven menor a ILB entonces iL pasa a tomar valores nulos. Es decir se entra en periodo de conducción discontinua.



6.2.5 Estudio bajo conducción discontinua Dependiendo de la aplicación de este tipo de convertidores, la tensión de entrada Vd, o la de la salida Vo pueden permanecer constantes. El modo de conducción discontinua para cada uno de estos casos se discute a continuación. 6.2.5.1 Conducción discontinua considerando constante Vd. En las aplicaciones como un control de velocidad de un motor de corriente continua, se puede considerar que Vd permanecerá esencialmente constante y Vo podrá controlarse utilizando un conveniente ajuste del ciclo de trabajo D. Cuando Vo=D·Vd , {cond. continua} el valor medio de intensidad por la bobina en el límite de conducción continua se ha demostrado igual a:

I Ts VdL

D DLB =⋅⋅

⋅ ⋅ −2

1( ) (6.29)

Utilizando la anterior expresión se obtiene la siguiente representación gráfica:

0

0.1

0.2

0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ILB( )D

D Figura 6.20 ILB en función del ciclo de trabajo La figura anterior representa la evolución de ILB en función del ciclo de trabajo D, considerando los siguientes valores de trabajo:



·Vd = 100v ·L = 1mH ·fs = 40Khz , lo que implica un Ts=25·10-6s Esta representación nos muestra que la intensidad de salida necesaria para obtener conducción continua toma su valor máximo para un ciclo de trabajo D=0.5. La expresión de esta intensidad para D=0.5 es:

I Ts VdLLB max D=

⋅⋅ =8 0 5, (6.30)

La expresión anterior puede expresarse en función de ILB quedando:

I I D DLB LB max= ⋅ ⋅ ⋅ −4 1( ) (6.31) Por debajo de esta intensidad el sistema se encontrará en conducción discontinua. Una vez determinado los valores más significativo se ILB se calculará la relación Vo/Vd para el trabajo en modo de conducción discontinua. Inicialmente se asumirá que el convertidor está trabajando en el límite de conducción continua. Si los parámetros Ts, L, Vd y D que provocan esta situación son considerados constantes y la potencia en la carga disminuye ( por ejemplo: crece R ), entonces el valor medio en la bobina decrecerá tal como se muestra en la siguiente figura:



Figura 6.21 Tensión en intensidad en conducción discontinua Durante el intervalo ∆2·Ts, donde la intensidad por la bobina es nula, la potencia dirigida a la carga es suministrada únicamente por el filtro capacitivo. La tensión en la bobina vL durante este periodo es nula. Evaluando la integral de la tensión en la inductancia durante un periodo, se obtiene:

v Vd Vo D Ts Vo TsL

_( ) ( )= − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =∆1 0 (6.32)

De esta expresión se puede despejar la función que describe la relación entre Vd y Vo, es decir la expresión del ciclo de trabajo para conducción discontinua adoptando Vd=cte.

VoVd

DD

=+ ∆1

(6.33)

De la figura anterior se puede afirmar que D+∆1<1 y que la expresión de intensidad por la inductancia tiene como expresión:

i VoL

TsL pico = ⋅ ⋅∆1 (6.34)

Por tanto simplificando y relacionando expresiones:



Io i DL pico= ⋅

+ ∆1

2

i VoL

TsL pico = ⋅ ⋅∆1

( )Io Vo TsL

D=⋅⋅

⋅ + ⋅2 1 1∆ ∆

VoVd

DD

=+ ∆1

Io Vd TsL

D=⋅⋅

⋅ ⋅2 1∆

I Ts VdLLB max =

⋅⋅8

Io I DLB max= ⋅ ⋅ ⋅4 1∆ De lo que se obtiene:

∆1 4=

⋅ ⋅Io

I DLB max

(6.42)

Por lo tanto la relación entre tensiones de entrada y salida del convertidor en régimen discontinuo para un valor Vd constante es:

VoVd

DD

IoI D

VoVd

D

D IoI

LB maxLB max

=+

=⋅ ⋅ ⋅

=

+ ⋅

∆

∆∆

1

11

2

2

4

14

(6.43)

En la siguiente figura se muestra la característica del convertidor reductor en los dos modos posibles de operación para un valor constante de Vd. La relación entre

(6.35) (6.36) (6.37) (6.38) (6.39) (6.40) (6.41)



tensiones Vo y Vd es dibujada en función de Io e ILB max para varios valores del ciclo de trabajo {D} utilizando las siguientes ecuaciones

VoVd

TTs

DON= = y VoVd

D

D IoI LB max

=

+ ⋅

2

2 14

(6.44)

El límite entre los modos de conducción continua y discontinua mostrado en la siguiente curva se ha obtenido utilizando las ecuaciones:

VoVd

TTs

DON= = y I I D DLB LB max= ⋅ ⋅ ⋅ −4 1( ) (6.45)

La figura obtenida para Vd=cte es la siguiente:

Figura 6.22 Característica del convertidor reductos manteniendo Vd constante En la anterior figura se pueden diferenciar tres zonas correspondientes a los tres modos de trabajo bajo los que se puede encontrar el convertidor. Estos son:



· Conducción discontinua : Zona interior a la limitación entre conducción continua y discontinua. · Conducción continua: Zona exterior a la limitación entre conducción continua y discontinua. · Limite entre cont. y discont. : Es la zona correspondiente al límite entre dos estados. 6.2.5.2 Conducción discontinua considerando constante Vo En aplicaciones como la regulación de fuentes de potencia de continua, Vd puede fluctuar pero Vo podrá permanecer constante si se ajusta correctamente el ciclo de trabajo D. Considerando que el valor de Vd puede hallarse mediante

Vd VoD

= (6.44)

la intensidad media en la bobina en el límite de conducción continua se obtiene mediante:

( ) ( )I i TL

Vd Vo D TsL

Vd Vo ILB L picoON

OB= ⋅ = ⋅ − =⋅

⋅ − =12 2 2

(6.45)

que simplificando pasa a ser:

( )I Ts VoL

DLB =⋅

⋅ −2

1 (6.46)

En la anterior ecuación, para un valor constante de Vo, se produce un máximo para de ILB cuando el ciclo de trabajo toma valor nulo. Por tanto tomando D=0 se hallará el valor de ILB máximo. La expresión de esta variable es:

I Ts VoLLB max D=⋅

=2 0 (6.47)

Ante la anterior ecuación se debe tener en cuenta que un ciclo de trabajo D=0 y valor finito de Vo son valores hipotéticos de trabajo puesto que el valor requerido de Vd sería infinito.

Vd VoD

K= = = ∞

0 (6.48)



Siguiendo con el desarrollo de las expresiones de intensidad se detallará cual es la ecuación que relaciona el valor ILB con ILB max. La expresión obtenida es:

( )I Ts VoL

D

I Ts VoL

I D I

LB

LB max

LB LB max

=⋅

⋅ −

=⋅

= − ⋅2

1

2

1( ) (6.49)

Para el modo de trabajo del convertidor, donde Vo permanece constante, se puede obtener una expresión analítica que relacione el valor del ciclo de trabajo D con el cociente de las intensidades Io e ILB max. Se utilizarán las siguientes ecuaciones, validas para conducción continua y discontinua:

VoVd

DD

=+ ∆1

y Io Vo TsL

D=⋅

⋅ + ⋅2 1 1( )∆ ∆ (6.50)

Io Vd TsL

D=⋅

⋅ ⋅2 1∆ (6.51)

A partir de esta última expresión de Io expresada en función de IoB max se puede llega a obtener el valor de ∆1.

I I Do OB max= ⋅ ⋅ +∆ ∆1 1( ) (6.52)

D D VdVo

+ = ⋅∆1 (6.53)

I I D VdVoo OB max= ⋅ ⋅ ⋅∆1 (6.54)

y simplemente despejando ∆1:

∆11

= ⋅ ⋅Io

IVoVd DOB max

(6.55)



Ahora ya se está en disposición de definir la relación entre tensiones, esta es:

VoVd

DD

IoI

VoVd D

VoVd

D

D IoI

VoVd D

OB maxOB max

=+

= ⋅ ⋅

=+ ⋅ ⋅

∆

∆

1

11

1 (6.56)

se obtiene la expresión definitiva del ciclo de trabajo para este modo de operación:

D VoVd

IoI

VoVd

LB max= ⋅−

1

(6.57)

El ciclo de trabajo D, es función de Io e ILB max tal y como se demuestra en la siguiente figura para varios valores de Vd/Vo manteniendo Vo=cte. La situación en el límite de conducción continua y discontinua se describe utilizando la ecuación

I D ILB LB max= − ⋅( )1 (6.58)

La figura a la que se hace referencia es:



Figura 6.23 Característica del convertidor reductor manteniendo Vo constante 6.2.6 Rizado de la tensión de salida

En el análisis previo se ha supuesto un filtro compuesto por una alta capacidad, lo que comporta que el rizado de la tensión de salida resulte prácticamente nulo.

vo t Vo( ) ≡ (6.59)

De cualquier forma, el rizado de la tensión de salida para cualquier valor de la capacidad, puede ser calculado considerando las siguientes formas de onda para un modo de operación continua.



Figura 6.24 Rizado de tensión de salida en convertidor reductor. (Step-Down). Asumiendo que todo la componente alterna , componente de rizado, de iL circula a través del condensador y que su componente continua va a parar a la carga resistiva, se puede considerar el área ∆Q como el área de carga del condensador. A partir de este área el valor de pico-a-pico de la tensión de rizado ∆Vo podrá ser descrito como:

∆∆Vo QC

= (6.60)



El área definida como ∆Q toma el siguiente valor:

∆∆Q IL Ts

= ⋅ ⋅12 2 2

(6.61)

Por lo tanto el rizado toma el siguiente valor:

∆∆Vo

CIL Ts

= ⋅ ⋅ ⋅1 1

2 2 2 (6.62)

Para hallar la expresión analítica que relacione la variación de la tensión de salida {∆Vo} en función de su valor medio {Vo}se hallará el valor de ∆IL a partir de las formas de ondas anteriores. El valor de ∆IL durante el periodo TOFF es:

( )∆IL VoL

D Ts= ⋅ − ⋅1 (6.63)

Sustituyendo este último valor en la expresión de ∆Vo se llega a obtener:

∆Vo TsC

VoL

D Ts=⋅

⋅ ⋅ − ⋅8

1( ) (6.64)

∆VoVo

Ts DL C

= ⋅⋅ −

⋅18

12 ( ) (6.65)

∆VoVo

D fcfc

= ⋅ − ⋅

π 2 2

21( ) (6.66)

donde fs es la frecuencia de conmutación 1Ts

y la fc es:

fcL C

=⋅ ⋅

12π

(6.67)

La expresión ∆Vo/Vo muestra como el rizado de tensión de salida puede ser minimizado con la adecuada selección de fc en el filtro pasabajos y teniendo en cuenta que fc<<fs. De igual forma, cuanto más tiempo trabaja el convertidor en



modo de conducción continua más independiente es el rizado de la tensión de salida en la carga. Cabe destacar que en suministros de potencia utilizando convertidores de continua el tanto por cien de rizado en la tensión de salida suele ser inferior del 1%. Dado el bajo rizado la consideración vo(t)=Vo resulta totalmente valida. También se debe tener en cuenta la alta influencia del filtro pasabajos sobre el rizado. 6.3 Convertidor Elevador. Step-Up (Boost) converter El siguiente montaje presenta la topología básica de este tipo de convertidores:

Figura 6.25 Topología básica de un convertidor elevador Sus principales aplicaciones se dan en regulación de suministros de potencia en corriente continua y en el frenado de motores de corriente continua. Cuando el semiconductor-Interruptor se encuentra en esta ON, el diodo se encontrará polarizado de forma inversa, de esta manera se consigue aislar el módulo de salida. La entrada suministra energía a la inductancia de entrada. Cuando el interruptor se encuentra en estado OFF, el módulo de salida recibe energía del inductor, aunque de forma indirecta ésta proviene de la entrada. En régimen permanente, régimen de estudio, el filtro capacitivo de salida es considerado de un valor alto para asegurar una tensión de salida lo más estable posible.

v t Vo o( ) = (6.68)



De igual forma que en el convertidor anterior se estudiarán por separado tanto los distintos modos de operación bajo los que puede trabajar. De forma simplificada su funcionamiento en función de los estados del interruptor T será: T está cerrado (OFF) : La bobina se descarga sobre el resto del

circuito. En el interruptor aparece la tensión VL+Vd por lo que en la carga se observará Vo>Vd {Elevador}

T está abierto (ON): La energía que proviene del “lado de fuente”

se utiliza para cargar la inductancia. 6.3.1 Estudio bajo conducción continua La posterior figura mostrará las formas de onda en régimen permanente, donde para este modo de conducción la intensidad iL(t) circula de forma ininterrumpida.

i tL ( ) > 0 (6.69) Por otra parte en régimen permanente el valor medio de tensión en la bobina por periodo es de valor nulo,

Vd T Vd Vo TON OFF⋅ + − ⋅ =( ) 0 (6.70) dividiendo ambos términos por Ts y reagrupando variables de obtiene:

VoVd

TsT DOFF

= =−1

1 (6.71)

D=0 ⇒ Vo=Vd D=1 ⇒ Vo=∞



La figura a la que se hizo referencia son:

Figura 6.26 Tensión en intensidad en un convertidor elevador Si consideramos perdidas nulas en los componentes del montaje {Pd=Po}, estamos obligando a que se cumpla la condición:

Vd Id Vo Io⋅ = ⋅ (6.72) Lo que , junto con la anterior expresión, implica:

IoId

D= −( )1 (6.73)

Cabe destacar que la topología del convertidor elevador para cada periodo del semiconductor varía según dos modelos básicos.



Los modelos de topología básica son de la siguiente forma:

a) b) Figura 6.27 a.-Circuito equivalente para TON

b.-Circuito equivalente para TOFF

6.3.2 Límite entre conducción continua y discontinua En la posterior representación se muestran las formas de onda en el límite de conducción continua, la forma de onda de intensidad llega a valor cero al llegar al final de un periodo.



Figura 6.28 Tensiones e intensidades en el límite de conducción continua Por definición, en este modo iL toma valor nulo al final del periodo. En el límite de conducción continua el valor medio (promedidado) de la intensidad por la bobina es:

I iLB L pico= ⋅12

(6.74)

6.3.2.1 Tratamiento para Vo constante Es este modo de operación considerando que la tensión convertida es constante se consigue el siguiente desarrollo y las correspondientes expresiones analíticas: Partiendo del valor pico que toma la intensidad la intensidad por la inductancia se obtendrá:

I iLB L pico= ⋅12

(6.75)

Aplicando la relación de tensiones

VoVd

TsT DOFF

= =−1

1 (6.76)

Se llega a obtener:

( )I Ts VoL

D DLB =⋅

⋅ ⋅ −2

1 (6.77)

Asumiendo que en un convertidor elevador la corriente por la bobina y la corriente de entrada son exactamente iguales (id=iL ) y utilizando

IoId

D= −( )1 y ( )I Ts VoL

D DLB =⋅

⋅ ⋅ −2

1 (6.78)

se puede hallar la expresión de la corriente de salida en el filtro de conducción continua, esta expresión es:

I Ts VoL

D DoB =⋅

⋅ ⋅ −2

1 2( ) (6.79)

Muchas de las aplicaciones que utilizan este tipo de convertidores requieren que la tensión Vo sea constante. Manteniendo Vo constante y variando el ciclo de trabajo se obtendrá una tensión de entrada variable. Por tanto, con Vo constante, IoB



puede ser representada como función del ciclo de trabajo, tal como se muestra a continuación

Figura 6.29 Representación de intensidades para un ciclo de trabajo variable

donde los puntos a y b corresponden a los valores máximos de ILB e IOB respectivamente. Como el valor máximo de ILB se da en D=0,5 su expresión será:

I Ts VoLLB max =⋅

8 (6.80)

La intensidad IOB toma su valor máximo en D=1/3, por tanto:

I Ts VoLOB max D

= ⋅⋅

=

227 1

3

(6.81)

Con estas expresiones se pueden obtener las relaciones de ILB e IOB en relación con sus valores máximos, estos son:

I D D ILB LB max= ⋅ ⋅ − ⋅4 1( ) (6.82)

I D D IOB OB max= ⋅ ⋅ − ⋅274

1 2( ) (6.83)



La representación gráfica de las intensidades ILB e IOB muestra como para un valor dado de D, con un valor constante de Vo, si la intensidad media en la carga es menor a IOB (y desde que el valor medio en la bobina vale ILB ), la intensidad llega a tomar valores nulos. Es decir entramos en conducción discontinua. 6.3.2.2 Tratamiento a Vd constante Bajo este modo de operación considerando que la tensión que se va a convertir {Vd} es constante se consigue el siguiente desarrollo y las correspondientes expresiones analíticas: Partiendo del valor pico que toma la intensidad la intensidad por la inductancia se obtendrá:

I iLB L pico= ⋅12

(6.84)

Aplicando la relación de tensiones

VoVd

TsT DOFF

= =−1

1 (6.85)

Se llega a obtener:

I Ts VdL

DLB =⋅

⋅2

(6.86)

Asumiendo que en un convertidor elevador la corriente por la bobina y la corriente de entrada son exactamente iguales (id=iL ) y utilizando

IoId

D= −( )1 y ( )I Ts VoL

D DLB =⋅

⋅ ⋅ −2

1 (6.87)

se puede hallar la expresión de la corriente de salida en el filtro de conducción continua, esta expresión es:

I Ts VdL

D DoB =⋅

⋅ ⋅ −2

1( ) (6.88)



Se comprueba que para las anteriores expresiones el valor máximo de ILB se da en D=1, por lo que su expresión resultante será:

I Ts VdLLB max D=⋅

=2 1 (6.89)

La intensidad IOB toma su valor máximo en D=0.5, por tanto:

I Ts VdLOB max D=⋅

=8 0 5, (6.90)

6.3.2.3 Resumen comparativo (Límite de conducción continua) Este apartado recoge, a modo de resumen, las expresiones más relevantes obtenidas para un modo de operación en el limite de la continuidad para un convertidor elevador. Dado que las expresiones obtenidas dependen de las tensiones de entrada y salida del convertidor se hará una diferenciación a la hora de mostrarlas. Las ecuaciones que pueden emplearse bajo cualquier consideración son:

VoVd

IdIo D

= =−1

1 (6.91)

I LB i L= ⋅∧1

2 (6.92)

Las expresiones dependientes de la tensión de entrada o salida del convertidor son:



Tabla 6.1 Comparativa según condiciones de trabajo

Vd=cte

Vo=cte

IL

Vd D Ts

i

LB

L pico

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅12

1

1 244 344

IL

Vo D D Ts

i

LB

L pico

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅12

1 1( )1 2444 3444

IL

Vd D Ts DOB = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −12

1 1( )

IL

Vo D Ts DOB = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −12

1 1 2( )

I Vd TsLLB max D=⋅

=2 1

I Vo TsLLB max D=⋅

=8 0 5,

I Vd TsLOB max D=⋅

=8 0 5,

I Vo TsLOB max D

= ⋅⋅

=

227 1

3

6.3.3 Conducción discontinua Para entender el modo de conducción discontinua de corriente, se debe asumir que la potencia que llega a la carga habrá disminuido mientras que Vd y el ciclo de trabajo permanecerán constantes. (Aunque en la práctica el ciclo de trabajo D varía para mantener Vo=cte.). La próxima figura muestra una comparación entre las formas de onda en el límite de conducción continua y en conducción discontinua considerando Vd y D como valores constantes.

La figura referente a la evolución en conducción discontinua muestra que esta evolución ocurre debido al descenso de la potencia Po (=Pd), provocado por un



valor bajo de intensidad IL (=Id). Puesto que IL max es el mismo valor para ambos modos de conducción, un valor bajo de IL (y, por tanto una evolución discontinua de IL) es posible sólo si Vo aumenta, tal como se puede apreciar en la figura b.

(a)

(b)



Figura 6.30 Límite de conducción continua (a)

Conducción discontinua (b) Evaluando la tensión en la bobina durante un periodo,

V D T V V Tsd s d o⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =( ) ∆1 0 (6.93) junto con,

VV

D

d

0 1

1

=+∆

∆ (6.94)

y suponiendo perdidas nulas (Pd=Po)

II D

o

d

=+

∆∆

1

1

(6.95)

de la figura b {Conducción discontinua}, el valor medio de la intensidad de entrada, que es también igual a la intensidad en la bobina, será:

I VdL

D Ts Dd = ⋅ ⋅ ⋅ +2 1( )∆ (6.96)

Teniendo en cuenta la relación de intensidades, la anterior expresión puede exponerse como:

Io Ts VdL

D=⋅

⋅ ⋅2 1∆ (6.97)

6.3.3.1. Tratamiento para Vo constante En la práctica , puesto que Vo es constante y D varía como respuesta a la variación de Vd, esta expresión resultará muy útil para obtener el ciclo de trabajo requerido como función de la corriente de carga para varios valores de Vo/Vd. El método seguido para la determinación de la expresión del ciclo de trabajo a la que se hace referencia es:

VV

D

d

0 1

1

=+∆

∆ (6.98)

Junto con la siguiente expresión de intensidad:



Io Ts VdL

D=⋅

⋅ ⋅2 1∆ (6.99)

De la anterior expresión de intensidad se obtendrá:

Io Ts VoL

VdVo

D=⋅

⋅ ⋅ ⋅2 1∆ (6.100)

Esta expresión de Io puede ponerse en función de IOB max , obteniendose:

Io I VdVo

DOB max= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅274 1∆ (6.101)

Con esta última expresión resulta fácil aislar ∆1:

∆1427

1= ⋅ ⋅ ⋅

IoI

VoVd DOB max

(6.102)

Ahora ya se dispone de todos los datos necesarios para hallar la expresión analítica del ciclo de trabajo. Esta expresión es la que se detalla a continuación:

VoVd

D

I Ts VdL

D

D VoVd

VoVd

II

o

o

OB max

=+

=⋅

⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ −

⋅

∆∆

∆

1

1

1

12

2

427

1 (6.103)

En la siguiente figura se mostrará la evolución de D en función de Io/IOB max para distintos valores de Vo/Vd. El límite entre conducción continua y conducción discontinua , para una tensión Vo=cte, se muestra en la correspondiente curva límite. En el modo de conducción discontinua, si Vo no es controlada durante cada periodo de conmutación se obtendrá:



L i Vd D Ts

LL pico

2 22

2

⋅ =⋅ ⋅( )

(6.104)

que es la potencia que se transferirá desde la entrada hacia el condensador de salida y hacia la carga. Si la carga no es capaz de absorber esta energía, la tensión del condensador ,Vo, podría crecer hasta que el balance de energía se estabilizara. Si la carga es muy sensible, el aumento de Vo podría causar una avería en el condensador o provocar un incremento de tensión que podría llegar a ser peligroso. La figura a la que se hace referencia es la siguiente:

Figura 6.31 Característica del convertidor elevador manteniendo Vo constante

Se ha tenido en cuenta la siguiente expresión analítica:

I Ts VoLOB max = ⋅⋅0 074, (6.105)



6.3.3.2 Tratamiento para Vd constante El método utilizado para determinar las expresiones básicas de este modo de operación es totalmente análogo al detallado en el apartado anterior. De esta forma se llegan a obtener las siguientes expresiones: Partiendo del valor de intensidad:

Io Ts VdL

D=⋅ ⋅

⋅ ⋅4

8 1∆ (6.106)

Esta expresión de Io puede ponerse en función de IOB max , obteniendose:

Io IDOB max= ⋅ ⋅4 1

(6.107)

Con esta última expresión resulta fácil aislar ∆1:

∆114

1= ⋅ ⋅

IoI DOB max

(6.108)

Ahora ya se dispone de todos los datos necesarios para hallar la expresión analítica del ciclo de trabajo. Esta expresión es la que se detalla a continuación:

VoVd

D

Io Ts VdL

D

D VoVd

II

o

OB max

=+

=⋅ ⋅

⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ −

∆∆

∆

1

1

1

12

48

14

14

(6.110)



6.3.4 Efecto de elementos parásitos Los elementos parásitos en convertidores elevadores son debidos a las pérdidas asociadas con las cargas inductivas, el condensador, el interruptor y el diodo. La siguiente figura muestra de forma cualitativa el efecto de estos “parásitos” en el ciclo de trabajo D.

Figura 6.32 Efecto de los elementos parásitos sobre el ciclo de trabajo

De diferente modo que en la característica ideal, en la práctica, Vo/Vd tiende a hacer que el ciclo de trabajo D se aproxime a la unidad. A causa de un pobre aprovechamiento del interruptor para valores altos del ciclo de trabajo, las curvas siguen la anterior evolución.



Estos elementos parásitos deben ser ignorados en el estudio simplificado que aquí se plantea, por tanto pueden ser incorporados en los circuitos que vayan a ser simulados para obtener un diseño fiable de estos convertidores. 6.3.5 Rizado de la tensión de salida El rizado del pico a pico de tensión de salida puede ser calculado considerando las siguientes formas de onda, obtenidas para un modo de conducción continua.

Figura 6.33 Rizado de la tensión de salida en un elevador



Asumiendo que todo la componente alterna , componente de rizado de la intensidad en el diodo (iD), circula a través del condensador y que su componente continua va a parar a la carga resistiva, se puede considerar el área ∆Q como el área de carga del condensador. A partir de este área el valor de pico-a-pico de la tensión de rizado ∆Vo podrá ser descrito como:

∆∆Vo QC

= (6.111)


∆Q Io D Ts= ⋅ ⋅ (6.112) Por lo tanto considerando Io como un valor constante, el rizado toma el siguiente valor:

∆Vo VoR

D TsC

= ⋅⋅

(6.113)

Entonces la relación entre rizado y valor medio de tensión podrá ser descrita por:

∆VoVo

D TsRC

=⋅

(6.114)

Considerando RC como el valor de la constante de tiempo {τ} se llega a obtener:

∆VoVo

D Ts=

⋅τ

(6.115)



6.4 Convertidor Elevador-Reductor. Buck-Boost converter Las principales aplicaciones de un convertidor elevador-reductor se dan en fuentes de potencia continua reguladas, donde una polaridad negativa de salida puede ser útil para referenciar un terminal común de la tensión de entrada y donde la tensión de salida puede mayor o menor a la tensión de entrada. Un convertidor elevador-reductor puede obtenerse mediante una conexión en cascada de dos convertidores básicos: el convertidor elevador-reductor se podrá crear mediante un convertidor reductor y un convertidor elevador. La topología básica de este tipo de convertidores es la siguiente:

Figura6.34 Unión en cascada de dos convertidores

En régimen permanente, la relación entre tensiones de entrada y salida resultará como el producto de los dos ciclos de trabajo de los convertidores en cascada. Suponiendo que el ciclo de trabajo de los dos convertidores son los siguientes:



VoVd

D Buck

VoVd

TsToff D

Boost

VoVd

DD

Buck Boost

=

= =−

= ⋅−

−

( )

( )

( )1

1

11

(6.116)

Lo que querrá decir que la tensión de salida podrá ser mayor o menor que la de entrada , dependiendo del valor que tome la variable D. La posterior simplificación de la anterior conexión en cascada de los convertidores BOOST y BUCK llega a formar la topología básica de un convertidor Buck-Boost como el mostrado en la figura.

Figura 6.35 Topología de un convertidor elevador-reductor

El único “problema” que provoca la unión de estos convertidores en cascada es que las polaridades de las tensiones de entrada y salida serán inversas. Cuando el semiconductor-interruptor está cerrado, la entrada provee de energía a la bobina, el diodo se encontrará polarizado inversamente. Si por el contrario se encuentra en estado ON, la energía almacenada en la bobina será transferida a la salida. Durante este intervalo la energía suministrada por la entrada es nula. En régimen permanente, estudio actual, la capacidad de salida es considerada muy alta con lo que la tensión en la salida será considerada constante.



v t Vo o( ) ≅ (6.117)

6.4.1 Estudio bajo conducción continua En las siguientes figuras se mostrarán las formas de onda de tensión e intensidad en el modo de conducción que produce un flujo continuo de circulación iL. Evaluando el valor medio de tensión en la inductancia durante un periodo se obtendrá:

Vd D Ts Vo D Ts⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ =( ) ( )1 0 (6.118)

de la que simplificando se consigue: VoVd

DD

=−1

(6.119)

y suponiendo perdidas nulas {Pd=Po} :

IoId

DD

=−1

(6.120)

Las formas de onda a las que se hace referencia son:



Figura 6.36 Características de tensión e intensidad de un elevador reductor Por último cabe destacar las diferentes topología del circuito Buck-Boost según el estado del semiconductor son:

(a) (b) Figura 6.37 Circuito para el estado ON (a) Circuito para el estado OFF (b)



6.4.2.1 Límite entre conducción continua y discontinua La siguiente figura muestra las formas de onda de tensión e intensidad en la inductancia en el límite de conducción continua.

Figura 6.38 Tensión e intensidad en el límite de conducción continua Por definición, en este modo, iL llega a valor 0 en el final del intervalo. Por consiguiente apoyándonos en la figura anterior:

I i Ts VdL

DLB L pico= ⋅ =⋅

⋅12 2

(6.121)

Teniendo en cuenta la topología del circuito:

I I Io L d= − (6.122) { La intensidad media en el condensador es considerada de valor nulo} 6.4.2.1 Tratamiento para Vo=cte



La intensidad media en la bobina y la corriente media de salida en el límite de conducción continua en función de la tensión Vo, es:

I Ts VoL

DLB =⋅

−2

1( ) (6.123)

I Ts VoL

DOB =⋅

−2

1 2( ) (6.124)

Muchas de las aplicaciones que utilizan un convertidor elevador-reductor requieren que Vo permanezca constante, aunque Vd (y en consecuencia D) puede variar. Observando las ecuaciones anteriores se puede deducir que alcanzan su valor máximo cuando D=0. Las expresiones para los valores máximos son:

I Ts VoLLB max D=⋅

=2 0 y I Ts VoLOB max D=⋅

=2 0 (6.125)

Utilizando las últimas 4 ecuaciones se obtiene la expresión de intensidades medias en función de sus valores máximos. Estas expresiones son:

I I DLB LB max= ⋅ −( )1 y I I DOB OB max= ⋅ −( )1 2 (6.126)

En la siguiente figura se muestra la evolución de ILB y IOB en función del ciclo de trabajo D manteniendo Vo=cte.



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

I1( )D

I2( )D

D

Figura 6.39 Valores característicos para Vo constante

Donde la denominación del eje vertical corresponde a:

I D II

LB

LB max

1( ) ≡ y I D II

OB

OB max

2( ) ≡ (6.127)

Los valores máximos tal como se comentó anteriormente responde a las expresiones:

I I Ts VoLLB max OB max= =⋅

2 (6.128)

6.4.2.2 Tratamiento para Vd constante La intensidad media en la bobina y la corriente media de salida en el límite de conducción continua en función de la tensión Vd, es:



I Ts VdL

DLB =⋅

⋅2

(6.129)

I Ts VdL

D DOB =⋅

⋅ ⋅ −2

1( ) (6.130)

Observando las ecuaciones anteriores se puede deducir que alcanzan su valor máximo cuando D=1 y cuando D=0,5 respectivamente. Por consiguiente las expresiones para los valores máximos son:


=2 1 y I Ts VdLOB max D=⋅

=8 0 5, (6.131)

Utilizando las últimas 4 ecuaciones se obtiene la expresión de intensidades medias en función de sus valores máximos. Estas expresiones son:

I I DLB LB max= ⋅ y I I D DOB OB max= ⋅ ⋅ ⋅ −4 1( ) (6.132)

En la siguiente figura se muestra la evolución de ILB y IOB en función del ciclo de trabajo D manteniendo Vd=cte.

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

I1( )D

I2( )D

D

Figura 6.39 Valores característicos para Vd constante Donde la denominación del eje vertical corresponde a:



I D II

LB

LB max

1( ) ≡ y I D II

OB

OB max

2( ) ≡ (6.133)

Los valores máximos tal como se comentó anteriormente responde a las expresiones:


=2 1 y I Ts VdLOB max D=⋅

=8 0 5, (6.134)

con la evolución gráfica anterior quedan demostrados los anteriores ciclos de trabajos para los que se obtienen los valores máximos de intensidad.

6.4.3 Estudio bajo conducción discontinua La siguiente figura muestra las formas de onda con una evolución discontinua de iL.

Figura 6.41 Tensión e intensidad en conducción discontinua para un elevador reductor Si se evalúa la integral de la tensión media en la inductancia por periodo,



Vd D Ts Vo Ts⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =( ) ∆1 0 (6.135) se consigue:

VoVd

D=

∆1

(6.136)

Y considerando perdidas nulas {Pd=Po}:

IoId D

=∆1 (6.137)

De la anterior figura se puede obtener la expresión analítica de IL, esta expresión es:

I VdL

D Ts DL = ⋅ ⋅ ⋅ +2 1( )∆ (6.138)

Otra característica derivada de la topología del convertidor es la relación entre intensidades:

Io I IL d= − (6.139) 6.4.3.1 Tratamiento para Vo constante Considerando Vo constante, se puede obtener el valor del ciclo de trabajo D como una función de la intensidad Io para varios valores de Vo/Vd. Utilizando las anteriores relaciones se obtendrá:

Io Vo TsL

VdVo

D=⋅

⋅ ⋅ ⋅2 1∆ (6.140)

expresa en función de su valor máximo:

Io I VdVo

DOB max= ⋅ ⋅ ⋅ ∆1 (6.141)

Ahora se puede despejar el valor de ∆1 :



∆11

= ⋅ ⋅Io

IVoVd DOB max

(6.142)

De esta manera junto con la relación de tensiones se obtendrá la expresión equivalente del ciclo de trabajo:

∆

∆

1

1

2 2

1= ⋅ ⋅

=

=

IoI

VoVd D

VoVd

D

VoVd

DIo

I

OB max

OB max

(6.143)

Y por lo tanto simplificando:

D VoVd

IoIOB max

= ⋅ (6.144)

La evolución del ciclo de trabajo D en función de las intensidades Io/IOB max , con Vo constante y para varios valores de Vd/Vo es la mostrada a continuación. El límite entre conducción continua y discontinua es el representado según la siguiente curva:



Figura 6.42 Característica del elevador reductor manteniendo Vo constante

6.4.3.2 Tratamiento para Vd constante Considerando Vd constante, se puede obtener el valor Vo/Vd como una función de la intensidad Io.

Io Vd TsL

D=⋅

⋅ ⋅2 1∆ (6.145)

expresa en función de su valor máximo:

Io I DOB max= ⋅ ⋅ ⋅4 1∆ (6.146)

Ahora se puede despejar el valor de ∆1 :

∆11

= ⋅ ⋅Io

IVoVd DOB max

(6.147)

De esta manera junto con la relación de tensiones se obtendrá la expresión equivalente del ciclo de trabajo:



∆

∆

1

1

2 2

1= ⋅ ⋅

=

=

IoI

VoVd D

VoVd

D

VoVd

DIo

I

OB max

OB max

(6.148)

Y por lo tanto simplificando:

D VoVd

IoIOB max

= ⋅ (6.149)

6.4.4 Efecto de elementos parásitos De forma análoga al convertidor elevador, los elementos parásitos tienen un efecto significativo en el ciclo de trabajo y en la estabilidad de la generación de tensión regulada mediante el Buck-Boost. Como ejemplo se destacará la siguiente gráfica donde se muestran de forma cualitativa los efectos de estos elementos parásitos.

Figura 6.43 Efecto de elementos parásitos sobre el ciclo de trabajo



Los efectos de los elementos parásitos deben tenerse en cuenta para el diseño de este tipo de convertidores. 6.4.5 Rizado de la tensión de salida El rizado de la tensión de salida puede ser calculado utilizando las siguientes formas de onda, obtenidas para el modo de conducción continua.

Figura 6.44 Rizado de la tensión de salida en un elevador-reductor

Asumiendo que todo la componente alterna , componente de rizado de la intensidad en el diodo (iD), circula a través del condensador y que su componente continua va a parar a la carga resistiva, se puede considerar el área ∆Q como el área de carga del condensador.



A partir de este área el valor de pico-a-pico de la tensión de rizado ∆Vo podrá ser descrito como:

∆∆Vo QC

= (6.150)


∆Q Io D Ts= ⋅ ⋅ (6.151) Por lo tanto considerando Io como un valor constante, el rizado toma el siguiente valor:

∆Vo VoR

D TsC

= ⋅⋅

(6.152)

Entonces la relación entre rizado y valor medio de tensión podrá ser descrita por:

∆VoVo

D TsRC

=⋅

(6.153)

Considerando RC como el valor de la constante de tiempo {τ} se llega a obtener:

∆VoVo

D Ts=

⋅τ

(6.154)

Un análisis similar puede efectuarse para un modo discontinuo de operación.



6.5 Convertidor de Cúk. Cúck DC-DC converter. Nombrado como su inventor, la topología básica de este convertidor es la mostrada en la siguiente figura:

Figura 6.46 Convertidor de Cúk

6.5.1 Aplicación del teorema de dualidad Este tipo de convertidores se obtienen utilizando el principio de dualidad característico de los convertidores Buck-Boost, tratados en el apartado anterior. El proceso de conversión por el principio de dualidad es: 1º.- Se partirá del la topología básica del convertidor elevador- reductor:

Figura 6.47 Topología básica del elevador reductor



Este circuito puede ser simplificado si se considera la tensión de salida Vo como un valor constante:

Figura 6.48 Topología simplificada para un elevador reductor

2º.- Aplicación del teorema de dualidad. Para los elementos que componen el anterior montaje se considerarán las siguientes equivalencias duales: Inductancia {L} → Condensador {C} Fuente de tensión → Fuente de intensidad Diodo → Diodo Interruptor {T} → Interruptor {T} Se trazarán unas mallas que atraviesen perpendicularmente cada elemento del circuito original. Cada elemento atravesado será sustituido por su elemento dual.



Figura 6.49 Aplicación del método de dualidad

Después de sustituir cada elemento por su equivalente dual en las nuevas mallas, se obtiene el circuito equivalente del convertidor de Cúk, la topología de este convertidor es:

Figura 6.50 Circuito dual al convertidor elevador-reductor

Este circuito convertidor representa el circuito simplificado del convertidor de Cúk detallado anteriormente. De forma similar a los convertidores Buck-Boost, el convertidor de Cúk ofrece una polaridad negativa de tensión de salida respecto al terminal común de la tensión de entrada. Aquí, el condensador C1 actúa almacenando y transfiriendo energía desde el lado de alterna a la salida. En régimen estacionario, las tensiones medias VL1 y VL2 son cero. Por tanto se obtendrá:

V V VC d o1 = + (6.155)

Por consiguiente la tensión VC1 será mayor a las tensiones Vd y Vo. Considerando C1 lo suficientemente grande, en el régimen estacionario la variación de vC1 respecto de sus valor medio VC1 puede considerarse de valor nulo { vC1≅ VC1 } incluso aunque se produzca transferencia de energía entre entrada y salida. Partiendo del circuito general del convertido de Cúk, cuando el semiconductor-interruptor se encuentra en estado Off, las intensidades iL1 e iL2 circulan a través del diodo. El circuito equivalente para esta situación es:



Figura 6.49 Convertidor de Cúk para el periodo Toff En esta situación el condensador C1 se carga mediante la energía que circula por el diodo, ofrecida por la entrada y L1. La intensidad iL1 decrece, porque VC1 es mayor a Vd. La energía almacenada en L2 alimenta a la salida. Por consiguiente la intensidad iL2 también decrece. Si el interruptor se encuentra en estado ON, la tensión VC1 mantiene al diodo polarizado inversamente. Las intensidades iL1 e iL2 circulan a través del interruptor. El circuito equivalente para este estado será:

Figura 6.50 Convertidor de Cúk para el periodo Ton

Como VC1>Vo, el condensador C1 se descarga por el interruptor, transfiriendo energía hacia la salida y hacia L2. Por tanto, iL2 decrece. La alimentación de energía hacia L1 provoca que iL1 aumente Las formas de onda de tensión e intensidad a las que se hace referencia son:



Figura 6.51 Formas de onda para un convertidor de Cúk



Las intensidades de bobina iL1 e iL2 serán consideradas continuas. La tensión y la intensidad pueden representarse por sus correspondientes expresiones analíticas en régimen permanente. La relación entre tensiones de entrada y salida podrá ser obtenida siguiendo dos métodos operativos distintos, se enumerarán M1 y M2. M1.- Si se considera que la tensión del condensador VC1 es constante, la evaluación de la integral de las tensiones a las que están sometidas L1 y L2 por periodo serán:

L1 : Vd D Ts Vd V D TsC⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ =( ) ( )1 1 0 (6.156)

VD

VdC11

1=

−⋅ (6.157)

L2 : ( ) ( ) ( )V Vo D Ts Vo D TsC1 1 0− ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ = (6.158)

VD

VoC11

= ⋅ (6.159)

De las anteriores ecuaciones se obtendrá:

VoVd

DD

=−1

(6.160)

Considerando pérdidas nula {Pd=Po}:

IoId

DD

=−1

(6.161)

donde IL1=Id e IL2=Io. M2.- Otro método para obtener la anterior expresión es el siguiente: Se considerará que el rizado de las intensidades por las bobinas es prácticamente nulo {iL1=IL1 ; iL2=IL2 }. Cuando el interruptor está en estado Off, la carga almacenada por C1 equivale a:

I D TsL1 1⋅ − ⋅( ) (6.162)



Si por el contrario se encuentra en ON, el condensador se descarga con una energía de valor

I D TsL2 ⋅ ⋅ (6.163)

Si se trabaja en régimen permanente la relación entre carga y descarga de C1 durante un periodo será:

I D Ts I D TsL L1 21⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅( ) (6.164)

Simplificando

II

IoId

DD

L

L

2

1

1= =

− (6.165)

La correspondiente relación de tensiones considerando perdidas nula {Po=Pd} es:

VoVd

DD

=−1

(6.166)

Ambos métodos de análisis nos conducen a las mismas expresiones finales. Las relaciones entre entradas y salidas son similares a las obtenidas mediante la utilización del convertidor Buck-Boost. En casos prácticos, la consideración de un valor muy constante de VC1 es aproximadamente valida. Una de las ventajas de este tipo de montajes es que tanto las intensidades de entrada como las de salida presentan un rizado que puede ser considerado nulo. Es posible eliminar totalmente el rizado en las intensidades iL1 e iL2, sintonizando correctamente el filtro pasabajos de la salida. El principal inconveniente es el alto rizado que presenta la intensidad que circula por el condensador C1.



6.6 Convertidor en puente completo. Full-Bridge DC-DC converter. Existen tres distintas aplicaciones para los montajes en puente completo: 1.- Control de motores de corriente continua 2.- Conversión DC-AC (onda senoidal) en abastecimiento de potencia alterna ininterrumpida. 3.-Conversión DC-AC (altas frecuencias) en suministros de potencia continua con transformadores de aislamiento. La topología de este tipo de convertidores es la que se presenta:

Figura 6.52 Convertidor en puente completo La anterior topología es la misma para cada una de las tres anteriores aplicaciones, el tipo de control de los semiconductores sí depende del tipo de aplicación. En el puente completo, la entrada es considerada una magnitud fija de tensión continua {Vd}. La tensión de salida es considerada como una tensión de salida continua de valor Vo, que puede ser controlada tanto en magnitud como en polaridad. De forma similar, para io el valor y la dirección establecida también podrán ser controlados. Por tanto, un convertidor en puente completo podrá operar en cualquiera de los cuatro cuadrantes definidos por el plano io y vo, de esta forma la potencia puede ser transferida de forma bidireccional ( de la entrada a la carga o a la inversa).



En una topología de convertidor semejante a la de un puente completo, como el mostrado anteriormente, donde los diodos están conectados en antiparalelo con los interruptores, se debe hacer una distinción los efectos provocados por el estado ON del diodo y el estado de conducción del interruptor. Esto es debido al montaje en antiparalelo de los diodos interruptores, ya que aunque un interruptor se encuentre en estado ON, el diodo puede o no conducir corriente dependiendo del sentido de io. De forma contraria, si el interruptor permite la conducción de corriente, entonces es porque el correspondiente diodo se encontrará en estado de conducción. Esta distinción no es necesaria para cuando el interruptor se encuentre en estado OFF. El convertidor en puente completo está compuesto por 2 ramas, A y B. Cada rama está formada por dos interruptores y su correspondiente montaje en antiparalelo con diodos. Los dos interruptores de cada rama están conmutados de forma que cuando uno de ellos se encuentra en estado OFF, el otro interruptor se encontrará en estado ON. Por tanto, los dos interruptores nunca se encontrarán en estado de OFF de forma simultánea. En la práctica ambas ramas pueden encontrarse en estado OFF durante un pequeño intervalo de tiempo, es el periodo conocido como periodo de solapamiento. Este tiempo de solapamiento se supondrá nulo durante el actual estudio, puesto que se ha considerado un modo de trabajo con componentes ideales capaces de pasar a un estado OFF o ON de forma instantánea. Se debe tener en cuenta que si cada uno de los interruptores de cada rama del convertidor son accionados de forma que no pasan a estado OFF de forma simultánea, esto implicará que la corriente de salida io puede circular de forma ininterrumpida. { Ver figura adjunta}. Por consiguiente la tensión de salida está únicamente controlada por el estado de los interruptores. Por ejemplo la rama A del circuito anterior, la tensión de salida VAN, con respecto al punto de continua N, depende de la conmutación de los interruptores tal como se muestra a continuación:

Si TA+ está en estado ON, la intensidad de salida circula por TA+ siempre que la intensidad io sea de valor positivo o circulará por DA+ si esta intensidad es de valor negativo. En cualquiera de los dos casos, el comportamiento de TA+ lleva a asegurar que el punto A del circuito anterior se halla al mismo potencial que el potencial positivo de la entrada de continua, fruto de esto:

v VAN d= {Si TA+ está ON y TA- está OFF } (6.167)



De forma similar, cuando TA- está en estado ON, la intensidad negativa io puede fluir a través de TA- si DA+ está polarizado inversamente, si por el contrario esta intensidad es positiva circulará a través de DA-. Entonces:

v AN = 0 {Si TA- está ON y TA+ está OFF } (6.168) Las dos igualdades anteriores muestran como vAN depende únicamente del estado del interruptor y es totalmente independiente de la dirección que tome io. Como consecuencia, la tensión de salida de la rama A del convertidor, promediada durante un periodo de interrupción Ts, depende únicamente de la tensión de entrada Vd y del ciclo de trabajo de TA+. La expresión analítica es:

VVd T T

TANON OFF

S

=⋅ + ⋅0

(6.169)

O lo que es igual a:

V V DAN d TA= ⋅ + (6.170) Siendo DTA+ el ciclo de trabajo del TA+ y TON junto con TOFF son los intervalos ON-OFF de TA+ , respectivamente.

De forma similar se puede aplicar este proceso a la rama B del convertidor, de forma que VBN dependerá de Vd y del ciclo de trabajo del interruptor TB+ independientemente del sentido que tome io. El resultado obtenido es:

V V DBN d TB= ⋅ + (6.171)

Por consiguiente, la tensión de salida del convertidor Vo (=VAN - VBN ) puede controlarse mediante el control del ciclo de trabajo de los interruptores y de ninguna manera dependerá del valor y sentido de io. Debe destacarse que es posible controlar la tensión de salida de una rama del convertidor haciendo pasar a estado OFF ambos interruptores de forma simultánea para un mismo intervalo de tiempo. De cualquier modo el esquema que se mostró con anterioridad podrá respetar la tensión de salida en función de io. Obviamente esto es indeseable, ya que se podría introducir una relación entre la tensión de control y el valor medio de la tensión de salida. Por tanto, en el anterior esquema no se debe considerar un conjunto “carga” sino un elemento equivalente como es un motor de corriente continua.



En convertidores con conmutación única, comentados en apartados anteriores, la polaridad de la tensión de salida era considerada unidireccional, y por esta razón, el modo de interrupción era regulado según una modulación de anchura pulsos obtenida mediante la comparación de una tensión de control y una forma de onda repetitiva de tensión de valor siempre positivo. Por contra, la tensión de salida del puente completo es reversible en polaridad, es lleva a la conclusión de que una frecuencia de conmutación proveniente de una forma de onda triangular es la utilizada para el PWM de los interruptores de este convertidor. Las dos estrategias de conmutación PWM son las siguientes: 1.- PWM con tensión bipolar de conmutación

Las parejas (TA+, TB-) y (TA-, TB+) serán tratadas como una pareja equivalente de conmutadores, los interruptores de cada pareja pasarán de estado ON a OFF de forma simultánea.

2.- PWM con tensión unipolar de conmutación

Se utilizará una estrategia de conmutación donde los interruptores de cada rama serán controlados independientemente de lo que se trate en la otra rama.

Como se ha mencionado anteriormente, la intensidad de salida a través de un convertidor en puente completo DC-DC no se hace discontinua para valores bajos de Io cuando se sustituyen cargas Dc del tipo:

Figura 6.53 Carga característica en convertidores en puente completo



Lo expuesto en el párrafo anterior no ocurre en los convertidores de conmutación simple comentados en anteriores capítulos. En el convertidor en puente completo, la corriente de entrada iD cambia de dirección de forma instantánea. Por tanto, es importante que la entrada a este convertidor sea una fuente de tensión continua con una impedancia interna muy baja. En la práctica el filtro capacitivo de la etapa de salida del rectificador es el que ofrece esta baja impedancia. 6.6.1 Métodos PWM aplicables al control de conmutación 6.6.1.1 PWM con tensión bipolar de conmutación En este tipo de conmutación de tensión, los interruptores (TA+, TB-) y (TB+, TA-) son tratados como dos parejas de interruptores ( los dos interruptores de una pareja cambiarán de estado ON-OFF de forma simultánea). Una de las dos parejas de interruptores se encontrará siempre en estado ON. Las señales de conmutación son generadas mediante la comparación de una forma de onda triangular (vtri) con una tensión de control (vcontrol). De esta forma los estados de los interruptores serán:

(TA+, TB-) en estado ON si v vcontrol tri> (6.172)

(TA-, TB+) en estado ON si v vcontrol tri≤ (6.173) Los ciclo de trabajo podrían obtenerse de las siguientes formas de onda, donde se ha escogido un origen de tiempos de forma arbitraria.



[Mohan, Undeland, Robbins: Power Electronics: Converters, Applications, and Design, Ed. Wiley]



De la anterior figura:

v V tT t Ttri tri

SS=

∧⋅ < < ⋅

4

0 14

(6.174)

Cuando t=t1, vtri=vcontrol. Por consiguiente de la anterior ecuación se puede obtener el valor de t1 para el que se cumple la anterior igualdad. Estudiando las anteriores formas de onda, se puede deducir la duración del periodo ON {TON } de la primera pareja de conmutadores (TA+, TB-), la duración de este periodo es:

T t TsON = ⋅ + ⋅2 121 (6.175)

En consecuencia el ciclo de trabajo para esta primera pareja de conmutadores será:

DTT

v

VON

S

control

tri

112

1= = ⋅ + ∧

referente a(TA+, TB-) (6.176)

Teniendo en cuenta el valor de este ciclo de trabajo de la primera pareja, podrá obtenerse D2 para el conjunto (TA-, TB+), siendo este:

D D2 11= − referente a(TA+, TB-) (6.177) Utilizando los anteriores ciclos de trabajo se pueden llegar a obtener las expresiones VAN y VBN, estas son:

Vo V V D Vd D VdAN BN= − = ⋅ − ⋅1 2 (6.178)

simplificando: Vo D Vd= ⋅ − ⋅( )2 11 (6.179)

sustituyendo el valor de D1 en la anterior expresión:

Vo Vd

Vv k v

tri

control control= ∧ ⋅ = ⋅ (6.180)



donde

k Vd

Vcte

tri

= ∧ = (6.181)

Esta ecuación muestra como en este modo de conmutación, similar al utilizado en conmutación simple expuesto en capítulo anteriores, el valor medio de la tensión de salida varía linealmente con la señal de control aplicada a la entrada de igual forma que lo haría un amplificador lineal. La variación lineal de tensiones se verá afectada únicamente por la irrupción del tiempo de solapamiento. La forma de onda de la tensión de salida de la figura d) muestra como la tensión llega a oscilar entre los valores +Vd y -Vd. Esta es la razón por la que esta estrategia de conmutación se denomina PWM con tensión bipolar de conmutación. Se debe destacar que el ciclo de trabajo D1 puede variar entre 0 y 1, dependiendo del valor y la polaridad de vcontrol. Por consiguiente Vo variará continuamente desde -Vd a +Vd. Aquí la tensión de salida del convertidor es independiente de la intensidad de salida io, siempre que se considere nulo el tiempo de solapamiento. El valor medio de la tensión de salida {Io} puede ser positivo o negativo. Para valores bajos de Io, su correspondiente valor temporal {io} puede oscilar durante un periodo entre valores positivos y negativos; Esto se ha mostrado en la figura e) para Io>0, donde el valor promedio de potencia que circula fluye de Vd a Vo, mientras que si Io<0 la potencia fluirá de Vo a Vd. 6.6.1.2 PWM con tensión unipolar de conmutación Observando la topología del convertidor en puente completo mostrado en el anterior apartado se puede afirmar que independientemente de la dirección de io, vo será nula si TA+ y TB+ se encuentran en situación ON. De forma similar vo=0 si los conmutadores TA- y TB- se encuentran en ON. Esta propiedad puede aprovecharse para mejorar la forma de onda de tensión de salida. En la siguiente figura, la forma de onda triangular es comparada con la tensión de control vcontrol y con -vcontol para determinar las señales de conmutación para las ramas A y B respectivamente. La comparación de vcontrol con vtri controla los interruptores de la rama A, mientras que los interruptores de la rama B son controlados mediante la comparación de -vcontrol con vtri de la siguiente manera:



(TA+) en estado ON si v vcontrol tri> (6.182)

(TB+) en estado ON si − <v vcontrol tri (6.183)

Las tensiones de salida de cada rama y vo son las mostradas en la posterior figura. Comparando estas formas de onda con correspondientes a una estrategia PWM bipolar, se puede observar que el método de operación seguido para determinar el ciclo de trabajo D1 del interruptor TA+ también puede ser empleado para esta estrategia de conmutación. Siguiendo el método de cálculo utilizado en PWM bipolar de tensión se obtiene el valor de los ciclos de trabajo para cada conmutador:

Dv

Vcontrol

tri

112

1= ⋅ ∧ +

referente a TA+ (6.184)

D D2 11= − referente a TB+ (6.185)

Utilizando los anteriores ciclos de trabajo se pueden llegar a obtener las expresiones VAN y VBN, estas son:

Vo V V D Vd D VdAN BN= − = ⋅ − ⋅1 2 (6.186)

simplificando: Vo D Vd= ⋅ − ⋅( )2 11 (6.187)

sustituyendo el valor de D1 en la anterior expresión:

Vo Vd

Vv

tri

control= ∧ ⋅ (6.188)

El valor medio de tensión de salida, en este modo de conmutación, resulta igual que en el modo de conmutación bipolar y varía linealmente con vcontrol. La formas de onda correspondientes a la modulación bipolar por anchura de pulsos aplicada a un convertidor en puente completo es:



[Mohan, Undeland, Robbins: Power Electronics: Converters, Applications, and Design, Ed. Wiley]



Las anteriores figuras e) y f) muestran las formas de onda de intensidad y las características de conducción para Io>0 y Io<0 respectivamente, donde Vo es positiva en ambos casos. 6.7 Convertidor DC-DC. Estudio comparativo. Los convertidores, elevador, reductor, elevador-reductor y de Cúk en sus topología básicas son capaces de transferir energía únicamente en un sentido. Es consecuencia de su capacidad de crear tensiones e intensidades de carácter únicamente unidireccional. El convertidor en puente completo es capaz de establecer una circulación de potencia bidireccional porque Vo e Io pueden ser valores positivos o negativos independientemente de otras variables. Esta capacidad para trabajar en los 4 cuadrantes que definen el plano Vo e Io hacen que el convertidor en puente completo sea utilizado como un inversor DC-AC. En los inversores AC-DC, el convertidor en puente completo opera en todos los 4 cuadrantes durante cada ciclo de la tensión alterna de salida. Para evaluar cual es el factor de utilización del interruptor en cada uno de los convertidores comentados se harán las siguientes suposiciones.

1.- El valor promedio de corriente de salida se denominará Io. El rizado en la intensidad de bobina será considerado despreciable; {iL(t)=IL}. Esta condición implica un modo de conducción continua para todos los convertidores. 2.- La tensión de salida vo tendrá su valor estable en Vo. El rizado en v0 será considerado despreciable. {vo(t)=Vo pico}. 3.- La tensión de entrada Vd será considerada variable. Por tanto, el ciclo de trabajo del interruptor debe ser controlado para un valor Vo constante.

Considerando un régimen permanente de trabajo, el valor de pico de tensión e intensidad soportado por cada interruptor serán denominados VT e IT respectivamente. La potencia del interruptor será calculada como:



P V IT T T= ⋅ (6.189)

El factor de utilización del interruptor será expresado como Po/PT , donde

P V Io o o= ⋅ (6.189) es la potencia media a la salida del convertidor. En la siguiente figura se representa el factor de utilización Po/PT para cada uno de los convertidores estudiados.

Figura 6.56 Factor de utilización en los convertidores continua-continua

Esta figura muestra que en el convertidor reductor y en el elevador, si las tensiones de entrada y salida son del mismo orden de magnitud entonces la utilización del interruptor es excepcional. En el convertidor elevador-reductor y en el modelo de Cúk el interruptor es muy poco utilizado . El factor máximo de utilización del interruptor es del 0.25 y se da para un ciclo de trabajo de D=0.5, es decir V0=Vd.

ÍNDICE CAPÍTULO 7

Capítulo 7 Introducción al análisis en variable de estado o espacio de estado 7.1Introducción..........................................................................................................1 7.2 Control de la conmutación en convertidores DC-DC.........................................5 7.2.1 Análisis de la etapa de potencia mediante el promediado en variable de estado............................................................................................6 7.3 Estudio del convertidor reductor (Buck)...........................................................11 7.3.1 Obtención de la función de transferencia de la etapa de potencia, Tp(s)...................................................................................................20 7.3.2 Análisis de la función de transferencia del generador de PWM para el control de carga............................................................................21

Introducción al análisis en variable de estado 1


Capítulo 7 Introducción al análisis en variable de estado o espacio de estado 7.1 Introducción En todos los circuitos tratados, ya sean rectificadores controlados, no controlados, convertidores DC-DC el análisis temporal se ha realizado mediante ecuaciones diferenciales que regían en circuito. El cálculo era muy sencillo debido al orden de estas ecuaciones diferenciales (orden de las derivadas). Entonces cuando el orden es elevado o también en sistemas de primer y segundo orden se puede aplicar el análisis mediante variable de estado o también llamado espacio de estado con el fin de simplificar los cálculos. El método de espacio de estado para el análisis de un sistema de orden n se basa en describir este sistema por un conjunto de n ecuaciones simultáneas de primer orden. Este conjunto puede ser obtenido directamente o de la ecuación de orden n. Finalmente este conjunto se expresa de forma única mediante matrices. Si la ecuación diferencial en el tiempo es:

f t d y tdt

b d y tdt

b d y tdt

b dy tdt

b y tn

n n

n

n o( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )= + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅−

−

−1

1

1 2

2

2 1 (7.1)

Donde f(t) es la función forzadora. Si se expresa:

x d y tdtn

n

n=−

−

1

1( )

(7.2)

x d y tdt3

2

2=( )

(7.3)



x dy tdt2 =( )

(7.4)

x y t= ( ) (7.5)

Se podrá escribir:

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x b x b x b x

n

n

n

n n

n o

1 1 2 3 4

2 1 2 3 4

3 1 2 3 4

1 1 2 3 4

1 1 2 2 3

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

•...

•...

•...

............................•

...•

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

= − ⋅ − ⋅ − ⋅ −

−

b x b x f tn n3 4 1⋅ + + ⋅ +−... ( )

(7.6) Se escribe la matriz A de (n x n) de los coeficientes de las x' y por f(t) la matriz de (nx1) donde f(t) está en la última fila y ceros en cualquier parte. La variable x representa el vector de estado, donde se contienen todas las variables que definen el circuito. La matriz A es la matriz característica del sistema compuesta por factores constantes y f(t) es el vector forzador compuesto por n funciones distintas de tiempo. Entonces expresando en forma matricial:

x A x f t•

( )= ⋅ + (7.7) Para solucionar esta ecuación diferencial se procede como si fuese una ecuación lineal de primer orden.

f t dxdt

a x( ) = − ⋅ (7.8)



Mediante métodos clásicos o por Laplace:

s x s a x s x f s⋅ − ⋅ − =( ) ( ) ( ) ( )0 (7.9)

x ss a

xs a

f s( ) ( ) ( )=−

⋅ +−

⋅1 0 1

(7.10)

Antitransformando e identificando la convolución de (1/s-a)·f(s) se obtiene:

x t x e e f da t a t

o

t( ) ( ) ( )( )= ⋅ + ⋅⋅ ⋅ −∫0 τ τ τ (7.11)

De la ecuación matricial.

x A x f t•

( )= ⋅ + (7.12) Transformandola:

s x s A x s x f s

x s s A x f s

x s s I A x f s

⋅ = ⋅ + +

⋅ − = +

⋅ ⋅ − = +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0

Donde I es la matriz diagonal de unos.

x s s I A x s I A f s( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅− −1 10 (7.16) Como:

{ }Ls t

L s t ea t− − − ⋅

−

= − =1 1 11 ( ) (7.17)

Análogamente:

{ }Ls I A

L s I A e A t− − − ⋅

⋅ −

= ⋅ − =1 1 11 ( ) (7.18)

(7.13) (7.14) (7.15)



Y recordando el desarrollo de la función exponencial.

{ }L s I A e I A t A t A tA t− − ⋅⋅ − ≡ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +1 1 22

33

2 3( )

! !... (7.19)

Esta serie converge para cada A y todo t, se define e A t⋅ como una matriz (n x n). Se escribirá la matriz de transición de estado para el sistema:

φ( )t e A t≡ ⋅ (7.20)

{ }φ( ) ( )t L s I A= ⋅ −− −1 1 (7.21)

La matriz de transición de estado cumple con la propiedad:

φ φ φ( ) ( ) ( )t u t u+ = ⋅ (7.22) Entonces antitransformando la expresión:

x s s I A x s I A f s( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅− −1 10 (7.23) Se obtendrá:

x t e x e f dA t A tt( ) ( ) ( )( )= ⋅ + ⋅⋅ ⋅ −∫0

0

τ τ τ (7.24)

x t t x t f dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ + − ⋅∫φ φ τ τ τ00

(7.25)

x t t x t f dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ + ⋅ ⋅∫φ φ φ τ τ τ00

(7.26)

El comportamiento del tiempo en φ( )t y por lo tanto en del la función obtenida de x(t) queda determinado por los polos de su transformada de Laplace. Los polos obtenidos eran:

( ) ( )( )

s I A adjunt s I As I A

⋅ − =⋅ −

⋅ −−1 (7.27)



Los polos son los ceros del denominador por tanto los ceros del determinante:

( )s I A⋅ − = 0 (7.28) De lo que resulta un polinomio de grado n y variable s, este es la ecuación característica de A, y las raíces son los eigenvalores de A. Fijándose en la ecuación:

x t e x e f dA t A tt( ) ( ) ( )( )= ⋅ + ⋅⋅ ⋅ −∫0

0

τ τ τ (7.29)

Se puede ver que el primer término corresponde a la respuesta natural debida a las condiciones iniciales x(0) o respuesta a entrada cero,el segundo término corresponde a la respuesta al estado cero debidas a las funciones forzadas. Entonces los Eigenvalores si tienen parte real negativa el sistema será estable. 7.2 Control de la conmutación en convertidores DC-DC El diagrama general de control de un convertidor DC-DC bien podría ser:

Figura 7.1 Diagrama general del control DC-DC Esta formado por un comparador, el compensador y el controlador del PWM que variará el ciclo de trabajo d según la comparación entre la salida y la consigna establecida. La otra etapa la forma la etapa de potencia con el filtro incluido.



Representando el mismo diagrama pero en este caso en forma de funciones de tranferencia:

Figura 7.2 Funciones de transferencia del sistema de control de un convertidor DC-DC 7.2.1 Análisis de la etapa de potencia mediante el promediado en variable de estado En este apartado se expone un nuevo método de análisis que permitirá la obtención de la función de transferencia de la etapa de potencia de un convertidor tipo Buck realizando la linealización de esta etapa incluyendo el filtro utilizando el promediado en espacio de estado.Como premisa se supone que el convertidor está en estado de conducción continua. Como se muestra en la figura 7.2 la etapa de potencia incluido el filtro su función de transferencia será:

Tp s v

do( ) =

≈

≈ (7.30)

Si Vo es la tensión de salida del convertidor y D es el ciclo de trabajo o porcentaje de

conmutación, se definen vo

≈ y d

≈corresponden a pequeñas perturbaciones en la

tensión de salida vo del convertidor y en el ciclo de trabajo.



En los circuitos de conmutación existen dos estados posibles en el circuito: en el intervalo de ton y durante el intervalo de toff. Entonces se plantearan dos ecuaciones de estado para cada intervalo. El vector de variable de estado consiste en un vector formado por las variables del circuito, en el caso utilizado de un filtro L-C se toma normalmente como variables que forman el vector de estado la intensidad por la inductancia y la tensión en el condensador. Entonces para cada intervalo de conducción se obtiene su correspondiente ecuación de estado: a.-Durante ton = d · Ts :

x A x B vd

•= ⋅ + ⋅1 1 (7.31)

b.-Y durante toff = (1-d) · Ts

x A x B vd

•= ⋅ + ⋅2 2 (7.32)

Donde A1 y A2 corresponden a las matrices de estado y B1 y B2 son vectores. También para cada intervalo de trabajo se ha de obtener la ecuación de estado de la salida de la etapa de potencia (incluido el filtro). a.-Durante ton = d · Ts :

v C xo = ⋅1 (7.33) Y durante toff = (1-d) · Ts

v C xo = ⋅2 (7.34) Donde C1 y C2 son vectores transpuestos. Definidas las ecuaciones de estado se obtendrá a continuación mediante la utilización del promediado en variable de estado con el ciclo de trabajo d. Es decir se representará la ecuación de estado de entrada y de salida mediante la aplicación del teorema de superposición.

[ ] [ ]x A d A d x B d B d vd

•( ) ( )= ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅1 2 1 21 1 (7.35)

Y



[ ]v C d C d xo = ⋅ + ⋅ − ⋅1 2 1( ) (7.36)

Se definirá A,B y C como:

[ ]A A d A d= ⋅ + ⋅ −1 2 1( ) (7.37)

[ ]B B d B d= ⋅ + ⋅ −1 2 1( ) (7.38)

[ ]C C d C d= ⋅ + ⋅ −1 2 1( ) (7.39) Quedando así:

x A x B vd

•= ⋅ + ⋅ (7.40)

v C xo = ⋅ (7.41)

La aplicación del promediado en variable de estado se hace interesante cuando se forma el vector de variable de estado como la variable permanente más la pequeña perturbación.

x X x= +≈

(7.42) Igualmente en la salida:

v Vo vo o= +≈

(7.43) Y considerando también la perturbación en el ciclo de trabajo:

d D d= +≈

(7.44) Se podría tener también en cuenta la perturbación en la tensión de entrada pero esto complica el análisis.

v Vd vd d= +≈

(7.45) Considerando:

vd

≈= 0 (7.46)

Entonces:



v Vdd = (7.47)

Si desarrollar la ecuación del promediado en variable de estado obtenida:

X x A D d A D d X x B D d B D d Vd

••

( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( ))+≈

= ⋅ +≈

+ ⋅ − +≈

⋅ +≈

+ ⋅ +≈

+ ⋅ − +≈

⋅1 2 1 21 1

(7.48)

Se obtiene:

[ ]x A X B Vd A x A A X B B Vd d≈

≈ ⋅ + ⋅ + ⋅≈

+ − ⋅ + − ⋅ ⋅≈•

( ) ( )1 2 1 2 (7.49) Y para la salida:

Vo v C D d C D d X xo+ = ⋅ +≈

+ ⋅ − +≈

⋅ +≈≈

1 2 1( ) ( ( )) ( ) (7.50)

Se obtiene, identificando la componente permanente.(sin perturbación las derivadas son nulas).

A X B Vd⋅ + ⋅ = 0 (7.51) Quedando así:

[ ]x A x A A X B B Vd d≈

≈ ⋅≈

+ − ⋅ + − ⋅ ⋅≈•

( ) ( )1 2 1 2 (7.52) Y en el caso de la ecuación de salida:

Vo C X= ⋅ (7.53) Quedando así:

[ ]v C x C C X do

≈≈ ⋅

≈+ − ⋅ ⋅

≈( )1 2 (7.54)

Son aproximadamente igual debido a que se desprecian los productos de x≈

y d≈

. Mediante las relaciones obtenidas de las componentes permanentes:



A X B Vd⋅ + ⋅ = 0 (7.55)

Vo C X= ⋅ (7.56) La relación entrada-salida en estado permanente será:

VoVd

CA

B= − ⋅ ⋅1

(7.57)

En resumen:

VoVd

C A B= − ⋅ ⋅−1 (7.58)

Para hallar la relación entrada-salida provocada por las perturbaciones consideradas, a partir de las ecuaciones:

[ ]x A x A A X B B Vd d≈

≈ ⋅≈

+ − ⋅ + − ⋅ ⋅≈•

( ) ( )1 2 1 2 (7.59) Mediante la transformada de Laplace:

[ ]s x s A x s A A X B B Vd d s⋅≈

≈ ⋅≈

+ − ⋅ + − ⋅ ⋅≈

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 (7.60)

Despejando x s≈

( ) :

[ ] [ ]x s s I A A A X B B Vd d s≈

≈ ⋅ − + − ⋅ + − ⋅ ⋅≈−( ) ( ) ( ) ( )1

1 2 1 2 (7.61) I representa la matriz unidad Entonces de la ecuación:

[ ]v C x C C X do

≈≈ ⋅

≈+ − ⋅ ⋅

≈( )1 2 (7.62)

Transformando y despejando d≈

(s):



d sv s C x s

C C Xo

≈≈

≈− ⋅

≈

− ⋅( )

( ) ( )( )1 2

(7.63)

Substituyéndolo en:

[ ] [ ]x s s I A A A X B B Vd d s≈

≈ ⋅ − + − ⋅ + − ⋅ ⋅≈−( ) ( ) ( ) ( )1

1 2 1 2 (7.64) Se obtiene la función de transferencia de la etapa de potencia Tp(s) como:

Tp sv s

d so( )( )

( )=

≈

≈ (7.65)

Por tanto la función global obtenida toma la siguiente forma:

[ ] [ ] [ ]Tp s C s I A A A X B B Vd C C X( ) ( ) ( )≈ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + − ⋅ + − ⋅−11 2 1 2 1 2 (7.66)

7.3 Estudio del convertidor reductor (Buck) De forma más real se expondrá el caso del convertidor tipo Buck , analizando la función de transferencia en promediado en espacio de estado



Figura 7.3 Topología básica de un convertidor reductor Considerando el circuito real del filtro más la carga que se ha simplificado en los cálculos anteriores mediante un circuito L-R-E , el primer paso es identificar las variables que nos definen el circuito. A simple vista se observa que son la intensidad por la indostancia y la tensión del condensador. Es más sencillo de comprobar planteando las ecuaciones diferenciales del circuito: Durante el intervalo de ton en el caso del chopper reductor tratado:

Figura 7.4 Circuito equivalente de un convertidor Buck durante el periodo TON



La ecuación que define el comportamiento del sistema es:

Ldi t

dtr i t R i t i t VdL

L L L C⋅ + ⋅ + ⋅ − =( )

( ) ( ( ) ( )) (7.67)

La variable iC(t) se podrá substituir por:

i t c dv tdtCC( ) ( )

= ⋅ (7.68)

Entonces substituyendo en la ecuación 7.67 se obtiene:

Ldi t

dtr i t R i t c

dv tdt

VdLL L L

C⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ =( )

( ) ( ( )( )

) (7.69)

Para hallar la solución hará falta otra ecuación diferencial debido que disponemos de dos variables que nos definen el estado. Entonces:

R i t i t c dv tdt

r c dv tdtL C

CC

C⋅ − = ⋅ + ⋅ ⋅( ( ) ( )) ( ) ( ) (7.70)

R i t c dv tdt

c dv tdt

r c dv tdtL

C CC

C⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅( ( ) ( ))) ( ) ( ) (7.71)

Identificadas ya las variables que nos definirán el estado del circuito y sus derivadas, para simplificar el cálculo y hacerlo más metódico estas se expresarán de la manera siguiente:

i t xL ( ) = 1 (7.72) v t xC ( ) = 2 (7.73)



Entonces sus derivadas se expresaran como:

di tdt

x

dv tdt

x

L

C

( ) •

( ) •

=

=

1

2

Quedando las dos ecuaciones diferenciales planteadas como:

L x r x R x c x VdL⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ =1 1 1 2

•(

•)

R x c x c x r c xC⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅(•

))• •

1 2 2 2 La forma de expresión en matriz de estado corresponde a la siguiente estructura matricial:

x A x B f t•

( )= ⋅ + ⋅ (7.78) Donde cts. es un valor constante.

Despejando x2

• de la ecuación 7.77:

x Rc R r

xc R r

xC c

2 1 21•

( ) ( )=

⋅ +⋅ +

⋅ +⋅ (7.79)

Substituyendo en la ecuación X.X se obtendrá la expresión de x1

•:

x R r r R r rL R r

x Rc R r

x VdL

C L L C

C c1 1 2

•

( ) ( )= −

⋅ + ⋅ + ⋅⋅ +

⋅ −⋅ +

⋅ + (7.80)

Expresando en forma de matriz de estado:

(7.74) (7.75)

(7.76) (7.77)



x

x

R r r r R rL R r

RL R r

Rc R r c R r

xx

L Vd

L C L C

C c

C C

1

2

1

21

1

0•

•( ) ( )

( ) ( )

=−

⋅ + ⋅ + ⋅⋅ +

−⋅ +

⋅ +−

⋅ +

⋅

+

⋅ (7.81)

Se definió anteriormente que durante ton la ecuación de estado era:

x A x B Vd•

= ⋅ + ⋅1 1 (7.82) Identificando términos:

A

R r r r R rL R r

RL R r

Rc R r c R r

B L

L C L C

C c

C C

2

2

1

1

00

=−

⋅ + ⋅ + ⋅⋅ +

−⋅ +

⋅ +−

⋅ +

=

=

( ) ( )

( ) ( )

Durante el intervalo toff el circuito tratado será:

Figura 7.5 Circuito equivalente de un convertidor Buck durante el periodo TOFF

(7.83) (7.84)



Planteando nuevamente las ecuaciones de estado.

L x r x R x c xL⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ =1 1 1 2 0•

(•

)

R x c x c x r c xC⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅(•

))• •

1 2 2 2 El único cambio es que Vd = 0 debido que el conmutador está en off.

Despejando x2

• de la ecuación X.X:

x Rc R r

xc R r

xC c

2 1 21•

( ) ( )=

⋅ +⋅ +

⋅ +⋅ (7.87)

Substituyendo en la ecuación X.X se obtendrá la expresión de x1

•:

x R r r R r rL R r

x Rc R r

xC L L C

C c1 1 2

•

( ) ( )= −

⋅ + ⋅ + ⋅⋅ +

⋅ −⋅ +

⋅ (7.88)

Expresando en forma de matriz de estado:

x

x

R r r r R rL R r

RL R r

Rc R r c R r

xx

Vd

L C L C

C c

C C

1

2

1

2100•

•( ) ( )

( ) ( )

=−

⋅ + ⋅ + ⋅⋅ +

−⋅ +

⋅ +−

⋅ +

⋅

+

⋅ (7.89)

Se definió anteriormente que durante toff la ecuación de estado era:

x A x B Vd•

= ⋅ + ⋅2 2 (7.90) Identificando términos:

(7.85) (7.86)



A

R r r r R rL R r

RL R r

Rc R r c R r

B

L C L C

C c

C C

2

2

1

00

0

=−

⋅ + ⋅ + ⋅⋅ +

−⋅ +

⋅ +−

⋅ +

=

=

( ) ( )

( ) ( )

Obtenidas las ecuaciones de estado de las variables de entrada a continuación se procederá a obtener la ecuación de estado de salida:

v R i t i t

v R x c x

o L C

o

= ⋅ −

= ⋅ − ⋅

( ( ) ( ))

(•

)1 2

Substituyendo x1 y x2

• se obtiene:

v r RR r

x RR r

xoC

C C

=⋅

+⋅ +

+⋅1 2 (7.95)

Expresado en matriz:

v r RR r

RR r

xxo

C

C C

=⋅

+ +

⋅

1

2

(7.96)

Se obtuvo dos ecuaciones de estado según el estado del conmutador. Para ton = d · Ts:

v C xo = ⋅1 (7.97) Para toff = (1-d) · Ts:

v C xo = ⋅2 (7.98)

(7.91) (7.92)

(7.93) (7.94)



Entonces identificando las constantes C1 y C2, para este tipo de convertidor:

C C r RR r

RR r

C

C C1 2= =

⋅+ +

(7.99)

Obtenidas las expresiones de estado considerando las matrices en promediado de estado se obtuvo que:

A A D A DB B D B D

= ⋅ + ⋅ −= ⋅ + ⋅ −

1 2

1 2

11( )( )

C C D C D= ⋅ + ⋅ −1 2 1( ) En el caso del convertidor Buck tratado se obtiene. Como:

A A1 2= (7.103) A A= 1 (7.104)

Como: B2 0= (7.105)

B B D= ⋅1 (7.106) Y como:

C C1 2= (7.108) C C= 1 (7.109)

Como que R es mucho mayor que ( )r rL C+ este termino se podrá despreciar en las matrices obtenidas, resultando: R >> ( )r rL C+ entonces no se obtiene una aproximación simplificando numerador i denominador en los términos de las matrices debido que:

R r RC+ ≈ y r rL c⋅ ≈ 0 (7.110)

(7.100) (7.101) (7.102)



A

r rL L

c R c

L C

≈−

+−

−⋅

1

1 1 (7.111)

El termino B queda inalterado.

B L D=

⋅

1

0 (7.112)

Y la matriz C aproximada resulta:

( )C rC≈ 1 (7.113) Se obtuvo en el estudio de promediado de estado que la relación entrada-salida era:

VoVd

CA

B= − ⋅ ⋅1

(7.114)

o de igual manera:

VoVd

C A B= − ⋅ ⋅−1 (7.115)

Obteniendo la matriz inversa de A:

AA

Adjunt A− = ⋅1 1 (7.116)

Resulta:

A R L cr r R

R c L

cr r

LC L C L

− =⋅ ⋅

+ +⋅

−⋅

− −+

1

1 1

1 (7.117)

Entonces la relación entrada-salida resulta con mucho cuidado debido que le producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa.



VoVd

r R L cr r R

R c L

cr r

L

L DCC L C L

= ⋅⋅ ⋅

+ +⋅

−⋅

− −+

⋅

⋅( )1

1 1

1

1

0 (7.118)

Resulta:

VoVd

R rr r R

DC

C L

=+

+ +⋅

( ) (7.119)

Si se tiene presente la simplificación planteada se puede suponer como se ha estado utilizando hasta ahora:

VoVd

R rr r R

D DC

C L

=+

+ +⋅ ≈

( ) (7.120)

7.3.1 Obtención de la función de transferencia de la etapa de potencia, Tp(s) Aplicando la ecuación obtenida en el planteamiento del método de obtención de la función de transferencia mediante promediado de estado:

Tp s v

do( ) =

≈

≈ (7.121)

[ ] [ ]Tp s C s I A A A X B B Vd C C X( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + − ⋅ + − ⋅−11 2 1 2 1 2 (7.122)

Donde I es la matriz unidad. Entonces se obtiene la función de transferencia de la etapa de potencia:



Tp ss r C

sr r

L R cs

L c

VdL c

C

C L

( ) ≈⋅ ⋅ +

++

+⋅

⋅ +⋅

⋅⋅

11 12

(7.123)

7.3.2 Análisis de la función de transferencia del generador de PWM para el control de carga Se ha analizado la etapa de potencia con el filtro, otro bloque o componente del convertidor es el generador de PWM que genera los tiempos de ton del conmutador según el estado de la carga. En este apartado se obtendrá su función de transferencia:

Tm s d s

v sc

( ) ( )

( )=

≈

≈ (7.124)

Se definirá: vc(t): Tensión de control o error, es decir es la tensión a la salida del comparador. vr(t): Forma de tensión periódica (diente de sierra) utilizada para compararla con la tensión de control a fin de estabilizar la frecuencia de conmutación fs. La tensión de control vc(t) consiste en la suma de una componente permanente más una componente variable.

v t Vc v tc c( ) ( )= +≈

(7.125)

vc(t) oscilará entre cero y la tensión máxima de vr(t), También, V r∧

. v tc

≈( ) es una

perturbación alterna de forma senoidal de amplitud a y frecuencia w y con una faseφ .

v t a Sin w tc

≈= ⋅ ⋅ −( ) ( )φ (7.126)



Se supone que la frecuencia de la perturbación es mucho menor que la frecuencia de conmutación.

w <<< ws (7.127) El valor instantáneo del ciclo de trabajo viene dado por:

d t Si v t v tc r( ) , ( ) ( )= ≥1 (7.128) d t Si v t v tc r( ) , ( ) ( )= <0 (7.129)

Figura 7.6 Modulación por anchura de pulsos. PWM

donde, d(t) puede ser expresada mediante términos en serie de Fourier despreciando las componentes de alta frecuencia debido a que el filtro se comporta como un pasa bajo:

d t Vc

V

a Sin w t

Vterminos de frecuencia erior

r r

( ) ( ) sup= +⋅ ⋅ −

+∧ ∧

φ (7.130)

Representando el ciclo de trabajo d(t) como la suma de dos componentes, una el ciclo

de trabajo deseado D y la otra la perturbación d t≈

( ) .



d t D d t( ) ( )= +≈

(7.131) Comparándola con la ecuación:

d t Vc

V

a Sin w t

Vr r

( ) ( )= +

⋅ ⋅ −∧ ∧

φ (7.132)

Se identifica la perturbación:

d t a Sin w t

V r

≈=

⋅ ⋅ −∧( ) ( )φ

(7.133)

Entonces la función de transferencia del PWM será:

Tm s d s

v sc

( ) ( )

( )=

≈

≈ (7.134)

Tm s a Sin w t

V a Sin w tr

( ) ( )( )

=⋅ ⋅ −

⋅⋅ ⋅ −∧

φφ

1 (7.135)

Tm sV r

( ) = ∧

1 (7.136)

Como se puede observar no depende de los tiempos de conmutación.

Documents

Convertidores DC-DC.pdf